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Full text of "Vorlesungen über die algebra der logik : exakte logik"

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Vorlesungen 
über  die 
Algebra  der 
ogik  (exakte 
Logik) 


Emst  Schröder, 
Jakob  Lüroth, 
Eugen  Müller 


University  of  Wisconsin 

LIBRARY 

Book  «  ! 


■4 
1- 

■ 


VOIlLESTOGE]\" 

ÜBBB  nis 

ALGEBRA  DER  LOGIK 

(£XAKT£  LOGIK) 

Db.  ERNST  SCHRÖDER, 

0«1».    P»Or«lSS(.iIi    M.li    MATHliMATlK    AX    DKH    Tr.CIlXIHCUKN     Hl  iCII -TU  I  1,1.    /.V    K.Ml^l.trlK    IK  BADKIT, 
KOKUgPOBOIBLKÜKM  MITMUSUB  DEK  IIUITISU  AHSUCIATIOST  rOK  TUIC  AilVAKCKMl^M  OF  BCUSKCK. 


ERSTER  BAND. 

MIT  VIKL  FlUL  UKN  IM  TKXTK. 


Dor  Muuiich  l«t  uicht  gebori-n ,  dui  I'roblotn 
der  Welt  za  Ktsvn,  vrohl  aber,  zu  tuchen,  wo 
daH  I'rubleni  aii^rvbt,  und  «ich  soduuu  iu  deu 
Un!ii/>«ii  ili  i  Boifreiflichen  zu  halten. 

(}ovthe,Eokeriaan  n  'i<  Gcsprücli« ;  Ok  t,  lü'^. 

lob  -<ag'  ci  dir:  ein  Kerl,  der  «pukulirt, 

Ist  wie  »iJa  Tier,  «uf  dOmr  Baida 

Von  «inem  !>OR«n  Gciat  im  Kr^i*  ttenimgefObrt, 

Und  riui;»  umher  liegt  aolilte«  gtOlW  Weld«. 

Derselbe  (Mephisto). 


LEIPZIG, 

DBUCK  CKD  VBBLAO  VOK  B.  G.  TEUBNEB. 

1890. 


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Alle  Rechte  Torbehalton. 


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BHs 


Anzeige  und  Vorwort. 


„Aus  dem  Titel  ivird  der  Leser  ersehen,  dass  es  sieh  tinr  um  die 
sogenaimie  dednkiiTe  oder  formale  Logik  handelt.  Die  rechnerische 
Behandlung  der  dedokÜTen  Logik,  durch  welche  diese  Disziplin  sich 
loilSst  Ton  den  Fesselui  worein  die  Wortsprache  durch  die  Macht  der 
Gewohnheit  den  Mensohengeist  gesehlageui  möchte  wol  die  Bezeichnung 
als  Inexakte  Logik''  vorjMgswäse  verdienen.  Sie  allein  auch  vermag  den 
Gesetzen  des  folgerichtigen  Denkens  den  schirfsten,  konzisesten  und 
flbersichtlichsten  Ausdruck  zu  geben  und  befindet  sich  zufolge  dieses 
Vorzugs  in  der  Lage,  zahlreiche  und  bedeutungsvolle  Lficken  —  wo 
nicht  Fehler  —  der  älteren  Darstellungen  zu  offenbaren. 

Seit  dem  Erscheinen  von  des  Yerfiusers  „Operationskreis  des 
Logikkalkuls^'  hat  diese  Behaodlnog  noch  hSchst  bedeutende  Fort- 
schritte gemacht:  vor  allem  durch  die  Arbeiten  des  Amerikaners 
Charles  S.  Peirce  und  seiner  Schule.  Namentlich  gebührt  Herrn 
Peirce  das  Verdienst,  die  Brücke  von  den  älteren  blüs  verbalen  Be- 
haiidiuugen  jener  Disziplin  zu  der  neuen  rechnerisch  zuwerke  gehenden 
geschlagen  zu  haben,  eine  Brücke,  welche  im  Lager  der  Berut'sphilo- 
sophen  mit  Recht  yermisat  worden  und  deren  Fehlen  es  wol  zuzu- 
schreiben is>t,  dass  die  neue  Richtung  daselbst  zum  Teil  nur  mit 
Befremden  aufgenommen  wurde.  Durch  jene  Arbeiten,  in  welche  noch 
Verfasser  nicht  unwesentlich  eingreift,  ist  die  Theorie  nun  so  weit 
entwickelt  und  vollendet,  dass  für  einen  ersten  und  Hauptteil  des 
ganzen  Lehrgebäudes  bereits  eine  endgiUtige  Darstellung  und  Auord* 
nong  als  erreichbar  erscheint 

Mit  dem  Bestreben,  solche,  soweit  es  in  seinen  Kräften  steht,  zu 
T^rwirklichen,  verbindet  Verf.  zugleich  die  Absicht,  von  der  schon 
sehr  ansehnlichen  Literatur,  welche  besonders  in  englischer  Sprache 
einschlägig  existirt,  das  Wertvollste  in  einheitlicher  Darstellung  zu 
einem  Handbuch  zu  vereinigen." 

...  Soweit  die  Anzeige.  Inwieweit  es  mir  gelungen,  obiges  Ideal 
zu  Terwirklichen,  werden  Diejenigen  zu  beurteilen  in  der  Lage  sein. 


I 


IV  Vorwort. 

die  das  Buch  studiren  und  die  bisherige  thunlichst  vollständig  vou 
mir  znsammen gestellte  Literatur  mit  in  Vergleichung  ziehen.  Unge- 
achtet meines  Strebens,  das  Werk  so  vollkommen  wie  nur  möglich 
SU  gestalten,  kann  —  das  verhehle  ich  mir  keineswegs  —  dasselbe 
in  mancher  Hinsicht  docli  nur  ein  Kind  seiner  Zeit  geworden  sein. 
Gleichwol  darf  ich  Tielleicht  die  Ho£fnung  hegen,  doss  auch  Vieles, 
was  aus  demselben  heryorlenchtet,  für  alle  Zeiten  maassgebend 
bleiben  wird. 

Was  sonst  noch  über  die  Eigenart  des  Buches  zu  sagen  ist, 
findet  sich  in  C  der  Einleitung  dargelegt^  und  begnüge  icb  mich  hier, 
nur  einiges  Wonige  noch  zu  bemerken. 

Durch  den  Anblick  der  Formeln  des  Buches  ist  es  nahe  gelegt  im 
TorauB  zu  statuiren:  dass  mathemaUsche  Vorkenntnisse  oder  irgend  welche 
spezifische  Fachkenntnisse  in  demselben  mdhi  vorausgesetst  werden. 
Vielmehr  passen  auch  hier  die  einer  Dedekind'schen  Schrift  jüngst 
vorausgeschickten  Worte:  ,,Diese  Schrift  kann  Jeder  verstehen;  welcher 
das  besitat,  was  man  den  gesunden  Menschenverstand  nennte  Aber 
auch  dieses  Wort  wird  gleiehwol  sutreffen  (eines  andern  Autors):  Die 
Schöngeister  freilich,  nicht  gewöhnt  an  so  strenge  Anforderungen  des 
Denkens,  werden  frühzeitig  kehrt  machen.  — 

Eine  Ausnahme  zu  oben  Gesagtem  bildet  nur  der  Anhang  1,  der 
sich  ausschliesslich  an  Mathematiker  wendet,  und  vielleicht  in  einem 
geringen  Grade  noch  der  Anhang  5,  indem  er  wenigstens  den  Begriff 
der  mathematischen  Funktion  voranssetzi  Oberhaupt  aber  dürfte  eine 
Bekanntschaft  mit  den  Elementen  der  Buchstabenrechnung,  so  weit 
sie  etwa  in  Tertia  eines  Gymnasiums  gelehrt  zu  werden  pflegt,  bei 
dem  Leser  als  immerhin  wünschenswert  zu  bezeichnen  sein. 

Vermittelnd  wendet  sieh  das  Buch  an  zwei  nur  allzu  verschieden 
disponirte  Lesekreise:  an  die  Mathematiker  und  an  die  Philosophen. 

Wenn  ich  mit  AusfÜhrlidikeit  auch  solche  Geistesoperationen  be- 
spreche, derm  Analoga  in  ihrer  Anwendung  auf  das  Reich  der  Zahlen 
dem  Mathematiker  längst  geläufig  sind,  so  glaube  ich  mich  för  diese 
Ausführlichkeit  entschuldig  halten  zu  dürfen  nicht  nur  durch  die 
wünschenswerte  Rücksichtnahmo  auf  den  nicht  mathematisch  gebildeten 
Leser,  sondern  micli  darum,  weil  es  im  didaktisclien  Interesse  liegt, 
im  Interesse  auch  einer  Erziehung  zum  guten  Lehrer,  die  Aulmerksara- 
keit  zu  zwingen,  dass  sie  bei  solchen  Punkten  verweile,  bei  denen  der 
Anianger  zu.  strauclielu  oder  Schwierigkeiten  zu  finden  pflegt.  Über- 
haupt liegt  hier  auch  nicht  der  Fall  vor^  dass  —  wie  in  der  Mathe- 


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Vorwort. 


V 


matik  —  eine  in  den  nrnTulzilgött  schon  fertige  Kunstsprache  vor- 
buideii  ist,  durch  jahrhundertelangen  üsas  von  jedem  Doppelsinn 
gereiiiigt  oud  zufolge  dessen  eine  knappe  Ausdruckdweise  ermöglichend, 
sondern  onsre  junge  Disziplin  uiuss  sich  die  ihr  erforderliche  Künste 
Sprache  zum  grossen  Teil  erst  schaffen,  und  eventuell  auch,  soweit 
vereinzelte  Aulüufc  dazu  vorliegen,  zunächst  erst  aas  einer  schon  fast 
babylonischen  SprachTerwirrung  herauszukommen  suchen. 

Philosophen  mögen  andrerseits  etwaige  im  Kontext  erfolgende 
Seitenblicke  anf  Fragen  Ton  spesifisch  mathematischem  Interesse  ge- 
neigtest mit  in  den  Kauf  nehmen. 

Was  anf  Zahlen  Bezug  hat^  fallt  der  Arithmetik  anheim,  die  man 
ja  alt  einen  Zweig  der  deduktiven  Logik  (im  weiteren  Sinne)  betrachten 
mag.  Ich  habe  mich  hier  bemOht»  das  numerische  Element  der  Logik 
nach  Möglichkeit  zurücktreten  2U  lassen  und  von  ihm  gesondert  die 
Logik  im  engeren  Sinne  darzustellen.  Die  noch  wenig  zahlreichen  An-  *^ 
Wendungen,  welche  Ton  doi  Begrfindem  und  Bearbeitern  der  logischen 
Algebra  gemacht  worden  sind  anf  numerische  Probleme  —  insbesondre 
als  Studien  aber  ^numerisch  bestimmte  Syllogismen''  und  in  Aufgaben 
der  Wahrscheinlidikeitsrecbnung  —  habe  ich  deshalb  nicht  in  das 
System  aufgenommen.  Die  Berficksichtigung  der  letzteren  wflrde 
mich  überdies  genötigt  haben,  auf  die  Kontroyersen  einzugehen,' 
welche  über  die  Grundlagen  der  Wahrscheinlichkeitsrechnung  noch 
aehweben.  Solches,  wie  ich  hoffe,  nur  auf  eine  andre  Gelegenheit 
zurückstellend,  begnügte  ich  mich  zunächst^  mit  Anhang  7  wenigstens 
darzuthun,  wie  die  neue  Disziplin  auch  fUr  Probleme  der  in  Zahlen 
rechnenden  Analysis  verwertbar. 

Seines  Umfanges  halber  mussto  ühiieliiu  das  einheitlich  veranlagte 
Werk  in  zwei  iiTiiKle  zerlegt  wordeu. 

Die  allgemein  t)hilüsopbi.sch  gehaltene  „Einleitung*',  mit  ihren 
drei  Teilen  etwa  drei  von  unsern  Vorlesungen  entspreclieud,  ist  fast 
schon  ein  eigenes  Buch  geworden;  und  möchte  ich  an  eine  etwaige 
Kritik  das  Ersuchen  stellen,  dieselbe  von  dem  Hauptinhalte  des  Werks, 
welcher  mit  der  „ersten"  Vorlesung  beginnt,  getrennt  halten  zu  woUeu. 
Besonders  viel  verdanke  ich  in  Bezug  auf  sie  dem  Studium  der  Schriften 
von  Sigwart,  Miii  und  Jevons,  aus  der  Lektüre  von  deren  oft  citir- 
tcn  Werken  mir  zuweilen  auch  eine  Reminiscenz  wol  wörtlich  in  die 
F<'dt  r  Lr<-Uosseu  sein  mag,  olme  als  solche  in  jedem  Falle  gekenn- 
zcichnri  zu  werden.  Dem  Lelirer  habe  ich  unter  (i)  in  A  der  Ein- 
leitung eiu  Mittel  an  die  Hand  gegeben  um  nötigenfalls  diese  ganz 


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VI  Vorwort 

zu  überspringen  und  8on:leicb  mit  §  1  in  medias  res  einzutreten:  wer 
solches  vorzieht,  kann  das  jeweils  ünumgängliche  aus  uusern  Yor- 
betraclitangea  uaoli  Bedarf  iu  die  Theorie  einschalten. 

Für  das  Yierteljabrhtinderty  welehes  seit  dem  Erseheinen  Ton 
Boole's  j^Laws  of  thought''  nunmehr  verflossen,  gibt  das  Buch  (noch 
mannigfach  vermehrt)  auch  eine  wol  nahezu  vollständige  Sammlung 
aller  Aufgaben,  welche  zu  deukrechuerischer  Losung  seither  gestellt 
worden.  — 

(i rossen  Dank  verdient  jedenfalls  der  Verleger  dafür,  dass  er  es 
unternomnien,  eine  so  umt'angreiclie  Schrift,  welche  so  hohe  und  neue 
typographische  Anforderungen  stellte  und  sich  in  Deutschland  ihren 
Leserkreis  doch  erst  wird  erobern  müssen^  zu  drucken  und  iu  der  vor- 
liegenden Weise  auszustatten. 

Der  ümstand,  dass  die  deutsche  l'hersetzung  von  Liard"s  .Schrift 
über  die  ,,Lo;4ieien<?  anglais  conteiuj)orains",  welche  einer  Kritik 
sich  enthaltend  nur  über  deren  Arbeiten  referirt,  bereits  die  zweite 
Auflage  erlebte,  lässt  mich  iudess  hoffen,  dass  für  die  neue  Richtung 
doch  schon  in  weiten  Leserkreisen  ein  Interosf^e  vorhanden,  und  dass 
eine  systematische  und  kritische  Überarbeitung  und  WeU&rfühnmg 
dieser  Forschungen  um  so  willkommener  sein  werde. 

Ich  schliesse  mit  dem  etwas  verwegenen  Wunsche,  dass  meine 
englischen  und  amerikanischen  Mitarbeiter  ihre  Arbeiten  in  der  meinigen 
geläutert  wiederfinden  und  aus  derselben  nicht  weniger  Anreguug  und 
Förderang  schöpfen  mögen  als  ich  aus  den  ihrigen  geschöpft  habe. 

Karlsruhe  in  Baden,  im  Miirz  1890. 


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I 


Inhalt  des  ersten  Bandes. 

  Seite 

Aoteige  und  Vorwort   ITT 


Eiiileitiing. 

A.  Vorbetrachtungen  über  Charakter  und  Begrenzung  der  zu  löBcnden  AnF- 
gäbe  mit  Oemeiktingcn  über  Induktion,  Deduktion,  Widerspruch  und 
folgerichtiges  Denken.    Denkendes  Subjekt,  aeinc  Voratcllungon  und  die 

Dinge.    (Chiffre  «..<,)   1 

13.  Vorbetrachtuu^>en  üh^r  Zrichen  und  Name»,        . .  o.  >   38 

C.  Ober  Begrifl'e.  Einteilung,  Delinition  und  Kategoriecn,  rüsigraphic.  Logik 
dcü  Inhaltes  oder  dt-s  Umfungs?  Über  Urtoile,  Sehlii^sL'  nnd  dort-n  Folgo- 
richtigkeit    Warum  Algebra  der  Logik,        . .  g,)   80 


Erste  VorTemmg. 

§  1.    Subsumtion  120 

§  2.    Vorliuifige  Betrachtungen  über  Darstellbarkeit  der  Urteile  als  Subsum- 

tionsurteilc    III 

§  3.   Ealer'g  Diagramme.    Identischer  Kalkül  mit  Gebieten  einer  Mannig- 
faltigkeit  l»f> 


Zweite  Vorlesung. 

§  4.   Erste  Grundlagen:  Prinzip  I  und  II,  Definition  von  Gleichheit,  0  und  1, 

nebst  Folgesätzen  168 


Dritte  VorleBung. 

§  5.    Die  identiacbo  Multiplikation   und  Additiou.     Peirce^s  analytische 

Definition  von  Produkt  und  Summe  191 

§  6.    Kritische  Untorsuchungcn  über  die  gegebene  Definition  201 

§  7.    Deutung  von  0,  1,  ab,  «  4  ^  als  Gebiete  nebat  zugehörigen  i'oHtnlaten. 

Konüatente  Maiuugfaltigkeit  211 


Vierte  Vorlesung. 

^  8.    Interpretation  fiir  Klassen  217 

§  9.    Fortsetzung.    Konaeguenzen  der  AJjungirung  einer  NuUkla.ssc.  Reine 

M-aniiigfaltigkeit  237 


r-v'v''- --'I    (  .ooült 


Fünfte  Vorlesung. 

§  10.  Die  picht  von  Negation  handelnden  Sätze.  Reino  Gesctge,  von  Mul- 
tiplikation und  Atklition       fiir  sich  *254 

§11.    Gemiachtc  (besetze,  den  ZiisLuuiii>>nhnn^  '/wischen  beiden  UiK'rntionori 

zeigend  270 


Sechste  Vorlesung, 

§12.  Kichtbeweiabarkeit  der  zweiten  Subsumtion  dea  DiBtribqtionsgeBetzes 
und  Ünentbehrlichkeit  eines  weiteren  Prinzipes.  —  Prinzip  zur  Ver- 
tretung des  tinbeweisbaren  Satzes  282 


Siebente  Vorlesimg. 

§  13.  Negation  (mit  Postulat)  und  daranf  zu  gründende  Srtty.e.  —  Ihre  Ein- 
führung' für  Gebiete  299 

§  14.    Der  Dualismus  315 

§  15.  Kritische  Untersuchungen  zum  nüchsten  Paragraphen;  Inwiefern  nega- 
tive Urteile  ala  negativ  pra,dizircnde  anzusehen  und  disjunktiv  prädi- 
zirende  Urteile  von  den  disjunktiven  zu  unterscheiden  sind  319 


Achte  Vorlesimg. 

§  IC.  Dctitnng  der  Ne^'ation  für  Khit^r^en.  Saty,  den  Widerspruchs,  des  ans- 
geachlossencn  Mittels  und  der  doppelten  Verneinung  im  Klassen- 
kalkul.    Dichotomie.    Gewöhnliche  Mannigfulti^^keit  342 

§  17.   Fernere  Siltzc  für  Gebiete  und  Kla^j^eu.    Kuntrupo^jitiun,  etc.     .  .  .  352 


Neunte  Vorlesung. 

§18.   Verschiedenartige  Anwendungen;    Rechtfertigungen,    Studien  und 

Qbun^tj.aut'}^abea  "  3G5 


Zehnte  Vorlesung. 

§  19.   Funktionen  und  deren  Entwickelang  396 


Elfte  Vorlesung.  " 

§  20.  Spezielle  und  allgemeine.  Bynthctischc  und  analytische  Propositionen; 

Relationen  und  Formeln  ,  ,  ,  .  .  ^  .  .  .  .    .  434 

§  21.   Pas  Auflösnngsproblcm  bei  simultanen  Gh?ichungen  und  Subsumtionen. 

D.iH  Kliniinationsproblem  bei  solchen  446 

§  22.    Fortsetzuu;^^,  auch  tür  mehrere  Unbekannte  466 


Zwölfte  Vorlosunfe. 

§  23.  Die  inversen  Oiierationon  des  Kalküls:  identische  Subtraktion  und 
Division  als  Exception  und  Abstraktion.  Die  Negation  ala  gemein- 
samer Spezialfall  beider   •  478 

§  24.    Symmctrihch  allgemeine  Losungen  496 


Inhalt  des  ersten  uud  zweiten  BandeB. 


IX 


Dreizehnte  Vorlesung. 
§  26.   Anwendungsbeispiele  und  Aufgaben  


Viereehnte  Vorlesung. 

§  26.    BeEprechnnf?  noch  andrer  Methoden  zur  Lösung  der  bisherigem  Kalkül 
zugänglichen  Probleme. 

Das  primitivste  oder  AasmusterungByerfahren  von  Jevons.  Lotze's 
Kritik,  und  Venn's  graphische  Modifikation  des  Verfahrens    ....  569 
§  27.    Methoden  von  McColl  und  Peirce  673 


Anhänge. 

.\nhaEg  1.    Pcil^ufigü  Studie  über  Mnltiplikation  und  Addition.    (Zu  6.)   ■  595 

An  bang  2.    Kxkurs  über  Klammern.  (Zu  §  10.)   699 

Anhang  3.    Ausdehnnng  von  HegrifF  nnd  Sätzen  Aber  Produkt  und  Snmme 

von  zweien  auf  beliebig  viele  Toruie.    (Zu  §  10.)   609 

Anhang  4.    Logischer  Kalkül  mit  „Gruppen"  —  hiern&cliat  von  Funktional- 

gleichnngen,  mit  Algorithmen  und  Kalkuln.    (Zu  §  12.)  ...  C17 

Anhang  6.  Substrat  zum  vorigen  Anhang  und  Material  zu  dessen  Belegen  633 
Anhang  6.    Zur  Gr\7p]>entheorie  des  identischen  Kalküls.  Geometrisch- 

logisch-kombinatoi lache  Probleme  von  Jevon§  und  Clifford. 

f^Zu  §  12,  l'J  und  24.)   647 

Literaturverzcichniss  nebst  Bemerkungen   700 

Nameuverzcicbniss  zum  ersten  Bunde.    Uü 


Der  Vorverweisungen  halber  sei  hier  sogleich  mit  angeführt  der 

Inlialt  des  zweiten  Bandes. 

Fünfzehnte  Vorlesung. 

§  28.    Übergang  zum  Aussagenkalkul.  Taxirung  von  Aussagen  nach  ihrer  Gültig- 

keitsJauur  und  Klasse  der  Anwendungagelegenheiteu. 
§  29.   übersichtlichste  Darstellung  der  bisherigen  Sätze  in  der  Zeichensprache 

des  An^sagenkalkula. 

Das  Sumiuenzcichen  Z  und  das  Prodaktzcichen  77. 
§  30.    Fortsetzung  Ober  2^,  77.    Aufhören  des  Dnalismus. 

Sechzehnte  Vorlesung. 

§  31.    Die  Grundsätze  der  Logik  im  Aussagenkalkul  gedeutet.  Inkonsistenz. 
§  32.   Vom  Gewicht  der  Aussagen.  Direkte  Verifikation  der  Sätze  des  Aussagen- 
kalkuls  durch  diesen. 

Siebzehnte  Vorlesung. 

§  33.  Herkömmliche  Einteilung  der  kategorischen  Urteile  nach  Qualität  und 
Quantität.  Modifizirte  Deutung  der  universalen  in  der  exakten  Logik  und 
Uoznlänglichkeit  des  frQheren  Kalkuls  zur  Darstellung  der  partikularen 
Urteile. 

§  34.   Die  fünf  möglichen  Elementarbezieh nngen  Gergonne's  und  die  vierzehn 
Grundbeziehungen  in  anschaulich  geometrischer  Einführung. 
ScbkOdbb,  Algebra  der  Logik.  a** 


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Seite 
521 


X  Inliali  des  «weiten  Bandes. 

%  85.  Anal;;^isehe  Definition  dieser  Beiiehnngen  nnd  Zarflekfabruug  derselben 
anf  einender. 

Acbtsehnte  Vorlesnng. 

§  89.  Redaktion  sLiiutlicfaer   BeziLlmiigca  anf  den  Typus  der  Gleicbnng  nnd 

ihrer  Negation  (der  üngleicliungi. 
§  37.    Entwickelung  der  Produkte  und  Sutniuen  von  Gi utuUeziehungen. 
§  38.    Erweitoniiig  des  Hezicliungakreises  durch  Zuzug  auch  der  negirten  Gotii  te. 
§  80.   Die  denkbaren  UmfaDgabeziehnngen  überhaupt  und  ihre  DarstelluDf;  durch 

vier  primiÜTe  (De  Morgan's).   Die  mSglicbcn  Aussagen  über  n  Klasäen, 

nnd  P«ano*s  Antabl  derselbe». 

Neunzehnte  Vorlesung. 

§  40.  Umeichau  über  die  gelösten  nnd  noch  zu  lösende  Probleme.  Mitchell':* 
allgemeine  Form  der  gegebene  Uiteilc  xusainmenfassendcn  Gefi.imtau-.HHi,'e. 

§  41.  Das  EliminatioDi-problem  gelöst  für  ein  paar  typische  8|ie^iiilfiille,  dann 
allgemein  (aus  dm  Koben).  Bemerkang  das  AafiOsongcpioblem  betreffend. 

Zwansigste  Vorlesung. 

§  42.  Die  Sylloffismeu  der  Alten.   Traditionelle  übersieht  derselben. 

§  48.  Miss  Ladd's  reebnerieobe  B^aadlnng  der  fflnfiEehn  giltigen  Modi  Beispiele. 

9  44.  Die  inkorrekten  Syllogismen  der  Alten  und  ihre  Richti^^stellung  in  der 

exakten  XiOgik.   Ober  Sabalternation  and  Konrersion.  Zosammeogesetste 

Seblüese. 

Eianndawansigste  Yorleanng. 

i  46.  Besonderheiten  des  AossagenkalkQls  im  Kontrast  mit  dem  (u  biete kalkni. 
Dilemma,  Modus  ponens  und  tollens,  disjunktiver  Sebluss.  Formeln  ge- 
mischter Natur. 

9  48.  Diverse  Anwendungen,  Studien  und  Aufgaben,  darunter s  Wesen  des  in- 
direkten Beweiaee,  Bauber*B  Bäte,  Mitebeir«  Nebelbilderproblem,  eto. 

Zweinndz wanzigöto  Vorlesung. 

§  47.  Definitionen  des  Individaums,  Punktes,  nnd  ihre  ZurückfQhrung  auf  ein* 
ander.  Auf  Individuen  bezügliche  S&tx».  Duales  Gegenstück  zum  Indi- 
viduum. 

Dreiandswanaigste  Yorleaung. 

§  48.   Erweiterte  Syllogistik. 

§  49.  Studien  fiber  die  „Klausel**  und  noch  nngeldste  Probleme  des  Kalküls. 

Yierundzwansigste  Vorlesung. 

§  60.  Über  Logik  der  Beziehungen  überhaupt.  Aul&ofe  und  Theorieen  von  De 
Morgan  und  Peirce. 

F ü n f u u d z w a u i i g si i e  Vorlesung. 

§  61.  Besondere  Beziehungen.  —  Beziehung  der  eindeutigen  Zuordnung  und  Ab- 
bildung mit  Dedekind's  Theorie  der  Ketten  aur  streng  logischen  B««- 
gründnng  des  AnzahUBogriffes  de«  Arithmetik  Qttd  des  Scbluasee  der  voll* 
ständigen  Indaktion.  ^ 

Secbsundiwanaigste  Vorlesung. 

9  69.  Das  Invcrstonaproblem  der  Fnnktioas-  nnd  Knüpfungslehro. 
§58.  Macfarlane*s  reebnerische  Bebaadlung  der  Probleme  menaolilieber  Ver- 
wandtschaft. 


Inhalt  des  zweiUo  Bandes.  Bencbtigungen.  XI 

Siebenttndtwanzigstd  Vorlesung. 

§  &4.  Über  die  Modalität  der  Urteile.   Bückblick  und  Schlasabetracbtiiug. 

Anhftnge. 

Anhang  7.    KeCoU's  Anwendung  des  AnteagenkalknU  snr  EnnittelnDg  ^9' 
neuen  Grenzen  uebrfacher  Integrale  bei  Ab&ndemng  der  Integrsitionafolge. 


LiteraturTerzeichnisa  oeb&t  bemerkungea. 
NanenTerseiohnisB  tum  sweiton  Bande. 
Alphabetisches  Sachregister. 


Bericliti^^gen. 


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Zmn  Titelblatt  Daa  Cilat  nach  Qoethe  kl  mit  Liebmann.  leicht  ab- 
geändert.  In  Eclcerniann*s  Reminiseenz  steht:  die  Probleme  der  Welt,  sowie 

in  der  Grenze  ... 

Seite     1,  Zeile  11  Ton  oben  statt  zur  Wahrheit  lieat  an  Wahrheit. 

28,    „     17  V.  unttn  ^tr^iche  das  Wort:  ron. 
80,     „     U  V.  U.  st.  CO  000  1.  je  16  500. 
31,    „     12  V.  n.  st.  V.  UeJmhoHz  1.  v.  Helmholtz. 

33,  „     20 'v.  u.  «t.  Whowhcll  1.  Whewell. 

34,  „     12  V.  o.  st.  vivera  1.  vivra. 

36.  Die  hier  aufgeworfne  Frage  dürfte  sich  oach  einer  mir  gütigst  zur  Ver- 
fügUDg  gestellten  Bemerkung  Ton  Lfiroih  dahin  erledigen,  dass  die 
Vorstelhinf»  v&n  der  Vorstellung  eines  Dinges  als  etwa«:  von  dieser 
letzteren  selbst  verscbiedeoes  gar  nicbt  existirt,  in  untrer  Bezeichnung, 
daas      identisch  mit,  blosse  Beprodnktion  von       „Wir  kOnnen  doch 

nur  eine  Vorstellung  von  einem  Ding  haben,  das  wir  nicht  »an  sich«: 
erkennen  kOnnen  und  das  irgendwie  durch  unsre  Sinnesorgane  in  die 
Seele  eintritt    Dies  gilt  alles  von  einer  Vorstellung  nicht"  . . .  Das 
„Erinnerungsbild"  einer  Vorstellung  dflrlle  in  der  Thal  nnr  bestehen 
in  einer  Wiederholung  von  ebendieaer. 
48,  Zeile  17  v.  u.  bt.  zur  Antwort  1.  zur  (jltichen  Autwort. 
64,    „      4     0.  st.  Siune  1.  Sinne,  Z.  17      o.  st.  frClheren  1.  frdherem. 
10'),  21  V.  u.  fit.  De  Morgan  I.  Do  Morgan. 

ICO,     „     10  V.  o.  st.  letztere  1.  letzteren. 
108,    „     12  T.  n.  st.  Weismann  1.  Weismann. 
110,    ,,    17  T.  0.  st.  Sciaparelli  1.  Schiaparelli. 
123,    „     16  V.  o.  st.  jedem  1.  jeden. 

166,    „     17  T.  n.  sl  bestimmte  1.  bestimmte,  resp.  bedingte. 
160,    „    22  V.  0.  oder  u.  bei  u)  füge  hinzu:  Systeme. 
163,    „     12  V.  a.  st.  Stass  1.  Stas. 
172,    „     7  V.  n.  streiche  das  Wort:  den. 
198,    „     14  V.  o.  st.  eklatantes  1.  prügnantec. 
209.    „    14  T.  0.  at.  „X  ^  a6"  setze  „ah  =^«". 
213,    „     14  V.  u.  st  §  31  lies  §  16. 

S19.  Zn  P')  waren  als  AxsMhm  ansnffthren  gewesen  diejenigen  Adjektive, 


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XII  Bei'ichtiguugeu. 

weloHe  wie  „vermeiutlich,  scheinbar,  unecht,  angeblich,  fraglich,  proble- 
matigch  . .  "  in  Abrede  oder  in  Frage  stellen  die  Berecntigung  de» 
im,  welcher  dem  sie  regireuden  äabsta&tive  beigelegt  iat. 
9  T.  Q.  it  AppoBitson  1.  (scheinbare)  Appontioii. 

2  y.  u.  (Fussnotc)  st,  xi<)  1.  x)- 
2  T.  0.  8t.  Agehörige  1.  Angehörige. 

4  T.  u,  (Funnoto)  «i.  Dieselbe  1.  Der  Name  AasonatioiiBgewtt. 

1  V.  u.  et.  Assoziaüons-  1.  Distributioiifigesctz. 

10  T.  tt.  schliesae  die  Klammer  hinter:  überhaupt. 
18  T.  o.  st.  JPartialprodnlit  1.  Eintelprodnkt. 

21  V.  u.  st,  grilti<ft'r  1.  gültige  Fornifl. 

16  V.  u.  st.  eine  hier  1.  eine  verbal  hier. 

6  T.  0.  hint«r:  n&chsteo,  schalte  ein:  an  meinen  Operationskreis* 
sowie.  " 

13  V.  U.  fct.  21,)  1.  III^. 

7  V.  u.  8t.  ab  ].  n^b^. 

2  V.  o.  setze  ein  Komma  hinter:  notweudis.  ' 

8  V.  o.  st.  Nichtkombattant"  1.  „Nichtkombattant*** 

11  T.  u.  streiche  das  Wort:  mit. 
21  V.  0.  st.  ^)  1.  x)' 

91  T.  o.  hinter  Sätze  einzuschalten:  anter  Andern. 

17  V.  0.  st.  deutscher  1.  der  deutschen. 

8  V.  o.  st.  schown  1.  showo. 
16  T.  n.  8t.  18«)  1.  12). 

7  0.  st  0  letae;  «de  +  ad,c,  +  a,5c,  +  a,6|C. 

9  o.  st.  fix,  1,  0)  1.  /•(«,,  1,  0). 

20  V.  Tl.  Bt.  R'  1.  J?'. 

3  und    17  V.  u.  st.  i?  (tyx)  L  jB  (.r,  j/,  *). 

8  T.  o.  hinter:  unsymmetrisch,  anzi:tf^Ogen;  besfiSglich  dieser 
Symbole,  symmetrisch  nur  bezüglich  .r  und  y|. 

16  V.  0.  statt  des  ersten  Terms  a  setze:  at/f. 
6  T.  n.  si  dort  selbst  l  dortselbet 

18  V.  n.  st.  4-  1-  ?  • 

2  V.  o.  St.  lypus  1  L  Typus  1. 
4     n.  w&re  einznschalteB; 

1)  Fondaiii'  ti(i  <hl  oilcoht  Jogico,  Memoria  del  ..,  Xapoli,  Pel- 
lerano.  1890,  35  Seiten;  Vol.  28  von  Uattaglini's  ,jGiornale  di  Matematiche", 


Seite  S34, 

Zeile 

44 

241, 

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709, 

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Ka- 

y ,  Albino 

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Einleitang. 

A.  Vorbetraclitaiigen  über  Charakter  und  Begrenzung  der  zn  lösenden 
Aufgabe  mit  Bemerkungen  über  Induktion,  Deduktion,  Widersprach 
od  Iblgeriobtiges  Denken.   Denkendes  Subjekt,  seine  Vorstellongen 

nnd  die  Dinge. 

«)  Die  Löffle,  im  weheren  Sinne  des  Wortes,  beschäftigt  sich  mit 
air  den  R«'geln,  durch  deren  Befol^gnmg  die  Erkenntniss  der  Wahrheit 
gefordert  wird.  Sie  hat  es  demnach  mit  den  Methoden  der  Forschung 
überhaupt  zu  thun.  Sie  sucht  die  Frage  zu  beantworten:  tvie  gewiiiiicii 
wir  Erkenntnisse,  auf  welcliem  Wege  gelungen  wir  zur  Wahrheit? 
Mithin,  da  Erlassen  der  Wahrheit  ein  Akt  des  Denkens  ist,  dürfon 
wir  als  (legenstaud  der  Loorik  überhaupt  bezeiclmeu;  das  UcnJ^CHf  so- 
fern CS  das  Krkcnnen  zum  Emkweck  hat 

£a  steht  dieses  erkenneude  Denken  im  Gegensatz,  vor  allem,  zum 
Didiim,  zum  pbantasirenden  Denken. 

Dfisgleioben  blosse  Ertäklunff  and  Bes^reibw^,  wenn  schon  sie  nicht 
ohne  DenktbUtigkeit  zustande  kommen  und  unter  sonst  gleichen  Umstftnden 
von  einem  logisch  geschulten  Kopfe  vielleiclit  besser  in  Angriff  genommen 
werden,  bilden  als  solche  noch  ebenfalls  nicht  ciu  Thema  <ler  eigentlichen 
Logik.  Ein  gleiches  w5re  von  der  gcsrf^qrh/^ulcn  ThätujkrtI  7,11  sagen. 
Endlich  auch  diejenigen  Denkvorgängei  weiche  bei  Äusserung  unsrer  un- 
inittelbereii  Empfindungs-  nnd  lyiHenssustfinde  mitspielen,  also  bd  Aus- 
rufen, WnnscbftussemngeH,  Fng«i,  Bittoi  und  Befehlen,  xn  denen  die 
Sprtche  die  Interjektionen  und  Fragepartikehi ,  ^nwie  die  Oiitativ  und 
Imperativform  der  Terba  hergibt,  gehSren  nicht  in  den  Bereich  der  logischen 
Disziplin. 

Mit  1Tlier!^f{:)n\(j  aus  einer  Sprache  in  eine  andei'e  werden  wir  uns 
nur  soweit  ^u  beächältigen  haben,  als  es  sich  dabei  um  Übertragung  von 
Ansssgen  ans  nnsrer  nationalen  Wortsprache  in  eine  eigens  zn  begrtlndende 
Konstspraehe  des  logischen  Denkens,  in  die  Formelsprache  —  oder  um- 
gekehrt ^  handelt 

BcB»ll»BS,  Alfrin»  dar  Logik.  1 


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2 


Eiuleitung. 


ß)  Die  Wisaensoliaften  pflegen  ausser  dem  Dasein  erkennender 
Subjekte  wesentlicli  vorauszusetzen,  dass  es  auch  etwas  Erkennbares 
gebe,  eine  „Wahrbeif^i  .und  zwar  in  Bezug  auf  jede  Frage  nur  eine 
Wahrheit,  die  Yon  allen  mit  der  unsrigen  gleichartigen  Intelligenzen, 
▼on  allen  im  Besitz  nonnaler  Geisteskräfte  befindliehen  Mensdien,  fud- 
wmdig  als  dieselbe  erkannt  werden  muss,  wofern  jene  sich  nur  die 
Mühe  geben,  sich  in  gleicher  Weise  in  die  für  die  Erkenntniss  der- 
selben  günstigen  Verhültnisse  zu  versetzen. 

Die  Vorfrage  aber,  ch  und  iiiwieieni  Erkciiutuias  der  Wahrlieit 
überhaupt  müglich  ist,  pflegt  einer  besouderea  Disziplin  zugewiesen 
und  in  dieser  abgehandelt  zu  werden,  die  man  als  ffErJicmünisstheorie'* 
bezeuiuiet. 

Man  hat  dieselbe  bald  als  eine  Vorstufe  der  Logik  hinbestellt, 
bald  auch  hat  man  versucht,  die  ihr  obliegenden  Erörteruugeu  iu  die 
Darstellung  der  Logik  selbst  einzuflechtcn. 

Davon,  da^s  das  Ergebniss  dieser  Yoruntersuchang  blähend  aus- 
falle —  und  dies  ist  nicht  unbestritten  —  würde  hienaeh  die  Logik 
mit  ihrer  ganzen  Existenzberechtigung  abhangig  erscheinen,  wofern 
wir  auch  fiir  sie  die  obengenannte  „Voraussetzung  der  Wissenschaften 
(im  allgemeinen)"  in  Anspruch  nehmen  wollten. 

Indessen  könnte  die  gedachte  Untersuchung  doch  jedenfalls  nur 
mittelst  Beweieftthrungen  oder  Widerlegungen,  Schiassen,  Argumenta- 
tionen nach  den  Regeln  eben  der  Logik  geführt  werden,  deren  Existenz- 
berechtigung erst  aus  ihrem  Ergebniss  zu  entnehmen  wäre,  und  so 
slben  wir  uns  von  Tornherein  in  einen  fatalen  Zirkel  gebannt^  wofern 
wir  wirklich  jene  Voraussetzung  schon  für  die  Logik  in  Anspruch 
nehmen  niüssten. 

Gezeigt  zu  haben,  wie  über  die  iin^tMlcutete  Schwierigkeit  hinweg- 
zukommen ist,  diircli  Lieferuj)^  <]l-a  ^Nachweises,  dass  die  Lojjik  als 
eine  formale  Diszi]>lin  sich  in  der  That  davon  auch  uuabliiinn^iii;  be- 
gründen Hisst.  erscln'int  vorzugsweise  als  Herrn  Sigwart's  Wrdieiisfc, 
und  werden  wir  uut  diesen  Punkt  noch  näher  einzugehen  haben. 

y)  Mit  ihrem  einen  ~  dem  gewohnlich  und  wol  mit  Recht  als 
zweiten  aufgeführten  —  Teile,  in  Gestalt  der  nach  Whately's  und  John 

Stuart  Mill's  Vorgange  so  genannten  „indukUvm  Logik'',  geht  unsre 
Disziplin  speziell  auch  auf  die  Grundsätze  ein,  nach  welchen  Beobach- 
tungen und  Versuche,  Experimente  anzustellen,  nach  welchen  diese 
.sowie  Erfahrungen  und  Wahrnehmungen  überhaupt  zur  Erweiterung 
der  Erkenntniss  zu  verwerten  sind.    Die  Logik  untersucht  iiier  uilher 


£inleitaDg. 


8 


diese  —  wenn  nicht  einzige*)  —  so  doch  jedenfalls  ursprüngliche  und 
hauptsächliche  Quelle  des  Erkennens,  als  welche  die  Wahrnelmmg, 
Perzeptioii,  liin/ustellen  ist. 

Sic  setzt  auseinander,  wie  aus  einzelueu,  nötigenfalls  sehr  zahlreich 
iremachten  AVahruehmungen**)  von  unter  sich  ähnlicher  Art  durch  einen 
kiihnen  Pro/css  der  Verallgemeiueruiig  -  -  den  „Induktionsschluss*',  die 
,.Iuiiulfion''  —  allgemeine  Sätze  (Regeln  oder  Gesetze)  ableitbar  sind, 
web  h»^  auch  die  jiiolit  melir  wahrgenommenen  Fälle  derselben  Art  in 
den  Bereich  iinsrer  Erkenntniss  ziehen,  uns  Aufklärung  über  dieselben 
geben.  Doch  weist  sie  nach,  dass  dieser  Aufschluss,  diese  Informa- 
tion, nicht  untehlbare  Sicherheit,  dass  .sie  nicht  absolute  Ocwisshoit 
gewähren  kann,  wohl  aber  eine  mehr  oder  minder  hohe  Wahr.bchcinlich- 
keity  Probabilitat  beansprucht,  deren  Grad  sich  beurteilen  oder  taxiren, 
flieh  abschätzen  lasst.***) 

Indem  die  induktive  Logik  auch  auf  diese  Schätzung  ausgeht,  nach 
welcher  sich  der  den  Induktion sergebnissen  zu  schenkende  Glaube  he- 
misst,  untersudbit  sie,  wie  einzelne  Induktionen  durch  andere  gestützt 
und  gekräftigt,  eventuell  auch  abgeschwächt  oder  gar  durch  neue  Wahr- 
nehnmngeu  völlig  entkräftet,  umgestossen  werden,  und  sucht  zn  ergründen, 
wie  innerhalb  der  Schranken  des  menschlichen  Könnens  Induktionen 
ansostellen  sind,  damit  sie  möglichst  glaubwürdige  Ergebnisse  liefern» 

Auf  diese,  die  induktive  Logik,  so  hochwichtig  und  interessant  sie 
such  ist,  beabsichtige  ich  hier  ganz  und  gar  nicht  einzugehen.f) 

d)  Wir  wollen  uns  auf  ein  viel  engeres  Gebiet  heschruuiieu,  um 

*)  Dass  Wahnidlimiiiig  die  Urqnelle  aller  Eikenntniss  lei,  wird  —  nachdem 
die  Verfechter  „angeborncr"  Erkeuutuiwe  ans  dem  Felde  geschlagea  rind  — 

Bor  noch  von  noiijt  ni^'on  Lestritton,  die  eine  ,,pöttlicho  OtVcnbarnn^'"  annebmfn. 

AW  Wal)ruoliti)unri;  ist  hier  uUerdings  nicht  blos  die  bo^'.  ./.iusb.  re"  Walir- 
iieumuug  zu  Ix^rücksichtigoo,  welche  Bich  auf  den  Öiuueseindruck  »tützt,  soadern 
Mcb  die  ,4^CTe".  Z'.  Ii.  dass  ich  fröhlich  oder  traurig  bin,  spasiren  gehen  will, 
ttod  detgleidieii,  nehme  ich  nicht  durch  die  Sinne  widir,  •andern  werde  dessen 
anmittelbar  iane.  „Wir  empfinden  andi  die  Spaankrali  untres  Willens  und  die 
Amtrecgiirig  des  Nachdenkens"  (Lange). 

Vergleiche  hierzu  noch  y^)  orsto  Fiiseuotc. 

••)  Dieselben,  wenn  bis  zur  Bildung  einer  Vorstellung  von  dem  wahr- 
geoomtnenen  Gegenstände  entwickelt,  heissen  „Apperzeptionen". 

••*)  Imiiierbiu  mit  Einachränkungen  —  vergL  Herrn  Johannes  von  Krieg* 
gediegene  Arbeit  Über  Die  Prineipien  der  Wahrscheinlichkeitsreehnnng  —  siehe 
LttetaturTeKMichniis. 

t)  sei  darüber  auf  die  Werke  Ton  Mill*,  8igwart^  Apclt*  n.  A.  ver- 
wiesen. Vergl.  das  Literaturverzeichniss  am  Schlüsse,  auf  welches  die  im  Text 
ab  Exponenten  angesetsten  Chiffren  sich  jeweils  beaiehen. 

1* 


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4 


Einleiiaog. 


dasselbe  um  so  gründtidier  in  Angriff  eu  nehmen  nnd  —  in  gewissen 
Richtungen  wenigstens  —  um  so  ToUsiandiger  absuhandeln,  nämlich 
anf  den  ersten  Teil  der  heute  so  genannten  Logik ,  die  Logik  im 
engeren  Sinne,  Logik*)  im  Sinne  der  Alten. 

Diese,  die  fßMktw^  oder  auch  ,,formale''**)  Logik  heschiftigt  sich 
mit  den  Gesetien  des  folgerichtigen  Denkens. 

Worin  die  „Folgerichtigkeit''  des  Denkens  bestehe,  ist  durchaus 
nicht  leicht  zu  sagen.  Ich  will  die  Frage  erst  einer  TOrlSnfigen  Be- 
sprechung unterziehen,  um  dann  nochmals  anf  dieselbe  zurückzukommen. 

Zur  Orientirung  sei  zunächst  bemerkt,  dass  „folgerichtig^^  mehr 
wie  „konsequent''  besagt  Man  kann  auch  konsequent  Yerkehrt  ver- 
fahren, konsequent  unlogisch  zuwerke  gehen.  Wenn  ich  ein  Fremd- 
wort, einen  international  rezipirten  wissenschaftlichen  Kunstausdruck 
für  „tülgcricliligcs  Denken"  gebrauchen  sollte,  so  wüsste  ich  dasselbe 
nicht  anders,  wie  als  „logisches"  Denken  zu  bezeichnen. 

«)  Ältere  Autoren,  wie  Drobisch'  und  Ueberweg^  in  ihren  so 
verdienstlichen  Werken  haben  geglaubt,  das  Kennzeichen  der  Folge- 
richtigkeit des  Denkens  allein  in  der  üheremsUnmung  dieses  Denkens 
mit  sieh  selbst  erblicken  zu  sollen. 

Dass  das  Denken,  wenn  es  folgerichtig  genannt  werden  soll,  zu 


*}  Den  Namen  führt  die  Diniplin  bekanntlich  snrfick  auf  das  grieebiiclie 
Xdyo«  •»  <Ias  Wort,  die  Sprache,  der  Sinn,  die  Yeruunfb  etc.  Dass  „Wort**  imd 
„Vernunft"  solchergestalt  homonym  bezeichnet  wurden,  war  nicht  f^anz  ohnn 
innere  Bererhtig'nng  —  in  Anbetracht,  dass  dir  auf  dem  Wort  bonihondf  Sptuclte 
und  die  menschliche  Vernunft  einander  wirlilich  nicht  entbehren  zu  können 
scheinen  und  in  ihren  snoceseivea  BntwickelmigsitQfien  sich  gegenseitig  bedingen 
dürften.  Die  enge  Bemehnog  nnsrer  Verounft  snr  Sprache,  Ton  der  schon 
Wilhelm  Humboldt  tagte,  das»  wir  sie  nn«  nicht  enge  genug  Torstellen 
kennen,  hat  Lasama  Oeiger  tn  einem  inteiMMnten  Versoche  yeranlasst,  die  Ent- 
stehung dor  orsfi^rcn  pjan?^  an«  dor  letztomn  r.n  erklilrf'n  —  ein  Versnch,  der  nach 
Hey  mann  StciniliarH  iin>i  Julius  Kolier'ö  Kritik  im  wosentlichen  ah  tehl- 
gescblagen  'in  belrachten  —  vorgl.  noch  Benno  Erdmann'a  Hezensiou  in  deu 
OOttingiaeheu  gelehrten  Anaeigen  1886  ron  Kell  er' a  Scfarift\  welcher  letsteni 
wir  obige  Angabe  Aber  W.  t.  Humboldt  entlehnten. 

Nach  allem  niüchte,  den  menachlichen  Veratand  ala  ein  durch  die  Wort- 
sprache erst  entwickeltes  Erziehnngsprodukt  «n  erklären,  nocli  eben  so  viel  Wahr- 
lu'it  nnd  ("^bnrtrci^nng  enthalten,  als  wi<«  nni^ekehrt  die  Sprache  das  Werk  eines 
konsequent  denkenden  Verstandes  ?,u  neiint  n. 

Dass  Let^&tcrea  in  der  Tkiat  nicht  durchaus  der  Fall  ist,  worden  wir  hüufig 
Gelegenheit  haben  hier  wahntunehmen,  wo  uns  auch  eine  Kritik  dieiea  immerhin 
bewonderangawüidigen  Inatromenta  dea  Gedankenaoidmck«  mit  obliegen  wird. 
**)  „formale**  in  einem  engem  ala  dem  8.  8  erwfthnten  Sinne. 


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Einleitang. 


5 


Widersprüchen  mii  aicli  selbst  nicht  f&hren  dflrfei  ist  unstreitig  (auch) 
eine  Ton  diesem  zu.  erf&Uende  Anforderimg. 

Wer  auf  sie  das  Kennzeichen  der  Folgerichtigkeit  des  Denkens  zu 
gründen  versucht,  ist  verpliichtet,  zunächst  auseiiiuuderzusetzeu,  was 
ein  „  \  \  idci^pi  uch'^  ist. 

Mannigfach  siiiii  die  Arten  oder  möglichen  Formen  des  Wider- 
spruchs; es  gibt  deren  versteckte  oder  mittelbare^  und  es  gibt  auch 
oüene,  unmitt*  iUu \  Widersprüche. 

Die  erstereii  vollständig  aufzuzählen  dürfte  als  ein  hoffnung.sloses 
Beginnen,  Unierfaugeu  erscheinen.  Zur  Charakteri.sirung  der  Ict/t^Tn 
dagegen  lassen  —  an  deren  Hjtrucliliche  Ausdrucksfonnen  aulehueud 

—  sich  wol  unschwer  äusseriiche  Kennzeichen  aufstellen. 

Der  Widersj)rucli  koFin  .schon  in  einer  einzigen  Aussago  enthalten  sein, 
die  aiödann  eine  .,bich  selb.-t  wiilcr.-jnochende"  genannt  werden  mag. 

Wer  z.  Ii.  die  Versiuhoruug  abgibt:  „luU  kann  nicht  sprechen''  oder 
wer  dem  ihn  Besudieiideii  entgegenruft:  „Ich  bin  abwesend,  bin  mebt  tU' 
hatise,  iodi**  und  dergleichen,  setzt  sich  daduroh  in  Widerspruch  zu  einer 
schon  durch  die  blosse  Existenz  eben  dieser  seiner  Aussage  verbürgten 
(und  damit  einen  gegenteiligen  Ausspruch  heraasfordemden)  Thatsache. 

Wird  einem  Dinge,  wovon  gesprochen  werden  kann,  einem  Objekte 

des  Penkens,  im  Prädikat  der  Aussago  ein  Merkmal  rr7>ges])roelicn.  welches 
im  Subjekt  dieser  Aussage  demselben  ^^/gesprochen  erscheint  (oder  um- 
gekehrtj,  so  kann  man  darin  einen  WideiJipnich  der  Aussage  mit  sich 
selbst  erblicken  (sogenanuto  „contradictio  in  (uljrdo",  d.  h.  im  Prädikate) 

—  80  z.  B.  wenn  wir  sagten:  „Ein  kugeKörmiger  Körper  ist  nicht  kogsl- 
fSnnig^.  Es  waltet  dabei  aUeidings  mit  die  ÜntersteUung,  dass  es  kügel« 
r^*i:iiige  Körper  gebe,  oder  da.^s  solche  wenigstens  denkbar  seien,  (Ver- 
gleiche  auch  UegeTs  vielberufencs:  „iSein  ist  Nicht  sein^*,  und  Anderes,) 

Ähnlich  verhillt  es  sich  mit  Konditioniilsütxen  oder  hypothetischen 
Urleütn,  sobald  der  Folgesatz  in  Abrede  stellt,  was  der  Bedingungssatz 
vorau^^ zusetzen  forderte,  z.  B.  „Wenn  dies  stattfindet ^  si>  findet  es  nicht 
stati."'  Hier  sind  die  einander  widersprechenden  Satzteile  und  Teilsätze 
von  einander  abhängig  gesetzt 

Als  Weim  des  Widersprudtf  wird  am  besten  erUKrt  die  Begiekung 
iwitdum  ztcci  selbständig  kuigesU^tm  SStsen  oder  Äussagm,  wm  dmm  die 
eme  in  Abrede  stellt,  leugnet,  was  die  andre  hehauptd. 

Gewohnlich  stellt  man  zwei  Urteile:  „.1  ist  />"  tmd  .,.4  ist  nicht 
ab  allpenieino  Form  derartiger  Aussagen  hin,  unter  dtn-  Voiaussety.ung, 
dassi  unter  xi   etwas  und  zwar  in  beiden  Aussagen  genau  das  niUidiche 
verstanden  werde,  desgleichen  uuter  B.    Zum  Beispiel,  nachdem  irgend 
eine  Behauptung  gefalleu,  werden  die  beiden  Anssagoi: 

mDicsc  Behauptung  ist  weih»**,  nnd  „Biese  Behm^tung  ist  nidtl  währ" 
einen  reinen  Widersprudi  bilden. 

Der  scecnannte  (Jrs   Wi<h  rsprxchs".  der  für  die  Loirik  eine 

foBdamentale  Bedeutung  besitzt,  fordert  anzuerkennen,  dasä  einmddksdbe 


6 


Emleitung. 


JlrhfivpfHfig,  im  niünUdicn  Sime  verMandat,  nidU  eugleich  wahr  und  nichi 
walir  sein  hötinc. 

So  drücken  ferner  die  Paare  von  Sätzen:  Der  Mars  ist  bewuhni;  Der 
Mars  ist  nicht  bewohnt,  Alle  Menschen  sind  vollkommen;  Alle  Menseben 
sind  nicht  Tollkommen,  je  einen  Widersprach  aus  ^  wenn  auch  vielleicht 
nicht  in  der  oben  als  Ideal  des  reinen  Widersprachs  hingestellten  Weise 
—  und  letzteres  würden  sie  auch  noch  thon,  wenn  man  statt  der  Worte 
„nicht  Vic'vvohnt",  „nicht  vnUkonimen"  ho/HcrHch  ..iml^owohnt",  „iinvollkomnipn" 
in  ihnen  betete  (wo  daiui  flir  den  letzten  Satz  auch  jjKeiu  Mensch  ii»t  voll- 
kommen" sich  i^agen  la^&uu  würde.) 

Dagegen  die  beiden  SKtste: 

Einige  Menschen  sind  klug;  Einige  Menschen  sind  nichi  klug 
drücken  keinen  Widerspruch  aus,  schon  darum,  weil  hier  das  Subjekt  der- 
gelben  dargestellt  wird  durch  den  u) e Ii rn innigen,  üquivoken  Namen  „Einige 
Menschen",  unter  <leni  im  ersten  Satze  ganze  andere  Menschen  verstanden 
werden,  wie  iui  zwuileu. 

Auf  die  erwähnte  Form  la&sen  auch  die  vorhergehenden  Beispiele  sich 
surückflihren,  indem  man  dieselben  susammenhttlt  mit  den  als  selbstverstlind- 
lieh  anzuerkennenden  Sätzen:  „Wenn  dies  stattfindet,  so  findet  es  statt** 
resp.  „Ein  kugelförmiger  Körper  ist  kugelförmig*^ 

Ob  aber  jene  zwei  Urt^e  Uber  A  und  Ji  wirklich  und  in  allen 
Filllon  das  Wesen  des  Widerspnichs  in  dem  darüber  cikl.'Irten  f^inne  dar- 
»tf!l)on,  dies  eniäüiieidon  musB  eingehenderen  Untersuchungen  vorbehalten 
bleiben.    (Vergl.  §  15.) 

Wollen  wir  vorsichtig  verfahren,  ganz  sicher  gehen,  so  müssen  wir 
als  das  Vorbild,  die  „ippische"  Form  des  utmiUdbarm  Widmprvdis  die 
Gegenüberstellung  zweier  Sätze  nehmen,  welche  (wie  in  der  That  die  vor- 
hin kursiv  gedruckten)  zum  Subjekt  einunddieselbe  Behaiiithmg  haben,  zum 
Prädikat  aber  licztlf^'licb  .,wahr"  und  ..nichlwahr"  oder  ,.«j:tlltig"  und  un- 
gültig'. Direkten  W  iderspruch  erblicken  wir  zwibchen  irgend  einer  (als 
gültig  hingestellten,  mit  der  Versicherung  ihrer  Gültigkeit  abgegebenen) 
Aussage  (zwischen  einer  „Behauptung*')  und  einer  sweiten  Aussage,  welche 
die  üngfiltigkeit  der  ersten  behauptet 

Bei  versteckten  Widersprochen  kann  man  verlange,  daas  sie  auf 
unmittelbare  «urückgeführt  werden,  und  zwar  wie?  —  Nun  natürlich 
wiederum  durch  folgerichtiges  Denken.  So  kamen  wir  denn  zuuiichst 
zu  dem  Zirkel,  für  „folgerichtig"  dasjenige  Denken  zu  erklären,  welches 
aus  sich  selbst  mul  diireh  ^iel!  selbst  Iii  zu  direkten  W  idersprüchen 
führt.  Dasselbe  dürfte  also  widersprechende  l'riimissen  i.u.s  Über- 
zeugungen) nie  zulassen  und  von  (als  Überzeugung)  zugelassenen  Trü- 
missen  zu  Widersprüchen  nie  führen.  Nun  kann  man  ja  aber,  ehe 
man  diejenigen  Fols^eruniron  oder  Denkhandlun^'en  Yoll/i»dit.  welche 
den  unmittelbaren  Widersprueli  liefern  würden,  allemul  .uaii/.  willkür- 
lich ab^prin;_ff'n,  und  so  er^eheint  die  Erklärung  als  vollkommen  nichts- 
sagend, solange  ihr  nicht  die  Voraussetzung  mit  zugrunde  gelegt  wird. 


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Einleitung- 


7 


dass  das  Denken  nach  bestimmten  Normen,  Yorscbriften,  Schemata 
oder  Gesetaen  flberbanpt  stattfinde  oder  stattaafinden  habe. 

Solleo  diese  Gesetze  solche  des  folgerichtigen  Denkens  sein,  so 
wird  das  Denken^  wenn  es  gemäss  denselben  stattfindet,  aus  sich 
selbst  nicht  au  Widersprüchen  fuhren  dürfen. 

Immerhin ,  aach  wenn  man  niemals  Ton  gegebenen  Gesetzen  ab- 
weicht, bleibt  aber  die  Mdglichkeit,  dnreh  Enthaltung  vou  gewissen 
Sefahissfolgerungen  dem  Widersprach  stindig  auszuweichen,  sich  z.  B. 
in  einem  Zirkel  immerfort  zu  bewegen,  welcher  solchen  Widersprach 
nicht  berührt.  So  wenigstens,  sobald  der  OcdankenTerlauf  durch  jene 
Gesftzc  nicht  vollkommen  bestimmt  erscheinen  sollte  —  wie  wir  uns 
denn  in  der  That  bcwusst  sind  (auch  bei  folgerichtigem  Dtiiken)  uns 
doch  den  venschicdeiisten  Dingen  in  freier  Eutschliessung  noch  zu- 
^»  iidt  u,  beliebigen  Stoffs  uns  bemiichtigeu,  kurz;  in  sehr  Terschiedeuen 
Kichtungen  noch  weiterdeiiken  zu  können. 

Es  würde  demnach  die  VViderspruchsiüüigkeit  dt  s  „folgerichtigen*^ 
Denkens  nh  Kcnnmchev  desselben  sich  höehsteni»  aufrecht  erhalten 
lassc'n,  wenn  sie  gefordert  wird  für  den  yanmi  Bereich  der  nach  den 
Gesetzen  dieses  Denkens  noch  möglichen  Denkhandlungeu  oder  Schluss- 
folgerungen. 

Ob  dies  nun  eine  hinlängliche  Bestimmung  für  die  Folgerichtigkeit 
des  Denkens  ergäbe,  scheint  eine  schwierige  Frage  zu  sein.  Für  be- 
stimmt begrenzte  Gedankensphären,  wenigstens,  glaube  ich  dieselbe  ver- 
neinon  zu  müssen  nnd  dfinkt  mich,  dass  gerade  die  im  gegenwärtigen 
Buch  entwickelte  Theorie  dieses  folgerichtigen  Denkens  Material  dafür 
liefert^  um  (hiefür)  die  Uiiznläaglichkeit  jener  Begriffsbestimmung  be> 
sonders  schlagend  darzuthun. 

Hier  nSmlich  wird  dieses  Denken,  auf  seinen  knappsten  Ausdruck 
redozirt,  sich  als  ein  KdSM  darstellen.  Nun  lassen  aber  zahllose  in 
rieh  ToUkommen  konsequente  Kalkoln  sich  anfstellen,  die  gleichwol 
nichts  weniger  als  die  Gesetze  des  logischen  Denkens  ausdrflcken,  nnd 
die,  weil  sie  derselben  Zeichen  sich  bedienen,  doch  auch  als  Gesetze 
eines  gewissen  Denkens  gedeutet  werden  konnten*  Der  logische  Kaikol 
ist  in  der  That  nur  einer  von  unzähligen  in  sich  widerspruchsfreien 
Ealkuln  —  die  aber  in  ihren  Grundgesetzen  oft  äusserst  weit  von 
tinsnder  abweichen. 

Wofon  nur  die  unbeschi^nkte  Deutungsfahigkeit  solcher  Ealkuln, 
ihre  Anwendbarkeit  auf  alle  erdenklichen  Objekte  des  Denkens,  sich 
tnth  von  vomlierein  absehen  Hesse,  würde  ich  keinen  Anstand  nehmen, 
schou  überhaupt  die  Konsistenz,  oder  Vertraglichkeit  mit  sich  selbst, 


8 


EbleiiaDg. 


fQr  allein  noch  uidbt  ausreichend  zu  erklären,  um  die  Gesetze  des 
logischen  Denkens  zu  bestimmen.  Solange  aber  Obigem  noch  ununter^ 
sucht  geblieben,  brauchen  wir  zu  der  Frage  auch  nicht  definitiv  Stellung 
zu  nehmen. 

Der  Torstehend  genommene  Anlauf  dürfte  indes«  sehon  genttgen, 
um  erkennen  zu  lassen,  dass  der  Versuch,  von  dieser  Seite  die  Auf- 
gabe in  Angriff  zu  nehmen,,  in  grosse  Schwierigkeiten  von  voniherein 
verwickeln  muss. 

Nicht  fiherflflsdg  schönt  es,  erinnernd  heErvonubebeDy  dass  vorstehende 

Beil  ;ic1itang  sich  beschrankte  auf  das  Gebiet  rein  deduktiver  Denkhaudlungen, 
wobei  also  eine  Berufung  auf  neue  Erfahrungen  von  vornherein  ausge» 

schlössen  war. 

Wenn  dagegen  auch  diejenigen  Widersprüche  uni  iu  iierückbiclitigung 
gezogen  werden  sollten,  welche  eintreten  können  zwischen  unseni  Denk- 
handlungen und  dem  Zeugniss  der  Sinne,  den  Thatsachen  der  Wahrnehmung 
(genauer  den  durch  letstere  unweigerlich  provoairten  Denkhandlongen  oder 
Urteilen),  so  dttrfte  die  Frage  sich  anders  stellen. 

War  auch  dieselbe  f(lr  das  erwtthnte  oigere  Gebiet  vielleicht  vemeiueud 
zu  entscheiden,  so  bleilit  es  nubenomraen,  sie  für  das  weitere  Ocbict  alles 
Denkens  Uberhuuid  noch  in  gewissem  Sinne  zu  i)üjahen,  nümlich  als  das 
Kriterium  der  Wahrheit  für  die  Gesamtheit  uusrcr  Überzeugungen  doch 
hinzustellen  die  durchgängige  und  widerspruchslose  Übereinstimmung  alles 
auf  diese  gegi-Undeten  Denkens  mit  sich  selbst,  sofern  dieselbe  auch  bei 
allem  ferneren  Zuwachs  an  Erfahrung  sich  fort  und  fort  bewihrt  und  von 
dem  Bewusstsciii  r<d gerichtigen  Schlicssons  schon  gestützt  und  getragen  ist. 
Jedenfalls  \sivd  luorbei  (wenn  solcher  ZuEiüind  erreicht)  das  Denken  sich 
immtr  schon  beruhigen  und  faktisch  jeder  Zweifel  schwinden. 

Es  wird  demnach  zu  billigen  sein,  dass  von  neueren  Schrift- 
stellern der  vorstehend  charakterisirte  Standpunkt  auch  nicht  mehr 
eingenouimeu  wird.  Vielmehr  findet  sich  von  den  meisten,  die  die 
Frage  berOhren,  der  Umstand  anerkannt»  um  welchen  sich  augenschein- 
lich durchaus  nicht  herumkommen  lässt,  dass  dem  Begriff  des  folge- 
richtigen Denkens  eine  Annahme,  ein  Dogma  augrunde  liegt,  welches 
sozusagen  den  „Glauben  des  Lof^ers^  bildet 

Wir  haben  unter  ß)  eine  solche  Annahme  bereits  als  eine  Voraus* 
Setzung  der  Wissenschaften  (im  allgemeinen)  angedeutet,  mfissen  je- 
doch für  die  formale  Logik  die  Annahme  anders  und  enger  fiusen. 

In  einer  durchaus  haltbaren  Weise  scheint  mir  solches  vonseiten 
Sigwart\s  geschehen,  aus  dessen  lesenswertem  Werke'  ich  hier  be- 
sonders die  Lektüre  der  Einleitung  und  namentlich  der  Paragraphen  1 
und  3  der  letzteren  empfehle. 

Die  darin  gegebenen  Ausführungen  des  genannten  Autors  vermöchte 
ich  einerseits  nicht  besser  danustellen  und  mOchte  dieselben  auch  nicht 


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Einleiluug. 


9 


inii  andern  Worten  wiedergeben  und  andrerseits  sind  dieselben  doch  an 
nnifangreicb  als  dass  es  ratsam  erscheinen  könnte,  sie  hier  wörtlich  auf- 
aunehmen« 

Wenn  ich  daher  mich  damit  beffuttf^o  —  vcrknüpfL  mit  anderweitigen 
Betrachiuugeu  — ,  hier  nur  den  Grundgcduiikeu  Sigwart'B  zur  Darstellung 
SU  bringen,  so  darf  nicht  verhehlt  werden,  daas  derselbe,  solchergestalt 
heransgerissen  ans  dem  festen  Gefllge  seiner  Ansftthrungen,  Tielleicht  an 
Überseogender  Kraft  yerliert 

Fiß(feiridUiig  oder  logkek  ni5geti  wir  (mit  Sigwart)  das  Denken 
nennen,  wenn  es  ffir  den  prüfenden  Verstand  mit  dem  Bewusstsein 
der  S^bäversländlidikai  oder  Emäme  verknüpft  is^  wenn  eine  „Dmi^ 
nakomäigktilf*  nns  zwingt,  dasselbe  der  Üheneugwng  äbaoMer  (h- 
wissiheU  zu  vollziehen.^ 

Es  bedarf  diese  Erklärung  indess'mehrfaolier  Erläuterungen  und 
BigänzungcD. 

Zunächst:  der  rein  persdnlicbe  Charakter,  das  subjektive  Moment, 
welches  der  Folgerichtigkeit  des  Denkens  nach  obiger  Erklärung  an- 
zuhaften scheint,  wird  aufgehoben,  das  folgerichtige  Denkoi  wird  dieser 
Besonderheit  entkleidet  durch  den  Glauben,  dass  es  eme  für  aUe  IiUdU- 
getuen  verhmdlidie  —  weil  eben  objektiv  begründete  —  DenkmlwciuUfj- 
heU  gebe. 

„Widersprüche"  kann  dieses  Denken  darum  nicht  enthalten,  auch 
nicht  zu  solchen  mit  sich  selber  führen,  weil  es  eben  dem  Verstände 

unmi'M^licli  fällt,  solclie  mit  Hewusätbi'iii  zu  vereinigeiij  weil  jene  Denk- 
liütweudigkL'it  uns  niinieiitlicli  zwingt,  von  zwei  einander  direkt  (kuntra- 
diktoriscli)  widerspreclienden  Urteilen  das  eine  anzunehmen,  da«  andre 
XU  verwerfen. 

Die  Jnduktionshclilü86e  können,  wie  schon  angedeutet,  die  Über- 
/eu».'ung  absoluter  Gewissheit,  ganz  unfehlbarer  Wahrheit,  nicht  j^e- 
währen**)  und  gehöreii  demnach  samt  allem  empirischen  Erkennen, 
nicht  in  den  Jk^eieh  des  folgerichtigen  Denkens. 

Für  h^tzteres  bleiben  ab  das  Substrat,  welche«  äomit  das  Thema 
der  deduktiven  Logik  zu  bilden  hat,  nur  übrig: 

Erstena  die  sogenannten  .mmhßischcn  Wahrhettett",  „Truisuieu", 
sieh  darstellend  als  „identische  Urteile"  —  wofür  als  ein  Beispiel  hier 
nur  etwa  dt-r  .Satz  angeffilirt  sei:  .,Alle  schwarzen  Krähen  sind  schwarz." 
£s  sind  das  Urteile,  welche  unabhängig  von  allen  Erfahruogsthatsacheu 

Die  Leichtigkeit,  mit  welcher  ditisu  KrklUruiig  uuch  iichuiiit  miübbiitucbt 
werden  m  kAnaen,  benimmt  derselben  nicht*  Ton  ihrer  Bichtigkeit 

**)  Denn  waa  auch  tanaendmal  achon  gleichmlMig  eingetrofien,  braucht 
danm  doeh  nicht  daa  lOOlte  Mal  wieder  eiuutreffen. 


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10 


EinleitaDg. 


die  Überzetigang  von  ibrer  Wahrheit  in  sich  selbst  tragen ,  eu  deren 
AnerkennuDg  wir  gezwungen  sind  kraft  des  Sinnesi  den  wir  den  Worten 
beilegen. 

Mit  Lotse'  (p.  573)  zu  reden,  wfiie  sebon  die  Thatsacbe  der  Selbst- 
verständlichkeit bei  solchen  UrteUen,  bei  den  „apriorischen  Wahrheiten*' 

merkwürdig. 

Soweit  dieselben  auf  die  Zahl  hey.w^  liaboii,  werden  hier  diese  Urteile 
grdttStenteilR  den  arithniütihchen  Spezialwi^iSöDticbatteu  üW-iiiiöscii. 

Im  übrigen  worden  dietse,  zwar  eine  uncutbcbrliche  Grundlage  alles 
Denkens  bildenden,  aber  ebendeswegen  als  überflOsdger  Ansdmck  des  Selbst- 
verstandlichen  gewShnlich  mit  Übermut  übergangenen  Urteile  in  diesem 
Buche  eine  besonders  eingehende  Beachtung  finden.  Unsrc  Betraehtungcn 
wfirden  uns  sogar  in  den  Stand  setzen,  diese  Urteile  innerhalb  irgend  welcher 
Grenzen,  die  durch  eine  nicht  zu  überschreitende  Komplikation  ihres  Aus- 
drucks gegeben  werden  mögen,  gewUn^cUtenfalls  mit  Leichtigkeit  auch  mU- 
ständig  aufzuzühlcn. 

Zweitens  bkiljt  das  denkiiotwcndi^o  Fortschn  iUm  von  scJton  vor- 
hanihfien  Uher^eui/ungcn*),  sei  es  wirklichen,  sei  es  blos  vormeiutlicheii 
Erkeiiutiiissen,  m  neuen  Ühcrzeuiju)i<jen  (wirklichen  rcap.  fraglichen 
Erkeimtiiisscn  I,  das  ist  eben  die  eijj^eiitliche  Ihduhtmu  .Und  deren 
Gesetze  zu  ertorschen,  wird  unsre  Hauptaufgabe  bilden. 

Nach  dem  Gesagten  dürfen,  wenn  jenes  Fortschreiten  ein  rein 
deduktives  sein  soll,  in  dessen  Verlauf  keine  neuen  Wahrnehmungen 
au  den  Dingen  selbst,  um  deren  Erkenntnis«  es  sich  handelt,  hinzu- 
gezogen, es  darf  nicht  an  Erfahrungsthatsachen  dabei  appellirt  werden, 
die  nicht  unter  den  ,pBchon  Torhandenen'S  den  zum  Ausgangspunkt  der 
Deduktion  genommenen  Erkenntnissen  oder  Überzeugungen  bereits  ein- 
registrirt  wUreu.  Diese  heissen  die  ,,rrümisseii''  und  die  aus  ihnen 
abgeleiteten  Über/eugungeii  oder  Erkenntnisse  heissen  die  „Konkhh 
sianen**  der  Deduktion;  der  Übergang  von  den  erstem  eu  den  letztem 
wird  (deduktives)  SchHessmf  Folgern  genannt. 

Gleichwol  Terziehtet  die  Deduktion  nicht  ganz  auf  das  mSehtige 
Hiilfsmittel  der  Wahrnehmung.  Zugelassen  nämlich  Bind  Beobach- 
tungen an  den  Namen  oder  Zeidien  der  Dinge.  Oerade  in  ihren  höch- 
sten Formen,  wenn  die  Deduktion  die  verwickeltsten  ihrer  Aufgaben 
redmerist^  bewältigt,  zeigt  sich  solches  Beobachten  der  Zeichen  als 
ein  wesentliches  und  charakteristisches  Merkmal  derselben.  Hin  Blinder 
wird  bei  gleicher  Begabung,  eben  wegen  seines  mangelhaften  Beob- 
achtungsvermogens  in  der  angedeuteten  Richtung,  dergleichen  deduk- 


*)  Diese  können  auch  proTiäoriBch  angenommene,  köimcn  blosse  „Annahmen'^ 
(Ujpoihesen)  sein. 


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Einleitung. 


11 


tire  Aufgaben  nicht  so  leicht  kq  losen  im  Stande  sein,  wie  ein 
Sehender.  Und  auf  der  GrOndlichkeit  und  Sorgfalt,  mit  der*)  Be- 
obachtungen dieser  Art  immer  ausgeführt  werden  können,  beruht  mit 
die  grosse  ZuTersicht,  mit  welcher  wir  die  Ergebnisse  der  Deduktion 
scceptiren. 

Indem  unter  den  PrSmissen  des  deduktiven  Schliessens  auch  solche 
8äize  figuriren  künneu,  welclie  das  Ergebniss  einer  Wahrnehmung  an 

den  Objekten  der  UiiterbUeiiuiig  selbst  uikI  tenier  uucli  von  auf  der- 
•jleiclien  Wahrnehmungen  gegründeten  Inuiikiujijssclilüssen  darstelleu, 
tiiiliiiu  als  absolut  zuverlässig  nicht  ungesehen  worden  dürfen,  liefert 
uns  die  Deduktion  namentlich  ein  Mittel,  die  Uichtigkeit  gemachter 
liiauk'HHn  11  durch  das,  was  denknotwendig  aus  ihnen  lolgt,  dureh 
ihre  Konklusionen  oder  Konsequenzen  zu  prüfen.  Sobald  «ich  auch 
Dur  eine  von  diesen  Konsequenzen  mit  den  Thatsachen  oder  als 
zuverlässig  anzusehenden,  ferneren  Wahruehinungsergebnissen  unver- 
einbar erweist,  ist  mindestens  eine  von  den  nicht  denknotwendigen 
Prämissen  zu  verwerfen.  Solange  dagegen  auch  alle  ihre  Folgerungen 
sich  empirisch  bewahrheiten,  kÖDoen  die  Induktionsscblüsse  aufrecht 
erhalteu  und  zur  Grundlage  einer  „I7ieori&'  genommen  wei'den,  welche 
die  £r8cheinnngen  znsammenfiEWsend  zu  beschreiben  und  zu  erklaren 
beansprucht 

Auf  diese  Weise  wird  die  Deduktion  zu  einem  mächtig  fördernden 
Hausmittel  aller  induktifen  Wissenschaften.  Wogegen  sie  ihrerseits, 
wie  wir  gesehen  haben,  der  Induktion  nicht  nur  entiaten  kann,  son- 
deni  vielmehr  dieselbe  ausschlielst.  Dieser  Umstand  rechtfertigt  auch 
das  Voranstellen  der  deduktiven  vor  die  induktive  Logik* 

rf)  Wenn  vorstehend  wiederholt  von  einer  T^rnhwffmidigJceit"  ge- 
sprochen wurde,  so  ist  (mit  Higwart)  daraut  autnierksam  zu  machen, 
dass  sich  von  einer  solchen  in  zweierlei  Sinne  reden  lässt. 

Wir  haben  eine  physikalisch-pbysiologisch'psjchische,  die  ^juyeAO' 
linjkche'  oder  suhjektive  Denknotwendigkeit  zn  unterscheiden  yon  der 
Jo^iachm"*  oder  o^^eifc^nm 

Die  entere  ist  der  Grund,  weshalb  ein  Mensch  gerade  so  denkt, 
wie  er  eben  wirklich  denkt  „Psychologisch  betrachtet  mag  man  alles, 
wss  der  Einzelne  denkt,  fttr  notwendige,  d.  h.  gesetzmassig  aus  den 
jeweiligen  Voraussetzungen  erfolgende  Thatigkeit  ansehen;  dass  gerade 


*)  Zufolge  <Iefi  Vcrbairens,  der  Beständig koit  oder  l'erinutictii',  der  Schrift- 
leicben  —  weil  m.  a.  W.  ein  x  sich  nie  von  selber  iu  ein  u  verwauUelt. 


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12 


Einleitung. 


dies  und  uicbts  anderes  gedacht  wird,  ist  notwendige  Folge  des  Vor- 
stelluagskreiBes,  der  Gemütsstimmuug,  des  Charakters,  der  augeublick- 
Uchen  Anregung,  welche  das  einzelne  Individuum  erfährt"  (Sigwart*, 
p.  5  u.  6).  Diese  Notwendigkeit  ist  für  den  Denkenden  eine  absolute; 
aber  für  verschiedene  Menschen,  und  für  dieselbe  Persünliclikeit  bei 
Terachiedenen  Gelegenheiten,  ist  sie  oft  yerschieden;  sie  gebiert,  ruit 
hervor  da  richtigea,  dort  falsches,  unlogisches  Denken.  Thatsacblich 
wird  ja  sehr  vielfaeh  auch  unlogisch  gedachte 

Die  andre,  die  leUiere  Notwendigkeit  scheint  weniger  leicht  zu 
fassen.  Gerade  sie  aber,  indem  sie  dem  Denken  die  Folgerichtigkeit 
Torschieibt  (und  unter  Umstanden  auch  aufnötigt),  ist  diejem'ge  Denk- 
notwendigkeit, die  wir  hei  obigen  EridSrungen  im  Sinne  hatten. 

■O-)  Sie  würde  sich  —  zunächst  als  ein  noch  un verwirklichtes 
Idoal  —  cbarakterisiren  lassen  als  diejenige  Notwendigkeit,  wfldip 
unser  Denken  belierrächen  muss,  wofem  es  seineu  Zweck  erreichen 
soll:  das  Erkennen. 

In  der  Tliat:  nicht  um  JS^«/«;gesetze  des  Denkens  bandelt  es  sich 
in  der  Jjogik  (diese  als  die  Gesetze,  nach  denen  wirklich  gedacht  wird, 
bleiben  der  Psychologie  überlassen),  sondern  um  nonnativc  Gesetze, 
Gesetze,  welche  die  Riclit^chnur,  Norm  des  Denketjs  bilden  un'bsen, 
damit  es  jenen  Zweck  des  £rkennens  erreiche,  im  Hinblick  auf  ihre 
Beziehung  su,  Abhängigkeit  von  diesem  Zwecke  wäre  also  diese  Denk- 
notwendigkeit  auch  als  eine  relative  zu  bezeichnen. 

Sie  wäre,  genauer  gesagt,  hinzustellen  als  der  Inb(>griff  aller  der 
Gesetze,  allgemeinen  Schemata  oder  Methoden,  durch  deren  l^efolgung 
man  erstens  von  richti<jcn  VhcrzntgunQm,  Erhonünissen  au^gdtettd,  stets 
wkdir  nur  zu  riMgeii  Erkenntnissen  gefuhrt  uird,  und  zweitens,  so- 
fern solchen  Gesetzen  etwa  auch  selWändige  ürteUe  entspringen  sollten, 
gemäss  welcher  nur  absolut  gewisse  und  wahre  gd^ldet  werden  kihmen. 

Nun  fragt  sich  aber:  wie  lisst  sich  solches  Ideal  verwirklichen? 

Empirisch,  indem  mau  diese  oder  jene  Gesetze  für  alle  Falle 
durchprobirt,  gewiss  nicht!  Nicht  allein  bleiben  auch  die  fOr  am 
sichersten  gehaltenen  unsrer  Überzeugungen  immer  noch  der  An- 
zweifelung, Skepsis,  ausgesetzt,  sondern  es  wäre  jedenfalls  auch  aus- 
sichtslos,  die  unendliche  Fülle  der  Möglichkeiten  erschöpfend  durch- 
gehen zu  wollen. 

i)  Wie  lässt  sich  dennoch  jenes  objektiv  notwendige  Optiken 
von  dem  zutallij^Tii,  dem  subjektiv  verschied«  nen  unterschcidiMi V  Da 
wir  aus  der  Jurisdiktion  unsrer  subjektiven  Deuknotwendigkeit  doch 


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^  Eialeitung.  13 

niemals  hoiauszuireien^  uns  nie  von  dieser  sn  emanzipiFen  Termögen, 
so  mflssten  wir  solches  f&r  ganz  hoffnungslos  erklaren,  wenn  uns  nicht 
gelegentlich  in  Gestalt  des  intuitiven  oder  unmittelbaren  ,,EinIeuchtens" 
die  Empfindung  der  Evidenz  zuhülfe  kiime,  wenn  wir  nicht  au  deiu 
Uewusstsein  der  letzteren  jenes  erstere  Denken  erkennten. 

Eine  lei(iensehaftsl<j>e  einf]!;oheTide  Prnftin«]^  der  Form  nnsros  Denkens 
durch  iinsern  Verstand  verschafft  uns  (mit  subjektiver  Üenknot\ven<li<j;- 
keit)  die  Überzeugung^  llisst  es  uns  als  evident  erkennen,  dass  es  all- 
gemeine rjesetzo  für  das  im  obi^j^eu  Sinne  jytolgericbttge^'  Denken  gibt^ 
und  wie  sie  beächatten  sein  müssen. 

Die  Erfahrung  di^es  Tinmittelharcn  ßewusstseins  der  Evidenz, 
welches  einen  Teil  unsrcs  Denkens  begleitet,  und  der  Glaube  an  seine 
Zuverlässigkeit  —  und  demzufolge  auch  Gemeinverbindlichkeit  —  ist 
ein  Postulat,  über  welches  nicht  zurückgegangen  werden  kann.  Der 
Qlmihe  an  das  Jlechf  dieses  Geßäüs  ist  der  letzte  Änlergrund  aller 
Geicissheü  überhaupt.  Wer  dieses  nicht  auerkennt,  für  den  gibt  es 
keine  Wissenschaft^  sondern  nur  anfälliges  Meinen  (Sigwart^  p.  15). 

x)  In  ileni  Streben  nach  unserui  Ziele  darf  uns  sonach  die  Üb^r- 
zeugnnj^  trösten,  dass  unter  bestimmt  erkennbaren  Umständen  die 
ül>jektive  Denknotweiidigkeit,  aui'  die  wir  fahnden,  allemal  auch  zur 
suV»jt'ktiven  wird.  Namentlich  fallen  beide  Denknotwendif^keiten  aucli 
ininier  dann  zusammen,  wenn  es  sich  um  die  Vereinigung  von  uumittel- 
baren  Widersprüchen  handelt. 

Sehr  treffend  sagt  in  dieser  Beziehung  ¥.  A.  Lange'  p.  27  und  28: 

„Der  Satz  dos  Widerspruchs  ist  der  Punkt,  in  welchem  sich  die 
Naturgesetze  des  H  nkens  mit  den  yormnJfjesetzen  berühren.  Jene 
psychologischen  Bedingungen  unsrer  Vorstelluugsbildung,  welche  durch 
ihre  unabänderliche  Thätigkeit  im  natOrlicheni  von  keiner  Regel  ge- 
leiteten Denken  soirol  Wahrheit  als  Irrtum  in  ewig  sprudelnder  Fülle 
henrorhringen,  werden  ergänzt,  beschrankt  nnd  in  ihrer  Wirkung  zu 
einem  bestimmten  Ziele  geleitet  durch  die  Thatsache^  dass  wir  Ent- 
gegengesetztes in  unserm  Denken  nicht  vereinigen  kennen ,  sobald  es 
gleichsam  zur  Deckung  gebracht  wird.  Der  menschliche  Geist  nimmt 
die  groaaien  Widerspräche  in  sich  anf,  solange  er  das  Entgegengesetzte 
in  rersehiedene  Gedankenkreise  einhegen  und  so  auseinanderhalten 
kann;  allein  wenn  dieselbe  Aussage  sich  unmittelbar  mit  ihrem  Gegen- 
teil auf  denselben  Gegenstand  bezieht,  so  h5rt  diese  Fähigkeit  der 
Vereinigung  auf;  es  entsteht  vdlUge  Unsicherheit  oder  eine  der  beiden 
Behauptungen  mnss  weichen.  Psychologisch  kann  freilich  diese  Yer« 


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14 


Eioleitung, 


nicbtung  des  Widersprechenden  vor  übergehend  sein,  insofern  die  un- 
mittelbare Deckung  der  Widersprüche  vorObergehend  ist.  Was  in  ver- 
schiedenen Denkgebieten  tief  eingewurzelt  ist,  kann  nicht  so  ohne 
weiteies  zcrstiirt  werden,  wenn  man  durch  blosse  Folgerungen  zeigt, 
dass  es  wiilersprocliend  ist.  Auf  dem  Punkte  freilich,  wo  man  die 
Konsequenzen  des  einen  und  des  andern  Satzes  uiuuiiielbur  zur  Deckung 
bringt,  bleibt  die  Wirkung  nicht  au>^  allein  sie  schlagt  nicht  immer 
durch  die  ganze  Reihe  der  Folgerungen  hindi  r  h  bis  in  den  Sitz  der 
ursprünglichen  Widersprüche.  Zweifel  au  der  ßiindigkeit  der  Schluss- 
reihe, an  der  Identität  des  Gegenstandes  der  Folgerung  schützen  den 
Irrtum  liäutig^  aber  auch  wenn  er  fÖr  den  Au;ienblick  zerstört  wird, 
bildet  er  sich  aus  dem  gewohnten  Kreise  der  Vorstellungsvei  Inudungen 
wieder  neu  und  behauptet  sich,  wenn  er  nicht  endlich  durch  wieder- 
holte Schläge  zum  Weichen  gebracht  wird. 

Trots  dieser  Zähigkeit  des  Irrtums  muss  gicichwol  das  psycho« 
logische  Gesets  der  Uoyereiobarkeit  unmittelbarer  Widersprüche  im 
Denken  mit  der  Zeit  eine  grosse  Wirkung  ausüben.  Es  ist  die  scharfe 
Schneide,  mittelst  welcher  im  Fortgang  der  Erfahrung  allmälig  die 
unhaltbaren  Vorstellungsverbindungen  remichtet  werden,  w&hrend  die 
besser  haltbaren  fortdauern.*)  Bs  ist  das  Ternichtende  Prinzip  im 
natOrlichen  Fortschritt  des  menschlichen  Denkens,  welchesi  gleich  dem 
Fortschritt  der  Organismen  darauf  beruht,  dass  immer  neue  Ver- 
bindungen von  Vorstellungen  erzeugt  werden,  von  denen  bestandig  die 
grosse  Masse  wieder  Tornichtet  wird,  während  die  beesem  fiberleben 
und  weiter  wirken. 

Dieses  psychologische  Gesets  des  Widerspruchs  bedarf  natfirltch  su  seinem 
Bestände  und  zu  seiner  Wirksamkeit  keiner  Anschauung.  Bs  ist  unmittelbar 
durch  unsre  Orgauisation  gegeb«  n  und  wirkt  vor  jeder  Erfahrung  als  Be- 
dingung aller  Erfahrung.  Seine  Wirksamkeit  ist  eine  objektive  und  es  braucht 
nicht  erst  zum  liewusstsoin  gebracht  zu  werden,  um  thUtig  zu  sein. 

Sollen  wir  n>m  aber  dasselbe  Gesetz  als  Gründl  '?:'*'  der  Loffik  auffassen, 
sollen  wir  e,-  als  Aormalgrsrfz  alles  Denkens  anerkennen,  wie  es  als  iSntui- 
gesi'tz  auch  oliuu  unsre  Anerkennung  wirksam  iüt,  dann  allerdings  bedUrt'fii 
wir  hier  so  gut  wie  bei  allen  andern  Axiomen  dei*  typischen  AnscluiiinDg, 
um  uns  Ru  ttberwugen  ..."**) 


*)  Auch  hier  ein  „survival  of  the  fittcat",  Überleben  der  Tauglichsten. 

Der  Vfi  l. 

**;  leb  brecbe  da»  Citat  mit  Abaicht  erat  bei  diesen  Worten  ab,  welche  »war 
von  andern  Seifen  bestritten,  doch  jedeofalls  fBr  die  der  Langc'tclteii  Sdbrifl  sa* 
gmode  liegende  GesamtaufGusang  besoichnend  sind. 


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Einleitung. 


15 


Insbesondre  bringt  der  Gang  wissenschaftlicher  Forschuns^  es  fort- 
währeud  mit  sieli.  tla>s  Streit  j:;o>i  Ii  lichtet  wird  durch  Verfolgung 
falscher  Sat^e  iu  ihre  Kuusequeiizen,  und  jeder  apagogische  Beweis 
ist  ein  Beispiel  dieses  Verfahrens  (^iS  ig  wart',  p.  13). 

l)  Im  Hinblick  aof  di«  enormen  unter  den  Menechen  tierrselienden 
Meimnffsversduedmhmim  and  auf  die  Thatsachen  des  Jrrhims  und 
des  Stmks,  scheint  auf  den  ersten  Blick  ein  Glaube  an  die  Ge> 
meinverbindlichkeit  folgerichtigen  Denkens  nur  schwer  aufkommen 
zu  können. 

In  diesem  Glauben  läisst  sich  dio  Lou'ik  frloicliwül  nicht  beirren. 
Sie  nimmt  an,  dass  jpne  Fakta  nicht  'iowol  im  Intellekte  b^rOudet 
sind,  als  vielmehr  ganz  audem  Ursachen  zur  Last  fallen. 

Zumeist  cnt.-])!  iiii^'on  jene  Meinnncr^vprschiedenheiten  .-ohon  an?  der 
Nifbtübereinstimniunij  der  Pr:imi<^en  de^  Scldiessens ,  deren  Erfassung  hei 
verscbiedeuen  Dcukeru  nach  verschiedenen  Kichtungen  mangelhaft  erscheint 
und  die  sich  häufig  nicht  zu  dem  wünschenswerten  Grade  der  Klarheit  im 
Bewosstsein  emporgearbeitet  haben,  Uber  die  denn  aacb  eine  hinreichende 
YerBtSndignng  nicht  stattgefunden  hat  Viele  Menschen  verscbliessen  ancb 
ihr  Bewiisstsein  gewissen  Erkenntnissen'. 

Döeli,  .-lAfem  seihet  die  Prämissen  deduktiven  Sehliessens  noch  leidlich 
übereiastimuKn ,  >iiid  die  Schlussfolgerungen  oft  noch  verschieden  wegen 
mangelnder  oder  unvollbiüudiger,  nicht  gründlich  genug  vollzogener  Prüfung 
der  im  Bewosstsein  aufgenommenen  Objekte  des  Denkens  durch  den  Ver- 
stand vonseiten  des  einen  oder  andern  Denkenden.  Solches  kann  vevaalasst 
sein  durch  Denkfaul-  (oder  zarter  atisgedrückl:  -tinu)heit,  Schwerflt)Ugk«t 
auf  der  einen  ?eit«,  durch  die  Scheu  vor  der  geistigen  Anstrengung  nicht 
nur  im  ^egebeuen  Falle,  sondern  auch  durch  den  Mangel  an  IV'iikfertigkeit 
und  Gewandtheit,  an  geistiger  Schnhing  nnl  1 'is/iplin.  im  Denkt  ii,  weKlie 
jene  DiajKHjitiüu  im  Gefolge  zu  haben  ptiegt  —  und  der  grossen  Menge  gilt 
in  der  That  das  t^Kopfzerbrechen"  ftlr  die  alleniDangenebmste  Arbeit  Andrer- 
seita  wird  faftnfig  Ungedold  and  Übereilung,  ein  lapsas  attentionis  etc.,  auf 
das  Zustandekommen  fehlerhafter  Schlttsse  hinwirken.  So  in  der  That  schon 
bei  ganz  aufrichtigen  Ü1>erzeugnngen. 

Dazu  kommt  alter  noch  die  Dfl7wi?rlienkaufi,  Intervention  de?-  (ifiniUes 
mit  seinen  Leidenschaften,  welche  dahin  wirkeu,  dass  der  Mensch,  ujiiuuter 
ndi  selbst  nnbewusst,  oder  auch  sich  beschwindelnd,  einer  in  seinem  (wirk- 
liehen oder  vermeintlichen}  Interesse  liegenden,  einer  ihm  genehmen,  ei^ 
wünschten,  schmeichelhaften  Konklusion  den  Vorsng  su  gehen  sucht  vor  der 
logisch  berechtigten.  Namentlich  kommt  oft  da^  Ubergewicht  in  Betracht, 
welches  die  Eitelteit  mit  in  die  Wagschale  legt,  indem  pie  den  Menschen 
geneigt  macht,  bei  eingewurzelten,  überhaupt  bei  d^m  cianial  von  ihm  ge- 
ta««ien  Meinungen  mit  dem  DUnkel  der  Unfehlbarkeit  zu  Verharren,  und 
AadersB  mehr.  Die  Logik  von  Pmrt-Bo)ral^  sdion  mtroUt  uns  ein  ans  iinner 
Beobachtung  berrorgegaogenes  psychologisches  Bild  in  beregter  Hinsicht 


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16 


Einleitung. 


Kau  kdimte  audi  die  Frage  aufwerfen,  ob  für  den  weiblichen  Intellekt 
dieadbe  Denknotwendigkeit  Terbindlich  ist  wie  fttr  deu  mäunlicheu.*)  Auch 
die  auf  diesem  Qebiete  zutag  tretenden  Gegensätze  scliioben  wir  aber  auf 
Rechnung  vor  allem  der  bei  beiden  Geschlecbtem  so  verschietlenartigen  Vor- 
bildung und  Scliulung  des  Geistes,  sodann  auch  auf  ünlt  i  sc  liiedo  dos  Tem- 
peramentes und  der  Neigungen,  welche  beim  weiblichen  GeBchiechte  reiner 
Yentändesthutigkeit  im  allgemeinen  abgewendet  und.'*'*) 

Aas  alledem  gebt  beiror,  dass  onser  wirkliebea  Denken  in  den 
Urteilen,  die  es  erzeugt,  seinen  Zwedt  hSmfig  verfehlt  (cf.  Sigwafrt*, 
p.  9);  daas  diese  Urteile  teils  TOn  dem  einzelnen  Denkenden  selljst 
wieder  aufj^ehoben  werden,  indem  die  Überzeugung  eintritt,  dass  sie 
nii^niltig  sind,  d.  Ii.  dass  notwendig  anders  geurteilt  werden  muss,  teils 
dass  die  Urteile  von  andern  Denkenden  nicht  anorkaiiiit  werden,  indem 
diese  ihre  Notwendigkeit  bestreiten,  sie  für  bluäse  Meinung  und  Ver- 
mutung erklären  oder  gar  ihre  Mi)glichkeit  leugnen,  sofern  über  den- 
selben Gegenstand  notwendig  anders  geurteilt  werden  müsse. 

Solrhe  Erfahrungen  müssen  uns  dazu  nnregou,  uns  selbst  auf  die 
Grundlagen  unsres  Denkens  zu  besiniien;  in  ilmen  wurzelt  das  Be- 
dürfniss  einer  Disziplin,  weklio  beilragen  kaini,  dem  Irrtum  vorzn- 
beui^en.  den  Streit  vermeiden  zu  leliren.  evontuell  ihn  zu  sehlieliten, 
indem  hie  dem  Verstände  eine  solche  Vurbereitiing  gibt,  dass  ilini 
korrektes  Denken  zur  Gewohnheit  wird,  und  so  darauf  liiTuvirlct,  (hiss 
daa  gemeinverbiudliche  Denken  auch  wirklich  zum  allgememcn  werde. 

fi)  Wir  wollten  uns  mit  den  Gesetzen  des  folgerichtigen  Denkens 
beschäftigen,  somit  des  von  einer  liir  alle  Intelligenzen  verbindlichen 
Denknotwendigkeit  beherrschten  Denkens, 

Nun  kann  man  fragen:  was  ist  Denken  überhaupt,  was  Notwendig- 
keit, was  sind  Gesetze?  Würde  jemand  diese  Fragen  beantworten, 
so  konnte  weiter  gefragt  werden,  was  die  Worte  bedeuten,  mit  Hülfe 
deren  der  Sinn  der  Torigen  kq  erklären  versucht  worden  und  so  weiter 

*)  Bedeutsam  sagt  z.  Ii.  eio  feiner  Menschenkenner,  Bodenstedt  (in  Mirza- 
Schaffy): 

Franonian  ist  wobl  so  bengcn, 
fit  der  Hann  ein  Mann  nnd  flchlan. 

Aber  nirlil  zu  überzeugens 

Logik  gibt's  für  keine  Frau. 

Frnn'n  kennen  kf>ine  andern  SchliiaSQ 

Als  Kriunpfc,  'J'hriinen  und  KQsse. 
**)  Nicht  ohne  AiunabmeD.    Wir  werden  in  diesem  Werke  auch  mit  deu 
LeUtongen  einer  Dame  auf  dem  Gebiet  der  rechnenden  Logik  Bekanntiehaft  m 
machen  haben. 


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Bmlaitang. 


17 


in  mfinitnm.  Wer  diese  Fragen  fort  und  fort  zu  beantworten  unter- 
nihmey  würde  in  ErinneroDg  mfen  —  das  Bild  des  HnndeSi  der  sich 
in  den  Schwanz  zn  beissen  sucht;  er  wOrde  sich  immerfort  im  Bing 
Kenun  bewegen! 

Zudem  ist  die  exakte  Beantwartong  derartiger  Fragen  etwas 
bSchst  Schwieriges  —  sumeist  wol  an  verfriihUs  Unternehmen/ 

Und  ihr  Versuch  üchon  könute  uns  von  uDserm  eigentlicheu  Yorhabeu 
immer  weiter  abziehen,  würde  uns  möglicherweise  gar  nicht  zu  demselben 
kommea  lassen,  ja  er  dQrfte  uns  in  üntersnchnugen  Terwickeln,  die  zu  den 
idiwierigsten  der  Philosophie  Überhaupt  gehören,  darunter  manche,  die  Ver< 

hsier  gern  berufeneren  Federn  überlassen  möchte.  Daneben  aber  —  und 
nicht  7,  !r!i  tTiir.-lrstoii  • —  müssto  uns  .snlolie.s  Wa^,miss  auch  auf  ünlersucLiuigs- 
gebiete  tühren,  iu  Bezug  aui  welche  die  Philosophen  von  Fach  noch  lange 
nicht  einig  sind,  wo  es  annoch  heibat:  „soviel  Köpfe,  soviel  Sinne",  Gebiete,  die 
fiich  eben  einer  exakUu  Behandlung  bis  jetzt  nicht  zugänglich  erwiesen  haben. 

T7nd  sieh  auf  Spekulationen  in  derartigen  Gebieten  einznlassen,  wOrde 
ftls  nn^vereinbar  erscheinen  mit  dem  gansen  Charakter  der  deduktiven  Logik, 
die  ja  auf  das  Gemeinverbindlicbc,  unmittelbar  oder  mitU^Hir  Selbstverständ- 
liche -ich  zu  beschränken  hat,  und  deren  Aufgabe  es  vorzugsweise  ist,  in 
dem  Chaos  der  philosophischen  Systeme  den  gemeinsamen  Boden  herzustellen, 
aof  dem  jedes  S3  stem  fu.ssen  muss,  den  unumstösslich  sichern  Kern  zu  ge- 
winnen, um  welchen  die  übrigen  Zweige  der  Philosophie  und  VVissensch^t 
fibohaupt  ankrystallisirett  mOgen. 

Jedenfalls,  meine  ich,  kann  es  i\(*m  Verfasser  eiues  Buches  über 
Lo'^nk  nicht  zugemutet  werden,  die  tiefsten  Rätsel  des  Daseins  fiher- 
haupt,  die  r^chwierigsten  Probleme  der  Metaphysik,  Erkeiiiitiiisstii  <  »i  u', 
Psychologie  und  vielleicht  auch  Physiologie  schon  in  dessen  Einleitung 
TorwejX  zu  lösen.  Wir  könneD  eben  hi<*r  i^nr  ein  Jchal  aufstellen,  und 
von  dem  iStandpunl-fr  ans,  (Jen  jeder  Mßtisdi  einnimnU,  ivelciier  die  Üproiche 
hAerrsdUt  auf  dasselbe  zusteuern. 

Das  Ideal  ist:  äiß  Gesetze  fotgenchÜffen  (weil  als  solches  einleuch- 
tenden) Denkens  am  Beumsstsem  su  hingen,  denselben  einen  allgemeinen 
und  zugleich  mSgMsi  emfaehen  Attsdrudc  zu  geben,  sie  namentlich  auch 
OHf  mögUdtsi  einfadte  Chrundlagen  —  auf  mdgliehst  wenige  Frinnpien 
oder  Axiome  —  JsurUdsmtßhren,  nnd  überhaupt  dieses  Denken  an  einer 
lewussten  KimstferiigkeU  an  gestalten  —  noch  mehr:  es  in  eine  Technik 
IQ  entwickeln»  welche  an  irgendwie  gegebenen  Prämissen  oder  An- 
nahmen mit  leichtester  Mühe  alle  Folgerungen  liefere,  die  nach  irgend 
«ner  wQnachharen  Richtung  überhaupt  gezogen  werden  können,  auch 
mit  unfehlbarer  Sicherheit  über  die  Folgerichtigkeit  oder  -nnrichtigkeit 
«aer  Behauptung  an  entscheiden,  die  richtige  an  beweisen,  die  nnbo' 
rechiigu,'  oder  falsche  au  widerlegen  gestatfce. 

ScntoW,  Alftl»!»  d«r  Logik.  2 


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18 


Eisleitung. 


In  ihrem  ganzen  Umfange  kann  diese  Anfj^abe  beji^reiflicherweise  nicht 
sofort  geli.rtt  werden.  Aus  dem  allgemeinen  Hmlergrumle  derselben  hebt 
bich  zimächi»t  ein  elementarer  Teil  hervor,  fUr  welchen  die  Aufgabe  nicht 
nur  als  lösbar,  sondern  bereifa  als  definiÜT  und  nahezu  yollstSndig  gelöst 
erscheinen  wird  (ich  meine  die  im  Englisdien  als  fflogic  of  absolute  terms** 
bezeichnete  Disziplin).  An  ihn  reiht  sich  ein  höherer  Teil  (die  „logic  of 
relative»*'),  dessen  Behandlnng  eich  mehr  noch  in  den  Anfoogsstadien  ihrer 
Entwickelung  befindet. 

Wasi  nameutlicli  den  7.n  allerlet/t  cliarakteripirten  Teil  der  Autgabe  be- 
trifft, 80  muss  die  künftige  Eutwickeluug  der  logiricheu  Diaii,i|»liu  erat  vollends 
heransstellen,  inwieweit  er  flberhanpt  durch  allgemeine  Methoden  iSsbar  ist, 
und  wann  etwa  zu  seiner  LOsnng  die  Spesialwissenschaften  einzutreten  haben. 

Wir  konnten  uns  bienack  mit  dem  bisher  Gesagten  begnOgen,  und 

mit  dem  Beginn  der  ^^ersten  Vorlesung'*  sogleich  in  medias  ree  eintreten. 

v)  Um  indessen  dem  ersten  unsrer  Motti  Cin  web  bem  ich  eine 
hohe  Weisheit  erblicke)  tliuii lirh^t  gerecht  zu  werden,  will  ich  mir 
doch  «gestatten,  etwas  weiter  aut.^,uholeii,  und  ver.suclien,  dem  Ursprung 
den  li)gisciien  Denkens  auch  noch  von  einer  andern  Seite  beizukommen, 
dcuäelbcn  noch  eingehender  darzulegen,  die  angedeuteten  Katsei  und 
Probleme  wenigstens  streifend. 

Ich  thue  dies  nicht  ohne  Widerstreben,  hervorgerufen  durch  das  IJe- 
wusst^ein  subjektiver  Feblbarkeit,  sowie  der  bei  der  unerschoi)flichen  Viel- 
seitigkeit des  Themas  höchst  wahrscheinlichen  Einseitigkeit  der  Betrachtungen. 
Ansdrticklich  milchte  ich  mit  diesen  einleitenden  Überlegungen  ebenso  an- 
spruchslos auftreten,  als  ich  zuversichtlich  der  alsdann  entwiokdten  Theorie 
einen  hoben  Grad  von  Vollkommenheit  in  sachlicher  Hinsichtsnqpreche,  und  be- 
merke ich  '/nm  voraus,  daj^s  auch  sidcbc  Tjeser,  die  mir  bei  jenen  nicht  überall 
zuotimniund  zu  folgen  vermöchten,  tirh  mittelst  Über>chlagung  vou  etlichen 
Seiten  darüber  hinwegsetzen  mögen  untl  die  Korrektheit  sowoi  als  Wirksamkeit 
der  alsdann  folgenden  Ausitihrungen  gloichwol  nicht  werden  bestreiten  können« 

Im  Anschluss  an  gedachte  Überlegungen  werde  ich  zudem  schliesslich 
Gelegenheit  und  Veranlassung  finden,  midi  über  die  Eigenart  der  hier  be- 
vorzugten Oarstellnngsweise  der  logischen  Theorie,  und  des  Buches  insbe- 
sondere, noch  nfiher  auszulassen,  dieselbe  in  gewissem  Sinne  zu  rechtfertigen. 

I)  Der  Mensch  ist  sieb  seines  Daseins  nnmittelbar  hcivussti  und 

schreibt  sich  einen  Geist  zu.   Die  Existenz  des  eignen  Ich's  in  der 

Form  der  Zeit  ist  wol  (für  dieses  selbst)  die  unzweifelhafteste,  die  nn* 

bestreitbarste  und  auch  unbestrittenste  vou  allen  Tliatsacheu. 

Von  dieser  der  allersichersten  Thatsache  sind  vorsichtige  Philosophen 
jederzeit  ausgegangen  und  werden  solche  es  auch  in  Zukunft  voraussicht- 
lich thun  müäben. 

Mit  dem  JJetvusstsein  aber  ist  uns  ein  Mannigfaltii^es  i:(  j^ebeu. 
Eine  gam»  Welt  von  Empfindungen,  Erinnerungen,  Vorsteüuiigeu  und 


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Einleituiig. 


19 


Sfaebongen  —  auch  schon  fertiger  Gedanken  und  Übersengongen  — 
findet  der  reifere  Mensch,  wenn  er  anfingt,  Aber  sich  und  die  Welt 
naebzndenken,  £u  reflektiren,  in  seinem  Bewusstsein  bereits  vereinigt 
Jedenfalls  —  nm  nur  das  allerwenigste  zu  sagen  —  Termogea  wir  F«r- 
dUedbies  m  unserm  Beiewsisem  mu  untersMdm,  wir  findm  Mancherlei  in 
ihm  sasammengefasst  Auch  ist  der  Inhalt  des  Bewusstaeins  teilweise 
in  Yerindening  begriffen;  Einxelnes  in  ihm  Vorhandene  achwindet  ans 
demselben,  nicht  vorhanden  Gewesenes  wird  eneugt,  Getrenntes  vei^ 
Imfipfl,  Verbundenes  gesondert. 

Solche  Thtttigkeit  des  menschlichen  Geistes,  welche  wir  Denken 
im  weitesten  iSiuiie  des  Worts  ueuneii  (mit  andern  Worten  Innewerden, 
Bewusstwerden),  und  welche  dessen  ganzes  Dasein  ausfüllt,  besteht 

jedenfalls  wesentlich  mit  in  einer  Vereinigung  von  Mannigfalt'^em 
m  JJetcnssfsHn. 

Schon  dieser  Vorgang  hat.  trenaner  besehen,  etwas  höchst  Rätsel- 
haftes, um  nicht  zu  sagen:  geradezu  Uubegreitliches. 

Der  naive,  der  ungeschtilte  Verstand,  der  Verstand  auch  des  Mannes 
der  Praxis,  der  nur  gewohnt  ist,  Uber  die  Dinge  der  Aussenwelt  in  Bezug 
auf  diese  selbst  sa  urteileD,  dagegen  vernachlässigt  auch  nachzudenken  Uber 
die  Vorgiinge,  welche  im  denkenden  Subjekte  hierbei  stattfinden  (sowie  über 
die  Beciehimgen  zwischen  diesen  und  jenen),  mag  sich  vielleicht  mit  Er- 
forschung von  Unbekanntem,  mit  der  LSsnng  von  Problemen  beschäftigen, 
doch  i)flei,ft  er  nirgends  Unbegreifliches  zu  erblicken.  Dass  solches  wol  vor- 
banden sein  müsse*),  wird  er  ev^nfnoU  erst  mit  Vei'wunderuug  inne,  wenn 
er  versucht,  in  den  Sinn  der  pinlobophischen  Lehrmeinungen  einzudringen 
and  auf  den  Widerstreit  vou  diesen  ätüHSt.  Wer  dann  aber,  mit  der  Vor- 
sieht, sa  weleber  die  Wahmehmong  soleher  Diskrepanz  anfTordem  muss, 
enuüieh  strebt  ui  den  Born  der  Erkenntniss  euundringen,  wird  fast  auf 
Schritt  und  Tritt  gewahr,  wie  wenig  gefestet,  bestimmt  und  vollendet  aodi 
die  ihm  geläufigsten  Bugriffe  sich  erweisen,  ja  wie  wenig  oft  die  für  un- 
enchatterlich  gehaltenen  Qnmdlagen  seines  gesamten  Denkens  fefitätehen. 

o)  Um  jenen  Vorgang  der  Znsammenfassnng  oder  VerknOpfiing 
von  Mehrerlei  an  einer  Einheit  im  Bewasstsein  auf  sein  ein&chstes 
Urbild  sn  rednziren,  fassen  wir  einmal  den  Fall  in's  Auge,  wo  das 
denkende  Subjekt  nur  md  Dinge,  z.  B.  Sinneseindrücke  in  seinem 
Bewasstsein  TCreiuigt.  Die  Sache  wird  am  deutlichsten,  wenn  wir 
äiflse  ans  verschiedenen  Sinnesenergieen  entlehnen. 

Man  hQrt  den  Knall  des  nahen  Blitzes,  wfihrend  der  Lichteindmek 
desselben  noch  nachklingt   Es  sind  ja  wol  Terschiedene  Organe  des 

*)  Schon  das  b1og«o  Tia^ein  kann  Hafiir  celten,  wie  denn  joner  indische 
Weisp,  dcsBeu  L.  Büchner  Krwutmiing  thut,  sich  jeden  Morgen  von  nenem 
«underte,  dass  überhaupt  etwas  ist,  und  nicht  nichts  ist. 

«• 


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20 


4 

Einlettaiig. 


Körpers,  welche  den  Schall  und  den  Lichteindrack  aufnehmen  und 
dem  Träger  des  BewusBtseins,  dem  Gehirne  Ghermitteln;  auch  von 
letzterem  mögen  noch  Terschiedene  Teile  bei  der  Übernahme  der 
beiderlei  Botschaften  vorzugsweise  beteiligt  sein.  Gleichwol  ist  der 
Vorgang  tob  ganz  anderer  Natur^  als  wenn  etwa  em  Wesen,  das  blos 
zu  huren  vermag,  den  Donner  vernähme,  und  ein  anderes  Wesen,  das 
blos  sieht,  das  Aufleuchten  den  Blitzes  wahrnähme,  welche  beiden 
Wesen  nimmermehr  auf  einander  einzuwirken,  einander  etwas  mit- 
zuteilen, von  einander  zu  wissen  in  der  Lage  wären,  weil  das  erste 
rar  Aufnahme  von  laditeindrüeken  unfähig,  blind,  das  zweite  taub 
wäre.  Vielmehr  ist  es  ein  einheitliches  Bewusstsein,  in  welchem  beide 
Eindrucke  zusammenfallen,  koinzidiren,  in  eins  Terschmelsen  (das  heisst 
doch  wol:  sich  yei-em-igen),  und  dennoch  unterscheidbar  bleiben! 

Dasselbe,  wie  in  Bezug  auf  diese  verschiedenartigen  Sinnesein- 
drücke,  würde  sich  auch  ausführen  lassen  in  Bezug  auf  die  verschiedenen 
Eindrücke,  welche  uns  von  einerlei  Sinnesorgan  übermittelt  werden,  ^ 
z.  B.  für  den  Fall,  wo  wir  zwei  Lichtpu&kte,  oder  sagen  wir  zwei 
Kreidestriche  auf  der  Schultafel,  gleichzeitig  wahrnehmen.  Treffen 
auch  die  von  beiden  Strichen  entsendeten  Strahlen,  fallen  ihre  (um- 
gekehrten) Bilder  auch  auf  verschiedene  Stellen  der  Netzhaut,  so  werden 
schliesslich  doch  die  Eindrücke  beider  im  selben  Bewusstsein  vereinigt, 
und  in  dieser  Hinsicht  würde  die  Sache  nicht  anders  liegen,  wenn 
etwa  der  eine  der  beiden  Striche,  oder  auch  beide,  anstatt  wahr- 
genommene, blos  vorgestellte,  Erinneruiigsbilder  z.  B.  waren. 

Die  Annahme,  es  sei  gar  niobt  möglich,  zwei  (wahrgenommenen  oder 
blos  gedachten)  Dingen  zugleich  Aufmerksamkeit  zu  schenken,  rielmebr 

springe  letztere  immer  nur  zwischen  beiden  bin  und  her,  scheint  der 
Schwierigkeit,  die  Rie  zu  heben  trachtet,  nicht  mit  t>folg  ans  dem  Wege 
zu  gehen.  Ks  ist  doch  jedenfalls  zuzugeben,  dass  wir  zwei  Striche  -  mit 
dem  Augenmaass  z.  D.  —  nach  ihrer  Liingo  rt^nhirJm}  kr>unen,  unil  «lit/ses 
würe  ganz  undenkbar,  wenn  nicht  wenigstens  ein  Lriunei  uugsbild  vuui  einen 
festgehalten  und  zum  andern  mit  herübergenommen  würde,  in  Bezog  auf 
welches  wir  eben  zu  beurteilen  vermügen,  ob  es  mit  diesem  sich  deckt 
oder  nicht.  Die  SO  Überaus  häufige  ThUtigkeit  des  Geistei^,  welche  auf  die 
Wrilii iK'Iimimg  oder  Hcr-ttllung  von  Ji( zkhungfn  zwiFcht.n  OLit-kt^n  des 
Deukcnt^  liinaubliiuft,  scheint  deren  gleichzeitige  Betniehtuiig  zur  unerlUss- 
liehen  Voraussetzung  zu  haben.  Nie  würden  wir  —  um  noch  ein  anderes 
Beispiel  zu  wählen  —  ein  Wort  zu  lesen  im  Stande  sein,  wenn  im  Bewusst- 
sein nicht  (die  Auffassung  von)  mehr  als  ein(cm)  Buchstaben  auf  einmal 
Baum  hfitte.  Nicht  nur  blos  gewissennassen  schlummernd,  latent  im 
Bewusstßein  tlberhaupt,  sondern  selbst  im  Felde  der  Aufmerksamkeit  ver- 
mögen wii  also  zwei  oder  mehrere  Wahrnehmungen  oder  auch  Vontellungen 
zu  vereinigen. 


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Kioleitoog. 


21 


Als  aaf  ein  anderes  Beispiel  sei  auf  die  kombinirten  Töne  und  Har- 
mooieen  noek  hiiigewieseii. 

Diese  Yeremignng,  ^^lo-eiiifl-Betsaiig''  yon  Zum-  oder  Ülehrerleiy 

diese  Herstellung  einer  „Vu^nigheU",  welelie  sieh  im  Bewussteein  des 

denkenden  Sakjektes  vollzieht,  ist  das,  was  ich  als  das  Unbegreifliche 

des  Vorgangs  bezeichne.*)  Der  Versuch,  die  Herstellung  zweier  Bilder 
an  Yorscliiedeiio  Stelle ii  des  ilinis  zu  verlegen  —  wenn  man  doch  dem 
kuteru  insbesondere,  und  der  materiellen  Welt  überhaupt,  ^\  iiklich- 
keit  zuschreibt ii  will  —  lässt  deren  Wechselwirkung  aufeinander,  lusst 
die  Einheitlichkeit  des  Bewusstseins,  der  Versuch,  sie  an  dieselbe 
Stelle  (oder  dieselben  Stellen)  zu  verlegen,  liisst  ihre  Unterscheidbarkeit 
wol  unbegreitiich  erächeinen. 

n)  Einerlei,  wie  die  Wissenschaft  in  vorgeschritteneren  Stadien  sich 
das  Wesen  dieses  Vorgangs  aneh  zurechtlegen  wird,  so  haben  wir  uns 
kier  mit  der  Thatsache  absnfinden,  dass  in  dem  einheitlichen  Bewosst- 
lein  des  Ich's  gar  Mannigfaltiges  verknüpft,  znsammeugefasst  oder 
Tereiüigt  erscheint,  dass  wir  anmittelbar  inne  werden  einer  Mamiff- 
faltigheit  (wie  gesagt)  von  Empfindungen  und  yorstellnngen,  GemOts« 
zuständen  und  Willensstrebungen,  welche  teilweise  als  sich  forterhaltend 
oder  neu  immer  wieder  erzeugend,  teilweise  als  im  Wechsel  oder  Fluss, 
in  Änderung  belindlieh  sich  uns  olTenbart  ('zuweilen  «ich  zu  eigner 
Thütigkeitsaussening  steigernd),  und  in  welcher  sich  namentlich  auch 
die  Gedanken  entwickeln. 

Dieser  mannigfaltige  Inhalt  des  Bewusstseins  mit  seinen  uuf- 
eiiian(k-rVolgenden  (genauer:  isich  an  einander  reihenden)  Zuständen, 
SHiien  rjueee.ssiveu  Phasen,  füllt  das  Leben  des  Individuums  oder 
deukeudeii  Subjektes  aus.  Er  ist  eine  Welt  iür  sich,  ein  (Mikro-)  Kos- 

*)  Wer  an  paradoxen  Aussprüchen  Freude  hat,  kütiiite  aicb,  Boturu  er 
obigea  Aiufühnuigeii  folgte  —  m.  a.  W.  im  Uiublick  uul  daa  hcrvorguhobeue 
MjiterioiB  der  Zweixahl,  Hebnahl,  der  VieleiDigkeit  im  BewnsslseiD«  oder  wie 
Buui  dMMlbe  nenoen  mag  —  wol  Torandhi  fühlen,  dem  Hegersohen  Aassiirocli: 
,r^n  ist  Ni^t»em;  dieser  Widersprach  löst  sich  anf  im  Werdend*  —  welohen  ich 
in  dieser  Faesung  Herra  Kano  Fischer's  Logik  entnehme  ~  einen  andern  an  die 
Seite  za  petjtf  n:  ,,Ztcei  sind  eim;  dieser  "Widerspruch  löst  sich  anf  (verwirklieLt 
mh)  im  Innewerden  (Bewuest werden)."  Sonst  allerdings  sind  zweie  niigends^  einey. 

Wenn  —  im  Ernste  gesprochen  —  ein  dookeudcs  bnbjekt  Ä  im  Gt;i»t  zwei 
l^ioge  b  oud  c  zugleich  erschaut,  so  erzeugt  sich  in  diesem  Oeiete  eines  {ein 
^Diogu).  Ansehftnimg  von  nebet  <f  «  ans  welcher  nicht  nor  diejenige  Ton  h, 
«der  die  Ton  e,  jeden  Angenbliek  loegelOet  und  ieolirk  zd  werden  venumg,  aondern 
in  weldier  sogar,  obzwar  sie  „eins  geworden",  diese  beiden  Ansohanongen  anch 
•Mi  gesoBdert,  alt  xweie,  empftmden  sind. 


23 


Einleitung. 


moB,  den'  wir  knn,  wenn  aocb  nicht  erschöpfend,  die  Ideenwelt^ 
Gedankenwelt  des  Individnums  nennen  mSgen. 

Q)  Was  uns  zur  Ancrkonuuug  auch  des  Makrokosmus,  der  Aussen- 
welt  nöti<^t,  zwingt,  ist  die  schon  von  früh  auf  geuiiitlite  und  seitdem 
fast  uuaufhürlich  wiederholte  Wahrnehmung  resp.  innere  i\irlahruug, 
dass  wir  Ober  gewisse  Teile  der  uns  unmittelbar  bewussten  Gedanken- 
welt nicht  willkürlich  verftigen  künaen. 

Schon  der  SUugling  kauu  das  CiefUhl  des  Hungers  nicht  willkürlich 
beseitigen,  kann  sich  dem  Eindruck  blendenden  Lichtes,  wenn  er  etwa 
scblalen  mOchte,  nicht  Teraehlieseen.  Andere  Teile  nnsrer  Gedaokenwelti 
dagegen,  sind  wir  uns  unmittelbar  bewnsst,  selbstthätig,  frd,  nach  unserm 
Willen  sa  gestalten.  Wir  können  nns  s.  B,,  sobald  es  uns  beliebt,  einen 
grünen  Tannenbaum  vorstellen,  oder,  wenn  wir  m5gen,  auch  einen  schnee- 
bedeckten, desjrleichen  rote  Farbe,  etc.  etc.  Wir  mögen  uns  angenehmer 
Erlebnisse,  einer  hübschen  Melodie  erinnern  und  uns  auch  bessere  ZubUinde 
hoiFniingsfrendig  aasmalen.  Schwerer  schon  fftllt  es,  unangenehme  Er-  * 
innerangen  los  va.  werden. 

<y)  Einzelnes,  was  in  unser  Bewnsstsein  eintritt,  empfinden  wir 

nmuuinichm  als  Schmerz,  Leid,  Argerniss,  Kummer;  Manche.s  läs.st  uns 

als  ein  gleichgültig  Emiil'undenos  indifl'croit ,  Anderes  ein{»riiKlen  wir 

als  angenehm  mit  Genuss,  Lust,  Wohlbehagen,  Freude.    Jenes  erstere 

veranlasst  uns,  die  Beseitigung,  dieses  letztere,  die  Fortdauer,  eventuell 

Wiederholung  seiner  selbst  zu  erstreben.    Abermaliges  Rätsel;  daa 

Wesen  der  Affekte,  von  Zu-  und  Abneigunsr,  von  Schmerz  und  Lust. 

Dass  beides,  wenn  auch  vermutlich  davon  bedingt  und  stets  davon 
begleitet,  nicht  —  wie  nach  der  materialistischen  Weltanschauung  — 
lediglich  in  Bewegungsznstttndent  in  einem  mehr  oder  weniger  rhythmisch 
ansgefttbrten  Tanse  nnsrer  GehirnmolekUle  bestehen  könne,  dsss  auch  der 

vollendetste  Automat  noch  kein  fühlender  Mensch  wSre,  Empfindung  Ober- 
haupt nicht  auflösbar  ist  in  Bewegung,  steht  mir  vorderhand  doq^inatisch  fest. 
Dafür  gegebene  ,;Beweise'^  vermag  ich  indessen  als  solche  nicht  anzuerkennen. 

t)  Durch  unsre  pbysischen  und  psychischen  Triebej  durch  die  Ab- 
neigung, ancb  Furchti  ror  Scbmers,  sowie  die  Erwartung  von.  Ans- 
sieht  auf  Genuss  bedingt,  bilden  sich  Wünsche  in  uns  ans,  werden 
wir  nns  gewisser  Willensstrebungen,  eines  bestimmten  WiMeM  un- 
mittelbar bewnsst;  wir  nehmen  Wülensakte  in  nns  Tor.  Und  diese 
Thatsache  des  Vorhandenseins  eines  menschlichen  W&kns  nun  hangt 
anf  das  innigste  mit  der  Anerkennung  der  Aussenwelt  ansammen;  sie 
scheint  geradezu  eine  Vorbedingung*)  au  dieser  au  bilden,  indem  die 

*)  Aach  atngekebrt  wflrde  unser  Wille  onf&big  sein  in  die  Erscheitiuag  zu 
treten  ohne  daa  Hbcnkommen  der  Aaiaenwelt  alt  eines  QegeDstandea,  an  welchem 
derselbe  iiGfa  erprobt,  bethfttigt  and  Obi 


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Einleiiaog. 


2S 


letstere  in  dem  erkaanteii  UnTermogen  wnnelt,  da«  Gewollte  sofort, 

durch  blosse  geistige  Thätigkeit  des  Ich  in  allen  FSHen  su  Yerwirklichen. 

Das  Wesen  des  Willens  bildet  ein  Tielbehandeltes  nnd  gleidiwol  noch 
nicht  ergründetes  Thema.    Es  ist  eine  Frage,  welche  die  Philosophen  zur 

Zeit  noch  in  zwei  "v^s«^  Träger  spaltet:  ol»  der  nvMischliche  Wille  ivirllirh 
frei  sei  (nnd  was  ist  i^reiheitV),  oder  ob  —  mit  Spin07a  —  die  menssch- 
liche  Freiheit,  deren  AUe  sich  rühmen,  lediglich  darin  besteht,  „dass  die 
Menschen  sich  ihres  Wollens  bewusst  und  der  Ursachen,  von  denen  sie 
hestimmt  werden,  unbewnsst  sind";  dergestalt,  dass  die  Gedanken  nnd 
Handlangen  des  Menschen  lediglich  eine  Funktion  sind  („Funktion*^  im 
mathematischen  Sinne)  der  Zustände,  aas  denen  der  Mensch  hervorgegangen, 
der  inneren  innl  iinsseren  Umstünde,  unter  deren  Herrschaft  er  gerade 
steht  —  eine  Weltanschanunpf,  nach  welcher  z.  B.  ein  Mensch,  der,  wie  er 
meint,  freiwillig  den  Arm  authebt,  vergleichbar  wäre  einer  l^nur  allerdings 
mit  Bewnsstsein  hegabtoil)  Marionette,  die,  wBhrend  ihr  mit  natnrgesetz- 
licher  Notwendigkeit  der  Arm  dnrch  einen  Draht  emporgetogen  wird,  blos 
in  dein  Wahne  stünde,  denselben  selbst  zn  heben.*) 

Die  Frage  ist  von  tiefgreifendster  Bedeutung  namentlich  für  die 
Rechtspflege  und  ftlr  die  Beurteünng  jenes  schlimmsten  aller  Übel  — 
der  Schuld. 

Unleugbar  zeigen  nun  die  Fortschritte  der  Natur forschung,  besonders 
auf  dem  Gebiete  der  Physiologie  nnd  Psychiatrik,  nnterstlltst  auch  dnrch 
die  Statistik  der  mensehUehen  Gesellschaft,  eine  stetig  steigende  Tendenz, 

das  Gebiet  der  möglicherweise  noch  fttr  frei  zu  haltenden,  nSmüch  einer 
nachweisbar  zwingenilen  Besiimmnng'  entbehrenden  LebensFliissorn?Mfen  des 
Menschen  eirii^uengen;  und  es  niügen  darum  Naturforscher  und  Irrenärzte 
mehr  zu  der  letzterwähnten  Anhiebt  neigen.  Ich  stehe  meinerseits  nicht 
an,  mich  zu  derselben  zu  bekennen,  und  zwar  meine  ich,  dass  schon  ein 
Jeder  zu  demselben  Ergebniss  kommen  muss,  wofern  wir  nur  ohne  vor- 
gefiuMte  Meinung  uns  selbst  darauf  besinnen,  was  denn  eigenUieh  in  uns 
vorgeht,  wenn  wir  einen  Entschlnss  zn  fassen  haben?  Kommt  uns  kein 
Zweifel  an  bezüglich  dessen,  was  in  einem  gegebenen,  vorliegenden  Falle 
zu  tbun  sei,  so  handeln  wir  entweder  instinktiv  nach  einem  unbewnsst  und 
ohne  unser  Zuthun  von  Natur  in  uns  entstehenden  Impulse,  oder  wir 
folgen  dabei  sozusagen  mechanisch  einer  schon  von  frtther  4herkommenen 
(nnd  seineraeit  natnrgesetsmftssig  erworbenen)  Gewöhnung.  Von  freier 
EntSchliessung  wird  erst  dann  zu  sprechen  sein,  wenn  mehrere  Möglich- 
keiten des  Handelns  sich  dem  Geiste  zur  Auswahl  darbieten,  m.  a.  W.  wenn 
wir  im  Zweifel  '-lud,  was  thun.  Hier  dürfte  nun  die  Tluitsachc  nicht  in 
Abrede  zu  sleiieu  »ein,  dass  sooft  wir  so  für  eine  Iliuidlun;!^  uii.s  /,u  uiit- 
scbeiden  haben,  es  wiederum  von  unserm  Willen  vüUig  uuabhüugig  erscheint, 
welche  Erinnerungen,  Vorstellnngea  und  Überlegungen  sich  nns  bis  zum 


*)  Wahrscheinlich  ist  dieser  Vergleich  eine  Beminiscenz  aus  einer  frfiheren 
Aufbiß  von  Herrn  Lndwig  Bfiohner*s  „Kraft  nnd  Stoff*;  in  der  mir  TOfliegenden 
11  Anflage  —  Leipaig  1888,  612  Seiten  —  habe  ich  douelben  jedoch  TStgeblich 
geeoehi. 


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24 


Kinleitong. 


Moment  des  Handeliu  aufdzttngen,  und  welche  xuletet  du  Übergewicht  er- 
halten, die  That  bestimmend. 

Des  weiteren  sei  in  Bezug  auf  die  angeregte  interest<ante  Fraj^e  auf 
Herrn  Emil  du  Bois-lJ c y  mond's  bekannte  Schrift  „Die  .si«  ben  Wellrütlibel" 
und  den  darin  citirten  merkwürdigen  Aussprueli  des  Abbe  Galiani  ver- 
wiesen. Die  Arbeit  von  Ludwig  Dieffenbach^  bekundet  grosse  Belesenhett 
des  Vei&ssers  nnd  betrachtet  mit  Scharfsinn  auch  jaristisohe  Fragen  vom 
deterministischen  Standpunkte.'^)  Von  Neueren  behMidelt  Biehl^  Bd.  2, 
p.  216  sqq.  das  Problem  der  Willensfreiheit  besonders  eingehend  nnd,  wie 
mir  scheint,  in  mustergültiger  Weise. 

Ich  würde  08,  nebenbei  gesagt,  für  ninen  grossen  Segen  halti-n,  wuun 
die  TrbHiT.ou'/iiiiL,'-  von  iler  NaturnotwomliLckeit  alles  menselilicht  ii  Ucuken.s 
und  Haudelns  Gemeingut  aller  Gebildeten  würde.  Diese  Weltanschauung, 
welcher  nnter  den  Diditem  der  Neuzeit  Herr  Arthur  Fitger  prägnanten 
und  poetischen  Ausdruck  verliehen,  mflsste  —  im  Einklang  mit  dem  schonen 
Gebot  der  NSchstenliebe  und  vielleicht  wirksamer  als  diese  nur  allzuoft 
nicht  vorhandene  oder  fast  unmögliche  —  naturnotwendig  dahin  wirken, 
der  Animositüt,  <lnm  Hass  nnfl  der  Verdaniraungssnclit  jeuflicbon  Boden, 
auf  dem  sie  gedeihen  künuion,  /u  ent/.ir'lien  und  auch  em  giites  Teil  Uber- 
hebuug  aus  der  menschlicheu  Gemeiaschatt  zu  tilgen.  Sofern  die  Hand- 
lungen des  Individuums  in  erster  Linie  vom  Stande  seiner  Einsicht  ab- 
hflngig,  durch  diesen  sich  bestimmt  erweisen,  würde  sich  fllr  einen  Jeden 
das  praktische  Gebot  ergeben,  vor  allem  auf  Bichtigstelluug,  Hebung  und 
Vertiefung  der  Einsicht  —  eigner,  wie  fremder  —  bedacht  zu  nehmen. 
Bei  der  Beurteilung  des  Nebenmenschen  würde  man  stet^?  die  in  Madame 
de  Stadl' 8  klassischem  Spruche:  Alles  verstehen  hiesäc  alles  venseiheu,  „Tout 

*)  Für  jede  Weltanschauung,  ja  fakt  fSx  jede  Aoiicht,  hat  die  Philosophie 
einen  „, , .  iamu**  ah  Namen  parat  Da  gibt  es  einen  NominaliBmiu,  Bealiamn« 

und  Konzeptualismus,  einen  Materiali!«niuH,  SensuuUsmos,  Nataralisnins  und  Ratio- 
nalismuB,  einen  Idealiamus,  Spirituali«niti8,  Spiritiamus,  Supernaturalismus  und 
My8ticii*mu8 ,  einen  Eklekticismus^  etc.  und  nicht  f?<*nnp  damit:  es  möaseD  auch 
noch  Personetmanjcn  zu  weitern  „.  .  .  ismussen  '  herhalten  wie  in  Platoui^muB, 
Skotiümus,  Kauiiauibmus,  Scbopcnhauerianisrnnä  etc. 

Wer  sieh  fiber  die  damit  m  verbindenden  liigrilTe  und  ihre  im  Lauf  der 
Jahrhunderte  «um  Teil  leeht  schwankenden  Bedeutungen  orientiren  will,  mag  ein 
gute«  Konversationslexikon  su  rate  ciehen.  Hüten  aber  muss  man  sich  daTOr« 
eine  Anbicht  über  die  Dingo,  tchon  darum,  weü  sie  eine  derartige  Benennung 
pefunflcn  hat,  nunmehr  für  einm  irnif^st  abfrethanen  nnd  übcnvnndenen  Stand- 
jiniikt  liult.  ri  zu  wollen.  Nicht  wrhi«,'!-  ilii  s.'i  .,.  .  isiiiu---»^"  lloriK  ii  noeh  lustig 
weiter  uud  hängen  eben  mit  tund.uiiont  ileu  Fragen  zusammen,  welehe  die  Philo- 
spphie  noch  keineswegs  zum  ÄUbttug  ux  briugen  vermocht  hat. 

Mit  untrer  Einleitung  gingen  wir  unsrer  Obersengung  gemftae  ans  vom 
„tdeolwttscAen"  Standponkte.  Die  oben  vergetrsgenen  (damit  sehr  wohl  vertrftg- 
liehen)  Anschauungen  über  die  Willensfreiheit,  nach  welcJten  auch  (hr  3faisch  mit 
seinem  Fühlen,  Thun  und  Denken  keine  Ausnahwe  in  der  oUgfwn'itPV  (J(sd:mäfisi()' 
keü  der  Xatur  hihkt,  fiihreu  den  Niuncn  des  ..Dderttunif'fnu.'^" ,  und  werden  die 
Gegner  dieses  Standpunktes  auch  als  „Indcterminibten''  bezeichnet. 


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Einleitwig. 


comprendre,  c'est  tout  pardouncr''  (als  Öubjökt)  eutlialtenc  Voraustsetzung 
nt  Terwirklidieii  «odieii  imd  damit  «ino  ErkenntniM  zu  gewinnen  streben, 
deren  Erwerbung  durch  jene  oben  genannten  Affekte  in  der  Begel  voreilig 

verhiiuKrt  wird.  Jene  Weltanschauung  mUsste  endlich  die  Mahnung  in 
sich  !>chliessea,  bei  dem  Kampfe  gegen  das  Übel  in  dem  Verfahren  gegen 
Übelthäter  nicht  über  das-  zum  Schatze  des  Einzelnen  und  der  Oeeellschaft 
erforderliche  Maass  hinauszugehen. 

Wir  brauchen  iudesa  zu  obiger  Frage  hier  keine  Stellung  zu  nehmen, 
und  genfigt  uns  die  Thateacbe,  dass  unser  Wille  —  sei  er  aneh  Ton  einer 
OOS  nnbewossten  Notwendigkeit  durchaus  bestimmt,  sei  onsre  Willensfreiheit 
auch  nur  lUorion  —  doch  innerhalb  nnsres  Bewusstseius  wenigstens  als 
frei  erscheint,  nämlich  als  ein  freier  nnnuttelbar  empfanden  wird  Diese 
Thatäache  ist  nicht  nur  unbestritten,  sondern:  dass  wir  überzeugt  sind,  frei 
ru  denken,  imd  auch  Hnnerhaib  der  (Ireu/.en  des  uns  physisch  Möglichen) 
frei  zu  buuduin  yiaubm,  bildet  sogar  eine  der  am  tiefüten  eingewurzelten 
menschlichen  Überzeugungen.    (1.  1.  c.  c.) 

v)  Denjenigen  nun,  was  in  unserm  Bewusstseiii  als  unfrei  em- 
pfunden wird,  sich  dem  unmittelbaren  Einfliiss  unnres  VVilleus  entzieht, 
flchreiben  wir  eine  mtsser  uns  Urgende  ürsadte  zu,  und  die  (jesamtlieit 
dieser  Ursachen,  denen  wir  ein  eigenes  Dasein,  eine  selbständige  £xi- 
ilena  —  ahnlich  der  nnsrigen  (genauer:  derjenigen  des  Ich's)  —  bei- 
legen, bildet  für  uns  das  Nicbt-ich  oder  die  Aussenwdt, 

So,  was  wir  sehen,  h^ren,  tastend  ffihleo,  etc.,  gestaltet  sich  (als 
eine  nnfireiwilligo  Empfindung)  snnSchst  aar  Anachanmig  Von  etwas 
ausser  qds  Befindlichem.  Der  passiv  empfangene  Sinneseindruek  löst 
in  der  Regel,  um  als  Empfindung  in's  Bewusstsein  einsutreten,  eine 
reiepÜTe  Thätigkeit  des  Geistes  aus,  and  diese  setzt  sich  noch  Aber  die 
Empfindang  hinaas  fort,  indem  sie  Veranlassung  wird,  dass  wir  (aktiv) 
mis  eine  Varstdlung  bilden  yon  dem  Gegenstand,  der  sie  heryorroft. 

Namentlich  ist  bekannt,  wie  wir  so  die  Eindrucke  der  Farbenverteilnng 

Qod  Helligkeitsyerbilltnisse,  die  wir  ans  einem  zweidimensionalen  Gesichts* 
felde  empfangen,  in  den  (in  einen  Torgestellten  dreidimensionalen)  Baum 

hinaus»  V(»r1ci^cn. 

Bei  der  Bildung  der  Vorstellungen  spielt  ül)rigen8  die  Induktion,  ol)- 
wol  meist  uubewusst  geübt,  schon  eine  grosse  Rollo.  Sie  z.  B.  ist  es,  die 
ims  veranlasst,  denselben  Tisch,  den  wir  sehend  als  ausgedeimt  resp.  raum- 
erdlUend  wahrnehmen,  auch  mit  Widerstaudskritften  auszustatten,  dergleichen 
sich  ans  beim  Anfassen  desselben  kund  geben.  Hit  Induktionsschlflssen 
beteiligt  sich  der  Vasiaud  schon  bei  der  Vorst ellnngsbÜdung;  er  vereinigt 
!t  ilie  aus  verscbiediuen  Sinnesorganen  ihm  zuteil  gewordenen  Botschaften 
zur  Gesamtanschauung  eines  Dinges,  das  sie  veranlasste. 

Besonders  sind  es  Gesichts-,  Tast-  und  Muökelsinn*),  aus  deren 

*)  Bekanntlieh  sollte  mau  eigentlich  von  sieben  Sinnen  sprechen  —  zum 
wenigtteo.  Denn  nicht  nur  ist  das  Fuaktioniren  dei  Taatsinnes  ein  zwief&ltigei 


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26 


Einleitung. 


Eindrflcken  wir,  ihre  Ursachen  lokaUsirend,  unsre  YorBtellung  der  »ate- 
rielloD  Körperwelt  mit  ihrer  dreifachen  r&umliehen  Ansdehnung,  ihren 
Widerstands-  und  andern  Kräften  und  ihren  BewegungsYorgängen 
heransentwickelt,  nns  konstruirt  haben. 

9)  Wir  betbätigen  dabei  das  onser  gesamtes  Denken  beberrscbende 
„KausaUtüfsprimip''*):  für  Alles,  was  in  den  Bereich  desselben  tritt, 
eine  Ursache  anzunehmen  —  sonachy  sofern  wir  nicht  uns  selbst  als 
diese  Ursache  fQhlen,  dieselbe  ausserhalb  sn  setzen. 

x)  Als  eiu  Teil  dieser  von  uns  vorgestellten  maieriellen  Welt 
liiidefc  auch  unser  kürperlicher  Leih  seine  Stelle.  Im  gewöhnlichen 
Leben  zum  Ich  gerechnet,  muss  er  von  der  Philosophie  doch  der 
Ausscnwelt,  dem  Nicht- ich  zugezahlt  ^\ erden.  Wenn  nämlich  auch 
dio  VorstelluncT,  dass  wir  ihn  besit/eu,  im  Hewusstsein  nt^is  mehr 
oder  minder  lebendig  ist,  so  existirt  er  doch  nicht  ganz  allein  in  der 
Ideenwelt  des  Tch's  und  bildet  mit  seiner  Gestalt  und  Schwere,  srin i  in 
Aufbau  aus  Zellen ,  seinem  Gefiisssj'stenje  und  den  darin  kreisenden 
Blutwellen,  seinen  mannigfachen  uns  unbewussten  Lebensfnnktionen, 
doch  keinen  freien  (d.  b.  wie  gesagt  als  frei  empfundeneu)  Bestandteil 
unsres  Bewussteeins.   Wäre  dem  so,  so  würde  Jedermann  dasjenige 

als  DrucJci'inn  und  als  IfVi/wrsinn,  w^deher  letztere  auch  dem  GeachinaLksinn  bei- 
gcgebeD,  suudcra  iät  dazu  ucuerdings  auuh  tlür  „Mmkelsinn",  das  Gefühl  für 
Mukelanstreoguag,  getreten.  Dimer  tetitere  Sinn  ist  et  s.  B.,  dvrcli  welchen  wir 
im  stockSnitem  Keller  eine  am  leeren  Halt  gefiutte  Wolle  Flaiche  von  einer 
leeren  nntortcheiden;  auch  hcroht  auf  den  snr  Accomodation  der  Angen  und  Kon- 
TMgeus  der  Aiigeiiaxcn  erforderUchen  Anstrengungen  der  Augeumaskeln  ganz 
weHcntHch  das  Schätzen  der  EntfernuDgen,  iu  welchen  Richtbare  GegenatäiKle  sich 
von  uns  befinden.  Verg^Ieidie  besonders  v  Helmho Itz's  ,,'Hiat«achoii  der  Wahr- 
nehmung", sowie  die  auf  0.  der  Scbiel'scheu  ÜberstUuug  von  Miü'  cilirten 
enghflchen  Werke,  als:  Brown*t  Lectaret,  Uiirt  Analysis  ot  the  mind,  Alesan« 
der  Bai n,  The  tentet  and  fbe  intellect,  Herbert  8pencer*t  Piindplet  of  ptyobo- 
logy  (Kapitel  über  die  Wabmehmong),  n.  a. 

*)  Nach  Schopenhauer*  lind  vier  Wirkungsweisen  dieses  Prinzips  sn 
unterscheiden,  indem  dasselbe  uns  zwiii^'t,  einen  „i'-nn  icheuden  Gnuid"  anaunehmen 
für  da«?  Sein,  das  Werden,  das  Erkennen  und  das  llnnddn.  Nur  für  den  zweiten 
Fall  .sollte  nacii  ihm  der  obige  Name  augewendet  werden.  Der  erste  scheint 
mir,  nebenbei  gesagt,  von  S.  unklar  formulirt  und  überhaupt  nidit  Imltbar,  viel- 
mehr wesentlich  in  dem  dritten  Falle  aufgehen  tu  tollen,  welcher  teineneitt  den 
beiden  übrigen  nicht  koordimrt  an  tetaen  ist,  tondem  in  einem  gewitten  Sinne 
fiber  dentelben  steht. 

Als  auf  eine  der  besten  mir  bekannten  Scbriftcn  über  das  Kausalitätsprinzip 
im  engern  Sinne  $ei  hier  auf  Herrn  Heinrich  Wcber'a  Kftuigtbeiger  Frorektorats- 
rede'  verwiesen. 


EinleituQg. 


27 


Anttits,  das  ihm  am  aehSnaten  oder  gerade  am  wOnaehenawerteaten 
dflnltt,  besitzen,  diejenige  Körperkraft,  die  er  aieli  wOnaeht,  eben- 

dadurch  erlangen  etc. 

Die  Beziehungen  des  Leibes,  als  des  dem  Ich  immerhin  am  näch- 
sten bkhciiden  Teils  der  Aus^enwelt  zu  diesem,  sind  mehrfacUer  Art. 

Erstens:  Durch  die  nach  seiner  OberHäche,  Peripherie,  gehenden 
Nervenenden,  die  sich  an  einzelnen  Stellen  zu  spezifischen  Sinues- 
or'jiM"!!  YtTvollkommncn  und  ausgestalten,  wird  der  Leib  zum  aus- 
M  niii  ^siichen  WerkzeuL%  vermittelst  dessen  die  ausserleibliche  Aussen- 
weit  auf  nns  einzuwirken  vermag,  spit  lt  er  die  Rolle  deö  allezeit  be- 
reiten Boten,  welcher,  die  ,  peripheriächen''  '•^innesreizun^en  dem  lie- 
wusstsein  übermittelnd,  dem  Geiste  von  dieser  Aussenwelt  Kunde  bringt. 

Zweitens:  Zufolge  seiner  eigenen  Beschaffenheit,  seiner  physio- 
logischen Verfaasung,  Konstitution,  entstehen  in  ihm  selbst  auch  „visce- 
rale" Reize,  wie  das  Atmungsbedürfiaiaa,  Hunger,  Durst,  Drang  jeder 
Art,  durch  welche  er  nnabbäogig  vom  Willen  des  ludividuama  pby- 
sische  Triebe  in  dessen  Bewnsstaein  wachruft.  Auch  können  nocb 
bierber  gerechnet  werden  jene  (krankhaften)  Sinnestäuschungen,  die 
wir  erat  anter  Beihalfe  induktiver  Scblüsae  von  sinnlichen  Wabr> 
nebmongen  za  onteracbeiden  vermögen. 

Drittens  endlich:  Indem  aich  gewisse  Willenaakte  anmittelbar  in 

Bewegungen  uid  Eraflentwickelnng,  Arbeitsleiatong  seiner  Qliedmaasaen 

amsetsen,  erscheint  der  Leib  auch  als  daa  wiederam  einzige*)  Werk- 

leogi  dnrdi  welehea  aeineraeita  der  Geist  auf  die  Anasenwelt  einwirken 

buuiy  deren  kommende  Zustande  beeinflnasend. 

Dia  BOwol  nnwillkOrlieben  als  nnbewnssten  Wecbselvrirkangen  swiscben 
Gast  und  Leib  (deren  Vorhandensain  wir  gleichwol  dorcb  induktive  Schltlsse 
erkennen),  wie  /.  T5.  die  Wirkung  von  Kummer  oder  Freude  auf  das  kOrper* 
liebe  Wohlbefinden,  können  hier  ausser  Betracht  gelassen  werden. 

i?)  Wir  haben  nna  hier  der  gewöhnlichen  Ansicht  angeschlossen, 

der  die  selbständige  Existenz  der  Aussenwelt,  und  in  ihr  auch  die 
BBsrer  Nebeninenschen,  fflr  unzweifelhaft,  für  ausgemacht  gilt. 

Dem  ge.t,'eijüljt;i  steht  bekanntlich  die  Weltanschauung  eines  hervor- 
ragenden Hetaphysikers:  George  Berkeley's,  nach  welcher  ganz  allein  der 
Osist  eiistuie,  die  Anssenwelt  hha  keine  Wirklichkeit  besfisse,  vielmebr  nur 
•be  Vision,  und  ihre  Objekte  dem  Ich  von  einem  göttlichen  Geiste  vor- 
gespiagelte  Wabngebilde,  subjektive  Erscheinongen  wlren,  das  Leben  also 


*)  Da«  Axiom:  „Ks  gilt  keine  geiit^e  Einwirkung  ohm  materieUe  Vermüte- 
lung"  iht  die  Basis,  anf  welcher  die  getarnte  Katnrwissengcbaft  steht.  Wer  die- 
Mlbe  nicht  anerkenoi,  ist  dem  AbirgUmben  in  jeglicher  Form  preisgegeben. 


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28 


iänleitong* 


gleichwie  ein  Traum  sich  abspielte.  Solche  Ansicht  (selbst  wenn  in  die 
Leuguung  der  Aussonwelt  auch  die  der  Nebenmenschen  samt  il  i  :n  Geiste 
noch  eingeschlossen  würde)  lllsst  allerdings  sich  weder  bewui^eu  noch 
widerlegen;  es  bleibt  dem  Belieben  anheimgesieUt,  sie  anzunehmen  oder 
SU  Terwerfen. 

Auch  sie  gibt  abrigens  ein  Nicht-ich  zu,  bestehend  ans  der  Gesamt- 
heit der  von  dem  Ich  unabhängigen  (als  von  ihm  unabbfingig  empfundenen) 

durch  eine  Xutwciull^'keit  ihm  oktroyirten  Vorsjiiegehingen.  Für  unsre  Zweeke 
i>*t  es  gleichgültig,  ol)  die  Ausscinvelt  in  dieser  oder  in  joner  Form  auer- 
kanut  wird,  woferu  dies  nur  überhaupt  der  Fall  ist. 

Unstreitig  kriiltigt  es  unsre  Überzeugung  von  der  Existenz  eines  wahr- 
genommenen Dinges  der  Anssenwelt,  wenn  wir  aus  ihren  Kundgebungen 
inne  werden,  dass  auch  andre  Menschen  dasselbe  ebenso  wie  wir  erblidken. 
Ans  diesem  Umstand  aber,  mit  De  Morgan'  p.  28sq.,  erst  die  Anerkennung 
von  der  Existenz  der  Aussendinge  ableiten  zu  wollen,  scheint  mir  ein  Umweg 
zu  sein,  und  glaube  ich  (ohne  damit  einen  Ani-prnch  nuf  Neuheit  erheben  zu 
wollen)  diesem  gegenüber  voräteheud  —  sub  if  "  v)  —  den  wahren  Grund 
hervorgebüben  m  haben. 

(o)  Empfindungen  und  Vorstellungen  lassen  aiu  li  durch  Erinnerung 

sich  ruproduziren,  ja  wir  können  die  Klementf  nun  schon  geläufiger 

Yor^^tellungen  auch  zu  ganz  neuen  Vorsteil uugsgebildeu  erfinderisch 

verknüpi'en. 

Wesentlich  bleibt  jedoch  eine  jede  blos  vorgestellte,  sei  es  anti- 
zipirend  geahnte,  sei  es  in  Erinnerung  gerufene  Empfindung  von  der 
durch  Siuneseindruck  thatsächlich  hervorgerufenen  verscliieden. 

Es  dürfte  schwierig  sein,  genn\i  le.st/,u>tellcn,  in  was  die  faktische  Em- 
pfindung mit  ihrer  Erinnerung  übereinstimmt  und  wodurch  sie  doch  von 
vüu  dieser  sich  unterscheidet,  was  sie  etwa  vor  ihr  voraus  hat.  Die  In.ieu 
Vorstellungen  scheinen  mit  einem  erhöhten  Gefühl  von  Selbbtthatigkeit,  einem 
Gefahl  Yon  Anstrengung  der  Einbildungskraft,  Fbantasie,  verknüpft,  unter 
Fehlen  des  Geftthls,  OTentudl  Genusses,  und  auch  der  Anstrengung  rezep- 
tiver Sinnesthfttigkeit.  „Jedenfalls  werden  wir  nicht  satt  durch  die  Vor- 
stellung, dass  wir  ein  leckeres  Gericht  verzehrten,  auch  leiden  wir  ungleich 
weniger  durch  blos  vorgestelltes  Zahnweh." 

Stellen  wir  uns  Veilcheugerucli  z.  B.  vor,  so  haben  wir  docli  nicht 
den  Genuss  des  letztem;  wir  hahm  die  Empfindung  selbst  nicht.  Diese 
können  wir  erst  durch  umgestaltende  Einwirkung  auf  die  Aussenwelt 
erlangen,  indem  wir  uns  z.  B.  wirkliche  Veilchen  yerschafi'en. 

In  diesem  nnsem  Unvermögen,  die  uns  angenehmen  Empfindungen 
und  äussern  Sinneswahmehmungen  unmittelbar  in  unserm  Bewusstsein 
herzustelleni  wurzelte,  wie  schon  erwähnt,  unsre  Erkenntniss  der  Aussen- 
weit  überhaupt 

«i)  Auf  ebendieser  Beschränkung  unsrer  Macht  fiber  unsem  Be* 
wusfltseinsinhalt  beruht  es  nun  auch  femer,  dass  wir  in  Beiug  auf 


Einleitung. 


29 


Tide  vorgestellte  Dinge  sunaehst  nmr  Absichten  fassen,  uns  Ziele  oder 
^mefte  Torseiten  kSnnen  und  diese  dmch  MUfd  m  erreielien  suchen 
mttssen,  dass  wir  sie  oft  erst  anf  Umwegen  zu  verwirklichen,  zu  rea- 
lisiren  im  stände  sind. 

Alles  Erkennen  der  Aussenwelt  konnte  schon  die  Voraussetzung 
nicht  entbehren,  dass  die  von  den  Dingen  auf  uns  ausgeübten  Ein- 
wirkungen, dass  die  Art,  wie  die  Dinge  uns  „erscheiueu'',  von  eim  r 
JSoticendigkeit  geregelt  seien  (bestimmt  durch  die  Natur  der  Dinge  an 
»ich,  die  Natur  unsres  Wahrnehmungsvermögens  und  durch  die  Be- 
ziehung, irf'ii:*'ii-seitige  Lage,  in  weiche  die  Dinge  und  unsre  Sinnes- 
organe zu  einander  stehen  oder  von  uns  gchracht  werden).  Und  ebenso 
wäre  das  Vorfblgen  von  Zwecken  durcli  Mittel  aussichtslos,  sinnlos,  ohne 
di«»  Annahme,  dass  die  aufzuwendenden  Mittel  notwendige  Wirkungen 
haben,  genauer  gesagt:  spezitische  Wirkungen  notwendig  haben  müssen. 
£s  wird  sich  uns  in  letztrer  Hinsicht  nur  darum  handeln,  diese  Wir- 
kungen richtig  vorauszusehen,  die  Gesetze  dieser  Wirkungen  zu  erkennen. 

Gesetze  in  dem  Sinne  von  „Naturgesetzen"  pflegt  man  dahin  zu  fonnn- 
liren,  da«?:  imter  gleichen  Bedingungen  auch  jedefinial  gleiche  Folgen  aus- 
nahmslos eintreten.  Gleiche  Ursachen  haben  gleiche  Wirkungen.  Statt 
,^leiche'*  wäre  beidemal  wol  genauer  zu  sagen:  „ähnliche,  d.  i.  solche,  die 
«BSttder  in  einer  bestimmten  Hinsiebt  gleichen'*.  Versucht  man  aber  ge- 
naoer  festsustellen,  worin  das  Euiandergleichsein  von  sei  es  Ursachen ,  sei 
es  Wirkungen,  in  der  betrefTendeu  Hinsicht  besteht,  so  zeigt  sich,  dass  das- 
«elbe  zurückzuführen  ist  auf  die  Übereinstimmung  zwischen  Eindrücken,  Em- 
pfindungen, die  sie  unter  bestimmten  Umständen  in  unserm  Geist  hervorrufen, 
zurückkomiiit  auf  die  (ileichheit  iluer  Erschcinwig  für  ujitser  Krkenntniss- 
Termögen,  die  als  solche  unmittelbar  empfunden  und  von  der  ^ichtUberein- 
stimmong  unterschiede  wird.  Dieser  Rttckschluss  aber  von  onsem  Em- 
pfindungen auf  die  Dinge,  die  sie  henrorrufeo,  beruht  wieder  wesentlich  auf 
der  Annahme,  dass  jene  von  diesen  mit  Notwcnd^keii  abhängen,  ihnen  in 
yfaeht-ncr  Weise  mit  unabänderhcher  Prädestination  entsprechen.  Notwendig- 
keit also  erseheint  als  der  ursprünglichere  und  lidhere  BegritV,  ohne  welchen 
auch  derjenige  einer  Ge8et2mä8sigkeit  in  der  Ausseuwelt  nicht  erklärt  2u 
werden  vermöchte. 

^i)  Unsre  eignen  Empßndungen  —  z.  B.  Schmerz  — ,  unsre  Vor- 
Stellungen,  Affekte  und  Willenszustande  werden  wir  unmittelbar  inne 
«U  dasjenige,  was  sie  sind;  sie  sind  gerade  das,  als  was  sie  in  unser 
Bewnssteein  eintreten*  Auf  die  analogen  Vorgänge  im  Bewnsstsein 
andrer  Menschen  vermögen  wir  darum  auch  —  mit  einiger  Wahr- 
sebemlichkeit  —  zn  schliessen. 

yj  Im  Gegenf«at7,  aber  zu  den  Erkenntnissobjekten  der  angeführten 
hlasse,  welche  sonach  als  dasjenige,  was  sie       sich"  sind,  von  uns 


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30 


Eisleihuig. 


erkannt  werden  können,  ist  in  Bezng  auf  die  Dinj^e  der  übrigen  Aussen- 
welt  solelies  nicht  der  Fall.  Vielmehr  muss  hier  zuvörderst  eine  (irund- 
wahrheit  konstatirt  werden,  welche  die  „Metaphysik"  zutage  gefördert 
und  —  die  einzige  fast  —  im  Kreise  der  Philosophen  zu  allgemeiner 
Anerkennung  gebracht  hat  (woneben  ihr  aber  das  Verdienst  nicht  ab> 
cosprechen  ist,  der  Oberflächlichkeit  wirksam  entgegengetreten  zu  sein^ 
▼iele  Irrtümer,  Illusionen  als  solche  aufgedeckt  und  zerstört  zu  haben, 
überhaupt  auf  Läuterung  und  Präzisirung  der  Begride,  mannigfach  zu 
weiteren  Fortschritten  in  dieser  Richtung  anregend  und  zur  Gründlich- 
keit und  Behutsamkeit  im  Forsdien  erziehend,  hingearbeitet  ku  iiaben). 
£8  ist  die  Wahrheit,  dass  wir,  was  die  Dinge  der  Aussenwelt  an  ndk 
sind,  souachst  überhaupt  nicht  sa  erkennen  vermögen. 

LKngst  hat  die  Physik  den  Schall,  das  Licht,  die  Wttrme  etc.  auf  etwas 

ganz  anderes  zurückgeführt,  als  das  i.st,  iih  was  sie  uns  eiscliehien:  auf  Be- 
wegungsvorgäuge,  Schwingrm^'.s/.ustäude  materieller  Teilchen,  welche  wir  bei 
tönenden  oder  den  Ton  leitenden  Körpern  sogar  dem  Auge  sichtbar  machen 
können.  So  ist  eine  grttne  Wiese  z.  B.  durchaus  nicht  „grün  an  sich",  d.  h.  ihr 
haftet  niehts  an  yon  unsrer  Empfindung  der  grünen  Farbe,  sondern  wir 
wissen  oder  glauben  mit  gutem  Grande  es  su  wissen,  <la.<8  diese  Wiese  nur 
die  Eigenschaft  hat,  von  den  auf  sie  fallenden  transversalen  Lichtwellen  die- 
jenigen von  einer  bestimmton  WellenlHncfe  diffus  zurückzuwerfen,  die  andern 
zu  verschlucken,  sie  in  Wärme  oder  auch  chemische  Arbeit  des  Blf^ttgrOns 
(Chlorophylls)  umsetzend.  Herr  Emil  du  Boi  s-Rey mond  hat  schon  darauf 
aufmerksaai  gemadit»  dass  der  schSae  Ausspruch  „Und  m  ward  Lieht*'  anf 
Erden  strenge  genommen  erst  zur  Wahrkeit  wurde,  als  sich  die  ersten 
Augenpunkte  bei  den  frühesten  Lebewesen  (Infusorien)  ausbildeten.  Ebenso 
ist  die  uns  umgebende  Welt  eigentlich  stumm,  und  die  Schall-  und  Ton- 
empfiudungen  entstehen  erst,  wenn  durcli  die  in  das  innere  Ohr  eindringenden 
longitudinalen  oder  Verdiinnungs-  und  Venliclitungswellen  der  Luft  von  den 
60  000  Corti'scheu  Stäbchen,  welche  iu  der  das  Labyrinth  auskleideuJcu 
weichen  Nenreomasse  stechen,  einzelne  Gruppen  erschttttert,  in  Mitsohwingung 
Tersetst  werden,  u.  s.  w. 

Wir  TermögeB  —  bildlich  gesprochen  —  die  Farbe  der  Brille, 
durch  die  wir  die  Welt  betrachten,  von  dem  Erscbeinungsbild  der 
Welt  überhaupt  nicht  zu  trennen,  nicht  dieses  von  jener  frei  zu  machen, 
zu  sondern.  Denn  jene  Brille,  als  das  dem  Geiste  mit  den  Sinnes- 
organen aufgesetze  Wahrn('hniun<rsverniöccu,  können  wir  eben  (ohne 
Selbstverniehtung)  nicht  abnclimeu,  uiui  nugeuds  ist  der  Geist  im 
stände  die  Aus8endin<;e  selbst  zu  erfassen.  Oder,  um  mit  neueren 
Philosophen  den  Sachverlialt  noch  etwas  schärfer  zu  präzisiren: 

Von  der  Natur  der  Dinge  an  sich  —  a  — ,  zufolge  deren  sie  auf 
uns  einwirken,  und  einem  subjektiven  Moment  x,  welches  durch  unsre 
Sinnesorgane  sowol  als  durch  die  spezifische  Katur,  eventuell  Be- 


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Einleitmig. 


31 


lehriufcatig^  unsros  geistigen  AnfPasaimgBTeniiögens  dieser  Einwirkung 
hintagef^gt,  yielleiGht  auch  aus  ihr  weggenommen,  gelöscht  wird,  unter 
tUen  Umständen  aber  sich  ihr  nnT^rmeidlich  beimischt^  ist  die  Art  A 
bsstimmty  wie  die  Dinge  uns  erscheinen,  wie  wir  sie  uns  kraft  einer 
Naturnotwendigkeit  Yorstellen  mfissen;  es  ist,  im  mathematischen  Sinne 
des  Wortes,  A  eine  l^mMm  von  diesem  m  und  a: 

Da  wir  ausser  stände  ^iiul,  jonos  x  zu  ermitteln,  80  können  wir 
aus  dem  dessen  wir  unmittelbar  inne  werden,  niclit  mit  irgend- 
welcher Sicherheit  oder  auch  nur  Wahrscheinlichkeit  auf  daa  a  schliessen 
(und  könnten  es  selbst  dann  nicht;  wenn  uns  das  Gesetz  der  Zuord* 
nung,  oder  die  Nattir  der  Funktion  f  schon  bekannt  wäre)|  d.  h.  was 
die  Dinge  an  sich  sind,  bleibt  uns  unbekannt*) 

Anstatt  von  solchen  „I)'mget%'\  müssten  wir  eigentlich  —  vorsichtiger 
—  nur  von  (l<^m  f nril)ekannten)  „ihrer  Erscheinung  '/'i^nnrKlo  liegenden 
Wirklichen"  reden.  Auf  dem  Standpunkt  des  unbefangeneu  Bowusstseins 
iiäuiiich  ^im  Gegensatz  zum  Standpunkt  des  wissenschaftlichen  Bewusstseins 
v«igL  Harms*)  identifidrt  der  Memdh  allerdings  die  Dinge  ohne  weiteres 
mit  Minen  TorsteDnngen  ▼on  denselben. 

Nachdem  aber  in  Bezug  auf  ganze  Reihen  von  Naturerscheinungen  die 
fortschreitende  Wissenschaft  diese  Einerleieetzung,  Identifizirung  schon  als 
unhaltbar  hat  erkennen  lassen,  sie  mit  dem  Streben  nach  einheitlich*  i  Kr- 
kenntniss  des  Weltganzen  unvereinbar  zeigte,  ist  die  Philopophie  vollkommou 
im  Rechte,  wenn  sie  bei  ullm  Erscheinungs türmen  der  Natur  und  Aussen- 
welt  solche  Identität  von  vornherein  wenigstens  in  ZweiM  sieht 

80  müssen  wir  non  auch  den  an  sieh**  als  das  der  Erscheinungs- 

form des  Baumes  xugrunde  liegende  Wirkliche  von  dieser  Erscheinung  des- 
•dben,  d.  i  dem  vorgestellten  Bamne,  unterscheiden  und  ebenso  die  Cr- 
scbeInnn(^<!form  der  Zeit  auseinander  hsiten  mit  dem  ihr  sugrunde  liegenden 
Wirklichen. 

^1)  Die  Frage  nach  der  „Ähnlichkeit*^  eines  JDings  an  sich**  und 
unsrer  Vorstellung  Ton  demselben  ist  wol  (rergl.  v.  HMhotU"^)  sinnlos. 
Die  beiden  mögen  unvergleichbar  sein,  wie  etwa  eine  Symphonie  und 
ein  GenüUde.  Wesentlich  ist  die  Gesetsm&ssigkeit,  mit  der  sie  sich 
gq^enseitig  entsprechen  —  ein  Entsprechen,  welches  nicht  weiter  zu 
gshcn  braucht,  als  etwa  das  Entsprechen,  die  gegenseitig  eindeutige 
Zuordnung  des  „Zeichens**  mit  dem  „Bezeichneten''  des  ,fDinge8**  und 
Mioes  „Namens**  (Ton  der  weiter  unten  noch  eingehender  die  Bede 
sem  wird)  und  bei  der  von  einer  Ähnlichkeit  zwischen  beiden  auch 

*)  Ich  müchtr  ;jipichwol  nicht  mit  Herrn  "F,  du  BoiB-Iiey mond  auch  allen 
Zukünftigen  Fortschritten  der  Erkenntnisa  hier  schon  mit  einem  „Iguorabimna'* 
Tüfgreifen. 


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82 


EinlMtang. 


keine  Rede  sein  kann.  Wesentlich  insbesondere  ist  die  WechselwirkuDg^ 
in  die  beide  unter  Umständen  treten,  nämlich  vor  allem  die  unter  ge- 
wissen Voranaeetsongen  eintretende  Einwirkung  des  Dinges  auf  nnare 
Empfindung  und  Vorstellung  Ton  demselben ,  wie  sie  unabhängig  Ton 
unserm  Willen  durch  eine  Natntnotwendi^it  gegeben  erscheint,  so- 
dann eventuell  die  Einwirkung  unsrer  Handlungen  auf  das  Ding,  oder 
vielmehr  wiederum  deren  dadurch  herrorgerufene  Rfickwirkung  auf 
uns  selber. 

Die  Eindeutigkeit  solehen  Entsprechens  kann  ttbrigens  schon  in  Zweifel 

gezogen  werden;  ihr  Ausdruck  ist  eventuell  zu  modifizircn  -  in  Anbetnusbt 
der  Möglichkeit,  da.^s  gleichwie  ein  geschliffener  Krysfall  mit  seinen  ver- 
pchindenen  Facetten  das  Bild  eines  leuchtenden  Punktes  als  ein  mphrfnch<>s 
/liiückwirff ,  auch  unser  Geist  in  der  La^'e  Bein  kötftite  (falls  ein  HinnrH- 
organ  dem  „Facetteoaugo"  vergleich  bar ji,  ein  JÜing  au  sich  stets  nur  als 
dne  Mehrheit  von  Dingen  wahntunehmen.  Auch  umgekehrt  ist  denkbar, 
dass  wir  Dinge  a,  h  und  e  isolirt  nicht  su  erkennen  vermögen,  dass  uns 
wohl  aber  a,  wenn  in  Verbindung  mit  5,  als  ein  Ding  und  ebenso  a  mit  e 
als  ein  ander  Ding  in  die  Erscheinung  tritt,  ohne  dass  wir  doi  h  yon  dem 
gemeinsamen  Element  a  der  beiden  eine  Ahnung  bekommen,  und  anderes  mehr. 

£,)  Aus  diesem  gesetzmässigen  Entsprechen,  der  erwähnten  natur* 

notwendigen  Wechselwirkung  zwischen  Ding  und  Vorstellung  schöpfen 
wir  nun  die  Berechtigung^,  doch  in  einem  gewissen  Sinne  von  den  Dingen 
selbst  ralen,  und  nicht  blos  von  unsern  Vorstellungen  über  diesolben, 
trotzdem  jene  „au  sich"  sich  unsrer  Erkenntnis^  beharrlicli  verschliessen, 
und  nur  diese  in  unser  Bewusstsein  einzutreten  vernirtu;en. 

Unstreitig  wollen  und  beansjiruclieu  wir,  solches  zu  thun.  Wenn 
wir  z.  B.  sagen  (vergl.  MilP):  „Die  Sonne  (genauer:  der  Stand  der 
bonne  (Iber  dem  Horizont)  ist  die  Ursache  des  Tages",  so  soll  damit 
nicht  etwa  blos  auMgedrückt  werden,  dass  (hV  Vorstelhmg  (oder  „Idee") 
von  der  Sonne  die  Ursache  (oder  Idee  von  der  ürsacheV  i  sei  von  unsrer 
Vorstellung  des  Tages;  es  soll  nicht  bios  eine  Beschreibung  des  sub- 
jektiven Zustande  unsrer  Vorstellungen  damit  gegeben  werden,  der  als 
solcher  ja  ebenso  gut  in  unsrer  Laune  oder  Willkür  blos  begründet 
sein  könnte  —  sondern  es  soll  mit  solchem  Ausspruch  darauf  hinge- 
wiesen sein,  dass  in  dem  den  erwähnten  Erscheinungen  (der  Sonne 
und  des  Tages)  zugrunde  liegenden  (unbekannten)  Wirklich(?u  etwas 
liegt^  was  I  r  ift  naturgesetzlicher  Notwendigkeit  uns  zwingt^  einen  ur- 
siichlichen  Zusammenhang  zwischen  beiden  anzunehmen. 

Im  Hinblick,  unter  steter  und  als  selbstverstSndlich  geltender  Be- 
zugnahme auf  jenen  Zwang  des  Entsprechens  und  unter  dem  (aller- 
dings nur  zu  oft  ausser  Acht  gelassenen)  fjmetaphy^sthen  VmrMialtf' 


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Einleitung. 


33 


(dasB  wir  die  Dinge  niiti  sich''  nUM  sa  erkennen  ▼ermogen)|  können 
wir  dämm  in  der  That  Ton  den  Dingen  der  Aussenwelt  selber  (auch 
im  Gegensatz  zu  nnsem  Vorstellungen)  reden;  in  diesem  Sinne  und 
unter  diesem  Vorbelialte  geschieht  dies  auch  allgemein  in  den  empi* 
riachen  Wissenschaften  nnd  geschieht  es  von  rechtswegen. 

So  hat  nun  z.  B.  die  ¥mgt^  ob  auf  den  von  uns  ewig  abgewandten 

drä  Siebenteln  der  Mondoberniiclio,  ob  auf  der  ,|B!ick8eite**  des  Mondes  sich 
Wasser  befinde,  einen  ganz  bestimmten  Siun,  wenn  wir  auch  nicht  wissen 
können,  was  der  Mond,  wa«i  Wasser,  was  Materie  überhaupt  „an  sich*'  ist, 
was  der  Ersflicinmig  einer  ( »beillUche  Wirkliches  zugrunde  liegt  u.  8.  w. 
Dm  wird  wol  jedermunn  ohne  weiteres  zugeben. 

Ebenso  ist  aber  auch  —  um  ein  neuerdings  Tielumsiiittenes  Beispiel 
asnifidiren  —  die  Frage  eine  vollberechtigte,  ob  der  phif8ikäUa(Ae  Bmm 
wirklich  ein  „Euklidischer",  eine  „eb^e**  und  sonacli  unendliche  dreidimeO' 
aionale  Mannigfaltigkeit  sei,  oder  ob  er  etwa  als  ein  durchweg  endlicher, 
cach  allen  Seiten  mittelst  vierdimensionnler  Krlimmnn^  in  sich  zurückkehre. 
Auch  bei  dieser  Frage  handelt  es  sich  nicht  um  die  subjektive  Beschaffen- 
heit unsrer  herkömmlichen,  gewohnten  Anschauung,  welche  zur  Zeit  noch 
imbestritten  die  des  ersteren  Baumes  ist,  sondern  darum,  ob  nicht  eine 
objektiTe  Notwendigkeit  Torliegt  {pdßt  wenigstens  nach  dem  heutigen  Stand 
imsrer  Erkenntniss  schon  vorliegen  kann  und  dereinst  vielleicht  sich  auf- 
drangen wird)  dieselbe  zu  modifi/.ireu,  der  Wahrheit  stnliebe  sie  umzubilden, 
Simlicb  sie  durch  die  letztere  Kaumvurßtclhing  zu  ersetzen. 

Ganz  richtig  hat  auch  Lotze  hierin  den  Kernpunkt  der  Frage  erblickt. 
Im  übrigen  ächeiut  er  mir  aber  in  seiner  gegen  die  Untersuchungen  von 
Biemannund  V.  Helmholtz  gerichteten  Polemik  (Metaphysik, p.  249  . .  267) 
foDter  uderm)  in  einen  analogen  Fehler  zu  verfallen,  wie  ihn  (nach 
Whewheirs  Geschichte  der  induktiven  Wissenschaften)  der  Kirchenvater 
Lsctantius*)  beging,  der  gegen  die  Möglichkeit  von  Gegcnfüsslern  auf  unsrer 
Erde  elf»  lie,  weil  er  die  ihm  geläufige  Richtung  der  Schwere  absolut  fest- 
hielt, und  lülgerichtig  zu  dem  Schlüsse  kam,  dass  solche  Antipoden  auf 
dem  Kopfe  stehen  müi>5>t/eii.  üam  üLnlich  in  der  That  übertrügt  auch 
Lotze  in  seinem  Hauptargumente  die  ihm  geläufige  Vorstellung  (und  An- 
Bshme  der  Existenz)  von  unendlichen  Geraden,  dieselbe  allzu  fest  haltend, 
ohae  weiteres  auf  Wesen  (jene  fingirten  mit  ihrer  ganzen  Existenz  an  die 
Kagelfläche  gebannten  „FlSchenwesen^'),  die  sie  nach  den  für  ihr  Dasein 
gemachten  Aiinahmon  gar  nicht  zu  haben  brauchten,  ja  überhaupt  nicht 
haben  konnten  (p.  2ö2),  uud  spricht  (iaruui  mit  Unrecht  von  „Wider- 
pfüchen",  in  welche  solche  Wesen  durch  das  Studium  ihres  Baumes  ver- 
wickelt werden  mUoäten. 

So  sehr  ich  das  neuerliche  Wiederaufleben  der  (dermalen  nur  in  einem 
wisMDBchaftlicheren  Gewand,  als  frtther,  auftretenden)  Mystik,  welches  sieh 
an  die  erwähnte  Frage  der  Raumdimensionen  geknttpft  luht,  missbillige  und 
beklage,  halte  ich  doch  die  zweiterwillmte  Raumansehannng  für  die  richtige. 
Ich  bin  überzengt  —~  doch  würde  es  mich  hier  zu  weit  führen,  meine 

*)  Vor  ihm,  Mihon  im  Altertum,  sach  Tertul  Ii  an  —  vecgl.  ü  eberw  e  g  *  p.  870. 
BantosR,  JJctM»      LogUc  8 


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34 


Einleitcuaig. 


Grüiu]*-  darzulegen  — ,  dass  niebt  nur  jene  neueren  Untersuchungen  der 
^int hrinal ikcr  über  niolinlimensionale  Mannif^faltigkeiten  logisch  und  er- 
keuutuisstht'iiretiäeh  volli^ereclitiyio  i^ind,  sondern  dass  aneh  wirklich  un&re 
raumerfUilende  Welt  eine  durchaua  „endliche"  ist  —  uatürlich  „unbegrenzt'* 
—  jedoch  nach  jeder  Richtung  unsres  Raumes  in  sich  selbst  zurQckkebrend, 
wobei  sich  die  succeBaiven  Phasen  der  jeweils  augenblicklichen  dreidimensio- 
nalen Gegenwart  zn  einem  vierdimensionalen  Gebilde  der  Wirklichkeit 
schichtweise  übereinanderlegen.  Zu  dieser  Anschauung  bin  ich  —  nebenbei 
gesagt  schon  vor  der  durch  Zöllner  iTfiffneieii  Aera  der  Kontroversen  — 
angeregt  durdi  diii  Lektüre  des  betreti'enden  von  „Dr.  Mises"  (Theodor 
Fechner's)  „Vier  I'araUoxa"  —  gelangt.  Wer  liecht  hat,  das  wird  —  qui 
vivera,  verra  —  eine  fernliegende  Zukunft  entscheiden.  Jedenfalls  kann 
68  nidit  als  Ärgnment  gegen  die  Richtigkeit  einer  Ansicht  aufgeführt 
werden,  wenn  Verfechter  dermlben  xa  weit  gegangen  sind,  wenn  Einzelne 
zugunsten  derselben  auch  vielleicht  sich  kompromittirt  haben  sollten,  und 
für  welche  Ansicht  man  auch  immer  PaHei  nehmen  möge,  wird  mau  doch 
Bernhard  Riemann's  (auf  der  Schlu-s-Seite  seiner  Arbeit  ,.l  l>ür  die  Hypo- 
thesen, welche  der  (Geometrie  zu  (iruiiile  lioi^tni"  ausgesprochenes)  Endziel 
gelten  lais»eu  —  in  welchem  wir  auch  die  liechtt'ertiguug  aller  meta- 
physischen ünterSQcbungen  hauptsSchlichst  erblicken:  dass  die  Forschung 
nicht  „durch  die  Beschränktheit  der  Begriffe  gehindert  und  der  Fortschritt 
im  Erkennen  des  Zusammenhangs  der  0inge  nicht  duxdi  flberlieferte  Vor- 
urteile gelioinml  wird". 

Wenn  bei  dem  vorstehenden  Exkurse  das  Wort  „wirklich"  wiederholt 
gefallen  ist,  so  war  dasselbe  bereits  unter  dem  rnetnphy«=isehen  Voihehalt, 
also  nicJil  als  gleiclih*Mleuteinl  mit  „an  sich",  '/n  nehmen.  Wirklich"  nennen 
wir  (zu  einer  Zeit),  was  im  Gegensatz  zu  dem  was  nicht  ist,  und  ea 
bedarf  letzteres  keiner  weiteren  Erläuterung  für  dicjeuigen  Dingo,  deren 
wir  nnnmittelbar  inne  werden.  EriftuterungsbedHrftig  dagegen  bleibt  das 
Wort  für  die  Dinge  der  Anssenwelt,  die  wir  ja  nicht  selbst  mit  unterm 
Geiste  erfassen,  sondern  von  denen  nur  die  Vorstellung,  und  eventuell  der 
Sinneseindnick,  in  unser  BcwuHstsein  einiiitt.  Indem  wir  pnlch'  einem  fjo- 
dachten  oder  vorgestellten  Dinge  Wirklichkeit"  '/uFcln  eiUen ,  Id  ingen  wir 
es  zum  Ausdruck,  dass  wir  eine  objektive  Notwendigkeit  erkennen,  die  wir 
nftmlich  direkt  als  Uber  unserm  Willen  stehend  unfrei  empfinden  —  die 
wir  denn  als  eine  objektiv  begrOndete  auch  für  gemeiuTerbindlich  halten  — 
kralt  der  Natur  unsres  VorstellungsirermjSgens  das  Ding  gerade  so  und 
nicht  anders  zu  denken.  Das  „Ding  an  sich**  nennen  wir  die  (unbekannte) 
Ursache,  die  wir  solchem  Zwange  uuteiv.ulegen  nicht  umhin  kennen. 

Mit  dieser  Krkläiuiiu^  w  ird  solchen  Dinpfeu,  die  wir  Uberhaupt  nie  ge- 
dacht haben,  die  Wirklichkeit  nicht  abgesprochen. 

(i)  Dnrcb  das  Feblen  oder  die  Besugnahme  auf  jenes  objektiv  noi* 
wendige  Entsprechen  zwischen  Ding  an  aicli  und  Vorstellimg  werden 
einige  üntersdieidungen  bedingt  nnd  begreiflich,  die  sonst  unverständ- 
lieh  erscheinen  mfissten. 

Es  wird  TerstSndlich,  wieso  die  Vorstellung  vcn  der  Vorstellung 


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Einleitung.  *  35 

diies  Dinges  yerscliiedeii  sein  kann  von  der  Vorstellung  eben  dieses 
Dinges  (obgleich  wir,  wie  gesagt,  jede  Vorsiellang  als  das,  was  sie 
,^0  sich''  ist^  inne  werden  und  als  ebensolches  anch  beliebig  sa  repro* 
doziren  verni(")gen),  indem  bei  letaterer  jene  Bezugnahme  eintreten  mag, 
während  sie  bei  ersterer  fallen  gelassen  ist 

Spredie  ich  von  einem  Pferde  (2^),  so  hAe  ich  eine  Vorst^ung  von 
dm  Pferde  («fp).  Sj^edie  ich  aber  von  meiner  VorstdUmg  von  dem  Pferde» 
80  Jiabe  ich  eine  VorsUHuHff  von  der  Varstdkmg  von  dem  Pferde  {v,^  Das 
beifolgende  Schema 


Terüinnlicht  in  Zttchen  nnter  8*  das,  wovon  wir  »prechen  mögen,  und 
unter  /»,  /»'  dn-ienige,  was  wir  darnnter  denken  odor  im  ncisto  „lia1i<  ii". 
Wäre  jenes  nicht  verschieden,  nicht  zweierlei,  so  müsste,  %vena  die  Vor- 
stellung von  dem  Pferde  (eine)  lebhaft(e)  ist,  auch  das  Pferd  (ein)  leb- 
liaft(es)  sein.  Müssen  wir  aber  Dasjenige,  wovon  wir  beidemal  reden,  als 
iweierlei  anerkennen,  so  scheint  es,  daas  wir  anch  Dasjenige,  was  wir  uns 
dsnmier  denken,  beidemal  nicht  als  identisch  dasselbe  gelten  lassen  darfen. 

Es  drängt  sicli  die  Frage  auf,  ob  das  nun  ohne  Endo  so  weiter  geht, 
ob  wir  also  die  Vorstellung  von  der       abermals  als  ein  neues  Objekt  des 

Denkens  anzuerkennen  haben,  und  so  fort?  Indessen  will  ich  mich  be- 
gT^flf^Pn.  hier  blos  die  Fragt'  aufgeworfen  zn  haben;  unnuteröucht  bleibe,  nb 
ü<ibci  uieht  Gel)llde  von  einor  Art  entstehen  würdfn,  wie  ^ie  etwa  im 
Gegensatz  zu  „ratioualitah '  dab  lateinische  Öcherzwort  „rationabilitudinali- 
tss**  amudonten  und  wol  zu  persifliren  bestimmt  war. 

Es  wird  ebenso  begreiflich,  wie  wir  unsrer  Vorstellung  vom 
Räume  —  gleichwie  schon  dem  ßewusstsein,  das  sie  in  sich  fasst  — 
das  Merkmal  der  Ausdehnung  abzusprechen  vermögen,  während  wir 
dücli  "lern  (sonst  mit  jener  identisch  erscheinen  v.  urdenden  )  vorgestellten 
Räume  eine  dreifache  Ausuehimng  zuerkennen  —  und  anderes  mehr. 

Haben  wir  nach  den  Errungenschaften  der  Physiologie  als  das  Organ 
vmrm  Bewnssteeios  den  cerebralen  Teil  unsrea  Leibes  anzusehen,  so  er- 
scheint  es  (nnter  sndem)  immerhin  rtttselhaft^  wie  in  diesem,  dem  Hirne, 
velcbes  ja  ganz  im  Kopfe  Platz  hat,  die  Vorstellung  ausgebildet  wird  von 
cbem  Räume,  der  noch  weit  Uber  diesen  hinaus  bis  zu  den  rnen  (und 
noch  weiter;  reicht.  Lehrreieho  und  anregende  Betrachtungen  über  diese 
Tirf]  nneli  manche  andere  Frage  über  Raum,  Zeit,  Bewegung  und  Verur- 
s^Uuüg  tiude  ich  iu  auziohender  Darstellung  durchgelührt  in  dem  Werke 
Uerm  Otto  Liebmann 's\  welches  nunmehr  in  zweiter  Auflage  vorliegt. 

8* 


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36 


Binleitiiiig. 


ffi)  Fassen  wir  (mit  Mill)  die  Ergebnisse  uusrer  Betrachtungen 
zusammen,  so  kommen  wir  zu  dem  Schlnssei  in  welchem  die  besten 
Denker  jetzt  übereinstimmen: 

Wie  wir  von  der  Welt  überhaupt  nichts  inne  werden,  als  die 
Reihenfolge  der  Zustnude  iinsres  Bewiwstseins,  als  da  sind:  Em- 
pfindungen f  Sensationen),  Gemütsbewegungen  n  'tnotionen)  und  Willens- 
regtmgen  (Wollen),  schliesslich  Gedanken*)- ^^Zustände'',  natürlich,  die 
durch  den  Wechsel  in  ihrer  Succession  auch  „Vor^nge"  zusammen- 
seisen,  wofern  sie  nicht  schon  selbst  als  solche  aufzufassen  —  so 
machen  die  Empfindungen  und  die  Ordnung  ihres  Eintretens  auch  alles 
ausy  was  wir  Ton  der  materiellen  Aussenwelt  er&hren,  und  absolut 
sicher  wissen  können,  und  wahrend  die  ,,Snbstanz''  materieller  Körper 
die  unbekannte  Ursache  misrer  Empfindungen  ist,  erscheint  die  ,,3ub- 
stanz"  Geisi  ids  der  („an  sich'*  ebenfalls  unbekannte^)  Empfanger  oder 
Rezipient  derselben. 

Von  den  erwähnten  Dingen  sind  es  vorzugsweise  die  Gedanken, 
welche  uns  noch  weiter  zu  beschäftigen  haben  werden. 

Dass  nun  die  Dinge  der  Aussenwelt  nicht  „an  sich''  erkennbar 
sind,  ist  für  uns  in  jeder  praktischen  Hinsicht  glücklicherweise  ganz 
ohne  Belang.  „Was  die  Dinge  an  sich  sein  mögen,  weiss  ich  nicht 
und  brauche  es  auch  nicht  zu  wissen,  weil  mir  doch  niemals  ein  Diiig 
anders  als  in  der  Erscheinung  vorkuuimen  iianu"  (Kant,  Kritik  der 
reinen  Vernunft.    Ausi^abe  1791,  p.  33l^). 

Die  Art,  wie  diebo  Welt  uns  uotweudij^  erscheint,  wie  die  Dinge 
auf  uns  einwirken,  beziehungsweise  zurückwuiieu,  das  ist  und  bleibt 
für  uns  die  lluuptsaclie.  Es  kommt  dem  Landmann  darauf  an,  dass 
der  Ton  ihm  bebaute  Acker  Früchte  trägt,  welche  sich  uns  wohl- 


*)  Mill*  will  diese  (vior)  Arten  von  BowusstscinszustSiiden  mit  einem  Wort 
al3  ,,GefüMe"  {im  weitern  Sinut))  bezeichnet  wissen  und  macht  darauf  aufuierk- 
öäui,  JaäB,  wad  man  „Wahroehmung"  nennt,  nicbUt  ist,  als  ein  (un  die  Empüiidung 
des  SinneseindraekeB  geknüpfter)  GUmbe,  alte  <^e  Axt  Gedanke,  and  dass  „Uand» 
loDgen"  nichts  mnd,  eis  WiUensihfttigkeiten,  anf  weldio  eine  Wirkung  folgt  (p.  90 
der  SohieTacheD  Obamtiiiqg).  Ich  frage  noch:  wohin  gehört  die  freie  Tor- 
■tellang? 

**)  So  nach  Mill.  Ich  will  es  nnerörtert  hissen,  üb  uiul  in  welchem  Sinne 
diese  Quabiikation  zntritVt.  Ferner  will  ich  hier  nicht  «iatreten  in  die  »ubtilu 
rage,  anter  welchem  Gesichtspunkt  etwa  gerade  Materie  und  Geist  die  überein- 
atinunende  Beteichnttng  tla  „Subetanz"  verdienen  mOditen.  Die  Physik  hat  der 
Materie  bie  jetefc  erst  eine  Art  Ton  Suhitanz  gegenflbexgestellt,  ale  welche  die 
Arbeit«Torrftte  der  Natar,  die  freie  und  die  gebandaie  (^fkinetieche**  and  „poten* 
sielle*')  Energie  wa  beieichnen. 


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Einleitung. 


37 


schmeckend  und  nahrhaft  erweisen,  ganz  einerlei,  was  diese  an  eich 
sind  oder  das  denselben  zugrunde  liegende  Wirkliche. 

^i)  Um  nnsre  Zwecke  zu  ermchext^  unsre  Ziele  TerwirklicheD, 
dazu  bedQrfen  wir  der  Mitwirkung  unsrer  Nebenmenschen;  wir  kdnnen 
deren  Kooperation  meist  nicht  entbehren.  Um  aber  solche  so  erlangen^ 
nOssen  wir  uns  mit  ihnen  verstäntUffen, 

Auf  die  mannigfachen  andern  Momente,  aus  welchen  das  MiiteilaqgB- 

bedürfuiss  sich  noch  zii^ammensotzen  mag  und  mit  deuen  es  im  mensch- 
licheo  Gemtite  begründet  erscheint,  will  ich  hier  nicht  eingeben.  Es  ist 
aasreichend,  den  einen  praktischen  Gesichtspunkt  hier  hervorgehoben  zu 
haben,  welcher  bchou  für  sich  allein  mit  Macht  zu.  eiuer  Verständigung 
unter  den  Menschen  drSngt 

Aach  bm  Tieren  sehen  wir  nicht  selten  ein  planmSssiges  Zusammen- 
wirken  und  eine  gewisse  Arheitstdlnngf  Yor  allem  bei  den  staatenbildendeu, 
wie  Ameisen,  Bienen,  u.  s  w.  —  es  genügt  schon,  an  die  Bauten,  den 
Ackerbau,  die  Viehzucht,  KriegfUhran^'  und  Sklavenhaltun!:]^  bei  den  erstem 
ni  erinnern.  Auf  weiche  Weise,  wol  unter  dem  Einfluss  des  Nacliahmungs- 
triebeSf  derjenige  Grad  der  Verstäudigung  zwitichen  deu  iudividuen  des 
Stammes,  der  zu  solchen  Werken  erforderlich  ist.  doch  ohne  ein  Snrrogat 
der  Sprache,  sostande  kommt,  ist  nicht  ganz  aufgekitrt. 

Das  wirksamste  und  ausgiebigste,  das  Mittel  aar  Endelnng  der 

weitestgieh«nden  und  weitreichendsten  Yerst&ndigung  unter  den  Menschen 

ist  jedenÜEdls  die  Spradte. 

t,)  In  ihr  bringt  das  denkende  Subjekt  7\i  dem  D'm^  an  sich  und 
zu  seiner  Vorstellung  von  demselben  noch  ein  drittes  biüzu;  den  Namen 
oder  das  Zeichen  des  Dinr^es. 

Um  mit  dem  Seitenblick  auf  die  ^fetaphysik,  zu  welchem  wir  im<  nb^n 
Tferanlaaat  gesehen,  thunlich^t  zum  Abschluss  zu  kommen,  sei  iiier  sogleich 
darauf  aufmerksam  geuiachl,  dass  —  woterne  uur  die  Fälle  von  etwaiger 
SanestSaschoag  aasgeschlossen  werdm  —  das  Zeidun  ebenfalls  su  der 
Osaee  von  Dingen  nt  z&hlen  ist,  von  welchen  wir  sagen  dürfen,  dass  wir 
Bie  „an  sieb"  erkennen. 

Was  freilich  den  Kohlenstoffteilchen,  die  den  gedruckten  Buchstaben  a 
TOsammcnsetzen,  mit  ihrer  vorwiegenden  linearen  und  Plächonansdehnung 
Wirkliches  zugrunde  lie^a,  wissen  wir  nicht;  es  kaun  uns  dies  aber  auch 
vollkommen  gleichgültig  sein.  Das  Zeichen  kommt  eben  für  uns  lediglich 
sb  dasjenige  in  Betracht,  als  was  es  uns  erscheint;  nur  seine  notwendige 
Wirkung  anf  uns,  seine  für  alle,  die  es  wahnnnehmen  vermSgen,  gleich- 
mässig  charakteristische  Ei-scheinung  bestimmt  and  regelt  seine  Verwendung. 
Uod  diese  Erscheinung  des  Zeichens,  kraft  welcher  wir  den  Buchstaben  a 
in  beUebiger  Wiederholung  immer  als  den  gleichen  erkennen  und  von  allen 
uulem  Buchstaben  unterscheiden,  bildet  fUr  un^i  das  Wesen  desselben. 


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38 


Sinleitang. 


B.  VorbetrafthtoBgm  ülrar  Zalolwii  und  Namen. 

Ich  glaube,  die  elementarste  aller  deduktiven  Disziplinen  nicht 
einleiten  zu  dürfen,  ohne  i^uvörderst  auf  die  enorme  Wichtigkeit  des 
Zeichens,  das  ja  au  sich  als  ein  unbedeutendes  Ding  erscheint,  ge- 
bührend liiiizuweisen,  und  schliesse  ich  mich  dabei  grösstenteils  — 
in  freier  Weise  —  an  die  Ausführungen  Trendelenburg's*  \ßd.  III, 
p.  1  . .  4)  an. 

Erst  mit  dem  Eintritt  der  „bozcichneuden"  oder  „synibolisirenden" 
Thütigkeit  (zu  welcher  aus  der  bildenden  Thätigkeit  auch  noch  die 
abbildende  gerechnet  werden  mag)  scheint  in  der  That  das  Menschen- 
geschlecht sich  aus  dem  absoluten  Nullpunkte  der  (Jivilisation  und 
Ober  das  Niveau  des  Tieres  erhoben  zu  haben,  und  kaum  einer  wirk- 
lichen Sache  dürfte  der  Menschengeist  soviel  Fortschritte  su  verdankeD 
haben,  als  wie  dem  Zeichen  der  Sachen. 

Das  Zeichen,  welches  in  der  Geberde  und  im  Ton  zum  Affekt, 
sur  Lebensstimmung  spricht,  spricht  in  Wort  und  Satz  zum  Intellekt 
und  hat  nach  den  Gesetzen  der  Ideenassoziation  die  Kraf^  in  dem,  der 
es  Temimmt  oder  anwendet»  bestimmte  Yorstellongen  lu  erseogen  und 
in  ihrer  Abfolge  zu  richten. 

Indem  es  mit  der  Vorstellung  zusammenwächst  Terschmilzt,  wirkt 
es  selber  auch  auf  das  Denken  zurück.  Durch  das  Zeichen  werden 
die  sonst  in  einander  fliessenden,  zuletzt  zerfliessenden,  Vorstellungen 
gesondert  und  als  getrennte  Elemente  ein  bleibender  Besitz,  Aber 
welchen  der  Denkende  fortan  verftigen  kann.  Mittelst  des  Zeichens 
wird  unterschieden,  das  Unterschiedene  fixirt  und  das  Fixirte  zu  neuen 
und  eigentümlichen  Verbinduugeii  tauglich  gemacht;  das  Zeichen  wird 
uns  zur  iiundhabe,  an  welcher  wir  die  Gedankeudinge  packen.  Erst 
.durch  d-dH  Zeichen  löst  die  Vorstellung  von  dem  sinnlichen  Eindnu  ke, 
an  welchem  sie  sonst  haftet,  sich  los,  und  vermag  nuu  in  das  All- 
gemeine sich  zu  crhcijcn.  So  wird  das  Denken  durch  das  Zeichen  des 
Worts  naeii  der  einen  {Seite  frei,  auf  der  andern  bestimmt. 

Ferner  gibt  es  nur  durclf  das  Zeichen,  durch  welches  in  Vielen 
derselbe  Gedanke,  derselbe  Zweck  —  ein  Wille  und  eine  Seele  — 
möglich  wird,  jene  Gemeinschaft  der  menschlichen  Krüfte,  auf  welcher 
das  Leben  der  Menschen  als  ein  Leben  der  Individuen  im  ganzen 
Geschlecht,  auf  weicher  Gesittung  und  Bildung  beruht. 

Diese  Wirkung  schon  des  ausgesprochenen  Zeichens  steigert  sich 
noch  ausserordentlich  in  der  Btkrift. 


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Einlntiing. 


39 


Das  hörbare  Zeichen,  flüchtij^  wie  der  Augenblick*),  wird  durch 
die  Schrift  sicht1)iir  und  bleibend,  den  Verkehr  der  YorstelluDgen 
swischeii  r&oinlicb  EntfemteD  anknfipfend,  selbst  den  allerdings  nur 
eiosetiigen  —  Verkehr  der  Gegenwart  mit  langst  vergangenen  und 
mit  den  sukfinftigen  Greschleehtem  Termittelnd. 

Sofern  das  Leben  des  Menschen  ein  bistorisches  Leben  ist,  ein  Leben 

iu  einer  überkommenen  durch  die  Gesohichte  gebildeten  geistigen  Substanz, 
?o  i<t  die  Schrift  das  Organ  dieses  sich  fortsetzenden  und  erweiternden 
Lebens  und  Wirkens.  Der  geschichtliche  Geist  der  Menschheit  gestaltet 
und  mehrt  sich  in  der  Schrift. 

Darum  fühlten  die  Menschen  auch  seit  der  ersten  Erfindung  die 
Wiehtigkeit  der  Schrift  für  mensebliches  Leb«i.  Gesetze,  schon  seit  Jahr- 
hnuderten,  veipönen  ihre  FKlsebong. 

Von  den  Sltesten  schriftliohwk  Urkunden  aber,  in  welchen  Glaube  und 
Willen^-meinung  unlor  iliren  Zeitgenossen  hcrvorrri'jrender  Persönliebkeitei! 
hieb  einst  verewigte  und  die  als  etwas  ÄuRsorordi  iidiches  dem  kindlichen 
Geist  einer  früheren  Kulturepuche  bf^'ieitlich  iniponirteu,  sehen  wir  auch 
manche  bis  auf  den  heutigen  Tag  noch  in  übermlisäigem  autoritativen  An- 
sehen sich  erhalten. 

Seit  bald  einem  halben  Jahrtausend  steigert  die  Schrift  im  Druck 
ihre  Fähigkeit  verbreiteter  Mitteilung  und  an  der  Aufgabe,  die  Zeichen 
der  Schrift  in  kürzester  Zeit  und  grösster  Vervielfältigung  auf  kleinem 
Baume  so  herzustellen^  dass  sie  dem  Auije  sichtbar  bleiben,  wird  immer 
noch  fortgearbeitet.  Endlich  dürfen  wir  es  rühmen,  dass  das  Mensclien 
verbindende  Zeichen  schon  als  ein  unsichtbarer  lilii/  von  Land  zu 
Land,  von  Weltteil  zu  Weltteil  Üiegt,  den  ganzen  Krdbail  mit  seiner 
Herrschaft  uraspannend. 

J^<.)  hat  das  Zeiclien  in  Sjtrat  he  und  Schrift  schon  für  den  Meiisi  lien 
uberliaupt  eine  Dedeutun'^%  wie  gar  nichts  anderes.  In  Hinsicht  seines 
Nutzens  für  die  Gesellschaft  erstanden  alL'rdings  ihm  schon  Kivalen 
oder  Konkurrenten,  wie  Steink(dile  und  Eisen,  wie  die  Dampfmaselline. 
Je  mehr  wir  aber  von  dem  Ltdjen  überliaujit  ilen  Gebieten  geistiger 
Tiiätigkeit  uns  zuwenden,  eine  um  so  hervorragendere  Holle  sehen  wir 
dem  Zeichen  zufallen,  und  die  bedeutendste  in  den  Wissenschaften,  vor- 
oehmlicb  den  exakten.  Erfindungen,  auch  Entdeckungen,  die  sachlichen 
Emittgraiscbaften,  welche  sich  der  Menschengeist  erwirbt,  stehen  fast 
ohne  Ausnahme  auf  der  Yoxaussetzung  des  Teratändiicben  und  konse- 
quent gehandhabten  Zeichens,  welches  gleicherweise  den  einsamen  Um- 
gang des  Gedankens  mit  sich  selbst  und  den  Gedankenverkehr  in  der 
Menschheit  bedingt. 

*)  Nach  dieser  Seite  scheint  indess  Edison*«  Erflndnng  des  Fbonogiapben 
Mhoa  eine  nene  Aera  sa  inaagnrirea. 


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40 


EinleitQiig;. 


X^)  Es  haben  diese  Wissenschaften,  mehr  oder  minder  ansgeBprochoi, 
die  Tendenz,  die  Schwierigkeiten  des  Stiuliums  der  Dinge  —  der  Dinge, 
die  man  nicht  immer  bequem  zur  Hand  hat,  die  man  meist  nicht  fest- 
halten oder  fixiren  und  ohne  weiteres  manipulircn  kann  —  möglichst 
äbiMwäleen  auf  das  Stadium  ihrer  Zeidimf  welche  letzteren  dem  Forscher 
stets  rar  Yerfilgang  stehen  nnd  mit  nnTorgleichlicher  Leichtigkeit  so 
hantiren  sind. 

IMe  Erleichterung  ond  Vorteile,  w^che  ein  jndiaftser  Gebraudi  der 
Zeichen  in  dieser  Hiasieht  der  Forschung  zu  gewähren  vermag,  würden 

sich  passend  vergleichen  lassen  mit  denjenigen,  welche  gegenüber  dem 
direkten  Tausch verkelir  mit  Waaren  (in  Zentralafrika  z.  B.)  die  Einführung 
von  Wertzeichen  —  (le>5  Geldt-s  —  Lrewührcn  niü.^-te.  Freilich  würde  mit 
solch'  illustrirendeiu  idiuwciti  au  Ort  und  Stelle  üiclil  viel  zu  gewinueu  oein, 
indem  wir  finden,  dass  VöllcerschaftMi,  welche  sich  noch  im  Zustande  anal- 
phabetiscber  Wildheit  befinden,  auch  mit  dem  Gebrauch  des  Oeldes  oft 
unbekannt  sind. 

Der  vorstehende  Veif^loich  i;:t  ühnlich  schon  von  Loibniz  »^cmaclit 
und  verlohnt  es,  seinen  Gedaukeugaug  näher  darzulegen  (vei'gL  TrenUeien- 
hurg  1.  c.  auf  spätem  Seiten). 

Leibniz  geht  von  einer  psychologischen  Beti'achtung  über  die  Be- 
dingimgen  der  DeutUcbkeit  nnsres  Denkens  aus.  Ursprüngliche  und  ein- 
üsche  Vorstellungen,  so  wie  sie  z.  B.  aus  der  Wahrnehmung  stammen, 
pflegen  aach  anschaulich  reprodusirt  sa  werden.  Hingegen  denken  wir  die 
zusamnieni^esfttztc  Vorst cllifn«^  tremoiniglich  nur  durch  Zeichen.  Namentlich 
wo  behufs  Bestimmung  und  Erkenntniss  des  \Veseu3  eines  Dinges  eine 
längere  Zergliederung  nötig  ist,  schaueu  wir  die  gause  Natur  dieses  Dinges 
nicht  an,  sondern  kttnen  sie  im  Zeichen  ab,  indem  wir  darin  die  Fähig- 
keit zu  haben  meinen,  die  Vorstellung,  wenn  es  sein  muss,  (vollends)  sn 
entwickeln.  So  betrachten  wir  z.  B.  bei  dem  Begriff  eines  Tausendecks 
nicht  wirklich  alle  tausend  Seiten,  sondern  die  Zahl  tausend  uud  sich 
iineinandpr  schliessende  Seiten  schweben  nn.-  dunkel  vor,  und  statt  der 
diutlichcn  Vor8telhin!r  hedieiien  uir  uns  des  Wortes  al.^  eiues  Zeichens, 
wie  z.  B.  in  der  Arithmetik  uud  Algebra  alleutlialheu  t^Meditationes  de 
coguitione  Tcritatis  et  ideis,  snerst  in  den  Acta  emditorum.  Editio  Erd- 
mann,  p.  79,  80). 

Und  ferner  sagt  Leibniz  im  Eingang  seiner  deutschen  Schrift:  Un» 
vorgreiniche  (ledaukcn  betrcft'end  die  Ausübung  und  Verbesserung  der 
deutschen  Sprache  (Dutens  VI,  2,  p.  7  s<[q.  —  wahrscheinlich  1607): 

„Wir  haben  Zeichen  nötig  nicht  nur  (um)  uasre  Meinung  Andern  an- 
zudeuten, sondern  auch  unscrn  Gedanken  selbst  zu  helfen.  Denn  gleichwie 
man  in  grossen  HandelsstBdtoi,  auch  im  Spiel  und  sonsten  nicht  allezeit 
Geld  zahlet,  sondern  sich  an  dessen  Statt  der  Zeddel  oder  Marken*)  bis 
zur  lel/ft  n  Abrechnung  oder  Zahlung  bedient:  also  thut  auch  der  Verstand 
mit  den  Bilduiäsen  der  Dinge,  zumal  wenn  er  viel  su  denken  hat,  dass  er 

*)  Wir  würden  heutzutage  aagen:  der  BaohführuDg  und  Wechsel.  Der  Verf. 


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Einleitung. 


41 


BinUeh  Zeichen  dafttr  bvaueliet,  damit  er  nidit  nStig  habe,  die  Saobe  jedes- 
mal, 80  oft  tie  ▼orkmniiit,  von  neuem  zn  bedenken.  Daher,  wenn  er  eie 
dnmal  wohl  gefasst,  lien^nügt  er  sioh  hemaoh  oft,  nicht  nur  in  äusserlichen 

Reden,  snndern  aucli  in  (iediinken  nr\(\  inncrlicliem  Sell)st<,'ei.prSch,  das 
Wort  an  die  Stelle  der  Sache  zu  setzen.  Und  j,deicliwie  ein  Rochcnraeister, 
der  keine  Zahl  .-chreilien  wollte,  deren  (Tn-)  Halt  er  nicht  '/u;^leich  bed'iehto 
und  gleichsam  au  den  Fingern  abzählete,  wie  man  die  Uhr^üchlUge)  zaLiit, 
nimmer  mit  der  Reehouiig  fertig  werden  wfirde:  also,  wenn  man  im  Beden 
und  aach  selbst  in- Gedanken  kein  Wort  sprechen  (passiren  lassen)  wollte, 
ohne  sich  ein  eigentHolres  BUdniss  von  dessen  Bedeutung  zu  machen,  wttrde 
man  überaus  langsam  sprechen,  oder  vielmehr  verstummen  müssen,  auch 
den  Lanf  der  Gedanken  noth wendig  hemmen,  also  im  Reden  und  Denken 
nicht  weit  kommen.  Daher  braucht  man  oft  die  Worte  als  Ziffern  oder 
Re<:henpfeunige,  aiistatt  der  Bildnisse  uud  Sachen,  bis  man  stufenweise 
nm  Fadt  schreitet  nnd  beim  Yemimftsoblnss  (?  Endergebniss  der  Über- 
legung) zur  Sache  selbst  gelanget  Woraus  erscheinet,  wie  ein  Grosses 
dmn  gelegen,  dass  die  Worte  als  Vorbilde  und  gleichsam  als  Wechsel- 
zeddel  des  Verstandes  wohl  gefasset,  wohl  unterschieden,  zulftnglicb,  hftufig, 
leiehtfliessend  und  angenehm  seien." 

..Wenn  der  Oeometer",  sagt  Leibniz  in  demselben  Sinne  in  einer 
andern  Schrift  (t  uudamenta  calculi  ratiocinatoris ,  Editio  Erdmann,  p.  92), 
pSooft  er  im  Beweisen  eine  Hyperbel  odw  eine  Spirale  nennt,  immer  ge< 
Botigt  w&re,  ihre  ErUttmngen  oder  Entstehungsweisen  oder  wieder  die 
£rUftningen  der  diese  bildenden  BogriiTe  sich  genau  Tor  Augen  zu  stellen, 
so  würde  er  sehr  langsam  zu  neuen  Eutdekungen  gelangen;  wenn  der  Arith- 
metiker beim  Kechnen  die  Werte  aller  Ziffern  ntul  die  ^fenge  der  Ein- 
heiten nacheinander  dächte,  so  würde  er  nie  weitläufige  Kechnungen  zu 
Ende  bringen,  uud  es  wäre  nicht  anders,  als  wenn  er  statt  der  Zitl'ern 
miele  Steiuchen  anwenden  wollte;  und  der  Bechtsgelehrte  kann  nicht 
immer,  sooft  er  die  Aktionen,  die  Ezzeptionen  oder  die  Hechts wohlthaten 
ctwfthnt,  die  wesentlichen  Erfordernisse  dieser  Dinge,  welche  oft  weitlinfig 
and,  im  Geiste  durchlaufen,  und  hat  es  auch  nicht  nötig.'^ 

Wie  man  sieht,  berdhrt  hier  Leibniz  schon  den  bedeutsamen 

Unterschied,  welcher  »wischen  unmüfdbarm  (oder  „inhiUwen*')  und 

mitldbaren  (aymboUsehm)  VcrsteOimgm  besteht 

Man  kann  z.  B.  die  fflnfhundert  Billionen  Schwingungen,  welche  in 

einem  gelben  Lichtstrahl  an  irgend  einer  Stelle  in  der  Sekunde  vor  sich 
gehen,  sich  nicht  im  eigentlichen  Sinn  des  Wortes  ,.cni-<li  !!<  ti",  weil  das 
ganze  Leben  des  Menschen  auch  beim  Alter  des  .Methuüalt  in  nicht  aus- 
reicht, um  auch  nur  einer  einzigen  Billion  sich  mit  Gedankenschnelle 
folgender  Vorstellungen,  Empfindungen  oder  Wahrnehmungen  als  getrennter 
Doge  inne  zn  werden  —  ganz  abgesehen  von  der  ihrer  Kleinheit  wegen  auch 
nicht  mehr  Torstellbaren  Eüizelsehwingung  oder  Bewegung  eines  Teilchens 
in  seuer  zum  Strahl  senkrechten  elliptischen  oder  kreisE)Krmigen  Bahn  (so 
venigstens  für  den  Standpunkt  der  Fresnel'schen  ündululionstheorie, 
welcher  neuerdings  aber  eiuo  elektrodynamische  Theorie  de-  liiehts  —  von 
Maxwell,  nach  den  erstauulicheu  Entdeckungen  von  üertz  woi  siegreich  — 


42 


ElDleitciiigr' 


gogenüberöteht).  Man  kann  jene  gleichwol  noch  „denken**  oder  mittelbar  sich 
vorstellen.  Analog  vermögen  wir  vier  gegenseitig^  zu  einander  senkrechte 
Gerade  ofmc  Withrsjmu'h  uns»  zwar  zu  „denken'",  aber  nicht  mehr,  als 
(irgend)  drei  derbelben,  auf  einmal  uns  auschaulich  „vorzuaUilleu"  —  eine, 
wie  zu  Beben  ist,  imerlSsdiebd  ünterscbeidiiog,  die  bei  der  Kontrovene 
Uber  die  Baumdimensionen  vielfacb  miseiichiet  oder  tiberaeben  worden  ist 
Wir  bedauern,  bei  den  ans  bier  gesteckten  Zielen  auf  diese  interessante 
Frage  niebt  nocb  n&ber  eingehen  su  können. 

Je  uacbdem  sie  ibr  obiges  Ideal  bereits  erreicbt  baben  oder 
nicbt^  sind  die  exakten  Wissenschaften  aus  ibrem  ursprünglichen,  dem 
induktiTen  Stadium  in  das  deduktive  fibergetreteUi  pder  befinden  siob 

nocb  in  jenem. 

Hieraus  erhellt,  dass  die  allerwichtigsten  Funktionen  dem  Zeichen 
in  den  deduktiven  WiHst-nscliaften  obliegen  müssen,  ja  dass  dasselbe 
schliesslich  in  diesen  den  einzigen  Gegenstand  der  Beachtung  bilden  wird. 

Hier  ist  denn,  dioaer  Wichtigkeit  entsprechend,  der  „Bezeichnung'* 
überhaupt  und  spe;iicller  der  Namengebung,  Terminologie  oder  Ncmienklirtor 
aucb  die  allergrOsste  Sorgfalt  su  widmen.  Es  erscheint  c.  B.  ein  schwieriges 
mathematisches  Problem  oft  schon  halbwegs  gelöst^  sobald  es  gelungen, 
die  zweckmässigste  Bezeichnungsweise  für  die  zu  untersuchenden  Gebilde 
'in  entdecken,  in  wcIeLer  die  fundamentalen  Ei<7enschaften  derselben  am 
übersichtlichsten  und  angemessensten  Ausdruck  tiuden. 

Auch  zeigt  die  pUdagogi^cho  Erfahrung,  dass  diejenigen  Personen, 
welchen  eine  geringe  Begabung  zu  exaktem  Denken  zuzusprechen  ist,  alle- 
msl  eine  auffallende  Gleichgültigkeit,  oft  eine  sich  roniebm  dankende 
Qeringscbtttsnng  gegen  das  Zeichen  zur  Schau  tragen  und  in  dieser  Stimmung 
ünlust  verraten,  sich  in  die  Disziplin  des  Zeichens  zu  fUgen. 

In  der  Herrschaft  iilicr  die  Zeichen  —  zunächst  der  Wortsprache(n  i 
—  in  der  Ftlliii'kf^i»^  zum  und  Gewöhnnng^  an  korrekten  Gebrauch  der 
Wörter  und  ihrer  Abwandlungen,  Flexionen  und  au  richtigen  Satzbau,  püeg-t 
man  Überhaupt  ein  wesentlichem  .Merkmal  der  Bildung  mit  lietht  zu  erblicken. 

V,)  Aue  air  den  angeiübrien  GrOuden  erscheint  es  ratsam ,  aucb 
den  Prinzipien  der  Bezeichnung,  wie  sie  aus  der  Forderung  ihrer 
Zweckdienlichkeit  sich  als  notwendige  ergeben,  einige  Aufmerksamkeit 
▼on  Tornbereio  zuzuwenden. 

Zunächst  mfissen  wir  hier  einer  Verwechselung  von  „Name**  und 
„Wort''  vorbeugen. 

Was  ein  Wort  ist,  weiss  jedermann  (und  wird  dieser  Begriff 
unter  anderm  auch  in  der  Telegrapbie  nach  seinem  Umfang  scharf 
abgegrenzt). 

Nicht  alle  Wdrter  aber  sind  Namen;  Tielmehr  gibt  es  Worter,  die 
zwar  dazu  dienen,  in  Verbindung  mit  andern,  Namen  zusammenzuseizeo, 
für  sich  jedoch  noch  keinen  solchen  vorstellen  (Beispiele  nachher). 


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EiuleituDg.  43 

Anf  der  aadem  Seite  wird  nicht  jeder  Name  durch  ein  Wort  le- 
prasentirt,  eondeni  haben  wir  zu  tintascbeiden:  einworienge  und  vid- 
tpihiaige  Namen.  y,Die  Hauptstadt  des  deutsehen  Reiches'',  oder  auch 
„die  gr&sste  Stadt^  die  an  der  Spree  liegt''  ist  sogut  ein  Name  als  wie 
,,Berlin";  es  ist  sur  Zeit  ein  mit  diesem  letztem  gleichbedeutender  Name. 

Zu  d^  ans  Wörtern  zusauuneugesetzteD  Namen  kommen  in  dw  ^nsseii- 
Schaft  noch  Bnehstabeu  selbst  und  solche  Namen  hinsu,  die  sieh  aus  Buch' 
stalten  oder  Ziffern  mittelst  eigmer  Verkuüpfangszeichen  zusammenäetzcn. 
Solche  Namen  bezeichnen  wir  vorzugsweise  als  „analytische  AusdriicJcc" 
(fxprp??sinns,  termsX  Es  kann  und  wird  uns  oft  auch  ein  solcher  Ansdrnck, 
wie  (i.O>-\-c).   als  Name  oder  Zciclieii  für  ein  liinsf  zeitweilig'  lierhalten 

—  und  geben  wir  uns  der  HoÜuuug  hin,  das»  durch  dergleichen  blosse 
Namen  sich  ein  grosser  Geist  nicht  abschrecken  lassen  werde! 

Name  (nomen,  noun)  lieimen  wir  ein  Wort,  Wortj?»'fn*^e  oder 
Zeichen,  welches  nach  den  seinen  Gebrauch  rei^elnden  kuiiveutiuuen 

—  wonicht  gemäss  läutest  vorhandener  Übuns^  —  tuhig  und  dazu  be-  . 
stiiuLut  ist,  ein  Objekt  des  Denkens,  ein  „Ding"  ^stll^st  zu  bezeichnen. 
Der  Name  muss  deranach  (im  Nominativ)  als  Subjekt  eines  Satze» 
Btehen  können,  sobald  mau  (in  einem  isolcheu)  von  dem  Dinge  reden, 
etwas  darüber  aussagen  will. 

Von  den  Wörtern  stellen  deshalb  die  Hauptwörter  (Substantiva) 
ohne  weiteres  (im  Nominativ)  Namen  vor,  und  auch  die  Eigenschafts- 
wörter (Beiwörter,  Adjektiva)  und  Zeitwörter  (Verba)  sofern  sie  in 
substantivischer  Verwendung  vorkommen,  wie  „Weiss"  für  Etwas 
weisses  re>j».  die  Empfindung  weisser  Farbe,  oder  „Schwimmen"  für 
die  Thatigkeit  resp.  Kunst  des  Schwimmens.  In  der  Arithmetik  werden 
nnch  Zahlwörter  (Numeraliu)  substantivisch  als  Namen  gebrauchte 
Lud  selbstverständlich  werden  endlich  Fürwörter  (IVo-nomina),  wie 
y^Dieser^  oder  „Jeuer"  zu  den  Namen  gerechnet  werden  dürfen,  sofern 
sie  blos  als  Stellvertreter  eines  schon  erwähntt  n  fresp.  anderweitig 
bekannten)  Namens  fungiren,  um  Rücksichten  des  Wohlklangs  aber, 
oder  um  Umständlichkeiten  in  der  liede  zu  vermeiden,  kürzehalber, 
nur  dessen  Wiederholung  zu  ersparen  bestimmt  sind. 

Ii)  Uiijsre  Kulturspracheii  kennen  zehn  Wortarten,  oder  wenn  wir 
die  ja  für  die  LoLrik  ;^aii7.  belanglosen  An^Tufung.swörf  er  (Interjektionen) 
beiseit^i  la^^sen,  deren  nenne,  von  nelrlicn  wiederum  der  Artikel  in 
manchen  fehlt,  sodass  einige  dieser  Hpracheji  (wie  Lateinisch,  Russisch) 
sich  mit  acht  Arten  von  Wörtern  (nacli  der  Kiassitikatiou  der  i'bilo- 
logen  und  Grammatiker)  in  logischer  Hinsicht  bebelfen. 

Die  obenerwähnten  fünf  von  diesen  Wortarten  können,  wie  wir 


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Einleiiang. 


sahen  (auch  die  Yier  letztem  aber  nur  bedingongsweiae  und  in  be- 
stimmten ihrer  Formen  ^  wie  InfinitiT  des  Verbnms  eic«)  als  Namen 
Terwendet  werden. 

Die  übrigen,  als  da  sind  die  Umstandsworter  (Adverbia),  die  PrS- 

positionen  und  die  Bindewörter  (Konjunktionen)  sind  dessen  unfähig. 
Solche  Worter,  wie  „leider",  „zu",  „entweder"  sind  keine  Namen,  und 
dasselbe  gilt  auch  von  den  Flexionstormen  des  Rubstantivs,  wie  z.  B. 
der  Genitiv  „Artliurs''  etc.  (vergl.  Mi  11).  Die  Logiker  der  Aristotelischen 
Schule  („Scholastiker'')  bezeichneten  sie  als  „synkakgoronaiisciw"  Aus- 
drücke, weil  sie  erst  „zusammen**  mit  andern  ein  ninct  bezeichnen 
können  (etwas  „aussagen")  —  im  Gegeusata  zu  den  iSamen  oder  ^Ji^k- 
goretna tischen*^  Ausdrücken. 

Biete  Wclrter  können  auch  in  dor  That  nicht  al.s  Subjekt  eines  iSatzes 
btehen;  luau  kaun  nicht  sagen:  Arthurs  war  in  dem  Zimmer"  oder:  „Leider 
ist  zu  beklagen".  Man  kann  freihch  bageu:  „Leider  ibt  ein  deutsches  Ad 
verbium**.  In  diesem  Falle  aber  steht  „Leider**  für:  „Das  Wort:  leider**  — 
analog  wie,  wenn  wir  sagen:  f,Pfnfd  ist  ein  Hauptwort",  das  Subjekt  audi 
nur  als  ein  Wort  in  Betracht  fällt  und  nicht  in  Hinsicht  auf  dasjenige,  was 
88  bedeutet.  Man  könnte  solche  Verwendung  passend  als  die  ,.9i(ppo<fifio 
iimninalis"  bezeichnen  im  Gegensatz  zu  der  ..f^uppositio  viafcriftli.'^,  sivo  rea- 
lis"  (dies  zwar  zni,'un.sten  der  Zweckmässigkeit  abweichend  vom  scholastischen 
Gebrauche).  Wer  solcbeu  Unterbchied  nicht  anerkenueu  wollte,  der  müsste 
aneh  zageben,  dass  ein  gewisses  Hauptwort  vier  Hofe  hat  und  zw«  Obren  I 
Im  Deutschen  ist  dem  MissrerstKndniss  allerdings  einigermassen  Torgebeugt 
durch  den  Wegfall  des  Artikels  bei  ,,Da8  Pferd"  oder  „Ein  Pferd",  dessen 
r?eil)eluiliung  die  erstere  oder  nominelle  Auffassung  unmöglich  machen 
würde*)  —  nicht  so  allerdings  in  den  des  Artikels  entbehrenden  Sprachen. 
Es  erscheint  danuu  hier  beinahe  als  Lnxns,  zu  .statuiren,  dass  wir  die  Aul- 
fasbuug  des  Subjektes  als  eines  blossen  üsamens,  Wortes  oder  Wortgefüges 
spftterhin  stets  ausgeschlossen  wissen  wollen. 

o,)  Wie  ein  Zeichen  als  solches  beschaffen  ist^  auf  welche  Weise 
es  eventuell  aus  einfacheren  Zeichen  aufgebaut»  susammengesetst  wird, 
dies  ist  (zwar)  keineswegs  ganz  gleichgültig: 

Es  müssen  Zeicheni  die  für  häufigen  Gebrauch  bestimmt,  solchem 
ausgesetzt  sind,  vor  allem  angemessen  Jcwße  sein;  es  muss  Weitläufig* 
keit,  Komplikation  derselben  thnnlichst  vermieden  werden.  Andern- 
falls würde  ja  ibre  Anwendung  allemal  einen  irgerlichen  Aufenthalt 
▼eroTsachen,  und  vergegenwärtigt  man  sich  leicht,  wie  wenig  weit  wir 
mit  uneerm  Denken,  mit  nnsem  EriSrterungen,  Diskussionen  kommen 

")  Wofern  wir  nicht  sagten:  „Dan  Pferd'*  ist  ein  mit  dem  bOBtimsiten  Artikel 
verbiimlones  Hanptwort  der  deutschen  S|irnche.  Hierbei  weiaen  nur  noch  die  An- 
tührangszeichcn  auf  die  suppoaitio  nominalis  hin. 


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Einlmtang; 


45 


würden,  wären  wir  z.  B.  genötigt,  den  Namen  jedes  YonueteUenden 
immer  erät  in  Stein  zu  meisselnl 

Der  unter  Ji^)  erwähnten  psychologisclien  Unterstützung,  welche 
dag  Denken  aus  dem  Zeichen  schöpft,  würde  es  ohne  diese  Anforde- 
rung grösstenteils  verlustig  gehen. 

Von  den  Zeichen,  über  welche  die  Sprache  verfügt,  ei-füllen  (als  die 
einfachsten)  genannte  Anforderung  am  besten  die  Huchstabcti .  Deren  An- 
zahl ist  allerdiii^'ä  eine  ;4ering<'.  Man  hat  dittatlbe  in's  Unbegreiule  ver- 
mehrt, iuUem  uiaii  sie  eiuer&eitss  mit  „Acccnicn"  wie  in  a\  a",  .  .  .  andrer- 
seits mit  aogehSngten  Ziffern  oder  Zahlseichen  in  Form  von  ,^Hf/ixm", 
JStdlenjeeiffem*'  oder  ^ndkeg"  yersah,  wie  a|,  o,,  ^  etc. 

Ungeachtet  dieser  Vermehrung  dm  Vorrates  an  leidlich  einfachen  Zeichen 
hat  man  aber  vorgezogen,  dcn.^flbcn  Icoine  ein  für  allemal  feststelu  lule  IJe- 
deutnng  liir  den  menschlichen  Verkehr  überhaupt  beizulegen,  sondern  sie 
zu  vorübergehenden  Bezeichnungszwecken  sich  verfügbar  zu  erhalten.  Für 
eigenartige  Verwendung  in  bestimmten  Spezialwisäenschaften  (ich  erinnere 
stt  die  Zeichen  fOr  die  ehemischen  Elemente),  fttr  diTcrse  Untersnchmigs- 
gebiete  und  üntersnchmigen  (wie  Buchstabenrechnnngen)  —  eventuell  zu 
beliebiger  Verwendung  —  sind  die  Buchstaben  reservirt,  also  dass  diese 
gleielisam  die  Rolle  spielen  oder  den  Dienst  zu  versehen  haben  des  ,|Mfid- 
cheiiä  fiir  Alles"  ia  dem  Hau^lialle  —  mit  Zeichen. 

Zur  Unterstützung  des  Denkens  sowol  als  zur  Darstellung  und  Du- 
sehreihimg  8«ner  Gesetse  werden  anoh  wir  in  der  hier  vorHegenden  Spesial- 
wissensehaft  von  dieser  Gmut  dar  Sitaation  umfassenden  Gehranch  machen 
nsd  zwar  einen  viel  ernstlicheren,  als  es  in  Deutschland  bei  der  einschlä- 
gigen Tiiteratur  bislang  üblich  gewesen.  Auch  nehmen  wir  creleg-cntlich 
das  Vorrecht  jeder  Wissenschaft  in  Anspruch,  sich  fllr  die  eigenartigen  ihrer 
Betrachtaug  unterliegenden  Objekte  nü<ii  besondre  ZU  deren  Darstellung 
vorzugsweise  geeignete  Zeichen  zu  schaüeu. 

Im  fibrigra  sind  wir  aber  nicht  m  der  Lage,  die  Zeichen,  deren  vnser 
Denken  bedarf,  ▼oUkoramen  frei  nach  imserm  Gutdünken  —  beschränkt 
lediglich  dnrch  objektive  ZweekmUssigkeitsrücksichten  —  willkürlich  zu 
wählen,  sondern  wir  finden  uns  zunächst  daran  gebunden,  aus  einem  bereits 
vorhandenen  Zeichenvorrat  zu  schi  pfen,  indem  wir  eben  angewiesen  sind 
aal  den  historisch  überkommeneu  \V  urterscliatz  der  Sprache. 

%)  Von  dem  uns  schon  mit  der  Sprache  gegebenen  ZeichenTorrat, 
mit  welchem  wir  (also)  in  erster  Linie  zn  redmen  haben,  pflegen  ein- 
w5rterige  Namen  die  erwihnte  erste  der  an  das  Zeichen  an  stellenden 
Anfordemngen  immerhin  sdion  leidlich  gut  au  erfüllen. 

Das  hörbare  und  sichtbare  Zeichen,  als  welches  ein  solcher  Name 
erscheint,  zeigt  sich  nun  dergestalt  mit  der  Vorstellung  verwachsen, 
dass  diese  kommt,  wenn  das  Zeichen  ruft,  sowie  auch  umgekehrt  bei 
der  Vorstellung  uns  stets  der  Name  einfällt  —  Vorgänge,  bei  welchen 
sogar,  wie  unter  Aj)  auseinandergesetzt,  die  Vorstellung  nicht  selten 


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46 


Eialeitaiig. 


unToUendet  bleibt,  und  mehr  nar  im  Zeichen  als  in  dieser  selbst  ge- 
dacht wird. 

Nur  zu  einem  versehwindend  geringen  Teile  aber  besteht  ein  angeb- 
barer Znsammenhang  swischen  diesem  Zeichen  und  dem  Bezeichneten, 
zwischen  dem  Wortlaut  des  Namens  und  dem  Inhalt  der  Vorstellung 
oder  demjenigen,  was  der  Name  benennen  soll  (Trendelenburg  1.  c). 

Solches  ist  ja  in  der  That  bekanntlich  der  Fall  bei  den  sogenannten 
„Ononuriopoetica",  die  z.  B.  mit  Jem  Klange  des  Numeus  eine  Schallwirkuug 
des  zu  benennenden  Dinges  nachalimcn,  wie  die  Hauptwörter:  Rabe*),  Knall, 
Donner  und  andere,  wie  die  Zeitwörter:  mockern,  miauen,  zirpen,  rollen  etc. 
Auch  manche  Interjektionen,  wie  patseb,  |»lumiis,  knak,  k<lnnten  hierzxj  an- 
getührt  werden.  Bei  dem  Wort  „Blita"  sollte  man  meineu,  da^is  die  Plötzlich- 
keit nnd  Ebne  der  betreffenden  Licfatersdkdinaog  dnrch  die  Kttrze  der  Silbe 
angedeutet  werde.  Und  um  z.  B.  das  griechische  Wort  ßdiUa  für  Blutegel 
ausKusprechen^  müssen  die  Lippen  eine  saugende  BcweguuL,'  iindeuten  et&  etc. 

Der  spnichenbildeude  Geist  knüpft  überhaupt  das  Zeichen  an  eine 
hervorstechende  Seite  der  Sache  an;  aber  «lie  Anknüpfung  an  den  Inhalt 
des  unter  dem  Zeichen  Begriffenen  ist  einseitiir  mi-l  /uffillig,  gestattet,  keinen 
hinreichend  bestimmten  Rückschluss  auf  den  vollen  Inhalt,  das  ganze  Wej.eu 
desselben.  Das  andeutende  Gepräge  des  Zdchens  schleift  sidi  Überdies  mit 
der  Zeit  ab,  und  die  urBprttngliche  Marke  ist  in  ganzen  Sprachen  verwiscbl 
Die  verschiedenen  Sprachen  bezeichnen  in  der  That  dasselbe  Ding  anch  mit 
den  verschiedensten  Wörtern. 

Der  Laut  schlagt  diejenige  Yorstellung  in  uns  an,  welche  sich 

mit  himekr  Gewokmng,  aber  nicht  mit  unterscheidendem  Bewusstsetn, 

welche  sich  faktisch,  aber  nicht  logisch  in  cto  Zeichen  nnd  in  kein 

*)  Die  meisten  -wol  der  hier  (zum  Teil  auch  vielfach  amb-rwatts)  als  solche 
angeführten  Onomatopot.tit  a  werden  in  den  Augen  eines  iL'i  üjuüichen  Sprach- 
forschers unechte  sein.  In  seinem  berühmten  Werke  mucht  Uurr  Max  Miiiier'*  * 
darauf  aufmerksam,  wie  leicht  man  sich  in  dieser  Uinsicbfc  t&ascht  ond  wie  die 
Mehisahl  der  Termeintlich  aiu  Klangnaohbildimg  herrorgegangenen  Wörter  anf 
gans  sadere  Quelle  surficksufllhren  ist^  sodass  nur  gaa«  wenige  —  darunter  s.  B. 
das  Wort  „Kuckuck**  —  als  sweifclioses  Onomatopoeticon  übrig  bleiben.  Speziell 
fnhrt  er  an,  dass  nnser  „Donner",  ,,tonerre'',  ,,tonitru"  etc.  von  derselbon  Panscrit- 
wurzel  „tan"  =  strecken,  spannen  (dthmn't)  abftamrat,  die  auch  im  ,,ron"  der 
gespannten  Saite,  sowie  m  „teudre'*,  \nt  ,.ten(  r"  *  tc  und  in  „lenuis",  „dünn" 
(ursprünglich  =>  flach  ausgct>paimt)  zu  Ünden!    ünil  aaileres  mehr. 

Allein  wenn  auch  bei  der  Zusammenseuung  der  Wurselo,  aus  der  ein  Wort 
kervoi^egangefl,  das  onomatopoetische  Prinsip  naehweislidi  nicht  bestimmend  ge- 
wesen, so  könnte  es,  scheint  mir,  doch  mit  von  Einflusa  gewesen  sein  bei  dem 
Prozesse  der  naclihm i>,'i'ti  Abschleifung  (M.  MüUcr's  „lautlichem  Verfalle'*  oder 
der  „phonetischen  Korruption"),  (Inrch  die  scbliesplich  Has  Wort  seine  f^cgcnwürtigc 
Gestalt  erhalten.  Jedenfalls  empünden  wir,  die  wir  dii-  lertig*-  Sprachi»  sprt.'chfn, 
solche  onomatopoetische  Anklänge,  glauben  t»ie  herauj^zufühleu,  gau^  uubeküuinicrt 
um  die  hiatonsohe  Berechtigung  dieser  Empfindung. 


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Einleittmg. 


47 


anderes  gekleidet  hat  (ibidem).  Vielmehr  iat  es  allemal  eine  haupt* 
rikhlich  von  psydiologMm  Momenten  beherrschte,  von  vielen  äusseren 
Zaialligkeiten*)  beeinflusste  historische  Entwickelang,  in  welcher  eben 
dies  Zeichen  als  Name  für  das  vorgestellte  Ding  sich  herausgebildet  hat. 

Diese  Wahrnehmung  ist  schon  geeignet,  uns  die  Bemerkuii-^ 
nahe  7.v.  lr>u;«'n,  wie  es  wünsclicn.swert  sein  muss,  dass  tlio  Namen  oUer 
Zpichen  al.s  solche  auch  noeli  eine  zweite  Anforderung  erfüllen,  die  wir 
tiüätwpilfii  erst  in  imljcstimiuton  Umrissen  dahin  cliariikterisiren  können, 
dass  sii'  (aii^  rinfachercn  oder  den  einfachsten  Zeichen)  auch  rationell 
lasanimengesetzt  sein  sollen. 

ViolwörterifTC  Niiinrn,  wie  sie  in  Gestalt  einer  umständlichen  Beschrei- 
tung hcruf'.-^tellt  uml  dann  oft  iu  DeliniLionen  ah^^ekür/t  zn  werden  ptiegeo, 
vermügen  allerdmgö  diebe  Anforderung  iu  gewis«ern  Grade  m  erfüllen. 

Zufolge  zahlloser  UnvoUkommoiheiteB  der  Wortspraehe,  welche  sich 
i«ar  historisch  erkiftren,  doch  nimmermehr  sachlich  rechtfertigen  lassen,  ist 
aber  lu  ihrer  IToi  -tellung  oft  noch  ein  hohes  Maass  von  Geschicklichkeit 
erförderiich :  es  ist  auf  verschiedenen  Gehieten  noch  f<3rmüch  eine  Kunst, 
mit  Ausschliessung  von  Missverständnis^en  nnzweifelhaft  zu  sagen,  von  was 
man  eigentlich  reden  wolle,  und  i  nt^iprinLjen  aus  den  erwähnten  ünvoll- 
kommenheiten  Schwierigkeiten,  mit  \vt  l<  lien  Kedner  und  Schriftsteller,  üntev- 
rieht  tukd  Gesetzgebung  bestibldig  imgcu. 

£8  erwSchst  uns  das  Ziel,  auf  eine  Vervollkommnung  des  elementaren 
Bwsiehnnngssystems  für  unsre  Ideenwelt  hinzuarbeiten,  auf  welches  wir  noch 
«ingeheoder  und  wiederholt  die  Aufmerksamkeit  zu  rkhten  haben  werden. 
%t  eini<:^em  Krfolg  können  wir  die?  ahcr  erst  thun,  wenn  wir  in  ungern 
Betxachtimgen  weiter  fortgeschritten  sein  werden. 

tf,)  Ist  so  in  der  That  die  äusserliche  Beschaffenheit  eines  Namens 
immerhin  nicht  gleiclignltig,  so  tritt  solches  Moment  doch  weit  zurück 
gegenSber  einem  andern:  wir  meinen  die  Konsequenz  oder  Disziplin 
sut  welcher  das  Zeichen  gehandhabt  wird.  Diese,  und  nicht  die  Be- 
schaffenheit seiner  äussern  Erscheinung,  ist  bei  dem  Zeichen  die 
üampfsadie. 

Als  das  wesentliche  oder  fmidamentale  Erfordemiss  des  Namens 
und  Zeichens  haben  wir  es  hinzustellen ,  dass  das  Zeichen  bei  denen, 
die  es  branchen,  und  denen,  die  es  vernehmen,  auch  bei  jeder  Wieder- 
boltmg  (wenigstens  innerhalb  eines  bestimmten  Zeitbereiches)  die  gleuAe 
Vorstellung  begleite  oder  erwecke^  nämlich  diejenige  Vorstellung,  welche 
die  Wahrnehmung  oder  Erkenntniss  —  eventuell  die  Erfassung,  Kon- 
leption,  das  Innewerden  —  desselben  Objektes  in  ihrem  Geiste  notwendig 
erregen  mQsste  (und,  von  subjektiven  St5rungen  abgesehen,  iu  jedem 
antretenden  Falle  auch  whrklich  erregt). 

*)  Vcrgl.  z.  D.  Herrn  Otto  Bebagbera  anregende  und  lehrreiche  Sohrift'. 


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48 


Binlaitang. 


Es  würde  den  Zwecken  der  Bezeichnung  zuwiderlaufen  und  uns  um  alle 
Vorteile  derselben  bringen  oder  tüe  beabsichtigte  Wirkung  wenigstens  in 
Frage  stellen,  wenn  bei  dem  zur  Vei  ständiü^nng  zwischen  Men><  heu  statt- 
findenden Verkehr  der  Eiue  dies  der  Andere  das  unter  demselben  als  Name 
fallenden  Zeichen  Teratttnde;  der  Httrer  kSnnte  nidit  wieaen,  was  darunter 
m  denken  beabsiehtigt  ist,  wenn  der  Redende  selbst  von  der  einmal  dem 
Zeichen  von  ihm  beigelegten  Bedeotong  v.u  :ui<l< m  Meilen  willkürlich  abginge, 
und  endlich  auch  von  der  auf  Erkenntuiss  irgend  welcher  Dinge  gerichteten 
(und  niitfhlich  in  Zeichen  zu  führenden)  Üher!e*7nng  des  einsamen  Forscliers 
wäre  nicht  abzusehen,  wieso  dieselbe  erfolgreich  7m  nein  vermöchte,  wt-nu 
dabei  der  Zusammenhang  zwischen  den  Zeichen  und  ihrer  Bedeutung  sieh 
verschöbe,  wenn  die  vorgestellten  Dinge  ihren  Namen  sozusagen  entschlüpften, 
wenn  nidit,  wenigstens  xeitweilig  und  bis  zur  Erlangung  bestimmter  als 
Rubepunkte  xu  fizirender  Endergebnisse  solcher  Überlegung,  die  Bedeutung 
der  meisten  Zeichen  konsequent  beibehalten,  ,/c;9/gehalten^^  würde. 

Darin,  dass  das  unter  dem  Zeichen  Gedachte  demselben  eindeutig 
entspredtef  erblicken  wir  darum  die  wesentlichste  Anforderung,  die  an 
den  Gebrauch  des  Zeichens  su  stellen  ist  Der  Name  soll  von  einer 
bestimmt  feststehenden  oder  konstanten  Bedeutung  sein;  er  soll  als 
ein  tjemsmntgei**  oder  nomen  univocum  verwendet  werden. 

Schon  bei  oberflichlicher  Überlegung  malen  wir  uns  leicht  die  ün> 

Sicherheit,  eventuell  Verwirrung,  Eonfusion  aus,  die  entstehen  muss,  W«UI 
z.  B.  in  einer  Gesellschaft  drei  Herrn  den  Namen  Müller  führen  und  nun 
dor  Herr  Müller  c^enifen  oder  erwflhnt  wird.  Das  Bcdürfuiss,  den  Namen 
diucli  Hin/.ufii.L,ning  wt  itcier  I*e.-,timmuugeii  zu  einem  eindeutigen  gestaltet  zu 
bclicn,  liesä  jenen  6pa«»vogel  seine  Wette  gewinnen,  dasä  er  auf  die  einem 
jeden  s«ner  Bekannten  auf  der  BOrse  in^s  Ohr  geflüsterte  Mitteilung :  „Hast 
du  schon  gehört,  dass  der  Meier  falJirt  hat?**  allemal  aur  Antwort  die 
Gegenfrage  erhalten  wflrde:  ,,Welcher  Meier?*' 

Wie  selten  auch  zur  Zeit  noch  die  im  Wortschatz  der  Sprache 
uns  gegebenen  Namen  diese  Anforderung  erfüllen,  so  ist  es  doch  als 
ein  Ideal  hinaustellen,  dem  die  Sprache,  um  ihren  Zweck  der  Ver- 
ständigung ausgiebigst  zu  erreichen,  anstreben  muss,  und  dem  sie  auch 
in  der  That  in  fortschreitender  Entwickelung  sich  immer  mehr  su 
nähern  scheint:  gleichwie  das  Ding  und  die  Vorstellung  von  demselben 
einander  eindeutig  mit  Gesetsmässigkeit  entsprechen,  so  auch  das  Ent- 
sprechen zwischen  dem  Vorgestellten  und  seinem  Zeidim  sa  ^em  ein^' 
dentigen  zu  gestalten,  also  dass  auch  das  Ding  und  sein  Zeichen  ein- 
ander eindeutig  zugeordnet  erscheinen  werden  und  das  letztere  in 
Wahrheit  der  Stellvertreter  oder  Repräsentant  des  erüteru  genannt 
werden  dürfe. 

Gehörte  ein  Diug  der  Aussenwelt  an,  so  war  die  Vorstellung,  die  wir 
uns  von  demselben  (soweit  es  nberfaaupt  fllr  uns  erkennbar  ist)  zu  bilden 
haben,  durah  eine  (wir  mögen  sagen  „natnrgesetaliehe**)  Notwendigkeit 


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Bmleitmig. 


49 


bestimmt  zu  denken,  und  bildete  dies,  wie  wir  gesehen  haben,  eine  unerlUss- 
lirhc  VoraTissetzuug  der  Erkfiintnis sichre.  Die  letztere  dürfte  sogar  der 
t bierüeugung  nicht  wol  entrateu  krinnen,  dass  diese  Vorstellung  naeli  liiii- 
reichead  gründlicher  Prüfung  des  Dinges  bei  allen  latelligenzcu  in  let2ter 
Li&tanz  ^OBelbe  werden  muas,  dase  Ton  dem  ziebtig  erkannten  Dinge  die 
Vorstellnng  eine  (mathematische)  Fnnlction  ist^  und  sofeme  die  Erkemitniss 
vollständig  ist,  anch  das  Ding  eine  Funktion  der  Vorstellung  —  eine 
Wecfas6lbezieliuii;cr,  die  wir  dann  als  ein  gegenseitig  eindeutiges  Entsprechen 
hinzustellen  berechtigt  waren. 

Man  kann  allerdings  ein  „Ding  an  sicli''  auf  verschiedene  Simir-i^eiioi- 
gieen  einwirken  lassen  und  dadurch  verschiedene  Teilvorstellungen  von 
demselben  erhalten;  es  ist  zunächst  die  aus  diesen  resultirende  Gesamt- 
Tontellaiig,  welche  bei  der  vorstehenden  Auseinanderseteung  gemeint  war, 
welche  letztere  dann  aber  auch  für  (irgend)  eine  bestimmte  dieser  T«l- 
vorstellungen  in  Anspruch  genommen  werden  kann.  Durch  die  Thatsacben 
der  Farbenblindheit,  Taubheit  etc.  erscbtinf  c.'^  wol  noch  geboten,  hierzu 
das  Zugestflndniss  zu  machen,  dass  in  jener  üesamtvorstellunir  oder  in  Üezng 
auf  gewisse  von  den  Teilvorstellungon  anfönglich  ein  Aiistall  bei  manL^ol- 
baft  organisirten  Individuen  möglich  ist,  der  jedoch  mitteist  induktiver 
flehlfisse  indirekt  ergänzt  zu  werden  vermag:  es  faum  s.  B.  auch  ein  Farben- 
blinder das  Vorhandensein  roten  Lichtes  durch  die  Wlbnnewirknng  im  Spektrum 
von  dem  des  grünen  unterscheiden,  und  ein  Tauber  mittelst  des  Tastgeftthls 
die  im  Tönen  begriffene  Saite  von  der  lantlos  mhenden. 

Tj)  Für  ein  Ding,  soweit  es  für  uns  erkennbar  ist,  mehrere  ver- 
schiedene Namen  zu  haben,  ist  allerdings  mit  den  Zwecken  der  Ge- 
dankenmitteiluiio;  .selir  wohl  vereinbar  und  es  darf  dies  nicht  als  ein 
eigentlicher  Misstand,  sondern  lukhsteu»  als  ein  Luxus,  vielleicht  eine 
Verschwendung,  hingestellt  werden. 

In  der  That  stehen  uns  für  dasselbe  Ding  zunächst  oft  verschie- 
dene Nameu  zugebotei  indem  es  möglich  ist|  dasselbe  von  sehr  ver- 
schiedenen Gesichtspunkten  aus  zu  beschreiben  —  welche  Beschreibang 
dann  jedesmal  als  ein  Name  für  das  Ding  angesehen  werden  kann, 
und  manche  wissenschaftliche  Untersuchung  dreht  sich  darum,  ob  ein 
anf  diese  nnd  ein  auf  jene  Weise  definirtes,  eingeführtes,  bescbrieb^ies 
Ding  das  nimliche  sein  muss,  oder  ein  anderes.  Sind  aber  solche 
Unteraudinngeii  beende^  ist  das  Ding  voll  erkannt^  so  wird  es,  auch 
im  erstem  Falle,  doch  praktisch  eracheinen,  fortan  nur  ewe»  und  zwar 
die  als  die  aweckmSsBigste  erscheinende  von  allen  Benennungen  des 
Dinges  als  seine  „offizielle''  Bezeiehnung  (standard  notation)  in  der 
Wissensdialt  beiznhehalten. 

Wie  es  nun  Überhaupt  möglich  gemacht  werden  kann,  daas  eine 
Mehrheit  von  Menschen  dasselbe  vorgestellte  Ding  je  mit  dem  gleichen 
Namen  (eindeutig)  bezeichne,  und  zwar  nicht  nur  auf  dem  Gebiete  der 

SouAmn,  A]f«bt4  dar  Logik.  4 


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50 


Einleitmig. 


materiellen  Welt,  wo  man  auf  die  Dinge  hinzaweisen  vennag,  sie  mit- 
unter gleichsam  etikeittren  jcdnnte,  sondern  aach  aas  der  geistigen 
Welt)  ans  der  Welt  des  BewusstseinSy  mit  dem  ganzen  Beichtum  von 
Beziehongen,  die  es  wahrsnnebmen  Termag,  ans  der  Welt  des  Gemüts* 
lebens  und  Wollens,  der  GefQlile,  auf  dem  gesamten  intellektuellen 
Gebiete  —  wie  es  m*  a.  W.  erreicht  werden  kann,  dasa  jene  Mehrheit 
dieselbe  Sprache  rede  —  dies  ist  auf  den  ersten  Blick  schon  sehr 
erstaunlich. 

Indessen  unternehmen  wir  es  nicht,  diese  interessante  Frage  zu 
beantworten,  hier  anseinandensusetsen,  kraft  welcher  von  der  Natur 
in  den  Menschen  gelegter  Triebe  und  auf  welche  Weise  in  dem  Jugend* 
liehen  Yerkebr  des  Indifiduums  mit  seinen  nächsten  Anverwandten, 
durch  die  Erziehung  und  das  Leben  diese  Aufgabe  losbar  ist  und  in 
weitem  Umiauge  auch  gelöst  zu  werden  pÜegt. 

Es  genfigt  zu  konstatiren,  dass  aber  die  Aufgabe,  welche 
nationale  Gemeinschaft  wir  auch  in's  Auge  fassen  mögen,  doch  bei 
weitem  nicht  ToUkommen  gelöst  ist  Der  Sprachschats  einer  jeden 
Ton  unsem  Eulturspraehen  überliefert  Tiehnehr  uns  eine  Fülle  von 
Namen,  welche  der  oben  als  wesentlich  aufgestellten  Anforderung  der 
Eiosinnigkeit  durchaus  nicht  genügen,  im  Gebrauch  deon  auch  durch 
ihren  Doppelsinn  zur  Quelle  Yon  MissTerstSndnissen  werden  und  Un- 
bedachtsamen  gegenüber  nicht  selten  zu  missbriluchlicher  Anwendung 
sich  hergeben. 

Ein  Name,  bezüglich  dessen  jene  Anforderung  nidU  erfüllt  ist, 
heisst  ein  ,^doppiismiiigaf*^  oder  „mehnkmiga^,  nomen  aegiiwocum  oder 
ambiguum,  wofern  er  nümlich  —  dies  müssen  wir  eigentlich  der  vor^ 
stehenden  Erklärung  noch  hinzufügen  —  überhaupt  (einen)  Sinn  hat, 
wirklich  Name  ßr  dtvas  ist,  ni.  a.  W.  falls  wir  nur  den  sinnloseu  oder 
„unsinnigen"  Kauicji,  wie  „rundes  (Quadrat"  (dergleichen  die  Wissen- 
schaften gelegentlich  aucli  liervorbringeu)  beiseite  lasaeu. 

Für  „doppelsinnig"  wird  auch  häufig  „zweideutig''  gesagt;  doch  könnte 
dieser  Gebrauch  selbst  zur  Quelle  von  MissTerstSndnissen  werden,  indem, 
wie  wir  nachher  sehen  werden,  auch  das  Wort  „zweideutig^  ein  doppel« 
sinniges  ist  —  vergL 

Das  Wesen  der  Doppelsinnigkeit  ist  nicht  darin  au  erblicken,  dass 
der  Name  eine  Mehrheit  Ton  Dingen  als  seine  Bedeutung  umfasst  (wie 
einerseits  der  „Kollektivname"  und  andrerseits  der  „Gemeinname",  von 
denen  weiter  unten  die  Bede  sein  wird).  Vielmehr  beruht  solche  ledig- 
lich auf  dem  sdnuankendm  Chbnuche,  dem  wir  den  Namen  unterwerfen. 
Die  Doppelsinnigkeit  ist  ein  Merkmal  der  Anumduiigsweiae  des  Namens. 


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Einleitiiiig. 


51 


Sie  tritt  nämlich  erst  ein,  indem  wir  (ev.  gewobaheitaniässig) 
Urteile  l'äUen,  zu  denen  wir  nur  berechtigt  sind,  einmal  im  Hinblick 
auf  eine  bestimmte  von  den  Bedeutungen  de»  Nainciis  und  bei  Aus- 
ackloas  seiner  übrigen  Bedeutungen,  ein  andermal  ebenso  im  Hinblick 
aof  eine  andere  von  diesen  Bedeutungen  bei  Ausschluss^  Tielleicbl^  der 
entern,  u*  s.  w. 

Beger^nen  wir  z.  B.  Urteilen,  wie:  „Alle  Metalle  sind  chemische 
Elemente"  und  femer:  „Messing  ist  ein  Metall^^,  so  erscheint  dadurch 
der  Name  Metall  zu  einem  doppelsinnigen  gestempelt  Jedes  Ton  diesen 
Urteilen  kann  für  sidi  als  richtig  anerkannt  werden^  wenn  nur  die  Be- 
deotong  des  Namens  Metall  auf  eine  bestimmte  Weise  aufgefasst^  be> 
grenzt  wird.  Diese  Abgrenzung  ist  aber  beidemal  yerschieden;  sie  ist 
eine  andere  (und  zwar  hier  Mos  eine  |,engere'0  dem  erstem  Urteile, 
wo  sie  mit  der  in  der  chemischen  Wissenschaft  üblichen  zusammen* 
fallt,  als  bei  dem  zweiten  Urteile,  wo  sie  sich  deckt  mit  der  („wei- 
teren') AnfiPassnng,  welche  dem  Namen  Metall  in  der  Technik  und  im 
gewöhnlichen  Leben  zuteil  wird. 

Wer  nun  solcbe  Doppelsinnigkeit  fibersähe,  der  würde  sich  schwer- 
lich der  SchluBsfolgerung  erwehren  können,  dass  Messing  ein  chemisches 
Element  sein  müsse  —  wogegen  es  bekanntlich  doch  eine  Mischung, 
Legirunß:  aus  Ziuk  und  Kupfer  ist. 

In  aliiilicher  Weise  vollziehen  wir,  sooft  zwei  oder  melir  Bedeu- 
tungen eines  Wortes  uns  unbewusst  vermengt  werden,  fast  unver- 
meidlich logische  Felilsehlilsse  —  eine  Bemerkung,  zu  welcher  spätere 
Betmchtungen  uns  noch  vielfach  Belege  liefern  werden.  (Vergi.  be- 
sonders §  4.) 

Um  (mit  .Tevons)  dies  noch  durch  ein  Beispiel  zu  illnstriren,  wo  der 
Doj.jH'l.-«inn  etwas  weiii<,'er  augenfällig  i^t,  so  könnte  jemand  argumeutiren: 
^Strafe  ist  ein  Übel".  „Andern  (wenn  auch  in  bester  Absicht)  ein  Übel 
suzofOgen,  sollte  nicht  erlaubt  sein,  ist  unrecht^*  Ergo:  „Andern  eine  Strafe 
ttlgedeihen  sn  lassen  (zaxnfügen),  ist  unreehl**  Der  Doppelsinn  liegt  im 
Worte  nt^bd**«  welches  im  ersten  Sataee  au&u&sseu  war  als  physisches  Übel 
oder  Leid,  im  sweiten  dag^eu  als  moralisches  Übel  Etc. 

Sehr  treffend  sagt  Baco  Ton  Yerulam:  Die  Mensehen  glauben 
swar,  daas  ihr  Verstand  die  Worte  beherrsche,  aber  ee  kommt  auch 
Tor^  dass  die  Worte  ihre  Gewalt  Aber  den  Verstand  rfickwirkend  geltend 
machen  (^Credunt  homines,  rationem  suam  Yerbis  imperare,  sed  fit 
etiamy  oi  Terba  yim  suam  super  rationem  retorqueanf')* 

9x)  Es  ist  darum  JoYons*  beisupflichten,  wenn  er  sagty  dass  nichts 
nr  Erlangung  korrekter  Gewohnheiten  des  Denkens  und  Schliessens 

4* 


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53 


EÜDleitang. 


mehr  ins  (Tcwiclit  lallfii  Ivöniie,  alf  t^im-  ^Tiindliche  liekuiintschal't  mit 
den  grossen  (  iivolikommeiilieiten  der  Spruche,  mul  dass  an  jiraktischem 
Nutzen  kaum  ein  Teil  der  Logik  dcnjcnitreii  übertreffen  dürfte,  der  auf 
die  Vielsimiipkoit  der  Ausdrücke  aufmerksam  macht  Je  mehr  man 
sieh  in  der  That  in  die  subtilen  Schwankungen  (variations)  in  der 
Bedeutung  ganz  geläufiger  Worte  vertieft,  desto  mehr  wird  man  die 
gefährliche  Natur  der  Werkzeuge  (tools)  gewahr,  deren  wir  ans  bei 
allen  Mitteiiaagen  and  Argumentationen  zu  bedienen  haben. 

Wird  der  Gebildete  auf  diesen  Punkt  auch  ßorgsamor  achten  als  der 
üni,'ebildete.  so  i>t  docli  auch  jenem  im  allffemelnen  dw  A'orwiirf  nicht  zu 
ersparen,  dass  selb.-t  da,  wo  die  Sprache  ;dur  Vcnneiilun«^'  jnier  Doppel- 
sinnigkeit böfjuL'iue  AuiiUruoksmöglichkeiten  bietet^  er  sich  diese  nicht  immer 
hinlänglich  zunutze  macht. 

Mit  Recbt  bebt  z.  B.  Hill  die  Doppelainnigkeit  kerror,  mit  welcher 
faat  allerorten  das  Pronomen  „derselbe  (dieselbe,  dasselbe)*^  gebraucht  za 
worden  pflegt  —  bald  im  Sinne  von  „der  nUmliche''  (und  daun  also  auch 
„gleiche"),  bald  in  dem  Sinne  von  „ein  gleicher",  aber  nicht  der  iillmliche. 
Ks  ist  im  Grunde  (im  erstem  Öinne)  nicht  derselbe  Eindruck,  den  ich  em- 
piange,  wenn  ich  ein  sich  gleichgebliebenes  Ding  ein  zweites  Mal  wahr- 
nehme. Wie  oft  spricht,  man  nicht  auch  von  „Produktionen",  wo  man 
eigratlich  yon  den  Prodnktra  reden  mUsstCt  und  dergl.! 

Der  Doppelsinn  des  Hülfszeitworts  „sein"  als  Kopula  und  als  Existenz- 
behauptung —  z.  B.  Der  Pegasus  ist  geflügelt  und  ist  (d.  h.  existirt)  doch 
überhatipt  nicht!  —  hat  jaltrhundertelan!?  die  Lof^nker  vexirt,  ja  iu  der  Irre 
herumgetührt.  Auf  den  Doppelsinn  maucher  Wörter  der  ei^'i'nen  Sprache 
wird  mau  durch  das  Studiuiu  fremder  Sprachen  erst  aufmerksam  gemacht; 
80  durch  die  frans^isisehe  Unterseheidnng  zwischen  „pouToii^  und  ,)6aT0ir" 
auf  den  Doppelsinn  des  deutschen  f^kfinnen";  auf  den  der  Yerba  ,»haben** 
und  „sein"  (letzteres  in  noch  einer  andern  als  der  vorbin  erwSbntcn  Hin- 
sicht) durch  die  Unterscheidung  zwischen  ,,haber"  und  „teuer"  resp.  „ser" 
nnd  j.estar"  im  Spanischen.  Ist  „Vorstellung"  doppelsinnig  als  Akt  und 
als  licsultat  des  VoraKllens,  m  haben  wir  uns  bestrebt,  das  Wort  hier 
ijumor  uur  im  ieUleru  Öiuue  zu  gebrauchen. 

Triftig  bemerkt  Je  v  one ,  dass  bierin  selbst  die  Logiker  sich  nicht  viel  besser 
gezeigt  haben,  als  andere  Leute.  Unter  dem  Wort  „Negation"  werden  wir  selbst, 
eben  notgedrungen  dem  Sprachgebrauch  huldigend,  nicht  umhin  können,  bald  zu 
▼erstehen  die  Operation  des  Negireiis,  bnM  alter  das  Er<;obiiiss  dieses  l'rozesses. 

Der  Doppelsinn  eines  Wort?  if^t  um  so  ungefährliche! ,  je  weiler  die 
Gebiete  des  Denkens  (BegriffsspLiircn),  denen  seine  verschiedenen  Bedeu- 
tungen angehören,  auseinauderliegen.  So  dürfte  z.  B.  der  Doppelsinn  des 
Wortes  „Widder"  zur  Bezeichnung  des  Btembilds  im  Tierkreise  «ner-  und 
des  mSnnlicben  Schafes  andrerseits  (ev.  auch  noch  für  eine  mittelalterliche 
Belagemu^^'sina  chine)  nicht  leicht  Verwechselungen  nahe  legen. 

Auf  die  aus  Meinnnj^sversciru  denheit  unter  den  Menschen  entsprinpende 
Mehrsinnigkeit  von  Ausdrücken,  wie  „die  schönst«  Frau'\  „das  beste  Ver- 
faliren' ,  etc.  macht  die  Logik  von  Port-Eojal  noch  aufmerkiiam. 


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Eialeitnng. 


53 


Univokeu  Termen  (termini)  bej^egnet  man  besonders  in  der  Sprache 
der  Technik  und  Wisaenschatt,  und  sieht  sich  jede  Disziplin  genötigt, 
dergleichen  nötigenfalls  sich  selbst  zu  schatieu,  sei  es  durch  Restriktion, 
Einschränkung  eines  schon  vürhandeiien  Wortes  der  Sprache  auf  eine 
bestimmte  unter  seinen  landiäuligeii  Bedeutungen  —  mitunter  aucli 
nr<t<  r  Spegialistrung  oder  GeneraUsirmgf  Verallgemeinening  desselben^ 
also  Verengerong  oder  Ei  Weiterung  seiner  Bedeutung  —  sei  es  durch 
Einführung  gang  neuer  Wortbildungen. 

Überhaupt  sehen  wir  die  Sprache,  um  den  beständig  sich  steigernden 
Bezeichnungsbedttrfnissen  zu  genfigen,  in  einem  notwendigen  Wadtstum 
begriffen,  zu  welchem  ausser  den  soeben  erwähnten  Prosessen  noch  be- 
sonders auch  beisteuert  das  JDifferensiwen*'  der  Synonyme,  welches  darin 
besteht,  dass  man  Worter,  die  bisher  wesentlich  als  gleichbedeutende 
gebraucht  wurden,  anfangt  (mit  in  bestimmter  Weise  yerschiedenem 
Sinne)  unterscheidend  zu  gebrauchen.  In  Illustration  dieses  Verfahrens 
mnssten  wir  oben  beginnen,  die  Synonyme  „zweideutig"  und  „doppel- 
sinnig^'  anseinanderzuhalten,  und  werden  auch  noch  andere  Beispiele  als 
wünschenswert,  zweckmassig  oder  unumgänglich  bei  (xelegenheit  sich 
dsrbieten. 

Ein  einsinoiger  Name,  sonel  sich  absehen  l&sst,  ist  beispielsweise 
nEatbedrale**,  obwol  er  (als  ein  Gemeinname)  sehr  vielen  indiTidaellen  Ge- 
binden, wie  dem  Kölner  Dome,  dem  Strassburger  Mllnster,  etc.  beigelegt 
werden  mag.  Als  ein  sehr  vielsinniger  Name  da  flogen  erscheint  „die  Kirche** 
(Jevons  1.  c ).  Bald  wird  darmifer  nur  verstiinden  das  Gebäude,  in  welchem 
religiöse  Handlungen  vorgeuouiiuen,  Andacht  venichiot  wird,  bald  auch  be- 
deutet der  Autjdruck  die  ganze  Körperächalt,  Gemeinde  der  Personen,  welche 
einem  bestimmten  Bckenntni»s  gehören,  bald  nur  die  religidsen  Autori« 
Uten  oder  die  KOrperscfaaft  der  Priester,  den  Klerus,  die  Hierarchie  im 
Oegensate  tum  Laienelemente,  bald  endlich  auch  die  gesamte  Organisation, 
Institution  als  solche,  und  in  fast  allen  diesen  F?Ulen  wechselt  der  Aus- 
druck noch  obendrein  seine  Bedeutun^jf  je  nach  der  Konfession  oder  Sokle, 
i&i  welche  derselbe  /'gewöhnlich  stiiischwt  i^fond)  in  Anspruch  genommen  wird. 

E'ü  bedarf  kaum  des  Hinweises,  da>:s  vielsinnige  Namen  sich  besonders 
deicht  ^ur  Irreiiihrung  namentlich  der  unkritiäulieu  Menge,  der  Vulksmaabcu 
bergeben,  und  sehen  wir  solche  Praxis  auch  mit  den  Schlngwörtem  poli* 
tiicher  Parteien  von  Demsgogen  und  Propaganda  machenden  Agitatoren 
fisl&cb  geQbt»  Der  Missbrauch  gleicht  dem  Taschensiuelerkuuststttckdien, 
dorcb  welches  dem  nichtsahnenden  PubUkum  ein  Ding  für  ein  andere?  mit 
Geschick  itrit»'rgeschobeu  wird,  indem  unvermerkt  für  die  eine  Bedeutung 
des  Namens  in  Anspruch  genommen  wird,  was  genau  besehen  nur  für  die 
andere  anerkannt  werden  konnte  und  aufrecht  erhalten  werden  könnte  — 
BSttlrUch  mit  dem  Erfolg,  das  ürteil  zu  korrompiren.  Auch  Ueten  die 
doppelsinnigen  Wörter  bequeme  VorwKnde  und  AngiiiFspvnkte  flVr  den  Streit- 
Itttigen  dar,  indem  es  leicht  ist,  mit  Unterstellung,  Insinuation  der  einen 


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54 


Eiuleitang. 


Bedentnng  des  NamonB  gegen  daq'enige  ta  eifeni,  erfolgreieli  za  polemi- 
Biren,  was  unter  demselben  Namen  im  Gninde  von  einer  ganz  andern  Sadie 

—  und  vii'lleiclif  mit  Keoht  —  behauptet  worden  ist.  Dcscfleichen  machen 
sie  es  leicht,  den  Gegner,  der  den  Namen  in  mehrerlei  Öiune  brauchte,  oder 
(wie  sollte  er  auch  anders!)  abweichenden  Gebrauch  bei  Andern  zuliess, 
der  Inkonsequenz,  anscheinend  des  Widersprachs  zu  fiberftthren.  Etc. 

Xi)  Ungeachtet  der  hervoigehobenen  eminent  praktischen  Wichtig- 
keit  sorgföltigen  Achtens  auf  etwaige  Doppelsinnigkeit  verwendeter 
Namen  oder  Zeichen  gebührt  den  Tielsinnigen  Namen  doch  eigentlich 
keine  Stelle  in  dem  System  der  Logik  selbst.  Ihre  Betrachtung  liegt 
▼on  rechtswegen  nur  der  angewandten  Logik  ob*  In  der  Theorie  müssen 
wir  die  fundamentale  Anforderung  der  JSinsinnigkeif^  kraft  welcher  erst 
ein  Zeichen  seiner  Bestimmung  voll  zu  genügen  vermag,  jeweils  als 
erfüllt  voraussetzen  und  dieses  Ideal,  bevor  wir  zu  Nutzanwendungen 
schreiten,  allemal  vorgSngig  zu  erfüllen  trachten. 

Hierzu  ist  es  aiir^reichend,  einen  etwa  vors^efundenon  vielsinniffen 
Namen  (wie  luaa  nach  früheren  sagen  kann)  zu  .,difterenziiren",  das 
heisst  hier:  so  viel  verschiedene  Namen  aus  ihm  zu  machen,  als  in 
wie  viel  verschiedenen  Bedeutungen  er  gebraucht  werden  soll.  Leicht 
wird  dies  hingebracht,  indem  man  ihn  z.  B.  durch  einen  Buchstaben 
repräsentirt  und  diesem  alsdann  Indice.s  1,2,3,...  anhängt,  je  nach- 
dem man  ihn  in  seiner  ersten,  zweiten  u.  s.  w.  Bedeutung  verstanden 
haben  will. 

Der  doppelsinnige  Name  gilt  in  der  Logik  für  ein  l'aar  von 
Namen,  die  nur  zutallif^  «gleichen  Klang  haben;  er  repräsentirt  uns 
£?aii/  verschiedene  Objekte  des  Denkens,  Objekte,  die  darum  ducli  nichts 
miteinander  zu  schaffen  haben  sollen.  Von  diesen  wird  zu  sagen  sein, 
dass  sie  ,Jiomonym"  durch  ihn  bezeichnet  seien. 

Hill  Hauptgrand,  weshalb  die  grosse  Mehrzahl  der  Wörter  sich  als 
mehrsiniiijT  erweist,  ist  darin  zu  erblicken,  dass  von  psycholoptschen  Mo- 
menteu  beborrfscht  die  Sprache  in  ihrer  historischen  Entwickelung  sieh  so 
häu6g  bewogen  sah,  ciucu  Namen  vou  den  einen  aul  andere  Dinge  zu  wier- 
iragcn  (zu  tiransferiren),  die  mit  jenen  eine  hervorragende  AnoHogk  offen- 
barten oder  auch  nnr  mit  ihnen  regelmftssig  sich  a^mki  zeigten  —  wie 
S.B.  „(8tfinde-)IIau9**  auf  die  gesetsberatende  Körperschaft  der  Volksvertreter. 

Nicht  selten  Jcriccht  so  gewissermassPTi  ein  NaTiic  vom  einen  Oin«?  7Mm 
andern,  bis  schh'esplieh  oft  koine  s^n-Ö.^sere  <  ienieiuscliaft  zwischen  seinen  ver- 
schiedenen Bedeutungen  erkennbar  ist^  als  zwischen  irgend  welchen  mit  ganz 
verschiedenen  Namen  belegten  Objekten  (Mill), 

Nsmentlicb  aber  —  und  dies  ist  das  wicbtigste  Moment  hatte 
die  Sjuache  alle  Ausdrucke  fHr  Objekte,  Qnslitftten  und  VerhSltaisse  auf 
den  geistigen  Gebieten  einst  su  entlehnen  aus  dem  naturgemSss  xaerat 


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Liaioitung. 


55 


ersdudTenen  WSrterscbatze  tfkr  das  siimlieh  Wahrnehmbare  in  der  materiellen 

Welt.  Sio  mus>te  so  neben  der  „eigentlichen"  und  ursprOtigUcben,  der  Be- 
deutnnof  ..kad.rochcn"  oder  „par  excenence"  aueli  noch  eine  „uneigentlieho*', 
„nOfrtragme"  oder  ,,rncfnphorischc"  l'edi  utuiig  den  entlebnten  Wörtern  (oder 
ihren  ZuBammensetzuugeu)  beilegen  —  wie  dies  z.  B.  gCbcUieht,  wenn  wir 
von  einer  glänzenden  That,  einem  brillanten  Geschäft,  einer  bittem  Eni- 
ttoecbnng  n.  s.  v.  reden. 

Wer  solchen  Unterschied  rois^iachtet,  wird  leiehtlich  den  Regeln  der 
Logik  gemäss  zti  absurden  oder  lUcberlichen  Folgerungen  geführt  werden. 
Trefifeud  illustrirt  dies  Dh  indem  er  darniif  aufmerksam  macht, 

dass  der  Satz  „Nur  der  Welt^e  i^t  (wirklich)  reich"  (Solu.«^  gapiens  est  dives) 
logisch  Yollkommen  äquivalent  i^t  mit  dem  Auatipruche  „Jeder  Beiche  ist 
weise**  (Omnis  dires  est  sapiens)  —  jedenfalls  sehr  sobmeiebelbaft  fttr  die 
Beieben  i  Natflrlich  war  das  erste  „reich**  im  Übertragenen  Sinne  genommen, 
als:  reich  an  inneren,  an  Schätzen  des  Gemütes,  gesegnet  mit  Zufrieden* 
heit,  etc.,  das  zweite  aber  konnte  —  olino  weiteres  —  nur  im  eigentlichen 
Sinne  als  „reich  an  Geld  -md  (äusserm)  Gut"  —  aus  psychologischen 
Gründen  —  verstanden  werden. 

Von  jenem  lieclit  der  Metapher  macht  auch  heute  uoch  die  Sprache 
fortgesetrt  nnd  in  erspriesslicber  Weise  Gebrauch,  Tomehmlich  in  ihren 
poetischen  Produktionen,  nnd  da  ist  es  kdneswegs  der  Wissensdiaft  und 
Logik  zur  Last  zu  legen,  wenn  dieselbe  mit  ihrer  Analyse,  mit  logiscli- 
wisscnftcbaftlicher  Zergliederung  oft  gleichj^am  den  prachtvollen  Farbenschmolz 
von  den  Flügeln  dos  Sclimettei  linges  abzustreiten  und  blos  ein  kahles  Ge- 
rippe übrig  zu  lassen  scheint  —  sondern  nur  ihrer  unvoUkommnen  Anwen- 
dung. Wu:  missgönnen  der  Poesie  ihre  Freiheit  nicht,  wir  bewundern  sie 
Tiehnebr  ob  der  Geschidclichkeit  und  JJacht,  mit  der  sie  anf  die  Verede- 
lung des  Geschmackes,  des  ganzen  Fuhlens  nnd  Denkens  breiter  Bevölkerungs- 
schichten  hinzuwirken  nnd  gelegentlich  auch  —  vornehmlich  auf  ethischem 
Gebiete  —  erhebende  und  wichtige  Walirhoiten  grossen  Volksklassen,  dem 
Einfältigen  gleichwie  dem  Gebildeten,  y,um  Bewns^tsein  und  zu  Aaerkennuug 
zn  bringen  versteht,  allein  wir  müssen  aus  dem  uns  hier  vorliegenden  Unter- 
snchnngsfelde  floldie  Frdhdi  tbudichst  baimen. 

^i)  Wir  haben  bis  jetzt  bauptaachlieh  gehandelt  von  Dingen^  Vor- 
äettungen  nnd  Kamm,  indem  wir  uns  bestrebten,  hierfiber  eine  erste, 
zum  Teil  anch  wol  nnerlSssliche  Baais  an  fernerer  Yerstfindigang  zu 
gewinnen* 

...  Im  -Einklang  etwa  mit  De  Morgan*«'  Kapitelüberschrift  „On  ob- 

jects,  ideas  and  names'*.  Dem  letzten  dieser  Themata  pflegen  deutsche 
Werke  über  Lotnk  entweder  gar  keine  oder  doch  nur  eine  sehr  Stiefmütter- 
liehe  Behandluug  angedt^iheu  zu  lassen,  wie  mir  dieselben  denn  überhaupt 
von  Anfang  ihren  Flug  meistens  zu  hoch  zu  nehmen  scheinen.  Ausführ- 
liche und  grOndlicbere  Betrachtungen  dagegen  finden  sieb  diesem  Gegen- 
stand hftnfig  in  englischen  DarsteUnngen  der  Logik  gewidmet  und  sind  in 
dieser  Hinsicht  vor  allem  die  Werke  von  Mill'  und  Je  von  empfehlend 
herronaheben  (nennte  resp.  siebente  Auflage).  Dieselben  zeigen  hierin  sich 

• 


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Kinleituug. 


wenigstens  ernstlieh  bestrebt  —  wie  dies  ancb  Leibnix  Ton  sieb  sagt 

(vergl.  Trendelenburg  1,  c)  immer  —  die  ersten  Prinzipien  zu  sucben, 
„welche  sonst  als  trocken  und  ohne  Beiz  die  Köpfe  kaum  kosteten  und 
schnell  wieder  fahren  liessen". 

Das  dritte  der  obigen  Tiiemata  (mit  dessen  Betrachtung  wir  noch 
nicht  zu  Ende  sind),  scheint  mir  nun  aber  den  naturgemassen  Aus- 
gangspunkt 2U  bilden,  au  welchen  die  ferneren  Themata  der  Logik  als 
einer  Lehre  ▼on  den  Begriffm,  Urteilen  und  ScJdüsseji  (in  neuerer  Ab- 
grenzung auch  noch  MeUwden)  anzuknüpfen  sind.    In  der  That: 

In  der  mU  SiMpfung  einer  Sprache  verkm^ften  Notwendigkeit  der 
NameHgebung  umrg^  auch  die  BtUhmg  der  ,JBegriffef*, 

Es  bedarf  und  verdient  dies  näher  dargelegt  zu  werden^  doch 
mögen  wir  an  den  Kemponkt  der  Frage  erst  nach  einigen  weiteren 
Yorbetrachtungen  herantreten  —  vergl.  i}«)  and  folgende  GhifEren. 

Oj)  Zunächst  wol  in  der  Welt  des  üusserlich  \V  aliriiehmbaren  be- 
merken wir,  dass  manche  Din^je  sich  nahezu  unverändert,  stetig,  in 
der  Zeit  forterhalten,  dass  sie,  wie  man  sagen  kaTiii,  eine  Zeitlang,  oft 
eine  lange  Zeit  hindurch,  (genauer:  sich  gieicli-  i  bleiben.  Die 

Koniimiität  wird  zunüchst  in  uns?erni  Bewusstsein  hergestellt,  indem 
wir  Dei  andaueiiKlcr  sowie  wiederholter  Wahrnehmung  des  Dingea  iune 
werden,  dass  es  uns  als  „dasselbe"  (the  same)  erscheint,  als  welches 
es  uns  schon  früher  erschienen  ist,  und  schreiben  wir  auch  dem  der 
Erscheinung  des  Dinges  zugrunde  liegenden  W^irklichen  die  ent* 
sprechende  Stetigkeit  des  Daseins  zu.  Die  Sprache  benennt  dieses 
Ding,  gibt  ihm  einen  Namen,  der  bei  jeder  erneuten  Wahrnehmmig 
ebendieses  Dinges  ausschliesslich  gebraucht  wird,  desgleichen,  wenn 
man  kundgeben  will,  dass  man  sich  dasselbe  in  freier  Erinnerung  voi^ 
stelle,  m.  a.  W.  wenn  man  von  ebendiesem  Dinge  reden  will.  Der 
Name  wird  ein  ^igennanuf*  (uomen  proprium,  singular  term)  im 
gew&hnlichen  Sinne  des  Wortes  —  sein. 

In  des  Wortes  engster  Bedeutung  genommen  sollte  der  ^Eigeoname'^ 

nur  das  Ding  iu  einem  bestimmicn  Augenblick,  Momente  seines  Daseins 
bezeichnen  dürfen.  Das  gegen^\  :ii  f i-^'e  lierlin  ist  ein  anderes  als  das  Berlin 
vom  Ende  des  vorigen  Jahrlinndei  ts,  daber  „Berlin''  streng  genommen  erst 
dann  ein  Eigenname,  wenn  als  bekannt  gelten  kann,  aua  welcher  Epoche 
man  es  sich  vorstellen  will. 

Merkur,  Venus,  Eide^  Mars,  etc.  sind  beispielsweise  darnach  Eigen- 
namen. Indessen  illustriren  uu^re  Beisj)iele  das  Wesen  de.s  Eigen- 
namens bis  jetzt  erst  einseitig,  indem  sie  hinsichtlich  dessen,  was  sie 
bedeuten,  alle  Li  rausgegriffeu  sind  aus  der  Sphäre  der  Jiotü^eten  Dinge 
oder  Gegenstände. 


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Eiuleitang. 


Ein  Ding  lieiast  ein  koukretes,  vveiiu  es  einerspits  vollkommen 
i^olirt  (icukbar,  aiulrcraeits  mit  allen  seinen  Merkmulcn  (Teilen,  Attri- 
buttn  und  Bezifliungen)  gemeint  iöt  oder  genommen  werden  soll.  So 
vermögen  wir  uns  den  Erdball  ganz  gut  für  sich  allein  zu  denken, 
unJ  wenn  wir  von  ihm  reden,  .so  meinen  wir  denselben  mit  allem 
..wu-  tlaruni  und  daran  ist'',  ohne  irgend  etwari  auascliliesfleu  zu  wollen, 
was  gültig  von  iluu  ausgesa'j-t  werden  könnte. 

Die  Gegenstände  der  nuiteriellen  Welt  sowol  als  auch  die  in  ihr 
wahrnehmbaren  lebenden  Wesen,  Pllanzen,  Tiere,  Personen  und  Gruppen 
von  solchen  (z.  B.  der  Odenwald,  die  Familie  des  N.  N.,  die  Güter 
dieser  Familie,  das  24.  Regiment  der  gegenwärtigen  deutschen  Armeen 
etc.  —  nicht  minder  aber  auch  erdichtete  persönliche  Wesen,  wie 
Cerberus,  Circe,  Polyphem  und  Bucentaur)  können  darnach  als  kon- 
krete Objekte  des  Denkens  bezeichnet  und  mag  dementsprechend  ihr 
Name  ein  nomen  eancretum  jeweils  genannt  werden. 

a.)  Aus  der  Vorötellung  eines  konkreten  Dinges  vermögen  wir 
nun  aber  auch  gewisse  Elemente  abzusondern  und  mehr  oder  minder 
vollkommen  in  uuserm  Geiste  /u  isoliren,  eventuell  erst,  nachdem  diese 
\  DrstellnuLr  nach  gewissen  ilichtungen  nocli  weiter  ausgebildet,  ent- 
wickelt ü>l'  r  Villi  -  M']<^t  worden  ist.  »Solche  Teilvorstellungen  iiu  weitesten 
Sinne  des  V\  orts  (^resp.  (]a.s  ihnen  zugrunde  liegend  gedachte  \\  irkliche) 
nennen  wir  „Merkmale  desselben  (nota,  mark  —  im  Öingular). 

Gelingt  solche  Isolirung  vollkommen,  so  heisst  das  Merkmal  ein 
Ted  (pars,  part)  des  Dinges*)  und  wird  sich  auch  seinerseits  wieder 
als  ein  konkreter  Gegenstand  in's  Auge  fassen  lassen. 

So  ist  der  Dunstkreis  der  Erde  (die  etwa  bis  zu  1  mm  Druckludie 
gerechnete  Atmosphäre),  so  sind  die  nnsre  Erde  zusammenhangend  be- 
^xbnden  Wassermassen,  der  afrikanische  Kontinent,  ein  Berg  etc. 
ab  Teile  des  Erdballs,  so  Ist  der  Kopf,  die  Hand  als  Teil  eines  Menschen 
tQ  bezeichnen.  Sie  sind  auch  selbst  konkrete  Gegenstände.  Nichts 
hindert,  sie  nns  auch  ohne  die  flbrigen  Teile,  mit  denen  sie  verbunden 


*)  £■  ist  dabei  erforderlich  und  Toratugesetst,  daaa  man  »ich  das  Ding  selbst 

enit  isolirt  denke.  Wfirden  wir  einen  Körper  mitsamt  seinem  Schatten  ala  das 
IHng  hinstellen,  so  wäre  auch  der  Schatten  als  ein  „Teil  dieses  DiugCrt"  zm  be- 
zeichnen; er  ist  desliiilb  aber  doch  nicht  f  in  ,,T(  il  des  Körpers",  weil  letzterer  von 
Tornhf'rein  (»linc  den  Schatten  zu  dcnkün  gewesen  wärn.  Eine  solche  Exüiupii- 
iuuitiou  inuMs  aber  hier  aosgeacblossen  erscheinen,  da  wir  den  Schatten  nur  als 
Mldiin  filier  oder  in  ^waa,  alt  auf  dnein  materiellen  Körper  haftend,  va  denken 
TCrmögeD,  und  ihn  dämm  selbst  nicht  als  Konkretnm  (für  sich,  oder  ancb  mit 
gsns  anderm  verkntlpft)  hinstellen  dnrflen. 


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58 


EiiileituDg. 


sind,  zu  denken^  wi«  denn  sehr  häufig  auch  der  Teil  yom  Ganzen 
mechanisch  abgetrennt  zu  werden  vermag,  die  Mdglichkeit  solcher 
Trennung  wenigstens  allemal  einleuchtet  und  in  manchen  F&Uen  auch 
anfongs  blos  der  Teil  bekannt  ist^  ohne  dass  man  yielleüsht  Ton  dem 
Dasein  des  Ganzen,  dem  er  angehört,  auch  nur  eine  Ahnung  besiist 
Umgekehrt  ist  zu  merken,  dass  die  Teile  eines  Dinges  auch  zu  den^^ 
Merkmalen  desselben  in  der  Logik  zu  rechnen  sind.  Es  sind  auch  die 
Borsten  ein  Merkmal  des  Schweins  (nicht  etwa  blos  der  Umstand, 
dass  es  Oberhaupt  Borsten  besitzt^  welcher  allerdings  auch  ein  Merk- 
mal, aber  eine  durch  Abstraktion  gewonnene  Verallgemeinerung  des 
vorigen  wäre,  welche  wesentlich  nur  auf  dasjenige  hinauskommt,  worin 
das  Schwein  mit  andern  Borsten  tragenden  Geschöpfen  übereinstimmt), 
und  ist  die  Bföhne,  sowie  der  in  ein  Haarbflschel  endigende  Sehweif 
Merkmal  eines  minnlichen  Ldwen. 

Gelingt  jene  Isolirung  (Absonderung,  Vereinzelung)  ntcftl  voll- 
kommen,  so  nennen  wir  das  vorgestellte  Ding  etwas  Abstraktes,  seinen 
(Eigen-)  Namen  ein  nomen  äbsiraeliim.  Wir  haben  dann  Veranlassung 
SU  reden  von  „ÄUr^uten**  des  gedachten  Dinges,  als  da  sind  QuälUäi 
oder  Eigenschafben  und  Thätigkeiten,  und  QuanÜtalf  sowie  von  Be^ 
gi^ungen  (Ilelationai),  darunter  Ursache,  Wirkung  und  anderes. 

So  die  Farbe  dieser  Blumenkrone,  die  Elasticität  und  Festigkeit 
der  Stahlfeder,  mit  welcher  ich  eben  schreibe,  das  Gewicht  des  Erd- 
balls, seine  Gestalt,  Volum  und  derzeitige  Lage  im  Weltraum,  seine 
augenblickliche  Entfernung  Ton  der  Sonne,  Geschwindigkeit,  die  Kraft, 
mit  der  er  angezogen  wird,  etc.  —  die  Schönheit  der  Circe  etc.  — 
dies  alles  sind  abstrakte  Eigciinaiiicn. 

Die  als  deren  Bedeutung  verbleibende  Vorstelluiiij^  ist  in  der  That 
dadurch  gewonnen,  dass  man  sie  von  der  GesaiutvorstolluuL,^  des  kon- 
kreten Gejinnstandes  gewistjermassen  ah/.oy:,  sie  in  den  Brennpunkt  der 
Aufmcrksaiiikcit  rückte  und  von  dorn  Kom))ltix  aller  übrigen  Vorstellun]c;s- 
elcmente  (neb.st  dem,  was  ilincii  zugnnule  liegt)  absah  oder  abstraliirte. 
Solche  Isolirung  jener  aus  dem  Gesamtbilde  hervorgeliobenen  Vor- 
stellung erweist  sieh  aber  bei  genauerem  Zusehen  nicht  als  eine  vuU- 
kommen  durchgeführte  und  durchführbare,  wie  ich  dies  für  das  erste 
und  noch  ein  späteres  der  angeführten  Beispiele  versuchen  will  ge- 
nauer darzulegen. 

Jene  beispielsweise  rote  Farbe  können  wir  uns  zwar  wol  völlig 
losgelöst  von  jedem  Gedanken  an  die  Blumenkrone,  der  sie  ei'_rnete, 
als  eine  blos  subjektive  Liehtempfindung  vorstellen,  und  wenn  wir 
etwa  fUr  die  vor  mir  liegende  Blumenkrone  von  Anfang  an  nur  deren 


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Eiiileiiiiiig. 


59 


Vorstellung  gesetzt  hätten,  so  würde  das  aufgestellte  Unterscheidungs- 
merkmal uns  im  Stiche  Jasseu  und  läge  kein  (iruiid  für  uns  vor,  das 
Element  der  roten  Farbe  in  dieser  Vorstellung  als  ein  Abstraktum 
gegenüberzustellen  der  ganzen  Vorstellung  als  einem  Kjaikretuin  (die 
wir  ja  vielmehr  von  unserin  Standpunkte  auch  selbst  schon  als  ein 
Abstraktum  bezeichnen  müssen).  Es  lii<i,e  dann  der  Fall  vor,  dass 
wir,  anstatt  von  den  Dirtf^m,  blos  gesprochen  hätten  von  uusr^n  VW- 
stdluvffcn  über  diese,  ohne  jede  Bezugnahme  auf  etwas  ilirer  Er- 
scheinung zugrunde  liegendes  Wirkliches.  Wollen  wir  aber  nicht  auf- 
hören solche  Bezugnahme  aufrecht  zu  erhalten,  wollen  wir  fortfahren 
nach  wie  vor  von  Difigm  zu  reden,  dann  freilich  können  wir  jene  rote 
Farbe  nicht  anders  denken  n]<  wie  als  Farbe  von  eüoas  Farbigem;  und 
wild  auch  die  Vorstellung  ebendieses  farbigen  Etwas  im  übrigen  mog- 
liehBt  miYoUendet  gelassen,  so  musste  dasselbe  doch  als  vorhanden 
notwendig  mit  gedacht  werden  and  ist  die  laolirung  jener  roten  Farbe 
keine  ▼olUtandige  gewesen. 

Umlidi  mimte  auch  der  Tom  Erdbril  emgeuommeiie  B«imi  i.  6. 
alt  TOtt  etwas  erföllt,  als  Ausdehnangsform  irgend  einer  Materie  ge- 
dacht werden,  von  welcher  er  nie  wollig  lossnldsen  ist. 

Wir  betreten  hiermit  allerdings  eiu  streitiges  Gebiet.  Ob  man  den 
Raum  dich  absolut  leer  denken  könnte,  einen  Zeitraum  ohne  jeden  Vorgang 
in  demselben,  den  Geist  auch  ohne  Körper,  darttber  ist  viel  hin  und  her 
gwtritten  worden.  (Ich  würde  bis  znr  Erbringung  eines  Gegenbeweises 
diese  Fragen  verneinen.  Die  Erscheinung  des  Todes  hat  es  nns  leicht  ge- 
uiiulit,  den  Leib  auch  ohne  Seele,  isolirt  zu  denken  —  wir  nennen  ihn 
Leichnam;  ich  würde  aVier,  wenn  von  dem  Leibe  eines  Ichendf'n  Wesens 
lediglich  als  Materie  ohne  KUeksicbt  auf  dessen  Beseelung  ges])rncheu  wird, 
auch  diesen  strenge  genommen  für  ein  Abstraktum  zu  erklären  mich  ver- 
pflichtet glauben.) 

Im  Hiublick  auf  solche  Kontroversen  dürfte  die  Bemerkung  am  Platze 
seid,  dass  die  Unterscheidung  zwischen  „abstrakt*'  nnd  „konkret^  fttr  unser 
Hiuptthema  (soweit  wir  dasselbe  za  ftlhren  yermOgeo)  eticfa  (noch)  belang- 
los erweisen  wird  (ein  Grund  für  diese  Erscheinong  wird  sogleich,  im 

folgenden  Kontext  ersichtlich).  Wesentlich  kommt  es  uns  hier  nur  darauf 
an,  zunächst  die  Bedeutung  des  Eigcnnamrn<i  nnd  nachlu  r  die  des-  (rnnnn- 
namcns  klarzulegen,  zu  welchem  Ende  wir  dieselbe  allerdings  wol  in  ihre 
flanptvarie täten  hinein  verfolgen  müssen. 

Ich  muss  auch  gestehen,  dass  mich  die  obige  Auseinandersetzung  für 
die  Scheidung  der  Merkmale  in  Teile  nnd  Attribute,  die  wir  hier  — 
daike  wol  im  Anschlnss  an  das  Oblichste  Verfahren  —  genetisch  zn  ent- 
wtd[e]B  Tcnucht  haboi,  nicht  völlig  befriedigt.  Tic  Erdo  z.  B.  sieht  nach 
dem  Gravitationsgesetze  ein  jedes  Massenteilchen  des  Weltraums  an,  und 
kdiaiieii  fiberhaupt  swischen  ihr  nnd  irgend  einem  andern  Objekt  des  Denkens 


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60 


Eiuleitimg. 


vom  Geiste  Be>ie1ii>iigo&  wahrgeuommen  oder  hergastoUt  werden,  üm  das- 
jenige vorzunehmen,  was  wir  oben  die  Isolirong  ihrer  Vorstellung  nannten, 
müssen  daher  grosse  Merkmal^rruppen  von  der  auf  die  Erde  beztiglichpn 
( ie^amtvnrstellnn^,'-  von  vornheruiti  ausj^eschiodfii  uml  losgelöst  werden;  es 
lai  auch  dazu  schon  eine  Art  von  Abätrakiionsverfahren  erforderlich,  und 
«Fseheint  m  geboten  dabei  auf  die  BanmerfHUung  der  Erde,  ihre  Chanikkteri- 
nmng  als  das  einen  bestinunten  Banmteil  Erfüllende  Termittelst  einer  ihr 
zugedachten  ne^'renzuug,  sich  zu  berufen  —  und  fibnlicb  auch  bei  den 
übrigen  als  konkrete  hinzustcllendon  Gegonstfinden. 

Bass  nun  solch'  spezieHcr,  «j^lcichwie  auch  irrrcml  ein  anderer  Ab^^lraktions- 
moduri,  durch  welchen  eine  Vorstelliinfr  zn  einer  Isolirlen  «gestaltet  wird, 
für  die  (allgoineineuj  (ieaet/e  folgerichtigen  Denkens  nicht  von  Belang  sein 
wird,  ist  sn  gew&rtigen. 

Die  Begriffe  von  QuanHtät  und  QuäUUU  exakt  nnd  allgemein  an  elia> 
raktorißiren  dürfte  iil  crbaupt  su  den  schwierigeren  Problemen  der  Philo- 
sophie gehören  —  ich  habe  eine  mir  ^nm  genügende  Erklärung  nirgends 
auftreiben  können.  Oleichwol  ist  die  Finge  eine  iundanientalö,  da  auf  ihr 
doch  die  Lehre  von  den  „gleichartigen",  vergleichbaren  oder  durch  ein- 
ander messbaren  Grössen  und  die  Scheidung  zwischen  Mathematik  und 
Logik  (im  engem  Sinne)  beruht: 

Von  einem  vorgestellten  Dinge  vermögen  wir  durch  Abstraktion  einen 
Teil  abzusondern  und  ebenso  ▼ermtJgen  wir  ein  Mn-tmal  abzusondern 
welches  nicht  TnJ  >ondern  eine  Eigenschaft,  Thfifiglieit  oder  Beziehung  des 
Dinges  ist.  Die  b(  Invierige  l'rage  ist,  worin  sich  wol  jene,  die  quantitative 
von  dieser  der  ([ualitattvcn  Sonderung  der  Vorstellungselemento  unterscheidet? 
Wir  glaubten  den  Unterschied  in  der  yoUkommenen  laoltrbarkeit  jener 
erstem  im  Geiste  (aowol  als  eventuell  in  der  Wirklichkeit)  gegenflber  der 
unvollkommeneren  Lsolirongsffthigkeit  der  letztern  erblicken  zu  sollen. 

Möglich  auch,  dass  diese  Begrilfe  der  Qualität  und  Quantität  (?)  zu 
den  ürbegriffon  zn  zfihlen  sein  werden,  die  in  Form  einer  Definition  einer 
Erklärung  überliaupt  nicht  fjlhig,  oder  dnss  sie  auch,  wie  der  Begriff  des 
„Muasses^'f  erst  mittelst  langer  Keihen  von  Öchlüssen  aulgestellt  worden 
können. 

Hill  freilich  macht  es  sieh  hier  bequem,  indem  er  sich  im  wesent- 
lichen begnflgt  tu  sagen:  Quantität  sei  dasjenige,  wodurch  sich  ein  Liter 
Wasser  von  zwei,  dici  (»df^r  zehn  Litern  Wasser  unterscheidet,  worin  er 
aber  mit  einem  Liter  lirauntweiuB  oder  f^chwefehäure  übereinstimmt,  Quali- 
tät dasjenige,  worin  jene  übcreinskiiumen  und  diese  sich  unterscheiden.  So 
leicht  es  aber  erscheint,  treffende  Beispiele  hier  anzuführen,  so  schwierig 
erscheint  es  uns,  den  Gegensats  allgemeingültig  zu  charakterisiren. 

Es  mag  auch  eine  Wissenschaft,  die  sieh  ein  für  allemal  nur  mit 
auf  eine  bestimmte  Weise  hergestellten  Abstraktionsergebnissen  be- 
schäftigt —  wie  die  Georaetrie  mit  den  räumlichen  Gebilden  —  solche 
(relativ)  als  Konkreta  hinstellen,  und  diesen  erst  und  ihren  (dann  ( ben- 
falls  konkret  zu  nennenden)  Trlhn  als  Abstrakta  gegenüberstellen  die 
AUrihute  der  üestal^  Grösse  und  Lage,  Entfernung  etc.  jener  Gebilde. 


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Einleitaiiff. 


61 


Im  Grunde  würde  alsdann  nur  konkret  und  abstrakt  genannt  werden, 
was  eigentlieh  ais  abstrakt  in  erster  und  in  zweiter  Potenz  oder  — 
wenn  man  will  —  im  ersten  und  im  zweiten  Grade  (absolut  genommen) 
hingestellt  werden  mösste.  ~  Von  einem  selbst  durch  den  Abstrak* 
lionssprozess  gewonnenen  Objekte  laasen  sich  ja  häufig  selbst  wieder 
Merkmale  I  noch  weiter  fort  abetrahiren.  ^ 

^^1  Niclit  anders,  wie  in  Hinsicht  der  Qualitäten  ▼erführt  man 
auch  bei  (wahrgenommenen)  Bezichmgm  zwischen  Dingen:  auch  solche 
mdgen  wir  mit  Eigennamen  belehnen. 

Bemerken  wir  6^  dass  drei  gewisse  Sterne  ein  gleichschenkliges 
Dreieck  bilden,  dessen  Schenkel  £Ast  doppelt  so  hir\fr  ist,  wie  die  Grund- 
linie (nn^l  'zwar  allemal  wieder,  wenn  sie  allnüehtlich  wiederkehren),  so 
k'>nnf»n  wir  zunächst  die  Fi^ur  oder  Gruppe  selbst  als  ein  Sternbild  (und 
Kuiikietum)  mit  eiueiti  Eigennamuu  bezeichnen;  aber  wir  können  sogar  auch 
daä  genannte  abstrakte  Seitenverhältniss  (von  nahe  zwei  zu  eins),  desgleichen 
d«n  Neigungswinkel  u  des  einen  Schenkels  gegen  den  andern,  etc.  als 
„Ding**  je  mit  einem  aparten  Eigennamen  belegen  (falls  solches  uns  der 
Muhe  wert  erschiene).  Ich  will  dies  hier  besonders  herYOrhebeu,  um  zu 
monern,  dass  ich  das  Wort  „Ding"  in  nnsern  Betrachtungen  stets  so  all- 
gemein wie  möglich  sjefasst  wissen  müehto,  und  in  diesem  Sinne  für  jedes 
(nach  Ort,  Zeit  und  Ab.straktion^In(ldu^)  vitllig  bestimmte  ,,Ding"  einen 
,^igennameu''  für  zulüSäi^  erachten  uiu^s.  Einen  (»olchen  btelli  allemal 
«ehon  die  Beschreibung  vor,  durch  welche  uns  das  zu  denkende,  zu  be- 
tnehtende  Ding  als  ein  singulares,  unzweifelhaft  bestimmtes  kund  g^ebeo 
wird  —  wenngleich  die  letztere  der  fUr  Namen  in  der  Begel  wllnschens- 
werten  Kürze  entbehren  wird,  und  um  ihrer  teilhaftig  zu  werden  etwa 
dorcb  einen  Buclistabeu  ad  hoc  zu  ersetzen  wMre. 

Auch  der  Gewinn  i.  R. ,  den  ein  be>timmte.s  Geschäft  ftlr  einen  be- 
stiiuiiiLen  Teilhaber  IS.  N.  abweri'en  wird  —  wir  mögen  denselben  ja  x 
mmm  — ,  ist  so  ein  Eigenname,  und  ebenso  wOrde  sein  Anrecht  auf 
diesen  Gewinn  ein  solcher  sein. 

Und  nicht  blos  die  Dinge  aus  der  Aussenwelt,  wie  in  früheren 
Beispielen,  sondern  auch  solche  aus  der  Welt  des  Bewusstseins,  ans  dem 
Geistesleben,  sind  eines  Eigennamens  fähig,  nnd  sie  werden  eines  solchen 
teilbaftig,  sobald  wir  sie  mit  Worten  nnyerkennbar  cbarakterisiren. 

Auch  meine  Absicht,  nachher  ^lasiren  zu  gehen,  die  freudige  Über- 
lasdiung,  die  (ein  bestimmter)  Jemand  beim  Erfahren  einer  gewissen  an- 
genehmen Nachricht  empfinden  wird,  die  Eifersucht,  die  zwei  bestimmte 
Nebenbuhler  zur  Zeit  auf  einander  haben  —  alles  dies  (immer  in  der 
&uppositio  nominalis  beti-achtet)  sind  Eigennamen. 

dy)  Waa  em  Eigenname  bedentet,  das  werden  wir  hanfig  als 
etvas  Spesielles,  JiiifftwMIes,  als  ein  ^nämäuiim**  unter  den  Objekten 


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62 


Einleitung. 


des  Denkons  (in  allerdiiif^s  dem  ursprünjrlichen  Sinn  dieses  Wortes 

gegenüber  sehr  erweiterter  l^edeutuiiijj)  anzuführen  haben. 

Ich  mu88  hier  «och  einer  Ansicht  gogeniihertreteu,  welcher  die 
Lektüre  von  Mill  (besonders  Ton  p.  37  sq..  der  Sohierscben  Übersetsnng*, 
desgL  Ycn  p.  40  sq.)  verleiten  könnte:  dass  der  Eigenname  an  sieh  be« 
dentungslos  oder  nidit-bezeichnend  (noneonnotative)  seL   Das  neben  andern 

ülnilichen  von  Mill  gewählte  Beispiel  ,,Tnhanu''  erscheint  in  dieser  ITiti- 
sicht  keineswegs  beweisend,  denn  ,,.lohanii"  ist  (in  nuserm  Sinne j  kein 
£igcnn&mQ  —  es  sei  denn  mit  sdlclu  u  Zü8?it7en,  Uaas  er  eine  ganz  be- 
stimmte Person  bedeutet  —  sondern  ein  V'üruanie,  und  kommt  als  solcher 
einer  ansgedebnten  Klasse  von  Personen  zu.  So  ist  denn  freilich  der 
Name  ein  ziemlieli  nichtssagender  und  gibt  uns  wenig  Anfschlnss  Uber  das 
Wesen  einer  Person,  welche  denselben  ftthrt. 

Der  Eigenname  ganz  im  Gegenteil  ist  ein  möglichst  ansdmeksvoller 
zu  nennen,  indem  er  ein  ganz  bestimmtes  Ding  bezeichnet  mit  allen  .meinen 
Merkmalen,  bekannten  sowol  als  unbekannten,  sotern  letztere  ihm  zukutiuuoQ. 

Mill'  selbst  auch  schrBnkt  seine  Behauptung  auf  einer  folgenden 
Seite  (p.  38)  wieder  «n,  indem  er  Ausnahmen  statuirt,  für  welche  er  die 
Grenze  anscheinend  willkürlich  zieht;  es  wäre  in  der  That  durchaus  nicht 
abzusehen,  weshalb  uns  swar  „die  Sonne"  eine  Menge  Attribute  mitbezeiebnen 
sollte,  dnL"'i,'en  Aliil's  eigner  Name  „John  Stuart  Mill"  z.  B.  nicht? 

I>emi(emäs8  erscheint  mir  auch  die  Unterscheidung  von  „mitlie/f^ieh- 
nendeu"  (connotativen)  und  „nichtmiibezeichnenden"  (non-conuotativen j  I\ameu, 
von  welchen  Mill  so  grosses  Aufhebens  maehti  als  ewe  gänzlich  belang- 
lose, genauer  gesagt:  flberflfissige.  Es  bleibt  mir  von  dem  Gegensatce, 
wenn  ich  ihn  schärfer  in's  Auge  fasse,  nichts  anderes  übrig  als  der  aller- 
dings sehr  belangreiche  Unterschied  zwischen  einem  Eigennameti  und  dem 
(mit  einem  Begriff  verknü j)fteu)  Gctncinnamcn ;  das  ilhrige  löst  sich  in 
Dunäl  auf.  Fi5r  solchen  ticgcnaatz  aber  nochmals  bf^mdre  gelehrt  klingende 
und  —  fast  möchte  ich  bügen:  schwülstige  —  Benennungen  einzuführen 
scheint  keineswegs  Bedflrfniss. 

fg)  Nicht  unwichtig  ist  es  noch,  zu  beachten,  dass  die  dem  ab- 
strakten Substantivuni  zugeordneten  AdjrIcHm,  sofern  sie  überhaupt 
als  Namen  gelten  kiumen,  doch  im  ullgemeiueii  als  konkrete  ^\ameu 
bezeichnet  werden  müssen. 

So  ist  weisse  Farbe  oder  Weisse  ein  nomen  abstractum,  dagegen 
weiss  =  ein  weisses  Ding  ==  Etwas  wel.-scs  niu-s  oth.-nbar  zu  den  nouiina 
concreta  gerechnet  werden,  indem  es  ja  das  (^koukiete)  Ding  selbst  be- 
aeichnen  soll,  welchem  das  Attribut  der  weissen  Farbe  zukommt  Ebenso 
ist  (rfiumliobe)  Ausdehnung  ein  Abstraktum,  dagegen  ausgedehnt,  rftumlich 
—  Etwas  ausgedehntes,  Konkretum:  ein  jeder  K0rper  kann  so  genannt 
werden.  Vergl.  noch  Lehen  und  lebendig,  Nutzen  und  nützlich,  Gleichheit, 
Ähnlichkeit,  Verschiedenheit  nud  gleich,  ähnlich,  verschieden,  Dankbarkeit 
und  dankbar  etc.  hinsichtlich  ihres  Ucgcosatzeb  als  Koukreia  und  Absirakta. 

Ausgedehnte,  gleiche,  fthnliche  oder  verschiedene  Dinge  können  freilich 
ebensogut  ans  der  Sphttre  der  Abstrakta  genommen  sein,  wie  s.  B.  auch 


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EinleittuBg 


63 


an  gvomotriacher  (sonaeh  inuuateridller)  Kdiper,  eine  FUtehe,  matheinatische 
Linie,  der  Scliattcil  tflomUeli  ausgedehnt,  ein  Zeitraum  wenigstens  „aus- 
gedehnt" genannt  werden  mag.  Es  ISsst  demnach  (was  Mi  11  und  Jevons 
zu  übersehen  ßchoincii)  sich  nur  behaupten,  dass  die  aus  abstrakten  Sub- 
stantiven ubj^eleiteteii  Adjektiva  konkret  sein  könmn,  aber  nicht  müssen, 
sie  können  ott  aut  beiderlei  Weise  verwendet  werden  und  nehmen  in  Wahr- 
Ml  line  Zwittentelliiiig  aia.  Andere,  wie  ,}dankbar",  Mlieh  kann  man  iin- 
bedeaUieh  als  Eonkreta  hinsteUeii,  denn  Dankbarkeit  liest  sich  (es  sei  denn  im 
ttbertragenen  Sinne)  nur  einem  lebenden  Wesen,  also  Konkretun,  xiuolireiben. 

§j)  Versuchen  wir  min  einraal,  uns  aul"  den  Standpunkt  zu  stellen, 
als  üb  es  uns  obläge,  eine  Sprache  zu  erschaüen,  ganz  nach  Belieben 
Wörter  oder  Zeichen  zu  bilden  and  solchen  ihre  Gebrauchsweise  vor- 
nschreiben. 

Auf  d^n  TTntersehied  unsrer  Bestrebungen  von  denen  der  Yolapükisten 
werden  wir  noch  zu  sprechen  kommen  —  vergL  a,)  in  dieser  Einleitung, 
Fu&snote. 

Es  erscheint  dann  keineswegs  als  eine  leichte  Aufgabe  auch  nur 
ta  jenen  r-i  lion  unter  |,)  erwähnten  zehn  Wortarten  zu  kommen,  welche 
wir  in  uusem  Kultursprachen  thatsäclilich  gebildet  vorfinden.  Die- 
selben genetisch  zu  erklären,  sie  gewissermassen  aus  den  Uedürfnissen 
der  Rezeichnung  und  Mitteilung  herauswachseu  zu  lassen  und  so  als 
znr  Belriedigung  dieser  Bedürfnisse  erforderliche,  in  solchem  Sinne 
nottcendige  nachzuweisen,  dürfte  vielmehr  höchst  schwierig  sein,  wofern 
die  Angabe  aberhaopt  lösbar. 

Das  gleiche  wäre  auch  za  leisten  für  die  etwaigen  Bengnngsformen, 

Fl^xiunen  jener  Wortarten,  wie  namentlich  die  Konjugationsformen  der 
Verba,  und  die  Deklinationsformeu  <l»'r  Substantiva  (Adjektiva  und  Prono- 
mina', mit  welchen  dann  auch  die  Bestimmung  oder  Mission  der  Prftposi- 
tiuuttn  in  nächstem  Zusammeohauge  steht,  dergleichen  ja  in  vielen  Sprachen 
Kasus  yertreien. 

Es  mflsflie  in  solcher  ünterenchnng  anch  die  Frage  beintwortet  werden, 
loit  wie  vielen  und  welchen  Wortarten,  Eaeus  und  Tempora  etc.  man 
(im  Minimum)  bereits  auszureichen  vermag,  wie  viele  Arten  von  sprach- 
Hcben  Gebilden  oder  —  sagen  wir  kurz  —  „Sprachforme u'*  also  unerlüss- 
hch  wliren,  mit  welchen  Formengruppen  man  die  Zwecke  des  (Tedanken- 
auj»Uruck8  gleicherweise,  mit  welchen  aber  am  besteu  erreichte  und  was 
die  etwa  flberztthligen  Fonnen  fOr  Vorteile  gewShrten. 

Soweit  die  Ldsnng  dieser  Aufgabe  gelungen  wäre,  h&ttm  wir  eine 
wirkliche  Analyse  der  Sprache  gewonnen,  eine  zugleich  Wissenschaft^ 
liehe  und  allyaminc  Grammatik,  welche  die  den  Kultursprachen  gemein- 
samen Elementarformen  aucli  als  unentbehrliche  und  notwendige  er- 
kennen liesse,  wogegen  sie  an  Uerseits  die  von  Sprache  zu  Sprache 
wechselnden  Gebilde  iguoru-cu  würde. 


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64 


EinleitoDgr. 


Es  winde  die?:c  allpfpnipine  Oraramatik  des  Vorzugs  gentessen,  dass  in 
ibr  gerade  dasjeuiuo  ausser  Betracht  bleiben  f1(!rftf>  und  zu  bleiben  hätte, 
wa^«  beim  Erlernen  eimr  fremden  Sprache  jeweils  die  LMossten  Schwierig- 
keiten zu  bereiteu  iJÜegt  —  als  da  biud:  die  verschiedeneu  Arl«u  von  Kon- 
jugation und  DekliDstioii,  welche  die  „spezielle**  Oiammatik  uns  oft  eo  er* 
mttdend  als  erste,  zweite,  dritte  eto.  aufettblt  xmd  yorftthrt,  dun  die 
ünrcgelmüsbigkeiten  der  Vcrlm,  dir  Wortstellung  and  des  Satsbaues»  nament- 
lich aber  auch  die  dem  AuslUnder  das  Deutsche  so  sehr  erschwerenden  drei 
(ienern  von  don  in  dieser  unsrer  Sprache  mit  ,,doi",  ,,die"  oder  ,,das"  gum 
ohne  jeden  objektiven  Grund  zu  verknüpfenden  (unporsTdiru-lien)  H;iu|it- 
würtem  und  ebenso  die  Divergenzen  zwischen  Schrift  und  Aussprache,  wie 
sie  Tor  allem  in  der  nnphonetiselien  Sehreibung  des  Eng1i«>hen  sidi  so 
f,bemtihend*^*)  kundgeben,  anoh  anderes  mehr. 

Für  ein  engeres  Gebiet,  nämlich  ITir  (lixjcnige  der  J^a/;/<'  ;/l)»'/.t'ichnnng, 
sehen  wir  die  analoge  Aufgabe  hir-  it-  gelöst  vor  uns.  Hier  kann  in 
der  That  leicht  der  Nachweis  gtijih.rt  werden,  dnf^s,  wofern  nicht 
mehr  als  zehn  Ziffern  sollen  verwendet  werden  dürfen,  eine  systema- 
tische Darstellung  aller  natürlichen  Zahlen  nicht  besser  erreicht  zu 
werden  vermag,  als  sie  durch  die  jetzt  allgemein  üblichen  Ziffern- 
zusammenstelluDgen  in  unserm  aus  Indien  überkommnen  dekadiscken 
Systeme  bereits  verwirklicht  wird;  es  kann  diese  Zahidarstelluug  als  eine 
aus  Zweckmässigkeitsgründen  auch  notwendige  gerechtfertigt  werden. 

Dass  Uhnliches  aber  für  das  game  Gebiet  der  sprachlich  bezeich- 
neten oder  bezeichenbaren  Objekte  durchaus  nicht  gelingt,  dürfte  seinen 
Omnd  Tor  allem  darin  haben,  dass  eben  dieses  mit  der  Sprache  ge- 
gebene Bezeichnaogssystem  sich  an  Voilkomnienheit  entfernt  nicht 
messen  kann  mit  dem  in  der  aogedenteten  Richtung  für  die  Objekte 
der  Aritbmetik  bereits  rerwirklicbten  Bezeichnungssysteme. 

Hat  dieses  nun  seine  Richtigkeit^  so  mnss  an  Stelle  jenes  oben« 
erwähnten  Ideals  einer  ^allgemeinen"  Grammatik  ein  anderes  treten: 
das  rationellste  Beseichnungssystem  für  die  Benennung  aller  Objekte 
und  den  Ausdruck  aller  Vorgänge  des  Denkens  erst  £u  entdecken  und 
als  ein  notwendiges  zu  rechtfertigen. 

Auf  dieses  Ideal  werden  wir  in  der  That  noch  weiter  hinarbeiten. 

t},)  Gehen  wir  nun  Ton  dem  eingenommenen  Standpunkte  auch 
nur  ein  Stück  weit,  auch  einen  Schritt  nur  vor,  so  leuchtet  zunächst 
die  Notwendigkeit  ein,  neben  den  (bisher  besprocheneu)  Eigennamen, 
die  jeweils  ein  ganz  bestimmtes  „Diug^'  bezeichnen,  nur  einem  solchen 


*)  Der  Ausdruck  ist  besonders  im  deutsch  -  schwoizcrischcn  Idiome  ein» 
gebfitgeit 


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Einleitung. 


nkommetiy  aach  solclie  Namen  zn  schaffen,  die  anf  viele  Dinge  passen ; 
es  eifaellfc  die  Notwendigkeit  der  Schöpfung  auch  von  Gemeinnamen, 

Ich  denke,  dass  die  Erfordcrlicbkeit  von  Namen  überhaupt  zur  liö- 
zekhnung  von  Dingen  untl  inabebondre  von  Eigennamen  um  jo  von  einem 
Ustimmteii  Dinge  reden  za  kfinnen,  keiner  weitergehmden  Bechtfertigung 
bedarff  und  werden  anch  die  Betraehtnugen,  die  wir  anzustellen  haben,  um 
das  BedUrfniss  nach  Gemeinnamen  klar  zu  legen,  zum  Teil  höchs^  ti-ivialer 
Natur  sein.  Es  dttrfte  solchen  gleichwol  nicht  jedes  Verdienst  abzu- 
i|trechen  sein. 

Deuken  wir  uns  eine  Anzahl  Personen  im  Vollbesitze  einer  beliebif' 
grossen  Menge  von  Eigennamen  —  aber  ^uuäcb»t  nur  vuu  ijolcbeu  —  also 
dass  das  gleiche  Wort  sieh  bei  allen  jeweils  mit  der  („gleichen*')  Yor- 
ttellong  von  dem  näuüichen  bestimmten  (ülnigens  beliebig  konkreten  oder 
sbstrakten)  Dinge  mit  mifehlbarer  Sicherheit  assoziirt,  so  wird  sich  mit 
Denknotwendigkeit  erkennen  lassen,  dass  diese  Personen  unfähig  sein  werden 
einander  irf,'endetwas  mitzuteilen,  was  sie  nicht  bereits  laut  Voraussetzung 
wnp««teii.  Ich  will  z.  B.  sagen,  das«  der  Schure  wei^s  ist,  aber  weil  ich 
nur  über  Eigennamen  verfüge,  kann  ich  dies  nicbt  in  iiezug  auf  den  Schnee 
llberhanpt  thnn,  sondern  nur  in  Bezug  auf  einen  bestimmten  Schnee,  der 
t.  B.  an  bekanntem  Orte  liegt,  ich  kann  es  auch  nicht  sagen  in  Bezug 
auf  jeden  Teil  dieses  Schnees,  sondern  nur  in  Bezug  auf  eine  bestimmte 
Portion  desselben,  als  Ganzes,  die  ich  kurz  als  „dieser  Schnee**  bezeichnen 
will  Die  Weisse  dieses  Schnee  s  mag  sich  durch  ihren  j^enauen  Hellicj- 
keitägrad  auch  von  derjenigen  jedes  andern  Sehuee's  unterscheiden.  Ich 
kaim  nicht  sagen,  dass  dieser  Schnee  weiss  überhaupt  ist,  wie  andre  weiss-c 
K(Srper,  sondern  w^eil  ich  auch  nur  den  Eigennamen  für  „diese  Weisse"  von 
dem  erwfthnten  eigentfimliohen  Helligkeitsgrade  zur  Verfügung  habe,  so 
buiQ  ich  anch  diesem  Schnee  nnr  gerade  diese  Weisse  zn-  oder  absprechen. 
Von  den  Personen,  die  meioen  Ausspruch  hdren  w^nteo,  wissen  alle,  was 
anter  „dieser  Schnee''  gemeint  ist  (laut  Vorau'-setzung),  desgleichen  was 
,.diese  Weisse"  bedeutet,  und  werden  dieselbuii  sich  auch  darunter  sofort, 
wenn  der  Käme  fÄllt,  etwas  jener  bestimmten  Emptindung  weis.ser  Farbe 
(mit  dem  erwähnten  charakteristischen  Helligkeitsgrade)  zugrunde  liegendes 
Wirkliches  ttbereinstinunend  Torstellen.  Es  kann  nun  aber  sein,  dass  der 
Stae  oder  Andere  der  genannten  Personen  gleichwol  noch  darfiber  unwissend 
ist,  dass  diesem  Schnee  gerade  diese  Weisse  zukommt,  und  dass  ich  es 
ihm  fapen  will.  Laut  Vorausset/.nn<:,'  habe  ich  nun  aber  auch  blos  einen 
F^ii^'cnnamen  tiir  gerade  dieses  hier  vorliegende  Zukommen,  oder  icli  hahe 
keinen.  Im  letztem  Falle  kann  ich  es  nicht  statuiren  oder  raiUeiien;  im 
erstem  aber,  wo  „dieses  Zukommen"  ein  (laut  Voraussetzung)  im  gemein- 
sunen  Besitz  der  beteiligten  Personen  befindlicher  Eigenname  gewesen  sein 
M^le,  mnss  eben  der  Andre  dasselbe  schon  gekannt  haben,  er  mnsste  da- 
nit  bereits  wissen,  dass  diesem  Schnee  diese  Weisse  gerade  so  zukommt, 
ira  Widerspruch  zu  der  obigen  Annahme,  dass  er  darüber  unwiH-end  ge- 
wesfT).  Krq^i^bniss:  ein  Rezeichn»in^^s?yptem,  da«  blos  Kicfennainen  umfasste, 
uoiwendiLTerweis''  '"tr  Ühei  inittelung  irgendwelcher  Erkenntniss  unzu- 
Ünglich.    Das&eibe  vcimüchto  liüchstenö,  bereits  vorhandene  Erkenntnia»- 


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66 


EiDleitong. 


eleniente  —  durch  Anrufen  dereelb^b  —  wie<leniib«leben  odor  in's  Feld 

der  Aufmerksamkeit  zu  rücken. 

Um  einen  Ausspruch  thun  zu  können,  der  eine  Information  zu  liefern 
vermöchte,  brauchen  wir  miniL^stf-ns  für  die  Kopula,  welcher  in  unserrn 
Beispiel  „dau  (erwähnte)  Zukouuncti"  oder  „der  Besitz'*  entspricht,  ein 
Wort  von  aUgemeiner  Bedeutung,  das  einen  Oemeinnamen  Tertritt,  und 
kennen  damit  dann  allerdings  als  etwas  für  den  Vernebmenden  mOglielier- 
weise  Neues  sagen:  „Dieser  Schnee'*  hcsitzt  „diese  Weisse^. 

Wir  wollen  nun  nicht  weiter  ventiliren,  mit  welchem  minimalen  Be- 
stand au  Gattungsnamen  ein  Bezeichnungssystem  den  Zwecken  sprachlicher 
Mitteilung  schon  ausreichend  zu  genügen  vermöchte  —  in  Anbetracht,  dass 
auch  andere  Momente  dabin  drängen,  solche  in  grosser  Menge  zu  schatfen, 
und  dass  ein  Reichtum  der  Sprache  an  Gattungsnamen  nur  Yorteühaft 
erscheint 

^.j)  ZunSchtt  haben  wir  aher  die  t'/c/würterigen  Lialtungsuameo,  welche 
sich  aus  einwuiierigeu  und  vielleicht  auch  andern  Wortzeichen  „ableiten** 

—  etwa  rationell  in  Gestalt  einer  Definition  oder  Besehreibung  aufbauen 

—  lassen,  von  unsrer  Betrachtung  naittrlich  auszoschliessen  nnd  unser 
Augenmetic  an  richten  auf  die  Erstellung  der  als  ,,ursprflngliche"  einwört4rig 
SU  gestaltenden  Namen,  die  zu  dem  weiteren  Aufbau  uns  erst  die  Bau- 
steine abgeben  sollten. 

Schon  die  oberflächlichste  Überlegung  zeigt,  dass  es  gar  nicht 
dnrchffihrbar  sein  würde,  ein  Jedes,  was  Objekt  des  Denkens  werden 
mag,  mit  einem  Worte  als  Eigennamen  zu  benennen. 

Das  w9m  schon  in  Bezug  auf  die  Dinge  der  Aussenwdlt  unthunlicb. 
Wie  möchten  wir  z.  B.  Geom^e  treiben,  wenn  jede  Seite  jede  Eoke 
etc.  eines  jeden  von  irgend  jemand  in  Betracht  zu  ziehenden  Dreiecks  ihren 

eigenen  Namen  führte,  wenn  sie  von  der  Sprache  je  mit  einem  liesondcren 
Worte  be/.eiclmet  wiinie  und  werden  raüsstcV  So  ausserordentlich  grojrs 
die  Kombinatiüusfäiiigkeit  der  ihuhstaben  v.u  ausbpreclibareu  Silben  und  so 
zahlreich  die  Arten  auch  bind,  auf  welche  diese  Silben  äich  zu  Worten  ver- 
knttpfen  lassen,  sie  würden  doch  bei  weitem  nicht  hinreichen  um  solchen 
Bedarf  an  Eigennamen  zu  decken.  Kein  menschliches  GedSchtniss  aber 
wttrde  die  Kraft  besitzeu,  wären  solche  Kamen  auch  schon  geschaffen 
(irgendwie,  beliebiL,'  eingefiUirtX  die.-elbeu  mitsamt  ihrer  Bedeutung  zu  bc- 
haitett,  ganz  abgeselien  von  der  8clnvie;ij?keit,  j^ie  zu  crhrnr^. 

Das  Erlernen  wiinlc  hier  immer  noch  (in  gewissem  Umfange)  wenigstens 
als  möglich  erscheinen. 

FHnsipiell  unmöglich  aber  mttsste  es  genannt  werden,  &Us  die  gleiche 
Praxis  der  Belehnung  aller  Dinge  mit  Eigennamen  auf  die  Gebilde  der 
geistigen  Welt  angewendet  werden  wollte.  Da  .sich  die  Zustande  des 
Bewusstseins  eines  Menschen,  als  namentlich  seine  Wahrnehmung  von 
ünter^rhicden  oder  von  Übereinstimmunfj  an  den  Dingen,  seine  Empfindungen, 
Vorstellungen  und  Absichten  ete.  für  die  andern  Menschen  nicht  sinnlich 
zur  Wahrnehmung  bringen  lassen,  da  sich  nicht,  wie  auf  die  Aussendinge 
anf  solche  hinweisen  l&Bst|  so  wSre  hier  gai-  kein  Wog  d^bar,  auf  welchem 


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Eioleitung. 


67 


eine  Spnehe,  die  alle  indWidnellen  BewussUdoszustflnde  je  mit  Eigennamen 
beieidbnete  I  überhaupt  Gemeingut  einer  Mehrheit  von  M^sehen  werden 
krniUe.  Schon  die  Erleninng  der  Sprache  bliebe  hier  ein  Tonhanse  ans 
udfisbares  Problem. 

Wir  braachen  also  Gemeinnamen. 

tg)  Der  Gancinname  (nonicu  a])pellativuin ,  general  term)  sollte 
mehrere  Dinge  bezeichnen  dürfen,  solclien  einzelu  und  sozusagen  mit 
gleichem  Rechte  zukommen. 

Der  Gemeiuname  „Planet"  z.  B.  kann  der  Erde  sogut  wie  dem 
Mars,  Jupiter  oder  Saturn  etc.  beigelc^rt  werden.  Wir  dürfen  darum 
sagen:  Die  Erde  ist  (ein)  Planet,  Mats  ist  Planet,  Jupiter  ist  Planet. 

Hierdurch  erscheint  die  Anweudungsweise  des  Gemeinnamens  ge- 
regelt, Boferne  mit  ihm  etwas  sollte  ausgesagt  werden,  insoweit  er 
also  znm  Prädiziren  dient  —  zunächst  wenigstens:  insofern  er  in  der 
Form  des  Singulars  Vtääikai  einer  Aussage  wird. 

Die  mittelst  Eigennamen  bezeichenbaren  singularen,  besondern, 
bestimmten  oder  individuellen  Dinge,  welche  so  der  Gemeianame  „nm- 
iasstf',  Aber  die  sich  seine  Bedeutung  „erstreckt^^  und  von  deren  jedem 
er  für  sich  im  Singular  pradizirt  werden  darf,  setzen  eine  „Kktss^ 
(oder  „GaUun^  zusammen,  von  der  sie  die  „Tfidwidum^  genannt 
werden.  So  sind  Merkur,  Venns,  etc.  bis  Neptun  die  IndiTiduen  der 
Klasse  der  Planeten  oder  der  Gattung  „Planet^. 

Das  Wesen  der  obigen  Yerwendungsweise  besteht  nun  darin,  dass 
der  Gattungsname  sich  anf  seine  Individnen,  wie  man  sagt:  ^ßistrtbixHf^f 
vertdlt  —  80  lülmlicb,  dass  er  jedem  einzelnen  dieser  Xndifiduen  ganz 
(sDd  ungeteilt)  zukommt. 

Es  geht  nichts,  kein  Teil  von  ihm  verloren,  wenn  er  einem  Individuum 
beigelegt,  zugeteilt  wird,  nnd  man  behftlt  ihn  immer  noch  ganz  flbrig,  um 
Um  ebenso  auch  einem  zweiten,  dritten  etc.  Individnam  susnteilen.  Die 
Torli^fende  ist  sonach  eine  eigentamliche  Art  von  „Verteilung",  welche  sich 
etwa  der  Ausbreitung  einer  ansteckenden  Krankheit  vergleichen  liesse: 
wrr  !.  n  hniidert  Personen  von  einem  Seharlachkrankon  infizirt,  so  wird  eine 
j  ilo  derselben  nicht  etwa  blos  des  hundertsten  Teiles,  sondern  der  ganzen 
Krankheit,  schlechtweg  des  Scharlachfiebers,  teilhaftig  (auch  verliert  Der- 
jenige, von  welchem  der  Krankheitskeim  sich  auf  die  Andern  ttbertrttgt, 
die  l&ankheit  dadurch  nicht). 

Gelegentlidi  der  Erlftnterong  des  „Distribntionsgesetzes**  werden  wir 
is  §  13  Veranlassnng  nehmen,  noch  andere  (und  8ch(Snere)  Veigleiche 

beranziiziehen  zur  Verdeutlichung  der  eigentümlichen  Katur  dieser  hier  in 
Betracht  kommenden  Verteilnnu: zuweise,  der  „distributiven"  oder  ,.qualita- 
tiTen'*,  nnd  ihres  Gegensatzes  zur  aiidern  von  den  beiden  denkbaren  Haupt- 
Verteilongs weisen,  nämlich  der  gewöhnlichen  oder  „(quantitativen''  Verteiluug. 


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C8 


Einleitung. 


Analog  aueli  dflrfen  wir  mit  der  Plnralform  von  den  Individaen 
irgend  einer  in  jener  Klasse  enthaltenen  Gruppe,  wie  VenaSi  Erde, 
Mars,  sagen:  dieselben  seien  „Planeten''. 

Auch  umgekehrt  soll  unter  dem  Gemeionamen  (oder  „Gattungs- 
namen"), wenn  vm  ihm  etwas  ausgesagt  wird,  stets  nach  Beliehen 
dieses  oder  jenes  („irgendein"  any)  Indi?iduum  der  Klasse  verstanden 
werden  dürfen  —  unter  „Planet''  also,  wenn  man  will,  die  Erde,  oder 
auch  der  Merkur,  etc. 

Durch  diese  wichtige  Vorschrift  erscheint  der  Gebraucli,  die  An- 
wendungsweise der  Gattungsnamen  auch  in  der  andern  Hinsicht  ge- 
regelt, sofeme  er  nimlich  selbst  als  Gegenstand,  SuJij^  einer  Aussage 
auftreten  wird. 

Wird  diese  Vorschrift  konsequent  befolgt^  so  wird  also,  was  von 

der  Gattnng  ausgesagt  wird,  auch  von  jedgoa  ihrer  Individuen  Geltung 
beanspruchen. 

Eine  Aussage,  deren  iSubjeki  Gemeiuname  ist,  eine  Klasse  vor- 
stellt, wird  ein  nllgemeincs  oder  geiicrdks  T^rteil  (jiuHcium  gonciale, 
general  statemeiit)  genjinnt  —  im  Gp<ronsat'/  v.w  oiiior  Atisjiaj^e,  deren 
Subjekt  ein  Ei;j;emiame  ist,  ein  Iiidividuum  vorstellt,  welcli'  letztere 
wir  ein  singulares  oder  Einzcl-Uiieii  (Judicium  singulare,  siugular  State- 
ment) nennen  werden. 

So  dürfen  wir  beispielsweise  sagen:  Der  Planet  läuft  um  die 
Sonne,  denn  Merkur  umläuft  die  Sonne,  Venus  umläuft  die  Sonne  etc. 
Neptun  läuft  um  die  Sonne. 

Die  letztere  Aussage  ist  Beispiel  eines  sinfftdarm  Ürteils,  die  erste 
illustrirt  ein  generelles  Urteil;  dasselbe  ist  audi  gleichbedeutend,  äquivalent 
mit:  „Jeder  (every  planet,  eacli)  umläuft  die  Sonne*'  sowie  mit  „Alle 

Planeton  laufi-n  nm  dio  Sonne"  und  exemplifizirt  jene  besondre  Art  Yon 
goncicllnn  Urteileu,  die  man  als  „univcrmh"  bezeichnet. 

ilagcgen  würde  ein  Satz  wie:  ^^Einigc  Planeten  ^^sume  planots)  Imlun 
Monde"  zwar  auch  aU  ein  generelles,  aber  nicht  als  ein  universales,  boudmo 
als  p^rtQtuhimf*  Urteil  hinsustellen  sein. 

Endlieh  wird  eine  Ausssge  von  der  Art  wie:  „Bin  Planet  i»t  (vod 
lebenden  Wesen)  bewohnt"  ein  „unbestimmte^*  Urteil  genannt. 

Wir  wollen  auf  diese  Unterscheidungen,  welche  ziniäclitit  vorwiegend 
als  sprachliche  orschcinon,  glelLh  hier  schon  aufraerksani  maclicn,  weil  auf 
sie  im  Text  {^elogentüoh  Anapieiung  premacht  wr>nlcn  wird,  währoiid  siü 
nach  ihrem  logibcheu  Gehalto,  syüteuiaLiäch,  aräi  später  in  Betracht  ge- 
zogen werden. 

Dagegen  ist  ein  generelles  Urteil  tnirichtig,  wenn  diissclbe  nicht 
für  jede  der  als  zulässig  festgeset/ien  Bedeutungen  des  als  sein  Sub- 


.  ijui.  u  i.y  Google 


£iiil«iiimg. 


69 


jeki  aoltretemleii  Gattungsnamens,  nicht  für  jedes  Individuum  der 
KInBse,  zutrifft.  £s  würde  z.B.  der  Aosspruch:  ^^Der  Plaiiet  hat  (einen 
oder  mehrere)  Monde''  unberechtigt  seiUi  weil  er  schon  für  die  Venus 
(e.  B.)  als  unwahr  anzuerkennen  ist. 

Wir  müssen  es  uns  fiir  unser  eigentliches  Thema  vorbehalten^  die 
Wirkung  obiger  Grundsätze,  durch  welche  der  Gebrauch  von  Gemein* 
namen  geregelt  werden  muss,  in  die  verschiedenen  Ausdrucksformeu 
der  Sprache  hinein  zu  verfolgen,  und  etwaige  Abweichungen  von  den- 
selben, welche  die  Sprache  sich  (inkonsequenterweise)  gestattet,  ge- 
legentlich zum  Bewnsstsein  zu  bringen. 

Auf  die  geschilderte  Weise  nun  ermöglicht  es  uns  der  Gemein- 
name, beliebig  viele  singuläre  Urteile  zu  einer  einzigen  —  eben  der 
generellen  oder  allgemeinen  Aussage  —  abkürzend  zusammenzufassen. 
Es  wird  damit  ein  ökonomisches  Haushalten  mit  den  Miltelri  des 
Ausdruckes  erstmalig  angebaliiit,  und  erscheint  das  Verfahren  schon 
wegen  der  Hüufigkeit,  mit  welcher  solche  Erspiirnis.s  uhzuLiingen  ist, 
Von  immensem  Vorteile,  ünahsehbar  steigert  sich  noch  diese  VV'irkung, 
wenn  wir  —  in  Gestalt  des  „Be^^riffes"  —  demnächst  ein  Mittel  er- 
kennen werden,  auch  „oileue''  Kla.sseu  zu  bestimmen,  KlasseUi  welche 
oft  eiue  unbegrenzte  Menge  von  Individuen  umiasseu. 

ij)  Der  Gattungsname  kann  als  ein  ^fmätiräie^ise^  oder  ^joi^ 
deyÜger**  bezeichnet  werden^  indem  ihm  eben  mehrere  Bedeutungen  mit 
gleichem  (und  vollem)  Rechte  zukommen.*)  Er  tritt  dadurch  in  Gegen* 
saiz  zu  dem  als  „etfufeii%''  (determinative)  zu  bezeichnenden  Eigen- 
namen sowie  zu  dem  Namen  ^^Nichts"  (oder  „rundes  Quadrat^  welchen 
wir  (wie  schon  frfiher  „unsinnig^,  so  nun  auch)  „tmäetUi^  nennen  mögen. 

Wie  man  sieht,  ist  hiernach  zwisdien  ,^eitkttti^*  und  f,doppelsinnig'* 

em  wesentlicher  Unterschied  anzuerkennen.  Ein  zweideutiger  Name  wllre 
z.  B.  ,,meine  Hand";  derselbe  wUrde  aber  vollkommen  „rmsinnig^,  univok 
gebraucht,  wenu  wir  nur  logisch  berechtigte  Urteile  fällen,  wie:  ^in^® 
Hand  hat  fünf  Finger"  uud  dergL 

Zweideutig  iat  in  der  Arithmetik  die  Quadratwurzel  aus  irgend  einer 
TOB  Null  versäiiedenen  Zahl  (in  ihrer  ursprünglichen  Bedeutung,  als  all- 
goneinste,  „volldentige"  oder  „Generalwert**  aufgefasst).  Sie  wird  erst 
«loppelsinnig,  wenn  man  etwa  —  was  nicht  erlaubt  ist  —  dieselbe  und 
ibrai  „Haaptwert**  homonym  bsnennt  oder  beseicbnet.    Einsinnig  bleibt 


*)  Em  mag  nämlich  auch  jedes  Individunm  der  Gattung  eine  von  seinen  Be- 
deutungen f»enannt  werden,  wogogcu  die  ganze  Gattung  '»l-  r  Klasse  „suino  Be- 
deotong"  schlechtweg  ausmacht.  Dii-  Ausdrücke:  „eint"  iitidfutanf^'  und  „rZ/cj 
Bedeatung*',  als  vcrscbiedeue  gekeuu^eichuet  durch  den  uabeütimmieii  uud  dcu 
Iwttifflmten  Artikel,  werden  bei  Gemeinoamen  unterscheidend  gebraucht. 


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70 


Einleitung. 


f»ie  (bei  aller  Zweideutigkeit),  sobald  die  Arithmeiiic  eine  korrekte  Dar- 
stellung flU'Ift. 

Erat  <.lurcli  imberuchü.ü;t  schwankeudeu  Uebiauch,  in  der  Art,  wie  wir 
eb  unter  Vj)  geschildert  haben,  kann  ein  vieldeutiger  Nauie  auch  zu  einem 
doppelsinnigen  gestempelt  werden  —  gleichwie  auch  schon  ein  eindeutiger: 
man  dmke  B.  an  einen  schlechtweg  nach  „Kßnigsber^^"  adressirten  Brief, 
wo  es  doch  mehrere  StSdte  dieses  Namens  gibt,  von  denen  aber  nur  eine 
hier  gemeint  aem  konnte  und  bei  einem  andern,  dem  Wortlaut  nach  eben« 
dahin  adressirten  Brief  auch  eine  andere  gemeint  sein  mag. 

Der  Gemeinname  kann  ebenfalls  „abstrakt"  oder  ,,konkret"  ge- 
nannt werden,  je  nachdem  die  unter  ihm  begriffenen  Individuen  sam$' 
Ud^  als  Abstrakta  resp.  Konkreta  au  gelten  haben. 

„Mttt^  stellt  ein  Bdspiel  fBr  den  ersten,  „Vferd'*  ein  solches  fllr  den 
zweiten  Fall  yor.  Doch  gibt  es,  wie  wir  schon  hervorgehoben  haben,  auch 
Gattungsnamen  von  geniii>cbtcai  Charakter  („abstrakt-konkreter"  Natur), 
wie  „ausgedehnt".  Aui-h  ist  hier  zu  wiederholen,  worauf  wir  bereits  hin- 
wiesen, das»  diese  Unterscheidungen  von  geringem  J)clang  fUr  nnsre 
cächäten  Zwecke  sind. 

^)  Vor  allem  ist  noch  einer  Yerwecbselnng  des  „Gemeinnamens'' 

mit  dem  ,,KoUehlivnainm'*  vorzubeugen.   Der  letztere  unifasst  allerdings 

auch  eiüc  Mehrheit  von  uiiterscheidbaren  Dingen,  welche,  weuu  mau 
will,  wiederum  eine  Klasse  kotistituireii  und  sich  auch  uuter  einem 
„Gemeiiiiiuuien"  oder  „(iattuji<i;snaniGn"  zusammenfassen  lassen;  jedoch 
wird  er  dadurch  zum  Kullcktivuamen  gesteiu|)elt;  dass  bei  täeinem 
Gebrauche  wesentlich  andere  Grundsätze  maassgebeud  sind,  als  für 
diesen  ihm  zui^ehöri^eu  (iattnnti;.snamen. 

Der  Koll'  ktivuame  kann  zunächöt  sieibüt  ein  Eigenname  sein.  Als 
solcher  ist  er  uns  nichts  Neues  und  war  bei  allen  uuscrn  bisherigen 
Betrachtungen  über  Eigennamen  sclioii  iiumer  mit  zugclas.son;  auch 
seine  Bedeutung  hat  nach  wie  vor  als  ein  ,,ludividuam''  unter  den  Ob> 
jekteu  des  Denkens  zu  gelten. 

Ein  solcher  ist  s.B.  „di.  f  ^,'.  i^enwärtige)  deutsche  Armee**;  ein  solcher 
ist  ferner  „die  Gruppe  der  rianeteu''  (sie  würde  zusammen  mit  deren 
Monden  und  der  Soune  abermals  einen  Knllektivuamcn:  „das  Planeten* 
pjfsteai"  auauiacheu);  ein  solcher  iat  „die  lüliliothek  des  Herni  N.  N". 

Als  zugehöriger  Gattungsname  würde  bezüglich  eracbeiuen:  ,,(gegeu- 
wfirtig  eingekleideter)  deutscher  Soldat'',  „Planet**  und  „dem  Herrn  N.  N. 
gehßriges  Buch**. 

Wir  erinnern,  dass  nach  dem  unter  und  Xg)  Ausgeführten  das 
Wesen  des  Gemeinnamens  in  seiner  „distribativen*'  Verwendung  bestand. 

Darch  seine  Vermittelung  kommen  in  erster  Linie  nnd  hanptsSch- 
lich  Aussagen  zustande^  die  von  den  Individuen,  welche  der  Gemein- 


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Einleituug. 


71 


ntme  umfasst,  auch  einzeln  abgegeben  wenlen  könnten,  ohne  dass 
mui  notig  h&tte,  dabei  aucli  an  andre  (die  andern)  Individuen  dieser 
Gattung  zu  denken,  auf  sie  zu  reflektiren  —  mit  der  Berechtigung 
also,  Ton  allen  zwisehen  solchen  Individuen  etwa  bestehenden  Be- 
gehungen von  Tornherein  abzusehen,  zu  abstrahiren.  Mit  dem  IViuli- 
kate  freilich  können  dium  auch  lieziehuugen  zwischen  ludividuen  der 
Öubjektklasse  btutuirt  werden. 

Wird  dagegen  ein  Name  als  Kollektivname  gebraucht,  so  werden 
i^wischen  den  Objekten,  die  er  in  sicli  ziusanniienfasst,  L^cwisse  Beziehungen 
ak  vorhanden  vurau.sgesetzt  und  koninien  als  öolehe  wesentlich  in  Be- 
traelit.  Nicht  alle  Beziehungen,  welche  zwischen  besagten  Objekten 
betrdchtbar,  brauchen  «gegeben  zu  sein  oder  als  unveränderliche  fest- 
gehalten zu  werden,  über  i^ewissn  wenigstens  von  diesen  Beziehungen, 
oder  in  gewissen  Hinsichten  wenigstens  gelten  diese  Beziehungen  uns 
als  feste.  Jene  Objekte  und  eventuell  Individuen  stehen  vor  uuserm 
Geiste  nicht  als  eine  Klasse,  sondern  als  ein  System. 

Jedenfalls,  was  von  dem  Kollcktivnamen  gültig  ausgesagt  wird, 
Iraucht  vou  den  Individuen,  die  er  in  sich  zusammenfasst,  nicht  einzeln 
g&liig  zu  sein.  Es  darf  aufhören  zu  gelten,  sobald  man  solche  getrennt 
ia's  Auge  fasst,  sie  separirt.  Vielmehr  braucht  jenes  Prädikat  nur 
der  „Gesamtheit"  der  Individuen  zuzukommen  (d.  i.  dem  der  gleich« 
mügen  Vorstellung  samtlicher  Individuen  zugrunde  li^enden  Wirk- 
lichen) mit  Biidaidii  auf  alle  BaMungenf  welche  swisdien  diesen  Xndi- 
riduen  schon  (faktisch  oder  theoretisch)  bestehenf  solange  man  sie  also 
in  dieser  ihrer  Verbindung  miteinander  belasst*)  (zuweilen  auch,  so» 
bidd  man  sie  erst  in  gewisse  feste  Beziehungen  zu  einander  gebracht 
denkt,  bringt).  Auch  kommt  dem  einzelnen  Individuum  der  Kollektiv- 
Dame  (darum)  nicht  zu. 

Der  FlOgelwaim  der  ersten  Kompagnie  des  ersten  Regiments  der 
dentsefaeB  Armee  ist  „deutscher  Soldat**;  der  Oberst  desselben  auch;  aber 
er  id  niebt  ^die)  deutsche  Armee*'.  IHe  deutsche  Armee  ist  schlagfertig; 
der  einzelne  Soldat  kann  dies  auch  sein.    Aber  die  deutsche  Armee  mag 

auch  der  gegnerischen  Armee  tlberlegcn  sein,  und  von  dem  ciii/.elnen 
dwtschen  Soldaten  könnte  doch  jedenfalls  nicht  ausgesagt  werden,  er  sei 


*)  Die  Individuen  selbst  mflseen  gleiehwol  nicht  als  gleichseitig  exiBtirende 
Tscsnagatstet  werden. 

Verdient  der  Kollektivname  die  Bezeichnung  al»  ebe  „Summe",  „QuantiUit*' 
oder  „Gröts^e*',  so  ist  so^iir  j^efordert,  dus.s  man  die  Individuen  bereits  in  fine 
eigerirtHirro  ßeziebuug,  Gedankenverbindung  gebracht  habe,  deren  Wesen  die 
Arithmetik  auseinandersetat. 


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72 


EinleitUDg. 


der  i'findlicheii  Armee  überlegcü  —  ausonsi  wir  unser  Militilrbuilj,'c;t  auf 
die  Erbaltiintjf  dieses  einen  Holdakni  einscliriinken  dürften.  l>as  l'ucU  „ist'* 
nicht  iVir.  liihliuthtk;  dio  Tiibliolück  kanu  viele  TauseuUti  wert  sein,  das 
tiuch  gleiciiwol  uiehl,  etc. 

Als  KollektiYnameii  kQnniea  wir  jedes  Ding  beseicbnen,  an  weldiem 
Oberhaupt  Teile  eich  UDterscheideit  Jasseii:  also  vielleichb  allein  den  Pnnkt^ 

den  Augenblick  nnd  das  Nicbts  nicht!  80  ist  ein  Buch  wieder  Ki  lb  ktiT* 
nanie  in  Bezug  auf  die  in  ihm  zusammengebundenen  BUitter  und  deren 
Reiten,  eine  Reite  ebenso  im  Hinblick  auf  die  auf  ihr  gednulcton  Sät/.o, 
Wörter,  .Silben  und  Buchstaben.  Faijt  jeden  Namen  also,  mit  dem  wir  bis- 
her ein  Objekt  das  Deuken»  bezeichnet  dachten,  mag  mau  einen  KoUcktiv- 
namen  nennen.  Ea  ist  dämm  fttr  die  Logik  Ton  sehr  geringem  Belange, 
eine  Unterscheidung  zwisoben  Kollektivnamen  und  solchen,  die  es  nicht 
sind,  au&ustdlen. 

Und  gleichwie  die  Eigeimameo,  von  welchen  wir  bUber  geeproohen, 

so  mögen  wir  auch  Gemeiiuiamen  als  koiklUive  hinetellen. 

„A.rmee**  ist  so  ein  Qemeinname,  sofern  das  Wort  geradesogut  die 

deutsche,  wie  die  französi.-clie,  die  eii;.llt;ehe  etc.  Armee  bezeichnen  kann, 
und  zugleich  ist  es  KoUektivname  in  Bezug  auf  die  einzelnen  Soldaten, 
welehe  v.nt  ihrer  AusrUstnnsr  die  Armee  7.u;^nmmensetzen.  Kbcnpn  i^t 
„Llibliuiht  k.  i^überhaupt)"  (jeuieiunauie  und  KoUekl ivname  zugleich,  erbteies 
als  die  Bibüolbek  dm  Herrn  A,  die  der  Gesolischafl  B,  etc.  letzteres  altt 
die  einsehnen  Bücher  umfassend,  die  sidi  in  ihr  befinden.    (Je von s'.) 

Ein  pi>ycholo<^ischer  sowol  als  grammatikalischer  Grund,  von 
KollektiTnamen  zu  reden,  liegt  wirklich  vor,  wenn  von  einer  Reihe 

von  Individuen  diese  einzeln  aufgezählt,  erwähnt  worden  sind,  und  es 
üuü  gilt  dieselben  kollektiv  zu  einem  Ganzen  zusaujuienzutasscii. 

Wenn  autgezäbite  ladiviiiueu  zu  einem  Genieinnamen  zusammcn- 
gel'asst  werden  sollen,  so  bedient  sich  die  Sprache  weM'iitlich  anderer 
Ausdrücke,  als  wenn  dieselben  zu  einem  Kollektivnamen  /.u  vereinigen  sind. 

Hat  man  erstem  Zweck  im  Auge,  so  spricht  mau  (streng  konse- 
quent, oder  auch  nur  mit  Vorliebe)  von  einer 

KUi^üti,  UaUumi,  Art.  OninmKj,  FamUic  (im  weiteren  Öinne,  z.  B. 

PflanzenfMinilie),  einem  GesdtkdU,  aucli  einem  licidt  (Bereidi),  einer 

Ahteihiny  ete. 

dieser  ludividueUi  im  iiinbUck  dagegen  auf  letztem  Zweck  von  ihrer 

(resp.  ihrem) 

Menge j  (Quantität),  Gesamtheit,  (Summe),  J leihe,  FvUjc,  ev.  Srqnrn::, 
Schar,  Hanfett,  Gruppe,  System,  Zmammenstellungj  Komplex,  Inbegriff, 
Gebiet,  Mannigfaltigkeit, 
man  spricht  von  ihnen  als  von  einem  Gänsen,  und  vielleicht  noch  in 
manchen  andern  mehr  oder  weniger  synonymen  Termen. 

Das  Wort  „Ähteilung*'  —  sowie  vielleicht  auch  schon  Bereitk, 


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Etntoitang. 


73 


Gtbiä  nod  MemnigfaU^keU  —  Bcheint  wol  in  gleicher  Weise  fUr  beide 

Zwecke  disponibel  zu  sein. 

Aoffallend  ist  der  grosse  Beiiihiuin  ao  AnsdrQcken,  welche  der  Sprache 
zu  i^olcheIl  Zwecken  zur  VerfOgmig  stehen.    Die  WisBenschaft  (namentlich 

die  Muthomatik)  hat  übrigenf*  Hchon  angcfanj]^en  diese  Synonyme  (l)0>on(ler8 
t\w-  dtr  zweiten  Gruppe)  erheblich  zu  differeu^iren  und  dürfte  darin  noch 
weiter  tcrUchreiten. 

Die  häufigste  Veraulussuuj^  dazu,  von  Kollektivnamen  ilbeihaupt 
zu  reden,  liegt  in  dem  Auftreten  <ler  riiiralfoi'm  von  Substantiven, 
mit  kollektiver  Bedeutunj^.  Aucli  j>ie  ist  vorwiegend  ^raranj atischer 
Natur.  Ihe  iiidivitluen,  weiche  der  zu;j;eh()rige  Sintrular  (als  Gemein- 
iiame)*)  distributiv  bezeichnet,  Ijczweckt  die  Verwendung  des  Pluralis 
nicht  selten,  kollektiv  zu  einem  Ganzen  zusammenzufass?en,  während 
in  der  Kegel  freilich  auch  der  Plural  nur  bestimmt  ist,  eine  Klasse 
darzustellen. 

Oass  man,  wenn  ein  Hauptwort  im  Plural  HUlt,  demselben  ott 
nicht  ansieht,  ob  es  mit  der  Absicht  kollektiver  oder  aber  genereller 
Auffassung  gebraucht  wird,  ist  als  eine  sehr  grosse  UnvoUkonimenhcit 
der  Sprache  zu  bezeichnen.  Wir  werden  sehen,  dass  auf  der  Ver- 
wechselung beider  Absichten  manche  Fehlschlüsse  beruhen. 

Wenn  wir  s.  B.  sagen:  „Die  Anforderungen,  wdche  sein  Beruf  an  ihn 
stellie*' . .  .  und  fortfahren  . . .  „erfüllte  er  mit  spielender  Leichtigkeit'',  so 

ttist  sich  das  Urteil  als  ein  generelles  auffassen.  Fahren  wir  dagegen  fort: 
... brachten  Peine  Gesundheit  zum  Wanken*',  ho  erscheint  dies  ansgnschlossen, 
und  ist  aolches  nicht  wol  von  der  einzelnen  Ant'ordenin>,',  tioiulern  nur  von 
den  vereinigten  Nachwirkungen  aller  der  aufreibenden  ADtordoruii^'Lii  gültig 
sasnsagen  gewesen.  Etc.  Zuweilen  werden  sogar  KoUektivnsjneu  gebraucht, 
am  generelle  Urteile  sn  fUlen,  z,  B.  wenn  wir  ssgen:  die  ganze  Familie  N.N. 
bat  sar  Zeit  den  Keuchhusten.   Seine  Eltern  sind  gestorben.  Eto. 

In  der  Regel  läset  sich  allerdings  —  durch  Aufwendung  von  nnr 
ein  wenig  Sorgfalt  anf  die  Ausdrucksweise  —  der  Doppelsinn  ver- 
meiden,  doch  ist  zu  beklagen,  dass  in  dieser  Richtung  ausserordentlich 
viel  gesündigt  wird. 

Wi»  oft  begegnen  wir  nicht  Sfttsen  wie:  „dass  die  drei  Winkel  eines 


*)  Ein  Eigenname  kann  überhaupt  nicht  in  den  Plural  gesetzt  werden.  Man 
kSflM  dadurch  la  abAUiden  Aosdrfickeni  wie  wenn  etwa  ein  Mensch  von  „«einen 
Ksiea'*,  KSpfen,  Vfttem,  seinen  Gebnrtsttadten  und  deigl.  reden  wollte.  Schon 

die  natürliche  Zahl,  wenn  grosser  als  1,  wird  unsinnif?  (utu  nicht  zu  sagen  ,,imagi- 
r.lr"'  sobald  als  ihre  Finh<  it  (  in  ,.Individmim"  -/o-t  t/t  wird,  als  ihre  „Benennung" 
em  Kigennatne  anftritf,  und  ist  z.B.  „fünf  Joiin  r^tuart  Mill'a  (mit  dessen  Ueimats- 
ort«  ond  Geburtsjahr  gedacht)"  ein  gänzlich  sinnloser  Aufdruck,  desgleichen 
»7  Sonnen"  (unseres  Flaneteosystemes). 


4 


74  Kinleitniitgr. 

Dr«'i«cl<H  j^k'ich  zwei  R^cliicn  siinl"*)  oiler  dit'  (^iiailiate  ü1)or  den  heidon 
Katheten  gleich  tlemj'iiigtm  über  iler  Hypotenuse*)  —  in  welchen  doch 
(las  Prädikat  nur  ätr  ^ummc  der  im  Subjekte  aufgezUhlten  Grössen  /.ukonimt! 
Kunekt  gedeutet  «(irden  jedoch  diese  Sätze  behaupten,  jeder  Dreieckswinkel 
für  «oh  sei  gleich  swei  Becbten  imd  das  Quadrat  Qber  der  Uypoteniue.sei 
gleich  dem  Qber  einer  jeden  ^thete.  Wie  leicht  i^re  es  aber,  in  solchen 
Fällen  noch  das  Adrerbium  „aaanmen**  in  den  Text,  wie  sich  gehört, 
einziiül.L'en ! 

Ebenso  inuss  es  als  ein  w;ilirer  Verdt-rb  bezeichnet  wcrtlcii ,  wenn  im 
Kleiiientiiruuterrieht  der  VolköschuUehrer  sagen  lüsst:  „2  vml  'A  >///(/  5", 
welches  bedeutete:  2  ist  5,  desgleichen  3  ist  5.  Der  Sati  enthält  zwei 
Fehler  (nur!),  indem  einmal  die  Konjunktion  »und**  fOr  das  arithmetische 
Opemtionszeichen  „pW  gesetzt  erscheint  —  dieses  ginge  aber  noch  an 
mit  Rücksicht  auf  den  von  der  Beqnemliobkeit  der  Ausspr;iclie  beherr:!ichten 
Sprachgebrauch.  In  diesem  Buche  werden  wir  uns  in  der  That  gewisser* 
ixiassen  des  umgekehrten  Fehlers  schuldig  machen, 

(iar  nicht  zu  rechtjertigen  ist  «her  die  PhtmWovui  der  Koinua.  ,,2  und 
3",  verstanden  als  die  Summe  2  -|~  *>>  ^^^^^  einzige  Zahl,  uud  diese  („sind" 
nicht,  sondern)  „ist"  (gleich)  5.  Will  man  im  Plural  sprechen,  wie  dies 
als  Bedflrfniss  erscheinen  kann  in  dem  Falle,  wo  die  Zahl^  „benannte" 
sind,  wie  bei  „2  Birnen  und  3  Birnen'^  so  ist  su  sagen:  „sind  zusammen 
5  Birnen",  wofcm  man  nicht  vorsieht  zn  sagen:  „gibt"  (oder  „macht'*) 
5  Birnen. 

Eine  Ausdrucksweise  aber,  die,  wie  gezeigt,  den  Unterichied  zwischen 
Einzahl  und  Mehrzahl,  kollektiver  und  genereller  Deutung  verwischt,  kann 
nur  yer wirrend  auf  die  jungen  Köpfe  wirken.  [Ebenso  dnlde  der  Lehrer 
nicht,  foUs  a  und  6  Zahlen  bedeuten,  dass  etwa  der  Schttler  spreche,  „a 
smd  gleich  6"  —  und  dergleichen  mehr.] 

Sehr  misslich  er8<^eint  es  besonders,  wenn  das  adjektiTtscbe  (sog* 
f^uBbestimmte'')  Zahlwort  anstatt  generell,  einmal  kollektiv  ver- 
wendet wird.  Die  lateinische  bat  in  dieser  Hinsicht  schärfer  unter- 
schieden  als  die  modernen  Sprachen.  Sie  gebraucht  generell  nur 
„omtie&'V  kollektiv  dagegen  ,^nct^  (zusammengezogen  aus  con-juncii,  für 
„alle  zusammengenommen'',  joined  together).  Wir  haben  im  Deutscheu 
noch  das  Wort  j^mtlich^'f  und  wäre  zu  wünschen,  dass  dieses  bislang 
mit  ,,alle^  synonyme  Wort  davon  differenzürt  und  mit  der  gleichen 
Konsequenz  unterscheidend  gebraucht  würde.  VergU  einen  in  §  4  be- 
sprodienen  Fehlschluss. 

Abgesehen  von  den  erwähnten  Fällen  der  Zusammenfossung  auf- 
gezählter Dinge  und  der  in  den  Plural  gesetzten  Hauptwörter,  wo  ein 
fframtnatikali&^ier  Grund  vorliegen  kann,  einen  (einfachen  oder  zu- 
sammengesetzten) Namen  als  ,,Kollektivuamen''  hinzustellen,  ist  die 

*)  Fhilotophen  —  ich  konnte  deren  namhalla  citiren  —  sollten  deraitige 
^acfaUisaigkeifeii  des  Auedmcks  sich  am  allerwenigateD  snschniden  kommen  lassen. 


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KinleituDg. 


75 


tviscben  solchen  und  EiDselnamen  an^lngtge  Untemcheiduog  tiur  von 

psjfthologiacher  Art,  Sie  ist  objektir  nur  in  soweit  begrOndbwr,  als 

eben  an  dem  flberbaupt  Benennbaren  sieb  fast  immer  noch  irgend 

welebe  Teile  unterscbeiden  lassen,  und  erscheint  im  übrigen  in  unser 

«ubjektives  Belieben  gestellt 

Den  Namen  eines  materiellen  KtSrpera  s.  B.  haben  wir  snnScbst  Iceinen 
Grund,  anders  als  wie  als  einen  „Kinzelnainen"  zu  bezeichnen.  Dens  1!  n 
Namen  nittssen  wir  aber  ald  einen  kollektiven  hinstellen,  sobald  wir  den 
Körper  als  eine  Atomengruppe  studiren.  Nach  Belieben  können  wir  2.  B. 
iucb  das  Stliachbrett  als  einen  Felderkomplex  behandeln.  Etc. 

IKe  kollektive  Vereioigung  mehrerer  substantivisch  benauiiter 
Dinge  zu  einem  Gauzcu,  sowie  die  kollektive  Pluralbilduog  (resp. 
•Verwendung)  ist  besonders  für  die  mit  Zahl  und  Maass,  mit  der  Quan- 
tifit  der  Dinge  sich  bescimftigeuden  Disziplineu  von  Bedeutung. 

Das  Studium  ihrer  Gesetze  ist  demgemass  aber  der  Arühmetik 
und  Grössmlehre  und  nicht  der  Jüogik  (im  engem  Sime)  zuzuweisen. 

An  diesem  Scheidepunkte  zweigt  sieb  eine  grosse  Gruppe  von 
Oisaplinen  von  der  Logik  ab,  um  sieb  ibr  selbständig  und  —  in  An- 
betracht  des  Reichtums  der  Entwlckelung,  die  sie  gefunden  —  als 
miodestens  ebenbürtig  gegenübensustellen.  Und  beide  Richtungen  er* 
scheinen  unter  diesem  Gesichtspunkt  ungefähr  wie  Quantität  und  Qua- 
lität geschieden. 

v^)  Bevor  wir  das  über  a>i)  charakterisirti;  Ziel  nucli  weiter  vor- 
folgen und  den  Nachweis  der  dort  aufgestellten  Behauptung  vollends 
erbringen,  scheint  es  mir  wünschenswert,  gleich  mit  den  grundlegenden 
Betrachtungen  Aber  Namen,  ihre  Einteilungen  und  Unterscheidungs- 
mdglichkeiten  hier  erst  zu  Ende  zu  kommen. 

Man  pflegt  Namen  auch  noch  als  positive  (affirmative,  bejahende) 
oder  aber  negative  (verneinende)  hinzustellen,  wie  „nützlicli"  und  „nicht 
nützlich'^  (nutzlos),  ^scbSdlich'*  und  „nicht-schädlich^'  (uDSchädlich),  „Ich^ 
und  j^icht-ieh". 

80  nnleogbar  in  der  That  ein  Gegensatz  zwischen  solchen  Be> 
nemiungen  (auch  ihrer  Bedeutung  nach)  besteht,  von  denen  die  eine 
sts  „Venieinung'^,  Negation  der  andern  sich  darstellt  nnd  gerade  die- 
jenigeD  individuellen  Objekte  anszuschliessen  scheint,  welche  die  andere  ^ 
ttmfasst  (nnd  vice  versa),  so  kann  auf  diesen  Gegensatz  doch  nicht 
etwa  eine  Einteilung  der  Namen  selbst  in  „positive"  und  „negative** 
gegründet  werden  —  in  Anbetracht^  dass  es  in  unser  subjektives  Be- 
heben gestellt  bleibt,  tedehen  von  den  beiden  einander  „kontradikto- 
lieeh  eDtgegengesetzten"  Namen  wir  als  den  positiven  hinstellen  wollen, 


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76 


Einleitiiiig. 


So  weun  z.  B.  von  geraden  Liniou  in  einer  Ebene  die  Rede  i^t,  m*)gen 
wir  ^'ewisse  Paare  (oder  auch  Systeme,  Scharen)  von  nolchen  Geraden  als 
„i'araik'k''  mit  einem  pusiliveii,  andere  „Nicht-jmralldc"  mittelst  nega- 
tiven Nameuä  darstellen.  Nichtü  hindert  aber  auch,  die  erbtern  ah»  „Nicht- 
sckneiäende  (Qeiade)"  negativ,  die  letsiern  als  „(einander)  Sdmdämäß  (Ge- 
rade)" positiv  zu  benenn^. 

Positiv  oder  negativ  zu  sein,  ist  daher  bloB  ein  Uus?äerlicheö,  so/.ubagen 
grammatikalisches  Merkmal  des  Namens,  welchem  in  seiner  Bedeiitun','  kein 
bestimmtes  Merkmal  entspricht,  ein  loj^isclior  (iebalt  überhaupt  nicht  zu- 
kommt, unter  Umstünden  aber  wol  ein  psychologischer. 

Nur  die  Beziehung,  der  Gegensatz  zwischen  dem  durch  eine  Be- 
jahung und  dem  durch  deren  Verneinung  gebildeten  Namen  lallt  wirk- 
lich dem  Bereich  der  Logik  anheim,  und  mit  diesem  Gegensatz  werden 
wir  uns  auch  noch  eingehend  zu  beschäftigen  haben.  (Genaueres  hierüber 
und  über  die  auf  diesen  Punkt  bezflglichen  KontroTeraen  siehe  in  der 
siebenten  und  achten  Vorlesung.) 

Einen  Stein  kann  man  als  „nieht-sehend**,  dagegen  nicht  wol  als  „blind** 

bezeichnen.  Demgemtiss  noch  gewisse  imter  den  für  negativ  angesehenen 
Namen  als  ,.j>iivafuc"  hinzustellen  —  wie  „blind",  „taub",  ,,lalim"  ete.  — 
hat  nur  dann  Sinn  unil  i^t  nur  motivirbar,  wenn  uns  eine  bestimmte  Gattung 
vorschwebt,  zu  der  eiu  »o  prüdizirtcb  Individuum  gehört.  Entbehrt  das  In- 
dividuum nur  eines  Merkmals,  welchem  beinesgleichen  (den  andern  Indivi- 
duen ebendieser  Gattung)  in  der  Kegel  (von  rechtswcgen ,  im  „normalen** 
Zustande)  zukommt,  so  legen  wir  jenem  das  „privative'*  Prfidikat  oder  At> 
tribut  bei.  Wegen  der  einarseita  willkürlichen,  andrerseits  so  komplizirten 
Voraussetzungen  (denn  was  hat  wol  als  „normal"  r.n  gelten?),  auf  welchen 
solche  Distinktion  beruht,  ist  dieselbe  aber  fUr  die  elementare  Logik  vou 
ganz  untergeordnetem  Interesse. 

I2)  Dagegen  lasst  eine  wirkliche  Einteilnnjr  der  ISauiea  sich 
gründen  auf  ihre  Unterscheidung  ald  absolute  (lutl.L-relative)  und  rela- 
tive. Ein  „relativer**  Name  ist  eiu  solcher,  welcher  einem  Dinge  auf 
Grund  des  Unistandb  beigelegt  wird,  dass  es  in  einer  bestimmten  Art 
von  Bezit'lmmj  (Kelatitm)  zu  einem  oder  mehreren  andern  Dingen  steht 
—  ein  Name  also,  bei  dessen  Deutuni^  das  Vorhandonseiu  auch  dieser 
letzteren  Dinge  eine  Voraussetzung  oder  Unterstellung  bildet. 

Z.  B.  „Ursache,  Wirkung,  Grund,  Folge,  Entfernung,  Vater,  Sobn,  ähn- 
lich, gleich,  unähnHch,  verschieden'*  sind  lauter  rehilivo  Namen. 

Nichts  kann  als  eine  „Ursache''  bezeichnet  werden,  es  sei  denn  als 
Ursache  von  tiaiis  (anderem),  welches  beiae  „Wirkung''  zu  nennen  sein 
wird.  Niemand  kann  Vater  heiaben,  er  sei  denn  Vater  von  Kindern.  „Ent- 
fern img"  hat  keinen  Sinn  fttr  sich,  sondern  nur  als  Entfernung  sweier 
Punkte,  Körper  oder  Dinge  im  Baume  von  einander. 

Wenn  in  der  Parodie  des  „Taanhänser**,  welche  die  Breslauer  Studenten* 


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Einleitung. 


77 


verbittdimg  Silesia  geschaffen,  auf  die  Bemerkang  des  Landgrafen ,  der 
den  TannhSiifler  ans  der  Feme  herankommen  sieht: 

^)Coh  dSneht,  ich  kenne  diesen  Wanderer: 
Entweder  Ist  er'e,  oder  s'ist  ein  anderer^, 

der  Dichter  den  Adjutanten  wohldienemd  sagen  iKsst: 

„Wen  Euer  Gnaden  meinen,  weiss  ich  nicht  — 
Doch  hat  er  ein  säir  äknlidtes  Qesicht", 

so  bembi  der  Witz,  resp.  die  Komik,  auf  der  Verwendung  einea  relativen 
Namens,  als  ob  er  ein  absoluter  wäre. 

Jene  andern  Dinge  heissen  die  „Korrelate",  ihre  Namen  die  nomina 
corrclativa  zu  dem,  was  das  iiomcn  relativum  bozeiclinet;  alle  mit- 
einander sind  die  ,yJ3eziehuogsglieder",  membra  relutionis,  und  die  be- 
stimmte Art  der  zwischen  beiderlei  Objekten  bestehend  zu  denkenden 
Beziehung  heisst  das  „fundamentum  rtilationis". 

Das  letztere  ist  oft  sehr  verwickelter  Art,  wio  bei  „<jläubiger",  „Schuld- 
ner", noch  mehr  bei  ,yÄ.nklUger"  (Kläger),  wo  das  eine  Korrelat  der  „Ver- 
klagte** (Beklagte),  ein  zweites  Korrelat  das  „Delikt^  Vergehen,  sem  wttrde, 
dessen  der  letztere  vom  ersten  beschuldigt  wird  (resp.  die  eingeklagte  Schuld- 
fordening  oder  Entschädigungssumme),  ein  drittes  Korrelat  der  Gerichtshof, 
das  „Forum",  vor  welchem  die  Kla^o  anhiliüricf  j^emacht  wird,  und  endlich 
ein  viertes  Korrelat  sofern  es  nicht  tlinrli  die  vorcrwühntnn  bereites  be- 
dingt erscheint  und  daim  nicht  mitzuzählen  wiire  —  die  Gesetzesbestimmungen, 
der  „Kodex**  nnd  Paragraph,  auf  die  sidi  die  Klage  bemft. 

Das  angefahrte  Beispiel  ezemplifizirt  ein  „mehrfaches  Belativnm**  (multi- 
ple oder  plural  relative)  im  Gegensatz  zu  dem  häufigsten  Falle,  dem  dos 
,;zweifachen"  (dual  relative),  wie  es  s.  R.  „Wirkung**  mit  ihrem  Korrelate, 
der  ,,ür8ache",  darstellen  würde. 

Auch  Abstrakta,  wie  „Gestalt",  ..Schöuheir'  etc.  können  liienacb  »choa 
als  duale  Helativo  aufgelasst  werden  ^sofern  zu  tragen  ist:  wessen?),  wobei 
allerdings  in  Besng  auf  „Schönheit**,  wie  üliUeh,  ttbersehen  wSre,  dass 
eigentlich  der  Gesehmaek  des  Pnblikams  oder  desjenigen,  der  dieselbe  be^ 
nrteilt,  anerkennt,  als  ein  drittes  Glied  in  die  Beziehung  eingeht 

Indem  wir  uns  hier  mit  einer  blossen  Worterklarung  begnQgteo, 
verweisen  wir  in  Besng  auf  Weiteres  and  Genaueres  auf  die  letzten 
Vorlesungen  in  unserm  Buche  (24.  Yorl). 

Og)  Mit  obigem  sind  unsre  Betrachtungen  über  Namen  vorerst  zu 
Endo  ^^ekommen,  nnd  dürfte  es  sicli  darnaeli  »  lujilclileii,  die  llaupt- 
t  r'j;el)nisse  übcrsii  litlich  üu  rekapitulireu.  Es  konnten  unterschieden 
und  einander  gegenübergestellt  werden: 


a)  umvolcc,  d.  b.  einsinnujc 
(wo  nicht  msimigc) 


und  äquivoke  oder  doppel-  nnd 
mehrsinnige 


Namen  —  desgleichen  auch  schon  W5rter  oder  Zeichen  überhaupt 


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78  Einleitaiiff. 

Nicht  inehrsinnig  zu  sein  war  die  fundamentale  an  das  Zeichen  zu 
stellende  Anforderung,  die  auf  die  Forderung  der  Konsequenz  in 
seinem  Gebrauche  hinauslief. 
Die  Worter  zerfielen  in 

b)  hategorematische  oder  und  sptikaUgortmaUsche  oder 

Namm  Nu^Uname», 

Die  Nameu  waren  entweder 

c)  Eigennamen  oder  Gmeimumtm 

—  jeuer  ein  Inäwidmm  unter  den  Objekten  des  Denkens,  dieser  (dis- 
tributiv)  eine  Klasse  von  Individuen  bezeichnend  —  und  es  bildete 
dies  die  für  die  Logik  fundamentale  Unterscheidung,  mit  deren  Be- 
sprechung wir  uns  aaf  längere  Zeit  zur  Not  schon  hätten  be- 
gnügen können. 

Die  Unterscheidung  von 

d)  Emeelnamen  und  KMekUmamm 

Hess  sich  indessen  kaum  anders  als  wie  grammatikalisch  oder  psycho- 
logisch rechtfertigen,  indem  ausser  dem  Nichts  (0),  der  Eins,  dem 
Punkt  und  dem  Augenblick  so  ziemlich  alles  Benennbare  unter  irgend 
einem  Gesichtspunkt  als  ein  Kollektivname  hingestellt  werden  durfte.  — 
Ebenso  war  von  den  einander  gegenübergestellten 

e)  j)06itiicn  und  negativen 

NuiiR'ii  nur  der  Gegensatz  zwischen  beiden  logisch  begründbar.  — 
Dagegen  erschien  jeweils 

f)  abstrakt  oder  konkret 

und  (bei  Gemeinnamen)  eyentuell  auch  gemischt  „abstrakt -konkreter" 
Natur  zu  sein  als  ein  in  der  Bedeutung  des  Namens  selbst  begrOn- 
detes  Merkmal,  auf  das  zu  achten  jedoch  fftr  die  Logik  weniger  in's 
Gewicht  fallen  möchte,  als  für  die  Philosophie  überhaupt. 

Endlich  war  die  Einteilung  der  Namen  in 

ö;)  almlute  und  relative 

wicilcr  eine  durchaas  belanf:^rpiche  —  wo/.ii  unter  den  Genieiniianieu 
auch  wiederum  solche  von  „gemisditem"  Charakter  (lenkl)ar  waren 
(indem  die  Individuen,  welche  der  Gemeinname  umfasst,  auch  teils 
durch  absolute,  teils  durch  relative  Namen  charakterisirt  sein  könnten). 

Es  ist  gelegentlich  von  Wert,  sich  bei  der  Verwendung  von  Namen 
über  diese  Verhältnisse  Bechenschaft  zu  geben  und  darauf  bezügliche 
Fragen  Torzulegen. 


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Einleitung. 


79 


Recht  instniktiT  and  xn  riohtiger  Anwendiug  vorBtehender  üntar» 

Scheidungen  endebend  ist  ein  logisches  GeaelUchaftüspiel :  daa  Batspiel,  bei 
weichem,  unter  zeitweiliger  Entfcrnun;^  eines  Mitspielenden,  sieh  die  übrige 
Gesellschaft  über  irgend  ein  lieuennbaros,  jenem  ^ura  Erraten  autzugebendes 
Objekt  dca  Deukeuis  einigt.  Der  Rateiule  hat  der  Reihe  nacli  an  jeden  Ein- 
geweihten eine  beliebige  Frage  m  Bezug  auf  da^  ixx  eriateude  Objekt  zu 
Stollen,  die  aber  mr  mit  „Ja**  oder  mit  „Nein"  —  und  im  Zweifekünlle 
mit  ^Ja-nein*'  —  beantwortet  werden  darf  and  korrekt  zu  beantworten  ist; 
das  Fragen  mag  80  lange  im  Ring  herum  fortgesetzt  werden,  bis  die  LOeung 
erfolLrt,  das  mifgcrrcbcno  Objekt  vom  Ratenden  bei  seinem  Namen  genannt, 
oder  aber  der  Versuch  des  Ratens  aufgegeben  wird.  Fragen  tiber  die 
Buchstaben  und  Sill)en,  die  den  Namen  znsninmenset/.en,  sind  ausgeschlosa&u. 

Daä  Spiel  gibt  oft  die  übenaBcheudäteu  AutächlU&äe  Uber  die  logische 
und  intellektaelle  Verfassung  einzelner  von  den  beteiligten  Persönlichkeiten, 
und  dnreh  die  nach  erfolgtem  Raten  hftufig  sich  anspinnende  Diskussion 
eis  ErlSatemng  oder  Rechtfertigung  für  gegebene  Antworten,  sowie  durch 
die  zuweilen  schon  im  Laufe  desselben  mittel>t  Protests  ans  der  Ooselksehaft 
erfolgende  Remedur  für  eine  unrichtig  erfülgendo  Antwort  deä  Einzelnen 
gibt  «'S  vielfach  Anregunt''  /.nr  Kllirunj»  der  Begrilfe. 

La  könueu  nicht  uur  mdividuelle  Gegenstände  aus  der  materiellen  Welt 
aufgegeben  werden,  bei  denen  die  Eat^orioen  der  Zeit  und  des  Ortes  meist 
rasch  auf  die  Spur  so  helfen  pflegen,  sondern  aneh  aUgemein  gefiisste, 
mittelst  Gemeinnamens  dargestellte,  Objekte  —  me  s.  B.  „Schwefelhölzer", 
Bei  einiger  logischen  Schulung  der  Teilnehmer  pflegen  selbst  Abstrakta  als 
Cieuieinnamen,  wio  y.  B.  ,,der  Sommer',  „Wahrscheinlichkeit",  ,,dor  PrUdesti- 
Mtionsglaube",  „ein  Mi.->sverst;lndniss''  und  dergk  unschwer  geraton  zn  werden. 
Als  tiberraächend  reichhaltig  erweisen  sich  die  Kategorieeu  des  Zweckes  bei 
im  ESnengnissen  menwUieliflr  Kunst 

Bedingung  für  die  Lttsbarkeit  der  Aufgabe  ist  die  Einsinnigkeit  des 
mm  Raten  Aufgegebenen:  es  muss,  falls  dessen  Name  ein  doppelsinnig  gc- 
briuchlicher  sein  sollte,  die  Gesellschaft  sich  zuvor  über  eine  bestimmte 
unter  seinen  Bedeutungen  als  die  hier  dem  Namen  beizulegende  geeinigt  haben. 

Nattirlich  wird  in  praxi  auch  bei  dem  Ratenden  eine  Kenntnis»  von 
der  Exibtenz  deä  betreffenden  Objektes  oder  wenigstens  von  seinesgleichen, 
loiatismietsen  sein.  Wer  nie  Ton  dem  nenentdeekten  Metall  Genuaninm, 
ton  Neptnnsmond  Oberen  oder  von  der  dunklen  (sehr  lichtsehwachen)  Neben- 
i-onne  des  Sinns,  vom  Sehpurpor,  von  dem  kopflosen  Wirbeltier  des  mittel- 
lindischen  Heeres,  dem  Fisch  Amphioxus  etc.  gehört  hat,  wird  solche  nicht 
wol  zn  raten  im  stände  sein.  Und  auch  bei  denienigen,  welchen  es  obliegt, 
<lie  Antworten  zu  geben,  muss  eine  binlünglicijo  Bekanntschaft  mit  den  Kigea- 
ecbatten  und  Ingredienzien,  mit  dem  ganzen  We^eu  des  Eatobjektes  vorliegen. 


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80 


Einleitang. 


G.  Über  Begriffe.  Einteilong,  Deflnitioii  und  Kategürieen,  Pasigiaphie. 
Logik  deo  Inlialtes  oder  des  UmDuigs?  Ober  Urteile,  Sehlfiue  lud 
deren  Polgeriolitigkeit.  Wamm  Algebra  der  Logik. 

Äj)  Naclidem  wir  die  Notwendigkeit  crkaunt,  dass  der  spraclieii- 
bildende  (ieist  Debeu  Eigennamen  auch  Geuieinnumen  schaflFe,  drängt 
Hich  uns  als  niicliste  die  Fraise  auf:  welcJtc  Diuge  wir  denn  je  mit  dem- 
selben (iemeiunamen  belelinen  sollen? 

liehufs  ihrer  Beantwortung  müssen  wir  uns  berufen  auf  das  mensch- 
Helie  Unter^^rlmdnngsvei'mögen ,  ein  Vermrigen,  ohne  welches  ja  kein 
Studium,  keine  ^Vissenschaft,  kein  Erkennen  denkbar  erschiene: 

Wir  sind  im  sldndc,  Verschiedenes  m  unUrsdteiden  utid  an  äiinliclien 
Diwfcn  Gleichheiten  wcdirzunciimcn. 

Die  Gleichheit,  Übereiustimmung  (agreement)  findet  immer  mir  iu  einer 
gewissen  Hinfticht  statt  und  ist  mit  Verschiedenheiten  (ditlercnces),  —  in 
anderer  Hinsicht — verknüptt,  ohne  welche  uns  die  mitöiuauder  verglichenen 
Dinge  gar  nicht  als  nu^ere  Dinge  ersdieinen  könnten,  sondern  idettlisdtg 
einerlei,  emanddosselbe  (oder  das  nftmliche),  nnr  et»  Ding  in  nennen  sein 
würden. 

Teile  oder  Elem^ie  der  VorateUnng  eines  —  nötigenfalls  vollständig, 
atich  mit  allen  seinen  Beziehungen  7u  noch  andern  Dingen  —  gedachten 
Dini^e«,  in  welchen  es  mit  andern  Dingen  übereinstimmen  oder  auch  von  sol- 
chen differiren  kann,  nannten  wir  Muhmlc  desselben  (genauer  gesagt;  jeweils 
das  solchen  Vorstellung selementen  zugrunde  liegend  gedachte  Wirkliehe). 

Insofern  wir  häufig  ein  Ding  nieht  ToUstfiadig  auszudenken  f&hig, 
mttssen  wir  natOrlich  neben  „bekannten*^  aneh  „unbekannte"  Merkmale  in 
der  Regel  sngeben. 

Es  sei  hier  nochmals  in  Erinnerung  gfebracht,  dass  (hienach")  dem 
Namen  Merkmal"  uiiie  möglichst  all^remeine  Bedeutung  unterzulegen  ist; 
es  haudult  üich  dabei  durchaus  nickt  bloä  um  „Eigenschaften"  (oder  aber 
„Tliütigkeiten^'),  die  dem  Dinge  selber,  auch  wenn  es  isoUrt  betraohtei  wird, 
notwendig  oder  znfiillig  zukommen  (innewohnen),  vielmehr  kann  das  Merk- 
mal auch  begründet  sein  in  einer  ,,Besiehnng",  einem  Verhältmsse,  einer 
Stell ungnahmo,  welche  andere  Dinge  eu  dem  gedachten  einnehmen.  Nicht  ' 
nur  gilt  uns  der  Wellenschlag:,'  als  ein  Merkmal  des  Meeres,  gondem  es 
gilt  uns  auch  der  Preis,  die  Kautlichkeit  als  Merkmal  einer  V¥aaro.  Schon 
das-s  er  mir,  oder  einem  Andern,  mir  nicht,  (^uls  Eigentum)  gehört,  dass  er 
mir  gcfällt,  und  dergl.  ist  als  Merkmal  eines  Gegenstandes  hiusnstellen, 
und  auch  die  Abwesenheit  bestimmte-  Merkmalgruppen  kann  selbst  wieder 
als  Merkmal  gelten,  s.  B.  als  Merkmal  einer  gewisser  Bergspitxe,  dass  noch 
kein  uenschlieher  Fuss  sie  je  l.etreten  —  einerlei  auch,  oh  etwa  ein  ein- 
wörteriger  N^anie  dafür  voriiandcn  ist,  oder  nicht  (Merkmal  der  Jungfräu- 
lichkeit oder  Unberührtheit  des  Gipfels,  der  „Unerstiegenheit"?).  Vergl. 
hieitu  beüonders  15.  Dass  aber  z.  II.  eine  Pei*son  A  um  den  Tod  einer 
andern  B  traueii.,  lilsst  sich  begreiflicherweise  —  ohne  weiteres  —  nicht 


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EioleitoDg. 


wol  6111  Merkmal  einer  dritten  Person  (oder  Sache)  C  nennen.  Im  Merk' 
mal  mu88  eine  Detngnahme  aof  das  Dkig  zu  erblicken  sein,  eobald  wir 

dieses  ansilenken. 

Wir  pflegen  nun  jeweils  solche  Dinge  mit  demsclbcti  Gemeinnamen 
zu  benennen,  welche  dadurch,  daee  sie  einander  in  Hinsicht  bestimmter 
Merkmale  gleichen,  sicli  uns  sozusagen  TOn  selber  zur  Belehnung  mit 
dem  gleichen  Namen  empfehlen. 

(>_/)  Schon  als  Vorlyedlnp^ung  und  weiterhin  im  Verlauf  dieses  be- 
nenn ungsprozesses  sowie  bei  dem  Gebrauch  des  dailurch  geschalicueu 
<  iemeinnamens  treten  allemal  die  iibfreinstimmeiulen  Merkmale  jener 
DiiiLie  in  den  Vordergrund  der  Aiit'merk;^anikoit,  denn  sie  gerade  bilden 
das  liaud  zwischen  den  wechselnden  Vorstellungen  der  individuell  ver- 
schiedenen Dinge,  welche  der  Gemeinnamc  umfasst,  und  dem  sich 
gleichbleibenden  Namen.  Es  wird  (in  Kant's  Ausdrucksweise)  auf. 
jene  übereinstimmenden  Merkmale  ,,re/l€Jdirt'', 

Mit  d(;ru  (Jenioinnamen  .,fcnei'*  (teures  Ding)  /,.  B.  werden  wir  ver- 
schiedene ( Jegen^itände  nur  dann  bezoicliueii ,  wenn  wir  auf  die  liiilie  ihres 
Preises  athteu,  mit  dem  Gemeinnanien  .,rund"  nur  solche,  l)ei  denen  auf 
ihre  Gestalt  wir  unser  Augenmerk  richUiu  und  deren  Überoiiiulimmuiig  mit 
der  Kugelgestalt  wabmehmeo.  Etc. 

Infolgedessen  aber  spielt  sich  ab,  Tollzieht  sich  im  Geiste  ein 
eigentOmlicher  psychologiscber  Vorgang,  welcher  darin  gipfelt,  daas 
wir  mit  dem  Gemeinnamen  einen  ^^BegrifP'  verbinden. 

Die  übereinstimmenden  Merkmale  der  Dinge,  die  wir  mit  dem- 
selben Gemeinnamen  bezeielmcn,  verstärken  sich  ge«^cnseitig  im  lie- 
wusstsein,  werden  als  wiederholt  vorgestellte  intensiver  gedacht,  wo- 
gegen deren  nicht  übereinstimmende  Merkmale  im  Bewusstsein  zu- 
rücktreten. 

In  unserm'Hirn  mag  diesem  Vorgang  ein  Prozess  eutsprechen,  welcher 
treffend  verglichen  worden  ist  mit  der  Vertief  «mg  einer  Furche  des  Ackers, 
vio  rie  durch  wiederholtes  Pflttgen  entlang  derselben  bewirkt  wird. 
Schopenhauer*  uebt  zam  Vergleiche  heran:  die  durch  wiederholte  und 
tadavemde  Umbiegnug  längs  derselben  Kanten  Bicb  ausbildende  Neigung 
feines  Tuphe;^,  «ich  lu  I)estiniinter  Faltun;»  7m  ]<'grn.  Bei  der  tur/weifel- 
haiien  Feinheit  der  uns  grö>>tenteils  noch  mibekanuten  Vorgänge  im  Cic- 
hirne,  welche  die  Denkhaudlungen  begleiten  und  deren  Erforschung  der 
Pbjrsiolügie  obliegt,  sind  jedoch  beide  Vergleiche  nur  als  sehr  rohe  Au- 
sibemngen  aufzufassen,  als  ein  blosser  Notbehelf  tu  nehmen. 

Beneke  fiisst  obigen  Verstärknngsprozess  als  eine  Anekhw^f  des 
Olekhartiffm  (in  unsem  Geiste)  auf. 

tf,)  Es  kann  diese  Wirkung  noch  mit  bewusster  Absiebt  gesteigert 
werden  kraft  eines  andern  Vermögens  des  Mensch engeistes  (auf  das 


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82 


wir  nebenher  Bezug  zu  nehmen  schon  wiederholt  Veranlassung  fanden) 
nämlich  des  Abstraktionsvermögens: 

Wir  sind  im  stände,  auf  gewisse  Merkmale  eines  gedachten  Dinges^ 
m.  a.  W.  in  irgendwelchen  Elementen  nnsrer  Vorstellnng  von  dem- 
seihen,  dk  Aufmerkaan^ceit  zu  hmeeniriren,  dieselben  in  das  Feld  der 
Aufmerksamkeit  zu  rflcken  und  daselbst  mehr  oder  minder  vollkommen 
zu  isoliren,  nukm  wir  von  andern  Merkmalen  absehen  oder  „abstrahiren", 
d.  h.  die  den  letztem  entsprechenden  Vorstellnngselemente  im  Be- 
wusstsein  zurficktreten,  eventuell  sie  völlig  aus  demselben  schwinden 
lassen. 

Solch'  bewttsste  Steigerung  des  dnrch  den  Gemeinnamen  schon  unbe- 
wiiBst  eingeleiteten  AbstraktMmsprozesses  wird  —  aas  Gründen  der  Arbeits- 
teilung —  besonders  in  den  WisBenscbaften  praktizirt;  in  diesen  pflef^t  der 

Geist  *]uicb  reichliche  Übung  eiuc  förmliche  Virtuosität  r.n  crlanircn ,  vr>n 
den  (für  die  Ontersuchuui?)  unwesentlic  Ikii  Merkmalen  der  l)ini,'o  ab/u- 
»ehen,  alle  Nebcnumstiinde  jeweils  zu  veruachliissigen,  dieselben  zum  Be- 
huf seiner  eigenen  Entlastung  zu  ignoriren  und  so  befreit  dann  seine  volle 
Kraft  dem  Wesentlichen  zuzuwenden. 

Durch  die  Abstraktion  überhaupt  werden  Vorstellungselemente  so- 

weit  isoliri^  dass  sie  auch  alkin,  in  gleicher  Isoliriheiti  reprodozirt  zu 

werden  vermögen.   Dadurch  erlangen  resp.  erhohen  wir  die  Fähigkeit, 

dieselben  aUgetnein  zu  verwenden,  nämlich  sowol,  mit  neuen  Vorstcl- 

luii^sL'leiiH'iitt  n  sie  zu  verknüpfen,  als  auch  in  andern  VorstcUungs- 

koiuplexuiJ  iiU  diejenigen  waren,  aifft  welchen  s^ie  abstrahirt*)  wurden, 

sie  (genauer  ihresgleichen)  wiiMlor/iu-rki-nnen.    Vergl.  Sigwart". 

Nachdem  wir  z.  B.  vom  Schnee  das  Merkmal  der  Weisse,  weisser 
Fafbe  entnahmen,  anslQsten,  abstrahirten,  werden  wir  das  gleiche  Merkmal 
in  der  vorgestellten  Nebelwolke,  dem  Kochsalz,  der  Gjrpsfigur,  Papier  etc. 
wiederfinden,  und  würde  sich  auch  jemand  eine  weisse  Maus  z.  B.  vor* 
stell«i  können,  der  niemals  eine  solche  gesehen.  —  Den  Aukss  zum  Vollzug 
diosor  Abstraktion  aber  bot  die  Erfahrnns",  dtiss  es  verschiedeue  weisse 
Gegenstiinde  gibt,  und  die  Wahrnehmung  det;.-i^iu  worin  sie  uiitrr  sich  über- 
oiuätimmen  und  sich  von  deu  nicht  weissen  unterscheiden.  Als  auf  ein 
anderes  Beispiel  sei  noch  hingewiesen  auf  das  Merkmal  der  „Kugelgestalt" 
beim  Ball,  der  Seifenblase  etc.  und  auf  das  Merkmal  der  „Gestalt*'  ttber- 
haupt,  welches  wir  bei  der  Melodie,  bei  einer  nach  geographischer  Lftoge 
und  Breite  bestimmten  Himmelsgegend  etc.  vermissen  (als  nicht  vorhan- 
den  erkennf»n),  nachdem  es  durch  Abstraktion  aus  der  .Anschauung  rftum* 
lieber  Dingo  vou  l'estiinmter  Ije^a-en/uui,'  gewonnen  \vord*^n. 

Die  Abstraktion  kann  schon  an  der  Einzeivorsteilung  (repraeseu- 

*)  Diu  Ausdrücke  „elwim  abatrahircn"  und  „ron  etwas  abstrahireü"  aind 
wohl  m  unterscheiden,  fifsteres  ist  gleichbedeutend  mit  „darauf  reflektirem**^  leta- 
tere4  mit  ndavon  abtehen^^ 


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Bmleitatig. 


83 


taÜo  singularis)  ausgeübt,  ihr  Verfahren  Bchon  auf  das  ladividuum 
aiigewendel  werden. 

Logisch  betrachtet  ist  es  gleichgültig  für  das  Ergebniss  eines 
AbstraktionsprozesseSi  ob  man  denselben  nur  einmal,  oder  öfters,  toII- 
sogen  habe,  ob  an  einem  oder  an  uusahligen  Objekten.  Psychologisch 
Iber  macht  solches  einen  sehr  betrachtlichen  Unterschied  aus,  und  es 
dfirfte  fraglich  sein,  ob  nicht  in  dieser  Hinsicht  es  geradezu  als  eine 
Vorbedingung  für  die  Mdgliehkeit  des  AbstraktionsvoUsuges  hinzustellen 
ii^  dass  wir  erst  der  indiTtduellen  Verschiedenheit  der  durch  Abstrak- 
tion zn  sonderoden  Merkmale  inne  geworden  seien  dadurch,  dass  durch 
Veigleichung  verschiedener  Objekte  wir  die  Obereiostimmung  der  einen 
neben  der  Verschiedenheit  der  andern  wahrgenommen. 

r^)  Wir  versuchten  vorstehend  genetisch  auseinanderzusetzen,  auf 
welche  Weise  wir  dazn  gelangen,  uns  einen  Begriffe  notio,  conceptus, 
oonception  zn  bilden  von  den  durch  einen  Gemeinnamen  dargestellten 

Diogen. 

Der  Begriff  ist  das  —  in  gewissem  Sinne  unvollendet,  ein  „Ideal'' 
bleibende  —  Resultat  des  eben  (unter  ^  und  tfg)  geschilderten  Pro- 

Sein  „Wesen^  (essentia),  oder,  wie  man  auch  sagt,  seinen  „Jn- 
haÜf*  (complexns,  intent)  bilden  eben  die  gemeinsamen  Merkmale  der 
mit  dem  Gemeinnamen  bezeichneten  Dinge,  und  zwar  seinen  faktischen** 
Inhalt  diejenigen  der  letztern,  auf  welche  bei  seiner  Bildung  reflektirt 
wnide,  seinen  fjdealm**  Inhalt  aber  die  samtlichen  gemeinsamen  Merk« 
mnle  ftberhanpt,  welche  als  solche  erkannt  werden  könnten,  die  es 
aber  vielleicht  niemals  vollständig  auszudenken  möglich. 

Im  Gegensatz  zn  diesem  Inhalte  wird  die  Gesamtheit,  Klasse  der 
unter  dem  Gemeinnamen  (distributiv)  zusammengefassten  Individuen 
beieidinet  als  der  „Umfang''  (ambitus,  sphaera,  extent)  des  zugehörigen 
Begriffes. 

Beispielsweise  sind  im  Begriffe  ».materielle  Substanz**  als  dessen  In- 
halt tasammengefasst  die  Merkmale:  ausgedehnt  und  von  bestinunter  Ranm- 
erfttUung  xti  sein,  d.  i.  sich  irgendwo  im  Räume  zu  befinden,  die  Merkmale 

Beweglichkeit,  ündtircbdringlicbkeit,  Trfigbeit  und  Schwere,  tiberbanpt 

die  Eigen.-ehaft,  der  Sitz  von  KrUften  7.n  sein,  dazu  von  unzei.stüibaror  xmd 
unenithati  barer  ^^a8so,  also  der  Mas.>e  nach  geschütAl,  von  ewiger  Fort- 
dauer zu  sein,  das  Merkmal,  eine  Temperatur  zu  besitzen,  und  anderes 
mehr.  Seinen  Umfang  niacUt  alles  das  zusammen  aus,  was  Uberhaupt 
Materie  heisst:  jeder  Körper,  jeder  Teil  eines  solchen  und  jede  Gruppe  von 
KSipern  im  Weltall. 

«i)  Gemäss  der  hervorgehobenen  zwiefachen  Hinsicht  —  nach 

6* 


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84 


EinleitoBg. 


lohaU  und  Umfang  —  in  welcher  Begriffe  betrachtet  werden  können, 
sind  auch  zwei  Möglichkeiten  denkbar,  einen  Begriff  zu  bestimmen. 

Dies  kann  nämlich  einerseits  geschehen  durch  Angahe  seines  Um- 
fanges  —  sogenannte  MtUeihtngf  J)wwo{n),  resp.  ParUtim*)  des  Be-. 
griffes,  und  andrerseits  durch  Angabe  seines  Inhaltes,  das  ist  Begr^9- 
erklärungf  DefimHon,  auch  Besdireihung, 

So  würden  wir  &  R  dnrch  AofzShIung  sSrntUcher  Planeten  eine  Um- 
feingsangabe  (DiTision,  Partiiion)  des  Begriffes  „Planet"  vollzieheu  —  man 
würde  dazu  erst  im  stände  sein,  wenn  schon  alle  Planeten  bekannt  wären. 
EbonRo  aber  thnn  wir  die«  nncli  dadurch,  dass  wir  sagen,  die  Klnsso  dor 
Planeten  zerfalle  in  die  drei  Unterklassen  der  inneren  Planeten,  der  £rde 
und  der  äusseren  Planeten. 

Die  ümfangsangabe  des  grammatikaliBehen  Begriffes  „Sat/i"  (sentenee) 
wird  geleistet  darch  den  Hinweis,  dass  der  Satz  entweder  ein  Fragesaig 
(senteuce  intermgatiTe)  oder  ein  Ausruf itngssatz  (sentcnce  ejaculative),  oder 
eine  Wunschäusscrung  (sentence  Optative),  oder  eine  liUtc  (sentence  roga- 
tivr>\  ein  llrfthl  (sentence  imperative)  oder  endlicli  cinn  Art.ti^nge  (sentence 
indicative,  Statement,  lat.  enunciatio  —  eiTi  Urteil,  judgoment,  jndicium)  sein 
wird,  m.  a.  W.  dass  die  genannten  Gebilde  xusammen  alles  das  ausmachen, 
was  man  einen  „Satz"'  nennen  kann. 

Das  Entsprechende  leisten  wir  für  den  Begriff  der  „einfMhen  Farbe" 
(im  Gegensatz  znr  Mischfarbe),  wenn  wir  sagen,  sie  sei  entweder  rot, 
orange,  gelb,  grtln,  blau  oder  violet  mit  allen  Abstufungen  und  ÜbergSogen, 
wie  sie  das  Spektrum  eines  weissglühendeu  festen  Körpers  zeigt. 

f^o  mfi^^on  wir  ferner  den  Umfang  des  Begriflfs  „Wirbeltier"  kund  Lydien 
durch  den  iimweis  darauf,  dass  mit  Eiuschlnss  des  Amphioxus  die  Fische, 
sowie  die  Eeptilien,  Vögel  und  SUugetiere  zusammw  die  Wirbeltiere  ans- 
maehen. 

Der  Aussprach:  „Die  Affekte  sind:  Liebe,  Haas,  Freude,  Kummer, 
HofTnung,  Furclii,  Ilmnor  f!)  und  Zorn"  gibt  eine  Aofztthlong  (oder  Ein- 
teilung des  Begrifl's)  der  Affekte. 

*}  In  Besug  auf  den  Namen  „Fartition"  ist  der  Oebraach  unter  den  Logikern 
ein  sehwankender.  Viele  wollen  darunter  nur  die  Angabe  der  „Teile"  eine« 
Dinges  verstanden  wisi-en  (z.  FJ.  bei  der  Orange  die  von  Schale,  Fh  iseh  uud  Ker- 
nen),  wogegen  Ueburweg'  pair.  lOG  auch  »He  Ang;iV>e  der  „Merkmale  (über- 
haupt)", indes^  nur  einea  Kinz'  l(iiii;,'f  s  ver^d.  nachher  —  als  „Partition" 
Iiinatellt.  Ich  würde  ohen  diese  letztere  Bezeichnung  der  gebräucblicbcreu  „Divi- 
sion" vorziehen,  in  Anbetracbt,  dass  mir  für  jene  „Aufdlblung  der  Teile'*  mn  ein- 
wOrtenger  Name  ftberbanpt  nicht  Bedflrfniss  erscheint,  da»  femer  üeberweg*« 
„Partition'*  (hier)  als  ein  beiondrer  IUI  der  „Definition**  hinzustellen  ist,  der  eines 
aparten  von  „Definition"  verschiedenen  Namous  ebenfalle  nicht  bedarf,  sodass  zn- 
nächxt  der  Namo  ,,r;utition"  zu  beliebiger  Vorwendung  fni  wird,  in  Anbetracht 
cndüch,  wir  uns  gPTi«iti'j;t  sehon  werden,  den  Namen  „Division"  (sowie  da.s 

DiviöioübieichcM)  in  einem  von  dem  obigen  giinzlich  verhcliicdcnen  Sinne  später- 
hin in  gebrauchen,  womit  dann  also  eine  Doppelsinnigkeit  mehr  in  die  Wissen- 
schaft der  Logik  Eingang  fUade,  die  nach  nnsenn  Vorschlag  Teniiicden  wird. 


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Kinleituog. 


«5 


Die  Mnietlung  kann  geradesu  auf  eine  „Klassifihaihn'*  hinaus* 
laafen,  solern  man  lAmllcli  bei  ihr  nicht  (oder  sieht  darchaus)  auf 
die  Tndividaezi  selbst  zurQckgelit,  sondern  dabei  sich  auf  gewisse  ünter- 
Uassen  als  dem  Um&nge  nach  schon  bekannte  Begritl'e  (die  »og. 
„Einteilungsglitdei",  membra  divisionis)  beruft.  Durch  an  sie  gestellte 
wissenschaftliche  Anforderungen  wird  indess  der  BegritF  der  „Klassi- 
fikation" noch  weiter  eingeengt. 

Fortgesetzte  Emieilung  auch  der  /^uiiächst  sich  Jiirbieteudcn  Unter- 
klassen oder  Teilungsglicder  iiihrt  in  letzter  Instanz  (zuguterletzt) 
iuiuier  auf  die  Individuen  als  etwas  (dem  „Umfange''  nach)  ,^icht'' 
weiter  „Teilbares"  (zurück). 

Umfasst  —  wie  in  der  grossen  Mehrzahl  der  Falle  —  der  Um- 
fang eines  Begrilfes  unhiyrenzt  viele  Individuen,  ist  deren  Klasse  eine 
offene,  90  Ittsst  sich  dieser  Umfang  niemals  erschöpfend  angel>eii  da- 
durch, dass  man  auf  die  Individuen  selbst  zurückgeht;  vielnielir  sieht 
man  sich  alsdann  genötigt,  zur  üuifangsangalje  auch  solclie  Unter- 
klassen heranzuziehen,  die  selbst  wieder  oti'ene  sind,  und  entweder  als 
schon  bekannte  vorauszusetzen  sind,  oder,  wenn  sie  erklärt  werden 
«ollen,  dies  Bor  Termittelst  /»/Ki^ilsaQgabe,  Definition  eines  ihnen  zu- 
gehörigen Begriffes  zu  werden  vermögen.  Bekannt  wiederum  konnten 
«war  die  iDdiriduen  einer  beliebig  grossen  Menge  noch  einzeln,  der 
unbegrenzte  Rest  jedoch  ebenfalls  nur  durch  Innewerdung  ihres  begriff- 
lichen Inhalts  geworden  sein. 

Exempel:  Die  unbegrenzte  Reihe  der  Individuen,  welche  wir  „natfir- 
liebe  Zahlen'*  nennen ,  lässt  sich  zwar  beliebifT-  weit ,  doch  niemals  fertig 
aufzählen.  Irgcndeinmal  mn^s  die  begritfiiche  Bestimmung  derselben  ein- 
treten, und  am  beateu  göäcbicht  dies  gleich  von  voruberein;  man  wird  sie 
viefiuiren"  als  „Summen  von  Einern",  d.  i.  als  die  Ergebnisse  eines  Ver- 
fiüurens,  dnrcb  welches  hinter  1  fort  und  fort  -|~  ^  angehängt  wird. 

Ebenso  lassen  sich  die  Punkte,  die  innerhalb  einer  gegebenen  Ellipse 
liegan,  nur  durch  ebenifies  Merkmal«  oder  auf  eine  darauf  zurückkommende 
Wdie,  sie  lassen  nur  begrifflich  sieh  allesamt  bestimmen. 

Die  Umfangsangabe  erscheint  dämm  als  das  unvollkommnere  der 
beiden  Mittel,  einen  Begriff  zu  bestimmen.  Zudem  fiberlftsst  sie  uns 
noch  nngeldst  die  Aufgabe,  erst  den  Komplex  der  in  allen  unter  den 
i3egritf  fallenden  IndiTiduen  übereinstimmenden  Merkmale  ausfindig  zu 
machen,  zu  entdecken,  durch  deren  YerknOpftsein  dieselben  Ton  allen 
niebt  unter  diesen  Bcgri^  fallenden  Individuen  unterscbeidbar  sind. 
Sie  lässt  somit  das  Wesen  des  Begriffes  unerörtert,  lässt  uns  den 
Reifen  v>  i  uissen,  der  gleichsam  als  Fassdauben  die  Individuen  erst 
zusammeuhaiu 


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86 


Einteitang. 


Auch  ist  noch  ein  Thustaud  zu  beachten:  Wenn  wir  die  nestiiumuug 
eines  Begritts  durch  rmlaD^''sati<;abc  versuchen,  so  erseheint  die  Auswahl 
der  ()1tjek*f  dos  Denken^,  d'm  als  seiiii'  Individuen  hin/ii.stcllcn  sjiul,  von 
voruhereiu  iu  uuaer  lieliebeu  gealflU.  Wie  immer  mau  iiucli  solche  Aus- 
wahl treffen  mag,  so  Utsst  sich  in  dem  Zufall,  der  nnare  sabjektive  Will' 
kttr  lenkt  und  sie  gerade  auf  diese  und  auf  keine  andern  Objekte  als  die 
zu  Individuen  zu  erhebenden  (vielleicht  aufs  Gerathewohl,  at  random)  ver- 
fallen Itls.st,  in  der  That  ein  ebendiesen  und  nur  diesen  Individuen  gemein- 
Fames  Merkmal  trblielcen ,  in  gewissem  Sinne  nlso  auch  von  einem  .,Be- 
.LTiiliV''  redeu,  welcher  der  i^o  yebilduten  Klasse  von  willkürlich  zusammen- 
gelesenen  Objekten  zugeordnet  wäre. 

Lideasen  leuchtet  ein,  dass  Bolfhermassen  kflnstHch  geschaffenen,  „er- 
künstelten** Begriffen  ein  wissensohaftlicher  Wert  in  der  Regel  nicht  zu- 
kommen wird.  Ein  solcher  wird  wol  nur  solchen  Begriffen  zuzusprechen 
sein,  die  entweder  entsprungen  sind  aus  der  Erkenntniss  übereinstimmen- 
der Merkmale  an  gegebenen  Objekten,  die  diesen  unabhängig  von  subjek- 
tiver Laune  notwendig  oder  faktisch  zukommen,  oder  welche  dadurch,  dass 
sie  ein  gegebenes,  ein  bestimmt  angehbans  Merkmal  eutlialteu,  eben  dienen 
sollen  Objekte  nnsres  Denkens  tjx  bestimmen. 

Wenn  schon  sie  allerdings  missbrancht  werden  könnte,  so  wird  es 
gleichwül  nicht  ratsam  erscli>  i  :  u,  der  Freiheit  der  Begriffsbildung  irgend 
welche  Schranken  von  Tombereia  anfsuerlegen.  Vergl. 

if.)  Die  Begriffserklaniogy  Definition'^),  zu  der  wir  nach  obigem 
zum  Behufe  der  BcgriffsbestimmuDgen  greifen  werden,  sieht  sich  Tor 
eine  andere  Schwierigkeit  gestellt 

Zunächst  lassen  die  Merkmale,  welche  den  unter  einen  Begriö' 
fallenden  („zu  seiner  Kategorie  gehörigen")  Individuen  „gemi  insam'* 
sind,  und  welche  in  ihrer  Verbindunsf  dessen  idtalcn  Inlialt  ausuuich(Mj, 
sich  nberhau]it  nie  vollständic^  uutV.älileu.  Der  volle  liilüilt  des  Be- 
grilVs  lässt  nie  sich  ferti^^  ,,bryehreibrii''.  Denn  wieviele  Merkmale 
mau  auch  schon  berütksirlitigt  haben  mag,  so  werden  sich  stets  noch 
neue  gemeinsame  Merkiuule  angeben  lassen,  auf  welche  noch  nicht 
geachtet  worden  ist.    (Vergl.  nachherige  Beispiele.) 

Die  Definition  verzichtet  daher  in  der  That  auf  die  unmittelbare 
Angabe  des  ganzen  ik'gritlsiiihaltes.  iSie  begnügt  sich,  direkt,  explicite, 
nur  einen  Teil  dess»  Iben,  den  Rest  aber  blos  mittelbar,  iwplicitc  anzu- 
geben, indem  .sie  unter  den  übereinstimmenden  Merkmalen  eine  gewisse 
(Jruppe  hervorhebt  von  solchen  Merkmalen,  welche  die  übrigen  alle 
involviren,  mitbedingen,  nach  sich  ziehen,  zur  Folge  haben  —  sei  es 

•)  Wir  sprechen  hier  nur  von  der  (allein  als  haltbar  zu  erkennenden)  ,.Nomi- 
Mäd^niHonf*  der  BchnlmAasigeD  Logik  aod  betrachten  daa  unklare  Ideal  der  sog. 
„Realdtffinition'*  ala  durch  die  Auaffibrungen  ?on  Mill,  Sigwart  und  Andern 
abgethan. 


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auf  Cirund  logischer  Denknotwendigkeit  allein,  Rei  es  auch  mit  denk- 
uotwendiger  Bezugnahme  aui  die  anerkaontou  Grundsätze  einer  wissen- 
•chaftHclieii  Doktrin,  wie  die  N&tnrgesetze ,  Uechf >nnrmcn  und 

Diese  in  der  Definitiou  hervorgehobeiun  Merkmale  können  als 
ciiaralderistische  oder  „wesentliche"  Merkmale  des  iiegriftes  (notae  essen- 
tiales)  hingestellt  werden;  doch  ist  nicht  zu  übersehen  oder  zu  ver- 
geuen,  dass  die  Bedeutung  dieses  Namens  ein  willkürliches  Moment 
in  rieh  schlieasty  indem  schon  Beispiele  darthim,  dass  für  denselben 
Begriff  als  fllr  ihn  charakteristische  sehr  verschiedene  Merkmalgruppen 
erwiihlt  werden  kennen. 

Ein  Beispiel  sur  ErlSutening  dieser  allgemeinen  Bemerkungen:  Wir 
nOgon  den  Kreis  (aufgefasst  als  Krei^if/ntV)  regelrecht  definiren  als  eine 
geschlossene,  ebene  Kurve,  deren  sämtliche  l'unkte  von  einem  bestimmten 
Punkt  (etwa  ebendie«er  ihrer  Ebene,  dem  alsdann  socrenannten  „Mittel- 
punkte'*) <:kich\veit  abätebeu.  [Etwas  kürzer  getasst  künute  die  Definition 
aucii  luuleu:  „Kreis"  ist  der  „geometrische  Ort"  —  d.  i.  die  Gesamtheit 
der  mSgliehen  Lagen  —  eines  („desjenigen")  Punktes  in  einer  Ebene,  wel- 
eher  konstanten  Abstand  hat  von  einem  festen  Pankt  in  dieser  Ebene.] 

Auf  Grund  der  geometrischen  Axiome  folgt  alsdann  denknotwendig 
der  Satz  von  der  Gleichheit  aller  Peripliericwinkcl,  welche  auf  demselben 
I'Afjon  slelin,  im  Kreise.  Dieser  Satz  tbut  aber  weiter  nielits,  als:  auf  ein 
ÄtiUres  Merkmal,  welches  allen  Kreisen  ;^emeinsam  iat,  au^merk^anl  machen, 
liolches  kon^tatiren.  Und  zwar  würde  hier  öogar  sich  beweisen  la&äeu, 
4u8  dieses  Merkmal  (wenn  auf  gewisse  Art  formulirt)  unter  ollen  ebenen 
Karvea  nur  einem  Kreise  zukommen  kann,  weshalb  man  dasselbe  auch  be- 
nutzen küDute  um  eine  gKItige,  jedoch  von  der  vorigen  g&nztich  verschiedene 
Definition  des  Kreises  aufzustellen. 

Ebenso  hfitten  wir  aber  auch  defmiren  kritmen  „Kreis  sei  eine  Holeho 
ebene  ( i^esclihi.s.-one )  Kurve  zu  nennen,  welche  bei  <'e''"l>eT!eni  oder  nieiit 
IM  übertscbreiteudem  Umtange  den  grös>ätmöglicheu  i<  lachte  a  aaalt  hat.  l>ar- 
tns  folgt  dann  schon  logisch  allein  (wenigstens,  falls  zugegeben  wird,  dass 
der  vorigen  Definition  allemal  ein  wirklicher  Kreis  entspricht,  ohne  Be- 
nfttog  auf  weitere  geometrische  Axiome),  dass  diese  KniTO  aaeh  bei  ge* 
gebenem  Flücheninhalt  den  kleinstmöglichen  Umfang  haben  muss  —  was 
folglich  ebensogut  za  einer  Definition  des  Kreises  hätte  mitverwendet  wer» 
den  können. 

Offenbar  sind  es  Gruppen  von  zum  Teil  recht  verschiedeneu  Merk» 
nslss  —  wir  hranehen  sie  nicht  in  einzelner  Aufidihlang  zu  wiederholen 
—  die  in  diesen  verschiedenen  Definitionen  als  wesentliche  Merkmale  des 
Kreise«  hingestellt  worden.  Die  einen  ziehen  aber  schon  die  andern  auf 
tirund  der  geometrischen  Doktrin  nach  sich. 

Dt.'n  idealen  Begriflf  des  Kreises  winil"  jemand  erst  dann  besitzen, 
wenn  alle  möglichen  für  alle  Krtioe  üboremsiimmenden  Eigenschaften  und 
Uelaüoacu  (Thäügkeiten  fehlen  hier)  seinem  Geiste  gegenwärtig  wären,  in 
sdnem  Bewnsstsein  vereinigt  wttrden.  Derselbe  mfi^te  darnach  alle  (unter 
aadenn  aach  aUe  geometrischen)  Sfttze,  die  ttberbaopt  als  von  jedem  Kreise 


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88 


BinleitaDg. 


<,'ültig  ausgesa^M  wculen  könnten  (auch  in  15('/u;j;  aul'  srincii  l^ehniti,  Sfiiio 
Berührungen  uiit  andern  seinesgleichen  sowie  mit  irgend  vvelclien  Kur\'en 
und  Figuren,  auch  in  Bezug  auf  Scharen  von  seinesgleichen,  die  KreU- 
schnitte  der  Flaeben  eto.,  nicht  zu  vergessen  seiner  Gleichung  und  analj- 
tischen  Eigenschaften  in  jedem  Koordinatensysteme)  schon  kennen.  Nun 
lässt  sich  aber  die  Möglichkeit  nicht  leugnen,  dass  fort  und  fort  neue  und 
alliremcinL'ültige  Sätze  vom  Kreise  entdeckt  werden.  Den  idealen  Ret^riff 
dci»  Krei.>f's  besitzt  sonach  niemand,  sondern  es  ist  seine  Verwirklichimg  ein 
Ziel,  auf  das  die  Wissenschaft  erst  hinarbeitet. 

Ein  altbekanntes  Beispiel,  wie  man  in  Besag  anf  die  Auswahl  dar 
als  „wesentliche^*  zur  Begriffsbestimmnng  ausreichenden  Merkmale  sich 
versehen  kann,  liefert  Platon's  Definition  des  Menschen  als  eines  zwei- 
beinigen Tiers  ohne  Federn,  welche  dessen  Schüler  Diopenos  durch  einen 
ijenipfteii  Huhn  perpiflirte.  Bezug  sollte  bei  jener  Detinition  genommen 
sein  aul'  die  uuerkanütiMi  Thatsachon  der  Miitui-i:eschicl)te. 

Für  einen  geij^eijenoii  Betrriff  hat  demnach  der  Ausdruck  ,,die 
wesentlichen  Merkniule"  keinen  bestiiumteu  Siün .  sofern  damit  nicht 
auf  eine  bereits  getrotfene  Auswalil  Ii inue wiesen  wird;  man  kann  viol- 
meltr  vüu  vornherein  nur  reden  vou  „einer''  Gruppe  charakteristischer 
Merkmale. 

Aus  dem  Gesagten  geht  hervor,  dass  eine  Definition  (auf  extra- 
logiscliem  Gebiete)  überhaupt  nur  innerhalb  des  llahmens  einer  be- 
stimmten Wisscnscha/l  eines  bestimmten  Sinnes  teilhaftig  sein  wird  — 
indem  sie  eben  auf  die  Grundsätze,  Axiome  einer  solchen  stillschweigend 
Bezug  nimmt. 

Z.  B.  durf  b  die  oben  gegebene  Begriffserklilrung  des  Kn  i^es  würde 
dieser  BegritT  in  andrer  Weise  und  ah  rin  andrer  bestimmt,  wenn  dabei 
auf  die  Axiunie  etwa  einer  ««(///-euklidischen  Geometne  Bezug  i^enomnien 
werden  sollte  —  anstatt,  wie  dies  oben  stiUüchweigcnd  gebchah  —  auf  die 
der  Enklidischen.  Es  mag  sogar  der  Fall  eintreten,  dass  verschiedene  unter 
den  gleichberechtigt  zu  nennenden,  weil  ^nander  gegenseitig  bedingmden 
Defmitionen  des  Kreises  dort  in  der  That  weseDtlich  verschiedene  Begriffe 
bestimmen,  einander  nicht  mf»hr  pre?,'en  sei  tief  znr  Foln-e  haben. 

Unter  allen  Umstanden  aber  stützt  und  beruft  sieh  die  Begriffs- 
bestimniung  mittelst  Definition  gBHz  unvermeidlich  (niit)  auf  die  Ge- 
setze des  denknotwendigen  Folgenis;  sie  setzt  die  deänktive  Logik  be- 
reits voram. 

X^>'\  Nun  stehen  zuuächst  uns  nur  diejenigen  Begriffe  zur  Ver- 
fü^^LuiLi,  die  mit  den  fertigen  Gerne  innanien  der  Sprache  verknüpft  sind 
und  so  iHis  gegeben  erscheinen.  Diese  mögen  jeweils  durch  beigegebene 
Krläutoruiigen  von  jedem  D<»j){H'lsinu  gereinigt,  vor  solchem  fernerhin 
bewahrt  werden,  .sodass  wir  mit  ihnen  einen  unveränderlichen  und 
scharf  bestimmten  Vorsteilungsiuhalt  (vorbehaltlich  dessen  durch  die 


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BialeUung. 


89 


fortichreitende  Erkennimas  bedingten  ZuwachBes)  yerkuOpfen.  Zur  Auf* 
steUimg  aller  ferneren  Begriffe  Ton  unbegrenzt  allgemeiner  Anwend- 
barkeit steht  nne  dann^  wie  gezeigt,  nur  das  Mittel  der  Definition  zur 
VeriHgong,  bei  dessen  Anwendung  allemal  die  Logik  schon  voraus- 
geeetst  werden  moaste. 

Dieser  Umstand  legt  mir  eratmalig  eine  Bemerkung  nahe,  für  die 
ich  noch  anderweitige  und  ausschlaggebende  Grande  in's  Feld  su  fahren 
haben  werde.  Schon  im  Hinblick  darauf  scheint  mir  nämlich  das  Be- 
streben: die  Logik  selbst  als  eine  Logik  des  Begriffsm^te  darzu^ 
skelleUi  wie  es  seit  Jahrtausenden  vorwiegend  zu  verwirklichen  gesucht 
worden,  ein  Hysteron-proteron  zu  sein;  es  wird  damit,  wie  mich 
dflnkt,  das  unterste  zu  oberst  gekehrt^  genauer:  das  oberste  zu  unterst 

Es  wtlrde  mir  bedauerlich  erscheineii,  es  wfirde  ja  zu  einem  Zirkel 
zotigen,  wemi  die  Gnmdgeseize  folgerichtigen  Denkens  ußh  nidit  darlegen 
li6M«n,  ohne  diesen  subtilsten  und  schwierigsten  Tml  der  Lo^k,  wenn 

intn  will  auch  den  höchsten,  schon  vorauszQsetxen ,  als  welcher  die  Lehre 
von  (kii  Inhalten  der  Bo^mIüc  (den  Endzielen  der  Wissenschaft  ttberUaupt) 
«heint  liingestellt  werden  zu  müssen. 

In  der  That  aber  zeigt  schon  in  ihrer  bisherigen  Entwickelung  — 
wie  F.  A.  Lange*  pag.  147  hervorhebt  —  die  Logik  eine  zunehmende 
T«ndeBz,  von  ein«r  Lehre  des  Inhalts  eine  solche  des  Vmfangs  za  werden. 
Der  Iststem,  deren  konsequente  Durchflihrang  von  diesem  scharfsinnigen 
Anior  bislang  vermisat  wird,  weissagt  derselbe  eine  „Zukunft**  —  mit 
wicher  Entfaltung. 

Wir  versuchen  hier,  die  Verwirklichung  dieser  Vorau^sagung-  mit  an- 
iübabuen.  Wenn  wir  auch  diü  verückicdeuen  tJeiteu  der  Frage  noch  ein- 
gehend beleuchten  werden,  so  sei  es  doch  hier  schon  ausgesprochen,  dass 
wir  die  Logik  als  Lehre  von  den  Urtdlen  und  Schlflssen  rein  nur  ala  eine 
«Xfl^  des  Umfanget*  darstellen  werden  —  desgleichen  gmSdisi  auch  die 
Lahre  von  den  Begriffen.  Damit  glauben  wir  auch  den  Uidi^m  Weg 
einzuschlagen,  auf  welchem  sich  mit  gegebenen  KrSften  am  weitesten  wird 
kcmunen  lassen. 

Auch  das  individuelle  oder  Eimeläwg  wird  als  „Begriff"  mit 
lagelassen;  es  ist  der  Komplex  aller  seiner  Merkmale,  durch  deren 
eigenartige  Verbindung  miteinander  es  sich  von  allen  andern  Objekten 
des  Denkens  unterscheidet  und  ao  als  ein  vollkommen  bestimmtes  sich 
daistellt  Li  ihm  und  mit  ihm  selbst  fallt  Lihalt  und  Umfiang  seines 
Bagrifti  in  eins  zusammen. 

Durch  diese  Einziehung  des  Einzeldinges  unter  die  (bisher  nur 
ab  jfißgemem^  betrachteten)  „Begriffe"  erweitem  wir  die  Auffassung, 
die  wir  mit  dem  Worte  „Begriff**  verbinden.  Wir  geben  damit  kund, 
daaa  uns  als  das  Charakteristiache  beim  Begriffe  (als  das  Wesen  vom 
Begriff  des  Begriffes)  nur  eben  das  erscheint,  dass  unter  seinem  Namen 


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<J0 


Binleiton^. 


eine  hestimmlc  von  allen  amlcrn  unkrscheidbare  Marhmahjrnjypc ,  ein  be- 
stimmter Vorstellungsgehalt*)  —  in  eigenartiger  Verknüpfung**)  — 
zusamtnenget'asHt  und  in  unabänderlich  konatanter  Weise  diesem  Namen 
zugeordnet  Vierde. 

Mit  Sigwart  (1.  c.)  betrachten  wir  als  „das  Ziel  der  Begriffs* 
bildang  im  logischen  Sinne  eine  für  alle  Denkenden  gleiche  Ordnung 
ihres  mannigfaltigen  VorMlttng^ifUtes  und  dunit  die  allseitige  plan- 
mSssige  VoUendnng  dessen,  was  die  Sprache  flberall  schon  mit  im- 
bewusster  Vernnnft  begonnen  hat". 

In  und  mit  dem  Begriff  wird  in  der  That  vergUehen:  es  wird  Ober- 
einstimmendes susammengefasst  und  Nicbtflbereinstimmendes  ausein- 
andergehalten. Und  die'  Wahrnehmung  aller  Verschiedenheiten  sowie 
die  aller  Obereinstimmungen  (auch  nach  der  Seite  der  Relationen,  wie 
Grund  uud  Folge,  Ursache  und  Wirkung)  wird  die  Erkenntniss  des 
Weltganzen  zusammensetzen. 

Die  WisseiKsclialt  aber  geht  darauf  aus,  nicht  nur  lugibch  voll- 
kommene, .sondern  auch  die  s/rt(kniäiii>iij:iien  lieirrifTe  zu  gewinnen,  mit 
Hülfe  deren  und  ihrer  Be/.»'iclinuiMjf  die  n;n)h>liu()^diehe  Kintaclilieit 
und  xVbkiirzun«^  inisies  ^Vi.s.st'll.s  /,u  erreichen  ist  und  die  wertvollsten 
und  unitasäendälen  allgemeinen  Urteile  ermöglicht  werden.  (Yergl. 
Sigwart^  p.  212  u.  273.) 

«i)  Kehren  wir  nochmals  su  nnsrer  Betrachtung  der  Definition 
zurQck.  Bei  der  Erklärung  eines  Bej^riffs  mittelst  Definition  konnte 
es  sich  nicht  um  die  Angabe  eines  einz'Kje.n  Merknuils  als  des  „wesent^ 
liehen"  handeln.  Es  müsstc  sonst  das  /u  Erklärende  mit  Demjenigen, 
wodui  (  Ii  es  ti  klärt  werden  soll,  sich  dem  idealen  Vorstellungsgehalte 
nach  acLou  von  vurnherein  decken  un>i  würde  ein  vrdlig  identisches 
Urteil  resultiren,  wie  z.  B.  „Weiss  In  isst  etwas  Weisses",  „Walirheit 
ist,  was  wahr  ist";  es  ki^niite  hikhöteus  die  Erläuterung  des  biuus 
eines  Wortes  vermittelst  eines  damit  sjuouymen  vorliegen,  wie  etwa 

*)  Ich  glaube  mich  darin  in  Übereinstimmung  mit  Sigwart  zu  bcßadeo  — 
vergl.' i>!if».  270.  Doch  uiüchto  ich,  im  Hinblick  ;iuf  tias  Unvollendelbleiben  der 
Uegriffe  nucU  der  Seite  ihres  idealen  Inbalte«,  meiner  Forderung  der  f/a^en  He- 
grenzung*'  die  obige  der  litstimtniheit  vorzifheu. 

Dicacr  Zusatz  ist  eigentlich  überflüssig,  indem  die  Art  und  WeiaO,  wie 
Merkmsle  miteinftnder  verknüpft  aaftreten,  selbst  Bchon  unter  die  Merkmale  ein- 
gerechnet werden  mag.  Die  „«icfter«  VnUrw^iäm^^  eines  BegrilSi  von  allen  an- 
dern wird  notwendig  mit  ihm  selbst  gegeben  sein,  sobald  nnr  sein  Inhalt  hin- 
reichend  entwickelt. 


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EioleituDg. 


91 


„Rotation  ist  eine  DrehtiDg^,  „Zweifel  ist  Ungewisssein'*  und  dergl.  — 
was  aber  niemand  als  eine  Definition  gelten  lässt 

Als  charakteristisch  kann  immer  nur  eine  Mehrheit^  Gruppe,  ein 
Sifslm  Ton  (allermindestens  zwei)  augebbaren  Merhmalm  in  Betracht 
kommen  —  welche  dem  BegrüFsinhalte  angehören,  in  ihm  enthal- 
ten sind. 

Wörde  eines  yon  diesen  Merkmalen  durch  die  flbrigen  von  selbst 

beditiu^t  ■  (in  dem  schon  erläuterten  Sinne),  so  wäre  seine  Anfflhrunjj; 
Qbertlüssi;/;;  dasselbe  ist  dann  aus  der  Detiiiition  —  behiifa  deren  Ver- 
t'iufachun«;  —  fortzulassen-,  dann  sind  ja  sclion  die  übrigen  Merkmale 
Mir  Bestimmung  des  Begriües  ausreichend. 

Jedes  vuii  Jicsen  Merkmalen  wird  nnn  aber,  ausser  in  dein  y.u 
definirenden,  auch  noch  selbständi«»;  oder  in  anderji  ßegritlVn  auftreten, 
denn  wenn  ein  solches  jenem  aH86c}ditsslich  angehörte,  so  würde  es 
üUeiu  ächon  für  den  zu  definirenden  Ben;riff  r luuakti  ristis(  Ii  sein,  zur 
Bestimmung  desselben  ;iiisr»'iclien;  die  Angabe  der  übrigen  Merkmale 
konnte  alsdann  unterldeibcii  und  kämen  wir  auf  den  oben  schon  als 
ausgeschlossen  erkannten  Fall  zurück. 

Die  in  der  Definition  je  als  „wesentliche"  verwendeten  Merkmale 
müssen  also,  je  für  sich,  gleichwie  einen  „ent/erert"  Inhalt,  so  einen 
„tceiteren"  Umfang  haben;  sie  werden  dem  zu  definirenden  „iUfer- 
geordnetef*  oder  mit  ihm  verglichen  JiÖlieref'  Begriffe  sein. 

Von  diesen  Begriffen  oder  wesentlichen  Einzelmerkmalen  pilegt 
man  irgend  einen  —  gewöhnlich  den  durch  ein  Substantiv  dargestellten 
—  als  ,,g€nus  proximum'',  d.  i.  als  die  dem  zu  definirenden  („Art"-) 
Begriffe  nächst  übergeordnete  „Gattun//'*  zu  bezeichnen,  uiid  sagt  von 
dieser,  dass  sie  durch  die  noch  ferner  hinzutretenden  Merkmale  ein* 
geschränkt,  noch  näher  bestimmt,  „determmwf*  werde. 

Jedes  nea  hinzutretende  Merkmal  mnss  in  der  That,  gleichwie  es 
den  faktischen  durch  die  bisherigen  Merkmale  ausgedrOckteu  Vorstel* 
hngmhali  permekrt,  so  anch  den  (möglichen)  Umfang  des  von  letsterm 
bestimmten  Begriffes  wirklich  vem/ngem^  ansonst  es  ja  von  diesen 
bereits  thatsachlich  mitbedingt  sein  und  darum  seine  Erwähnung  über* 
flflssig  erscheinen  wfirde. 

Diese  in  der  Definition  an  dem  genns  proximum  noch  hinzu* 
tretenden  Merkmale  werden  demgemSss  als  „di/ferenüae  specißca^  he- 
letchnet^  weil  sich  durch  ihren  Komplex,  sowie  anch  schon  durch  jedes 
einselne  von  ihnen  der  an  definirende  Begriff  als  eine  Unterart  des 
gams  proximnm  von  andern  Arten  dieser  Gattung  spezifisch  unter* 
tdieidei 


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92  Einleitang. 

So  erscheint  bei  unsror  (ersten)  Definition  des  RreiseB  der  Begriff 
„Kurve''  (oder  Linie)  als  nUchst  übergeoiilnele  Gattung.  Dieser  ist  von 
weiterem  Einlange  und  dürftigerem  Inhalte  alt;  der  BcgritV  ,. Kreis"  selbst. 
Der  Kreis  erscheint  als  eine  „Art"  unter  der  „(JaLtung"  der  Kurven.  Als 
spezitischc  üuterschicdo  treten  in  unsrcr  Definition  drei  Merkmale  zu  dem 
Begriff  der  Kurve  Mmu,  nflmlich  das  Merkmal  „gescblosBea**  tn  seio,  ^feben** 
zu  sein  und  „gleichen  Abstand  ihrer  Punkte  Tom  Mittelpunkte  zu  haben**. 

Liessen  wir  das  erste  fort,  so  würde  die  Definition  auch  jeden  Kreis- 
hoffcn  umfassen  (resp.  als  einen  „Krci>'*  hinstellen),  ja  —  Ini  hinreichend 
allgemeiner  Fnssuiif»  dns  Begriffs  „Kurve"  —  auch  jrtles  System  von 
Bögen  und  vielleicht  isolirten  Punkten  dirscWcn  Kreislinie. 

Durch  Weglassung  auch  des  zweiten  Merknials  der  Ebenheit  bekamen 
wir  einen  Begriff,  unter  dessen  Umfang  ausser  den  Kreisen  und  Kreis- 
bögen auch  jeder  Liniensug  auf  einer  KogelflAcbe  fiülen  würde  —  der  auf 
eine  starre  Kugel  (als  mathematische  Linie)  geschriebene  Namensiug  des 
geehrten  Loscrs  zum  Beispiel.  Etc. 

Wa«?  Kurve,  was  eben,  was  geschlossen  ist,  was  gieiihtn  Abstand 
seiner  Punkte  von  einem  nänilii  hen  Punkte  hat,  das  sind  lauter  höhere 
oder  dem  des  Kieist-s  übergeuidnete  Begriffe. 

Wenn  sonach  die  Definition  eines  Begriifes  nur  vermittelst  anderer, 
demselben  fibergeordneter  oder  höherer  Begriffe  geleistet  zo  werden 
vermag,  so  wird  man  bei  fortgesetzter  Bestimmung  auch  dieser  und 
der  folgenden  Begriffe  mittelst  Definition  schliesslich  bei  solchen  Be- 
griffen anlangen  und  innehalten  mflssen,  welche  als  die  allgemeinsten, 
dem  Umfange  nach  weitesten  oder  h5chsten|  einer  Definition  nicht 
weiter  fähig  sind,  da  sich  zu  ihnen  höhere  Begriffe  (Ausser  dem  einen 
allumfassenden  des  JEims^)  nicht  mehr  angeben  lassen  (resp.  im 
BegriffsTorrat  der  Sprache  nicht  vorfinden). 

Solche  selbst  nicht  dcfinirbare,  aber  zur  Definition  anderer  ver- 
wendbare Begrill'u  ueuut  man  .JJi'hffjriße'^  oder  yKafq/oriccn".  Die- 
selben werden  dauu  einfach  als  von  An  lang  bekannt,  niimlich  mit  der 
Sprache  selbst  getreben  vorauszusetzen  sein. 

Wel(heä  sind  mm  aber  jene  Kategorieen,  die  zum  Aufbau  aller 
andern  üegrifie  ausreichen  würden? 

Ein  erster  —  nach  der  zutreffenden  Kritik  von  Mill  und  Andern 
noch  ziemlich  missluugener  Versuch  zur  Anfsteilung  einer  Kate- 
gorieentafel  ist  bekanntlich  von  Aristoteles  gemacht.  Auch  haben 
Kant,  Mill  selbst,  Peirce^'^,  Sigwart  und  Andere  schon  bessere  Vor- 
schläge fUtr  das  ganze  Gebiet  oder  für  einzelne  Teilgebiete  des  Denkens 
zu  machen  gewagt  Ich  hoffe  einleuchtend  an  machen,  dass  und  warum 
derartige  Versuche  als  Terfrfihte  zur  Zeit  noch  nicht  zum  Ziele  führen 
können. 


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Einleitaug. 


Og)  Immerliin  ist  uns  mit  Obigem  das  Ideal  erwachsen,  onser 
gesamtes  Begrifissystem  za  einem  wissensdiafUich  streng  gegliederten 
so  gestalten,  indem  wir  die  Begriffe  alle  aus  möglichst  wenigen  ÜT' 
oder  Gnmdhegri/fen  vermittelst  möglichst  weniger  ChruiutoperaUofien  (su 
denen  die  Determination  gehören  wird)  systematisch  aufbauen.  [Die 
Begriffe  dieser  Operationen  werden  s^bst  zum  Teil  den  Urbegriffen 
in  gewissem  Sinne  suzueShlen  sein]. 

Nachdem  erkannt  ist,  wie  viel  der  mensehliehe  Geist  dem  Zeichen 
verdankt,  dürfen  wir  die  Möglichkeit  nicht  ungenutzt  lassen,  da^  Zeichen 
uocli  weiter  auszubilden.  Es  bietet  sich  die  Aufgabe  dar,  durch  an- 
gemessene, adäquate  Gestaltung  des  Zeicliens  Zeichcu  und  Saclie  durcli- 
weg  in  gesetzmässiges  Entsprechen  zu  bringen,  oder  (mit  den  Worten 
Trendeleuburg's)  die  Gestaltung  des  Zeiclieas  und  den  Inlialt  des 
Begriffs  in  unmittelbare  Berührung  zu  bringen,  indem  wir  statt  des 
in  der  Sprache  gerade  vorliaudenen  Wortes  solche  Zeichen  ersinnen, 
welche  dio  im  Hegrili  unterschiedenen  und  /usamuiengelassteu  Merk- 
male unterscheidend  und  zusammenfassend  darstellen. 

Auf  einr.elnen  Gebieten  bat  die  Wissenschaft  aus  eigenem  Bedürfniss 
schon  AntiInge  eintn-  solchen  Eegriiisschrift  hervorgebracht.  Das  Vertahren, 
durch  welches  mit  unsem  Ziffern  die  nach  dem  zehnteiligen  Gesetz  lort- 
schreitendo  Zahlen bildang  ausgedrückt  wird  (^vergL  ist  ein  hervur- 
ragendes  Beispiel  dasa,  an  welchem  es  sich  (in  der  Arithmetik  und  höheren 
Beehnabg)  dMtlich  zeigt»  wie  mit  dem  zutreffenden  Zeichen  die  Herrschait 
über  die  Sache,  die  Einsicht  und  Kunst  des  Menschen  in  unübersehbarer 
Wirkung  annimmt.  Mit  dem  „notwendigen",  d.  h.  gemäss  der  Forderung 
höchster  Angemessenheit  als  solches  tiich  aufdrSng:endcn  Zeichen  muss  sich 
«lie  Erkenntniss  der  bezeichneten  Gebiete  notwendig  weiter  und  weiter  er- 
«hliessen. 

Eine  soicli^'  Bezeichnung  wird,  wenn  sie  auf  das  (janze  hVld  der 
Gegenstände  des  Denkens  ausgedehnt  zu  werden  vermag,  im  Gegensatz 
gegen  das  dem  Inhalte  der  Vorstellungen  mehr  oder  weniger  gleich- 
gültige Zeielien  des  Wortes,  eine  clmralderisikdic  l^prachc  der  Begrille. 
>.Bmijl,s^hn[V^y  und  im  Gegensatz  gegen  die  besonderen  Sprachen  der 
\  ülker  eine  aUfßenicine  Sprache  der  J^aclie  ( Pnsnjr<iphie)  sein  (ibid.). 
Hiermit  sind  wir  angelaugt  bei  dem  Gedanken  einer  philosophisch 
irissenschaftlicheu  UniversctUpracJie, 

Derselbe  war  zuerst  von  Des  Cartes  erfasst«  dann  von  Leibniz 
vertieft;  doch  blieben  die  beiderseits  geraachten  Vorschläge  mehr  Umriss 
iiDfl  Vf^rsprechen,  als  Änsführuug  und  T.f^^'jtung.  Ich  folge  mit  den  liiernnf 
b«zUgli(;hen  P.omerknngen  wieder  Trondeienlnirg  (1.  c).  artosi us (Episto- 
lae  1,111  in  der  Amsterdamer  Ausgabe  von  1062,  p.  363  sqq.)  verlangt, 
dau  eine  filmliche  Ordnung  unter  den  Ideen,  welche  mdgUch  sind,  her- 


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94 


EinlMtimg. 


gfistellt  werde,  wie  es  eine  natürliche  Ordnung  unter  den  Zahlen  gibt. 
Und  wie  jemand  in  einem  Tage  lernen  kann,  in  einer  unbekannten  Spi-ache 
alle  Zahlen  in's  unendliche  zu  benennen  und  m  schreiben,  obwol  sie  mit 
unzähligen  verschiedenen  Wörtern  bezeichnet  werden,  so  könne  ähnliches 
mit  den  ttbrigen  xam  Ausdnick  der  meiucblichen  Gedanken  notwoidigen 
Wörtern  geschehen.  Die  Erfindung  einer  solchen  Sprache  hSnge  von  der 
wahren  Pliilosophie  ab'");  denn  ohne  diese,  «ei  ee  nnmöglich,  alle  Ideen 
der  Men-clieii  ;iufzu/.ülil»'n  (tder  zu  ordnen  nnd  so  zti  nnter^cheiden,  dass 
sie  deutlicli  unii  einfach  wären.  Erbt  wenn  man  deutlich  entwickelt  hätte, 
welcheä  die  einfachen  Vuratülluagcu,  und  aus  welchen  Elementen  die  Ge- 
danken zosammenge:setzt  bind,  und  wenn  dies  in  der  Welt  anerkannt  worden: 
80  lasse  sieb  eine  allgemeine  Sprache  hoffen,  welche  leicht  za  lernon,  aus» 
snsprechen  und  su  säireihen  wäre  und  welche  Überdies,  was  die  Haupt- 
sache, unsre  Urteilskraft  fördern  wttrde,  indem  sie  alles  so  deutlich  und 
unterschieden  darstellte,  dass  eine  Tiinschnng  unmöglich  würde,  während 
umgekehrt  unsre  Wörter  nui  verworrene  Dciloutungen  haben,  an  welche 
sich  der  inuuscbliche  Geilst  sü  lange  Zeit  gewilhnt  hat,  dass  er  fast  -nichts 
vollkommen  einsehe.  Carteeius  setzt  hinzu,  Uuss  er  eine  solche  Sprache 
und  die  Wissenschaft*'),  von  welcher  sie  abhSngt,  fttr  maglich  halte;  mit 
ihrer  Httlfe  werde  dann  ein  Bauer  Uber  die  Wahrheit  der  Dinge  besser 
urteilen,  als  jetst  ein  Philosoph.  Ab«r  man  solle  nicht  hoffen,  sie  je  zu 
erleben,  denn  das  setze  grosse  Yeränilornngcn  vomus  und  es  sei  dazu  not- 
wendig, das'^  sich  die  Welt  ins  Paradies  verwandle. 

Leibui/  indessen  hatte  kühneren  Mut,  obwol  er  die  vorangegangenen 
Versuche*)  und  ihr  Vergebliches  kennt. 

Des  Leistern  (nicht  von  ihm  herausgegebenen)  Aufsätze  über  die  Pasi- 
graphie  sind  betitelt:  historia  et  commendatio  lingnae  characteristicae  uni- 
versalis quac  simul  sit  ars  inveniendi  et  judicandi,  desgl.  dialogus  de  con- 
nexiono  inter  res  et  verba  et  veiitutis  realitate  (1677). 

Schon  die  Namen,  welche  Lcibniz  dem  Unternehmen  ^nbt.  kllndigcn 
seüic  Bedeutung  an.    Üald  nennt  er  es  Ungua  diaracicrislica  universalis 

*)  Man  si(!ht  hier  schon  den  grossen  Unterechied,  welcher  besteht  zwischen 
dem  logisclicn  Ideal  der  „Pasigraphic"  und  dem  lingniEtiscben  einer  „Welteprache", 
wie  es  heutzutage  die  Volapfiki-ttcn  anstreben.  Gleichwie  dir*  Letzteren  es  thun, 
80  bezweckten  auch  <lie  erwiihnten  voranpf'irftTif:j(  ueu  Versuche  blös,  eine  Ver- 
slandiguug  erzielen  zwischen  Solchen,  die  in  der  Sprache  einander  fremd  sind. 
Durch  die  allerdings  nicht  gering  anmichlagende  Beseitigung  aller  Unregelmässig- 
keiten vereinfachen  de  swar  erheblich  die  Grammatik,  fibemehmen  aber  ohne 
weiteres  fast  alle  sonstigen  logischen  Unvollkommenheiteu  omrcr  faktischen  Knltnr- 
sprachen,  schliessen  an  diese  sich  als  an  (  twas  schlechtbin  Gegebenes  an. 

Solcher  vorgiingigen  Versuche  führt  schon  Q'rendelenbu rg  uns  <ine  zi(ni- 
liche  Anzahl  (beiläufig  fflnfe,  von  Kirclier,  Becher,  Dalgarn,  Wilkins  und 
T  rede)  an.  Das  ohne  Jahreszahl,  Diu«  kort  i.nd  Namen  de><  Verfassers  unter  dem 
Titel:  „Vorschlüge  einer  notwendigen  6pruchlehre '  um  idil  erschienene  Werk 
von  Ludwig  BenediktTrede,  welches  den  Grondgedaaken  des  Volapdk  schon 
vollständig  (indesB  wol  weniger  einfach)  in  seiner  Art  verwirklicht,  konnte  ich 
von  der  Kdniglichun  Bibliothek  so  Berlin  entleiheiu  Einer  noch  umfasseodeten 


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Eiuleitong.  '  95 

oder  du  A^aiiaUel  der  mensddickm  Gedanken,  bald  biogegen  caJeulus  pMo- 
iephkns  oder  calcidus  rtUioanalor.  [In  jenem  Briefe  vom  Jahre  1714  nennt 
er  es  ^specimse  generale  —  ein  Name,  welcher  aii  die  Vcrwanrltschaft  mit 
di-r  geometrisLhcn  Analysis  erinnert,  da  diese,  seit  Vieta  Buchstaben  als 
aii^jtMtiue  Zeichen  von  Grösi«en  in  sie  einftlhrte,  analysis  speciosa  hiess.] 
Die^  Natuen  zeigten  schon  das  Ziel,  dos  Loibuiz  vor  4ugen  hatte:  es 
wsr  cme  aciiquate  nnd  allgemeine  Bezeichnung  des  Wesens  der  Begriffe 
durch  eine  solcbe  Zergliederung  in  ihre  Elemente,  dass  dadurch  eine  Be- 
bandlnng  derselben  doich  Rechnung  möglich  werden  sollte;  sein  Unter- 
nehmen, sagt  Leibniz,  müsse  xiutaiide  kommen  characteribua  ei  cakulo  als 
eine  comh'maforia  charada  lsfica. 

Von  den  Prinzipien  her  hoiYt  er  Befestigung  der  Krkcnntniss,  Ver- 
hütung des  Widerapruchü,  Aub^chluss  des  Streites  (man  werde,  wo  solcher 
droht,  einfach  sagen:  Lasst  uns  friedlich  die  Sache  berechnen  1).  Leibnis 
erwartet  einen  Einblich  und  eine  Übersicht,  durch  welche  mitten  in  der 
sich  ausdehnenden  Masse  der  Erkenntniss  dennoch  die  Wissenschafteo  sich 
sbkflnen,  nnd  ins1>esondere  hofft  er  dnrcb  die  Einsicht  in  die  r-infa  lien 
Elemente  und  deren  VerbindnDü'sweiscn  auch  fortschreitende  Erkeuutuiss 
des  Besonderen,  FiiitdeckuntrtMi  und  ErlinduDLM'ii. 

Die  Verwirklichung  des  gedachten  Ideals  einer  Wissenschaft  liehen 
Klassifikation  und  systematischen  13e/.eiehnun;j;  alles  Benennbaren  uius8 
al)er  nach  dem  oben  von  uns  Angeführten  zur  Voraussetzung  haben: 
die  follendete  Keimtniss  der  die  Begrift'selomente  zu  verknüpfen  be- 
stimmten Gründoperationcn  und  die  Bekanntschaft  mit  deren  Gesetzen. 
Diese  Vorarbeit  bat  die  Logik  zu  leisten,  und  solange  sie  —  wie  der- 
malen —  unvollendet  ist,  kdonen  Versuche  erwähnter  Art  von  Erfolg 
nicht  gekrönt  sein. 

Vorher  schon  Kat^orieentafeln  auf/ustellen  scheint  mir  kaum  ver< 
flienstlicher,  als  der  Hinweis  auf  einen  Haufen  Steine  als  auf  füe  Bausteine 

I«  einem  wundervollen  Baue,  dessen  Plan  jeiloch  noch  nieniaud  gesehen 
hat,  und  bei  welchem  auch  das  Bindemittel,  der  Kitt  zum  Zusammenhalten 
4er  Steine,  vergossen  ist. 

Jene  die  Begriffe  verknüpfcuden  Üperutioucu  werden  wir  hier  in 
der  That  erst  zu  studiren  haben. 

Und  ihre  Gesetze  werden  wir  in  bestimmten  Grenzen  voUstüudig 
erforschen,  aber  allerdings  zunächst  nur  für  die  elementarsten  Vcr- 

B«he  derartij,'er  Versuche  gedeuiit  Herr  Guntram  Schulthcias  in  einem  Aut- 
Mtae  fiber  „Künstliche  und  natSrliehe  WeltsiMrachen*^  in  Weatermann's  Monata- 
UlsB  Tom  Sept.  188e,  p.  m  . .  807. 

Dea  Batmandus  LnIliuH  ,.Samn)ulac  logicule»"  war  liicrbei  nicht  Ei^ 
w'thnnng  zu  thuu.  —  Daas  Herrn  F  rege 's  „Begrifl-schrifl"'  dieHen  ihren  Namen 
nuihi  verdient,  sondern  etwa  a!^  eine  in  der  That  lojjisrhe  (urnn  auch  nicht 
r*rckniä9Bijrste)  Urteilggcbrift  zu  bezeichnen  wi'ure,  glaube  ich  in  meiner  Rezension* 
daitgeliiau  /u  haben. 


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96 


Einleitnag. 


riclitmigen  des  Denkens,  wie  sie  als  solche  sich  darbieten.  Dieser 
erste  Teil  der  Logik  ist  der  Klassetduükul  —  von  Peirce  als  die 
Logik  der  Dinge  hingestellt,  welchen  ffibsoltU^''  Namen  aukommen 
(▼ergl.  fc). 

An  die  schwankenden  Gebriioche  der  Wortsprache  werden  wir 
dabei  den  Maasstab  eines  Tollkommen  konsequenten  BeseichnnngS' 
Systems  anlegen.  Mit  letzterem  werden  wir  dann  auch  im  stände  sein, 
die  Verknüpfungen  nnd  Beziehungen,  die  zwischen  UrteUm  möglich 
sind,  ersch5pfend  wiederzugeben,  sodass  als  ein  zweiter  Teil  der  Logik 
der  Äussagenhailkul  erscheint,  der  sich  zu  einem  hohen  Grade  von 
Vollendung  bereits  entwickelt  zeigt. 

Erst  mit  dem  TSlligen  Ausbau  eines  dritten  (und  schwierigsten) 
Teiles  könnte  aber  die  Disziplin  der  Logik  den  Anspruch  erheben  die 
obenerwShnte  Vorarbeit  für  die  dereinstige  wahre  Philosophie  geleistet 
zu  haben.  Das  wäre  die  Logik  "der  unter  „relatirem*'  Namen  zu  be- 
greifenden Gedankendinge:  die  Logik  der  Btgiehnngcn  überhaupt  nnd 
ihrer  verschiedenen  Kategoiieen.  Diesen  Teil  unsrer  Disziplin  müs^n 
wir  dermalen  grossenteils  noch  unfertig  lassen. 

/Sy)  Wir  haben  von  zr,)  ab  versucht,  den  Begriff  des  „Begriffes" 
zu  entwickeln. 

In  einer  so  fondamentalen  Frage,  über  welche  die  Philosophen 
schon  seit  Jahrtausenden  geschrieben  und  wo  deren  Lehrmeinungen 
so  himmelweit  auseinandergehen,  seheint  nun  aber  docb  ein  kritischer 
KQckblick  noch  angezeigt  zu  sein. 

W  ir  gingen  bei  uüsrer  Betrachtung  von  dem  für  den  Begriü'  (als 
Einzelding  oder  aber  allgemeinen  Begriff)  bereits  vorhanden  gedachten 
2iamcn  (Eigennamen  resp.  Gemeiunauien)  aus. 

Die  Annahme,  dass  der  fragliche  Begriü  einen  Namen  habcj  kann 
nicht  wol  als  eine  Beschränkung  für  die  Allgemeinheit  unsrer  Be- 
trachtungen angesehen  werden,  wofern  nur  nicht  etwa  gefordert  wird, 
dass  der  Name  von  Anfang  bereits  unter  den  einworterigen  ßgurire. 
Denn  was  auch  Gegenstand  des  Denkens  werden  mag,  es  lässt  sich 
doch  mit  Worten  angeben,  hrpohreiben.  Und  diese  Beschreibung  stellt 
uns  einen  (eventuell  eben  yieiwörterigen)  Namen  für  das  Beschriebene 
vor.  Sü  oft  wir  übrigens  einen  neuen  Begriff  gewinnen,  empfinden 
wir  alsbald  das  Bedürluiss  nach  einem  angemes.senen  (auch  angemessen 
kurzen)  Namen  für  denselben,  und  diesem  BedOrfniss  konnte  notigen* 
falls  selbst  durch  einen  einworterigen  Namen  —  mittelst  EinfQhrung 
einte  solchen  —  immer  genügt  werden. 


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fSinleitung. 


97 


Es  sollte  jedenfalls  mit  rniBrer  Erörterung  nicht  behauptet  sein, 
das8  die  Bildung  des  Worts  dem  Begriffe  notwendig  oder  thatsaehlich 
wnmgehe. 

Wenigstens  die  Aneignung  des  Wortes  vonseiten  des  jugendlichen 

Menscben  bei  der  Erlemnug  seiner  Muttei-spraobe  mag  in  der  That  nicht 
sehen  <lerienif»en  des  zugeordneten  BegrllTes  voranfgehen.  Auch  verm5chto 
liif  Wissenschaft  wol  Beibi^ifle  anf/uweisen,  wo  die  Koinlniuitinn  von 
Worten  —  z.  B.  in  der  Form  als  „Nicht-a",  nachdem  ein  Begnti  von  a 
bernte  Torgeleg^i  —  den  ersten  Anstoss  sxa  Bildung  eines  Begriffes  gab. 

Jedoch  lassen  auch  Belege  sich  erbringen  fttr  F&lle,  wo  die  umgekehrte 
Sneeession  erkenuLar  ist.  Auf  p.  177  seiner  Schrift^  erinnert  J.  Keller 
lu  das  von  Steinthal  erwähnte  Kind,  das  jedesmal,  wenn  es  einen  Fremden 
mit  f^apa  anredete,  den  Ko\)f  dazu  schüttelte.  „Es  befand  sich  auf  dem 
Stadium  seiner  Ijegrirt'.-euiwickelung,  wo  der  allgenirMiiP  JiegrilV  Mann,  den 
es  mit  dem  Worte  Papa  verband,  sich  zu  spalten  auting  in  Mann  im  all- 
ffmemm  und  in  den  Begiiff,  dein  Kinder  spftteihin  mit  Fispa  verbinden.** 
Wie  in  diesem  Falle,  so  ditrfte  auch  bei  dem  Znwaehs  an  Begriffen,  den 
die  Wissenschaften  liefern,  die  geistige  Erfassung  des  Begriffes  der  wort- 
bildenden Namengebung  zumeist  vorangehen. 

Die  ganze  Frage  iriögen  wir  indess  der  Psychologie,  Sprachwissenschaft 
und  Pädagogik  Überlassen. 

Worauf  wir  hier  sicher  fassen  zu  dürfen  glaubten,  ist  nur:  dass 
die  Begrüi'cibildung  mit  der  Namengebung,  der  Schöpfung  und  Fort- 
eotwickelung  der  Sprache,  notwendig  haudinhand  geht 

y^)  Schwerlich  dürfte  unsre  Darlegung  beanstandet,  sie  mSchte 
wol  als  zutreffend  zugestanden  werden  in  Bezug  auf  die  sogenannten 
„empirischen"  Begriffe. 

Begriffe,  die  ihren  L  rsj>niiJ!j^  der  Wahrnehmung,  Erfahrung  ver- 
ilaiiken.  eut.stehu  ^widfellus  uut  die  iin<^i-gebene  \Veise.  l'iul  zwar 
brauciit  die  \\  ahrnehuiimg  nicht  i^urude  eine  sog.  „äussere''  zu  sein, 
u.c  aal  dem  Sinneseindruck  berulit.*)  Auch  durch  „innere"  Wahr- 
nehmung und  Krlaiiruug  gewinnen  wir  Begriffe  in  ganz  analoger 
Weise.  »So  mögen  wir  bei  der  l'arbu  und  dem  Ton  auf  da«  gemein- 
same Merkmal  des  ,,Siuiieaemdrucks"  reÜektiren**),  wir  mögen  von 
den  Phanta-iiegebildt-n ,  Absichten,  Stimmungen  und  Gedanken  das 
Merkmai  der  ^^Uusinnlichkeit"  abatrahireo. 

*  Vi  rtrl.  y)  Kus.^iiote.  Audi  diese  „äussere"  W;ihrn"hmnn<r  lüuft  übrigeDä 
»«*eotiich  auf  eine  „inuere  *  hiuau«*,  indem  es  mchi  das  AutfL-  ist,  dtM  sieht, 
Mudeni  der  Geist,  das  Ich,  in  deasen  BewussUeiu  di«^  äiuaeabotücbati  aut- 
gauMunen  wixd. 

**)  Mit  Absicht  IlBlire  ich  dies  Beispiel  an,  am  aaf  die  Unfaaltbsrkeit  und 
Wfllkar  hin/nweippn,  welche  in  der  attlichen  £rklftniii|r  ndisitaiater**  Begriffe  liegt. 

BODtODSB,  Alg»l>ra  ömt  Logik.  7 


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98 


Einleitung. 


Eine  andere  Frage  ist  iudess,  ob  wirklich  aUe  Begriffe  so,  durch 
ReäexioB  auf  die  gememsamen  Merkmale,  in'a  Dasein  treten  und  treten 

mflsseu. 

Neben  dem  geschilderten  Prozesse  der  unmittelbaren"  ßegriffs- 
bildung  scheint  mir  in  der  Thai  eine  Möglichkeit  auch  ^^mittel- 
barer*'  konetruktiTer  Bildung  Ton  Begriffen  sngestanden  werden  zu 
mfissen. 

Der  BegfTift"  der  „TTnni")i,'lidik«  it"  /.  B.  (den  mtich  Keller  liervorbebt.) 
ist  sicher  nicht  t'iiiiiiris(  Ii  (Iuk  Ii  Kt'li(  xidii  auf  die  L,'emeinsameu  Merkmale 
von  allem  „UmiiüglicLtii"  entistandeu,  weil  solcla.s  überhaupt  nicht  (Jtgen- 
stand  einer  Erfabrun^^  werden  konnte.  Allerdings  lugt  auch  die:>er  Be- 
griff eine  Mannigfialtigkeit  von  Yoratellongsverbindungen  nnd  Qedanken 
ein,  und  grenzt  sie  gegen  die  Übrigen  ab,  denen  wir  au«  logiBchen  oder 
(solchen  und)  physikalischen  Gründen  die  „Möglichkeit'"  /usprechen.  ünd 
wäre  noch  immerhin  dfnkbnr.  rlnss  nufb  hior  dnreh  Reflexion  auf  ein 
genieinsaiiies  Merkmal  an  cl)en  jenen  (.l«'(iankrn<liu_;t'n  der  Bej^rifl'  cntatau- 
den  wiire,  in  Anbetracht,  dass  „Unmöglichkeit"  ja  in  der  That  nicht  von 
Bingen  der  Aussenwelt,  sondern  nur  von  ein«'  Kombination  Ton  Erkennt- 
nisselementen in  unserm  Geiste  prSdizirt  werden  kann. 

Ob  solches  aber  die  wirkliche  und  notwendige  lOntstehung  des  Be- 
griffs der  „Unmöglichkeit^'  darstellt,  scheint  eine  schwierige  Frage  zn  sein. 

Zuzugeben  ist  wol,  dass  wir  in  Gestalt  der  Verknüpf utiff''  (Kom- 
bination) und  „Trenmttiy"  (Separation)  und  —  als  eine  Modifikation 
der  letztem  —  insbesondre  in  Form  der  „Yemeinung^'  (Negation),  Ton 
durch  Abstraktion  gewonnenen  Vorstellungselementen  oder  Merkmalen 
auch  das  Vermögen  besitzen,  Begriffe  mittelbar  au  koustruiren,  sodass 
Refletion  und  Abstraktion  nicht  als  die  einzigen  Quellen  der  Begriffs- 
entwickelung  hingestellt  werden  dürfen. 

Auch  die  Begriffe  des  „Dings  an  sich'*  nnd  der  „Wahrbeit'S  der 
„Vollkomraenheit*',  des  „Idcalu*^,  der  „Freiheit**,  und  andere,  könnten  Sbn- 
lii  b  dem  vorausgeschickten  Beispiel  verw^idet  werden,  solche  Bemerkung 

anzuregen. 

Die  angetührten  lieispiele  gentb^en  wol ,  nm  auf  die  Sehwierig- 
keiten  einer  allgemeivm  Theorie  der  iiegriffsbüdung  und  der  Erklärung 
seines  Wesens  hinzuweisen. 

Ungeachtet  der  mehr  tausendjährigen  Arbeit  sind  über  eine  solche 
die  Philosophen  auch  noch  nicht  einig  geworden. 

Es  befehden  sieb  dl<  Sdiulen  der  „Xominalisten*',  d»M*  „Kcali.-,ten"  und 
der  „Konzept ualisten"  und  wenn  aueb  ziemlich  uüverkennbar  geworden  ist, 
da.>-s  jene  erstem  mit  der  Kiaseitigkeit  ihrer  Auffassung  sich  nicht  ira 
Kuchlti  befinden,  so  können  wir  uns  doch  auch  auf  eine  allgemein  aner- 
kannte Theorie  noch  nicht  berufen. 

Ebenso  gehen  die  Ansichten  noch  weit  auseinander  Uber  das  Wesen 
der  tjiäJIgttMmm  Vitr^iMung"  (tepraesentatio  generalis  sive  universalis)  als 


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EbleituQg. 


99 


Deqemgen,  was  danmtor  Totgestellt  wird,  wenn  der  Name  einer  Klasse 
föllt,  z.  B.  wenn  von  „einem  Baume"  gesprochen  wird  —  im  Gegensatz  zvl 
der  Eiuzelvorstellung  frepraesentatio  singularis,  wie  „d/c^tr  Baum  hier") 
lind  im  etwaigen  Gegeubatz  zuoa  lirgriff  ,  Baum'*.  Die  Identität  solcher 
Allgemein  Vorstellung  mit  dem  zugehörigen  Begriife  wird  teils  behauptet, 
teils  bestritten. 

Auf  BOkhem  onsieheni  und  Tielumstriiteneii  Fundamente  nun  das 

Gebande  einer  Wissenschaft  errichten  zu  wollen ,  die,  wie  die  Logik, 
den  Anspruch  erhebt,  nur  absolut  sichere,  weil  deiiknotwendige  und 
evidente  Wahrluitcn  aufzustellen,  Hcheint  mir  kein  wissenschaftliches 
Verfahren.  Die  Logik  von  vornherein  als  eine  solche  des  BeafriH's/>j- 
haltcü  7.n  rrrichteii  möchte  eher  wol  dem  Versuche  gleichen,  das  Dach 
for  dem  Hause  zu  bauen. 

Eino  ..T.offih  dfs  Umfanf/rs''  iu  erster  Linie  aiizustrebeii,  dai'iu  bestärkt 
mich  auch  die  L  beileguiig:  daäs  (gerade  wenigstens  von  dem  Standpunkte, 
dtn  man^e  Virft  chter  einer  soleben  ,4^8  InhaUeä'*  einnehmen)  viele  Be- 
griffe dem  Ifduäie  nach  ^dberhixttpt  e^irm,  die  gleichwol  eines  (be- 
grifflich!) geharfumgrenxten  ümfanges  sich  erfreuen. 

So  die  meisten  nrsprttnglich  durch  Negation  gewonnenen  Begriffe,  wie 
etwa  ,,Ni>  J-h}t' nsrh"  —  indem  es,  wie  Lotzo  witzig  bemerkt,  für  den 
meü^chlichtu  Geist  eine  ewig  unlösbare  Aul"al)0  bleibt,  von  allem,  was 
nicht  ein  Mensch  ist,  also  „von  Dreieck,  }\  ütmui  und  Schwefelsäure"  die 
gemeinsamen  Merkmale  sa  abstrahiren  und  zum  Begriff  des  „Nicht-men- 
•ehen"  cttsammenzofassen! 

Dem  ümCuige  nach  existiit  aber  dieser  Begriff  doch  unzweifelhaft 
(wenn  man  auch  mit  Lotze  gegen  die  Zweokmüssigkeit  imd  den  wissen*^ 
»cbaftlichen  Wert  seiner  Aufstellung  zu  Felde  7.iehcn  mag),  ^^iotemal  kein 
ißflividuelles  Objekt  des  Denkens  bekannt  ist,  ül)er  welches  wir  irgend  im 
Zweitel  sein  könnten,  ob  demselben  das  Prädikat,  ein  „Mensch'"  zu  sein, 
n  oder  abzusprechen  wäre  —  Yorausgesetzt  nur,  dass  man  sich  über  ge- 
wisse Fragen  des  Doppelsinns,  z.  B.  den  Embryo,  den  Ldchnam  beireffend, 
genügt,  nämlich  den  Begriff  ^^Mensoh**  selbst  erst  geh$rig  prOzisirt  hat. 

ünd  die  Lotze'sche  Argumentation^  pag.  58  würde  mutatis  mutan- 
di«  ebensogut  auf  „einandrr  riirhf  sclmr'uVnde  Kunrfi"  anwendbar  sein,  wo 
seine  sonstigen  Einwendungen  wegfielen.  Auch  hier  würde  es  wol  unmöglich 
sein,  ein  „positives"  gemeinsames  Merkmal  zu  abstrahiren.  Ein  negatives" 
aber,  genauer:  die  Abwesenheit  eines  bestiiumteu  (anerkannten)  Merkmals, 
will  Lotse  eben  nieht  als  Merkmal  gelten  lassen.   VeigL  hiezu  §  16. 

Yon  seinem  Standpunkte  aas,  auf  den  ich  mich  soeben  stellte,  um 
üm  mit  seinen  eigenen  Grttnden  zu  widerlegen,  htttte  also  auch  dieser  letz- 
te re  Begriff  keinen  Inhalt  und  existirte  doch  unzweifelhaft  seinem  Umfange 
nach,  als  Klasse;  und  als  solcher  w'fre  er  auch  (schlechthin  oder  in  ander- 
weitig noch  enger  begrenzter  Autfassung)  für  die  Ueometrio  ganz  un> 
entbehrlich. 

Von  einer  Logik  des  liilialtes  müssten  (darnach  also)  ganz  un- 
entbehrliche LegriUe  ausgeschlossen  bleiben  und  hätte  solche  keinen 

7» 


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100  Eialeitang. 

■ 

Anspruch  darauf,  mit  ihren  Gesetzen  unser  ganzes  Denken  2u  um- 
fassen,  oder  die  erforderliche  Allgemeinheit  zu  hesitzen. 

Übrigens  steht  es  auch  gar  nicht  so  schlimm  um  die  Einseitig- 
keit  eines  Stadiums  der  blossen  Begriffsumfänge  (ohne  Rflcksicht  auf 
den  Inhalt  der  zugehörigen  Begriffe)  —  aus  dem  Grunde,  weil  sich 
zeigen  wird,  dass  bestimmten  VmiAugaverhiUiimsen  der  Begiiflfe  (wo 
solche  vorhanden)  allemal  die  „umgekehrten''  YerhSltnisse  zwischen 
ihren  Inhalten  parallel  gehen,  z.  B.  einer  Überordnung  hier  eine  Unter- 
ordnung dort. 

Es  wird  also  das  eine  zwar  unbehelligt  vom  andern  dennoch 

grosseuteils  zugleicli  mit  ihm  erledigt.  Und  die  Frage:  ob  Logik  des 
Inlialts  oder  des  Umfangs?  müsste  darnach  sogar  für  irrelevant  ur- 
klilrt  werden,  liiitle  sieh  uichi  jene  durch  die  Anforderung,  u.  a.  immer 
nur  heyii/jUch  bestuiimte  Subjektklassen  zu  bilden,  ganz  übermässig 
einp^eschräukt  gesehen,  und  wäre  sie  nicht  in  Reaktion  gegen  solche 
Einengung  notgedrungen  allemal  über  ihre  Grenzen  hinaus  getreten, 
und  —  inkon.>5equent  geworden!  fKuiisequenterweise  könnte  z.  B.  die 
Lo<jik  des  Inhalts  partikulare  Urteile  überhaupt  nielit  bilden  —  ea 
sei  denn  als  identische  oder  „nichtssagende"  Urteile  —  vergl.  die  Aua- 
führungen am  Schlüsse  des  §  44.] 

Was  eine  „Klasse"  ist,  scheint  auch  viel  leiehter  zu  begreiien,  als 
der  Komplex  der  psychologischen  Motive,  welche  zu  ihrer  Aufstelluug 
Veranlassung  bieten  könnten.  Stellte  man  letztere,  d.  i.  eben  den 
half^  des  zugeordneten  Begritles  (falls  anerkannt  werden  mag,  dass 
es  einen  solchen  gibt)  in  den  Vordergrund  der  Betrachtung  und  be- 
ganne,  dergleichen  Motiye  selbst  aufzuzahlen^  so  vermöchte  niemand 
TOrab  zu  ersehen,  nh  nicht  die  Wissenschaft  noch  ganz  andere  Motive 
zur  KlasseubilduDg  dereinst  aufdrängen  uinl  als  diejenigen  sind,  die 
man  heutzutage  als  einen  regelrechten  Begriff  konstituirend  gelten 
lassen  will.  Wie  schon  unter  v^)  angedeutet  und  in  Einstimmung  mit 
Dedekind*  pag.  2,  Fussnote  können  wir  es  nicht  als  berechtigt  an- 
erkennen»  dass  man  der  Freiheit  der  Begriffsbiidung  irgend  welche 
Schranken  Ton  Tomhereiu  auferlege. 

Gerade  indem  sie  die  Klasse  als  eine  möglicherweise  auch  ganz 
willkflrlieh  zusammengesetzte  —  um  nicht  zu  sagen  ^^zusammengewür- 
feite"  —  in's  Auge  fasst,  wird  die  Logik  der  Klassen,  unter  denen  von 
selbst  auch  die  Umfönge  aller  Begriffe  mit  figuriren^  eine  wesentlich 
höhere  Allgemeinheit  erzielen  als  jede  Logik,  welche  Ton  Tomherein 
nur  von  den  Inhalten  der  Begriffe  handeln  will. 

Das  letzte  Wort  Qber  die  Frage  dürfte  der  Etfolg  zu  sprechen 


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Einlettang. 


101 


haben;  und  bier  schein eu  mir  zunächst  die  jahrtausendlaDgen  Be- 

mflhaiigen,  von  der  Betrachtung  des  BegtifbUnhaUes  aus  dk  Logik  in 

ein  geaond  fortaehreitendes  Wachsiam  zu  bringen,  gescheiteri 

Schlagender  dHrffce  dies  kuum  zu  koiistatircn  sein,  als  es  von  einem 
der  heftigsten  Gegner  der  Umfangslogik  selbst  geschieht,  nämlich  von 
FVantl.  indem  dieser  in  der  Vorrede  znni  1**"  Bande  seines  Kiesen  Werkes ' 
als  den  Hauptgewinn  seiner  einj^'eheinlen  Studien  über  die  Logik-Ery,eugnit«se 
von  mehrem  der  neuuieu  und  ueueateu  Jaluhunderte  mit  drastischen  Worten 
den  hinstellt,  dara  Andere  all'  den  Wust  nun  vkkt  mehr  dorehznleaen 
brauchen!  Sollte  da  die  Disxiplin  nicht  fortgesetst  doch  auf  dem  Rokwege 
gewesen  sein? 

dj)  Ich  möchte  biernSchst  noch  einem  Vorurteile  entgegentreten, 
welches  der  Aufstellung  einer  ,,Logik  des  Umfanges*'  entjnregensteht. 

ist  lie.soiulers  in  Deutsclilaud  bei  geistreichen  Philusoifiieii 
Mode  u;ewürJuu  —  und  ueuerding:*  in  verstürkteni  Maasse*)  —  die 
Veisiiiiilichung  von  Begritifsumfanpen  durch  die  En  1er  sehen  Kreise 
{verLrl.  §  3)  eine  diine  oder  öde  zu  nennen^  überhaupt  von  der  Be- 
trachtung der  ümfan^sverhaltnisse  als  von  etwas  Trockenem,  Ijuuj- 
ucdiijen  oder  Uiifruchlhaicn  mit  einer  gewissen  Geringsehätzung  zu 
sprechen,  und  vollends  einen  auf  diese  Betrachtuii«r  t^cijcründeteu  Kalkül 
als  eiueu  toicn  Formalismus  oder  leeren  iSchematkunus  ssu  quaUüzireiiy 
solchen  von  vornherein  zu  verdammen. 

Die  Frage,  ob  dem  wirklich  so  ist,  scheint  mir  von  ganz  kapi- 
taler Bedeutung  zu  sein  und  es  besonders  im  Interesse  der  dtutschen 
Philosophie  zu  liegen,  dass  derselben  aut  den  Grund  gegangen  werde. 

Bei  dem  Versuehe,  dies  zn  tbun,  wende  ieh  mieli  niclit  an  Diejenigeu, 
die  (vielleicht  mehr  oder  minder  bewn^^st)  solche  Ausseningen  im  Tfrunde 
blos  als  einen  Deckmantel,  eine  scheinbare  Uechtfertiguug  iilr  ihre  liei|uem- 
liehkeit  benatzen,  zufolge  deren  sie  die  Mflhe  eehenen,  welche  es  nnrer- 
meidlich  kostet,  in  den  Geist  einer  konsequent  anfgebaateUf  exakten  Wissen» 
sefaaft  einzudrin •,'•'!] ,  die  Herrschaft  ttber  einen  Kalkül  sich  zu  erringen. 
Diese  würden,  weil  ihnen  die  Überzangiing  unwillkommen,  auch  schwerlich 
m  überzeugen  sein. 

Denjenij^en  aber,  di«  unbeeinlluisst  von  solch'  peröünlichtim  Motive  auf- 
richtig meinen,  dass  die  Sache  sich  also  verhalte,  möchte  ich  folgende  Be- 
tnebtnug  nahe  legen. 

Bringen  wir  uns  einmal  zum  Bewusstsein,  was  denn  eigentlich 

Ks  würden  sieb  eine  Menge  Citate  beibringen  lasseu;  i<  h  halte  mich  aber 
durch  da«  „nouiina  «unt  odiosa"  gerechtfertigt,  wenn  ich  mOglichbt  d.ivutt  ab- 
»tebe,  solche  Beispiele  anzuführen,  die  vielleicht  als  eine  persönliche  Invektive 
aofgefaaat  werden  konnten. 

SelbetrentBadlich  indess  sind  tu  obigem  aooh  erfreelidie  Anniahmen  sn 
konsla&eD. 


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102 


Binleitung. 


Tor  sich  geht  beim  Zählen  (der  Einheiten  einer  Menge).  —  Wenn  ich 
z,  B.  die  Herrn,  die  hier  auf  einer  Bank  vor  mir  sitzen,  zähle,  so 
häde  ich  einen  jeden  derselben  einfach  mit  einem  Stricke  i\)  ab.  Da* 
mit  das  entstandene  Bild  sagen  wir  11111  —  nicht  aU  eilftausend- 
einhnndeiteilf  gelesen  werd^  verbinde  ich  die  Striche  (Einer)  mit  dem 
Zeichen  plus.  Ich  erhalte  so  ein  Schema: 

1+1+1+ l+l 

und  ist  es  für  die  Zwecke  uasier  Betraclitung  uebensachlieli,  dass  für 
dasselbe  auch  ein  einfacheres  Zeichen:  5,  uebst  zugehurigeiu  Namen 
eingeführt  ist. 

Im  Grunde  ist  es  also  eine  äu.<.<rrsf  rohe  Art  von  Ahh'ddang,  die 
wir  beim  Zählen  vorneliuien  (die  Abbildunt;  der  ICinliciten  oder  Indi- 
viduen der  Menge  blos  nach  ihrer  ,,Hautiirkeit*'  oder  „Anzahl*')  — 
eine  Abbildung,  die  hinsii  htlich  ihres  (iehaltes  bei  weitem  niclit  heran- 
reicht an  diejenige,  welche  d'-r  Stift  des  Zeicliners,  die  Kainer;i  des 
Photogra]»hon ,  der  Pinsel  des  Malers  hervorzubrinj^en  vermöchte,  von 
dem  Meissel  des  Bildliauerf?  zu  pfeschweii^en.  durch  welche  ja  nicht 
blos  die  Anzabl,  sondern  vielleicht  die  ganze  äussere  Erscheinun«^,  ja 
allerhand  cliarakteristische  Eigentümlichkeiten  der  Haltung  und  der 
geietirje  Ausdruck  der  Gesichiszuf^e  der  abi^ebildeten  Persönlichki'iten 
zur  Darstellung  kämen.  Noch  weniger  kümmern  wir  uns  bei  unserm 
Abbildungsverfahren  um  diejenigen  Verhaltnisse,  die  den  Menschen  am 
meisten  vom  Menschen  zu  interessiren  pflegen.  Ton  den  Anlagen, 
Kenntnissen  und  Fertigkeiten,  Ton  dem  ganzen  Charakter  der  abge- 
bildeten Personen  —  nidit  zu  reden  von  ihren  VermogensvcrhlUt- 
nissen  (!),  die  ja  von  andrer  Seite  auch  wiederum  der  Darstellung 
durch  Zahlen  zu^^glich  wären  —  wird  einfach  abstrahiri  Von  der 
Abstammung  und  sozialen  Stellungi  yxm  der  Vorgeschichte  eines  Jeden, 
seinen  Aussichten  für  die  Zukunft .  . .  von  allem^  was  das  Wesen  seiner 
Persönlichkeit  ausmacht,  wird  abgesehen;  es  wird^  sofern  es  auch  be- 
kannt sein  sollte,  beim  Zählen  gelöscht,  ignorirt. 

Welcher  gemüt-  und  phantasievolle  Denker  machte  sich  angesichts 
dessen  nicht  retancht  ftthlen  etwa  zu  sagen:  ^Natürlich  haben  aach 
die  Zahlenverhaltnisse  ihren  Wert;  aber  wo  man  diesen  bedürfen  wird, 
ist  er  nicht  so  schwierig  zu  ermitteln^  am  sich  seiner  nicht  nebenher 
augenblicklich  zu  bemächtigen;  emen  Baxi^pigesUAtspiMikkt  für  die  Be- 
traäitmg  der  Dinge  am  ihren  ZähknverkäUniasen  mt  mcuien  haUe 
ßr  ebenso  utrfrwMfor  (irrig)  als  langweili^*)\ 

*)  Vergleiche  «inen  analogen  Anispracb  Lotse*«  in  Besag  auf  die  begriff- 


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Eialeitusg. 


103 


LoMfftceilig,  trocken,  dfirr  etc.?  —  Yielleiebt  ja!  —  Mab  kann  es 
tnch  keate  noek  niemand  Terwekren,  die  Arithmetik  (als  die  Wissen- 
schaft, die  sich  mit  den  Zahlenverhälttiissen  beschäftigt)  hmgweilig 
zu  finden.  Es  thun  dies  aber  zumeist  nur  Solche,  die  entweder  einen 
recht  schlechten  Eiemeutaruiiieinciit  geuorsseu  oder  sich  überhaupt 
nicht  der  Mühe  unterzogen  haben,  dieselbe  kennen  zu  lernen. 

Vnfruchthar?  —  Nein!  —  Es  dürfte  doch  heutzutage  wol  niemand 
mehr  es  \v;i«;t'ii,  die  Analysis  und  Mathematik,  die  Lehre  von  Zalil 
\  Hud  Mdoss),  die  messende  und  rechnende  i'hjäik,  der  Unfruchtbarkeit 
zu  zeilien. 

Und  ileiinoch  bleibt  die  Thatsaclie  der  Rohheit  unsres  Abbilduuijs- 
vertahreusi,  welches  bei  jedem  Zilhleu  allemal  betliäti^^t  wird,  bestehen; 
dennoch  ist  die  ungeheure  Dürftigkeit,  welche  auch  der  Ermittelung 
nwtriscJwr  Beziehungen  notwendig  anhaftet,  ganz  unverkennbar,  und 
selbst  die  Geometrie,  indem  sie  noch  die  „gestaltlichen  Verhältnisse" 
der  Dinge  in  den  Bereich  ihrer  Betrachtung  zieht,  ist  doch  unleugbar 
einaeilag,  sieht  von  den  aUerinteressantesten  Eigenschaften  der  räum- 
erfüllenden  Substanz  armselig  ab. 

Wie  sind  dabei  non  die  grossartigen  Erfolge  zu  begreifen,  die  in 
einer  (die  Unterbreekungcn  eingerechnet)  allerdings  mekrtausendjahrigen 
Geschichte  gerade  jene  Wissenschaften  tkatsachlich  errungen  haben 
(and  mit  der  Zeit  nur  immer  reicklicker  xa  yenrirklicken  sckeinen), 
welcke  sieh  die  Erforschung  der  Gesetse  der  Dinge  nack  Zahl  und 
Msass  £ur  Aufgabe  stellten? 

Die  Antwort  gibt  das  alte  Gleickniss  Ton  dem  Bflndel  PfeilCi 
welckes  allen  Versueken,  dasselbe  au  zerbrechen ,  als  Ganzes  wider- 
stand und  Sick  erst  Demjenigen  ergab,  der  dasselbe  auflöste,  die  Pfeile 
«ozeln  zu  knicken: 

Die  Schwierigkeiten,  welche  dem  Fortsekritt  der  Erkenntniss  ent^ 
gegensteken,  sind  meh  nur  einzeln  zu  flberkommen,  und  gerade  in 
ihrer  Einseitigkeit,  in  der  durch  sie  TerwirkÜchten  Teüung  der  ÄrheU 
liegt  das  Verdienst  und  die  Kraft  der  erwShnten  Disziplinen. 

In  ebendiesem  Sinne  dürfen  wir  auch  die  unsrer  Logik  der  Um- 
fangsverhältnisse  zur  Last  gele«(te  Einseitigkeit  als  einen  Vorzwj  der- 
selben in  Anspruch  nehmen.  Indem  die  ältere  Logik  solche  Einseitig- 
keit verschmähte,  ist  sie  in  deu  JaLi  lausenden  verhältuisämässig  stehen 
geblieben,  das  Sprichwort  illustrirend :  qui  trop  cmbrasse,  mal  etreint. 

Hchon  T'mfangHverhältniaM,  den  wir  in  §  16  citiren.  Daa  Wort  ,,aiifimobtbar^ 
fiilt  aa  andrer  Stelle. 


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104 


Einleitiing. 


Versuchen  wir  —  es  ist  hohe  Zeit  —  es  jetzt  ein  mal  crustlich  mit 
solcher  JSioseitigkeit  und  gehen  üher  den  Vorwurf  der  Dürftigkeit,  die 
ja  allerdings  in  gewissem  Sinne  mit  solcher  natuniotwendig  verknüpft 
ist,  sich  ahcr  durch  inteusiTere  Entwickeluug  in  ihrem  eigenen  Be- 
reiche, durch  grossen,  ja  un^'oalinten,  Reichtum  der  Entfaltung  in 
andrer  Hinsicht  ausgleicht^  zur  Tagesordnung  Über. 

Nicht  übergehen  dürfen  wir  jedoch  diese  Frage: 

War  es  denn  aber  auch  nodkry  das«  die  ZahtenTerhältnisse  der 
Dinge  gar  y,nicht  so  schwierig  zu  ermitteln  seien,  um  sich  ihrer  (im 
Bedarfirfalle) nicht  neb^her  augenblicklich  zu  bemächtigen?"  Sind  nicht 
vielmehr  in  der  That  Generationen  scharfsinniger  Forscher  in  uner- 
müdlicher Arbeit  fort  und  fort  in  Anspruch  genommen,  nur  um  dieser 
ZablenTerhSltoisse  sieh  immer  mehr  zu  bemächtigen? 

Und  was  zeigt  sich  iiuii  mich  in  Bezug  auf  die  BegriffsumfUnge 
beim  Vordringen  auf  unserm  „eiuseitigeii^*  l'fude? 

Es  zoiirt  sich,  dass  schon  diese  „dürftigen"  Uoifangsverhiiltuisse 

durchaus  nicht  so  einfach  zu  übersehen  sind,  wie  man  anfangs  sicli 

einbilden  mochte,  femer  dass  selbst  bedeutende  Philosoplieu  in  Fehler 

darin  verfallen  sind,  und  dass  sich  schwieri'^e  IVoldeme  zur  Lösung 

darbieten.    Wer  letzteres  mit  Aussicht  auf  Erfolg  bestreiten  wollte, 

der  müsäte  wo!  erst  einmal  die  in  diesem  Buch  als  noch  ungelöst 

signalisirten  Probleme  lösen! 

rianz  ZutiefTendcs  über  die  vorliegende  Fraq^e  sagt  F.  A  Lange  auf 
p.  seiner  citirten  Schrift*,  wo  er  üelierweg's  St(»lluiiL,'nivhmc  gegen 
die  ^'cbematisircnde  formale  Logik  geisbelt.  Der  sehr  beachtenswerte 
Passu»  lautet: 

,fWie  nahe  übrigens  U  eher  weg  in  Folge  seines  ungemeinen  Scharf- 
sinns, seinem  eigen«!  erkenntnisstheoreUschra  Vorurteil  zum  Trotz,  an  die 
richtige  Auffassung  der  logischen  Technik  streifte,  zeigt  eine  zum  §  84 

(S.  234)  gehörige  Anmerkung,  welche  speziell  gegeu  die  geringschMt/iü'o 
Art  gerichtet  ist,  in  der  Hoppe  (Logik,  Paderltorn  1868)  von  dem  >Di  ukt'Q 
nach  dem  Schema*  redet  im  Gegensatz  zu  tiiieni  an^'eldichen  Denken  narh 
dem  Begriti.  Hier  sagt  ü  eher  weg  wörtlich:  >Mit  gleicliera  Recht  könnte 
-man  die  matbematisch^mechanische  Betrachtung  als  dnseitig  und  willkür- 
lich schelten,  wenn  sie  untersucht,  was  ans  gewissen  einfachen  Voraus- 
setzungen folgt  und  dabei  von  andern  Datis  absieht,  von  denen  jene  in  der 
Wirklichkeit  nicht  abgesondert  vorzukommen  pflegen,  wenn  sie  s,  B.  die 
Bahn  und  die  Stelle  des  Falls  eines  irgendwie  geworfenen  Kihpers  mir  auf 
Grund  der  Gravitation  und  der  Beharrung  liereelinet,  ohne  den  Miteinflu.ss 
des  Luii Widerstandes  zu  erwägen,  sodass  anschemeud  die  konkrete  An- 
schauung das  Besnltat  genauer  zu  bestimmen  und  Uber  die  Rechnung  zu 
iriumphiren  vermag;  wollte  ab«r  die  mathematische  Mechanik  jenes  ab- 
straktive  Verfahren  nicht  ttben,  so  wttrde  sie  die  Bewegung^esetee  Ober- 


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Einleitung. 


105 


hftopt  niclit  zu  erkennen  vermöf^cn  und  die  Wissenschaft  würde  aufgt  liol>eii 
sein.c  Es  folgt  die  in  der  Thai  scbla^'ende  Anwendmiq"  auf  die  Loijvk. 
Wer  in  Ilbnlichor  Weise  das  al'strakte  Verfahren  der  Logik  vi»n  der  Kca- 
lität  aus  korrigiren  will,  »hebt  durch  dieses  Verfahrou  nicht  eine  falsche 
Logik  zugunsten  einer  bessern,  sondern  die  Mfigltchkett  einer  methodiedh 
fortechreitenden  logischen  Erlcenntniss  der  Benkgeaetie  selbst  auf.«** 

Erst  nfteh  beendeter  Untersuchung  Uber  das,  was  aus  den  üniran<^'s« 
Verhältnissen  der  Begriffe  schon  allein  folgt,  wird  die  wissenschaftliche 
Theorie  des  Denkens  auch  andere  Momente  mit  in  Betracht  ziehen  dürfen. 
Wer  freilich  sich  an  ein  i^erade  vorlieLrendt  S  Beispiel  hält  und  solches  «ander- 
weilige  Wissen,  den  nicht  auf  Umfangsverhältnisse  boiügUchen  Gehalt  des- 
selben, mit  hinznnimmtf  kann  wol  ein  volleres  Resultat  m  besiiBen  glauben 
und  auf  den  Logiker  herabsehen,  der  sich  mit  dem  dfirftigen  Schema  des 
ÜmfangsrerhSltniBses  plage.  Allein  Der  wird  auch  stets  am  Beispiel 
hangen  bleiben  und  sich  ohne  die  Reflexion  auf  diese  VerhUltnisse,  welche 
•  luiih  das  Abstrahireu  von  allem  übrigen  bedingt  ist,  niemals  mr  Er- 
kenntuiss  de?  aUq^emeinen  Deukge6et:&efi  erheben  (vergU  Ueberweg  1.  c 
mutatis  mutaodis). 

So  wild  es  auch  Demjenigen,  der  ein  Qemftlde  nach  den  Hegeln  der 
Perspektive  beurteilt,  nicht  su  Teraigen  sein,  wenn  er  die  Abstufungen  der 
Farbe&tÖne  und  die  dem  Bilde  zugrunde  liegende  Idee  des  Kttnstlers  dabei 
ausser  Acht  lässt.  Soll  das  Bild  gut  sein,  so  muss  vor  allem  die  „dürf- 
tige" Zi  tclmiing,  die  wieder  Ubermalt  wird,  jenen  Gesetzen  genügen.  (Vergl, 
De  Mr.r-au-'  p.  83.) 

Wenn  gar  aber  Lotze  5?eine  Loj^k  mit  dem  Wunsche  sehliesst, 
dass  die  deutsche  Pliilosopliie  zu  dem  Versuche  sieh  immer  wieder 
erheben  werde  j,(leii  Weltluiif  zu  vfrstchen  und  ihu  nicht  blos  zu  be- 
rechnen", so  ist  zu  sagen:  könnten  wir  ihn  nur  erat  herrchnenl  dann 
würden  wir  gewiss  ihn  auch  „versteheu^',  soweit  überhaupt  ein  Yer- 
ständnifis  auf  Erden  erzielbar. 

Cs)  Den  Begriffen  wird  ihre  ßildungaweise  vorgeschrieben  durch 
das  „Urteil".  Durch  das  Urteil  wird  ausnahmslos  einem  Subjekte  ein 
Prädikat  bei|^elegt,  zugeschrieben  oder  aber  abgesprochen. 

Für  die  komplizirteren  Fälle,  in  welchen  das  Urteil  sich  aus  Teilsätzen 
lasammensetz^  die  durch  Koigunktionen  verbunden  sind,  behalten  wir  uns 
vor,  dies  in 'der  Theorie  erst  genauer  darzulegen;  in  solchen  ist  das  Sab« 
jekt  selbst  ein  Urteil,  eine  Aussago.  In  den  einfacheren  FftUen  treten  su- 
melst  anderweitige  Objekte  des  Denkens  als  Subjekt  auf. 

Dies  Subjekt  ist  entweder  ein  Einzeldiog  —  und  als  solches  ohne- 
hin ein  Begriff  —  oder  es  ist  eineKla<^e  von  Einzeldingen,  und  auch 
die.«e  erscheint  gewohnlich  ausamuiengehalten  und  bestimmt  durch  das 
Band  eines  ihre  Individuen  verknüpfenden  Begriffes.  Das  Urteil 
jafit  dann,  oder  verneint,  das  Prädikat  von  allen  buiiriduen  dieser  Klasse 
und  damit  asugleich  von  ihrem  Begriffe, 


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106 


Eiuleiinng. 


Soferne  das  Urteil  anerkaiuit,  zur  Überzeiii^uug  eiliolu'u,  adoptirt 
wird  —  und  dies  zu  werdcu  ist  der  lot/.to,  der  Endzweck  aller  ['rteile, 
welcher  nur  vorübergehend  durch  den  luittelburt  ii  Zweck  einer  bloa 
provisorischen  Annahme  des  Urteils  verdrängt  zu  werden  vermag  — 
erfüllt  es  alsdann  folgende  Mission,  Bestimmung. 

Sofern  es  bejahte,  begründet  es  hinfort,  wird  es  zum  Ausgangs- 
punkt fflr  -  eine  Gewöhnung  des  Geistes,  die  Merkmal gruppc  des 
Subjektbegrittes  (und  damit  zugleich  eines  jeden  seiner  Individuen) 
Stetsfort  zu  verknüpfen  mit  den  Merkmalen  des  PrädikatbegriffeSi 
die  letztere  geradezu  in  den  Bubjcktbegritl'  selbst  aufzunehmen  und 
als  einen  integrirenden  Bestandteil  seines  Inhaltes  mit  diesem  su  ver- 
schmelxeD. 

War  solche  mentale  Gewöhnung  schon  ehe  das  Urteil  fiel  Yor- 
handen,  so  erscheint  dasselbe  als  überflüssig,  oder  es  dient  doch  nur 
daaU|  gedachte  Gewöhnung  sam  Bewusstsein  za  bringen ,  in  diesem 
wieder  aufzufrisehem  und  su  festigen. 

Sofern  das  Urteil  vemeuUe,  beugt  es  jedenfistUs  der  genannten  durch- 
gangigen Terbilipfong  vor. 

Im  übrigen  l&sst  der  Sinn  und  die  Trs^eite  der  sog.  ^verneinenden** 

Urteile  verschiedene  Auffassungen  zu  (als  negativ  prädizirende  oder  aber 
negative),  in  Bezug  auf  welche  ich  mich  in  Gegensat/,  zu  Sigwart  wenlp 
stellen  müssen.  Die  Kontroversen  können  nicht  kurzerhand  vorweg  abge- 
macht werden  und  ist  in  ihrem  Betreflf  auf  die  Theorie  (7**  Vorlesung)  zu 
verweisen.  Es  wird  sich  zeigen,  dass,  was  wir  —  um  den  streitigen  Fragen 
hier  noeh  anssuweichen  —  nnnmehr  im  Hinblick  auf  die  bejahenden  Urteile 
sagen  werden,  sich  auch  auf  die  „verneinenden**  übertragen  iSsst, 

Das  Prädikat  ist  selbst  ein  Begriff.  Und  dieser  ist,  wenn  nicht 
mit  dem  Subjektebegriffe  ,,identi8eh''y  so  allemal  ein  ^^bdherer^  Begriff, 
die  PritdikatlElasse  dann  der  Subjektklasse  »^Übergeordnet'^  > 

Psychologisch  jedoch  ist  es  nicht  erforderlich  das  Prädikat  Ober- 
haupt als  eine  Klasse  an  denken. 

Wenn  ich  s.  B,  sage  (cf.  Hill*  pag.  113,  117)  „Schnee  ist  weiss**, 
so  will  ich  dies  von  irgend  welchem,  von  aUem  Schnee  gesagt  haben,  und 
ist  es  richtig,  dass  aller  Schnee  enthalten  ist  in  der  Klasse  der  „weiss** 
zu  nennendt'ii  Üincfo.  That sachlich  bniucho  ich  aber  bei  jener  Ansssit^e  an 
sonst  nichts  Weisses  zu  denken  und  will  ich  in  der  That  damit  nur  kund- 
geben, dass  in  meiner  Vorstellung  vom  Schnee  das  Merkmal  der  „Weisse" 
ein  Element  bildet«  dass  er  mir  die  Empfindung  erregt,  die  (durch  Ab- 
straktion v(Hi  irgend  welchen  weissen  Dingen  gewoonen)  als  die  YorBtellnng 
von  „weiss**  ein  isolirtor  und  bleibender  Besitz  meines  Geistes  geworden 
ist.  Die  analoge  Betrachtung  in  Bezug  auf  den  Satz:  ,,Blut  ist  nidit 
weiss  (sondern  rot)'*  durchzuführen  überlassen  wir  dem  Leser. 

Wir  heben  dies  ausdrücklich  hervor,  nm  uns  gegen  den  Vorwurf 


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Kiul«ituog. 


107 


EU  ferwahren,  als  ob  wir  den  Umsland  fibersehen  hfitten,  wenn  wir 
spaterbin  ans  Grfinden  wissensebaftlicher  Zweckmässigkeit  auf  das 
Verhältniss  zwischen  der  Subjekt-  nnd  der  'PrSMk9,ikla$$e  Torwiegend 
reflektireuy  die  beiden  Begriffe  gleichwol  nach  ihren  Umfangsbexiehnngen 
ins  .Auge  ^sen. 

Ans  alledem  wird  zunächst  ersichtlich  sein,  wie  die  Urteile  be- 
sweeken,  auf  die  (definitive)  Gestaltung  der  Begriffe  hinzuarbeiten  und 
einzuwirken. 

Ich  will  nunmehr  noch  den  Gedankengang  Herrn  Charles 
8.  Peirce's  darlegen,  durch  welchen  er  in  der  Einleitung  zu  seiner 
grundlegenden  Arbeit^  das  Wesen  der  Urteile  und  auch  der  Schlüsse 
von  »  iiier  ueiieu  Seite  beleuchtet.  Damit  werden  wir  dann  auch  auf 
die  Fraj^e  nach  dem  ^\  eseii  der  i'oUftrichtiyLcit  dur  letztem  zurück- 
kommen. Indem  ich  biusichtlich  des  Wortlautes  auf  pag.  15  sqq.  der 
Peirce'schen  Srlirift  verwoise,  darf  ich  mich  scirior  Betrachtungsweise 
in  fiiirr  Kciirodukiion  ansililicbijeii  und  mir  auch  kntische  Zwischeu- 
uud  Zusatzbemerkungeu  gestatten. 

i;,)  Deukeo  —  sagt  Peirce  ungefähr  —  Denken  als  Gehimthät^ 
UU  (.,cerebration'')  ist  ohne  Zweifel  den  allgemeinen  Gesetzen  der 
Nerveuthätigkeit  (nerrous  action)  unterworfen. 

Es  erscheint  darum  gerechtfertigt,  zunächst  einmal  die  letztere  im 
allgemeinen  zu  betrachten. 

Wenn  eine  Gruppe  Ton  Nerven  gereizt  (erregt,  stimulirt)  wird, 
80  werden  die  Nerrenknoten  (Ganglien),  mit  denen  die  Gruppe  im 
engsten  Zusammenhange  steht,  —  und  schliesslich  das  Centraiorgan 
des  Geistes  selbst  —  in  einen  Zustand  der  Thatigkeit  Tcrsetzti  wel- 
cher seinerseits  nicht  selten  Bewegungen  des  Körpers  veranlasst*) 
Wenn  der  Reiz  (the  Stimulation)  fortdauert,  Terbreitet  sich  die  Er- 
regung (Irritation)  Yon  Ganghon  zu  Ganglion,  gewöhnlich  dabei  an- 
wachsend. Bald  auch  beginnen  die  zuerst  erregten  (exdtirten)  Nerven 
Ermfldang  zu  zeigen,  und  so  ist  aus  doppeltem  Grunde  die  körperliche 
Thatigkeit  von  einer  wechselnden  Art.  Wenn  die  Reizung  beseitigt 
wird,  hört  anch  meist  die  Erregung  rasch  auf. 

Ans  diesen  Thatsachen  geht  hervor,  dass  wenn  ein  Nerv  aflfizirt 
wird  —  solange  bis  die  Stimulation  unangenehm  wirkt  —  die  Reflex- 
thatigkeit,  wenn  sie  nicht  von  vornherein  von  solcher  Art  ist,  den 


*)  Man  denke  s.  B.  an  das  Hinblicken  auf  eine  aaifallendc  (Licht-jErschei- 
muig  im  Oenchtriialde,  aa  das  Bliaiehi,  AmweichflD  b«  drahendem  StoM,  da« 
SeUsgen  nach  de»  lueht  bei  Mesquitottich  und  dergleichen. 


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108 


Einleitang. 


Heiz  zu  beseitigen,  ihreu  Charakter  wieder  und  wieder  verändern  wird, 
bis  der  Heiz  beseitigt  ist,  und  durnach  erst  wird  diese  Thätigkeii 
aufhörezL 

Nun  haben  alle  Lebensprozesse  eine  Tendenz  und  die  Fähigkeit 
durch  Wiederholung  (repetition)  leichter  zu  werden  —  innerhalb  ge^ 
wisser  Grenzen  wenigsteos,  deren  Überschreitung  als  Übermüdungi 
Überanstrengung,  beziehungsweise  Altersabnahme  und  -schwache  zu 
bezeichnen  wäre.  Längs  was  immer  für  einem  Pfiide  eine  nerrdse 
Entladung  (a  nervous  discharge)  einmal  gegangen  ist,  längs  ebendieses 
l'fades  wird  eine  neue  der  TOiigen  gleichartige  Entladung  um  so 
leichter  und  wahrscheinlicher  wieder  stattfinden.  Es  beruht  anf  dieser 
allbekannten  Tbatsache  der  Nutzen  und  Erfolg  der  Übung. 

DemgemSss  wenn  eine  Nervenerregung  wiederholt 'wird,  so  sind 
alle  die  Terscbiedenen  Thatigkeiten,  welche  bei  vorhergegangenen  ähn- 
lichen Veranlassungen  stattgefunden  haben,  in  der  gOnstigeren  Lage, 
auch  jetzt  wieder  stattzufinden,  und  zwar  werden  diejenigen  am  ehesten 
wieder  eintreten,  welche  am  häufigsten  stattgefunden  haben  bei  jenen 
vorausgegangenen  Veranlassungen,  Nun  m5gen  die  verschiedenen 
Handlungen,  welche  die  Beizung  nicht  beseitigten,  vorher  manchmal 
ausgeführt  worden  sein  und  manchmal  nicht;  aber  diejenige  That, 
welche  die  Reizung  beseitigt,  muss  am  häufigsten  ansgeflihrt  worden 
sein,  weil  die  Einwirkung  in  der  Regel  fortgedauert  haben  wird  bia 
sie  Tollzogeu  wurde.*)  Darum  muss  eine  starke  Gewöhnung  daran, 
der  gegebenen  Reizung  auf  diese  besondre  Weise  zu  begegnen,  rasch 
sieh  ausbilde]!. 

Eiuu  so  erworbene  Gewohnheit  käQu  auch  als  eine  Disposition,  eine 
Anlage  zu  ihrer  Ebenfallserwerbang  weiter  vererbt  werden  —  sagt  Peiree 
ungefthr;  dies  dttrfte  jedoch  als  eine  von  der  Physiologie  noch  nicht  v5llig 
entschiedene  Frage  zu  br/t  kirnen  setn  und  wird  bekanntlich  solches  von 
einer  Autorität  wie  die  des  Herrn  Weismamn  entschiedenst  bestritten. 

Zu  unsern  wichtigsten  Gewohnheiten  gehören  diejcnigeo,  kraft 
tleren  gewisse  Klassen  von  Antrieben  oder  Reizungen  uns  zuerst  in 
eine  blos  gt  islige,  physiologisch  betrachtet,  blos  cerebrale  oder  ilirn- 
thätigkeit  versetzen. 


*^  Ks  dürfte  fraglich  erscheinen,  ob  wirklich  der  an^jefOhrte  Grund  der  au8- 
»chlaggebeude  ist,  ob  nicht  vielmuhr  das  Ke^iduum,  welches  die  Torangt^gangnen 
ErlebDiase,  in  Gestalt  der  Erinnenmg  an  die  (rfllier  erfolgreieli  gewesene  TbäUg- 
keit,  im  Geist  und  ««inem  Organe  binterlassen,  dabei  wesentlich  mitwirkt  (unter 
der  Konkurrei»  einer  Gewohnheit,  als  vergeblich  Erkanntes  nicht  wieder  an 
versncben). 


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Einleitung. 


109 


Der  Anblick  eines  httVsehen  Gegenstandes  s.  B.  ntag  den  Wansdi  er* 
nagen,  denselben  zu  be^itzeIl,  welcher  in  dem  Vorsatz  gipfelt,  bei  nBobster 

Gdegenhelt  sich  äeinesgleielLen  zu  kaufen. 

Sehr  oft  aber  ist  es  auch  nicht  eine  äussere  Emphndangy  ein 
Sinneseindruck  (an  oatward  Sensation),  welcher  den  Gedankengang  in 
FlosB  bringt  (which  starts  the  train  of  thougbt),  sondern  die  Reizung, 
statt  „peripheristh*'  zu  sein,  ist  „viseeral**  (aus  den  Eitngeweiden,  aus 
dem  Innern  des  Leibes  stammend). 

So  wenigstens  Peirce.    Far  diese  für  ihn  cbarakteristische  Ansdmcks* 

weise  scheint  mir  aber  eine  Modifikation  wünschenswert  zu  sein.  Gemein- 
hin m<'clite  man  wol  die  etj^eTitlic]i  oder  im  engeren  Sinne  ,, visceralen*' 
Heize  —  wie  Hunger,  Geschlechtstrieb,  Kopfweh  —  mittsamt  den  periphe- 
rischen Sinneseindrücken  als  physische  Antriebe  gegenüberstellen  den  psy- 
diisdtm^  von  denen  Peirce  nunmehr  reden  will,  im  Hinblick  wenigstens 
uf  die  Himthfttigkeit,  die  so»  begleitet. 

Solche  Antriebe  zu  Denkbandlungen  oder  wirklichen  Tbaten,  wie  sie 
als  Hass,  Liebe,  Furcht  etc.  und  namentlich,  durch  den  Stand  ansrer  £in* 
siebt  bedingt,  als  Beweggründe  iMotivf'  mannigfachster  Art,  wie  Eigeu- 
nut?,  St'll)v.tsi3cht,  Pflichtgefühl,  Gemeinsiun,  in  unserm  Bewusstscin  existiren, 
zu  deu  ,,vii>ceralen''  (vielleicht  Unterabteilung  der  grosshirnig-cerebraleu) 
Heizungen  zu  rechnen,  dürfte  doch  etwas  gewagt  erscheinen  und  überhaupt 
mir  angüugig  sein,  sofern  man  einseitig  lediglich  die  Zustände  oder  Yor- 
gliige  in's  Ange  fiüst,  welche  im  (als  „wirklieh"  supponirton)  Nervensystem 
den  BewiisstseinsTOXgSngen  —  nach  heutigem  Staad  der  Physiologie  — 
parallel  gehen.  Hierauf  allerdin;^':?  hat  Peirce  von  vornherein  schon  hin- 
gewiesen durch  die  Beuievkiing,  dass  er  das  Denken  (nur)  „as  cerebration" 
betrachten  wolle.    Nnnmehr  fUhrt  er  fort: 

Tu  solrheni  Falle  hat  die  Thätigkeit  in  der  Hauptsache  denselben 
Charakter:  eine  innere  Thätigkeit  beseitigt  die  innere  Kei/uui^.  Eine 
Tcir^'cstellte  Konjunktur  von  Umständen  veranlasst  uns  dazu,  eine  ge- 
eignete Kichtschnur  des  Handelns  (line  of  actiou)  vorzustellen. 

Man  findet,  dass  solche  Vorkommnisse,  auch  wenn  keine  äussere 
Handlung  eintritt,  doch  in  hohem  Maasse  dazu  beitragen,  dass  in  uns 
eine  Neigung,  Gewohnheit  sich  ausbilde,  wirklich  auf  die  vorgestellte 
Weise  zu  handeln,  wenn  die  vorgestellte  Gelegenheit  annähernd 
eintritt 

Eine  cerebrale  Gewöhnung  (Gewohnheit?  —  i^cerebral  habit")  der 
höchsten  Art,  welche  fQr  eine  unabsehbare  Reihe  Ton  Gelegenheiten 
bestimmen  wird,  sowol,  was  wir  in  Gedanken,  als  was  wir  in  Wirk- 
üehkeit  thnn,  wird  ein  „Qlaiube^  genannt 

Peirce  sagt  durchweg  „belief**,  nicht  Ühcrsettgung ,  conviction,  oder 
Meinung,  Ansicht,  opinion,  viow.  We^ifen  der  S(  liwierigkeit,  die  spezifisch 
rehgiöae  Nebenbedentnng  („faith";,  mit  welcher  (im  Deutschen)  das  Wort 
ijGkube"  behaftet  erscheint,  nicht  onnutig  in  den  Vordergrund  treten  zu 


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110 


Einleitung. 


lassen,  wUrde  ich  das  Wort  „Überaeugung"  vorziehen,  wenn  nicht  dieses 
seiner.-eits  wieder  eine  zu  enge  Bedoiittinji  hütte,  indem  es  auf  ein  scheu 
gauz  iestsieiiendes,  über  jedes  Zweiifln  erhabeueo  Glauben  liinzuwei^ien 
pflegt.  i>aa  Wort  „ein  Glaube"  soll  hier  nur  irgend  etwass,  was  jemand 
eben  glaubt,  beoeicljieiL 

Bringen  wir  es  uns  eum  Bewusstsem,  dass  wir  eine  spezielle 

Gewohnang  (specified  habit)  dieser  Art  haben,  so  vollziehai  wir  ein 

„Urteil'^  (judgment). 

Unter  Umständen  möchte  ich  vory.iebn  zu  fc;agen:  .  ,  .  dass  wir  sie  er- 
werben, sie  begrttndw  oder  fortan  haben  werden.  Indessen  hat  Henm 
Peirce's  AusdrucksweiM  bier  den  Yoraug,  fSae  alle  Fftlle  wenigstens  xazn« 
treffen,  wenn  sie  dafttr  auch  nicht  alles  erschöpfen  dürfte,  was  im  Urteil 

liegen  kann. 

Zum  Beispiel:  sflilit^ssen  wir  uns  dem  llrifil  ati:  ,,der  Mais  ist  von 
intelligenten  Wesen  bownhiit"  (wie  dies  neuerdings  ööhr  wahrscheinlich 
geworden  ist),  so  konblatiren  wir  (fdr  uns  und  Diejenigen,  die  wir  etwa 
durch  den  Hinweis  auf  die  schnurgeraden  KanJÜe  von  Sciaparelli's  areo- 
graphischer  Karte  ebendavon  flberzengen  oder  Überreden)  —  eventnell  be- 
beginnen  und  festigen,  gewinnen  wir  damit  eine  Gnrohnheif.  die  Oborfläche 
jftnos  (dio  Eido  an  Alter  wol  weit  tibertreffenden)  Planetm  lielobt  /n 
denken  mit  Wcscji,  dit«  auf  die  üiU'LrPstaUung  di<;";pr  OberlUkhc  ja  aut 
die  Konßguration  des  Festlandes  dortseibst  zwockbewusst  und  mit  erfolg- 
reicher Technik  einwirkten.  — 

Bs  tritt,  wie  mir  scheint,  aof  diesem,  dem  intellektuellen  Gebtete  die 
merkwflrdige  Thafsache  hervor,  dass  oft  ein  Augenblick  schon  gentigt  (ein 
Augenblick,  nUmlich,  des  „Einleuchtens^),  um  die  allerfestcsten  und  uner- 
RchlHlorrudision  fiowohnheiien  sich  an^^ueignen,  Gewohnheiten,  die  nicht 
selten  mit  üusserster  Ziihi^'keil,  für  s  jjanze  Tieben  fest<:ohalt('n  wenii-n. 

Die  Krall,  mit  wtdclier  eiue  Überzeugung  so  als  eine  Deukgewuhnhuit 
festgehalten  wird,  pflegt  mehr  oder  minder  vollkoiumeiu  die  reichliche  Übung 
tu  ersetcen,  die  sonst  —  auf  dem  Gebiet  der  ftusseren  körperlichen  Thätig- 
keiten  wenigstens  und  auch  bei  Torwiegend  mechanischem  Auswen^glemen 
—  onerlllssludi  scheint  zur  Erwerbung  vmd  Festigung  einer  Gewohnheit. 
Die  Tntonsit'it,  diu.ser  Kraft  erscheint  mitbedln.LTt  dureli  den  Grad  der  Kvi- 
dcnz;  sie  steif,'ert  hieb  nach  Maassgabo,  je  deutlicher  wir  (einmal  oder  zu 
immer  wioderhulteu  malen)  das  im  Urteil  Gedachte  als  ein  durch  objektive 
Notwendigkeit  zu  denken  (Jobotenes  zu  erkennen  glauben.  Bei  den  un- 
mittelbar einleuchtenden,  „analytischen**  oder  selbstverstBadliehen  Wahr- 
heiten ist  die  Tyrannei  dieser  Gewohnheit  eine  so  grosse,  dass  msa  Ton  vorn- 
herein gar  nicht  anders  kann,  als  derselben  huldigen.  Der  Begriff  der 
Gewohnheit  erhiilt  in  sohdicni  Falle  einen  volleren  Inhalt  als  gewöluilieli, 
ilen  reichsten  wol,  der  überhaiij>t  ihm  zukommen  kann:  sie  artet  in  einon 
Grenzfall  aus  und  füllt  geradezu  zusammen  mit  einem  absoluten  Zwange 
(der  ,,Denknotwendigkeit^'). 

Eine  Denkgewohnheit  kann  natürlich  auch  yerbSltnissmassig  unwichtig 
und  kurzlebig  sein.  Wer  z.  B.  urteilt:  „ich  bin  hungrig^*,  manifestirt  damit 
eine  Gewohnheit,  sich,  sooft  er  an  seinen  gegenwSi*tigen  Zustand  mrttok- 


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EiuleitoDg. 


III 


dank«!!  mag,  von  HmigergejEtthl  befallen  sa  denken  —  eine  Gewohnheit 
indees,  die  meistens  wieder  verloren  gehen  wird,  sobald  darnach  Sftttigong 

stattgefunden. 

In  den  meisten  Fällen  iniVlile  das,  was  Peirce  hier  als  das  Bowusst- 
werden  und  den  Anfang  einer  Denk^eirohnheit  hinstellt,  vielleicht  treffender 
als  das  Innewerden  einer  permanenten  Ncigxmg  (wo  nicht  subjektiven  Not- 
weudigkeit)  des  Denkens  bezeichnet  werden.  Doch  mögen  wir  —  nach 
dem  Billigkeitsansprache  „sit  venia  verbo**  —  das  Wort  „Gewohnheit** 
inimerhui  eom  grano  salis  beibehalten. 

d-J  Eine  Glaubensgewohnheit  (belief-habit)  kann  iu  ihrer  Ent- 
wickelnng  damit  beginnen,  noch  unentschieden,  schwankend  und  schwach 
zu  sein;  sie  vermag  jedoch  unbeschränkt  zu  werden:  schärfer  aus- 
geprägt^ starker  und  von  weiterer  Sphäre  der  Wirksamkeit  —  Peirce 
läast  sie  anfangs  unbestimmt,  mit  Besonderheiten  behaftet  und  dürftig 
(vague,  special  and  meagre)  sein,  hernach  präziser ,  allgemeiner  und 
vollständiger  (more  füll)  werden. 

Der  Vorgang  dieser  Entwickelnng,  soivcit  er  im  Betvu9^$ein  (in 
Imagination)  stattfindet,  heisst  Denken  (thought). 

Urteile  werden  gebildet,  und  unter  dem  Einfluss  einer  Glaubens* 
gewobnbeit  ensengen  sie  oft  ein  neues  Urteil,  welches  als  ein  Zuwachs 
SU  dem  Glauben  eneheinl  Ein  solcher  Vorgang  wird  SMessm  (an 
inference)  genannt. 

Das  oder  die  vorangegangenen  Urteile  faeissen  die  Voraussetsungen 
oder  Rrämisaen,  das  nachfolgende  Urteil  der  Schlnss,  die  KonMutsion, 

Die  Gewohnheit  des  Denkens,  welcbe  den  Übergang  von  den 
ersten  su  der  loteten  vermittelte  und  bestimmte,  wenn  als  Sats  formn- 
lirt  cum  Bewusstsein  gebracht,  heisst  das  „leitende  Prinsip'*  (the  lea- 
ding priuciple)  des  Skhliessena.   (Beispiele  weiter  unten.) 

Wahrend  aber  dieser  Prozess  des  Schliessens  oder  die  spontane 
Entwicketung  von  Überzeugungen  (des  ,,Glaoben0^  fast  bestand  ig  in 
uns  vorgeht,  erzeugen  auch  neue  ]*<  ripherische  Beisongen  immerfort 
neue  Glaubensgewolinheiien. 

Für  unsre  Kulturepociic  glaube  ich  als  einen  höchst  wesentlichen  Teil 
dieser  neuen  Anregungen  die  durch  Beispiel,  Unterricht,  Wort,  Schrift^ 
Dnick  und  Bild  bewirkte  Uittdlnng  resp.  Übertragung  der  Ansichten  und 
Überseugnngen  andrer  Menschen,  von  Saohverstilndigen,  Faehgenossen  ete» 
dodi  ganz  besonders  hervorheben  su  soUra. 

So  wird  der  Glaube  (das  Glauben)  sum  Teil  durch  frQhere  Ober- 
lengungen  bestimmt,  zum  Teil  durob  neue  Wahrnehmungen. 

Herrscht  nun  aber  eine  Gesetzmässigkeit  in  allen  diesen  Wand- 
lungeu? 


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112 


Kmleitung. 


Die  Fonchung  besteht  darauf  (maintaiiiB),  dass  dies  der  Fall  ist, 
nSmlich  dass  sie  alle  lunstenern  auf  ein  EnäM  (geriehtet,  angepasst 
sind,  are  . .  adapted  to  an  end),  nämlich  das:  den  Glaabeo  mit  der 
Zeit  gewissen  vorbestimmten  Erkenntnissen  entgegenzufahren  (that  of 
carrying  belief,  in  the  long  ran,  toward  certain  predestinate  conclu- 
sions),  welche  die  n&mlichen  sind  fOr  alle  Menschen  und  welche  bleiben. 

Dies  ist  der  ^ßloM*  (the  faith)  des  Forschers. 

Auf  dieser  stillschweigend  angenommenen  Thatsacfae  beruhen  aUe 
Maximen  des  Oberlegeus  (mazims  of  reasoning)  und  auf  Grund  der- 
selben wird  das,  was  zuletzt  geglaubt  werden  muss,  unabhängig  sein 
von  dem,  was  bisher  geglaubt  worden  ist)  und  wird  den  Charakter  der 
Wahrheit  (reality)  haben. 

Kommt  diese  Wahrlicit  ancb  für  den  Kin/olnen  vielfach  noch  nicht 
zum  Durcbbiucu,  bo  wird  aie  doch  (mehr  und  mehr  auf  jedem  Gebietej 
einst  ihre  Herrschaft  oitfalten  fttr  das  Geschlecht.  Der  Glaube  an  ihre 
Erkeunbarkeit,  an  ihren  endlieben  und  definttiTen  (endgflltigen)  Sieg  oder 
Triumph,  liegt  ganz  gewiss  der  Forschung  zugrunde  und  au  der  Verwirk» 
liohnng  dieses  Ideals  mitzuarbeiten  schwebt  jedem  Forsüuher  vor. 

Diesen  (ilaubeu  nimmt  nun  Peirce  auch  für  den  liOffikcr  in  Anspruch 
(dem  Wortlaute  nach  sogar  nur  für  diesen)  und  sagt: 

Wenn  darum  eine  gegebene  Gewohnheit  des  Poigerns  (a  given 
habii,  cousidered  as  determiuiug  au  infereuce)  von  solcher  Art  ist, 
dass  sie  auf  das  gemeinsame  Endziel  hinwirkt  (is  of  such  a  sort,  as 
to  iend  toward  the  final  result),  so  ist  sie  korrekt  und  audernfalles 
nicht  So  serfallen  die  Schlussfolgerungeu  (inferences  become  divisible) 
in  yüUige  (the  valid)  und  in  ungäUiffe  (the  iuTalid),  und  daraus  schöpft 
die  Logik  ihre  fixistenaberechtigung. 

Mau  siehtf  dass  hier  Peirce  dem  Ergebnisse  der  Erkenntaisstheorie 
Bososagen  teleologisch  vorgreift 

Da  nun  diese  Auffassnni?  der  Folgericlitigkeit  die  Ergrinzung,  dereu 
sie  bedürftig  erseht  int,  durch  Sigwart  berriff;  ijefunden  liat  —  vorgl. 
unter  A  der  Einleitung  die  Absätze  (i)  und  ^  .  .  .  t)  —  so  glauben  wir  der 
Auseinandersetsung  nach  dieser  Kichtnng  niehts  mehr  hinsnfttgen  zu  sollen. 

Das  Eigentümliche  und  Verdienstliche  an  dieser  den  Kern  der 
Sache  jedenfalls  nalie  streifenden  Auseinandersetzung  von  Peirce 
scheint  mir  zu  sein:  die  nachdrückliche  Uorvorhebung  des  Moments 
der  Gewohnheit  in  Bezug  auf  das  Urteilen  (mit  Überzeugung,  das 
Glauben)  sowol,  wie  auf  das  Folgern  oder  Schliessen. 

Ein  spezielles^  indiTiduelles  Handeln  kann  niemals  selbst  als  eine 
Gewohnheit  bezeichnet  werden;  es  kanui  als  ein  emmaliges^  höchstena 
zum  Ausgangspunkt  itlr  eine  solche  werden  oder  ein  Ausfluss  einer 


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Eiuieituug. 


118 


aolehen  sein.  Gewolmhelt  (und  Neigung,  Diaposition)  ist  etwas  Gemein- 
sames, ttbereinstimmend  Wirkendes  in  einer  ganzen  Klasse  von  Hand- 
langen (die,  sofern  sie  aaeh  bei  versdiieclenen  handelnden  Personen 
Terglichen  werden,  sogar  unbegrenzt,  eine  offene  Klasse  sein  mag  mid 
in  Bezug  auf  den  Einzelnen  die  gleiehe  Bezeicbnong  nnr  insofern 
nicht  verdienen  wird,  als  das  Leben  desselben  eine  unbegrenzte  Menge 
TOD  Handlungen  ftberhaupt  nicht  in  sich  fassen  kann);  die  Gewöhn- 
heit  ist  immer  von  einem  mehr  oder  weniger  ailgemeinm  Charakter. 

Eine  Gewoiiuheit  veranlasst  uns,  unter  ähnlicheu  Umstüiuien  auch 
iiuiuer  ühiilich  zu  handeln,  d.  h  unter  tlrastunden,  die  einander  in 
("inpr  bestimmten  Hinsieht  f/lciclui/,  >^tets  Handlungen  zu  vollziehen,  die 
«ieltTum  in  bestimmter  (vielleicht  in  einer  gauÄ  andern)  Hinsieht 
'iiiander  gleichen.  I)ie  zeitliche  Succcssion  der  übereinstimmenden 
Merkmaie  jener  Ihii^tfinde  und  dieser  Handhinrrcn,  wenn  aus  einem 
physiolo<^ischen  tirumle  erfnlrrend  (imd  zuf^leich  vielleicht  durch  ein 
p'^ychologisches  Motiv  verursacht),  macht  das  Wesen  der  Gewohn- 
heit aus. 

In  den  Terschiedenen  Fullen,  in  denen  ,,dieselbe"  Gewohnheit  wirk- 
sam ist,  werden  darnach  die  „spezifischen  Differenzen'^  zwischen  d^ 
Gruppen  jener  Umstände  sowol  als  auch  zwischen  diesen  Handlung«! 
nebensächlich,  ohne  Belang  sein» 

Gelingt  es,  die  übereinstimmenden  Merkmale  (eyentuell  auch  nur 
„wesentliche''  Ton  diesen  Merkmalen)  jener  Umstände  und  dieser  Hand- 
langen in  Zeichen  darzustellen,  bei  denen  jene  spezifischen  Diftermzen 
soansgedrfickt  bleiben,  offen  gelassen  werden  —  m.  a.  W.  Term&gen 
wir  nur  den  „Begriff**  der  Umstinde,  unter  welchen  gedachte  Gewohn- 
beit  wirkt,  nnd  den  „Begriff"  der  Handlungen,  die  sie  dann  herror- 
loft,  darzustellen,  so  werden  wir  ein  Schema  für  die  Gewohnheit  er- 
kalten: $fH^  Umstände  (von  den  Merkmalen)  Ä  eininten  f  ^mn  wir  B 
(▼oUziehen  eine  Handlung  yon  den  Merkmalen  B). 

Jede  Gewohnheit  muss  so  ein  allgemeines  Sehema  haben. 

Als  Umstände  haben  wir  jetzt  hauptsächlich  Zustande  des  Bewusst- 
seins  und  zwar  besonders  Meinungen,  als  Handlungen  ebenso  vorzugs- 
weise Denkhan dlon^en,  d/e  Itildmirf  neuer  Meinungen  lui  Auge. 

Es  wurde  erkannt,  dass  solche  Meinungen  wesentlich  selbst  schon 
Gewohnheiten  im  Denken  sind  oder  zu  solchen  werden. 

j%)  Aus  solchen,  den  ,^rämisseii"  p  kann  sich  eine  neue  Denk- 
gewohnheit nnd  Meinung  entwickeln:  die  „Konklusion''  e.  (Vergleiche 
wieder  Peirce  L  c) 

ScnSDiB,  Ale«bfl»  der  Logtk.  8 


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114 


fitnleitnog. 


„Ks  gilt  jp,  ergo  gilt  auch  c^',  oder  abgekürzt: 

ist  daram  das  Schema  jeder  Folgerung. 

Die  KoiijuiiktioD  „crj^o,  lolglicb,  also  (therefore)"  ist  das  Zeichen 
des  Schliesseiis  (sign  of  illation). 

Der  Übergang  von  der  Prümisse  (oder  dem  .System  der  Priimis.sen, 
set  of  premisea)  p  m  der  Konklusion  c  tiudet  beim  Öchliesseti  statt 
gemäss  einer  in  uns  wirksamen  Denkgewohnheit  oder  Regel. 

Obwol  diese  das  Folgoro  beheirschende  oder  „leitende'^  Gewohn- 
heit gew5hulich  nicht  vom  Bewusstsein  objektiYirt  wird  (is  not  present 
to  the  mind),  sind  wir  uns  doch  hewasst,  nach  einem  allgemeinen 
Prinüp  (on  ,,8ome"  general  principle)  sa  sehlieasen. 

Alle  Schlussfolgerangen,  welche  ebendieae  Denkgewohnheit  be- 
stimmen würde  sobald  nur  die  geeigneten  (d.  i.  die  unter  den  ersten 
Teil  ihres  Schemas  fallenden)  Prämissen  zugelassen  wären  (when  once 
the  proper  premises  were  admitted),  bilden  eine  Klasse.  Und  die 
Deukgewohnheit  ist  yom  Standpunkt  der  Logik  eine  giUe  su  nennen, 
wenn  sie  niemals  (oder  im  Falle  eines  Schlusses  nach  der  Wahr- 
scheinlichkeit, in  case  of  probable  inference,  selten)  von  einer  wahren 
Prämisse  su  einer  falschen  Konklusion  führen  wOrde;  andemfalles  ist 
sie  vemoerflu^  (logically  bad).  M.  a.  W.  Jeder  denkbare  Fall  der 
Wirksamkeit  einer  guten  Gewohnheit  des  Schliessens  wflrde  entweder 
ein  solcher  sein,  in  welchem  die  Prämisse  falsch,  oder  ein  solcher,  in 
wekliem  die  Kuiiklusion  wahr  ist.  Wogegen,  wenn  eine  solche  Ge- 
wohnlieit  schleclit  ist,  Fälle  dcakbar  sein  würden,  in  welchen  die 
Prämisse  walir  ist,  während  die  Konklusion  talsch  bleibt. 

Wir  sahen,  dass  eine  jede  (J(>wohnheik  ein  allgemeines  Schema 
haben  muss.  L)i(\s  ijilt  mithin  auch  von  einer  Denkgewohnheit,  weh  he 
beim  Folgern  wirksam  isst,  das  Ziehen  von  Schlüsseu  beherrscht:  die- 
selbe wird  sieli  allemal  durch  einen  Satz  darstellen  laiSsen.  dass  ein 
Urteil  (propo  it  1  Iii)  ('  von  einer  gewissen  allgemeinen  Form,  welches 
in  einer  hesliminten  He/.iehiing  steht  zu  einem  Urteil  (oder  emer 
Grujipo  von  l  rteihn  i  1*  von  ebenfalls  allgemeinem  oder  schematischem 
Ausdruck,  wahr  sein  muss,  sobald  dieses  letztere  wahr  ist. 

Ein  solcher  8atz  ist  dann  das  Jdtcndc  Prineij^^  der  Klasse  von 
Schlussfolgerangen,  deren  Gültigkeit  (validity)  es  in  sich  schliesst 
(implies). 

Wird  der  Schluss  erstmalig  gesogen,  so  pflegt  (wie  schon  an- 
gedentet)  das  leitende  Prinzip,  solchergestalt  formulirt,  dem  Geiste 


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Einleitang. 


115 


nicht  gegenwärtig  zu  sein.  Aber  die  Gewohnheit,  deren  Schema  es 
darstellt,  ist  in  einer  solchen  Weise  wicksam,  dass  bei  Vergegen- 
wärtigung (upon  contemplating)  der  angenommenen  (believed)  Prä- 
missen durch  eine  Art  Intuition  ( WahrueJunuDg,  perceptiou)  Mich  die 
Konklusion  für  wahr  erachtet  wird. 

Mit  didsen  Worten  ^hy  a  sort  of  perception**  beruft  sich  auch  Peirce 
auf  das  von  Sij^wart  mit  Recht  stärker  hervorgehobene,  ja  in  den  Vorder- 
grund ge» teilte  Bewusstfioin  der  objektiTen  Denkaotwendigkeit  oder  QefiUü 

der  £viüeu?.. 

Wenn  hernach  die  Schlussfolgerung  einer  logischen  Kritik  unter- 
worfen wird,  so  vollziehen  wir  eine  neue  Schlussfolgerung,  deren  eine 
Prämisse  jenes  leitende  Prinzip  der  vorigen  ist  (gemäss  welcher  Ur- 
teile, die  in  bestimmter  Beziehung  zu  einander  stehen,  geeignet  er- 
scheinen,  Prrimisse  und  Konklusion  eines  gültigen  Schlusses  zu  8ein}| 
während  die  andere  Prämisse  eine  Thatsache  der  Wahrnehmung  (ob- 
serration)  ist^  nämlich  der  i3eobachtung,  dass  die  genannte  (gegebene) 
Beziehung  wirklich  besteht  zwischen  der  Prämisse  und  der  Konklusion 
der  in  Frage  (under  criticism)  stehenden  Schlussfolgeruiig,  dass  m.  a.  W. 
das  Schema  jenes  leitenden  Prinzips  im  Torliegeuden  B'alle  zatrifit, 
und  woraus  dann  gesehiossen  wird,  dass  diese  Folgerung  berechtigt, 
gOltig  war. 

Ein  Beispiel,  an  das  wir  noch  weitere  Unterscheidungen  anknüpfeOi 
mag  dies  Terdeutliehen.  Wir  w&hlen  hier  das  folgende  (obzwar  sehr 
abgedroschene,  weil  fast  in  allen  Schriften  über  Logik  einmal  erwähnte): 


Das  rechts  dem  Schlüsse  beigefügte  „Schema"  desselben  zeigt, 
dass  ihm  (so  wie  er  zunächst  sich  darstellt)  logiaclie  GiUti<jkeit  nicht 
zukommen  kann.  Es  kann  nicht  eine  (gute)  Denkgewohnhcit  uaa  vuu 
einer  Prämisse  der  Form  „a  icit  ein  b  '  hmüberlciteu  zu  einer  Kou- 


Dass  vielmehr  eine  äolche  Gcwulmhcit .  falls  sie  überhaupt  bestfhide, 
eine  «»chlechte  sein  mtLäste,  wäre  leicht  boliebij^en  Beispielen  darzulhun: 
iodem  wir  dem  a  dieselbe  Bedeutung  „CajUö  ',  dem  b  die  ,,Meui>ch '  wie  in 
dem  Beispiel  belassen,  braocheii  wir  etwa  nur  dem  c  die  Bedeutung  „uu~ 
.terblich''  (oder  f,voIlkommen'*  und  anderes)  beizulegen,  um  die  Haltlosig- 
keit  des  Schlusses  zu  erkennen.  Die  Folgerung  wÄre  alsdanu  eine  solche, 
'i'^ren  PrSmisse  wir  als  richtiir,  deren  Konklusion  wir  über  alfi  ialsch  (mit 
emer  gewissen  Deukuotweudi^keit)  anerkennen  nnlsseu. 

Gleichwul  lässt  sich  diu  obige  Konklusion  suwul,  als  die  Prümitise, 


Cajus  ist  ein  Mensch, 
ergo:  C^us  ist  sterblich. 


a  ist  ein  6, 
ergo:  a  lät  c. 


kluüioii  „a  ist  c''. 


8* 


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116 


Ebleitang. 


für  richtig  erklären^  und  die  Schlussfolgerunj]^  besitzt  darum  das,  was 
man  die  ,^extralogische  Gültigkeit^'  derselben  nennen  könnte:  sie  ist 
f^materieU^  (aber  nicht  ^yformell")  richtig. 

Von  der  angeführten  Prämisse  aUein  konntei  wie  gezeigt,  eine 
Denknotwendigkeit  die  Konklusion  hier  nicht  liefern.  Da  diese  letztere 
aber  richtig  ist,  so  kann  es  dennoch  eine  gnte  Denkgewohnheit  ge> 
wesen  sein,  die  za  ihr  hinführte  (auch  eine,  die  Tom  Geffihl  der  Denk- 
notwendigkeit begleitet  sein  mag),  aber  dann  von  andern  Prämissen 
ans,  nämlich  von  einer  Gruppe  solcher,  die  ans  der  angegebenen  durch 
geeignete  Ergänzung,  Vermehrung  hervorgehen. 

Thatsachlich  wirkte  bei  obigem  Sclilu.sse  noch  etwas,  eine  Üciik- 
gewohnheit,  mit,  d'w  uns  zur  richti<i;eii  Kouklui^ion  leitete,  indessen  als 
Prämisse  uiiaus|j;csprociien  blieb.  Mau  kann  don  Schluss  gelten  lassen 
als  oiut'u  umoltständigen,  als  ein  sog.  „Enthymcm'' * ) 

In  Enlliymemen  wird  im  gemeinen  Leben  sehr  h.'iiifi.:?  geschlossen, 
wobei  tlciii  Verfahren  die  Tendenz  der  Abkürzung  und  die  Höflichkeit  zu- 
gi  iiode  liegt,  bei  dem  iiörer,  dem  mau  die  eriorderliche  mentale  Ergänzung 
des  Schlusses  zuschiebt,  auch  selbstthätige  denkende  Mitwirkung  voraus^ 
snsetsen. 

Bringen  wir  uns  dieses  (antuüglich  eventuell  uubewusst  gebliebene) 
Agens  zum  Bewusstsein,  su  üuden  wir,  dass  es  die  Uberzeugung  war, 
dass  alle  Menschen  sterblich  seien. 

Dieser  Glaube,  selbst  eine  Denk<i  ^v<  hnheit,  wird  von  Peirce 
geradezu  als  das  ,,leit(nule  Prinzip"  des  voriieu:»>nden  Enthymenis  hin- 
gfstcllt  —  mit  einer  ^^«'wissen  Berechtigung  vielleicht,  obwol  nicht  in 
dem  sonst  üblichen  Öiiine. 

Fügen  wir  denselben  ausdrücklich,  als  Urteil  gefasst,  der  bis> 


*)  Es  gibt  auch  GreosfäUe  v<m  Bntbjmemen,  wo  dieser  Käme  sich  als  nicht 
mehv  angemeMen  beanstanden  Iftaat.  Solche  treten  ein,  wenn  die  ausdrficklidi 
angefahrte  Ptfanisse  (oder  eine  derselben)  sogar  als  ySllig  belanglos,  überflüssig 

zu  erkennen  ist,  wenn  man  etwa  die  sruntliehen  wirklich  wirksamen  Prämissen 
mit  Stins(  hweiiren  Übergangs  findet.  So  s.6.  bei  dem  anch  „materiell**  wenigstens 
richtigen  „Schlüsse"  (?): 

Vorgestern  regnete  es  irmudwo 
ergo:  geht  morgen  die  Sotme  auf. 

Die  wirksiimen  FrüniisHeii  die^^cs  Knthymeme  —  falls  man  es  noch  so  nennen 
will  —  würden  etwa  sein:  Jeden  Tag  geht  (in  unsein  Breiten)  die  Sonne  auf; 
Vorgen  ist  anoh  ein  Tag.  —  Man  wird  jix  solchem  Falle  sagen»  dass  da»  Wort 
„ergo**  am  nnreehten  Platw  sei,  und  gar  kein  Schlns«  vorliege,  sondern  nur  eine 
Bcihe  Ton  ansser  Zusammenhang  stehenden  Behauptungen. 


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Einleitimg. 


117 


herigen  PnmiBBe  hinzu,  reihen  wir  dieses  Urteil  in  nnsre  Piümisaen 
ein,  so  lautet  der  Sehlose  nunmehr: 

Alle  Mensehen  sind  sterblich,    ^  ^ 
CiQns  ist  dn  Menseh,  ocüen»',         .^^  ^.^ 

eigo:  Cajns  ist  sterblich.  ergo  O):  a  ist  c. 

Der  so  vervollständigte  Schluss  besitzt  nunmehr  auch  logische 
Gültigkeit;  er  ist  auch  ,/ormell  richtig**  und  sur  Bekräftigung  dessen 
Terraögen  wir  uns  nur  darauf  zu  berufen,  dass  auch  sein  allgemeines 
Schema  (unmittelbar)  einleucJitet.  Aus  diesem  Grunde  ist  der  Schluss 
nunmehr  auch  ein  «yTollstandiger"  (a  eomplete  argument). 

Bringen  wir  uns  noch  das  „loltende  Prinzip**  dieses  Schlusses  zum 
Bewnsstsein,  so  worden  wir,  die  Aufgabe  etwa  von  der  psychologischen 
Seite  iingreifond ,  vielleicht  fiiifleii,  dass  es  dio  Überzeugung  ist:  dass  ein 
Mt.-rki)ULl  des  Merkinals  öincä  Dingts  auc)i  ein  Merkmal  dieses  Dinges  selbst 
aein  müi>äe.    Wir  habeu  Uauu  deu  Öcbluss: 

Nota  notae  est  nota  rei  ipsius, 
Sterblichkeit  ist  ein  Merkmal  der  Menschenuatur,  welche  Merkmal  des 
Gajus  ist»  ergo:  Sterblichkeit  ist  ein  Merkmal  des  Cajus. 

Aber  dieses  selbe  Prinzip  des  „nota  notae  etc."  ist  wiederum  wirksam 
beim  Ziehen  dieser  letzteren  Schlussfolgerung,  sodass  dieselbe  durchaus 
nicht  volisttlndiger  ist  als  die  vorhergehende.  Auch  hat  sie  das  gleiche 
Schema  wie  diese. 

Die  in  dn  -em  Schema  iiiedery^elegte  (lormulirte,  in  dasselbe  eiu- 
gekleideie)  Denkgewohuheit  mögen  wir  als  das  leitende  Prinzip  selbst 
hinstellen. 

Das  Schema  des  Schlusses  erhalt  mau,  indem  man  die  Namen 
der  speziellen  Dinge,  von  welchen  die  Schlussfolgerung  spricht,  durch 
Symbole  von  allgemeiner  Bedeutung,  Buchstaben,  ersetzt,  fi5r  diese  aber 
alle  Beziehungen,  welche  die  Schlussglieder  (Prämissen  und  Konklusion) 
Ton  jenen  Dingen  ausdrücklich  voraussetzten  oder  behaupteteui  ent~ 
sprechend  zum  Ausdruck  bringt. 

Aus  obigen  Betrachtungen  erhellte  auch,  dase  man,  um  eine  viel» 
leicht  materiell  richtige  Schlussfolgemng  als  eine  dennoch  unberech> 
tigte  zu  erkennen,  sie  als  logiscJi  ungültig  nachzuweisen,  nur  zu  ihrem 
Schema  ein  Beispiel  zu  fiudeu  braucht,  in  welchem  die  Prämissen  als 
richtig  anzuerkennen  sind,  während  die  Konklusion  sich  als  falsch  er- 
weiet^  Auch  bei  solcher  Anerkennung  wird  an  das  Gefühl  der  Evi- 
dens  appelliri.   (Vo^L  hiezu  eine  in  §  12  gegebene  Illustration.) 

Kllrser  auch  mag  man  direkt  jene  Namen  durch  irgend  welche 
andere  ersetzen,  für  die  zwar  die  Primissen  noch  zutreffen^  die  Kon- 
klusion aber  nicht  mehr  zutceffon  w&rde» 


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118 


Eioleitong. 


Der  tfangel  oder  das  Ausbleiben  des  Geftibles  der  Evidenz  genügt 
ohne  weiteres  in  der  Regel  nocb  nicht  su  obigem  Zwecke,  dem  ün- 
j^nikigkeitsnachweise  fQr  eine  gegebene  Schlassfolgerong  —  in  An- 
betracht dass  man  schon  bei  logisch  berechtigten  Schlössen  in  Ter- 
wiekelteren  Fällen  oft  langer  Schlussreibeo,  erst  mfihsamer  Zwischen- 
fiberkgangen  bedarf,  um  das  GefOhl  von  der  Evidenz  der  Folgerung, 
die  Überzeugung  von  ihrer  Denknotwendigkcit  zu  gewinnen. 

Ich  habe  noch  zn  erklären,  weshalb  hier  die  Logik  als  eine 
Algebra  dargestellt  und  in  dieser  DarstelluDg  berechtigt  ersdieint^  sich 
im  Gegensatz  zu  andern  Behandlongsweisen  vorzugsweise  das  Epitheton 
einer  „exakten"  Logik  beizulegen. 

Li  dem  Bestreben,  die  Grundgesetze  folgerichtigen  Denkens  zum 
Bewusstsein  zu  bringeu  und  denselben  einen  allgemeinen,  zugleich 
müglichst  ein&chen  Ausdruck  zu  geben,  hat  sich  die  Logik  ursprOnglich 
enge  an  die  Wortsprache  angelehnt.  Sie  musste  dieses  thun,  da  ein 
anderes  Mittel  des  Gedankenausdrucks  zunächst  überhaupt  nicht  zu- 
gebote  stand,  und  ^ic  wird  auch  iu  Zukunft  fortfahren  müssen,  bis  zu 
einem  gewissen  Grade  diesen  Anschluss  zu  suclien,  nicht  nur,  woil  sie 
sich  dem  Anfänger  gegenüber  stet?»  in  der  gleichen  Lage  beiludet, 
sondern  auch,  weil  überhaupt  in  abst  libarer  Zeit  die  Wortsprache 
inmiprliin  das  Hauptmittel  des  (^('({■A.nVi'naitsdrnclis  sowie  eine  Haupt- 
forni  des  Gedankenf-o/A?M//r.s  bl  ibeu  wird.  Auch  wir  werden  mit  dieser 
Anlehnung  zu  begiiiuen  haben  H.  Vorlesung  ). 

Nachdem  nun  aber  in  Gestalt  von  so  vielen  andern  Disziplineu 
das  Beispiel  vorlag,  wie  fJinVrlich  es  is(.  sich  für  bestimmte  Unter- 
Buchungsgebiete  je  eine  eigene  Zeichensprache  zu  sehafPen  und  die 
fundamentalen  Satze  dieser  Disziplirif^n ,  unter  Benutzung  von  Buch- 
staben als  Symbolen,  in  allfreraeine  Formeln  einzukleiden,  hat  nach 
einer  lanL^  ii  '/<'it  verhältnissmäs.siu-  unfrnchtbnrer  Stagnation  auch  die 
Lo<j;ik  einen  irischen  Aufschwung  genommen  und  sich  in  schon  ziem-  - 
licli  zahlreichen  neueren  Bearbeitungen*)  zn  oiuer  eigenen  Buchstaben* 
rechnung,  einer  Algebra  der  Ijxfik  entwickelt. 

In  dieser  finden  nun  die  Gesetze  des  folgerichtigen  Denkens  ihren 
denkbar  schärfsten,  kürzesten  und  übersichtlichsten  .\usdruck,  iu  ihr 
stellen  sie  sich  in  der  konzisesten  und  knappsten  Gestalt  dar.  Zugleich 
befreit  uns  die  neue  Zeichensprache  von  all'  den  Tosseln,  in  welche 
durch  die  Macht  der  Gewohnheit  die  Wortsprache  den  Menschengeist 

*)  Vezgl.  dB«  LiteraturreneiebDiM  am  SchlnSBe. 


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Einleitung. 


119 


gwelilageo.  Zafolge  dieser  Voraflge  ist  die  reehDerisehe  Behandlaug 
der  Logik  in  der -Lage,  maacberlei  Lücken  der  älteren  Mos  verbalen 
Behaiiillungen  nacbsaweisen  nnd  anssafOllen,  zuweilen  auch  Fehler 
derselben  zu  berichtigeD,  darunter  solche  Ton  grosserer  Tragweite,  von 
fundamentaler  Bedeutung. 

Jener  enge  Anschluss  an  die  Wortsprache  hat  nlmlioh  f&r  die 
älteren  Behandlungen  der  logischen  Disziplin  erhebliche  Gefahren  ge- 
hradit;  denen  sie  auch  grossenteils  zum  Opfer  fielen.  Auch  die  ge- 
bildetsten Knlturspracben  haben  ja  als  die  Produkte  einer  von  zahl- 
losen Zuliilligkeiten  beeinflusäten  Eutwickelun^  viele  und  ;i;e wichtige 
Mängel^  bestehend  vor  allem  in  der  ÜberciiisLiiiiiiinnj^  der  üblichen 
aprachlicheii  f]iiilvleidung!iformen  für  wesentlich  verschiedene  Gc  lanken- 
beziehungen.  Mit  der  dadurch  su  utt,  ja  regelmässig  bewirkten  Ver- 
hüllung des  wahren  Saehverhiiltuisses  war  es  nahe  gelegt,  dieses  selbst 
zu  verkennen,  seinen  t  nterschied  von  andern,  mittelst  gleicher  Wort- 
verhindung  ausgedrückten  zu  übersehen  —  wogegen  andrerseits  an  die 
Verschiedenheiten  zugebote  stehender  verbaler  Ausdrucksformeu  manch 
überflüssige  Di^tinktioueu  geknüj)ft  werden  mochten.  Der  Zweideutig- 
keiten und  Unlx'.stimmtheiten  zufolge  schwankenden  Gebrauches,  der 
unsvmmetrischen  Einkleidung  so  vieler  symmetrischen  Verhältnisse, 
?ovvie  der  empfindlichen  Abwesenheit  vuu  angemessen  kurzen  Arisdrucks- 
formen  für  manche  wesentliche  und  charakteristisch  häufig  wieder- 
kehr^de  Beziehungen  nicht  zu  gedenken. 

Man  wird  hiefOr  in  dem  Buche  als  solche  gekennzeichnete  Belege 
genugsam  finden. 

Die  fwAfieriscAe  ^ehandkmg  der  logischen  Materie  —  zuerst  von 
Leibniz^  angeregt,  dann  auch  von  Lambert'-"^  und  Ploucquet^  yet- 
folgty  ist  in  dem  grundlegenden  Werke  „Laws  of  thought"  zum  ersten- 
mal durch  George  Boole*  zu  einem  in  seiner  Art  nahezu  toIU 
ständigen,  auch  auf  die  Lösung  von  Problemen  zugespitsiteu  Systeme 
ausgebildet  worden. 

Nahezu  voUsttndig  aHerdings  nur  innerhalb  jenes  schon  erwähnten 
Gebietes,  welches,  von  Peirce  als  die  ,4ogie  of  absolute  terms**  bsceichnet, 
sidi  weiterhin  von  selbst  schttrfer  charakterisiren  wird.  Wio  schon  an- 
gedeutet, liesehiLftigt  sich  diese  Disziplin  nur  mit  den  alleriiusserlichsten 
logischen  Aufgaben,  welche  auch  den  Tumuielpln^/  der  allen  Logik  bilden, 
sofern  diese  etwa  in  <ler  Lelirr  von  dm  Syllogismen  ^'ipfelte.  Natur;;i;emliss 
muds  indefiS  die  Erledigung  die&er  Aufgaben  ulleu  feineren  Unteräuchungen 
aas  der  Logik  der  Beiiehungen  1Lberhaiq»t,  es  muss  der  „logio  of  relatives** 
die  elementarere  DisiipUn  vorangehen,  so  wie  etwa  die  Geometrie  der 
Mechanik  und  diese  der  ElasticitKtsleiira  voraufimgeken  hat 


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120 


EinleiUing. 


Die  AnlebnDng  an  das  Vorbild  eines  bereitn  bekannien  Kalküls, 
als  welcher  sieb  derjenige  der  arübrnetischeD  vier  Reales  natnrgemSss 
in  den  Vordergrund  drängte,  bat  allerdings  auch  seinerseits  diesem 
ob  «war  genialen  und  bewunderungswürdigen  Systeme  gewisse  übel- 
atande  aufgeprägt^  von  welchen  es  jedoch  rasch  genug  durch  neuere 
Bearbeiter  gereinigt  worden  ist. 

fiy)  Nun  aber  schien  diese  neuere  Darstellung  des  gewichtigsten 
Inhaltsetoffes  der  (alten)  Logik  in  einer  eigenen  Zeichensprache,  in 
der  Form  eines  KäOBub,  dem  Althergebrachten  ganz  unvermittell^ 
schroff  gegenflberzustehen.  War  sie  doch  auch  nicht  aus  diesem  un- 
mittelbar herausgewachsen,  sondern  hatte  sozusagen  einen  selbständigen 
Ursprung:  Mathematiker  sumeist,  nicht  Berufsphilosophen,  hatten  sie 
aufgebani 

Kein  Wunder^  daas  dieselbe  im  andern  Lager  ungemessenes  Be« 
fremden*)  erregte,  TerstSndnissToUem  Entgegenkommen  oft  nicht  be- 
gegnete, vielmehr  manch'  abfällige  Beurteilung  erfuhr,  namentlich  ab- 
Seiten  Solcher,  die  überhaupt  keinen  Kalkül  beherrschen. 

Zuzugeben  ist,  dass  ein  Übergau  g  von  dem  älteren  zum  neueren 
Systeme  grösstenteils  fehlte,  und  berechtigt  war  wenigstens  das  Ver- 
langen, dass  die  Grundlagen  des  Kalküls  aus  den  Prinzipien  der  alten 
Logik  abgeleitet  und  bewiesen  wflrden  —  wohlbemerkt:  sofeme  dieses 
mä^id^  tsl  •  ein  Punkt»  auf  den  ich  zurflckzukommen  habe. 

Die  vermisste  Brflcke  geschkgen  zu  haben  ist  nun  das  Verdienst 
der  grundlegenden  Arbeitf*  in  Bd.  III  des  American  Joum.  des  Herrn 
Charles  S.  Peirce,  zu  welcher  ihm,  wie  er  sa^t,  Betrachtungen  von 
Augustus  de  Morgan  die  Anregung  gegeben  haben. 

Dasjenige  vor  allem,  was  uns  in  dieser  Arbeit  an  Errungenschatteii 
gesichert  ist,  desgleichen  auch,  wils  aLsdaun  nocli  und  zum  Teile 
unter  seiner  Leitung  —  Herrn  Peirco's  Schüler  hiuzugetugt  liaben, 
besondere  in'«^  Miss  Ladd  und  Herr  Mitchell  —  dieses  zunächst 
habe  ich  mich  bestrebt^  in  systematischer  Darstellung  zu  eiuem  wissen- 
schaftlichen Systeme  zu  vereinisjen. 

Dass  mir  dabei  nicht  blos  eine  rfi)rodii/iren(le  Tlifiti_ü:1feit  zufiel,  sondern 
ich  auch  kritisch  und  sichtend,  Itlckenergänzend  und  schliesslich  an  dem 


*)  Jenem  durch  das  VerxniBaen  einer  Brücke  vom  Einen  zom  Andern  bedingten 
B^MmdSD  bafc  beiBpielaweuw  Hermann  Lotse*  in  der  „Anmerkung  fll>ir  logischen 
Galefil**,  durch  welche  laeh  die  sweite  Anflage  seiner  Logik  yon  der  ertien  unter- 
Beheidet,  in  drastucher  Weise  Aiudniok  gegeben  —  Tergl.  die  Sohlnasworfte  teiner 
„Anmerkinig'*. 


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Einleitang. 


121 


GebSude  weiterbaneiid  eingreifen  diiifle,  wird  sehoii  «in  flaohiiger  Yer» 
gleich  seigen. 

i'a)  Einen  rnterschiod  zwisclien  der  hier  antuest rebten  und  den 
früheren  Behandlungsweisen  der  Logik  möchte  ich  noch  hervorhebeiif 
ohne  jemand  damit  nahe  treten  zu  wollen. 

Suchen  wir  ^  was  keine  leichte  Aufgabe  ist  —  die  vorgangigen 
DarsteUnogen  der  verbalen  Logik  zu  flberblieken,  so  scheinen  dieselben 
uns  stets  nur  aufentieten  mit  einem  schon  in  sich  abgeschlossenen, 
einem  ferUgen  Bestände  von  Lehren. 

Fflr  das  richtige  Verstindniss,  mitunter  fOr  ganz  eigenartige  Auf- 
fassung und  Anordnung,  fOr  angemessene  WertsehStzung  und  An- 
wendung ebendieser  stereotypen  Lehren  plädiren  solche  Werke  mit 
grossem  Scharfsinn,  oft  gewandter  Dialektik  und  mehr  oder  minder 
Verdienst  und  Glflck.  Mit  grossem  Verdienst  anch  pflegen  sie  den 
Leser  einzufahren  in  die  vorhandenen  Streitfragen  oder  EontroTersen, 
unhaltbare  Ansichten  widerlegend,  veraltende  Distinktionen  über  Bord 
werfend  und  neue  einführend,  auch  einen  Einblick  in  die  historischen 
Wandlungen  philosophischer  Anschauungsweisen  eröfTuend.  Bald  von 
der  allgt'iiiein  philosopliisi  licn  und  luetiiphjäihchen,  bald  mehr  von  der 
psychologischen  Seite  irageu  sie  wol  iSchätzensweries  m  einem  Auf- 
bau der  Logik  bei. 

Was  ich  aber  bei  all  diesem  Anerkennenswerten  vanttsst  ist,  dass 
dabei  mir  nirgends  zutage  zu  treten  scheint,  was  denn  etwa  weiter 
noch  zu  thun  unii  anzustreben  wiire!  In  fühlbarem  Gegensatze  zu 
amiem  wirklichen  ^\  is^,.  n-«  }nift<vn  scbeint  mit  der  gegebenen  Doktrin 
las  (iebäude  der  logischen  Diszipliu  allemal  schon  ganz  vollendet  da- 
zustehen. — 

Dagegen  wird  bei  der  rechnerischen  Behandlung  eine  nnlu  grenzte 
Fülle  ganz  bestimmter  Probleme  sich  zur  Lösung  darbicteu:  auch  die 
Logik  erscheint  hier  alsbald  als  eine  Wissenschaft,  die  unbegrenzter 
Weiterentwickelung  fähig,  und  ganz  deutlich  wird  man,  denke  ich,  die 
Punkte  erkennen,  wo  zunächst  die  llebel  anzusetzen  sind,  an  welchen 
fernere  Arbeit  einzusetzen  haben  wird,  um  ein  weiteres  Fortachreiten 
zu  verwirklichen.  — 

Die  BVage,  wie  nun  wol  das  VerhSltniss  der  verbalen  zur  rech- 
nenden Disziplin  aufgefasst  werden  soll,  mdchte  ich  dahin  beantworten: 

Herr  Venn^  ist  der  Ansicht,  dass  diese  nicht  bestimmt  sei,  jene 
zu  verdrSngen,  sondern  vielmehr  als  ein  gewissermassen  hSherer  Teil 
auf  sie  m  folgen  habe.   Hievon  bin  ich  nicht  allzuweit  entfernt^  nur 


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122 


Einleitung. 


meine  ich,  daea  diese  überdies  —  auf  Grund  eben  ihrer  voUkommuen 
Konsequ$nß  —  von  maassgebeiidem  Einfluss  auf  die  kflnfUge  Gestaltung 
jener  werden  sollte,  im  Sinne  einer  Annaberang,  ihrer  Anbeqnemung 
an  sie. 

Bei  der  Ffllle  Ton  der  verbalen  Logik  fremden,  ja  unzugünglichen 
Themata  von  üntersuchungen,  auf  die  wir  hier  einzugehen  haben, 
mussten  naturgemass  manche  verdienstliche  Betrachtungen  jener  hier 
unberücksichtigt  bleiben  oder  konnten  solclie  nur  flüchtig  gestreift 
werden.  Sollte  in  dvr  Thut  Alles,  vvab  mir  aii(Krwiirtj>  von  Wert 
erseheint,  hier  aufgenommen  sein,  so  müsste  ich  das  Volum  des  Buches 
venuehi  lacht  haben.  Es  kann  deshalb  nur  wünschenswert  genannt 
werden,  dass  der  Studirende  sicli  auch  in  der  sonstigen  zeitgen"»ssiscln'ii 
Logikliteratur  tliunlichst  umsehe,  wozu  ihm  die  Litcraturangabeii  in 
unstiiu  Verzeicliuisso  sowol  als  iu  gelegeiitlicheu  Noten  Aurcguug 
geben  uud  behülflich  sein  mögen. 

I3)  Zum  Schlufis  der  Einleitung  noch  einige  Worte  Aber  Wert  nnd 
Nutzen  der  Logik  überhaupt  und  damit  auch  der  vorliegenden  Studien. 

Schon  die  Logik  von  Port-Royal*  bcnierkf,  daps  nichts  schUtzens- 
werter  sei,  als  der  fxesdnde  Verstand  nnd  ein  zutrelV- ml!--  Urteil  (le 
bou  sens  et  la  justesse  de  l'esprit)  in  der  Unterseheuiung  dessen  was 
wahr  und  was  falsch  ist.  Wahrend  alle  andern  Eigenschaften  des 
Geistes  nur  be.«chriinkte  Anwendungsgebiete  besitzen,  sei  die  Genauig- 
keit der  Urteilsfunktion  (rexaetiiude  de  la  raison)  allgemein  von 
Nutzen  in  allen  Lagen  und  Verrichtungen  des  Lebens;  denn  nicht  mir 
iu  den  Wissenschaften,  sondern  auch  bei  der  grossen  Mehrzahl  der 
Gegenstände  (sujets),  von  denen  die  Menschen  reden,  und  der  Geschäfte, 
die  sie  treiben,  sei  es  schwierig  und  von  grosster  Wichtigkeit,  die 
Wahrheit  vom  Irrtum  zu  scheiden  —  eine  Aufgabe,  die  dem  Verstand 
obliege.  Man  solle  deshalb  vor  allem  darauf  bedacht  nehmen,  die 
eigne  Urteilskraft  zu  entwickeln  (de  former  son  jugement).  Gewöhn* 
lieh  bediene  man  sich  des  Verstandes  als  des  Mittels,  sich  der  Wissen- 
schaften zu  bemächtigen,  aber  man  solle  eher  sich  der  Wissenschaften 
als  eines  Werkzeugs  zur  Vervollkommnung  des  Verstandes  bedienen, 
da  die  Schärfe  des  letztern  ohne  Vergleich  wertvoller  sei  als  alle  auch 
von  den  verlässigsten  Wissenschaften  erschlossenen  Kenntnisse. 

Und  treffend  hebt  Mill  hervor,  dass  bei  weitem  der  grdsste  Teil 

unsres  Wissens  (allgemeinen  sowol  wie  des  besonderen)  offenbar  aus 
Folgerungen  besteht,  l'olu'rruns^en  zu  ziehen  .sei  das  grosse  Geschüft 
deü  Lebens  genannt  wurden.    Ein  jeder  habe  täglich,  alle  Augenblick, 


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fUnleiiimg- 


125 


Thutsuihen  zu  prüfen,  welche  er  nicht  direkt  beobachtet  hat  (und  zwar 
nicht  zu  dem  allgemeinen  Zweck  der  Vermehrung  seines  Wissens,  son- 
dern weil  die  Tliataachen  selbst  für  seine  Interessen  und  Obliegen- 
heiten von  Belang  sind).  Alle  haben  gewisse  Thatsachen  zu  bestimmen, 
sie  aus  gegebenen  Wahrnehmungen  oder  Data  zu  schliessen,  und  dar- 
aufhin gewisse  Regeln  (vorschriftsmässig  oder  nach  freiem  Ermessen) 
auzuvveuden,  und  je  nachdem  sie  dies  gut  oder  übel  thun.  erfüllen  sie 
gut  oder  sciilecht  die  Pflichten  ihres  Berufs.  Die  Lo^ik  z^ic''  nun 
aber,  welche  Bezieiiungeu  stattfinden  müssen  zwischen  deti  I  ►aten 
und  dem  was  aus  ihnen  geschlossen  oder  durch  sie  bewiesen  wer- 
den kann.  Darnach  müsse  sich  in  der  Wissenschaft  sowol,  wie  bei 
Führung  seiner  Geschäfte,  ein  jeder  richten,  bei  Strafe,  falsche  Fol- 
gerungen zu  ziehen,  welche  nicht  in  der  Kealitäi  der  Dinge  be- 
gründet sind. 

„Wenn  es  Hegeln  gibt^  nach  welchen  sich  jeder  Verstand  in  einem 
jedem  Falle,  in  welchem  richtig  geschlossen  hat,  wissentlich  oder 
nnwissentlich  richtet,  ,so  scheint  es  kaum  nötig,  zu  erörtern,  ob  es 
wahrscheinlicher  ist,  dass  Einer  diese  Regeln  beobachten  wird,  wenn 
er  sie  kennt,  als  wenn  er  sie  nicht  kennt." 

Eine  Wissenschaft  könne  ohne  Zweifel  auf  eine  gewisse  Hdlie 
gebracht  werden  ohne  die  Anwendung  einer  andern  Lolü:  als  der« 
jenigen,  welche  alle  Menseben,  die  einen  gesunden  Verstand  besitzen, 
im  Verlauf  ihrer  Studien  empiriseh  erlangen.  Es  gebe  aber  eine  ge- 
wisse Grenze  sowol  in  Bezug  auf  das,  was  die  Mechaniker  ohne  die 
Gmodsatae  der  Mechanik,  als  auf  das,  was  die  Denker  ohne  die  Grund- 
sfttxe  der  Logik  zn  leisten  Term5gen.  Wenn  mehrere  der  schwieri- 
geren  Wissenschaften  noch  in  einem  so  mangelhaften  Zustand  sind, 
dass  in  ihnen  nicht  allein  so  wenig  bewiesen  wird,  sondern  auch  der 
8treit  fiber  das  wenige  „Bewiesene'*  nicht  enden  zu  wollen  scheint,  so 
Hege  der  Grund  vielleichi  darin,  dass  die  logischen  Begriffe  der  Men- 
schen noch  nicht  jenen  Grad  Ton  Ausbildung  („Aosdehnung'O  und  Ge- 
naoigkeit  erlangt  haben,  welcher  für  die  Beurteilung  der  einschlägigen 
Beweise  erforderlich  ist . . . 

80  sehr  wir  diesen  hier  im  Auszüge  wiedergegebenen  Ausfflhrungen 
snttimmen,  so  m&chien  wir  doch  eine  andere  Rficksichtnahme  in  den 
Tordergrand  stellen.  Wir  wflnschen  die  logische  Forschung  überhaupt 
nicht  vom  utiHtarischeu,  geschweige  denn  von  einem  kurzsichtig  oder 
engherzig  •  um  nicht  zu  sagen  „bomirt''  —  utilitarischen  Standpunkte 
aus  beurteilt  zu  sehen.  So  verdiente  aber  ein  Standpunkt  genannt  zu 
werden,  der  das  Streben  nach  Zutagetorderuug  und  Erkenntniss  der 


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124 


Kiniäiluug. 


Wahrheit  nur  dann  als  berechtigt  anerkennte,  wenn  dieselbe  einen 
immittelbaren  oder  sam  Yoraiu  schon  erkennbaren  Nutsen  Terspricht. 

Wir  wttnscben,  dass  die  Logik  untor  dem  wissensc^afiUdtm  6e- 
siehtsponkie  betrachtet  werde.  H5her  als  jede  Aussicht  auf  etwaigen 
Nutzen  der  Disziplin  steht  uns  ihr  absoluter  Wert  als  Selbstaweck  — 
„Wert"  als  im  Gegensatz  siur  ^^ütslichkeit"  —  steht  uns  die  Eirfor*' 
schuug  der  fttr  richtiges  Sehliessen  maassgebenden  Denkgesetse  tu» 
ihrer  selbst  unüm.  Und  welches  edlere  Ziel  k5nnte  sich  der  Intellekt 
auch  setzen,  als  das:  skh  stobst  m  erkennenl  ^  somit  die  altehrwQrdige 
Mahnung  des  Thaies,  das  yvi^t  ötmn&if  des  Weisoi  Ton  Milet  Ter* 
wirklichend. 

Nebenbei  halten  wir  ja  solches  Forschen  nach  der  Wahrheit  um 
ihrer  selbst  willen  auch  für  diejciii|j;e  'raktik,  die  den  Forderungen 
eines  vernÜLt'tigen,  weil  hinreicheud  weit  ausscLaueudeu  Utilitarisiaus 
aiu  besten  {gerecht  werdeu  muss. 

I)w  Geschichte  der  Wissenschaften  zeigt  es  zur  Genüge,  wie  erst 

durch  dieses  freie  Walten  des  Erkenntnisstriebes,  durch  das  reine,  von 

allen  Rücksichten  des  Eigennutzes,  ja  Isuti'-ei-lolges,  losgelöste  Streben 

nach  Wahrlicit,   d.  i.  die  RethUtigung  ebeu    de.s  wijiseiischaltlichen 

Geistes,  die  aüergrössten  Entdeckungen  eruiö^licbt  wurden. 

Wären  z.  B.  nicht  Jahrbuudcite  lang  in  diesem  Geiste  die  Gesetze 
jener  riitselliatlen  Krult  erforscht  worden,  mit  welcher  geriebener  Bern- 
stein, Harz  etc.  leichte  Ediper  wie  Korksttickchen,  Papiersohnitsel  anzieht, 
wftren  sie  nicht,  wie  gesagt«  ohne  jede  Aussicht  auf  praktische  Verwend- 
barkeit um  ihrer  selbst  willen  studirt  worden,  so  wttrde  auch  die  Ent- 
deckung des  elektrischen  Telegraphen  unmöglich  gewesen  sein;  als  aber 
jene  so  „unpraktisch*'  sich  anlassenden  Forschun^'cn  weit  genug  gediehen 
waren,  lag  dieselbe  auf  einmal  t>o  nahe,  dass  Mohreie  darauf  verfielen,  war 
die  Entdeckung  —  unbeschadet  de^j  Verdieubteä  Derer,  welche  wirklich  die 
letzten  Schritte  Tollf&hrten  —  schon  fast  von  selbst  da. 

Eine  Yon  diesem  Geist  beseelte  Forschung  mochten  wir  als  die 
Hochpraxis  bezeichnen  gegenüber  der  nnr  auf  greifbar  praktischen 
Nntzen  ausgehenden  Niederpraxis,  ffier  Tor  allem  dürfte  es  am  Platse 
sein  — ,  wie  der  volkstümliche  Ausdruck  fordert:  „den  grossen  Glauben 
zu  haben  und  nicht  die  ^osse  Eselsmeinung^'. 

So  trivial  die  obige  Wahrheit  in  den  Kreisen,  die  sich  mit  ernster 
Forschung  abgeben,  im  allgemeinen  glückliclierweise  ist,  ist  sie  doch 
gerade  vonseiten  Derer,  welche  die  Logik  zu  kritisiren  liebten,  nicht 
hinlänglich  gewürdigt,  oft  ganz  ausser  Augen  gesetzt  worden. 

Wir  zweifeln  nicht,  dass  jene  allgemeine  Erfahruugsthatsache, 
welche  als  ein  Gesetz  aus  der  Geschichte  der  gesamten  Wissenscliaften 
hervorleuchtet,  sich  einst  auch  bei  der  Logik  bewahrheiten  wird,  wo- 


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Einleitnng. 


125 


fern  diese  nur  erst  in  den  richtigen  Baboen  —  wofern  sie  nur  über- 
haupt einmal  —  fortschrcii^  und  nehmen  wir  das  Vorrecht  der  gänz- 
lich uninteressirten  Forschung,  das  andern  Wissenschaften  zugestanden 
ist,  anch  fOr  sie  in  Anspmeb. 

Gleich  andern  Wissenschaften  dtirfte  auch  die  Logik  einst  gan^  Un- 
geahntes verwirklichen  und  lierbeifflhren ,  dass  nebenher  in  überiasuhender 
Weise  auch  unabsehbare  Vorteile  erzielt  werden.  Um  nur  auf  oine.-v  hin- 
zudeuten, so  sind  seit  ihrem  jüngsten  Autscbwunge  bereits  drei  „logical 
machiues"  neuerdings  aufgebaut^  die  allerdings  den  ihnen  beigelegten  Kamen 
noch  kaum  sn  verdienen  scheinen,  die  nSmlich  mit  ihrer  Leistungsfähigkeit 
sich  noch  auf  einer  sehr  rudimentSren  Stufe  befindlich  zeigen  —  wie  etwa 
der  Pap  in  sehe  Topf  gegenüber  der  Bampfmaschine.  In  der  That  aber 
rermag  tlocb  Niemand  vorauszusehen,  ob  nicht  schon  bald  eine  „Denk- 
nia.-ehiue^'  konstruirbar  wird,  analog  odor  vollkommner  wie  die  Rechen- 
maschine, welche  dem  Menschen  einen  sehr  beträchtlichen  Teil  ermüdender 
Denkarbeit  fortan  abnehmen  wird,  gleichwie  die  Dampfmaschine  es  mit  der 
pby&ischen  Arbeit  erfolgreich  thnt. 

Freilich  darf  man  die  Ernte  nicht  schon  während  der  Aussaat  fordern, 
und  am  wenigsten  da,  wo  Bttume  gepflanzt  werden. 


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Erste  Yoriesung, 


§  1.  SubBTuntion. 

Hauptmittel  des  Ged&nkenausdrHcks  und  eine  Hauptform  des  Ge- 
dtakkenvollguges  ist,  wie  schon  gesagt,  die  SpracJie, 

Untersuchungen  Ober  die  Gesetze  des  Denkens  werden  wir  des« 
halb  naturgemäss  damit  beginnen,  dass  wir  deren  einfachste  Bildungen 
in's  Auge  fassen.  Kein  äasserlicli  betrachtet  wären  dies  allerdings 
Buchstaben,  Silben  und  Worte  —  die  Ergebnisse  eines  an  den  sprach« 
liehen  Gebilden  vorgenommenen  und  mdgtichst  weit  getriebenen  Zer- 
gliedernngsproKesses.  In  wesentlicher  Hinsieht  sind  es  Säige,  welche 
Aussagen,  UrkUe,  B^mipktngm  darstellen. 

Alles*)  auf  das  Erkennen  gerichtete  Denken  vollendet  sich  nam* 
lieh  in  Urteilen,  die  als  Satze  innerlich  gedacht  oder  äusserlich  aas> 
gesprochen,  in  Worte  gefosst  werden.  In  Urteilen  endigt  jede  prak- 
tische Überlegung  ttber  Zwecke  und  Mittel,  gipfelt  jede  Übereinkunft, 
um  sie  dreht  sich  jeder  Streit  In  die  Form  von  Urteilen  kleidet  sich 
der  Irrtum,  in  ihnen  auch  wird  die  Erkenntniss  der  Wahrheit  nieder* 
gelegt;  in  Urteilen  schliesst  sich  jede  Überzeugung  ab.  Und  nur  in- 
sofern sich  eine  individuelle  Überzeugung  im  Satze  ausspricht,  kann 
sie  Gegenstand  gemeinsamer  Betrachtung  werden  und  auf  die  Aner- 
kennung vonseiten  Aller  Anspruch  erheben.  Alle  andern  sprachlichen 
Gebilde  kommen  nur  in  Betracht  als  Bestandteile  oder  Elemente  des 
Satzes,  alle  andern  Geistestbätijrkeiten  nur  als  Bedingungen  oder  Vor- 
bereitungen, als  Be!jrleitersi.heiiiui)g«'ii  und  W  irkiingen  ilo>  L'itt'ils. 

Beginnen  wir  .souacL  damit,  die  Urkik  ins  Auge  zu  tasten,  wie 
sie  die  WortspracLe  als  Siitze  f'urmulirt!  Es  muss  sich  uu.s  iiit-rbei 
empfehlen,  unter  Beiseitelassuug  der  zusammengesetzteren,  zunächst 
uns  an  die  einfachsten  Arten  der  Urteile  zu  halten.  Als  solche  er- 
scheinen die  sogenannten  „hatcgoriM htti^  Urteile,  welche  sich  dar- 
stellen in  Form  eines  Satzes,  der  mit  einem  „Btthjekt^^  ein  „l^rädikaV^ 
verknü]itt. 

VV  IC  aus  der  Grammatik  bekannt,  ist  das  Subjekt  Dasjenige,  wor^ 
*;  VergL  Sigwart^  p.  9sq. 


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§  1.  SuUamtion. 


137 


fiber  etwas  auBgesagt  wird,  das  Pradikat  Dasjenige,  was  Ton  dem 
Sobjekte  ausgesagt  wird.  Die  Verbindung  zwischen  beiden  wird  sehr 
häufig  durch  ein  Hfllfsieitwort,  die  „KopM*;  vermittelt 

Am  besten  werden  wir  unsre  Betrachtungen  sogleich  an  ein 
paar  Beispiele  anknOpfen  und  erst  nachher  susehen,  inwiefern  den 
Bemerkungen,  zu  welchen  uns  diese  Beispiele  Veranlassung  gebeu, 
allgemeinere  Gültigkeit  zukommt. 

Kategorische  Urteile  einfachster  Art  sind  beispielsweise  die  in  der 
Chemie  als  richtig  anerkanuten  Sätze: 
„(Alles)  Gold  ist  Metall.*''  —  „(Alle»)  Kodisalz  ist  Chlornatrium.''  — 

Au  diese  schon  lassen  die  für  unsre  Disziplin  fundamentalen  Aus* 
einandersetzungen  sich  auf  das  leichteste  knüpfen. 

Beide  Aussagen  haben  die  nämliche  Kopula.  Als  ihre,  wie  gesagt 
übereinstimmende,  Kopula  erscheint  die  dritte  Person  siugularis  des 
Hfllfszeitworts,  verbum  auxiliare  „eein";  nämlich:  das  Wörtchen  „ist", 
welches,  hier  wie  dort,  das  zu  seiner  Linken  befindliche  Subjekt  mit 
dem  rechts  von  ihm  stehenden  Prädikate  verknüpft. 

Gleichwoi  erscheint  die  Beziehung,  welche  zwisicheu  dorn  Subjekt 
der  Aussage  und  ihrem  Prädikat  thatsäcJilicJi  besteht,  iu  dem  ersten 
Beispiel  als  eine  wesentlich  andere,  wie  in  dem  zweiten,  insofern  um« 
gekehrt  MelaU  nuki  i$mi»er  Gütd,  dagegen  cXUs  Cldormtriiim  awk  Kock- 
salä  ist  Diese  Verschiedenheit  ist  in  den  obigen  Aussagen  augen- 
scheinlich nicht  zum  Ausdruck  gebracht. 

Will  man  ^enrnm^  als  jene  Ausaoffe»  es  Ütun,  die  thatsaohliche 
Besiehung  swisehen  dem  Subjekte  und  dem  PrSdikate  hiernächst  ver* 
mittelst  eines  Besukinigsteidiens  darstellen ,  so  muss  man  ffir  das 
eiste  Beispiel  ein  anderes  Zeichen  wählen,  als  fär  das  zweite.  Man 
schreibe  etwa: 

Gold  d  MetaU.  Koclisalz  =  Chhrnatrium. 

Das  zweite  Zeichen,  =,  ist  entlehnt  den  (übrigen)  mathematischen 
Disziplinen  und  namentlich  schon  der  Arithmetik;  es  ist  das  bekannte 
jfGleidiheitsseichen".  Während  dasselbe  aber  anderwärts  ofb  nur  be- 
nutzt  wird,  um  Ubereinstimmung,  Gleichheit  in  einer  bestimmten  Hin- 
sieht auszudrücken,  z.  B.  Gleichheit  hinsichtlich  des  Inhaltes  oder 
FIScbenmaasses  bei  zwei  verschiedenen  Tielleicht  auch  Terschieden  ge- 
stalteten Flachen,  soll  dieses  Zeichen  in  gegenwärtiger  Schrift  stets  iu 
der  (inhaltlich)  weitest  gehenden  (dem  Umfang  nach  „engsten")  Be- 
deutung an%efasst  werden,  welche  ihm  überhaupt  beigelegt  zu  werden 
▼ermag.   Es  soll  uns  nämlich  die  Obereinstimmnng  in  jeder  Hinsicht, 


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128 


Eiste  Vorlesung. 


die  wUkommne  Übereinstimmung,  Einerleibeit  oder  IdmUtät  «wischen 
den  Bedeutungen  der  durch  dasselbe  verknUpften  Namen,  Zeichen  oder 
Ausdrücke  darstellen.  Es  kann  daher  das  Zeichen  "  hier  als  ,,einer- 
lei  mit^y  oder,  wenn  man  will,  auch  als  „idenHsa^if^  gelesen  werden; 
indessen  yersehlägt  es  nichts,  wenn  wir  uns  bequemer  der  allgemeinen 
Übung  anschliessend  dasselbe  einfach  als  ,^2etcb"  zu  lesen. 

Für  der  Mathematik  femer  stehende  Leser  sei  ein  für  allemal  he* 
merld^  dass  man  eine  Behauptung  der  Form 

eine  „Gleidmn^*  nennt,  und  zwar  werden  im  Deutschen  die  durch  das 
Zeichen  ■=  getrennten  sowol  als  verknüpften  Ausdrücke  schlechtweg  als 
die  beiden  ,,Seiten'^  der  Gleichung  bezeichnet;  so  ist  a  die  „linke",  b  die 
„rechte  Seite''  der  vorstehenden  GL-icliuiig  f  englisch:  letthaiid  resp.  righfc- 
haud  nwmhcrj  tratiZfisisch:  premier  und  secoud  membrCj  etc.). 

Nach  dem  Gesagten  wird  eine  Gleichung,  wie  a  =  h,  uns  aus- 
drücken, dass  ihre  beiden  Seiten  a  und  h  lediglich  Namen  für  einund- 
dasselbe  Objekt  des  Denkens  sind.  Und  zwar  sind  es  hier  für  das 
Nämliche  verschiedene  Namen.  Dieser  Umstand  jedocii  ist  nebensäch- 
lich, indem  auoli  in  dleichungeu,  wie  a  =  a,  die  beiderseitigen  Namen 
in  einen  einzigen  werden  zusammenfallen  können.  Ks  kommt  bei  der 
Gleichsetzung  oder  TdHntischsprecliuug,  IdentitätsbehauptniTj.  nicht  auf 
den  Klang  der  Namen,  niclit  auf  das  Aussehen  der  etwaigen  Aus- 
drücke, sondern  ganz  allein  auf  die  Jiedcutunf/  derselben  an. 

Daneben  mag  auch  die  psjchulügische  Wirkung  der  Namen  eine  ver- 
schiedene sein;  sie  mögen  an  verschiedene  Merkmale  von  Dem,  was  sie 
beseichnen,  zuerst  erinnern,  und  wie  in  dem  angeführten  Beispiele:  „Koch- 
salzCblomatrium'*  den  Hörer  oder  Leser  Teraalassenf  sich  Dasjenige,  was 
sie  bedeuten  sollen,  Ton  versehiedenen  Seiten  vorzustellen ,  indem  sie  je 
mit  eigentOmlichsD  Torstellungselementen  an  das  VorzusteUende  anknüpfen, 
diese  sozusagen  in  den  Vordergrund  stellend.  Achtet  man  hier  in  der  That 
auf  die  Art,  wie  die  Namen  „Kochsal//"  und  „Chlomatriuui''  zusammen- 
gesetzt i^ind,  so  wird  durch  den  erstem  Uberhaupt  nicht  an  chemische  Be- 
standteile, sondern  nur  an  die  Verwendung  des  Salzes  zum  Kochen  erinnert, 
dagegen  durch  den  letsteren  bios  hervorgehoben,  dass  das  Vonustellende 
die  chemische  Verbindung  der  Elemente  Chlor  und  Natrinmmetall  sei» 
Das  eine  Merkmal  aber:  durchaus  von  der  Besehaffenheit  des  gewöhnlichen 
zum  Kochen  verwenJoten  Salzes  zu  sein,  ist  von  dem  andern  Merkmal:  aus 
Chlor  und  Natrium  /u  Itfsiehen,  nach  lieuti^^em  Staad  der  chemischen  Er- 
kemxtuiss  unmöglich  zu  trennen,  vielmehr  damit  unweigerlich  zu  vertiuupi'en, 
und  so  ist  es  immerhin  dosM^  was  heide  Kamen  beieidraeii. 

Diesen  ihren  „logischen  Gehalt",  ihre  volle  und  eigentliche  Bedeutung, 
von  ihrem  „psychologischen**  Gehalt  zu  unterscheiden  werden  wir  bei  Namen 
sowol  als  auch  bei  Urteilen  hier  h&nfig  Veranlassung  haben. 


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§  1.  SubfiUmliuu. 


129 


Gleichwie  die  Klasseii  der  Dinge,  welche  für  Kochsalz,  und  welche 
für  Ohlornatrium  erUati  werden  müsBeni  gans  und  gar  einerlei  sind^ 
so  sind  ea  auch  die  augehdrigen  i^Begriffe"  Kochsalz  und  Ohlomatiiiutt. 
Dieselhen  hahen  nicht  nur  einerlei  „Umfangt,  sondern  auch  denselben 
jfnhM*,  identisch  dieselben  Merkmale. 

Das  andere  Zeichen  d  lese  man:  „untergeordnet',  auch,  wenn  mau 
will:  .,s!(hordinü'i\  £s  heisse  das  Unierordnungszeichen  und  eine  Be* 
hauptung,  wie 

eine  „ünierordnuf^  (aubordinatio).  Das  Zeichen  ist  ähnlich  gestaltet^ 
gewisaermassen  nachgebildet  dem  (einen)  ,,Ungleichheitszeichen''  der 
Arithmetik  I  n&mlich  dem  Zeichen  <  für  Jcleiner  (als)''.  Bekanntlich 
kann  dieses  rückwärts  als  ^grösser",  >,  gelesen  werden  und  wird  da- 
durch leicht  mit  seiner  Bedeutung  dem  Gedicbtnisse  eingeprägt  — 
einerlei,  ob  Torwarts  oder  rfii^wärts  gelesen  —  daas  man  sich  merkt: 
das  Zeichen  breite  sich  immer  vom  kleineren  aum  grösseren  Werte 
hin  ans,  oder  spitze  sich  vom  grösseren  Wert  gegen  den  kleineren 
hin  SU.  Analog  wird  auch  unser  Unterordnungsaeichen  rttckwBrts,  d.  i 
wenn  man  wiederum  TOn  links  naeh  rechts  lesen  will,  in  der  umgO' 
kehrten  Stellung,  gelesen,  als tU  rgeordmetf*  (^uperordinirt)  su  deuten 
sein.  Die  obige  Unterordnung  darf  (mit  andern  Worten)  auch  rück- 
wirta  angeschrieben  werden  als  eine  „Cberordnung"  (superordinatio): 

und  wird  die.-ier  Ausspruch  genau  da8>-e!l)e  besajjjeii,  wie  der  vorige. 

Eiuer  Vcrwetliselunfj  der  Zeichen  für  „über"-  und  „untergeord- 
net" beugt  die  Bemerkung  vor,  dass  auch  hier  das  Zeichen  seine  Arme 
oder  Zweige  jeweils  Tom  engeren  zum  weiteren  Begriff,  von  der  weniger 
umfassenden  Klasse  nach  der  umfassenderen  hin  (welche  die  andere 
in  sich  schliesst^  also  —  in  einem  gewissen,  späterhin  noch  näher  er- 
läuterten äinne  —  vom  Teil  zum  Ganzen),  somit  ebenfalla  vom  Klei- 
neren zum  Grösseren  hin  di?ergirend  ausbreitet,  wogegen  in  dem  ent- 
gegengesetzten Sinne,  TOm  weiteren  zum  engeren  Begriff  hin,  das 
Zeichen  sich  zuBpitzt  (genauer  gesagt:  spitzrundet),  seine  Zweige  immer 
enger  zusammenlauieu,  konvergiren,  um  sich  am  „Scheitel''  des  Zeichens 
SU  Tereinigen.  Die  kleinere  Klasse,  der  engere  Begriff,  steht  sonach 
immer  am  Scheitel  des  Zeichens. 

Hienach  erecheinen  auch  die  Über-  und  Unterordnungsseichen  als 
leicht  zu  merkende,  als  „mnemonische''. 

Von  den- beiden  Be^ffm  „Gold''  und  „Metall'*  wird  in  der  That 


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130 


Erste  VorUitmg. 


jener  der  |,8Dgere",  dieser  der  „weitere'^  genaunh  Dieae  Benennung 
ist  schon  you  der  älteren  Logik  eingeführt  und  zwar  augenscheinlich 
im  Einblick^  nicJU  auf  den  ^nkaU^t  sondern  anf  den  „Umfangt*  der  ge- 
nannten Begriffe. 

Der  j,Umfan^'  des  Begriffes  Gold"  setzt  sicli  zusammen  ans  allem 
Dom,  was  Gold  ist;  ilni  bildet  die  Klasse  alier  der  Substanzen  oder 
Dinge,  welche  als  Gold  su  erklären  sind.  Ebenso  bildet  die  Klasse 
aller  der  Dinge  oder  Substanzen^  welche  Metall  zu  nttinen  wären,  kurz 
gesagt:  die  ganze  Klasse  der  MeUälCi  den  sogenannten  „Umfang'^  des 
Begriffes  ^^MetalK  Die  erstere  Klasse  ist  in  der  zweiten  enthalteiii 
welche  daneben  auch  noch  Anderes  enthält,  z.  B,  die  Klasse  der  als 
Silber  zu  bezeichnenden  Substanzen,  etc  Jene  ist  wirklieh  ein  Teil 
Ton  dieser.  Die  Klasse  „Gold''  ist,  neben  noch  Anderem,  ganz  eni> 
halten  in  der  Klasse  „MetalP  —  dies  ist  also  die  Beziehung,  welche 
die  Unterordnung  „GU)ld  <^  Metall"  auszudrücken  bestimmt  ist. 

UmgMirt  aber,  wie  deren  ^Umfäng^  die  Klassen,  verhaUen  sii^ 
die  ^nkaHUf*  der  beiden  Begriffe. 

Der  iJnhalt"  oder  das  Wesen  des  Begriffes  Metall  setzt  sich  zu- 
sammen aus  denjenigen  Merkmale^,  welche  allen  Metallen  gemeinsam 
sind  und,  insgesamt,  nur  diesen  zukommen.  Dahin  geh5ren  erstlich 
diejenigen  Eigenschafteu,  welche  den  materiellen  Substanzen  Oberhaupt 
innewohnen,  erentnell  für  sie  charakteristisch  sind,  als  da  sind:  die 
Eigenschaft  der  Raumerf&Uung,  die  Eigengchait,  träge,  schwer  bu 
sein,  von  konstanter  Masse,  etc.  Und  zweitens  gehören  dazu  solche 
Merkmale,  welche  die  Metalle  von  Nichtmetallen  unterscheiden,  z.  B. 
die  Eigenschaft  „gute"  Leiter  der  Elektrizität  zu  sein,  eine  geringe 
spezifische  Wärme  zu  besitzen,  im  festen  oder  flüssigen  Zustande  das 
Licht  in  joner  eii^cntüniliclion  Weise  zurückzuwert'eu,  welche  als  ^.Metall- 
glauz"  bezeiuliiiet  und  in  der  Theorie  der  Metali reflexion  von  der  Optik 
schärfer  präzisirt  wird,  u.  a.  m. 

Alle  diese  Merknuile  des  BegriÜes  „Metall"  kommen  nun  auch 
dem  Begriflf  „Gold"  zu ,  und  da/Ai  noch  manche  andere,  durch  welche 
—  zum  Teil  —  das  (»oki  sich  von  andern  Metallen  unterscheidet,  z.  B. 
das  dem  Golde  eigentümliche  hohe  spezihsche  (iewieht,  die  Eigenschaft, 
im  retiektirten  Lichte  gelb,  im  durchgehenden  Licht  aquamanublau 
zu  eräclieinen,  seiue  Duktilität,  gewisse  chemische  Verwandtschaften 
und  anderes  mehr. 

Dem  „Inhalte"  nacli  betrachtet  ist  nun  der  übergeordnete  und 
weitere  Begrill"  in  dein  untergeordneten,  dem  engeren  mit  enthalten. 
Der  erstere  erscheint  geradezu  als  ein  Teil  des  letzteren. 


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^  1.  Subsumtion. 


131 


Im  Hinblick  anf  diesen  Inhalt  der  Begriffe,  d.  L  ihr  eigentliches 
Weten,  mUaat«  man  also  die  Baaebaug  zwischen  Qold  und  Metall  gerade 
umgekehrt,  wie  oben,  schreiben,  in  Gestalt  von: 

InhaU  des  Begriffes  Gold  ^  InhaU  des  Begriffes  V  f/; 

—  so  wenigstens,  wenn  man  die  geschilderte  mnemonische  Interpretation 
des  Beziehungszeichens  beibelialten  wiJl. 

Statt  ^  tittd  frühere  Zeicheu  <^  hier  beizubehalten  wäre  uur  angängig, 
wenn  man  diesem  eine  andere  (ebenfalls  mnemonische)  Deutung  geben, 
dasselbe  nSmlich  dahin  aaslegen  wollte,  als  ob  mittelst  desselben  das  an 
seinem  Scheitel  stehende  Objekt  sozusagen  den  Versnch  machte,  den  An- 
spruch erhöbe,  (mit  den  ausgebreiteten  Armen  des  Zeichens)  das  andere 
Objekt  /.u  umfassen,  dasselbe  in  sich  ein/nj-chliessen.  Diese  Einschlie^sniig 
als  eine  volieudete  auch  üusserlich  zur  Darateliung  zu  biingen,  indem  man 
etwa  den  Namen  des  eingeschlossenen  Objektes  in  den  des  eüischiiessendea 
bineinsetzte,  ist  ans  typographischen  Gründen  nicht  angängig. 

Die  in  nnserm  Beispiel  bestehende  Beziehung  zwischen  Gold  und 

Metall,  die  wir  also  im  Hinblick  auf  die  zugehörigen  „Klasisen"  oder 

„ümfaiige''  der  gleichnamigen  Begrifle  vermittelst  der  Formel 

Gold  C  Metall 

daraastellen  fortfahren,  ist  wesentlich  dieselbe  Bezieliung,  welche  über- 
haupt zwischen  einer  „ilr<"  und  der  ihr  übergeordneten  „Gattung''  be- 
steht, desgleichen  zwischen  einem  „hidividuum''  und  einer  f^kri",  zu 
der  dies  Individttum  nebst  noch  andern  Individuen  gehörte.  £b  ist 
im  allgemeinen: 

die  Art  ^  ihrer  Gattung,  das  Individuum  ^  Beiner  Arl^ 
die  Gattung      einer  ihrer  Arteni  die  Art  ^  einem  ihrer  Individuen« 

Bei  Art  und  Gattung  ist  der  engere  oder  Ärtbegri/f'  zugleich  der 
inhaltsreichere f  der  tceitoe  oder  Gatlungshegriff  aber  der  inhaUsä/rmere* 
Und  dasselbe  lässt  sich  auch  aufrecht  erhalten  in  Bezog  auf  ein  „In- 
dividuum" und  die  demselben  übergeordnete  „Art",  indem  mau  ja  unter 

dem  ,,JJ(<fri/J'c"'  des  gedachten  Individuums  nichts  anderes  als  dessen 
(Einzel  ) Vorstellung  selbst  versteht,  nämlich  die  Gesamtheit  aller  seiner 
Merkmale.  Als  Beispiel  sei  angeführt:  „Die  Erde  iai  ein  Planet", 
was  mit 

Erde  C  Planet 

darzustellen  ist.  Wieder  enthält  der  „Begrill"  der  „Erde"  neben  vielen 
eigentümlichen  Merkmalen  auch  alle  Merkmale  des  Begriffes  „Planet^. 

Nachdem  wir  nun  fQr  nnsre  beiden  Musterbeispiele,  die  ^^typischen'' 
Sxempel  Ton  kategorischen  Urteilen  auf  8.127,  den  Unterschied,  Gegen- 
satz hervorgehoben,  welcher  in  den  Beziehungen  zwischen  Subjekt  und 
Priulikat  bei  ihnen  zutage  tritt,  und  uns  diese  Beziehungen  in  ihrer 

9* 


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132 


Ente  Vorlesung. 


EigoDart  klar  zum  Bewasstsein  gebracht  haben,  haben  wir  die  Fähig- 
keit erworben,  sind  wir  vorbereitet,  die  wahre  Bedeutung  der  Kopula 
f,\ai**  (oder  „siod'O  '^^  erfassen,  und  uns  nach  einem  geeigneten  Be- 
ziehungszeichen zur  Darstellung  derselben  umzusehen. 

Die  Kopula  »ist**  wird  bald  die  eine,  bald  die  andere  der  beiden 
Beziehungen  ausdrflcken,  die  wir  mittelst  der  Zeichen  und  =  dar- 
gestellt haben.  Zu  ihrer  Darsiellang  wird  sich  darum  tln  aus  den 
beiden  letzten  zusammengesetstes  Zeichen  als  ein  ohne  weiteres, 
sozusagen  nunmehr  von  selbst,  Terstandliches  und  dem  Gedlehtniss 
sich  einpri^ndes  vor  allen  andern  empfehlen.  Ausf&hrlichst  wird 
dieses  Zeichen  als  untergeordnet  oder  gieieh"  zu  lesen  sein*  Und  so- 
ferne  sich  herausstellen  wird,  dass  den  an  unsem  Beispielen  gemachten 
Wahrnehmungen  allgemeine  Ooltigkeit  zukommt,  können  wir  sagen: 

Das  ktO^gorisdie  Urteil  driidit  immer  anst  dttss  das  Subjekt  (der 
Svi^jMtegr^  dem  Prädikate  {Brädtkathegriffe)  enttoeder  tmiergeordnd 
oder  eiber  mit  ihm  ideniMi  sei.  Es  wird  demnach  ursprünglich  oder 
Ton  hause  aus: 

Suhjdet  ^  Prädikat 

die  gemeinsame  luriii  aller  kategorischen  Urteile  sein.*) 

Indem  wir  nachher  an  dem  Leitfaden  ihres  sprachlichen  Aus- 
drucks die  verschiedenen  Arten  kategorischer  Aussas^eu  möglichst  voll- 
ständig durchgehen,  werden  wir  in  der  That  sehen,  dass  sich  diese 
Behau])tnng  dun  liau.s  bewahrheitet,  dass  die  erwähnte  Auffassung  sich 
wenigstens  unbcdchadcf  des  hgisdien  Gehaltes  der  betrelieuden  Urteile 
überall  anbringen,  allgemein  durchfilliren  lässt  —  allerdings  nicht 
selten  bedingt  durch  eine  Abänderung  des  „psychologischen  Gehaltes*' 
der  betreffenden  Urteile,  sowie  auf  Kosten  der  Eleganz  ihres  sprach- 
lichen Ausdruckes,  unter  Verletzung,  mitunter  auch,  des  Sprachgefühles, 
in  einer  Weise,  die  wol  in  der  That  den  Eindruck,  erkünstelt  zu  sein, 
hervorbringen  kann.  Lässt  aber  dadurch  sich  nur  bewirken,  dass  alle 
Urteile  in  einer  gemeinsamen  Form  erscheinen,  und  so  einer  eiü^emeinm 
Behandlung  zugänglich  werden,  so  ist  durch  die  Erzielung  solch*  un- 
absehbaren Vorteils  doch  der  gedachte  modus  procedeodi  vollauf  ge- 
rechtfertigt. 

Eine  Behauptung  der  Form 
1«)  a^h 

*)  Zufolge  der  sjtRter  zn  voll-cu'hendeu  Einföhrnnp,  Adjtiiigiruug  des  Begriffs 
des  «Vichts'*  wird  dit;  Wirkaauikeii  obiger  Bemerkung  für  uusre  Disziplin  uach- 
trttglich  eicgeschtilnktk  sodus  nicht  aUe  Urteile  io  jener  typischen  Pom  der  8ub- 
•nrntion  ihren  angemeaaenen  Aaadmck  im  Iblkal  werden  finden  kOnnen. 


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§  1.  Sabsnmtioo. 


133 


werden  wir  eine  Subsumtion  (Einordnnng)  nennen,  das  Zeichen  *^  das 
StisimiikmsgeiAen.  Dasselbe  könnte  auch  das  Zeichen  der  |,eTentaellen 
(oder  fekoltatiTen)  Unterordnung''  genannt  werden,  wo  das  Beiwort 
^entnell''  daranf  anspielt  nnd  in  der  That  lediglich  daranf  hindenten 
soll,  dass  die  Unterordnung  auch  in  (identische)  Gleichheit  ausarten 
kann  —  im  Gegensatz  an  dem  Zeichen  ^  der  wirklichen  oder  defini- 
tiren  Unterordnang;  „der  Unterordnung''  schlechtweg. 

Die  linke  Seite  a  der  obigen  Subsumtion  heisst  auch  der  ünier- 
betriff  oder  termmus  minor  derselben^  die  rechte  Seite  h  ihr  Oberhegriff 
oder  <ermtfit»  mn^*  [Nebenbei  bemerkt  sind  das  Benennungen,  die 
gans  ebenso  auch  bei  der  Unterordnung  a^h  anwendbar  erscheinen.] 
Ich  werde  indeas  diesen  Benennungen  in  der  Regel  die  einfacheren 
ßuhjekt"  und  Prädikat"  selbst  vor/.iolien,  und  zwar  auch  auf  eiueui 
solchen  Felde  der  Anwendung  von  Subsumtionen,  welches  mit  diesen 
der  Grammatik  (spezieller  der  Satzlehre  oder  Syntax)  entlehnten  Ge- 
bildeo  anscheinend  nichts  zu  thun  hat,  z.  B.  wenn  wir  spater  unter  a 
imd  b  in  1")  uns  „Gebiete  einer  Mannigfaltigkeit^  vorzustellen  haben. 

Wir  konnten  in  nnsern  tv;  I  <  ii  Exempeln  die  Subsumtion  1"^) 
in  Worten  durch  den  Satz  darätelieu: 

„a  ist  6" 

oder  auch  ffiUes  a  ist  V*,  Bei  der  ersteren  Fassung  muss  man  bleiben, 
wenn  das  Subjekt  a  —  der  Einzelrorstellung  entsprechend  —  ein  In- 
dividuum bedeutet,  das  ist  also  bei  den  sogenannten  ,^nnguiärm** 
Urteilen.  Z.  B.  ,,Mar8  ist  Planet",  was  logisch  dasselbe  sagt,  wie: 
„Der  Mars  ist  ein  Planet". 

Je  nach  dem  sprachlichen  Ausdruck  des  Subjektes  werden  aber 
f^r  die  Kopula  mitunter  auch  andere  Formen,  wie  z.  B.  die  Ptural- 
forin  ^ind"  zu  wählen  sein.  So  namentlich,  wenn  es  sich  um  Arten 
und  Gattungen  handelt^  z.  6. 

„(Alle)  Süuijetiere  f?ind  Wirbeltiere". 
j,(Alle)  Zweihufer  sind  Wiederkäuer". 

Xü  diesen  als  den  wol  häutigeren  Fall  woUea  wir  uns  bei  den  nächsten 
Besprechungen  vorzugsweise  halten. 

Gegenüber  den  einfachen  Zeichen  und  =  drückt  das  zusammen- 
gesetztere Zeichen  =^  (wie  schon  Peirce  betont)  gleiehuH^  die  einfadtere 
Benekmig  aus*   In  der  That  die  Subsumtion 

tagt  weniger,  wie  die  Unterordnung,  resp.  Gleichung 


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134 


Ente  Torletaog. 


Die  Subsumtion  läset  nämlich  die  umgekehrte  Beziehung,  in  welcher 
h  zu  a  steht,  offen.  In  Worten  ist  der  Inhalt  der  Aussage  2®)  oder 
3^)  je  nar  durch  gwei  Sätze  wiederzugeben,  nämlich  etwa: 

2**)  Alle  a  sind  h,  aber  nu^t  €tUe  h  sind  a, 

und 

3")  AllC'ü  sind  h,  desfjhidicn  alle  h  sind  a. 

Offenbar  stMiessm  diese  beide»  Besieku/ngen  einander  aus;  sie  können 
niemals  beide  sngleieh  wahr  seini  indem  die  letsteni  Sätae  rechts  ein- 
ander (kontradiktorisch)  wtckrspredien. 

Dagegen  gibt  1^)  den  einfachen  Satz  wieder:  „^120  »  sindlf'*  Gemessen 
nach  ihrer  Ausdrucks  fahigkeit  vermittelst  der  Wortsprache  ist  also  in 
der  That  die  Subsumtion  1^)  die'  einfachste  von  allen  drei  Aussagen. 

Die  Subsumtion  f)  hmskxHrt,  stellt  fest,  dass  irgend  einer  der  bei- 
den Falle  JS^f  3^)  vorliege,  tmd  dann  seUMverständUdi  niM  der  andere. 

Der  erstere  2®)  von  diesen  beiden  Fällen  ist  weitaus  der  häufigere, 
Bezaglich  des  leteteren  3^)  sei  zunächst  nur  hervorgehoben,  dass 
namentlich  bei  allen  Urteilen,  die  als  Begriffserklärungen,  Definitionen 
hingestellt  werden,  .heabsichtigt  dass,  diese^  als  auch  umgekehrt 
gültige  verstanden  werden. 

Z.  B.  wenn  wir  dcfmitionsimse  sagen:  „Die  (Jede)  Kugelfläche  ist 
eiue  Fläche,  deren  säintlicho  Punkte  «gleichen  Abstand  haben  von  einem 
bestimmten  Tunkte  (dem  sog.  Mittel [)unkte)",  so  ist  damit  gemeint, 
dass  auch  umgekehrt  jede  Flache  mit  konstaiiteiii  Aljstand  ihrer  Punkte 
von  eint'in  bpstimmten  Punkt  eine  Kugelfläche  (zu  nennen)  sei.  Sagen 
wir  ebenso:  ,j(Icrade  Zahlen  siud  ohne  Rest  durch  2  teilbare  Zahlen", 
so  muss  auch  der  Ausspruch  gelten:  „Ohne  fliest  durch  2  teilbare 
Zahlen  sind  gerade  Zahlen".  — 

Welcher  von  den  Fällen  2")  und  ?>^'^  bei  der  Subsumtion  1**)  Tor- 
lierre,  i'^t  manchmal  unbe^^timmt,  manchmal  zwar  bestimmt,  aber  nicht 
bekannt,  meistens  ohne  Belang. 

Freilich,  wenn  es  zweifellos  ist,  welcher  von  den  Fällen  2*^),  3**) 
vorliegt^  so  hat  die  Aussage  V^)a^h  einen  eigentümlichen  Charakter, 
den  man  durch  einen  Ausspruch  wie: 

„Paris  liegt  an  der  Seine  oder  an  der  Leine'' 
illttstriren  könnte. 

£in  solcher  Ausspruch  mag  vielleicht  albern  erscheinen,  doch  ist 
er  unzweifelhaft  richtig  oder  korrekt  zu  nennen!  Paris  liegt  allerdingS| 
wie  jedermann  weiss,  nicht  (wie  HannoTer)  an  der  Leine,  sondern  es 
liegt  an  der  Seine.  Jemand,  der  obigen  Ausspruch  thäte,  wQrde  dem- 
nach eine  Unwissenheit  fingiren,  die  man  ihm  kaum  zutrauen  mochte. 


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f  1.  Snbtumtioii. 


136 


er  konnte  sich  dadurch  den  Vorwurf  einer  gewissen  Unredlichkeit, 
Verstellung  zuziehn.  Für  den  Hörer  aber,  der  etwa  nicht  schon  von 
Toniherein  sachlich  orientirt  wäre,  der  seine  Information  über  die  Lage 
▼on  Paris  erst  aus  der  obigen  Aussage  schöpfen  müsste,  würde  diese 
Aaesage  ein  hre  führendes  psychologisches  Moment  enthalten.  Und 
dennoch:  Weniger  zu  sagen  als  man  weiss,  ist  erlaubt;  und  aus  der 
Fülle  der  verfügbaren  Kenntnisse  Dasjenige  hervorzuheben^  was  fClr 
einen  bestimmten  Zweck  verwertbar  isl^  und  demgemSss  Anderes  on- 
benutEt  zu  lassen,  ist  allgemeine  Fhais  in  den  Wissensdiaften.  (ge- 
schah dies  in  dem  citirten  Ausspruch  zwedrlos,  so  hat  es  hier,  bei  1*] 
zu  geschehen  zu  dem  Zwecke,  den  verschiedenen  möglichen  Fällen, 
die  wir  unter  2^  und  3*)  au%ezShlt  haben,  eine  einheitUche  Behand- 
lung angedeihen  zu  lassen,  wie  denn  auch  die  Wortsprache  faktisch 
für  sie  alle  der  n&mliehen  Kopula  „\s^  oder  ,^ind"  sich  bedient 

Koch  emes  kommt  hinzu,  den  obigen  (Paris  betreffenden)  Aus* 
sprach  in  jeder  andern  als  der  logischen  Hinsicht  als  verwerflich  er- 
scheinen zn  lassen:  es  ist  der  Umstand,  dass  es  hier  einen  grösseren 
Aufwand  von  Worten  erforderte,  dass  es  wmtSmUidief  war,  die  in  dem 
Ausspruch  gegebene  tmvollstftndige  Information  zu  liefern,  als  es  ge- 
wesen wSre  (in  Gestalt  des  Ausspruchs:  „Paris  liegt  an  der  Seine^ 
die  vollständigere  Information  zu  geben. 

Die  gleiche  Ausstellung  wird  man  —  anscheinend  —  uns  audi 
spater  machen  können ,  wenn  wir  in  einer  Subsumtion  a^h  das 
Zeichen  als  „untergeordnet  oder  gleich"  lesen,  während  wir  in 
einem  Falle  sehr  wohl  wissen,  dass  wirkliche  Unterordnung,  in  einem 
auUern  Falle  vielleicht,  dass  eigentlich  Gleichheit  statLimdet! 

Hier  wird  eben  nicht  ausser  Acht  zu  lassen  sein,  dass  es  sich 
för  uns,  indem  wir  ^^wntergeordnet  oder  gleich**  sagten,  in  erster  Linie 
um  eine  genaue  Daistellung,  um  charakteristische  Wiedergabe  des 
i^iunes  der  Koptda  handelte.  Das  ist  freilich  umständlicher,  als  nur 
„untergeordnet''  oder  aber  blos  ./gleich'^  zu  sagen.  Die  Wortsprache 
aber  hat  für  =^  den  J'iirzeren  Ausdruck  „ist",  wofern  sie  nicht  — 
noch  kürzer  —  dies  Beziehungszeiclien  gänzlich  unübersetzt  lässt,  wie 
z.  B.  die  russische  Sprache,  zuweilen  auch  die  lateinische  (vergl.  „ars 
longa"*,  etc.). 

Überhaupt  haben  wir  bereits  gesehen,  dass  —  im  Gegensatz  zu 
vorigem  abschreckenden  Beispiele  —  die  unvollständigere  Information 
l")  den  weitaus  kürzeren  sprachlichen  Ausdruck  in  der  Tbat  besitzt. 
Dies  aber  gilt  für  alle  Kultursprachen  und  ist  darum  nicht  etwa  blos 
für  einen  aufaliigen  Umstand,  eine  Äusserlichkeit  der  betreffenden 


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136 


Eraie  Vorletong. 


Sprachen  zu  halten,  sondern  sicherlich  tief  begründet  iu  der  Natur 
des  menschlichen  Intellektes.  Die  Subsumtion  l**)  —  können  wir 
safjen  —  drückt  bh)s  einoi  (ledanken  aus-,  die  vollständigere  Informa- 
tion 2")  resp.  3^)  aber  je  deren  zwei,  und  indem  wir  uns  statt  dieser 
letzteren  mit  diesem  ersteren  begnügen,  lassen  wir  den  einen  davon 
fallen,  sehen  wir  ab,  abstrahireu  wir  von  demselben. 

Das  Subsumtionszeichen  =^  wird  also,  gegenüber  den  Zeichen 
und        als  das  ur^^mjlichere  hinzustellen  sein.    Auf  ihm  werden 
wir  darum  auch  das  ganze  Gebäude  des  ersten  und  umfassendsten,  dea 
elementaren  Teiles  der  exakten  Logik  aufrichten. 

Übrigens  je  nach  den  Terschiedeoen  Anwendungsgebieten  des  Sub> 
sumtlonszeichens  und  -begriffes  werden  wir  daMr  noch  mannigfache 
sprachliche  Ausdrucksformen  gewinnen.  Will  man  ein  kurzes  Wort 
für  dieses  Zeichen  haben,  welches  auf  allen  Gebieten  passt,  so  lese 
man  es  etwa  als  j^geardnei^*,  oder  f^Buibf\  spreche  also  1^  als 
ffi  snb  h". 

Ein  Hauptvorzug  dieses  unbestimmteren  (die  Alternative  zwischen 
und  d  stellenden)  Zeichens  ^  tritt  in  der  Wissensdiaft  zutage, 
wo  man  sehr  viel  mit  allgemeinen  8&tzen  oder  Aussagen  (auch  For- 
meln) und  Gesetzen  zu  thun  hat,  wo  es  gerade  wesentlich  auf  die  Ge- 
winnung solcher  ankommt«  Von  der  unbegrenzten  Menge  der  Fälle, 
welche  solch'  ein  allgemeines  Urteil  a=^h  unter  sich  begreift,  findet 
da  oft  hei  den  einen  Gleichheit,  bei  den  andern  Unterordnung  statt, 
und  wird  eine  Zusammenfassung  aller  dieser  Falle  in  ein  dnheitliches 
Gesetz  gerade  eben  nur  durch  das  Subsumtionszeichen  ermdglieht.  Es 
kommt  m.  a.  W.  zumeist  vor,  dass  hei  einmdderselben  Subsumtion  l*^) 
die  Frage,  ob  der  Fall  2^  oder  der  3^  vorliege,  gar  nicht  allgemein, 
prinzipiell  entschieden  werden  kann,  sondern  sich  bald  in  dem  einen, 
bald  in  dem  andern  Siune  entscheidet^  X^m  hiezu  ein  einfachstes  Bei- 
spiel zu  geben,  werden  wir  diese  Verhaltnisse  an  den  Quadimtwniseln 
der  Arithmetik  sogleich  im  Eontext  erläutern. 

Im  Anschluss  an  das  Vorstehende  möchte  ich  auch  noch  rechtfertigeo^ 
weshalb  ich  nickt,  wie  manche  der  neueren  Antoren  Über  Logik,  für  ^ 
das  Kleinerzeicben  <  selbst  verwende,  und  demgcmSss  auch  das  Subsum- 
tionszeichen nicht  durch  das  in  der  Mathematik  schon  gebriiuchliche  Zeichen 
<  ftir  „kleiner  n  ]( r  gleich^*  daratelle,  vielmehr  besondre  Zeichen  fdr  diese 
Beziehungen  wühlte. 

Den  Ausschlag  hiefUr  gab  die  Krwägung,  dass  letztere  Zeichen  be- 
stimmt sind  und  geeignet  sein  sollen,  in  der  Arithmetik  selbst  auch  nd>en 
den  ÜDgleiehheitszeicben  verwendet  zu  werden.  Es  lassen  schon  die  Ele- 
mrate  der  reinen  Mathonatik  in  manchen  ihrer  Ab!^chnitte  sich  ohne  das 
Unteroxdnungs-  und  namentiich  das  Subsumtionszeichen  nicht  korrekt  dar- 


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§  1.  Subnuation. 


137 


stellen,  woferne  mau  bei  ihrer  Begründung  nicht  iingebOhrlicli  lange  auf 
die  Anwendimg  einer  knappen  ZeicheTi<!prache  ver7ichten  nn  1  n  it  vorluiUn 
Umschreibuiigen  sich  behelfen  will.  Und  mit  foi  t^chreitendei  Entwickeluug 
der  maiiiematischen  Wissenschaft  werden,  bin  ich  überzeugt,  diese  Zeichen 
dasBlbti  iniBier  vnentbehrlieher  werden. 

Namentlich  tritt  dies  schon  iKngst  bereits  dci  zutage,  wo  man  mit 
„vieldeutigen"  Zahlenausdrtlcken  zu  tbun  bekommt,  das  ist,  im  Elementar- 
unterricht, erstmalig  bei  der  Quadratwurzelausziehung.  Diese  ist  eine  (im 
allgemeinen)  zweideutige  Operation,  und  bekannt  ist,  wie  zuweilen  Lehrer 
sowol  als  Bücher,  indem  sie  z.  B.  in  einem  Atem  schreiben:  |/9  =  3  nnd 
daneben  auch  ~  —  3,  den  Anfiin<:^cr  (nach  dem  Satze,  dass  wenn  Jiwei 
Grössen  ein>r  dritten  gleich  sind,  sie  auch  unter  sich  gleich  sein  müssen) 
lu  dein  Fehlschlüsse  verleiten:  3  =  — ^3.  In  mehr  versteckter  Form, 
geechickt  ▼erhflUt,  liegt  dieses  Verfahren  einer  Reihe  von  aritbrnetischen 
PMdozen  sagrunde,  welche  den  Anftnger  zu  TerblQffen  pflegen. 

Der  FdUer  Virgt  m  dem  m^cchtigtcn  Q^auchf  des  Gleichheitszeichens. 
Schreibt  man  freilich:  „Silber  =  Metall*'  und  (mit  demselben  Rechte) 
,,Metall  =  Gold"  so  irelangt  man  auch  zu  dem  Schlüsse:  „Silber  =  Gold"! 
In  Bezu^'  auf  dicben  (ii^lirauch  herrscht  in  der  zeit>j[enü:^si^eheu  Mathematik 
noch  eine  gewisse  Nachlässigkeit,  hervorgegangeu  aus  der  Übertreibung 
einer  sonst  in  dieser  Disziplin  als  so  ttberaus  fruchtbar  bewShrten  Sparsam- 
keit, der  Sparsamkeit  mit  Zeichen,  welche  hier  zu  einem  Geizen  mit  solchen 
ausartet.  Es  beruht  darauf  die  MSglichkeit  zahlreicher  „Paradoxa**,  das  ist 
deduktiver  Ableitung,  scheinbaren  Beweises  von  Widersprüchen  nnd  augen- 
scheinlich falschen,  absurtlt-n  Ei^,'eV'ni.ssen  auf  Orr.nd  der  schulmässigen 
Sätze  und  Regeln,  iuUem  eben  dieac  nicht  korrekt  gewesen. 

Um  die  Sache  korrekt  zu  behandeln  muss  man  zunächst  die  als  eine 
mehrdeutige  verstandene,  die  „voUdeutige**  Quadratwurzel  von  der  eindeutig 
zu  Teratehenden  auch  in  der  Bezeichnung  sorgftltig  unterscheiden.  Jene 
wird  auch  der  allgemeine  oder  „Generalweii.**,  diese  der  Prinzipal-  oder 
„Hanptwert"  der  Wurzel  genannt.  Der  Generalwert  ist  aber  meist  eigentlich 
gar  kein  Wert  ( >o  wie  z.  B,  ein  Handschuh  auch  kein  Schuh  ist),  vielmehr 
ist  er  eine  güuze  Klasse  von  Werten.  Nach  Cauchj's  Vorschlag  kann 
man  ihn  durch  Anwendung  einer  sich  sonst  als  ,,Uberflüssig"  charakte- 

risirenden  Klammer  (vergl.  Anhang  2)   in  Gestalt  von  V'(a)  vor  dem 

letzteren,  dem  Hauptwert  V  a ,  äuszeicbiieu,  und  verwendet  man,  noch  besser, 
für  ihn  ein  doppeltes  Wuraelzeiohen  y/^  welches  ebenso  an  den  Anfangs- 
buchstaben des  Wortes  „Wnizel**,  wie  das  gewöhnliche  oder  einSGwhe  Wursel- 
zuehen  y  an  den  des  Wortes  „radix"  erinnert 

Wir  Terstehon  demnach  unter  f^a  die  Klasse  oder  Gattung,  welche 
sich  zusammensetzt  aus  allen  den  Zahlt  n,  deren  Quadrat  gleich  a  ist 

im  Gegensatz  zu  ]/a,  welches  uns  eine  bestimmte  von  diesen  Zahlen  re- 

prSsentiren  wird. 

Es  i-'t  z.  B.  die  vollde\aige  Quadratwurzel,  Volh'->(r-rf.  ans  3"  oder  9 
die  von  den  buideu  Werten  3  und  —  3  gebildete  Gattung  von  Zahlen: 

Y9  «^{.f^)    oder  kürzer  ausgedruckt:  ^9  »  +  3. 


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138 


Erste  Yorlesang. 


Und  wollen  wir  blo8  ausdrucken,  dass  3  einer  (der  6uie)  von  diesen  beiden 
Werten  ist,  ein  andermal  vielleicht,  dass  —  3  ein  solcher  (der  andere)  ist, 
80  ist  es  nur  mehr  zulässig,  hiefUr  zu  ächveibeu: 

3  C         und    —  3  C  y  9 

—  Behauptungen f  die  jetzt,  weil  sie  korrekt  sind,  nicht  mehr  zn  obigem 
Fehlschlüsse  yerleiten  kOnnen. 

In  diesem  sowie  in  fast  allen  andern  Beispielen  derselben  Art,  die 

wir  bilden  niTigen,  bestellt  zwischen  der  vnlKleuti.i^'on  Quadratwurzel  und 
irgr>nd  einem  ihrer  Werte  wirklich  die  Beziehung  der  Unterorclnuu;:,  nlim- 
licli  ilie  UnterurdnunL'  des  Individuums  unter  eine  umfassendere  Kla66e,  m 
der  es  gehört,  Wiii  man  uuu  aber  dioac  Wahrnehmung  generalisiren,  die- 
selbe für  eine  ganz  h^iebige  Zahl  o  aussprechen ,  so  darf  man  gleichwol 
nicht  sagen,  es  sei 

a     1^   und   —  a  d 

aus  dem  ü runde,  weil  diese  Aussagen  eine  Ausnahme  erleiilen  würden, 
uänilich  für  a  =  0  falscli  werden.  Da  -j-  0  und  —  0  einerlei  sind,  so 
hat»  wenn  unter  a  die  Nall  Yerstanden  wird,  auch  die  Tolldeutige  Quadrat» 
wnrzel  aus  a  nar  mehr  einen  Wert,  den  Wert  0;  die  als  ihr  „General- 
wert** SU  bezeichnende  Klasse  schrumpft  hier  in  ein  einzigets  Zahlindividuum 
znsanimen  (sie  ist  diesmal  ausnahmsweise  auch  wirklichem  „Wert'*)  und  es  ist: 

o-yo, 

gleich,  aber  niuht  untergeordnet. 

ÄVgmmn,  ftlr  jede  beliebige  Zahl  a,  gilt  daher  weder  die  Unter- 
ordnung, noch  die  Gleichung,  sondern  in  der  That  nur  die  Subsumtion: 

a  =^  und  ebenso    —  a  ll^«'- 

Und  ähnlich  ist  auch  bei  den  höheren  Wurzeln  in  der  Buchstaben- 
rechnung das  Subsumtionszeiehen  anzuwenden  der  Allgemeingültigkeit  zuliebe. 

Allerdings  wählt  die  Mathematik  von  den  eventuell  beiden  unter  die 
Klasse  "^jfa  fallenden  Werten  frühzeitig  den  einen  als  den  soj^'cnannten 
Haujtlivert  aus  und  zwar  —  bei  positivem  lladicanden,  im  Gebiete  der 

reellen  Zahlen  —  den  positiven,  den  sie  schlechtweg  mit  )/a  bezeichnet, 

sodass  z.  B.  3  =  ]/9  der  Hauptwert  und  —  3  =  —  y'9  der  Nebenwert 
der  Quadratwurzel  aus  9  sein  wird.  Und  indem  sie  fortan  voraugswoise 
mit  diesen  eindeutigen  oder  Hauptwerten  operirt,  das  Rechnen  mit  viel- 
deutigen Ausdrtlcken  nach  Möglichkeit  yermeidet,  flieht  die  Mathematik  so- 
zusagen die  Gelegenheiten,  wo  sie  ma  spezifisch  logis^es  Beiiebungsieichen 
anwenden  mUsäte.  Ähnlich,  wie  in  diesen  ersten  und  einfachsten  FftUen, 
verführt  die  Mathematik  auch  spftter  wieder  bei  den  mehrdeutigen  ana- 
lytischen Elementarfunktionen ,  d.  i.  den  logarithmischen,  cyklometri«chen 
und  allgemeiueu  Potenzfunktiouen:  sie  wendet  sich  möglichst  bald  von  deren 
Geueralwerten  ab  und  den  eindeutigen  Zweigen  die&er  Funktionen  als  den 
erwihlten  Hauptwerten  derselben  zu,  hauptsächlich  wol,  imi  nicht  einen 
komplizirteren  Zeichenapparat,  nSmlich  noch  andere  als  die  drei  Zeichen 


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I  1.  Svtmimtaon. 


139 


der  OrSssenvergleiebtttig  >,  <)  verwenden  ?ai  müssen,  dergleichen  in 
der  That  bis  jetzt  auch  keines  ganz  allgomein  rezipirt  erBcbeint. 

Aber  nicht  nur  zur  Darsfcllun.cf  clor  Beziehungen  zwischen  vieldeutigen 
/iil/!'  ndujfdf  ticken  ^oWie  ei^'eut  lich  das  Subsumtinn.^7eichen  allgemeinere  Ver- 
ucuduiig  finden,  sondern  auch  noch  auf  zahlreichen  anderen  Untersuchungs» 
gebieten,  wo  sich  einstweilen  noch  jeder  Antor  seine  eigene  bisweilen  recht 
sdiwerfÜlige  Terminologie  schaiFt  bebnfs  Darstellung  von  Besiehnngen,  die 
cinfaidi  als  eine  „Einordnung^'  zu  cbarakterisiren  wären.*) 

Wählten  wir  nun  für  die  Unterordnung  das  Zeichen  <  selbst,  SO 
würden  zahlreiche  Missverst'indnisse  ebendadurch  nahe  gelegt  worden.  Wir 
t5ntien  auch  bei  Zahlengattungen  Ä  und  also  bei  vieldeutigen  Ans- 
Jrückeo,  das  Zeichen  <  in  seinem  ursprünglichen  Sinne  verwenden,  um 
mittelst  der  Relation  Ä<.B  auszudrücken,  dass  jede  Zahl  der  Gattung  A 
Umer  sei  als  jede  Zahl  der  Gattung  B,  Doch  wenn  wir  anoh  absehen 
vollen  Ton  der  ZnlKssigkeit  dieser  immerhin  seltneren  Verwendnngsweise, 
so  sieht  man  doch  den  in  einer  Formel  beiderseits  stehenden  Ausdrücken 
nicht  immer  an,  ob  >^ie  uns  einen  oder  ob  sie  mehrere  Werte  roprä^entiren 
sollen,  wo  doch  im  ersteren  Falle  das  Zficliou  •<  piue  i^'anz  analere  Deutung 
zu  erhalten  hätte.  Bei  allen  allgemeinen  Uateiöuchuugcn  über  Zahlen- 
Uaeäen,  vieldeutige  Ausdrücke,  muss  man  vielmehr  als  Grenz-  oder  De« 
generationsfilUe  andi  diejenigen  besondem  FWle  mit  unterhMifen  lassen, 
wo  die  Tieldentigen  in  eindeutige  Ausdrücke  ausarten,  wo  die  Klassen  auf 
je  ein  Individuum  zusammenschrumpfen.  Zwischen  zwei  Zahlindividuen, 
eindeutigen  Zahl/eichen,  ist  die  eigentliche  Unterordnung  unmöglich,  un- 
denkbar, denn  das  zweite  Individuum  müsste  dann  eine  KLisse  sein,  die 
auss>er  dem  eraten  noch  andere  Individuen  enthüll  im  Widerspruch  zu  der 
Anuabrae,  dass  sie  nur  eines  enthalte,  nämlich  eine  „singulüre''  Klasse  sei. 
8ind  A  und  B  dergestalt  eindeutige  Zahlzeichen,  so  konnte  die.  Subsum« 
tion  A'^Bf  in  der  Gestalt  der  Relation  A^B  geschrieben,  doch  nur 
als  GUUSmmg  gelten,  ee  müsste  dann  A^B  selbst  sein.  Als  B^hau^piiang 

*)  Ich  will  in  dit.-.s.T  Rirlitunjj  weni^^'^tena  auf  Einiges  aufnierksaui  machen 
und  -w^eDda  mich  damit  vorzugäweiäe  au  Mathematiker:  Herrn  Georg  Ca n tu r 's 
berühmte  Untetsncbuagen  Über  die  ICannigfaltigkeitslehte  beschlftigen  sich  mit 
Benehnngen  «wischen  Punktraengen,  bei  denen  die  SnbBumtion  eöne  weaeotlicbe 
Kolle  spielt  und  durch  entspreohende  Verwendung  ihres  Zeichens  sich  erhebliche 
Vorteile  in  Sinne  knapper  Dsntellnng  erzielen  las.^cti  wHrden.  Ebenio  könnten 
die  fpocheroachenden  Untersnchnnp^en  von  Dedokin«!  über  allgemeine  Zahlen- 
tbeone  (Supplement  XI)  sowie  die  Anwendungen  der  dort  eingeführten  Begriffe 
aaf  die  Theorie  der  algöbraiüchen  Funktionen,  wie  sie  Dedekind  und  Weber  in 
ihrer  Abhandlung  in  Bd.  92  dtiü  Crelle'schen  Journab  gegeben  haben,  wol  Qber 
aektlidiar  dargestellt  werden,  wenn  statt  des  Begriffs  der  Teilbarkeit  stets  der 
4sr  Etoorinang  und  das  Subsumtions  «eichen  banutst  wfirde  Dabei  würde  auch 
*ier  für  das  Studium  störende  Umstand  vi  rmieden,  dass  bei  Moduln  der  Teiler 
•lem  Geteilten  übergeordnet  ist  —  ein  Umstand,  auf  wi-lchen  ich  durch  Herrn 
LSroth  aufmerksam  gemacht  worden.  Nicht  minder  dürfte  dipsca  Zeichen  bei 
der  Begründung  von  Herrn  Schubert 's  genialem  Kalkül  der  abzählenden  lieo- 
metrie  mit  Vorteil  2U  verwenden  t(um  I  sowie  auf  audern  GebieUiu  mehr. 


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140 


Erste  Ycnrlesung. 


hingestellti  wOrde  jene  Relation  dann  allerdings  noch  richtig'  bleiben,  jedoch 
weniger  sagen,  wenn  man  «las  Zeichen  <  in  <,  statt  als  „uutertreordnet", 
nun  als  „kleiner"  interprctirte.  Sooft  aber  solche  Relation  A  <r  B  als  Vor- 
aussctmng  hinzustellen  wiiie,  niüssten  die  beiden  fraglichen  Intorpretaiionen 
von  einen  Unterschied  geben:  es  wäre  im  erstem  Falle  die  Annalime 
^^Ä  kleiner  als  B**  dtoroli  die  Relation  auegeschlosaen,  im  zweiten  aber  in- 
gelassen.   Und  anderes  mehr. 

Unstreitig  wird  es  also  praktischer  sein,  fUr  die  Unterordnnng  ein 
von  dem  Zeichen  <  rrrFchicdnir^  Zeichen  m  wälilon.  Wenn  nnn  dieses 
fragliche  Zeirhon  mit  Kücksicht  auf  die  Anfordeninf,',  dass  dasselbe  beim 
Vor-  und  Rückvvürtslesen  imieiuonisch  interpretirbar  sei,  ebenfalls  zwei 
divergirende  Aste  besitzen  80II,  so  müssen  dieselben  gekrUmuit  genommen 
werden,  und  bleibt  (bei  Wabraog  der  Symmetrie  des  Zeichens  in  vertikaler 
lyehtnng,  d.  1.  am  die  horizontale  Aze)  gewissermassen  nur  die  KSglich- 
keit  Übrig,  dasselbe  dem  von  uns  gewählten  P'^r  ^  /-  (oder  Hjperbel)bogen 
fthnlich  %VL  gestalten  —  in  Anbetracht,  dass  ein  Zeichen  wie 

< 

bereits  vergeben  erscheint,  nümlich  nach  Paul  Du  Bois  Reymond's  Vor- 
schlag eine  ei,?ent(^mlicbo  Verwendnn;nf  -/nr  Darstellung  infinitfirer  Beziehungen 
bereits  gefunden  hat  und  auch  am  besten  tinJet. 

Man  konnte  höchstens  noch  unserm  Zeichen  anstatt  des  Scheitels  eine 
Ecke  geben;  wodurch  es  sich  aber  weniger  deutlich  von  dem  Zeichen  < 
abheben  wflrde  —  ein  Punkt  indess,  Über  den  ich  mit  niemand  streiten 
will.  [Verwendeten  wir  statt  des  Parabelbogens  einen  Kreisbogen,  so 
würde  dadurch  ein  oft  störender  Parallclisraus  mit  etwaigen  Klammerhaken 
der  hinter  das  Zoidicn  tieunden  Ausdrücke  bewirkt  werden  ] 

Das  Zeicheu  wurde  1873  von  mir  eingeführt',  ümt'assoiide  Au- 
wendungen von  den  d<uch  dasselbe  ausgedrückten  Beziehungen  der  Sub- 
sumtion möchten  wol  1.  c.  zum  ersten  mal  auf  (sozusagen)  extralogiäcbem 
Gebiete  gemacht  sein.  Ich  habe  jenes  mit  noch  einem  andern  Zeichen,  auf 
das  wir  einzugehen  haben  werden,  daselbst  verwendet,  um  ein  geschmeidigee 
Rechnen  mit  vieldeiitigett  Zahlenausdrttcken  aaszubilden,  Prinzipien  und 
Methoden  für  sulches  zu  entwickeln. 

Herr  Fei  reo  verwendet  dafür  daa  in  Amerika  bereits  ziemlich  ein- 
gebürgerte Zeichen 

welches  allerdings  drei  Jahre  früher  von  ihm  eingeführt  worden  ist;  doch 
haben  vor  ihm  auch  Augustus  De  Morgan  uud  Andere  sich  schon  be- 
sondrer von  den  angeführten  differirender  Zeichen  fSr  die  gedachte  Be- 
ziehuDg  bedient 

Ich  nu  ine,  dass  nicht  Rücksichten  auf  die  mehr  oder  weniger  zufällige 
Prioritllt  eines  Bezeichnungsvorschlages,  sondern  lediglich  sachliche  Zweck- 
mässigkeit srUcksichten  den  AnsRchlacf  dafür  geben  sollten,  welcher  Vorschlag 
etwa  allgetnein  an/nnehnieu  wäre.  In  dieser  Beziehung  könnte  ich  schon 
die  vorstehende  Auseinandersetzung  für  sich  selbst  reden  lassen.  Besonders 
möchte  ich  jedoch  noch  darauf  aufmerksam  machen,  daas  ein  vorgeschlagenes 
Beaiehungsseichen  nicht  blos  für  sich  aUein  in  Beti-acht  zu  ziehen  ist,  sondern 


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§  2.  Uar&teUbarkeit  der  Urteile  aU  Subsumtionsurceile. 


141 


tnch  ab  ein  Glied  einea  ToUatttadigen  Systems  von  Zeichen  flEir  sämükke 
logUchen  Grundbeziehungen.    Sollten  letztere  —  imincrhiu,  wie  wir  sehen 

werden,  zeJm,  oder,  wenn  man  die  vor-  und  rückwärts  verschieden  aus- 
sehenden gesondert  zählt,  rierzchv  an  Zahl  -  -  überhaupt  planmässig,  ratio- 
nell bezeichnet  werden  - —  und  dies  erscheint  bei  ihrer  grossen  Anzahl 
dorchaus  wünschenswert  —  ao  wird  aich  zeigen  lassen,  dass  mein  Vorschlag 
nidit  mir  aweckentspreeh^d,  nrndera  auoh  fisst  der  einzige  ist,  der  thnnlieh 
«neheini  Yergl.  die  spfttere  Besprecbung  der  sftmtliclien  Zeichen  in  §  34  sq. 

Jedenfalls  dtlifte  sich's  empfehlen,  auf  die  Gestaltung  neu  einzuführender 
Zeichen  eine  grosse  Sorgfalt  zu  verwen  Ir  n.  Denn  ist  ein  ungeschiclct  ge- 
wihltes  Zeichen  einmal  wirklich  oingebiiigert,  so  möchte  wol  eine  Abhülfe 
brnm  minder  schwierig  durchzut Uhren  sein,  als  etwa  der  Plan,  den  Schienen- 
weg, Fahrdamm  einer  uuzweckmässig  gelegten  Eisenbahnlinie  wieder  in 
iniGbibares  Ackerland  zu  verwandeln! 

Ich  echlieese  diesen  Exkurs  mit  der  Anftthrung  eines  in  der  Über- 
Mtsong  von  mir  etwas  gemilderten  Ausspruchs  von  A.  De  Morgan,  nach 
Peirce's  von  mir  geteilter  Ansicht^  eines  der  scharfsinnigsten  Logiker,  die 
existirten.  Derselbe  stellt  am  Schlttsse  seines  Syllabus^  die  beiden  folgenden 
Tbatsachen  eluauder  gegenüber. 

Erstens:  die  Logik  ist  die  einzige  Disziplin,  welche  seit  dem  Wieder- 
tafleben  der  Wissenschaften  (siuce  the  revival  of  letters)  keine  entsprechenden 
Fortsdiritte  gemacht  hat. 

Zweitens:  die  Logik,  ganz  allein,  hat  keinen  Znwaehs  an  Zeichen 
(qrfflbols)  herrorgebncht. 

Kr  sagt  gerariezn  ,,h'im  Fortschritte^  was  bekanntlich  anch  Kant 
mit  aller  Schärfe  behauptet. 

I  2.  Vorlftollge  Betmohtiuigeii  über  Daxstellbaikeit  der  Urteile 

■In  Sabenmtionsiutelle. 

Es  erübrigt  uns  noch,  nachzusehen,  inwiefern  jedes  Urteil  als  ein 

;,Subaumtionsurteil"  angesehen  werden  kann.    Zunächst  wenigstens 

wird  dies  für  die  kategorischen  Urteile  zu  zeigen  sein. 

Für  muht-kategorische,  nämlich  die  aus  verschiedenen  TeiLätzcu  mittelst 
Konjonktionen  —  wie:  „wenn  , 90  <,**,  „erüweäer  . oder",  „weder  . 
Meft",  ,,iiiqU  mir  . somlsm  muh  »feiffluh",  „weä^',  und  andere  — 
zasammengesetzteii  Urteile  kann  erst  im  Lanf  der  Entwickelimg  unsrer 
Theorie  nach  und  nach  dargethan  werden,  dass  und  auf  welche  Weise  sie 
ihrem  logischen  Gehalte  nach  vollständig  darstellbar  siud  mit  Hülfe  des 
Subsumtionjjzeichens  selbst  oder  auch  anderer  Zeichen,  deren  liedeutung 
jedoch  auf  den  Subsumtionsbegriff  zurUckführbar  ist,  welche  sich  in  der 
That  aas  dem  letztern  ableiten,  auf  Qrund  desselben  definiren  lassen. 

Als  „Ding"  oder  Objekt  des  Denkens,  von  welchem  in  einem  Satze 

etwa^  ausgesagt  wird,  und  welches  demnach  dessen  „Subjekt"  bildet, 

kann  auch  ein  selber  als  Satz  forniulirtes  Urteil  auiLreteu  und  ebenso 

kanA  dasjenige,  was  von  jenem  prädizirt  wird,  bestehen  in  der  Hervor- 


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142 


Erste  Vorlesung. 


hebnng  einer  Besiehungi  in  der  ein  zweites  Urteil  zu  jenem  ersten 
steht.  Dergleichen  Urteile/'  welche  anstatt  Yon  beliebigen'*  andern 
Dingen  zunächst  selbst  wieder  nur^von  Urteilen  bandeln,  nehmen  in 
der  Lehre  Ton  den^Urteilen  eine  bevorzugte,  eine  Sonderstellung  eio. 

Dahin  gehören  vor  alleni  die  sog.  Jti/j'OÜafiscJicn''  (vergl  §  28)  und 
die  „diiijutüSive»**  Urteile  (vergl.  §  15  und  31),  ferner  aber  auch  Urteile, 
welche,  indem  sie  z.  B.  Yerba  wie  |,lcOnnen*'  oder  ^fmflssen*^  oder  Adrerbia, 
wie  „Tielleicht**  etc.  enthalten,  auf  die  Möglichkeit  oder  Notwendigkeit  der 

Zulassung  eines  gewissen  Urteils  hinweisen,  im  Grunde  also  auch  nur  von 
diesem  selbst  etwas  unmittelbar  prädiziren,  er.-t  mittelbar  auch  über  die 
Diugo  aussagen,  welche  die  os  Urteil  betrifft  (veigl.  §54);  endlich  gehören 
dahin  die  im  öinne  Sigwart  a  aufgefassten  „verneinenden*'  Urteile  (Urteils- 
▼emeinangen  »  vergl.  §  15  und  31). 

Alle  solchen  Urteile  werden  von  L5oole  .sckuiuUin'  oder  Urteile 
der  zweiten  Klasse  »fenaiint  und  uegenübergestollt  den  primären  oder 
Urtüiieu  der  ersten  Klasse  (zu  denen  im  ullgemeiucu  die  kategorischen 
gehören),  welche  nämlich  nicht  iuiplicite  erst  von  Urteilen  sondern 
sogleich  von  den  Dingen  selbst  handeln.  Als  die  eiul'achereu  habeo 
wir  vorerst  nur  diese  letzteren  zu  betrachten. 

Auch  für  die  kategorischen  Urteile  müssen  wir  jedoch  im  üinblick 
auf  den  fast  unerschöpflichen  ßeichtum  der  Wortsprache  und  ihrer 
Ausdrucksmöglichkeiten  darauf  verzichten,  die  Aufgabe  der  Erbringung 
fraglichen  Nachweises  hier  mit  dem  Anspruch  auf  formelle  Yollstündig- 
keit  zu  lösen.  Wir  begnügen  uns  —  und  dies  dürfte  auch  genügen 
—  an  der  Hand  einiger  Beispiele  nur  für  die  Tornehmsten  Ausdrucks- 
formen der  Sprache  zu  erläutern  und  Anleitung  zu  geben,  in  welcher 
Weise  die  Darstellung  zu  vollziehen  ist 

Besonders  kommt  es  dabei  uns  noch  darauf  an,  das  Verfahren  aueh 
gegen  unbillige  Beurteilung  in  Schatz  zu  nehmen. 

Im  Urteil  gibt  sich  ausser  dem,  was  wir  seinen  „logischen  Gehalf* 
nennen,  oft  ein  gutes  Teil  von  Stimmuug,  GefQhl  nnd  Absicht,  Streben 
des  Redenden  kund  und  ruft  Verwandtes  (oder  auch  Entgegengesetztes) 
hervor  in  dem,  der  es  vernimmt  Je  nach  der  Form  seiner  sprach- 
liehen  Einkleidung  bleibt  dabei  oft  mancherlei  „«tptseften  den  teilen  8u 
lesen**  (vergl.  des  Dichters:  „Was  er  weise  verschweigt,  zeigt  mir  den 
Meister  des  Stils"  sowie  das  geflügelte  Wort:  „Man  merkt  die  Absicht 
und  man  wird  verstimmt*  u.  a.).  Es  legt  der  Satz  häufig  Neben- 
gedanken nahe,  auf  deren  Gestaltung  schon  die  Art  und  Weise  seiner 
Betonung  von  grossem  Einfluss  sein  kann;  gewisse  Gedanken  bereitet 
der  Satz  vor  zu  leichterer  Krweckung,  woferu  er  sie  nicht  selbst  schon 
völlig  wachruil,  für  andere  präjudizirt  er  hemmend  und  vorbeugend. 


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§  2.    Darstellbar keit  der  Urteile  als  SubButntionsurtelle. 


143 


Man  wird  z.  B.  dessen  inne,  wenn  man  im  nächsten  besten  (Frage)- 
Satse  die  Emphase,  den  Nachdruck  der  Reihe  nach  aufs  erste  oder 
aber  sweiie  n.  s.  w.  bis  letite  Wort  legi 

Z.B.  „. .  Wenn  Sie  den  Mut  haben!**  „Hat  er  dieLisette  geheiratet?*'  Ete. 

Ich  will  dabei  nicht  reden  von  Fällen,  wo  die  Betonung  geradem  den 
Sinn  des  Satzes  selbst  veräuclmt,  wie  der  bekannt n  Ausspruch:  „von  der 
Seite  kannt'  ich  dich  noch  nicht"  dies  erfulir,  als  ein  schlechter  Schau- 
spieler mit  der  Betonnng:  „von  der  Sfitr  kiinnf  ich  dich  noch  nicht''  den- 
selben deklamirte.  Ich  will  nur  reden  von  den  Wirkungen  det>  Sai>ieä,  die 
unbeschadet  seines  logischen  Gehaltes  nebenher  gehen  ktionefi.  So  sagt 
S.B.  der  Ansdmch  „Meine  Wenigkeit**  logisch  nicht  mehr  als  „ich**;  eisterer 
aber  hat  einen  Bsigeschmai^  von  affektirter  Bescbeidenhnt.  Etc. 

Von  einem  mitunter  gans  beträchtlichen  Teil  dieses  lebendigen 

Inhaltes,  des  f^psgMogixJim  GMUsf*  des  Urteils  sieht  ohnehin  die 

Logik  ab  —  nicht  nnr  die  nnsrige^  die  Logik  des  ümfangesy  sondern 

die  Logik  Qberhanpt.  Diese  kümmert  sich  nm  das  Urteil  nur  insofern, 

als  es  mit  dem,  was  es  ausdrücklich  ausspricht,  wahr  oder  &lsch  ist, 

resp.  durch  die  Konsequens  zu  denken  geboten  oder  weiteres  su 

denken  nütigend. 

Wie  aber  der  ,ßogi8€he  Gt^aU**  des  Urteils  hienach  nur  als  ein  Ans- 

zog,  ein  Excerpt  aus  dessen  spradiiich  angeämtdem  Gehalte  erscheint,  so 
verhält  sich  wol  auch  schon  dieser  zu  dem  ihm  zugrunde  liegenden  Gedanken 
nnd  mag  der  Dichter  (Victor  v.  Scheffel)  recht  haben,  wenn  er  sagt: 

„Die  Sprache  ist  ein  edel  Ding, 

Doch  hat  sie  ihre  Schranken; 

Ich  glaub",  noch  immer  tehU  s  am  Wort 

Für  die  feinsten  und  tiefsten  Gedanken." 

Dieser  Auffassung  gemäss  soll  nun  auch  nicht  beliauptet  sein, 
dass  durch  die  beabsichtigte  Darstellung  eines  Urteils  als  Subsumtion 
dasselbe  etwa  nach  seiner  psydiologischen  Natur  genauer  dargelegt,  dass 
es  damit  in  irgend  einer  andern  als  eben  nur  der  logiichen  Hinsicht 
angemessener  oder  besser  dargestellt  werde! 

Als  Beispiel  betrachte  man  das  Urteil:  „Die  Wanderheaschrecken 
haben  ihre  Ohren  an  den  Waden'^  Wir  bestehen  darauf,  dass  dieses 
logisch  äquivalent  ist  mit  dem  Satze:  „Die  Klasse  der  Wanderheu- 
schrecken ist  enthalten  in  der  Klasse  der  Geschöpfe  (Wesen  oder  über- 
haupt „Dinge''),  welche  (ihre)  Ohren  (Gehdrorgane)  an  (den)  Waden 
tragen*'.  Keineswegs  jedoch  soll  damit  etwa  unterstellt  oder  für  die 
Auffassang  plädirt  werden,  als  ob  der  Hörer  in  seinem  Geiste  bereits 
Torgebildet  habe  die  Yorstellong  einer  Klasse  von  Wesen,  die  das 
Gehl^rorgaa  an  der  unteren  Hilfte  der  ExtxemitiLten  besitsen,  nnd  dass 
er  nun,  nachdem  er  durch  das  Urteil  von  der  Thatsaehe  in  Kenntniss 


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144 


Erste  V  oilehuug. 


gesetst  ist^  in  diese  yorratige  Klasse  auch  einfacli  diejenige  der  Wander- 
heusciirecken  „eisordne''. 

Im  Gegenteil:  die  Thatsaclie  wird  wol  den  meisten  Lesern  Ober- 
raschend und  neu  sein,  so  wie  es  z.  B.  auch  in  weiteren  Kreisen  un- 
bekannt  sein  mag,  dass  eine  Krebsart,  Mysis,  das  Gehörorgan  sogar 
an  den  Schwanzflossen  trägt.  Ein  solches  Urteil  wird  uns  nicht  schon 
im  Besitz  der  Prädikatklasse  antreffen,  sondern  uns  höchstens  Veran- 
lassung werden,  dass  wir  eine  solche  Klasse  erst  aufstellen.  Wesent^ 
lieh  wird  jenes  Urteil  nur  unsern  Begriff  von  den  Wanderheuschrecken 
berichtigen  oder  vervollständigen,  uns  nötigend,  diese  Tiere,  während 
wir  bislang  bei  ihiicü  an  Geliüror«ianc  vielleicht  niemals  gedacht  haben, 
fortan  mit  Trommelfellen,  T\ mpanums,  zu  beiden  Seiten  jedes  Schien- 
beins*)  ausgestattet  zu  denken. 

Auch  der  sprachliche  Ausdruck  uusrer  al-  Lltji.Npiel  gewählten  Aus- 
sage ist  durch  die  Umschreibung  nur  sciiwerfälliger  geworden.  Un- 
streitig aber  gibt  diese  Umschreibung  doch  die  nämliche  Information 
wie  die  urs])riingliche  Aussage,  und  ihr  Vorzug  besteht  darin,  das»  sie 
die  Beziehung  zwischen  dem  Subjekt-  und  dem  Prädikatbegriffe  rein 
nach  (krm  I  mfangsvcrhäUmsse  darstellt,  wodurch  diese  Beziehung  ia 
der  auf  das  Suhsumtionsze'icXimi  gegründeten  Zcichmsprachc ,  in  Gestalt 
von  a=^bf  nunmehr  ausdrückbar  wird.  Und  die  Vorteile  solcher  Aus- 
dmcksweise  —  wo  immer  es  sich  um  logische  Fragen  handelt  — 
werden  im  weiteren  Vertblg  unsrer  Theorie  genugsam  zutage  treten. 

Ähnliche  Bemerkungen,  wie  an  das  Vorhergegangene^  würden  nun 
auch  mutatis  mutandis  an  manche  der  nachfolgend  auzuf&hrenden  Bei- 
spiele sich  anknüpfen  lassen;  indess  werden  wir  nicht  mehr  ausdrück- 
lich darauf  hinweisen. 

Eines  aber  sei  hier  noch  hervorgehoben:  in  Bezug  auf  vemeinenek 
Urteile. 

Es  ist  geltend  gemacht  worden,  die  durch  eine  Verneinung 
geforderte  permanente  Sonderang,  Äuseinanderhaltung  oder  jn^eitmifi^ 
von  Merkmalen  sei  so  wesentlich  verschieden  von  der  durch  ein  be- 
jahendes Urteil  angeregten  Verknüpfung  solcher,  dass  es  keinen  Wert 
habe,  beide  Operationen  unter  demselben  Gesichtspunkt  zu  betrachten, 
unter  ein  gemeinsames  Schema  sie  zu  bringen.  Dies  aber  dürfte  doch 
absprechend,  vorschnell  geurteilt  sein. 

Sagen  wir  z.  B.  „das  Wasser  sei  uiclit  zusammeudriickbar  (inkompres* 


•)  Diese  Auadruck sweise  ist  begreiflich  eine  antbroporaorphistieche.  Bei 
Insekten,  Beuachreckeu  von  „Waden'^  zu  reden  ist  jedoch  in  der  Zoologie  rozipirt. 


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§  'J..    Darstellbdi'keii  der  Urteile  als  bubsumtioasurteile. 


145 


abel)*',  so  fordern  wir  psycbologiech,  dasB  die  Vorstellong,  das  Merkmal 

der  ZuBammeadrltckbarkeitt  ivie  es  elastisehen  nnd  namentlich  elastisch 
flüssigen  Körpern  zukommt,  atisj^escbieden  werde  ans  dem  Begriff  des 
Wassers,  falls  es  etwa  irrtümiich  in  denselben  aufgenommen  worden  sein 
sollte,  und  andemfalles,  dass  diese  Vorstellung  seiner  Bildung  wenigstens 
fem  bleibe,  dass  sie  nicht  in  die  Vorstellang  des  Wassers  eingehe. 

Nun  Iftsst  auch  dieses  Urteil  als  mne  Subsumtion  sieh  ansehen,  be- 
sagend, dass  die  Klasse  der  als  „(flOssiges)  Wasser**  an  beseichnenden  Dinge 
eniJbattefi  sei  in,  gtkOrt  m  der  Klasse  der  nicht  ansammendraokbaren  Snb- 
BtauoL  oder  I>inge^ 

Diese  Ümformung  des  Urteils  geschieht  auch  hier  der  logischen  ' 
Technik  zuliebe  und  sie  hat  den  gleichen  Wert  wie  in  den  Übrigen 
Fallen;  sie  wird  erforderlich  sobald  man  auf  die  Umfangsbeziehuugen 
zwischen  dem  Subjekt^  ond  dem  Prädikatbegnffe  reflektiren  wiU 
(and  zwar,  wie  man  später  sehen  wird,  einerlei,  ob  man  als  letzteren  das 
Merkmal  der  Zusammendrtickbarkeit  oder  aber  das  der  Inkompressibilitttt 
gelten  lassen  mag). 

Und  solcher  Reflexion  kaun  cm  wissenschaftlicher  Wert  tbenso- 
weniir  abgesprochen  werden,  als  etwa  der  einseitigen  Hervorhebung 
der  chemisclr»'))  Zusammensetzung  (oder  vielleicht  der  GewichtsverhiUt- 
nisse)  von  bubstanzen,  deren  eine  aus  den  andern  als  eine  Verbindung 
heiTorgeht. 

Des  weiteren  wären  hiezu  noch  die  unter  d^)  der  -Einleitung  an* 
gestellten  Betrachtungen  heranzuziehen. 

Man  wird  finden,  dass,  wer  da  gegen  das  Verfahren  der  Logik 
des  Umfanges  eifert,  allemal  dabei  aus  der  Holle  des  Logikera  eigent- 
lich iKraiisfallt,  u&mlich  anstatt  daran  festzuhalten,  dass  es  dieaer  um 
normative  Bestimmungen,  um  einen  Kanon  des  Denkens  zu  tbun  i^ein 
muBfly  sich  (unbewusät)  auf  den  Standpunkt  stellt,  als  ob  es  vielmehr 
ankäme  auf  eine  naturwissenschaftliche  Analyse  der  psychologischen 
Vorgänge  beim  wirklichen  Denken.  Namentlich  hat  die  exakte  Logik 
oft  Veranlassung^  sich  Ton  der  Sprach  form  zu  befreien;  „denn  wie 
lehr  auch  die  letztere  —  sagt  treffend  Fr.  A.  Lange^  p.  94  —  sich 
dem  natfirlichen  ond  gewöhnlichen  Denken  anschnuegt,  so  ist  es  doch 
nicht  Sache  der  Logik|  dieser  Natttrlichkeit  zu  huldigen,  sondern  Tiel- 
mehr  an  scheiden  und  klar  su  stellen,  was  wirklich  logisch  ist  in  den 
Gebilden  der  Sprache  nnd  was  nichl'* 

Nach  diesen  Vorbemerkungen  können  wir  unarer  eigentlichen  Auf- 
gabe, die  nun  erhebliche  Schwierigkeiten  nicht  weiter  darbietet,  jetst 
niher  treten. 

Zunädtit  gSA  et  FiäU,  teo  die  StOtmmHon  (auob)  nickt  dm  vcUm 
(logiseheii)  JrMU  des  kaUgoritehm  UrfeUs  «iedergibi. 

Scnton»  Algttbi»  4*r  Logik.  10 


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Erat«  Vorleauog. 


Dies  tritt  dann  ein,  wenn  iu  dem  Urteil  ein  Fingerzeig  enthalten  ist» 

ob  die  KopuU  Unterordnung'  odti  ol»  bif  Glf^lclilieit  bedeutet,  wenn  das 
Urtoil  seibat  die  eine  von  diesen  beiden  Interpretationen  auescblieset.  Sagen 
wir  z.  B. 

„1001  ist  eine  von  den  durcb  11  uud  13  teiibdien  Zühien  oder  auch: 
„Sautoiin  ist  eine  von  den  zshlreiehen  Inseln  im  griechischen  Arcbiper\ 
80  encheiat  zwischen  Snbjekt  nad  Prftdikat  die  Beaehnng  der  identischen 
Oleidlheit  Äusge-^chlossen,  und  drückt  daa  Urteil  eine  wirkliche  Unter- 
ordnung aus.  Eb  wird  hier  eben  im  Urteil  selb;>t  das  Prädikat  als  eine 
Mehrheit  von  Individiien  gesenüher  dem  als  eine  Mtmlrhelt  (vorbin  sogar 
•  als  nur  ein  Individuum)  sich  uaibtellenden  Riibjekte  hiii^'estellt. 

Sehen  wir  dagegen  daü  Prädikat  mit  dem  bestimmten  Artikel  verbunden 
(der  allerdings,  wie  schon  erwihnt,  in  manchen  Sprachen,  wie  im  Lateinischen 
and  Bnssischea  fehlt),  oder  wird  —  was  wesentiieh  auf  dasselbe  hinaus- 
kommt —  das  Prttdikat  mit  dem  hinweisenden  Fürwort  rpronomen  demon* 
strativnm)  „der-,  die-,  dasjenige''  (im  Plural  „diejenigen")  eingeleitet,  so 
beansprucht  und  orhült  die  Kojinla  die  asserlorische  Kraft  des  Chlchheils- 
zeichens,  versichert  die  Identität  zwischen  öubjekt  und  Prftdikat  und  schliesst 
die  Unterordnung  aus.    Z.  B. 

„Gerade  Zahlen  (noch  deuüieher:  Die  geraden  Zahlen)  sind  äU  durch  3 
teilbaren  Zahlen/* 

„(Die)  Primzahlen  sind  dU^fmigm  Zahlen,  welche  swei  und  nnr  swei 

Teiler  haben." 

,.X.  X.  ist  dftr  Dieb  (sc.  welcher  den  yermisäten  Gegenstand  entwendete)." 

„Iridium  ist  das  schwerste  Metall.'' 

„Jener  Herr  ist  sein  Vater''  ^soU  heissen:  der  Vater  dieses  Herrn).  Etc. 
Hieriier  gehören  auch  die  Fälle,  wo  das  Prftdikat  ein  Eigenname  ist, 
also  nicht  —  wie  es  sonst  als  die  fiegel  erscheint  —  einen  allgemeinen 
Begriff,  sondern  etwas  Individuelles,  ein  spezielles  Objekt  des  Denkens  bo* 
zeichnet,  s.  B. 

,,Dicser  FIush  ist  der  Rhein."   „Diese  Stadt  ist  Berlin.**   ,|Der  Dichter 

jener  <  )do  war  Horaz." 

In  dieser  besondern  Art  von  „öinguiären"  Urteilen  drückt  die  Kopula 
ebenfalls  die  Identität  des  Subjektes  mit  dem  i'rädikate  aus. 

Dasselbe  gilt  von  Aussagen  wie  „2  mal  2  ist  4",  wo  das  Prtfdikat  ein 
Zahlenittdividuum  ist  und  die  Kopula  die  Versieherong  der  arithmetischen 

Gleichheit  zwischen  Subjekt  und  Priidikat  gibt,  die  hier  übrigens  mit  der 
identischen  Gleichheit  in  gewis  ein  Sinne  zusammenfällt  (sofern  es  üblich 
ist,  alle  einander  gleichen  Zahh.Mi  durch  ein  einziges  den  Zahlenort  mar- 
kirende.s  Zahlenindividuum  vortreten  zu  lassen). 

Zu  den  hiermit  gekouu/.eichueteu  Fällen  treten  uoch  solche  von  spe- 
ziellerem Charakter  hinzu,  die  man  passend  als  die  „CrreozftUe**  besmdinen 
kann,  wo  nftmlich  „nichts*^  oder  „etwas"*  resp.  „altes'*  als  Subjekt,  be- 
ziehungsweise Prädikat  auftritt  (wie  z.  B.  bei  dem  Satze:  „dies  ist  alles"). 
Diese  werden  wir  erst  in  einer  späteren  Vorlesung  (§  9)  berücksichtigen. 

Wird  da<?  Subjekt  mit  a,  das  Pr:i  llkit  mit  h  l>e/.«ichnet,  so  ist  a  Ij 
der  Volle  Sinn  der  Auss-^jjen  ersterer  und  '/  =  l>  derjenige  der  Aussagen 
letzterer  Art.    lu  beiden  i* allen  gilt  aUo  gewiss  die  Subsumtion  a  =^  b 


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%  2.   Darstellbarkeit'Uer  Urteile  als  SubäumtioDSurteiie. 


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und  drQekt  wehigstens  einen  Teil  des  (logischen)  Inhalts  nnsrer  Urteile 

liditi^  aus. 

Zu  derselben  muss  aber,  um  die  Urteile  vollständig  wiederzugeben, 
noch  etwas  hinzugefügt  werden,  und  zwar  in  dem  zweiten,  dem  Falle  der 
Glejchheit  a  =  6,  wo  eben  das  Urteil  auch  umgekehrt  gilt,  iuvertibel  oder 
reiLiprokabel  erscheint,  ist  zu  der  Subsumtion  a  ^  b  noch  eine  zweite  Sub- 
inmtton  6     a  hinsnsusetien. 

Was  2u  der  Subsumtion  a^b  noch  aosnmerken  ist,  damit  die  Unter' 
Ordnung  a  d  TollsULndigen  Ausdruck  finde,  werden  wir  erst  sehr  Tiel 
Spiter  in's  Auge  fassen  (17.  Vorh'suni,^). 

Es  gehören  eben  die  angeführten  Fälle,  wenngleich  sie  in  i^frarnrnnH- 
kalischer  Hinsicht,  d.i.  schlechtweg,  zu  den  einfachen  Urteilen  xühlen  jr  n  n, 
doch  zu  den  „in  logischer  JJtnsicJit  zusammengeseislcn"  (so  wenigsteaa  vom 
slemmtarsten  Standpunkte  aus  betrachtet). 

Verwdlen  wir  nur  mehr  bei  den  auch  im  engsten  Sinne  »ein' 
fachen"  Urteilen  —  das  sind  diejenig«k,  in  welchen  die  Frage  nach  der 
ümkehrbarkeit  des  Urteils  unbeantwortet  gdasson  ist  —  bei  welchen  also 
offen  bleibt,  ob  das  durch  Vertanschung  von  Su1>jekt  nnd  PrSdikat  sich 
tri^obende  Urteil  ?ilt  oder  nicht  ^nll,  uünilich  dieser  Umstand  —  wenn 
auch  vielleicht  nebenher  bekannt  oder  aus  der  Sache  ersichtlich  —  doch 
in  dem  Urteil  selbst  nicht  a       iriickt  erscheint. 

liier  behaupteten  wir  —  kann  man  iuimer  Subjekt  und  l'riidi- 
kat  als  Klaaaen  auffassen  und  den  logischen  Gehalt  des  Urteils  da- 
liurch  vollkommen  wiedergeben,  dass  man  es  interpretirt  als  die  Ver- 
sicherung (Assertion):  Die  Subjektklasse  ist  ganz  enthalten  in  der 
Prädikatklasse.  Man  wird  demnach  auch  sprachlich  durch  geeignete 
Umschreibung  —  ohne  dadurch  den  logischen  Gehalt  des  Urteils  zu 
alteriren  —  die  Kopula  immer  auf  das  Wörtchen  ^st^'  hinausspielen 
können. 

üiezu  ist  es  freilich  erforderlich,  dea  Begriff  der  y^asse^'  nicht 
allzu  enge  zu  fassen. 

An  schwach  besuchten  Schulanstalten  kann  es  vorkommen,  dass 
eine  SchQlerklaaae  auch  einmal  nur  einen  Schiller  besitzt,  Tielleicht 
iogar  gar  keinen.  Analog  diesem  schon  im  gemeinen  Leben  Tor- 
kommenden  Pi^edensfalle  werden  wir  hier  das  Wort  ^^Klasse^  immer 
in  solchem  Sinne  nehmen,  so  uteU  fassen,  dass  auch  der  Fall  zugelassen 
cncheint,  wo  die  Klasse  nur  em  Individunm  enthält,  sich  auf  ein 
telches  beeehrankt,  in  ein  solches  gewissermassen  sosammenziehi. 
Sogar  dem  „Nichts**  als  dem  Fall  einer  gar  kein  Individuum  ent- 
haltenden oder  leeren  Klasse  werden  wir  späterhin  seinen  Platz  unter 
den  Klassen  einräumen. 

Im  übrigen  wollen  wir,  was  unter  einer  „Klasse"  und  was  unter 

fciüem  „indiTiduum''  zu  verstehen  sei,  zunächst  nicht  weiter  erörtern. 

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Ente  Vorlesang. 


Jedermann  Teratebt^  was  gemeint  ist,  wenn  man  spricht  von  der  Ivla";^'^ 
der  Saugetiere,  einer  Klassey  von  der  jedes  einzelne  Säugetier  ein  Indi- 
viduum vorstelltj  oder  Ton  der  Klasse  der  Dinge,  welche  diese  oder 
jene  Eigenschaften  beeiisen.  Znm  Überfluss  mögen  htena  die  Betrach- 
tungen unter  dg)  und       der  EHnleitnng  nachgesehen  werden: 

Wur  sind  tm  stände  irgend  uMte  Objdete  des  Denkens  als  ffJndi- 
viduen"  eu  einer  „Klass(f*  eu  vereinigen  („eusammeneufiissen**), 

ÄUein  nur  (scheint  es)  ein€mder  (unmittelbar)  widersprechende  Sätze, 
je  mit  der  Oberzeugung  Ton  ihrer  Richtigkeit  ▼erbunden,  machen  hie- 
Yon  eine  Ansnahme.  Kann  aach  jeder,  für  sidi,  für  wahr  gehalten 
werden,  z.  B.  der  Satz:  „Der  Mond  ist  bewohnt",  sowie  der  Satz:  „Der 
Mond  ist  unbewohnt,  so  können  sie  doch  nicht  znsammengefasst 
werden  zn  einer  ^Klasse  Ton  Wahrheiten". 

Ünd  auch  em  Individuum  mögen  wir  bezeichnen  als  eine  Klasse, 
welche  eben  nur  dieses  Individuum  selbst  enthält.  Ein  jedes  Gedanken- 
ding kann  zu  solchem  Individuum  gestempelt  werden. 

Dem  wissenschaftlichen  Begriff  des  Individuums  werden  wir  indess 
gelegentlich  noch  näher  treten  (22»  Vorlesnng). 

Auch  jene  Klasse  aber,  die  selber  eine  Menge  von  Individuen 
unifasst,  kann  wieder  als  ein  Gedankendin^  und  demgemäss  auch  als 
ein  „TiKlividuum'^  (im  weiteren  Sinne,  z.  B.  „relativ"  in  Bezug  auf 
höhere  Klassen)  hingestellt  werden.  Wenn  wir  jedoch  von  einem 
liidiviiluüiii  „im  iiltsoluten  (engeren)  Sinne"  reden,  so  verstehen  wir 
darunter  ein  Objekt  dea  Denkens,  dessen  Name  als  ein  Eigenname  und 
nicht  als  ein  Gemeinname  gehandhabt  wird  (vergL  den  Teil  B  unsrer 
Einleitung). 

Nach  dem  Gcf^acften  kann  das  Suliiokt  des  Urteils,  wenn  es  ein  Haupt- 
wort ist,  ohne  weiteres  nh  oino  ivias^so  aufgefas.si  werden,  dergleichen, 
wenn  dieöed  Hauptwort  etwa  durch  iieiwürter  oder  Relativsätze  uUher  be- 
stimmt, determinirt  «rscheini 

Dasselbe  ist  der  Fall,  wenn  das  Subjekt  aus  mehreren  durch  Kon- 
junktionen, wie  ,,und**,  „oder**,  ,,8owie**  ete.  verbundenen  Substantiven  oder 

Nomina  besteht.  Z.  B.  „Gold  und  Silber  sind  Edelmetalle"  heisst:  Jede 
als  Gold  oder  Silber  sich  erweisentle  Substanz  ist  ein  Edelmetall;  die 
Klasse  jener  Substanzen  ist  enthalten  in  der  Klasse  dieser,  der  Edehnetalle. 
Den  lo|Drischen  (i ehalt  der  nieiüten  Konjunktionen  werden  wir  übrigeua  uuch 
zuiu  Gegeubl&ud  eines  speziellen  Studiums  machen,  uud  ist  zu  empfehlen, 
dass  man  uamentlieh  die  Betiachtung  von  Sfttsen  wie:  „Enheeder  a  oder  h 
ist  c",  „Weder  a  mocA  h  ist  e"  vorerst  surOokstelle.  Zur  Stelle  auf  diese 
einzugehen  wttrde  spKter  nur  zu  Wiederholungen  nns  nötigen. 

Nachdem  unter  ||)  der  Einleitung  der  Gebrauch  von  Wörtern  in  der 
qffupposltio  nominalis"  ausgeschlossen  worden,  konnte  als  Subjekt  des  Urteils 


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§  S.  DttntelllNirktit  dar  ürtoile  alt  Snbtnmtioiiuurtoile.  149 

nur  mehr  auftreten  ein  naui>t\voit,  Prnnrinien,  oder  Verbam;  auch  kann 
das  Subjekt  durch  einen  Relaliv&atz  vertreten  sein. 

Von  Verbeu  wird  büuüg  die  IntiDitivi'orm  aucb  bubütantiviäcb  göbrauübt 
und  kann  als  Subjekt  einea  Satiea  stehen,  wie  s.  B.  in  ^Sehwimmen  ist 
eine  Kanst^,  wo  „Schwimmen"  aueh  durah  ««das  Sehwiminett**  ersetsbar  ist 
—  im  Englischen  steht  die  Parti/ipialforni  ,,swimming^,  im  FranzOsiaohen 
das  Hauptwort  „la  nage".  Offenbar  wird  hier  etwas  austres-asTt  von  einer 
Klasse  menschlicher  Tbiitigkeiten  resp.  Fertigkeiten,  nämlich  vom  8uhwimmen; 
von  ihr  wird  behauptet,  dass  sie  tntJialkn  sei  in  der  Klasse  derer,  die  ,,eino 
Kanst*^  sind,  d.  i.  eigens  erlernt  und  durch  Übung  gefestigt  werden  mUtisen 
▼Ott  Jedem,  der  sie  erlangen  wüL  Vergl.  auch  ,,Taddn  ist  leicht,  sdiwerer 
ist  Besser-machen";  d.l  (die  Thitigkeit  des)  Tadeln(8)  gehSrt  su  der  Klasse 
ler  „leicht''  aossuflhenden  Thiltigkeiten,  in  diesem  dem  ttbertragenen  Sinne 
überhaupt  zur  Klasse  der  „leichten  Dinge".  Man  siebt  an  diesem  Beispiele, 
wie  die  Einschaltung  eines  solchen  im  Urteil  selbst  gar  nicht  erwühnten 
Htüfbbegriäes,  hier  desjenigen  der  „Thätigkeit'*,  erforderlich  werden  kaim, 
um  dem  Doppelsinn  des  Pr&dikatnamens  zu  steuern,  einer  fidsohen  Deutung 
desselben  Torsubengen.  Im  letaten  Teil  des  Satzes  geht  das  Prädikat  dem 
Subjekte  voran:  Etwas  besser  machen  (als  es  gemacht  worden  ist)  ist  ent- 
halten in  der  Klasse  der  Thütigkeiten  (resp.  Dinge),  welche  schwerer  sind 
(im  ubertri  "  nen  Sinne)  als  das  Aussprechen  eines  Tadels  über  die  erfolgte 
Ausführung.  Etc. 

Desgleichen  kommen  im  Deutschen  als  Subjekt  von  Sätzen  auch  Yerba 
Tor  im  Fartisip,  wie  in:  „Vorgetban  und  naehbedaeht  hat  Mandhea  in 
gross  Leid  gebracht**.   Li  diesem  Sprüchwort  ist  das  Subjekt  offenbar  die 

Klasse  der  Fälle,  in  welchen  ein  Menseh  erst  )t(ic7i  impulsivem  Handeln 
über  dieses  nachdachte.  Es  ist  von  dieser  Klasse  behauptet,  dass  sie  ent- 
halten sei  in  der  Klasse  derjenigen  Handlungen,  die  ihrem  UrheLor  trros.ses 
Leid  brachten  —  aber,  müssen  wir  hinzufflgon,  nicht  yan^^  sondern  nur  zu 
einem  au&ehulichen  Teile,  denn  durch  da»  unbestiouate,  hier  als  Pronomen 
stehoide  Zahlw<fft  „Msndien**  ist  das  ürtdl  obendrein  sn  einem  „parti- 
hdorm**  gestempelt,  so  wie  es  anderwärts  auch  durch  den  Beisafa  von 
Adverbien,  wie  ^manchmal,  bisweilen,  oft,  häufig,  selten,  nicht  immer**  ete. 
mm  Prädikate  zu  geschehen  pflegt.  Die  eigentliche  Subjsktklasse  ist  hier 
jener  unbestimmte  Teil  der  angeftlhrten  Klasse. 

A'-ich  in  den  Fällen,  wo  ein  Relativsatz  da.s  Subjek?  fleb  Satzes  ver- 
tritt, wird  uun  der  Leser  leicht  dati  Urteil  nach  dem  Lm laugt» verhiiltnisoe 
vom  Salgekt-  und  PMdikatbegriffe  analj^iren.  Die  Baspiele:  »Was  uns  im 
innersten  erregt,  pflegt  bleibenden  Eindruek  zu  hinterlassen**,  sowie  Seht ller's 
„Was  kein  Verstand  der  Verständigen  sieht«  das  übet  in  Einfalt  ein  kindlich 
Gemüt"  mugen  dazu  anregen.  Beide  sind  „partikulare"  Urteile,  worauf  im 
ersten  Satze  das  Verbura  „pflegt"  hinweist:  Siibjektklasse  wird  hier  s-ein 
iler  'Dosiere  Teil  der  Erlebnisse,  welche  eine  tiefgehondu  Uraotion  verur- 
cAcbeo.  Das  zweite  Urteil  int  allerdings  nicht  der  Form  nach  als  parti- 
kular ansosehen,  sondern  nur  im  Sinne  des  Dichters,  irdm  man  demselben 
tiidit  eine  viel  zu  writ  gehende  Behauptung  in  den  Mund  legen  wilL 

Abgesehen  von  Fällen  der  erwähnten  Arten  haben  wir  es  beim  Sub- 
jekt nur  mehr  mit  einem  Hauptwort  oder  aber  FOrworte  zu  thun. 


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Ente  VorleflQiig. 


Dass  erstores  eine  Klasse  vorstellt,  wurde  bereits  dargethan.  Eg  sind 
hiezu  nur  noch  ein  paar  Bemerkungen  augezeigt  im  Hinblick  auf  dessen 
etwaige  Begleitworte. 

Ausser  A4iektiTen  und  BelatiTSitzen  kOnnai  mit  dem  Hauptwort  auch 
noch  verbunden  seiti  irgendwelche  Zahlwörter  (numeralia).  Z.  B.  „4  Birnen 
nnd  3  Äpfel  liegen  auf  dem  Tische",  „Der  dritte  und  der  fUnfte  Mann 
BoU  vortreten",  etc.  'Snn  dann  konnzeiclinot  sieb  das  Subjekt  ohne  weiteres 
als  eine  Klasse  (sogar  im  t■n^'^ten  Sinn  dieses  Wortes). 

Ähnlich  verhält  es  aicli,  wenn  sogenannte  uubestiramte  Zahlwörter 
(numeralia  indefinita)  mit  dem  Hauptworte  verbunden  tiiid.  Solche  sind 
X.  B.  „einige  (etliche),  m«&ohe,  mehrere,  viele,  wenige,  häufige,  die  meisten, 
gewisse**,  etc.;  nnd  die  Anwendung  dieser  stempelt,  wie  schon  unter  n^) 
der  Einleitung  erwähnt,  das  Urteil  sa  einem  sog.  „besondern"  oder  „parii- 
hdarrn"  —  im  Gegensatz  zum  „allgemeinen"  oder  „universalen"  Urteile, 
in  welclif'in  das  Subjekt  als  Hannes  anijefülirf  od<*r  vnn  dem  unbestimmten 
Zahlwort  ,,alle'\  in  der  Singularform  vom  adjektiv lachen  Pronomen  „jeder'\ 
„irgend  ein"  begleitet  erscheint 

Sagen  wir:  „Einige  Menschen  sind  klug",  so  ist  das  Sahjekt  eine 
Klasse,  hestehend  aus  einer  unhestimmten  Ansahl,  ans  „einigen**  Menschen 
und  diese  Kla.sse  wird  hingestellt  als  ganz  enthalten  in  der  Klasse  der 
„klugen"  Wesen.  Bezeichneten  wir  die  erstere  Belasse  mit  a\  die  letztere 
mit  &,  so  hätten  wir  auch  hier  eine  Subsumtion:  a'  --^  h. 

Wenn  wir  nun  ferner  die  Klasse  der  nicht-kluüren  (eventuell  unklugen) 
Wesen  mit  b^  bezeichnen,  so  dürfen  wir  aber  das  ebenfalls  richtige  Urteil 
„Einige  Menschen  sind  nicht  klug"  jetst  durchaus  nicht  mit  a'  =^  h^  dar- 
steUen,  weil  das  Subjekt  dieser  letzteren  Aussage,  ohwol  in  Worten  gleich- 
lautend, homonym  benannt,  doch  ein  ganz  analeres  ist,  als  das  der  vorigen. 
Hierdurch  wtirde  nämlich  ein  üo])pel>inn  des  Symboles  a  geschaflfen;  da8> 
selbe  würde  der  ftmdamcntaloii  in  der  Wissenschaft  an  jedes  Zeichen  zu 
stellenden  Anforderung  der  Eiusinnigkeit  [vergl,  öj  ..^i)  Einleitung]  nicht 
mehr  genügen  —  und  in  der  That  wird  es  für  unsro  Zeichensprache  noch 
Tiel  YerD&nglicher  erscheinen  als  in  der  Wortsprache,  Verschiedenes  mit 
dem  gleichen  Zeichen  in  ei$ter  Untersuchung  sn  benennen.  Hier  mflssten 
wir  also  für  das  Subjekt  der  zweiten  Aussage  ein  neues  Zeichen  a"  wShlen, 
die>:flbe  durch  eine  Subsumtion  o"  =<;  darstellen,  um  Verwechselungen 
der  beiden  Subjekte  vorzubeugen,  welche  ja  in  einnn  ldcrselben  Betrachtung 
auch  nobrneiuander  vorkommen  könnten,  vielleicht  zusammen  aufzutreten 
bestimmt  sind. 

Wie  jene  beiden  partikularen  Urteile  darzustellen  sind,  wenn  o  die 
Klasse  der  Menschen  überhaupt  und  5,  wie  oben,  die  Klasse  der  klugen  Wesen 
bedeutet,  dies  wird  in  spfttem  Untersuchungen  eingehend  dargelegt  werden. 

Einstweilen  genüge  die  Einsicht,  das-j  auch  die  partikularen  Aussagen  im 
Grunde  nielifs  Anderes  als  Subsumtionsurteilo  sind.  Indessen  sei  gleich  hier 
schon  anrretuhrt.  dass  in  Re'/ni!  auf  pic  die  Fn>Hnote  nnf  8.132  zntretfen  wird. 

lat  das  alü  »Subjekt  tiguriremle  Hauptwort  mit  einem  adjektivischen 
Pronomen  verbunden,  wie  dem  besitzanzeigenden  (pr.  possessivum)  in  „Sein 
Haus** . .  oder  dem  hinweisenden,  wie  „Diese  (Jene)  Arbeiter** . . eo  dient 
dies  auch  nur  zur  näheren  Bestimmung  der  Klasse. 


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%  S.  DarBteUbark«i(  der  Urteile  als  SabiumtioosiiTteile. 


151 


Anders  dagegen,  wenn  der  sog.  verneinende  Artikel  ,Jccin"  mit  dem 
Subjekt  verknüpft  erscheint.  Sagen  wir  „Kein  Mensch  ist  vollkoiiinien", 
so  ist  durchana  nicht  etwa  Subjekt  des  Satzes  „Kein  Meusch"  und  Prädikat 
desselben  „vollkommen*'.  Vielmehr  iüt  der  Satz,  bevor  er  als  Subsumtion 
gedentei  werden  kaon,  erst  oDunsolirdben  in  d«i  logisch  damit  Iqniva- 
le&ten:  ^ Jeder  Mensch  ist  nioht-ToUkommen*'  oder  „Alle  Heuschen  sind  nn- 
Tollkommen'\  dessen  Subjekt  die  ganze  Klasse  der  Mniisclieu  und  dessen 
PrSdikat  die  Klasse  der  unvollkommenen  Dinge  oder  Wesen  bedeutet.  Wie 
vorhin  ein  , .partikular",  so  haben  wir  hier  ein  „universell  verneinendes" 
Urteil  vor  uns,  und  bis  znr  systematischen  Behandlung  der  verneinenden 
Urteile  überhaupt  können  wir  uns  mit  der  Erkenntniss  begnügen,  dass  sie 
unter  dem  Gesichtspunkt  der  Umfangsbeuebuugen  ebenfalls  blos  auf  Sub- 
samtionen  hinaoslnttfen. 

Tritt  ein  substantivisch  gebrauchtes  Pronomen  als  Subjekt  eines  Urteils 
auf,  so  kann  dasselbe  als  ein  „bezugnehmendes^*  (word  of  reference)  stehen, 
wie  ,.os'*,  ..i]as?e!be"  (das-  vraher  genannte  Ding)  und  ist  dann  lediglich 
Stellvertreter  eines  bestimmten  uoraen's,  welches  auch  statt  seiner  wieder- 
holt werdeu  könnte;  es  war  dann  im  buchstäblichen  Sinue  ein  pro-iiumen. 

Jenes  kann  aber  auch  ein  persönliches  Fürwort  (pronomen  personale) 
sein,  m  welchem  Falle  es  ganz  selbstftndig,  ohne  Bezugnahme  auf  Torher 
Erwähntes,  auftreten  mag  als:  „Ich,  du  (Sie),  er,  sie,  es,  wir,  ihr  (Sie), 
sie."  Hier  kann  die  Kopula  ^bin,  bist,  seid,  sind"  auch  immer  leicht  auf 
„ist"  hinausgespielt  werden,  indem  man  statt  „ich  bin"  .  .  .  doch  sagen 
kann,  „der  (resp.  die)  Redende,  Sprecher,  Verfasser,  etc.  ist"  .  .  und  statt  „du 
bist"  .  .  als  logiäch  vollkommen  äquivalent  sich  ^agen  lässt:  „Der  (oder 
die)  Angeredete,  Adressat,  etc.  ist"  .  „wir  siud''  .  .  .  hoisst  ja  iu  des  Wortes 
engster  Bedeutung  gewOhnUdi  nur:  „die  Klasse  der  Personen,  welche  besteht 
aus  dem  Redenden  und  den  Angeredeten,  ist^^ . im  weiteren  Sinne:  „die 
Klasse  der  bereit-^  erwähnten  oder  als  bekannt  vorauszusetzenden  Personen 
mit  Einsculuss  des  Redenden  oder  als  redend  Dargestellten  ist"  .  .;  ebenso 
„ihr  seid".,  heisst:  „die  Klasse  der  angeredeten  Personen  ist"..  Etc. 

Auch  das  unbestimmt«  persönliche  Fürwort  „man"  Ije/eirhnet  als  Sub- 
jekt (und  es  steht  nur  als  öolches)  doch  nur  eine  gewisse  ivia^io  vou  Per- 
wmen,  desgleichen  ,Jemand",  „jedermann**.  Bei  „niemand**  ist,  analog  wie 
dies  in  Bezug  anf  das  ihm  ltqui?alente  „kein  Mensch**  implictte  schon  ans- 
einanderge^:et^t  wurde,  die  Verneinung  zum  Prädikat  zu  .  ( Itlagen;  für  „nie- 
mand weiss  ob  .  ist  als  logisch  äquivalent  zu  setzen  „jedermann  ist  dar- 
^Hpr  unwissend,  ob . .".  Etc.  Auf  Urteile,  als  deren  Subjekt  „nichts'*  erscheint, 
kommen  wir  noch  ausführlich  zu  sprechen. 

Eine  Bemerkung  fordert  endlich  die  dritte  Person  singularis  des  Neu- 
tnuns  der  persönlichen  Fürwörter  heraus,  nttmlich  das  Wdrtchen  „es", 
vekhes  häufig  als  Subjekt  Ton  ürtttlen  auftritt  Das  ist  der  Fall  in  den 
sogenannten  inpersonalen  Urteilen. 

Als  eine  wichtige  Unterabteilung  diesitf  letztern  müssen  wir  zunächst 
die  sog.  ,,Exi>fn%-inlHrfnh"  hervorheben,  wie  „Es  gibt  (il  y  a,  there  are)  .  .  . 
z.  B.  Metalle,  die  auf  dem  Wasser  schwimmen".  Auch  solche  Urteile  wür- 
den als  Subsumtionsurteile  sich  ansehen  lassen;  z.  B.  das  angeführte  wäre 
za  deuten  als:  Gewisse  Vorstellungen  von  Metallen  die  auf  dem  Wasser 


152 


EitU  Vorlesung. 


ßchwiauneü,  sind  €MitlmUea  in  der  Klasse  derjenijfen  VorstelhiTig<»n ,  denen 
(als  das  Vorgeütelite)  Wirklicbeö  entspricht.  Der  Klasse  geUacliter  Diuge, 
denen  Sealitttt  znkommt»  welebo  ficMtren,  wird  auch  hier  eine  Snbjektklaese 
eingeordnet.  Die  EzistenaalnrteUe  gehören  jedoeh  wieder  su  denen,  fQr 
welche  die  Fnssnote  auf  3.  132  Platz  greift»  weshalb  zu  ihrer  Eitikleidiing 
doch  in  unsrer  Technik  zu  andern  Mitteln  wird  gegriffen  werden  mQssen 
und  wir  mit  besondrer  Sorgfalt  attf  dieselben  zurückzukommon  haben.  Der 
vorKteheuden  Betrachtung  kommt  daher  eine  praktische  Tragweite  nicht  iii 
sondern  nur  ein  theoretischer  Wert,  sofern  sie  beiträgt  vollends  zu  er- 
httrten,  dass  wirklieh  alles  Urteilen  skk  in  Sttbanmtionen  bewegt. 

In  yielen  Fällen  vertritt  das  WOrtchen  „es'*  blos  provisorisch  das 
Snbjektf  welches  dann  ausftlhrlicher  hinter  dem  Prädikate  beschrieben  wird; 
2.  B.  „es  weht  ein  heftiger  Wind"  oder  „es  ist  beqaeni,  Andere  für  sich 
arbeiten  zu  lassen'*;  so  auch  bei  „es  ist  leicht  .  .      „es  ist  nützlich  .  Etc. 

Auch  bei  den  iiniicr-onalen  Urteilen  im  engsten  Sinne  des  Wort-j,  wie 
„es  regnet,  donnert,  blitzt'' .  .  .  „es  riecht  nach  Moschus",  „es  ist  vier  Uhr 
(Nachmittags)"  etc.  wird  der  Leser  oiuchwer  die  Subjekt-  nnd  tngehörige 
FrAdikatklasse  ausfindig  machen.  8o  im  erstmi  Beispiel:  der  gegenwärtige 
Zustand  der  Atmosphäre  am  hiesigen  Platze  ordnet  äch  ein  in  die  Klasse 
der  Zustände ,  die  wir  als  Regen(wett6r)  bezeichnen;  ein  Gerncb  nach 
Moi-chus  (etwas  diesen  Oenicli  Hervorrufendes)  ist  vorhanden  in  der  im*? 
umgebenden  Luft  (Kxi-tenzialurteil);  der  gegenwürtige  Augenblick  ist  iden- 
tisch mit  dem  durch  die  Zeitbestimmung  4  Uhr  Nachm.  der  hiesigen  Ortszeit 
charakterisirten  Momente.    Und  so  weiter. 

Nachdem  wir  so  dio  wichtigüten  Formen  i>prLiehlichen  Ausdrucks  durch- 
gegangen haben,  welche  beim  Subjekt  eines  Urteils  vorkommen  mögen,  er- 
übrigt es,  ein  gleiches  in  Bezug  anf  das  Prädikat  desselben  sn  thnn. 

Ist  das  PrKdikat  ein  Substantiv  mit  oder  ohne  determinirende  Neben- 
bestimmungen, oder  auch  ein  Aggregat  von  solchen  (mittelst  Konjunktionen 
verbundenen),  so  liegt  keine  Schwierigkeit  vor,  sich  den  Umfang  des  Prft- 
dikatbegriffes  oder  die  PrSdikatklasse  zum  Bewusstsein  zu  brinfiffTi. 

Desgleiclien  huheu  wir  dazu  wiederholt  schon  Anleitung  gegeben  tür 
den  Fall,  wo  das  Prädikat  ein  Adjektiv  um  ist  —  wie  denn  der  Satz  „die 
Erde  ist  rund"  nichts  anderes  aussagt  als:  die  Erde  gehdrt  zu  der  Klasse 
der  als  f,rand^  sn  bezeichnend«!  Dinge,  sie  ist  „Etwas  rundes**,  ein  rundes 
Ding.  Nach  diese  m  Vorbild  konnte  flberhaupt  ein  Adjektivum  allemal  in 
die  äubstautivisohe  Form  sogleich  umgesetzt  werden;  die  Adjektiva  stehen 
den  Substantiven  am  nächsten,  erscheinen  nur  s^rammatik;ilisch  von  solchen 
verschieden.  In  der  Thatsaeho  allerdiut^s,  diiss  sie  ihrer  logischen  Gleich- 
wertigkeit mit  Substantiven  ungeachtet,  doch  nicht  allgemein  wie  diese  als 
Subjekt  eines  Urteils  stehen  kennen,  offenbart  sich  eine  psychologische 
Eigentamlichkeit  der  Wortsprache  —  wie  denn  z.B,  3fill  hervorhebt,  dass 
man  nicht  sagen  könne:  „Rund  ist  leicht  2a  bewegen".^)  —  Obige  Sub- 
stantivirang  des  Adjektivs  ist  auch  gletchermassen  ausführbar,  in  was  immer 
für  einem  Grad  oder  Vergleichungsmodus  dasselbe  steht,  einerlei  ob  im 

*)  Vereioselte  Aueahmeo  kommen  in  SprSchwOrtera  vor,  wie:  Alisascharf 
macht  sebartig,  n.  a. 


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§  S.  DanMllMrkeit  der  Urteil«  alt  SubenintioiiBiurtefle. 


153 


Po.-itiv.  Komparativ  oder  Snporlativ.  Anch  Bcippiflo  zu  den  letstereil  FftUeil 
wird  man  schon  unter  den  vor.stchend  betrachteten  finden. 

Statt  durch  die  vom  Hülfszeitwort  „sein*^  abgeleitete  Kopula  mit  dem 
Sabjekt  des  Urteils  verknUpft  zu  sein,  ist  das  Prädikat  desselben  in  den 
dltrxneiBteii  FKllen  mit  einem  Yerbum  konstmirt,  und  oft  bestebt  es  nur 
OOS  einem  solcben. 

Einerlei  ob  dieses  Verbum  transitiv  —  vielleiebt  ein  reflexivum  — 
oder  intransitiv  ist,  ob  es  im  Aktivnm  nder  Paspivum  steht,  auch  einerlei 
in  welchem  Tempus,  ob  in  einem  Präteritum,  im  Präsens  oder  im  Futu- 
rum, stets  wird  sich  —  sei  es  vermittelst  einer  Partizipialkonstruktion,  sei 
es  durch  Znbttlfenahme  eines  Relativsatzes  —  das  Urteil  durch  ein  anderes 
?om  selben  logiseben  Qebalt  nmscbreiben  lassen,  in  welchem  die  Kopula 
^st*^  steht  und  das  PrSdikat  als  eine  Klasse  benrortritt,  der  die  Subjekt- 
klasse sich  einordnet.  Es  wttrde  ermüdend  sein,  dies  f&r  alle  Fälle  durch- 
zusprechen, die  sich  in  grammatikalischer  Hinsicht  irgend  unterscheiden 
lassen,  und  werden  ein  paar  Beispiele  genügen. 

„Die  Erde  dreht  sich"  sagt  das  nämliche  wie  „die  Erde  ist  sich  drehend 
(Etwas  sich  drebendes),  sie  ist  in  Rotation  befindlich,  enthalten  in  der  Klasse 
der  Körper  oder  Dinge,  welche  siob  im  Zustande  der  Drehung  befinden**. 

Der  8ats  ,,Caesar  wurde  ermordet'*  passt  sieb  nicht  minder  unserem 
allgemeinen  Schema  der  kategorischen  Urteile  an,  indem  er  besagt:  die 
(singulSre)  Klasse,  bestehend  aus  dem  einen  Individuum  (der  bekannten  histo- 
rischen Person  des  römischen  Imperators)  Caesar,  ist  enthalten  in  der 
Klasse  der  Personen,  welche  ermordet  wurden. 

„Am  9.  August  1896  wird  eine  totale  Sonnenfinstemiss  stattfinden** 
stellt  sieb  bei  Befl^on  auf  die  Ümfangsbedebungen  ala  das  Snbsomtions- 
urteil  dar:  ,,Eine  totale  Sonnenfinstemiss  ist  cuthalten  in  der  Klasse  der 
Ereignisse  (Dinge),  welche  am  9.  August  1896  stattfinden  (werden)''.*) 
In  dieser  Fassung  erscheint  indess  das  Urteil  als  ein  „unbe.stimmtos",  und 
es  gibt  sich  in  der  Verhindun;^^  des  Sobiektbegriffos  ,,totale  Sonnenfinsiüi- 
niss^'  mit  dem  anbestimmteu  Artikel  „Eine''  zu  eriiünneu,  dasä  das  Urteil 
eigentliob  ein  „Existenaalurteir*  ist.  Man  konnte  in  der  Tbat  mit  der» 
selben  logiMken  Tragweite  aneb  sagen:  ^Ea  giht  eine . . .  Sonnenfinstemiss, 
welcbe  auf  den  . .  Aug.  1896  f&llt*^  Am  angemessensten  würde  darnach 
(abermals  als  Subsumtion)  das  Urteil  dahin  7.n  intorpretiren  sein:  Die  Vor- 
gteilunf,^  einer  auf  den  9.  Aug.  1896  fallenden  Sonneufinsternies  ^'clifirt 
zu  (ist  enthalten  in)  der  Klasse  derjenit,'en  Vorstellungen,  denen  Wirk- 
liches entspricht.  Aualog  möge  der  Leser  das  Urteil  iuterpretiren :  „In  die 
Jabre  1870  und  71  fiUlt  ein  dentsch'französiscber  Krieg". 

Auch  der  abgekttxzte  Gefochtsbericbt:  „Tote  20,  Verwundete  100'* 
kann  so  einerseits  als  Existenzialurteil  dargestellt  werden;  doch  llisst  er 
andrerseits  auch  sich  als  das  niril<ehrbare  I'rieil  deuten:  Die  Anzahl  der 
bei  jenem  Gefechte  (tot)Gebliebeuea  ist  (einerlei  mit,  gleich)  20  u.  s.  w. 

*)  Es  sei  darauf  aufmerksam  gemacbt,  daas  bei  genauer  Angabe  eines  Zeit- 
puukte«  oder  eioes  Zeitraums»  einer  Epoche ,  ein  unterscheidender  Gebranch  der 
T-tiif>  iraIformen  beim  Verbum  flberfiüsaig  wird|  wie  denn  auch  die  Sprache  meist 
dat  Prftsens  in  solchen  FftUen  beibehftlt. 


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154 


Ente  Yorlening 


Da?  in  dorn  Ruff:  ..Feuer!"  nipflergeleprto  Urteil  dUrftf  ebenfalls  wesent* 
lieh  als  L.\istenziulurt(jil  anzusehen  ^ein.    Und  anderes  mehr. 

Dagegen  wüido  das  schou  iu  B  der  Einleitung  erwähnte  Urteil:  „der 
Pegasus  ist  geflügelt'^,  sieb  logisch  decken  mit  der  Sabsumtion:  „die  (er* 
dichtete)  VorBtellnng  70m  (Dichterrosse)  Pegasiw  ist  enthalten  in  der 
Klasse  der  Vorstellnngen  von  solchen  Dingen  (Wesen),  welche  als  geflilgelt 
KU  bezeichnen". 

Tn  der  Rccrel  ?.,'eht  in  nrsprn  Kultur.'jprafhen  das  Subjekt  dem  Prädi- 
kate -man,  doch  haben  wir  liereits  auf  Fälle  hingewiesen,  wo  das  Snbjekt 
provisorisch  nur  durch  „es"  vertreten  erscheint ,  um  ausführlichBt  hinter 
dem  Prädikate  beschrieben  werden.  Dabin  gehörten  auch  die  meisten 
Existenzialurteile,  cf.  ,,Es  war  einmal  ein  Etfnig . .  ete. 

FttUe  der  umgekehrten  Stellnng  beider  Satsglieder  kommen  auch  ausser« 
dem  vor,  jedoch  TerhOltnissmSssig  selten,  so  namentlich  bei  anschaulich 
lebendigen  Schildemii;fen  vorwiegend  sinulic'nen  Charakters  —  wie  denn 
noch  auf  sinnlicher  Stufe  stehende  Sprachen,  z.  W.  da.-^  Hebräische,  das 
A''crbum  besuiiders  gerne  voranstellen  (Siijwavt),  6a  auch  im  gemüllichen 
Krzählerton  und  in  poetischen  WenUnugeu.  Vergl.  z.  B.  „Unaufhörlich 
donnerten  die  Lawinen,  rollte  der  Donner,  knatterte  das  Kleingewehrfeuer; 
unausgesetst  schien  die  Sonne*\  ^Ünaufbaltsam  schreitet  fort  die  Zeit**,  etc. 
Der  Satz:  ,Jn  Südafrika  lobt  das  Ehrdferkel"  kennzeichnet  durch  diese  Stel- 
lung sich  als  ein  partikulares  Urteil  und  hat  darum  eine  andere  los^nsche 
Tragweite,  als  der  Satz:  ,,Da.«  Erdferkel  lebt  in  Südatrika'*,  welcher  uni- 
versal, und  falsch  zu  nennen  wäre,  da  diese  Tiere  auch  in  Seuegambien 
vorkommen. 

Es  muBs  dem  Sprachgefühl  des  Lesers  ILberlassen  werden,  allemal 
(auch  bei  der  umgekehrten  Stellung)  das  Subjekt  ausfindig  zu  madien, 
dasselbe  nebi-t  dem  Prädikate  zu  erkennen.  —  Man  übe  sich,  etwa  an 
Sentenzen,  wie:  ,,Diejenigen  verzeihen  nie,  die  das  Unrecht  zugefügt  haben" 
(Th<»y  npvor  pardon,  whn  have  done  the  wron;!.  Jevons),  oder  Goethe's: 
„Was  wir  vrrstehen  kömirn  wir  nicht  tadeln'  etc.,  desgleichen  an  irirönd- 
welchen  Sützen,  wie  „Ich  fühle  mich  jetzt  besser";  „So  hat  er  gesagt" 
{mm  Das  eben  Vernommene  ist  ttbereinstimmeiMi  mit  dem,  was  er,  damals, 
gesagt  hat  —  De  Morgan);  „Hans  ist  allein  suhause"  die  Klasse  der 
zuhause  befindlichen  Personen  ist  identisch  der  singulären  Klasse  „Hans*^  — 
die  beiden  letzten,  wie  man  sieht,  umkehrbare  Urteile.    £tc  — 

Ks  \:-\  darüber  ixestriften  worden,  ob  ein  Urteil  wie  „dieser  Hund  ist 
ein  lautender"  genan  denselben  Gehalt  habe  wie  das  Urteil  „dieser  Hund 
läuft".  Solauge  man  uus  nicht  einen  Hund  zeigen  kann,  der  eiu  „^ben 
laufender**  ist  und  dennoch  nicht  „läuft**  —  oder  nmgekehrt  —  darf  uns 
die  ganse  Frage  als  eine  höchstens  dem  psychologischen  Gebiet  angehSrige 
hier  gleichgültig  bleiben. 

Wir  venmchten  Torstehend  darzutbun^  dass  in  der  That  ond  in 
welcher  Weise  ein  jedes  Urteil,  soferne  man  die  Umfangsbezieliung 
zwischen  Subjekt'  und  PrädikatbegrifT  in's  Auge  fasst,  hinauel&uft  auf 
und  darzustellen  ist  als  eine  StibsmnÜon.  Gelang  en^  dies  fOr  die  Urteils^ 
bildungen  in  der  äewtsclien  Sprache  einleachtend  zu  machen,  bo  dflrfen 


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S  8.  £iiler>  Diagramme. 


155 


irir  dasselbe  wich  fÖr  jede  S^i&che  in  Anspruch  nehmen,  in  Anbetracht 
dass,  was  in  irgend  einer,  sich  auch  in  deatscber  Sprache  adäquat 
wird  ausdrucken  Usseii. 

Zweck  der  ganzen  Auseinandersetzung  war  nur  der:  Yon  vorn- 
herein einen  Einblick  zu  eröffnen  in  das  weite  ja  allunispninionde  Feld 
der  Anwendungen,  welche  eine  auf  das  Studium  der  Subsumtion  ge- 
grOndete  Disziplin  zulassen  wird,  in  die  Allgemeinheit  und  Tragweite, 
auf  welche  solche  Disziplin  Anspruch  hat,  die  ihr  zukommen  mus». 
Was  efcwa  in  diesen  Betrachtungen  noch  unvoll endet  geblieben  ist^ 
das  wird  sich  zumeist  in  spatern  Spezialstudien  erledigen. 

%  3.   Biiler*s  Diagramme.   lüentisoher  Kalkül  mit  Gebieten  einer 

ManslgfUtigkeit. 

Die  Beziehung  der  Svhsumtianf  mit  deren  logischem  Gehalt  und 
sprachlicher  Einkleidung  wir  uns  bisher  beschäftigten,  ist  fähige  rikam' 
lieh  oder  geometrisch  veranschaulUM  zu  werden  auf  eine  Weise^  welche 
fQr  das  Studium  der  Xjoffk  ungemein  förderlich  ist.  Seit  Leonhard 
Enler^  in  seinen  „Briefen  an  eine  deutsche  Prinzessin''  Ton  gedachter 
Yersinnlichungsweise  (der  zwischen  Begriffsnmfungen  oder  Klassen  über- 
haupt —  und  so  namentlich  auch  zwischen  Subjekt  und  Prädikat  — 
besiehenden  Beziehungen)  einai  populären  Gebrauch  gemacht  hat,  ist 
dieselbe  wol  in  allen  Werken  über  Logik  benutzt  oder  wenigstens  auf 
sie  Bezug  genommen.  Auch  wir  wollen  fortan  uns  jene  Beziehungen 
versinnlichen  vermittelst  der  „Euler'schen*)  l}iagramnuf*. 

Zu  dem  Ende  ordnen  wir  in  Gedanken  den  zn  betrachtenden  Be- 
cniffsumföngen  oder  Klassen  gewisse  räumliche  Gebiete  „Sphären" 
^„Be;iritl.ss|»häreü'J  oder  aucli  Flächon,  /,.  B.  Kroi?flächen  in  der  Ebene 
der  Zeichnun;^,  gu,  lai<s(  n  dies«'  und  jene  einander  gegenseitig  eindeutig 
entsprechen,  oder  bilden  jeue  dureli  diese  gewissermasseu  ab. 

Um  zunächst  zu  unsern  typischen  Udspieleu  von  kategorischen 
Urteilen  auf  S.  127  zurückzukehren,  so  ma^^  die  Kreisfläche  a  die  Klasse 
„Gold",  die  Kreistiäclie  b  die  Khis.se  ..M.'tull"  vorstellen. 

Alsdann  verdeutlielit  die  Fio;.  1  die 
Beziehung:  a  b,  in  welcher  beide  Klas- 
sen zu  einander  «tehen:  man  erblickt  die 
Kla?*»»»  a  als  einen  blossen  Teil  der  Kla<«o 
bf  aiehtf  dass  sie  ganz  iu  der  letzteren  eut- 

*}  Wir  behalten  dieie  Beseichnnng  bei,  obwol  ach  Vorläufer  gefunden  baben: 
bei  Weise*  und  in  Gestalt  voa  Winkeln  oder  Dreiecken  ecboa  bei  Vives' 
▼ergL  üeberweg *  p.  989  und  Pr.  A.  Lange'  p.  10.  — 


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156 


Ento  Vorlemuig. 


halten  ist,  dass  aber  diese  letzter«^  noch  Ober  sie  hinausragt  (b  „over- 
laps'*  a)  und  dem  nach  h  auch  noch  anderes  ausser  a  (wie  ja  z,  B,  die 
KlavSsf  ,  Silber*' I  eiithuiten  wird. 

Stellen  wir  uns  dagegen  durch  Kreisflächen  a  und  b  die  Klassen 
„Kochsalz''  und  „Chlornatrium"  dar,  so  wird  die  zwischen  beiden 
Klassen  bestehende  Beziehung:  a  » 2>  yersümlicht  duich  die  Fig.  2,  in 
welcher  beide  Kreise  ersichtlich  in  einen  einsigen  suMmmenfalien. 

Die  Suhstmtion  b  aber,  welche,  wie  wir  sahen,  den  Sinn  des 
kategonschen  Urteils  „a  ist  6"  im  aügenieinm  wiedergibt^  wird  zu  ver- 
anschaulichen sein  durch  den  Hinweis  darauf,  dass  von  den  beiden 
durch  die  Fig.  1  und  die  Fig.  2  dargestellten  Fällen  irgend  einer  (der 
eine  oder  aber  der  andere)  stattfinde. 

Man  kann  sich  —  im  ersten  Falle  —  geradezu  die  Kreisfläche  a 

mit  allen  Goldteilcben,  „Goldatomen'*  der  Welt  belegt  denken,  sodass 

jeder  Punkt  dieser  Fliehe  der  Träger  eines  Goldatomes  ist,  und  den  a 

umgebenden  ringförmigen  Teil  der  Kreisflache  h  mit  den  Atomen  aller 

übrigen  Metalle  (ausser  Gold),  die  eich  im  Weltall  Torflnden.  Und 

analog  könnte  man  —  im  zweiten  Falle  —  mit  den  j^Kocfasalsmole- 

külen''  verfahren. 

Wir  könnten  —  im  ersten  FaUe  —  sagen:  man  denke  sieh  die  Kreis- 
flache a  ganz  einfach  „vergoldet",  wenn  nicht  bei  der  „Vergoldung**  im 

Sinne  der  nioraistischen  Hvi)ot1iese  den  Holdatomen  gewisse  Ali- 1 Sude  vor- 
geschrieben wRren,  die  sie  nicht  untrrselireiton  vermögen,  üljer  die  hin- 
aus sie  einander  sich  nicht  nähern  können,  t>odcii>j>  wir  sie  auf  der  kleineu 
Fläche  füglich  nicht  alle  unterzubringen  vormüchten,  Emanzipireu  wir  uns 
aber  von  der  Forderung,  solche  durch  die  Temperatur  und  Dichte  des  Ver- 
goldongsniaterials,  eTentuell  die  Grösse  der  Atome  bestimmte  AbstSude 
einzuhiJten,  so  steht  der  geforderten  ideellen  Zuordnung  nichts  mehr  im 
Wege,  da  wir  ja  über  unbegrenzt  viele  itiathematiselie  Punkte  in  der  Kreis- 
fläche verfiiireu,  welche  eine  Mannigfaltigkeit  ,,der  zweiten  Art''  im  Sinne 
Georg  C'antor's  bilden.*) 

Wir  ij^eheTi  aber  sofort  noch  einen  erheblichen  Schritt  weiter,  über 

die  bislierige  Praxis  der  Verwendung  Euler'scher  Diagramme  hinaus, 

indem  wir  dio  Beziehungen  zwischen  j^bphären''  oder  Punktgebieten  des 


*)  Die  Ausführbarkeit  j»edachter  Znorduung  wurde  sich  nach  des  lotztor-i 
Untersuchungen  über  die  „Manuigfaltigkeitsluhro"  streng  iuathematit»ch  beweisen 
lassen,  wie  viel  Gold  und  Metall  ea  auch  im  Weltall  geben  mag,  ja,  wenn  der 
ganse  Ranm  damit  erflillt  wKre.  Man  kann  naeh  den  einiohlägigen  UotersDohungs- 
erfteboissen  {Borchardt^s  Journal  Bd.  84)  deo  gansen  Raum  schon  anf  einer  be- 
grenzten Linie  oder  Strecke  ein- eindeutig  abbilden,  so,  dass  jedem  Punkt  des 
eiuen  immer  oin  Punkt  uiul  luir  >  in  Punkt  der  andern,  unil  umgekehrt^  Ontipricht. 
Vergl.  biesu  auch  Arbeiten  von  J.  Lüroth,  E.  Jüigona,  u.  A« 


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§  3.   Identischer  Kalkül  mit  Gebieten  einer  Mannigfaltigkeit 


157 


Baumes  ancli  an  suh  aiüünn,  losgelost  von  deren  vorhin  charakteri' 
sirten  illastratiTen  Zwecken,  also  ohne  Rücksicht  daraaf,  dass  uns  diese 
Gebiete  Klassen  oder  Begriffe  Tersinnlichen  sollten. 

Wir  lassen  so  der  eigentlichen  Logik  eine  Hu^säisg^n  vorauf' 
gehen  oder  aach  mit  ihr  parallel  einhergehen,  deren  SStse  jederseit 
doreh  die  Anschawmg  kontrolirt  werden  können  und  welche  von  rein 
matiiematisehem  Charakter  ist  In  ihr  werden  die  Begeln  au  t  gestellt 
und  bewiesen  fOr  eine  eigentflmliehe  Bnchstabeareehntingi  welche  pas- 
send zu  bezeichnen  sein  dürfte  als 

Identiseher  Kalkül  mit  Gebieten  einer  Mannigfaltigkeit  ' 

Als  gegeben  denken  wir  uns  hier  eine  Mannu^faltigkcit  von  Ele^ 
mmten  —  etwa  die  Mannigfaltigkeit  der  Punkte  in  der  Flüche  der 
Schaltafel  (oder  die  der  Felder  auf  »  iiicm  Bogen  karrirten  Papiers). 

Diese  Mannigfaltigkeit  halten  wir  im  Felde  uiisrcr  Aufiiierksani- 
"keit  fest  und  kümmern  uns  nicht  um  die  Dinge  ausserhalb  derselben. 
Dl--  Natur  dieser  Mannigfaltigkeit  sowie  die  Art  ihrer  Elemente  sei 
v(jij  vornherein  in  unspr  Belieben  gestellt;  die  Betrachtungen  sollen 
(li Ifji  III' nie  sein  und  weiden  (mit  einem  gewissen,  später  zu  erwähnen- 
den Vorbehalt)  (TÜHifTkeit  beari -Sprüchen  für  jede  denkbare  Mauüigfal- 
keit  von  irgendwelclieii  Klenn  iiti  ii.  Anstatt  der  bereit««'  horvorgehohenen 
beiden  Beispiele  kr'iiiitf  ii  wir  naitientlich  auch  nehmen:  die  Mannig- 
faltigkeit der  Punkte  ues  Kaums  überhaupt;  desgleichen  die  (bekannt- 
lich vierdimensionale)  Mannigfaltigkeit  aller  im  Räume  denkbaren  Ge- 
raden; oder  auch  blos  diejenige  der  Punkte  einer  bestimmten  (sei  es 
begrenzten,  sei  es  unbegrenzten)  geraden  Linie ;  ferner  auch  die  Mannig- 
üaltigkeit  der  Zeitpunkte  eines  bestimmten  Zeitraums,  einer  Epoche, 
wo  nicht  der  Zeit  überhaupt,  und  so  weiter,  u.  s.  w.  Zur  unmittel- 
baren Veranschaulichung  ihrer  Teile  qualifizirt  sich  am  besten  das 
schon  hervorgehobene  Paradigma  der  Vorderfläche  der  SclmUafd,  die 
wir  ja  mit  den  in  sie  einzutragenden  Figuren  auch  jeden  Augenblick 
im  Text  hier  abbilden  zu  kdnnen  in  der  Lage  sind.  Ich  werde  ans 
didaktischen  Gründen  —  um  nicht  immer  abstrakt  (blus  von  Ele- 
menten^ Ton  Mannigfaltigkeit^  etc.)  zu  reden  —  diese  spezielle  Maunig« 
faltigkeit  hier  in  den  Vordergrand  stellen,  sie  die  ,Jbeioormigi/^  Mannig- 
faltigkeit nennen* 

Irgend  eine  Zusammenstellung  von  Elementen  der  Mannigfaltig- 
keit nennen  wir  ein  Gefttief  der  letzteren.  Solches  Gebiet  kann  —  in 
onserem  ^beTorzagten"  Falle  —  ans  beliebig  vielen  getrennten  Teilen^ 
als  da  sind:  isolirte  Ponktei  Linien  mid  Flächen,  bestehen,  eine  ganz 


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158 


Grate  Vorlesxiiif;. 


beliebige  „Fi^ur^'^  in  der  Tut'eiebeue  bilüeu;  doch  muaa  bei  Lioiai- 

flitlcken  und  Flächeu  jeweils  ausgemacbt  sein,  ob  auch  deren  End» 

punkte  resp.  GrenElinien,  Eonturen  mit  zu  dem  Gebiet  geboren  sollen, 

oder  nichi   Praktisch  aber,  behnfs  Illustration  der  allgemeinen  Satze 

unsres  Kalküls,  werden  wir  in  der  Regel  die  Gebiete  nwgiidtsi  einfadt 

durch  susammenhangende  Flächen,  etwa  nach  Art  der  Eoler'schen 

Diagramme  durch  Kreisflächen  (wo  nicht  das  Gegenteil  bemerkt  wird, 

unter  Einschluss  von  deren  Peripherie)  uns  darstellen. 

Budtsiaben,  wie     6,  c, . . .  mdgen  kOnftighin  solche  Gebiete  he- 

deuten,  aber  diese  säber,  und  nicht  etwa  (wie  es  sonst  wol  in  der 

Mathematik  üblich  ist)  deren  Maasssahlen  oder  Flächeninhalte,  ^on 

dergleichen  in  diesem  Buche  Überhaupt  m'cht  die  Bede  sein  wird. 

Mit  einziger  AusDahme,  vielleicht,  der  geometria  situs,  der  sjntheti- 
sehen  oder  Geometrie  der  Lage  herrscht  in  der  Mathematik  der  Gebraacb 
Tor,  unter  den  Buchstaben  jeweils  Zahlm  zn  Terstebai,  und  zwar  sameiät 
die  Maasszahlen  von  Grössen  (eventuell  auch  die  aus  Paaren  solcher  xu- 

(tammongest  tzten  ..komplexen"  Zahlen). 

Von  einer  Grosso  ihre  Maasszahl  zu  ab^trabiren  ist  —  auch  nachdem 
man  mit  der  MaaBS-Kinlieit  schon  Bekanntschaft  gemacht  hat  —  noch  ein 
ziemlich  kumpli/ii  ter  Prozess.  Ich  erinnere  an  die  Schwierigkeiten,  welche 
schon  die  Aufstellung  des  Begriffs  der  Länge  einer  kinnunen  Linie,  sowie 
des  FlBcbeninhaltes,  desgl.  des  Yoluminhaltes  einer  irgendwie  begrensten 
ebenen  oder  körperlichen  Figur  im  elementaren  Unterricht  bietet  —  ganz 
zu  geschweigen  von  den  Schwicrl;^'kelten  der  Messnnn-  selber. 

Sich  unter  dem  Ruchstaben  anstatt  Ult  gonussenen  Grösse,  z.  B. 
FlSche  seilet,  dt  ron  Maaiȣ/.Hbl  vorzustellen  ist  ^^nr  n'u  ht  das  NaturgemUsse, 
vielmehr  etwas  iirkUuiiteltes.  £|  dart  iu  iiiriuueruug  gebracht  werden,  dass 
die  Gew5hnimg  daran  erst  in  der  Schule  mühsam  anenogen  wird.  Wenn 
z.  B.  Ton  den  Scfafllem  eine  MiedmogsaufgabSi  betreffend  Wasser  und 
Wein,  gerechnet  wird,  so  wird  der  Lehrer  leichtlich  auf  dio  Frage,  was  x 
hier  bedeute?,  vom  Schüler  die  Antwort  erhalten:  „ar  bedeutet  das  Wasser'' 
—  statt  rieht i;L(:  die  Anzahl  Liter  des  zur  Mischung  zu  verwendenden 
Wassers.  Manclie  Schüler  müssen  wiederholt  und  hartnackig  darauf  hin- 
gewiesen werden,  dass  unter  den  Buchstaben  keineswegs  die  Diuge  selbst, 
sondern  deren  Anzahl,  beziehungsweise  Maasszahlen,  zu  Terstehen  seien. 

Es  kann  daher  nicht  wol  als  eine  ungebfihrliche  Zumutung  an  den 
Mathematiker  bezeichnet  werden,  von  dieser  so  inüiisam  erworbenen  Ange- 
wöhnnng  zeitweilig  —  für  den  gegenwärtigen  Kalkül  —  sich  frei  zu  machen 
und  wiedf^r  zurückztikehren  zu  dem  urwüchsigen  Verfahren,  welches  (an- 
statt ihr»  )  >M;ui>s/;ihiün)  die  Dinge  selbst  benennt  und  bezeichnet  —  zumal 
auch  hiefür  Prüceucnzlülle  in  der  Mathciautik  schon  genugsam  vorliegen: 
wie  denn  z.  B.  iu  der  Lehre  von  Kongruenz,  Ähnlichkeit  nnd  Projektivitftt 
der  Figuren  nnter  einem  Dreieck  ABC  auch  durchaus  nicht  Terstandea 
wird  die  Alaassiahl  TOn  dessen  FiSche,  vielmehr  in  der  Tbat  das  Dreieck 
selber,  u.  a.  m. 

limmerhin  dttifle  gerade  den  Torwiegmd  matbemattsch  geschalten  Leser 


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§  3.    Identischer  Kalkül  mit  Gebieten  eiuer  Mannigfaltigkeit.  159 

61  aaftnglich  eine  bewusste  Anstrengung  koateUf  hier,  wo  es  uuumgSnglich 
ist,  sich  7.U  emanzipireu  von  jener  Gewöhnung,  mit  den  uns  Fltlohen  dar- 
stellenden Buchstaben  in  Verbindung  za  bringen  die  Vor»teUang  Ton  metri 
»chen  Relationen. 

Jedes  spezielle  Gebiet,  das  wir  so  unter  eiueni  Buchstaben  a  ver- 
stehen mögen,  ucnnen  wir  oiikmi     HV/7'"  (valor,  value)  des  letzteru. 

Als  erste  Beziehung,  weiche  zwischen  zwei  Gebieten  a  und  h  be- 
stehen kann,  fassen  wir  nun  im  identischen  Kalkül  die  Besiehung  der 
üubsimtion: 

a  =\  h 

ins  Auge,  die  uns  ausdrücken  wird.  <l<i8S  das  Gebiet  a  {das  ^JS^hjclä- 
gebiet'')  sich  dem  Gebiete  b  (dem  j.Frädikatgebkf')  einordne,  dass  a  in  b 
etithaUen  sei  ^  so  wie  es,  nebenbei  gesagt,  die  Alternative  zwischen 
den  Figuren  1  nnd  2  veranschaulicht« 

Den  Sinn  «ibendimr  Beziehung  setzen  wir  eimig  und  allem  als 
bekannt  Torans. 

Alle  andern  Begriffe  und  Beziehungeui  die  wir  noch  in  den  Be- 
reich des  identischen  Kalküls  hereinzuziehen  haben,  werden  ausschliess- 
lich aus  Beiiehungen  dieser  Sorte,  aus  i^Subsumtionen''  aufgebaut,  so- 
dass wir  ungeachtet  seiner  später  vollzogenen  Erweiterungen  und 
scheinbar  grösseren  Tragweite  doch  sagen  kdnnen,  der  identische 
Kalkül  beruhe  einfach  und  ganz  auf  dem  Studium  der  Subsumtionen. 

Wir  werden  die  Gesetze  dieses  Kalküls  zunächst  (unter  Beihülfe 
der  Wortsprache]  im  der  aUgememm  Farm  maäimatiseher  Beumsßthrung 
begrOnden,  für  welche  seinerzeit  die  Geometrie  des  Euklides  muster- 
gültig geworden  ist,  um  hernach  in  einem  Rückblicke  zu  erkennen, 
dass  bei  den  Schlüssen  ebendieser  Beweisführung  nur  die  Prinzipien 
dieses  Kalküls  selber  aiip,e\veudet  worden  sind. 

Niemtind,  der  lür  liemheit  der  Methode  und  Konsequenz  des  Ver- 
fahrens ki^inii  besitzt,  wird  sich  dem  Kindruck  der  Schönheit  und  nmthe- 
matischen  Eleganz  des  damit  geschaffenen  wissenschaltliciien  »Systems 
ver>( hlicsseii  können.  Freilich  wird  man,  um  diesen  Rindruek  ganz 
ungetrübt  zu  gewiiiueu,  möglichst  abzusehen  haben  von  allem  Bemerk 
d«r  hiernUchst  zu  entwickelnden  Theorie. 

Das  Beiwerk  ist  zu  einem  Teile  ein  kntisdtts,  insofern  uns  obliegen 
wird,  die  gewählten  Bezeichnungsweisen,  die  das  Fundament  der  Zeicben- 
•prMhe  bilden,  zu  motiviren,  sie  zu  rechtfertigen  gegen  etwaige  Ausstel- 
Itmgen  von  mathematisober  nicht  minder,  wie  von  philosophischer  Seite. 
Oborhanpt  werden  wir  auf  vorauszusehende  Einwände  sowol,  wie  auf  ent< 
gegenstebende  Lehrmeinungen  philosophischer  Systeme  und  Ausftthningen 
namhafter  Mitarbeiter  ui;d  Philosophen  oft  Rücksicht  zu  nehmen,  solche 
nötigenkUs  zu  widerlegen  haben.    Dnd  die  Eigenart  unsrer  Behandlung»^ 


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wei^c  (It'i-  logischen  Materie  bildet  gorade  liiefür  eine  beträchlliclie  Er- 
sehworunp.  Zufol^re  der  verbindniden  Stelhmp^,  die  sie  zwischen  T'bilosophio 
einer-  und  Matbematik  andrerseits  einzunebmen  bestinnnt  ist,  werden  wir 
in  der  Tliat  auf  zwei  —  wie  schon  im  Vorwort  erwähnt  —  fast  allzu 
Tersehieden  duponiiie  Leserkrdae  stetsfort  bedacht  za  aehmeE  habeo. 

Die  Hauptmaste  aber  des  mit  der  Theorie  des  identbehen  Oebietekal- 
ktlls  hier  zu  verfleehtenden  Beiwerks  wird  von  f^arliVicher  Art  sein,  nämlich 
an?  Nutzanwendungen  des  Kalküle  für  die  Zwecke  der  Logik  selb>i  zu 
besteben  babon  Von  diesen  tindeu  wir  für  gut,  einen  (  ersten)  '/V;7  wenig- 
stens gleich  «leben  der  Theorie  einberlauieu  zu  hissen,  und  zwar  den  Teil, 
welcher  abzielt  auf  die  Verwertung  des  Kalküls  buhufs  Einkleidung  in 
seine  Zeiehenspraehe  sonSchst  derjenigen  Besiehiuigen,  welche  awischeD 
Klassm  oder  BegriSiBaroAbigeii  die  Wortsprache  anssadrUckea  yermag. 

Begriffe  und  Sätse  oder  FormelD  des  „identischen''  Ealknls  (be- 
siehnogsweise  des  damit  Terwandten  logischen,  vergl.  die  sechste  Vor- 
lesung) werden  (Oberhaupt)  die  TerschiedenartigBten  Anwendui^n 
Eulassen,  Anwendungen,  die  sich  lediglich  unterscheiden  durch  die 
Dentongsweise,  Interpretation  der  hier  als  allgemeine  Symbole  ver- 
wendeten Buchstaben  y  und  demgemäss  auch  der  sie  Yerknflpfenden 
Operations-  und  Beziehongsseichen.  Wir  werden  namentlich  unter  den 
Buchstaben  verstehen  können: 

tt)  Crdnete  einer  Mannigfaltigkeit  von  Elementen, 

ß)  Klassen  oder  Gattungen  von  Individuen,  insbesondere  auch  Be- 
griffe, nach  ihrem  Umfang  betrachtet,  desgl. 

y)  B^ri/f'c  nach  ihrem  Inhalt  betrachtet,  speziell  auch  Vor- 
stellungen , 

d)  Urteile,  Behauptungen,  Aussagen  (^,ütatemeüts"), 

e)  Schlüsse  (.jinferences'')*), 

t)  Funktionalgleichungen,  Algoritliraon,  Kalkuln,  „Gruppm*\ 
—  kurzum,  bei  geeigneter  Auslegung  der  Zeichen  so  ziemlich  alles 

Denk  mögliche. 

Wenn  deuiuach  als  Vorwurf,  Thema  der  deduktiven  Logik  ge- 
meinhin bezeiclmet  wird  die  Lehre  von  den  Biyrijfen.  Urteilen  und 
Schlüssen,  so  wird  zu  sehen  sein,  dass  auch  aui  diese  Objekte  nusre 
Hülfsdisziplin  des  identischen  Kalküls  sich  mitbezicht.  Sie  wird  sich 
auf  dieselben  direkt  übertragen  lassen,  indem  man  einlach  einen  Wechsel 
in  der  Deutung  der  Zeichen  vollzieht. 

Wie  schon  angedeutet,  würde  unsre  Darstellung  des  identischen 
Kalküls  an  Übersichtlichkeit  allerdings  gewinnen,  wenn  wir  ihn  zu- 
nächst nur  als  reinen  GebieiekalkvA,  lediglich  unter  dem  Gesichtspunkte 

*)  Die  nSchlflste**  kdnnen  selbst  aU  „Urteile*^  hingeatallt  werden  ^  welche 
den  deoknotirendigen  Zuammenhaiig  s  wischen  PrilmiMe  nndKenUiiBion  konstatiren. 


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§  S.  Ideotisebdr  Kalkül  mit  Gebieten  einer  Haxtnigfaltigkeii.  161 


«),  entwickelten  und  uns  dabei  aller  Seitenblicke  auf  seine  ander- 
weitigen Anwendungen  zunächst  entbielten.  Dieser  Vorteil  würde  iu- 
dess  erkauft  durch  eine  Reihe  von,  in  meinem  Dafürhalten  schwer- 
wiegenden pädagogischen  Nachteilen:  man  würde,  vor  allem,  gar  lange 
nicht  abzusehen  vermögen,  zu  was  überhaupt  die  Betrachtungen  gut 
sind,  und  weshalb  sie  angestellt  werden.  Zudem  handelt  es  sich  doch 
auch  darum,  den  deutschen  Leserkreis  erst  einigermassen  heranzu- 
ziehen zu  dem  Gebrauch  dieses  Kalküls,  zu  welchem  ja  Übungsbücher 
oder  Aufgabensammlungen  im  Deutschen  noch  nicht  existiren^  wo- 
gten in  der  englischen  Literatur  bereits  manche  Werke  diesen  Cha- 
rakter in  beträchtlichem  Umfange  ausgeprägt  seigeiL  Jede  lilustration 
aber  von  theoretischen  Sätzen  durch  Beispiele  auf  einem  ADwendunga- 
felde  muss  hier  den  Wert  einer  Übung  im  Gebrauch  der  vn  erlernen- 
den Zeichensprache  noch  nebenher  besitzen. 

Aus  diesen  Gründen  erscheint  es  mir  als  höchst  wünschenswert 
bei  der  EntwiekeluDg  der  Theorie  des  identischen  Kalkais  sogleich  ein 
Anwendongsgebiet  von  einigermassen  praktischer  Natur  zur  YerfOgung 
zu  haben,  und  wähle  ich  als  das  näehstliegende  das  Anwendungsfeld 
ß),  dasjenige  Gebiet  also,  welches  ja  den  Ausgangspunkt  nnsrer  Be- 
trachtungen von  Toniherein  gebildet  hat,  und  die  Idee  sur  Gründung 
einer  selbständigen  HfÜfsdtssiplin  auf  dem  Felde  «)  erst  seinerseits 
anregte. 

Auf  dieses  Anwendnngsfeld  f)  werden  wir,  nunmehr  yon  a)  aus- 
gehend, hinübergeleitet  durch  die  Bemerkung,  den  Hinweis  darauf: 
das«  die  „Elemente"  unsrer  Mannigfaltigkeit  auch  sogenannte  fJfuU' 
vkkiaif*  sein  können,  wo  dann  die  „Gebiete''  dieser  Mannigfaltigkeit 
sa  beieichnen  sein  werden  als  Systeme,  und  wenn  man  will  als 
jnossoi^  Ton  solchen  Individuen.  Als  dergleichen  „Individuen''  mögen 
irgendwelche  Objekte  des  Denkens,  sofern  sie  überhaupt  in  Gedanken 
isoUrbar  sind,  zunächst  hingestellt  werden,  und  die  ganze  Mannigfaltig- 
keit wird  dabei  erscheinen  als  eine  all'  jenen  Klassen  fibergeordnete 
allgemeinere  oder  umfassendere  Klasse,  wofern  sie  nicht  etwa  als  die 
Mannigfaltigkeit  des  Denkbaren  Oberhaupt  sich  wird  ansehen  lassen. 

Anmerkung.  Nächst  dem  Aiiwendungsfcldo  ß)  dcf?  identischen  Kal- 
küls —  das  ist  dem  mit  dem  „GebieickalkuV  «)  auf  daa  engöte  vervvandteu 
nSUmmMkuV*  ->  ist  als  das  wichtigste  dessen  Anwendungsfeld  S)  her. 
▼oiznheben,  das  ist  der  ,jL\»s8a§m}uMllf'  (yon  HeColl  als  „calculus  of 
equindent  Statements**  bezeichnet).  Müssen  wir  doch  alT  uosre  Über. 
legODgen  und  Beweise  vollziehen  in  Gestalt  einer  Reihenfolge  von  Aussagen! 

Um  dessen,  was  wir  dahei  tliun.  jeweils  voUkoniDien  iniie  v.w  werden, 
Ober  einen  jeden  unsrer  Schritte  uns  klarste  Bechenschaft  abzulegen,  wird 

SCHKooBK,  Algebra  der  i.ogik.  11 


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162 


Ente  Vorleanng. 


es  «laruin  laUam  sein,  auf  das  Anwenduug^feld  6)  &chon  frülizettig  zu 
achten,  gelegentlich  auch  aui  dieses  einen  Seitenblick  zu  werfen.  Sjste- 
matäflch  wird  ja  auf  dasselbe  allerdings  erst  später,  mit  Band  2  erst  ein* 
zugehen  sein.  Aus  dem  angedeuteten  äidakHsdtm  Grunde  aber  sei  vor- 
greifend schon  hier  bemerkt,  dass  im  Aussagenkalkal  einer  Subsumtion 
a  V  ^>  die  Bedeutung  zukommen  wird:  Wann  die  Aussage  a  gilt,  gilt  auch 
die  Aussage  h,  jene  zieht  diese  nach  ^ich,  ni.  a.  W.:  Ans  a  folgt  h. 

Die  wichtigste  Rolle  niuss  naturgeniäss  sulelien  Klassen  zufallen, 
welche  als  der  „Umfang"  von  (gewissen,  denselben  /.ut^eordneten)  He 
grilTen  bestimmt  erscheinen.  Doch  ist  wie  bereits  unter  y^)  der  Einlei- 
tong  betont,  die  Rechnung  mit  Klassen  noch  umfassender  als  die  Rech- 
nung mit  Begri&umfängen,  sofern  man  jeweils  zu  vorübergehenden 
Zwecken,  ja  sogar  in  völlig  wiükflrlicher  Auswahl,  auch  die  allerhete- 
rogensten  Dinge  in  eine  Klasse  wird  zusammengefaset  denken  dürfen. 

Die  Benennung  als  y,UtHfanff"  eines  Begriffes,  welche  wir  von  der 
scholastischen  Ldgik  überkommen  haben,  um  die  Klasse  oder  Gesamt- 
heit aller  derjenigen  Individuen  zu  bezeicliuen,  welche  „zu  der  Kate- 
gorie des  betreffenden  Begriffes  gehören*',  diese  Benennung  erscheint 
im  Hinblick  schon  auf  deren  Versinnlichung  mittelst  Kuler 'scher 
Diagramme  —  als  eine  ziemlich  unglQcklich  gewählte.  Es  sind  ja 
keines  w^s  die  „CTmfange"  oder  Peripherieen  der  Eule  raschen  Kreise, 
es  sind  nkht  die  Konturen  der  Flächengebiete,  welche  uns  im  iden« 
tischen  Kalkül  die  |,Begriff8tim/aii^'  tu  versinnlichen  haben,  sondern 
allemal  diese  Kreisflächen  selber  resp.  die  Flächengebiete  mit  allem 
was  sie  m  sich  efaUtalien,  Viel  passender  hiefttr  erscheint  das  eng- 
lische „eztent",  welches  ganz  wohl  mit  „Ausdehnung''  oder  f^rstredtmg^ 
des  Begriffes  im  Deutschen  wiedergegeben  werden  könnte.  Doch  sind 
wir  nicht  in  der  Lage,  eine  Jahrhunderte  alte  und  ganz  allgemein 
acceptirte  logische  Terminologie  umstossen  zu  können,  und  müssen 
uns  damit  begnügen,  auf  das  Verfängliche  der  Benennung  einmal  hier 
aufmerksam  gemacht  zu  haben. 

Noch  ist  zu  betonen,  dasa  wir  bei  den  Anwendungen  der  Theorie 
auf  Klassen  immer  nur  scharfumgrengfe  oder^  wie  man  sagen  kann 
„uoJddefnirtt**  Klassen  im  Auge  haben  werden. 

Bs  wird  vorau -gebctzt,  dass  in  Bezug  auf  kein  Ding  oder  irgend 
mögliches  Objekt  des  Denkens  einem  Zweifel  Raum  gelassen  sei,  ob 
es  zu  der  gedachten  Klafsp  jjohörc  oder  nicht. 

Dies  i^t  /.unilelist  iki  1  aii^  sobald  die  Individuen  der  Klasse  sich 
Vüllätündig  Laben  aufzälileii  lassen. 

Häufig  aber  werden  die  (zu  betrachtenden)  Klassen  „offene"  sein, 
Klassen  von  einer  unbegreuzten  ludividuenzahl,  deren  Individuen  also 


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§  3.   Identischer  Kalkül  mit  üebieteu  einer  Mannigfaltigkeit. 


16S 


flberlianpt  nie  Tollstindig  aufgezahlt  sa  werden  Termögen  —  wie  2.  B. 
die  Elaeee  der  Linien  oder  Karren  —  eventuell  auch  Klassen,  deren 
Indiriduen  sum  Teil  noch  ungewiss  im  Schoosse  der  Zukunft  ruhen  — 
wie  z.  B.  die  Klasse  der  Menschen  u.  a.  m. 

In  solchen  F&llen  mflssen  wir  vorausseUten,  dass  wenigstens  ein 
Muip  in  uns  wirksam  sei,  welches  in  Bezug  auf  jedes  einzelne  in 
den  Bereich  unsres  Denkens  jemals  fallende  Objekt,  in  Bezug  auf  alles, 
was  fähig  ist,  von  uns  vcr^estelU  (oder  was  noch  mehr  sagt,  von  uns 
gedatht)  zu  werden,  unzweifelhaft  entscheidet  und  uns  mit  Notwendig- 
keit dahin  drangt,  dirigirt,  entweder,  es  zu  der  Klasse  zu  rechnen,  oder 
aber,  es  yon  ihr  auszuschliesseu. 

In  Gestalt  des  „Begriflfea"  haben  wir  ja  mit  einem  derartigen 
Priiizipe,  das  solches  auch  zu  leisten  liilii*,',  schon  in  C  der  Einleitung 
Bekanntschalt  gemacht.  Indusdcu  sei  es  ausdrücklich  bemerkt,  dass 
Natur  und  Wirkungsweise  gedachten  Prinzips  hieruiichst  uns  glticli- 
gultig  lässt.  Gerade  dariu,  dass  wir  es  dahingestellt  sein  lassen,  auf 
welche  Weise  die  vorauszusetzende  Abgrenzung  iinsrer  Klassen  zu- 
lätaude  kommen  mag,  erblicken  wir  einen  Hauptvurzu^^  der  hier  be- 
folgten Methode.  Auf  diesem  Umstand  gerade  beruht,  wie  wir  meinen, 
der  elementare  und  fundamentale  Charakter  der  hier  entwickelten  Theorie. 

Das  oben  ausgesprochene  Kriterium  für  die  WohiJefinirtheit  einer 
Klasse  scheint  übrigens  noch  eines  einschränkenden  Zusatzes  zu  be- 
dürfen in  Gestalt  des  Vorbehaltes,  dass  die  in  Frage  kommenden,  Ob- 
jekte hinlänglich  bekannt  seien. 

Sobald  z.  B.  wir  eine  Zahl  kennen^  ist  jeder  Zweifel  ausgeschlossen, 
ob  sie  zur  Klasse  der  ganzen  Zahlen  gehörig  oder  nicht;  wir  mögen 
die  Klasse  der  ganzen  Zahlen  als  Exempel  einer  wohldefinirteu  Klasse 
hinstellen  ganz  unbeschadet  dessen,  dass  wir  z.  B.  nicht  wissen,  ob  das 
Atomgewicht  des  Schwefels  (auf  Wasserstoff  als  Einheit  bezogen) 
zu  derselben  gehört  oder  nicht  (vergl.  die  Stass'schen  Atomzahlbe- 
stimmungen), da  uns  eben  diese  Zahl  zur  Zeit  nicht  hinlänglich  sicher 
bekannt  sein  dürfte. 

Auch  mit  diesem  Vorbehalte  bildet  die  genannte  Voraussetzang 
ein  Ideal  in  den  Zuständen  unsres  Denkens,  welches  nur  selten  Ton 
der  Wirklichkeit  daselbst  erreicht  wird. 

Es  braueht  in  dieser  Beüehang  nur  an  die  Schwierigkeiten  erinnert 
zu  werdeu,  welche  die  Abgrenzung  zwischen  Pflanzen-  und  Tierreich  bei 
den  niederen  Organismen  der  Naturwissenschaft  Vicreitot,  oder  auch  —  um 
ein  noch  frappanteres  Iküsiiiel  zn  wjihlen  —  an  die  Seliwieri^keiten,  welchen 
die  neuere  gegen  FülscUung  der  ^aliruugö-  uuJ  GenubSuiiLtel  gerichtete 
GeseUgebuDg  ha  dem  Versuche  begegnet  ist,  die  Begriffe  von  Brod,  Wurst, 


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164 


Ente  Vorletuog. 


▼ou  Wein  und  Bier  festzustellen,  den  Umfang  derselben  unzweifelhaft  ab- 
zugrenzen. Gleichwie  diese  TTmnrenzung  erfolgte  mittelst  Angabe  der  In- 
gredicn/.icn,  \v(  1(  lic  zur  Bereituug  jener  Lebensmittel  verwendet  sein  dürfen, 
BO  werden  auch  im  allgemeinen  gewibse  Merkmale,  die  wir  aus  dem  vollen 
Inhalte  des  sugcLürigen  Begriffs  als  die  ,,wes«itUc1ien*'  hervorlielwii,  das 
wirksam«  Prinnp  zur  gesuehten  Abgrenzang  liefern. 

Faktisch  \i>i  in  der  That  die  Abgrenzung  der  Klassen,  welche  die 
Sprache  mit  Gemeinnamen  darstellt,  zumeist  eine  schwankende.  Nicht  nur 
bleiben  Fälle  denkKar,  welche  bei  der  Abrrrcnznng  unberücksichtigt  gelassen 
sind,  und  iu  Jiezug-  auf  welche  .sciutn  Derjenige,  der  den  Gemeinuamen 
gebraucht,  sich  im  Unklaren  darüber  beliudet,  ob  t>ie  uiu/.urechnen  oder 
anssosehliMsen  seitti  (womit  dieses  auch  fttr  Alle  strittig,  unentschieden 
bleibt),  sondern  die  Abgrenznng  ist  auch  oft  im  subjekÜTen  Gebranch  bei 
einundderselben  Per.sSnlichkeit  eine  wechselnde,  richtet  sich  nach  dem 
Gedankenkreise,  in  dem  man  sich  ehen  liewegt,  und  verändert  sich  mit  dem 
üntcr»uchuDgsfelde,  auf  das  mau  den  Gemeinnamen  anwendet, 

So  gchliesst  2.  R.  iu  der  Naturgeschichte  die  Klasse  der  Tiere  die- 
jenige der  Menacbeu  in  sich  ein,  wogegen  iu  der  Sprache  des  gewöhn- 
lichen LebNis  nnd  gesellschaftlichen  Verkehrs  sie  dieselbe  ausschliesst.  80 
begrenzm  wir  auch  die  Klasse  „Keusch**  sicherlich  enger^  wenn  wir  sagen; 
„Alle  Menschen  sind  sterblich",  als  wenn  wir  sagen:  „Dieser  Mensch  ist 
todt",  .,der  Arzt  liaf  einen  Menschen  secirt"  und  dergl.  Es  hlltte  doch  ge- 
wiss keinen  Siuu,  einen  Leichnam  noch  als  „sterblich"  zu  bezeichnen! 

Ausserdem  alar  wird,  wenn  erst  die  Paläontologie  noch  erfolg- 
reicher in  eine  graue  Vorzeit  eindringt,  der  Lamarck - Darwin'schen 
Entwickelungslehre  einst  die  Aufgabe  zufallen,  die  Orenxe  swisdien  Zwei- 
nnd  Vierhänder,  eventuell  YierfOsser  noch  sdifirfer  zu  riehen,  so  wie  sie 
durch  die  Entdeckung  des  ArchUopterix  und  der  mit  Zähnen  bewaffneten 
fossilen  Vöi^nl  Nordamerikas  (Ilesperomis,  Ichtliynrnis  etc.)  bereits  in  die 
Lage  versetzt  wurile,  genauer  scheiden  zu  miit^>en,  was  zur  Klasse  der 
Vögel  und  was  zu  derjenigen  der  ( Flug-)Eidecb:3eu  hinfort  gehören  solle. 

Mit  der  Voraussetzung  wohldefinirter  Klassen  vollzieht  die  Logik  eine 
gans  ähnliche  Idealisining  der  Wirklichkeit,  wie  s.  B.  diQ  Mechanik  es 
thut,  indem  sie  absolut  starre,  oder  aber  Tollkommen  tropfbar  flüssige  in- 
kompressible  oder  endlich  vollkoi:ii:  ru  elastisch  flüssige  (gasfSrmige)  Körper 
fingirt.  Indessen  i!»t  mit  ihrem  Ideal  die  Logik  insofern  in  einer  ^rfinsti- 
geren  Stellung,  wie  die  Mechanik,  als  es  der  letztem  nicht  möglich  ist, 
2.  B.  Körper  herzustellen,  welche  dem  Zustand  der  absoluten  Starrheit  be- 
liebig nahe  kommen.  Wogegen  es  doch  wenigstens  in  unserm  Vermögen 
liegt,  fttr  uns  selbst  nnd  Andere  die  Klassen,  von  welchen  die  Bede  sein 
soU,  mittelst  Besinnung  darüber,  resp.  in  freier  Übereinkunft  mittelst  eia« 
gehender  Verständigung  in  jeder  wünschbaren  Sdiärfe  abzugrenzen.  Es 
geschieht  ja  nicht  immer,  doch  kann  es  nötigenfalls  geschehen. 

Auf  dieses  Ideal  der  Logik,  dasB  man  auf  wohldefinirte  Klassen 
sich  berufen  könne,  arbeiten  zudem  Gesetsgebung  und  Wissenschaflen 
—  eine  jede  auf  ihrem  Gebiete  —  mit  grosser  Macht  hin.  Dasselbe 
ist  gerade  auf  letzterem  Felde ,  welches  zur  Anwendung  nnsrer  Dis- 


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%  8.    Identischer  Kalkül  mit  (leUietcn  einer  Marniigfaltigkeit. 


165 


aplin  m  erster  Linie  in  Betracht  kommt,  im  weitesten  Umfange  ver- 

wirUichi^  und  bildet  es  in  der  That  eine  unerlSssliche  Yoraossetsung 

Ar  alles  exakte  Denken.   Aach  bleibt  es  unbenommen,  die  Abgren- 

xong  in  Frage  kommender  Klassen  von  Dingen  zunächst  nur  proYi- 

sorisch  zu  ToUsiehen,  und  &lls  sich  aus  den  Ergebnissen  angestellter 

Untersuchungen  auf  Grund  exakten  Denkens  Beweggritnde  dazu  ergeben 

sollten,  diese  Abgrenzung  nachträglich  abzuändern,  zu  modifiziren. 

Verstehen  wir  unter  h  die  Klasse  der  Studirenden  auf  deutschen  Uni- 
TecsitSten  im  laufendes  Studienjahre,  so  ist  diese  Klasse  eine  wobldefinirte. 
Hier  entsdieidet  uBmlioh  die  ordnangamSssig  ToUzogene  Immatrikulation. 
In  dieser  Klasse  h  ist  enthalten  diejenige  der  Studirenden  der  UntTersitKt 

Leipzig  vom  selben  Jahrgänge,  welche  mit  a  bezeichnet  werden  möge.  Es 
ist  dann  a  h.  Deerkt  man  sich  in  die  Felder  auf  einer  hinreichend  fein 
karrirten  Seite  eines  Bogens  Papier  die  Namen  sämtlicher  Studenten  der 
Klasse  b  eingetragen,  und  zwar  jeden  Namen  gesondert  in  ein  eigenes  Feld, 
so  werden  dicjcuigen  Felder,  welcbe  die  Namen  von  Studenten  der  Klasse  a 
sathslten,  einen  gewissen  Komplex  bilden  —  man  kann  durch  geeignete  Aus* 
wähl  der  zur  Eintragung  der  letzteren  zu  verwendendenFelder,  durch  Zusammen« 
legen  dieser  l'elder  bewirker!,  lass  er  oinfacli  znsammenhiiugenJ  erscheint  — 
und  es  wird  nun  die  HoziehuiiL,'  z\vischen  den  FeMerkornploxen,  in  weiche  die 
Individuen  der  Klassen  und  6  eingetrasren  f?ind,  der  Fig.  1  wesentlich  pfleichen, 
uämüch  mit  ihr  darin  übereinstimmen,  daän  der  Komplex  a  als  ein  Teil  des 
Komplexes  h  erseheint,  in  lelsterem  enthalten  ist  Ind«m  jedes  Feld  er- 
seheint  als  der  „TrBger^  eines  einzelnen  Individuums,  einem  solchen  „sn- 
geordnet**  ist,  pifiigt  sioh  die  Beziehung  a  =^  &  zwischen  den  KIa<;sen  a 
und  h  hier  anschaulich  aus,  sie  wird  im  wahren  Sinne  des  Wortes  sUMbar» 

Es  ist  für  das  Folgende  von  der  höchsten  Wichtigkeit,  dass  man 
dch  die  Punkl^ebiete  oder  FlächeUi  die  wir  im  identischen  Kalkül 
betrachten  werden,  und  die  Klassen,  von  welchen  behufs  Illustration 
oder  Anwendung  des  Kalküls  die  Bede  sein  wird,  in  der  gssehilderten 
Weise  auf  eiuander  bezogen  denke.  Wir  glaubteui  um  allseitiges  Ver- 
itiuidniss  zu  erzielen,  auch  ein  Beispiel  mit  begrenzter  Individuenzahl 
der  Klassen  vorf&hren  zu  müssen.  Man  wiihle  bei  unbegrenzter  Indi- 
viduenzahl  (mathematische)  PuMe,  bei  begrenzter  etwa  Fdäer  zur 
Daisfcellung  der  in  Betracht  kommenden  Individuen.  Indess  steht  im 
lelitem  Falle  niehts  im  Wege,  die  Felder  sich  auch  in  getrennte, 
etwa  besonders  markirte  Punkte  zusammenziehen  zu  lassen. 

Nach  diesen  (im  Grossen  und  Ganzen  auch  motivirten)  Vorbe- 
aierkungen  geben  wir  zur  systematischen  Darstellung  der  Theorie  Aber. 

Bs  kommt  uns  dabei  auch  sehr  auf  Erzielung  einer  guten  Über- 
sielit  an,  welche  wir  durch  scharfe  Sonderung  und  konsequente  Chiff- 
rining  ihrer  verschiedenen  Momente  zu  erzielen  hoffen. 

ffDefinitionen^^f  Uegriflserklärungeu  chitfriren  wir  (wenn  überhaupt, 


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166 


Ente  Torlesimg. 


8o)  je  mit  arabischen  Ziffern  in  Yollständiger  aber  einfacher  Klammer, 
wie  (1),  (2)  und  so  weiter. 

„PasiUlate**  ebenso,  jedoch  mit  doppelter  Einklammenmg  wie 

((!)),  m,  ■  ■ 

JMng^nen**  oder  ,,ilziome''  mit  rdmischen  Ziffern,  wie  I,  II,  etc., 
ffTheormef*f  LehreStze  wieder  mit  arabischen  Zahlen  aber  nur  ein- 
seitiger (reehtseitiger)  Einschliessung,  mit  „Halbklammet^',  wie  1),  2),3), .. 

Bs  wird  der  Logik  gemeinhin  zagemutet,  dass  sie  auch  erkläre,  was 
unter  Definition,  Fostalat,  Axiom  und  Theorem  su  Terstehen  sei,  dass  sie 

also  namentlich  auch  aaf  diu  T^rfordemisse  einer  gaten  Definition  näher 
eingehe,  desgleichen  auf  die  Anforderungen,  die  an  den  Beueis  (die  „Dcmon- 
straflon")  zn  stellen,  durch  welchen  das  Theorom  als  ein  solches  nach- 
gewiesen w('i«l»  n  muss,  durch  welchen  es  von  einer  blossen  Behauptung 
LHin  Lehrsatz  erst  erhoben  wird. 

Ähnlich  gehört  auch  die  Oharakterisimng  der  „Aufgabe**  des  »IVo- 
hUnu^i  nebfit  den  Anforderungen  an  ihre  „LOsnng**  (solutio)  und  deren 
„Determination"  noch  zu  den  Obliegenheiten  der  gewühnlichen  Logik. 

Es  erscheint  jedoch  durch  die  Anlage,  den  Plan  des  ganzen  Buches 
geboten,  dass  wir  nns  an  fJirsrr  .Sf- atif  diese  Fragen  nicht  einlassen, 
vielmehr  uns  mit  dem  Hinweis  begnü^'cn,  dass  die  fra^rlichen  Begriffe,  so- 
weit sie  nicht  ohnehin  schon  Gemeiagui  sind,  einstweilen  wenigstens  syn- 
thetisch erworben,  herangebildet  werden  kfinnen  an  dem  Uaterisl  der  aaf- 
suBtellenden  nnd  als  solche  hingestellten  speidellen  Definitionen,  an  der 
grossen  Zahl  Ton  mustergttltig  bewiesenen  Theoremen,  etc. 

Es  wird  sich  ein  „Duälisimsf*  (eine  „Reziprozität**)  dnrch  die  ganze 
Disziplin  ziehen,  indem  die  auf  die  Operationsstufe  der  Addition  sich 
beziehenden  Sätze  sozusagen  „Pendants'*,  symmetrische  Gegenstficke 
bilden  zu  den  auf  die  Stufe  der  Multiplikation  bezfiglichen  (vergl.  §  14). 
Wir  chiffiiren  die  „einander  dual  entsprechenden"  Sätze  jeweils  mit  der 
gleichen  Nammer,  jedoch  unterschieden  durch  das  Suffixum  -f-  resp.  X. 
Auch  stellen  wir  solche  Satze  meistens  in  den  beiden  Spalten  (Kolum- 
nen) links  und  rechts  von  einem  die  Druckseite  in  der  Mitte  brechenden 
Vertikalstriche  (dem  ,^ittel8triche")  einander  symmetrisch  gegenüber. 

Die  analoge  Übung  besteht  bekanntlich  schon  längst  in  der  Geometrie 
der  Lage,  wo  in  den  reziproken  oder  zu  einander  polaren  Sfttven  z.  B. 
Baumponkt  und  Ebene  ihre  Bollen  tauschen,  wSfarend  die  Gerade  verharrt 

Es  bedarf  wol  kaum  des  Hinweises ,  dass  (hier  wie  dort)  in  «er- 
s(^iedenen  Kolumnen  oder  Spalten  aufgefOhrte  Voraussetzungen  oder 
Behauptungen,  wenn  sie  auch  im  selben  Niveau,  auf  einer  Zeile  stehen, 
doch  niemals  Bezug  auf  einander  haben  sollen:  sie  sollen  nicht  etwa 
gleichzeitig  gelten,  behauptet  oder  angenommen  werden.  Vielmehr  hat 
man  auf  einmal  immer  nur  den  Text  von  einer  Spalte  allein,  zu- 
sammen mit  den  etwa  qner  durchgehenden  Zeilen  zu  lesen. 


§  3.    Identiacher  Kalkül  mit  Gebieten  einer  Mannigfaltigkeit.  167 


Ohne  Snffixnm  werden  nur  die  „zu  sicii  selbst  daalen'*  Sätze 
chiffimrt  enehemen. 

Als  fOr  die  Theorie  vorerst  unwesentlich  —  indess  behufs  etwaiger 
Nebeobemerkungen  Torausgeschiekt  zu  wünschen  —  lasse  ich  zur  Zeit 
UDchiffrirt  die 
(Definition).   Unter  einer  Aussage  von  der  Form: 

(sprich:  h  übergeordnet  oder  gleich  b  siqyer  a)  soll  ganz  das  nämliche 
Teistanden  werden,  wie  wenn  man  sagt,  dass 

a=^b 

seL  Eine  Subsumtion  Icann  hieuach  auch  rückwärts  gelesen  iccrdmy  ith 
dem  man  nur  das  StibsunUionseeieken  als  Supersumtionszeichen  inter- 
pretirt,  reep.  ^mkt^', 

Kraft  dieser  Definition  vermögen  wir  auch  dcu  (TerhältnissmUs^i^'  sel- 
tenen) Fällen  gerecht  zu  werden,  in  welchen  die  Wortsprache  das  Prädikat 
dfin  Subjekte  voranzustellen  lieht  —  mtf  welche  bereit-;  in  §  2  liin^ewiesen 
wiivle;  auch  derL'l eichen  Urteile  niügeii  wir  jetzt  unmittelbar  in  die  For- 
lüelaprache  übertragen,  ubue  dass  wir  erst  genötigt  wären,  eine  Umstellung 
der  beiden  Saüsgliedor  dabei  ▼ontnaehroeD, 

ökcnomisch  and  Ton  Wert  wird  solche  Möglichkeit  sich  besonders 
dann  erweisen,  wenn  etwa  der  natürliche  Gedaukenverlauf  dahin  geführt 
hat,  das  PrSdikat  zuerst,  vor  dem  Subjekte,  zu  beschreiben  und  wenn  diese 
Schildemnj^  sowie  auch  der  Ausdruck  gedachten  Prridikatcs  in  den  Sym- 
bolen untrer  Formel  spräche  einigerraasyt  n  kompli/.irt  erscheint,  weit- 
läufig iit.  Wollte  man  in  solchem  Falle  das  Subjekt  in  die  gewöhnliche 
typische  oder  normale  Stellung  sum  PrBdtkate  bringen,  so  wlfare  man  ge* 
nOtigt,  die  nmetSndliche  Beschreibung,  den  kompUsirten  Namen  oder  Aus- 
druck des  letzteren  (hinter  dem  Subjekte,  nachdem  er  vor  demselben  zuerst 
gefallen  ist)  gu  wtederholenf  was  mühsam  und  langweilig  sein  kann.  Die 
Wortsprache  vermag  neh  dem  durch  den  Gcl  rauch  eines  hinweisenden  Für- 
worts zu  entziehen,  indem  sie  auf  das  Prädikat  als  auf  jenes  oder  dieses 
eben  beschriebeue  Ding  zurückverweist.  lu  der  Formelsprache  könnten  wir 
sllenfi^ls  solcher  lästigen  umständlichen  Wiederholung  dadurch  auch  aus 
dem  Wege  gehen,  dass  wir  sofort,  nachdem  der  kompliurte  Name  des  PrS- 
dikats  erstmalig  yollendet  ist,  ein  einfaches  Buchstabensymbol  als  Abkür« 
lüng  fUr  denselboi,  als  Name  ad  hoc  oder  HttUsbezeichnong  für  dieses  Prä-* 
dikat  einführten,  sodass  dessen  Wiederholunj?  dann  keine  Umstände  mehr 
verursacht.  Doch  kann  auch  dies  f;chori  eine  Nötigung  zu  unbequemen 
Weiterungen  (wie  Überladung  der  Untersuchung  mit  Zeichen  u.  a.)  in  sich 
scbliessen,  und.  bleibt  das  einfachste  Auskunftämittel  jedenfalls  dtiS  anmit 
geschaffene:  die  Beiiehuog  des  Subjekts  znm  Prftdifcate  in  der  umgekehrten 
Qrdnong  als  eine  rückwftrta  gelesene  Snbsamtton  oder  „Snpersumtion''  dsnn 
ZQffl  Ausdruck  zu  bringen. 

In  die  systematisclie  Darstelltmg  unsror  Disziplin  werden  Wir  das 
Supersumtionszeichen  ^  erst  in  §  34  aufnehmen. 


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Zweite  Vorlesung. 

§  4.  Bnte  arandUgeii:  Frlnsip  I  und  n,  Deflnlllcm  ron.  Glelolilieit^ 

O  und  1,  ii«btt  Folgniteen. 

An  die  Spitze  haben  wir  zwei  Grund!<;itze  zu  .stellen,  welche  nicht 
auf  noch  einfachere  Sätze  zurückfülirbar  erscheinen  und  schlechthin 
sagegeben  werden  müssen. 

Prinzip  I. 

a  =^  a. 

Da  das  Sabsumtionszeichen  ^  der,  Kopula  „ist''  entspricht,  so 
helflst  dies  in  Worten:      ist  a". 

Diese  Aussage  muss  als  eine  gOltige  anerkannt  werden,  was  immer 
ftlr  eine  Bedeutung  dem  a  auch  beigelegt  werden  mag.  Z.  B.  „Gold 
ist  Gold^  ^WeisB  ist  weiss^  etc.  Dergleichen  S&tze  sind  von  nie- 
mand bestrittene  Wahrheiten^  deren  Äueserui^  höchstens  ihrer  Selbst- 
verstandlichkeit  halber  Anstoss  erregen  kann. 

DemgemSss  trägt  auch  die  obige  Subsumtion  I  den  Charakter 
einer  aißffememgüUiffm,  einer  „Formel''.  Dieselbe,  oder  ihren  Ausdruck 
in  Worten,  nennen  wir  den  Saig  der  IdenUiät,  principium  identitatis. 

Unter  diesem  Namen  hat  schon  die  alte  Logik  den  Satz  gekannt 
und  als  ersten  Ghrondsatx  angenommen. 

Bedeutet  a  ein  Punktgebiet  (z.  B.  eine  Flache)  aus  unsrer  Mannig- 
faltigkeit (der  Fläche  der  Schultafel),  so  sagt  der  Sata  I  aus:  a  ist  in 
sidi  selbst  enthäüenj  ist  ein  Teil  von  a;  a  ist  untergeordnet  oder  identisch 
glM  a. 

In  der  That  liegt  von  den  beiden  Fällen,  welche  wir  in  der  Ein- 
leitung  unter  dem  Subsumtionszeichen  als  mögliche  Ku.sammengefasst 
haben,  hier,  wo  beide  Seiten  der  Subsumtion  das  nämliche  Gebiet  vor- 
stellen, tjanz  zuverlässig  der  uijie  vor,  aber  allerdings  nie  der  erste, 
sondern  iruiner  mir  der  zweite  lall;  a  ist  niemals*)  untergeordnet 
dem  «,  sondern  stets  identisch  gleich  a. 

*)  Diese  Behauptung,  welcbe  allerding«  sofort  einlenchtet,  witd  sich  anf  einem 
Bpftteren  Standponkte  anch  heweUen  laiBen. 


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§  4.  Erste  Grundlagen:  Printip  I. 


169 


Die  Anasage  a'^a  bat  daber  etwas  Ton  jenem  irreftlhreiiden 
Charakter,  den  wir  bereits  anf  S.  154  sq.  bespToeben  und  dozeb  ein  Bei- 
spiel illnstrirt  haben;  und  auf  den  ersten  Blick  w&rde  das  nachher 
Ton  uns  bewiesene  Theorem  1\  nSmlicb  die  Gleichung  a  «  a,  als  der 
angemessenere  Auadruck  des  Satses  der  Identität  erscheinen.  Dem- 
ungeachtet  müssen  wir  doch  bei  der  obigen  Fassuog  I  dieses  Prinzips 
beharren  ans  swei  Grilnden. 

Srgtms  hatten  wir  es  ja  anj^ezeigt  gefunden,  von  den  drei  Zeichen 
-4,  d  und  «»=  das  eretere  oder  Subsamtionaseiehen  als  das  ttrspnhig- 
Udie  hinsustellen,  auf  dessen  wohlerfasste  Bedeutung  das  ganze  Gebäude 
der  Algebra  der  Logik  su  grflnden  sei.  Von  den  beiden  andern  Zeichen 
wurde  bisher  nur  gans  beiläufig  gesprochen,  nämlich  lediglich,  am  die 
Susserlidie  Bildungsweise  oder  Zusammensetzung  des  Subsumtions- 
Zeichens  zu  mativirm.  Das  Zeichen  «  werden  wird  erst  nachher, 
mittelst  Definition  (1),  als  ein  wesentliches  fortan  lejrjtiin  zu  ver- 
wendendes Beziehun<;s7.eiclieii  in  das  Systt'iu  uusrcr  Disziplin  einführen, 
und  das  Zeichen  C  noch  selir  viel  später.  Auf  unserm  gcgemrii/  tigeii 
Standpunkte  sind  wu  also  noch  gar  nicht  berechtigt,  resp,  in  der  Lage, 
vüu  identischer  Gleichheit  zu  reden. 

Zweitens  —  und  dieser  Grund  ist  der  ausschlaggebende  —  müssen 
wir  trachten  möglichst  wenijjj  Behauptetes  als  unbeweisbaren  Grund- 
satz hinzustellen.  Sagen  wir  aber  von  einem  ausgewanderten  Freunde 
z.  B.,  er  sei  nach  Südamerika  y:e<»;;ingen,  .^o  sagen  wir  offenbar  mehr 
über  ihn  aus,  als  weim  wir  blus  melden,  er  sei  nach  Amerika  ^d.  i. 
Nord-,  Süd-  oder  Mittelamerika)  geg  uii^cn  Und  ebenso  enthält  die  Aus- 
sage: „o  ist  identisch  gleich  n*'  eine  weitergeh»"nde  Information  über 
die  Beziebini<x  des  a  zu  sich  selber,  als  die  Aussage:  „a  ist  unter- 
treordnei  oder  identisch  gleich  a",  m.  a.  W.  „a  ist  entweder  nur  eiu 
Teil  oder  aber  das  Ganze  von  a**. 

Um  also  möglichst  wenig  Unbewiesenes  vorauszusetzen,  werden 
wir  die  letztere  Alternative  zunächst  offen  lassen,  nur  den  letzten 
Satz  als  Grundsatz  hinstellen.  Wir  werden  für  den  Augenblick  so 
tbun,  als  ob  wir  nicht  wüssten,  welcher  von  den  beiden  Fällen 
eintritt,  um  dergestalt  zu  erkennen,  dass  auch  dann  schon  mit 
swingenden  Gründen  sich  darthun  lä88t|  dass  es  der  letztere  Fall  ist^ 
welcher  zutriffi. 

Für  den  ^systematischen  Aufbau  unsror  Disziplin  sind  vorstehende 
Betrachtungen  durchaus  nicht  wesentlich;  ich  habe  mit  denselben  nur 
^  nl)^ichtigt,  die  Beweggründe  unsres  Zuwerkegehens  klar  zu  legen,  so- 
mit auch  einer  missverstandlichen  Beurteilung  desselben  zuvorzukommen. 


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170  Zweite  Vorlesang. 

Für  die  Theorie  ist  es  Tollkommen  ftiisreicheDci,  das  Prinzip  I  rondweg 

als  ein  Bolches  hinzastellen. 

Anmerkung  zu  I.  Aus  didaktischen  Gründen  will  ich  ebenso,  einst- 
weilen vorgreifen il .  bemerken,  dass,  alr<  ein  Prinzip  des  ,,Aussagenkalkcls" 
gedeutet,  der  Satz  I  der  Identität  uns  die  Kiiaulmiss;  giuantiren  wird,  eine 
als  wahr  unerkannte  Behauptung  bei  beliebiger  Gelegenheit  zu  wiederholen. 
Die.-^clbe  mass  dann  immer  wieder  als  wahr  anerkannt  werden.  Wenn  a 
gilt,  so  gilt  o.  Von  dieaer  Freiheit  werden  wir  im  Text  fortgesetzt  Ge- 
brauch machen.    (Yergl.  §  31.) 

Prinzip  II.  Warn  a^^h  und  zugleich  b^c  ist,  so  isi  audi  a^€. 
Stellen  a,  h,  c  Gebiete  —  etwa  EreisflSchen  —  vor,  so  mag 

dieser  Satz  durch  die  Figur  erläutert  werden: 

ludessen  bringt  solche  Figur  noch  Besonder- 
heiten (besondre  Umstände)  zum  Ausdruck,  die 

in  dem  Satze  nicht  gefordert,  nur  zugelassen,  die 
in  ihm  offen  f^elassen  sind.  Der  Fi^.  3  liegt  näm- 
lich die  Anaall me  zugrunde,  duss  die  eventuellen 
ünterorduungeii,  von  welchen  im  Satze  die  Rede 
ist,  wirkliche,  definitive  Unterordnung  seien.  Da 
das  Zusammenfallen  zweier  Kreise,  von  denen  der 
eine  im  amiern  enthalten  ist,  iinmerliin  aU  ein  ver- 
bältnissniässig  s».'ltciier  Zufall  erscheint,  so  mag  man  den  in  der  Fi«inr3 
zur  Darstellung  gebrachten  Fall  als  den  „allgenipineren"  bezeirhiien 
(und  /.war  in  Hinsicht  jedes  Paares  von  aufeinauderfoigeudcu  Kreisen, 
welclies  uiau  iii"s  AuLTe  fassen  ni(>(!:el. 

Um  auch  die  andern  im  Prinzip  11  mit  iubegriti'eueu  Falle  zu  er- 
halten, braucht  man  sich  nur  noch  vorzustellen,  dass  von  den  drei 
Kreisen,  nämlich  dem  innersten  o,  dem  mittlen  n  b  und  dem  rinsseron  c, 
irgend  7<wei  successive  auch  zusammeufalleu  dürfen  —  eine  Deckung, 


Fig.  4.  FS«.  &u  Xlg.  «. 

die  sich  in  einfachster  Weise  hinbringen  lässt,  entweder  indem  man 
einen  äusseren  Kreis  zusammenschrampfen  lässt  zu  dem  näclisten  in 
ihm  enthaltenen  Kreis,  oder  auch  indem  man  den  inneren  Kreis  sich 
ausbreiten  lasst  bis  snr  Tdlligen  Ausfüllung  des  nächsten  ihn  um* 


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§  4.    Erste  Grundlagen;  Prinzip  i  uuil  U. 


171 


schlieBaendeii  Kreiset.  Es  kSnnen  so  auch  «lle  drei  Kreise  in  einen 
einzigen  snsammenfallen,  nnd  erhalten  wir  eigentlich  noch  vorstellende 
drei  Fignren  (Fig.  4  .•  6),  welche  mit  Fig.  3  ansammea  den  SatsII  erst 
▼olhtSndlg  veranschaulichen. 

Wir  werden  hei  der  Teranschanlichong  von  Sätzen  und  Anfgahen 
uns  kOnftig  sameist  nnr  an  den  ;,allgeineinen^  Fall  halten  nnd  uns 
mit  der  Darstellung  der  Fälle  speiielleren  Charakters  durch  Figuren 
nicht  aufhalten,  vielmehr  die  besonderen  Ausartungen,  die  „Degeuera- 
tionsfälle''  sich  ebenfalls  zu  veranschaulichen  jeweils  dem  Leser  flber^ 
la&sen      soferne  solches  überhaupt  noch  wOnschenswert  erscheint 

In  verwickeiteren  Untersuchungen  —  beim  Auftreten  zahlreicher 
Gebietssymbole  —  wird  es  ohnehin  unthunlich,  jene  Möglichkeiten 
imiuer  vullstündig  durchzugehen.  Alsdami  aber  bleibt  der  Argwohn 
zulässig,  es  mochte  in  einem  der  überg  angenen  Spezialfälle  die  Sache 
sich  uuch  wesentlich  nnderji  verhalten,  als  in  dem  ullgeuieim  ren  Falle 
be1iau]ifet  und  dargestellt  worden.  Ilierau»  erhelU,  dass  aus  der  .1/?- 
.-c/'diiinffi  nicht  in  gleichem  Maasse  di»'  l  berzf^ut^unsT  von  der  Chiv^as- 
hilf  iiii>ier  allgemeinen  üntersucliungücrgebnisse  zu  sclii"tpfen  ist,  wie 
sie  sich  erreielieu  lassen  wird  dureh  die  .^trent^  atuih/h'sche  Methode, 
deren  wir  uns  fast  immer,  jedenfalls  in  weseiitlieheti  Fragen  ganz  aus- 
schliesslich bedieiieu.  Kann  doch  in  der  That  für  die  Umgrenzung 
eines  Gebiets  die  Figur  immer  nur  eiu  Jlf  ispirl  darstellen,  während 
UDsre  Gebiete  irgendwie  beschaifen  sein,  auch  aus  isolirten  Punkten, 
Linien  und  getrennten  FlächenstHcken  sollen  bestehen  dürfen!  Mag 
also  aueh  anfangs  —  bei  unserri  grundlegenden  Betrachtungen  —  die 
Anschauung  oft  rasch  vorauseilen  dem  durch  das  Folgende  illustrirten 
modus  procedendi,  nämlich  dem  vorsichtigen  und  zuweilen  mühsamen 
Verfahren  des  von  der  Anschauung  losgelösten  streng  deduktiven 
tkhliessens,  so  wird  sie  doch  später  sicher  hinter  diesem  Verfahren 
sorückbleiben;  sie  wird  ihm  bald  nachhinken  und  zuletzt  es  aufgeben 
müssen,  dasselbe  einzuholen.  Bei  dem  Aufbau  unsres  Lehrgebäudes 
soll  darum  die  Anschauung  nur  nebensächliche  Verwendung  finden, 
illustrationsweise^  um  den  abstrakten  logischen  Prozeduren  einen  Vor- 
Stellungsinhalt  zu  geben;  sie  soll  darin  überhaupt  nur  eiue  didaktische, 
erziehende,  pädagogische  KoUe  spielen. 

Hier  freilich  müssen  wir  uns  noch  auf  dieselbe  stützen,  um  das 
Prinzip  II  annehmbar  erscheinen  an  lassen:  Wenn  ein  Gebiet  in  einem 
zweiten  und  dieses  in  einem  dritten  enthalten  ist,  fallt  es  uns  unmöglich, 
nna  vorzustellen ,  dass  das  erste  nicht  in  dem  dritten  enthalten  wäre; 
das  Gegenteil  vielmehr  ist  unmittelbar  „intuitiv".    Auf  die  HerauS' 


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172 


Zweite  Toflemuig. 


forderuDg  drei  solche  (Gebiete  a,  b,  c  nachzuweisen,  bei  denen  die 
TorauBgesetztan  EinordnuDgen  des  a  in  6  und  des  (  in  c  zatre£fen,  die 
behauptete  Emordiumg  des  a  in  «  aber  sieh  nicht  bewahrheiteti  wird 
niemand  eich  stellen  kSnnen. 

Das  Prinzip  II  gibt  nns  ein  Schema  an  die  Hand,  nach  welchem 
▼on  (zwei)  bekannten  Wahrheiten  zn  einer  neuen  (dritten)  Wahrheit 
fortgeschritten,  nach  welchem  aus  zwei  Aussagen  eine  dritte  abgeleitet 
werden  kann,  welche  allemal,  wenn  jenen  beiden  Wahrheit  zukommt^ 
notwendig  ebenfalls  wahr  sein  muss.  Nach  unsern  einleitenden  Be- 
trachtungen haben  wir  einen  solchen  Prozess  als  eine  8MiS8foljfenmff, 
als  deduktives  SMiessm  (inference^  illatio)  zu  bezeichnen. 

Die  Voraussetzungen,  ans  denen  gefolgert  wird,  die  j,Pirttmi89Ciif* 
sind  hier  die  beiden  Subsumtionen  a^b  und  b^c;  der  „SMtss^ 
(genauer:  ,,Schlns88atz"),  die  „Konldimcn"  heisst  a=^c 

Der  Scbluss  (als  Folgerung  Yerstanden)  ist  nicht  nur  gemein- 
verbindlich fClr  alle  Intelligenzen,  sondern  auch  „allgemeingültig'', 
nSmIich  unabhängig  von  der  Materie  des  Denkens:  Sein  Schema  ist 
allgemein,  indem  der  Schluss  Geltung  beansprucht,  was  auch  immer 
für  Bedeutungen  deu  Buchstabensyinboleu  a,  b,  c  in  jenem  Schema 
(Uurcliweg")  untergelegt  worden  mügeu.  VorläiifiL,^  wenlen  wir  das 
Schema  iuif  liebieto  uiisrrr  Mannigfaltigkeit,  sodauu  auch  anf  Klassen 
Vüu  irgeudwelcUeu  Objekten  des  Deukens  anzuwenden  haben. 

Der  Satz  II  selbst  ist  —  hier  im  System  für  uns  —  das  erste 
Beispiel  eines  dcdulitivcn  Schlusses,  und  zwar  i:*t  er  in  der  That  einer 

—  al'enuals  d'T  erste  —  von  den  ^ouenannten  Vt'rnunttschlüssen  oder 
„Sifllogiamen''  der  alten  Logik,  in  deren  Studium  —  kann  man  fast 
sa^en  —  diese  Disziplin  gii>felte.  Derselbe  tiihrt  daselbst  den  — 
etwas  j^eseliniaeklosen  —  Xameu  liarhara  und  wird  auch  als  das 
„dictum  de  omni  (et  de  nullü)"  bezeichnet. 

„Quidquid  de  oinnibus  vaiet,  valet  etiam  de  (juibusdam  et  de 
singnlis-  Tquidquid  de  nullo  valet,  nee  de  quibusdam  valet,  uec  de 
singulis)  *  ist  der  Wortlaut  dieses  „dictum". 

Was  von  allen  gilt,  das  gilt  auch  von  einigen  und  von  den  einzelnen 
(Was  von  l-rimm  gilt,  das  gilt  weder  von  einigen  noch  von  den  einzelnen) 

—  scilicet  Individuen. 

Wir  werden  die  Syllogismen  auch  in  diesem  Werke  vollständig 
(und  kritisch)  durchnehmen,  und  mi^  deshalb  in  Bezug  auf  Einiges, 
was  Uber  den  Syllogismus  Barbara  noch  zu  sagen  wäre,  auf  die 
20.  Vorlesung  verwiesen  werden. 

Zur  Stelle  sei  nur  noch  bemerkt,  dass  das  Gebiet  6,  welches  in 


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« 

%  4.  Elfte  Omiicllagmi:  Priasip  II. 


173 


der  KonklQeion  gar  iiicbt  vorkommt,  dagegen  in  jeder  der  beiden  Prä- 
missen einmal  vertreten  isi^  als  das  Mittelglied  (ter minus  nicdius)  des 
Sjllogismas  bezeichnet  zu  werden  pflegt;  dasselbe  wird  durch  die 
Schiaasfolgerung  ausgemerzt  oder  „eliminirV'.  Von  den  beiden  Prär- 
missen  heisst  diejenige  (a  =^  6),  welche  das  RuLjekt  a  der  Konklusion 
enthält,  au  eil  der  Untersatz  (propositio  minor),  die  andere  (6  =4  c\ 
welche  das  Prädikat  c  der  Konkloeion  enthält^  der  Obersats  (propositio 
mi^r)  des  SyUogismiia. 

Wie  schon  gesagt^  ist  der  Sats  II  ein  tiügemaner  Schlass, 
welcher,  weil  die  Bedentnng  der  in  ihm  vorkommenden  Glieder  a,  &,  e 
in  unser  Belieben  gestellt  ist,  daa  Vorbild  abgibt  itlr  eine  nnbegrenzte 
Meiige  nach  seinem  Schema  anssnfnhrender  Schlfisse. 

Um  reiu  mechatiisch  die  Kouklusion  a  c  aus  den  Prämissen 
abzuleiten,  bieten  sich  zwei  Wege  dar:  Mau  mag  in  dem  Untersatze 
a  V  h  das  Prädikat  b  auslöschen,  und  an  seine  Stelle  schreiben  I  is 
Glied  c,  welches  in  dem  Obordatz  jenem  übergeordnet  ersclieint.  Üder 
mau  kauu  auch  in  dem  Obcrsat/.  6  =4  c  das  Subjekt  h  ersetzen  durch 
da<;jenige  Subjekt  a ,  welches  in  dem  Untersatz  demselben  untergeordnet 
erkiurt  ist.  Bienacb  können  wir  die  beabsichtigte  Anwendungsweise 
des  Schema  s  II  in  Worten  wie  folgt  formuliren: 

In  einer  Subsumtion  (einem  Urteil)  kann  an  Stelle  des  Subjekts 
jedes  Subjekt  dieses  Subjektes,  sowie  an  Stelle  des  Prädikats  jedes  Frädi" 
kai  dieses  Frädikates  einffesettt  (substituirt)  werden* 

Es  wurde  in  II  der  Untersatz  vor  (eventuell  über)  dem  Obersats 
ausgesprochen  („Goeleniache^  Anordnung  der  Prämissen).  Auch  wenn 
umgekehrt  der  Oberaata  vor  (reap.  Aber)  den  Untersatz  gestellt  ist 
(lyAristotelische^  Anordnung),  muss  man  gellbt  sein,  den  Schlusa 
zu  ziehen: 

Aua  h^e  und  a^h  folgt  ebenfalls  a c. 

Denn  nach  Prinzip  I,  für  Aussagen  in  Anspruch  genommen  (vergl. 
Antiierkung  zu  1)  kann  man  auch  die  zweite  Prämisse  vor  der  ersten 
le^^eii  und  die  (für  uns)  ursprüngliche  Anordnung  der  Prämissen  her- 
stellen. 

Die  GooleTii^che  Anordnung  empfiehlt  sich  (hierj  \n  ik*r  Tbat 
ald  die  zur  Erreichung  des  Schlusses  bequemere,  zur  Vorbereitung  der 
iciiiussfolgerung  geeignetere;  sie  er^^clleint  als  die  natürliche  für  die 
Logik  des  Umfanges.  Die  Wahl  der  umgekehrten  Folge  erklärt  sich 
bei  Aristoteles  aus  dem  Umstand,  dass  er  statt  der  Umfange  eben 
die  Inhalte  der  Begriffe  in's  Auge  fasste,  wo  dann  die  Stelluag:  ist 


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174 


Zweite  Vorleenng. 


Merkmal  des  h,  h  Merkmal  des  a,  ergo  c  auch  Merkmai  des  als 
die  natürlichere  erscheint. 

Auch  wenn  a,  b,  c  Klassen  voratelleu,  musste  der  Salz  Ii  all* 
gemeine  Geltung  haben.    Hiezu  ein  paar  Beispiele.    Es  ist: 

Gold     Edelmetall,  Edelmetall  =^  Chemisches  Element^ 

folglich  auch:  Gold  =^  Chemisches  Element. 

Luft  ist  ein  Körper.    Alle  Korper  sind  schwer* 

Ergo:  die  Luft  ist  schwer.  (Lotze.) 

Pferd  =^  Säugetier;  Säugetier  =4  Wirbeltier;  ergo:  Pferd  =4  Wirbeltier. 
Beiläufig  sei  noch  bemerkt^  dass  ein  SchluBS  nach  dem  Schema  II 
auch  häufig  ala  ein  Scblass  a  fortiori  bezeichnet  wird;  namentlich  ist 
dies  berechtigt,  wenn  (wie  dies  meist  der  Fall)  die  Subsumtionen  in 
den  Prämissen  wirkliche  Unterordnung  bedeuten  —  in  Analogie  zu 
dem  Schluss  der  Arithmetik  von  a<^b  und  5  <  c  auf  a  <  Wenn 
jedes  Pferd  ein  Säugetier  und  jedes  Säugetier  ein  Wirbeltier  ist,  so 
muss  —  können  wir  sagen  —  um  so  meltr  auch  jedes  Pferd  ein  Wirbel- 
tier sein.  — 

Drücken  wir  ~-  um  hei  unsem  Beispielen  zu  hleiben  —  dies  etwa 
so  au8|  indem  wir  nunmehr  anch  auf  den  Inhalt  der  den  Klassen  zu- 
geordneten Begriffe  achten,  -dass  wir  sagen:  Den  Pferden  kommen  die- 
jenigen Merkmale  zu,  die  allen  Säugetieren  gemeinsam  sind;  die  Säuge- 
tiere aber  besitaen  alle  für  die  Wirbeltiere  gemeinsamen  Merkmale, 
und  folglich  mQssen  den  Pferden  auch  die  Merkmale  der  Wirheltiere 
zu  eigen  sein,  so  wird  rerständlich,  weshalb  die  aberlieferte  Logik 
(Kant)  dem  Prinzip  II  auch  den  Ausdruck  geben  konnte:  „nota  notae 
est  nota  rei  (repugnans  notae  repugnat  rei)":  jedes  Merkmal  des 
Merkmals  (einer  Sache)  ist  auch  ein  Merkmal  der  (eben  dieser)  Sache. 
Die  in  dem  Beispiel  in  Frage  kommenden  Merkmale  sind  (kurz  zn- 
sammengefasst)  bezüglich  die,  Säugetier  zu  sein  und  Wirbeltier  zu  sein. 

So  auch  ist,  Materie  zu  sein,  stoffliche  Qualität,  ein  Merkmal  der 
Luft,  und  schwer  /u  sein,  Schwere,  ein  Merkmal  der  stütriielieii  Natur, 
„Stoffliclikeil''  (sit  venia  verbo!),  folglich  auch  Schwere  ein  Merkmai 
der  Luft.  — 

Nun  drängt  sich  freilich  wol  einem  Jeden,  der  einen  solchen  Syl- 
logismus in 's  Auge  fasst,  eine  Bemerkung  auf,  die  ich  zunächst  för 
unser  Beispiel  aussprechen  will,  nämlich:  dass  man  gar  nicht  wi^.^eu 
It'onne,  dass  alle  Säugetiere  \\  irbeltiere  seien,  ohne  bereits  zu  wissen, 
dass  auch  die  Pferde  \\  irbeltiere  sind. 

Ebenso  kann  mau  auch  nicht  wissen,  dass  ein  Gebiet  6  ganz,  mit 


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§  4.  Erste  Gnmdlaepen:  Prinsip  II. 


175 


allen,  seinen  Teilen,  in  einem  Gebiet  c  enthalten  ist,  ohne  zugleich  za 
wissen,  dass  auch  der  Teil  a  des  Gebietes  6  in  c  enthalten  ist. 

Die  Bemerkung  also  ist  naheliegend,  dass  die  Schlussfolgerung  uns 
keine  tcesetUlklt  neue  Erhcntiküss  H^'ert,  keine,  die  wir  —  im  Besitze 
der  Prämissen  befindlich  —  nicht  eigentlich  sehon  besessen"  hätten. 

Diese  Bemerkung  ist  richtig  und  unbestritten:  es  findet  durch 
deduktives  Schliessen  eigentlich  keine  Vermehrung  des  ErkenntnisB- 
materials  statt}  die  Deduktion  gibt  über  nichts  Aufschluss,  was  nicht 
in  den  Prämissen,  anf  die  sie  sich  stützt^  im  Grunde  schon  enthalten 
wäre,  und  es  kann  der  Syllogismus  II  als  das  einfachste  Beispiel,  als 
der  Urtypus  deduktiven  Schliessens,  als  der  er  sich  hinstellen  lässt, 
gerade  am  allerbesten  benutzt  werden,  um  über  das  Wesen  der  de« 
duktiven  Metbode  Klarheit  zu  verbreiten. 

Eines  aber,  dem  wir  entgegentreten  müssen,  das  ist  die  Versuchung 
(der  auch  manche  Pliilosgphen  erlegen  sind),  anf  diesen  Umstand  eine 
Geringschätzung  der  deduktiven  Methode  zu  basiren. 

Gleichwie  es  schwierig  sein  möchte*).  Demjenigen,  der  eben  erst 
das  Alphabet  erlernt,  einen  angemessen«  n  Hcgritf  beizubringen  Ton  der 
Orossartigkeit  der  Literatur,  die  ihm  durch  dasselbe  erschlossen  wird, 
so  dfirfte  es  auch  schwer  halten,  einem  Anfänger,  welcher  etwa  noch 
keine  einsige  deduktive  Disziplin  beherrscht,  eine  zutreffende  Vor- 
stellung beizubringen  Ton  der  Kraft  und  dem  V7ert  der  deduktiven 
Methode.  Ich  würde  mich  einem  solchen  gegenüber  eines  Gleichnisses 
bedienen:  Der  Maschinenbauer  muss  auch  das  Eisen,  aus  dem  er  seine 
Maschinenteile  herstellt,  schon  haben;  es  findet  bei  dem  Bau  der 
Maschine  keine  Vermehrung  dieses  Ibterials  statt,  vielmehr  geht  ein 
nicht  unbeträchtlicher  Teil  desselben  dabei  unproduktiv  verloren.  Und 
femer  vrird  auch  bei  der  Benutzung  der  fertig  gestellten  Mafffthin^ 
keine  Arbeit  durch  dieselbe  geschafifon,  sondern  nur  ein  bereits  verftig- 
barer  Arbeitsvorrat  —  abermals  unter  Verlusten  —  in  neue  wertvollere 
Formen  umgesetzt 

Analog  dem  ersten,  wie  auch  dem  zweiten  Teil  dieses  Gleichnisses^ 
hebt  nun  allerdings  die  deduktive  Methode  aus  dem  vorhandenen 
Material  oder  Vorrat  von  Erkenntnissen  nur  Einzelnes  hervor,  aber 
allerdings  gerade  dasjenige,  was  f&r  bestimmte  Erkenntnisszwecke  von 
Wert  isi^  für  die  Fortführung  der  Untersuchung  von  Interesse  erscheint 
Sie  begrenst  dieses  Einzelne  in  bestimmte  Formen  und  bringt  es,  von 


*)  Wenn  ich  mir  gestattea  darf,  ein  Bcbon  andei-wärts  von  mir  gebrauchtes 
Bild  sa  wiederholen. 


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176 


Zweit«  Vorleraog. 


dem  Übrigen  getrennt,  zum  Bcwusätseiii,  bietet  es  isulirt  der  Aufmerk- 
samkeit, der  Beachiuüg  dar,  und  hiilt  es  zu  weiterer  Verwendung  dis- 
ponibel. Mituuter  richtet  8ip  auch  das  Ganze  in  neue  zu  anderweitiger 
Forderung  der  Erkenntniss  geeignetere  Formeu  her. 

Sie  zieht  —  um  ein  anderes  Bild  zu  gebraueben  —  die  im  Schachte 
freilich  bereits  vorhanden  gewesenen  Edelsteine  an  das  Tageslicht^  gibt 
ihnen  Schliff  und  Fassung. 

Dass  diese  Deduktion  aber  eine  Kunat  ist,  welche  in  den  meisten 
FfSlleu  gar  nicht  so  nahe  liegt,  deren  Metbode  oft  nicht  leicht  zu  entdecken, 
zeigen  ta;>i  aiiu  Uot  eräuchungen  aus  dem  Gebiete  der  reinen  und  angewandten 
Ifsthematik,  eVmiso  die  kompliartwen  Aufgaben  in  gegenwartiger  Schrift. 

Um  e«  xnr  Stelle  durch  ein  Beispiel  danntiran,  wdches  Mne  Vor- 
kenntnisse erfordert,  lege  ich  dem  Leser  eine  ganz  einfache  Aufgabe  (ans 
der  allgemeinen  Theorie  der  Verknüpfung)  vor. 

Es  mögen  a,  b,  c  beliebige  Elemente  einer  Mannigfaltigkeit  und  ab 
däö  Ktisiiltat  einer  Verknüpfung  von  n  mit  h  bedeut«in,  von  der  wir  an- 
nehmen, dass  sie  jeweils  wieder  ein  bestimmtes  Element  derselben  Mannig- 
faltigkeit liefere;  a.  W.  es  aollen  irgend  zwei  Elemente,  in  bestimmter 
Folge  genommen,  sich  immer  „eindeutig"  zu  einem  dritten  TCrknUpfen 
lassen.  Die  KnUpfung  sei  auch  „eindeutig  umkehrbar",  d.  h.  wenn  a  allein, 
oder  h  alkin  <]urch  ein  anderes  Element  ersetzt,  geändert  wird,  so  soll 
auch  ab  sicli  ändern. 

Wenn  nun  die  KnUpfuug  z.  B.  das  Gesulz  befolgt,  dasä  allgemein 
immer  (ab)  (bc)     ac  ist,  so  soll  die  Frage  entschieden  werden,  ob  ad 
&a  dnrchans  zn  gelten  habe  (die  Knttpfimg  „kommntatir**  sein  mflsse), 
oder  aber,  ob  nicht  Tielleicht  in  besondern  Fällen  ein  KntlpAiiigsergebjiifla 
üb  von  dem  ha  verschieden  sein  könne? 

Jene  Frage  ist  tu  bejahen  (die  letztere  zu  vorueiuon),  sie  wäre  da- 
gegen,  wenn  da»  Gesetz  der  KnUpfung  ein  wenig  anders,  n&mlioh  (ab)(bc) 
—  ea  gehfcntet  hätte,  zu  Tememen. 

Diese  Antwort  auf  die  gestellte  Frage  steckt  bei  der  ersten  sowol  als 
bei.  der  etwas  abgeänderten  zweiten  Aufgabe  ebenfalls  ganz  und  gar  schon 
in  den  Prämissen,  aber  doch  ziemlich  verhüllt.  Man  versuche  doch  einmal, 
sie  aus  den  Prämissen  heran^zuscliJIlen !  Ich  will  dies  hier  unterlassen,  da 
die  Betrachtung  in  eine  andere  (in  gewissem  Sinne  speziellere)  Disziplin 
gehört  — 

Ich  bemerke  nur  noch,  da»  man  unter  den  „Elementen"  sich  anch 
Zakie»  z.  B.  vorstellen  darf,  und  das  EnfLpfiingsergebniss  ab  dann  —  im 
mathematiichen  Sinne  —  irgend  eine  ,,Funktion''  f{a,b)  der  awei  Argu- 
mente a  und  b  bedeuten  wird,  die  eindeutig  umkehrbar  sein  muss.  £irfÜUt 
diese  nun  die  Funktionalgleichung  (und  es  gibt  solche  Funktionen): 

SO  wird  sie  auch  „symmetrisch**  sein,  nimlich  fifi^h)^  f{b^a)  far  alle 
Werte  von  a  nnd  6  sein  mfissen.  — 

Wie  oft  nicht  finden  wir  aber  —  gamc  ähnlich  wie  bei  der  vorliegenden 


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§  4.   Erste  Grundlagen:  Prinzip  II. 


177 


Aufgabe  —  uns  in  der  Lage,  dass  wir  gar  nicht  wiasen,  was  alles  in 
unsenn  Wifisen  schon  enthalten  ist,  dass  wir  nicht  sofort  abzusehen  ver- 
mPgen,  ob  ein  Bestimmtes  darin  liegt  oilcr  nicht,  und  eii  im  ersten  Falle 
eine  ^cllwel■e  Arbeit  kostet,  das.-elbe  herau^/.uholpnl 

Eh  iäl  dieser  Uiuwtaud  die  Folge  von  dem  Vorbandensein  allgemeiner 
ErkesntBitte,  in  Gestalt  von  welchen  ja  gegenllber  dem  direkten  Erkennen 
auch  das  miHdbare  oder  indirekte  Erfassen  von  Wahrheit  snr  Thatsaohe  wird. 

Wer  den  Wert  der  Deduktion  überhaupt  oder  der  Syllogistik  ins- 
besondere ans  dem  Grunde  bestreitet^  weil  dabei  ein  Verlust,  ein  Preis- 
geben Ton,  Versiebten  auf,  Opfer  an  Erkenutnissmaterial  stattfindet^ 
gebraucht  durchaus  kein  stichhaltigeres  Argument  oder  Beweismittel, 
als  jemand,  der  den  Nutzen  der  Maschine  leugnen  wollte,  weil  sie  vom 
TorfÜgbaren  ArbeitsTorrat  einen  Teil  als  Nebeneffekt  Terloren  gehen 
l&sst  —  oder  auch  den  Wert  der  Bildhauerkunst  wegen  des  durch  sie 
herbeigef&hrten  Verlustes  an  Marmor!  Es  hat  auch  die  Gestalt,  in 
der  wir  Erkenntnisse  isoliren,  ihren  selbständigen  Wert 

Um  die  WerischatEung  der  Deduktion  dem  Anfänger  gegenüber 
SU  retten,  resp,  diese  gegen  die  auf  sie  erfolgten  Angiiflfe  zu  Yer- 
tflidigen,  heben  Mill  und  Wnndt'  (p.  285  sq.)  —  an  Stelle  des  vor- 
stehend von  mir  in  den  Vordergrund  gestellten  Grundes  —  als  ein 
ebenfalls  nicht  zu  Übersehendes  Moment  mit  Recht  hervor,  dass  man 
bei  jenen  auf  eine  Geringschätzung  hinauslaufenden  Einwanden  von 
der  verkehrten  Vorstellung  ausgeht,  ein  allgemeiner  Sata  lasse  sich 
nur  auf  diejenigen  Fälle  anwenden,  aus  welchen  er  abstrahirt  worden 
ist.  Die  fruchtbringendste  Anwendung  unsres  Syllogismus  besteht  aber 
gerade  dariu,  dass  wir  ihn  auf  solche  Fülle  anwenden,  die  zur  Auf- 
stellung der  (in  der  Regel  wul  iiiduktorisch  fjewonnenen,  violleicht  auch 
axioniatiseb-hjpothetisch  aufgestellteuj  allgemeinen  IVämi^äse  nidU  ge- 
dient haben. 

Kin  gut  gewähltes  Beispiel  hiezu  bringt  Ueberweg  in  Gestalt 
des  Schlusses:  Was  das  Tendel  verlängert  verlang.-amt  (ceteris  paribus, 
unter  .sonst  gleichen  l'niständen  )  den  <iang  desselben.  Wärrae  (genauer: 
Temperatursteigerung,  Erwärniuiig)  verlängert  das  Pendel.  Also  ver- 
lanifsamt  sie  seinen  Gang.  Der  Übersatz  konnte  in  der  theoretischen 
Physik  ilurch  Rechnung  abgeleitet  sein,  und  brauchte  also  nicht  not- 
wendig ohne  Vermittelung  des  Untersatzes  schon  den  Schlusssatz  als 
Spezialfall  in  sich  zu  entiiaitcn  i  cf.  ]  r.  A.  Lange^  p.  89). 

Im  Grunde  auch  wird  ja  bei  dem  induktiven  Verfahren,  es  wird 
selbst  in  den  Krfahrungswissensclialten  immer  nur  Vfn  hi\son<1f^rm  Fällen 
Jinf  den  be.souderen  Fall  '^•^•«■chlossen.  Schon  das  einmal  sich  gebrannt 
habende  Kind  scheut  em  zweites  mal  das  Feuer,  noch  ehe  es  sich  zu 

ScitBObSii,  Algebra  dtr  Logik.  12 


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178  Zweite  Vorletnng. 

dem  allgemeinen  Urteil  erhoben,  dasB  die  Berttbrang  mit  Fener 
breimeuden  Scbifiera  Terurescht  Und  jener  Art  des  Scblieesens  vom 
Besondem  aufs  Besondre  —  des  „JnälogiestMusse^  —  ist  schon  das 
Tier  fähig;  auch  der  i^asinns  ad  lapidem  non  bis  offendit  enndem'', 
selbst  der  Esel  stösst  nicht  zwei  mal  an  denselben  Stein.  Mit  dem 
allgemeinen  Satse  aber,  wie  ihn  der  InduktionsschloBB  liefert,  erhebt 
sich  der  menschliche  Intellekt  Aber  den  des  Tieres.  IHeser  Sats  ist 
das  wirksamste  und  sicherste  Mittel,  ans  bisherigen  Erfahrungen  &tt 
weitere  FSUe  Nutzen  zu  ziehen,  dieselben  zu  verwerten.  Derselbe  ent- 
lastet das  Gedachtniss  von  der  Anforderung,  die  Einzelwahmehmungen 
selbst  (in  ihrer  vielleicht  grossen  Anzahl)  mit  alV  ihren  Nebenumstanden 
und  Details  zu  behalten;  er  gewahrt  die  ßrleiehterung,  gestattet,  alles 
Nebensächliche  zu  vergessen;  indem  durch  ihn  diese  Einzelwahr« 
nehmungen  gleichsam  summarisch  gebucht,  nur  das  Facit  aus  den- 
selben gezogen  wird,  bildet  er  die  bequemste  Form,  dieselben  zur 
Nutzamvoiiduu«,'  auf  weitere  Einzelffille  in  der  Erinnerung  aufzuspeichern 
und  un  (.leiste  zurecht  zu  Icgi'u.  Er  bildet  daiiu  die  \' ermittel uiig,  das 
liand,  die  Brücke,  über  die  von  jenen  vielleicht  schon  im  Gedacht- 
niss gelöschten  zu  diesen  neuen  Fällen  der  Subsumtionsschluss  uns 
hinöbertührt. 

Den  Satz  „Alle  Menschen  sind  sterblich"  auf  die  bereits  gestorbenen 
Menschen  anzuwenden  würde  freilich  ein  ziemlich  unnützes  Beginnen 
sein.  Aber  weudeu  wir  nicht  diesen  Satz  (als  Obersatz  in  Verbindunv; 
mit  dem  Untersatze  „N.  N.  ist  ein  Mensch"  und  der  Konklusion:  „ergo 
ist  N.  N.  sterblich*')  fortwährend  an  auf  uns  und  unsre  uoch  lebenden 
Mitnieii^cheuV  Und  wie  anders  würde  es  in  der  Welt  aussehen,  wenn 
nicht  unsre  ganze  Lebensführung  unter  der  Ilerrschatt  dieses  Syllogis- 
mus stünde?  Dass  man  kein  Logiker  zu  sein  braucht,  um  ihn  zu 
machen,  nimmt  ihm  nichts  von  seiner  Wichtigkeit.   (W'uudt  1.  c.) 

Ott  auch  handelt  es  sich  darum  mit  Hülfe  der  Konklusion  fest- 
zustellen, ob  eine  Prämisse  zulässig  ist  —  wie  dies  schon  S.  11  an- 
gedeutet wurde  —  eine  Prämisse,  die  zunächst  noch  einen  proTisorischen 
oder  hypothetischen  Charakter  hat.  Der  Chemiker  z.  der  eine  Sab* 
stanz  zu  Terbrennen  versucht,  um  zu  ermitteln,  ob  sie  organischen 
Ursprungs  sei,  steht  unter  der  Herrschaft  eines  Syllogismus,  dessen 
Obersatz  lautet:  „Alle  organischen  Körper  sind  verbrennlich",  dessen 
Untersatz:  „Diese  Substanz  ist  organisch'*  aber  erst  durch  das  that- 
sachliche  £intreöen  <>d.  r  Nichteintrefifcn  des  Schlusses:  „Diese  Sub- 
stanz ist  verbrennlich^  als  eine  zulässige  (und  dann  noch  weiter  zu 
verfolgende,  vollends  ausser  Zweifel  zu  setzende)  oder  aber  als  eine 


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§  4.   Erste  Grundlagen:  Priozip  II.  179 

fortan  zu  Terwevfende  Hypothese  erkannt  wird  (vergl,  Wundt 
ibidem). 

Wesentlich  Bind  es  ttbagens  mdere  Formen  des  Syllogisrnns  (als  der 
Uaher  besprochene  einfache  Subsumtionsschluss  II),  welche  in  dieser  Hin* 

sieht  in  Betracht  kommen,  weshalb  die  weitere  Ausfühmiig  der  angeregten 
Bemerkung  auf  die  20.  Yorlesung  za  versparea  wttie. 

Es  gibt  auch  sMiibare  Auanahmen  an  dem  Prinxip  IL  Ohne  die 

Yollstindigkeit  der  AnfaShlmig  garantiren  zu  wollen,  bemerke  ich 

deren  Ton  dreierlei  Art    Ale  mehr  nur  auf  ein  Spiel  mit  Worten 

hinanslEufend  will  ich  dieselben  im  Nebeniezte  behandeln. 

Zar  Yerdeatliohimg  der  erttm  Art  von  solch«!  Ausnahmen  diene  das 
Beispiel  (aus  Jevous^): 

„Hans  ist  kein  Narr.  Kein  N(irr  eignet  sich  zur  Bekloidiing  hoher 
Staatsfimter.    Ergo:  Hans  eignet  sich  zur  Bekleidung  hoher  Staatsiimter." 

Was  hier  al.s  Mittelbegriff  erscheint  hat  den  verbalen  Aufdruck  ,,kciu 
Narr".  Wir  luiben  aber  schon  in  §  2  hurvor^adioben ,  dass  „kein  a''  tlber- 
haupt  nicht  eine  Klatiäe  iät.  Das  wahre  Subjekt  des  bcheinbarea  Obar- 
lataes  bildet  die  Klasse:  „Jeder  Narr'S  sein  Prfidikat:  „ist  ungeeignet  zur 
Beeidung  hoher  Staatsimter**.  Was  femer  als  Untersats  erscheint,  würde 
fUr  die  Zwecke  der  Logik  korrekter  darzustellen  sein,  sei  es  in  Gestalt 
von:  Hans  >ist  nicht«  ein  Xarr,  als  die  Verneinung  dus  Sat^Or^:  ITans  ist 
ein  Narr,  sei  os  ak  negativ  prädizirendes  Urteil  in  Gestalt  von;  liaus  ist 
(ein)  Nicht-Narr  (d.  h.  bei  gesundem  Verstände).  Welche  von  diesen  beiden 
Auffassungen  maassgebend  sein  solle  fUr  das  verneinende  Urteil,  bildet  eine 
bekannte  Btreitfirage  unter  den  PhilosopheD,  au  der  wir  erst  in  §  15 
Stellang  nehmen  werden.  Jedenfalls  aber  wird  der  Schlads  nach  Schemall 
hiemit  hinflülig;  derselbe  fftllt  auch  nicht  etwa  unter  das  Schema  irgend 
eines  andern  gültigen  Syllogismus.  Bei  der  zweiten  Auffassung  sieht  man 
augenblicklich,  dass  gar  kein  Mittelglied  vorhanden,  liier  i^t  die  Klasse 
,^arr"  Subjekt  des  einen,  die  Klasse  ,,Nicht-Narr*'  Prädikat  des  andern 
Satzes  und  statt  dreien  gehen  also  vier  Glieder  in  die  PrSmissen  ein  (so- 
genaannte  „qnatenuo  terminorum"). 

Auch  eben  hierauf,  auf  die  „fallacia  falsi  medii",  den  /rnigschluss '^^ 
(das  „Sophisnta")  oder  „Fehlsciduss^^  (die  „Paralogtc''^  den  ,Paraiogismas) 
des  falschen  Mittelgliedes  —  Trugschluss  oder  Fehlschlust,  je  nach  der 
Abisichtlichkeit  oder  Unabsichtlichkeit  des  uurichtii^en  Verfuhruns  —  läuft 
auch  die  eweUc  der  gedachten  scheinbaren  Ausnahmen  hinaus. 

Z.B.  Aua  dem  Untersatz:  „Rappen  sind  Pferde^*  imd  dem  Obersatz: 
„Pferde  sind  auf  dem  Rennplätze**,  folgt  nicht  mit  Benknotwendigkdt  der 
t9chluss:  „Rappen  sind  auf  dem  Rennplätze*'. 

Denn  wahrend  der  Untersatz  dasselbe  besagt,  wie  „Alle  Rappen  sind 
Pferde",  m.  a.  W.  die  (ganze)  Klasse  der  Rappen  ir^t  enthalten  in  der  Klasse 
der  Pieiile,  während  al.so  der  Untersatz  ein  wirklieh  „nniver.-alos"'  Urteil 
ist,  tritTi  äulcbes  bei  dem  vermeiutlicheu  Obursati^ti  uiciit  zu.  Vieluiehr 
ist  der  Sinn  dieses  in  der  That  anroUst&idigen  Ausspruches  eigentlich  nur 
der:  „Gewisse  (oder  Einige)  Pferde  sind  auf  dem  Rennplätze**,  und  dieser 


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180 


Zweite  Vorlesung. 


Sinn  würde  ihm  auch  nur  zukommen,  wenn  er  selbst  ausdrücklich  gelautet 
hlitte:  ,.Alle  Pferrlo  sind  auf  dem  Rennplatz'^",  indem  unter  ,.alle  Pferdo" 
dann  doch  wiedi  r  nur  diejenigen  eines  ircwi.ssi'n  iJesitzer;«,  eiuer  bestimuiten 
Gruppe  gemeint  bein  konnten,  nicht  aber  die  Klubäo  der  Pferde  Uberhaupt. 
Der  angebliche  Obenats  ist  in  Wahriieit  ein  „partikulares"  UrteiL 

Im  Torliegenden  Beispiele  entsprang  der  Fehler  aus  der  ünvollstttndig- 
keit  des  Ausdrucks,  der  durch  seine  Lückri  I  üH 'irkeit  bedingten  üngenauig- 
keit  desselben,  wodurch  das  (unzulänglich  beschriebene)  Subjekt  des  zweiten 
Satzes  dem  Namen  nach  zur  Deckung  kam  mit  dem  Prädikat  des  ersten. 
Dergleichen  ,,f7Z/;j/j5CÄ6'"  Redeweisen,  welche  man  in  der  Wortsprache  be- 
queiniichkeitähalber  sich  ungemein  hüuilg  gestattet,  sind  die  ilaupt(^ueUe 
ftlr  die  logischen  Paradoxa,  d,  h.  die  scheinbaren  ^dersprttche  kur  Theorie 
des  exakten  Denkens. 

Die  kiclit  in's  Endlose  zu  vermehrenden  Beispiele  zeigen,  dass  Nach- 
lässigkeit im  Ausdruck  für  das  exakte  Denken  seine  Cofahrcn  ^i^gt,  und 
dass  man  sich,  unbekümmert  im  den  Sinn,  mechanisch,  nach  den  Schemata 
oder  Piinzipien  des  KalkuU  beliuf  Rchliessens  üuwerke  /u  gehen,  er^t  ge- 
btatteu  darf,  wenn  die  Prämissen  in  der  Zeichensprache  des  Kalküls  bereits 
ihren  vollstKndigeu  und  angemessenen  Ausdruck  gefunden  haben. 

Indessen,  auch  wenn  die  Prömissen  im  Geiste  der  Wortsprache  beide 
korrekt  auagedrfickt  tM  scheinen,  kann  man  noch  zufolge  einer  (alsdann  also 
hcrcchtigt  zu  nennend*  ]!  )  Do[ipelsinnigkeit  des  Mittelbegrifiia  in  den  Fehler 
der  fallacia  falfi  medii  verfallen. 

Dies  werde  illustrirt  durch:  Einige  Herren  sind  Grundbesitzer.  Herr 
Meier,  Herr  Müller,  Herr  Schmidt  und  Herr  Schulze  sind  einige  Herren. 
Ergo  sind  dieselben  Grundbesitxer. 

Das  Mittelglied  «einige  Herren"  hat  im  (hier  Torangestellten)  Ober- 
satze  eine  m^licherweise  gans  andere  Bedeutung  als  im  (darauf  folgenden) 
Untersatze. 

Allgemein  merke  man:  das  Mittelglied  h  des  S>'llo,L;isnu]«  II  darf  niciit 
blos  durch  einen  sprachlichen  Ausdruck  von  der  Form  „einige  x"  gegeben 
erscheinen;  solche  Beschreibung  würde  nicht  genügen,  um  die  Bedeutung 
desselben  unzweideutig  su  erklären. 

Diese  Unbestimmtheit  entspringt  aber  nicht  allein  aus  deij^gen  des 
angewendeten  ^unbestimmten  Zahlwortes":  ,,einige'',  sondern  sie  ist  schon 
durch  die  Anwendung  eines  Zahlwortes  überhauiit  bedingt. 

Sagten  wir:  A,  B  und  C  ^ind  drei  Pert^oneu.  l)rei  Personen  sind  an 
dem  Morde  beteiligt.  Ergo  sind  A,  B  und  C  au  dem  Morde  beteiligt  — 
SO  wBre  es  ja  ein  vollkommen  bestimmtes  Zahlwort  ,)drei",  welches  znr 
Gharakterisirnng  des  Pseudo  Mittelgliedes  mit  verwendet  worden.  Und  doch 
kann  der  Schluss  nicht  verbindlich  sein,  solange  nicht  als  Subjekt  des 
Obersatzes:  „Diese  selben  drei  Personen"  zu  setzen  i~t. 

Die  Verbindung  eines  Zahlwortes  mit  einem  substantivischen  Begriffe 
ist  ni^hf  ausreichend,  ist  unzulänglich,  um  eine  wohldefinii  to  Klasse  unzwei- 
deutig ^u  erklären.  Dieselbe  kann  daher  auch  keinen  Mittelbegriff  Uefci'n, 
der  als  solcher  anzuerkennen  wttre, 

[Man  könnte  freilich  auch:  „drei  Personen^^  als  eine  wohldefinirte 
Klasse  hinstellen,  welche  dann  zu  um&ssen  hlttte  jedes  erdenkliche  Tripel, 


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S  4.  Erste  Orandtagen:  Prinaip  II. 


181 


jede  Zusammenstellung  von  irgend  dreien  Personen  aus  der  Vergangenheit, 
Gegenwart  wie  Zukunft  des  Meuschengeschlechtes.  Diese  Klapso  ist  es 
aber  nicht,  von  der  die  WortspracUe  auszusagen  beabsichtigt,  sobald  schlecht- 
weg von  drei  Personen  die  Bede  ist;  sie  meint  dabei  immer  ^gewiate  drei 
Personen",  d.  i.  nur  ein  nicht  nSher  bestimmtes  Individuum  der  vorhin  be* 
sobriebenen  Klasse.] 

Des  Nämliche  was  vorhin  filr  das  Beispiel  der  Zahl  drei  dondigesprodien  . 
ist,  würde  sich  auch  auf  die  Zahl  eins  übertrageu  lassen,  da  wo  sie  als 
der  „unbestimmte  Artikel":  „ein"  mit  einem  Substantiv  verknüpft  wird. 

Um   Fehlschlüsse  der  erlUutorten  Art,  wie  sie  aus   dem  Dnppdmm 
3filf'l[i/ir(lps  entspringen,  zu  vermeiden,  lege  man  siili  jcweili?  die  Frage 
vor,  ob  unbeschadet  der  Gültigkeit  der  I'rüiuissen  das  fruglicbe  Mittelglied 
im  Obersatse  ancb  wirklieh  genau  in  demselben  Sinne  (als  dasselbe)  ver- 
standen werden  dflrfe  und  müsse,  wie  im  üntersatze. 

Im  Ansehlnsa  an  die  letzten  Betrachtangen  des  Nebentextea  kon- 
fltatiren  wir  flbrigens  eine  wichtige  Yerhaltnngsmassregel,  deren  Be* 
folgang  sich  die  Wortsprache  keioeswegs  stets  sur  Richtschnur  oimmty 
wogegen  die  exakte  Logik  sich  vor  der  verbalen  durch  ihre  Befolgaag 
hervorthun  mass.  Es  ist  der  GmndsatB;  die  Maxime:  Vers(ittedenes 
niemals  mit  demsdbe»  Zekken  dargusteUen  im  Laufe  einer  Untersuchong 
—  ein  Grundsatsy  der  als  die  Forderong  der  Einsinn^ßseU  aller  etwa 
verwendeten  Zeichen  schon  in  B  der  Einleitung  seine  Rechtfertigung  fand. 

Die  Unerlässlichkeit  dieser  Vorschrift  kann  eben  durch  das  Prinzip  II 
dargethan  werden. 

Sind  a,  d,  e  Gebiete  oder  Klassen  derart,  dass  etwa  a=^b  ist,  so 
gibt  es  auch  immer  ^  solches  .r,  dass  x  =^  c  ist  (man  braucht  z.  B. 
unt<*r  X  sich  nur  e  selber  vorzustellen  kraft  I).  Erlatibfen  wir  uns  nun 
etwa,  lim  r  (welche8  im  allgemeinen  von  h  verschieden  ist)  ebenfalls  mit 
dem  Namen  h  zu  belehnen,  so  ürhieltea  wir  zu  Prämisseu  a  und 
b ^ e  und  kSmen  folgerichtig  gemKss  II  su  dem  Sehlusse:  a^e^  sls 
einer  Folgerung  aus  der  eiozigen  Annahme  a  ^  b^  ganz  beliebigem  c! 
Und  die  fallaeia  falsi  medü  wBre  fertig  und  legitimirt 

Dass  die  Verwendung  einunddesselben  Zeichens  als  Name  für  ver- 
schiedene* Denkobjekte  (im  Zusammenhange  einer  Überlegung)  wie  im 
vorstehenden  Beispiel  sieh  immer  rächen  fnuss,  iSsst  sich  allerdings 
nicht  beweisen.  Um  aher  die  konsequente  Durchführung  unsrer  F^in- 
dpien  unbehelligt  Ton  allen  NebenrQcksiohten  zu  ermöglichen,  dttrfen 
wir  uns  auch  einer  solchen  Gefahr  nicht  aussetsen.  Es  mnss  demnach 
für  den  Kalkül  wie  für  die  exakte  Logik  maassgebend  seiny  dass  man 
immer  nur  Identisches  mit  demselben  Buchstaben  benenne^  oder  die 
Bedeutung  eines  Zeichens,  so  wie  sie  einmal  festgesetzt  worden,  un- 
verbrflchlich  festhalte^  bis  die  Untersuchung  über  das  damit  Be- 
zeichnete zum  Absebluss  gekommen.    Es  ist  darauf  zu  halten  ver- 


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182 


Zweite  YorlMong. 


ptlicliii  t.  wer  imiiH'r  dorn  dictum  den  ,,quidquid  valet  etc."  allgemeine 

Geltung  zuerkeDueu  will. 

Als  eiue  NuUanweudmig  hievou  bemerkten  wir  ischou  in  §  2  S.  150, 
das8  wenn  ein  Ansdruek  wie  „eiuige  b**  in  Terschiedenen  Sitzen  Torkommt, 
diese  Klasse  nicht  immer  mit  demselben  Zeicben  5',  sondern  allmnal  wiedw 
mit  einem  neuen  b'\  h"\  etc.  im  allgemeinen  darzustellen  sein  wird.  Und 
ähuliches  gilt,  wo  „ein  ri\.<  f^ubjekt  eines  ^.itnlfstimmtf'n"  Urtt-lLs  luif- 
tritt.  Der  irlcnti-^cho  Kalkül  wird  ja  übrigens  zur  Dar.-itt'llunt,'  partikularer 
f^nwui  ulü  uiibeoliuimier  Urteile,  über  bessere  als  diesea  provisorische  Aus- 
kimftsmittel  späterhin  verfügen. 

Eine  dritte  Art  Ton  scheinbaren  Ausnahmen  ra  Priniip  II  mOge  Ter« 
dentlieht  werden  an  dem  Beitpiele  von  TevonSJ 

Alle  Werke  (Schriften,  Stücke)  Shakespeare 's  können  (von  ciw^r 
Pcrsoni  nicht  in  einem  Tage  tlnrchgelesen  werden.  Hamlet  ist  ein  Werk 
von  öhiikcsijeare.  Ergo  kann  Hamlet  nicht  in  rinnn  Ta<^o  durchgelesen 
werden.  Für  eine  deutsche  Schnle  mag  man  Goethe  8  Iphigenie  als  Pam- 
digma  rorciebw. 

Der  TJntersatx  und  Scbluss  kann  mcht  bemSngelt  werden,  wofern  es 

mit  dem  Obersatze  seine  Richtigkeit  hat. 

l")a>  Subjekt,  dio^es  —  obon  vorangestellten  —  Satzes:  ,,Alle  Werke  . 
steht  hier  nicht  „distributiv"  als  eine  Kiasae,  sondern  „kollektiv''  als  eine 
Menge;  es  steht  ftlr  „die  Gesamtheit  der  Werke",  für  „alle  Werke  susam- 
mcngcnommen**  (cuncti,  nicht  omues)  nnd  wire  besser  dnrch  ^SSmtlidie 
Werke*'  aussudrOeken  gewesm. 

Das  Urteil  ist  gar  kein  generelles  (abgesehen  von  der  Unbestimmtheit 
der  durchlesenden  Person) ;  es  ist  kein  im  engeren  Sinne  „xmivcrsalcs" ,  Ein 
„iiniver.^ales"  (im  writeron  Sinne,  scblcchtwccj)  kann  es  nur  genannt  wor- 
den, ins.  ff  in  c»  «.in  „stiigiilinr<i"  Urteil  ist  und  die  singularen  Urteile  mit 
zu  den  universalen  gerechnet  werden. 

Wofern  der  Untersatz  nicht  gerade  Identitftt  zwischen  seinem  Subjekt 
und  seinem  Pr&dikate  aufweist,  wird  er  —  wie  dies  oben  der  FaH  —  eine 
wirklidie  Unterordnung  dieses  Subjekts  unter  die  Klasse  seines  Prädikat- 
begriffes  ausdrücken.  Sein  PrSdikat  muss  dann  also  ein  aU<iimf'mcr  oder 
Gattnngshe^riW  sein.  Diese«^  Prädikat  des  Untersatzes  muss  aber,  als  der 
UittelbogrüT,  zugleich  Subjekt  des  Obersatzes  sein  (wenn  anders  ein  Subsorn- 
tionsschloss  nach  dem  Schema  II  sich  soll  anbringen  lassen)  was  oben 
nvM  zutrifft;  nnd  deshalb  war  der  Scbluss  hinfUlig. 

Es  sind  also  bloe  Unyollkommenheiten  nnsrer  modernen  Sprachen 
gewesen,  die  za  den  Feblschiansen  Terleitet  haben  und  damit  Aus* 
nahmen  zum  Prinzip  II  zu  begrfinden  schienen. 

Zusatz  zu  n.  Die  Ausdehnung  des  Satzes  II  auf  mehr  als  zwei 
als  Pi^missen  angenommene  Subsumtionen ,  welche  sieb  so  anordnen 
lassen,  dass  bis  zur  letzten  hin  das  Prädikat  einer  jeden  mit  d3m  Sub- 
jekt der  auf  sie  folgenden  fibereinstimmt,  ist  naheliegend.  Wenn 
^  <  ^  und  e  ^     so  folgt  auch  a^d  und  so  weiter. 

Der  Beweis  ist  auf  Grund  von  H  selbst  —  durch  mehrmalige  An- 


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§  4.  Eiste  Gnindlacreo:  Prinup  il. 


wenduny:  ebendifses  l'rinzi'ps  —  zu  leisten.  So  folgt  hier  aus  den 
beiden  ersten  Priiniissen  nach  II  schon,  dass  a  =<=  c  sein  muss,  und 
hieraus  in  Verbindung  mit  der  dritten  Prämisse  c  =^  d  folgt  abermals 
nach  TT,  dass  a  <  d  sein  muss,  wie  behauptet  worden. 

Wir  haben  damit  das  Verständnisa  der  einfachsten  Form  des  Ton 
der  alten  Logik  Bogenannten  Ketten^Jdusses  (sorites)  gewonnen. 

Anmerknng  1  zu  Prinzip  IL 

Auf  dem  Anwendungsfelde  ö)  des  §  B,  d.  i.  im  „AussagcnJealhäf*  — 
Tergleiche  die  Anmerkung  aufS.  161  sq.  —  wird  dem  Prinzip  II  die  Beden- 
tuTT^  /nkommen:  Wenn  c  aus  b  fohif  ntid  !>  rrv?  a  folaf.  so  fnjr/f  ti>i'h  r  mt/^ 
i  —  unter  a,  h,  c  irgend  welche  Annalunen  oder  Behauptungen,  irgend 
welche  ^Aussagen"  (Urteile)  verätaaden. 

Wir  werden  Ton  diesem  ,J^rin&p'*  bei  den  Beweisen  nnirw  Theoreme 
furtgesetst  —  uid,  als  yob  etwas  SelbstTerstttadliehem,  stillsehweigend  Ge* 
brauch  machen.  Damit  aber  der  Leser  alsdann  auch  dessen  inne  werde, 
sei  hier  im  voraus  schon  darauf  aufmerksam  gemacht. 

Unter  den  Prinzipien  des  Gebiet ekalktils  aber  darf  solches  „Prinzip" 
offenbar  nicht  auff^ezüblt  werden,  da  es  ertsichtlich  oder  wenif::Rtcns  :in- 
scheiaenJ  gar  nicht  von  Gebieten  handelt.  Jedenfalls  in  der  That  betriilt 
es  nicht  die  Gebiete  unsrw  hier  „beYorzagten**  MannigfalUgkeitb 

Anmerknng  2  sn  Prinzip  IT. 

Ähnlieh  wie  mit  dem  letzten  verhSlt  es  sich  mit  noch  einem  Grund- 
Satze,  den  wir  fortgesetzt  bei  nnsem  Sehlussfblgernngen  im  Gebietekalknl 
beth&tigen  werden. 

In  dio  fundamentalen  Siltze  und  Formeln  des  Kalküls  geben  Bucb- 
staben  ein  als  aUfirmeine  Sjniltnle,  in  5-olclior  Weise,  dass  denselben  aus 
der  Mannigfaltigkeit  unsrer  Gebiete  je  ein  beliebiges  aU  ;,Wert''  oder  Be- 
deatong  soll  untergelegt  werden  dürfen. 

Der  Orandsatz,  den  wir  meinen,  ist  nun  dieser:  J^Us  aUgerndne  Sym- 
bol (dessen  Bedeutung'  unsrer  Mannigfaltigkeit  angeb 'H^  darf  durch  jedes 
Micbipe  (andre)  Symbol  (dessen  Bedeutung  derselben  Mannigfaltigkeit  an- 
gehört) durcincrfj  erFcf-f  irrrdeii  —  einerlei  ob  das  letztere  wiederum  als 
ein  (natürlich  ebeni?o)  „allgenieiues"  aufVefasst  wird,  oder  ob  es  beliebt 
wird,  dessen  Bedeutung  irgendwelche  Beuchränkungen  aufzuerlegen,  oder 
ob  endlich  dasselbe  ein  ganz  spezielles  Gebiet  bezeichnet. 

Andi  Ton  dieser  Erlanbniss  machen  wir  demnicfast  fortgesetzt  Ge> 
brnoeh;  wir  eubstUuircn  bei  den  Beweisftthrongen  —  geradeso,  wie  es  auch 
in  der  Mathematik  fTcsibielit  —  alle  Augenblick  fllr  ein  allgemeine«;  (He- 
biete-,  Klassen-,  oder  Aun.sai(en-  i~^ynibol  irgend  ein  anderes.  AI  er  nii  bt 
uur  bei  den  fundanunlalen ,  sondern  auch  bei  den  mittelst  Beweises  auf 
»liese  zurückgeführten,  den  aus  ihnen  gefolgerten  oder  abgclcikhn  Sützen, 
ia  den  ,,Tbeoremen'*. 

Bei  den  Definitionen  nnd  Postnlaten  sowie  den  Axiomen  oder  yt^rin- 
sipien''  —  bei  allem  was  willkürlich  ausgemacht,  allgemein  angenommen, 
konventionell  festgesetzt  wird  —  koustatirt  obiger  Grundsatz  Icdiglieh  Das- 
jenige, was  tm  iSegriffe  des  tjaUgcme'mcn"  Syinhols  liegt,    £ine  in  Betreff  sol- 


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184 


Zweite  Vorlesung. 


eher  Symbole  getrottene  Ühcr< mkunß  soll  ja  immer  den  Siuii  haben,  dass 
äio  2u  gelten  habe,  was  immer  fttr  besondre  (sogenannte  „Werte")  oder 
wiederum  allgemeine  Symbole  fttr  die  Buehatab^  in  ihr  substitairt  wer- 
den, und  dasselbe  gilt  auch  in  Betreff  solcher  Siitze  oder  Behauptungen, 
die  mau  ü ha  einkommt,  ohne  jeden  Beweis  als  allgemeingültige  schlechtweg 
zu  adoptiren. 

Dagegen  für  die  aus  boklieu  Grundlagen  als  Folgeruugen  ahijekädcn 
Theoreme  die  gleiche  Erlaubniss  in  Anspruch  zu  nehmen  ist  nicht  mehr 
blos  durch  den  Sinn  der  Worte  verbürgt,  sondern  erscheint  als  ein  wirk- 
liches Prinsip,  wenn  aoeh  sunAehst  nicht  als  ein  dem  Gebietekalkul  eigen- 
tümliches. 

Auih  die  Berechtigung  zu  diesem  Verfahren  wird  aber  Rirh  niclit  als 
Ausfluss,  Wirkung'  eines  ganz  neuen  Prinzipes,  sondern  li'ili^'lich  als  eine 
Betbätlgung  uuares  i'rinzips  11  selber,  und  zwar  aut  dem  Anweudungsfelde 
f)  des  §  3  sputerliin  erkennen  lassen. 

Nunmehr  verleiben  wir  auch  das  Gleidiheih:»  x  hcn  tlem  Lehr- 
<j;ebüude  der  Algebra  der  Logik  ein,  indem  wir  aut  den  als  allein  be- 
kannt voranscresetzten  Be<^ritT  der  Subsumtion  eine  l{e;j;rillserklärung 
der  durch  jenes  Zeichen  aiis/iKlrüL-keutlen  Beziehung  gründen. 

Definition  (1)  der  idtnUächvn  Glachheil  {Identität).  ^ 


Wenn  a^b  md  sugleich  b=^a  isi,  ao  werde  gesagt,  es-  sei: 

a^h  (gelesen  a  gleich  h). 


Dbss  ein  Anssprueh  von  dieser  Form  a  «  6  eine  Oletdtung,  a  die 
linke,  h  die  rechte  Seite  derselben  genannt  wird,  haben  wir  schon 
S.  128  angeführt 

Da  Vorstehendes  eine  Definition  ist,  so  mnss  (wie  schon  auf 
S.  134  hervorgehoben  wurde)  die  Festsetzung  auch  umgekehrt  gelten: 
Es  kann  die  Gleichung  a^b  nichts  anderes  aussagen;  als  dass  die 
vorerwähnten  Subsumtionen  gleichseitig  bestehen,  nu  a.  W.: 

(l)".         {  Wenn  a  =  h  gilt,  so  muss  a  =^b  und  h  ^  a  sein. 
Wollten  wir  die  beiden  Teile  (1)'  und  (l)"  der  Definition  (1)  aus- 
drücklich aut"  einmal  aussprechen,  so  wäre  in  (1)'  die  Partikel  „5o" 
durch  „immer  dann  und  nur  dann^^  zu  ersetzen  gewesen. 

Zusat'/.  zu  Def.  (l).  Weil  alsdann  (nach  I,  fflr  Aussagen  in  An- 
spruch genommen  —  vergl.  die  Anmerkung  zu  Prinzip  1) 

b  =^  a    und  zugleich    a  =^  6 
sein  wird,  so  folgt  nach  Del  (1),  dass  auch:  , 

zu  gelten  habe.   Dies  heisst: 

Jede  GleiiAung  darf  auch  rückwärts  wiederum  als  solche  gelesen  wer- 
den, m.  a.  W.:  Die  beiden  Seiten  einer  Gkidmng  dürfen  (in  derselben) 


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§  4.  Ente  Orandlagen:  Petinition  der  Gleichheit. 


185 


mitrinnvthr  rtrUi  lischt  werih'U .  oder:  Die  identische  (ilHchhcit  ist  eine 
.,symmetrlsc}u''  J)r:!ehunff  —  ein  Satz,  der  sich,  wie  wir  soeben  sahen, 
ganz  streng  beweisen  lässt. 

Stellen  a  und  h  Gebiete  vor,  so  müssen  sie,  wenn  das  erste  im 
zweiten  und  zugleich  das  zweite  im  ersten  enthalten  sein  soll,  einan- 
der decken,  in  eines  zusammenfallen,  koincidiren.  Identisch  gleiche 
Gebiete  bezeichnen  wir  demnach  als  ^filnerMK 

Man  ersieht  hierans,  dass  —  wie  schon  in  der  Einleitong  betont  — 
der  Begfriff  der  Gleichheit  im  identischen  Kalkül  weit  ontrer  gefasst  ist, 
als  in  der  Grössenlehro.  Dort,  wo  von  Maassbestiromuii^'on  absolut  nicht 
die  Rede  sein  soll,  dililcu  wir  zwei  Kreise  oder  Fluchen,  wenn  sie  etwa 
nur  „gleich  gross"'  (iubaltsgleicb,  sogar,  wenn  sie  auch  kongment)  sein 
sollten,  durchaas  nicht  als  (identisch)  ,,gleieh*^  gelten  lassen. 

Ungeachtet  dieser  yerschiedenen  Interpretation  des  Gleiehheitszeichetts 

in  den  beiden  Dls/iplloen  ist  es  doch  onbedeuklicb,  ^tch  des  n&mlicheu 
Zeichens       für  beiderlei  Beziehungen  zu  bedienen  selbst  dann,  wenn  Au- 

ivcndanjrcn  des  identischen  Kalktils  anf  das  C-^biet  der  mit  Zahl  und 
Müaäs  oiu'iireudea  Mathematik  beabsichtigt  sein  sollten.  Und  zwar  aus 
zwei  Gründen. 

Erstens  deshalb,  weil  auch  in  der  Mathematik  nicht  mit  den  Grössen 
selbst,  sondern  nur  mit  deren  Uaasszahlen,  wmI  darin  allgemein  nur  mit 

abstrakten  Zahlen  gerechnet  zu  werden  pflegt.    Jede  abstrakte  Zahl  be« 

trachtet  man  aber  daselbst  als  ein  nur  cmmal  existirendes  Individuum,  ver- 
sinnücht  etwa  durch  einen  bestimmten  Punkt  dm  Zahlonlinie  resp,  Zahlen« 
ebene,  und  bei  dieser  Auffassung  kommt  die  Gieicbbeit  zweier  Zahlen  auch 
auf  ein  ZasammenfoUen  derselben,  auf  deren  Identit&t  hinaas  —  wie  schon 
S.  146  angedeutet. 

Zweitt'u-^  würden  gedachte  Anwendungen  des  identischen  Kalküls  auf 
das  Gebiet  der  rechnenden  Anal3'sis  doch  vor  allem  angezeigt  erscheinen 
—  und  k «Inn ton  in  der  That  von  i^rosscin  Nutzeu  werden  —  da,  wo  mau 
mit  vuldeulujcH  Aüsil}-''('1:''>i  zu  thun  bekouiiut,  wo  nämlich  mit  Zahlzeichen 
zu  operiren  ist,  die  nicht  notwendig  je  eine  einzige  Zahl,  sondern  eventuell 
eine  ganze  Klasse  oder  Gattung  von  Zahlen  Torstellen.  Von  swei  solchen 
Zahlgattungen  wflrde  nun  eme,  „untergeordnet  oder  gleich**  einer  an< 
dwn  B  zu  nennen,  es  würde  A=^B  tm  schreiben  sein,  wenn  alle  Werte, 
die  A  umfa-^st,  unter  den  Werten  von  B  zu  finden  sind,  und  „gleich" 
würden  die  beiden  vieldeuli^'en  Ausdrücke  A  und  B  heissen  müssen,  wenn 
dies  gegenseitig  iät,  d.  b.  wenn  üie  beide  ganz  die  nUmlicheu  Werte  um- 
fassen. Sobald  aber  diese  identisch  gleiehen  Ausdrücke  A  und  B  ein> 
deuHge  Zahlseichen  würden,  nSmlich  die  unter  A  und  B  yerstandenen 
Zablengattungen  etwa  nur  je  aus  citictn  Zahlindividuum  bestehen  sollten,  die 
Klasse  .1  in  <len  einen  Wert  a,  die  B  zu  der  Zahl  h  zusammenschrumpfte, 
dann  wCude  die  vorhin  statuirte  identische  Gleichheit  A  =  B  der  Klassen 
doch  in  der  That  zusammenfallen  mit  der  arithmetischen  Gleichheit  a  6 
zwischen  diesen  ihren  einzigen  Zablwcrten. 

So  wenig  sich  auch,  wie  S.  136,  139  dargelegt,  das  Zeichen  <  zur 


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186 


Zweite  Vorlesung. 


Verwendung  in  der  Logik  empfahl,  würde  es  nach  dem  soeben  Auseinan- 
dergesetzten doch  nur  eine  nnaQtze  Weitläufigkeit  sein,  wenn  wir  für  die 
identische  Gleichheit  ein  anderes  als  das  arithmetische  Gleichheitszeichen 
einfahren,  ein  apartes,  komplizirtares  Zeichm  fttr  diesd^be  hier  henatsen 
wollten. 

Bedeuten  a  und  h  Klasaea,  und  ist  a  so  werden  a  und  h  nur 
(verschiedene)  Namen  für  einunddieselbe  Klasse  Torstellen.  Beispiels- 
weise werde  angeführt: 

Pferd     Boss ,  Neger  —  Mohr , 

Erdtrabant  V  Mond  (im  engeren  Sinne)^  —  der  Mond. 

1)  Theorem.  Btets  ts^  a 

Jedes  GAiei  ist  sidt  sdbsi  idenÜseh  glek^ 

Beweis.  Die  VoraussetauDgen  a=^bf  2»  der  Def.  (1)  fQr 
die  Gleichheit  o  »  5  treffen  nach  Prinzip  I  zu,  wenn  a  selber  unter  5 
Tcrstanden,  für  b  cresetzt  wird;  folglich  ist  in  diesem  Falle  die  Defini- 
tion auch  anwendbar.    Ans  a  =^  a  und  a  =^  a  folgt  nach  (1)':  a  =  a. 

2)  Theorem.    Wenn  a  ^  h  und  h  =  c,  so  ist  a  <  c. 
Beweis.    Dann  ist  auch  h      c  nach  der  zweiten  IVämisse  auf 

Grund  des  Teils  (1)"  der  Def.  (1)  Und  hieraus,  in  Verbindung  mit 
der  ersten  Prämisse  folgt  nach  11,  dass  a  =^  c 

3)  Theorem.    Wenn  a  «=  6  und  h=^c,  so  ist  auch  a=^  c. 
Beweis.   Nach  der  ersten  Prämisse  und  Def.  (1)  Teil  (1)",  ist 

anch  n  und  hieraus  in  Verbindung  mit  der  zweiten  Prämisse  folgt 
nach  II:  a^c,  wie  zu  beweisen  war. 

Die  beiden  letzten  Theoreme  znsammenfassend  können  wir  also 
sagen: 

Zusatz.  JU  Ftädike^  sowH,  wie  aU  8td^,  darf  GJädies  fUr 
Gleidies  gesetst  werden. 

In  der  That  geht  die  Eonklusion  bei  Tb.  2)  herror  aus  der  ersten 
Prämisse,  indem  man  deren  Prädikat  (  durch  das  ihm  gleiche  e  er> 
setz^  bei  Th.  3)  ans  dessen  zweiter  Prämisse,  indem  man  deren  Sub- 
jekt h  durch  das  ihm  gleiche  a  ersetat 

4)  Theorem.    Wenn  «  =  5  und  6  —  e,  so  ist  auch  e. 
Oder:  Wenn  zwei  Gebiete  mit  einem  dritten  idcntisdi  ylcidi  sindf  so 

sind  sie  auch  unter  sirh  identisch. 

Es  sind  dann  alie  drei  (Jebiete  „einander  gleich"  —  vergl.  die 
nachherige  Zusatzdeüuition. 

Beweis.  Nach  Def.  (1),  Teil  (1)",  ist  mit  den  beiden  Voraus- 
setzungen des  Satzes  »inerveiis  gegeben,  da.ss  n=^b  und  b=^c  sei, 
und  hieraus  folgt  a  =^  v  nach  Ii.    Ebenso  ist  andrerseitti  gegeben: 


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f  4.  Folge«fttM.  Glfiichbeii 


187 


c=^b  oiid  h^a,  also  nach  II  auch  c=^a.  Die  gefolgerten  beiden 
Ergebnisse  a^c  and  c^a  lassen  sich  aber  nach  Def.  (1)  Teil  (1/ 
sosammenfassen  za  der  Gleichung  a  =  c,  womit  der  Satz  bewiesen  ist 

Die  Theoreme  2),  3),  4)  finden  bereits  unter  Prinzip  II  sich  darch 
Figuren  erläutert,  vergl.  Fig.  3  . . .  0. 

Znsatz  zu  Th.  4).  Die  Ausdehnung  des  Satzes  von  sweieii  auf 
eine  beliebige  Menge  als  erf&Ut  vorauszusetzeiuler  GIcicliungen,  welche 
sich  so  anordnen  lassen,  dass  sie  eine  stetige  Kette  bilden,  d.  h.  dass 
die  einander  zugewendeten  Seiten  benachbarter  Gleichungen  jeweils 
fibereinstimmen,  ist  naheliegend,  und  kann  durch  wiederholte  Anwen- 
dung des  Th.  4)  unschwer  bewiesen  werden. 

Wenn  a  6,  & und  e^d  Ui,  so  folgt  aus  den  swei  ersten 
Gleichungen  nach  4)  zunächst  a«c  und  hieraus ,  in  Yerbindnng  mit 
der  dritten  Gleichung  folgt  ebenso:  a  Daneben  folgt  auch  aus 
den  beiden  letzten  Gleichungen  h^d,  sodass  hier  jede  zwei  vorkom- 
mende  Symbole  als  ^eich  nachweisbar  sind. 

Zusatzdefinition  zu  (1).  Nunmehr  kann  auch  der  Begriff  der 
identischen  Gleichheit  Ton  zweien  auf  eine  beliebige  Menge  von  Ge- 
bieten ausgedehnt  werden.  Die  Gebiete  der  Menge  sind  jfiinander 
(flei^*'  zu  nennen,  wenn  (d.  h.  immer  dann  und  nur  dann,  wenn)  je 
zwei  derselben  einander  gleich  sind. 

Dass  solches  stattfinde,  wird  ausgedruckt^  indem  man  die  Namen 
der  Gebiete  in  irgend  einer  Folge  auf  der  Zeile  durch  Gleichheits- 
zeichen verbindety  z.  B.  schreibt: 

a       ^       •  •  • 

« 

Tritt  zu  einer  Menge  von  unter  sich  gleichen  Symbolen  ein  wei> 
teres  Symbol  hinzu,  welches  einem  ron  jenen  gleich  ist,  so  bilden  die 
bisherigen  Symbole  zusammen  eine  neue  Menge  von  unter  sich  gleichen 
Symbolen. 

Denn  ist  a|  =  Oj  ^     =  die  eratgedachte  Meuge 

und  trits  a»f  1  a«  hinza,  so  ist  fttr  iL »  1,  2, ...  f»  auch  leicht  za  be- 
wetsen,  dass  das  nenhinzugekommene  (ht+t  ~     sdn  man,  in  Anbetracht 

dass  ct^  =s  ai  schon  laut  Voraussetzung  gilt.  Ein  beliebig  aus  der  neuen 
Menge  heratispthobenes  Paar  von  Symbolen  enthält  entweder  das  neu  hin- 
zugekommene Symbol  oder  niilit.  Ira  ersten  Falle  entbillt  es  neben 
jenem  Symbole  noch  ein  solches  ai  der  alten  Menge,  und  ist  die  Gleich- 
heit beidw  Symbole  des  Paars  soeben  bewiesen.  Im  zwdten  Ffüle  muss 
das  Paar  aus  swei  Symbolen  ax  und  der  alten  Menge  bestehen  und  ist 
deren  Gleichheit  bereits  in  der  Voraussetzung  gefordert,  dass  simtliche 
Symbole  dieser  letztem  einander  gleich  seien. 

In  beiden  Fiillon  ii\n*\  also  die  y.woi  J^ymbolo  des  aus  der  neuen  Menge 
berauggebobenen  Paares  in  der  That  einander  gleich. 


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188 


Zweite  V<»leaiing. 


Was  in  logischer  BeziehuuLf  davon  zu  halten  sL-i,  ilass  bei  vorstehen- 
dei  iiüweiüfUbruug  im  Gründe  der  ScUlus^i  der  „yullsliindigeu  Induktiou^\ 
f, Schlags  von  n  auf  n  -\-  aoge wendet  werden  masste,  darüber  sei  auf 
Anhang  3  und  auf  §  51  Terwiesen. 

Ist  nnn  irgend  ein  System  Ton  Gleicbnogen  als  swischen  Gebieten 
bestehend  gegeben,  so  werden  diese  Gebiete  unter  sieh  gleich  sein 
mflssen,  wenn  es  gelingt,  die  gegebenen  Gleichungen  so  in  einer  Reihe 
anzuordnen,  dass  beim  Durchgehen  derselben  in  einem  bestimmten 
Sinne  —  etwa  von  links  nach  rechts  fortschreitend  —  man  in  jeder 
neu  ins  Auge  gefassten  Gleichung  auf  ein  Gebiet  stSsst,  welches  be- 
reits in  wenigstens  einer  der  Torhergehenden  Gleichungen  als  linke 
oder  rechte  Seite  vorgekommen  war.  Um  dies  za  entscheiden,  kann 
man  eine  beliebige  von  den  Gleichangen  als  erste  herausschreiben, 
darauf  als  aweite  eine  solche  folgen  lassen,  welche  eines  der  in  der 
ersten  stehenden  Gebiete  enthS.lt,  als  dritte  dann  aus  dem  Reste  eine 
solche  Gletebnng  herauslesen,  welche  abermals  die  Forderung  erfüllt 
mindestens  eines  der  bisher  schon  vorgekommenen  Gebiete  zu  ent- 
halten, und  so  weiter  bis  zu  Ende.  Ist  es  auf  eine  Art  niö>i;]icli,  in 
dieser  Weise  mit  den  Gleichungen  zu  Endo  zu  kommen,  so  würde  sich 
nachweisen  lassen,  dass  dies  auf  jode  Art  eiutretlen  muss,  mit  welcher 
Gleichun^^  dos  Svsteius  man  aueh  be^Munen  und  wie  mau  auch  mit 
der  Auslese  der  iuuner  miudetsteus  ein  früheres  Symbol  euthalteudeu 
Gleichungen  fortfahren  mag.  — 

Es  sollen  jetzt  noch  zwei  sjwzirllc  (ichii  fc  in  die  Alji;ebra  der  Logik 
einj^efnhrt  werden,  für  welche  als  Namen,  wie  unter  Th.  22)  dargeleprt 
wird,  die  Zalilzeielien  0  und  i  sieh  empfehlen.  Auch  diese  wuHen  wir 
vennittelt>t  des  Beziehuiigszeiohens  der  EinordnuBg  erklüreo,  und  zwar 

erfo]<^e  die 

Definition  (2.'i  der  „identischen  i  Definition  (2^)  der  ',jidettiisdtm 
dadurch,  dass  wir  die  Subsumtion 

als  eine  tdlgmehigttUige,  nämlich  für  jedes  Gebiet  a  unsrer  Mannigfal- 
tigkeit anzuerkennende  hinstellen.  Dies  will  sagen: 
0  nennen  tvir  ein  GSbiet^  welches  1  nmmen  wir  ein  Gebiet,  zu  wel- 
zn  jedem  Gebiete  a  in  der  Be-  chem  jedes  Gebiet  a  in  der  6e- 
sdehung  der  Einordnung  steht^  siehung  der  Einordnung  steht,  in 
welches  in  jedem  GAiete  der  Man-  wetehem  jedes  Gdnet  der  Manuij- 
mgfaUigkeii  enikaUen  isL  '  faltiffkeit  enthalten  ist. 

Die  Symbole  0  und  1,  denen  wir  diese  Eigenschaft  zuschreiben, 


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§  4.  Defimtioa  von  0  und  l.  Folgesätze. 


189 


sablen  wir  jedenfalls  hinfort  mit  zu  den  ^^Gebieten"  unsr»  Mannig- 
faltigkeii  ETentnell,  mdglicberweise,  werden  es  i^uneigentliche''  Ge- 
biete sein,  d,  h.  sie  bleiben  leere  Namen,  wenn  nnter  den  bisher  als 
solche  angesehenen  wirklichen  oder  »leigentlichen"  Gebieten ,  die  mit 
der  Mannigfaltigkeit  sogleich  uns  Tirtnell,  fakultatiy  gegeben  erschei- 
nen, sie  sich  nicht  nachweisen  lassen  sollten  —  eine  Frage,  anf  die 
wir  im  System  uns  erst  an  einer  spateren  Stelle  einlassen  wollen. 

Aach  die  Beweggrfinde,  ii^elehe  ans  sur  Einführung  ebendieser 
Symbole  bestimmen,  das  Willkürliche,  welches  in  ihrer  Definition  an 
liegen  scheint,  erklirend  rechtfertigen,  kdnnen  wir  erst  unter  Bef.  (3) 
in  §  5  anseinanderaetsen. 

Lediglich  ans  didaktischen  Gründen  —  damit  der  Leser,  falls  er  nicht 
will,  nietiiMls  den  Leitfadun  dm-  An.>chauuiig  zu  verlassen  brancht  —  sei 
indess  die  Bedeutung  welche  den  Symbolen  <>  und  1  zukommen  wird,  vor- 
prcnfrnd  schon  hier  kurz  anf?e<^eben:  Die  0  wird  uns  oin  In-rrs  Oebiot  vor- 
.sU41ea,  welülieä  keinen  Pimki  der  Manuigfaltigkeit  entbiilt,  und  wenn  von 
Klast»en  die  Rede  ist,  dem  Begriffe  des  „Nichts"  entspricht.  Die  1  dagegen 
wird  die  ganze  Mannigfaltigkeit  Torstellea,  hier,  im  beyoRogien  Falle,  abo 
die  ganze  Flache  der  Schaltafel.  Und  falls  a,  5,  c, . . .  nns  Klassen  vor- 
stellen, wird  1  die  nmfoasendsto  Klasse  bedeuten,  welche  alle  die  Klassen 
und  Individuen,  von  denen  in  der  Uuteraachung  die  Kede  ist,  ia  sieh  ver- 
eini;<t.    Vergleiche  §  7. 

Ks  wird  sich  zeigen,  dass  die  hier  vollzogene  Aufnahme,  Einver- 
leibung, Adjungiruiig  der  identischen  ^ull  unter  die  Gebiete  (der  leeren 
K!a«f^c  unter  di>  Klassen,  des  BegrilTs  des  ,,Nirhts"  unter  die  Hegritre) 
unsrer  ganzen  l^iszipliii  ihren  eigenartigen  Cliarakter  aufj>rägt.  Die 
Tragweite  dieser  unscheinbaren  C^bereinkuntt  (2^)  i>t  kaum  mit  Ge- 
riuLierem  zu  vergleiclu^n ,  als  mit  den  Wirkungen  der  Eiufüiirung  der 
arUhuK  fi^rJu  n  Xull,  der  Aulnahme  dieser  unter  die  Zidcrn  und  Zahleji. 
Letztere  war  eine  That,  in  Bezug  auf  die  uiich  Herrn  liermaiui 
Schubert's  interessante  Studie  „Ziihlen  und  Zahl'*  (Hamburg  1887, 
3t)  Seiten)  belehrt  (pag.  34),  dass  sie  ungeachtet  ihres  heute  allgemein 
anerkannten  Wertes  seinerzeit  hartnäckige  und  heftige  Opposition  her- 
vorgerufen. 

Zusatz  1  zu  De  f.  (2).  Es  kann  nicht  mehr  als  ei»  Gehiet  von 
der  in  Def.  (2^)  resp.  (2^)  geforderten  Eigenschaft  geben. 

Denn  gäbe  es  ausser  0  resp.  1  auch  noch  ein  zweites  Gebiet  0' 
resp.  1'  von  jener  gedachten  Eigenschaft,  dass  nämlich 

allgemein  sein  müsste,  so  hätten  wir  auch 

0=40'    nebst   0' ^  0         1         1=^1    nebst  1^1' 


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190 


Zweite  Torioiiuig. 


[indem  wir  ans  Ater  unter  dem  a  auch  0  resp.  1,  ^toii^  in  Def.  (2), 
anch  (f  resp.  1'  Torstellen  dUrfenji  imd  damit  folgte  nach  Def.  (1): 

(y  — 0  I  1'— 1, 

d.  h.  die  gedachteu  beiden  Gubiete  wären  bezüglich  einerlei,  wären 
eines. 

Zusatz  2  zu  Def.  (2).    Insbesondre  gilt  auch 

0=^  1. 

In  dieser  Subsumtion  fallen  die  beiden  Subsumtionen  (2^)  und  ^2^) 
in  eine  einzige  zusammen,  welche  als  ein  anter  beiden  zugleich  be- 
grifiPenes  Beispiel  erscheint.   In  der  That  kann  man  sich  unter  a 

in  (2x)  auch  1  |  in  (2^)  auch  0 

denken.  Zum  Oberfloss  aber  folgt  obige  Subsumtion  ans  (2^)  nnd  (2  J 
zusammen  auch  noch  nach  Prinzip  II,  wofern  man  sich  in  beiden 
unter  a  den  nämUdun  Wert  yorstelli 

5)  Theorem, 

5x)  Wenn  a=^Q  so  ist  a^Q,    |   5+)  Wenn  l=^a  so  ist  1  o. 
m.  a.  W. 


Die  fäkuUitHDe  Überordnung  eines 
Gebietes  über  l  ist  GUidiheU  (des- 
selben mit  1). 


Einordnung  eines  (rebietes  unter 
0  ist  QkiMeit  (mit  0),  bedingt 
„Yerschwinden"  des  betreffenden 
Gebietes.  ' 

Beweis.  Da  nach  Def.  (2^)  »  Beweis.  Da  nach  Def.  (2^) 
ohnehin  0  =^  a  ist,  ho  folgt  liic-  j  ühiieliin  (i  ^  1  ist,  su  {^ibt  dies  in 
mit  aus  der  Voranssotzung  a  =^  0  '  Verbindung  mit  der  voraii?f*psetz- 


unsres  Theoroms  kiatt  Def.  (1)' 
die  Gleichhoit:  0  =  a. 


ten  Subsumtion  1  =^  a  luicii  Def. 
(1)'  die  Koukhision:  n  =  1. 

Unerledigt  ist  jioch  die  Frage,  auf  welche  Weise  nun  sok-lie  Sub- 
sumtionen, wie  die  mit  Def.  (2)  eingeführten,  in  denen  als  Subjekt 
oder  Prädikat  die  Symbole  0  oder  1  auftreten,  mit  Hülfe  der  Kopula 
„ist"  in  der  Wortsprache  darzustellen  sein  werden?  Um  die  uns  zu- 
nächst obliegenden  Betrachtungen  nicht  zu  überladen,  wollen  wir  der- 
gleichen Fragen  vorerst  noch  zurückstelleui  unser  Augenmerk  eine 
Zeitlang  blos  dem  Gebietekalkul  als  solchem  zuwenden  —  und  dessen 
Anwendungen  auf  die  Wortsprache  hernach  im  Zusammenhange  (iu 
der  vierten  Vorlesung)  durchgehen.  Was  da  die  Def.  (2)  im  Gefolge 
haty  ist  unter  q),  0),  %),  v)  des  §  9  entwickelt.  — 


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Dritte  Vorlesung. 


§  5.  Die  IdentlBohe  Multiplikation  und  Additknu 
Peiroe*«  aaialytisolie  Deflnltloii  von  Pvodukt  «ad  Summe. 

Wir  mllssen  uns  nuDmefar  mit  Operationen  bekannt  machen,  durch 
welche  aus  (zunächst)  zwei  Gebieten  a,  h  jeweils  ein  drittes  Gebiet 
abgeleitet  werden  kann,  aus  zwei  Klassen  eine  dritte  (später  dann  auch 
aus  mehreren  solchen  eine  neue).  Zwei  wichtigste  von  solchen  Opo- 
rationeu  bezeichnen  wir  aLs  idenfi^ehe  Multiplikation  und  als  identische 
Addition,  nnJ  entlehnen  —  der  i^jiniachheit  we<^en  Namen  und  Be- 
zeicimuDg^sweise  für  die  Operationsergebnisse  und  die  dazu  verknüpl'teu 
Operationsglieder  aus  der  Arithmetik  yod  den  gleichuamigeo  uriüime- 
tischen  Operationen. 

Erfabnmgämässig  hat  dies  Verfahren  einen  gewissen  Widerstand  zu 
gewSrtigen;  daasdbe  wird  nicht  von  jedermann  ohne  weiteres  gebilligt  niid 
aooeptirt.  Es  werden  deshalb  einige  Worte  in  seiner  Beebtfertigang  am 
Plfttie  sein,  sowie  Fiogerzeige,  wie  dasselbe  da  wo  es  ungeeignet  erscbeinen 
sollte,  zu  modiliziren  sei. 

Mit  dem  Malzeichen,  z.  B.,  und  dem  Nameu  Produkt"  die  Vorstellung- 
<'iner  itrltlmtHhrhm  ^Iiiltiplikatioii  /u  verknüijfeii,  ist  durch  jabrbunderte- 
laiigen  Gebrauch  sanktioQiit,  uud  von  dieser  lauggewobuten  und  berech« 
tigten  GedankenTerbiudong  zwisohen  Namen  und  dem  dnxeh  sie  Benannten 
sieb  bier  stets  frei  sn  baltoi  wird  in  der  That  dem  Lesw  sugemutet  er- 
scbeinen, wenn  wir  wirklich  jene  Namen  und  Zeichen  ans  der  Arithmetik 
in  imsre  Disziplin  herUbernehmen.  Bedeuteten  die  zu  einem  Produkt  « •  b 
oder  (ih  zu  vereinigende!!  Symbole  a  und  h  hier  Zahlen  uder  auch 
IQassea,  Gaituogen  von  Zauien,  so  wäre  die  Zumutung  alionfalis  eine  harte 
tu  nsnnen. 

Solches  ist  nun  aber  nuM  der  Fall.   Freilich,  da  uns  a  nnd  &  Klassen 

fon  irgendwelchen  Dingen  oder  Objekten  des  Denkens  vorzustellen  haben 
werden,  so  ist  ihre  Interpretation  als  Klassen  von  Zahlen  nicht  gerade 
prinzipiell  ausgeschlossen.  Doch  bildet  letztere  (gegenüber  den  sonst  hier 
im  allgemeinen  beabuicb tigten  Deutuugsweisen  em  Auwendungsfeld  von  sehr 
speziellem  Charakter  und  verhältnissmässig  untergeordueter  Wichtigkeit. 
Pttr  dieses,  wenn  es  Überhaupt  in  Betracht  gezogen  werden  sollte,  kann 
man  sich  leicht  gewisse  Kautelen,  eine  besondere  Behutsamkeit  in  der  Ver* 
Wendung  der  Namen  und  Zeichen,  als  logiseher  (identischer)  oder  aber 


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192 


Dritte  Torlesnag. 


arithmetischer,  zur  Pflicht  machen,  auf  das  wir  nachher  noch  niher  sn 

sprechen  kommen. 

Lasät'ii  wir  die  etwa  mügliclien  Anwendungen  des  identischen  Kalküls 
auL  anlhmduiclic  Uuleräuchuugen  vorerst  beiseite,  äo  wird  aber  der  obige 
Yonraxf  dner  ungebQhilicben  Zumutong  tob  selbst  hinfällig,  indem  es 
gans  umm^lU^  wird,  dem  Malzeichen  die  gewohnheitm&ssige  Bedeutung 
nntersulegen.  Man  vci suche  doch  einmal,  wenn  a  die  Klasse  derjenigen 
Dinge  vorstellt,  welchen  das  Epitheton  „schwarz"  zvikommt,  und  h  die 
Klasse  der  „Pferde",  das  Produkt  a  •  b  im  arithmetischen  Sinn  zu  verstehen! 
Abzustehen  aber  von  einem  ohnehin  nnmr»]Lf liehen  Vorhaben  —  dies  lässt 
sich  doch  nicht  uU  tinc  ungebührliche  Zumutung  hin^tclleu! 

Bei  dent  Versuch,  ihn  im  herkömmlichen,  arithmetischen  Sinn  su  deuten, 
gibt  sich  in  unsenn  Beispiel  der  Name  a  •  &  als  ein  ganx  und  gar  sinn- 
loser sofort  SU  erkennen.  Daher  ist  dieser  Name  als  ein  solcher,  der  über- 
haupt  eine  vernünftige  Erklärung  noch  nicht  gefunden  hat,  zunächst  zn 
jeder  heliebigen  Verwendung  disponibel.  Welche  Bedeutung  wir  ihm  hin- 
fort atuh  heiK'^rcn  mögen  —  was  wie  <?e8a^  in  nnsorm  ndiebon,  Arbi- 
trium steht  —  so  kann  diei^  zu  Mic^i^versiüudoisseu  Überhaupt  nicht  führen, 
ist  nnhedenklich  und  unTerfUnglich. 

Das  gleiche  gilt,  wenn  a  und  h  Pnnktgebiete»  Flächen,  —  und  zwar 
diese  .selbst,  nicht  aber  deren  Maas^/uihb'n  oder  Inhalte,  vorstellen  (vergl. 
H.  158).  Ks  i-^^t  noch  unau.^gcmncht  und  kann  de.-^halb  beliebig  ausgemacht 
werden,  was  in  diesem  Falle  a  •  h  bedeuten  solle. 

Dass  eine  herkömmliche  Veiweudung  von  Namen  und  Zeichen  auf 
einem  bestimmten  Anwcndungsfeide  durchaus  nicht  deren  selbständige  Ver- 
WMidung  auf  andern,  neuen  Anw^dungsgebieten  prftkladirt  oder  von  vorn- 
herein  ausschliesst,  daftlr  gibt  es  Prficedenzflüle  genug  in  den  Wilsen- 
Schäften. 

Es  ist  dem  Chemiker  auch  nicht  verboten  worden,  mit  CO  das  Kohlen- 
oxydgas  zu  bc/'-ichuen,  weil  etua  durch  den  schon  zwei  Jahrlausende  älteren 
Usus  deö  Cieojuetors  es  sanktionirt  war,  unter  ('()  die  Verl.iuJungsstrecke 
zweier  Punkte  C  und  0  zu  verstehen.  Um  beide  Deutungen  zu  verwech- 
seln, mOsste  man  im  Unklaren  darttbw  sein,  ob  es  sich  um  Punkte  han- 
delt, oder  um  chemische  Blemente,  und  f&glich  ist  dem  Leser  eines  Baches 
doch  wenigstens  zuzutrauen,  dass  er  wisse  und  sich  im  Bewosstsein  lebendig 
erhalte,  wovon  in  «b  in  Buch  die  Rede  ist! 

Was  nun  dein  l.iuen  Recht  ist,  das  ist  dem  Andern  billig.  Um  arith- 
metiscbes  und  identisches  Produkt  zu  verwechseln,  müsst«  man  auch  nicht 
wissen,  ob  die  Rede  ist  von  Zahlen,  oder  ob  von  Klassen,  Gebieten. 

JedenfaUs  kann  es  nicht  untersagt  werden,  unier  einer  hesondem  Über- 
»ckriß  eine  aparte  —  sei  es  Beseichnung  bekannter  Dinge,  sei  es  Inter» 
pretation  bekannter  Zeichen  zu  verwenden,  und  zwar  immer  demjenigen 
Verfahren  den  Vorzn<?  tn  ceben,  welches  sich  dem  ZU  betrachtenden  Gegen« 
Stande  am  besten  anbequemt. 

Einfacher  aber,  üborsichtlicbor,  ktlrzer  und  zweckmässiger,  als  mit  aZ>, 
liliist  das  Ergebuiss  der  Operation,  die  wir  identische  Multiplikation  der 
Klassen  a  und  h  zu  nennen  haben,  sich  Oberhaupt  nicht  darstellen  — >  im 
Hinblick  auf  die  Anforderung,  dass  der  Name  dieses  identischen  Produktes, 


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§  6.   Die  identische  Mnltiplikation  und  Addition. 


193 


um  binreiehend  ansdroeksroll  und  dnreb  sieb  selbst  verstSadlicb  zu  sein,  die 
Symbole  a  und  b,  denen  es  entstammt,  doch  selber  euthaitaa,  sie  irgendwie 

miteinander  verlcinipfen  mnss.  Die  simiiül.ste  Verlvnüiifung  von  Zeichen  ht 
eben  das  Nebeaeinanilerstellen  derselben  auf  der  Zeile,  und  der  Vorteile, 
die  aus  solcher  Einfachheit  erwaehäen,  sind  wir  nicht  gesonnen,  uns  un> 
nötigerweise  bier  zu  entscblagen.  Zudem  stellt  aoeb  die  Wortsprache  selbst 
(wie  in  §  8  SU  seben)  die  Namen  der  als  identische  Faktoren  an  einem 
Ptodnkt  zu  verkuüpfenileu  Kla.  sen  in  der  Regel  obne  weiteres  YerknttpfongS' 
leicben  oder  Bindewort  nebeneinander. 

Ähnliches  al)cr,  wie  oben  in  Bezug  auf  das  Produkt  ausgeführt  ist^ 
Hesse  sich  grösstenteils  auch  hinsichtlich  der  Summe  sagen. 

Nur  dann,  wenn  Anwendungen  des  identischen  Kalküls  auf  die  Arith- 
metik selbfit  beabsichtigt  seiu  sollten  —  dergleichen  uns  bier  meistens 
gajiz  ferne  liegen  --  wird  es  ratsam  die  „arithmetuiclien"  und  die  „idm- 
ütdtm"  Operationen,  Operationsglieder  und  Operationsergebnisse  jeweils  im 
Texte  durch  die  hursiy  gedruckten  BeiwSrter  sorgfUtigst  au  unterscheiden, 
eventuell  auch  mittelst  veratiiieäimer  Knüpfungszeichen  die  emen  und  die 
andern  zu  kennzeichnen.  Ganz  ^lne^l[i>^^K■ll  würde  letzteres  erscheinen,  wenn 
etwa  im  selben  Ansdnick  oder  in  dei  nämlichen  Formel  die  beiderlei  Ope- 
rationen gleichzeitig  vorkommen  sollten. 

Hier  aber  ist  es  leicht,  gedachte  Unterscheidung  der  arithmetischen 
und  der  gleichnamigen  identischen  Knfipfungsseichen  irgendwie,  in  einer  ad 
hoc  konventionell  festzustellenden  Weise,  zu  bewirken.  Man  klammere 
etwa  die  Zeichen  der  seltener  vorkommenden  Sorte  von  Operationen  ein: 
(•),  (+),  oder  drucke  sie  hohl,  fett,  kursiv  und  dergleichen. 

Bei  der  Mnltiplikation  ist  man  in  der  günt^tii^^cn  Laf?o,  ohneliin  über 
zwei  KuüpfuDgßzeichen  zu  verlügeu.  Man  reservire  z.  B.  den  Punkt,  für 
die  identische,  das  liegende  Kreuz,  x,  für  die  arithmetische  Multiplikation 
und  beobachte  die  BttdkBichti  dass  alsdann  nur  das  eine  yon  diesen  beiden 
Zeichen  auch  \mgescbrieben  bleiben,  bequemlichkeitshalber  nnterdrOokt  wer« 
den  darf,  nicht  aber  auch  das  andere  —  inde>?en,  je  nachdem  es  zweck* 
m&ssig  erscheinen  mag,  durchweg,'-  das  erste  oder  durchweg  das  zweite. 

Für  identische  Addition  wird  mau  praktisch  auch  ein  stehendes  Kreuz 
t  gegenüber  dem  arithmetischen  -f"  solchen  FftUen  verwenden,  wie  uns 
denn  hier  —  dank  der  Liberalitftt  des  Verl^ers  —  kleinere  -(-Zeichen 
+  und  +  /.u  geböte  stehn. 

Überdies  ist  zu  beachten,  dass  wo  immer  Anwendungen  der  geschil- 
derten Art  beabsichtigt  sein  sollten,  auch  die  ,,identi>'clie'^  Null  und  Eins 
—  etwa  durch  kursiven  Druck  als  a.  1  oder  aber  mittel.-t  Apostrophirung 
etc.  —  von  den  Zahliudividueu  U,  1  unterschieden  werden  müssen  — 
Yfergl.  §  9,  cd).  — 

In  einem  seiner  Aufsätze  verwendet  Herr  Peirce  durchweg  ein- 
mal als  McSädekm  das  ITomma,  für  identische  Gleichheit  ein  Oleichheits- 
söehen  mit  darunter  gesetston  Komma,  und  für  identische  Addition  ein  -j- 
mit  in  dm  Winkelraum  rechts  unten  ein<,^efu Litern  Komma  -j;.    Das  ganze 

Rczeichnung-ss^-stom  crsi;lieiiit  -elion  ein  lusehen  sclnverf^illig,  das  erstere 
aber  auch  höchst  bedenklich,  weil  mau  in  Text  wie  in  Formeln  [z.  B.  bei 

gcasüoKK,  Altfobra  der  Logik.  18 


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194 


Dritte  yorleanng. 


f{a^  7/,  r,  .  .)]  dann  nie  nnt«rpclie'ult  n  kann,  ob  a,  c, .  .  eine  Gruppe,  ein 
System  von  mehreren  Symbolen,  oder  aber  ein  nnzifjefs  Symbol  —  das  Pro- 
dukt der  letztem  —  vorstelle.  Von  diesem  System  der  Schreibaug  kommt 
Peirce  auch  selbst  wieder  in  seinen  jsjiSterea  Aufstttxen  —  und  wie  es 
scheint,  deflnitiv  —  surfick.  Im  sebriftlichen  Arbtttm  mag  aber  das  Zn> 
eben  xuweilen  empfeblen. 

Neue  Zeichen  und  Namen  zu  erfinden  ist  ja  in  der  That  nicht  schwer, 
nnd  was  die  Namen  betriStf  so  hat  gerade  die  Philosophie  hierin  die  Welt 
schon  mit  grossartigen  Leistungen  beglückt. 

Wollten  wir  vor  der  bei  der  Arithmetik  zu  machenden  Namenanleiho 
zurückschreckon ,  po  würden  auch  wir  j^'cuötigt  sein,  ein  c^anzes  Heer  von 
neuen  Namen  7.n  erllndfii.  Rs  würde  Lei  weitem  niclu  ^enä^en,  neben 
eigenen  Zeichen  zur  Vertretuug  uuarei  i  vou  Boole  schon  eingetühiteuj  0 
nnd  1,  etwa  blos  fftr  „Multiplikation,  Faktor,  Produkt*'  nnd  „Addition, 
Sttmmand,  Summe^*  nene  Namoi  su  schaffen.  Als  solche  wurden  —  neben« 
bei  gesagt  —  bereits  ,,Comp06ition,  Coraponenten,  Compositum  („Compound")" 
nnd  „Aggregation,  Aggreganten,  Arf^'rcg^at'**)  von  Augustus  de  Mor- 
gan*«^ verwendet.  —  Es  würde  überdies  die  Fo]ge  sein,  dass  wir  das 
Summenzeicheu  das  Produkteuzeichen  11  durch  andere  Zeichen  ersetzen 
mQssten,  dass  wir  zeitweilig  neue  Namen  einzufahren  hfttten  auch  eventneli  fttr 
„Potens^S  für  „Division,  Quotient,  IMvidend  und  Divisor^,  fttr  „Subtraktion, 
Differenz,  Minuend  wvA  Siil»trabend",  für  „Absieben"  nnd  „Vermindern", 
für  „mal,  plus,  durch  und  iiiiini.N'\  und  ausserdem  noch  für  eine  Menge 
anderer  Kunstausdrücke.  Ich  erinnere  an:  „Monom,  Binom,  Trinom,  Poly- 
nom", an  „Koeffizient",  uu  „Ausmultipliziren"  (nach  der  Multiplikationsregel 
für  Polynome)  und  „Ausbcheiden"  (eine*  gemeinsamen  Faktors),  an  die 
Benennungen  „Funktion"*  und  „Argument^,  an  „linear**  und  „homogen*^  (in 
ihrer  Anwendung  auf  den  Funktion -begriff),  u,  8.  W. 

£in  Blick  auf  den  weiterhin  dichter  werdenden  Formelinhalt  dieses 
Buches  wird  schon  erkennen  lassen,  wie  viel  umständlicher  und  schwer- 
fliili^'cr  (k'rotilbe  sich  darstellen  mü:>ste,  wollten  wir  nur  überall  da,  wo  ein 
Mulztiichen  steht  oder  gesetzt  kU  denkm,  £u  unitratelUn  ist,  ein  ausdrück- 
liches Knfipfungszeichen  anbringen! 

Erstrebenswerter  als  solche  Neuerungen  scheint  es  doch  su  sein,  mit 
einer  schon  vorhandenen  Nomenklatur,  die  sich  auch  nnsern  eigenartigen 
Zwecken  vorzüglich  anpasst,  hausiilllteri-cli  auszukommen.  Weif,'er(en  wir 
uns  dessen,  so  würde  aber  die  sehlinituste  Wirkung  die  sein,  dass  wir  ge- 
nötigt wliren,  eine  Menge  aus  der  Arithmetik  der  vier  SpezieB  allbekannter 
Sätze  in  dem  fremdartigen  Gewand,  das  sie  alsdann  notwendig  zeigen 
mttssten,  yoUstOndig  neu  zu  lernen.  Bei  dem  Plan,  den  wir  hier  lieber 
befolgen,  haben  wir  dago'^en  den  Vorteil,  nicht  nur,  dass  die  zahlreichen 
Analogicen  und  die  minder  zahlreichen  Ge;?enslitze  zwischen  dem  identischen 
uuU  dem  arithmetischen  Kalkül  auf  das  klarste  zutage  treten,  sondern  dass 
wir  auch  einen  ansehnlichen  Teil  unsrer  Übung  aus  der  al];.;eniL'iuca  Arith- 
metik (freilich  nur  von  der  Tertia  eines  Gymnasiums  her)  hier  ohne  weiteres 


*)  lodeis  der  letztere  Name  ist  ja  auch  in  der  Arithmetik  bereits  Tczgebenl 


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%  6.    Ideatidche  MultiplikaüüD  und  Addition. 


195 


a  verwerlon  in  der  Lage  sind  und  diesen  Vorteil  blos  erkaufen  mQaeai 
dorcb  rege  Aofmerksamkeit  auf  dU  Punkte,  wo  jene  Analogieen  aufhören. 

Eine  gewiase  Leichtigkeit^  nicht  blos  Bezeichnnngsireiseu  zu  wechseln, 

sondern  mehr  noch,  solche  unizudeahn,  sie  vom  Kinen  aufs  Andere  zu 
übertragen,  ist  auch  anderwärts  förderlich  oder  unontbehilich  gewesen,  und 
nirgendä  in  der  Mathematik  diirt"  man  au  der  Bezeichnung  kleben.  Es  ge- 
nügt zu  erinnern,  an  die  ÖlieckeurecUnung ,  z.B.,  Uberhaupt  ua  die  zahi- 
niehen  „aymboliBchen*'  BeehnungBuiethodeu,  wekhe  Analjeie  und  Geometrie 
bereite  aiiüEweiaen.  — 

Die  identiflche  Addition  hat  mit  der  arithmetischen,  ihrem  Wesen 
nach,  noch  einige  Vmamäte^afl,  die  identische  Multiplikation  aber 
mit  der  arithmetischen  gar  keine  [vergl.  §  9,  &)]. 

Gleichwol  rechtfertigt  sich  die  Ubereinstimmende  Beceichnong  von 
beiderlei  Operationen  durch  die  durchgängige  Übereinstimmung  ihrer  for- 
maim  Eigenschaßm:  alle  Gesetze,  welche  von  der  Addition  und  Mul- 
tiplikation in  der  allgemeinen  Arithmetik  als  allgemeine  Formeln 
gelten  (also  ohne  ROcksicht  auf  die  Natur  der  zu  verknüpfeiuleu  Zahlen, 
im  ganzen  Zahler^gvbieie)  —  sei  es  in  Bezug  auf  jene  Operationen  für 
sich,  sei  es  ;iurh  lilr  ihre  Verbindungen  miteinander  —  allu  diese 
Gesetze  werden  sicii  auch  iia  die  identischen  Operationen  als  aiigemeiu 
gültig  erweisen,  und  —  dam  noch  dnigc  tnehr! 

Nur  wo  die  „umgekehrten"  oder  tnccrbcn  Opt  iritiunen  vüü  jenen 
beiden,  also  die  Subtraktion  und  Division  mit  in  iietracht  komuw  n, 
kirt  die  formale  Übereinstimmuni;  /wischen  den  arithmetischen  und 
den  identischen  „vier  Spezies"'  zumeist  auf. 

Wir  werden  uns  mit  der  identischen  Subtraktion  und  Division 
erst  spät  —  in  der  12.  Vorlesung  —  beschäftigen,  und  zwar,  um  sie 
dort  für  immer  abzuthun,  nämlich  zu  erkennen,  dass  diese  Operationen 
im  identischen  Kalkül  definitiv  entbehrt  werden  können,  indem  sie 
ausreichend  und  am  zw  eck  massigsten  zu  yertreten  sind  durch  eine  ein» 
fächere  dritte  Operation,  die  NegaHoHf  welche  als  ein  gemeinsamer 
Spezialfall  jener  beiden  erscheint. 

Auch  im  identischen  Kalkül  mögen  wir  Addition  und  Multipli- 
kation  zn  zwei  verschiedenen  (0perations-)5^t(/en  rechnen.  Wäitxend 
aber  in  der  Arithmetik  die  Addition  als  die  ursprQnglichere  oder  erste 
Stufe  Yorangeschickt  werden  muss,  um  das  Verstandniss  der  Multipli- 
kation als  der  ziceiten  Stufe  vorzubereiten  und  zu  erschliessen,  steht 
im  identischen  Kalkül  die  Reihenfolge  der  beiden  Operationen  in  unserm 
Beheben.  Beide  sind  hier  unabhängig  von  einander  einzuführen;  sie 
lind  gewissermassen  ebenbflrtig  oder  von  gleichem  Bange.  Schon  um 
dies  sum  Bewnsstsein  su  bringen,  werde  ich  der  Multiplikation  hier 

13» 


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196 


Dritte  Vorlesung. 


den  Vortritt  gebeo.  Ausserdem  aber  bestimmt  mich  hiezo  die  Rßck- 
sichty  dass  auf  einem  der  Haoptanweiidungsgebiete  des  identischen 
Kalküls  —  auf  dem  Anwendimgsfelde  d)  des  §  3,  im  sog.  „Ans- 
sagenkalkul"  —  die  MultiplikatioD  in  der  That  als  die  bei  weitem 
wiebtigere  nnd  häufigere,  wo  nicht  ursprQngliebere  Operation  er- 
scheinen wird.  Demongeachtet  mögen  aber  nach  wie  vor  die  Addition 
und  Subtraktion  ihre  Bezeichnung  als  Operationen  der  ersten  Stufe 
beibehalten. 

Wir  werden  das  identische  Produkt  a  ■  h  oder  ah,  de.sgleicheu  die 
identisdit  tiummc  a-\-h  zweier  Gebiete  a  und  h  hier  je  gesondert  defi- 
niren  in  ihrer  Anwendung  als  Subjekt  (terminus  minor)  und  in  ihrer 
Anwendung  als  l*riulikat  (terminus  major)  von  Subsumtionen. 

Man  wird  jedoch  sehen,  dass  diese  beiden  DeHnitioneu  eines  und 
desselben  Symbols  ab  resp.  a  +  h  keineswegs  von  einander  unabhängig 
sind,  sondern  derart  in  einander  übergreifen,  dass  durch  die  eine  not- 
wendig auch  schon  die  andre  gegeben  erscheint.  Eine  bestimmte  von 
ihnen  muss  als  die  des  einfacheren  Ausdrucks  fähige  an  die  Spitze 
gesteilt  werden.   Und  awar  die 

Definition  (3J.  I  Definition  GVV 

Wmn  es  für  gegä)€ne  G^iete  a,  h  und  c  sutrifft,  dass  eugleich 
e^a  und  e^b  {  a^^e  und  b^c 

ist,  60  soll  —  kürzer  —  gesagt  werden t  es  sei: 

e^ab,  I  a-^b'^c. 

Mit  dieser  Festsetzung  haben  wir  definirt: 

das  identische  Prodtdct  als  Prädikat.  I  die  identische  Summe  als  Subjekt. 

Uiedurcb  werden  nämlich  —  zunächst  lediglich  als  Bestan<lteib» 
oder  Elemente  einer  gewissen  Redensart*),  als  Prädikat  resp.  Sabjekt 
—  die  Symbole 

ah  I  a  +  b 

eingef&hrt,  welche  wir  auch  j^Crebiete^  nennen  werden.  Auf  nnserm 
gegenwärtigen  Standpunkt  müssen  wir  noch  darauf  gefasst  sein,  dass 
diese  —  je  nach  den  Bedeutungen  von  a  und  b  —  sich  als  eigentliche 
Gebiete  vielleicht  nicht  nachweisen  lassen,  sondern  eben  als  „nneigent» 
liehe"  unsrer  Mannigfaltigkeit  susnschlagen,  tn  adjungiren  sind. 


*)  id  est:  der  Bedenaart:  ,,ein  Gebiet  e  ist  in  a 6  enthalten",  resp.  u^-¥b 
iit  in  einem  Qebiet  c  enthalten". 


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$  5.  Peirce^fl  Definition  toh  Produkt  nnd  Smnnie. 


197 


Da  obiges  Definitionen  sein  sollen,  so  gelten  die  Festsetzungen 
auch  umgekel^i,  und  sage»  die  BubsumUcnen 

1u»f»rt  nkitis  anderes  auSf  als  dass 

e=^a    utid  zuyleidi   c=^h     |  a  =^  c   aowic  b^e 

sei. 

Ihn  uns  unzweideutig  daraal  zuruekbeziehen  zu  küuueii,  wollen 
wir  di(?  beiden  in  jeder  dieser  BegriÜüerklürungen  liegenden  funda- 
mentalen Festsetzungen  nochmals  ^niit  ausserster  Sparsamkeit  an 
Textesworten)  übersichtlich  rekaj)itiilirt'ii,  indem  wir  sie  mit  unter- 
scheidendeu  Chiffren  versehen,  weldif  si'rh  im  bisherigen  Texte  nicht 
wol  anbringen  iiessen.    ünsre  Konveationen  sind; 

,„  Y j  Wenn    *^  a,  c     6,  .    , J  Wenn  o c,  ^^^f 

^     [so  gm       e     ab,  ^     [so  aüt  a  +  6  =^  c. 


Wem       c  ^  ab,  |  Weum  a  +  6  =^  c, 

80  güt  <?  =^  a,  c  =^  6.  ^  *M«o  güt  a^^Cf  b^c. 


Die  einzeln  stehende  Subsumtion  nnll  i*nv»'ils  das  nämliche  aus- 
drücken, besagen,  wie  die  zwei  iiebeuemand  r  stell  iulen  Subsumtionen 
tasauimt^ngenommen.    Dies  ist  e;^,  was  ausgemacht  wurde. 

Zusatz  1)  zur  Definition  (3). 

Es  gibt  mindestens  ein  Gebiet  c,  welches  den  Voraussetzungen 
der  Def.  (3)  genügt,  indem  nach  Def.  (2^  resp.  (2^)  jedentaiis 

0  I  1 

ein  solches  e  ist  Wie  immer  die  Gebiete  a  und  b  anch  gegeben  sein 
mSgen^  so  ist  es  also  jedenfalls  anlSssig,  von 

einem  Produkte  ab  |  einer  Snmme  a^^b 

in  reden,   nämlich   von   ihnen   zu   sagen,   es   sei  0  =^  ab,  und 

Hier  tritt  zum  ersten  mal  ein  Beweggrund  zutaj^e,  der  für  die 
Einführung  der  Symbuli  <•  und  1  spricht,  wie  sie  mittelst  Dei*.  (2) 
vullzogen  worden.  Die  Zi  /it.hung  dieser  Öymbole  zu  der  Mannig- 
falti|^keit  der  Gebiete  hat  uümlich,  wie  soeben  erkannt,  den  Erfolg  und 
recliUertigt  sich  eben  hiedurcli,  dass  nun  von  a  h  und  a  +  h  stets 
gesprochen  werden  kann.  In  Bezug  auf  das  l'rodukt  ab  wird  dies 
durch  die  Einführung  der  U  in  der  That  a-d  liingebracht,  wie  wir  in 
§  7  noch  genauer  sehen  werden:  hätten  wir  nicht  die  0,  so  wäre  es 
nicht  der  Fall;  es  ist  die  Mission  und  das  Verdienst  der  Null,  dass 
sie  dies  bewirkt  I^ur  durch  ihre  Zuhülfenahme  läset  es  sich  erreichen, 


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198 


Dritte  Vorlcsniig. 


dass  binfort  identische  Multiplikation  nsd  Addition  für  ganz  beliebige 
Faktoren  resp.  Summanden  a,  h  auch  ausführbar  werden. 

Ohne  diesen  Umstand  würde  aber  eine  allgemeine  Bw^^stäben- 
rethnung  nach  einheitlichen  Regeln  nicht  möglich  sein. 

Hätte  z.  B.  das  identische  Produkt  a  •  h  sehr  häufig  keinen  Sinn, 
80  könnte  man  keinen  irgend  Produkte  enthaltenden  Buchstaben- 
ausdrucky  unbekümmert  um  die  Bedeutung  oder  die  Werte  der  in  ihm 
vorkommenden  Operationsglieder  nach  den  Regeln  des  Kalküls  um- 
formen. Man  müsste  vielmehr  jedesmal  erst  zusehen,  ob  die  etwaigen 
Teilausdrücke  (Aasdruckteile),  sowie  ob  der  ganze  Ausdruck  überhaupt 
einen  Sinn  hat,  und  wäre  genötigt,  die  Bedingungen  dafür  jederzeit 
im  Ange  zu  behalten,  sie  immerfort  als  y^Gültigkeitsbedingimgeii'' 
weiterzaschleppen. 

Ein  eklatantes,  und  —  wie  ich  denke  —  hinrdchend  abschreckendes 
Beispiel  einer  derartigen  unerquicklichen  Sachlage  wird  uns  weiter 
unten  der  Kalkül  der  inrerBen  Operationen,  werden  uns  die. Gesetze 
der  identischen  Subtraktion  und  Division  in  §  23  liefem,  deren  Be* 
folgung  aber,  wie  schon  erwähnt,  zum  Glück  entbehrlich  bleibt. 

Wenn  nun  also  durch  eine  so  einfache  Obereinkunfft,  als  welche 

die  Def.  (2)  erscheint,  wenn  namentlich  durch  die  Einführung  dw 

identischen  Null  mittelst  Def.  (2x)>  ein  derartiger  Erfolg  sich  erzielen 

lässt,  dass  durch  sie  erst  ein  einheitliches  Schliessen  und  Rechnen 

nach  unumschränkt  allgemein  gQltigen  Regeln  ermöglicht  wird  —  so 

ist  dieser  Umstand  ein  hinreichendes  Motiy  dafUr,  diese  Einführung 

zu  vollziehen,  so  rechtfertigt  dieser  Erfolg  wenigstens  nachträglich  die 

seiner  Zeit  bei  Aufstellung  der  Def.  (2)  anscheinend  bethätigte  Willkflr. 

Damit  der  Leser  auch  bei  den  im  uBchBten  Ftoagraphen  folgenden 
teilweise  subtileren  Betrachtungen  die  Veranschaulidiung  durch  die  bei- 
gegebenen Figureu  aUbald  verstehen  könne,  sei  wiederum  vorgreifend  gleich 
hier  bemorkt,  dass  ah  das  den  Gebieten  a  und  i?;  rjenicinsame  Gebiet  vor- 
stellen wird,  diibB  aber,  weuu  ein  solches  nicht  vorhanden,  dem  Prodvikt 
ab  der  Wert  0  zuzuschreiben  ist;  desgL  wu'd  a  +  b  dasjenige  Gebiet  be- 
deuten, in  welches  a  und  b  Muanmenßietsen  —  so  wie  es,  weiter  unten 
§  7,  fUr  Kreisflächen  a  und  b  die  Figuren  9^  und  9^  iichrafftrt  aufweisen. 
Es  hrau^i  hieoach  der  Leitfaden  der  Anscfsuung  nirgends  verlassen  zu 
werden. 

Wir  bringen  aber  im  %<?^rw/'  die  Veran^chanlicluuigon  alisielitlich  erst 
später,  um  eben  die  Anschauuug  nicht  solort  zur  Führerm  bei  den  grund* 
legenden  Betrachtangen  werden  zu  lassen,  vielmehr  derselben  die  Herr' 
schafb  vorzuenthalten  und  den  rein  aualTtisehen  Charakter,  die  formelle 
Strenge  der  auszoftthreuden  Schlüsse  in  den  Vordergrund  der  Aufmerksam* 
kelt  d*  s  Lesers  zu  rttcken,  um  diesen  die  ihnen  gebührende  Beachtung  zu 
sickern. 


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%  5.  JPtodnkt  nud  Siitiime. 


199 


Die  ganz  wenigen  und  nnbedeutenden  Wiederholungen,  zu  denen  nns 
die  befol'jte  Taktik  nöti^'t,  nir''ren  entsehnldiart  sein  mit  dem  Hinwois,  daus 
man  eben  boim  Gehen  zuweilen  auch  den  Bück  voraut»eilüu  lassen  muss 
nach  Ftuiktea  hin,  sn  welchen  selbst  man  erst  etwM  spSter  gelangt. 

6)  TbeoretD.  Die  heidm  SubaumHonm 

Gjah=^a,  ab=^b  |       6^)  u  =^a -r  b,  b  ^  a +  h 

gelten  für  alle  denkbaren  Werte  Ton  a  und  sie  gelten  als  aliffemeine 
Formdn. 

Beweis.  Nach  Prinaip  I  mOssen  wir  sngeben,  daes 

Dies  ist  zunächst  zweifellos,  weuu  a  und  h  wirkliche  Gebiute  vor- 
stellen, weil  wir  ja  für  alle  denkbaren  Gebiete  den  Satz  I  als  Grund- 
satz augeuommeu  haben. 

Fahren  wir  zuvörderst  unter  dieser  Annahme  unsem  Beweis 
za  Ende. 

Wenn  man  nun  in  vorstehender  Subsumtion  a) 

das  ah  Unkerkand  |        das  a  +  h  redUerkand 

mit  dem  c  in  (SJ"  resp.  (3^)"  identifizirt,  d.  h.  sich  ebendieses 
Gebiet  unter  dem  dortigen  c  vorstellt,  so  erkennt  man,  dass  die  Sub- 
sumtion a)  uucli  (o/'  mchts  anderes  aussagt,  als  dass  zugleich 

ab^^a,  ab'^b  \        a^a  +  b,  b^a-i-b 

ist.  wie  SU  beweisttL  war. 

Sollte  es  noB  aber  kein  eigentliehes  Gebiet  geben,  welches  unter 
dem  Symbol 

ah  I  a-{-h 

w  verstehen  wäre  —  eine  Frage,  deren  völlige  Erörterung  wir  bewusst 
auf  eine  spätere  Stelle  im  System  der  Theorie  verlegten,  so  ist  folgendes 
zu  bemerken. 

Wir  nehmen  den  Satz  der  Identität  „a  ist  a"  nicht  blos  für  die 
Gebiete  —  etwa  unsrer  ,.bevorzngten"  speziellen  Maniiiglaltigkeit  — 
sondern  wir  nehmen  ilin  auch  für  diejenigen  jeder  denkbaren  Mannig- 
faltigkeit, ja  HOtfar  ffir  allr^  /u  tb-nken  Mögliche  überhaupt  in  Anspruch. 
.4uch  för  ir^endweiche  Klassen  von  irgendwelchen  Individuen  mnss  er 
anerkannt  werden.  Jedes  Ding  oder  Objekt  des  Denkens  ist  es  selber, 
ist  das,  was  es  ist. 

Wir  dürfen  denmacii  verlangen,  dass  unser  i'unzip  I  auch  für 
^amiu  anerkannt  werde,  und  zwar  ohne  Rücksicht  darauf,  ob  dieselben 
eiaen  Sinn  haben,  oder  nicht   Dasselbe  gilt  uns  auch  für  sinnlose 


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200 


Dritte  Yorlesung. 


Namen.  Auch  „nichts  ist  nichts"  ()=^u,  ein  rundes  Quadrat  ist  ein 
rundes  (Juadrat  —  dürfen  wir  sa^en. 

Ancii  wer  solche  Behauptunfr  nicht  als  eclbstverstaiullich  hinnchmeu 
möchte,  wird  wenigstens  zugeben  mübsen,  dasß  tlieselbe  tinbukuklich  ist:  es 
kann  durch  hi^  kein  Irrtum  erzeugt  werden,  gerade  weil  es  „nichts^'  ist, 
worauf  sieb  die  Aussage  bezieht;  Uber  „nichts"  will  sie  eine  Information 
erteilen  und  cfaarakterisirt  sich  somit  als  eine  inhaltsleere. 

Nun  haben  wir  mittelst  der  in  den  Definitionen  (2)  und  (3)  ge- 
troffenen Übereinkunft  ansgemachi,  die  Symbole  0, 1,  a  •  6  nnd  a  +  ( 
untnr  allen  Umstanden  8u  den  „Gebieten''  nnsrer  Mannigfaltigkeit  zu 
rechnen,  sie  ndtigenfalls,  wenn  es  keine  eigentli^im  Gebiete  geben 
sollte,  welche  die  ihnen  beigelegten  Eigenschaften  besitzen,  als  „un- 
eigentlicbe''  Gebiete  —  meinetwegen  sinnlose  Namen  —  dieser  Mannig- 
faltigkeit  zuzuschlagen. 

Nach  dem  Vorausgeschickten  können  wir  also  auch  f&r  diese 
„Gebiete"  den  Satz  der  Identität  in  Anspruch  nehmen  und  darauf  die 
Überlegung  gründen,  durcb  welche  sieb  oben  der  Beweis  der  Theo- 
reme 6)  ergab. 

In  8  7  wird  sieh  übrigens  herausstellen,  dass  der  Fall,  wo  jenen 
Symbolen  der  Wert  0  zukommt,  in  der  That  der  einzige  Fall  ist  und 
bleibt,  in  welchem  sie  nneigentlicho  Gebiete  vorstellen.  Dies  ist  zudem 
auch  a  priori  klar.  Denn  entweder  pibt  es  ein  wirkliches  Gebiet,  welches 
rlie  Bedeutung  des  Symbols  ah  aufmacht,  oder  nicht.  Im  letztem  Falle  i^t 
(la>  als  Gebiet  hingestellte  Zeichen  ab  siuulos,  bedeutet  nichts  und  kann  U 
genannt  werden.    Analog  «  +     falls  es  ausarten  sollte, 

Dass  nun  auf  die  identische  Kuli  ebenfalls  das  Prinzip  I  anweudba,r 
ist,  also  0^0  sein  muss,  ist  —  zum  Überflass  —  schon  in  der  Def.  (2^) 
der  identischen  0  enthalten,  indem  die  Formel  0«^a  als  eine  allgemein- 
gültige auch  für  ein  die  0  bedeutendes  a  in  Anspruch  genommen  werden 
darf.  Auch  unter  diesem  Oesicht.-punkt  also  erscheinen  die  Subsumtionen  a), 
auf  die  unser  Beweis  der  Thenreme  (ly  bich  gründete,  selbst  dann  zulässig, 
wennrt?>  oder  a-¥h  uneigentliche  Gebiete  sein  sollten,  d.i.  eben  0  bedeuten. 

Endlich  würden  für  a&  =  0  diö  Subsumtionen  6^)  sich  auf  Grund 
der  Def.  (2^)  auch  nnmittelbar  verifiziren  lassen  —  vergl,  §  9,  ^)  — >  wo- 
gegen für  den  FaU  a  +  b  «  0  zur  fiewahrheitnng  der  Subsumtionen  6^) 
das  Theorem  24^)  konnte  herangezogen  werden. 

Nach  Tb.  6)  muss  im  identischen  Kalkül  mit  Gebieten  nun  — 
migMirt  wie  tn  der  ArWmetik  und  Zahlentbeoiie  —  gesagt  werden: 
das  Produkt  sei  stds  m  seinem  Faktor  (dem  ersten  oder  aueb  dem 
zweiten)  enthaUm;  und  es  muss  aucb  gesagt  werden:  der  Svmmanä, 
das  Glied,  sei  in  der  Summe  enÜwiUen,  — 

Mit  dem  Bisherigen  haben  wir  bereits  die  fonuUe  Grundtage  für 
einen  bedeutenden  (ersten)  Teil  des  Gebäudes  unsrerDiaziplin  gewonnen. 


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$  6.  Krituche  Utttertachmigen  Aber  die  gegebene  Definition.  ^  201 

Mit  den  gegebenen  Prinzipien  I,  II,  den  Definitiouen  (1)  bis  (3)  und 
den  Theoremen  1)  bis  6)  kommt  man  bereits  bei  den  deduktiTen 
Schlussfolgerungen,  welche  uns  obliegen,  bis  incL  der  Theoreme  25)  aus. 

Gleichwol  wollen  wir  an  .das  bisherige  noch  einige  —  etwas 
subtilore  —  BetrachtQOgen  unter  der  Überschrift  des  nächsten  Para- 
graphen anreihen,  welche  die  BestimmtiDg  haben,  eine  berechtigte 
Anforderung  zu  erfüllen,  einem  Erkeuutnissbedtirfniss  zu  genügen,  das 
meines  Erachtens  beim  Anblick  der  Definition  (3)  von  ab  und  a  +  b 
sich  aufdrängen  mnss.  Es  handelt  sich  um  die  Frage,  ob  die  in  (3) 
anscheinend  nar  fQr  die  einseitige  Verwendung  dieser  Symbole  als 
Prädikat,  respektive  Subjekt,  gegebene  Vorschrift  auch  deren  umge- 
kehrte Verwendung  regelt,  inwiefern  sie  also  wirklich  verdiente,  als 
die  viMänäige  Definition  von  Produkt  und  Summe  hingestellt  zu  werden. 

Es  werden  diese  Betrachtungen  noch  einige  an  sich  nicht  un- 
interessante Theoreme  und  neue  Formen  von  Definitionen  liefern,  die 
aber,  -wie  angedeutet,  späterhin  nicht  wesentlich  citirt  zu  werden 
brauchen,  die  im  Lehrgebäude  nicht  gerade  als  unentbehrliche  Stfltae 
erscheinen. 

Anfanger  mögen  also  ohne  Schaden  den  §  6  flberschlagen  und 
werden  dennoch  in  der  Lage  bleiben,  die  lotsten  Ziele  dieses  Buches 
erreichen  zn  können. 

Ich  denke  hiebei  speziell  an  den  immerhin  möglichen  und  ftlr  eine 

fernere  Zukunft  zu  erhoffenden  Fall  einer  Verwertung  unsres  Lehrganges 
für  den  Logik  Unterricht  in  Gymnasialprima.  DasL'lbst  diujrfiihrt  zu  werden 
ist  das  Huch  nicht  bestimmt,  vielmehr  wird  dasselbe  seinen  Zweck  er- 
reichen, wenn  Lehrer,  Philosophen  und  Mathematiker ^  es  würdigen. 

§  6.  Kritische  üntersuchungen  über  die  gegebene  Dellnltion. 

(CbtTächlagbar.) 

Zusatz  2  zur  De  f.  (3).  Unter  den  Voraussetzungen  der  Defi- 
nition (3)  hat  jedes  Gebiet  x,  derart,  dass 

X'^e  I  e^x 

ist,  die  gleiche  Eigenschaft  wie  e,  dass  nftmlich  anch 

x=^a   nebst  x^b        \  a^x  nebst  b=^x 

sowie 

x^ah  I  d-^-b^x 

ist.  Dies  ergibt  sich  einerseits  nach  (3j'  unter  zweimaliger  Anwendung 
des  Prinzi^ä  II,  und  andrerseits,  in  Übereinstimmung  damit,  auch 
Dach  (3)"  durch  einmalige  Anwendung  von  II;  nämlich,  um  es  genauer 

—  z.  B,  links  Yum  Mittelbtriche  —  darzulegen;  Aus  a;        und  c^^a 


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202 


Dritte  Vorleawig. 


folgt  x=^a,  desgleicbea  aoa  x^e  und  c=^b  folgt  X'^b,  und  ao« 
diesen  beiden  Ergebnissen  mnss  nach  (3^)'  selbst  (fOr  x  statt  e  in 
Anspraeh  genommen)  folgen:  x^ah. 

AndrerseitB  folgt  ans  x^e  und  e^ah  sogleieh  direkt:  x*^ah 
und  damit  nach  (S^)"  anch  X'^a  und  x^h* 

Mit  diesem  Zusatie  können  wir  non  die  Definition  (3)  an  folgender, 
nnr  änsaerlicli  etwas  komplisirter  eisebeinenden  Fonnnlinmg  susammen- 
fassen,  bei  der  wir  ebenfalls  Ton  Tomberein  sieber  sind,  dass  das  defi* 
nirte  Gebilde  als  „Gebiet"  existirt: 

7)  Tbeorem,  als  neae  Fassung  der  Def.  (3),  audd  m  ciUrm  als 
Definition  (4),  nnd  zwar 

7 J  Tb.  -  Def.  (4J  !         7J  Tb.  -  Def  (4,). 

Wenn  für  gegebene  a,  b  ein  c  existirt  derart,  dass  für  jedes  x,  für 
ueldies 

x-^c  I  c=^x 

isif  auch 

x^a  nebst  x^b        \         a^x  ndfst  b^^x 

sein  wirdf  dann  nnd  mir  dann  ist  man  berechtigt  eu  sagen,  es  sei: 
c^ab.  '  o  +  ^  =^  c. 

Beweis.  Da  nacli  I  c^c  ist,  so  ist  c  selber  ein  zulässiger 
Wert  des  X  und  muss  jedenfalls  auch 

c  =^a   nebst   c  =^  6,  a^e   nebst   b=^  c, 


somit  nach  (3,^)'  c=^ab 


somit  nach  (3^)'  a  +  b=^c 


sein.   Die  Umkehniug  ist  der  Inhalt  des  Torigen  Zusatzes. 

Der  SaebTerhalt  sei  einstweilen  schon  durch  die  Figur  Yerao- 
Bchaulicht: 


Zusatz  zu  Th.  7). 
jedes  y  derart,  dasa 


WS.T^ 


Unter  den  Bedingungen  des  Satzes  hat  wieder 


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i  6.  Kritische  Untennchnngen  Uber  die  gegebene  Definition.  203 


ist,  durchaus  die  gleiche  Eigenscbaft,  wie  0,  wie  leiobt  mittelst  II  zwie- 
fiUtig  zu  beweisen  ist. 

Anmerkung  zu  Tb.  7).  Daneben  mag  es  noch  solche  x  geben,  fUr 
welche  idwar 

X  nebst    x  =^b  |  a=^x    nebst    b  =^x 

ist,  ohne  dass  doch  zagleioh 

x^e  I  e^x 

wäre.  Im  allgemeinen  laasen  sieh  in  der  That  Gebiete  x  derart  angeben, 
welefae  an  c  in  einer  andern  als  der  dnrdi  vorstehende  Sabsnmtion  ana- 
gedrtlckten  Besiehung  stehen,  und  wird  es  der  Phantasie  des  Lesers  nicht 
schwer  fallen,  sidi  in  obige  Figuren  solche  Gebiete  x  eingetragen  an 

denken,  z.  B. 

links  einen  über  das  Zwoiock  c  hinaus-  rechts  einen  die  Kreise  n  und  h  zwar 
ragenden  oder  auch  ganz  auääüibalL  ganz  in  sich  schliessenden,  jedoch  von 
desselben  liegenden,  jedoch  noch  in  der  Zweieckftftche  c  noch  teilweise 
den  Kreis  a  sowol  als  den  b  gana  überragten,  vieUeieht  sogar  selbst  in 
hineinfallenden  kleinen  Ereis  x  das  Zweieek  c  hineinfallenden  Kreis  iP. 

Wir  mnssten  die  Def.  (4)  als  ein  Theorem  —  Tb.  7)  —  hinstellen, 
weil  dieaelbo  keine  willkfirliche  Festsetzung  mehr  den  Grundlagen 
onsrer  Disziplin  hinzufügte,  sondern  auf  Grund  namentlich  der  bereits 
getroffenen  Festsetzung  (3),  sich  als  eine  notnoendig  mitgeltende^  gleich- 
berechtigte  Form  ebendieser  Del  (3)  nachweisen  lieaa. 

Diese  Fom  ist  freilich  weniger  etnftdi  als  die  frühere,  nnd  es 
h&tte  keinen  Wert,  die  einfachere  Fassang  der  Definition  in  eine  ver- 
wickeltere,  komplizirtere  umzuwandeln,  wenn  diese  nicht  durch  ihre 
Analogie  mit  den  noch  fehlenden,  den  ausstehenden  beiden  Definitionen 
uns  das  Material  zu  interessanten  Vergleichen  lieferte. 

Inzwischen  verlohnt  es  noch,  zu  sehen,  dass  und  wie  man  von 
Def.  (4)  zur  Def.  (3)  auch  zurück^^elangen  kann. 

Ich  will  dies  nur  für  die  Sätze  Jinis  vom  Mittelatriche  zeigen. 
Wir  mö2;en  die  Def.  (4J  auch  so  in  Worte  fassen:  Die  Redensart 
„c  sei  in  ah  enthalten",  m.  a.  W.  die  Subsumtion  „c^ah'^  heiaat: 
jedes  in  r  enthaltene  x  ist  auch  in  a  und  in  h  enthalten. 

Da  nach  T  c  selbst  ein  solches  x  ist,  nuiss  nun  die  ADnalirae 
c^ah  auch  die  beiden  Subsumtionen  c=^a  und  c=^b  nach  sich 
ziehen,  womit  [ß^)"  g;ewonnen  ist. 

Bleibt  nur  noch  das  Uuigekelirte  zu  zeigen,  d.  b.  (3^)'  abzuleiten. 

Sind  die  Voraussetzungen  c  ^  a  und  c  =^b  n;leichzeitig  erfüllt,  so 
muss  nach  der  erstem  jedes  in  c  enthaltene  x  (für  welches  also  x^c 
ist)  nach  II  auch  in  a  enthalten  sein  (für  dasselbe  auch  x=^a  sein). 
Ebenso  muss  nach  der  zweiten  Voraussetzung  jedes  in  c  enthaltene  x 


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204 


Dritte  yorlesong. 


auch  iu  b  eDtbalton,  für  x  ^  r  auch  j:  sein.  Nach  beiden  Voraus- 
setzangen  susammeu  wird  also  jedes  in  ^  •  Tithalieue  x  zugleich  auch 
in  a  und  in  h  enthalten  sein,  wonach  die  Def.  (4^)  ersichtlich  an- 
wendbar ist,  und  nach  dieser  c^ah  zu  sagen  sein  wird.  Damit  ist 
dann  auch  (S^V  und  sohin  die  ganze  Def.  (3)  gewonnen. 

Mit  Def.  (3)  aowol  als  Def.  (4)  erscheint  auf  den  ersten  Blick 
immer  noch 

das  Produkt  nur  als  Prädikat    |     die  Summe  nur  als  Subjekt 

allgemein  definiri  Gleichwol  zeigt  sieb  leicht,  daas  damit  doch  auch 
für  die  Verwendung 

dus  l'iodults  als  Suhjclt        '        der  Stimme  als  Frädüiai 
schon  in  «gewissem  Grade  präjudizirt  ist. 

In  der  Tliat  ist  dies  wenigsteus  in  den  Beispielen  der  Subsumtionen  a) 
des  vorigen  ?aragT;ii>hen,  sowie  des  Theorems  6),  also  bei: 


ab  n 

b 


a 
h 


augenscheinlich  der  Fall.  Und  diese  Bpl-^piide  bleiben  auch  nicht  die 
einzigen;  vielmehr  könnten  wir  sogleich  den  Zusatz  beifügen:  So  oft 
etwa  noch 

a  ^  U    oder    h  =^  i/  |  y  oder    U  ^b 

sein  sollte,  muss  nach  II  anch 

gelteOf  und  diese  Subsumtionen  würden  eb^i&Us  die  umgekehrte  Verwendung 

exemplifiziren. 

Dass  aber  auch  gom  aVgmem  die  Definition 
des  ^oävkts  als  Subjekt       \       der  Summe  als  PtäicKkat 

zurückgeführt  werden  kann  auf  die  für  die  triditMe  (hiezu  umgekehrte) 

Veiwoiidun;^  bereits  i^'ej^ebone  Def.  (3),  da^s  sie  durcli  diese  tölli(/  niit- 
gegcbeii  ist,  erjribt  sicli  aus  folgender  Betrachtung,  die  wir  iu  die 
Form  zweier  Lelirsiltze  kleiden. 


Theorem.  Soll 


(8J'  Theorem.  Soll 
abs^e 

ffelim,  80  muss  ßr  jedes  x,  für  wekihes 

X  =^ah  I  o  +  2>  ^  A* 

ist,  auch  sein: 

X  =^c.  I  c  =^x. 

Beweis  direkt  ans  II  durch  nur  einmalige  Anwendung  dieses 


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§  6.   Kritische  Untersuchuugen  über  die  gegebene  Definition. 


205 


Prinzip«,  das  in  der  Tbat  ans  den  beiden  YoranMetcangen  —  linkerhand 
a.B.  ans  x^ah  und  ah^^c  ^  nnmittelbar  uns  die  Bebanptang  liefert 


8+)"  Theorem.  Wem  ßyjalcs  x, 
ßr  wddtes  a-hh^^x  isi,  auck  e^x 
sein  musSf  so  wird 

e=^a  +  b 


8  J"  Th  eor  e  m.  Wenn  für  jedes  x, 
filr  mUhes  x^ah  ist,  (mh  X'^c 
sein  mms,  so  wird 

ah 

gu  gelten  haben. 

Beweis.    Nach  I,  nämlich  wegen 

ah^ah^  \  a  +  6     a  +  6, 

ist  ja  dann  ab  resp.  a  +  5  selber  ein  lulSasiger  Wert  des  x.  — 

Hienadi  ist  klar,  dass  wir  «fe/Snütoi» weise  zu  sagen  haben  werden, 
es  sei 


ah^e,  wenn  fOr  jedes  x,  welches 
^äb  ist,  auch  x^e  sein  wird. 


wenn  fSr  jedes  4?,  wo* 
fOr  a  +  ist,   auch  c^x 

sein  mnss. 

Ersetzen  wir  hierin  die  Forderung  x^ab  resp.  a-\'h^x  dnrch  das- 
jenige, was  sie  nach  Def.  (3)  bedeutet^  so  erhalten  wir  folgende  Fas8uti<r 
der  noch  ansstehenden  Definition,  die,  wenn  man  sie  auch  selbständig 
als  eine  solche  von  Tomherein  l^tte  hinstellen  kdnnen,  doch  dermalen 
wesentlich  wieder  als  Theorem  zu  bezeichnen  ist 

9^)  Theorem,  auch  su  citiren  |  0^)  Theorem,  aucJi  su  cUirm 
als  De fuiiti DU  [p^).  j  als  Definition  (5^). 

Wenn  für  gegebene  a,  h  ein  solches  c  existirt,  dass  für  jedes  die 
^edingtüi'jcn 

hegSgluh  gLachseiUg  erßUiende  x  atwA  stets 

x^e  I  e^x 

is^,  so  (d.  h.  immer  dann  und  nur  dann)  ist  jm  sa^en,  es  sei: 

ab=^c.  I  c=^a  +  b. 


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206  Dritt«  Yorleflimg. 

Der  Sinn  auch  dieser  Erklärung  mag  durch  eine  Figur  erläutert 
werden,  in  welcher  sich  die  vorausgesetzten  BediDguDgen  hinsichtlich 
der  Gebiete  a,  b,  c  uud  wenigstens  eines  bestimmten  x  verwirklicht 
iceigen  (Fig.  8^  u.  Fig.  8^.).  Es  bedeuten  a,  h,  x  Kreisflächen  und  e 
das  „Bilineum",  die  von  den  zwei  Kreisbogen  begrenzte  Fläche. 

Zusatz  1  zu  T  h.  9).  Unter  diesen  Bedingungen  hat  jedes  y  derart,  dMS 

ist,  durchaus  die  i^eiohe  Eigenschaft  wie  6,  wie  leicht  nach  II  auf  zwei 

Arten  zu  beweisen. 

Zusatz  2  zu  Th.  9).  Nach  Def.  (2)  existirt  in  Gestalt  von  1  resp.  0 
sicher  mindestens  ein  f ,  welches  den  Voranssftzuugeu  der  Def.  (5)  genttgt, 
gleichwie  auch  in  Gßstalt  von  0  resp.  1  nuudeätens  ein  x  der  dabelbbi 
Terlangteu  Art  angebbar  ist 

Anmerkung  1  sa  Th.  9).  Daneben  mag  es  noeh  soldie  %  geben, 
Ibr  welche  swar 

ist,  ohne  dass  jedoch  zugleich 

wäre,  und  in  der  Thut  wird  in  die  Figur  die  Phantasie  des  Lesers  mit 
Leichtigkeit  solche  Flächen  x  einzeichnen. 

Anniorkung  2  zu  Th.  9).  Sehr  wichtig  ist  die  Bemerkung: 
Das  Theo)  t  tu  h)  den  voricfcn  Paragraphen  folgt  ebensogut  aus  d&'  Def.  (oj, 
wie  an6  der  (3J. 

Denn  für  jedes  x,  för  welches 

x=^a   nebst   x  =^b         \         a«^x   nebst  b'^x 

gilt  selbstTefstSndlick  doch 

xt^a  I  a^^x 

—  im  Grande  nach  1,  für  Aussagen  in  Ansprach  genommen,  Tcrgl. 
Anmerkung  su  L  Indem  man  also  unter  dem  c  der  Def.  (5)  sich  a 
▼orstollt,  erkennt  man,  dass  nach  dieser 

sein  muss  —  und  älmlieh  tür  h.  — 

Vergleichen  wir  die  Formen  (4)  der  Def.  (3)  und  die  Def.  (5), 
nämlich  die  beiden  Theoreme  7)  und  9)  miteinander,  so  tritt  eine 
weitgehende  Übereinstimmung  derselben  zutage. 

Der  Unterschied  beider  Theoreme  besteht  nämUch  ganz  allein 
darin,  dass  die  Zeile  mit  der  Subsumtion 

X  =^c  I  c^x 

und  die  Zeile  mit  den  Subsumtionen 

x^a,  x^b  I  ü'^x,  b'^x 


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I  6.  Kntisclie  üntenachmigeii  Aber  die  gegeben«  Defiaitioii. 


207 


im  einen  Theorem  dem  andern  gegenflber  Tertanscht  erscheint;  d.  h. 
m  der  ßuaammengesetgten  Voraussebaufig  eines  jeden  der  beiden  Theoreme, 
welche  selbst  die  ErfQllnng  einer  Bedingung  an  das  £rfQlltsein  einer 
zweiten  Bedingung  knOpft,  mnsa  man  jenes  Bedingt  mit  dieser  Be- 
dingung Tertanschen,  um  das  andre  Theorem  daraos  an  erhalten  — 
man  mnss  nicht  das  Theorem,  wohl  aher  dessen  Toranssetaong 
„umkehren". 

Wir  hätten  nnn  allerdings  anstatt  der  Definitionen  (3)  oder  (4) 
auch  die  Definition  (5)  als  solche  an  die  Spitze  der  ganzen  Theorie 
stellen  können,  woraus  sich  sofort  auch  das  Th.  6)  —  wie  in  Anm.  2 
zu  Th.  9)  gezeigt  —  mitergeben  haben  wflrde. 

Es  wire  dann  ah  und  a  +  5  auch  wieder  nur  f&r  die  einseitige 
Verwendung  definirt  erschieneni  aber  diesmal  f&r  die  umgekehrte  wie 
froher,  znnichst  nämlich  wäre  ab  nur  als  Subjekt  und  a  +  &  als 
Pfidikat  erklärt 

Für  die  andersseitige  Yerwendui^  dieser  beiden  Symbole  (nämlich 
fttr  die  Ton  ah  als  Prädikat  und  a  +  5  als  Subjekt)  könnte  dann  die 
Begriflserklärung  wieder  leicht  auf  die  Torherj^aliende  surOckgef&hrt 
'werden  kraft  zweier  Theoreme  —  naheliegender  Analoga  zu  Th«  8)' 
und  8)"  —  die  wir  zunächst  aussprechen  und  beweisen  wollen. 


10^)  iheorem. 


Soll 


lOjJ'  Theorem.  Soll 
c  =^ab 

gdten,  so  muss  ßr  jedes  x,  ßr  wekhes 
ah^x  I 

ist,  awk  sem: 

e^x,  I 
Beweis  direkt  aas  Prinzip  II. 

Und  umgekehrt: 

lO^)"  Theorem.  | 
Wem  für  jedes  x,  für  welches 
ab'^x  \  ' 

isi,  audi 

e^x  I 
sein  muss,  so  wird  eu  sagen  sein,  es  sei 

c=^ab.  I 

Beweis  nach  I,  da  al.sdann  auch  ab  resp.  a  +  6  selbst  ein  solches 
X  ist,  welciies  die  Bedingung  und  folglich  auch  die  Behauptung  der 
Voraussetzung  erfüllt. 


lOJ"  Theorem. 

x^a-^b 
xs^e 

a  +  b  =^c. 


d  by  Google 


enthaltende  x  anch  c  enthalten 
mu8s. 


208  Dritte  Torlesaiig. 

Hicnach  würden  wir  also  deßnitmisw eise  zu  sagen  habeUj  es  sei 
c^  ab  alleiu  dann,  wenn  jedes  ab  1  a+6<^c  dann  allein^  wenn  jedes 

in  a  +  h  enthaltene  «  auch  in  e 
enthalten  sein  mnss. 

Eraetsten  wir  nunmehr  in  diesen  Festsetzungen  die  Bedingung 
äb^x  resp.  X'^a  +  b  durch  dasjenige^  was  sie  nach  Def.  (5)  oder 
Th.  9)  bedeutet;  wobei  indess  in  letzterem  an  Stelle  des  dortigen  x 
sur  Unterscheidung  ein  andrer  Buchstabe,  wie  verwendet  werden 
mfisste  (weil  x  bereits  mit  einer  andern  Bedeutung  YorgekommeUi  nicht 
mehr  verwendbar  erseheint),  so  erhielten  wir  endlich  die  noch  aus- 
stehenden  beiden  Definitionen. 

Diese  aber  —  obwol  im  Grunde  notwendig  äquivalent  der  Def.  (3) 
und  dasselbe  leistend,  nämlich  mit  Hülfe  des  SubsumtionsbegrifBi  die 
Bedeutung  von  ah  als  Prädikat  und  von  a-hh  als  Subjekt  erklSrend 
—  wQrde  sich  doch  dem  Wortlaut  nach  mit  Def-  (3)  durchaus  nicht 
decken.  Bei  weitem  nidit  so  dnfach  wie  letztere  würde  sie  sogar 
noch  erheblich  verwickelter  sich  darstellen  als  die  Def.  (4)  in  Th.  7), 
indem  sie  noch  weitere  bedingte  Bedingungen  in  ihre  Bedingungen 
eingefügt  zeigte.  Wir  wollen  sie  hier  gar  nicht  in  Worte  fassen, 
sondern  sie  höchstens  in  der  konziscreii  FornicLspruclie  des  Aubsagen- 
kalkuls  —  als  ein  Ivuriosnm  —  darstellen  [§  32,  tc  .  .  o)]. 

Ihrerseits  niüsbte  nie,  als  die  ursprüngliche  Definition  zuijjrunde 
gelegt,  kraft  Th.  10)  uns  noch  eine  abermals  erheblich  verwickeitere 
Fassung  der  Def.  (;"))  liefern;  diese  wieder  könnte  in  demselben  Sinne 
weiter  verwendet  werden  und  öo  ohne  Ende  tort  innner  verwiekelter. 

Wir  müssen  ja  nun  im  Gegenteil  nach  möglichster  Ycreinfadmug 
der  grundlegenden  BetrriÜserklärungen  streben. 

Da  haben  wir  (ienu  als  eine  bemerkenswerte  Thatsache  zu  kon- 
statiren,  das.^  tlic  l)(f.  (5)  [von  ah  als  Subjekt,  etc.j  —  ungeachtet 
ihrer  Analogie  zur  Def.  f4)  [von  (ih  als  Prädikat  etc.]  —  durrhaus 
nicht  einer  analoijcn  Vereinjacimng  fähig  ~h  ^rin  scfteinf,  wie  die  letztere  (  i i, 
[welche  wir  ja  in  die  einfachere  Fassung,  Def.  (3),  zusammenziehen 
konnten]  —  wenigstem  nicht,  ohne  ihren  Charakter  [dass  sie  ab  als 
Subjekt  drfinire,  etc.]  daltci  zu  verlieren. 

Wollte  man  gleichwol  das  Tti.  f<)  als  Def.  (5)  an  die  Spitze  stellen, 
so  würde  sich  zwar  sehr  leicht  der  eine  Teil  (3)"  unsrer  früheren 
Def.  (3)  —  nunmehr  als  Lehrsatz  —  auf  Grund  des  bereits  aus  jener 
dcduzirten  Theorems  6)  beweisen  lassen.    In  der  That  aus: 
c^ab   und    ah^a  folgte       i  a  +  fea^C    und    a=^a4-ft  folgte 
c^a  und  ähnlich  auch  c ^ fr.  j  a^e  und  ahnlich  auch  b^c* 


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§  6.    Kritische  Untersachungen  über  die  gegebene  DefiuitioD. 


209 


Dagegen  würde  die  Ableitnog  Ton  (3)'  aas  Def.  (5)  eine  etwas  höhere 
Anfordemog  an  das  abstrakte  Denken  stellen. 

Ich  will  diese  Ableitung  nur  för  dieSatae  zur  Linken  desMittel- 
itricbes  darlegen. 

Wir  können  die  Def.  (5^  auch  so  in  Worte  fassen:  Die  Redens- 
srt:  „e  enthalt  ah"  —  in  Formel:  „ab^e**  heisst:  jede$  in  a  md  b 
gugleich  enthaltene  x  ist  auch  in  c  enthalten. 

Auf  diese  De£  ist  nun  die  Erklärung  der  andern  Bedensart:  „e 
i8t  in  ab  enthalten^  oder  „c  =^  ab"  zurücksufllhren  mittelst  des  Th.  10^) 
—  wonach  ebendieses  heissen  wird: 
jedes  ab  enthaltende  x  (jedes  Xf  welches  ab  enthält)  muss  auch  e 

enthalten. 

Fügt  man  in  diese  Erklärung  ein,  was  die  (in  der  Klaromer  wieder- 
hulte)  Voraussetzung  ,,jt:=^ah"  nach  der  vorhergehenden  Erklärung  (.5^^ 
bedeutet,  indem  man  das  durtif^e  c  mit  x  identifizirt,  und  für  den  hier 
bereits  aiulerweitii^  vergebenen  Buclistab<'ii  j-  einen  andern,  t/,  gebraucht, 
so  erpbt  sieh  als  die  auf  Def.  (5^)  zu  gründende  Erklärung  von  ab 
als  i'iädikat  die  folfronde; 
„c  ^  ab"  heisst:  jeiks  x,  aelchem  jedes  in  a  und  b  enthaltene  y  ein- 
geordnet islj  mnüti  audi  c  enthalten. 

Auf  Grund  dieser  Definition  ist  nun  zu  zeigen,  dass  wenn  c=^a 
und  c=^b  ist,  auch  c=^ab  sein  muss. 

Gesetzt  nun,  es  sei  wirklicli  r  =^  ^/  und  /ugleieli  c^b. 

Daun  ist  c  selber  ein  solches  in  a  und  h  entlialtenes  y. 

Es  ist  nun  zu  zeigen,  dass  jedes  u,  \velchem  jedes  in  a  und  b 
enthaltene  tj  eingeordnet  ist,  auch  c  enthält. 

Sei  r  irgend  ci»  (lehiet  ,  welchem  jedes  in  a  und  b  enthaltene  y 
»  in jL'orduet  ist.  bo  ist  diesem  x  auch  das  vorhin  erwähnte  y,  welches 
einerlei  mit  c  war,  eingeordnet,  oder  es  muss  dasselbe  x  aucli  r  ent- 
halten. Unter  den  genannten  Voraussetzungen  (c=^a  und  r^h)  trilft 
demnacli  die  letzte  Delinition  zu  und  sind  wir  berechtin;t  zu  sai»'en,  ps 
sei  c^  ab  —  womit  nun  auch  (3 gewonnen  und  die  ganze  Def. (^x) 
aus  der  (öj  abgeleitet  ist. 

Aus  alledem  geht  hervor,  dass  es  zwar  praktikabel,  doch  jeden- 
falls nicht  vorteilhaft  ist,  den  vun  uuä  zurückgelegten  Weg  im  ent* 
gegen  gesetzten  Sinne  zu  durchlaufen. 

Allerdings,  sobald  für  ab  resp.  a  +  b  die  Art  und  Weise  der  Ver- 
wendung —  sei  es  als  Subjekt,  sei  es  als  Prädikat  —  vorgeschrieben 
ist,  erscheint  damit  von  selbst  auch  die  Verwendung  in  dem  umge- 
kehrten Sinne  geregelt   Welche  ron  den  beiden  Verwendungs weisen 

HcmMoMBt  Algsbra  d«r  Logik.  1 4 


210  Dritte  Vorlesung. 

wir  aber  als  die  ursprüngliche  Definition  zoent  festlegen,  ist  deshalb 
doch  nicht  gleichgültig,  sondern  das  in  {  5  eingeschlagene  Verfahren 
Tonuuehen. 

11^)  Theorem.  |  11^)  Theorem. 

Es  gibt  nun  ein  ^yGchiel"  c,  welches  die  Forderung  der  Definitionen 


(3^)  oder  (4+)  und  (5^),  d.  i. 
7J  und  9^) 


(3^)  oder  (4J  und  (r>^\  d,  i. 

glMi2eitig  erfüllt  für  dieselben  (irgendwie)  gegebnen  Gebiete  a,  h. 

Da  für  dieses 

e^ab  und   ab=^c       \     a  +  h^e  und  ö^a-¥b 

zugleich  sein  wird^  so  ist  dasselbe 

e  —  ab  I  c»a  +  5 

selbst  SU  nennen. 

Zusatz.  Es  Jcarm  jedenfdlh  mar  ein  wfeAes  e  ffeben* 
Denn  wäre  auch  noch  e'  ein  solches,  so  folgt  ebenso: 

c  =  ab  I  c'  =  a  + 

und  damit  nach  Th.  4)  c'  =  e. 

Boweis  des  Theorems.  Dieser  besteht  in  der  Verbindung  zweier 
Überlegungen,  von  denen  die  eine  —  allerdings  modifiKirt  —  unter 
Th.  6)  schon  einmal  angestellt  worden  ist.  Er  möge  demimgeachtet 
hier  (f-.inz  xmn  Bewusstsein  gebracht  werden.  —  Wie  scheu  erwähnt^ 
sind  nach  I  die  Formeln 

ft)  ab  ==^ab  \  a  +  b  =^  a  +  b 

als  gflltige  anzuerkennen.  Nach 

Tb.  9 J  wenn  das  ab  rechts  in  a)  |    Th,  9^)  wenn  das  a  +  b  links 

mit  e  in  Gedanken  identifizirt  wird,  erkennt  man  aber,  dass  die  obige 
Aussage  a)  den  Inhalt  hat,  dass  jedes  x,  für  welches 

a   nebst   x=^b         |         a=^x   nebst   b  =^x 
ist,  auch  die  Forderung  erfüllen  muss: 

x=^ab  "I  a-i-b^x, 

Da'je<rf>n  nach 

Th.  7x)  wenn  das  ab  linkerhand  |  Th.  7^)  wenn  das  a+(  rechterhand 

in  a)  mit  dem  e  daselbst  identifizirt  wird,  sagt  ebendieser  Satz  «)  aus, 
dass  umgekehrt  jedes  x,  für  welches 

x^ab  I  a-\-b^x 

ist,  auch  die  Bedinj^unf»  erfüllen  wird 

X  =^a   nebst   x=^b        \        a=^x   nebst  b=^x. 


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§  7.  Dentniig  von  0,  l,  ab,  a^b  als  Gebiete,  tieb»t  PMtnlateo.  211 

DieB  alles  ist  auch  direkt  nach  Def.  (3)  ersichtlich.  —  Das 
Symbol  ah  resp.  a  +  b  ist  demnach  in  *der  That  selbst  dasjenige 
,,6ebiei^  welches  die  YorauHseteimgen  der  als  Theoreme  7)  und  9) 
ausgesprochenen  Definitionen  gleichzeitig  eifBlli 

Äüf  Grund  der  yorstehenden  Überlegungen  können  wir  nun  sagen : 
Die  Operaiwnm  der  identischen  MuUiplikaiion  und  Addition  sind 
niemals  undeutig  nnd  niemals  mehrdeutig,  vielmehr  unbedingt  ausfuhr- 
har  und  eindeutig  —  oder,  wie  ich  zusammenfassend  es  ausdrücken 
will:  sie  sind  „vollkommen  eindeutige^'  innerhalb  der  durch  Zu/.ug 
der  Symbole  0,  1,  ah,  a  +  6  vielleielit  erweiterten  Mannigfaltigkeit 
von  „Gebieten". 

Dada  ab  iu  dar  Thut  eines  Wertes  nie  ermangeln  kann,  wenn  man 
schon  den  Namen  ab  selber  als  „Werf'  gelten  Ittrat,  erscheint  selbst- 
▼erstSndlicfa:  eine  solche  Definition  verbfUgt  sugleich  die  Exbtenz  des  Defi- 
nirten.    Da^s  ah  nicht  mehrere  Werte  haben  kami«  seigte  der  Zusatz  zu 

Th.  11).    Aualüx'  bezüglich  des  a  ■{  h. 

Worauf  es  hier  besonders  ankam,  war:  zu  .-oben,  dass  die  Aufnahme 
der  neuen  Symbole  unter  diu  „Gebiete"  im  U runde  schon  dadurch  volhogen 
wurde,  daas  man  das  Identitütspriuzip  I  auf  sie  anwendete,  beziehungsweise 
ausdehnte. 

Indem  man  nunmehr  fUr  e  sogleich  den  Namen  ah  resp.  a  +  h 
gebrauchte,  würden  die  beiden  Theoreme  7)  und  9)  augenscheinlich 
SU  einem  Satze  susammenfliessen,  der  sich  völlig  deckt  mit  der  alten 
Definition  (3)  —  nur  dass  es  jetzt  „jedes  a:"  anstatt  des  dortigen 
„gewissen''  e  hiesse. 

Dergestalt  im  Ringe  herum  gegangen  kämen  wir  somit  wieder  zu 
unaerm  Ausgangspunkte  zurück. 

Diesen  Satz,  Def.  (3),  stellt  Herr  Peirce  ein&ch  als  j^Definition" 
▼Ott  ah  resp.  a  +  h  hin. 

Dass  er  aber  solche  Definition  nicht  blos  für  die  einseitige  Ver- 
wendung Ulis  major  resp.  minor)  sondern  in  der  That  vollständig  ent- 
hält —  dies  durch  die  hier  gegebene  Zergliederung  nachgewiesen  zu 
haben,  dürfte  wol  nicht  überflüssig  gewesen  sein.  — 

§  7.  Deutung  von  0,1,       a  +  (  als  Oeblete  nebst  ingobörigen 
Postnlaten.   Konaistente  MianniglUtlgkeit. 

Wir  schreiten  jetzt  dazu,  das  im  Bisherigen  abstrakt  Dehuirte  zu 
veranschaulichen,  zu  deuten. 

Solange  es  uuuntersucht  gelassen  wird,  ob  es  „ei<:!;eutliche"  Gebiete 
gebe,  welche  die  von  den  Symbolen  0,  1,  ab,  a  +  h  geforderten  Eigen- 
scbaiten  besitzen,  konnten  wir  sagen ,  dass  unsre  Definitionen  die 

J4* 


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212 


Dritte  Vorlesung. 


Existenz  des  Definirten  insofern  verbtlrgen,  als  sie  es  gswissennassen 
selber  erzeugen  oder  sehoplerisdi  einf&hrra. 

Sobald  wir  aber  jenen  unter  die  ^Gebiete''  aufgenommenen  Sym* 
boten  eine  Bedeutung  unterlegen,  behaujrten,  dass  es  der  Anschauung 
zugängliche,  wirkliche  Gebiete  gebe  Ton  den  besttglichen  Eigenschaften, 
ßigm  wir  unsern  Definitionen  gewisse  FosMate  hmmt,  wir  stellen 
Forderungen  Aber  Gebietnaehweise  als  allgemein  erfiilllbare  hin,  bezüg- 
lich deren  wir  uns  lediglich  auf  die  Anschauung  zu  berufen  yermdg^. 

Ganz  allein  bezüglich  der  Null  werden  wir  solchen  Nachweis  als 
nicht  ausführbar  erkennen,  und  darf  ich  die  Konstatirung  des  Gegen- 
teils wol  für  den  Augenblick  als  ein  „negatives''  Postulat  bezeichnen. 


(Ux))  Negatives  Postulat. 
Es  gibt  kein  eigentliches  Gebiet 
von  den  Eigenschaften,  welche  Def. 
(2^)  dem  Symbole  0  auferlegt.  Es 
lassen  sich  uäuilicli  (jdudv  angehen, 
die  einander  ansüchltcsscti*),  soge- 
nannte ,.<iisju)ili&^  Gebiete,  die  kein 
Element  jjjemein  haben.   Da  die  0 
in  jedem  Gebiet  enthalten,  allen  ge- 
meinsam sein  .soll,  so  kann  sie  nur 
ein  „leeres"  (iebiet  sein,  welches 
lein  Element  der  Manuigi'aiiigkeit 
enthillt.  Trot/deni  als  ein  .  Gebiet" 
derselben  eliarakterisirt,  kann  die 
Null  auch  nichts,  was  etwa  ausser- 
halb der  Mannigfaltiiikeit  lä-je,  ent 
halten,  sie  kann  nur  dt  in  lir^rilb' 
des  „Nichts"  entsprechen.  Nach  Ad- 
jungirung  des  letzteren  ist  in  der 
That    dem   Sprachgebrauch  ent- 
sprechend zu  sa^'eu:  Jedes  Gebiet 
entliält  seine  eigenen  Teile  sowie 


(il^.*)  (  Positives)  Postulat. 
Die  Elemente  (und  (»ebiete)  der 
Mannigfaltigkeit  [seien  resp.j  sind 
miteinander  alle  verträglich,  sodass 
wir  vermögen,  die  Manmylaltiglceit 
als  ein  (ünucs  z«  dcnlen.  In  dieser 
ist  danu  jedes  Gebiet  derselbeu  ent- 
halten —  einschliesölich  des  ad- 
jungirten  Nullgebietes  —  gemU.ss 
den  Anlorderunt^en  und  hin- 

dert nichts,  sie  selbst  als  das  grösste 
der  in  ihr  enthaltenen  Gebiete,  als 
ein  wirklichf  s(  rebietzu  bezeichnen. 
Dieses  bildet  nun  die  demSymbole  1 
zukommende  iknii  iitinitr.welches so- 
nach dem  Begritle  „des  Ganzen"  oder 
,.Alli  s'^  innerhalb  der  Vorausgesetz 
ten  Mauoigfaltigkeit  entspricht 


Elemente  und  sonst  .,7iich(s 


Dm 


Null|i;ebiet  wird  so  von  den  einge- 
führten das  einzige  uneigentliche 
oder  tingirte,  eingebildete,  angeb- 
liche Gebiet  bleiben. 

*)  Die  hier  kursiv  gedruckten  Worte  bilden  dCD  i^OHitiven  Inbalt  auch  dieses 
Postulates,  «ie  sprechen  die  Forderang  auB,  der  man  eben  faktisch  genügen  kann. 


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I  7.  Oentimg  von  0, 1  als  Gebiete.  Eonsuttente  Mannigfaltigkeit.  213 

Als  Postulat  ist  ((1^))  eigentlich  nur  danu  zu  bezdcbnen,  wenn 
der  Sats  för  eine  bestimmte  Mannigfaltigkeit  in  Anspruch  genommen 
wird  —  wie  z.  B.  für  diejenige  der  Punkte  der  Tafelfläche.  Es  gibt 
nämlich  auch  Mannigfaltigkeiten,  bei  Jenen  das  Postulat  ((1+))  nicht 
erfüUbar  ist,  und  solche  finden  wir  ausschliesslich  vai  getsÜgem  Qehiete, 
im  Bereich  der  Lehren,  Meinungen  und  Behauptungen.  Es  gibt 
Meinungen  und  Behauptungen,  auch  Anforderungen  oder  Bedingungen, 
die  miteinander  unvereinbar  sind. 

Beispielsweise  der  Satz:  „die  Funktion  f  (x,  y)  ist  symmetriBch" 
läsat  deh  mit  dem  Satze:  ,,die(8elhe)  Funktion  f  {aß,  y)  ist  nicht  aym- 
metrisch"  unmöglich  sn  einer  Mannigfaltigkeit  der  früher  gedachten 
Art  Tereinigen,  oder  mit  Tielleicht  noch  anderen  Sätzen  in  wmer  als 
Ganses  denkbaren  Mannigfaftigkeit  zusammenfasseD,  gemeinsam  unter» 
bringen.  Da  diese  beiden  Sätse  —  jeder  emedne  (üs  guU^  oder  erfUlU 
amgqwmmmf  als  ^aMefi  kkigeai^  —  einen  Wukngprudi  inTolriren, 
da  sie  m.  a.  W.  miteinander  „unTerträglicV  erscheinen,  yermag  der 
menschliche  Geist  nicht,  de  zu  Tereinigen;  wir  kdnnen  immer  nur  den 
emen  oder  aber  den  andern  dieser  beiden  Satze  gelten  lassen. 

A  priori,  Ton  Tomherein,  ist  ((1^)  daher  nicht  sowol  ala  ein 
„Postulat^'  sondern  rielmehr  als  eine  Varausseteung  oder  Annahme  zu 
qaalifiziren,  durch  welche  die  zu  betrachtende  Mannigfaltigkeit  dia> 
rakterisirt  wird  als  eine  Jconsistente  Mann^fäUigßxH^,  deren  Elemente 
sämtlich  miteinander  verMigUi^  sind  —  im  Gegensatz  zu  den  „ntkonsi- 
stenien  Mannigfaltigkeiten",  deren  Elemente  nioki  aUe  v&iräglkh  sind 
miteinander.  Auf  diesen  SachTcrhalt  sollte  oben  schon  das  in  eckige 
Klammer  gesetzte  [seien  resp.]  Torrichtig  hinweisen,  (Yergl.  hiezu 
§  31,  Füssnote.) 

Um  das  Gebiet  1  zu  reranschanlichen,  mflssten  wir  die  ganze 
Bild-  oder  Tafelfl&ehe  schraffiren;  die  Yeranschanlichung  des  Null- 
Gebietes  ergäbe  sich,  wenn  wir  sie  ganz  leer  Hessen,  nichts,  auch 
eine»  FtmH  in  sie  einzeichneten  und  sagten,  das  Eingezeichnete  eben 
sei  das  Nnllgebiet 

Die  Symbole  0  und  1  erscheinen  als  die  beiden  Extreme,  als  die 
anasetsten  Werte  unter  den  denkbaren  Gebieten  der  Mannigfaltigkeit^ 
und  zwar  ist  das  Nullgebiet  als  das  minimale,  das  Gebiet  1  als  das 
Mazimalgebiet  zu  bezeichnen.  Ebenso  stellen  0  und  1  die  entgegen« 
gesetzten  Extreme  (GfenzfiUle,  limits)  unter  den  Klassensymbolen  vor, 
indem  keine  Klasm  w^ger  als  heinee  und  keine  mehr  als  ciUe  Indi> 
Tiduen  einer  vorausgesetzten  Mannigfaltigkeit  (wo  nicht  von  Objekten 
des  Denkens  Oberhaupt)  enthalten  kann. 


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214 


Dritte  Vorlesung. 


Wie  es  ferner  die  Figur  Teranschaulicht,  in  welcher  wir  a  und  h 
'als  Kreisflächen  angenommen  und  die  zugehörigen  Gebiete  a*h  resp. 
a  +  5  durch  Schrafiflren  hervorgehoben  haben: 

f 


I 


ist  zu  konstatireu,  dass 

a '  b  das  Qd»ici  vorsteütt  welches  den 
Gebieten  a  und  b  gemeinsatn  ist,  in 
welchem  sie  sich  p;egenseitig  ^/joy/j- 
drimjoi  (schnmlen),  and  —  falls 
sie  keinen  Punkt  gemein  haben 
(Fig.  10^  —  das  Nullgebiei 


Fig.  :i 


a-k-b  das  Gebiet  vorstelU,  eu  welchem 
a  utM  b  einander  gegenseitig  ergänzen, 
[und  zwar,  falls  dann  innerhalb  der 
Mannigfaltigkeit  nichts  mehr  übrig 
bleibt;  diese  selbst,  das  Gebiet  1  — 
vergl.  Fig.  10^,  worin  b  die  Ä  aasen- 
flache  des  innem  Kreises  bedeutet]. 


© 


*ig.  iO. 


Hier  ist  a  •  6  0 
Solche  Gebiete,  deren  Produkt  0 
ist»  nannten  wir  bereits  di^nkt. 


Hier  ist  a  +  ^o»  1. 

Analog  mögen  solche  Gebiete, 
deren  identische  Summe  1  ist,  sup' 
plcmentär  genannt  werden. 

Wir  mögen  die  Torstehenden  Sätze  etwa  selbst  bezeichnen  als 

Postulat  ((2^))  I  Postulat  ((2^), 


weil  sie  wesentlich  auf  der  EriüUbarkeit  der  Forderung  beruhen  und 

diese  in  sich  scliliessen: 

ivcnn  zwei  Gebiete  (/((/eben  .sind, 

dasjenige  Gebiet  naehzuueisen,  resp.  |  ein  Gebiet  zu  bilden,  uekhes  nur  die- 

herzustellen  und  im  Geiste  zu  isoliren^  .  jenigen  Punkte  entiiült,  die  dem  einen 

welches  die  den  leiden  gemeinsamen  oder  auch  dem  andern  der  beiden  ge- 

Funkte  ausschliesslich  enthält,  |  gdtenen  Gebiete  angehören. 


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I  7.  DentüDg  von  aft,  a  +  6  als  Gebiete.  215 

Vermögen  wir  non  dieses,  so  stimmt  für  die  Anschauung  die 
Probe  des  Teils  (3)'  sowol  aU  die  Probe  des  Teils  {S)"  der  Deti- 
nition  (3): 


Zn  Fig.  9^.  Wenn  irgend  ein 
Gebiet  e  sugleich  in  a  und  h  ent- 
halten ist,  80  ist  es  ancH  in  dem 
angeblichen  Gebiet  ah  enthalten. 
Desgl.  amgekehrt:  Wenn  ein  e  in 
dem  fraglichen  ab  enthalten  int,  so 
ist  es  auch  zugleich  in  a  und  in  h 
enthalten. 


Zn  Fig*  9^.  Wenn  a  und  zu- 
gleich  b  ganz  in  einem  Gebiete  c 
enthatten  sind,  so  ist  auch  das  an- 
gebliche Gebiet  a+6  in  diesem  c 
enthalten.  Und  umgekehrt  wenn 
das  problematische  a*f  ^  in  einem 
Gebiete  e  enthalten  ist,  so  ist 
auch  sowol  a  als  b  in  diesem  e  ent- 
halten. 


V^ergl.  auch  Priuzip  II  und  das  hier  unmittelbar  evidente  Theo* 

rem  f)\ 

Zn  Fig.  10^,  wo  a  und  h  keinen  Punkt  gemein  haben^  ist  noch 
zu  bemerken:  Ausser  dem  Nullgebiete  ist  kein  Gebiet  c  denkbar, 
welches  zugleich  in  a  und  in  h  enthalten  wäre;  dies  Gkbiet  0  ist  aber 
auch  in  ah  (welches  0  behauptet  ist)  enthalten  —  cf.  I  sowie 
Oef.  (2x)»  nach  welchen  beiden  ja  0  ^  0  gilt  Wenn  umgekehrt  ein  e 
in  dem  ab,  welches  0  ist,  enthalten  sein  soll,  so  mnss  es  nach  Th.  ö^) 
selbst  0  sein,  und  ist  dasselbe  nach  Def.  (2^)  dann  auch  in  a  sowie 
in  h  enthalten. 

Kau  sieht:  der  Salx  der  Arithmetik,  wonach  ein  Produkt  nicht  anders 

gleich  0  sein,  verschwinden  kann,  als  indem  einer  solner  Faktoren  selbst  0 
ist  • —  ein  Satz,  der  dort  übrigens  auch  für  Produkte  von  imbegfrenzter 
F.iktorcn^ahl  schon  nicht  mehr  gilt  —  dieser  Satz  trifft  im  identischen 
Kalkül  überhaupt  nicht  zu.  liier  kann  vielmehr  leicht  a  •  b  verschwinden, 
ohne  daes  a  oder  h  selbst  gleich  0  wäre,  verschwände.  Es  ist  dies  aber 
aoeh  ein  Satz,  der  wesentlich  nicht  auf  die  Maltiplikation,  sondern  auf  die 
Dirision  sich  bezieht,  indem  bei  ihm  der  Produktwert      0)  als  gegeben 

ericbeint.   Der  Sats  kommt  in  der  That  auf  die  Gleichung  ^  =  0  (für  a 

ungleich  0)  hinaus,  und  dass  die  auf  Division  bezüglichen  Sätze  der  Arith- 
metik sich  zumeist  muM  auf  den  idenUschen  Kalkül  übertragen,  wurde 
bereits  hervorgehoben. 

In  gleicher  Weise  stimmt  die  Probe  für  jede  andere  der  in  §  6 
abgeleiteten  Formen  der  Def.  (3). 

Die  angegebenen  Gebiete  genügen  also  der  Def.  (3)  wirldich  und 
nach  Vorangegangenem  Icf.  Th.  11)  Zusatz]  auch  einzig.  Zum  l'bcr- 
fluss  vermöchte  man  bei  jedem  andern  als  ab  resp.  a  +  h  vermuteten 
Gebiete  leicht  solche  x  nachzuweisen,  für  welche  die  Forderungen  der 


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216 


Dritte  VorlMua^. 


bezüglichen  Deüaitionen  des  vorigen  Paragraphen  nicht  mehr  alle  zu- 
treüeu. 

Hiermit  aber  haben  tvir  dm  Boden  der  IxcaUlätcii  betreten.  Wir 
können  aus  dem  anschaulichen  Substrat  die  Gewissheit  schöpfen,  dass 
das  Systetn  unsrer  grundlegenden  Definitionen  und  Prinzipien  ein  in  sich 
konsistentes  ist,  dass  dasselbe  Widersprüche  nicht  in  sich  bergen  kann, 
seine  Teile  miteinander  Tertraglich  sein  mfissen. 


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Vierte  Vorlesung. 


§  S.   latexpietaüon  für  JLlMMn. 

Bei  dem  Kalkül  mit  Klassen  enthalten  die  letsten  Poetulate  die 
Forderangen: 

Ton  einer  gegebenen  Elaase  von  I  zwei  gedaehteElassen  in  eine  ein- 
IndiTiduen  diejenigen  absneondem^  «ge  zu  Terecbmelzen,  welche  die 
welche  sngleich  einer  andern  Klasse  '  Individuen  der  beiden  sämtlich 
angehSren  j  enthalt 

—  Fordenugen,  denen  der  menscbliche  Geist  gewachsen  erscheint. 
Man  sieht:  die  identische 

MülUpUkaUen  \  Addiium 

läuß  auf  eine 

Absonderung,  Sdektion  \      Zusammenfassung,  Küüektion 

hiHüKSi  bei 

ersterer  werden  aus  der  einen  letzterer  werden  die  Individuen 
Klasse  die  Individuen  der  andern  der  beiden  Klassen  zu  einer  ein- 
J\iet}au8geksen>\  sigeo  Klasse  ge8ammelty„ftfM0UM£ift- 

j  gäesen*^,*) 

Allemal  entsteht  hiebei  ans  den  gegebenen  Klassen  eine  neue, 
welche  an  jenen  in  einer  bestimmten  Besiehnng  steht,  nnd  awar  in 
einer  gans  fundamentalen  Besiehung,  welche  erscheint  als  eine  der 
denkbar  einfachsten  nnd  am  nächsten  liegenden  oder  nrsprflnglichsten 
Besiehungen,  die  sich  naturgemass  su  allererst  der  Beachtung  dar- 
bieten. Indem  nun  die  Wari^radie  gedachte  Klassen  von  Dingen  in 
der  Begel  mit  Gemeinnamen  benennt,  wie  sie  ja  von  Urbeginn  baupt* 
sichlich  mit  Gemeinnamen  operirt^  die  auf  ganze  Klassen  von  Dingen 
oder  Verh&ltnissen  passen,  wird  sie  durch  die  Darstellung  mittelst 
Worten,  verbale  Einkleidung  der  obigen  Prozesse  ein  paar  der  wich- 

•)  Letzteres  nnbci^chadet  des  etwaigpn  Z-wpckos  einer  diati  ibuttvm  Vorwen- 
dacg  des  ZuiammeofaMuogMrgebnisses  bebuf»  Bildung  oder  Abgabe  aucb  von 
generellen  Urteilen. 


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218 


Vierte  TorleBing. 


tigsten  Mittel  an  die  Hand  bekommen  reap.  in  Gestalt  derselben  be- 
reits besitzen,  um  ans  vorhandenen  Gemelnnamen  in  s  Unbegrenzte  neue 
Gemeinnamen  zasammenzusetsen  oder  abzuleiten  —  wodurch  sie  in 
den  Stand  gelangt^  mit  einem  noch  verhältnissmäasig  geringen  Namen- 
▼orrat  haushälterisch  aussureichen  zur  Bezeichnung  Ton  Vielem. 

Es  verdient  deshalb  sorgföltig  unteisnchk  zu  werden,  auf  welche 
Weise  die  Wortsprache  unser  Mal-  und  Pias-Zeichen  wiedergibt;  es 
muss  in's  Auge  gefasst  und  konstatirt  werden,  wie,  wenn  a,h,c,,, .  in 
Worten  charakterisirte  Klassen  vorstellen,  deren  identisches  Produkt 
und  Summe  ihren  verbalen  Ausdrwsk  finden. 

Fflr  das  Nämliche  bieten  oft  sich  mehrere  Ansdrucksmdglichkeiten 
dar,  mitunter  aber  —  werden  wir  sehen  —  auch  gleiche  Ausdrucks- 
weisen  für  Verschiedenes!  —  Ein  bedenklicher  Umstand,  der  gelegent- 
lich die  Gefahr  von  Missverstandnissen  hervorruft  und  der  Wortsprache 
den  Vorwurf  mangelhafter  Pracision  ausiehen  muss,  von  welchem  unsre 
Formel-  oder  Zeichensprache  frei  bleibt. 

Um  alles  auf  Interpretation  unsrer  identischen  Operationen,  deren 
Vor-  und  Rückübersetzung  aus  der  Wort*  in  die  Zeichensprache  Be- 
zügliche sogleich  ToUstSndig  erledigen  zu  können,  setzen  wir,  ein  wenig 
vorgreifend,  hier  schon  als  bekannt  voraus  einige  Grundeigenschaflen 
dieser  Operationen,  die  ohnehin  unmittelbar  einleuchten,  aber  aller- 
dings erst  im  nächsten  Paragraphen  formell  bewiesen  werden  —  so 
namentlich  die  in  den  Theoremen  12)  und  13)  ausgesprochenen,  des- 
gleichen die  Ausdehnung  der  Def.  (3)  auf  beliebig  viele  Klassensym- 
bole, wie  sie  in  Zusatz  2  zu  Th.  13)  geleistet  wird. 

«)  Was  die  Wiedergabe  des  idet^schen  Froduktes  a  h  oder  ah 
(wovon  wir  also  beiläufig  wissen,  dass  es  auch  einerlei  mit  ha  ist) 
mü  Worten  betrifft,  so  kann,  wenn  die  Klassen  a  und  h  mit  Substan- 
tiven benannt  sind,  ab  unter  Umständen  durch  ein  musammengeseUtes 
Hattpkoort  ausgedrückt  werden.  Z.  B.  a  Neger,  b  ■»  Sklave,  ah  — • 
Negersklave,  d.  i  ein  Neger,  welcher  tau  Sklave,  oder  ein  Sklave,  der 
Neger  ist.   So  auch  „Gold-Münze",  ,;Marmor-Platte",  etc. 

f/)  Um(j<l('hrt  jedoch  lässt  sich  durchans  mcht,  ja  bei  weitem  iiirlit, 
jedes  zusaiumeiigesetzte  Hauptwort  in  dieser  Weise  deuten,  als  iden- 
tisches Produkt  hinstellen.  Schon  bei  „Tischler-Meister*'  kijnnte  man 
darüber  streiten,  ob  darunter  blos  ein  Tischler  zu  verstehen  sei,  der 
zugleich  Meister  ist,  ein  „Meister  unter  den  Tischlern''  oder  al>er 
ein  Meister  von  Tiscl»lern,  „Meister  der  Tischler",  der  über  andre 
Tischler  als  Bei'ehlender  und  Meister  gesetzt  ist    Eine  Rede  aber, 


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%  8.   Interprctiitioo  ffir  Klftsscn. 


219 


bei  Tiselie  gehalten,  eine  „Tisehrede'',  soll  jedenfalls  nicbl  daajenige 
bedeuten  I  ,,was  sugleicb  ein  Tisch  und  eine  Bede  ist'*  —  und  Ähn< 
liebes  mebr. 

ß)  Wohl  am  häufigsteu  wird  der  eine  Faktor  eines  identischen 
Produktes  durch  ein  Substantiv^  der  andre,  oder  die  flbrigen,  iu  Form 
von  Adjektiveti  ansj^edrikkt. 

Schon  S,  IfyJ  w  urde  ausgeführt,  dass  wir  die  Beiwörter  ganz  chemo 
wie  die  Hauptwörter  uls  K hissen  autliissen,  z.  B.  mit 

.M  =^  schwarz^'  (=  schwarzes  Ding  »=  etwas  Scliwarzes) 
kurz  uLi.^Ji  iicken,  dass  a  die  Klasse  derjenitjen  iJingc  bezeichnen  solle, 
denen  das  Epitheton  „schwarz"  zukuitiml,  die  wir  etwa  „schwarze" 
nennen  würden.  Bedeutet  nun  in  diesem  Sinne  a  =  ,,SLliwar/,",  h  = 
„Pferd",  so  wird  ab  =  „schwarzes  Pferd"  die  Klasi^e  der  Kappen  be- 
zeichnen. 

Bedeutet  (/  =  ,jung*'  und  v  „normannisch",  so  i&i  dcah  =  Jun- 
ges normannisches  schwarzes  Pferd"  ein  gewisser  Teil  jener  Klasse.  Etc. 

/J')  Umgekehrt  awh  liefern  ein  Hauptwort  mit  seitieti  Biluihirrn^ 
wenn  sämtlich  ah  Klassen  mit  BttMaben  begeidmetf  allemal  die  Faktoren 
sm  einem  identisdien  J^odukte. 

Allerdings  kann  man  nicht  sagen,  dass  jedes  Adjektiv  einen  Faktor 
vorstelle,  sondern  es  steht  dieser  Verwendung  der  Ädjektiva  im  Sinne 
solcher  Faktoren  bereits  gegenüber  deren  (schon  S.  152  von  uns  ab- 
gehandelte) Verwendung  oZs  FrädÜkat  (vergl  „Dieses  Pferd  ist  schwarz'^. 
Und  aneh  wenn  ein  Beiwort  attributivisch  mit  einem  Hauptwort  ver- 
bunden ifliy  xeigi  sich,  dass  manchmal  noch  eine  ,,pradikative''  Deu- 
tung desselben  nebenher  lauft,  die  wir  unter  au  besprechen  haben 
werden.  Von  dieser  Nebenbedentnng  abgesehen  hat  ab«r  in  ihrer 
attributiven  Verwendung  die  „Adjektiv''  genannte  Wortart  die  aus- 
schliesslicbe  Mission  den  Zwecken  der  identischen  Multiplikation  au 
dienen. 

Da  vor,  dort  hinter  das  tou  ihm  regirte  Substantiv  gestellt  gibt 
das  Adjektiv  in  manchen  Spradien  durch  seine  nach  Numerus  und 
Kasus  mit  ihm  übereinstimmende  Beugung,  Flexion  seine  Zusammen- 
geh5rigkeit  mit  dem  Substantive  zu  erkennen,  in  allen  Sprachen  aber 
wenigstens  durch  seine  (mit  eventuell  noch  seinesgleichen)  demselben 
benachbarte  Stellung. 

y\  Immer  steht  mir  Ühersetzung  des  idaUischen  Produktes  in  die 
Wortbprache  ein  Rdativsate  zw  VrrfVufung,  eingeleitet,  konstruirt  mit 
dem  beziehenden  Fürwort,  Relativpronomen  „welcher,  welche,  welches" 


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220 


Vi«rte  Vorlesmig. 


etc.  a  •  b  heisst:  „die  a  welche  h  sincf',  oder  —  mit  Rdcksicht  auf  das 
Th,  12^)  des  nächsten  Paragraphen  —  auch  „die  b,  welche  a  and**. 
So  bezeichnet  auch  der  Ausdruck:  „die  Pferde,  welche  schwan 
sind'',  desgleichen  ^^twae  Bchwfurzes,  das  ein  Pferd  iaif*  die  Klasse  der 
Kapp^. 

y)  Anch  diese  Begel  gilt  wiederum  umgekehrL  Es  handle  sich 
darum  die  weitlftnfigeren  Ausdrucke  der  Wortsprache  in  die  Übersicht- 
licheren  des  Kalküls  zu  ühersetcen.  Indem  wir  dann  suchen  mflssen, 
alle  in  Betracht  kommenden  Klassen  mit  Buchstaben  au  bezeichnen, 
werden  wir  einen  BelatiTsatz  mit  einem  Prädikate  zu  identifisiren 
haben;  ihn  nämlich  aufÜMsen  als  die  Klasse  deijenigen  Dinge,  welchen 
das  Pr&dikat  desselben  zukommt  In  diesem  Sinne  kam  —  gleichwie 
jedes  Adjektiv  —  so  anch  jeder  BdaäogaUf  ah  der  eme  Fäkior  mii  dem 
SubsUmHv  auf  das  er  mcft  legidU  als  tkm  andern  Fakhr  m  einem  ukn- 
Hsdien  Phtäitkie  verekugt  werden. 

Und  die  besprochmai  Übertragungsweisen  gelten  ebensowol,  wenn 
a  •  &  als  Subjekt,  wie  wenn  es  als  Prädikat  steht. 

Exempel:  ah^c,  wo  0  « i^selten"  bedeutet,  heisst:  ,,8ehwarze 
Pferde  sind  selten'',  oder  auch:  |,Pferde,  welche  schwarz  sind,  sind 
selten",  c  =^  a2>,  wo  c  ein  spezielles  Pferd  „Favorite"  bedeutet^  heisst: 
„Favorite  ist  ein  schwarzes  Pferd"  oder:  „Favorite  ist  ein  Pferd,  wel- 
ches schwarz  ist''. 

S)  Dagegen  nur,  wenn  a-b  als  Frädikat  steht,  ist  das  Maieeichen 
aucJi  durch  die  Partikel  „ufuV  übertragbar. 

c  ^  ab,  übersetzt  mit  „Favorite  ist  ein  Pferd  und  schwarz'"  wird 
uns,  genau  wie  die  vorhergehenden  Sätze  darüber  informireu,.dass  (das 
Rennpferd)  Favorite  ein  Rappe  sei. 

Das  diesem  vorhergehende  Beispiel  jedoch,  für  ab  =4  c,  würde 
sich  —  wie  man  sogleich  übersieht  —  durchaus  nicht  mit  „Schwarze 
Dinge  und  Pferde  sind  selten"  übersetzen  lassen. 

Sagten  wir  aber:  „Was  scliwarz  und  ein  Pferd  ist,  ist  selten",  so 
stünde  „schwarz  und  ein  Pferd"  wieder  nicht  als  Subjekt  da,  sondern 
als  Prädikat  des  Relativsatzes  (zu  dem  Relativpronomen  »Was", 
,iÜasjenige,  welches")  der  das  Subjekt  des  ganzen  Satzes  vertritt. 

Auf  diese  Eigenschaft  der  Partikel  (Konjunktion)  „ttfMf',  im  Sub- 
jekt gebraucht  eine  andere  logische  Bedeutung  zu  erlangen  als  wie 
im  Prädikate,  werden  wir  weiterhin  noch  näher  einzugehen  haben 
(▼ergl  «). 

s)  Als  eine  besondre  Anwendungsweise  der  idratischen  Multipli- 


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* 


§  8.  Intevpretation  fflr  KlasMii.  221 

kation  erscheint  die  yon  der  alten  Logik  so  genannte  0|»eratioa  der 
y,Dftermination^\  Durch  Determination  wird  der  Um&ng  eines  Be- 
griffes allemal  Tenuindert,  sein  Inhalt  vermehrt,  und  ist  der  Grund  fQr 
diese  Benennung  darin  zu  erblicken,  daas,  wenn  wir  z.  B.  unter  den 
,,Pferden''  die  ,|8chwarzen''  hervorheben;  wir  zu  dem  Begriff  des  Pfer- 
des, welcher  zwar  das  Merkmal  „eine  Farbe  zu  besitzen^  in  sieh 
schltess^  in  welchem  aber  die  Beaehaffenheit  dieser  Farbe  tmdes^jmiii^, 
offen  gelasam  ist,  nnnmelir  noek  das  Merkmal  der  schwanen  Farbe 
hinzufttgen  nnd  jenen  Begriff  dadurch  noch  naher  hestimmen. 

Das  Wesen  des  Determinirens  ist  zu  erblicken  in  der  BinschrSn- 
kong  der  freien  Wahl,  in  der  Yerengerong,  Yermindernng  des  Spiel- 
raomes,  der  für  untre  WillkOr,  Phantasie,  oder  den  Zweifel  gelassen 
ist,  nater  Vermehmng  Tielleicht  der  Infonnation« 

Verlangen  wir  im  Kaufladen  etwa  Perlen  a,  so  ist  die  Klasse  der 
Objekte,  die  wir  verlangen,  dnrch  ihren  mit  dem  Namen  „Perlen''  ver- 
ffochtenen  Begriff  charakterisirt  Begriff  nnd  Klasse  erfahren  eine 
nähere  Bestimmung,  wenn  wir  Glasperlen  Terlangen.  Was  Ton  Glas 
is^  „gläsern'',  m9ge  h  genannt  werden.  Dann  ist  dnrch  die  Forderung 
von  ha  (oder  aV)  schon  weniger  Spielraum  gelassen  in  Bezug  auf 
dasjenige,  was  der  Kaufmann  uns  vorlegen  mag,  und  dieser  Spiel' 
räum  wird  immer  weiter  eingeschränkt,  das  Verlangte  immer  genauer 
bestimmt  (determinirt),  wenn  wir  weisse  Glasperleu,  runde  weisse  Glas- 
perlen n.  8.  w.  verlangen.  Jeder  neue,  durch  ein  Adjektiv  (eventuell 
doTcli  einen  Relativsatz)  ausgedrückte  Faktor^  wie  „rund''  c,  „weiss"  <f, 
fügt  hier  wirklich  eine  weitere  Bestimmung  f&r  die  Klasse,  die  wir 
meinen,  hinzu. 

Solches  ist  aber  durchaus  nicht  flberall  der  Fall,  wo  Faktoren 
in  Gestalt  von  Adjektiven  oder  Belativsätzen  auftreten.   Sagen  wir  z.  B. 

^Das  mächtige  (a)  deutsche  (b)  Beich  c . . so  ist  Subjekt  des 
hiermit  begonnenen  Satzes  das  identische  Produkt  ahc 

Hier  aber  bewirkt  nur  der  Faktor  h  eine  Determination  des  e. 
Sagen  wir  (e,  so  wird  gefordert  und  hinzugebracht,  dass  der  Hörer 
steh  aus  der  Klasse  der  ,,Beidie"  das  „deutsche"  isolire,  es  absondere, 
hervorhebe  und  vorstelle.  Es  wird  durch  das  Adjektiv  „deutsch"  an- 
gegeben, bestimmt,  von  welchem  Beidi  die  Rede  sein  soll. 

GauE  anders  der  Faktor  o.  Derselbe  sagt  nicht  etwa  aus ,  dass 
man  unter  „den  deutschen  Reichen"  gerade  das  „mächtige  '  meint";  das 
„mächtige  deutsche  Reich"  ist  (sofern  wir  die  Gegenwart  im  Auge 
haben)  ganz  dasselbe  als  wie  „das  deutsche  Reich'',  ^^chon  als  hc  hi 
das  Subjekt  volikummeu  bestimmt,  es  ist  hier  geradezu  a  •  6c  =  hc. 


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222 


Vierte  Totlesn&g. 


Mit  dem  Faktor  a  legeu  wir  dem  bereits  determinirten  Subjekt« 
hc  ein  Prädikat  bei,  dem  „deutschen  Reiche''  das  Prädikat  i^iiiächtig 
za  aeiii",  mdessen  nur  beiläufig,  aumerkongsweiBe,  in  der  Yorauasetzung, 
dasB  ihm  dieses  Prädikat  anerkanntermassoi  sukommc  oder  wenigstens 
in  der  Erwartung,  dass  diese  Prädikaiion  nicht  bestritten  werde  (an- 
sonst  wir  vor  dem  beabsichtigten  Saf  ze  ein  eigenes  Urteil :  „das  deutsche 
Reich  ist  mächtig"  formulirt  haben  würden,  um  zunächst  diese  Posi- 
tion gegen  etwaige  Einwände  zu  verteidigen).  Wir  bezwecken  durch 
die  Hinzufügang  des  Attributs  „mächtig^,  die  Aufmerksamkeit  des 
Hörers  besonders  auf  dieses  Merkmal  (der  Macht)  zu  lenken,  das  Vor- 
handensein dieses  Merkmals  in  dem  Begriffe  des  deutschen  lleichs  in 
Erinnerung  zu  rnfen^  es  als  ein  besonders  wichtiges  im  Bewusstsein 
aufaufrischeu.  Wir  Tennehren  durcli  solchen  Gebrauch  eines  A^jek- 
tivs  wol  mitunter  den  Vorgtelluugsinhalt  der  Hörer  oder  Leser,  wir 
steigern  die  Intensität  der  Vorstellung  in  einer  bestimmten  Richtung, 
ohne  jedoeh  die  Klasse,  welche  vorgestellt  wird,  zu  beeinflussen,  ohne 
den  Umfang  des  vorgestellten  Begriffs  zu  Terengern. 

Die  Philologie  beaeielmet  solche  Verwendung  eines  Attributs  (eines 
Beiwortes  oder  auch  Relativsatses)  passend  als  diejirädiXa^i«,  im  Gegen- 
satz zu  der  frOher  besprochenen,  die  wir  eine  detmmituäke  nennen 
werden. 

Sagen  wir  (mit  J.  St  Mi  11):  „der  Vater  des  jungen  Hannes,  der 
ihm  jenes  verboten  hatte . .  so  ist  der  Relativsatz  „der . . .  verboten 
hatte"  ein  anderes  Beispiel  prädikativer  Verwendung.  Über  das  Sub* 
jekt  a  ^  Vater  des  jungen  Mannes  —  eine  Klasse,  die  hier  natumot- 
wendig  aus  nur  einem  Individuum  besteht  —  und  (vorausgesetzt,  dass 
man  wisse,  von  welchem  jungen  Mann  die  Rede)  bereits  vollkommen 
bestimmt  erscheint,  Über  dieses  Subjekt  erteilt  der  Relativsatz  eine 
beiläufige  Information,  sagt  aus,  dass  es  ^  (vielleicht  identisch  ^ 
sei  der  (wol  auch  nur  aus  eiiMm  Individuum  bestehenden)  Klasse  der* 
jenigen  Personen,  welche  dem  jungen  Manne  jenes  verboten  hatten. 
Jedenfalls  aber  bezweckt  und  vermag  dieser  Relativsatz  «licM,  das 
Subjekt  des  Satzes  näher  zu  bestimmen,  auszudrOcken,  dass  „derjenige 
unter  den  Vätern  des  jungen  Mannes,  welcher  ihm  jenes  vwboten 
hatte"  gemeint  gewesen. 

Man  sieht  hier  auch  das  Mittel,  die  beiden  Verwenduogsweisen 
attributiv  gebrauchter  i\Jjcktive  als  solche  zu  erkennen,  zu  discemiren. 
Ist  in  ah  oder  in  dem  Ausdruck  „die  a,  welche  h  sind",  der  Relativ- 
satz „welche  h  sind'',  resp.  der  Faktor  (,  von  determinativem  Charakter, 
so  muss  der  Ausdruck:  „diejenigen  unter  den  a's,  welche  h  sind"  den- 


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§  8.   Inici'pretiition  für  Kiassen. 


223 


selben  Sinn  geben;  im  gegenteiligen  Falle  aber  wird  der  letztere  iin- 
lulaasig,  nicbt  selten  lächerlich  erscheinen. 

Ist  6  in  a(  ein  |,priidikativer  Faktor^,  so  kann  der  Sinn  des  Pro- 
duktes ah  anch  mit  „die  a  (welche^  nebenbei  gesagt»  ^  b  sindy  oder 
mit  (welches  ja  ^  hy*  ToUkommen  ausgedrückt  werden.  Dann  ist 
in  der  That  a^^h,  sowie  ah  =  a;  und  diese  beiden  Aussagen  sind 
solche,  die  wir  in  der  Theorie  des  Gebietekalkuls  auch  wirklieh  als 
äquiyalente,  einander  gegenseitig  bedingende  nachweisen,  die  wir  durch 
Rechnung  ans  einander  ableiten  kdnnen,  vergl.  Th.  20). 

Dass  aber  ad  «  a  hier  isi^  lässt  erkennen,  dass  man  einen  Fak- 
tor hf  sofern  er  piadikatir  ist,  anch  guuz  unterdrücken,  die  mit  ah 
bezeichnete  Klasse  kürser  durch  a  allein  darstellen  kann. 

PriidikatiTe  Faktoren  sind  also  in  der  rechnenden  Logik  ohne  Be- 
lang, im  Gegensatz  zu  den  determinatiTcn. 

So  wenigstens,  wenn  sie  wirklich  nur  eine  beiläufige  Information 
geben.  Es  kommt  jedoch  anch  vor,  dass  eine  Behauptung  a=^b  eine 
folgenschwere  Pr&misse  flir  weitere  Untersuchungen  bildet  und  sich 
keineswegs  von  selbst  Terstaad.  Mit  dieser  selbständ^  hinzustellenden 
Aussage  ^  6  ist  dann  ein  etwa  prädikativ  mit  a  yerknQpfter  Fak- 
tor h  als  gleichwertig  zu  erachten,  welcher  letztere  nan  aber  eine 
neue  und  wesentliche  Information  enthält.  In  diesem  Falle  können  wir 
ihm  erst  im  „AussagenkalkuP  volle  Gerechtigkeit  widerfahren  lassen. 

Mit  prädikativ  erteilten  Attributen  wird  unbewusst  oder  bewusst  im 
gemnnen  Leben,  in  Journalistik,  Kritik,  rhetorisohen  und  polemisirenden 
Schriften  ein  weit  Terbreiteter  Missbrauch  getrieben,  darauf  gerichtet,  im 
minder  wachsamen  Leser  Voreii^geoommenheit  zu  erzeugen,  irrige  Ansiohten 

einzuschmuggeln,  die  Zustimmung  zu  denselben,  deren  Aimuhine  gewisser- 
massen  zu  erschleichen,  um  imveisehens  unberechti<^te  Deukgewobnbeiten 
2u  begründen,  die  bich  der  wahren  Erkenntniss  hinderlich  erweisen.  Wird 
t.  B.  gesagt:  „der  feige  Gegner  wich  dem  Kampfe  aus**  und  dann  gleich 
mit  der  Erafthlung  fortgefahren,  so  bleibt  dem  Hörer  meist  nicht  die  Zeit 
zu  überlegen,  ob  auch  da«  Epitheton  „feig'*  berechtigt  gewesen,  ob  nicht 
vielleicht  gerade  das  Gefühl  der  Überlegenheit,  eventuell  Klugheit,  Scho- 
nuug  oder  Friedensliebe  Motiv  jenes  Ausweichens  wm.  TJud  dadurch  dass 
mit  verbchiedenen  Variationen  des  Ausdrucks  dergleichen  Imputationen  mög- 
lichst oft  in  jener  rasch  darüber  hingleitenden  Form  wiederholt  zu  wo^en 
pflegen  f  gelingt  es,  in  der  unkritischen  Menge  TerhängniesroUe  Ideenasso- 
ziationen zu  festigen.  Auch  dem  Logikkalkul  widerfuhr  berate  beinahe 
ein  derartiges  Schicksal,  indem  der  Vcrfa^^er  eines  wol  besser  ungeschrie- 
ben gebliebenen  Buches  kauni  anders,  als  mit  dem  £pitheton  f)der  unfrucht> 
bare"'  von  demötjlben  spricht,  — 

Herr  Wundt  will  die  „Determination"  an*lers  aiifgefasst  wissen,  als 
—  80  viel  ich  sehen  kann  —  alle  übrigen  ächrittsteller  über  diesen  Gegen- 


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224 


Vierte  YorleMiiig. 


stand,  insbepondcre  alle  Diejenigen,  \velche  ausser  ihm  die  —  nouerdings 
von  Prautl  so  genannte  ~-  „matbematisii'ende  Logik"  kuitiviren  — 
(Sitzungsberichte  d.  KgL  Burischen  Akademie  der  Wissenschaften  von  188G). 

Dnrch  Deternunattoii  des  Begriffes  „Sebaf**  mittelst  des  Begrilfo  „weiss** 
ergibt  sich  Ilira  *  pag.  224  sq.,  gleichwie  auch  uns,  der  Begriff  „weisses 
Schaff  dessen  ümfang  die  Klasse  der  weissen  Schafe,  d.  i  der  weisses 
(Dinge)  unter  den  Schafen. 

Dagegen  gelangt  Herr  Wiindt,  indem  er  den  BegiitV  ,, Weiss"  Ueter- 
minirt,  vermittelst  des  Begriffs  „Schaf"  zu  dem  Begriiie;  „die  Weisse  dos 
Sehafes**  —  anstatt,  wie  wir,  va  dem  Begriffe  „weisses  Schaf wie  oben, 
indem  wir  einfach  unter  den  weissen  Dingen  die  Schafe  hervorheben.  Fflr 
Herrn  Wandt  ist  also,  wie  er  selbst  betont,  die  Determination  im  aUge> 
meinen  eine  nicht  kommutative  Operation. 

Meiner  Meinung  nach  findet  bei  den  l'Ucrlegungen,  die  Herrn  Wundt 
zu  der  angegebenen  Ansiebt  führen,  eine  Vcrmenffung  statt  zwischen  Pro* 
zesseni  die  sich  auf  den  Umfang  und  solchen,  die  sich  auf  den  Inhalt  der 
IragUdiea  Begriffe  beziehen. 

Hielten  wir  uns  streng  in  dem  Rahmen  einer  „Logik  des  Urafanges*\ 
so  konnten  wir  jedenfalls  der  Wund  fachen  Auffassung  nicht  beipflichten. 

Wir  können  es  aber  auch  nicht,  wenn  wir  uns  streng  in  dem  ßahmen 
einer  „Logik  des  Inhaltes"  halten. 

Bei  den  Umfängen  oder  Klassen  lief  die  Determination  hinaus  auf 
eine  Sondermg,  ein  Hmrorheben  Ton  der,  den  determinirenden  Faktoren*) 
gemeinsamen  ünterklasse. 

Nicht  ZQ  ttbersehen  ist,  dass  aber  hei  den  Inhalten  oder  Begriffen  dio 
Determination  wesentlich  eine  Knttpfung  ist,  avf  eine  VerbinduMg  der  ge*^ 
gebnen  Begriffe  hinausläuft: 

Wir  erhallen  den  Begriff  „weisses  Schaf",  indem  wir  mit  den  sämt- 
lichen im  Begriff  Schaf  bereits  enthaltmen  Meritmalwi  verbii^ai  den  Be- 
griff „weiss**,  d.  i.  das  Merkmal  der  weissen  Farbe,  ünd  dasselbe  Ergeb- 
niss  erhalten  wir  notwendig  auch,  wenn  wir  mit  dem  Merkmal  der  weissen 
Farbe  verbinden  die  sämtlichen  Merkmale  des  Begriffes  Schaf. 

Unter  den  letzteren  ist  —  woblbemerkt  —  das  Merkmal  der  „Weisse" 
oder  wei&heu  Farbe  gar  nicht  enthalten:  es  gibt  ja  auch  i^chwarze  Schafe! 
Und  der  Begriff  Scbaf  soll  doch  nur  die  allcti  Schafen  gemeinsamen  Merk- 
male enthalten,  ancb  hStten  wir  nicht  n^tig,  erst  zn  Teri>inden,  was  schon 
verbunden  gewesen  w&re.  Man  kann  also  eyentnell  wohl  reden  von  der 
Weisse  eines  bestimmten  Schafes,  oder  auch  einer  Gruppe  von  solchen, 
nämlich  von  der  „Weisse''  der  wcisscti  Schafe.  Dagegen  ist  —  bei  der 
allgemeinen  Auffassung  des  Begriffes  Schal'*  —  die  „Weisse  des  Schafes" 
Uberhaupt  ein  Unding,  sie  postuiirt  aömlich  die  „Weisse"  auch  für  die 
schwanen  Schafe. 


*)  Wnndt  beseichoet  die»e  als  „Determinator"  und  „Deteiminand",  durch 

welchen  letzteren  Namen  jedoch  nnliebiame  GleichklSnge  mit  dem  länget  ander- 
weitig eingebürgerten  Namen  der  „Determinanteu*'  herbeigeführt  würden.  Eine 
nnterscbeidende  Benennung  beider  Faktoren  erscheint  auf  ungerm  ätandponkt 
onoütig. 


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i  8.  Infterpratatioii  für  Klauen. 


225 


Zu  diesem  Begriff  der  „Wois>e  des  Schafes"  kann  nun  aber  Wuudt 
nur  geianiren .  irrlpm  er  —  anstatt  zu  verknüpfen  —  das  Merkmal  der 
weissen  Farbe  nbfiondiri,  hervorhebt  —  faktisch  aus  dem  Begriffe  „weisses 
Schaf",  vermeintlich  Indess  wol  aus  dem  zur  Determination  herbeigezogenen 
Begriff  „Schaf*,  der  jenes  Merkmal  aber,  wie  gezeigt,  überhanpt  nieht  entbllt. 

Q  Um  demnächst  auch  den  verbalen  Ausdruck  für  di<>  identische 
Svimme  a  +  (  zu  gewinnen,  mflssen  wir  uns  Tor  aUam  üb^  die  logische 
Bedeutung  der  Partikel  „oder"^  orieutiren. 

Es  ist  in  logischer  Hinsicht  entschieden  als  ein  Misstand  zu  be- 
klagen,  dass  die  modernen  Knltursprachen  je  nur  mn  Wort  für  ,,oder" 
besitzen,  während  doch  zur  nnterscheidflnden  Dantellnng  der  wesent* 
lieh  Terschiedenen  VerhaltniBse^  welche  wir  mit  dieser  einen  Konjunk- 
tion nnterschiedfllos  anzodeuten  pflegen,  mindestens  drei  Partikeln  er- 
forderlich sein  würden.  Die  lateinische  Sprache  hat  in  diesem  Betreff 
feiner  empfunden,  sch&rfer  unterschieden.  ^ 

Ein  erst»  ist  das  ^"kH&tmää*^  (auch  gleichsetzende!  identifizirende, 
wiederholende,  iteratiTe)  tfiäie^  —  ^oder  mt^ andSeni  UMeti''  (lateinisch: 
sive,  seu),  welches  Namen,  Redeteile  verknapft,  deren  zweiter  noch 
einmal  das  nämliche  besagt  wie  der  erste,  indess  zum  Zweck  der  Ver- 
dentlichnng,  eTentuell  schärferen  Präzisimng  des  ersten:  in  neuer  Aus- 
dmcksweise. 

Sagen  wir  z.  B.:  „Der  Bauer  oder  Landmann'' . . so  ist  das  an- 
gewendete das  obige  ,,oder^,  wofern  wir  nur  die  Klassen  „Bauer''  und 
„Landmann"  als  identisch  ansehen.  Die  Wiederholung  mit  dem  an- 
dem  Worte  mag  hier  den  Zweck  haben,  dem  ▼orzubeugen,  dass  etwa 
der  H5r^  entg^en  unsrer  Absicht  an  einen  Bauer  im  Schachspiel, 
einen  Vogelbauer  oder  anderes  denke. 

Wie  man  an  dem  Beispiel  sieht,  ist  dieses  „oder^  schon  deshalb 
Bedfirihiss,  weil  die  Sprache  manche  Homonyme  enthält,  gleichlautende 
Namen  ifir  ganz  Verschiedenes,  welche  häufig  eine  unabhängige  Ent- 
stehungsgeschichte und  etymologische  Zusammensetzung  besitzen,  nur 
tafiUlig  gleich  lauten.  Je  foUkommner  eine  Sprache,  desto  weniger 
freilich  dSrfte  solches  in  ihr  vorkommen. 

Aber  auch  wenn  Homonyme  gar  nicht  vorkämen,  würde  das  ge- 
nannte „oder"  —  beziehungsweiBe  ein  Äquivalent  dalär  —  doch  bleiben 
müssen,  um  BedOrfiiissen  der  Wissenschaft  zu  genügen.  Dieses  „oder" 
dient  dazu,  eine  als  Einschaltung^  in  Parenthese,  anzumerkende  Defini- 
tion mit  dem  begrifflich  zu  erklärenden  nomen  zu  verbinden  und  als 
solche  zu  kennzeichnen,  z.  B.  „die  Kugelfläehe  exfcr  der  Ort  der  Punkte 
gleichen  Abstands  von  einem  festen  Punkte", . . .  Am  häufigsten  kommt 


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226 


Vierte  Yorlesang. 


es  bei  wissenschaftlichen  Untersuchangen  vor,  dass  eintuiddaBselbe 
Objekt  als  ein,  zwei  verschiedenen  Objektreihen  a^,  a^,  ^s).*.  und 
a',  d\ . . .  zugleich  angehöriges  auch  zwei  verschiedene  Namen  er- 
halten hat:  Oj  und  sodass  =  d  bedeutet,  während  etwa  die 
Obrigen  accentnirten  nnd  mit  Suffixen  i)eliafteten  a  lauter  Tetschiedene 
Objekte  bedeuten  m5gen,  und  dieser  oft  folgenschwere  Umstand  wird, 
indem  man  von  jenem  erstem  Olgekte  als  ron  „a'  oder  spricht,  in 
dem  Bewusstsein  aufgefrischt  erhalten.  Es  erscheint  sonach  dieses 
„oder"  als  nahe  synonym  mit  d.  i  (das  ist),  d.  h.  (das  heisst),  L  e. 
(id  est)  ^  englisch  >,Tiz.  (gesprochen:  namely)**  und  kommt  dem- 
selben logisch  die  Bedeutung  nämlich  die  Kraft  einer  in  Paren- 
these ausgesprochenen  Identität^  identischen  Gleichheit  su. 

Es  wäre  Tielleicht,  weil  denn  doch  i^oder  m.  a.  W.**  als  su  lang 
erscheint,  ganz  angemessen  und  empfehlenswert,  ftir  dieses  erste  „oder*' 
das  lateinische  „sive''  zu  «verwenden  und  in  die  modernen  Sprachen 
einzuführen. 

r\)  Ein  zweites  ist  das  „gt'.guiisiltzliclie",  ,.ausscf(b'(S,>'nd€",  „cxllu- 
siv&'  (auch  „disjunktive'')  f/)dcr''  =  ^fider  aber'^  (iateiuibch:  aut,  eng- 
lisch: or  eise). 

„a  oder  aber  h"  will  sagen:  entweder  a  und  dann  nicht  b,  oder  b 
und  dann  nicht  a. 

Wie  dieses  „oder''  im  identischen  Kalkül  auj»2udrücken  ist^  werden 
wir  in  §  18,  i)  sehen. 

9t)  Das  dritte  ist  das  „dtMoUtessenife"  „iMuskfi^  (auch  „konjunk- 
tive'')  ifOder"  *—  ffider  awk*^  (lateinisdi:  yel). 

oder  auch     will  sagen:  entweder  a,  oder  d,  oder  beides  euglei^, 

Bfit  diesem  letzteren  „oder"  werden  wir  es  bei  der  Obersetzung 
des  Zeichens  +  der  identischen  Addition  zunächst  allein  zu  thun 
haben. 

Es  würden  bei  den  zwei  letxten  Gattungen  von  „oder"  sich  noch 
weitere  Nfla&een  nntersoheiden  lassen,  je  nachdem  es  nur  unbekannt,  jedoch 
(an  sich)  bestimmt  ist,  welcher  von  den  zwei  oder  drei  Fällen  eintritt» 
stattfindet«  xwisehsn  denen  die  Alternative  zu  stellen  ist,  d.  i.  „oder  vid- 

leichf",  —  oder  aber  völlig  unbestimmt  gelasson,  ganz  (oder  auch  nur  teil- 
weisi-,  bedingt,  innerhalb  gewisser  (irt'n/on)  in  unser  Belieben  gestellt, 
wiiiküriicher  Wahl  anlieimgegehen  ist,  lür  weichen  Fall  man  äich  ent- 
scheidet d.  i.  g,oäer  wenn  man  will*'  —  eine  Auffassong,  auf  die  gcmde 
„▼el*^  etymologisch  besonders  hinweist  Indessen  will  ich  mich  begnügen, 
disAe  Unterscheidungen  nur  angedeutet  zu  Italien. 

In  Bezug  auf  „oder  auch"  sehcint  freilich  der  Sprachgebrauch  sich 
nicht  genau  an  die  obige  Erklärung  m  halten,  vielmehr  dessen  Bedeutung 


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%  8.  Interpretation  fiSr  Kl«)««n.  227 


Doeh  Aber  4ie  oben  stipulirte  binaasBagehen,  nSmlich  oft  anch  für  „oder 
aber,  wenn  man  wiir  herhalten  zu  müssen. 

Der  Ausdruck  „a  oder  auch  b"  wird  gleichbedeutend  mit  dem  „a 
oder  aber  b^,  das  inklusive  „oder''  deckt  sich  mit  dem  ezkiusiTeo,  und 
begreift  auch  dieses  uiit,  in  dem  Falle  wo  die  dritte  Alternative  „a 
und  h  augleich''  ohnehin  undenkbar  ist,  oder  ans  sachlichen  Gründen 
fortbllen  mnss.   So  ist 

j,Silher  oder  auch  Gold'*  »  ^Silber  oder  aber  Gold'' 
and  wild  besser  dargestellt  durch  das  kOrzere  j,Silber  oder  GoId%  weil 
es  nichts  gibt,  was  Silber  und  Gold  xngleich  sein  könnte,  weil  die 
Begriffe  «^Silber'*  nnd  „Gold**  ohnehin  „konträre**  Gegeosatise  Torstellen, 
einander  Ton  selbst  ansschliessen,  disjnnkt  sind. 

»)  Nach  diesen  Vorbemerkungen  wird  es  verständlich  sein,  wenn 
wir  nunmelir  konstatireii,  ddus  die  identische  Sainnte  a  +  h  sicJi  in  der 
Woitqiradu  skta  durch  ..icas  a  oder  auch  b  ist"  auödrüdicn  lüsdt.  Durch 
oder  auch  6"  selber  kaun  die  Summe  auch  in  jedem  Zusammeii- 
hauge  übersetzt  werden  mit  Ausnalime  des  Falles,  wo  sie  aU  Ayidjj'kt 
stehtj  iu  diesem  wäre  solches  nicht  unbedeuklich,  weil  dadurch  (vergl. 
§  15,  Schlussanmerkuuy; )  eine  \  erwechselunL''  des  Urteile  mit  einem 
„disjunktiven"  nahe  gelegt  würde;  ganz  du  1  -  dingt  wird  dann  auch 
die  Partikel  „oder"  viel  besser  durch  die  l'urtikcl  „fO((/"  ersetzt.  Also: 
Steht  a-^b  ab  Subjekt,  so  tesf  imui  daa  Flussaichen  ab  „und";  (mäem- 
faUes  als  f,odcr'\  qctmucr:  „oder  auch". 

Wo  a  +  h  ah  Frädd^at  utrht  indessen  —  und  dies  bildet  eine 
bemerkenswerte  EigentümlichkLit  der  Wortsprache  —  ist  die  Ersetzung 
des  Bindewörtchens  „oder^^  durch  ^^und"  nicht  zulässig ^  wie  sich  dem- 
nlcbst  nnd  unter  x)  unzweifelhaft  herausstellen  wird. 

Die  Propo8itio.n  e^a  +  b  läset  sich  übersetzen  mit  ist  a  oder 
auch  fe",  resp.  mit  „alle  c  sind  a  oder  (aueli)  6". 

Und  ferner  ist  a  +  ^  =^  c  in  Worten  darzustellen  mit  ,,a  und  h 
ist  c",  „alle  a  und  b  sind  c". 

[Nicht  angängig  wäre,  dafür  zu  sagen:  „(entweder)  a  oder  b 
ist  c''  und  mindestens  gewagt:  y^alle  a  oder  h  sind  „jedes  a  oder 
aaeh  6  ist  c'^.J 

Beispiele  zu  a-\-h=^c:  „Canadier  und  Indianer  sind  Ameri- 
kaner'^,  auch:  „Canadier  sowie  Indianer  etc.''  Die  Klassen  a  und  h 
ia  dem  gewählten  Beispiel  sind  nicht  disjunkt,  schliessen  einander 
nicht  aus,  es  ist  ab  hier  nicht  gleich  Null,  weil  es  auch  canadiscbe 
hidianer  gibt.  Ähnlich  noch  in  diesem  Beispiel: 

„Adelige  und  Besitsende  werden  zur  Aristokratie  gerechnet". 

15» 


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228 


Vierte  Yerleemg. 


Anders  dagegen  im  folgenden ,  woa&  — 0  gelien  mfiaste,  die 

Begriffe  a  um\  h  disjunkt  zu  nennen  wären; 

„Gold  und  iSilber  sind  Edelmetalle^ 

Es  wfire  twr  Not  wol  ungiingig,  zu  sagen: 
„Silber,  dler  auch  6oid,  ist  Metall", 

„Adelige,  oder  auch  Begüterte,  gehören  zur  Äriatokiatie",  und  ganz 
gut  jedenfalls;  „Wer  adelig  oder  aucJi  begütert  ist  gehört  dazn^',  „Was 
Silber  oder  Gold  ist,  ist  Metall**.  Desgleichen  allenfalls,  weil  yon  dem  ad- 
jektivischen Zahlwort,  numeralen  Adjektiv  nalle"  regirt:  „Alles  Gold  oder 
Silber  ist  Edelmetall''.  Besser  aber:  „Alles  Gold  und  Silber  etc/'  Unzu- 
lässig dagegen  wHre  m  oder  wenigstens  von  geringerem  logischen  Gehalte, 
zu  sagen:  Entweder  Gold  oder  Silber  ist  Edelmetall,  imd  darnm:  ,,Gold 
oder  Silber,  das  Gold  oder  das  Silber,  ist  Edelmelair,  uiue  eutächiedeu 
schlechte  Ansdrucksweise,  weil  das  ^nnd^  soviel  deutlicher. 

Beispiele  zu  c=^a  +  b. 

„Jene  Familien  sind  adelijrp  oder  aueli  wolilhabende."  Hier  können 
eiozeliie  von  den  genannten  Familien  auch  zu  den  unbemittelten  Adeligen 
gehören,  andere  wol  Iii  abend  aber  bürgerlich  sein. 

£inen  wesentlich  hieven  verschiedenen  Sinn  würde  aber  die  Be- 
hauptung darbieten;  „Jene  Familien  sind  adelig(e)  und  wühlhabend(e)'' 
Dies  würde  bedeuten^  dass  sie  sämtlich  beides  zugleich  sind,  nnd  wäre 
mittelst  e^ab  auszudrücken,  Tergl  d). 

Anderes  Exempel:  „Diese  Behauptungen  sind  richtige  oder  entch 

falsche^  Als  Übersetsnng  Yon  c^a-^b  hingestellt,  wird  dieser  Satz 

besser  mit  ,,richt)ge  otkr  falsche^  dannstellen  sein,  mit  Unterdrückung 

des  „auch",  weil  hier  a  und  b  einander  ansschliessen,  aft     0  isi  So 

aufgefasst  ist  das  Urteil  ein  rein  „analytisches'',  welches  denknotwendig 

gelien  muss  von  jeder  beliebigen  Gruppe  von  Behauptungen:  Alle 

Behauptungen  sind  entweder  richtige  oder  falsche. 

Dagegen  würde  es  mindestens  eine  NacblBssigkeit  des  Ausdrucks  sein, 
hieflir  an  sagen:  ^diese  Behauptnngen  sind  richtige  und  falsche". 

Dergleichen  „NachlSsaigkeiten"  kommen  allerdings  nicht  nur  ungemein 

häufig  in  der  Sprache  des  gemeinen  Lebens,  sondern  auch  bei  den  besten 
Schriftstellern  vor,  und  sie  ent&chuldigen  sich  zu  einum  Teile  durch  die 
Sitte,  nach  welcher  im  Verkehr  zwischen  Personen  vorausgesetzt  zn  werden 
püegt,  dass  der  Andere  keinen  Unsinn  rede  und  man  selbst  auch  dies 
nicht  SU  thun  beabeiohtige.  Wenn  also  eine  Aussenmg  tou  einer  der 
Parteien,  die  miteinander  in  geistigem  Verkehr  stehen,  bei  korrekter 
Deutung  nach  den  Regeln  der  Schule  sowie  des  überwiegenden  Sprach- 
gebrauchs ein  offenbarer  TJnsinn  ist,  Widersprüche  in  sich  schliesst  — 
vielleicht  anch,  wenn  sie  daltei  nur  als  alku  selbst verstündlich,  „nichts- 
sageud '  und  darum  zwecklos  erscheint  so  pllegt  der  ttudein  Partei 
zugemutet  sn  werden,  dass  sie  die  nächstliegende  unter  den  müglichen  Ter* 


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I  8.  Interpretation  fBr  Klasaen. 


229 


nünftigcit  Deutungen  heraaafäble  imd  aU  den  beabsichtigteo  Sinn  jener 

Äusserung  nnterlesfo. 

So  würde  ein  Ausspruch:  j,Diese  Behauptungen  sind  richtige  und 
falscW,  wenn  wirklich  gebrftndit,  in  vecBteben  sein  in  dem  Sinne:  „einige 
(die  einen)  von  diesen  Behanptangen  sind  riditige,  einige  (die  andern)  sind 

falsc!ie'*  —  ein  Urteil,  welches  wir  au  dieser  Stelle  noch  niobt  in  der  Lage 
sind,  in  der  Zeichensprache  des  Kalliuls  darzustellen. 

Mau  kiiiinte  sogar  sagen:  „fUesc  Behauptungen  sind  richtig  und  falsch 
(zugleich)*',  wenn  der  Sinn  derselbeu  nicht  unzweifelhaft  fest^steht:  richtig 
in  dem  einen  Siuue  und  zugleich  falsch  in  dem  andern  Sinne,  der  iiinen 
etwa  untergelegt  werden  kann.  Im  Grunde  ist  dann  aber  das  Subjekt  e 
des  SatzM  beidemal  nicht  dasselbe  und  der  Aussprach  nur  eine  abkfirsende 
Zusamiiieufassung  der  beiden  Aussagen:  „diese  Behauptungen  (auf  die  eine 
Art  g(  deutet')  sind  richtig'';  „ebendiese  Behauptungen  (auf  die  andre  Art 
gedeutf't^  <;ind  falbch". 

Krait  des  oben  Bemerkten  würde  das  eingangs  gewählte  Exempel, 
i.  e.  die  Aussage:  f,disse  Behauptungen  sind  richtige  oder  auck  ftlsehe%  im 
Verkehr  gebraucht,  auch  nicht  die  oben  ihr  gegebene  Bedeutung  c^^a+ft 
als  ein  „nichtssagender"  Au.-spruch  haben,  sondern  —  mit  einem  Stich 
in's  Ti'oni.-cho  —  die  Aufforderung  an  den  Gegenpart  enthalten,  zu  pillfen, 
ob  nicht  unter  seinen  Behanjituiigen  doch  wol  einige  falsche  sein  möchten! 
Auf  diese  Interpretatiou  aber  wtlrde  dabei  das  „auch"  in  „oder  auch"  jetzt 
wesentlich  mit  hinwirken. 

Von  solcher  Gepflogenheit,  von  solchen  FreiheitMi,  Lizenzen  der  Ver- 
kehrssprache  aber  müssen  wir  hier,  um  nicht  in  übergrosse  WeitlUufigkeiten 
verwickelt  zu  werden,  nach  Möglichkeit  absehen.  Es  würe  tlberhaupt  besser, 
wenn  rrmn  sich  korrekter  Ausdrucksweisen  hefleissigte.  Z\idpni  würden  wir 
sonst  genötigt  sein,  auf  die  Eigentümlichkeiten  und  Feinheiten  Uer  s))t:Tieneti 
Sprache,  in  welcher  wir  uuäre  logischen  Untersuchungeu  fübreu,  in  eiueui 
Umfange  einzugehen,  welcher  sich  mit  den  allgemeineren  Zwedien  dieses 
Buches  nicht  yertrtige,  vielmehr  einer  spesifiseh  „dentschen^^  Sprachlehre 
anheim  fiele.  In  Bezug  auf  die  Übertragung  irgmdwelchen  sprachlichen 
Textes  in  die  Zeichensprache  der  Logik  wird  darum  noch  Manches  dem 
Takt  und  Sprachgefühl  des  Studirendeu  zu  überlassen  sein. 

9t)  Wir  haben  im  Bisherigen  —  anter  Ö)  und  i)  —  bereits  ge- 
sehen, da»  der  BarÜkd  „und"  im  Sul^jdd  und  im  MuMkat  etiie  logisdi 
durehaus  verschiedene  Bedeuhmg  jsukcmmt 

Der  Oegensats  mdge  noch  an  einem  prägnanten  Beispiel  sichtbar 
gemacht  werden,  welelies  uns  sugleieh  die  vier  Schemata  der  Defini- 
tionen (3)  illastriren  wird.   Sagen  wir: 

„Betrfiger  (a)  und*)  Betrogene  (p)  sind  auf  dem  Holzwege,  ver- 

*)  Ohne  die  Tragweite  des  An-^-jpruchs  ?u  verändern,  kann  man  dieson  ,  un«l'* 
rikIi  durch  ,,odi  r*'  ersetzen,  wenn  man  si«  h  zu  di  r  l-mBchreibunf»  iH'qiiL'nit:  Wer 
eiu  Betrüger  oder  ein  üetrogeoer  uit,  ist  etc.  i>»gugeu  würdu:  „Betrüger  oder 
Betrogene  sind  «tc**  undeutlich  sein. 


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230  Vierte  Yorlmang 

dienen  Tadel*',  oder  dergleichen,  so  will  dies  freilich  sagen  einerseitB: 
i^Betrüger  sind  auf  lureehtem  Wege,  sind  tadelnswert'^  und  andrer- 
seits: j,B^^^g^i36  sind  auf  unrichtigem  Wege,  verdicneu  einigen  Tadel" 

—  entsprechend  dem  Schema  (3+)"  oder  dem  zweiten  Teil  der  Defi- 
nition (3^)  fQr  a-f&^c;  entsprechend  —  können  wir  auch  sagen 

—  der  ffanem  Definition  (3^.)  von  a  +  &  als  Sabjekt,  soferne  die  zwei 
letzten  Satze  auch  umgekehrt  wieder  in  den  ersten  zusammengesogen 
werden  dilrfeu,  als  mit  ihm  gleichbedeutend  hingestellt  werden. 

Sagen  wir  desgleichen: 

„Jene  Herren  sind  Betrfiger  und  Betrogene"  so  heisst  dies  gam 
analog:  „Jene  Herren  sind  Betrügci''  und  zugleich:  ,^ene  Herren  sind 
Betrogene"  —  in  Illustration  des  Schema's  (3^)"  für  e^^a-b,  sowie 
auch  der  gansen  Definition  (3^)  Yon  a*h  als  Prädikat,  indem  wieder 
für  die  zwei  letzten  Sätze  auch  umgekehrt  der  erste  eintreten  kann, 
dieser  mit  jenen  gleichbedeutend  ist. 

Das  beidemal  völlig  gleichlautende  „Betrüger  md  Betrogene** -ist 
nun  aher  als  Klasse  im  erstem  Fall  mit  a-^-b,  im  letztem  doch  mit 
a  •  6  zu  übersetzen  gewesen! 

Jnt  Suhjclii  hat  die  KonjunJclion  „und^*  die  Kraft  dts  l'lus-,  im 
Präuil.at  die  des  3 fal Zeichens. 

Es  erschfitit  uns  so,  wenn  wir  djpsos  mm  eiiilieitiich  zusammen- 
fassen, als  die  J laiijttaujnabc  ihs  JHndncmies  ,,ii}td*':  die  ( fpcra/ions- 
glicder  innerhrdh  (Irr  Di  fnutioncn  f.!)  )nitrinander  £u  mrkniipjcn,  Ijlieder, 
welche  eben  bei  (Ü^J,  wo  sie  im  Subjekt  stehn,  additive  oder 
SummuudeU;  bei  i^)^  wo  sie  im  i*rädikat  stehn,  muliiplikative,  oder 
Faktoren  sind. 

Jl)  Ähnliches  gilt  auch  in  Bezug  auf  die  nahe  liegende  Ausdehnung 
der  Schemata  nnsrer  Def.  (3)  auf  mehr  als  zwei  Operationeglieder 
(ef.  Zusatz  2  zu  Th.  13): 

a^bed  I  a+d  +  c^d 

sagt  nicht  mehr  und  nicht  weniger,  wie: 

ö  =^  6,  a  =^  c,  a  =^  I        a=^dj  h^d,  e^d, 

Etc     Wir  können  auch  diese  Thtoreme  für  die  Wortsprache  in  An- 
spruch nehmen.    Darnuch  lassen  sich  beliebig  viele  Satze 
vom  selbuii  .Subjekt  aber  mit  ver-  j  mit  dcuuselbt'ii  Prädikat  aber  ver- 
schiedenen Prädikaten  \  schit  dencn  Sul>j('kt('n 
jeweils  znsiiiunu'iuichL'U  in  t  iiicji  fin/i;^<'ii  Satz  mit  (-bciidiesem  Subjekt 
resp.  Prädikat«-  und  mit  einem  neuen,  zusa/mim&iyeseüten 

Prädikate  |  Subjekte. 


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§  8.  luier^retatioQ  lür  KlasBon.  231 

Desgleicheo  können  umgekehrt  Säise  der  letztem  Art,  d.  i.  SStse  mit 
emem  auf  gewisse  Art  zusammeugcdetzten 

Prädikat  |  Subjekte 

inuner  aufgelöst  werden  in  eine  Anzahl  Ton  als  gleichzeitig  gültig  an- 
zoerkeunenden  Sätzen  vom  nämlichen  Subjekt  resp.  Prädikate  und  den 
Elementen  jenes  zusammengesetzten 

Prädikats  als  einzelnen  Prädikaten     SiiKjokts  als  einzelnen  Subjekten 

—  eine  Zerfällung  durch  welche  der  Silin  jener  Sätze  seine  Erklärung 
findet^  dieselben  ,,auseinanderge8etzt''  werden. 

Die  „Zusammensetzung"  erfolgt  beidemal  (sowol  bei  dem  linker- 
hand  als  bei  dem  rechterhand  Gesagten)  vermittelst  der  Konjunktion 
„und**j  wozu  nur  zu  bemerken  ist,  dass  letztere  nicht  immer  ausdrück- 
lich gesprochen  wird.  Vielmehr  pflegt  bekanntlich  statt  „a  und  b 
und  e  und  d"^  in  der  Regel  blos  gesagt  zu  werden: 

„a,  hf  c  und  d^\  indem  man  alle  Bindewörter,  mit  Ausnahme  des 
letzten,  durch  Kommata  (Pausen)  ersetzt  —  und  zwar  sowol  wenn 
h,  Cj  d  Adjektive  (oder  auch  Relativsätze)  als  wenn  sie  SubstantiTe 
bedeuten.   Ähnlieh  später  bei  Adverbien.  Exempd: 

fßKoxen,  Basen  und  Salze  sind 
chemische  Verbindungen^  heisst: 
I,  Sauren  sind  chemische  Verbin- 
dungen'^  ,^asen  sindchemiecheVer- 
bindungen^  und  „Salze  sind  che- 
mische Verbindungen*' —  sogenann- 
jahendes)  „konjunktives**  Urteil.      i  tes  Jcopul<^ves^  Urteil. 

Der  Sinn  des  erstem  Satzes  wird  durcli  <lie  drei  letzten  aus- 
einandergesetzt" j  die  drei  letztern  Sätze  ziehen  «ich  in  den  ersten 
zuäammen. 

'  Es  beherrscht,  re^lirt  unser  Schema  im  Grossen  und  (nmxen  den 
Gebrauch  von  j^zusanunengesetzten"  nämlich  aus  andern  abjzeleiteten 
Klassen  in  Subjekt  und  Prädikate,  führt  ihn  zurück  auf  den  schon  be- 
kaunten  Gebrauch  der  sie  zusammensetzenden  einfachen  Klassen. 

Indessen  siiiii  sowol  in  Bezug  aut  ilas  Schciiici  liuker-  als  in  Bezug 
auf  dasjenige  rechterhand  auch  Ausnahmen  zu  koustatiren. 

f»)  Links  tritt  eine  Ausnahme  zutage  da,  wo  das  Subjekt  kon- 
stniirt  erscheint  mit  einem  der  sog.  „unbestimmten  Zahlwörter":  „einige, 
etliche,  manche,  gewisse,  wenige^  Yiele*'  —  auch  Jsem  oder  keine%  des- 
gleicben  schon,  wo  es  Tersehen  ist  mit  dem  unbestinunten  Artikel  nein'', 
oder  mit  einer  Zahlbestimmung  überhaupt  —  vergl.  S.  180. 


ffiie  Löwen  rind  Raubtiere,  yom 
Katzengeschlecht  und  im  Oriente 
betmisch''  heisst:  „Die  Löwen  sind 
ftaubtiere",  „Die  Löwen  sind  vom 
Eatsengeschlecht'',  „DieLöwen  sind 
Orientbewohner''  —  ein  sog.  (be- 


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232  Vierte  Vorlwnug. 

Z.  B.  (He  drei  Sätze:  „Einige  Substanzen  sind  (in  Wasser)  löslich"; 
„Einige  Substanzen  sind  (aii  der  Luft)  verbreiinlich"  und  „Kini^^e  Sub- 
stanzen sind  (in  der  Hitze)  verflüchtigend''  sagen  zusammen  doch 
weniger  aus,  als  der  eine  Satz:  „Einige  Substanzen  sind  löslich,  ver- 
brennlich  und  flüchtig",  mit  weldiem  sie  ja  nach  dem  allgemeinen 
Pchenia  «„'nnz  gleichbedeutend  sein  müssten.  In  jenen  drei  Sätzen  wird 
nämlich  nur  gesagt,  dass  es  Substanzen  gibt,  welclie  eino  beliebige 
der  drei  erwähnten  Eigenschaiteu  fOr  sich  (vielleicht  nur  getrennt 
von  den  übrigen)  besitzen.  In  diesem  einen  Satze  daijt'gen  wird  kuu- 
statirt,  das»  es  auch  Substanzen  gibt,  die  alle  drei  Eigenschaften  auf 
sich  vereinigen  (wie  dies  in  der  Tbat  manchmal,  sogar  bei  Salzen,  z.  B. 
beim  salzsaurt^i  Anilin  der  Fall  ist), 

ÄhnUcbes  lie.^.>e  siih  bei  den  folgendeu  Ausf«ageu  durchsprechen: 

„Gewisse  l'flanüeu  sind  Fleisch f res ser,  Dicotylen  und  Bewohner  tro- 
pischer Moore".  „Mftiudie  Meosehen  sind  unklug  tuid  le^eht■iIlllig*^  „Wenige 
KMiBeben  sind  arm  und  znftieden^'.  ,fViele  sind  unwissend  und  leichtglSabig*^. 
Etc.  „Zwei  Manu  wurden  verwundet  und  gerieten  in  feindliobe  Gefangen« 
Schaft"  heisst  nicht:  Zwei  Mann  wurden  verwundet,  und  zwei  Mann  gerieten 
in  Gefangenschaft;  vielmehr  bezieht  pich  letzteres  auf  dieselben  zwei  Mann, 
wie  erstres,  und  weil  eben  der  ISamo  „zwei  Mann*'  daii  Subjekt  nur  unzu- 
länglich beseichnet»  reieht  die  Wiederholung  des  Namens  nicht  ansi  es  als 
dasselbe  su  kennseiehuen,  und  mass  formell  die  Aasnabme  Plati  greifen. 

Statt  „Einige  a  »ind  b  und  c"  zu  sagen:  „Einige  a  sind  b  oder  (auch) 
würde  dem  Inhalt  der  beiden  Siitze:  „Einige  a  f-ind  und:  n 
sind  c"  zwar  etwas  nUhcr  kommen,  sich  aber  auch  nicht  mit  ihui  tle(  kon. 
Es  wird  nicht  mehr  nötig  sein,  hierauf  zurih k/nkommen,  nachdem  diese 
sog.  „partUcidaren"  Urteile  im  Zusammenhange  behandelt  sein  werden. 
Lassen  wir  aneh  dieselben  bis  dahin  noch  möglichst  zurDcktreten,  so  durfte 
doch  hier  der  Hinweis  auf  die  Thatsache  nicht  unterbleibeni  dass  sie  eine 
Ausnahme  für  daä  linkb^seitige  Schema  begrüudeu. 

Und  ein  analoges  Verhalten  nehmen  wir  uns  hier  auch  zur  Richtschnur  in 
Bezug  auf  die  spiiter  cbrni  ills  all;:reraein  zu  behandelnden  vorneiiiendon  Urteile. 

Em  ,yh< [iiiiivca"  Lrteil,  wie;  „Kein  Mensch  ist  fehlerfrei  und  all- 
wissend" behauptet  wiedernni  weni;^er,  als  wie  die  li  'idc  ii  Sätze:  ,,Kein 
Mensch  ist  fehlerfrei"  und  ,,Kein  Mensth  ist  ailwi.  ^  id"  zusammen  — 
welche  nur  in  den  Satz:  ..Kein  Mensch  i>t  leiihulrej  vdcr  allwissend** 
ohne  Änderung  (Erweiterung  oder  EiuBcbrüükung)  des  Sinnes  zusammen- 
gezogen werden  könnten. 

v)  Eine  Ausnahme  ron  unserm  Schema  rechterfaand  unter  X)  ist 
formell  za  statuiren  in  folgendem  Falle:  Wenn  das  PHUlikat  eine  £e* 
Mukning  fufiaehm  den  IndiTidoen  der  Subjektklasse,  oder  aneh  zwischen 
Unterklassen  derselbeoi  konstatirt,  so  darf  a+b^c  nit^  chne  weUtres 
in  a^e  und  h^e  aerf&Ilt  werden  (nnd  analog  bei  mehr  als  awei 


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§  8.   Interpretation  für  Klassen. 


238 


T€nneii)w  Zu  B.  ^yBoacbniSnner  (Hottentoten^  Namaqua)  nnd  Neger 
(Damra,  Hertrd's)  befehden  einander*'  will  nicHt  sagen:  y,Bu8climauner 
befehden  einander"  nnd  „Neger  befehden  einander'^,  .sondern:  „Die 
Buehm&nner  befehden  die  Neger^  und  „Die  Neger  befehden  die  Busch- 
oäimer^. 

„a  und  h  sind  emander  g^eUh**  heissi  natürlich  nicht:  „a  ist  ein- 
ander sHetA"  nnd  Jb  ist  «tfiondSer  giUidif',  sondern:  ^/i  ist  gleich  J/*  nnd 
Jf  ist  gleich  Analog:  „Der  Kläger  and  der  Beklagte  verglichen 
lieh^  Etc. 

„Die  Herren  A  nnd  B  schliessen  einen  Kauf  ab'*  heissi:  „Herr  A 
lehfiesst  einen  Eanf  ab*'  nnd  „Herr  B  schliesst  einen  Kauf  ab%  und 
lisst  es  offen,  ob  sie  dies  mUemander  thun,  wob«  der  eine  Herr  als 

Käufer  der  andere  als  Verkaufer  erscheiueu  wfirde,  oder  aber  mU 

dritten  Vtrsonen.  Im  ersten  Falle  würde  das  Prädikat  zwar  eine  J?e« 
zkhmu)  zwischen  den  beideu  Individuen  der  Subjektklasse  involviren, 
und  doch  die  erwähnte  Ausualmie  nicht  Phitz  greifen,  weil  die  gedachte 
Beiiehuntr  im  Prädikat  nicht  ausdrücklich  ertcülud  ist. 

In  allen  Beispielen  überträjft  sich  doch  weseutlicli  das  Prädikat 
(„befehden",  „jzleich  sein",  „Kauf  abüchliesseu"  etc.)  auch  auf  die  Unter- 
Itlassen  und  Individuen  der  Subjektklasse,  und  in  gewissem  Sinne  bleibt 
es  immer  wahr,  (iass,  was  von  der  Gattmu/  ausfj(S(u/t  wird,  (uuh  von 
deren  Arfrn  nnd  Individuen  (jcltai,  ni(S(/rs(i<?t  stun  sidl;  nur  die  Bcziciiunyj 
welche  dem  Prädikat  beigefiitjt  ist,  das  „einander"  oder  „mit,  pjegen, 
durch,  etc.  einander"  muss  bei  den  Einzelübertragunü^en  des  Prädikats 
auf  jene  Unterklassen  jeweils  modifizirt,  verschieden  ausgedrückt,  oder 
—  um  einen  bei  Nicht-Mathematikern  in  diesem  Öinue  beliebten  Aus- 
druck zu  gebrauchen  —  muss  dabei  „ditl'erenziirt**  werden. 

Regeln  aufzustellen,  nach  welchen  in  dergleichen  Fällen  die  Zer- 
?^paltuu^  des  zusammengesetzten  Urteils  in  einzelne  einfachere,  oder 
uiDj^ekehrt  die  Zusammenfassung  solcher  zu  einem  einzigen  korrekt  zu 
erfolgen  hätte,  liegt  uns  hier  noch  ferne.  Es  wären  diese  Regeln  in 
die  Ijogik  der  Beziehungen  überhaupt  zu  verweisen.  Diese  aber,  als 
eine  allgemeine  Dissiplin,  stellt  einen  höheren  Teil  der  Logik  vor,  dem- 
gegenüber wir  es  hier  nur  mit  den  aüerelenientarsten  Beziehungen 
swisehen  Klassen  oder  Begriffsiim/aV}^  su  thun  haben,  nämlich  mit 
jener  besonderen  Grappe  von  Beziehungen,  deren  Erklärung  ganz  auf 
dsn  Begriff  der  Einordnung  gegrfindet  werden  kann,  und  bei  welchen, 
wenn  von  Individuen  einer  Klasse  etwas  ai;sgesagt  wird,  die  übrigen 
Individuen  diewr  Klasse  dem  Geist  nicht  gegenw&rtig  an  sein 
hranehen. 


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234 


Vierte  Voriesoag. 


I)  Die  nämliche  Bedeutung,  wie  im  Priidikat  nämlich  die  Kraft 
des  il/a/-Zeichens  —  kommt  der  Partikel  „MwrZ"  auch  in  Aj^osUionen 
züf  d.  h.  zwischen  Adjektiven  (ct.  aach  Kelativsätzen)  die  vom  näm- 
lichen Substantiv  regirt  sind,  sowie  zwischen  Umstandswörtern  (Ad- 
verbien) die  sich  auf  das  nämliche  Verbum  beziehen.  Z.  B.  „Unwich-' 
tige  und  wohlmeiaende  Freund«?  ri<  t' ;i  ihm  . =  „Freunde,  umsichtig 
und  wohlmeinend,  rieten  .  .  Der  Satz  hat  zum  Subjekt  (a  •  h)  ■  c, 
d,  i.  y^reunde  c,  die  umsichtig  (a)  und  wohlmeinend  (h)  zugleich  sind 
(resp.  waren)",  nicht  aber  (a  +  h)  -  c  =  c  •  (a  +  h),  das  ist  „Freunde,  die 
umsichtig  oder  aber  wohlmeinend,  oder  vielleicht  beides  zugleich  sind". 
Der  Deutlichkeit  zuliebe  würde  allerdings  das  „und"  besser  unterdrfickt 
und  gesagt:  ^jUmsirlitige,  wohlmeinende  Freunde^'  •  .  .  lodess  wird  des 
Wohlklangs  wegen,  bei  einer  Aufzählung  von  mehreren  Eigenschafts- 
oder aber  Umstandswörtern,  die  Sprache  ungern  auf  das  deren  letzte 
Terkntipfende  T^indewort  v.  r/iditen.  Z.  B.  „Opferwillige,  reiche  und 
Terschwiegene  FrLunde  halfen  ihm  aus  seiner  Geldverlegenheit".  Es 
mass  gemeint  sein:  Freunde^  die  alle  jene  Eigenschaften  zugleich  be- 
sassen;  liätte  z.  B.  auch  nur  einer  derselben  geplaudert,  so  würde  die 
Diskretion  der  Übrigen  nichts  genOtzt  haben! 

„(Gewobnheitmässiger)  Ha8ehiBch(genu8s)  tötet  schnell,  elegant  und 
sicher^  besagt  wieder,  dass  die  Tötung  in  jeder  der  genannten  Weisen 
ßugleiah  erfolge.  Etc. 

AU  fernere  Beispiele  mögen  noch  angefahrt  sein:  „Ein  markt- 
schreierisches nnd  schwindelhaftes  Unternehmen  florirte  daselbsf.  „Die 
arglosen  nnd  unbewaffneten  Eingeborenen  erschraken  sehr*'.  „Gewissen- 
hafte und  pfliehttrene  Beamte  werden  geschützt^'.  „Gezogene  nnd  weit* 
tragende  Geschtttze  . .  ,**  „Seltene  und  teure  Bfineralien . . Etc. 

Wie  schwankend  übrigens  der  Gebranch  bei  derartigen  Sätzen  iat, 
zeigen  Urteile  wie: 

„Tau^iehe  und  untaugliche  Militardienstpflichtige  haben  sich  ein- 
zufinden'*. „Unsre  aktiven  und  passiven  Mitglieder  sind  eingeladen^ 
etc.  —  wo  die  in  die  Apposition  eingehenden  beiden  Klassen  a  und  b 
sich  nicht  zu  a  •  5  sondern  zu  a  +  &  susammenaetzen.  Ea  wäre  hiezu 
wieder  auf  das  unter  i)  Ansgefahrte  zu  Terweisen.  Ob  eine  aoa  den 
Teilen  a  und  h  zusammengesetzte  Apposition  mit  ab  oder  mit  a-^b  tn 
übersetzen,  ihrem  Sinne  nach  logisch  darzustellen  ist,  wfirde  chne  saeh- 
Uehe  NAettbetraekkmgen  in  der  That  oft  dunkel  bleiben;  Ober  den  Sinn 
▼on  einigen  Appositionen  wird  man  wirklich  streiten  können. 

Man  lege  sich  bei  dergleichen  Übertragungen  stets  die  Fn^e  vor, 
ob  beabsichtigt  sei,  dass  die  durch  die  Appositionsglieder  ausgedrückten 


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(  8.    lDterpr<:tatiou  für  ivlus^eu. 


235 


EtgeiMchaften  gleichseitig  oder  nur  einceln  dem  regireuden  Sabstantiv 

(oder  Terbum)  zugeecbrieben  werden:  im  entern  Fall  wird  ah,  im 

letztem  a  +  h  die  richtige  Übereetsung  sein. 

Wir  haben  es  in  der  Worteprache,  wie  man  sieht,  fast  immer  nur 

mit  Rtffdn  an  tbnn,  welche  .auch  Aasnahmen  zulassen.  Erst  im  Kalkal 

werden  wir  OeaeiBe  haben ,  bei  denen  Ausnahmen  nicht  vorkommen. 

Im  logiseben  Interesse  haben  wir  Torstehend  dm  Begriff  der  „Appo- 
sition** etwas  weiter  gefasst,  als  es  in  der  Grammatik  üblich  ist,  wo  der* 
selben  sugemutet  zu  werden  pflegt,  dass  sie  —  wie  bei  „Dionysius,  der 
Tyrann  von  Syrakus",  „Polykrates,  Herrscher  von  Samos^',  etc.  —  in  der 
Form  von  Substantiven  auftrete* 

o)  Wir  lernten  für  identische  Produkte  und  Summen  verschiedene 
Weisen  der  Obertraguog  in  die  Wortsprache  kennen. 

Die  Operationaxeichen  •  und  +  dürfen  aber  als  nuH  und  plvs  nur 
gelesen  werden,  wenn  die  Klassen,  welche  sie  verknApfeni  durch  Buch* 
Stäben  dargestellt  sind:  Es  soll  hier  nicht  daf&r  pladirt  werden,  dass 
man  sage:  ^^schwars  mal  Pferd  gleich  Rappe"  oder  „Pferd  mal  weiss 
gleich  Schimmel"! 

Wird  das  Malseieben  ^'ui  nicht  gesprochen,  so  werden  die  Stttse  wieder 
legitim,  und  machen  —  tm  Deutschen  —  wegen  mangelnder  Flexion  des  Eigen- 
schaftswortes und  eventuell  dessen  hier  nichttUiridier  Hintansetinng  hinter  das 
Hauptwort,  nur  den  Eindruck,  von  einem  Kiiuk;  oder  etwa  einem  Böhmaken, 
ein«Mn  auf  tiefer  Kulturätufe  i-tebondcu,  oder  der  deutrich<>n  Hpracho  nicht 
recht  mächtigen  Auslünder,  halbwilden  Eingebüriiou,  etc.  herzurühreu: 
n8ohwar2(e8)  Pferd  (black  horse)  ist         Happe  ^ 
^PfcMPd  weis8(es)  (ebsTal  blane)  *  Schimmel*^  — 
^  im  Qbrigen  ToUkommen  entsprediend  der  Schreibung:  a&  «  c. 

Desgleichen  soll  nicht  „Herren  plus  Damen''  i%lr  ,^erren  und 

Damen"  gesagt  werden.  Etc. 

s)  Als  Ezempel  zu  Th.  6)  führen  wir  an: 
ab  ^        „Gebildete  Adelige  sind  gebildet« 

„Besitzende  Adelige  sind  adelig  (Adelige)." 

fßchwarze  Pferde  sind  schwan''  [oder  „Kappen  bind  ächwar/'j  ,^io 
sind  auch  Pferde''^  etc.  |. 

Hier  gibt  es  duii  sowol  .schwar/o  al.--  utuh  nicht  .schwur/e  Pferde. 
Man  beachte  iu  dieser  Uiubicht  den  Gegensatz  deö  Heispiels  üu  den 
beiden  folgenden: 

„Der  weisat  Schncr  ist  v^tss*', 
„Alle  rundeti  {^itailratc  sind  riuid"  — 
welche  iudess  ebenso  berechtigt  sind,  das  Th.  6^  zu  exemplifiairen. 


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2B6 


Vierte  yorlegnng. 


Das  zweite  Beispiel  fordert  die  Bemerkung  lieraus,  dass  aller 
Öclmee  weisü  sei''),  versuchte  Deteruiiuiitiou  des  Subjekts  „Schnee" 
durch  da?;  Adjektiv  „weisse"  mithin  übertiiLssif^.  Es  gibt  hier  ab  — 
d.  h.  b  welche  a  sind  —  aber  keine  b,  welche  nicht  a  wären. 

Das  dritte  Beispiel  provuzirt  den  Einwurf,  dass  es  runde  Quadrate 
überhaupt  iiiclit  ^'ebe.  [Da  es  zu  einer  Kontroverse  Anlass  geben  kann, 
wrr(b  n  wir  auf  dasselbe  unter  ^)  des  §  U  iinplicite  nochmals  zurück- 
kommen.] 

Die  drei  kursiv  gedruckten  Exempel  können  als  ttjpische  bezeichnet 
werden,  indem  —  wie  leicht  zu  sehen  —  jede  donkbare  Anwendung 
de8  ;^atzes  ii^)  von  der  Art  eines  dieser  drei  £xeiiipel  in  beratet 
Hinsicht  sein  muss. 

^}a^a  +  &.  ,,Die  Adeligen  sind  Adelige  oder  auch  Beeitzende  [ge- 
hören zur  ArititokratieJ'^   „Die  Besita^ndeti  ebenfalls''. 
yyGleieh  iet  untergeordnet  oder  gleich'',  veigl.  den  §  1. 

Der  Satz:  »^orddeutsclie  sind  Deutsche''  kann  angesehen  werden 
als  eine  Bxenipiifikation  von  6^)  sowol  als  Ton  6^.).  Ersteres,  indem 
man  „Norddeutsche"  versteht  als  die  Klasse  derjenigen  Deutschen, 
welche  aus  dem  Norden  stammen,  resp.  nördlich  der  Mainlinie  wohnen« 
Letzteres,  insofern  man  die  Klasse  der  Deutechen  ansehen  kann  als 
die  identische  Summe  aus  den  Klassen  der  Nord-  und  der  Süddeutschen 
(einschliesslich  der  durch  die  Kolonialerwerbnngen  hinzugekomnmieii 
Reiehsangehorigen). 

Alle  diese  Sätze  dflrflen  einfach  als  Selbstrersiandliche  zu  be- 
zeichnen sein.  —  Wir  mfissen  hier  ehra  auch  die  verschiedenen  Arten 
des  SelbstTcrstandlichen  registriren.  Und  dieses  hat  verschiedene  Grade ! 
Wo  ist  die  Grenze  des  unmittelbar  Selbstverständlichen  fOr  den  einen, 
wo  für  den  andern  Denker  oder  Studirenden?  Im  Grunde  wird  —  so 
hoffen  wir  —  Alles  in  diesem  Buch  behauptete  als  selbstverständlich 
richtig  zu  bezeichnen  sein  —  nicht  minder  wie  diese  elementarsten 
Betrachtungen  so  auch  die  komplizirtesten  Theoreme  und  Lösungen 
verwickelter  Aufgaben,  in  wekhe  vielh'icht  schon  der  begabteste  mensch- 
liche Intellekt  ohne  die  Technik  unsres  oder  eines  ihm  gleichwertigen 
Kalküls  nicht  mehr  Einsicht  zu  gewinnen  vermik-hte. 

Zur  Entschuldigung  dafür,  da«s  wir  jcwcila  auch  bei  dem  einfacheren, 
dem  unmittelbar  Seibstverstttndlichen  verweilen,  sei  der  Ausspruch  aas 
Goethe's  Wahlverwandtschaften  eitirt: 

*}  Der  sog.  »vote  Sehnee"  ist  es  beksniiUioh  nur  shsi  fiSeftsiN«  infelge  der 
eiogeatreuten  Protooocous  nivatis  ^  Algen. 


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§  9.   Konsequenzen  der  Adjuugirung  einer  Nntlklasse. 


237 


„Es  klingt  freilich  wunderlich,  wenn  man  etwaB  ausspricht,  das  sich 
ohnehin  versteht;  doch  nur  indem  man  sich  über  das  Bekannte  ySllig  Vfir- 
stSadigt,  kann  man  miteinander  zum  Unbekannten  fortschreiten'S 

Anderafalls  nllmlich  trennen  sich  alsbald  die  Wege  und  %vird  ütVeiibar, 
dasa  60  doch  von  eiuer  nicht  zu  unterschätzenden  erziehlichen  Wirkung 
gewesen  wire,  dass  es  geradem  noerllteslich  ist,  sieh  erst  nm  die  Siehernng 
von  gemeimamen  Ansgangspnnkten  nnd  Richtangen  des  Fortsehreitens  sn 
bemflhen,  seihet  auf  die  Qe&hr  hin,  dem  Vorwurf  der  TriviaUtftt  sn  begegnen. 

§  9.  FortMtnmg.  KoiiMq,iienien  der  Adjitiiginuig  «iner  NvIlUaaae. 

Beine  Mannlgfiatigkelt. 

p)  Die  Betrachtungen  unter  jr)  würden  nicht  voilstündig  sein, 
wenn  wir  nicht  bei  Tb.  6^  den  Fall  noch  eingehender  erürterteui  wo 
a&  e=  0  ist. 

Ich  wähle  dazu  ein  gewisses  typisches  Beispiel,  ein  i-ieispiel,  welches 
sicli  zu  einem  Vorbild  für  alle  Fälle  dieser  Art  besonders  gut  eignet. 

Sagen  wir: 

,,Alle  gleicJiseit'ujm  recht ichfl-Jk^en  Thekrlc  sind  gJekhseiiig" 
Ao  gibt  dies,  wenn  als  lilüsse  „gleichstitig*'  mit  a  bezeichnet  und 
„rechtwinkliges  Dreieck"  oder  „liektangel"  =  b  genannt  wird,  eine 
Illustration  zu  dem  Satze  6^)  ah  =^  a. 

Sind  nun  di«'  i  h  i  lecke,  von  welchen  wir  sprechen,  solche  aut  der 
Kngelfläche,  sind  es  ,^phärische^^  Dreiecke,  so  gibt  es*)  Individuen  der 
Klasse  a  ■  h,  welche  ja  die  „gleichseitigen  rechtwinkligen  (Kugel-)Drei- 
ecke",  oder  kurzer  gesagt,  die  „gleichseitigen  (sphärischen)  Rektungel" 
bedeuten  soil.  Aus  der  Sphärik  nämlich  gleichwie  aus  der  Anschauung 
ist  es  bekannt,  dass  jedes  dreirechtwinklige  Dreieck  als  der  achte  Teil 
«1er  ganzen  Kugelfläche  zugleich  aueii  ein  gleichseitiges  (  nämlich  drei- 
rcchtseitiges)  ist.  Hier  ist  dann  a  ■  b  nicht  gleich  0,  und  haben  wir 
ein  Beispiel,  welches  sich  den  früher  unter  ar)  angeführten  als  gleich- 
artig an  die  Seite  stellt. 

Sprachen  wir  dagegen  von  geradlinigen  oder  ebenen  Dreiecken,  so 
wird  O'b  jetzt  ein  Name  sein,  welcher  „nichts"  bedeutet;  es  ist  ein 
sinnloser  oder  leerer  Name  geworden,  eine  Klasse  vorstellend,  welche 
kein  Individuum  in  sich  schliesst,  sintemal  es  gieicbseitige  rechtwiniclige 
ebene  Dreiecke  bekanntlich  nicht  geben  kann. 

Ob  man  nun  auch  fOr  ebene  Dreiecke  den  obigen  Auaepmch 

*)  Ks  ist  hier  utbenBucblicb,  ob  ^Kir  diesen  Anssprach  auf  die  Maanigfaltig- 
keit  1  des  WirklicL(>n,  Kealeo,  oder  auf  die  noch  lunfasaendere  de»  ttberbaapi  so 
denken  Möglichen  bezieben.. 


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Vierte  VorleeuBg. 


gelten  lassen  wird?,?  Man  köuuie  darüber  streiteu,  und  es  wäre  Jas 
bochfitäblich  ein  Streit  „um  nichts  und  wieder  nichts",  denn  auch  die 
fragliche  Aussage  ist  nichtssagend,  sie  bezieht  sich  auf  nichts. 

Wie  man  solches  im  gemeinen  Leben  lialten  mag,  ist  uns  gleich- 
gültig; ich  meinCi  man  sollte  (auch  da)  sie  gelten  lassen,  mac  sollte 
ihr  wenigstens  eine  sozusagen  yformale  Gültigkeit"  zuerkennen,  in  An- 
betracht^ dass  in  ihr  dem  Subjekt^  den  gleichseitigen  ebenen  Hektangeln, 
nur  eine  hei  demselben  sdiön  vorawgesetgte  Eigenschaft  (der  Gleich- 
seitigkeit) sugesprochen,  beigelegt  wird. 

Hier  aber,  in  dem  Rahmen  unsrer  Ditsiplin  der  Algebra  der  Logik, 
sind  wir  jedenfalls  wrpftiehid,  die  gedachte  Aussaffe  aJs  ridd^  ansth 

Diese  —  ja  eine  noch  Yiel  weitergehende  —  Yerpfliehtung  ist 
eine  Wirkung,  notwendige  Folge  der  seiner  Zeit  Ton  uns  voUsogenen 
und  durch  die  Vorteile,  die  sie  gewährt,  ja  bereits  motivirten  Ad- 
jungirung  der  NuU  zu  unsrer  Mannigfaltigkeit,  Folge  der  Aufnahme 
des  Nnllgebietes  unter  die  Gebiete,  der  Zulassung  einer  Nullklasse  su 
den  Klassen,  der  Hinxuziehnng  des  Begriffs  des  „Nichts^  au  den 
sonstigen  Begriffen  des  Menschengeistes. 

Nach  Def  (2J  ist  O^a,  was  auch  a  fttr  ^n  Gebiet,  fOr  eine 
Klasse  bedeuten  mdge.  Wenn  also  ah  die  0  bedeutet,  so  ist  in  der 
That  ab=^a. 

Das  j^üM*  ist  sogar  Stdtjeki  tu  jedem  hrädSsak:  das  Nichts  ist 
schwarz;  das  Nichts  ist  sogleich  auch  nicht  schwarz;  denn  die  Null- 
klasse ist  in  jeder  Klasse  mit  enthalten.  Wenn  sie  „nichts"  betrifft, 
kann  eine  Aussage  niemals  falsch  sein,  und  wenn  sieb  Aussagen  auf 
gar  iiicht:5  beziehen,  so  ist  auch  kein  Widerspruch  zwischen  diesen 
Auösageji  in<')glich. 

Den  iu  diesem  Absutite  ausgt'.sproclieuen  allgemeinen  Siit/.cii  wirJ 
später  doch  eine  gewisse  Einschränkung  nachträglich  zu  geben  sein; 
indem  es  nötig  fällt,  die  Manniglaltigkeit  1,  aus  welcher  jene  GebiL-te, 
Klassen  oder  Prädikate  nach  Belieben  herausgehoben  wenleu  dürien, 
in  gowibicm  Sinne  nach  oben  zu  beschränken,  indem  sicli  herausstellt, 
dasa  diesü  Mannigfaltigkeit  eine  „reine"  bleiben,  d.  i.  eine  gewisse 
Beschaffenheit  bewahren  muss,  worüber       ;()  zu  vergleiclien. 

Iu  BeziifT  auf  v!ii>er  typi'^fiies  Kxömpel  kann  man  sich  nunmehr  auch 
vorötelien,  dass  etwa  die  2^atui  /.u  untersuchender  Dreiecke  —  ob  sie  ebene, 
ob  sphirische  —  von  Yotnherein  unbekannt  sei.  Die  in  dem  £xempel  als 
gttltig  hingestellte  Aussage  mag  dann  TieUeicht  em  Glied  bilden  in  einer 
Kette  von  Überlegungen,  die  den  Zwtck  haben,  tu  ei^mitteln,  von  welcher 
Natur  die  fraglichen  Dreiecke  wirklich  sein  mOssea.  Wird  dabei  nach  hier 


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%  9.  Kott»equeiisMi  der  AdjuugiruDg  einer  Nnllklasse.  239 


entwickelten  logischen  Prinnpien  konsequent  verfahren,  so  kann  die  er- 

wähnto  Ausnage  als  Pr;imif53e  zu  weiteren  Schlusäfolgerungen  nun  ganz  nn- 
beiieuklich  mitverwemlet  werden,  und  i.^t  kein  r5nmd  ersichtlich,  weshalb 
gedachte  üntersuchungen  nicht  ihren  Zweck  erreichen  dürften. 

Öo  kauu  mau  z.  B.  aut  die  Behauptung,  dasa  gedachte  Dreiecke  gleich- 
seiüg  öind,  nach  bekanntem  Satze  den  Sohluss  gründen,  dass  sie  anch 
gleichwinklig  sein,  ihre  Wtnkelsumme  mithin  drei  Rechte  betrag«!  mfisse, 
womit  dann  die  Frage  entsofaieden  ist  und  die  ebenen  Dreiecke  aus- 
geschlossen erseheinen. 

a)  Es  wurde  in  §  1  uusgefübrt,  das«  das  Subsumtioiiszoicheu  =^ 
der  Kopula  eut?^pricht,  und,  wenn  a  und  Klassen  vorstelieii,  ilie  Sub- 
samtiou  mit  „n  ist  6''  resp.  „alle  a  mud  ö''  wiederzugeben  sei. 

Die  seitdeui  mit  Def.  (2^)  von  \mh  vollzogene  Zuaiehiuif?.  Ad- 
jungining:  der  „Null"  zu  den  Oebieten  und  Klassen  hat  mm  im  Cxetoli^e, 
dass  auch  diese  Bemerkung  eine  Moüiiikatiun  nachträglich  erfahren 
mnss,  wenigstens  für  die  Sprache  des  gemeinen  Lebens. 

Hat  a  den  Wert  0,  so  gilt  die  »Subsumtion  <i^h  ohnehin,  was 
auch  für  eine  Klasse  6  immer  bedeuten  möge.  Diese  Subsumtion  '»^6 
lehrt  uns  danu  nichts  besonderes,  sie  wird  (hinsichtlich  des  h)  zu  einer 
geradezu  ,,nichtssagenden''. 

Der  Fall  a  =  U  ist  nun  der,  wo  die  Klasse  a  überhaupt  keine 
Individuen  enthält  eine  leere  ist^  was  die  «Sprache  mit:  gibt  keine  af* 
ansdrQcken  wird. 

Diesen  Fall  muss  man  nunmehr,  wenn  ausgesagt  wird,  dass  a^h 
eeiy  stets  mit  als  möglich  zagelassen  denken;  daher  ist  die  Subsumtion: 

fortnn  sn  lesen: 

„ilUe     Bofem  es  wMe  gibt,  änd  h** 
sie  ist  m.  a.  W.  SU  interpretiren  als: 

Eniweder:  es  gibt  keine  a, 

Oder,  wenn  es  welche  gibt,  so  sind  sie  alle  (. 
Im  Bahmen  der  gegenwärtigen  Dissiplin  wird  es  zwar  [mit  einem 
kleinen  unter  v)  m  erwähnenden  Vorbehalt]  ganz  unbedenklich  sein, 
sack  bei  der  einfacheren  Fassung  zu  bleiben  und  nur  sn  sagen:  „a 
ist  ft"  resp.  „alle  a  sind       wie  Mher. 

Für  die  V^erkehrssprache  aber  wiirc  hiezu  nielit  zu  ratcu!  Indem 
hier  stillschweigend  die  l  ntersttUung  iiiiizutritt,  dass  Derjenige,  der 
etwas  sagt,  auch  wirklich  (über)  etwas  aussagen  wolle,  so  wird  eine 
auf  ,,alle  bezfigliche  Aussage  allgemeiu  so  aufgefasst,  dass  sie  das 
Subjekt  als  existireud  annehme  oder  hinstelle. 


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240 


Vierte  Vorlenmg. 


Wird  etwa  gemeldet:  „Alle  Versuche  seien  i'eklgesehlagen",  so  wäre 
in  der  Auffassung  des  Publikums  damit  implieite  auch  gesagt,  das» 
wirklich  Versuche  gemacht  worden.  Und  wenn  jemand,  der  nieman- 
den beraubte,  etwa  TOn  sich  sagen  wollte:  ,^e  tod  ihm  Beraubten 
seien  wohlhabend  gewesen^',  der  würde  sich  einer  argen  SelbstTerlentn- 
dnng  schuldig  machen.  Etc.    Vergl.  hiezu  noch  weiter  unten  9). 

Immerhin  berulit  auf  dlcseiii  Tlmstand  eine  Art  von  Witz,  eventuell 
bewusst^r  Täuschung  oder  Lüi^e,  welche  vor  dem  logischen  Gnris'srn  noch 
am  ehesten  zu  ent?c1iukliL'»'Tf  (auch  vor  dem  mathonmtisiJun,  .'■ofern  oben 
in  der  Mathematik  üiue  xiuzuiii,  die  der  a,  auch  gleich  0  gedacht  wer- 
den darf). 

Wer  eich  im  Alltage-Leben  die  Subsamtion  aar  Verbal- 

iungäregel  wählen  wolHe,  wflrde  ekberlich  bald  der  Wortklanterei, 

Sophistik,  Spitzfindigkeit  geziehen  werden,  nnd  dieser  wollen  wir  hier 

nicht  das  Wort  reden. 

Aber  „Eines  schickt  sich  niclit  für  Alle".    In  der  Wissenschaft 

ziemt   es  sich,   schärfer  zu    uiiterscheiileu,    stillschweijjjeiule  Vorau:*- 

seizungen  jeweils  zu  uuf^drücklicheu  zu  erheben,  dann  aber,  was  gar 

nicht  gesagt  wurden^  auch  nicht  als  behauptet  hiuzustellen. 

Auch  die  gewöhnliche  Verkehrssprache  kann  den  Begriff  des  „nichts** 
oft  nidit  entbehreo;  sie  lueUt  ihn  zeitweilig  allerdingö  heran,  ohne  jedoch 
auf  sein  Mitanterlanfen  immer  und  überall  ge&sst  va.  sein.  Sie  TerbSlt 
sich  in  dieser  Beziehung  der  identischen  Noll  gegenüber  ungefähr  so,  wie 
die  arithmetische  Analysis  sich  verhält  gegenüber  der  „absoluten  Unend- 
lich", welche  hier  ebenfallf*  zeitweilig  herangezoj^cn  wird,  nm  den  Mangel 
eines  Zahlenwertes  äusseriieh  'm  verdecken,  den  Au&lall  einer  Zahl  zu 
maskiren,  welche  m.  a.  VV.  hier  wesentlich  die  Rolle  eines  Lückenbtl&äerä 
(„stopgap'^j  spielt,  und  dennodi  nie  als  eine  wirkliehe  Zahl  angesehen  und 
behandelt  werden  darf,  dem  Zahleogebiete  schon  danun  nicht  einverleibt 
werden  kann,  weil  sie  die  Regeln  der  Arithmetik  ttber  den  Haufen  wer- 
fen würde. 

Im  identischen  Kalkül  dagegen  wird  die  identische  Null  in  älinlicher 
Weise  überall  zugelassen  erscheinen,  wie  in  der  Mathematik  bei  allgemeinen 
Unit  rsuchungüu  iui  Zahleiigcbiote  die  arithmetische  Noll  von  vornherein 
mitbegriffen  zw  werden  pflegt. 

Dieser  ürostand  begründet  einen  Hanptnnterschied  swischen  der  Sprache 
der  Logik  nnd  der  des  gemeinen  Lebens. 

r)  Es  hat  die  Zuziehung  der  Null  auch  noch  die  weitere  Folge, 
dass  wir  die  sog.  ,.ExisUiizi'i'<ni,iU''\  Sätze  wie  „Es  gibt  as''  nicht 
mehr  (wie  in  §  2  auch  pruvi^uri^eli  geschah)  vermittelst  einer  Sub- 
sumtion darzuöU'llen  in  der  Lage  aciu  werden.  Mau  kann  freilich  eine 
Klasse  bilden:  r,  die  Klasse  des  Realen,  die  alles  umfassen  soll,  was 
in  Vergangenheit)  Gegenwart  und  Zukunft  (oder,  wenn  man  will,  auch 


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I  9.   KoMeqnensen  der  Adjtingiruog  einer  Nallklasie. 


241 


in  der  Gegenwart  allein)  dem  Bereich  der  Wirklichkeit  angehört,  was 
existirt.  Wenn  es  a's  gibt^  so  ist  dann  a^^r.  Das  letztere  aber  ist^ 
kraft  Def.  (2J,  auch  richtig ,  wenn  es  keine  a's  gibt;  es  schliesst  die 
Snbsuintioii  den  Fall  a  =  0  nicht  &xa. 

Wie  £zi8tcnzialurteile  selbst  in  onsrer  Zeichenspraohe  angemessen 
darsuüiellen  sind,  werden  wir  sp&ter  sehen  (§  33). 

Binatweilen  sind  wir  nur  im  stände  die  Verneinung  eines  Existenz 
eiahrteHs  darzustellen,  indem,  wie  geseigl^  die  Gleichung  a  —  0  [oder, 
nach  Th.  5x)  auch  die  Subsamüon  a^O]  ausdrAcken  wird:  ,,E8  gibt 
keine  aV.  Dies  wäre  a.  B.  richtig,  wenn  a  die  Klasse  der  ,,Zaub6rer, 
Hexen  und  Gespenster^,  oder  auch  wenn  es  die  der  ,,runden  Quadrate" 
bedeutete. 

v)  Zur  Stelle  ist  über  die  verbale  Einkleidung  der  mit  Def.  (2) 
als  allgemeine  Jb'ormel  eiiigeiuhrten  vSubsunitionen: 

(2J  0=ta    und    a=^i  (2^.) 

überhaupt  noch  einiges  zu  bemerken. 

Wir  sahen:  0  bedeutet  „nichts";  das  Zeichen  =^  entspricht  der 
Kopula,  und  mnss  mit  „ist"  in  die  Wortsprache  Qbertragen  werden; 
endlich  a  mag  jedes  beliebige*)  Piadikat  sein  —  sagen  wir  beispiels- 
weise „schwarz". 

Die  Subsumtion  0  ist  unzweifelhaft  richtig,  weil  die  Klasse 
aller  der  Dinge,  welche  wir  „schwarz"  nennen  würden,  ausser  diesen 
nichta  enthält^  also  wie  ich  sagen  darf,  noch  obendrein  auch  „nichts*^ 
enthält. 

Wenn  wir  diese  Subsumtion  aber,  dem  Torausgeheuden  gemäss, 
mit  „Nichts  ist  schwarz"  übersetzen  wollten,  so  wurden  wir  gleich wol 
eine  falsche  Aussage  erhalten.  Denn  letztere  wttrde  ja  den  Sinn  haben: 
„Es  gibt  nichts  Schwarzes";  sie  wQrde  die  Verneinung  eines  der  oben 
erwähnten  Existenzialurteile  sein,  welche  in  Formeln  nicht  die  Sub- 
sumtion, sondern  nur  die  Glekiniaig  0     a  oder  a  »  0  ausdrflckt 

Die  Subsumtion  hatten  wir  demnach  falsoh  llbersetzt,  und  dieses 
weist  darauf  hin,  dass  fQr  unsre  „extremen'*  Fälle  die  Übersettungs« 
regeln  eine  Ausnahme  haben,  und  haben  mflssen,  indem  über  den  Sinn 
des  regdi^Aien  Übersetzungsergebnisses  die  Wortsprache  bereits  ander- 
weitig Yerfngt  hat. 

Dies  aber  lasst  sich  nicht  nur  erklären  sondern  auch  rechtfertigen. 
Bei  der  Aufstellung  ihrer  Regel,  namlidi  indem  sie  es  sur  Gewohnheit 

*'  Wie  schon  aiipfcrltntet,  mit  einer  Einacbränkiiagt  weiche  unter  ^)  ausein- 
»udergeuetzt  werUen  wird. 

ScBMra»,  AigL-br»  d*r  Logik.  16 


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242 


Vierte  Voirletmiig. 


werden  lieüSj  mittelst  der  Kopula  die  FAnmdnung  des  Subjekts  unter 
das  Prädikat  auszudriickeu,  hat  die  Wortspraclie  auf  jene  äussersten 
Fälle  (des  Subjekts  0  oder  Prädikates  1)  überhaupt  nicht  ihr  Augen- 
merk gerichtet.    Indem  sie  die  Kopula  die  logische  Bedeutung 
gewinnen  liessi,  durtte  sie  jene  Fälle  beiseite  lassen. 

Sie  musste  ja  in  der  That  darauf  bedacht  sein,  die  Mittel  aus- 
zubilden, verni5ge  deren  sicii  von  irgend  etwas  (nicht  aber  von  nichts) 
etwas  aussagen  lasse,  und  /war  etwas  Bedeutsames,  nicht  aber  etwas 
belbstverständliche«^  und  vollkommen  Belangloses. 

Als  ebenso  zweck-  und  nutzlos,  wie  selbstverständlich,  erscheint 
aber  tür  das  gemeine  Leben  sowol,  wie  für  die  verschiedensten  Spezial- 
Wissenschaften  jegliche  Äusserung  von  dem  Sinne  oder  der  Form  einer 
der  beiden  Subsumtionen  der  fVf.  (2j.  Dasa  in  irgend  einer  Klasse 
unter  Anderem  aucli  „nichts"  miteuthalteii  sei.  oder  dass  irgend  eine 
Klasse  von  Dingen  in  Allem  mitenthalten  sei,  dieses  hervürzuhel)cn 
dürfte  nicht  leicht  irgendwo  von  Wert  sein.  Und  /war  kann  dies  zu- 
gegeben werden  ganz  unbeschadet  dessen,  dass  für  die  'J'echnik  des 
Kalküls  jenen  Subsumtionen  (2)  doch  eine  ganz  wesentliche  Mission 
zufullt,  dass  ihre  ünentbehrlichkeit  hiefür  bereits  erkannt  wurde,  und 
wir  allmälig  vollends  sehen  werden,  wie  sie  ihre  Mission  daselbst  glaii» 
zeod  erfüllen  (die:  Ausuahmslosigkcit  zu  ermöglichen). 

Für  die  gedachten  beiden  Grenzfaile  nun,  wo  die  Kinordnung  also 
selbstTerständlich  und  darum  nichtssagend  sein  würde,  hat  die  Wort- 
sprache sich  Torbehalten^  der  Kopula  die  Krajft  des  Gleü^theitseeichens 
zu  verleihen. 

In  Bezug  auf  (2,^)  —  dass  eine  Aussage  „Nichts  (0)  ist  schwarz 
{ay  sagen  will:  0  a  und  nicht  0  ^  a  —  haben  wir  dies  bereits 
auseinandergesetzt. 

I^asselbe  trifft  auch  bezüglich  (2^)  zu.  Geben  wir  etwa  am  Ende 
einer  Aufzählung  eines  Berichtes  die  Versicherung  ab:  „Diw  (das  Bis- 
herige, Aufgezählte,  Referirte  a)  ist  AlW,  so  wollen  wir  damit 
sicherlich  nicht  blos  aussprechen,  dass  das  Bisherige  (a)  in  allem 
Denkbaren  (1)  mitenthalten  sei  neben  —  Gott  weiss  noeb  was  —  An- 
derem, also  dass  ci^l  sei,  sondern  wir  wollen  versichern,  dass  die 
fragliche  oder  erwartete  Klasse  resp.  Mannigfaltigkeit  von  Objekten 
oder  Ereignissen,  umfassend  z.  B.  alles  Dasjenige,  dessen  Kenntniss 
für  die  richtige  Beurteilung  der  Sachlage  wesentlich  ist,  durch  das 
Aufgezählte,  Referirte  gerade  erschöpft  sei  —  in  unsrer  Zeichensprache 
also,  dass  a  >-«  1  sei,  wenn  wir  in  der  That  jene  ganze  Mannigfaltig* 
keit  mit  1  bezeichnen. 


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I  9.  KonseqnciueD  der  Adjangirimg  einer  Nnltklaiee. 


243 


Bedeutef  iiuti  also  «  irgoud  eine  Klasfiei  wie  uScliwarz"  oder  |,Gold'', 
«k,  80  dürieu  wir  bubäumiionen  wie 

jedflüfftUs  nicht  mit: 

„Nichts  ist  Gold"    resp.    ,,Gol(]  ist  Alles" 
öbersptzpii,  obgleich  0  nichts  und  1  alloh  hr  iiU  tre  bedeutet,  resp.  auf 
UDserm  ge^^enwärtigen  StaiuIfMinkte  nocli  bedeuten  kann. 

Die  Übersetzung  dieser  iSubsumtioneQ  in  die  Wortsprache  ist  tlber- 
haupt  unnötig. 

Will  mau  sie  aber  dennoch  ausführen,  so  ist  etwa,  wie  oben 
(unter  p),  die  erstere  mit  „Das  Nichts  ist  Gold,  ist  schwarz,  etc." 
wiederzugeben  —  vergleiche  „das  goldene  I^kktschen  und  das  silberne 
Warteeinweilchen"  des  Volkswitzes  im  deutschen  Sprichworterschatze. 

Bei  geeigneler  Betonung  würde  sich  sogar  die  oben  zurückgewiesene, 
refütirte  Aussage  aufrecht  erhalten  lassen.  Falsch  ist  sie  nur  in  der  ge- 
iröhnlirhm  Betonung:  ,, Nichts  ist  schwarz'',  welche  an  den  Tonfall  des  Dak- 
tyluü;  _  w  ^^  wenigättius  erinnert.  BichÜg  dagegen  (iu  unserm  iSiune)  wäre 
lia  mit  der  nngewQhnliohen  Betonimg:  ,jNioihts. .  .ist  sehwari^  (es  ist  ja 
ebensogut  aneh  weiss)  mit  dem  TonMl  des  Amphimacer  oder  Kretikos: 
.c-  ,  und  einer  Pause  hinter  der  ersten  LSnge. 

Wird  0  anstatt  durch  „nichts",  durch  ein  Produkt  dargestellt,  das  0 
zum  Werte  bat,* so  kann  die  gew^lmlicl'.e  AnsfJrueksweise  wieder  Plat/i 
greifen.  Da  z.  B.  die  Klasse  „rundes  ^^Juadrat  =  0  ist,  so  würe  es 
wenigstens  unTeri^^lich  zu  sagen:  „alle  runden  Quadrate  sind  schwär;^'' 
und  dergL 

Am  besten  sage  man  etwa:  das  Nichts  ist  in  Allem,  so  auch  in 
der  Klasse  a  nocli  mitenthalten. 

Die  aw^te  Subsumtion;  1  liesse  sicL  ttbersetzen  mit:  „Gold 
ist  etwas^  ,^c)iwane  Dinge  sind  etwas%  etc.  indem  das  nnbesiimtnte 
Pronomen  „etwas"  die  Klasse  Torstellt,  die  alles  Denkbare  unter  sich 
begreifl^  oAss,  fMwo»  man  0>erhauipi  m  reden  vemwiiie. 

Es  wQrde  diese  allumfassende  Klasse  entsprechen  dem  ▼on  Boole 
in  die  Logik  eingefilhrten  „üniTersum  des  DisknssionslShigen''  (uni- 
TCise  of  diseourse),  JoTons'  und  K.  Grassmann's  „Totalitilt"  oder  „All''. 

Ob  es  aber  angängig  ist^  eine  so  umfassende  Klasse  überhaupt  zu 
bflden,  die  unter  anderm  auch  die  Ableugnung  ihrer  eigenen  Zulässig- 
keit,  die  Verneinung  ihrer  Existenz  raitenthalten  müsste,  ob  wir  diese 
hier  als  Bedeutung  unsrer  ideutischeii  1  (^Peirce's  oo)  beilegen  dürfen^ 
wll  gleich  nachher  noch  eingehender  untersucht  werden. 

9)  Nach  dem  Bisherigen  dürfte  es  heinahe  iiberflC1s<?ig  sein,  noch 
besonders  darauf  hinzuweiseu,  dass  auch  die  Subsumtion 

0-^1 


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244 


Vierte  VarleBimg, 


uiclit  mit  „Nichts  ist  Alles"  in  dio  Wortsprache  übertragen  werden 
(liirf,  und  zwar  aus  doppeltem  G runde.  Desgleichen  darf  sie  nicht 
mit  „Nichts;  ist  etwas"  wiedergegeben  werden  (aus  einlachem  (Grunde), 
weil  hier  wenigstens  noch  das  Subjekt  ,,nichts"  —  wie  vorhin  noch 
obendrein  das  Prädikat  „alles"  —  bewirkt,  dass  der  Kopula  „ist"  die 
assertorische  Kraft  des  GleichJieitszeichena  nach  dem  Sprachgebraach 
zukommt,  statt  deijenigen  der  Einordnung. 

Will  man  jeiie  Subsumtion  durchaus  in  Worte  fassen,  so  sage 
man  etwa:  „Das  Vichts  ist  auch  in  der  Gesamtheit  mitenthalten". 

Wir  glaubten  mit  den  Betrachtungen  unter  q),  v)  und  (p)  so  ein- 
gehend bei  einer  ▼erhältnissmässigen  Kleinigkeit,  anscheinenden  Baga> 
teile  verweilen  zn  sollen,  weil  in  Beeng  auf  sie  und  ihre  Aoffassung 
ein  schroffer  Gegensatz  der  Meinungen  unter  den  Anhängern  verschie- 
dener philosophischer  Systeme  sutage  getreten  ist  und  noch  immerfort 
gestritten  wird. 

Von  Herbart,  dem  auch  S  ig  wart  beitritt,  ist  in  Abrede  gestallt) 
dass  die  Worts})rache  die  Existenz  des  Subjektes  unterstelle,  und  wird  von 
letzterem  als  Beleg  das  TJi-tcil  angoföhrt:  ..Der  Pegasus  ist  geflügelt". 
Allerdings  will  mit  diesem  und  in  viüleu  ühalichon  Urteilen  nicht  an*;- 
gesprochen  sein,  dash  es  in  der  MannigfaUigkeU  des  Wiiklidten  übernaupt 
Individuen  der  Subjektklasse  gebe,  hier  also:  dass  wirUieh  ein  Pegaens 
ezistixe.  Bemioch  aber  wird  mit  dem  Urteile  ein  Subjekt  als  wirklieh 
vorhanden  gesetzt. 

Das  logischr.  SuljeJcl  fälli  nur  lihr  fiichf  ntf^fimmen  mit  dem  grammali- 
Tioliscltcn  bubjtkte.  Wir  haben  den  logischen  Gehalt  des  als  Beispiel  her- 
vorgehobenen Urteils  schon  in  §  2  dahin  eiliiulert,  dass  dasselbe  lediglieh 
behaupte:  die  Vorstellung  des  Fegasus  ist  enthalten  in  der  Klaoso  der  Vor- 
Bfellongen  von  geflügelten  Wesen,  und  jene  VorsfeUui^  itt  eine  UfirUidie, 
hat  eine  historische  Existenzbereehtagung  in  einer  gegebeuen  MannigfUtig« 
keit  von  mythischen  Wesen. 

Wer  diese  Wirklichkeit  leugnen,  die  Siibjektklas.se  hier  als  eine  leere 
hinstelltiu  wollte,  der  müsste  als  einen  vollberechtigten  Ausspruch  auch 
das  Urteil  zugeben:  „Der  Pegasus  ist  ungt/lügdi^*^  —  oder,  sagen  wir  z.  B. 
auch  „grün"  —  kurzum  mit  jedem  beliebig  gewählten  Prädikate! 

Auch  der  Umstand  bildet  nur  eine  Bestftügung  unsrer  Thatsache: 
dass  der  Glaube  an  die  Existenz  so  mancher  Subjekte  oder  auch  ObjeJrte 
—  sagen  wir  z.  B.  des  leibhaftigen  Teufels,  eines  tieriaeh-magnetischen 
Plttidums  otc.  —  eben  dadurch  erzeugt  und  guiestigt  7u  werden  pflegt,  dass 
von  früh  auf  in  der  Umgebung  des  lieranwachttenden  Menschen  vielfach 
Uber  dieselben  ausgesagt,  prädizirt  wird  —  ein  Verfahren,  das  als  ein 
weitrerlnwteter  Missbraudi  dem  Aufmerksamen  nicht  entgehen  kann. 

Behr  TrefliBiides  über  die  Her  berührte  noch  nicht  abgeschlossene  Kon- 
troverse sagt,  auch  Yenn^  p.  126  sqq.,  welcher,  die  Frage  wol  am  grilnd* 
liebsten  behandelnd,  derselben  ein  eignes  Kapitel  widmet.  —  Aussagen,  Prtl- 
dikation^  Uber  gar  nicht  existirende  Subjekte  spielen  gerade  in  den  Wissen- 


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g  9.   Kouaequenzen  der  Adjuugiraug  einer  Nuilklasäe. 


245 


sdiaften  eme  bOchst  henromgende  Bolle  —  wie  z.  B.  in  der  Meohamk 

die  Sätze  üKer  die  „voUkammen"  starren  Körper.  Solche  Satze  haben 
wesentlich  die  Bedeutung  von  Schh'L<}scn,  welche  an  die  Voraussetznug  der 
absoluten  Starrheit  eines  Körpers  die  betreffenden  Behauptnn«]fpn  als  Fol- 
^'cruii^^on  kniipfeu ;  ihr  lügisches  Subjekt  ist  eben  diese  Hypothese  (der 
Tolikümmneu  Starrheit  eines  Körpers)  und  erscheinen  damit  auch  sie  als 
Urteile  fiber  0rteile^  nnd  somit  Uber  Enstirendea. 

Wenn  es  demnaeb  mit  der  Wortepraehe  eioh  doeh  to,  wie  wir  oben 
sagten,  verhält,  80  sind  wir  aber  an  deren  Brauch  in  iinerer  Disuplin 
nicht  gebunden. 

x)  *)  Am  letzten  Beispiel,  der  Sabsnmtion  0  1,  ISest  sidi  übri- 
gens schon  dartbnn,  daes  es  in  der  That  nozulassig  ist,  unter  1  eine 
so  umfassende,  sozusagen  ganz  offene  Klasse^  wie  daa  oben  geschOderte 
yUmTersnm  des  Diskassionsffthigeu"  (von  Boole)  zu  Terstehen. 

Wie  ausgemacht  ist,  sollte  n&mlich  0  in  jeder  Klasse,  welche  aus 
der  Mannigfaltigkeit  1  herausgehoben  werden  kann,  mitenthalt«i  sein, 
sodass  0  =^a  gilt,  0  sollte  Subjekt  zu  jedem  Prädikate  sein. 

Verstünden  wir  nun  unter  a  die  Klasse  derjenigen  Klassm  der 
Manniyfaltiyk^dy  welche  gleich  1  sitid,  [  und  dies  wäre  ja,  wenn  wir  alles 
Denkmögliclie  in  die  Mamiigfaltiti;keit  1  hereinziehen  dürfen,  gewiss 
erlaubt],  so  iimfasste  diese  Klasse  wesentlich  uiu-  tin  Objekt,  nilmlicli 
das  Symbol  1  selbst,  beziehungsweise  das  (»anze  der  Mannigfaltigkeit, 
die  seine  Bedeutung  ausmacht  —  aiumerdem  aber  auch  „nichls'^  mit- 
hin 0.  Da  nun  also  1  und  0  die  Klasse  derjenigen  Objekte  aus- 
machten, welche  gleich  1  zu  gelten  haben,  so  miisste  nicht  nur:  1  ==  I, 
sondern  auch:  0  =  1  anerkannt  werden.  Denn  ein  Prädikat,  welches 
filier  Kla««e  zukomml  (hier  das  Prädikat,  identisch  gleich  1  zu  sein), 
muss  auch  jedem  Individuum  dieser  Klasse  zukommen,  gemäss  Prinzip  II. 

In  einer  solchen  Mannigfaltigkeit,  wo  0  =  1  gälte,  würde  jede 

Möglichkeit  der  Unterscheidung  zweier  Klassen  oder  auch  Individuen 

von  vornherein  ausgeschlossen  sein;  hier  wäre  dann  alles  „wurst". 

Indem  mriti  die  Gleichnnc^  0=1  nai;h  «pUter  bewiesenen  liegein  bcider- 
seita  xnit  <i,  daneben  auch  mit  b  inaliiplizirto  [gomiiös  Th.  21^)  und 

22,J]  isüdann  die  Ergebnisse  0  =  a  und  0  =  0  [gemäss  Th.  4jJ  mitein- 
aiider  vergliche,  wttrde  sich  dieGleichnng  a^bäU  oBifemeineFtfrmä  ergeben, 
galt%,  was  auch  a  und  b  für  Klassen  oder  Indiridaai  vorstellen  mochten  1 
Als  allgemeine  Formel  hingestellt  ist  solche  Gleichung  jederzeit  ein  Unsinn. 

Wir  werden  die  Gleichimg: 
  0  —  1 

*)  Was  unter  j)  hier  folgt  iat  wol  als  au  subtil  für  deu  ersten  ünturriciit 
«e&igcr  guuignet;  es  wlie  mit  jngeadlicben  Anfängern  —  in  der  Schule  s.  B.  — 


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246 


Vierte  Voilesmug. 


nar  anzuerkennen  vennogen  für  eine  voU^  leere  Mannigfaltigkeit  1, 

eine  Mannigfaltigkeilv  welche  selbst  gar  hem  Element  oder  Individuum 

enthalt  —  und  eine  solche  schliessen  wir  von  nnsem  Betrachtungen 

grundsätslich  aus. 

Die  Torstehende  Überlegung  wttrde  —  mutatls  mntandis  —  auch  statt» 
baft  gewesen  sein,  wenn  man  in  ihr  dae  Symbol  1  tou  Anfang  an  durch 
den  Namen  irgend  einer  speziellen  Klasse  b  der  erstbetrachteton  Mannigfaltig- 

kelt  ersetzt  hStte;  sie  würde  ebenso  auf  die  absurde  Oleicbuug  0  =  h  ge- 
führt haben.  Und  zwar  wio  folgt:  Es  gelte  0  ^  <*  für  jrdr  Klas-r  rr. 
Versteht  man  unter  a  die  Klasse  derjenigen  Gebiete,  welche  gleich  b  sind, 
80  musä  die:^e  neben  h  (weluhes  ja  von  allen  Gebieten  gauz  allein  gleich 
h  ist)  aueh  die  identische  0  entballen,  was  eben  die  Sabsumtion  0  =^a 
behanptel  Dann  muss  also  auch  0  ein  solches  Gebiet  sein,  welches  gleich 
h  ist;  es  folgt  fim  Widersprach  mit  Obigem)  so:  0  —  b  —  für  jedes  h\ 

Diese  Überlegungen  seigen,  dass  Boole's  tmiverseüe  Inierpretation 
der  1  in  der  That  eine  m  weitgehende  gewesen*) 

Im  eigentlichen  Gebietekalkul,  für  die  Gebiete  a  einer  Mannigfal- 
tigkeit 1  von  Punkten  a.  ISsst  sieh  die  Subsumtion  O^a,  wie  wir 
schon  sahen,  ganz  unumschränkt  aufrecht  erhalten. 

Doch  ist  nun  die  Frage  2u  beantworten,  inwiefern  sich  die  Ge- 
setae  des  Kalküls  aueh  auf  die  Mannigfaltigkeit,  gebildet  aus  aUen 
mögliehen  Klassen,  aus  irgendudcken  (Ms^eft^  des  Dmikens  werden  fiber^ 
tragen  lassen. 

Es  ist  geseigt,  dass  es  unzulässig  ist,  diese  Mannigfaltigkeit  1 
vollkommen  bestimmungslos,  sie  gänslieh  uneingeschränkt  oder  offen 
au  lassen,  indem  sich  gewisse  denkmögliche  Formulirungen  der  PrSdi- 
katklasse  a  schon  in  (2^)  als  unzulässig  erwiesen.  Wie  muss  sie  nun 
aber  beschaffen  sein,  damit  auf  sie  angewendet,  die  Regeln  des  Kal- 
küls, insbesondre  die  Def.  (2^),  zu  Widersprochen  in  sich  nicht  mehr 
ffihren  können? 

Ich  will  die  Antwort  auf  diese  schwierige  Frage  au  geben  yersuchen« 
Wir  haben  es  zunächst  au  thnn  mit  einer  Mannigfaltigkeit  von 
irgend  welchen  „Dingen"  —  Objekten  des  Denkens  überhaupt  —  als 
fJ'Uementm**  oder  .Jndwiduni".  Diese  mofron  (sämtlich  oder  auch  zum 
Teil)  von  vornherein  ge«(eben,  oder  aber  (/um  andern  Teil  oder  sämt- 
lich) nur  becjrifl'licli  irgendwie  bestiuiuit  sein.  Denn  völlig  bestimmungs- 
los dürfen  sie,  wie  schon  gezeict,  nicht  bleiben. 

Damit  die  Symbole  0  und  1  i  tc  nach  den  Regeln  des  Kalküls  in 
dieser  Mannigfaltigkeit  verwendbar  seien,  wird  dieselbe  hinsichtlich 

*)  Bei  AbfisMQiig  meinei  „Opeialiotwkras  ete.'*  hatte  ich  dieien  Uustsad 
noch  nicht  beachtet. 


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f  9.  EooiequeiiBfln  der  AdjuDgirang  einer  Nullklasse.  247 


der  Art,  wie  ihre  Elemente  gegeben  oder  auch  begrifflich  bestimmt 
sein  dfiifen,  gewisae  Anfordernngen  zu  erfOlIen  haben. 

Als  eine  erste  Anforderang  haben  wir  sehon  in  §  7  unter  Postulat 
({I4.))  die  namhaft  gemacht:  dass  die  Elemente  der  Mannig&ltigkeit 
ümtlich  «eretffSar,  miteinander  „vairäjßu^  sein  müssen.  Nur  m  die- 
sm  Falk  hemämm  wir  die  Manm^aU^heit  mU  1.  Im  andern  da- 
gegen sieben  wir  f&r  dieselbe  den  Namen  00  Tor  als  des  einzigen 
(Zabl?)-Zeichens  aus  dem  Bereich  der  Arithmetik,  welches  daselbst 
eine  d^imii»  unerfüllbare  Forderung  (die:  mit  0  multiplidrt  1  sn  geben) 
sasdrficlct  (wogegen  die  anfängliche  ünmSglichkeit  andrer  Symbole, 

wie  —  1,  »  —  }/ —  \  j  etc.,  sich  bekanntlich  durch  Erweiterung  des 
Zahlengebiets  belieben  lies.s),  als  dea  spezitischen  Symbolen,  also,  der 
Unminjlichkeit.  [Ein  Exempel  für  letztere  wird  in  Gestalt  einer  Man- 
nifrt'altigkeit  von  miteinander  unverträglichen  Funktionalgleichuiigeu  in 
Anhang  5  gegeben.]  Eine  Mauüigialtigkeit,  welche  demnach  00  zu 
ueiuien  wäre,  lassen  wir  im  „identisdien"  Kalkül  ausser  lietriH-ht. 

Sind  die  Elemente  der  Mannigfaltigkeit  vereinbar,  so  lusöta  sich 
in  derst  iljen  kollektiv  noch  Belieben  Systeme,  „Ucbiete"  aus  ihren  Ele- 
menten zusammensetzen,  in  ihr  abgrenzen,  es  lasseii  !«ich  lu.  a.  W. 
auch  zwecks  distributiver  Verwendung  irgendwie  Klaas&n  von  ludi- 
viduen  aus  ihr  hervorheben. 

Und  insbesondre  gehören  auch  ihre  Individuen  selbst  mit  zu  den 
Klassen,  welche  wir  dann,  wenn  sie  eben  zu  nur  einem  Individuum  zu- 
sammenschmmpfetty  als  ^monadische"  oder  ,fii$igulär€^*  Klassen  bezeich- 
nen  mögen. 

Durch  jenen  Prozess  der  beliebigen  Herrorhebung  von  Klasseu  von 
Individuen  der  ursprünglich  gedachten  Mannigfaltigkeit  wird  nun  (im 
Allgemein^D)  eine  tteuc,  noch  viel  umfassendere  Mannigfaltigkeit  ent- 
stehen, geschaffen,  nämlich  die  der  Gebiete  oder  Klassen  der  vorigen. 

So  ist  die  Mannig/ alticfkeit  der  Funktgebiete  der  Tafelfläche  eine 
viel  umfassendere  als  die  Mannigfatt^seit  ihrer  Punkte;  denn  während 
die  letztere  als  Gebiete,  Funktklassen,  nur  irgend  welche  Flächen  ent- 
bält,  umfasst  die  erstere  ausser  diesen  selben  Flächen  (als  ihren  ^iu- 
galiren''  Klassen)  aneh  noch  alle  denkbaren  Gattungen  von  Flächen, 
L  B.  die  Gattung  der  kreisförmigen  Flächen,  als  Klassen  in  sich.  Jedes 
hidiTidnum  der  letetem  Mannigfaltigkeit  ist  ein  Btnk^ebid,  sine  Fläche, 
die  auch  in  Linie^  Fonktgmppe  oder  Punkt  ausammenschrumpfen  kann. 
Jedes  IndiTiduum  der  erstem  ist  eine  Gattung  von  Punk^gdnekn,  die 
ebenso  auch  in  ein  einaelnes  Punktgebiet  schrumpfen  kann  und  not* 
wendig  auch  alles  Toiige  mit  in  sich  schliessi 


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248 


Vierte  Vorleeung. 


Die  ut'ue  Mamii^t'üUigkt'it  kiinutc  mau  aU  die  Potenz"  der 

vorigeu  —  besser  wohl  als  deren  „ct^te  abffekilde  oder  ätrivirtc  Maiiuig- 
faltigkeit"  bezeichnen. 

Von  ihr  licsstj  .sicli  abermals  eim^  (eventuell)  neue,  uoch  umfassen- 
dere Maniii^faltiirkeit  „ableiten",  welche  als  die  derivirte  der  ersten 
«leriTirteii  oder  aU  die  zweite  dfxicIriMe  Mannigfaltigkeit  der  ursprüng- 
lichen zu  bezeichnen  wäre.    Und  so  fort. 

Wie  auf?  den  vorausgeschickten  Überlegungen  zd  ersehen  ht,  darf 
nun  die  Bedeutung  der  identischen  1  sich  von  der  ersten  jedenfalls 
nicht  über  die  zweite ,  deren  ,,abgeleiteie^^  Mannigfaltigkeit,  mit  er- 
strecken, nocii  weniger  also  über  noch  höhere  von  den  abgeleiteten 
Mannig&ltigkeiten. 

Und  damit  auch  in  der  ursprünglichen  Mannigfaltigkeit  die  Sab* 
sumtiou  (2^.)  aufrecht  erhalten  werden  kdnne,  ist  von  vornherein  er- 
forderlich (und  hinreichend),  dass  unter  ihrm  als  ,fitäwiebim*'  gegdtmm 
Elmmiien  skh  kerne  Klassen  hefinde»,  wMe  ihrerseits  Elemenie  der' 
selben  Mwmigfaliigkdt  als  Indimdtien  unler  sieh  begreifen. 

Bildete  man  aucli  nur  eine  singuläre  „Klasse'*  in  cbendieser  und 
Hesse  solche  als  ein  neues  hulividuuni  derselben  zu,  so  drim^ie  augen- 
blicklich wieder  die  identische  Null  sich  zu  ihr  hiuziu,  schlüpfte  sozu- 
sagen durch  die  Tliür  der  Det'.  i!?^)  in  sie  ein. 

Ich  wonie  eine  Mannigtaltigkeit  der  genannten  Art  eine  ,,reine'* 
nennen  —  im  Gegensatz  zu  einer  f^emischien",  bei  welcher  t)bige  An- 
forderung; nicht  durchaus  erfflllt  ist,  also  wenigstens  einzolne  ihrer 
Klcmente  Klassen  sind,  die  schon  andere  Elemente  deröelben  als  In- 
dividuen enthalten. 

Damit  dfr  identhchp  Kalktif  nuf  eine  ßfarinifffalfighfit  anwmuilxtr 
sei,  mu8s  sie  eine  reine  Mannigfaltigkeit  sein  von  vereinbaren  Elementen, 

Ü)  Auch  auf  die  derivirte  einer  solchen  Mannigfaltigkeit  ist  der 
identische  Kalkül  wiederum  anwendbar,  nur  muss  die  Ntül  in  dieser 
unterschieden  werden  van  der  NttU  in  jener ,  der  ursprünglichen  Mam^h 
faltigkeU.  Ebenso  aueh  selbstverstindlich  die  Eins,  indem  ja  die  eine 
Mannigfaltigkeit  als  Ganses  nicht  identisch  war,  sich  nicht  deckte  mit 
der  andern;  iUterhaupt  werden  in  ihr  sämtliche  Ausdrikkc,  Operations- 
und  Besiehungsjsei^en  eine  neue^  eigenartige  Bedeutung  heansprudieu. 

Bin  Gebiet  0,  welches  die  fundamentale  Eigenschaft:  0  a  nicht 
nur  in  der  ureprönglichen,  sondern  zugleich  auch  in  der  abgeleiteten 
zweiten  Mannigfaltigkeit  besässe,  kann  es,  wie  wir  gesehen,  jedenfalls 
nicht  gebenj  ein  solches  /.u  üugireu  wäre  nicht  zulässig,  mau  könnte, 


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%  9.   Kerne  Mauuigtaltigkeit.  24U 

ohne  nch  ia  Widersprüche  2u  Terwickehi,  es  nicht  einführen.  M.  a.  W, 
Man  darf  die  JßetradUungm  ifmerhälb  der  ersten  mÜ  denjenigen  hwerhalb 
der  meeiien  MamnigfaU^ikeU  nüM  vermengen. 

Schon  daa  SabBomtionszeichen  gibt  zwischen  Gebiete  gesetzt  einen 
ganz  anderen  Sinn,  als  wenn  es  Klassen  Ton  Gebieten  verknüpft. 

Zur  Unterscheidung  wollen  wir  die  Klassen  der  ursprünglichen 
Mannigfaltigkeit  —  also  etwa  Punktg^iete  unsrer  Tafel  —  wie  früher 
mii  Uemeny  dagegen  die  Klassen  ihrer  deriyirten  Mannigfultigkeit,  d.i. 
also  GaUungen  von  ^mkigdneien,  oder  Klassen  jener  Klassen,  mit 
gmsen  lateinischen  Buchstaben  darstellen. 

Was  dann  eine  Subsumtion  a^h  ausdrückt,  haben  wir  längst 
er5rterk  Auch  fahren  wir  fort,  die  identische  Null  dieser  ursprüng- 
lichen Mannigfaltigkeit  mit  0,  die  ganze  mit  1  zu  bezeichnen.  Es 
mögen  uns  a',  o",  a", . . .  noch  spezielle  Punktgebiete  oder  Klassen 
der  ursprünglichen  Mannigfaltigkeit  vorstellen. 

Wenn  nun  in  der  zweiten  oder  derivirieii  Maiiiugiultigktit  eine 
Subäuiutiuü 

gelten  soll,  so  müssen  alle  in  A  zu  einer  Gattuiijj;  ziKsammengefassteu 
Punktgebiete  auch  vorkommen  unter  den  in  B  zusamraeugefassten. 

Das  Gebiet  0  kann  dabei  zu  jenen  gehören  oder  auch  nicht 

Wenn  etwa: 


0 

«  ,  ß 
a 


0 

(( 
a 
a 
a 


gerade  die  rechts  aii^emerkteu  Gebiete  uniiii.sst,  so  ist  die  Subsumtion 
A  =^  ]{  beispielsweise  urfOllt.  Und  zwar  ist  hier  A  B.  Hielten 
wir  aber  die  Bedeutung  von  Ä  fest,  so  wäre  A  •=  Ii  nur  dann  zu 
nennen,  wenn  auch  B  nur  die  drei  angeführten  Gebiete  0,  a,  a 

enthielte. 

Ich  verbinde  die  zu  einer  Klasse  A  oder  7?  /.asammengefaisstöa  Ue- 
biete  recht*»  hioi*  nicht  durch  Pluszeichen,  weil  solche  als  Gebiete-ver- 
faiüpfende  bereits  einen  abwetchenden  Sinn  erhalten  haben,  und  ihre  An- 
wendung bei  J?,  z.  B.,  bewirken  würde,  dass  wir  von  den  angeflthrten 
Gebieten  nach  Th.  22^)  nur  mehr  das  eine  1  behielten. 

Auch  in  unsrer  zweiten  Mannigfaltigkeit  ist  der  Fall  zulässig, 

dass  die  Klassen  (Gebietgattnngen)  A,  B  als  singulSre  an  Torstehen 


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•250 


Vierte  YorleniBg. 


sindy  nämlich  je  in  oin  individuelles  Gebiet  ausarten.  Es  mag  einmal 
A  =  a,  lind  vielleicht  ebenso  B  =  b  je  nur  ein  Gebiet  vorstellen. 

Im  All «j^eiij einen  wird  dnnn  nicht  mehr  A^B  sein.  Dass  aber 
trotzdem  vielleidit  noch  a^b  sein  kann,  TenDdchten  wir  in  dieser 
zweiten  Mannigfaltigkeit  nun  überhaupt  nicht  auszndrficken  —  jeden- 
falls nicht  mittelst  des  bisherigen  Sabsamtionsieichens. 

Hieran  wird  auch  die  Mü^^dicbkeit  ersichtlich,  dass  AB  TOn  ab  ver- 
schieden: es  mnss  t.  B.  das  orstorfi  rrodalit  unter  den  angegebnen  Vor- 
ausset'/ungeii,  sobald  uui  h  mit  a  nicht  gerade  zusammenfällt,  vei'schwifidcn^ 
ohne  this.s  iloch  ü\\  welches  =  a,  gleich  0  zu  sein  brauchte. 

Das  augeiührle  Beispiel,  wo  etwa  A  =  a,  JJ  =  b,  a  =^  h  luui  doch 
nicht  A  =4;  B  augenscheinlich  ist,  liisst  erkennen,  dass  es  beim  Über- 
gang von  Betraclitungeu  iuuerlialb  der  ersten  zu  solchen  innerhalb 
der  zweiten  Mauni^faitii^keit  h/cJiI  einmal  trlduht  sein  wird,  zu  beiden 
Seiten  einer  Sub.suLiition  Gleiches  für  (ih  irh'S  ::>(  setzen,  und  zwar  aus 
dem  d'ninde,  weil  bei  Ausfilhrunnf  der  .Substitution  auch  das  fcjubsum- 
tiüü»/*  iVhf^rt  seiue  Bedeutung  nulwendig  ändert! 

'-^nlltt  .1  ^  JJ  sein  während  A  =a  und  7>  =  b  singuläre  Klassen 
von  (nlHi  tfii,  also  Einzelgebietc  selber  vorsttH-ii,  wäre  der  Fall 
A  d  ß  undenkbar,  indem  ja  B  dann  ausser  dem  A  (welches  einerlei 
mit  a  ist)  noch  mindestens  ein  zweites  Gebiet  enthalten  müsste,  im 
Widerspruch  zu  der  Annahme,  dass  es  auch  nur  ein  Gebiet,  b,  um- 
fasse. Ks  bliebe  nur  die  Mötjjliehkeit  A  =  B  übrig,  und  wäre  es  so- 
nach dasselbe  Gebiet  a^i^b,  das  beide  Klassen  ausschliesslich  ent- 
hielten. — 

Wir  hätten  nun  in  der  zweiten  Mannigfaltigkeit  A  gleich  0  („gross 
Null*')  zu  nennen,  wenn  A  eine  leere  Klasse  ist,  welche  gar  kein  Ge- 
biet der  ersten  Mannigfaltigkeit  enthält,  also  jedenfalls  auch  deren 
NuUgebict  (klein)  0  nicht  —  auch  nicht  einmal  dieses. 

Hieraus  erhellt^  dass  in  der  That  die  Nullklasse  der  zweiten  Man- 
nigfaltigkeity  0,  eine  ganz  andere  Bedeutung  hat,  als  diejenige  0  der 
ersten,  da??«  8ogar  erstere  die  letztere  auch  nicht  unter  sich  begreift. 
Das  Nollgebiet  der  ersten  Mannigfaltigkeit  ist,  als  ein  „Gebiet'',  doch 
gewiss  ein  ordentliches;  legitimes  Individuum  der  zweiten;  das  ^idUs^ 
in  jener  ist  „Etwa^^  in  dieser. 

Zu  dem  absurden  Ergebniss  0=1  waren  wir  aber  oben,  bei  x\ 
im  Grunde  nur  gelangt,  indem  wir  beide  Nullen  verwechselten,  auch 
die  andre,  0,  mit  0  bezeichneten.  — 

Lag  hienach  eine  Mannigfoltigkeit  ursprünglich  vor,  auf  welche 
die  Fostulate  unsres  Kalküls  anwendbar  waren,  so  durfte  die  Bedeu- 
tung der  1  schon  nicht  Aber  die  Ableitung  oder  Derivirte  dieser  Manmg> 


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§  9.   Jäeine  Manoiglaltigkeit. 


251 


faltigkeit  mit  erstreckt^  nod  jedenfaUs  also  wicli  nieht  über  alles  Denk- 
mSgliclie  fiberkanpt  ausgedehnt  werden! 

Es  ist  indess  aucb  gaar  ntdU  M/änat^mtwerti  die  Bedentmig  der  1 
in  lolch'  abstrakter  Allgemeinbettf  wie  Boole  sie  anstrebt,  zu  fassen. 

Jede  Untersnchong  dreht  sich  doch  nur  um  gewisse  Dinge.  Diese 
werden  als  eine  „reine^  Mannigfaltigkeit  sich  ansehen  lassen ,  insofern 
es  eben  ni5glieh  und  geboten  sein  wird,  von  den  Untersuchungen  Aber 
irgendwelche  Klassen  dieser  Dinge  getrennt  zu  halten  alle  etwaigen 
UDtersuehuiigeii  über  die  Klas6Cii  der  Klassen  vun  ebfüilie^cü  Dingen! 

Man  strebt,  hei  den  Cntersuchungen  folgerichtig  denkend  zuwerke 
zu  gehen.  Will  man  die  Schlüsse,  die  auszuführen  sind,  sich  in  der 
knappsten  Form,  wie  sie  allein  die  algebraische  Zfichcusjprache  ge- 
wahren kauii,  zum  Bewusst«ein  bringen,  sie  nach  den  Methoden  der 
logischen  Theorie  kontrolliren ,  oder  aucli  soglcii  li  von  der  Technik 
des  Kalküls  für  die  Probleme  der  Untersuchung  Nutzen  ziehen  ,  so 
empfiehlt  es  sich,  und  genügt  es,  nur  eben  jene  Dinge,  um  welche  ilie 
Untersuchung  sich  dreht,  zu  einer  umfassendsten  Klasse  zusammen- 
zufassen, und  sie  als  „die  ganze  Mannigfaltigkeit"  oder  „identische 
Ein»'',  als  den  „Denkl/er&ch",  mit  der  Ziffer  1  zu.  bezeichnen. 

cd)  Zum  Schlüsse  wollen  wir  noch,  obwol  es  nicht  mehr  ganz 
unter  die  Überschritt  dieses  Paragraphen  gehört,  die  identischen  Ope- 
rationen und  Symbole  in  Vergleichung  ziehen  mit  den  gleichnamigen 
arithmetischen,  mit  den  sonstigen  mathematischen. 

Die  durchgängige  Übereinstimmung  ihrer  formalen  Eigenschaften, 
welche  aufseiteu  der  identischen  Operationen  nur  noch  ein  kleines  Mehr 
aufweist,  rechtfertigte  bereits  ihre  übereinstimmende  Benennung  und 
Bezeichnung  mit  den  arithmetischen  Operationen,  wenigstens  für  ein 
selbständiges  (mit  arithmetischen  Untersuchungen  nicht  vermengtes) 
Stodiom  des  identischen  Kalküls,  wie  es  hier  dargestellt  ist. 

Im  ttbrigen  aber  zeigt  ihrer  Bedeutung  nach  die  identische  Mul- 
tiplikation gar  "keine,  die  Addition  nur  eine  hedingte  Vertcandtscliaß  mit 
der  arithmetischen  Operation  gleichen  Namens.    Letzteres  insofern: 

Ist  die  identische  Summe  a  +  h  sweier  Gebiete  eine  „reduzirte", 
todsas  a5  »  0  ist,  mithin  kein  Teil  des  einen  Summanden  als  ein  auch 
im  andern  yersteckter,  implicite  in  diesem  tautologisch  wie<lerholt  er- 
scheint, so  wird  die  Maasszahl  jener  Summe  a  +  h  auch  die  arith- 
metische Summe  (1^  -|-  ^'  Maasszahlen  <^  und  6'  ihrer  Glieder  a  und 
h  aein.  In  diesem  Falle  lasst  sich  dann  also  das  Pluszeichen  ohne 
weiteres  beibehalten,  wenn  man  unter  a,  h  und  a-{-h,  statt  diese  6e- 


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252 


Vierle  Vorletung. 


biete  »elber,  nur  ihre  Maasszablen  verstehen  will;  und  die  identische 
Addition  geht  bei  solchem  Wechsel  der  Dentung  in  die  arithtueÜsche 
über,  fällt  völlig  mit  ihr  zusammen. 

Anders^  wenn  das  identische  Produkt  ab  nicht  0  ist,  wenn  a  und 
b  einen  Teil  ab  gemeinhaben.  Hier  würde,  wie  leicht  an  sehen,  das 
arithmetische  Aggregat: 

als  die  Maasszahl  der  identischen  Summe  o  +  5  anzusetzen  sein,  wenn 
darin  {ah)'  diejenige  des  identischen  Produktes  «6  bedeutet.  Dem  Um- 
stände, dass  in  a  b'  der  beiden  Gliedern  gemeinsame  Teil  (aby 
doppelt  in  Anrechnung  gebracht  ist,  niüs.ste  dann  eben  durch  ein- 
maliges Subtrahiren  des  letztern  nur  einfaeli  ab;;eiiolfen  werden. 

Es  begreift  dieser  Ansatz  auch  den  vorhin  be:?prüchenen  Fall  lait 
unier  sich,  und  ist  derjjelbe  also  als  allgemcingüitij^  anzusehen,  indem 
für  ah  =  0  auch  (ah)' =  0  sein  muss  (was  aber  nicht  umgekehrt  zu 
gelten  brauclit^),  namlicli  die  Maasszahl  eines  Gebietes  welches  als 
identische  Null  verschwindet,  sicher  die  aritlimetische  Null  sein  wird. 

Bei  gemischten  ünterduchungen  ist  aber,  was  beaclitenswert  und 
vielleicht  für  den  Anfänger  überraschend,  auch  die  identische  Null, 
das  logische  „Ntchtn''  von  dem  Zfi/<Zindividuum  0  sorgtaltig  zu  unter- 
scheiden. Ein  einfaches  Beispiel  schon  vermag  dies  darzutliuu.  Das 
idoitischc  I'rodukt  2  •  I),  /..  B.,  (im  (iegensatz  zum  aritlinietischen  2x3 
verstanden)  ist  „nielits'',  nämlich  der  identischen  Null  gleichzusetzen, 
weil  es  Nichts  geben  kann,  was  zugleich  2  und  3  wäre.  Würde  mau 
es  aber  der  arithmetischen  Null  gleichsetzen,  so  hiesse  das:  behaupten, 
dass  das  Zahlindividuum  0  einerlei  sei  mit  den  Zahlindividuen  2  und 
3y  was  absuid. 

Bei  der  Rechnung  mit  vieldeutigen  arithmetischen  Ausdrücken 
muss  demnach  nicht  nur  das  identische  vom  arithmetischen  Produkt 
mittelst  konsequenter  Anwendung  verschiedener  Malzeichen,  sondern 
es  muss  auch  die  identische  Null  von  der  arithmetischen  etwa  durch 
kursiven  Druck  der  erstem  oder  einen  über  sie  gesetzten  Punkt,  Accent 
oder  dergleichen  unterscheidbar  gemacht  werden.  Ebenso  würde  die 
identische  Eins  hier  das  ganze  Zahlengebiet,  auf  welchem  die  Unter- 
suchungen sich  bewegen,  vorzusteUen  haben  und  erscheint  es  über- 


*)  Daa  gemeinMune  Gebiet,  identtsdie  Produkt  Kweier  Flächengcbieto  z.  B. 
kann  falls  diese  etwa  aueinander  grenzen,  sich  berühren,  aus  getrennten  Punkten 
und  Linifni  bcätoben,  welche  zum  Flächonmaas^tß  null  haben  werden,  ohne  dooh  ein 
leeres  Gebiet  sa  BeLQ,  ohne  auch  im  logischen  Sinne  zu  verschwinden. 


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I  9.  Förteetrang. 


253 


fluF<ti^  711  betonen,  dass  sie  von  der  arithmetischeii  1  unterscheidend 
bezeichnet  werden  müsse. 

Sind  a,  b  lineare  oder  Flächen-  oder  Raumgebiete  und  als  solche  durch 
ihre  Begrenzung  gegeben,  so  würde  es  nach  den  iu  Herrn  Otto  Bödicker's 
.,Erweiterui!ir  der  Ganss  hcheu  Theorie  der  Verschlinguugen  "  etc.  (Stutt- 
j^art,  Spemoim  1876,  GÖ  Seiten)  entwickelten  Methoden  nicht  ächwer  fallen, 

Ua«88HÜilen  und  {ah)'  ihrer  identischen  Snnune  und  desgl. 

Pfoduktos  durch  Inte^nle  dsntutfcellen,  erstreckt  Aber  die  Gebiete  h 
selbst  oder  ihre  ümgrenzmigen. 

Wenn  sonach  die  Analogie  der  identischen  beiden  Gmndoperationen 
mit  ihren  arithmetischen  Namensverwandten  keine  tiefgehende  ist,  so 
tritt  dafür  eine  sehr  weitgehende  Analogie  jener  beiden  mit  gewissen 
komplizirteren  arithmetischen  Operationen  antage,  die  wir  nur  knrx 
anfahren  wollen:  die  identische  MuU^Ukatkm  Terhalt  sieh  ihrem  ganzen 
Wssen  nach  durchaus  ahnlich,  wie  die  Operation  der  Aufsuekung  dSss 
gmstm  gememadiaftlidien  Dknson  oder  Teilers  gegebener  Zahlen  und 
die  identische  JdtüHon  entspricht  ebenso  der  Aufsuchung  ihres  JUeinsien 
gememadiafiUdim  MvHtipkms  oder  Vielfachen.  * 

In  der  That  kannte  man  hinstellen:  das  iäentisehe  Produkt  von 
Gebieten  als  das  grSssk  denselben  gemeinsame  Gdnet,  als  das  umfas- 
sendste Ton  air  den  Gebieten,  welche  ihnen  gemein  9iuä\  de^leichen 
die  idenüsdte  Summe  von  Gebieten  als  das  tetekaie  Ton  all'  den  Ge- 
bieten, die  ein  jedes  von  den  gegebnen  in  sieh  enthalten,  als  das  min- 
dest umfassende  also  von  denen,  die  disse  alle  gemein  haben. 

Bie  Wahmehmong  dieser  audi  Herrn  Georg  Cantor  nicht^ntgangenen 
Anslogie  hat  in  der  That  Herrn  Dedekind  veranlasst,  in  seiner  sdion 
erwähnten  Abhandlung*  unser  identisches  Produkt  ad,  welches  er  die  ,iGe- 
memheif*  von  a  und  b  nennt,  mit  @(a,  6),  unsre  von  ihm  die  „Zusammen- 

f^mnrt'  genannte  identische  Summe  a  +  b  mit  3Jl(a,  6)  darzustellen.  Da 
diese  Bezeichnung  unstreitig  etwas  schwerfÄlliger  erscheint,  wie  die  unsrige, 
so  mochte  ich,  sogar  bei  logisch-arithmetischen  Untersuchnngeu  gemischter 
Art,  antenebeidenden  Enüpfungäzeichen,  s.  B.  ittr  die  identische  Addition 
ciDem  erheblich  Uemeren  Flusseichen  im  allgemeinen  den  Vorzug  geben. 
E?eataell,  namentlich  fKr  schriftlichen  Gebrauch,  dUi-fte  es  sicb-üi  solchen 
Fällen  auch  empfehlen  gemäss  Herrn  Peirce's  zeitweiliger  Übung  eines 
Pluszeichens  mit  in  die  Ff  ke  rechts  unten  gesetztem  Komma  -f-,  als  iden- 
üschf-n  Knüpfungszeieheus  sich  zu  bedienen  zur  Unterscheidung  vom  ein- 
fachen als  dem  arithmetischen  -{"^^i^h^  —  wobei  dann  auch  die  Summen 
und  Froduktseichen  £^  il,  wenn  als  identische  (nicht  acithmetisehe)  su 
deuten,  mit  einem  Kemma  als  Apostroph  nur  su  versehen  wiren,  gleichwie 
erforderlichenfalls  die  0  und  1  —  vergL  S.  198  sq. 


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Fünfte  Vorlesung, 


§  10.  Die  nldht  von  Negation  handelnden  Sitae.   Beine  Qeeetie, 
▼on  Unltiplikation  und  Addition  je  fSr  sieh. 

12)  Theorem.  Für  die  identischm  Operationen  giU  das  „Kommuta- 
tionsgeseti^: 

12J  ah^ha.  |  12^)       «  +  i>«6  +  a. 

Nach  diesem  dürfen  die  beiden 

Faktoren  eines  identischen  Pro-    Glieder  einer  identischen  Summe 
duktes 

miteinander  ausgetmtseht  werden  —  ohne  dass  dies  Ton  Einfluss  auf  die 
Bedeutung,  den  Wert  des  Ausdrucks  wäre.  Die  identische  Multipli- 
kation resjt.  Addition  —  köunen  wir  auch  sagen  —  ist  eine  ^Jcommu- 
tativ&^  Operation;  ihr  Ergebuiss  ist  ,^ymnietriscJi'^  in  Bezug  auf  die 
(beiden)  Operationsglieder. 

Beweis  des  Satzes.    Nach  den  Formeln  des  Th. 

von  welchen  ja  nach  Anmerkung  zu  Pr.  I,  S.  170,  eine  beliebige  «n- 
erst  statairt  werden  dorfte,  folgt  gemäss  Def.  (3^)'  resp.  (3^)': 

ah^ha  I  &  +  a^a  +  2i 

und  in  dieser  hiemit  allgemein  bewiesenen  Formel  darf  man  auch  a 
und  b  TertauBcben  und  erhalt: 

ha^ah  |  a  +  b^b  +  a 

was  mit  dem  vorigen  Ergebniss  nach  De£  (1)  zusammeuiiiesst  zu 

ah^ha,  I  a  +  6  —  d  + 

welches  su  beweisen  war. 

[Das  zweite  Ergehniss  hätte  anch|  analog  wie  das  erste,  direkt 
aus  den  Tom  Th.  6)  gelieferten  Subsumtionen: 

ba=^a,  ba=^h  |         a=^b  +  a,  b=^h  +  a 

iiacli  Uef.  abgeleitet  werden  kijnnen;  doch  wäre  diese  Variante 
des  Beweises  augenscheinlich  etwas  weniger  einfach  geweäcu.j 


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§  10.  Die  niolit  von  Negation  haDdelnden  SStte. 


255 


Exempol.    a  =  Adelige,  &  =  Besitzende. 

Die  Besitzenden  unter  den  Adelig<*n  sind  einerlei  mit  den  Adeligen 
unter  den  Besitzenden. 

Anderes  Beispiel:  a  =  weiss,  &  =  Pferd,  Etwas  weisses,  was  ein 
P&rd  ist,  muaa  ein  Pferd  eein,  welches  weise  ist,  und  vice  venS. 

Sei  a  =  Euro^r,  h  »  Busse,  so  gilt:  Europfter  und  Baasen  smd 
Russen  oder  Europfter.  Die  Europfter  nebst  den  Bussen  sind  die  Bussen 
oder  Europaer. 

Es  bedeute  a  ihxs,  was  einem  andern  (einer  Itestiminten  Klasse)  unter- 
geordnet ist,  6  das,  was  ebendiesem  gleich  ist,  so  gilt:  gleich  sowie  unter- 
geordnet  ist  nntexgeordnet  oder  gleich.  ^ 

13)  Theorem.  Für  die  ukniisdtm  Operationen  güt  ouc^  das 
„AssoeiaHonsgesete'* : 

13^)       aipc)  =  iab)c  |     13+)  (a+b)  +  c  =  a  +  (d  +  c). 

Wenn  man  in  bestimmter  Folge,  sei  es 

ein  Symbol  mit  dem  Frodakt  sweier  ein  Symbol  sa  einer  Summe  zweier 
andern  Symbole,  andern  Symbole, 

sei  es 

ein  Produkt  zweier  Symbole  mit  I  eine  Summe  zweier  Symbole  zu 


einem  dritten  (Symbol)  multiplizirt  [  einem  dritten  Symbol  addirt 

80  ist  es  nach  dem  angegebenen  Satze  für  den  Wert  des  Ergebnisses 
gleicJigiUtig,  ob  sich  der  in  seinem  Ausdruck  iu  die  Mitte  tretende 

Faktor  |  Term  oder  Summand 

(hier  5)  mit  dem  ersten  (a)  oder  ob  er  sich  mit  dem  let/.teu  {c)  der 
drei  genannten  Symbole  fyverge.'^pfhrhaßet"'  oder  „Winmihi",  iiamlich  ob 
er  mit  diesem  oder  mit  jenem  vermittelst  einer  KJammei  zusammen- 
geschlossen und  dadurch  zu 

einem  Teilprodokte  {  einer  Teileumme 

des  ganzen  Ergebnisses  vereinigt  wird  —  nnter 

Teilprodnkt  ein  solches  Produkt     |  Teilsamme  eine  solche  Summe 
Torstanden, 


welches  selbst  wieder  Faktor  eines 
andern  Produktes  ist 


welche  ihrerseits  als  Term  einer 
andern  Summe  erscheint 


Es  erscheint  hienach  der  Name  des  ,,Assoziationsgesetzc8"  gerecht- 
fertigt. 

Man  sieht,  wie  yiel  einfacher  in  Formeln,  als  in  Worten,  sich 
ein  solches  Gesetz  darstellt. 

In  dem  formalen  Ausdruck  des  letzteren  treten  Klammern  auf, 
und  ist  dies  iu  unserm  Lehrgebäude  hier  weseutlich  zum  ersten  mal 


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256 


Fünfte  Torlevong. 


der  Fall.  Über  Zweck,  Sinn  und  Verwendungsweise  tlieses  Elementps 
der  Zeichensprache,  welches  für  die  Erzielung  knapper  Ausdrucks- 
formen so  hoch  wichtig  ist,  im  Grunde  jedoch  —  zur  Not  —  ent- 
behrt werden  konnte ,  möge  auf  den  Exkurs  über  Klammern  in  An- 
hang 2  verwiesen  sein. 

Beweis  des  Theorems.   Nach  6^  resp.  6J  ist: 


bc^e   und  a  (pe)  he, 
folglich  nach  II: 

a  (hr)  =^  c. 
Ebenso  ergibt  aus 

bc=^b   und   a(pc)  ^  bc 
sich  anch: 

a{be)^b. 
Endlich  ist  nach  6^)  nnmittelhar: 

a  (bc)  =^  a. 

Aus  dieser  letzten  und  der  vorher- 
gehenden Subsumtion  folgt  nach 
Def.  (3J':  a{bc)=^ah 

und  hieronSi  in  Verbindung  mit 
der  vorher  erwiesenen  Subsumtion 
ia{bc)  ^  cj  folgt  ebenso: 
a{be)^iah)c 


e^b-^c  and  &+c^a+(&+c) 
somit  nach  II: 

e^a  +  {b  +  c). 
Ebenso  ist: 

6=^6  +  c,  b  +  c=^a  +  {b+c), 
somit: 

6     a  +  (6  +  c). 
Endlich  ist  nach  6^)  unmittelbar: 

a=^a  +  {b  +  c). 

Aus  dieser  und  der  vorhergehenden 
Subsumtion  folgt  nach  (3^)': 
o  +  i>  =^  a  +     +  c) 

und  hieraus,  in  Verbindung  mit 
der  zuerst  konstatirten  Subsumtion 
e  ^  a  +  (6+c}  folgt  ebenso: 
(a J) + <f  =^  a + (6 + c). 


Analog  zeigt  man^  dass  umgekehrt: 

{uh)  c      aibc)  I  «4-(6  +  c)=^  (a  +  '>)  +  c 

ist,  womit  sich  dann  die  Gleichheit  der  beiderseitigen  Ausdrücke  nach 
Def.  (1)  bewiesen  findet. 


In  der  That  ist  nach  6^): 

(ab)  c  =^  ah,  desgl.  ah^a 
folglich  a  fortiori: 

{ab)  c  =^  o. 

Aus 

(ab)  ca^ab   und  ab^b 
folgt  ebenso: 

(ab)  c=^b. 
Endlieh  ist  nach  direkt; 
(ab)  c^c. 


Man  hat  nämlich  nach  6^): 
a^a+b,  a+b^(a+b)+ef 

iolglieh 

Ebenso 
woraus: 

b^(a  +  b)+e. 
Endlich  nach  (i^j  direkt: 
c=^(a  +  6)  +  c 


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I  10.  Reine  Geeetse  der  Mnltiplüniioii  xe«p.  AdditioB.  257 


Aas  den  zwei  letzten  Subsumtio- 
nen folgt  nach  (3^' :  {ah)  e  ^  be, 

und  liilt  man  mit  dem  vorher^ 
gebenden  Ergebniss  {ah)e^a 
dies  letstere  sasanunen,  so  ergibt 
sieb  wiederam  nach  (3^)' 


Hienach  haben  wir,  kraft  (ß^Y: 

und  da  oben  bereits 

gefunden  ist^  folgt  endlicb  naeb(3^)' 
weiter: 

a  +  (b  +  c)^ia  +  b)-i-c,  * 
q.  e.  d. 

Die  vorstehenden  Beweise  der  Assoziationsgesetze  bilden  meines  Er* 
achtens  eitic  Jor  schönsten  Leistungen  des  Herrn  Poirce. 

Exempel  /u  dorn  Butzc.  Die  Gebildeten  (a)  unter  den  adeligen 
Grundbesitzern  (bc)  sind  die  gebildeten  Adligen  {ab)  unter  den  Grund- 
besttiem  (c). 

GtbiMcie  oder  ancfa  Adelige  (a  +  b)  nebst  den  Beaibeaden  (c)  sind 
dieselbe  Klasse  von  Personen,  wie  Gebildete  (a)  nebst  den  Adeligen  oder 
auch  Besitzenden  (6  +  c). 

Exemplifikationen  zu  13+)  sind  in  Uöi-  Wortsprache  nicht  leicht  aus 
druek;>voil  tJarzustellen,  weil  in  dieser  ja  Klammern  nicht  verwendet  werUeu 
tmd,  wo  sie  docb  der  Dentlicbkeit  wegen  erforderUcb  w&ren,  deren  mentale 
Erginxnng  höchstens  durch  die  Betonung  nebst  geeigneten  Pansen,  dnroh 
den  Rythmus  der  Hede  angedeutet  zu  werden  Termag.  Im  voilie<fenden 
Falle  jedoch  pflegt  die  Wortäpnuhp  —  ohnehin  j^ercchtfertigt  durch  die 
Theoreme  13)  selbst,  ver^'l.  dit^  nacli folgenden  Zn->iit/,e  und  Zusatzdcftriitionen 
■ —  bei  der  additiven  Vereiuiguug  oder  kollektiven  Zusammenfaääung  von 
drei  oder  mehr  Klassen  dieselben  stets  unterschiedslos,  eventuell  duroh 
Konjunktion«!  wie  ,,und"  ,^owie**,  „oder**  Tsrknttpft  hintereinander  auf* 
snzÜüeu;  sie  pflegt  die  Thton  nie  13)  allgemein  dahin  zu  verwerteu,  dass 
sie  es  sich  erspart,  sich  schenkt,  Ausdrucksformen  fUr  Unterschiede  auf" 
zoütellea,  die  ohnehin  belanglos  sind. 

Zusatz  1)  und  Zusatzdefinition. 

Die  konsequente  Ausdehnung  der  vorstebeuden  speziellen  Kommu* 
tations-  und  Assoziationsgesetze  zu  den  gleichnamigen  aWitnuinen 
Sätzen,  welche  sich  auf  beliebig  viele  Operationsglieder  beziehen,  ist 
nun  geradeso,  wie  in  der  Arithmetik,  zu  leisten. 

£s  wfirde  in  diesen  ProMss  der  Verallgemeinerung,  hier  wie  dort, 
nur  das  Th.  16)  noch  mit  hereinzuziehen  sein. 

Die  Terallgemeinerten  Sätze  lassen  sieb  zu  dem  Ausspruche  zu- 
sammenfassen, dass  bei  der  Verknüpfung  beliebig  vieler  Symbole  durch 
lauter  Multiplikationen  resp.  lauter  Additionen  die  Reihenfolge  oder 
„Ordnung"  und  die  „Gru^irung"  oder  Zusammenfassung  dieser  Opera* 
tionsglieder  gleidigiätig  ist,  insbesondre  also  auch  Klammern  nach 
Belieben  gesetzt  oder  unterdrückt  werden  dürfen. 

ScB>Ö&BB,  Algabn  &m  L«eik>  17 


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258 


Fönfte  Vorlesnng. 


Auf  diese  Sätze  ist  endlicli  auch  die  Begriflserklärung 
eines  Froduktes  \  einer  Summe 

von  beliebig  vielen 

Faktoren  |  Gliedern 

genau  wie  in  der  allgemeinen  Arithmetik  zu  gründen. 

Die  Ausführung  dieses  Programmes  kann  nur  eine  Wiederholung 
demjenigen  sein,  was  manchen  Lesern  aus  den  Werken  von  wissen- 
schaftlicher Tendenz  über  letztere  Disziplin  bereits  bekannt  ist. 
Zudem  wird  durch  dieselbe  in  logischer  Hinsicht  nichts  Wesentliches 
hinzugefügt,  und  sei  sie  darum  ebenfalls  in  den  Anhang  verwiesen 
(Anhang  3). 

Es  lässt  sich  nun  auch  ein  Produkt,  eine  Summe  von  drei  oder 
mehr  Gebieten  wieder  als  ein  solches  zur  Anschauung  bringen,  wie 
es  für  drei  Operationsglieder  die  Figuren  zeigen: 


Flg.  11 


Fig.  II 


Man  nehme  sich  die  Mühe,  an  diesen  Figuren  die  Gültigkeit  des  Asso- 
ziationsgesetzes 13)  wirklich  nachzusehen,  indem  man 


einmal  die  Zweieckfläche,  das  Bili- 
neum  ab  mit  der  Kreisfläche  c,  das 
andere  mal  die  Kreisfläche  a  mit 
der  Zweieckfläche  bc  vor  dem  gei- 
stigen Auge  zum  Schnitt  bringt 


einmal  die  (ebenfalls  von  zwei 
Kreisbogen  begrenzte)  hier  in  Ge 
stalt  eines  liegenden  Achters  sich 
darstellende  Fluche  a  +  b  mit  dem 
Kreis  c,  das  andre  mal  den  Kreis  a 
mit  der  Achterfläche  b  +  e  zu  einem 
I  Gebiet  vereinigt. 

Beidemal  erhält  man  in  der  That  dieselbe  schraffirte  Figur  als  die 
Bedeutung  von 

abc  I  a  +  b  +  c. 


Zusatz  2),  auch  gehörig  zur  Def.  (3). 

Die  beiden  Teile  (3)'  und  (3)"  der  Def.  (3)  lassen  sich  nun- 
mehr leicht  von  zweien  auf  beliebig  viele  Subsumtionen  ausdehnen, 
nämlich: 


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S  10.  Rfline  Oesetae. 


269 


(3x) 


Wenn  sogleich 
Z'^a,  X'^b,  X'^e,  • 
ist,  80  mass  aneh 

I  sein. 
Und  umgekehrt: 

VVenu 

X =^  ahc ■ ■ ' 
ist,  so  musB  auch  seiu: 
x^a,  x=^h,  x=^c^- 


(3x)' 


(3.)' 


Wenn  zugleich 

a^Xf  b^x,  c^Xf' 
ist,  80  muB8  auch 

a  +  b  +  c  +  "'^x 

sein. 

Wenn 

a  +  b  +  c-\  

ist,  so  muss  auch  sein: 
a^x,  h^x,  c^x,- 


Der  Beweis  ist  naheliegend,  nämlich  z.  B.  linkerhand  so  zu  leisten. 

Ad  (3^"'.  Aus  x^a  nehst  x^b  folgt  nach  (3,,)',  dass  x=^ab] 
hieraus  aber  in  Verbindtitig  mit  x^e  folgt  abermals  nach  (3x)',  dass 
x^(ab)c,  oder,  weil  die  Klammer  weggelassen  werden  darf,  dass 
X  ^  4ibc  Hieraas  dann  und  aus  der  Voraussetzung  x^d  folgt  wieder 
nach  (Bj^'f  dass  x  ^  (abe)  d  sein  muss,  wo  nun  abermals  die  Klammer 
wegsnilaasen  ist^  u.  s.  w. 

Ad  (Sx)""  kann  man  in  der  Yoraussetzung  auch  unter  Anbringung 
einer  Klammer  die  rechte  Seite  als  ein  Produkt  Ton  nur  zwei  Faktoren 
schreiben,  sodass  sie  sieh  darstellt  übi  x^a{bcd*-').  Hieraus  folgt 
aber  nach  (3^%  dass  x^a,  sowie  x ^ bed •  •  -  sein  moss.  Letateres 
kann  wieder  geschrieben  werden:  x^bied***)  und  zerfallt  nach(3,(y' 
abermals  va  x^b  nebst  « cc? •  •  •  Indem  man  so  weiterfährt,  ge- 
winnt man  fortschreitend  die  Terschiedenen  Subsumtionen,  welche  die 
Behauptong  ausmachen.  — 

Exempel  zum  Torstehenden  haben  wir  schon  in  §  8  unter  A) 
gebracht 

Es  könnten  Torstehende  Sätze  auch  als  selbständige  Definition  von 
Produkt  und  Summe  aus  beliebig  vielen  Operationsgliedem  (Faktoren 
resp.  Summanden)  hingestellt  werden,  während  im  gegenwärtigen  Lehr- 
gang  wir  vorgezogen  haben,  diese  Begriffe  rekorrirend  auf  diejenigen 
der  Jbinärm*'  (d.  h.  immer  nur  zwei  Symbole  auf  einmal  verknüpfenden) 
Multiplikation  und  Addition  zurückinführen. 

14)  Theoreme.  („Tautohgieffeaetg^.)  ÄUgemein  ist: 
14J  aa«a.  |  14^.)  a+a^a. 

Beweis.  Nach  Th.  6^  resp.  6^),  wenn  darin  a  fär  5  genommen 
wird,  ist  einerseits: 

aa^a.  \  a^a+a,  * 

17» 


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260 


Fünfte  Vorlesang. 


Andrerseits  trellen  die  Voraiiss^'tzungen  der  Def.  (3)  uach  1  zu, 
wenn  unter  c  und  b  dort  ebenfalls  a  verstaadeu  wird,  und  ist  dar-  - 
naeh  auch: 

sodass  nfteh  Def.  (1)  nun  unser  Lehrsatz  bewiesen  erscheint 

Während  die  vorherj^ehenden  Theoreme  Eigenschaften  ausdrückten, 
wcl(?-he  den  arithmetischen  Operationen  ^anz  ebenso  wie  den  ideutiscdieii 
zukummen,  ist  dies  mit  den  Theoreineu  14)  nicht  der  Fall.  Wir  mögen 
letztere  deshalb  als  die  spezi/isdten  Gesetze  des  identischen  (sowie  auch 
des  logischen)  Kalküls  liiu.^tellen. 

In  der  Arithmetik  würde  Gieichunr,'  14^)  nur  für  den  Wert  0, 
Gleichung  14^)  nur  für  die  Werte  0  und  1  vou  a  eriüUt  seiu;  ausserdem 
könnte  man  beide  Gleichungen  noch  fttr  a » oo  in  Anspruch  nehmen, 
welch'  letxteres  Symbol  aber  nkht  zu  den  ZaMen  gehört 

In  Worten  laseen  sich  die  beiden  Satze  wie  folgt  fassen: 

IdenHsdte 

MiOt^UhaiUm  |  JädUhn 

eines  Gebietes 

mil  sieh  s^bst  !  0u  skh  seihst 

lässt  dassrlhc  nnvi  riiudai  — ■  doch  ist  der  Forjiielausdruck  als  der  über- 
sichtlichere dem  verbalen  vurzu/ielien. 

Die  Anschauung  lässt  beide  Sätze  als  ganz  seibstverständiicii  er- 
scheinen. .  Das  Gehiet 

welches  rr  mit  sich  selbst  e^moin  hat  j  zu  weleheiu  a  sich  seiOst  ergänzt 
ist  eben  a  selber.    Eut:5precheud  für  Klassen: 

Ein  Mensch,  welcher  ein  Mensch  ist,  ist  ein  Mensch,  und  umgekehrt 
darf  mau  auch  sagen:  ein  Mensch  ist  eiu  Mensch  und  ein  Mensch,  ist 
ein  Mensch,  welcher  ein  Mensch  ist.  Was  Gold  oder  audi  Gold  ist,  ist 
eben  Gold  —  sowie  umgekehrt. 

Preihch  ist  die  Bemerkung  am  Platze,  dass  man  durch  solche  Urteile 
sieh  einer  unnötigen  Wiederholung,  einer  „2Vitito%ic",  eines  „Pleonaamtu^ 
schuldig  mache.    Es  wird  auch  in  der  That  kaum  jeiuals  einem  Vemttnf- 

ttgen  einfallen  solchergestalt  in  unTerhUllter  Form,  sosusagen  nackt  sn 

sagen:  ,,die  Pferde,  welche  Pferde  sind",  „die  Neger-Mohren-Xe^er"  und 
ebensowenig  „die  Menschen  und  die  Menschen  und  die  Menschen^'  oder  der- 
gleichen. 

In  verhüllter  Form  dagegen  —  implicUe  —  wird  solches,  wie  sich 
zeigen  Ittsst,  in  den  Wissenschaften  sowol  wie  im  gemeinen  Leben,  ungemein 
hftufig  gethan.  Ein  paar  Beispiele  werden  geniigen,  dies  zum  Bewuestsein 
zu  bringen. 

Zum  Zwecke  einer  zahlentluorcüschen  Untersuchnnpr  niöcfen  wir  etwa 
aus  der  Mauniglaltigkeit  der  positiven  ganzen  Zahlen  diejenigen  hervor- 


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§  10.    Iweiue  Gesetze.  261 

heben,  „welche  mtr  durch  1  und  durdt  sieh  sdber  teilbar  sind**.    Die  so 

charaktorisirte  Klasse  wird  dann  bestehen  aus  dea  Primzahlen  (d.  i.  d^ 
Zahlen  die  zwei  Teiler  haben)  uud  aus  der  bekauntlich  nkhf  zu  diesen 
Lfoiuirij^en  FAm  (die  ja  nur  r'men  Toilur  hat).  Für  bH/;tero  aber  ist  es 
üben  doppelt  gesagt,  daüs  sie  Uuiuii  I  teilbar,  deaa  bei  ilir  heiäät  eben 
pdurcli  sieh  selber'*  ebenfUls  ,)diireb  eins'*  teilbar.  Von  ihr  sagten  wir 
also  in  Terstec^ter  Form  ans,  dass  sie  f^Sturdi  1  und  äurtk  1^  teilbar  sei 
—  eine  ausserhatb  des  Ziisammenhanffes  jedeniaUs  aberflUsäige  Wiederbolang, 
die  aber  innerhalb  dos  Zusammenhanfj:es  i^anz  nnerllisslich  ist,  um  die  TOr- 
bale  Charaktorisirung  der  Klasse  so  kurz  wie  oben  7,u  f,'cstalten. 

Verfügt  man  bereits  über  den  Nameu  „Piiui/,ahlen'\  sind  diese  schon 
eingeführt,  ist  ihr  Begriff  bereits  erklärt,  so  kann  man  Äeilich  die  hervor- 
snhebende  Klasse  ▼on  Zeblen  ungefähr  ebenso  kurz  beseichnen  als  die  der 
„Primzahlen  nebst  der  Eins";  jedoch  tritt  hier  erstlich  der  Gesichtspunkt^ 
unter  dem  man  die  Zahlen  hervorhebeu  will,  nicht  so  deutlich  zutage,  nnd 
zweitens  mochte  ja  auch  die  ganze  Untersuchung  der  Einführung  des  Prim- 
asahibegrltYs  /7)r«Mgegangen  sein. 

Spreclien  wir  einmal  von  „den  Besititeudeu  und  den  Adeligen^',  so 
sind  die  besitzende  Adeligen  augcascheinlicb  doppelt  aufgeführt,  nSmliob 
einerseita  unter  den  Besitsenden,  dann  nochmals  unter  den  Adeligen.  Die 
Beichretbnng  der  Klasse  HiUt  aber  jedenfiiUs  so  einfM»ber  aus,  als  wenn 
man  diesen  Umstand  vcrnioiden  wollte. 

In  Bezug  auf  weitere  Beispiele  möge  noch  auf  die  Betrachtungen 
unter  §  18,  or  .  .  ^)  verwiesen  .sein. 

Was  nun  aber  (beim  Beschreiben,  CharakteriBiren  von  Klassen)  in 
▼erhallter  Gestalt  implieite,  ganz  .allgemeine  P^nuüs  ist,  nmaa  tm  Sifttm  der 
WiasmaOwß  muh  uiwerkälU,  ausdräMdh  egi^plidfe  eme  Stdle  finden, 

Zneatt  1  an  Tb.  14).  Die  Aoadebnimg  dieser  apenfiaeben 
GesetM  des  identischen  Ealkols  auf  beliebig  viele  unter  sich  gleiche 
Operationsglieder  ist  naheliegend.  Wir  haben  hier  auch  als  all- 
gemeingültige  Formeln: 

aaa-^'^a,  I  a+a-f  «+•••-««. 

Behufä  Beweises  hätte  man  —  unter  Vorausbeziehung  auf 
TL  16)  —  z.  B.: 

aaa  «=  (aa)  a     aa  ^ 

sodann 

aaaa     (aaa)  a  aa 

u.  s.  w. 

Die  ersto  l.'lsst  erkennen,  dass  eine  Operation  des  „Poten^irens"  ira 
identischen  Kalkül  nicht  vorkommt.  Die  „Potenzexponcnteii"  der  Aritlinietik 
bleiben  hier  als  obere  J))'V>>'i'<!  für  uns  vcrfllgbar,  und  worden  wir  speziell 
unter  hier  im  allgean  laen  nicht  a  selber,  soudern  irgend  ein  zweites 
von  a  vielleicbl  verschiedenes  Gebiet  verstehen;  ebenso  wird  uns 

a,     a\  o*,  o\  •  •  • 


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262 


Fflnft«  Vorl«tDag. 


treiter  nichfs  als  euie  Ti''>hr  von  einander  vkUekM  duirdnceg  verschiedener 
Gebiete  oder  Klofi^ftr  rorsfrlhn. 

Die  zweite  Foriiu;!  ^eigt,  daas  der  Zusammeiibang,  wi«  er  :iwtschen 
Additioa  und  Multiplikation  in  der  Arithmetik  besteht  —  allerdings  nur 
für  den  Fall  etnea  fwsitiTeii  gftnaahligen  Maltiplikatan,  ein  Ziunatraaii* 
bang,  der  aber  gerade  die  MnltipCkation  zur  Operation  der  zweiten  Stufe 
dort  der  Addition  gegenüber  stempelt  —  hier  im  identischen  Kalkül  kein 
Analogen  hat  Das  Fehlen  solchen  Analogons  zn  der  gedachten  Gleichung 
der  Arithmetik: 

a  -j-  a  -j-  •  •  •  -f-  o  =  a  X  « 
T     ?  7 

tUut  unsrer  Bemerkung  keinen  Eintrag,  dasB  die  identiäcben  Opciationeu 
9äf»iUdie  formalen  Eigenschaften  der  gleichnamigen  arithmetischen  beslssen. 
Denn  eben  weil  diese  Gleicbung  niebt  allgemein,  nicht  im  komplexen  Zahlen- 
gebiete fUr  ein  ganz  beliebiges  n  Sinn  hat  oder  gUltig  ist,  gehört  sie  nicht 
zn  den  „formalen"  Eigenschaften  —  im  vollen  Sinne  dieses  Wortes, 

Während  so  von  den  wirklich  formalen  Eigenschaften  der  beiden 

direkten  Operationen  der  arithmetischen  Tier  Spezies  im  identischen 

Kalkül  in  der  That  keine  fehlt,  sehen  wir  hier  noch  die  Bpezifiachen 

Gesetze  14)  als  weitere  Eigenschaften  hinzutreten,  und  zu  diesen 

werden  ferner  noch  —  im  Grunde  als  eine  Folge  derselben  —  die 

beiden  Theoreme  23)  kommen.   Wir  müssen  demnach  die  identischen 

Operationen  der  Multiplikation  und  Addition  den  arithmetischen  gegen» 

über  als  die  an  formalen  Eigenschaften  reicheren  hinatellen. 

Zusatz  2  zu  Th.  14).  Wenn  nun  überhaupt  in  einem  Produkte, 
einer  Summe,  Faktoren  resp.  Glieder  wiederholt  auftreten,  aei  es  auch 
nicht  durchweg  als  successive  oder  einander  benachbarte,  sondern  riel- 
leicht  getrennt  durch  noch  andre  Operationsglieder,  so  wird  man  prak- 
tisch  von  den  Theoremen  14)  Gebrauch  machen,  im  Sinne  einer  Ver- 
einfachung dieser  AusdrOcke,  indem  mau  Ton  jeder  Sorte  Faktoren 
resp.  Summanden  immer  nur  «me»  beibehält  (etwa  den  ersten),  die 
flbrigen  ihm  identisch  gleichen  aber  fallen  llssi  So  wird  man 
s.  B.  für 

ahcaabdacde  \  ciH-0+(+<f+A+c+<f+c 

in  Hinkunft  kürzer  sagen 

ahed.  I  a  +  h+e  +  d. 

Muli  kann  iiiliuliuli  wegen  der  Komrnutativitüt  der  Openitiuneii  die 
Operation iiglied er  zunächst  so  umordnen,  dass  die  übereinstimmenden 
zusaniraenkonimcn,  alsdann  kann  man  die  <  iriij»{ieu  der  letztern  wegen 
der  Assuziativiliil  jener  Ojtorat itnion  jeweils  zu  einem  einzigen  Opera- 
tiüusgliede  zusamioeuisciüiesseu,  und  endlich  sie  nach  Th.  16)  —  auf 


« 


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§  10.    Reine  Geactz-o. 


263 


das  wir  vorrorweisen  mflsaen  —  ersetzen  durch  den  einfacheren  Aus* 
druck,  dem  sie  nach  Th.  14)  Squiralent  sind.   So  wäre  vorstehend: 

(r? a (i a)  (^6 h)  {c c c)  {dä)  \  (a  +a +a-{-a)  +  (b  +  b)  +  {c +  c  +  c)  +  (d+  d) 
aU  eiue  Zwischenstufe  der  Rechnung  zu  denken  gewesen. 

Den  hier  gegebenen  Wink  dar!  der  K^chuer  nie  aus  den  Augen 
Terhercn. 

Analog  wird  man  für:  ,,die  leichts^lSnbiq-fn ✓  fluten,  Ifiichfglüubißen 
Kiüiiei''  kürzer  blo.-^  .'-iigen:  „die  leichtgläubig«'!!  gnt^Ti  Kinder",  und  für: 
„Mobauimedaner  und  Briten  sowie  Ku^^en  und  Aluhummedaner'*  blos  sagen 
„Mohammedaner,  Briten  und  Rn8sen*^  — 

Für  das  Th.  14^)  gebrauchte  Boole'  den  mit  Recht  allerwärls  als 
ungeeignet  qualißzirten  Namen  des  „law  of  duality",  wofür  Jevons^  den 
,4aw  of  simplicily"  vorschlägt.  Indem  Boole  eine  Addition  nur  fUx  ein- 
ander gegenseitig  aussehliessende  Snnunandeo  zuliess,  konnte  er  auch  nicht 
das  Th.  14^)  aufstellen  oder  zugeben.  Von  Neueren  pflichtet  ihm  hierin 
nnr  Herr  Venn')  noch  bei,  auf  dessen  Einwftade  wir  in  §  18,  a)  .  •  d) 
aufifährlichst  eingehen  werden. 

Das  Th.  14  ist  zuerst  Ton  Jevons*)  aus«e55prochen,  welchem  nach 
bezüglich  Gebrauchs  der  hier  adoptiHen  Addition  die  Priorität  zukommen 
dflrfte,  soweit  sie  nicht  etwa  Ton  De  Morgan  anticipirt  erscheint.  Tb.  14^) 
aennt  Jevons  das  „Uw  of  nnityS  indem  er  darauf  hinweist,  dass  die 
Nichtbeachtung  des  Satzes  beim  Zählm  zu  falschen  Ergebnissen  des  ZShlens 
führe.  Eine  .schcm  einmal  gezShlte  Einlieit  darf  nicht  wiederholt  gexUhlt 
werden.  Sind  M  \  M"\  .  .  .  individuell  verschiedene  Münzen,  z.  H. 
Markstücke,  so  gäbe  eine  Zählnog,  wie  M' +  M"  +  31" -\- M'"  +  •  -  ein 
falsches  Resultat;  es  mutss  beachtet  werden,  dass  M' +  M'  weiter  nichts 
ut,  als  M"  etc. 

Am  geeignetsten  wflrde  mir  die  Beaeichnung  der  Theoreme  14)  als 

tfTautologiegcsd:v"  (>1er  identischen  Multiplikation  rcsp.  Addition)  erscheinen, 
indem  sie  ausdrucken,  dass  es  belanglos  ist,  das  nämliche,  was  man  bereits 
genannt  bat,  nochmals  711  nennen,  mag  CS  mit  simultanen  oder  unter  alter- 
nativen Termen  aufgeführt  sein. 

15^)  Theorem.  ,      15+)  Thoort-m. 

Beweis.    Nach  G^)  iat  ac=^a,        Beweis.  Naeh     )  i^t 

wi'iren  a^h  also,  nach  IT:  nc^h.  nach  II  also  um  üu  mehr:  + 

Ebeiiio  ist  nach  ()^):  (ir     <\   Aus  und  da  ohnehin  c=^6  +  c  nach  6^) 

den  beidon  letzten  fSubsumtiüuen  ist,  so  haben  wir  nach  üef,  (3^)' 

tolgt  aber  nach  (3^)':  auch: 

In  einer  SuhmmHon  darf  mm  also  "beiderseits 
äms^n  SymM  muitipUMren  \  dassdbe  Synibol  addiren 


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264 


Fflnfte  TdrlenuBg. 


und  muäs  man  wiederum  eine  gOitige  Subsumtion  hierdurch  erhalteni 
An  der  Figur 


Fig.  tt. 


lassen  beide  Sätze  sich  durch  Anschauung  koiitroUiren«  Dsss  aber  diese 
Sätze  nicht  umgekehrt  werden  dürfen,  nämlich,  dass  aus  ac^hc  resp. 
a  +  ea^fr+c  nicht  a^h  folgen  kann,  ofienbaren  die  Figuren: 


Schweden  sind  Europäer,  ergo: 
Schweden  und  Bussen  sind  Europfter 
oder  Bossen. 


Pig. 

bei  denen  für  die  Kreise  a,  h,  c  die  angegebene  Voraussetzung  sich  je 
als  erfüllt,  die  fragliche  Folgerung  aber  sich  als  nicht  erfallt  zeigt. 
Ezempel: 

Rappen  sind  Pferde,  ergo:  eng-  ' 
lische  Rappeu  sind  englische  Pferdf». 
Blau  ist  farbig,  ergo:  blaue  Sake 
sind  farbige  Öalze.  ] 

Dagegen : 

Die  europäischen  Vulkane*)  sind  j      Russen  und  Asiaten  sind  EurojAer 
italienische  Vulkane.    Gleichwol  ist  j  oder  Asiaten,  ohne  dass  doch  Bussen 
„europäisch"  nicht  notwendig  „ita-    auch  Europäer  sein  mlissten. 
üenisch". 

Anmerkung.  In  der  Wort.sprache  kann  man  <hirch  tinbcdochte  An- 
weuduug  Uea  Tb.  15^)  in  i'ehler  kommen;  es  ibt  daseibbt  auf  scheinbare 
Ausnalmicn  des  Sut^eä  Rücksicht  zu  nehmen.  Ein  paar  Beispiele  werden 
dies  am  schnellsten  deutlich  machen. 


*)  Sofern  Island  and  der  Tulkaniaehe  Teil  des  Eaukasus  nicht  zu  Europa 
gerechnet  und  von  erloachenen  Ynlkanen  in  der  Eifel,  im  griechiecheu  Archipel 
etc.  abgeMhen  wird. 


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§  10.   Die  nicht  voo  Negation  handelnden  Sätze. 


265 


Ein  PistoleosobfltBe  ist  ein  Mensoh.  Darum  muss  aber  ein  vortroff' 
lieh«r  Schutze  noeh  nicht  ein  Tortrefflieher  Meneeb,  der  beste  Sohatse  nicht 
der  bette  Mensch  sein!  Ebenso  braucht  eine  grosse  Fliege  kein  grosses 
Tier,  ein  kleiner  Elephant  Iceiu  kleines  Tier  zu  sein,  eine  grosse  Hütte 
kein  grosses  (ichüudf^  —  vcrgl.  Jevons*'.  Pfennige  sind  Geld,  aber  viele 
Pfennige  können  doch  wenig  Geld  sein.  Etc. 

Die  Ausnahme  iät  darin  begründet,  dass  hier  das  Adjektiv  c,  welches 
dsttrsuniiead  znm  Subjekt  und  PrSdik»t  trit^  in  beiden  einoi  versdiiedenen 
Sinn  erhiU  sufolge  deo  Umstandes,  dass  es  als  ein  rdaiiTes  verstanden, 
relativ  genommen  wird,  nämlich  eine  Beziehung,  ein  VerhSltniss  des  8ub- 
!«t.inlivs  zu  andern  scincs(j}(  icJicn  anszudrtickeu  be^tinimt  ist.  Der  Begriff 
„vortrefflich  unter  den  Schützen"  iuit  einen  andern  Inhalt,  als  der  ,,voi- 
treiflich  unter  den  Menschen,  vortrefflich  als  Mensch"  und  demeateprecbend 
Ist  auch  der  Umfang  beider  Klaäsea  nicht  derselbe. 

Das  Tb.  15x)  gilt  stricte  nur  dann,  wenn  die  Klasse  e  im  Subjekt 
und  PrikUkat  m  äbsoUU  denudbm  Sinne  verstanden  wird. 

Dementspveebttid  wttide  aneh  der  Scbluss:  Alles  Metall  ist  Substanz, 
folglich  muss  gelten:  Das  schwerste  Metall  f  Iridium)  i^t  die  schwerste 
Sobstanz  —  dieser  Schlnss  würde  formell  falsch,  ein  F<lilsc/ilu,'is  sein,  ob- 
wol  hier  die  Präuii^so  sovvoi  als  die  Konklusiou  materiell  richtig  ist. 

Eine  ähnliche  Bemerkung:  dass  der  Kontrast  von  Individuen  einer 
Sabjektklasse  zu  ibresgleicben  nnwillkttrlicb  mit  in*8  Gewicht  f&llt,  trifft 
nicht  selten  schon  bmm  Erteilen  solober  PirSdikate  sn,  die  sich  als  absolnt 
bestimmte  Attribute  darzustellen  scheinen.  So  werden  wir  vielleicht  die 
gleiche  Farbe,  die  falls  von  Schafen  die  Rede  ist.  noch  „weiss"  genannt 
wird,  bei  einer  chemischeu  Öubstanz  als  grau  oder  gelblich  bezeichneu. 
Als  den  Umfang  des  Begriffes  „weiss''  in  absolutem  Sinne  können  wir 
immerhin  bezeichnen:  die  Gesamtheit  derjenigen  Dinge,  welche  wir  (als 
solche  ihrer  Kategorie)  eben  „weiss'^  nennen  wttrden,  und  bleibt  dies  un- 
bedenklich, es  erscheint  der  Umfang  nSmlicb  als  YöHig  bestimmt,  solange 
nicht  Objekte  bekannt  sind  als  anter  verschiedene  Kategorieen  zugleich 
fallende,  unter  deren  einer  sie  als  weiss,  unter  deren  andrer  sie  als  nicht- 
weiss  zn  bezeichnen  wären.  —  Dass  wir  nur  mit  wobldeflnirlen  Klassen  zu 
tiiuu  hätten,  wurde  bereits  als  eine  nicht  Überall  wirklich  erfüllte,  ideale 
Voraussetzung  der  Logik  hingestellt. 

16J  Tbeorem.  |     16J  Tbeorem. 

Wmn  a^h,  so  isiae^he»  Wem  a^^h,  ao  isi  a+c^b^e. 

Man  darf  also  auch  heiäe  Seiten  einer  Glei^ung  mU  demsdben  Symbol 
mii^tMirm,  sowie  um  Dassdbe  vermehren. 

Beweis.  Die  Annahme  aa5  zerfallt  nach  Def.  (1)  in  die  beiden 
SobsnmtioneD  a^b  und  b^(L   Aus  dex  ersten  folgt  nach  Th. 
15„)  ac^bc  I  15^,)  a+c^b+e 

ond  ebenso  aus  der  zweiten: 

bc^ae  I  6+<?=^a-|-c 

wonit  nach  Def.  (1)  die  Behauptung  erwiesen  ist 


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266 


FOnfte  Voriefuug. 


Aunicrkuug  1.  Durch  xVnwemlung  des  Kommutatiousgesoizes  12) 
auf  «üe  Behauptung  in  den  beiden  Theoremen  15)  und  16)  kann  man 
diet>eii  ii*  ch  versrliicdene  Formen  gehen.  Z.  B.  dem  Th.  15^)  noch  die 
Formen:  Wenn  u  b,  so  ist  auch  ac-^  <  Ii,  desgleichen  ca=^6f,  desgl. 
endlich  cw^cb.  Doch  werden  wir  Süt^e,  die  sich  so  unwesentlich  von 
den  aufgestellten  unterscheiden,  künftig  nicht  mehr  mit  anfuhren,  vielmehr 
ohne  weiteres  als  sogleich  mit  jenen  gegeben  betraehten. 

Anmerkung  2.  In  der  Arithmetik  dürfen  die  beiden  SStze  bekannt- 
lieh auch  umgekehrt  werden.  Man  darf  daselbst  einen  UlK  reiiistimmenden 
Faktor  der  beiden  Seiten  einer  Gleichung,  desgleichen  ninon  libereinstim- 
menden  Summanden  derselben  ohne  weiteres  „sinkhen",  den  Faktor  aller- 
dings nur,  wenn  er  von  0  Yersohieden-  ist  Es  kommt  dies  hinans  auf  die 
Division  der  Gleichnng  dnroh  den  gedachten  Faktor  resp.  anf  die  beider- 
seitige  Subtraktion  do^  gedachten  Summanden,  und  beruht  die  ZolSssigkeit 
des  Verfahrens  auf  der  Eindeutigkeit  der  beiden  inversen  Operationen,  näm- 
lich der  arithmetischen  Division  (mit  Ausnahme  tierer  durch  ())  und  der 
arithmetischen  Subtraktion.  Da  wie  schon  erwühnt  die  iuverbcn  (»perationeu 
des  identisuhen  KalkuU  mit  den  gleichnamigen  arithmetischen  ausser  ihrem 
Gegensatz  zu  den  direkten  Operationen  nmr  wenig  gem«n  haben,  so  Ustt 
sich  schon  erwarten,  dass  hier  der  Bücksohluss  von 

ae^he      oder  a-¥e^h'^c 

auf  a  »=  ö  nicht  zulässig  sein  wird. 

Für  Gebiete  thun  dies  in  der  That  die  Figuren  kund,  in  denen  a  und  b 
die  Kreisflächen,  dagegen  c  das  schraffirte  Gebiet  vorstellt: 


Fig.  lA^. 


Fig.  u . . 


Ebenso  offenbaren  fttr  Klassen  es  Beispiele  wie  folgende: 


Die  gleichseitigen  Dreiecke  sind 
die  gleichwinkligen  Dreiecke,  aber  es 
ist  nicht:  gleichseitig  einerlei  mit 
gleichwinklig  ^  der  Bhombns  s.  B. 
ersteres  ohne  das  letztere.  Die 
BchwersteSubstanz  ist  das  schwerste* ' 
Metall,  doch  ist  nicht:  Substanz  = 
Metall. 


Die  Primzahlen  nebst  den  unge- 
raden Zahlen  ist  dasselbe  wie  die 
Zahl  3  nebst  den  ungeraden  Zahlen. 

Gleichwol  ist  die  Klasse. der  Prim- 
zahlen nicht  identisch  mit  der  Zahl 

2,  sondern  greift  noch  weit  über 
dieses  allerdings  in  ihr  enthaltene 
Zahlindividuum  hinaus.    U.  a.  m. 


*)  Auch  wenn  man  hier  im  PriUlikat  „schwerste**  genau  to  wie  im  Sotgekte 

verateht  als  „Bchwerer  wi<^  dio  übrigen  Substanzen**  und  nicht  blos  als  „schwerer 
wie  die  übrigen  MetalU^*  bleibt  die«  noch  richtig.   Vergl.  die  Anm.  sa  Th.  15). 


üiyitizcd  by  GoOglc 


§  10.   ileilie  Gesetze.  267 

Weg«B  der  von  der  Arithmetik  her  gelttufigon  Übang  ist  es  hier  am 
Piatie  vor  dem  erwSbnten  Rttoltschliiss  ausdrHeklich  au  waraen: 

In  Gleü^miffen  {sowie  SuhsumHonm)  des  iäeniistAen  Kalküls  ist  es 

nkiht  gestaUet,  iibereinsimmeHde  Faktoren  oder  awk  Terme  der  beiden 

Seiten  su  j^strei^m**, 

17J  Theorem.  |     11  j  Theorem. 

Wenn  a^h  und  a  ^ b',  so  ist  auch: 


a+<^^b^-b'. 
Beweis.  Nach  15^)  und  12^) 


ac^^bb\ 
Beweis.  Nach  15J*)  und  12^ 
folgt  aus  unsern  Annahmen: 

a a  ^  ha\    hd  =^  66',  |     a  +  a'  =^  6  -f  n*,    h  +  n  ^  l>  +  6', 

woraus  die  Behaoptang  a  fortiori  (d.  i.  nach  11)  zu  schliesseu  ist. 

18^)  Theorem.  |     18^)  Theorem. 

Weann  a=^h  und  a* fr',  ist,  so  muss  sein: 

an'^bfj.  I  a  +  d=^h  +  b\ 

Beweis  aus  Th.  17^)  resp.  11+),  da  die  Annahme  a'^b'  auch 
a'^^b'  nach  Det'.  (1)  in  sich  schliesst 

19^  Theorem.  |     19^)  Theorem. 

Wenn  a^h  und  a' so  aniek: 

ad  ==^hb'.  I  a-fa— 

Beweis.  Nach  Def.  (l)  schliessen  die  Voraussetzungen  in  sich, 
dasä  sowol  <i  =^  hj  d ^  h',  als  auch  b^a,  b'^a'  ist.  Aus  ersterm 
folgt  nach  IT^)  resp.  17^): 

aa'^bV  \  a+a-^&4-&', 

ans  letstetem  ebenso: 

hb'=^ad,  I  b-\-b'=^a  +  d, 

womit  die  Behauptung  nach  Det.  (1)  erwiesen  ist.   In  Worten  kann 

man  sagen: 


Gkidies  mit  Gleicht  multipUsirt 
gibt  Qleidtes, 


Glddies  0U  Gleichem  addirt  gibt 
Gleidtes. 


Zusatz  1.  Die  Aasdehnung  der  Satze  17)  bis  19)  anf  beliebig 
▼iele  Subsnrationen  oder  Gleichungen  ist  naheliegend. 

Um  die  allgemeinsten  Sätze,  welche  sich  anf  diesem  Wege  ge- 


•)  NriQilich:  indem  man  in  (1er  ersten  Subsumtion  a  t=^  6  beiderseits  mit  d 
«tthmultipUzirt,  in  der  zweiten  d     b'  beiderseits  mit  b  formoltiplisirt. 


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2G8 


FOnfte  V<irle8img. 


Winnen  IftBseni  in  Worte  su  fassen,  rnttssen  wir  aber  ein  paar  Bemer- 
kung«! TOianABchicken. 

„Qlof^sMmmi^  nennen  wir  solche  Snbsnintionen,  in  deren  Snb- 
sumtionazeieben  der  Bogen  sich  nach  derselben  Seite  hin  Sflhet;  dies 
sind  8.  B.  alle  bisherigen  Subsumtionen,  in  welchen  er  es  nach  rechts 
that  Dagegen  nennen  wir  „nngleichstininiig"  swei  Subsumtionen,  in 
denen  der  Bogen  nach  Terachiedenen  Seiten  schaut,  deren  eine  also 
eine  CTentuelle  ZJnferordnung,  deren  andre  eine  eventuelle  Üherox^- 
nung  ansdrficlct,  wenn  beide  von  links  nach  rechts  gelesen  werden. 

In  der  Arithmetik  herrscht  der  Gebranch,  die  Anwendung  der  dort 
ebenfalls  geltenden  Theoreme  19)  sowie  schon  16)  als  eine  Multipli- 
kation resp.  Additit»n  der  die  Voraussetaung  bildenden  (beiden)  Glei- 
chungen schlechtweg  zu  beseichnen.  Dieses  Verfahren  ist  schon  in 
der  Arithmetik  nicht  ganz  korrekt,  weil  man  ja  in  dieser  Disziplin 
faktisch  immer  nur  Zahlen^  also  niemals  GUithm^  durch  Rechnung 
▼erknflpft,  und  aus  diesem  Grunde  haben  audi  schon  einzelne  Lehrer 
dagegeij  geeifert. 

Die  gedachte  Ausdrucksweise  ist  jedoch  in  der  Arithmetik  ent- 
schuldbar und  auTerfönglich  ja  zweckmässig,  indem  sie  in  dieser  Dis- 
ziplin durchaus  nicht  miss verstanden  werden  kann  und  einen  in  der 
Mathematik  uiibejichreiblich  oft  auszuführenden  J'rozess  kurz  uud 
cliarakteristisch  andeutet.  Sie  ist  daj-elbst  aucli,  wie  f^'esagt,  ganz  all- 
gemein üblich,  und  kfiii  MatJieraatiker  wird,  wenn  etwa  die  Gleichungen 
a  =  h,  o'«=6',  a"  =  h"  vorausgeschickt  bind,  Bedenken  tragen,  zu 
sagen:  Mulliplmirm  wir  Jicse  Gleichunqm  miteinander,  so  entsteht 
aaa"  =  bh'h"j  summiren  wir  sie,  ao  kommt  a  +  a a"  =>  h -r  b' +  h" \ 
desgl.  zu  sagen:  Multipliziren  wir  die  erste  Gleichung  mit  c,  so  er- 
halten wir  ac      hc,  etc. 

Diesen  Gebrauch  dürfen  wir  nun  aber  in  den  identischen  Kalkül 
nicht  unmodifizirt  herübernehmen.  Insoweit  e.s  sich  nur  um  den  Ge- 
bifc'tekalkul  handelt,  wäre  dies  allenfalls  noch  augängifi;.  Dazu  werden 
wir  aber  im  Aussagenkalkul  zu  lernen  haben,  wie  Aussagen,  Urteile, 
Behauptungen  überhaupt,  insbesondere  also  auch  Subsumtiuncu  und 
Gleichungen  durch  Multiplikation  sowie  Addition  zu  verknöpfen  sind, 
*  und  zwar  in  einem  von  dem  oben  besprochpiipn  wesentlich  verschie- 
denen, nämlich  in  dem  richtigen,  korrekten  iSinne. 

Solche  VfrknUpfung  von  Aussagen  wird  zu  den  hHufigsten  in  nnsrer 
Theorie  vorzuuehmcnden  Proz.psson  «T^eh^vren.  Da  wird  denn  */.  B.  eine 
Gleichung  a  =  b  wirklich  uiulupliziren  aein  uüt  einer  Auäsage  (  ,  uud 
das  Produkt  (a«B&)'C  wird  etwas  anderes,  nSmlicb  mehr  besagen,  als 
wie  die  Gleichung  ac^hc.   Ebenso  wird  uns  das  Produkt  sweier  Glei- 

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§  10.  Die  nicht  von  Negation  handelnden  ^Itee. 


269 


chungen  (a^h)*  (a      h')  bedeutend  mehr  ausdrücken  als  dass  bloe  die 

Gleichung  gelte  an  ~  hh\  i;  s.  w.  —  worüber  des  Näheren  der  Attseagen- 
lulkul  selbst  zu  vergleichen,  insbesondro  §  33, 

Es  ist  deshalb  unerlässlich,  die  luehreilei  Prozesse  auch  iiutt  rätheidend 
M  benennen.  Und  dieses  geschieht  uusres  Erachteus  am  eiulaohsien  uud 
bMten,  wenn  man  behufa  BeBehreihnng  der  früheren  in  nnaem  Theoremen 
ala  anlKsaig  hingestellten  Sehlflaae  dem  Mnltiplisiren  reap.  Addiren  ein  ge- 
tignetea  Umatandawort ,  Adverb  zugesellt.  Das  Adrerb  muss,  .wie  sich 
teigt-,  ein  anderes  sein,  bei  den  SchUlsscn  der  Tiienremc  15)  und  IG)  iilt» 
bei  denen  von  17)  bis  19).  Für  jene  ist  schon  ..bridrrsrifs"  gebrüuchücli, 
Tür  diese  schlagen  wir  „überschiebend"  vor  (nicht  unpassend  erschiene  auch 
^nperponirend"). 

Es  soll  gesagt  wcrdeu:  Subsumtionen,  Gleicliimgcn  (später  über- 
haupt „i'ropositioneu'*  —  zunächst  von  einerlei  Art)  werden  durch 
eine  Operatiuu  „überschitbend"  verknüpft,  wenn  uiun  aus  iliuen  eine 
neue  Subsumtion  resp,  Gleichung  (Proposition  derselben  Art)  dadurch 
ableitet,  dass  mau  sowol  ihre  liuken  Seiten  als  auch  ihre  rechten  Seiten 
durch  die  gedachte  Operation  verknüpft. 

Damach  dürfen  wir  nun  erstlich  die  Theoreme  15)  und  IG)  auch  (nur 
wenig  abweicheud  von  der  früheieu  Fassung)  wie  i'olgt  aussprechen:  Sub- 
nimtionfai  sowol  ala  Gleichongen  dflrfen  bddeneUa  mit  demselben  Symbol 
moltipliairt,  resp.  beideraeita  nm  dasselbe  Symbol  rermehrt  werden;  es  darf 

beiderseits  dasselbe  Symbol  zu  ihnen  addirt  werden;  es  darf  auch  ein  Sym- 
bol mit  einer  Subsumtion  oder  Gleichung  beiderseitig  multipliairt,  es  darf 
ta  jenem  diese  beiderseitig  addirt  werden.    Uud  zweitens: 

Es  liefern  uns  die  Theoreme  17)  bis  incL  19)  dantacb  den  all- 
gemeinsten Satz: 

In  heutiger  Meiui*'  vorhandene  sei  es  glekhstimmige  Subsumtiofien 
oder  aucli  Gkkkumgen  dur/cn  überschiebend  mü  einamkr  muUiplkirtf  über- 
schiebend tu  ewumäer  addirt  werden,  und  zwar  ist  das  Ergebniss  eine 
Gleichung  nur,  wenn  unter  den  verknüpften  Propositionen  sich  keiw 
SabsQmtion  befindet,  dagegen  wieder  eine  mit  den  gegebeneu  gleich- 
stimmige  Subsumtion  im  andern  Falle,  d.i.  wenn  mindestens  eme  Sub- 
sumtion sich  unter  den  verkuttpften  Propositionen  vorfindet 

Würde  man  aber  eine  Gleichung  a»  &  mit  einer  andern  a 
bddtrieas  multipliairen,  so  erhielte  man  eine  Aussage 

«.(a'  =  fc')  =  6.(a  «fe') 

dl*-  sich  ebenfalls  als  eine  im  Aussagenkalkul  gültige  nachweisen  lassen 

wird,  und  da^  lbst  einen  Sinn  hat,  der  weder  nich  deckt  mit  dem  des  Er- 
gebnisses der  iiberschiebenden  Multiplikation  beider  (ileichuii<^'en:  a-a'«  b'b\ 
noch  mit  dem  des  Ergebnisses  ihrer  Multi[)iikatiou  (schlechtweg): 

(«  =  ?))•  {d  =  b')  . 

Man  ersieht  hieraus,  dass  auch  die  üiuatandöwörter  „beiderseits"  und  „tiber- 
BCbiebend"  nicht  verwechselt  werden  dürfen,  nicht  durch  ein  einziges  Um- 


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270 


P<bifte  Yorlenuig. 


Standswort  ersetzt  werden  k?5nneii,  und  tlass  in  der  That  in  unserer  Theorie 
es  ^Gh^Aew  erscheint,  in  beregier  Umsicht  mehr  als  in  der  Mathematik  auf 
korrekten  Ausdruck  halten! 

Notabene:  Multipliürt  man  die  Gleichung  a  »  6'  beiderseits  mit  a 
so  entateht  auch  etwas  anderes,  wie  wenn  man  die  Oleiehuog  a  a  5  heider' 
aeits  mit  a  »  b'  moltipliurte.   VergL  §  33,  |)  und  o). 

Zusatz  2*  Kombinirte  Anwendimg  der  Theoreme  19^)  und  19^) 
liefert  den  Satt,  daas  es  in  jedem  Ausdruck,  welcher  nur  darch  die 
Operationen  der  identischen  Multiplikation  und  Addition  aufgebaut 
erscheint,  gestaüet  ist,  Oleidus  dwd^  Gleiekes  ta  ersetzen.  Sicherlich 
wird  solche  Ersetzung  ohne  Einflus«  auf  den  Wert  des  Ausdrucks 
bleiben,  wenngleich  die  jForm  desselben  dadurch  Tcr&ndert  werden  mag. 

Exempel.   Ist  b  +  c  »  a,  so  ist  auch 

a  (b  +  c\  +  (i  -{■  {b  +  c)  c  =  an  +  d  +  ac  t=  a  +  ac  +  d  =  a  +  d. 

Wio  Venn'  p.  146  und  anderwärts  bemerkt  ist,  dna  der  link.seitigen 
Kolumne  von  Öütjiuu  15)  .  ,  19)  zugruudeliegeude  Th.  1.^^^  bereit*  von 
Leibais  gegeben  (Specimen  demonstnuidi,  Erdmann,  p.  99),  der  auch 
schon  die  Detennination  durch  Nebeneinanderstellen  der  Symbole  nadi  Art 
der  Faktoren  eines  Produktes  ausdruckt 

Die  Theoreme  des  .gegenwärtigen  Paragraphen  sind  Ton  so  ausser- 
ordentlich häufiger  Anwendung  dass  es  su  umständlich  wäre,  sie  jedes* 
mal  zu  dtiren.  Dieselben  mQssen  in  suceum  et  sauguinem,  in  Fleisch 
und  Blut  des  Rechners  fibergegangen  sein. 

§  11.  Gemisekte  OesetBOt  den  Zusammenhang  awisohen  boiden 

Operationen  aelgend. 

20)  Theorem.  Eine  jede  vo»  dm  leiden  Gkiekungen: 

a  =  ab  ^    a  -^b 

ist  nur  dm  Umschreibung  der  Substmtum: 

dergestalt,  dass  diese  drei  Aussagen  äquivalent  sind,  einander  gegen^ 
seitig  bedingen:  wenn  irgend  eine  von  ihnen  gilt,  so  gelten  auch  die 
beiden  andern. 

Der  Beweis  besteht  aus  vier  Teilen,  indem  zu  zeigen  ist,  dass 
aus  jeder  der  Gleichungen  die  Subsumtion  und  umgekehrt  aus  der 
Subsumtion  eine  jede  von  den  Gleichungen  folgt. 

Ist  ö-=  a  2*,  so  folgt  nach  Def.  ( 1 )  '     Ist  a  +  6  ==«  6,  so  haben  wir  auch 

auch o=^afc,  und  weil  nach  Th. 6^)  !  a  +  b=^b,  und  weil  nach  (5+)  okne- 
auch  ab=^b  ist,  so  folgt  a  fortiori:  .  hin  a^a  +  b  ist,  so  folgt  nach  II: 

a=^b.  I  a^b. 


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§  11.   Gemiächte  Oeseiae. 


271 


lat  a^h,,MO  kommt  Dach  15^): 
M^ab,  oder  wegen  14^):  a^^ah, 
Dft  nim  DadL  6^)  ohnehin  ab^a 
gili^  ao  ist  naeh  UeL  (1)  bewiesen. 


Ist  a^hf  M  kommt  naeh  15^): 
a  +  b^h-^h,  oder  wegen  14+): 
a-hb^b.  Da  nan  nach  64.)  ohne- 
hin b^a+b  gilt^  ao  ist  a-^b^b 
nach  (1)  bewiesen. 


FOr  Gebiete  wird  der  Yorstehende  Sats  durch  die  FSgnren  1  und  2 
TersinnUehi 

Exempel  für  Klassen.  Bappen  sind  Pferde.  Also  sind  Pferde,  welche 
Rappen  sind,  nichts  anderes  als  Rappen.  Desgl.  Bappen  oder  lYerde  sind 
schlechtweg  Pferde.  Es  versteht  sich,  dass  unsre  Exemplifikationen  noch 
in  der  mannig&ltigff  n  Weise  vermehrt  werden  könnten. 

Zusatz.    Im  Th.  20)  ist  mitenthalten  das  Theorem  Ton  Robert 

Grassmann,  dass  auch  die  beiden  Gleichungen  einander  gegenseitig 

bedtngoi.   Daa  n&mliche  gilt  von  den  beiden  Subsomtionen: 

a=^ab    und   a  +  b^b, 

die  ja  mit  solchen  des  Th.  6)  in  jene  Gleichungen  ausammaifiiessen: 

Auek  diese  beiden  sind  mU  den  drei  Mgen  dquiwUetUe  Aussagen.  — 

Schreiben  wir  nun  die  Subsumtionen  der  Def.  (2):  0=^a  und  1 
iia(  Ii  Vorbild  des  Th.  20)  in  Gleichungen  um,  so  erhalten  wir  aujj;en- 
blicklich  die  folifcnden  Theureuie  (dio  als  „reine"  Gesetze  erscheinen): 


21^)  Theorem.  a'i=a. 
Theorem.    a.0  =  0. 

In  Worten  bezüglich: 
Mit  1  muUijpligiren  ändert  nirhfs, 
oder:  Der  Faktor  1  kann  nath  Be- 
lieben gesetzt  oder  unterdrückt 
werden.  (Darum  heisst  1  der  Mo- 
did  der  MuU^ikaHon.) 

Ein  Brodukt  vers^windet,  söbaM 
än  Fäkior  dessdben  0  wird. 


'  21^)  Theorem. 
I  22+)  Theorem. 


a  +  0  =  a. 


KtUl  addiren  ändert  nicJitSj  oder: 
als  Summand  kannO  nach  Belieben 
zugefügt  oder  weggelassen  werden. 
(Deshalb  mag  0  anch  der  Modul 
der  AddiUm  genannt  werden.) 

Eine  Sunme  nimmt  den  Wert  1 
an,  sfibdtd  ein  Term  dersdben  ^/eidi  1 


wird. 

Die  beiden  letzten  Sätze  siiid  uämlich  auch  leicjit  auf  haiiebi^j  vtele 
Operationsglieder  auszudeli neu. 

Durch  die  Voraustelluug  des  Tli.  20)  haben  wir  hier  die  aller- 
diugd  hübscheu  vier  direkt«»!!  He  weise,  welche  Peirce  von  diesen 
Sätzen  gibt,  erspart.   Zum  Überiiuss  seien  auch  diese  hier  reproduzirt. 


Beweis  von  21^).  Nach  6^  ist 
rt  •  1  =^  a.  Aus  der  Subsumtion  von 
I:  aa^a  nebst  deijenigen(2J:  a^l 


Beweis  von  21^).  Nach  I  ist: 
a=^o,  und  nach  (2^)  ist:  O^a. 
Hieraus  folgt  nach  dem  Schema(3.,.y : 


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272 


Fflafte  Vorlerang. 


folgt  ferner  nach  (3^':  a^a*!; 
womit  der  SaU  krafb  (1)  bewiesen 
isi 

Beweis  Ton  22^.  Nach  (2^)  ist: 
O^d-O;  nach  6^  aber  anch  a*0^0, 
also  nach  (1)  der  Satz  erwiesen. 


a+O^o.  Dazu  ist  nach  6^.):  o  ^  a+0, 
somit  nach  Def.  (1)  der  Satz  er- 
wiesen. 

Beweis  von  22^).  Nach  (2^)  isl^ 
gleichwie  jedes  Gebiet^  so  auch  das 
a  + 1  ^  1.  Daza  nach  64.)  l^a+l» 


somit  besteht  die  Gleichheit. 

Far  den  Gehietekalkol  ist  die  Gültigkeit  der  Satse  im  Hinblick 
auf  die  Bedeutung  von  Produkt,  SummCi  0  und  1  auch  onmittelb&r 

evident: 

Was  eia  Gebiet  derMaiini<;faltig- 
keit  mit  dt-r  ganzen  Maiiuigtultig- 
keit  gemein  hat,  ist  ebendieses  Ge- 
biet selbst. 

Waä  ein  Gebiet  mit  nichts  gemein 
hat,  ist  nichts. 


Dasjenige,  wozu  ein  Gebiet  von 
weiter  nichts  ergüuzt  wird,  ist  dies 
Gebiet  selber. 

Dasjenige,  wozu  ein  Gebiet  der 
Mannigfaltigkeit  durch  die  ganze 
Mannigfaltigkeit  ergänzt  wird,  ist 
offenbar  ebendiese. 

Anmerkung  X  au  den  Theoremen  21)  und  22). 

Nach  21^)  kann  man  jeden  Ausdruck  darstellen  als  eine  Summe, 
deren  eines  Glied  er  selber,  und  dessen  anderes  Glied  0  ist.  Anch 
einen  Ausdruck,  der  gar  nicht  in  Form  einer  Summe  crscheinti  ein 
beliebiges  Symbol,  kann  man  bienach  jederzeit  aU  eine  Summe  gelten 
lassen,  dafür  ausgeben,  als  eine  solche  behandeln,  ansehen,  betrachten« 
Insofern  man  aber  den  Summand  0  nicht  ausdrücklich  zu  schreiben 
pflegt,  nennt  man  in  solchem  Falle  den  Ausdruck,  das  Symbol,  auch 
schlechtweg  eine  ewgUedrige  Summe,  ein  „Jfonom*'.  Dies  gewährt  den 
erheblichen  Vorteil,  dass  man  nun  Regeln,  die  sich  auf  die  Yerknfipfnng 
▼on  Summen  ebenso  beziehen,  wie  auf  diejenige  Ton  andern  Symbolen 
(die  keine  Summen  sind)  einheitlich  zusammenzufassen,  fllr  beide  Falle 
auf  einmal  darzustellen  Tcrmag,  worauf  wir  gelegentlich  bereits  hin« 
wiesen. 

Nach  21j()  kann  man  ebenso  jedes  Symbol  als  ein  Produkt  hin- 
stellen,  dessen  andrer  Faktor  1  wäre,  und  da  man  letztem  nicht  zu 
schreiben  piU  gt,  dasselbe  als  ein  einfakhriges  Produkt  bezeichnen. 

Zusatz  zu  ebendiesen  Theoremen  21,  22). 

Koramen  in  einem  Ausdruck  die  Symbole  0  und  1  irgend wieoft 
als  multiplikative  oder  additive  Operationsglieder  vor,  verknüpft  mit 
irgendwelchen  andern  durch  Buchstaben  dargestellten  Gebiets-  oder 
Klassensymbolen,  so  wird  allemal  eine  Vereinfachung  des  Ausdruckes 


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I  11.  Oemisclite  Ge««tie. 


273 


nach  clen  Schemata  21)  und  22)  mdglich  nnd  angezeigt  encheinen, 
und  swar  ist  leicht  einsoBehen,  dass  sich  der  ToransgeaetBte  Umstand 
dea  Yorkommena  von  0  oder  1  ~  durch  das  fortgeaetate  und  ndtigen- 
fa)U  wechselnde  Spiel  der  Berfieksichtigung  des  jeweils  einschlägigen 
Ton  diesen  Schemata  —  immer  gänzlich  beseitigen  liss^  mit  einziger 
Ausnahme  des  Falles ,  wo  der  ganze  Ansdruek  nach  seiner  Reduktion 
schliesslich  selbst  den  Wert  0  oder  1  annimmt  (d.  h.  sich  herausstellt^ 
dass  er  eben  diesen  Wert  be^tzen  muss). 

Es  wird  nämlich  jede  aU  Summand  auftretende  Null^  sowie  jede 
als  Faktor  auftretende  1  ohne  weiteres  zu  unterdrücken  sein.  Wo 
dagegen  die  0  als  Faktor  erscheint,  tilge  man  das  ganze  Prodnkl^  in 
welchem  sie  Faktor  ist  Wofern  nämlich  dieses  Produkt  nicht  etwa 
selbst  der  ganze  Ausdruck  ist  (welcher  dann  Tiehnehr  in  0  zu  yer* 
wandeln  wäre),  muss  es  nämlich  Summand  sein;  denn  wenn  es  Faktor 
wäre,  hätte  man  nicht  das  ganze  Produkt  genommen  gehabt  Ebenso 
wo  1  als  Summand  auftritt,  tilge  man  alle  übrigen  mit  ihm  verbundenen 
Summanden.  Damach  muss  diese  1  Faktor  geworden  sein,  wofern  sie 
nicht  der  resultirende  Wert  des  Ausdrucks  selbst  isti  denn  wenn  sie 
abermals  Summand  wäre,  hätte  man  ja  die  fibrigeu  Summanden  noch 
nicht  vollständig  getilgt  gehabt 

In  solcher  Weise  reckmirt  hrnn  ein  am  Crdnäsjfmbolm  mittM  Adäi- 
Htm  ^mä  Midtig^iikeMim  aufffdHtuier  Juaärvdt,  sofern  er  nicht  selbst  in 
den  Endwert  0  oder  aber  1  sich  zusammenzieht^  die  Symbole  0  und  1 
nidU  (weiter)  enthalten. 

Exempel.    (a  +  b  +  r)  (a  +  b  +  d)  (a +  (+(/)•  0 ■  (l  +  &  +  c  +  d)  =  0, 

{ atfe+cJ  +  (i(<i  +  6)  i{ah  +  cd)ibf+y/t)  +  yl+ac){l+gh)*{a*b)'O-(c+d)+ad-^0cd=lj 
a+0+(o+lXl+l)c(0+l)(l+«i)+l- lo(öo+d+l)ld-0+c-l )  (l+/^*ir+ü)=»a+c+e. 

So  wichtig  die  vier  Sätze  21)  und  22)  für  den  Knlkul  mit  Klassen 
»ich  erweisea  werden,  so  wenig  Wert  scheint  es  /.u.  haben,  dieselben  in 
der  Wortsprache  fttr  soldie  in  Ansprach  zu  nehmen. 

Kit  Widerstreben  fiut  bequeme  ich  mich  zu  dem  Versuche,  der  mehr 
nar  als  eine  Übnng  fUr  den  Leser  in  der  verbalen  Einkleidung  yon  Formeln 
sich  rechtfertigen  dürfte. 

21^)  Was  schwarz  und  zugleich  |  21^)  Was  schwarz  oder  nichts  ist, 
irgend  etwas  iät,  das  ist  schwarz,  '  ist  bcliwar^  (und  umgekehrt).  Es  wird 
and  vice  versä.  sich  freilich  entgegnen  lassen:  es  könne 

22y^)  Was  sehwan  und  zugleich  |  auch  nichts  sein.  Dieses  hebt  aber 
nichts  ist,  mass  nichts  sein  —  dies  i  tmser  Urteil  keineswegs  an^  da  wir 
wird  allgemein  zugegeben  werden.  '  Übereingekommen  sind,  unter  den 
Aber  auch  umgekehrt:  Nichts  ist  nichts  \  schwarten  Dinpfen  auch  das  Nichts 
und  zugleich  schwarz  —  so  wenig-  i  mitzubegreifen. 

ScuJtuDitK,  Alg«bra  d«r  Lvgik.  18 


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274 


Fttofte  TorlMung. 


btens  in  gef^enwärtitrer  Disziplin,  in  22^)  Was  schwai'z  oder  irjjciid  eL- 
welcber  wir  übeieingekotumen  sind,     was  iat,  rnuss  eben  nur  irgendetwas 


sein,  und  umgdcehrt:  Alles  ist  schwan 
oder  (sonst)  irgend  etwas. 


das  Niehts  in  jeder  Klasse,  so  aneh 
in  deijenigen  d«r  schwarzen  Dinge 
mitenthalten  za  denken. 

Das  Wort  „nichts"  könnte  in  vorstehenden  Sfttzen  anch  teilweise  oder 

durchweg  durch  |,ein  rundes  Quadrat'^  z,  B.  ersetzt  werden. 

Wir  sehen,  dass  für  die  Spracho  des  gemeinen  Lebens  liuchstcns  wol 
die  Theoreme  22,^)  und  21^)  beanstandet  werden  k?>nnen,  aber  nur  diese 
—  dureiiaus  nicht  22^).  Jene  sind  dort  in  der  Thal  cum  grano  salis  zu 
nehmen. 

Dem  Maätenuttiker  dagegen,  der  seine  bei  den  Zahlen  erworbenen 

Gewohnheiten  in  den  identischen  Kalkül  unbesonnen  herübemfthme,  müsste 
das  Theorem  22^)  allein  anstössig  erscheinen.  Die  drei  andern  von  den  in 
Redü  Bteh»  n']t  n  ThGoreraen  konstatiren  ja  Formeln,  die  auch  in  der  Arith- 
metik allgftiu/inc  (lultun;^'  luihcn. 

Und  der  ümstaud,  dass  die  identische  0  die  (hcidm)  Giumieiyomhaftai 
a  •  0  MB  0  und  a  -t-  0  »  a  mit  der  arithmetischen  gemein  hat^  rechtfertigt 
es  zweifellos,  dass  wir  der  Arithmetik  das  Zahlzeichen  0  behnfs  Darstellung 
nnsres  Nullgebietes,  des  absoluten  „Nichts",  entlehnten. 

Dagegen  vereinigt  die  „identische  1"  in  sich  die  Grundeigenschaft  der 
arithmetigehen  1,  das-  r?  .  1  =  a  ist,  mit  einer  solchen  „der  absoluten  Un> 
endlich",  gem;i>s  weicher  in  der  Matheiniitik  rv -f- oo  =  oo  _ffilt. 

In  rtin  jummlcr  Hinaicht  würde  duniach  ein  aus  1  und  oo  zusammen- 
gesetztes Zeichen,  wie  etwa: 

wol  als  das  geciguetste  erscheinen,  um  Dasjenige  vorzustellen,  was  ich  hier 
„die  identische  Eins"  nenne. 

Will  man  aber  statt  eines  besondern  Zeichens  (wie  Jevons'  „Üni- 
verse^U,  R.  Grassraann's  „Totalität"  T)  der  Einfachheit  wegen  eines  der 
beiden  Zeichen  1  und  "x:  selbst  hiezn  vprwenden,  so  gibt  dio  formale  Hin- 
sicht keinen  Aus.sibhig.  welcbes  von  den  beiden  etwa  vorzuzielien  wäre. 

Jsun  haben-Boole  und  Andere  stets,  auch  Herr  Peirce  trüber,  nur 
das  Zeichen  1  benutzt  Neuerdings  jedoch  hat  sich  letzterer"  samt  seiner 
Schule  —  sekundirt  durch  Wnndt^  —  fClr  das  Zeichen  oo  entschieden, 
sodass  den  Genannten  also  a  oo  —  a  gilt! 

In  sachlicher  Hinsiclit  nnig  hiebei  wol  die  Überlegung  ausschlaggeliend 
gewesen  sein,  da^^s  das  fra^'licbe  Zeichen  die  nnnzc  Mannigfaltigkeit,  auf 
der»  11  (iel'ii  te  die  Untersuchungen  spielen,  vor/,u>t.  llen  hat,  und  diese  hüiffig 
„eine  uuendiiehe"  ist,  nümlich,  wenn  sie  auch  nicht  immer  ein  unbegrenztes 
oder  unendlich  grosses  Gebiet  vorstellt,  doch  wenigstens  nnbegrenst  viele 
Elemente  enthalt  8o  enthttlt  ja  in  der  That  die  durchaus  endliehe  und 
vollkommen  begrenzte  FlSche  der  Schultafel  (z.  B.)  gldcbwol  unendlich 
viele  Punkte. 

Demungeachtet  muss  ich  jenen  Ü  bertritt fUr  einen  Bttckschritt  halten 

*)  Als  eine  Wirkung  dieser  Schwenkung  citirc  ich  einen  Herrn  Peirce  zu- 
gesohriebeuen  paiisue  aus  der  verdienstlichen  Abhandlung  von  Miss  Ladd  (Frau 


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§  11.   Gemischte  Gesetse. 


275 


und  scheint  mir  fttr  den  identis^m  Kalkül  mit  Gebieten  nnd  Klassen  sowol 
als  mit  Aussagen  die  1  anbedingt  den  Yonug  vor  der  oo  zn  Terdioieii 
»08  folgenden  Gründen: 

tt)  Wfthrend  die  Oleidiong  a  •  1  «  a  fttr  die  Arithmetik  ebe  fnnda- 

nieDtale  ist,  spielt  die  Gleichung  a  +  OOaOO  daselbst  gar  kmne  Rolle. 

Gruiiil:  die  „absolute  oo"  ist  gar  kcino  Zahl,  sondern  wird  nur  '/citweilig 
211111  Zalilengebiet  herangezogen  um  in  der  Tbat  den  Maugel,  das  Nicht- 
vorhandeoseiu  eines  Zahleuwjertes  zu  verdecken.  Manche  Leser  dürften 
deshalb  schon  Anstoss  daran  genommen  haben,  dass  ich  überhaupt  von 
^er  ünendlicb**  gesprochen.  Die  oo  spielt  in  der  Mathematik  nur  die 
Bolle  eines  „LäekehbässerS"  (S.  240). 

ß)  Iq  den  Anwendungen  auf  Wahrscheinlichkeitsrechnung  (cf. De  Morgan 
Boele,  Peiree^  Mae-Farlane,  Me  Coli)  entspricht  die  identische  Eins 
immer  dem  bekannten  Symbol,  1,  der  Oewisdieit 

y)  In  der  Anwendung  auf  jede  endliche  M au uig faltigkeit,  d.  i.  auf  eine 
solche,  welche  nur  eine  begrenzte  Menge  von  Individuen,  Elementen  utu- 
iasst  (Exempel:  Feldergebiet  eines  Bogens  kanrirten  Papiere)  mnss  Denen, 
die  sich  aus  dem  angeführten  Grande  fttr  das  Symbol  oo  entschieden  haben, 
dieses  ganz  ebenso  unpassend  erscheinen,  wie  ihnen  fttr  eine  nnendliche 
Mannigfaltigkeit  das  Symbol  1  erschien. 

d)  Zndem  dürfte  es  sieh  aber  aneh  empfehlen,  das  Symbol  oo  reser- 

virt  zu  behalten  für  andere  Zwecke:  nämlich  als  Symbol  des  Widerspruchs, 
der  UnvcriräglichkeH.  Schon  im  identischen  Kalkül  —  doch  ist  dies  hier 
von  geringem  Belange   —  mUsste  man  damit  eigentlich  die  Ausdrücke 

^    0  —  X  [?ergl.  §  23,  a)]  darstellen.   In  gewissen  andern  IHsupUnen 

indess,  die  mit  dem  identischen  Kalkol  nnr  verwandt  sind,  nicht  xosammen- 

fallen,  ist  es  von  hohem  Werte,  das  Symbol  oo  zu  dem  angedeateten 

Zwecke  verfügbar  zu  haben.  Speziell  /.  T3.  um  die  Unverträglichkeit  ge- 
wisser Fuuktiunalgleichungen,  Algorithmeu  ntiteinander  in  Formeln  zu  setzen 
bedürfen  wir  dieses  Zeichenü,  als  des  am  angemessensten  erscheinenden 
(vergl.  Anhang  5,  Beleg  7).  Im  Gninde  würde  so  der  Gcbraudi  von  oo, 
skUt  t,  Uffitim  eiagesdwänkt  auf  dm  Fall,  wo  die  Elmenie  (und  also  muA 
He  Gebiete)  der  gansm  MamifffaUigheU  mdtt  alle  verträglich  sind  miieinander. 
Dieser  Fall  aber  ordnet  sich  nicht  dem  identischen  Kalkül  anter, 
sondern  rribt  mit  Vcraulassuntr  zur  Be^ündnng  eines  neuen  Kalküls,  dos  eigent- 
lich „logischen"  oder  Kalküls  mit  „Gruppen",  in  Bezug  auf  den  wir  sehen 
werden,  dass  er  von  einer  gewissen  Stelle  an  sich  vom  identischen  abzweigt 
—  vergl.  §  12  und  Anhang  4,  5  und  6. 


Franklin)  —  vergl.  Studies  in  logic,  p.  19  — :  ,,Iu  aiiy  ]iro[iosilion  ol  foruial 
logic,  00  repreaents  what  is  logically  poMible;  in  a  material  proposition  it  rc- 
pnsents  what  exists.**  Damit  scheint  mir  doch  —  Incus  a  non  Ineendo  —  der 

Charakter  des  Symbols     auf  den  Kopf  gestellt  zu  weiden! 

18* 


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276 


Ffliifte  VoilMttngr. 


Der  Anfänger  kann  hier  noch  nicht  in  der  Lage  sein,  die  unter  d) 
rnbrizirten  Bemerkuni^en  ganz  zn  verstehen,  mithin  die  angeführten  GriSn  le 
voll  zu  wUrdi<jen.  AiiJcrs  Derjenige,  der  schon  da.s  Buch  dnrchi^earbeitel 
haben  wird,  i  ur  dieben  müssen  wir  der  Vollständigkeit  wegen  nuch  eines 
bemerken: 

Im  Aussagenkalkvl  werden  ja  auch  Aussagen  in  Bechnang  gesogen, 

die  gemeinhin  zu  reden  miteinander  „unverträglich"  sind,  die  mit  tftrem 
Sinne  einander  „widersprechen".  Es  scheint  dciiinach  kraft  des  von  mir 
unter  6)  Gesagten  das  Verfahren  des  Horm  Peirce,  die  ganze  Manni;^- 
fiiltiLrkeit  der  Aushageu  mit  oo  zu  bezeichnen,  auf  den  ersten  Blick  gerade 
gerechtiertigt  zu  sein.  Und  doch  bestreite  ich  eben  letzteres I  Usd  dies 
mein  Qrand:  Der  Aussagenkalkal  wird  —  weaentlieh  gam  in  Überein^ 
Stimmung  mit  Peirce  —  Toa  uns  so  angelegt  werden,  dass  man  die  Aus- 
sagen (teilweise  absehend  von  deren  Sinne)  jeweils  in  Gebiete  umschreibt: 
in  Oebiete  von  Zeitpunkten.  Von  einer  Unverträglichkeit  dor  letzteren 
miteinander  (und  in  fl'ifuem  Sinne  also  auch  der  zu^'ehrnigpn  Aussagen) 
kann  dann  so  wenig  die  Kede  sein,  wie  von  einer  Unveitiiiglichköit,  einem 
,f Widersprach  zwischen  den  Punkten  einer  geraden  Linie**. 

In  der  That  wird  dieser  Anssagenkalkul  aucb  nnr  ein  Unterfikll  sein 
des  identischen  Kalküls  mit  Gebietoi  einer  tfannigfalUgkeit  vcn  tmier  sich 
verträglicheti  Elementen. 

Ein  Beispiel  dagegen  dos  „logischen"  Kalküls,  der  einen  wes«ntlich 
andern  Anblick  darbieten  wiril,  liefert  erstmals  der  logische  Kalkül  mit 
Funktionalgleichungen,  Algorithmen  imd  Kalkuln,  auf  den  wir  in  Anbang  4 
und  5  eingehen. 

Am  diesen  Gründen  sei  die  Beibehaltung  der  (Boole^schen)  1  empfohlen 
und  hier  beUOtigL 


23J  Theorem.  SMs  isi: 

a(a  +  b)  =  a. 

Beweist.  Nach  I  ist  a  =^  a, 
zugleich  nach  G^):    a=^a  +  h. 

Aus  diesen  beiden  Subsumiioueu 
folgt  nach  Def.  (3^)' : 

Umgekehrt  ist  aber  auch  nachS^): 


23^)  Theorem.  Stets  ist: 

a  +  ab  =  a. 

B  e  weis  1 .   Nach  I  ist  a  <^ 
•/us^kMih  nach  ij^):  ab=^n, 
woraus  nach  Def.  (ß^)'  folgt : 

a+ab  ^  a. 

Dazu  ist  nach  6^)  direkt: 

a  ^a  +  ah. 


a(a  +  b)  =^  a. 

Uiemit  ibt  dcuu  nach  Def.  (1)  die  Gleichheit  erwiesen. 

Beweis  2.  Nach  6)  ist:  ab=^a^a  +  h  uud  die  erste  dieser 
beiden  Subsumtionen  lässt  sich  nach  dem  einen  Teil  des  TJi.  20)  um- 
schreiben in  die  Gleichung  23+),  die  zweite  Subsumtion,  nach  dem 
andern  Teil  von  20),  in  die  Gleichung  23^.  — 


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§  11.  Oemuolite  GeMtie.  277 

YoD  den  beiden  Theoremen  23)  ist  —  aiia  einem  erat  unter  28) 
darEuIegenden  Grunde  —  das  aweite  23^)  von  der  grösseren  Wichtig- 
keit. Es  genügt,  von  beiden  nur  dieses  fQr  den  Gebrauch  beim 
Rechnen  sich  einsupregen,  weshalb  wir  dasselbe  auch  allein  in  Worte 
kleiden  wollen:  SoÜdte  Glieder  einer  Summen  wMe  em  midem  QUeä 
dmdben  tum  Faktor  hdbaUf  kSnnm  jeweils  nnierdrOckti  gestrichen,  wg- 
gelassen  toerden,  sie  gehen  in  dem  letzteren  ein,  werden  von  ihm  ge- 
Wissermassen  Terachlnckt,  einverleibt  oder  abiorfnrt  —  weshalb  man 
das  Th.  23^)  auch  als  das  ,,Absorption8gesetz"  des  identischen  Kalknls 
beseichnen  kann.  Umgdedirt  kann  man  natOrlich  awh  ein  IdiAiges 
(Gebiets*  oder  Khaa9n')Symbol  um  das  R^oduki  dessdben  m  irgend  wMe 
andere  Sjfmhole  auf  Wunsch  additiv  venndtren,  ohne  dass  dies  von  Ein- 
flnss  auf  die  Bedeutung  des  Ausdrucks  wäre,  in  welchm  jenes  Symbol 
vorkommt 

Für  irgend  awei  Gebiete  a,  h  ist  die  Gültigkeit  der  Theoreme  23) 
auch  unmittelbar  anschaulich. 

Eiempel  ftr  Klassen:  Die  Adeligen,  welche  adelig  oder  auch  besitxend 
sind,  mflBsen  eben  die  Adeligen  sein.  Die  Adeligen  und  die  besitsenden 
Adeligen  sind  eir  fn.  Ii  die  Adeligen. 

Der  Ausdruck:  „Pferde  oder  auch  Rappen  (schwarze  Pferde)**  sagt 

weiter  nichts,  als  der  kürzere  Ausdruck:  ,,Pfei<!ö''. 

Freilich,  wenn  jemand  erzählte,  es  seien  (bei  einer  gedachten  Gelegen- 
heit) „Pferde  und  Rappen"  su  sehen  gewnwn,  so  würde  er  mdlr  sagen,  als 
wenn  er  blos  entfalte,  es  seien  ,,Pferde**  zu  sehen  gewesen;  es  wBre  nttm- 
lieh  im  erstem  Falle  positiv  behaaptet,  dass  unter  den  Pferden  auch 
(einige)  Rappen  bemerkbar  frowesen  seien,  während  im  zweiten  Falle  hier- 
über nichts  ausgesagt,  also  das  Gegenteil  auch  als  möglich  offen  gelassen 
ist.  Wie  ein  aolcher  Aut^Ji)ruch  in  der  logischen  Zeichensprache  darzu- 
stellen wäre,  würde  sich  erst  nach  dem  Eingehen  auf  die  paitikalareu  und 
Existenxial-Urteile  angeben  lassen,  dann  aber  dem  Stadirendea  auch  keine 
Schwierigkeit  mehr  bereiten. 

Aufgaben.   Den  Ausdruck  su  vereinfachen: 

abc(Jb+c)  +  (ed+a+deß  a 

Besnltat:  a. 

Desgleichen  die  Ausdrucke: 

ab{a-\-b)y  o-f  6  +  a6,  «ftc(a+6+c),  a  +  t  +  c  +  a6  +  ac  +  öc  + aftf. 

Endergebaisse  besflglich:  a&,  a  +  &,  abc^  a  +  d  +  c. 


2i^)  Theorem.  Wenn 

1  ^  ab 
istf  so  miiss  auch  sein: 

1  »  a   und    1  -»  6. 


I      24^.)  Theorem.  Wenn 

I  n  +    =  0 

I  istf  so  mii.ss  aiuh  svin: 


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278 


Fünfte  yorlesimg. 


Ein  ProduTct  kann  nwht  anders 
fflrich  1  Herden  j  als  indem  jeder 
Faktor  desselben  gkuß^  1  tßird. 

Beweis  1.  Lant  Yoraussetzuug 
ist  nach  Def.  (1): 

1  <  ah, 
und  da  nach  TIi.  6^) 
ah  a 
ist,  so  folgt  nach  II  auch: 

somit  nach  Th.  5^): 

1  =  a. 

Analog  beweist  man  auch,  dass 
\  t=h  ist;  zudem  folgt  dies  nach 
21  als  Rückstand  aus  der  Voraus- 
setzuDgy  nachdem  schon  a     1  be- 


Eine  Summe  kann  nur  dann  ver- 
schtmndm,  wenn  ihre  Glieder  sämt- 
lick  gleidi  0  werden. 

Beweis  1.  Laut  Yoraussetanng 
ist  nach  Def.  (1): 

Aber  uacli  Th.  G^)  ist 
a=^a  +  b, 
folglich  nach  II: 

nach  Th.  5^)  also 

a  =  0. 

Analog  bewei^it  man  auch,  dass 
h  *=  0  ist;  des^l.  folgt  dies  nach 
21^)  als  Rückstaiul  aus  der  Voraus- 
setzung, nachdem  bereits  a«=sO  be- 
wiesen ist. 


wiesen  ist 

Beweis  2.   Nach  Def.  (3J  resp.  (B^) 
sagt  die  Subsumtion 

ganz  das  nämliche  aus,  wie  die  beiden  iSahsamtionen: 

1     a   nebst   l^^b         |         a^O  nebst  h^O 

KQSammen^  und  nach  Th.  5^)  resp.  ö^.)  sind  diese  Subsuiutioiioii  alle 
drei  je  für  sicli  it(|uivalent  den  entsprechenden  Gleichungen  in  unserm 
zu  beweisenden  Satze. 


Beweis  3.  Beiderseitige  Addi- 
tion Ton  a  zu  der  Yoraussetsnng 
nach  I64,)  gibt  wegen  22^): 

1  ab-^a 

also  nach  23 

etc. 


Beweis  3.    Multiplikation  der 
Voraussetzung  beiderseits  mit  a 
gemäss  Id^)  gibt  wegen  22^i 
a(a+b)^0, 

also  nadi  ^B^t 

»  —  0, 

etc. 


Anmerkung.  Nach  Th.  5)  hätten  auch  die  Gleichheitszeichen 
in  der  Voraussetzung  unseres  Satzes  (desgleichen  überall  in  demselben) 
durch  das  Subsumtionszeichen  ersetzt  werden  können. 

Mit  Beweis  1  konnte  das  Theorem  schon  viel  frGher  aufgeführt 


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9  11.  Gemisebte  GeMtee. 


279 


werden,  dicht  hinter  Th.  6),  wenn  mau  will;  mit  Beweis  2  sogar  noch 
▼or  dem  letstom. 

Zusätze.  Da  ans  den  xwei  letzten  (den  behaupteten)  Gleichungen 
des  Satzes  auch  umgekehrt  die  erste  (die  Torausgesettte)  nach  18) 
und  21)  folgt,  BO  kann  man  sagen,  dass  diese  eine  Gleichung  aqni- 
Talent  ist  dem  System  der  beiden  andern,  simultan  als  gültig  hin- 
gestellten. Insbesondre  also  sagt  rechterhand  die  eine  Gleichung 
a  -f  &  »  0  genau  dasselbe  aus,  wie  die  beiden  Gleichungen  a  «  0 
und  5  =  0  Eusammen  genommen;  denn  aus  jener  folgen  diese  beiden, 
und  aus  diesen  beiden  folgt  umgekehrt  auch  jene.  Aus  einem  bald 
naher  darzulegenden  Grande  besitzt  dieser  Sats  wiederum  grossere 
Wichtigkeit  als  sein  duales  Gegenstück. 

Wir  haben  auch  in  der  Arithmetik  Analoga  zu  dem  erwShnten  Satze. 
So  ist,  wenn  a  und  b  reelle  Zahlen  bedeuten  uud  i  die  imaginüre  Einheit 
vorstellt,  bekanntlich  die  Gleichung  u  +  ib  —  O  Uquivalent  dem  Gleichuugen- 
paarp:  a  =  0,  ^  =  0  Desgleichen  können  diese  letzteren  boidon  in  die 
t.-ine  (ileiehuTi^'  <r -{  —  0  /.ns;\iiinieii!Tezogeii  wer  leu,  indem  itu  roeiicn 
Zahleugebiet  auch  eine  Summe  von  QuadtaUii  mcht  uadeis  verschwinden 
kann,  als  indem  ihre  Tenne  (somit  audi  die  Grandzahlen  dieser  Quadrate 
selbst)  simtlich  ▼ersehwinden.  Die  Geltung  des  Th.  24^.)  weist  darauf 
hin,  dags  es  im  identischen  Kalkül  nichts  geben  wird,  was  den  negativen 
Zahlen  der  Arithmetik  analog  wfire.  Namentlich  kann  es  hier  keine  Gebiete 
creheu,  die  als  Summanden  oder  Addenden  zu  einmal  gex't/ten  (iebieten 
hinzugefügt,  diese  wieder  authöben.  Es  würden  solche  Gebiete  sich  hier 
auch  nicht  fingiren  lassen,  ohne  dass  die  fundamentalen  Gesetse  des  Eal- 
kals  umgestossen  werden  mUBsten.  Gleichwol  verftigt  auch  der  identische 
Kalkül  flber  die  Mittel,  eine  Ausschliessung,  Ansnahme  oder  Exception  vor- 
zunehmen, worttber  die  einschlftgigen  Betrachtungen  in  §  23  zu  verglühen 
sein  werden. 

Die  Ausdehnung  der  Satze  "M)  von  zweien  auf  beliebig  viele 
Opcrationsglieder  und  Gleichungen  ist  leicht  zu  bewerkstelligen  und 
naheliegend. 

So  wird  z.  B.  die  Gleichung  a  +  h  +  c  =  0  das  nämliche  aussagen, 
wie  die  drei  Gleichungen  a"»0,  6=sO,  <?  =  0  zusammen.  Denn  man 
kann  die  dreigliedrige  Summe  a  +  h  +  c  zunächst  darstellen  als  eine 
zweigliedrige:  (a  +  h)  +  c.  Die  Anwendung  des  für  Binome  bewiesenen 
Th.  auf  die  Gleichung  (a  +  h)  +  c  =  0'  zerfallt  diese  zunächst  in 
die  beiden  Gleichungen  a  +  h  =  0  nebst  c  ==  0,  und  die  erstere  von 
diesen  wird  durch  abermalige  Anwendung  des  Th.  24^)  noch  in  a«sO 
nebst  ft  »  0  gespalten.   Und  so  weiter. 

Eine  l>elktlnffe  Menge  von  Glekiwngen,  deren  eine  Seite  0  (resp.  1) 
ist,  läsd  sUk  demnach  sids  i»  eine  emmge  soldie  GUiehung  msanmen- 
Mi^en  und  durtk  diese  auareidiend  vertreten. 


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280 


Fünfte  Yorletiuig. 


Exempel  für  Klassen. 

Wenn  die  Aussage  wahr  iäi:  „Alles  der  Wirklichkeit  1  Agehörige  iat 
ein  B&umlicbes  a  (d.  i.  irgendwo  vorhanden  sei  es  gewesen,  sei  es  gegen- 
wärtig ezistirend  oder  künftig  in's  Dasein  tretend)  und  ein  Zeitliches  & 
{irgendwann  vorhanden)",  ao  gelten  auch  die  beiden  Auslagen:  ,fAlles  Wirk- 
liche ist  als  ein  Rüumlich»  irgendwo  vorbanden  (sc.  gewesen,  existirend 
oder  künftig)"  und:  „Alles  Wirkliche  i.^t  als  ein  Zeitliches  irgendwann  vor- 
handen". Und  umgekehrt  ziehen  diese  beiden  letüieren  Sätze  den  vorher- 
gehenden nach  sich. 

Der  BalU'.  „Es  gibt  keine  Draehen,  Heien  und  Gespenster**  sagt  das- 
selbe, wie  die  drei  Satze:  ,fEs  gibt  keine  Drachen**.  ,|Es  gibt  keine  Hexen**. 
„Es  gibt  keine  Gespenster**. 


25)  Die  beweisbare  Subsumtion  deaDistribntionsgesetzes. 
Es  ist  allgemein: 


25J  Theorem. 

ah-^ae^  a{b  +  c). 


264)  Tbeorem. 

a  +  he^{a+h)  (a  +  c). 


Ich  gebe  för  diese  Sätze  zwei  ganz  verschiedene  Beweise. 


Beweis  1.    Nach  üj  ist: 
b^b  +  c   und  e^b-i-c 
somit  naeh  15  J: 

Hieraus  aber  folgt  nach  Def.  (3^) 
der  SU  beweisende  Satz. 

Beweis  2.   Nach  0^)  ist: 
ah  =^  (i     und    (k;  =^  o, 
woraus  nach  Def.  {'^^): 
ab  +  ac  =^  a. 
Analog  ist: 

ab'^b  und  ae^e 
aonacb  gemäss  18^): 

Aus  dem  yorigen  Ergebniss  in 
Verbindung  mit  diesem  fliesst  nach 
Def.  (3^)  die  behauptete  Subsumtion. 


Beweis  1.    Nach  6^)  ist: 
bc  =^b   und  bc^c 
somit  nach  15^): 

und  hieraus  folgt  nach  Def.  (3^ 
die  zu  beweisende  Subsumtion. 
Beweis  2.  Nach  6+)  ist: 
a=^  a  +  b    und    a  =^  a  -f  c, 
woraus  niich  Def.  (3^): 

a=4  (a+6)  (a  +  c). 
Analog  ist: 

somit  nach  18^): 

Aue  den  gewonnenen  beiden  Re- 
sultaten fliesst  nadi  Defl  (3^)  der 
zu  beweisende  Satz. 


Zusätze.  Wieder  gestattet  uns  das  Kommutatiousijesetz,  in  den 
be  wiese  11011  l'oriut'lii  .sü^Yol  l*aktoreu  als  Gliinlor  beliebig  utnzustolleii, 
und  dadurch  denst  llteu  noch  andere  Gestalten  zu  geben.  Namentlich 
sei  hervorgehoben,  dass  auch: 


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§11.  Gemucbte  Oeeetse. 


281 


ha-\-€a^{b+e)a  |         &c  +  <i^  (J+a)(<?+a) 

fortan  gelten  muss. 

Die  Ausdelmiuig  der  Sätze  auf  die  identische  Addition  beliebig 
fieier  Tenne  mit  gemeinsamem  Faktor^  resp.  Addition  eines  Terms 
tu  einem  Produkt  Ton  beliebig  vielen  Faktoren,  ist  naheliegend,  und 
leicht  zu  beweisen.   So  haben  wir  auch: 

ah  +  ac  +  ad=^a{b  +  €+d)      \    a hcd  =^{a  +  h)  (a  +  c)  {a  +  d), 
uud  so  weiter.  — 

Die  Rechtfertigung  dur  obeu  den  Theoremen  25^  gegebenen  Über- 
sciirittj  und  die  Exemplifikation  dieser  Sätze  durch  Klassen,  verschiebeu 
wir  auf  die  nücliste  Vorle^nnt?,  Desgleichen  verziel  tcji  wir  darauf,  die 
Riitze  schon  in  Worten  zu  iürmuUren,  aus  Grüudeu,  die  daselbst  zu- 
tage treten  werden. 


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Sechste  Vorlesung. 


§  12.  NiohibeweislMuiE6it  der  Bweiten  Bnttmnition  des  Distributioiii- 
gMetees  und  UnentbebrUehkeit  eine«  weiteren  Prinsipes.  Friniip 
zur  Vertretung  des  unbeweisbaren  Satsses. 

Setzen  wir  einen  Augenblick  den  Fall,  es  würden  sich  auch  die 
beiden  folgenden  Formeln  beweisen  lassen,  die  ich  zwar  noch  nicht  als 
Theorme  bezeichnen  aber  (Torgreifend)  mit  den  jetzt  fälligen  Cliifi'ran 
numeriren  will: 

26^)      a(b-^c)^ah-^ae  |  26 J  (a+5)  (a  +  e)^e»+&e, 

so  würden  im  Hinblick  auf  Tb.  25)  nach  Def.  (1)  auch  die  Gleichungen 
gelten  mfissen: 

27.)       a[b  +  c)  =  ab  4  ck;  \  27+)  a  +  lc  =  (a  +  h)  (a  , 

deivn  erste  mit  dem  „Distributi'msgesrfgf^^  der  Arithmetik  zusammen- 
fällt. Und  um^'okt'hrt'  w<'thi  *lie  Foruiehi  27)  als  Gleichungen  gelten, 
so  sind  nicht  nur  diu  iSub^iuuitiunen  25)  sondern  auch  die  2(>)  kraft 
Def.  (1)  als  allgemeine  Formel  wahr. 

Auch  diese  Formeln  26)  und  27)  wären  wieder  von  zweien  leicht 
auf  mehr  als  zwei  Operatiousglieder  auszudehnen,  und  hatte  man  bei 
27);  z.  B.  linkerhand,  fQr  drei  Operationsglieder: 

und  so  weiter.  Der  Beweis  wäre  zu  führen,  indem  man  die  dreigUe> 
drige  Summe  d  +  c  +  <l  zunächst  als  eine  zweigliedrige  +  +  kraft 
13^)  darstellte  und  dann  zweimal  nacheinander,  zuerst  auf  diese  bino> 
mische  Summe  selber,  sodann  auf  ihren  ersten  Term  (  +  c,  das  Schema 
27^)  anwendete.   Man  hat  also  zu  schliessen: 

a(6  +  c  +  rf)  =  a  { 4-  c)  +   j  =  a{p  +  c)  +  ad  =  {ah  +  ac)  +  ad  = 

=  ah  +  ac  +  ad, 

-Um  darnuili  für  eine  vierL^liedrige  fcjuiiiine  b -r  c  +  d c  den  »Satz  zu 
beweisen,  hätte  man  auch  diese  wieder  als  eine  binomische  darzustelieo, 
z.  ß.  in  Gestalt  von  (6  +  c  +  (/)  4-  c.  Etc 

Auf  ihre  Gültigkeit  —  die  sich  bald  offenbana  wird  —  wollen 
wir  die  Formeln  21)  erst  nachher  prüfen  und  und  zunächst  damit  be- 


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§12.   Nichibeweiflbarkeit  der  2.  Subsumtion  des  DistribuiionsgeMUe«.  283 


scb&ftigeD,  dieaelben  in  Worte  zu  kleiden,  so,  wie  man  bebnfs  ihrer 
Anwendung  im  identischen  Ealknl  gut  thut,  sie  sich  einzuprägen. 

Jede  als  eine  allgemeine  Formel  geltende  Gleukimg  des  Kalküls 
laset  sich  in  sweierlei  Weise,  nSmlich  im  Sinne  von  links  nach  rechts, 
sowie  im  entgegengesetzten  Sinne,  anwenden,  und  liefert»  znm  Zwecke 
dieser  Anwendungen  in  Worte  gefasst,  demgemass  ftuch  gwei  Satze: 
den  einen  (wie  wir  sagen  können)  vorwärts  gelesen,  den  andern  indem 
sie  rflckwirts  gelesen  wird.  Die  Formel  drOckt  nimlich  [im  Hinblick 
auf  den  Zusatz  zn  Tb.  2),  3),  auf  Zus.  2  za  TL  10)  uud  später  noch 
dessen  Verallgemeinerung  Zus.  2  zu  Tb.  32)]  die  Brlaubniss  aus,  ge- 
legentlich die  eine  Seite  der  Gleichung  durch  die  andere  zn  ersetzen, 
tlso  entweder  die  linke  Seite  derselben  durch  die  rechte,  oder,  falls 
es  beliebt,  umgekehrt  den  Ausdruck  zur  rechten  durch  den  zur  linken 
Hand  befindlichen. 

Von  links  nach  reclits  gelesen  lehrt  die  Gleichung  27^)  oder,  was 
auf  dasselbe  hinauskommt,  die  GloichunL?:  (h  4- c)a  =  ha  +  ca^  dass 
<ine  Sumtne  mit  einem  Symbol  multiplizirt  uenkn  Icann,  indem  man  jedes 
Glied  der  Summe  mit  ihm  nifdtljilizirt  und  die  Ergehnisse  (Em^dproduktef 
„FadialproduUe'^J  addirt  (summirt).  Kürzer  gesagt:  die  Multiplikation 
einer  Summe  kann  ,^licdweise"  an  dieser  ausgeführt  werden. 

Ein  Faktor,  mit  welchem  eine  Summe  bfehaftet  erscheint,  „verteilt^ 
sich  darnach  auf  die  (Hieder  der  Summe  —  so  jedoch,  dass  jedes  Glied 
den  tjanztn  Faktor  1»'  k  jiniut.  Und  unter  diesem  (iesiciits|Minkt  er- 
stlii'iut  die  Bezeichnung  des  iSatzes  27^  als  ffDistributiotisytsetz*^  ge« 
rechtfertigt.*) 

Freilicli  ist  die  Art  der  ,,Verteilun^f"  eine  eigLiiiümliche,  win  wir  sie 
übrigens  ächoa  bei  der  diätributiveu  Verwendung  der  Gemeiuuauiea  in  U 
der  Sinleitong  keuoen  gelenit  haben.  Auf  dem  Gebiete  der  materiellen 
Welt  dflrfte  solche  Distribution  oder  distributiTe  Ferteüung,  bei  welcher 
jeder  an  ihr  Teilnehmende}  Partizipireudc  das  zur  Verteilung  gelangende 
Objekt  gnm.  und  un^rteilf  für  sich  crhiilt.  ohne  d.'.'-s  »"^^  darum  doch  den 
andorii  Partizipanten  vorenthalten  würde,  kaum  ein  Analogon  finden  —  es 
Sei  denn  (annUhernd)  etwa  bei  der  Austeilung,  dem  Weitergeben  von  Feuer 
—  beispielsweise  der  Cigarre  — ,  von  Permenten,  auch  der  Verbreitung 
▼OD  Attsteckongsstoffen.  Wohl  aber  Tolhiehen  sieh  distributive  Verteilungen 
auf  dem  geistigen  Gebiete:  in  Gestalt  der  —  win  diu  f^prache  /u  .sagen 
vorzieht  —  „J//7teilung'*  von  Gedanken,  Charakteristis(  h  ist  hiebei,  dass 
Derjenige,  der  einen  klagen  Einfall  z.  B.  Andern  mitteilt,  ihn  dadurch  selber 

*)  Diesdbe  w>U  aaeb  HaakeP  und  Herrn  Bruce  Halatead  wahrscheiu' 
lieh  ven  William  Bowan  Hamilton  (im  Cambridge  Dublin  Hathemetical 
Uogaxbe)  als  ertUr  Quelle  herrühren.  Von  8evToit^  itammea  nur  die  Namen 
».KommatatiMis*'-  and  „AstoiiationageBetB*'. 


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284 


Sechste  Vorlesmig. 


nicht  verliert,  wtthreml  doch  ein  Jeder  de»  ganr.en  Einfalles  oder  Gedan- 
kens icilhafti;»  troworden,  und  auf  diesem  Umatand  beiulien  wesentlich  die 
gr().-,beii  Vorteile  dc-^  tiüg.  GedankenausUuscljes  (eventuell  -aiith  die  Nach- 
teile, i.  B.  bei  Verieiimduug).  Wenn  in  einer  üesellsohatL  von  hundert 
Personen  Jeder  aneh  nur  d^eN  klugen  6edank«i  hat  und  ihn  den  Anden 
mitteilt,  so  geht  ein  Jeder  mit  hundert  klugen  Gedanken  naeh  &nse*)! 
Der  VerteilungsprozesB  ist  hierbei  untrennbar  Terbunden  mit  einer  Verviel> 
fUltigung,  mit  einem  wiederholten  luexistenztreten  des  Verteilungsobjektes. 
Eine  Geldsumme  z.  B.  läset  unter  die  Anwesenden  in  dieser  Weise  sieh 
leider  nicht  verteilen. 

Die  Anwendung  der  Formel  27^)  in  dem  ebeiierwälmten  Sinne 
heisst  Ausmultiplmren;  man  saf:^t,  dass  man  die  Summe  h  +  c  +  • '  „mit 
a  ausmultiplisire",  wenn  man  das  Produkt  (6  +  c+«-)  a  in  5a+ca  +  -* 
Terwandelt. 

Man  bagt  in  der  Aritlimetik  auch,  das  Produkt  werde  „enf wirkolt'', 
doch  wird  inan  auf  dies'»  A nsdrucktiweise  hier  besser  verzichten,  weil  wir 
dieselbe  iu  §  20  in  ciuem  andern  8iune  einzuführen  haben.  Der  Eng- 
llnder  TerfUgt  hier  Aber  das  Wort  „expand/edf*  wom  üntersohiede  Ton  „de> 
▼elopped**. 

Soll  a(fc  +  c  +  d'-)  ausmultipliajrt  werden,  so  „gfM  man  mit  dem 

Faktor  a"  in  Oedanken  „in  dir  Klammrr  hinein",  und  lasst  ihn  l»ei  dem 
ersten  Gliede  anf  w^^'lches  uian  st<)sst  gewissermassen  hiiugen.  Ohne  aber 
dadurch  seiner  Bei^leitung  veilu.-^tig  zu  geben,  wandert  man  mit  ihm  weit-er, 
um  ihn  auch  bei  dem  zweiteu  Gliede  haften  zu  lassen,  und  so  fort. 

Die  umgekehrte  Auweiiihing  der  Formel ,  wobei  man  also  eine 
k^uinnie  hu -i- ca -i- da  -  '  in  das  Produkt  (b  +  c  +  d  ■ ')a  zusammenzieht, 
heiHüt  das  „Ausscheiden  des  gomeinsameu  Faktors"  a.  Rückwärts  ge- 
lesen also  liefert  unb  in  1  onnel  27^)  den  Satz:  Wenn  die  Glieder 
einer  ISumme  einen  „ytnit  insamm*'  (genauer  blos;  u'»  reinstimmenden) 
Faktor  „cntJialien"**) ,  so  kann  man  denselben  „0}ts>;rhr.nij:n^'^  d.  h.  dm 
neben  eine  Klammer  seteen,  in  welche  die  Summe  der  andern  Faktoren 
geschrieben  wird. 

Damit  dies  korrekt  sei,  muss  indeBS  jedes  Glied  der  gedachten 
Summe  als  ein  „binäre^\  d.  i.  aus  nur  ;:M:ci  Faktoren  bestehendes,  Pro- 
dukt angesehen  werden,  dessen  einer  Faktor  der  in  allen  Ciliedcrn  laut 
Yorauäsetzuug  übereinstimmend  vorhandene  oder  gemeinsamem'  Faktor 


*)  Volks^tiimliche»  Argument  des  unvergesslicheD  Dr.  Fauch  er,  auf  die  An- 
wesenden bei  der  Grändong  eines  Arbeiterbildangsvereines  exempUfiürend  vor- 
gebracht. 

**)  Soll  hcusen;  ^als  Operatioosglied  enthalten",  keineswegs  aber  im  Sinne 
einer  Übwordnung  oder  Snpenamtion,  statt  welcher  im  Gegenteil  hei  den  Glie> 
dem  gegenftber  dem  Faktor  eine  Uoteroidnung,  Subsumtion  vorlftge.  Für  „ent- 
halten** sage  man  danun  unTerfBnglieher:  „haben",  JmiUen", 


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§  12.    Nicbtbeweisbarkeit  der  2.  Subsumtion  des  Diätributionsgeäetzet).  285 

  I   

ifli  Bettftiid  also  ein  61ie4  aus  YieUn  Faktoren,  so  wird  in  ihm,  nacli 
Abtrenniing  des  „gemeinsamea^  erst  das  Produkt  der  übrigen  Fakto- 
ren den  blandem"  Faktor  Torstellen^  Ton  welchem  in  obiger  Erklanmg 
die  Bede  war  (dnrcbans  nicht  dfirfle  die  Summe  von  dessen  Teilfak- 
toten gebildet  werden). 

Wie  an  dem  Beispiel  der  Formel  27x)  an  sehen  ist,  k&nnen  die 
beiden  S&tse,  welche  eine  Formel  Tor-  und  rückwärts  gelesen  liefert^ 
ginslich  yerschieden  klingen.  Dies  wird  sich  sogar  als  die  Regel  er^ 
weisen.  Gleichlauten,  m.  a.  W.  in  einen  Sata  zusammenfallen,  müssen 
die  beiden  nur  dann,  wenn  die  Formel  symmetrisch  ist»  d.  h.  die  eine 
Seite  der  Gleichung  durch  blosse  BuclistabenTertanschung  in  die  an- 
dere übergeführt  werden  kann,  was  dann  nebenbei  ge.sagt  (durch  die 
entgegengesetzte  Vertaaschung)  auch  immer  umgekehrt  der  Fall  sein 
inass.  Es  war  dies  unter  den  bisherigen  Formeln  oder  Theoremen 
nor  bei  den  Kommutationsgcsotzen  12)  der  Fall. 

Die  Formel  :?7^)  werden  wir  „ilas  duale  (icgaistück  dts  IJi^lribu- 
tion^esetee^*  neiiütii.  )  Dass  sie  dies  wirklich  ist,  nämlich  durch  blosse 
Vertauschung  von  „plus''  und  „mal"  aus  dem  (eigentlichen)  Distribu- 
tionsgesetze hervorgeht,  erkennt  mau  deutlichst,  wenn  man  in  beiden 
Fürmelu  die  unterdrückten  Malzeichen  nebist  den  gesparten,  mental 
zu  ergänzen  gewesenen  Klammern  ausdrücklich  anschreibt: 

a.{6  +  c)  — (a.6)  +  (a.c)    |  27+)  a  + (6 •  c)  =  (a+6) •  (a+c). 

Auch  die  Formel  27+)  ist  von  distributiTem  Charakter;  sie  zeigte 
dssB  ein  Summand,  welcher  au  einem  Produkte  tritt^  sich  auf  die  Fak* 
toren  des  letsteren  „Yerteilt",  SM  ein  Symbci  »n  einem  Produkt  tu 
eiären,  kann  man  es  jm  jedem  Faktor  dessdben  addiren  und  die  Erg^- 
aine  (Einzehummeti)  miteinander  mtdtipUziren,  Umgekehrt:  Wenn  die 
Faktoren  eines  Produktes  einen  übereinstimmenden  Term  (Summanden) 
enthalten,  so  lä.^st  sidi  das  Frodukt  rcduziren  auf  diesfn  Trrm  vermehrt 
Mm  das  I'ioduJd  der  restircnden  Ih  nu  in  den  als  nur  zweigliedrige  oder 
J/inomiseJic''  »Summen  anzusehenden  Faktoreu.  ■ 

Von  diesen  beiden  Sätzen  ist  wol  der  letztere  für  die  Technik 
des  identischen  Kalküls  noch  von  einigem  Werte.  Wie  sich  zeigen 
wird,  lässt  aber  die  Anwendung  des  Tli.  27^  i  sich  überhaupt  umgehen, 
und  kann  man  sclion  mit  dem  I  )i^^tributionsge8etze  21^^)  auskommen. 

lü  der  Arithmetik  gilt  die  Formel  27^)  nicht;  hier  stehen  Multipli- 
katiou  und  Addition  nur  m  einseiiig  distributivem  Zuöammeniiange:  die 

*)  In  '  glaubte  icb,  dieielbe  entdeckt  sn  haben;  jedoch  war  mir  Herr  Peirce 
>■    mvor  gekommen. 


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286 


Sechste  Yorleeniig. 


Multiplikation  verhält  sich  distribatir  zur  Addition,  aber  nicht  umge- 
kelirt  Jm  identischm  Kalkül  dagegen  steten  AddiUan  und  MuUyg^l^- 
Uan  in  gegenseitUj  distributivem  Zusammenhanf r. 

Da  die  Formel  21^)  die  beiden  vorhergehenden  Subsumtionen  26^) 
und  25^  ohnehin  umfasst,  so  verlohnt  es  natürlich  nicht,  diese  beiden, 
weniger  besagenden  Satze  einzeln  in  Worte  zu  kleiden  und  sich  ge- 
sondert einzuprägen,  sondern  wird  es  vorzuziehen  sein  und  hinreichen, 
dies  nur  mit  dem  inbaltreicheren  Satze  27^  zu  thun.  Wir  durften 
daher  auf  jenes  Terzichien,  und  begnflgen  wir  unzy  das  letztere  gethan 
zu  haben. 

Boss  nm  die  Fomdn  27)  —  und  damit  aueh  die  vorhergehen- 
den 26)  —  m  der  Thai  Getkmg  haben,  UhH  für  die  bisher  als  an- 
schauliches Substrat  benutzten  Flächengebiete  oder  Klassen  von  Punkten 
der  Ebene  zunächst  die  Anschatmt^,  Man  flberzeugt  sich  nämlich  son- 
der Mühe,  dasB  sowol  die  Imke  als  die  rechte  Seite  einer  jeden  Glei- 
chung 27)  bezüglich  denedben  in  der  folgenden  Figur  schraffirten  Teil 
der  Gebiete  a,  b,  e  vorstellt: 


Fig.  ift„ 


Fig.  15^. 


Die  An^sclüiuuni^  konnte  auch  benutzt  werden  um  alle  bishcri^ren 
Siitzp  des  (iebietekalkuln  unniittolbnr  als  ri(.-liti<4  zu  erkennen.  Doch 
wird  man  zugeben,  dass  ilics  kein  Ilciccis  derselben  sein  würdp,  unter 
welchem  ja  ihre  (bewusste)  Zurückfülirung  auf  die  bisherigen  Detiui- 
tionen  (1)  bis  (3)  durch  zwingende  nach  den  Prinzipien  (1  und  11) 
ausdrücklich  eri'ulgeude  Schlüsse  zu  verstehen  ist. 

Sonach  erscheinen  auch  die  öätze  27)  bis  jetzt  noch  als  unbe- 
wiesen. 

Die  rnm'vtjUrhh'it,  ihren  Beweis  auf  der  Gnindlage  des  Bisheriffen 
zu  leisten,  kann  völlig  ausser  Zweifel  gestellt  werden  auf  eine  Weise, 
die  ich  jetzt  auseinandersetzen  will. 

Ein  solcher  „negativer''  Beweis  kann  nur  durch  Exemplifikation 
geleistet  werden. 

Eine  allgemeine  Behauptung  wird  als  in  dieser  AUgoracinheit  ungültig 
erwiesen  sein,  sobald  man  auch  nur  ein  einages  Beispiel  nachweist,  für 


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f  12.  Niehtbeweubarkeit  der  S.  Sulmimtioii       DiatribaiuMiBgeBetMe.  287 


welches  sie  nicht  zutrifft,  und  dieses  für  sie  selbst  oder  e'me  ihrer  Kanse- 
qimizeti  ?.n  thnn,  erscheint  als  der  einzige  Weg,  ihre  üngiiltlfjkeit  zn  bn- 
weisen.  im  letztern  Fall  hat  mau  dafiU-  einen  bog.  „apayoyi^chen  '  oder 
tjindkrtktm"  Beweis,  die  „reductio  ad  absurdum'*  —  wovon  sich  jene  Exempli- 
fikation audi  als  em  spezieller  Fall  wttrde  hinstellen  lassen,  in  Anbatraehti 
daas  die  Oeltong  der  Behanptnng  tUx  das  Beispiel  ja  eine  Konsequeas  ist 
ihm  allgemeinen  Geltung. 

Handelt  es  sich  insbesondre  am  den  Nachweis  der  üugUltigkeit  rinpr 
F"U/(rnng  selbst,  und  zwar  einer  augeblicheu  Beweisführung  für  einen 
materiell  richtigen  Satz,  so  bleibt  nur  der  Weg  deä  unmittelbaren  Exem- 
pliSnrens  offen  und  kommt  folgendes  in  Betracht. 

Da88  ein  Satz  A  aus  einer  Gruppe  von  Definitionen,  Axiomen  und 
Sätzen  />  nicht  mit  Notwendigkeit  folgt,  wird  jedenfalls  dann  unzweifel- 
haft erwiesen  sein,  wenn  es  gelingt,  ein  Ciebilde  als  wirklich  oder 
denkmö^lich  nachzuweisen,  welches  die  Definitionen,  Axiome  (und  Sätze) 
der  Gruppe  B  samtlich  bewahrheitet  und  gleiciiwol  den  Satz  A  nach- 
weislich uicht  erfüllt  —  kurz;  wenn  man  zeigt,  dass  irgendwo  die 
Sätze  B  ohne  A  geltend  vorkommen.  Daun  in  der  That  kann  A  vou 
B  nicht  bedingt  werden. 

In  unserm  vorliegenden  Falle  brauchen  wir  den  Beweis  der  Nicht- 
beweisbark»^it  nur  etwa  für  die  Formel  26^)  zu  führen.  Für  die  26^) 
ergibt  sich  derselbe  alsdann  als  ein  aelbatändiger  ganz  ebenso  dual 
tntspredietid ,  oder  auch  als  ein  vom  vorigen  al)bäTiEri£r«^r  in  unraittf»!- 
barer  Zurückführung  auf  diesen  auf  Grund  einer  am  Anfange  des 
nächsten  Paragraphen  folgenden  Bemerkung. 

Der  Satz  A  wird  so  die  Formel  2ü,<),  die  Gruppe  B  aber  den 

ganzen  Inhalt  der  Paragraphen  4,  5,  6,  10,  11  vorstellen. 

Es  empfiehlt  sich  vielleicht,  das  Woson  dieser  Schlüsse  dt^rrh  ein  ein- 
facheres Beispiel  zu  illuBtriren.  Ich  wälile  folgendes  Sophisma  (aus  Kejrues'): 

|Du  bi^t  nicht  das,  was  ich  bin. 

\  Ich  bin  ein  Mauu, 
loighch:  A)  bist  du  nicht  ein  Mann  (keiu  Manu). 

Sagt  dies  ein  Mann  zu  irgend  Jemand,  so  sind  die  Prämissen  B  dos 
snsgeflUuien  Schlusses  richtig.  Sagt  er  es  au  einer  Frau,  so  ist  anch  die 
Konklnnon,  der  Schlosssatz  B  materiell  richtig,  und  dennoch  ist  der  Sehluss 
QQbereehtigt,  formell  falsch!  Dies  wird  erkannt,  wenn  man  es  ihn  va,  einem 
Manne  sagen  lttsst|  wo  dann  eben  die  Konklusion  anch  materiell  unrichtig 
sein  wird. 

Ks  kann  auch  in  der  Anwendung  des  Satzes  auf  eine  Frau  die  Un- 
richügkeit  des  Schlusses  als  solchen  nachgewiesen  werden,  indem  mau  das 
Wort  „tfann*'  dnrehweg  durch  das  Wort  „tfensch^  ersetst  Würde  eine 
vom  Denkinhalte  unabhängige  Denknotwendigkeit  von  diwn  Prämissen  B 
^nr  Konklusion  A  hinüberltUuren ,  so  mUeste  dies  gleicbermasscn  der  Fall 
seia,  duicb  welches  andre  nomen  man  auch  irgend  ein  in  der  Sehluss- 


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288 


Sechste  Yorlemiiflr. 


folgorung  nuftretendes  nomen  ersetzte.  Die  Folgerung  müsste  nach  eineiB 
aligemeingUlti^^en  Srhnna  vor  sieb  fj;ehon. 

Dieses  ist  hier,  wie  gezeigt,  nicht  der  Fall,  uud  der  Schluss  demnach  ein 
„Fehlschluss"  resp.  „Trugschluss",  d.  i.  eben  gar  kein  wirklicher  „Schluss". 
(Der  Yorgescbritieaere  Leter  wird  epftter  leteht  diesen  spezielien  Tragsehloss 
aaeh  nach  den  Regeln  der  Logik  sa  analyBireo  ?6rinOgen;  derselbe  ISaft 
hinaus  auf  eino  Verwechselung  ron  Gleichbeito*  und  Suhsumtionszeichen.)  — 

Dcr^'k'ichon  „ncnnf'in"  Beweise,  Beweise  für  die  ITn/.ulässigkeit  einer 
gewissen  Fulgorung  oder  die  Unm^j^liclikeit  eines  gewissen  Beweises,  sind 
gewöhnlich  nicht  ganz  leicht  zu  geben.  Dies  wii'd  auch  in  unserm  Falle 
zu  sehen  sein. 

Als  an  ein  bertUimtos  Vorbild  sei  hier  noch  daran  erinnert,  wie  durch 
die  Arbeiten  von  Beltrami,  Cayley  und  Felix  Klein  die  Nichtbeweis- 
barkeit  des  11^°  (in  englischen  Ausgaben  12*^")  Axioms  des  Euklides 

aus  den  übrigen  Axiomen  der  Kuklidischen  Geometrie  dargethan  worden 
ist.  Nennen  wir  jenes  raiallelenaxiom  kurz  ^4,  die  Gruppe  der  übrigen 
Axiome  i^,  so  gelang  es  zu  beweisen,  dass  A  nicht  aus  B  folgen  kann, 
wesvitlieh  dadarch,  dass  für  die  Worte:  itBanm'',  f,AbBtand"  and  „kongruent" 
dnrehweg  subetituirt  Warden  die  Worte:  i^Quasi^Baam^S  „Quasi- Abstand*' 
und  ,,quati-kongnient'\  den  letzteren  aber  eine  solche  (an:>chauliche)  Bedeutung 
untergelegt  wurde,  dass  die  Axiomgmppe  B  sich  als  durchaus  erf)ilit|  der 
Satz  A  dagegen  sich  als  nicht  erfilHt  nachweisen  Hess. 

Es  haben  <ell)st  Lehrer  der  Mathematik  in  ihren  gegen  dies©  Arbeiten 
oder  wenigstens  deren  Ergebnis^  polemisirenden  Schriften  (zahlreiche  an- 
dere aber  durch  thatsBchlicbe  Niehtaaerkennung  dieses  Ergebnisses)  so 
wenig  VerstSndniss  itlr  den  logischen  Charakter  der  Präge  an  den  Tag 
gelegt,  dass  Denjenigen,  die  den  Wert  der  Logik  überhaupt  bemängeln, 
hier  greifbar  gezeigt  werden  könnte,  wie  viel  Sireil,  beharrlicher  Irrtum, 
Papier-  und  Zcitverschweudang  durch  eine  bessere  logische  Schulung  des 
Geistes  sich  vermeiden  licsbe! 

Da  nun  im  idcutischeu  K.ilkul  —  für  uiisre     Gebiete"  —  der 

Balz  A,  wie  wir  durch  Anschaiuith^  tikannteu,  doch  materiell  richtig 
ist,  so  wird  sich  die  Uii  il  hriuirigkeit  des  Satzes  A  von  der  Satzgruppe 
J?  nur  dorthun  lassen,  indem  wir  für  gewisse  Objekte,  von  denen  hierin 
die  Rede  war,  durchweg  andere  Objekt«  substituiren ,  m.  a.  W.  den 
Symbolen,  welche  uns  dieae  Objekte  darsteliten,  eine  neue  Bedeutung 
unterlegen,  die  beiden  Partieeu  von  Sätzen  in  ihrer  Anwendung  auf 
ein  weiteres  ümersuchungsfeld  studireu. 

Ein  solches  Anwendungsfeld,  in  welchem  die  Gruppe  7?  ob?ip  d''n 
Satz  A  gilt,  ist  mm  in  der  That  der  ,Jj>n>s(:)te  Kalkül  mit  (rruj>}>vii, 
z.  B.  von  Funktionalgleichungen,  Ab^urithmen  oder  Kalkuln",  den  ich 
in  Anhang  4  und  5  (re.sp.  in  (>)  mit  allem  Detail  begründe.  Ich 
weise  —  um  l>ei  dem  Aufbau  der  gegcnwürtigeu  Theorie  nicht  zu 
einer  fibergrosf^en  Abschweifung  genötigt  zu  sein,  unter  diesen  beson- 
deru  Überschriiteu  —  eingehend  nach,  dass  hier  wirklich  ß  dorchaos 


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S  IS.   Nicbtbeweiibarkeit  der  2.  Subaumtion  des  Distributioasgesetzes.  2Sd 


soiriffty  wEbreod  Beispiele  eich  darbieten  werden,  in  welchen  Ä  keines- 
wegs zutriffii.   Den  Beispielen,  sowie  dem  ganzen  Kalkül  wird  ein  ker«  ^ 
Torragendes  Interesse  auch  an  sich  zukommen.  * 

Die  Anwendbarkeit  des  identischen  ICiilkuls  auf  das  in  §  3,  S.  160 
sutanfgeifthlte  Feld  wird  demnach  keine  durchguugi^'o  sein,  vielmehr 
aar  eine  beschrftnkte,  teilweise  oder  partielle }  sie  wird  bei  den  Sfttsea  26) 
snfhdren.  • 

In  der  systematischen  Darstellung  der  Theorie,  mit  der  wir  im 

Zuge  sind,  werde  ich  also  die  behauptete  Kichtbeweisbarkeit  der  Sub> 

somtion  26^  nunmehr  als  erwiesen  ansehen. 

Dieselbe  bildet  insofern  auch  kein  wesentliches  Moment  dieser  Theorie, 
sIb  der  letsteren  doch  nur  obliegt  positiv  fortsaschreiten,  so  gut  sie  es 
eben  vermag..  Das  Fortschreiten  gelingt  ersichtlich  auf  die  Weise,  in  der 

wir  es  ausfuhren  ■werden,'  und  auf  die  Hemusforderung,  es  anders  zu 
machen,  die  Subsumtionen  26)  mittelst  Ikweisos  atif  (Irnndlage  des  Bia- 
herigen  zu  Theoremen  tu  erheben,  wird  niemand  üich  melden  können. 

Wir  stehen  darnach  einer  merhcitrdlffm  Thafsache  gegenüber. 

Nach  der  in  §  8  erörterten  sprachlichen  Einkleidung  von  a  +  h 
und  a  ■  b,  wenn  a  und  b  als  Klassen  aiifgefasst  werden,  sind  die  For- 
meln 25^)  und  26^)  wie  folgt  in  Worte  zn  fassen: 

2ü^)  ah  1  ac  <  n(b  f  r).  ^,Älk  a,  Ute  h  sind,  ti^sl  aUen  a,  die  e 
sind,  ntihsf-^i  solche  n  mn,  die  h  oder  nurh  n  sind.*' 

Kxempel:  Die  ( Jebildeten,  welche  adelig,  und  die  Gebildeten,  welche 
wohlhabend  sind  (die  adeligen  (iebikleten  und  die  wohlhabenden  Ge- 
biideteu),  sind  Gebildete,  welche  adelig  oder  auch  wohlhabend  sind. 

26^)  a(h  c  j  ^(  ah  +  nr.  „Alle  a,  welche  b  oder  auch  c  RÜid^ 
müssen  solche  a  sein,  die  b  siiui,  oder  auch  solche  a,  die  c  sind/' 

Exerapel:  Die  Gebildeten,  welche  adelig  oder  auch  wohlhabend 
sind,  sind  adelige  Gebildete  oder  auch  wohlhabende  Gebildete  (sind 
Gebildete,  welche  adelig,  oder  auch  Gebildete,  welclie  w  ohlhabend  sind). 

Von  diesen  bddm  gleich  selbstverständlich  klingenden  ISätsen  läsU 
dtr  entere  Wih  tytlogiUisch  beweisen,  der  letztere  nicht. 

Bei  den  alteren  blos  verUAen  Behandlungen  der  logischen  Disziplin 
ist  wol  sicherlich  nie  jemand  darauf  verfallen,  jenen  ersten  Beweis  zu 
liefern,  und  übersah  man  ebenso  die  Unmöglichkeit  des  zweiten. 

In  dem  Nachweise  und  der  Ausfüllung  solcher  Lücken  gibt  sich 
auch  wol  eine  Überlegenheit  der  mathematischen  Behandlungsweise 
kund.  — 

Jene  unberücksichtigt  gebliebenen  Satze  (ich  denke  fast:  sie  wer- 
den auch  nirgends  ausgesprochen  worden  sein)  sind  nichtsdestoweniger 
▼on  der  allerhäufigsten  Anwendung  (begreiflich  zumeist  unbewusster^- 

SouftBBB,  AlgBkr«  d«r  Loflik.  19 


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290 


Sechste  Vorlesung. 


weise)  —  wie  dies  schon  bei  den  Baisonnements  des  gewdhnlicben 
Lebens  eine  gering  Aufmerksamkeit  lehrt. 

Anstatt  der  be?den  Subsumtionen  25^)  und  26^)  wollen  wir 
schliesslich  nur  die  Gleichung  27^) ,  die  sie  in  sich  sasammenfasst, 
.noch  ffir  KläBsen  formuliren:  „Was  a  oder  h  und  gugleuh  a  oder  e  ist, 
das  sind  die  a,  nek^  den  h  wddie  e  sind.** 

Exempel:  Die  Gebildeten  und  die  wohlhabenden  Adeligen  sind 
gerade  diejenigen  Personen,  welche  gebildet  oder  wohlhabend  und  (zn< 
gleich)  gebildet  oder  adelig  sind. 

Ich  mu8s  an  dieser  Stelle  das  Verb&ltniss  des  hier  Vorgetragenen  sn 
Herrn  Ch.  8.  Peirce's  Vorarbeiten  kennzeichnen. 

So  weit  der  identische  Kalkül  als  Bachstaben rccbnung  bis  liier  über- 
haupt zur  Darstellun^T  gfikommen  ist,  erscheint  ^oin  Aufbau  der  Haupt- 
sache nach  '^nrvA  in  di  n  1,  5,  10  und  11  enthalten.  In  formeller  Hin- 
sicht i.^t  Tür  diese  Knt\vici\i'luni,f  Herrn  Peirce's  p^runulegeniK^  Arbeit'*  inj 
dritten  Baude  Ueo  American  Journal  ui  Matheniaticä  maassgebcud  gcvveseUi 
und  swar  nicht  nur  in  Besug  auf  den  Plan  im  grossen  nnd  ganzen,  son- 
dern auch  besdglich  fast  aller  einzelnen  SStee  und  der  Mehrzahl  ihrer  Be- 
weise. Die  SKtse  allerdings  waren  zum  Teil  schon  von  Boele,  Jevons 
und  Anderen  gegeben. 

Ein  beträchtlicher  linter^chied  hndet  jedoch  statt  hinsichtlich  der  Inter- 
pretiition  der  vorkommenden  Symbole.  Herr  Peirce  nftmlieh  lii^.it  dies 
liuch:9laben  durchweg  als  Urteile  auf,  begründet  albo  die  Theoreme  aU 
solche  des  ^ussagenkalkuls"  —  wogegen  hier  sie  als  solche  des  „Gebiete- 
kalkuls**  entwickelt  vnirden.  Durch  das  letztere  Verfahren  erhalten  sie, 
wie  in  §  32  gezeigt  werden  wird,  eine  erheblich  grössere  Tragweite;  sie 
werden  cfanz  wesentlich  verallgemeinert.  In  foi melier  Hinsicht  indess  ist 
die  Verschiedenbeit  der  Interpretation  bei  dem  von  Peirce  eintrehaltenen 
Gange  zufällig  fast  ohne  jeglichen  l^iniluss  gewesen,  und  lag  xuis  oft  ein- 
fach ob,  die  Peirce'schen  Betrachtungsweisen  auf  die  Gebiete  zu  übertragen. 

Fussend  auf  die  allbekannt«!  Prinzipien  I  pnd  II  und  die  Definitionen 
(l),  (2)  nnd  (3),  von  welchen  die  letzteren  namentlich  ihm  eigentümlich 
sind,  gibt  Herr  Peirce  eine  streng  analytische  Herleitung  der  verschie* 
denen  Theoreme  des  Kalküls  und  zwar  zunächst  derjenigen  — -  sagen  wir 
„bejahenden  Charakters'^  in  welchen  nämlich  von  ^'egationen  nicht  die  Eede 
iüt  —  bis  exclusive  des  Theorems  25). 

Hier  augelaugt  h&lt  er  indess  bei  den  Distributionsgesetzen  inne  und 
werden  diese  [von  uns  mit  27)  numerirten  Formeln]  von  ihm  png.  33) 
mit  der  Bemerkung  abgefertigt,  dass  sie  nach  1.  c.  von  ihm  dtirten  For« 
mein  leicht  zu  beweisen,  der  Beweis  aber  für  die  Mitteilung  zu  langwierig 
sei  [They  are  easily  proved  by*)   .  .,  but  the  proof  is  too  tedious  to  givej. 

Dies  wnr  nun  ein  zu  berichtigender  Punkt. 

Von  deu  beiden  Subsumtionen  25)  und  26)  aus  denen  als  einfacheren 
Slltzen  das  „volle*^  Diatributionsgesotz  27)  sich  zusammeugesetzt  et^veist, 

*}  Hier  Def.  (s)  und  Th.  6). 


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^  12.    NicUtbewuisbarkeit  der  2.  Subtiumtiou  üen  Disttibutioiiägesetzes.  291 

Uas8  die  eine  35)  sich  in  der  Tbat  leicht,  aber  gar  nicht  langwierig,  auf 
dem  aogedentetea  Wege  beweisen«  (Ton  den  swei  in  §  11  von  mir  ge- 
gebnen Beweisen  beanspmolii  der  erste  kaum  mehr  als  eine  Zeile  an 
Druckraum.) 

Für  den  andern  Teilsatz  26)  aber  wollle  os  mir  zunUchät  durchaus 
nicht  gelingen,  den  fehlenden  Beweis  an  erbringen.  Statt  dessen  glückte 
^  es  mir  vielmebr,  die  ünbew^barkeit  des  Sattes  —  wie  oben  (in  Verbin- 
dung mit  den  oitirten  Anh&ngen)  auBeinandergesetst  —  darzuthun,  und 
eine  dieserhalb  mit  Herrn  Peirce  geführte  Korrespondenz  lieferte  die  Auf» 
klSrung,  dass  derselbe  seines  diesbezüglichen  Irrtums  ebenfalls  schon  inne 
geworden  war  —  vergl.  hiezn  die  Fussnote  auf  p.  190  in  dessen  in- 
zwischen erfolgter  Furtäot^uug  äeiues  ciLirten  Aufsatzes,  im  siebten  Bande 
des  Americsn  Jenmal. 

Wenn  ich  anch  in  dieser  Berichtigung  mit  Herra  Peirce  zusammen* 
traf,  so  glaube  ich  doch  darin  Über  ihn  hinauszugehen,  dass  ich  eben  die 
Unerreichbarkeit  des  zuerst  von  ihm  erreicht  Geglauhton  nachweise. 

Interessant  wird  es  nuumclir  sein,  zu  sehen,  in  welcher  Gestalt  das 
von  i'eirce  errichtete  wissenschaftliche  Gebäude  nach  jener  Berichtigung 
weiterzuführen  ist. 

Durch  jeiiLii  Beweis  der  Unbewcisbarkeit  der  Subsumtion  2ü)  wird 
es  üüeubur  geaiaclit,  dass  statt  des  einen  cit^cutlich  :/r'ierlci  Kalkulji 
existireti,  derart,  dass  in  dem  einen  beide,  im  aiulera  nur  der  eine  der 
beiden  Teile  des  Distributiousgesetzes  unbedingt  statthat  Mit  dieser 
Erkenntniss  aber  drängt  sich  die  Notwendi«^keit  auf,  die  verschiedenen 
Kalkuln  auch  verschieden  zu  benennen.  Es  erschien  mir  angemessen, 
den  ersten,  bisher  schlechtweg  so  genannten  „Logikkalkul"  seitdem  . 
als  den  „identischen''  Kalkül  zu  bezeichnen  im  Gegensatz  zu  dem  an- 
dern, dem  Kalkül  mit  ,,<Jru]ipeü''  —  vielleicht  als  dem  eigentlich 
Jogischen",  beide  Kalkulu  jedoch  nach  wie  vor  in  das  Gebiet  der  „Al- 
gebra der  Logik"  zu  verweisen. 

Bis  zum  Einschluss  der  Tiieoreme  25)  fallen  beide  Kalkuln  wie 
gesagt  in  einen  zusammen,  so  weit  decken  sie  sich.  Erst  bei  den 
Subsumtionen  2t)j  erfolgt  die  Trennung,  indem  auch  diese  und  damit 
das  volle  Distributionsgesetz  27)  im  idi>Tit!schen  Kalkül  noch  durchaus 
gelten  werden,  im  logischen  (dem  Kalkül  mit  ,,Griippcn^')  nicht.  So 
weit  auch  hndet  dieser  Gruppenkalkul  sich  in  Anhang  4  und  6  ent- 
wickelt, und  darüber  hinaus  ist  eine  Eutwickelung  ihm  iberhaupt  noch 
nicht  zuteil  geworden,  auch  bleibt  er  wol  naturgemäss  zurück,  da  ihm 
so  wichtige  Gesetze  des  identischen  Kalküls  a1)gohn.  Wir  beschäftigeD 
uns  biemächst  nur  mit  dem  identischen  Kalkül  weiter. 


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293  Sechst«  Vorlesung. 

Um  weiter  zu  fahren,  mfiasoi  wir  uns  vor  allem  klar  machen, 
4as8  die  beiden  Sätze  20^)  und  26^  sich  auf  einander  guriideführen  lassen, 

GKlt  z.  B.  die  Formel  26^)  allgemein,  so  auch  wie  oben  dargelegt 
das  „voU^  DistributioiiagefletK  2^,^).  Und  durch  des  letatern  wieder« 
holte  Anwendung  ist  ihrerseita  leicht  an  beweisen  die  ^üU^Ukations- 
regd  für  lM/^mntf*f  welche  in  dem  (ans  annachst  gendgenden)  ein- 
fachsten Falle  ausgedrückt  wird  durch  die  Formel: 

28x)  (a -f  Z<)  (c  + ^/)  «  ac  +  arf+ftc  +  6<?. 

Beweis.  Multiplizirt  man  erst  nur  die  Summe  a  4  6  mit  deiu 
hinter  ihr  stehenden  Faktor  nacli  27^)  aus,  so  ergibt  sich: 

(rt  +  6)  •  (c  +  rf)  =  a  •  (c  +  i/)  +    •  (c  +  <0 

und  wenn  man  in  den  beiden  Termen  rechterhaud  nunmehr  auch  die 
Summe  c  +  <f  je  mit  dem  vor  ihr  stehenden  Faktor  ausmultipliairt,  so 
entsteht: 

(a  +  6)  (c  +  rf)     (ac  +  ad)  +  (6c  +  hd), 

wo  nun  die  Klammem  rechterhand  auch  weggelassen  werden  dflrfen 
[cfl  Anhang  2]  und  der  Sata  sich  bewiesen  findet. 

Meist  wird  die  Formel  28  J  im  Sinne  von  links  nocft  rechts  an- 
gewendet,  und.Ycrlohnt  es  nur  zu  diesem  Zwecke  sie  sich  in  Worten 
einzuprägen  (wobei  wir  wegen  der  späteren  Ausdehnung  des  Sataea 
auf  beliebig  viele  Glieder  die  Gliederzahl,  die  bis  jetst  nur  „swei''  sein 
dürfte,  schon  unerwähnt  lassen  wollen): 

Zwei  BoUfnome  (mehrgliedrige  Summen^  kSmien  mii  einander  muU^- 
eirt  werden,  indem  man  jedes  Glied  des  einen  Polynoms  mit  jedem  Glied 
des  andern  multiplizirt  und  die  Einxelprodukte  summirt  (addirt). 

Man  nennt  diesen  Prozess  das  ^^AusmuUipUziroi^^  der  gedachten 
l'ulynüuie  —  in  der  Ai illiinetik  auch  wul  du.s  „Entwickehr'  ihres  Pro- 
duktes; duch  erschüijut  wieder  letzteres  aus  später  zutage  tretenden 
Gründen  hier  weniger  geeignet  (vergi.  den  §  10  über  die  „Eutwicke- 
lung''  der  Funktionen  überhaupt. 

Im  umgekehrten  Sinne,  jili^o  von  reclits  nach  links  gelesen,  zwecks 
der  .,ZerfäUun<j''  eines  gegebenen  Aggregates  von  (monomischen  biüü- 
reu)  ProLluktci^  in  polynomische  Faktoren,  wird  in  der  Praxis  mit 
Hecht  der  einmaligen  Anwendung  der  koiiiplizirten  Formel  28^)  vor- 
gezogen die  wiederholte  Anwendung  der  einfacheren  27^)  im  Siuue  «ies 
„Ausscheidens"  gemeinsamer  Fuktoren,  so  wie  sie  im  iiuii^'»'ktdirten 
8iTinp  bei[n  Heweis  von  28^)  bereits  obeu  geleistet  ist.  Mau  wird  hier 
eben  deu  Ansatz  machen: 

ac  +  ad  +  6c  +  6rf  —  a(c  +  d)  +  d(c  +  d)  «  (a  +  i>)  (c  +  d). 


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S  IS.    Prinzip  zur  Vertretung  des  unbeweisbaren  Satzes.  293 

Bevor  wir  weiterfahren  sei  die  Gleichangf  28^)  aaeh  für  Klassen  noch 
dnreb  ein  Beispiel  erläatert: 

Die  russischen  oder  europäischen  Kapitalisten  o<kr  Kaufleute  sind  die 
russischen  Kapitalisten  liebst  den  rassischen  Kaut'leuteii  und  den  europfti* 
sehen  Kapitalisten  sowie  don  europäischen  Kautleiiten. 

Sobald  wir  nun  uns  auf  28^)  berufen  dürfen  lÜBst  sich  die  rechte 
Seite  von  27^)  durch  Ausmultiplizireu  wie  folgt  serlegeu: 

(a  +  5)  (a  +  c)  •»»  aa  +  a&  +  ae  + 
und  dies  gibt  nach  TL  14^ 

»  {{a  +  ah)  +  ac]  +60=»  {a  +  ae)  +ftc=sa  +  fcc, 

indem  der  erste  Terui  aa  oder  a  nach  2o^)  die  beiden  zuuiiciiüt  ihm 
folgenden  succeasive  „absorbirt". 

Hiermit  aber  wird  dann  die  (ileichnnnr  27^)  und  damit  auch  die 
kraft  Def.  (l)  iu  ihr  mitenthaltene  Subsumtion  26^)  bewiesen  er- 
scheinen. 

Dem  bisiherigen  genau  dual  enj-sprechend  würde  vermittelst  26^)  auch 
26j  sich  ableiten  lassen..   Daher  nun  mussto  auch  notwendig  unbe« 

weisbtr  denn  wenn  ftr  diese  Snbsnintion  der  Beweis  gdinge,  sc 
wBre  damit  aneb  für  die  36x)  ein  Beweis  geliefert,  was  erwiesenenntssen 
anmOglieh  ist. 

Keinesfalls  werden  wir  also  genötigt  sein,  die  Satse  26)  äUe  leide 
als  Prinsipien  hinsustellen. 

Yenachei  einen  Ton  ihnen  etwa  nad^  Hinxnfilgung  der  0ef.  (6) 
der  Negation  mit  ihrem  zogehörigen  Posinlate  zu  beweisen ,  sohlagen 
ebenfalls  fehl. 

Dagegen  brauchen  wir  blos  einen  speziellen  Fall'  des  einen^  z.  B. 
Ton  26^  als  Axiom  oder  Prinzip  zn  fordern,  und  zwar  den  folgenden. 

Prinzip  lll^  WeiiigstenSf  wem  [be  «4  0,  somit  auch]  6c  »  0  ^ 
giU  Mar: 

Zusatz  1.   Nach  25^)  und  Def.  (1)  gilt  dann  auch  die  Gleichung: 

a(h  +  c)^  ab  +  ae 
vorerst  unter  der  ein^chrauixenden  Voraussetzung,  da^s  bc  =  0  »ei. 

Zusatz  2.  Von  zweien  ist  der  Satz  leicht  auf  drei  und  mehr 
Glieder  auszudehnen,  vorerst  unter  der  entsprechenden  Voraussetzung, 
^••s  deren  Produkte  zu  je  zweien  gleich  0  sejen.  So  muss  nament- 
lich sein: 

a(p  +  c  +  <l)saaö  +  ac  +  ad. 


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294  Sechste  Yorleaimg. 

falls 

6c  =  0,  crf=»0. 

Dann  ist  nEmlich  (wegen  hc^  0)  nach  Zusatz  1: 

(6  +      «  6rf  +     —  0  +  0  0 

cf.  Th,  21+),    Deshalb  also  abermals  uach  Zusatz  1  ist: 

n  { i  h  I  (•)  +  d]  =  a{b  +  c)  +  ad 

xmä  durch  Einsetzung  von  (([h  +  c)  ab  +  ac  rechterhaud  ergibt  sich 
hieraus  der  zu  beweisende  Salz. 

Ebenso  beweist  sich  leicht  das  Schema  2Öx}^soiem  nur  ab^O 
und  £tc 

Anmerkung  1.  Dem  Prinxip  III^  wQrde  ein  Sats  III+  dual  ent- 
Sprech«! :  dasa  (a +  b)  (a-\- c)  ^  a  + he  wenigsteiifl  dann  sein  mflsse,  wenn 
h  +  c  =  1  ist»    Denselben  dürfen  wir  aber  ni^M  aneh  als  ein  „Priosip'* 

bezeichnen  sondern  mlissen  ihn  ein  ./rhoonnn"  nennen,  weil  er  ■^\<^h  nnn- 
mehr  —  selbst  ohne  die  angegebene  beschränkende  Voraussetzung,  näm- 
lich verallgemeinert  zu  26+j  und  27^,)  —  auf  Grund  von  lU^  beweisen 
lassen  wird. 

Indeeeen  braucht  auf  dieses  Theorem  hier  ttberhaapt  nicht  Bezug  ^e- 
nonuDMi  sn  werden. 

Anmoikung  2.  i^in  spezieller  Fall  de»  Prinzips  III^,  alüo  ein  noch 
spedellerer  Fall  der  SuhBamtion  36^)  würde  der  folgende  Sata  sein: 

III^^.   Es  i$t  a{h  +  c)  ^  ah  +  ac,  sofirne  wenigstens  6c  =  0 

und  h  +  c  =  1  ist, 

wo  dann  auch  a(h  4-  c)  =  ah  +  ac  unter  denselben  Bedingungen  gelten 
würde  —  ein  SaU,  dem  wir  also  weiter  uuleu  die  kürzere  Fassung 

a(J)  +      —  nh  +  ah^ 
O^er  die  noch  Icilrzerc:  nr  =  nh^  wihtK'U  geben  können. 

Mit  dieäüui  noch  eiulaclieren  Satze,  belbet  iu  Verbindung  mit  seinem 
dualen  Oogcnstttcke,  gelänge  es  sber  (wie  wir  sehoi  werden)  nidit,  hier 
aussukommen. 

Da  von  zwei  einander  dual  entsprechenden  SUtzen  hier  blos  der 
eine  III^  zum  Prinzip  erhoben  wurde,  so  werden  unsre  ferneren  lie- 
weist'übrunfren  eine  Weile  notwendig  unsyiumetriscli:  der  Dualismus 
ist  uns  zur  Zeit  entschlüpft,  wird  jedoch  in  Bälde  wieder  ein- 
gefajigen. 

Den  in  Kenntniss  zu  iicbmeuden  Sätzen  wer-leu  wir  bis  daliin 
auch  nielit  in  der  Lage  sein,  die  ihnen  dual  entsprechenden  immer 
sogleich  ^ügeuübcrzuätellcn. 

Uber  die  anscheinende  Unnu  diehkeit,  statt  einseitig,  hier  doch 
symmetrisch  vorzugehen,  nämlich  an  stelle  von  111,^  einen  sich  selbst 


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§  12.  Prinsip  snr  Vertretung  des  anbeweiebaren  Saties.  295 

dual  entsprechenden  Satz  zum  dritten  Prinzip  zu  erwählen,  muss  ich 
mir  weitere  Pemerknngeu  nodb  VOTbehalten  (S.  310  sq.). 

Einstweilen  garantirt  uns  unser  Prinzip  III^  die  £ilaubnis3,  eine 
Summe  urniffsfens  dann  nach  dem  Distrihtitionsgesetge  auszumultiplizircn, 
wenn  ihre  Glieder  unter  sich  di^uM  sind  (d.  h,  an  je  zweien  mulü- 
pliairt  ein  Produkt  0  geben). 

Dergleichen  Snmmen  mag  man  ffreäHMkief*  nennen. 

Man  kann  noch  bemerken,  dasa  auch  die  ansmultiplisirte  Summe 
wieder  eine  redozirte  sein  wird  nnd  nebenher  diese  Wahrnehmung  mit 
MeColl  yerallgemeinern  zn  dem  Satze: 

Zusatz  ?t.  Das  Prodult  nveier  {oder  mehr crer)  redusirtm  iSummen 
g^t  ausmuiiiplizirt  ivkder  eine  rrduzirtc  Suninir. 

Jedes  Glied  der  ansmultiplizirten  Summe  hat  nämlich,  als  Partialpro- 
dukt,  ein  Glied  der  ersten  und  ein  Glied  der  zweiten  Summo  z\xm  Faktor. 
Haben  zwei  Glieder  ans  der  einen  Summe  dmstiben  Term  zom  Eaktor,  so 
mflssen  ihre  andern  Faktoren  disjnnkte  Terme  aus  der  andern  Summe  seiUf 
und  sie  darum  zum  Produkt  0  geben.  Audemfalles  haben  sie  sowol  aus 
der  einen  als  aus  der  andern  Summe  disjunkte  Terme  zu  Faktoren  und 
geben,  wenn  miteinander  muitiplixirti  um  so  mehr  ein  Produkt  0. 

Anmerkung  3  zu  Prinzip  III^. 

Man  kann  —  Tergl.  Jevons^  p.  27  sq.  —  f&r  das  Fdnzip  lU^ 

nnd  ebenso  schon  für  die  allgemeinere  Subsumtion  26^^  nachdem  sie 

(wie  oben  geschah)  f£ür  Klassen  oder  auch  iDr  Oebiete  in  Worte  ge- 

faast  sind,  einen  verbalen  ^^eweis^  liefom  wie  folgt. 

Yoransbemerkt  sei  nur,  dass  hiebei  im  Satze,  wie  im  Beweis  wieder- 
holt (auch  in  „diejunktiven**  Urteilen)  die  Kox^unktion  „oder**  Torkommt 
Beim  spezielleren  Satze  III^  ist  dieselbe  im  Sinne  von  §  8, 17)  zn  TOrstehen 

als  „oder  aber",  bei  dem  allgemeineren  Ratze  26^)  dagegen  im  Sinne  von 
§  8,  zn  ersetzen  durch  ..od-M-  auch"'.  Hierdurch  allein  würden  die  bei- 
den Satze  und  Beweise  sich  unterscheiden.  Wir  sagen  hiemäohst  schlecht- 
weg „oder". 

Im  übrigen  mnss  man  wesentlich  auch. die  InterpretaUan  §  8,  von 
a-f  &  Tor  Augen  haben. 

Jerons'  jyßeweis"  zn  Ul^  resp.  26^, 

Was  a  und  entweder  h  oder  e  ist  —  wenn  es  5  ist^  so  iat  es  ab^, 
wenn  es    ist,  so  ist  es  ac,  und  4k  ist  folglich  entweder  ah  oder  ae. 

j —  sintemal  auch  a{b  +  c)  ^  6  4-  c,  sowie  ah  ^  ab  i-  ac  und 
ac=^ah  +  ac  nach  Th.  ü)  sein  muss  — J. 

*)  Dann  ist  es  nämlich  a  und  b  sogleich,  itit  ein  a,  ueldus  b  ist,  ein  nö» 
Man  kann  sich  auch  auf  Th.  20^)  beruFeu,  wonach  für  ein  dem  b  eingeordnetes 
für  a     d,  auch  sein,  mnse  a  =-  ad,  and  um  so  mehr  a  ab. 


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296 


Sechste  Torleraog. 


Es  sei  nicht  in  Abrede  gestellt  die  geineinverbiudliche  Denknot- 
wemligkeit  dieser  Überlegung,  so  wenig,  als  wie  schon  die  Selbstver- 
ständliehkeit  des  darch  sie  (womöglich  noch)  plaii8ibel(er)  gemachten 
Satses. 

Allein  es  wird  bei  diesen  Schlüssen  von  einem  Grundsatze  Ge- 
brauch gemacht,  der  bisher  weder  implicite  noch  ezplieite  Erwähnung 
fand,  nämlich  von  diesem: 

f/i  ist  entweder  b  oder  <f*  heisst  genau  dasselbe,  wie  „entweder  a 
ist  h,  oder  a  ist  d*.  Küiser:  Was  b  oder  e  ist,  ist  entweder  b,  oder 
es  ist  e. 

Man  sieht,  wie  hienach  die  Kopula  „isi*^  sich  Terieilt  auf  die  beiden 
Glieder  ilor  Alternative,  vr\A  wio  nTTirrokohrt  sie  von  die!?pn  beiden  auch 
wieder  abife/.ogen  und  in  eine  einzige  Kopula  zusammengezogen  verschmol- 
zen werden  kann. 

Von  den  in  diesem  Grundsatz  für  „eluaader  ii|nivalent'*  erkUtrtai  bei* 
ien  Urteilen  ist  das  erste  ein  Icategorisches,  also  mit  einer  Kopula  Ter> 

sehenes,  mit  dem  Subjekte  a  und  dem  FrJtdikate  oder  c".  Das  /.weite 
Urteil  aber  ist  gar  keiu  kategorisches,  sondern  ein  „disjunktiveb".  Es  be- 
steht aus  zwei  8:Uyt  n,  deren  jeder  für  sich  seine  Kopula  besitzt,  und  die 
mitteist  der  Biudcvvürter  „entweder  .  „oder  . verknüpft,  in  Abhängig- 
keit voneinander  gesetzt  sind. 

Es  gehört  dieser  Grundsatz  als  sehleehtliin  ü^ültiger  uuascliiiesslich 
dem  „Aussageiikalkul"  an,  woselbst  wir  ihn  noch  näher  studireu  wer- 
den —  §  4;"),  ci^  K  Im  Gebietekalkul  gilt  er  im  allgemeinen  nicht:  Wenn 
ein  Gebiet  a  iiu  (  Gebiete  h  +  c  enthalten  ist,  braucht  es  nicht  entweder 
in  h  oder  in  c  gauv.  eiithulten  /.u  sein.  Daselbst  gilt  er  —  wie  wu 
erst  viel  später,  §  17,  sehen  werden  —  nur  für  die  .,huIirUluetr  der 
Klassen,  die  l'inikte  von  a.  niclit  aber  für  die  Klassen  selber. 

Erst  we!in  diese  „ArytaiiDildlwn  auf  die  Indicidnen^^  der  Klasse 
als  ein  Grundsatz,  als  ein  „Prinzip"  ausdrücklich  vorausgeschickt  wor- 
den wäre,  dürlten  wir  die  obige  Überlegung  als  einen  wirklichen  Be- 
weis hinstellen. 

Dt  ru'U'icLieu  /u  tliun  wKre^  wohl  in  der  That  am  zweckmässigsten  beim 
ersten  Unterriclit  mit  Schülern. 

liier  dai;et;en  wollen  wir  daraut  ausi^eben,  unsre  Axiome  oder 
Prinzipien  niöi^lielisi  aus  dem  <ieliieto-  oder  Klassenkalkul  selb:>t  /u 
schöpfen  (von  dem  Aussai:;<'nkalkul,  der  sich  in  ihm  niitentlialtpu  er- 
weist, solange  e.s  nur  irgend  angeht  auch  mit  den  Prin/iyiien  1  und  11 
auszukommen  suchend  —  die  wir  ja  bislang  schon  in  liopjteltem  .Sinne 
zu  citiren  hatten).  Da  i'  dndct  es  sich  denn  von  selbst,  von  Anjumcn- 
((dimien  auf  die  hidindnni  der  Klassen  uesentlich  Gdframh  mi  inaciten, 
solange  das  ^^Individuum''  noch  überhaupt  nicht  einer  Wissenschaft- 


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$  12.    Triiuip  zur  Vertretuog  des  unbeweisbaren  Satzes.  297 

liehen  Definition  im  ElasBenkalknl  teilhaftig  geworden,  auf  welche  ' 
solche  Argomentationen  in  strenger  Beweief&hrimg  erst  zu  basiren 
wSren.  Um  aber  solche  Definition  und  Beweisführung  za  Terwirk- 
liehen  (Tergl.  §  47)  werden  wir  langst  schon  des  vollen  Distribii' 
üoDSgesetEes  zum  Aufbau  unsrer  Diäziplin  bedurft  haben  und  vielfach 
in  der  Lage  gewesen  sein,  desselben  nicht  entraten  zu  können. 

Aus  diesen  Gründen  verharren  wir  bei  dem  gewShlten  Prin- 
iipe  III^ 

Unverkeunbai'  gelit  die  Aiithiuetik  einen  umgekeiirten  Weg:  sie  Hingt 
bti  AaftteUnng  ihrer  Zahlbegriffe  und  ersten  Sitze  eben  pit  „Argamen* 
tttionen  auf  die  Individuen**  als  den  plausibelstai  Überlegungen  des  tfeu' 

schengeistes  an.  In  didaktischer  Hinsicht  dürfte  solches  Verfahren  auch 
die  grossten  Vorzüge  besitzen,  und  tadeln  wir  sie  keineswegs  darob.  Wir 
verlangen  jedoch,  dass  entweder  das  Kine  oder  aber  das  Andre  fconsrqnrnt 
durchgeführt  werde!  Jim-  nuu  haben  wir  nicht  den  Begritf  det»  Indivi- 
duums sondern  den  der  Einordnung  zwischen  Gebieten,  Subsumtion,  an  die 
Spitze  gestellt;  wir  haben  bereits  den  entgegengesetcten  Weg  eingeschlagen 
ttäd  müssen  ihn  nun  auch  zu  Ende  gehen;  wir  dflrfen  darum  jenen  Begriff 
such  noch  nicht  voraussetzen  (es  sei  denn  ganz  nebenher  bei  den  Illustra- 
tionen durch  Heispielo  oder  den  Nutzanwendungen  des  Kalküls),  sondern 
^Verden  erst  verhältniäsmässig  spftt  im  stände  sein,  eine  Definition  des  In- 
dividuums, Punktes  aufzustellen. 

Wir  begnügen  uns,  einstweilen  mit  Peirce  zu  saijen,  der  obige 
„Beweis'*  sei  nicht  syllogistisch,  sondern  ..iiiummati^^rli '  utj<l  verweisen 
in  Bezug  auf  die  als  ein  „Dilemma"  hinzustellende  Art  des  ^Sctiliessens 
auf  §  45  des  mehrerwähnten  Aussagenkalkuls,  sowie  schon  auf  das 
Schema  der  Aufi^abe  fj)  des  §  18.  [Der  vorgerückt»^rp  Leser  wird 
leicht  dirse  Sclilussforni  als  eine  hier  wirklich  mit  zur  Anwendung 
gekommene  erkennen,  indem  er  sich  das  s  des  Schemas  als  a(6  +  c), 
das  p  desselben  als  ah  +  ac  deutet  —  ohne  dass  wir  nötig  hätten, 
hierauf  nochmals  zurückzakommeu.]  Den  vorgreifenden  Charakter  des  ^ 
„Beweises",  zufolge  dessen  er  hier  noch  nicht  am  Platze,  noch  depla> 
cirt  erscheint,  erblicke  ich  aber  weeentlieh  nicht  darin,  dass  diese 
'Schlussform  in  ihm  sur  Anwendung  kommt,  sondern  vielmehr  in  dem 
erwähnten  „Argumentiren  auf  Individuen''. 

Deal  entepreehead  könnte  der  andre  Sats: 

26^)  (a  +  &)(ö  +  r)^«  +  tc, 

—  in  Worten:  ,,Was  a  oder  }>  und  zui^dcich  n  oder  c  ist,  ist  entweder  n 
o^^r:  b  und  auch  dilemmatisch  so  „bewie^jeii"  werden:  Dasselbe  ist 
entweder  a  oder  nicht.  Ist  ts  nicht  d,  so  muas  es  nach  dem  ersten  Teil 
<ler  Yoraussetzimg  b  und  nach  dem  zweiten  c  sein;  also  ist  es  entweder  a 
«der     und  c^*. 


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298 


Sechste  Vorlesang. 


Nebenbei  bemerkt  liegt  hier  ein  Fall  vor,  wo  die  Wori^^pracbe ,  als 
(los  Instrumentes  der  Klammem  entbebrencl,  nuprSzise,  zweidotttig  oder 
doppelsinnig  wird,  resp.  durch  geeignete  BetonunfT  und  Pausen  die  Klani- 
merstelluiig  andeuten,  ersetzen  muss.  Es  gibt  ja  „^a  oder  b)  und  zugleich 
das  ist  (a  +  &)c,  einen  wesentlich  andern  Sinn  als  „»  oder  (h  und  zn- 
gldch  c)**.  Der  letztere  nnr  war  vorhin  maassgebend.  VergL  die  Studie 
unter  Q        vD       %  — 

Riesa  ist  gehörig  Anhang  4  nebet  5  und  eine  Episode  ans  An- 
hang 6.  ' 


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Siebeute  Vorlesung. 

§  13,  Negation  (mit  Pohtnlat)  und  darauf  zu  gründende  Sätze« 

Ihre  Einführung  für  Gebiete. 

Ich  werde  mich  im  §  13  und  16,  d.  h.  in  Bexog  auf  die  DarsteUung 
und  Begrnndung-  der  für  die  Teclinik  des  Kalküls  wichtigsten  Sätie  am 
nfichsten  an     ob  ort  Oiassmaun*  anscbliessen. 

Wir  haben  nunmehr  mit  einer  dritten  fundamentalen  Operation 
des  ideütischen  Kalküls  Bekanntschaft  zu  machen,  welche  —  im  Hin- 
blick auf  die  Begriffoomfänge  oder  Klassm  —  Negatum  oder  Ver- 
nehmng  schon  von  der  alten  Logik  genannt  worden  ist  —  eine  Be- 
nennung, die  wir  auch  fQr  die  Punktgebiete  unsrer  Mannigfaltigkeit 
sdoptiren.  Schoo  auf  die  Begriffe  angewendet  erscheint  die  Benennung 
agentlich  als  eine  übertragene,  ans  dem  Aossagenkalkul,  in  welchem 
sie  ursprünglich  wnrselt  (resp.  ins  der  Lehre  Ton  den  Urteilen)  meta- 
phorisch herübergenommene. 

£s  ist  diese  dritte  Operation  insofern  von  einfacherem  Charakter 
wie  die  beiden  Yorhergehenden,  als  sie  immer  schon  an  einem  eitiKehien  , 
Objekte  volMehbar  ist^  wogegen  Multiplikation  und  Addition  je  deren 
zweie  als  zu  Terknflpfende  Operationsglieder  Toranssetaen. 

Multiplikation,  Addition-  und  Negation  sind  die  „«frei  Spme^  des 
identischen  Ealknla. 

Der  Begrifiaerklirung  der  Negation  müssen  wir  einen  HOlfssata 
toraoBschieken. 

29)  Hülfet  he  o  rem.    Wenn  emerseUs 

a&  —  0    aowit    a  +  b  =  1 
und  atuhcrseits  fsugleicJi  auch 

ac^O  sowie  a  4-  e  1 

vii  80  muss  aein: 

Beweis.  Nach  Th.  4)  hat  man 

ah  =  ac  und  a  +  (  »  a  +  c 


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UOO  Siebente  Vorlesung. 

Maltipltsirt  man  die  Utttere  Gleichttng  beideraeits  mit  so  ent- 
steht nscli  Prinsip  UI^  [sogar  schon  nach  Uly!^]  ond  Th.  14^: 

ah-^h^  ah  +  hc, 

Ebeuso  entsteht  aus  ihr  durch  beiderseitige  Multiplikation  mit  ei 

ac  +  bc  =^  ac  -\-  c. 
Wegen  der  erstem  Gleichung  ist  aber  gemäss  16^): 

aft  +  6c  —  ac  +  he 
und  folglich  nach  Th.  4)  aneh 

ab  +  h  —  ac  +  c; 

d.  h.  nach  23^),  indem  die  ersten  'I'erme  absorbirt  werden  haben  wir: 

q.  e.  d.  Einfacher  hätte  man  auch,  mit  Rücksicht  auf  die  Voraus- 
Setzung  ah  =  0,  nach  21^.)  und  23^)  das  eine  Multiplikationsergebniss 
mbi^bc,  das  andre,  wegen  ac  =  0,  in  hc=^c  zusammenziehen 
kunnen.  Indessen  hat  der  erstere  Beweis  den  Vorzug,  sich  auf  eine 
spätere  Erweiterung  des  Satxes,  zu  Th.  40)  und  Zusätze«  ohne  weiteres 
Übertragen  zu  lassen. 

Bcecichnen  werden  wir  die  Negation  eines  Gebietes  indem  wir 
diesem  den  ffNegationsstriih**  ,  als  Suffixum  anhangen,  sonach  mit  a, 
(gelesen: 

Sollte  ein  zu  ncgirendcs  HoMet  einen  znsamiiienge^ctzieii  Ausdruck 
haben,  so  wird  es  überdies  dabei  einzuklammern  sein  gema?:^  tlei  allpfmein 
bezüglich  Gebrauchs  der  Klammem  rrelte ndon  Maxime  (Tergl.  Anhang  2  ». 
8o  wird  B.  (ab),,  (ü  +  fcj,,  (a,),  die  Negation  Ton  ah  resp.  «  +  l>  und  o, 
Vorsttillen. 

Bei  der  Wahl  obiger  Bezeichnung  kommt  folgendes  in  Betracht« 
Das  Suffiznm  ,  soll  einen  Vertikalärieh  vorteilen.    Mittelst  eines 
solchen  werden  wir  auch  anderweitig  —  namentlich  fUr  Beziehungen  — ► 

die  Negation  nnilcnffn.  So  wird  uns  z.  B.  das  vertikal  «hirchpestrichr^no 
< Jli  ichheitszeichen:  rreli  sen  „ungleich",  die  Verneinung  der  Gleichheit 

Hti^zudrUcken  haben.  Nach  diesem  Prinzip  wird  es  nämlich  leicht,  zu 
jedem  Beziehungszeichen  sofort  dessen  Verneinung  m  bilden.  Indem  man 
einfach  dasselbe  Tertikai  äurehstrcicitt  gewinnt  man  ein  habscbes  und  durch 
sich  selbst  ver^tUndliches,  mnemonisches,  obemlr«  in  auch  noch  nicht  ander- 
weitig vergebenes  Zeichen  zur  Darstellang  eben  der  Beziehung,  welche  die 
Negation  von  jener  zu  nennen. 

Aub  z.  B.  wöre  hienach  auch  das»  regeheclite  Zeichen  für  nicht 
grosser",  welches  für,!j  reelle  Zahlengebiet  als  („kleiner  oder  gleich") 
in  der  Hatkenmtik  sehr  -viel  gebraucht  wird,  unschwer  abauleiteii. 

Da  es  nun  nicht  angängig  ist,  Buchstaben  oder  gar  susammeDgesetste 
Ausdrtlcke  jeweils  in  Druck  und  Schrift  wirklich  durchzustreichen,  so  muss 
eben  der  Vertikalstricb         jenen  angemerkt  werden  (im  letstem  Falle, 


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f  IS.  Negation  (mit  Postnlai)  und  darauf  m  grOadende  Sfttae.  301 


wie  betont,  uuter  Einklarnniernncf  der  Ausdrücke).  Da  ferner  eine  Nega- 
tion (die  Operation  des  Negirens)  nicht  vollzogt-n  werden  kann,  fs  sei  denn 
an  einem  bestiiumt^u  Oijjekte,  so  ist  et»  wiudeiuu)  uaturgetnäss,  ü&»  Objekt, 
wdehes  man  beliuf  Negirens  scbou  haben  moss,  dem  Negationsatncli  dabei 
foransascbieken,  letstern  also  dahmter  2a  stoUen,  tei  es  auf  gleidier  Höhe, 
Mt  es  darüber  (als  Accent)  oder  darunter  (als  Suffixum).  Ich-  entschied 
inieli  fDr  das  Suffiznm  als  das  in  Druck  und  Schrift  die  grösste  Deutlich^ 
ksit  gewührende  Zeichen  you  immerhin  minimalen  Raumansprüchcn. 

fin  meiner  früheren  Schrift*  verwendete  ich  zur  Bo/iichnnii;,^  der 
Negation  noch  das  Suf^xum  1,  schrieb  also  ftli-  unser  uon-a  t$tetH  ^ge- 
lesen: „a  untm  1 kürzer  „a-ems'*).  Es  sollte  dies  daran  erinnem,  das«, 
via  in  §  23  geseigt  wird,  die  Negation  von  a  auch  durob  1  —  a  darstelle 
bsr  ist  Jedoch  erscheint  es  angezeigt,  des  Dualismus  halber,  der  alsdaun 
niner  zum  Ausdmok  kommen  wird,  ein  von  den  Symbolen  0  und  1  naab«' 
togiges  Zeichen  zur  Darstellung  der  Negation  zu  verwenden.] 

Von  Andern  (namentlich  Boole,  R.  Grassmann  und  Oh.  S.  Peirce) 
ist  vorgezogen  worden,  das  zu  negirende  Objekt  mittelst  Muiaonialstrich 
xa  ildfntreichen,  für  nnswr  o,  also  sn  sebreiben  ä  (gelesoi  a  alrieh). 

Emstliche  Einwttnde  lassen  aneh  gegen  diese  0spflogenheit  sich  nicht 
trkeben.  Die  Entscheidnng  für  diese  oder  jene  ist  gewissermassen  Geschmack- 
Mche.    Eine  jede  von  ihnen  hat  gewisse  Vorteile  und  Nachteile. 

Will  mtm  mit  dem  Horizontalstrieh  h»fs>'iHcni  sein,  so  müsste  man 
nun  mit  _  (statt  =f=)  die  Ungleichheit  darsteiien.  Dies  sieht  nun  erstlieh 
aoi,  wie  ein  doppelt  negirtes  Minuszeichen.  Öodauu  ist  das  Zeichen  auch 
wbon  andenreitig  m  Beschlag  genommen:  in  der  Zablentheorie  sor  Dar- 
stoUnng  von  «^gleichrestig**  oder  ^fjboN^rusnf'  —  in  andern  Disnplinen  auch 
wol  für  ,4dentisch  gleich"  im  Sinne  Ton  „allgemein  gleich^  d.  i,  gleich  fttr 
nik  Wertsysteme  gewisser  Buchstahengruppen.  Das  Zeichen  7^  würde  also 
hier  seine  dritte,  mit  den  ljislierit,''on  disparate,  Bedentiinpf  beigelegt  er- 
lialten,  wogegen  für  ..nicht  gleich"  schon  vielfach  iiiiiich  ist  (vergl. 
z.  B.  Aufsätze  von  Neito  und  Andern  iui  Journal  ihr  die  reiue  und  an- 
gewsndte  Mathematik).  —  Weiter  wttrden  wir  ftr  die  Yeraeinnog  noch 
sodier  Benehnngen,  wie  B.B.  ittr  „nicht  untergeordnet  mit  dem  HorizontaU 

ttricb  viel  weniger  bfibsche  Zeichen  bekommen:  ^  statt  etc.  — 
Zeichen,  die  aus  getrennten  Teilen  bestehen,  weniger  symmetrisch  sind  und 
vol  auch  mehr  Baum  einnehmen,  als  mit  dem  Yertikalstriche. 

Endlich,  schon  bei  Buchstaben,  gefällt  mir  nicht,  dass  die  Höhenlage 
des  Uorizontaistrichs  von  der  Höhe  des  Buchstabens  abh&ngig  wird,  z.B. 

üfe  für  unser  a^h^.  Sind  aber  die  Buchstaben  von  gleicher  Höhe,  wie  a 
nnd  r,  so  erscheint  e.s  allzu  nahe  gelegt,  .solche,  wie  wir  sehen  werden, 
gruadverschiedene  Aubdrücke  wie  =  a^c^  uud  nc  =  ('^  ),  miteinander 
xa  verwechseln,  indem  ihre  Unterscheidung  davon  abhinge,  ob  an  ^ner 
Stelle  von  hOchst  geringer  Ausdehnung  die  Druckersebwttne,  Tinte,  nicht 
«ngsgsagen  oder  abergeflossen  ist. 

Bei  zusammengesetzten  Ausdrucken  indess  hat  der  Horizontalstrich  den 
Vorteil,  zugleich  als  Vinculum  zu  dienen  und  die  Klammer  zu  ersetzen, 
wis  ia  abf  a  +  6  und  ä  für  die  oben  angefahrten  drei  Beispiele.  Auch 


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303 


Siebtimte  Torleaang. 


ISsst  f^n<^rr  Scli  reih  weise  wegen  der  Ähnlichkeit  des  Negatioiisstrichs  mit 
dem  Suflixtiin  1  e<  fortan  weni^'er  rat>:ini  erscheinen,  ein  erstes,  zweites, 
drittes  etc.  ^iu  einer  Untersuchung  auttretendes)  a  etwa  mit  a^^  a^^  .  . , 
hier  za  beDeunen.  HiefOr  kann  mau  jedoch,  da  Potcoasmi  ohn^m  mbt 
geechloesen  sind  (Th.  14),  nun  mit  a\  a\  a', . . .  aieb  aehr  gnt  bdbelfen. 

In  Bezug  auf  die  Streitfrage  «wischen  Horizontal-  und  Vertikaletrieh 
bei  za  verneinenden  Beziehungszeichen  konnte  Ubrij^^en^  TTerm  Ohnrles 
S.  Pcirce  die  Autorität  seines  Vaters  Benjamin  Peirce'  f^ejjrenUbcr^^esteiit 
werden,  mit  dessen  Rezeichnun^^s vorschlugen  in  seiner  „Linear  associaiive 
Algebra'^  wir  teilweise  zuaauiiueutrelTeu. 

0e  Morgan,  Jevons  nnd  Andere  nehmen  Ar  Begriffe  resp.  Klaeaen 
und  deren  Negation  die  korreapondiroiden  Bochataben  ans  dem  groaaen 
und  kleinen  Alphabete,  bezeichnen  die  Negation  von  A  mit  O,  sowie  um- 
gekelirt  —  was  nach  Th.  :U)  /uliissig.  Dies  ist  nur  durchführbar,  insoweit 
blos  „einfache'*  Bymbole  in  JJetraclit  kommen  (vergl.  Anhang  2),  verbietet 
sich  indess,  wenn  das  ^iegiren  auch  für  zusammen »i^esetzte  Ausdrücke  soll 
angedeutet  werden  können.  Denn  die  Negation  von  A  +  Ji  wtlrde  durch- 
aua  nicht  etwa  a  +  d  sein,  n.  a.  w.  —  vergl.  die  Theoreme  36),  Der  Vor- 
schlag eracheint  uns  hier  ala  gSnzUch  unannehmbar. 

Mit  Worten  nennen  wir  die  Negation  von  a  aocb  ^itM-a^  oder 

Indessen  „non-o**,  „non(a+5)'*  etc.  fUr  nneer  o,,  (n  +  b),  in  Tomieln 
aniuaetsen  wttrde  achwtllatig  („combrona'*)  werden. 

Definition  (6),  der  Negation. 

„NegeUim**  eines  Qdnäes  a  nemeii  mr  etn  seildies  G^iet  a,,  wMes  ' 
gtt  Um  in  der  Seei^img  stdUj  äass  migleidi: 

aa^  =^  0   und    1  =^  a  +  a, 

ist. 

Da  uaeh  Tii.  5)  ulinelan  0  =^  aa,  und  a  +  a^=^l  sein  wird,  so 
gelten  dann  i^ralt  Def.  (1)  auch  die  beiden  Satze: 

30)  Theoreme.  Allgemein  ist: 

:\i  »^)  00,  =  0.  I  30+)  « +  o,  —  1. 

Diese  Gleichungen  hiitten  ebensogut  zur  Definition  der  Negation  a^ 
von  a  venvendet  werden  können,  muten  jedoch  dieser  Negation  schein- 
bar etwas  nielir  tu,  als  nur  die  obigen  in  ihnen  mitenthaiteuen  beiden 
Subsumtionen  zu  erfüllen. 

Nach  §  7,  S.  214,  können  wir  nun  auch  sagen:  Negation  ei}t€S 
Gebietes  netmen  wir  ein  solches  Gebiet,  uieUihes  mu  demselben  sugleiek  diS' 
junkt  und  supplementär  ist. 

Zusatz  1  zu  Def.  (6).  Za  einem  Gebiete  a  kann  es  nidU  mi^r 
als  eine  Negation  geben. 


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%  18.  Die  Negation  für  Qelnete,  mil  "PoBtiilat. 


303 


Denn  wäre  a,'  eine  zweite,  so  würden  noben  den  beiden  Giei- 
ehimgen  30)^  und  mit  demselben  Eecht^  auch  diese  beiden  bestehen: 

aa{  =  0  und  a  +  a/  1 

and  würde  ans  ullen  vier  Gleichnngen  nach  HülfstlieoTem  29)  [wo  h 
dem  a,  und  e  dem  a,'  entspricht]  folgen: 

<  —  «M 

d.  h.  die  beiden  Negationen  waren  identisch^  einerlei,  wiren  in  der 
That  nur  etfie. 

Die  Operation  des  Negirens,  d.  i  die  Herstellnng  der  Negation  za 
einem  gegebenen  Gebiete,  wird  darnach  jeden&Us  keine  j^mehrdeatage" 
sein,  ,die  Negation  Oj  von  a  ist  ein  höchstens  eindeuUges  Gebietsymbol. 
Dagegen  könnte  noch  dieses  Symbol  als  ein  „ondeutiges'^,  die  Opera« 
tion  desNegirens  al  unausfahrbar''  erscheinen.  Bislang  ist  noch  die 
Möglichkeit  zugelassen,  dass  —  Tielleicht  je  nach  dem  „Werte^  von  a 
—  das  Zeichen  a,  ein  sinnloses,  einer  Deutung  als  eigentliches 
Gebiet  eventaell  ganz  unfähiges  ist,  welches  dann  als  ein  „uneigent- 
liches'' Gebiet  der  Mannigfaltigkeit  zu  adjungiren  die  Def.  (6)  uns 
zumutet 

Diese  Möglichkeit  schliesst  aus  das  folgende  Postulat  mit  dam  zu- 
gehörigen die  Interpretation  liefernden  Nachweise. 

Postulat  ((3)).  Zu  jedem  GAiete  a  gibt  es  (mindestens)  eine  Nega- 
tion a,  (und  dann  wie  schon  gezeigt  auch  nur  diese). 

Diesdbe  wird  als  Bückstand  erhalten,  wenn  ma»  das  Qtbiet  a  aus 
der  gansen  MamugfaUi^BeU  1  forÜasst. 

Dieses  Restgebiet  hat  nämlich  in  der  That  die  Eigenschaft,  erstens: 
mit  dem  Gebiete  a  keinen  Punkt  gemeinsam  zu  haben,  d.  i.  die 
Gleichung  30^)  zu  erfüllen;  hatte  es  einen  Punkt  mit  a  gemeiui  so 
Ware  ja  dieser  Punkt  von  a  nicht  pflichtschuldigst  fortgelassen  —  und 
zweitens:  das  Gebiet«  auch  zur  ganzen  Mannigfisdtigkeit  1  zu  ei^^inzeni 
d.  i.  die  Gleichung  30J  zu  erfUllen.  Fehlte  auch  nur  ein  Punkt  an 
dieser  Mannigfaltigkeit,  so  wäre  ja  nicht  der  voUe  Rackstand  genommen. 
Dasselbe  ist  sonach  eine  richtige  Negation  zu  a,  und  weil  es  nur  eine 
gibt^  haben  wir  hier  den  bestimmten  Artikel  anzuwenden  und  zu  sagen: 
die  Negation  von  a.  . 

Die  Ausführungen  des  vorstehenden  Absatses  sind  nicht  etwa  als  eiu 

„Beweis'^  des  vorhergehenden  Postulates  ansusehen,  dessen  Anerkennung 
vielmehr  wir  schlechthin  fordern.  Sie  sollen  nur  beitragen,  den  Sinn  dos- 
"^elbcn  voll  zum  Bewusstsein  zu  bringen,  und  der  Anschauung  resp.  Intui' 
tion  bebülflich  sein,  dasselbe  zu  veritii^iren. 

Dia  Negation  a^  .eines  Gebietes  a  ist  —  in  unserm  bevorzugten 


304  Siebente  Vorlesung. 

Falle  —  die  Ergänzung  dieses  Gebietes  zur  Mannigfaltigkeit  1,  d.i.  zur 
ganzen  Flüche  der  Schultafel. 

Ist  z.  B.  a  die  (Tnneu)Flache  eines 
Kreises,  mit  Eiiischluss  von  dessen  Kon- 
tur, so  bedeutet  a^  die  Ausaenflache  des- 
^^  selben  (soweit  sie  zur  Tafelflüche  gehört) 

mit  Ausscliluss  von  dessen  Kontur,  In 
Fig.  16  ist  dieses  Gebiet  durch  Schraffiren 
veranschaulicht. 
Pig  IG.  Diese  Ergünzung  a,  erscheint  als  das 

Maximalgebiet  unter  den  zu  a  „dis-    Minimalgebiet  unter  den  zu  a.„8up- 

junkteu"  |  plementüren" 

Gebieten. 

Als  ein  „Postulat"  durften  wir  den  Satz  ('3))  deshalb  hinstellen, 
weil  er  die  Forderung  in  sich  schliesst,  involvirt,  zu  irgend  einem 
Gebiet  a  ebenjene  Ergänzung  zu  denken  oder  zu  bilden,  sie  aus  ihm 
abzuleiten  und  in  Gedanken  zu  isoliren. 

Dieser  Forderung  fühlen  wir  uns  gewachsen. 

Zusatz  2  zu  Def.  (6).    Insbesondre  ist: 

0,=  1         ,    1,  =  0; 

die  Negation  der  Null  ist  die  Eins  und  umgcJceJirt;  denn  in  der  That 
haben  wir  nach  den  Theoremen  21)  oder  22): 

0  •  1  =  0    und    U  +  1  =  1 , 

desgleichen  mit  umgestellten  Faktoren  resp.  Gliedern.  Auch  ist  es  un- 
mittelbar  intuitiv:  Nichts  ist  erforderlich,  um  ein  Ganzes  zu  sich  selbst 
zu  ergänzen.  Die  ganze  Mannigfaltigkeit  ist  erforderlich  um  das  Nichts 
zu  ihr  selbst  zu  ergänzen. 

Die  80  hochwichtige  Deutung  unsrer  Definition  und  Satze  ftir 
Klassen  wollen  wir  auf  demnächstige  Paragraphen  verschieben  und  uns 
bis  zum  Wiedergewinn  des  Dualismus  im  reinen  Gebietekalkul  fort- 
bewegen. 

Die  Theoreme  30)  mögen  auch  einzeln  in  Worte  gefasst  werden: 


Ein  Gebiet  mit  seiner  Negation 
mtdtijdizirt  gibt  0. 


Ein  Gebiet  eu  seiner  Negation 
addirt  gibt  1 . 


Und  sie  können  auch  auf  beliebig  viele  Operationsglieder  dahin  aus- 
gedehnt werden: 

Zusatz  1  zu  Tb.  30). 
Sooft  unter  den  Faktoren  eines       Findet  sich  unter  den  Gliedern 
Produktes  solche  vorkommen ,  deren    einer  Summe  -überhaupt  eines,  welclies 


Uiyij^uJ  Ly  Google 


§  18.  Negation  (iiiit  I^oatulat)  imd  darauf  zu  gründende  Sätze.  305 


Mttr  ^  IfegaUon  «2»  anäem  ist, 
das  ProäukL 


äU  dieNegation  eines  andern  Gliedes 
ersdieinif  so  hiat  die  Summe  den 
Wertl. 

So  ist  t.  B. 

a  bc  ■  ah^  cd^  =  0.  |  +  6  +    +  a  +  c  +  rf,  =  1. 

Mau  kaon  nämlich  wegen  der  Kommutativitilt  der  Operationen 
die  Operationsglieder  so  umordnen,  dass  das  gedachte  neben  seine 
Negation  zu  sieben  kommt}  diese  beiden  kann  man  dann  wegen  der 
Ässociativität  zu  einem  oinzi^pn  Operationsglied  zusammenfassen  (des- 
gleichen die  übrigen  Operationsglieder)  und  nach  Tb.  19^  Zusatz  2 
durch  seinen  Wert  0  resp.  1  ersetzen,  worauf  das  Tb.  22)  in  Wirksam- 
keit tritt.  In  nnsern  Beispielen  haben  wir  als  Wert  des  Ausdnicks: 

aed,  •  66,  —  (acrf,) .  0  «  0.      |  (fl+6+rf,)+(c+c,) =(a+6fdi)+l-»l. 

31)  Theorem.   Es  ist  allgemein: 

Die  Negation  der  Negation  eines  Gdnetes  ist  dies  Qebi^  sähst,  oder: 
Doppdte  Vemdnmg  Jb^aiki^f  JM  sieh  auf. 

Beweis  1.  Nach  Th.  30)  hat  man  unter  Anwendung  des  Korn- 
muiationsgesetses: 

und  andrerseits,  weuu  Tb.  30)  für  a,  statt  a  (so,  wie  es  iai)  in  An- 
spruch genommen  wird: 

Vergleicht  man  diese  vier  Gleichungen  mit  dem  Schema  der  Vor- 
aussetzungen des  Hiilfstbeorems  29),  so  nimmt  man  dessen  Anwendbar- 
keit wahr,  und  erhiUt  die  Folgerung: 

...  «  -  Mo 

die  zu  gewinnen  war. 

Beweis  2.  Man  kann  auch  einfach  bemerkeui  dass  die  beiden 
VotaoBsetBungen  der  Def.  (6)  kraft  Th.  12)  unverändert  gflltig  bleiben, 
wenn  man  die  Symbole  a  und  a^  mit  einander  vertansehi  Da  nnn 
die  Def.  (6)  eine  eiHgemeine  Festsetzung  sein  sollte,  so  muss  auch  die 
•n  jene  Voranssetsung  kouTentionell  gekaflpfte  Folgerung  in  Kraft 
bleiben,  wenn  man  a  und  o,  Yertauscht.  —  Die  Sache  wird  deutlicher, 
wenn  man  in  Def.  (6)  den  Namen  a,  vermeidet,  denselben  durch  irgend 
eben  andern,  etwa  durch  h  ersetzt  Es  wird  ausgemacht:  h  die  Nega- 

von  a  so  nennen,  wenn  ah^O  und  a  -H  6  «  1  ist  In  diesem 
FaUe  ist  aber  auch  6a     0  und  6  -h  «  —  1  nach  Th.  12).  Folglich  ist 

8cn»M«,  Algritem  dw  Logik.  20 


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306 


Siebente  Vorleiuug. 


dann  ancli  a  die  Negation  von  (  za  nennen,  wozu  man  sich  eben  durch 
die  vorhergehende  Abmachung  verpflichtet  hat,  in  Anbetracht,  dam 
diese  als  eine  allgemein  zu  befolgende  hingestellt  wurde,  welche  eben- 
sogut fflr  ein  Paar  b,  a  Ton  Gebieten,  wie  für  das  Paar  a,  h  yerbind- 
lic^  iei  Wird  nun  lUr  h  der  Name  a,  eingeführt»  so  gilt  für  a  auch 
der  Name  5,  oder  (a,),  —  vergL  flbrigene  Th.  32). 

Ist  also  h  (resp.  a,)  die  Negatum  von  a,  so  ist  awh  a  die  NeffoHm 
von  h  (resp.  a,). 

Die  Beiiekung  der  NegaHon  «Msefte»  0wei  Gebieten  (a  und  ist 
aUemtd  eine  gegetiseitige.   Die  Beziehung  ist  „sifnmetriseh**. 

Man  wird  durch  Th.  31  erinnert  an  die  Eigensdiaft  des  Minus-Zeichens, 
an  den  Satz  der  Arithmetik: 

und  konnte  sich  im  Hinblick  auf  diese  Analogie  Tersneht  fOhleo,  die  Be- 
Eeichnung  a,  durch  —  a  ersetzen  su  wollen.  Wir  werden  indess  später 
sehen,  dass  nicht  0  —  (0  —  a)  =  a  sondern  1  -  (l  —  a)  f=»  a  das  wahre 
arithmetische  Analogen  des  Th.  31)  bildet.   Vergl.  §  23. 

32)  Theorem. 

Ist  ü'^h,  so  ist  aucJi  a^=  b^y  oder:  Gleiches,  negirt,  gibt  Gleiches, 
Beweiz.    Ans  den  beiden  Gleichungen  des  Tb.  30):  aa,  =  0, 

a  +  a,  ^  1  folgt  wegen  a^^h  nach  Th.  16),  d.  h.  indem  man  eben  b 

für  a  substituirt: 

&a,eO,     &4-a, «  1. 
Nach  Th.  30)  -*  flQr    in  Anspruch  genommen  —  ist  aber  anch: 

Am  diesen  vier  Gleichungen  folgt  nach  dem  Schema  dez  Hülfs- 
theorenis  20):  rt,  =      wie  zu  zeij^en  war. 

Zusatz  1.    Ijit  a,  =  6,,  so  mn^^s  mieh  Th.  32)  auch  (//,\  16,),, 
mithin  kraft  Th.  .^1)  auch  a      l  sf  in.    Die  beiden  Gleicliuugen  a  = 
und  er,  =  6,  bediii<^eii  h\ch  also  gef^cnseitig,  sind  iuiuivaleiit. 

Zusatz  2.  Ilienacli  lasst  der  Zusatz  2  sub  Tli.  11) ),  dass  in  ^c- 
wissen  Ausdriicken  Gleiches  für  Gleiches  gesetzt  werden  dürfe,  sich 
nunmehr  ausdehnen  auf  alle  durch  Addition,  Multiplikation  um/  ycija- 
tion  hergestellten  Ausdrücke:  In  jedem  nur  miitclst  der  identischen  Opera- 
tionen der  „drei  Spezies'"  aus  Gchictsymbolen  aufgebauten  Ausdrucke  ist  es 
erlaubt,  irgcmt  einen  Term  durch  eineti  ihm  identisch  gleichen  m  ersetzen. 

Von  dieser  Erlaubniss  wird  beim  Bechnen  umfassendster  Gebrauch 
gemacht,  meist  ohne  be^ondern  Hinweis  auf  dieselbe. 

ist  z.  B.  a  r  und  b  =  d,  so  darf  man  für  (a&,  +  a,d)«  auch 
schreiben  {cd^+c^d)€.   Etc.  etc. 


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§  13.   Negation  (mit  Postulat)  und  darauf  zu  gründende  Sätze.  307 


„Eriauhf^  nennt  man  diejenigen  Umformungen  eines  AuBcIrackSi 
welche  ohne  EinfluM  auf  den  Wert  (die  Bedentung)  desselben  sind,  in 
der  Tbat  also  nur  die  Form  des  Ansdmcks  (nur  den  Namen  dessen, 
was  er  bedentet)  berQbren.  Diese  erlaubten  Umformungen  nennt  man 
Tonrogsweise  „TransfamaÜonm**,  Es  sind  das  diejenigen  VerBnderungen 
an  dem  Ausdrucke,  oder  f^ien  Reproduktionen  desselben,  durch  welche 
der  Ausdruck  in  einen  neuen  Tcrwandelt  wird,  übergebt,  welcher  dem 
gegebenen  identisch  gleich  sein  muss. 

Von  Verschiedenem  eines  fär's  andere  zu  setzen  ist  in  dem  an- 
p:pgebeueu  Sinne  bei  Ausdrücken  im  Allgemeinen  nicht  erlaubt,  wie 
luaii  leicht  an  den  nächsten  besten  Beispielen  (und  schon  bei  den  ein- 
fachsten Ausdrücken,  wie  a  ■  h,  a  +  h,  a,)  sich  überzeu<!;en  kann. 

Für  einen  Term  auch  einen  von  ihm  verschiedenm  zu  bubstituiren  iäi 
aatOrlich  aber  angängig  bui  uUgem^nen  S&tzen  oder  Formeln.  Kommt  a 
als  aUgemeines  Symbol  in  solchen  yor,  und  ist  unter  a  bereits  ein  be- 
stimmtes Gebiet  verstanden,  ho  darf  man  doch  5  für  a  schreiben,  auch 
wenn  h  ungleich  a  ist;  man  darf  auch  die  vorkommenden  Buchstabensymhole 
allgemeiner  Art  Itcliebi^,''  unter  ;-icli  veTfaKsrhen ,  unbeschadet  dessen,  dass 
sie  verschiedene  BedcutunL^oii  haben  mögen  (vergl.  Anm.  2  zu  Prinzip  II). 
„Erlaubt"  sind  hier  diejenigen  Veränderungen  zu  nennen,  die  unbeschadet 
der  Richtigkeit  der  Formel  vollzogen  werden  können. 

Anmerkung  zu  Theorem  32). 

Der  ungemein  häuBg  auszuführende  Scliluss  von  einer  (Jleicliung 
a  =  h  auf  die  Gleichheit  zwischen  den  Negationen  ihrer  beiden  Seiten: 
fli=  6,,  dieser  Schluss  —  mithin  die  Anwendung  des  Th.  32)  —  darf 
nicht  etwa  als  das  „Nef^nren  jeuer  Gleichung"  bezeichnet  werden;  viel- 
mehr ist  zu  sagen:  aus  a  =  6  folge  durch  „beiderseitiges  Negiren'^  die 
Gleichung  a,  — 

Es  würde  nämlich  die  Negation  oder  VerJieiuung  der  Gleichung 
(i  =  /,  selbst  (schlechtweg;)  die  Behauptung  liefern,  dass  a  niclit  gleich  h 
.-eij  m  Zeiehensprache,  dass  a  =f=  6  (vergleiche  den  Au.ssagenkalkul )  — 
eine  Behauptung  welche  die  Gleichung  a  =  />  authebt,  unisti'»sst,  also 
mit  ihr  nicht  nur  nicht  äquivalent,  sondern  sogar  unverträglicli  ist  — 
desgleichen  al5:o  auch  keineswegs  sich  deckt  mit  der  Behauptung,  dass 
Nicht-a  gleich  sei  Nicht-5. 

Ich  glaubte  darum'  für  diese  Anwendung  des  Th.  32)  einen  eigenen 
Namen  in  Gestell  von  f,.F,ntgecTftnsotznng"  oder)  ., Opposition"  seiner  Zeit 
vorgchlaf^en  zu  ft<Mlen.  I )ocii  rrscheint  i\m  vorstehende  als  das  uiihör  liegende 
Auskunftamittel ,  die  Verweuhbhing  zu  vermeiden,  und  dürfte  dasselbe  wo! 
den  Vorzug  verdienen.  Zudem  Hesse  auch  der  bei  einer  Subsumtion  — 
vergl.  unten  Th.  37)  —  schon  sanktionirte  Name  des  „Schlusses  durob 
JCM«trapoM<toft'*  sich  hier  auf  die  Gleichung  mit  Übertragen. 

ao* 


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^Siebente  Vorlesuug. 


33^)  Theorem.   Es  ist  äUffenum: 

a  4-  5  s  a&  +  a^i  + 
Beweis.    Wir  hüben: 

mit  Rücksicht  auf  die  Satze  21 J,  .'iOj,  und  III^  (sogar  schon  III^"), 
endlich  14J  —  nicht  zu  gedenken  der  Theoreme  16),  12+)  und  13+) 
Zusätze.  Man  darf  nämlich  den  Faktor  1  hinzusetzen,  fQr  1  nach 
Belieben  &  +  6,  oder  a  +  a,  Bubstituiren  (da  diese  Terme  der  1  gleich 
sind),  sodann  ausmultipliziren,  weil  hier  die  Summanden  disjonkie  sind, 
endlieh  die  Additionsklammern  weglassen,  und  die  Wiederholung  des 
Summanden  ah  als  tautologtsch  unterlassen. 

Zusatz  zu  Th.  33+).   Für  beliebige  a,b  <W  auch: 

d.h.  Eine  Summe  bleibt  ungeändertf  wem  man  einen  Summanden  mul- 
iiji^irt  mii  der  Negation  eines  otufem,  und  umgekehrt:  so  oß  in  einem 
Glied  einer  Summe  ein  Faktor  steht,  der  als  die  Negation  eines  andern 
Glieds  derselben  erscheint,  darf  man  diesen  Faktor  unierdrüt^en. 

Beweis.   Es  ist  ilhnlich  wie  oben: 
a-^b  =  a-  \  -^h  =  a(h-\  b,)  +  h  =  (ab+ah)  +  b  =^  ah^  i  [^ab+b)  =  ab,  +  b 

mit  Röcksicht,  ferner,  auf  das  Absorptionsgesetz  23^).  Und  analog 
wenn  b  und  a  vertausclit  werden.  Dies  ist  der  selbständige  Beweis 
des  für  die  Technik  des  Kalküls  ungemein  wichtigen  Zusatzes.  Am 
schnellsten  ergibt  sich  derselbe  aus  der  Formel  33+)  durch  Vereinigung 
des  ersten  T*  rms  recbterhand  mit  dem  zweiten  oder  dritten  gemäss 
27+),  30+)  und  21J. 

Durch  Anwendung  vorstehender  Sütze  kann  eine  binomische  Summe 
jeden^eit  in  eine  „reduzirte'^  verwandelt  werden.  £s  ist  ratsam,  sich 
dieselben  einzuprägen.  Ihre  Veranschaulichung  geben  wir  anter  dem 
nächsten  Satze. 

34+)  Theorem.  Was  aueJi  a  und  h  für  Crdtiete  vorstellen  mik/cn, 
so  ist: 

Beweis.    Man  hat  in  der  bisherigen  Weise: 

1-«  a  +  fl,  =»  a  •  1+  r/,  •  1     a(6  +  i»,)  +  a,  {b  +  h^)  «  ab  +  ab,+ a^b  +  afi, 

unter  Berufung  auf  III^  [oder  auch  nur  IIT^^.  — 

Sind  a  und  b  z,B,  Kreisflächen,  so  enUpreeben  den  Gliedern 
rechterhand  in  34+)  die  vier  Teile,  in  welche  von  den  Konturen  dieser 


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§  18.   Negation  (mit  Poatnlat)  vnä  damaf  su  grflndemde  Sfttse.  309 

Gebiete  die  kränze  Ebeoe  der  Tafel  im  Allgemeinen  zerschm'tten  wird 
—  wie  dies  Fig.  17  veranschaulicht  Man  sieht  zugleich,  daas  du  [in 
Fig.  l^")  schrafßrtej  Gebiet  a  +  &  aus  den  drei 
enten  dieser  Terme  zusammengesetzt  ist,  nnd 
ebensoleiehty  wie  Tb.  B$^),  ist  auch  der  Zusatz 
zu  demselben  durch  die  Anschauung  zu  bewahr» 
heiten. 

Zur  Erlilutemng  sei  erinnert,  dass  man  der 
unter  Postulat  ((3)),  Fig.  16  gegebenen  Interpreta- 
tion von  a,  und  &,  eingedenk  sein  muss.  Hienach 
wird         —  z.  B.  —  dasjenige  Gebiet  vorstellen, 

welches  der  Innenfläche  des  Kreises  a  und  der  Aussenflücbe  des  Kreises  b 
gemeinsam  ist,  kurz  gesagt:  den  Teil  der  Kreisfläche  a,  der  ausserhalb  b 
ftlli   Und  a^b^  mnss  das  den  beiden  AussenfllUdien  der  Kreise  a  und  ( 

geniein:^ame  Gebiet  vorstellen,  mithin  die  Punkte  umfassen,  die  ausserhalb 
beider  Kreise  zugleich  liegen,  ein  Gebiet,  das  man  als  AussenflSche  des 
(als  ein  Heftender  Achtor  erscheinenden)  Gebietes  n  +  h  bezeichnen  darf. 

Berührten  sich  die  Kreise  «  und  6,  so  würde  das  Gebiet  ah  in  ^inm 
Punkt,  den  Berührungspunkt  zusammenschrumpfen,  und  hätten  ihre  Kon- 
turen gar  keinen  Punkt  gemein,  so  würde  das  Gebiet  ab  fbrlMlc»,  nidit 
ezistiren,  0  sein;  dann  wttrde  o5,  mit  dem  ganzen  Kreis  a  und  afi  mit  b 
iQflsmmenfallen. 

Znsatz.  Ersetzt  man  in  S4^)  die  Summe  der  drei  «rsten  Glieder 
rechterhand  durch  den  einfacheren  Ausdruck,  welchem  dieselbe  nach 
Tb.       gleich  ist,  so  ergibt  sich  noch: 

1  ^a  +  h  +  a,h^. 

Für  die  Zwecke  des  Unterrichts  muss  zum  Bewusstsein  gebracht 
werden,  dass  bei  der  korrekten  Ausführung  jener  SnbatitutioD  zweimal 
vom  Assoziationsgesetze  13^)  der  Addition,  liebst,  Zusatz,  Gebrauch  m 
imchen  war,  und  zwar  in  entgegengesetztem  Sinne:  einmal  behufs  Ein' 
fSkrwig  ehier  Klammer,  durch  welche  die  Gleichung  34^.)  in 

arageschnebon,  die  rechte  Seite  als  zweigliedrige  Summe  dargestellt  wird, 
deren  erster  Term  nun  erst  durch  das  ihm  gleiche  a  +  6  ersetzbar  ist, 
welches  als  ein  zusammengesetzter  Aufdruck  zunächst  wieder  selbst  auch 
eingeklammert  werden  muss  (cf.  Anhang  2)  sodann  bä  dem  Substitu- 
tionsergebniss^:  1  a(a+6)+ab  behufs  ünkrärUdtutig  der  letzten  Klammer. 

Dergleidien  Zwisehenoperationen  übergehen  wir  zumeist  mit  Still- 
lehweigen. 

Nunmehr  können  wir  zur  Begründung  des  vollen  Distributionsgesetzes 
schreiten.  Dazu  bedfirfen  wir  sogar  des  Th.  34^)  niclity  und  wurde 
dieses  blos  wegen  seiner  nahen  Verwandtschaft  mit  3B^)  gleich  hinter 
diesem  angereiht. 


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310 


Siebente  Vorleeoag. 


Theorem  [ohne  Nummer].  Auch  wenn  he  nicht  ^»leicb  0  ist, 
somit  ganz  alUjcmein,  gilt  die  äubsunUion  2ü  J  und  damit  audt  dai  volle 
DislribuHonsgesetz  21^^. 

Wir  mögen  sogleich  das  letztere  beweisen. 

Beweis*  Einerseits  ist: 

a&  +  ac     a&  •  1 +ac  *  1  « 

<=a6(c+(?,)  +  ac(d+6,)  « 

=  abc  +  abc,  +  acb  +  acb^  == 

—  übe  -T  abc^-^-  ab^c 

nach  III^  [sogar  schon  nach  III/]. 
Andrerseits  ist  wegen  33^): 

a  (6 + c)  —  a  (6c+ + 

Und  chi  tlie  i'rüilukto  je  zweier  von  den  rechts  eingeklammerten 
Gliedern  U  ireben  müssen,  indem  hier  jedesmal  mui  lesteus  zwei  Fak- 
toren zusiiimiieiikuinmen,  die  als  Negationen  von  einander  sich  gegen- 
seitig vernichten,  da  m.  a.  \V.: 

bc  '  bCj  =  0,    bc  '  b^c  =  0,    b'\  •  h^r  =  0 

ist,  so  dürfen  wir  nach  dem  Zusatz  2  zu  Prinzip  III^  nnn  rechterhand 
ansmultipliziren.   Dies  liefert: 

a    + c)     ahc  +  abe,  +  ah^e, 
Durch  Yergleicbmig  mit  dem  obigen  Ausdruck  folgt  also  nach  Tb.  4): 

a(b'i-c)  =  ab  +  ac, 

q.  e.  d.  Mit  dem  durch  Prinzip  111^,  Def.  (6)  und  Postulat  ((3))  ver- 
stärkten Beweiskapitale  ist  hienach  der  Beweis  des  Distribntionsgesetzes 
nunmehr  gelungen. 

Anmerkung.  Eben  um  zu  zeigen,  dass  auch  das  Produkt 
a(bc+  bt\+b^c)  durch  Ansnmltipliziren  entwickelt  werden  darf,  würde 
augenscheinlich  der  speziellere  Satz  III^*'  nicht  ausgereicht  haben  und 
war  es  unumgänglich,  den  umfassenderen  111^  als  Prinzip  hinzu- 
stellen. 

Dien  scheint  mir  i^erdings  mathematisch  uoch  nicht  vollkommen  sicher^ 

gestellt.  Und  ebenso  mnss  ich  es  hier  noch  dahingestellt  sein  las«(»n,  oh 
nicht  schon  olow  (las  Pnnzip  111,^  — -  auf  Uruud  lediglich  des  Zuzui^'s  von 
Def.  (C^  uud  Postulat  mit  Hülfe  des  (vielleicht  auch  für  Aiis^samn 

in  Anspruch  eu  nelauenikn)  Theorems  30)  und  31)  (d.  i.  den  Sätzen  des 
Widerspruchs,  des  ausgeschlossenen  Mittels  uid  der  doi)polten  Vemeinung) 
ein  Beweis  des  Distribationsgcsctzes  möglich  wSre.  Den  in  Anhang  4  und  5 
entwickelten  logischen  Kalkül  mit  Algorithmen  kann  man  hiefÜr  nicht  als 
beweiBkr&ftig  gelten  lassen,  sofern  sich  in  ihn  der  Begriff  der  Negation 


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$  13.  Auf  Negation  gründbare  Sfttie. 


311 


Dicht  Ubei'tragen  lässt  (siehe  ibidem  Schiassnote)  vielmehr  in  diesem  Betreff 
dieser  logischo  Kalktil  noch  weiter  Tom  identisehen  zu  diTergiren,  von  ilun 
sich  iu  entfern t:"!!  scheint. 

AVir  dürieu  fortan  auch  die  Formeln  26),  27)  und  28^)  als  TJwo- 
rerne  bezeichnen  und  ohne  Einschränkung  von  denselben  Gebrauch 
machen.  Dasselbe  gilt  von  dem  dualen  Gegenstück  des  letzteren,  wei- 
ches bislang  noch  nicht  erwähnt  worden  ist^  und  lautet: 

28^)  Theorem.  Es  ist 

(a  +  c)  (a  +  d)  (h  +  c)  {h  +  d)  =  ab  l-  cd. 

Beweis  durch  dreimalige  Anwendung  von  27^),  wodurch  sich 
mittelst  Zusammenziehung  der  beiden  ersten  und  der  beiden  letzten 
Faktoren  linkerhand  ergibt:  {a  +  cd)  {b-^cd),  und  dies,  ebenso  zu- 
Mmmengezogen  in  die  rechte  Seite  abergeht. 

Die  Theoreme  26)  bis  28)  finden  nunmehr  ^  ihrer  vorgreifenden 
Chififrirung  ungeachtet  —  erst  hier  im  System  ihre  Stelle. 

Wir  wollen  deshalb  die  27^)  und  28^)  auch  einmal  in  ihrer  all- 
gemeinsten Fassimg  Ton  binomischen  Summen  auf  polynomische  aus- 
gedehnt ansspreehen: 

27^)  Th.   (a»  +  ««  +  a»  +  •  •  •  +  a^)h  «  a»6  +  a*6  +  o*6  + . . .  +  a^J. 

28^)  Th.      (a»  +  a*  +  a''  +  .  •  •  +  a«)     +    +  •  •  •  +  d»)  «= 

=  a*6*  +  a*h^  +  a'd'  +  ■  •  •  +  «"6*  + 

+  a»d*  +      +      +  •  •  •  4-a"'5*  + 

-I-  

+  a}lf*  +  a*J)^  +  a»5*  + . . .  +  a'"6*. 

Bei  den  diesen  dual  entsprechenden  27^)  und  28^)  sei  dies  dem 
Leser  überlussen.  Die  Formuliruug  der.selben  dürfte  hier  kaum  ver- 
lohnen ^  weil  die  Erfahrung  des  Rechners  darthut,  dass  man  schon 
mit  den  ein.'^chläsjfitjen  Tlieoremeu  auf  der  einen  Seite  des  Mittelsirii  lis 
uberall  bequem  uu.-kummt  —  und  diejenigen  der  linksseitigen  Kolumne 
sind  aus  der  Arithmetik  ^el'aufif?. 

Von  vorstehender  Multijdikationjsregel  für  l'ülyiiome  kann  man 
8a*^en,  dass  sie  auch  das  Distributionsgesetz  27)  als  be.siuidern  Fall 
in  sich  scldiesse,  indem  nuui  es  als  zulässig  erachtet  und  sii'ii  vor- 
stellen kaun,  dass  das  eine  der  beiden  zu  multipli/irenden  Polynom  r 
von  vornherein  als  ein  Monom  gedacht  werde  oder  auf  ein  solches 
sich  reduzire  [vergl.  die  Anni.  1  zu  Tli.  iM)  und  22)J.  Schrumpft  z.B. 
das  zweite  Polynom  in  sein  erstes  Glied  5*  7,usammcn,  su  ergibt  sieh 
—  indem  man  dieses  erste  h  als  das  einzige  nun  iu  Betracht  kom- 


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312  '  Siebente  Vorlerang. 

mende  statt  mit  einfacher  mit  b  schlechtweg  bezeichuet  —  aus  28^) 
direkt  das  Th.  27  J. 

Es  lässt  sich  also  das  Th.  28)  als  der  allgemeinste  Ausdruck  des 
Distribution sgesetzes  ansehen* 

Zusatz  1  zu  Th.  28). 

Ist  aus  Gebietsymbolen,  die  wir  „einfache'^  uennen  wollen  und 
etwa  durch  Buchstaben  dargestellt  annehmen,  ein  Ausdruck  aufgebaut 
lediglich  mittelst  der  ()j)erationen  der  identischen  Multiplikation  und 
Addition,  mithin  dadurch,  dass  jene  Symbole  untereinander  und  auch 
mit  sich  selbst  ii^endwie  Terknüpft  siud  durch  die  genannten  ncei 
dirdcten  Speeies,  so  lässt  sUh  allemal  der  Ausdruck  darstellen  als  ein 
Agffr^ffot  von  Monomen  ^  als  eine  Summe ,  deren  Glieder  nur  Produkte 
sind  ans  lauter  einfiEushen  Symbolen. 

Beweis.  Die  Torkommenden  Operationaglieder  können  nämlich 
nur  entweder  Summanden  oder  Faktoren  sein,  und  sofern  sie  selbst 
nocH  als  zusammengesetzt  erscheinen,  können  sie  nur  Produkte  oder 
aber  Summen  sein.  In  Bezug  auf  einen  zusammengesetzten  Ausdruck- 
teil sind  daher  nur  folgende  vier  FSlle  denkbar: 

1^  derselbe  ist  eine  Summe  und  tritt  als  Summand  auf 
2^      19      n    n       n       n      »    n  Faktor  „ 
dP)      „       „  ein  Produkt    „      „    „      n  » 
4^      „      „    „       „       „     „    „  Summand  auf. 
Der  0w&te  Fall  lasst  sich  überall,  wo  er  Torkommt,  durch  Aus- 
multipliziren  nach  dem  Distributionsgesetze  leseiHgen  (zu  gunsten  einer 
Vermehrung  des  Tierten  Falles,  indem  dabei  Produkte  von  Summen 
an%el5flt  werden  in  Summen  aus  Produkten). 

Die  Fälle  1^)  und  3°)  kommen  unmitU^bair  m  Wegfall,  indem  man 
die  den  zusammengesetcten  Ausdruckteil  umsebliessende  Klammer  ttnter- 
driicH  —  in  Anbetracht^  dass  diese  sich  nach  dem  Assoziationsgesetze 
13)  nebst  Zusatzdefinitionen  in  ebeudiesen  Fällen  als  flberflüssig  charak* 
terisirt.  Eiue  Summe  aus  Summen  (genauer  gesagt:  mit  einer  Summe 
als  einem  Gliede,  oder  auch  mit  mehreren  Summen  und  vielleicht  noch 
atuk'rn  Gliedern  als  Gliedern)  lässt  sich  ja  iiiimrr  unselicu  als  eine 
einzige  Summe  au8  Jon  säiutlicheii  Gliedern,  und  ebenso  ein  Produkt 
aus  l'roJukteu  und  vielleicht  noch  andern  Faktoren  immer  darstellen 
als  einziges  Produkt  aus  den  Faktoren  jener  nebst  diesen  übrigen 
Faktoren. 

Hic'Uach  bleibt  nur  noch  der  vierte  Fall  übrii?.  Das  heisst,  unser 
Ausdruck  wird  nur  mehr  f^ein  kininen  eine  Suinine,  ein  (ciin-^  oder  mehr- 
giiedriges)  Aggregat  von  Monomen,  welche  selbst  nichts  anderes  sein 


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#  18.  Auf  Negation  grflndbare  Sfttie. 


313 


können  als  (ein-  oder  mehrfaktorif^e)  Produkte  ans  einfachen  Gebiet- 
svmbolen,  irgendwie  herausgegriffen  aus  der  Gruppe  der  in  den  Aua- 
druck  ursprünglich  eingehenden  literalen  Gebiete,    q.  e.  d. 

Man  sagt  von  einem  in  solcher  Weise  dargestellten  Ausdruck: 
derselbe  sei  in  seine  leUftm  Glieder  („uitimate  aggregauts'')  eerfäUt,  auf- 
gelöst (oder  entwickelt). 

Bemerkenswert  ist,  dass  er  dann  ^eine  Klammem  »wÄr  enthalten 
wird.  In  der  That  nur  beim  MultiplisireD  von  Summen  durfte  die 
Klammer  (um  diese  herum)  nicht  ohne  weiteres  weggelassen  werden, 
wogegen  beim  Addiren  von  Produkten  dem  herrschenden  Gebrauch 
gemäss  die  Klammern  jeweils  gespart  werden. 

Es  Terateht  sich,  dass  man  bei  der  geschilderten  Zerfalluugsarbeit 
Ton  den  Gesetzen  der  Tautologie  und  Absorption,  —  Th.  14)  und 
23)  —  im  Sione  der  Yereinfiscbung  des  Eesultates  umfassendsten  Ge- 
branch  machen  wird. 

Qe.'^chieht  letzteres  nach  Möglichkeit,  also  dass  kein  Term  wiederholt 
ang-esetzt  und  jeder  unterdrückt  wird,  der  einen  andern  als  Faktor  ent- 
halt, so  würde  .-ich  wol  zeigen  !a-«it^u,  dass  die  Zerfällnng'  eines  Ausdruckes 
in  seine  letzten  Aggreiranten  immer  nur  auf  eine  Weise  möglich,  dass  sie 
eine  yollkommen  eiudeuUg  bestimmte  ist,  sobald  wenigätenä  die  in  den 
Ausdruck  eingehenden  „ein&ehen**  Gebiete  von  einander  unabhängig  be« 
liebige  sind  [solange  alao  insbesondre  unter  diesen  Gebieten  auch  keine 
TOrkommen,  welche  die  „Negation"  von  andern  sind].  Indessen  im  JTiu- 
bliek  auf  spütere  viel  wichtigeru  Ausdehanngcn  tmsres  Satzes  (vergl.  §11») 
dürfte  es  kaum  verlohnen,  diesen  immerhin  schwierig  erscheinenden  Nach- 
weis zu  lieferiL 

Zur  Illustration  werde  die  Aufgabe  gelöst  den  folgenden  Ausdruck  in 
seine  lotsten  Aggreganten  xn  serflUlen: 

xmM  \  ahc+  (ahd  +  acd)  ]  + 

+  (  {a  h+cd)  (n  c  +  h  d)  [a  d  -r  h  c)  ^-  {n  +  b  i-  c)  {^a  f  6  -f  j  ((f  +  f  +  rf)  (b  +  c  +  (Y) )  x 
•  l i}^  ^         ^  f'"^  +     +  c)  (6  +  d)  \  ia  -{-hc^  (a  +  bd)  (a  +  cd)  (a  +  bcd)  . 

Als  Nebenrechnung  entwickle  man  erst  die  beiden  Glieder  in  der 
zweiten  Zeile. 

Das  erste  wird  (durch  Ausmultipliziren): 

abcd  f  uhc  +  abd  +  acd  +  bcd^ 

wo¥on  auch  noch  der  erste  Term  eingeht;  das  zweite  wird: 

(a  +  b  +  ed)  (aft+c+d)  ^  ad+ac  +  ad+6c+i»d+cd+a6cd, 

wovon  der  lotste  Term  absorbirt  wird. 

Die  stehen  bleibenden  sechs  Terme  absorbiren  aber  auch  noch  die 

sSmtlichen  des  vorhergehenden  (Iliedes,  und  da  die  Eutw iclvelung  des  In- 
haltes der  geschwungenen  Klammer  in  der  dritten  Zeile  gerade  die  näm- 
lichen sechs  Terme  liefert,  so  erhalten  wir: 


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  I 


314 


Siebente  Vorleenng. 


X  =  abc  +  abd  +  acd  + 

+  {ab  -k- ac    ad bc  +  bd cd)  (a  +  bcd). 

Uultipliaii  man  hier  vollends  aus,  so  gehen  auch  noch  die  ersten  drei 
Terme  ven  x  in  dem  ErgebnisBe  ein,  and  entsteht: 

»  a&  +  ac  +  ad  +  bcd 

als  das  gesachte  Ergehniss. 

Ganz  genan  dual  entsprechend  kann  man  auch  jeden  Aasdmck  der 
gedachten  Art  (der  mithin  Ergebniss  der  Verknüpfimg  von  lanter  ein- 
fachen Symbolen  mittelst  identischer  Multiplikationen  und  Additionen 
ist)  „eerfäUen  in  seine  Uteim  Fiäitorm",  (;,ulttmate  factors''  —  yon 
Peirce  auch  geradesu  als  JMn^äkhrm  bezeichnet) ,  d,  h.  in  solche 
Faktoren,  welche  nur  Summen  aas  irgendwelchen  Ton  den  gegebenen 
einfachen  Symbolen  sind,  mithin  kein  Produkt  mehr  zum  Summan- 
den enthalten. 

Man  scheide  hier  gemeinsame  Faktoren,  soweit  solche  ersichtlich 

sind,  jeweils  aus,  und  vereinige  die  dann  noch  übrig  bleibenden  (ilie- 

der  successivp  nach  dem  dualen  Gegenbiück  der  Multiplikauonsregel 

lür  Polynome,  d.  Ii.  «^emiUs  dem  Th.  28^.),  indem  man  jeweils  jeden 

Faktor  des  einen  Gliedes  um  jeden  Faktor  des  andern  vermehrt  und 

<lie  sich  ergebenden  Einzelsummen  schliesslich  miteinander  multiplizirt 

(ohne  Ausmultipliziieu  sie  zu  einem  Produkte  Tereiuigt,  ihre  Multipli- 

kation  „blos  audeiitend^Y 

Auf  diese  Weise  umgeformt  wird  z.  B.,  wie  leicht  zu  sehen,  unser 
letzter  Ausdruck: 

X  =  {n  +  b)  {a  +  c)  (rt  +  d)  (ft  +  c  +  d)  . 
Ebenso  würde  ein  Ausdruck  ij  =  x  +  e  sich  nuu  darstellen  als: 
y  =  (a  +  6  +  e)  (a  +  c  +  c)  (a  +  d  +  c)  (fc  +  c  +  d  +  c). 

Da  jedoch  die  Anwendung  des  dualen  Gegenstücks  28^)  der  Multipli- 

kationsregcl  für  Polynome  dem  Mathematiker  nicht  geläufig  ist,  so  werden 
wir  später  (unter  Th.  36),  Zusatz  3]  ein- anderes  Mittel  anheben,  um  ohne 
jenes  denselben  Zweck  zu  enculmn  —  ein  Zweck  ührii^n  ns,  dessen  Ver- 
wirklichung ohnehin  nur  selten  als  vorteilhaft  oder  wünschenswert  erschei- 
nen möchte.  — 

Zusatz  2  zu  Th.  28 j  [und  SO)]. 

lüt  am  y,rcdii:irh;'^  Summe  gleich  1.  d.h.  eine  Summe,  deren  Glie- 
der unter  sich  di^junkt  sind,  so  iaf  t/^  Xiyaliotf  ir<jr)id  eines  Gliedes 
dieser  Sumvie  allemal  die  Simwie  ihm-  übrif/en  Gliedo'  (ohne  das  ge- 
nannte); ebenso  ist  —  noeli  allj^emeiner  —  die  Xo/af/vyi  in/ettd  liucs 
A(/;/rr;iatts  l  Oii  (iliiärni,  iterrnrydiohoi  (ins  dtr.si  r  Siuiinie,  leicht  angcObar 
iu  titstaU  dis  Aggregaks  direr  übrig  bleibenden  Glieder» 


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* 


§  14.  Der  Dualismui.  315 

Denn  dieaei  letstera  Aggregat  erf&llt  die  f&r  die  Negation  des 
entern  charakterietiecheD  beiden  Bedingungen  des  Tbeorems  30):  das- 
selbe erstens  anr  1  additiv  tu.  ergänzen  —  dies  laut  Voraussetsong  — 
und  aweitens  mit  ihm  disjnnkt  su  sein,  das  Produkt  0  zu  liefern;  das 
Produkt  mnsB  TeracHwinden,  weil  beim  Ausmultipliziren  desselben  ge- 
mlss  Tb.  28^.)  alle  Partialprodubte  nach  Voraussetzung  verschwinden 
werden,  mithin  auch,  deren  Summe. 

lstz.6.  l^a  +  h-^-e-^d-^-e,  wahrend  ii,bfe,d,e  diirjunkt  sind, 
so  muss  sein: 

a^  =  b  +  c  +  d  +  ef     c, »  o  +  6  +  <i  -t  t ,     {a  +  h  +  c-h  d\  =  e, 
(a  +  6),  =  c  +  (/  +  c ,     (a  +  c  +  e),  =  h  +  d ,  etc. 

In  der  Mauiii^'faltigkeit  1  der  Wirbeltiere  muss,  nis  nicht**  Fisch 
ist.  Reptil  oder  Yoj^el  oder  Saugetier  sein,  und  was  ludU  iieptü  oder 
Yogei  ist,  muss  irisch  oder  Säugetier  seiu.  Etc. 

§  14.    Der  Dualiamtis. 

Mit  den  Prinzipien  1,  11  und  IIl^  und  den  bisherigen  Definitionen 
hatten  wir  bereit»  die  formalen  Grundlagen  für  die  Schlussfolgemngen 
im  identischen  Kalkül  vollständig  gewonnen.  Diese  Grundlagen  eni- 
sprachen  entweder  „dualistisch*^  sich  selbst,  oder  sie  traten  paarweise 
auf  als  Gegenstücke  zu  einander.  Nur  bei  Prinzip  III^  hörte  die 
Symmetrie  zeitweilig  auf,  indem  der  diesem  dualistisch  entsprechende 
8atz  III^  nicht  auch  zum  Prinzip  erhoben  wurde  (vergl.  Anm.  1  zu  UI^). 
Die  GQltigkeit  auch  dieses  Satzes  ist  nun  aber  nachgewiesen;  sie  ist 
mit  dem  allgemeineren  Satze  264.),  in  dem  er  enthalten,  zugleich  sicher- 
gestellt 

Gleichwie  nun  also  die  GrmuUagm,  so  mflssen  auch  die  aus  diesen 
ableitbaren  Fcitgerutiffen  durchaus  dem  Satze  des  IhuUismtts  genOgen, 
welcher  lautet: 

35)  Theuruiu. 

In  jedein  Satze  and  in  jakr  allgemeineu  i'ormd  des  ulndiscJim  Ge^ 
hicteliolkuU  ist  es  ytdalktf  (jleichzciti(j  die  Zm  ltcn  der  Unter-  und  Über- 
Ordnung  f  die  0  und  die  1*)  sowie  das  3lal-  und  das  Pluszeichen  — 
selbstverständlich  mit  den  zugehörigen  Benennungen  im  etwaigen  ver- 
balen Texte,  wie  Subjekt  und  Prädikat,  Produkt  und  Summt',  l''akt(»r 
und  8ummand  —  durchweg  su  verlausten,  uttd  muss  mau  hiedurch  immer 

*)  Der  Negationastrich  miiM  dabei  imvfxftodert  (lelasaen  werden.  Dusselbe 
gilt  vom  OleichheitsseicheD ;  doch  wird  die  Elegans  erfordern,  daw  man  die  Olei- 
cbuigen  rllckw&rfai  lese. 


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316 


Siebente  YorlMimg. 


wieder  einen  gültigen  Satz,  eine  richtige  Formel  erhalten,  die  von  den 
ursprQuglichen  in  der  Begel,  doch  nicht  notwendig  verschieden. 

Anstatt  die  Zeichen  =^  und  ^  der  ESnordnung  und  Oberdecknng, 

Oller  das  ,,Sub''"-  wud  ,,Snpersumtion?7eichen"  miteinander  zu  vortäu- 
schen, konnte  man  ar.eh  ein  jedes  derselben,  z.  B.  das  erste  =^  festhalten, 
wufera  uian  nur  alsdaun  die  beiden  Seiten  der  Subsumtion,  das  Subjekt 
und  Prädikat  jeweils  vortauschte.  In  der  Tbat:  aus  a  =^b  entsteht  durch 
Vertattflehnsg  des  im  SobsumtionuMchMi  enthaltene  Bogens  der  ünter« 
Ordnung  mit  dem  ^  der  Überordnnng  ersicbÜieh:  ü^h^  nnd  durch  Ver- 
tauechong  von  major  and  minor  entsteht:  6^a,  was  gctiau  dasselbe  sagt 
—  faber  freilich  etwns  <?an7.  anderes  als  die  nr^prüntrliclie  Suböuintion 
a  =^  h.  Diese,  wenn  für  sich  allein  liingestellt,  gilt  aueli  in  der  That  nicht 
alü  allgemeine  Formel,  mithin  beansprucht  der  Satz  35)  auch  nicht,  auf 
sie  anwendbar  ui  öüiu.  Erst  da,  wo  eine  solche  Subsumtion  von  andern 
Relationen  abbftngig  gemacht  ist,  kann  er  mit  auf  sie  anwendbar  werden, 
desgleichen  auch  in  solchen  beeondern  FftUen,  wie  a^a,  wo  eben  die 
Subsumtion  den  Charakter  einer  Formel  annimmt]. 

Prinzip  I  a  ^  a  gibt  in  bc.-^ondre  a  ^  a;  dasselbe  geht  also  auf  ge- 
nannte Weise  in  sieh  selbst  über. 

Aus  Prinzip  II,  welches  aussagt:  „Wenn  a  ^  b  und  b  ^  c  60  kt 
a  =^  erhalten  wir  auf  die  eine  Art:  „Wenn  b  und  6  ^  c,  so  ist 
a^e^,  auf  die  andre:  „Wenn  h^a  nnd  e^b^  so  ist  c^a";  beides 
aber  ist  richtig  und  deckt  sich  mit  Prinzip  U  selber. 

Man  revidire  schliesslich,  dass  durch  das  angegebene  Verfahren  die 
beiden  Definitionen  f2^)  und  (2^)  ebenso  (3^)  und  (3^)  :'m  tausclion  kom- 
men, wogegen  die  Det.  (1)  der  Gleichheit  und  die  (6)  der  Negation  nur 
in  sich  selbst  «hergeht. 

Ersetzten  wir  die  Gebietsymbole  1  und  0  etwa  durch  1^  rea^.  1^ 

and  die  Operationssymbole  •  nnd  +  durch        resp.  [desgleichen 

die  Chiflfrirungssufiixa  ^  und  ^  durch  d  und  "^1,  so  könnten  wir 
dem  Priiiz.ip  des  DuaHaraus  den  einfacheren  Ausdruck  ^^-ben:  hi  uJhn 
Theoremm  des  Kalküls  dar}'  nian  die  Zeichen  und  ^  durcliweg  ver- 
tauschen. 

Führt  näinlirh  von  den  Orundlageu  cuk  neiikuütwendigkeit  zu 
gewissen  Folp;erinitj;en  hin,  so  mass  diefte  Notwendi^^keit  bestehen  un- 
abhängig von  der  Materie  des  Denkens  und  deren  Bezeichnung.  Also 
auch  wenn  man  das  mit  Ausgedrückte  mit  dargestellt  hatte, 
müsste  sie  fortbestehen.  Dann  würden  aber  die  Grundlagen  dieselben 
geworden  sein,  und  statt  der  vorigen  hätte  man  wol  grosaeuteils  neue 
Folgerungen  erhalten  —  die  dualen  Gegenstttcko  der  letsteren  ~-  so- 
nach müssen  denn  auch  diese  gelten. 

Wir  wollen  die  Berechtigung  zu  diesem  Schlüsse  noch  etwas 
abersichtlicher  darlegen. 


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I  14.  Der  Daalismut. 


317 


£s  mögen  mit  G-^  die  luelirerwäbuien  formalen  „üruudlagea'' 

des  identischen  Ealkols  bezeiehnet  werden,  bestehend  ans  den  bis- 
herigen  Defioitionen  (1)^  (2)^  (3)^  (6),  und  den  hier  als  ^Prinzipien'^ 
beseichneten  Aiiomen  1^  II  —  unter  Zuzug  des  als  ebenfalls  gültig  nach> 
gewiesenen  dualen  Gegenstttckes  III^  (oder  III^)  zu  III^  (oder  III^). 

Wie  wir  gesehen,  haben  dann  diese  Grundlagen  (i  die  Eigeusciialt, 
wiederum  in  sich  selbst  nur  ilberzugfben,  d.  b.  nngeändfib  zu  bleiben, 
wenn  man  im  obigen  Sinne  die  Zeiclit-n  C_  "'i'l  )  durchweg  ver- 
tauscht, und  wurde  die.ser  Umstand  dadurch  siclithar  ^einuclit,  dasa ' 
wir  dem  fr  das  Suflixum  ]^  erteilten,  welches  die  gleiche  Eigenschaft 
in  sich  zu  erkennen  <^ibt. 

Durch  diese  Gruudlageu  Cr ist  nun  erwiesenermasseu  eine  Gruppe 

Ton  Folgerungen  denknotwendig  mitbedingl^  z.  B.  die  direkt  bewiesenen 
Theoreme  in  der  Kolumne  zur  Linken  des  Mittelstrtches  enthaltend, 
welche        genannt  werden  mdge.  Dieser  notwendige  Zusammenhang: 

„Es  gilt  ^j^»  ö/so  auch  F^'* 

muss  a  priori  bestehen  bleiben,  wenn  man  die  Zeichen  und  ^  Ter- 
tauseht   Dadurch  gelangen  wir  aber  zu  dem  Satze: 

„Es  gilt  G^,  eUso  auch  F-^**, 

durch  welchen  die  ganze  Gruppe  F-y  der  den  vorigen  F^  dual  ent- 
sprechenden Sätze,  darunter  alle  die  in  der  Spalte  rechts  vom  Mittel* 
strich  befindlichen,  mit  einem  Schlage  bewiesen  erscheint. 

Hieraus  erhellen  auch  die  Vorteile  des  Dualismus  und  seiner  Be- 
achtung. 

Die  durchgängige  Symmetrie  erleichtert  schon  das  Behalten  der 
Sitse^  wie  denn  auf  zwei  Säulen  ein  Bau  fester  ruht,  als  auf  einer. 

Man  kann  aber  den  Dualismus  auch  in  der  That  benutzen  als  ein 
wirksames  Prinzip  um  sich  die  Herleitnng  und  BegrOndung  von  nahe 
der  HUfke  aller  künftigen  Sätze  zu  ersparen.  Neben  der  kleinen 
Mindeizahl  sich  selbst  dual  entsprechender  Sätze  genügt  es  fortan, 
nur  die  in  der  einen  Spalte  stehenden  selbständig  abzuleiten,  woraus 
die  fehlenden  in  der  andern  Spalte  fast  mfihelos  abzuschreiben  sind, 
und  man  sieh  auf  deren  Gflltigkeit  wird  ohne  weiteres  Tertassen  kdn- 
060.  Ja  bei  jedem  Paar  einander  dual  entsprechenden  Satze  hat  man 
die  Wahl,  ob  man  nur  den  linksseitigen  oder  nur  den  rechtsei tigeu 
wirklich  beweisen  will. 

Beispielsweise  müssen  darum  auch  Geltung  haben  die  sämtlichen 


318 


Siebente  Vorleiimg. 


noeh  ausstehenden  dualen  G^enatÜcke  bisheriger  SäUe,  nämlieh  die 
noch  nicht  erwähnten  Theoreme: 
33J  a&  —  (a  +  h)  (a  +  6,)  (a,  + 

Znsatz  dazu: 

a&  B=  (a  +  hf)  h  —  a(a,  +5). 

34  J  Th.  +  i)  (a  +  & J  (a,  +  6)  («,  +  Z»,)  =  0 . 

Zusatz  dazu: 

a6(a,  +  6,)  =  0. 

He\v(»ise  für  diese  »Sätze  kann  man  tu)n  l  J)rr/hi,<s  aucl»,  tlen  vor- 

getrageiieji  genau  duiil  entsprechend,  !  nii^Lruiren.    Düügleiclien  mügeu 

—  eine  für  den  Anlüuger  emptehleuswerto  Übung  seibsiändig  Beweise 

für  sie  aufgesucht  werden. 

Bei  den  „Zusiitzen"  genüiit  selinn  cini'.u  hejj  Ausmultiplizirea  mit  Rück- 
sicht auf  30y)  und  21^).  Üei  den  „Theoremen^'  empfiehlt  sich  Anwendung 
des  Schemas  27^),  wonach  sich  s.  £.  die  beiden  ersten  Klammerfaktoren 
süsammeDsiehen  in  a  +  55,     a  +  0     a,  etc. 

Obrigcns  gleichwie  in  forstehenden  Beispielen  werden  wir  auch  sonst 
nirgends  gezwungen  seiUy  vom  Th.  35)  des  Dualismus  einen  wesent- 
lichen Gebrauch  au  machen,  indem  wir  uns  ja  die  benötigten  Sstse 
auch  samt  und  sonders  einzeln  zu  beweisen  vermögen.  Sofern  es 
uns  beliebt,  mögen  wir  das  Th.  35)  auch  lediglieh  die  Rolle  eines 
empirisdim  Prinzips  hier  spielen  lassen,  welches  die  eben  bei  jedem 
einzelnen  Satze  zu  machende  Wahrnehmung,  dass  auch  sein  duales 
Gegenstflck  gilt,  nachtriglich  konstatirt,  m.  a.  W.  alle  diese  Wahr- 
nehmungen zu  einem  allgemeinen  Satze  in  erschöpfender  Induktion  zu- 
sammenfasst,  resumirt. 

In  solchen  Fällen,  wo  wir  nur  mehr  des  einen  der  beiden  zu  ein- 
ander dualen  Sätze  fQr  die  Technik  des  Kalküls  bedürfen  werden,  be- 
gnügen wir  uns  hinfort,  auf  die  Existenz  des  andern  lediglich  in  der 
(Jhiö'rirung  —  durch  Anbringung  eines  »Suflixuuis  ^  oder  ^  bei  des 
erstem  Chiftre  —  hinzuweisen. 

Den  tiefem  Grund  liir  die  That.sache,  dass  wie  durch  den  (Jebicte- 
kalkul,  so  auch  durch  die  Lehre  von  den  Begriflfen  ein  Dualismus  sich 
hindurchzieht,  kann  man  darin  erblicken,  dass  —  wie  auf  S.  K»<>  er- 
kannt —  die  Unterordnung  von  l^t  griffsumfangen  einer  Uberordnung 
der  zugehörigen  Begriffsinhalte  parallel  geht,  und  insbesondre  nucli 
die  Multiplikation  der  l  lmfänge  glei(  li/t  itig  ungesehen  werden  kann  als 
eine  Addition  der  lidialte.  Ks  ist  dejihalb  nicht  /u  verwnndern,  dass 
jeni  r  identischen  MuH ijdikatiou  aucli  die  Ki^enschat'K'n  der  identischen 
Addition  genau  zukommen,  da  äie  im  Grunde  selbat  eine  solche  ist. 


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§15.   Kritische  VorbemerknngeiL 


319 


r 

§  15.  ScItlMibe  VorbeiiiiiaAimgeii  sma  ]iiLoli«te&  PangiBplLMi:  Xn> 
wieflniL  negallTe  Uitoil»  alB  negativ  piftdiiirendo  aimwelien  Tind 
dl^jonkttT  pMMtmäB  UrfceUe  Ton  den  dUijunkttven  la  unter» 

scheiden  sind. 

Wir  treten  nunmehr  an  ein  Untersuchnngefeld  heran,  auf  welchem 
grosse  Vorsicht  geboten  ist,  indem  wir  namhafteste  Fliiloflophen  aller  Zeiten 
—  Utk  aeime  annftohBt  nur  Aristoteles  vnd  Kant  —  hier  weit  ansm- 
andergehen  sehen  and  auch  ganz  neuerdings  von  autoritativen  Seiten  unhalt- 
bare Theorieen  aufgestellt  zu  finden  meinen,  die  ihre  Urbeber,  wofern  diese 
nur  konsequent  dabei  zuwerke  gingen,  in  die  gr08sten  Widerspruche  mit 
sich  selbst  verwickeln  mUssten. 

Schon  um  die  hiernach  entgegenstehend eD  lUndoini^r^se  hinwegzuräumen 
flehe  ich  mieh  versnlasst,  der  Fortsetzung  des  sjstematisehen  Teils  unsrer 
Bisaiplin  einige  Betrachtungen  von  kritisch-polemiflcher  Natur  yoransu- 
sehicken. 

Bei  diesen  Vorbetrachtungen  will  ich  mich  des  Rechnens  noch  ent- 
halteu,  die  Überlegungen  vielmehr  gemeinverstümllieh  Mos  in  Worten  führen. 
Der  Kalkül  wird  schliesslich  dio  Ergehnisse  fiieser  Überlegungen  bestätigen 
uuU  alles  in  noch  hellerem  Lichte  erftchoinen  lassen. 

Der  Gründe  für  die  Schwierigkeiten  einer  Theorie  der  Negation 
und  die  durch  sie  bedingte  Uneinigkeit  unter  den  Fachgelehrten  sind 
mehrere,  und  werde  hier  auf  die  hau|)tsiichlich3ten  im  voraus  hin- 
gewiesen, obwol  sie  sich  erst  nach  Bewältigung  des  Aussageukalkuls 
völlig  überblicken  und  dann  auch  alle  Schwierigkeiten  sich  als  über- 
wunden erkennen  lassen  werden. 

Ein  Hauptgrund  dürfte  zu  erblicken  sein  in  gewissen  Unbestimmt- 
heiten der  Wortsprache,  welche  uil  schon  in  iliren  einfachsten  und 
fundamentalsten  Satzbililungeri  die  wünschenswerte  Prii/iariuu  vermissen 
lässt,  indem  «^ie  - —  als  eine  ik  1  \\  t  iidiger  Zeichen,  wie  uamentlich  des 
Instituts  der  Klammern,  entbehrende  —  verschiedene  Auffassungen 
dieser  Satzbildungeu  zuzulassen  scheint  und  insbe<?ondere  eine  Ver- 
mengung von  Deutungen  des  Kktsscnk^lkiiia  mit  solchen  des  Aussa^m- 
kalkuls  nicht  selten  nahe  legt. 

Die  in  Titel  des  §  16  genannten  Sütze  der  Logik  gelii»ren  wesent- 
lich dem  Aussagenkalkul  an,  wurzeln  ganz  in  diesem  und  können  in 
ihrer  ursprünglichen  Bedeutung  erst  dort  völlig  erledigt  werden 
(Vergl.  §  31). 

Es  kann  sich  im  Klassenkalkal  nur  um  Analuga  von  ebeudieseu 
Sätzen  handeln,  denen  wir  aber,  weil  sie  gleichlautenden  Ausdrucks 
in  der  Formelsprache  teilhaftig  sind  und  später  durch  einen  blossen 
Wechsel  der  Interpretation,  durch  eine  einfache  ümdewUmg  aus  ihnen 


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320 


Siebente  Vorlerangr. 


hervor  oder  in  sie  übergeben  werden,  einstweilen  schon  den  gleichen 
Nomen  beilegen  mit  dem  unterscheidenden  Zneatze:  „tm  KlmsemkalkuV'. 

Zwei  £11  den  allergelänfigsten  gelidrende  Redewendungen  sind 
es  besonders ,  die  dareh  ihren  Doppelsinn  der  Yerwimuig  Vorschub 
leisteten. 

Die  etfie*)  lantet: 
a)  isl  nuM  B^, 

Entgegen  einer  weitverbreiteten  Meinung  ist  es  im  Allgemeinen 
durchaus  nicht  gletehgülUff  (fOr  den  Sinn  dieser  Aussage),  ob  dfo  Ver- 
neinungspartikel „nicht"  (in  noch  naher  zu  erläuterndem  Sinne)  Mir 
Kopula  „ibV*,  oäer  ob  sie  mm  Prädikate  „1^*  ^eschlaffen  wird. 

Es  handelt  sich  um  die  beiden  Aussagen: 

ß)  i^iM  nirhh  uud      y)  „A  id  mvht  Jh^' 

welche  als  di«>  ÜLutungsmöglicbkeiteu  der  Aussage  a)  zunächst  sich 
darzubieten  gcheincn. 

Da  im  Wortlcxt  die  Klanmifni  uran/  andoni  Zwecken  zu  dienen  pno<,''r^n, 
als  wie  im  Kalkül,  da  sie  hier  hcliuu  uuder\vei(ig  besclilaguahnit  sind,  nüm- 
lich  wie  bokunut  jeweils  verwendet  werden,  uiu  Anmeikungen,  Eiliiiitei  ungen 
in  den  Haopttext  einzufUgeu,  so  ersetze  ich  daselbst  die  Zeichen  (,)  des 
Kalküls  durch  eigentHmlieh  gestaltete  AnftthrungsEeicben  (guillemets,  qno> 
taticn  marks)  »  ,  «  . 

Mnti  kann  die  fra;;lichen  Bentungen  ß)  und  y)  beim  Any-preclien  schon 
durcli  den  Tonfall  untersclioiden :  es  wird  der  Bat/,  ß)  etwa  im  K'liythmns 
dos  C lioiianil)ii.s  (~  o  w  _)  zu  bpreelien  .sein,  mit  einer  raii.se  hinter  der  ersten 
LUnge,  wogegen  der  Satz  y)  mehr  au  den  Verbtuös  dea  Ditrochäus  (-w-v) 
anklingt. 

Nach  der  Meinung  derjeuigen  Philosophen,  welche,  wie  Kant, 
Lotse,  Sigwart**)  das  ,,Terneinende^'  Urteil  a)  im  Sinne  von  ß)  auf- 
gefasst  wissen,  nämlich  die  Verneinuugspartikel  zur  Kopula  geschlagen 
haben  wollen  —  wenn  sie  auch  nicht  gerade  zu  der  deutlichkeitshalber 

von  mir  dafür  gewählten  Schreibung'  ji)  sich  bequemen  —  boU  diesed 
Urteil  u)  oder  ß)  nur  koustatiieu,  äu66  die  Aussage 

d)  ,^  ist 

beziehungsweise 

IT)  Das  Gebiet  Ä  ist  im  Gebiete  B  enthalten, 
d")  Die  Klasse  A  ist  enthalten  in  der  Klasse  B, 
d"")  Alle  Ä  sind  B 

tiMncft%,  fidscih  sei  ümgekehrt  käme  darnach  der  Leugnung  dieser 

*)  Die  anohre  werden  wir  weiter  unten  tni  unter     natnbaft  maebea. 
**)  Übrigens  ehae  dabei  unter  rieb  flberetnsiistimineii  t 


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§  16.  Negative  Urteile  als  negativ  prädizircnde  aozuseheu.  321 

Atusagen  d)  der  sprachlielie  Ausdruck  ß)  zu,  besiehuugsweiBe  die  Aus- 
druckaform: 

ß')  Das  Gebiet  A  ist  nicht  in  dem  Gebiete  B  i  nlhalten, 
ß" )  Die  Klasse  A  ist  nicht  enthalten  iu  der  Klasse 
ß'")  Alle  A  >sind  nicht«  B. 

Die  Frage,  ob  es  wirklieb  angängig  ist,  die  Verneinung  der  Au!ji>agen 
d)  spmcbüdi  in  die  AasdrnckBforinen  ß)  eimakleidan,  werden  mr  nachher 
sttm  Auetrag  %a  bringen  haben.   Um  BinwBnden  saYoranikominen  will  ich 

voraus  bemerken,  dsss  dies  nicht  allgemein,  und  strenge  genommen  wol 
überhaupt  nicht,  angängig  ist  und  dajss  ich  mich  blos  provisorisch  zu  dieser 
Ausdrucksweise  bequeme  um  auf  den  Gedankengang  derjenigen  Philosophen 
eingehen  zu  krtnnm,  welche  darin  den  Typus  der  „verneinenden"  Urteile 
zu  erblicken  wähnen. 

Dna  Missliehe  eoloker  DanteUnng  wird  der  Leser  sicberlidh  bei  ß'") 
bereits  herausgefttklt  haben. 

Bei  genauerem  Zusehen  wird  es  sich  uns  als  ihkair^  erweisen, 
nimlich  mit  dem  anerkanntesten  Prinzip  der  Logik  ersichtlich  in 
Widerspruch  bringeUi  bestfinde  man  darauf,  die  Verneinung  der  AuS' 
sagen  d),  d'")  m  die  Form  der  Säiee  ß),  ßf")  eu  kleiden,  die  YerneinungS' 
Partikel  sonach  auf  die  Kopula  su  besiehen. 

Als  den  korrekten  Ausdruck  solcher  Verneinung  werden  wir  schliess- 
lich allgemein  nur  gelten  lassen  können: 

f)  „Es  ist  unriMg  tu  hehauptenf  A  sei 

d*')  Es  ist  nicht  wahr,  dass  alle  A      B  sind. 

Im  Hinblick  darauf  werde  ich  mich  auch  enthalten,  das  im  Sinne 
von  verstandene  Urteil  «)  hier  ein  „verneinendes''  Urteil  zu  nennen; 
ich  werde  vielmehr  diese  korrekt  durch  «)  darsustellende  Aussage  hier 
nur  als  eine  „XJrteiisvemeinmuf  gelten  lassen. 

Gebrauchen  wir  deinuDgeachtet  vorderhand  dalDr  die  Ausdrucks- 
weise  ß)y  so  ist  der  bei  den  Chiffren  d)  erklärte  Sinn  derselben  nie 
ausser  Augen  zu  lassen:  es  ist  demgeumss  unter  allen  Umstünden  fest- 
zuhalten, dass  sie  die  Geltung  der  Aussagen  6)  in  Abrede  zu  stellen 
haben  und  weiter  nichts.  — 

Was  ferner  den  Simi  der  Aussage  y)  betriift,  welche  als  die  nndre 
DeutongsmÖglichkeit  von  a)  sich  darbot,  so  bat,  wenn  A  und  B  Ge- 
biete unsrer  lübnnigfaltigkeit  bedeuten,  das  »nicht  jß«,  non-^  oder 
im  vorvorigen  Paragraphen  bereits  seine  Erklärung  wiederum  als 
ein  Gebiet  ebendieser  Mannigfaltigkeit  gefunden,  und  könntti  wir  in 
diesem  Falle  nicht  im  Zweifel  darüber  sein,  was  die  Aussage  oder 
Subsumtion  y)  bedeutet  8ie  wird  dann,  etwas  ausffihrlicher  formulirt^ 
behaupten: 

Scailliiui,  Alf  elm  4ot  Logik.  81 


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322  Siebente  VorlcBung. 

f)  Das  Gebiet  A  ist  enthalten  in  dem  Gebiet  Nicht- J?,  d.  i.  in 
demjenigen  Gebiete,  welches  übrig  bleibt,  wenn  man  die  sämtlichen 
Elemente  von      und  nnr  diesci  aus  unsier  Mannigfaltigkeit  fortlässt, 
*  dem  Gebiete,  welches  ohne  ein  Element  mit  B  gemein  zu  haben,  das 
B  zur  ganzen  Mannigfaltigkeit  er^^nzt. 

Wie  ein  Punktgebiet  aus  der  Ebene  der  Schnltafel,  so  Term^gen 
wir  aber  auch  irgend  ein  gewünschtes  System  von  Individuen  aas 
einer  Klasse,  der  sie  angehören,  im  Geiste  fortzulassen  oder  auszu- 
streichen und  die  alsdann  fibrig  bleibenden  Individuen  festzuhalten; 
diese  vermögen  wir  so  zusammenzufassen  zu  einer  nenen  Klasse. 

Sofern  dabei  nur  Bezug  genommen  wird  auf  eine  bestimmte  Maimig- 
faltigkeit  der  „gewöhnlichen''  Art,  deren  Individuen  etwa  den  Punkten 
einer  Ebene  eindeutig  zugeordnet  werden  könnten  und  welche  die  bei 
einer  Untersuchung  in  IJetriicht  gezogenen  BegrilVsumfdni^e  oder  Klassen 
mit  ilireu  Indivuiueu  siimtlicli  enthält,  wird  deumacli  auch  die  Bedeu- 
tung der  ,fNegafiou  einer  Klassef^  (und  damit,  nach  dem  Umfange  be- 
trachtet, auch  des  zugehörigen  „Begriffes")  einsiunig  ieststehn  —  und 
zwar  für  alle  Klassen  des  erwähnten  Untersuchungsfeldes,  Oberhaupt 
für  alle  diejeniL'eTi.  welche  etwa  aus  Individuen  jener  Mannigfaltigkeit 
gebildet  werden  kuimlen. 

Haben  wir  z.  B.  die  iManuigfaltigkeit  der  iarbigen  Dinge  im  Auge, 
so  ist  klar,  was  wir  meinen,  wenn  wir  reden  von  nicht  weissen^,  oder 
auch  von  ^uitht-schwarzen«  Dingen,  und  dieselben  Ausdrücke  erhalten 
abermals  eine  bestimmt  feststehende,  obzwar  beträchtlich  weitere,  um- 
fassendere Bedeutung,  sobald  wir  sie  etwa  auf  die  Mannigfaltigkeit 
der  sinnlich  wahrnehmbaren  Dinge  beziehen;  im  letzteren  Falle  ge- 
hört ein  Schall,  Geruch,  ein  Druck  oder  Schlag  etc.  dazu,  im  er- 
steren  nicht. 

Iiinerlei,  ob  das  ersiere  geschieht,  oder  das  letztere,  so  werden 
beispielsweise  die  Aussagen  gültig  sein:  „Einige  Schafe  sind  nicht- 
weiss'*,  und  „Alle  Schafe  sind  nicht^grfin'',  oder,  was  dasselbe  sagt: 
„Kein  Schaf  ist  grün''. 

Diese  Aussagen,  welche  nach  der  landläufigen  Terminologie  das 
„partikular  vemeuimdt^  und  das  „universell  vememeude^*  Urteil  exempli- 
fiziren,  werden  sogar  noch  richtig  bleiben,  wenn  man  auch  die  in  Ge- 
danken zugrunde  gelegte  Mannigfaltigkeit  noch  beliebig  weiter  aus- 
dehnt; denn  ebendadurch  kdnnte  auch  nur  eine  Erweiterung  der 
Pradikatklasse  »nicht  weisse  resp.  »nicht-grOn«  (oder  des  auf  die  Man- 
nigfaltigkeit beschrankten  Umfange  des  Pradikat„hegriffes'',  sofern  ron 
einem  solchen  noch  zu  sprechen  ist)  bewirkt  werden,  und  gehörte  das 


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§  15.   Negative  Urteile  als  negativ  prädisdrendc  aoznselieo.  325 

t 

Subjekt  Bclioii  su  der  eDgeKen,  ao  wird  es  um  so  mebr  ancb  zu  der 
erweiterten  P^SdikatldaBse  gehdren. 

Sind  Ä  und  B  irgend  welche  Klassen  Ton  Individuen  oder  ToUig 
bestimmten  mittelst  Eigennamens  beseichenbaren  Objekten  des  Den- 
kens —  Klassen,  die  %,  B.  als  die  UmfSnge  von  uns  gegebenen  Be- 
griffen bestimmt  sein'  mögen  —  so  kann  man  immer  eine  Mannig- 
foltigkeit  konstruiren,  welche  die  Indinduen  aus  beiden  Klassen  samt- 
lich enthält»  und  schon  mit  Bezug  auf  diese  Maunigfaltigkeit  (die  Mn. 
Ä  +  B)  werden  dann  die  Aussagen:  „Einige  A  sind  nicht-J?''  sowie 
„Alle  A  sind  nicht-^  einen  v911ig  bestimmten  ^nn  haben,  nämlich 
fiihig  sein,  aussudrQcken,  dass  die  Klassen  A  und  S  teilweise  resp. 
gans  einander  ausschliessen  (und  zwar  im  ersteren  Falle  auch  auf 
welche  Weise). 

Ganz  dasselbe  wird  auch  gelten  für  eine  jede  der  genannten  über- 
geordnete MannigfalEigkeit.  Und  es  scheint  zunächst  nichts  im  Wege 
zu  stellen,  dass  wir  die  letzt<»re  sogar  sich  erstrecken  lassen  über  das 
L^aiize  Gebiet  de.s  überhaupt  zu  denken  MijglicheD,  dass  —  wie  wir 
dies  ausdrücken  wollen  —  wir  unscru  IJetraehtungen  zugrunde  legen 
die  yfibsohiic  Mannigfaltigkeit"  (des  Denkmüglichen). 

Es  würde  daduich  die  als  „Verneinung"  einer  bestimmten  Klassp 
B  „schlechtweg**  zu  bezeichnende  Klasse  Kicht  />*  die  weiteste  Bedeu- 
tung zugewiesen  erhalten,  deren  sie  überhaupt  iiihig  sein  kann,  sie 
würde  nämlicli  alle  möglichen  individuellen  Objekte  des  Denkens  zu- 
sammen.schlicssen  mit  Ausnahme  der  zur  Klasse  Jl  gehörenden. 

In  so  erweiterter  Bedeutung  pflegt  nun  die  Wortsprache  die  durch 
Ycrbinduni^  eines  Terms  J?  mit  der  Verneinungspartikel  ,,iii»ht"  von 
ihr  zusaninieiigesetzteu  Ausdrücke  „niciit  /i''  allerdings  genjcinliin  nicht 
aufzufassen,  nauientlich  dann  nicht,  wenn  dieselben  in  andern  Htelluugen 
wie  als  Prädikat  gebraucht  werden.  Vielmehr  bezieht  sie  dieselben  in 
der  Regel  stillschweigend  nur  auf  irgend  ein  dem  Begriffe  B  über- 
geordnetes gen  US  proximum. 

Sprechen  wir  z.  B.  von  „Nichtkombattanten",  so  wird  das  genus 
proximum  (zu  Kombattanten;  hier  etwa  die  Klasse  der  zur  Armee 
gehörigen  oder  aber  der  an  einem  Feldzug  teilnehmenden  Personen 
sein.  Und  sicher,  wenn  wir  dais  Wort  als  Subjekt  eines  Satzes^  oder 
im  Genitiv,  in  einem  von  andern  Substantiven  regirten  Kasus  ge- 
brauchen, werden  wir  —  wie  Lotze  tretiend  Vu'tont  die  Pferde, 
Wagen  und  Steine  am  Wege  nicht  unter  die  Nicht-Kombattanten 
einrechnen. 

Fallt  dagegen  das  Wort  als  Prädikat^  sagen  wir  z.  B.  „die  Arzte 

21* 


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824  Siebente  Vorlesung.  . 

sind  Nichtkombattanteu",  so  wird  es  für  die  logische  Tragweite  des 
Salzes  gleichgültig,  ob  wir  das  Wort  in  jener  engeren  oder  in  irgend 
einer  weiteren  Bedeutung  fassen.  Da  schon  die  engere  Bedeutung  des 
Wortes  y^Nlchtkombattant^'  die  Änste  umsebliesst»  so  wird  die  weitere 
es  ebenfalls  thnn. 

Strenge  genommen  sagt  freilich  im  letzteres  Falle  das  Urteil  weniger 

aus,  als  im  cr>teni;  es  lässt  nämlich  unausgedrttcktf  dass  die  (gedachten) 
Arzte  AU  den  (am  Fftldzug  tL'ilnehiiien'ien)  Pcrsoneti  gehören.  Allein  dieser 
Umstand  bildete  einen  auch  im  eiäteiu  Falle  nur  enthunirmdlisf  Ji>  n  IJestand- 
teil  den  Urteik,  iüdem  letzteres  ja  de«>  geuus  proximum  nicht  ausdrücklich 
Erwfthnung  thai.  Sofern  man  —  worauf  es  hior  allein  ankommen  wird  — 
nur  eben  die  Tfaatssohe,  dass  kein  Arst  ein  Kombattant  ist,  als  den  vollen 
Sinn  und  Gehalt  des  Uiieils  ^'elten  lilsst,  sagt  bei  6et  sweiten  Aoffiusnng 
das  Urteil  auch  ebensoviel  als  bei  der  ersten. 

Wir  mögen  hieoach  die  Frage,  ul>  bei  dem  prädikativen  Gebrauche 
des  (dem  Umfange  nach  jedenfalls  existirenden^  Begriffes  !Nicht-£ 
dieser  letztere  mehr  oder  weniger  enge  gefasst  werden  soll^  die  Frage, 
ob  bei  der  Begrenzung  dieser  durch  Negation  ans  einer  gegebenen  B 
abzuleitenden  Klasse  Nicht- Bezug  zu  nehmen  sei  auf  eine  besÜnunte, 
mental  zn  supplirende,  der  B  nächst  übergeordnete  Gattung  (in  wel- 
ehern  Falle  auch  non-^  als  eine  wohldefinirte  Klasse  erscheinen  wird, 
deren  Aufstellung  und  Verwendung  unmöglich  beanstandet  werden 
kann),  oder  ob  dabei  vielmehr  Bezug  genommen  werde  auf  die  «ab- 
solute'' Mannigfaltigkeit  (ein  VerfahreUi  gegen  welches  von  gewissen 
Seiten  Protest* erhoben  worden  ist)  —  diese  Frage  können  wir  zn- 
nSchst  ganz  offen  lassen,  sie  in  das  subjektive  Belieben  stellen.  Wir 
mögen  z.  B.  die  in  Betracht  kommenden  verneinenden  Ausdrücke  wie 
„nicht-schjldlich",  „nicht  vollkommen'^  oder  „unvollkommen",  „nicht  in 
eine  bestimmte  Beziehung  eingehend,  etwas  bestimmtes  thnend  oder 
leidend,  etc."  ganz  in  dem  allergelüufigHten  Sinne  verstehen,  und  sind 
darnach  auf  dem  Punkte  angelaugt,  sagen  zu  dürfen,  dass  mit  einer 
Aussage  der  Form 

y")  Die  Klasse  A  ist  enthalteo  in  der  Klasse  Nichi*^ 

oder 

/")  Alle  A  sind  »nicht  B^ 
ein  bestimmter  und  bekannter  Sinn  verbunden  wird. 

Das  uns  die  Klammer  vertretende  Anführungszeichen  >  €  konnte 
hier  auch  entbehrlich  gemacht  werden  durch  die  Sehreibnng: 

A  ist  (resp.  alle  A  sind)  nicht-^,  non^B  oder  Nicht-JS, 
wodurch  sich  schon  die  Auffassung  y)  des  Urteils  d)  hinl&uglich 
charakterisirt  und  von  der  Deutung  ß)  unterscheidet.   Beliebt  ist  für 
y)  auch  die  Ausdrncksweise:  „A  id  ein  NidU-B**, 


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§  lo.    Negative  Urteile  a!»  uegativ  präüizireudu  unsusehea. 


325 


Berechtigt  iat  nun  die  Bemerkung^  dass  ein  solches  Urteil  y)  gane 
wesentlich  als  ein  bejahend  erseheint;  es  wird  dadurch,  wie  sonst  * 
allerwärts,  eine  Snbjektklasse  unter  die  Pradikatklasse  subsumirt  — 
welche  letetere  hier  nur,  gewissermassen  zufalligi  den  Temeinenden 
Ausdruck  Nicht-B  besitat  Dass  solche  Ausdrucksform  aber  als  ein 
nebensachlicher  Umstand  hinsnstellen  ist^  sich  mehr  nur  psychologisch, 
als  logisch,  begründen  und  sumeist  sich  auch  Termeiden  lässt  (sofern 
fär  nicht- auch  ein  „positiver^  Name  cur  Verfügung  steht),  dass 
ebenso,  wo  sie  fehlte,  die  Ausdrucksfoim  sich  (mittelst  doppelter  Ver- 
neinung) willkttdidi  herstellen  liesse,  das  haben  wir  schon  unter  v^) 
in  B  der  Einleitung  ausgeführt  oder  angedeutet  (Tcrgl.  die  dortigen 
Betrachtungen  über  parallele  und  nicht- schneidende  sowie  schneidende 
und  nicht-parallele  Geraden  in  einer  Ebene). 

Im  Hinblick  darauf  will  es  nicht  als  rationell  erscheinen,  auf 
tlieseii  Umstaud  eine  westnLlichc  Unterscheidung  /wischen  bejahenden 
und  verneinenden  Urteilen  zu  <Triinden.  Es  scheint  Beaustaudiiug  zu 
verdienen,  dass  mau  die  ürtt^ile  a)  mit  der  Deutung  y)  überhaupt  als 
„verneinende"  bezeichne  —  wie  ich  dies  im  Einklang  mit  der  seit 
Aristoteles  in  der  scholastischen  Loiiik  (noch)  lierrsclienden  (erst 
neuerdings  mehräüitig  bekämpften)  Terminologie  in  der  That  hier 
thuu  werde. 

Die  VVabruebmun^  dieser  Diskrepanz  hat  bekanntlich  I\.ajit  veran- 
lasst, neben  den  „bejabsDden*'  und  den  von  ihm  „▼emeiaende**  genannten 
Urteilen  ß)  noch  eine  dritte  Art  von  Urteilen  einsufahren,  die  er  ziemlich 

unglücklich  —  vergl.  Sigwart  I,  p.  122  —  „unendücho'^  oder  „limiti- 
rende"  Ut teile  nennt  (Die  Seele  ist  nicht  sterblich,  soviel  als:  geh«'irt  tu 
die  inien<niche  Sphäre,  die  übrig  bleibt,  wenn  ich  da:>  Sterbliche  aujisoudere). 
Wit-  mau  ^ieht  decken  sich  diese  „limitativeu''  Urteile  Kant's  (deren  Be- 
rechtiguug  und  Vorkommen  Sigwart  —  im  Gegensatz  zu  Lotze  —  aus- 
drücklich aankennt)  mit  den  eben  besprochenen  Urteilen  y). 

Ich  wQrde  vorstehenden  Einwand  als  berechtigt  anerkennen  und 

die  „verneinenden"  Urteile  der  herrschenden  Terminologie  als  unpas* 
send  benannte  umtaufen,  wenn  es  daoeben  noch  wirklich  verneinende 
Urteile  —  etwa  die  ß)  —  gäbe.  Indem  wir  aber,  wie  schon  angedeutet^ 
diese  Ausdrucksform  ß)  als  nicht  haltbar  erkennen  werden,  wird  offen- 
bar, dass  solches  nicht  der  Fall  ist,  und  aus  diesem  Grunde  mdgen 
wir  uns  auch  der  herrschenden  Terminologie  in  Bezug  auf  ihre  „ver- 
nemendm"  Urteile  ganz  unbedenklich  anschliessen. 

Am  angemessensten  erscheint  es,  dergleichen  Urteile  y)  —  mit 
Wündt  —  als  fjnegaHv  prädisnreHckf'  an  bezeichnen. 

Diese  Benennung  durfte  auf  alle  FSlle  passend  und  unanfechtbar  er- 
sebeiaen,  und  auch'  von  Deiyenigen  der  Kan tischen  vorgesogen  werden, 


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32Ö 


Siebente  Vorlesung. 


die,  wie  S  ig  wart,  auf  einem,  dem  hier  sa  reohtfertigeiiden  entgegen- 
*  gesetzten  Standpunkte  bestehen  zu  mQsBen  glanVeo. 

Wir  haben  jetzt  den  Sinn  der  Aussagen  ß)  und  y)  als  der  beiden 
Dentongsmoglichkeiton  von  .«)  ' selbständig  festgestellt  und  Torweg 
die  einschlagigen  Benennnngsfregen  erledigt 

Nnnmehr  können  wir  daau  sehreiten,  so  zeigen,  dass  die  Bedeur 
tung  der  beiden  Urteile  f),  f)  in  der  Thai  grundeersdaeden  ist.  Im  An- 
.  schluss  daran  wird  sieh  dann  auch  heransstdlen,  welches  von  beiden 
die  dem  Urteil  a)  rechtmässig  zukommende  Deutung  ist. 

Ob  in  «)  die  Vememungspartikel  „nUthif*  in  dem  angeführten 
Sinne  zur  Kopula,  oder  ob  sie  cum  PkrSdikat  geschlagen  wird,  wird 
sich  als  gleidigültig  uns  nur  dann  erweisen,  wenn  da«  ürteil  a)  ein 
singulares  ist,  d.  h.  wenn  das  Subjekt  Ä  des  Urteils  keine  JSIasee,  son- 
dern ein  Indioidimm  vorstellt,  wenn  es  mithin  nicht  durch  einen  Ge- 
meinnameu  als  ein  vieldeutiger  Term,  sondern  als  ein  eindeutiger  Term 
durcb  einen  Eigennamen  ausgedrückt  sich  darstellt. 

Stellt  Ä  einen  Punkt  unsrer  Mannigfaltigkeit  vor,  so  decken  sich 
die  Aus^ageu  ß')  und  /).  Wenn  der  Punkt  einctu  Gebiete  B  niclit 
angehört,  so  geliiVrt  er  notwendit^  dem  Aussengebiete,  der  Negation 
des  let/.teni  oder  dem  Gebiete  Nicht  ig  an,  und  umgekehrt.  Der  Punkt 
kann  nielil  gespalten  werden;  er  kann  nicht  iu  zwei  einander  aus- 
schlieüscnde  Uebiete  zugleich  hineinragen. 

Ebenso,  wenn  A  ein  Individuum  vorstellt. 

Die  Musik  von  Roetliüven  —  ich  meine  diese  selber,  und  zwar  (um 
ein  gan^  iudividueUes  Subjekt  zu  erhalten)  bei  eiuer  bestimmten  Gel^en- 
heit  von  gewissen  Eflnstlern  exekutirt,  nicht  etwa  aber  die  gedruckten 
Noten  —  >t$f  nicht«  schwarz.   Sie  «5^  folglich  »mc^schwarz«. 

Oder,  uoi  noch  ein  besseres  Beispiel  zu  nehmen: 

Das  Kind  &ägt:  „Darf  ich  dies  thun?^  Der  Vater  sagt:  „Nein!^ 

und  er  mag  diese  Antwort  ausßlhrlicher  in  den  Satz  kleiden:  „Du 

darfist  dies  nicht  thun.'' 

Dies  ist  zonttohat  wol  zu  unterscheid«!  von:  Da  darfst  es  »nicht  thunt, 
d.  h.  Da  darfst  es  unterlassen!  Man  sieht:  die  Verneinungspartikel  gehört 

nicht  zu  dem  ihr  unmittelbar  folgenden  Worte  „thun*',  sondern  zu  dem 
Worte  ,,<larfs{'*  und  wäre  lo^'i>cli  kon-^etpietiter  \Vei>r,  aber  im  Gegensatz 
/.um  Sprachgebranclie.  ei_:entlicb  voran/ut^tellen  dem  Prädikate  „darfst  dies 
thun"  des  entsprechenden  bejahenden  Urteils.  Im  Englischen  wird  sie  schon 
etwas  weiter  vorangenommen:  „You  dare  not  do  that",  und  am  unzwei- 
deutigsten prSgt  sich  ihre  Besugnahme  auf  das  Verbum  „dürfen**,  wel- 
ches das  nachfolgende  regirt,  im  FransOdsohen  aus:  „Tu  ne  dois  pas 
faire  celu". 

Ob  wir  nun  das  Verbot  „Du  darfst  diee  nicht  thun''  wie  vor* 


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%  Ifi.  KegntiTe  ürlefle  als  negatiT  furftdiBirend«  amniehen.  527 


stehend  auffassen  als  die  blosse  Verneinung  des  Satzes  „Du  darfst  dies 
tluin^^  welchen  das  Kind  als  einen  Fragesatz  aufgeworfen,  oder  ob  wir 
dasselbe  deuten  in  dem  Sinne:  „Du  geborst  zur  Klasse  der  Personen^ 
welche  nicht  es  thun  dürfen",  dies  ist  in  materieller  Hinsicht  gana 
ohne  Belange,  kommt  wesentlich  auf  dasselbe  hinaus.  Hier  räeht  es 
sich  niehi^  wenn  man  die  Yemeiniuigspartikel  snr  Kopula  anstatt  zum 
Prädikate  schllgi 

Wollte  aLer  darauf  hin  jemand  behaupten,  aus  der  Verueiiuing  der 
Aussage:  „Du  darfst  dies  thun"  sei  mit  Denknotwendigkeit  gefolgt:  „Du 
darfst  dies  niclit  thi^n".  oder  umgekehrt,  so  wäre  zu  entgegnen,  dass  solcher 
Sehhiss  von  der  Verneiuung  des  ..Ä  ist  Ii**  anf  die  Behauptung  ,.A  ist 
nicht  B"  doch  ein  formell  uarichtiger  wäre,  im  vorliegendeu  Falle,  wo 
PrSmisse  ond  Konklusion  materiell  richtig,  war  der  Sofalnss  ein  nnvoll- 
stSndiger,  ein  Enthpmem,  ünd  zwar  bemhte  er  wesentlich  mit  auf  einer 
stillschweigend  Übergangenen  KebenprSmisse,  besagend,  dsss  das  Subjekt 
„Du"  resp.  das  ,Jch"  des  FragcsatTics  ein  Individuum  sei.  Nach  der  Art, 
wie  wir  den  Begriff  des  Individuums  fassen,  drückt  diese  unerwähnt  ge- 
bliebene Prämisse  einerseits  ans,  dass  unser  Subjekt  nicht  eine  Mehriieit 
vou  Bedeutungen  iiaue  ^keme  Galtung  ist),  und  auUreräeiU»  auch  de^s  ea 
enstirs,  nicht  „nichts*^  bedeute  oder  bedentuiigBlos  wlre  —  sodass»  in  der 
die  Null  adjnngirt  habenden  exakten  Logik  wenigsteus,  die  ausgelassene 
Prttmisse  auch  als  ein  Paar  von  Prämissen  hingestellt  werden  könnte. 

Dass  in  der  That  ohne  solche  Prämisse  der  Schluss  hinHUlig  wSre, 
wird  sogleich  ersichtlich,  wenn  wir  nachher  das  Subjekt  leb,  Du  des  Frage- 
und  Antwort.vat/cs  durcli  Wir,  Ihr  ersetzen. 

Ganz  diicler»  \^uiirulich)  verhält  sich  aber  die  Sache,  wenn  das 

Urteil       ein  (joierdks  ist,  ma<r  es  partikular,  mag  es  universal  s,'in. 

Hier  geben  die  Sätze  ß)  und  y)  verschiedenen  Sinn,  und  weim  lem 

Sprachgebrauch  unzweifelhalt  entsprecheud  das  Urteil  a)  interpretirt 

werden  soll,  so  ist  es  durchaus  nur  im  k^inne  von      zu  deuten.  Konse- 

quenterweise  muss  demnach  die  Verminungspartikd  mm  Frädikak  go: 

schlagen  werden. 

Nehmen  wir  z.  B.  an,  dass  die  altem  Geschwister  etwas  thun 
dürfen  (vielleicht  sogar  sollen),  was  den  jüngeren  untersagt  bleibt,  so 
wird  auf  die  Frage  der  Kinder  oder  des  unter  ihnen  das  Wort  führenden: 
„Dürfen  wir  dies  thun?"  das  „Nein"  des  Vaters  in  Kraft  bleiben,  denn 
ein  „Ja^'  oder  ^hr  dürft  dies  thuu^'  würde  es  den  jüngeren  Geschwistern 
mit  erlauben. 

Die  Autwort  aber:  „Ihr  dürft  dies  nicht  thun"  würde  es  (nach 
dem  Prinzipe:  „quidquid  de  omnibus  valet,  etc.)  auch  den  älteren  ver^ 
bieten!  Und  sie  würde  gewiss  auch  als  ein  solches  Verbot  yerstauden 
werden* 

Hier  also  ist  es  einmal  jedenfalls  nicht  angSngig,  die  Verneinung 


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328 


Swbeote  VorlMung. 


des  Urteils  d  )  in  der  Form  cc)  auszusprechen,  m.  a.  W.  den  Satz  a)  in 
dem  als  Bedeutung  von  ß)  erklärten  Sinne  zu  verstehen.  Es  tthlt  ja 
der  Sprache  nicht  an  Ausdrucksformen  zur  Darstellung  des  zutretVeuden 
Öachverhaltes;  der  Vater  mag  z.  B.  auf  die  gestellte  Frage  zur  Aut- 
wort geben:  „Ihr  nicht,  aber  wohl  (sondern  nur)  die  beiden  ältesten*', 
oder  „Nur  zum  Teile  dürft  Ihr  es  iSbnn,  vom  Teil  nicht,  und  zwar  etc/' 
Als  vollständig  unmöglich  mxxaa  es  aber  hiDgestellt  werden^  die  richtige 
Antwort  in  Gestalt  eines  einzigen  Satzes  zu  geben,  dessen  Subjekt 
„Ihr''  (loi?isch  dasselbe  wie  das  „Wir'*  des  Fragesatzes)  wäre,  und 
dessen  Prädikat  (in  Bejahung  oder  Verneinang  hingestellt)  schlecht- 
weg als  „dürft  dies  thun''  sich  darstellte! 

Da  genau  geuommett  selbst  das  Pronomen  personale  „Ich'*,  auf  eine 

bestimmte  Person  bezogen,  noch  ein  GattungsbegrifT  ist.  insofern  diese 
Person  gemeint  sein  kann  in  vi  rschiedenen  Momenten  ihres  sich  abwickelnden 
Lebens,  so  würden  schon  au  die  Frage:  „Äami  ich  dies  thun?"  —  z.  B. 
ein  gewisses  schwieriges  Knnststflck  hinbringen,  welches  nur  seitweilig  ge- 
lingt —  sich  Betrachtungen  anknttpfen  lassen,  welche  den  letstm  analog  sind. 

Das  vorstehende  Beispiel  war  gi  wiss  aur^  dem  Leben  genommen; 
es  liatte  hÖLbt^tens  den  Misstantl,  das^  ein  logiscb  identisches  tSubjekt 
A  doch  im  Trage-  und  Antwurtsatze  als  Ich,  Wir  resp.  Dn,  Ihr  ver- 
schiedenen Ausdrucks  teilhaftig  wurde.  Fassen  wir  darum  noch  ein 
Beispiel  in's  Auge,  in  welchem  das  Subjekt  seinen  Ausdruck  nicht 
wechselt. 

Zugegeben,  dasä  weläs»»  and  auch  schwarte  ächafe  gibt.  Bedeutet 
dann  Ä  die  ganze  Klasse  der  ,,Schafti'^  und  B  die  Klasse  ,,wei8s'^,  so  er* 
kennt  man  augenblicklich  dass  die  Aussage  ß)  in  dem  obm  für  sie  feM- 
gesctzim  Sinne  richtig  ist,  und  die  zweite  y)  falsch.    Erstere,  nJtmUeh: 

ß^)  „Die  Schafe  (schlechtweg,  d.  h.  tMe  Schafe)  »sind  nicht«  weiss** 
mf^sste  als  ein  richtiges  Urteil  anerkannt  werden  indem  sie  die  Geltang 
der  falschen  Aussa^je 

&*)  „Alle  Schate  sind  weiss" 
in  Abrede  stellte  —  so  wenigstens  gemäss  der  Uber  die  Auslegung  einer 
jeden  Aussäe  ß)  oben  getroffenen  Verabredung. 

Die  zweite  Aus.sago  dagegen 

y^)  „Die  (Alle)  Schafe  sind  nicht-weiss" 
ist  ein  falscbtfi  l'rfcil,   würde  l)ehan|»tcn,  dass  auch  die  weissen  Schafe, 
weiche  et>  dm  Ii  j^ibt,  Wülcbu  bogar  die  Mehrzahl  bilden,  nicht  weiss  seien. 

Die  beiden  Urteile  können  daher  unmöglich  äquivalent  min. 

Man  bemerkt  aber  anch^  wie  ycsicwigm  die  dem  Satze  ß^)  gegebene 
Aaslegong  erscheint  Unstreitig  wttrde  hiefllr  die  Sprache  den  Ausdruck 
Yorziehen:  f,Nicht  alle  Schafe  bind  weiss'*  (d.  h.  die  Klasse  der  Schafe  ist 
nicht  ganz,  nur  zum  Teil,  enthalten  in  der  Klasse  der  weissen  Dinge),  wo* 
mit  sie  allerdingB  darüber  hinaus  noch  andeuten  würde,  dass  es  neben 
„uicht-weisseu''  auch  weisse  Schafe  gibt;  am  besten  den:  Kinige  Schafe  sind 


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i  16.  Negative  Urteile  ak  negativ  pritdisirende  ansnsehen. 


329 


nicht-weiss.  Soll  wirklieh  weiter  nichts,  als  was  in  dem  Satze  ausgesa^^t 
wird:  „Es  ist  nicht  wahr,  ila^s  alle  Schafe  weiss  sind"  korrekt  zum  Aus- 
druck gebracht  werdeu,  ohne  da^s  man  aufhört  von  allen  St-hafeu  zu  reden, 
so  stieUt  uiiti  vorerst  nur  diese  allerdings  etwas  umstäudliche  Ausdrucktsweise 
selbst  lor  Verfügung  (§  33  und  35). 

• 

Ich  machte  indass  weitere  siir  Rechtfertigung  uneererBehauptaDgeii 
dienende  Aueftthrangen  an  geguerischerseite  gemachte  Einwürfe  an- 
Iniilpfen: 

Kant'b  „limitative**  Urteile  y)  glaubten  wir  angemessener  als  „nega^ 
tiv-prfldidrende**  bexeiebnen  m  sollen,  imd  auch  fort&bren  zu  dürfen ,  im 

Einklang  mit  der  „herrscbenden"  Aristotelisch-scholastischen  Terminologie 

dieselben  schlechtweg  als  „verneinende*'  Urteile  pelteu  zu  lassen  —  in  An- 
betracht dass  wir  die  andere  Urteilform  fi)  (die  für  Kant-Lotze- Sigwart 
den  Typuä  des  ifemeinenden  Urteils  vorstellt)  Ubjerhaupt  nicht  werden  an- 
erkennen können. 

Gegen  Kant's  Umitative,  also  nnsre  negatiT  prfldiarenden  Urteile 
polemistrt  nnn  aber  auf  das  heftigste  Lotse.  Ein  Autor  von  des  letzteren 
Bedeatong  und  Ansehen,  &Us  er  irrt,  verdient  gewiss  widerlegt  zu  werden. 

Geben  wir  ihm  dämm  zunUchst  selbst  das  Wort.  In  *  p.  61  yngt  derselbe: 
„Eine  bestimmte  Beziehung  zwischen  S  und  J\  welcher  Art  sie  immer 
Sttn  mag,  denken  wir  uns  durch  einUi*theü:  S  ist  P,  als  einen  noch  frag- 
liehen Gedanken  ausgedrückt;  dies^  Beziehung  bildet  den  Gedankoninhalt, 
ttber  den  twei  einander  entgegengesetzte  Nebennriheile  geftUt  werden;  das 
eine  affirmative  gibt  ihm  das  Pridicat  äet  Gultigkeit  oder  der  WirUieh- 
keit,  das  andere  negative  verweigert  sie  ihm.** 

Es  erhellt  hieraus,  daiis  Lotze  das  verneinende"  TTrteil  im  Sinne 
unsrer  Aussage  ß)  aufgefasst  wissen  will.  Für  diese  Auffassung  plädirt  er 
überhaupt  auf  der  ganzen  Seite  (p.  6L)  und  weiterhin. 

Er  fthrt  s.  B,  fort  (and  hierin  kann  ich  ihm  beipflichten): 
„  . . .  aber  swei  weswtlich  verschiedene  Arten  des  UrtbeUs  begründet 
dieser  UuterMhied  nicht.    Gültigkeit  oder  Ungültigkeit  siud  vielmehr  in 
Bezug  auf  die  Frage,  die  uns  hier  bescb^iftigt,  als  sachliche  Priidicate  zu 
bezeichnen,  die  von  dem  ganzen  Urtheilsinhalte  als  ihrem  Subjecte  gelten.*^ 
Aber  nun  vvtil  -  i  uuten: 

q  .  .  .  das  linuLaUvo  oder  unendliche  Urtheil,  das  durch  eine  positive 
Copnla  dem  Subject  ein  negatives  Pridical  bdlegen  soll  und  durch  die 
Fonnel:  S  ist  ein  Nieht^P,  ausgedrückt  zu  werden  pflegt  Viel  Scharfnnn 
ist  auch  in  neuerer  Zeit  zur  Ehrenrettung  dieser  Urtheilsform  aufgeboten 
worden,  in  der  ich  dennoch  nur  cm  widerskmiges  Erseugmsa  des  SdtuhoUges*) 
finden  kann." 

Tch  werfe  zunächst  die  Zwibcheufrage  ein:  Steht  nicht  uniiuttelbar 
vorbei  das  „sachiichu  i'rädikat  der  (/ngültigkeit"  schon  im  Widerspruch 
mit  dm  soeben  und  noch  weiteihin  verfocbtenen  Anschammg?   Ist  nicht 


*)  Ich  gestatte  mir,  in  diesen  (Staten  eiatelnes  durdi  kursiven  Dmcfc  eigen* 
nichtig  hervoKsoheben. 


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330 


Siebente  Vortoeong. 


eine  Aussage,  wie:  „Dies  Urteil  ist  ein  iiBgttltigefl'*  gerade  von  der  be- 
kämpften Form:  ,.S  ist  ein  nicht-7**'? 

Fern  lie^^t  mir  indess.  etwa  eineu  kleinen  lapgns  consequentiae  aut- 
greüen  zu  wollen ,  um  einen  Vorwurf  daraus  zu  schmieden-  iiören  wir 
weiter  (auf  p.  63): 

„Und  so  gibt  -es  nirgende  fOr  das  natflrlicbe  Denken  eine  swingende 
Veranlassung,  liniitative  ürtheile  zu  bilden;  jede  Folgerung,  die  aus  dem 
Satze:  S  ist  ein  Nicht  P,  moqlUJi  iräre,  hh  ilf  auch  uuxjJich  nvs  drm  nndrrn: 
S  ist  nicht  P.  Es  ist  uiclit  der  Müho  werth,  hierüber  weitUiufiger  zu  werden; 
offenbare  Grillen  müssen  in  der  Wissenschaft  nicht  einmal  darch  zu  sorg- 
fältige Bekämpfung  fortgepflanzt  werden." 

Dies  —  insbesondre  was  kursiv  gedruckt  —  ist  ein  ftmdamerUiäer  Irr- 
fumt  Wir  baben  bereite  gesehen,  dass  wenn  8  zum  Beispiel  „Alle  Ä"^  be- 
deutet, diem  hier  fftr  äquivalent  erklärten  Sätze  —  im  Grunde  unser  y) 
und  ß)  —  durchaus  nicht  gleichbedentend  sind:  sie  können  daher  anch 
nicht  dieselbe  logische  Tragweite  besitzen.  In  der  That  wnrd  später  wahr- 
zunehmen sein:  aus»  dem  letztern  Urteil  ß)  —  sei  es  für  sich,  sei's  in  Ver- 
bindung mit  andern  Prämissen  —  foli^t  viel  weniger  als  aus  dem  erstem  y)- 

Leicht  war  es  eine  derartige  allgemeine  Behauptung  anfenstellen,  wenn 
man  sich  dabei  beruhigte  und  es  nnterliess,  dieselbe  in  ihre  Konseqaenzen 
zu  verfolgen. 

Letzteres  haben  wir  hon  fr^than  nach  der  Seite  der  universalen  Aus- 
sa^ren.  Thun  wir's  auch  noch  nach  der  Öeite  der  partikularen,  um  uns  zu 
vergewissern,  wie  weit  Lotze  mit  sich  selbst  in  Übereinstimmung  bleibt 

Sein  Subjekt  S  möge  also  nun  bedeuten:  „Einige  il". 

Wenn  Lotse  nach  den  von  ihm  selbst  aufgestellten  Grundsttsen  ni- 
werke  geht,  so  muss  er  unter  dem  Satze  „ISimge  A  sind  nicht  B",  oder 
wie  die>  nodi  deutlicher  geschrieben  werden  könnte,  unter:  .,Einige  Ä  >sind 
nicht«  Ii''  verstehen:  die  verneinend  ausfallende  Antwort  auf  die  Frage, 
ob  einige  ^4  wol  //  seien?  Verneinung  des  Urteils:  „Einige  A  sind  B^^ 
liefert  aber  nacli  dem  gesunden  Menschenverstand,  nach  den  liegelu  der 
Schallogik  und  wie  dies  später  auch  die  Beehnung  bestätigt,  das  Urteil: 
„Kim  A  ist  B", 

Niemandem  wird  ee  einfallen,  unter  dieser  letzteren  Aussage  genau 
das  nämliche  sn  verstehen,  wie  unter  der  vorigen,  die  beiden  fOr  äquivalent 
zu  erkliiren;  nipnian«!  wird  /,.  B.  den  Satz:  „Einige  Schafe  sind  nicht  weiss*' 
verstehen  als  ,,Kein  Schaf  ist  weiss''  um!  niemand  wird  die  Verneinung  der 
Behauptung,  da^s  einige  Schafe  gelb  seien,  durch  den  Satz  ausdrücken: 
„Einige  Schafe  sind  nicht  gelV^ 

Auch  Lotze  thut  dies  nicht  Er  versteht  nnter  Sfttzen,  wie:  einige  A 
sind  nicht  JB,  alle  A  sind  nicht  7^,  ganz  dasselbe,  wie  alle  übrigen  Menschen, 
und  steht  nur  in  dem  Wahne,  die  verneinenden  Ausssgen  gleichwol  durch- 
aus uTiserm  Schema       gemäss  zii  rlenten. 

liut^o  tritt  überhaupt  als  entschiedener  Gegner  einer  J.ogtk  tks  {J&e- 
gnS&-)Umfangcs  auf.    ^  p.  oJS  sagt-  er: 

„Natttrlich  haben  auch  diese  ümflingsverhsltnisse  ihren  logischen  Werth; 
aber  wo  man  diesen  bedflrfen  wird,  ist  er  «ttcA^  so  $dimerig  eu  ermittdm, 
um  sich  seiner  nicht  nebwher  augenblicklich  su  bemSohtigen;  einen  Hm^' 


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§  16.  Negative  Urteile  ala  negativ  priidizircudo  anzusebea.  331 


gmdäagpimk/t  fUr  die  Sdradiking  der  Uriheäe  aus  jmm  VerhäUnitaen  au 
modern,  halte  ich  für  ebenso  irrig  als  latiffn'dlig,*^ 

Wenn  Lotze  damit  Recht  hütto,  würde  nnser  Bemühen,  eine  exakte 
Logik  des  l'mfange.s  hier  7a\  begründen,  ein  eitel  vergebliches  sein. 

Nun  zeigen  aber  die  Fehler,  in  welclie  Lotzo  verfiillt  (und  zwar  .^uhon 
in  so  einfachen  jedweder  Komplikation  ermangelnden  Fällen,  wie  bei  dem 
besptodhenen  Tomemenden  Urteile),  dass  es  dodi  tUdU  so  Ukki  ist,  sieh 
der  fraglichen  UmfangsrerhlÜtaiiBae  nebenher  so  bemfiohtigen,  und  damit 
richtet  sich  seine  (ohnehin,  wie  die  vorhergehenden,  eminent  subjektive) 
letzte  Bchhisäbenierkimg  von  selbst  Des  näheren  vergleiche  man  hietu 
noch  ig)  in  (J  unsrer  F.inleitimg. 

Wir  haben  gesehen,  dass  sooft  das  Urteil  a)  oder  Ö)  ein  tjcncrdlcs 
ist,  es  wesentlich  einen  and&m  Sinn  liefert,  als  der  ist,  welchen  der 
Sprachgebrauch  mit  der  Aussage  a)  verbindet^  will  man  die  Verneinungs- 
partikel gemäes  §t)  anf  die  Ko^l»  beziehen. 

Nun  aber  zu  seigeo,  dass  dies  genau  genommen  sogar  einen  Un- 
Bmn  liefert,  dazu  will  ich  jetzt  schreiten. 

Es  bandelt  sich  um  das  Urteil: 

f)  Die  Behauptung  „^4  isti^^'  ist  unrichtig,  von  dem  ich  nachweisen 
will,  dasa  es  nkHU  (wie  provisorisch  bisher)  mit  ß)       >ist  nuM<  B** 
noch  weniger  auch  mit  a)  —  wiedergegeben  werden  darf. 

Das  Urteil  f)  ist  von  Hause  aus  und  bleibt  in  Ewigkeit  (in  Boole*8 
Benennungsweise')  ein  srku/iifä'rcp.  ein  Urteil  Über  ein  Urteil;  nur  mittelbar 
lonächst  sagt  es  autli  über  A  und  II  selbst  etwas  aus. 

Welche  Schlüsse  aus  dem  Urteil  e)  iu  Bezug  auf  A  und  i>  zu  ziehen 
sind,  wie  m.  a.  W.  dieses  Urteil  aufzulösen  ist  in  primäre  Aussagen,  die 
von  diesm  Dingen  A,  B  selbst  (mtd  von  deren  Negationen)  unmittelbar 
handeln,  werden  wir  spSter  (Ende  §  35)  erschöpfend  darlegen.  Dort  wird 
m  sehen  sein,  dass  dieses  Urteil  aUgemein  nnr  in  eme  AltematiTe  von 
primären  Urteilen  zerfiUlbar  ist 

Die  wirkliche  Verneinung,  Lengnung  einer  Aoseage  hat  zum  Sub- 
jekt (vrie  Lotze  richtig  bemerkte)  ebendiese  Aussage,  und  zum  Prädi- 
kate „ungültig,  falsch,  nicht^wahr^.  Sub^dct  jenes  Urteils  e)  ist  die 
Behauptung  d)       ist  B". 

Diese  selbst*),  und  nicht,  wie  nach  Sigwart,  die  Kopula  „ist" 
derselben,  ist  dasjenige,  was  bestritten,  in  Abrede  gestellt  werden  soll, 
ist  der  Gegenstand,  auf  den  die  Ablengnung  sich  bezieht^  ist  zugleich 
das  „Of^äct  der  Yemeinuig". 

Es  scheint  Ton  vomherein  eine  Verdrehung  der  wahren  Sachlage 
ZQ  seioy  wenn  man  ftlr  dieses  Urteil  s)  ein  anderes  unterznschieben 

*)  In  der  suppohitio  realis  genommen,  nämlich  io  Hinsicht  Ucssea,  wan  sie 
bedeutet,  nidit  abn*  (in  sappodtie  nemisalis)  all  bleaser  Schall  oder  Wortgefuge 
genonmen      Texgl,  li)  ia  B  der  Esnleitnng  und  %  Sl. 


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332 


Siebente  Vorlesunig^. 


sacht  —  in  Gestalt  von  ß)  —  mU  dem  Subjekte  Äl  Die  Berechtigimg 
hiezu  müsste  (loch  erst  nachgewiesen  werden. 

Wie  wir  aber  bereits  die  Unmöglichkeit  eingesehen  haben^  wenig* 
stens  falls  Ä  eme{n)  Gattung(Bbegriff)  yoretellt,  dies  in  korrekter 
Weise  durchsafilhr^  so  laset  sich  nnn  anch  obendrein  erkennen,  dass 
die  Aussage  ff)  dann  einen  Widersprach  in  sich  sehliesst 

Mit  dem  Urteil  ß)  wird  beabsichtigt,  Ton  dem  Subjekte  (das  ist 
unstreitig:)  A  etwas  auszusagen,  zu  pradisiren.    Die  hinter  diesem 
Subjekt  stehenden  Worte: 
0  ,»»ist  Dichte  B** 

geben  an,  was  Tom  Subjekte  Ä  ausgesagt  werden  soll,  sie  erscheinen 

—  wenn  man  nicht  gerade  sagen  will:  als  das  ,»Pr&dikat^  des  Satzes 

—  so  doch  gewiss:  als  die  „Prädikation"  in  demselben. 

Ü9ibe$ekaäet  dm  äistrOnttivm  Charakters  des  Prädikates  kamt  die  Kopula 
in  dasselbe  eiogereehaet  werden.  Schon  ans  dem  Grunde,  weil  eine  Kopula 
sehr  häufig  fehlt,  erst  in  Gedanken  zugefügt  werden  mUäste  (z.  B.  auch 
sobald  ein  anderes  Verbum,  als  das  Hülfs/.eitwort  ,,sein"  im  Satze  auftritt), 
wird  nicht  selten  dasjVnin'o,  was  oi^xf'^^^^Hch  die  „Verbindtmg  der  Kopula 
mit  dem  Priitlikatt'"  /,u  nennen  wiire,  schlechtweg  .,Prli(likat"  bezeichnet. 
Wer  tichärfer  unteröcheiden  will,  mag  für  diese  Verbindung  den  Ausdruck 
ffRrädikation'*  gebrauchen. 

Mit  dieser  Pradikation  f;)  geraten  wir  nun  aber  in  Widerspruch 
mit  unserm  Prinsip  II,  in  Konflikt  mit  dem  Satze:  quidquid  de  omni> 
bus  yalet,  valet  etiam  de  nonnnllis  et  de  singulis  —  den  auch  die 
Gegner  unsrer  Ausffihrungen  als  einen  die  ganze  Logik  beherrschenden 
Grundsatz  ausdrücklich  anerkennen. 

Es  müsste  diese  Prädikation  £;)  sobald  das  Urteil  ß)  anerkannt 
wird,  nun  auch  den  sämtlichen  Arten  und  Individuen  der  Gattuni^  .1 
zukommen,  was  im  Allgemeinen  (wie  die  Beispiele  zeigen)  nicht  der 
Fall  ist. 

Vom  gegnerischen  Standpunkt  uuHätve  als  ricliiig  der  ÜnU  zugegeben 
werden:  ß")  Alle  (Die)  Schafe  »sind  nicht«  weiss.  Diese  PrSdikation 
f,»sind  nicht<  weiss**  mflsste  nach  dem  dietam  de  omni  auch  den  weissen 
unter  den  Schafen  (als  einzelneu)  zukommen,  was  widersinnig.  Von  der 
Gattung  der  Sibafe  iuHsstr  sie  ebenso  auf  deren  Arten,  auf  jede  Schaf- 
rasse sicli  ubertrai^'cii,  wiihrentl  es  doch  Sehr  wohl  eine  solohe  Hssse  geben 
kann,  die  nur  weisse  Schate  enthiilt. 

llagt  der  Kreis  A  nur  teilweise  in  den  Kreis  B  berein,  so  hätte  man 
ebenso  anraerkennen:  Alle  Punkte  des  Kreises  A  »sind  nicht«  Im  Kreise  B 
enthalten.  Dasselbe  aber- erschiene  damit  auch  von  den  in.B  hindnfallenden 
Punkten  des  A  behauptet. 

Sagen  wir  aber:  der  Kreis  A  fällt  nicht  in  den  Krei<?  H  hinein,  so 
bcheinen  wiederum  beide  Deutungen  ß)  und  y)  gleichermassen  zulässig  zu 


I  15.  Ifi^tiTe  Urteile  aU  negativ  prftdiarende  aatoiehen. 


833 


sein.  Das  Subjekt  ist  nunmehr  ein  Individuum,  welches  die  in  ihm  eut- 
haltenen  Punktindividueu  hoUcMiv  —  nicht  geficrcU  —  7.iif5aminenf;isst,  und 
biei"  könnte  man  den  erhobenen  Einwand  nicht  mehr  vorhrinf/eu,  denn  einen 
Grundsatz  der  Logik,  wonach,  waä  von  dtim  Gatizcn  behauptet  wird,  an 
bodingt  anoh  toü  dessen  Ttüm  dozela  g«lieii  mflsste^  einen  solchen  Gnind- 
eais  gibt  es  nichi. 

Die  obige  Argumeointioii  wird  hinfillig^  wenn  ein  Sdiliesaeii  toh 
allen  oder  eimgen  auf  einselne  nicht  angeht,  weil  ttberbaupt  nur  em 
IndiYidQom  TorHegt. 

Logiseh  ist  dies  der  Fall  nur  beim  ainguUUren  Urteil,  dem  Sprach- 
gefühl nach  mitunter  schon ,  wenn  das  Subjekt  A  im  SmgtUar  ateht 

[So  kann  man  namentlich  die  SStce  ß')  nnd  /S")  passiren  lassen, 

auch  wenn  darin  das  »ist  nicht«  in  AnfQhrangsseicheu  gesetzt  wttrde, 

um  80  tDiehr  aber  ohne  diese  Veninstaltungy  und  zwar  weil  ihr  Suhjekt 

charakterisirt  erscheint  als  ein  Individnum  ^  allerdings  nicht  aus 

unsrer  ursprQnglichen,  sondern  in  der  aus  ihr  „abgeleiteten"  Maunig- 

£sltigkeit,  der  Mn.  der  Pnnktgehiete,  der  Klassen.   Jeden&Ils  ist  — 

im  Gegensatz,  wie  gezeigt,  zu  ß'")  —  bezflglich  jener  beiden  Satze  zu 

erklären,  dass  sie  den  sprachlich  richtigen  Ausdruck  für  die  Verneinung 

der  entsprechenden  Satze  d'),  d")  Torstellten.] 

Durch  die  Singularform  wird  in  der  Regel  psychologisch  eine  Indi- 
▼iduaüsinuig  des  Subjektes  angeregt.    Man  mag'  sich  deshalb  versucht 

fühlen,  auch  Lotze  iUr  sein  Beispiel  wenigstens  zuzustimmeUp  wenn  er  das 
Urteil:  „Der  Geist  \>-t  nicht  Materie*'  aufgofasst  wissen  will  als  die  Ter- 
neinende  Antwort  auf  die  Frage,  ob  der  Geist  Materie  sei? 

Das  Urteil  tritt  zwar  in  der  Form  eines  j.nn bestimmten"  Urteils  auf, 
beansprucht  aber  uuzweiieiuaft  ein  „universales"  iu  logischer  Hinsicht  zu  sein. 

Unrecht  muss  man  Lotze  sofort  auch  fttr  das  Beispiel  geben,  wenn 
man  —  anstatt  ,^r  Geist**  schlechtweg  —  einmal  sagt:  „Alle  Geister^ 
oder  auch  nur;  „Jeder  Geist".  [Loi/leres,  obwol  in  Singularform,  bringt 
durch  das  adjektivische  Pronomen  „Jeder"  sofort  die  generelle  Natur  des 
Urteils,  den  Charakter  des  rfubjekts  als  eine  Gatlun^'  zum  Bewns^tsoin, 
und  begründet  dadurch  eine  Ausnahme  zu  der  eben  nebenher  statuirlon 
psychologischen  Kegel.]  Es  könnten  ja  —  rein  logisch  betrachtet  —  auch 
einige  Geister  Materie  sein  und  andere  nicht  Da  w&re  denn  die  Frage, 
ob  allgemein  der  Geist  Materie  ist,  zu  verneinen,  und  dennoch  das  ürtnl: 
„Der  Geist  ist  nicht  Materie**,  mit  der  gleichen  Allgemeinheit  hingestellt, 
ein  ungtlltii^es! 

Nun  untertcbt  ideu  sich  aber  tiie  beiden  Aussagen:  Der  Geist  ist  nicht 
&!aterie"  (so,  wie  diese  verstanden  werden  sollte)  und  „Joder  Geist  ist 
nicht  Materie**  (oder:  Kein  Geist  ist  Materi^  logisch  Oberhaupt  nicht.  Sie 
nntersdieiden  sich  nur  pstfdwiogisch,  insofern  die  Mehrdeutigkeit  des  Bub* 
j^ts  bei  der  erstem  dem  Dewusstsein  entschwunden  ist. 

Man  erkennt  hier  überliaupf  die  psyi  hologi.sche  oder  subjektive  Be- 
dingung daftkr,  dass  man  Kant  s  Benenuungsweise,  Lotzens  und  Sig- 


334 


BielMute  Vorleraiig. 


wart's  Theorie  der  verneinenden  Tlrteile  zustirnmen  könne:  sie  besieht 
darin,  diiss  man  vollständig  ausser  Adü  lasse  oder  vergesse,  dass  das  Sub- 
jelct  der  zu  verneinenden  Urteile  eine  Mehrheit  von  Bedeutaugeu  umfassen 
kann  oder  amÜBUst 

Von  reehtewegen  bitte  diese  Theorie  cum  wenigsten  auf  die  stngn- 
Uzen  ürteile  auBdrfleUioh  besebrBnkt  werden  mOssen. 

Da  hei  den  genertUen  ürfeUm  mm  mdds  übrig  bleibt,  als  mu  der 
Deutung  y)  fäir  ihre  Vemeuumg  die  ZußuiM  äu  neAmeti»  uud  wir  hei 
den  singuHären  ürteäen  minsdien  den  Deutungen  ß)  und  y)  die  Wäbl 
hatten,  90  werden  wir  im  Interesse  der  ^inkeiUiMeit  des  Verfahrens,  um 
eine  oBgemeine  Theorie  za  ermdglichen,  audi  hei  den  letstere»  der 
Deutung  y)  den  Vortntg  gu  gdm  haben, 

Fflr  die  Algebra  der  Logik  lieese  sieh  noch  ein  weiterar  Qnind  geltend 

machen,  gaws  und  gar,  auch  bei  den  singulftren  Urteilen,  nicht  nur  die 

Auslegung,  die  wir  mittelst  ß)  dem  Urteil  a)  gaben,  sondern  diese  Aas* 

drucksweiäc  ß)  selbst:  „A  *ht  nicht«  Ji"  zu  verwerten. 

Dieser  stellt  ^ich  dar  als  eine  Fnly^c  oilcr  Wirkung  der  hier  (im 
Gegensatz  zur  Spniclie  de«  gemeinen  Lebens)  vollzugeuen  Zuziehung  der  Null. 

Die  Null  —  haben  wir  gesehen  ■ —  ist  in  jeder  Klasse  miteuthalten; 
sie  ist  Subjekt  zu  jedem  Prttdikate.  Hier  muss  gelten:  Das  Nidits  ist  ein  B 
(in  B  enthalten),  und  sugleieh  auch:  Das  Nichts  ist  ein  Nicht-B  (in  Nichtig' 
mitenthalten)  —  was  nebenbei  gesagt  durchaus  keinen  Widei*spruch  bildet, 
obwol  die  KlasHoii  T!  und  Nicht-B  einander  ausdchliesseo',  indem  sie  gerade 
eben  Nichts  geraein  haben. 

Zugleich  mit  der  Klasse  zu  der  das  Nichts  mitgehört,  zu  der  es 
quasi  sich  mit  herandi-üngt,  von  der  es  nicht  ausgeschlossen  werden  kann, 
wttrde  non  im  Urteil  ß)  die  PrSdikation  t)  n  '^^^  nicht«  ein  J?"  auch  dem 
Nichts  xugesprochen  erscheinen.  Wir  würden  so  auf  die  Anerkennung  des 
Satzes  geführt:  „r)a>   N'itlit.s  »i.st  iiiilif«  ein  welcher  seinerseits  zu 

ver.^tehen  war  als  die  hinl'i  i'di  sUHmKi  dt-s  T^rteils:  „Das  Niclits  ist  ein  If*'. 
Dan  letztere  unbedingt  anzHcrb mn  u  waren  wir  aber  durch  die  Konsequenz 
verplüchtet  —  daher  ein  Widerspruch! 

70r  die  Sprache  des  gemeinen  Lebens  wftre,  wie  schon  angedeutet, 
diese  Überlegung  nicht  maassgebend,  weil  diese  in  ihren  UrteilsbildungeUf 
wie  anderwärts  ausgefübrt,  das  Nichts  gemeinhin  vorweg  auHschliesät  (prä- 
kludirt).  In  drr  rxiiktni  Logik  aber  dürfen  (resp.  müssen)  wir  ./'  </'  n  l'rfi  il 
der  Forw  ß)  für  ftdseh  erklären.  Die  Verneinungsfmrhkel  mit  Sigwart 
auf  die  Kopula  zu  beziehen  ist  dann  hier  überhaupt  nicht  angüngig. 

So  wenigstens,  weim  der  lirundsatz  „quid^uid  de  omnibus  valet,  valet 
etiam  de  singnlis*^  fllr  alle  PrSdikationra,  welche  die  Wortspraehe  aussu- 
drücken  ▼ermag,  wirklich  für  ^quidquid  valet**,  f&r  alles,  was  gUltig  aus- 
gesagt worden  kann,  soll  aufrecht  ei'lMÜtcn  werden.  Denn  unter  diesen 
Kinzeluen  (,,binguli")  fi-^'unit  hier  anch  das  Nichts,  wenngleich  wir  d;is- 
belbe  sonst  freilich  ntcUi  als  ein  „Individuum  (im  engeren  Sinnet  der 
Subjektklasso  gelten  lassen  wiudcii. 

Ich  gebe  zu,  dass  dieser  vorstehenden  Argumentation  kein  grosses 


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§  15.  Negativ«  Urteile  als  negaliT  fnidizireiide  auiiteheii.  335 


Gewicht  beizulegen  ist.  Ob  man  sich  ihr  anschliesson  will,  bleibt  in  ge- 
wissem Grade  Geschmackssache.  Man  kann  auch  den  Standpunkt  ein- 
nehmen (wie  wir  ohnehin,  bei  uuörer  Fassung  des  Prinzipes  II,  es  tliun), 
ilaää  mau  die  Gültigkeit  Uet»  Grandsatzes  „quidi^uid  valet  etc.'^  eiuächräukt 
auf  solche  PMLdikatioBOi,  «dche  ab  wirkliolM  (und  demnach  selbsUerstttod- 
Uch  bejahend  anitretende)  SubsunUion  unter  eine  (wenn  auch  Tielleicbt  als 
Ne^tion  einer  andern  sich  darstellende)  Prftdikatklaese  erscheinen. 

Ich  meine  jedoch,  dass  es  nicht  angezeigt  ist,  ganz  unnötigerweise 
und  sozusagen  gewalt.'^am,  in  Gestalt  der  (wie  mich  dÜnkt  ab.-;onderlichen) 
batiform:  ^4  >ist  nicht«  i/,  solche  Prildikationen  in  die  Wort.sprache  ein- 
zuführen, welche,  indem  bie  einer  Klabae  A  gültig  zugetiprocUen  werden, 
gletchwoi  nicht  allem  Dem  sokommen  kdonen,  was  unter  dieser  Klasse  A 
mitenthalten  ist. 

ÜDsre  Ergebnisse  sind  also  folgende.  * 

Die  herrschende  Terminologie  ist  wesentlich  im  Rechte.  Ihre 

f^oemeinendenf*  Urteik  sind  nßgoHo  prädigirende»  Die  Vemänu»{fspartikd 
im  Temeinenden  Urteil  gtStort  swn  ^radtkakf  und  in  seiner  Polemik 
^egen  Kant  ist  Lotse  im  Unrechte. 

Mit  Kant  aber  diese  Urteile  als  ,,limitatiTe"  abweichend  su  be- 
nennen ist  fiberflüssig.  Denn  die  nach  Kant*Lotze -Si g war t's  Theorie 
als  »verneinende«  hingestellten  Urteile  honnen  allgemein  als  diese 
Jedenfalls  nicht  gelten  und  sie  Manchen  —  was  sich  empfiehlt  —  als 
besondere  Urteilsformeu  der  Worts2)racJie  (und  iu  der  Logik  als  pri- 
märe Urteile)  überhaupt  nicht  anerkannt  zu  werden. 

Dieselben  sind  verneinende,  d.  h.  nun  also  negativ  pradizirende 
Urteile  über  ein  Urteil,  welches  ihr  Subjekt  und  zugleich  das  Objekt 
der  Verneinung  ist.  Allgemein  iüt  es  nicht  möglich,  dieselben  darzu- 
stellen in  Gestalt  eines  Urteils,  welches  das  Subjekt  dieses  Subjektes 
zum  Subjekte  hätte.  Die  exakte  Logik  wird  vielmehr  diese  sekun- 
dären Urteile,  diese  ..Urteüsverneimmgen"  uut lösen  in  eine  Alternative 
von  primären  Urteilen. 

Noch  bleibt  der  Einwurf  Lotze's  zu  widerlegen,  wenn  unsrer  Prädi- 
katklasse B  ein  jbeyrijl  zugeordnet  ist,  der  ^als  seinen  Inhalt)  bestimmte 
Merkmale  in  sieh  susammenfasst,  dass  es  sameist  nicht  mOglk^  sei,  mit 
der  Negation  der  Klasse,  mit  (Kant's  und)  unserm  „Nioht-£%  dem  „wider- 
sinnigen Erzeugniss  de.s  Schulwitses**  einen  Begriff  su  verbindoi. 

Darauf  ist  zu  bemerken,  trslcns,  dass  wenn  dem  so  ist  oder  w8re,  es 
nichts  zu  bedeuten  hfittc.    Das  thut  nichts! 

Her  Sinn,  den  wir  Aussagen,  wie: 

Alle  A  üind  nicht  11  ^  Peinige  A  sind  niulit  iV,  wirklich  beizulegen 
haben,  ist,  wie  wir  gesehm  haben,  ein  solcher,  dass  die  „Pfftdikation*^, 
nidit-^  wfk  sdn,  sich  ganz  in  gleicher  Weise  von  den  omnes  anf  die  non- 
Diilli  iin  I  die  singuli  (von  allen  auf  einige  und  die  einzelnen,  ja  sogar  auf 
das  J^ichts  mit)  Qbertrlgt|  wie  eine  PrSdikatiou,  M  sa  sein. 


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336 


Siebente  Torlerang. 


Weil  sonach  jene  Prlldikatioii  „nicht  B''  za  sein,  den  distrUnUiven  Cha- 
rakter mit  je<lem  wirklichem  Prädikate  gemein  hat,  weil  sie  die  funda- 
mentale Eigenschaft  btjsitüt,  auf  eint'  Melirhoit:  fTPnerell  an^^ewendet  allemal 
dem  Prinzip  II  gemäss  sich  auf  die  Glieder  derselben  zu  verteilen,  so 
mttuten  wir  sehoii  «u  m»  Sttsseriiehen  ZwMkmAssigkGitsrlleksiehten  — 
um  dne  gemeiiueliaftliehe  Bebandlwig  solcher  Prftdiintion  mit  den  wirk- 
lichen Prädikaten  (mit  PrSdikAt^^r^ef»)  ta  ermöglichen  —  dusa  schreiten, 
den  BegiifT  des  Pr:i<likat.->  zu  erweitern.  Wir  müssten  uns  dadurch  be- 
stimmen lassen,  jenes  „nicht-i?"  —  sei  es  auch  als  ein  fiktives,  ,,nneigent- 
liches''  Prädikat,  d.  h.  im  Grunde  blosse  Redensart  —  doch  „Prädikat 
im  weitem  Sinne'^  mit  zuzulassen;  jene  wären  also  unter  die  „Prädikate" 
nutanfstiBehmeD,  und  swar,  weui  auch  weiter  gar  nichts  darunter  zu 
denken  w&re. 

Letzt<ffes  ist  aber  noch  obendrein  nicht  der  Fall.  Denn  zweitens  iät 
nicht  der  geringste  Anlass  oder  gar  zwingende  Grund  vorhanden,  den  Be- 
griff des  Merkmals  so  euge  zu  fassen,  wie  es  bei  Lotze'a  Argumentation 
anscheiueud  geschiebt.    [VergL  y^)  unsrer  Einleitung.] 

Wir  erinnern  an  die  grosse  Allgemeinheit  mit  welcher  der  Begriff  des 
Merkmals  hier  stets  aufgefasH  werden  sollte  tind  auch  sonst  immer  anf- 
gefasst  wird.  JHerhmA  eines  Binges  oder  isolirbaren  Objekts  des  Denkens 
war  alles  zu  nennen,  was  von  di'tn  Dinge  (^oder  in  Besog  auf  dasselbe) 
icuhrhfifsgeynüss  nu.^ijrsnrjf  trrrdcn  kann. 

Solches  komit-'  su^zar  bestehen  iu  einer  Beziehung  des  Dinges  zu  uns 
selbst  als  der  mittelbaren  Folge  einer  z.  B.  willkürlich  von  uns  hergestollten 
Beziehung  unsrer  selbst  tXL  diesem.  Wenn  ich  —  beisfiielsweise  —  in 
einen  Laden  trete  um  gewisse  Dinge  in  kanfim,  so  mnss  es  —  während 
meiner  Verhandlungen  mit  dem  Kaufmann,  der  Besichtigung  der  Waren 
ev.  dem  Feils-  lu  n  um  den  Preis  —  als  ein  Merkmal  gewisser  von  den 
Waren  gelten,  da^n  ich  sie  kaufen  will,  im  Gegensatz  zu  den  übrigen, 
die  ich  nicht  kaufen  will.  Habe  ich  jene  gekauft,  so  ist  Oä  wiederum  ein 
Merkmal  derselben,  dass  sie  in  meinen  Besits  oder  Eigeutom  llbergegangen. 
Der  Kaufmann  wird,  um  dieses  Merkmal  festxuhalten,  sie  beiseite  legen, 
meine  Adresse  auf  das  Paket  schreiben,  etc.,  wofern  er  nicht,  falls  die 
Gegeustüiido  schwer  beweglich  sind,  sie  gar  mit  Kreidestrich  versieht,  das 
,. Merkmal''  sicht1)ar  /n  machen.  Das  pleiehe  wfhdo  der  Kaufmann  vielmehr 
bei  den  nicht  Ljekauften  Waren  Ibun,  falls  ich  etwa  beinah  den  j^anzen 
Laden  ausgekauft  hätte.  Die  gekauften  Waren  sind  diejeuiyeu,  die  nidU 
dem  Kanfinann  Tcrbleiben;  die  nidA  gekauften  diejenigen,  die  ich  ihm 
lassen  will;  das  eine  ist  sognt  «in  Merkmal  wie  das  andre,  und  kann 
auch,  wie  man  sieht,  nach  Belieben  positiv  oder  negativ  ausgedrückt  werden. 

Wer  je  versuchen  sollte,  etwa  die  Maxirae:  „Sooft  da  im  Zweifel  bist, 
ob  du  etwas  thnu  sollst  oder  nicht,  so  unterhws'  es!"  im  praktischen  Leben 
zu  befolgen,  wird  bald  gewahr  werden,  wie  oft  ihn  dieser  Rat  im  Stiche 
Ittsst,  indem,  was  unter  einem  Gesichtspunkt  als  ein  Thun  erscheint,  sich 
unter  einem  andern  als  ein  ünterlassen  darstellt,  sowie  umgekehrti  So  s.  B. 
bei  der  Frage:  Soll  ich  Berm  N  grüssen?,  oder  snll  ich  ihn  „schneiden'*? 

Auch  „Abwesenheit",  .,NichtTOrhandenseiit",  „Fehlen"  oder  „Mangel*' 
eines  bestimmten  Merkmals  oder  einer  Merkmalgruppe  ist  wiederum  als 


§  lö.    Negative  Urteile  als  negativ  prädizireude  auzusehea.  337 


ein  H^rknial  uad  damit  ancli  als  ein  Begriff  aDZttarkennen,  wie  denn  oneh 

die  Sprache  dafür  die  soeben  angeführten  abstrakten  BegriffiswOrter  und 
überhauiii  —  vor  allem  in  Gestalt  der  mit  der  Vorsilbo  „un-"  zusammen- 
gesetzten Beiwörter  und  Hauptw?)rter  —  eine  ünmaste  von  Benennungen  hat. 

Es  ist  ein  Merkmal  des  Schalles,  Tons  oder  Klanges  z.  B.,  daas  er 
der  Fiurbe  (im  eigentlichen,  nicht  im  Übertragenen  Sinne)  cnthdirt,  dass  er 
fiberhftnpt  mcM  auf  den  Oeaiohtsnnn  wirkt.  Wir  erblidcen  darin  eine  Yer- 
sdiiedettlieit,  einen  Gegensatz,  Eootraat  desselben  x.  B.  mit  dem  Bilde  de« 
Spektrums.    Soll  anch  „Kontrast"  nicht  als  ein  Merkmal  gdten? 

Warum,  frage  ich  —  \\m  noch  ein  Beispiel  zu  nehmen  —  warum  soll 
es  nicht  ein  Merkmal  für  die  Katze  der  Insel  Man  („Manxcat")  genannt 
werden,  dass  sie  keinen  Schwanz  besitzt?  Mir  scheint  es  iür  die  Katzen 
dieser  Basse  noch  ein  wichtigeres  Merkmal  zu  sein,  dass  sie  keinen,  als 
fttr  die  fibrigen  Katsen,  dass  sie  einen  Schwanz  jeweils  besitzen. 

Wer  sich  diesem  zazustimmen  weigerte,  mttsste  vor  allem  ein  unfehl- 
bares,  vom  sprtuMichm  Ausdruck  unabhängiges  Kennzeichen  aufstellen,  wo- 
nach über  die  „positive"  Natur  eines  Merkmals  zu  entscheiden  wSre,  z.  B. 
sich  ergeben  würde,  ob  parallel  oder  schneidcnrl ob  gesund  oder  krank, 
nützlich  oder  schädlich,  frei  oder  gebunden,  vorwärts  oder  rückwärts,  gleich 
oder  yerschieden,  etc.  das  positive  (Beziefaungs-jMeiteal. 

Sofern  wir  die  Klasse  „Meusdi**  als  eine  wohldefinirCe  anzuseh^i  ver- 
mögen,  glanben  wir  mit  dem  Begriffe  „MenscV*  ein  Mittel  zu  besttSMi, 
Alles,  was  (ein)  Mensch  ist,  zu  unterscheiden  von  allem  Erdenklichen,  was 
es  nicht  ist.  Diese  Unterscheidnnjjf  ist  eine  gegenseitige.  Im  ferneren 
Besitze  des  fundamentalen  liogrifls  der  Verneinung ,  „begreifen'*  wir  damit 
auch,  was  es  heisst,  wenn  i^ich  die  für  den  „Menschen"  charakteristische 
Merlunalgruppe  an  einem  Objekt  des  Denkens  nidtt,  oder  nicht  yollstBndig, 
vorfinden  sollte.  Wir  haben  damit  Ton  selbst  anch  den  ^Begriff'*.:  „Nicht- 
Mensch", nnd  haben  es  gar  nicht  nStig,  nach  weiteren  gemeinsamen  Merk- 
malen  „von  Dreieck,  Wehmut  und  Schwefelsäure  etc.'^  noch  besonders  zu 
suchen,  indem  das  Niehtzutreffen  jener  bestimmten  Merkmalgrupp*^  ;ils 
Merknuil  völlig  gen(5gt,  um  den  Begriff  „Nicht-Mensch"  zu  charaki«  risiren 
und  ^krutt  des  iu  Gestalt  dieses  ^lerkmals  iu  uns  wirksamen  l-rinzips)  die 
Klasse  „Nichi>mensch'*  zu  einer  genan  ebenso  wohldefinirten  Klüse  sn 
machen,  als  die  Klasse  „Mensch"  es  war.   VergL       der  Einleituag. 

Auch  wer  die  Existenz  eines  Inhaltes  su  dem  angeblichen  Begriffe 
Nichtmensch  leur,Miet,  indem  er  bei  einer  engeren,  doktrinären,  Auffassung 
des  „BegriflFes'*  verharrt,  wird  aber  wenigstens  zugeben  müssen,  ein 
„Umfang"  zu  diesem  streitit,'en  Begriffe  in  Gestalt  der  Klasisc  wirklich 
vorhanden  ist  (^S.  dass  der  BegritV  miudesteus  „dem  Umfange  nacb*^ 

existirt  —  nnd  dies  genügt  fttr  eine  Logik  des  Umfangest 

Allerdings  mnss  die  Mannigfkltigkeit  nnsrer  Denkobjekte,  damit 
in  ihr  der  Negationsbegriff  au£rtellbar  ist,  gewisse  Anfordenmgea*j 


*)  Dieae  Anforderuugeu  vermöchte  aber  eioe  uebeu  dem  Menschen  anch  die 
Dreisoke,  Wehmut  und  Schwefeleftnre  nebst  noch  rielem  andern  enthaltende 
Mannig&ltigkeit     fflr  unser  obigea  Beispiel  —  in  der  That  zn  erföUen. 

Scntom,  äigthn  S«r  Logik.  S2 


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338 


Siebente  Vorlesung. 


erfülleD,  an  die  indess  noch  niexnand  gedacht  lu  haben  scheint^  wekhe 
2Q  formuliren  jedenfalls  die  Philosophen  §^nslieh  unterlasaen  haben  (an 
die  auch  Lotse 's  Ansstellnngen  nicht  entfernt  streifen).  Bei  der  Fort- 
setcung  der  Theorie  weiden  wir  diese  Anforderungen  zu  statniren  haben. 

Die  0wäte  der  eingangs  erw&hnten  Bedensarlen  laatei: 
ij)  „A  ist  B  oder  C". 

Auch  hier  macht  es  citien  grossen  Un (er schied ^  ob  wir  die  Partikel 
„oder"  mit  auf  die  Kopula  beziehen,  oder  ob  wir  sie  blas  auf  die 
beideü  Ausdrücke  beziehen,  die  sie,  anscheinend  im  i'rädikate,  unmittel- 
bar verknüpft,  m.  a.  W.  ob  wir  als  Glieder  der  Alternative  ausehoa 
wollen:  die  durch  distributive  Verwendung  der  Kopula  entstehenden 
beiden  Prädikatiouen  „ist  B'*  und  j^ist  oder  aber  blos:  die  Klassen- 
terme  „/jf'-  und  „0". 

Im  erstem  Falle  haben  wir  in  Gestalt  von: 

I.,A  int  entweder  Bf  oder  C/^  —  genauer: 
„(Entweder)  A  ist  B,  oder  (es)  A  ist  6'" 

ein  wirklich  ,4ti5;««^t?es*'  Urteil  vor  uns  (falls  nämlich  die  Glieder 
der  Disjunktion  einander  ausschliessen).  Dieses  Urteil  stellt  eine  Aus- 
sage {A  ist  B)  als  abhängig  hin  Ton  einer  andern  (A  ist  C),  genauer 
gesagt:  es  macht  die  beiden  Aussagen  von  einander  abhäugig.  Ent- 
weder es  gilt  die  eine,  oder  es  gilt  die  andere,  oder  also  vielleicht 
auch  beide  zugleich  —  so  wenigstens  bei  der  fflr  uns  hier  maass^ 
gebenden  Auffassung.*) 

Als  ein  sekundäres  Urteil  Term&gen  wir  dieses  in  nnsrer  bis- 
herigen  Formelsprache  noch  keineswegs  auszudrficken;  vielmehr  muss 
das  dem  Anssagenkalkul  Yorbehalten  bleiben. 

Da  in  fj)  die  Worte  ^ist**  und  „oder"  durch  das  eine,  J?,  der  beiden 
Prädikate  S  und  C  getrennt  erseheinen,  so  könnten  sie  auch  nicht  durdi 
eine  Klammer  auf  der  Zeile  ztisammcngeschlosseti  werden,  und  bleibt  zur 
deutlichen  Oharakterisirung  der  hier  geford»  i  ton  Auslegung,  wenn  man 
nicht  eigene  Ein-  und  Auslüsungszeichen  einlühreu  will,  nichts  übrig,  als 
eben  so,  wie  es  in  der  zweiten  Fassung  von  geschab,  die  Kopula  „ist" 
hinter  der  Konjonktion  „odex^*  sn  wiederholen. 

Im  zweiten  Falle  haben  wir  in  Gestalt  von: 
0  ...1  ist        oder  Ct" 

einfach  ein  kategorisches  Urteil  vor  uq8|  kein  disjunktives.  Während 

*)  Diese  AafTasBaog  ist  allerdings  eine  weitere  als  die  altherkömmliche,  die 
sa  dem  Namen  der  dü^uniMom  Urteile  den  Onind  aas  der  Yoranssetcung  ent- 
nalitt,  dftw  die  JÜMien  B  uaA  C  di^fmütu  seien. 


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§  15.  Disjunktive  Urteil«  Ton  diqnnktiT  piftdisirendeo  sii  ontencheideo.  SS9 

Torhin  B  und  C  zwei  gesonderte  Prädikate  wareii|  hat  das  Torliegende 

Ulieil  nur  ein  Prädikat:  »JS  oder  C«,  welehea  aber  ans  zwei  Elasaen 

B  and  C  mittelat  der  Konjonktion  i^oder"  zueammengeaetzt  eracheist^ 

somit  einen  (toq  Jeyona  so  genannten)  „ptmrakn  Term**  Torsiellt 

Man  kdnnte  auch  in  Gestalt  eines  sog.  „divisiyen"  Urteils  sagen:  Die  Ä 

sind  teils  B^  teils  C. 

Diesmal  genttgte  die  Klammer)  oder  das  sie  vertretende  Anfahrtinga- 
seiohen,  zur  deutlicbeu  Charakterisirung  der  fflr  die  Aassago  r{)  hier  ge- 
forderten Auffassung.  Pofem  es  nun  lediglich  daniuf  luikomrnt,  einer  Ver- 
wechselung der  beiden  Autfassungen  &)  und  t)  des  l'rteils  »/)  vor/.ul)eugen, 
so  lüsät  sich  dieser  Zweck  erreichen,  indem  wir  etwa  die  Vorschrift  be- 
obachteten, im  iweiten  Falle  allemal  die  Anftthnmgateiohen  »  c  za  setzen, 
im  erslflB  aie  fortsnlaesen.  Alles  in  allem  genommen  wttrde  also  in  dieser 
Frage  mit  dem  Institut  d«r  Klaounem  dock  anstokommen  sein. 

Im  Gegensatz  za  den  (eigentlieh)  „disjnnktiTen^  9)  sind  Urteile 
TOn  der  Form  i)  nur  als  ffiißjwiikUv  präämrmd/f*  zu  bezeichnen. 

Beide  Urteile  6')  und  i)  geben  denselben  Sinn,  deeken  sich  oder 
sind  logisch  Sqntvalent,  das  eine  folgt  jedesmal  mit  ans  dem  andern 
(ond  umgekehrt)  falls  sie  sich  als  smguitäin  Urteile  darstelleni  sobald 
nSmlich  das  Subjekt  A  derselben  ein  IndividaDm  bezeichnet  (Und 
dieser  Umstand  bildet  dann  eine  Prämisse,  welche  auch  unerlasslich 
ist,  damit  man  die  erwähnte  Folgerung  ziehen  dürfe.) 

Stellen  dagegen  unsre  Urteile  sich  als  generdU  dar,  gcuaner:  be- 
deutet ihr  Subjekt  A  eine  Klasse  oder  Gattung,  so  geben  sie  tot- 
sehiedeneu  Sinn,  und  zwar  sagt  das  disjunktive  Urteil  d)  entschieden 
mehr  aus  als  das  disjunktiv  pradizirende  (),  indem  es  unfehlbar  auch 
die  Gültigkeit  des  letsteren  nach  sich  zieht,  wogegen  das  disjunktiv 
pradizirende  Urteil  i)  alsdann  nkkt  aufgebrochen  werden  darf  in  ein 
disjunktiTes  9). 

Ist  in  der  Thal  ein  J'unki  A  enthalten  im  Gebiete  »ii'  oder  C«  (ti.  i. 
in  dem  ans  den  Kreisen  B  und  C  znsunmengeäetKten  Gebiete  B-^-C^  dem 
Inbegriff,  der  Gesamtheit  jener  Gebiete),  so  ist  notwendig  er  entweder  ent- 
halten im  Gebiete  oder  aber  im  Gebiete  (7,  oder  vielleicht  auch  (falls 
diese  einander  nicht  ausschlössen)  in  beiden  Gebieten  /u^'loich,  d.  h.  es 
gilt  dann:  Entweder  ist  A  in  //  enthalten  oder  es  ist  A  in  C  enthalten. 
Desgleichen  selbstversläudlich  auch  umgekehrt:  Gilt  letzteres,  so  ist  der 
Punkt  A  gewiss  auch  im  Gebiete        oder  C<  enthalten. 

Der  Punkt  konnte  ja  nicht  teilweise  dem  einen,  teilweise  dem  andern 
Gebiet  angdidren,  da  er  eben  unteilbar  ist. 

Anders,  wenn  dem  Gebiet  A  eine  Ausdehnung  zukommt. 

Ist  es  nach  ^)  richtig,  dass  ein  solches  A  entweder  ganz  in  B  hinein- 
fällt, oder  dass  es  ganz  in  C  hineinfallt  ,  so  wird  es  damit  auch  in  >// 
oder  C«  hineinfallen,  d.  h.  es  gilt  albdaun  auch  wieder  »). 

2a» 


340 


SiebeDte  Vorleaiinf^. 


Dagegen  ist  der  umgekehrte  Schlnss  jetzt  nicht  uiebr  zuläs."!;^.  Wenn  t) 
gilt,  so  kann  dies  auch  so  t^'^schehen,  duss  A  zu  einem  Teile  in  deu  Kreis  Ii 
zum  andern  in  C  hineinfällt;  es  gilt  dann  dat»  disjunktiv  prädizirende 
Urteil  i):  Ä  ist  in  *B  oder  C«  eotbalten,  und  gleichwol  gilt  das  disjnnk- 
tiTO  Urteil  S)  ntdU,  indem  weder  A  in  B  noch  A  in  C  (schlechtweg,  d.  b. 
ganz)  enthalten  sein  wird. 

Und  80  verhält  es  sich  nun  auch,  falls  A  eine  Klassei  ein  Gattungs- 
begriff sein  sollte. 

Zugegeben  etwa,  diiss  os  blos  weisse  und  schwarze  Schafe  gebe.  Als- 
dann ist  das  disjunktive  Urteil: 

d)  Entweder  sind  alle  Sebafe  weiss,  oder  sie  sind  schwarz,  offenbar 
unrichtig;  das  Gegenteil  vielmebr: 

Weder  sind  alle  Schafe  weiss,  noch  sind  sie  alle  schwan,  ist  richtig. 

Das  disjunktiv  prttdizirende  Urteil  dagegen  ist  richtig,  und  iwar  gibt 
ihm  die  Sprache  (ohne  Anwendang  von  besoodem  Anführongsaeichen)  den 

Ausdruck : 

<)  Alle  Scliiife  sind  (entweder)  wei8s(o)  oder  schwärzte). 

Dass  unser  Urteil,  wie  in  diesem  Beispiele,  oin  universalem,  sowie  dass 
die  Glieder  B  und  C  der  Alternative  einander  aussehliessen,  erscheint  dabei 
als  nebensächlich.  Das  gleiche  gilt,  falls  es  partikular,  sowie  falls  B  und  C 
ein  Gebiet  gemein  haben. 

Im  Hinblick  darauf  s.  B.,  dass  westafrikanisohe  Schafe  der  Wolle  ent- 
behren und  unter  diesen  sich  auch  .M;liwar?.e  finden  mögen,  kennen  wir  sagen: 

«)  Einige  Schiife  sind  schwarz  oder  oline  Wollhaare,  und  niemand  wird 
diesen  Satz  als  das  disjunktive  Urteil  verstohen: 

O)  Entweder  einige  Schafe  sind  schwarz,  oder  eioiga  Schafe  (dieselben) 
entbehren  der  WoUfaaare. 

Und  anch,  wenn  das  generelle  Urtdl  steh  im  Subjekt  des  Ansdrocks 
„Jedes  A'\  ,,Maoche8  A"  bedienen,  sowie  wenn  es  in  der  sprachlichen  AuS' 
druoksform  des  „unbestimmten'*  Urteils  sich  darstellen  sollte,  gilt  ein  gleiches. 

Sa^en  wir: 

fl)ie)  Milch  ist  entweder  gefUlscht  oder  unverfrtlsclit  fecliO,  so  ist  das 
I  rtinl  wesentlich  ein  universales,  es  will  von  ,.jeder"  oder   aller"  Milch  gelten. 

«  Dasselbe  Urteil  aber  würde  wieder  nur  im  Sinne  von  i)  als  disjunktiv 
prädizirendes  su  verstehen  sein  und  unzweifelhaft  auch  Teistanden  werden. 
Das  entapreehende  disjunktive  Urteil 

0)  Entweder  ist  alle  Milch  gefUIscht,  oder  alle  Milch  ist  echt, 
wttre  abermals  sowol  als  Deutung  jenes  Urteils,  wie  anch  an  sich  zu  vei^ 
werfen. 

Die  bisherige  Logik  scheint  mir  non  zwischen  den  beiden  Arten 
von  Urteilen,  den  disjunktiven  (die  sie  den  kategorischen  gegenöber- 
stellt)  und  den  disjunktiv  prädizirenden  (welche  unter  die  kategorischen 
fallen)  nicht  hinlänglich  unterschieden  zu  haben. 

Die  von  ihr  so  n:enannten  disjunktiven  Urteile  sind,  wie  aus  dem 
Torstehenden  erhellt,  in  der  B^fd  disjunktiv  pnldizirende.  Jedenfalls 
werden  wir  es  zunächst  (bis  znm  Anssagenkalkul)  nur  mit  den  letzteren 


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§  15.    DisjunktiTC  Urteile  von  disjtiuktiv  pradizireuden  m  unterscheiden.  341 

EU  ihliii  haben.  Bios,  wo  sie  aingolär  sind,  erscheinen  beide  Auf- 
fassungen gleiebermassen  snlässig. 

Im  Hinblick  auf  den  Umstand,  daas  bei  diesen  Urteilen  die  Glieder 
der  Disjunktion  scbon  vielfach  in  der  Sprache  des  gemeinen  Lebens, 
desgleidien  bei  den  in  nnsrer  Theorie  mit  suzolassenden  Urteilen  ein- 
ander nicht  notwendig  amgusMessm  brauchen,  dürfte  es  als  ange- 
messener erscheinen,  das  Wort  „disjanktiy"  durchweg  durch  ein  anderes, 
etwa  durch  f/diemaHv^*  su  ersetzen. 

Anmerkung.  Im  Hinblick  auf  das  unter  ij)  Gesagte  könnte  man 
auf  die  Vermutung  kommen,  als  ob  ähnlich  duch  das  Urteil: 
«)  Ä  oder  BistC, 

in  wolchcui  üas  liiiulewürt  „oder"'  aiischoineiul  im  Subjekt  des  Satzes 
auftritt,  zweierlei  Deutuiij^smoj^lichkeiten  darböte. 

Bei  korrekter  Handhahung  der  Sprache  ist  dies  nicht  der  Fall. 
Dus  Urteil  ist  unter  allen  Umstanden  ein  sekundäres,  in  Wirklichkeit 
disjunktives,  welches  die  zwei  Urteile  „A  ist  und  „B  ist  C"  der- 
art von  einander  abhängig  hinstellt,  dass  mindestens  das  eine  derselben 
gelten  muss:  Entweder  A  ist  C,  oder  aber  7?  ist  0,  oder  auch  (bei 
der  für  uns  maassgebeudeu  Auffas-suiij^  des  ,,oder'')  beide,  A  und  />, 
sind  C.  Zu  seiner  Darstellung  in  der  Formelsprache  wird  auch  dieses 
Urteil  des  Aussaireiikiilknls  bedürfen. 

Dagegen  würde  ein  Urteil 
l)  ».4  oder        ist  C 

auszudrücken  haben,  dass  das  Gebiot  A  +  B,  der  Inbegriff  der  Klassen  A 
und  B  in  C  enthalten  ist,  demnach  sowol  A  als  B  selber  sich  unter  C 
subsumirt.  Bevdts  unter  «)  des  §  8  haben  wir  darauf  aufmerksatn  ge- 
nsacht, daes  aber  das  Pluszeichen  des  identischen  Kalküls  im  Subjekte  mit 
„und"  zu  Ubersetzen  ist,  und  hUtte  darnach  in  der  Wortsprache  der  Sach- 
▼erhalti  anstatt  durch  l)  nur  durch  das  Urteil 

fi)  A  und  B  ist  C 

ausgedruckt  werden  dttrfen,  wo  Verwechselungea  alsdann  ausgeschlossen 

erscheinen. 

Die  in  diesem  i*aragrajilieii  besprochenen  Urteiisformeii  lassen 
erkennen,  dass  es  —  wie  schon  Jevons  betont  —  oft  einen  Unter« 
scliied  macht,  ob  mau  von  einer  Klasse  spricht,  oder  ob  von  den  in 
ihr  eMtij;iir<M!Pit  hxJirldtten.  Will  mau  von  Klassen  reden  —  wie  wir 
es  bis  zur  Erledigung  der  wissenschaftlichen  Definition  des  Individuums 
ilurchweg  Torluiben  —  so  niüsseu  disjunktiv  (resp.  alternativ)  prädi- 
zireode  Urteile  von  den  disjunktiven  (resp.  alternativen)  und  negativ 
prädizirende  Urteile  von  den  UrteilsTemeinungen  sorgfältig  unter- 
schieden werden.  — 


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Achte  Vorlesung. 

§  IG.   D(  utung  der  Negation  für  Klassen.    Satz  des  Widorspruchs, 
des  aut-goschlossenen  Mittels    und  der  doppelten  Verneinung  im 
glaeaenkalkiil.    Dioliotomie.    Gewöbnliolie  Man n igf altigkeiU 

Die  ObertragQDg  der  bnherigen  Begriffe  and  Sltie  tob  den  6- 
hieiea  dner  Mannigfaltigkeii  1  Ton  Punkten  auf  die  KlBssen  einer 
Mannigfaltigkeit  Ton  Individuen  nnterliegt  keiner  innem  Schwierigkeit, 
wenn  nnr  ebendiese  Mannigfaltigkeit  wieder  die  beiden  Gmndeigen- 
eebaften  besitzt:  erstens  als  ein  Ganzes  1  denkbar  zu  sein,  d.  b.  nnr 
miteinander  veriräffliche  Elemente  ah  IndiTidnen  zn  enthalten  {Jcmh 
sisknt^  Mn.  —  vergl.  §  7)  und  zweitens  eine  ^em^  Mn.  an  sein,  so- 
mit unter  ihren  Individuen  nicht  audi  Klassen  Ton  solchen  Individuen 
(nebst  Yielleieht  noch  anderem)  zu  enthalten,  und  demzufolge  die  Ad- 
jungirung  einer  einheitlichen  Null  zuzulassen  [vergl  §  9,  x)]- 

Diese  beiden  Anforderungen  aber,  vereinbar  und  rem  zu  sein,  wer- 
den sich  für  die  Existenz,  fQr  die  Möglichkeit  der  Bildung,  eines 
Negationsbegritl'es  nicht  nur  als  hinreichende,  sondern  auch  als  uuer- 
lässliche,  notwendiije  Bedin^jungen  demnächst  ervet'i:5en. 

Aus  der  Manuigfaki^keit  des  Denknir)«jh*chen  überhaupt  denken 
wir  uns  tniie  Mn.  der  verlangten  Art  als  (>ine  wohldefinirto  Klasse 
hervorgehoben  und  bezeichnen  dieselbe  furtaa  kur^  als  eine  ^^ewvhn- 
liclie  Mannigfaltigkeit". 

Die  Elemente  oder  Tinlividui'n  ilerselbon  ;>//V.s>v;ii,  wie  gesagt,  ein- 
ander  gcffetit^i  ififf  attsschlirssen ,  in  dem  ^Siuno,  dass  zwar  wohl  ein  In- 
dividuum zugK'icli  Tai*)  oder  Eiijenschnß,  ThätigJccit,  Merkmal  eines 
andern.  deRtrlciclicn  sogar  eine  Beziehunfj  zwisclien  andern,  aber  nicht 
eine  Bedi  nfunij  desselben  sein  darf,  das  andre  nirht  etwa  eine  das  erste 
mitunif'ass(Mide  Klasse  sei.  Und  ienx  r  uuissun  diese  Individuen  ver- 
eiubar^  d.  i.  gleichzeitig  denkmöglicbe  sein,  es  dürfen  heim  etoei  em- 

*)  Vergleich«  eine  unten  8.  861  folgende  ezemplifisiiende  Betrachlnng. 


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9  16.  Gewfflmliflhe  HaimigfUtiglieii  348 

ander  ausschliessen  in  dem  Sinne,  dass  sie  beide  zusammen  sn  denken 
einen  Widersprueh  invokiren  würde.*) 

Unter  diesen  Umständen,  wissen  wir  bereits,  ist  es  zulässig,  eine 
Klasse  0  an  fingiien,  welche  allen  aus  der  Mn.  bervorbebbaren  Klassen 
a  gegenüber  jene  von  der  Def.  (2^)  geforderte  Eigensebaft  besitzt,  dass 
nämlich  0=^a  sei,  und  diese  Klasse  ist  die  leere,  welche  die  AoUe 
des  lyNichts*'  für  diese,  in  dieser  Mn.  spielt. 

Und  ferner  gibt  es  dann  auch  eine  Klasse  1,  welche  diesen  Klassen 
gegenüber  die  Forderung  der  Def.  (2^.)  erfüllt,  dass  a  =^  1  stets  ist, 
und  dies  ist  die  Mn.  selbst  als  die  umfassendste  der  in  ihr  enthal- 
tenen Klassen. 

Alsdann  auch  ist  es  möglich,  die  Individnen  irgend  einer  ga» 
gebenen  Klasse  a  aus  der  Mn.  fortsnlassen,  und  die  fihrig  bleibenden 
Individuan  derselben  wiederam  au  einer  Klasse  ansammensoiassen 
(fBr  weltthe  0  an  nehmen  ist^  wenn  keine  flbrig  bleiben  solltenX 

Wir  haben  damit  die  ausreichenden  Grundlagen  snr  Bildung  eines 
N^täonsbegriffes:  die  Negation  ä  oder  a,  von  a  wird  die  bei  dem 
geechilderfcen  Frosess  resnltirende  Klasse  sein. 

Wir  nennen  diese  Klasse  wM^,  noM-a,  die  J^egaUmy  auch  das 
ImiraäXktorMe  Qtgmteü  der  Klasse  a  m  Bmig  onf  dk  migrmuk  Ueffend 
ffedat^  Mmn^äUigheitf  welche  letrtere  indess  in  der  Begel  dnreb  den 
Gegenstand  der  Untersuchung  oder  die  Natur  der  ansustellenden  Über- 


*)  Dergleichen  wäre  wol  nur  dann  zu  gewiirtigeu,  wonn  ais  üiemente  der 
Md.  (auch)  in  Uftsilsn  niedergelegte  übeneugangen  figuriren,  wenn  als  deren  In- 
dividoen  ..Gkuibeimätitf*  (un  weiteren  Sinne  des  Wottea)  nnftraien.  Dana  Obiges 
aoidrtckUcb  zu  verlangen,  scbeint  eigentlich  aberflüasig,  weil  von  Vemünftigen 

Unvereinbarea  ohnehin  nicht  znsaramen  gedacht  wird,  und  für  Vcrrflcktc  keine 
T.öjTtk  geschrieben  wird.  Von  Vernünftigen  —  jal  —  sofern  sie  nicht  auf  dem 
Holzwege  sind,  nicht  irren.  Versteckte  Widersprüche  kOnnen  aber  aach  solchen 
entgehen. 

Ohnehin  dflrfle  aneh  die  Orense  swiichen  bnden  S^tegovieen  von  Personen ' 
gar  nicht  lo  fobatrf  lo  neben  aeini  viehnebr  Imt  die  Anaieht  eebr  viel  fllr  sieh, 

dass  jeder  Mensch  an  partiellem  Wahnsinn  leide,  dass  er  seinen  „Tollpnnkf*  be- 
sitzt (oventuell  auch  deren  mehrere,  welche,  nebenbei  <?eRaflrt,  meist  ?chon  daran 
i-rkennbar,  dass  er  „böse"  wird,  sobald  eiii  solcher  von  Andern  berührt  wird)  — 
oder,  um  mit  meinem  Kollegen  Knop  einen  terminua  tecbnicus  der  Geologie  za 
verwerten,  mit  dem  eie  da»  Yeikommnifla  beseiohnet,  wo  eine  Sdiioht  plOfalidi  in 
gnns  enderem  Nivean  aioh  foctsetit,  alt  auf  welcben  ne  anfgebOit  hat  sn  ttrai« 
eben:  dass  et  anoh  in  des  Mentchtn  Hine  „Verwerfnngat|Mdton'*  gibtb  — 

Endlich  war  doch  in  Anhang  4  und  6  en  tehOD,  dass  man  auch  unverein- 
bare, inkonsistente  Mannigfa1t)c;k*fiten  sehr  wohl  zum  Oegenttand  det  Stodinmt 
nacben,  alt  üntersucbongtfeld  sich  erwählen  kann.  — 


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• 


344  Achte  Vorlemng. 

legungen  von  vornhereiu  bestimmt  ist,  als  ein  für  allemal  f^egobcn 
erscheint,  woneben  es,  andernfalles,  meist  als  belanglos  sich  erweist, 
ob  sie  mehr  oder  minder  enge  begrenzt  wird  —  woraus  sich  erklärt, 
weshalb  sie  nicht  weiter  erwähnt  zn  wwden  pflegt. 

Wir  abertragen  anch  diese  Benennungen  auf  die  den  Klassen  a 
und  a,  (oder  <i)  möglicherweise  zugeordneten  Begriffe. 

Als  Beispiele  haben  wir  bereits  im  vorigen  Parap:rnp}ien  die  Ne-^a- 
iionen  „nicht-schwarz"  und  Nichtkombattant"  besprochen.  Der  lot/lerc  IJe- 
griff  luutusst  7.  B.  die  Pionire,  Trainsoldaten,  liegimentähauUweikcir,  Luza- 
itiigeliüliüD,  Aiüte,  Auditoren  und  Geistlichen  die  am  Feldzug  teilnehmen 
oder  snr  Armee  gehören,  und  lassen  die  Beispiele  erkennen,  dass  in  der 
That  der  Negationsbegriff  auf  eme  bestimmt  abgegrenste  Mn.  gemeinhin 
besogen  wird. 

In  der  Unbestimmtheit  jener  beim  Negiren  eines  Begriffes  zu- 
grunde EQ  legenden  Mannigfaltigkeii>  welche  als  eine  demselben  (nicht 
immer  gerade  ,|nachst-'')  flbergeoiduete  Oattnng  aasfindtg  la  machen 
die  Sprache  gewöhnlich  dem  SprachgefQhl  des  Einseinen  flberlSast» 
liegt  nnn  allerdings  eine  Schwierigkeit,  mit  welcher  die  Theorie  sich 
abzufinden  hat  In  praktischer  Hinsicht  ist  diese  Schwierigkeit  minder 
erheblich,  da  man  bei  der  angewandten  Logik,  in  den  Wissenschaften, 
doch  allemal  nur  zn  thun  hat  mit  Objekten  einer  bestimmten  Gattung, 
mit  den  Dingen,  welche  eben  dem  Felde  der  Untersuchung  angehören. 
Fühlbarer  macht  sie  sich  auf  dem  Gebiete  der  reinen  Logik,  die  eich 
ja  nach  Möglichkeit  erstrecken  sollte  ttber  alles  Erdenkliche. 

Behufs  Erzielung  einer  möglichst  unumschränkten  Anwendbarkeit 

unsres  Kalküls  wird  es  sich  empfehlen,  die  beim  Negiren  zugrunde 

zu  legende  Mannigfaltigkeit  thunlichst  mii  zu  fassen.   Auf  die  Art, 

wie  dies  sich  erreichen  lasst,  gehen  wir  nachher  (am  Schlus^  des 

Paragraphen)  ein. 

Einstweilen  sei  nur  auf  folgendes  hingewiesen.   Ausser  beim  PrSdi- 
xiren  kommt  die  Verueinun^'spartikel  „nicht^'  am  httufigsten  in  Verbindung 
•  mit  Adjektiven  (oder  deren  Substantivirun^)  vor,  und  wird  hier  nicht 

selten  (Iiirrh  die  mit  dem  griechisclien  Alpha  privat ivuui  entspicclicnde 
Vorsilbe  ,,uu-'  vertreten.  Z.  B.  „möglich'*,  „unmöglich''  «»=»  nicht-möglich, 
„Unmöglichkeit''. 

^  Durch  die  letztere  phegt  aber  noch  bestimmter  als  bei  Anwendung 
der  Partikel  „nicht**,  auf  ein  bestimmtes  genu»  prozimum  des  dem 
negirten  Adjektiv  entsprechenden  Begriffes  hingewiesen  zu  werden,  jsodass 

man  die  beiden  Ausdrucke fnm^en  nicht  unbedingt  für  gleichbedeutend  er« 
klären  «l;uf.    Z.  B.  von  „durchsichtig''  oder  „undurchsichtig"  zu  sprechen, 

werden  wir  nur  Anluiss  haben,  vro  von  körperliehen  Dinf^'en  die  Rede  ist. 
liei  der  liilduug  des  NcgatiuntsbegnÖ's  der  „Undlu^•h^ic•hti;.,'keiL"  wird  des- 
halb auf  die  Mannigfaltigkeit  der  Körpcrwolt  (re^p.  ihrer  Merkmale)  Bezug 


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I  16.  DeotiiDg  der  Negfttion  fflr  KUraen. 


345 


geuonimen,  reflaktiri  Die  Frag«,  ob  Geister  dnrehsichüg  seien  (Dro bisch) 
wird  all^'cmcin  m  verneinen  sein;  ans  dem  genannten  Grande  dürfen  sie 
aber  doch  nicht  .,uudurchsichtit'"  ^'enannt  werden.  Lo^rifeh  korrekt  l)leibt 
die  Antwort:  „tieister  sind  nicht-durchsichtig"',  wo  dann  mit  der  Negation 
Bezag  genommen  ist  auf  eine  hinreichoid  amEassonde  Mannigfaltigkeit, 
welche  neben  dem  Siebtbaren,  der  Körperwelt  auch  miodeetens  die  Geister, 
und  (nattb  Belieben)  anderes  mehr,  nmfiust. 

Mit  Denknotwendigkeit  gelten  nun  die  Gleichangen: 

30^)  au  =  0,       30^)  a  +  a  =  i  ,       ol)  a  —  a , 

sowie 

0»1  und 

Znn&chst  die  beiden  letzteren  geben  nns  (fOr  Klassen  gedeutet)  die 
Sätse:  ^tc^idUs  is^  ekeaa  —  eine  Klasse^  die,  wie  wir  gesehen  haben, 
Alles  flberhaupt  (innerhalb  der  Mn.)  Denkbare  amfasst.  Und 
eUeas  ist  tMi8, 

So  nnumechrSnkt  diese  SStie  auch  zu  gelten  scheinen  (infolge  imsrer 
Gewöhnung,  mit  unsern  Überlegungen  nns  immer  nur  innerhalb  einer 

w?lhnlichen"  Mu.  zu  bewe^jen),  dürfen  wir  docli  >ehon  bei  ihnen  nicht  ausser 
Acht  lassen,  dass  für  eine  V()lli<,'  offeue  Mu.,  für  die  „absolute*'  Manuig« 
faltigkeit  des  Uberhaupt  m  denken  Möglichen,  dieselben  keine  Geltung 
haben  werden,  indem  Är  sie  ~  wie  in  §  9,  t/;)  gezeigt  —  ein  einheitliches, 
ein  „absolates  Nichts*^  vndenkbar  ist.  Schon  dnroh  seine  blosse  Benennnng 
und  Einfuhrung,  durch  seine  A^nngimng  sa  einem  Teile  dor  ubsoluten 
Mn.  wurde  das  Xicht:*  /u  einem  Individuum  gestempelt,  „individualisirt" 
für  andere  Teilrnannigtaltin^koiten  derselben.  Das  Nichts  in  Bezug  auf  eine 
gcwühntiche  Mu.  i.  B.  war  allemal  ein  Individuum  in  Bezug  auf  die  aus 
dieser  „abgeleitete"  Mn.;  das  Nichta  der  Grössenlehro  war  ein  Individuum 
in  der  Klasse  der  Zahl^  (die  arithmetische  0)»  die  Null  des  identischen 
Kalküls  ein  Individonm  in  der  Klasse  der  Gebiete  oder  in  der  Mu.  der 
Blassen.  Sie  wurde  selbst  ja  zu  einem  Gebiete,  zu  einer  Klasse.  Ober* 
haiipt  ist  „Nichts"  immer  ein  Individntim  in  der  KIa.sse  der  Eigennamen 
sowie  der  Namen  schlechtweg,  der  Worte  und  der  Symbole,  eventuell  der 
Vorstellungen,  Gedankendinge  oder  Erfindungen  des  Menschen.  Jedermann 
wird  die  Behauptung  zugeben:  ist  etwas,  wovon  man  reden,  ^^cUi  as^'^ 

worüber  man  verschiedener  Meinung  sein  und  streiten  kann.  Es  existirt 
also  schon  der  obige  G^ensats  zwischen  „nichts^  und  „etwas^^  in  der  ab* 
soluten  Mn.  nicht. 

[Es  könnte  eingewendet  werden,  dass  wir  hier  von  Nichts"  immer 
nur  in  der  snppopitio  nominalis  gesprochen  vergl.  der  Einleitung,  S.  44  — 
von  ^(km  NichLa',  als  dem  Worte,  ev.  der  Vorstellung  des  Nichts,  aber 
nicht  von  Atx  Sache,  nicht  von  ebendiesen  in  der  snppositio  realis  oder  im 
Hinblick  auf  seine  Bedentong  genommen,  nicht  wirklich  von  nichts.  Allein 
im  litstern  Sinn  kann  davon  ttberhanpt  nicht  gesprochen  werden,  man  mOsste 
denn  schweigen.] 

Die  Gleichung  30^)  aa,  -=»  0  sagt  nun  ans:  Es  gibt  mdUSj  tßos 
ji^Zeicft  (und  im  selben  Sinne)  a  md  nidU^  ist 


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346 


Achke  Torlesniig. 


Z.  B.  Nichts  ist  schwarz  und  zugleich  auch  nicht  schwarz.  Ein 
Subjekt  auch»  dem  die  Prädikate  ,,schwarz'^  und  ^iiiicht'sebwan''  gleich- 
seitig zukommen  sollten,  muss  ^^nichts*^  sein. 

Die  Gleichung  erseheint  als  der  konziseste  Ausdruck  für  den  t,Satß 
des  Widerspntehs"f  das  principium  conindMmis  der  alten  Logik  —  sn- 
niebst  hier  mit  der  Besehrankoog  aaf  Elaseen  and  Begri£bnmf2age. 

Aristoteles  in  seiner  Metaphysik  fürniulirt  den  Satz  so  (vergl.  Sig- 
wart*  p.  ist  unniöißkh ,  dass  da^sdhc  (h'msdljcn  in  dcrseihm  Be- 

ziehung mgleich  -itl-ofnnh"  n?  /?  niclil  zukommr  .  .  .  und  sagt  weiter:  Dies  ist 
der  allergewisseste  liniiidsatz  .  . deun  es  ist  unmöglich,  dass  irgend  je- 
mand annehme ,  dasselbe  sei  und  sei  nicht . . .  Jedermann,  der  einen  Be- 
weis fahrt,  führt  ihn  deshalb  aof  diesen  Sati  als  letzten  zurflek;  denn  er 
ist  von  Niinr  daa  Prinrip  auch  fttr  alle  andern  Axiome. 

Demselben  Satze  werden  wir  im  Anssegenkalkal  wieder  begegnen 
gleichwie  aoob  den  ttbrigen. 

Die  Gleichung  30^)  a  +  a,  »  1  sagt  ans: 

AUes  ist  »a  oefer  iMt<^€. 

In  die  Formelsprache  ?:urück0ber8etzt  würde  dieser  Ausspruch 
allerdings  nur  besagen:  l^flr  +  flr, ,  allein  nach  Th.  5^)  muss  diese 
Subsumtion  äquivalent  sein  der  Gleichung  •'»O^)-  Jedenfalls:  Was  a 
isty  und  iras  nicht -a  ist,  crrjänzt  sich  zu  der  Gtsamtlieit  alles  (in  unsrer 
Mannigtaltjgkeit)  Denlharen ,  macht  zusammen  diese  »janze  Mn.  aus. 

Ein  Drittes  oder  Mitteldimj  sneisdien  a  und  nicht-a^  ,jSchwarz"  und 
j^uiclit-schwarz",  gibt  es  darum  in  ihr  nicht  Und  so  erscheint  der  »Satz 
als  Ausdruck  des  „principium  cjcclusi  tcrtii  (oder  mcdii)  inter  dtto  con- 
fradidorin'',  als  der  (Irundsaf-  des  ausgesrldossencn  Dritten  oder  Mittels 
zwischen  zwei  kontradiktorisch  entgegengesetzten  BegriflFen  oder  als 
das  „tertium  non  datur''  der  alten  Logik  —  für  den  Klassenkalknl 
gedeutet. 

Die  Übliche  Fassiincr:  Omnr  Ä  est  auf  Ii,  mit  non-B  (Jedes  A  ist  ent- 
weder ii*,  oder  nicht- muss  aber  vor  missverständlicher  Deutung,  vor 
einer  zu  wMt  gehenden  Intwpreiation  bewahrt  werden. 

Übersetzt  man  das  i,omne  Ä**  mit  ,Jede6  Tndividwim  einer  Klasse 
so  ist  der  Satz  richtig,  nämlich,  wie  oben  ^  1  i)  auseinandergesetzt ,  sowol 
za  verstehen  als  das  disjunktiv  prildizirende  Urteil:  A  ist  ■>  7?  oder  niclit-ß« 
—  unzweifelhaft  gilt  in  der  That:  A  ^  B  +       da  ebeu     +  />',  =  1  und 
..'1  =^  1  sein  muss  —  als  auch  als  disjunktives  Urteil  fürs  einzelne  ludividuum. 

Deutete  man  aber  das  „omne  4"  als:  „jedes  Objekt  A  des  Denkens", 
so  ttbersehritte  man  den  dem  Satze  fbktiseh  zukommenden  QttlttgkeitBberjBicb, 
und  namentlieh  würde  man  über  die  demselben  rechtmSaeig  zokommende 
Deutung  hinaus  gehen ,  wenn  man  das  „omne  A"  ttbersetzen  wollte  mit 
„jede  Klasse  ^4".  Hierdurch  nllmlich  würde  das  Urteil  «[leichbedeutend 
mit  der  (disjunktiven)  Behauptung,  dass  entweder         IS  oder  A=^B^ 


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§  16.    Satz  des  Widersprach«  und  des  ausgeschlossenen  Dritten.  347 


sem  mttflse»  was  ja  falsch  sa  nennen  ist,  sooft  A  ans  Tsüen  yon  S  nnd 
sieb  xnsammensetzt. 

So  mag  s.  B.  wahr  sein:  Alle  Schafe  sind,  oder  jedovS  Scluif  Ist.  ent- 
weder schwarz  oder  nicht  schwarz  frosp.  woiss),  wogegen  doch  gleii-hwol 
nidU  gelten  Jede  Sebafrasse  ist  ontweder  schwan  oder  nicht  schwarz 

(weiäs)f  indem  eine  üolche  Hasse  auch  schwarze  neben  weisäen  Schafen  ent- 
halten mag. 

Mit  andern  Worten:  der  von  „jedm  Ä**  behauptete  8ats  gilt  nur 
in  der  ursprOngHoben  nnd  niebt  in  der  (aus  ihr)  «abgeleiteten**  Mannig- 
faltigkeit. 

Die  Theoreme  30}  mfitsen  besonders  bei  der  tpiasenadu^tUdtm 
KkasifiJiaiim,  ^EnUeiltmg  (divisio)  berOeksicbtigt  werden. 

Von  einer  solchen  ist  als  oberste  Anforderimg  die  zu  erfüllen, 
daas  die  EtnteilungsgHeder  oder  (Unter}Arten  der  zu  klassifisirenden 
Gattung  wirklieb  sosammen  diese  Gattung  ausmachen:  kein  Individuum 
der  Gattung  darf  ausgelassen  werden;  die  Klassifikation  muss  eine 
voUsiändige  sein;  die  Einteilung  darf  keine  Lüdx  (gap,  hiaius  in  divi- 
dendo)  aufweisen. 

Katllrfieb  mtlssen  die  Einteilnngsglieder  auch  wirklich  Arten  der  ge- 
nannten Gattang  (mfissen  derselben  sSmtlich  eingeordnet)  sein;  die  Arten 
dflrfeu  nicht  über  die  Gattung  hinausgreifen. 

Diese  Anforderung  lilldei  sihcv  keine  ^olil.e,  vor  deren  VemachlUssi^nn^ 
besondiTp  /u  warnen  ist,  weil  die  Einteilungsglieder  ohnehin  nur  als  deter- 
miiiirenvle  lakioreu  der  Gattung  in  Betracht  zu  koiDiiien  pflegen.  Teilten 
wir  z.  Ii.  die  Schafe  ein  in  weisse  und  ächwame,  so  meinten  wir  natür- 
lich nicht:  in  weisse  Dhiffe  tmd  schwarze  Dinge,  sondern  in  wdsse  8(Mfe 
and  schwarze. 

Damach  pflegt  sich  die  Anforderung,  dass  die  identische  Summe  der 
Einteilungi-glieder  der  Gattung  eingeordnet  sei,  gemii?s  Th.  G^)  und  Def.  (3^) 
ganz  von  selbst  7u  erffillen;  die  Vollstfindigkeit  aber  erfordert,  dass  nun 
auch  die  umgekehrte  Kinordming  staltfinde,  damit  eben  gemäss  Def.  (l) 
identische  Gleichheit  zwischen  der  Gattung  und  der  Summe  ihrer  Arten 
Torliege. 

Als  eine  zweite  fundamentale  Anforderung  pflegt  die  bingestellt 
SU  werden^  dass  die  Einteilungsglieder  disjunkt  seien,  einander  gegen- 
seitig  ansscblSssen^  je  su  zweien  0  zum  Produkt  geben. 

Die  VeinacbllssiguDg  dieser  Anforderung  würde  nSmlich  zu  tau- 
tologiscben  Wiederholungen  von  bereits  Aufge^bltem  fKbren,  welche 
als  nicbt  wfinscbenswert^  an  sieb  zwecklos  hinzustellen.  Fehlerhaft 
könnte  aber  solches  Verfahren  nicht  wol  genannt  werden,  aucb  würde 
ein  Verstoss  gegen  diese  zweite  Anfoidenuig  keine  bedenklichen  Wir* 
kongen  baben  —  vielmebr  kann,  wie  wir  in  §  18,  a..d)  zeigen,  die 
Missacbtong  derselben  durch  Rücksichten  auf  die  Kürze  und  Bequem« 
lichkeit  des  Ausdrucks,  bei  Aufzählungen  (die  eine  Gattung  oder 


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348 


Achte  Vorlosang. 


Kategorie  klaseifisirend  erschöpfen  solleD)  Dicht  selten  sogar  geboten 
erscheinen. 

Eine  dritte  nnd  letzte  Anforderung^  die  rigoros  gestellt  za  werden 
pflegt,  ist  die:  dass  ein  „Einteilungsgmnd*'  vorhanden  sei  (vergl.  Ein- 
leitung 8.  Sö).  Diese  Anforderung  mag  durch  psychologische,  didak- 
tische, oder  auch  methodologische  Rfleksiehten  diktirt  erscheinen;  in 
rein  logischer  Hinsicht  ist  sie  wol  irrelevant  zu  nennen.  Logisch  voll- 
kommen  ist  eine  Einteilung  —  im  Sinne  der  Logik  des  ümfanges 
wenigstens  —  sobald  sie  nar  die  beiden  ersten  Anforderungen  ja  zur 
Not  schon,  sobald  sie  die  erste  derselben  erf&llt. 

Eine,  alle  drei  Anforderungen  erfOllende,  nnd  Oberhaupt  die  logüeh 
vollkommenste  Einteilungsweise  wird  erhalten,  indem  man  das  Th,  30^) 
zum  Schema  der  Einteilung  nimmt,  nämlich  ans  der  Gattung  nur  zwei 
Arten,  aus  jeder  Art  ebenso  nur  zwei  Unterarten,  und  so  weiter,  macht, 
und  /.war  in  folgender  Weise.  Sobald  (durch  ein  Merkmal  bestimmt, 
was  indess  vom  Standpunkt  iler  Logik  des  Umfange«  noch  unwesent- 
licli  /u  neiiiu'u)  eine  Art  n  der  Gattung  als  solche  sich  darbietet, 
iiiuss  die  Negation  von  dieser:  soweit  sie  nur  unter  die  Gattung 
fällt,  als  die  andere  Art  hingestellt  werden.  Und  ebenso  weiter  in 
Hinsicht  der  Artm  und  ihrer  Unterarten,  falls  jene  noch  fort  und  fort 
eingeteilt  werden  sollten. 

Das  solches  Einteilnngsverfahren  Hn  ersehüpfendes  sein  muss,  ist 
nach  Th.  30^)  evident,  wenn  man  dieses  fUr  die  jeweils  einzuteilende 
Gatttiiit,'  als  augenblicklicher  Mannigfaltigkeit  1  in  Anspniel»  nimmt. 
Ebenso  erfüllt  das  Verfahren  kraft  Th.  30^)  aueli  die  zweite  .\ntor- 
dernng  (und  bil^lof  allemal  das  erwähnte  Merkmal  den  durch  die  dritte 
geforderten  Eiuteilungsgrund). 

Anwendbar  ist  das  Verfahren  auf  jede  Gattung  einer  „gewöhn- 
lichen** Mannigfaltigkeit  1.  Hült  man  letztere  fest,  und  nennt  a  die 
zu  kiassihzirende  Gattung,  b  eine  erste  Art  derselben,  so  wird  6  =^  a, 
somit  nach  Th.  20^  b^ah  sein.    Man  hat  demnach  die  Einteilung: 

a  =  ab  +  abf 

Ist  dann  e  eine  Unterart  von  ab,  d  eine  solche  von  a&,,  so  hat.  man 
ebenso  weiter: 

ab  —  abe  +  o6c, ,      ab^     a&,d  +  a6,d, 

sonach 

a  =  ahc  4-  «6t,  -i-  üb^d  +  «6,«/,, 

wo  augenscheinlich  das  Produkt  irgend  sweier  Glieder  rechts  ver^ 
schwinden  muss,  als  ein  zwei  solche  Faktoren  Tereinigendes,  die  Nega- 
tionen von  einander  sind.  Etc. 


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§16.  Dichotomie. 


349 


Eiae  derartige  Einieilang  heiast  immieiUff  oder  dkhofomistk  (im 
weitem  Sinne).  Die  Gattnng  Tersweigt  sich  dabei  in  Arten  und  Unter- 
arten 80  wie  mancher  Baum  sieh  in  Äste  und  Zweige  gabelt  Eis  ist 
aber  nicht  erforderlich,  dase  jede  Unterart  gleiehmässig  weit»  ein- 
geteilt werde  und  jedenfalls  wird  man  bei  gewissen  Spezies  als  letalen 
Einteilongsgliedem  stehen  bleiben. 

Gewohnlich  setzt  man  sogleich  eines  von  diesen  endgQltigen  Ein- 
teilungsgliedem  jeweils  als  erste  Art  resp.  Unterart  an,  dessen  Nega-  ^ 
tion  dann  also  die  übrigen  unter  die  betreffende  Gattflng  resp.  Art 
fallenden  EinteilungsgHeder  •  in  sich  Tereinigen  wird.  Hier  braucht 
nur  diese  letztere,  mithin  immer  nur  das  eine  der  beiden  Einteilnngs- 
glieder  noch  weiter  eingeteilt  zu  werden  —  Dichotomie  im  engeren 
Sinne.  Auch  diese  ist  zuverlässig  eine  erschöpfende  (ezhaustiTe)  Ein- 
teilnngsweise.  - 

Werden  z.  B.  mit  Max  Müller'  die  menschlichen  Sprachen  unter 
dem  Gesichtspunkt  ihrer  genealogischen  Yerwandtschaft  oder  nach- 
weislichen Abstammung  Ton  einer  gemeinschaftlichen  Muttersprache 
eingeteilt  in  die  arischen  (oder  indogermanischen),  die  semitischen  und 
die  turanischen,  so  erhalten  wir  di^otomisch  zuwerkegehend  die 
Einteilung: 

Sprache 

arisch  nicht-arisch 

semitisch         nii  Iit-soniilisch 

turanisch  nicht-taranisch 

und  ist  üuu  ersichtlich,  tlass  wenn  etwa  bei  der  oben  erwähnten  Ein- 

teilunfii;  eine  Spraclie  üb^'r^^ulK•n  worden  sein  ^^ol]te,  die  sich  in  keine 

der  drei  Abteihin<a'n  einfü<ji;t,  oder  wenn  vielleielit  bei  einem  wilden 

Volkä8tanime  eine  solche  Sprache  noch  neu  entdeckt  werden  sollte, 

diese  notwendij^  zu   unsrcr  Ictztm  Gruppe  gehören  wird  —  d.  i.  zur 

Gruppe  der  weder  arisch-  noch  semitisch-  noch  turanischen  Sprachen. 

Vorgl  hiezu  Jevons''  p.  ^8.. III,  insbesondre  auch  bezUglicb  des 
„Baum  des  Porphyrius"  (Malchos). 

Solange  dergleichen  nicht  bekannt,  mögen  wir  diese  vierte  Unter- 
abteilung allerdings  gleich  0  annehmen. 

Ähnlich  a])er,  wie  in  diesem  Beispiele,  bewahrt  uns  aui  den 
weniger  siclu  reti  Gebieten  des  Wissens  allein  das  dichotomische  Ver- 
fahren vor  dem  Hegehen  einer  Auslassung  beim  Einteilen.  Um  hier- 
gegen die  erforderliche  Garantie  zu  gewinnen,  genügt  es  indess.  wie 
man  sieht,  sich  nur  die  Utete  Unterklasse  allmai  zum  iiewusstseiu 


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360 


Achte  Vorlesnng. 


zu  bringen,  welche  von  den  bereite  aufgezilhlten  übrig  gelaneD  wird, 

und  mit  Sorgfalt  zu  erwilgeu,  ob  sie  wirklich  eine  leere. 

Unterbleibt  dies,  während  sie  doch  mitangeführt  wurde,  so  macht  der 
KlM^slR/.irende  den  Eindruck  nur  SeUistversttindliches  zu  sa«,'en.  Hierauf 
bcruiit  /.  B.  der  Humor  der  folgenden  iu  Ötudentonkreiaen  beliebten  Hexa- 
meter von  uabekauntem  Autor: 

8t  bene  rem  memini  saut  causM  quinque  bibeadi: 
Hospitia  adventas,  praesens  eitis  atqne  ftiinra, 
VÜliim,  festa  dies  et  quaelibet  alia  causa. 
—  Weiss  ioh  die  Sache  noch  recht,  ho  f(ibt's  fliiif  Gründe  des  Trinkens: 
Erstlich  die  Ankunft  des  Gast's,   dann  Durst  nebst  künftigem  Dürsten, 
Wein  auch^  und  festlicher  Tag,  und  je^licJie  andt  re  Ursach.  - 

Die  Gleichung  31)  (a,),  — a  stellt  das  „Prinsip  der  doppelten  Ver- 
nemwn^^f  das  ,^upplex  npffoUo  affimuUf'  Tor,  Sie  zerfallt  nach  J>ef.  (1) 
in  die  beiden  Sabsumtionen: 

a^(aX,  d,  h.  a  ist  nkkt  tuMn, 

und 

^'1)1         w'os  nicht  nicht-a  ist,  mtiss  a  sein. 

So  unbestimmt  sind  ihrem  Sinne  nach  die  in  Worten  ausgedrtkkten 
Sätxe,  sogar  Grundsätze,  der  herkömmlichen  Logik,  dabs  man  darUber  ver- 
schiedener Meinung  sein  kann,  welchen  derselben  eigentlich  unsre  Formeln 
jeweÜB  darstellen!  Es  stellt  B.  Boele ,  dem  wir  un^  augesoblossen, 
*  pag.  49  die  Oleichang  30,^)  als  den  Ansdraek  des  prineipinm  eontradic- 
tionis  hin,  wogegen  Peirco''  pag.  28  im  Anschlnss  an  Leibniz  und  Kant, 
die  Subsamtion  a  =^  (  /,),  als  solchen  ansiebt  —  die  umgekehrte  als  das 
principium  exclnsi  medä  hinstellend. 

Man  vergloiche  Über  diese  Stroit  frage  die  grtlndiicbe  Auseinander- 
setzung von  Sigwart*  §  23,  welcher  auf  Aristotelct»  zurückgehend  dar- 
tbat|  dass  unsre  obige  AulGusm^  die  bereohtigte. 

Übrigens  hUngeu  die  drei  Sätze  in  der  Thai  auf  das  innigste  zu- 
sammen. Alle  drei  gelten  sie  iudess  nur  für  eine  „gewöhnliche** 
Mauuigfaltif^keit,  weil  nur  für  eine  solche  der  Begriff  Nicht-«  auf- 
gestellt werden  kuiinle,  und  koustatiren  sie,  indem  sie  als  schlechtweg 
gültige  hingestellt  /.u  werden  pflegen,  gewi.s^äcrmasseu  gleichuiässig, 
dass  wir  uns  mit  uü.serm  Denken  immer  nur  in  einer  soK  lien  bewegen. 

Wer  mit  S  ig  wart  die  Verneiuuugüpurtiköl  aut  die  Kopula  bezieht, 
kann  die  Sfttze  31)  auch  wieder  nur  für  Individuen  von  a  gelten  lassen, 
aber  nieht  für  Klassen  a.  Eme  Sohafrssse  z..B.  von  der  es  falsch  ist,  su 
behaupten,  sie  sei  nieht^weiss,  indem  sie  neben  schwarzen  aueh  weisse 
Schafe  enthält,  d^rf  darum  doch  nicht  weiss  genannt  werdeu,  weil  dieses 
Frftdikat  damit  anch  ihren  schwarsen  Schafen  zugesprochen  würde. 

Dass  nun  die  /in  unsre  Mannigfaltigkeit  zu  stellenden  beiden  An- 
forderungen fykonsistent"  und  „rein"  zu  sein,  nicht  nur,  wie  erkannt, 
hmniidiendf  sondern  auch  notwendig  (unerlässlich)  sind,  damit  die 


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}  16.  SatB  der  doppelten  Venieiiiuug  (im  Klutenkalkiü).  351 

llieorie  der  Negation  Anwendniig  finden  k5nne  und  allgemein ,  ftlr 
jede  der  Mn.  angehonge  Ebme^  der  Begriff  ilirer  Negation  au&tollbar 

werde,  ist  zudem  leicht  sn  seheiL 

Wäre  die  Mn.  nidbt  konsistent,  so  wSre  durch  ihre  Setzung  bereits 
ein  Widerspruch  gegeben,  und  könnte  auf  dieser  Basis  unmöglich  die  For> 
derunj,'  widerspruchsfreien  loj^ischen  Denkens  ernillt  werden. 

Wäre  aber  die  Mn.  keine  reine,  so  mtlsstc  mmdestens  einmal  als  In- 
üMimm  derselben  eine  Klasse  A  fignriren,  die  neben  andern  auch  ein 
Maierdem  schon  Torkommettdes  Jfiiftvieltiiii»  b  derselben  Mn.  nnter  sich  be- 
greift. Die  Negation  dieser  Klasse  A  dürfte  nach  80^)  kein  IndiTidQiun 
derselben,  also  auch  1^  nieht»  enthalten,  und  mOsste  dennoch  alle  übrigen 
Individuen  der  Mn.,  ausser  genanntem  A^  umfassen,  unter  diesen  auch  das 
frei  vorkommende  —  es  wäre  mithin  Widersprechendes  gefordert,  Ebenao 
hätte  die  Negation  des  b  (als  isolirton  Individuums  der  Mn.)  alle  übrigen 
ladifidtten  derselben^  sonadi  aneb  als  Indindoen  m  nnt&ssen,  damit 
als  Inbegriff  von  b  und  fraglichem  Nicht-5  die  ganze  Mn.  herauskomme 
(die  ja  das  Individanm  A  enthalten  soll),  und  zudem  dürfte  dieses  Nichts» 
das  h  nicht  enthalten,  welches  zugleich  mit  dem  in  ihr  enthaltenen  A  doch 
in  ihr  steckt.  Aach  hier  wäre  also  der  Ausschluss  des  6  zugleich  mit 
desäcn  Einschlnss  (das  oine  expücite,  das  andre  implicita  mittelst  A)  ge- 
fordert —  was  unvereinbar. 

Wihrend  es  so  sich  nicht .  angängig  erwies,  nnter  AnsscUnss  eines 
IndividniimB  doch  gans  eine  Qattung  «unlassen,  die  es  nnter  sich  begreift, 
oder  umgekehrt,  bei  Ausaohlnss  dieser  ganzen  Gattung  das  Individuum  zu- 
zulassen, während  es  logisch  unmöglich  erschien,  der  Gattung  und  den  Be- 
deulnnnfn  ihres  Namens  VVidei^prcchendes  zuzumuten,  bleibt  solches  sehr 
wohl  tnügiich  in  Bezug  aut  eiu  Ganzes  und  dessen  TeUe^  wie  es  das  fol- 
gende Beispiel  erläutern  mag. 

Qesetat  in  einer  Frage  der  Besteuerung  von  Grund-  und  Hansbesitsern 
gelten  als  S^etmu^f^kU  nicht  blos  die  Hinser,  sondern  auch  die  Fenster 
und  die  Kamine  derselben  —  um  nicht  zu  sagen,  auch  die  Ziegel  auf  den 
Dächern.  Dann  sind  diese  letztern  ja  sämtlich  Teile  der  erstem.  Mau 
wird  sie  aber  alle  als  gänzlich  von  einander  unabhängige  Objekte  ansehen 
und  behandeln  können,  und  z.  B.  aus  bestimmten  vielleicht  gesetzlich  nor- 
mirten  GrUuden  jemanden  von  der  Besteuerung  seines  Gebäudes  frei  ^ 
spredien  kOnnen,  ohne  ihm  (damit)  doch  diejen^e  von  dessen  Kaminen  «u 
erlassen,  u.  s.  w.  In  dieser  Mn.  wttrde  die  Negation  «nee  Hauses  doch 
dessen  sämtliche  Kamine  und  Fenster  als  Individuen  enthalten  mtLssen,  die 
Negation  der  gesamten  letztern  aber  das  Haus  (als  Ganzes)  doch  ein- 
begreifen. Es  entstünde  koinerlci  Widerspruch,  denn  was  vom  Ganzen  gilt 
(quidqnid  valei  etc.)  braucht  darum  bei  den  Teilen  nicht  auch  schon  zu- 
zutreffen. Das  lläus  und  sein  Kamin  bleiben  hier  doch  von  einander  un- 
abhlBgige  Objekte  des  Denkens. 

Konsisträt  wird  nun  eine  Bin.  schon  sein,  sobald  sie  keine  Urteile 

tla  IndiTidnen  nmfaset^  denn  dann  kann  auch  zwischen  letateren  kein 
Widersprach  bestehen.  Bein  wird  sie  sicher  eeini  sobald  keine  Klassen 
als  ihie  Individaen  figuriren. . 


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362 


Athte  Vorleintig. 


,  £iuc  Mn.  aller  erfindlichen,  (im  engeni  Sinne)  indmdaellen  Ob- 
jekte des  Denkens  ohne  die  (in  der  snppositio  realis  genommenen) 
Urteile  wird  nun  flberall  da,  wo  nicht  von  Urteilen,  sondern  Ton  Dingen 
schlechtweg  ^ie  Rede  ist»  von  hinreichender  Erstrecknng  sein^  nm  beim 
Negiren  aller  in  Betracht  kommenden  Begriffe  oder  Klassen  einheit* 
lieh  zngnmde  gelegt  werden  sa  können,  und  mag  solche  etwa  die 
ffMemnigfalii^xU  der  erdenkUdien  tndwidueUen  Bwg^  genannt  werden. 
Nach  Bedarf  kann  man  diese  auch  noch  anf  die  SphSre  der  „i«trJ^{tefteii" 
Dinge  einschiinken» 


§  17.    Fernere  Sätze  für  Gebiete  und  Elaasen.    Kontraposition,  eto. 

36)  Theoreme.  AStgemän  ist: 

36 J        (ah\  =  fl,  +  ?^  f  36^)         (a  +  b\  ^  afi 


II 

Die  Negation  einer  Summe  ist 
das  Produkt  der  Negationen  der 
Glieder. 


Die  Negation  eines  Frodiüäes  ist 
die  Sumim  der  N^ationcn  der  Fak- 
toren. 

Umgekehrt  auch: 

Eine  Summe  von  Negationen  ist  Ein  Produkt  von  Negationen  ist 
dir  Negation  des  Frodtiktes  \  die  Negation  der  Summe 

Hu  er  Neganden, 

Beweis.  Da  es  nur  dfie  Negation  an  einem  Gebiete  geben  kann, 
so  ist  behuf  Beweises  gewissermassen  nnr  die  Probe  sa  machen,  d.  h. 
nachzusehen,  ob  die  angebliche  Negation 

a,  +  b^  von  ah  \  a,5,  von  a  +  b 

die  fdr  dieselbe  charakteristischen  beiden  Besieh uugc  n  desTkdO)  mit 
diesem  Gebiete  zosammen  erftilit,  d.  h;  ob  wirklich 

ab{a^  +  6,)  =  U,    tt6  +  a,  +  5,  <=  1  j  (a  +  6ja,t,  =-0,   a  +  6  +  a,6,  —  1 

ist  Dies  folgt  nun  in  der  That  aus  den  Zusätzen  zu  Th.  34^)  und 
34^),  wenn  man  dieselben  auch  noch  fQr  die  Gebiete  a„  statt  a,  b 
mit  Bficksicht  aaf  Th.  31)  in  Anspruch  nimmt 

Im  Grunde  kam  hiebei  wieder  das  Httlfstheorem  29)  in  Anwendung. 
Man  hat  —  z.  B.  links  vom  Mittelstrich  —  nach  30)  einerseits: 

ab ' (ab\  —  0,      a6  +  (a5),  1 

und,  wie  eben  gezeigt,  andrerseits: 

+ 6,)  =  O,       a6  +  (a, +      =  1, 

folglich  nach  jenem:  ((th\  =  a,  +  h^. 

Exempel  fUr  Klassen.   Wer  nicht  adelig  und  Grundbesitzer  wa* 


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§  17.  Fernere  Sfttie  fOr  Gebiete  and  KlMsen.  353 

gleich  ist,  ist  entwedor  nicht  adelig,  oder  nicht  Graadbesitzer  (oder 

AQch  beides  zugleich  nicht,  cf.  §  8,  ^;]. 

Was  nicht  „ausländisch  oder  billi^'^  ist,  znnss  nicht  anslaadisch 

(ev.  inländisch)  und  zugleich  nicht  billig  (er.  tener)  sein. 

Hier  ist  wieder  an  eine  Eigenheit  der  Worispniehe  su  erinnern.  IHe 
Sabsamtion  e=^^/,/',  heisst: 

„Jedes  c  ist  nicht  n  und  (zugleich)  nicht  ?/', 

wofilr  man  auch  den  Ausdruck  wählen  kann:  ^,Jcdrs  c  ist  ucder  a  noch 
—  soL!:f'uanntos  ,,vorn('inondcs  konjimktivRs''  Urteil.    Man  kann  sich  auch 
n<icli  andpi  ö  ausdrückt'ii  und  V)eisj>it'I^i\veise  sagen:  ,,(Jeder  Fisch)  Ein  Fisch 
iht  kein  Voyel  und  kein  bäugetier". 

Schlugt  man  aber  in  solchem  Ealle  den  verneinenden  Artikel  zam 
Sabjekte  (anstatt,  wie  soeben,  zum  PrSdikate),  so  muss  das  Mal-Zeichen 
im  Prädikate,  statt  wie  vorbin  mit  „«imI^*,  nun  mit  „od«'*  überset/t  werden: 
„Kein  Fiich  is(  ein  Vou^r  1  oder  ein  Säugetier"  —  vergl.  §  8,  A,  jit),  S.  232. 
Wogc^'cn  der  öatz:  „Kein  Fisch  ist  (ein)  Vogel  und  (ein)  Säugetier'*  nur 
bedeuten  würde:  c  =^  ("/'\,  das  beisst:     =^     +  — 

Dem  gegenüber  wUrde  das  sog.  „verneinende  kopulative'  Urteil:  ^^Wcder 
die  a  noek  Me  b  sind  (-*  Sowol  die  a  als  auch  die  h  sind  nicht  e)  in 
Formeln  einfach  durch:  a  ^  6  e,  darsustellen  sein.  Und  uialog  für  mehr 
als  swei  Terme. 

Ffir  Gebiete  werden  (im  Hinblick  anf  Fig.  16)  die  Theoreme  36) 
▼enmscliaalicbt  dnich  Fig.  17. 

Zusatz  1.  Die  Ausdehnung  der  Theoreme  3G)  auf  beliebig  viele 
Terme  (Operationsglieder,  Faktoren  oder  Summanden)  ist  naheliegend. 
So  ist  auch: 

(ahc\     «,  +  6,  +  tf,  I  (a  +  h  +  c\^  fl,6,c, , 

denn: 

(afec),—  l(a6).c),  =  (a6),  +  <?,  =  (a,  +  6,)  +  <:,— +  etc. 

Anmerkung  zu  Tb«  36).  Wendet  man  die  Formeln  36)  anf  a^ 
und     statt  a  nnd  5  an,  so  ergibt  sich  nach  31): 

(a,6,),— a  +  6  I  (o.  +  ^),  — 

Diese  Formeln  zeigen  (wie  Peirce  bemerkt) ,  dass  mii  Hülfe  der 
dritten  Spesies,  der  Negation,  von  den  beiden  ersten  Spezies -^d.  i.  von  den 
dir^knJReehnunffsarten  des  identischen  Kalküls:  Multiplikation  und  Addi- 
tion —  irgend  eine,  gleichviel  welche,  entbehrlich  gemacht  werden  konnte. 

Wollte  man  mit  Negation  und  Multiplikation  allein  auskommen, 
80  brauchte  man  nur  überall,  wo  eine  Summe  a  +  b  auftritt;  für  diese 

ab  %ii  schreiben.  Mit  Addition  und  Negation  würde  man  ausreichen, 
indem  man  für  jedes  Produkt  ab  konsequent  sagte  a  +  b  —  falls  wir 
liier  diimal  den  wagerechten  Negationsstrich  benutzen.  [Ebenso  liesse 

SanBDBB,  Algabr*  d«r  Logik.  2S 


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354  Aehte  Vorleraog. 

nach  früherem  für  0  sich  1,  oder  aber  für  1  sich  Ü  durchweg  schrei- 
ben, d.  h.  mau  könnte  auch  noch  des  einen  der  beiden  Symbole  0  und 
1  entraten.] 

Aualog  la&Bt  sich  mittelst  der  Partikel  „nichf"  von  dea  beiden 
Konjunktionen  „und**  und  „oder''  irgend  eine  logifich  durch  die  andere 
darstellen: 

FQr  oder  könnte  gesagt  |  FOr  „was  a  und  b  hV  liesse 
worden:  ,,wa3  nicht  »Nichfc-a  «$id  \  sich  sagen:  „was  nicht  »Nicht>a 
Nicht-6«  ist",  I  oder  Nicht- 6«  ist". 

Dass  es  aber  nn zweckmässig  wäre,  solches  durchzufahren,  sei  es  im 
Kalkül,  sei's  in  der  Wortsprache,  bedarf  kaum  einer  nähern  Darlegung. 

Es  liegt  die  M5glichkeit  Tor,  dass  sich  die  SStse  36)  Tielleieht 
in  der  Gestalt: 


Was  nicht  a  und  h  ist,  mnss 

■ 

nicht  a  oder  nicht  b  sein, 


Was  nicht  a  oder  h  ist,  muss 
zugleich  nicht  a  und  nicht  h  sein. 


in  Worte  gefasst  schon  irgendwo  in  ftltem  Logikbüchern  vorfinden. 

♦   

Wo  nicht,  so  mttssen  sie  De  Morgan  sageschrieben  werden,  welcher 
[wie  Herr  Yenn^  p.  389,  Fassnote  ausfindig  gemacht  hat]  in  *  p.  208, 
indessen  ohne  Beweis,  bemerkt,  es  hätten  a-hb  und  ab  bezüglich  a,&, 

und  +  zum  Gcj^enteile.  Selbstlindig  ist  auf  diese  1>eiden  hnbschen 
Sätze  auch  Herr  KoUort  (J rassmann*  gekommen,  nml  dürfte  dicöor  sie 
Kum  ersten  mal  (und  zwar  auf  die  Vorgetrageue  Weise)  beiviesen  haben. 

Die  in  seiner  Fussnote  zu  ^  p.  32  von  Herrn  Peirce  —  jedenfalls 
im  guten  Glauben — ausgesprochene,  Herrn  B.  Grass  mann  eigentlich  ver- 
dächtigende Vermutung  (auf  Gmud  unsicherer  Kemiuisc«azen  von  Jevons' 
Schrift  ^)  kann  ich  (nachdem  es  mir  unlängst  endlich  gelungen  ist,  dieses 
Buch  durch  antiquarischen  Erwerb  desselben  stt  Gesicht  zu  bekommen) 
durchaus  nicht  boL'rlSndot  finJcni. 

Die  Anwendung  der  Theoreme  36)  im  Sinne  von  links  nach  rechts, 
also  die  Verwandlung  eines  Ausdruckes  (ab}^  resp.  (n  +  b)^  in  den  ihm 
gleichwertigen  a,  +  resp.  aj)^  nennt  man  das  ,,Ausfähmt'  (Ent- 
wickeln*?) der  Negation,  welche  im  Gegensatz  hiezu  bei  den  ursprüng- 
lichen Ausdrücken  (ab),  und  (a  +  b),  „nur  angedeutet^  erscheint.  Eine, 
wie  hier  mit  Negationsstrich  versehene  Klammer  (  ),  mag  eine  „Nega- 
tümskJammcr*^  genannt  werden.  Das  Ausführen  der  Negation  läuft  auf 
das  „Auflösen'^  dieser  Klammer  hinaus. 

Zusatz  2  stt  Th.  36). 

Durch  kombtnirte  Anwendung  der  beiden  Theoreme  36)  und  des 
Th.  31)  kann  man  nunmehr  von  jedem  nur  durch  Multiplikaiiun  uud 

*)  Aur>  •  Micni  in  §  19  eniehUichen  Grande  wird  dieser  letstere  Aasdmck 

indesB  besser  vermieden. 


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§  17.    Fernere  Sätze  fQr  Gebiete  und  Klassen.  355 

Addition  ans  lauter  einfachen  Symholen  und  deren  Negationen  auf- 
gebauten flbrigena  noch  so  kompUsirten  Ansdrocke  die  Negation  sofort 
und  mit  leichter  Mühe  ausgeführt  herstelleu,  und  swar  indem  man 
jedes  Gebiet  mit  seiner  Negation  und  ausserdem  noch  die  Zeichen 
„mal''  und  „plus"  Tcrtauscht. 

Man  schreibe  also  aus  dem  gegebenen  Ausdruck  ab:  a  mit  a^,  a^ 
in  Gestalt  yon  •  als  +  und  +  als  wobei  nur  noch  au  beachten 
ist^  dass  manche  Klammem^  welche  im  ursprQnglichen  Ausdruck  blos 
gesetxt  au  denken  waren  aber  unterdrClekt  sein  durften,  im  negirten 
Ausdruck  ausdrücklich  angeschrieben  und  beibehalten  werden  müssen 
wogegen  andere,  diejenigeu,  die  dort  unentbehrlich  waren,  hier  als 
Überflüssig  in  Weg&ll  kommen.  Man  hat  nämlich  gemäss  Anhang  2 
au  berficksichtigeu,  dass  ursprünglich  jeder  susammengesetste  Aus- 
druck, wenn  mit  andern  Termsii  verknllpfb  oder  zu  verknOpfen,  in 
Klammer  stehen  muss,  dass  aber  endgültig  (teils  aufolgc  gewisser 
Eigenschaften,  Gesetze  unsrer  direkten  Operationen,  teils  auf  Grund 
eigener  auf  Klammerersparniss  es  absehender  Konventionen)  nur  um 
Summen  herum,  welche  als  Faktor  auftreten,  die  Klammer  uiclit 
weggelassen  werden  darf. 

War  liieiiacdi  der  ursjtrüDgliclio  Au.sdruck  schon  frei  von  ühcr- 
flflssigen  Klammern,  so  wird  beim  iNogiron  desselben  eine  Klammer 
allemal  dann  einzuführen,  im  negirten  Ausdruck  neu  anzubringen  sein, 
wenn  man  an  das  Negiren  eines  Produktes  kommt,  welches  als  ein 
Sunimiiuü  im  ursprünglichen  Ausdruck  steht  —  indem  eben  dadurch 
sich  eine  Summe  ergeben  wird  die  als  Faktor  zu  setzen.  Dagegen 
kouimt  je(le  (andre,  jede  niclit  gerade  ein  Produkt  als  Cilied  uni- 
schliessendej  Klammer  des  ursprünglichen  Ausdrucks  beim  Negireu  in 
Wegfall. 

Zur  Erlüuterung  und  Ulning  seien  zimSchst  filr  einige  Ausdrücke  die 
Negationen  hergeseti^t,  deren  erste  »echb  schon  Do  Morgau  '  pug.  42  go> 
gebiBn  hat: 

Ausdruck:  a  +  bc,  Negation  desselben ;  a,(ft, + 

1»  T  =  (a  +  b)c,  „  a:,  =       + c, 

„  (a  +  6)(c  +  (i),  „  »t^t  +  cA 

n  ii  +  fc(c  +  d),  ,»  «A  +  ^i^^t) 

„      «+6+a,c(odera+5+c),        „  a,6,e, 
p  ia  +  hc)((l  +  cf),  „         a,(ö,  +  '-,)  +  ^U'',  +  /i) 

„  ab  +  a^b^^  „       (a^-k^b^)(tl  +  b)  =mub^-^a^b 

2a* 


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556  Ächte  Vorlesung. 

Ausdruck:       0,(6,  +  e  +  d,),  Nation  demelbeiit  a^be,d 

„  a,bc  +  ah,c, ,  ^       (a  +  h^  +  c,)  (o,  +  6  +  r) 

„  a(fc,  +  r,)  +      ,  „      («,  +  ?)r)(/j+c)==fl,(ft+n)+6c 

a,f^  f  r  }  ,/j  4  „    ^     ^^^^  ^     4.  ^ 

Noch  weiU'rc  Aufgaben  in  §  l-S,  ^/). 

In  jedem  aus  einfachen  Gebietsymbolen  durch  dir  Öperatiomn  der 
drei  Spesies  Multiplikation,  Addition  und  Negation  au/gebauten  Aus- 
dmcke  kann  man  jetzt  alle  vorgeschriebenen  (angedeuteten)  Negationen 
misßihrm,  wodurch  der  Ausdruck  übergeht  in  einen  Bolchen,  der  nur 
noch  durch  die  beiden  direkten  ^ezies,  Multiplikation  und  Addüionf 
aufyebaut  erscheint  aus  den  einfacium  Symbolen  und  deren  Negationen. 

Man  braucht  zu  diesem  Zwecke  nur  mit  den  innersten  „Negan- 
den^  KnsammeDgeBetzter  Natur,  welche  von  der  oben  beschriebenen 
Art  sein  werden,  za  beginnen,  die  innersten  mit  Negationsstrich  be- 
hafteten Klammem  zuerst ,  und  dann  nach  aumen  fortschreitend  nach 
und  nach  auch  die  äussern  Klammem  dieser  Art,  aufzulösen,  bis  keine 
Negationsklammer  mehr  vorhanden  ist. 

Wird  auch  auf  diese  Weise  rasch  die  Möglichkeit  4er  Ansftthrung 
erkannt,  so  ist  das  geschilderte  Verfahren  doch  nicht  das  praktischste; 
Es  kann  sich  nämlich  dabei  ereignen,  dass  man  irgend  einen  »isam- 
mengesetzten  Ausdmckteil  wiederholt  ,,nmzunegiren'',  in  seine  Negation 
umzuschreiben  bekommt,  was,  sooft  es  zweimal  geschah,  nach  Th.  31) 
unnötige  Arbeit  war.  Besser  also  wird  man  mit  dem  Auflosen  der 
Negationsklammera  in  der  Richtung  von  aussen  na^  innen  fortschreiten, 
und  sobald  man  mit  dem  Negiren  der  in  einer  solchen  stehenden  Terme 
wiedemm  auf  eine  Negationsklammer  st5ss^  solche  (mitsamt  dem  auf 
sie  bezflglichen  Vorsätze  des  Negirens)  einfach  fallen  lassen,  ignoriren. 
Darnach  ist  z.  B. 
I  {  (n  +  h\  r  +     r }  / 1,  =  {  («,    c  +  cl^r)f],  =  {a  +  b  +  r, )  (d  +  f ,)  +  f, 

auf  die  erstere  Art  miY,  auf  die  letztere  ohtic  die  angegebene  Zwischeu- 
rechnung  (der  doppelt  negirte  Ausdrackteil  war  a  +  b)  sofort  himosetieD. 
Weitere  Ezempel: 

[  { {ab\  +  (ccO,  I  (c  +  Air  =  a^cd  +  e  +  f, 

[a  +  b  \c  +  d(e  +  ffj\],],      <,,[/,,  +  <;  +  ,/,.(/;  + (7.) I  , 
[[{ax  -f  bj-X  {  {nix),  {nxX  i       +  .r),  — 
=  (a  +  Jc,)  (6,  4-  ic)  {mx  +  wxjcx,  •«  b^ncx^ . 

Zusatz  3  zu  Tb.  36). 

Das  am  Schluss  des  §  13  erwähnte  Problem  der  ZerßUung  eines 
Ausdrucks  in  seine  leteten  Faktoren  kann  nunmehr  dadurch  gelöst  wer- 


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g  17.  KootrapMition. 


357 


den^  dass  man  die  Negation  des  Aosdracks  herstellt,  dieselbe  (durch 
Ausmultipliziren)  m  ihre  Icizten  Aggreganten  zerfällt  und  dann  abermals 
die  Negation  davon  gemäss  Th.  36)  bildet.   Z.  B.  für 

^     ab  •¥  ac '\- ad -k-  hed  +  e 

ergibt  sich: 

y,  —  (a, 4- 6.) (a, + <?,) (a,  +  rf.)  [h^  +  c,  +  rf,) =  a, ft, ^,  +  a, c,  +  +  6, c-  r/, e, , 
sonach: 

y  «  (a  +  6  +  «)  (a  +  c  +  «)  (a  +   +  c)  (6  +  c  +   -f  c) 
in  Übereinstimmung  mit  dem  früheren  Ergebnisse. 

37)  Theorem. 

Wenn  a^-h,    .<;o  ist    6,  (und  umgekehrt). 

Mtni  darf  also  auch  r^V*  hrt,trn  Sciien  einer  SuböitmtioH  uegiren,  tcenn 
mau  nur  rii/jicidi  das  Subsumfionsmchen  umkehrt.  Oder:  üntergeordneks 
(oder  Giejches).  negirt,  gibt  Vh^r^/eordnetes  (oder  Gleiches).  Eingeord- 
netes, negirt,  gibt  Umgeordneies. 

Es  lasseu  sich  zwei  Beweise  vollkommen  dualistisch  führen. 

Beweis.    Weuu  a  =^b  ist^  so  ist 

a  «  a5  nach  Th.  20J         |       a  +  d»6  nach  Th. 
also  nach  Th.  32)  auch 

a^  =  («ft),,  das  ist  f/,  =  a^  +  h^     \    (a -f  6),  =  b^f  das  ist  «5, 

nach  Th.  ZG),  und  diese  Gleichung  ist^  wiederam  nach  Th.  20)  äqui- 
▼aU'iit  der  Subsumtion:  b,  =4      q.  c.  d. 

Wendet  man  den  Satz  37)  auf  die  Subsumtion  b^  =^  a,  als  die 
ursprQnglich  vorauszusetzende  an,  so  folgt  aus  dieser  auch  (<^),^(&,),t 
das  ist  nach  Th.  31)  a^b. 

Die  beiden  im  Satse  Torkommenden  Subsumtiotten  bedingen  sich 
also  gegenseitig,  sagen  wesentlich  dasselbe  ans  oder  sind  äquivalent. 

Exempel.  Da  Gold  Metall  ist,  so  ist,  was  nicht  Metall  ist,  auch 
nicht  Gold.  Desgl.  umgekehrt:  Gilt  etwa  der  6dU:  „Was  nicht  i^ro- 
teinsubstanz  ist  (nicht  aus  dem  Ei  stammt)  ist  auch  nicht  lebendig'*, 
so  folgt:  „Alles  Lebeudige  ist  Protciusubstanz  (stammt  aus  dem  Ei)^^ 

Ist  eine  Klasse  als  Subjekt  enthalfcn  in  einer  Prädikatklasse,  so  muss 
(als  Klasse  aufgefasst)  die  NeffoUon  des  Prädikats  entfiaUen  sein  in  d<r 
Negation  des  Sulffektes  —  und  zwar  ganz  eiuerlei,  in  Bezug  auf  welche 
Mannigfaltigkeit  man  die  Negationen  bildet,  wofern  dieselbe  nur  eine 
gewöhnliche  ist,  den  Negationsbegriff  sulässt 

FOr  Gebiete  kann  man  den  Sata  durch  die  Anschauung  Terifiziren 


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358  Achte  Vorlesniig. 

an  der  Fig.  1  S.  155:  die  Aossenflache  des  Kreiaes  b  i«t  gaus  in  der 
des  Kreises  a  enthalten. 

Der  Schluss  von  der  Subsumtion  a^b  auf  die  Subsumtion  b^  =4 
(oder  umgekehrt)  gehört  zu  den  sog.  „unmittelbaren  Folgerungen",  in- 
dem derselbe  schon  zustande  kommt ,  wenn  aneh  nur  eine  Prämisse 
gegeben  ist.  Derselbe  wird  in  der  Logik  als  die  ^Konversion  durcJi 
Konbroj^ositicn*^  des  durch  die  gegebene  Subsumtion  ausgedrückten  Ur- 
teils bezeichnet 

Zusats.  U^a^h  %iind  mtgleich  a, ^  6,,  so  wird  a^h  seht,  und 
umgMuri, 

Beweis  nach  Def.  (1),  indem  aus  der  leisten  Subsumtion  nach 
Th.  37)  und  31)  hinzufolgt:  b^a. 

Exempel.  Die  beiden  Sätze:  „Was  Kochsalz  ist,  ist  auch  Chlor- 
uatrium'',  und  „was  nicht  Kochsalz  ist,  ist  nicht  Cbloruatrium*'  — 
drücken  zusammen  aus,  dass  Kochsalz  und  Cblornatrium  einerlei  sind. 

38)  Theoreme. 

Die  Subsumtion  a  sagt  genau  dasselbe 

an<;,  icic  eine  jede  der  beiden  Glcichmujcu : 

ad  a6,  =  0 .  '    ad  3S+)     a,  +  6  =  1 . 

Beweis.   Aus  a^b  folgt  nach  Th. 


l&y)  durch  beiderseitiges  Multipli* 
siren  mit  5,,  dass  a&,  ^  hb^^  so- 


15^.)  durch  beiderseitiges  Addiien 
von  a„  dass  a,  +  a  =^  a,  +  6,  somit 


mit  nach  Th.  30 dass  a&,  ^  i),  <  nach  Th.  30^),  dass  1  +  6, 
was  nach  Th.  5^)  auf  a5,  »  0     \  was  nach  Th.  5^)  auf  1  «a,  +d 

hinauskommt  —  Ist  umgekehrt 

so  hat  man  nach  Th.  30^): 
a  —  a*l     a(6  +  &,) 


a,  +  6  =  1 , 
SO  folgt  nach  Th.  16x)  etc.: 
a     a*  1     a(a,  +  b) 
=  ua,  +  aZ»  «  0  +  ab 


oder  a  =  ab.   Ans  diesem  Resultate  folgt  aber  nach  Th.  20^);  dass 

u  ^     wie  zu  beweisen  war. 

Ans  dem  Umstand,  dass  der  leiste  Teil  des  hier  gegebenen  Beweises 
rwshterband  dem  links  darcbaus  nicht  dual  entspricht,  erkennt  man  die 
IfSgUohkeit  noch  audrer  Varianten  der  beiden  Beweise,  welche  aufsosncheD 
dem  Leser  als  eine  gute  Übung  empfohlen  sei. 

Exempel  für  Klassen.    Da  alles  Gold  Metall  ist,  so  gibt  es  nichts, 

was  zugleich  Gold  und  nicht  Metall  wäre.   Und  jede  Substanz  —  ja 


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S  17.   Fernere  SSkue. 


359 


alles  Denkbare  innerhalb  einer  die  Klasse  Metall  umfassenden  ge- 
wdlinliehen  Mannigfaltigkeit  —  ist  (entweder)  Metall  oder  [auch] 
nicht  Gold. 

NM  äm  Theormm  36)  läss^  jede  SubsumUon  sU^  ak  eine  Gld' 
{kung  sakreSbeHf  derm  eine  SeUe  0,  oder,  umn  man  wiU,  auch  1  tsL 

Zusatz  zu  Th.  38).  Nach  diesem  Satze  in  Verbindung  mit  Th. 31j 
muss  auch  die  Gleichung 

besQglicli  äquivalent  sein  einer  der  beiden  Sabsomtionen: 

Die  Gleichung  ah  =  0  erscheint  .so,  als  der  .symmetrische  Ausdruck 
—  symmetrisch  allerdings  nur  im  Hinblick  uul  dus  Kommutationsge- 
setz  12j()  der  identischen  Multiplikation  —  für  eine  syfnnietrisciw  Be- 
ziehung, für  welche  die  Wortsprache  nur  die  unsymmetrischen  Aus- 
dracksformen  hat: 

j^ein  a  ist  b^,   oder   „Kein  b  ist 

resp. 

^yAlle  a  sind  nicht  5"    ,,Alle  b  sind  nicht  e^, 

(die  demnach  auch  unter  sich  äquivalent  »tan  werden)  —  wofeme  man 
hier  nicht  etwa  seine  Zuflucht  nehmen  will  zu  der  Umschreibung  mit- 
tels verneinenden  Existenzialurteils: 

gibt  nichts,  was  a  und  b  zügleicli  ist". 

39)  Theoreme. 

Jede  Gleiching  a     d  lässt  sidi  (auf  der 

einen  Seite,  z.  B.)  rechterhand  auf 

39^)  0  I    39J  1 

Migen.  JheseÜx  ist  nämlich  äguivakni  der  Gleichung: 

ad,  -I-  a,&  —  0  I  a6  -f  a,6,     1 , 

oder  auch  in  einer  praktisch  minder  wichtigen  Form  geschrieben: 

(a  +  6)(a,  +  6.)-0  I  (a  +  h,)ia,  +  h)^\, 

welche,  wie  leicht  zu  selien,  durcli  Ausniultipliziren  gemäss  Th.  2S^)f 
dO^)  und  21^)  auf  die  vorige  zuriu  kkonimt. 

Beweis.  Nach  Üef.  (1)  zerfallt  die  Gleichung  a  ««  6  in  die  bei- 
den gleichzeitig  anzuerkennenden  Subsumtionen: 

a«^d  und  b^a. 

Nach  dem  Th.  38)  lassen  dieselben  sich  umschreiben  in  die  Gleichungen 

afr,  «bO,   a,6  — 0  |        «,  +  5  —  1,      +  a  —  1 


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360  Aclite  Vorlerang. 

und  folgt  aus  diesen  durch  überschiebeadeü  Addiren  resp.  Maltipliziren 
die  za  beweisende  Gleicbong  in  der  einen  ihrer  angegebenen  beiden 
Formen. 

Umgekehrt,  wenn  die  Qleiohaiig  gilt: 

•     '         *  siTe     (a  +  6,)(a,  +  6)  — 1, 

so  jnnss  nach  Th.  24)  sein: 

ah^  s  0   und   a,2»  «  0,        |     n,  +  5  «  1    und   a  +  I>,  =  1 , 

was  nach  Th.  38)  binauskonunt  auf  die  beiden  Subsumtionen  a  ^  b  und 
ttt  sonnt  vMk  Def.  (1)  auf  die  Gleichung  a  «  5,  wie  zu  zeigMi  war. 
Indees  konnte  man  hier  auch  schon  mit  der  ersten  Hslfle  des  Be- 
weises auskommen,  mit  Bttcksicht  darauf,  dass  nach  den  eitirten  BStsen 

das  Paar  der  Subsmiitioncn  sowie  der  für  sie  fj^enommeneu  Oleichuncren 
jeweils  nqvh'oh^nt  SPiii  nnihsJc  der  zum  Ansgangspnnkt  geiiuiiimonen  Gleichung. 

Exempel.  Da  Kochsalz  oinerloi  mit  Chlurnatrium  i>t,  so  gibt  es 
nichts,  was  Kochöalz  und  nicht  Chlomatrium  oder  ( 'hlornatiium  nud  nicht 
Kochsalz  wäre.  Auch  nichts,  was  Kochsalz  oder  Chlomatrium  und  zugleich 
nicht  Kochsalz  oder  nicht  Chlomatrium  wSro. 

Allee  ist  entweder  Eochsals  und  zugleich  Chlomatrium  oder  nicht 
Kochsalz  und  dann  anch  nicht  Chlomatrium.  Desgleichen  Kochsalz  oder 
nicht  Chlomatrium  und  zugleich  Chloraatrinm  oder  nicht  Kochsalz. 

Aufgabe.    Man  bringe  die  Gleichungen 

a&«ac,  a4-ft*=»a-fc 

recbU  auf  0. 

Auflösung:  Miiltlbt  der  Zwischenrechnung  —  cf.  Th.  36): 

ab {tt^  +  c,)  +  ac(a,  +  6,)  =  0 ,       (a  +  h)a^e^  +  o,i»,(a  +  c)  0 

erhält  man  leicht  die  Besultate: 

(/  (//  c,  +  6,  t)  «=  0    resp.    ff,  {h    +  6|  c)      0 . 

Bei  den  Anwendungen  wird  man  aber,  bebouderä  vvcuii  a,  h  oder  c  kom- 
plizirte  Ausdrucke  Yorstellen,  die  ZwiMihenrechnung  sparen  und  sich  so- 
gleich an  das  Schema  dieser  Endergebnisse  halten.  —  Ebenso  worden  die 
rechts  auf  1  gebrachten  Gleichungen  lauten: 

a, +  ftc+6,f,  =  1    resp.    a*H>e+ ft,c,      1 . 

Das  Th.  .Sn)  ist  von  grosser  Wichtigkeit  für  die  Technik  unsres 
Kalküls,  und  zwar  das  30^)  in  höherem  Maasse  als  sein  duales  Gegen- 
stück aus  dem  teilweise  schon  erwähnten  Grunde,  weil  man  lieber  mit 
Aggregaten  (Summen)  von  monomischen  Produkten  als  mit  Produkten 
von  Polynomen  (die  in  Klammern  gesetzt  bleiben  müssten)  rechnet, 
desgleichen  Torzieht^  das  auch  der  Arithmetik  angehörige  Distributions- 
gesetz 27     statt  seines  Gegenparts  21^^  anenwenden  —  wosu  endlich 


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$17.  Fernere  Sfttgie. 


361 


jefact  als  ein  weiterer  Gmnd  der  Umstand  hinzutritt,  dase  es  schon 
jedermann  geläufig  ist,  mit  reehterhand  anf  0  (nicht  aber  auf  1)  ge- 
brachten Gleichiingen  zu  opetiren.  [Es  könnte  überdies  als  ebendahin 
wirkend  angef&hrt  werden,  dass  auch  in  der  Wortsprache  AasdrScke 
wie  (a  +  +  <2)  meist  nnbeqnemer  onsweidentig  darsostellen  sind, 
als  die  ihnen  doal  entsprechenden  ah-^edJ] 

Nach  Th.  24)  Znsata  konnte  jedes  System  von  gleichzeitig  gel- 
tenden Gleiehongen  mit  der  rechten  Seite  0  in  eine  einsige  solche 
Gleichung  zusammengezogen  und  dnrcli  diese  ausreichend  vertreten 
werden.  Nach  den  Th.  38)  und  39)  kann  aber  jede  Substmtion  sowol 
als  jede  OUü^mg  itberhaujit  dargestellt  werden  als  eme  Gleichung  mit 
der  rechten  Seite  0.*)  Thnt  man  dies  bei  allen  etwa  gegebenen  Sub- 
sumtionen und  Gleichungen,  und  wendet  hernach  den  genannten  Zu* 
setz  an,  so  iSsst  sich  offenbar  das  Ziel  Terwirklicheu,  weldies  der  fol- 
gende Satz  ausspricht: 

Zusatz  zu  Th.  39).  Jedes  System  von  smuUcmm  (koezistiren- 
den,  als  gleichzeitig  geltend  hingestellten)  £lii&9WiHl£0fiett  tffuf  GleicAtm^^^ 
Haast  si^  in  eine  emsige  Gleichung  inU  der  reiften  8eUe  0  (oder,  wenn 
man  will  1)  eusammenziehen  und  dunA  diese  vollkommen  verträen. 

Wir  werden  dieselbe  die  „vereinigte  Gleichung  des  Systemes** 
nennen. 

Dies  legt  uns  folgende  Bemerkung  nahe.  In  der  veibaleu  Logik  wird 
gewOhnlieh  unterschieden  sirischen  „Folgerungen'^  als  welche  sich  an  eine 
einzige  Pritmisee  knflpfen,  und  „Sdtlüssen"^  als  welche  mehrere  Prftmissen 
haben.  Diese  Unterscheidung  erscheint  auf  Grund  des  vorstehenden  Zu- 
satzes in  der  exakten  Logik  —  fUr  den  Kalkül  —  als  belanglos,  da  wir 
hier  immer  ein  System  von  Prämissen  in  eine  einzige  PrJlmisse  werden 
znsaiiiuienziehen  können.  Auch  „Schlüsse"  dürfen  hier  als  „Folgerungen" 
hing eti teilt  werden. 

Und  mit  der  Lfisung  von  Problemen,  die  sieh  allgemdn  beziehen  auf 
eme  einzige  Qleiehaiig  —  z.  B.  mit  deren  Auflösung  nach  einer  Unbekannten 
—  wird  das  nftmliche  dann  auch  von  selbst  geleistet  sein  für  irgend  ein 
Sjstem  TOtt  Gleichungen! 

Übungsaufgabe.  Man  bilde  die  yereinigte  Gleichung  der  folgenden 
acht  Subsumtionen  und  Gleichungen: 

Aufiaeung.   Die  vereinigte  Gleichung  ist: 
a5,  +  crf  +      +  g^h  4  kl,  +  A-,  J  +  «m  +  »n, «,  +  +  r,8  +  rs^^O, 


^  Und  ftatt  0  konnte  auch  1  gesagt  werden. 


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362 


Acbte  Vorlerang. 


Ebenso  ist  Ton  den  drei  Sabsnmtioneii: 

die  Teteinigte  Gldehung: 

ahf  +  oc  +     =  0.  Etc. 

Die  linke  Seite  einer  reclits  auf  0  gebrachten  Cllcichung  nennt 
man,  wie  in  dei  Mathematik  auch  „das  Poli/nom  dieser  Gleichung*'. 
So  ist  ab,  +  ac  +  h^c  das  Polynom  der  zuletzt  erwähnten. 

Mehr  beiläufig  wollen  wir  jetzt  ein  paar  Theoreme  anreihen,  die 
sidi  zwar  nicht  selbst  auf  Negationen  beziehen,  aber  erst  jetzt  be- 
wiesen werden  1c5nnen,  nachdem  wir  (anf  Grund  des  Prinzips  III^J 
unter  Hinzuziehung  des  Negationsbegrifis  die  Berechtigung  erworben 
haben,  von  dem  vollen  Diatributionsgesetse  Gebrauch  zu  machen« 

40)  Theorem.    Warn  eugleick 

ae  ^  he  «nä  a  +  e     6  +  c 

ist,  so  muss  sein :  a 

Beweis.   Ahnlich  wie  bei  Th.  29)  haben  wir: 

a  =  a(a  +  e)^a(b  +  c)  -»a^  +    ^    +  6(; »  h{a  +  c)^  6(d+c)  —  b 

nach  Th.  23^),  der  zweiten  Voraussetzung  nebst  lö^),  sodann  27^),  der 
ersten  Voraussetzung  nebst  15+),  wieder  27^),  dann  der  zweiten  Vor- 

aussetzunf^  nebst  15^  )  und  endlieh  23^).    Oder  dual  entsprechend. 
Also  nach  Th.  2)  und  3):     a  =^  6,     q.  e.  d. 

Zusatz  1.  Kombinirt  man  die  durch  das  Theorem  40)  gegebene 
Aussage  mit  derjenigen,' welche  sich  durch  Vertauschung  von  a  und  b 
aus  ihr  ergibt  so  erhält  mau  das  Tlieorem: 

Wem  ac     hc  und  zugleich  a  +  c  —  &  +  c  is^  so  muss  a^h  sein, 

—  welches  als  eine  Verallgemeinerung  des  HtUfstheorems  29)  erscheint 
und  auch  selbständig  genau  wie  letzteres  bewiesen  werden  kann. 

Anmerkung.  Dass  sowol  beim  Th.  40)  als  bei  dessen  Zusatz  eine 
der  beiden  Primissen  allein  nicht  genügt,  nm  die  Konklusion  zu  rechtfer- 
tigen, haben  wir  bereits  unter  Th.  16)  und  16)  hervorgehoben  und  durch 
Beispiele  aber  Klassen  sowie  durch  Figuren  belegt.   Wir  Sind  jetzt  auch 

im  stände,  es  analytisch  zu  beweisen. 

Bei  Th.  40)  gibt  die  Annahme  a  =  {h  +  c,)m,  wo  m  ein  willkürliches 
Gebiet  vorötellt,  jedesmal  ein  solches  Gebiet  a,  für  welches  die  erste  Prä- 
aiibbe  «cK^i/c  erfüllt  iät,  indem  ja  ac  =  bc-  u  =^  bc  nach  Th.  6,^)  wird 

—  und,  nebenbei  gesagt,  auf  die  allgememste  Weise;  hier  wird  nun 
al^^ »  &,c,tt  im  Allgemeinen  nicht  •»  0,  also  nicht  a^b  sein. 


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I  17.  Fernere  S&tse. 


363 


Ähnlich  für  (  »aCg  +  tt  ist  a  +  c  ^  &  +  ß  nBmlioh  a+c  +    und  wieder 

a6,  «  a'(a,  +  c)m,  =  acu^ 

nicht  notwendig  0,  wie  es  nach  Th.  38^)  sein  mUsste,  falls  a=^h  folgte. 

Desgleiclieu,  was  deu  Zusatz  betrifft,  ist  a€^{a-^uc^)c  ohue  dass 
a  —  a  +  VC,  um  mUsate,  endlieb  ist  a  +  c  (a  +  uc)  +  ohne  dass  doch 
im  AUgemeinen,  und  fttr  jedes  beliebige  Gebiet  u  sein  mtteste  a«"a+uc. 

Das  Theorem  sowol  als  sein  Zusata  gilt  auch  amgekehrt,  und 

zwar  für  jedet  beliebige  Gebiet  c  Nämlich  wenn  s.  B.  a  ^  &  iat,  so 

mnss  nach  Th.  15)  anch  ae^be  aowie  a  +  0^&4-c  für  jedes  e  sein. 

Ezempel  su  dem  Satze.  Sind  die  Mongolen  nnd  die  Rassen  stets  Russen 
oder  Asiaten,  sugleioh  alle  mongolischen  Bussen  auch  aMatische  Russen,  so 

müssen  die  Mongolen  sämtlich  Asiaten  sein.  [Seit  der  chinesischen  Ein^ 
Wanderung  iu  freiiule  Wellteile  ^ind  freilich  die  Prämissen  nicht  mehr  ganz 
zutreifend,  sie  waren  es  jedoch  zeitweise.] 

Zusatz  2  zu  Th.  40)  Theorem  Ton  Peirce. 
Wenn  für  irgend  em  c  zugleicii 

ac^h  und  a^^b  +  c 

ist,  so  fdgi: 

desgleidien  umgekehrt,  für  jedes  c. 

Beweis  1,  nach  Th.  40),  weil  unter  den  Yoranssetanngen  des 
Satatea nach  Th.  15) anch  aec ^bc  und  a  +  c^^  +  c  +  c,  also  ae be 
und  a  +  « *^  d  +  d  folgt. 

Beweis  2^.  Aus  der  zweiten  PrSmisse  folgt  durch  beiderseitiges 
Maltipliziren  mit  a  gemftss  lö^): 

aa^a(b'he)    also  nach  14^)  und  27^):  a^ab-^ae. 

Aber  es  ist  nh  +  <  ali  +  b,  wie  sich  durch  beiderseitiges  Addiren 
yon  ab  zur  ersten  Prämisee  gemllas  15^)  ergibt.  Hienach  folgt  a  fortiori: 
a=^ab  +  b  oder  wegen  dos  Absorptiousgesetzes  23^):  a^&,  wie  zu 
zeigen  war. 

Hiezu  genau  dual  entsprechend  Iftsst  sieh  nodi  ein  dritter  „Beweis  2^** 
führen,  was  dein  Leser  zur  Übung  empfohlen  sei. 

Die  ümkehrang  versteht  eich  nach  Th.  6)  und  II  von  selbst:  Ist 
at^b,  so  wegen  ae^a  auch  ae^b  für  jedes  e.  Etc. 

Der  Satz  wKre  eigentlich  als  ein  selbständiges  Theorem  aaf/nfilliren 
gewesen;  er  sieht  noch  einfacher  aus  als  das  Tli.  40)  demzuliebe  wir  ibn 
belinf-j  Vergleich ung  hier  eingereiht  haben.  Sonderliche  Wichtigkeit  für 
die  ilieone  möchte  er  gleich wol  nicht  besitzen  und  betrachte  ich  ihn  mehr 
nur  als  Kuriosum.  Die  Exumpel  zu  demselben  klingen  alle  recht  sonder- 
bar. Z.  B.  Da  Gold,  welches  käuflich,  Metall  ist,  und  alles  Gold  kttuflich 
oder  Metall  sein  wird,  so  mnss  Gold  Ketall  sein.   Umgekehrt  folgt  aus 


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364 


Achte  Vorletung. 


lotzterm  einerseits,  dass  auch  geschmiedetes  Gold  Metall  ist,  nnd  Gold  sein 
wird  Metall  oder  auch  geschmiedet. 

Von  ftindamentaler  Wichtigkeit  sind  dangen  folgende  Sätee: 


41^.)  Theorem.  (Peirce) 
Weim 

a  =^  6  -f  c 

ist  f  80  ist 


41^)  Theorem  (Peirce^  p.  39) 

a  b  =^  c 

ist,  so  ist 

a  ^  6,  +  c . 
D.  h.  Es  darf 

ein  F(üsU>r  des  Sidijdets        |      ein  Summand  des  Frä^ais 
jeweils  tfon  diesem  äbgddst  wid  mU  Ntgatumsstrid^  tf^sdien  (in  seine 
NegaUon  verwandelt,  ncgirt;  als 

Summand  sum  FrädUcat        \  Faktor  mm  Suü^jekt 

gesMigen  wenkn  wonadi  denn  ans  der  sweiten  Sobsnmtion  mit 
Bficksicht  auf  Th.  31)  auch  wieder  die  erste  folgt.  Der  eine  Sats 
nämlich  kann,  indem  man  h  mit  6,  vertauscht ^  auch  als  die  Um- 
kehrung des  andern  dargestellt  werden,  crniilchtigt  zum  Rückschlüsse 
von  dessen  Beliau^ftimg  auf  seine  Voraussetzung. 

Behufs  Beweises  schliesse  mau  aus  der  Voraussetzung  durch 
beiderseitiges 


Addiren  von  6,: 

a6  +  i>,  =^  6,  +  c. 

Nach  Theorem  33^.)  Zusatz  gibt 
dies: 

«  +  6,  =4    +  c 
und  da  nach  Th.  6^)  auch 


Multipliziren  mit 

a&,^6,(6  +  c), 
oder,  wenn  rechts  ausmultipliairt 
wird  mit  Bücksicht  auf  30^: 

Da  aber  nach  Th.  6J  ' 


ist^  so  folö^t  die  Behauptung  nach  Prinzip  IT, 

Vergleiche  hiezu  das  Theorem  j-)  von  Peirce  im  nächsten  Para- 
graphen. Noch  einfacher  kann  man  sieh  jjiemass  Th.  38^)  und  ev. 
^C)\  nherzeugen,  dass  sowohl  die  behauptete  als  die  vorausgesetzte  ISub- 
sumtion  hinausläuft  auf  die  Gleichung; 

«^»O.  I  ab^e^^O. 

Ezempel: 


Die  Säugetiere  welche  Flossen  haben, 
sind  Wale;  ergo:  die  Säugetiere 
sind  Wale  oder  haben  keine  Flossoi. 


Mohammedaner  sind  Sdiiiten  oder  Sun- 
niten; ergo:  Mohammedaner,  welche 
nicht  Schiiten  sind,  mUasen  Sunniten 
sein. 


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Neunte  VorleBung. 


§  IS.   VexBOfaiedenArtice  Anwendongen:  Bedhtfertigimgen,  Studien 

und  Übungsaufgaben. 

tt)  Auf  Grand  der  Theoreme  33^.)  und  Zuiwts  sind  wir  mm  in 
der  Lage,  die  saerst  von  Jerons  (dann  unabhängig  auch  vonPeirce, 
R.  ßrassmann  und  mir,  Me  Coli  und  er.  noeh  Anderen)  erfiaasie 

und  in  diesem  Buche  zu  Grunde  gt-legte  itknHsehe  ÄddUion  Tonends 
SU  rechtfertigen  gegenüber  den  von  sehr  beachtenswerter  Seite  gegen 
sie  erhobenen  KiiiwüiKleu.  Die  Betraf litungen  dürften  auch  an  sich 
instruktiv  seiu,  dazu  als  eine  ffute  Ü 

Es  wurde  bereits  erwülmt,  dass  Boole*  in,  ilini  unl)(^wu88t;  zu 
engem  Anscliluss  an  das  Vorbild  der  arithmetischen  Addition  die 
gleichnamige  Ojieration  in  der  Logik  nur  verwendet  wissen  will  um 
Klassen  7,\i  verknüpfen,  die  keine  Individuen  ^^rmein  haben  —  und 
dass,  nach  der  inzwischen  vollzogeneu  Lautfriiü _;  der  Ois/iplin  von 
arithmetischen  Beimengungen,  von  neueren  Autoren  ihm  hierin  mn- 
Herr  Venn  noch  beipfliVlitet,  indem  er  *  pag.  381  ..  389  die  For  i  rnuu 
verficht,  die  Addition  iiut  L^^ebietfrenule  iSummanden,  iudividueniremde 
oder  disjunkte  Klassen  zu  beschränken. 

Herr  Venn  verwirft  es,  die  Summe  n  +  h  für  den  Fall  wo  ah 
nicht  t=  0  ist,  überhaupt  zu  erklUren,  da  es  ihm  liier  anstössig  er- 
scheint, dass  der  den  beiden  Gliedern  gemeinsame  Teil  a6,  welcher  in 
die  Summe  a  +  &  doch  nur  ein  mal  eingehen  soll,  daselbst  doch  zwei 
mal  (als  Teil  von  a  sowol,  wie  als  Teil  von  h)  implicite  erwähnt  wird. 

£s  ist  unbestreitbar,  dass  man  diesen  Standpunkt  einnehmen  kann, 
denn  aufgrund  der  oben  citirten  Sätae  ist  man  berechtigt,  und  hindert 
in  der  That  uichtS|  fiberall  da,  wo  eine  nnsrer  im  Jerons 'scheu  Sinne 
auftretenden  Summen  a  +  t  auftritt,  dafUr  vnnsymmetrisch  und  etwas 
umsUmdUdter  sei  es  a-\-aJbf  sei  es  ab^-hh  zu  schreiben,  oder  endlich 
auch  aymmeHseh  aber  «oeA  umständiitier:  ab -i- ab^-i- afi. 

Wer  dieses  rorxieht^  wird  also  in  der  That  es  durchföhrbar  finden, 
ausschliesslich  mit  ^yredozirten''  Summen  zu  operiren  nnd  bei  Herrn 


DinitiTorl  hv  Go  vli^ 


366 


Neonte  Vorlesung. 


YeDii's  Ansiebt  m  yerhanren.  Es  fragt  sich  Dur,  me  man  damit 
durchkäme,  ob  etwa  besser  nsd  bequemer? 

Nicht  der  einsigey  aber  doch  ein  Hauptzweck  nnares  Kalküls  sind 
jedenfalls  die  Änwendtat^n  desselben.  Bei  diesen  mSssen  wir  Data 
▼on  Teztau^aben  Übertragen  in  die  Zeichensprache  des  Kalküls,  in 
Relationen  oder  Formeln,  und  haben  deren  rechnerisch  gefundene 
LSsuogen  alsdann  wieder  in  die  Wortspraehe  zurQckzuflbersetaen. 

Die  Brauchbarkeit  des  Kalküls  wird  dabei  im  allgemeinen  als 
eine  um  so  gr&ssere  erscheinen;  je  inniger  derselbe  sich  an  die  Wort* 
spräche  anschmiegt;  wenigstens  soll  er  von  den  Gepflogenheiten  der 
letzteren  nicht  ohne  Not,  nicht  ohne  triftige,  durch  greifbaren  Vorteil 
sieh  rechtfertigende  Grfinde*)  abweichen. 

Ich  werde  nun  durch  ein  paar  Beispiele  den  Nachweis  liefern, 
dass  die  Wortsprache  unsre  identische  Addition  nicht  nur  zulasst^ 
sondern  allerorten  ganz  ungenirt  und  wesentlich  von  derselben  Gebrauch 
macht  —  in  der  Wissenschaft  natürlich  nicht  weniger  wie  im  gemciucu 
Leben  (doch  j^cnügt  es  schun,  aus  h't/tcrni  nur  die  Beispiele  heraus- 
zugroifVn'^''";).  Es  erscheint  schon  (k\shalb  niclit  ratsam,  jene  Addition 
aus  unsrer  Disziplin  der  Algehra  der  Logik  anszuschliesseiL  Überdies 
werden  wir  aber  sehen,  dass  die  Wortsprache  auch  woJU  datan  thutf 
dieselbe  zu  verwenden. 

ß)  Kxcmpel.  Die  gco-j^raphische  Gesellschaft  einer  Universitäts- 
stadt veranstaltete  im  Saale  der  Museumsgcaelkchaft  einen  öiVentlichen 
Vortrag,  und  schrieb  in  dessen  Ankündigung  im  Tageblatt  aus,  da^is 
IStudentcn  sotüie  Mmetimsmitglmler  freien  Eintritt  hätten. 

Ks  gab  aber  viele  Studenten,  die  zugleich  Mitglieder  der  Museuuiä- 
gesellschait  waren. 

Sagen  wir  für  „Studenten''  n,  ffir  „Museumsmitglieder"  6,  so  war 
also  die  Klasse  der  dureii  ireioi  Eintritt  bevorzugten  Personen  in  der 
Ankündigung  als  ^Studenten  und  Moseumsmitglieder",  u^iUiin  als  a  +  6 
bezeichnet. 

Es  ist  augenscheinlich,  dass  die  Klasse  a  •  h  der  den  beiden  Eate- 
gorieen  gemeinschaftlich  angehörenden  IndiTiducn  auf  diese  Weise 
Bweimal  aufgezahlt  wurde,  und  hatte  im  Sinne  des  Herrn  Venn  kor- 

*)  Rücksicht  auf  das  Gebot  dor  Konsequenz  und  Streben  nach  Allgemeinheit, 
Sparsamkeit,  gehüreu  zu  den  vornehmsten  solchen. 

*^  Auf  Beispiele  ans  Tenchiedenen  Winenaobaften  verzichten  wir,  da 
lolcbe»  um  gemeinTerstbidlich  ta  weiden,  in  der  Begel  längere  Voibetraehtongen 
erheiicben. 


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I  18.  Teracbfedeoavtige  Anwendiuigen. 


367 


rekier  das  Inserat  besagen  mOflsen,  dass  „fQr  die  Studenten  und  die- 
jenigen Mitglieder  der  Museomagesellschaft;»  mkhß  keine  Siudenkn  sind* 
der  Eintritt  frei  sei  —  entsprechend  a+a^h. 

Die  Ankflndigung  wurde  wohlweislich  nicht  so  stilisirt,  schon  weil 
sie  dann  um  die  Inseratkosten  fSr  die  gespaltene  Petit^Zeile,  welche 
die  hier  kursiT  gedruckten  Worte  erfordert  hahen  wUrdeUi  teurer  zu 
stehen  gekommen  wSrel 

y)  Anderes  Exeni[>el  Ein  Armeebefehl  gibt  bekannt,  daas 
während  des  Wafl'enstillstandes  aus  einer  von  den  deutschen  Truppen 
umzingelten  Festung  folgende  Kategorieen  von  Personen  herauszu- 
lassen seien: 

a  —  Personen  weiblichen  Geschlechts 

h  —  Kinder 

e  —  greise  und  altersschwache  Personen 

d  —  Verwundete 
e  —  Kranke  und 

f  —  Angehörige  deutscher  Nation. 

Hiermit  ist  die  Klasse  der  herauszulassenden  Personen  schlechtweg 
gekennzeichnet  als  die  identische  Summe: 
A)  a  +  b'\-  c  +  d-^e-^f. 

Dies  ist  in  der  That  der  kCIrzeste  Ausdruck  für  diese  Klasse, 
welcher  mdglich  erscheint,  ohgleich,  oder  vielmehr  gerade  weil  man 
sich  dabei  nicht  scheut^  es  nicht  fingstlich  umgeht^  Terschiedene  Klassen 
Ton  Personen  implieite,  d.  h.  in  Terhfillter  Gestalt^  unter  anderm  Namen, 
wiederhcU  aufnwsaklen,  Z.  R  die  deutschen  Kinder  sind  unter  h  mit 
aufge»lhU  als  Kinder  und  unter  f  nochmals  als  Deutsche,  etc. 

Will  man  niemals  andere  Klassen  zusammenfassen  als  solche,  die 
einander  aussohliessen,  so  ist  man  genötigt  —  falls  wir  etwa  die 
obige  Reihenfolge  beibehalten  wollen  —  den  folgenden  Ausdruck  in 
Worten  darzustellen: 

Um  zu  heirHf^m,  dass  dieser  in  der  That  dem  vorigen  identisch  irleich 
iiit,  scheide  man  eröt  den  Faktor  a,  bei  den  lUnf  letzten  Gliedern  aus,  wo* 
durch  entsteht: 

a  +  a,  (&  +  ch^^\^db^c^  +  +  /  ''i'^/'iO 

md  ersichtlich  wird,  dass  nach  Th.  33^)  Zasats  dieser  ansgesofaiedene 
Faktor  0,  unterdrückt  werden  darf.  Tbut  man  dies  und  scheidet  hei  den 
vier  letsten  Gliedern  der  entstehenden  Summe  sogleich  den  Faktor  aus: 

'  a  +  Zu-  6,    +  de,  +  cc,d,  4-  /c,d,«,) 
so  darf  auch  dieser  unterdrflckt  werden,  und  so  fort 


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368 


Nennte  Yorleeiiiig. 


Ebenso  wie  wir  eben  13)  in  A)  transformirton,  kann  man  auch  um- 
gekehrt den  Auödi-uck  A)  in  den  H)  überführen,  indem  m-xn  —  die  Glieder 
des  A)  von  rechts  nach  links  durchgehend  —  tiucceüsive  von  der  Erlauh- 
niBS  Gebraach  macht,  ein  jedes  Glied  mit  der  Negation  des  ihm  voran- 
gehenden zn  mnltipliziren. 

Das  g&be  nnn  die  folgende  Aofzahlang:  Frauen  oder  Mädchen, 
dazu  die  Kinder  mannlichen  Geschlechts  (Knaben),  sodann  die  greisen 
Personen,  welche  'männlichen  Geschlechte  „und  keine  Kinder^  sind 
(Greise),  sodann  die  Verwundeten,  welche  nicht  weiblichen  Geschlechts, 
auch  keine  Kinder  und  keine  Greise  sind,  weiter  die  Kranken,  welche 
nicht  weiblichen  Geschlechts,  k^ine  Kinder,  keine  Grreise  und  unver- 
wundet sind,  endlich  die  Deutschen,  welche  nicht  weiblichen  Geschlechts, 
keine  Kinder,  keine  Greise,  unverwundet  und  gesund  sind. 

Nun  lässt  sich  der  Ausdruck  ja  allerdings  noch  in  etwas  verein- 
fachen. Indem  nämlich  hier  hc  —  0  ist,  d.  h.  keine  ivinder  gibt, 
die  Greise  sind,  inuss: 

cb,  =  b,c  +  0  =  b^c  +  bc  ^  {b-i-h,)  c  =  l'C  ^  c 

sein;  es  lässt  sich  also  der  Faktor  &,  bei  c  unterdrücken,  oder  ist  der 
Zusatz  „welche  keine  Kinder  sind''  bei  den  „Greisen'^  —  wie  man  ja 
wol  augenblicklich  gesehen  hat  —  überflüssig. 

Welcher  Bo fehlshabende  würde  gleichwohl  sich  einer  solchen 
Pedanterie  schuldig  machen,  wie  sie  auch  deir  so  vereinfachten  letzten 
Aussage  noch  anhaftet?!  — 

Man  bemerke  noch  die  Unsymmetrie  des  letzten  Ausdruckes  (B),  die 
Abhängigkeit  seines  Baues  von  der  gewählten  Reilienfolge  der  Glieder. 
Nilhme  man  die  Glieder  von  A)  in  der  ura<^ekehrten  Folge,  z.  B  ,  ro  hätte 
man,  um  nichts  schon  Aufgezühlleä  /.u  wiederholeu,  nunmehr  zu  sageu: 

Und  wollte  mau  neben  Erfüllung  der  Boele -Veun'sohen  Anforderung  gar 

noch  die  Symniofriü  duy  Ausdrucks  bezüglich  aller  sechs  Termc  von  A) 
wahrtMi  —  so,  wie  es  Tli.  .53^)  bezüglich  der  zwei  ersten  ermöglicht  —  so 
wBren  nicht  weniger  als  ilreiundsochzig  Glieder  anzusetzen,  deren  jedes  aus 
sechü  Faktoren  a  oder  <i,,  b  oder  //,,  etc.  hiö  /'  oder  bestünde,  wie  aus 
spttteren  üntersuchangen  erhellen  wird. 

S)  Die  vorstehenden  Beispiele  liefern  Belege  für  eine  sehr  be- 
merkenswerte Thatsache: 

Etwas  schon  einmal  Gesagtes  zu  wiederholen  scheint  auf  den  ersten 
Blick  eine  Verschwendung  zu  sein  an  Zeit  und  Worten. 

Die  Beispiele  thun  aber  dar,  dass  es  sehr  Tiel  umständlicher  wird, 
den  Wiederholungen  konsequent  aus  dem  Wege  zu  gehen,  als  sie  sich 
gelegentlich  zn  gestatten;  sie  zeigen,  dass  nur  dmrch  solche  scheinbars 


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$  18.  Beo1itrerti(fiingen.  369 

Verschwendung  die  grösste  SparsamkeU  nn  ?'ir  Beschreibung  einer  Klasse 
besdt^^n  Worten  oder  Zeichen  sich  cr:iclm  lässt,  und  bewahrheiten  so 
auf  dem  Gebiete  des  Haushalts  mit  Worten,  auf  dem  Felde  der  ,yTer- 
minologie'',  einen  Sats,  dem  auch  auf  andern  wirtsehaftlicheii  Gebieten 
(se  namentHeh  hei  den  Beratungen  des  Staatshaushalts  seitens  der 
YolksTertreter)  eine  allgemeinere  Berflcksichtigung  au  wünschen  wäre: 
dass  die  anscheinend  allereugste  Sparsamkeit  oh  auf  die  ärgste  Ver- 
schwendung notwendig  hinausläufL 

Als  Vorteile,  welche  durch  den  Gehrauch  der  (JeTons'schen)  eiu' 
schliessenden  oder  iantologisirenden  Addition  (gegenQher  der  aus- 
schtiessenden  Boole-Venn's)  au  ersielen  sind,  somit  denselhen  recht- 
fertigen, lassen  sich  namhaft  machen: 

1^  Der  direkte  ÄnsMiss  an  die  Warisprw^  und  demgemias  leichteste 
Obertxaghark^t  aus  Worten  in  Formeln,  und  umgekehrt 

2°)  VertoirlduSmng  des  deMar  bäreesten  (Wort-  sowie  Formel*)  Atis- 
drttcJcs  für  die  aus  gegebenen  sich  zusammensetzenden  Klassen  — 
und  in  Verbindung  damit  gleichwol 

3")  Wahrting  der  Symmetrie  der  Ausdrücke  (in  Hinsicht  auf  die  als 
Elemente  der  Zusammensctzuii«^  gc<xobenen  Klassen). 

4")  Bedingungslose  ÄusführharkeU  der  AudiUon;  der  Allj^emcinlieit  dieser 
Operation  konuat  es  zu  statten,  wenn  bei  der  Herstellung  von 
Siininien  aus  Klasüen  der  Fall  einer  Gleichheit  solcher  nicht  aus- 
gosclilossen  wird,    Deuizutolgo  auch 

y")  C,  ri  'fsscrc  Freiheit  der  Rechnungsoperationen  und  Transfornintions 
metlioden,  m.  a.  W.  reichere  Mannigfiiltij^Mcoit  der  -/nr  Veriugung 
stehenden  Fornieu  von  Ausdrücken  oder  Darstellungen  von  Klassen^ 
somit  auch  der  Lösungsmittel  bei  Aufgaben, 

6^)  Geltung  des  JMtalismus,  zufolge  dessen  die  ganze  Disziplin  sich  über- 
sichtlich und  symmetrisch  gestaltete,  sodass  es  möglich  wurde,  aus 
nahe  der  einen  Hälfte  der  Sätze  fast  die  ganze  andre  Hälfte  ab- 
znschreihen  —  eine  Harmonie,  die  aber  schwinden  wflrde,  falls 
wir  die  Grundoperation  der  einen  Spalte  preisgaben. 
Der  einzige  Einwand,  der  gegen  jene  Addition  sich  erheben  lässt 

und  auch  erhoben  wurde*)»  ist  der  Vorwurf  der  Tautologie:  dass  man 

♦)  Von  den  Vorzügen,  welche  Herr  Venn  aeiner  exkliHiven  AiMition  vimli- 
nrt,  ürsrheint  mir  der  erste:  der  einer  grösseren  Annäherung  un  die  arithnietisciie 
Zvicbeuspriiclie,  als  ein  Kweifelhaft^r.  Wenn  reduzirte  Summen  zar  Anwendung 
Mf  gewiaae  arithmetiache  Probieme  —  wie  s.  B.  lur  anmittelbsrea  Umdeotoiig 
m  Probabilitilten  der  entspTecheDdea  EnigniBte  bei  Aafgaben  der  WahtBcbeulicb- 
k«it«rieluiiiBg  —  eich  in  der  That  nicht  nur  betser  qnalifiairen  sondern  gar  allein 
SntADBi,  Älgtbr»  4er  Xiogtk.  24 


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370 


Neaate  Torleanng. 


dabei  sich  scbulUig  macho,  schon  einmal  Gesagtes  (zumeifli  docii  nur 
in  verhüllter  Gestalt)  nochmals  zu  sagen,  su  wiederholen. 

Dieses  ist  nun  aber  an  sich  etwas  ganz  Harmloses,  und  kann  uns 
das  Ärgerniss,  welches  an  Tautologien,  wenn  sie  etwa  wie  bei  Th.  14) 
unTerhfiUt  auftreten,  welches  an  den  „nackten'*  Pleonasmen  au  nehmen 
ist,  nicht  bewegen,  auf  alle  oben  aufgezählten  .Vorteile  zu  verzichten 
-~  um  80  weniger,  als  ja  ohnehin  bei  allgemeinen  Festsetzungen  fast 
immer  gewisse  Grenzfalle  mit  eingeschlossen  werden,  mit  unterlaufen, 
im  Hinblick  auf  welche  aüein  man  die  Festaetzungen  sicher  nicht  ge> 
troffeik  haben  wQrde.  — 

JevoDs^  p.  76  sq.  ftthrt  als  Beleg  dafür,  dass  das  „oder^*  —  eTeutnell 

„und",  vergl.  §  8,  rj,  9)  —  faktlscb  nicht  im  ausschliessenden  Sinne  ge- 
braucht wird,  deu  Sat/  an:  Ein  (englischer)  „peer**  ist  entweder  ein  Herzog 

(dnke),  oder  ein  Oraf  (earl)  oder  ein  Marquis  oder  ein  „viscouut"  oder  o'm 
Baron,  und  Tiuicht  darauf  aufmerk^^am .  dass  viele  pnors  zwei  oder  mehr 
von  diesen  Titeln  besitzen,  z.  B.  der  Prince  of  Waies  zugleich  Duke  of 
Coruwall,  Karl  of  Cbesier,  Baron  li«;nfrew  etc.  ist.  Auf  p.  77  citirt  er 
Stellen  aus  Shakespeare,  Milton,  Tennyson  und  Darwin's  „Origin 
of  specien**  (denen  leicht  aus  deutschen  Klassikern  ttbnliche  gegmifiber- 
zustellen  wären)  um  die  gleiche  Thatsache  zu  stUt/en ,  und  resumirt  mit 
Recht,  (la.ss  die  nedcntungen  der  durch  die  Konjunktionen  „und**  sowie 
„oder*^*  verkniipttc  n  Terme  von  der  absolittm  IdeniitcU  bis  mm  ahsoluim  Gt- 
genaalse  schwanken. 

$)  Als  nächste  Anwendung  unsres  Kalküls  sei  eine  kleine  Studie 
ausgefahrt  Ober  uneuiX£Mglidie  Präzision  und  MismrständlifXkeit  ver- 
baler Ausdrücke,  welche  mit  den  Partikeln  „titufS  „odeaf**  und  „nicJU^ 
aufgebaut  werden  und  die  Beschrcihtauj  von  Klassen  bezwecken,  welche 
sich  aus  audern  als  bekannt  vorausgesetzten  Klassen  ableiten. 

und  aauchlte8$lich  eignen,  ao  begegnen  wir  dem  dadorch,  datt  wir  in  sck^em 

Uedorfs  falle  eben  auch  unsre  Summe  a  mit  Leiditiglceit  in  redasirte  umwandeln, 
nnd  iht  solcher  Umbtaud  kein  Grund  für  uns,  uns  auch  sonst  stets  mit  solchen 
r.n  plackfn.  fübiT  dir»  vorgehaltene  Anstösaigkeit  der  üleichnn?  1  ^  l  1 
glaulif  j(h  mit  Stills(  hwL'igMi  hinweggehen  zu  diirfen.)  Was  aber  die  von  Venn 
viertens  als  Hauptgrund  angeiührlo  angebliche  Thatsache  betrifft,  dasä  die  schönen 
EntwiekelnngB-  und  Eliminationschemata  Toa  Boele  beim  Aufgeben  s^ner  Addi« 
tion  nicht  mehr  anwendbar  sein  vQrden  far  at  has  yet  been  echown*'),  so 
ist  derselbe  wol  günclich  hinfällig  und  beruht  —  wie  schon  Herr  Bruce  HaUted' 
p.  2IS  angedeutet  zw  haben  scheint  —  auf  einer  Terkennung  des  Umstandest  dass 
jene  Schemata  oder  „generali/ation^"  (hiroli  di*-  in  meinem  Oi.erationskrf'is^  dar- 
gelegten Methoflon  nicht  nur  autict  lit  «Thalieu  öuinlem  noi  b  einfacher  und  ele- 
ganter gestaltet  werden  —  eintacher  namentlich  schon  durch  die  völlige  Ent- 
behrlichmacbnng  aller  rabtnikliTMi  und  divisiven  Operationen.  Vergleiche  andi 
Fran  Ladd  Franklin'  p.  659  aq.  — 


.  ijui.  u  i.y  Google 


S  18.  Stadien. 


371 


Auf  die  Mehrsinnigkeit  des  Bindewortes  „oder''  wurde  schon  iu 
§8  unter  ttVr  ^)  aufnierlvsam  gemacht. 

Was  o  oder  b  ist,  im  inklusiven  Sinne  ▼erstanden  als  ,,a  oder 
oifcA  h"f  entsprach  nach  dortigen  Auseinandersetsnngen  der  identischen 
Summe: 

a  +  h,   welche   ^ab^  +  abi■a^h  ist, 

d.  h.  bedeutet^  was  entweder  a  nnd  nicht  b,  oder  b  and  nicht  a,  oder 
endlich  a  und  5  aagleich  ist 

Was  a  oder  b  ist,  im  exklusioen  Sinne  verstanden  als  „a  oder 
aber  6",  vergl.  §  8,  ti),  wird  nunmehr  darsustellen  sein  mit: 

abf-^afi, 

il.  Ii.  onf weder  a,  und  dann  nicht  b,  oder  aber  h,  und  dann  nicht  o. 

Für  zwei  Krei.se  n  und  b  wird  dieses  Gebiet 
durch  die  in  nebenstehender  Figur  schrattirte  Fläclie 
Yeranschaulicht. 

Die  beiden  Ausdrücke  dift'eriren  um  das  (^liedflZ>, 
fallen  also  mit  ihren  Bedeutungen  zusammen,  sooft 
o6  =  0  ist. 

Wir  haben  dies  bereits  1.  c.  durch  das  Beispiel 
„Gold  oder  Silber"  erläutert,  resp.  exeniplifizirt.  Dagegen  bedeutet  „Grand- 
besitnr  odw  aber  Adelige^'  etwas  ganz  anderes  als  „Qrundbesitser  oder 
toch  Adelige**.  Jenes  nSmIioh  fasst  blos  die  büigerlicheo  Grondbesitxer 
mit  den  nicht  grundbesitzenden  Adeligen  in  eine  Klasse  zusammen  unter 
Ausächluas  der  adeligen  Grundbesitier.  Dieses  dagegen  unter  Einsehluss 
der  letzteren. 

Beiderlei  „oder"  erscheinen  als  symmetrisch  in  Bezug  anf  die 
Glieder  der  Alternative,  „a  oder  auch  6"  sagt  dasselbe  wie  fjb  oder 
auch  o'*  nach  dem  Kommutationsgesetze  12^). 

Ebenso  ist  aber  auch  oder  aber  l/*  einerlei  mit  ^Jb  oder  aber  a", 
da,  wie  leicht  su  sehen, 

sein  muss. 

Hier  möchten  wir  nocli  die  Frage  einschalteu,  ob  C!s  nlclit  vielleicht 
ein  unsymmetrisches  „oder'*  gibt  iu  dem  Sinne,  diiss  „a  oder  h"'  iK'ilciitft: 
entweder  u  und  dann  nicht  6,  oder  aber  h  und  dann  vielleicht  doch  auch  u 
ragleiefa? 

Die  Frage  ist  offenbar  su  Temeinen.  Der  Ausdruck  ist  ganz  unIdar, 
sofern  er  in  seinem  ersten  Teil  etwas  yerbietet|  was  er  in  seinem  zweiten 

Teile  ausdrücklich  erlaubt. 

Hier  kann  man  entweder  —  in  Analogie  mit  »lern  in  der  Gesetzgebung 
maassgelienden  Usus  —  den  tinandsatz  anerkennen,  dasi^,  was  etwa  in 
eituvi  liesetzesparagrapheu  als  erlaubt  l^nicht  verbotenj  erscheint,  iu  einem 
andern  aber  Terboten  wird,  verholen  sei,  den  Grundsatz  also:  Wenn  Erlaub- 

«4* 


n«.  18. 


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Neunte  Yorletimg. 


nis8  und  Verbot  znsammenireffeD,  so  gilt  das  Verbot  Darnach  bftlten  wir 

als  Bilm  des  obigen  Ausdracks,  entsprechend  dem  ezkloBivea  „oder  aber'^ 

—  da  das  wetehes  zogleich  waxh  o  ist,  dem  ersten  Teil  infolge  auch 
nicht  h  sein  mnss,  al»)  mit  dem  Faktor  =  0,  behaftet  sein  nnd  weg* 
fallen  wird. 

Oder  man  k<*»nnte  nncli  den  OrniiiUatz  tinlialtcii,  sobald  iu  Bezug  auf 
<\ns  Nfimliolie  eiue  Erlaubjiis.s  lO/d  ein  Verliot  ausgesprochen  werden,  immer 
das  zuh'lii  Gesagte  gelten  zu  lasse»,  ein  ergaugeuea  Verbot  also  durch  eiue 
darauf  folgende  ausdrOekliehe  Erlanbniss  als  aufgehoben  zu  betrachten  — 
was  allerdings  nicht  im  Einklang  mit  dem  Frinxip  I  des  AussagrakalknlB 
stehen  wird.   In  diesem  Falle  würde  unser  Ausdruck  bedeuten: 

jenes  „oder"  deckte  sich  dann  also  mit  ^oder  auch". 

In  beiden  Flllen  hStten  wir  kein  neues  ,fOder*\  sondern  nur  eines  der 
beiden  Mheren  in  weitlftufigerer  Formnlirung. 

Sofern  es  nicht  aus  dem  oben  gwaimten  Grunde  ohnehin  gleich- 
gflltigy  irrelerant  ist^  werden  wir  wie  bisheri  so  auch  fortgesetst  ikt«r, 
wenn  nicht  ausdrQcklich  „oder  ahei"  gesagt  wird,  unter  der  schlecht- 
weg gesetaten  Partikel  rfiäai**  immer  das  einschliessende  „oder  auch** 
▼erstehen. 

{;)  Nach  uusern  Festsetzungen  sind  nun  die  Ausdrücke: 
„nicht-fl"  „was  a  und  h  ist",    sowie,    „was  a  oder  h  ist" 
von  einer  ganz  bestimmten  Bedeutung;  sie  können  nur  auf  eine  Weise 
verstanden  werden  als  a,,  aft,  resp.  a  +  6,  und  erscheinen  Missverstand- 
nisse'hiebei  ausgeschlossen* 

Ebenso  sind: 

„Was  a  und  nicht  h  ist"  als  ah^, 
^Was  a  oder  nicht  h  ist"  als  a^k'h^ 
völlig  unsweidentige  Ausdrücke. 

Doppelsinnig  dagegen  erscheinen  schon  die  Ausdrficke; 

„Was  nicht  a  und  (  ist",  «Was  nicht  a  oder  h  ist". 
'Den  erstem  z.  6.  kann  man  einerseits  verstehen  als: 
„Was  nicht     und  zugleich  h,  ist" 
d.h.  als  a,^;  andrerseits  als: 

„Was  nicht  a  nnd  h  zugleich  ist", 
d.  h.  als  * 

{ah\  «  a, + ft, «  a,&  +  5, «  a,&  +  ai, + a,5,  nach  Th.  SS^.) 

—  woraus  zu  ersehen,  um  was  sich  die  Bedeutung  des  Ausdrucks  von 

der  des  vorigen  unterscheidet. 

Ebenso  kann  der  zweite  verstanden  werden  als: 


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\ 


%  18.   Studiou.  373 

,,Wa8  »nicht  a<  oder  b  iBt%  d.  h.   0,+  &  »  afif-h  ah  +  ah,, 
oder  aber  aU: 

„Wae  nicht  >a  oder  6«  ist,   d.  h.   (a  +  h),  =  a,6,. 
Im  Interesse  der  Deutlichkeit  empfiehlt  sich  hiernach  die  Maxime: 
bei  konjunktiver  Häufung  von  Attributen  oder  Prädikaten  die  bejahten 
den  verueintcn  womöglich  vorangehen  zu  labseii. 

Man  wird  hier  wiederum  bestätigt  finden,  dass  die  Mehrsinnigkeifc 
und  die  damit  gegebene  Möglichkeit  von  Missverständnissen,  ja,  ge- 
legentlich die  Verleitung  zu  solchen,  daher  rührt,  dass  die  WorUprache 
des  InsUtiUs  der  Klammern  entbehrt.    HiefHr  noch  ein  Beispiel: 

„Was  a  und  h  oder  c  ist*' 
kann  verstanden  werden  als: 

jyWas  »a  und      oder  c 

d.  i.  als 

ah-if       (ah)  +  c 

oder  auch  in  dem  we^ontlich  davon  verMliiedenea  Öiuue: 

„Was  a  und  »6  oder  c€  ist'', 

d.  i.  als 

a(h  +  c\ 

Letzterer  Ausdruck  wird  nun  vollstilndig  bekanntlich  gelesen  als: 
(mal)  Klammer  b  plus  c  geschlossen",  und  so  könnte  man  —  scheint 
es  —  auch  im  Texte  Doppelsinnigkeiten  vermeiden,  wenn  mau  daselbst 
die  Worte  . . .  ,,Klammer^* .  . .  „(ieschlossen"  ...  an  geeigneter  Stelle 
einfügte.  Mindeslcu.s  wiirdi-n  aber  hiefür  die...  Anfiüuuntjszakhen  ^ 
und  ...  Scldasszcichen  «...  den  Vorzug  verdienen,  da  wie  schon  ein- 
mal erwähnt,  im  Worttext  die  Einklammerung  schon  anderweitig  be- 
schlagnahmt i!^t. 

In  Druck  und  Schrift  dürfte  der  Gebrauch  dieser  Zeichen,  zu 
denen  wir  auch  gelegentlich  greifen,  in  der  Tliat  der  beste  Behelf  sein 
wo  immer  es  auf  genaueste  Unterscheidung  ankommt  und  Missverständ- 
nisse sieh  nicht  durch  den  Stil,  Wahl  geeigneter  Redewendungen  schon 
?511ig  an&schliessen  lassen. 

Zu  so  verzweifeltem  Auskunftsmiitel,  jene  Zeichen,  wie  angegeben, 
ausdrücklich  zu  lesen,  f^Toift  die  f'praobe  jedoch  im  gesprochenen  Texte 
nicht;  vielmehr  verliiUi  sie  t^ich  diesen  Zeiclieii  t^'c^'f.nilber  i]rpnide  wie  hei 
den  Interpunküouäzeicbeu  uud  bestrebt  bich  ihrem  Mangel  abzubelidn  uud 
dasjemge  was  die  Zeiche  uns  auszadrOcken  bestimmt  sind,  darsastellen 
durch  den  Tonfall  und  Rhythmus  der  Bede,  Anbringuiig  geeigneter  Pausen 
and  nachdrückliche  Betonung  einzelner  Redeteile,  Emphase.  Auch  heim 
Lesen  von  Formeln  werden  ja  die  Klammern  nicht  immer  gesi^rochen, 
^ondem  zumeist  in  ähnlicher  Weise  angedeutet  —  woraas  allerdings,  beim 
Diktireu  z.  U.,  bekannte  Schwierigkeiten  enti^pringen. 


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a74 


J»euute  Vorlesung. 


Immerhin  besitzt  die  Zeichensprache  des  Kalküls  zufolge  ibier 
korrekten  Handhabung  der  Klammem  einen  merklichen  Vorsprung  vor 
der  Wortsprache,  der  sich  besonders  bei  subtileren  und  Terwiekelten 
Untersuchungen  geltend  macht. 

Wie  schon  beim  Besehreiben  ▼on  Klassen,  so  macht  sich  auch  in 
ii'gend  welchen  andern  Besiehungen  der  beklagte  Mangel  und  gerOgte  Nicht- 
gebrauch von  die  Klammem  su  yertreten  fthigen  sprachlichen  Gebilden 
sehr  häufig  fUblbar. 

Als  Beispiel  dadurch  herbeigeführter  Unbestiiiimtboii  führt  Jovons 
n.  a.  den  Satz  an:  Er  fuhr  ^von  Dover  nach  Loudon  und  Von  London  nach 
Brightou^  mit  dem  Scbnellzage'.  Zufolge  der  (Un-)Sittef  das  Zeitwort 
ganz  an's  Eode  sa  stellen,  entstehen  im  Deutschm  leider  solche  Unklar- 
heiten ganz  besonders  leicht,  wie  es  beispielsweise  die  Zeitungsnotis  er- 
kennen Ittsät:  An  der  deutschfrauzosischen  Grenze  wird  viel  über  ^Wild- 
diebereien  S'on  fraDzö.^i.^chGr  Seite ^  i^^f^klagt*  —  derfniirloicheu  aber  unsolnver 
auch  von  den  bessern  Schriitstellern  in  uiibegi  t  n/u  r  l'üUe  beizubringen  wären. 

In  der  begunneuen  Aufzählung  missverständlicher  Ausdrücke  der 

Wortsprache  wollen  wir  nicht  nach  Vollständigkeit  streben,  sondern 

begnügen  uns  mit  noch  ein  paar  Beispielen. 

rj)  Aufgabe.  Auf  wieviele  Arten  kann  der  Ausdruek:  „Was  a 
und  h  oder  c  uud  d  ist"  verstaudeu,  beziehungsweise  luiss verstanden 
w  erden  V 

Auflösung.  Verstanden  auf  vier,  somit  missverstanden  auf 
drei  Arten. 

Sind  nämlich  vier  Terme  durch  irgendwelche  Operationen  zu  ver* 
knflpfen,  was  wir  dadurch  andeuten  wollen,  dass  wir  die  Terme  ahcd 
ohne  KnfipfuBgszeichen  nebeneinander  setzen,  so  können  Klammem  auf 
folgende  fttnf  Arten  gesetzt  werden,  um  die  Knflpfungeu  auf  lauter 
„binäre''  (d.  h.  immer  nur  zwei  Elemente  auf  einmal  verbindende) 
zurückzuführen : 

{{ah)c}d,      {a{hc)]d,     (oh)  (cd),     a{{he)d],  a{b{cd)l. 
Unser  obiger  Ausdruck  lautet  nun: 

und  lässt  folglich  fünf  Deutungen  zu,  von  denen  aber  die  zweite  und 
vierte  dasselbe  Resultat  liefern,  indem  nach  Th.  13^)  etc.: 

{a{b  +  c)}d  ^  a{{b-\-c)  d]  =  a  (b-i-c)  d  =  ahd  +  acd 

seia  muss,  wogegen  dieses  Kesultat  von  den  drei  andern  Deutungen: 

((afc)  +  cl<?— {al»+c)d— aW+c<?,  a(d+(ciO)^a(&+C(?)«»ad+a<;tf 
und 


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9  18.  Sliudien. 


375 


(ab)  +  (od)  ^ab-hcd 
TerBchieden  ist,  gleichwie  aoch  diese  unter  sich  es  sind  im  Allgemeinen* 

0')  Auffjabe.  Wie  unterscheidet  .sicli  thu- Ausdruck:  „folgsame  («) 
fleissige  (/>)  Kinder  (c)''  vüu  dem  Ausdruck:  j^iolgsame  Kinder  und 
Üeisaige  iüuder". 

AnflSsang.   Der  erstere  ist  abe,  der  letztere 

+        (a+ &)  6  also  abe  +  ab^c  +  afbe, 

d.  h.  er  umfasst  ausser  dem  erstem  auch  noch  die  Kinder,  welche 
folgsam  aber  nicht  fleissig  und  diejenigen,  welche  üeiäsig  aber  nicht 
folgsam  sind. 

Sagt  man  nun:  y^folgsame  und  Eeissige  Kinder**,  so  erscheint  es 
•janz  in  subjektives  Belieben  gestellt,  üb  luaii  den  erstem  Ausdruck 
durunter  verstehen  will,  oder  den  letztern  —  vergl.  §  8,  |). 

Es  geben,  denke  ich,  die  vorstehenden  Betrachtungen  kein  allzu 
glänzendes  Bild  von  der  Qualifikation  der  Wortsprache  zur  exakten 
Darstellung  und  Einkleidung  von  Untprsucluingen  über  Klassen,  nml 
sie  lassen  wol  auch  erkennen,  dass  das  Heil  nicht  etwa  zu  erwarten 
ist  von  Bestrebungen,  die  —  wie  das  „Volapük"  —  blos  die  unregel- 
mäsöigen  Formen,  z.  B.  der  Deklinationen  und  Konjugationen,  abscbaü'eu. 

t)  Nunmehr  Betraehtungen  von  einer  andern  Tendenz:  Die  Sätze 
bisheriger  Theorie  können  gelegentlich  verwertet  werden  um  AusdrücJia 
£u  vereinfadicn ,  weiche  Klassen  darstellen  sollen. 

Aufgabe.  Wenn  gesprochen  wird  von  den  gebildeten  Baichen, 
den  reichen  Adeligen  und  den  adeligen  Ungebildeten  —  wie  ist  die 
Beschreibung  dieser  Klasse  von  Pemnen  zu  Tereinfachen? 

.\uilösung.  Man  lasse  den  mittleren  Term  wegj  die  Aatülirung 
der  reichen  Adeligen  ist  zu  sparen.  Denn; 

Sei  a  =  gebildet,   b  =  reich,   c  =  adelig, 

SU  ist: 

ab^bc  +  ea, 

die  gegebene  Klasse,  und  für  hr  l.aim  gesetzt  werden: 

l  -  6c  =  (a-i  «,)  hc  ==  abc  +  afic\ 

alsdann  aber  wird  in  dem  Ausdrucke: 

ab  +  abc  +  afic  +  a,c 

das  xweite  Glied  vom  ersten,  das  dritte  vom  letzten  nadt  TL  23^)  ab- 
aorbirt,  und  entsteht: 

a6  +  a,c. 


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376 


Neunte  Vorlesmig. 


In  Worten  kann  man  überlegen:  Die  reichen  Adeligen  sind  ent- 
weder «(obildct  oder  ungebildet.  Im  erstem  Falle  sind  sie  unter  deu 
gebildeten  Reichen,  im  letztern  unter  den  adeligen  Ungebildeten  ohne- 
hin erwähnt,  und  folglich  ist  es  durchaus  ttberflassig,  sie  noch  be* 
sonders  zu  erwähnen. 

Man  sieht,  wie  hier  die  Rechnung  zwar  für  den  In  ihr  noch  Un- 
geübten vielleicht  nicht  bequemer  ist,  als  die  Überlegung  in  Worten, 
wie  sie  aber  die  Operationen  dieses  verbalen  oder  mentalen  Rasonne- 
ments  Schritt  für  Schritt  wiedorspiegelt  und  dieselben  in  knappster 
Form  2um  Ausdruck  nnd  Bewnsstsein  bringt 

Beiläufig  haben  wir  vorstehend  einen  Satz  gewonnen.  Denselben 
spricht  die  Formel  aus; 

Theorem  c)  a& -I- 6c  +  ca, a&  +  ea„ 

welclie  leicht  zu  merken  und  in  der  Technik  des  Kalküls  von  ziem- 
licher Anwendbarkeit  ist. 

»)  Der  Satz  ist  übrigens  nahe  verwand!^  wenn  man  will  nur  eine 
kleine  Umformung,  eines  schon  von  Herrn  Peirce  aufgestellten  Theo- 
rems, nämlich  des  folgenden:  Es  gilt  stets: 

Theorem  x)  {a  + x)  (h  +  x,)  =  ax,-i- hx. 

Durch  Ausmultipliziren  der  linken  Seite  lässt  sich  nämlich  erhalten; 

wonach  der  Satz  ersichtlich  auf  den  i)  zurückkommt  In  der  ihr  von 

Peirce  cre^jrebenen  Form  ist  die  Gleichung  dadurch  bemerkenswert, 
dass  ilie  eine  Seite  derselben  iils  das  duale  Goi]feiistück  der  andern 
(und  umgekehrt)  erscheinen  iiiirdc,  wenn  nicht  das  Symbol  x  zugleich 
mit  seiner  Negation  x,  tauscht«.  Es  wäre  darnach  nicht  korrekt,  die 
Formel  x)  selber  eine  ,,zu  sich  selbst  duale"  zu  nennen,  wohl  aber 
darf  man  von  dem  durch  sie  ausgedrückten  allireineinen  Satze  sas^en, 
dass  er  sich  selbst  dual  entspreche.  Denn  das  dude  Gegenstück  von  x), 
welches  lautet:  ax  +  hx^  =  (a  -f  jP,)  {b  +  x), 

wird  d«»n  nFiniliclten  Satz  ausdrilrkon,  da  man  in  letzterer  (Ileiehuncf 
uut  r  x  iiucli  dusjeuige  Gebiet  versteUeu  kann,  weiches  in  x)  mit 
bezeichnet  wurde. 

A)  Aufgabe.  Auf  einer  strategischen  Bahnlinie  findet  sich  für 
eine  gewisse  Zeit  der  Transport  verboten  von  allen  GQtem  ausser 
solchen,  welche  Kriegszwecken  dienen  konneOi  wenn  sie  ezplosiv  oder 


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I 


§  18.   Auwcudungeo.  •  377 

flieht  ffir  die  Montamudnstrie  bestimmt  sind,  sowie  solehen,  welche 
fSr  die  Montanindustrie  bestimmt  sind,  wenn  sie  nicht  cx[>losiv  sind 
oder  nicht  Kriegszwecken  dienlich. 

Man  soll  das  Transportyerbot  vereinfachen. 

Auflösung.  Es  bedeute  a  —  Kriegszwecken  dienlich,  6  =  ex- 
plosiv, c  ^  für  die  Bergbauindustrie  bestimmt.  So  ist  nur  erlaubt  zu 
transportiren  die  Klasse  der  Güter: 

a(6+(;,)  +  c  (6, +  </,). 

Von  Th.  33^),  Zusatz,  Gebrauch  machend  kann  mau  hieiur  schreiben: 

a(ie+c,)  +  6(&,a+a,)  »  ac(6+&,)  +a&,+a,csiic  +  atf,+  a|C  »a+c, 

qnod  erat  in?eniendnm.  Also: 

Ansschtiesslich  erlaubt  ist  der  Transport  derjenigen  Güter,  welche 
Kriegszwecken  dienlich,  oder  für  die  Montanindustrie  bestimmt  sind 

^jau^  ohne  Rücksicht  darauf,  ob  sio  explosiv  sind,  oder  nicht).  — 

Man  kann  auch  gemäss  Th.  30)  von  dem  Ausdruck  die  Negation 
nehmen,  und  findet:       («,  +  fc,c)  (c,  +  ha)  =  a,e, 

unmittelbar  durch  Ausniultipliziren.  Also  ist  der  Transport  verboten 
für  Alles,  was  weder  Kriet^s/wicken  dienlich  noch  auch  filr  die  Mon- 
tanindustrie bestimmt  ist.  —  Die  Khisse  „explosiv"  fiel  beidemal  ganz 
heraus;  dieselbe  kommt  wesentlich  gar  nicht  iu  Betracht  — 

^)  Man  kann  nun  auch  schon  manche  Streitfirage  rechnerisch 

entscheiden. 

Aufgabe.  £in  Chemiker  hatte,  nm  weitere  Schlüsse  darauf  zu 
bauen,  gesagt: 

„Salze,  die  nicht  farbig  sind,  sihd  Salze,  die  nicht  organisch  sind, 
oder  organische  Körper,  die  nicht  farbig  sind.^ 

Ein  anderer  bestreitet  ihm  dies.  Zu  entscheiden,  wer  Recht  hat. 

Auflösung.  Es  bedeute  a  »  Salze,  h  =  organisch,  c  a  farbig. 
So  lautete  die  Behauptung; 

ac,  =^  ul^  +  6c,. 

Nach  Th.  3B^)  ist  die  vorstehende  Subsumtion  völlig  gleich- 
bedeutend mit  der  Gleichung: 

ac,  («6,  +  6<j,), «  0 ,  oder  a«,  («, + h)  (ä,  +  c)  »  0 

und  ila  Auömultipliziren  linkerhaud ,  diese  Gleichunfif  nach  Th.  30^)  be- 
wuln  heitet,  so  ist  auch  die  Sub.^nni(ion  richticj,  liiitte  der  Frsfere  Hecht. 
Wie  von  allen  verfügbaren  Mitteln,  so  auch  vom  Auömultipliziren  kann 


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378 


Kennte  VorlesuDg. 


geschickt  uud  ungescbickt  Gebranelk  gemacht  werden.  ünzweckmUbisig  wilre 

e«,  hier  erst  die  beiden  Binome  ausznmulliplizireu,  wot>ei  von  den  vier  zu 
bildenden  Produkten  blos  eines,  hh^  fortfiele.  Besser  gehe  man  mit  dem 
Faktor  a  in  die  eri^le  Klaiumei  und  mit  dem  f,  in  die  letzte  Klammer 
hinein,  wo  dann  nur  je  ein  Glied  stehen  bleiben  und  sogleich  ab  •b^c^  eut- 
steheti  wird. 

Man  kann  auch  nach  Th.  38^)  die  Subsamtion  amachreiben  in 

die  Gleichung: 

(ac,), +  =  1    oder    a,  +  c  +  ai*,  4- 6f,  —  1, 

welche  sich  ebenfalls  bewahrheitet^  indem  nach  Th.  33^)  Zusatz: 

a,  +  ab^  —  a,  +  &„  desgleichen  c-{-bc^—c+h,  hernach  aber  b^^\-b^l 

und  die  ganze  Summe:  l  +  a,+  c»  1  nach  Th*  22^)  sein  wird. 

Endlich  konnte  man  die  rechte  Seite  der  fraglichen  Subsamtion 
umformen  in: 

(c  +  c,)  +  (rt  +  ff,)  bc^  =  ab^c  4-  ac\  {h^-\-b')  +  {(ib^c  +  a^bc^. 

Nach  Th.  ist  nun  eiu  iSummand  —  hier  at,  —  jederzeit  in 
der  Summe  enthalten.  — 

v)  So  unvollständig  unser  bis  jetzt  gesichertes  wissenschaftliches 
Kapital  noch  ist  (wie  aus  der  Fortsetzung  der  Theorie  erhellen  wird), 
so  vermag  man  doch  mit  demselben  schon  unbeschränkt  neue  Satze 
aufzustellen y  deren  oft  recht  interessante  zu  entdecken,  entdeckte  zu 
beweisen.   Wir  begnOgen  uns  mit  ein  paar  Beispielen. 

Theorem  v)  (von  Peirce).  Wenn 

ist,  so  muss  auch: 

sein  fuiul  (l(\sgleicheii,  mit  demselben  itechle: 

a<^,=^&,+  c,       lc^^a^-\-d,       bd,-^a,  +  c,       c,(I,^a,  +  b,, 
sodass  von  allen  sechs  Subsumtionen  eine  jede  die  fünf  übrigen  nach 
sich  zieht,  mit  jeder  andern  äquivalent  ist].   £s  kann  hknach  ein 
FakUrr  des  Subj^  mü  einem  Simmanäm  des  Firädikats  verlaust 
werden,  sofern  man  nur  beide  in  ihre  Negationen  umwandelt 

Der  Beweis  des  Theorems  wird  am  einfachsten  dadurch  geleistet^ 
dass  man  nach  Th.  38^)  die  Subsumtionen  in  Gleichungen  umschreibt» 
wodurch  die  vorausgesetzte  in  a6  » 0  oder  wegen  36^.)  in 

ahc^d^  —  0,  die  behauptete  in  ar,  {b^  +  rf),  0,  das  ist  aefid^ »  0  über- 
geht, sonach  die  beiden  gauz  das  nämliche  besagen. 

[Nun  darf  man  in  der  Voraassetsung  nnbeBchadet  ihrer  Gültigkeit 


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§  18.  AawcuduDgeD. 


379 


a  mit  h  sowie  auch  e  mit  d  TertooBcben,  and  tnnss  hiebef  auch  die  Be- 
hauptnog  gOltig  bleiben.  Tbut  man  dies  einzeln  oder  gleiebxeitig,  so  er- 
b&lt  man  ans  der  letztem  sofort  auch  noch  die  drei  folgenden  von  den  be- 
haupteten Stibsnmtionrn,  wnri  jjoht  d'w  alleilct/.tf  dann  nach  dem  Theorem 
selbst  aus  der  vorletzten  hervor,  wenn  man  in  ihr  die  Terme  6  und  c  vor- 
sibriftsrnä.s.-it,'  auf  die  andre  Soite  dos  Suhsiuuliunc/.eichens  wirft.  Zum 
UberÜuää  folgt  die  eine  iiülfte  der  beclifi  ÖuLsiumtionen  auch  aus  der  andern 
nnd  80  die  letste  ans  der  ersten  dnrcli  beiderseitiges  Negiren  gemSss 
Tb.  87)  und  36).] 

I)  Exempel  In  der  Mannigfaltigkeit  1  der  (ebenen)  Earveii 

bedeute  a  die  Klasse  der  KegtAst^itte,  h  die  Klasse  derjenigen  Ktorni, 
toeldte  einen  „MUtdpunlf*  hahm,  c  die  Klasse  der  EUipscn  (mit  Ein- 
schlnss  des  Kreises)  und  d  die  Klasse  der  Hyperbeln  (mit  Einschiusa 
des  Geradenpaars y  niLmlich  Paares  moiu&r  aehn^dender  Geraden),  so 
ist  die  Toransgesetzte  Subsamtion  erfallt,  nämlich: 

Kegelschnitte,  welche  einen  Mittelpunkt  haben,  sind  Ellipsen  oder 
Hyperbeln. 

Nach  dem  Theoreme  folgt  daraus:  Kegelschnitte,  welche  nicht 
Ellipsen  sind,  mUssen  Hyperbeln  sein  oder  (Kurven^  die)  keinen  Mittel- 
punkt haben.   Etc.  etc. 

Anmerkung.    Das  gegebene  Beispiel  kann  benutzt  werden  um 

darzüüiuii,  dass  es  nicht  gestattet  ist^  dio  Subj^umtionszeichen  in  dem 
Satze  v)  durch  GleichUeitbzeichen  zu  ersetzen.  Denn  die  vorausgusetzte 
Subsumtion  gilt  hier  sogar  als  Gleichung  (indem  die  ?]Uip{»ea  nebst  den 
Hyperbeln  auch  die  Kegelschnitte  sind,  die  einen  Mittelpunkt  haben), 
die  gefolgerte  Subsumtion  aber  nicht: 

Kurven die  keinen  Mittelpunkt  haben  (oder  aber,  resp.),  sowie 
li>perbehi,  brauchen  nicht  Kegelschnitte  zu  sein,  die  nicht  "Ellipsen 
sind  —  sie  brauchen  uämlich  überhaupt  Jiicht  Kegelschnitte  zu  sein. 

o)  Herr  Peirce  erblickt  im  obigen  Satze  v)  das  wahre  Wesen, 
die  „Essenz"  der  Negation  —  was  insofern  begründet  erscheint,  als 
derselbe  die  hochwichtigen  Theoreme  41)  in  sich  vereinigt  Diese 
iiiessen  ans  ihm,  indem  man  c  =  0  resp.  6  «  1  annimmt. 

Man  konnte  auch  umgekehrt  das  Th.  v)  ganz  unmittelbar  aui  die 

beiden  einfacheren  Theoreme  41)  zurückführen. 

Anstatt  aus  diesen  setzt  Peirce^  p.  35,  ^ein  Theorem  aus  folgenden 
beiden  Sätzen  zusammen  {wie'^  ist  mir  nicht  recht  ersichtlich): 


Theorem  o^).  Wem 


Theorem  O4.).  Wem 

a  =^  Z>  +  c 


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380 


Neuuto  VorlcBOAg. 


SO  isi:  ac,a^b,  |  so  ist:        b^^e  +  a^ 

sowk  ttmgekdtrt  —  deren  Beweis  und  Deutung  dem  Leser  ttberlassen  sei. 

ä)  Theorem  (von  Jevons*  p.  Gl).    Von  den  öcciis  Gleichungen:, 

hat  jede  die  fünf  übrigen  ewr  Folge;  dieselben  sind  alle  sechse  einander 
äquivalent. 

Aufgabe:  das  Theorem  zu  beweisen, 

Auflösung.  Durch  beiderseitiges Negir«n  nach  Th.  32)  und  36) 
gehen  die  beiden  Gleichungen  einer  jeden  Zeile  in  einander  üin  r.  Ks 
handelt  sich  also  nur  noch  darum,  die  untereinander  stehenden  links 
auf  einander  zurückzuführen. 

Dies  kann  geschehen,  indem  man  die  beiden  ersten  Gleichungen 
mit  c,  resp.  c  beiderseits  multiplizirt  und  die  Ergebnisse  ac^^^he^^ 
a,e  «  hc  Übersehiebend  addirt.  Etc. 

Am  besten  bringt  man  gemäss  Th.  39^)  die  erste  dieser  Gleichungen 
rechterhand  auf  Null.   Dieselbe  erweist  darnach  sieh  äquivalent  mit 

a(6c,+ft,c),  +  o,  (6c,+  6/)  —  0 

oder,  wegen 
mit: 

abc  +  a6,c,  +  ic,a,  +  ca,6,  =■  0. 

Hieraus  ist  aber  zu  ersehen,  dass  der  vorausgesetzt^  Zusammen- 
hang zjvischen  .den  Symbolen  a,h^c  in  Bezug  auf  diese  symmetrisch 
ist,  durch  Vertausch ong  derselben  nicht  verändert  wird.  Man  mag 
demnach  z.  B.  die  Buchstaben  afhfC  „cjklisch''  —  im  Ringe  herum 
—  vertauschen^  d.  h.  a  durch  h,  daneben  b  durch  e  und  c  durch  a  er- 
setzen; dadurch  wird  man  aus  jener  ersten  Formel  die  dritte  und  aus 
dieser  die  fünfte  erhalten. 

Das  behufs  Beweises  vorstehend  eingeschlagene  Verfahren  und  die 
daran  geknüpfte  Wahrnehmung  mochte  ungezwungen  zur  Entdeckung 
des  Satzes  geführt  haben. 

Man  verifizire  den  Satz  auch  durch  die  Anschauung  an  der  Fig.  18 
(S.  371),  indem  man  das  dort  schraffirte  Gebiet  mit  c  bezeichnet. 

In  Worten  kann  man  sagen:  Tl^ii  a  bedeutet  ,Jb  oder  äbet  if\  so 
muss  auch  h  einerlei  sein  mit  ,m  oder  edier      und  c  mit  „a  oder  aber  l^. 

Exempel  zu  dem  Satze.    Es>  möge  a  die  Klasse  der  ge^ietzlich 


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§  18.  SiuUieD. 


381 


erlaiibteiii  h  diejtMiige  der  moraluchezi  Handlungen  Torstellen  (welche 
beiden  SphSren  einander  belcanntlich  nicht  durchaus  decken).  AUdann 
sind  die  Handlungen  ah  nnbediugt  zu  billigen  oder  wenigstens  nicht 
zu  beanstanden  (es  sei  denn  unter  Gesichtspunkten,  wie  der  Klugheit, 
Zweckmässigkeit,  u.  a.  auf  die  wir  hier  keine  Rücksicht  nehmen  wollen), 
die  H;uiilliuigen  rr,Z»,  sind  unbedingt  zu  verwerfen;  dagegen  können  wir 
die  liaiulhingen  der  Klasse  a6,+  a,6(=c),  welche  nur  gesetzlich  uder 
nur  iuorulisch,  aber  nicht  beides  zugleich  sind,  für  den  Augenblick  — 
nur  um  etwa  einen  kurzen  ^»ameu  i'ür  die  Klasse  zu  haben  —  „strit- 
tige" oder  ,,frag\\  ürdii!;e"  nennen,  sofern  sie  von  dem  Interpreten  des 
Gesetzes  eine  andere  I3eurteihm<2:  zu  erfahren  haben  als  wie  vom  Stand- 
punkte der  Moral.  iS'üch  besser  vielleicht  wird  man  sie  „Konflikts- 
handlungen" nennen,  weil  Derjenige,  der  sie  begeht  oder  sich  vor  sie 
gestellt  sieht,  sich  in  KonÜikt  befindet  oder  in  solchen  gerat  zwischen 
seinem  eigenen  sittlichen  Bewusstsein  und  demjenigen  seiner  Nation 
soweit  es  in  der  Gesetzgebung  zum  Ausdruck  gelangt  ist. 

Nach  nnserm  Salza  müssen  dann  auch  die  gesetalichen  Handlungen 
entweder  moralische  oder  aber  Eonfliktshandlungen  sein,  und  um- 
gekehrt Desgleichen  mflssen  diejenigen  Handlungen  welche  frag- 
wfirdig  (Eonfliktsh.)  oder  aber  gesetzlich  sind,  moralische  sein,  und 
umgekehrt. 

Stellt  man  einen  Ausdruck  ab,-h  a,h  symbolisch  als  eine  Knapfung 

a^h  von  a  mit  h  dar,  so  ist  diese  KnUpfung  einerseits,  wie  erwähnt,  eine 
kotnmutaiive,  es  ist  ao6  =  &  <>«,  -/ugleich  ist  sie  nach  Je  von  s'  Satze  auch 
eindeutig  umlcJirhnr.  und  befol^'t  in  Bezug  auf  iliro  T'mkf^hningon  das  Gesotz, 
dass  sooft  c  =  a  o  6  ist,  auch  a  =  ho  c  und  6  ^  c  o  a  sein  muäs.  Man 
beweise,  dass  allgemein  auch: 

(a  o  fr)  o  a  B  (     a  0  (d  o  a) 

sein  wird.  Die  Euupfung  genügt  Überhaupt  den  Gesetzen  des  in  Anhang  b 
unter  »»Beleg  6**  angeftthrten  Algorithmus  — 

q)  Wir  haben  gelernt,  jede  beliebige  Subsumtion  a^h  auf  ver- 
schiedene Arten  in  eine  (Jleichung  umzuwaudelu,  welche  ganz  das 
nämliche  sagt  —  ci.  Iii.  i^'))  und  38). 

Umgekehrt  hingegen  mochte  eine  Cileichung  o  •=  6  nach  Def.  (1) 
durch  zwei  als  gleichzeitig  geltend  hingestellte  ^Subsumtionen  a^h 
und  h=^a  ersetzt  werden. 

Hier  liegt  die  Frage  nahe,  ob  es  nicht  auch  augän*;i;4  ist,  jede 
beliebige  Gleichung  umzuschreiben  in  eine  cinsirje  Subsumtion. 

Diese  Frage  beantwortet  iu  bejahendem  »Sinne  —  das 


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382 


Nennte  Verlesmig. 


Theoiciu  Q).  W'tjtii  n—h  ist,  so  nntss  auch  a  +  b  <ib  mIik 
und  ui)Hj< kehrt ,  sodass  die  (jlleicliuiif^  oiit  der  Subsumtion  üquivaleut 

lu  Worten:  Wenn  alle><,  was  n  oder  b  ist,  auch  aunäb  sein  muss, 
80  sind  a  und  b  identisch,  einerlei  —  und  vice  versä. 

Dies  zu  Iteweisen  kaua  als  eine  leichte  Übungsaufgabe  für  An- 
fänger empfohlen  werden*   Doch  sei  deren  Ldsung  hier  angegeben: 

Wenn  a     6  ist,  so  wird 

a-^h  ^  a+  ü'^a  und  ah*^  aa^  a, 

somit  lauft  die  behauptete  Subsumtion  hinaas  auf  die  durch  das  Prin- 
zip I  verbürgte  a^a.  Die  Gleichung  zog  mithin  die  Subsumtion 
nach  sich. 

Ist  umgekehrt  a  +  b=^ab,  so  können  wir  nach  Th.  6^),  der  Vor- 
aussetzung und  Th.  G^)  den  Kettenschluss  aasftihren: 

a=^a-\'b,    a  +  b  =^  ab ,    ab        ,    ergo    (i  =^b, 

und  ebenso  zeigt  man,  was  überdies  nach  der  Symmetrie  schon  folgl^ 
dass  auch  b=^a,  womit  nach  Def.  (1)  dann  die  Gleichung  a^b  be- 
wiesen erscheint   Die  Subsumtion  hat  also  auch  die  Gleichung  zur 

Folge,  q.  0.  d. 

£in  anderer  Beweis  ist  ganz  mecbaiiisch  föhrbar,  indem  man  Sub- 
sumtion wie  Gleichung  gemäss  den  Theoremen  3^^)  und  S9)  rechter^ 
band  auf  0  bringt 

6)  Aufgabe.    Man  zeige,  dass  wenn 

a  =^  b^c^   und  bc^O 

ist,  auch 

b  =^  c,a,    und    ca  ==  0 

sowie 

c  ^  ajff  und  a&  »  0 

sein  muss. 

Gilt  z.  B.:  ein  Fisch  ist  weder  Vogel  noch  Säugetier,  wShrcnd  kein 

Vogel  ein  SUugetior  ist,  so  haben  wir  auch  die  Folgei-nngen:  ein  Vogel 

ist  weder  Fisch  nocli  SUugetier,  und  kein  Siiut^titier  ist  ein  Fisch,  sowie: 
ein  iä&ugetier  ist  weder  Fisch  noch  Vogel,  desgleichen  kein  Fisch  oia  VogeL 

t)  Ebenso  zeige  man,  dass  wenn  gleichzeitig: 

n=^br^-hb/-,       b^ca^-rt^Uf  c^ab^-Vo^b 
ist,  dann  diese  Subsumtionen  als  Gleichungen  gelten  rnttssen^  nämlich 

a^he^  +  hfCf  etc. 

sein  wird. 

Ausfahrung  —  gleichwie  hei  o)  —  dem  Leser  Uberlassen  — 
vergl.  «). 


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§  18.  Stadien. 


383 


v)  Dem  Anfiiii<;er,  wie  dem  Dozenten  wird  auch  die  Zasamnipu- 
steüuüg  t  iner  Anzahl  mn  rechnerischer  Ühnngen  willkommeo  sein,  die 
wir  in  mehrere  Gruppen  Terteileu. 

Die  Aufgaben  ziel^  zumeist  auf  die  Yereinfaehung  eines  ge- 
gebenen Ausdruckes  hin»  und  werden  wir  sie  alsdann  dadurch  dar- 
stellen, dass  wir  den  ^^egebenen"  und  den  resultirenden  Yereinfaehten 
Ausdruck,  der  zu  entdecken  gewesen,  d.  i.  den  „gesuchten''  Ausdruck, 
ohne  weiteres  einander  gleich  setzen.  In  andern  Fällen  handelt  es 
sich  Ton  Yomherein  nur  um  den  Nachweis  der  Identiföt  einander  gleich 
gesetzter  Ausdrücke;  in  manchen  auch  darum,  aus  einer  gegebenen 
Voraussetzung  rechnerisch  eine  angegebene  Folgerung  zu  ziehen. 

Allemal  machen  die  Angaben  den  Anspruch,  allgemeingüliij^  zu 
sein  bei  beliebiger  Deutung  der  vorkommenden  Buchstabensymbole  als 
Gebiete  oder  als  Klassen.  Jede  so  ein  Problem  nebst  seinem  End- 
ergebniss  statuirende  Angabe  bringt  mithin  ein  eigenes  Theorem  des 
identischen  Kalküls  zum  Ausdruck.  Natürlich  muss  jedoch  bei  unsrer 
beabsichtigten  mehr  nur  miscellenhaften  Zusammenstellung  solcher 
.'  Tlieoreiun  auf  strenge  Systematik  und  VoUstämligkeit  Verzicht  ge- 
leistet werden. 

Nur  gelegentlich  geben  wir  auch  eine  Andeutung  über  die  be- 
(|u«MiJi»te  Art  der  Lösung,  und  muss  der  Leser  resp.  Loser  ehen  die 
wichtigsten  iSütze  des  Kalküls,  vor  allem  die  Hegeln  filr'R  Ausmulti- 
pli/.iren  niul  Ausscheiden,  das  Tautologie-  und  das  Absorption sLCesetz, 
die  Theoreme  30),  und  Zusatz  zu  33^),  etc.  beständig  vor  Augen  haben. 

Als  Theorem  (p)  stellen  wir  die  Formel  voran: 

q))  («  +  6)  (6  +  c)  (c  +  a)  =  ah  h  bc  +  ca, 

welche  dadurch  bemerkenswert  erscheint,  dass  sie  vollkommen  «ii  skh 
selbst  dual  ist. 

Dieselbe  kann  auch  in  der  Gestalt  geschrieben  werden: 

a(b  +  c)  +  6c  «  (a  +  he)  (h  +  c) 

und  lässt  sich  analog  in  der  Form: 

a{ü  +  c  -T  d  • ')  +  hcd  • .  =  (a  +  bcd  -    (b  +  c  +  d  '  -) 

auch  auf  beliebig  viele  Terme  a,  b,  c^d,"  ausdehnen,  wo  sie  dann  noch 
zu  s^ch  selbst  dual,  aber  nicht  mehr  —  wie  bei  dreien  —  in  Bezug 
auf  alle  diese  Terme  symmetrisch  ist. 

Für  drei  Symbole  kann  man  dem  Satze  auch  noch  andere  zu  sich 
selbst  duale  Formen  geben,  und  zwar  symmetrisch  als: 

{a  +  he)  (ft  +  ae)  (c  +  ah)  «o  a{h  +  c)  +  h(a  +  e)  +  c{a  +  h), 


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384  Kennte  YorlesiitiK. 

desgleichen  tmsymiuetriscli,  aber  einfacher,  als: 

(a  +  hc)  {b  +  rtr)  =«  a(h  +  c)  +  h(a  +  c) ,  etc. 
—  indem  diese  Ausdrücke  alle  durch  Ausmultipliziren,  nach  dem  Ab- 
sorptionsgesetae  auf  a6  +  ac  +  hc  hinauskommen.  — 

X){a  + hc)b (a-^  c)b]    a{ab  +  bc)~ab\ 
(ah  +  ac  +  be)abc  —  ahe  \   (b  +  ac)  (c  +     «  ac  +  6c  +  6d  j 
a  +  l»(c  +  <l)  +  (a  +  l»Ä?)c  — a +      + d);    (a  + 6)  (6  + «c)  —  6  + ac; 

(ö  +  ^i)  (Z;  +  a)  =  ö  +  ^ ;    («  +  b)  {b  +  c)  (c  +  rf)     +  «)      «c  +  IkI; 
(«  -\-b)(b-\-  c)  =  b+  ac,    (rt  +  ?0     +  c)  (c  +  ^0  =  ac  +  cb  -i- bd; 
(a  +  i^)  (b  +  c){c  +  d)  (d  +     =  & d  +  e(a(Z  +  ac  +  bc); 
(a  +  6)(6  +  c)  (c  +  d)(d  +  c)(e  +  /^)  «acd/'  +  ace  +  fccc  +  ödc  +  W/'i 
(a  +  6)  (a  +  e)  («  +  d)  (6  +  c)  (6  +  d)  (c  +  d)  «  alic  +  aW  +  «cd  +  6cd; 
(a  +  Z;)  (ft  +  r)  (c  +     (d  +  c){c  +  n)  =m  adb  +  bec  +  cad  +  d&«  +  cc«; 

(rt  +  +  c)  (a  +  6  +  (0  0'  +  <^  +  +  ^+  ^)  =  +  +  +  +  5 
a(6  +  c)  c(a  +  b)  =  «c; 

{(i  +  bc)  {b  +  ac)  ^  ab  +  ac  +  bc  =  {a  +  6)  {ah  +  oc  +  6c) ; 

(a6  +  cd)  (a  + 1»)  (c  +  d)  —  a6(c  +  d)  +  («  +  6)cd. 

a  (6  +  c)  +  c,  1=  o  +  c,;  a (6 + c)  («,+  6,)  r,  —  0;  a,l»c  ac  +  fl.r,)* «  O ; 
(a+ &)  (a,+&,)  «  a6,+  a,l»,      («  +  &,)  («,+&)  —  «6  +  ff,«',; 

(«  +  ^r)  (6  +       <B  Ob,   (^/,.r  +  b)  (a  +  Z>,-r,)  »  ati;    o (6+c)+a,+  1; 

(a +        («c+?/,)  =  ac  +  ?>,r,;        a{b,  +  cd}  b  {r,+  d)  -=  «fecrf; 

(a,+  6,)  (afc+ac  +  tc)  -=  c(oi>,-»-fl,6}j      («,+  6,)  «(K+^c)  «  ad,c; 
a  (6 + c)  (<?,+ «6  +  0,6,)  —  ä6;      a  +  6,  +  c,  + 1»  (ac,+ff,c)  —  1  j 

[  a   r  u     +  ^.^)  i  j  j « fr^ f ^  +    (6  +  c) }  =  a, & ;       a6  +  a6,c     a  (6 + c); 

t,c)  (a,+  &c"^  =  «c(«,+  6,)  =  rt  (&,+  «, c)    («,  +  r,)  =  0; 

0,(6,+  c,)  (6  4-c«)  {c  +  ab)  =  0;       +  (y.+  x*')  =  0; 

+0?,)  («,+y,)  (6,+ar,)  =-  0;     a,  +  6,  +  c,+  a6  +  ac  +  6c  «  1; 

(«+!/) +*)  («+^1+0  —  OJ  ö,+6,+c(a6,+a,&)— a,+6,; 

=  +  («6,4- ^»,6)  —  (/ift,+a,6)  +  (6r,+6,r)  =  (^6r,+6,c)+(cfl,+r,«)«« 

-I  (rt+6+c)  (a,+  6,+c,)  +  ff,(6  +  f)  —  etc. 


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§  18.   ObttngWkD^bftii.  385 

((|6  +  I4,i»,)  (6c  +  6,C,)  {ca  +  C^ft^)  =  nhc  +  0^h^r^'^ 

(i»c+i>,c,)  {ab^^^■a^b)  (ac,+  a,c)  -=»  a,iic  +  ab^c^'^ 

ab  +  fl,ftg  +  a,c,  +         c,+  o&  +  <r,ft,; 

Z»,  +  n  =  ^1  +  6| -f  c,  =  (iJ'C  +        +  «Är,  +  + 

+       ^i"*  {'tb  +  (ic  +  he)  =  u     + 1);         +    +  =  rt6+ac+6fj 

+     +  r,  +  «6  +  ^/,?',  =  o  +  fc,  +  c,  =  tt  (^^1+      +  c,+  a6  4-  a,6,; 
1  (6  +  c)  +  0,6,  +      +  6,c,  =  ö  +  6,+       «6« + ff,6,H-  a^e^¥  6,c,+  a(6<?g+6,c)} 
«,  (6e,+  bfC)  +  ab  +  ac  +  bc^h  +  c^   ab -i- ac    bc  +  «,6,+  1 5 

Auleitong:  man  lasse  in  den  Summen  die  Glieder  fort,  deren  Nega- 
ticm  als  Faktor  aussen  steht,  und  erhalt:        +  f,)  (6,  +  <',)6,acd/',  etc.j 

{a^■^■h->c■  c){a  +  h^■^  c){a  +  h  +  c,)  =  ah  +  ac  +  hc  +  a,6,c, ; 

(fl,6,  +  6c,),  «  a6,  +     ;     ( (a, +        } ,  —  c,  +  ax  +  6ap, . 

Zeige,  dass  wenn  z  «=»  a(&  +  c)  +     +  6,6  ist,  dum  9,  ■=  a,&c  + 
«ein  mns«.   Ebenso  dass  wenn  besOglich: 

X  —  afic  +  a(6  +  c)i  5 c  +  ca  +  a6,  6,(c,  +  a)  +  c,a,  «(ftc, + 6,e) + 6,c„ 
so 

x,«a&,c,  +  a,(6,+c,),   ^6|  +  (^,a,+a,(,,   6(c+a,)+ca,,  a,(6,c+6c,)+6cj 

a6,  +  6,c  +  a6c,     ac,  +  6,c . 

^)  a,6,  +  «c  +  i^  =  r  +  a,6, ;     (a  +       +  (c  +  ^gi»,)«,  +  6c  =  1 ; 

a^bc  +  a6  +  ac-i-  6,c     a6  +  c; 

o,6  +  oe,  +  a,e  +  6c  +  a6|  «  a  +  6  +  c, 

Anleitung:  «, (6  +  c)  +  a(6,  +  c,)  +  6 c  —  a,(6  +  c)  +  a(6c),  +  6c  — 

«  0,(6  +  c)  +  a  +  6c«6  +  c  +  a  +  6c— » ete.} 

a6  +      +  ctl  +  6(J,  =  6  +  crf , 

Anleitung:   a6  +  2>(cd),  4-  cd  «  a6  +  6  +  cd  »  etc. ; 

a  +  6  +  c,  +  a,6,c«  1, 

Anleitung:  Nach  Th.  33^)  Zneats  ist  die  linke  Seite 

—  ö  +  6  +  c,  +  a,6,  -=o  +  6  +  c,  +  a,  =  14-^>  +  c,  =  1, 

oder  auch  nach  Th.  30^.)  und  30 weil  a,6,c  =  (^/  +6  +  c,),; 

a6  +  a,c  +  6c  +  cd,  +  a6,cd  -»  a6  +  c, 

Bemerkung:  das  Glied  ab  könnte  aodi  beiderseits  fortgelassen  werden; 
a  (cd  +  o6cd,  +  6,cd,  +  ac,  +  a6,d)  «  a\ 
(a6jC,+  6c)  (6c,ö,+  c«)  (co,5,+  a6)  «=  a6c; 

SnuDBB,  Alg^iA  d«r  Logik.  85 


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386  Nennte  Vorleeimg. 

( o  +  (?,  (6  +  d,) )  ( 6  +  d,  (a  + 1\)  1    +  bd,)    ^6  +  ac,)  d,  =  («  +  6)  r.rf,; 

(o  +  6  +  c  +  d)  {«,+       r,  +  </,)  =  a  (6,  +  c,  +  rf,)  +  a,  (6  +  c  +  d). 

Anleitung:  man  zeige,  daes  der  beim  Auemnltiplizireii  eigentlieb  noeb 
hinzutretende  Term  (6  +  c+<l)  «,+ von  den  beiden  fibiigen  nbaor- 
birt  wird,  indem  man  ihn  mit  a  +  a,  multiplizirt; 

(a  +  h  +  c)  (a  +  h,+  c,)  («,+    +  c,)  («,  +  ^+  c)  =  0; 

a,hc  +  a{b  +  c)  =  a  (h  +  c)  +  6c;       «  (f^  +     +  hc^  +  &,c 

««  a6c  +  l>c,  +  ö,c  «  a6  +  öc,+  ?',c  =  ac  +  ^c,+  fc,c; 

ö6,c,+  a,5c,+  a,5,c  +  a,6c  +  a  (&  +  c)  —  a  +  6  +  c; 

aft«  +  ö.a?,  +  a,6  —  ft«  +  a,<r,;      a,a?,y, + ary,  +  flary  —  a»  +  <i,y,; 

+      +  «,?>,xy  =  ay  ■\-hx  +  orij 
wol  am  bequemsten  nachzuweisienj  indem  man  das  xy  rechts  mit  1,  = 
B  a  +  6  +  multiplizirt; 
fl6x,y,  +  ny  +  6«  +  afi^xy     (a  +  ä)  (6  +  y); 
ad,  +  5c,+  ca,  —  «,6  +  \c  +  c,a  —  {«  +  6  +  c)  (a,  +  ft,  +  f,); 
(a  +     (b  +  r,)  (c  +  a,)  =  («,  +  ^^'l  (/',  +  c)  (c,+  a)  =  rtfcc.+  o,ft,<?,; 
«?>  +  «/>,x  4-         =  (ix  +  hx,', 

abcd  +  a  (^6,  +  c,  +  d,)  Jcy  +    I,'/,  +  * ,  +    )  xy,  +  c  («,  +  f/,  +  d^)  + 
+  d  («,  +  ft,  +  c,)  ar,y,  —  a«y  +  6«y,  +  c     +  da?,y,» 

wie  m  zeigen,  indem  man  a&cd  mit  1,  «y  +  vy,  +  a^lV  +  dr,y,  moltipli- 
nrt,  sodann  die  gloebnamigen  Glieder  susammenzieht.  — 

»)  Wenn  e  «  ox  +  6x, 

bedeutet,  so  seige  man,  daw 

ab  +  c  {(i  +  b)  e 

sein  muss. 

Desgleiclieu ,  wenn 

e  =  uxy    hxy^  +  ci\y  +  Jj-,y, 

bedeutet,  da^ä 

«i&cd  +  c  (a  +  6  +  +  d) 

Wenn  «/>r  =  0 

ist,  80  musB  ahd  i^x  +  t,)  =»  abd 

sein.  — 

Unter  der  Voraussetzung,  dass 

ahed  -»  0 


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§  18.    Dbang«aa%8beo.  ^7 

ist,  solieu  Uiti  [olgeuden  Keduktioueu  gerech Ifortigt  oder  als  zulässige  etit- 
decict  werden: 

a  {bc,  +  rf,)  ==  a  (l>  +  (7,);         («,  +  Z;,  +  rf)  c      {a,  +  c; 
aijß  +       d^)  =  a(c,+         ad  +  ac,  +  «£»,cd,  =  a  (6,  +  c,) ; 
fl,  +  frc  +  cd,  =  a,+  dtfj  a,+  &,c  +  cd     «,+  ÄgCj 

<i,  +  5d  +  aftc,d,  —  «,  +  6c,;      a&c  +  (6,  +  c,)  <f ,     (a  +  5,  +  c,)  d,; 

n^+h  (r,  +     =  rt,  +  ftp,;  «  (6,  +  cd,)  —  fl  (6,  +  c)j 

«/y  +  {a  4-    +  r,)  f7,  =  r/  />  +  (l>,  +  r, )  r?,. 

Anleitang  zur  ersten  Aufgabo.    Die  linke  Seite  lüsst  sich  schreiben: 
o(5c,d  +  d,)  +  ahcd     a6d(c,  +  c)  +  ad,  —  a(hd  +  d^)     a(6  +  d,) . 
Anleitang  zur  zweiten  dieser  Aufgaben.   Die  Hnke  Seite  ist 
{a,  +  b,  +  d(a,  +  6,), \  c  =  (a^  + +  ahd)c (a,  +  &,)c, 

wnl  der  letzte  Term,  ausmultiplizirt,  Null  gibt.  Etc. 

Anleitung  zur  Icizteu  Aufgabe:  Da  bc  die  Negation  von  +  c,,  so 
d«f  man  fOr  a  +  2>, +  c,  »dmiben  a&c4-6, +  r,;  hieyon  der  erste  Term, 
animnltipliiirt,  gibt  ahed^  (und  kann  um  a&cd,  welches  0  ist,  Termefart 
werden;  dadurch  entsteht  abe)  welehes  dann  in  das  schon  Torhandene  Glied 
ab  eingeht,  von  diesem  versclilnnfren  wird. 

Hier  würde  die  Gleichung  falsch,  wenn  man  das  Glied  ah  beiderseits 
fortlaiiäen  wollte.  Zu  ihrer  Geltung  bedarf  sie  aber  der  Voraussetzung  nicht. 

tt^)  Man  Tcreiniaehe  eine  jede  der  nachfolgenden  acht  Sabsumtionen: 

Auflosung:  a=^b  —  wie  vermittelst  des  Th.  SS^)  zu  zeigen.  — 

Nach  dem  dritten  dw  obigen  Schemata  könnte  beispielsweise  dem 
Satze:  „Alle  Sünden  sind  verzeihbar  (kr,nnen  Vergebung  finden)''  als  eine 
logisch  vollkommen  äquivalente  —  psychulogisch  aber  so  sehr  davon  ver- 
schiedene —  auch  die  Fassung  gegeben  werden:  „Unvereeih liehe  Siinden 
sind  kerne  Sflnden**  —  welche  De  Morgan  Ton  dem  das  Beispiel  herrahrt 
nicht  gans  mit  Unrecht  als  „nngesobickt**,  tölpelhaft  oder  abgesehmaekt 
(„awkward")  hinsteUi 

Dagegen  mnss  man  sich  hüten,  dergleichen  an  einem  Beispiel  zn 
machende  Wahrnehmungen  so^loicb  auf  die  ganze  Urteilsform  aubzudelinen. 
Zum  Beispiel :  Falsche  lateinische  Deklinationen  sind  gar  keine  lateinischen 
Deklinationeu  .  .  .'^  hatte  ich  einst  zu  entgegnen,  als  mir  ein  philologischer 
Kollege  meine  Einteilung  der  nomeriachen  Gldohnngen  in  richtige  und 
falmdm^  p.  859  doreh  den  Vergleich  mit  einer  Einteilang  der  lateinischen 
Deklinationen  in  richtige  und  falsche  iScherlieh  zu  machen  snchte.  In  der 
That:  wirklich  lateinische  Deklinationen  sind  Immer  richtige,  „...dagegen: 
üüsohe  Gleicboiigen  sind  wirklich  Gleichungen  (d.  i.  Behau  [itungcn  einer 

2ü* 


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388  Nomte  Verlesung. 

Gleichheit).^  So  erwies  sieh  jene  „imgesohickto**  Urteilsform  hier  ab  eine 
gesebiekto  sur  EntkrftCbuiig  des  Einwaades. 

ßi)  Man  bringe  die  Gleichiug  a  +  &  »  a  rechts  auf  0  Dach  Th.  39). 

Auflösung:  afi  »  0,  was  mit  b^a  äquivalent  NifHvaidige  und 
kmrädiemtB  Bedingung  dafür  dass  Summamd  h  im  anäem  eingehe 
und  unterdrüdd  werden  dürfe,  isi  aUo:  dass  er  diesem  eingeordnet  sä. 
Darnach  erseheint  das  Absorptionsgesetz  23^.)  als  spezieller  Fall  und 
EoroUar  der  Theoreme  6). 

Man  verfahre  ebenso  mit  der  Gleichung  ah^a  und  untersuche 
die  Bedingung  f&r  das  Eingehen  eines  Faktors  h  im  andern  «•  Die- 
selbe ist  abf  =  0  oder  a^b. 

Wenn  x  ^  ah^  +  a^h  -\-  a^c^  +  /  ,r,  bedeutet,  so  untemidie  man  nach 
Vorstehendem  systematisoh,  welches  von  den  vier  Gliedern  rechts  unter- 
drückt werden  darf  —  MeColl*.  Da 

ahf(a,b  +  a^e^  +  i!>,c,),  =  ah,{a  +  h,)  (a  +  c)  (&  +  c)  «  ah,{ah  +  c)  =  a6,c 

und  a,?*(a6,  +       +  6,r,),  =  ff,&c 

von  0  im  allgemeinen  verichiedea,  so  »iud  die  zwei  ersten  Glieder  beizu- 
behalten.   Dagegen  ist: 

/r,r  ((7?),  +  a, &  +         =  0    und    6,c,(oi/,  +  «,& -f  a,r,),  =  0  ; 

wir  küimen  also  nacb  Belieben  das  tlritte  oder  vierte  Glied  weglassen. 
Aber  nicht  beide  zugleich,  denn  nachdem  nun 

:6  -B  a&,  +  afi  +  6,r,   resp.      «  al»,  +  a,&  +  a,c, 

gesehrieben  ist«  wird: 

+  r/,6),  =  a,&,c,    und    (^^c^{ab^  +  a,h),  =  cr,6,c, 

nicht  verschwinden  —  so  lange  die  Gebiete  6,  c  als  allgemeine  gedacht, 
80  lange  nicht  besondere  Beziehungen  zwischen  denselben  bestehend  Yor- 
ausgesetxt  werden, 

Natarlieh  wird  man  zur  Anwendung  des  hier  erläuterten  syste- 
matiscben  Verfohrens  nur  su  schreiten  haben,  sofern  sich  nieht  die 
tiberflfissigen  Glieder  (,^redundant  terms'*)  schon  beim  blossen  Anblick, 
bei  Durchsicht  des  Ausdrucks  (bj  mere  inspection)  als  andere  zum 
Faktor  habend  entdecken  lassen  —  vergl.  das  Beispiel: 

a^hc  +  (l^c  -\-  <ibc^  +  bc^  =  a^c  +  6c, . 

Bei  der  Untersuchang,  ob  ein  a  +  &«™a,  d.  h.  a^h  ==i  0  ist,  kann 
übrigens  sur  Yereinfaehung  der  Beohnnng,  wie  HoColl  hervorhebt,  von 
einem  spUeren  Satze,  veigl*  Anm.  2  su  Th.  44^)  mit  YortsU  Gebranch 
gemacht  werden. 

}\)  ^uiiiu»  lir  noch  einige  Übungen  im  rechnerischen  Ziehen  von 
Schlüssen.   Mau  beweise  den  Sorites: 


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§  18.   Aufgaben  uud  Aawenduugen.  389 

a^hf  h^Cf  c^df  d'^e,  ergo  a^^e, 

indem  man  die  Prämissen  in  der  Form  darstellt: 

a^äb,  hf^hc,  e^ed^  d^de. 
(Jevons*  31^ 

AuflÖBiiDg.  Dorch  ßOckwärtseiDsetBiuig  folgt: 

a^{abed)e, 

d,)  Man  zeige  dass  wenn  den  Prämissen  eines  (bejahenden)  Ketten- 
schlusses noch  eine  Subsumtion  liiii/iiLi;ettigt  wird,  welche  «ozusagen 
die  Kette  sdUiesst,  durch  welche  namlieh  der  müjor  seiner  letzten  dem 
minor  seiner  ersten  Prämisse  subsumirt  wird,  dann  sämtliche  termiui 
einander  gleich  sein  müssen.   Z.  B.  ist: 

a'^b,  b^Ct  c^dt  d'^e  und  e^a, 

80  tolgt  a  =  b  —  c  —  d  =  e.    (Jevous"  p.  212.) 

In  der  That  hat  man  a^e  nebst  e'^a,  somit  e  =  a,  ebenso 
a «4  J  nebst  d'^a,  somit  d  —     etc.  — 

£j)  ^^edes  a  ist  h**,  dargestellt  als  „Jedes  a  ist  h,  oder  b'*,  gibt 

darch  Eon?er8ion  den  Sehlnss:  Jedes     welches  nicht  b  ist,  ist  b**  ^ 

als  scheinbare  „eontradictio  in  adjecto''. 

In  Formeln  kann  man  noch  etwa.>  cicfacher  so  zu  diesem  Schluss  ge- 
langen: Wenn  a  =^  6,  so  ist  pacb  Th.  15^)  ah,  =^  aber  hb,=^b  nach 
Th.  6^),  ergo  ab^  =^  b.    Am  einfachsten  nach  Th.  41^),  c  ~b  setzend. 

Man  löse  diesen  Widerspruch.  (Je von b''*  p.  2(»2.)  Der  schein- 
bare Widerspruch  schwindet  bei  dem  Hinweis  darauf,  dass  a2>,  ^  0, 
oder  also  a\  =  0  sein  muss,  d.  h.  es  gibt  keine  a,  welche  nicht  b 
sind;  die  Klasse  dieser  ist  eine  leere,  und  somit  aach  in  der  b  mit- 
enthalten!  — 

^  Wenn  kein  a  ein  bc  (d.  h.  b  und  e  zugleich)  ist,  was  folgt 
beaüglich  der  b  und  der  ac?  (Jevons^  p.  200.) 

Beantwortung:  die  Prämisse  a  ^  (pe\  lasst  sich  umschreiben  in 
abe^Of  und  dieses  ebenso  wieder  in  b^(ae\f  d.  h,  kein  b  ist 
ein  — 

riy)  JeTon»*  p.  189. 

Was  ist  der  wahre  Sinn  der  Redensart:  „Alle  ^der,  welche  nach 

Croylaud  kommen,  sind  mit  Silber  beschlagen^? 


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390 


Hemita  VorUrang. 


Bezeiclmet  r  die  Klasse  der  nach  Grolland  kommenden  Kader 
und  s  =  silberbeschlagen,  so  soll  r  =^  s  sein. 

Die  Unterstellung  ist:  dass  es  süberbeschlagene  Bader  Überhaupt 
nicht  gebe,  d.  h.  dass  5     0  sei. 

Hiemach  folgt  gemäss  Th.  2)  und  5^),  dass  auch  r  =^  0  somit 
fasO  sei,  das  heisst  also:  es  kommen  keine  Räder  nach  Oroyland 
(einer  gebirgig  entlegenen,  früher  schwer  zugänglichen  Abtei). 

Aufgaben  von  einer  ähnlichen  Leichtigkeit  der  Behandlung,  in- 
dessen  gleichwol  nicht  immer  von  nnswetfelhafter  Klarheit  der  Frage- 
stellung und  unanfechtbarer  Lösung,  gibt  Jevons-in  ^  in  unge- 
heurer Menge. 

^i)  Beobachtet  sei,  dass  die  Phänomene  n,  h,  c  nur  in  den  Kom- 
binationen ahe^f  afifC  und  a,6,e,  vorkommen.  Was  sind  die  einfachsten 
Aussagen,  die  Aber    hfC  gemacht  werden  können?  (Jerons^  p.  219.) 

Beantwortung.   Der  Ansats: 

ahe^  +       +  o,Z»,c,  =  1 ,   oder  ahe,  + 

gibt  erschöpfeiiil  tUe  Maiuiigfaltigkeit  1  der  wirklichen  Fälle  au.  Durch 
beiderseitiges  Negireii  tul^t: 

(«,  +  h,  'r  c)  (a  +  b)  ^       oder    ah^  -V  (ij.>  +  (a  +  h)c  =  0 . 
Das  Vcr.sclivviudeu  der  beiden  ersten  Terme  zeigt  an,  dass  a  —  h  ist, 
uud  kauu  hienach  das  Verschwinden  des  letzten  Terms  kürzer  durch 

(a  +  a)c  =  0   oder  ac  —  0 

ausgedruckt  werden.  Faktisch  bedingen  also  die  Phänomene  a  und  h 
einander  gegenseitig  (die  Klassen  der  Fälle  wo  das  eine  oder  wo  das 
andere  Ton  ihnen  vorliegt,  sind  identisch)  und  wo  eines  von  ihnen 
vorliegt,  da  fehlt  e,  ~ 

(,)  Gesetzt;  Jedes  s  ist  a  oder  h,  aber  jedes  a  ist  ji,  und  jedes  b 
ist      Zu  folgern:  jedes  s  ist  p,   (De  Morgan  'p.  123.) 

Ist  « a  +  6,  dazu  a  h  ^  j9,  so  folgt  nach  Def.  (3)  ans  dem 
System  der  letsteren  P^missen:  a-hi^jp,  und  hieraus  in  Verbin- 
dung mit  der  ersten  PiSmisse  nach  Prinsip  II: 

wie  zu  zeigen  war. 

Nach  De  Morgan  wäre  dieser  Schluss  eine  gewöhnliche  Form 
des  JDüemnu^»  — 

Xi)  Gesetzt:  Jedes  a  ist  entweder  6,  c  oder  d,  ferner  kein  b  ist  a 
und  kein  e  ist  a,  so  folgt:  jedes  a  ist  ä.  (De  Morgan'  p.  122.) 


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§  18.  Au^abon  und  AnwenüuDgeu.  391 

Bevreis.   Von  den  Prftmissen 

a=^h  +  c  +  d ,   a6«=sO,  ac"0 
kann  man  die  erste  nach  Th.  20)  schreiben: 

n  =  a(b  +  c  +  d)  =  ab  +  ac  +  ad, 
was  sich  mit  KOcksicht  auf  die  folgenden  vereinfacht  zu: 

a^ad  oder  a^d. 

A,)  Gesetzt:  Jctie.s  a  ist  b,  c  oder  d.,  jedes  h  ist  c,  jedes  c  ist  c, 
jedes  e  ist  d.    So  folgere  man:  jedes  a  ist  d.    (De  Mor^au^  p.  123.) 
Prämissen :  a=^b  +  c  +  d ,    b  c=^e,  e=^(/. 

Ergo:  ^=^ä,    c=<^df    6  +  c=^rf, 

und  da  ohnehin  d  ^  d,  so  ist  auch  b  +  c  -{'d^d,  woraus  in  Verbin- 
dung mit  der  ersten  Prämisse  a  fortiori  folgt:  a^^d,  — 

Angenominen:  Jedes  a  ist  h,  jedes  e  ist  d  aber  kein  h  ist  d. 
Zu  beweisen,  dass  auch  kein  a  ein  e  sein  wird.  (De  Morgan'  p.  123.) 
PrSmissen:        ^^^t  <^^d,  hd*^0. 

Aus  den  ersten  beidtu  iolgt  nach  Th.  1.%):  ac=^bdf  bouacU  uc^O, 
waa  auf  ac  =  0  nach  Th.  5)  Linausläutt.  — 

v^)  Man  vereiufaj:he  die  Aussage: 

(e  +  a)5,  +  ac  —  (a  +  6)<?,  +  ad. 

Aufiübung.  Bringt  man  rechte  auf  0,  so  entsteht:  bc^  +  b^c  ~  0, 
das  heisst:  b  =  c 

Ii)  Ist  X'^ax  +  bx,f  so  soU  bewiesen  werden,  dass  6a;, » 0 
sein  muss. 

Am  einfachsten  geschieht  dies  mittelst  Durchmultiplizirens  der  Prä- 
misse mit  o;,. 

0|}  Wenn  a  «  ad  +  x(a  •¥  h),  so  ist  &  <i&  +  x,(a  -f  b),  und  um- 
gekehrt. Dies  zu  beweisoi,  wird  man  beide  GleichuDgen  rechts  auf  0 
bringen,  wodurch  sich  afix  +  a6,^,     0  fibereinstirameDd  ergibt 

Äi)  (Jevons",  p.  239.)  Zu  zeigen^  dass  die  Aussage:  „Alle  a  sind 
sowol  b  als  äquivalent  ist  dem  vSysteme  der  beiden  Aussafjjen :  ,,Was 
nicht  b  ist^  ist  auch  nicht  a''  und  ,;V\'as  nicht  c  imij  iai  nicht  a",  mithin 


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392  Neunte  Vorleaung. 

a^be   äquivalent  |^*^^*' 

Aufl58uiig:  Entere  Subsumtion,  rechts  auf  0  gebradit  gibt: 

ah,  +  ac,  «  0 

und  dies  ist  auch  die  yereinigte  Gleichung  der  beiden  letztem  Sub- 
sumtionen. Zudem  geben  diese  nach  (3):  ^,  +  c^,  ^  was  die  EonTcr- 
sion  durch  Kontraposition  der  erstern  Subsumtion  nach  37)  und  36)  ist. 

pi)  De  Morgan' p.  14  empfiehlt  einem  Jeden,  der  sich  oder  seine 
Bekannten  auf  die  Probe  su  stellen  wUnscht,  in  wie  weit  Zergliederung 
(Analyse)  der  Formen  des  Aussagens  (of  enunciation)  f&r  ihn  von  Wert 
sein  irflrde,  die  Vorlage  dieser  Frage,  deren  Beantwortung  sofort  ge» 
geben  tmd  (t^ifdls^  werden  soll:  ob  die  beiden  folgenden  Behauptungen 
(oder  welche  von  ihnen)  richtig  seien: 

Erstens.  Alle  Engländer,  welche  nicht  schnupfen,  sind  an  finden 
unter  den  Europäern,  welche  keinen  Tabak  konsumiren. 

Zweitens.  Alle  Englätiüer,  welche  keinen  Tabak  konsumiren, 
finden  sich  unter  den  Europäern,  welche  nicht  schnupfen? 

Bedeutet  a  »  Englander,  h  «  Euro|):ler,  e  Schnupfer,  d  Kon- 
sument Ton  Tabak,  so  ist  behauptet:  ac,  =^  hd, ,  sodann  ad,  =^  &c,,  und 
gilt  als  selbstverständlich,  dass  a^h  und  c^d  ist.   Während  also 

ah,  =  U    und    cd^  =  0 

ist,  sagt  die  erste  Behauptung,  dass 

ac,(5, 4-  <Q  »  0,  die  sweite,  dass  a(?,(i,  +  c)  0 

sei;  die  aweite  ist  mithin  ofTenbar  richtig;  von  der  ersten  aber  ver- 
schwindet xwar  auch  der  Term  ac,h,  c,'0  identisch;  dage<;en  bleibt 
die  Behauptung  ttbrig: 

ae^d^O,  oder  ad^Cj 
welche  unrichtig,  sintemal  es  auch  Engländer  gibt,  die  Tabak  konsu- 
miren ohne  zu  schnupfen  (indem  sie  eben  rauchen  oder  Tabak  kauen, 
priemen).  — 

<r,)  Yenn^  p.  264. 

Drei  Personen  A,  Bf  C  sind  beschäftigt,  einen  Haufen  BQcher  in 
einem  Antiquariat  au  sortiren,  A  soll  alle  deutschen  politischen  Werke 
und  die  gebundenen  ausländischen  Novellen  herauslesen,  dem  B  sind 
die  gebundenen  politischen  Werke  und  die  deutschen  Novellen,  falls 
sie  nicht  politischen  Inhaltes,  zugewiesen,  endlich  dem  C  die  gebuu' 
denen  deutschen  Werke  und  die  ungebundenen  politischen  Novellen. 
[Statt  „politiscV  würden  wir  vielleicht  besser  „historisch^  nehmen.] 


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§  18.  Aofgaben  und  Anwendungen.  393 

Welche  Werke  werden  Yon  sweien  der  drei  PereoBen  beaaeprueHt^ 
und  werden  es  gewisse  Wet^e  von  allen  dreien? 

Auflösung.  Es  bedeute  a  =  deutsch,  b  =  politisch,  c  «=  gebun- 
den, d  =  Novelle,  und  bei  der  Rechnung  A  die  Klasse  der  der  gleich- 
uamigeu  Person  zugewiesenen  Werke,  desgl.  Ii  etc.,  so  ist  gegeben: 

A  =  ab-i-a^cdf   B  =  bc  +  b^ad,   C  =  ac  +  cfid 

und  hieraus  folgt: 

ÄB^he(a-k-ä),  ÄC^abie-^d),  BC^aeQf-hd), 

ABC  ahe, 

womit  die  Antworten  auf  die  gestellten  FVagen  gefunden  sind  und 
z.  B.  die  letzte  besagt,  dass  die  gebundenen  deutseben  politischen 
Werke  und  nur  diese  (falls  solche  vorhanden)  von  allen  drei  Personen 

beansprucht  werden.  ^ 

In  den  MalLematictiil  ueetiouä  with  tlieir  äolutionä  from  the  „Edu- 
eational  Times**  (edited  bj  W.  J.  C.  Miller),  Vol.  33,  1880,  pag.  99  und 
100  sind  auch  noch  in  andrer  Manier  die  Lfistmgen  der  yorstehenden  Auf- 
gabe gewonnen  von  den  Herrn  C.  J.  Monro,  R.  R.  Orey,  und  andern, 
sowie  von  H.  AIcColl.  In  Bezug  auf  des  letztem  Manier  veii^leiGbe  der 
weiter  vorgescbritteae  Leser  den  §  46,  18.  Studie. 

r,)  Aufgabe,  McColl,  Math.  Questions,  Vol.  34,  1881,  p.  85, 
gelöst  von  W.  B.  Grove,  Elizabeth  Blackwood,  u.  a. 

Was  ist  der  geringste  Zusatz,  der  /.u  den  Prümissuu;  a  =^  a, 
b=^ß,  c^y,"  •  gemacht  werden  muss,  damit  sie  den  ScLluss  ge- 
statten: :r  =t  |  V 

Auflosung.    Mit  Kncksicht  auf  Th.  38 24+)  und  5J  lässt  das 
ursprüngliche  Prämisseusysteni  sich  zusammenziehen  zu  der  Subsum- 
tion: öa,  +  6/3,  4- r^, -i- •  •  •  ^  Oj  und  da  der  «gewünschte  Scliluss  ist: 
=^  ^'^^  Prämissen  allermindestens  binsuzufUgeu  die  Au- 

nähme,  dass 

=^  a  «,  4-  6/3,  +  cj',  +  •  •  • 
sei.  Dieses  setzt  weniger  voraus,  der  Zusatz  ist  schtvächer,  („weaker''), 
als  wenn  etwa  das  Subjekt  nur  in  einzelnen  Gliedern  der  Summe 
recliterhand  enthalten  gedacht  werden  müsste  oder  in  einer  echten 
Teilsumme  der  letztern,  in  einer  Unterklasse,  die  nicht  das  Ganze 
wäre  G«9bort  of  the  whole"). 

Vi)  Aufgabe  (VV.  B.  Grove,  Math.  Questions  Vol.  35,  1881,  p.  29 
—  hier  leicht  abgeiindert). 

In  einer  i^cwissen  Schule  hat  jeder  bchüler,  der  EnnHsch  und  Fran- 
zösisch, oder  keines  von  beiden  lernt,  keine  Algebratituuden;  jeder  an 


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394 


Neunte  Vorlesung. 


dem  Untemelit  in  der  Algebra  TeflDehmende  lernt  sowol  EDglisch  als 
Deutsch  oder  keines  jon  beiden;  jeder  der  Fransosisch  aber  nicbt 
Dentscfa  lernt,  bat  entweder  Englisch  oder  nicht  Algebra.  Man  er- 
setse  die  Angaben  durch  eine  einsige  ihrem  System  äquivalente  ein- 
fachere Angabe  und  eeige,  dass  die  AsuM  derer,  die  Algebra  habeui 
die  Zahl  der  Englisch  Lernenden  nicht  flbersehreiten  kann. 

Hüt  der  letsteren  Forderang  treten  wir  eigentlich  aus  dem  Bahmen 
der  uns  hier  gesteckten  Kategorieen  von  Aufgaben  heraus;  doch  mag  die 
Lösung  als  eine  so  naheliegende  hier  mit  in  Kauf  genommen  werdoL 

Auflösung  (von  McColl,  Elisabeth  Blackwood,  u.  a.).  Es 
beseichne  a,  d,  e,  f  die  Gattung  der  besfiglich  Algebra^  Deutsch,  Eng- 
lisch.  Französisch  lernenden  Schüler. 

So  lauten  die  Data; 

uud  ist  die  vereinigte  Gleichung  derselben: 

oder,  da  der  Koeffizient  von  €^  in  der  Klammer  sich  auf  1  reduzirt, 
hernach  das  Tb.  3f%)  Zusatz  anwendbar  wird: 

«(f+fl^.  +  ^.)  =  0, 

das  heisst: 

a  =^  d€f\ . 

Da  nun  die  Klasse  a  einem  Teil  der  Klasse  e  schon  eingeordnet»  und 
a  fortiori  0=^0  ist,  so  mnss  Num.  a  <Num.  c  sein,  wenn  wir  mit 
„Numerus  af*  die  Anzahl  der  Individuen  der  Klasse  a  bezeichnen  — 
wie  zu  beweisen  war.  — 

Die  einfachste  Formulirung  der  Data  wflrde  Übrigens  das  System 
der  beiden  Aussagen: 

af^O  und  a^äe 
vorstellen,  also:  Wer  Algebra  hai^  hat  kein  Französisch,  dagegen  sicher 
Deutsch  sowol  als  Englisch. 

'^1)  (Je von  s*  p.  283  und  Miss  Ladd^  p.  51.) 
Was  sind,  genau  prazisirt,  die  Punkte,  in  welchen  zwei  Dispuian- 
ten  übereinstimmen,  nnd  die,  in  welchen  sie  differiren,  wenn  der  eine 
(Henri ci)  behauptet: 
Der  Raum  (a)  sei  „die  dreifach  ausgedehnte  Mannigfaltigkeit^'  (6) 

mit  Punkten  als  Elementen  (c), 
der  Andere  der  Meinung  ist,  dass  der  Raum  die  dreifach  ausgedehnte 
Mannigfaltigkeit  sei  uud  dass  zugleich  der  Raum  Punkte  zu  Ele- 
menten habe? 


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§  18.   Aufg^abüD  and  Anwendungen. 


395 


AufldBuug.   Henriers  Behauptung  ist:  a^bc,  oder 

fih^  +  ac^  +    he  =  0. 

Der  Andere  behauptet  erstens,  dass  a  =  1^  mithin  a6,  +      ==  0, 

oder  aft,  +  a  jte  +  a,  he^  Ö 

8ei|  und  sweitei»!  daas  a     c,  das  heisrt  ac,     0  sei. 
Die  vereinigte  Gleichung  dieser  beiden  Aussagen: 

o&,  +  ac,  ■ha,hc  +  a, bc^  0 
geht  über  diejenige  Ileurici's  um  daa  zu  den  vorhergehenden  dia- 
junkte  letzte  Glied  hinaus.    Mithin  stimmen  Beide  in  doni  was 

Henri ci  behauptete  überein,  während  der  Opponent  desselben  oben- 
drein behauptet^  dasa 

a,6c,  =  0, 

m.  a.  W. 

bc^  ^  a 

sei,  d.  h.  dass  eine  dreifach  aussredehnte  Manuigfaltigkeit,  welche  nUM 

i'ujikle       Kleiueiiteii  Juit^  Kaum  sein  müsse. 

Wie  schon  das  Beispiel  der  (Einzel-)Töne  zeigt,  welche  nach  Höbe, 
Starke  nnd  Daaer  eine  drdfach  ausgedehnte  Ifn.  Torstellen,  ist  also  jeden- 
fidls  der  Opponent  im  Unrecht.  Dies  sehliesst  nicht  ans,  dass  auch  Hen* 
rici's  angebliehe  B^auptung  falsch  ist   Beide  DispatsAten  h&tten  nicht 

..dir",  .sondern  nur  „eine*^^  dreifach  ausg.  Mn.  sagen  dürfen,  wo  dann  ihre 
beiderseitigen  Aussagen:  a=^hc  und:  a 6,  a^^c  auf  genau  dasselbe 
hinausgelaufen  wären  —  cf.  Def.  (3  J.  — 

Die  bisherigen  Anweudongsbeispiele  und  Angaben  schon  lassen 
wol  erkennen,  dass  wo  man  über  so  Tiele  Methoden  verf&gt»  wie  im 
identischen  Kalkül,  wo  man  freie  Wahl  hat  unter  so  vielen  Mitteln, 
Ton  welchen  sich  ein  mehr  oder  minder  jndizidser  Gebrauch  machen 
lasst  —  da  Jedenfalls  Yon  einem  „toten  Formalismus^  nicht  zu  spiechen 
sein  wird.  — 


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Zehnte  Vorlesung. 


§  19.   Funktionen  und  d€nren  Sntwiokelnng. 

Nachdem  wir  Operationen  keuncn  gelernt  Iniben,  dienlich  um  aus 
gegebenen  Gebieten  oder  Klassen  deren  neue  abzuleiten,  müssen  wir 
uns  über  die  Eigenschaften  der  Ausdrücke  orientireu,  welche  mittelst 
dieser  Operationen  aufgebaut  oder  zusammengesetzt  werden  können. 
Auf  dieses  Ziel  steuern  wir  nunmehr  hin. 

42^.)  Theorem. 

Jedes  Gebiet  y  läsat  sicit  äurdi  jedes  andre  Gebiet  x  und  desae»  Ne- 
gation X,  Jniear  md  homogenf*  amdrüdem  in  der  Form: 

Beweis.  Geometrisch  wäre  dies  zwar  evident  ffir  die  Bedeutungen 
Yon  ü'^Af  5 B  der  Fig.  19  in  welcher  x  und  ij 
die  Kreisflächen,  dagegen  Ä  und  B  die  Bilineums- 
oder  BogenzweieckflScheOf  in  welche  diese  Bueh- 
sti^n  eiugeschriehen  sind,  Torstelleu.  Offenbar 
ist  nämlich  hier:  Bx^=B,  y=A-{-B. 

Iiitle.ssen  soll  ohne  Not  nicht  auf  die  An- 
i'ig.  i».  schauuug  rekurrirt,  iturückgcgaiigen  werden  oder 

Berufung  erfolgen. 
Wir  beweisen  daher  unsre  Behauptung  rein  „analytisch".  Und 
dies  gelingt  bereits  —  und  auf  die  eiufacliste  Weise  —  durcli  die 
nach  bisherigem  [Th.         30^.)  und  27,^)]  leicht  erweisliche  Identität; 

welche  mit  obiger  Behauptung  zusammenföUt,  sobald  man  unter  a 
und  h  das  Gleiche,  und  zwar  y  selbst,  Terstehi 

Noch  hesser,  iwmlich  —  wie  man  hald  in  der  Iiage  sein  wird, 
darzutiiuD  —  auf  die  allgemeinste  Weise,  wird  der  Satz  erwiesen  durch 
die  ganz  unumschrSlnkt  gßltige  Gleichung: 

y  =  {xy-{-  «X,)  X  +  {x^y  +  vx)  a;„ 


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§  19.    t  uiiktioneii  und  deren  Eniwickelung.  397 

io  welcher,  auch  bei  gegebenen  Gebieten  x,  y,  die  Symbole  tc,  v  noch 
völlig  beliebige,  willkürliche  oder  arhiträre  Oebiete  vorstellen.  Auch 
dieae  Gleichung  wird  man  durch  Ausmnltipliziren  reehterhaad  und  mit 
Rflcksicht  auf  bekannte  Theoreme  leicht  yerifisiren. 

Die  in  unserm  Theorem  behauptete  Gleichung  ist  demnach  auch 
wahr,  wenn 

erklärt  wird,  d.  h.  unter  a,  h  die  angegebenen  Werte  verstanden  werden. 

Die  „Koi'ffigimten  '  a  und  />  der  als  zuliissi«^  behaupteten  homogen 
linearen  Darstellung  des  y  durch  r  und  j,  sind  demnach  uidd  völlig 
bestimmt,  wenn  auch  x  und  tj  gegebene  \\  ene  TBedeutungeu)  haben. 
Mögen  sie  doch  sogar,  wie  gezeigt,  je  einen  willkürlichen  also  voll- 
konniien  unbestimmten  Bestandteil  enthalten!  Audi  werden  diese 
Koethzienten  im  Allgemeinen  liire  Bedeutung  ändern,  wenn  mau  dem 
X  andre  und  andre  Werte  beilegt  (m.  a.  VV.  Bedeutungen  unterlegt). 

Auch  für  Klassen  ist  unser  Satz  unmittelbar  einleuchtend:  Die 
Individuen  einer  Klasse  y  müssen  solche  sein,  welche  x  sind,  oder 
solche,  welche  nicht  x  sind.  Die  Salze  z.B.  sind  teils  rerbrennliche 
Salse,  teils  unverbrenuliclie. 

Es  versteht  sich,  dass  auch  eine  dieser  beiden  Teilklassen  eine 
leeie  sein  kann,  in  welchem  Falle  der  betreffende  Term  der  Darstellung 
ax  +  hx^  gleich  0  zu  denken  ist,  und  zwax  yenägi  es,  um  das  Ver- 
schwinden dieses  Terms  zu  bewirken,  dass  man  dessen  Koeffizienten 
gleich  0  nehme.  Verstünden  wir  z.  B.  unter  y  die  Klasse  der  Menschen 
und  unter  x  die  Klasse  der  sterblichen  Wesen  (die  Klasse  „sterblich*^, 
80  wäre  (  «  0  zu  denken.  Die  Klasse  der  Menschen  besteht  aus  der- 
jenigen der  sterblichen  Menschen,  wozu  ans  der  Klasse  der  unsterb- 
lichen Wesen  nUHtis  hinzusunehmen  ist;  hier  ist  schon  y^ax'^yx 
^  vergl.  auch  Th.  20 

Entsprechend  der  schon  erw&hnten  Unbestimmtheit  der  Koeffi- 
zienten h  dürften  wir  freilich  in  unserm  Beispiel  unter  h  auch  ver- 
stehen: die  Klasse  der  Bäume  —  in  Anbetracht,  dass  es  auch  keine 
unsterblichen  Bäume  gibt,  also  hx^  doch  «"0  wäre. 

Die  in  dem  Theorem  gebrauchten  Aoadrllcke  „linear**,  sowie  „homogen** 
sind  aus  der  mathematischen  Terminologie  herttbergenommen;  sie  finden 
4ß  der  Mathematik  ihre  Erklärung,  auch  die  Benenanngen  dort  ihre  Moti« 

rirung.  Auf  letztere  wollen  wir  hier  gar  nicht,  auf  erstere  nur  so  weit 
eingehen,  al-  für  unsre  Zwecke  unerlllsslich  ist.  Für  den  Augenblick  ge- 
nügt die  Bemerk uDi,'^,  dass  man  eben  einen  Ansdnick  von  der  Furni  ax  +  bx^ 
—  und  nur  einen  solclieu  —  in  Bezug  auf  x  und  „linear  und  homogen'* 
xa  neunen  hat   ])ie  allgemeinste  lineare  aber  nicht  homogene  Funktion 


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308 


Zelmt«  VorlMmig 


TOB  X  und      bKtto  die  Form: 

ax  +  6af,  +  c; 

»ie  enthielte  nämlich  «laser  eiiieni  mit  dem  Faktor  x  und  einem  mit  dem 
behafteten  Gliede  aneh  noch  einen  von  x  und  x^  freien  Term,  das  ao' 
genannte  „Ahsolulglifd"  c. 

AUerdinpfs  gebraucht  die  Mathematik  diese  Benennungen  nur,  sofem 
die  Koelüi^itiutc'U  a  und  h  (beziehlich  auch  c)  von  x  und  r^  „unabliäugig", 
bezüglich  ebendieser  Variabelu  „konstant'*  sind,  nämlich  stets  dieselben 
Werte  behalten,  welche  Werte  man  andi  dem  x  oder  in  Gedanken 
unterlegen  mag.  BioBe  Anfordernng  ist  im  olngen  Theoreooi  anedieinend 
nicht  immer  erfUlt.  Es  werden  aber  die  demnächst  folgendMl  Sätze  von 
44)  an  zeigen,  dass  und  wie  sie  sich  iu  weitestem  Umfange  realisircn 
lässt;  auch  oben  waren  schon  bei  der  Annsüime  a  &  » y  diese  Koeffi- 
zienten für  jede  Deutung  von  x  die  gleichen. 

43)  Thporeme. 

Die  bubmmtwu  a^h  isi  auch  äquivalent  der  Gleichninj: 

43^)  a « 116,  I  43+)  h  =  a-^v, 

t»  wdcher  u  resp.  v  em  gewisses,  ein  unbesiimnUes  Gelnet  vorsidU» 
Beweis.  Da 

vb^h  I  at^a  +  v 

nach  Th.  6),  so  folgt  sach  Th.  2}  oder  3)  aus  der  Gleichung  jeden* 
falls  die  Subsnmiioni  was  immer  u  und  v  bedeutet  haben  mochten, 
und  mu88  nur  uodi  gezeigt  werden,  daas  auch  das  Umgekehrte  für 
gewisse     t;  der  Fall  ist 

Letzteres  mag  auf  zwei  Arten  geschehen.   Einmal  selbständig: 

Hier  genügt  es,  darauf  aufinerksum  zu.  machen,  dass  falls  a^b  ist, 
die  Gleichung  43^^)  schon  für  u  =  a,  ebenso  die  43+)  wenigstens  für 
t7  «s     in  cler  That  erfüllt  sein  wird  kraft  Th.  20). 

Sodann  auch  mittelst  Berufung  auf  Tb.  42).  Nach  üieseui  Sat/e 
kann  stets: 

w^uh  +  vb,  I     h  =  ua  +  va,=' {^u  +  a,)  (v  +  a) 

geschrieben  werden,  indem  man  das  eine  der  beiden  Gebiete  a,  h 
linear  und  homogen  durch  das  andre  und  seine  Negation  ausdrückt 
uikI  die  iu  Betracht  kommenden  Koeffizienten  (die  rechts  vom  Mittel- 
stridi  ganz  andre  sein  m5geii,  als  links  tod  demselben)  zunächst  1^ 
und  V  nennt.   Da  nun,  laut  Voraussetsung,  nach  Th.  38): 

isi,  so  folgt  aus  Torigem  durch  beiderseitige.s  Multipliziren  mit  />,  resp. 
Addiren  von  a,: 


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%  19.  Favkttonen  und  deren  Entwickelung.  399 

» tia  +  a,    «  +  a, »  1 

wonach  sich  die  obige  Gleichung  veieiulacht  zu 

a^ub  +  O^ub  I         6  «  1  (v  +  a;  =  a  +  t; 

wie  zu  zeigen  war. 

Zusatz  zu  Th.  48).  Im  ilmblick  auf  Th.  38)  könneu  wir  also 
jetzt  sagen,  dass  auch  die  Gleichungen: 

ah^    0  und  a  »  «(        |     a,+  (  »  1   und  2i     a  +  « 
oder,  wenn  man  will,  anch  die: 

a5  a  0   und   b  =  a,u        (     a  -f  &     1   and   6        +  « 
einander  äquivalent  sind. 

Es  wird  der  Satz  links  (indem  man  x  für  /;  sagt)  als  ein  spe- 
zieller Fall  eines  späteren  Haupttheorems  50^)  erscheinen. 

Anmerkung  1.  Man  hat  wohl  an  nntereeheiden  swischen  im- 
hestimmim  und  wüXkärli^ten  Gebieten.  Die  letztem  gehören  zu  den 
erstem,  aber  nicht  umgekehrt 

Tat  h  gegeben  und  a  \  Ist  a  gegeben  und  h 

kdiglicih  durch  die  Anforderung  bestimmt,  dass  es  die  Subsumtion 

erfülle,  so  kann  man  in  der  Gleichung 

das  «  I  43^.)  das  v 

als  ein  Tollkommen  wiXOcSrlicl^  oder  arbiträres  Gebiet  ansehen. 

Anders  aber,  wenn  überdies  auch  das  andre  der  beiden  Gebiete 

0,  &  gegeben,  oder  überhaupt  nur,  falls  es  auch  nicht  gegeben  ist,  noch 
andern  Äiiforderuiiyjeu  ausser  jener  Subsumtion  unterworfen  sein  sollte. 

Für  (jegchene  a  und  i,  z.  B.,  dürfen  u  und  v  nicht  gaiiii  beliebig 
angenomuieu  werden. 

Vielmehr  mUssea  sie  alsdann  von  der  Form  sein: 

«     a  -f  «r2>|  I  f»  —  (a,  +  r)  & 

wo  nur  mehr  w  resp.  r  ein  beliebiges  Gebiet  Torstellt  —  wie  wir  dureh 
oa  sp&teres  Theorem  60^.)  in  die  Lage  gesetzt  sein  werden  zu  beweisen, 
iodem  wir  die  Gleichung  4.S)  nacli  der  Cnbekanuten  u  rc?p.  v  anflöscn. 

Ebenso  mag  überbaupt  jede  fernere  an  n  und  h  gestellte  Anforderung 
eine  Einschränkung  des  Willküriichkeitsbereichs,  der  Variabilität  von  u 
oder  V  involvireu,  gewisse  Gebieteklassen  als  unzulässige  Bedeutungen  für 
a  oder  v  ansschliesseD. 

Ähnlich,  wenn  man  etwa  die  beiden  die  Subsumtion  a^h  nur  um* 


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400 


Zehnte  Vorleanng. 


schreibenden  Gleichungen  43^)  und  43^,^  als  f,'leichzeitig  geltende  in's  An^e 
fasst,  können  m  und  r  nicht  völlig  unabhängig  von  einander  angenommen 
werden.  Vielmehr,  wenn  eines  von  diesen  beiden  Gebieten  (eventuell  im 
Einklang  mit  den  fttr  dasselbe  angeführten  BeBtimmnngen)  festgelegt,  ge- 
geben oder  irgendwie  angenommen  ist,  muss  das  andre  die  Form  haben: 

=    +  st',,  I  V  —  &  (m,+  0» 

wo  nur  mehr  5,  resp.  f  willkürlich  bleibt. 

Auch  dieses  nachzuweisen  ist  weiter  nichts,  als  eine  hier  vorgreifend 
angeführte  and  als  Ühnngeeiempel  va.  empfehlende  Anwaidang  des  weiter 
unten  vorgetragenen  Theorems  50^).  Zur  Erleiehterung  von  deren  LSsong 
und  nm  auf  dieselbe  nicht  mehr  zurückkommen  za  mflssen,  fUiten  wir  hier 
nur  noch  an,  dass  u  resp.  v  die  Gleichung  erß&Uen  muss: 

welche  sich  ergibt,  indem  man  den  Wert  von  h  oder  a  aus  der  einen  von 
den  beiden  Gleichungen  43)  in  die  andre  subsiitnirt  und  dann  rechts  auf 
0  bringt,  kurx  indem  man  eines  der  Symbole  a,  h  aus  den  Gleichnngen  43) 

eliminirt. 

Beispielsweise  kann  die  nach  DeC.  (2)  geltende  Subsumtion: 
nach  Th.  43)  umgesehrieben  werden  in  eine  Gleichung: 

•0  «  M&.  (  1  «  o  +  tr. 

Doch  «ind  alsdann  w  und  v  augenscheinlich  nicht  vollkoniinen  willkürlich 
und  andieiseits  sind  sie  auch  nicht  vollkomiuen  bestimmt.  Es  gelten  die 
Gleichungen  (wenn  h  nicht  selbst  0  resp.  a  nicht  selbst  1  ist)  niclit  für 
alle,  sondern  nur  fQr  gewisse  Gebietet»,«;,  aber  doch  fUr  unendlich  ?iele; 
es  muss  nftmlieh  u,v  Ton  der  Form  sein: 

wo  «?  und  r  arbiträi-  bleiben.  In  der  That  lag  hier  ein  Fail  vor,  wo 
a  »  0  resp.  d  ■»  1  völlig  bestimmt  war,  wo  es  „gegeben**  erscheint» 

Anmerkung  2.  Wir  wollen  jetsct  im  Überblick  die  mwo^  Arten 
zusammenstellen,  anf  welche  nach  den  bbherigen  SätseD  eine  Subanm- 
tion  a^h  in  Gestalt  einer  einsigen  Besiehnng  (zumeist  Gleichung) 
angesehrieben  werden  kann.  Die  folgenden  Aussagen  sind  einander 
äquivalent: 

a^h  und  nach  37):     ^ a,; 

nach  20): 

woraus  nach  32)  und  36)  auch  folgt: 

nach  38):  ab,     0,  & « 1; 


§  19.  FuDktioneu  und  deren  Eniwickelung.  401 

nach  43): 

woraus  nach  32)  und  36)  anch: 

— 6,+  «,.     ^  =  ö,t^, 
—  m  welchen  letzteren  Darstellungen     «  und  somit  auch  gc' 
wisse  nicht  nSher  bestimmte  Gebiete  Torstellen,  welche  in  den  oben 
erläuterten  Fallen  auch  als  arhUräre  auszulegen  erlaubt  ist 

Wie  man  leidit  erkem&t  kum  man  obendrein  die  Gleichmigen  auch 
aSmtiieh  durch  Sabsumtionen  ersetzen  in  folgender  Wase: 

und  mag  so  die  Zahl  der  verfügbaren  Ausdruckäweisen  noch  um  zehn  ver- 
mehren. 

Bm  den  sechs  ersten  von  diesen  gilt  n&mlioh  die  umgekehrte  Sabsnm* 
tion  nach  Th.  6)  und  Def.  (2)  ohnehin  als  allgemeine  Formel,  sodass 
Glachheit  eintritt.  Und  bei  den  vier  letzten  Subsumtionen,  welche  ihrer- 
seits a-ns  der  ihnen  entsprechenden  Gleichung  nach  Def.  fl)  hervorgingen, 
folgt  auch  auö  der  Subsumtion  wieder  die  Gleichung  nach  Tli.  welches 
ans  u6  =^  6  resp.  a  =^  a  +  v  liefert,  etc.,  darnach  gemä'»:^  Piiuxip  II  don 
Schluss  a  =^  6  zu  ziehen  gestattet,  welcher  äquivalent  war  der  Gleichung 
(in  der  freUich  u^v  eine  andre  Bedeutung  haben  kann  als  in  der  Torans- 
gesetsten  Sabsnmtion). 

Wir  geben  jetst  die  Erklärung  des  jPtin^u7»^begriffes  für  (und  in 
seiner  Beschiinkui^  auf)  den  identischen  Kalkül. 

Definition.  «^JVmiUiW  f?on  x  oder  —  gelesen:  f  von  x  — 
nemie»  «rar  im  iäimHadim  SaBBul  jeäm  ÄMärudtf  wd^ier  aus  dem 
GiAietsifnM  x  (eventuell  auch  seiner  Negation  x,)  und  irgendwMen 
midem  Gebietsjfmbolen  aufgäbaui  ist  vermiUM  der  dm  Grundopeirati<men 
des  SoObuIs  ab  da  sind:  idenÜsdie  MuUipUhsUon,  Addition  und  Negation. 

Beliebig  hanfige  Verwendung  eines  jeden  Symbols  ist  bei  diesem 
Aufbau  selbstrerstandlich  zugelassen.  Auch  war  die  in  Klammer  ge- 
setzte Eiinschaltung  strenge  genommen  flberflfissig,  weil  wir  zu  x  zu- 
nichat  durch  Negiren  ohnehin  ableiten  und  diese  beidoi  Bausteine 
beliebig  Weiter  Terwenden  lc?temen.  Yon  den  Operationen  dfirfen 
einzelne  auch  unfertreten  sein;  ebenso  mögen  andere  Symbole  fehlen. 

Analog  ist  unter  einer  Funhtion  f  (x ^  y)  von  x  und  y,  sowie  unter 
einer  Funktion  [{x^y^z)  von  x,y  und  s,  u.  s.  w.  irgend  ein  Ausdrudi 
ScmtoBB,  Algebra  d«r  Loglki  86 


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402 


Zehate  Vorlesung. 


SQ  yersteHen^  der  am  den  anffegebenen  Symhdlm  resp.  x^y^Bj  etc. 
nAst  tfitXleuM  irgend  wekhm  andern  vemiUdst  der  drei  identischen  ßpe- 
eies  am^is^baiui  isL 

Die  aDgefahrten  Symbole  resp.  x^y^  resp.  x,y,e,  etc.  beiBsen 
die  „ArffHtnentef*  der  Fanktion  f(x),  resp.  f(x,y\  resp.  f{x,y,z),  etc., 
welche  demnach  als  eine  Fanktion  Ton  nnr  einem  ArgumentCi  resp. 
Ton  zwei,  drei  oder  mehr  Argumenten  za  bezeichnen  —  oder,  wie 
man  sogleich  erkennen  wird,  besser  gesagt  —  ^^anrosehen"  ist. 

Im  Allgemeinen  werden  hienach  in  dem  Änfbaa  des  eine  Funktion 
darstellenden  Ausdruckes  die  Argatnente  x,  y,  z,  . . .  der  Funktion  nebst 
ihren  Negationen  .r, .?/,,'^,,  vorkommen,  unter  sich  und  mit  noch 
andern  Gebietsymbolen,  wie  0,  1^  n,  h,c,  ...  a,,  b„  . .  .  verknüpft  durch 
•  identische  Multiplikation  oder  Addition,  wobei  zwischen  die  Ver- 
knüpfungen hinein,  sowie  solchen  vorangehend  oder  nachfolgend,  aucii 
die  Operation  der  Negation  au  irgendwelchen  Teilen  des  Ausdrucks 
vorgeschrieben  sein  mü^. 

.Jene  andern"  Olebietsyuibole,  a,hje,  ...  welrlie  nebi-n  den  Argu- 
menteu  vorkonimun  mösicn,  werden  —  wenn  mit  Buchstaben  dargestellt 
und  als  allgemeine  Gebiete  aufgefasst  —  auch  wol  „rarametcf"  der 
Funktion  genannt. 

Zu  jedem  ein  Gebiet  darstellenden  Ausdnick  darf  man  nach  Th,21^^ 
den  Faktor  1  80  oft  es  beliebt  liinzusetzen,  und  nacli  Th.  .^0^)  für  den 
einen  Faktor  1  schreiben  +  für  einen  zweiten  Faktor  I  schreiben 
y  +  y,,  für  einen  dritten  ^  +  etc.  und  was  hier  für  den  ganzen  Aus- 
drack  gesagt  isty  gilt  ebenso  auch  für  irgend  einen  Tenoy  ein  Opera- 
tionsglied oder  einen  Teilausdmck  desselben. 

Hienach  ist  olfenbar,  dass  man  jeden  Ausdruck  überhaupt  nach 
Belieben  ansehen  kann  als  Funktion  von  oder  von  x  nnd  y,  von 
X,  y  nnd  g,  etc.,  a«^  tvenn  er  diese  Argumente  von  vornherein  gar  nickt 
enätaUen  sollte.  Mit  andern  Worten:  unter  der  i^beliebig  häufigen"  Ver- 
wendnng  der  Argumentsymbole  in  dem  Aufbau  des  Ausdruckes  ist 
oben  auch  die  Nicht- Verwendung  .derselben,  die  Enthaltung  tou  ihrer 
Verwendung,  mit  zugelassen. 

Auch  die  Unterscheidung  zwichen  den  Argumenten  und  den  Para- 
metern der  Funktion  erscheint  hienach  als  eine  willkfirliche:  Wenn 
wir  einen  Ausdruck  als  Funktion  von  jr, . . .  hinstellen,  «o  heisat 
dies  weiter  nichts,  als  dass  wir  beabsichtigen,  sein  Verhalten  f&r  ver^ 


*)  lu  Bezug  auf  irgcud  ein  Gebiet  y  folgt  dies  nebenbei  auch  schon  aus 
dem  Tb.  42). 


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§  19.   Funktionen  und  deren  Entwickelaog. 


403 


0chiedeue  Bedentusgen  oder  Werteysieme  dmeUeser  gcnannteii  Argu- 
mente zu  etadiren. 

Insofern  wir  dabei  diesen  Argumenten  andre  und  andre  spezielle 
Gebiete  als  Bedeutung  unterlegen,  ihre  Namen  festhaltend  denselben 
andre  und  andre  Werte  beilegen  werden,  kann  man  auch  sagen,  man 
lasse  die  Argumente  «cÄ  ändern,  oder  sie  seien  „veränderlicho''  Ge- 
biete, Variable. 

Die  Parameter  der  Kuuküuii  dagegen,  deren  jedem  wir  —  etwa 
im  Laufe  einer  Untersuchung  —  stets  dieselbe  Bedeutunrr  untergelegt 
wissen  wollen,  nennen  wir  ,, beständige"  Gebiete  oder  Kyiu^iutik. 

Es  kann  sein,  dass  wenn  die  Bedeutung  der  Argumente  wechselt, 
diese  also  geändert  werden,  auch  der  als  Funktion  derselben  hin- 
gestellte Ausdruck  seine  Bedeutung  wechselt,  dass  also  der  Fuuktions- 
wert  sich  dann  ebenfalls  ändert.  Ebenso  kann  es  aber  auch  sich  er- 
eignen, dass  trot'/dem  man  die  Argumente  alle  denkbaren  Wertsystenio 
(ans  der  Mannigtaltigkeit  nnsrer  Gebiete)  durchlaufen  lässt,  der  Wert 
der  Funktion  doch  stets  der  gleiche  bleibt,  dass  er  als  unveränderlich, 
, absolut  Jconstani''  sich  herausstellt.  Kurz  gesagt:  die  Funktion  selbst 
kann  sich  als  variabel  oder  aber  als  konstant  erweisen,  (Beispiele 
nachher.) 

Im  erstem  Falle  wird  die  Funktion  als  die  abhängige  (dependeute) 
Variable  bezeichnet,  im  Gegensatz  zu  den  Argumenten  nls  den  imab- 
liängifien  (independenten)  Variabein  —  in  Anbetraelit,  dass  es  bei  den 
letztem  in  unser  Belieben  gestellt  erscheint,  welchen  \\  ertänderungen 
wir  dieselben  unterwerfen  wollen,  wogegen  hienach  die  Veränderlich» 
keit  des  Funktionswertes  zufolge  des  fOr  denselben  geltenden  Aus- 
druckes sich  mit  Denknotwendigkeit  richtet,  mithin  als  eioe  durch  die 
Yeränderongen,  denen  man  die  Argumente  einmal  unterworfen  hat, 
durchaus  ,,bedingte"  erseheini 

Bleibt  der  Wert  einer  Funktion  stets  der  gleiche,  wenn  man  einem 
bestimmten  Argument  x  alle  denkbaren  Werte  aus  der  Mannigfaltig- 
keit nnsrer  Gebiete  als  Bedeutung  unterlegt  während  die  Bedeutung 
aller  übrigen  Symbole  festgehalten  wird,  wogegen  er  sich  ändern 
wflrde  sobald  auch  die  Bedeutung  der  Qbrigen  Argumente  wechselte, 
so  nennt  man  die  Funktion  nur  „relativ  konstant'*  und  swar  hmstant 
in  Bezug  auf  4ieses  genannte  Argument  x.  Ebenso  kann  eine  Funktion 
auch  Jionskmt  sein  in  Beeng  auf  eine  hesHnmte  Gruppe  von  Ärgummten, 
indem  ihr  Wert  durch  alle  möglichen  Veränderungen,  denen  man  eben 
diese  Argumejite  unterwirft,  sich  nicht  beeinflusst  erweist  Auch 
hiezu  nachher  Beispiele, 


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404 


Zehnte  Torlesoog. 


Die  swiscben  Parametern  iind  Argumenien  einer  Fnuktion  will- 
kürlich  gezogene  Grenze  ist  demungeachtet  von  eminent  praktiflcher 
Wichtigkeit,  in  Anbetracht,  dose  es  io  der  Kegel  nicht  zweckmassig 
erscheiBt,  einen  Ansdrack  in  seiner  Abhängigkeit  von  aUen  in  den- 
selben eingehenden  allgemeinen  oder  literalen  Gebietsjmbolen  zugleich 
xa  untersuchen.  Zumeist  erscbeint  es  nur  angezeigt  oder  geboten, 
dies  in  Bezug  auf  eine  gewisse  Gruppe  der  den  Ausdruck  formal  su- 
sammensetzenden  Elemente  auf  einmal  zu  thun,  und  diesen  als  den 
,,Argnmenten"  der  Funktion  die  übrigen  Elemente  als  ihre  Parameter 
gegenüberzustellen. 

Alle  hier  eingeftthrten  BenennuDgeu  sind  dem  Mathematiker  —  in 

ihrer  nicht  durchaus  gleichlaut^den ,  aber  doch  analogen  Anwendung  auf 
das  Gebiet  der  Zahlen  —  längst  geläufig.  Die  math^natiscbe  ErklUruag 
f1(  r  „Funktion'*  setzt  allerdings  das  Vorhandensein  eines  „analyti^clu  n"  oder 
Fonnelausdrncks  ft5r  Uicj^flbe  nicht  Torans,  sondern  stützt  sicli  ledic^'licli 
auf  die  tmdtHinje  Zuordnung  der  Fuuktionswerte  zu  den  Argnmentwettea 
(resp.  'Werts j&temeu);  doch  läest  sie  wenigstens  die  analytische  Dustellung 
der  Funktionen  durch  dergleichen  Ausdrücke  mit  zu,  und  findet  auf  dem 
Gebiet  der  lebteni  ihre  hanptsSchlichsten  Anwendungen. 

Ausserhalb  der  mathematischen  Terminologie  wird  you  |,Fanktionen'* 
sowol  als  von  „Argumenten"  in  einem  gänzlich  davon  unabhlüigigen  Sinne 

i^'esprocben:  Man  spricht  von  dor  Funktion,  im  Sinne  von  I-cbonsverrichtung, 
vom  Funktinniroii ,  irgend  r-inos  Ofsjanes  des  PHanzen-  oder  Tierkörpcr% 
aucli  von  deui  FuukLiouireu  einer  MttäcLiuo,  überhaupt  von  der  Funkiiou, 
der  Wirksamkeit  irgend  eines  Mittels  zu  einem  Zwecke.  Und  ferner  pflegt 
ein  Beweisgrund  auch  als  Argument,  die  Beweisführung,  namentlich  wenn 
sie  eine  rhetorische  ist,  als  Argumentiren  oder  Argamentation  bezeichnet 
zu  werden.  Diese  Benennungen  haben,  wie  gesagt,  gar  nichts  mit  den 
obigen,  an  die  wir  uns  liior  halten,  zn  prbnffon.  Die  vpr.sclilcdenen  An- 
wendungssphüren  dieser  üomonynic  liegen  aber  auch  so  weit  auseinander, 
dass  der  vorhandene  Doppelsinn  nicht  sehr  verfänglich  erscheint. 

Ersetzt  man  in  einem  als  Funktion  f  (x)  betrachteten  Ausdrucke 
das  Argument  x  durchtveg,  wo  immer  es  sich  in  dem  Ausdrucke  vor- 
findet,  durch  ein  spezielles  Gebiet  a,  also  namentlich  auch  a;,  durch- 
weg durch  a„  so  wird  der  durch  diese  Substitution  sich  ergebende 
Ausdruck  mit  f  {a)  bezeichnet. 

Insbesondre  erhält  man  demnach  f  (l),  indem  man  x  durch  1  und 

demjTeninss  r,  durch  O  durchweg  in  f{r)  er~et/.t  —  wobei  man  die  durch 
tha  Tlieorejne  21),  22)  und  eventuell  'Mj)  [Uv^ev.iA'^ivix  Vcreinfuchungen  oder 
Kedukliuuen  des  Ausdrucks  eintreten  lassen  kann.  Ebenso  resultirt  f  (O) 
aus  f  {x),  indem  man  0  für     und  1  für  einsetzt. 

Obige  Bemerkung  gilt  auch,  wenn  a  einen  zusammengesetzten  Aus- 
druck beseicbnet,  und  ist  hienaoh,  sobald  f  (x)  gegeben  ist,  auch  die  Be- 
deutung yon  f(be\       +      etc.  ohne  weiteres  klar. 


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§  19.   Funktioaeu  und  doren  Kntwickeluiig. 


405 


Analog  entsteht  fiajli)  aus  f{x,y),  indem  man  a  fdr  x  und  h 
ftir  y  (somit  auch  n,  für      and  b^  für       iu  leizterm  Ausdruck  sub- 

stituirt.    Und  so  weiter. 

Wird  ein  die  Gebietsymbole  x,  y,  .  .  .  enthüllender  Ausdrut  k  als 
Funlvtion  von  diesen  Argumenten  mit  f{x,  ij,  .  .  .)  bezeichnet,  so  ver- 
fügt man  damit  über  eine  zweite  Darstellun«^  desselben  und  diese  wird, 
gegenüber  dem  ,,akfi(e(len"  Ausdruck  der  l^'unktion  in  Gestalt  des  ur- 
sprfinüliclieu  Ausdruckes,  bezeichnet  aL-s  die  ,.stftnboJ Ische''  Darstellung 
derselben.  Eine  Funktion  wird  darnach  ,,symbolisch"  dargestellt,  in- 
dem mau  hinter  einen  „Funktionsbnchstaben"  f  oder  fp.t,  Xti'\ 
Xf  .  .  .  in  eine  Klammer  und  durch  Kommata  getreimt  die  Namen  der 
Argumente  in  unabänderlich  festzuhaltender  Keihentolge  schreibt. 

Der  Funktionsbuchstabe  ist  ein  „Operatinnssynibcd",  aljer  nicht  ein 
Gebiets-  odoi  Klassensymbol,  und  darf  mit  einem  solchen  durchaus  nicht 
verwechselt  werden.  Öilhe  mau  z.  Ii.  bei  f  (a-\-  h)  das  f  für  ein  Gebiet 
an,  so  würde  diesem  Auedruck  eine  gana  andere  ale  die  v^hin  erläuterte 
Bedeutung  zukommeo,  derselbe  würde  nSmlicb  dann  für  das  Produkt 
f*(4i-i-h)  =  f '  a  +  f  •  b  gehalten  werden  mttssen.  Es  empfiehlt  sich  also 
tarn  Funktionsbuchstaben  einen  solchen  su  wftblen,  der  nicht  schon  uider* 
weitig  als  Gebiotsymbol  vorkommf. 

Dass  ein  Buchstabe  als  Fuuktiousbuchstabe  gelten  solle  ist  jedoch  in 
der  Kegel  schon  ohne  ausdrückliche  Vereinbarung  ersichtlich.  Sagen  wir 
2.  B.  f{x),  oder  auch  f  {0\  /'(l)  und  dergleichen,  so  gibt  sich  das  ein- 
geklammerte Symbol  flcbon  dadurch  als  ein  Argument  oder  Argumentwert 
—  mithin  das  davorstehende  als  Funktionsbucbstabe  —  zu  erkennen,  dass 
es  mit  einer  Klammer  umschlossen  ist,  die  ohne  solche  Absicht  als  eine 
,, überflüssige"  zu  verwerfen  wSre  (veri^d.  Anhaiiu'  2\  Und  sacron  wir 
f\x,  »/,  .  so  zeigen  auch  die  Symbole  trennenden  Kommata  deren  Be- 
stimmuug,  Arguuieule  ^u  reprüsentiren,  an. 

Haben  wir  nun  etwa  eine  Funktion  f(x,y,z),  so  wird  der  Ausdruck 
f{*f^Zy  x)  nicht  wieder  eben  diese,  sondern  diejenige  Funktion  Torstellen, 
deren  Ausdruck  ans  dem  g^ebenen  herrorgeht,  indem  man  x  durch  y, 
daneben  y  durch  z  und  z  durch  x  durchweg  ersetzt.  Ebenso,  wenn  f  i^y) 
jf^fTeben  ist,  bedeutet  fifi^x)  das  Ergebnitis  einer  Vertauschung  von  x 
und  2ß  niiteiiiander  im  gegebenen  Ausdrucke,  u.  s.  w. 

Leicht  erhellen  nunmehr  die  Vorteile,  welche  durch  die  .symbolische 
Darstellung  der  Funktionen  erzielbar  sind  und  im  Hinblick  auf  welche 
eben  solche  Darstellung  in  die  Wisaenschaft  eingeführt  wurde. 

Bei  allen  Untersuchungen  von  irgend  allgemeinem  Charakter  ist 
CS  eine  Sache  von  erster  Wichtigkeit,  zu  wissen,  in  welcher  Weise 
sich  die  Bedeutung  eines  Ausdruckes  richtet  nach  den  ßedLutungen 
der  ihn  zusammensetzenden  Terme  von  allgemeiner  Natur.  Will  man 
diese  Abhängigkeit  erforschen,  so  muss  man  den  letzteren  als  Argu- 
menten andere  und  andere  Bedeutungen  unterlegen,  Werte  beilegen, 


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400 


Zehnte  Vorlesung. 


man  muas  dieselben  sieh  anderii  lassen  oder  sie  Tarüren,  um  sodann 
die  zugehfirigen  Werte  in's  Auge  sn  fassen,  welehe  unser  Ausdruck 
dabei  annimmt 

Die  j^Einsetsung''  oder  fßtdtsHMum*^  eines  speziellen  Wertes  fttr 
ein  bestimmtes  Bacbstabensymbol,  oder  auch  eines  Werts jstemes  f&r 
eine  ganze  Gruppe  von  solchen,  wird  darum  eine  der  am  häufigsten 
geforderten  Verrichtungen  in  der  Wissenschaft  sein.  Und  unter  Um- 
ständen,  wenn  etwa  alle  Werte  einer  bestimmten  Klasse  Ton  Werten 
der  Keihe  nach  ffir  ein  Symbol  eingesetzt  werden  sollten,  kann  der 
ermüdende  Prozess  dadurch  abgekürzt,  vereinfacht  werden,  dass  man 
statt  dessen  auf  einmal  einen  allgemeinen  Ausdruck  für  dieses  Symbol 
8ubstituiit ,  welcher  die  Werte  jener  Klasse,  und  nur  diese,  sämtlich 
unifassi,  dass  mau  anstatt  der  Eiuzehverte  .selbst  einsetzt  den  Aus- 
druck der  ganzen  Klasse  von  Werten,  So  wird  es  oft  erforderlich 
auch  einen  zuwi-ilcn  recht  kouipliziiten  Auöilriick  tüf  ein  Daclistaben- 
synibol  zu  sftbstituireu,  sogar  nicht  selten  gleichzeitig  ein  guuzeä 
System  von  Ausdrücken  für  ein  System  von  Aiguiuenten. 

Dir  ( iperatiun  der  Kiu>üt2ung  liiuft  im  w  csoutUchen  auf  ein  Kopircn, 
Abschreiben,  Reproduziren  des  gegebenen  Ausdruckes  hinaus,  wobei  man 
nur  dessen  eingedenk  bleiben  muss,  sobald  man  beim  AbsiBhreib^  auf 
eines  der  zu  ersetzenden  Symbole  stbsst,  dass  man  dasselbe  nicht  unver- 
lindert  kopirt,  sondern  den  eben  dafClr  einsnsettenden  Ausdruck  nimmt, 
denselben  —  nötigenfalls  in  ciue  Klammer  eingeschlossen  —  hinsetzt,  um 
darnnch  in  dem  aolcher'Te.stalt  iiKMiiü/ärten  Abschreibeverfahren  wu^'ler  fort- 
xui'ahren.  An  der  8chultafel  kann  (l«  r  l'rozess  durch  AusIü;ichoii  der  m 
ersetzenden  Öynibole  mit  dem  Kreideschwamme  und  Kinschreiben  der  oin- 
zttsetcenden  Werte  in  die  leeren  Bttome  verdeutlicht  werden;  jedeuMbt  ist 
unerlSsslieh,  dass  der  Anfänger  in  der  Au^brung  solch  elementaren  Pro- 
zesses sich  eine  gewisse  Übung  erwerbe. 

Es  kann  nun  der  aktuelle  Funktionsausdruck  ein  durch  ein  anderes 
zu  ersetsendes  Symbol  hundert  mal,  ja  unbegrenzt,  ^^unendlich^  oft  ent- 
halten, wie  das  Beispiel  zeigen  mag: 

f  (x)  =  a  +  X  Cjj  +  xja  -{-  X  {h  +  X,  (a  +  X   )) } 

—  in  welchem  der  Ausdruck  freilitli  in  den  einfacheren  f{x)  =  a  +  xh 
auch  /ii><aTnmenijozogen  werden  könnte,  während  derartige  Verein- 
faeViungfU  virlleicht  iiiclit  inniiLM-  ausführbar  erseheinen.  Da  wäre  es 
nun  änss'erst  ermüdend ,  re.s[).  ^ar  nicht  vollständig  durchführbar,  da^ 
Argument  x  durch  einen  kumplizirteu  Ausdruck  —  sagen  wir 

(fli>,-l-a,6)(<!dH-c,<i,) 

—  durchweg  in  Wirklichkeit  zu  ersetzen. 

Die  symbolische  Funktionsdarstellung  er^^ort  uns  aber  die  Nötigung 


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§  19.   Funktionen  und  derea  Entwlckelun^;. 


407 


sn  dieser  Arbeit,  führt  dieselbe  surfidc  auf  die  einmalige  Ersetzung 
des  X  an  der  Stelle,  wo  es  als  Argument  aufgeführt  war^  durch  den 
Ausdruck,  welcher  daftlr  einzusetzen  ist  So  wird  in  unserm  Bei* 
spiele  schon 

f{(ab,+a,b)icd  +  e,d,)\ 
das  Ergebniss  der  verlangten  Operation  Torstellen,  und  f&r  die  Zwecke 
allgemeiner  Oberlegungen  genflgt  es  zumeist,  die  Operation  solcher- 
gestalt nur  „angedeutet^  zu  lassen. 

So  liefert  uns  die  symbolische  Funktionsdarstellung  allemal  einen 
Qhersiehtlichen  und  ausdrucksvollen  schon  durch  sich  selbst  verstand' 
liehen  Namen  ffir  jeden  Funktionswert,  welcher  zu  einem  gegebenen 
Argumentwert  oder  Wertsysteme  gehört  — 

Ein  weiterer  Vorteil,  den  uns  diese  Funktionsbteeichnung  gewährt^ 
ist  aber  der,  dass  wir  durch  sie  auch  in  den  Stand  gesetzt  werden, 
Eigenschaften,  welche  aÜen  Funktionen  zukommen,  desgleichen  Satze^ 
welche  etwa  nur  fQr  gewisse  Klassen  von  Funktionen  gelten,  in  der 
Zeichensprache  des  Kalküls  konzisest  mittelst  Formeln  darzustellen. 

Dieser  Vorteil  ist  für  das  Studium  der  Ausdrücke  und  Funktionen 
ein  ähnlicher  und  von  der  gleichen  Tragweite,  wie  der,  den  der  Ge- 
hraueh  von  Buchstaben  als  allgemeinen  Symbolen  für  Gebiete  oder 
Klassen  beim  Studium  der  letzteren  gewährt.  Die  Fuuktionsbuchstaben 
können  auch  verwendet  werden  zur  Darstellung  von  allgetncineti 
i-uuktionen. 

Nunmehr  zur  Illustration  des  Gesagten  einige  Beispiele  und 
Übungen. 

Bedeutet  f(^x)  =»  a  +  rt,a?,  worin  dem  Obigen  entsprechend  a  einen 
Parameter  vorstellen  soll,  also  die  Symbole  a  und  (/,  von  unveränderter 
Bedeutung  bleiben,  wenn  man  auch  dem  x  irgendwelche  verschiedene  Be- 
deutougen  unterlegt,  sodass  die  Gebiete  a  und  a,  als  „nnabhUngig  Ton 
SU  beMiehnen,  so  ist  f{0)  «<■  a  und  f(t)  »  1.  Somit  ist  die  Funktion 
sicher  mit  x  veränderlich,  wofern  nur  unter  a  nicht  gerade  das  Gebiet  1 
verstanden  wird;  sie  nimmt  ja  dann  für  verschiedene  Werte  von  r  mit- 
unter selbst  verschiedene  Werte  an.  Weiter  ist  auch  f(a)  —  a,  niitliin 
hier  zuialli;,':  f{a)  =  f{0).  Dagegen  ist  wieder  f(a^  —  l,  somit  hier 
f(a^  /(l).  EudUch  wird  f{b)  =  a  +  a,6  =  a  +  6  —  cf.  TL  33+)  Zu- 
satS|  und  konnten  wir  auch  allgemein  den  urspranglicben  Ausdruck  ver- 
emüsehen  xu  f(s)  »  a  +  — 

Für  f{i)  ^  a  +  bx  ist  ähnlich: 
f(0)  -  «  =  f{d)  «  /(d.) .       /( 1)  =  a  +  6  -  m  -»  f(a,) , 
f(e)  ^a  +  bc,  /"(c,)  «  a  +  6f, ,   etc.  — 

Pttr  f{x)^(a  +  x){b'^x^) 


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408  Zebnie  Yorleraog* 

wild 

rtO)«a,   fil)^b,   f(a)  ^  üb  ^  f{b,),  + 6 

also  wieder,  im  Allgemeinm,  ffy)  ▼eriaderlieh  bei  Terinderlidiein  wirk- 
lieh  „abhfiDgig''  T<m  x.  Natürlioh  darf  man  bei  einer  t|  '  Hen  Funktion 
f(x)  die  ursprüngliche  Abmachung,  Konvention,  durch  welche  die  Bedeu- 
tung diesem  Zeichens  erklärt  wurdo,  nicht  ans  dein  Anpe  verlieren.  Würde 
z.  B.  jemand  hier  irrtfhnlich  die  Gleichung  fi^b)  =.  <i  -r  h  als  die  Erklärung, 
Definition  dieser  Funkliou  /,  als  Funktion  eines  Argumenteji,  das  (ätatt  x) 
den  Namen  h  ftthrte,  ansehen,  so  wtlfde  er  erbaHen: 

/■(a,)  «  a  +  o,  —  1 ,   anstatt,  wie  Torhin:   /"(a,)  «  a  +  6 . 

Dafgenige  was  ich  aus  einem  Ausdruck  f(x)  erbalte,  wenn  ich  für  x  erst 
hernach  fUr  h  durchweg      in  denaelben  eissetie,  müs^te  nor  dann  not* 

wendig  als  das  gleiche  erscheinen,  wie  wenn  för  .r  socIcIlIi  in  di  m  Aus- 
druck eingesetzt  worden  w&re,  weim  dieser  b  nicht  neben  x  enthielte.  — • 

Versteht  man  hingegen  nnter        den  Ansdmck: 

/■(.t)  =  tf(jc  +  6,)-f6(a,  +  j,), 

so  wird 

/■(O)  =  «/y, +  6  =  0  +  6,    /(l)  =a  +  <i,6  — a  +  6, 

/•(«)  =  a  +  6,  /(6)=.a-f  6, 

und  so  weiter;  man  erbftlt  fUr        stete  den  gleichen  Wert 

wa^  tili  ein  Gebiet  man  auch  unter  x  verstehen  möge;  die  hier  vorlegende 
Funktion  ist  faktisch  unabhängig  von  X  oder  konstaut. 

Analog  wttre 

f{x)  «  (a  +  h^x)  (a,a;,  +  i»)  »»  a6 

(bei  g^ebenen  6)  absolnt  konstant  Man  Torgleiche  §  18,  Z),  wo  be- 
reits der  Beweis  für  diese  Behauptungen  geleistet  worden  ist 

Ebenso  wfirde  die  Funktion: 

/"(«,  jf)  =  a  («  +  y.)  +  y  (a,  +  jr.)  «-  o  +  jf 

so  nennen  sein:  „konstant  in  Bezug  auf  a^^  wogegen  sie,  sofern  nicht  ge- 
rade a  »  1  bedeutet,  Tcm  f  abhttngig  erseheint  — 

Die  Funktion  /(a-,  y)  =  u{x  ■\-  y  ■\-  x^y^  ist  ebenfalls  konstaut,  und  zwar 
stets  f{x^  y)^a. 

Dagegen  die  Funktion:  f(r.  r)  =  rr  4-  4-  j,>i~  ist  nur  in  Hin- 
sieht auf  X  und  y  koubtaut,  indem  sie  deu  Wert  haben  wird: 

t(x,y^ff)^e. 
Bedeutet:  /"{ar,    z)  =       +  b:.i^  +  cx^f^ , 


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§19.    Funktionen  und  deren  Entwickeluug. 


409 


so  folgt: 

f(0,  y ,  r)  =  «>/j,  +  bs ,  f(l,        =  rt»/r,  +  c?/, , 

rix,  0,  o;  =  tu;  =  /(l,  r,,  0,  fix,  0,  1)  =  i/r,  +  vx,  /V,  1,  1)  =  hx,, 
f{0,  ü,  0)  -  0  -  /(l,  1, 1),       /(l,  0,  0)  =  c,  /-(Ü,  1, 1)  =  6, 

rt«,  h  c)  «  a»c,  +  6cfl,  +  eaft,  —  /(a,,  6„  c^,  /"(6,  c»  a)  =  0 , 

Oy  h)  a5,  -I-  6c,  +  ca, ,  /(a,  6,,  <•,)  =  a6,c  +  öc,«,  +  cab  ac+flifte,, 
/*(<!,,  6,  c)  a=  <i6r,  +  bca  +  Cfl,fc,  =  ah  +         ,  etc. 

Der  Leber  enuitüe  auch  noch  andre  Funktionswerte,  wie 
/(x,l,0),  /(af,a?„0).   fid,d,d),  oto. 

44^)  Theorem.  Allgemein  ist: 

f{x)=fil)'X  +  fiO)-x,. 

Bewein.  In  §  17,  Zusatz  2  zu  Th.  H6)  haben  wir  gesehen,  dass 
(und  wie)  sämtliche  im  aktuellen  Ausdruck  von  fix)  etwa  „angedeu- 
teten" Negationen  sich  werden  „ausführm**  lassen,  sodass  scldiosslich 
der  Ausdruck  nur  noch  durch  Addition  und  Multiplikation  (ohne  Nega- 
tion) aus  lauter  Gebietssymholen  aufgebaut  erscheint. 

Von  einem  Ausdruck  solcher  Art  haben  wir  aber  in  §  13,  Zusatz  1 
zu  Th.  28)  ferner  gesehen,  dass  (und  auf  welche  Weise)  derselbe  im- 
mer in  seine  uletsten  A^preganten"  gerßUlt  werden  kann,  also  dass 
derselbe  als  eine  Summe,  ein  (eventuell  auch  nnr  eingliedriges)  Poly- 
nom erscheint  von  lauter  monomischen  Gliedern,  die  nur  (eventuell 
auch  (?mfaktoiige)  Produkte  sind  Yon  lauter  „einfachen"  Gebietssym- 
bolen —  irgendwie  herausgegriffen  ans  der  Gruppe  der  in  den  Aus* 
druek  nisprflnglich  eingehenden  literelen  Gebiete  und  deren  Negatio- 
nen — ,  dagegen  keine  Summen  mehr  als  Faktoren  aufweisen  und 
ohne  jegliche  Klammem  darum  sich  anschreiben  lassen. 

Nachdem  in  diesem  Stadium  unser  Ausdruck  angelangt  ist,  kann 
man  nun  kraft  des  Eommutationsgesetzes  12^)  in  einem  jeden  der  er- 
wihuten  Monome  sämtliche  Faktoren^  die  x  sind,  desgleichen  sämtliche 
Faktoren  ^„  zusammenrücken  lassen  und  ihr  Produkt  nach  dem  Tau- 
tologiegesetze 14,«)  je  durch  einen  einzigen  Faktor  x,  resp.  x^  ersetzen 
[wobei  implicite  auch  das  Assoziation^geäetz  13^)  nehst  Th.  16^  in 
Wirkung  tritt]. 

Diejenigen  Glieder  des  Aggregates,  welche  x  und  x,  zugleich  ent- 
halten, kommen  dabei  nach  Th.  dO^\  22J  und  21^)  in  Wegfall. 
Der  Ausdruck  erscheint  hienach  als  Jüneaii^  in  Bezug  auf  s  und 
insofern  er  diese  Symbole  nicht  mehr  mit  sich  selber  oder  mii- 


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410 


Zehnte  Vorlesong. 


einander,  sniuleni  Bur  noch  mii  Parametern  multiplizirt  seigeti  \vir<1. 
Und  zwar  hat  er,  wenn  man  noch  die  in  Bezug  auf  x  und  x^  „gleich- 
namigen" Glieder  zusammenzieht,  sie  nach  Th.  27^)  ,,vereinigt%  näm' 
lieh  j^,  bei  all  den  Gliedern,  welche  r,  zum  Faktor  haben,  als  gemein- 
samen Faktor  ^ausscheidet^,  und  ebenso  Sß  bei  den  mit  x  behafteten 
Gliedern  —  nachdem  man  kraft  des  Eommutationsgesetzes  12^)  sie 
hat  zosammenrückeu  lassen  —  notwendig  die  Form: 

fix)  =^  Ax^Bx,  +  öf 

wu  tlio  „Koeffizienten*'  yl,  B,  C  die  Symbole  x  und  jr,  nicht  mehr  als 

üperutionsglicdor  enthalten,  (sondern  hoehstens  sich  dar.-itüllen  werden 

als  Summen  von  l-rodukten  ««6-  lauter  rarametcrn  oder  eventuell  auch 

Negationen  solcher). 

Jedenfalls  n;iiiilich  katm  man  doch  die  Snmme  dorjenigen  (ilicdrr, 
welche  weder  mit  x  noch  mit  a',  behaftet  waren,  Uimmelir  C  neuneu  imd 
mit  A  resp.  B  das  Gebiet  beseichneo,  in  welches  —  nach  Ausführung  der 
geschilderten  Operationen  —  das  x  resp.  x^  maltiplizirt  erscheinen  wird  — 
Tonusgesetzt  natürlich,  dass  die  Symbole  A,  C  nicht  bereits  anderweitig 
als  Namen  vergeben  waren,  nämlich  nicht  selbst  ^^clioii  uls  Parameter  im 
aktuellen  Fanktiousaiisdruck  /(.r)  vorp^ekoinmen  sind,  in  welchem  Fallo 
denn  andere  Buchstaben  zur  Darstellung  unsrer  Koclüüouten  genommen 
werden  niüssten. 

Uienach  lässt  diso  jede  Funldion  von  x  im  Ukntitichcn  Kalkül  sidi 
cUs  eine  lineare  Funldion  von  x  daratellen. 

Dieselbe  wäre  ..homogen"  zu  nennen  in  dem  Falle,  wo  etwa  das 
„Äbsolutglied"  C  sich  =  0  herausstellte,  wo  man  es  dann  forllasäen 
und  einfacher:  f{x)  =  Ax  +  J).i\  schreiben  könnte. 

Aber  auch  wenn  C  in'eht  verschwindet,  kann  man  uuscrn  Aus- 
druck vollends  liomügeu  machen  sei  es  durch  übers«  Ii iHbeudea  Mul- 
tipUziren  der  vorstehenden  Gleichung  mit  der  Gleichung 

1      «  +  JF, 

—  sei  esy  noch  besser,  indem  man  blos  das  Absolutglied  mit  dem 
Faktor  1,  der  ^x  +  x^  ist,  versieht,  somit  G  durch 

C'  1  ==  C{x  +  A.)  =  Cx  +  Cx, 

ersetzt. 

Hierdurch  wird  in  der  That: 

fXx)  =  (A^C)x  +  {B  +  C)x,. 
Der  Ausdruck  niniait  also  scldiesslich  die  „lineare  homogene"  Form 
an  (hindern  wir  A-k-C  kürzer  a  und  B  -i-  C  ebenso  h  neuneu): 

f{x)^ax  +  hx^j 
in  welcher  a  und  h  von  x  (und  x^  uuabMngig  sind. 


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§  19.   FunküoDon  und  deren  Entwickelimj^. 


411 


Im  idmüsdien  KaOeal  Uagt  Atenocft  jede  Funktion  sogar  als  eine 

homogene  Uneare  skh  kmsteUen  (mit  konstaniexi  Koeffizienten). 

Diesem  Umstand  haopteSchlich  hat  es  der  identische  Kalktil  ra  ver- 
danken, doss  er  80  orbeblich  viel  leichter  zu  beberrscbon  und  zu  handhaben' 
iät,  als  die  numerisch  rechnende  Mathematik  für  deren  Ausdrucke  und 
Funktionen  eine  so  einfache  typibche  Grundform  nicht  angebbar  ist. 

Die  geschilderten  Umformungen  fanden  nun  aber  sämtlich  statt 
nach  allgemein  geltenden  Theoremen  oder  Gesetzen  des  identischen 
Kalküls,  sodass  die  Gleichheit  swischen  dem  urspiUuglicbeu  Ausdruck 
f{x)  und  dem  so  gewonnenen  ax  +  hx^  identisch  bestehen  muss  flQr 
ganz  beliebige,  für  alle  erdenklichen  Bedeutungen  sämtlicher  vorkom- 
menden Buchstaben  oder  Gebietsymbole  ^  wie  denn  schon  für  alle 
Zwischenstufen  der  Rechnung  die  Gleichung  zwischen  dem  Ausdruck 
f(x),  und  dessen  successiYen  Transformationen  nach  dem  Distributions- 
gesetze  etc.,  stetsfort  den  Charakter  einer  allgemeinen  Formel  behielt. 

Diese  letzte  Formel  bleibt  demnach  auch  richtig,  falls  man  x 
durch  1  ersetzt^  wobei  jr, 0  zu  setzen  ist;  desgleichen  führt  sie  fort 
gültig  zu  sein  f&r  as  =  0,  o?,  »  1.  Indem  man  sie  für  diese  speziellen 
Falle  in  Anspruch  nimmt,  erkennt  man  aber  dass: 

/•(n  =  a,  m^b 

ist  und  nach  Einsetzung  dieser  Werte  von  a  und  b  in  jene  letzte  For« 
mel  wird  unser  Theorem  bewiesen  erscheinen. 

Die  Darstellung  einer  Funktion  f{x)  nach  dem  Schema  des  Th.  44^) 
wird  die  ^ßtUwiMun^  (development)  dieser  Funktion  nach  der  Varia* 
beln  X  genannt. 

Durch  solches  Entwickeln  wird  die  Funktion  ^linear"  und  i^homogon" 
gemacht  in  Bezug  auf  x  und  o-,. 

X  und  x^  heissen  die  „KonkUuenten**  der  Entwickelung,  im  (;!cgen- 
satz  zu  den  ffKoefßzienten**  f{l)  und  /(O)  derselben. 

Das  Produkt  der  Konstituenten  ist  0,  ihre  Summe  ist  1,  nach 
Th.  30),  wogegen  die  Koeffizienten  irgendwelche  von  einander  unab- 
hängig beliebige  Werte  haben  mögen,  wie  schon  die  Annahme 

■ 

erkennen  lasst 

Nach  Boele*  p.  72  und  73  Fubsnote  ibt  das»  Theorom  1^+)  da»  Ana- 
logjiak  des  Taylor 'sehen  Satsees  in  der  Fnnktionenlehre  di^  arithmetischen 
Analjsis. 

Die  (in  der  Taylor'sohen  bekanntUoh  enthaltene)  Hac-Laurin'scbe 
Beihe: 

f(?)  ^  m) + /-'(o) + f*  r  (0) + 1*  r  (0) + •  •  • 


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41-  Zehnte  VorlesuDg. 

gellt  in  der  Thal  in  ini>er  Th.  14^)  Uber,  sobald  man  annimmt,  dasB  die 
ZaU  X  der  Formel  des  TautologiegesetieB 

XX         oder   x  —  af«  «  0 , 
das  heisst  der  Oleichnng: 

x(t  —  a?)  *—  0 

genOge.  Diese  qnadratisdie  Gleichung  hat  aber  im  Gebiet  der  Zahlen  nor 
(iie  beiden  Wurzeln  0  und  1,  und  wird  demnach  unter  x  dann  eine  dieser 

beiden  Zahlen  zu  verstehen  sein. 

Für      =  r  ist  aher  anch       •  x  ^  x  •  x  oder  :r' =  .r*,  srmiit  auch 
—  X,  dann  weiter  x'^-x  ~  X'X  oder  x'^  etc.,  und  vereinfacht  dar- 

nach die  obige  Reihe  »ich  zu: 

iDäbeäOudere  gibt  dies,  für     =  1  iu  Au^prucb  genommen; 

und  wenn  mun  aus  diesen  l>eitlen  Gloicliunr^-en  die  in  der  ^'est-hwunL,'oncn 
Klammer  {  j  stehende  litulie  eliminirt,  indem  man  ilneii  Werl  aus  der 
zweiten  Gleichung  entnimmt  und  iu  die  erste  einsetzt,  so  kumml: 

/(x)«AO)  +  a;  {i\i)  —  f{0)\ 

oder,  anders  geordnet: 

f(i!)-/'(l)-x  +  /tO).(l  -ar). 

Dies  ist  nun  das  Th.  44^)  selbst,  in  Anbetracht,  dass  wir  beim  Stu« 
dium  der  inversen  Operationen  des  identischen  Kalküls  (§  23)  sehen  wer- 
den, dass  in  der  That  1  —  x  =^  .r,  bedeutet 

Wenn  also  die  (Mac-Laurin'sche)  Reihenentwickelung  einer  Funktion 
f(^)  ffh-  die  Werte  0  und  1  von  X  zulässig  ist,  so  fällt  sie  mit  unserm 
Theorem  zusammen.  — 

Bemerkt  sei  noch,  dass  mau  die  Gleichun«?  xx  =  x  in  der  Arithmetik 
auch  zusammenziehen  kannte  in  xi^x  —  l)  =  0,  was  im  identischen  Kjslkul 
nicht  angiingig  wttre,  cf.  §  23. 

Wir  wollen  non  die  verscbiedenen  Phasen  der  beim  Beweise  des 
Theorems  44)  auszuffihren  geweseneu  Operationen,  die  vorstehend  ab- 
strakt geschildert  sind,  durch  einige  konkrete  Beispiele  erläutern. 

Natürlich  bleibt  es  unbenommen,  mit  dem  schematischen  Verfahren 
auch  noch  anderweitige  Vereinfachungen,  die  sich  unterwegs  anbringen 
lassen,  zu  verbinden. 

E xem  peL   Sei  f{x)  =  [ { (ax  -f  6x,),c  +  da; ) ,  ea^J, . 
Dann  gibt  die  Ansftthrung  der  Torgesehriebenen  Negationen: 

f{x)  =  {(ax  +  &ar,),c  -I-  rf^r }  +  «,  +  a?  =  (a,  +  r,)  (h,  -H  «■)€  +  e,  +  jp 

indem  der  Term  dx  von  dem  x  absorbirt  wurde. 


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§  ly.    Funktionen  und  deren  Entwickelung.  413 

Durch  Aiismoltipliiii«!!  folgt  biezans: 

f(x)  =  a^b^c  +  fi^cx  +  h,c.v^  +  c,  +  tr  =  a^h^c  +    +  />,cx,  +  x 

wobei  wieder  zu  Anfang  der  zweite  Term  in  den  loUten  einging.  Ferner 
kann  man  aber  in  der  Summe  b^cx^  x  nach  Th.  33^)  Zusatz  den  Faktor 
jr,  nnierdrOeken  and  darnach  wird  auch  in  nnserm 

/-(.}•)  =  r/,  h^c  +  e^  +  h,c  +  X 

der  erste  Term  vom  vorletzten  autgesogen  und  bleibt: 

was  —  am  besten  wieder  nach  dem  soeben  citirten  Satze  —  homogen  ge- 
macht sein  wird: 

/•(a;)-»a:  +  (6,c  +  e>,. 

In  der  Tbat  aber  ist  hier  mit  leichtester  Mtthe  schon  ans  dem  nrsprttng- 
lifihen  Ausdrucke  zu  entnehmen,  dass; 

f{t)  -  [(a.c  +  d),c .  0].  -  0,  -  1 ,    m  -  [(b,c\el  -  h,e  +  e, 

ist,  womit  also  die  Koef&xienten  von  x  und     ifobtig  angegeben  erscheinen. 
Esempel.  Bedeutet 

/"(.r)  =  (ax  4-  hr^  -f  r)  (dx  4-  f  r^gx , 

so  Find  diesmal  keine  Negationen  aus/,uführen.  Durch  einfaches  Ausmul- 
tiplizireii.  wenn  mau  sich  unterwegs  nicht  die  geriagtite  Vereinfachung  ge- 
stattet, ergäbe  fcicli: 

((A  «SS  adgxxx  +  aegxx^x  +  bdgj\xx  +  b€gx^x^x  +  cdgxx  +  ccgx^x. 

Nach  Th.  30^)  fallen  ntm  aber  die  Tcrmo  alle  fort,  welche  neben  36 
zeigen.  Bei  den  übrigen  ist  nacli  Th.  liy)  tt  sowifi  .'•./  ./•  thircli  .;  alloin 
zu  ersetzen  und  ergibt  bich  tjchlicsslich  durch  Vereiuigung  dieser  (bezüg- 
lich j)  gleichnamigen  Terme  adgx  +  cdgx  das  Resultat: 

f(x)  ==  (a  +  v)dyx 

nnd  di*^«^*«  wirJ  durcli  das  Th.  44)  bestiitigt,  beziehungsweise  noch  rascher 
gewonnen^  indem  schon  aus  dem  ursprünglichen  Ausdrucke  direkt  sich 
ergibt: 

f{l)  =  (tf  +  c)dff,       f{0)  =  (6  +  c)c  •  0  =  0 . 

ExempeL  Man  entwickle,  ohne  Benutsnng  des  Saties,  nach  x  die 
Funktion: 

fix)  —  (ax,  +  bx)  (dx  +  exX  (ßx  +  Ä)  (&  +  Ix,)  ( (war),  {nx^  ] , 

nnd  koatroUire  dadurch  den  Sats. 
Ausführung  der  Negationen  gibt: 

f(x)      (ax,  +  bx)  (f/,  +  X,)  (r,  +  x)  {gx  +  //)  {k  +  Zr,)  {mx  +  w.r,)  . 

Das  Ausmultipliziren  ohne  jegliche  Vereinfachung  wiinb;  hier  G4  Glieder 
geben.  Lassen  wir  aber  sogleich  diejenigen  fort,  ^n  welchen  x  und  x^  zu- 
sammentreflfen,  und  mnltipliziren  die  Faktoren  zunächst  x>aar weise,  den  ersten 


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414  Zehnte  Vorleran^. 

mit  dem  IcUien,  etc.  sohreiben  aacb  gleiche  Faktoren  nie  wiederholt  ao, 
80  entsteht: 

Der  Tem  d^e^  (mit  x  +  dc,  mnliiplixirt)  wird  hier  von  den  beiden  folgenden 
absorbirt,  nnd  kommt: 

f(x)  «=  (J^^nc^x^  +  hmd^s^  (hlx^  -^gJtx  +  hJt)  « 

=  af»e,ft^  +  aw<?,ÄÄ;a?,  +  bmd^ghx  +  &m(f,/iÄ:a:, 

also: 

f{x)  «=        +  A)j|;m«  +  a^,ft(i(;  +  Qn«, . 

Mit  viel  geringerer  Mtthe  erhSlt  man  aber  dieses  Besoltat  augenUicklich 
nach  dem  Th.  44^.),  indem  sich: 

f(l)  —  hdXg  +  h)hm  ,       /(O)  =  acji{k  +  l)n 

schon  aus  dem  uiaprünglicbeu  Auädruck  vou  /(^x)  —  bequemer  aUerdiugs 
nach  ausgeführten  Negationen  —  unmittelbar  ergibt. 

* 

Übnngsexempel.   Man  entwickele 

f(x)  mma{x  +  h,)  +  h  (a,  +  «,) , 

so  ergibt  sich  rein  mechanisch,  was  wir  frtther  §  18,  X)  mittelst  Kunst- 
griffen fanden:        f{x)     (a  + 1)  (as  +  ar,)  =  o  +  6 . 

Übungsaufgabe.    Durch  Entwickelung  nach  a  zvi  zeigen,  Uass: 

a&(c  +  d)  +  (c  «f  b)cd  «  a{bc  +  6<i  +  cd)  +  a^bed . 

Bezeichnet  man  die  linke  Seite  mit  f{(i),  so  ergeben  eich  in  Gestalt 
▼on  fii)  und  f{0)  die  rechts  angefahrten  Koeffizienten  von  a  nnd  a^, 

Eutwickeit  mau  eine  Funktion  vou  der  Form 

gemSss  dem  Tli.  44)  nach  x,  so  erzeugt  sich  allemal  der  gleiche  Aus- 
druck wieder,  indem 

f(i)  =  a,       f(0)  =  b 
sich  erweiat»  d.  h.:  Eine  bemigluit  eines  Sijntbols  homogene  lineare  Funk- 
tim  isi  immer  »^o»  «ocft  diesem  ^jeniwidcdif*. 

Dmh  das  Th.  44^)  erscheint  das  Th.  42^)  von  neuem  bewiesen 
fOr  alle  Gebiete  y  =  f(x)f  die  eines  analjtiscbeti  Ausdruckes  im  iden- 
tischen Kalkül  fähig  sind,  und  erhalt  leiateres  für  diese  dadurch  einen 
präziseren  Inhalt  — 

Znaata  1  zu  Th.  44^)  (Boole). 

Der  Satz  lasst  you  einer  Funktion  eines  Argumentes ,  «ich  leicht 
ausdehnen  auf  eine  Funktion  Ton  zwei,  drei,  und  beliebig  vielen  Argu- 
menten. 


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%  19.  Pnnktionen  und  deroi  Entwidreluttg.  415 

Auch  jede  solche  Funktion  kann  nach  (allen)  ihren  Aiytimenkn 
(sogleich)  fpiiwickdif*  werden  nach  den  Schemata: 

l)a:y+/'(l,0)a:y,+/^(0,  l)x,y  +  f{0,())x,y,, 

und  60  weiter,  und  kann  man  für  das  Bildungsgeaetz  der  Entwiche- 
long  mit  Boole  folgende  Kegel  aufstellen. 

Um  die  Enticichelung  emer  Funldion  y, . . .)  von  beliebig  vielen 
Argttmetiten  nach  ebendiesen  su  erhalten,  ersdge  man  in  dem  Ausdruck 
der  Funktion  sämtliche  Argumente  durch  1  und  muUi^plU0ire  das  JSrgdh 
niss  wU  dem  (geordneien)  BrodUkt  dieser  Ar^menie,  Ihditreh  bekomnU 
man  das  Anfangsfiied  der  gesw^ien  Eniwidcehng,  In  diesem  ersette 
man  den  leUdm  Faktor  (des  ^on^Uuentenf*  oder  Produkts  der  Arg^ 
mmie)  durA  seme  NegaUm  md  sugleid^  das  letste  Jrgummt  1  (im 
tfKorffiäenten*^)  durch  0,  wodurdi  std^  ein  sweites  Glied  der  Eniwiekelung 
€rg9>t.  In  diese»  haden  GUedem  erseise  man  hierauf  den  vortästm  Faktor 
ihres  Kimstituenten  durdi  seine  Negation,  zugleich  das  vorletste  Argument 
ihres  Koeffimenten  (welches  noch  immer  1  geblieben  aein  wird)  dur<^ 

0,  und  erhaU  suiei  weitere  Glieder,  In  allen  vier  bisherigen  Gliedern  er- 
setse  man  den  dritttetsten  Faktor  ^ktrtA  seine  Negation,  eugleich  das  driU- 
letzte  Argument  im  Koeffizienten  durth  0,  wodurch  sicJt  vier  weitere  Glie- 
der erycben,  und  so  weiter  fort,  bis  man  jeden,  auch  den  ersten,  Kon- 
stituentenfaktor  durch  seine  Negation,  zugleich  auch  das  erste  Argument 
1  jedes  Kocffizicuteii  durch  0  erset/l  luit. 

Wenn  im  Funktionsausdruck^  vielleicht  neben  einem  Argumente,  auch 
dessen  Negation  Torkommt,  eo  mms  di^  wlhstrerBt&ndlich  in  0  verwan« 
delt  werden,  wenn  man  das  Argument  dorob  1  eraetati  nnd  umgekehrt  in 

1,  wenn  man  das  Argument  durch  0  ersettt  im  Einklang  mit  einer  schon 
früher  statuirten  Bemerkung. 

Es  wurde  beim  Formuliren  der  vorstehenden  Regel  bereits  nnter- 
weges  angedeutet,  dass  man  den  hier  als  ersten  erhaltenen  Faktor 
jedes  Gliedes  wieder  als  dessen  ,fEoeffi0ienkn%  das  Produkt  der  nach- 
folgenden (BQchstaben-)Faktoren  aber,  welche  Argumente  oder  Nega- 
tionen Ton  solchen  sind,  als  seinen  „Konstituenten^  zu  bezeichnen  habe. ' 

Behufs  Beweises  von  diesem  Zusätze  betrachte  man  den  Fnnktions- 
ansdruck  |f» •  •  •)  zuerst  lediglich  in  seiner  Abhängigkeit  von  jti 
Man  entwickele  ihn  nach  diesem  einen  Argument  x  gemäss  dem 
Schema  44^).  Die  Koeffizienten  dieser  Entwicklung  werden  dann 
nur  noch  als  Fanktionen  von  y,M,,, hingegen  konstant  in  Hinsicht 


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41B 


Zebnte  Torlenrag. 


auf  X  erscbein6D|  indem  eben  behufs  ihrer  Gewinnung  dieses  x  durch 
1  oder  0  ersetzt  werden  musste.  Hierauf  entwickle  man  jeden  dieser 
Koeffizienten  nunmehr  nach  abermals  gemiss  dem  Schema  44^), 
setze  seinen  Wert  in  den  Ausdruck  ein  und  mnltiplizire  aus.  Die 
neuen  Koeffizienten  werden  dann  nur  noch  als  Funktionen  von  . . . 
dagegen  als  konstant  bezfiglich  x  und  y  erscheinen;  sie  k&nnen  nach 
M  entwickelt  eingesetzt  werden ,  ond  so  weiter. 

Es  wird  genügen,  den  angedeuteten  Beweis  nur  flQr  die  Funktion 
f(Zf  y)  Yon  mei  Argumenten  wirklich  auszuführen,  da  Ton  diesem  be- 
sonderen Falle  des  auszufahrenden  Beweises  der  allgemeinere  sich  nur 
quantitativ  (durch  grössere  Häufung  von  Symbolen  in  den  auch  häufiger 
wiederholt  zu  machenden  Ansätzen)  unterscheidet  —  Dort  hat  man 
zunächst:  fi^j^^  y)  =  f(\^      +  /lO,  y)x^ , 

uuU  dann  weiter: 

rtl.  V)  -    1,  l)y  +  «1, 0)y, ,      m  9)  -  f(fi,  1),  +  f(0, 0)jr. . 

Die  Einsetzung  dieser  Werte  in  den  Torigeu  Ausdruck  gibt  nach 
Ausmultipliziren  den  zu  bew^enden  Satz,  wie  er  sich  oben  angegeben 
findet*  ~ 

Die  im  obigen  Zusatz  gegebene  Ausdehnung  des  T1i.  44)  auf  Funk- 
tionen von  mehr  als  einem  Argumente  ist  zwar  theoretisch  interessant 
und  wichtig,  aber  für  die  Technik  des  Kalküls  von  geringem  prak- 
tischen Werte,  aus  dem  Grunde,  weil  man  sich  bei  den  vielen  zum 
Teil  gleichzeitig  geforderten  Einsetzungen  von  Werten  0  und  1  (je 
für  ein  Symbol  und  dessen  Negation,  oder  umgekehrt)  allzuleicht  ver- 
sieht, diese  zahlreichen  Substitutionen  auch  ermüdend  und  lang- 
weilig sind. 

Sollte  wirklich  die  Entwickelnng  einer  gegebenen  Funktion  nach 
mehreren  Argumenten  angeseigt  erscheinen,  so  schlägt  man  am  besten 
den  Weg  ein,  der  uns  zum  Beweise  dieses  Zusatzes  verholfen  hat, 
d.  h.  man  entwickelt  immer  nur  nach  einem  Aigament  auf  einmal 
und  so  nach  diesen  allen  nur  successive  („fortschreitend'',  „hintereinan- 
det*^,  wobei  man  bei  jeder  Zwischenoperation  schon  auf  m5glieh8te 
Vereinfachung  der  Koeffizienten  Bedacht  nehmen  wird. 

Wir  ])egnUgea  uns,  hiezu  nur  ein  Ezempel  zu  geben.    Sei  nach  Xy 

e  zu  entwickeln:  f{x,  y,  e)  = 

(abxy  +  a^h^  {cd^xe  +  c,rfy,)  +  (a,*,  +     +  e^s  +  d)  {yt  +  <i,y,<,)) 

so  entwickelt  man  am  best^  zuerst  nach  y  als  demjcuigeu  Symbole,  wel- 
ches am  häufigste  in  dem  Ausdrucke  vorkommt  —  sodass  durch  Ein- 


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I  19.  Fimktioiira  Dnd  deron  Entwick«Iiiag.  417 

setning-  der  Spezialwerlc  0,  1  für  y  oder  die  1)oträohtlicfasteil  Eeduk- 
tiondn  des  letzteren  in  Aussicht  stehen.    Es  entsteht: 

/ (x,  1,  z)  =  ia  1  +  a^b^  cd,xs  +  (a,a;,  +  6,  +  c,  +  d)     (—  etc.) 
f  (ä,  0,  m)  =  a^b^  {cd^xz  +  c,d)  +  <i,9r,<l,#^ 

tJiid  li]0ran8  leiten  wir  aby  wie  wenn  wir  naeli  s  entwickeln  wollten: 

/  (.r,  1 ,  1)  =  oaf  +       +    +  r,  +  d,        /  (.r,  1,0)  =  0, 
/-(.r,  0,  1)  =  <!,?>,         +  «vO»  /"(-^  0,  O)  =  fl,6,r,(^  +  <i,ff,x„ 

woraus  endlich,  der  Entwickelung  nach  x  entsprechend: 

/•(l,  1, 1)  «  a  +       c,+  d,       /•(!.  1,0)  -  0, 

^(1. 0, 1)  «      (cd,+  c,d),       /-(l» 0, 0)  -  afi,c,d, 
f{0, 1, 1)  -  a,  +  fi,  +  r,  +  d,      /-(0, 1, 0)  =  0, 

/■(O,  0,  1)  =  a,&,r,rf,  /-  (0, 0, 0)  =     (/;,r,  +  d,).  * 

Damit  ist  denn  gefunden: 

/■(ä,     jc)  =  (a  +  &,+  c,+  d)  iii/^  +  a,6,    (^,+  f,d)  ay,r  +  «, /^,c,d  a;i/,xr,  + 

als  die  gesnchte  Eatwiokeliuig. 

Das  Kesultat  ist  das  nämliche,  ob  muu  erst  iiacli  x  entwickelt 
und  dann  weiter  l  iich  y,  oder  ob  inan  es  erst  nach  y  und  daim  nach 
X  tbut,  oder  endlicii  nach  beiden  zagleich. 

Auch  stimmt  eine  Entwickelung  nach  dem  Argumentenpaare  v 
und  dem  Argument  e  überein  mit  derjenigen  nach  dem  Argument 
nnd  dem  Ar<;nfnentenpaare  y,  £;  sie  ist  zugleich  die  Entwickelung  nach 
dem  Argumeiitetripel  x,y,z.    Man  sieht: 

I)(i>s  Erituiclcln  einer  Funhiion  ist  in  Hivsicht  auf  deren  Ar<jn- 
mcnfe  eine  kommutative  und  zufileick  assosiiüirr  Operation.  Reihenfolge 
und  Grnppirung  der  Argumente,  nach  denen  einzeln  oder  in  Gruppen 
entwickelt  wird^  sind  dabei  nebensächlich;  die  ganze  Anordnung  des 
Entwickelungsprozesses  steht  in  unserm  Belieben.  Woferne  nnr  allo- 
mal  ausmultiplizirt  wird  ist  die  nach  der  Gesamtheit  der  Argumente 
entwickelte  Funktion  zugleich  entwickelt  nach  jedem  einzelnen  dieser 
Argumente  und  nach  jeder  Gruppe  Ton  solchen  und  umgekehrt  —  ab- 
gesehen natürlich  von  der  Anordnung  der  resulUrenden  Glieder  und 
der  Reihenfolge  der  zu  den  Konstituenten  derselben  zusammentretenden 
Faktoren^  welche  Momente  ja  aber  ohne  Einflnss  auf  den  Wert  des 
Brgebnisaes  sind. 

Dies  alles  wird  nebenher  bei  der  Durchftlhning  des  obigen  Be- 
weises ersichtlich  und  kSnnte  leicht  noch  naher  dargelegt  werden.  Hin- 
aichüieh  b  som  Beispiel  erscheint  die  nach  x,  p,  m  entwickelte  Punktion 

BeBiAm«,  Als^bn  dct  Logik.  97 


418 


Zebnl»  Vorletmig. 


in  der  Tliat  gcsotiikrt  in  Glieder,  welche  r  splbst  uiul  solche,  welche  z^ 
enthalteu.  Die  Glieder  von  beiderlei  Art  aiud  leicht  aus  dem  Gesamt- 
atisdruck  herauszulesen,  wenn  sie  auchi  nicht  (durchaus)  beisammen 
stehen.   Analog  besflglich  des  y  sowie  ^des  x.  £tc. 

Zusatz  2  8U  Th.  44^)  (Boole). 

AUe  EonäUuenten  der  EnltwiMmg  einer  FwikUoH  sind  m  einander 
di^junkt,  gAen  nändiA  tu  irgend  eweien  nmlHpligirt  das  Brodvkt  0,  in- 
dem sie  sich  jedenfalls  dadurch  von  einander  unterscheiden  müssen, 
dass  mindestens  ein  Faktor  des  einen  Konstituenten  im  andern  durch 
seine  Negation  vertreten  erscheint^  wonach  also  das  Th.  30^)  anwend- 
bar wird. 

So  ist  bei  swei  Argumenten  in  der  That: 

xy,'X,y     ü,      xy,'X,y,     0,      x,y  -  x,y,  —  0. 

Etc«   Es  Ware  nicht  uninteressant,  doch  etwas  umständlich,  das  all- 
gemeine Zutreffen  dieser  aus  dem  Bisherigen  schon  einleuchtenden 
Thatsache  mittelst  zwingender  Schlüsse  genauer  darzulegen. 
Ebenso  gilt: 

Die  Swmme  äUer  KonstOuenten  ist  sieis  gleiA  1  —  eine  Aussage, 
die  bei  einem  Argumente  mit  Th.  30^),  bei  zwei  Argumenten  mit  dem 
Th.34^)  rasammenfallt  (für  a,d  dort  x,y  gesagt).  Bei  dreien  haben  wir: 

xyz  +  xyz^  +  xy^s  +  xy^e^  +  x^yn  -h  x^yz^  +  x^y^M  +  x^y^z^ 1 

Etc.  Jene  Konstituenten  sind  n&mlich  (allgemein)  gerade  die  Glieder 
des  ausmultiplizirten  Produktes  —  cf.  Th.  30^): 

wcklios  als  die  Entwickuluug  der  konätanteü  Funktion  1  nach  x,  y, 

j5,  •  •  •  anzusehen  sein  wird. 

Hat  die  Funktion  f?  Arf,niraeute,  8o  ist  die  Anzahl  ihrer  Konstituenten, 
boiuit  auch  der  Glieder  ilncr  vollstiiiidig  angeschriebenen  Entwickdung 
gleich  der  n*'"  Poteuz  voa  2,  gleich  2".  Dieac  Anzahl  ist  abu  2,  4,  8, 
IG,  32,  G4,  •  •  *  bei  1,  2,  3,  4,  5,  0,  •  •  •  Argumenten. 

Anmerkung  1  zu  Th.  44^). 

Das  duale  (jlcgeiistück  zu  diesem  Theorcui: 

44,)  Th.  /(«)  =  laO)  +  x\  ifil)  +  x,\ 

möge  hier  wenigstens  einmal  Erwähnung  finden*,  erstmalig  ist  dasselbe 
Yon  Herrn  Peirce  ausgesprochen. 


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1 


$  19.  Fnnktionen  tmd  deren  Bniwickelang.  419 

Durch  Vergleichung  dieses  Ausdrucks  mit  dem  vom  andern,  Tjb.44^) 
gelieferten,  ergibt  sieb  nacb  ibm  die  interessante  Formel: 
\m  +  x)-  {/(l)  +  x,]-f(,l)x  +  /(O)  -x,. 

Dieselbe  würde  als  „zu  sich  selbst  dual*'  zu  bezeichnen  sein,  wenn 
man  nur  bereclitigt  würe  die  Funktion  f(x)  sich  selber  dual  ent- 
sprechend zu  nennen. 

Ersetzt  man  f  {\)  durch  a  und  f  {}))  durch  Z>,  wo  dann  a  und  h 
als  üilgtiHrine  Gebiete  werden  aufgefasst  werden  dürfen,  so  erhält  man 
jene  Formel: 

(a  -f  ar,)  (6  +  a;)  «  aa;  +  hx^ 

▼on  Peirce,  die  wir  schon  unter  x)  des  §  18  betrachtet  haben.  — 

Gleichwie  das  Th.  44^)  in  eventuell  wiederholter  Anwendung  be- 
nutzt werden  konnte,  um  eine  Funktion  f  (sc,  y,»,  '  ■  )  nach  ihren 
Argumenten  in  eine  Summe  zu  entwickeln,  so  kann  dies  auch  mit 
Th.  44,^  geschehen  behufs  Entwickelung  ebendieser  Funktion  in  Ge- 
stalt eines  Produktes.  Diese  letztere  wird  dann  das  duale  Gegenstück 
der  vorigen  Entwickelung  sein*  Z.  B.  bei  zwei  Argumenten  wird: 

/•(«,y)-l/'(0,0)+aP+y|{/'(0,l)-f-a:-Hy.)  {fihO)+x,+y]  (^1,1)+^.). 

Etc.  Jene  crsitre  Entwickelung  wai'  nach  dem  mathematischen  Si>iach- 
gebrancU  bezeichnen  als  (ein)  /r(mK>^en(er  Ausdruck)  in  Hiiiskbt  jedes 
eiuelnen  sowol,  als  jeder  Gruppe,  als  auch  der  Gesamtheit  der  „^\j-gumeDt- 
symbole"  (falls  in  diese  wir  auch  die  Negationen  der  Argumente  mit  ein- 
recbnen);  sie  war  nUmlicb  dudurch  gekennzeichnet,  dass  in  jedem  Gliede 
immer  gleklwkJe  der  betrcüVndHD  Symltole  als  Faktoren  stehen.  (Dabei  ist 
jeder  ArgumentbnchstÄbe  auch  yertreten.) 

Analog  erscheint  diese  letztere  Entwickelung  in  einer  eigentümlichen, 
der  homogenen  dual  entsprechenden  Form,  die  sich  dadurch  kennzeichnet, 
dass  jeder  Faktor  der  Zerföllung  immer  von  genannten  Argumentsymbolen 
gleich  viele  als  Bummanden  enthSlt  (so  zwar,  dass  in  jedem  Faktor  aoeh 
jeder  Argumentbudistabe  entweder  in  Gestalt  des  Argumentes  selbst  oder 
iu  Oc^iult  von  dessen  Negation  als  Glied  vertreten  ist,  und  dies  im  Ganzen 
auf  jede  mögliche  Weise). 

Lasst  man  alle  in  einem  Ausdruck  f  überhaupt  vorkommenden 
Buchstabensjmbole  als  ,,Argumente"  gelten,  und  entwickelt  nach  diesen 
gemäss  Th.  44^),  so  wird  man  eine  Zerlegung  jenes  Auf; drucks  f  in 
seine  „leisten  Aggreganten"  erhalten  —  in  dem  schon  §  13  zu  Th.  28) 
erörterten  Sinne,  jedoch  in  der  Kegel  wol  mit  dem  Unterschiede  (vom 
Ergebniss  der  dort  beschriebenen  Prozesse),  dass  jetzt  von  den  nach 
Th.  30^)  möglichen  Zusammenziehungen  von  Gliedern,  and  dem  Ein- 
gehenlassen Uberflüssiger  Faktoren  solcher,  kein  Gebrauch  gemacht  ist. 

Analog  kann  man  nach  das  Th.  44^  benutzen,  um  die  Zerfallung 


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420 


Zehnte  VorleBnog. 


irgeud  ciues  Ausdrucks  in  seine  ,^etstcn  oder  rrim-Faktoren"  zu  be- 
werkstelligen. 

Anmerkung  2  zu  Tb.  44).  Als  Folgerungen  flieSBen  aus  diesem 
Tbeorem  durch  beiderseitiges  Multipliziren  mit  x  resp.  die  Sätse 
Mc  CoU's: 

xf(x)^xf(l)   und  x/{x)  =^  x,f{0) 

md  macht  derselbe  darauf  aufmerksam^  dass  durch  Anwendung  dieser 
Schemata  manche  Rechnungen  sich  sehr  vereinfachen  lassen. 

Hatten  wir  s.B.  in  §  18  unter  auszurechnen:  n\  (0,^  + ^i^^iH- Vr\) 
so  kann  dies  80  geBefaehoa,  dass  man  den  Faktor  hinter  ah^  als  eine 
Funktion  f((i)  von  /r,  o*1pr  aber  als  eine  «olche  von  b  betrachtet; 

darnach  ergibt  sich  nach  dorn  ersten  resp.  zweiten  Schema  das  Ganze  gleich 

«6,  (0  +  0  +  6,c,),     a 6,  (6  +  c)  =  a6,i?, 

resp. 

«6,  (0  +  a,c,  +  c,),  =  a6,  (c,),  —  a6,c 
Und  dergleichen  mehr. 

Sind  AusdrQclie^  an  oder  mU  welchen  eine  Recbnnngsoperation 
des  identischen  Kalküls  Torsunehmen  ist,  nach  bestimmten  resp«  den 
nämlichen  Argumenten  „entwickelte  —  nnd  man  vermag  ja  jeden  Aus- 
druck  nach  gegebenen  Argumenten  entwickelt  darsnatellen  —  so  lassen 
die  Rechnungsregcln  gana  ausserordentliche  Vereinfachungen  zu,  von 
welchen  jetzt  Eeuntniss  zu  nehmen  ist:  wir  haben  mit  erdwiMtm 
Funktionen  nun  rechnen  zu  lernen. 

Vorbemerkung  zu  Th.  45^.). 

Schon  nach  dem  Distributionsgesetze  allein  ist  die  Summe  von 
nach  x,y,'*  *  entwickelten  Funktionen  [ganz  ahnlich,  wie  in  der  Arith- 
metik die  von  Potenzreihen]  zu  bilden  mittelst  aeUtiUver  Veremigmig 
der  KoeffigietUen  aUer  ffleichmm^^m  Glieder  —  wobei  wir  „gleidmami^ 
jetzt  solche  Glieder  zu  nennen  haben,  welche  denselben  Konstituenten 
als  Faktor  enthalten,  sich  also  höchstens  durch  ihren  Koeffizienten 
unterscheiden. 

So  sind  z.  B.  nxy,«  und  hxtf^g  zwei  gleichnamige  Terme  in  Hinsiebt 
auf  die  Argumente  ar,  ff,  t. 

In  der  That  haben  wir  ohne  weiteres: 

{ax-^lx^  +  {a*x + 6'a?,)  »  ad?  +  ax  +  6ac,  +  fe'a?,  —  (a + a*)  af  +  (& + V)  x„ 

{nx^+bx)  +  {cx,+iix)  +  {cx,+fx)  =  (a  +  e  +  e)  x,+  {b-\-d-¥f)  x, 

\^axy  \  Oj  t/^-\-cx^y-i-dx^y^)  +  (a  xy  +  b' xy,+  c  x,y  +  (V x^y^  = 

=  (a  +  ö')  a:f/  +  (6  +  2)')  a;y,+  (c  +  c')  x,y  +  {d  +  d')  x,y,, 

und  so  fort.   Die  Summe  von  Funktionen,  welche  nach  gewissen  für 


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%  19.  Funktionen  und  deren  Eniwickelung, 


421 


sie  alle  gemeinsamen  Argumenten  entwickelt  sind,  wird  hienach  eben- 
falls wieder  nach  diesen  eTitwiekelt  erhalten,  und  bedarf  die  vorstehende 
liege!  iui  den  auch  nur  mit  den  ersten  Elementen  der  Buclistaben- 
recbnung  Vertrauten  keiner  besonderen  Betonung}  sie  versteht  sich 
ohnehin.    Aber  auch: 

46^.)  Theorem.  Um  das  Produkt  im  FmkHmm  i^tmgttretMm", 
UfdAe  nach  denselben  Argumenten  etilwüAdt  und  geordset  sindf  braucht 
man  mtr  die  Koeffimenten  der  gleichnamigen  resp.  gleiohBtelligen  Glieder 
mOeimnuhr  eu  muU^igiren  und  hinter  deren  Produkte  die  ihnen  ge- 
meinsamen Konstiinenten  zn  setsen.  Auf  dieee  Weise  erhält  man  das 
Produkt  wieder  nach  ebendiesen  Argumenten  entwiekeli 

Man  hat  so  gewissermassen  nnr  eine  SuparposiUent  ein  Üherekh 
tmdersdUeben  mit  den  die  Batwickelongen  darstellenden  Polynomen  vor* 
zunehmen,  dergestalt  dass  die  ohnehin  fihereinstimmenden  Konstituenten 
der  gleiohstelligen  Glieder  sur  Deckung  kommen,  ihre  Koeffizienten  aber 
zu  neuen  Koeffizienten  zusammentreten,  indem  sie  sich  multipHkatiy 
verbunden  nebeneinanderstellen. 

In  der  That  ist: 

(ax-k-hx,)  (a'ap+ft'a?,)  —  aa'x  + 

{ax,+  hx)  (cx^+dx)  {cx^-\-fx)  =  acex^-\-  bdfx, 

iflxy+bxy^+cx^ij  +  dx^y^)  (a'a;y  +  fe'a?y,+c'a:,y  +  <i'ic,yj  « 

— aa'zy  +  bb'xy^  +  ce'x^y  +  dd'x^^, 

etc.  Beweis  durch  (mentales)  Ausmultipliziren  nach  der  Multipli- 
katioDsregel  f&r  Polynome  Tb.  28 J  mit  Rficksicht  auf  den  Znsatz  2 
zu  Tb.  44 

Indem  hier  jedes  Glied  des  einen  Polynoms  oder  entwickelten  Aus- 
drucks mit  jedem  Glied  des  andern  im  Geiste  zusammengebracht  wird^ 
verschwinden  alle  diejenigen  Einzelprodukte,  deren  Faktoren  verschiedene 
Konstituenten  enthalten,  in  Anbetracht,  dass  ja  letztere  disjnnkt  sind 
—  m.  a.  W.  ungleichnamige  Glieder  aus  dem  einen  und  dem  andern 
Polynom  entnommen,  f?eben  alletnal  Null  /.um  Produkte.  Von  Eintluss 
auf  den  Wert  des  Er^^^ebnisr^es  küunen  nur  diejeuij^^en  Einzclju-odukte 
bleiben,  welche  gleichnamige  Glieder  aus  dem  einen  und  dem  andern 
Polynom  zusammenlassen.  In  dem  Produkt  solcher  wird  aber  der  in 
beiden  übereinstimni  nde  Koustituent  nicht  wiederholt  als  Faktor 
erwähnen,  sundern  nach  dem  Tautologiegesetze  14^)  nur  eiwmal  als 
Faktor  anzusclireiben  sein,  q.  e.  d. 

Von  zweien  ist  der  Satz  äusserst  leicht  aiu  h  auf  beliebig  viele 
iuulti|)likativ  zu  verknüpfende  roijnome  auszudehnen. 


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422 


ZebnU)  Vorlesung. 


Das  Theorem  ist  bereits  yon  Boele  gegeben;  es  bewirkt  dass  mal- 
tiplikative  Prozesse  sich  im  identischen  Kalkül  oft  auBserordentlieb  viel  be- 
quemer, als  in  der  Arithmetik  gestalten. 

Zusatz  zu  Th.  45^). 

Das  Theorem  ist  noch  einer  naheliegenden  Erweiterung  fälii«^, 
nach  welcher  überhaupt  das  Ausmultiplizireii  von  t/lcichvttlyitiän/jcn 
Ao^irregaten  oft  sich  vereinfachen  wird  (auch  wenn  diese  Aj^gregate 
nkht  aus  „Entwickehuig'*  nach  gewissen  Argumenten  hervorgegangen). 
Zur  Herstellung  des  Produktes  zweier  solchen  Aggregate  genügt  die 
midttpUkative  Vorhin ftfnnfj  ihrer  (jhirJistdlujtjn  (JUakr,  sobald  bekannt 
ist,  dass  die  Glieder  des  einen  Aggregates  (lisjunkl  sind  mit  den  un- 
(jleichstclligen  Gliedern  des  andern  —  was  dauü  immer  auch  umgekehrt 
der  Fall  sein  «wird.    So  nuiss  z.B.  sein: 

(a + 6 + c)  (tt  +  6'+  c)  «  «a'+  bb'-k- cc\ 

sobald  0,  0,  ha'^  0,  6c'«»  0,  ca'—  0,  c6'—  0  ist  — 

46^)  Theorem. 

Auch  die  Negation  einer  nach  irgendwelchen  Symbolen  enkoickdtm 
Funktion  ward  nach  ebendiesen  entwickelt  erhalten,  indem  man  einfach 
eUe  Koeffieienten  des  Ausdracks  negiri,  die  Konstituenten  aber  nnver' 
ändert  l&sst;  es  ist: 

etc.  Beweis  1.  Bezeichnet  f  den  Inhalt  der  Klammer  links,  das  ist 
eben  die  zu  negirende  Funktion,  den  Neganden,  und  f*  die  rechte  Seite 
der  zn  .beweisenden  Gleichung,  sonach  die  angebliche  Negation  von 
80  ist  blos  zu  zeigen,  dass 

d.h.  die  angebliche  Negation  in  der  That  die  wirkliche  ist.  Auf  Grund 
der  Theoreme  ÖO),  wonach  ja: 

/•/,  =  U    und  r+f,-X 

'sein  muss,  wird  dies  aber  nach  dem  Hülfstheorem  29}  geleistet  seio, 
sobald  wir  darthun,  dass  auch: 

rr^o  und  r+r«-! 

isj.  Beides  folgt  nun  in  der  That  durch  Ausführung  dieser  Multipli- 
kation und  Addition  gemSsB  Th.  45^.),  indem  bei  f  und  f  die  Produkte 
der  gleichstell  igen  Koeffizienten  a,  a,;  ?»,  h^\  etc.  durchweg  verschwinden, 
ihre  Summen  gleich  1  werden  —  konform  deii  'I'heoremen  30),  wobti 
zuletzt  Zusatz  2  zu  Th.         in  AVirivaumkeit  tntt. 


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§  19.   Funktionen  und  deren  Eatwickelong.  423 

Der  ▼oratehende  Beweis  lief  mehr  auf  eine  Probe  der  Richtigkeit^ 
eine  Verifikation  des  Satsee  hinaus.  Der  folgende  Beweis  ist  mehr 
iihenristisdi*',  ISsst  auch  erkennen,  aof  welchem  Wege  der  Sats  leicht 
SU  entdecken  war. 

Beweis  2.    iNach  Th.  36)  ist  —  zunächst  bei  einem  Argumente: 

wie  mich  dem  Th.  §  18,  t)  oder  x),  oder  endlich  durch  völlige  Ent- 
wickelung  des  vorietzten  Ailsdrucke  nach  x  gemäss  Th.  44^)  unter 
BerQcksichtigung  des  Absorptionsgeeetzes  einzusehen. 

Nachdem  so  fOr  em  Argument  der  Sata  gewonnen  ist,  lässt  er 
sich  für  zwei  Argumente  hieraus  ableiten,  wie  folgt: 
{axp  +  bxy,  +  cx,  y  +  dx.yX  =  ( (ay  +       »  +  (cy  +  rf//,)  a:, ) ,  =« 

=  («y  +  ^yX    +  (cy  +  dy\  a:,=        -i-  b^yj  x  +       +  (/,y,j  x,« 

=  o^xy  +  6,  /;//,+  c^x^y  +  r/.r, ty,. 

In  derselben  Weise  fortschreitend  wird  der  Satz  für  immer  ein 
Argument  mehr  gewonnen  [und  allgemein  f&r  }i  +  1  Argumente  auf 
den  vorher  erledigten  Fall  von  n  Argumenten  zurückgefOhrtJ, 

Das  Th.  46^)  gestaltet  auch  das  Negiren  der  Funktionen  su  einer 
bequemen  Operation,  sobald  solche  nur  „entwidcelV*  worden. 

Von  manchen  in  meinem  Operationakrms^  gegebenen  Sitsen,  die  ich 
ifpttter  durch  Herrn  Peirce  antizipirt,  Torw^genommea  fond,  ist  mir 
wenigstens  dieses  Theorem  geblieben. 

Ezempel.    {nx  +  hx^-^'e)^^        —  //,-,)    =  a^e^x  +  h^c^x^. 

Exempel.  Nach  unterm  Sat/.e  kann  nun  die  Negation  von  ff6, -f<<,6 
auf  drei  Arten  hergeätelli  werden.  Der  Ausdruck  ist  nütuüch  entwickelt 
sowol  nach  a  für  sich,  als  auch  nach  h  allein,  als  auch  nach  a  und  b  sn- 
sanuaen.  Im  Hinblick  auf  emteres  bekommt  man  die  EoefSzienten  und  h 
tu  negiren,  wfthrend  man  die  Konstituenten  a  und  a,  stehen  zu  lassen  hat; 
es  entsteht:  (al>,4*       »  a&  +  afi^ 

In  der  zweiten  Hinsicht  nvuss  man  die  a  und  ri,  als  die  Koeffizienten  gelten 
latsson,  diese  negiren,  und      h  als  Konstitucntou  uuTerttndert  lassen,  wo- 
durch a^h^+ iih  somit  ilas  gleiche  Kesultat  entsteht. 
In  der  dritten  Hinsieht  werden  in: 

o6,  +      «  0«a6  +  1  -05,+  1  •  «,6  +  0•a^b^ 

die  Koeffizienten  0, 1|  1, 0  zu  negiren  sein,  wodurch  sich 

(al»,+  a,6),  —  1  •a&  +  0«ff6,-fO'a,5  +  l  ««,5, 

also  wiederum  das  alle  Resultat  ergibt 

Die  letzte  Betrachtung  zeigt,  dass  bei  der  Anwendung  des  Satees 
««t  l'dderqudle  verfänglich  ist:  man  darf  die  dua  fciUaiden  Glieds 


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•424  ZebuLü  Vorlesung. 

der  Emkndsdwng  nuM  Obersdienf  da  deren  Nullkoeffizienten  b^im  Ne- 
giren  sich  in  1  2Q  verwandeln  haben;  m.  a.  W.  man  muss  die  £nt> 
wiekelung  jeweils  als  eine  vaUständige  dargestellt  der  Anwendung  des 
Satzes  zugrunde  legen,  jeden  einzelnen  Konstituenten  bsrOcksiehtigen, 
'wenn  er  auch,  weil  in  0  maltiplizirt,  in  dem  Ausdruck  nicht  zu  er^ 
blicken  war. 

ThSten  wir  dies  nicht,  so  erhielten  wir  ja  aus  a&,+ « 1  •  ^(  +  1  •  a,& 
durch  Negiren  der  Koeffizienten  iUschlich  0*al»,+0*ir,5  »  0  als  die  ge> 
suchte  Negation. 

Ebenso  ist  die  Klippe  eu  ▼ermeiden,  dass  man  das  Th.  46^)  nidU 
etwa  anteende  bevor  die  (nach  den  Konstituenten)  gleichnamigen  Glieder 
vereinigt  sind. 

So  ist  z.  B.  (a^x-\-aXf-^b,x^,  nicht 

'=ax  +  a^x^+bx^^ax^\-{a^+b)x^^  sondern  «"aa?+(a+&,),ir,  =aaÄ+f/,//j,. 

Im  Hinblick  auf  die  letzten  Sätee:  Th.  45)  nebst  Vorbemerkung 
und  Th.  46),  kann  man  zusammenfassend  sagen,  dass  jede  an  oder 
mit  Funktionen  auszufahren  Torgeschriebene  Operation  des  identischen 
Kalküls  sich  als  die  gleiche  Yorschrift  überträgt  auf  die  Koeffisienim 
▼on  deren  Entwickelung.  — 

Noch  sei  bemerk^  dass  die  Negation  einer  Funktion  f  ix)  in  Ge- 
stalt Ton  [f{x)]^  unbequem  zu  schreiben  ist  Um  ein  handlicheres 
Zeichen  daf&r  zu  erhalten,  mag  man  definiren: 

f,  f^"»  ==  [fKt^ )  o    ^"i'l  ilhnlich    /,  y)'=^[f{x,y)\^ 
etc.    Daruacli  wird  uns  auch  bedeuteu: 

/;(0)-{/-C0)),  und  /;  (l)_ {/■(!)},.  _ 

Es  ist  zu  wünschen,  dass  mau  im  stände  sei  jeweils  rasch  die  ver- 
schiedenen Werte  zu  überselieu,  deren  eine  f^Cü^ebene  l'uiiktiuu  des 
identischen  J\alkuls  .  iliig'*  ist,  welche  sie  uäuilich  dadurch  zugeteilt 
erhalten  kanu^  da^^  man  den  Argumeuten  irgendwelche  Wertsjsteme 
beilegt. 

Um  die  an^^eregte  Fraixe  über  die  „Variabilität"  iri^end  einer 
Funktion  zu  beantworten,  seliicken  wir  eine  kurze  Betrachtung  voraus 
über  „Mittel'  oder  „Zwisclimwcrtc\ 

Def  iui  tion.  Ein  Gebiet  x  ist  ein  „mittlerer^  Wert  oder  „Zwisdunh 
werf*  („Mittel^  von  a  und  b  zu  nennen,  es  ist  zu  sagen: 

gwistken  a  und  b"^  wenn 

a=^x   und  zugleich  x^h 

ist.    Da  hieraus:  u         nach  i'riu/.ip  11  tolgt,  so  ist  ersichtlich,  Uuss 


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§  19.   FujiktioDeii  und  deren  Enivickeluiig. 


425  • 


von  einem  ^yMittclwertc'^  nur  fiesprochen  werden  kauu  bei  solclieu  zwei 
Gebieten,  zwisclicu  weklu'ii  tlio  l^^ziehimg  der  Eiiionlniinii,  Subsumtion 
bestellt,  voll  denen  das  eine  iia  andern  enthalten  ist.  i>ies  ist  stft.s 
Vorauszusetzen  —  oder  es  wird  mit  behauptet  —  sobald  wir  die 
Uedeusart  «gebrauchen. 

.Subdld  a  =^b  ist  gibt  es  iiumef  Mittelwerte  (mindestens  cinm 
soblien)  zwischen  a  und  6;  nach  l*riii/,ip  1  und  der  Voraussetzung  ist 
Lüiulich  X  =^  a  sowoi  als  x  =  h  al>darin  ein  solcher.  Es  kann  dar- 
rtacli  irgend  ein  Gebiet  a  als  ein  Mittelwert  zwischen  ihm  nnd  sieh 
selber  hingestellt  werden  —  wie  bei  der  durch  die  VoraUäseUuug 
a      6  mit  zugelassenen  Annahme  6  =  a  zu  sehen  ist 

Wir  gehen  nun  darauf  aus,  die  allgemeine  Form  der  swischen  a 
und  b  liegenden  Gebiete,  falls  es  solche  gibt^  za  finden. 

Hier  haben  wir  zunächst  das  kleine 

Halfstheorem  sa  Th.  47^}.  Wenn  x  gmschen  a  und  h  liegt ^  so 
ist  Siefs: 

und  umgMuft 

Beweis.  Ist  x  swischen  a  und  h  gelegen ,  so  gilt  nach  der  ge- 
gebenen  Definition  und  Th.  38^: 

ax^  ^  0  und  h^x  -=>  0. 

Ersetzen  wir  darnach  in  dem  Ausdrucke  ao;,  +  das  ax^  durch  0 
und  dieses  durch  h^x,  so  wird  derselbe: 

ax,+  bx  «  bfX  +  bx  —  (b,+6)»  «  l»«  —  a; 

wie  einerseits  zu  zeigen  gewesen. 

Ist  andrerseits  ax^^\•bx  =  x,  so  können  wir  diese  Gleichung  mit 
Xf  beiderseits  ntultipliziren  (,,durchniultipUsiren'')  und  erhalten:  aj;,"«0 
oder  as^x  —  cf.  Th.  38x).  Damach  yereinfacht  sich  aber  die  Glei- 
chung zu:  hx^x,  was  nach  Th.  20^)  äquivalent  ist:  x^  Damit 
ist  also  geseigt  dass  a^x  und  x^b^  somit  auch  a &  sein  muns, 
d.  h.  dass  in  der  Tbat  x  swischen  a  und  h  liegt. 

Man  kennte'  dem  Satse  auch  die  einfachere  Form  geben:  Liegt  x 
sswUtchm  a  tmd  h,  ao  ist 

a  +  da; » 

in  Anbetracht,  dass  wegen  a  =^  h  nach  Th.  20^.)  b  «  a  +  />  sein  muss. 
Setzt  man  in  der  Tbat  diesen  Wert  für  h  in  den  tVühn  rn  Ausdruck  ein,  80 
wird  derselbe:    aXf+bx  —  ax,+  {a+b)  «  —  a  +  6/  •»  a  +  6«. 

In  diei^er  vereinfachten  Gestalt  ist  aber  der  Satc  nicht  rein  umkehrbar, 
wie  in  der  früheren,  vielmehr  kann  sehr  wohl  a  +  hx  ^  x  sein,  ohne  dass 
doch  a     X  =^  6,  ohne  dass  tiberhaupt  a  =^  6  ist.  Bei  beliebigem  a  und  b 


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42G 


Zehnte  Vorlesung. 


ISsst  dies  die  Annahme  X'^a-hhw  erkennen,  in  welcher  anch  w  ein  ar- 
bitrSres  Gebiet  Torstellt;  denn  diese  Annahme  genügt  in  der  Tfaat,  wie 
leicht  zu  proben,  der  Forderung  a  +  hx  =  X  —  und  nebenbei  gesagt,  wie 
sich  mittelst  Th.  50,^ zeigen  lassen  würde,  auch  auf  die  allgemeinste  Weise. 

Der  vci  ohifhclitß  Satz  würde  nur  so  sich  umkehren  lassen:  Wenn 
a  +  Ix  =  j;  und  zugkkk  a  =^b  so  num  x  zwischen  a  und  b  liegen.  In 
der  That  kommt  dann  die  Voraussetzung,  wie  so  eben  gezeigt^  aof  die  des 
Mheren  (umgekehrten)  SatcoB:  aXf-\-bx     x  hinaus. 

Nanmehr  beantwortet  die  aufgeworfene  Fragu  der  Sats: 

47 J  Theorem.  iSSfi^  w  ein  arbUrSm  GeM  vor,  so  ist: 

X  =  au\  +  hw 

die  allgemeine  7''>;w  eXier  zwisehm  a  imd  6  Ikigendm  Gebiete  —  sobald 
überhaupt  zwischen  a  und  h  Gebiete  liegen  kSnuoii,  d.  b.  a^b  i&t 

Beweis.  Ist  irgend  ein  x  zwischen  a  und  b  gelegen,  so  sind 
immer  Werte  für  w  angebbar  derart,  dass  unsre  Formel  gerade  dieses 
X  Torstellt  Ein  solcher  Wert  von  w  ist  sicher  x  selber,  indem  filr 
w^xin  der  That  ax^-^-hx^^x  nach  dem  Torigen Hülfssatse  sein  wird. 

Umgekehrt  mnss  bei  beliebig  angenommenem  w  der  Ausdruck 
au^i+^w  immer  awischen  a  und  h  liegen ,  sobald  nur  a^h  ist 

Da  nämlich  dann  h^a-^h  ist,  so  haben  wir  ähnlich  wie  oben: 
ati\  ->chiv  =  aii\  +{a  +  b)  w  =  a  +  hw 
und  folgt  erstens  a=^a-\-hw  nach  Th.  0/),  und  zwcitrns,  wegen 
hw  =^b  —  cf.  Tli.  1'.^)  —  auch  a  +  bw  <  (/  -f  h,  tl.  Ii.  n  +  htc  ^  b.  Es 
ist  also  a  +  bw  oder  aw^-k-bw  oder  x  daun  zwischen  a  und  b  gelegen, 
q.  e.  d. 

Im  Einklang  mit  der  Anschauung  wird  ako  der  Ausdruck: 

x^a  +  toh 

uns  jeden  zwiscben  a  und  h  liegenden  Wert  vorstellen  und  nur  solche 
Werte,  sobald  nämlich  von  solchen  Oberhaupt  su  sprechen,  nämlich 
<  a  ^  &  oder  a  +  5  »  &  ist^ 

Der  Mindestbärag  oder  „minimale''  Wert  des  x  ist  der  flQr  =  0 
sich  ergebende  Wert  a  selber,  sein  ffodtslbetrag  oder  „maximalei^ 
Wert  der  für  w^l  sich  ergebende  Wert  h*  Und  alle  daswiscbeu 
liegenden  Werte  überhaupt  erhalt  man,  indem  man  in  einer  der  beiden 
obigen  Gleichungen  w  von  0  bis  1  variiren  lässt  —  das  heisst,  im 
identischen  Kalkül:  indem  man  w  alle  denkbaren  Gebiete  unsrer  Mannig- 
faltigkeit vom  gänzlich  leeren  bis  zur  vollen  'Intel lläclie  als  Bedeutung 
nach  einander  annehiucii,  oder  wie  man  sagt  „dtireblaufen"  lässt. 

livv  Vurgang  dieses  Durchlautcus  ist  hier  nicht  so  einlach,  wie  in 


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§  Id.   Funktionen  und  deieo  Entwickelang.  427 

der  Arithmetik  etwa  das  Durchlaufen  der  reelleu  Zahleu  vou  0  bis  1,  dio 
daselbst  ja  eine  bestimmte  Beihenfolge  haben. 

Zunächst  anterseheiden  sich  nur  solche  Werte  toh 

—  cf. 'Th.  33^)  Zusatz  —  hci  ilonen  der  Torrn  tca^b  verschiedeu  ausrüllt. 
Es  kommt  nur  auf  die  ausserhalb  tf  zugleich  aber  inueihull»  h  liej^cndou 
GebieUteile  vou  w  an,  wogegen  es  gleiühgültig  ist,  wie  muu  uiu  mueihalb 
a  oder  ansserhalh  b  fallenden  Teile  von  w  festlegt,  welche  Pankte  von  a 
sowie  Ton  5,  man  su  w  rechnet  oder  nicht  rechnet. 

Wenn  i»  den  Wert  0  yerlBsst)  so  erhalten  wir  demnach  die  nächsten 
Bedeutungen  von  wenn  wir  w  nur  einen  Punkt  des  Gebietes  «,6  be- 
deuten lac-^^f'n,  ;\^pr  irfJm,  einzeln  cr'^nommen,  snccossive.  Hernach  werden 
wir  dem  ic  die  iJetleutung  jede^  denkbaren  l'imktepaares,  Punktetripels, 
Quadrupels  etc.  von  innerhalb  des  Gebietes  unterzulegen  haben.  Es 
folgen  Punktmengen  ans  unendlich  vielen  diskreten  Punkten  Ton  a,&,  die 
sidt  in  der  Nahe  einer  oder  mehrerer  Stellen  unendlich  dicht  httofen,  dann 
solche,  die  längs  eines  Linienstücks  fiberall  dicht  sind,  solche  Punktmengen, 
die  ein  Linienstttck  stetig  aasffillen,  dieses  wieder  kombinirt  mit  allen 
früheren  Punkten,  Punktmencren,  etc.  dasselbe  verlHngort  oder  dazu  ein 
zweites  genommen,  und  so  weiter,  dann  tVdgen  Plilchengebiete  aus  a^h 
heran. -^gegnüfen,  dann  auch  mit  früherem  kombinirt,  etc.  Zuletzt  die  ganze 
Flftchö  a^b  ohne  irgend  ein  Punktetripel,  ohne  ein  gewisses  Fimktepaar, 
ohne  einen  einseinen  Punkt  dieser  Flftche  auf  jede  denkhare  Weise  ge- 
bildct,  zu  allerletst  diese  Flüche  a^b  tqII  genommen  —  immerfort  mit  be> 
^  liebiger  Besetzung  der  ausserhalb  a^b  liegenden  (dem  Gebiete  a  +  5,  ange- 
hörigen)  Punkte. 

Insbesondre  fliesst  aus  Th.  47)  jetzt  auch  das  Th.  43^),  indem, 
wenn  a^h  ut,  auch  0  ^h,  mithin  a  ein  Zwiselienwert  zwischen 
0  und  b  zu  nennen  sein  wird.  Derselbe  kann  hienach  durch  0  +  wb, 
also  wb  dargestellt  werden^  and  umgekehrt  stellt  at^wb  stets  einen 
solchen  vor. 

Nach  diesen  Yorbetraehtangen  wird  der  Satz  verständlich  sein: 
484)  Theorem. 

Ekie  FwikHm'  im  ideiUisi^  Kalkül  Uegi  immer  $wia(^  dem 
Froekätk  und  der  Summe  der  Korffisienien  ihrer  Entwididungf  uiid  swar 
ist  sie  fähig,  jeden  zwischen  diesen  beiden  Grenzen  liegenden  Wert 
(mit  Einschiusa  ebendieser  Grenzen)  auch  wirklich  anzunehmen  dadurch, 
dass  man  fOr  ihtre  Argumente  geeignete  Werte  wählt 

Beweis  —  zuuüehst  li.r  ein  Arguiuent.  Sei 

f=ax-{-  hx^j 

80  berechnet  sich: 

f'ab^ab  und  (a+i»)-/— »/V 


DinitiTPr*  hv  Go  ■  -  v  1 


428  Zchiitu  VüilcfcUug. 

daher  Ist  nacli  Th.  20^: 

al^f  und   f^a  +  h, 
somit  f  ia  der  Thai  zwiiM:hen  ah  und  a  +  b  gelegen. 

Ebenso  leicht  wäre  dios  auch  mittelst     +  /  = /"  und  =  a  +  J» 

zu  zoigeu  gewesen.  Desyliiclipn  j^anz  direkt:  Es  i^t  nucli  6^)  ux^u, 
br^^h^  woraus  durch  überischiebondes  Addiren  folf^t:  /  =^  a  +  6.  Und 
ferner  iüt:       f  =  [n  +  ah)  x  +  (iih  +  b)  x^  —  xa  +  ai»  +  6^",, 

Bonacb  kraft  G^):  a6  /, 

Daher  uiuss  nach  Th.  47)  nun  /  »ich  darstellen  lassen  in  der  i'  orm: 

f  =  ahw^  +  (a  +  i>)  «?. 
Damit  aber  diese  Gleichung,  d.  h. 

ax  +  da?, »6  +  tp  (a  +  6), 

zu  einer  richtigen  Identitilt  wortle,  kann  man  zu  jetlt.'ni  gegebeiK'ii  x 
ein  ff  angeben,  und  zu  jedem  gegebeneu  w  ein  Xf  das  sie  erfüllt,  i'ür 
crstcres  genügt  die  Annahme: 

für  letzteres  die  Annahme: 

wie  man  leicht  nachrechnet 

In  der  That  ist  also  f  zwiseben  a-h  und  ö  +  i*  auch  jeä^  Zwischen-  • 
wertes  fiihig,  uikI  iiwar  wird  der  Ausdruck  ax-\-hx^  einen  (/cgebetien 
Wert  ^  für  den  nur 

ist,  annehmen,  indem  man 

X  «=  a^hf,  +  ah,f\    somit  (a  +  ?»,)  /*,  +  {<r^  +  h)  f 

nimmt,  da  nach  dem  Hülf^theorem  zu  47^)  dann  sein  wird: 

Beweis  fUr  gwei  Argumente.  Sei 

so  sieht  man,  ilasJs 

abcä' f  =  abcd    und    (w  4- 6  +  c  +     +  /  =  <*  +  ^  +  + 
ist.   iianh  Th.  20j  haben  wir  also  in  der  That: 

ahcd^f  nnd  f^a-hh-hc-hä, 

wie  dicä  auch  noch  aui  verschiedene  andere  Arten  wieder  nachweis- 
bar wäre. 


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%  19.  Funktionen  nnd  deren  Entwiekelnng.  429 

Der  erste  Teil  des  Satzes  (soweit  er  kursiv  gedruckt)  ist  hienach 
bewiesen,  und  ist  klar,  wie  man  den  analogen  Beweis  auch  bei  be- 
üebig  vielen  Argumenten  leisten  kann. 

Nennt  man  nun: 

ahed-i-w  (a  +  ft  +  c  +  d)«— 9»« ahedw^  +  (a  +  6  +  c  +  <l)w, 

80  gibt  es  zu  jedem  Wertepaar  y  ein  Gebiet  welches  die 
Gleichung 

erfüllt,  zu  einer  identisch  richtigen  macht.    Ein  solches  ist  = 
selber,  wie  UussotHt  leicht  nachzurccliueii. 

Unii^ekelirt  gibt  es  aber  auch  zu  jedem  beliebig  angeiioiiimeneu 
oder  gegebenen  Werte  von  w  (oder  /)  ein  Wertepaar  «»y,  welchea 
diese  Gleichung  erfüllt    Ein  solches  ist  z.  B. : 

s    (a + fr)     w + (a, + 6,)         y  »  (a 4*  e)  d,«^  +  {afi  +  c,)  dtp, , 

wie  die  Probe  zeigt. 

Um  die  Behauptung  mit  möglichst  wenig  Mflhe  zu  verifiziren  rechne 
man  nicht  etwa  erst  die  Produkte  xy^  xy^y  x^y^  x^y^  fUr  sich  aus,  sondern 
sogleich: 

üxy  ^ax-ay^     hxy^^^lx'hy^,     cx^y  =  cxycy,     dx^y^^  dx^- dy^-^ 
man  findet  auf  diese  Weise  unmittelbar: 

und  da  nach  Th.  33+)  Zusatz  —  vergl.  auch  §  18,  y)  —  sein  mnss: 

bo  stimmt  die  Prol>p. 

Die  Art  zu  schildern,  wie  ieli  vorstehende  Werte  von  a*,  y  systeraalisch 
fimd,  würde  hier  noch  zu  weit  iaUieu  und  sei  darüber  blos  im  Allgemeinen 
fliuf  den  §  24  verwiesen. 

Da  nun  nach  Th.  47+)  9p  jeden  denkbaren  Wert  zwischen  abcd 
Qnda  +  &  +  e  +  df  vorstellt,  so  ist  erkannt,  dass  auch  f  jeden  solchen 
Wert  wirklich  annehmen  kann. 

Das  Entsprechende  analog  bei  drei  und  mehr  Variablen  darzuthun, 
ist  nicht  gauz  einfach  (Problem I)  und  wollen  wir  auf  den  indcpctidentetl 
Beweis  des  nidU  kursiv  gedruckten  Teils  des  Th.  48^)  für  diesen  Fall 
üicht  eingehen.  — 

Man  kann  jedoch  diesen  Beweis  auch  r^eumrend  führen,  nämlich, 
Dtthdem  er  fOr  irgend  eine  bestimmte  Ansahl  von  Argumenten  bereits 
geleistet  ist,  darthun,  iasa*  er  auch  für  die  nächst  höhere  Anzahl 


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430 


Zehnte  Vorleaniig. 


von  Argumenten  (für  rhi  Argument  vidir)  dann  gelten  muss  ('„Scbluss 
von  »  auf  « -i-  T'  oder  „Verfalireii  der  vollständigen  Induktion"). 

Hinreichend  wird  dies  erhellen,  wemi  wir  e&  für  zwei  und  drei 
Argumente  durchführeu. 

Ist  f  der  vorige  Ausdruck,  so  kanu  man,  denselben  nach  y  an- 
ordnend,  achreiben: 

f^(ax  +  ex,)  y  +  {bx-^-dx^  jr,. 
Nach  dem  fOr  an  Argument  (y)  bereits  bewiesenen  Satze  mnss  also 

ahx  +  edx^  ^  f  =^(a +  h)  x  +  {c  +  d) 

sein,  und  kann  /"jeden  zwiselien  diesen  .,GirnzcH^'  oder  f,ci}ischlicssenden 
Werten"  gelegenen  Wert  auch  wirklich  auuehraen.  Nach  dem  für  ein 
Argument  (t)  bewieseuen  Satze  ist  aber  ab  cd  der  Minimahvert  des 
b^ubjektes  vun  /,  links,  und  (a  -^h)  +  (c  +  d)  der  Maximaiwert  seines 
Prildikates  rechts  \  bei  variablem  .r).  Folglich  kann  f  jeden  zwischen 
abcd  und  a  +  6  +  c  +    gelegnen  Wert  wirklich  annehmen,  q.  e.  d. 

Sei  $  «  F(Xj  y,  e)  irgend  eine  Funktion  TOn  drei  Argumenten  und 
m5gen  a,  h,  e,  d,  f,  g^h  die  Koeffisienten  ihrer  geordneten  Ent- 
wickelang beissen,  so  ist  nach  e  entwickelt: 

8  =  F  [X,  fj,l)0'\-  F  [^x,  y,  0)  ^„ 

folglieh 

F{x,  y,  iyF(x,  y,0)^8^  F(x,  y,  1)  +  F(x,  y,  0), 

d.  h. 

ahxy + cdxy,*  ef^%y*9^^%fi'^  s^{a*h)  xy^{c*d)zy,^{c*f)x^y-¥{ß-^h)x,% 
mithin  s  jedes  Zwischenwertes  zwischen  dem  Minimal  wert  ah*ed'ef*gh 
der  linken  und  dem  Maximalwert  (a-^-l)  i  ic  +  d)  +  (€+f )  +  {(/  + h)  der 
recbtenSeite,  also  zwischen  ahedefgh  und  a  +  &+c+(^+ e+f  -\-g  +  h,  l'ähig. 

Man  hatte  auch  zuerst  nach  x^y  anordnen  und  die  fflr  ein  und 
etvei  Argumente  schon  •  bewieseuen  Satze  in  der  umgekehrten  Folge 
auwenden  können.  — 

Um  hiemach  die  Bedeutungen,  welche  einem  Ausdruck  für  irgend- 
welche Werte  einer  bestimmten  Gruppe  von  Buchstaben  zukommen 
können,  sofort  zu  überschauen,  braucht  man  nur  den  Ausdruck  nach 
ebendiesen  Buchstaben  au  entwickeln  und  alsdann  das  Th.  48)  anzu- 
wenden. 

Zusatz  au  Th,  48^.). 

Jede  Menge  von  arbiträren  Gebiet^symbolfn  fi'V  h?  rhtcr  Funldio» 
im  identischen  Kalkül  vorkommen,  lässt  sich  skU  durch  ein  eintiges 
arbiträres  Gebiet  erseteen. 


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§  19.  Fnnktioaeii  and  deren  Entwickelong.  431 

Behufe  Beweises  ist  nur  zd  seigen,  dass  man  lueei  arbiträre 
Gebiete  it,v  jeweils  durch  eines  w  vertreten  lassen  kann  (ohne  dass 
dies  von  Einflnss  auf  den  Yariabilitätshereich  des  Auadrucks  wSre). 
Auf  diese  Weise  wird  man  dann  die  Ansahl  der  vorkommenden  arbi- 
trären Symbole  solange  fortgesetzt  um  eins  vermindern  können,  bis 
sie  gleich  eins  geworden  ist. 

Denkt  man  sich  aber  den  die  arbitriuren  Gebiete  u,  v  enthaltenden 
Ansdrucfc  f  nach  diesen  entwickelt,  so  wird  er  nach  Th.  44^)  die 
(jjhi-'')\mem  homogene  Form  haben: 

auv  +  htiv^  +  cu^v  +  du^t\j 
und  alle  Werte,  tleren  dieser  Ausdruck  fällig  ist,  sowie  nur  solche, 
köuncn  uach  Th.  48^}  auch  ?on  dem  folgenden  Ausdruck  angenommen 
werden: 

f  «=  abcd  -i- w  {a  +  b  +  c  +  d) 
und  umgekehrt,  sodass  dieser  letztere  für  eine  offen  gelassene  Be- 
deutung des  Gebietes  w  gerade  so  allgemein  ist»  wie  der  vorhergehende 
für  unbestimmte  u,  v. 

Die  Gesamtheit  der  Bedeutungen  des  erstem  fallt  zusammen  mit 
der  Gesamtheit  der  Bedeutungen  des  letzteren  Ausdrucks,  weshalb  es 
gestattet  war,  densdben  Buchstaben  f  zur  Bezeichnung  beider  zu  ver^ 
wenden. 

Kxempel  1.  Auf  diese  Weise,  wenn  inimorfort  UjV,w  ganz 
willkürliche  Gebiete  vorstellen,  vureiulucht  sich  der  folgende  Ausdruck 
liukerhand  zu  demjenigen  rechterhand  in  der  (ileichung: 

nduv^  +  hcu^v  +  v  [ad  (h    c)  -\-  hc  {a  +  d)\  =  tv  {ad  +  bc). 
Es  stellt  also  die  linke  Seite  unter  allen  Umstünden,  was  immer  auch 
M  und  V  bedeuten  mögen,  einen  Teil  des  Gebietes  ad-^he  vor,  und 
zwar  jeden  gewflnschten. 

Ezempel  2.  Es  ist  ganz  allgemein: 

\a{u-\-h,)+h  (?/,  +  «,)  j  (v + c,  (/,)  +  { c (?<  -f- (7,) + d  (m, + c,) )  (r, + ff ,     =  rt  +  6 + c + (/. 

Die  linke  Seite  ist  hier  trotz  der  Unbestimmtheit  von  u,  v  ein  eindeu- 
tiger Ausdruck,  sie  ist  konstant  bezüglich  t;,  wie  man  bereits  durch 
die,  der  Anwendung  unsres  Zusatzes  ohnehin  voranzuschickende,  Ent" 
unckelung  der  linken  Seite  nach  u,v  orkennt. 

Hier,  meinen  wir  einmal,  ist  der  gemeine  Vorstand  ohne  die  Technik 

dfs  Kalküls  niclit  ;m>rcichend.  Die. intuitiv  ansclianlicho  Erkenntnis«  dfh-ffe 
Wul  bei  vorliegt'ndcr  Auf^^alio  die  luühnun'/  nicht  einliulcn.  Man  versuche 
doch  einmal,  auch  nur  für  eiueu  konkrcien  Fall  da:*,  was  die  Gleiciiung 
behauptet  zu  begieifen,  indem  man  etira 


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432 


Zehnte  Vorlesnng. 


a  =  Kauimann,     =  Russe,  c  «  Europäer,  d  »  Grundbesitzer,  u  =  ge- 
bildet, V  =  patriotisch 
gelten  Iftsst  und  beginnt,  die  Bedeutung  der  linken  Seite  unsrer  Gleichung 
gemJtes  der  in  §  8  und  16  dargelegten  Begeln  in  Wortem  so  besehreiben! 

Man  wende  nicht  ein,  dass  so  komplizirte  Ausdrücke  nicht  voikommen, 
blos  künstlich  eisonneu  seien.  Solange  die  Mitlei  zu  ihrer  Handhabung 
nnd  praktiscb  Bcfaon  tn  ihrer  Einkleidung  fehlen,  solange  Metboden  und 
Wege  dabin  nocb  nicht  einmal  eröffnet  sind,  müssen  ja  Aufgaben,,  die 
solche  Ausdrücke  involviren  könnten,  natürlich  unzugänglich  bleibe.  So- 
fern aber  die  Philosophie  die  Ausbildung  solch'  exakter  Methoden  Ter- 
schmflhte,  mUsste  sie  wol  ewig  im  Phrasentum  stecken  bleiben,  wobei  es 
allerdings  nnbenomroen  bliebe,  fort  und  fort  in  immer  neuen  Tonarten  zu 
variireu,  wie  weit  man  es  darin  gebracht.  Gleichwie  vielmehr  die  reine  Mathe- 
matik auf  demZahleugebiete  noch  immer  oieht  auf  die  HShe  gelangt  ist,  solehe 
Komplifcatioiien  zn  bewältigen,  wie  sie  die  Anwendungen  aof  selbst  ver- 
hSltnusmllssig  noch  ganz  einfache  Aufgaben  der  Physik  und  Technik  ihr 
zumuten,  so  werden  zweifelsohne  auch  bei  den  zu  erhoffenden  Anwendungen 
der  geläuterten  Methoden  unsrer  Logik  auf  die  Probleme  der  „wahren 
Philosophie"  (vergl.  De«cartes  —  S.  94)  die  Komplikationen  jeder  Art 
nicht  ausbleiben. 

Exempel  3.   Ea  erweist  sich  auch  nach  anserm  Zusätze : 
ahuv^  +  (o,  +  d,)  II,  V  +  u  (ad,  +  a,6)  «=  w 

als  ToUkommen  unbestimmt  oder  willkOrlich,  unbeschrankt  jedes  Gebiet 
zu  bedeuten  t&hag,  man  k&nnte  sagen:  geradesu  als  yfliBdmti^^  — 

Die  Aufgabe,  eine  Fonktion  nach  ihren  Buehstabensymbolen  sa 
eniwidc^^  deckt  sich  nicht  mit  der  Anfordemng,  dieselbe  txuf  ihren 
formeU  emfad^sim  Ausdruck  £u  bringen  —  wohl  aber  kann  das  ein- 
Rch  lügige  Tbeorem  44)  behufs  Lösung  der  letzteren  oft  mit  Vorteil 
zugezogen  werden. 

Während  aber  jene  Aufgabe  als  eine  vollkommen  bestimmte  sich 
erwies,  so  ist  solches  mit  dieser  nicht  der  Fall:  es  bleibt  für  eine 
Fiinktiüti  /uweileu  die  Wahl  zwiscdioii  intdirerea  j^leich  einfachen  „eiu- 
i;i  Ii  teil"  Ausdrücken,  Es  genilijjt  dies  durch  Beispiele  zu  belegen:  so 
Niiid  —  vergl.  meinen  Oiierationskreis',  p.  27,  Z.  20  v.  o.  —  die  beiden 
äquivalenten  Ausdrücke: 

a  (b  +  cj  4-  a^h^  ^  ab  +  (a,  -f  c,)  h^ 

gleich  eiu£Mihen  Baues  und  lassen  doch  sich  nicht  weiter  reduziren; 
Tcrgleiche  auch  ein  schon  in  §  1*^  unter  /3,)  behandeltes-  Exempel  (wo 
sich  die  Methode  angegeben  findet,  die  Nichtunterdrückbarkeit  eines 
Operationsgliedes,  wo  sie  vorliegt,  nachzuweisen). 

Auf  diesem  Umstände  beruht  ea  wol,  dass  zur  Losung  der  Auf- 


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§  19.   Fuaktiontin  und  U^reu  Entwickelung.  4^ 

gäbe,  einen  Anadnick  auf  seine  einfacfaatmSgKche  Form  eu  bringen, 
eine  unfehlbar  anm  Ziel  f&hrende  einbeiiliche  Vorschrift  nicht  bekannt 
ist,  nnd  eine  solche  sich  auch  schwerlich  aufstellen  liesse:  vielmehr 
wird  dabei  immer  Einiges  der  Willkür  und  dem  analytischen  Geschick 
des  Rechners  anheimgestellt  bleiben. 

Miss  Ladd  and  Mr.  MeOoll  empfehlen  sn  dem  genannten  Zwedt 
das  dojppeÜe  Negirm  des  —  wie  wir  unbeschadet  der  Allgemeinheit  an- 
nehmen können,  schon  als  ein  Aggregat  von  Monomen  —  gegebenen  Ans* 
dracks,  wobei  die  erste  Negation  desselben  durch  Ausnuilüpliziren ,  unter 
Fortlassnng  vergeh v.'ndendcr  oder  eingehender  Terme,  erst  wieder  in  Ag- 
gregauten  zu  entvsickelu  i.st,  bevor  man  abermals  negirt.  Vergl.  auch  §  27. 

Kxempel  zu  dieser  Methode  von  McColl.  Gegeben: 

«      o  +  6c  +  a,&,(f  +  a,c,d,    also    or,  =         +  r,)  (a  4-  ^  +  t/,)  (a  +  r r?,), 

wo  zunächst  die  beiden  Termc  a  als  unvertrüglich  mit  dem  Faktor  fort* 
zulassen  sind.    Wir  erhalten  sonach 

dr,  M    ((|+  C|)  {jic  +     B  a,  ip^  +  c,)  d,,    und  folglich:    x  »  a  +  fte  +  <2 

•Is  den  anf  seine  einfaidiste  7orm  gebrachten  Ausdruck. 
Anderes  Exempel  McColl's.   Gegeben:  ^ 

also 

ü,««  (a,  +  &  +  c)  (ä,+      d,)  (a,  +      d)  (a  +  6  +  d)  (a  +  fc  +  d,)  — 

—  {a,+  (Ä  +  c)  (*,+  d,)  d))  (a  +  6)  —  («,+  (a+ft)  —  ßfi-^-ah.c, 
darnach 

«  «  (a  +  &,)  (fl,  +  5  +  C,)       06  +  0,6,  n  ^,  r,. 

Von  diebeu  vier  Gliedern  darf  nun  aber  noch  das  zweite  oder  aber  vierte 
anterdrttokt  werden,  sodass 

X  =  ah  +  f/f ,  +  cr,6,  =  at  +  o,6,  +  6/, 

sich  deckt  luit  dem  oben  beispielsweise  angeführten  zweierlei  einfachste 
Daretel hingen  zulassenden  Ausdrucke  —  vergl.  §  18, 

Als  ein  heguemcrcs  Verfahren  scheint  mir  indesa  die  Anwendung  von 
TL  80^)  und  384)  Zusatz  den  Vorzug  zu  Tsrdtenen,  wonach  man  sogleich 
idüiessen  kann: 

ar «  a  I  /j,c,  +  6  (d  +  d,) )  +  fl,6,  (J,  +  d)  =  a  (6,c,  +  ft)  +  0,6,, 

d.  h.  einerseits 

»  0  (c,  +  d)  +  o,fr,»    andrerseits        ad  +  (ac,  +  a,)  6, ai»  4-  (c,  +  fl|)  6,, 

Beim  vorigen  Exempel  wSre  zunächst  der  Faktor  a,  zu  unterdrücken 
gewesen,  hernach  in     ==  a  +  ix?  +  (6, d  der  Faktor  als  die 

Negation  von  hc  vorstellend. 


ScbMd»«,  Algebn  der  IiOgUE.  88 


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Eilfte  Vorlesung. 


§  20.    Spezielle  und  allgemoino,  Byntheti^ehe  und  aualjrtisohe  Pro- 
poBitioueu:  Belatiouen  und  j^oriuelii. 

Schon  Yon  alten  her  werclen  in  der  Logik  Urteile  auch  als  „2Vo- 
pasUimtm'*  bezeichseti  fiamentUdi,  wenn  sie  ale  Glieder  eines  Theo- 
rems oder  einer  BeweislÜbrong,  Argumentation,  auftreten.  Wir  wer- 
den uns  dieses  Namens  auch  hier,  jedoch  in  einem  ganz  bestimmten 
noch  nSber  zu  erläuternden  Sinne,  bedienen. 

Die  kategorischen  Urteile,  mit  deren  Ausdruck  in  der  Zeiehen- 
Bpracbe  des  Kalküls  wir  uns  bisher  beschäftigten,  erwiesen  sich  —  in 
§2  —  iii  der  Heg#  als  iSubsumtiojU'iij  zum  Teil  auch  als  Gleichungen, 
und  so  wird  uns  der  Nunic  ,,Propositwn^'  :H}iä€hst  herhalteu  als  ein 
geraeinsamer  Name  für  diese  beiden  Arten  von  Behauptungen,  als  ein 
kürzeres  Wort  für  ,fSuhsumiioH  udtr  auch  (ihKioou/*  —  einerlei  ob 
solche  in  der  Wortsprache  oder  ob  aie  in  der  Zeichensprache  des 
Kalkiils  ausgedrückt  errtclieiui,  immerbiu  vorzugsweise  im  Hinblick  auf 
letztere  DarstelUingsruüglichkeit. 

Späterhin  \ver(]en  wir  aber  den  IJcgriü"  der  „l'rojiosition"  noch 
weiter  lat>j>en.  Zu  den  erwähnten  beiden  Arten  von  Aussagen  werden 
nämlich  noch  andere  kommen,  welche  wie  Unterordnungen ,  l'bcrord- 
nungen,  Ungleichungen  und  anderes  mehr,  sich  ebenfalls  in  unserer 
Zeichensprache  formelartig  darstellen. 

Alle  Beziehungen,  welche  denkbar  sind  zwischen  Gebieten  unsrer 
Mannigfaltigkeit,  desgleichen  also  auch  zwischen  Klassen  überhau])t 
sowif^  Bpgriirsunifangen  insbesondere,  soweit  es  dabei  ankommt  auf 
Vorhaudenseiu  oder  Nichtvorhandensein  gcmeiusamer  Elemente  oder 
Individuen  der  unter  sich  verglichenen  Gebiete  oder  Klassen  —  sagen 
wir  kurz:  alle  „Umfangsbedehungen'',  sollen,  in  Worten  oder  Zeichen 
statuirt,  später  schlechtweg  Ftopositionen  genannt  werden.  Ihre  mög- 
lichen Arten  zählen  wir  in  §  34 . .  39  TolUtibidig  auf. 

Als  Vorbereitung  f&r  die  wichtigeft  Untersuchungen  zu  denen  wir 
im  nächsten  Paragraphen  schreiten,  mOssen  wir  nun  die  Aufmerksam- 
keit des  Lesers  richten  auf  einige  Unterscheidungen,  welche  sich  bei 


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%  20.   Spezielle  und  allgemeine  rropositioncn.. 


435 


Betraclitiuig  der  Propositionen  aufdnLngen.  Wir  mfiseen  uns  — 
unter  gewissen  Gesichtspunkten  —  mit  einer  ümteihtng  der  JV^post- 
turnen  beschäftigen.  Was  ;>rir  aber  in  diesem  Betreff  demnächst  zu 
ssgen  haben  im  Hinblick  auf  die  Subsumtionen  und  Gleichungen  (denen 
eine  Einführung  in  die  Theorie  bis  jetst  allein  zuteil  geworden),  wird 
es  Spaterhin  ein  Leichtes  sein  auch  auf  die  Qbrigen  Arten  Ton  Aus- 
sagen zu  übertragen,  die  unter  den  erweiterten  Begriff  der  „Proposi- 
tion"  noch  lallen  werden. 

Zunächst  zerfallen  die  Propositionen  in  speitidU  uyd  äUgmeme* 

,,SpejiieU"  nennen  wir  eine  Proposition^  wenn  sie  als  Subjekt  und 
Prädikat;  als  linke  und  rechte  Seite  der  Gleichung,  überhaupt  als  Be- 
ziehungsgliedcr"  (der  „Uinfangsbezieliung")  sowie  als  üperationsglipder 
der  diese  etwa  darstellenden  Funktionen  lediglich  voUkonimeu  bustiniiule 
oder  eiudeutigü  üebietsyinbuie,  bestimmte  wohldefinirte  Klassen  enthält 
—  „eindeutig*'  in  der  „abgeleiteten'*  Mannigfaltigkeit  oder  Mn.  der 
Gebiete,  der  Klassen  —  kurz:  wenn  sie  nur  von  speziellen  Gebieten 
oder  Klassen  handelt.  * 

„ Allgemein^' j  genauer:  „von  unbestimmtem  oder  allgemeinem  Cha- 
rakter" nennen  wir  eine  Präposition,  weuu  obiges  uicht  der  Fall  ist, 
wenn  also  auch  Gebietsymbole  in  ihr  vorkommen  —  sei  es  ah  Be- 
ziehungsglieder, sei  es  als  0])eration8glieder  der  drei  identischen  Spe- 
zies im  Ausdrucke  derselben  —  die  von  noch  nicht  völlig  bestimmter, 
vielmehr  von  teilweise  oder  völlig  unbestimmter^  eventuell  allgemeiner 
Bedeutung  in  der  Mannigfaltigkeit  der  Gebiete  resp.  Klassen  sind. 

Beispielsweise  sind  0  =  0,  0^1,  0  •  1  =  0,  etc.  desgleichen  a=^b, 
fall«  n  imd  b  etwa  die  in  Fig.  1  dart,'estellten  Kieistlächeu  bedeuten,  lauter 
spezielle  Propositioncu;  ebenso  würden  d<tiiit  0  =(=  (/,  f'  =^1,  ah  =^  a  solche 
exeuiplili/.ireii,  nicht  minder  wie  a  =  ahf  und  auUeie. 

Auch  die  Urteile:  „Die  Neger  sind  von  sohwaner  Hautfarbe'*  sowie 
„Alle  schwanen  Krftben  sind  sdiwarz**,  obwol  in  der  logiBchen  TermmO' 
logie  als  generelle,  ja  universale  (su  deutscb  „allgmeine")  UrleUe  zn  be- 
zeichnen, sind  Joch  in  nnserm  Sinne  nnr  als  spezielle  Propositionen  hinzu- 
sieUeo,  und  dürfen  sie  uicht  etwa  „allgemeine"  Propositionen  genannt  worden. 

Man  nimmt  hier  wieder  einnjal  die  Gefahren  eines  Doppelsinnes  als 
nabeliegende  wahr,  und  fühlt  die  Unabwei^ilichkeit  einer  genaueren  Ver- 
stlndigung.  loh  mnss  mich  den  Spraohreinigern  sum  Trotze  hier  gegen 
die  Verdentschnng  des  Wortes  „univenal*'  erUSren,  weil  ich  das  Wort 
«sUgemein**  hierselbst  in  wesentlich  abweichendem  Sinne  —  dem  lateiui- 
«cheo  „generalis"  näher  koinniend  —  zu  gebrauchen  mich  genötigt  sehe. 

Das  Subjekt  Neger''  war,  als  ein  Gattungsname,  ein  vieldeutiger  Term 
in  der  ursprünglicheu,  d.  i.  der  Mannigfaltigkoi*  «l^r  imlividuellen  (der  niittplst 
Kigeonamen  darzustellenden)  Objekte  dets  Denkens.    Es  erscheint  aber  aiü 

28* 


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436  Eilfte  Vorlesung. 

ein  eindeutiger  Term  in  der  abgeleiteten,  der  Manuigfaltigkeit  der  Klassen^ 
indem  es  unter  r^en  Klassen  eine  ganz  bestimmte,  iudividuello  Klasse  vorstellt. 

Als  allgemeine  PropOr-itiouen  würden  a  =  (ih^  sowie  u  ^  1»,  ah  =^  0, 
etc.  hiuzuötellon  öciu,  wenn  entweder  a,  oder  oder  beide  Symbole  unbe- 
stimmte Gebiete  oder  Klassen  vorälellen  sollten,  wenn  die  Bedeutung  dieser 
Symbole  ganz  oder  teilweise  offen  gelassen  wftre.  Ebenso,  wenn  a  irgmä 
em  Gebiet  vorstellt  (desgleiehen,  wenn  es  tan  beliebiges  in  einem  be- 
stimmten h  entbalteneii  Gebiet  vorstellte),  mass  die  Proposition  a  1  als 
eine  „allgonieine"  bezciclinet  werden.  Etc. 

Auf  dem  Felde  der  Arithmetik  entsjuechen  uusern  „speziellen"  Pro- 
positioneu  die  „«M»M(r?>f?f(?^i"  Gleichungen,  wekli©  nur  mitt&lst  Ziffern  dar- 
gestellte individuelle  Zahlen  („Tiiimeri.scbe"  oder  „ziflfrige",  „digital  numbers") 
entbalten,  oder  in  denen  wenigstens,  üaIIs  Baohstaben  in  ihnen  anftareten 

sollten,  diese,  wie  «  —  3,14169  •  •  * ,  e  «  2,71838  *  •  • ,  •  1, 
sebon  one  konventionell  feststehende  Zablenbedeutmig  haben.  Unsem  „all- 
gemeinen*^ I^ropositionen  dagegen  entsprechen  die  „^Vmt/e?»''  oder  Buch- 
staben-Gleichungen, welche  auch  Buchstaben  als  „unbestimmte"  oder  „all- 
gemrino"  Zablzeiclifii  enthalten,  Buchstaben,  denen  es  uns  uoch  freisteht 
verscuiedene  Zuhlenwei'te  ala  Bedeiituuj,'  iinteizule^'en. 

Solch  leicht  erkennbares  äuä&erliches  Unterscheidungsmerkmal,  wie  das 
Anftreteti  oder  Hiobtanftreten  ton  Buchstaben  in  der  Arithmetik  es  bil- 
dete, können  wir  jedoch  im  identischen  Kalkül  der  Unterscheidung  beider 
Klassen  von  Propositionen  nicht  zugrunde  legen,  ^  ^11  wir  hier  auch  die 
speziellen  Gebiete  oder  Klassen  stets  mit  Buchstaben  darzustellen  pflegen 
und  darzustellen  genötigt  sind  —  die  beiden  Gebiete  0  und  1  ganz  nilein 
ausgenommen.  Was  dort  (in  der  Arithmetik  bei  /,  tt,  c)  als  Ausnahme 
mitanzufUhren  war,  bildet  hier  (im  identischen  Kalkül)  die  liege! ! 

Spezielle  Propositionen  erfreuen  aicb  jeweils  einte  vdllig  bestimm- 
ten Sinnes,  nnd  darum  ist  eine  spezielle  Fh>position  immer  entweder 
eine  riMße  oder  eine  fäMe, 

Die  oben  angeführten  waren  Ezempel  von  riehtigen  spesleUen  Piopo- 

sitionen.  Dagegen  wQrden  1  =^  0,  0  =  1,  und  bei  der  durch  Figur  1  er- 
klärten Bedeutung  von  n  und  h  die  Subsumtion  l  =^  a ,  die  Gleichung 
ab  «=  etc.  eine  falsche  spe/cicllc  Propositiou  cxemplitiziren;  ebenso  die 
verbalen  Urteile:  „Die  Mohren  ^ind  weiss'^  sowie  „Einige  schwarze  Krähen 
sind  nicht-schwarz",  und  uudeio  mehr. 

Die  (in  unserm  Sinne)  ^^allgemeinen''  Propositionen  kdnnen  ftteM 
80,  wie  die  der  vorigen  Abteilungi  die  spesiellen,  ohne  weiteres  in 
richtige  und  falsche  eingeteilt  weiden,  weil  sie  keinen  Tdllig  fest- 
stehenden Sinn  besitsen.  Die  Beantwortung  der  Frage,  ob  sie  als 
richtig  oder  falsch  erscheinen,  wird  vielmehr  hSu6g  davon  abh&ngen, 
welche  Bedeutungen,  Werte  oder  Wertsysteme  man  den  In  ihnen  vor^ 
kommenden  Buchstabensymbolen,  f&r  welche  eine  vdllig  bestimmte  Be- 
deutung ehen  noch  nicht  ausgemacht  ist  (und  die  darum  als  „unbe- 


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§  20.   Aualytiäühc  Propositioncn ,  Formeln. 


437 


^mmUf*  oder  „vaHabdif*  eventuell  als  j^aiUgemeM*  Symbole  hmgestellt 
werd«!  mdgen)  beigelegt  denkt 

Wohl  aber  tritt  aneh  hier  bei  einer  Umscliaa  ein  groseer  Gegen- 
eata  zutage: 

Wir  bemerken  —  schon  unter  den  biaherigen  —  solche  Propo- 
sitionen,  die  richtig  vrerden,  wdche  Bedeutungen,  Werte  oder  Wert- 
systeme man  auch  den  in  ihnen  Torkommenden  variablen  Elementen 
beilegen  mag,  und  solche^  bei  denen  dies  nicht  der  Fall  ist. 

Entere  nennen  wir  „ancdytlsM^  Propositioneo,  die  letstereu  f^syn- 

Hierbei  befinden  wir  uns  in  vollkommeneL  Analogie  mit  dem  Verfahren 
der  numerisch  rechnenden  Mathematik,  die  ihre  Buchstabengleichungen  in 
analytische  und  synthetische  einteilt. 

Beispiele  von  ,jaDa^^tischen**  Proposittonra  sind  die  Subsumtioneu  resp. 
Gieicbttttgen: 

a=^a,    0=^a,    fl=^l,    a6=^a,  +       a  +  aft"»«, 

rt«,  =  0,    a  +  ff,  =  1 ,    (i{h  +  c)  =  ah  +  «c*,  etc. 

Cberhaui)t  jede  in  dun  hishcrig-en  Siitzeii,  d.  1.  Axionion  (,,Prinziiuen**)  und 
ThenreniPü,  als  allgemeingültig  hingestellte  und  eventuell  Ijcwieseno  Sub- 
sumtion ucier  Gleichung  wird  als  eine  „analytische'*  Proposiüon  zu  bezeich- 
nen sein. 

Analytische  Propositionen,  in  unsrer  Zeichensprache  dargestellt, 
heissen  mit  einem  Worte  auch  „Formeln^^  im  strengen  Siuu  dieses 
Wortes. 

Der  Sprachgebraucii  niit  seinen  Inkonsequenzen  verwendet  freilich  manch- 
mal auch  das  Wort  ,,Forrael"  als  synonym  mit  (Buchstaben-)ilu5drMCÄ  (ox- 
pressio,  eompound  term),  doch  ist  diese  Verwendung  die  weitaus  seltenere^ 
hat  meist  einen  rhetorischen  BeigesdmuuA:  und  ist  eigentlioli  als  inkorrekt 
SU  qualifisiren  —  so  wenigstens  fftr  die  Mathematik;  ich  habe  nichts  da- 
gegen, wenn  der  Chemiker  nicht  nur  von  der  Formel  fllr  einen  chemischen 
Vorgang,  sondern  auch  von  der  „Formel*^  einer  Substanz  als  einer  chemi- 
schen Verbindung  spricht. 

In  der  Mathematik  ist  die  Formel  Jeweils  eine  Gleichung  (eventuell 
auch  Ungleiciiungy  aibo  eme  w iikuchQ  Bcliauptung^  nicht  aber  blos  ein  Aus- 
druck, Term  oder  Name  ftr  eine  Zahl,  und  analog  soll  es  audi  im  iden« 
tischen  Ealkul  gehalten  weiden. 

Das  charakteristiache  Merkmal  der  Formel  schlechtweg  ist  dem- 
nach in  ihrer  AUgemeingültigkeit,  ist  darin  an  erblicken,  dass  sie  ,,er- 
filUt''  ist,  gilt,  welche  Wertsysteme  (aus  der  zugrunde  gelegten  Man- 
nigfaltigkeit) man  auch  den  in  ihr  Torkommenden  Buchstabensymbolen 
unterlegt 

Niemals,  freilich,  kann  Mer  solche  Allgemeingültigkeit  empirisch 


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438 


Bilfle  VorleeuDg. 


nachgewiesen  werden  ^  indem  man  etwa  alle  erdenklichen  Werte  nnd 
Wertsyeteme  durehprobirte,  dieselben  fSr  unsre  Buchstabensymbole  ein- 
setzend und  das  Einsetzangsergebniss  anf  seine  Richtigkeit  als  spezielle 
Proposition  in  jedem  Falle  prüfend.  Vielmehr  steht  uns,  wenn  wir  eine 
allgemeine  Proposition  für  eine  Formel  ausgeben,  nur  die  Bemfung  auf 
das  Gefühl  derEvidena  angebote,  mit  der  wir  sei  es  ihr  Schema  selbst,  sei 
es  dasjenige  der  Voraussetzungen  ans  denen  sie  abgeleitet  wurde,  sowie 
der  Schlüsse  die  Yon  da  zu  ihr  hinführten,  als  denknotwendige  erkennen. 

Alle  übrigen  bisher  Yorgekommenen  Fropositionen  (zonftchst  sofera  die 
in  ihnen  auftretenden  Buchstaben  nicht  durcbweg  ganz  spezielle  Bedeu- 
tungen hatten)  sind  Kzempel  von  f,8ynthetiscben^*  Propoditionen.  So  nament- 
lich die  in  unsern  Theoremen  angeführton  Subsumtionen  oder  (ileichungen, 

welche  als  Voraussetzimji^en  oder  Beilingnngen,  desgleichen  diejenigen  welche 
dann  als  Behauptung  in  dem  Theorem  hingestellt  wurden.  Ebenso,  wenn 
zwei  Propositionen  als  einander  äquivalent  hingestellt  wurdon,  wo  dann  die 
eine  Ton  der  andern  und  diese  Ton  jener  bedingt  wird,  waren  es  allemal 
synthetisehe  Fropositio&en.  * 

Ein  einfachstes  Beispiel  einer  Synthetischen  Proposition  ist  insbeson- 
dere die  Subsumtion  "  ^  h.  Diese  rrjlf  ja  nicht  als  allgemeine  Formel  für 
beliebige  Wertepaare  oder  Ijcdenti.ngon  von  a  und  h.  Ks  gibt  Fälle  (illustrirt 
durch  Fig.  1)  in  welchen  sie  richtig,  andere  (illustrirt  z.B.  durch  Fig.  7..  Ii) 
in  welchen  sie  ialsch  ist.    Ebenso  die  Gleichung  ah  =  «,  etc. 

Wenn  Prinzip  II  aussagte,  anter  den  Voraussetzungen  a  =^  b  nnd 
bs^e  gelte  die  Behauptang  a^Cy  oder  wenn  Th.  37)  aussagte,  die  bei- 
den Subsumtionen  a  =^  h  und  6,  ^  a,  seien  fiqulYalent,  so  waren  alle  diese 
Subsumtionen  synthetische. 

Um  eine  allgemeine  Proposition  als  eine  synthetische  nachzuweisen, 
genügt  es  schon,  ein  einziges  Wertsysteiu  ausfindig  zu  maclien,  anzu- 
geben, welches,  für  die  Buchstaben  in  sie  eingesetzt,  eine  falsche  spe> 
zielle  Proposition  liefert. 

8o  kann  a  h  ^  a  nnr  eine  synthetische  Proposition  sein,  sowol  wenn 
n  nnd  h  unbestimmte  Gebiete  vorstellen,  als  auch,  wenn  eines  derselben, 
z.  B.  T)  als  ein  ppeziellor  Kreis  gegeben  sein  sollte.  ^lan  braucht  nffmlich 
dem  fi  nur  die  Bedeutnucr  eines  ausserhalb  h  liegenden  Kreises  beizulegen, 
um  durch  die  Anschauung  ^u  erkennen,  dass  alsdann  sie  falsch  wird. 

Von  den  synthetisclieu  Proiiositioiien  kann  man  sagen,  dass  sie 
eine  BrgirjuDuj  zwischen  den  in  sie  eiiigeiieiiden  Gebieten  ausdrücken 
oder  etabiiren,  man  kann  sie  mit  einem  Wort  auch  JReltUionm^"  (im 
engeren  Sinne)  nennen. 

Su  drückt  die  letzt lict riichteto  ri  +  Z/ r<=  /7,  wie  leicht  zu  sehen,  dio  Bft- 
^lehung  zwischen  den  Gebieten  a  und  h  aus,  dass  h  in  a  enthalten  ist, 
was  kflrfer  auch  h^a  sagen  wUrde.  Die  analytische  Proposition  oder 
Formel  a6  ^  a  dagegen  drtlokt  hdne  Besiehung  tuntiJtm  a  mtd  b  sdbst 


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§  20.    Synthetische  FropositioueD,  U^latiooen. 


439 


ans  (wenngleich  sie  altetdings  die  Beziehung  der  Einordnung  von  ah  in  a 

ausspricht  und  mit  Recht  behauptet) ;  diese  läast  sich  moht  als  eine  „Behl- 
Ii'  n'^  /wischen  a  lud  h  hiostcUen,  da  ihr  alle  Gebiete  a  und  6  schon  ao 

wie  80  genügen. 

Auch  die  richtigen  speziellen  Propositionen  werden  j^analytische'^ 
genannt,  wenn  sie  durch  Eiuseizang  spezieller  Werte  aus  einer  For^ 
mel,  einer  analytischen  Propositian  toh  allgemeiner  Gültigkeit  herror- 
gehen,  wenn  sie  m.  a.  W.  nur  eine  Formel  exemplifiziren,  partikulare 
Anwendungen,  Paradigmata  einer  solchen,  mithin  von  denkuotwen- 
digem  Schema  sind.  Und  andernfalles  werden  wir  auch  jene  wieder 
„synthetisch"  nennen;  desgleichen  mögen  die  falschen  apmeiUen  Propo« 
sitionen  mit  zu  den  ^synthetischen*'  gesahlt  werden. 

Darnach  ist  s.  B.  jene  Aussage:  „Die  schwar/en  Pferde  sind  Schwan^' 
zwar  eine  spezielle,  frloichwo!  nl  er  eine  analytische  Proposition  zu  nennen. 
Sie  geht  nämlich  aus  dem  Tli.  d^)  ah  ^  n  hervor,  wenn  man  n  =  schwarz 
und  h  =  Pferd  bedeuten  liiist,  und  gilt  wie  dio.-es  mit  DeukuoLwendigkeit. 
Die  Aussage  gibt  uns  auch  keinerlei  Belehrung  Uber  diese  Klassen  a  und 
da  sie  tu  vmerer  J}Uü^^  avch  nicht  einmal  die  Eiistenz  des  Subjektes, 
nBmlich  schwarzer  Pferde  unterstellt  oder  fordert.  Ebenso  bei:  „Der  weisse 
Schnee  ist  wsiss^,  „Die  runden  Quadrate  sind  rund". 

Dagegen  das  Urteil:  „Die  Mohren  sind  schwarz"  ist  eine  synthetische 
spezielle  Proposition  (und  zwur  eine  richtige);  es  belehrt  über  die  Haut- 
farbe der  Mohren,  und  hat  zum  Schema:  a  ^  welches,  wie  erkannt  nicht 
von  allgemeiner  und  denknotwendiger  Geltung  Deiiuirl«n  wir  freilich 
die  „Mohren'*  als  „Menschen  ton  ecbwaner  Haatforbe**  und  setzten  diesen 
Ausdruck  für  das  Sabjekt  in  unser  Urteil  ein,  so  wfirde  dasselbe  sich  nun- 
mehr als  ein  analytisches  (dem  obigen  ähnlich)  darstellen.  Solange  ahor 
solche  Einsetzung  nicht  geschehen,  ist  aus  dem  Urteil  selbst  seine  Selbst- 
verständlichkeit nicht  zu  erkennen  und  muss  djisselhe  immerfort  synthetisch 
l^'enannt  werden,  um  so  mehr,  als  der  Begriff  der  „Mohren"  schon  ander- 
weitig bekannt  und  auch  durch  andere  Merkmale  als  das  der  schwarzen 
Hautfarbe  definirt  sein  k5nnte. 

Hienach  zerfallen  denn  alle  Propositionen  wie  einerseits  in  spe- 
zielle l:iu1  allgemeine,  80  andrerseits  in  synthetische  und  analytische,^ 
sodass  hieraus  durch  Kombinatiun  sich  vier  Unterklassen  ergeben,  als 
da  sind  die  sfjnthefischen  spemelleti,  die  synthctischm  allgefneinen,  die 
analytischen  speziellen  und  die  analytidcJien  alUjcmcinm  Propositiouen. 

Kennzeichen  der  „analytischen"  Propositiou  ist  somit  die  aus  ihr 
selbst  ersichtliche  „Selbstverständlichkeit"  derselben,  ihre  denknotimuhtje 
GtUung  —  einerlei,  oh  von  allg;enieinerem  Charakter  ist,  oder  von 
speziellem ,  nämlich  aus  allgcmeini^nlti'if'm  Schema  durch  Einsetzen 
spezieller  Werte  für  dessen  Buclistabensy inhole  hervorgegangen. 

Kennzeichen  der  „syntlicdschen"  Propositionen  ist,  dass  sie  solcher 
OMS  ihnen  selbst  erkennbarer  denJinotwetidiyer  ireUtmg  emiangdn. 


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440 


Bilfte  Vorletong. 


Deu  analytischen  und  den  synthetischen  Propoutionen  fällt  eine 
gänzlich  Teischiedene  Bolle  in  der  Wiasenechafl  sn. 

Entere  sind  in  Bezug  anf  die  Gebiete  oder  Klassen,  aber  welche 
sie  etwas  aassnsagen  sehetnen,  im  Grande  vollkommen  fjuidUssa^endf^, 
sie  liefern  Über  diese  selbst  keinerlei  Information.  Dagegen  stellen 
sie  nns,  wenn  sie  Ton  allgemeinem  Gharaktefi  wenn  sie  Formeln  sind, 
Gesetz  äes  Denkens  dar  (und  bringen,  im  Fall  sie  spesieller  Natur, 
solche  zur  Anwendung);  sie  bringen  uns  S&tze,  Theoreme  der  formalen 
Logik  zum  Ausdruck  und  zum  Bewusatsein. 

Indem  sie  als  solche  eventuell  die  Gleichheit,  Identität  zwischen 
allgemeinen  Ausdrücken  konstatiren,  ermächtigen  sie  uns,  jeden  Aus- 
druck  von  der  Form  der  linken  Seite  der  Gleichung,  wo  immer  es  uns 
vorteilhaft  erscheint^  zu  ersetzen  durch  einen  andern,  nach  dem  Schema 
ihrer  rechten  Seite  konstruirten  Ausdruck,  oder  auch  umgekehrt  (vergl. 
S.  283).  Sie  drücken  so  fahuUaiw  anzuwendende  Bet^tenwrschrißen  aus, 
garantircn  uns  gewisse  Freiheiten  in  der  Umformung  von  AiisdiitcLrn, 
von  welchen  wir  —  gcächickt,  oder  zur  Unzeit  —  Gebrauch  nuiclieu 
mögen  in  der  Absicht,  die  Beschreibung  von  Klassen  in  vereinfacheu 
und  an  Zeiclienaufwaud,  Ausdruckükapital  uud  geistipjer  Arbeit  Er- 
sparnisse zu  erzielen,  Oberhaupt  um  irgendwelche  Probleme  zu  lösen. 

Und  auch  wenn  unsere  Formeln  blos  als  Subsumtionen  erschcmeu, 
gewährleisten  sie  uns  die  Erlaubniss,  g<-'wisso  Substitutionen,  falls  es 
uns  passend  erücheiut,  vorzunehmen,  insbesondre  den  tniuinus  minor 
derselben,  wo  er  anderwärts  als  l^rädikat  auftritt,  dun  Ii  den  major, 
ihren  major,  wo  immer  er  als  Subjekt  auftritt  durch  ihren  minor  zu 
ersetzen;  vergl.  S.  173.  Auch  sie  statuircn  also  Lizenzen  für  die  Unh 
forrnrnfff  Transformation  —  zum  wenigsten  von  Aussagen. 

Wenn  dann  spHter  durch  den  .jAu^-äa-'i^'nkalkur'  uucli  solche  Theoreme, 
welche  gewisse  Behauptungen  von  bestimtuten  Vorausäetzungen  abhängig 
hinstellen,  in  der  Zeichensprache  durch  einen  einzigen  Ansatz,  durch 
eine  „Formel'*  darstellbar  gemacht  werden,  so  wird  sich  das  zuletzt  Ge> 
sagte  auch  aaf  den  so  erweiterten  Begriff  der  Propoeition  und  Formel 
obertngen.  Es  regeln  diese  Formdn  den  Übergang  von  einer  Aussagen' 
form  zu  andern;  sie  geben  nns  äUffemdne  Skßimata  fUr  daiüen^wehäiges 
Folgern,  deduhUvcs  Scldiessrn. 

Soviel  über  die  Rolle,  welche  den  analytischen  Propositionen,  und 

namentlich  den  Formeln  zufiUlt,  die,  soferne  sie  in  Worten  dargestellt 

sind,  auch  „analytische  Urteile"  von  der  Philosophie  genannt  werden 

oder  als  „apriorische  Wahrheiten*'  bezeichnet  werden  mdgen.   Vergl.  Q 

unsrer  Einleitung. 


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I  so.   Speuelle  and  allgemeine,  gynihetiache  u.  analjrtische  Propositionen.  411 

-  Ich  kann  mich  bei  dieser  Gelegenheit  eines  Seiienblieks  auf  die  „Wahr- 
heiten der  Mathematik'*  nicht  entschlagen.  So  ferne  diese  Zahlen  betreflfen 
—  einorlfi  ob  pan?.©  oder  irrationnle  oder  andero  —  so  ist  es  er!»t  in 
neuerer  Zeit  durch  die  scharfsinnigen  Arbeiten  namentlich  von  Hermann 
Grassmann  und  den  Herrn  Weierstrass,  Georg  C'antor  und  Dedo- 
kliid  ausser  allen  Zweifel  gestellt  worden,  dass  diese  Wahrheiten  dnrcbaos 
nur  den  Charakter  von  «^noly/ifeAm"  haben  (vergl.  hiesa  nnsem  §  51), 
dass  mithin  Kant's  Frage:  wie  sind  synthetische  Urteile  a  priori  möglich? 
wol  eine  gegenstandslose  ist. 

Dagegen  erscheinen  die  Axiome  der  (Iromdrk  als  „synfhrfisehe^''  Pro- 
positioneu,  die  eine  denknotwendige  Geltung  nicht  zu  beanspruchen  ver- 
mögen und  in  dieser  Hinsicht  auf  einer  Linie  stehen  mit  den  Axiomen 
oder  Prinzipien  der  Mechanik,  mit  den  Theorieeu  und  Hypothesen  aller 
Übrigen  Teile  der  Physik  oder  Natnriehre.  Demaleii  bildet  dies  allerdings 
noch  eine,  selbst  unter  den  Ifathematikem  nicht  völlig  znm  Aastrag  ge« 
brachte  Streitfrage.  Für  den  Verfasser  kann  indess  kein  Zweifel  bestehen, 
wohin  der  Sieg'  sich  (vollends)  neit,'en  mnss,  und  erscheint  mir  die  Geo- 
metrie von  hause  aus  als  der  er-,te  Teil  der  Physik,  als  ursprünglich  nur 
cm  Zweig  der  induktiven  und  Naturwissenschaften,  als  solcher  zunächst  im 
Gegensatze  stehend  zur  reinen  Mathematik  im  engsten  Sinue  des  Wortes, 
die  als  streng  dednktlTe  Disxiplin  nur  Arithmetik*)  und  Logik  .zu  um-' 
fassen  hatte  und  fllr  Deiu^ig^f  ^«i^  >n>^  Dedekind  die  Arithmetik  als 
einen  Zweig  der  Logik  ansieht,  mit  letzterer  geradezu  zusammenfiele. 

Sofern  nicht  ihre  Axiome  als  in  der  Natur  des  |-i!iv-ikalischen  Raumes 
begründete  einst  noch  in  Zweifel  gezo^'en  und  modiHzirt  werden  ttiüssoji, 
hat  aber  die  Geometrie,  cjfefolgt  von  der  Geomechanik  etc.,  ilir  iadaktive^ 
Aufangsstadium  läugst  schon  verlassen  und  ist,  einen  rein  mathematischen 
Charakter  annehmend,  in  das  deduktive  Stadium  übergetreten  (vgl.  S.  42). 
Sie  mag,  gleichwie  die  theoretische  Mechanik,  aber  nicht  ohne 'diese,  stir 
(reinen)  Ifathematik  (im  weiteren  Sinne)  nunmehr  gerechnet  werden.  — 

* 

Die  synthetischen  Propositionen,  oder  Relationen,  geben  eine  lU' 
formation  über  die  Klassen  oder  Gebiete,  von  denen  sie  handeln;  sie 
dienen  also  in  erster  Linie  dazu,  wirklich  cticas  auszusagen  und  die 

MittLiiuiigbbedürfnisse  der  SjuaciiC  zu  befriedigen. 

Sofern  sie  von  speziellem  Charakter  sind,  wird  die.se  Information, 
wie  erwähnt,  entweder  richtig  oder  nnrichtig  sein.  In  diesen  Fällen 
haben  alle  Klassen,  von  denen  in  der  Proposition  die  Rede  i.«it,  ihre 
l)etiuition,  Erklärung  bereits  anderweitig,  vorher,  oder  wenigstens^ 
au.sserhalb  der  Proposition,  geluiiden;  die  Propositiou  sagt  nur  über 
lauter  „bestimmte''  oder  Jjpkannte'  Kla&seu  etwas  aus. 

Anders,  wenn  die  Präposition  von  aHgenieinem  Cliarakter  ist,  wo 

sie  auch  nnhestimmte  Klassen  oder  deren  Symbole  enthält 

*)  Ich  gebrauche  das  Wort  „Aritbmetik"  hier  immer  in  seiner  vollsten  Üe- 
deatuDg,  als  die  Zahlenthcorie  Algebra,  Aualysifi,  Funktionenlehre  etc.  mitum- 
faueod:  als  die  geaanite  Lehre  von  den  /^abien  und  ihren  Funktionen. 


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442  Bilfte  Vorleroog. 

Hier  mnd  dann  sweierlei  F&Ue  za  nnteracheideo. 

Es  kann  aein,  daas  es  gar  keine  speziellen  Werte  gibt^  dass  Ge- 
biete oder  Klassen  gar  nicht  denkbar  sind,  welche,  fUr  jene  nnbe- 
stimmien  Symbole  in  die  Proposttion  eingesetzt,  dieselbe  M^rfÜlUen", 
nämlich  ans  ihr  eine  richtige  spesielle  Fh>position  herrorgehn  lasseu 
würden. 

Von  solcher  Art  wären,  z.  B.  die  Propositionen: 

ao,  «1,   sowie   a;+p7,  »0. 

Da  nach  Th.  30)  für  jede  Klasse  für  jedes  Gebiet  doch  «f/,  =  0, 
und  x  +  sein  muss,   so  würden  diese  Relationen  auf  die  For- 

derang hinanslanfen,  dass  1  »  0  sein  solle. 

Ms  wQrde  nur  satreffbn,  wenn  die  Mannigfaltigkeit,  auf  die  nasre 

Untorsnchungen  sich  beziehen,  yon  vornherein  eine  leere  wilre,  und  dass 

*5i)lclios  nup7tischHcsspn  haben  wir  bereits  als  rtn  diesen  üntcr?nrhnn- 
gon  /u<;rimde  zu  legendes  Postulat  biugostellt.  l«'Ur  uns  wird  also  eine 
Gleichung: 

1  =  0 

als  eine  unbedingt  zu  verwerfende  gelten,  wir  können  sie  geradezu  als  den 

Tjrpus  der  ,,Af>!fur(lilaT'  hinstclleo. 

Wer  sie  /ii^'Jibn  wllrdp  mil'  jegliche  üntei>clioiilnnf^'  innerhalb  der  Mn. 
Verzicht  leisten,  wio  wir  sf  hoii  S.  245  aii8*:,'efiUn t  liabeu.  Dem  wäre  alles 
„egal";  buchstäblich  y^äUo  für  Den:  „Ks  ist  Allcd  nichts". 

Tti  solchem  Falle  ncnucn  wir  die  synthetische  Pro^usition  eine 

Insofern  sie  zu  gelten  beanspruchte  —  uuU  Uiea  zu  thun  ist  doch 
der  Endzweck  jeder  Aussage  oder  Behauptung  —  würde  die  Propo- 
sition uns  zumuten  unter  ihren  Symbolen  uns  Gebiete  au  denken,  die 
gar  nicht  denkbar  sind.  Sie  stellte  damit  an  uns  eine  nnerfüUbare 
Forderang.  Auf  jedem  Felde  ist  es  leicht,  Forderungen  aufzustellen, 
welche  zu  erfüllen  unmöglich  ist,  und  so  auch  auf  dem  Felde  der  Logik, 
auch  im  identischen  Kalkül. 

Zuweilen  wird  auch  die  Forderung  selbst,  a.  6.  die  Gleichung 

eine  „mmogliM*  genannt;  jedoch  geschieht  dies  dann  nicht  in  der 
suppositio  nominalis,  indem  es  ja  leicht  ist,  dieselbe  trota  allen  Wider* 
Sinnes  behauptend  auszusprechen,  sondern  in  der  suppositio  realis:  die 
Gleichung  in  Hinsicht  dessen,  was  sie  behauptet,  als  eine  erfüllte  oder 

geltende,  ist  unmöglich. 

Eine  synthetische  Propo'sition  wird  demnach  auch  „absurd"  zu  nennen 


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%  20.   SpeiicUc  und  allgcmeiuo,  sjutbetiscbo  u.  anal^Uscho  Fropositionon.  443 


8eiii|  wenn  sie  mit  Denknotwendigkeit  —  nacb  den  Regeln  des  Kalkats  — 
waS  die  Gleieliniig  1  »  0  lünaQslftQfL 

Dass  aber  auch  nmgekehri  auf  diese  Oleiehnug  jode'  im  obigen  Sinne 
absurde  Proposition  binanslaafen  muss,  jede  nttmlich,  die  dorch  kein  Wert> 
System  ihrer  unbestimmten  Symbole  erfüllbar  ist^  werden  wir  im  Anssagen- 

kalknl  scIicn. 

Der  vorigr  Kontext  VXmi  dann  ncbenlier  die  'L'hatsacho  dentlich  wer- 
den, dass  sobald  einmal  ein  Unsinn  /.»gegeben  wird,  dann  aueb  jeder  Un- 
äinn  mittelst  zwingender  Schlüsse  sich  ableiten  oder  beweisen  lltsst  —  so- 
fern wir  nftmlicb  als  Scbema  solchen  Unsinnes  die  Bebauptung  nehmen, 
dass  swei  beliebig  herausgegriffene  yersehiedene  Dinge  einerlei  seien.  Ge- 
langten  wir  vom  ersteren  su  0  »  1,  so  liess  sieb  auch  von  da  zu  a  <=>  6 
fortschreiten. 

Ist  die  allgeineinn  synthetische  Proposition  nicht  absurd,  so  j;ibt 
es  Werte  oder  Wertsysteme,  deren  Einsetzung  in  Proposition  (für 
die  in  ihr  vorkommenden  nicht  schon  anderweitig  bestimmten  Gebiet- 
symbole) die  Wirkung  hat,  dass  eine  richtige  spezielle  Propositiou  ent- 
steht. Von  Bolclieii,  die  allgemeine  in  eine  richtige  spezielle  Propo- 
sitiou „verwandelnden"  Wert(8y8tem)cn  saj^  man,  dass  sie  die  Propo- 
sition j,erßUeH**f  derselben  ,^eniigm"j  sie  „hewahrheitenf*. 

Man  nennt  sie  auch  „  Wurgdn**,  beziehnngswelse  ein  „Sjstem  von 
Wurzeln'',  dieser  Proposition  (Gleichung  oder  Subsumtion  etc.)  —  ent- 
sprechend dem  bei  synthetischen  Gleichungen  in  der  Mathematik  gel- 
tenden Sprachgebraache. 

Sobald  die  Proposition  aber  Geltung  beansprucht,  stellt  sie  uns 
vor  die  Aufgabe,  uns  unter  ihren  Buchstabensymbolen  solche  Gebiete 
oder  Klassen  vorzustellen,  welche  sie  „erfüllen",  m.  a.  W.,  diese  Sym- 
bole eben  nur  bedeuten  zu  lassen:  ein  System  Ton  „Wurzeln''  der  Pro- 
position. Und  um  dies  filr  jedermann  zu  ermöglichen,  mfissen  solche 
Wurzeln  mit  Hülfe  der  in  der  Proposition  etwa  sonst  noch  vorkom- 
menden bestimmten  oder  j^egehenm**  Gebiete,  ihrer  sogenannten  „Para- 
meter", beschrieben,  durch  diese  Übrigen  Gebiete  ausgedrückt,  „beredir' 
«eC  werden. 

Die  Ausführung;  dieses  <.Jeschilftes  heisst  das  „Auflö.'^cn"  der  Pro- 
positiou nach  eleu  als  ihre  „Wurzeln"  zu  bestimmenden  Gebieten  als 
„Unbekannten".  Damit  sie  als  solclie  .sofj;leich  erkennbar  seien,  werden 
diese  erst  zu  bestimmenden  unbekannten  Gebiete  mit  Vorliebe  durch 
die  Buchstaben  x,  y,  sf, . . .  dargestellt,  im  Ge^^eiisatz  zu  den  mit  den 
ersten  Buchstaben  des  Alphabets  zu  bezeichnenden  Parametern. 

Und  zwar  orhillt  man  eine  „besondere"  oder  „paylikidffre'*  Li)-ui!<^ 
der  Proposition,  wenn  die  Angabe  von  Wurzeln  nur  auf  eine  Weise  er- 


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444 


Eilfle  Vorletnng. 


folg^  wenn  nur  ein  SjBiem  von  Wurzeln  (nach  anderer,  etwas  weiterer 
AufiGusnng,  wenn  nur  nieht  jedes  solche)  ermittelt  worden »  während 
die  ällgememe  Ldsung  Torliegt,  sobald  alle  möglichen  eiistirenden  Wnr- 
zeln(s78teine)  ermittelt  sind,  sieh  dargestellt  finden. 

Beides  fällt  zusammen,  es  liegt  schon  die  ^allgemeine  Lösong^ 
▼or,  und  wird  der  Ansdrack  „partikulare  Losung''  dann  besser  ausser 

Kurs  gesetzt,  falls  überhaupt  nur  ein  System  ron  Wunsein  existirt, 
falls  also  dio  Unbekannten  sich  durch  die  i'roposition  eindeutig  be- 
stimmt erweiseu. 

üm  dies  sogleich  durch  ein  einfaches  Exempel  zu  illusjtiiien,  00  haben 
wir  nach  Tb.  43)  als  AnfUfsung  der  Subsumtioa  se^h  nach  der  Uabe- 
kannten  s  den  Ansatz:  x  » in  welchem  w  ein  willkttrlicbes  Gebiet 
Yoratellt,  und  zwar  gibt  bei  solcher  Deatong  von  «?  dieser  Ausdruck  alle 
erdenklioben  LQemigen,  er  stellt  dio  allgemeine  Lösung  vor.  Wurzel  ist 
hifr  jedes  zwischen  O  nnd  b  liegende  Gebiet  x.  A1>j  pnrhkulare  Lösungen 
oder  spezielle  VVur/t  In  crgehon  8ich  B.  durch  die  Annahmen  «  0  und 
fo  <=  1  die  Wert  e  .'  =  Ü  und  a  ==  f>  (hier  Minimal-  resp.  Maximalwert  der 
Wumeln).  Werden  mehrere  solche  Wurzelwerte  in  einundderselben  Unter* 
sucbiing  in  Betracht  gu^ugcn,  ^.o  pflegt  man  sie  auch  als  J;,  j'^,  .  • .  unter* 
scheidend  lu  bezeichnen.  Alle  Wurzeln  &llen  hier  in  eine  x^O  su- 
sammen,  and  ist  die  LOsung  eine  eindeutig  bestimmte»  wenn  ?on  Toraher- 

ein  d  =  0  bedeutete. 

Dual  ents}necliciul  hat  man  analog  x  ==  a  -\-  ir  als  die  allgemeine 
Lösung  der  Sub.^umtion  a  -A^  .c,  mit  dorn  Minimsilworte  =  'f  und  dem 
Maximalwerte  1,  wobei  für  a  —  i  wieder  nur  eine  Wurzel  jc  =  1 

ezistiren  wird. 

Wir  ersehen  hieraun,  wie  die  allgemeine  synthetische  Proposition 

fähig  ist  und  wie  ihr  die  Mission  zufallt,  gewisse  Gebiete  oder  auch 
ganze  Klassen  von  Gebieten  (oder  von  Klassen,  und  Systemen  solcher) 

—  gewissen  Anforderungen  oder  Bedinguiigea  entsprechend  —  zu  ,,6«;- 

st immin",  dieselben  aus  der  Mannigfaltigkeit  der  überhaupt  denkbaren 

Gebiete  (resp.  Klassen  und  Gebiet«»y8teme)  auszeichnend  hrrr  'rzHhehen. 

Die  analytische  Pioposition  vermag  nicht,  solchem  Zwecke  dienstbar 
zu  sein;  wird  z.  B.  verlangt,  dass  xy=^x  sei,  so  dürfen  wir  unter  x  xmd 
y  uns  noch  jedes  beliebige  I^ar  von  Gebieten  vorstellen. 

Es  tritt  darnach  die  Aufgabe  an  uns  heran,  uns  nunmehr  mit 

dem  Problem  der  Auflösumg  von  (synthetischen  allgemeinen)  IVopos»- 

Honen  zu  beschäftigen,  welche  Aufgabe  wir  im  nächsten  Paragraphen 

in  eitler  für  den  bisherigen  PrqposUionsbegriff  erschöpfenden  Weise  er- 
ledigen werden. 

Zum  Schlüsse  geben  wir  noch  rekapitulirend  eine  Übersicht  flber  die 
vorstehend  nötig  gewordenen  Unterscheidungen.  Die  Einteilung  der  Pro« 
Positionen,  zu  der  wir  uns  veranlasst  gesehen,  veranschaulicht  das  Schema: 


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§  20.    Spezielle  unil  allgemeiae,  ö^'ntheti^cUe  n.  analjtiscbe  Propositionen.  445 


spezielle 


Infonnation) 


muHyUtdie 

nichtsBagend 


falache, 

» 

sugleicli 


allgemeine 


»IftUhetitdie 


absurde, 

unmöffliche, 


PropositioD  |  unbedivfjt 
,  falsclie 
I  PropositioD 


auf  lösbare, 
nur  bedinfit 

vnhre  nätr 
falsche  Prop. 
(Relation) 


anäiyAise^e, 

unbedingt 

wahre 
Proposition 
(Formtlj 


bv      Ivo  +  bva , 
et  —  hvet  +  getf 


ffa  =  0, 


Bedeutet  p  =  Proposition,  b  =»=  speziell  (erinnernd  an  besondere  prop., 
nl  rr  nicht  im  Sinne  von  partikular),  g  =  aligemein  (erinnernd  an  genera- 
lis aber  nicht  im  Sinne  von  universalj, 

tt  «3  analytisch ,  =  syntiietiseh  (Relation) , 

V     irahr  (prop.  Tora) ,       f  ^  falaeb  (prop.  folsa) , 

a  »  abenidf  5  ^  anflOsbar  (prop.  aolubilis), 

so  beistehen  die  Gleichungen  resp.  Subsumtionen: 

Sonach  ist: 

g^Q^u  oder 

ebenso 

bv=^a  +  a  oder 

dazn 

indem  hier  nttmlich  auch 

SV  «=  sf—  0 

xa  gelten  hat. 

Nach  dem  Sprachgebrauch  kann  eine  Relation,  wenn  sie  irrtümlich 
als  eine  Formel  bisgestellt  worden,  aoob  als  eine  „^Isoht  Formel**  qnali- 
fitirt  worden.  In  logischer  Hinsidit  ist  dies  aber  nicht  korrekt,  denn 
Mdclie  „falsche  Formel"  oder  „vemMli^  Formel"  ist  tlberhaupt  keine 

,. Formel";  niemals  ist  ein  Teil  von  a  =^  ga.   Man  wird  darum  dio  Formeln 
auch  nicht  in  richtige  und  falsche  einteilen  dürfen  —  so  wenig  wie  etwa 
die  lateinischen  Deklinationen!    Kino  falsche  Proposition  dagegen  ist  wirk- 
höh  eine  PropositioD,  Aussage  und  Behauptung  gewesen. 
Anf  die  speaiellB  falsche  Proposition 

0  =  1 

laufen  übrigens  wie  schon  angedeutet  auch  die  „absurden"  wesentlich 
hinaus  und  werden  wir  zwischen  beiden  späterhin  keinen  Unterschied 
machen.  — 


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446 


EUfl«  YorleBiuag. 


§  21.   Daa  Aut  lösungsproblom  bei  simultanen  Gleichungon  xmd  Sub- 
somtioaen.    Das  JEUimmatiousproblem  bei  solchen. 

Um  das  Einfachste  und  Wichtigste  vorweg  zu  erledigen,  stelleu 
wir  au  die  SpiUe  deu  SaU; 

49^)  THeoreiD.  Die  Oleiehumj 

ax  +  hx,  =  0 

ist  äguivalmt  einer  jeden  da-  beiden  Dofpdsubsututionen : 

d.  h,  au^Uhrlidier  gesprwiwn,  dem  Faare  v<m  SübmmUmen: 
h-^  Xj  af  ^  «,     resp,    « *^  j",  ,  ^ 

mit  tctldiem  nebenher  dem  Pringip  Ii  ycmii66  (/eycbm  ist: 

b  =^  a,  sowie  a  =^h^. 

Allemal  i&t  also  die  Uobekannte  zwisdien  dem  Ko^fmenten  ihrer  Nega- 
tion und  der  Negaiicn  üires  Koefjßaenten  gdegen* 

Beweis.  Kach  Th.  24^  )  zeriäiit  die  gegebeuc  Gleichuug  ohue 
Eiubusse  au  Inhalt  iu  die  beiden 

axmaQ    uud   bx^     0 ; 

die  leistere  tos  diesen  ist  aber  nach  Th.  SSJ  aqoiTaleut  der  Subsum- 
tion h^x  und  die  erste  äqm?alent  der  X'^a^^  und  damit  ist  die 
erste  Doppelsubsnmtion  h^x^a^  nicht  nur  bewiesen,  sondern  auch 
als  mit  der  gegebnen  Gleichung  äquivalent  erkannt 

Das  Th.  38x)  lässt  aber  auf  vorstehende  zwei  Gleichungen  sich 
auch  noch  auf  eine  eweite  Weise  anwenden:  indem  man  links,  statt 
des  einen,  den  andern  Faktor  isolirt;  so  ergeben  sich  auch  direkt  die 
beiden  Subsumtionen  a.^x^J  or,  ^  des  andern  Paares,  welche  xu 
einfiicherer  Schreibung  sich  in  die  sweite  Doppelsubsumtion  O"^^,"^^, 
susanimenziehen  lassen. 

Überdies  folgen  aber  auch  die  beiden  Subsumtionen  des  zweiten 
raurcs  durch  „Küjiversion  mittelst  Kontraposition"  nach  Th.  37)  — 
unter  BeriicküichÜgung  vuii  Th.  31)  —  uns  denen  des  ersten,  und  obenbu 
also  auch  die  eine  Doppelsubsumtiun  aus  der  andern. 

Endlich  kann  man,  nachdem  die  erste  Doppelsubsumtion  wie 
vorstehend  bewiesen,  als  der  Gleichuug 

ax  +     «  0 

Uquivalent  nachgewiesen  ist,  die  sweite  auch  durch  blosse  Buchstaben- 


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§  fil.  AnflflsuDg  uad  EHnuiMtioa  bei  Oleielmiigieii  tnid  Sabramtiooen.  447 

Tertanschnng  au«  den  damit  gewonnenen  Satse  ableiten.  Yertanschung 
Yoü  X  mit  se^^  nnd  augleich  von  a  mit  h  ftlbrt  nSmlich  die  Gleichung 

ax  +  0 

nur  in  sich  selbst  über  und  ist  daium  gleicliwie  lu  dieser  Prämisse, 
so  auch  iu  deren  Kouklusiüueu  gestattet. 

Wir  werden  im  Verlauf  der  weiteren  Untersuchungen  erkeuueu, 
dass  das  Tli.  40^)  die  im  Titel  des  Paragraphen  genannten  beiden 
Probleme  schon  voilständig  löst,  dass  wir  nämlich  berechtigt  sind, 
dos  erste  Subsumtionenpaar  als  die  Auflösung"  der  Uleichuug 

ax  +     «  0 

nach  der  Unbekannten  x  hinsaetelleny  nnd  ebenso  das  aweite  Subsnm- 
tionenpaar  als  deren  „ AuflöBung^  nach  der  Unbekannten  (der  Nega- 
tion der  TorigeD).  Und  ferner  wird  die  nebenher  mit  diesen  Subsum* 
tionenpaanm  gegebene  Belation  a  ^  oder,  was  damit  nach  Th.  37) 
äquivalent  sein  rnnss:  h  ^  a,,  oder  endlich  nach  Th.  S8x)  in  symme* 
trischer  Fassung  augeschrieben: 

ah  =  0, 

als  die  j^licsuitantc''  der  Eliinination  von  a;  (nebst  a.*,)  aus  der  Glei- 
chung ax  +  hx,  =  0  zu  bezeieliTioii  sein. 

Auflösung  nebst  Kesultante  iasst  die  Doppelsubsumtion  übersicht- 
lichst zusammen. 

Um  alles  dies  zu  erkennen,  müssen  wir  uns  aber  jetzt  in  einige 
Betrachtungen  von  nicht  mehr  ganz  so  einfacher  Natur  vertiefen;  wir 
müssen  namentlich  noch  mit  einer  andern  Form  der  „Auflösung"  Be- 
kanntschaft macheu,  welche  demjenigen,  was  man  in  der  Mathematik 
unter  der  Auflösung,  „Wurzel"  einer  Gleichung  versteht,  nülier  kommt, 
und,  wenn  sie  auch  nicht  so  bequem,  wie  die  (angeblich)  im  obigen 
Theoreme  dargestellte,  mit  Worten  au  interpreiiren  sein  wird,  doch  für 
die  Zwecke  der  Rechnung  gewisse  Vorzüge  beansprucht 

Als  mit  einer  —  wie  man  später  übersehen  wird  —  im  Grunde 
nur  neuen  Fassung  des  vorigen  Theorems  müssen  wir  uns  auch  mit 
dem  folgenden  Theoreme  befreunden. 

ÖOJ  Theorem.   Die  GUuSimg 

ax  +  2»«,  0 
isi  ägmvaHent  dm  GlekihungeHpaare: 

a&  —  0  und  +  a^f^ , 

worin  u  ein  unhestimmtcs  Gebiet  vorstdU. 


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448 


EUfte  VorleMog. 


Der  Beweis  besteht  aos  mehreren  Teilen. 

Im  ersten  Teile  gilt  es  zunachat  za  zeigen,  dass  ah  =  0  aus  der 
▼orausgesetsten  GleichiiDg  folgt.  Dies  findet  sich  bereits  oben  auf  eine 
erste  Weise  bemesen.  Ich  will  dafür  aber  noch  einen  zweiten  Be* 
weis  geben: 

«)  Gilt  für  uewisse  Wertf  von  n,  h,  r  die  er.>tc  Gleichun;^,  so 
kann  man  (Ii!  -'  Ibe  beiderseit«?  oimiiul  mit  a,  ein  andermal  mit  h  mul- 
tiplizireu  uiui  die  so  .sich  ergebenden  Gleichungen  überschiebend  ad- 
diren.   Dadurch  erhält  mau: 

ax  +  ahx^  +  ahx  +  Ja?,  =  0. 

Aber  die  beiden  anssersten  Glieder  linkerhand  geben  nach  der  Vor* 
anssetzang  (zasammen)  nnll.  Deshalb  yereinfaeht  sich  unser  Ergeh- 
niss  za: 

db{x^  +  «)     0 ,  oder  ad  0, 

womit  gezeigt  ist,  dass  die  zweite  Gleichung  aus  der  ersten  folgt. 

Sollte  nun  also  diese  zweite  Gleichung  a6  =  0  —  wir  mögen  sie 
etwas  vorgreifend  schon  die  ^,Besultant^'  nennen  —  von  den  Koef- 
fizienten a  und  b  der  ersten  nicJU  erfnllt  sein,  so  kauu  auch  die  erste 
unmöglich  gelten,  sie  kann  dann  durcli  keinen  Wert  von  t  erfüllt 
werden  —  denn,  wenn  sie  für  ein  ixew'i^s'  ^  x  richtig;  wäre,  so  uiüsste, 
wie  fre/f  igi,  aiicl)  die  zweite  Gleichung  gelten,  entgegen  der  soeben 
gemachten  Auuabme. 

/3)  Nehmen  wir  sonach  die  (.ileichung  «6  =  0  als  erfüllt  an,  so 
muss  ferner  —  was  auch  immer  für  eiu  Gebiet  unter  m  verstanden 
werden  möge  —  der  durch  die  dritte  Gleichung  gegebene  Ausdruck 
hu^  +  a^u,  fflr  X  in  die  erste  Gleichung  eingesetzt,  dieselbe  erfüllen, 
d.  h.  jedes  durch  die  dritte  Gleichuug  darL'ost eilte  Gebiet  x  ist  dann 
eine  richtige  „}Yurgei'^  unsrer  ersten  Gleichung.  Denn  die  Frohe 
stimmt:  ist 

so  folgt 

a-j  »  h^^i^  +  au 

nach  Th.  4(1^)  und  'M),  und  die  erstere  Gleichuug  luit  die  letztere 
mit  b  durchmultiplizirt  liefert  beim  Addireu: 

ax  +  hx^     adu,  +  abu     al>(u, i-u)  ^  ab*  1 

wie  behauptet  worden. 

Man  sieht  jedoch,  dass  die  Probe  fflr  das  ErfQlItsein  der  Gleichung 
durch  die  angebliche  LSsung  nur  insofern  stimmt,  als  die  Resultante 


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§  21.  Aufldaung  und  Eliminatioii  bei  Oleichungeu  nnd  ^ubsuiutionen.  449 

«ben  erfllUt  xtl^  denn  4iireh  die  BinsetBong  Terwandelto  sieh  die  Glei- 
ebong  zoDlolist  in  jene  BeBültante. 

Oline  Rttcknoht  aaf  du  ErfftUtaein  oder  NichterfllUteein  dieser 
letetereo  kfliinte  man  dslter  mit  Herrn  Voigt  definiren: 

„Losung^  (oder  „Wun^)  einer  Oleuiiiung  nmmen  wir  einen  Am- 
druck, nelchcr,  für  die  Urätekamtie  in  die  Gleichung  eingesetzt ,  dieselbe 
auf  ihre  Jiesultank  redugirt  (genauer:  auf  die  Resultante  der  £Hmina* 
tioQ  jener  Unbekannten  aus  liir). 

* 

y)  Umgekehrt  läset  aber  aach  jedes  die  (eiste)  Gieiclmng 

ax  +  (jp,  0 

erfilllende  x  sich  dnreh  den  Aasdmck  hu,  +  a,tt  darsteUcB,  indem  es 
B.  B.  genügt  unier  ii  sich  »  selbst  Torsastellen,  nm  die  Gleichung 

jp     6u,  +  a,u 

zu  einer  analytischen  oder  richtigen  Identität  zu  machen. 

Alsdann  wird  auch  u^  durch  zu  ersetzen  sein.  Nach  der  An- 
nahme ist  aber,  wie  unter  'J'h.  49^)  bereits  erwähnt,  auch  schon  für 
sich:  «a;  =  0  und  ?).r,  =  sonach  fols^t,  wenn  für  hx,  erst  0,  für  0 
dann  nx  geschrieben  wird  (mit  ähnlichem  Kunstgriff,  wie  S.  42.5): 
fcw,  +  a,w  hx^  +  a,ic  «  0  +  a^x  =  ax  +  a^x  =  (a  +  a^x  «=  1 .  a;  =  a;, 
was  zu  zeigen  war  und  auch  nach  Th.  19,)  mittelst  Buchstaben- 
?ertau8chung  aof  das  Hüifstheorem  2ti  Th.  47J  hätte  sarfickgef&hrt  , 
«erden  können. 

Wir  sind  hienach  berechtigt  den  Ausdruck,  welchen  die  dritte 
Gleichung  «  &m,  +  a,« 

f&r  die  ünbekannte  liefert  (oder  auch  diese  Gleichung  selber)  als  jjdie 
allgemeim  Losung  der  Gleichung  hiniustellen. 

Hiermit  ist  dargethan,  dass  wenn  die  erste  Gleichung  gilt,  dann 
auch  die  zweite  gelten  muss  (vergl.  a)  und  die  dritte  wenigstens  fttr 
ein  gewisses  ii  (vergl. }/),  woneben  unter  ß)  gezeigt  ist,  dass  wenn  die 
sweHe  Gleichung  nebst  der  dritten  (für  irgend  ein  u)  güt,  dann  auch 
die  erste  Gleichung  gelten  muss. 

D.  h.  das  ganze  Theorem  ist  bewiesen,  luid  mag  niaii  merken: 
Die  Gleichung  ist  stets  äquivalent  ihrer  allgemeinen  Lösung  n^st  der 
Resultante. 

Jener  Satz  ist  das  üaupttheorem  der  bisherigen  Theorie.  Er 
lehrt  (noch  unmittelbarer  wie  der  vorige)  bezüglich  irf^end  ein  fr  TJn- 
bekanrtfn  x  die  im  Titel  dieses  Paragraphen  anL'f'dcuteten  Probleme 
losen.  Bei  der  WK  htigkeil  desselben  müssen  wir  noch  einige  Zeit  bei 
seiner  Betrachtung  verweilen» 

SciuOoSR,  Algehr»  der  Logik.  29 


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450  EUfke  Vorlesung. 

In  froher  geacliilderter  Weise  ISesi  nftmlich  jedes  System  von 
gleicbzeitig  geltraden  oder  zu  erfftUenden  Glelchiiiigen  (oder  nadi  Be- 
lieben auch  Subsumtionen)  sich  zusBrnmeniiehen  m  und  eraetaen  äurA 
eine  einsige  Gleichung  mit  der  rechten  Seite  0,  die  „Tezeinigte  Glei* 
chang"  des  Systemes« 

Kam  in  dem  Systeme  neben  irgend  welchen  andern  Gebietsym- 
bolen ein  Gebiet  x  Yor,  so  wird  die  linke  Seite  der  Teremigten  Glei- 
chung eioe  „Funktion''  von  x  sein  (und  auch  wenn  jenes  nkhi  der  Fall 
-war,  wfirde  sogar  sie  als  Funktion  von  x  sich  doch  ansehen  lassen). 
Diese  Funktion  laset  sich  nach  Th.  44^)  durch  x  und  x^  linear  und 
hoimogeu  darstellen  in  der  Form  aa;  +  hx,,  sodass  die  erste  Gleichung 
in  unserm  Theoreme  die  Stelle  vertritt  des  allgemeinsten  Systemes 
von  simultanen  Gleichungen  und  eventuell  Subsumtionen,  in  welchen 
neben  vielleicht  noch  andern  eine  Unbekannte  x  vorkojunit. 

Eine  „Uubekauntu^^  laügeu  wii'  das  Gebiet  x  uennen  auch  danu,  wenu 
es  beks&nt  sein  sollte,  indem  man  doch  immer  die  Frage  aufwerfon  katin, 
welche  Werte  steh  dem  x  noch  beilegen  lassen  wflrden,  ohne  dass  die  Pro- 

posittonen  des  Systems  zu  gelten  aufhören,  indem  man,  m.  a.  W.  die  For- 
derung stellen  kann,  die  vereinigte  Gleichung,  somit  auch  jenes  System 

simnltanpr  rrr»|»nvitionGn  nach  x  ..anf~nlnsen",  rind  zwar  sie  vülhtiinälg  anf- 
zulüsen,  imthin  sämtliche  },Wiir7,eln''  derselben  anzugeben.    Durch  den  einen 
vielleicht  schon  bekauuten  Wert  von  x  ist  jene  Frage  doch  im  AUgemeiueu 
noeh  nicht  von  vornherein  erledigt. 
*  Die  Auflösung  einer  Gleichung  oder  eines  Systems  setzt  die  Vor- 

frage nach  deren  Auflösbarkeit  als  erledigt  Toraus.  Der  Vernünftige 
wird  ja  nichts  Unmögliches  unternehmen. 

Unter  a)  ist  aber  darrrethan,  dass  in  Hezufj;  auf  die  Auflösun^f 
der  vereinigten  Gleicliung  ax  •\-hx^=0  nach  x  diese  Frage  bald  m 
bejahen^  bald  zu  verneinen  ist: 

d)  i)te  Gleichung  ist  auflösbar ,  es  gibt  Werte,  welche  fiir  x 
0    eingesetat,  dieselbe  erfQllen,  d.  h.  sie  besitzt  Wurzeln  imtner  dann, 
wenn  zwischen  den  Koeffizienten  derselben  die  Relation  a6 0  be- 
steht, d.  h.  wenn  ihre  Koeffizienten  di^fuM  sind;  aber  aueh  nur  damt. 

Denn  wenn  diese  zweite  Gleichung  unsres  Theorems  nicht  erfiült 
ist|  haben  wir  gesehen,  kann  auch  die  erste  Gleichung  fOr  keinen 
Wert  von  x  besteheii|  sie  hat  dann  ttberhanpt  keine  Wnneln  und  ist 
dieselbe^  sowie  das  ihr  äquivalente  System  von  Propositionen  in  dieoem 
Falle  ^unauflösbar"  und  „absurd^  au  nennen.  Unter  den  Propositionen 
des  Systems  werden  dann  sich  entweder  solche  finden,  die  för  sieh 
allein  schon  ,,absurd"  und  durch  kein  x  ^rf&llbar  sind,  oder  die  Pro- 


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§  21.  Aaflösang  und  Elimiootion  bei  Gleichungen  und  Subsumtionen.  451 

Positionen  sind  wenigstens  ^fmmmbaiif'^,  ,^Mk(mktoiUf,  sie  yertrageu 
lieh  nicht  miteinander. 

Die  Forderung,  die  rereinigie  Gleichung  aafznlösen,  überhaupt^ 
sie  für  irgend  eine  Bedeutung  des  Symboles  x  als  gültig  aozuerkeunen, 

bleibt  es  hier  unmöglich,  ü;u  erfüllen. 

Die  Gleichung  ah  =i  0  erscheiiii  lüenach  als  das  Kennzeichen  für 
die  Auflösbarkeit  der  Gleichung  axi  h.r^  ~  0  nach  der  Unbekaiuiteu  x. 

Nicht  auflösbar  wai"  beispielsweise  die  Gleichting  1  •  +  1  •  .r,  =  0;  sie 
selbst  sowol  als  ihre  „Resultante^'  lief  auf  die  absurde  Forderung  1=0 
lunaas;  der  Anaats  einer  solchen  Gleichung  x  +  x^^O  ist  ganz  nnd  gar 
wmt^äss^f, 

Nicht  nur  ist  a&  —  0  eine  unerlassliche,  noHcendige  Bedingung 
sondern  auch  die  hhimcheiide  Bedingong  i&r  diese  Auflösbarkeit. 

Ist  sie  nSmlich  erfüllt,  so  gibt  die  dritte  Gleichung  unsres  Theo- 
rems: X'^bu^  +  a^u  fflr  jede  Bedeutung  des  u  eine  richtige  Wurzel 
and  für  ein  Ton  0  bis  1  (im  Elassenkalkul  von  „mchW  bis  fjaHHesf) 
variirendes  u  die  samtlichen  Wurzeln  der  ersten  Gleichung  an* 

Diese  bat  hienach,  hXls  sie  auflösbar  ist^  im  Allgemeinen  unend- 
(ich  viele  (eine  unbegrenzte  Anzahl  oder  Menge  von)  Wurgt^;  ihre 
L5sung  nach  x  ist  (unendlich-)  viddeuUg,  Geleistet  wird  die  verlangte 
Auflösung  der  ersten  Gleichung  dann  also  durch  die  dritte  Gleichung 
des  Theorems,  und  zwar  ausschliesslich  und  YoUständig,  indem  die- 
selbe für  X  einen  allgemeinen  Ausdruck  angibt,  welcher  sämtliche 
Wurzeln  der  ersteiu  uiiJ  uüy  solche  umfasst 

Als  die  notwendige  und  hinreichende  Bedingung  dafür,  dass  die 
Unbekannte  x  überhaupt  einen  Wert  oder  Werte  habe,  könnte  man 
die  Gleichung  ah  =  0  füglich  auch  die  „Wertigkeit' -  oder  „Valens- 
hedingung"  für  x  nennen.  Nur  wenn  sie  erfüllt  war,  konnte  es  ein  die 
<ileicliung  ax  bx^'=  0  erfüllendes  Gebiet  x  geben,  war  x  eines 
Wertes  fähig,  und  wenn  «ie  erfünt  ist,  musste  es  auch  ein  solches 
(eventuell  mehrere  solche)  Gebiete  geben,  denn  im  letzteren  Falle  er- 
wies sich  jedes  durch  den  Ausdruck  &{«,+  a,M  dargestellte  Gebiet  als 
eines  von  der  verlangten  ^Eigenschaft. 

s)  In  Anbetracht,  dass  diese  Gleichung  a6  «  0  den  Namen  x  der 
ünbekannten  fiberhaupt  nicht  enthalt,  kann  man  sie  Aber,  wie  schon 
eingangs  angedeutet,  auch  noch  unter  einen  andern  Gesichtspunkt 
bringen:  man  kann  sie  bezeichnen  als  „Bendfonfe  der  EUmkiaUcn  des  x 
ans  der  ersten  Gleichung  ax  +  bx^»Mt(y*  unsres  Theorems. 

So  oft  nämlich  eine  Gleichung  oder  Oberhaupt  ein  System,  von 
Propositionen  gegeben  ist,  in  welchen  eine  Gruppe  x,  y,  ...  von  »Sym- 


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452 


Eilfte  Vorlesong. 


bolen  eTentnell  Torkommt  (neTentuell'',  d.  b.  nicht  notwendig  diuehaiu, 
▼ielleicht  sogar  überhaupt  nieht),  und  man  leitet  danuu  durch  logiMshe 
SohlflMe  solche  (eventaell  neue)  Propositionen  ab,  welche  jene  Sym- 
bole x,fft,».  mcÜ  enthalteni  in  welchen  deren  Name  gar  nicht  TOr- 
kommi^  so  nennt  man  diese  letztem  Propositionen  (sowol  sie  einadn, 
als  audi  das  System  derselben)  „ein  Ergebmss  der  EUmmaiim  von  x, 
Vf  ous  jenem  gegebenein  Propositionensysteme''.  Man  sagt:  man 
habe  die  Symbole     y,       ans  dem  Systeme  heransgewwfm  oder 

Es  gibt  hienach  im  Allgemeinen  mdlfvre  Eltminationsergebnisse 
ftir  das  nSmliche  Propositionensystem  nnd  in  Bezug  auf  die  nSmlichen 

Symbole  x^y^ . . .  als  zu  eliminirende  Gebiete  oder  „Elimhumden^, 

In  tmeerm  Falle  würde  z.B.  auch  al>c      0  ein  solches  sein,  was 

imuiur  c  bedeuten  mag. 

Duell  ist  zu  Ijciiierkeii,  uuss  mau  diejeuigeu  von  den  durch  die 
Kliiiiijiatiou  gcwoüueueu  Propositionen,  welche  etwa  sich  als  ,,aua- 
ly tische"  Propositionen  herausstellen  sollten,  fallen  lässt,  und  sie  eud- 
gQltig,  definitiv  dem  Elimiuatiousergebnisde  nicht  zuzuzählen  pflegt 
aus  dem  Grunde,  weil  man  sonst  immer  eine  unbegrenzte  Menge  von 
j.nichtssasenden"  i'ropusitiüncu  mit  ins  Auge  zu  fassen  hätte.  So 
diirlten  beis|)jeiäweise  die  analytischen  Propositionen  0^(7,  h=^\, 
ab^a,  (a6),  =  fl, -i- etc.  unserem  Eliminationsergebniss  ah  ==  0 
nicht  zugezahlt  werden,  obwol  auch  sie  sich  als  Aussagen  über  a,6 
■darstellen,  die  x  nicht  entluilten.    M.  a.  W.: 

Gleichwie  hei  dem  als  ,,lJasis"  der  lüiminaiion  dienenden  Systeme 
von  gegebenen  Propositionen  diese  nur  in  Betracht  kommen,  sofern 
sie  Relationen  darstellen,  dagegen  beiseite  zu  lassen  sein  werden,  so- 
bald sie  etwa  analytische  Propositionen  sein  sollten,  so  fallen  auch 
als  Elimiuationsergebnisse  nur  Relationen  in's  Gewicht. 

Es  ist  nun  eine  gelegentlich  sehr  wichtige  Frage,  welche  Rela- 
tionen etwa^  UMidhikigig  von  den  Werten  der  Symbole  a;,  . . .  misciim 
den  übrigen  im  gegebenen  Propositionensysteme  YOrkommenden  Gebiei- 
symbolen  bestehen  werden,  sobald  dieses  System  gilt,  m.  a.  W.  welche 
Relationen  diese  übrigen  Symbole  erfüllen,  zu  einander  eingehen  müssen, 
damit  das  Propositionensystem  überhaupt  bestehen  könne  —  filr  irgend 
ein  Wertsystem  der  Eliminanden. 

Ein  solches  Eliminationsergebniss,  durch  welches  diese  Frage 
„vollstiMi^  beantwortet  wird  (in  sogleich  noch  nSher  prSaisirliem 
Sinne),  heisst  voÜe  EUnniMHomergAmaf*  oder  schlechtweg  ,/2as 
E]iminationsresttltat''y  und  sofern  es  nicht  als  ein  System  von  Rela- 


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§  21v  AaflOsang  nod  Etiminatioii  bei  61eie1iiiiigeii  und  SnbemnÜDDen.  453 

tionen  sich  darstellt,  vielmehr  in  eine  einsige  Relation  zasammeu' 
geiogai  ist,  anch  BesuUanie  der  EUmmation**.  Daaa  die  An- 
wendnog  de«  bestimmten  Artikels  biebei  gerechtfertigt  ist^  wird  dem- 
nlehat  erhellen. 

Ss  heieiehne  B  kars  das  als  Basis  der  Elimination  Ton  y, . , . 
gegebne  System  von  P^oiitionen  (nnd  swar  Relationen),  ebenso 
beseieline  B  ein  EliminationsergebnisB.  Dasselbe  wird  hienaeh  ein 
System  von  Relationen  sein  (oder  anch  eine  einsige  Relation),  das 
ans  B  folgt,  jedoch  die  in  B  (Tielleicht)  Torfcommenden  Symbole  Xf 
. , .  nieht  enthalt;  B  kann  nur  andere,  in  B  ebenlUls  vorkommende 
Symbole,  wie  a,  6, .  • .  enthalten  (nebst  yielleicht  noch  ganz  neuen 
Symbolen,  die  auch  in  B  nicht  vorgekommen  waren,  wie  es  smn  Bei- 
•  spiel  unbestimmte  Parameter  sein  wfirden). 

Nach  der  beabsichtigten  Erkl&ruug  ist  B  dann  „ein  Tollet^  Eli- 
minationsergebniss"  sn  nennen  |  wenn,  sobald  B  erfilllt  ist^  es  sieher 
mindestens  ein  Wertsystem  von  Xfff,»,*  gibt^  für  welches  auch B  er- 
füllt sein  muss. 

Ist  nun  auch  Ii  „ein  volles  EliminationsergebnisB^  in  diesem 
Sinne,  so  erkennt  mau  leicht,  da^s  die  beiden  Ergebnisse  Ii  und  Ii* 
logisch  äquivalent  sind,  dass  sie  einander  f^egenseitig  bedingen  müssen: 
wann  11  erfüllt  i«t,  wird  aucli  R'  erfüllt  sein  und  ebenso  folgt  um- 
irekehrt  aus  der  Geltung  von  Ii'  auch  die  von  JB;  der  Fall,  dass  zwar 
eines  vou  den  beiden  Ergebnissen,  aber  nicht  das  andere,  erfüllt  ist, 
kann  nicht  vorkommen. 

Denn  wäre  zum  Beispiel  U  erfüllt,  während  H'  nirJit  eriiilit  ist, 
80  gäbe  es  aus  dem  erstem  (irunde  em  \\  erlsysteni  der  .i\  y,  .  .  .  für 
welches  auch  B  erfüllt  ist.  Da  für  dieses  nun  also  B  gilt,  so  muss 
auch  B'  gelten,  indem  laut  Voraussetzung  W  als  ein  Kliinination.s- 
ergebniss  B  folgte.  Das  Erfülltsein  von  7?'  widerspräche  ;il^o  der 
soeben  gemachten  Annahme  seines  NichterfüUtseins,  welche  hienaeh 
unxnlassig  war,  zu  verwerfen  ist  Etc. 

Wir  sind  darum  berechtigt,  R'  eine  blosse  Umschreibung  von  R 
SU  nennen;  au  sagen  R  und  R'  seien  wesentlich  äasaeUbe  Eliminations- 
ergebniss  —  vielleicht  nur  in  yerschiedenen  Formen  oder  Ausdrucks- 
weisen. ^^'ir  dürfen  R  (sowie  auch  R')  als  t^äas  Resultat  der  Elimi- 
nation'^ schlechthin  bezeichnen. 

In  dem  besonderen  Falle,  wo  das  Propositionensystem  B  die  Eli- 
minanden  jr,  jf,  . . .  gar  nicht  enthalten  sollte,  wo  ?on  vornherein  kein 
einziger  Ton  diesen  in  ihm  TorkSme,  ist  leicht  am  sehen,  dass  B  selber 
das  Besnltat  der  Elimination  yon  o;,  |r, . . .  ans  ihm  sein  muss;  es  f&Ilt 


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454 


ESfle  Vwlesnog. 


dann  mit  B  xiisamnieD  und  ist  aame  eigene  JilmmaUimsnmUante.  Denn 
entenfl  ut  ea  „ein"  filiminationsergebniBa^  ireil  es  JC,  . . .  mcht  mehr 
(genauer:  ohnehin  nicht)  enthält  und  doch  „ans  B  folgte«  nämlich 
seine  Geltang  mit  der  von  B  gegeben  ist  (Wenn  B  gflt,  so  gilt  B  — 
vergl.  Piinsip  I  im  Anssagenkalkul);  und  sweitens  ist  es  das  voüe 
EigebnisSy  indem,  sobald  es  erfBllt  ist,  sonach  B  gilt^  es  auch  Wert- 
systeme  von  x^y,,,  geben  muss,  ,^ilr  welche  B  gilt'',  dann  nämlich 
B  ohnehin  gelten  mnss,  welche  Wertsysteme  man  anch  immer  unter 
Xf  i/j. .  Terstehen  mag.  —  Es  versteht  sich,  dass  in  solchem  Grenx- 
falle  Ton  Eliminiren  nur  in  uneigentlichem  Sinne  zu  sprechen  ist»  so- 
fern man  Jemanden,  der  gar  nicht  da  ist,  auch  nicht  hinauswerfen  kann. 

Aber  auch  wenn  B  Ton  vornherein  die  Eliminanden  . . .  oder 
wenijjcstens  einige  derselben  enthielt,  kann  es  doch  mit  der  Elimi- 
uaiioiisresviltaute  Ii  logisch  äquivalent  sein  —  und  dies  bildet  uuch 
eine  zweite  Art  vou  besoaclerii  1  ulkii  bemerkenswerten  Charakters. 

Triü't  jjolches  zu,  sodass  also  iiiclit  mir  R  aus  B  folgt,  il  1  Z> 
nur  für  irfjcnd  ein  Wertsystem  der  x,  y, .  . .  erfüllt  ist,  schlechtiiin 
gilt,  sondern  aucb,  wenn  7^  gilt,  U  uübedin^4  gelten  niuss.  mitUiu 
gelten  luuss  /ur  jcdc^  hrliehiiic  Wertsystem  der  Eliminanden  .r,  ij,  .  . 
so  sagt  man,  dass  letztere  „von  .icUh^f  aus  B  herausfallen^^  Dann  kann 
ja  in  der  Tbut  II  durch  R  ganz  und  gar  ersetzt  werden.  — 

Ist  die  volle  Resultante  zu  einer  Gleichuno;  (Basis)  nur  eine  ana- 
lytische, Formel  oder  Identität,  wie  0  =  0,  so  wird  man  nach  dem 
unter  i)  Bemerkten  auch  sagen  dürfen:  die  Gleichung  liefere,  oder 
habe,  keine  Resultante. 

2u  allen  diesen  vorerst  theoretisch  als  möglich  erkannten  Vor- 
kommnissen wird  uns  die  Praxis  Beispiele  liefern. 

Durch  die  Elimination  entlastet  sich  der  Geist,  indem  er  auf  seine 
Kenntnisse  in  Hinsicht  der  Eliminanden  zeitweilig  verzichtet,  dieselben 
fallen  lässt,  von  ihnen  absieht,  abstrahirt,  jeweils  von  solchen  Erkennt* 
nisselementen,  welche  für  die  Verfolgung  bestimmtor  Erkenntnissawecke 
unwesentlich,  belanglos  erscheinen  und  deren  Beibehaltung-  also  ihn 
hiebei  nur  als  ein  Ballast  zu  beschweren  vermöchte. 

{:)  Kehren  wir  nach  diesen  allgemeinen,  nämlich  auf  jedes  System 
von  Propositionen,  Aussagen  und  jede  Gruppe  von  Symbolen  anwend- 
baren (in  gleicher  Weise  auch  auf  die  Relationen  der  numerischen 
Mathematik  fibertragbaren)  Betrachtungen,  durch  welche  der  Begriff 
des  Eliminationsresultates  festgelegt  ist^  surflck  au  unserm  Theorem 

Hier  wird  in  der  Tbat  die  Gleichung  a(«0  nun  als  die  voUe 


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§  21.    Aul'lÖBUUg  und  Klimiuutiou  bei  (jileicliuugeu  uucl  Subsuuilioucn.  4ö5 

Resultante  der  Elimination  Yon  x  ans  der  Gleichung  ax  +  (x,  0  eu 
besoichnen  sein,  sintemal,  wenn  jene  erfüllt  ist^  es  nach  ß)  auch  immer 
Werte  von  x  gibt  welche  diese  erfüllen. 

Die  erste  Gleichling  des  Theorems  exemplifizirt  das  die  zweite 
das  B  der  obigen  allgemeinen  Betrachtungen. 

Sollte  die  Tsreinigte  Gldchung  das  gar  nicht  enthalten,  so  wird 
sie,  wenn  wir  a  ihre  linke  Seite  nennen,  die  Form  a-*0  haben. 
Nach  Früherem  können  wir  ihr  Polynom  gleichwol  nach  x  „entwickeln", 
wodurch  sie  wird: 

ax  +  ax^  =  0 , 

und  wenn  wir  jetzt  x  wieder  regelrecht  eliminiren,  so  ergibt  sich 

aa  =  0  oder  a  —  0  als  die  Kesultiinte    -  somit  in  der  Tluit  wiederum 

die  ursprüngliche  Gleichung  in  Bestätigung  des  üben  Gesagten. 

Ungeachtet  der  durchgUngigen  Ühereinstimiming  der  Bcgrifle  von  „Kli- 
luiuation'',  „Resultante",  „Wurzeln"  uml  „Auflösung'^  in  Bezug  auf  Glei- 
chungen des  arithmetischen,  wie  auf  Propositionen  des  identischen  Kulkulb 
gestaltet  sich  die  Anwendung  dieser  Begriffe  in  beiden  Disziplinen  doch 
sehr  yerschiedenl 

In  der  Arithmetik  erweist  sich  das  Eliroinationsproblem  sowol  als  das 
Aufl5sungsprobIem  in  bestimmter  Weise  abhängig  vm  der  Ansaht  der  zur 

VcrfllgUDg  stehenden  („von  einander  unabhängigen"')  Gleichungen  in  ihrem 
Vprliültniss  zur  Anzahl  der  /.u  eliminirenden,  beziehungsweise  als  Unbe- 
kannte zu  berechnenden  Zahlgröäüeu.  Im  identischen  Kalkül,  in  Bezug  aaf 
Gebiete,  ist  dieses,  wie  sich  zeigte,  dtircJiatis  nicht  der  Fall. 

In  der  Arithmetik  kann  man  ans  einer  Oleichimg  Überhaupt  nichts 
elimimrsn  — >  sofem  die  Besnltante  wieder  eine  Gleichung  weiden  soll. 
[Allerdings  Hesse  sich  z.  6.  im  Gebiet  der  positiven  Zahlen  eine  ünglei- 
chung,  wie  a  >  aticli  als  die  Resultante  der  Elimination  dfts  x  aus  der 
Gleichung  a  •=  h  4-  x  hinstellen,] 

Man  ist  nicht  im  stände,  aus  einer  (synthetischen)  (lleicium«^^  eine  andre 
abzuleiten,  welche  eine  oder  mehrere  Buchstabeuiuihlen ,  die  in  der  erstem 
vorkamen,  nioht  mehr  enthält,  wofem  diese  nicht  nach  den  Regeln  der 
Arithmetik  von  selbst  aus  ihr  hecansfallen. 

Damit  Elimination  mOglich  sei,  dürfen  erstens  die  gegebenen  Olei* 
chnngen  einander  nicht  widersprechen  und  mnss  zweitens  die  Anzahl  der 
„unabhiingigen"  Gleichungen  (d.  b.  colcher  von  welchen  keine  aus  den 
übrigen  folgt),  um  eins  grösser  sein  nL  «He  Anzahl  der  Eliminanden. 

Um  eine  Grösse  zu  eUminiren  sind  aiäu  in  der  Arithmetik  miudestens. 
swm  Gl^diungen  erforderfieh,  ftr  n  Gzflssen  mindestens  «i  + 1  Gleichungen, 

Im  identischen  Kalkül  losnn  schon  ans  einer  Gleichung  jedes  beliebige 
Gebietsymbol  eliminirt  werden,  mid  gleichwie  eines,  so  auch  mehrere  nach- 
einander oder  auch  a  iempo,  auf  einmal  (eine  Aufgabe  die  wir  noch  zu 
betrachten  haben  werden).  Hier  ist  das  El'nninaiion9j>roblcm  ganz  allgemein 
lösbar.  Aus  jeder  beliebigen  Menge  von  Prupositionen  lässt  sich  eine  be- 
liebige Gruppe  von  Symbolen  jederzeit  eliminiren.    Nur  wird  die  Kesul- 


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4&6 


Eilfte  Vorlflavag. 


tanto  niclit  immnr  eine  Relation  sein,  8ond«ni  manehmal  nar  «ne  «i&ljlaflche 

Propositiou,  eiue  IdeutitJit.. 

Soll  in  der  Arithuietik  ein  System  von  Gleichungen  uach  einem  System 
von  Unbekannten  auflösbar  sein,  so  darf  die  Anzahl  der  unabhängigen 
Gleicbniigeii  mcht  grOsser  sein,  als  die  Anzahl  der  Unbekannten  und  dflrfen 
auch  keine  den  andern  widerspreehttide  Gleiehnngen  mit  vorliegen. 

Im  identischen  Kalkül  darf  sie  beliebig  gross  sein. 

Eine  Ähnlichkeit  zwischen  beiflen  Di.-zlpliuen  erblicken  wir  aber  darin, 
da.<^^  hier  wie  dort  da&  Aaflösungsproblcm  nicht  unbedingt,  nicht  in  allen 
Fällen  l<»sbar  ist 

In  der  Arithiuetik  eiächeiuen  durch  die  Gleichungen  die  Unbekannten 
nicht  völlig  bestimmt,  sie  bleibm  teilweise  willkOrlich,  die  AvflÖsungen 
sind  vieldeotige,  jedenfalls  dann,  wenn  (Auflösbarkeit  vorausgesetst)  die  An> 
zahl  der  Gleichungen  kleiner  ist,  wie  die  der  Unbekannten. 

Im  identischen  Kalkül  ist  die  Auflösung  in  der  Kegel  eine  mehrdeu- 
tige, auch  ^fhi-ivi  \ip\  einer  Gleichung  ersten  Grades  mit  rincr  Unltckannten, 
und  mit  in  ProLiemen  als  mit  rm<T  Gleichung  ersten  Grades  können 
wir  hier  /.uniichüt  überhaupt  nicht  zu  thuu  haben. 

)})  Um  für  die  Auwendungeu  das  Tb.  50^)  sich  einzuprägeUi  merke 
man  (einer5?eits): 

Dk  Uesuliftntc  (Jvr  lütmination  eines  Symbols,  einer  Unbekannten  x, 
aj4S  ciwer  rechts  auf  0  gebrachten  litil:s  nach  dieser  entwickelten  Glei- 
chung ergibt  sich,  indem  man  das  Produkt  der  Koeffmenien  von  dieser 
Unbekannten  und  ihrer  Negation  gkicJt  0  setzt. 

Man  kann  aber  —  auf  zwei  Arten  —  der  Gleichung  eine  solche 
Form  geben,  dass  die  Elimination  sich  schon  vdleiehtf  indem  man  ein- 
fach den  Elitninanden  und  seine  Negation  ausstreicht,  utUerdrüdet, 

Einmal  nämlich  trifft  dies  zu,       Ebenso  trifft  es  zu,  wenn  mau, 


wenn  man  die  linke  Seite  der  Glei- 
obnng  ab  Produkt  sehreibt^  sie  in 
ihre  „letzten  Faktoren*'  zerlegt.  So 
wird  sie: 

(a  +  T,)  (6  +  0 

und  unterdrückt  man  hier  die  zwei 

ten  Glieder  der  Binome,  so  ergibt    und  wird  durch  Löschen  von  x 


die  linke  Seite  tote  früher  entwidceU 
lassend,  die  Glekkmg  reeiUs  auf  1 
bringt  —  vergL  Th.  33). 

Für  ax-¥bx^^Q  haben  wir 
dann  in  sagen: 


sich  in  der  That  die  Resultante: 
ab^O. 


und  o;,  hier  in  der  That  entstehen: 

a,  +  h,=  l, 
eine  Gleichung  die  mit  der  Besul- 
tante  a&>=0  nach  Th.B2  und  36) 
äquivalent  ist 

Stellte  man  aber,  wahrend  die  Gleichung  rechts  auf  1  gebracht  ial^ 
zugleich  auch  die  Unke  Seite  als  Produkt  dar,  schriebe  man  also: 


§  21.   Anflösung  uod  Eliminatiou  bei  Gleichungeu  und  Subaatutionen.  457 

(a,  +  a?,)     +    — 1, 

80  ir&fe  die  letste  Bogel  nickt  mekr  sa,  ebensowomg,  wie  es  bei  der 

orBprunglicken  Form  der  Qleiebung 

ax  -f      =  () 

der  Fall  war  —  indem  ja  nach  derselben  falschlich  a,6,  =»  1 ,  resp. 
a  +  i  =  0  entstehen  würde.  — 

Ein  bequemeres  Eliminationsver&hren  als  das  Fortlassen,  Aus- 
liiscJim,  die  Tilgung  der  Eliminanden  ist  nun  überhaupt  nicht  denkbar.*) 

£8  ist  deshalb  bei  Elituinationsaufgaben  mitunter  vorteilhaft  m 
operireB  mit  rechts  auf  1  (anstatt  auf  0)  gebrachten  Gleichungen  (in- 
dem man  links  AggregatOi  sack  wie  Tor,  Flrodakten  Yorzieht).  Be< 
sonders  wird  dies  ^  anck  noch  ans  einem  andern  Grunde:  der  Inier' 
preiation  kalber  ^  im  Anssagenkalkiil  siek  empfeklen. 

d)  Lautet 

eine  uacb  r  aufzulosotide  Gleichung,  so  entsteht  durch  Eutwickeluog 
des  Poijfuouiä  derselben  nach  x  gemiUs  Th.  44^): 

/•(l).«  +  AO).«,-0 

und  ist  daher: 

m-tw-o 

die  Resultante  der  Elimination  von  x  und  zugleich  die  Bedingung  für 
die  Auflösbarkeit  der  Gleicknng  nack  x  und  für  ikre  mdglicke  Geltung. 
Die  Auflosung  selbst  würde  heissen: 

*)  Von  praktisckem  Nutien  ist  nock  diese  Bemerkung.  Wir  seilten 
beim  Eliminiren  bisker  das  Poljnom  der  Gleicknng  als  besflglick  des 
Eliminanden  x  (dnrck  Entwickelung  nack  demselben)  homogen  gemacht 
Toraus.  Von  dieser  Yoraussetanng  ist  es  Torteilkafi»  sich  nnabktogig 
m  macken.  Ist  nftmlick: 

«flf  +  6a?,  +  c  0 

die  Gleichung,  aus  welcher  z  zu  eliminiren  ist,  wo  die  linke  Reite  als 
nicht  homogene  lineare  Funktion  jetzt  ein  Absolutglied  c  enthält,  so 
würde  diese  Gleichung;  homogen  gemacht,  lauten: 

(a  +  c)x  +  (6  +  c)x^  0 

und  gi&be  nack  der  Regel: 

•)  Die  Beuieikung  ibt  wol,  unter  Leitung  von  Mr.  Pcircc,  zuerst  von  MiBs 
Ladd  gewacht  und  von  Mr.  Mitchell  noch  weiter  ausgedehnt  worden. 


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458  Külte  Vorlesung. 


(<i  +  «)(6  +  c)i=0 
als  die  BesulUitte.  Diese  Tereinfacht  sich  aber  zu: 

ah-he^O  oder  c  +  Äft-«0. 
Daher  kann  man  merken:  Das  AhsolutgUed  (Aggregat  der  Glieder 
welche  x  nnd  nicht  zum  Faktor  haben)  gcJd  jcweUs  wnverimdeii  m 
die  Jksnlkmte  ü^;  es  braucht  demselben  nur  noch  das  Produkt  der 
Koeffizienten  hinzugefügt  zu  werden,  mit  welchen  x  und  ursprüng- 
lich behaftet  siud. 

js)  Ist  nun  bei  einer  Gleichung  ax  +  bx,  =  0  die  Bedingung  für 
ihre  ZulEssigkeit  oder  Auflösbarkeit,  die  Valonzbcilinguug  für  x  oder 
Resultante  seiner  Elimination,  erfüllt,  so  handelt  es  sich  auch  noch 
darum,  den  allgemeinsten  Ausdruck  für  die  Unbekannte  oder  Wurzel 
X  der  GIcicliuug  jederzeit  richtig  herstellen  zu  können.  Eis  ist  zu  dem 
Ende  nicht  praktisch,  etwa  nur  die  Formel 

SS  mm  hu^  +  a,« 

auswendig  zu  lernen,  schon  weil  in  einer  solchen  die  für  die  Unbe- 
kannte (x)f  die  Koeffizienten  (n,  b)  und  den  Parameter  (w)  /ngrunde 
gelegte  Bezeichnung  sehr  liüutig  kollidirt,  in  Kuiillikt  gerät,  nicht 
stimmt  mit  denjenigen  BezeichuuLigeu  welche  yeijchcn  siud  iu  den  Pro- 
blemen auf  die  der  Satz  angewendet,  für  welche  er  verwertet  werden 
soll.  Eä  empfielilt  sich  deshalb,  dass  man  die  durch  die  Formel  der 
Auflösung  l^aHerdings  am  kürzesten)  ausgedrückte  Iveü-el  sirli  oben- 
drein in  Worten  einpräge,  uud  merke  man  darum  (andrerseitsj: 

Um  nach  einer  Unhekannlm  eine  Ghichumj  anfztiVusen,  nachdem 
dieselbe  rechts  ;uif  '  »  gebracht,  links  nach  der  Unbekannten  entwickelt 
und  als  auflösbar  erkannt  ist,  setze  man  die  Unhehinnte  fj((i<Jt  der 
Is'&jation  ihres  Koeffizienten  multiplizirt  mit  einem  unbestimmten  Gchietej 
plus  dem  Koeffmenten  ihrer  Negaiion  nuU  der  NegtUion  dieses  Gebietes. 

Für  die  Gleichung 

ax'\'hx^^0,  wo  a&«»0 

isif  hat  man  also  die  Wurzeln  x,  neben  welchen  auch  deren  Negation 
angegeben  werden  mag: 

x)  X  "  a,M  +  6«, ,       X,  —  au  +  b,u^ , 

worin  man  wegen  der  Willküriicbkeit  von  u  natürlich  auch  u  und  ir, 
hätte  vertauschen  können. 

X)  Die  Auflösungen  lassen  sich  nun  aber  auch  noch  in  folgenden 
Formen  schreiben: 

X)        x  =  b  +  a,u  =  a^{b  +    ,      a;,  -=  b^{a  +  ?<,)  =  a  +  i,M, , 


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§  21.   AuflöäUDg  uuU  Elimination  bei  Gleichuugen  und  ^ubBumtionen.  459 

welche  dadurch  bemerkenswert  sind,  daaa  sie  em  Operfttionsglied  weniger 

enthalten^  mithin  einfacher  erscheinen. 

üm  BttDächst  diese  beiden  neuen  Formen  ftkt  x  miteinander  surllckxu- 
führen,  bemerke  man,  dass  wegen  ah^O  hier 

(  »  1  .    »  (a  +  a,)b     a&  +  a,&  =  0  +  <i,5  -=  ajj , 

oder  auch  rückwärts:  a^h  ==  h  sein  rouss;  und  ühulich  auch,  daäs  a^,  =  a. 

Mit  der  vorhergehenden  nach  n  homogenen  Form  x)  bringt  man  so- 
dann  die  Darstdlung  k\  s,  B.  x^h-^  a^u  In  Zusammenhang,  indem  man 
rechts  nach  u  entwickelt,  wodurch  sich  eigibt: 

X  =  h{u  +  M,)  +  er,»  »  bu^  +  {h  +  «,)«. 

Nach  Tb.  33^.)  Zusata  ist  aber  jetzt  6  +  <i,  ==  a,  +  «i^  =  n,  +  Ü  =  a, 
—  wie  denn  überhaupt  wegen  n  ^  fc,  oder  6  =^  a,  hier: 

ah^  =  a,       a,h  =  by       a,+  6  =  a,,       a  +  6,  =  6,' 

Bchon  nach  Anm.  2  zu  Tb.  43)  folgt  —  und  erhalten  wir  die  frühere  Form 

auH  der  letzten  durch  Einsetzung  jenes  Wertes  a,  für  6  +  a,.  Umgekehrt 

crhiilt  man  aus  dieser  jene,  indem  man  ri,  durch  das  wegen  ab  —  0  ihm 
f(leiche  a^  +  h  ersetzt  und  darnach  die  Glieder  mit  b  zusammenxieht,  d.  h. 
die  eben  vollzogene  Umformung  nun  rückwärts  ausführt» 

fi)  Nach  tdkn  in  ihr  Torkommenden  Symbolen  rechterhand  ent- 
wickelt lautet  unsre  L9sung: 

(x  =  (ah  +  a,/>)w,  -f  ((i,b  +  a^b^)u  =  a,6w,  4-  (n^h  +  f/,2>,')ll, 

^  K^'^'i'^  +         =  («^  +  +  ab^Uf 

wie  sich  aus  %)  leioj^i  nach  Th.  44^)  ergibt,  am  bequemsten  aber 
direkt,  indem  man  in  »)  den  einen  (mit  h  nicht  behafteten)  Term  mit 
h  +  den  andern  (von  a  noch  freien)  Term  mit  a  +  a,  multiplizirt. 
Die  Ausdrücke  f»)  könnten  hinwiederum  auch  in: 

^(x  =  a^b  +  a,b,u^a,(h  +  uh;),  . 
la:,==  aZ>,  +         =  ^(^  +  w,a,) 
zusammengezogen  werden,  wobei  sie  nach     ^  noch  «ntwickelt  blieben. 

{)  Einen  keurisHst^  Beweisy  eine  „BerJ^tm^,  der  die  Auflösung 
leistenden  Formel  l)  —  somit  auch  »)  —  habe  idi  in  meinem  Opera- 
tionskreis* gegeben  wie  folgt. 

Soll  ax-^hx,^0  sein,  wahrend  die  Bedingung  ab^O  fQr  den 
Bestand  nnd  die  Auflösbarkeit  dieser  Gleichung  erfüllt  ist,  so  mnss, 
wie  schon  unter  40^)  erwShnt,  für  sich: 

axumO   und   bx,  « 0 

sein.   Der  ersten  Forderung,  genügt  man  nach  Tb.  43)  Zusatz  auf  die 


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460 


Eilfla  Torle«uDg. 


allgemeioste  Weise,  indem  mau  x  »  va,  setc^  wo  v  ein  unbestimmteB 
Gebiet  bedeutet   Darnach  folgt  dann 

af,  —  f, +  a,      6a:,  =      +  a6  =  5t7,  +  0  =9  6t?, 

und  um  nun  auch  noch  die  zweite  Forderung  lm  ertülien,  braucht  mau 
uur  mehr  so  zu  bestimmen»  dass  hv^  =  0  ist.  Darnach  folgt  in 
gleicher  Weise: 

wo  fff,  ebenso^  wie  nisprfingUeb  10,  ein  nnbesiimmtes  Gebiet  fontelli 
Hiermit  ist  gefnnden: 

und  dies  ist  die  eine  der  unter  A)  f&r  die  Lösung  angegebenen  For- 
men, wenn  man  noch  den  Namen  tc,  des  nnbestimmt  bleibenden  Ge- 
bietes dareh  den  Namen  «  ersetst  Fttr  dieses  o?  a,(^  ^)  '^in^mli 
nun,  wie  schon  (indirekt)  erkannt  (nnd  auch  wieder  direkt  leicht  nach- 
weisbar wire)  die  Probe:  es  erflillt  die  aufzulösende  Gleichung  bei 
beliebigem  ti. 

Das  Ergebniss  mu9s  darnach  die  Yollstandige  Auflösung  darstellen. 

Denn  jede  Wur7el  x  der  Gleichung  muss  wie  erkannt  diese  Form 
haben,  und  jedes  x  von  dieser  Form  ist  eine  Wurzel  der  Gleichung. 

Übrigens  ist  zu  bemerken,  dass  unser  Th.  50^.)  obwol  iu  deu  vor- 
liegenden Gestalten  erst  von  mir  aasgesprochen,  hergeldtet  und  bewiesen, 
im  Grande  doch  nichts  anderes  ist|  als  dss  Hanpttheorem  im  Bool ersehen 
Werke^,  nar  gereinigt  von  allen  arithmetischen  Beimengungen  und  von 
der  spezielleren  Boole'schen  mitausgedehnt  über  die  allgemeinere  Je- 
▼ons's^^lr:»  Addition,  demgemÄss  auch  nicht  unerhebjich  vereinfacht. 

Im  tiegensatz  zu  noch  andern  eventuell  ssu  besprechenden  Methoden 
&ur  Bewältigung  des  Auflüsuugs-  und  Eliminationsproblemes  werde  ich  da- 
her die  auseimmdergesetEte  (nach  einem  auch  schon  von  andeni  Seiten  vor- 
Hegenden  Vorgänge)  „die  von  mir  modifisirte  Boole'sche  Methode"  nennen 
(„Boole's  method,  as  modified  by  Schröder**).  BesUgUoh  dessen  onmodi- 
fisirter  Methode  vergleiche  §  25,  Ende. 

0)  Beabsichtigten  wir  Anwendungen  des  Theorems  50^)  im  Klaissm- 
kalkul,  so  muss  noch  näher  erwogen  werden,  icii  daselht  der  unhe- 
stimmte  l^arameter  u  m  interpretiren,  wie  also  die  Formel  der  Auilösung: 

x^hUf-bafU    oder    x^b  +  ua^ 

in  4er  Warispratiie  darzustellen  sein  wird. 

Jene  Formel  unmittelbar  in  diese  zu  Übertragen,  gemSas  den  in 
§  8  und  16  erörterten  Regeln,  erscheint  misslichi  in  Anbetracht^  dsss 
u  allemal  einen  unbestimmten  Bruchteil:  ,^chtSy  oder  einiges  (etwas), 
oder  das  ganze  (alles)^  von  der  mit  ihm  mnltiplizirten  Klasse  heraus- 


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§  tl.  Auflöiuiig  und  Elimination  bei  Gleicbongen  und  äubsumtionen.  461 

tchnmden  wird.  Eio  Ausdraek  wie:  j^was  h  und  nicht  etwas  Gewiiees 
oder  anc^  nicht  a  aber  gleichseitig  jenes  Gewisse  ist"  entbehrt  doch 
wol  der  wünschenswerten  Dnrchsichtigkeii  Anch  passen  SabsnmtioneD 
sich  bequemer  der  Wortspraehe  an,  als  wie  Gleiehnngea. 

Dem  Mangel  wird  leiehtUch  abgeholfen,  indem  man  anf  die  Form 
49^)  des  Theorems  50J  zurOckgehi 

Jenes  Theorem  statuirte,  dass  die  Gleichung 

ax  +  bx^  ='  0 

auch  äquivalent  ist  dem  Paare  der  Subsumtioneu: 

h=^x   und   X  =^a^f 
oder  —  noch  einfacher  geschrieben  —  der  Doppelsubsumtion: 

Demnach  teerden  dk  heidm  misammei^iuUigen  Aussagen: 
ttAUe  h  amd     und  hem  »  iH 
mU  Workn  die  „AuflSsmis^  ^  Oleidiung  az  ^^hx^^O  noA  der  ün- 
hdumnfm  x  läsfen. 

In  dar  That  erseheint  in  diesen  Aussagen  die  Unbekaante  x  auf 
der  einen  Seite,  als  Prädikat  resp.  Subjekt  einer  Subsumtion,  isolirt, 
wahreud  auf  deren  andrer  Seite  nur  bekannte  Terme,  gegebene  Klasseu 
stehen  —  und  dieses  muss  als  das  Charakteristikum  der  ,,Auflösung^' 
tut  die  Wortspraehe  angesehen  werden. 

Auch  wenn  wir  eine  Gleichung  lüi  die  \\  urz  i  haben  —  wir  mögen 
sie  für  den  Augenblick  kurz  mittelst  x  =  c  darbtelleu  —  könnte  die- 
selbe ja  mit  Worten  nur  in  Gestalt  der  beiden  Subsumtioneu  c  x 
und  x=^c  —  vergl.  Def.  (1)  der  Gleichheit  —  ausgedrückt  werden, 
welche  wesentlich  von  dem  eben  beschriebeneu  Charakter  sind.  [Diese 
würden  sich  auch  wieder  in  eine  Doppelsubsumtion  C  =^X  =^C,  oder 
auch  x^c  =^  j-j  zusammenziehen  lassen.] 

Allerdings  wäre  hier  die  „andre"  Seite,  das  aus  den  bekannten 
Klassen  zusammengesetzte  Subjekt  oder  Prädikat  der  Subsumtionen, 
heidemal  das  nämliche:  c,  was  vorhin  nicht  der  Fall  war.  Es  wird  sich 
aber  im  Hinblick  auf  den  obigen  Satz  41  oder  o)  empfehlen,  bei 
dem  Begriff  der  „verbalen  Auflosung*'  von  dieser  Anforderung  Umgang 
zu  nehmen,  ja  den  BegriflT  der  ,,Auflösang^^  Überhaupt  eben  dadurch 
an  erweitern. 

Zu  demselben  Ergebnisse  kann  man  anch  von  den  Formeln  k)  oder 
^)  auä,  d.  b.  auf  dem  Umwege  Uber  diese  Darstellungen  der  Wurzeln,  ver* 
inittebt  des  Theorems  48)  gelangen. 

Damach  in  der  That  mu^s  x  =  hn^-\-  a^u  zwihclteu  dem  Produktti  und 
der  Sonune  seiner  Ko^&iienten  liegen,  and  sieh  in  Gestalt  von: 


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462 


Eitfte  VorlMQDg. 


auch  dftniteUeii  iMsen*  —  ▼orgL  Tb.  47),  sweite  Form;  m.  a.  W.  die  Glei- 
ehnag  ist  IqniTaloat  dem  Sabsamtionflapaaie: 

Wegen  ab  <==  i)  haben  wir  aber,  wie  bereits  gezeigt: 

a,b  "  b    and   a,  +  5  =  a,, 

also  wieder 

h  =^  X  =^         q.  e.  d. 

Ebenso  sieht  man  dem  Aut^dnick  jr  =  //  4-  «a,  augeublickiieb  an.  »ia?s 
er  zwiBehen  //  und  b  +  a,  irgendwie  gelegen,  welches  letztere  sich  aber  da, 
wo  ab  =  0  ist,  in  a,  selbst  zusammenzieht. *) 

q)  Es  erübrigt»  dass  wir  uns  nocb  ToUeode  Aber  die  ,,Determioa> 
tion''  des  AufldsungsprobleoiB  orieuiiren,  Tor  allem,  das«  wir  uns  Aber 
die  Frage  Uar  werden,  wann  die  Gieicbung  nur  eme  Wurzel  beaitst, 
wann  dagegen  mehrere;  in  welchen  F&llen  sie  gar  keine  Wnnel  hat» 
wurde  bereits  festgestellt 

Wenn  ein  Gebiet  x  durch  eine  gegebene  Gleichung 

ax  +  6a?,  —  0 

ausschliesslich  bestimmt  ist,  wenn  an  x  keine  andern  Anfordern u gen 
gestellt  werden,  als  dass  es  eben  dit-se  (ilt'iclnni^  erinlle,  m.  a.  \V. 
wenn  X  geradezu  ilefinirt  erscheint  als  die  Wurzel  dieser  Uleichuugf 
dann  bleibt  in  unsrer  Formel  lür  die  Auflösung: 

x^a^u  +  hu^f 

das  unbestimmte  Gebiet  u  Tollkommen  beliebig  oder  afffUtmr, 

Die  Wurzel  x  ist  dann  in  der  Regel  nicht  em  Gebiet,  sondern  — 
kann  man  sagen  —  eine  ganze  Klasse  von  Gebieten,  die  sich  eben 
ans  unsrer  Formel  ergeben,  indem  man  dem  «  alle  möglichen  Bedeu- 
tungen (in  der  Mannigfaltigkeit  der  Gebiete)  beilegt 

ö)  Je  nachdem  die  Werte  der  gegebenen  Koeili^ienten  a,  h  be- 
schaffen sind;  kann  indess  auch  der  Fall  eintreten,  dass  alle  Werte 
dieser  Klasse  susammenfallen,  sich  auf  einen  einzigen  rednziren. 

•)  In  den  Formen  6  =^  a;  =^  a,  +  &  habe  ich  iu  meinem  OperüLiüutikreis* 
die  LCeuDg  bei  den  Boole*tchen  Problemen  jeweilt  mit  Worten  gedeutet,  jedoch 
dieses  Schema  lelbit  ali  eioe  „anf  die  loterpretation  betflglicbe  Bemerkung**  — 

vergl.  p.  24  —  doit  nicht  mitgeteilt,  da  ich  mich  in  jener  Sohrift  immer  taut  der 

Gleichheitszeichen  bediente.    Ich  wüssie  demnach  kaum  zu  sagen,  wem  nun  du 

Th.  49.,)  eij^Piitlifli  /u/.uscl)reiV»pn  würo.  Von  spitern  Schriftstollrrn  kommt  ihm 
McColl  ain  nächsten,  indem  er  nach  seiner  in  §  'i7  dar^'clegtt'n  Methode  die 
Löaung  in  GenUll  der  beiden  iäubsumtioneii:  6  ^  a*,  a  ^  x*,  gewinnen  mOssie.  — 


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§  21.   AnflöBang  and  Elimination  bei  Gleichungen  und  Subsumtionen.  4G3 

Sieher  tritt  dies,  well  nach  Tk.  49^)  x  swiaelieti  5  und  gelegen, 
ein,  wenn 

l  =*a^f   somit  auch   a  =  &, , 
ial^  oder^  da  dieae  Bedingung,  reahta  auf  0  gebracht^  als 

ab  +  0,d,  =  0 

sich  darstellt,  wenn  nicbt  nvr  die  Anfldsbarkeitabedingang  a&-BO, 
sondern  anch  daneben  noch  die  Bedingung  afi^=*0  erfHUt  ist. 
Wir  haben  in  diesem  Falle: 

als  die  einzige  Wurzel  der  aufziilosendeu  Gleiciiung,  dm  n  verschipdene 
Äusdrucksformcu  der  Leser  mit  Rücksicht  auf  die  angeführt  mi  Kelii- 
tionen,  soweit  es  nicht  bereits  geschehen,  leicht  auf  einnn<]<n  zuiilck- 
führen  wird.  In  der  That  fällt  daun  aus  allen  Formeln  lür  die  Wurzel 
X  das  unbestimmte  Gebiet  u  von  selbst  heraus,  wie  auch  direkt  bei 
einer  jeden  von  ihnen  —  am  leichtesten  bei  v)  —  zu  sehen  ist. 

Jene  Bedingung  h  ^  ist  aber  nicht  nur  hinreichend  für  das 
Zusammenfallen  sämmtlicher  Wurzehi,  sondern  auch  notwendig  für 
dieses.  Soll  nämlich  x  =  hu^-\-  a,u  unabhängig  sein  Ton  «,  so  muss 
es  insbesondre  fOr  u  0  auch  denselben  Wert  annehmen  wie  für 
««■1,  d.  h.  es  muss  5«a,,  sonach  da  ab  ohnehin  «0  ist,  auch 
aJb^  =  0  sein.  Also: 

Ndwaidige  md  hinreicJiende  Bedtngwig  dafür ^  dass  die  Gleiekung 
eme  und  nur  eine  Wurgd  habe  isi:  dass  die  Ko^jßgienkn  Negationen  von 
einander  seien.*) 

Ihre  Warzel  ist  dann  eindeutig  bestimmt,  die  Unbekannte  näm- 
lich gleich  dem  Koeffizienten  ihrer  Negation  (oder  der  Negation  ihres 
Koeffizienten)  in  der  Gleichnng. 

Für  diesen  Fall  kommt  in  der  That  die  Gleichung 

ax  +      =  0   oder   &,a7  +  hx^  0 

nach  Th.  39)  auch  direkt  auf  x  =         b  hinaus.  — 

In  jedem  andern  Falle  ist  die  Wurzel  durch  die  Gleichung  nicht 
vollkommen  bestimmt,  vielmehr  die  Autlösung  (^unendlich)  vieldeutig 
(„unenulich"  nur  in  dem  Falle  nicht,  wo  die  Klaase,  das  Gebiet  fl,6 
aus  einer  begrenzten  Menge  von  Individuen,  I'uukten  beätünde). 

t)  Wir  erwähnten  bereits,  wann  i«  arbitr&r  bleiben  wird. 


*)  Man  künoie  auch  »agen:  a^b^  —  0  ist  die  licdiuguug  dafür,  da^-s  nidtt 
siehr  eis  eine  Wnnel,  Miwie  ab  0  die  Bedioguag  darür,  dass  mdU  weniger  «Ii 
eine  (dsai  nloiit  gar  keine)  Wnnel  existire. 


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464 


Eilfte  Vorlesung. 


Sobald  Ungegen  ausaer  der  Gleichung  aü>+  hs,  «  0  Aber  x  noch 
anderweilige  Information  Torliegb,  so  wird  die  Yariabiliiat  von  i*  ge- 
wissen EinBehrinknngen  unterliegen. 

Erledlgen  wir  noch  die  Frage,  uMe  Werte  dem  n  gugekSt  yset- 
de»  düirfmt  wm  x  einen  bekannten  Wert  hat  oder  emm  gegebenen 
Wert  erhalten  adU,  der  jedoch  immerhin  der  Oleichnng  ax  -f  0 

Die  Antwort  ergibt  sich,  indem  man  atiter  letsterer  VoransietKang 
die  Gleichnng  2>ti,  +  a,U'^x  nach  der  Unbekannten  u  auflSst  Zu  dem 
finde  hat  man  diese  Gleichung  rechts  auf  0  su  bringen  —  et  Tb«  39) 

und  46):  u- {h^ u,  +  au)  +  x,{bu,  +    u)  =  0 , 

links  nach  u  zu  ordnen: 

{ax  +  a,a:,) tf  +  {h^x  4-  bx,)u^  =  0 

und  nanmehr  das  Tb.  50)  selbst  anzuwenden. 

Als  fiesultante  der  Elimination  des  u  ergibt  sich: 
(ax  +  a,2,)  Q^^x  +  bx,)  — >  ab^x  +  a,&a;,  »  0 , 

.und  ist  diese  wegen  der  Torausgesetsten  Relationen  ax'^O  und  bx,  -=  0 
▼on  selbst  erfüllt   Darnach  berechnet  sich: 

wo  nun  V  ein  arbiträres  Gebiet  bleibt. 

Machen  wir  mit  diesen  Ausdrücken  iüh  Pr<»l>e  der  Auflösungi  von  der 
nicht  ganz  leicht  zu  sehen  ist,  dass  sie  wirklich  btimmt. 

Zuniuh.st  ist  zu.  bcmerkeu,  dass  man  durch  Tilgung  der  Terrae 

ax  und  hx^  schon  die  aufzulösende  Gleicliuug  hatte  vereiuiacheu  kOa» 

neu  zu: 

und  dass  ebenso  hei  f<  der  zweite,  bei  M,  der  dritte  Yon  den  vier  Ter- 
meu  in  Klammer  AveglÜlIt. 

Indem  man  diese  vereinfachte  Gleichung  gemäss  Th.  50)  nach  der 
Unbekannten  n  auflöste^  ergäben  sich  für  u  und  m,  die  noch  ein» 
fächeren  Ausdrücke: 

«)  ti  »   X9^  +  (a  +  ar)i;,      «,  «  (6  +  x^v^  +  «,jr,ü 

welche  auch  aus  den  vorigen  durch  einen  Kunstgriff  ableitbar,  indem 
man  s.  B.  oben  bei  u  in  der  xweiten  Klammer  den  Term  ax,  der  ja 
0  isl^  sufBgt  und  Th.  33J  anwendet 
Iffnn  wird: 

▼en  welchem  Ausdruck  wir  einsusehen  haben,  dass  er  (bei  beliebigeai  v) 
gleich  »  sem  muss. 


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§  21.   Auilösuug  und  KlimiAatioD  bei  Uleicbungen  uod  Subramtioneu.  465 

Wegen  hx^  0  Iftlli  »mlUsliflt  ücor  letste  Tem  fort^  und  fttr  den  Tor- 
letsten  kCnnen  wir  ebendealialb  schreibeii: 

hv^  ■=  hvX»  +  a?,)  «  hVfX  +  t\hx^  =  bv,x  +  0  bv^ge, 
Alsdann  tritt  x  als  gemeinsanier  Faktor  heraus,  und  sein  Koeffizient  wird: 
(fl,&,  +  h)v^  +  fl,i'  =  (rt,  +       +  fl,i;  =  (Oj  +,  ab)  r,  4-  a,t?  —  a,v,  +  a,i?  ««=»  a,, 
da  ja  ab  =^  0  ist! 

Hiemit  ist  denn  gefunden: 

und  bleibt  nun  Uo8  noch  in  Betracht  zu  xiehen,  dass  wegen  ad; «  0  in 
der  That: 

sein  muss. 

Die  Probe  mit  den  Ausdrucken  v)  stimmte  also  für  jede  Bedeutung 
von  V, 

Der  Parameter  u  der  Auflösung  x^a^u■hhu^  unsrer  Gleiehung 
ax  +      =  0  is^.Menacli  hei  gegebenem  m  im  Allgemeinen  VKäer  voU- 

hmnten  beliebig  noch  voUkommen  besHmmt.   Vielmehr  ist  aus  den  Dar- 
stellungen v)  für  denselben  zu  ersehen,  dass  er  zwischen  b^x  und  a  +  x 
liegen  muss,  in  Formeln,  dass: 
9»)  b^  X  =^  II  ^  «  +  /? 

und  dazwischen  iiuun  er  auch  jeden  Wert  zugeteilt  erhalten,  wie  man 
durch  Auweuduog  des  Th.  47)  auf  die  Funktion,  welche  u  hier  von  v 
ist,  erkennt. 

'l)  Völlig  beliebig  konnte  bei  gegebnem  x  der  Parameter  u  nur  wer- 
den, weun  b^x  =  0  und  a  +  x  =  1  wäre.  Bilden  wir  aber  aus  diesen 
BelationMi  und  der  yovauegeeetito  ax  -f  &jr,  s  Q  die  Tsreinigte  Oleiohuug, 
80  erhalten  wir: 

(a  +  i>,)af  +  (a,  +  &)ap,=-0, 
woraus  durch  EUminatioin  von  «  entsteht: 

(^/  +  &,)  (a,  4-  b)    oder    a6  +       «  0 , 

d.  h.  n  —  sowie  b  =  womit  wir  auf  den  schou  unter  tf)  behandelten 
Fall  verwiesen  werden,  in  welchem  die  Wurzel  x  vollkommen  bestimmt  war. 

VüSUg  beaUmmt  kflnnte  dieser  Parameter  ii  nur  sein,  wenn 

ft,af  =5  <i  +  a; ,    d.  h.    a,a5,  •  6,«  +  (a  +  «)  (6  +  j:,)  =  0 , 

oder  ax^  +  hx  =  0  noch  wäre,  im  Ganzen  also,  d.  h.  im  Verein  mit  der 
ureprüng liehen  Gleichung,  wenn: 

ax  +  bx^  +  aa;,  +  i*«  WS  0 , 

oder 

(fl  +  6)  (ar,  +  a;)     a  +  5  —  0 , 
mithin  sowol  u  =  (},  als  &  a  0  wäre. 

äoBBuuMB,  Algebra  d»r  i>ogik.  30 


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'  466  Eilft«  VorlMnng. 

la  diewni  Falle  wOrde  daroh  die  aufmlOflende  Gleicbung: 

0  •  a;  +  0  •  JP,  0 

ofTenbar  x  vollkommen  imbestimmt  gelassen,  und  mttBste  in  der  Tbat  w  » 
selbst  genommen  werden,  falls  hier  die  Formel 

X      hu^-^  a,tt  «  0  •  w,  +  1  •  u 
noch  die  Auflösung  darstellen  sollte. 

Augeuscbeinlicli  ist  jedo(  )i  dieser  Fall  nnr  rin  nrenzfall  von  sehr  spe- 
/it'lltMu  Oharaktor  uiul  untorgoordueter  Wichtigkeit,  der  wol  kaum  besonders 
gemerkt  zu  werden  braucht. 

cj)  Jedenfalls  Jst.  wie  aus  qr)  noohuials  und  schon  aus  y)  ersiclit- 
lich,  die  Annahme  u  —  x  selber  für  den  unl)esiiüHitten  Parainf'ter  r/r- 
nügend,  mn  einen  [iq/chrnm  Partikularteert  x  am  detn  allyemeinett  Aus- 
druck der  Wurzeln  hervorgelum  zu  lassen. 

%  23.  rortMtaong,  anoh  ffiv  mebxere  Unbekannta. 

Nachdem  vorstehend  das  Auflösunps-  sowie  das  Eliminationspro- 
blem für  eine  Unbekannte  erledigt  ist  (^insoweit  als  t^'pcrt'hene  Propo- 
sitionen nur  Subsumtionen  und  Gleichungen  in  Betracht  komuieuj, 
fassen  wir  den  Fall  in's  Auge,  wo  naJirere  Unbekannte  vorliegen. 

Diese  werden,  wenn  sie  in  einem  Propositionensystcnie  vorkamen, 
in  der  Regel  auch  in  dessen  vereinigter  Gleichung  auftreten.  Wenn 
niebt  —  so  fallen  sie  aus  dem  System  von  selbst  heraus,  da  mit 
diesem  ja  die  vereinigte  Gleichung  logisch  Uquivalent  ist.  Wird  diese 
stehen  bleibende  Gieiehang  sich  als  „falsch^'  herausstellen,  so  war  das 
ganze  Auflösungsproblem  unmöglich;  andernfalles  aber  bleiben  die 
herausfallenden  Unbekannten  ToUkommou  unbestimmt,  und,  sofern  ni(  lit 
noch  anderweitige  Bestimmungen  für  sie  hinzutreten,  willkürlick,  Iiis 
bleibt  dann  nur  noch  die  Frage  nach  den  Wertsjstemen  der  nicht 
herausfallenden  Unbekannten  zu  beantworten. 

Seien  Xf  y,  ,  die  in  der  vereinigten  Gleichung  auftretenden 
Unbekannten.  So  wird  die  linke  Seite  derselben  sich  naeb  jeder  ein* 
zelnen  von  diesen,  sowie  nacb  allen  snsammen  entwickeln  lassen. 

Man  kann  nach  der  (vollständigen)  Resultante  der  Elimination 
irgend  einer  Ton  ihnen,  od«*  einer  Gruppe  derselben,  oder  aucb  Ton 
allen  miteinander  fragen. 

Hier  gilt  nun  der  Satz: 

Zusatz  1  zu  Th.  50).  Die  HemUank  dn-  Klimination  sümtlicJter 
Vnhdcanntm  wird  erhaUent  indem  mim  das  Frodukt  dar  KoeffUieiUm 


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§  22.   ForiaetzuDg,  auch  für  mehrere  Unbekannte. 


467 


da  nad^  densdben  etskviMien  Folffiims  der  Gleiehmg  sßekih  0  seUtL 
[Aiisdeliiiinig  tou  ij)  das  §  21.] 

Wir  beweisen  den  Sats  snnäclist  für  irgend  zwei  Unbekannte  y. 
Naeh  diesen  entwickelt  bat  die  Gleiehting  die  Form: 

«)  axy  +  hxy^  +  c^v^y  +  dx^y^  =  0, 

oder  nach  »  geordnet: 

ß)  («y + ^yd^  +  (cy + dy,)x,  -  0, 

desgleieben  nach  y  geordnet: 

y)  («a;  +  c./ ,  I V  4-  (6.17  -f  dx,)y,  =  0 , 

wobei  die  Koeftizieiiteii  a,  6,  c.  d  nun  nocli  die  übrigea  Uiibukauuten  • 
2,...  als  Argumente  enthalten  können. 

Elimiuirt  man  x  allein^  so  kommt  nach  schon  bekannter  Regel: 

f)  (rty  +  hy,)  {cy  +  rfy,)  =  U    oder   acy  +  bdy^  —  0, 

und  wenn  hieraus  jetzt  y  eliminirt  wird: 

acd<7  — 0. 

Eliminirte  man  aber  znerst  y^  so  Uhne 

y )  {ax  +  f  r  ^  (&./•  +  dx^  =  0    oder    ahx  +  Cf/a",  =  0 

woraus  durch  Elimination  von  x  entsteht: 

ahed  0 

.  —  das  ist  wesentlich  dasselbe  wie  vorhin. 

ff)  Es  ist  also  zunächst  gleicJigültig ,  ob  man  erst  dann  y,  oder 
ob  man  erst  y,  dann  x  eliminirt. 

Die  gefundene  Relation  ahcd  =  0  mu8S  nun  aher  auch  dio  vc^llo 
Resultante  bei  Elimination  des  Paars  von  Gebieten  x,  y  sein.  1  »enn 
wenn  sie  erfüllt  ist,  so  gibt  es  jedenfalls  (mindestens)  ein  liebiet  .r, 
welches  die  vorhergehende  (Jleichung  erfüllt  —  vergl.  Ö)  des  §  21). 
Weil  diese  aber  die  ilesultante  der  Elimination  von  y  aus  der  ersten 
Gleichung  vorstellto  und  somit  (für  das  gedachte  ./■)  erfüllt  ist,  so  gibt 
es  \z\i  diesem)  nun  auch  ein  y ,  welches  die  erste  Gleichung  erfüllt. 
Sonach  gibt  es,  sobald  die  Relation  abcd  —  0  erfüllt  ist,  sicherlich 
ein  Wertepaar  von  2",  y,  für  welches  die  ursprüngliche  Gleichung  rich- 
tig wird,  d.  h.  diese  Relation  ist  die  (volle)  Resultante  der  Elimina- 
tion von  X  nnd  y  zugleich. 

In  dieser  Weise  kann  man  weiter  schliessen.  Bezüglich  dreier 
Unbekannten     y,  t  entwickelt  hat  die  Gleichung  die  Form: 

axyt  +  bxyßt  +  cafy.s  +  rfapy,«,  +  ex^yß  +        +        +  ^^ttft^t  —  ^ 
und  gibt  die  Elimination  von  01 

so* 


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468 


EUlU  Vorlesung. 


oder: 

Hieraus  aber  folgt  durch  Elimiuiren  Ton  y  liebst  a?  nach  der  Torstebeud 
scbon  bewieflenen  Regel  sogleich: 

ahcdefgh  =  0, 

und  dasselbe  würde  (nur  mit  umgestellten  Faktoreo)  sich  auch  er- 
geben haben  y  hatte  man  zuerst  x  nebst  y,  bemach  0  eliminirt 

Man  sehliesst  unn,  wie  Torhin,  dass  diese  Relation  die  volle  Be- 
snltante  der  Elimination  von  y, »  sein  muss.  Denn  ist  sie  erfUlt» 
so  gibt  es  mindestens  ein  Wertepaar  von  y,  fBr  das  die  Torber- 
gebende  Gleichung  und  au  diesem  dann  auch  einen  «-Wert,  snsammen 
also  ein  Wertetripel  von  x,  y,  m,  fOr  welches  die  erste  Gleichung  er- 
fttUt  ist 

Man  k5nnte  auch  zuerst  $  und  y  auf  einmal  eliminiren;  so  er- 
gäbe sich: 

(ax  +  ex,)  (Px  +  fx^  {ex + gx^  {dx  +  hx^  —  0 

oder 

ahcdx  +  efghXf  —  0, 

woraus  dann  durch  Elimination  des  X  wiederum  dieselbe  Resultante 
folgte  —  desgleichen,  falls  man  etwa  in  umgekehrter  Ordnung  erst 
hernach  y  und  ß  miteinander  eliminirte. 

f)  Es  ist  also  auch  gkahyuliujf  ob  mm  die  Gruppe  x,  y  und 
ausserdetn  oder  ob  man  x  für  sich^  utid  die  Gruppe  y,  e  auf  einmal 
elimimrt. 

Mau  feieht:  das  Eliminiren  von  Symbolen  iöt  in  Bezug  auf  diese  — 
nach  d)  —  eine  kommuUUive  und  —  nach  s)  —  auch  eine  assoeiative 
Operation. 

Wollte  man  vollkommen  gründlich  sein,  so  hatte  man  auf  die- 
selbe alle  in  Anhang  3  über  die  Multiplikation  angestellten  Betrach- 
tuii|i;en  zu  übertragen  —  ähnlich,  wie  dies  auch  in  Bezug  auf  das 
Entwickeln  der  Fall  war  —  vergl.  §  19  Zus.  1  zu  Th.  44).  Und  diese 
Übertragung  unterläge  auch  nicht  der  geringsten  Schwierigkeit^  iudem 
die  erwähnten  Betrachtungen  einfach  Geltung  behalten,  falls  man  nur 
unter  ah,  anstatt  ein  Produkt^  vorübergehend  versteht:  das  Ergebniss 
einer  Elimination  von  a,  h  —  aus  irgend  einer  bestimmten  Elimina- 
tionsbasis —  resp.  der  Entwickelung  nach  a,  h  von  irgend  einer  be- 
stimmten Funktion. 

Aber  auch  schon  darum,  weil  in  unsrer  resoltirenden  Relation 
keine  Unbekannte  hinsichtlich  ihres  Koeffizienten  (oder  deijenigen  ihrer 


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§  22.   Eiuuiuatiüii  vou  mehreren  Unbekanuteo.  469 

Negation)  bevonugt  erscheint  (desgleichen  keine  Gruppe  TOn  Unbe- 
kannten und  Negationen  solcher,  kein  Konetituent  der  Entwickelung)^ 
m*  a.  W.  schon  ans  der  Synmebrie  dieser  Relation  (in  Bezug  auf  die 
den  yerschiedenen  Konstituenten  zugeordneten  Koeffizienten)  ist  zu  er- 
sehen, dass  die  Beihenfotge  und  Gruppinmg,  in  welcher  die  EUminan* 
den  beseitigt  werden,  dass  die  ganze  „Jjnoränung  des  Elminatiotis- 
prosesse^*  glekltgüUig  sein  muss  für  die  zu  erwartende  Resultante. 
Geuauer: 

Zusatz  2  zu  Th.  50).  Es  ist  ßr  das  Ergt^miss  ofm  Bdcmg^  m 
voMtußr  JRaheirfolgs  mm  am  einer  Gku^tung  die  varsdnedenen  üttbdumnten, 
sei  es  einfidn,  sei  es  in  Idiehigen  Gruppe»  eiiminirtf  awik  einerlei,  ui 
wtidien  Oruppenj  und  ob  man  sie  sueeessive  oder  ob  man  sämUiehe  Un- 
bdcannte  auf  einmai  eUminirL 

Da  das  Entwickeln  nach  Tielen  Symbolen  zugleich  8. 416  eine  er- 
müdende Operation  ist,  bei  welcher  leicht  auch  Versehen  mitunter- 
laufen, so  wird  man  behufs  Elimination  einer  Gruppe  Yon  solchen  am 
besten  80  verfahren,  dass  man  erst  eine  Unbekannte  allein  eliminirt, 
1».  X.  Die  Resultante  wird  mir  nocli  die  übrigen  Unbekannten  y, 
Sj .  .  .  enthalten.  Aus  dieser  wird  man  hernach  eine  zweite  von  den 
Ulli  «  Iv Minuten  elimiuiren,  z.  B.  y,  aus  der  so  gewonnenen  neuen  Kesul- 
tajile  eine  dritte  und  so  weiter  fortschreitend  nach  und  nach  die 
sämtlichen  Unbekannten. 

Q  Auf  Grund  des  Zusatzes  1  zu  Th.  50)  wSre  —  in  Erweiterung 
der  unter  tf)  des  §  21  gemaehten  Bemerkungen  —  leicht  zu  zeigen, 
dass  tcenn  die  vereinigte  Gleiekung  rechterhanä  auf  1  gdtradU  ist,  auch 

hier  (bei  beliebig  vielen  Eliminanden)  wieder  die  Resultante  erhalten 

wird,  ijidem  man  einfach  die  Konstitumlen  des  mich  den  Elimiuanden 
entwickelten  Polynoms  der  Gleichnnü;  (mithm  diese  Klimmandeu  selbst 
samt  ihren  Negationen)  durcJitceg  auslöscht. 

War  /.  B.  f{xy  =  0  die  Gleichung  nach  zweieu  vou  den  Unbekauuten 
entwickölt,  so  wird  sie  nun 

/;(ar,  f/)  =  1     oder    (i,xg  +  b^xy^  +  c^x^^J  +  dfX^if^  =  1  , 
und  gibt  durch  AubBtreichuu  der  Konstituenten: 

«,  +  &,  +  c,  +  d,  =  1, 
was  mit  abcd  =  0  äquivalent  ist  Etc. 

fj)  Anmerkung  zum  Zusatz  2  des  Tli.  50). 
Im  Gegeusatz  zu  vorstehendem  ist  es  aber  uicJd  (jleirhgüUiff,  wel- 
ches Verfahren  man  beim  Eliminiren  einschlägt  in  folgeuder  liinsicht. 


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470  Eiltte  Vorlesung. 

« 

Hat  man  ein  System  toh  Prapasitionen  (wir  können  ohne  Beein- 
trSchtigung  der  Allgemeinheit  eagen:  Gleichungen,  da  sich  ja  anch  die 
Snbsnmtionen  stets  als  Gleichungen  darstellen  Hessen)  —  also:  Hat 
man  ein  System  Ton  Gleichungen,  so  kann  man  ein  Symbol  (oder  auch 
eine  Gruppe  von  solchen)  aus  diesen,  indem  man  sie  gäremU  ISsst  — 
mithin  aus  jeder  Gleichung  fttr  sich  —  eliminiren  und  schliesslich  die 
Resultanten  an  einem  einzigen  Ausspruch  susammenfiassen. 

Oder  man  kann  auch  die  Gleichungen  des  Systems  suerst  in  eine 
einzige  zusammenziehen  und  aus  dieser  ,,Tereinigten''  Gleichung  als- 
dann das  Symbol  (resp.  die  gedachte  Gruppe  der  Symbole)  eliminiren. 

Auf  letzterem  Wege  ergab  nach  unsern  Regeln  sich  die  volle  lia- 
^ultanto  der  Elimination. 

Auf  dem  ciskrn  Wege  jedocli  erhält  mau  im  AUgemeiuen  ein 
weniger  umfassendes  Resultat,  zwar  wol  ein  richtiges,  aber  nicht  das 
volle  Eliminatiousergebuiss  —  wie  dies  schon  au  einfachen  Beispielen 
nachweisbar  ist. 

Wird  z.  B.  das  Symbol  x  aus  den  beiden  Gleichungen  des  Systems: 

aa;  +  6^,  ««=0,    cjj  +  rfjp,  =«0 

einaeln  eliminirt,  so  lautet  die  vereinigte  Gleichung  der  beiden  Er- 
gebnisse: 

geradeso,  wie  sie  auch  lauten  würde,  wenn  man  aus  den  Gleichungen: 

da»  Paar  y  eliminirt  hätte.  |  Offenbar  kam  hiebei  nicht  zur  Gel* 
tung,  nicht  zum  Ausdruck,  dass  die  Unbekannte  y  der  zweiten  Glei" 
chung  die  nämliche  sein  sollte,  wie  die  der  ersten,  dass  beide  Gleichun- 
gen fQr  denseVien  Wert  des  Eüminanden  erfüllt  seien.] 

Dagegen  ist  die  Resultante  der  Elimination  von  x  ans  der  ver- 
eioigten  Gleichung: 

(a-l-        (6  +      —  0 

(von  jenen)  nun: 

(a  +  0)    +  <0  —  a&  4-  ac2  +  frc  +     —  0 

—  sonach  umfassender  als  das  vorige  Eliminationser^obniss,  indem 

sie,  ausser  ah  =  0  und  cd  ~  0,  auch  noch  besagt  —  wu-^  daraus  allein 

nicht  folgen  würde  —  dass  auch  aU  —  O  und  hc  =  0  sein  muss! 

Behufs  Gewinn  II iiy  Jt^  vollen  Eliminatioi^ergdmisses  mnön  man  aUo 

erst  vereinigen,  dann  climinirm. 

Gegen  diese  Vorschritt  kann  man  freilich  zuweilen  auch  ohne  Schaden 
sdiidigeQ  —  im  obigeu  ExBui^jel  iuäliOoondre  Uauu,  wenn  die  dabei  ver- 


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%  'IL    Elimination  von  mehreren  UnbekauuLen. 


471 


loraea  Terme  von  selbst  oder  analytisch  TerschwindeDf  wie  dies  s.  B.  ein- 
treten würde,  wenn  sieb  ad  als  von  der  Form  aj?,  •  und  cd  als  Yon 
Uei"  Form  a/3  •  cf,^,  oder  violleicht  yd-fd, ,  und  dergleichen,  herausstellte. 

Es  haben  durch  ;;olchen  Verstoss  einzelne  meiner  auierikaniseben  Mit- 
arbeiter auf  dem  Feld  der  logischen  Algebra  bei  der  BehandluniLr  spezieller 
Aufgaben  einen  Vorsprung  vor  mir  gewonnen,  indem  öie  alleriiaud  Weit- 
ISufigkeiten  des  Droekes  ersparten  und  mit  einfacherem  Foimelansats  «im 
Ziel  kamen,  als  wenn  sie  nach  den  von  mir  empfohlenen  Schemata  streng 
systematisch  zuwerke  gegangen  wftren.  Solchen  Vorsprung  muss  ich  aber 
als  einen  illegitimen  bezeichnen ,  sofern  sich  die  dabei  befolgte  Taktik  bei 
andern  Gelegenheiten  rächen  niilsste. 

Durch  die  vorstehenden  Überlegungen  wurde  das  Eliminationa- 

problem  für  eine  beliebige  Menge  von  Eliminanden  erledigt. 

O")  Es  frägt  sich  noch,  wie  das  Auflösuogsprublem  bei  einer  Mcfir- 
saJd  von  Unbekannten  sich  gestaltet. 

Im  Gegensatz  zur  numerisch  rechnenden  Mathematik  inuss  das 
Problem  der  Auflösung  eines  Propositionensystems  nach  mehreren  ebenso 
wie  schon  nach  einer  Unbekannten  allemal  mit  der  Eliniination  eben- 
dieser  Unbekannteii  verbunden  werden  in  der  Art,  dass  diese  Elimina- 
tion der  eigentlichen  Auflösung  jeweils  vorauszuschicken  ist.  Und 
ferner  scheint  das  Auflösen  nach  mehrern  Unbekannten  für  die  Logik 
nicht  die  entsprechende  Wichtigkeit  za  besitzen,  wie  für  die  Arith- 
metik. 

Die  Unbekannten  mögen  Xfij,g,,,.  heissen.  Eliminirt  man  (aus 
der  vereinigten  Gleichung  des  Problemes)  sie  sämtlich  —  z.  6.  Mcces- 
sive  in  der  umfjckehrten  Ordnung  als  wie  sie  ang^ieben  sind  —  so  ergibt 
sich  als  Besnltante  eine  Gleichang,  in  der  nur  noch  bekannte  Gebiete 
0, 1|  o»  (j   4 . . .  Torkommea  werden. 

Die  Besnltante  —  B^O  möge  sie  heiisen  —  kam  eine  anaUf- 
Usdie  Identität  sein,  wie  es  namentlich  der  Fall  sein  wird,  wenn  sie 
anf  die  Gleichung  0  0  sich  ausammenziebt,  w&hrend  auch  umge- 
kehrt, nachdem  sie  rechts  auf  0  gebracht  ist,  die  linke  Seite  R  der- 
selben auf  Grund  der  Regeln  des  Kalküls  dann  ebenfalls  identisch  0 
sein  wird.  In  diesem  Falle  wird  die  Aufgabe  der  Berechnung  tou 
x,ij,s,.,*  unbedingt  lösbar  sein  fftr  alle  denkbaren  Wertsysteme  der 
Parameter  öder  Symbole  a,  6, . . . 

Oder  aber:  die  Resultante  B  »  0  ist  selbst  eine  syntheHsche  Glei- 
chung, eine  I{elati<m, 

Ist  dieselbe  Yon  den  gegebenen  Symbolen  «,  6, . .  nUhi  erfQllt,  in- 
dem sieb  für  ihre  linke  Seite  R  eben  ein  gemäss  den  Voraussetzungen 
des  iVoblemss  vun  0  vtrödtkävn  zu  denkender  Wert  herausstellt  (und 


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472 


Eillle  Vorlewuig. 


wie  es  uamentlicb  vorliegen  wird,  sobald  die  Resultante  etwa  auf  die 
Gleichung  1  — •  0  sieb  zusammenziebt),  so  wird  nnsre  Aufgabe  unlos* 
bar>  uomöglicb  sein,  nicht  etwa,  weil  man  alsdann  die  Werte  der  Un- 
bekannten nicht  sollte  na  entdecken  Termögen,  sondern  weil  es  dann 
gar  keine  solchen  Werte  geben  kann,  welche  die  anfinilöseude  Glei- 
ehnng  erfttllen. 

Ist  dagegen  die  xesultirende  Relation  JB«0  von  den  gegebenen 
Gebieten  •  *  eri^Ut^  >o  ist  die  Aufgabe  losbar,  die  Auflösung  m5g- 
lieh,  und  kann  man  alsdann  gleichwie  im  ersten  Falle  schreiten  cur 
Ermittelung  der  „Wur«eln",  d.  h.  der  (aller  deijenigen)  Wertsysteme, 
welche  fttr  a;,  y,e,..  eiugesetat  die  Tereiaigte  Gleichung  erftllen. 

t)  Häufig  smä  auch  die  Parameter  fl,  6,  c,  .  . .  nicbt  speziell  gegeben, 
«ondem  selbst  noch  unbestimmte,  als  genehm  blos  zu  dcnkcndr  Gebiete;  «ie 
werden  etwa,  da  man  in  der  Wissennchaft  sogleich  möglicbät  allgemeine 
Probleme  za  Utoen  bestiebt  ist»  uns  aügewmne  Gebiete  Ton  Tomberein  vor- 
zustellen haben. 

In  solchem  Falle  kann  man  nach  der  gleichen  Methode,  die  wir  hin- 

sichtlich  X,  Ify  z,  .  .  noch  auseinanderzusetzen  haben ,  die  Parameter  a,  2>,  .  .  . 
zuerst  selbst  als  T^nbekanute  so  bestimmen.  Hn<s  pie  jene  Kcsnltante  7?  —  O 
auf  die  allgemeiuhte  Weise  befriedigen.  Alydann  ist  in  der  That  auch  kein 
Unterschied  mehr  vorhanden  zwischen  gegebeneu  und  gesuchten  Gebieten; 
wir  mögen  dann  sämtliche  Buchstabengebiete,  welche  in  die  vereinigte  Glei- 
chung eingehen,  gleiohmRssig  als  „Unbekannte**  beseichnen  und  erlangen 
den  Vorteil,  dass  das  AufKSsnngsproblem  nun  stets  lOsbar  wird,  sofern  die 
Gleichung  nicht  geradezu  auf  die  Absurdität  1—0  hinauslSnft. 

Denken  wir  uns  nämlich  alle  Buclistaben  eliininirt,  Iiis  auf  r'tnm  O, 
60  kann  die  Resultante  nur  eino  von  folgenden  vier  Formen  haben: 

0  •  a  +  0  •  a,  =  0,    d.  h.    O  =  0,  wo  a  dann  unbestimmt  bleibt, 

1  *  a  +  0  •  a,  s=  0 ,    wo  dann  a  »  0  sich  bestimmt, 

0  •  a  +  1  •  a,  =  0 ,    d.  h.    a,  •=  0,  wo  sich  a  =  1  bestimmt, 

1  •  a  +  1  •  «,  =  0 ,    d.  h.    1  «  0,  was  (för  jedes  a)  unmöglich  — 

—  in  Anbeiraclit,  dass  ja  ausser  a  keine  Buchstaben  mehr  in  der  R-esiil- 
tante  vorkommen  werden,  sonach  das  Polynom  der  letztem,  nach  a  ent- 
wickelt, als  Koeffizienten  nur  0  oder  1  aufweisen  kaun. 

Im  erbten  Fall  war  die  Uesultante  als  eiue  analytische  Gleichung  er- 
füllt, hier  fiel  a  mit  den  llbiigen  Boehstaben  von  selbst  herans  und  bl^i 
es  wilfktirlicb. 

Im  zweiten  und  dritten  Falle  erwies  sieh  a  (=»  0  oder  aber  l)  als 
absolut  bestimmt;  man  wird  diesen  seinen  ermittelten  Wert  in  die  ver- 
einigte nieichnng  einsetzen  unten*  Vereinfaclinng  derselben  in  der  dadurch 
bedingten  Weise,  und  wird  es  fortan  ausser  Betracht  lassen  um  sich  nur 
noch  mit  der  Aufgabe  zu  beacbäftigeu  diese  vereiufaübte  Gleichung  aufzu- 
lösen, SO  als  wenn  sie  die  nrsprQnglioh  gegebene  gewesen  wtre;  dieselbe 
enthält  dann  mindestens  einen  Boehstaben  weniger. 


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§  22.   Auflösung  nach  mehreren  Uabekannteo« 


473 


In  allen  drei  Fallen  beben  wir  dann  eine  ünbekannte  weniger,  weil 
ancb  im  ersten  a  als  willkOrlieb  bleibend  erkannt,  gefanden  ist 

Im  viei*ten  Falle  wird  man  das  Problem  als  unsnlissig:  verbissen.  Da 

die  Resultante  aus  der  vereinijürten  Gleichung  folgte^  so  w'wd  auch  diese 
schon  absurd  sein,  für  keinen  Wert  von  a  und  für  k^in  Wort  System  der 
Buchstabensjmbole  —  ktir/utn  überhaupt  nicht  —  zu  bestellen  vermögen. 

Liegt  dieser  vierte  Fall  nun  nicht  vor,  so  kann  auch  bei  keiner  fer- 
nsren  Elimination  irgend  einer  Bndistabengruppe  die  absurde  Gleicbong 
1  0  mehr  Torkommen.  Dson  da  diese  letatere  anoh  a  aiofat  enthftlt,  so 
kann  sie  jedenfalls  als  „ein  Ergebniss  der  Elimination  des  tt''  auch  an- 
£:esehcn  werden,  und  mflsste  also,  entgegen  der  Annahme,  in  der  wMen 
!iP"u!tnnt.e  der  Eliminatinn  von  a  schon  enthalten  f^ewesen  sein  —  nnd 
eben  (iie  volle  Resultante  hatten  wir  ja  beim  Eliminiren  i^fler/.cit  gebildet. 

Wir  hätten  nunmehr  jetzt  zur  Elimination  und  Berechuung  von  l»,  c,  . . 
zu  schreiten  in  der  Weise  wie  es  für  o:,  . .  des  weitern  auseinander- 
gesetst  wird. 

x)  Aus  der  rorletzten  Elimiiiationsresultante  ^{x)  =  0,  welche 
beim  Einhalten  der  oben  empfohlenen  Anordnung  des  Eliminations- 
proaesses  yon  den  rnbekaimteu  nur  uoch  x  enthalten  kann,  berecfaoe 
man  x  gemäss  Th.  50^).  Dies  ist  möglich,  weil  die  Bedingung  filr 
ihre  Aofldsbarkeit  ja  eben  das  Erfülltsein  der  (letzten)  Resultante 
J7  B  0  war.  Im  Ausdrock  für  die  Wurzel  x  wird  ein  willkfirlicher 
Parameter  u  auftreten. 

Für  jeden  Wert  der  somit  gefundenen  Wnrael  x  wird  dann  die 
Gleichnng  ^{x)  —  0  erfüllt  sein,  weil  die  Probe  fttr  die  Aufldsnng^ 
wofern  sie  licbtig  Tollzogen  war,  doeh  sicber  stimmt 

Diese  Gleicbong  B{x)  0  war  aber  selbst  die  Resultante  der 
Elimination  Ton  y  aqa  der  dhittleteten  Elimiaationsresnltante 

welebe  von  den  Unbekannten  ausser  x  nmr  noeb  y  ^nthielt  (da  die 
folgenden  Unbekannten  bereits  eliminirt  waren).  Da«  ErfQlltsein  dieser 
Resultante  i2(a?)  ^0  ist  die  Bedingung  fOr  die  Aofldsbarkeit  der  Glei- 
chung 72  (t,  sr)     0  nach  der  Unbekannten  y. 

Setzt  man  in  letztere  den  für  die  Wurzel  x  gefundenen  Wert  fttr 
X  ein,  so  eutbiilt  sie  ausser  der  Unbekannten  //  nur  noch  die  bekannten 
Gebiete  a,h,..  nebst  dem  willkürlichen  i'at  auieter  u,  und  ist  sicher 
nach  y  auflösbar.  Ihre  Auflösung  gemäss  Th.  50)  liefert  uns  nun 
aufh  diese  zweite  Wurzel,  deren  Ausdruck  noch  einen  neuen  willkür- 
lichen Parameter  v  enthalten  wird. 

Die  gefundenen  Wertepaare  .r,  y  befriedigen  jetzt  die  drittletzte 
Resultante  Ji(jt-,  y)  =  0,  welches  die  Bedingung  war  für  die  Auflös- 
barkeit nach  e  der  t;i^^letzten  Resultante  Iii^x,y,g)^Of  die  ausser 


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474 


EUfte  Vorlesimg. 


diesen  als  Argumente  angeführten  drei  Unbekannten  keine  andern  en(- 
.hiUt.  Naeh  Einaetamng  der  gefundenen  Wnrzelwerte  Ton  x,  y  wird 
man  daher  dureh  Auflösung  gemäss  Th.  50)  jetst  die  dritte  Wurzel 
g  erhalten  deren  Ausdruck  einen  neuen  arbiträren  Parameter  w  in  steh 
schliesst. 

Und  so  kann  man  augenscheinlich  fort&hren  bis  alle  Unbekannten 
gefunden  sind,  welche  dann  auch  die  (suletat  nach  der  letsten  Unbe- 
kannten anfgelöstoiy  das  ist  die)  ursprünglich  gegebene  vereinigte  Olei- 
chung  erfüllen  werden. 

X)  Wir  wBren  hiemit  ni  Ende,  wenn  nicht  noch  eiae  beim  siiccessiven 
Eliminiren  von  .  .  r,  x  zuweilen  eintretende  Möglichkeit  ?.u  bciücksichtigeu 
wäre,  die  wir  mit  Stillschweigen  übort'atMT^en  haben:  Es  kann  bei  diesem 
successivcn  Elimitiiren  —  eventuell  zu  veibchiedenen  Malen  —  vorkommen, 
dass  beim  Liimmireu  einer  beätimniten  Unbekannten  mit  dieser  zugleich  noch 
mehrere  emden,  dass  eine  ganze  Gruppe  von  solchen  auf  einmal  berausftllt. 

FsUt  s.  B.  beim  Eliminiren  von  y  anch  »  sngleich  heraus,  so  wird  die 
der  definitiTen  Resultante  Ii  =  0  unmittelbar  vorangehende  vorletzte  Be- 
sultante  jetzt  nicht  ll{x)  =  0  sondern  J^(a:,  t/)=»0  z\x  nennen  sein.  FaHcn 
unterweges  mit  z  zugleich  schon  r  und  ij  heraus,  so  ist  die  twletftte  ße- 
Sultan te  von  der  Form  7?(.r, »/,  ^)  =  Ü,  etc. 

Man  kann  erstlicli  solchen  Fall  beseitigen,  indem  man  —  im  ersten 
Beispiel  —  swischen  die  allerletzte  •>»  0  und  die  vorletzte  ^)  =  0 
die  Qleiohung 

-  «  + 12  •  dr,  0 

als  nunmehrige  t)orletste  unter  Jl{x)  ^0  su  yerstehende  Besultaaie  «in- 
schiebt —  eine  Gleichung,  die  sich  aus  »  0  durch  „Entwickelung**  der 
linken  Seite  nach  x  ergab. 

Im  zweiten  Beispiel,  indem  man  zwischen  'R{x  y  s)  ~  0  und  i2  «  0 
als  dritUetste  und  vorletzte  Besultaute  die  Qieichuiigen  einschiebt: 

als  dermaligen  StellTcrtreter  des  im  Text  erwKhnfen  E{x^  y)  0  und  wie- 
der Ji '  X  +  7»  •  r,  =  0  als  Stellvertreter  von  Jt(x)  ^  0  —  und  so  fort 

Zur  Erledigung  des  Falles  genügt  dann  der  Hinweis  darauf,  dass  so- 
fern eine  Unbekannte  aus  der  nach  ihr  aufzulflsendcn  Gleichunj:^  von  selb-t 
liorauslallt,  dieselbe  (wie  bereits  erkannt)  unbestinirat  l)leibt,  liier  also,  w<» 
sie  durch  die  Gleichung  allein  bestimmt  werden  sollte,  als  willkürlich  oder 
arbitrSr  sn  bezeiobnen  sein  wird« 

Zweitens  erkennt  man  aber  auch  ganz  direkt,  dass  wenn  beim  Elimi- 
niren einer  Unbekannten  auch  die  ttbrigen  mit  herausfallen,  diese  alle  bis 
auf  eine  willkürlich  bleiben  mttssen,  welche  letztere  sich  durch  die  übrigen 
ausdrücken  ISsst. 

Gibt  z.  B.  die  Gleichuncr  Ilixjf  f^  0  beim  Eliminiren  von  f  sogleich 
eine  Resultante  7?  =  0,  die  auch  x  und  y  nicht  mehr  enthUlt,  so  ist  — 
das  Erfülltsein  der  letzteiea  vorausgesetzt  —  die  erstcre  nach  8  schon  «lo^ 


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§  22.   Auflösung  nach  mehreren  Unbekannten.  475 

* 

ifftH^  suflSeb&r  (also:  welche  Werte  andi  immer  unter  p  und  x  verstan- 
den werden  mögen;  es  bleiben  somit  »  und  p  ferbitrlr,  und  Ittsst  Bich  dareh 
Auflösung  der  Gleiobong  2i(  r, ^]  «  Q  nach  0  nanmehr  dieses  durch  die 

beliebigen  x  und  ff  ausdrUckcD). 

Wir  mögen  hienaeb  als 

Znaats  STxa  Th.  50)  den  Satz  regiBtriren:  Änu^  fioeft  jedem  Sydem 
wm  Ünhkannim  hmn  jedes  System  vm  SitbsiinUionen  md  Olekkufiffen 
bequem  aufgelöst  werden,  sobald  dieselben  nur  llberbaapt  zulässig  und 
miteinander  yertrSglich  sind,  was  daran  zn  erkennen,  dass  die  Bestd- 
Umk  der  l^n^mSkm  dieser  XJfMamSm  erfSSU  ist. 

Sobald  es  nnr  Wertsjsteme  der  Unbekannten  gibt,  welche  ein- 
gesetzt in  die  Propositionen  des  Systems  dieselben  erfüllen,  sind  solche 
anch  immer  leicht  vollständig  aufzufinden. 

Für  die  allgemeinste  Gleichung  mit  zwei  Unbekannten  —  ((^  dieses 
Piiragruphen  wollen  wir  die  Auflösung  nach  x,  y  wirklich  auslühren. 
Dies  las.si  sich  auf  zwei  Arten  bewerkstelligen.  Unter  Voraussetzungi 
dass  die  iiesultante  der  Elimination  von  x  und  yi 

ahcd  =  0 

erföllt  sei,  kann  erst  y  eliminirt  und  aus  der  Besultante  y*)  das  x  be- 
rechnet werden,  hernach  aber  if  aus  y)i  oder  umgekehrt  mittelst  /T) 
und  ß).   Ersteres  gibt: 

|i)  x^edu^'¥  («,  +  h^u,         —  (c,  +       +  ahn 

und  dies  in  y)  eingesetzt: 

{ (a  +  +  {h^  -f  c)au  |  ♦/  +  { (t  +  c,)(/m,  +  (a,  +  il)Ou J =  0 

woraus  sich  endlich  berechnet: 

f2/—  {(&  +  c,)rf«,  +  (a,  +  e06«}»,  +  IM  +  <?.>i  +  (*<^.+«>}<'» 

Wi  ^  I ('^ ^  ^C' "1  +     +  ^) "  1  +  ( («  +     «^  +  (^1  ■^c)au]  V, 

Letzteres  gibt: 

9)  y  «  bdVt  +  (a,  +  c,)v ,      y,  —  (6,  +  <*,)t;,  +  aev , 

WM  in      eingoseizt  liefert: 

f  (rt  -I-  d,)bv,  +  (6  +  e^)av }  x+  ( (6,  +  c)rfr,  +  («,  +  d)cv ]  .r,  =  0 
uud  aufgelöst: 

(^^{(b,  +  c)(lv,  +  (a,  +  fr)cr  ]  u,  +  ( (^,f7  +  h,)t\  +  (b,c  +  a,)  j  « , 
U,—  Hbe,  +  d,)v,  +  {ad,  +  c,)v\u,+  {(a  +  d,)bv,  +  ib  +  c,)av\u. 

Die  Wurzeln  a,  y  werden  hienach  durch  die  Ausdrtteke  fi,  (it)  oder 
nach  Belieben  auch  v,  v  )  roUst&ndig  oder  in  allgemeinster  Weise  dar- 
gntelli^  wobei  n,  v  jedes  denkbare  Gebietepaar  ▼orzustellen  haben. 


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476  Eillle  Vortosniig. 

£b  könnten  nebenbei  auch  die  Faktoien  u^,  v,  v^  zur  einen  Hälfte 
unterdrückt  werden,  namlieh  bei  x  in  ft)  der      bei     der  fi,  ete. 

Man  bemerkt  die  VerscbiedeDartigkelt  und  Unaymmetrie»  der  f&r 
die  einen  und  fttr  die  andern  Wuneln  eich  ergebenden  Darstellungen 
je  nachdem  man  die  eine  oder  die  andere  Reihenfolge  bei  dem  Auf- 
iSsungsTeffabien  einhält.  Diese  Wahrnehmung  wird  uns  noch  eigen^ 
artige  Forschungen  in  §  24  ausaufilhren  anregen. 

I)  Von  grösserer  Wichtigkeit  als  die  vorstehend  erledigte  sind 
die  Aufgaben,  bei  welchen  nicht  nach  den  Werten  der  verschiedenen 
Unbekannten  x,y,z...  selber,  je  fQr  sich,  sondern  sogleich  nadi  dbw 
Werte  einer  besUnmtm  Fwnktüm  f(x,  y,  ir, , . .)  dieser  letzteren  ge- 
fragt  wird. 

Sind  die  ünhekannten  horeits  selber  sämtlich  ermittelt,  so  brauchte 
man  ihre  Ausdrücke  nur  in  den  gef^ebenen  Ausdruck  dieser  Funktion  pin- 
zuset^en,  um  auch  diese  Anf^Mlu;  f^fohisi  liaben.  Das  Resultat  würde  sii 
eine  ganze  Reihe  arbiträrer  raramcior  u,  t',  u\  .  .  .  enthalten,  die  behufs 
Veretofachung  desselben  nun  noch  gemtes  Tb.  48)  Zusats  durch  einen  eiU' 
zigen  solchen  ersetzt  werden  mOssten. 

Dies  wäre  unbequem;  zudem  würde  den  Unbekannten  je  nach  der 
Reihenfol*?e,  in  der  man  sie  heim  Auflösen  ermittelt,  wiederum  eine  ver- 
schiedenartige Behandlung  zuteil  werden,  die  einen  sozusagen  vor  den  an- 
dem  bevomugt  erscheinen.  Überhaupt  aber  wäre  die  angegebene  Art,  das 
Problem  zu  lösen,  obwol  Bchuiubar  ala  die  am  nächsten  hegende  sich  dar- 
bietend, doch  als  ein  Umweg  zu  beseichDen,  in  Anbetracht  dass  eine  sehr 
viel  emfsehere  und  in  Hinsicht  simtlicher  Unbekannten  symmetrisch  snwerke 
gehende  LOsungsweise  der  Aufgabe  möglich  ist 

Es  ist  bemerkenswert,  daas  ohne  die  Werte  der  Unbekannten 

p,gf,,  irgend  selbst  su  kennen  man  die  Berechnung  von  f(x,  ff,ß,.. .) 

doch  unmittelbar  zu  leisten  yermag: 

Zusatz  4  zu  Th.  50).  Mit  den  einfachen  Mitteln  des  Th.  50)  sind 
wir  schon  im  stände,  wenn  ein  helidnges  Sutern  wm  simultanen  Glei' 
chungen  md  Subsumtionen  gegeben  ist,  irgend  eine  verlangte  Funktion 
f(d;  y,  . . .)  einer  Grupiie  von  {,Mnhckannten^')  Gebkien  —  faüs  es  ge- 
uninseht  wird:  ohne  Rücksicht  auf  die  Wi  rk  eiticr  mceitcn  Gri'pjir  w, 
jp,  r, . . .  —  durdi  die  Sgmbek  einer  dritten  Gruppe,  nämlich  durch  aüe 
übrigen  a,h,e,, aussudrikken,  resp.  im  identischen  Kalkül  au  j^be- 
rechnen'*. 

Man  füge  einfach  dem  gegebenen  Systeme  Ton  Propositionen  die 
neue  Gleichung 

hinzu  —  indem  man  eben  fQr  die  gesuchte  Funktion  einen  einfachen 


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g  22.    Äuflöäu&g  nach  mehreren  Unbekannten. 


477 


Namen,  als  welchen  wir  t  gewSUt  Baben,  euifahrt  Man  bilde  nun 

eni  die  Tereinigto  Gleicbung  des  also  TergrdBserten  SystemeSi  eliminire 

SOS  dieser  sowol  die  Symbole  f»,nfp,q,r,,,,  der  sweiten  als  ancb  die 

sCffffB,,,.  der  ersten  Grappe,  so  wird  man  eine  Resultante  erbalten, 

die  ausser  dem  gesuchten  i  nur  noch  die  Gebiete  a,h,e,,.,  der  dritten 

Gruppe  enth&lt  Und  diese  nach  der  Unbekannten  i  gemäss  Tb.  50^) 

aufgelöst  fllhrt  cur  Erledigung  unsrer  Angabe. 

Den  Torlicgenden  IlDgeneig  hat  schon  Boele  gegeben. 
Ezempel  siehe  in  §  25  unter  Aufgabe  34, . .  26  und  anderw&rta. 

Hinsichtlich  der  „Determination*'  auch  dieses  Problems,  seine  even* 
tuelle  Unzul&ssigkcit,  Be-^timmthelt  oder  Unbestimmtheit,  sind  wicderam 
verschiedene  Vorkommnisse  möglich,  welche  sich  aber  der  Leser  nach  dem 
Vorangegangenen  leicht  selber  zurecht  legen  wird,  and  die  zum  Teil  auch 
durch  die  Beispiele  illustrirt  werden. 

Wenn  —  wie  dies  wol  im  iit  beabsichtigt  sein  wird  —  die  Sym- 
bole m,  n,  2>,  .  in  ticin  Ausih  uck  /■{./•,  y,  . . .)  nicht  vorkommen, 
80  kann  man  natürlich  auch  au»  der  vereinigten  Gleichung  des  noch 
unvergrösaerten  Propositionensystems  erst  einmal  die  m,  n,  q,  .  .  . 
eliminiren  und  die  so  gewonnene  Resultante  dann  noch  mit  der  Glei- 
chung t  =  /'(x,     ßf.  . .)  oder  also 

„vereinigen'',  um  jetzt  nur  mehr  tf,g,'.  an  eliminiren.  Bei  dieser 
Anordnung  des  Yer&hrens  wird  man  alsdann  mit  weniger  komplizirten 
Belationen  an  thun  haben,  als  bei  der  Anordnung  nach  dem  allgemei- 
neien  Schema.  — 

Man  sieht:  auf  unserm  bisherigen  Standpunkte,  wo  wir  als  „Pro- 
positionen'' nur  erst  Subsumtionen  und  Gleichungen  kennen,  hat  der 
identische  Kalkül  den  seltenen  Yoraug,  die  allgemeinsten  Aufgaben, 
die  innerhalb  seines  Rahmens  Überhaupt  erdacht  werden  können,  auch 
wirklich  au  lösen. 

Doss  immerhin  auch  hier  noch  etwas  su  thun  bl«bt,  dass  fernere 
Fortschritte  der  Distiplin  noch  mdglieh  und  aasustreben  sind,  werden  wir 

m  §  24  sehen,  wo  an  die  Art  und  Weise  der  LOsung  obiger  Au^ben  — 
z.  B.  in  Hinsicht  ihrer  ,,Symmetrie''  bezüglich  gewisser  Sjrmbolgruppen  — ' 
noch  weitere  Antordenmgcn  L'estelit  werden. 

Auch  in  Anhang  G  eröönen  sich  Perspektiven  auf  noch  fernere  i'io- 
bleme.  Man  kann  von  diesem  Anhang  grösstenteils  schon  jetzt  —  noch 
besser  nach  §  24  Kenntniss  nehmen.  — 


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Zwölfte  Vorlesung. 

§  23.  Dio  invorsen  Operationen  des  Kalküls:  identische  Subtraktion 
uud  i->ivijiiiou  sdä  Exccptioa  und  Abstrailiüu.    Die  i^ogation  aiü  ge- 

memäamer  Spezialfall  beider. 

Eine  erste  Anwendung  des  Haupttheorems  50)  wollen  wir  —  mehr 
im  theoretischen  Interesse  —  machen,  um  über  die  zur  Addition  imd 
Multiplikation  entgegengesetzten  oder  inversen  Operationen  des  Kalküls 
Klarheit  zu  gewinnen. 

In  jeder  Disziplin  die  überhaupt  von  Subtraktion  nnd  Division 
handelt^  werden  diese  Operationen  definirt  als  diejenigen^  welche  eine 
Aufgabe  Idsen,  die  in  der  Besiehnng  der  ümkekrmg  steht  sur  Aufgabe 
der  Addition  xesp.  Multiplikation. 

Bei  den  letstern  AufgabeUi  deigenigen  also  der  beiden  direkten 
Operationen^  werden  die  Summanden  resp.  Faktoren  a,  h  als  gegeben 
angenommen,  nnd  kommt  es  darauf  an,  deren  Summe  resp.  Produkt: 

herzustellen,  zu  bilden  —  oder,  wenn  mnu  die  iu  der  Arithmetik  ge- 
bräuchliche, hier  nicht  mehr  ganz  ])aHäemie  Ausdrucksvveiöe  iu  uusre 
Disziplin  herüberuennien  will:  sie  zu  „berechnen'^  Eine  zu  der  ebeu 
gesclnlderttin  „umgekehrte"  oder  „inveiiie''  Aufgabe  liegt  vor,  wenn  der 
bei  der  vorigen  gesucht  gewesene  Terra  gegeben  ist  und  einer  der 
beiden  vorhin  bekannt  gewesenen  Terme  als  Uul^okanute  gesucht  wird, 
wübrend  auch  der  andere  nach  wie  vor  als  bekannt  gilt.  Diese  Auf- 
gabe tritt  also  an  uns  heran,  wenn  getragt  wird  nach  demjenigen 
Terme,  welcher  mit  einem  gegebenen  additiv  resp.  multiplikativ  ver- 
knüpft ein  gegebenes  Resultat  liefert,  eine  gegebene  Sunune,  resp. 
ein  gegebenes  Produkt  gibt 

Eine  Operation,  welche  zwei  Opcrationsglieder  tbetisch  Terknflpft, 
lüsst  im  Allgemeinen  sweierlei  Umkehrungen,  zu  ihr  inverse  oder 
Ijtische  Operationen  zu,  je  nachdem  bei  bekanntem  Knüpf nngsergeb' 
nisse  das  eine  oder  das  andere  jener  Operationsglieder  als  Unbekannte 
gesucht  wird.   Wegen  der  Eommutativitit  der  identischen  Addition 


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§  23.   Die  inversen  Operationen  des  Kalküls. 


479 


resp.  Multiplikation  —  Tergl.  Tb«  12)  —  kann  man  aber  den  zweiten 
Term  einer  Summe  reep.  Faktor  eines  Produkte  allemal  sam  ersten 
maehen;  ee  ist  darum  gleichgültig,  ob  es  das  erste  oder  ob  es  das 
sweite  OperationsgUed  war,  naeb  welehem  gefragt  wurde,  und  fallen 
die  beiden  Umkebrungen  der  Operation  bier  jeweils  in  em$  zu- 
sammen. 

Bezeichnen  wir  abermals  die  bekannten  Terme  mit  a  und  h,  den 

gesuchten  Term  mit  sc,  so  wird  es  sich  nun  also  darum  hundchi,  das- 
jenige Gebiet,  oder  diejenigen  Gebiete  x  zu  ermitteln,  welche  die  Glei- 
chung eriülleu: 

m.  a.  W.  es  wird  diese  Gleicbung  nach  der  Unbekannten  x  aufzulösen 
sein.  Als 

^yideiitisehe  Di/jlrem^:  a  minus  l,  „identiscben  Qnotimien**:  a  (geteilt) 
aus  dem  ,,Minuenden'^  a  und  dem  (^urc&&,aus  dem  Dividenden  (Zähler) 
„äubtrahendeu  '  b  a  und  dem  Divisor  (Nenner)  h 

werden  wir  zu  definiren  haben:  die  Wurzel  der  vorstehenden  Gleichung 
ß)  —  falls  sie  nämlich  eine  solcbe  besitzt^  falls  die  Gleicbung  ß)  Ober- 
haupt auflösbar  ist  nach  a\ 

Die  Bedingung  hiefQr  ergibt  sich  aber  nach  Tb.  50),  indem  wir 
die  Gleicbung  zunächst  recbterband  auf  0  bringen  »  nacb  Tb.  39) 
wird  sie: 

y)      a,(6  +  aO  +  <*^^i  ""^  I  a,6ir  +  a{ar,  «f  J,)  «0 

—  und  indem  wir  nunmehr  die  Unbekannte  x  aus  ihr  eliminiren.  Die 

Kesultaute  lautet: 

d)    a^b=^öf   somit   b=^a        |        ab, 0   sive  a=^h. 

Und  diese  Relation  drückt  die  Anforderung  aus,  welche  von  den 
gegebenen  Termen  (Gebieten,  Klassen)  b  erfüllt  sein  muss,  wenn  es 
Überhanpt  ein  Gebiet  oder  Gebiete  x  geben  soll  ftlr  welche  die  aufzu- 
lösende Gleicbung  besteht  Sie  ist  unerl&ssliehe  Bedingung  fQr  die 
mdglicbe  Geltung  der  Gleichung^  die  notwendige  und  hinreichende  Be- 
dingung fBr  die  Auflösbarkeit  derselben  und  die  Existenz  einer  ,i Wur- 
zel'' (oder  Ton  Wurzeln).  Identasehe  Subtraktion  und  Division  sind 
hiernach  keine  unbedingt  ausführbaren  Operationen;  ihre  Ausführbarkeit 
ist  vielmehr  an  die  l^edinguug  ö)  geknüpft. 

Ist  diese  Kelation  nicJit  erfüllt,  so  l;ann  veniüuttigerweise  über- 
haupt nicht  von  einer  Diü'erenz  miiius  6"  resp.  einem  (Quotienten 
fflL  durch  6"  gesprochen  werden j  die  letzteren  bleiben  sinnlose  jNamm 


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480 


Zwölfte  Torlemmg. 


und  in  gewisser  Hinsicht  von  demselben  Charakter,  wie  die  nächste 
beste  Silbenzusammenstellung.*)  £s  gibt  dann  eben  nichts,  was  dem 
Namen  als  seine  Bedeutung  entspricht.  (Audi  die  Null,  das  ^^ichte** 
unsrar  ursg^rü9igaehm  Mannigfaltigkeit  bleibt  als  solohe  Bedeutung  ansp 
geschlossen.) 

Als  Bediuguog  dafür,  dass  gedachter  Differens,  gedachtem  Quo- 
tienten eine  Bedeutung  ein  Wert  Oberhaupt  sukomme,  mögen  wir  sie 
auch  die  j^Valensbedingung^  für  letstere  nennen.  Diese  Bedingung 
müssen  wir,  so  oft  im  folgenden  von  Differenzen  oder  Quotienten  ge- 
sprochen wird ,  jeweils  als  erfüllt  voraussetEen. 

Ist  jene  Wertigkeitsbedingung  d)  erflillt,  so  vereinfacht  die  auf* 
aulSsende  Gleichung  sich  au: 

b)  +  ab^Xf «  0  I  afix  +  ax^  «  0 

und  kann  man  nun  snr  Auf  Idsung  derselben  nach  der  Unbekannten  x 

schreiten. 

Aus  dem  allgemeinen  Theorem  50),  nach  dessen  Schema  die  Auf- 
15sung  stattzufinden  hat,  wissen  wir  aber  bereits,  dass  es  nicht  blos 
eine  Wunel  geben  wird,  sondern  unendHeh  viele  (im  Allgemeinen  von 
einander  Terschiedene).   Einen  Ausdruck,  der  sämtliche  Wurseln  und 

nur  solche  liefert,  werden  wir  erhalten,  indem  wir  die  gegebenen 
Terme  a,  b  mit  einem  willkürlichen  Gebiet  u  iu  bestimmter  Weise 

verknüpfcij. 

Dieaeu  Ausdruck  wollen  wir  die  „lolldcutigc  Dili"ereli>^."^  resp.  deu 
„tolldvutigai  Quotienten'^  nennen,  oder  auch  den  jfGeneralwert  der  Diffe- 
renz, des  Quotienten"  im  Gegensatz  zu  einem  nachher  herTorzuheben- 
deu  beöondern  Wert  derselben  (desselben),  den  wir  als  deren  „Pnn- 
snpal-  oder  Uaujdwert^^  zu  bezeichnen  Aulasa  linden  und  auch  die 
ffiindeutige  Differenz'',  den  „eindtutujen  Quotienten"  nennen  mögen. 

Ich  will  mir  das  gewöhnliche  Subtraktions-  und  Divisionszeichen 
zur  Darateilung  von  letzteren  reservireu,  und  müssen  wir  dann,  um 
nicht  Missverständnifise  lieraui^zutürderu,  iür  die  volldeuti^eti  Ausdrücke 
unterscheidende  Zeichen  wählen.  Als  solche  habe  ich  schon-  das  ein 
Koluu  durchsetzende  Minuszeichen  fQr  die  Subtraktion  und  ein  dop* 
peltes  Kolon  für  die  Division  angewendet. 

Ais  die  allgemeinste  Wurzel  der  Gleichung  ß)  oder  <)  erhalten 
wir  nun  also: 


*)  Sageu  wir  etwa:  ,,Kiuigerdluk8uaidia,k-lkera0akBuat."  —  Ich  nahm  dabei 
aa,  daw  der  Leter  nicbt  Gidnl&ndiich  Temteke;  denn  eigeniliok  weien  dies  ein 
paar  grtalBadisoke  Ortmioen,  nrRprOagltth  beMgend;  „Ort,  wo  Leute  welmeii^  und 
dergleiohen. 


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§  23.   Identische  Subtraktion  und  Diviüon.  481 
wo  die  rechte  Seite  den  Ausdruck  bedeutet: 


in  welchem  u  ein  imllhürlidies  Gebiet  vorstellt.*) 

NatHrlich  stimmt  nun  auch  die  Probe  der  Auflösung,  welclie 
darin  besteht,  dass  man  den  Ausdruck  tj)  oder  t,)  für  x  in  die  Gleiciiung 
ß)  einträgt  und  sicli  überzeugt,  dass  dieselbe  auf  Grund  der  Voraus- 
setzung ö)  crtüllt  ist  —  und  zwar  fär  jede  Bedeutung  des  u.  In  der 
That  muss  sein: 

^)         (a  :-6)  +  6»a  |  (a::i)5*aia, 

d.  b.  jedar  Wert 

der  Biffermg,  eu  dem  8ub(rahendm  |  des  Quoiienien,  mit  dm  Divisar 
addirt  gibt  den  Minuenden  !  mültiplieirt  liefert  den  Dividenden, 

Bei  den)  Nachweise  ist  schon  die  Valenzbedingun^  6)  uaeatbehrlicb, 
indem  muu  als  Wert  der  Hukeu  Seile  in       zunäcbbt  erhält: 

a  +  b  I  ab 

was  mi  auf  Grand  von  d)  sich  in  a  snaammenuehi  —  vergl.  Th.  20).  — 

In  §  21  tmd  22  gelang  es  uns,  die  allgeaieinijten  Eliminations  und 
Aaflüsungsprübleme  der  biaherigeu  Theorie  schon  ohue  jegliche  Keuutniss 
▼on  den  hier  betraebteten  ioTersen  Operationen  des  identischen  Kalküls  xu. 
losen.  In  dieser  Thatsaehe  hauptsSchlieb  ist  die  Bestätigung  zu  erblicken 
für  eine,  frttber  schon  einmal  gemachte  Andeutung:  dass  die  identische 
Subtraktion  und  Division  ohnp  Sch;uleu  oder  Einbnsso  ans  der  ganzen  Dis- 
ziplin des  Kalküls  sich  ausmerzen  lassen.  Auch  die  gegenwärtige  Studie 
bat  die  Tendenz  dies  vollends  zw  erhärten. 

JJie  hier  gebrauchten  Be<^eichuungeu  t>ind  deshalb  aucb  als  proviso- 
riftehe,  nur  dem  angenblioklichen  Bedarf  su  dienen  bestimmte  ansoBehen» 
nnd  aus  diesem  Grunde  ist  es  aucb  sehr  gleiobgflltig,  wie  man  etwa  die 
volldeutigen  Operationszeichen  in  !-  &,  a::&  sur  Onterscbeidnng  yon  den 
eindeutigen  in  a  —  6,  a  :h  verbatim  lesen  mag.  Da  es  immerhin  misslich 
erscheint,  häufitr  Z*^i*ben  lesen  zu  müssen  ohne  einen  Fingerzeig  darüber 
und  eine  bestimmte  Gew<»hnnni?,  wie  dieselben  auszusprechen  seien,  so  mag 
man  für  jene  etwa  „Toli-minus'*  und  ,,voll-durch"  sprechen. 

Beachtenswert  erscheint  noch  folgendes.   Wir  haben  vorstehend  x  er- 


*)  Die  angegebenen  venchiedaen  Aasdrnckafonnea  für  die  Wiinel  sind  in 
%  ti  schon  implicite  anfeinauder  zurückgeführt.  Uro  die  Zaruckführung  direkt  zu 
leisten,  genügen,  im  Hinblick  iiuf  di-  Yal>.'nzbf(.lingung  d),  die  Theoreme  30+)  und 
38^.)  Zu^aU,  oder  aucb  „KutwickeluDg"  uacli      b,  u. 

BcamöDBR,  Algobra  der  Logik.  31 


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482 


Zwölfte  Vorlesung. 


klitrt  als  die  aUgemeinete  LltouDg  der  Gleichung  ß)^  als  den  Qeneralvert 
der  Wurzel.  IXeser  ist  eigentlich  nioht  ein  Wert^  aondern  stellt  gleiobwie 
die  Ausdrücke  t/)  eine  ganze  Gattung  oder  Klasse  von  Werten  vor,  die 
man  erhalten  wird,  indem  man  daselbst  das  u  von  0  bis  1  variirt  (vergL 
S.  42r>sq.).  Die  Gleicbungeu  J^)  bis  ^)  sowie  die  uocli  weiterhin  folgenden 
auf  voUdeutige  Differenzen  und  (.^uotieuten  bezüglichen  sind  darum  auch 
nicht,  wie  rameist  die  früheren,  in  deuten  als  Qleiobnngen  swiflchen  Ge- 
bieten, sondern  als  solche  swischen  Elassen  von  Gebieten  —  die  allerdings, 
wie  in  0)  rechts,  sich  unter  Umständen  auch  in  ein  einziges  Gebiet  zu- 
sammenzieben  mögen.  Sie  sollen  aussagen,  dass  (nicht  etwa  jedes  einzelne, 
sondpm^  die  Gesamtheit  der  Gebiete  links  einerlei  ist  mit  der  Gesamtheit 
der  i>ebiete  welche  rechts  vom  Gleichhcitezeicben  dargestellt  erscheinen. 
Die  Gleichheitszeichen  sind  also  wirksam  nicht  in  der  urspriii^lichen,  sondern 
in  dar  ans  ihr  abgeleiteten  Maanigfaltigkeit,  in  der  ICn.  der  Klasseii  Toa  Ge- 
bieten, nnd  sinken  dieselben  nur  in  AusartnngsfUIen,  wie  ^),  in  die  erstere 
2Cn.  zurück. 

Will  man  jedoch  «  als  ein  eindeutiges  Gebietsymbol  aufgefasst  mssen, 
mithin  darinitrn  nur  ein  spezielles  die  Gleichung  ß)  erftillendcs  Gebiet,  eine 
partikulare  Wurzel  dieser  Gleichung  verstehen,  so  ist  es  nicht  mehr  zu- 
lässig die  Angäben  ^)  als  Gleichungen  beizubehalten.  Wie  wir  schon  ander - 
wSrts  ausgeführt  haben,  darf  das  Ittdivldnum  seiner  Gattung  nicht  etwa 
gleicJi  gesetzt  werden.  Fllr  t)  mfisste  alsdann  korrekt  geschrieben  werden: 


—  wobei  im  Allgemeinen  die  Unterordnung  gilt  und  Gleichheit  nur  in  den 
(nachher  auch  zu  betrachtenden)  Gronzfälien  eintreten  Äaww,  wo  die  rechte 
Seite  eindeutig  wird,  die  Gleichung  ß)  nur  sine  Wund  sulftsst,  in  diesen 
Fällen  aber  auch  eintreten  mu88. 

Auch  diese  Subsomtionszeichen  wären  aber  als  solche  der  abgeUiUien 
Mannigfaltigkeit  zu  interpreären,  nnd  nicht  als  solche  der  nrsprUn Etlichen. 
Die  Subsumtion  besap-to  hier  nicht,  das  Gebiet  r  gei  als  Teil  enthalten  in 
einem  recht«  anj^^etuhrten  Gebiete,  sondern  nur,  es  sei  als  Individuum  ent- 
halten in  der  recht»  stehenden  Klasse  von  Gebieten. 

Gerade  in  jenen  GrenzßLlleu  aber,  wo  die  Klasse  a  -f*  6  rechts  selbst 
nur  ein  Gebiet  nmfasst,  mflsste  das  Snbsumttonsseichea  Missverständnisse 
nahe  legen,  indem  es  Einordunng  (als  Teil)  nutsuznlassen  scheint,  wo,  wie 
erwähnt,  nur  Gleichheit  gelten  kann.  Zur  Vermeidung  solcher  (und  ähn- 
licher schon  in  9  unter  t;-)  charaktcrisirter  Mißstände  niüsste  man  eigent- 
lich zui.icrhi  SnbsumimmtttJtm  verwenden  fUr  die  ursprüngliche  und  für 
die  ahyeleiidc  Mannigfaltigkeit. 

Die  Nötigung  hiezu  lässt  sich  indess  vermeiden  und  sie  pflegt  glück- 
lich vermieden  sn  werden,  indem  man  die  Lösungen: 


auch  jetzt  wieder  als  Gleichungen  schreibt,  dafflr  aber  dem  u  eine  andere 
Deutung  gibt.  Statt  wie  bisher  es  als  ein  willkürlicJies  Gebiet  gelten  zu 
lassen,  dem  alle  erdenklichen  Bedeutungen  innerhalb  der  nrsprflncliclieu 
Mn.  mit  gleichem  Rechte  zukommen,  braucht  man  es  jeUi  nur  hinzuätelleu 


SS  =  a(6,  +  m) 


X  tarn  a  +  uh. 


» 


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§  23.    Identische  Subfraktiüu  und  Division. 


483 


als  Bin  „unhesfmtnles^^  Gebiet,  das  nelleiclit  noch  seiner  nltheren  Bestiin- 
moBg  harrt.  Man  wird  es  jetzt,  wo  x  eindeatig  aein  boU,  nur  „ein  ge- 
wisses*' Gebiet  ]>pder.ten  lassen  [oJor  irjjend  f»ino«  vnr!  je?ier  sub  t)  des 
§  21  bestimmtea  Klasse  von  GebielenJ  und  dadurch  hinbringen,  dass  beider- 
seits vom  Gleichbeitszeicheu  eindeutige  Gebietsymbole  stehen  zwischen  denen 
die  Behauptung  der  Gleichheit  wieder  zulässig  ist, 

Demgemftss  werden  wir  es  fortan  aneh  wie  bisher  Termeiden,  mit 
nnsem  Betracbtungen  Uber  die  nrsprttngliebe  Mn.  solche  sa  Termengeo,  in 
welchen  das  Snbsumtionszeiehen  anders  als  fttr  diese  selbst  gedeutet  wer« 
den  mttsste. 

Unter  allen  Gebieten,  welche  wir  als  die  Partikularlösuiigen  der 
Gleichung  ß)  in  rf)  z.ii;amüiei)gelasst,  der  Gebiet^klasse  also,  welche 
wir  als  „volldeutige"  Differenz  resp.  Quotienten  daselbst  angegeben 
haben,  sind  besonders  zweie  hervorhebenswert,  nämlich:  die  beiden 
einschliesseiidm  Griefe  oder  „Grenzen'*,  zwischen  welchen  (sie  selbst 
mitzugelassen)  alle  Gebiete  der  Klasse  a  -r-  h  resp.  a::h  liegen  müssen. 
Ans  nnsern  Formeln  if)  ergibt  sich  das  eine  als  das  umfas^end-te 
Punktgebiet  od>^r  die  umfcsie  unter  den  Bedeutungen,  welche  der  Ditie- 
reuz,  dem  Quotienten  von  a  und  h  eindeutig  untergelegt  werden  kön- 
nen, bei  der  Annahme  u=\,  das  andre  als  die  mgstc  dieser  Bedeu- 
tungen für  u  =  0  —  wobei  indessen  nicht  zu  übersehen  ist,  dass  der 
Dualismus  erfordert,  der  Annahme  «  =  1  bei  der  einen  die  »  —  0  bei 
der  andern  Operation,  und  umgekehrt,  gegenübersostellen. 

Wir  erhalten  (für  m  =  1  resp.  0)  als  den 


Maximalwert  der  identischen  Dif- 
fereng: 

()        (a  minder    »  a . 

Der  hödiste  unter  dm  Werten  der 
Diffcrens  ist  darnach  der  JÜimend 
selber 


"Minimaltßert  des  voUdeutigen  QhO' 

^ina)  »a. 
Der  medmiU  unter  den  Qu/otiei^ 
teiMoerten  ist  der  Dmdend  oder 
Zähler 


und  bei  dieser  Auliasaung  erscheinen  iinsre  inversen  Operationen  als 
Völlig  imrJcungshs  au  dem  passiv  nnl  iliueu '  aftizirten  Operations- 
gliede.  Es  ist  deiau  iih  müssig,  etwa  noch  nach  formalen  Geset/cn 
dieser  eindeutigen  ,,Maximalsubtraktion"  und  „Minimaldivisiou"  zu 
fragen,  auch  nicht  angezeigt,  deren  Ergebnisa  für  den  Hauptwert  zu 
erklären. 

Desgleichen  verlohnt  es  nicht,  eigene  KnOpfiingszeiclien  für  diese  Ope- 
rationsweisen einzuführen,  weshalb  wir  uu»  in  t)  mit  einem  charakteiiäti- 
schen  Wortansdrack  fUlr  die  Andeutung  ihres  Ergebnisses  begnügten. 

Bei  der  andern  Annahme  (u  »  0  resp.  1)  dagegen  stellt  sich  her* 

auä  als  der 

81« 


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484 


Zwölfte  Vorle«Qng. 


MminuHtoeii  der  Tolldeutigen  Difi 
fereuM: 

«)  a  —  h  ^ah, 


MaximahveH  des  Tolldentigen  Quih 


und  indem  wir  für  diese  hiermit  die  gewuhuHchen  Sui»tr;il{tinTis-  und 
Divisionszeichen  einführen,  bezeichnen  wir  sie  auch  als  den  eindeu- 
tigeu  oder  JJaupiu  crf ,  d.  i.  als  Ditferen/  und  Quotient  sclilechtweg. 
„Eindeutige'"  Siil)trciktion  resp.  Division  nennen  wir  die  zu  ihrer  Jiil- 
dung  dienenden  Operationen.  Auch  diese  Operationen  sind  nur  „aus- 
führbar'^f  es  haben  a  —  b  und  a :  b  nur  einen  Sinn^  wenn  die  Valenz- 
bedingnog  Ö)  erfüllt  ist. 

Ans  den  Definitionen  ij)  und  x)  sind  als  besondere.  Fälle  hervor- 
zuheben: 


a-i-a 
1  ->  1 

0-~0 


a  :  0  = 
1:0- 
1:  a  — 


1-1-0 
0  —  0  —  0 
a  =  o  —  0 
1-1—0 
a,  +  tt ,  I  —  a  — 


a;:a  — a  +  u,  a:a— 1  — 


0::0»«,   0:0—1  —  - 


0 


1 

1  1  o 

1 


— 1:1 


0::1  — 0«0:1 


0 : :  a  —  ua,,    0 :  a  —  a,  —  — 


wo  die  Valenzbedingung  (für  die  angegebeneu  Differ(»n7,en  und  Quo- 
tienten) jeweils  analytisch,  von  selbst  erfüllt  ist,  weshalb  von  iiir  ab- 
peselien  werden  kann ,  den  Formeln  A)  unbedingte  Geltung  zukommt. 
i))e  Subtraktion  einer  Klasse  voii  sich  selbst  sowie  von  der  1  ist 
unbt'dintrt  ausführbar,  etc. 

Die  Symbole  1 -:- 1  und  0::0  sind  hienach  vollkommen  unbe- 
stimmt oder  „alldeutig"  zu  nennen;  sie  stellen  die  ganze  aus  der 
ursprünglichen  Punktniannigfaltigkeit  „abgeleitete"  oder  al)leitbare 
Mannigfaltigkeit  der  Gebiete  vor,  indem  uns  eben  u  sdilechtltin  jedes 
Gebiet  zu  bedeuten  hat. 

Die  letzten  Formeln  unter  X)  aber: 

fi)  1  —  a  -=»  ö,  -«      oder  U  ;  a 

lassen  erkennen,  dass  die  NegaHon  weiter  nithU  als  ein  gemeinsamer 
SpegialfaU  der  (eindeutigen)  Subfräkttan  und  JOtvision  is^:  a  negiren 
heisBi^  es  von  1  abziehen  oder  es  in  die  0  hiueindividiren. 

Mit  diesem  Spezialfall  der  beiden  inversen  Operationen  aber  kommt, 


4 


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§  'Jini*   Diu  Negatiou  als  ihr  gemeioBamer  Sj>ezialftiil.  485 

wie  wir  geflehen  habeo^  der  identiBche  Kulkul  —  aU  mit  seiner  ^/Iritieu 
Spesiea"  —  schon  TdUig  aa<. 

Zieht  man  auch  die  beiden  inrersen  Operationen  mit  unier  den 
Gesichtspunkt  dee  Dualismus^  so  werden  natürlich  zugleich  mit  Addi- 
tion und  Multiplikation  auch  Subtraktion  und  Division  ihre  Köllen 
auszutauschen  haben.  Alsdann  kann  man  sagen,  d&66  diu  iiieuiit  ge> 
gubeuti  Gleichung: 

V)  1  —  a  — 

a 

jnt  sich  selbst  dual  ist. 

Und  das  glcidm  gilt  aucli  vou  don  noch'  durch  ihre  Kombination  mit 
sich  selbst  enUtehendeu  Gleichungen  wie: 

j_(l_„)-_, 

etc.  Die  p.  31  meines  Oiieratiooskreis*  gemachte  Angabo,  dass  diese  er- 
wähulen  die  eiozigen  m  »ich  selbst  dualen  Formeln  dos  identischen  Kal- 
küle seien,  beruhte  jedoch  auf  einem  Übersehen,  ist  eine  zu  weit  gelieiuie 
gewesen,  wie  wir  denn  in  der  That  schon  in  §  18  anter  9»)  auch  noch 
andre  Formehi  solchen  Charakters  kennen  gelernt  haben.  — 

Mit  Rücksicht  auf  ^)  bitten  die  fnndmientalen  Theoreme  30)  und  31) 
nun  auch  in  folgenden  Formen  angeschriehen  werden  können,  in  deren 
("itii^^cii  (den  durch  die  Beisetzung  der  Chitfro  hervorgehobenen)  es  ntttslich 
ist,  äie  gesehen  zu  haben: 


I) 


3iO     a  +  (1  -  a)  —  1 


«  —  —  0 

a 


30j        a(l  — aj  =  ü 


31)     1  — (1— a)  — a, 


0 


0  .  0 

7  —     fl,  1  —  ~  «  a 

1  — «        '  a 


Die  31)  zeigt,  dass  uicht  —  (  —  r/)  a  oder  0  (<)  —  «)  =  fi,  sondern 
1  —  (!  —  «)  =  «  daa  wahre  arithmctLiche  Analogon  des  logischen  Satzes 
von  der  doppelten  Verneinung  ist  —  worauf  wir  uns  schon  S.  306  beriefen. 

Beachtimswert  erscheint,  dass  der  Ausdruck  x),  mit  «  bezeichnet 

bezüglich  die  Anfldsnng  ist  des  folgenden  Paares  von  Gleichungen: 

0)       x  +  b  =  a,    xh^O  j  j;b  =  a,    x  +  b^l 

durch  welches  also 

vuiikuiiiuien  eindeutig  bestimmt  wird. 

Man  erkennt  dies  leicht,  indem  man  systematisch  zuwerke  geht,  zu- 


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Zwölfte  VorleiuDg. 


ent  also  di«  vcrninigto  Gleichung  lios  Glcicbungenpaares  o)  herstellt,  aus 

dieser  daun  x  eliminirt,  wodurch  sich  aberinals  die  Valenzbedingung  d)  und 
uur  diese  ergibt,  nndlich  jene  nach  drr  Unbekannten  X  auflöst.  Als  Auf- 
l(>sung  ergibt  sich  der  völlig  bestimmte  Wert: 

und  umgekehrt  ist  leichl  uacbzuweisen ,  dass  dieser  letztere  Ansatz  ui- 
eammen  mit  der  Yalenzbedingang  d)  auch  das  Gleichungcnpaar  o)  nach 
eich  zieht,  n&mlich  dieselbe  Tereinigte  Gleichung  liiert  Mit  welcher  dieses 

llrjuivalent  sein  muss.  Sobald  man  also  die  in  der  Voraussetzung  re)  doch 
sicher  miteingeschlossene  Annahme  gelten  iKsst,  dass  die  daselbst  gegebenen 
Ausdrücke  einen  Sinn  haben,  wird  die  Gleichung  anch  ihrerseits  das 
Gleichungeupaar  o)  zu  erset7en  im  stände  sein. 

Links  vom  Mittelstriche  z.  B.  ist  aus  dieser  Betrachtung  zu  lernen, 
dass  man  im  identischen  Kalhd  einen  Svniwaudcn  (h)  von  der  einen 
Seile  der  Gleichung  uenigslens  dann  (jrdorh  auch  nur  dann)  von  dieser 
Seite  als  einen  Suhfrahendm  (mit  dem  Minuszeichen)  auf  die  andere 
Seite  weifen  darf,  wenn  er  mit  dein  andern  Summandeii  {x,  resp.  mit 
allen  übrigen  Gliedern  der  vorausgesetzten  Summe)  äis^vkt  ts^  wou 
also  die  binooiische  Summe  eine  redußirte  war. 

Während  aas  einer  Qleiohang  x  +  b  ^  a  im  Allgemeinen  nur  sn 
schliessen  ist,  dass  x  einer  von  dm  Werten  der  voUdeutigen  Differeox 
a  -:-  h  sein  müsse,  folgt  x  =  a  —  h  ausschliesslich  danOi  wenn  neben- 
her  bekannt  ist,  dass  xh  —  0  sei. 

Dagegen  darf  ein  Subtrahend  immer  als  Summand  Ober  das 
Gleichheitszeichen  hinObergescbafflty  transponirt  werden,  m.  a.  W.  aus 
einer  Gleichung  x^a^h  ist  es  immer  Kul&uig  den  Sehlnss  zu 
ziehen:  +  »  in  Anbetracht ,  dass  die  Ph>be  einer  richtig  toH- 
zogenen  Subtraktion  doch  sicher  stimmen  wird. 

Im  II  inidick  darauf  z.  B.,  dass  h  -¥0  =  h  nebst  b  •  0  >»  0  gilt,  wird 
es  darnach  insbesondre  gestattet  sein,  eine  Gleichung  a  =  b  (oder  a  =  5  +  0) 
in  die  Form  a  —  6  =  0  umzusot/eu,  dieselbe  mithin  anch  nach  demselben 
Schema,  welches  in  der  Aritlunetik  geläufig  ist,  rechterhand  auf  0  zw 
bringen.  In  der  Tbat  sagt  der  Ansatz  a  —  ?j  =  0  nach  x)  aus,  Jaöi» 
ahf «  0  sei,  wozu  aber  noch  die  Yalenabedingung  a,&  0  tritt,  und  dieses 
Ittufb  nach  Th.  24)  und  39)  zusamnen  auf  a^b  hinaus.  Wie  den  6e* 
brauch  der  inversen  Operationen  überhaupt,  so  wii^  man  aber  auch  die 
Schreibweise  a  —  /i  =  0  in  unsrer  Disziplin  besser  vermeiden. 

Unberechtii^t  würdn  aber  beispielsweise  sein,  aus  der  Gleichung' 
^/  +  0  =  n,  die  aligeiueiii  gilt,  den  Schluss  xu  ziehen,  dass  0  =  un  sein 
rallsse  bei  bdiihigcm  u,  nämlich  dass  0  dem  Generalwert  von  a  «,  nach 
dem  Schema  ii,  k)  gebildet,  gleichzusetzen  sei  Es  gilt  dies,  da  der  Term  0 
ein  vollkommen  bekannter,  notwendig  nur  fUr  gewisse  («■  vn,,  z.  B.  filr 
if »  0);  es  darf  nur  geschlossen  werden,  ti  sei  einer  von  den  im  General- 


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f  83.  Identifche  Snbtralitioo  und  Divuioo.  487 

wert  zusammengefasbten  Werten,  und  weil  a  •  0  «  0,  bo  iei  es  hier  der 
Uaupiwert  selber:  0  »  a  —  a. 

Es  erllbrigt  ooeb,  auch  Ausdrücke  von  den  folgenden  Formen  einmal 
in's  Auge  sn  fessen: 

o     1 ,     a  —  1 

9) 


0  -:-  a,     0  —  a 


a::0,     a:0  =  J 


1 a,      1  :  a  »  — 


von  welchen  die  Yaleiubedingun«:^  ''■^io^  ^''^-^"^  im  Allgetneiuen  sinnlose, 
„uninterpretable''  sind,  falls  nämlich  nichl  ^'eiade  a  gleich 


1 
0 


0 

1 


bezflglidi  bedeutet. 

Fflhrte  man  hier  das  Zeiehen  oo  („tmenMidk'')  als  Symbol  der  Ab- 
surdität, des  Unsinns  ein,  so  könnte  man  —  falls  nur  nieht  gerade  die 
eben  genannte  Voraussetzung  zntrifft  —  diese  Ausdrücke  samt  und  sonders 
gleich  oo  setzen,  und  spesieil  wftre  zuvArlAssig: 

c)         0-M-*oo=6l::a   sowie  0  —  1  —  oo  —  1:0  — 

—  letzteres  wie  in  der  Arithmetik  [wobei  nun  auch  die  Gleichung 

0  —  1  =  ^  als  zu  sich  selbst  dual  erscheinen  würde]. 

ist  m  der  Thal  unverfänglich,  die  verschiedenen  absurden  Ausdrucke, 
wie  0  —  1  und  1:0,  einander  fjJrliJi  -n  scf:ren.  Alff.^  icas  unsinnig  ist, 
darf  für  eineiici  uns  gelten.  Giibe  luaii  überhaupt  auch  nui-  den  aller- 
geringsten Unsinn  zu,  so  würde  ja  durch  vollkommen  logische  Schlüsse 
auch  jeder  gewllnsehte  „noch  so  grosse*'  Unsinn  sich  beweisen  lassen  — 
Ithnlieh  wie  bekanntlich  in  der  Arithmetik,  so  auch  im  identischen  Kalkül. 

Speziell  hier:  LKsst  man  zu,  dass  es  ein  «  ^  gebe  von  der  Eigen- 
schaft, dass  x  O  =  1  ist,  so  ist  leicht  zu  zeigen,  dass  auch  für  ebendiese^j 
X  gilt:  x+1  ^0  nebst  :e*  1 » 0,  dass  also  auch  x^O  —  1  anzuerkennen 
ist.  Wegen  x*0^0  folgte  nSmlieh  aus  der  Annahme,  dass  0  und 
hieraus  durch  beiderseitiges  Multiplizuren  mit  x  auch  0 « sodann 
a;+l-*x  +  0  — x«>0  und  ir«!— 0-l«"0.  — 

Das  Symbol  oc  kann  aber  nicht,  wie  seinerzeit  das  Symbol  0,  ttl$  ein 

„uncigc^iIVu-ln s"  Gibut  (hr  Mnnnigfaltigh  'il  }(nsrrr  Gebiete  zugeschlagen,  ad- 
junglrt  u  fnlm;  vielmehr  vertritt  es  die  Null  der  „abgeleiteten"  Mo.,  Mn.  der 
Gebieteklassen. 

Es  müsste  nüiulich  oeine  Hinzuziehung,  Zulassung  als  „Gebiet"  die 
Folge  haben,  dass  die  Prinzipien  unsres  Kaikols,  wenn  sie  in  voller  AlU 
gemeingttltigkeit  aufrecht  erhalten  würden,  sich  selbst  aufhöben,  uns  nach 
allen  Seiten  in  Widersprüche  verwickelten  [wie  wir  denn  nach  der  Defi- 
nition OD  s=  ^  non  OD  •  0  »  1  hättra  un  Widerspruch  mit  o  *  0     0  bei 

der  Anuahfue  a  *=  oo ,  etc.J  —  dass  sie  anderuialles  ihre  Allgemeingültig* 
keit  verlören  und  mit  ISstig  zu  beobaofatsnden  Ausnahmen  behaftet  würden, 


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488 


Zwölfte  VorlMUDg. 


wodurch  es  nahegelegt  erschiene,  den  EindnngUog  oo  aus  der  MaimigMUg' 
keit  der  Gebiete  wieder  aaszastosseu.  — 

Durch  die  Koexistenz  der  Gleiciiungen  tc)  und  findet  si(di 
unsre  Definition  von  eindeutiger  Differenz  und  Quotieni,  du  wir  oben 
durch  Partikularisiren  der  volldeutigen  gewannen,  noch  einmal  selb- 
ständig ausgedrückt.  Z.  B.  linkst  Weiss  man  von  einem  Oehieto  x 
nur  das  eine,  dass  seine  Summe  mit  einem  gegebenen  b  ein 
anderes  a  liefert,  so  ist  x  noch  nicht  vollständig  bekannt.  Wohl  aber  ist 
der  gesuchte  Summand  vollkommen  bestimmt,  wenn  man  ferner  weiss, 
dass  er  den  andern  b  ausschliesst,  dass  also  bx  gleichzeitig  0  ist.  Etc. 

Und  ähnlich  auch  für  Klassen.  Für  letztere  besitzt  die  in 
a  6  a6,  (wahrend  a,6  =  0  gedacht  wird)  vorgeschriebene  logische 
Operation  einen  sehr  geläufigen  sprachlichen  Auadruck  in  Gestalt  jener 
Terbalen  Formen,  mittelst  welcher  eine  Attsnahme  statuirt  wird. 

Eis  kann  das  Miuuszeiclien  geradezu  mit  der  Partikel  „aus- 
genommen*', ffihne^^  in  die  Wortsprache  übersetst  werden,  indem  die 
Differens  a  —  h  die  Klasse  der  a  mit  Ausschluss  (for  h  Torateilen  wird 
(von  welchen  die  Yalenzbedingung  die  Voransaetsung  auBBprieht^  dass 
sie  ganz  in  jener  enthalten  seien). 

Bedeutet  z.  B.  a  Metall,  h  =  Edelmetall,  so  stellt  (j  -  h  «=  «6, 
die  Metalle  vor,  welche  nicht  Edelmetalle  sind,  also  die  Metalle  ohne  die 
Edelmetalle,  die  Metalle  mit  Ausnafimr  (hr  Kdelinelalle. 

Umgekehrt  jedoch  liar/  ein  sprachlicher  Ausdruck  von  der  Form 
„die  a  ohne  die  b",  „a  ausgenommen  b"  in  unsre  Zeichensprache  iu  der 
ßegel  nidU  mit  a  —  b  ohne  weiteres  übertragen  werden,  sondern  nur  mit 
a  —  ab  =  a  (afe),  a  («,+  6,)  =  ab^  (wo  dann  in  der  That  a,*  a6  »  0 
ist).  Die  Wortaprache  setzt  es  nämlicli  als  selbstTerstandiich  vorana, 
dass  man  aus  einer  Klasse  nur  solche  Individuen  ansschllessen  kdnne 
und  auszuschliessen  beabsichtige,  welche  in  ihr  enthalten  sind  —  und 
diese  stillschweigende  Forderung  muss  der  hier  ausdrucksvollere  Kal- 
kül ausdrücklich  darstellen.  Sagt  man  „die  a  ohne  die  6'',  so  meint 
man  sicherlich  nur  „die  a  ohne  diejenigen  (,  welche  a  sind". 

Wird  z.  B.  berbfatet,  im  untergegangenen  Schiffe  seien  alle  Passa- 
giro  (a)  ertrunken,  an^genommen  die  Frauen  (^).  welche  genttei  wordon, 
so  ist,  uonn  die  Klasse  der  Frauen  schlechtweg,  äoiuit  im  ganzen 
Menschengeschlechter  bedeutet,  die  Klasse  der  ertrunkenen  Personen  offen- 
bar nur  a  —  a6  ah^  nicht  aber  a  —  6,  welcher  Ansatz  gar  keinen  Sinn 
hahen  wflrde,  indem  hier  die  Valenshedingung  h  =^a  nichts  erfüllt  wire. 
Für  a  —  ab  hier  a  —  6  schreiben  hiesse:  von  den  Passagiren  des  Sehifes 
auch  die  in  ruhiger  Sicherheit  auf  dem  Festlaode  lebenden  Fhinen  aus- 
schliessen  zu  wollen. 


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§  iä.   Uieselben  als  Excei>tiua  uqü  Abstraktion.  489 


Sagen  wir  ebenso:  ^/ä»  Eiuroptter  ohne  die  Bassen**,  so  heisst  dies 
▼ollst&idiger  ausgedrückt:  dieEorop&er  ohne  die  enrop^sehen  Bussen,  und 
kann  es  uns  nicht  einfallen,  anch  die  asiatischen  Rossen  von  den  Euro- 

pSem  ausschliessen  zu  wollen. 

Ungeachtet  dessen,  dass  nun  also  liier  die  Wortsprache  einem 
geringeren  Zwange  nnterworfon  ist,  in  ihren  Ausdrucksformen  eine 
grössere  Freiheit,  Licenz  geniesst,  wie  unsere  Zeichensprachei  sind 
wir  doch  berechtigt,  die  Subtraktion  im  Klassenkalkul  als  eine  Ans- 
aehlieesnog  su  erklären ,  sie  ausingeben  für  die  Hxcq^tion, 

Für  die  eindeutige  Division  hat  die  Sprache  keinen  entsprechenden 
oder  adäquaten  Ausdrack«   Unter  der  VorauBsetzong,  dass  a  ^  &  sei» 

bedeutete  ^  «  a  +  5,  dasjenige  was  a  oder  nieht-6  ist  Es  liegt  im 

gewöhüliclien  (JtMlankonverlatife  wol  selten  eine  Veranlassung  vor,  eine 
derartige  Klasse  zu  bilden,  und  dieser  Umstand  war  Beweggrund 
fHr  1)!)^,  der  identischen  Subtraktion  den  Vortritt  vor  der  Division 

zu  geltrii^ 

Lnter  doujt'iiigen  Operatioru'n  zwar,  welche  imlivr  dem  Nanu  n 
der  voUdculi(jen  Division  zusammeiigefasst  sind,  ist  immer  ciu<\,  welche 
im  Klassenkalkul^  im  Kalkül  mit  Begriö'sum fangen  oder  -Inhalten  hiu- 
zusiellen  ist  als  eine  Äbstraktim. 

Ist  bei  bekannten  x  nämlich  .7  •  6  so  ist  x  selbst  sicherlich 
einer  von  den  Werten  des  volideutigen  Quotienten  a  ::b  und  muss 
man,  um  von  dem  Produkte  a  zU  diesem  seinem  Faktor  x  überzugeheUi 
dabei  absehen,  abstrahiren  von  den  für  den  andern  Faktor  b  charak* 
terietischen  Merkmalen. 

Z.  B.  seien  a,  b,  x  die  Klassen:  a  —  j^Rappe",  6  =  y,8chwara% 
X  —  Qpferd**,  so  gibt  der  Begriff  ffinppef*,  befreit»  abgesehen  vom  Merk- 
mal der  achwarsen  Farbe,  den  Begriff  „Pferd''. 

Die  eindeutige  Division  liefert  uns  aber  in  Gestalt  von  ^  nicht 

gerade  jenen  besonderen  Faktor  a;,  sondern  einen  andern^  der  eben- 
falls mit  b  multiplizirt,  determinirt,  a  liefert  Als  Quotienten  der 
Klasse  „Bappe'^  geteilt  durch  die  Klasse  f^aehwarz^'  stellt  sie  vielmehr 
hin:  alles,  was  entweder  ein  Rappe,  oder  nicht  schwarz  ist.  Unter 
diesen  ^cht-schwaraen^'  Dingen  sind  auch  die  Qbrigen  Pferde  noch 
mit  enthalten. 

Es  mag  der  Psychologie  flberlassen  bleiben,  an  erklSren,  weshalb 
das  duale  Gegenstück  sur  Einschriinkung,  Ausnahmebildnng  im  natOr- 
liehen  Denken  keine  Stätte  su  findev  scheint,  jedenfalls  hier  nicht  die 


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490 


Zwölfte  VorlesoDg. 


entsprechende  Rolle  spielt  Uns  genOgt  es  bier,  Ton  der  Thstsaehe 
Notis  zu  nehmen.  — 

In  den  Figuren  20  üuden  sich  für  die  Kreisflüchen  a  und  b  zu- 
nächst die  Gebiete  a  — &»a&,  nnd  ^«a  +  (,  mittelst  ackniger 

SchralBrcing  herrorgehoben;  zugleich  sind  Ar  eine  bestimmte  Annahme 
Ton  u  als  dritten  Kreis  durch  v/agreddes  Schraffiren  die  bei  i})  in  Be- 
tracht kommenden  Fliehen  ub  resp.  «d,  sichtbar  gemacht^  nnd  damit 
auch  die  Generalwerte  a-hd  und  a: :5  soweit  möglich  (nimUch  eiempli- 
ficando)  Tcranschaulichi 


Wie  wir  gesehen,  liesse  sich  der  Subtraktion  wol  nocli  einige 
Wichtigkeit  für  die  Technik  des  identischen  Kalküls  zuerkennen,  indem 
bei  den  Übersetzunf^en  aus  Wort-  in  Zeichen spra che ^  oder  umgekehrt 
—  namentlich  also  bei  der  Einkleidung  Yon  Textaufgaben  behufs  ihrer 
rechnerischen  Behandlung,  sodann  bei  der  Interpretation  der  Rechnnngs- 
ergebnisse  mittelst  Worten  —  diese  Operation  in  Betracht  kommen 
wird,  wo  immer  Attsuahmcn  zu  konstatiren  sind  oder  gefordert  werden. 

Aus  diesem  Grunde,  dessengleiehen  bei  der  Divisioa  nicht  vor- 
liegt,  wollen  wir  nun  der  Subtraktion  noch  einige  Betrachtungen 
widmen  (dem  Leser  es  flberlassend,  sieh  das  dual  Entsprechende  be- 
züglich der  Difision  gewflnsohtenfalles  selbst  snm  Bewosstsein  sa 
bringen). 

Von  den  Gesetzen  der  mmlniA^  AiNraib^jdfi  ist  vor  allem  das 
„THskib^iitkinsgeaeUf*  (derselben)  sn  beachten: 
t)         a  (6  —  e)     a(     ac  oder  (fc  —  c)  a     &a  —  ca, 

▼on  welchem  auch  in  den  Diskussionen  des  gemeinen  Lebens  allgemein 
Gebrauch  gemacht  wird.  * 


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§  23.    Die  Subtmktion  aU  Kxception. 


491 


Z.  B.  Dtr  eoropiisdie  obne  den  ruBelaeben  Handel  nt  der  europlisehe 

Handel  ohne  den  russischen  HandeL  Die  geflügelten  Tiere  mit  Ausnahme 
der  Insekten  sind  die  geflUgolten  Tiere  mit  Ausnahme  der  geflfigelien  Jn- 
«ekien  und  vice  versa.  Ktc. 

Der  Beweis  des  Satzes  ergibt  sich  am  einfachsten,  indem  mau 

die  beides  Seiten  der  Formel  nach  dem  Schema  x)  evaluirt.    In  der 

That  hat  die  linke  Seite  derselben  die  Bedeutung  a  {b  —  c)  =  ahc^ 

mit  der  Valenzbedingiuig      » 0;  und  die  rechte  Seite  der  Formel 

hat  den  Wert: 

ah  —  ac  -»  ab  (ac),  =  ah  (a,  +  c,)  =  a5c, 

mit  der  YalensbediDgong 

{ah\  ac     (a,+  6,)  ae  ^  ah^€  0. 

Unter  der  Yoranssetznng  also,  dase  die  Anadrfleke  sa  beiden  Seiten 
der  Formel  nur  überhanpt  einen  Sinn  haben  —  eine  YorantaetKung, 
die  man  fliglieb  als  eine  f^st^hskerständHM*  bezeichnen  kann  —  werden 

diese  beiderseitigen  Ausdrflcke  das  Nämliche  (nämlich  ahe,)  bedeuten 
und  ist  die  GQltigkeit  der  Formel  unanfechtbar.  Bedingung  daför  ist 

die  vereinigte  Gleichung  der  beiderseitigen  Valen/bedingungeu,  welche 
im  vorliegenUeu  I  alle  aber  auf'  die  erste,  die  liakseitige  Valenz- 
bedingung sich  reduzirt,  indem  diese,  nämlich  h^C  0,  schou  von 
selber  auch  die  andre  ab^c  —  0  zur  Folge  hat. 

Immerhin  ist  nicht  zu  übersehen,  dass  die  Valenzbedingungen  für  die 
beiden  Seiten  der  Gleichung  i)  verschiedene  shid,  dass  die  linke  Seite,  um 
einen  Sinn  an  haben,  mdir  yerlangte,  ala  die  rechte.  Man  kann  daher 
durch  unbedachte  Anwendung  des  Sfttoes  in  Fehler  Terfallen,  und  es  iat 

z.  B.  aa  —  a  oder  a-a  —  a»  1  nkM  ■=» a(a  —  1),  weil  die  Valenzbedingung 
für  <]]<'  Differenz  a  —  1,  das  wttre  ff,  =  O,  im  allL'f^nM'infn  nicht  erfilllt  ist, 
während  andrerseits  ua  ■ —  a  sehr  wohl  einen  Sinn,  nümlich  den  Wert  0  hat. 

Im  übrigen  kann  auf  Grund  von  r)  der  Satx  des  Widersipruchs  oder 
die  Formel  30,«)  sub  Ö  a  (1  —  a)  =  0  jetzt  aufgelöst  werden  in  a  —  aa  »■»  0 
und  erscheint  er  darnach  als  eine  blosse  Uroachreibmig  dea  Tautologie'' 
geset/es  14^)  aa«a—  eine  Auffassung,  welche  besonders  Boole  betonte. 

Für  die  Wortsprache  i.-t  die  AnateradltlasBvmg  der  Yerschiedraairtig- 
keit  jener  bcidf^rsr iti^^'on  Valonzliedinfjnngen  nicfit  verfänglich  und  zwar  wegen 
der  oben  erw.'iiuitcn  Liceuz,  deren  sie  sich  beim  Statuiren  von  Ausnahmen 
erfreut.    Ein  Beispiel  wird  dies  deutlich  machen. 

Es  mSge  a  betrunken,  h  »  Heide,  c  Grönländer  bedeuten. 
Nehmen  wir  an,  dass  es  betrunkene  OrönlSnd«*  gar  nicht  gibt,  sintemal 
man  auf  Orönland  nur  in  Lebertbran  kneipt,  so  wird  der  Satz  an- 
zuerkennen sein,  dass  die  betrunkenen  Heiden  ohne  die  Grönländer  einerlei 
sind  mit  den  betrunkenen  Heiden  ohne  die  betrunkenen  Grönländer,  das 
ist  ab  —  aCy  welches  wegen  «c  =  0  sich  in  ab  zusamnienzieht!  Keines- 
wegs dürfte  aber  a(b  —  c)  hiefür  geschrieben  werden,  iu  Anbetracht,  dass 
'nid^t  alle  ChrOnlSnder  Heiden  au  utSa.  brauchen  oder  wirklich  sind,  man 


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492 


Zwölfte  Vorlesung. 


daher  von  den  Heideu  b  exdtt  such  nicht  die  Grönländer  c  siibirahirend 
ansnehmen  kann,  sondern  nur  die  grönlUndischen  Heiden  bc,  Ks  wUrdc 
darnach  der  Ansdnuk  h  —  r  schon  jeglichen  Sinnes  baar  sein,  and  wäre 

es  nur  zulässig  die  Klasse  b  —  hc  =  h  (l  —  c)  =  hf\  zu  bilden. 

Um  uns  auch  (Iber  die  sonstigen  Gesetze  der  logischen  Subtrak- 
tion möglichst  rascli  /u  orientiron,  will  icl»  zunächst  in  ftbersichtlirlier 
1  orinelztisammenstelhint^  die  fuiulanientulen  SäUo  der  arithmetischen 
Subtraktion  zur  Vergleichung  hersetzen. 

Soweit  dieselbe!!  nnf  lürht  mehr  als  drei  allgcnieiue  Zahlen  Bezni,' 
haben,  könueu  letztere  —  vergl.  meine  Schritten  '  und  ^  —  in  folgende 
vier  Gruppen  gebracht  werden: 

v,)  (a  —  6)  +  6  —  («  +  6)  —  i>  —  6  —  (6  —  ö)  «  a, 

a  —  (6  +  c)  «  (a  —  6)  —  <?  «■ 

—  (a  ~  c)  -  -  b, 
a  —  b  =  {a  +  c)  —  (b  +  c)      (n  -  c)  —  (6  —  r)  = 

«  (o fr)  _  (o  ^  a)  «  («  -  c)  +  (c  -  6X 
a  +  6  —  (a  +  c)  +     —  c)  =  (a  +  c)  —  (c  ft) 

«  («  —  c)  +  (6  +  c)  «  (b  +  v)  —  {e  —  a). 

Nach  dem  Schema  x)  könneu  wir  nun  lUr  jeden  der  hier  verglichenea 
Ausdrucke  dem  Wert  angeben,  der  demselben  im  identieoben  Kalkol  beisu* 
legen  ist   Besgleieben  Termögen  wir  nadi  dem  Scbema  d)  anch  leine 

Valenzbcdingung  ansnsetvea,  oder,  wo  mehrere  Hiansseiehen  in  dem  Aas* 
druck  vorkommeo,  seine  sämtlichen  Valenzbedingnnj:fen,  welche  wir  dann 
rn  einer  ein/i"f>n  Gleichiincr  vereinigen  m^pen.  Mit  Rücksicht  auf  diose 
»seiue  Valeuzbedingung  (schlechtweg^  können  wir  endlich  jeden  Ausdruck 
nötigenlails-  entwickeln  nach  den  Symbolen,  a,  b^  (c)^  auö  welchen  er  auf- 
gebaut  ist. 

Sonach  ist  es  dann  weiter  keine  Knnst,  lusnseben,  ob  (und  unter 

welchen  Bedingungen)  die  in  der  Arithmetik  gleichwertigen  Ausdrücke 
auch  im  i<Ientischen  Kalkül  ttbereinstimmen  und  um  welche  Terme  sie  sich 
andernfalles  nnterschei<len. 

Ks  sicllt  i^ich  heran-,  diis8  von  den  in  der  Arithmetik.  ;;eltenden 
GleichuDgeu  ho  /.ienilich  die  Hälfte  auch  im  identischen  Kalkül  Geltung 
besitst  unter  der  Voraussetxung,  dass  die  Ausdrucke  beiderseits  gleiehseitig 
einen  Sinn  besitsen,  d.  h.  unter  den  ans  dem  Anblick  der  beiden  Seiten 
selbst  ersichtlichen  Yalenabedingungen. 

Unter  Zug'rundelegunnr  dcr5?elben  Annahme  (der  „verein ii^ten**  Valen?.- 
bedingung  der  (ilcichung)  bcclarf  die  andere  Ilfllfte  der  rrltMchv-nfren ,  um 
im  identischen  Kalkül  gültig  in  werden  der  Ilinzufilgung  eines  Kornkdon^- 
gliedes  auf  der  einen  Seite  derselben  —  eines  additiven  oder  subtraktiven 
Gliedes,  welches  eines  allgemeinen  Ausdrucks  selber  fthig  ist 


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§  23.   Die  inveräen  Operationen. 


493 


Es  würde  zu  weit  führen,  wenn  wir  fOr  alle  Kombinationen  der  vor- 
stehend unier  t^)  einander  gleichgesetsten  Anfldrfidce  dies  hier  im  einzelnen 
rechtfertigend  durchführen  wollten.  Jede  von  den  einschlägigen  Unter- 
buchungen  nebst  iliier  geometrifechen  Deutung  kann  eine  interessante 
oder  wenigstens  zuträgliche  Übung,  geistige  G^rmnastik  für  den  Anfänger 
empfohlen  werden. 

Von  den  nicht  unmodifisirt  geltenden  SSteen  ict  deshalb  nur  weniges 
speriell  henrorgehoben. 

Zn  Vg)  haben  wir  insbesondere: 

9»)  (fl+h)  —  6  —  «  — «6   oder  «  — & 

das  ist  a6,.  Korrektionsglied  ist  mitbin  —  o6  oder  —  h.  Es  wäre  nicht 
erlaubt,  den  Ansdruch,  wie  in  der  Arithmetik,  anf  a  an  rednairen.  Z.  B. 
Die  Begüterten  nnd  die  Adeligen,  ohne  die  Begttterten,  sind  nicht 
etwa  schlechtweg  die  Adeligen,  sondern  nnr  die  nnbegaterten  Adeligen 

(K.  Grassraann). 

Zu  Vj)  gilt  beispielsweise: 

3t)  «  +    — c)  —  {(a  +  fc)  —  cj  +  ac; 

KorrektioDSglied  mitbin:  +ae.  Die  Heihenfolge,  in  welcher  Additionen 
und  Subtraktionen  Tollaogen  weiden,  ist  also  im  identischen  Kalknl  nicht 

gleichgültig. 

Üie  Sätze  f,)  dagegen  gelten  auch  im  identischeu  Kalkül  ganz  un- 
verändert. 

Zu  V4)  haben  wir  exempli  gratia: 

t//)  (a  +  c)  —  {b  +  c)  =^  (fi  -  b)  Vi  —  c), 

das  Konektiousglied  ist  also  — (a — }))  r.  Hieraus  ersieht  man,  dass  ein 
überein^timmender  Rest4indteil  (Summand,  c)  von  Minuend  und  Subtrahend 
einer  DilTeronz  jedeutalls  dann  unterdiUckt,  die  Dilleienz  also  immer  dann 
mii  ihm  ,^ekürzt'*  werden  darf,  wenn  derselbe  gegen  die  andern  Bestand- 
teile di^'nnkt,  wenn  n&mlich  ca  »  0  und  c6  «  0  ist:  hem  Svhtrahiren 
reAuirter  Summen  von  emanäer  sind  iüteremstimmmde  Terme  unbedenktieh 
tu  tirckhm* 

Statt  nach  den  GesetMii  der  eindeutigen  kami  man  anch  nach 

denen  der  volldeniigeo  Snbtraktian  fragen. 

Man  findet,  dass  die  Regel  der  Arithmetik  für  das  distributive  Ane- 
mul Upliziren  einer  Diflfereuz  (sowie  umgekehrt  für  das  Ausscheiden  eines 
gemeinsamen  Faktors  im  Minuend  nnd  Subtrahend  dner  solchen): 

»i)  a  (6 '  i-c)  «  ah  -:  ae 

auch  hier  Geltung  hat,  indem  nach  dem  Schema  1})  sich  ttbereinstimmend 
ah  (^,+«)  als  Wert  der  beiden  Seiten  ergibt  unter  der  schon  bei  t)  er- 
wähnten Valenzbedingung  ^,c=0,  die  man  als  eine  selbstverständliche 

auch  iinorwähnt  lassen  könnte  «auf  rjnind  des  Axioms,  dass  ein  Satz  nur 
(ieltung  beanspruchen  kann  für  diejenigen  Fälle,  für  welche  Dasjenige, 
worüber  er  aussagt,  einen  Sinn  besitzt. 

Ferner  ergeben  sich  die  Werte  der  nachstehend  nniereinandergestelllen 


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494 


Zwölfte  Vorleeuog. 


ElementaranBdrQcke,  wenn  man  die  rechta  nelen  gestellten  Gleichungen, 
eventuell  —  wo  sie  vorkommen  —  unter  Elimination  von  y  und  ge- 
mUflg  der  Methode  des  §  21  nach  der  Unbekaimten  x  aaflöst: 


«t) 


'  sc 

ya^vj      c  »US 

X 

a'\-{b-ir€)  „ 

X 

a-i'ic  :  h)  „ 

X 

a      (6  +  r)  „ 

ar  +    +    =  ff, 

X 

(a  :  b)-i-c  „ 

X 

(a+c)H-(6+c) 

aas   «  +  6  +  c  «  a  +  , 

X 

(a-5-c)-^-(6-^c) 

„     jp  +  y  — jr  +  (?*— ft,      jp  +  c  — II, 

X 

\ 

(a      c)  +  (c  -•-  f>) 

und  so  weiter.  Valensbedingung  ist  jeweils  die  Besultaixte  der  filiminatton 

▼Oü  x,y^  r. 

Hier  »teht  jedoch  noch  ein  andrer  Weg  ofieu:  kann  auch  das 

Sohema  ij)  eyentueU  wiederholt  als  Voracbrift  benuUen,  um  die  verlangten 
Ausdrfldw  darnach  aufsubauen,  wobei  man  mit  den  Inhalten  der  Klammem 
beginnend  successive  nach  aussen  fortschreiten  wird.  Dieses  Verfahren  — 
bei  CO,)  oben  TOn  uns  angewendet  —  ist  das  bequemere  da,  wo  nur  ein 
' :  Zeichen  sich  in  dem  Ausdrucke  vorfindet.  Wo  aber  deren  mehrere  auf- 
treten, würde  80  in  das  Ergebniss  eine  Mehrzahl  von  arbiträren  Para- 
metern M,v,M'  eingehen,  die  dann  nach  unserm  Zusätze  zu  Tb.  48^)  auf 
einen  einzigen  erst  noch  zurückgeführt  werden  mtlssten. 

Hat  man  so  (auf  die  eine  oder  andere  Weise)  die  Elementaiausdrache 
berechnet,  so  nnteriiogt  die  Tergleidiiang  derselben  wiederum  keiner 
Schwierigkeit,  und  wird  man  Uhnliche  Wahrnehmungen,  wie  oben  bei  den 
eindeutigen  Ausdrücken,  machen. 

lusbesomlcre  möge  noch  der  Leser  untersuchen,  ob  allgemein,  oder 
unter  welchen  Btidinguugen  Uio  Ausdrücke 

«,)  (a  +  c)     (b  +  d)    und    (a  -'-b)  +  {c  :-d) 

fttr  einander  gesetst  werden  dürfen,  desgl.  für  die  einfachen  Minnszeiohen. 

Wol  genügen  aber  schon  die  bisherigen  Studien  um  ein  Bild  su 
geben  Ton  den  Schwierigkeiten  oder  besser  Unbequemlichkeiten,  mit 
welchen  man  fortgesetzt  sich  au  placken  hatte^  wollte  man  etwa  nach 
den  solchergestalt  für  die  Ezception  und  Abstraktion  geltenden  Formeln 
wirklich  rechnen.  Als  empfindlichster  Misstand  wfirvte  sich  der  Um- 
stand fühlbar  machen,  dass  die  Regeln  nicht  unbedingt  gültig,  die 
Transformation  Ton  Ausdrücken  nach  denselben  nicht  allgemein  an- 
lassig  sind,  sondern  an  die  Yon  mir  so  genannten  Yalenzbedingungen 
als  an  eine  jeweilige  Voraussetsung  geknüpft  erscheinen.  Sodann  sind 
die  mittelst  des  Eorrektionsglieds  modifisirten  Sätsce  auch  weniger 
einfach,  als  die  entsprechenden  in  der  Arithmetik|  und  analoge  Ver- 


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§  23.    Die  iuver^en  Üperationeu  des  Kalküls.  493 

euifftclmiigBiiy  wie  sie  letitere  Disziplm  noch  obendrein  dnreh  die  Ein- 
ftibning  der  ^negatiTen^  Zahlen  för  den  ganzen  Komplex  ihrer  ein- 
schlagigen Satze  erzielt  hat»  waren  hier  nicht  anzubringen*  Die  Satze 
würden  hier,  znmal  bei  ihrer  nicht  unerheblichen  wol  kanm  Termioder- 
baren  Anzahl,  auch  eehwer  zu  behalten  sein  und  mOssien  jedesmal 
bei  der  Anwendung  samt  ihren  GOltigkeitibediiigaDgen  nachgeschlagen 
werden  —  gewiss  eine  hSchst  unerquickliche  Zumutung!  Und 
anderes  mehr. 

£s  ist  darum  nur  zu  beglück w ansehen,  dass  durch  das  Studium 
einzig  ihres  gemeinsamen  Spezialfalles,  der  Negation,  die  weitere  Au- 
wendung der  inversen  Operationen  des  Kalküls  entbeiirlich  und  über- 
flüssig geworden. 

Der  Studirende  möge  deshalb  aucli  einen  Ausdruck  wie  ,^ie  a 
ohne  die  fe",  „die  a  mit  Ausnahme  der  h  '  künt'tighin  nicht  mit  a  —  ah 
resp.  a  —  b  sondern  nur  mit  a6,  in  die  Zeichensprache  übertragen.  In 
der  That  ist  der  Ausdruck  mit:  „rfie  a,  welche  nichi  h  sind'-  augcu- 
Boheinlich  äquivalent  — 

Zum  Schlosse  sei  noch  erwähnt,  dass  die  Darstellung  if)  des 
Generalwerte  der  Differenz  sich  auch  nnter  dem  Gesichtspunkt  des 
Tb.  44^)  Zusatz  1  fOr  die  Entwicklung  einer  Funktion  fia^b)  =*a<"h 
nach  ihren  Argumenten  darstellen,  nachträglich  ableiten  läset.  Nach 
diesem  Satze  nämlich  mfissten  wir  haben: 

«,)    a  :  h  =  {l'>\)ah  +  {\-:  0)  ah^+ (0~- \)  a^h  +  {0  :  0)  a^b^. 

Nun  ist  der  Koeffizient  0  1  sionloB  —  vergl.  das  unter  0)  Gesagte. 
Damit  der  sinnlose  Term  aus  dem  Ausdruck  fortfaUci  wird  der  zu- 
gehörige  Konstituent  a^5  0  sein  mfisaen,  was  uns  die  Valenz- 
bedingung  liefert. 

Nach  den  nnter  A)  angegebenen  Spezialwerten  (die  auch  dorch  ge- 
sonderte Oberlegnngen  hätten  unabhängig  ermittelt  werden  können)  sind: 

1  -1-  1  =  M,  •  1      0=1      und     0     0  =  0 

fOr  die  übrigen  Koeffizienten  einzusetzen  und  ergibt  sich: 

a  -T*  &  OB  uab  +  a5, 

in  Übereinstimmung  mit  i}). 

Analog  dual  entsprechend  für  den  Generalwert  des  Quotienten. 

Das  Theorem  44^)  nebst  Eorollaren  wird  in  dieser  Weise  auch 
ftlr  die  nnter  Konkurrenz  imverser  Operationen  aufgebauten  Funktions- 
ausdrlleke  gültig  bleiben,  wenn  man  es  durch  die  Zusatzbemerkung 
ergänzt,  dass  diejenigen  Konstituenten ,  deren  Koe/fisienten  undeutig  aus- 


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I 

496 


fallen,  für  sich  gleich  0  gesetzt  icaden  müssen  und  so  die  Valenzbediogung 
für  den  Fanktionsausdruck  liefern. 

Die  vorstehende  nähert  sich  der  Art  und  Weise  auf  welche  Boele 
seine  inversen  Operationsergebnisse  ermittelte. 

Die  weüeutlichsten  in  diesem  rüiagiapbcn  gewonnenen  Ergebnisse, 
seinerzeit  im  Operationskreis'  von  mir  mitgeteilt,  habe  ich  niicUtr&gUch  als 
von  Herrn  Feiree  in  seiner  Schriff  schon  frtther  verOffisnUichte  vor- 
gefundeii* 

§  24.    Bymmetritiah  allgemelae  Lösungen. 

Die  zur  VeiYolUliindigung  der  Theorie  hiernäcbist  von  nns  anf^estellten 
Betrachtungen  könneu  bei  erstmaliger  Lektüre  des  liuches  überschlagen' 
werden  —  es  sei  denn,  dass  der  Autiiuger  sie  beuiitzen  wolle  um  sieb  im 
ideuUscbeu  Kechnen  zu  üben.  Dieselben  scheinen  mir  vorwiegend  ein  theo- 
retisches Interesse  zn  besiUen  —  von  eigentümlichem  Beiz  vielleicht  für 
den  Malheaintiker  —  dagegen  praktische  Yerwertbarkeit  wol  erat  fttr  eine 
fernere  Znkiinit  in  Anssicbt  zu  stellen. 

Ein  nicht  ganz  leichtes  Plroblem  ist  ea,  das  uns  hier  noch  za  be- 
schäftigen hat,  da  seine  Lösmig  unter  Umstanden  wQnschenswert  er- 
scheinen kann.  'Dasselbe  besieht  sieh  aof  den  Fall,  wo  nach  einer  Jtfsftr- 
gM  von  unbekannten  Gebieten  oder  Klassen  gleichseitig  gefragt  wird. 

Hier  kam  es  darauf  an,  die  sämtlichen  Wertsysteme,  und  nur 
solche,  ansugeben,  welche  fQr  die  Unbekannten  x,}f,Mp,.,  in  die  ver- 
einigte Gleichung  des  Problems  besüglich  eingesetsl^  dieselbe  erfiSUen. 

In  §  22f  unter  sqq.  gelang  uns  dieses,  indem  wir  die  vereinigte 
Gleichung  nach  dem  System  der  Unbekannten  allgemein  auflösen,  ihre 
Wurseln  wirklich  ,,berechnen"  d.  h.  unter  Zuhfilfenahme  adritrairer  Para- 
meter u,v,w,.,.  Ausdrücke  fUr  dieselben  aufsustellen  lernten,  welche 
bei  beliebiger  Deutung  jener  Parameter  uns  allemal  ein  System  von 
Wurseln,  ein  solches  aber  auf  jede  mögliche  Weise,  liefern  mussten. 

Zu  dem  Ehide  mussten  aber  die  Unbekannten  successive  (eliminirt 
und  in  der  umgekehrten  Ordnung)  berechnet  werden  und  die  für  die- 
selben als  W  urzeln  erlialleneii  Ausdrucke  erwiesen  .sieh  nach  ihrem 
ganzen  Jiaue  —  ,,iürmeli"  —  abhängig  vou  der  dabei  eingehaltenen 
lleihenfolge. 

Die  zuerst  berechnete  l  iibekannte  enthielt  z.  I?.  in  ihrem  Aus- 
uruck  liur  einen  \s lilkürlichen  Parameter,  die  nacii  <li«.^rr  berechnete 
dazu  iioeh  einen  weiteren,  mithin  deren  zweie,  die  uiu  li.-t  lierechuete 
ihrer  dreie,  u.  .s.  w.  Es  konnte  auch  vorkommen,  dass  bei  der  letzten 
Elimination  (eine  oder)  mehrere  Unbekannte  auf  einmal  herauslieleii. 
Diese  ranssten  dann  unbestiiunit,  willkürlich  bleiben  und  waren  limeh 
sie  hernach  die  übrigen  Unbekannten  auszudrücken.  Auf  diese  W  eise 


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§  21.   Symmetrisch  allgetuetne  Lösungen. 


497 


worden  bei  der  Aufldsung  einzelne  Unbekannte  vor  den  andern  levor- 
gitgt,  nnd  solches  war  sogar  der  Fall,  wenn  auch  die  nrspflngliche  Auf- 
gabe ,symmetriȊif*  erschien  bezOglich  dimtlicher  Unbekannten  oder 
auch  einer  gewissen  Gruppe  von  solchen,  wenn  die  Tereinigfce  Gleichung 
durch  gewisse  unter  den  Unbekannten  vorgenommene  Tertausehungen 
—  in  Verbindung  vielleicht  mit  einer  gleichzeitigen  Vertauschuiig  unter 
ihren  getf^nen  Parametern  a,bfC,...  —  ungeändert  blieb,  nur  in 
sich  selbst  transforrairt  wurde. 

So  iüt  z.  B.  die  Gleicbuug  xy  =  0  bezüglich  x  und  y  symmelriscb. 
Bliminaüon  von  y  gibt  0     0  (womit  also  auch ' «  von  selbst  heraus* 
gefallen);  mithin  kann  x  als  willkUrlich  hingestellt  werden,  und  damaeh  ' 
berechnet  sich  dann:  p  *-*  vdP,.   Somit  stellen  uns  die  Oleiehungen: 

bei  beliebigem  r  und  V  in  der  Tbat  jedes  System  von  Wurzeln  yor;  man 
küntki»  auch  sagen: 

b«  beliebigen  v. 

Hatten  wir  aber  die  umgekehrte  Beihenfolge  bei  der  Auflösung  Tor^  • 
geoogen,  so  würden  wir  in  Gestalt  7m  y^y,x^  «y,,  oder: 

X  =  UV.,      y  V 

snr  Darstellung  von  ebendieseu  Wurzelpaaren  gelangt  sein. 

£ine  gerechtfertigte,  rationelle  Anforderung  ist  es,  nnnmehr  zu 
verlangen,  dass  die  Darstellung  für  die  Wurzelnsysteme  von  dem  bei 
dem  AnflSsungsverfahrMi  befolgten  modus  procedendi  unabhängig  er- 
scheinen aollen,  und  dass  insbesondere  alle  diejenigen  Veriamchxmgen 
dneraeits  zwischen  den  Unbekannten  y,  . . .  andrerseits  zwischen 
den  gegebenen  Parametern  a,hf  ...  welche  die  Data  des  Problems 
ungeändert  lassen,  nämlich  die  vereinigte  Gleichung  desselben  in  sich 
selbst  irauaformiren,  auch  das  System  der  Msungen  nicht  affisiren, 
nämlich  die  Darstellungen  der  Terschiedenen  Wurzeln  nur  auf  emoMkr 
EurttckfUhren,  wofern  sie  noch  mit  geeigneten  Yertaosehungen  unter 
den  neu  hinzugekommenen  Symbolen,  den  wUlkürUdim  Parametern, 
terbnnden  werdea 

Um  diesen  Anforderungen  zu  genflgen,  dürfen  nun  jedenfalls  nicht 
mehr  einzelne  Unbekannte  direkt  durch  andere  yon  ihnen  ausgedrückt 
werden,  wo  letztere  unbestimmt  bleiben;  nelmehr  müssen  jetzt  aUe 
Wurzeln  ausgedrückt  werden  lediglich  durch  die  (jeyehenm  Parameter 
a,  h,c,  (oder  die  Koeffizienten  der  nach  den  Unbekannten  ent* 
wickelten  yereinigten  Gleichung)  und  durch  wUlkürU^  oder  „unab- 
haagige''  Parameter. 

SonVM*,  Alfttteft  dw  Lo(ik.  88 


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403  ^  Zwölfte  yorleauig. 

Dergleichen  arbiträre  Gebiete  (welche  wir  bisher  mit  Vorlieb« 
VfW  genannt  haben),  will  ich  in  diesem  Paragraphen  ansachlieBBlich 
durch  i^rtee&tflefte  Bnchstaben  (des  kleinen  Alphabetes)  darstellen,  sodass 
auch  umgekehrt  jeder  solche  uns  stets  ein  v(iBkomimm  w&tkiirUAeß 
Gebiet  bedeutet. 

Ein  durch  solche  Parameter  ansgedrQcktes  System  von  Wnnteln 
wird  als  ein  richtiges,  als  eine  LSmng  der  gegebenen  Relation  oder 
yereinigten  GleicbuDg  su  bezeichnen  sein,  wenn  dasselbe,  in  die 
Gleichung  eingesetst,  diese  in  eine  analytische  Identit&t  yerwandelt; 
es  darf  also  durch  die  Einsetsung  nicht  etwa  eine  ,,Relation^  zwischen 
den  Parametern  sich  ergeben. 

Und  als  die  aügemein(st)e  Lösung  wird  es  zu  bezeichnen  sein, 
wenn  jedes  beliebige  die  vereinigte  Glei^ihung  erfüllende  Wertsjstem 
oc,y,z,  ...  der  Unbekannten  aus  den  fÖr  die  Wurzele  aufgestellten 
Ausdrücken  datlnrch  erhalten  werden  kann,  dass  man  den  in  sie  ein- 
gelieudeu  rarameterii  geeigaete  partikulare  oder  besondere  Werte 
beilegt. 

Die  Forderung  der  „Sytnmcfrie^'  haben  wir  oben  schon  cbarakterisirt 

Ein  allen  diesen  Anforderungen  genügendes  System  von  Aus- 
drücken (resp.  von  Gleichungen,  in  welchen  linkerband  die  Unbekannten 
siiratlich  isolirt  prscheinen,  rechterhand  nur  die  Koeffizienten  mit  will- 
kfirlicheu  Parameieru  verbunden  erscheinen)  nennen  wir  eine  ,fSifmme- 
triscfi  allgemeine"  Lösung  des  vorgelegten  Problems. 

Man  mag  noch  ausserdem  verlangen,  dass  die  Anzahl  der  ver- 
wendeten arbitrüren  Parameter  nicht  grosser  sei,  al^  inmmgänglieh. 

Ich  werde  nunmehr  die  vorstehend  charakterisirte  Aufgabe  für 
eine  Reihe  von  Einzelfällen  lösen  —  die  wichtigsten,  von  elementarer 
Nfitur.  Es  zeigt  sich,  dass  die  gefundenen  Lösungen  immer  leicht  als 
solche,  die  allen  Anforderungen  wirklich  genügen,  zu  bewahrheiten 
sind.    Weniger  leicht  sind  sie  manchmal  zn  entdecken. 

Zu  ihrer  Auffindung  verfüge  ich  bis  jetzt  erst  über  den  Anfang 
einer  allgemeinen  Methode.  Der  erste  Schritt  von  dieser  —  bei  jedem 
Problem  der  gleiche  —  führt  nicht  selten  schon  sofort  zum  End- 
ergehnisse. Manchmal  aber  wird  man  durch  denselben  zunächst  in 
einen  Zirkel  geführt,  aus  welchem  es  bis  jetzt  nicht  möglich  erschein^ 
ohne  besondere  Kunstgriffe  herauszukommen.  Die  Methode  bedarf 
also  noch  weiterer  Ausgestaltung.  Was  Qber  dieselbe  zn  sagen  ist, 
will  ich  gelegcBtlich  der  Beispiele  auseinandersetzen. 

Idi  beginne  mit  der  folgenden  (anbegrenzten)  Reihe  Ton  fonda* 
mentalen  Problemen. 


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§  24.   Symmetrisch  aiigemeiae  Li^ungeu.  499 


Aufgabe  1.      Es  scU  die  Oleidmig 

fjsyninu: Irisch  allgmiein''  nach  den  Uftbekannten  x  und  y  anfyelöd  werden. 
Die  Aullöäung  wird  dargestellt  durch  die  Gieichungeu: 

woriD,  wie  Torbemerkti     ß  und  m  ganz  beliebige  Gebiete  bedeuten. 

Aufgabe  2.  Ebenso  «tae&  x^y^g  die  Gieiehnng 

xys^O 

symmdrisdi  allgemein  m  lösen, 
Aufldsung: 

a? «  «  03,  +  y,)  »,+  «,  OJ+y)  a, 

Ä  —  y  («,+  ft)  o,  +  y,  (a  +  ft  o).  * 

Aufgabe  3.  Desgleichen  nach  x,  y,  z,  w  aufzulösen  die  QUiekmg: 

xyzAV  —  0. 

AuflSsang: 

ar     «     +  y,  +  d,)  Gj,  +  cf,     +  y  +  d)  o, 

2/  =  ^  (ff,  +  r,  +  f^r)  o,  +     («  +  y  +  (i)  w, 

*  —  y  («,+ ö>,  +  y,  («  +  +  0)  ö, 

Und  so  weiter:  das  Bildungsgeaets  fQr  beliebig  viele  Faktoren  des 
aum  Ver«ebwinden  an  bringenden  Produktes  ist  ersichtlich. 

Beweis.  Erstens  stimmt  bei  gaoz  unbestimmt  gelassenen  will- 
kürlichen Gebieten  03,  «,  y,  d,  .  .  .  fflr  die  angcjohonen  Wiirzelwerte 
die  Probe  dfr  Auf1i':-.ir,iij  —  wie  dies  leicht  nachzurechnen  ist. 

Die  AutluHuugen  smd  also  jedenfalls  richtige. 

Zweitens  sind  sie  aber  auch  die  allgemeinsten,  wie  ich  für  Auf- 
gabe ?i  niiher  nachweisen  will  (ganz  analog  ist  es  auch  für  die  vor- 
hergehenden beiden  Aufgaben  zu  leisten  ^  etc.). 

Ist  Xft/fgftc  irgend  ein  Wertsystem  oder  System  von  gegebenen  . 
Gebieten,  welche  die  Anforderung  xygw  =  0  erfCLlien,  so  kann  man 
immer  ansre  Parameter  a^a,  ß ,     6  so  bestimmen,  dass  unsre  Aus- 
drücke für.  die  Wonseln  gerade  dieses  Wertsysiem  liefern.  In  der  That 
genQgt  es»  zu  diesem  Zwecke  etwa: 

w «•  0    und     «  —  a:,  ß^y,  y  —  d«w 

selbst  3SU  denken. 

8«* 


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500 


Zwölfte  Vorlesung. 


Um  dies  darzuibun  muss  nur  erkannt  werdeuj  daaa  die  Gleichung: 

X  (//,  +  if,  + 

unter  der  Voraussetzung  0  =  xyzw  eine  richtige  Identitiit  ist.  Ad- 
diren  wir  aber  diese  letstere  überscbiebend  zu  der  vorigen  Gleichung, 
80  entsteht: 

in  Anbetracht^  dasa  wegen  y,+jr,+tr,»(y#fr),  der  Inhalt  der  Elammer 
rechts  gleich  1  sein  muss  —  cf.  Th.  36^)  und  SO^.). 

Und  analog  bezflglich  der  tibrigen  Unbekannten.  Ebenso  wfirde 
mit  den  Annahmen 

der  Xacliweis  gelungen  sein. 

Es  is^also  wirklich  jede  denkbare  Losung,  jedes  der  Forderung 
jCffffw  =  0  genügende  Wertsystem  in  unsem  Ausdrücken  fQr  die 
Wurzeln  enthalten. 

Und  drittens  gleichwie  die  Aufgabe  in  Bezug  auf  samtliche  Un- 
bekannte symmetrisch  war,  so  sind  es  auch  unsre  Resultate,  indem 
durch  Yertausehungen  unter  den  Parametern  tt,ß,y,S  augenscheinlich 
die  verschiedenen  Wurzeln  nur  in  einander  flbergefnhrt  werden,  das 
System  der  L&sungen  aber,  wenn  zugleich  auch  diese  Wurzeln  yer- 
tauscht  werden,  als  Ganzes  unTerSndert  bleibt. 

Wir  sind  darnach  mit  dem  Beweis  zu  Ende.  — 

Unsre  Lösungen  sind  sogar  Sfffnmeirisch  in  Bemg  auf  die  Grufpe 
äor  jparoffiefer  vmd  diejenige  ikfer  NegaHtmmy  indem  bei  Veitansehnng 
▼on  tOf  a,  ß,y,d  mit  bezfiglich  o,,  a,, d,  die  Ausdrucke  wesent- 
lich ungeändert  bleiben,  nur  in  sich  selbst  wieder  übergehen. 

Letzter«'  Eigenschaft  ist  ein  J.uxiis.  Man  kann  sie  preisgeben  und 
dafür  den  Vorteil  erkaufen,  diina  mau  mit  einem  I'uiameter  weniger 
auskommt. 

Wie  im  zweiten  Teil  des  Beweises  sich  oflenbarte  sind  nämlich 
auch  die  för  die  spezielle  Annahme  0  =  1  (oder  auch  =  0^  sieb  er- 
gebenden Ausdriieke  schon  die  allgemeinsten  Losungen  und  kann  man 
also  sagen,  dass  auch  durch  die  Formeln: 

««tt.Ü'  +  y  +  d) 

y  =  ß,iy  +  d  +  a) 
«  -=  y,  (d  +  a  +  /3) 
W^(f^(tt  +  fi  +  y) 


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§  24.  Symmetrisch  allgemeine  Ldsuogen.  50X 

die  Gleichung  xyzw^Q  schon  symmetrisch  Allgemein  ^elüsi  wird, 
wobei  wir  nan  nicht  nwAr  Parameter^  als  Unbekanute  liabeu. 
Analog  aoch  fllr  die  übrigen  Aufgaben:  es  wird  z.  Ii. 

^  -=  y  = 

die  c'infuclist  mögliche  symmetrisch  allgemeine  Lösung  der  Gleichung 
0  sein.  Etc. 

Zur  Auffindung  der  angegebenen  Lösungen  kann  man  hmtististk 
aich  leiten  lassen  durch  die  folgende  Überlegung. 

Soll  xysw  =  0  sein,  so  mösaen  wir  nach  Th.  43)  Zusatz  haben: 
«  «=  a  —  «  (y,  4- +  w,)  und  ist  damit  die  allgemeine  Form 

gefunden,  in  welcher  x  sich  dorch  vier  andre  Gebiete  a,ff,0fW  aus« 
drücken  lässt;  sjmmetriebalber  muss  das  Analoge  in  Besag  auf  die 
übrigen  Unbekannten  der  Fall  sein,  sich  also  y  durch  ß,XfM,tff  aus- 
drücken lassen,  etc.  Würden  wir  aber  dieses  Schema  zum  Vorbild 
nehmen^  so  bekämen  wir  noch  mit  einer  ttbergrossen  Anzahl  von 
Parametern  an  thnn  (die  auch  nicht  ?oii  einander  unabhlngig  bleiben 
dürften). 

Vorteilhafter  ist  darum  die  Bemerkung,  dass  nach  bekannten 
Satsen  —  ef.  Th.  38)  Zus.  und  Th.  20)  —  eine  Gkfdwng  ab  — 0  ägm- 
vaieHt  isi  (der  Snbsumtion  a^6,  und  folglich  auch)  der  CReidmng 
a  *—  a&,  (wie  dies,  wegen  a  —  ah^^\■  ah,  auch  leicht  ganz  direkt  nach- 
xaweisen).  Aua  der  Gleichung  xytw  =  0  erhalten  wir  also: 

05  — » «  (y,  4- +  tr,),  !/ y  (^,+ w,  + J?,),  etc 
Ersetzt  man  hier  rechterhand  die  Symbole  x,  y,  z,  w  selbst  durch  un- 
bestimmt gelassene  Parameter  a,  ß,  y,  d  so  erhält  man  jedenfalls  nyia- 
luetriHche  DarstelluiiL'fii  iür  die  vier  Unbekannten,  welche  tiiiug  bind 
jedes  gegebene  WerUybtem  der  Wurzeln  bei  geeigneter  Bestimmung 
des  Parameter  uianilich  für  die  Annahme  a  =  a?,  ß  =  y,  etc.  der- 
selben; auch  wirklich  zu  liefern^  und  ist  mit  diesen  Darstellungen  nur 
die  Probe  noch  zu  machen,  ob  sie  auch  für  alle  möglichen  Werte 
dieser  Parameter  schon  die  Forderung,  dass  xyzw  0  werde,  erfüllen 
—  und  siehe  da:  die  Probe  stimmt! 

Die  damit  gewonnenen  symmetriBch  allgemeinen  Lösungen: 

bleiben  jedenfalls  ebensolche,  wenn  man  sie  noch  mit  einem  weitera  un- 
bestimmten Parameter  o,  mnltiplizirt,  und  aus  den  Darstellungen  gehen 
dann  pI'ph^o  berechtigte  hervor,  indem  man  siimtliche  Parameter  mit  ihren 
Negationen  vertaugoht.  Aus  don  beiden  S3'5temen  von  Ausdrucken  erj^eben 
sich  endlich  durch  additive  Vereinigung  der  eiit»pr&chenden  neue,  an- 
scheinend die  allgemeinsten  (in  Wahrheit  aber  nur  ebeoso  attgememe)  die 


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502 


Zwölfte  VorlesttDg* 


ebenfaUs  die  Forderung  xijzw  »  0  erfüllen  mflBsen,  in  Anbetracht,  da^s 
sie  nach  m  samt  uud  sonders  entwickelt  erscheinen  und  man  also  behufs 
^ruUi[ilikation  derselben  nin*  die  Koeffizienten  ihjrer  gleichnamigen  Glieder 

übereiuftiidor  zu  leg^cn  luaucbt. 

Um  die  beim  vorstehenden  Spozialproblem  erlaiitrten  Fingerzeige 
in  der  Hichtiui«^  einer  zum  Ziel  tÜhreiiden  Methode  z\i  verali^femeinern, 
müssen  wir  noch  dem  Th.  ÖO)  eine  neue  Ausdrucksform  geben,  durch 
welche  dasselbe  mit  dem  Zusätze  zum  Th.  47^)  in  Zusammenhang  ge^ 
bracht  wird.  Das  letztere  si^e  (mit  neuer  BezeiebnuDg)  ans,  dass 
sooft  A^x  ist,  auch  immer  Ax^-\-  Bx  «  X  sein  müsee.  S^en 
wir  hier  h  fQr  A  nnd  0,  ffir  Bj  so  gelangen  wir  —  in  Anbetracht, 
dasB  die  Gleichung  a.r  +  Z'a;,  =  0  auch  mit  der  Doppelsubsumtion 
b  =^  X  =^a,  naeh  Tb.  41^^)  SquiTalent  ist,  va  dem  Satze,  den  wir  be> 
Eeicfanen  ala  das 

Hülfs  theo  rem  des  §  24:  l)ie  Gleichung  ajr  +  ta,  =  0  ist  äqui- 
valent ikr: 

X  =  hx^-\■  a^x. 

In  der  Tliat  kann  «liese  Äquivalenz  auch  leicht  direkt  uachgowieeen 
werden,  iiidum  man  einfach  die  letztere  rechterliand  auf  0  hrini^t. 

Die  letztere  Gleichung,  ubwol  sitj  rechterhand  die  Unbekaiinle  x  belbot 
noch  enthält,  kann  gleichwol  als  eine  partikulare  „Lüsuug"  der  crätera  hin- 
gestellt werden,  in  Anbetracht,  dass  sie  ans  der  allgemeinen  LOeuug 
«a-  bt«,+  a,«  anoh  hervorgeht,  indem  man  den  willkOrliofaen  Parameter« 
gleich  X  selbst  anninunt.  8ie  stellt  aber  mit  gleichem  Bechte  jede 
Partikularlösung  vor,  indem  es  offen  blieb,  welohe  von  diesen  unter  x 
gedacht  wurde. 

Man  könnte,  im  Hinblick  auf  die  erste,  unsre  zweite  Gleichung 
auch  noch  zu: 

(mittelst  UnterdrtlckuDg  von  hx^,  welches  ja  0  sein  sollte)  vereinfachen. 
Für  unsre  beabsichtigten  Anwendungen  wird  sich  dieses  aber  nur 
selten  empfehlen,  —  so,  nattlrlich,  wenn  der  Term  hx^  analytisch  ver- 
schvrinden  sollte,  wie  es  oben  bei  Aufgabe  4,  wo  6  0  war,  der  Fall 
gewesen« 

Wir  werden  darnach  ein  Arbeiten  nach  dem  „voUenf*  und  ein 
solches  nach  dem  »tVerkSrstai^*  Schema  unsres  Hfitfstheorems  zu  unter 
scheiden  haben. 

Nach  obigem  Hfllfstheorem  können  wir  nun  die  vereinigte  Gleichung 
unsres  Problems  nach  irgend  einer  Unbekannten  so  auflösen,  dass  wir 
ohne  Zuhülfenähme  eines  arbiträren  Faramctas  (lie«e  Uubekauute  durch 


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§  84.  Bymmetritch  aUgemeine  LSiongao. 


9Uh  sclbsi  und  dmdt  die  übrigen  Unbekmnten  linear  iumI  eiudeuiig 
amdrücketu 

Tbim  wir  dies  fttr  jede  Unbekaiintef  so  erhalten  wir  ein  System 
YonGleichangeni  deren  jede  mit  der  Qxeprflngliclien  vereinigten  Oleieheng 
iquiYalent  ist  (und  je  ffir  eine  Unbekannte  einen  Ausdruck  angibt). 

Jede  Vertauscbong  von  SymboleUi  welche  die  uriprfingliehe  Glei> 
chnng  in  sich  selbst  Terwandelt,  muss  darum  auch  bei  dem  System 
dieser  aus  ihr  gezogenen  Folgerungen  snlSssig  sein^  dasselbe  in  sich 
eelbst  verwandeln. 

In  uttsera  Darstellungen  für  die  Unbekannten  kommen  nun  freilich 
rechterhand  neben  den  KoefiBzienten  der  vereinigten  Gleichung  auch 
diese  ünbdumnten  selbst  wieder  vor.  Brsetei  man  aber  (bkn  redUer- 
JiandJ  jede  emaine  wn  dietm  leMem  dwr<äwoeg  durdt  einen  besondem 
nunmehr  imMtnim^  m  lassenden  Farcander  oder  griechischen  Buch- 
staben, 80  wird  man  ein  allgemeineres  System  von  Darstellungen  für 
die  Unbekannten  erhalten,  welches  jedenfalls  fähig  ist,  ein  jedes  be- 
soiidere  System  vou  VVurzelwerteii  [iür  gewisse  l^immuter werte)  dar- 
zustellen, welches  (m.  a.  VV.)  alle  Wurzelsjbteme  uotwentlig  mituüifabst 
oder  in  sich  begreift. 

Ausserdem  wird  dieses  System  von  Gleichungen  unfehlbar  die  An- 
forderungen der  Symmetrie  aucli  erfüllen.  Wenn  näralith  vor  der  Er- 
setzung durcli  die  griechischen  Buch.stabeii  eine  lileichung  des  Systemü 
aus  (  im  r  ;indern  hervorging  durch  eine  vielleicht  zwischen  dun  Koef- 
tizienten  und  jedenfalls  auch  zwischen  den  Unbekannten  der  vereinigten 
Gleichung  vorgenommene  Vertauschung,  so  muss  das  gleiche  auch 
nach  jener  Ersetzung  noch  der  Kall  sein  sobald  man  nur  mit  der  Ver- 
tauschung  eben  der  Unbekannten  auch  die  entsprechende  zwischen  den 
Cur  sie  eingesetzten  griechischen  Parametern  parallel  gehen  iässt. 

Also  die  Anforderung  der  Al^iemeinheit  und  die  Anforderung  der 
Symmetrie  erfüllen  bereits  die  so  gewonnenen  Darstellungen  für  die 
Unbekannten.  Um  sie  als  ,^jmmetri8ch  allgemeine  Ldsungen"  der 
Tereiuigten  Gleichung  hinstellen  zu  dürfen,  mflssen  wir  nur  noch  zu- 
sehen,  ob  sie  auch  Losungen  derselben  sind,  ob  sie  als  Wurzeln  die- 
selbe  erfüllen  schon  bei  beliebig  gelassoien  Parameterwerten.  Zu  dem 
Ende  ist  nunmehr  die  Probe  zu  machen;  die  Ausdrucke  sind  für  die 
Unbekannten  in  die  Tereinigte  Gleichung  einzusetzen. 

Nicht  selten,  wie  gesagt,  stimmt  diese  Probe:  es  resultirt  aus  der 
Substitution  der  Ausdrucke,  die  wir  dann  als  die  „Ww^K^*'  bezeichnen 
dürfen,  eine  Ton  den  Parametern  analytisch  erfüllte  Identität;  man  ist 
schon  mit  dem  einen  geschilderten  als  dem  ersten  Schritt  der  Methode 
am  Ziele. 


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004 


Zwölfte  Torletnogf 


Zuweilen  aber  führt  die  GinBetznug  jener  Darstellungen  für  die 
Unbekannten  zu  einer  Melation  swischen  den  Parametern,  welche  von 
diesen  erat  erfElUt  werden  mUsste.  Die  Aufgabe  ist  alsdann  wenigstens 
auf  die  andre  zurückgeführt:  diese  Relation  nunmehr  nach  besagten 
Parametern  als  Unbekannten  symmetrisch  allgemein  zu  losen.  Hätten 
wir  schon  deren  Wurzeln,  so  wQrdo  ihre  Substitution  in  die  früheren 
Gleichungoi  nns  auch  die  ursprünglichen  Unbekannten  darstellen  lehren. 

Die  Hfll6aufgabe,  auf  die  wir  so  geführt  werden,  kann  sehr  viel 
einfacher  und  leichter  sein,  als  wie  die  nrsprBngliche,  in  welchen 
Fällen  wir  schrittweise  zum  Ziel  gelangen  werden.  Allein  es  kommt 
auch  Tor,  dass  die  für  die  Parameter  resnltirende  Relation  oder  Hülfe- 
gleichung  genau  von  derselben  Form  ist,  wie  die  ursprüngliche  rer- 
einigte  Gleichung  in  Bezug  auf  die  nrsprüuglichen  Unbekannten  es 
war,  sodass  das  Fkoblem  wesentlich' —  bis  auf  die  nunmehr  durch 
andere  Tcrtretenen  Namen  der  Unbekannten  (und  vielleicht  Koeffizien- 
ten) —  diXSieUfe  gehlieben  ist,  und  es,  auf  die  gleiche  Art  von  neuem 
in  Angriff  genommen,  in  Ewigkeit  bleiben  mOsste.  Alsdann  vermügca 
nur  andersartige  Kunstgriffe  aus  dem  Zirkel  herauäzuführeu  —  wofern 
überhaupt  das  Problem  ein  lösbares. 

£s  werUeu  fernere  Beispiele  dies  nach  und  nach  illustriren. 

Aufgabe  4.  Die  StAsumHon: 

nach  iß  und  u  symmärisch  allgemein  m  lösen. 

Aufldsung.  Die  Gleichung  cy,  =  0,  mit  der  uusre  Subsumtiou 
äquivalent^  ist  dies  auch  wieder  mit  den  beiden: 

X  =  X1J    und    y  =  X  y. 

Nach  der  auseinandergesetzten  Methode  gelangen  wir  also  zu  den 
Formeln: 

welche  auch  schon  für  o  «  0  angesetzt  werden  konnten  als: 

und  die  Aufgabe  lösen. 

Ebenso  konnte  aber  auch  die  Ltisnng  schon  aus  der  bei  Aufgabe  1 

gpf»ehenen  iihgeleitet  wonlen,  indem  man  nach  dortigen  Schemata  die  Glei- 
chung xtj,  =  0  sjnimotrisch  allgeiiiein  löst  nach  den  Unbekannten  x  xmA 
t/,;  für  diese  hat  man  ilie  1.  o.  aufgestelUen  AnsdrUcke  und  orgiU  uocli 
aus  dem  letztem  sich  y  aelb&t  durch  beiUeiaeitigea  Negiren.  Man  bekommt 
die  nKmlichen  Formeln,  wie  vorstehend,  bis  anf  den  Umstand,  dass  der 
Parameter  ß  mit  seiner  Negation  gewechselt 


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%  ü*  Sjmmetriach  allgemeine  Lösungen.  505 

Bs  gibt  keine  wirkliche  Yertanscliuiig,  welche  hier  die  Data  des 
Problems  nngeatidert  Hesse:  es  koonen  x  und  y  hier  nicht  die  Rollen 
tauschen  and  die  Aufgabe  selbst  ist  nosjmmetrisch.  Die  Symmetrie 
nnsrer  LSsongen  besteht  hier  gleichwol  in  dem  Sinne,  dass  weder  ff 
einseitig  durch  x  ausgedrQckt  wird,  noch  umgekehrt  x  durch  y,  sondern 
dass  Tielmehr  beide  ünbekannte  gleichmSssig  dargestellt  werden  durch 
swei  unabhängige  Parameter  tt  und  ß,  Dass  diese  Darstellungen  so- 
gar in  Besug  auf  letstere  symmetrisch  erscheisett,  dQrfte  mdir  wol 
nur  als  ein  Zufall  anzusehen  sein.  Verzichteten  wir  auf  diese  Gleich- 
mässigkeitj  so  könnte  die  Aufgabe  schon  einfacher  mittelst: 

oder  auch  mittelst: 

in  unabhängigen  Parametern  gelöst  werden, 

Aufgabe  5.  Eine  Reihe  von  Problemen  einfachsten  Charakters 
ergibt  sich,  indem  man  fordert,  dass  von  den  vier  Gliedern  der  nach 
X  und  ff  entwickelten  Einheit  (identischen  Eins)  irgend  eines,  irgend 
zweie  oder  irgend  dreie  verschwinden ,  dass  also  von  den  Wer  Glei' 
chungen: 

ary  —  O,   ory,  =  0,   J'.yO,         =  0 

in  jeder  möglichen  Weise  eine  Gruppe  gelten  solle  und  allemal  das 
System  nach  x  und  tf  symmetrisch  lülgemein  gelöst  werde. 

FUr  die  erste  Gleichung,  wenn  sie  für  sich  allein  gelten  soll,  ist  dies 
schon  unter  Aufgabe  1  geleistet,  für  die  zweite  unter  Aufgabe  4  und  dar- 
aus ergibt  sich  auch  die  Lösung  für  die  dritte  Gleichiin?»",  indem  man  x 
und  t/  verlansfht;  endlich  braucht  man,  um  für  die  vierte  Gleichung  die 
Lösnngen  zu  linden,  nur  bei  denen  der  Aufgabe  1  das  x,  y  durch  x,,  y^ 
zn  ersetsen,  somit  hier  als  x  und  y  anzusetzen:  die  Negationen  der  an- 
gegebne Wuneln. 

Gleichzeitige  Geltung  von  irgend  zweien  der  vier  obigen  Gleiehnngen 
führt  auf  die  sechs  Aafgaben,  je  eine  ven  den  Gleichungen  symmetrisch 
allgemein  zu  lösen: 

Von  diesen  bietet  nur  die  dritte  und  die  vierte  ciu  Interesse  (äiehe 
unten).  Bei  den  vier  andern  Aufgaben  fiel  nftmlich  die  eine  ünbekannte 
von  selbst  heraus;  diese  bleibt  willkflrlich  und  kann  einem  Parameter  «, 
oder  ß,  gleichgesetzt  werden,  wogegen  sich  die  andre  Unbekannte  gleich  0 
resp.  1  bestimmt. 

Nach  Th.  33^)  gibt  das  Vei-schwindcn  irgend  dreier  von  den  vier  Ter- 
men,  mithin  auch  ihrer  Summen  zu  irgend  dreien,  die  Ansätze: 


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I 


506  Zwölfte  YoTlesaiig. 

+    — 0,   a?,  +  jf  — 0,   a;  +  y,  — 0,   x  +  tfO, 

welche  nur  je  dnrcli  das  Verschwindeii  der  beiden  Glieder  befriedigt  wer* 
den  können,  womit  sich  aber  »  nnd  y  gleich  1  oder  0  vOlUg  bestimmen. 

Alle  vier  Terme  zugleich  köunen  nicht  verschwinden,  weil  der  Angats 
nach  Th.  34^)  auf  die  absurde  Gleichung  1=0  führen  würde. 

Als  einzige  weitere  Ausbeute  der  yorstehenden  filttmeulese  notiren 

wir  also  diese  beiden  Probleme:  die  Gkukmg 

xy  +  ar,y, «—  0  reep.  a?y,  +      —  0 

je  symmetrisch  allgemein  m  losen. 

Dieselben  sind  da  l  i roh  interessant,  dass  sie  die  emfa<Ji6leH  J^xentpcl 
zu  dem  oben  erwähnten  liefern. 

Behandeln  wir  zunächst  das  erste  derselben.  Die  Gleichung  /er- 
fällt in  die  beiden  Forderungen  xy  =  0  und  v,?/,  ==  (\  Der  ersten 
von  diesen  wird  nach  Auf^ijabe  1  durch  den  Ansatz:  ,/  =  c(ß^,  ij  =  cf,/3 
auf  die  allgemeinste  Weiso  syniniptri>ich  genügt,  und  müssen  die  Para- 
meter «  und  ^  nur  mehr  noch  so  bestimmt  weiden,  dass  sie  auch  die 
sweitc  i^'orderuDg  x^y^  =  0  erfilUeu.   Es  wird  aber 

^,  y,  -  («.  +  « («  +  A)  -  «,  A  +  «/» 

und  sonach  erhalten  wir  in  Gestalt  von  aß  +  a^ß^^  0  für  diese  unbe- 
kiiuntcn  Parameter  eine  Gleichung  von  genau  derselben  Form,  als  die 
ursprüngliche  Gleichung  in  Hinsicht  von  x  und  y  gewesen. 

Das  gleiche  btellt  sich  herau2>,  wenn  wir  streng  systematisch  ver- 
fahren,  die  Gleichung  nämlich  gemäss  dem  Hülfstheorem  des  §  24 
nach  X  und  y  auflösen,  wodurch  sich  x y^,  y  =  a*,  ergibt,  alsdann 
die  Symbole  y  rechterhand  durch  arbiträre  Paramuiei  a,  ß  ersetzen 
und  mit  den  gewonnenen  Darstellungen  x  ~  ß^,  y  =  cc^  die  Probe  der 
Auflösung  machen:  es  zeigt  sich,  dass  diese  Parameter  nicht  unab- 
hängig von  einander  sind,  sondern  die  Relation:  a^ß^  +  aß'w=0  be- 
friedigen müssen,  welche  wiederum  von  der  alten  Form  ist.  Auf  die- 
selbe Weise  (behufs  Ermittelung  von  a,  ß)  fortfahrend  müssten  wir 
nun  immerfort  auf  die  gleiche  Aufgabe  behufs  ihrer  eignen  Lösung 
zurückverwiesen  werden. 

Ans  dem  ZirJcel  tritt  man  aber  hier  leicht  heraus  TCrmittelst  der 
Bemerkung  I  dass  die  Relation  swisehen  den  Parametern  auch  *mit 
a^ßf  oder  äquivalent  ist  Es  genflgt  also  in  den  obigen 

Daratellungen     durch  a  zu  ersetzen,  nnd  erhalten  wir; 

als  die  gesuchten  symmetrisch  allgemeinen  Lösungen. 

Die  Symmetrie  gibt  hier  sich  darin  kund,  dass  die  beiden  Lösungen 


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§  24.   S^mmelriflcfa  allgemeine  Lösungeu. 


507 


In  eisander  ttbergeben,  wenn  man  den  (einzigen)  vorkommenden  Pora* 
mekr  a  mü  semer  JfegaihH  «,  Tertausehi  — 

Die  analogen  Betrachtungen  fQr  das  zweite  Problem  dnrchsa- 
führen,  deeaen  Gleichuig  auf    »  t/  oder  tj  =  x  hinausläuft  und  mittelst: 

a:  =  a,       y  =  tt 

symmetrisch  allgemein  gelöst  wird,  dürfen  wir  füglich  dem  Leser 
überlassen. 

Indem  man  analog  dem  hier  Durchgesprochenen  systematisch  alle 
diejenigen  Probleme  aufsucht,  welche  sich  nrirebeu  können  durch. die 
Forderung  des  Verschwindens  von  irgend  einer  Gruppe  yon  Termen, 
hervorgehoben  aus  den  acht  Gliedern  der  Entwickelung  von  1  nach 
or,  y  md  e  gelangt  man  weiter  zn  den  in  Aufgabe  6  bis  U  behan- 
delten Problemen  —  wobei  wir  aber  nur  mehr  diejenigen  erwähnen, 
welche  nicht  snfolge  Heraasfallens  von  Unbekannten  auf  früher  Er- 
ledigtes hinanslanfen  und  welche  ferner  der  Art  nach  Terschieden  sind» 
sodass  sie  nicht  durch  blosse  Yertauschung  von  Unbekannten  mitein- 
,  ander  oder  mit  ihren  Negationen  auf  bereits  Behandeltes  surück- 
kommen. 

In  Aufgabe  2  ist  sonsch  fttr  die  Forderang  des  Verschwindens  von 
nur  einem  der  acht  Terme  implicite  die  Lösung  schon  für  alle  Möglich- 
keiten angegeben. 

Wir  fuhren  auch  die  Probleme  nicht  mehr  in  der  streng  konibi- 
natorisch'leiikalischen  Reihenfolge  vor  —  in  welche  sie  erst  durch  die 
Anordnung:  Aufg.  2,  10,  7  (oder  8  Anm.),  6,  8,  11,  9  treten  würden. 

Aufgabe  6b  Die  Gkiehmg 
oder,  die  rechte  Seite  auf  0  gebracht: 

symmetrisch  aUgemeinsl  zu  losen. 

Die  Auflösung  leisten  die  Formeln: 

Ä  —  /Jy,  +  Ay,     a-,  —     +  fty,, 

|f  — 9^a,  +  y,a,  etc. 

wie  schon  durch  den  ersten  Schritt  der  anseinandergesetaten  Methode 
sich  ohne  weiteres  ergibt  —  vergl.  hiexu  auch  das  Th.  von  Jeron s 
unter  n)  des  §  18.  Wieder  genügt  hier  die  Annahme  «  o:,  ß  =  y, 
y  »     um  gegebene  Werte  ron  x,     e  heransspringen  zu  machen. 


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508 


Zwölfte  VorlMUDg. 


Hätte  man  ÜDr  die  Auflosoog  einer  Qletcliaitg  ax  -^hx^^O  an- 
statt des  ToUen  Schemss  x^^hx^-j- a,d?,  das  verkQnte:  x  »=  0,0;  — 
Teigl,  nnser  Hfllfstheorem  —  benutzt,  so  wflrden  sich  die  ebenfalls 
richtigen  aber  weniger  einfachen  Formeln  als  Ldsong  des  Problems 
ergeben  haben: 

rc  =  (x{ßy,  +  ß,y) ,     ^,  =  «,  +  /3y  +    y, , 

Man  ersieht  hieraus,  dass  das  Problem  der  sjmmetriftch  allgemeinen 
Daratelloog  eines  Systems  von  Unbekannten  nicht  nur  auf  Tenchiedene 
Weisen,  sondern  aach  in  yersehiedener  Weise  lösbar  ist. 

Aufgabe  7.  Die  Qläckung 

welche  nur  die  letaten  drei  Glieder  der  Torigen  enthalt,  symmefrisd^ 
allgemein  s»  Usm. 

Auflösung.   Systematisch  ergibt  sich; 

«  =  «tf  +  y)  +  «/^y,  +  ß^v)  =    +  y)    +  A  +  y.)  = 

=  «ßy   ßYx-^  ßxYt 

wozu  a;,  =  «,/?y  +  ß^y^ 

gehört,  und  so  weiter  —  x^y^ß  nebst  cyklisch  (im  Ringe  her- 

um) vertauscht. 

Die  Lösungen  sind  richtige,  aber  nicht  die  einfachst  möglichen. 
Bessere  ergeben  sich  hier  merkwürdigerweise,  indem  man  anstatt  des 
,,Tollen''  Schernaus  das  ,,gekarzte''  in  Anwendung  bringt.   So  kommt: 

ap««(/J  +  y),     a?,-=«,  +  fty„ 

y  =  ß{y  +  a),  etc. 

r=«yfa  +  /3), 

als  eine  schon  beträchtlich  einfachere  unter  den  uiöglicheu  Lösungen 
der  Aufgabe.  iMiin  mache  hier  die  Probe  und  überzeuge  sich,  dass 
mittelst  der  Annahme  a  =  x,  ß  •=  y,  y  —  ^  die  Lösungen  tiucli  jedes 
gewünschte  die  Data  erfüllende  System  von  VVurzehverten  zu  liefern 
im  stände  sind;  Elimination  von  a,  ß,  y  führt  blos  auf  die  obige 
Gleichung. 

Aufgabe  8.   Die  Gleichung 

xyB  +  x^ye  +  y^zx  +  s^xy  «•  0 
naek  X,  yt  s  symmetrisch  aägemein  sie  löeen» 


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§  24.    8^vnni)eiri»cli  allgeiueioe  Löaungen.  509 

Dieselbe  ist  auch  äquiTaleni  dem  System  der  drei  Gleichungen: 

y«  =  0,    jfa?  — 0,  xy^Oj 

indem  ihr  Polynom  sich  mittelst  identischer  Umformungen  leicht  iu 
xy     yz  +  zx  zusammenziehen  lasst. 

Auflösung.  Es  wird  also  die  nach  x  aufzulösende  Gleichung  in 
der  Geatalt  erscheinen: 

x{ii-\-s)  +  x^yg  =  0, 
und  nach  dem  Tollen  Schema  ergibt  sich  darnach  systematisch: 
X  «  «Ay,  +  ir,  —  «08  +  y)  +  <r,(/3,  +  y.) , 

y  — /Jy,«,-l-fty«,  etc. 

wozu  nur  noch  bemerkt  werden  mag,  dass  x  und  x^  auch  iu  der  Gestalt: 

X  «  (y«,  +  y,«)  (aß^  +  a,/3) ,   a;,  —  (y«  +  y.«,)  +  (aß  + 

geacbrieben  werden  könnten,  etc. 

Anmerkang.   Die  Lösung  derjenigen  Gleichung: 

x^yg  +  y^gx  +  g,xy  =  0, 

welche  nur  die  drei  letzten  Glieder  der  obigen  umfasst,  müssen  sich 
nunmehr  ergeben,  wenn  man  in  denen  der  Aufgabe  7  die  Unbekannten 
mit  ihren  Negationen  vertauscht.  Thut  man  das  gleiche  auch  mit  deu 
dortigen  rarametern,  so  werden  sich: 

x^a  +  ßy,     ir,  —  «,(A  +  y,) 
y  —  /}  +  y«,  etc. 
*  — y  +  «iJ, 
al«  diese  gesuchten  Lösungen  ergehen. 

Übrigens  ist  herrorsuheben,  dass  bei  den  Aufgaben  7  und  8  weder 
das  Verfahren  nach  dem  Yollen,  noch  dasjenige  nach  dem  TerkOrzten 
Schema  uns  die  in  formaler  Hinsicht  emfoMm  Lösungen  lieferte, 
welche  möglich  eracheinen. 

Vielmehr  drdcken  schon  die  AnsStse: 


X  am  ß  +  y 

x  =  ßy 

x^ß.y 

x-'ß  +  y, 

y  =  ya 

y-^y.a 

xr  —  a  +  /3 

Z  =  aß 

z=^a^ß 

g^a-i-ß, 

Attfg.  7 

Aufg.  8  Anm. 

Au%.  8 

jfß-i-MX  +  Xff'^0 

Losungen  ans  filr  die  darunter  gesetaitti  Aufgaben  (deren  letzte  aus 
Aufgabe  8  durch  Vertauschung  der  Unbekannten  mit  ihren  Negatiuuen 


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510 


Zwölfte  VorleBimg. 


hervorgeht)  —  wie  darch  Elimiiiirco  toh  a,  ß,  y  auB  den  drei  Giei- 
chiiogen  je  leicht  zu  yerifisiren  ist 

Bei  gegebenen  Werten  von  Sf  welche  die  fiesultante  oder  vor- 
gelegte Gleichung  erfilUen,  sind  hier  bezfiglieh: 

bei  den  zwei  ersten  IVoblemen;  sodann 

tt  =  y  (auch  y  +  uz,)  j    a      y^  (auch     +  uz) 

—  und  so  weiter,  die  Buchstaben  a,  ß,  y  und  t,  y,  g  cjkliacb  Tertauscht 

—  diejenigen  Werte,  welche  für  die  Parameter  ansunehmen  sind,  am 

die  L5sungsgleichungen  identisch  za  erfüllen. 

Gelegentlich  der  ersten  von  obigen  vier  Aufgaben  sei  noch  eines 
kleinen  Paradoxons  erwähnt.  £liminirt  man  blos  ß  und  so  entsteht 
für  a  die  Gleichung: 

in  welcher  dns  letzte  Glied  links  auch  nntordrückt  werden  mag  auf  Gmnd 
der  von  v,  r  ohnehin  erfüllt  vorauszusetzenden  Isolation  oder  Endresul- 
tante der  Klimiuation  (auch  noch  von  a).    Darnach  berechnet  sich: 

«r«Ä,(jf +  i5)  +  tty^r, 

worin  u  willkürlich, 

Behufä  Erzielung  einer  möglichst  einfachen  Annaiuue  iUr  a  wird  mau 
sieh  nun  ▼ersucht  fühlen  u  (anstatt  wie  oben  1)  lieber  gleich  0  su  nehmen, 
somit  a     jr,(y  +  ip)  und  entsprechend  ^  «  y, (i?  +  a;) ,  vol 

set/on.  Mit  diesen  Werten  stimmt  nun  aber  die  Probe  ^  +  y  »=  r  a«f- 
falleudemeise  «jcä/,  vielmehr  läuft  diese  Gleichung  (auf  Grund  der  Vor- 
aussetzungen über  ?/,  vereinfacht)  noch  auf  die  Kelation  Xffg  «  0  hin- 
aus, welche  mit  den  Voraussetzungen  nicht  gegeben  war. 

Um  dies  aufzuhellen,  eliminiicn  wii  aus  den  drei  Gleichungen 

or  =  ß  +  y  ,  etc. 
der  Aufgabe  in  Vereinigung  nüt  den  drei  Ausätzen; 

a  — a;,(if +  ir)  +  t*jfs,    /J  —  sf,(f +    +  y  + +  «psry 

die  Parameter  o^ß^y  und  erhalten  als  Tereinigte  Resultante: 

Aus  dieser  ist  zu  ersehen,  dass  v^\\w  ai  ailcu  drei  Ansätzen  wUI- 
kürlieh  bleiben,  wenn  x^fs  -=  0  sein  sollte,  dass  aber  ohne  diese  Yoraus- 
setsung  dieselben  (unabhftngig  von  y,  z)  nur  einander  gleich  genommen 
werden  dürfen,  falls  u,  V,  «  fP,  »  0  somit  u^Vmmtcmml  gesetst 
wird,  womit  sich  die  oben  angefflhrten  Parameteranmihmen  als  notwendige 
ergeben. 

Bei  der  dritten  Aufgabe  dagegen  resultirt  fUr  o  die  Gleichung; 
ycr, +ir«  +  d;j9  *  D,   woraus   «oB^  +  fiir, 
folgt   Der  analoge  Ansafat  füx  ß  xmä  y  ia  Gestalt  von 


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§  S4.  Syainie.fcriäch  allgemoinc  Lösuugen.  511 

liefert  durch  das  entsprechende  Verfabren  die  Resnltante: 

»      0  =^  i/£  -r  £x  -f      +  +       +  W|*')» 

worauB  ersieh tlicli  ist,  dass  der  Ict/te  Term  ffir  «  fP  « tf  sehoD  bei  be- 
liebigem u  in  Wegfall  kommen  wird.  — 

Aufgabe  9.    Die  Gleichung: 

welche  die  bei  den  Aufgaben  7,  und  8  Anm.,  vorgekommenen  Glieder 
in  Bich  »MammenfMS^  nach  x,    »  tiifmmtitmi^  aia^eimn  £u  losm. 
Auflösung.   Die  Gleichung  fordert,  daas: 

a?  4-  y  +  f  =  xyz ,   oder   (a?  +  y  +  ^)  (r,  +    +  2-,)  «  0 

äeiu  bolle,  und  läsest  sich  schreibcu  iu  der  Gestalt' 

oder 
oder 

(y*. + y.')  +     + +  («y, + «,y)  —  o, 

womit  y  da  die  drei  Terme  auch  einzeln  Terecliwindai  mfiesen,  nach 

Th.  39)  gesagt  ist,  dass: 

Bein  müäse.    liieruach  wird  deun  augenscheinlich: 


X 

y 

Vi 

0 

—  «1 

die  gesuelite  Lösung  in  unabh&ogigen  Parametern  sein.  * 

Behoft  Verfahrens  naoh  dem  (vollen)  Sehema  der  Methode  mUsate 
man  die  Oleiehnag  zuerst  nach  einer  Unbekannten  ordnen,  s.  B.  nach 
wo  sie  sich  in  fönender  einfachen  Gestalt  darstellen  wird: 

sodann  nach  jeuer  auflösen,  etc.    Ks  würde  sich 

a:  =  «/Jy  +  «,(^  +  y)  =  03  +  y)  («,  +  §y) , 
oder  noob  konsiser: 

4/ =  y«  +  /3,(y +  etc. 

crp>^l)on,  und  da  sich  yz  =  ce{ßy-\-  ß^Y^,  somit  ^ ,.'/:  =  «ff^,y,  und  folglicli 
eUuso  a*!/,«^,  =  &^^y  herausstellt,  so  fuhrt  uns  die  Probe  der  Auflösung 


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512  Zwölfte  Vorlesung. 

auf  eine  Gleichung  in  «,  y  von  derselben  Form  wie  die  gegebene  in  ^r, 
jr, «      nnr  die  drei  eräten  Glieder  mit  den  drei  letzten  yertanBcht,  d.  h. 

wir  gelangen  zum  Zirkol.    Ans  diesem  wird  wieder  nur  lieraiiRzi'.ko-nmen 
sein  durch  die  Bemerkung,  dass  die  Relation  zwiseheu  unsern  Parametern 
auf  y  ^  ^  =  u  binausläuii,  woiait  äich  die  oben  angeführten  Lösungen  . 
ergeben.  —  Nach  dem  gekürzten  Schema  würden  hier  alle  drei  Unbekannten 
sieb  gleich  ußy  ergeben  haben,  — 

Aufgabe  10.  Die  (^feu^cin^; 

xyz  4-  a-,t/,r,  =  0 

^fninietrisch  allgemein  r«  lösen  m  unabhängigen  Parametern. 

Das  systematische  Verfahren  nach  dem  vollen  Schema  der  Methode 
führt  hier  lu  der  ErkenntDisB,  dass  die  Wurzeln  folgenden  Bau  haben 
mflssen:  e 

d.  h.  wir  erhakiii  uieselbeu  Ausdrücke,  wie  im  Kuutext  der  vorigen 
Aufgabe  —  nur  die  Parameter  mit  ihren  Negationen  vertauscht.  Weil 
mm  aber  xyz  =  ^tß,?,  und  a*,f/,«,  •=  aßy  wird,  so  werden  die  Para- 
meter selbst  noch  die  Relation 

aßy  +         —  0 

symmetrisch  allgemein  zu  erfllUen  habeD,  womit  wir  hei  dem  Zirkel 
uns  angelangt  finden. 

Auf  ebendiesen  Zirkel  wttrde  es  auch  ftlhren  wenn  man  etwa  die 
Losungen  der  Aufgabe  3  benutien  wollte,  um  die  vorliegenden  au  ent- 
deeken.  Ebenso: 

Wendete  man  das  gekfinte  Schema  an,  mq  ergäbe  sieh: 

and  so  weiter  (die  Bnchstaben  ejkliseh  vertauscht).    Hier  wUrde  twar 
Xfft  ^  0  schon  identisch  verschwinden,  dafür  aber 

sich  ergeben  und  somit  der  alte  Zirkel  resuliiren. 

Der  Leser   mag  hier  uuu  selbst  verüucheu,  aus  diesem  Zirkel 
herauözukommeu.*) 

Aufgabe  11.   Die  Gleichung: 
*)  Tergleidie  hiesu  Anhang  6.  — 


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§  24.    Symmetrisch  aUgemeiue  LOsungen.  513 

—  welche  links  die  Glieder  der  in  Aufgabe  8,  Anmerkung  und  Auf- 
gabe 10  gegebenen  Gleich uugon  euaammenfaset  —  stfmmetrisck  aügemem 
Mu  lasm. 

Die  Darstellungen  fitlr  die  Worzehi  mflssen  —  hiernach  —  sich  er- 
geben, wenn  man  in  die  bä  der  Aufgabe  7  gefundenen  AnsdrOeke  die- 
jenigen Parameterwexte  substituirt,  welche  die  Forderung  der  Auf* 

symmetrisch  allgemein  erfüllen. 

Anmerkung.  Vertauschte  man  noch  die  Unbekannten  mit  ihren 
Negationen,  so  ergäben  sich  daraus  weiter  die  Lösungen  fär  eine  Auf- 
gabe, welche  die  Glieder  aus  den  Aufgaben  7  und  10  zusammenfasste.  — 

Mit  Torstehenden  Aufgaben  Wörden  alle  diejenigen  erledigt  sein, 
welche  irgend  Interesse  bieten  Ton  jenen,  die  unter  den  sub  Aufgabe  5 
angegebnen  Gesichtspunkt  fallen. 

Aufgabe  12.  Die  Qleiehunff: 

ncu^  X  und  y  symmeMsdi  o^emem  0Ü  lösm, 

Auflösung. 

Die  in  Aufgabe  6  gelöste  Gleichung  hätte  nach  Jevoua;  dort  citirtem 
Theorem  auch  angeschrieben  werden  können  in  der  Gestalt: 

woraus  ersichtlich  ist,  dass  die  dortige  von  der  hier  vorliegenden  Aufgabe 
sich  nur  dadurch  unteraeheidet ,  dass  jetzt  :  nicht  mehr  unbekannt  sein, 
sondern  einen  gegebenen  Wert  c  besits^en  soll. 

Wollte  man  die  Lösungen  der  Aufgabe  6  2ur  Auffindung  der  War- 
sein  der  obigen  12  benutzen,  so  bliebe  man  in  den  Zirkel  gebannt ,  für 
die  unbestimmten  Parameter  u  und  ß  jener  Lösungen  eine  Gleichung 
ti^ß  +  aß^ c  von  genau  der  nämlichen  Form,  wie  die  vorstehende  lösen 
zu  ratlssen,  und  so  oIuim  Fn<le  fort  weiter,  falls  man  abermals  neue  Para- 
meter zur  Darstellung  d<  i  1.  tztcrn  einfuhren  wollte. 

KliiiJinirt  man  x  und  y  aus  der  rechts  auf  0  gebrachten  Gleichung, 
so  resultirt  0  =  0^  woraus  zu  erkfnnen  ist,  dass  c  vollkommen  will- 
kürlich gegeben  werden  kann.   Die  Gleichung  lautet; 

Das  sjstematische  Verfahren  führt  (ebea&Us)  hier  zum  Kirkel: 

Nach  dem  vollen  Sebema  wird  man  unschwer  die  Darstellungen  ge- 


ie^cß,-i-e^ß,  + 
(in  Bestitigung  Ton  Jevons*  Theorem)  uud  mflsaen  dann  aber,  damit  die 

ScBBftPBiS  Als«)'»  Her  Logik.  33 


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Zwölfte  Vorlatnng. 


Probe  stimme,  die  Parameter  aelbsi  wieder  die  HelaiitHi  aß^  +  9t^ß  ^  c 
eifUleiL. 

Nach  dem  gekürzten  Schema  erhielte  mau; 

X  —  «(c/J,  +  c,ß) .      jr  —  ß(e«,  +  c,«) . 
wo  «,  ß  dann  die  Oleichimg  erflUlen  mllwten: 

c{aß,  +  a,ß)^c,    oder    c(aß  +  a^ß,)  ^  0, 
welche  aufzulöseu  wenigstens  nicht  leichter  ist,  als  die  ursprüngliche  Aufgabe. 

Um  nun  aus  diesem  Zirkel  herauazukouimeu,  uehmeu  wir  die  Uu- 
bekaniiteii  nach  c  entwickeit  au: 

und  machen  mit  diesen  Werten  die  Probe;  es  moss  dann: 

€Xay,  +  aj)  +  (-{ßd,  +  ß,d)'^€ 

werden,  d.  h.: 

Diesen  Forderungen  genügen  wir  (zwar  für  ein  gege))ene8  c  keines- 
wegs aui  die  allgemeinst«  Weise,  immerhin  jedoch  in  einer  iür  alle  c 
Kutrefiendeu  VVeiie),  indem  wir: 

«^1  +  «.y  =  0   and   ßä  +  /J,  d,  =  0 
selbst  machen,  womit  sich 

y  B=  «    und    d  /), 
bestimmt   Einsetzung  dieser  Werte  führt  uns  nunmehr  an  den  Dar- 
stdhn^  der  Wurgdn: 

x^at\  +  ßi,      x,^u^<^  r  ß,e 

von  welchen  in  der  Thal  erweislich  ist,  dasa  sie  unser  Problem  lOseu. 
Einerseits  stimmt  (^wie  gezeigt)  die  Probe. 

Andererseits  genügen  sie  den  Ford'^nuigen  der  Symmetrie:  durch 
Vertau5?chung  von  ß  mit  ß,  gehen  r  und  y  ineinander  über  —  während 
durch  Vertauschung  voa  a,  ß  mit  a^f  ß^  auch  y  in  d?,,  y,,  und  um- 
gekehrt, Qbergeht. 

Endlich  aber  —  und  dies  muss  hier  noch  besonders  nachgewiesen 
werden  —  sind  die  Lösungen  auch  die  allgemeinsten:  Für  die  An« 
nahmen: 

a^xp,  ß  =  Xff^  (oder  auch  «  +  y,) ,  <:  —  «y,  +  af,y 
werden  in  der  That  die  Gleichungen  au  analytischen,  identisch  ut  Xjff 
erfdllten.   Bei  geeigneter  Bestimmung  der  Parameter  o,  ß  werden  also 
nnsre  Ausdrücke  für  die  Unbekannten  auch  jedes  gewQnschte,  die  Yor- 


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§  24.    SymnietriacL  uUgeiueiue  Lübuogen.  515 

gelegte  GleiohuDg  erfüllende  Wertepaar  y  darsustellen  im  stonfle 
sein,  q.  e.  d.  — 

Selbstredend  kOnneii  solche  Parameterwerte,  welche  dieses  Idsten,  wie 
soeben  die  fOx  «  und  ß  angegebenen,  auch  systematisch  aafgefunden  wer- 
den, indem  man  unsre  die  Wurzeln  darstellenden  Gleichungen  mit  der 
ursprünglichen  Gleichung  des  Problems  „Tercinijrt"  und  nach  den  Unbe- 
katiTit©n  <r,  ß  auflöst.  Es  gentlgt  dann  aber  für  Uieae  nur  irgend  ein  System 
vun  Partikularlösungen  zu  entdecken,  wobei  man  denjenigen  vom  einfach- 
sten Ansdruehe  den  Vorzug  geben  wird. 

Zur  Übung  für  den  Studircnden  fUluen  wir  noch  folgende  beiden  Auf- 
gaben mit  ihren  Lösungen  ohne  weitere  Bemerkung  au. 

4  • 

Aufgabe  13.    Die  Gleichung: 

nach  »  und  p  symmetrisoh  allgemein  sn  Ideen. 
Auflösung:  «     a  +      ,   f/     a  +  a^ß. 

Aufgabe  14.   Das  Oleichungenpaar: 

symmetrisch  aligemein  zu  lüi>en. 

Auflösung.   Es  mflssen  a  und  b  die  Toraussetzung: 

erfnilen,  womit  sich:  a      c^ß^,    b  =  a^ß  ergibt    AIsAuin  sind: 

die  gesuchten  Usungen.  Um  gegehme  y  zn  erhalten,  braucht  man  blo8 
f  =  «y,  oder  auch  y^x  +  y^  (oder  irgendwie  dazwischen)  zu  nehmen. 

Wir  gehen  nunmehr  zu  einer  letzten  und  Hauptaufgabe  Über. 

4 

Aufgabe  15.  Dk  eXlgememste  Gleidimg mt ewei  ünb^BomUen  x,  y: 

axy-i-hxy,  +  cxj/  +  r/a  ,?/,  »  0 
—  kürzer:  F  =^  0  —  soll  nach  lücscu  aymmciriadi  allgemein  yelöd  werden, 

Auflösung.  Durch  Elimination  von  x^y  resultirt  zwischen  den 
Koeffinenten  der  Gleichung  die  Belation: 

ahcd  0 

nnd  diese  ist  znnSchst  identisch  an  erfttlten,  indem  man  gemSss  Auf- 
ga))e  \)  für  jene  Koeffizienten  in  nnahhSngigcu  Parametern  die  Ana- 
drücke nimmt: 

S3* 


ZwOlft«  Vorleinng. 


a  —  a(ft  +  y,  +  d,),     o,     «,  +  ^r«, 
=        +  y,  +  d,)  etc. 

^  =  y(a,  +  /i,  +  <y,) 
J      d(a,  +     +  . 
Obwol  wir  uns  unter  den  Koeffizienten  fortan  diese  AuMlrückc 
vorzustellen  haben  werden,  ziehen  wir  der  Einfachheit  wegen  vor,  doch 
die  alten  Namen     b,  c,  d  für  dieselben  beizubehalten. 

Schon  in  §  22  unter  ß)  und  y)  haben  wir  dif  OU  idiung  7''=  <» 
nach  X  resp.  nach  y  geordnet  angeschrieben  und  aus  dem  Anblick 
(lieser  Darstellungen  fliessen  —  nach  dem  vollen  Schema  unsrer 
Methode  —  die  Gleichungen: 

X  —  xia,y  +  fc.y,)  +  X,  (cy  +  rfy,) , 

deren  jede  mit  der  aufzulösenden  J'     "  äquivalent  sein  wird. 

Systematisch   /Aiworke  gehend  ensetzen  wir  rechts  in  ihnen  diP 
Namen  x,  y  der  Unbekannten  durch   unbestimmte  l'arameter  ft.  v. 
Ordnen  wir  auch  sotjleich  nach  diesen^  so  ergeben  sich  die  Ausdrücke, 
neben  welche  wir  diejenigen  für  ihre  Negationen  schreiben: 
X  =  a^fkv  +        +  e^^v  4-  rff»,Vg ,      x^  -=  »ftv  +  6fiv,  +  <:,jt,v  +  <^,f*|V, , 

Hiermit  sind  nun  leicht  die  vier  Produkte  sn  bilden: 

deren  Einsetzung  in  Fm^O  uns  die  Bedingung  lieiert: 

welche  einzig  noch  von  yk^  v  su  erfüllen  ist 

Der  Versuch,  die  Gleichung  so,  wie  die  obige,  systematisch  nach 
den  ünb^cannten  fi,  v  aufzulösen,  fahrt  im  Zirkel  herum  —  wie  auch 
schon  a  priori  zu  sehen  ist,  in  Anbetracht,  dass  die  Gleichung  uuge- 
Sndert  bleibt,  wenn  man  in  ihr  (dem  Vorbild  entsprechend,  das  sie 
mit  JP»0  zusammengehalten  darbietet)  das  a  sowol  als  das  ä  durch 
ad^  zugleich  das  h  und  das  c  durch  hc  ecsetxt 

Indessen  kommt  man  hier  unsohwer  snm  Zkle  durch  die  Bemer- 
kung, dass  wenn 

fiv,  +  ft,*/  ^  Q    genannt  wird,  sich        +  f*,*',  = 
dazu  ergibt,  wonach  die  zu  erfüllende  Gleichung  lautet: 


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§  94.   Symmeiriicb  allgememu  Ldsunj^ii. 


517 


Dieser  wird  auf  die  allgemeiiiste  Weise  Yermitielst  de^  Anaatzcs 
(ci.  Th.  ÖO): 

—  worin  die  ttberttricheueii  Faktoren  auch  unterdrQekt  werden  dfirfteii 

—  zu  genügen  sein,  und  wenn  man  darnach 

=  x(),  +  Ap,       ?t,  =  x,p,  +  A,p 

+  A,p,       V,  =  x,p, + 

niniint,  wie  sich  dies  nach  den  in  Aufgabe  12  gewonnenen  Schemata 
ÜQr  die  symmetrisch  allgemeiue  Äufldsung  der  Gieichaog 

nach  den  Unbekannten  fi,  v  (bei  gegebenem  p)  ergibt,  i<o  wird  unser 
Problem  gelöst  sein. 

Es  erübrigt  nur  melir  die  Werte  von  ^,  oder  besser  sogleich 
die  Produkte: 

ftv=-xp,,      fii»,  =  Ap,  = 'l.C,     .**,»',  =  »,C, 

nebst  den  gefundenen  Werten  Ton  p,  p,  in  die  letzten  Ausdrücke  von 
jr,  y  einzusetzen.   Nach  9  geordnet  wird  zuoächst: 
X  «  (a,je  +         +  (p^l  +  cA,)p,      «  (ax  +  ef,x,)p,  -f  {bX  +  c, A,)p, 

y  =  (rt,x  +  <^x,)p,  +  (6A  +  c,A,)p,    //,  =  (ax  +  e?,x,)p,  +       +  cA,>p 

und  hieraus  fliessen  bei  Unterdrflckung  jener  Oberstricheneii  «  FaKtoron 
wol  die  konzisestmöglichen  Ausdrücke  für  die  „  H  iirzeln"  der  vorgelegten 
Gleidiung: 

X     6c(a,x  +  rfx,)  +  a(Hb,i  +  cJL^  +  o,(</  +  x)<d,  +      +  A)» , 
1.  &c(<i,ie  +       +  ae?(dA  +  c,  A,)  +  a,(rf  +  jc)«,  +  c,(6  +  A,)ai , 
jp^ »         +  «f,«,)  +  a<;(dA  +  f, A,)  +  </,(a  +  x,)»,  +      +  A,)a , 

«  6c(ax  4-  ^/,x,)  +  a(l{j\l  +  cA,)  +       +  x,W,  +  6,(c  +  A)w, 

worin  x,  X,  cd  unabhängig  beliebige  Tarameter  vorstellen. 

Direkt  dürfte  hier  nicht  ganz  leicht  zu  sehen  sein  ,  dass  die  lu'i- 
den  letzten  Ausdrücke  wirklich  die  (korrekt  üfobildeteti)  Negationen 
für  die  ersten  beiden  sind,  übersehbar  wird  dies  er-^t,  nachdem  man 
die  Ausdrücke  nach  den  drei  Parametern  entwickelt  haben  wird,  wa« 
anch  zum  Ausmultiplizireu  derselben  behufs  Probens  der  Autlösungeu 
die  bequemste  Form  gibt.   Man  findet: 

|(a,  +  6,iQxA  4-  (a,  +  cc^äA,  +  d(a^  +  ft,)x,A  +  rf(a,  +  <f)x,A, ) o»,  + 
+  { (6,  +  a,<j)xA  +  <?(a,  +  6,)xA,  +  {h^  +  ett)%,X  +  e{b,  +  rf)x,  A, )  a> , 

y  =  {(fl,  +  hd)iiX  +  'Vi,  +  c,d)xX,  +  d{a^  +  b)x,X  +  d(a,  +  c,)x,A, }  o,  + 
+  (ft(a,  +  c,)xA  +  (c,  +  f'J')xX^  +  h{t\  4-  d)x,A  t      +  fcJjx.A,}  w ; 


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518  Zwölfte  Vorlesung. 

a-,  «  \a(b  +  <I^)xl  +  «(<?,  +  rf,)xi,  +  (rf,  +  afc)», A  +  frf,  +        ^,  |  «d,  + 
+  { 6(fl  +  c,)xA  +  (c,  +  a6)xjl,  +      +      A  +  (c,  +  /'«^Oxi^,  j  © , 

^1  =  { (t(h^  +  d,)xX  +  a(c  +  d^)xX,  +  frf,  +  ah,)x,l  +  (r/,  +  )»,  + 

4-  { +  ac)*A  +  c(a  +  h,)x^.,  +      +  cd^)x^l  +  c(b,  +  r/,) x,A, ; oi . 

Die  Probe,  dass,  aftcef  =  n  vorausgesetzt,  identisch: 

^itf/  =  U,  =        CO.,!/  ==  0    und    d.r:^ij^  =  0 

wird,  stimmt  —  was  eine  Anzahl  leichter  Reclienexeinpel  liefert,  in- 
dem man  immer  nur  die  (jlcicJoi'  U 'ijm  Koeffizienten  aus  den  eutspreehen- 
den  zwei  Zeilen  zu  verkuüpten  braucht.  Mit  Rücksicht  auf  die  8yui- 
metrieverhältnisse  brauchte  flbrlc^prtp  nur  eine  von  diesen  vier  (ilei- 
chuDgen  anf  ihre  Hichtigkeit  i  i  r  itt  zu  werden,  woteru  die  letztere 
diesmal  nicht  schon  aus  der  lierieitnn^  erhellte. 

Auf  Grund  der  Relation  ahcd  =  <»  kann  man  bemerken,  das«  die 
folgeudeu  unter  den  obigen  Koefüuenteu  mit  den  ihneu  rechts  gleicb- 
geaetsten  äquivalent  sind: 

<t,  +  b^d  «  a,  +      +  c) ,     rf(rt,  +  <?)  —       +  , 

<i,  +  r,<? «—  a,  +  +  f ,) ,  rf(<T,  +  6)  «  £f(<i,  +  ic,) , 
c,  +  a^h  —  <j,  +  6(ff,  +  +  rf)  —      +  . 

Ersetaste  man  jene  dnreli  diese,  desgleichen  ihre  Negationen  wo  sie 
auftreten  durch  diejenigen  der  rediten  Seite,  so  ist  eS|  um  alles 
Tollends  in  den  unabhängigen  Parametern  ausgedruckt  au  erhalten, 
nur  mehr  erforderlicli,  dass  man  die  hiteinischen  Buchstaben  a,  h,  c,  d 
durdiweg  in  die  griechischen  a,  ßj  ^,  6  verwandle. 

Was  die  Anforderungen  der  Symmetrie  betrifft,  so  geht  die  Glei- 
chung 0  ausschliesslich  in  sich  selbst  über  durch  die  folgenden 
Vertanschungen  („Trans  Positionen**)  links  vom  Vertikal  strich: 

2»)  (x,jr,)(a;„y)(a,rf)  |  (x,x,) 

3«)  («,  X,)  (a,  e)  (b,  d)  («,  A,)  (A, «,)  (», «,) 

4»)  ( V,      («,  6)  (c,  d)  i  (X,  A)  (x„  A.)  («,  0,,) 

5")  (y,  1^,)  («,  rf)  I  (x,  X,)  (A,  A.) 

Dieselben,  verbunden  mit  den  rechts  vom  Vertikalstrieh  daneben 
gesetsten  Yertauschungen  zwischen  den  Parametern,  f&hren  auch  das 
System  der  vier  für  x,  y,  x^,  y,,  angegebenen  Lösungen  nur  in  sich 
selbst  zurück.  Da  aus  denen  l*^)  und  3*^)  die  übrigen  Vertanschungen 
alle  ableitbar  sind,  so  braucht  dies  nur  f&r  jene  beiden  wirklich  nach- 
gesehen an  werden. 


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{  84.   Symmckiscb  allgeineioe  LOsUDgen. 


519 


Den  Forderangeu  der  Symmetrie  üi  also  durch  unsre  Lösungen 
durchaus  Genüge  geleistet 

Es  ist  nunmehr  nur  noch  die  Frage  sn  erledigen,  wie  etwa  die 
Parameter  ic^  Xf  m  anzunehmen  sind,  damit  unsie  Formeln  für  die  Wur- 
aeln  ein  ffegebenes  Wertepaar  x,  y  darstellen,  das  Übrigens  die  Glei- 
chung       0  erfüllt 

Nach  dem  Hfilfstheorem  des  Paragraphen  —  vergl.  auch  §  21,  o) 
—  ist  es  zu  dem  Ende  ausreichend  ^x,  v  =  y  selbst  zu  machen, 
desgleichen  a>»^  selbst  su  nehmen,  und  nach  dem  in  Aufgabe  12 
Ermittelten  werden  die  Annahmen  ftp  nebst  l  ^  ^iv^  (oder  auch 
1»  +  y,)  cum  Ziele  führen.   Damach  werden  wir  in  Gestalt  tou: 

X  —  xy ,  l  =  a"f/,  (oder  auch  +  f/,) ,  i»  —  .r  ?/,  +  ;r,  _>/ 
ein  System  von  Annahmen  haben,  welches  iu  eiufaclier  Weise  unsre 
Formein  für  x,  y  zu  solchen  macht  die  sich  als  blosse  Umformungen 
der  Gleichung  F  <=  0  herausstellen,  auf  Grund  von  dieser  sich  iden- 
tisch bewahrheiten.  Die  Rechnung  bestätigt  dies  in  der  That  direkt; 
man  wird  dazu  am  besten  die  konzisesten  Ausdrücke  von  .r,  y  nehmen 
und  auch  die  aus  P=0  durch  Elimination  von  x  oder  y  sich  er* 
gebenden  beiden  Relationen  ß),  /)  des  §  22  dabei  berücksichtigen. 

Die  vorstehend  «ri  Ii  jäten  Aufgaben  lieloiji  Ik  greifliclierweise  uns 
auch  ebensovieie  Elimiuatioüsprobleme:  eliminirt  man  aus  iliren  Lösun- 
gen, resp  den  die  Wurzeln  darstellenden  Cileichungen,  sämtliche  unab- 
hängigen Parameter  (also  griechischen  Symbole),  so  kann  man  sich 
überzeugen,  dass  als  Resultante  hervorgeht  die  ursprünglich  zur  Auf- 
lösung vorgelegt  gewesene  Gleichung,  und  zwar  gerade  nur  diese  aber 
keine  weitergehende  Relation  zwi<;chen  den  Unbekannten  (und  Koef-* 
ßzienteu)  —  was  als  eine  Kontrole  ffir  die  Richtigkeit  unsrer  Be- 
trachtungen dient 

Dies  auch  bei  Aufgabe  15  durcbBufÜhren,  ist  leicht^  obschon  ein 
wenig  mflhsam. 

Eliminirt  man  hier  erst  k  und  X  ohne  si,  so  seigt  sich,  dass  m 
diesmal  kein  Luxus-Parameter  ht,  wie  bei  den  Angaben  1  bis  4,  wo 
es,  selbst  bei  ^feigdtenm  x,  y, . noch  beliebig  spexialisirt,  gleich  0 
oder  1  &•  B.  genommen  werden  konnte.  Vielmehr  muss  diesmal  m 
eine  als  Resultante  der  Elimination  von  «,  X  sich  ergebende  Helation 
erfttllen,  welche  —  mit  Rücksicht  auf  die  Endresultante  «  0  —  in 
der  einfachen  Gestalt  geschrieben  werden  kann: 

(ö,  -l-  rf,)  (xy^  -f  x,y)m,  +  (6,  -f  c.)  (xy  +  a5,y,)o  «  0. 

Nur  insofern  die  Werte  von  x,  y  als  erst  durch  die  Gleichung 


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520 


ZwGlfIte  Vorlesung. 


F=  0  bestiniiiit  gelten  sollen,  wird  «^Ipichwie  x  und  A,  so  aui-h  e» 
willkürlich,  werden  alle  dreie  wirklich  unabiiäiigige  Parameter  sein.  — 

Au.s  Vorstehendem  wird  der  Studirende  schon  inne  q^c worden  sein, 
daas  in  untrer  Disziplin  noch  eine  Falle  von  Problemen  der  Jiösung 
liiirrt.  Ich  signalisire  (ausser  den  Aufgaben  10  und  III  insbesondere: 
die  ü^mmetrisch  allgemeine  Auflösung  der  allgemeinst  «ii  Gleichung 
mit  drei  Unbekannten.  Ferner:  die  Ergänzung  der  MeUiodc  zu  einer 
solchen,  die  in  allen  Fällen  unfehlbar  /.um  Ziele  führt  —  oder  auderu 
falles:  der  Nachweis,  dass  in  gewissen  Füllen  die  Aufgabe  unlösbar 
ist,  nebst  der  volUtäudigen  Angabe,  iu  welchen  Fällen  eben  ihre  Löfiong 
uumöglieh  bleibt. 

In  Anbetracht,  dass  wir  bei  der  Darstellung  stmer  Unbekannten 
mittelst  unabhängiger  Parameter  in  Aufgabe  14  mit  einrnt  soleheu  aus- 
kamen, in  Aufgabe  12  deren  etffeie  und  in  Aufgabe  15  deren  dreic  be« 
nötigten,  reihen  weiter  hieran  sich  Fragen  nach  der  Minimalanzahl  der 
bei  jedem  Probleme  ertbrderlichen  selbständigen  Parameter,  und  an- 
deres mehr.*) 

Dies  alles  schon  bei  demjenigen  Teile  unsrer  Disziplin,  der  (nächst 
dem  Atissagenkalkol)  als  der  vollendetste,  ja  als  im  weaenUieheH  yoU- 
endet  hingestellt  weiden  darf!  BetreffSsn  ja  doch  die  eben  charakteri* 
sirten  Forderungen  nur  noch  die  Art  und  Weise,  nur  'mehr  die  Aus- 
drueksformen  einer  L&sung,  die  schon  gegeben  wnrde.  — 

Des  weiteren  Torgleiehe  man  noch  den  Anhang  6,  welcher  (etwa 
mit  den  Schlussbetrachiungen  des  Anhang  4  rerschmolaeo)  auch  als 
eine  selbständige,  den  andern  ebenbürtige  Vorlesung  in  die  Theorie 
hätte  aufgenommen  werden  können.  Dass  ich  ihn  aU  eine  solche  nicht 
einreihte,  geschah  hauptsächlich  deshalb,  weil  in  ihm  das  numeruichc 
Element  der  Logik  in  einem  Grade  hervortritt,  welcher  mit  der  auf 
dessen  Ausschlusä  gerichteten  TendeoE  des  Buches  nicht  gan^  im  Ein- 
klang sich  befindet  — 

*)  Z.  B.  noch:  Wir  stietiseii  auf  ÄQsdrficke,  wie  bei  Aufgabe  9  auf 

be  +  0,(6  -f  e) , 

deren  Negation  eiofiscb  erhalten  wird,  indem  man  sftmtliche  einÜM^en  Symbole, 
welche  im  Ausdruck  vorkomuien,  in  ihre  Negationen  umwandelt  —  Beantwortung 

«ler  FiagC:  welches  sind  die  A  isdrücke,  die  dii  sL'  Eigentchaft  haben  mÜ8i>en  und 
allein  haben  künaen?  Welches  sind  enchö|(fend  die  an  sich  selbst  doaien 
Formeln  des  KalkuU/  Etc. 


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Dreizehutü  Vorlesung. 

§  25.   Anwenduugsbeispiele  mxd  Aufjgabon. 

Als  einfachste  Anwendungai  der  Theorie  läge  es  Banmehr  nahe,  etwa 

die  sogenannten  ,.unmitteJh€areft  Folgenmgcn"  und  alsdann  die  SijUotjismm 
der  schuliiiibsigen  Logik  vorzunehmen.  Dies  könnton  wir  aucli  leicht,  in- 
soweit nur  itnivcrsalc  PrSmissen  und  Konklusionen  in  Betracht  zu  üiehtMi  sind. 

Aufgaben  aber,  bei  welchen  parttki{lnre  Urteile  mit  iu  Betracht  kommen, 
mlbsen  wir  als  um  einen  GraU  schwieriger  bezeichnen.  Bei  der  Unbei>tiuiuit- 
heit  des  Zahlworts  „einige*^  ist  dies  auch  begreiflich.  Es  stellt  sich  heraus» 
dasB  die  Behandlang  solcher  Aufgaben,  selbst  wenn  sie  in  ihrer  Art  noch 
80  einfach  angelegt  erscheinen,  fUr  die  bisherige  schon  leidlich  iu  sich  ab- 
poschlossene  Theorie  znmeist*)  norh  rjar  nrrhf  rrnlchluir  ist  Tvorgl.  §  33). 
Und  so  könnte  von  den  angedeuteten  Problemen  dijcli  nur  ein  unbedeutender 
Bruchteil  zur  Zfit  erledigt  werdeu  —  Grund  iUr  uns,  das  ganze  ünter- 
nehmeu  zu  veräuhieben. 

Wir  beschSftigen  uns  darum  hiemttehst  nur  mit  solchen  Aufgaben, 
wie  sie  unsrer  Theorie  prinupiell  schon  zuglinglich  sind  ^  mOgen  dieselben 
in  ihrer  Art  auch  erheblich  verwickelter  ei-scheinen  als  wie  die  oben  an« 
gedeuteten.  Dabei  wird  ähnlich,  wie  in  der  Mathematik  vorfahren,  wo 
man  z.  B.  auch  die  komplizirtesten  Aufgaben  über  quadratische  Gleichungen 
bewältigen  lernen  wird,  bevor  mau  sich  mit  der  einfachsten  kubischen 
Gleichung  abgibt.  Durch  jeweilige  „Beschränkung"  auf  besummte  abge- 
grenste  Gebiete  ist  allein  die  «Meister^scbaft  zu  erlangen. 

Wir  stellen  demnach  eine  R^he  von  Problemen  und  Untersnchnngen 
hier  zusammen.  In  erster  Linie  »ollen  diese  zur  Hfläutetung  ditucn  für 
die  bisher  entwickelten  allgemeinen  Methoden.  Auch  mögen  sie  als  Ühmujs- 
bcispif'f'  nngesehen  werden,  um  die  Bethfitignng  ebendi^^ser  Methoden  beim 
Studireuüen  anzubahnen.  Zum  Teil  sollen  tlie.se  Beispiele  später  auch  als 
Prüfsitiiiie  verwendet  werden,  uui  au  ihneu  vergleichende  Betrachtungen 
fiber  diese  und  noch  andere  fernerhin  auseinanderzuBetsoAde  Aofiösungs- 
metboden  aniustellen.  Alle  können  sie  dazu  dienen,  die  Kraft  der  rechne« 
risoben  Methode  gegenüber  den  herkömmlichen  schiümlssig  verbalen  Ober> 

•)  Ausgenommen  sind  nur  diejenigen  Fälle,  wo  durchweg  ~  beim  Problem 
und  Bciner  Lüsung  —  das  ,,eini>?e  a"  im  selben  Sinne  verstanden  werden  muss, 
sodass  es  als  Klasse  von  vorahereiu  uiit  a'  be^eichenbar ,  in  Bezug  auf  welches 
daxm  die  Aufgabe  von  universalem  Charakter  wäre. 


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522 


Ureitohnto  Vorlenmg. 


legungBWQiiteii  in'fl  rechte  Licht  kq  »etssen,  jene  als  die  überlegene  tu 

erproben. 

Dagegen  wolle  man  diesen  Beispielen  nicht  etwa  die  I^c^tiinmung  zu- 
schreiben, (las.s  sie  den  Is'ut:cn  untrer  Kinisllehre  des  Denkens.  —  viclleiclit 
für  das  praktisühe  Leben  —  darzuthuu  iiütt€Q.^}  Uülituri^ühe  lietjtrebuugen 
liegen  uns  naeh  wie  tot  ferne  vnd  setien  wir  voraus,  dass  auch  der  Leeer 
von  dem  wisBenflchaftliehen  Interesse  geleitet  sei. 

Ich  gebe  die  Aufgaben  nicht  etwa  peinlich  nach  ihrer  Schwierigkeit 
geordnet.  Der  Stndireiide,  welcher  mit  den  leichtest'en  beginnen  und  von 
diesen  allmiilig  aufsteigend  zu  den  verwick'  lf eren  fortschreiten  wiii  t,, schwie- 
rige'' gibt  eti  eigentlich  unter  den  bisherigem  Kalkül  überhaupt  zugäng- 
lichen Problemen,  nachdem  derselbe  so  weit  entwickelt  ist,  nicht  mehr) 
braucht  sich  nnr  snerst  an  diejenigen  m  machen,  welchen  der  geringste 
Drncknmlkng  gewidmet  ist,  und  bei  denen  sich  am  wenigsten  Formel- 
snhSufongen  dem  Auge  darbieten! 

Ich  beginne  Ticlmehr  mit  jener  komplizirte^ten  der  von  Roole  ge- 
stellten Aufgaben,  welche  ich  erstmalig  in'"  naeh  seiner  gelihiterten  Methode 
behandelt  habe  und  auch  hier  mit^  allen  Zwiächenrcchnungeu  durchnehme 
—  weil  mir  dieselbe  jenen  oben  angedeuteten  Zwecken  der  Methoden- 
erlflutemng  und  spftter  anoh  'Vergleichung  am  Yielseitigsten  und  besten 
voi  dienen  fthig  erseheint. 

1.  Aufgabe.  (Boole^  p.  146  ..  149.)  Es  werde  (^omäss  l^oohA 
angenoninieii  dass  die  lieobuchtung  einer  Klasse  von  Erscheinungen 
(Natur-  oder  Kunst(>rzeugni^sen,  7.  6.  äubstanzeu)  zu  den  folgenden 
allgemeiucn  Ergebnissen  geführt  hat: 

ft)  Dass  in  wekkem  oneft  von  ^Kesm  Erßeu^niaaen  die  JHerhmaU  A 
und  C  gleidtMeiHg  fekUn,  das  Merkmal  E  gefunden  wird,  aneanunen  mU 
einem  der  beiden  Merkmale  B  und  D,  aber  nu^  mü  beiden, 

ß)  Dass,  wo  immer  die  Merkmale  Ä  und  D  in  Abwesenheit  von  K 
gleickieitig  auftreten,  die  Merhmede  B  und  C  enkfeder  beide  sich  vor- 
finden oder  beide  finden, 

y)  Dass  überall,  wo  das  Merkmal  A  mit  dem  B  oder  E,  oder  mit 
beiden  ::i(snmmcn  Iwsteidj  auch  etdwedcr  das  Merkmal  C  vorkommt  mici' 
das  D.  aber  nicJä  beide.  Und  umgekehrt,  überall  wo  rou  den  Merkmalen 
C  und  D  das  eine  ohne  das  andre  wahrgenommen  wird,  da  soll  auch 


*)  Dafür  sind  sie  meiatenB  zu  küoBtUch  ersonnen.  Zum  Teil  werden  die 
Aufgaben  mehr  nur  mit  8chenrät6eln ,  Vexiranfgaben,  Spielproblemen  verwandt 
enebeinen. 

**)  Ober  die  Znlftisigkeit  (in  gewtatem  8mne  ünsnllsaigheit)  dieser  Annahme 
Tergleiohe  die  nnten  folgende  „Anmerkimg**  sor  AnH^abe. 


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g  tb.    Änweoduugwbeitipieiu  und  Aufgaben. 


523 


das  Merhrnal  A  i»  Ywbkikämg  mit  B  cd»  rnii  E  oder  mü  leiden  »u- 
gkkh  annf  freien. 
Verlangt  sei 

erstens  dass  ermittelt  werde,  was  in  jedem  gegebeneu  Falle  aus 
der  erwiestnuu  Gegeiiwari  des  Merkmals  A  iu  JJezug  auf  die  Merk- 
male      C  uud  D  geschlossen  werden  kann, 

zweitens  auch  zu  entscheiden,  ob  irgendwelche  Beziehungen  uii 
abliilngig  von  der  An-  oder  Abwesenheit  der  übrigen  Merkumlc  bc- 
stebon  zwi^cheu  derjenigen  der  Merkmale  B,  C,  D  (und  bejaheuden- 
falles  welche?), 

drittens  iu  ähnlicher  Weise  zu  beantworten,  was  aus  dem  Vor- 
handensein des  Merkmals  7i  folgt  in  Bezug  auf  die  Merkmale  .4,6' 
und  I)  (sowie  umgekehrt,  wann  aus  An-  oder  Abwesenheit  von 
Merkmalen  dieser  letzteren  Uruppe  auf  diejenige  von  B  geschlosseu 
werden  kann), 

viertens  za  konstaiireiii  was  fQr  die  Merkmale  A,  0,  J)  an 
sich  folgt. 

Auflösung.  Die  ganze  Klasse  der  Fälle  von  Erscheinungen, 
resp.  die  Kla.sse  der  Eizeugnisse,  in  welchen  sich  eines  der  Merkmale 
vi,  B,  C,  I)f  E  Yoriiudet,  werde  mit  dem  entsprechenden  Buchstaben 
des  kleinen  lateinischen  Alphabets  bezeichnet.*)  Bedeutet  sonach  a 
die  Klasse  der  Fälle  iu  welchen  das  Merkmal  A  vorliegt,  so  wird  ^7, 
die  Klasse  derjenigen  Fälle  bedeuten,  in  welciien  dieses  Merkmal  A 
fehlt,  ete. 

Nach  dem  in  den  l'aragraplien  8  und  IG  über  die  liuerprelation 
des  identischen  Kalküls  für  Klassen  Gesagten  —  vcrgl.  auch  §  18, 
. . . '9')  übersetzen  sich  im  engsten  Anschluss  an  den  Wortt^xt  die 
Data  }')  unseres  Problems  bezüglich  in  die  nacbatehendeu  Pro* 

Positionen  (äubsumtionen  resp.  Gleichungen): 

Die  Gleichung  crhiilt  maa  eigentlich  zuerst  als  tSubsumtion  vor  und 
rückwärts  gelesen,  nämlich  als 

a{b  +  e)=^  cd^  +  c,d   nebst   cd,  +  c,d  ^  a  (6  +  e), 

was  aber  nach  Dsf.  (l)  der  Qleioltbeit  sofort  eben  in  die  Oleiebung  sosamroen- 
siudebeD  ist. 

Man  bemerkt  nun,  dass  in  jedem  nnsrer  drei  Data  a),  ß),  y)  die 

*)  FOr  unser  a,  /  c,<l,e  verwenden  Boele  and  Einige  der  nach  ihm  da« 
Problem  Behundelndea  bezüglich:  a;,     ^r,  to,  v. 


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Ureisehnte  Vorleming. 


bezüglich  der  Merkmale  AyB^Ö^D  gegebene  Aaakanft  verquickt  er^ 
echeint  mit  einem  andern  Element  Ej  Aber  welches  wir  in  den  ver^ 
langten  Behlussfolgexungen  nichts  za  eagen  wibiedien. 

Es  wird  deshalb  in  erster  Linie  erforderlich  sein,  das  dem  Merk- 
mal E  entsprechende  Klassensymbol  e  zu  eliminiren  ans  dem  System 
der  Propositionen  9)^  in  welches  wir  die  Data  eingekleidet  haben. 

Zu  dem  Ende  bringen  wir  dieselben  rechts  auf  Null  —  nach  dem 
Schema  der  Theoreme  38,«)  und  39^)  ~  und  bilden  gemiss  Th.  20^.) 
—  ihre  „vereinigte  Gleichung^',  indem  wir,  statt  jeder  einselnen,  so- 
gleich die  Summe  ihrer  linken  Seiten  gleich  Null  setsen.  Dabei  ist 
lediglich  Sorge  zu  tragen,  dass  man  die^Negationen  der  vorkommenden 
Ausdrücke  richüg  ansetze,  mit  Rfleksioht  namentlich  auf  Th.  36) 
und  46^).    Die  vereinigte  Gleichung  lautet: 

fi  a,<j,(6rf+6,rf,+r,) + ade^ (ftc,+&,c)  +a (6+e) (<;<?+c,(f,)+(a,+&,c,)(c<f,+c,«/) = 0. 

Die  Resultante  der  Elimination  von  e  besteht  nun  nach  §  2\,  t) 
aus  dem  von  e  und     freien  Gliede  im  Polynome  dieser  Gleichung: 

^7,c,  {hd  +        -t  (ih  [cd  -f  L\d\  -f  ff,  (cd^-\-  c^d), 

dessen  erster  Term  n^cjid  uoch  in  dem  letzten  n^c^d  nach  dem  Ab- 
sorptiousgeset'/.e  23^^  eingeht,  vermehrt  um  das  Produkt  der  Koetti- 
zienteu,  welche  c  uud     in  s)  besitzen  —  das  Ganze  gleich  0  gesetzt. 

Der  Koeffizient  von  e  ist  aber:  a  +  o,<^,),  der  von  e,  ist  des- 
gleichen leicht  aus  c)  herauszulesen  als: 

a,c,  +  ad  (6c,  +  6,c)  +  6,  («</,  +  c,rf); 

das  Produkt  beider  ist  gleich: 

adh^c*)j 

mitiiin  die  Resultante: 

oder  durch  Zusawmeuziehung  zweier  Terme: 

l)  a  (ed  +  de, d,)  +  a,  (cd,  +  c,d  +  b, c, 0. 

Diese  schon  recht  übersichtliche  Gleichung  hat  nun  deu  Ausgangs- 
punkt tiir  unsere  weiteren  Betrachtungen  zu  bilden. 

Man  bemerkt  zunik'li>t.,  dass.  betrachtet  als  „entwickelt"  uacli  den 
Argumenten  r  niid  d,  die  Koeflizienten  vun  a  und  a,  in  £;)  geradezu 
die  Negationen  von  einander  sind,  meinem  Theorem  46^)  gemäss 

•)  Miss  Ladd  hat'  p  58  darauf  aufmerksam  gemacht,  dasa  Herr  Wundt' 
p.  356  sq.,  indem  er  die  aut  b  bezüglicheu  ISchlüsBe  zieht,  diese»  Glied  sa(äUig 
aoaUbnt,  weehidb  dieaelbeii  falsch  uiifiehin;  ich  find«:  nur  nnvoUsiftadig. 


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9  2ö.    Anwendungulieispiele  und  Aufgaben. 


gebildet*)  Das  Produkt  dieser  beiden  Koef&zieiiteD  sowol  als  auch 
dasjenige  ibrer  beiden  Negationen  ist  demnach  gleich  Null.  • 

Vm  die  gweite  der  gestellten  Fragen  su  beantworten  und  zugleich 
die  Beantwortung  der  ersten  Frage  voraubereiten,  müssen  wir  jeUt  a  aus 
Q  eliminiren.  Dem  Gesagten  zufolge  f&hrt  diese  Elimination  aber  auf 
die  Identität  0  0,  wmit  in  Beantwortung  jener  Mweikn  Frage  be- 
wiesen erscheint:  dass  8wisdim  dm  Merhmakn  B,  C  md  D  für  sich 
hinsichtlich  ihrer  Xn-  oder  Abwesenheit  Mie  unMangige  Begidnmg 
heskhL 

Die  Oleiohuug  ^)  ist  demnach  äquivalent  ihrer  „Auflösung"  nach  a. 

Weil  indess,  wie  bemerkt,  auch  das  Produkt  der  Negationen  der 
Koeffizienten  von  a  und  «,  verschwindet,  der  eine  KoefHzient  die  Ne- 
gation des  andern  ist,  muss  hier  der  in  §  -l,  ö)  betraclitete  Fall 
vorliegen u  der  in  dem  Ausdruck  der  Wurzel  gemeinhin  iiuftreteude 
ein  unbestimmtes  Gebiet  u  eiithalteude  Term  geht  in  den  andern  ein, 
die  Gleichung  hat  uur  ehw  "^N  ur/rl,  dio  Unbekannte  a  ist  durch  die 
Gleichung  eindeutig  bestimmt,  und  zwar  hat  sie  zum  Ausdrucke  den 
Koettizienten  ihrer  Negation  a,  in  der  Gleichung,  sodass  ganz  un- 
mittelbar: 

ij)  a  —  cd,  +  c^d  +  h,c^d^ 

als  die  gesuchte  Auflösung  nach  a  erhalten  wird. 

Dieselbe  k5nnte  nebenbei  gesagt  auch  in  den  Formen  angesetzt 
werden: 

o  =  cd,  +  i\d  -f  6,c,  =  crf,  +      4-  b,d,  =  cd,  +  c,d  +  b,  (c,  +  rf,), 

die  unbedingt  mit  dem  Auadruck  tj)  äquivalent  sind,  vergl.  §  18, 

Die  Gleichung  fj)  beantwortet  nun  die  erste  der  gestellten  Fragen, 
and  zwar,  indem  wir  sie  als  Subsumtion  vor-  und  rückwärts  inter- 
preüren,  dahin:  wo  immer  das  MerknuU  A  su  finden  ist,  muss  aucfi  das 
Merkmal  C  oder  das  D  vorliegen^  aber  nidti  beide  Mugleich,  oder  aber  es 
müssen  beide  eusammen  mit  dem  Merkmal  B  fiMm;  umgekehrt:  Wo  die 
Merkmale  B,CyJ)  alle  drei  fehlen,  sotcie  aitdi,  WO  von  den  Merkmaien 
C,  D  das  eine  ohne  das  andere  vorüegtf  da  muss  atidi  das  Merkmal  A 
sitk  finden, 

*}  Die  Bemerkung  des  Herrn  Peirce  in  '  p.  42,  Z.  5  o.  dass  die  in 
Gleichung  t)  "'ber  a,  h,  c.  d  enthaltene  Information  tsich  in:  a  +  crf  4  &c,(?,  —  1 
insammenziehen  lasse,  berulit  auf  einem  Versehen.  Will  man  tlie  (Jleicining  reehti 
auf  1  bringen,       hat  mau  uur  die  Koefh/.ienten  vua  a  und  a^  uut»;&utuubcheu,  und 

eine  dufaehefe  Fassung  als  die  nachfaerigc  //)  oder  Iftast  sich  der  Auasage 
aiobt  geben. 


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526 


Drmidmte  Yorlerang. 


Des  weiteren  musa  nuu  h  aus  der  Gleichung  ^)  eliminirt  werden. 
Da  die  Koefti^ietiteii  ac^d,  uud  a,c,ä,  von  h  und  ?>,  dasell).st  (lisj-:7ikt 
sind,  Null  zum  Produkte  haben,  so  besteht  die  Resultante  dieser  Eli- 
mination einfach  in  der  gleich  0  geseiasten  Samme  der  von  b  und 
freien  Glieder  in  Q,  d.h.  sie  lautet: 

i)  ac(f  +  a,c<f,  +  a^c^d  «  0 

—  eine  Gleichung^  »ns  welcher  die  Antwort  auf  die  vierie  Frage  nach- 
her zu  entnehmen  sein  wird. 

Mit  Rackalcht  anf  diese  Relation  *)  vereinfacht  nun  die  Gleichung  ^) 
sich  zq: 

und  gibt  dieselbe  dem  Th.  50^)  gemäss  regelrecht  nach  der  Unbe- 
kannten b  aufgelöst: 

wobei  V  eine  nnbestimmte  Klasse  Torstellt  Hier  IBsst  aber  nach 
Th.334.)  Zusatz  der  in  V  SU  multiplisirende  Term  a^  sieh  mit  dem  Fkktor 
+  *o  c,</,  ausstatten  und  geht  hernach  das  betreffende  Glied 
va^c^d^  im  ersten  Term  der  rechten  Seite  nach  dem  Absorptionsgesetse 
auf,  sodass: 

X)  b     a,c,d,  +  V  {c  +  d) 

als  ein  einfacherer  Ausdruck  für  die  gesuchte  Auflösung  nach  b  erscheint. 

Behufs  bequemster  Deutung  mittelst  Worten  werden  wir  dieses 
Ei^ebniss  —  dasselbe  für  1;  0  und  o  «  1  in  Anspruch  nehmend  — 
umschreiben  in  die  Doppelsubsumtion: 

fi)  a,c,d,^b=^a,  +  e  +  d, 

die  aucb  gemäss  Tii.  4!i^)  direkt  aus  x)  herausgelesen  werden  kuinite. 
Damit  ist  in  Beantwortung  der  dritten  Frage  gefunden:  i\tnn  die 
Mfrl-nialf  A,C  und  JJ  gleichseitig  fehlen,  so  fpdei  swh  das  Merkmal  Ii. 
und  wo  das  Merkmal  7?  sieh  findet,  da  |»i«s  das  Merkmai  C  oder  €Mch 
das  D  vorliegen,  uvnicht  A  fehlt. 

Behufs  Beantwortung  der  vierten  Frage  könnte  man  die  Gleichung  t) 
direkt  in  Worte  fassen  wie  folgt:  Die  Merkmale  A,  C  utid  D  kmmum 
niciit  alle  drei  zusammen  vor  und  uo  das  Merkmal  A  fehlt  kann  von 
dm  Merkmalen  C  und  D  das  eine  nickt  ohne  das  andere  aufiretm. 

Etwas  Ober  sichtlicher  v!«lleicht  wird  man  die  Gleichung  1)  in  ihre 
Aut'Utöung  nach  (i  umschreiben  mit  der  sie  (weil  Elimination  von  a  blos 
auf  0  =  0  tührtj  iiiiuivak'Ut  ^eiu  nuiss.    Diese  Auflösung  lautet: 

r)  a  •«  cd^  +  c,ii  +  </  ^r,  +  W,)  =  cd^  +  <',W  +  «r,  J„ 


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%  26.  Anwendungsbciapiele  und  Anfgabcn. 


527 


wo  10  unbesfimmt  ist  —  cf.  Tb.  33^.)  nebst  dem  Absorptioiugesetze  (be- 
hufs Rcebtfci  H^ninpr  der  letstToiiaogeneii  Kflnung).  Oder  als  Doppeiaab- 
sojuUon  geschrieben: 

{)  cd,  +  c,(i  ^  o  =^  c,  +  äf, 

Sie  lelirt,  dass  aus  der  AnmeamüieU  von  A  peadiilosam  werdm  ham  auf  die 
Ahufesenh^  von  wenigstens  einem  der  hridcn  Merhnah  C,  D,  und  ii]nge> 
kehrt,  da<^s  wo  rmi  diesen  kfzfrm  C  und  D  das  eine  allnn  (ohne  das  andere) 
sich  vorfindit,  geschloF^n)  n  erden  kann  mtf  die  Amresi  ftJteit  von  A. 

Zur  Übung  möge  der  Leser  aus  t)  ttuch  c  durch  a,  2>,  d  und  d  durch 
o,  ft,  c  ausdrücken  und  die  Ergebnisse  interpreÜren  —  Aufgaben  die  auch 
Ke  Coli  Bloh  geateUi  ICan  findet  leielit  ab  BliminatioBmaltante,  ver- 
«nfachte  Gleleliiuig  und  LOtong: 

a^b^d^  =  0,       (ad  +  fl,d,)  c  +  (abd,  +  a^d)  c,  =  0. 

c ahd,  +  a,d  +  uad,    oder    a//(/,  +  <i,fi  =^  c  =^  at/,  +  a^dj 

a,5,<f,     0,       (ac  +  a,c,)  d  +  (aZic,  +  a,c)  rf,  «=•  0, 

d  V  tthCf  -1-  a,c  +  <atf,   oder   a5c,  +  a,c  >^  d  ^  ac,  a,c. 

Anmerkuug  /Air  1.  AutLjabe. 

Natflrlich  sind  die  Data  unseres  l'roblems  auch  mögliche  und 
logisch  zulässige;  denn  ihre  vereinigte  Gleichung  e)  ist  eine  Relation, 
die  keinen  Widerspruch  involvirt,  die  nach  den  Regeln  des  Kalküls 
auf  die  im  bisherigen  Aaesagengebiete  aUein  absorde  Behauptung  1  0 
nicht  hinausläuft. 

Unmöglich  können  aber  diese  Data,  so  wie  Boole  aogibt|  ganz 
durch  Beobachtung  (einer  Klasse  Ton  Naturerzeugnissen)  gewonnen 
worden  sein,  indem  der  in  der  Prämisse^)  angeführte  Fall  ade,f  dass 
„wo  immer  die  Merkmale  A  und  D  in  Abwesenheit  von  E  gleichzeitig 
anftreteii*^  kraft  des  Gesamtsystems  dieser  Prämissen,  überhaupt  wie 
vorgekommen  mmi  iann. 

Liest  man  n&mlich  aus  der  vereinigten  Gleichung  i)  diejenigen 
Glieder  herans,  welche  die  Kombination  ade,  zum  Faktor  haben,  in- 
dem man  da,  wo  einer  dieser  Buchstaben  a,  d  oder  e  —  nennen  wir 
ihn  f&r  den  Angenblick  x  —  nnvertreten  erscheint,  sich  den  Faktor 
1,  +  r„  hinsndenkt,  so  ergibt  sich  leicht  als  die  Gesamtheit  dieser 
Glieder: 

od«^  (de,  +  b,e)  +  adcde,  +  a6^c,dtf, « 
-«  ad«,  (be  +  6c,  +  5,c  +  b,e,)  —  ade,>  1  ade,. 

In  der  That  ist  also  nach  der  vereiuigten  Gleichung  selbst: 
o)  ade^ «  0, 

d.  h.  der  Fall  konnte  niemals  ?orgekommen  sein  —  ein  Umstand,  anf 


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Dreiiebnt«  Vorlesung. 


welchen  mich  anfmerkeam  gemacht  za  haben  ich  Herrn  M.  Badorff 
in  Baden-Baden  Terdanke. 

Bae  Boole'sche  Problem  ist  darnach  eigentlich  als  eine  Vexir- 
aafgabe  an  beaeichncD,  nnd  um  Ton  diesem  ihrem  vezatoriachen  Cha- 
rakter befreit  an  sein,  hatte  die  An^be  yielmehr  etwa  mit  den 
Worten  eingeleitet  werden  sollen:  „Gesetat  darch  Beobachtong  einer 
Klasse  Yon  Erscheinungen  »fer  ionst  «mf  irgend  eine  Weise  am  er- 
kannte  dass  . .  A 

2.  Aufgabe  Ton  Herrn  Venn^  p.  487. 

Die  Miiglieder  eines  ÄMfsit^tsrais  (VerwalttmgsratS;  members  of  a 
board)  a  sind  entweder  OhU^aü^menbesiteer  h  (bondholders)  oder  aber 
JMienbesiiger  e  (shareholders)  —  d.  h.  also  nicht  beides  zugleich. 
Wenn  nun  die  Ohligatimmbesieer  sufällig  aße  im  AnfsidUsrai  sind,  was 
folgt  4n  Besug  auf  diese  und  die  AkHenbesOeer  (die  h  und  die  c)? 

Auflüöuug.  Übersetzung  der  Data  in  die  Zeichensprache  liefert: 

Aus  diesem  Präniissenäjstem  ist  a  zu  eliminiren.  Die  yereinigte 
Gleichnng  desselben  lautet: 

tt(Pe  +  h,e,)-^afi^O 

und  gibt  regelrecht  aU  die  Resultante:  (fcc  +  t,c,)  2>  =  0,  oder: 

fcc  =  0; 

dies  heisst:  kein  ObUgationenbesitger  ist  Aktienbesiteer, 

Noch  k&rzer  l&sst  die  Elimination  des  a  aus  den  beiden  Prämissen 
sich  hier  unmittelbar  nach  Prinzip  U  ausführen,  den  Schtoas  liefernd: 

h  =^  bc\  +  6,c',     oder     &  (6c  +  6,  (  J  =  0,      de  «  0, 

wie  (»beil. 

Auch  die  be^t»*  nllqenmne  Methode  wird  so  iu  eiir/oliit  n  Fallen 
durch  besondre  tlen?.*  angepasste  Kunstgriffe  sich  ott  nach  Ein- 
fachheit der  L()s!iing  noch  übertreffen  lassen. 

Herr  Venn  verwendete  die  obi^'e  Aut^abe  zu  eirn m  ^Ve1t^t^eit  /witschen 
eifier  ,,Klag8e'*  von  gut  in  der  veibaiün  Logik  gofeclmhen  Studireudeu  und 
eiuei  anderu  iu  der  rechnerischen  Logik  bewanderten  —  welcher  eklatant 
zagnnsten  der  letstem  ausfiel. 

3.  Aufgabe.  (Boole^  p.  118 ISO  und  138  ..129.)  Das  Stu- 
dium einer  Klasse  von  Substanzen  habe  zu  den  Ergebnissen  geführt: 
Treten  die  Merkmate  a  und  2»  zusammen  auf,  so  findet  sich  das  Merk- 
mal  c  oder  aber  das  d.  Treten  h  und  c  zusammen  auf,  so  findet  sich 


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§  26.   Anwendungsbeispiele  uud  Anfgaben. 


529 


sowo]  das  Merkmal  a,  als  das  ä,  oder  beide  fehlen^  Sooft  die  Merk- 
male a  und  h  zusammeD  fehlen,  fehlen  auch  die  e  und  d,  und  umge- 
kehrt Gefragt,  was  ohne  Bfickaicht  auf  daa  Merkmal  d  von  den 
flbrigen  auegesagt  werden  kann. 

Auflosung.  Die  Klasse  der  vSubstauzeu ,  die  ein  bestimmte» 
Merkmal  besitzt,  möge  für  die  Zwecke  der  Kcchnung  hier  mit  dem 
Nameo  des  Merkmals  selbst  dargestellt  werden.  So  fordern  die  Prä- 
missen,  dass: 

ah  ^  cdf  +  Cfd,      de  ^  a<{  +  a,<f„      a,5,  —  c,d, 

sei.  Aua  diesen  ist  d  zu  eliminiren,  die  Resultante  nach  a  oder  h 
oder  e  aufsul5sen,  das  Ergebniss  mit  Worten  zu  deuten.  Vereinigte 
Gleichung  des  Pramissensjstemes  ist: 

ah  {cd  +  c^d^)  +  bc  (aii,  +  a^d)  +  a,6,  (c  +  d)  +  c^d^  (a  +  6)  —  0. 

Die  Elimination  Yon  d  erfordert  den  Ansata: 

a,b,c  +  (ahe  +  afie  +  a,b,)  {abc,  +  ahc  +  «f,  +  he^  ™  0 

zu  dessen  Herstellung  man  aus  der  vereinigten  Gleichung  blos  lieraus- 
zulesen  braucht:  das  von  d  sowol  als  freie  Glied,  sodann  die  Koet'ti- 
aicnten,  mit  welchen  d  behaftet  erscheint  und  endlich  die  Koeffizienten 
von  f/, .  Der  erste  Klammerfaktor  zieht  sich  in  bc  +  a^b^f  der  zweite 
in  nh  -\-  ar^->r  zusammen,  wonach  leicht  abc  als  das  Produkt  der 
beiden  erkannt  wird.   Mithin  ist  unsre  Resultante: 

ahe  +  afi^e  — ■  0. 

Sie  lehrt,  dass  die  Merkmale  a,h  und  c  nie  alle  drei  susammen  auf- 
treten, auch  in  Abwesenheit  von  a  und  h  das  e  nicht  vorkommt. 

Elimination  irgend  eines  der  drei  Buchstaben  a,    c  aus  ihr  führt 

auf:  0  =  0  (/.  B.  des  a  auf  bc  ■h^c  =  0).  Die  Resultante  sagt  dem- 
nach genau  dasselbe,  wie  ihre  Auflösung  nach  irgend  einer  dieser  Un- 
bekannten. Die  Auflösungen  sind,  wenn  UfV^w  unbestimmte  Kia^Hen 
(von  Substanzen)  vorstellen,  bezüglich: 

a  =  fc,c  + 1(     +  f,)  »=  6,c  -f  tt      +     =  b^c  +  M6„ 

analog 

J  ■«  fljC  +  i  r,    und  endlich    c  ^  w  {a\  +  a,b), 
oder  in  Form  von  Doppelsubsumtioneu: 

h,e^a^b,  +  e„      a^e b  ^    +  c,,      0  =^  c  =^  «6,  +  a,6. 
Sie  seigen,  daaa  wo  in  Abwesenheit  von  b  das  Merkmal  c  vorliegt^ 
auch  a  sieh  finden  muBs;  wo  a  sich  findet  aber  h  oder  auch  c  not- 
wendig  fehlen  wird.   Desgleichen,  a  und  h  TertBuaeht  Endlieh  wo  e 


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Dreisehnte  Vorlesnnp. 


sieb  findet y  da  mnsB  von  den  Merkmalen  a  und  b  das  eine  ohne  das 
andere  (muss  a  oder  aber  h)  zugegen  sem. 

4.  Aufgabe.    (Jevons"  p.  202.) 

In  einer  Manuigi'altigkeit  ist  Jedes  Ding  entweder  ein  b  oder  ein 
und  jedes  c  ist  ein  b,  wotern  es  nicht  ein  a  ist.   Zu  beweisen,  dass 
jedes  a  ein  b  sein  muss. 

Beweis.  Prämissen  sind:  1  ^  i  +  c  und  c  =^  6  +  a,.  Sie  geben 
die  vereinigte  Gleichung: 

b^c^  +  a6,c  «=  0 
aus  welcher  c  an  eliminiren  ist  Die  Kesultante  lautet: 

ahj  =  0,   oder  also:  a^^b 

wie  zu  zeigen  war. 

5.  Aiif^aho  ~  aus  dem  „Moral  scieace  tripos"  von  Cambridge 
1870,  behandelt  vou  Jevons'-^  p.  206.  Es  stehe  fest,  da^s  jedes  b, 
welches  uicht  d  ist,  entweder  a  sowol  als  r,  oder  weder  a  noch  r  ist: 
und  ferner,  dass  kein  r  und  kein  d  eiii  a  und  6  zugleich  sein  kaun.'^J 
Zu  beweisen,  dass  kein  a  ein  b  ist 

Beweis.   Die  Prämissen  in  Formeln  eingekleidet  lauten: 

bd^^ac'{^a^c^,      c^(ab\f  d^(ab\, 

und  geben  die  vereinigte  Gleichung: 

{a<^  +       /u/,  +  ahn  +  abd  0. 

Elimination  von  d  aus  dieser  gibt: 

abe-^ab  (ac,  +  ö,c)  »  0,   oder  abc  +  «6c,  =  0, 

und  hieraus  BUmination  you  et 

ab^O, 

d.  h.  kein  a  ist     wie  an  beweisen  war. 

6.  Aufgabe.   (McColP  p.  21.) 

Es  sollen  x  und  y  eliminirt  werden  aus  den  Prämissen: 

ax^=^C'¥dy,     bx^c  +  dy-^e,     a,5,=^aH-c+rfe„     a  +  b-\-e^x-^y. 

*)  In  Goätult  von  „ueithst  C  tior  d  is  both  a  and  fr**  gibt  Jevons  (eTeniucU 
8i  hon  der  Aufgabensteller)  diesem  letzten  Teil  der  Anfpabe  einen  inkorrekten 
Ausdruck.  Ks  müste  hejgsen:  „neither  any  c  nor  any  d  is  . . Denn  in  der 
angegebenen  Fassung  wäre  der  Siim  unstreitig  der,  dass  weder  alle  c,  noch  alle  d, 
a  und  h  sugleieh  sein  kfinnten,  nud  würde  das  Problem,  nach  den  Methoden  des 
§  41  behandelt,  nicht  die  Terlaogte  Konklurion,  Tielmohr  nach  Elimination  des  c 
nnd  d  nnr  die  Resultante:  «i,  +  fr,  ^  o  oder  4^  1  liefern,  welche  blos  lehrt, 
dasB  es  Dinge  gibt,  die  nicht  a  nnd  b  «ngleich  find. 


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%  S5.  Anwendangibebpiele  und  Anfgab«D.  53  i 

Auflösung.    In  der  vereinigten  Gleicliung: 

«r.Ä-,  (rf,  +  y,)  +  hc,e,x  ((/,  +  y,)  +  a,0,c,     +  e)  x,  + (a -i- h  +  c)      ^  0 

kommt  y  nur  als  y,  in  der  Fom  ^  +  .ßy,  0  vor,  ireshalb  als 
Reaal taute  der  Elimination  von  y  anznaeizen  i«t  ^  «-*  0,  d.  )i.  die 
Glieder,  welche  y,  sam  Faktor  haben,  sind  einfach  wegzulassen.  Um 
aus  dem  Rückstände:  ^ 

noch  X  herauszuwerfen,  hat  man  alsdann  das  IVoilukt  ilt-r  beiden  KoelH- 
zieuteu  gleich  0  zu  setzen,  welches  augcusclieinlich  gibt: 

aüc^d^e^  =  0,    oder   ab=^c  +  d-\-e. 

7.  Aufgabe.    (Bool.;^  p.  237.) 

Eine  Anzahl  Tuchmuster  lieferte  bei  der  Uutersuchuug  folgeude 
Kegeln : 

Jedes  weiss  {(r)  und  grün  (//)  ^t  stri-ifte  Stück  war  auch  schwarz  (ö) 
und  gelb  (e)  gestreift  und  umgekehrt. 

Jedes  rot  (r)  und  orange  (a)  gestreifte  Stück  war  auch  mit  blau  {b) 
und  gelb  gestreift,  und  umgekehrt. 

Was  kann  ohne  Eäckaicht  auf  gelb  geschlossen  und  Uber  grün 
ausgesagt  werden? 

Auflösung.   Die  Data  sind: 

wff  ^  sc,      ra  « 
sonach  in  Tereinigter  Gleichung: 

u'f]  (.s,  +     +  sa  (//,  +     +  ru  {Iß^  +  t,)  +  Oc     +  f/,!  U 
woraus  e  elimiuirt: 

wffs^  +  rat,  +  («IT,  +  Äy,  +  fcr,  +  ba^)  {tvg  +  ra)  «=  0 

oder 

Die  Resultante  der  Elimination  von  g  läuft  auf  die  NuUsetzung 
des  ersten  Terms  hinaus: 

ra  (5,  +  sw^  «  0   oder  ra  ^         ras  ^  fr. 

ünablulngig  von  gelb  und  grün  ist  also  lediglich  zu  schliessen: 
dass  rot  und  orange  gestreifte  Muster  auch  blau,  sowie  rot,  orange 
und  schwarz  gestreifte  auch  weiss  gestreift  sein  müssen. 

Mit  Rücksicht  hierauf  lasst  sich  nun  der  erste  Term  der  obigen 
von  f  freien  Endgleichung  unterdrücken,  und  gibt  dieselbe  nach  der 
Uubekaunteu  y  aufgelöst  leicht: 

g  —  rnft  +  « |  tr,  +  «     +  ra) } , 

34* 


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532  Dceisebnie  Vorlesung. 

d.  h,  die  grüu  gestreiften  Mudtev  bestehen  auH  alleu,  die  zugleich  rot, 
orange  und  schwarz  gestraft  sind,  nebst  einer  nnbestinunten  Menge  solcher 
(keinen,  einigen  oder  aUen  solchen),  die  entweder  nicht  weiss  gestreift 
sind,  oder  die  sehwnn,  und  zugleich  nicht  Unu  oder  rot  nebst  onoge, 

gestreift  siud. 

Bequemer  wird  sich  dies  in  Gestalt  der  Doppelsubsumtion  beschreiben 
lassen,  welche  darum  für  die  Einkleidung  der  Lösung  den  Vorzog  verdient: 

ras  =^g  =^u;,  +  s{b^  +  rä) 

und  SU  erkennen  gibt:  dass  die  zugleich  rot,  orange  und  schwarz  ge« 
streiften  Master  auch  grfin  gestreift  sein  mdssen.  Jedes  grfin  ge- 
streifte Muster  aber  muBS,  falls  es  nicht  weiss  gestreift  ist,  sicher 
schwarz  und  entweder  nicht  hlau,  oder  rot  nebst  orange  gestreift  sein. 

£s  versteht  sich,  dass  vorstehend  ein  jeder  Buchstabe  nicht  das 
Merkmal  der  betreffenden  Farbe,  sondern  die  Klasse  der  mit  diesem  Merk* 
mal  behafteten  Objekte  in  onsrer  Mannigfaltigkeit  —  der  Tocbmuster  — 
vorzustellen  hatte.  — 

Man  vergleiche  auch  die  Lottung  vorstehenden  Problems  nach  Peirce's 
Methode  in  §  27.  Das  Ftoblem  ist  auch  behandelt  von  Grove  (Educatio* 
nal  Times,  April  1881),  Miss  Ladd^  p.  55  . .  57. 

8.  Aufgabe.    (Lambert^  T,  14.) 

Wenn  die  x  ohne  die  o  einerlei  sind  mit  den  6,  und  die  a  ohno 
die  X  zusauimenfalleu  mit  den  c,  wie  drückt  sich  x  durch     b  und  e  aus? 
Auflösung,   Data  sind: 

a,z  «V  h  und  ax,  e, 

also  in  Tereinigter  Gleichung: 

X  +  {a-{'X^)h  +  a<?,a?,  +  (a,  +     c  —  0. 
Durch  Elimination  des  x  ergibt  sich  zunächst  die  Ilelution: 
al»  +      +  (fl,i>,  +  c)  (6  +  ac,)  =  0,    oder:    ab  +  a^c  +  hc  =^  0,  oder: 

ah  +  ci,c  «  0 

—  vergl.  Th.  t)  des  §  18  —  wonach  die  Gleichung  sich  Tereinfacht  lo: 

X  (fl,    +  c)  +  a:,  (ac,  +  6)  «■  0 
und  nach  x  aufgelöst  gibt: 

=  ac,  -H  6  +  M  (a  +  6)  c,  —  ac,  +  b, 
indem  der  unbestimmte  Term  eingeht. 

In  Anbetracht,  dass  hc  =  0  ist,  also  b  =  bc,  +  bc  =  bCf  gesetzt 
werden  kanui  läset  sich  dem  ürgebniss  auch  die  Gestalt  geben: 

«  —  (a  +  6)  <?, 

und  lehrt  dasselbe:  die  Klasse  x  besteht  ans  den  a  und  den  6,  mit 
Ausschluss  der  e  (was  wir  in  §  23  mit        a    6  —  c  dargestellt 


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§  S6.  AowenduBgsbdipMle  und  Aufgaben. 


533 


haben  würden»  wooach  ea  mit  Lambert's  Brgebniss  buchstäblich  ttber« 

einstimmte). 

Wie  Herr  Venn'  p.  272  bemerkt,  besitzt  vorstehende  Aufgabe  ein  ge- 
wisses historisches  Interesse  als  einer  der  frfUiesten  Verstieho,  logisch c  Auf- 
Hjnbcn  rechnerisch  (in  Symbolen)  zu  lösen,  und  reiht  sich  unter  dem  gleichen 
Gesichtspunkt  hieran  auch  die  folgende  von  Lambert  behandelte  Frage. 

9.  FrUge.    Wemi  adt^be  ist^  ISsrt  sich  alsdean  soUiessen,  ^s 

^  »  j  sein  mflsse,  d.  h.  wenn  die  a  mit  den  d  die  nftmlichen  IndiTidnen 

gemein  haben,  wie  die  h  mit  den  c,  muss  dann  Jede  (resp.  Uberhaupt  eine, 
resp.  MDe  besümmte)  Klasse,  welche  durch  b  determinirt  sich  in  a  tu- 
sammenzieht,  sieh  decken  mit  jeder  (resp.  etc.)  Klasse,  welche  durch  d 

determinirt  c  gibt? 

Wie  in  den  Klammem  schon  angedeutet,  unterscheiden  wir  mehrerlei 
Autfassungen  der  Frage,  für  welche  alle  sie  trrn(i>i')id  zu  beantworten 
sein  wird.  Herr  Venn  1.  c.  konstatirt  einen  Irrtum  Lambert's,  welcher, 
obwol  die  Nichthebharkeit  beiderseits  tibereinstimmender  Faktoren  in  einer 
Gleichung  schon  bemerkend,  doch  mehr  als  einmal  annehme,  dass  es  sich 
also  yerhalte  (die  Frage  nttmlioh  su  bejahen  sei).  Indessen  gibt  Venn 
selbst,  unter  ÄusseroDg  l  erechtigtsr  Zweifel,  eine  nnrichtige  Beantwortung 
der  Frage,  indem  er  ihre  Bejahung  an  die  Bedingung  knüpft,  dass  a  =  c 
und  b  li  sei  —  was  sich  bei  einer  jeden  der  Aulfa.>sungen  nicht  gerade 
als  notwendig,  eventuell  als  nicht  hinreichend,  herausstellen  wird. 

Um  dies  alles  ao&ahellen,  sei  die  Frage  auch  hier  behandelt,  obwol 
sie  nicht  ganz  in  den  die  flbrigen  Aufgaben  umsoUieesenden  Rahmen  passt: 
wir  wttnsditen  mit  §  S3  die  inrersen  Operationen  des  Kalküls  «idgultig 
aus  unserer  Disziplin  aasgemerzt  zu  haben,  weshalb  wir  denn  auch  die 
Untersuchung  auf  '^'egenwHrtigen  Kontext  besehranken. 

Zur  ünter.scheidung  von  General-  und  Prinzipalwert  des  Quotienten 
greifen  wir  auf  die  Bezeichnungen  des  §  23  zurück. 

0ie  PHtanisse,  rechts  auf  0  gebracht  lautet: 

ad  (ft,  +  r,)  +  hc  (a,  +  dj  =  0, 

oder  links  nach  a,     c,  d  entwickelt 

ad  (6,<?,  +  6,c  +  6<f,)  +  be  («,d,  +  a^d  +  ad,)  —  0 ; 

sie  leagnet  also  die  Bzistens  Ton  sechsen  der  sechzehn  zwischen  a,  c,  «2 
«md  ihren  Negationen  überhaupt  denkbaren  Kombinationen,  welche  die 

Mannigfaltigkeit  1  «U<r  Müglielikeiten  zusammensetzen,  wogegen  sie  Uber 
die  zehn  übrigen  K  ;>n]biuatiüuen  derselben  nichts  aussagt. 

Soli  nun  abtt  itaupi  ein  Wert  von  a  : :  6  ubüreinstimmeu  mit  uiuein 
Werte  von  c  : :  so  mUüsen  zunächst  die  beiderseitigen  Valenzbedingungen 
erfliUt  sein,  welche  lauten:  ab,  —  0  und  c<l, « 0.  üm  die  veremigte 
Gleichung  der  letatem  ab,  +  c(7,  0  nach  allen  vier  Symbolen  zu  ent- 
wickeln, wird  man  am  besten  das  Th.  33^)  Irnks  anwenden,  wonach  sie 
die  Form  annimmt: 

ab,cd,  +  ab,  {c,  +  ti)  +  cd,  (a,  +  fr)  0, 


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534  Drviiehnttt  VorlcBQiig. 

also 

a6,rr/,  +  ah,  (i\d  4-  c,?/,  +  rdi  4-  c^/,  (o^h  +        +  oh)  0. 

fHlitte  man  statt  desson  jrdf^s  ilir<  r  iieiJen  «ili(»dor  mit  der  iMilwickcbuT^,' 
von  1  naoli  den  beiden  andern  im  hetreflV^nden  »iliod  nicht  vorkouinieuUün 
Symbolen  geuiüe»»  TL.  uiulti|jiuiit,  bü  wäio  dui'  Term  a6,cd,  unnötig 

zweimal  angesetst  worden.]  Versammelt  man  nun  tiieraas  diejenigen 
Glieder,  deren  .Verschwinden  dnrcH  die  Pr&misse  nicht  ohnehin  ^aranttrt 
ist,  bemerkt  man  dass  es  die  folgenden  dreie  sind:  ah^rd^^  ""^ 
a,h,i  (/^.  Darnach  ist  i>,d,  {ac  +  ac,  +  a,c)  =  0  oder  b^ä^  {a  +  c)  0, 
das  heis«t: 

n     c      h  +  d 

die  notwfiidiy^e  Bedingung  dafür,  dass  ein  Wert  von  fr::b  nur  OHerbaupt 
mit  einem  solchen  von  e::ä  tilierein^iininiin  könne.  Da  schon  diese 
Bedingung  im  allgemeinen  nicht  eitUilt  iai^  und,  wie  erkannt,  gam  und 
gar  nicht  in  der  Voraussetzung  liegt,  so  wird  die  gestellte  Frage  für  jeg- 
liche Auffassung  derselben  zu  verneinen  sein. 

Nehmen  wir  nun  aber  ausser  derPrflmisSQ  ad^he  auch  noch  diese 
Forderung  a +  <•  =^  6  +  (?  als  erfüllt  an,  so  ist  uns  nicht  nur  letztere, 
-onderu  sind  auch  die  Valenzbedingungen  a  ^  Ii  und   •  ^  d  selbst  ge- 
sichert, und  auftser  diesen  f-tipnlirt  die  Prämisse  nur  noch,  da<äs 
bä  {  /' j  +  n^r^  =  0    oder        («  +  r)  =^  (ir 

sei.    Die  so  erweiterte  Prftfflisee  läuft  also  auf  die  drei  Voraussetzungen: 
•    « =^  i>,      e^d,      (a  +  c)  bd  ^  ac 

binau.s,  deren  vereinigte  Gleichung  das  Verschwinden  von  nennen  jener  sech« 
zehn  Konstituenten  festsetzt  —  die  im  bisherigen  sich  auch  angegeben  finden. 

Unter  dieser  Aiumlime  können  wir  nun  weiter  fraj^cn,  ob,  oder  unter 
wekhüii  ferneren  l>*'dinguuü:en  auch  jeder  Wert  von  a b  mit  j'cdct»  Werte 
von  c:;rf  übeieiustimmeu  wird? 

Dies  ist  nur  möglich,  wenn  diese  beiden  Ausdrücke  eindeutig  ausfallen, 
nümlich  selbst  nicht  schon  mehrere  unter  sich  verschiedene  Werte  umfossen. 

Für  den  Generalwert  des  Quotienten  von  a  und  h  hatten  wir  in  §  23, 
)})  den  Ausdruck: 

a : :  Zi  »  ati,  +  (a  +  6,)  u 
und  soll  dieser  von  ti  unabhängig  ausfallen,  so  muss  für  beliebige  «,  v  sein : 

aw,  +     +  h^  u      «f,  +  (n  +  bf)  V, 

was  rechts  auf  0  gebracht:  a^b^  {uc^  -f  ?f,r)  =  0  gibt  und  für  jedes  Worte- 
paar II,  V  nur  bestehen  kann,  wenn  selber  a  0  ist  —  vei^l.  unten 
Studie  21.  Da  nun  ohnehin  ab,  »  0  nach  der  Vatenzbedingung  war,  so 
haben  wir  alsdann  a 5, +      =  0  ndn  5,^0,  d.  b.  6«1  und  wurd 

a  ::  ^  ~        1  ~  n  «;ein  mü.,.-on.     Analciir  (/  =  1  inid  r  ;:     —  c. 
Die  obige  Frage  wird  demnach  >icii  nur  bejahen  lassen,  wenn 

«  =  c    und    6  =  cZ  ==  1 

ist;  mithin  war  hier  Herrn  Venn 's  P^ntscheidung,  bei  welcher  h^d  nocli 
unbestimmt  blieb,  nicht  ausreichend. 


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§  25.    Anwciiduugäbüiapiclc  und  Aufgabuu.  535 

Von  grösserem  Interesse  erscheint  die  Frage,  ob  oder  wann  vielleicht 
die  GcsantlhcU  der  Werte  von  a::h  sich  deckt  mU  der  GesamtheU  der 

Werft-  vnn  c  : :  d? 

D'ioi^e  Gleiehhoit  a  : :  h  —  : :  d  tritt  nur  dann  und  sieber  dann  ein, 
wenn  anter  der  oben  stipuiirtau  Annahme  die  Gleichung: 

a  +  Mi»,  -»  c  +  vd^ 

(Ur  ein  beliebig  ang^ommenes  u  erfüllbar  ist  durch  ein  v  und  für  ein 
irgendwie  angenommenes  v  erfüllbar  ist  durch  gewisse  u  —  vergl.  §  23, 
Letzteres  tritt  ein,  wenn  für  die  (rechts  auf  0  gebrachte)  Gioichong: 

(a  +  6,m)  c,  (d  +  V,)  +  a,  (6  +  «,)  (c  +  d^v)  0 

die  Resultante  der  Elimination  des  fr: 

ac^d  +  a^bc  +  b^c^du  +  ",cu^  =  0 

iniflusbar  i?t  nach  d.  h.  wieder,  wenn  nur  die  Resultanfo  iuidi  seiner 
Eiiminiition  hieraus  erfüllt  ist.  Als  die  c^osnchto  Hedincrun^'  linden  wir 
hieuach  schlechtweg  die  liesultante  der  Kümination  von  u  nebst  v  aus  der 
obigen  Gleichung,  also: 

ac^d  +  a^be  =  0 

—  eine  Gleichung,  welche  laut  Priiuiis&e  schon  uimehin  erfüllt  ist. 

UiUtr  den  durch  Zuzug  der  Valenzbedinguugen  von  a  ::b  und  c  ::  d 
zu  der  Prtbnisse  ad^^he  enedtirlen  ynraus^^bnai^m  wird  folglich  aller- 
dings ans  letzterer  auch  auf  die  Oeltung  der  „Proportion*^  a : :  2»  c : :  d 
zu  schUessen  erlaubt  sein,  indess  auch  nur  unter  diesen  Voran  >(  t/  mgen. 

Fragen  wir  endlich,  ob  oder  wann  auch  die  Haupt  werte  der  beider- 
seitigen Quotienten  ttbereinstimmen  werden,  d.  h.  wann  in  untrer  Bezeich- 

nong  wirklieh  a :  6  »  c  :  4,  oder     "  j  i  >^  wird?  —  unter  ebendiesen 

Voraassetinngen,  ohne  welche  ja  die  Frage  gar  keinen  Sinn  haben  wttrde! 
Kach  »)  des  §  23  deckt  sich  dies  mit  der  Forderang,  dass 

0  + 6,  «s»  c-f  rf,,    oder       +  +      (c  +  tl,)  =«  0, 

sei.  Da  laut  Främisbe  nchon  zwei  von  den  vier  Termeu  linkä  fortfuUeu, 
redu/.irt  sich  dies  auf  die  Forderung: 

b^c^d  -i-  a^bd^  =»  0    oder        +  «,)  b^c^d  4-  «,6  (v  +  c,)  d^  ==  0, 

worin  nach  den  Valensbedingungen  abermals  awei  Terme  sich  wegheben. 
Es  bleibt  die  Bedingung: 

ib,d  +  bd^)  »  0,    oder    b  +  d^a  +  c  +  bd 

durch  welche  den  neun  schon  yerschwindenden  Konstituenten  noch  swei 
weitere  zugesellt  werden.   Schliesslich  haben  wir: 

a4^c^  I  ^b  +  c,       he  ^  (I      b  ^  n  d 
aJa  den  Inbegriflf  der  erforderlichen  Uodingiangen  für  die  Bejahung  der 
Frage,  «l»  ^'  =  ^ 


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53G  Droizobnt©  Vorlesung. 

10.  Aufgabe.  (Venn*  p.  267.) 

Aus  einer  gewissen  Klasse  von  Gegenstanden  liest  eine  Person 
heraus  (picks  out)  die  z,  welche  g  sind  und  die  welche  nicht  m  sind. 
Aus  dem  RQckstande  scheidet  eine  andere  Person  aus  die  welche  y 
und  die  welche  nicht  y  sind.  Man  findet,  dass  nur  die  0,  welche 
nicht  X  sind,  diese  aber  sämtlich,  übrig  bleiben. 

Was  kann  alsdann  über  die  ursprüngliche  Klasse  —  w  möge  sie 
heissen  —  ausgesagt  werden? 

Auflösung.   In  die  Zeichensprache  fibersetzt  lautet  die  Prämisse: 

w  {xß  +  yir,),  {sy  +  XfX  = 

—  vergleiche  das  über  die  Ausschliessung,  Ezceptiou  in  §  23  S.  4!}5 
gesagte. 

Nacli  lUL'iuem  Tli.  4G)  stellt  die  liuke  Seite  sich  dar  als: 

£s  lautet  also  die  Gleichnng: 

x,y,w  —  X,», 

wobei  die  linke  Seite  zu  erkennen  gibt:  der  Erfolg  der  zweimaligen 
Änsscheidnngen  war  ein&ch  die  Beseitigung  dar  x  und  der  y  aus  der 

Klasse  der  tv. 

Da  nun  die  Gleichung,  rechts  auf  0  gebracht,  aussagt: 

so  haben  wir  erstlich  als  Resultante  der  £limination  von  w  die  Relation: 

x^y»  ^  0   oder   yz  x, 

(].  h.  alle  y,  wo1<  lie  ^  sind,  mussteu  auch  x  gewesen  sein,  und  zweitens 
haben  wir  als  Auflösung: 

'w  —  x^g  +  tt  («  +  y) 
bei  unbestimmtem  11,  oder: 

d.  h.  die  Klasse  w  musste  sicherlich  die  z,  welche  nicht  j  isiud,  alle 
enthalten  liaben,  und  konnte  nur  aus  ladividucu  der  Klassen  x,y 
und  z  zusammengesetzt  gewesen  sein  —  was  auch  unmittelbar  als 
selbstYerständlich  einleuchtet 

11.  Aufgabe.    (Mc  Coli,  Math.  Qucstions  etc.  froni  the  Educa- 
tioiuil  Times,  Vol.  31,  p.  43  und  44,  auch  gelöst  von  Herrn  Llojd 

Taillier.) 

Durch  licobachtung  sei  erkannt,  dass  sooft  die  Ereignisse  a  und  b 


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§  25.   AuwenduDgsbeigpiele  und  Aufgaben. 


537 


rosammen  eintreten,  denselben  allemal  folgt*)  das  Eraigniss  6,  des- 
gleichen  das  d  oder  aueh  e,  ferner:  dass,  sooft  die  Ereignisse  d  und  e 
beide  eintreten,  ihnen  allemal  Torhergegangen*)  ist  das  Ereigniss  a, 
oder  auch  h  nebst  e.  •  Wann  kSnnen  wir  (aus  dem  Eintreten  oder  Nieht^ 
eintreten  der  Ereignisse  a^hjC  oder  d)  schliessen  erstens,  dass  e  ge< 
wisslich  eintreffen  wird,  und  zweitens,  dass  e  siclier  nicht  eintrifft? 

Auflosunp^.  Die  Data  Jauteu  s^wenn  a  gedeutet  wird  alü  ii-iasbe 
der  iüüe,  wo  dad  gleichnamige  Ereigniss  eintritt,  etc.): 

od«r: 

ah  (c,  +       +  a,  (6,  +  c.)     —  0 , 

woraus  durch  Elikiiiiiation  Yon  c  zunächst  zu  ersehen  ist,  dass  ahe^  —  0 
oder  ub-^c,  d.  b.  das  Zusammentreffen  von  a  und  h  stets  von  c  ge- 
tolgt  ist,  wie  dies  auch  schon  die  l'rämissen  statuirten,  sodann  tlurch 
AutlÜAeu  der  restirendeu  Gleichung  nach  der  Uubekannteu  e,  sowie  e,, 
sich  ergibt: 

a?/c?,  =^  e  =^  ö  +     +  rf„       a^d     -f  t,)  ^  ^,  ^    +    +  t^- 
Die  ersten  Teile  von  diesen  Doppelsubsumtionen  enthalten  die 
Antwort  auf  die  gestellten  Fragen:  s  tritt  sicher  ein,  wenn  a  und  6 
(und  c)  ohne  d  eintreten,  und  e  tritt  aaverlässig  nicht  ein,  wenn  d 
eintritt  und  entweder  a  und  5,  oder  a  und  e  nicht  eintreten. 

12.  Aufgabe.  (W.  B.  Grove,  Educational  Times  1.  Febr.  1881, 
6616;  Miss  Ladd'  p.  54.)  Die  Mitglieder  einer  wissenschaftlichen 
Gesellschaft  zerfallen  in  drei  Abteilungen  (Sektionen)  a,  c  von  denen 
jedes  Mitglied  mindestens  emer  angehören  muss,  und  gelten  folgende 
Bestimmungen : 

Wer  der  Sektion  a  aber  nicht  der  Sektion  h  angehört,  desgleichen 
wer  der  h  und  nicht  der  e  augehdrt,  endlich  wer  der  Sektion  e  aber 
nicht  a  angehört,  darf  der  Gesellschaft  einen  Vortrag  halten,  falls  er 
seinen  Beitrag  beaahlt  hat,  aber  sonst  nicht 

Ein  jeder,  der  Sektion  a  aber  nicht  e,  e  aber  nicht  a,  b  aber 
nicht  a,  Angehörende,  darf  den  Mitgliedern  ein  Experiment  Tormachen, 
falls  er  seinen  Beitrag  gezahlt  hat,  sonst  nicht 

Jedea  Mitglied  muss  jährlich  den  Clbrigen  Mitgliedern  entweder 
einen  Vortrag  halten  oder  ein  Experiment  vonnachen. 

*)  Meines  Erachtens  müssten  diese  Verba  des  zeitlichen  Folgons  und  Vorher- 
gegangenseins  wol  durch  ein  auf  eine  £ey/et<erBcheinung  hinweisendes  Verbum, 
wif  nn't  denselben  Einhergehen**  erseist  werden  —  so  wenigsteiiB  besfigUch  des 
Ereignisses  c 


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538  Dreitebnte  Voflesang. 

Gesuclit  der  Mioimalznsatz  zu  eleu  Bestimmungen,  durch  welchen 
jedes  Mitglied  gezwungen  würde,  entweder  seinen  Beitrag  zu  zahlen 
oder  seine  Mitgliedschaft  zu  Terwirken. 

Auflösung.  Sei  1  die  Klasse  der  Mitglieder,  x  die  Klasse  derer, 
die  einen  Vortrag  halten  müssen  (sonach  auch  dürfen),  y  die  Klasse 
derer,  die  ein  Experiment  vormachen  müssen,  z  die  Klasse  derer,  die 
ihren  Beitrag  bezahlt  haben. 

Dann  garantiren  die  bisherigen  Bestimmungen  schon  dass: 

a,6,c,  =  0,    {ah^  +  ln\  }  rn^  xz^  —  0,    (rtc,  +  «,c  +       ija^  =  0,    x,fj,  =  0 

ist,  und  handelt  es  sich  darum,  hinzubringen,  dass  z,  ausgeschlossen 
werde  aus  allen  den  Teilen  der  Gesamtheit  1  der  Miti<;Iieder,  aus  denen 
es  nicht  bereits  ausgeschlossen  wurd^  nämlich  aus  der  Negation  von: 

r?,/>,c',  +  \ah^  +  b(\  +  a^c)  x  +  (ac,  +  a,6  +  <i,c)  y  +  x^y^. 

Diese  ist: 

(a  ■i-b  +  c)  {ahc  +  ",/>,c,  +  x^)  \a<;  +  f +  y^)  ^x  +  y) 

in  Anbetracht  f  dass  der  KoefGzicni  von  x  vollends  nach  a  entwickeli  sich 

als  H  (J>^  4-  -L  rr^  (h  -'-  r-)  darstellt,  wlilireiiil  <1er  von  jt  als  n<\  +  : +  c) 
schon  ebendarnacli  entwickelt  ist,  wonach  di(!  Xreatioiien  diet-er  Koettixtenten 
sich  sofort  als  abc-\-  (t,h^c  resp.  ac  +  na-ch  meinem  Th.  46^)  er«,'eben. 

iiier  sind  nun  zunächät  die  beiden  Terme  <<,^,c',,  als  iu  ihre  Negation 
(f  +  &  4-  c  zu  multipUzirende  fortzulassoi.  Darnach  gibt  das  Produkt  der 
beiden  mittleren  von  den  vier  Faktoren: 

ahc  -4-  ncx,  +  ah<  >i^  -f  a-,»/,, 

wovon  der  letzte  Tenu  als  Negation  des  nachfolgenden  Faktors  x  y  zn 
imterdracken,  der  vorletzte  vom  ersten  ab^orbirt.  wird.  Dann  erhalten  wir 
durch  Ansmultipliziren  leicht:  ahc  +  ^)  +  j  wobei  jedoch  statt  x^p 
^'cnommen  werden  kann:  x-^x^y  und  dann  der  vom  zweiten  dieser  Glieder 
herrttbrende  Term  in  dem  letiten  Gliede  eingeht 
Es  bleibt: 

als  Ausdnick  jener  Klasse^  von  welcher     auszoscfaUessen  wire. 

Daher  ist  der  gesuchte  geringste  erforderliche  Zusatz  zu  den  Be* 
Stimmungen  dieser: 

ac  {bx  +  x^y)    «  0, 

d.  h.  uWer  seinen  Beitrag  nicht  gezahlt  hat,  kann  nicht  allen  drei 

Sektionen  zugleich  angehören  und  einen  Vortrag  halten,  desgleichen 

kann  er  nicht  den  Sektionen  a  und  e  gleichzeitig  angeh&ren  und  ohne 

Vortrag  zu  halten  ein  Eiperiment  vormachen^. 

Uütte  man  oben  die  Koeffizienten  von  x  und  y  mittelst  AosmultipU» 
zirens  von  (w,  +  b)  {ir,  +  r)  |^<r,  +  a)  resp.  (<i,  +  c)  («  +  h^)  (a  +  r,)  negirt,  so 


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§  25.    Auweaduugdbciüjiiclti  uud  Auig.ibuu.  530 

konnte  niese  Aufgabe  scholl  in  §  18,  als  j,)  gebnusfat  werden,  da  sie  eine 
Elimination  oder  Berechnung  einer  Unbekannten  nicht  erforderte. 

13.  Aufgaben.  Unter  dieser  Nummer  geben  wir  eine  lleilie  voit 
leichteren  Kechnangsaafgaben. 

«)  Man  bringe  die  Gleichung  x  =  a  rechts  auf  Null,  löse  sie  alsdaun 
systematisch  nach  x  auf  und  ttbenseuge  sich,  dass  der  nnbeBtimmte  Term 
eingeht. 

/J)  Aus  der  Gleichung  «a;  +  =  0  soll  x  elimiuirt  [und  berechnet] 
werden.  AnflOsnng;  die  Resultante  ist:  h^Q.  [Damadi  wfirde  sich  be- 
rechnen:   SB  tia,,  d.  h.  «,.] 

y)  Analog  x  und  y  aus  der  Gleichung 

zu  eliminiren  etc.    Resultante:  t:^Q,   Berechnen  wUrde  sieh  darnach: 
XiBfia,,       =  t?t,     oder     a?«^'*,,  U^^r 

6)  Wenn  (t  =  i  J>  \\r\A  h  =  i/a,  so  i:it  durch  Elimination  von  x  und  i/ 
4U  zeigen,  dass  <i  =  h  sein  muss. 

Anstatt  das  systematische  Verfahieu  an/.uwonden,  kann  m.iu  lucr  üinh 
mittetst  Durchmultiplizixens  der  Pxttmisson  schliessen,  dass 

ah  =  xbb  =  xb  =  «,      ba      yaa  =  ya  =  b^      souach      ab  =  'i  ~  0 

«ein  nittss. 

«)  Ans  ax^h  das  x  zu  eliminiren  und  sn  berechnen. 
Resultante:  afi^O^   LOsung:  x  ^  &  4*  tfa,,  resp. 

Durch  beiderseitiges  Multipiiziren  der  Prämisse  mit  und  Vergleiclumg, 
erkennt  man  auch  direkt,  dass  ab  =  b  sein  mussj  doch  gibt  das  syste- 
matische Verfahren  Oewissheit,  dass  man  hiermit  die  volle  Resultante 
besitie. 

Nach  X  aufzulösen  die  Gleichung: 

(ab  -i-  a,b,)  Jr  +  («6,  +       a?,  «  0. 
A  aflOsung:  x  ^  ah^-\-a^h,    (Resultante:  0  0.] 

ijl)    Desgl.   a^h^x  +  {jub^  +  a,i>)     =  0.     Aufl.  x  =  «6,  -f-  «,//  +  uab. 

Man  zeige,  dass  aus  der  Gleichung: 

-f  (',)  j:  +  {(IC  +  a^h)  j\  =0,     wo    ah^r  +  'i,f><\  =  0 

.-ein  wild,  sich  y~~>(c-^ti^b  völlig  <nnili!u1i^f  lic.sliinmt.     Mau  sieht:  dio 
Bedingung  S.  463  in  a)  dc^  §  21  braucht  nicht  etwa  aualyti»üh  eriülU 
sein,  sondm  es  gcuagt,  wenn  sie  nur  erfttllt  ist  kraft  der  Resultante. 


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Dreizehnte  Vorlceimg. 


i)  Dagegen  für  (d,  +  c,)  «  +  a,  (h  +  e)  d?,.  wo  a,  (&<r,  +  &,c)  =  0,  wird 
X  tssa  (b  +  c)  +  übe  irgendwie  xwiaohen  (6  +  und  a,  (64-0)  +  &c 
liegen  können. 

»)  (Boole?)   AuB  a&  +  xah^  +  ya,&  +  a,6,  «  0  elimioiro  man  js,  jf. 

Die  Resultante  heisst    />  +       =  0,  oder  a  2»  »  a,.  Mit  Rttck- 

sieht  darauf  vereiuÜEkcht  die  Gleichung  bicL  zu  xa  +  //a,  =>  0,  woraus 
X  =  «dp  if  ^  va  odw  ff  ^  a,,  jf  ^  a  sich  berechnen  würde. 

1)  Das  Gleichungenpaar  nach  o;  aufzulösen: 

a  =  «6  +    (a  +  &),       6  =      +  a",     +  6). 

Dio  Wurzel  ist:  ==  nr  +  n  (a  4- ,  und  ergibt  sich  keine  Rnlation 
zwischen  n  und  b.  Die  zweite  Prämisse  deckt  sich  mit  der  ersten  — 
vergl.  §  18,  o,). 

(i)  (De  Morgan*  p.  123.)  Zu  zeigen,  dass  aus  den  Prümis^en-. 
„Jedes  (i  ist  ^  oder  c  und  jpde«^  ist  r/"  Adw  Sehluss  in  Bezug  auf  nur 
zweie  der  drei  Klassen  a,  b,  t  gebogen  werden  kann. 

Auflösung,  tt  =^  6  +  c,  c  =^  a  gibt  ^lh^c^  +  a^c  =  0  als  vereiaigle 
Gleichung.  ElinuMÜon  toh  a  allein,  desgleichen  von  e  für  sU^,  führt 
attgenaoheinlieh  nur  auf  0  «  0,  als  der  Yollen  Besaliante.  Die  von  b  fBhrt 
blos  auf  die  sweita  PrBmisse  zurflek. 

V)  Venu''  p.  13.    Die  Data  zu  vereinfacheni 
Resultat:  sy  «  0. 

14.  Aufgabe  (nach  Venn^  p.270  den  deutschen  Schul verhaltniaaen 
angepaast). 

Wir  beschranken  nnsre  Aufmerksamkeit  (confine  oorselves)  auf 
die  Schaler  der  Mittelschnlen  einer  Stadt  als  da  sind: 
a  «  Gymnasiasten  und  «  Realschüler. 
Bedeutet  h  die  welche  HebiSisch  und  e  die  welche  Englisch  hatten, 
so  soll  Ton  der  Kategorie  z  der  bei  den  Promotiousprüfungen  durch- 
gefallenen,  der  silaen  bleibenden  oder  niehtpromovirten  Schüler  bekannt 
sein,  dass  —  was  der  Leser  sicli  leicht  in  Worte  fasst: 

a;  =^  a6,  +  a,c,      ax^b  +  c,  cx=^ab 

ist.   Man  ermittle  diese  Klasse. 

Auflösung.  Unschwer  flberseugt  man  sich,  dass  der  Faktor, 
welchen  z  in  der  vereinigten  Gleichung  erhält: 

ah  +  a,c,  +  ah^c,  +  a,c  4-  6,<J  —  1 
ist,  und  die^e  dich  zu:  x  =  0  vereinfacht.    Mithiu  sind  alle  promo- 
virt  worden. 


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§  26.   Anwenduagsbeispiele  und  Aufgaben. 


541 


15.  Aofgabe.  Venn^  p.  268  —  desgleichen. 

Bei  einer  Rodeni  Schflleraiifgabe  bedeute  x  die  Knaben ,  die 
HSdcben,  a  die  primiirien,  h  und  «  die  an  einem  bestimmten  Unter- 
riehtsgegenstand,  z.  B.  Griecbiscb  resp.  Literatargeschichte  teilnahmen. 

So  soll  ans  der  Angabe: 

fi  =  hx  + 

die  Unbekannte  x  berechnet  werden. 
Aaflösnng.   Man  findet: 

X'^ae^  +  a,c  +  «  (ad  +  0,5,), 

wo  u  unbestimmt;  d.  h.  die  Knaben  zählten  suTorlassig  in  ihren  Reihen 
die  sämtlichen  prSmiirien  Schulkinder,  die  nicht  Literaturgeschichte 
hatten  nebst  den  nicht  pi&miirten  Schulkindern,  die  Literaturgeschichte 
hatten;  sudem  Tielleicht  irgendwelche  primiirte  Kinder  die  Griechisch 
hatten  sowie  ev.  nicht  prämiirte  Kinder  die  kein  Griechisch  hatten, 
doch  jedenfalls  keine  andern. 

16.  Aufgabe.  Venn^  p.  2Ü2  —  auch  Math.  Qucst.  Vol.  34, 
p.  35  und  36.  (Lösuiigeu  von  Ilarlej,  Matz,  Mc  Coli,  Genese, 
u.  a.)    Bei  einem  Klub  bedeute 

X  Mitglied  des  Finanzausschusses  (^tinancial  Gommittee) 
y «  ^  der  Bibliothekskommission  (iibrarj  „  ) 
« «      „      des  VerwaltungBausschnsses  (general       „  }, 

8o  sollen  die  folgenden  (in  Worten  an  gebenden)  Klubregeln; 

^=€^>     y^^^y     jpjr  —  0 

vereinfacht  werden. 

Auflosung.    In  der  vereinigten  Gleichung: 

laest  zuerst  der  Faktor  je,  sich  nnterdrficken  —  indem  man  in  den 
beiden  lotsten  Gliedern  linkerhand  sich  y  als  gemeinsamen  Paktor 
ausgeschieden  denkt  und  in  der  Klammer  das  Th.  33^)  Znsata  an- 
wendet,  die  Klammer  hernach  wieder  auflösend.  Alsdann  aber  ISsst 
unmittelbar  das  Th.  i)  des  §  18  sich  anwenden  und  entsteht: 

zz^  +     =  0   oder   x^m    nebst   yz  » 0, 

was  wieder  in  Worte  zu  fassen. 

Venn  findet  dies  mittelst  „Kntwiekelnng*^  der  einzelnen  Tcilanssagen 
nach  y  und  e  tind  aadihedger  Zusaramenziehung  der  Ergebnisse,  welch 
letztere,  wie  er  nicht  ganz  imricbti<(  bemerkt  „is  purely  a  matter  of  tact 
and  skill,  for  which  no  strict  rules  cau  be  gWeil*^ 


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542  Dreiätehnte  VorlCBüng. 

17.  Aufgabe.   Venn^  p.  14. 
Gegeben; 

ff  -^h  +  c,    h=^c  +  (i ,    c  =^  d  +  a,    d  =^  a  +  h  . 
Welche  Bediuguug  muss  miudestens  hiuzugotügt  werdeu^  damit 

ah^d  sei? 

Anfldsnng.  Die  Forderung  abd^  —  0  gibt,  nach  allen  vier  Sym- 
bolen entwickelt: 

In  der  vereinigten  Gleichung  der  Prämissen: 

4-  bc^ä,  +  cd^a^  +  da^h^  =  U 

ist  aber  das  einzige  Glied  in  welchem  ahd,  als  Faktor  stecken  kann, 
weil  es  von  a,  sowol  als  und  d  frei  ist^  das  zweite,  und  dieses  garan- 
tirt,  dass  nbc^d^  +  a^hc^d^  =^  0  ist.  Demnach  ist  der  zweite  Teil  der 
entwickelten  Forderung  bereits  ohnehin  erfüllt,  und  braucht  nur  mehr 
noch  stipultrt      werden,  dass:  abcd,  ss  0,  das  heisst  ahe  ^  d  sei.  — 

18.  Aufgabe.  Man  eliminire  und  berechne  x  aus  der  Sub- 
sumtion: 

aa-  +  bx^  +  c  =^  ax  +  ßx,  -h  y . 
Auflösung.    Homogen  gemacht  lautet  dieselbe  Prämisse: 

(o  +  c)x  +  {b  +  c)Xf  «4  («  +  y)*  +  (ß  +  y)^i 

und  wird  dieselbe  rechts  auf  0  gebracht,  indem  man  ihre  linke  Seite 
mit  der  Negation  der  rechten  multipliairt»  Nach  den  Theoremen  38), 
36)  und  46)  l&sst  sich  dies  unmittelbar  hinschreiben  in  Gestalt  von: 

(a  +  f  ) ./  +  b  +  c  I /J,  7,    =  0 , 

woraus  nun  als  iiesultante  der  Ehmination  von  x  folgt: 

(ab  +  c)  a,fty,  =  0,   oder   ab  +  c^a-k-  ß  +  y, 

und  als  Auflösung : 

—  (6  +  c)fty,  +  «<i,c,  (a  +  y) ; 
oder  in  Form  einer  Doppelsubsumtion  beides  vereinigt; 

{b  +  a^c^  +  a  +  Y, 

oder  auch: 

(a  +  e)ü,r,^x,^b,c,  +  ß  +  y, 

19.  Aufgabe.   Eliminire  und  berechne  x  aus  der  Gleichung: 

ax  +  br,-\-e  ^  ar  +  ß.r^+y. 

Auflösung.  Elechts  auf  0  gebracht  und  homogen  gemacht  lautet 
die  Gleichung: 


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S  25.    Anwenduugsbciapicle  unJ  Aufgaben. 


543 


(  (fl  +  <j)«f,y,  +  r/,r,  ia+y)\x+  {^h  +  c)ß,  y,  +  h,  r,  {ß  +  y)  )  j:,  c=  0 , 
woraus  die  Resultante  folgt: 

(ab  +  ()a^ßj,  +  \^nb^a^ß  +  +  o^h^c^aß  +  y)  =  0 

uud  die  Auflösung: 

X—  {(i,  +  c)fty,  +  6,(!,(/}  +  y)J  +«(a  +  f  +  «,y,)(fl,c,  +  a  +  y) 

oder: 

(fc  +  c  fty,  4-         +  y)  =4    =^  (fl  +  f)  («  +  y)  +  a,r,«.,y,. 

20.  Aufgabe.  Die  Gleichung  h  xa-k-ya^  nach  x  und  y  auf- 
KoloseD. 

Auflösung.  Rechts  auf  0  gebracht  lautet  die  Gleichung; 
«(6,«  +  6a:,)  +  +  ^//J  = 
Der  erste  Teriu,  gleich  0  gesetzt,  ist  die  Üesultante  Uei  Elimination 
von  y,  ebenso  der  zweite,  gleich  ()  •gesetzt,  die  Resultante  der  Eli  in  i- 
natioii  von  x.  Da  Elimination  heider  I'iiliekannten  auf  die  Identität 
<>  =  0  führt,  so  l)rauflit  zwiselieii  a  und  }>  keinerlei  Kehition  zu  be- 
stHliuii;  vielmehr  können  diese  beiden  (iebiclo  vr.lli«^;  nach  lieiieben 
angenommen  werden.  Auflösung  der  ersten  Üesultante  nach  und 
der  letztem  nach      gibt  endlich: 

X  »  a5  +       +  6)  —  ä6  +         ah)  «  ai>  +  «a, , 
y  «  <i,ft  +  v{a  +  6)  «■  afi  +  v{a  +  a,6)  —  a,6  + 1?« , 
für  willkürliche     t;.   In  der  That  stimmt  die  Probe: 

h  ti=B  (ah  +  ua^)n  -f  (fi,b  +  va)a^ , 

und  ist  damit,  wenn  mau  nur  noch  die  Namen  6  durch  x,y  ersetzt^ 
die  Formel  des  Th.  42)  systematisch  aufgefunden. 

21.  Studie.  Soll  es  mindestens  eine»  Wert  von  x  geben ,  fKr 
welchen  die  Gleichung  besteht: 

aX'^hx^^O, 

so  —  haben  wir  gesehen  muss  ah^O  sein.  Welche  Relation  aber 
die  Koeffizienten  h  erfüllen  mfissen,  wenn  die  Gleichung  fdr  jeden 
Wert  von  x  Geltung  haben  soll,  ist  auch  nicht  schwer  zu  sehen. 

Dieselbe  lautet;  a  +  &  ««•  0 , 

d.  h.  die  Koef'fieienten  müssen  dann  beide  schon  einzeln  gleidi  <'  sein. 
Insbesoudri?  muss  nämlich  alsdann  die  Gleichung  auch  tiir  u;  =  1,  .so- 
wie für  X  =  0,  gelten ,  was  als  notwendig  z,u  erfüiiLnue  Bedingung 
0=0  nebat  /» 0  lii^fort,  und  das  g»  nü<it  auch,  um  die  Gleichung  zu 
einer  allgemein  geiieuden  Formel  zu  macheu. 


Dreisfthnle  Vorlesang. 


ÄDalog  mnsate  bekanntlich  ahcd=>0  sein,  wenn  ein  Worte- 
paar  Ton  x  und  oder  auch  deren  mehrerei  geben  eoH,  für  welches 
die  Gletchnng: 

aafy  +      +  ex^y  +  rfÄgjf, «-  0 
riehtig  wird.  Soll  diese  Gleicliung  aber  f&r  jedes  Wertepaar  x,  y,  noW 

sie  aUgemein  gelten,  so  ist: 

a  +  b  +  c  +  d  ^0 

dafür  die  notwendige  und  hinreichende  Bedingung;  wieder  Diüssen 
dann  also  alle  Koefifixienten  für  sich  Terschwinden,  je  den  Wert  0  haben. 

Behnfe  Nachweises  bilde  man  aus  1, 1, 0, 0  alle  erdenklichen  Werte- 
paare (1,1;  1,0;  0,1;  0,0)  und  setse  sie  für  x  nnd  y  —  oder  anch: 
man  erteile  nar  dem  y  die  Werte  1  resp.  0  imd  yerwerte  fUr  die 
stehen  bleibende  Gleichung  in  x,  die  dann  noch  für  jedes  x  winl 
gelten  mfisaen,  das  Ergehniss  der  Torhergebenden  Überlegong. 

Analog  für  noch  mehr  Variable. 

22.  Aufgabe. 
Die  Gleichung: 

auv  +  fett»,  +  cu^v  +  du^v^     abcd  +  »(a  +  6  +  c  +  <!) 

ist,  wie  wir  in  §  19  unter  Tb.  48)  Zusate  gesehen  hahen  für  irgend  ein 
w  erfüllbar  durch  gewisse  Weriepasre  w,  V  und  für  iigend  ein  Wertepaar 
U,  V  erfüllbar  durch      wisse  ic. 

Eäi  soll  die  Bedingung  (Relation  zwischen  a,  &,  d)  dafür  aufgesucht 
werden,  dass  diese  Gleichung  auch  fUr  ein  irgendwie  angenommenes  Werte- 
paar «,  w  besteben  (d.  b.  dvrch  ein  u  erfflUt,  nach  u  aulgeUlst  werden) 
könne,  resp.  fQr  ein  beliebiges  Wertepaar  ii,  w  (erfQllbar  sei  dnroh  ein  v), 

Auflösung.  Man  eliminire  zunächst  v  aus  der  rechts  auf  0  gebrachten 
Gleiobong.    AU  Besultante  stellt  sich  nach  einiger  fiecbnnng  h«rans: 

afi^(e  +  d)iiw  +  ah(c,  +  ä^)uw,  +  (a  +  &)r,<f,«,w  +  (a,  +  h^)edu^w^  »  0 

nnd  da  dieselbe  nun  für  jedes  irgendwie  gedachte  Wertepaar  w  Geltimg 
haben  soll,  so  muss  —  cf^  vorige  Studie  —  sein: 

nMc  +  d)  +  ah{r^  +  rf,)  +  (a  +  b)t\d,  +  (n,  +  6,)<rd  =  0, 
das  heisst: 

a  +  h     e+  d  nebst  ab^cd» 

Die  Resultante  der  Elimination  des  u  ergibt  sich  analog,  bequemer 
aber,  indem  man  vorstehend  «  mit  v  und  xugleich  b  mit  e  vertauscht  Zu 
deren  allgemeiner  Geltung  in  v,  w  würde  sonoob  erforderlich  sein,  dass: 

a  +  c     5  +  d   und   ae  — ■  hä 
ist.  Die  vereinigte  Gleichung  der  beiden  Ergelmisse,  m.  a.  W.  das  System 
der  Forderungen: 

a  +  Irwc  +  d,   a  +  c^h  +  d^   ae^bd^  ab^ed^ 

welches  auf  a » d,  b         hinausläuft  (Aufgabe,  dies  nschanweisen), 


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§  25.  Anwendungsbeispiele  und  Anfgaben.  545 

stellt  die  Bediognng  dafür  vor,  dass  von  den  drei  Symbolen  tv  irgend 
nrrlr  ganz  beliebig  angenommen  werden  können,  ohne  dass  der  Bestand 
Uei*  ersten  Gleicbung  gei^hrdei  wird.  — 

23.  Aufgabe  (Boole*  p.  144). 

Die  liingelwUrmer  (Anneliden)  sind  weicbleibige  Tiere  und  eutweder 
nakt  oder  in  einer  Rfibre  eingeschlossen.  Andi  besteht  die  Ordnung  der 
Ringelwttrmer  aus  allen  wirbellosen  Tieren,  welche  rotes  in  einem  doppelten 
GefitoSBysteni  zirkulirendes  Blut  haben. 

Bedeutet  a  «b«  Anneliden,  <9  =  weicbleibige  Tiere  (softbodied  auinials) 
fj  =  nnkt,  f  =  in  einer  Röbre  (tnbe')  nin^cschlnssen,  ?  =  wirbellos  (inver* 
tebrate),  r  =  rotes  in  etc.  zirkulirendes  Blut  habend,  so  werden: 

a     sin  4-  0 1   a  «B»  fr ,   nebst       =  0 

(was  als  selbstverstSndlich  eingesehloaseii)  die  gegebenen  Propositionen  sein. 
Qesetzt  wir  wQnschen  nnn  su  erfahren,  in  weloher  Weise  die  Klasse 

fi(  =  tr  der  weichleibigen  in  einer  Tiohre  ein;:reschloEi?ieneu  Tiere  sich  '/n- 
."«aninieusetzt  aus  den  Klassen  r,  m,  t  der  rotblütigeUi  der  nakten  und  der 
wirbellosen  Tiere. 

So  werden  wir  zuerst  aus  der  vereinigten  Gleichung  der  Prüraissen: 

a(*,  +  w,/,)  +  a(*,  +  r,)  -|-  a,tr  +  nt  ^  0 

das  a  eliminiren.   Die  Besaltante  ist: 

ni  +  (»g  +  »,<,)ir  — *  0. 

Und  diese  Gleichung  werdm  mr  mit  der  btnsngekommenen: 

w^st  +  ic{s,  +     =  0  • 

vereinigen.  [Die  Elimination  des  a  knmitn  hier  vor  dieser  Vereinigung  er- 
folgen, weil  a  in  der  hinztitretenden  Gleichung  w  =  si  nicht  vorkomait.| 
Ans  der  vereinigten  Gleichung  ist  alsdann  s  und  t  zu  eliminiren.  Die 
Resultante  der  Elimination  xnnSohst  des  s  lautet: 

nt  +  «,/,•>  + 10*,  +  w^tir  =  0 , 
sodann  die  anch  yon  ti 

(n  +  «f^ir)  (w  4-  »,«r)  =  0, 

oder: 

HW  +  n^ir10^  •=  0. 

Und  diese  Gleichung  ist  nun  wiederum  nach  vf  als  Unbekannter  anfsolösen. 
Es  wird: 

st  =z  w  =>  njir  +  u) , 

worin  ti  eine  unbesf iiumfc  Klasse  bedeutet;  d.  h.  Die  Klasse  der  in  oino 
Röhre  eingescblo-sonon  weicbleibigm  Tiere  he^teht  aup  den  nielif  naktpu 
wirbell' »i^en  roLblütigeii  'l'iert'U  nebst  einem  uubestimmten  iieste  von  nieiit- 
nakten  Tieren.  Das  UesuUal  befindet  sicli,  wie  man  leicht  nachweisen 
wird,  in  Oberoinatimmung  mit  dem  von  Boole  in  der  weitlHufigeren  Fassung 

w  ==  n^  \  ir  +  M(ir,  +  /,)  j 

dargestcUieu  Ergebnisse. 

Scndiin»  Algcbi*  dM  Logtk.  86 


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546  Dreiidmto  7orlMDng. 

Benennte  man  anch  ,  s^t  und  je  mit  einem  eigenen  Buchstaben 
(gleichwie  vorliin  st  mit  ic)  und  brächte  das  gleiche  Verfaliren  geiiiilsN  dnin 
Th.  50^)  Zusatz  —  in  Anwendung,  so  würde  sich  in  Einklang  mit  liooie 
ergeben: 

8t,  =  nir  +  u(i,  +  r,) ,    s,l^  «».(i,  +  r.) ,     f,  —  u(i,  +  r,) 

(wobei  nur  u  jedesmal  wieder  von  neuem  eine  unbestimmte  Klasse  vorau- 
atellen  hstie)  welche  Eeeultate  zu  deuten  wir  dem  Leser  (iberlassen. 

24.  Aufgabe  (Venn»  p.  310). 

Gegeben  » gxt^  h]  es  soll  c^xy  durch  a  und  h  aoe- 
gedrtlekt  werden. 

Auflösung.  Aus  d«r  vereinigten  Gleichung  der  beiden  ersten 
i'rümisseu: 

a^ye  +      +  <s',)  +  \xz  +  h{x^  +  i?,)  =  u 

eliminire  man  zuerst  welches  ja  in  der  dritten  Prämisse  nicht  vor- 
kommt  Aus  der  Resultante: 

a    +  5aJ,  +  (ff,y  +  ft.x)  (a  +  6)  —  0 
und  der  dritten  Prämisse  bilde  iiuin  sodann  die  vereinigte  Gleichung: 

ay^  +  6a;,  -i-  afiy  +  a6,ii;  +  c^xy  +       +  y^)  =  0 
um  aus  ihr  noch  x  und  y  zu  eliniiniren,  schliesslich  c  zu  berechnen. 

Die  vorstehende  Gleichung^  wird  die  volle  Uesultante  der  £iimi- 
natiou  des  s  aus  dem  System  der  drei  Prämissen,  resp.  aus  deren  ver- 
einigter Gleichung,  uns  vorstellen,  weil  die  Terme,  die  von  vornherein 
vom  EUminanden  frei  sind,  immer  unverlndert  in  die  Resultante  über» 
gehen»  Elimination  von  y  gibt: 

h»^  +  ah^x  +  cx^  +  (a, 6  +  r,a:)  (a  +  e)  =  0 , 

oder: 

afic  +  a(6,  +  c^x  +  (6  +      «  0 
und  hieraus  die  von  xi 

afic  +  o(6c,  +  6,c)  «  0 , 

oder 

(aft,  +  ö,6)c  +  dbc^     0 . 

Da  die  Elimination  von  e  hieraus  auf  0^0  fthrt,  so  braucht  zwi- 
schen a  und  5  keinerlei  Relation  zu  bestehen  und  konnten  diese  Klassen 
von  vornherein  beliebig  angenommen  werden,  so  lange  x  und  y  unbe- 
stimmt gelassen  wurden.    Nunmehr  bi rechnet  sich: 

oder 

was  EU  finden  war. 


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%  25.   AnweDdangsbeitpiele  und  Aafgftben.  547 

Anmerkung.  Um  x  and  1/  auf  einnial  zu  eliminireii,  wäre  freilieh 
ein  einfoeheree  YafUiren  das  gewesen,  dass  man  in  das  Qberseliiebend  ge- 
bildete Produkt  der  beiden  orsten  Gleichungen  zaty  =  nh  den  Wert  von 

seif  (=  c)  aus  der  dritten  Prämisse  einsetzte.  Aus  dem  Ergebniss  cs~ah 
schliesslich  z  eliminirend  erbSlt  man  aber  blos:  ahc^  =  0,  woraus  zu  er- 
kennen i.st,  dass  jenes  Erj^'ehniss  nicht  die  volle  Re5?ultante  Seewesen.  — 
In  andern  Fallen  mag  ein  Kunstgriff  schneller  als  das  systematische  Ver- 
fahren aaweilen  auch  sur  vollen  Resnltante  fuhren,  dooh  ist  das  leUtere, 
selbst  wenn  es  weitlftufiger,  yortuiiefaen,  eben  weil  es  nns  Uber  jene  Frage 
nieht  im  Ungewissen  ISsst. 

Wäre       xp^-hx^y  zu  suchen  gewesen,  so  hatte  sich  ergeben: 

also: 

Für       x,y^   ebenso :      («  +  6)e  —  0 ,  e     tta,6, . 

Für  f  —  xy^    desgleichen:  af  -4-  a,6/,  =  0 ,    /  =  a^ih  -f  «) . 

Und  dergleichen  mehr  —  wobei  natürlicli  die  Symbole  u  der  ver- 
si  b irdenen  Lösungen  beliebige  aber  uiciit  von  einander  unabhängige 
üedeutungen  haben«  — 

25.  Aufgabe.  Unter  Elimination  von  x  die  Funktion  l  =  fp{x) 
auszudrücken  durch  die  Koeffizienten  der  Gleichung  f{x)  =  0. 

Auflösung.    Sei  entwickelt: 
w«  also 

«  =  /•(!),     h^m,     a  =  9>(l),  ß-^m 
gegebene  Parameter  vorstellen  werden,  so  haben  wir  die  letzte  Glei- 
chnng  recht«  auf  0  zu  bringen: 

-  ans  ihr  nnd  der  andern  die  vereinigte  Gleichung  za  bilden; 

also  entwickelt: 

{ax  +  hx^  (t  +  Q  +  t(a,x  +  ß,x;)  +  t^ax  -f  ßx,)  =  0, 
sodann  x  zu  eliminiren,  und  die  Uesuitaute: 

{a(<+ 0  +  «.< + «M     + 0  +  A<  +     -  0, 

oder 

(a  +  a.)  (6  +     i  +  (a  +  a)  (6  +  /J)*,  =  0 

nach  der  Unbekannten  t  anfzal58en,  nicht  ohne  dieselbe  zuvor  auch 

eliminirt  zn  haben.  Da 

(a  +  «,)  {b  +  /i,)  {a  'i-u){b  +  ß)  =  {a  +  a^a)  {h  +  ß^ß)  =  ah 

86* 


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548  Dreisebnte  Vorlesung. 

ist,  haben  wir  als  Resultante  nnr  die  alte  Yalenxbedingung: 

welche  auch  schon  ausj  der  Gleichung  /(ä;)«0  zu  ersehen  war,  uiul 
sodann: 

als  die  gesuchte  Darstellung. 

l  ist  demnach  gelegen  zwischen 

aß -bin  \  aß    und    ffß  +  ba+^a^a  +  h,ß 

(in  welcher  Summe  der  Term  aß  einging  —  vergl.  §  18,  Th.  t). 

26.  Aufgabe.  Analog  unter  Elimination  von  x,if  durch  die  Koef- 
fisienten  der  Gleichung: 

die  Funktion  t^(p{x,y)  auszudrücken. 

Autlösung.    Entwickelt  sei 

f(x,  y)  — =  axy  +       +  ex^y  +  <fa?,y,  =-  0, 

y)  =  «i»?y + /5«y,  +  ?^,y +^^1^1«^ 

80  hat  man  wie  vorhin  zu  Terfahren:  die  letzte  Gleichung  rechts  auf 
0  gebracht  mit  der  vorigen  zu  vereinigeUi  dann  ^r^  y  herauszuwerfen 
und  die  Resultante  nach  t  aufzulösen.    Sie  lautet: 

(rt  4-  «,)  ih  +      (c  +  y,)  {d  +  d,)t  +  {a  +  «)  {b  +  ß)  {c  +  y)  {ä  +  d)f^  =  , 

gibt  bei  Elimination  von  t  die  alte  Valeuzbedingung:  « 

abed  -i  0 

und  aufgelöst: 

+  a)  (6  +    (<J  +  y)  (d  +  d)  +fi(ö,«  +  b^ß  +  c,y  +  c/,d), 

worin  u  unbestimmt  bleibt.  — 

Ähnlich  ISsst  sieh  die  Losung  bei  beliebig  vielen  Eliminanden 
x^y^z,...  hinsetzen. 

27.  Aufgabe  fiMiss  Ladd'  p.  58..  Ol). 
Die  Werktage  der  Wocbe  sollen  kurz  nüt 

Mo.,  Di.,  Mi.,  Do.,  Fr.,  Sa.  . 

be^eiubnet  werden. 

Sechs  Kindern  er,  b,  c,  d,  c,  /  wird  zugemutet*),  dass  sie  folgende 
Vo  r  h  c  h  r  i  t  te  1 1  I  >  c  f i » 1  »*  n . 

1'*)  Am  Mo.  und  l)i.  dürfen  nie  vier«;  (^oder  mehrj  zusammen  ausgehen 

*)  Die  armen  Kinder!  —  wird  man  freilich  sagen. 


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§  26.   AnwODdungaboispiele  and  Aufgaben.  549 

2^  Am  Do.^  Fr.  und  Sa.  dfirfen  niemals  dreie  (oder  mehr)  daheim  bleiben. 
3^)  Am  Di.,  Mi.  und  Sa.  mflssenj  wenn  b  und  e  beisammen  sind, 

auch  <h  bf  e  und  f  beisammen  bleiben. 
4^  Am  Mo.  und  Sa.  darf  h  nicht  ausgehen,  wofern  nicht  d  zuhause 
bleibt  oder  c,  e  und  f  zuhause  bleiben. 
b  und  f  beschliessen  zuerst,  was  sie  thon  wollen,  und  c  trifft  seine 
Entscheidung  Yor  a,  d  oder  e. 

Zu  ermitteln  ist  erskns,  wann  e  ausgehen  mnss,  etmtcm,  wann  es 
daheim  bleiben  muss,  mithin  drittens  auch,  wann  es  verfahren  kann 
nach  seinem  Gefallen. 

Auflösung.  Man  lasse  a  auch  bedeuten  die  Klasse  dej-  Falle 
oder  Zeiteij,  in  wclclieii  das  Kind  d  ausgeht,  suiiaiii  a^  die  Klasse  der 
Fülle  ü>lt-T  Zeiten ,  in  welchen  das  Kiud  a  daheim  va  u  cilt  und  so 
weiter.  Kbeiisu  lasse  man  Mo.  bedeuten  die  Klasse  der  Fülle,  in  wel- 
chen „es  Montag  ist^',  d.  b.  die  Klasse  der  auf  einen  Montag  fallenden 
Zeiten,  n.  s.  w, 

Al.-(iann  fuidein  die  beiden  ersteu  Vorschriften,  dass  sei: 

1**)  (Mo  -I-  Di)  {abcd  +  nhce  +  abcf+  aide  +  ahdf-\-  ahcf-l-  »cdr  ■{ 
-r  ucdf  +  ücef  +  adcf-\-  hcde  +  bcdf  -f  hcef  +  bdef  +  cdef)  —  Ü, 

2**)  (Do  +  Fr  +  Sa)(ö,^*,f,  +  rt,6,d,  +      r,  +  ^.ft/,  +  fl.c.rf,  + 

+  t»,c,/;  +  a,<2,c,  +  a,d,/;  +  o,e/,  +  fr,c,d,  +  6,c,c,  +        +  i»,</,«,  + 

In  der  Tbat  soll  die  Klasse  der  Fslle,  wo  es  Mo.  (oder  Dl)  ist  nnd 
KUgleich  die  Kinder  a,  6,  c,  r/  zuaammea  ausgehn,  eine  leere  sein,  was  durch 
(Mo  +  Di)  •  ahcd  =  0  auszudrücken;  etc.;  ebenso  soll  die  Kla^-e  der  /eiteu 
eine  leere  sein,  wo  es  Do.  (oder  Fr.  oder  Ra.)  ist  und  die  Kinder  (/,  c 
zusammen  dalitnin  liloiben,  was  durch  fDo  +  Fr  +  Sa'^  nh^r^  =  0  pich  aus- 
drucken wild,  etc.  Dass  an  den  betretleuden  Tagen  nicht  mehr  als  viere 
ausgehen,  bezüglich  nicht  mehr  als  dreie  daheim  bleiben  sollen,  braucht 
nicht  besonders  formnUrt  zu  wwden,  indem  die  aus  dieser  Formulirung  zu 
unterm  Ansatlfi  hinzutretenden  Torme  ohnehin  von  den  bereits  angesetzten 
absorbirt  werden  müssten,  wie  abcde  von  alcd^  wie  n^b^c^d^  von  etc. 

Ferner  ist  7.n  bemerken,  dass  im  Sinne  der  Anr.'ib't.'^tellorin  die 
sämtlichen  Kinder  etwa  in  einer  und  derselben  Pension  uiiter^rt  braclit  zu 
denken  sind,  sodass  diejenigen,  die  daheim  bleiben,  dann  auch  „beisammen" 
bleiben,  und  diejenigen,  welche  ausgehen ,  dies  ebenfalls  „zusammen**  thun. 

Die  dritte  Prämisse  schliesst  für  gewisse  Tage  die  Fälle  aus,  in 
welchen  b  und  c  beide  aus  oder  beide  daheim  sind,  falls  nicht  (oder 
„ausgenommen",  wennj  zugleich  a,  6,  e  und  /  beisammen  bleiben.  D.  h. 
sie  fordert: 

(Di  +  Mi  +  Sa)  (6c  +  &,c,)  {abef+  afi,e/X  —  0. 
Die  Negation  im  letzten  Faktor  kann  uach  meinem  Th.  46)  als  die- 


.  y  1.  ^  .  y  Google 


550  Dreisehnte  Yorleaang. 

jenige  einer  nach  b  eutwickelie  Funktion  ausgefObri  werden,  wodurch 
derselbe  wird: 

und  dies  nach  Th.  45)  mit  dem  ebendaruach  schon  entwickelten  vor« 
hergehenden  Faktor  multipliEirt^  verschafft  unsrer  Prämisse  die  Form: 

3^)    (Di  +  Mi  +  8a)  {a,hc  +  hce, hef,  +  a6,c,  +  ft,c,fi  +        —  0. 

Dia  letütu  i'iämisse  ist  in  Formeln: 

(Mo  +  Öa)6((^,  +  e.e,/,;,  =  0 

oder 

(Mo  +  Sa)W(c  +  c  +     —  0. 

Multiplizirt  man  liier  mit  dem  ersten  Faktor  au:^  und  berückbichtigt,  . 
dass  nach  der  »weiten  Prämisse:  Sa-c,e,/,  =  0  iat,  so  kann  mau  mit 
Rücksicht  auf:  c  4-  c  +  /  +  C^e^f^  ««=  1 

im  zweiten  Teil  vereinfachen: 

Sa.(c  +  e  +  /)  — Sa-(c  +  e  +  /'+c,c,/;)«=  Sa-1  i=  Sa., 

sodass 

40J  Mo-hd{c  +  e  +  f)  +  Sü.'bd  =  0 

der  Ausdruck  der  vierten  Prämisso  wird  (wie  auch  direkt  einsusehen, 
da  das  Daheimbleiben  e^e/^  am  Sa.  schon  aasgeschlossen  ist). 

Zunächst  ist  erforderlich,  a,  d  und  c  zu  eliminiren  [vergl.  den 
Nachsatz  unter  Prämisse  4^)  im  Text  der  Aufgabe]. 

Der  Teil  der  Primisseo,  welcher  schon  frei  von  diesen  ist,  lautet: 
2*)  (Do  +  Er  +  Sa)6,<!,/;— 0, 

3')  (Di  +  Mi  +  Sa)  (6c/,  +  h^cj)  «  0 , 

wobei  1^)  und  4")  keinen  Term  beisteuern.  Die  Somme  der  linken  Seiten 
von  2')  und  3')  ist  jedenfalls  ein  erster  Bestandteil  in  dem  Pol^mom  der 
gesuchten  Resultante. 

Miss  Ladd  entnimmt  nun  weitere  Bestandteile  als  Eliminationsergeb- 
uisso  ans  don  einzelnen  Paaren  von  Pi-ämissengleichungen,  wobei  sie  indest 
einige  Paare  ^ —  wie  (l)  mit  ^4),  etc.  —  übergeht. 

Da  nach  §  22  S.  470  diea  immer  insofern  bedeuklich  ist,  als  maa 
riäkirt|  nicht  die  volle  Kcsaltante  zu  bekommen,  eliminiren  wir  lieber  sy:>to- 
matiscb  aus  der  ,tVereinigten"  Qleiehung  der  vier  PrSmissen  (su  welcher 
man  dieselben  im  Geiste  leicht  susammenzieht)  —  wenn  auch  mit  mehr 
Schreiberei  —  erst  « ^  .lami  dann  c  (wenn  man  will,  unter  Beiseitelss- 
K'infT  der  vorstehend  schon  hervorgehobnen  Terme,  welche  sich  ja  unvcr- 
.■iiulürt  eiliallon  müssen  —  oder,  weil  es  Knbcqnfsm ,  auf  sie  besonders 
achton  zai  niü-  fii.  Hf^ber  unter  Mitantiihrniii:  driselhciil 

Die  Kesuluiutü  der  Elimination  vou  a  enüiiili,  gleich  0  gesetzt  die 
Summe  aller,  der  Glieder  aus  den  vier  Pr&missen,  welche  weder  a  noch  0, 
zum  iUctor  haben: 


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§  25.   ADwondungsboispiele  und  Aufgabeu.  551 

0  »  (tfo  +  Di)  (hede  +  hedf'{-  heef+  hdef+  cdef)  + 
+  (Do  +  Fr  +  Sa)         +  6,c,c,  +  b,c/,  +  ft,d,e,  +        +  b^ej^  +  c,d^c^  + 

+  c,d,/;  +  c,e,/;  +  d,c,/;)  + 

+  ipi  +  Mi  +  Sa)  Q)ce^  +  hcf,  +  b^c^e  +  b^c^f)  +  Mo  •  bd(c  +  e  +  /  )  +  Sa  •  6d  + 

plus  dorn  Produkte  aus  der  Summe  der  Koeffiaie&ieii  y<m  a  in  die  Summe 

der  Koeffizienten  von  a,,  nämlich: 

+  [(Mo  +  Di)  (bcd  +  bce  +  hef-^  bd€+  bdf'\'h€f'{-€de-i'Cdf+cef+def)'h 
+  (Di  +  Mi  +  Sa)&,<;,]  .  [(Do  +  Fr  +  8a).(6,c,  +  ^<^,  +  fe.e,  +  fc/,  +  c,d,  + 

+      +  c/,  4-  d,c,  +  d/,  +  c,/i)  +  (Di  +  Mi  +  Sa)6c] . 
LeUieres  ist  zunächst  ftuSKunraltipliziren.    Nennte  raan  es  kurz 

{Ä  +  B\  [C-i-U]  =  ÄC  +  ÄD  +  BC+BD, 

so  verschwindet  nicht  nur  BD,  sondern,  iccil  das  Produkt  je  zweier  ver- 
scJiirdencn  Woclicnlafjc  0  ist  auch  AC^  und  aus  demselben  Grunde  verein- 
lachen  die  stehen  bleibenden  Glieder  ÄD  +  BC  sich  zu: 

Di  {bcd  +  bcc  +  bcf)  +  öa •  b^c^ 
mit  Rücksicht  auf  da.s  Absorptionsgesetz. 

Denkt  man  dies  sich  oben  hinter  das  +  Zeichen  gesetsty  und  eliminirt 
auB  der  Gleichung  <l,  so  erhält  man  analog  weiter: 

0  —  (Mo  +  Dijbcef^  (Do+  Fr  +  Sa)  (ft,o,«^  +  b,e,f,  +  b^e/^  +  <?,«/,)  + 

+  (Di  +  Mi  +  Sa)  {bce,  +  bcf,  +  b,c,e  +  h,cj)  +  Di  (&ce  +  bcf)  +  Sa-^,c,+ 
+  [f  \fo  +  Di)  (bcc  +  bcf+bef+cef)  +  }>\o-b{c-he  4-  /)  +  Sa-i;+  Di-&cJ  • 
.  (Do  +  Fr  +  Sa)  (6,c,  +  6,c,  +  bj,  +  c,e,  +  ej,  +  c,/,) , 
wo  das  Produkt  der  swei  lotsten  Zeilen  sieh  wieder  redusirt^  und  awar  zu: 

Sa.5(c,«,  +  ü,/; +«/,). 
Wird,  nachdem  dies  eingesetzt  ist,  endlich  e  efiminirt,  so  kommt: 

0  ==  (Do -f  F r + Sa)  ^,c/,+ (Di  4  >I i -f  Sa)t^  6  c7,+ 6,  c, /) + Di« 6G/+Sa- 6, c,+Sa •  b c,/,+ 

+  I  Mo  +  D\)bcf+  (Di  +  Mi  +  Sa)fc,c,  +  Di.  bc]  • 

.  [(Do  +  Fr  +  8a)  (d,c,  +  b/^  +  <?,/;)+(Di  +  Mi  +  6a)«K?  +  Sa-  6(c,+  /;)] 

wo  das  lotste  Produkt  uoh  redusirt  zai 

Sa- 6,c,  +  Di'ftcf  +  Di'ftc DI  «ftc  +  Sa  •  f>,c, . 

Is'ach  den  Wochentageu  geordnet  ist  dcmiiuch  die  gesuchte  llesul- 
taiit«,  wenn  wir  eingehende  Terme  sogleich  bei  den  Kuefhzieutcu  lort- 
lassen : 

0  —  Di(i>c  +  b,c/)  +  Mi  {bcf,  +  b,c/)  +  (Do  +  i r) bfyf,  +  Sa(6/;  +  bfy), 
wo  der  letite  Koefifisieiit  zusammengeasogeii  ist  aus 


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552 


Dieiäieliüt«  Vorlesuug. 


Dies  gibt,  nacli  c  geordnet: 

0  «  Sa  ■  6/i  }  (  Di  +  Mi . /; )  .  C  +  ( (Di  +  Mi)/'  4-  ( Do + Fr)  /;  +  Sa )  •  c, , 
was  zerfällt  in  die  llesultauto  der  Elimiuatiun  auch  uuch  vou  c: 

und  in  die  beiden  Subflnmtionen: 

Di .  6  +  Mi  •  V,     <?, ,     (Di  +  Mi)6/+  (Do  +  ¥r)b/,  +  Sa  •  6,  =^  c. 

In  Beantwortung  der  gestellten  Fragen  haben  wir  denmack  das 

Ergebnis  8 : 

Wenn  iim  Di.  oder  Mi.  /  ulmo  h  ausfeilt,  desjyleichen ,  wemi  um 
Do.  oder  Fr.  b  und  {  beide  dalieiui  bleiben,  endlich,  wenn  aai  Sa.  h 
zuhause  bleibt,  so  muss  c  ausi^elien. 

Wenn  am  Di.  b  aLis<;eht,  sowie  wenn  am  Mi.  h  ohne  f  ausgeht, 
dann  muss  c  zuhause  bleiben. 

In  jedem  aiulern  Falle  kann  c  nach  Belieben  verfahren.  Wie  es 
aber  auch  verfahren  möge,  so  wird  am  bu.  6  nicht  ohne  /  ausgehen 
dilrlen. 

Die  vorstehende  ist  wol  tlic  kounili/,irte.ste  von  den  Auf^^abeu  de« 
Deukrechuons,  die  bis  jetzt  überhaupt  gestellt  und  gelüät  worden  äiud, 

28.  Aufgabe.  Met 'oll,  Math.  Questious,  Vol.  33,  22  ..  24,  auch 
gelöst  vou  C.  J.  Monro. 

Ähnlich  wie  in  der  11.  Aufgabe  mögen  naclisteliend  die  lUuh- 
stabeii  jj^edeutet  werden  als  Klassen  der  Fälle,  in  welcliea  ein  gieich- 
naiuiges  Ereiguis.s  eijiUitt,    Daun  soll  beobachtet  sein,  dass: 

(^hx^^cdCf   bcy^de,   c+d+c,^ (0,4-^+0;)  (t,  +  c  +  y),   a,a;  =  d,y. 

Gesucht^  wann  obne  Rücksicht  auf  y  das  Eintreffen  (resp.  Eingetroffen- 
sein) oder  Nichteintreffen  des  Ereignisses  x  verbargt  ist. 

Aufldsung.  Elimination  tob  y  aus  der  vereinigten  Oleiehmig  der 
drei  letzten  Prttmissen: 

l>c(rf,  +  c,)5f  +  (c+«l+e,)(«7»,r,  +  ?>c,y,)  +  a,a:(6+y,)+(a+-p,)6,y  =  0 

gibt:  a^hx  +  ah^{c  •¥  d+  e^)j^  «=  0 , 

und  dies  mit  der  ersten  Prämisse  (die  y  gar  nicht  enthielt)  vereinigt: 

(«,  +    +    +  c,)&«  +  a\{c  +  <!  +  f  Ja?,  ■=  0 . 

Die  Auflösung  dieser  Besnlt«ite  nach  x,  mitnebst  deren  Konversion  (d.  h. 
ihrer  Auflösung  nach  £,): 

ahXc  +  d  +  c,)      X  =^  aede  +  6„    (a,  +  c,  +    +  ' ,)  h  ^    =^    +  h  +  c,  r/,  c 

l;ibst  die  Subjekte  von  x  und  r,  (daneben  nni^efragt  auch  ihre  l'riidikate) 
erkennen  —  was  leicht  in  Worten  zu  forniuiiren. 


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§         Anweiulungsbcispiele  und  Äufgabco.  55^) 

29.  Aufgabe  (Elizabeth  Blaekwood,  Math.  Quesi  Vol.  35, 
1881|  p.  24  u.  25).  Bekannt  sei,  dass  jedes  Ton  den  zusammengesetzten 
Bieignissen  ayi^  h09f  cxy  von  mindestens  zweien  der  Ereignisse  e,  / 
begleitet  (resp.  gefolgt)  ist  und  dass  jedes  von  den  zusammengesetzten 
„Nichtvorkommnissen"  (i,y,e,,  e,s^x,,  f^x^y^  das  Nichteintreten  von  min- 
destens  zweien  der  Ereignisse  a,  b,  e  bedingt.  Welche  Abhängigkeit 
folgt  daraus  zwischen  dem  Eintreflfen  oder  Nichteintreffen  der  Ereig- 
uisae  a,  h,  c,  d,  e,  f  ohne  ROcksicht  auf  die  a;,  i?? 

Auflösung  (cf.  McColl,  Grove,  und  andere). 
Die  Prämissen  sind: 

Indem  mau  das  Polynom  ibrer  vereinigten  Gleichung  nach  y,  z  ent« 
wickelte,  und  das  PiiMluki  der  Koeffizienten  =  0  setzte,  ergäbe  sich  un- 
ucliwer  die  gesachte  Kesultante  als:  ahcd^c^f^  t=  o. 

Da  diesoä  syätematischo  Vorfahren  immerhin  einige  Schreiberei  erfor- 
derte, wollen  wir  die  Aufgabe  durch  einen  Kunstgriff  ISsen,  der  noch  ein- 
facher ist  sla  der  von  MoColl  etc.  („by  mere  inspection")  angewendete. 
Wir  zerlegen  jede  der  beiden  PrUroisseusubsumtioncn,  deren  Subjekt  ja  als 
Trinom-  erscheint  gemäss  Def.  (3^,)  in  drei  einzelne  Subsumtionen,  und 
werfen  in  einer  jeden  von  diesen  den  Koeffisuenten  von  links  gemäss 
Peirco's  Th.  41)  nach  rechts;  so  entsteht: 

xy  =^ 

Addiren  wir  überschiebcnd  jut/t  diese  soclis  Subsuintioueu  und  bLaeldeii, 
tiass  i/, + +  2",^/,  gerade  die  Negation  von  ys  +  zx  +  xy  ist,  so  er- 
halten wir: 

1     «,  +    +  <?f  +  d  +  e  +  A 

oder: 

abc  ^d  +  e-k-fi 

was  zu.  ündeu  gewesen. 

30.  Auf'^^abe  (Muciar luiic,  Math.  (.Jucstious,  Vul.  44,  p.  48  . .  50). 
Aus  den  mit  Worten  gegebenen  Data: 

ax  +  ^/.y  =  c,  dxXc-^y)=l 
sollen  die  Klassen     y  als  Unbekannte  durch  die  übrigeo  ausgedrückt 
werden. 

Die  Auflösung  soll  hier  mit  allen  Zwischenrecbnnngen  gegeben  wer« 
dea    Aus  dw  Tereinigteu  Gleichung  der  Data: 

(a«  +        +  (a,  +  «,)  (6  +  y,)c  +  <i/;x,(c  +  y)  4-  (d,  +   +  e,y,)f  —  0 

heben  wir  die  Koeffizienten  von  y  und  y,  henror,  und  bilden  ihr  Produkt: 


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554  Drauahnie  Vorleaiug. 

Aus  diesen  und  den  stehen  gebliebDen  Gliedern  (welche  weder  jf  noeh  jf, 
zum  Faktor  liaben),  hoben  wir  die  Koeffizienten  too  x  und  von  herYor, 
um  deren  Produkt  zu  bilden: 

(ac,  +  /)  (&c  +  deft  +  cdfy  —  ae,äef,  +  bef, 

Letstercs,  mit  den  beKttglieh  x  und  y  konstanten  Termen  des  Torigen  Er- 
gebnisses  sowol  als  der  vereinigten  Gleichung  vereinigt  und  gleich  0  ge- 
setzt, ist  die  Resultante  der  Elimination  von  x  nebst  j/,  oder  die  zwischen 
den  bekannten  Khusen  notwendig  geltende  Relation: 

welche  leicht  als 

flclc«^c  +  A  6c«^a,  /^^(&  +  c  +  e)<l 

* 

in  Worten  zu  deuten  ist  Um  x  zu  finden,  braucht  man  nur  mehr  die 
Gleichung  mit  der  rechten  Seite  0  aufzulösen,  in  welcher  x  und  bezüg- 
lich die  Faktorou  des  zuletzt  ausmiiltiplizirten  Produktes  zu  Koettizienien 
haln  ii.  Da  hcf  ~  0  ist,  vereinfacht  der  Koeffizient  von  sich  noch  zu 
(bv  +  cd  +  de)ffy  und  ist  hieuach  die  AiiflöHing: 

Ebenso  heben  wir  noeh  ans  der  vereinigten  Gleichung  die  Koeffizienten 
von  X  und  x,  hervor;  das  Produkt  derselben  ist: 

(«c,  +  /■)  {c(b  +  ij,)  +  df^ij  i  >n  1      ac^dcf,  +  lcf+  cfij,  +  nr^df^»,, 

wovon  oi;4»ntlich  nur  die  htilen  letzten  Glieder  auszurechnen  j,'cwcseii. 
Diese  ziKsunineni^ezopen  mit  den  nur  y  oder  aber  nicht  x  odt'r  r,  zum 
Faktor  habenden  üiioderu  der  vereinigten  Gleichung  geben  die  uach  y  aul- 
zolöseude  Gleichung: 

(fe.r,  +  ac^dQ!/  +  (a,c  +  f/+  c/)y,  =  0, 

deren  Auflösung  ist: 

O^r  -\  t/  +       ^  ^  =^  c  -f  h{(t,  +  df  +  f). 

Zur  Darstolluu«^  dieser  letzteren  (in  der  Zeichensprache)  nimmt  Herr 
Mailar  laue  den  llaum  von  sieben  Druckzeilen  in  Anspruch,  zur  Dar- 
stellung der  Auflösung  nach  x  deren  viere,  uuJ  Labe  ich  nicht  versucht, 
seine  Resultate  zu  kontroliren,  da  der  hervorgehobene  Kontrast  wol  ge- 
nugsam erkennen  Iftsst,  daas  sein  Verfahren  weit  entfernt  sein  muss,  zu 
den  zweekmissigsten  zu  gehören* 

31.  Studie.  Um  dem  Leser,  welchem  Boole's  grundlegeDdes 
Werk^  vielleicht  schwer  zug&nglich  ist,  eine  Idee  za  geben,  in  welcher 
Weise  dort  Probleme  rechnerisch  behandelt  werden,  wollen  wir  eehlieas- 
lieh  ein  paar  Aufgaben  dieses  Autor^s  noch  in  seiner  Manier  lösen, 
obwol  wir,  wie  schon  angedeutet,  dasjenige,  was  diese  Manier  von 
den  neueren  Behandlungsweisen  unterscbeidet,  auf  Grund  der  unver- 


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9  S5.   Anwendungsbeupiele  uod  Aufgaboo.  5ää 

keanbaren  YorzQge  dieser  letkteren  für  endgQltig  abgethan  halten,  ihm 
nur  histoiisehes  Interesae  noch  zuerkennend. 

Vor  allem  sei  die  fundamentale  Aufgabe  behandelt,  die  Gleichung 

ax  +  d«,  —  0 

nach  X  aufzulösen.  Zu  ücm  Eude  muss  im  Eiiiklan;j;('  mit  den  Ergeb- 
nissen unsres  §  23  zunäcli.st  1  — x  für  x,  geschriubeii,  diu  Gleichung 
also  mit  Boole^  p.  155  in  der  Form  iin<]:esetzt  werden: 

ax  +  h(l  ^  x)  =  0. 

Diese  aufealosen  verf&hrt  Boole  wie  bei  den  arUhmeÜsi^en  Glei- 
chungen  ersten  Grades,  bildend: 

und  dieses  ErgebnisB  wird  von  Boole  nun  als  f{a,b)  betrachtet  und 
in  Gestalt  Ton: 

f(a,  h)  -  /(l,  l)ah  +  fii,  0)a6.  -f  /(O,  l)a,h  +  f{0,  0)a,h, 

gemäss  Th.  44^.)  nach  a  und  h  ^^eutwickelt".   So  ergibt  sich  ihm: 

X   ab  4-  ab  A  a  b  A  a  b  aa» 

wobei  ich  davon  absehe,  daas  auch  für  a,,  2>,  in  der  Kegel  nur  1  —  a, 
X  —  b  von  ihm  geschrieben  wird. 

Da      ein  Unsinn  wäre,  falls  es  wirklich  vork&me,  so  muss  es 

herausfallen,  d.  b.  ia  einen  verschwindenden  Konstituenten,  in  0  mul- 
tiplizirt  sein.  Dies  gibt  die  Valenzbedingung  liir  x  oder  Auflösbar« 
keitsbedingung  für  die  gegebne  Gleichung,  nämlich: 

ad  — 0 

(d.  ].  unsre  Resultante  der  Elimina^tion  des  x),  und  da  -~  jeden 

erüt  rikliclK'u  Wert  vorätellt,  uubesiimmt  oder  willkürlich  bleibt,  so 
haben  wir: 

x  =  a^b  +  ua^b^ 

in  Obereinstimniung  mit  unserm  rein  logisch  gerechtfertigten  £i^b- 
nisse  v)  des  §  21. 

Man  sieht  indess,  dass  hier  Zwih:clu;noperationen  ausgeAlhrt  wukIoti, 
die  einer  lop^ipchrn  Dciifnn;^  mifiliig  bleiben ,  wie  z.  B.  nicht  nur  die  Bil- 
dung tk't>  im  identischen  Kalkül  jedes  Sinnes  eriiianj?p!ndpn  Xenncrt;  U  —  1, 
sondern  namentlich  auch  schon  der  Ansatz  einer  Dillercuz  6  —  während 
a  gar  nicht  in  b  enthalten! 


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556  Dreisehnto  VorleBQng. 

Andere  Aufgabe.  In  ^  p.  95 . .  97  verlangt  Boole,  daHs  die  Gl«  i- 
chung:  x^y(0'¥*o)  nach  der  Unbekannten  |f  aufgelöst  werde,  wobei 
ihm  bedeutet:  x  — >  verantwortliche  Wesen,  y  ^  vernunftbegabte  Wesen, 
g  B  Diejenigen,  die  Freiheit  des  Handelns  haben,  w  Solche,  welche 
ihrer  Freiheit  sich  freiwillig  begeben  haben.  . 

Und  er  verfUbrt  analog  wie  vorhin  folgendemassen.  Die  arithmetische 
LOsimg  des  Problems: 

X 

^  ^  z  +  w 

wird,  alfl  Funktion  von  x^e^w  betrachtet,  entwickelt  nach  dem  Schema: 

f(ry  e,  w)  =  /T(l,  1,  i)xeuf  +  f{ty  1,  0)xjpw,  +  •  •  •  +  /(O,  0, 0)jp,r,», . 

Ks  entöteht,  wenn  wir  diu  drei  suiurt  liurauöiaUendeu  Tenuc  noch  lu 
Klammer  mit  anfahren: 

y  »  Y  xew  +  1  ■  xew^  +  1  •  xs^te  +  + 

/()  «I  0  \  0 

nuU  folgt  hieraus  erstens,  dass  die  Konstituenten  der  beiden  deutungiun- 

lühigen  Koeriizieuleu  —  und  y  verscbwindeu  müssen,  also 

x(ew  +        «  0 
sein  muss,  und  zweitens,  dass 

gefundeu  ist.  was  dann  luii.hl  ini(  Worten  zu  iuLerprulucii. 

Instruktiv  i.sL  die  Vergleicliung  dieses  ErgobniiSbCä  mit  dem  nach  unsrer 
Theorie  sich  ergebeudeo.  Die  Aufgabe  fftllt,  wenn  man  s-¥w  mit  einem 
Buchstaben  bezeichnet,  unter  das  Schema  der  in  Aufgabe  13,  e)  des  gegen* 
wäriigen  Paragraphen  schon  gelösten  (wobei  die  dort  x  genannte  ünbe« 
kannte  nur  t/  hci.sbt,  wogegen  «  =  +  6*=a?  bier  als  gegeben  zu  den- 
ken —  vergl.  auch  ^  2'6)  und  haben  wir  su verlassig  als  ßesultante: 

xs^w^  «=  0 

sowie  als  Auflösung: 

jr  »  »  +  M*,»c,    oder:   x  =^  //  <3  '     ~i "  i  • 

Nach  Tli.  3iJ^)  Zusatz  kann  «latt  dos  Terms  ns^1r^  allerdings  auch 
Ma",r,M',  gesetzt  werden.    Gleichwol  deckt  sich  aber  untiier  Ergubniss  nuJU 
mit  dem  Boole'äeheu,  und  die  Abweichung  erklilrt  sich  aus  dem  Umstände, 
dass  bei  Boele  die  Summe  «  +     als  eine  „redozirte**  verstanden  wird,  ^ 
deren  Glieder  z  und  w  als  disjunkie  das  Produkt: 

gut  ^0 

geben  —  bei  uns  jedoch  im  Allgemeinen  nicht.  Ziehen  wir  diese  Glei- 
chung als  eine  nach  den  Dateu  des  Problemes  selbstverständlich  geltende 


.  ijui.  u  i.y  Google 


§  25.   ADwendungsbeispiele  und  Aufgaben.  557 

m  miseni  PrSmissen  hinzn,  so  —  aber  ent  duin  —  erweist  sieb  (leioht) 
die  völlige  ÜljereinstinanoDg  der  beiderseitigeii  Ergebnisse. 

Indem  bei  Boole  sogar  x  -{-X'=2x^  etc.  gilt,  so  treten  überhaupt, 

wie  vorstehend,  bei  seinem  Verfahren  in  den  Gliedern  des  liesultates  oft 

1  2 

Zahlenfaktoren,  wie       — yt       ^  Eoef&identen  anf,  die  er  schlieBS- 

licb  als  belanglose,  nicht  interpretable,  aber  Bord  wirft,  die  Konstitnenteo, 
mit  denen  sie  behaftet  erscheinen,  gleich  0  setzend« 

Ähnlich  mag  endlich  zur  Vergleicbimg  herangezogen  werden  eine 
Ton  den  zahlreidien  Aufgaben,  die  Boole  knflpft  an  Senior 's  Defi- 
nition Ton  jywealth"  (wortlich  des  Reichtums,  genauer  wol  dem  volks- 
wirtschaftlidien  Begriffe  des  „Gutes"  entsprechend).   Prämisse  ist: 

st{p-\-  r) , 

wo  fi7  n  Gut,  s  =  Diuge,  die  nur  in  begrenzt piu  V  orrat  verfügbar  (limi- 
ted in  siipply),  t  =  übertragbar  (Irans lerabie),  p  =  Gennss  verscbnffend 
(productive  of  plcastire)  und  r  =  Leid  vorbeugend  (preventive  of  paiu) 
bedeutet.    Cf.  '  p.  106,  sq. 

Verlangt  ist  ein  Ausdruck  für  tv  ohie  iiücksicht  auf  r. 

Wir  würden  systematisch  ans  der  Qleichnng: 

w^$i{p  +  r)  +       +  /,  +l>,r,)  «  0 

erst  r  eliminiren,  die  Resultante:  w^6iJJ  +  a\s^  +  t^)  ^0  sodann  nach  w 
auflösen  und  finden: 

fp  =  St(^p  +  n)     oder    s  (p  =(=  ic  ^  st 

—  ein  ErgebniöS,  das  aber  hier  .schon  imniittelbar  zu  ^j^ewinntm  war,  indem 
man  den  Namen  r  des  Biiminanden  durch  den  u  einer  unbe^timtnteu  Klasse 
ersetzte ! 

'Boele  hingegen,  welcher  natCLrlich  die  PriLmisse,  da  p  und  r  sich 
g^enseiüg  nicht  ansschliess^  in  der  Form  ansetzen  muss: 

w  »  «<(jp  +  rp,) 

operirt,  i>,  durch  1  — p  ersetzend,  wie  folgt.    Er  schreibt  die  Gleichung: 

w  —  stip  +  r  —  r|))  =  0, 

bemerkt,  dass  das  Polynom  derselben  für  r  =  1  in  w  — st  und  für  r««=0 
in  w  —  stp  übergellt,  mithin 

(ic  —  8t)  {w  —  8ip)  0 

die  Resultante  der  Elimination  von  r  ist.  Ausmultiplizirt  gibt  dies  (wegm 
«HP  s     etc.)  eine  Gleichung: 

•p  —  W8(p  —  wst  +  5/p  «  0 

aas  der  sich: 

fitp 

««  +  ««P—  1 


« 


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558 


Oreizebuto  V-orlesung. 


naeb  dea  Regeln  der  Arühmetik  berecbnei  [Statt  dessen  konnte  aber  anch 
jenes  Polynom  erst  nach  w  entwickelt  werden  in  der  Geetalt: 

(1  —  st)  (1  —  si]^)w  +  «(p(l  —     =  0, 

worans  dann: 

fff  ^   ^  

8tp  —  (1  —  8t)  (l  —  8tp) 

sich  brrf^cbnete.J  Heidcnial  orgüit  sich  durch  die  nidhsaino  ,,Entwi€keliillg^ 
der  rechten  Seite  ala  einer  Funktion  [(SfifP)  Übereinstimmend: 

ip  — +  y  5/ (1— P)» 

als  ein  auch  unmittelbar  einlencbtendes  Ergebniss:  Die  wirtscbaftlichen 
Güter  bestehen  an>  iilkii  übertragbaren  GenuBsiuitleln  von  begrenztem  Vor- 
rat und  einem  unbeötiuiiiiteu  Reste  (indefinite  remainder)  von  nur  in  be- 
grenzter Menge  zur  Verfügung  stehenden  übertragbaren  Dingen,  die  keine 
Genussmiitel  sind. 

Der  Leser  bat  vielleicht  den  Eindruck,  das»  Boole's  Verfahren  sieh 
—  in  Praxi  wenigstens  doeh  riemlicb  stark  von  meiner  Modifikation 
desselben  anterscheidet 


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I 


Vierzehnte  Vorlesung. 

§  26.  BMpMdniiig  notih  andrer  Vetbodeii  lur  XiStimg  6m  biähraigem 

Kalkül  zugänglichen  Probleme. 
Das  primitiTBte  oder  AusmtisterTingsverfahren  von  Jevons.  Lotzo's 
Kritik,  und  Venn's  grapliisclie  Modiükatiou  de«  Verfuhrens. 

Es  handelte  sich  im  bisherigen  atets  am  Probleme,  derea  Data 
ausdrflckbar  sind  durah  Subsumtioiieii  (oder  Gleichmigen*))  awiachen 
Klassen  oder  Funktioiieii  des  identischen  Kalküls  von  solchen,  und 
deren  Lösnng  dann  ebenfalls  wieder  durch  Aussagen  Ton  dieser  Form 
darstellbar  ist  Es  kam  dabei  darauf  an,  gewisse  Klassen  aus  den 
Daten  des  Problems  zu  eUminiren,  andere  aus  denselben  in  dem  in 
§  21,  o)  erläuterten  Sinne  zu  berechnen,  d.  h.  ihre  Subjekte  und  Pro- 
dikate  aufzufinden,  welche  vermittelst  der  übrigen  Klassen  sich  be- 
sehreiben lassen. 

Ehe  wir  mit  nächster  Torlesnng  in  Band  2  diesen  Kreis  unsrer 
Aufgaben  erweitern,  wollen  wir  noch  ein  Weilchen  bei  den  bisherigen 
Terweilen  um  uns  Aber  die  Terschiedenen  Methoden  zu  orieniiren, 
welche  zur  BewSltiginig  dieser  Aufgaben  vorgeschlagen  worden  sind 

und  zur  Verfügnn<:^  stehen. 

Ais  solche  /-iiliit  Herr  Peirce  in  seiuer  grundlegenden  Arbeit^ 
in  chronologischer  Folge  auf:  die  Methoden  von  Boole,  Jevons, 
Schröder,  McCoU,  denen  er  alr^dann  noch  eine  fünfte  selbst  hinzu- 
fugt. Wir  werden  selien,  duss  diese  nur  auf  dreie  „wesentlich"  hin- 
auslaufen, von  dtnen  die  von  mir  modiüzirte  Boole'sche  Methode  iiu 
bisherigen  schon  dargelegt  und  ausschliesslich  angewendet  worden  i.st, 
hurch  diese  ihm  zuteil  gewordene  Modifikation  erscheint  das  ursprüng- 
liche Verfaliren  Booie^s  nunmehr  als  vollständig  antiquirt  (superseded) 
und  dürfte  künftig  niemand  mehr  je  auf  dasselbe  zurückgreifen.  In 
seiner  abgeauderteu  Gestalt  jedoch  wird  dasselbe^  denke  ich,  wol  forlr 

*)  Diese  besonders  zu  erwähnen  könnte  untcrl. leiben,  da  nach  Def.  (l)  ©ine 
UleicboDg  äquivalent  ist  einem  i'aar  von  Subsumtionen. 


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560 


Vienebnte  YorleraDg. 


leben,  obwol  ihm  nenerdiugä  durcli  McColl  and  Peirce  ein  ebenbQr- 
tiges  Verfahren  an  die  Seite  gestellt  ist  — 

Das  Verfahren  Yon  Jerons  ist  zwar  ein  konstloses  —  wenn  man 
will,  das  nSchstliegende  oder  ursprünglichste  ^  doch  verdient  es  immer- 
hin als  eine  besondere  Methode  (die  zweite  von  oberwShnten  dreien) 

biijgrstellt  zu  werden. 

Im  wesentlichen  besteht  dasselbe  kurz  gesagt  darin:  ciass  man 

für  die  niuntlichen  Klassen,  voti  dci%m  im  'Problem  die  Rede  ist^  alle 

NiMjlichJieitcn  hinsciireiht^  welcJie  inBeznfi  auf  das  Vorhomnu  n  (nhr  ^SicJU- 

vorkommen  einer  jfdru  ni   VtrhindiiUij  mtl  dui  andern  denkbar  sind,  von 

diesen  dcnkharm  K(>ml/iHai tonen  alsdann  alle  diejmiqen  misstreicht,  tclcJic 

dtirr/i  dir  rklfd  d(.i  l'rUtltmes  ids  iniruh'issiffc  (in,s(/f schlodseu  Krrdni.  und 

aus  den  stdicn  bleibenden  midHrh  htrüii6zulesm  sudit  die  Änttvort  auf  die 

Fragen  f  die  das  Probletn  auf  wirft. 

"Von  Jevons'  p.  44  sq.  zuerst  lHr»4  anseinandergesetzt,  ist,  wie  Heu 
Venu'  p.  351  bemerkt,  derselbe  Gedanke  schon  £rUlier,  1811,  auch  von 
So  ml  er*  p.  48  angedeutet. 

Der  erste  dir  drti  im  Jevons'scheu  ,,^M^MM5/erM«</5verfahren"  ge- 
forderten l'ruzt  sso  deckt  sich  mit  der  „Enluickclung"  im  Sinne  des 
Th.  44^)  der  tdodischen  l  —  welche  die  ganze  Mannigfaltigkeit  vor- 
stellt der  Individuen  otler  Obji'kte  auf  die  das  Proldeni  Bezug  nimmt 
—  nach  <h'ii  im  Prül)leme  vorkommeudeu  Kluaaensymboleii  als  Argu- 
nieüteu.  Die  (Glieder  und  Konstituenten  dieser  Entwickelunji;  sind  i  Im  ii 
jene  Kombinationen*',  die  alle  hinsichtlich  dieser  Klassen  denkharuii 
M<»gliehkeiteu  reprasentiren.  Anstatt  die.selht  n  mitteist  Piuszeichen 
unter  sich  zn  vorknüpt'en  und  die  fo  n;,'bildete  bumme  ansdrücklich 
L^leieli  1  zu  st'tzt'ii ,  wird  man  gewöhnlicli  vorziehen,  gedachte  Kombi- 
nationen bequemer  nur  einfach  untereinander  zu  schreiben. 

Man  lieginnt  demgemäss  damit,  als  erste  Ki  niliination  hinzuschreiben: 
das  Prudiikl  sämtlicher  vorkommenden  Kla^öcns} ml  ule  ^^mdem  man,  wo 
etwa  eine  Klasse  nebst  ihrer  Negation  in  den  JJata  des  Problems  cnvübut 
sein  BoUtSi  sieh  für  eine  Ton  beiden,  etwa  fttr  die  affirmatiT  atisgedrOekte 
entscheidet).  In  dieser  ersten  Kombination  orsetst  man  das  letste  Symbol 
durch  seine  Negation  und  erhält  die  zweite  Kombination;  in  beiden  bis« 
herigen  Kombinationen  ersetzt  man  das  vorletzte  S^^mhol  durch  seine  Nega- 
tion nnd  erhält  zwei  weitere  Kombinationen,  ^[an  f.Ihrt  so  fort  in  allen 
!)i.-herigen  K  inbinationen  inuuer  ein  früheres  iSymboi  durch  seine  Nega- 
tion zu  ersetzen,  bis  diejies  auch  für  das  erste  Symbol  geschehen  ist,  so 
werden  sllmtliche  Kombinationen  angesetst  sein. 

Die  Zahl  der  letzteren  ist  2*,  wenn  n  die  Anzahl  der  vorkommenden 
Sjrabole  gewesen  —  vergL  S.  418  —  und  jede  dieser  2"  Kombination«! 
iKt  ein  Prodoht  von  n  Faktoren,  wobei  als  Faktor  ein  jeder  von  den  im 


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§  ä6.   Besprccbuog  noch  andrer  Mctbodeu.   Verfabreu  von  JevouB.  561 

Problem  m  Terwenden  gewesenen  Buchstaben  entweder  nnnegirt  als  soh 
eher  steht  oder  aber  durch  seine  Negation  Yertreten  ist. 

Um  beispielsweise  die  7.  Aufgabe  des  §  25  nach  Jeyons'  Methode 
zu  behandeln,  würde  schon  der  Ansatz  von  2'  =  128  Kombinationen  (welche 
je  aus  sieben  Symbolen  sicli  zusammensetzen)  crfVtr^lfrlich  sein.  Man  wird 
sich  schwerlich  dazu  verstehen,  fttr  n  >■  die  Operationen  noch  prakÜHcb 
dorchzufUhreu. 

In  dieser  mit  wachsender  Zahl  n  so  lasoh  sanehmenden  Weitlftnfigkeit 
der  Proieese  liegt  eine  erste  und  grosse  Schwitehe  der  Methode. 

Behufs  Ausführung  des  zweiten  von  der  Methode  gefortlerten  Pro- 
zesses muss  man  eine  jede  der  angesetzten  Kombinationen  im  Geiste 
zusammenhalten  oder  vergleichen  sowol  mit  der  linken  Seite,  dem 
Snlgekte,  als  eventuell  mit  der  rechten  Seite,  dem  Prüdikatc  einer 
jeden  in  Form  einer  Subsumtion  gegeben  gedachten  Prämisse  des 
Pfüblemes.  Man  muss  ja  zusehen  ob  die  Kombination  mit  der  Prä- 
misse verträglich  ist,  oder  nidUf  um  —  im  letztem  Falle  —  die  Kom- 
bination OMmtötrekhen*  Dieses  geht  genauer  dargelegt  in  folgender 
Weise  vor  sich. 

Beide  Seiten  der  Prämisse  mögen  wir  als  Aggregate  von  Mono- 
men uns  dargestellt  denken,  sodass 

die  Form  untrer  Prämisse  isl^  wo  die  Glieder  Sy  jS',  . « P, . .  aelbat  Pro- 
dukte sein  werden  von  höchstens  n  Symbolen  (in  der  Regel  weniger), 
hervorgehoben  aus  der  Gruppe  der  fiberhaopt  im  Problem  vorkommen- 
den (it)  Klassensjrmbole  a,b,e,..*  und  ihrer (n) Negationen  a„ c„. . . 

Man  hat  sich  nun  au  erinnern,  dass  nach  §  8, »)  die  Pluszeichen 
der  Subsumtion  links,  im  Subjekte,  mit  „lim^,  rechts,  im  Pridikate 
aber  mit  ffider^  in  Worte  au  fibersetzen  sind,  mithin  die  PrSmisse 
fordert,  dasa  wo  die  in  j9  vereinigte  Faktorenkombination  vorliegt^  so- 
ml,  als  aw^  wo  die  in  8'  vereinigte  vorliegt,  etc.  da  auch  vorliegen 
muss  enUceder  die  iu  P  oder  die  in  P',  oder  die  in  P",  etc.  vereinigt 
erscheinende  Kombination  von  Faktoren. 

In  Bezug  auf  die  mit  dieser  Prämisse  zu  vergleichende  Kombi- 
nation (aus  der  Menge  der  'J"  angesetzten)  —  K  möge  sie  für  den 
Augenblick  heissen  —  können  nun  verschiedene  Fälle  vorliegen. 

Entweder  sie  ist  —  nach  Th.  6^)  oder  Prinzip  I  —  einem  der 
Subjekte  S,  S', .  .  (eventuell  auch  gleichzeitig  deren  mehreren)  einge- 
ordnet, d.  h.  die  sämtlichen  Faktoren,  aus  denen  sich  eins  dieser  Suh- 
jtkte  zusammensetzt,  treten  auch  als  Faktoren  in  K  auf,  oder  nicht. 

Im  letztern  Falle  tretieu  sc4ion  die  Vuraussetzun'jpn  der  l'riimisse 
für  unsere  Kombination  K  uicbt  zu,  die  Prämisse  berührt  die  Kom- 

ScHKöDSK,  Algebra  der  Logik.  jiO 


562 


Viersehnte  Vorlesung. 


binatioii  gar  nicht^  geht  sie  nichts  an,  sagt  Oberhaupt  nichts  in  Besag 
auf  dieselbe  aus.  Die  Kombination  kann  als  mit  der  Prämisse  ver- 
fraglich,  doch  zu  ihr  intUfferefU,  nentral,  bezeichnet  werden.*) 

Im  ersteren  Falle  fordert  die  PrSmisse,  dass  die  Kombination  K 
nun  auch  mindestens  einem  der  PrSdikate  P,  F ,  F", eingeordnet 
sei,  d.  h.  "dass  sie  auch  dessen  Faktoren  sämtlich  in  sich  aufweise. 
(Sie  muss  deshalb  mit  letzteren  der  Reihe  nach  im  Geiste  zusammen- 
gehalten werden.) 

Ist  es  der  Fall,  so  erfüllt  die  Kombination  K  unsre  Prämis.se,  sie 
ist  nicht  nur  mit  ihr  verträglich,  sondern  sogar  konfmin  mit  ihr  ge- 
bildet, in  .JJhereinstimmung'  mit  tler^olbon. 

Ist  es  niclit  der  Fall,  so  u  idcr^pncht  die  Kombination  K  der  Prä- 
misse, wird  von  ihr  als  nnziilässig  hingestellt^  ausgeschlosäen^  verboten, 
UuU  mus8  ausgestrichen  werden. 

Um  dies  /.ur  Stelle  durch  ein  ganz  einfaches  Beispiel  zu  erläutern,  so 
möge  die  Priunisse  li'ns.^en :  (lO^  ^  ,  d.  h.  die  a,  welche  nicht  h  sind, 
sind  auch  nicht  c  (od«r:  wo  die  ilerkmale  von  a  vorliegen  und  Merkutale 
Ton  &  fshlen,  da  fällen  auch  solche  Yon  c).  Wie  Terhalten  sich  dann  die 
drei  Kombinationen:  a^h^cd^^  t^h^c^d  und  a6,cd,?  Nun:  die  erste  bt  in- 
different zu  der  Prämisse,  als  den  Faktor  a&,  nicht  in  sich  aufweisend;  die 
zweite  ist  im  Einklänge  mit  der  Prämisse,  fiillt  unter  dieselbe,  da  sie  neben 
ah^  auch  c,  aufweist;  die  dritte  aber  widerspricht  der  Prämisse,  indem  sie 
zwar  aber  nicht  r,,  vielmehr  statt  dessen  c  in  sich  als  Faktor  auf- 
weist, dieselbe  wuro  demnach  zu  stxeicheu,  wogegen  die  beiden  andern 
Kombinationen  stehen  bleiben  können  als  Ton  dieser  FrKmisse  erlaubte 
(d.  h.  nicht  verbotaae)  sofern  sie  nicht  von  andern  FrSmissen  noch  auf' 
gehoben  werden. 

Ehe  wir  znr  Besprechung  des  dritten  und  letzten  Prozesses  der 
JoTons'schen  Methode  Qbergehen,  mdgen  die  beiden  Torigen  an  jenem 
Boole'schen  Problem,  der  1.  Aufgabe  des  §25  erprobt  werden. 


Oitirenshalber  legen  wir  nns  die  Prämissen  a),  ß),  y)  des  Problems 
in  folgender  Fassung  auseinander: 


*)  Ich  bemerke,  daas  ich  in  meiner  Darstelluug  uicuriach,  und  wie  ich  glaube 
Torbessemd  oder  er^oseDd,  von  Jevons  abweiche,  dessen  Benenaungen  aU  ez- 
clnded,  indnded  uod  contradietorj  ,,>nbjecV*  mir  unter  andorm  nicbt  ganx  gldck- 
licb  gewählt  erscheinen. 


a,c,  bedingt  bd^c  oder  h^de\ 
ade^   bedingt    hc     oder  &,c,; 


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%  26.  Das  AasmiuterangiiT^rfahreu  von  Jevons. 

ccl,  oder 


663 


|r,')  a6e, 

y')\y.:)  ah,e 
ly,')  übe 


beiliugt 


frtr.  oder 


I 


bedingt    \"^\e  oder 
\abe 


—  indem  wir  auch  den  Ausdruck  a  (6  +  e)  •*>  a  +  +  uach 
den  drei  in  ihm  Torkommenden  Symbolen  entwickelten  (was  strenge 
genommen  nicht  n5tig:  man  kSnnte  auch  mit  ah-^-ae  echon  die 
Oberlegungen  anstellen).  — 

Da  mnf  Symbole  afb,Cfd,e  in  Frage  kommen,  so  haben  wir 
2^a32  Kombinationen  durchzngelieu,  die  wir  nachstehend  geordnet 
und  nnmerirt  untereinander  stellen. 

Die  link$  notarten  Chiffren  a),  ß),  y)  Ton  Primissen  erklaren  die 
daaebenstehende  Kombination  als  mit  diesen  ttbereinstimmendei  als 
eventuell  Kulasstg,  die  rechts  notirten  als  ihnen  widersprechende  Ufutu- 
lässige j  dergestalt,  dass  wo  Erlaubniss  (im  vorerwähnten  Sinne)  tind 
Verbot  zusaiuineiitreffeu,  das  Verbot  zu  gelten  hat  Die  Konibiua- 
tionon,  bei  deneu  keine  Prämisseuchiffre  angemerkt  ist,  sind  die  zu 
ulieu  Prümisseii  ludiö'ereuten. 

Kombinationen. 


1) 

.  abede  — 

n) 

11) 

aficde 

2) 

ß)         abede,  — 

r:) 

18) 

aficde. 

8) 

Y-ri  Yi")  a^c(l,c 

It)) 

a^h<d^(■ 

~  7i  ) 

4) 

Yi)  yO^'^ciI^c^ 

20) 

a,hcd,r^ 

-    Yi  ) 

&} 

Y:i')Yi")a^Ct'iG 

21) 

a^bc^dc 

—  Yi") 

6) 

Yt)  rt)  (^h€,de, 

ß) 

22) 

afiCtde, 

—  «)  n") 

7) 

a&e,r/,e  — 

2S) 

a)  a^he^d^e 

8) 

ahc,d,p,— 

r,') 

•  24) 

-«) 

9) 

ah^cdc  — 

25) 

a,h^cdc 

10) 

ab^rde,  — 

ß) 

20) 

a^b^cdc^ 

II) 

27) 

-n") 

12) 

ah^cd^e^  — 

28) 

a,b,cd,c^ 

—  Yi  ) 

13) 

29) 

a)  a^b^e^de 

14) 

ß)  ab,e,de,-^ 

n ) 

30) 

afi,e,de, 

- «)  vn 

16) 

ah,c^d,c 

n) 

31) 

o,h^c,d^(' 

-«) 

10) 

ah  c  d  f 

32) 

a,b^e,d,e^ 

- «) 

8«* 


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564  Vierzehnte  Vorleaang. 

Die  rechts  glossirtea  Eombinationeti  sind  ausgestrioben  zu  denken. 
Man  bemerkt^  dass  einige  von  den  Fallen:  21, 22,  nnd  20%  sieh  zwei- 
mal in  den  PrKmiasen  verboten  finden.  NatCtrlieb,  nachdem  sie  ein 
erstes  mal  als  solcbe  erkannt  nnd  gestrichen  worden»  war  es  ein  Luzas, 
uns  davon  zu  flberzeagen,  dass  sie  nochmals  daselbst  ausgeschlossen 
werden,  und  seitens  welcher  Prfimissen;  man  durfte  sie  von  da  beim 
Durchgehen  der  letztem  Uberspringen. 

Die  rechts  unglossirten  Kombinationen  oder  F^Ue  sind  die  zu- 
liissi^en.  Es  sind  die  elfe  mit  den  beigefügten  Nummern,  die  wir 
uns  übersichtlich  nochmals  herausschreiben  in  eine 

Tabelle: 

3)  abcd^e 

4)  ahcd^e^ 

5)  abe^de 
11)  oft, cd,  c 

13)  nh^c^de 

17)  aficde 

18)  a,hede, 

23)  a,hc^d,e 

2b)  afi^cdc 
26)  afi^cdc^. 

Der  oben  f^o^cbonen  Andeutung  zufolge  ninss  nun  diese  Tabelle 
uns  vertreten  eine  (Üeichung,  in  welcher  die  Summe  der  elf  in  ihr 
zusammengestellten  Kombiiiatioueii  gleich  1  gesetzt  wird.  Wurde  sie 
doch  aus  der  vollständigen  Entwickelung  der  1  erbalteUi  indem  man 
alle  diejenigen  (einundswanzig)  Glieder  oder  Konstituenten  fortliess, 
welche  kraft  der  Pribnissen  verschwinden! 

Aus  dem  Anblick  der  Tabelle  kann  man  ohne  weiteres  entaebmoi, 

dasß  —  worauf  wir  unter  der  1.  Aufgabe  schon  aufmerksam  machten  — 
die  Korabination  ade^  überhaupt  nicht  vorkommt,  duss  hier  adr^  =  0  sein 
mu8s.  Es  ist  dns  jener  von  Büolo  sicherlich  nicht  beabsichtirjte  vielniöhr 
bei  der  Formuliruug  seiner  Aufgabe  wol  übersehene  Umätaud,  zufolge 
dessen  seine  Prttmiäse  ß)  einen  vexatorischen  Charakter  bekam.  Ausser 
auf  die  in  §  35  angedeutete  Weise  wttrde  sieh  dies  auch  noch  venneideu 
lassen,  indem  man  der  Prttmisse  ß)  anstatt  der  angegebenen  positiven  die 
negative  Fassung  gftbe  „dass  in  Abwesenheit  von  E  die  Mi  rkmale  Ä 
nnd  D  zusammen  niemals  mit  7>  oimo  C  sowie  mit  C  olinc  ]»  sich  vor- 
finden" —  was  einfach  auf  den  Ausschluss  der  KlementarHÜlo  oder  Kombi- 
natiuuen  0)  und  10)  hinausliefe. 


.  ^    .d  by  Google 


§  26.    DiM  Autiiuuttleruugsverfahren  vou  JeTons. 


565 


Wir  kommen  mm  kq  flen  letston  Im  JevonB'scheo  Verfahren  ge- 
forderten Prozessen  welche  dahin  zielen^  dass  aue  den  stehen  geblieheneu 
Kombinationen  herausgelesen  werde  die  Antwort  auf  die  im  Probleme 
au^eworfenen  Fragen,  betreffend  entweder  die  Resultante  der  Elimi- 
nation eines  Symbols,  oder  anch  die  Auflösung  der  Data  nach  einer 
Unbekannten. 

Die  Behandlung,  welche  JeTons  diesen  letzten  Teilen  seiner 
Methode  angedeihen  l&sst,  ist  entschieden  der  schwächste  Punkt  in 
seiner  Darstellung^  weshalb  ich  mich  auch  nicht  mehr  an  diese  halte. 
Ist  es  doch  keineswegs  uusre  Absieht,  eine  Geschichte  aller  irgend 
gemachten  verfehlten  oder  unzulänglichen  Versuche  zu  schreiben  — 
ansonst  das  tausendfache  Volumen  dieses  Buches  nicht  ausreichen  würde! 

Nach  den  anderwärts  —  vergl.  §  21  unter  ^)  rechts  vom  Mittel- 
htriclie  —  gegebenen  Andeutungen  ist  es  nun  aber  ein  Leichtes,  auch 
das  ijJiiuiuation.sproblem  noch  glatt  zu  lösen: 

Die  EliminatiuH  eines  Symbols  ist  daruach  einfach  zu  leisten, 
iiuiem  man  aus  der  Tabelle  der  stehen  gebliebeneu  Kümbiuatioucu  den 
Klinünanden  (nebst  seiner  Negation,  wo  immer  er  als  Faktor  steht, 
und  er  tritt  eben  nur  als  solcher  auf)  unterunhkt,  weglöscht.  Eine 
jede  dabei  wiederholt  als  Rückstand  bleibende  Konibmation  aber  wird 
man  natürlich  —  cf.  Tautologiegeaetz  14+)  —  nur  einmal  beibehalten, 
das  zweite  mal  fortlassen. 

So  liefert  nun  die  im  obigen  Problem  geforderte  Elimination  von  e 
aus  unsrer  Tabelle  die  Resultante: 

1  =  abcd^■ir  abc^d  +  ah^aJ^  -h  ab^c^d  +  nb^r^(I,+  (i,bcd  +  a,bc,d,  +  a,OfCd, 
wo  der  erste  von  den  acht  Termen  rechterhand  aus  den  Kombinationen 
3}  und  4),  der  drittletzte  aus  17)  und  18),  der  letzte  aus  25)  und  26) 
—  wenn  man  will  auch  schon  gemäss  Th.  30^.)  —  zusammengezogen  ist. 

Zufällig  sind  die  acht  Konstituenten  in  vorstehender  Gleichung 
gerade  die  HUfte  der  2*  — 16,  welche  die  Entwickelung  der  1  nach 
den  Symbolen  a,  c,  d  (ohne  e)  zusammensetzen.  Die  übrigen  achte 
treten  in  der  linken  Seite  der  Gleichung  l)  der  1.  An^.  des  $  25  auf, 
wenn  man  diese  vollends  (auch  nach  h)  entwickelt.  Unser  Ergebniss 
stimmt  also  fiberein  mit  dem  dort  (viel  bequemer)  gefundenen. 

Eliminirt  man  aus  ihm  a  auf  die  angegebene  Weise,  so  ergibt 
sich  weiter  nichts,  als  die  Entwickelang  der  1  nach  den  Argumenten 
bfCjd  mit  ihren  2*»  8  Gliedern,  also  eine  analytische  Identität^  durch 
welche  die  zweite  der  im  Problem  gestellten  Fragen  sich  erledigt 

Eliminirt  man  h,  so  folgt: 

1  mm  acd^  +  ac^d  +  ac,(/,  +  a^cd  +  a,c,(7„ 


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566 


Vierzehnie  VoriesuDg. 


welehe  fHof  Glieder  dio  dme  in  Gleiebung  i),  1.  c.  la  der  Thai  sur 
▼oUstfiiidigeii  Eniwickelntig  der  1  naeh  den  Symbolen  a,€  und  d  er- 
gänzen ~  und  die  vierte  Frage  des  Problems  beantworten.  ~~ 

Das  Äquivalent  der  Auflösung  nach  einer  Unbekannten  endlich 
wird  nun  bei  dieser  Metbode  darin  zu  erblicken  sein,  dass  man  aus 
der  Resultante  oder  Zusammenstellung  der  stehen  gebliebenen  Kombi« 
nationen  diejenigen  Kombinationen  der  übrigen  Symbole  herauszulesen 
vermagi  welche  als  Koeffizienten  mit  dieser  Unbekannten  selbst,  sowie 
diejenigen  welche  mit  ihrer  Negation  ausschliesslicb  verknOpft  sind. 

So  kommt  —  in  Beantwortung  der  ersten  Frage  unsres  speaielleu 
Problems  —  die  Klasse  a  mar  vor  in  Verbindung  mit 

und  wo  eine  von  diesen  tünf  Kombinationen  vorliegt^  da  kann  auch  a 
sich  findeuj  a,  aber  kommt  nui  uai  den  dreien 

hcd  4-  h c^ d^  +  b^cd 

verbunden  vor;  und  entweder  bei  mindestens  einer  TOD  den  fOnfen 
wird  a  oder  bei  mindestens  inner  von  den  dreien  wird  a,  sich  auch 
finden  müssen,  da  nicht  alle  Glieder,  deren  Summe  ja  « 1  ist»  sngleicb 
versehwinden  können. 

Ebenso  kommt  —  in  Beantwortung  der  dritten  Frage  —  h  nur 
vor  in  Verbindung  mit: 

aed^  +  aefd+ a,(;(2  +  a^e^d^ 

und  h,  nur  mit:      aed,  +  «<?,(!  4-  ac,rf,  +  a,cd.  — 

Eine  schwache  Seite  des  Verfahrens  Ueibt  darin  bestehen,  dass 
man  diese  Antworten  in  einer  unübersichtlichen  Form,  nach  allen 
restirenden  Symbolen  gleichmässig  cntwiekelt  gewinnt,  und  es  nun 
noch  dem  analytischen  Geschick  des  Ueehners  überlassen  bleiben  muss 
—  resp.  der  Willkür  in  Bezug  auf  die  Auswahl  unter  den  verschie- 
denen Arten,  auf  weklie  dazu  das  Th.  30^)  sich  verwenden  lässt  — 
die  Beschreibung  dieser  die  Autwort  enthaltenden  (Aggregate  von) 
Klassen  weiter  zu  vereinfachen! 

Ich  moebte  hier  mit  ein  paar  Vierten  auf  Bemerkungen  tob 
Lotse  in  seiner  „Anmerkung  Ober  logischen  Oalclll''  (Zweite  Auflage 
seiner  Logik'  p.  26C  und  2G7  —  das  Vorwort  datirt  vom  6.  Sept.  1880) 
eingehen,  da  dieselben  geeignet  erscheinen,  eine  irrige  Ansicht  über 
das  Verliältniss  der  reclmerischen  Methoden  zu  dem  Verfahren  von 
Jcvons  hervorzurufen  und  zu  verbreiten. 

In  thatsächlicher  üinsicht  ist  zunächst  zu  erwähnen:  die  Scbluss* 


§26.    Li  Otze'»  Kritik. 


667 


beroerkung  Boole's  bei  Boinem  (aU  1.  Aufgabe  in  unserm  §25  behandelten) 
Probleme  „I  bave  not  atteinptod  to  vcrify  tliese  conclunons"  hatte  Lotze, 

wie  er  mir  .sclirieb  veranlasst,  diese  Verit'kntion  zu  versuchen.  Boole's 
Fassung  der  l'riimisse  ß),  welche  eine  Kombination  i(ihcd')  als  „Ijcubachtet'* 
hiustellt,  diö  uach  den  Konklubiouüu  dann  gar  nicht  vorgekomiueu  6cin 
kann,  führte  ihn  jedoch  dabei  irre,  und  wandte  er  sich  nach  einem  erfolg- 
losen Anlanf  dieserbalb  brieflieh  (19.  April  1880)  an  mieh,  worauf  ich  am 
23.  Afoil  ein  Antwortsohreiben  abgehen  Hess,  welches  nebst  dem  Hinweis 
anf  Badorffs  Wahrnehnning  (S.  528)  die  oben  (S.  563  sq.)  gegebene  Zu- 
sammeustellmig  der  glossirtcn  Kmuliinationen  mit  den  zugehöric^ou  Er- 
liiuterungen  nahe  wörtlich  cnthiolt.  Ich  hatte  dieselbe  —  ohne  noch  von 
irgend  welchen  Scbiiften  J e vons'  damals  Kenntniss  zu  haben,  jedoch  nach 
'dem  Vorgänge  meines  damaligen  Kollegen,  Herrn  Lttroth  —  schon  zuvor 
entworfen.  Nach  einem  spiteren  Schreiben  mnss  Lotse  meinen  Brief  anob 
erhalten  haben. 

Ich  will  nun  nicht  davon  reden,  dass  die  Bemerkung  Lotze's  p.  2G6, 
dass  der  , .passendere"  Weg  ,,?^ich  ganz  von  selbst  darbietet",  sowie  p.  267, 
dass  Jovüiis  das  Verfahren  nicbl  erst  entdeckt  zu  halH-n  brauchte,  da  es 
in  der  Anweisung  zu  Klastiilikalionen  hingst  vorgelegen,  mit  seiner  anftlng- 
lichen  Httlflosigkeit  einiger massen  kontrastirt.  Jedenfalls  auch  la^'  für 
Lotze  keine  Verpflichtung  vor,  jener  kleinen  Beihttlfe  meinerseits  su  er- 
wShnen,  welche  sich  ja  blos  als  Bethätigung  einer  schon  anderweitig  be- 
kannten (mir  swar  seitdem  erst  als  solche  kund  gewordnen)  „Methode" 
Yon  J  e  V  o  n  s  erwies. 

Was  ich  aber  im  sachlichen  Interesse  sagen  zu  sollen  glaube,  i»i 
folgende«. 

Indem  Lotze  bei  seiner  Besprechung  des  Boole'schen  Problems 
sich  darauf  beschränkt,  lediglich  die  „Tabelle"  der  elf  stehen, 
bleibenden  Kombiaatioiien  (tou  S.  564)  hinzusetzen,  und  Toa  den 
übrigen  meint^  dass  sie  schon  gleich  während  des  ^ganz  mechaDischeu'' 
Veraicichnens  derselben  zu  unterdrücken  waren,  erweclvt  er  den  An- 
schein, als  ob  (hier)  die  rechnerische  Behandlung  des  Problems  gegen* 
über  einer  solchen  nach  dem  «gemeinen  Verstände  einen  ganz  über- 
müssigen  Arbeitsaufwand  erheische^  auch  einen  erheblich  grösseren 
Druckumfang  in  Anspruch  nehme;  er  verhilft  dem  kunstlosen  Zuwerke- 
gehen  gegenüber  dem  wissenschaftlichen  zu  einem  billigen  nnd  un- 
verdienten Triumphe. 

Kaum  m5cbte  selbst  dem  Scharfsinn  eines  Lotze  suzutrauen  seiiii 
dass  er  es  praktikabler  finde  hier  schon  vriihrend  des  Yerzeichnens  die* 
jenigen  Kombinationen  zu  unterdrücken,  „welche  durch  die  Gesamtheit 
der  gegebenen  Bedingungen  ausgeschlossen  sind".  Jedenfalls  aber  ist 
die  von  Lotze  so  geschickt  verhüllte  mühsame  Geistesarbeit  (der  wir 
in  der  Absicht^  sie  in  eitenso  darzulegen,  auf  S.  563  unter  der  Ober- 
schrift „Kombinationen''  einen  doch  immer  noch  unzulänglichen  Aus- 


568 


Vienelmte  YorleniBg. 


druck  gegeben  haben)  beim  Je  von  s 'sehen  Verfahren  gar  nicht  zu  ver- 
meiden; sie  mu68  durch  mentale  Vergleichung  einer  jeden  von  den 
32  Kombinationen  je  mit  fast  allen  der  (14  resp.)  16  Prämisseusubjekte 
und  ev.  -Prädikate  doch  wirklich  geleistet  werden. 

Nmi  pfl^  bei  einer  Methode  schon  eine  geringe  Arbeitserspartu^s 
sehr  wichtig  su  sein  wegen  der  unbegrenzten  Iiäufigkeit|  mit  der  sie 
sich  anbringen  lasst,  und  bei  einer  Vergleichung  zwischen  verschiedenen 
Methoden  sind  selbst  geringfOgige  Unterschiede  in  dieser  Hinsicht 
nicht  SU  Terachten.  Hier  aber  ist  der  Unterschied  zugunsten  der 
Rechnung  fflr  sich  schon  ein  ganz  betrachtlicher  und  Jeder,  der  die 
beiderlei  Arbeiten  durchgemacht,  wird  mir  beipflichten,  wenn  ich  be-- 
streite,  dass  jener  JeTons'sche  Weg  hier  „der  passender^  gewesen. 
Er  ist  es  wol  Überhaupt  nie^  doch  um  so  weniger,  je  grosser  die  An* 
zahl  der  in  Betracht  zu  ziehenden  Symbole. 

Die  ganze  „Anmerkung  Aber  logischen  Calottl*',  auf  deren  sonstige 
Auslassungen  hier  einsngehen  ich  verzichte,  ruft  doch  in  etwaa  den  Aus- 
spruch Melanchthon's  zu  Sinn:  „Den  alten  Lehrmetstera  gefällt  nicht  die 
neue  Lehre**!  — 

wie  in  Bezug  auf  die  Jerons 'sehe  Methode, 

treffen  auch  hinsichtlich  Herrn  Hermann  Scheffler's  Verfahren  zu, 

welches  nur  eine  geringfügige  Modifikation  der  vorigen  ist. 

Auch  er  behandelt  in  '  auf  p.  739  . .  742  das  Boole'sdhe  ProbiesK 
—  unsem  Prfifstein  fttr  die  Methoden  —  und  zwar,  wie  gesagt,  wesentlich 
in  Jevons'  Weise,  indem  er  nur:  erstlich  die  uegirten  Fülle  als  Faktoren 
unterdrückt,  was  eine  kleine  Druckcrspamiss  bildet,  dafUr  die  positiv  YOr- 
handenen  Merkmale  zwischen  Vertikalstriclic  «  inschliessend  —  so  bedeutet 
ihm  a\  die  Klasse  der  Fülle,  wo  das  Merkmal  a  allein,  ohne  eines  dor 
vier  übrigen  vorliegt  (was  uns  ah^c^d^c^  darstellt),  desgleichen  |a6j  die 
Klasse  der  Fslle,  wo  nur  die  Merkmale  a  und  b  verbunden,  Jedoch  ohne 
c,  d  und  e,  auftreten  (was  also  bislang  durch  ahe^d^e,  dargestellt  wurde), 
etc.  —  und  indem  er  zweitens,  anstatt  der  Gesamtheit  1  aller  denkbaren 
Fillle,  die  Klassen  a,{),c,  <I,  e  selber  nach  den  (positiven)  Symbolen  „ent* 
wiokeU*\   Letzteres  ist  kein  Vorteil,  indem  es  ihn  nötigt,  nach  dem  Vorbild: 

a  »  |a|  +  \ab\  +  \ac\  +  \ad\  -f  \ae\  +  \abc\  +  |a6d|  +  \abc\  -f  ^acd\  + 
+  \aee\  +  |ade|  +  |a5cd|  +  \abee\  +  |a((fej*)  +  \aede\  +  \abede\ 

nun  5  X  16     80  Olieder  —  statt  unsrer  32  —  hinzuschreiben  und 

sichtend  (ev.  streichend)  dnrdizngehen. 

Nach  den  Prämissen  —  vergL  unsre  „Tabelle"  auf  S.  564  —  bleiben 
X.  B.  von  diesen  16  Cilicdcrn  nur  die  sechs  folgenden  stehen: 

a  —  |al  +  \abe\  +  \ace\  +  \ade\'^*)  +  \abce\  +  \abdc[ 
*)  Dieses  Glied  findet  sich  bei  ihm  ausgelassen. 

**)  Bei  Seheffler  ist  dieses  Glied  f&lschlick  duiek  |ac|  veitceten,  welckss 


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§  26.  Venn'«  grapbiecbe  HodifikHtion  des  Yerfabrens. 


569 


und  wild  der  fjoser  leicht  aiib  Ueui  Anblick  jener  Tabelle  sich  die  uiiahigou 
Eutwickeluugeu  von  2>,c,(l  und  c  auch  in  dieser  Symbolik  herausschreiben.  — 

Von  ebigem  Interesse  nad  noch  SehlSsse  die  Herr  8  che  ff  1er  am 
Schlosse  sieht,  tod  der  Art  der  folgenden:  dass,  wenn  nnr  ein  einstges 
Merkmal  erscheint,  diese.^  nnr  a  sein  kann,  dass  wenn  überhaupt  vier 
Merkmale  zusammen  erscheinen,  damnter  immer  b  und  c  sind,  etc.  Solche 
Schlüsse  zu  ziehen  die  lialb  arithmeti^^cher  Natur  sind,  srhcini  nicht  direkt 
in  du.s  Ke.ssort  unsres  Kalküls  zu  f^eh'iri'n.  Daife;((ii  wird  sie  der  Leser 
Itichl  iu  der  Tabelle  der  11  ^ulü8&if,'eu  i  aiie  beötüligt  erblicken  oder  aus 
dieser  entnehmen. 

Herr  Scheffler  TeranschanliGht  schliesslich  das  Boole'sche  Problem 
aach  nodi  dnr«  !i  «  in  Figar  (in  der  nachher  zu  besprechenden  Manier  des 
fferrn  Venn,  der  ihm  darin  zuvorgekommen)  —  die  aber  unbrauchbar  ist, 
weil  sie  <h\<  uanze  Feld  1  nur  in  31  anstatt  in  32  Felder  ^erlcift,  sonach 
von  allen  deukbaren  Fallen  von  vornherein  einen  nnberilcksichtii^i  Ülsst. 

Dass  es  Herrn  ächefilcr  „nicht  ganz  klar''  geworden,  wieso  >^wi.schen 
den  Merkmalen  h,c^ä  keine  unabhängige  Beaiehung  resultiren  soll,  wahrend 
er  doch  den  Fall  \edH  nebst  \beä\  als  einzig  sugelassen  konstatirt,  liegt  an 
der  üomlSnglichkeit  seiner  IJezeichnung.  Der  Fall  \bc(l\  /..  B.  weist  nicht 
auf  eine  solche  Beziehung  hin,  indem  er  ja  das  Fehlen  der  Merkmale  a 
und  (•  unweigerlich  —  nur  e1>en  leider  nicht  ,, ausdrücklich*'  -  -  fordert. 
Die  obenerwiihnte  kleine  Drupker.-^parniiäs  war  al><)  nicht  umsonst  /u  haben, 
sondern  muss  mit  dem  Zustand  des  ungedeckten  IrrtUuiern-ÄusgestiUläcius 
erkanfb  werden.  — 

Herr  Venn  zieht  in  seinem  mclirorwahnten  Werke'  im  Grunde 
auch  die  devons'sche  Methode  iiocli  den  übrigen  vor.  Er  gibt  der- 
selben aber  -  wenigstens  sofcrne  nicht  mehr  als  fünf  Klassensynibule 
beim  Frobieni  in  Betracht  kommen  —  eine  -^'raphisch  auschauliclie 
Gestalt,  die  Beachtung  verdient.  Er  verwendet  Diagramme  nach  Art 
der  Euler'scben,  macht  aber  einen  eigentümlichen  Gebrauch  von  der 
Sdirafftrmg,  Während  in  meiner  Schrift'  ich,  gleichwie  im  Bisherigen, 
mich  dieses  VeranschauUcbnngsm Ittels  bloe  bedient  hatte  um  gewisse 
(Fl8clion-)(tebiete  vor  den  übrigen  hervorzuheben,  legt  Herr  Venn 
dem  Schraffiren  die  Bedeutung  des  Ausstreichens,  einer  Tilgurnj  bei. 
Dnrch  Schraffiren  soll  ein  im  allgemeinen  logisch  denkbares  Gebiet,  resp. 
eine  Klasse,  als  eine  nach  den  Daten  des  vorliegenden  Problemes  nicht 
Torbandene,  als  eine  verschwindende  oder  leere  gekennzeichnet  werden. 

auch  in  »einer  Kntwickuluug  von  c  gestrichen  werden  muss;  hei  ff  und  e  fohlt 
ihui  daa  Glied  \ad€\^  sodass  von  den  fäuf  Kntwicküluugtii,  die  er  gibt,  uur  die 
TOB  h  richtig  i»t.  £•  leigen  wol  tohon  die  vieleB  Fehler»  in  welche  Herr 
Scheffler  verfUltf  dass  die  vermeintlichen  Tont0ge  «eines  Verfahrens  illnsoriidi 
dnd;  auch  spricht  es  nicht  zugunsten  des  letztercBi  ist  vielmehr  in  Hinaicht  dessen 
lehrreich,  dass  ihm  trotz  dieser  Fehler  die  Diskrepanz  seiner  K^^sultate  mit  denen  von 
Boele  and  mir  gar  nicht  aufiälit,  er  vielmehr  diese  nur  einfach  bestätigt  findet 


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570 


Vienehnte  Vorletong. 


0 


Wig.  tt. 


Kill  von  ihm  gegebeueü  eiulache»  Beiöpiel  wird  die  Sache  sogleich 
klar  niaclion. 

l'riimibsen  eines  Prübicuia  seien:  a  b  (oder  ah^  =  0)  und 
bc  —  0.  So  werdpTi  die  Data,  nacli  Euler'scher 
Weise  durch  die  Fi^iir  21  darzustellen  sein,  aus 
welcher  auch  direkt  ersichtlich  ist,  dass  =  sein 
wird  —  ein  Schhiss,  der  rechnerisch  durch  Elimi- 
nation von  h  aus  den  Prämissen  ge/.o^en  werden 
kann  (^Bekannter  Syllogismus  —  vergl.  „Celarent"  und  „Cesare"  in  §  A2). 
ötatt  dessen  veranschaulicht  Venn  die  Data  mittelst  der  Figur  22, 
in  welcher  die  Gebiete  ab^  (wagrecht)  und  hc  (hier 
senkrecht)  sich  ausgestrichen  finden.  Man  erkennt 
auch  hier  sogleich,  dass  ac  völlig  ausgestrichen  ist. 

Für  Probleme,  die  sich  auf  zwei,  drei,  vier  oder 
fünf  Klassen  n,h,Cfd,e  heziehen,  empfiehlt  dem- 
gemäss  Herr  Venn  die  durch  die  handlichen 
Figuren  23,  24>  25  n.  26  dargestellten  Schemata, 
welche  etwa  durch  Überdruck  za  verrielfaltigen  und 
bei  jedem  derartigen  Problem  gana  stereotyp  an  Terwenden  sind.  [In 
den  ersten  beiden  Figuren  erblicken  wir  kongruente  Kreise,  in  der 
dritten  als  Gebiete  a,  b,  c,  d  vier  kongruente  Ellipsen,  in  der  vierten 


I  is.  22. 


Flg.  ». 


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9  86.   Vena  »  gra|»bi3cho  ModifikftUoo  de«  VcrfabrenB.  571 


aber  uebon  zwei  Paar  kongrueuter  Ellipseu  r/,  c  und  b.  d  noch  eine 
ringförmige  Fläche  c  in  Gestalt  einer  Raute  mit  abgerundeten  Ecken. 
Herr  Venn  verwendet  andere  Buchstaben.] 

Die  Figuren  zerschneiden  je  die  ganze  Ebene,  den  KonstiLiienton 
(ier  Entwickelung  von  1  entsprechend  richtig  in  resp.  4,  8,  16  und 
32  Felder. 

Ich  habe  diese  Fehler  numorirt  so,  dass  die  Numueru  angeben 
die  Stelleuzahl  des  beirefi'endcu  Konstituenten  von 

1  «  a5  +     +     +  a,5„  resp. 
1  —  ahc  +  ahe,  +  a5,c  +  a6,c,  +  a,6c  +  afie,  +  a,6,c  +  «,5,c„  resp. 

1  =a  abcd  +  ahcd,  +  abc,d  +  ahc^d,  +  ah^cd  +  ah^cd^  f  +  ^/^vvA  + 

+  a^bcd  +  a^bcd,  -i-  a,bc,d  +  ifj>c\d^  +  a^h^cd  +  a^b^cd,  +  ajj^t\d  +  ü^b^c^d^y 

resp.  bei  der  letzten  Figur  die  Nummer  der  betreffenden  Kombination 
in  der  ZuBammenstellnng,  gegeben  beim  letzten  nach  Jevons'  Methode 
bebandelten  Ptoblem  auf  S.  568,  welcbe  Kombination  jeweils  eigentlicb 
selbst,  ftla  durcb  das  Feld  yeranschaulicbt,  in  ebendieses  bineinzu- 
scbreiben  wäre. 

Demgemäss  TeraoBebaulicbt  und  zugleich  damit  Vosi  Herr  Venn  das 
Dunmebr  woblbekannte  Boole'sche  Problem  dnreb  die  Fig.  27  in  welcher 
blos  unterblieben  ist,  auch  das  Aussen- 
feld  (32)  zu  schraffiren,  und  aneaerdemihm 
das  Versehen  zu  Terbessem  war,  das 
Feld  24  der  Fig.  26  freigelassen  zu  haben 
(vergl.  Venn»  p.  281). 

Übrigens  schliesst  es  auch  einen  Fort- 
schritt gegenüber  dem  ursprünglichen 
Jevons'schen  Verfahren  in  sich,  dass 
Venn  diesen  Strich  der  Felder  nicht  im 
Hinblick  auf  das  Kombinutionenaystem 
der  nach  allen  Symbolen  gleichmässig 
eutwiekelten  Einheit  vollzieht  [wie  sie  beim  vorliegenden  l'roblem  auf 
S.  563  angegeben],  sondern  im  Hinblick  auf  die  Glieder  der  einzeln 
rechts  auf  0  gebrachten  Prämiasengleichungen,  wie  sie  sich  in  unsrer 
vereinigten  Gleichung  jeweils  zusammengestellt  ünden  [so  oben  bei  c) 
der  1.  Aufg.  des  §  25].  Gewisse  Ton  diesen  Gliedern  —  nämlich  die 
aus  weniger  Faktoren  zusammengesetzten  —  werden  sich  dabei  als 
Ton  grosserer  Tragweite  (^scope^)  erweisen  als  die  andern,  nämlich 
den  Strich  ganzer  Komplexe  yon  Elementarfeldem  auf  einmal  er- 
heischen. 


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572 


Yierzehjito  Vorlesung. 


Zur  ferneren  Illustration  sei  auch  Venn's  graphische  Behandlung 
der  10.  Aufgabe  des  §  25  hergesetzt  (Fig.  28),  wobei  wir  die  aus  dem 

Gebiet  tv  herausgeleseneu  Felder  horizontal 
schraffirt,  das  übrig  bleiben  sollende  Feld  durch 
einen  Punkt  hervorgehoben  und  diejenigen  vier 
Felder  die  darnach  verschwinden  inussten,  verti- 
kal schmffirend  ausgestrichen  haben,  deuigemass 
das  Feld  a\yziv  nach  beiden  Richtungen  schraf- 
firend. 

Zum  Schlüsse  seien  noch  ein  paar  Probleme 
Venn's  angeführt,  bei  welchem  sein  Verfahren  in  der  That  vielleicht 
bequemer  erscheint  als  irgend  ein  rechnerisches. 
Die  von  Jevous*  p.  G4  aufgestellten  Data: 

a  =  h+Cf    6  =  c,  +  f/,,    c^<l^  —  0,    ad  =  hcd 


Fig.  28. 


seien  zu  vereinfachen. 


Klg.  29. 


Schraffiren  („shading  out")  aller 
Felder,  die  durch  diese  Prämissen  als 
leere  hingestellt  werden,  liefert  die 
Fig.  20,  aus  welcher  sofort  ersichtlich, 
dass 

sein  muss,  indem  eben  nur  das  Feld  a^/e 
noch  übrig  bleibt. 

Rechnerisch  würde  sich  dieses  Resul- 
tat ebenfalls  ergeben,  indem  man  die 
vereinigte  Gleichunf;: 


a6,c,  +  fl,  (6  -{-  c)  -f  hcd  +  6,  (r,  -f  f/,)  +  c^d^  +  (a6,  +  ac,  +  o,6c')  d  =  0 
etwa  nach  a  entwickelte,  wodurch  sich 

a{\-\-c^-¥d)  +  a^'X  =0 

mit  einiger  Mühe  ergäbe;  es  muss  sonach  in  der  That  fi,  =  (),  das 
heisst  «  "=  1,  hernach  auch     +  c,  +  r/  —  0  sein,  et<j. 

Treffend  widerlegt  Herr  Venn'  p.  148  Fussnote  die  Bemerkunrr  von 
Jcvons,  I.  c.  dass  die  obigen  Data  zweifellos  einander  widersprechende 
(„contradictory")  seien,  auf  die  wir  in  Anhang  0  zurückkommen  müssen, 
weil  die  ihr  zugrunde  liegende  falsche  Anschauung  Jevons  vielfach  zur 
Aufstellung  ungeeigneter  Ergebnisse  geführt  hat. 

Ähnlich  kommt  Venn^  p.  15  von  den  Daten  aus: 


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* 


§  27.   Methoden  von  HcCoU  und  Feirce.  573 

cor  Anlegung  der  Figur  30,  aus  welcher  auf  den  ersten  Blick  ein- 
leuchtet, dass 

,-0 

der  ganze  logische  Gehalt  (import)  des  Prümissensystems  sein  rauss. 

In  der  That  erlialten  wir  dieses  Ergebiiiss  auch  als  dessen  „ver- 
einif^e  (ileichung",  welche  hiernach  zusammen- 
falit'ii  wird  mit  der  Resultante  der  Elimination 
von  .r,  ^  oder  iv  —  einzeln,  oder  in  einer  Partie, 
oder  insgesamt  —  aus  dem  Priimisseusysteme. 

Vergl.  auch  Math.  Quest.  vol.  31  p.  51,  wo 
dieselbe  Aufgabe  mit  vertauschtem  x  und  y  gestellt 
und  —  umständlicher  —  von  MoColl  gelOst  ist 

Dagegen  löst  sie  auf  die  Torstehende  Wnse 
Herr  K  Harley,  ibid.  p.  74. 

§  27.  Metboden  von  KeOoll  nnft  Feiree. 

Die  Methode,  welche  Herr  Peirce  in  seiner  grundlegenden  Arbeit^ 
p.  37  ..  42  als  f&nfie  —  meiner  Auffassung  nach:  dritte  —  den  übrigen 
hinzufügt,  ist  äusserst  beachtenswert  und  genial,  wenn  auch  seine 
Darstellung  derselben  einzelnes  zu  wünschen  lassl 

Ich  möchte  das  Yerhaltniss  dieser  Methode  zur  modifizirten 
Boole'schen  Torweg  im  Bilde  charakterisiren.  Bei  dieser  wurden  die 
▼erschiedenen  EnEuel  der  PkrSmissen  oder  Data  des  Problems  erst  fest 
zu  einem  einzigen  Knoten  geschürzt  (der  vereinigten  Gleichung)  und 
dieser  dann  durchhauen  (bei  der  Elimioation). 

Beim  Peirce'schen  Verfiihren  aber  werden  jene  Knäuel  in  ihre 
dünnsten  FSden  auseinandergelegt  nnd  die  erforderlichen  einzeln  zer- 
schnitten (oder  auch  neu  nach  Bedarf  verknapft)  —  wogegen  die 
JeTons'sciie  Methode  sogleich  ein  fficksel  aus  dem  Ganzen  machte! 
Ich  denke  zu  zeigen,  dass  durch  eine  geringfügige  AbSnderung  der 
Peirce'schen  Tendenz  unter  Beibehaltung  seiner  Schlnss weisen,  indem 
man  niimlich  jene  Knäuel  immer  nur  so  weit  auseinandernimmt,  als 
erforderlich,  um  den  Eliminanden  resji.  die  Unbekannte  frei  zu  be- 
kommen, dasjenige  Verfahren  entstellt,  welches  für  gewöhnlich  den 
Vorzug  verdienen  dürfte  —  wobei  sich  das  Verfahren  aber  dem 
McCoU  sehen  genähert  haben,  nicht  mehr  allzuweit  von  demselben 
verschieden  sein  wird. 

Wenn  Herr  Peirce  von  seiner  Methode  sagt,  dass  sie  „perliaps 
is  simpler  and  ccrtainly  is  niore  natural  tban  any  of  tlie  utliers",  so 
musa  ich  ihm  iu  Bezug  auf  die  grossere  Natürlichkeit  liecht  geben. 


VI«,  an. 


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574 


Vierzebote  Vorlesung. 


obwol  98  beim  ersten  Blick  auf  die  sechs  |,Proses8e^  aus  denen  sie 
sieh  zasammensetst,  durchaus  nicht  so  scheint.  Die  (nur  eYentnell) 
grössere  Einfachheit  wird  erst  erreicht  hei  der  angedeuteten  Abänderong, 
die  kli  Torschtege. 

Ich  will  zuerst  Tersuchen,  eine  möglichst  getreue  Darstellung 

seiner  Methode  zu  geben^  was  ich  indess  nicht  thun  kann,  ohne  einige 
£rgäQ7.uugeu  beizutügcu  und  gelegentliche  Kritik  zu  üben. 

Methode  von  Peirce. 

Erster  Prozess.  Man  drflcke  alle  Prämissen  mittelst  der 
Kopula  =^  aus*),  beachtend,  dass  nach  Def.  (1)  a  =  6  dasselbe  sagt, 
wie  a^b  und  b'^a.  Die  Prämissen  werden  sich  darnach  als  ein 
System  Ton  lauter  SubsumÜonen  darstellen. 

Zweiter  Proze SS.  Man  „entwickele"  jedes  Sulijeht  in  Form  einer 
SatHiiic  iieinäss  Th.  44^.)  und  dual  entspreclieiiJ  jede.s  Pnidilat  in  Form 
eiucä  l^roäuJcts  gemäss  Th.  44^)  nach  den  iu  ihm  vorkommenden  iiuch- 
stabensynibolen  —  indem  man  etwa  im  Einklang  mit  den  im  §  19 
auseinandergesetzten  Methoden  links  das  Schema: 

f(x)^f(l)x  +  f(0)x,,    rechte  das         -{/"(O) +  «}(/•(!)  + 

bezfiglich  jeden  Buchstebens  wiederholt  in  Anwendung  bringt 

Als  das  „leichteste'*  Verfahren  stellt  Peirce  hier  ein  gewisses  hin, 
auf  das  ich  erst  in  der  Anmerkung  nachher  eingehen  will. 

Ich  muss  aber  bemerken  dass  eine  ToUstfindige  „Entwickelung^  schon 
im  8inne  der  Peiroe'scben  Methode  gar  nicht  erforderlich  ist   Es  ist 


♦)  Hier  mnss  ich  zuerst  bemerken,  dusB  Peirce  bei  seinem  eiiteu  und 
dritten  Frozeeso  auch  daa  Beziehungfizeiclv^n  der  „Subsuaitionenveraeinung'* 
iD  den  Kreis  seiuer  Hetiachtnnfjeo  zieht,  uiithiu  auch  verneiuto  Subaumtioaen  als 
unter  den  Prämissen  vorkommend  mit  zuzulassen  scheint.  Die  Möglichkeit  solcbea 
Vorkommens  verliert  er  aber  beim  Schüden  der  flbrigen  ProseMe  Tollst&ndig 
ans  den  Augen,  uaterUList  mtnentlieh  sn  «sgen,  was  mit  den  eatstehenden  Alter- 
natiyen  von  negirten  SabtomtionMi  naeh  sdner  Absicht  ansnfiuigen  wkte,  nie 
denn  nun  aus  ihnen  iwter  sich  und  in  Verbindung  mit  den  positiven  SubenmtioneD 
die  Eliminationen  zn  vollziehen  wiiren  u.  s,  w. 

Abgesehen  davon,  dmn  wir  bei  öolcher  Mrweitt'ninfj  des  Kreises  zugelassener 
Prilraiasen  das  Verfahren  eret  unter  dem  Aussageukalknl  bürücksicbiigeu  und  be- 
sprechen könnten,  muss  dies  ober  schon  darum  unterbleiben,  weil  ein  solches 
Qberhmpt  nicht  Torliegt»  die  Metbode  oach  dieser  Richtung  nieht  autgebildetk 
unfertig,  ja  auf  wenige  gani  mdimentftre  Asdenfamgen  besdirftokt  erscheint 

Ich  muss  xodom  bezweifeln,  dass  sie  sich  durch  irgend  naheliegende  Modi- 
fikatioDeu  den  Mchs  Proxessen  eDtsprecbend  ei^Uusen  Uesse.  Cf.  §  46, 10.  and  II. 
Aufgabe. 


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§  S7.  Methoden  von  ICeCoU  und  Peirce. 


575 


TüUig  ausreichend,  wenn  man  nur  die  Subjekte  in  „letzte  Aggreganten*\ 
die  Prädikate  in  „letzte  Faktoren"  im  Sinne  des  §  13  zerlegt,  jene  also 
ausmiiltipli/ireud  je  als  Snmnu'  von  monomischen  Produkten  einfacher  Sym- 
bole darstellt,  diese  aber  gemäss  dem  dualen  Gegenstück  27^)  des  Distri- 
butionsgesetzes  jeweils  in  ein  Prodakt  von  Sammea  «infaeher  Symbole 
verwandelt 

Wshrend  z.  B.  nach  Peirce  ein  Prftdihafit  x  +  y$  m 

(x  +  y  +  z)(jx  +  tj  +  z,)(x  +  y,  +  s) 

dual  „entwickelt"  werden  solltOi  genügt  bereits  desäen  Zerleguug  in 
(x  + !/)  (x  +  z).  Und  analog  wird  auch  allgemein  das  letzterwähnte  Ver> 
fahren  seiner  grosseren  Einfachheit  halber  den  Vorzag  verdieuett. 

Kach  Aosfühning  des  zweiten  Prozesses  werden  also  als  Subjekte 

nnr  Summen  YOn  Produkten,  als  Pridikaie  nur  Produkte  von  Summen 

aus  einfachen  Symbolen  auftreten  —  und  das  genflgi 

Dritter  Prozess.  Gemäss  den  Schemata  der  Def.  (3),  wonach 
eine  Subsumtion  der  Form 

äquivalent  ist  dem  Systeme  von  Subäumtionon: 


d  =^a 


oder 


b 
c 
d 


a^b 
ü'^d 


oder 


r5 


a  =^ 


—  wie  ich  bequemer  dafür  schreiben  will  — '  löse  man  alle  „zusammen- 
s^^eizten"  Subsumtionen  in  die  damit  äquivalenten  Systeme  von  simul- 
tanen einfacheren  Subsumtionen  auf. 

Ei8  wird  darnach  irgend  eine  Prämisse,  welche  nach  dem  bisherigen 
die  Form  besitzen  mnss 

«  +  s' ^  ppV'p'" 

in  der  Gestalt  anzuschreiben  sein: 


8 

» 

s 


(P 


=4 


womit  gesagt  sein  soll,  dass  8=^p,  s  =4 ;>',  ^=^p")  •'«=^1'">-  » 

s'4i'>  ^•'=€p'»  8«- 

In  praxi  —  meint  Peirce  —  werden  diese  Operationen  schon 
beim  Niederschreiben  der  Prämissen  sich  vollziehen  lassen. 


576 


Vieraebnto  Yorlesiinff. 


Da  die  Glieder  s,  s', . .  der  in  Da  die  Faktoren  |>,      . .  der 

letzte  Summanden  zerlegten  Sub-  in  letzte  Faktoren  zerlegten  Prä* 

jekte  ihrerseits  mooomisehe  Pro«  dikate  ihrerseits  Summen  ans  ein- 

dukte  waren,  facben  Symbolen  waren, 

so  werden  nach  Vollzog  onsres  dritten  Prozesses  gerade  nmgekehrt 
wie  {rfiher 

die  Subjekte  nur  Produkte       |       die  Prädikate  nur  Siminien 

sein,  aber  jetzt  aus  lauter  einfachen  Symholcnj  nämlich  den  Argumenten 
(Variablen,  KoefHzienten,  Parametern,  Eliminaaden,  Unbekannten,  oder 
wie  man  sie  ncnucii  mag)  und  ihren  Negationen  —  wofern  sie  nicht 
seihst  schon  einfache  Sj^mbole  sind. 

Vierter  Prozess.    Dieser  soll  nunmehr  die  Elimination  eines 

Symbols  bewerkstelligen.  Wir  nennen  den  Elimiiianden  .r.  Dann 
müssen  nachPeircc  auf  jede  inöyliclic  TKeisa  zusammengehalten  werden 
eine  Subsumtion  des  vorliegenden  Systems,  welclie  x  im  Subjekt  oder 
aber  x,  im  Prädikat  enthält,  mit  einer  bolcheu,  welche  umgekehrt  x 
im  Prädikat  oder  aber  a*,  im  Subjekt  enthält. 

Sollte  beiden  zugleich  der  Fall  .sein  bei  einer  Pr'imispensnbsuration, 
BO  tiillt  der  Eliiumaud  bchoa  von  äullist  heraus,  uüer  aiau  kann  das  eine 
weglassen,  den  einen  Term  X  resp.  a?,  unterdrücken  —  gleicbTiel  welchen. 

Wenn  nftmlich  x  und  x,  zusammen  im  8objekto  vorkamen,  so  wttre 
dieses  (als  das  Produkt  der  einfachen  Symbole)  kraft  Tb.  30,^)  gleich  0, 
wenn  sie  zubammen  im  Prädikate  vorkamen,  so  wäre  letzteres  (als  die 
Summe  dieser  und  vielleicht  noch  nnderer  Terrae)  nach  Tb.  30^)  gleich  1. 
Diese  Fälle  werden  gar  nicht  iu  Betracht  kommen,  weil  man  Subjekte  und 
Prädikate  doch  immer  nur  mügUchbt  „ausgerechnet"  ansetzt. 

Kommt  aber  x  im  Subjekt  und  mighidi  x^  im  Prttdikate  vor,  oder 
nmgekehrt»  so  kann  dies  nach  bisherigem  nur  in  der  Form: 

ax  =^  b  +  X,    resp.    cx^  =^  d  +  x 

eintreten,  und  wird  gemiis.s  Th.  41)  solcher  Ansatz  zu 

ax^b   oder   a^b  +  x^    resp,   cjr, ^ d   oder  c^d-^x 
—  nach  Belieben  —  sich  sofort  Tereinfachen  lassen. 

Nach  der  vorausgehenden  Bemerkung  wird  jene  Subsumtion  Yon 
der  Form  sein: 

<r)  axs^h   oder  aber   a=^h  x^ 

und  diese  von  der  Form: 

ß)  c^d-^-x   oder  aber   cjt,  =^ d 

wobei  nach  dem  Th.  41)  des  §  17  die  nebeneinanderstehenden  Sub- 
sumtionen ja  äquivalent  sein  mfissen. 


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$  S7.  Hetboden  von  McCoU  nud  Peirce. 


677 


RefluUaiite  der  ElimiDation  von  x  aas  den  beiden  Subsumtionen 
des  Paares,  welches  ans  den  Zeilen  «)  und  /})  je  eine  Subsumtion 
enthalt,  ist  nun  die  Subsumtion: 

y)  =^  5  +  <f. 

Beweis.  Die  vereinigte  Gleichung  von  a)  und  j3)  würde  in  der  Thai 
(in  der  tob  mir  bevorzugten  Sehreibweiw)  lauten: 

somit  al>  Resultante  liefern:  a\cd^  =  0,  was  nach  Th.  38^)  mit  der  Sub- 
snmtion  y)  är^nivalent  ist. 

Die  Kegel  für  solche  Einzcleliminfitioii  lautet  also:  Man  mnlfipli- 
2irr  die  Snhjrhtr.  und  nddirr  die  Trädilatr  der  sntsammengehalienen 
sunttionen  unter  ^Vcff(assnu(J  des  FAiminanden. 

Von  den  so  gewonnenen  Resultanten  müssen  die  nicht  analytisch 
erfüllten  (diejenigen,  welche  „Relationen"  sind)  vollständig  registrirt 
werden,  sofern  sie  nicht  in  bereits  registrirten  mitenthalten  sind. 
Zusammen  mit  deiyenigen  Sabsumtionen,  in  welchen  der  Eliminand 
gar  nicht  vorkam,  werden  sie  in  Gestalt  eines  Proposiiionensjstems 
die  volle  Resultante  darstellen. 

Es  ist  nvM  erforderlicli ,  elno  Subsumtion  der  Form  o)  mit  einer 
andern  von  ebendieser  Form  «)  behufs  Eliniination  des  r  ^u^amirK^nzuhalten, 
und  ebensoweni?,'  braucht  man  x  ans  irgend  y.woi  Subsinnti  in  >n  der  Form  ^) 
apart  zu  elimiiuren,  weil  in  solchen  Fällen  die  Hesuitauicu  stutd  auf  die 
Idaitil&t  0     0  hinanslaitfeii  mttssen. 

In  der  Tbat  würde  bei  iwei  Subsumtionen  der  Form  «): 

ax  =^  h    und    cx  =^  d    (oder  c  =^  4- 

die  vereinigte  Gleichung  lauten:  {(ih^  \  rt?,)  .r  +  0  •  =  0,  sonach  bei  Kli- 
minatinn  des  x  nur  fonlern,  dass  [cth^-k- cd^-O  =  i)  sei,  was  von  selbst 
der  Fall  ist.  Und  uhuiich  verbült  es  sich  bei  irgend  zwei  Subsumtionen 
der  Form  wie: 

a        ■\-  X    und    c  =^d-\-  x    (oder  cx^  =^  rf), 

welche  vereinigt  0'X-\-  {ah^  4-  cd^  0  geben.   Tm  übrigen  mUsste,  dass 

hier  die  Gesamtheit  der  Ein/.olresul tauten  die  volle  iicsultauto  darstellt^ 
doch  eigentlich  noch  bewieoeu  weiJeuI 

Fünfter  Prozess.  Derselbe  bezweckt  (in  Verbindung  mit  dem 
nächstfolgenden  und  lotsten  Prosesse)  das  Äquivalent  dessen  su  leisten, 
was  wir  seinerseit  als  die  ÄtrfWsung  des  Propositionensystems  nach 
mar  Unbekannim  (x)  bezeichneten.  Nach  §  21,  o)  kommt  diese  hinaus 
auf  die  Ermittelung  erstens  eines  {x  nicht  als  Operationsglied  ent- 
haltenden) PrSdikates,  au  welchem  x  Subjekt  ist,  und  zweitens  eines 
(ebenfalls  Ton  x  freien)  Subjektes,  zu  welchem  x  Prädikat  ist. 

ScBaaoBB,  Alfebn  der  JVogik.  87 


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578 


Vienehnie  Vorlefiing. 


Im  fiOnften  Prozess  worden  Bimächat  alle  Subjekte  ^  sowie  alle 
Prädikate  von  x  (unter  den  im  PiftmiaBensystem  yorkommeDden  Sym- 
bolen oder  Tennen)  ans  den  vorliegenden  SnbBumÜonen  einzeln  Heraus- 
gelesen; im  sechsten  werden  sie  hernach  an  einem  einzigen  Subjekte 
respb  Prädikate  zusammengefassi 

Na^ukm  Tontehend  hmgebraelU  war,  dass  aUe  Süifjdie  hSMms 
Produkte,  äUe  Bradikak  aber  höchstens  Summen  sind  (wofern  Bie.näm* 
lieh  flberhauptr  noch  als  zusammengesetzte,  nicht  schon  als  einfache 
Symbole  erscheinen),  können  wir  nach  Belieben  gemäss  Tb.  41)  jedes 
Operaiionsglied  aus  dem  Subjekte  tn*s  Prädikcd  hringen,  oder  vmffdu^, 
indem  wir  dasselbe  erstens  in  seine  Kegation  verwandelii,  zugleich 
aber  auch  zweitens  die  Art  seiner  Yerknfipfung  (mit  den  andern  Sym- 
bolen) dualistisch  abrmderii.  nämlich  diese  aus  einer  Addition  in  eine 
Multiplikation  oder  umgekehrt  verwandeln  —  vergL  den  Wortlaut 
jenes  Theoremes,  nach  welchem  ja: 

a=^b  +  x^    mit   ax=^b   und   ax^  ^  h   mit  a'^b-i-x 

gleichbedeutend  ist 

Keineswegs  dttrfte  dagegen 

ft  +  x,=^h    in    a^hx   oder  auch    a  ^  / ,    in    a  +  x  ^  6 

(oder  uiiigokehrt)  verwandelt  werden,  wie  man,  die  Subsumtionen  rechts 
auf  0  bringend  leicht  erkennt,  wo  sie  besagen: 

(a  +  X,)    —  0,   a  (6,  +  «,)  —  0  rssp.  a  (6,  +  jp)  «  0,   (a  4-  a;)    »  0 

und  augenscheinlich  einander  durchaus  nicht  decken.  Mit  Subsumtionen 
von  Yorstehender  Form  kOnnm  wir  es  aber  hier  lycht  mehr  zn  tbun  be> 
kommen,  da,  wenn  solche  vorkamen,  ue  nach  dem  dritten  Ftozess  zerlegt 
sein  mussten. 

Wo  ea  etwa  erforderlich  wird,  ein  Symbol  auf  die  andre  Seite 
der  Subsumtion  „hinfiberzuschaffen*'  (zu  „transponiren'^,  welches  auf 
der  einen  Seite  isolirt  steht,  so  IBsst  es  die  Einheit  znrflck,  falls  es 
Stthjekt  war,  die  Null  falls  es  Ptadikat  gewesen.  Schematisch:  soll 
in  einer  Snhsumtion  a^h  das  a  hinübergeachafft  werden ,  so  sagt 
man:  l*as^(  und  folgert  nach  der  Regel:  ls^a^+b\  sollte  aber 
das  h  herabmrgeschafft  werden,  so  denkt  man  sich  die  gegebene  Sub- 
sumtion in  der  Gestalt  augeschrieben:  und  folgert  regel- 
recht: a-b,=^0.  — 

Demnach  kann  stets  die  Negation  x,  der  Unbekannten,  wo  sie 
irgend  vorkommt,  in  Gestalt  von  x  transponirt  werden ,  wodurch  er- 
zielt wird,  dass  das  yorliegende  Subsumiionensystem  nur  mehr  x  selbst, 
aber  nicht  mehr  x^  enthält.  Und  weiter  können  diejenigen  Operations- 


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g  27.    Methoden  voa  McCoil  und  Peirce  579 

glieder,  mit  welchen  nun  x  noch  Terlmflpft  erscheint»  ebenfalls  auf  die 
andere  Seite  geschafft  werden,  sodass  in  Jeder  einseinen  Subsumtion 
(in  der  die  Unbekannte  fiberbaupt  Torkommt)  diese  jetst  endlich  isoUH 
erscheinen  vird,  und  zwar  entweder  als  das  Subjekt,  oder  als  das 
Prädikat  derselben.  Die  regelrechte  AnsfOhruag  dieser  Operationen 
macht  den  fünftcu  Prozess  aus. 

Sechster  Prozess.  Man  vereinige  flchliesslicli  die  gewonnenen 
Subsumtionen,  welche  die  Unbekannte  x  zum  rrädikate  haben  in  eine 
einzige  Subsumtion  mit  e})endiesem  Prädikate  .r.  inilein  man  die  Summe 
ihrer  ^Subjekte  bildet,  ebenso  diejenigen  Subsumtionen,  welclie  ffomem- 
sam  die  Unbekannte  x  zum  Subjekte  haben  in  eine  einzige  bubsum- 
tion  mit  cbendiesem  Subjekte  x  und  dem  Produkt  ihif  r  Prädikate  als 
Prädikat  —  auf  Grund  der  jetat  im  umgekehrteu  ^iuue,  wie  beim 
dritten  Prozess,  anzuwendenden  Schemata  der  De£  (3). 

Hiermit  wird  man  schliesslich  die  Doppelsubsumtion  (mit  x  als 
dem  Mittelterme)  erhalten,  welche  die  j^Berechnung^  der  Unbekannten 
leistet  und  das  Problem  löst 

Zur  Illustration  dieser  Methode  wollen  wir  mit  Peirce  das  als  1.  Anf> 
gäbe  in  ^  25  von  uns  gelöste  Problem  von  Boole  nocbmals  behaadelo, 
dessen  Data,  waren: 

=^  (bd^  +  6, d)« ,  ade,  ^bc-^     ,  a(p  +  e)     cd,  +  c,d , 

und  bei  welchem  verlangt  wird,  erstens  diejenigen  Aussagen  Über  a  so 
finden  in  welchen  nur  nodi  Ton  6,  r,  d  die  Bede  ist  (which  „involve'*  only 
?>,  c,  d\  zweitens  anzugeben  welche  Relation  awißchen  i>,  c,  d  allein  besteht, 
drittens  zu  finden,  was  von  (und  mit)  h  in  Be7,ng  auf  a^c^d  ausgesagt 
werden  kann  und  viertens  zu  ermitteln,  welche  Kelation  zwischen  o,  c  und 
d  besteht 

AnflOsang  gemlss  Peirce.  Dnreh  die  ersten  drei  im  Ebiif  ans- 
gefnhrten  Prosesse  ISsen  wir  die  drei  Prämissen  besttglieh  auf  in  die  nach- 
folgend sasammengestellten  Subsumtionen: 

e  +  d  cd, 


6  +  d 

'  6  +  c,  ah 

a,c,  — 

6,+  d,,  ade^^ 

e 

b^+  c  tie 

nebst 


a 


6  + 


Ks  war  hiebei  blos  zu  berücksichtigen,  dass 
lid,  +      «  (ö  4-  d)  (fr,  +  d,),     6c  +  e>,c,     (6  +  c,)     +  c), 
fthnlich  cd,  +  c,d  «  (c  +d)  (c,  +  d,)  and  endlich  a(fr  +  c)  « «tb  +  ac  ist 

Znersh  müssen  wir  c  eliminlren.  „von  welchem  wir  nichts  wissen  wol- 
len^'i  von  welchem  abgesehen  werden  soll. 

37* 


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68p 


Vienehnttt  YovleniDg/ 


Zum  System  der  Resultanten  gehüren  eretens  dicgenigen  unter  den 
oltigeu  Snbennttkoieii,  welche  e  Überhaupt  nicht  enthalten;  dieee  sind: 

der  liiiminaüon  des  c  aus 


6  +  e 


Zweitens  tragen  dazu  bei  die  lleäultanieu 
je  einer  Subsumtion  der  Gruppe: 

mit  je  einer  solchen  der  Gruppe: 

tifkZ  w«r  dksty  weil  in  den  SubsumtioDen  jener  Gruppe  wesentlich  c  im 
PrUdikat  (oder,  was  auf  dasselbe  hinauslUuft,  r,  im  Subjekt),  in  den  Sub- 
Bumtintien  dieser  Gruppe  aber  c  im  Siibjokto  auftritt. 

Nach  der  Regel  des  vierten  Prozesses  gebildet  sind  nun  un^re  Ueüut- 
tanten  aUmtUch  hingeuchrieben  folgende: 

1  +c  +  d(=  1) 


(0 


1  +  <?,  +  (I,  =  1 


(6  -i-  r,-f  (/, 


H-c,  +  c  +  <l  —  1 

6  +  f,  +  < ,  4-    =   +  flc(/,  ) 

ft,  +  c  +  c  +  W  =    +  c  +  </  '    «'^'i J 
+  C4-  c,  +  d,  —  1 

wovon  aber  nnr  diese  eine: 

f)  od  =^  6  +    +  rf, 

wirklich  2U  Dotireu  gewesen,  die  andern  —  niimluli:  0^1,  ad^\y 
(td=^b^+c  +  d,  etc.  bis  ar,  J  =^  6  +  r,+ rf,  —  als  selbstver.stiindlich  schon 
mittelst  „Kopfrechnaog".  erkannt  und  sofort  hutten  weggelassen  werden 
können. 

Die  zuletzt  gefuudne  Eiiizelrusnlt-anto  £)  kanu  uun  auch  noch,  indciu 
man  <?,  der  Regel  des  Th.  41)  gemttss  nach  links  wirft,  vereinfacht  wef^ 


den  zu: 


Und  ferner  geht  die  zweite  von  den  Subsumtionen  d):  «,f,  =^  6,  4-  </, 
augenseheinlioh  in  der  letzten  c,d  ^  a  auf,  wie  man  in  Peirce's  Manier 
am  schnellsten  sehen  wird,  indem  man  erstere  mittelst  Umstellung  zweier 
Terme  umwandelt  in  e,(i^2i,+  a,  wss  aus  e^d^n  und  Tb.  6^)  doch  a 
fortiori  schon  folgt. 

Es  wird  d;irnacli  jene  furtzulassen  sein. 

Die  Goiäamtresultanie  der  Eliniiiintinn  des  c,  zunäch.st  durcii  das  System 
der  koexistirenden  Subsumtionen  d)  imd  t)  vollständig  dargeätcllL  erüchei- 
nend,  zieht  sich  demnach  zusammen  zu: 


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§  27.  .Methoden  von  McCoU  und  Fcirce,  581 

Diesen  Sy«jtcra  von  sechä  Subsumtionen  bildet  namnehr  die  Frimiäsen  zu 
allen  weiter  verlangten  Schlussfolgerungen. 

Die  zweite,  dritte  und  sechste  von  diesen  gibt  die  Prädikate  tou  a 
an;  dieselben  sind: 

?>,  4-  c  +  rf ,    h^  +  c^  +  d,    und    6  4- 1,  +  . 
Es  uuibs  a  eiiigeoidnet  sein  ihrem  Produkte: 

«  =^  ^6  +  c,  +  d,)  (6,  +  c  +  d)  (6,  +  c,  +  rf,) 
oder  BQsmaltiplizirt: 

üm  zu  finden,  ob  irgend  eine  Relation  zwischen  b,  c  und  d  besteht,  suchen 

wir  auch  die  Subjekte  von  a  zusammen.  Diese  sind  aus  der  ersten,  vierten 
und  fünften  Subsumtion  ^)  zn  enfnolimen  in  Hestalt  von;  &,c,d|,  ctJ,  und 
<r,d;  es  mnss  also  ihre  Suiuine  dem  u  eingeordnet  sein: 

h^c^d^  +  cd^^{^e^d^a, 

Ängenieheialieh  resnltirt  dnreh  Elimination  des  a  ans  den  beiden  lotsten 

Subsumtionen,  welche  hier  schon  durch  den  Schluss  Barbara  nach  Pnn- 
zip  II  erfolgen  wird,  weiter  nichts  als  eine  analytische,  „leere",  das  Prin- 
zip I  der  TdentiUt  exemjilifizircnde  Formel  (an  „emptv"  j>rnjiosition),  so- 
dass zwisclu.ii  b,  c  imd  d  keine  unabhängige  Bc/iobung  zu  bestehen  braucht. 

Um  die  Früdikate  von  b  zu  finden,  kombiniren  wir  die  zweite  tad 
dritte  Subsumtion  ^)  und  erhallen  (analog,  wie  bei  a  des  genaueren  an- 
gegeben wurde): 

=^  (ff,  +  c  +  d)  (ff,  +    +  fl,)    oder    6  =^  f/,  +  crf,  +  c^d 

als  driUea    l-  f  \  t.'i  laugten  Ergebnisse. 

Durch  bunmilung  der  Subjekte  vou  6  gchi  au«  der  erbten  iiud  der 
leisten  Subsumtion  ^)  berror: 

Durch  Elimination  vou  0  aus  diesem  und  dem  vorigen  Ergebnisse  ge- 
miiss  Prinzip  II  geht  dann  hervor: 

acd  +  a,c,rf,  =^  «,  +  cd^  +  (\d , 

oder  vereinüscbt:  acds^O,  was  mit  der  vierten  und  fünften  Subsumtion  gibt: 

cd,  +  c,<l     a  =^  c,  +  cl, 

in  Beantwortung  der  letzten  von  den  gestellten  Fragen.  — 

Anmerkung.  Unter  dem  zweiten  Prosesse  emp6ehlt  Peirce,  nm 
einen  Ausdruck  in  seine  letsten 

Smmanden  \  Faktoren 

„entwickelnd'*  zu  zerlegen,  falls  er  nlmlieh  Yon  vomhersän  ein 


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582  Vioselmte  Vorlemang. 

ProäivM  (too  Sammen)  |      «ine  Ammm  (von  Prodokten) 

gewesen,  da»  folgende  Yerfiüiren.   Man  bilde 

jedes  denkbare  Produkt         |  jede  Samme 

au8  allen  in  dem  Ausdruck  vorkommenden  l!ii<.lir:tabensvnilM-iltij  und  dpren 
Negationen,  sodass  darin  jeder  Buchstabe  nur  t//aual  (negirl  oder  aber  uq- 
negirt)  Teiireten  ist. 

OemAss  der  fondsmentalen  Formel  des  Th.  6): 

a&     6  ^  6  +  c 

unterbuche  man ,  ob 

die  ätuume  ein  Prädikat  ist  von 


das  gebildete  Produkt  ein  Subjekt  ist 
von  jedem  Faktor 


jedem  Giiede 


des  gegebenen  Aasdrockes.   Trifft  dies  su,  so  ist  es,  xesp.  sie  ein 
letster  Snorauuid  |  Primfaktor 

ebendieses  Aosdniekes,  aadecniisUs  nicht 

Man  fsbie  in  dieser  Weise  fort,  bis  so  viele  letste  Summanden  resp. 

Faktoren  gefunden  sind,  als  der  Aosdmck  besitsen  muss. 

Um  diese  Zahl  zu  finden  (unter  obeoerwälmler  Voraussetzung,  die  ja 
schon  nach  §  11  sich  immer  vorgSngig  erfüllen  lassen  wOrde),  gibt  Peirce 
ohne  Herleitung  den  aritbmetiächen  Ausdruck  au: 

iro,  ;u  die  Gesamtanzahl  der  verschiedenen  Buchstabeusymbole  bedeutet,  die 
im  Ausdruck  vorkommen,  falls  ein  Symbol  und  seine  Negation  nicht  als 
verf^chieden  angesehen  weiden,  wo  ferner  n  die  Gesamtzahl  der  im  Aus- 
druck als  OperationsgUcder  überhaupt  auftretenden  Symbole  voiätellt,  mögen 
diese  Yerschieden  sein  oder  nicht  (nach  Berttdcsiehtigung  übrigens  der  Tan- 
tologie-  nnd  Absorptionsgesetxe  behnfs  eiu£BiehsfmOglioher  SehreibnDg  des 
Ausdrucks),  endlieh  p  die  Anzahl  der 

Faktoren  |  Glieder 

des  Ausdrucks  ist  (mit  dem  gleichen  Vorbehalte  wie  soeben,  ohne  wel> 
eben  scmsl  ja  die  Zalilen  n  nnd  p  beliebig  hoch  angesetst  werden  konnten). 

Es  sei  hienach  z.  B.  der  Ausdruck  x  -k-  yz  „dual  zu  eutwickeln"  [„dual**, 

das  soll  lieis.-en:  in  die  Form  eines  Produktes,  f^cmäss  Tb.  —  sinte- 

mal die  „Kntwickelung''  bclilechtweg,  in  untrer  l'erniinologio  sich  stets  be- 
zieht auf  die  Zerlegiinff  in  ein©  Summe  gemäss  Tli.  44^.)].  Nach  Peirce 
ist  üu  bemerken,  das»  hier  w  =  ä,  w  =  3,  j>  =  2  ist,  womit  sich  die  Au- 
sahl der  gesaehten  Faktoren  (arithmetisch)  berechnet  zu 

2^  -f  3  —  3  X  2  —  2  =  8  +  .*{  —  G  —  2  =  3 . 

Mau  sollte  nun  alle  acht  Ausdrücke,  welche  durch  additive  Vereinigung 
dreier  von  den  sechs  Symbolen  ar,  r,  .r„  y„  z^  mit  verscliiedenen  Buch- 
staben gebildet  worden  können  eigentlich  durchprobiren  in  folgender 
Weise.  Da 

+  y  +     und  ^«-i-y-i-'f 


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g  27.   Methoden  von  MoCoU  uod  Feircc.  583 


80  ist  +  +  «  ein  Falttor  mueres  AnBdradcs  x  +  pe»  Um  die  Probe  init 
z-¥!f-¥Mt  KU  machen,  haben  wir  in  bemerken,  daas: 

»  =^  tr  +  2/  +  r,   und   yt^s  +  ij  +  z, 

ist,  sodass  dies  ebenfalls  einer  von  den  gesuchten  Faktoren  sein  musste. 
Das  nämliche  stellt  sich  heraus,  wenn  wir  mit  x  +  y^  +  s  den  Versuch 
machen,  womit  also  (hier  suflftllig  bei  den  drei  ersten  Yersachen)  die  ge- 
Buchten  Faktoren  schon  volMhlig  gefunden  sind.    Dagegen  wttrde  a.  B.  mit 

x  +  y^  +  ßf  der  Versuch  fehlgesehlagen  haben,  indem  zwar  x=^x  +  3^, + 
aber  nicht  !f'=^x+y^+z,  sein  raOsste,  und  bezüglich  a:, +y,  H-r,  liesse 
sich  weder  einsehen,  dass      noch  dass  yg  demselben  eingeordnet  sein 
mUsste.  Etc. 

Sollte  ebenso  beispielsweise  der  Ausdruck: 

{a  +  b  +  v)  {a  -i-b^  +  c,)  (u,  +  b  +  c) 

—  diesmal  in  die  Form  riner  Summe,  also  schlechtweg  —  „eutwiekell** 
werden,  so  wäre  m  =  3,  n  =  9,  p  =  Z,  sodass 

2*  +  9  —  3x3  —  S«=ö 

die  a  priori  bestimmte  Anzahl  der  zu  gewärtigenden  Entwickülungsglieder 
ist.  Von  den  acht  Konstituenten  der  Entwickelung  (von  1)  nach  o,  5,  c 
sind  daher  nnr  dreie  hier  ausgeschlossen,  und  zwar  sind  es  diese: 

a,&,c,,  a,dc,  «Vi» 

welche  aHein  nicht  in  allen  drei  Faktoren,  nSmIich  in  den  gerade  darüber- 
stehenden  nicht,  sieh  enthalten  erweisen.   Der  Ansdrock  ist  sonach: 

=  abe-i' ahe,  + al,c  +  a,hc,  + a^b^c.  — 

Die  Vorauöbcstimmung  der  Anzahl  Glieder  resp.  Faktoren  der  ge- 
suchten Entwickelung  erscheint  mir  zwar  verdienstlich,  das  ganze  Verfahren 
auch  in  der  That  nicht  schwierig,  jedoch  (im  allgemeinen)  fds  zu  amsittnd' 
lieh  und  ermüdend  gegenüber  denjenigen  Yerfahruugsweiscn,  vor  welchen 
ihm  Peirce  den  Vonmg  zuerkennen  will,  und  die  schon  im  §  13  ansein- 
andergeeetzt  '.vnrden. 

Ich  würde  bei  Aulgaben  der  Ictzterwühuten  Art  judiziüscs  Ausmultipli- 
ziren  vorziehen^  wo  noch  Faktoren  fehlen  dieselben  iu  (jestalt  von  l,  =  a;  +  j'„ 
hinzulegend,  wiederholten  Ansatz  eines  Gliedes  aber  Termeidend.  So  haben 
wir,  in  dem  Beispiel,  dnrch  Yereinigang  des  ersten  mit  dem  dritten  Fak- 
tor sogleich: 

{h  +  c)  (a  +  b,  +  c,)  =.a{be  +  bc,  +  6,c)  +         +  6,c) 

—  etwa  bei  (/>,  +  c,)  den  Faktor  a,  gemäss  Th.  33^)  Zusatz  beiftlgend,  und 
b  +  e  beim  Mnltipliziren  mit  a  vollends  entwickelnd  gemftss  Th.  33^)  selbst 

Bei  den  Aufgaben  der  vorigen  Art  aber  scheint  mir  das  Schema  des 
.  Th-  27„)  am  bequemsten  vei-wendet  zu  werden,  wdnaoh  in  obigem  Beispiel 

zuerst  x  +  yz  in  (x -r  i/)  (  i  -r  s)  übergeht,  sodann  woil  rr  +  v  den  Buch- 
staben r,  s  +  0  aber  den  y  noch  nicht,  wie  es  ertbrderlich  wäre,  enthält, 
weiter: 

x  +  y  =  x  +  y  +  0e^^{x  +  y  +  £)\x  +  y'^zJ 


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584 


Vienebnto  Yorlesfiil^. 


und  analog    «  +  ä  «  a?  +  «  +  yy,  «  (x  +  y  +  jp)  (af  +  + 

genomm«!,  im  Produkte: 

»  +     «  («  +  y  +  f)  (jt  +  y  + ,?,)  (a-  +  y,  + 

über  der  erste  Faktor  rechts  nur  einmal  angesetzt  wird.  Um  deu  CJcdanken- 
^ng  darzulegen  miuste  ich  dies  alles  aiederBchreiben;  man  kann  jedoch 
das  Ei^ebniss  leicht  gleich  ans  dem  Kopfe  hinsetien. 

Zum  Glücke  aber  brauchen  wir,  wie  oben  betont,  uns  bei  den  Pro- 
lilemen  hiermit  üborlianpt  nicht  'zu  plfiiren.  Gleichwol  aber  scbion  mir 
l'eirce's  Manier  im  „Entwickeln''  der  Funktionen  es  wert  zu  ßoin,  der 
Aufmerksamkeit  des  Lesers  untorbrcil-'t  zu  Averden,  sollte  sie  auch  hlos 
dazu  dienen,  die  MannigtiUtigkeit  uud  Flille  der  VVeiseu,  auf  welche  in 
unsrer  Disziplin  zuwerke  gelungen  werden  kann,  anf  s  neue  xa  iUnstriren. 

• 

Ich  will  non  diejenige  Modifikation  der  Feirce'schen  Methode 
auseittandersetEen,  weldie  mir,  wie  eingangs  angedeutet,  als  die  aller- 
natürlichste  und  einfacbste  sugleich  erscheini 

Wie  der  Leser  wol  bereits  berausgef&hlt  hat,  besteht  der  Vorzug 
der  Natflrlichkeit  gegenüber  der  Boole'schen  Methode  bei  der  Peirce- 
scben  darin,  dass  sie  —  nicht  wie  jene  mit  Gleichungen  —  sondern 
vielujelir  mit  Subsumtionen  operirt,  souacli  mit  Subjekten  und  rriidi- 
katcu  VM  tliun  liat,  die  den  I'rteilafunktionen  im  gewöhuliclieii  Denken 
sich  durehaus  anpassen.  Die  i'rümissen  brauchten  nicht  mehr  recliter- 
band  auf  0  gebracht,  auch  nicht  mehr  zu  einer  einzigen  Aussage  ver- 
einigt zu  werden  —  Operationen,  deren  erstere  zuweilen  mülisani  aus- 
zuführen ist,  deren  If^tztere,  so  leicht  sie  ist,  ein  sch\vülstit?e^^  icuui- 
brous)  Ergebniss  aufwei  "  ii  kann.  Bei  Peirce's  Verfahren  mussieii 
indess  dafür  andere  Weitiaufif:^keiten  in  Kauf  «genommen  werden,  die 
wir  nun  vermeiden  Wüllen  unter  Beibehaltuni^  der  Vorzüge. 

Äus  irgend  einem  System  von  in  Form  von  Subsumtionen  an- 
geschriebenen Prämissen  ein  »Symbol  x  zu  eliminiren,  desgleichen  das- 
selbe (im  mehrerwähnten  Sinne)  zu  „berechnen"  ist  unsrc  Aufgabe. 

Mit  der  „Berechnung"  ist  bekanntlich  allemal  die  Klimination  der 
TTiibckannteu  zu  verbinden,  die  uns  die  Anfb'>sbarkeitsbedinj,nuig  liefert; 
«losgleichen  geht  schon  nach  §  21  und  wie  weiterhin  zu  t^ehen  n)it  der 
Khuiiuation  auch  <iie  Auflösung  oder  Berech uuug  von  »elber  Hand  in  liund. 
Sollte  also  etwa  ein  Symbol  zu  eliminirw  nnd  et»  anderes  so  bereohnen 
verlangt  sein,  so  wende  man  nacheinander  in  Hinsicht  auf  jedes  der  beiden 
fth  sich  das  Ver&hren  an«  welches  wir  nun  bezüglich  des  einen  x  be- 
schreiben werden.  Ebenso,  wenn  mehrere  Unbekannten  zu  ehminiren  da- 
neben  irgend  welche  zu  berechnen  sind,  wird  man  (wie  schon  früher  er- 
wähnt) die  Kiimiuandeu  iuniiur  einzeln  siucessive  ^n  irgend  einer  Keihen- 
folge)  beseitigen,  weil  dabei  mit  jedem  Schritte  schon  eine  erhebliche  Vei'- 
einfachimg  des  fernerhin  die  Piilmisaen  zu  vertreten  habenden  Propositionen- 


.  ijui.  u  i.y  Google 


§  27.   Methoden  von  McGoll  und  Peirce.  585 

syatenu  «ruelt  wird  —  wogogm,  W9uti  man  die  Operationen  bebufs  nnidl- 
ianer  Elimination  au  das  ursprüngliche  PrSmissensyetem  ankttpfen  wollte, 
man  dieses  Vorteils  yerlustig  gehen  würde.    Wir  werden  es  demnach  in 

ihr  That  immer  nnr  mit  rinrm  Symliol,  als  Eliminanden  oder  Unbekannte, 
auf  einmal  zu  thuu  bekümmen,  und  brauchen  nur  darauf  Bedacht  zu  nehmen, 
wie  wir  uns  in  Bezug  auf  dieses  (^somit  auch  jedesj  am  besteu  aus  der 
Schlinge  ziehen. 

In  jeder  Främissensiibsumtion  (welche  a;  Überhaupt  enthält)  mtwichdc 
man  die  linke  Seite,  das  Sidjckf,  falls  x  in  demselben  vorkommt, 
mich  X  in  Furm  einer  Sn))unv  gemäss  Th.  44^)  die  rechte  iSeite  oder 
dm  Prädikat,  falls  x  in  ihm  vorkummt,  in  Form  eines  Produktes  ge- 
mäss Th.  44^).    Darnach  lässt  sich: 

ax  +  bx^  =^  (a  +  x^)  (ß  +  x) 
als  die  allgemeine  Form  einer  jeden  x  enthaltenden  rraiuis.sc  hin- 
stellen, wobei  nur,  wenn  x  auf  einer  Seite  von  selbst  herausfUllt  oder 
fehlte,  dasselbe  nicht  extra  eingeführt  zu  werden  braucht,  vielmehr 
dann  in  Gestalt  von 

ax  -^-hx^^Y   resp.   c  =^  (a  +  «,)  {ß  +  x) 
mit  der  betreffenden  Prämisse  weiter  zu  operiren  ist.    Es  brauchen 

auch  etwa  auslallende  Glieder,  wie  Q'X  oder  0•x^  oder  Faktoren,  wie 
1  i  X  oder  1  +  .',,  durchaus  iiiclit  uuj^esetzt  zu  werden,  vielmehr  kommen 
in  bulciien  Fällen  auch  die  beim  allgemeinen  Schema  anzuführenden 
Operationen,  soweit  sie  sich  auf  jene  zu  beziehen  hätten,  einfach  in 
Wegfall. 

Man  löse  jetzt  die  hdrrffefide  Subsumtion  gemäss  Definition  {d)  auf 
in  die  einfacheren  Subsumtionen: 


ax 
hx. 


'\     ia  +  x.  ax] 


a+x, 
ß  +  x 


wobei  wieder,  falle  ein  Term  fehlte,  derselbe  auch  vorstehend  nicht 

vertreten  sein  wird. 

Das  allgemeine  Schema  reprüsentirt  nur  zwei  (nicht  vier)  Subsomtioneo, 
nSmlich  die  beim  Lesen  einer  jeden  Zeile  sieh  ergebenden:  ax^a-hx^^ 
hXf^ß-hXt  da  die  über's  Kreuz  durch  das  Suhsumtionszeichen  vevbundeuen 
Terme  nur  analytische  Identitäten      =^  (S  +  Jf,  bx^  =^  «  +  x^  liefern. 

Mach  der  Regel  von  Peirce  s  Theorem  41)  werfe  nmn  das  Opera- 
tionsglied Xt^  jdzt  (als  x)  auf  die  attdcre  SeUe,  was  beim  allgemeinen 
Schema  auf  eine  Unterdrückung  des  Terms  hinausläuft,  und  für 
sämtliche  angefahrten  Fälle  gibt: 

ax^a  ax^f  cx^tt 


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586 


Vierzehnte  Vorlcaung. 


Sodann  isoUre  num  x  voBends  durch  Hnmbeneerfm  des  nUt  ihm  ver- 
kmipflm  Operatknßgliedes  nach  denelben  Begel,  wodnrcli  entsteht: 

=^  ^  =^  »I  +  «»   resp.        =^  a?  =^  a,  +  y   resp.   c/5,  =^  «  ^    +  a. 
Hierdurch  ist  dann  die  Prämisse  verwandelt  in  eine  Doppehiihsum- 
Um  mit  dem  Mitteli^liede  x  und  einem  davon  freien  Subjekte  sowol 

als  Prädikate.  Dieselbe  ist  m.  a.  ^V.  für  sieh  >ehou  „aulgelöst"  naeli  x\ 
zugleich  erscheint  x  elimiiiirt,  sobald  mau  eä  beim  Lesen  der  Uoppel- 
subsumtioii  gemäss  Triuzip  II  überspringt.  lu  der  That  wird  beim 
allgemeiiieu  Schema  bß^  =^  a,  +  a  die  iiesultaute  der  Elimination  de»  x 
vorstellen. 

Wüüii  vou  dem  allgeinuiiien  Schema  eimelue  Terme  fohlten,  so  kann 
Oö  sich  ereigncu,  dasä  mau  blaLL  uiuer  Doppelsubäumliou  nur  eiue  eiul(U;he 
Sabsnmtioii  erbÜt  von  der  Form  , 

d^x     oder  aber     x  =^  d. 

Diese  ist  jedoch  leicht  zu  einer  Doppekabsumtion  zu  ergUnzen  in  Ciestali  vou: 

d  ^  j:  =^  l     resp.    0  ^  x  =^  d 

und  ist  ersichtlich,  dass  aUdunn  diirrli  die  Eliniinati<in  des  r  ;it;s  der 
l'jinzelpriiraisse  ntir  eine  Identität:  r/  (  1  ixep.  ü  Ö  rcsuUircu  würde, 
die  bei  Aufslelkug  der  Güsamtresultunte  nicht  weiter  berücksichtigt  zu 
werden  braneht  (weil  0  link«  Samniatid,  1  rechts  Faktor  wttrds  —  wie 
aogleieh  va  sehen). 

Um  nunmthr  das  gange  System  von  Prämissen  nadi  der  ünbtitannien 
X  aufzulösen,  nachdem  die  x  enthaltenden  a&mtlich  an  solchen  Doppel- 
Subsumtionen  umgeformt  sind,  hrauehi  man  nur  die  Suhjekle  dieser 
letateren  additiv  su  einem  einzigen  Subjekte,  ihre  Prädikate  muUijoUkaiie 
SU  einem  einzigen  Prädikate  von  x  eu  vereinigen.  Man  wird  dadurch 
eine  Doppelsubsumtion  mit  dem  Mittelgliede  x  und  davon  unabhängigen 
extremen  Gliedern  erluilten,  welche  nach  Def  (3)  äquivalent  sein  muss 
dem  System  jener  Duppelsubsumtionen,  welche  also  zusammen  mit  der 
Gruppe  der  x  von  vornherein  nicht  enthaltenden  Trämissen  das  ur- 
sprüngliche Prämissens)btem  vollständig  vertritt.  Die  volle  Resultante 
der  Elimiuatiuu  des  x  besteht  aus  dem  Syistem  der  Prämissen  eben 
dieser  letztern  Gruppe  in  Verbindung  mit  der  aus  der  „vereinigten" 
Doppelsubsumtion  durch  Überspringen  des  x-  gemäss  l'r.  11  sich  er- 
gebenden Resultante,  welche  die  Summe  der  Subjekte  des  x  einordnet 
dem  l'rodukt  seiner  rrädikate.  — 

Um  dies  an  dem  klassiBcheu  Prtddem  v(»n  IJoole,  1  Aufg.  des  i;  i'^t, 
■m  erläutern.  ^  schreiben  wir  behufs  Elimination  von  c  die  erste  Prarausc 
m  der  Gestalt  an: 

/f,c,  ,     die  sweite  als:     ad  (6c,  +  6,c)  ^  e, 


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§  27.   Methoden  von  McColl  uud  Peirce. 


587 


iodem  wir  dme  Doppelumstellung  an  ihrem  früheren  Ansatz  vornehmen, 
nSmlich  den  Faktor  T<m  linke  als  Summanden  e  nach  rechts  warfen, 
sodann  den  Summanden  &c4*&,<!|  aegirt  als  Faktor  he^-\-h^e  von  rechts 
nach  links  —  oder  beides  a  tempo. 

Dio  dritte  PrSmisso,  welche  Gleiclinng  war,  lösen  wir  als  Torwftrtige 
und  rückwärtige  äubsumtioii  bezüglich  auf  zu: 

ab  ^  edf  +  e^d    retp.     cd,  +  c,d  ^  a 

e  ^  cd,    c,d  +  a,  (ed,  +  c^d)  e. 

Die  Hcsultante  der  EUmmauon  des  c  besieht  au»  dorn  System  der 
drei  Yon  den  Torstehenden  Bubeomtionan,  wektha  e  gar  mcht  anibalten, 
zusammen  mit  derjenigen,  welche  die  Summe  der  drei  Subjekte  von  e  sub* 
snmlrt  unter  das  eine  Pridikat  desselben.   Letstre  lautet: 

a,c,  +  ad  (&c,  +  i>,c)  +  />,  (cd,  +  c,d)  =^  cd,  +  (;,d  + 

Hiermit  ist  diese  Eliiiiiiintion  bereits  volkogeu.  Bei  keiner  allgcmciucu 
Methode  wird  man  sich  alm  der  Auforderaug  entziehen  können,  die  sjsto- 
niatiäch  von  ihr  gelieferten  ßechnaugsergebuisse  jeweils  nach  Möglichkeit 
—  mit  Büoksieht  auf  die  besonderen  VerhSltnisse  des  gerade  Torliegenden 
Falles  —  zn  Tereinfaehen,  eu  redmirm!  Das  letste  Tereinfaeht  sich  su: 

ab,ed  «-<  0     oder     «cd  ^  5, 

wie  man  augeublicklich  orkonnt,  wenn  man  das  Glied  a,  von  rechtö  als 
Faktor  a  und  ebenso  das  Glied  cd^  +  c^d  von  rechts  als  Faktor  cd  + 
aaeh  links  wirft. 

Der  Übersicht  wegen  reprodosiren  wir  die  (bereits  da  stehende)  Gesamt- 
resultante,  zugleich  die  Elimination  T<m  a  vorbereitend;  sie  besteht  aus 
dem  Systeme: 

(frd  +  d,d,)c, a,  a 8^ +  cd,  +  r,d,  ed.-^c^d^a,  a^2>  +  i:,  +  d,. 
Mithin  ist  ihre  Auflösung  nach  a: 

{bd  +  Jrcd,-^c,d^a^  (6,  +  cd,  +  c,d)  {h  +  c,  +  d,) 

in  welcher  Doppelsubsumtion  die  extremen  Glieder  sich  nach  leichter  Re- 
duktion als  gleich  herausstellen,  sodass  die  Elimination  von  a  ergebnisslos 
bleibt,  und 

a  =  cd^  +  lyi  +  b^c^d^ 

geschrieben  wenleu  kann. 

Um  Südaun  0  ui  eliminiren,  iielinien  wir  am  besten  die  letzte  als  die 
einfacli:jLe  Zusammen£issuug  der  uuu  als  Prämissen  dienenUou  Kigebnii^se, 
und  zerlegen  die  Qlddinng  als  vor-  und  rückwSrtige  Subsumtion  in: 

a(cd  +  c.d,)^f     ,  \^a. 
^        *        Ud,        cd,  +  c,dj^ 

Die  Elimination  von  (,  ans  der  ersten  und  der  in  ^  a  +  c  +  r/  um- 
geschriebenen dritten  von  diesen  vier  Subsumtionen  liefert  augenscheinlich 
nur  ein  identisches  Ergebniss,  weshalb  die  fiesultante  der  Elimination 


Yierzcbalo  Vorlosuag. 

von  b  (somit  Ir,)  blos  ans  den  tob  b  freien  Sabsumtionen  dieeer  Gruppe 
besieht,  die  sich  in 

C(/,  +      =^  «  =^  c,^/,  +  crf,  +  r,((   oder   c^  +  (l^ 

zusainmenzieben.    Auch  liest  man  ijofort  heraus  dio  Auflösung  nach 

«  (c(^  +  r,r/,)  =^     =^  a  +  V  -r  d, 

woraus  sich  diejenige  nach  b  durch  Umstellen  der  Tenne,  oder  auch  beider- 
seitiges Negiren  ergibt  zu: 

wo  Ici /leres  Prifdikat  (nur)  mit  BOcksicht  auf  (Vn;  vorhergehende  Relation 
(zwibcben  a,  c,  d)  auch  in     +  c  +  d  zusarameuziehbar  ist  (indem  man  ihm 
a, cd  ohnehin,  aber  auch  noch  acd^  welches  0  ist,  /.tifOrron  kann). 
So  gelangten  wir  also  zu  den  früheren  Ergebnissen. 

Es  m0ge  femer  noch  die  7.  Aufgabe  des  §  25  (von  Boole)  entsprechend 
behandelt  werden.  Die  Prämissen  waren: 

iPff     5ff,      ra  =^  6«,      sc     wffj      be  =^  ra 

uuil  werden  im  Iliublick  auf  die  bcabsichii*,'ic  EliuiinaUou  von  e  zu 
schreiben  sein: 

oder 


mitbin  stellt  des  System: 

^9  4         »■<*  ^  «'f7  4  rrt  +  l»„      ra     /( «j  + 

die  licöultante  der  Elirainatiou  vou  r  vor.*) 

Um  die  Elimination  und  Berechnung  von  g  vorzubereiten,  schreiben 
trir  letzteres: 

(s  +  w,  ras^w 
+    +  ^  ras^g 

womts  folgt: 

ras  ^g^{s  +  tv^  (ra  + +  w,)    oder   ir,  +  ^  (ra  +  &,) 

wie  froher  —  eine  Behandlung,  die  mir  derjenigen  des  §  25  entschieden 
vorsnziehen  scheint. 

Ich  meine  gleichwol,  dass  das  von  mir  modifistrte  Vorfahren  Boole's 
durch  diese  neue  Methode  keineswegs  ü1>orflUssig  gemacht  wird.  Nicht  nur 
liohült  es  (Ion  einen  Vorzug,  dass  man  dabei  mehr  rein  mechanisch  —  um 
nicht  zu  sagen:  gedankenloser  —  zuwerke  gehen  kann,  womit  ich  mir  zum 
Teil  deu  Umstand  erklUre,  da^s,  wie  Herr  Puirce  seinerzeit  mir  schrieh, 

*)  Ka  wird,  wie  hier,  nicht  selten  vorzuziehen  scinf  duäa  uidu  beim  Kliiuimren 
die  Eimelrcsultanten  unvereiiiigt  huse. 


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§  27.    Methoden  von  McColl  uiul  Peircc.  589 

seone  Sdkttler  mein  V^erfahren  dam  aeinigen  Torznsiehen  pflegten,  sondern 

auch  zwm  vollen  Verständniss  der  ga&sen  Disziplin  wird  dasselbe  stets  xm- 
entbehrlich  blcibun.  Endlich  kann  man  auch  die  nn  jeder  cinirclncn  Prü- 
missensnbsumtion  lu  vollziehenden  Operationen  der  Auflü.>unf^'  uud  Klimina- 
Uon  mindestens  geradesogut  nach  jenem  Boole'schen  »Schema  auüiühren, 
als  nach  der  vorstehend  illustrirten  Peirce 'sehen  Methode,  wie  eine  ver- 
gleiehende  Bearbeitung  der  typisobeB  18.  üvdg.  des  §  25  nach  den  beiden 
Manieren  m  erkennen  gibt.  — 

Das  Verfahren,  welches  Herr  McColl  ganz  selbständig,  indessen 
immerhin  sehr  nachträglich,  ?.nr  Lösuhl''  der  Probleme  des  Hoole'schcn 
Kalküls  ersonnen,  ist  doch  nicht  ganz  so  sehr,  wie  er  selbst  glaubt, 
von  dem  moditizirten  Boole'schen  verschieden  —  und  muss  ich  hierin 
Herrn  Venn^  p.  372  beipflichten  (vergl.  ebenda).  Sofern  nur  eine 
Prämisse  in  Betracht  kommt  —  und  die  Boole'schen  Prämissen  lassen 
sich  ja  stets  in  eine  einsäe  zusammenziehen  —  möchte  ich  dasselbe 
überhaupt  nicht  als  eine  neue  Methode,  sondern  höchstens  als  eine 
eigene  „Manier*'  in  der  Anwendung  der  Boole'schen  Methode  gelten 
lassen. 

Ein  Fortschritt  tritt  erst  da  zutage,  wo  es  sich  um  Elimination 

nnd  Auflösung  bei  Systemen  Boole  scher  Prämissen  handelt  und  ist 

eben  darin  zu  erblicken:  dass  McColl  deren  vorgamgige  Vereinigung  0» 

einer  enw^en  Pramissenglei^umg  enibthrUch  macM,  womit  er  denn  Peirce 

Torgearbeitet  nnd  eine  neue  Behandlungsweiae  der  Probleme  angeregt^ 

mitbegrflndet  hat 

Vorwiegend  scheinen  mir  Herrn  MeColPs  Verdienste  auf  einem  andern 
Felde  zu  liegen:  auf  dem  der  Anwendungen  —  worQber  u.  a.  unser  An- 
hang 7  zu  vergleich eu  ist. 

McOolPs  Verfahren  basirt  auf  den  beiden  Gleichungen: 
X  fix)  =  X  f\\)     und     a?,  f{x)  =  x,  r{0), 
welche  wir  schon  in  §  19  als  Anm.  2  zu  Th.  44^)  angeführt  haben, 
und  die  er  auch  für  beliebig  viele  Argumente  zusammenfassend  er- 
weitert zu  dem  Satze: 

xyM'*u^v^*'f(x,  y,e"U,  v,  • -)  ^  zgg  u,v^  •/'{l,  1,  l,-.,0,0,  •)■ 
Die  Gültigkeit  auch  dieser  Gleichung  ist  unmittelbar  ersichtlich  aus 
der  allgemeinen  Boole'schen  Formel  44^)  für  die  Entwickelung  einer 
¥wOikü<m  f(xtfffMf"UfVf")  beliebig  vieler  Argumente  nach  ebendiesen 
—  in  Anbetrachti  dass  bekanntlich  f(t>  1»  l-*0, 0,«)  der  Koeffizient 
isty  mit  welchem  der  Eonstituent  xgg'^v^v^^  in  jener  Entwickelung 
behaflet  erscheinen  wird,  und  dass  die  übrigen  Glieder  derselben  Ent- 
wickelungi  als  mit  dem  angegebnen  disjunkte  Konstituenten  habend,  , 
in  diesen  multipUzirt  verschwinden  müssen. 


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590  Vienehnte  Torletong. 

Charakteristisch  ist  aber  die  Ai-t,  wie  McCoU  zu  liger  Gleichung 
gelangt.  Seine  Reelirningsweisen  sind  wesentlich  aus  dem  Aussagenkalkol 
'  („calculiis  of  oqnivnlent  statements")  hervorgewachsen,  und  könnten  eigent- 
lich erst  imtrr  dieaem  ganz  ungehindert  hesprochen  werden,  wcbhalU  wir 
auch  noch  eiumui  auf  äie  zurUckkomiuön  —  §  46  am  Schlüsse.  Bedeuten 
ihm  nim  sr'^t^t"  Tersebiedene  Aussagen,  so  wird  diflsen  Sjmbokn 
der  Wert  1  zukommen,  wenn  sie  wahr  und  der  Wert  0,  wenn  sie  ftlscb 
sind  (vergl.  luiton  §28).  Wird  nun  angesetzt  das  Produkt  «.yjer  ••t*,t;^",  so 
sind  damit  die  Faktoraussagen  als  gleichzeitig  gtUtige  hingestellt  oder  an-» 
genommen  (vergl.  §  28),  d.  Ii.  es  ist  a;=»»/  =  Z'-=l  und  ebenso 
w,  =  i;,  =  ••  ^  1 ,  bonach  m  =  r  —  =  0  gesetzt;  und  deshalb  dürfen 
in  der  That  die  geuannten  Symbole  in  einer  etwa  uoch  dahinter  treteuden 
(d.h.  gleichzeitig  gemachten)  feineren  Aussage  /(x, ••,  u,  r, ••)  durch 
diese  ihre  Werte  1,  1,  1,  -0,  0,  ••  bezüglich  ersetzt  werden. 

Es  mttsste  dies  auch  gllltig  bleiben,  wenn  etwa  nicht 
mehr  blos  einen  Funktionsansdrock  des  identischen  Kalküls  in  onserm  bis» 
herigen  Sinne,  sondern  auch,  wenn  es  irgend  ein  System  von  Propositionen 
vorstellte,  in  welcbem  nur  ah  Aus.sagenöjmbole  die  Argumente  vorkämen. 
Gelegentlich  macht,  um  Schlü>.-,e  zu  ziehen,  McCoH  auch  in  dieser  Weise 
von  deui  Satze  Gebrauch.  Doch  lüsüt  von  dem  wie  wir  sehen  werden 
engeren  ,^uBsagen**kalkal  (in  welchem  nBmlicb  die  Symbcde  ledigliob  der 
Werte  0  und  1  fthig  sind)  der  Satz  auch  auf  den  weUerm  „Klassen^kalkul 
(in  welchem  sie  beliebige  Werte  haben  kOnnen)  sich  nicht  ohne  weiteree 
ttbertragen  (cf.  §  46,  18.  Studie). 

Ist  nun  2.  B.  eine  Subsumtion: 

narli  der  Unbekannten  x  aufzulösen,  oder  auch  diese  au  elimiuiren,  so 
wird  gefolgert; 

9  W  ^\  W  -4  0 

was  dasselbe  besagt,  wie,  dass  es  ^0  sei;  und  hieraus  durch  beider- 
seitiges Multipliairen  mit  x,  oder  unter  Anwendung  des  angeitibrieo 
Satses:  • 

x,ip  (s?)  ^.  («)  -  «.9(0)  ^,(0)  ^  0,    x^ix)  if,(x)  -  xp(i)  #»,(1)  <^  0, 

oder,  was  dasselbe  besagt,  =  0.    Nach  Th.  38)  lassen  nun  aber  diese 
letzten  Subsumtionen  sich  umschreiben  in: 

oder  anchi  nach  Belieben,  in: 

a^,  =€  9>,  (0)  +  tl'  (0),      x^q>,{\)-^t (l). 
Mnltiplizirt  man  (iberschiebend  die  Subsumtionen  der  ersten,  oder  ad- 

dut  ebenso  man  die  der  zweiten  Zeile,  so  ergeben  sich  mit  IJücksiehi 
aui'  Th.  :'.())  und  Tli.  f))  die  Formen,  in  dereu  erster  McColl  die  Resul- 
tante der  Eliinimthn  von  x  ansetzt: 


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§  27.    Methoden  von  McCoU  und  Peirce. 


591 


9(0)9)(i)^,(0)^,(i)-o       i'=-9»,(i)  +  9.(0)  +  *(i)  +  i('(o) 

—  oder  auoli  =^  für  =  geschrieben. 

Ich  denke,  mau  erkenut,  dass  dies  nur  eine  andere  Manier  ist,  zu 
derselben  SesuUaiite  lu  kommen,  sa  welcher  Boole  gelangen  würde,  indem 
er  die  Gleicshung  9  {x)  %  {x)  0  links  nAch  x  entwickelte  und  das  Pro- 
dukt der  Eoeffiiienten  «0  setste. 

VerbSnde  man  dagegen  diagonal  oder  übar^a  Kraus  je  zwei  Sab- 
Bumtionen  ans  den  beiderlei  Zeflen  ▼ermittelst  des  S/llogismas  Barbara 
(oder  Prinzips  H)  am  z  oder  za  eliminireni  so  würde  sieh  diese 
Besaltante  auf  eine  dem  Yeifahren  von  Peirce  n&ber  kommende 
Weise  ergeben  in  den  Formen: 

9  (0)  V',  (0)  4  9.(1)  +    (1);       9  (1)  ^.  (1)  <  %  (0)  +  (0). 

Die  beiden  Subsumtionen  dnei-  (der  ersten)  Zeüe  aber  stellen  für 
McColl  die  Auflösung  nach  der  Unbekannten  x  vor  —  wofür  meines 
Erachtens  wieder  diejenigen  der  Haupidiagonale  den  Vorzug  verdienen 
würden,  gleichwie  dann  auch  die  Subsumtionen  der  Nebendiagonale 
die  Auflösung  nach      am  besten  darstellen  werden. 

Die  Art,  wie  hienach  McCoIl  mit  Systemen  von  Subsumtionen 
operirt,  erheilt  ans  folgendem. 

Nachdem  jede  einzelne  Ton  den  gegebenen  Pramissensabsamtionen, 
wie  oben  gezeigt  in  zweie  Ton  der  Form  u^x^  ß^^t  i^iifg^l^st^ 
lerfallt  isty  kdnnen  wir  als  unser  Ptamissensystem  ansehen: 

und  lassen  diese  »Faare  nach  Def.  (3^)  sich  zusammenzieUeu  iu: 

«^+a'  +  •••  «*^a?, 

welclie  beiden  Subsumtionen  zusammen  dessen  „Auflösung"  nach  x 
vorstellen,  wogegen  deren  überschiebeud  gebildetes  Produkt: 

{«'  +     +     +  ««)  (/J^  +    +  . . .  /S»)  =4  Ö 
die  Resultante  der  Elimination  des  x  sein  wird. 

Ein  Beweis  für  dlo  VollsiUndigkeit  dieser  Resultante  —  nlimlieh  der 

aß  —  O  für  die  I'i  ümi.-jben  cf^r,  |9  =^  .r  —  wärn  nach  unsern  Betrach- 
tujij^'en  in  §  21  leicht  lü  erbrin;,'cri  (re.-p.  i.st  dorl  ötilböl  impUcite  bereits 
erbracht),  iat  jeduch  von  McColl  nicht  gegeben. 

Nach  vorstehendem  Schema.  In-hanUelt  Mc Coli  verschiedene  Pro- 
bleme, namentlich  von  Boole,  darunter  auch  die  bek.iimie  1.  Aufgabe 
des  §  25  und  diese  mittelst  zwei  (ein  lialb)  Dnirkseiten  Kecluning. 
Irgendwelche  Vorteile  iu  Hinsicht  der  DruckersparnisS|  Vermehrung 


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592 


Yienebiite  Torlesungf. 


der  Übersicht  oder  Erleichternng  der  Arbeit  gegenüber  den  schon 
ansesnandergesetsteii  (und  teilweise  allerdings  der  McGoll'scheu  sich 
nähernden)  Behandlungsweisen  vermag  ich  aber  nicht  dabei  wahnu- 
nehmen. 

Wo  mehrere  Argnmeute  als  Elimittanden  oder  Unbekannte  gleicfa- 

zelti«,'  iü  BefraLlii  kommen,  verfUirt  Übrigens  Mc Coli  nicht  etwa  rein  nach 
dem  üben  geschililt  itcn  Schema  für  eines  nach  dem  niulern  von  diesen. 
Vielmehr  mUssen  wir,  um  vollständig  sein  Znwerkegehfn  charakteriüirt  m 
haben  nnd  den  bis  incl.  zu  nnseini  §  ;>2  vorgefichi  itieiien  Leser  in  den 
Stand  zu  setzen,  die  vuu  McColl  behandelteu  i*rubleme  genau  in  seiner 
Weise  (nach-)reehnen  zu  können,  etwas  voigreifend  noch  folgendes  bemerkeD. 

Set  (x,  xr, . .)  ein  PrSmissensystem,  z.  B.  ein  anssagenreohnerisch 
angesetates  „Produkt"'  von  Subsumtionen,  so  wird  dasselbe  laut  Voraus- 
setzung gelten,  somit  den  Wert  der  1  des  Aussagenkulkuls  haben.  Irgend 
ein  Konstituent  (einer  Eutwickelung)  nach  den  Argumenten  ir,y,r, .., 
z.B.  jry,  .,  wird  daher  mit  diesem  Faktor  F  (x^iff  e  der  ja  1  ist, 
versehen  werden  diiilen,  sodass 

Nach  dem  im  Sdilusspassus  der  S,  589  gegebenen  Satze  (und  mit  Ilürk- 
sicht  auf  deHijen  zulässige  im  Kontext  der  folgenden  Seite  schon  angedeutete 
Erweiterung)  ist  aber  die  roclitr  Seite  dieser  Gleichung  =  j-i/,j,--«/'(1,0,0,--) 
und  somit  =^  i*\l,0, 0,«  •)  kiult  Th.  0^),  Sonach  ergibt  sich  in  der  Gestalt: 

3//r-,  -  =4  ^^(1,  0,0,..) 

ein  Prädikat  zu  dem  gedachten  Konstituenten,  welches  sich  xonXchst 
wlodernm  als  ein  Produkt  von  Subsumtionen  darstellt,  worin  aber  die 
Argumente  nicht  niebr  vorkommen.  Dasselbe  wird  nun  nach  den  in  §  .'Vi 
gegebneu  Scheauiia,  insbesondre  dem  A),  sich  umschreiben  lassen  in  tiucu 
von  allen  Subsumtionszeichen  befreiten  Ansdrack,  der  auch  als  ein  solcher 
des  Klasseakalkols  deutnngsfähig  geworden. 

Ans  den  zn  sSmtliehen  Konstitaenten  auf  diesem  Wege  gewonnenen 
PrUdikaten  leitet  hernach  McColl  dnrch  überschiebendes  Addiren  sich  seine 
Kliminationsf^rgebnisse  ab,  die  sich  so  als  Prüdikationen  ergeben  für  dio 
KonstituL'iiten  nach  den  als  Unbekannte  zu  berechnenden  Argumenten. 
Z.  Ii.  aus  den  Prädikaten  zu  o"//, und  zu  xif^z  fliesst  so  ein  Prädikat  zu 

aus  diesem  und  einem  ähnlich  gewonnenen  Prädikate  zu  xy  ergibt 
sich  ein  Prttdikat  zn  x  (welches  dnrch  Kontraposition  schliesslich  in  ein 
Subjekt  za     verwandelt  wird).  Etc. 

Dass  dieses  Zuwerkegehen  nicht  eben  vorteilhaft  ist,  zeigt  deutlichst 
eine  Vergleichnng  der  von  \rcColl  gegebnen  LSsungsarbeit  —  z.  B,  bei 
der  2ti.  Aufgabe  des  §  25  —  mit  der  —  dort  —  von  mir  geleisteten.  — 


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9 


Anhänge. 


ScuKüDBR,  Alfebni  der  Logik  3g 


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I 


Anhang  1. 

BeÜäuiige  Studie  über  identisoJie  Multiplikation  und  Addition. 

(Zn  §  6.  ÜberschlagbaiO 

T)as  Verstlindniss  der  Betrachtungen  wird  sehr  erleichtert,  wenn  sich 
der  Le.sor  die  geringe  MUhe  nimmt|  sioh  dieselben  mittelst  Fliicheugebieten 
zu  veranächuuliciieu. 


Um  flbxaselian,  dass  es  immer  getvme  O^tkie  e  gibt,  wdiAe  äen  IMe- 
rungm  der  Jkf»  (5)  genügen  t  Dttmlieh  (S.  205)  die  Bigonschait  haben,  dass 
fUr  afU  9,  fttr  welefae 

a)   or  =^  a  iu4  sogleich  x^h     \      a^z  und  ragleicli  h^x 

ist,  auch 

x=^c  I  c^x 

sein  intiss,  könnte  man  folgende  Überlegung  ausfeilen. 

Gesetzt  ausser  f>  rcRp.  1  goLc  hein  fUr  das  die  Beziehungen  er) 
erfiilli  sind.    Daun  genügt  bereits  der  Wert 

der  obigen  Forderung,  fernerhin  also  jedes  hdi/ib^e  Gebiet  €. 

Ist  diese  Annahme  aber  nicht  erfüllt,  so  r^lit  es  ausser  0  re?]!.  1 
mindest  ous  ein  x  —  ein  solches  heisse  —  von  solcher  BescImiTLuheit, 
da«8  die  Bedingungen  tt)  bezüglich  erfüllt  äind,  d.  h.  dasn  wir  haben: 

'AJsdann  ist  auch  für  alle  aolchen  je,  fttr  welche 

<S»)  «=4^^'  I  Ä**^« 

ist,  a  fortiori  die  Bedingung  u)  erfüllt.') 

Wenn  nnn  andi  daa  UmgdsMc  gilt,  daaa  nSmlich  für  jeäe»  fOr 


*)  Es  wird  nachher      =  x'  als  das  gemeinsame  Anfangsglied  swcier  von 

da  diverjjirenden  Werti'cihen:  x',  x'\  x"\  .  nml  x',  .t',  x",  . . .  or-ifTuMTifn  ,  l>ei 
deren  letzterpf  die  Kxpüueuteu  am  h  nur  il-  hulices  aufgefasst  wcrLiea  soih  ri. 
jMun  hat  demnach  für  dieses  erste  x  die  Wahl  uüter  den  Bezeichnungen  u;'  uud  x. 

«8* 


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596  Anhang  1. 

das  die  Bedingungen  a)  sutreffen,  aaeh  die  Subsumtion  p')  besteht,  daim 
ist  in  Oestalt  von 

c  »■  as* 

bereits  ein  die  Fordeningen  der  Def.  (6)  erf&Ilender  Wert  des  c  gefunden. 

Gilt  er  diese  ümkehnuig  Mit,  so  gibt  es  mindestons  ein  «  ein 
solches  hetsse  —  derart,  dass  die  Voraossetsiuig  a)  sntriffb,  d.  b.  dass 
wir  hoben: 

ohne  dass  doch  für  dieses  x  auch  /^^)  ei'fUlli  wäre,  d.  h.  ohne  dass  wir 
hätten: 

in  (liosc'in  Falle  kafiu  nach  Del. 
(3  J    aus      =^  «   und  x"  |  (8^)    aus  a=^x^  und  a  =^  x" 

gefolgert  werden,  dass 

sein  muss,  und  analo;:,'  <  rgibt  sich,  dass  zugleich  auch  ist: 

x'  +  x"  \  &  4  x'x\ 

Nennen  wir  aber 

so  ist  dieses  Gebiet  x'  jetit  ein  solches,  für  welches  x"  bei  icner  Uui- 
kdimng  %eine  Ansnahme  mehr  bildet,  desgldeben,  nach  wie  yqi,  aucb  x^ 
keine.   Wir  baben  nSmlieb  nacb  Th. 

6^)  x^^x^+x\  also  «>^af*     |  6j  «>»"«^a;\  also  = 
desgleichen: 

Dieses  ist  jetst  der  den  Fordemngen  nnsrer  Def.  (5)  genQgende 
Wert  des  c  selber,  es  ist: 

wenn  es  jetxt  Überhaupt  keiu  x  mebr  gibt|  welches  den  Toraossefzangen  a) 
genügte,  ohne  mit      die  Besiebnngen  einzogehen: 

Gibt  es  aber  noch  soldie  x,  welche  sich  dem  —  will  ich  knrs 
sagen  —  „nicht  ßgm**'^  d.  b.  ftlr  welche  xwar  die  Voiaussetsungen  er)  aber 
nidit  die  Subsumtion  ß^)  erfüllt  ist,  so  kann  nitui  ebenso  weiter  schliessen. 

Es  sei  dann  x"'  irgend  eines  derselben;  so  haben  wir: 

x"'^a,   «"'«$5  I  0=^«"',  h^x' 

aber  doch  nicht 

x"  =^  1  =^  x"\ 


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Beiläufige  Studie  Aber  identiiehe  MultipUkatioa  aad  Addition.  597 

Dann  folgt  naeh  Def.  (3)  ans: 
x*^a  und  x"*  ^  a         |         a  ^      and  a  ^  x'^' 

dasa 

und  analog  aneli: 

^  +  x"'^h  I 

iöt.    Neniitjn  wir  nunmehr 

so  ist  ein  solche^  Gebiet,  welchem  sich  alle  bisherigen  „fügen**,  sogar 
das  leiste:  %'\  da  wir  nach  Tb.  6)  haben: 

'  wKhrend  «)  ja  ohnehin  Ton  diesem       erAUlt  wird. 

Gibt  es  jetst  kein  %  mehr,  welches  a)  erfOllt,  ohne  auoh  die  Sub- 
sumtion: 

zu  erfUlen,  so  ist:  c «  o;'  als  ein  die  Anfordemngen  der  Del.  (6)  er^ 
faltendes  o  gefonden. 

nibt  CS  aber  noch  ein  c  —  es  heisse  t'"'  —  welches  sieli  bei  der 
JmkehruQg  dem     „nicht  fügt",  «io  kann  man,  ebenso  weiter  schliessend,  ein: 

konstmiren,  für  welches  nch  »**'  samt  allen  früheren  Gebieten  %  „fUgt^'. 
In  dieser  Weise  fortfahrend  kann  man  aus  jedem  angebberen  sieh 

„nicht  fUgenden^^  und  dem  zuletzt  gewonnenen  x  allemal  ein  neues  x  ab- 
leiten, bezüglich  dcBsen  sich  alle  bisherigen  „f&gen*';  man  kann  das  ^ich 
nicht  fti^^jendo  Hn7iiHa;^'en  endgültig  beseitigen. 

Man  kTinniti  bich  iiienach  zu  dem  Schluss  berechtigt  glauben,  es  uiü.sso 
ein  c  cxisliien,  für  das  sich  jedes  x  „fügt''.  In  der  Tbat  sieht  man  tiich 
▼or  die  Alternative  gestellt,  entweder  diese  Existenz  zuzugeben,  oder  un- 
begrenzt in  der  angegebenen  Weise  fortzusohliessen. 

Jener  Schlus.^  wUiq  gleichwol  nicH  äUfSüialUg.  Beispielsweise  können 
wir  dies  aus  dem  bekannten  Paradoxon  vnn  Achilles  mit  der  Schildkröte 
lernen,  wu  die  Alternative  vorliegt,  entweder  zuzugeben,  dass  jener  diese 
nicht  einholen  könne,  oder  aber  auf  den  zehntel,  hundertel,  lauHeutitcl  elc. 
Schritt,  der  noch  lehll,  ohne  Ende  l'ortzuüchliesüeu.  Die  Abueigung  vor 
letzterem  ist  kein  zwingender  Grund,  sich  fttr  ersteres  zu  entscheiden.  — 

Daas  es  Gebiete  c  gibf,  die  den  Forderungen  der  Def.  (5)  genügen  iut 
stichhaltig  ja  scheu  iu  §  0  bewiesen. 

Man  könnte  es  nebenher  auch  so  einsehen.   Da  nach  Th.  6^)  resp.  6^): 

sein  mnss,  so  ist  ftlr  jedes  di^  Bedingungen  0)  erfllllende  «  auch  sicher: 


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598 


Anhing  1. 


folglioh  iat  unter  andern  aaoli 

c~a  +  &  I  e^ah 

ein  die  Forderangen  der  Def.  (5)  erfüllendes  c  — 

üngeaehtot  der  Analogie  mit  Def.  (ö),  welohe  in  nnsrer  Theorie  die 
Def.  (4)  —  vergl.  Th.  7)  —  »laibietet,  läset  sich  an  letztere  doch  eine 
Studie,  welche  analog  der  vorstehenden  erschiene,  nicht  knüpfen.  Vielmehr 

ist  man  hier  anf^cnblicklich  mit  den  ül>eilogiingnn  fertig: 

Dat)S  es  c  gp1»p.  welche  den  Fonleniiigcn  der  Def.  (4)  genii;,'en,  uiiai- 
lich  die  Eigenschaii  haben,  dass  fUr  alle  welche  der  Öubt»uiiitioQ  ß)  ge- 
nügen, auch  die  beiden  SuVsomtionen  a)  erfüllt  seien,  ist  sofort  schon  klar, 
wenn  man  nur  das  Gebiet:  • 

ü«0  *  I  c==  1 

in'B  Angc  üasst.   Nach  Th.  5)  kann  nämlich  für  diesem  c  die  Sabsumiion  ß)^ 

also  die 

«        0  I  1 

überhaupt  nur  bestehen,  wenn 

T  =  0  I  a;  =  1 

selbst  iät,  und  dieses  einzige  welches  ß)  erfüllt,  erfüllt  dann  anch  ge- 
mäss Def,  (2)  die  beiden  Subsnintinnen  a). 

Das  augoHlIii  te  c  ist  also  bereits  ein  die  Forderungen  der  Def.  (4) 
schon  erfüllendes. 


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J 


Anhang  2. 

ÜJLkurs  über  Klammem* 
(Zu  §  10.) 

Derselbe  Ut  vorzugsweise  bestimmt  für  nicht  malhemati«chgebiidete 
Leser. 

IndeBsen  dürfen  doch  auch  in  einer  TollBtändigen  Theorie  die  funda- 
mentalen AnBeinandersetsnngen  Uber  ein  so  wichtiges  Element  der  Zeichen- 
sprache, als  welches  die  Parenthesen  sich  darstellen,  nicht  fehlen. 

Man  versetze  sich  zonttchst  auf  den  Standpunkt  zurück,  wo  eben  erst 
das  Th.  13)  bewiesen  ist,  resp.  bewiesen  worden  soll.  Dasselbe  fordert 
schon  (und  erstmalig)  die  nachstehenden  Burm  rkungon  heraus. 

Dass  Klammem  oder  Parenthesen  (brackets)  auch  im  identischen 
Kttlknl  voimöteu  sind,  wird  bedingt  durcli  den  Umstand,  dass  man 
auch  in  diesem  Kalkül  oft  zu  thon,  zu  operiren,  umzus})ringen,  zu 
,,rechnen''  hat  mit  Gebieten,  Klassen  oder  Aussagen  (etc.),  die  einen 
zusammengesetsteUf  einen  hmplizir*  n  Namen  oder  Ausdruck  besitzen  — 
einen  Namen  z.  B.  von  welchem  einzelne  Bestandteile  oder  Elemente 
selbst  wieder  Gebiete  oder  Klassen  Torstellen  mögen,  yerschieden  Ton 
dem  durch  den  ganzen  Namen  Torgestellten  Gebiete. 

ümfath  (simple)  —  strengen  oder  engsten  Sinn  des  Worts 
—  nennen  wir  einen  NameO;  Term,  wenn  er  ein  Budistabe  ist,  wie  a 
oder  h,  X,  a,  A,  etc.,  desgleicben,  wenn  er  eine  Zitfinr,  wie  0, 1  (anch  oo). 

ZuaammengeaM  (Compound)  heisst  der  Name  in  jedem  anderen 
Falle. 

Mag  es  euafach  oder  snsammengeBetBt  SMn»  so  mnss  an  ein  Zeichen 

die  Anforderung  gestellt  werden,  dass  es  im  Druch  isolirt  stehe,  nKmlich 
von  andern  Zeichen  durch  unbedruckte  Zwischcfiräume,  Spasieti,  geschieden 
sei.  Ziisammenc^esetzt  sollte  nun  eigentlich  ein  Zeichen  immer  dann  heissen, 
wenn  an  ihm  selbst  sich  noch  in  dieser  Weise  fjetrcmUc  Teile  erkennen 
labsen,  wogegen  es  einfach  zu  nennen  wäie,  sobald  in  ihm  die  Drucker- 
schwärze ein  zusammciüiängcndes  Flächenbild  bedeckt.  Kb  machen  jedoch 
hieven  die  Bnchstaben  «,  j  (imd  die  als  Namen  hier  ttberhanpt  nicht  ver- 
wendeten Vokale  ä,ö^ü)  eine  Ausnahme.  Dass  es  unverftnglich  ist^  anch 
diese  noch  den  einfiichen  Zeichen  bdsosShlen,  beruht  erstlich  auf  dem  üm- 


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600 


stand,  daäs  wir  eineo  Über  Buehstaben  zu  setzenden  Punkt  oder  Tupfen 

(dot)  hier  nicht  als  Opor:if ions/cichen  verwoiiflcn  tvcrdnii,  nnd  ZWOit^S  »uf 
der  nunmehr  sogleich  im  Haupttext  folgenden  liemerkung. 

Aus  einfachen  Nameu  können  auch  neue,  demnach  ,,zu8animen* 
gesetzte"  Namen  aufgebaut  werden,  wobei  man  jene  jedoch  in  der 
mitsamt  den  etwa  sie  verbindenden  Eofipfongsaeichen  einer  be- 
stimmten  Zeüe  enUang  zu  setzen  und  zu  leaen  hat  Fflr  die  meisten 
Zwecke  wird  es  daram  zulässig  sein,  auch  solche  Namen  als  ,,einfache'' 
(im  weiteren  Sinne)  gelten  zu  lassen,  die  nur  auf  der  Zeäe  umigskna 
keine  getrennten  Bestandteile  anfweisen. 

So  darf  der  als  ein&cher  Name  sn  behandelnde  Buchstabe  allenfalls 

noch  mit  einem  Äccmtc  oder  aber  Suffimm,  unteren  Indes^  also  Uberhaupt 
mit  einem  (Stellen-)  Zeiger  versehen  sein,  wie  a  (sprich:  a  strich,  oder  o 
prim,  englisch:  a  dash),  a",  . .  er,,,  rij ,  o^,  . .  a,.  (gesprochen:  n  null,  a  eins, 
zwei,  . . .  a  unten«),  desgleichen  —  im  identischen  Kalkül  wenigsten.--, 
und  dies  entgegen  der  sonstigen  mathematischen  Gepflogenheit  —  auch 
mit  einem  ßx^pünaUen,  wie  a\aV-<^  '  (h^^'-  hoch  null,  etc.)  indem 
hier  8. 261  sq.  die  Bxponenten  stets  nur  als  ,fObere  Lidices**  angesehen  weiden, 
(das  Kapitel  Uber  die  „Logik  der  Beziehungen'*  vielleicht  ausgenommen)^ 

Wie  schon  in  B  der  Einleitung  8.  45,  erwShnt,  wird  durch  die  Zeiger 
der  Vorrat  an  „einfachen"  Namen,  die  zum  Benennen  zur  Verni<:ung  stehen, 
der  bich  sonst  aiii  di';  Buchstaben  der  paar  Alphabete  beschränken  würde, 
fttät  unbegrenzt  vormehit. 

Durch  ihre  Stellung  Uber  oder  unter  dem  Niveau  der  Zeile  aber, 
sowie  durch  ihren  kleineren  Druck  in  dieser  andern  Höhenlage,  sollen  die 
Zeiger  sich  als  zu  dem  ihnen  unmittelbar  links  yorangehenden  Buchstaben 
gehörige  su  erkennen  t;e!jcn,  und  rihnliches  gilt  auch  von  dem  „Negation^>^trich**. 

Der  Nrf;n(ion<tslri<h  nimmt  im  identischen  Kalkül  eine  Sonderstellunpr 
ein,  indem  er  liier  als  ein  Oprmiionszrichen  gcbnnicht  werden  wird,  um 
die  ,,Verneinuui,''*  des  mit  ihm  beliafteten  Aut^  Inn  i:s  zu  i'ordern,  darzu- 
bteUt'U.  DemgemäbS  werden  wir  a,  (gelesen:  a  uxcIiLj  eigentlich  als  einen 
zusammengesetzten  Namen  anzusehen  haben  und  kOnnen  ihn  als  einfisch 
nur  in  den  (oben  charakterisirten)  Fsllen  gelten  lassen,  wo  auch  a  s.  B. 
als  einfach  tuigeseben  v,  r  üen  dtlrfte,  nSmlich  wo  Aber  ihn  hinweg  streif 
auf  der  Zeile  weiterzulesen  ist. 

[In  der  25.  Vorlesung  gilt  auch  der  Accent  sowie  das  Suffiium  0  als 
ein  Operationszoichen ,  indem  dort  a    steht  fUr  das  „Bild"  von  a  und 
tür  die  „Kelle''  vun  a,  was  dort  alsu  zu  ähnlichen  Bemerkungen  in  Bezug 
auf  dtti  Accent  und  das  Snf&zum  0,  wie  soeben  in  Bezug  auf  den  Nega- 
tionsstrich Veranlassung  geben  wttrde.] 

Abgesehen  von  diesem  Operationssttchen,  mit  welchem  bereits  aa 
einem  einzigen  Symbole  (dem  es  rechts  unten  anzufügen)  opcrirt  werden 
kann,  verwenden  wir  als  „Operationszeichen"  fast  nur  noch  Knüpfungs- 
zeichen,  und  zwar  solche,  welche  mindestens  zwei  ^^ynibole  aut'  der  Zeile 
verbinden.  Wesentlich  kommen  sogar  nur  zweierlei  solche  Knüpfungs- 
zeichen:  plus  und  mal,  fUr  uns  in  Betracht,  als  +  und  •  (oder  »),  und  nur 


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Exkurs  über  Klammem. 


601 


▼oiübergelieiicl,  in  §  34,  treten  xn  diesen  noob  Sabtrsktions-  und  DiTiaions- 
seichen  hinzu,  unter  letztem  der  Brach»toich,  d«  xwei  Symbole  in  Terti- 
kaler  Richtung  verbindet. 

Ausser  dui-ch  Operntion^/eichcn ,  werden  aber  Ansdrüclcc  auch  noch 
durch  „Bczu'hunffssfndHh"  z:;  Auss^a^'eu  verbunden,  wie  =,  ^=  etc.  die 
Sünitlich  nur  auf  der  Zeile  zwischen  sio  zu  ireten  haben. 

Ein  Wort,  sotcni  es  nicht  blub  aus  cinan  Bucliöiaben  besteht, 
sowie  eine  VerbinduiFj;  von  Worten  zu  einer  litr^^cliroibung  oder  zu 
einer  Ausüage,  würde  uis  ein  „zusaminengeaetaiter"  Name  oder  Aus- 
druck hinzustellen  sein. 

Solche  führen  wir  aber  nicht  in  die  Kechnung  ein,  da  sie 
für  die  Bezeichnuugss wecke  der  exakten  Logik  als  za  amstandiich 
erweisen. 

Unser  Hauptbestrebeu  bleibt  ja  darauf  gerichtet,  eine  Ökonomie 
der  Zeiciien  zu  verwirklichen  und  zwar,  Ja  an  die  Zeicben  auch  die 
iiedaukeu  geknüpft  aind^  damit  aaf  möglichste  Erspamiss  an  Oedanken- 
arbeit  hinzuwirken» 

Wenn  dämm  —  etwa  in  einer  Textaufgabe  —  eine  Klasse  mit 
^^^)rten  gekennzeichnet  ist,  und  es  augezeigt  erscheint,  dieselbe  der 
„Rechnung''  zu  unterwerfen^  sie  in  Subsumtionen^  Gleichungen,  Formeln 
oder  auch  Ausdrücke  eingehen  sn  laaseni  Qberhanpt  sie  mm  Gegen- 
stände anhaltender  Überlegungen  an  machen,  so  werden  wir  wie  gesagt 
dieaelbe  jeweils  mSgliehst  einfach  uns  darstellen,  demgemäss  also  von 
vornherein  einen  Buchstaben,  einen  ,fiinfaäml*  Namen  fbr  sie  einführen. 

Muss  ja  doch  bei  den  an  ein  Objekt  geknüpften  Untenrachungen 
—  vollends  beim  Rechnen  mit  demselben  —  sein  Käme  erfiüinings- 
mEssig  in  häufiger  Wiederholung  gedacht  und  ausgesprochen  werden, 
und  verursacht  (S.  44)  ein  umständlicher  Name^  ein  unbequemes  Zeichen, 
doch  allemal,  so  oft  es  nur  gebraucht  werden  muss»  einen  höchst  ärger- 
lichen Aufenthalt! 

Hauptsächlich  auf  diesem  Umstand,  dass  sie  die  Wiederholung  meistens 
langwieriger  Kamen  ersparen  durch  den  Hinweis  auf  ihre  einmal  vollendete 
Aasspraehe,  beruht  —  nebenbei  bekanntlich  —  der  grosse  Wert  der 
Pronomina  demonstrativa  fUr  die  Wortsprache. 

Bolchcr  nun  bedürfen  wir  im  Kalkül  nicht  (können  sie  da  auch  nicbl 
brauchen!)  und  sichern  uns  den  gleichen  Vorteil  in  noch  höhnretu  Matisse, 
indem  wir  für  den  verwickelten  Namen  einon  Buchstaben  eintühren,  den- 
üelben  dann  in  jedem  15edartsfalle  wiederholend. 

"VS  enn  nun  bei  den  anzustellenden  Überlegungen  unsro  einfachen 
Nauieii  vermittelst  der  Rechnungs-  und  Beziehungszeichen  des  iden- 
tischen Kalküls  zusaninR'n/.u.->etzen  sind  zu  ..Au6ärückcii'',  welche  viel- 
leicht selbst  wieder  zur  Büdung  noch  komplizirterer  Ausdrücke  oder 


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602 


Anhang  2. 


Attssagea  als  deren  Operations-  oder  BesiehtiDgsglieder  weitersiiTer- 
wenden  wm  werden,  wenn  also  an  solche  noch  fernere  Oberleguugeu 
angekuüpft  werden  müssen ,  welche  ein  (eventuell  wiederholtem)  Uer> 

»teilen,  Ansetzen  ihres  Namens  erfordern  — ,  so  würde  es  nach  bis- 
borigcr  iMuxime  angezeigt  erscheinen,  auch  i'ür  sie  wiederum  .,einfaclie'' 
oder  Buchstaben  als  iSamen  neu  eiuzutühren  —  wo  wir  dauu  y;äu^iich 
der  Klammerii  outr'iten  könuten. 

In  der  That  würde  diese  Praxis;  iür  jede  in  Betracht  zu  ziehende 
Klasse,  für  jeden  Ausdruck  sofort  einen  einiaclien  Namen  zu  schaffen, 
am  besten  durchweg  eingehalten,  wenn  nicht  ihre  strikte  Behjlgung 
einen  Misstand  nach  sich  zöge,  durch  die  Rücksichtnahme  auf  welchen 
die  Wirksamkeit  jener  Maxime  wieder  eingeschränkt  werden  muss. 
Kesultireu  würde  nämlich  eine  Überladung  der  Untersuchungen  mit 
einer  allzugrossen  Menge  aparter  (wenn  auch  einfacher)  Zeichen,  deren 
Bedeutung,  da  sie  doch  wenigstens  während  gedachter  Untersuchungen 
festgehalten  werden  muss,  im  Gedachtnisse  zu  hehalteUi  demselben 
eine  übergrosse  Last  aufbürden  hiesse. 

Ans  diesem  Qrande  verwenden  wir  zur  Bezeichnung  Ton  solchen 
Gebieten  oder  Klassen,  die  an  andern  bereits  einfach  benannten  in 
einer  einfachen  Beatebnng  stehen,  anstatt  willkürlich  zu  erfindender 
,,einfaGlier%  doch  oft  lieber  «^sosammengesetEte^  Namen,  und  zwar 
solche,  welche  durch  die  Art  ihrer  Zasammensetsnng  stetsfort  erkennen 
lassen,  in  welcher  Beziehmig  jene  gedachten  Gebiete  an  diesen  er- 
wähnten stehen  sollen* 

Im  Ganzen  kommt  es  also  darauf  an,  den  goldenen  Mittelw^  zu 
gehen  zwischen  Gebundenheit  an  bemühend  schwerffLllige  Ausdrueks- 
weisen  einerseits  und  Überlastung  des  Gedächtnisses  andrerseits,  m. 
a.  W.  darauf:  dass  man  das  an  sich  gerechtfertigte  Bestreben  nach 
möglichster  Erleichterung  und  Vereinfachung  der  Ansdrucksmittel 
zügeln  lasse  durch  die  Rücksicht  auf  eine  nur  massige  Inanspruch- 
nahme des  Gcdiichtüiäses,  namtjitlich  aul'  Entlastung  des  mechanischen 
Gedächtnisses  —  durch  Beizug  des  judiziösen  —  vermittelst  massigen 
(  iehtauches  von  zusammengesetzten  und  zwar  von  ratioticü  zusammen- 
gesetzten  Namen. 

Sobald  nun  bei  einem  zusarameiiu'  tzfon  Ausdruck  eine  Operation 
augedeutet,  an  oder  nnt  ilmi  vorgenommen  werden  soll,  wird  die  An- 
bringung von  Klammern  zum  unabweislichcu  Bedürfniss:  damit  einer 
Mebrsinnigkeit  der  Bezeichnungsergebnisse  vorgebeugt  werde. 

Um  dies  näher  darzulegen,  wollen  wir  vorzugsweise  die  Fälle  in's 
Auge  fassen,  wo  jene  Beziehungen  darstellbar,  wo  nämlich  zusammen- 


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£Ukara  über  KUoimem.  603 

gesetete  Ausdrücke  henustellen  sind  durch  die  Kllüpfungszeichen  des 
ideniischen  Kalküls.' 

Sind  a,  6,  c  Gebiete  oder  Klassen,  so  werden  a*&,  h-c^  a  + 
h+Cj  etc.  die  nächstliegenden  Beispiele  von  neuen,  aus  deu  vor- 
liegenden abgeleiteten  Gebieten  oder  Klassen  sein,  für  welche  sich  uns 
diü  augeführtcu  Sjmbole   aiä  „ausauimeügeöetzte"  ISaiueu   zur  Ver- 
tiigung  stuUeu. 

Wenn  wir  nun  z.  B.  ein  Orbiot  a  zu  muitipliziren  haben  luit  dom 
( lobiete  ^  +  so  dUrfen  wir  für  das  sich  dadurch  ergebende  Gebiet 
nicht  olme  weiteres  schreiben; 

a-h  +  c 

ans  dem  Grunde,  weil  dieser  Ausdruck  ebensogut  gehalten  werden 
konnte  ffir  das  Ergebniss  der  Addition  eines  Gebietes  c  zu  dem  Gebiete 
a*h.  Und  diese  beiden  Ergebnisse  wSren  doch  Yersehieden,  wie  schon 
die  Veransehaulichung  derselben  für  das  nächste  beste  Beispiel  zeigt; 
sie  durften  also  durchaus  nicht  Terwechseli  werden.  Solcher  Ver- 
wechselang vorzubeugen  ist  die  Klammer  bestimmt 

Das  Malseichen  in  obigem  Ausdruck  a*&  +  c  erscheint  faktisch 
nur  neben  den  Bestandteil  h  des  zusammengesetzten  Namens  &  +  c 
gestellt^  und  niemand  vermag  dem  Ausdruck  anzusehen,  dass  es  sich 
auf  diesen  ganzen  Namen  beziehm  sollta 

Ebenso  bliebe  in  Hinsicht  des  Pluszeichens  der  Zwcilel  uifen,  ob 
es  sich  auf  daa  ganze  Produkt  (/  •  h  oder  nur  auf  deu  ihm  zunächst 
stehenden  Faktor  h  desselben  beziehen  solle. 

»^ol(  h  '  U!i))estininitheit  (hier  Zweideutigkeit,  Doppelsinnigkeit)  zu 
heben  vermögen  wir  vermittelst  der  K.lammern|  und  zwar,  indem  wir 
als  oberi)teu  (irundsat?«  adoptiren: 

Sooß  o»  oder  imt  «mm  f^naammenffesMm**  Äusdrwk  eme  Operation 
ausgeführt  Mferdm  acU,  loMe  äun^  ein  tm  demadben  amntbrif^fendes 
Operaiionsgekhen  darMuskSen  is^  —  wie  z.  B.  aach  durch  eine  bestimmte 
Art  der  VerknQpfnng  des  Ausdruckes  mit  noch  anderen  Symbolen  — 
so  m«8S  dersdbe  ekißMunmeri  werden,  und  zwar:  damit  man  erkenne^ 
das  Operations-  resp.  Yerknüpfungszeiohen  beziehe  sich  auf  den  ganzen 
Ausdruck  und  nicht  etwa  btos  auf  den  ihm  zunächst  stehenden  Be- 
standteil desselben. 

Hienacb  erscheinen  denn  in  der  That  die  beiden  vorhin  noch 
in  der  Gefahr  einer  Verwechselung  befindlichen  Ausdrücke  als  n-{b  +  c) 
—  sprich  «  mal  Klammer  h  plus  c,  gcachlossm  —  und  {(i-b)-\-c  — 
spr.  Klammer  a  mal  b  geschlossen,  plus  c  —  nun  auch  äusserlich  ge- 


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604 


Anluuig  t. 


bohrend  nnterachiedeiiy  und  wvt  es  tod  dieaen  der  erstere  a-(^  +  c)y 
den  wir  su  bilden  Torhftiten. 

Die  Klammer  ()  mag  angeeehen  werden  ab  Oberresi  einer  einlach 

geschlossenen  (unverkuoteten)  Kurve,  welche  den  zQsammengesetzten  Nmdmi 
oder  Ausdruck  als  ihren  Inhalt  umfassen,  einhegen  soll  un<l  ihn  so  zu 
einem  Ganzen  '/uf^amnienMlilic-f^t,  welches  nur  ah-  ?.olclie.>  /.n  allem,  was 
auäserhalb  befindlich  in  licsiiuhung  treten  kann.    So  in  uuberm  Beispiele: 

Von  dieser  Ellipse  braucbeu  aber  nur  die  iu  die  Zeile 
'^^^[^^  fidlenden  beiden  Teile  wirklieh  ausgezogen  oder  forterhalten  so 
werden,  weil  eben  nur  dieeer  entlang  der  Anedraek  gelesen 
wird.    Zugleich  erhellt  aus  dieser  Bemerkung,  wie  zuweilen 
auch  ein  wagi'cchter  Btiiih  oder  Haken     '  als  „T/woi/^Mm"  die  Klammer 
zu  ersetzeu  Yermag  —  so  in  der  Arithmetik  der  verlängerte  WnrzeUtrich^ 

sowie  der  Bfuehsirkhf  snm  Exempel  bei    ^  « 

Sich  die  Befolgung  obiger  Regel  zn  erlassen,  ein  Dispens  Ton 
derselben,  ist  nur  zulässig  auf  Grund  bewusster  Überlegungen  (oder 
durch  boltli'.  ^gerechtfertigter  Übung),  die  wir  nachher  erörtern  werden. 

Ist  der  verknüpfte  ein  einfacher  Name  wie  a  oder  l\  so  ist  dessen 
Eiuklamnurun^  unnötig,  indem  bei  a  h'  niemand  auf  die  Meinung 
Verfallen  kaim,  i]as  31al/A'icIicii  btzielie  sich  nur  etwa  auf  die  rocliie 
Hälfte  des  Buchstabens  (f ,  und  nicht  auf  dics<^ri  ganzen  Buchstaben 
und  niemand  auch  iu  den  Irrtum  geraten  wird,  es  be/.Iehp  sich  ua 
das  b  ohne  seinen  Accent.  [Sollte  freilich  einmal  —  zu  irgendwelchem 
Zwecke  —  das  Produkt  ««6  accentuirt  werden,  so  müsste  es  ein- 
geklammert, es  müsste  dann  (a  b)'  geschrieben  werden.] 

Sofern  also  alle  in  Betracht  (jezogctien  Gebiete  oder  Klassm  mit  ein- 
faclien  Namen  benannt  sind,  ist  das  Institut  der  Klammei-n  übcrflüssi<j. 

Die  .,ührr flüssige^  Klammer  büdet  ein  noch  für  aridere  Zwecke 
disponibles  Merkgeiehmf  und  mag  man  z.  B.  in  einer  Untersuchung  mit 
(a),  {b)f  etc.  ganz  andere  Dinge  wie  a,  h,  *  *  *  bezeichnen. 

Auch  in  den  andern  FEllen  wird  die  Klammer  entbehrUch,  sobald 
man  die  erforderliche  Menge  von  einfachen  Namen  einfahrt. 

Der  obige  Ansdmck  a^Qf+e)  s.  6.  kann  auch  ohne  Klammern  darge- 
stellt werden  in  Qestalt  tod  a-g,  sobald  wir  h+e^mg  nennen,  und  ebenso 
lässt  sich,  indem  a*b»^x  genannt  wird,  ohne  jegliche  Klammer  J!+c 
schreiben  ffir  dasjenige  was  wir  oben  mit  (a*&)+c  darstellen  mussten. 

Um  noch  ein  Beispiel  anzufahren,  so  ISsst  sich  das  Assoziations- 
gesetz  der  Multiplikation  ohne  Klammem  dahin  aussprechen,  dass, 
wenn  a'b^X  und  b'C^y  genannt  wird,  dann  o •  y  =  x  •  c  sein  müsse. 

Die  Klammer,  indem  sie  uns  die  Einführung  noch  besondrer  ein- 
facher ^s^amen  erspart,  übeilicbt  uns  also  auch  der  Nötigung,  dit>  13e- 


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ExkoTB  ftber  KUmmem. 


605 


deutiuig  dieser  Nameu  ausserhalh  des  Textes  auseiiKuulerzusetzen,  sei  es  in 
vorglingiger  Erklärung,  sei  es  in  iiaclitrügliclier  Anujerkung  zu  dem- 
selben, wo  nicht  iu  Form  einer  Einsclialtunjx;  sie  gestattet,  von  dem, 
was  sie  zu  bedeuten  hatten,  im  Z^sammtuhangc  des  Textes  zu  reden. 
Anstatt      welches  6-f  c  bedeutet"  sagen  wir  sogar  bequemer  „(6  + c/*. 

Fassen  wir  den  Zweck  der  Klammern  nooli  unter  einem,  aadern 
Gesichtspunkt  in's  Auge.  Sobald  in  einem  Ausdruck  imkror  Knüpfungs- 
Eeichen  zu  erblicken  sind,  fallt  den  Klammern  die  Aufgabe,  die  Mission 
eO|  die  Succession  oder  Beiharfolge  der  betreffenden  Operationen  za 
regeln.  Naeh  der  Erklärung,  welche  unsre  Operationen  der  identischen 
Multiplikation  und  Addition  gefunden  haben,  hat  es  nur  einen  Sinn, 
zu  verlangen,  dass  zwei  Grebiete  (zu  einem  dritten)  yerknüpft  werden. 
Es  wäre  aber  sinnlos,  etwa  zu  fordern,  dass  a,  5  und  e  gleichzeitig 
durch  Multiplikation  nnd  Addition  yerknflpft  werden  sollten.  Wenn  a 
tempo  a  mit  b  mnlt^pliurt  und  h  mit  e  Bommirt  werden  sollte,  was 
sieh  ja  in  der  That  durch  Terachiedene  Personen  ansf&bren  lieaBe,  so 
wfirden  auch  twei  Ergebnis««  a*6  und  &  +  c  resultiren.  Zu  emef»  Er^ 
gebnzsse  durch  die  heidm  Rechnungen  der  Multiplikation  und  Addition 
lassen  sich  die  drei  Qebiete  nur  Tereinigen,  wenn  diese  Bechnungen 
nadieinander,  mieeessivef  forMmiend  ausgefohrt  werden,  und  da  frigt 
es  sich  TOT  allem,  in  welcher  Ordnung  oder  (Eleihen  )Folge. 

Wird  zuerst  h  und  c  summirt,  und  hernach  (mit  dem  Ergebnisse) 
a  multiplisirt ,  so  entsteht  a  •  (b  +  c). 

Wird  dagegen  zuerst  a  mit  h  multiplizirt,  und  dann  (sn  dem  Er- 
gebnisse) c  addirt,  so  entsteht  (a-h)  +  c. 

So  wenig  man  ein  üdiis  bauen  und  heriKiL-li  tr.-^l  die  >taiUQ 
und  Balken  da^u  liefern  kann,  so  wenig  kaiiu  man  an  einem  Gebiete 
eine  Operation  (sei  es  auch  nur  audeutungs weise)  vollziehen,  bevor 
man  (einen  Namen  für)  dies  Gebiet  selbst  hergestellt  hat.  Ehe  man 
es  wenigstens  gedadUf  kann  man  nichts  daran  oder  damit  maciieu. 
Auch  „die  Nürnberger  hangen  Keinen,  sie  liiitt  n  ihn  denn  zuvor" 

Es  ist  darnach  eine  innerhalb  einer  Klanuuer  vorgeschriebenp 
Operation  jeweils  vor  derjenigen  ausgeführt  zu  denken,  welche  an  oilcr 
mit  dem  Klammerausdruck  selbst  vollzogen  werden  sollte,  deren  Zeichen 
also  auch  nur  ausserhalb  von  dessen  Klammer  zu  erblicken  sein  wird. 
Man  wird  in  einem  jedra  Bestandteil  des  Ausdrucks  jeweils  leicht  die 
innersten  Klammern  ausfindig  machen,  und  für  die  Interpretation  so* 
wol  als  eventuell  auch  fiQr  die  „Ausrechnung''  von  komplizirten  Aus- 
drücken, welche  Klammem  ev.  in  Klammeransdrficken  und  wieder  in 


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606 


Anhang  2. 


solchen  etc.  desgleicheii  vielleieht  auch  neben  solchen  eingeechachiett 
enthalten,  let  also  die  Regel  gereehtfertigt,' diese  Prozesse  wm  mm 
«odk  aussm  fortedireitend  anssnfQhren.  Auf  dieser  Bemerkung  vor 
allem  beruht  die  fflr  den  Anfänger  schon  nicht  gans  leiehte  Kunst  des 
riehligcu  Verstehens  und  Ansetsens  ron  Ausdrflekeni  eine  Kunst  in 
Bezug  auf  welche,  wie  bei  jeder  Kunst,  die  Obong  ^in  Übriges,  viel- 
leicht  das  meiste,  thun  muss. 

In  prinzipieller  Hinsicht  ist  nun  aber  noch  zweierlei  zu  bemerken. 

Erstens  ist  das  Einschachteln  von  Klammeransdrücken  in  neue 
Klammern  u.  s.w.  sowie  überhaupt  das  häufige  Aiibriugou  von  solchen, 
immerhin  ein  lästiger  Notbeiielf;  der  erstere  Fall  sogar  nicht  selten 
ein  die  Übersicht  erächwerender  Umstand.  Man  sucht  diesen  Misstand 
dadurch  zu  verringern,  dass  uian  da,  wo  im  nämlichen  Ausdruck 
Klammern  von  einer  andern  umschlossen  werden,  für  die  eingeschlos- 
senen und  ffir  die  umschliVssi  tkIo  verschiedene  Klammerhakeii  mit 
Vorliebe  verwendet,  so  diejenigen  der  runden  (•  •  der  geschwungenen 
oder  geschweiften  { •  •  •  ]  nnd  der  eckigen  [•  •  ]  Klammer. 

Zudem  aber  sucht  mau  überhaupt  den  Gebrauch  der  Klammern 
mdgliclist  einzusehränken. 

Ein  für  allemal  sei  bemerkt,  dass  man  übereingekommen  ist,  die 
zusammengesetzten  Ausdrücke,  welche  durch  ein  logisches  Bezvchungs- 
zeichen  zu  verknüpfen  sind,  welche  also  die  linke  oder  rechte  Sdte 
einer  Subsumtion,  oder  einer  Gleichung,  einer  Ungleichung,  etc.  bilden 
sollen,  im  (6ebiete)Kalkul  memais  eiimMammem,  Also  man  schreibt  S.B.: 
ah^a-^'h  und  nicht:   {ah)  =^    +  ft). 

Erst  im  „Au^äagenkafkul",  wo  jene  Ausdrücke  Aussagen  bedeuten,  die 
selbst  wieder  derartige  Beziebungszeicben  enthalten  mOgen,  kann  solche 
Einklaaunernng  nOUg  werden,  nnd  wttrde  in  der  Tbat  s.  B.  as^&»c 
ganst  etwas  anderes  bedeuten,  als  {a  =^lt)  =^  c  —  jenes  nämlich  kuud 
geben,  dass  a  m  h  enthalten  sei,  welches  einerlei  mit  c,  dieses  aber,  das8 
c  die  Au.^sat'c  bedeute  (oder  ihr  äquivalent  sei),  dasfi  a  in  2>  enthalteo. 
Das  Niihere  wird  sieb  aus  dieser  Di.>/.iplin  ergeben. 

Der  Gebrauch  der  Klammer  ist  dort  durch  die  Konvention  geregelt, 
dass,  wo  sieht  eine  solche  Klemmer  das  Gegenteil  vorschreibt,  die  Zeichen 
der  identischen  Operationen  stets  vor  den  Besiehnngsseichen  interpretirt 
werden  müssen. 

Dannich  dürften  wir  im  Gegensatz  zum  obigen  Beispiel  in  einem  Aus- 
(hnelc  des  Aussagcnkalkuls,  wie  o(&^a)  +  d,  die  Klammer  jedenfalU 

nicht  woglas.sen. 

Doch  kehren  wir  wieder  zum  Gebietekalkul  zurück. 

Ausserdem  .si(  Ii  von  der  Klammer  zu  dis^cusireu  gelingt  zunächst 

m  der  Ilalfte  der  l'üüe. 


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Exknn  ftber  SlftminenL  607 

Wo  es  nimliehy  wie  in  den  angeftthrien  Beispielen  lediglich  darauf 
ankommt,  Yennittelst  der  Klammer  zwei  verBcbiedene  AufiGuaimg»- 
möglidikeiten  ftlr  einenunddenaelben  Anedruck  sn  onteracheiden  ge- 
nflgt  OB,  und  ist  es  folglioh  erlaubt,  die  Klammer  bei  der  einen 
AnffiwBongBweiee  konaeqnent  wegsnlaseen,  wofem  man  nnr  sie  bei  der 
andern  konseqipent  beibehält. 

Uan  ist  in  der  Mathematik  übereingekommen,  ham  Adäwm  von 
^roäukim  die  S^anmem  (nm  diese  henun)  «wj^sulosseii*),  and  diesem 
Gebrauche  wird  es  zweckmassig  sein,  sich  auch  im  identischen  Kalkül 
anzoschHessen.  Sonach  schreiben  whr  flfar 

(«•6)  +  c    hinfort  bequemer    a«  Z>  4-  c    oder    ah  +  c. 

Um  so  gewissenhafter  muss  dann  aber  beim  Multiplizireu  von 
Summen  die  Klammer  (um  letztere  herum)  beibehalten  werden  und 
ist  es  niemals  erlaubt,  einen  Ausdruck  a{h  +  c)  in  ab  +  c  abzukOrzeo. 

Beispielsweise  kann  bienach  der  Ausdruck  o  •  fc  +  c  •  d  nur  mehr 
als  {ah)  +  (cd)^  nicht  aber  als  a(&  +  c)d,  auch  weder  als  a(d  +  c<Q 
noch  als  {ah  +  c)d  ▼erstanden  oder  gedeutet  werden. 

So  wird  femer  —  wenn  wir  hier  vorgreifend  auch  den  Negationsstrich 
mit  in  den  Bereich  der  Betrachtimgen  ziehen  —  bei  «•(^,)  =  ^md 
a  +  =  a  +  h^  die  Klammer  sich  sparen  lassen,  wofem  sie  nur  bei  Aus- 
drücken der  Form  {a  •  6),  und  (a  4*  b)^  festgehalten  wird,  und  indem  wir 
ersteres  thon  wird  hiagebracht,  dass  nun,  den  KommutationsgesetEen  12) 
entsprechend,  das  ohnehin  aidit  misBrerständliche  h^a  resp.  +  a  ohne 
weiteras  lUDgesteUt  werden  darf  in  ab^  und  n  +  b,.  Sofern  nioht  eine 
Klammer  es  anders  Torschreibt,  wird  also  die  Negation  jeweils  vor  den 
beiden  andern  Spezies  ausgeführt  zu  denken  sein. 

Ebenso  mtigen  wir  definiren:  ö|  =  ((*')|j  wo  vielleicht  (a,)'  noch 
einen  andern  Öinn  behält.  — 

Für  die  Zeichen  II  und  2^  werden  lünäichtlich  des  Klammergebrauchs 
in  §  30  noch  besondere  Festsetzungen  getroffen. 

Ferner  aber  kann  die  Klammer  auch  in  beiden  Fällen  weggelassen, 
sie  kanu  durchaus  (jespart  werden  überall  tla,  wo  die  duicii  die  Klammer- 
stellung von  einander  unterschiedenen  AusLlriicke  denknotwendig  den* 
selben  Wert  haben  müssen,  wo  sie  jiur  als  verschiedene  Is^amen  für 
das  nämliche  Gebiet,  für  ein  und  dieselbe  Klasse  erscheinen. 

Ein  erstes  Beispiel  liefert  uns  das  Assoziationsgesetz  13)  selbst. 

Nach  diesem  —  welches  wir  nur  etwa  für  die  Multiplikation  ins 
Auge  fassen  wolle n  —  ist  es  für  den  Wert  des  Produktes  gleich- 
gSltig,  auf  welche  Weise  man  in  dem  Ausdruck 

'*)  Cber  diti  allgemeineren  Konventloueo,  von  welchen  die  obige  nur  eiueu 
Sonderfell  vertritt,  vergleiche  nein  Lehrbuoh  *  p.  SIT  sqq. 


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608 


Anhaug  2.  Exkurs  Aber  Klammera. 


eine  Klammer  anbringt  Eine  solche  kann  nur  entweder  die  beiden 
ersten  oder  aber  die  beiden  letzten  der  drei  als  Faktoren  angeeetaten 
Symbole  —  bei  Fesflialtong  von  deren  Reihenfolge  —  umeehHeesetty 
da  a  und  c  durch  das  mittlere  Symbol  b  getrennt  erscheinen,  folglich 
deren  Einschliessung  ohne  h  in  eine  Klammer  iiritlumlicli  ist.  Eine 
Einkliiuimoruntr  des  ganzen  Ausdrucks  ahc  ist  ja,  solange  nicht  weitere 
Operationen  an  ihm  vorzunehmen  sind,  ah-,  unnötig  zu  verwerfen,  und 
ebenso  eine  Einklammerung  der  einfachen  >S;y^mbole  a,  h  oder  c  selbst 
bereits  ausgeschlossen. 

Auf  eine  der  beiden  angegebenen  Art«n  aber  vinss  die  Klammer 
auch  gesetzt  s^edaclit  werden,  wenn  überhaupt  dem  Ausdruck  em  '>hiu 
untergelegt  werden  soll.  Denn  wir  können  auch  zwei  Multiplikationen 
nicht  gleichzeitig  ausführen:  eine  von  beiden  —  entweder  die  von  a 
mit  6  oder  die  von  h  mit  c  muss  den  Vortritt  haben,  m.  a.  W.  ein 
Produkt  ist  bis  jetzt  nur  für  zwei  Faktoren  definirt  worden;  ein 
Produkt  von  dreien  aber  zur  Zeit  noch  unerklärt. 

Wir  könnten  demnach  unter  a-bCj  wenn  überhaupt  etwas,  so 
nur  entweder  {a-h)-C  oder  a-(b-c)  verstehen.  Welches  von  beiden 
wir  thon,  ist  aber,  wegen  aihc)  =  (ah)c,  also  kraft  des  Assoziations* 
gesetzes  gleichgültig  und  folglich  braucht  darüber  auch  keine  Vorsdirift 
gegeben  zu  werden.  Wir  schreiben  künftig  unterschiedslos,  bequemer 
und  fibersichtlicher  für  die  genanntoi  beiden  Ausdrücke  den  einen 

ahe 

und  sind  so  natnrgemSss  an  dem  Begriff  des  Produktes  von  drei  (zu- 
nächst noch  in  bestimmter  Ordnung  gegebenen)  Faktoren  a,  b  und  c 
gelangt,  als  welches  wir  —  unter  dem  Namen  abc  —  zu  verstehen 
haben  den  kruiL  des  Assoziationsgesetzes  übereinstimmenden  Wert  der 
Produkte  a(b()  und  (a?>)c. 

Als  eine  Art  von  psychologischem  J^stulat,  neu  hinzutretend  zu  den 
auf  die  Interpretation  bezüglichen  und  in  §  7  schon  angeführten  Postalaten, 
kann  es  allerdings  TieUeicht  hingestellt  werden,  dass  wir  uns  schlieeslieh 
dieses  Gebiet  ahe  noch  auf  eine  (anscheinend)  dritte  Weise,  n&mlidi: 
als  das  den  dreien  a,  h  and  c  schlechtweg  gemeinsam  Gebiet,  im  Geist  an 
erzen^en  und  vorzustellen  verm?5gen,  ohne  dabei  einen  der  vorher  ange- 
deuteten Bildungsprozesso  wiederholen,  mit  Bewasstsein  durchlaufen  zu 
müssen. 

Indem  wir  diese  Überlegungen  nun  analog  auch  auf  beliebig  viele 
Faktoren  ausdehnen,  scli Hessen  sieh  hier  ebenso  naturgemüss  an  die 
Betrachtungen  des  folgenden  Anhangs. 


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Anhang  3. 


Anadehimiig  von  B«griff  und  Sätzen  über  Frodukt  und  Bimiiike 
Ton  iweimi  «uf  beliebig  viele  Tenne» 

(Zn  §  10.) 

Ich  werde  zunächst  nur  vom  Produkte  reden,  üm  den  B^priff 
einee  Produktes  von  beliebig  viel  —  sagen  wir  n  —  Faktoren  zu  ge- 
winnen, bedürfen  wir  ausser  dem  speziellen  Assoziationsgesetz 
und  dem  speziellen  Kommutationsgesetz  12^)  noch  wesentlich  des 
Satzes  16^);  dass  Gleiches  mit  Gleichem  multiplizirt  Gleiches  gibt  (so 
wenigstens  im  Falle  der  Anwendung  Ton  nie  mehr  als  zwei  Faktoren) 
—  wobei,  wie  in  dieser  ganzen  Disziplin  ,,gleicV  ja  eigentlich  nur 
Identisches  genannt  wird.  Dieses  Th.  16),  welches  wir  im  System 
erst  ein  wenig  später  anfsufldhren  Torzogen,  konnte,  samt  dem  dasselbe 
Torhereitenden  Th.  15),  anch  unmittelbar  hinter  Th.  13)  angereiht 
werden,  ond  ist  für  die  nachfolgenden  Oberlegnngen  Torausgeschickt 
an  denken. 

Diese  Überlegungen,  welche  als  ebenso  scharfrinnigf  wie  einfach  und 

fundamental  zu  bezeichnen  siud,  rUhrcn  wesentlich  von  Hermann  Grass- 
mann  her.  Von  Hermann  Hankel  und  von  mir  reproduzirt,  wobei  äio 
vielleicht  noch  ein  wenig  gewonnen  haben,  sind  sie  neuerdings  auch  von 
O.  Stolz  in  dessen  Vorlesungen  tUier  allgemeine  Arithmetik  aufgenommen 
worden.  ^  Es  könnte  in  ihrem  Betreff  auf  dieses  letztere  Werk  sowol  wie  , 
auf  mein  Lehrbuch/  Terwiessn  werden.  Doch  will  ich,  um  ein  möglichst 
Iflckenloses  Gcbftnde  hier  aufiturichteo,  das  f&r  unsere  Disciplin  ünent- 
behrliche  davon  hier  einfügen,  und  zwar  mit  der  Verein&chnng,  welche 
Herr  Stolz  ^  der  Darstellung  noch  hat  angedeihen  lassen. 

Was  auf  die  Anordnung  (Reihenfolge)  und  was  auf  die  Zusammen- 
Schliessung  (mittelst  Klammem,  Gruppirong)  der  Faktoren  sich  bezieht, 
ist  nach  Grassmann's  Vorgänge  scharf  auseinander  zu  halten.  Wenn 
wir  zunächst  yon  der  letzteren,  also  Ton  der  Elammerstellung,  handeln 
wollen,  so  ist  demnach  die  Reihenfolge  der  als  Faktoren  zu  verwen- 
denden Symbole  von  Yomherein  gegeben  zn  denken  und  im  Verlauf 
der  Untersnchnng  unabänderlich  festzuhalten. 

SenODBB,  Algebni  d«r  ho^  39 


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610  Anhoog  8. 

Es  empfiehlt  sich,  diese  Faktoren  mit  namerirten  BuchBtaben  sa 
bezeichnen,  aie  etwa 

C^f  Ojf,        *  "  '  Om—lf 

zu  Dennen. 

Das  Th.  \o^)  zeigte  uns,  doss  dio  Klammerstellaog  bei  drei 
Faktoren  gleichgültig  ist.   Dazu  gilt  der 

Satz  13)*.  Wem  die  KkmmersbUUmg  bei  weniger  als  n  Faktoren 
^demnt  ist,  so  muss  sie  es  auA  hei  n  Faktoren  sein. 

Beweis.  Nach  der  Voraoasetzang  ist  es  bei  3,  4,  •  •  bis  inelnaiTe 
ff  —  1  Faktoren  b^ts  als  ftlr  den  Wert  des  Ergebnisses  gleichgfiltig 
erkannt,  in  welcher  Weise  mau  dieselben  vermittelst  S^Iammem  so  in 
Gruppen  scheidet,  dass  ein  Ausdruck  entsteht,  welcher  durch  lauter 
Multiplikuuujieu  von  immer  uur  zwei  Faktoren  hergestellt  ist.  Der 
laut  Annahme  stets  (ibereinstimmende  Wert  des  Ergebnisses  für  alle 
die  verschiedeneu  hierbei  noch  denkbaren  Bildun^sweiscu  des  Ausdrucks 
kuuu  demnach  schon  vimc  jede  Klammer  geschrieben  und  schlechtweg 
das  j^TroduW  der  in  dem  Ausdruck  vorkommenden  Symbole  oder 
,.  Faktoren  '  ffilr  dio  bestimmte  ßeihenfoige  in  der  sie  auf  der  Zeile 
stehen)  genannt  werden. 

Es  ist  dann  zu  zeigen,  dass  auf  Grund  der  Theoreme  IB^)  und 
16^)  dasselbe  auch  für  n  Symbole  zutreüeu  muss,  wenn  diese  in  be- 
stimmter Reihenfolge  angeschrieben  und  dann  irgendwie  mittelst 
„binärer"  Multiplikation  (d.  i.  eben  Multiplikation  Ton  immer  nur 
zwei  Faktoren)  zn  einem  Produkte  yereinigt  werden. 

Nun  kann  der  ganze  Ansdmck  in  zwei  Faktoren  mittelst  Klammern 
nur  auf  folgende  Arten  gespalten  weiden,  fttr  welche  wir  die  suge* 
hBrigen  Ergebnisse  mit  den  linkerhand  eingeführten  Namen  benennen 
wollen: 

^  «=  {ax<h){a^  •  •  •  fl») 

Xr  =  {a^a^  ■  ■  •  Or)  (ar4i  •'•«•) 

^  (a^öa  ♦  •  •  a„_i)a„, 

wo  r  irgend  eine  der  Indexzahlen  von  1  bis  n  —  1  bedeuten  mag, 
mitiiin  l<r^ff  —  1  zu  denken  ist 

Die  Bildungpiweise  für  die  beiden  Hauptfaktoren  oder  Teüprodukte: 
▼on  irgend  einem  dieser  Ausdrücke 


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ÄasdebnuDg  des  FroduklrBogriffii  aaf  boliobig  viele  Temo.  611 


Xr  —  Sr 

braucht  nach  dem  Gesagten  nicht  weiter  aiigetleiitet  oder  mittelst 
fernerer  innerhalb  derselben  anzubringender  Klaiinneru  angegeben,  vor- 
geschrieben zu  werden,  da  diese  Teilprodukte  jedenfalls  weniger  als 
n  (höchstens  n  —  1)  Faktoren  enthalten,  wrdirend  sogar  =  öj  und 
f„_i«=/7„  —  wie  man  sich  auszudrücken  pflegt  —  „mir  ans  einem 
Faktor  bestehen^  eigentlich  nämlich  gar  nicht  Produkte  sind. 

Zu  zeigen  ist,  dass  die  obigen  n  —  \  Ausdrücke  a;,,  -  •  •  Xn-x 
einander  gleich  sein  müssen,  und  dies  wird  nach  Th.  4)  Zusatz  geleistet 
sein,  wenn  wir  darthun,  dass  allgemein  (nämlich  fUr  jedes  der  gedachten 
r  bis  anm  leisten  hin) 

sein  mnss,  womit  ja  «  o:^,  —  •  •  •  Xn^%  —  Xn~\  dann  erkannt 
sein  wild. 

Nun  ist  znfolge  der  den  Symbolen  tt  and  ^^.i  beigelegten  Bedentong 
(kraft  der  bei  solchen  Teilprodukten  beliebig  anbringbaren  Klammem): 

nnd  kann  nach  Th.  IG^)  dies  in  x,  =  s,  tr  eingesetzt  wurden.  Darnach 
wird  sich  dann  Xr  aus  drei  Faktoren  zusammeuseizeu  und  kraft  Th.  13^) 
sich  ergeben: 

Xr  =  Sr  («r+l  «  («r  Ör+l)  ^r41» 

E9  ist  aber  zufolge  der  den  Symbolen  Sr  und  Sr^i  sukommenden  Be- 
dentong auch  (wegen  der  Unterdr&ckbarkeit  von  Klammem  in  denselben): 

und  kann  dies  wit  ih  runi  nach  16 J  in  das  letzte  Ergebniss  eingesetzt 
werden.    Dadurch  entsteht: 

was  zu  beweisen  war. 

Xun  war  ])ci  drei  l  aktoren  die  K l.i!iiinerst<^lIuDg  ohne  KintUiSü 
auf  den  Wert  des  Ergebnisses-,  nach  dem  eben  Bewieseneu  muss  sie 
es  auch  für  3  +  1  oder  4  Faktoren  sein;  ist  sie  es  sonach  für  viere, 
so  muss  sie  es  auch  sein  für  4+1  oder  5  Faktoren  und  so  weiter. 
Es  kann  in  dieser  NN'eise  ohne  Ende  fort  geselilossen  werden,  und 
jedenfalls  auch  so  lange,  bis  man  irgend  eine  vorgedachte  Faktorea- 
zahl  erreicht  hat  (Schlnss  von  n  —  1  auf  n  resp.  n  auf  n  +  1,  oder 
Bern ou Iii  selier  „Schlms  der  volhtiuuiKjni  ImlulcliorC'). 

Gilt  also  nur  das  spezielle  Assoziationsgesetz  (für  drei  Faktoren), 
80  gilt  auch  stets  das  allgcmeme  Assoziationsgesetz  (l^r  beliebig  viele 
Faktoren).   Letzteres  lautet: 

«9* 


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612 


Anhang  3. 


Sfttz  13)^  (t^Ugmemes  AmtmUansgesellif^),  Auch  hei  irgend  einer 
Amählf  bei  einer  beliebigen  Reihe  von  mulUpUhaiio  m*  verhnUpfendett  8ym- 
holen  ist  die  Klammersiäkmff  für  den  Wert  dee  Ergdmkses  gUiehgiiUiff. 

(Definition.)  Den  für  jede  denkbare  Art  der  Klammerstellung 
übereinstimmend  erhältlichen  Wert  des  ErgehniH.'ies  der  Verknii^  funs^ 
nennt  man  kurz  dm  I^rodnkt  der  sutnH/chen,  in  ihrer  gegebenen  l^eiheu- 
iolge  verwendeten,  Symhole  und  pflegt  man  dasselbe  darlurch  auszu- 
drucken, dass  mau  diese  Symbole  als  „Faktoren"  in  jener  bestimmten 
Beihenfolge  gemeinbiii  ohne  alle  Klammern  nebeneinander  stellt 

Die  hier  angestellten  Betrachtimgen  sind  nicht  nur  fOr  die  identische, 
wie  ftlr  die  nnmerische  Multiplikation  in  glciclier  Weise  gttltig,  snndeni 
überhaupt  für  jede  Art  von  eindcutinrr  Yrrbnüpfunri ,  die  man  sich  unter 
dem  vorstehend  gebrauchten  Namen  „Multiplikation"  irsrend  vorstellen  ma?. 
Nichts  hindert,  den  Punkt,  wo  er  als  Malzeichen  m  liedaiikeu  ^u  äetzeu 
gewesen,  wirklich  hinsnschreiben  und  ihn  dabei  durch  ein  beliebiges 
EnttpfongBzeiehen  o  (wie  Herr  Stols  es  titnt)  sn  ersetzen.   Die  an  nnsro 
Voraussetzungen  angeknüpften  f^chlussfolgerungen  müssen  dabei  unverändert 
stichhaltig  bleiben,  weil  sie  eben  (von  der  Materie  unabhängig)  nach  all- 
gemeinen Schemata  mit  Denknotwendigkeit  erfolgten.    Sofern  also  für  die 
gedaciite  Knüpfung  nur  die  Voraussetzungen  13,()  und  16^)  zutreffen,  rauss 
auch  doä  allgemeine  A^suziationsgesety.  für  diese  Knüpfung  gelteu  und  kann 
der  Begriff  der  nrsprünglieh  nnr  »^binttron**  Knttpfung  erweitert  werden  »a 
demjenigen  einer  beliebig  viele  Tenne  auf  einmal  (in  bestimmter  Beihen- 
folge) verbind  enden  Knttpfnng  der  nUmlichen  Art. 

Namentlich  sind  unsre  Ergebnisse  aucli  auf  die  identische  gleichwie 
auf  die  numeri>ichc  Ad(hfhr'  ohne  weiterem  übertragbar  und  gilt  dies  nicht 
minder  von  dem  hieniüchdt  uocb  weiter  Folgenden.  Ais  KnOpftmgssäcben 
wird  hier  eben  nur  das  Pluszeichen  zu  figuriren  haben. 

Die  80  ausgedehnten,  dergestalt  erweitert  anzulegenden  Betrachtungen 
gehören  sich  eigentlich  eingefügt  in  den  Rahmen  einer  oßgem^nen  Theorie 
der  Verknüpfung,  welche  —  passend  wol  „abeolate  Algebra"  za  nennen  — 
dieselben  für  die  verschiedenen  ünterdissiplinen  ein  für  allemal  erledigte. 
Doch  sei  bemerkt,  das^,  abgesehen  von  Tereinaelten  Bruchstücken,  solche 
Theorie  noch  nicht  geschrieben  i.>l ! 

Nebenbei  gesagt  gibt  es  auch  Operationen,  die  nur  asso/:iativ,  nicht 
kommutativ  aiud  —  wie  i.  B.  diu  Multiplikation  der  Substitutionen  und 
die  der  Quatemionen  nnd  unsShÜge  andere  —  wmh  aneh  mngekebrt 
Operationen  sich  angeben  lassen,  welche  kommutatiT  aber  nicht  assoziativ  sind. 

Hier  indess  haben  wir  nur  noch  mit  der  Verbindung  beider  Eigen* 
Schäften  der  Assoziativitfit  und  Kommntativität  uns  zu  beschäftigen. 

Auf  Grund  der  bisheri^^en  aus  13,^)  abgeleiteten  Theoreme  (und 

Definition)  liest  sich  nun  der  Sats  beweisen: 

■ 

Satz  13)*^.    In  einem  ProdvM  von  n  Faktoren  dürfen  irgend  suci 
benacftharte  miteinander  vertauscht  werden. 


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Aaädehauog  der  Produkte  btiireffendcn  Sätze  auf  beliebig  viele  Teripe.  613 

Wird:  0|as***aM""^  genannt,  so  gilt  auch: 
X  =  a^OiCi^  •  •  •  == 

=  ajfli  •  •  •  Or— &ar+l4r<i^+S  •  •  •  Om—l^  ™» 

Beweis,  Da  man  uacii  13)^  Klammerii  uucli  beliebig  uubriügen 
darf,  60  kumieii  wir  schreiben: 

X  =  (a^O,  •  •  •  Or- 1)  (i^Or+l)  (flr+M  •  •<»■)=» 

Nach  Tb.  12  J  ist  aber  OrOr+t Or-^-iOr,  und  darnach  wird  — 
gemiss  16^): 

Setzt  mau  hierin  wieder  die  Werte  von  s^-i  nebst  tr+i  ein,  und 
läsüt  die  dabei  um  diesen  ihren  zusammengesetzten  Namen  ursprüng- 
lich anzubringenden  Klammem  kraft  13)^  weg^  so  ist  der  mittlere 
(allgemeine)  Teil  unsrer  Behauptung  bewiesen. 

£benso  beweist  man  die  beiden  andern  Teile,  indem  für  die  ex- 
tremen oder  Band-Falle  (r  »  1  und  r  «  n  —  1)  sein  muas: 

und 
e.  d. 

Sats  13)^.  Isi  aber  Vertausekung  hmuMarter  Fakkifm  oMbt, 
so  kam  man  am  tfgend  emer  gegebenen  otfcft  jeäe  gemmatiiU  Anordnung 
dar  Fakforen  herkUen» 

Man  saehe  unter  den  Faktoren  der  gegebenen  Anordnung  den* 
jenigen  heraus,  welcher  (in  der  gewünschten  Anordnung)  an  die  erste 
Stelle  treten  aoU.  Steht  er  nicht  bereits  an  dieser,  so  lasse  man  ihn 
durch  notigen^slls  fortgesetzte  Vertauschung  mit  dem  ihm  jeweils  un- 
mittelbar vorangehenden  Faktor,  nach  und  nach  bis  au  die  erste  Stelle 
vorrücken.  Sobald  er  dieselbe  innu  hat,  in^sc  luaa  ihn  an  dieser 
fortan  unverändert  stehen.  Man  suche  hierauf  denjenigen  Faktor  in 
der  nunmehr  als  gegeben  vorliegenden  Anordnung  auf,  welcher  in  der 
verlangten  die  zweite  Stelle  einnehmen  soll  Hat  er  diese  Stelle  nicht 
schon  selber  inne,  so  ist  er  jedenfalls  hinter  derselben  zu  finden,  weil 
vor  ihr  nach  dem  Bisherigen  bereits  ein  andrer  Faktor  steht.  Man 
lasse  ihn  dann  ebenso  —  in  fortgesetztem  Platzwechsel  mit  dem  augen- 
blicklich unmittelbar  vor  ihm  stehenden  resp.  vor  ihn  getretenen  — 
bis  au  die  zweite  Stelle  vorrücken,  und  wenn  er  sie  erreicht,  in  der- 


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614 


selben  verharren,  und  fahre  so  fort,  bis  jeder  Faktor  die  ilim  v.n- 
grwioseuc  Stelle  eiDgenommen  hat.  Dies  muss  endlich  eintrctea  weil 
mit  jedem  neu  Yorgenommencu  Faktor,  die  Zahl  der  nocli  nicht  an 
ihre  StelleiL  gebrachten  immer  um  1  abnimmt,  und  weil  die  neu,  die 
an  den  folgenden  Stellen,  hinzutretenden  Erfolge  die  früher  emmgenen 
nicht  wieder  umstossen. 

Soll  beispielsweise  ans  der  Anordnung  050,01101113  die  Reihenfolge 
0| 0^090401  hergestellt  werden,  so  wird  der  Reihe  nach  ku  bilden  sein: 

Hienach  ist  erkannt,  dass  eine  (multiplikatiTe)  Verknüpfung,  welche 
associatiT  ist  gemäss  Th.  IS,,)  und  ausserdem  dem  speziellen  Kommu- 
tationsgesetze  12x)  unterworfen,  welche  somit  „bei  zwei  Faktoren  kommu- 
tatiV*  ist,  dies  auch  bei  beliebig  viel  Faktoren  sein  muss,  d.  h.  es  gilt 
für  sie  der 

Satz  13)*^  („Allgemeines  Kotnmutatimsgcsetß^').  Auch  hei  einem 
Frodukte  von  bdü^  vielen  Faktoren  ist  deren  Iteümtfolge  gkiciigäüig. 

Legt  mau  von  vornherein  die  Toranssetzungen  12^)  und  IS^)  in  ihrer 

Verbindung  mit  einander  zuj/runde,  so  kann  man  zu  den  allgemeinen  Er- 
gebnissen 13)''  und  13^'  auch  noch  aut  andre  Weisen  gelangen,  über 
welche  am  vollälündigsten  wol  mein  Lehrbuch  *  Aufschluss  gibt. 

Uiermit  nun  sind  wir  2U  dem  Abschlüsse  gelaugt,  den  wir  er> 
strebten. 

Ich  gestatte  mir  nur  noch  eine  T^  Muerkung  darüber,  was  von  der 
ganzen  mathematisch  so  musterhatt  ätrengen  Betrachtung  in  Bezug 
auf  ihre  Stcllmig  sur  Logik  zu  halten. 

Es  wurde  hier  als  ein  —  sollte  man  meinen  —  der  Logik  (im 
engsten  Sinne)  eigentlich  fremdes  Element,  die  ZaM,  mit  in  den  Kreis 
der  Untersuchungen  hereingezogen  —  allerdings  nur  die  natarliche 
^ahl  oder  Anzahl,  jedoch  —  in  Gestalt  von  r  und  n  —  auch  die  alU 
gemeine  oder  Buchstabenzahl.  Dies  geschah  teils  nebensächlich,  teila 
wesentlich.  Ersteres  insofern  wir  die  Zahlen  als  Suffixe  des  Bnch> 
Stabens  a  verwendeten:  es  boien  eben  0^,01,.. o«  sich  als  zweck- 


r 

I 

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AusUeliDung  der  Sützc  über  Produkte  «tc.  auf  beliebig  viele  Termu.  6X5 

m&sdge  Namen  für  die  (irgendwieTieloD)  n  Faktoren  dar,  und  diese 
Namen  sind  so  gni  wie  irgendwelche  andere.  Letsteres  bei  dem 
^ySehlnese  von  n  aof  « + 1^  doreli  welchen  aUein  der  Sats  iZY  be- 
wiesen werden  konnte  und  auf  den  wir  auch  schon  sub  Th.  4)  Zusatz 

hinweisen  mussien. 

Der  rein  logisclicu  KcchtfertiguLi^'  <{irses  Schlusses  (der  voll- 
fctäudigen  I:;  lul  tion)  in  Verbindung  mit  holclieu  logischen  (Jrund- 
betrachtungt  ii,  wie  sie  die  Gewinnung  des  Begriffes  der  „Anzahl"  (der 
Einheiten  einer  Menge)  vorzubereiten  helfen  müssen,  ist  der  §  51  im 
2.  Bande  gewidmet.  Aua  dem  gegenseitigen  Hinübergreifen  der  beiden 
Diszii'lineu  ist  aber  ullerdings  zu  entnehmen,  dasä  sich  die  Elemente 
der  Logik  und  diejenigen  der  Arithmetik  in  Hinkunft  wol  niclit  mehr 
ganz  in  der  bisher  beliebten  scharfen  i^onderung  von  euiander  vorzu- 
tragen empfehlen  werden  (resp.  .streng  und  gründlich  abhandeln  lassen), 
weh  he  ich  für  die  ersteren  hier  noch  nach  Möglichkeit  aufrecht  zu 
erhalten  mich  bestrebt  habe.  Die  elementarsten  (nämlich  die  „Anzahl-^^ 
Begriffe  der  „quantitativen"  Logik  müssen  wenigstens  bei  den  Buch- 
staben oder  Symbolen  schon  zur  Anwendung  kommen  dürfen,  mittelst 
deren  wir  die  Überlegungen  der  g^gpiaHtativen'*  Logik  formuliren  — 
mögen  wir  diese  jener  auch  vorangehen  lassen.  Wie  denn  anch  um- 
gekehrt die  Überlegungen  der  Arithmetik  nie  entbunden  so  werden  ver* 
m5gen  von  der  Befolgung  jener  denknotwendigen  Gesetse,  welche  die 
(des  Zahlens  sich  noch  enthaltende)  allgemeine  Logik  aufstellt  In- 
awischen mögen  auch  noch  folgende  Erwägungen  aur  Beachtung 
empfohlen  sein. 

Es  wurde  im  Bisherigen  von  Beihenfolge  oder  (An-yOrdnung  und  von 

C ni i>pirvng  oder  Zusammenfassung  der  Faktoren  gebanddt,  so  gelegentlich 
früher  auch  von  Eindeutigkeit  der  Operationen.  Und  sei  bemerkt,  dass  wir 
hier  nicht  etwa  aus  den  „Begriffen"  von  „Eindeutigkeit"  resp.  „DrdiiHni;" 
und  „Gruppinin^'"  (welcher  letztere  eigentlieli  liier  erstmalig  zu  gewiuueu 
gewesen)  werden  abstrakte  Folgerungen  zu  ziehen  haben.  Wir  haben  uns 
dafür  hellsieht  noeh  Isnge  nicht  weit  genug  in  diese  Begriffe  und  derm 
Definition  vertiefi;,  Aber  die  sich  jedenfiilU  noch  manches  sagen  liestie.  Viel- 
mehr begnügten  wir  uns,  diese  Begriffe  hier  genetisch  einzuführen,  sie  auf 
sjnthetisckem  Wege  an  dem  Substrat  der  Faktoren  entstehen  zn  lassen, 
•^'ewissermas.sen  den  Anfttnger  zu  drn^elben  zu  erziehen.  Eh  war  die  Eiu- 
tlf'clitung  dieser  Begriffe  in  den  Text  für  uns  nur  das  Schema,  die  Formel, 
unter  der  wir  das  in  den  Sätzen  bereits  in  seinem  Wesen  Erkannte  nach- 
träglich allgemein  und  mnemonisch  zusammenfassten. 

Um  zu  erkennen,  dasa  mit  alledem  keine  fremden  Elemente  in 
ungre  Disziplin  wesentlich  hereingezogep  sind,  braucht  man  sich  nur 
etwa  dasjenige,  was  wir  hier  allgemein  als  durchführbar  erkannt  haben, 


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616 


Aahaog  S. 


in  jedem  Falle  seiner  ktlnftigeD  Anwendttiig  wirklieh  dmcbgefOlirt  sa 
denken.  Z.  B.  solcke  Umformangen^  die  wir  kraft  dea  allgemeinen 
Eommutations-  und  AseosiationegeBetBeB  an  Produkten  uns  künftigliin 
gestatten  weiden,  mag  man  jeweils  auf  die  strikte  Anwendung  der 
Sdiemata  12 13^  und  16^)  zurfickföhien,  wie  ich  es  zum  Schlüsse 
noch  für  ein  Beispiel  darlegen  will  Es  md^  snm  Bzempel  für  die 
OleichuDg: 

der  Beweis  vorlant^t  werden,  weil  mau  vielleicht  den  einen  dieser  beiden 
Ausdrüike  in  dfn  undeni  zu  verwandeln  wünscht.  Hier  kann  mau 
unter  Auwcndung  der  darüber  und  darunter  augesetzten  Schemata  wie 
l'oljjt  2um  Ziele  der  gewünschten  Umwandlung  beweiskräftig  gelangen: 

IS  1»  18^ 

AB'^  BA  iAB)0     ^    AdtC)  {A  B)  (7^    A  {BQ 

{ab)  (cd)— (cd) —(6a)  (de)  =  { {ba)d]  c={h(ail)]G^{(ad)b\e^  (ad){bc), 

AB  ^BA  A    («C)  ^    {A  m  C        AU       ^      B  A 

«X 

In  dieser  Weiae  durchweg  zu  verfahren,  hiesse  nun  freiiicli,  auf  den 
Nutzen  unserer  allgemeinen  Sätze  zu  verzichten,  durch  deren  An- 
wendung wir  ja  olmc  weiteres  den  einen  Ausdruck  in  den  andern 
(mittelst  blosser  Abänderung  der  Faktorenfolge)  hätten  umsclireibeu 
können.  Allein  der  Hinblick  darauf,  dass  man  Obiges  doch  überall 
tluin  konnte,  oQeubart  uns,  dass  die  ganze  TheoJUe  doch  nur  auf  den 
Prinzipien  der  §§  4  und  12  wesentlich  beruht. 


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« 


Anhang  4. 

liogiaolior  Kalkül   mit  „Gruppen"         hiornachat  von  Funktional- 
gleichungen,  mit  Algorithmen  und  £alkuln. 

(Zu  §  12.) 

Der  gegenwartige  Anbang  dient  einem  doppelten  Zwecke:  emem 
ausserhalb  des  Interessenkreises  dieses  Buche»  liegendeu^  und  eiuem 

iu  denselben  fallenden. 

Der  erbte  Zweck  ist:  die  Gniud^^Uge  einer  eigenen  Zcichcmj)racJie  zu 
«niwieltelii  und  sjatematuoli  sa  erlSutem,  Ton  der  kh  in  anderweitigen 
lütteilnngea  bereite  beüinfigen  Gebraocb  gemacht  habe  und  —  behufs 
Aiifttelliuig  «n^  aUgemekim  Hieone  der  Verkni^fwig  —  einen  noeh  viel 

umfassenderen  Gebrauch  zu  machen  haben  werde  —  einer  Zeichensprache, 
die  es  mir  namf^ntlich  durch  ihre  Einfachheit  erst  ermöglichen  wird,  die 
zahlreichen  l^i Ljel  nis'^o  meiner  Untersuchungen  über  FitnJdiotialffleichungGn 
übersichtlich  nutzuteiien  und  in  knappster  l  urm  lU  begründen. 

J^sdbe  Uhu  M  iänigtm  an  die  aBgemeine  Zeidtem^achc  des  idcn- 
tisdien  EaUhuU  emf  das  kmigste  an, 

Ihr  Gebranch  nird  anch  in  Anhang  5,  wo  sie  nieht  entbehrt  wecdm 
luum,  iUnatriri 

Dem  zweiten  Zweck  soll  gegenwärtiger  Anhang  4  nicht  fQr  sich 
allein  dienstbar  sein,  sondern  in  Verbindung  mit  dem  nächstfolgenden, 
gewiBBermasseii  aekundirt  toh  Anhang  5.  £r  besieht  in  der  üeleniiig 
des  schuldig  gebliebenen  Bmeiges  für  eine  in  §  12  nnsrer  Disraplin 
aafgostelltei  fUr  die  Theorie  der  Erkenniniss  wol  nicht  belangloBe  Be- 
hauptung: dass  nimlich  ein  gewisses  Geseta  des  folgerichtigen  Denkens, 
die  j^eüe  Snhsnmtion  des  Distributionsgesetzes'',  nu^  sjllogistisch 
bewiesen  werden  kann. 

Behufs  Eireiehmig  dieses  Zieles  werde  ich  ans  meinen  Unter- 
snchuDgeB  über  Fnnktionalgleichungen  eine  kleine  aber  interessante 
Episode  (ganz  elementaier  Natur)  herauBsngreifBn  und  in  Anhang  5 
▼ozzufühzen  haben. 

Dieselbe  dient  zugleich  als  eine  Exemplifikation,  sie  liefert  ein 
spezielles  Substrat  för  die  allgemeinen  Betrachtungen  des  Anhang  4, 


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618  Aobaog  4. 

und  zwar  ein  solches^  tKer  dessen  JReaUtät  kein  Zweifd  o&wattefi  kann^ 

indem  ich  su  allen  in  Betracht  zu  ziehenden  Fnnktionalgleichungen 

auch  LöauDgen  angebe ,  welche  ohne  Vorkenntniaae  Ton  jedermann 

leicht  als  solche  erkannt  und  Yeiifizirt  werden  k5nnen  —  so  echwierig 

sie  mitunter  auch  zu  entdecken  waren.    Durch  die  Existenz  Ton 

Lösungen  wird  dargethan,  dasa  jene  FunktionalgleichuDgeu  wirklich 

bestehen  können  und  für  gewisse  Funktionen  (f&r  eben  diese  L&sungen) 

in  der  That  als  allgemeine  Formeln  gelten. 

Von  matbematischw  Bildongselemeoten  dtlrfte  hierbei  kaum  mehr  ab 
der  Begriff  d^r  eindeutigen  Funktion  (wenigstens  von  swei  Argumentcahlen) 

TOmuägosetzt  erscheinen. 

Bei  den  Ausemandersetzungen  werde  ich  wiederholt  zwei  meiner  Ab- 
handlungen zu  citiren  haben  —  die  erstcrc  lediglich,  um  nii  Dic'jcnif»pn, 
die  sie  kennen,  den  Zusammenhang  mit  dem  GcgenwUrtigcu  herzui^tellen. 
Von  der  zweiten  werde  ich  das  zum  Verstiludniss  des  Ganzen  und  der  be- 
absichtigten Nutzanwendungen  Unmlhehrlkke  nachstehend  ebenfalls  kun- 
mdglichst  zusammenstellen,  sodass  der  Leser,  welcher  verstehen  will,  sicbi 
geswungen  sein  wird,  Einsicht  von  derselben  xn  nehmen.  Immerhin  dOrfte 
.aber  solche  Einsichtnahme  hier  als  wünschenswert  zu  bezeichnen  sein, 
wenijfstens  soweit  die  hier  anj^e/oi^cncn  einlcitcTi(ltn  Paragraphen  dieser 
zweiten  AbluuullunL:  in  Betriielit  kommen.  Ich  werde  die^  Abhandlungen 
in  Anhanif  4  und  b  immer  mit  (1  c.y  und  (1.  c)"  citiren,  —  siehe  uuter 
„Schröder"  das  Literaturvur/.oiohnis:?. 

Gegenstand  der  Untcr.suci.Luig  sei  eine  Mann i <jf alt i<il<cU  U  von 
K>äl7en,  deren  jeder  für  sich  betrachtet  gelten  oder  aiali  nicht  gelten 
kam],  im  ersten  Fall  aber  auch  die  Geltung  von  noch  andern  Sätzen 
derselben  Maüni'jralti<i;keit  nach  sich  zieht  auf  Grund  von  „IVinzipieu" 
welche  selbst  der  geiiadiff^n  Mannigfaltigkeit  nicht  durchaus  anziigehJireu 
brauchen.  Die  sämtlich«  ii  Sätze  der  Mannigiaitigkeit  seien  ferner  mit 
einander  und  mit  den  i*riuzipicn  verträglidi. 

Derartige  Sätze  wüion  ■/  II.  diese: 

„Das  Ditieek  ABC  ist  rechtwinklig", 
„Die  l'unktion  f  (a;,  y)  ist  symmetrisch"  — 
dmn  wir  im  Aussagenkalknl  als  nGelegenheitsurleilen*'  wieder  begegnen 
werden.  Es  kommt  ganx  darauf  an,  tou  welchem  Dreieck,  von  wdicher 
Funktion,  die  Rede  ist  —  je  nachdem  werden  die  angeführten  Sätse  gelten 
oder  nicht  gelten.  Die  Geltang  des  ersten  Satzes  zieht  die  Geltung  einer 
ganzen  Reihe  anderer  auf  das  Dreieck  ABC  bezüglicher  Sätze  oder  Aus- 
tw^i'n  nach  sich,  nämlich  aller  derjenigen,  welche  Eigenschaften  konstatiren, 
die  auf  Grund  der  „Prinzipien^'  (Axiome)  der  Euklidischen  Geometrie  aus 
der  Rechtwiukligkeit  folgen.  Ebenso  zieht  die  Geltung  des  zweiten  Satzes 
bdspielsweise  die  Folgerung  nach  sich,  dass  die  beiden  Umkehrungen  der 
Funktion  f  (x^  y)  mit  einander  identisch  sind  —  auf  Grund  der  Voraus- 
setzung, die  man  hier  als  zu  den  „Priuzipien''  gehörig  ansehen  magi  dass 
die  Funktion  eine  eindeutige  Umkehrong  llberhaupt  zulasse. 


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V 

Logischer  Kalkül  mit  Gruppen  —  von  FunktionalgleiuUungen.  619 

Nachdem  biermit  der  allgemeioe  Charakter  des  Substrates  ansrer 
Untarsnehntig  hmlänglich  gekennsdchnet  sein  dfirfte,  empfiehlt  es  sieh, 
ein  apesielles  Substrat  dieser  Art  nmimehr  hervorzuheben,  eine  ganz 
bestimmte  Mannigfaltigkeit  von  S&taen  namhaft  an  machen  und  jeweils 
mr  lUusfraUo»  zn  benutzen: 

Die  „^tz^  der  Mannigfaltigkeit  seien  —  analog  dem  zweiten 
der  vorstehenden  Beispiele  ,/  (x,  y)  ^f{i/^  x)**  —  durch  arithmetische 
Ibrm^  darstellbare,  nämlich  FiiMionalffleUMngen. 

AJs  eine  „Former*  hingestellt  za  werden  verdient  eine  Funktional- 
gleiebung  insofero,  als  sie  fUr  eine  FimltUon,  die  ihr  genügt,  den  Charakter 
der  J^^ememgOltigkeit  besltst,  nBmlieh  gelten  wird  ßr  jedes  erdenkliche 
Wertsydem  der  ÄrffumeiUe,  welohes  man  irgend  aus  dem  Gebiete  der  Zahlen 
herausgreifen  maj,'.  Keinfisvrec^s  alicr  Lraucht  die  Funlciioiial^^'leicliung  auch 
erfüllt  zu  eein  für  jak.  Funldon.  vielmehr  haftet  ihr  auch  ein  syntlietiücher 
Charakter  an  insofern  als  »ie  dienlich  sein  kann,  gewisse  Funkiiouon  (oder 
Klassen  von  solchen)  als  solche,  die  ihr  genügen  sollen,  zu  bestimmen. 
So  bestimmt  ja  in  der  That  die  Fimktiooalgleichmig  f{x^y)  =  f{y^ 
wenn  sie  analytisch  („allgemein"  für  aQe  Wertepaare  Xy  y)  gelten  soll,  die 
Fonktion  f  als  eine  symmetrisclie;  fttr  eine  solche  aber  ist  sie  dann  als 
fliiie  Formel  erfüllt. 

Der  Name  „Formel",  den  wir  hier  den  Funktioualgleichungeii  beilegen, 
rechtfertigt  sich  ausserdem  durch  die  nachfolLjend  für  sie  einzulührende 
symbolische  Schreibweise,  in  welcher  sie  einen  ähnlichen  Anblick  dar- 
bieten werden,  wie  die  )^kannten  Formeln  der  allgemeinen  Arithmetik  — 
wie  S.B.  EommntationsK  uid  Assosiationsgesets  —  gel^entlieh  auch  geradezu 
mit  solchen  zusammenfallen. 

Und  zwar  mögen  unsre  Fnnktionalgleichungen  sich  nur  beziehen 
auf  eine  Funktion  meeier  Argumente  ndtst  ihren  beiden  Umkehnaigeny 
die  ich  nach  den  (L  §  1  dargelegten  GrundsStzen  symbolisch  als 
TtoäM,  VerhaUmss  und  BruGk  schreibe  und  alle  drei  als  voUkommen 
cmdSml^  yoraussetse. 

Die  dreifache  Yoraussetzittig  dieaer  Eindeutigkeit  nebst  den,  den 
Gegensatz  der  drei  Grundoperationen  (oder  die  Definition  von  zweien 
derselben  durch  die  dritte)  zum  Ausdruck  bringenden  sechs  ,,Funda- 
mentalbeziehungen*'  [die  ich  sogleich  angeben  werde  —  vergl.  auch 
(L  t^y,  §  2]  konsiitniren  alsdann  die  „Prinzipien''  ^,  nach  denen 
Folgerungen  zu  ziehen  sein  werden. 

Für  f{ayb)  werde  also  kttrier  Uos  ah  geschrieben,  und  dies  eu 
„Hymbolisobes  Produkt*'  genaani  Zu  jedem  beliebigen  Wertepaar  a  und  h 
^oll  es  stets  einen  und  nur  einen  Wert  von  f{(ifh)  oder  ah  im  Gebiete 
der  Zahlen  geben.  Die  Anfsuchung  dieses  Wertes  für  gegebene  a,  b  ist 
eine  Operation,  die  wir  demnaeli  nl-;  -llc  ..erste  Dnindoporatinn"  (oder 
„symbolibcbe  MuHiplikaiiun  ")  hezoiciuu  n  wordüu.  Für  ein  gewisses  Werte- 
paar a,  ö  sei  c  der  Wert  von  ab,  sonach  afc  =  c. 


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620  Anhang  4. 

♦ 

Fat  die  Im  Anbang  6  gegebenen  Brnspiele  wiid  stell  alleinal  der 
Wert  c  in  einer  die  Funktion  ah  definirenden  Tabelle  (FunktionaiaCAl  — ' 
in  Qestalt  eines  symbolischen  Einmaleinses)  aufschlagen  lassen. 

Nim  kann  man  aber  auch,  wenn  h  und  c  gegeben  sind,  nach  dem 
Werte  (oder  den  Werten)  von  a  fragen,  die  so  beschaffen  sind,  dass  ah 
gerade  gleich  dem  gegebenen  c  ist,  und  ebenso,  wenn  a  und  c  gegeben 
sind,  nach  dem  oder  dei^jeuigen  Werten  von      Dir  welche  aib^c  fribce. 

Die  Operationen,  dueh  welche  wir  Antwort  sof  diese  beiden  Fragen 
erlangen,  nennen  wir  die  „umgekehrten**  oder  „imersm"  Operationen  von 
der  als  symboUaobe  Uoltiplikation  bezeichneten  „direkten"  Operation.  Wir 
bezeichnen  sie  als  „ji\Tnbolische  Divisionen"  und  zwar  Lczüglich  mittelst 
Doppelpunktes  als  „syTTiboHsche  Messung*'  und  mittelst  Bruchstrichs  als 
„symbolische  Teilung";  aic  bilden  die  beiden  andern  von  den  „drei  Grund- 
operationeu'\  Auch  sie  werden  jeweils  uuääorst  leicht  au  der  die  Funktion 
ah  erklSrenden  Fnnktionstafel  ausiufllhren  sein. 

Wir  nehmen  nnn  ferner  an,  dass  die  Antwort  auf  die  gestellten  Fragen 
dda  (für  jedes  Wertepaar  von  a  und  c,  sowie  Yon  b  und  c)  und  immer 
nur  auf  eine  Weise  gegeben  werden^  könne,  oder  wie  man  sagt,  da.^s  die 
beiden  Symbol.  Divisiorr^n  rgleicliwic  die  Multiplikation)  unbedingt  aus- 
führbar" und  „nie  raciucleutif^"  seien.  M.  a.  W.  wir  erkUiren,  nur  mit 
bolchen  Funktionen  ab  uns  betichüttigen  zu  wuUeu,  bei  welchen  bolche  Ein- 
deutigkeit der  Umkehr ungen  sntri^Rk  Sooft  dann  ah^ah  sein  sollte, 
wird  auch  a^a  sein  müssen;  ebenso,  wenn  ab^  ah'  ist)  wird  h^h* 
folgen. 

Daigenige  &,  ftir  welches  bei  gegebnen  a,  c: 

ab^so  ist,  nennen  wir  h^eia 

und  dasjenige  a,  für  welches  bei  gegebnen  h^c: 

ah  ^  V    iat)  ucnnon  wir      =  y 

und  nach  der  Voranssetzung  wird  es  immer  ein  und  nur  ein  solches  geben, 

sodass  das  symbolische  Verhaltniss  a:b  und  der  symbolische  Brach 

MKS  in  jedem  Falle  (lur  gegebene  OperaÜousgliedor  desseibeuj  eine  ganz 
büätiiuuite  Zahl  vorstellen  werden. 

Nach  diesen  Definitionen  sind  dann 

afe  =  c,       h  =  C'.a    und    a  = 

drei  einander  Sqnivalente  Aussagen,  und  substituirt  man  den  Ausdruck, 
welchen  uns  irgend  eine  dieser  Gleichungen  für  den  auf  ihrer  einen  Seite 
isolirteu  Buchstaben  als  einen  neuen  diesem  eben  znkomrnen<lf>t!  Xamen  zur 
VerfUg\mg  stellt,  in  die  beiden  andern  Gleichungen,  so  ergeben  üah  die 
secha  Beziehungen: 

5-»(a6):a,    a  —  ^,    a(c;a)-«c,    «=^-'„,    ~^ &  — c,  h^Cij 

welche  für  die  beiden,  je  in  sie  eingebenden  Buchstaben  den  Chaj'akter  von 
allgemein  gültigen  Formeln  haben  mtUse&i  da  aweie  von  den  drei  Buch- 


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p 


Funktionalgleichungen.  $21 

tkaben  tob  yornbereiii  beliebig  aagenomBieiL  wurden  kannten  (wodnroh  eich 

ent  der  dritte  bestimmte). 

Es  wird  deshalb  gestattet  sein,  in  obigen  Besuehnngsgleichungen  die 
Buchstabeu  aucb  durch  irgend  welche  andcro  zu  ersetzen,  und  kann  man 
sich  für  einen  solchen  Buchstabenwechsel  entscheiden,  dass  in  jeder  von 
den  Gleichungen  nur  mehr  a  und  b  —  und  zwar  der  letztere  b  auf  einer 
Seite  iBolirt  —  Yorkonmien.  Daniadi  werden  sieh  die  seehs  „FundameDtal- 
beaehnngen**  su  dem  fibersiohtliolien  Bohema  «naammenriehen  laasen: 

a(pia) 

a  -  tt 

a:b  o 

in  wülchem  die  im  regelmässi^fon  Sechseck  angeordneten  Ausdrücke  dem 
im  Mittelpunkt  stellenden  h  gleichgesetzt  zu  denken  sind,  natürlich  aber 
auch  unter  sich  einander  gleich  gesetzt  werden  dürfen. 

Endlich  seien  aber  die  zu  betrachtenden  Funktionalgleichuuf^eii 

auch  von  einer  bestimmten  Form.    Sie  seien  diejenigen  der  „i^orte^* 

a,b,  c  =  a,b,e 

von  (I.  c.)-,  §  4;  d.  h.  solche  GieiohQng^lli  in  welchen  beiderseits  die 
Ergebnisae  der  Verknüpfung  der  nimliclien  diei  Buchstabenzahlen  a, 
h  and  e  dnreh  irgend  welche  swei  sncceeeive  von  den  drei  symbolischen 
Grandoperationen  stehen  —  wo  diesen  BoehstAben  nun  Yon  einander 
unabhängig  beliebige  Werte  sokommen  sollen.*) 

ünsre  ,JAannigfaltigkeit''  nrnfassfe  darnach  990  (nicht  durch  Buch- 
stabenvertanschung  auf  einander  zurfickführbare  ond  nicht  identische) 
Gleichungen,  die  man  leicht  Tollstfindig  hinschreiben  kann,  und  deren 
Gesamtheit  ich  also  U  hier  zu  nennen  haben  werde.  (In  Anhang  5 
werden  nur  wenige  Gruppen  ton  diesen  Gleichungen  wirklich  in's 
Auge  zu  fittsen  s^n.] 

Derselben  geboren  die  ,,Prii]zipien"  ^  hier  Überhaupt  nicht  an. 

Die  in  diesen  Funktionalgleichungen  auftretenden  Argumente  oder 
O])erationsglieder  a,  6,  c  nuissteii  dabei  stets  als  aUycmcine  Zbhlen  eines 
bestimmten,  sei  es  diskreten,  sei  es  koutiuuirlichen,  begrenzten  oiler 
auch  unendlichen  Zahlengebietes  aufgefasst  werden.  [Wirklich  in 
Ijetraclit  kommen  werden  für  uns  aber  nur  Zahlengebieie,  die  aus 
einigen  wenigen  Ziffern  bestehen  ] 

Indem  (1.  c.)"",  §  9  eine  Jb'uuktion  von  mir  koustruirt  ist,  welche 


*)  D.  h.  tmter  c  soll  jetzt  nicht  mehr  dor  durch  n  imd  h  bestimmt  pff^wov-pne 
Wort  des  vorigea  Kontextes,  sondern  ein  ganz  beliebiger  Wert  vcrstandeu  werdun. 


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622 


ADbang  4. 


für  das  ganze  Gebiet  der  komplexen  Zahlen  die  990  besagten  GleiehangeD 
gleichzeitig  erf&Ut  —  aber  schon  dadurch  auch,  dass  eingangs  des 
Anhang  5  eine  Funktion  angegeben  is^  welche  dies  wenigstens  f&r  ein 
Zahlengebiet  ans  aswei  oder  vier  Ziffern  thnt  —  ist  die  Ezistena  von 
Losongen  für  alle  diese  Funktionalgleichungen  sowie  die  VertrS^eh- 
keit  der  letitem  mitnnander  dargethan. 

Die  990  „Fonaeln"  nnsrer  Maonigfaltigkeit  U  wttrden  in  der  flbliehen 

Gestalt  von  ^Funktionalgleichangen^  ersoheineo,  wenn  man  fftr  jedes  sym» 
bolische  Produkt  ad  wieder  f(o, fUr  die  symbol.  Quotienten  aih  und 

~-  aber  etwa  ^(a^h)  und  -^(a,  5)  besOglieh  scfariebew  Beispielsweiae 

müBsia  so  die  Fonnel: 

^^h^   eigentlich  lauten:   ^[9{)i,c),a\'^  f[h,^{a,c)\, 

Sobsiimtion. 

Um  hinfort  nicht  allzu  abstrakt  zu  reden,  halte  ich  mich  srhou  hol 
der  DaiäteUung  Uer  aUgeiueiutilöu  Jiogriiiäerkläningen  uud  Theoreme  an 
das  hervoigehobeue  spenelle  Substrat  ü. 

Unter  A,  B,  0  Terstehen  wir  lauter  ffAlfforWmm**^  d.  h.  irgend- 
welche Gruppen  von  Funktioiialgleichungen,  herausge«rriffen  aus  der 
„Mannigfaltigkeit",  d.  i.  dem  Gebiete  der  990  Formeln  U. 

Ich  untcr^tlicide  dabei,  wie  anderwärts,  zwisclien  VornMAtirupi^cn 
und  YoTme\sy stemm,  indem  ich  unter  einer  ,,Furmelgruiipe''  ver.strhe 
ein  solches  System  von  Formeln  des  Gebietes,  welches  keine  ihm  nicht 
bereits  anirehinigo  Formel  des  Gebietes  kraft  der  „Priüiiipien"  nach 
sieh  zielit  —  al^o  ein  System,  welches  ergänzt  worden  ist  durch  den 
Zuzug  aller  seiner  Konsequenzen,  so  weit  diese  wieder  dem  Gebiete  U 
angehören. 

Von  andern  Formelsystemen,  als  den  in  dieser  Weise  zu  Algo- 
rithmen kompletirten  Gruppen  sei  hier  überhaupt  nicht  die  Kede.  Nur 
sei  in  Bezug  auf  die  ohne  Ilücksicht  auf  logischen  Zusammenhang  fgi' 
bildeten  ,,Fonnel8ysteme'^  bemerkt ,  dass  sich  auf  sie  ohne  weiteres 
jener  Kalkül  anwenden  lUsst,  der  für  Gebiete  einer  Mannigfaltigkeit 
Überhaupt  in  der  Algebra  der  Logik  aufgestellt  worden  ist,  und  den 
wir  in  die^ier  Anwendung  den  „id&Uischen  Kalkül  mit  Formelsystemen'' 
zu  nennen  haben  werden  im  Gegensatz  zu  dem  sogleich  zu  begrflndenden 
ffoffisdim  Kalkül  mit  Algorithmen". 

Wenn  A  aus  B  (kraft  der  „Prinzipien'')  folgt,  aber  nicht  umge- 
kehrt^ so  werden  wir  hier  schreiben: 

«)  AC^* 


• 


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Sabsumilou. 


C23 


Es  ist  dann  in  der  Tbat  das  FormeUjstem  des  Algoiithmas  A  kleiner» 
mar  ein  Teil  (m.  a.  W.  f^sdikr  Teil'*)  dee  FonneUysteme  des  Algo- 
rithmns  B, 

Allerdinga  Ist  aach  die  umgekehrte  Sebreibweise  bereditigt  and  wird 

im  „AussageDkalknl"  vorgezogen  —  vergl.  Bd.  2  §  28  —  im  Hinblick 
dtrauf,  dass  die  Zeit^  während  welcher  (resp.  die  Klasse  der  Gelegenheiten 
bei  welchen)  die  von  einer  andom  B  einseitig  bedingte  Aussage  A  als 
wahr  anzuerkennen  ist,  nur  ein  Teil  sein  wird  der  Zeit  (resjp.  etc.)  während 
welcher  die  Aussage  A  gilt: 

Venn,  (wann,  solange,  sooft)  B  gilt,  gilt  auch  Ä  aber  mcht  umge- 
kehrt; Ä  kum  aoob  gelten  ohne  B, 

Ebenso  ist  nun  aueb  bier  die  Oesamtfaeit  der  Fllle  In  welchen  (die 
Sltsse  der  Funktionen,  ßr  welche)  der  Algorithmus  B  erfüllt  wird,  nur 
ein  Teil  von  derjenigen,  für  welche  es  der  Algorithmus  A  iat.  Unter 
diesem  Geeiohtepunkt  mUsste  man  eigentlich  die  Sohreibasg: 

Rir  DarsteUuBg  des  -voranqgeBetsten  Sachverbalts  wfthleo. 

Wenn  demnach  das  Zeieben  ^  der  Unterordnung  ii^enau  dem 
Zeichen  <C  entsprechend  verwendet  werden  soll,  so  hat  man  doch  für  ein- 
unddieselbe  Beziehung  a  priori  unter  zwei  Schreibweisen  die  Wahl,  niimlicli 
einer  extens^it^en  ß),  bei  der  mehr  auf  die  räumliche  (Flfichen-)Ausbrtiilun^' 
der  —  etwa  gebchrieben  gedachten  —  Siitze  oder  Formelsysteme  gesehen, 
uod  einer  intmswen  ß)^  bei  welcher  mehr  anf  ibte  gäüidie  Ausdehnnog, 
ihie  Ottltigkeiisdauer,  das  Angenmerk  gerichtet  wird,  oder  sofern  man 
von  einer  solchen  nicht  spreehen  mag  —  anf  die  Klasse  der  Gelegenheiten, 
wo  sie  Anwendung  ßnden,  hier  also  die  Fälle  des  firfülltseins  oder  die  Klasse 
der  Lösungen  der  Funktionalgleiehungcn. 

Durch  die  ]3evorzugung  der  extensiven  vor  der  intensiven  Schreibung 
unterscheidet  sich  der  hier  vorzutragende  Kalkül  schon  iu  der  Anlage  von 
dem  spKter  yonntiagenden  Anssagenkalknl. 

leb  würde  miofa  nnter  UmstBnden  i^ol  aneb  der  zweiten  Sebreibweise 
anacbliesBeo,  mnse  aber  bier  der  ereteren  den  Yorrag  geben. 

Folgt  nicht  nnr  A  ans  B,  sondern  auch  B  ans  A,  so  sind  die 

Formelsysteme  der  Algorithmen  A  und  B  identisch  dieselben,  und 

sebreibeii  wir: 

A-^B  oder  B^A. 

Denn  da  wir  nnr  mit  Algorithmen  zu  fhun  haben  wollen,  so  ist 
das  Formelsystem  A  ergänzt  in  denken  doieh  Zusiehung  aller  seiner 
Konsequenzen,  zu  denen  nach  der  Yoraussetzung  auch  B  gehört,  und 
umgekehrt,  d.h.  beide  sind  eines. 

Um  lediglich  auszudrücken,  dass  A  aus  Ii  folgt,  während  uu- 
heivuniit  ist  oder  unentschieden,  offen  gelassen  werdeu  soll,  ob  auch 
umgekehrt  B  aus  Ä  folge,  worden  wir  schreiben: 

A^B    dosgl.  B^A, 


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624 


AalMHig  4. 


was  man  wie  bisher  als  „eingeordnet''  oder  f,8\ih"  lesen  kann,  dauebok 
aiieh:  A  folgt  aus  ist  Teil  von  in  B  enthalten;  B  beding!^  nm- 
fasst  Ä,  schllesst  A  in  sich,  involTiit  es  dfimplies^  A), 

Damaeh  müsaan  die  beiden  Axiome  ingegeben  werden: 
L  A^A, 
IL  Wenn  A  =^  B  und  B  =^  C,  so  ist  auch  A  =^C. 

Auch  kann  man,  das  Zeichen  =^  „der  eventuellen  Unterordnung'' 
als  (las  ursprüngliche  auseheudi  durch  dieses  das  Gleichheitszeichen 
dehniren  mitteist  der 

Definition  (1).  Wenn  A=^B  und  zugleich  B=^Af  ao  werde 
A  ^  B  genaniit. 

Versinnliclien  wir  uns  die  Algorithmen  durch  Flüchengebiete  der 
Ebene,  so  stellt  —  wenn  nur  groasc  anstatt  kleine  Buchstaben  in  sie 
eingetragen  gedacht  werden  —  die  Figur  1,  S.  ir)5,  die  Beziehung 
A  dB,  und  die  Figur  2  ibid.  die  A  =  B  dar,  und  falls  A=^B,  so 
findet  entweder  das  eine  oder  das  andre  statt. 

Diese  Versinnlichung  ist  aber  hier  noch  mehr  als  blosse  Analogie, 
auch  mehr  als  eine  Abbil<lnng:  Mau  kann  sich  geradezu  die  Flüclieii- 
gebiete  in  soviele  Parzellen  zerlegt  denken,  als  wie  viele  Gleichungen 
des  Gebietes  V  der  zugehfirige  (gleichnamige)  Algorithmus  uuifasst, 
und  in  diese  Parzeilen  —  wie  in  die  Felder  auf  einem  iiogen  karrirten 
Papiers  —  diese  Gleichungen  selbst  hincingeschrieben,  so  wird  damit 
das  wirhUcihe  Verhältniss  der  Fprmelgruppen  A,B  zu  einander  direkt 
zax  Anschanimg  gebracht 

Moltiplikatioii. 

Wir  definiren  jetzt  das  „logische'  I^oduktA  B  oder  AB  und  die 
JogisM*  Summe  A  +  B  zweier  Algorithmen,  und  bringen  alsdann  die 
Grundeigenschaften  der  so  eingeführten  Gebilde  zum  Ausdruck. 

Uiebei  wollen  wir  für  alle  Definitionen  und  Sätze  durchweg  die- 
selben  Chiffren  verwenden,  welche  den  entsprechenden  im  identischen 
Kalkül  ankamen,  wenn  diese  auch  hier  in  etwas  anderem  Zusammen- 
bange vorgebracht  werden,  weil  ja  gerade  die  anfängliche  Überein- 
stimmuig  der  beiden  Kalkuln  von  erster  Wichtigkeit  ist. 

AB  stelle  den,  den  beiden  Algorithmen  A  und  B  gemeinsamen 
Formelkomplez  vor,  es  sei  also  das  „logisehe''  Produkt  der  Formel- 
gruppm  einerlei  mit  dem  „identischen'*  Produkt  der  betreffenden  Formel- 
Systeme,  cf.  Fig.  9^,  8.  214. 

Dasselbe  werde  0  genannt,  also  AB.^0  geschrieben,  wenn  A 


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Mnltiplikation. 


625 


and  B  innerhalb  U  keine  Gleichung  gemein  haben,  und  diese  0  werde 
als  ein  oneigentlicher,  der  ^«UrAlfforiämHS^*  mit  an  den  Algorithmen 
gezahlt 

Im  andern  Falle  ist  AB  auch  nicht  bloe  ein  Formelsystem ,  son* 
dem  eelbst  wieder  ein  Algorithmne,  indem  es  alle  Gleichungen,  die 
es  innerhalb  U  nach  den  ,^rinzipien'^  amr  Folge  haben  kann,  bereits 
in  sich  schUessen  mnss. 

Ersichtlichcrmassen  gilt  nämlich  (auch  wenn  AB  nur  Formei- 
Bystem  wäre): 

Tb.  6J  AB-^A   und  AB^B. 

Hat  nun  AB  innerhalb  U  eine  Eonsequenz  C,  so  folgt  diese, 
weil  mit  A  auch  AB  gegeben  ist,  nach  Prinzip  II  auch  ans  yl,  d.  Ii. 
es  ist  C=^A'^  und  ganz  ähnlich  folgt  C=^ß,  <1.  h.  es  muss  C  den 
Algorithmen  A  und  B  schon  gemeinsam  sein,  aicii  m  AB  befinden. 

Die  Multij)likation  von  Algorithmen  ist  ein  ungemein  fruchtbares 
Mittel,  um  neue  Alj-nrilhmen  AB  zu  i/nuiircn,  sie  als  vollständige 
oder  „Gruppen"  nachzuweisen,  die  firenzeu  ihrer  ivonsequenzeii  (inner- 
halb ü)  zu  erkennen,  wenn  bereits  diejenigen  der  Faktoren  A,  B  be- 
kannt, diese  selbst  limitirt  sind.  (Beispiele  weiter  unten,  Anhang  6 
sub  »»Beleg  1^) 

Aus  der  Obereinstimmnng  der  logischen  mit  der  („extensiv''  anf- 
gefassten)  identischen  Multiplikation  geht  herror;  dass  jene  anch  die 
Grandeigenschalten  Ton  dieser  besitat;  sie  ist  fcommutativ  und  asso- 
ziatiT,  anch  gilt  z.  B.  Th.  14^  A^A^A  —  was  alles  übrigens  auch 
ganz  direkt  einleuchtet. 

Speziell  seien  hier  aber  zum  Bewusstsein  gebracht  die  der  Defi- 
nition  (3)  der  Theorie  cntsprccheuden  beiden  Sätze: 

(ß^y  Sooft  X=^A  und  eiHjhich  X-^  7?,  so  ist  auch  All. 
(3^)"  Jedesmal,  wenn  X=^  AB  ist,  muss  aucJi  X^A  und  X=^B  sein. 

Der  letztere  C^y)"  von  diesen  beiden  Sätzen  erscheint  im  Hinblick 
auf  Th.  6^)  und  II  als  geradesu  selbstverständlich:  Wenn  X  aus  dem 
dem  A  und  B  gemeinsamen  Formelsystem  schon  folgt^  so  folgt  es 
a  fortiori  ans  A,  desgl.  aus  B. 

Nicht  in  gleichem  Grade  (der  Unmittelbarkeit)  leuchtet  aber  der 
erste  Satz  (3^)'  ein.  Liesse  man  hier  ausser  Acht,  dass  die  Formel- 
gruppe X  ganz  dem  Gebiet  U  angehören  muss,  so  wftrde  sich  der 
Satz  (3^)'  leicht  durch  Beispiele  widerlegen  lassen.  In  der  That  ist 
der  Fall  denkbar,  dass  gewisse  Behauptungen  resp.  Formeln  X  nach 

SoMMtDMB,  Ala«ibi»  d«r  I«ogik.  40 


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C2G 


Anhang  4. 


den  ja  ausserhalb  U  liegenden  ^rinapien''  zwar  aus  den  Prämissen  A 
folgen  y  desgl.  aus  den  Prämissen  B,  ohne  jedoeh  ans  den,  den  beiden 
Pramissensystemen  gemeinsamen  Elementen  oder  Gleichnngen  za  folgen, 
welche  letatere  sogar  0  sein,  ganz  fehlen  k5nnen.  (Betrefia  wirklichen 
Vorkommens  solchen  Falles  siehe  Anhang  5,  ,3eleg  2"») 

Wenn  dagegen,  wie  ▼orauszusetzen,      A,B  komplete  Algorithmen 

desselben  Gebietes  JJ  sind,  so  niuss,  falls  X  aus  A  folgt,  das  Formel- 
system der  (iru})pi;  A'  geradezu  ein  Teil  desjenigen  von  A  sein,  ebenso, 
falls  auch  X  aus  Ii  folgt,  ein  Teil  von  Ii,  und  J.inn  aUu  ein  Teil 
des  dem  A  und  B  gemeinsamen  Formel  komplexes  (^welcher  mitbin 
sicher  vorhanden  ist). 

Sonach  gelten  also  in  der  Tbat  die  beiden  Teile  von  (3,^),  einem 
Satze,  von  dem  wir  sahen,  dass  durch  ihn  das  identische  Produkt 
ausreichend  d^mirt  werden  konnte.  Diese  Definition  hätten  wir  anstatt 
der  Ton  uns  gewählten  unmittelbar  intoitiTen  auch  hier  au  Grunde 
legen  können. 

Desgleichen  gilt  hier  das  Analogen  der 

Definition  (2J:  0=$^, 

und  zwar  hat  dieses  einfach  den  Sinn,  dass  mit  dem  Gebiet  der  Felder, 
in  welche  die  Formeln  irgend  eines  Algorithmus  eingetragen  sind^ 
auch  jederzeit  unbeschriebene  Felder  Terbunden  gedacht  werden  m5gen. 
„Nichte''  oder  ,Jeera  Feldei^'  bilden  die  Bedeutmg  des  NtMlfforUkmus, 
wenn  wahr  sein  soll,  dass  jeder  Algorithmus  seine  eigenen  Formeln 
und  ausserdem  0  enthält. 

Z&ge  man  indess  die  18  IdentiiSten  der  Formelsorte  a,b,c  =  a,  h,  c 
mit  in  den  Bereich  der  alsdann  1008  Gleichungen  umfassenden  Mannig- 

faltigkeit  JJ  herein,  so  würden  diese  18  den  Tnhalt  des  Nullalgorithmus 
uuaujachen.  Seine  Bedeutung  würde  dit  Aussago  sein,  dass  die  For- 
meln a{h:c)  =  a{h'.c),  etc.,  allgemein  gelten,  und  würden  diese  als 
konstanter  unvermeidlicher  Bestandteil  sich  in  jedem  Algoriiiimus  mit 
vorfinden.  Durch  sie  würde  aber  offenbar  über  (leltung  oder  Nicht- 
geltung  von  noch  andern  Formeln  des  Gebietes  kein  Präjudiz  gegeben. 

■ 

Addition. 

Als  die  ,;loffische  ^ummc"  A  t  Ii  definiren  wir  denjenigen  Formel- 
komplex, welcher  nicht  nur  die  Gleichungen  von  A  und  die  von  B 
sunitlicli  enthält,  sondern  auch  noch  alle  diejenigen  Gleichungen  dfs 
Gebietes  U  dazu,  welche  aus  die«eU|  wenn  sie  gleichzeitig  als  wahr 


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Addition. 


627 


acgeuommen  weiden,  auf  Gnmd  der  „Prinnpien^  hinsogefolgert  werden 
können.*) 

Dieee  logisehe  Summe  Ä-hB  greift  fiber  die  ,^denÜ8che  Snmme'' 

Ä  (+)  B  der  Fonnelsjsteme  im  ÄUgemeinen  hinaas  —  wie  sieh  naehher 
leicht  durch  Beispiele  belegen  lassen  wird  (Anhang  5,  „Beleg  3"). 

Die  letztere  bedeutet  bekauntlicli  das  Formelsysteni,  zu  welchem 
die  Systeme  A  und  B  sich  gegenseitig  ergänzen j  dieselbe  wird  iiu 
Allgemeinen  kein  „Algorithmus"  sein^  weil  aus  Ä  und  B  zusammen 
als  Prämissen  sich  oft  noch  weitere  Gleichungen  schliessen  lassen 
werden,  die  weder  dem  Ä  noch  dem  B  für  sich  angehören. 

Es  ist  demnach  die  logische  Summe  zweier  Algorithmen  etwa  in 
folgender  Weise  durch  eine  Figur  zu  versinnlichen. 

Sehr  oft  ereignet  es  sich,  dass  die  logische 
Summe  A  +  B  sämtliche  Gleichungen  des  Gebietes 
U  umfasst  Diese  konstituiren  ja  zusammen 
selbst  einen  Algorithmus:  üoy  welcher  inner- 
halb des  zur  Illustration  gewählten  Substrates 
mit  dem  Formelsystem  Ü  zusammenfallt. 

Dieser  Algorithmus  Uq  möge  —  für  den 
Augenblick mit  dem  Zahlzeichen  1  bezeichnet  werden,  eine  Kon- 
vention, die  sieh  dadurch  rechtfertigt,  dass  alsdann  die  Gleichung 
A'l^  A  allgemeiti  gelten  wird.  Dann  gilt  für  jedes  Individuum  A 
in  der  Mannigfaltigkeit  der  zur  Betrachtung  vorliegenden  Algorithmen 
aach  das  Analogen  der 

Definition  (2^):  A  ^  1. 

Und  endlich  gelten  die  beiden  Satze,  welche  in  der  Theorie  die 
Definition  (3^.)  der  identischen  Summe  zusammensetzten: 

(3J'.     Wenn  A=^X  und  B  ^  X.  so  ist  mich  A  +  B=^X. 

(.'»^ )"    Wenn  A  -i-  B  =^  X,  so  id  auch  A  =^  X  mul  B  ^X. 
Da  nach  unsrer  Definition  der  logischen  Summe  offenbar: 
Th.  6+>  A-^A-tB    und    B^A  +  B 

süiii  musH,  erscheint  der  letztere  Satz  (3^)"  nach  TT  als  geradezu 
selbstverständlich:  Wenn  A  uebst  B  und  allem,  was  beide  noch  zur 
Folge  haben,  aus  X.  folgt,  so  folgt  natürlich  auch  A  aus  X  und 
B  aus  X. 

Weniger  unmittelbar  leuchtet  der  erstere  Satz  (3^)'  ein. 

Wäre  X  kein  Algorithmus,  sondern  blos  ein  Formelsystem,  aller- 


*)  Bei  der  „inten8i?en"  Peuturifi  wurde  unsre  obige  „Sanime**  alt  „Produkt** 
s«  beaeichoen  sein  (nnur  „Pirodakt'*  aber  nicht  ala  MSumme"). 

40* 


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(',28  Anhang  4. 

dings  ganz  axa  U,  jedoch  irgendine»  beranagegriffen,  so  wSre  ein  Fall 
denkbar,  wie  ibn  die  folgende  Figur  Tennmüieht:  wo  zwar  A  und 

gana  in  X  liegen^  dagegen  Ä  +  B  doch 
nicht  in  X  enthalten  ist  (vgL  An- 
hang 6,  j|Beleg  4^  Ea  brandiie  dann 
(3^)'  nicht  an  gelten. 

Non  aber  sollte  X  einen  Algarük- 
tnus  (innerhalb  ü)  bedeuten,  komple- 
tirt  dnrch  Hinaiudebung  aller  seiner 
nadi  den  „Pkiniipien^  bedingten  Eon- 
sequensen.  Wenn  dieser  Ä  aar  Folge 
Fig.  bat,  dessen  ganzes  Fonuelsyatem  ia 

sich  schliesst,  desgl.  B  zur  Folge  hat^ 
so  hat  er  auch  alles  das  zur  Folge,  was  kraft  der  Prinzipien  aus  A 
und  i>  zusammen  noch  weiter  gefolgert  werden  kann,  d.  h.  er  hat 
auch  A  +  B  zur  Folge  und  schliesst  dessen  ganzes  Formelsjstem  vou 
Hause  aus  in  sich. 

Hiermit  ist  sorgfaltigst  erivannt,  dass  die  Axiome  1  und  II,  sowie 
die  Dofinitiouen  (1),  (2),  (3)  des  „identischen  Kalküls"  auch  in  dem 
i,iogi.>?t:liL'n  Kalkül"  mit  Algorithmen*)  uumo  iifizirt  Geltung  haben. 

Diese  aber  bildeten  ausschliesslich  die  formale  Grundlage  für  den 
ersten  Teil  if'ji.  H  Kalküls,  soweit  er  in  den  Paragraplicn  4,  5  bis  10, 
11  der  Theorie  liargestellt  ist.  Folglich  können  wir  auch  alle  aus 
flieser  Grundlage  streng  deduktiv  dort  abgeleiteten  bätze  jetzt  ohne 
weiteres  in  den  logischen  Kalkül  herübernehmen,  die  kleinen  Buck- 
siaben  von  ebendort  in  grosse  umschreibend  —  eiusMesslich  d&r  ersten 
SubsumHo»,  Th.  25^),  dc,<  Di^fributionsgcsettes. 

Dass  die  zweite  26  J  ntcht  gilt,  werden  wir  gegen  Schloea  belegen 
(Anhang  5,  „Beleg  5");  doch  sei  bemerkt,  dass  von  dem  nur  diesen 
Zweck  im  Auge  Habenden  die  vorhergehenden  nnd  nachfolgenden  Be- 
lege des  Anhang  5  ttberachiagen  werden  können. 

Wae  Toretehend  erörtert  und  festgesetzt  worden  an  dem  Snbstrat 

der  resp.  ftr  die    Algorithmen^  oder  „Gruppen  Ton  Funktional- 

gleichungen'')  das  lässt  sich  noch  allgemeiner  nnd  fQr  die  Gruppen- 

Üieorie  überhaupt  aufrecht  erhalten. 

Der  Begriff  der  „Grappe**  hat  neuerdings  fast  in  der  gesamt/nn  Mathe« 
matik  eine  rapid  steigende  Bedeutung  nnd  sunehmend  vwbreitete  Anwen- 

*)  TliU  ten  wir  ein  umfaHnrndi  rcK  Substrat  gewählt,  80  wurc  dieaer  auch  als 
ein  Kalkül  mit  KaJkuln  zu  bezeiehucn. 


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Logischer  Kalkül  mit  Grappen.  629 

(long  gefunden.  Sind  doch  Flerrn  Dodekind's  Zahlenk5rper,  Kroneck  er*  8 
Haiionalitätäbereiche,  etc.  nichts  anderes  wie  ^,  Gruppen '\  und  wie  die  Sub- 
stitntioncntlicorie  Hirh  fasf  unr  um  Grappen  von  Sub.-^titntionen  dreht,  so 
haben  auch  für  die  Cieometrie  Herrn  Walter  Uyck's  gruppentheoretische 
Unteiüuchungcn,  fiii-  die  höhere  Aualjsih  Herni  Sophus  Lie  s  Trans- 
foimationsgruppen  etc.  eine  fandsmentBle  Wichtlgkdt  erlangt  Nicht  minder 
sah  die  Mecbimik  neh  genötigt  ifGmppen*^  Yon  Bewegungen  (l^raofllBtioneii 
und  Botationen)  zu  studiren,  und  ist  mit  deren  Studium  durch  Camille 
Jordan  u.  a.  die  BraTais-Sohnoke'flohe  Erkl&rosg  der  Krystallsirnktur 
erwachsen,  u.  s.  w. 

Unter  solchen  Umständen  dürfte  es  wolil  verlohnen,  die  Gesetze,  nach 
welchen  aiie  Forscher,  die  sich  mit  Gruppen  beschäftigen,  wenn  auch  viel- 
leicht  imbewnsüt,  denkeo,  siok  einmal  gründlich  snm  Bewussteein  zu 
bringen,  somol  diese  Oesetse  in  ihren  elementarsten  Grandzttgen  sich  als 
keine  andern  erweisen  als  die  der  Logik  Uberhaupt  und  des  identisdien 
Kalknls,  bis  MdnsiTe  aar  «weiten  Subsumtion  des  Distributionsgesetzes. 

Ist  ein  System  Ton  Dingen  gegoben^  die  mr,pSlemente**  nennen 
wollen^  und  kennen  wir  einen  Brogess,  doreh  welchen  ans  irgend- 
welchen von  diesen  Elementen  sich  nene  Gebilde  erzeageo,  herstellen, 
„ableiten^*  lassen,  so  Termdgen  wir  auch  die  letzteren  als  weitere 
f^Blemente''  au  dem  System  der  bisherigen  hinsoanselilageu,  sie  aosu- 
sagen  dem  Systeme  als  neae  Brrungenscbaft  anzugliedern^. 

Aul  diese  Weise  kaun  man  forttalireu,  und  den  gleichen  Prozess 
auch  aul  die  (oder  irgendwelche)  Elemente  des  so  erweiterten  Elemente- 
systems anwenden,  solange  überhaupt  der  Prozesa  noch  neue  Dinge  als 
Kiemente  zu  liefern  vermag  und  auf  die  hiuzutretenden  anwendbar  bleibt. 

Df'V.  Prnzcsn  lialien  wir  uv.^  l-nnach  begrifflich  bestimmt  zu  denken 
als  eine  gewisse  Art  von  Pr  i/fi?»eu.  Sofern  wir  ihn  eigenmächtig  aus- 
führen können,  mögen  wir  ihn  auch  eine  „Operation^'  neuneu,  oder,  wenn 
Steh  an  dieser  Tcrsdiiedene  Stadien  unterscheiden  lassen,  ihn  hinstellen  als 
ein  „System  Ton  Operationen*'  (den  Teiloperationen  der  vorerwähnten  als- 
dann  „sosammeDge^efsten'*  Operationen);  die  Reihenfolge  solcher  Teil- 
operationen kann  eine  vorgeschriebene,  oder  auch  ganz  oder  teilweise  in 
unser  Belieben  gestellte  sein,  je  nach  der  Art,  wie  der  Prozess  begrifflich 
bestimmt  erscheint.  Operationen  können  (als  „uni-üäre"y)  f^chon  aus  cinein 
Elemente  (zuweilen  oder  immer)  ein  neues  erzeugen«  oder  aber  als 
„Knüpfungen'*  deren  zweie  oder  m^ere  bedttrfen  um  ein  neues  Element 
herrovaubringen  („  binare ,ytemBre"  und  „multi-nSre**?  Knttpfimgen).  Als 
anf  Beispiele  sei  auf  Negation  und  Multiplikation  als  soloiie  Operationen 
hingewiesen. 

Durch  die  Yotsehrift,  welche  die  Natnr  des  Processes  bestimmt 
und  dnich  die  niaprüngUeh  gegebenen  Elemente  ist  in  allen  Füllen 
die  Mannigfaltigkeit  der  Objekte  des  Denkens  bestimmt,  welche  durch 
den  PlroieBS  ans  jenen  Elementen  ableitbar  sind. 


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Anhwig  4. 


Vorbehalllicli  jedoch  dessen,  dass  die  als  gegeben  bingestolUen  Ele- 
mente nicht  bereits  unverträglich  miteinander  seien  und  dass  als  Elenienie 
nicht  etwa  ,,Klassrn  von  Elemonteu*'  figuriren.  Die  erstere  Fordei-ung  er- 
scheint ^^ofort  ah  eine  selbstverbtändliche.  Bei  Nichtbeachtunt,'  der  letztem 
aber  müBsto  späterhin  Verwirrung,  Konfusion  entstehen,  es  müsütcu  Wider- 
sprüche sich  ergeben  mflofam  kerne  Sidieihelt,  kerne-  Gaxvatie  dagegen  vor- 
lüge, ds68  wir  niebt  bei  den  nötig  feilenden  ünterscheidnngen  zwischen 
den  Elementen  "  ein  bestimmtes  Element  als  solches  (bei  einer  bestiinmtoi 
BetriuLtung)  auszuschliessen  und  zugleich  dasselbe  als  ein  Individuum  einer 
solchen  (Jaltung  oder  Khisse,  die  selbst  Klemcnt  ist,  /uznlassen  lüitten.  Nur 
höchstens  hoUcklivc  Zustimmenfasaungeu  von  Elementen  zu  einem  Stfstrtnc 
solcher,  nicht  aber  gcnerdlc  (zu  einer  Gattung  von  solchen)  wird  man 
wiederum  als  „Elemente**  gelten  lassen  dürfen.  M.  a.  W.  das  Sysictn  der 
dem  Prosess  der  Gruppenbildnag  au  unterwerfenden  J^emenfe  wurd  von 
vtnnberein  —  in  dem  in  den  §§  7,  9  nnd  16  erläuterten  Sinne  —  eine 
konsutaUe  sowol  als  reine,  wird  eine  gewöhnlidte  Mannigfaltigkeit  sein 
müssen,  und  auch  der  Prozess  der  Gruppeubildung  ist  der  Einschränkung 
zu  uutcrwerlen,  niu#  so  beschaflfen  sein,  dass  jenes  System  bei  seiner  Er- 
weiterung zur  „Gruppe"  eine  solche  Mu.  stoti.  bleiben  wird. 

Die  also  aus  den  gegebenen  Elementen  ableitbaren  Elemente  bilden 
mit  diesen  selbst  zusammen  ein  System,  welches  die  durch  die  erstem 
besÜmmte,  denselben  zugehörige  „Ctrvgpe*^  zu  neuneu  ht,  und  dürfen 
jene  als  ausreichende  y^Bestimmungselemente''  dieser  Gruppe  iiingestelli 
werden. 

Der  Begriff  der  Gmppu  i^t  hicnach  ein  engerer  als  der  des  „Elemente- 
systems";  jede  Gruppe  ist  ein  lälementesystem,  aber  nicht  jedes  Elemente- 
system ist  eine  Gru])|>c. 

Hienacli  ist  klar,  dass  (zunächst)  die  Be«j;ritr.serkläruugen  der  Em- 
Ordnung  oder  Subsumtiou,  der  Gleichheit  uud  der  üuterorduuug  auf 
die  Gruppen  ebenso  anwendbar  sein  werden,  wie  auf  die  Elemente- 
Systeme  überhaupt,  uud  bedarf  der  Ansatz:  A  =^  JB,  oder  die  damit 
äquivalente  Redensart:  die  Gruppe  A  iai  „  ünkrgru^^*  der  keiner 
neuen  Erklärung, 

Die  in  der  Wissenschaft  eingeführte  Arbeitsteilnng  bringt  es  mit 
sich|  dass  anch  gruppeniheoretische  Untenuchungen  sich  immer  nur 
auf  eine  (begrifflich)  bestimmte  Mannigfiiltigkeit  von  Objekten  des 
Denkens  au  beaiehen  habeni  ans  welcher  nur  die  Bestimmungaelemente 
aller  in  Betraeht  su  ziehenden  Gruppen  allein  liervoicnheben  eind. 
Diese  Mannigfaltigkeit  (die  wir,  wie  gesagt  als  eine  „gewöhnliche'' 
vorauBBUsetsen  haben)  bestimmt  ihrerseits  eine  Gruppe,  oder  besser 
gesagt,  sie  ist  —  wenn  mit  Bttoksicht  hierauf  eben  vollständig,  um- 
fassend genug,  charakterisirt  —  schon  selbst  eine  Gruppe. 

Diese  Gruppe,  die  umfasseudste,  welche  alle  denkbaren  Gruppen 


.  ijui.  u  i.y  Google 


IiOgisch«r  KaUcnl  mit  Gmppen.  631 

des  vorliegenden  UntersuchiingBfeldes  in  sich  flehUesBen  wird  —  und, 

als  bloisei  Elementarsystem  anfgefasst,  etwa  j^die  sugnmdeliegende 

Hanmg&Itigkeii^'  m  nennen  wäre  —  mag  ^  «oflsAftid^  Qvu^pif^ 

(schlechtweg)  genannt  werden.  Sie  entspricht  der  j^dentiischen  Einä", 

des  Aussagen-  nnd  Gebietekalkuls  und  würde  nicht  unpassend  anch 

als       Gruppe  V  hingestellt  werden. 

Dieselbe  ist  jedoch  —  bei  den  Snbstitationen  s.  B.  —  nicht  mit  der 
^identisclieD  Substitution"  1  zu  verwechseln,  welche  letztere  vielmehr,  wie 
nadkher  erhellt,  eine  „N  il]  i  u{.|)e",  „die  Gruppe  0"  kooBtitairen  wird, 

AU  „Produkt'^  A-B  oder  AB  zweier  Grappen  A  und  B  gilt  uns 

das  System  der  Elemente,  welche  sowol  der  Gruppe  A  als  auch  der 

B  angeh5ren  —  m«  a.  W.  das  „identische  Produkt''  der  zugehörigen 

Elementesysteme y  die  j^Gemeinheit''  dieser  Systeme  in  Herrn  Dede- 

kind's^  Au8drucksweiB&  Dasselbe  muss,  sofern  es  kein  leeres  (oder 

lyNullsystem'')  ist»  allemal  selbst  eine  Gruppe  sein. 

Denn  wSre  dies  nicht  der  Fall,  so  mOsste  durch  den  Proxees  der  ' 

Gmppenbildung  aus  seinen  Elementen  ein  neues  ableitbar  sein,  welches 

ihm  selbst,  döm  Systeme  AB^  nicht  au^^ehürt,  tmd  darum  anch  nielit  dem 
System  A  und  dem  B  zugleich  angehüron  kann,  vielmehr  wenigstens  einem 
dieser  lieiden  —  sagen  wir  dem  System  A  —  nicht  angehören  wird.  Da 
laut  Detiuiliou  die  Elemente  von  Aß  aber  äUmtlicU  auch  Elemente  vou  A 
(sowie  Ton  B)  sind,  so  wSre  es  hienach  auch  gelangen,  aus  den  Elementen 
des  Systems  A  ein  neues,  diesem  nicht  angehOriges  Element  absuleiten  — 
im  Widerspruch  mit  der  Yoiaussetsung,  dass  A  eine  Gruppe  gewesen. 

„NuUgrupp^*  oder  „Gruppe  0^'  nennen  wir  das  Produkt  aller  er-  • 
denklichen  Gruppen,  welche  in  der  Tollständigen  Gruppe  (als  Unter- 
gruppen) enthalten  sind  (diese  selbst  also  einbegriffen). 

Wo  etwa  auch  ein  mit  0  beieiebnetes  Element  auftritt,  ist  diese 
„Gruppe  O'*  von  dem  „Elemente  0^^  BatUrEdi  zu  unterseheideo.  ^ 

Die  Nullgruppe  wird  eine  eigentliche  Gruppe  sein  auf  jedem 
solchen  Untersuchungsfelde,  wo  gewisse  Elemente  in  jeder  Chruppe 
enthalten,  allen  Gruppen  ^meinsam  sein  müssen. 

So  z.  B»  wird  im  Gebiet  der  Snbstitntion^gmppen  die  HuUgrappe  be- 
stehen aus  der  einen  identiachen  Subatitotion  1;  in  der  Gruppentheorio 
deiJ  identischen  Kalküls  —  vergl.  Anhang  6  —  wird  die  Nullgruppe  aus 
den  beiden  Elementen  0  irnd  1  l»e>to]ien,  und  auch  auf  dein  Ocbiot  der 
Gruppen  von  Funktionalgleichungeu  oder  Algoritiimen  köunen  der  Null- 
gruppe ak  Inhalt  uder  ihre  Bedeutuug  eveutueU  untergelegt  werden:  die 
„sechs  Fundam^talbeziehungen**  nebst  all  den  Formeln,  welche  etwa 
noch  auf  Grand  derselben  allgemeSn,  als  analytische  Gleichungen,  gelten. 

Andemfalles  wird  die  Nullgruppe  als  eine  uneigentliche,  n&mlich 

inhaltlose  oder  leere,  zu  gelten  haben. 

Summe  A-^B  zweier  Gruppen  A  und  B  nennen  wir  diejenige 


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632  Anhang  4. 

Gfufjpe,  welche  aus  den  Elementen  von  A  und  B  siuammengenommen 
ableitbar  iet^  welcher  m.  a.  W.  die  Elemente  der  „identischen  Snmm^' 
der  Elementegysteme  Ä  und  B  als  Bestimmongselemente  dienen.  Die 
entere  greift  Uber  die  letztere  im  Allgemeinen  hinaus,  wie  gelegent- 
lich gegebene  Beispiele  darthuL 

Es  wQrde  nun  blos  eine  Wiederholung  desjenigen  sein,  was  wir 
im  identischen  oder  Gebietekalknl  bereits  eingehendst  durchgesprochen 
haben  (was  uns  femer  behufs  Angliederusg  der  Dede kindischen 
Kettentheoiie  obliegen  wird,  in  neuer  Fassimg  aufzufrischen)  und  was 
wir  endlich  för  da»  Substrat  der  Algorithmen  im  Eiagang  gegenwar> 
tigen  Anhanges  erinnernd  in  Anspruch  zu  nehmen  hatten,  wollten  wir 
von  neuem  darlegen,  wie  ans  den  hiemit  gegebenen  Grumllagen  wieder 
ullc  Gesetze  des  identischen  Kalküls  bis  zu  dem  in  §  12  chuialcteri- 
sirten  Divergenz-  uder  Abzweigimgspunkte  hin  ald  auch  für  den 
jßruppenkalhd*'  gültige  fliessen.  Wir  dürfen  diese  Gesetze  für  ihn 
hinfort  ohne  weiteres  in  Auspruch  nehmen. 

Ist  (lor  gi  iippeabildeucle  Prozess  eiiio  ,,uiiin;ire"  Knüpfung,  d.  h.  eigeut- 
licii  gar  kerne  IvnUpfung,  »oudern  vielmehr  eiue  Uptiialion,  uiiltelst  welcher 
je  aus  ejnem  Elemente  immer  schon  ein  eTentnell  neues  als  Funktion  oder 
Bild  desselben  abgeleitet  werden  kann  —  wie  s.  B.  im  tdentischen  Ealkal 
die  Operation  des  Negirens,  in  der  Arithmetik  die  der  Quadratwuzsel- 
ansziehung,  oder  die  Herstellung  des  Briggs'schon  Logarithmus,  etc.  —  so 
steht  nichts  im  Wp<rf^  die  gedachte  „Ableitung'*  i\\s  eine  „Abbildung"  an- 
zusehen, und  deckt  hich  der  Begriff  der  „Gruppe''  luit  dem  Dede  k  ind'srhen 
BegriÜ"  der  „Ivette",  Dos  Letzteieu  Ketten  sind  die  durch  eiueu  Abbiidungi»- 
prozeas  erzeugten  Gruppen.  Der  Qruppentheorie  ordnet  die  Theorie  der 
Ketten  als  ein  besondrer  Zweig  eich  mter. 

Es  klJnnte  sogar  scheinen  als  ob  die  letztere  sidi  ebensoweit  erstreckte, 
wie  di^  erstere.  Denn  ist  die  eindeutige  Abbildung  eine  solche  nur  ein- 
seitig', nicht  auch  umgekehrt,  ist  sie  eine  unähnliche",  so  ni?^gen  irgcnd- 
viele  Elemente  das  nJlmliche  Bild  haben.  Dieses  Bild  als  das  Krgebniss 
einer  Vcrkntipfmu/  jener  Elemente  hinzuHtellen,  geht  aber  dann  nicht  an, 
weil  der  Unterschied  besteht,  dass  es  diesen  nicht  erst  in  ihrer  i<iüdttwm 
Verbindung,  als  dem  Systeme  derselben,  sondern  dass  es  ihnen  bereits 
einxeln  genommen,  distrifixdc  oder  generell,  eindeutig  entspricht.  Immerhin 
ergeben  sich  ans  Äesem  Yerhttitnisse  vielleicht  Anknttpfangspankte  für  beide 
Theorieen. 

Die  Gruppentheorie  ist  hienach  anzusehen  als  eine  wii'kliche  Erweiterung 
der  Theorie  der  Kotten.  — 


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Anhang  5. 

Substiat  snm  Torisen  Anhang  und  If stovial  m  desMn  Belegen. 

Als  solclies  iniiss  ich  jetzt  ein  paar  spezielle  Algoritlimen  des 

Gebietes  L  vuristelleu. 

Voraus  bemerke  ich,  dass  ich  den  logischen  Zusanimeuhang  zwischen 
den  090  Formeln  dieses  Gebietes  langst  volUtUudig  erforscht  habe  und 
denselben  auob  anf  die  einfachBte  Welse  lu  begründen  Tennag.  Die  Dar- 
legung dieses  Zusammenhanges  ist  aber  niobt  der  Endiweck  der  gegen- 
wtrtigeu  MitteUnng.  Yielmehr  beabsichtige  ich  ja,  denselben  nur  nebenher 
SQ  benutzen,  nm  durch  ^er^entciligc  Beis|rinle  (Tarznthtin,  daSS  gewisse  Stttze 
im  logischen  Kalkül  keine  Cieltuiig  zu  haben  brauchen. 

Ich  kann  mich  daher  in  Bezug  auf  das  —  unter  vielen  denkbaren, 
ebenfallB  schon  ziemlich  von  mir  durchforschten  Formelgebieten  [vergl.  (1.  c.)^ 
§  3  und  4]  wiUkOrlich  ausgewUüte  —  Gebiet  U  daranf  beachrinken,  die 
meinem  Hnnptsweck  dienlicben  Tbatsachen  einfaeh  anznfllbren,  sofern  diese 
Thatsachen  (mit  mehr  oder  weniger  Mühe)  von  jedermann  kontrolir^ar 
sind,  und  brauelie  icli  dabei  weder  auf  die  Metliodcn  einzugehen,  durch 
welche  sie  (im  Zu  ammenliang)  am  be^cmsien  zu  beweisen  wttreu,  noch 
darauf,  wie  sie  geiuuden  wurden. 

Die  Ableitung  der  einen  Foraielu  au^  den  audciu,  von  denen  sie  mit- 
bedingt  werden,  ist  zadem  IddU  und  ganz  elementar  zu  bewerkstelligen 
und  mag  desbalb  dem  Leser  llberlassen  bleiben.  Nur  in  Bezug  auf  das 
sebwierige  (nnd  hier  bosonders  wichtige)  Problem  der  Abgrenzung  jeder 
Pormelgruppe  will  ich  beweiskräftige  Angaben  machen. 

Woffentlich  sind  es  fünf  AlgorithmeAi  mit  denen  wir  Bekannt- 
schaft zu  machen  haben. 

1*)  Dar  AJgorUkmm  Uq  selbst,  bestehend  aus  den  sämtlichen 
990  Gleichnngen  des  Fonnelgebietea  U  [vergl.  (l  c)^  §  7  sq.]. 

Fflr  ODB  ist  nur  der  Nachweis  von  Belang,  dass  es  Funktionen 
gibt,  die  alle  diese  Fauktionalgleichangeii  gleichzeitig  erfüllen,  dass 
diese  also,  als  „Formeln''  aufgefasst,  miteinander  Yertraglieh  sein 
mfissen. 

Der  Nachweis  ist  zu  leisten  durch  Angabe  einer  Funktion,  die 
sie  wirklich  erfHUi  Eine  solche  wird  nun  für  ein  Zahlengebiet  von 
Tier  Elementen,  den  ZiffSem  1,  2,  3,  4,  definirt  (in  Gestalt  eines  sym- 
bolischen Einmaleinses)  vermittelst  der  Tafel: 


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C34 


Anhang  5. 


2-2  — 3'3->-4*4 

3  =  1  . 3  =  :M  =  2  4  =  4 . 2 
*  4=  1-4  =  41  =2-3  =  3-2, 

dergleichen  auch  sclion  fttr  ein  Zahlengebiet  Von  nur  zwei  Elementen, 
i  und  2,  durch  das  erste  Viertel  dieser  Tafel  —  (ea  sind  das  die 
FunkttonatafelD  lo,o)'  vnd  lo.o)*  von  (I.  c.y. 

Übeneugen  wir  uns  wenigstens  für  ein  Beispiel  davon,  dass  solcheis 
in  der  That  der  FUl  ist   Unter  anderm  mflsste  etwa  gelten: 

—  eine  Foimel,  aus  der  nebenbei  gesagt,  alle  ILbrigen  von  U  fliessea,  die 
somit  für  sich  schon  eine  ansreiebeBde  Prämisse  des  Algorithmus  hildet 
(dergleichen  er  15G  innerhalb  U  besitzt).    In  di^r  Foini(  1  dttrfen  wir  unn 

für  ?>,  r  irf^cmlwclilio  von  den  ZlfTern  1,  2,  .'5,  4  s.(>1::pn.  }\w\  luUsseD, 
falls  sie  gülti'-r,  :i11<  !h;iL  oine  richtige  Gleichung  erbaltexi.  6u  muss  sich 
<L  U.  borausstcUcu,  dass 

8  4  ,,12 

—  =  — .    sowie  auch   —  =  — • . 

2:4       2  3'  ™^    2:2  21» 

etc.  ibt.  Um  ilics  naclizuselien  entnehmen  wir  aus  der  zweiten  Zeile  der 
Tafel  vom  letzten  „Produkto'*  (als  zusammengehalten  mit  Bcinem  unge- 
gebcucn  Werte  2)  daäü  2:4  =  3  ist,  aus  der  vierten  Zeile  aber,  dass 
2.3=1.    Durch  Einsetzung  dieser  Werte  kommt  also  die  erstero  Glei- 

3  4 

cliuug  hinaus  auf:      =     ,  und  dass  dieses  richtig  ist,  indem  beide  Seiten 

den  Wert  1  haben,  ist  aus  der  dritten  und  vierten  i^iie  der  Tafel  vom 

ersten  „Produkt"  zu  entnehmen. 

1  2 

Ebenso  kommt  die  andre  Gleichung  auf  -|-  ^  y  hinans.  — 

Der  Leser  vergesse  bei  diesen  Betrachtungen  nicht,  dass  hier  keines- 
wegs von  ^^eii^'entlirhon"  Produkten  und  Quotienten  die  llede  ist,  ftlr  welche 
ja  das  Einmaleins  schon  anderweitig  feststellt.  Vielmehr  ist  vorstehend 
1-1  und  2-3  etc.  nur  aufzufassen  als  eine  ab^^'ekür/tc  Schreibung  ad  hoc 
für  /  (1,  1)  und  /  f2,  3)  etc.,  und  konnten  solche  Funktionswerte  bei  der 
Definition,  tabellarischen  Erklärung  von  f{x,  y)  doch  nach  Belieben  lost- 
gesetsi  werden! 

80  leicht  es  nun  auch  für  ein  Beispiel  sieh  erwies,  das  ErfOUtsein 
einer  le^timmten  Formel  nachzusehen,  so  würde  es  doch  bei  ihr  schon 

sehr  weitläufig  werden,  solches  ftir  alle  Wert.systeme  der  Argumente  aus 
dem  Zahlrnf^ebicte  dnrehzuführeu,  nnd  vollends  kaum  durchführbar,  fast 
eine  Lelionsiuf^abe,  bei  allen  O'Jü  Formeln  des  Formelgebietes  U  denäclben 
empirischen  Weg  auszuschreiten. 

Der  Leser,  welcher  meinen  in  jedem  beliebig  herausgegriffenen  Bei- 
spiele sich  bewShrenden  Behauptungen  gleichwol  den  Glauben  versagt,  mnss 


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Substrat  zum  vorigea  Anhang  und  Material  za  deNeo  Bulegen.  G35 

deshalb  verwiesen  werdoi  auf  die  generellen  BeUflsse,  durch  welche  ich 
(I.  c.)^  und  an  andern  Orten  das  empirisohe  Verfohren  Tereinfacht  oder 
entbehrlich  gemacht  habe.  — 

2®}  Der  AJfforühmus  Äi»  Die  Gleichimgy  welche  das  Assoaations- 
geseta  ausdrdckt: 

2p  (ac)  (pa)e 

ist  eine  TOn  den  990  Gleichungen  U.  Ana  ihr  fliessen  noch  15  andere 
Gleichungen  desselben  Gebietesi  und  nur  diese.  Ich  mnss  dieselben 
▼ollsiandig  anfahren.   Sie  lauten: 


wo  die  Seiten  der  beiden  Druiecke  und  des  vollständij^en  Vierecks  als 
Gleichlu'itszeicheD  zwiaclieu  den  an  die  Ecken  gesetzten  Ausdrückte 
iuteriuetirt  zu  denken  sind. 

Die  Al)leitung  dieser  15  Olciclnmiren  aus  der  PrUmisso  yibt  zum 
Überfluss  mein  Lohrbuch  der  Arithuieük  und  Algebra,  I.  Band,  p,  242  h«]4. 

Die  vorstehenden  16  Gleichungen  bilden  dasjenige,  was  auf  dem 
Gebiete  U  der  Algorithmus  Ag  der  (eindeutigen  und  eindeutig  uui 
kehrbaren)  asaosiativen  Operationen  zu  nennen  ist. 

DasB  wirklich  keine  andern  als  diese  10  Gleichungen  des  fubieles 
aus  dem  ganzen  Systeme  folgen,  kann  auf  die  elementarste  Weise 
nachgewiesen  werden  durch  die  folgende  Tafel  von  Funktionswerten 


11 

2 

2 

<«S-3 

»44 

—  5*6 

»6.5 

2  = 

1 

-=  3-0 

=  6-4 

=  4-5 

5  •  3 

3«= 

3-1 

1 

•3 

=  2-5 

=  5-4 

=  4  •  <; 

=  (3 .  1> 

4» 

41 

1 

•4 

=  2-6 

«=6-3 

«3-5 

—  0-2 

5» 

1 

.5 

=  2-3 

«-3-4 

—  4-2 

--6. 6 

6» 

61 

1 

•6 

^2  4. 

«4  3 

»5*5 

welche  auf  einem  Zahlengebiot  Ton  6  Zahlen,  die  mit  den  Ziffern  1 
bis  6  bequemlichkdtshalber  benannt  sind,  in  Gestalt  eines  symbolischen 
Einmaleinaes  eine  vollkommen  eindeutige  und  ebenso  umkehrbare 
Ftoiktion  definirt 


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636 


Anhang  5. 


Man  sieht  leicht,  dasä  dlBBes  Zahlengebiet  der  einfachsten  „Gruppe'^ 
die  08  gibt,  von  niclit  durchweg  vertaiiHcbburcn  „Substitutionen"  entspricht, 
indem  mau  das  Eleuieiit  1  mit  der  „ideutiscben  Substitution^',  die  Ele- 
mente 2,  3,  4  mit  den  „Transpositionen"  («/?),  (fiy)  vn(\  {ßy)  ideutitiziren 
kann,  wo  daun  dio  Elemente  5  und  ü  den  „cyklischeu''  »Substitutionen 
{aßy)  und  (ccyß)  entsprechen  werden,  and  unsra  ejmbolieche  Multiplikation 
2U8amnienflUlt  mit  der  eigeotiioben  HnltiplikAtion  der  Snbetitiitionen. 

Wie  die  Multiplikation  der  Substitutionen  überhaupt,  so  ist  also  aucb 
dto  vorliegende  jedenfalls  assoziativ.  Und  auch  der  Nachweis,  dafls  keine 
andern  von  den  990  Gleichungen  U  als  die  sab  angeführten  16  von 
der  durch  die  Tafel  definirlen  Funktion  durchaus  erfüllt  werden,  unter- 
liegt theoretibclj  nicht  der  genngsicn  Schwierigkeit.  Dagegen  wUrde,  den- 
selben ohne  weitere  Vorberaitnng  direkt  ni  liefern,  idlerdinge  einen  Auf- 
wand na  Mflke  erheischen,  welcher  der  Kenntnlssfiahme  der  gesamten  das 
Gebiet  U  erledigenden  Theorie  der  YerkntipfuDg,  nachdem  dieselbe  ini  Zu- 
sammenhange von  mir  dargelegt  worden  wfire,  schon  allein  £ut  gleich- 
kommen durfte. 

Nebenbei  sei  noch  bemerkt:  Lasst  man  die  vertikalen  Seiten  der 
beiden  Dreiecke,  sowie  die  Diagonalen  des  Quadrats  in  fort,  so 
bleiben  diejenigen  12  von  den  16  Gleichungen  Ai,  deren  jede  für  sich 
als  eine  „ausreichende  Prämisse*'  Yon  Ai  au  bezeichneii  i«t  und  also 
innerhalh  U  die  Tragweite  16  hai  Dagegen  bilden  die  fortgelassenen 
4  Gleichungen  einen  dem  A^  untergeordneten  Algorithmus  JT,,  dessen 
Prämissen  eben  jene  beiden  Vertikalseiten  (mit  der  Tragweite  4)  sind. 
Von  den  Diagonalgleichungen  des  Quadrats  bildet  jede  für  sich  einen 
eigenen  Algorithmus:  resp.  J^,  indem  aie  keine  weiteren  Eonse- 
quenzen innerhalb  ü  nach  sich  zieht. 

Diese  Eigenschaft,  iiiiurhalb  ^7  die  Traji^weite  1  /u  haben,  kommt 
unter  allen  IMK)  Gleiciiuugcu  6  ausser  den  beiden  genanuteu  nur  noch 
der  Gleichung  zu: 

die  somit  ebenfalls  einen  eigenen  Algorithmus:  Ji  TOfatellt  (Vcr<;l. 
unten  „Beleg  1^) 

ä**)  Der  AUjoriUimus  Eine  Prämisse  desselben  kann  zuuüciisi 
augegeben  werden  in  Gestalt  einer  jeden  vun  deu  beiden  Glcicbungen: 

Diese  gehören  awar  dem  Gebiete  U  nicht  an;  auf  letxterem  aber 
ziehen  sie  folgende  30  Gleichungen  als  Konsequenzen  nach  aich,  die 
wir  den  Algorithmus  Ci  (der  hommutaUven  Operationen)  imierhalb  Ü 
nennen. 


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Substrat  zrxm  vorigen  Äabaug  uud  Material  zu  dessen  Belogen.  687 


(cb)ia  (pe):a 


a 

WO  die  punktirten  Linien  Wiederholnngen  (Dubletten)  anderer  bereite 
als  Seiten  ausgezogenen  Formeln  Torstellen,  ans  denen  sie  durch  ein- 
fache BnchBiabenTertaneehnng  hervorgehen  und  daher  nicht  mitsn- 
sihlen  sein  wwden« 

Es  ist  nun  bemerkenswert  —  wenn  auch  für  unsem  HauptewecV 

unwesentlich  —  dass  29  vou  diesen  30  Gleichungen  einzeln  als  Prä- 
missen des  gauzeii  Algorithmus,  ausreichen,  sonnt  die  Tra<^weite  30 
li  ibt  n.  Nur  die  Diagonalcrleichung  des  obersten  Quadrats,  d.  i,  die 
vurhm  erwähnte  Gleichung  «7^,  teilt  diese  Eigenschaft  mit  den  übrigen 
nicht,  sondern  bleibt  ein  in  sich  abgeschlossener  Unteralgorithmus 
Yon       mit  der  Tragweite  1. 

Eint'  (lein  Algorithmus  C\  ausschliesslich  unterworfene  Multipli- 
kation dehiurt  auf  einem  Gebiete  v  vier  Zahlen  die  Tafel  lli.i)* 
nnd,  auf  eme  zweite  daron  verschiedene  Art  auch  die  Tafel  X2i,i)* 
meiner  Abhandlung  (1.  c.)^  —  welche  lauten: 


1 

1  • 

1 

=  2 

•2  = 

3-4 

=  4-3  1 

1  = 

3- 

3 

=  4-4« 

1 

2  = 

2- 

1 

2  = 

2- 

4 

=  4 

2  = 

1-3 

=  31  i 

2  = 

2. 

4 

=  42  = 

1 

3  = 

3. 

1 

3  = 

3- 

3 

=  4 

4  = 

12 

-2.1  , 

3  = 

1- 

1 

=  22  = 

3 

4  = 

4. 

3 

4<» 

4- 

1 

«1 

•4  — 

2-3 

1-3-2  1 

4  — 

4. 

1 

2 

3^ 

3- 

2. 

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638  Anhang  5. 

Für  jede  andre  von  den  990  Fonueln  welehe  nicht  mit  einer 
yon  den  30  angeflBhrten  zneammenfSllti  ist  der  Leser  werngstene  in 
der  Li^e,  eich  zu  überzeugen;  daes  sie  von  den  Torstehenden  Funi- 
tionen  niclity  oder  niclit  durchaas  erfüllt  wird. 

4**)  Der  Algorithmus  0, ,  (1.  c.)*'  §  5  besprochen  und  limitiri,  kann 
—  nach  den  Elcmeuteu  Uer  Arithmetik  —  delinirt  werden  &lä  die 
logische  Summe: 

Bei  «genauerem  Zusehen  zei^  sich  leicht,  dass  aus  der  Annahme, 
eine  Multiplikation  sei  aüsoziativ  und  kommutatiy  zugleich,  folgt,  dass 
von  den  990  Gleichungen  U  nun  150  erfüllt  sind,  uümlich  alle  die 
von  einander  verschiedenen  Formeln,  welche  erhalten  werden  können 
durch  Gleichsetzung  irgend  zweier  der  nachstehend  Tom  selben  Rechteck 
umrahmten  Ausdrücke: 


aibc), 

b(ca),  c{ab), 

{bd)c,    (ac)b,  (cb)a 

h{a(:),  ({bd), 

i(ih)r,     {c(i)h,  {hc)(i 

0,* 


{cb):a,  b(c:a), 

ie:a)b,  6^, 

5 

a:c  * 

• 

hc 
a 

(bc):a,  c{b:a), 

c:^,  ci{a:b), 

{b:a)c,  c^, 

c 

asb' 

b 

a  ' 

eh 
a 

{a:c):bf 

«  ,     aie     \e  f 
V'^*   ~F»  "6"» 

a 
eb 

a ;  {cb)f 

{a-.b):  Cj 

n         atb      \b  / 
b'^>     c  '      c  ' 

a 

be 

Das  .erste  Rechteck  enthalt  (als  nicht  durch  blosse  BachstabenTer* 
tauschung  aufeinander  zurückkommende)  14,  das  zweite  100,  das  dritte 
36  von  den  genannten  150  Gleichungen,  welche  zusammen  den  Algo- 
rithmus Ol  der  gewöhnlichen  Algebra  oder  sog.  „allgemeinen  Arithmetik" 
im  Formelgebiete  ü  ausmachen. 

Auf  einem  Zahlengebiete  von  3  resp.  4  Elementen  erfdllen  aus- 
schliesslich ihn  die  durch  die  beiden  Tafeln,  (1.  c.)'  ^i.i)^  und  9i,i)\- 


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Siilitlrat  tarn  Torigen  Aobung  uod  Material  tu  äeeaen  Belegen.  G30 


1 

«=  1*1 

—  3-3  — 

3-2 

1 

—  1. 

1 

-i3-3 

—  2.4 

—  42 

2 

«-3-3 

—  1-2  — 

2*1 

2 

—  2- 

1 

—  1-2 

-3-4 

—  43 

3 

—  2.2 

=  31  = 

1-3 

3 

—  3. 

1 

=  1-3 

=  22 

=  44 

4 

=  4- 

1 

-=  1.4 

=  2.3 

=  32 

(lefiniri«n  beiden  Funktionen,  sodass  eine  jede  von  den  (innerhalb  U 
beiläufig  60)  ausreicbenden  Prämissen  von  0^,  wie  z.B.  die  Gleichung 
(ab)c'^b(fia)f  wirklich  nur  die  Tragweite  150  (daselbst)  besitzen  kann. 

5°)  Der  Algorithmus  f,,,,.  Wostütlich  \N»'rilen  wir  jetzt  nur  noch 
♦los  na<  li8tehenden  Algorithmus  bedürfen,  welcher  18  Gieichuugeu  des 
Gebietes  ü  umfasst: 


a  {he)      (eh)  a 


a 

und  Qy„  g>  nannt  werden  möf^e,  in  Anbetracht,  dass  er  nur  als  ein 
Unteralgurithmua  dos  schou  aiiJerwiirts  von  mir  erwähnten  Algorith- 
mus Cq  mit  den  Prämissen  ah  =  a:h  ^     Sick  darstellt 

Die  12  Gleiehongen  an  den  beiden  ersten  sechsseitigen  Sternen 
siehen  einander  und  auch  die  6  am  dritten  Sternecke  nach  sich,  wo* 
gegen  von  diesen  letzteren  immer  nur  die  zwei  Gleichungen  an  den 
parallelen  Dreieckseiten  einander  gegenseitig  bedingen,  und  ausserdem 


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640 


Anhang  5. 


keine  Konsequeuzen  haben.  Es  sei  dies  nur  nebenbei  ^  m  Orien- 
iirung  —  bemerkt 

Wesentlich  ist  aber  der  Nachweis,  daas  dieser  Algoiithmns  kom- 
plet  ist,  keine  weiteren  als  die  angeführten  18  Gleichungen  des  Ge- 
bietes ü  znr  Folge  haben  kann. 

Dieser  Nachweis  laset  sich  unschwer  führen  mit  Hfllfe  der  nach- 
stehenden Fnnktionstafel*),  welche  auf  die  einfachst  mdgliche  Weise, 
nnd  das  ist  för  ein  Zahlengebiet  von  9  Elementen,  eine  eindeutige  und 
eindeutig  umkehrbare  Funktion  aweier  Argumente  so  definirt,  dass  sie 
eben  nur  den  angefahrten  Funktionalgleiohungen  C^,  nnd  keinen 
andern  Formeln  Ton  U,  Genüge  leistet: 

1  —  2,58,197340 

3  — 1,47,389265 

•  4  =  d,82,4H1(;T9 

5  —  0,93,512487 

6  4,71,623098 

7  =  8,25,704913 

8  =  9,30,84r)7Ln 

9  7,14,956832. 

Dieselbe  ist  in  der  bei  den  eiiifiichereu  Tiifelu  noch  nielit  beliebten 
Abkürzung  gescbrieben,  welche  verständlich  wird  durch  die  Bemerkung, 
das8  die  erste  Zeile  derselUeu  auüführlicher  lauten  sollte: 

1  «  2.2  — 5. 8«  8-5  «  1-9  — 9  7  =  7  . 3 -=3.4  «4.  6  =  6-1, 

und  so  weiter. 

Als  besonders  beachtenswert  mflssen  wir  hervorheben,  dasa  in 
fiMf  die  beiden  ivagrediteti  Seiten  des  dritten  sec  hsseitigen  Sterns  eine 
Eigenschaft  ausdrücken,  die  auch  der  gewöhnlichen  Multiplikation  au« 
kommt,  sub  0,  gilt,  nämlich  die  Eigenschaft: 

Dies  ist  also  ein  Formeis jstem,  welches  man  durch  ebendiese 
Wahrnehmung,  dass 

  Ö,.Clo«£i 

*)  leb  habe  dieselbe  (niitetwu  permntirten  Ziit'orn)  erstmalig  anf  dem  67Bien 
Meeting  der  Britith  Aisociation,  in  Hancheater  —  vergl.  B«port  für  1887,  p.  S21 
—  der  OffentUohkeit  flbevgeben. 


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Belege. 


641 


Ui,  als  eine  TollstSDäigc  Gruppe,  als  emen  eigenen  Algorithmns  von 
der  Tragweite  2  (innerhalb  ü)  erkennt. 


Als  „Beleg  1'^  (cf.  Anhang  4  unter  ^Multiplikation'')  mag  ausser  der 
Schlussbemerkung  des  vorigen  Absataes  noch  angeführt  werden,  da«8  die 
oben  behauptete  Yollstlndigkeit  der  ans  nur  einer  Oleiehnng  bestehenden 
Formelgmppe      her?5rgeht  doreh  die  Bemerkong,  dass 


Kbenso  ist  A^^-C^^J^,  wo       die  Trumiäse  hat:  a:b      h:a.  Etc. 

,,Beleg  3"  (of.  ibidem).  Die  etwa      zu  nennende  Formel  a:a  ■»  y 

fülgt  leicht  aus  A^y  deogleicbcn  also  auch  die  Formel: 


Dieselbe  Oleichnnj,'  ist  auch  in  einem  Algorithmus  Dj  enthalten, 
von  welchem  das  reiiio  Multiplikationsgesetz  {ab)c~[nc)b  eine  Prämisse 
bildet  Jene  folgt  aber  nicht  auü  dem  Algorithmus  Ä^-D^,  welcher 
^  ist;  denn  in  der  Tbat  sind  für  in  Gestalt  der  Tafeln  112,2/  und 
12t^)^  maner  eehon  oiUrten  Abhandlang  (1.  c.)^  Lösungen  angebbar,  welehe 
logar  dem  nodi  umfassenderen  Algorithmus  genOgen,  dagegen  die 
Formel  augenscheinlich  nicht  erfüllen.  Hier  folgt  also  X  (=  M^)  aus 
A  (=  A^)  desgl.  ans  7?  (=  D^),  und  dennoch  nicht  aus  A  •  B  (=  J^.  Grund 
dieses  scheinbaren  Widerspruchs  zu  dem  Theorem  (3,^)'  des  Anhang  4  ist 
der  Umstand,  dass  eben  X,  =  ilf,,  nicht  dem  Formelgebiet  (6)  angehört, 
innerhalb  dessen  das  Produkt  AB  aufgesucht  wurde. 

„Beleg  3"  (cf.  Anhang  4  sub  „Addition").  Das  Hinausgreifen  der 
log^ischen  über  die  identische  Summe  ist  schon  an  dem  Beispiel  A^^^C^  = 
ixx  sehen,  wo  sich  die  l»j  ■[  .')()  üleichungeu  der  let/tern  zu  den  15U  Glei- 
chuugeii  der  er&tern  erweitern.  Noch  einfacher  zeigt  es  sich  an  demselben 
Beispiele,  wenn  man  auf  das  Gebiet  der  „reinen"  MnltiplikationsgeBeiae 
innerhalb  ]7,  d.  i,  anf  das  Formelsystem  0^  des  Algorithmns  0,  sich  be- 
BchrSnkt:  Die  snis  PrSmisse  h  {ac)  —  {ha)  c  von  mit  den  vier  Glei- 
chungen des  Vierecks  nnten  links  in  fliesst  dann  zu  den  14  Formein  0^ 
logisch  zusammen. 

„Beleg  4**'(ef.  ibid.).  Versteht  man  anter  Z  das  Formelsystem,  be- 
stehend ans  den  150  Gleidinngen  0,  nnd  noch  irgendwelchen  andern  Glei- 
chungen des  Gebietes  TJ^  s.B.  der  Gleichung  (ca):&»^,  jedoch  ohne 

die  zwei  öleichungen  E^y  so  ist  —  im  Gegensatz  zu  (3^)'  —  sowol 
A^mmAi  als  auch  j5,  «=*  in  X  enthalten,  dennoch  aber  «=»^.  +  6^  =  04 
nk^  (ganz)  in  X  enthalten. 

SonASMB,  Alfrin»  dtr  L«sfk.  41 


Bdflg«  (fiberschlagbar). 


(i:a  =  h:b. 


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642 


Anliang  5, 


Der  Bauptboleff. 

„Beleg  5"  (cf.  ibid.).  Man  bemerke,  dass  der  obige  Algorith- 
mus Cqq  mit  den  beideu  vorhergegangenen  Algoritlimeii  ^1^  sowol  als  (7^ 
überhaupt  keine  dem  Gebiet  V  angehorigen  Formeln  gemein  hat,  dasa 
also  hiersei  bst: 

A.'Coo^O  und  C.'C^^O 
iat.    Damach  haben  wir  auch: 

-^i-Qo  +  Ci-Qo  «0  +  0  —  0. 
Im  Gegeiuaii  dam  irt  aber: 

nach  dem  unter  Oj  und  Cqq  Gesagten. 
Eine  Unterordnung: 

ist  folglich  hier  unmöglich.  Denn  diese,  nämlich  Ei  =  0,  müsste  wegen 
der  ohnehin  gültigen  Subsumtion  0  =^  J?j  —  cf.  Def,  (2^)  —  nach  der 
Definition  (1)  der  Gleichheit  wii£i 0  hinausUufen,  wSkreud  doch  Mi 
yon  0  verschieden  ist. 

Da  nun  0  =^  j?^  stetefort  in  Geltung  bleibt,  während,  wie  gesagt 
die  Gleichheit  0  =  ausgeschlossen  ist,  so  bleibt  nur  die  andere 
AlteTDative:  0  ^  £|  fibrig,  d.  h.  wir  haben  hier: 

und  zwar  äe/miUo  tmlerifeorthietf       aber  nicht  gleich, «». 

Dieses  Ergebnies  findet  «eh  im  Einklang  mit  der  anderweitig  be- 
reits erkannten  Thatsache,  dass  die  erste 
Subsumiiou  Jeä Distributionsgesetzes  not- 
wendig gilt. 

Der  Sachverhalt  wird  —  in  Anbe- 
tracht, da.«s  auch  A^  und  C,  innerhalb  U 
keine  Formel  gemein  haben  —  versinn- 
licht  durch  die  Fig.  33,  bei  der  wir  auch 
die  Zahl  der  Formeln  jeweils  in  die  Ge- 
biete eingetragen  haben. 

Ein  ::ueiUs  Beispiel,  wo  wirklich  Unter- 
ordnung eintritt,  würde  im  Anschluss  an 
das  vorstehende  erste  erhalten,  indem  mau  den  Algorithmus  CJ^  ersetzte 
durch  das  ebeutalls  als  ein  Algorithmus: 

JSi'¥  Ef  +  JS^ 

nachweiabare  Formelsystem  seineB  dritten  Sternecka,  und  ein  driUes 


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Der  Hauptbeleg. 


643 


Beispiel       das  allerem&chBte  •  erhielte  maa  durch  EnetzuDg  von 

Cqq  durch  J?j  selber. 

iJa^  analoge  Verhältniss  bestellt  fUr  Uie  augetlihiteu  Beispiele  auch 
nodi  auf  dem  luufasBendweti  Gebiete  der  3064  (L  c.)*  chaanJcterisirten 
Formeln  fort^) 

Der  logi$(^  Kalhd  tmtersclieidet  sich  demnach  in  der  That  von 

dem  identischen  dadurch,  dass  in  ersterem  das  Distributionsgesetz  nicht 
als  GIeichun«r  zu  gelten  brauclitj  suuderu  nur  einseitig  gelten  muss  als 
die  SuisunUioti: 

wogegen  cUe  umgekehrte  Suhsumtion: 

26 J  Ä  {1J  +  C)^A'B  +  A  C 

oft  nicht  erftlllt  ist. 

Jedenfalls  Icann  aiis  den  den  heiäen  KaJhidn  gemeinsamen  Qtund- 
sätaen  nicht  die  Gleidiheit  der  beiderseü^efi  Ausdrücke  folgen. 

Noch  ein  Beweis  für  diese  merkwürdige  Thateache,  der  von  den 
Betrachtungen  des  gegenwärtigen  Anhanges  gans  unabhängig  ist, 
wird  von  mir  in  Anhang  6  ge- 
geben. Derselbe  nimmt  die 
AusfBhrungen  des  Anhangs  4 
für  ein  Substrat  in  Anspruch 
welches  ausschliesslich  dem 
Gebiete  des  identischen  Kal- 
kais angehört  und  setst  mit* 
hin  keinerlei  Betrachtungen  auf 
eztralogischem  Gebiete  voraus; 
auch  er  jedoch  wird  kein  gänz- 
lich müheloser  sein. 

Das  als  nur  einseitige  Sub* 
Samtion  geltende  Distributions- 
gesetz 25^)  des  logischen  Kal- 
küls wUrti  in  diesem  durch  die 
Fig.  34  zu  ver.<innlichen,  worin  A  {B+(T)  den  überhaupt  (resp.  schräge), 
AB  +  AC  den  doppelt  scliraflirten  Teil  vor.stellt. 

Dass  diese  beiden  iu  ems  zusammeiitliessen,  nämlich  Cileicliheit 


*)  üb  OB  anch  fortbestdiea  würde,  und  nicht  vit-lleicht  doch  Gleichheit  ein-  ■ 
träte,  auf  finera  Gebiet,  "wolchcs  all*^  denkbaren  FoMiipIn  ntnfasste,  ist  eine  noch 
offene  Frage  und  bleibt  fär  die  Kraft  der  Beweisfübruog  gleichgültig. 

41* 


Fig.  U. 


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644 


AnLaog  5. 


ebtritt»  kommt  übrigens  aueb  suwclleii  vor,  und  geben  wir  doEu  nocb 
folgenden  vorletzten 

„Beleg  6".    Ein  gewisser  —  nämlich  der  bereits  (I.e.)*,  §ö  be- 

trachtetete  —  Algorithmus  Q^^  umfasst  324  Gleichungen  innerhalb  ü  (vüu 

dessen  132  ausreichenden  Prämissen  z.  B.  die  Gleichung  a  (6 :  c)  =  o 

dne  sein  würde)  nnd  hat  mit  dem  Algorithmus  0|  von  150  Gleichongen 

ein  gewisses,  leicht  ausfindig  zu  machendes  Formelsystem  von  46  Gleichungen 
gemein,  das  einen  Algorithmus  bildet,  welcher       heissen  möge  —  als 

deesen  Prftmisse  z.B^  die  Formel  genommen  weiden  konnte:  (b:c)a«a:y 

Wir  baben  also: 

Oi^o  — «1   oder  (Äi-\-C^)Q^'=Q^, 

Ferner  ist  (siehe  unter  A^):  = /T^;  dazu  Cj*?,,"^!'  ^^'^-'^  g**" 

iu       enthalten;  somit:  A^Qq  4-  C^Q^  —  Aj  +  C^,  Daad  aber  Aj+C\« 
ist  leidit  nacbsaweiseD.   iBtbin  i^t  hier  in  der  Tbat: 

als  Gleichung. 

Es  kommen  also  beide  durch  das  Zeichen  =^  in  der  ersten  vSub- 
sumtion  des  Distributiousgesetzes  als  AlteruaÜTe  ofien  gelasseneu  Fälle 
faktiscb  vor. 

„Beleg  7''.  Wir  k&nnten  andi  unser  Unteisaebungsfeld  nodt 
tl&er  Ü  hinmts  ausdebneoy  indem  wir  es  beispielsweise  alle  diejenigen 
(auf  eine  Funktion  zweier  Argumente  nebst  ibren  ümkehrungen  be- 
züglichen) Fuuktionalgleichungen  umfassen  Hessen^  welche  (bei  sym- 
bolisch abgekürzter  SclireibuDg  dieser  drei  Grundfunktionen  als  Pro- 
dukt, Bruch  uud  Verhültuiss)  nicht  mehr  wie  sechs  Operatiousglieder 
a,  h  oder  c  enthalten. 

Alsdann  würden  die  Formeln  des  Gebietes  nicht  mehr  allesamt 
miteinander  vertriigiich  sein. 

Es  würden  Falle  vürkommeu,  wo  von  zwei  Fuuktioualgleichungen 
zwtir  jede  für  sich  als  allgemeine  i'üriuel  gelten  kamt  und  in  der  Tliai 
Lösungen  besitzt,  indem  Funktionen  sich  angeben  lassen,  die  sie 
wirklich  erfüllen  —  wo  aber  beide  Gleichungen  unmöglich  zusammen- 
bestehen können^  es  keine  Funktion  geben  wird,  die  sie  gleichzeitig 
erfüllte. 

Ein  solches  Formelpaar  wäre  z.B.  dieses: 

a  ■»  (a-6)*(6*a)   und   6  (a*d)*(6'a). 

DasB  jede  von  diesen  Fonneln  fOr  sieb  als  allgemeingOltige  besteben 
kann,  tbnn  becfigUcb  die  beiden  Tafeln  dar: 


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Belege.  645 


1  =  1^345678 

1  » 1,2345,6789 

2 -»2,1754836 

2  2,4718,3695 

3  .%7t86524 

3  «  3,7561,9824 

4  -=  4^812763 

4  —  4,1629,7358 

5  —  5,4621387 

5  «  5,8193,4276 

6  »  6,8573142 

6  —  6,3974,8512 

7  =  7,3268415 

7  =  7,6832,5941 

0  =  8,6437251, 

8«=  8,9257,1463 

9  =  9,5486,2137, 

welclio  in  der  unier  Cqq  erU^aterien  Abkürzung  gesclirieben  nnd,  sodass 
ausfUhrliclier  z.  B.  die  erste  Zeile  der  erstem  Tafel  zu  lesen  wSre: 

l=l.l=»23=-3.4==4-5  =  5-6  =  6.7-=7. 8  =  8-2 

und  die  der  zweiten: 

1«  1-1  »2-3  «3-4»* 4-5 »5*2 -»6*7  «7 -8  — 8*9  — 9-6, 

ete.  —  Dass  aber  jene  beiden  Formeln  nldit  zugleicb  bestehen  kdnnen, 
geht  daraus  hervor,  dass  durch  Yergleichung  aus  ihnen  folgen  würde: 
a^h,  was  für  ein,  wie  wir  yoraossetzen,  mehr  als  eine  Zahl  ent- 

•  haltendes  Zahlengebiet,  mithin  als  allgemeine  „Formel"  unmöglich  ist, 

iiidem  es  die  Gleiclibeit  auch  für  irgend  zwei  als  verschieden  voraus- 
gesetzt« Zahlen  oder  Elemente  des  Gebietes  postuliren  würde. 

Ahnlich  würden  sich  auch  Fälle  anfuhren  lassen,  wo  von  drei  Funktional- 
gleicbmigen  eine  jede  für  sich,  auch  irgend  zwei  zusammen,  nicht  aber 
alle  drei  zugleich  von  Huer  Funktion  erftllt  werden  hSunen  und  dergl^dioi 
mehr  —  worauf  ich  hier  Indeas  vefzichte. 

Endlich  würde  das  Formelgebiei  aueh  solche  Formeln  mit  um- 
fassen, welche  für  sich  allein  schon  ungulässig  sind,  nämlich  nicht  be- 
stehen können,  ohne  einen  Widerspruch  mit  den  Yoraussetsungen  der 
Eindeutigkeit  der  Funktion  und  der  Mehrheit  resp.  Yerschiedenheit  der 
Elemente  des  Zahlengebietes  zu  iuTolviren.  Eine  solche  würde  z.  B., 
wie  der  Leser  leicht  nachweisen  wird,  die  Formel  ah^a  ipa)  sein, 
und  andre  mehr. 

Die  Gesamtheit  der  Formeln  des  Gebietes,  als  „Gruppe'^  oder  „Al- 
gorithmus'' betrachtet  mitumfasst  also  diesmal  auch  absurde  Folgerungen 
und  trägt  den  Charakter  der  UnmoglichkciL  an  sich.  Zur  Bezeichnung 
des  ieutem  empiiuhlt  sich  darum  nicht  die  1,  die  wir  ohen  für  ver- 
wenden mochten,  sondern  vielmehr  ein  Svinbul,  welches  die  Nicht- 
existenz,  Unmöglichkeit  des  ilauiit  zu  Bezeichnenden  in  sich  zu  er- 
kennen gibt.  Als  solches  bietet  die  Mathematik  aber  nur  das  Zeichen  cx> 


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046  Anhang  6. 

der  „absoluten  Unemllicli'^  dar.  Vergi.  die  Bemerkung  in  §  10  unsrer 
Theorie  des  identischen  Kalküls  8.  27  1  sqq. 

Allerdings  würde  jetzt  —  ein  geringer  Obelstand,  denn  an  Sonder- 
barkeiten und  exceptionelles  Verhalten  ist  man  ja  bei  dem  Symbol  oo 
ohnehin  gewöhnt  —  wenn  A  einen  salässigen  Algorithmus  innerhalb 
des  Formelgebietes  Torstellt,  A'Oo^A  sn  gelten  haben,  und  nicht, 
wie  in  der  Arithmetik  «  oo  (sofern  dort  A'J^O  ist).  Dafür  aber 
bietet  sich  nun  oo  —  J.  als  ein  mnemonisches  und  bequemes  Zeichen 
dar,  um  das  System  deijenigen  Formeln  des  Gebietes  oo  an  bezeichnen, 
deren  jede  ftlr  sich  mit  den  Gleichungen  des  Algorithmus  A  uuTertriig- 
lich  sein  muss.  Nennten  wir  die  erste  und  «r,  die  zweite  der  obigen 
beiden  Funktionalgleichnngen,  so  gehörte  die  erste  dem  Systeme  oo  —  <t^, 
die  zweite  dem  oo^  6^  an.  — 


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Anhang  6. 

Zur  Grappentheorie  dee  Identfsolieii  Kalkvls.  OeomeftaEiflOli-loglBoh- 
kombinatoxisolie  Probleme  von  JeTona  und  Olifford. 

(Ztt  §  12,  19  und  24.) 

Hier  kommt  die  Frage  znr  Beantwortung,  uic  viel  verscliicdone  und 
welche  Ausdrücke  der  identiscbe  Kalkül  mit  Gebieteu  oder  Klassen  aus  einer 
gegebenen  Menge  solcher  vermittelst  seiner  drei  Spezies  überhaupt  zu 
bilden  vermag,  und  ferner  im  Zusammenhang  damit  die  Frage,  ivie  vielerlei 
nnd  welche  Anssagen  tlW  zwei  Qebiete  a,  Aber  dieie  a,  c,  aacb  wie 
vielerlei  Uber  viere  o,  c,  df,  etc.,  die  exakte.Logik  imetande  igt  abmgeben, 
solange  sie  sich  noch  auf  ihrer  ersten  Etappe  befindet,  nämlich  nur  erst  über 
lUis  Subsnmtions-  und  Gleicliheit«7pichen  (nicht  aber  über  deren  Verneinung) 
verfügt  —  eine  Erage,  die  wir  für  die  zweite  Etappe  erst  in  §  39  be- 
antworten werden. 

Die  Beantwortung  jeuer  Fragen  wird  ermöglicht  durch  das  Studium 
der  „Qmppen^,  zn  welchen  die  Anedrttcke  oder  Funktionen  des  identischen 
Gehietekdknls  zosanunentieten. 

Ab  eine  Nutzanwendung  der  r  'rachtangen  ergibt  sieh  nebenbei  ein 
neuer  Beweis  für  die  Nichtbeweisbarkeit  der  zweiten  Subsumtion  des  Distri- 
bntionsgesetzes,  bei  welchen  es  nicht  erforderlich  ist,  ein  extraloffisches  Sub' 
strat  ins  Äuge  zu  fassen  fvergl.  §  12). 

Und  endlich  wird  aui  üruad  derselben  die  Unmöglichkeit  dorgethan, 
die  Gleichung  xi/z  »0  in  drei  unabhängigen  Panunetem  sjnime- 

triseh  allgemein  sn  Itfsen  (vorgL  §  24). 

Es  wird  sa  sagen  sein:  ein  System  TOn  Aasdrücken  (des  iden- 
tischen Ealkols)  bilde  eine  Jjtwpp^  (in  Hinsicht  der  Operationen 
dieses  Ealkals),  wenn  es  nicht  möglich  ist,  mittelst  der  dm  identischen 
Spezies  (als  'da  sind  Negation  imd  additife  sowie  moltipIikatiTe  Ter- 

knflpfüDg)  aas  denselben  einen  neuen  Ansdmck  herzuleiten,  welcher 

nicht  tichon  mit  einem  unter  ihnen  identisch  gleich,  wäre,  welchen 
m.  a.  W.  das  System  nicht  bereits  m  üich  schlösse. 

Nennen  wir  jene  Ausdrücke  die  „Elcmadd^  der  Gruppe,  so  wird 
also  eine  Gru{)pe  ihrem  Begriffe  gemäss  alle  diejenigen  Ausdrücke, 
welche  ans  ilireu  Elementen  mittelst  der  drei  Spezies  aufgebaut  werden 
können^  bereita  als  Elemente  enthalten  mOsseu. 


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648 


Anhang  6. 


So  bilden  —  am  diu  ein&chBte  Beispiel  ▼onotattelleii  —  die 
beiden  Ausdrücke 

0  und  1 

ensammen  eine  Gruppe  —  nebenbei  bemerkt:  die  „NtdUfruppe"'  —  weil 
auch  ihre  Negationen  1  und  0  sind,  ^e  multiplikatiTen  sowol  als  die 
additiven  VerknOpfungen  dieser  beiden  Symbole  aber  immer  wieder 

auf  0  und  1  selbst  nach  den  Theoremen  22)  und  23)  hinauslaufen. 

Kommt  in  einer  Gruppe  auch  nur  ein  Buchstabe  (oder  auch  Buch- 
stabeiiausdruck)  a  vor,  so  euthält  die  Gruppe  notwendig  aucii  dessen 
Negation  welche  es  ja  möglich  ist,  mittelst  Negirens  aus  ihm  ab- 
zuleiten. Dann  iüsst  aber  auch  a-a,,  welches  gleich  0  ist,  und  a  +  a,, 
welches  gleich  1  ist,  sich  mittelst  identischer  Spezies  aus  diesen  ver- 
fügbaren Elementen  ableiten,  und  folglich  muss  die  CJruppe  —  sulern 
sie  diesen  Namen  wirklich  verdiente  —  auch  die  Symbole  0  und  1 
euthalttiu  haben,  d.  h. 

Die  NuUgru^  ist  (selbstTerständlicher)  BeslatuÜcil  einer  jeden 
Gruppe. 

^    £8  bilden,  wie  leicht  nachzuweiseu,  die  Symbole 

0,  1,  a,  fl, 

selbst  wieder  eine  Gruppe.    Wir  nennen  sie  die  ,Xinip}ie  von  weU 

sie  aus  a  allein,  wie  gezeigt,  schon  ganz  ableitbar  ist. 

Die  Gruppe  von  fällt  hienach  zusammen  mit  der  Gruppe  von  o, 
die  Nullgruppe  auch  mit  der  Gruppe  rem  1. 

Wenn  III  einer  Gruppe  ein  gewisses  System  von  Elementen  für 
sich  schon  eine  Gru}»pt:  bildet,  so  nennt  man  diese  eine  „üntcryrappc' 
von  jener,  jene  auch,  wenn  man  will,  eine  „Überytuppc^  von  dieser  — 
vergl.  Anhang  4,  Schluss. 

8o  war  die  Null|^ruppe  eine  Untergruppe  der  a-Gruppe,  gleichwie 
überhaupt  von  jeder  erdenklichen  Gruppe  zu  nennen. 

Tn  der  Gruppe  vou  a  kann  indess  ^^wie  schon  angedeutet)  der 
Buchstabe  a  auch  durch  ir;.^end  einen  Ausdruck,  eine  Funktion  des 
identischen  Kalküls  vertreten  sein,  und  sind  B. 

0,  1,     ah,  + 

0,  1,  a  +  bf  a,h, 

0,  1,  afc,,    a, +  6 

etc./ noch  allgemeiner: 

0,  1,  /(a,6,<:,..)i  /,(«.*.«f*'*) 
nach  dem  Obigen  eben&Us  richtige  Gruppen,  die  wir  alt  die  i^Qmppe 


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Znr  Groppentheorie  des  identlBchen  Kalkolf. 


649 


?on  ah  (oder  Äg  +  J,)*  die  „Gruppe  tob  a  +  h",  resp.  a6,,  resp. 
(a,  &, « •  •  •)  bezeicbneii  dürfen. 

Bei  Angabe  oder  Aufzählung  der  Elemeuie  einer  Gruppe  sollen  aatür- 
lieh  taatologische  Wiederholungen  mSglu^  unterUdbeiL  SoUmge  nur  die 
einftu^en  Qebietsjmbole  oder  Buchstaben,  welehe  aUenfoUa  in  den  Aus- 
drücken für  die  Elemente  vorkommen,  als  von  einander  unabhängig  be- 
liebige Gebiete  angesehen,  gedeutet  werden,  müssen  hienacb  auch  sämtlicJie 
Elemente  einer  Onippe  im  Allgemeinen  unter  sifh  rrrsrhirdnr  sein,  m.  a.  W. 
die  Gleichsetzuug  irgend  zweier  Ausdrücke  der  Uruppo  niu^>s  allemal  eine 
synthetische  Gleichung,  eine  „Relation'^  liefern,  nicht  aber  darf  dadurch 
eine  „Foimd.**  ratsMien. 

Diese  Forderang  ist  stricte  aufreobt  su  erhalten,  sobald  etwa  die 
„Ansaht'  der  Elemente  in  Betracht  gezogen  werden,  wenn  yon  dem  f,üm- 
fiang"  der  Gruppe  gesprochen  werden  soll  —  andenifalles  würde  ja  der 
Gnippe  ein  bestimmter  Umfang  gar  nicht  zukommen.  Ist  sie  erfüllt,  so 
mi'igen  wir  sagen,  die  Gruppe  sei  in  ihrer  „reduzirteu'^  Foim  dai'gesteilt, 
rcdHzirt  gegeben,  ausgerechnet,  ermittelt. 

Im  übrigen  wird  es  aber  bei  den  in's  Auge  zu  fassenden  Erzeugungs« 
weisen  der  Gruppen  sich  empfehlen,  dses  man  im  Geiste  des  Tautologie- 
geeetaes  Wiederholung  von  Elementm  mdd  va/hiele,  sondern  nur  fUr  Mang- 
Jos  erkläre.  Wo  keine  Yeranlassang  dazu  vorliegt,  wird  nuin  alsdann  doch 
sie  ohnehin  unterlassen  —  so  z.  B.  bei  allen  Endergebnissen,  bei  denen  ja 
auf  gnisstmögliche  Kinfacbheit  derselben  für  künftigen  Gebrauch  zu  sehen  ist. 

Auf  der  andern  Seite  gewinnt  mau  so  die  Freiheit,  eine  Gruppe  z.  B. 
auch  ans  einer  Übergrappo  entstehen  zu  lassen  dadurch,  dass  man  zwischen 
den  Elemeuten  von  dieser  Kclatiouen  einführt,  z.  B.  einzelne  Elemente,  die 
ursprünglich  yersohieden  ^edacl^fc  wurden,  einander  gleich  werden  iSsst. 
Nur  aber  indem  man  sulSsst,  dass  verschiedene  Buchstaben  auch  gleich- 
wertig werden  dürfen,  nur  dadurch  wird  man  In  der  That  imstande  sein, 
sich  die  volle  Allgemeinheit  der  BetnushtuDgen  mitsamt  deren  Vorteilen 
«u  sichern. 

Hin  solches  System  von  Elementen  der  Gruppe  aus  welchem  alle 
ftbrigen  Elemente  derselben  durch  nosre  Operationen  (der  drei  Spezies) 
schon  Tollstandig  ableitbar  sind,  nannten  wir  ein  |,(aii8reiehendes) 
System  Ton  BesimmunffSiimmk»**  der  Gruppe. 

Wir  heeeidiittm  die  Gruppe  km,  indem  wir  hinter  den  Buch- 
staben G  ein  Syatem  Ton  Beetimmungaelementen  derselben  — *  diese 
dureh  Kommata  getrennt  —  in  eine  Klammer  schreiben. 

Auch  die  Gruppe  selbst  kann  als  ein  ausreich^des  System  von 
Bestimmungselementen  ihrerselbst   hingestellt  werden,  insofern  hier 

„übrige'*  Elemente,    die   erst  noch  aus  den  angegebenen  abzuleiten 
wären,   gar  nicht   vorliauden  sind.    In  äoldieiH  Falle  mögen  wir  das 
öytnboi  0  o>u:)i  wtylasscn.  * 
Sonach  werden  wir  nun  haben: 


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650  Anhang  6. 

G(0)  =  6^(1)  =  G(0,11  =  (0,11; 
G  («)  -  6f  (a.)  =  G  {0,  l,a,  a,)  -  |0, 

und  jsudem  —  ö  («»«,)-«  ö  (0,  a)  —  (f  (I,  o)     G  (0,  ö,)  —  ff  (1,  a,)  — 

—  O  (0,  a,  «,)  —  ff  (1,    «,)  —  ff  (a,,  fl)  —  ff  (rt,  0)  —  «40. 

iadeui  es  auch  auf  dtc  licihcnfohje  hei  der  Angabe  der  Elemente  nicht  an^ 
hmmm  wird. 

Nehmen  wir  «•  ff  (a)  das  a  gleich  0  an,  so  entsteht: 
ff(0)-{0,l,0,l}-{0,l), 

uud  ebenso  für  a  1  erhalten  wir  6^  (1)  »  (0,  1, 1,  0)  was  sieh  eben- 
&Ub  m  {0,  1)  „redufirt"  —  in  niustration  des  im  Tongen  Kontext 
Gesagten. 

Die  Nullgruppe  besteht  aus  zwei,  die  Gruppe  von  a  schlechtweg  ans 
Tier  Elementen,  weil  smoLSchst  in  ihr  das  a  als  beliebig  zu  denken. 

Bei  der  Angabe  von  ausreichenden  Bestimmungselementen  einer 

Gruppe  wird  indess  im  Allgemeinen  darauf  zu  halten  sein,  dass  man 

sich  unnötiger  Weitläufigkeiten  nicht  schuldig  mache,  d.  h.  es  sind 

überflüssig  Elemente  dabei  mt  mterdrüdeen.  Als  ^.überflflssig''  wird  die 

Angabe  eines  Bestimmungselementes  dann  zu  bezeichnen  sein,  wenn 

dasselbe  ans  den  bereits  angegebenen  (resp.  den  Übrigen  „Bestimmungs- 

elementen^)  dureh  die  erlaubten  Operationen!  ^'^^  Spezies, 

schon  ableitbar  isi 

So  ist  btt  ff  (n,  a,)  das  <i,  ein  überflfissiges  Bestimmnngselement,  wes* 
halb  es  besser  unterdrückt  aad  die  botreffendo  Gruppe  einfacher  mit  G  (a) 
dargestellt  wird.  Rr>s[i.  falls  man  Og  beibehalten  will,  so  wird  a  als  aber* 

ilUäsig  zu  unterdrücken  bein. 

Kommen  überflüssige  Bestimmuugselemente  nicht  (mehr  oder  von 
Tornherein  nicht)  vor,  so  ist  das  System  der  Bestimmungselemente  ein 
„reduzirtes".  Wir  haben  dann  „ein  ausreichendes  System  von  uncnt'' 
^r^ic^  Bestimmungselementcn^'  (welche  freilich  allemal  auch  durch 
ganz  andere  yertreten  werden  könnten,  uud  darum  nur  in  einem  ge- 
wissen Sinne  als  „unentbehrliche'^  hingestellt  werden  dürfen  —  näm- 
Hch  als  ,^chi>überflfi8sige"  —  wie  aus  dem  Obigen  erhellt).  Auf  ein 
solches  System  soll  der  sehleohtweg  gebrauchte  Name  „System  von 
Bestimmungselementen"  httoftig  immer  hinweisen.  — 

Unsre  nächste  Aufgabe  sei:  die  Gruppen  anfiEosnchen  der  Aus- 
drftcfce,  welche  aiittelst  zwei,  resp.  resp.  4  Baehztaben  6,  (2 
gebildet  werden  k5nnen.  So  weit  thunlich  m5gen  wir  auch  inzehen, 
auf  welche  Art  diese  Gruppen  in  Untergnippen  sich  gliedern.  Vor 
allem  aber  kommt  es  darauf  an^  die  Anzahl  und  BeschaffiBnheit  der 
verschiedenen  ^Artemf'  oder  „Ti/penf*  zu  ermitteln^  von  welchen  die  als 
Elemente  der  Gruppe  auftretenden  Ausdrdoke  sein  werden. 


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Zur  Qruppeniheorie  des  identischen  Kalküls.  651 

Von  zwei  AusdrOcken  werden  wir  nimlieh  sagen ,  dsss  sie  zam 
nimliclien  I^ßm  geboren,  wenn  aie  dnreh  blossen  Bncbstabenwechsel 
ans  einander  •  berrorgeben,  genauer:  wenn  es  möglicb  ist»  aus  dem 
einen  Ausdruck  den  andent,  dadnrcb  absdeiten,  da»  man  £lr  die  ein« 
fachen  Boebstaben  a,  a,,  5,  aus  denen  er  sieb  zusammensetii  nnd 
deren  positive  ans  uDabhangig  beliebige  Gebiete  vorstellen,  eventnell 
andere  (sei  es  positive,  sei  es  negative)  einfache  Symbole  sub- 
.Htituirt,  deren  positive  ebenfalls  unabhängig  beliebige  Gebiete  vorzu- 
stellen liabeu.*)  Es  wird  dauu  immer  auch  möglich  sein,  den  andern 
Ausdruck  aus  dem  einen  zurückzugewiuueu:  indem  mau  nämlich  die 
vorigen  Einsetzungen  wieder  rückgängig  macht.  (Postulat?,  dass  man 
dies  immer  köuiie.) 

Vom  S(^en  Tjpus  sind  z.  B.  die  Ausdrücke 

•  a  +  a,bü,   und  6,4-a,<2, 

weil  der  zweite  (zunSchst  in  der  mit  ihm  iquivalenten  Form  h  ä  ,=  &da,) 
sich  aus  dem  ersten  (der  auch  zu  a  +  be,  redazirbar)  ergibt,  indem  man 
in  diesem  das  a  durch  —  somit  das  ff,  durch  6'  —  zugleich  das  h 
durch  d'  und  das  c,  durch  ersetzt,  hernach  aber  die  Accente  weglässt. 
Darnach  wird  auch  der  erste  Aasdruck  sich  aus  dem  zweiten  (in  »einer 
rednzirten  Vorm^  ergeben,  indem  man  im  letstem  dnn^  a',  d  dvxek  V, 
mid  a,  durch  c,  ersetzt,  sodaon  die  Aoeente  fortlBssi 

Hat  man  zwei  Ausdrücke  auf  die  Übereinstimmung  ihres  Typus  zu 
untersuchen,  in  welchen  teilweise  oder  dnrohans  die  nämlichcti  Buchstaben 
auftreten,  so  ist  es  ratsam  (so,  wie  es  im  vorstehenden  Beispiel  durch- 
geführt worden),  die  Bnchstaben  des  einen  Ausdrucks  provisorisch  mit  Ac- 
centeu  zu  versehen  und  dadurch  von  denen  des  andern  unterscheidbar  zu 
machen. 

In  der  Tbat  sollten  die  Bndhstabeo  des  einen  Ausdrucks  eine  von  den 
gleichnamigen  des  andern  unabhängig  beliebige  Bedeutung  haben,  und  wird 
man  so  nur  die  allgemeine  fUr  das  Bezeichnen  maassgebende  Maxime  im 
vorliegenden  Falle  befolgt  haben,  da^^s  in  einer  Untersuchung  als  Ter- 
schieden  Denkbares  nicht  ülierfinstiramend  bezeichnet  werden  dürfe. 

Andernfalles  läuft  man  nicht  selten  Gefahr  die  gleichnamigen  Buch- 
staben als  solche  des  ersten  und  als  solche  des  zweiten  Ausdruckes  zu 
vermengen,  wie  an  einem  Beispiel  dargelegt  werden  möge:  Um  den 
Ansdrack: 

ax  +   &y  +  h,e  in  6,a;  +  frc, jf  ae 

SU  TOrwandeln  und  damit  zu  erkennen,  dass  beide  zum  selben  Typus  ge- 
bfiren,  ist  erforderUeh  und  hinrsiehend,  a  tempo  zu  ersetien: 

.  («  dureb  :c,   y  durch  y), 

*)  Sc'lbatver.^tilndHch  ist  bei  diesen  Einaetzungen  ru  beacliten,  dass  nach 
I  i  h2),  wenn  b  für  a  gesetzt  wird,  auch  ^|  ffir  «,  gesetzt  werden  muss,  gleichwie, 
wo  a  durch  2»,  ersetzt  wird,  auch  a^  durch  b  ersetzt  werden  muss. 


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* 


652  Aohaug  6. 

a  dnioh        somit  a^  dnreh 
h  dnrdk  c,,      „        dniüh  c, 
tf  durch  a,    (  „    c,  dureli  a,). 

Bringt  man  sich  aber  snm  Bewusstsein,  dass  gUiekzHtig  a,  dvieh  6  und 
dareh  c,  (desgleichen  (,  dnrcfa  e  ond  e  duob  a)  ersetzt  werden  solle  (im 
ersten  Ausdrucke),  so  liegt  das  MtssrerstlndnisSy  der  Wehn,  nahe,  als  ob 
etwa  ff,  durch  c,  (desgl.  6,  durch  a)  zu  ersetzen  wäre.  Dies  ist  nicht  der 

Füll,  denn  das  h  (des  ersten  Ausdruckes)  uclches  durch  r,  daselbst  ersetxt 
werden  soll,  ist  ein  ganz  anderes  Gebietsy rabol ,  als  das  b  (des  zweiten 
Ausdruckes),  durch  welches  das  o,  (im  ersten)  zu  ersetzen  war. 

Dem  Missverständniss  wird  vorgebeugt,  wenn  man  sich  die  fiaehsteben 
des  zweiten  Ausdruckes  mit  Accenten  ▼ersiehti  wo  dann  sn  sagen  ist,  dass 
man  a  durch  h*,  h  durch  c,\  e  durch  a\  somit  auch  zugleich  a,  darißh  6', 
hf  durch  c',  (f,  durch  «,')  zu  ersetzen  habe. 

Jedenfalls  wh  d  n  nn  bei  Beachtung  dieser  einfachen  Yorsichtsmassregel 
leichter  und  sicherer  diejenigen  (oder  solche)  Vertausch ung^n  ausfindig 
machen,  welche  den  einen  Ausdruck  in  den  andern  ttberfllhreiu,  sofern  es 
deren  gibt  —  und  andernfaUes  wird  man  ebenso  die  Unmöglichkeit  solcher 
Verwandlung  bequemer  erkeimeiL 

Jn  vielen  lallen  freilich  —  wo  Vertausohusgen  von  immer  nur  zwei 
Buchstaben  auf  einmal,  sogenannte  „TVanupoaiUonei^  schon  hinreichen,  die 
beabsichtigte  Überführung  zustande  zu  bringen,  rtnd  zwar  solcho  Trans- 
positionen, die  nie  einen  Buchstaben  ala  Yertauschungsclemeut  miteinander 
gemein  haben  —  braucht  man  nicht  zu  solcher  WeitlllufigkeiL  (der  Ein- 
führung und  Wiederfortlätisung  von  Accenten)  seine  Zuüucht  zu  nehmen. 

Man  erkennt  s.  B.  angenblicklicb,  dass  von  den  beiden  AnsdrUcken: 
ah    ac -^^  a^h^c^    und   ah +  hc^^'  a^h^c 

der  eine  aus  dem  andern  durch  Vertauscbang  von  a  mit  h  und  zugleich 
von  c  mit  c,  hervorgeht,  mithin  auch  diese  von  einerlei  Art  sein  werden. 

[Wo  dagegen  sog.  „cyläisduf  Yertanschungen  von  höherer  Ordnang« 
Yertanschongen  im  lUnge  herum  erforderlich  werden,  wie  beim  vorher- 
gehenden Beispiel  die  Ersetzung  von  a  durch  von  d  n  nh  c  und  von 
c  durch  a,  da  möchte  die  kleine  Weitläufigkeit  sich  fUr  den  Anflüiger 
lohnen.] 

I^idit  vom  selben  Typus  sind  z.  B.  die  beiden  Ausdrücke: 

ab  +  a,6,    und    ab  +  ab^ 

deren  zweiter  sich  auf  n  reduzirt.  Was  ftir  unabhängig  beliebige  (lebicte 
man  auch  für  u  und  6  einsetzen  möge,  nie  wird  derselbe  hier  in  den 
zweiten  übergehen,  wie  leicht  durchzuprobii-en  wäre. 

Die  „Gmppe  von  a  und  h**  besteht  ans  16  Elementen^  als  da  sind: 
Q  (a,  h)^{0, 1, «,  5,  a„  &„  ah,  ab,,  afi,  Oi^«,  a  +  5,  a  + 
a,  +  6,  a,  +  6g,  ah  +  a,6, ,  ah,  +  afi ) 
Dass  diese  Ausdrucke  in  der  That  durch  die  identischen  Spesies 

ans  a  und  h  ^^ableitbar'',  nämlich  abgeleitet  sind,  ist  augenscheinlich. 


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Zur  Grappeatliaori«  dm  idMitiic]ie&  KaUrali. 


653 


Ebenso  ist  ersichttieh|  dass  dieselben  unter  sich  Tersohieden.  Um 
es  zu  beweisen,  brancbte  nun  nnr  ein  jedes  der  Elemente  nach  den 
beiden  Argomenten  a  and  h  im  Sinne  des  §  19  „lantwickelt''  dann- 
stellen,  wie  ee  die  beiden  leUten  derselben,  sowie  die  Tiere  von  ab 
bis  afi,  schon  sind.  Alsdann  wflide  sich  offenbaren,  dass  keine  der 
Sntwickelongen  dnrchans  dieselben  Glieder  enthilt,  wie  irgend  eine  ' 
andere,  dass  sie  Unter  verschiedene  (additive)  Kombinationen  von  den 
Txer  Konstituenten  ab,  ah^,  afiy  Toratellen,  m.  a.  W.  dnreh  die 
Werte  0  oder  1  der  Koeffizienten,  mit  denen  diese  Eonstitaenten  in 
ihnen  (in  den  Entwickelnngen)  behaftet  sind,  sich  unterscheiden. 

Bleibt  also  nur  noch  darauthun,  dass  mit  dem  angegebenen  System 
Ton  Elementen  die  Gruppe  erschöpfend  angegeben  ist:  es  blabt  die 
jyVoUstftndigkeit  der  Gruppe''  au  beweisen.*) 

Dieser  Nachweis  kann  auf  iwei  Wegen  geliefert  werden. 

Der  erste  Weg  besteht  in  der  Anwendung  der  Methode,  durch 
welche  sich  ein  gegebenes  System  von  Bestimmungselemeuteu  einer 
Gi*uppe  allemal  zu  dieser  Gruppe  vervollständigen  oder  ergänzen  lässt. 
Bleibt  diese  Methode  bei  dem  vorliegenden  System  von  (16)  Elementen 
erfolglos,  indem  durch  sie  keine  vireiteren  Elemente  demselben  hinsn- 
gefllgt  werden,  so  musste  das  Sjrstem  schon  die  Tollstäadige  Gruppe 
gewesen  sem» 

Bevor  wir  von  dem  zweiten  Wege  sprechen,  wollen  wir  diese 
Methode  näher  in's  Auge  fassen. 

Gegeben  irgend  welche  Symbole  oder  Ausdrücke  als  Bestimmungs- 
elemente einer  Gruppe.  Es  handle  sich  darum,  die  ganze  Gruppe  her- 
sustellen.   Dies  ISsst  sich  unfehlbar,  wie  folgte  bewerkstelligen: 

Man  füge  den  gegebnen  Bestimmungselementen  (durch  Kommata 
getrennt)  aunächst  die  0  und  1,  sowie  die  Negationen  jener  hinsu,  so- 
fern sie  nicht  bereits  unter  denselben  sich  mitangegeben  finden.  Hier- 
mit wird  dieser  erste  Prozess  des  Negiiens  —  sidi  als  schon  ab- 
geschlossen erweisen,  indem  es  nicht  n5tig  fallen  wird  noch  weiter 
Tom  Negiren  Anwendung  zu  machen. 

Die  Elemente  0  und  1,  die  wir  uns  «orongeschrieben  denken, 

*)  Diese  Acsdrackeweise  ist  bequem  und  verstftndlicb,  obswsr  de  kehie  gans 

genane.  Ihrem  Begriffe  nach  ist  jedo  Gruppe  eine  Tollstiindig'c.  Eine  „nnvoll- 
Btändige  Gruppe"  wJlre  eine  contradictio  in  adjecto,  verdiente  den  Namen  „Gruppe" 
nicht,  sonderu  wäre  als  bluüaeü  Syst^im  vou  Elementen  2u  bezeichnen.  Durch  die 
Redensart  soll  der  Nachweis  gemeint  sein,  dass  das  für  eine  Gruppe  ausgegebene 
Sjsteiii  die  Blemeets  einer  solchen  ToUslftadig  euth&lt»  tonaeh  den  ihm  gesehenen 
Namen  verdknte. 


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654 


An\iang  6. 


mögen  bei  den  folgenden  Prozessen  aosser  Betracht  bleiben,  sintemal 
es  nicht  mdglieh  ist,  dvaeh  mnltiplikatiTe  oder  additive  Yerknfipfiing 
eines  Ansdmekes  mit  ebendiesen  jemals  einen  neuen  Ansdiuek  m 
gewinnen. 

Von  der  hinter  0, 1  stehenden  Reihe  als  nunmehrigem  Bestände 
von  Elementen  verknüpfe  man  nun  (in  Gedanken),  znnlchst  s.  B.  stets 
fnulUjaiikaHv,  ein  jedes  Element  mit  jedem  andern,  und  fttge^  wenn  dsB 
Prodnkt  keinem  einsigen  Ton  den  bisherigen  Elementen  gleich  ist» 
dasselbe  allemal  als  ein  neues  Element  den  bisherigen  am  Ende  der 
Reihe  hinan.  Man  fahre  solange  damit  fort,  bis  sich  durch  die  mnlti* 
plikative  YerknQpfung  keine  neuen  Elemente  mehr  ergeben,  bis  uim- 
lich  jede  zwei  von  den  rorhandenen  (den  gegebenen  nebst  den  hinzu- 
getretenen) Elementen  Terknllpft  wotden.  Der  Prozess  des  Multipli'^ 
zirens  wird  sich  damit  als  abgeschlossen*  erweisen. 

Ebenso  verfahre  man  endlich  in  Hinsicht  additiven  Verkiiüptens 
indem  man  von  dem  dermalen  verfügbaren  Vorratö  jede  zwei  Elemente 
zu  einer  Summe  ziisammculiiilfc  und  dieso,  wenn  sie  von  allen  bis- 
herigen verschieden,  denselben  sofort  als  ein  neues  Element  am  Ende 
der  Reihe  angliedert.  J)ic  Gruppe  mu^s  dann  vollsUindiq  dasteheUf  so- 
bald auch  dieser  Prozess  des  Addirens  zu  Ende  gekommen. 

Da  die  verknüpfenden  Operationen  kommutative  sind,  so  wird 
man  natürlich,  nachdem  ein  a  mit  einem  h  zusammengehalten  worden, 
das  b  nicht  nochmals  mit  diesem  a  zu  verbinden  brauchen.  £s  ge- 
nügt darum,  ein  jedes  Element  gewissenhaft  in il  jedem  der  ihm  vorlier- 
gehenden  in  der  Reihe  verknüpft  zu  haben.  Verknüpfungen  der  Ele- 
mente mit  sich  selbst  können  wegen  der  Tautologiegesetae  erlassen 
werden. 

Auch  zulässig  zwar,  jedoch  minder  gut  wUrde  die  Taktik  sein,  ein 
Element  je  mit  allen  ihm  nachfolgenden  zu  verknüpfen,  weil  im  Lauf  der 
Prozesse  das  Ende  der  Reihe  sich  oft  noch  wiiter  liin;iusschiebt  und  man 
sonach  genötigt  wäre,  nachdem  ein  frUhes  Element  uiil  allen  zur  Zeit  auf 
dasselbe  folgenden,  nebst  den  eventadl  ebeadadurch  noch  neu  hinzutretenden, 
schon  TollBtlndig  verknttpft  wordra,  spftter,  wenn  durch  Verknüpfen  späterer 
Elemente  deren  abermals  neue  hinzugokoinnion  f:ein  werden,  nochmals  auf  jenes 
zurückzukommen  um  es  auch  mit  diesen  inzwischen  neuhiuzugetretenen  noch 
zu  verknüpfen  —  und  dieses  eventuell  wiederholt,  bei  jedem  Elemente!  Man 
miisäto  .so  von  jedem  Elemente  im  Sinne  behalten  oder  notiren,  bis  zu 
welcher  Stelle  der  Reibe  als  ihrem  dcriualigeu  Eudpuakte  mau  et»  bereits 
mit  den  ihm  nacbfolgendeu  verknOpft  hat,  von  wo  an  noch  nicht;  man 
klhODe  aas  der  gleicbmSsstgen  Ordnung  heraus  und  würde  leichter  Ans- 
husnngen  begehen. 

Um  zu  erkennen,  dass  das  so  gewonnene  Eiementesystem  die  ge- 


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Zur  Gruppentheorie  des  lUfutischeu  Kalküls. 


6ÖÖ 


sachie  ToUstÜDdige  Gruppe  ist,  eind  folgende  Überlegungen  anzn* 
stellen. . 

Naehdem  der  Prosesa  des  MultipUsirenB  beendigt  ist  kann  selbst- 
Teretändlich  durcb  mnltiplikattTe  Yerlmfipfoog  moekt  Elemente  kein 

neues  Element  mehr  gewonnen  werden,  auch  nicht  dnrch  maliiplika- 

tives  Verknüpfen  beliebig  vieler  von  den  yorhandAien  Elementen  — 

deun  solches  läuft  bekanntlich  auf  das  successive  Verknüpfen  von 
liiinif  r  nur  zwti.ca  ubendieser  Elemeute  hinaus,  welches,  wie  wir  wisseu, 
ein  neues  Element  nie  liefern  konnte. 

Ebenso,  nachdeüi  der  Prozess  des  Addirens  beendigt,  kann  addi- 
tive Verknüpfung  von  zweien  oder  beliebig  vielen  der  nun  vorhandenen 
Elemente  kein  neues  Element  mehr  liefern. 

Wir  wollen  die  Reihe  der  nach  diesem  dritten  Prozesse  vorlieg 'u  lt  n 
Elemente  kurz  die  „Summenreihe''  nennen,  und  ebenso  das  System  der 
Elemente  soweit  es  nach  Beendigung  des  zweiten  Prozesses  vorgelegeUi 
die  jyProduktenreiiie". 

In  der  That  kann  jedes  Element  dieser  Öummenreihe  angesehen  werden 
als  die  Summe  a  +  ß  zweier  Elemente  «  und  ß  der  Produktenreihe,  indem 
man,  wenn  es  mit  einem  Element  a  dieser  Produkteureihe  selbst  zusammen- 
fallen  sollte,  sich  nor  die  0  unter  ß  Yoraustellen  braucht 

Ebenso  konnte  jedes  Element  «  der  Produktenreihe  sagesehen  werden 
als  das  i^dukt  yd  zweier  Elemttite  y  nud  ö  der  vorhergehenden  (dnrch 
den  ersten  oder  Negationsprozesfl  ergänzten)  Reilio  —  sie  möge  knrz  dio 
„erste"  Reihe  heibscu  —  (im  Gegensatz  zu  dem  ursprünglich  gegebnen 
Systeme  von  Beälimmuugätiitiuieuten  als  der  „nullten^^  Heibe).  Denn  wouti 
das  Element  auch  als  ein  'y  zu  diesem  uräprUugUcbeu  System«  selbst  ge- 
hörte, so  braucht  man  sich  nur  (unter  «  ebendieses  y  und)  unter  d  die  1 
YortustoUen. 

Ich  behaupte  jetit,  dass  noch  die  MvUSpUkaHo»  irgend  zweier 
(und  darnach  auch  beliebig  yieler)  Elemente  der  Smmemeihe  kein 
neues  Element  mehr  liefern  kann.  Denn  dnrch  «  +  wird  sich  das 
eine,  dnrch  n'+ß'  das  andere  dieser  Elemente  darstellen  lassen,  wo  a 
und  ß  sowie  «'  und  ß'  der  Prodnktenreihe  angehören.  Nun  ist: 
(a +  /3)(«'+/3')-- ««'+«/!'  + «'^  +  ßß\ 

Die  Tier  Glieder  reehterhand  gehören  aber  unfehlbar  selbst  schon 
der  Pioduktenreihe  an^  denn  diese  enthält  ja  als  Element  bereits  jedes 
Produkt  von  zweien  ihrer  Elemente. 

Die  Summenreihe  aber  enthält  jede  Summe  nicht  nur  von  zweien, 
sondern  auch  von  beliebig  vielen  Elementen  der  Produktenreihe;  sie 
enthält  nämlich  auch  als  Element  jede  Summe  von  irgend  zweien  (und 
beliebig  vielen)  ihrer  eigenen  Kknienli'.  im  vorliegenden  1  alle  luusseu 
Z.B.  auch  aa+ttß',  sowie  a'ß+ßß'  schon  Elemente  dieser  Öuuimea- 


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66G 


Anbaog  6. 


reihe  sein,  und  ebendarum  muss  auch  die  Summe  dieser  beiden  wieder 
ein  ihr  selber  angeböriges  Element  sein,  wie  zu  zeigen  gewesen« 

Bei  dem  Beweise  wurde  atigenecheinlich  kein  Gebraach  gemacht 
von  der  Annahme,  dass  zuTor  der  erste  Prozess  vollzogen  sei,  dass 
die  VerroUetändigung  des  Systeme  mittelst  EinTerleibung  aach  der 
Negationen  seiner  Elemente  fiberbanpt  atattgefunden  habe*  Wir  mflaien 
vielmehr  allgemein  den  Sata  haben: 

Wenn  ein  Sffstem  wm  Ele$nmtm  90  headiaffm  igt,  dass  es  ämtk 
nnd^pitkaHve  Verkm^pfimg  gwi8(^  saiun  Elementen  —  ,fiUermiiitgßi' 
ären"  —  keine  neuen  Elemente  m«ftr  Urfem  hnm,  und  man  venftMän- 
digt  das  S^fstem  soweit  dass  sidi  aucft  durth  oddiHee  Verhnäpfungen 
ßwiseiien  seinen  Elementen  —  Jnteraddiren**  —  Jseme  neuen  Ekmeuk 
nu^  ergeben  können,  so  kann  audi  das  so  vervoUständigte  Sysism  heim 
IntermuUiplieiren  keine  neuen  Elemente  mehr  liefern,  11  a.  W.: 

Eine  „Gngape  kinsiMiA  MuitipUhaUonf*,  teenn  tfemukrt  auch  su 
einer  „Gruppe  kinsidUUdt  AddiHm",  bleibt  dennoch  Gruppe  hinsidiÜkh 
der  Multiplikation  f  wird  also  eine  „Gruppe  in  Hinsicht  beider  Opera- 
tionetv. 

Des  Dualismus  halber  liefert  natürlich  dieser  Satz  noch  einen 
zweiten  richtigen,  wenu  man  die  Worte  „Multiplikation*'  und  „Addi- 
tion" in  ihm  vertauscht. 

Icli  behaupte  ferner,  dass  nachdem  der  erste  Prozess  vorausge- 
gangen, nun  auch  die  Operation  des  Nq/ircnt;  aus  keinem  Element  der 
Summeureihe  ein  neues  mehr  erzeugen  kann. 

Zunächst  wird  als  «  4  ß  das  zu  negirenJe  Element  darzustellen 
seio^  wo  tt  und  ß  der  Produktejureibe  angehören.    Und  wir  haben: 

(«  +  ßl  ->  ir,ft. 

Oer  Beweis  wäre  erbracht,  wenn  etwa  auch  «r,  nnd  /},  der  Pro- 
dnktenreihe  angehören  mfissten.  Dies  lässt  sieh  aber  keineswegs  be- 
haupten. Nachweisbar  ist  gleichwol,  dass  a^ß^  wenigstens  der  Summen- 
reihe  angehören  mnss. 

Als  Element  der  Produktenreibe  ist  nSmlieh; 

cc  =  yd    und  ebenso    ß  —  y' d\ 

wo  y,  d,  y' ,  S'  der  „ersten"*  (abgeleiteten)  Reihe  als  Elemente  angehören. 
Da  diese  mittelst  Ne^ireiis  vervollständigt  worde/i,  so  enthält  sie  not- 
wendi«^  auch  schon  die  Negationen  y^,  d,,  y^,  d/  ebendieser  Elemente. 
Nun  ist 

wo  die  Glieder  reehterhand  notwendig  der  Produktenreihe^  und  dar- 


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Zur  6rnpp«iiüieorie  de>  icleiitischen  Katkida. 


657 


'  nach  das  Aggregat  derselben  auch  der  Sammenreiliey  schon  nnver- 
meidUch  angehören. 

Hiermit  ist  erkannt,  dass  weder  durch  Addiren,  noch  durch  Mulii* 
pliziren,  noch  durch  Negiren  aas  der  Summenrcilie  neue  Elemente 
abgeleitet  werdou  kounen.    Dies  ist  also  anch  nicht  möglich  durch  • 
irgendwelche  Verbindung  dieser  Operationen  unter  einander* 

D.  b.  jene  Sununenreihe  mnss  die  gesuchte  Gruppe  sein.  q.  e.  d. 

80  sehr  die  Ergänzung  von  Bestimmungselementen  asur  Tollstän- 
digen  Gruppe  durch  vorstehendes  Verfahren  auch  vereinfacht  erscheint, 

80  ist  sie  doch  imraerhiu  noch  mühsam  fi;onur^. 

Beispielsweise  aus  den  Bestimm uiigäülemeuteu  «,  b  ergibt  Bich  ulüj 
„erste**  Seihe: 

0,  1,  a,  d,  a„ 

sodann  als  zweite  oder  Produktenreihe  bm  strenger  Einhaltung  der  vor- 
geschriebenen Ordnung: 

0,  1,  o,      rtp  h^y  afc,  a,fe,  oi*,,  a,&, 

—  ein  System,  welches  die  Negationen  der  yier  letzten  Elemente  in  der 
Tfaat  noch  nicht  mthllt.  Zur  dritten  oder  Snmmenreihe  treten  dann  tu 
den  angegebenen  noch  der  Reihe  nach: 

a  +  5,   a,+  6,   «  +  ^n      +       a6, +  a,6,   o&  +  a,&, 

als  weitere  Elemente  hinzu. 

An  ferneren  beiläufig  von  uns  angeführten  Gruppen  wird  der  Leaer 
reichliche  Qelegenbeit  haben,  die  Metbode  einübend  zu  festigen. 

Ein  zweiter  Weg,  die  YoUätüudigkeit  einer  ^egebeucu  Gruppe 
nachzuweisen,  besteht  duriu,  dass  man  die  Anzahl  ihrer  Elemente 
a  priori  ermittelt  und  sich  überzeugt,  dass  dieselbe  hier  vorliegt. 

Zu  diesem  Zwecke  muss  man  ein  System  von  Bestimmungs- 
elemcnteu  der  Gruppe  kennen. 

Ein  solches  iiusüchiiessiich  und  auf  jede  mögliclie  Weise  aus  der 
Gruppe  herauszulesen,  ist  eine  keineswegs  leichte  Autgabe,  die  wir 
einstweilen  als  ein  systematisch  erst  noch  zu  lösendes  Problem  vor- 
merken. 

Sehr  häufig  genügt  jedoch  schon  die  blosse  lieaugenscheinigung, 
Okularinspektion  der  Gruppe,  um  ein  System  vou  Bestimmungs- 
elementen derselben  zu  entdecken,  indem  man  eben  wahrnimmt,  dass 
ans  gewissen  als  Elemente  auftretenden  einfachen  oder  Buchstaben- 
Symbolen  die  übrigen  Elemente  alle  aufgebaut  sind  —  als  Funktions-  ' 
ausdrücke  des  identischen  Kalküls.  Diese  einfachen  Symbole,  nach 
W^lassnng  derer,  welche  die  Negationen  Ton  beibehaltenen  sind,  bil- 
den dann  das  System  der  Bestimmungselemente.  So  oben  a  und  b. 


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658 


Anhaaig 


Sind  aber  n  unaiiiMt^fUf  heliebige  Symbole  als  BestimmungselemaUe 
einer  Gruppe  gegeben,  so  nmss  dieselbe  aus  2^  Elementen  hesichoL 

Die  firmittelung  ihrer  filementenzabl  ist  sonach  eine  leichteste 
Aa%abe.  ' 

Analog  JevojiB^  p.  221,  und'  p.  137...  143  lässt  dies  doh  in  der 
Thai  tuiBchwer  wie  folgt  heweiaen. 

Jedes  Element  der  Gruppe  iat  eine  Funktion  lediglich  der  «i  Be- 
atimmungselemente,  und  enthalt  die  Gmppe  alle  Funktionen,  welche 
durch  die  Operationen  des  identischen  Kalküls  ans  diesen  aufgebaut 
werden  kdnnen. 

Denkt  man  sich  jedes  Element  gemSss  §  19  nach  den  n  Beatim- 
mungselementen  als  den  Argumenten  |,entwickeU'',  so  enthalt  diese 
Entwickelnng,  ToUstandig  angeschrieben,  2'  Glieder  (vgl.  ibidem).  Jeder 
▼on  den  2"  Konstituenten  der  Entwickelung  kann  zum  Koeffizienten  nur 
entweder  0  oder  1  haben,  weil  laut  Voraussetzung  noch  andere  Buch- 
staben als  die  der  Argumente  nicht  vorkommen,  und  0  und  1  die 
einzigen  speziellen  Gebietsymbole  des  identischen  ivalkuls  waren.  Je- 
iiachdem  wird  der  bctrefiende  Konstitucut  als  Glied  in  der  Entwickelung 
fehlen  oder  gauz  in  derselben  vertreten  sein.  Darnach  haben  wir  aber: 

2x2x2...x2  =  2^'"^  =  2«" 

12        3  8 

verschiedene  Mdglichkeiten,  die  Koeffiaientenstellen  mit  Nullen  oder 
Emsern  zu  besetzen,  und  ebensoviel  verschiedene  ^vaMdcef*,  aufgebaut 
aus  den  »  Argumenten,  kann  es  nur,  ebensoviele  muss  es  auch  geben. 

Die  ermittelte  Zahl,  nur  um  1  vermindert,  muss  auch  zugleich 
die  Anzahl  sein  der  inhaltlich  verschiedenen  (einander  nicht  aqniva- 
lenten)  Aussagen,  welche  von  der  auf  simultane  Subsumtionen  und 
Gleichungen  beschränkten  Logik  abgegeben  werden  können  in  Bezug 
auf  n  Gebiete  oder  Klassen. 

Denn  da  die  Aussage  eine  Subsumtion  oder  eine  Gleichung  sein 
soll  (zu  welclier  ja  auch  ein  System  von  simultanen  Propositionen 
ebendieser  Art  stets  sich  vereinigen  lässt),  so  kann  sie  als  GteirhuiKj 
mit  der  rechten  Seite  0  gescJuiebm  werden.  Das  Polynom,  die  linke 
Seite  dieser  Gleichung  kauu  aber  als  eine  Funktion  der  n  gegebeneu 

Klassen,  nur  einer  von  den  obigen  2^  Ausdrücken  sein,  und  somit  gibt 
es  auch  anscheinend  genau  so  viel  verschiedene  Aussagen.  Von  diesen 
Ausss^en  läuft  aber  eine  auf:  1^0  hinaus,  diejenige  nämlich,  bei  der 
links  alle  Koeffizienten  als  Einser  angesetzt  sind,  das  Polynom  also 


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Zur  (Truppeatheoriu  dcä  idouiiticheu  Kalkulä. 


G59 


die  Samme  s&mtlicher  EoBstitaenten  sem  wird.  Diese  eine  Aussage 
ist  als  abstude,  unzolSssige,  niclit  mitsiizechiien,  sonach  die  fragliche 
Anzahl  der  Uber  »Elassen  möglichen  Aussagen: 

Eingerechnet  dagegen  ist  (wieder)  die  ^puchtssagende'*  oder  „iden- 
tische AuBsagei  bei  der  linkerhand  alle  Koeffiaienten  Nullen  sein  werden 
und  welche  auf:  0^0  hinauslauft 

Nach  diesen  Ergebnissen  muss  also  a  priori 

2«'— 2*— 16,     2*'  — 2»  — 256  ,     2**— 2«  =  65536, 

2^'—  2"  —  4  2949Ü7296,  2*'  «  2«^  «  18446744  073709  ööiülö,  •  •  • 

die  Anzahl  sein  der  im  Allgemeinen  unter  sich  verschiedenen  Aus- 
drücke, welche  aus  zwei  Gebieten  a,  b  resp.  aus  dreien  a,  h,  c,  resp. 
aus  Tieren,  a,  5,  c,  resp.  etc.  durch  die  Operationen  des  identischen 
Kalküls  aufgebaut  werden  können  (bei  sechs  Gebieten  mithin  Aber 
18  Millionen  Billionen!). 

Ebendiese  muss  bezüglich  auch  die  Anzahl  sein  der  Elemente  fQr 
die  Gruppen 

Cr(a,6),     resp.  G(a,h^v)^     resp.  G(ajh,c,d)f  •  •  • 

Die  Vollstaudigkeii  der  pben  angegebenen  Gruppe  (^(a,  5)  ist 
hiermit  auch  auf  dem  zweiten  Wege  bewiesen.. 

Wir  wenden  uns  iiuumelir  der  Fra^e  zu,  wie  vielerlei  und  welche 
Jffpm  die  Ausdrücke  aufweisen  müsseu,  welche  unsie  (iruppen  U{u), 
0{a,  6),  G{a,  h,  c-),  G(a,  b,  c,  d)f  ...  —  in  nunmehr  ja  bekannter  An- 
zahl —  als  Kleinen te  zusammensetzen. 

Es  zeigt  sich,  dass  diese  Frage  für  die  Auwendungen  der  Gruppen- 
theorie (von  denen  wir  am  Schluss  eine  geben)  von  Wichtigkeit  ist. 

Leicht  ist  die  Frage  bei  den  Gruppen  G(a)  und  G{a,b)  zu  beant* 
Worten die  ja  oben  schon  fertig  gebildet  vor  unsem  Augen  stehen. 

Zunüclist  müssen  die  Elemente  0  und  1  für  von  verschiedenem 
TyipUS  erklärt  werden,  welcher  Gruppe  sie  auch  augehören  mögen, 
sodass  jedes  von  diesen  beiden  Elementen  als  für  sich  allein  schon 
einen  aparten  Typus  konstituirend  anzusehen  ist.  Es  ist  nämlich 
nicht  möglich,  von  den  beiden  Ausdrücken 

desgleichen  vuu  den  beiden 

42« 


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1 


660  Anhang  6. 

Oa6  +  Oa6,  +  Oa,&  +  0-a,t,,     l.a6+         +         + l-a,5, 
ete.  den  einen  ans  dem  andern  dnrcli  eine  Bvdiskibemfertaus^ung  ab- 
zuleiten. 

Bei  G(fl)  gesellt  eicli  nun  zu  dem  „ersten"*  Typus  0,  als  ^izweitec^' 
der  Typus  a,  a, ,  dessen  beide  Repi^sentanten  in  der  That  dureb  die 
YertauBcbung  tob  a  mit  a,  in  einander  flbergehen,  und  endlicb  als 
fydritter^'  der  Typus  1.  Wir  baben  also  nacb  l^en  ordnend  für  G(a) 
das  Scbema: 

0 
a,  a, 
1 

Die  Reiheiifulgc  der  Typen  bestimmt  sich  hier  unter  dem  Gesichts- 
ininkt,  dass  aus  der  Entwickelung  der  1  nach  dem  Bestinimuugs- 
elementc  a  der  Gruppe:  1  =  a  +  o,  beim  ersten  Typus  A-d/i,  beim 
zweiten  ein  Glied  und  beim  dritten  Typus  alle  ncci  Glieder  in  einem 
liepräscutanten  des  Typus  Tereiuigt,  zu  einem  solchen  zusammengefasst 
erscheinen. 

„KomplemenUif''  werden  wir  zwei  Typen  zu  nennen  haben,  wenn 
ein  Kepräsentant  des  einen  Typus  die  Negation  ist  von  einem  liepra- 
sentanten  des  andern.  Als  „Repräsentanten"  eines  Typus  dürfen  wir 
jeden  aus  den  Bestimmungselementen  der  Gruppe  aufgebauten  Ausdruck 
bezeichnen,  der  zu  dem  Typus  gebört  (,,Yon*'  diesem  Typus  t^ist^ 

Darnach  wäre  es  nicht  schwer  zu  zeigen,  dass  zwei  komplemen- 
täre Typen  immer  gleicbviele  Repräsentanten  besitzen,  gleichviel  Ele- 
mente der  Gruppe  umfassen  mOssen,  und  zwar  sind  die  Repräsentanten 
des  einen  gerade  die  Negationen  von  denen  des  andern.  „Entwickelt^' 
nach  den  Bestimmungselementen  der  Gruppe  enthült  der  eine  Bepri- 
sentant  immer  gerade  diejenigen  Glieder,  welcbe  in  der  ESntwicIceluDg 
des  andern  fehlen  —  vgl.  den  Zusats  auf  S.  314  sq. 

Bei  strenger  Anordnung  der  Typen  nach  der  Zahl  von  Gliedern 
in  der  Entwickelung  ihrer  BeprSsentanten  werden  also  komplementlre 
Typen  einen  Bang  einnehmen,  der  sich  dadurch  kennseichnet,  dass 
der  eine  Typus  Tom  Anfang  der  Typenreihe  gerade  so  weit  abstebl^ 
als  der  komplementäre  Tom  Ende  derselben.  Es  wird  sich  aber  spater 
zumeist  empfehlen,  von  dieser  strengen  Anordnung  abzugehen,  nämlich 
die  Beihe  der  Typen  gleichsam  in  der  Mitte  zu  knid^en  und  die  beiden 
Schenkel  zusammenzulegen,  sodass  die  komplementSrm  Typen  zu 
Nachbarn  werden. 

Von  zwei  komplementären  Typen  werden  wir  sagen,  dass  sie  zu- 
sammen einen  fjlau^ity^jm»  '  uuamacheu. 


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Zur  Gruppc-ntheorie  des  identischeu  Kalküls. 


Die  komplemeBtiren  Typen  kdimteii  awth  einander  ,/fiia{  entsprc- 
diendef  genannt  werden.  Zu  einem  Ausdruck  als  Repräsentanten  eines 
Typus  erhält  man  nämlich  den  dual  entsprechenden,  wenn  man  — 
während  die  in  ihn  eingehenden  einfachen  Symbole  (seien  sie  positiye 
oder  negatiTe)  ungeändert  gelassen  werden  —  tiPlns"  mit  ^^mal"  in 
ihm  Ycrtauseht.  Die  Negation  erhält  man  —  nach  den  Theoremen  36) 
—  Aenso,  indem  man  nur  obendrein  noch  jene  etn£EUihen  Symbole  in 
ihre  Negationen  verwandelt.  Die  Negation  des  Ausdrucks  geht  also 
aus  dem  dualen  Gegenstück  desselben  hervor,  indem  man  die  Buch- 
staben des  letsteren  mit  ihren  Negationen  Yertauscht  —  sowie  um- 
gekehrt, d.  h.  Negation  und  duales  Gegenstück  des  Ausdruckä  gehören 
zum  selben  Typus,  den  wir  den  komplementären  von  demjenigen  des 
Ausdrucks  nannten. 

Wie  zahlreiche  Beispiele  darthun,  kann  aber  ein  Ausdruck  auch 
sich  selbst,  oder  wenigstens  einem  solchen  voui  nämlii  hijii  Typus  dual 
entsprechen,  sodass  ea  auch  Tjpeu  gibt,  die  zu  bich  selber  dual  und 
komplementär  .siud. 

Ein  sich  selber  komplementärer  Typus  ist  zugleich  ein  Haupt- 
typus, konstituirt  für  sich  einen  solchen.  Ein  solcher  kann  nach  dem 
Vorstehenden  aber  nur  vorkommen  innerhalb  derjenigen  Abtei lurio^, 
wrlche  die  Mitte  innehält  in  der  Reihe  der  Typen,  somit  je  gerade 
die  Hälfte  aller  Konstituenten  zu  einem  Elemente  zusammenfasst. 

Dies  alles  exempliüzirt  sich  bereits  bei  der  Gruppe  Cr(a)|  wo  die 
Verhältnisse  freilich  höchst  einfach  liegen: 

Der  mittlere  (zweite)  Typus,  repräsentirt  durch  a,  o,,  ist  zu  sich 
selbst  komplementär,  und  zugleich  der  zweite  Haupttypus.  Der  dritte 
Typus,  repräsentirt  durch  1 ,  i*^t  komplementär  zum  ersten,  durch  0 
repräsentirten,  und  macht  mit  liim  den  ersten  Haupttypus  aus.  Wir 
haben  also  bei  G{ä)  drei  Typen  und  zwei  Haupttypen. 

Der  Analogie  mit  dem  Folgenden  wegen  heben  wir  noch  hervor, 
dasB  sich  die  Frage  nach  der  Anzahl  der  Typen  in  der  Gruppe  6f(a) 
geometrisch  deckt  mit  der  Frage  nach  der  Anzahl  der  Arten,  auf 
welche  sich  an  der  aweipunktig  begrenzten  Strecke,  dem  (geradiinigeu) 
jiZweieck''  Ecken  auswählen  lassen. 

Man  kann  entweder  keim  £cke,  oder  irgend  eine,  oder  alle  zwei 
Ecken  auswählen. 

Analog  wird  bei  der  Frage  nach  der  Zahl   i  ^ 
der  Typen,  in  welche  die  Elemente  .der 
Gruppe  Gr  (a,  h)  sich  einordnen,  es  darauf  ^  „ 
ankommen,  zu  ermitteln,  auf  wie  viele  Arten  ^-  ' 


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()G2  Anhat.g  G. 

sieh  beim  (ebenen)  Viereckt  z.  B.  beim  Qmdrate  (Fig.  36)  Ecken  aus- 
wühlen lassen. 

Offenbar  kann  man  ent- 

*   weder  Mm  Ecke  wählen,  oder 

irgend  eine,  oder  irgend  gweie, 
und  dann  entweder  zwei  he- 
nadihartet  oder  aber  swei  gegen- 
g  ^  ^  ^  Uberliegende,  oder  irgend  dreie 

'  '  '   (mit  Auslassung  jedes  vierten) 

oder  alle  viere, 

Weuii  wir  für  die  Koustituciiteii  (U  r  Eiilwickelung  der  identisclien  1 
nach  den  Hestimmung^ulementeii  a,  b  der  (Jruppe  die  Nummern  boi- 
belialtt'U,  welche  aus  der  Vergleichuug  der  beiden  Quadrate  der  Fiijur 
ersichtlich  werden,  hü  liulxüi  wir  in  der  That  bei  den  Elementen  von 
G{(i,  h)  die  fülgeudcu  0  Typen  —  in  strenger  Anordnung: 

Krater  Tj'pua:  0 

Zweiter       :  lna&,  2a»a^,,  3— >a,6,  ^^«»A 

Dritter        :  14-2«a,  1  +  3  =  6,  2-f-4  =  6p  3  +  4«»a, 

Vierter    „    :  1 -|-4  =  «d4-«,6,,  2  4-3— •«^',+  «,6 

Fünfter    „    :  2 -f  3  +  1  =  «,+  Z*„  l+3  +  4  =  a,  +  t,  1  +  2 -f  4  =^  a -f  6„ 

1  +  2H-3  =  a  +  6 

Sechster  „  :  l  +  2  +  3  +  4»l, 

und  schliessen  sich  von  diesen  der  erste  nnd  sechste  su  einem  Haupt- 
typus,  ebenso  der  «weite  und  fünfte  au  einem  zweiten  Haupttypus  zu* 
sammen,  während  der  dritte  und  vierte  je  fttr  sich  einen  Haupttypus 
konstituiren.  Wir  haben  ako  bei  zwei  Bestimmungseiemeuten  liccJ^6 
Typen  und  vier  Uaupttyen. 

Nachdem  dien  erledigt,  uelmien  wir  die  analoge  Aufi^abe  bei  der 
<lrii|ipc  au^  <i,'i  miabhiingigen  Bestimmungstdemcnien:  <J{a,h,c),  in 
Allgrill,  lud  zwar  wollen  wir  die  fragliche  Anzahl  der  Typen  und 
l laujiitvpen  erst  a  priori  ermitteln.  Eine  empiriselie  lU'.stütigun«.^  der 
Er<^ebnisse  wird  sich  nachträglich  ergeben,  indem  wir  die  Eh-nionte 
der  Gruppe  in  den  einfachsten  Ausdrucksformen,  deren  sie  im  ideu- 
ti. sehen  Kalkül  fähig  scheinen,  wirklich  hinschreiben  —  was  sich  der 
mannigfachen  Anwendungen  halber,  die  ?0Q  der  Zusammenstellung 
gemacht  werden  können,  verJohnen  wird. 

Numeriren  wir  in  der  Entwickelung  der  identischen  Eins  nach 
den  Bestimmungselementen  a,  b,  ei 


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Geometrisch- kuuibiimtoruolies  Probit^ui  von  Jcvuhü. 


663 


1*345A7  8 

1  =  ahc  +  ahCf+  ah^c  +  ah^e,  +  r/,6c  +  a,hc,  +  a,b,c  +  (f,h,c, 

die  acht  Glieder  kurz  mit  den  dai iilH  r^fesetzten  Ziü'eni,  so  erkenut 
man  sogleicli,  dass  uiiaer  Problem  sich  deckt  mit  der  Aufgabe,  die 
Anfall l  der  Arten  zu  ermitteln,  auf  welche  an  einem  Würfel  —  mit  wie 
nebenstehend  nomeriiieu  Ecken  —  deren  irgend  welche  ausgewählt 
werden  können. 

Genauer  läsat  dies  sich  in  folgender  Weise  einsehen.  Denken 
wir  uns  irgend  eine  Funktion  f{a,  e,"  <)  von  den  ,,Argunieuten" 
a,  h,  Cf"'  nach  diesrn  im  Boole'schen 
Sinne  entwickelt,  so  wird  nach  §  10  ein 
jeder  „Konstituent"  der  Eutwickelung  sich 
darstellen  als  das  Produkt  der  sämtlichen 
Argumentbuehstaben; 

ahc  -  •  • 

—  je  mit  oder  aber  ohne  Negatiousütnch 
genommen. 

Und  bei  den  Problemen  der  vorlie- 
genden Gatiimg  haben  wir  nur  mit  den 
Eutwickelungen  der  identischen  Eins  zu 

thun,  welche  der  Summe  aller  jeuer  Konstitucutcu  <j;leich  ist. 

Nach  dem  Gesagten  muss  ein  jeder  Konstitnent  in  jeden  andern 
(zu  der  nämlichen  Eutwickelung  gehörigen)  sich  überführen  lassen 
lediglich  dadurch,  dass  man  gewisse  Argumentbuchstaben  in  ihre  Ne- 
gationen verwandelt.  Vergleichen  wir  irgend  zweie  dieser  Konstituenten 
mit  einander,  so  lassen  dieselben  sich  jedeufallä  dadurch  in  einander 
überführen,  dass  man  diejenigeii  A  rgumentbnchstaben  nnge&ndert  lässt, 
welche  in  beiden  Konstituenten  übereinstimmend  vorkommen,  nämlich 
entweder  beidemal  positiT  (unnegirt)^  oder  aber  beidemal  negativ  (mit 
Negationsstrich  versehen)  erscheinen,  dass  man  dagegen  diejenigen 
Argumente  mit  Uiren  Negationen  veriamchi,  welche  in  beide  Konstituenten 
in  verschiedener  Weise  als  Faktor  eingeheni  nämlich  im  einen  — 
gleichTiel  welchem  von  beiden  —  unnegirt,  im  andern  negirt  auftreten. 

Mit  Olifford  (siehe  weiter  unten)  kann  mau  passend  ^Istand^ 
der  beiden  in  Yergleichung  zu  ziehenden  Konstituenten  nemien:  die 
Anzahl  der  Argumentbuchstaben,  welche  dergestalt  behufs  OberfQhrung 
des  einen  Konstituenten  in  den  andern  zu  vertauschen  sind  mit  ihren 
Negationen. 

So  werden  beispielsweise  die  beiden  Konstituenten 


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664  Au  hang  6. 

ahcd   und  ah,ed 

den  Abstand  1  besitzen,  weil  es  erforderlich  und  ausreichend  ist,  das  ime 
Argument  h  mit  seiner  Negation  zo  TertBoadieii,  um  ans  dem  einen  von 
ihnen  den  andern  absuleiten. 

Bie  Konstituenten  a^hed  und  ah^cd  dagegen  haben  den  Abstand  2, 
weil  au  diesem  Zwecke  die  leiden  Argumente  a  und  h  mit  ihren  Nega« 
tionen      nnd  ?),  vertanscht  werden  müssen. 

Die  Konstituenten  (il'^cd^  und  a^b^c^d  haben  den  Abstand  3,  etc. 

Ein  jeder  Koutititueut  besitzt  von  äich  selbst  odi^r  einem  ihm  identisch 
gleichen  (wie  z.  B.  a,&,cd  von  a^h^cd)  den  Abstand  0. 

Nach  den  Erörterungen  besitzt  ein  Konstituent  A  von  einem 

andern  B  denselben  Abbtaud,  wie  der  andere  i>  vom  eräteii  A. 


Untersucht  man  nun  beim  oben  vorliegenden  Probleme,  wie  sich 
ein  Konstituent  oder  Glied  unserer  Kntwickelung,  z.  B.  das  erste  1 
oder  ahc  als  ,,Ursprunt/'  zu  den  übrigen  Gliedern  in  Ilinsiclit  seines 
„Abstandes"  von  denselben  verhält,  so  bemerkt  man,  dass  es  y.u  dem 
I  rs^itiiiiL^  (hl  i  Glieder  (Konstituenten)  gibt,  welche  den  Abstand  1  vou 
ihm  Deaitzen,  und  die  man  darum  passend  als  die  dem  Urspmp'.'-  „be- 
nachbarten" oder  ..auh'rijrndm"  Glieder  wird  bezeichnen  können.  I)rti 
andere  von  den  7  übrigen  Gliedern  haben  von  ihm  den  Abstand  t?, 
nnd  sollen  die  dem  Ursprung  „abliegenden''  Glieder  heisaen.  Das  letzt«- 
noch  übrige  Glied  hat  von  dem  Ursprung  den  grossten  hier  vor- 
kommenden, nämlich  den  Abstand  3,  und  mag  das  denselben  ^^egm- 
iSterlicgende^'  oder  der  „Gegenkonstituenf^  des  Ursprungs  genannt  werden. 

Für  den  eben  gewählten  Ursprung  Tenunnlicht  diesen  Sach?erbalt 
die  Figur: 


Anliegende  (iliciicr  und 


Abliegende  Glieder  und 


(jSegeugliüd:  a,&,c, 


Urspnmg:  abe 


abCf 


Wahrend  Ursprung  und  Gegenglied  ungeandert  bleiben  (festge- 
halten werden),  können,  dnreh  blosse  Vertauschtingen  unter  den  Argu- 
menten a,  b,  c  selbst,  die  drei  anlieg^den  Glieder  ineinander  über-  » 
gefQbrt  werden,  desgleichen  die  drei  abliegenden. 


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GeomeiriMb'kombinatorüobea  Problem  Tim  Jevont. 


665 


Ganz  ebenso  verhält  sich  nun  die  Würfelecke  1  zu  den  ilrei  ihr 
benachbarten  2,  .-5  uuü  5,  iiebst  den  ihr  abliegenden  Ecken  -1,  ()  und  7 
uütl  ihrer  Gegeiiecke  8  —  wofern  die  Abstände  entlang  dem  Kauten- 
gystem  des  Würfels  gemessen  werden. 

Und  wie  die  Würfelecken  als  gleichwertig  zu  gelten  haben,  indem 
man  jede  Ecke  in  die  Lage  jeder  andero  bringen  kann,  ohne  dasB  der 
Würlel  aufhört  mit  sich  selbst  susaouaensufallen,  so  kann  man  auch 
durcfai  blosse  Yertauscbangen  von  Argumentes  a,  h  oder  e  mit  ihren 
Negationen  (sowie  auch  von  jenen  unter  sich)  die  ganze  Konstituenten- 
summe  so  in  sich  selber  transformiren ,  dass  irgend  zwei  Terlangte 
Glieder  derselben  den  Platz  gewechselt  haben  werden  —  sodass,  was 
oben  über  den  Urspmng  ahe  in  seinem  Yerhältniss  zu  den  ttbrigen 
Gliedern  gesagt  ist,  anch  Ton  jedem  andern  Gliede  als  Ursprung  wird 
.gelten  müssen. 

Um  alle  saalytiseh  ansftUurbaren  Transformationen  der  Konstitnenten- 
samme  in  sieb  selbst  unter  geometrischem  Bilde  erblicken  za  k<^en,  wird 
man,  anch  den  ,,amge8tülpten"  Würfel ,  das  ist  denjenigen  Würfel,  bei 

welchem  die  Ziffera  aller  Gogenocken  au.«itGta\iSLlit  worden,  für  gleicliwcrtig 
gelten  zu  lassen  haben  mit  dem  nrsprüiigliclicn  Würfel,  obwol  er  mit 
diesem  nie  zur  Declrang  mit  allen  glcichnaniigen  Ecken  f^ebracht  werden 
kann,  demselben  vielmehr  nur  „t>j miuetrißch  gleich''  sein  wird. 

Jene,  die  KonstitiiMitettBnmme  In  sich  selbst  transformireiiden  Yer> 
tamtehnngen  sind  leieht  zu  ermitteln.  Es  sind  Tor  allem  die  folgenden 
I^odukte  von  „Transpositionen**,  bei  denen  wir  solche  Bnchstabenvertau- 
schongen,  die  von  selbst  ans  andern  folgen,  jeweils  unter  diese  schreiben: 

(a,  «.)  (1 .  5)  (2 , 6)  (3,7)  (4,8);    (&,  fe.)  (l ,  3)  (2, 4)  (5,7) (6, 8); 

(c.c,)(1.2)(3,4)(5,6)(7,8); 

(«,&)(3,5)(4,6)}   (a.c)(2,5)(4,7)i    (6,  c)  (2, 3)  (6, 7) 
(flM  («i>0 

Auä  dicken  schon  wtlrden  bich  die  folgenden  Yertauscbungen  nach  den 
Moltiplikationsregeln  der  „8nbstitntionen*Hiheorie  abldten  lassen,  gleichwie 
sie  direkt  sich  ergeben: 

a,  &,  c)  (2,  5,  3)  (4,  6,  7);    (a,  c,  h)  (2,  3,  5)  (4,  7,  6) 

(ö,  a.)  (6, 6.)  (1, 7)  (2 , 8)  (3 , 6)  (4, 6)  j    (a,  a.)  (c,  c.)  (1 , 6)  (2 , 5)  (3, 8)  (4 , 7)  i 

(&A)(M.)(1.4)(2,8)(5.8)(6,7); 

(a,a,)(&,6,)(c,c,)(l,8)(2,7)(3,6)(4,5); 

(fl,6,)(l,7)(2,8);    (a,c,)(l,6)(3,8)i  (h,c,)(l,i)(b,8)i 

(opc) 


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666 


AubuDg  6. 


c,)  (1 , 8)  (2, 6)  (3,7)  (4 ,  5)  5  (a,  c.)  (1 , 8)  (2,  -l)  (:5,  C.)     ,  7)  ? 

(f,c,)(fl,y(l,«)(2,7)(3,4)(5,6)'; 

U,^r,)(l,6,l)ca,5,ö);   O',?'.,0(l,4,7)(2,ö,5)j  jCl,7,G)|,2,3,b;; 

(«n^i') 

—  desgleichen  in  den  drei  letzten  Vertauscliuij^'t'ii  dio  Cvklen  sämtlich  Hick- 
w&rts  gelesen,  beziehungsweläc  dio  buideu  kUlen  EleiueuU)  in  deiiaclbeu 
durchweg  Tertausebt. 

Da  es  nim  bequemer  ist,  sieh  toü  der  geomeiriaehen  AnschauuDg 

des  WOrfels  leiten  za  lasseD,  als  derartige  ZeielieiiTertaascliuugeu  vor* 

sttnehmen,  so  wollen  wir  die  uns  obliegende  kombinatorische  Unter* 

Stt^hmig  jetzt  am  geometrischen  Bilde  ausführen. 

Wir  haben  entweder  keine  Aushebung:  dies  gibt  den  eiateii  Typus 
welcher  der  nichtssagenden  Aossage  entspricht  und  das  Element  0  der 
Qrappe  Gr(a,&,c)  liefert 

Oder  wir  haben  cmc  Aushebung,  indem  wir  als  Element  der  Gruppe 
irgonil  ein  f^lied,  einen  Konstituenten  jener  achtgliedrigen  Summe,  oder 
also  eine  Ecke  des  Würfels  nchiiion  —  einer  von  Jevnns  tnul  Clifford 
so  genannton  ,,6iufaltigen"  Au.s.>agc  (,,onc-fijM  s(;iteiiient'"i  ent>itrechpn<l. 
Dies  gibt  den  zweiten  Typu:»  mit  den  b  Hepräaeutuulun  uder  Formen  {jaIü 
Elementen  der  Gruppe): 

1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8. 

Oder  wir  liaben  :icri  Aushebungen,  indem  wir  zwei  Ecken  des  Würfels 
nehmen,  entspreclicnd  zweien  Konstituenten,  welche  additiv  vereinigt  zu 
denken  sind  zu  einem  Ausdrucke,  als  einem  Kiemente  der  Gruppe,  oder 
als  dem  Poljnom  einer  (rechts  auf  0  gebrachten)  Ausi^agc,  die  als  eine 
„swiefiUtige*^  oder  ,^weifache^'  (twofold  statement)  bezeichnet  werden  dürfte. 

Zwei  Ecken  des  Wttrfela  lassen  nnn  aber  auf  «ireterlei  Weisen  sich 
auswählen. 

Beginnen  wir  jedesmal  mit  der  Ecke  1,  so  kann  die  zweite  Ecke  ent- 
weder eine  ihr  benachbarte  {anliegende)  Ecke  beiu,  d.  h.  eine  von  den 
dreien  2,  3,  5  und  dann  gleichviel  welche,  oder  eine  ablivgctuk,  d.  h.  4,  6 
oder  7,  oder  die  gegenllberliegende,  somit  8.  üies  gibt  fllr  die  drei  fol- 
genden Typen,  bei  dfmen  die  verbundenen  (kombinirten)  Ecken  entweder 
Endpunkte  einer  Kante,  oder  Gogenecken  einer  Seitenfiftohe  des  Wttrfels 
oder  endlich  Qegeoecken  des  Würfels  selbst  sind: 

Dritter  Typus  mit  den  12  Beprttsentanten  (wenn  wir  Baumerspamiss 
halber  die  Flnaieichen  jeweils  nnterdrOcken,  weiche  die  Ziffern  einer  jeden 
Kombination  eigentlich  Terbinden  sollten): 

12,  34,  Ö6,  78,  13,  21,  57,  68,  15,  26,  37,  48. 


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Geomeirisch-kombioatorisohei  Problem  von  JoTon«. 


667 


Vierter  Typus  mit  den  12  IvcpräöunlanLcn: 

14,  23,  Ö8,  67,  IG,  25,  3b,  47,  17,  36,  2«,  46. 
Fünfter  Tjpns  mit  den  4  BeprSeentanten: 

18,  27,  86,  45. 

Oder  wir  haben  Aushebangeu  („tbreefold'^  statemeut)  Aucb  diese 
lassen  sieh  auf  drei  Arten  bewerkstelligen  und  liefern  drei  weitere  Typen. 

Entweder  lütmlieh;  i&wei  von  den  drei  aaszahebenden  Ecken  sind  be- 
nai  )il i.u  te;  dann  mügen  wir  1  und  2  als  diese  nehmen.  Alsdauu  kann  auch 
die  (iritto  auszubebende  Ecke  einer  von  diegen  beiden  beiiachbai*t  sein  (aber 
nicht  beiden  zugleich,  weil  sonst  der  Würfel  ein  Dniock  zur  Beitenfläcbe 
haben  m(isste),  gleichviel  welcher  —  wie  z  B.  3  der  1 ,  uud  die  drei 
E^en  bestinunon  ciQe  rechtwinklig  gebrochene  Linie:  213,  ein  „Knie^';  dies 
gibt  den 

Sechsten  Typus  mit  den  34  Beprilsentaaten: 

312,  124,  343,  431,  657,  578,  786,  865, 

215,  156,  562,  621,  734,  348,  487,  873, 

513,  137,  375,  7il,  426,  2Üö,  684,  Ö42. 

Andernfulles  wird  die  dritte  neben  1  und  2  ansxuwllblende  Ecke  keiner 
von  die.S(<n  beiden  beniichbart  seinj  dann  fallen  die  Ecken  3,  4,  5,  6 
ausser  lietracht,  und  kann  jene  nur  einer  von  den  beiden  i^.ud|)iüikteu  7 
nnd  8  der  Gegeuhaate  von  13  sem,  gleichviel  welcher  von  diesen.  Diese 
Ansbebnng  verknüpft  also  die  BndpiuJcte  einer  Kante  je  mit  einem  End* 
punkt  ihrer  Gegenkanto  und  gibt  den 

Siebenten  Typus  mit  dun  24  Kepräseutanten: 

127,  128,  781,  782,  345,  346,  663,  564, 

136,  138,  681,  683,  245,  247,  572,  574, 

154,  158,  481,  485,  263,  367,  372,  876. 

Oder  unter  den  anssubebenden  Ecken  sind  keine  zwei  benachbarte. 
B^innen  wir  mit  1,  so  werden  also  die  drei  anliegenden  2,  3  nnd  5  zu 
verwerfen  sein.  Nun  kann  aber  auch  die  Gegeneoke  8  nicht  genommen 
werden,  weil  dieser  die  drei  noch  übrigen  Ecken  4,  6  uud  7  benachbart 
sind  und  dann  Vtnuo  nicht  benachbarte  Ecke  mehr  vorhanden  wäre,  die  für 
die  dritte  sich  nelimen  liesse.  Folglieh  müssen  in  diesem  Falle  die  beidt^i 
andern  Ecken  unter  den  der  ersten  abliegenden  4,  7,  8  ausgewählt  werden, 
^deichvi^  auf  welche  Weise.  Wie  147  bestimmen  dann  die  gewühlten 
Ecken  ein  gleichseitiges  Dreieck,  welches  von  Diagonalen  dreier  Seiten- 
flUchen  des  Würfels  gebildet  wird,  und  auf  welchem  als  GrondflKche  je 
eine  Ecke  des  Würfels  pyramidenförmig  steht  Dies  ist  der 

Achte  Typus  mit  den  8  Uepräsentanten: 

523,  *i41,  714,  832,  176,  258,  385,  407.  — 


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668 


Anhang  6. 


Da  hiennit  bei  drei  Amhebniigeii  alle  Möglichkeiten  encbSpft  wurdeO} 
80  haben  wir  ttbenogehen  xa  dem  Falle,  wo  vier  Aushebungen  gemacht 
werden.  Es  wird  aicb  heraiiBstellen,  dass  diese  anf  ««xftserlei  Arten  ge- 
schehen k(>nnon. 

Erster  Unterfall:  Drei  von  den  vier  ausauwülilenden  Ecken  bihlen  die 
Figur  des  rechten  Winkels  (das  Knie,  wie  213  etc.  beim  sechsten  Typui), 
sodass  zwei  von  ihnen  der  von  uns  in  die  Mitte  gesetzten  dritten  benachbart 
sind.  Alsdann  kann  die  vierte  Ecke  einer  Ton  diesen  dreien  benachbart 
sein,  oder  nicht. 

Ist  äio  der  bevorzugten  oder  mittleren  Ecke  benachbart,  so  erweist 

«ic  sich  als  vollkommen  bestiniint.  Well  nämlich  von  den  drei  derselben 
bonaelibartcn  Ki-ken  schon  zwei  aus;Lrebobcn  sind,  ran«s  sie  die  dritte  sein. 
Die  vier  gewählten  Kck(>ii  hcsliiiiiiicii  dann  ein  Dreikant  (einen  Dreifn«s^•, 
ihr  System  be&teht  aus  einer  Ecke  den  Würfels  miiuttb&i  Ueu  Kudpimktea 
der  drei  in  ihr  sasammenstossenden  Kanten.  Dies  ist  der 

Nennte  Tjpns  mit  den  8  BeprUsentanten: 

1523,  3641,  3714,  4832,  5176,  6258,  7385,  8467. 

Ist  die  vierte  Ecke  aber  einer  von  den  bddw  andern  benachbart,  mit- 
bin bei  213  der  2  oder  der  3,  so  kann  sie  entweder  demselben  dnreb  die 
bisherigen  drei  Ecken  bestimmten  Seitenqnadrate  als  dessen  vierte  Ecke 
nnj^ehörcn,  oder,  wenn  diesem  nicht,  ?o  sicher  dorn  gcgcnnbcrliegenden. 
Irn  ersten  Falle  sind  die  <,'ew;ihlten  vier  Ecken  diejetiigou  einer  f|uadra- 
titcheu  Seitenflilcbe  des  WürtcU;  bie  beistimmen  dann  auf  vier  Arten  jene 
zweiteilig  im  rechten  Winkel  gebrochene  Linie  (ehi  Knie),  sowie  eine  drei- 
teilig in  Hufeisenform  gebrochene  Linie.   Dies  gibt  den 

Zehnten  Ijpns  mit  den  6  Beprftsentanten: 

1243,  5786,  1562,  8487,  1375,  2684. 

Im  andern  Falle  muss  die  sn  213  hinzn  sn  wShlende  ^erte  Ecke  ent> 
weder  6  oder  7  sein  (weil  5,  als  der  mittleren  benachbart,  schon  unier 

d<  in  neunten  Typus  bertlcksichtigt  ist,  und  8  za  keiner  von  den  dreien 
benachbart).  Die  vier  Ecken,  wie  G213,  bestimmen  jetzt  eine  windschiefe 
dreiteilig  gebrochene  Linie  (windschiefes  Doppelknie)  und  haben  wir  den 

Elften  Typus  mit  den  24  BeprKsentanten; 

ai-Jt;,  ^1^1,  i;Ms,  7:342,  15G8,  7562,  3786,  Ü784, 
2137,  6134,  1248,  6243,  1578,  nr.73,  2687,  5684, 
2157,  3156,  1268,  4265,  1378,  4375,^487,  3486. 

Bleibt  der  Fall  zu  erledigen,  wo  die  vierte  Ecke  keiner  von  den  drei 

ein  Knie  312  bildenden  benachbart  ist. 

Als  vierte  werden  duim  also  auszuschliessen  sein  die  Ecken  4,  5,  6 
und  7,  sodass  als  einzig  i^uläsaigo  8  geblieben.  Die  vier  erwiiUlten  Ecken 
erscheinen  als  diejenigen  an  einem  rechtwinkligen  Knie  in  Verbindung  mit 
der  Gegenocke  seines  Scheitels  und  haben  wir  den 


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Geoueiiiach-kombinatorisches  Problem  von  Jovons. 


.669 


Zwölften  Typns  mit  den  24  Reprftsentanten: 

3128,  1247,  2435,  4316,  6574,  5782,  7861,  8653, 
2158,  1564,  5628,  6217,  7346,  3485,  4871,  8732, 
5138,  1376,  3752,  7514,  4267,  2683,  6841,  8425. 

liieruiit  sind  die  Fülle  abgethan,  bei  denen  eine  erwählte  Eck  sei 
andern  erw&hlten  benachbart  ist,  also  drei  von  den  vier  zu  erwählenden 
Ecken  in  der  Lage  wie  bdm  sechsten  Tjrpns  an  dnander  stehen;  denn 
das  von  diesen  drtten  gebildete  Knie  kttnnte  man  immer  für  213  im 
obigen  Räsonneroent  eintreten  lassen,  welches  in  allen  seinen  mSglichen 
Kombinationen  bereits  aufgefüln  t  worden.  Solleu  Wiederholungen  Teimieden 
werden,  so  ist  also  fortan  solcher  Fall  nicht  mehr  zuzulassen. 

Bleibt  der  ünterfall  au  erledigen,  wo  drei  von  den  vier  erwählten 
Ecken  in  der  Lage  wie  beim  siebenten  Typus  sich  zu  einander  befinden  — 
wie  s.  B.  127.  In  diesem  Falle  sind  3,  4,  5,  6  als  an  1  oder  8  bwiachbart 
nach  dem  soeben  gesagten  an  Terwerfen,  und  bleibt  blos  8  als  vierte  sn> 
I&ssige  Ecke  übrig.  Die  vier  erwUhlten  Piiuktc  bilden  jetzt  die  Ecken  von 
einem  der  rechteckigen  Diagonalquerschnitte  des  WUrfels,  nnd  haben  wir  den 

Dreizehnten  Typus  mit  den  G  llepräseutanton; 

1278,  3466,  1368,  2457,  1548,  2637. 

Bleibt  j  als  letzter  noch  der  ünterfall  zu  erledigen,  wo  drei  von  den 
vier  auszuhebenden  Ecl<en  die  Figur  des  achten  Typns  miteinander  bilden. 
Und  /.war  wird  aucli  die  vierte  Kcke  mit  je  zweien  der  drei  erwähnten  nur 
diese  Figur  des  achten  Typns  eingehen  dürfen,  AS'cil  andemfalles  (wenn 
uüoilich  eine  Kouiiguratiou  des  siebten  oder  sechsten  Typuü  dabei  mit 
nnterliefe)  die  Anshebmigsweise  schon  im  Bisherigen  abgethan  sein  mttsste. 
Insbesondere  dflrfen  sonach  benachbarte  Ecksn  jetat  ttberhanpt  nicht  mehr 
vorkommen. 

Gehen  wir  von  der  Aushebung  der  Ecken  235  aus,  so  sind  1,  4,  C 
und  7  als  einer  (oder  mehreren)  von  den  drei  erwählten  Ecken  benachbart, 
zu  verwerfen  und  V>lei1)t  nur  mehr  8  als  vierte  zulä.-^.sigc  Ecke  übrig.  Die 
vier  zu  orwählendcn  Kcken  sind  jetzt  durchweg  von  einander  abliegende 
nnd  tulden  das  System  der  Ecken  von  einem  der  beiden  regelmässigen 
(dem  Wtbrfel  einschreibbaren)  Tetraeder.  Wir  haboi  somit  als  letaten 
Typns  dieser  Aushebnng  den 

Vier  sehnten  Typus  mit  den  awei  Beprttsentanten: 

1476,  2358.  — 

Nunmehr  auch  die  Fälle  von  5,  6,  7  und  8  Aashebungen  durchzu- 
gehen ist  nicht  erforderlich,  weil  hierbei  gerade  die  Ecken  ansanheben  sein 
werden,  die  bei  den  ersten  vier  Anshebnngen  (diese  in  nmgekehrter  Beihen- 
f  dge  genommen)  bezüglich  anrflckgelassen  wurden.    Die  Typen  von  jenen 

Aushebungen  sin<l  7,u  denen  von  diesen  bezflglicli  kom]tlcinentär.  Insbesondere 
.  werden  (die)  8  Aushebungen  lielern:  das  Element  I  der  Grnppe  G{a,h,c), 


670 


Anbang  6. 


aU  einzigen  Repriienta&teo  des  letzten  Tjpufl  denelbeu  —  entspreohend 
der  absnrdw  Aussage:  1  0. 

Wir  müssen  demnach  im  Ganzen  haben  entsprechend  je 

0,     1,     2,     3,     4,     5,     6,     7,     8  Aushebungen: 
l  +  l  +  3-f3  +  64-34-3-fl  +  l=^^^  Typen 

voll  Elementen  der  Gruppe  Gia,h,c),  mithin  so  viele  Arten  von  Aus- 
drücken, welche  aus  a,  b  und  c  mittelst  der  drei  Speziea  aufgebaut 
werden  können. 

Und  diese  Typen  konstituiren  zusammen: 

l4-l  +  3H-54-  Ü  —  14  Baupiiypen 

zu  welchen  sich  je  die  von  Anfang  und  £nde  der  obigen  Reihe  gleich- 
weit absiehenden  Typen  besQglich  Zusammenthun.  — 

Wir  wollen  nunmehr  Ton  jedem  Typus  einen  Ileprusentanteu  wirk* 
lieh  anschreiben,  um  denselben  auf  seine  einfachste  Gestalt  oder  be- 
quemste Ausdmcksform  im  identischen  Kalkül  zu  bringen.  Es  reprasen- 
tlrt  den 

I.  Typus:  0;  2.  Typus:  l«*a50;  3.  Typus:  1  +  2  «  abe-^abe^  —  ab\ 

4.  Typus:  1  +  4  —  abe  +  ab,c,  ^a{bc  +  ?>,r,) ; 

5.  Typus:  1  +  8  ^  ahc  -i-  a^h^c^; 

G.  Typus:  1  +  2  +  3  =  ahc  +  abc,  +  a,bc  «=  o  (6  +  c); 

7.  Typus:  1  -H  2  +  7     a6c  -h  abc,  +  a,6,c  —  a(  +  a^b^e\ 

8.  Typus:  2  +  3  +  6  «  abc,  +  a5,c  +  afie     a  (be,  +  b^e)  +  afic] 

die  geriii<^'filgige  Vereinfachung  findet  hier  jedoch  auf  Kosten,  unter 
Yerhfillung  der  Symmetrie  statt 

ü.  Typus:  1  +  2  +  3  +  5  =  a6c  +  abc,  +  ab^c  +  afic  =» 

a  {bc,  +  b^c) bc  ==  a  (b -\-  c)  +  a^bc  =  a{b  +  c)    bc  —  ab    ac  ^  bc\ 

10.  Typus:  t  +  2  +  M  +  1  =  abc  +  abc^  +  ab^c  +  a/>,c,  =  aj 

II.  Typus :  1  +  2  +  .3  -j-  a  —  abc  -I-  abe^  +  ab^c  4-  a,6tf,  = 
«  a    +  c)  +       —  a<?  + 

12.  Typus:  l  +  2-l-3-(-8-»a&c -l-a6r,-l-a&je-|-a,ft,r, «-a(6+c)+<i,6/,; 

13.  Typus:  1 -f  2  +  7  +  8  —  a&c  + c^-^o,6,c +  fl&  + o,6,; 

14.  Typus:  1  +  4  +  (J  +  7  =  a6c  +  a6,c,  +         i  n^h^c  = 
=  fl    r  +  c,)  +  rt,  ( j>  f ,  +  ?>,  ^)  =  (a  c  -f  a,  cj  +  6,  (ac, +rt,r)  = 
=  c  (a6  i        4-  r,  (///>,  i  </,/<); 

ir».  Typus  (komplementür  zum  ö.  Typus):  1  +  i  +  G  +  7-t-8M 

=  abc  +  nft/,  +  afic^  +  a,&,c  H-  a,Ä,r,  «  ai»c  +  6,<?,  -h  a,  (ft,  -i-  r,)  « 

(a  +  ft,  -I-     (d,  -I-  ft  +  c,)  (fl,  4-  6,  ri-  c)  — » atc  +  <i,ft,  -f  a,e,  +  i^,c,; 


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Geometrisch-kombinatoriscbes  Problem  Toa  Jcvons.  G71 

16.  Typus  (kompl.  zum  7.  Typ.):  3  +  4  +  5  +  6  +  8  — 

=  a6,c  +  ah^c^  +  a^hc  +  a^he^  +  «i^c,  ^  ah^  +  afi  +  {a^  +     c,  = 

a&,  +  a,Z>  +  a,c,  =  a6,  +  afi  +  fc,c,  =  ah^  +  a,  (6  +  c,)  «=» 
»  (a  +  c,)  6,  +  a,ö  «  a6,  +  a,d  +  a,d,c,; 

17.  Typus  (kompl.  sum  6.  Typ.):  4  +  6  +  6  +  7+  8  — 

—  flZ>,c,  +  a^hc  +  fl.fcc,  +  a,6,c  +  afi^c^  =  6,c,  +  a,; 

18.  Typus  (^kompl.  zum  5.  Typ.):  2  +  3  +  4  +  5  +  6  +  7 

ahc^  +  ah^c  +  afe.c,  +  afic  +  a,2>c,  +  a,6,c  « 

—  +  6c,  +  ca,  —  a«,  +  c6,  +  5a,  —  (a  +  6  +  c)  (a,  +  6,  +  c,); 

19.  Typua  (kompl.  snm  4.  Typ.):  2  +  8+  5  +  6  +  7  +  8  — 

=  fltc,  +  a6,c  +  afic  +  a,6c,  +  a^h^c  +  a,fc,c,  =  fcc,  +  6,c  +  a,; 

20.  Typus  (^kompl.  zum  3.  Typ.):  3  +  4  +  5  +  6  +  7  +  8  = 

—  ah^e  +  afc,c,  +  a,5c  +  a,ic,  +  ajb^c  +  a,t,C|  —  a,  +  6,; 

21.  Typus  (kompl.  zum  2.  Typ.):  .2  +  3  +  4  +  5+  6  +  7  +  8  — 

—  ahe^  +  a\e  +  ß^/,  +  «,6c  +  a,6c,  +  a,6,c  +  a,&,c,  «  a,  + +  r,; 
] "ypus  (kompl.  zum  1.  Typ.):  1  +  2  +  3  +  4  +  5  +  6  +  7  +  8  = 
«=  ahc  +  ai/c,  +  ah^c  +  a6,c,  +  a,Z<c  t  a^hc^  +        +  a,6|C,  =  1. 

Die  vorstelieuil  von  mir  durchgeführte  Unierstichung'  —  ohne  das 
geometrische  Gewand,  in  das  ich  sie  gekleidet,  und  ohne  die  Ikv.ugiiahme 
anf  „Ausdrücke"  sowie  „Gruppen"  —  ist  zuerst  von  Je  von  8  in  Angrilf 
genommen,  der  sich  die  Frage  vorlegte,  wie  vielerlei  »yAussagcti"  (innerhalb 
der  Toa  tms  ohanktenflirten  Schrankeii)  ÜW  drei  Elaasen  a,  6,  c  gemackt 
werden*  kennen.  Jevons  achreibt  —  freilich  in  gans  aairer  Gestalt,  als 
die  oben  gewonnene  —  die  256  rechts  auf  0  gebrachten  Aussagen  wirklieh 
hin  p.  28G  . . .  289  cf.  auch  "  j).  137  sqq.)  —  eine  Zusammenstellung,  die  er 
alri  ,,tlio  logical  index''  bezeichnet.  Er  ordnet  diese  Aussagen  in  ver- 
schiedene Typen"  ein,  deren  er  aber  (statt  22)  nur  15  aufstellt.  Die  der 
übrigen  klaäbüiziitin  verhindert  ihn  ein  fundamentaler  Irrtum,  zufolge 
dessen  er  eine  Anasage  als  eine  nch  eelbst  widersprechende  (als  „inoonei- 
Stent**)  erklirt  wenn  sie  das  Yerechwinden  Ton  einer  der  drei  Klassen 
5,  c,  oder  von  einer  ihrer  Negationen  a,,  c,  involvirt.  Mit  Hecht  hebt 
"Venn*  p.  1G2  Fiitsnote  hervor,  dass  was  (auch  von  Jevons)  bei  ab- 
geleiteten Symboleu,  z.  B.  Produkten  wie  ahy  etc.  als  znlllssig  erklärt  wird, 
auch  bei  den  ursprünglichen  Symbolen  nicht  ausgeschlossen  werden  darf, 
dass  aber  die  Eiufühiuug  einer  solchen  Ivebtriktiou  überhaupt  (ein  Vorbot, 
leere  oder  Tenekwindende  Klassen  zur  Sprache  zu  bringen)  für  die  Lo^ 
«n  geradem  selbstmSrderisches  Yerfiüiren  (snicida))  wftre. 

Zu  verwundem  ist,  dass  Clifford,  der  wie  nachher  zu  schildern,  das 
analoge  Problem  für  vier  Synihole  a,  6,  c,  d  gelöst,  gleichwol  die 
Jevon.s'<;che  Ijüaung  des  niedereren  Problems  (für  dreie)  nicht  re?idirt  su 
haben  scheint. 


C72 


Anhaiig  6. 


Ist  ein  Anadrack  Yon  einem  der  Toratehenden  22  Typen  jßä^ 

NuU  za  setzen^  ao  ISesi.  eich  die  damit  gegebene  Anesege  oft  noch 

auf  eine  einfachere  Gestalt  biingen  dadarch,  daaa  man  einzefaie  Glieder 

auf  die  andere  Seite  des  GleichheitszeicbenB  wirft,  oder  auch  die 

Gleicfanng  in  mehrere  zerfUll^  diese  in  Sabsnmtionen  nmachreib^  etc. 

Wir  kommen  damit  den  roa  Jerons  in  seinem  „logieal  index**  ge- 
gebenen Formen  der  Aussage  näher,  werden  diese  aber  meist  an  Einfacli- 

lit'it  der  Ausdrucksweise  uoch  überbieten  können,  -weil  Jevons  des  ?nb- 
suintioiisx.eichenä  noch  entbehrte  und  die  Kinorduuug  a=^b  zum  Beispiel 
durch  die  Gleichung  a  ~  nh  auszudrücken  genötigt  war. 

W'eun  wir  unt»  geaau  an  die  oV»ori  vorgeführten  Typns-Repräseu- 

tanten  hulten,  so  ergeben  auf  die  augelührte  Weise  in  der  Tiiat  sich 

leicht  die  lolgenden  Aussagen  zum 

1.  Typ.  0     0  (identiaehe  Ansaage); 

2.  Typ.  a6c«— 0  oder  unsymmetrisch  ai»  =^  c,,  oder  auch  a=^t, +  c,; 
'd,  Typ.  a6  »  0  oder  a  ^  6,; 

4*  lyp.  dbt  —  0  und  a     6  +    oder  ab     ae^  oder  a\  «  ae\ 

5.  Typ.  ahc  =  0  und  (tj\c^  =  0  (oder  1  =^a  +  h  +  c)\ 
ti.  Typ.  ah  =  0  und  ac  =  (Jj  oder  a  =^  2»,c,; 

7.  Typ.  ah^O,  c^a  +  h-, 

8.  Typ.  ab ^ c,  ac^ ft,  be^a;  oder  be^a^be-^- 

9.  Typ.  ab     0,  ac  =  0,  bc  ==  0; 

10.  Typ.  a  =  0; 

11.  Typ.  ac  =  U,  b=^c. 

12.  Typ.  a6  =  0,  ac=.0,  l=^a  +  &  +  c; 

13.  Typ.  ad  «  0  und  1     a  +     oder:  a  — » 5,  oder  a,  ^  6; 

14.  Typ.  a&c  =  0,  a=^6  +  c,  b^a  +  c,  r^a  +  6,  oder  a&  =  ae,, 
0,6  =  «,c,  oder  etc. 

1  f).  Typ.  atc  =      1  =^  fl6  +     +  />r; 

IG.  Typ.  a  ■»  i»  und  1  ^  a  +  6  +  c  (oder  1     a  +  c); 

17.  Typ.  l^a,  + 

18.  Typ.  a  »  &  >»  c; 
11).  Typ.  6c=c; 

20.  Typ.  1  =^  a  =  6; 

21.  Typ.  1  =^  a  =  6  c; 

22.  Typ.  ImmQ  (absurde  Anasage). 


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Zur  Gruppeutbeorie  des  ideotiscbea  Kalküls.  673 

Die  Gruppe  G  {a,h,L^  besteht  hieuach  aus  fol^endeu  256 Elementen: 

1.  Typus:  0;  22.  Tjpus:  1; 

•  '  

2.  Typus: 

ahCj  Oftc,,  ab^c,  fl^hc,  ^^''^u  ^i^S* 

21.  Tjpas: 


3.  Typus: 

a6,  ad,,  a,b,  a,&„  ac,  ac„  ajC,  0,0,,  be, 
20.  Typns: 

ö,+  6,,  ff, +  6,  «■)  6,,    +  0,+  c,  o  +  c,,  ff  +  f ,      c,,  Z'j+c,  l+c^^  l-^c. 

4.  Typas: 

a  {bc  +  6,cJ,  a  (//c,  +  5,c),  a,  (6c  +  ?>,c,),  ff,  (ir,  +  />,c), 
h  {ae  +  «,c,),  6  (ac,  +  a,c),  6,  («c  *  a,c,),  6,  (ac,  +  ö,c), 
{« 6  +      «,    («  6,  +  o,  fe)  <?,   {ab  +  <i|6g)  c, ,  (« ^1  +  Ä,  i>)  . 

I 

19.  Typus: 

ff,  +  //(,  +           ff,  +  bc  +  ff  +  6r,  +  /;,r,     ff  +  6f  +  ?>,f,, 

6,  +  ar,  +  ff,c,    /j,  +  ffr  +  ff,r,,  +  «r,  >  ff,r,       +  ffc  +  ff,c,, 

fl6,  +  a,i*  +  c^t  ab  +  o,fc,  +  <;,,  ad,  +  a,fr  +  c,  at  +  fl,fc,  ♦  c. 

5.  Typus: 
18.  Typus: 

(a  +  6  +  c)(ff,  +  /»,  +  r,),  («  +  '>  +  r,)(ff,  +  />,  +  c),  (ff +    +    ('/,+& +  <?,),  (fl  +  &,  +  c,)  («,+  />+/) 

[oder:    fffc,  +  ft^^  +  cff,,     ff?»,  +  ff,f,  +  fcc,    ö?>  +  ff,c  +  />,r,,  (tc  +  ff,  6,  +  ?>r,  | 

[oder:    öc,  +  c6,  +  Z/ff,,    oc  +  a,i>  +  fc,Cp    ac,  +  a,i^g  +  6c,  o6  +  a,c,  +  6,c,  j 

6.  Typus:                    '  ~ 

a(d  +  c),  a(6  +  c,),  a(^i»,  +  c,),  a(6,  +  c),  a,(ö  +  c),  a,(t,+c),  «,(^+0» 

!»(«  +  c),  6(a,  +  c),       +  l»(ö  +  <r,),  ft,(a  +  c),  6,(a+<',),  6,(<i,+c,),  l»,(o,+c), 

(a  +  6)  c,  (ff  +  6,)  c,  (ff,  +  bj  c,  («,  +  b)  c,  (ff  +  6)  c,,  (ö, + 6)  c,,  (ff, + 6,)  c, ,  (a + 6,) c,. 
17.  Typus: 

n, +  6,<?,,    ö, +  6,c,   ff,  +  a, +  6<?,,  a4&,«,,  a +  a  +  6c,  ö  +  &,c, 

/>,  +  ff,<',,    6,  +  «r,,    6,  +  ac,  l»,  +  ff,«",  6  +  o,c,,    b  +  ii,c,    l»  +  flf,      +  ar,, 

fl,6,  +  r,,    ff,6  +  f",,    fll>  +  r,,    «6,  +  f',,   ff,6,  +  f ,    ff/»,  +  c,    ff6  +  r,    «,6  +  c. 
ScaatofB,  Algvlm»  d«r  Logik.  43 


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674 


Anhang  C. 


7.  Typus: 


16.  Typus: 

ab,  +  0,6  +  a,6,c,,    ai>,  +      +  a&,  +  a,6  +  ab,  +  o,^  +  (t6c, 
ad   a,&,  -i*  a,b(!„   aZ»  +  a,&,  +  a,be,    a&  -f  a,b,  -i-  ab,<;„   ab  -i-  a,b,  -i-  ab,c, 

ac,  +  a,c-i- a,b,c,,    oc,  4  a,e  +   bc,,  ae,  +  a,c  ab^c,    ac, -i- a,c  +  abc, 

ac  +  ff,c,  +  fl,6,c,     ac  +  a,c,  +  f/,6c,     ac  +       +  ^/ /-^c,,    ac+ «,c,  +  «tr,, 

o,6,c,  +  6c,  +  6,c,     ab^c^  +  bc^  +  bfC,    «,6c  +  6c,  +  6,c,    a6c  +  6c, +  6,c, 

o,6,c  +  6c  +  b,c„     abfC  *  bc  +  bfC^f    a,bc,  +  6c  +  6,c,,    tt6c, +  6c  +  6,c, 

[in  welchen  Ausdrücken  too  dem  ternären  Qliede  auch  jeweils  der  eine, 
nder  aber  der  andere  von  den  beiden  Faktoren  unterdrückt  werden  darf^ 
die  in  einem  der  übrigen  mit  ihm  yerbundenen  Glieder  vorkommen]. 

8.  Typus: 

ahc^-¥ab,e*afie,  ahe*(ab^  +  afi)e^y  abe*b^(ac^*a^e\  a(6c,  •t'b,c)+a,b,Cp 

abc  +  a, (6c,  +  6,c),  6(ac, +  a,c)  +  a,6,c,,  (a6,+a,6)c  +  a,6,c,,  rt6,c,+o,6c,+o,6,c 
15.  Typus: 

fl6c+rt,6,+«,c,+6,c,,  a6c,+(cr,  +  6,)c+a,6,,  fl6,c+6(a,+c,)+a,c„  ab,c,+a,{b+c)+6f, 
a(b,4-c,)+a,bC'i>b,c,,  a,bc,+b,(a+c)-fac,  a,b,C't'(a<i>b)c,4ab,  ab4ac+bc-i-a,b,c,, 
[oder:  (a*b^  +  c^) (a^•¥b'¥c^){a^*b^'^c),  (a+6,+c) (a,  +  b  +  c)(a,+b,  +  c,),  ete.] 

ab  ac  •i' (c,  a6  +  (a  +  6)c,,  ac  b,  (a -i- c),  a  (5,  +  c,W  6,r,, 
a,(6  +  c)  +  6c,  6(a, +  c,)  +  a,c,,    (a,  +  6,) c  +  a, 6,,   a,6,  +  a,c,  +  6,r,. 

10.  Typus: 

a,  a,,  6,  6„  c,  c,. 

11.  Typus: 

ac  +  6c,,  flc,  +  6c,  ac  +  6,c,,  rtc,  +  6,c,  <i,r,  +  6c,  rt,f'  +  6r*,,  ",'  ' 

ab^bfCj  ab^  +  bCf  ab*b^e^t  abj-t-bc,,  a^b^*bc,  a,6  +  b,c,  0,6,-1- bc,,  a,b-^b,r,, 
ab4-a,c,  ac<i-a,b,  a(+a,c„  ac,-i-a,bf  ac*a^b^,  ab,-i-a,c,  ae^  +  a^b^^  ab,to,r,. 

12.  Typos: 

o  (6  +  c)  +  a,6,c,,    a  (6 -»■  c,)  +  a,6,c,    a  (6,  +  c,)  +  rt,6c,    a  (6,  +  c)  +  a,6f,, 


.  ^    .d  by  Googl 


Zur  Groppenibeorie  de«  idenÜichan  B^lknlc  675 

a6,ff,  +  fl,  (ft  +  c),  abc^  +  a,  (6,  +  c),  ahe  +  a,  (ft,  +  al»,c  +  a,  (6  +  <?,), 
6  (o  +  es)  +  a,6, c„   ab,c,  -i-  (  (a,   c),         +  6  (o^  +        6  (a  +  <?,)  +  a, ft,<j, 

(fi  +  6)  c  +  rt,7>,^, ,    («  +  l>,)  c  +  ö,fcc,,  a&<:,  +  («,  +  fc,)  c,    rt6,r,  +  (a,  +  6)  c, 

-  6)  r,  +  a,6,c,    oii,c  +  (a,  +  b)  c,,  afcc  +  (a,  +  fc,)  c,,    (o  +  i»J    +  a,i»c. 

13.  Tjpas: 

14.  Typus: 

a  {bc  +  6,c,)  +  a,  (6c,  +  6,c),  a  (Ar,  +  &,c)  +  a,  (6c  +  6,c,). 


Die  Atudrficke  eines  jeden  Typns  sind  so  geordnet,  dass  sie,  wenn 
der  Reihe  nach  gelesen,  genau  entsprechen  den  vorher  zusammengestellten 

Aushebungen  cbiffrirter  Wtirfelecken.  Durch  Vergleichimg  eines  Ausdrucks 
mit  dor  gli'iclistellit,'eu  Ziffernkonibiiiation  uuter  dem  gleichen  Tyjius  wird 
uuruach  auch  sogleich  ersichtlich,  wie  der  erbterc  nach  a,  6,  c  entwickelt 
sich  darstellen  wttrde,  a.  B.  der  erste  Ansclrnclc  (Reprüsentaiit)  des  elften 
Tjptts  muss  sein: 

ac  +  6c,  ■-3  +  l  +  2  +  6«=l+2  +  S  +  6«  übe  +  ahc^  +  a6,c  +  a^bc^. 

Die  Anzahl  der  Typen  und  Haupttypeu  in  welche  die  2'*"'  =  G5  536 Ele- 
mente der  Gruppe  Ö(a,  6,  c,  d)  zerfallen,  hat  Clifford'  bestiramt  — 
Tergl.  auch  eine  hierauf  bezügliche  Bemerkung  von  Cajriey^ 

Dabei  ist  es  ilim  um  die  T>-peuzahl  der  Aussagen  va  Ülvb,  welche 
in  sinmltanen  universalen  Urteilen  über  7ier  Klassen  a,  Jt,  e,  d  abge- 
geben werden  kdnnen  (wenn  also  Alternativen  zwischen  solchen  Ur- 
teilen ausgeschlossen  bleiben,  sodass  nur  die  von  uns  später  soge- 
nannten einfachen  oder  monomtsohen  Urteile  in  Betracht  kommen 
werden). 

Wir  wollen  fiber  den  Charakter  und  die  Ergebnisse  seiner  müh- 
samen Untersuchong  wenigstens  kurz  referiren,  nns  einige  Zusatz- 
bemerkungen  gestattend« 

Die  16  Glieder  oder  Konstituenten  in  der  geordneten  Entwickelung 
der  identischen  Bins  nach  den  Argumenten  a,    c,  «f : 

1  r=  abcd  -T  uhcäf    ahc^d  +  ahc^d^  4  ah^cd  -i  aj)^c,d^ 

wollen  wir  uns  wieder  mit  den  Zahlen  1,2,  3,  ...16  der  Reihe  nach 
nnmerirt  denken. 

Was  die  Abstandsverhältnisse  dieser  16  Konstituenten  betrifft^  so 
gibt  es  zu  irgend  einem  derselben  als  „Ursprung"  O»origin'')  vier  „an- 

48* 


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676 


liegende"  („proximates"),  welclie  den  Abstand  1  von  iliui  besitzen, 
sechs  „mittelstündige"  („mediatcs"),  die  von  ihm  den  Abstand  2  haben, 
Tier  „abliegende"  („ultiniates'')  mit  dem  Abstand  3,  endlich  einen 
„gegenüberliegenden"  (,/jbverse")  mit  dem  Abstand  4  —  so  wie  es  fSr 
den  Ursprung  abcd  das  folgende  Schema  zu  erkennen  gibt: 

1  origin  und  4  pronmates;         6  mediatee;  4  alüinateB  und  1  obterse. 

Ufbed  o.bf  cd  <i&,e,<l, 

9  13  18 

abedf — abcd — ab^ed  a,I>,c,4l — a,b^Cfd^  -  a^be^t^^ 

S  II  6  15  16  I  IS 

XI  »0 

abc.d  aUc.d,  a.b.cd. 

9  4  14 

Vig.  M. 

Die  Frage  ist:  anf  wie  viele  Arten  irgendwieviete  Ton  diesen 
16  Konstitnenten  ansgehohen  und  sn  einer  identischen  Somme  ver- 
einigt, additiv  kombinirt  werden  können,  wenn  man  zn  einerlei  Art 
alle  diejenigen  Aushebung^  rechnet,  bei  welchen  die  resnltirenden 
Summen  durch  blosse  Yertanschungen  unter  den  Buchstaben  a,  5,  c, 
o^,h^,c^,     auf  einander  sarfickgefahrt  werden  kSnnen. 

Anob  hier  iBsst  das  Probien  sich  unter  geometrisohem  Bilde  be- 
trachten. Und  swsr  ISoft  es  hinaus  auf  die  Ermittelung  der  Anzahl  der 
Arten,  auf  welche  bei  dem  ^^Aniihgon  (ks  Wärfels  in  einer  räunUieshen 

MannigfaWgkdt  ton  vier  Dimmsionm"  sich  Ecken  auswählen  lassen.  Um 
znnlichst  fHr  dieses  «tebilde  einen  geeigneten  Namen  5^u  rrowinnen,  mdge 
mau  bedenken,  dass  iukIi  zutieti'end  bezeichnet  werden  könnte 
die  SUeckti  alö  Zucicck 

das  Quadrat  „  (regalftres)  Vterslreeik  (Vierseit) 
der  Wtirfel,  Knbus  „  Sechsguadrai  (Hexaeder) 

—  indem  in  dem  ohnehin  für  letztem  gebräuchlichen  Namen  „Sechsflach** 
(Hexa-hedron)  nnr  zui^Uig  nicht  ausgedrückt  er»dieint,  dass  jede  Seiten- 
fläche ein  Quadrat  soiii  solle. 

Für  jene»  iVa^'üclit!  vieidiuieu&ionalo  (iililde  bietet  demnach  unge- 
zwungen der  Name  „Achtwürfel"  „Oktoknb"  oder 

(reguläres)  „Aßhtzdl" 
sieh  dar.  Dieses  Aohtsell  ist  in  der  That  zu  denken  als  ein  ▼ierdimensiO' 
nales  (hypur-)r&umliohes  Gebiet,  welches  begrenzt  ist  von  acht  Würfeln, 
von  denen  immer  vicrn  in  einer  Kcke  der  Figur  zusammenstossen  und  zu 
je  zweien  eine  quaiiratische  SeitcnflHclio  gemein  balien. 

Man  kann  das  Gebilde  ganz  gui  auch  in  nn-t.im  (dreidimcn^i(lnaIen) 
Räume  veiauachaulicheu  —  sei  es  durch  seine  Projeküoa  in  den  letütern, 
WO  die  Würfel  sich  als  Bhomboeder  darstellen,  sei  es  auf  eine  Weise,  die 
ich  jetzt  beschreiben  will. 

Schon  das  Quadrat  kann  gellx  r  (ich  meine  nicht  eine  Projektion  des- 
selben) mit  seinen  vier  Ecken  in  eine  gerade  Linie  eingezeichnet  werden, 


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GeometriMh-koinbinatorisches  Problem  von  ClifforU. 


677 


desgleichen  der  Würfel  mit  seinem  Ecken-  und  Kantensysteni  in  eine  IClieiie, 
wofern  man  nur  aicli  gestattet,  eimelne  Seiten  resp.  Kanten  desselben  zu 
verbiegen,  dieselben  kttrceododerdebnend. 
FUr  das  Quadrat  soll  dies  Fig.  40,  für 
den  Würfel  Fig.  41  erlSntern;  in  beiden 

halj'^n  wir  auch  die  Nnmmera  der  Ecken  i  t  4  '  9 

eingetragen    (be/.Oj^eu    auf   die    Glieder  Flg.  40. 

unsrer  Eotwickelung  der  identischen  Eins  nach      h  re>i).  a ,  //,  rV 

Zwei  Seiten  des  Quadrates  sowie  zwei  SoiteoUaciicu  des  Wia-relb  er- 
blickt man  unvenerrt. 

Nickte  hinderte,  beim  Quadrat  die  beiden  andern  Seiten  gerad* 
linig  anzunehmen;  jedoch  gescbftbe  dies  auf  Kosten  der  ÜbersicMlicli« 
keit,  indem  die  Tier  Seiten  dann  in-  und  ülter- 
einaiidcr  falieu  vvünleu.  Nun  kann  man  aber 
doch  von  den  Verzerrungen  aboeheu,  un<l  deren 
ungeachtet  di&  Seiten  resp.  Kanten  für  gleich- 
wertig gelten  lassen.  Indem  man  die  Qua- 
dratseiten den  Defonnati<Hien  geschmeidig  folgen 
Iftast,  kann  man  z.  B.  auch  in  der  Anschauung 
das  soit-disant  „Quadrat"  Fig.  40  in  sich  sellt-t 
liernmschwiugen,  sodass  die  Kcke  1  nach  2,  2 
nach  4,  4  nach  3  und  3  nach  1  rückt.  Eben.-.» 
kauu  uiau  ueu  —  sit  venia  verbo!  —  „Würfel"' 
Fig.  41  in  sich  selbst  Tersehieben,  sodass  er  stets 
mit  seiner  Anfangslage  in  Deckung  bleibti  aber 
z.  B.  die  Ecken  1  nach  4,  2,  die  4,  2  nach  8, 
0,  letztere  nach  7,  5  un>l  (Lose  nach  3,  1  rücken, 
etc.   Kurz  man  kann  alle  am  wirklichen  Quadrat  Fig.  41. 

resp.  Würfel  avisführbaren  Piozesf^e  oder  Opera- 
tionen im  Gfcible  auch  zur  Aubfühiung  bringen  an  den  vorbtehendeu  Ab- 
bildern dieser  Gebilde,  welche  eine  Dimmsioo  weniger  als  das  Gebilde 
selbst  besitsen  nnd  —  nach  Analogie 
eines  Herbariums  —  fflglich  als  ..;,'e- 
presstes^^  Quadrat,  „f/eprmter"  Würfel 
zu  bezeichnen  würen. 

Analü^'  bietet  nun  der  vierdimen- 
bionale  Oktokub  im  iln  idimensioiml  ge- 
pressten  Zustande  (gcpresst  natürlich 
unter  Verbiegnng  und  Zerrung  von 
einzelnen  seiner  Kanten")  sich  in  einer 
Gestalt  dar,  die  wir  nebenstehend  in 
einer  annriht  rnd  Perspektiven,  nümlielj 
ortliogonal«  n  rrujektion  in  der  Ebene 
der  Zeichnung  darstellen,  die  16  Num- 
mern an  die  Ecken  setzend. 

Tier  von  den  Wflrfeln  haben,  wie 
man  sieht,  jetzt  eine  wiegenförroige 
Gestalt  gewonnen,  weldie  an  gewisse  vtg.  4«. 


678 


AnhaDg  4. 


Yieraitöge  Kmderscliaalc«]]!  eiiiuiert;  swd  Yon  d«ii  Würfeln  sind  uoTonerrt 
geblieben;  zw]8cb«a  diesen  enebeint  einer  als  der  Kern  der  gnnEen  Figur 

in  unserem  Räume;  der  letzte  von  den  Würfeln  ist  diese  ganze  Fijnr  selbst, 
und  schliesst  die  >it<hon  vorerwJlhntpn  in  sich,  iet  aber  gleichwol  nie  mit 
einem  jeden  derselben  gleichwertig  anzusehen. 

Das  Gebilde  hat  32  Kanten,  von  welchen  immer  viere  in  einer  von 
dtiu  IG  Ecken  zusammenstossen.  Je  droie  von  ßolchen  4  von  einer  Ecke 
ausgebenden  Kanten  bestimmen  einen  ,,Wttrfel^'  nnd  Ton  den  vier  so  be- 
stimmtra  Würfeln  (y<m  welcben  ebenlUls  zu  mgen  sein  wird,  dass  sie  In 
dieser  Ecke  znsammenstossen)  haben  je  zweie  wieder  eine  Seltenfläche  mit- 
einander gemoin,  sodass  auch  sechs  „qiiadratische  ScitenflSchen  in  jeder  £cke 
zusaranieutrcflen;  der  Seitenflächen  sind  es  21  im  panzeu. 

Anstatt  der  hier  gewählten  Vtirauschaulichuug&waise  kann  man  auch 
eine  exakte  Parallelprojektion  des  vierdimensionalen  Gebildes  (regulären 
Oktoknbs)  in  nnsem  dreidimensionalen  Banm  betraohten.  Eine  orthogonale 
Projektion  derart  gibt  die  Figur  (das  Eantensystem)  des  regnllren  Rhomben- 
dodekaeders  (RantcnzwdlfflScbners,  Granatoeders)  mitsamt  den  acht  Radien, 
welche  die  dreikantigen  Ecken  desselben  mit  seinem  "MiUelpunkto  verbinden, 
in  welchem  letztern  die  Projektionen  zweier  Ecken  des  Achtzells  zusammen- 
fallen —  ein  Umstand  auf  welchen  Herr  Kollege  Hertz  mich  aufmerksam 
machte.  Die  Projektion  ist  analog  derjenigen,  bei  welcher  ein  Würfel  sich 
als  regnlSres  Sechseck  projizirt^  wobei  zwei  Wflrfelecken  in  dem  Ifittelponkt 
des  letztem  ttbereinander  fallen.  Wie  wir  diese  ia  der  ¥ig,  43  «n  wenig 
anseananderhslten,  so  woll«i  wir  auch  in  der  Fig.  44  des  inrcgizirten  Acht- 


Zells  die  beiden  Koken  S  und  9  beiiufs  Vennohning  dt-r  Übersicht  nicht 
gauin  '<:u^amiueufuUen  lasaeu,  was  sie  eigenllich  thuu  sollten. 

Die  24  «quadratischen  .Seitenflächen  des  AchtseUs  projiziren  sich  zur 


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Goouictriacb-kombiuutoriäcLoä  Problem  ?ou  Clifforii.  Ö7U 

einen  Hallte  als  die  12  rauteiifSniiigen  Seitenflleliea  dos  Oran&toeders,  vat 
andern  HSlfte  als  die  im  Innern  des  Körpers  liegenden  Bauten,  die  auf 
7weieti  Oe<:^enkanten  cinor  vlcrkanlii^'en  Graiiatoederocke  stehen  und  dessen 
Mittelpunkt  8  oder  9  zur  vierten  Ecke  haben.  Und  ganz  deutlich  wird 
niim  nun  allemal  die  beiden  als  Ebomboeder  projizirten  Würfel  erblicken, 
die  auf  ir^'eiid  einer  von  den  vorerwähnten  24  lüiuteu  als  auf  eiucr 
gemeinsamen  Grandflaehe  sieben. 

.In  der  Regelmftsöigkeit  der  Torstolienden  Figur  prägt  sich  mit  der 
Umstand  ans,  dasi  die  16  Eeken  des  regnliren  Oktoknbs  aof  dem  vier« 
dimensionalen  Analogen  einer  EngelflSebe,  auf  einer  ,,Vierer-Spbftre'*  liegen 
mttssen. 

Würde  die  Seite  des  Quadrats  oder  Kante  des  Wttrfels  und  Oktokabs 
snr  L&ngeneioheit  genommen,  so  würde  nebenbei  gesagt  der  £%dias  dieser 

vierdimensionalen  Hyper^SphSre  leiebt  als  »  y  |/4  «  1  sich  berechnen, 

gleiehwie  der  Radius  der  doreb  die  Ecken  eines  WOrfels  gelegten  (drei. 

dimensionalen)  Kugel  =     l/S ,   der   des  dem  Quadrat  umschriebenen 

Kreises      y  V*^  ^  „eindimensionalen  Hjpo-Kreises'^,  gelegt 

durch  die  Ecken  des  Zweiecks  (der  Strecke  l),  =     yT  =      ist.  Die 

dem  Oninatocder  uuitjchreibbaren  Kugeln,  welche  nämlich  durch  die  Ecken 
\(fn  einerlei  Art  desselben  hind  irLh^^ehen,  sind  natürlich  vou  kleinerem 
llulbuesser,  aiä  dem  vorerwähaten  1  der  iiyper-Sphüre,  und  zwar  wären 
ihre  Radien  anschwer  zu  find«i  —  in  Anbetracht,  dass  (naoh  einer  Be> 
merkong  von  Horts)  gleichwie  in  Fig.  43  die  Qnadratdiagonalen  23,  47, 
etc.  un<l  die  Dreiecke  235,  47G)  so  in  der  rftumlichen  Figur  zu  Fig.  44  dio 
Würfeldiagonalflächen  l,  G,  IC-  4,  6,  7,  etc.  sowie  die  Tetraeder  I,  10,  11,  13 
und  4,  6,  7,  Iß  sich  in  natürlicher  Grösse  präsentircn  müssen.  Wol  dio 
einf"ili,<lr  Veranöchaulicluing  des  Achtzells  entnehme  ich  einem  Modelle 
Uerru  Victor  Schlegel  s  —  Modell  iSr.  2 
der  16«  Serie  (Projeküonsmodelle  der  vier 
ersten  regelmftssigen  vierdimensionalen  ESr- 
I)er)  aus  der  httbsoheii  Sanmlong  von 
Modellen  für  den  höheren  mathematischen 
Unterricht,  welche  in  L.  BrilTs  Verlari^c 
in  Darmstadt  erschifinen.  Das  Gebilde  itit 
in  des  ersteren  Abhandlung:  „Theorie  der 
homogen  zasammengssetsten  Raumgebilde** 
in  den  Nova  acta  der  Ksl.  Leop^Carol. 
'  Deatschen  Akademie  der  Naturforscher, 
Bd.  44,  p.  343.. 457,  angeführt  p.  434  — 
auch  als  Stringham's  reguläres  „Oktae- 
droid  '  (cf.  American  Journal  of  Math.  "  pig. 
Vol.  3,  p.  1     14).  ' 

Das  Modell  stellt  eine  centrische  Projektion  de^  Achtzells  in  unsern 
Kaum  vor,  analog  derjenigen  durch  Fig.  45  dcugebleliten,  bei  der  man 


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680 


Anhang  8. 


selben  auf  diese  projizirt 


Fig.  46, 


einen  Würfel  auf  die  Ebene  stellt  un'l  v<hi  cinrm  Punkte  ol>erh;ilb  des- 

Eä  »ei  durch  die  beitolgeuden  Fig.  -ii»  und  47 
veranschaulicht  —  jen«  wie  die 
früliereii  orthogonal,  diese  nach 
Kopp'scher  Manier  schief  pro- 
jizirt  —  bei  welcher  der  innere 
CMlrr  Kfni-Würfel  thatsilchlich 
in  unsf^rni  liaurae  steht. 

Ks  kauu  nun  die  geonietriscb- 
kombinatorisohe  Aufgabe  ge- 
stellt werden,  zn  ermitteln,  auf 
wie  Ticle  Arten  siili  an  er* 
wBhntem  Achtzell  Ecken  aus- 
wählen lassen,  vrcnn  7,'i  einerlei 
Art  alle  diejeuigeu  Aushebungen 
>,'eziihlt  werden,  bei  welchen  die 
ätcme  der  ausgewShltenEcken 
kongruente  oder  eymmetrisch 
gleich  e  F  i  gu  r en  b  i  M  < '  n .  Und  mit 
dieser  Aufgabe  ftillt  das  von 
Clifford  «^'plöj^tf  loci?eh-kom- 
binatorifeflic  Prnlilein  -/ii-ainiuen, 
die  Anzaiil  der  Tjpen  zu  er- 
mitteln, in  welche  cÜe  aus  vier 
(und  nur  vier)  Argumenten  o,  b, 
Cy  d  (also  ohne  Zutritt  von  Pa- 
rametern als  KoeüB^ienten)  zu- 
fiamiiifn?c1/"f'U'n  ,,Fnnktionen 
im  identihcluui  Kulkiil"  zerfallen, 
oder  die  Typeuzahl  der  Aus- 
sagen SU  finden  (vermehrt  um 
1),  welohe  Aber  vier  Klassen 
oder  Begriffe  (ohne  Hinzu- 
ziehung von  noch  anderen)  in 
simultanen  universalen  Urt  eilen 
abgegeben  wei'ik'ii  künneti. 

TJni  nunnieiir  (Jlii'iord  s 
Resultate  ah  auf  die  Typenzahl  der  Elemente  von  G  (a,  h,  <7) 
bezügliche  anzutühreu,  wollen  wir  uusre  voraugeschickton  Iiesultate 
für  6r  (rt),  G  (a,  h)  und  G  (a,  6,  v)  noch  einmal  rekujatulirend 
zusammenstellen,  indem  wir  für  jede  Zahl  von  ausgehobuen  Konsti- 
tuenten auch  hinzufügen:  die  Summe  der  Formenzahlen  der  Typen, 
in  welche  sie  zerfallt,  da^^  ist  die  Qesamtanzabi  der  Elemente  untrer 
Gruppe,  welche  entwickelt  aus  soviel  Konstituenten  sich  additiv 
zusammensetzen. 

Diese  Formensahl  ist  bei  n  Bestimmungselementen  der  Gruppe  und  k 


Fig.  47. 


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GcomctrUc-h-konibinatoriscbes  Problem  voo  Clifford. 


G81 


auszuhebenden  yon  den  2"  Konstituenten  (der  Entwidcelung  der  identischen  1 

nach  Jonen)  a  priori  bekannt,  inlom  sie  sein  muss:  <1io  Ansaht  der  (addi- 
tiven) Kombiuationen  ohne  Wiederholungen  zur  A**"  Klasse  von  diesen  2" 
KnriBtiluenten  (oder  EutwickelungsgUedem)  als  ,|Elementen^^  Sie  ist  mit- 
hiu  der  Biuomiualkoeftizieiit: 

wotV  rii  wir  un-  für  den  Biimininalkooffi'/ienf /um  Expnncnton  m  und  vom 
Index  K  der  bekannten  Schlömilch 'scheu  l]e/AMcIjuungsweiäe  bedienen: 

m  X  (m  —  1)  X  (m  —  2)  •  •  -  X  (wi  —  X  ^  1)       ,  ^ 

Wir  hatten  liir  m  =  1 ,  mithin  bei  G  (a),  au 

Oy     1,    2    Äushehntujm  (resp.  -facher  Aussage^  -fold  Statement): 
1,^  If    1   Typen,  mit  zasammen 

"  f,^  2,  n  oder 

(^2)0^(2)1,(2)2  J^orme»  (Repräsentanten  oder  Elementen  der  Gruppe), 
dabei  1  -|~  ^  ^  ^  Hanpttypen. 

Desgleichen  hatten  wir  f&r  n     2,  also  bei  G  (a,  H),  zu 

0,  1,    2j    3,   4  AwMmngm: 

If     1,     2,     1,     1     Typen,  mit  znaanimen  besflglich 

1,  4,    6,     4,     1  oder 

(4)o,  (4)i,  (4).,  (4)3,  (4).,  Formen,  somit 

1  +  ^  "f"  2  =  4  Haupttypen. 

Femer  fClr  «  «  3,  also  bei  G  (a,  6,  c)^  au 

0,    t,     2,     3,     4,  6,  7,   8  Äusketmi^: 

\t    1,     3,     3,     6»    3,    3,  1,   1    Typen  mit  zusammen 

i7~H7~28,'~~5ü7~T07'])ü7"2<S,'"8  oder 
l^i«,  1^)1;  {^^i,  (8)5,  (H)^,  (8)„  (8\.  (8),,  (8),  Fmnm, 
was  1  -f  1  -f  •]  -f    4-  C.  =  14  iiadpttyen  gab. 

Endlich  für  «  =  4,  mithin  bei  G{a^h,c,(i),  gibt  es  bei 

0,  1,  2,  3,  4,  5,  G,  7,  8,  HJO,  ]1,  12, 1.%  14,  15,lG^lu«/u'^»»^/«^: 
l,  1,  4,  G,  10,  27,47,  f).%  7S,  oö,  47,  27,  19,  G,   4,    1,  1  /!/;i«M_init 

),   i<;,   iio,  :>«(>,  l^ll;l■,.^;;(:.s,^üOÄ,l I  I u».i-H;o,ni  10, tiu'S,  u<;s,  ij^iio,  .'•»•o,  12«,    i*>,    i  od»r 
0%,  it;),.ut;)„(ifv>,  (i<:-„(it;)„(iiiK,(JO)„  (i.;^.  (iG)..,(it!>,,,(i(!i,„(ic),5„;iOj„,(iO),„ucjj»,ii6j,.  /■"onw« 

und  beträgt  die  Zahl  der  liaupttypen: 

1  +  1  +  4  +  ()  ^-  in     27  +  47  4-  65  -f-  78  =  2^8. 
In  Summa  haben  wir  also  i'ür 

»  —  1,   2,     3,  4: 

3,    G,    22,    398  Typen  und 
2,    4,    14,    258  Uaupttypcu. 


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682  Anhaug  G. 

Die  von  Clifford  gegebne  Typenzabl  396  war  bier  nm  2  m  Ter« 
mebren,  weil  er  die  Elemente  0  und  1  der  Qrnppc,  als  identische  (0-fold 
statt  itK-iit)  und  absurde  Aassago  (IG-fold  Blatement)  nicht  mitbeiUckaiciiiigte. 

kh  Imbe  nur  die  vier  ersten  Typenzahlangaben  des  obigen  Sebema's 

selbst  nacli;^'erechnet. 

Bei  drei  Aushebungen  hat  man  in  der  Tbat  in  Bezug  aut  die  Ab- 
standsverhältnisse der  drei  ausgehobenen  Glieder  die  folgenden  6  Hüghch- 
keitea:     PPf>*t   pmu^  puo^   mmm,   mmo,   ntuu^  oder 

112,     123,     Kil,      222,      224,  233 

wo  die  Bucli>l;iben  wi,  «,  o  als  Anfangsbuchstaben  auf  „proximale,  me- 
diate,  ulüuiato  und  obverso'*  hinweisen  sollen,  und  selber  —  oder  besser 
die  darunter  gesetzten  Abstand^zifiem  —  je  an  die  Seiten  eines  Dreiecks 
gesetzt  zu  denken  sind,  an  dessen  Ecken  die  drei  sosgehobenen  Glieder 
Bteben.    Bepiteentanten  dieser  6  Typen  sind  etwa  die  Ansdrllcke: 

ahcd  +  o&c<f,  +  ahe^ä  •=  ab  (c  4- 

ahcd  +  (ibtii^  +  ah^r^d  =  a  (bc  1 

abcd  +  ab  cd,  +  (ijt,i\d     abc  +  a,&, 

ahcd  +  ahc^d^  +  ab^cd^     a{bcd  +  (be,  +       d^ ) , 

ahcd  +  flft<?,c?,  +  a,6,cd  ah  (cd+c^d^  +  a^h^ed  —  (ab +  cd  4-  «^r,«?,, 
ahcd  +  ab<\'!^  i  a^bfC^d  =  {abc  +  «,'^,^,)  d  +  abc^d, . 

Wie  man  sieht  läuft  das  Problem,  arithiiutisch  gefasst,  binuu3 
auf  die  additive  Zerlegung  der  ßinomialkoeffizicnten  von  der  Form  (2")2 
in  die  Formenzahlen  der  verschieUeneu  Typen,  weiche  sicii  bei  A  Aus- 
hebungen ergeben.  Für  »  » 2  and  3  ergaben  sich  als  solche  Zer- 
legungen: 

(4),-4  +  2; 

(8),  =  (B)«  -12  +  4+12,    (S),  =  (8),  «  24  +  8  4  -  1, 

(8),  =  24  +  G  +  (8  +  2)  +  ^  + 

Das  allgemeine  Gesetz  scheint  jedoch  nicht  leicht  zu  ermitteln. 

Will  man  das  Problem  bei  beliebigem  n  und  X  mithin  allgemein  be- 
handeln, 80  empfiehlt  es  sich  vielleicht,  die  2"  Konstituenten  der  Knt- 
Wickelung  so  zu  numeriren,  dass  ihre  (.)rdnung>zalilen  im  „dyadisclicn  Zahleu- 
j^ystem"  dargestellt  erbcheinen.  Aus  dciu  strenge  nach  den  Argumentbuch- 
staben geordnet  dargestellten  Konstituenten  ergibt  sich  die  OidnungsaU 
in  der  dyadisehen  Darstellung  aufs  leicbteste,  indem  man  alle  unnegirten 
Argumcntfaktoren  in  Nullen,  alle  tnlf  Xogationssti'ich  versehenen  in  Einser 
umschreibt.  Man  kann  heroaeh  die  ßntwickelung  der  identisohen  Eins  so 
zusammenfassen: 

1  =B  ^1  ^>  •  •         «1«,  ..         (als  ,,identi6che  Summe). 

0         0  0 


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Zur  Oruppentheohe  des  identischen  Kalkais.  683 

Dm  den  Äbitand  irgend  zweier  Glieder  dieser  Summe  zu  erfahren,  setze 
man  sie  mit  den  gleiehaielligen  Ziffem  (ihrer  dyadiBchen  Ordnangnahlen) 
unter  eutander,  nnd  setze  eine  Kall  an,  wo  xwei  gleiche  Ziffern  (swei 

Nullen  oder  zwei  Einser)  unter  einander  stehen,  eine  Eins,  wo  zwei  im- 
j^^k'iche  Ziflfem  (O  und  1  oder  1  nn<l  O)  unter  einander  stehen.  Der  ge- 
suchte Abstand  ist  die  Ziffernsummo  („Qucrstimm«")  des  t:o  <,'ebil(ioten 
Ansatzes.  [Den  letztern  könnte  mau  als  Jus  „symbolische  l'ioJukL"  der 
beiden  Glieder  im  Sinne  meiner  Abhandlung^  §  9  und  10  hinstellen.] 

Für  Of  1,  2  Ansbebnngen  hat  man  jedenfalls  bnttglich  1,  1,  n  als 
Typensablen.  Doch  schon  fttr  8  Ansbebungen  ist  die  Typen»hl  mit  ihren 
den  Typen  einxeln  sngebOrigen  Formenzahlen  nnr  sehr  mühsam  sn  ge- 
wimien. 

Das  Problem  sei  den  Mathematikern  zur  Weiterführuug  empfohlen.  — 


Was  die  eingangs  angeregte  Frage  nach  der  Gliederung  einer 
.  gegebenen  Gruppe  in  Untergruppen,  und  deren  Anzahl,  betrifift,  so  ist 
dieselbe  noch  seHr  leicht  empiriseb  fQr  G  (a)  und  G  {a,  h)  sn  beant- 
worten! 

Es  enthalt  nämlich*)      (a)     (0, 1,  a,  a,)  —  ausser  sich  selbst 
—  nur  die  eine  Untergruppe      (0)  =  1). 
i^y  ^)  enthalt  als  Untergruppen 

erstens  die  Nullgruppe  (».,  (0); 

zweitens  die  Hieben  viLielementigon  Gruppen: 

GA"),  6* (4),  G^{ab).  G^(ab,\  G^ia.b),  G^M,  G,(ab,  +  a,b) 
drittens  die  sechs  aehtelementigen  Gmppen: 

(a,  ab)  =  (0, 1,  o,  a„  ah^  a,  +  h„  a&,,  a,  +  6), 
6rg  (bf  ah)  °=»  (0,  1,  b,  6,,  ab,  o,  +  6,,  a,fe,  a  +  6,), 
(?8  (a,  a,6)  =  (0, 1,  a,  a^,  a,6,  a  +  6„  a,6„  a  +  b), 
G^  (6,  ah,)  —  (0, 1,  h,  h,,  ah,,  a,  +  h,  a,6„  a  +  h), 

{ab,  afi,)  =  (0, 1,  ah,  a,  +  6,,  »,6,,  a       ah  +  afi,,  ah^  +  aj)\ 
{ab,,  a,h)  =  (0,  1,  ah,,  a,  +  h,  a,h,  a  -hh,,ab  +  a,h,,  ah,  +  a,h) 

viertens  sich  selber  als  16  elementige  Gruppe.  Zusammen  enthält 
G  (a,b)  also  +        1  =  15  Untergruppen. 

Die  Gliederung  auch  dieser  Untergruppen  wäre  leicht  in  ähnlicher 
Weise  ansugeben. 

Dagegen  ist  die  analoge  Aufgabe,  die  Untergruppen  von  G^r^  (a, 
h,e)  ToUstandig  ansugeben,  eine  noch  ungelöste  und  signalisirt  sich 

*)  Der  Deutlichkeit  zuliebe  fägen  wir  die  Elcmeutezahl  der  Gruppe  dem 
Bachstaben  G  als  Suffix  bei. 


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684  Anhang  6. 

hier  abermals  eine  Reihe  von  Problemen  dem  Mathematiker  und 
Philosophen. 


Anetait  Ton  ,^Grappen''  schlechtweg,  d.  i  von  Gruppen  hin- 
sichtlich aller  drei  Operationen  oder  Spezies  des  identischen  Kalknls 
bat  man  zuweilen  Veranlassung,  auch  zu  reden  Ton  Gruppen  in  Hin- 
sicht nur  gewisser  von  diesen  drei  Operationen.  Und  verdient  es, 
hier  noch  kurz  erörtert  zu  werden,  auf  wie  yiele  und  welche  Arten 
solches  m5glich  ist. 

Von  vornherein  erscheint  es  mdglich  zn  reden  von  einer  Gruppe 
in  Hinsicht  l^ner,  oder  irgend  einer,  oder  irgend  ffweier  oder  endlich 
tdler  dreie  von  den  gcuannten  Operationen. 

Der  ^erste  Fall  bleibe  ausser  Betracht.  Von  den  fibrigen 
3  4-  +  1  ^  7  Möglichkeiten  erweisen  aber  nur  fünfe  sieh  als 
wesentlich  verschieden,  wo  5  entstanden  aus  3  4"  1  + 

In  der  That  ist  haltbar  der  Begriff  einer  Gmppe  in  Hinsicht  der 
Nrgation  für  sieh  als  eines  Systems  von  Elementen,  welches  durch 
Is\'ji;ireu  nicht  weiter  vermehrt  werden  kann,  wt'khes  niinilich  zu  jetlem 
AuöLlrucke,  der  als  Element  des  Syssteius  auftritt,  auch  Uesücn  Nega- 
tion bereits  als  Element  euthUlt. 

l)i'sglei(hen  der  l»e<i;riff 
einer  (inippr  i)t  JlliistcJit  der  Maltiplikadon  uiul  (dual  euisprecheud)  der 
einer  Gi  uppe  in  llumcht  der  Addition  allein. 

Weiter  der  Begriff 
einer  (i nippe  in  Jliusicht  der  Multiplikation  tou^  ^(i't/t^/uii  (mit  Ausschluss 

jedoch  der  Ne;j;ationl  und  endlich  der  Bef^rif^' 
einer  Grupjtc  in  Huwclit  aller  drei  Spegies,  der  üruppe  schlechtweg. 

Beispiele  gelegentlich  in  Hand  2. 

Dagegen  kann  es  nicht  geben: 
eine  Gruppenbildung  hinsichtlich  Multiplikation  und  Negation  allein, 
desgleichen  nicht  eine  solche  nur  in  Hinsicht  auf  Addition  und  Nega- 
tion —  denn  sind  die  Operationen  eines  von  diesen  beiden  Paaren  von 
Spezies  zugelassen,  so  ist  es  von  selbst  auch  immer  die  dritte  Spezies, 
und  wird  d*>r  letzte  Fall  vorliegen:  der  GruppenbilduDg  schlechtweg 
oder  in  Hinsicht  aller  drei  Spezies. 

Dies  beruht  auf  der  Anmerkung  zu  den  Theoremen  36),  wonach 
auch  (S.  353) 

(a,  bX  —  a  -I-  6   resp.   (a,  -i-  6,),  —  ab 
allemal  gebildet  werden  kann,  sobald  es  gestattet  ist,  neben  der  Opera- 


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Zar  Qrappentheorie  des  ideatischcn  Kalkok. 


685 


tion  des  Negirens  nur  die  eine  der  beiden  direkten  Operationen  des 
Kalküls  anf  die  Elemente  a  und  6  der  Gruppe  anzuwenden. 

In  der  Tbat  sind  also  im  identischen  Kalkal  nur  die  auf^^ezühUon 
fünferlei  Artcu  der  Gruppenbildung  möglich,  von  welchen  die  letzte 
als  die  wichtigste  diejenige  ist,  mit  der  wir  nna  vorwiegend  be- 
schäftigten.   

Wir  können  auch  das  Substrat  der  hier  untersuchten  „Gruppen" 
benntseui  mn  (aufs  neue)  jene  Behauptung  des  §  12  nnsrer  Theorie 
zu  erhärten:  dass  die  zweite  Subsumtion  des  Distributionsgesetzes  nüM 
sjllogistisch  beweisbar  ist. 

Im  logiadien  Kalkül  mit  „Gmppen"  (speziell  von  Ausdrücken, 
Funktionen,  wie  sie  im  identischen  Kalkül  vorkommen)  gilt  in  der 
Thai  diese  zweite  Subsmntion  des  Distributionsgesetzes  tm  aUffemetnen 
nidU  und  gelten  gleichwol  doch  alle  andern  Sätze  des  identischen 
Kalküls,  wie  solche  bis  einschliesslich  des  §  11  der  Theorie  entwickelt 
worden  —  insbesondre  natürlich  also  auch  die  erste  Subsumtion  des 
Distribntionsgesetzes. 

Um  gedachten  Nachweis  zn  leisten,  braucht  man  sich  nur  nach 
der  oben  von  uns  begründeten  Methode  von  der  Vollständigkeit  nach- 
stehender Tier  Gruppen  zu  überzeugen,  die  wir  kurz  mit  den  links  bei- 
gesetzten Buchstaben  bezeichnen  wollen: 

-4  «      {ahc,  ab  l  a  c  +  hc)  —  {0,  1 ,  ahc,  a,  +     i  t, , 

ab-i-ac  +  bCf  a^i,  +  a^c^  +  b^c^f  a^bc  +  a6,c  -i-  abc^ ,  abc  +  a^b^  +  a,c,  +  b^e^  \ , 

B     G^^{ahf  bc)      {0,  1,  ahf  hCj    +     a, -f     a&c,  ahc^y  a^bc, 
+         rt,  +  6,  +  c,  a  +  b^+c,,  b{a  +  €\  l\-^-a^c^,  b(ac,-\-a^c),  b^  +  ae+a^c,\f 

^i6(o<7>  he)  «  {0,  1,  ac,  be,  «, +     b^+€^,  abe,  ab^e,  afie^ 
a, a,-hb+€fy  a+t,+c„  c(a+b),  «(a&,+a,Ä),  <!,+a&+a,d, ) , 

^31  («^1  ««J»  ^<^)  ^  { Ö,  1,  ab,  ac,  bc,    +     a,  +  c, ,  6,  -f  <?, , 
abe,  a6c,,  a5,c,  a,be,  c,  +  6, +<?,,  a,  +  &,  +  i?,  a,+-ft  +  c,,  a  +    +  <j,, 

a(b  +  c),  6(a  +  c),  c(a  +  fc),  a,  +  ?>,c,,  b,  +  a,r^.  + 

n{bc^+b^r')f  i/(rtc,+a,c\  clab^-i-a^b),  a^-\-bc+b^r^ ,  h^  1  fic+ff,c,,  c^+ab+a^j^, 

ab  +  ac  +  bc,  a^b^  +  a^c^  +  b^c^,  a^hc  i  ab^c  4-  abc^ ,  a^c-f  tfi^,  +  cr,r, +      J  . 

Die  drei  er>?ten  von  diesen:  A,  B,  C,  sind  Untergruppen  der  vierten 
l),  was  RelbsiverstHndlich  erscheint  anch  bei  der  ersten  A,  in  An* 
bctracht,  dass  die  Bestimmungselemente  von  dieser  nichts  anderes  sind, 
als  Produkt  und  Summe  der  Bestimmungselemente  von  D, 


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G86 


Anhang  6. 


Da  C  aus  B  hervorgebt,  indem  man  h  und  c  vertauscht,  so  braucht 
die  Probo  auf  Vollständigkeit  blos  bei  den  Gruppen  A,  B  und  D  aus- 
geführt zu  werden:  für  diese  aber  ist  sie  von  erster  Wichtigkeit,  da 
auf  der  konstatirten  VollstiLiidigkeit  die  Beweiskraft  der  Überlf^irnfigen 
beruht  [Man  luüsste  sich  hier  also  der  nicht  unerheblichen  Mühe  des 
systematischen  lutermultiplizirens  und  Interaddirens  nnteniehen.] 

Nach  dem  ao^stallten  Begriffe  der  logischen  Summe  Yon  Gruppen 
haben  wir  nun: 

weil  G  {abf  ae,  he)  die  Bestlmmnngselemenie  von  G  (a&,  he)  und 
G  (aC|  he)  in  sieh  Tereinigt  Daher  ist: 

—  iiacli  Th.  20^.),  weil  ja  A  =^  JJ ,  wie  oben  erwuhiit,  sein  musste. 

Andrerseits  i>t  es  leicht  die  Produkte  A  •  B  und  A  •  C  der  ersten 
Gruppe  in  die  beideu  auf  sie  folgenden  zu  ermitteln. 

Sucht  man  die  Elemente  auf,  welche  die  Gruppen  A  und  B,  uamlicli 
ihre  Elemeiileiiisvötenic,  gemein  haben,  so  bildet  deren  System  not- 
wendig wieder  oiiu-  Gruppe.  Diese  möge  E  heissenj  so  lehrt  der  blosse 
Anblick  von  A  und  B,  dass 

E «  G^iabc)  =»  {0,  1,  abc,  o,  +  i»,  +  c,} 

ist,  und  haben  wir  also; 

AB^E. 
Ebenso  zeigt  sich  aber  auch,  dass 

A'C^E 

ist  (wie  zum  Überiluss  auch  schon  aus  der  Symmetrie  von  E  bezüg- 
lich a,  h,  c  hervorgeht). 

Darnach  wird  sein  müssen: 

A'B^A'C-^E-\-E  =  E. 

Nun  deckt  aber  E  sich  keineswegs  mit  A,  es  ist  sonach  auch 
AB  +  AG  Terscbieden  von,  jedenfalls  ungleich  A{B  +  C),  welches 
gleich  A  erwiesen.  Man  bemerkt,  dass  E  iittr  eine  (d.  i.  eine  ,^echte*') 
Untergruppe  von  A  ist;  wir  haben: 

und  folglich  auch  (durch  beiderseitij^e  Kiusetzuug  des  Gleicheu):  . 

AB  +  AC(^A{^B  +  C) 

womit  nachgewiesen  ist,  dass  es  im  logischen  Kalkül  mit  Gruppen 
Fülle  gibt,  in  welchen  die  Formel  des  Distributionsgesetses  nur  ein- 
seitig als  eine  Unterordnung  gilt 


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Zttt  Grruppentheorio  des  identisch«!!  Ealkah.  687 

Die  UnteFordnung  folgte  hier  auch  schon  aus  dem  Nichtvorliegen 
der  Gleichheit  in  Anbetracht^  daea  AB  +  AC  als  das  ist «  oder  , 
il(^  +  C)  in  Th.  250  bewiesen  ist 


Von  der  erworbenen  Bekanntschaft  mit  den  Typen  der  Gruppe 
G(a,bf  e)  md  lon  der  gegebenen  Zusammenstellnng  ihrer  Elemente 
wollen  wir  schliesslich  eine  Nutzanwendung  machen,  um  die  Theorie 
derEliminaüonsresnltanten  sowie  diejenige  der  symmetrisch  allgemeinen 
Lösungen  um  einen  Sehritt  an  fördern. 

Denken  wir  ans  a:,  y  und  g  irgendwie  dxirch  „Parameter"  a,  b,  c, 
äf  . . .  ausgedrückt,  mithin  sie  als  Funktionen  des  Gebietekalkuls  von 

eben  diesen  Symbolen  —  und  nur  von  diesen  —  gegeben,  so  kunn 
man  nach  der  Relation  /  (u;,  z)  =  0  1  ragen,  die  als  Resultante  der 
Elimination  sämtlicher  Parameter  aus  den  vorliegenden  Gleichungen: 

x^fp(a,  hy  c,     ••)»  h  c,  d,  .•)»   '  — »(«1  ä,") 

folgen  muss.  Das  Polynom  f{Xyy,z)  dieser  Resultante  kann  nur  eines 
der  256  Elemente  der  Gruppe  Gix,  e)  sein^  da  es  andere  Symbole 
ab  jj?,  y  und  $  selbst  laut  Voraussetzung  nicht  in  sich  aufweist,  mithin 
hei  seiner  „Entwickelung^  nach  seinen  drei  Argumenten  x,  y^  z  als 
Koeffizienten  nur  die  Symbole  0  und  1  zur  Verfügung  stehen  kSnnen. 

Sehr  häufig  —  wie  wir  bereits  erfahren  —  tritt  insbesondre  der 
Fall  ein,  dass  unser  Polynom  das  Element  0  der  Gruppe  G  (.r,  ?/,  z)  ist. 
Die  Resultante  stellt  sich  alsdann  in  der  Gestalt  0  «=  0  dar  und  iüt 
eine  nichtssagende.  Wir  dürfen  alsdann  sagen,  dass  bei  unbestimmt 
gelassenen  Werten  der  Parameter  a,  6,  c,  rf, ..  auch  die  Gebiete  y^s 
von  einander  unabhängig  hviielxye  bleiben,  oder  dass  keine  Relation,  Be- 
ziehung zwischen  denselben  bestehn  mms  oder  folgt  (S.  4r)4V 

Falls  f{x,  y,  z)  sich  als  das  Element  1  der  Gru})pe  G  u,  y,  z) 
herausstellen  sollte,  wäre  die  llcsultante  (als  da  ist:  die  Gleichung  1  «=0j 
eine  absurde  (Behauptung). 

Dieser  Fall  kann  aber  nicid  vorkommen,  —  und  die  Erfahrung 
wird  es  bestätigen  —  auch  lässt  es  sich  strenge,  wie  folgt^  beweisen. 
Eine  Kesultante  1  «=  0  wäre  als  ein  firgebnisa  der  Elimination  nicht 
nur  Ton  a,h,c, sondern  auch  ?on  x,  y,  e  anzuerkennen.  Als  letzteres 
müsste  es  auch  in  der  vollen  Resultante  für  ?/,  s  enthalten  sein. 
Eliminirt  man  aber  regelreeht  aus  der  Tereinigten  Prämissengleichuug 

«i9  +  a:?),  +  y,   +  yil^,  +  if|Z  +  ^z,  0 


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G88 


Anbang  6. 


ebendiese  drei  Symbole^  so  ergibt  sich  als  die  gedachte  ToUe  Resultante 
nur:  0  0. 

Der  Aassagmibereicb ,  mit  dem  vrir  es  im  Torliegenden  ersten  Bande 
der  exakten  Loji^ik  ancscbliesslich  zu  tluiu  haben,  war  auf  (lic  universalen 
Urteile  beschränkt,  unila:<ste  uämlicb  nur,  was  mittelst  Gleichungen  oder 
Subsumtionen  ans(^rücklj:ii-  ist. 

In  diesem  Bereiche  kann  ein  unmiitclbarcr  Widerspruch  (S.  G)  über- 
haupt nicht  Torkommen,  sintemal  bekanntlich  das  kontradiktorische  Qegen* 
teil  einer  universalen  allemal  eine  partikalare  Behanptnng  ist  —  vergL  8.  33. 
Gleiehwol  kann  mittelbar,  innerltehf  anch  schon  auf  dieser  ersten  Logik> 
etappe  ein  Widerspruch  zwisdien  sowol  als  in  Aussagen  auftreten,  insofern 
sie  zusammen  oder  für  fIcIi  Rcbou  auf  die  ]5ehanpttin£r  1—0  hinans- 
laufeu  oder  zu  scbliessen  ^a'^t;ltten  —  zusamiiien,  ^vie  i.  Ii.  die  Gleichungen 
a  =  0  uud  a,  =  0,  uud  tur  sich  schon,  wie  z.  Ii.  x  +  x,  =  0  ^  oder  wie 
axy^  +  +  +  y  =^  0  —  womit  sie  denn  in  unmittelbtiren  Widerspruch 
treten  wflrden  su  der  allen  nnsem  Betrachtungen  implicite  zugrunde  liegenden 
Annahme,  dass  1  nicht  gleich,  4=0  sei 

Dass  dergleichen  nun  hier  nicht  vorliegen  kann,  ist  mit  obigem  dar- 
gethan. 

Und  wie  sollten  auch  jene  Prämissen  x^q>  {a,  b,  •  i'  («,••), 

...einen  Widerspruch  mit  einander  involviron.  fla  durch  eine  jede  de^ 
selben  doch  nur  festgesetzt  wird,  was  unter  dem  Buchstaben  linker* 
hand  verstanden  werden  solle,  einem  Buchstaben,  der  neu,  noch  un- 
erwähnt war,  und  auf  den  in  den  übrigen  Prämissen  auch  keinerlei 
Bezug  genommen  ist?! 

Ans  diesen  Gründen  wird  uns  also  die  absurde  Resultante  Über- 
haupt nicht  in  den  Weg  kommen  und  mag  fortan  unberficksichtigt 
bleiben.  — 

Als  in  Xf  Pf  0  stffnmdrisdie  ResullatUen  können  nun  Oberhaupt  nor 
folgende  fünf  sehn  —  von  ocA^erlei  Typus  —  auftreten*),  für  die  wir 
die  beigesetzten  Chiffren  einfuhren: 

IQ  0«0- 

^)     a-.i/^-f xw/ =  0,         R,')    xy,2,  +  yz,x^  +  £X,ij,  =>  0- 
iij      ipyjs  +  x^ysf  +  y^esc  +  s^xy  =  0   oder   yif  +     +  a^y  «■  0 

•ß/)  i«^iyi*,  +  a?y,«,+y',a',+^a5,^,  —  O   oder   sr,«,  +  if,Är,  +jr,y,  ^  0- 

IQ        xyz  +  xy^2^  + y^^x^'i' sx^y^  =^  0    oder  x^ys^■^y^^ 

*)  Bei  Mitberucksichtiguug  dtr  aWaukii  itcMultanlo:  J/^),  uUmlich  l-=^0  win  n 
es  16  Resultanten  von  9  venckiodenen  Typen. 


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Zur  Gruppentheorle  des  idenÜBchen  Kalküls.  6BU 

[womit  nach  %  18,  Th.  s)  auch  ff^Mx^  +  z^x  ond  jr  » ji;jf,  +  ge- 
geben ist], 

*ii/i^t  +  ^i!/^  +  Vk^^  +  ^x^y  =  Ö    oder    x  =  f/^^  + 
(womit  zugleich  auch  y  —  ex  +  e^x^ ,  e  ^^xy-i-       seiu  luuas). 
ü^)  Ä y J  +      +  y.Äa;  +  0fXy  +     «f,  =  0 ,  oder: 

von  welclicu  ilrt-i  Gleicliuugori  nämlich  eine  aus  den  zwei  auderu  folgt 
—  ein  iSatz,  der  denen  §  18,  :nc,  ö,  t)  sich  anschUesst. 

.  ü,')  a?  yiJ  +  jcy,£r,  +  yif,a:,  +       +  jp, —  0 ,  oder 

oder:  (x  +  y  +  z)  (a:,  +  y,  +  =  0 ,  oder:  x  =  y  =  s 

(somit  auch:  x^  =  = 

IQ        xyz  +  x^ys  +  y^ex  +  +  +  y*,a?,  +       «=  0 

oder       jB  +  y  +  tf^sOy  oder:  a;syas^«saO 

oder        ^1  +  2/,  +  -^1  =    >  a;  =  »/  =  r  =  1  • 

Von  diesen  Kesultauteu  sind  paarweise  kofHpkmmtür:  mit 
(siehe  oben  die  Fussnote) 

R^  mit  B/  mit  Ji;, 

und  Rj 

R^  mit  li^'tmit  i?« 

und  12/ 

i^r^    und  lir,' 

insofern  die  Polynome  derselben  (nicht  aber  die  resultircuden  Aa8> 
sagen  selber)  Negationen  von  einander  sind —  wogegen  die  zum  selben 
Tjpns  gehörigen  (die  hier  gleich  numerirt  erscheinen  und  sich  nur 
dnicb  den  Accent  unterscheiden)  als  solche,  welche  durch  Yertanschung 
der  X,  y,  0  mit  ihren  Negationen  in  einander  flbergehen,  nnr  als  6b- 
verse  Ton  einander  bezeichnet  werden  durften. 

Wir  haben  hienach  nur  sechs  Haupttypea 

Die  Volletandigkeit  der  Zusammenstellung  naehzuweisen  sei  als 
eine  ganz  leichte  Aufgabe  dem  Leser  überlassen. 

Wie  man  einerseits  die  Gleichung  R^O  betfachten  konnte  als 
die  Resultante  der  Elimmation  Ton  a,  6, . .  ans  den  gegebenen 
Gleichungen 

SobmSm«,  Aliflbn  dar  Logik  44 


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690 


80  kann  man  andrerseits  aach  umgekehrt,  indem  man  jene  Resoltaiite 
i2  «  0  als  gegebeHf  als  eine  von  den  Unbekannten  z,  y,  g  zu  erfüllende 

Relation  ansieht,  diese  drei  Gleichungen  x==q>,  etc.  auffassen  als  die 

Lösungen  dieser  Auftrabe,  nämlich  als  die  Formeln,  welche  die  (oder 
gewisse)  Wur/.i  ln  jener  Gleichung  ii  »=  0  in  unabiiangigen  Parametern 
a,  h,..  ausgedrückt  darstellen. 

Wie  von  Anfang  schon  bei  der  Zahl  der  Unbekannten,  so  wollen 
wir  jetzt  auch  hinsichtlich  der  Anzahl  der  Parameter  uns  auf  die  An- 
nahme beschränken,  dass  es  ihrer  dreie  stien:  a,  b  und  c. 

Die  rechten  leiten  unserer  drei  Gleichungen  nämlich 

werd^  alsdann  ebenfalls  Elemente  sein  der  Gruppe  G  (a,  bf  c).  Und 
sollten  etwa  durch  cyklische  Vertauschung  von  a,  b  und  c  diese  drei 
Funktionen  in  einander  Übergehen,  so  werden  wir  in  Gestalt  von 

«)         Ä  — g»(a,  6,  c),  y  — c,  a),  ^  — a,  d) 

symmetrische  Ldsongen  haben  für  die,  wie  sich  seigen  wird,  ancb  bin- 
sichtUch  der  Unbekannten  symmetrische  Aufgabe,  die  Gleichung 

12  B  0,    ausführlicher    II  {x,  s)=^0 

aufzulösen. 

Gedachte  Lösungen  verdienen  den  Beinamen  von  aUgmiemm 
Losungen  allermindestens  insofern,  als  sie  bei  der  Willkürlichkeit  der 
Parameter  a,  b,  c  uns  unendlich  viele  iSysteme  von  Wurzeln  der 
Gleichung  jR  =  0  ausdrücken.  Sie  verdienen  aber  sogar  als  all- 
gemeinen^^ Lösungen  hingestellt  zu  werden,  nämlich  als  Ausdrücke, 
weiche  jedes  erdenkliche  Sjrstem  von  Wurzeln  der  Gleichung  ^  =  0 
schon  in  sich  fassen  werden,  indem  in  §  22  «rkannt  wurde,  dass  (die 
notwendige  und)  eine  hinreichende  Bedingung  für  die  Auflösbarkeit 
des  Gleichungensystems  X  ^  tpj  y  »^ipf  s  =  %  nacfi  den  üiMcannien 
a,  bf  e  die  ist,  dass  die  Resultante  12  0  der  Elimination  von  a,  b,  c 
ans  dem  Systeme  erfüllt  sei}  es  werden  demnach  die  Parameter  a,  c 
sich  auch  immer  so  bestimmen  lassen,  dass  für  ein  (irgendwie)  ge- 
gebenes,  nur  aber  die  Forderung  R^O  erfHUendes  Wertsystem  der 
Unbekannten  x,  ff,  #  jene  drei  Gleichungen  gerade  dieses  Systems  von 
Wurzeln  darstellen. 

Wir  haben  dann  also  kurs  „die  symmetrisch  allgemeinen  Losungen'' 
der  Gleichung  JR  »  Der  Form  nach  kann  (und  wird)  es  noch  Tcr- 
schiedene  Systeme  solcher  Iiosungen  ffir  eine  nSmliohe  Gleichung  iJasO 


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Zur  Gruppentheorie  des  identischen  KaJkuk.  091 

geben,  doch  werden  diese  immer  gleich  nmfiissende  flein,  der  Bedeutung 
nach  sich  mit  einander  decken. 

In  der  Absicht^  die  eymmetriach  allgemeinen  Ldsungen  der  Gleichtmg 
(und  damit  andi  die  toxi  nebst  B^'  —  vergl.  §  24,  Aiifg.  10  und 
11)  welche  bislang  nicht  erreichbar  schien,  zu  entdecken,  oder  andern- 
{alles  nachzuweisen,  dass  die  Lösung  dieser  Aufgabe  mittelst  tlreier 
unabhängigen  Parameter  unmöo;lich  ist,  habe  ich  nun  für  alle  erdenk- 
lichen Annahmen  der  Funktion  <p  (a,  6,  c)  die  llesultanLe  11  —  0  auf- 
gesucht. 

Um  die  Ergebnisse  der  Untersuchung  übersichtlich  angeben  zu 
können,  bemerke  ich,  dasa  von  den  drei  Gleichungen  x  —  tp  (a,b,  c),  y  = 
etc.  immer  nur  die  erste  wirklicli  angeführt  zu  werden  braucht,  indem 
die  beiden  andern  ja  durch  die  cyklisehe  Vertauschung  von  a,  b,  c  zu- 
gleich mit  der  von  x,  y,  e  aus  ihr  sich  auf  das  leichteste  ergeben. 

Was  die  Untersuchung  herausstellte,  können  wir  hiernach  dahin 
zusammenfassen.  Es  ergibt  sich  als  Resultante  der  Elimination  von  ff,  5,  c: 
Bq  aus  der  Annahme  x  —  a,  desgieidieii  aus  der  x  =  ab  +  afC,  des- 
gleichen aus  der  Annahme 


^  &c  +  a,    +  c),  desgl.  ana  der    —  abc^  +       +  c); 


ans 

X 

aus 

X 

a^  +bCf    ahc^  +  bc  +  fc,c, ; 

aus 

X 

6c,  a  +  bc,  a  (6  +  c,),  a  {bc  +  6,c,},  a6,c,  +  bc,  abc  +  6,Cj, 

ah,e^  +  a,  (ft  +  c),  at.c,  +  a,  (d  +  <?)  +  6c ; 

aus 

X 

«,6c  +  he,  +  6,6- ,  abe  +  o,  (/',  i  r, ) ,  abc  +    {bc,  +  b^c) ; 

aus 

X 

n; 

aus 

X 

6  +  c, ,   a,  +  6  +  c,    (a  +  6,  +  c,)  (a,  +  6  +  c)  i 

ans 

X 

6c,  +  d,c ,   a  (6c,  4*  6,c) ,  a6,  +  a,c  j 

ans 

X 

6c  +  6,c,,   a  +  6c  +  6,c,,   a6  +  a,c,; 

ans 

X 

a6c,  o6c  +  a,fc/, ,  «,6c  +  a6,c  +  a6c,,  6c  +  c«  +  a6  nnd 

a(6c-f  6,c,)+a,i  /)r,+/>,cJ,  a+b+c,  {(l+b+c){a^+b^■{^c^),  ab+ac-^bc+a^b^c^, 


NidU  Tertreten  sind  die  ßesoltanten: 

R^,       Bt,  Biß',  i?B,  Bf' 
[und  —  wie  Toranszuaehen  gewesen  —  auch  die  absorde  Besnltante 
oder  1—0  nicht]. 

Was  zunächst  die  beiden  letrteren  betrifit,  so  wird  bei  ihnen  die 
Frage  nach  ihrer  symmetrisch  allgemeinen  Losung  gewissenuassen 

4A* 


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692 


Anhang  6. 


liiiifällig,  iudem  durch  die  f^ordemogen  i2g  oder  sich  die  Un« 
bekannten  als 

-B  y  « o.  0   resp.  als  x       ^  0^1 

absolut  be^lmimt  erweisen.  Weuu  man  wollte,  könnte  man  freilich 
auch  hier  in  Gestalt  vom 


y  —  resp. 


as     a  +  a, 

solche  Losuiin;  in  drei  ^villl  ürlichen  Parametern       Zj,  c  angeben. 

Auch  Tu  liisst  sich  schon  einfacher  wie  oben  mittelst  eines  Para- 
meters lösen  in  Gestalt  von 

y  =  a 
..e  ■=  a. 

Bei  allen  andern  von  den  Torgekommenen  Gleichungen  wird  3  die 
Minimalzahi  von  den  zu  ihrer  eymmetrischen  Lösung  erforderlichen 
Parametern  sein. 

Die  Vollständigkeit  unsrer  Resultantentafel  vorausgesetzt  wird 
durch  das  N  ich  tauftreten  der  Kesultanten  JKg',  Hq,  li^  der  Beiceis 
erbracht  sein,  dass  diese  Gleichungen  eine  symmetrisch  allgemeine 
Lösung  in  drei  unabhängigen  Parametern  nicht  besitzen.  Jcöuuen. 

Darnach  bleibt  es  aber  unbenommen,  in  vier  oder  tmhr  Parametern 
immer  noch  nach  einer  solchen  Losung  zu  fahnden.  So  ist  z.  B.  die 
Resultante  der  Elimination  von  a,  &,  c,  d  ans  den  drei  Gleichungen: 

x^  ah  +  cd 

y      ac  +  hd 

ß  =  ad-vhc 

keine  andere  als:  —  von  welcher  Gleichung  denn  also  auch  nm* 
gekehrt  die  drei  vorhergehenden  eine  symmetrische  allgemeine  Losung 
geben.  Und  es  erscheint  nicht  undenkbar,  sondern  fast  als  wahr- 
scheinlich, dass  auch  f&r     sich  in  solcher  Art  Lösungen  finden  Hessen. 

Mit  der  Fertigstelhmg  gegenwSrtigen  Lehrgebäudes  noch  allzusehr 
auderweltig  in  Atispruch  genommen  muss  ich  das  interessante  Problem, 
dies  zu  eutächeiden,  zur  Zeit  Andern  überlassen. 

Was  aber  die  Vollständigkeit  unserer  irür  drei  Parameter  gegebeneu 

Eesultanteutafel  betrifft,  die  für  den  obigen  Beweis  von  erster  Wicbt^^ 

keit  war  —  sowie  überhaupt  in  Betreff  der  Gewinnung  derselbeUi  so 

ist  folgendes  zu  bemerken. 


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■  Zur  Uruppentheorie  des  identücliea  KalkixU.  693 

Keineswegs  bianoht  man  alle  256  ElemeiLte  TOB  G  (o,  6,  c)  einzeln 
gleieh  x  gesetst  (nncl  dnrch  eyklisehe  Penniitatioii  der  beiden  Bnehstaben« 

Systeme  <i,  e  und  jß,  s  zu  einem  Systeme  Ton  drei  Gleicbnngen  er- 
gänzt) direkt  auf  ihre  Resultante  zu  prüfen. 

Zunächst  liefern  die  hin^iditlich  c  symmetrischen  Ausdrücke  oder 

Elemente  von  ^  (a,  5,  c)  stets  nline  alle  Kechuung  7?^^  weil  der  Ansatz 
ttuf  x~y  —  e  augenscheinlich  iiiüausiüutt.  Dergleichen  Aubdrücko  kommen 
nur  bei  dem 

1,  uud  22.,  2.  und  21.,  5.  und  18.,  8.  und  15.,  beim  9.,  und  beim  14. 

Typus  vor,  mithin  bei  10  Typen  und  6  Haupttypen,  und  finden  sich  — 
abgesehen  von  den  Elementen  0  und  1  —  oben  bei  v(»rtreten  durch 
Repräsentanten,  welche  mit  Rücksicht  auf  die  uachl'olgeuden  Bemerkungen 
als  aasreicbende^  bingestellt  werden  durften. 

Wir  braucbten  also  nur  mehr  die  Ansdrttcke  durcbzugeben,  welebe 
nidU  bezüglich  aller  drei  Buchst aLen  c  symmetrisoh  erscheinen. 

Solche  können  nun  aber  noch  in  Hinsicht  zweier  von  die«on  drei  Buch- 
staben symmetrisch  sein,  was  in  der  That  vorkommt  bei  den  Typen: 

2»      3,      4,      5,      6,      7,      ^jo      in     io  in 
und  21,    20,    19,    18,    17,    16,    16,      '  ^' 

sonaobi  bei  allen  Typen  ausser  11  nnd  den  schon  abgethanen  1  nebst  22 
und  14. 

In  solchem  Falle  braucht  man  nur  solche  Ansdrücko  zu  berücksichtif^en, 
bei  welchen  der  Buchstabe  u  bevorzugt  erscheint,  die  Symmetrie  also  hin- 
sichtlich b  und  c  vorliegt.  Denn  war  dies  nicht  der  Fall,  war  ein  andrer 
finobstabe  als  a  beyorzngt,  so  l&ssi  sieb  durch  cyklisohe  Vertauschung  der 
drei  Favameter  immer  hinbringen,  dass  es  der  Fall  wird,  dass  in  dem  ^  x 
m  setzenden  Ausdrucke  9  (a,  6,  c)  der  bevorzugte  Buchstabe  gerade  a  ist 

Denken  wir  für  den  Augenblick  uns  den  bevorzugten  Buchstaben  als 
das  erste  Argument  angeftifart|  so  müssen  in  der  Tbat  die  drei  Gleichungen 

»  — 9(6,  c,  a),  Jf  — a,  ft),  «  — 9(ö>b,  «), 
desgleichen  diese: 

bei  der  Elimination  von  a,  c  uns  die  nämliche  Resultante  JB  «  0  liefern, 
als  wie  die  drei  Gleichungen: 

nntemal  die  Besnltante,  weil  sie  die  Eliminanden  a,  6,  c  gar  nidit  ent- 
hllti  anch  nngdtndert  bleiben  moss,  wenn  man  diese  irgendwie  unter  sich 
▼ertanscht. 

Auf  Grund  dieser  Bemerkung  reduzirt  sich  nicht  nur  bei  den  hin- 
sichtlich zweier  Argumente  syni metrischen,  sonderu  auch  bei  den  gSnzlich 
unsymmetrischen  Funktionen  9>  (u,  6,  c)  die  Menge  der  direkt  zu  ermit- 
telnden Resultanten  sehr  beträchtlich,  und  wird  die  Resultante  schon  nur 
fllr  höchstens  ein  Drittel  der  Ansdrfteke  wirklieh  au&usnchen  sem. 


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694 


Aiiliaag  (9. 


Nehmen  wir  Torl&nfig  als  erwioten  an,  dasa  die  Beeoliante  aus  den 

drei  letzten  Gleichungen,  wie  immer  aoob  die  Funktion  9(0}  ^1  ^) 
schaffen  sein  mü^'e,  liinsiclitlicli       ?/,  *  <tifmmr(r!scJi  sein  miiss  — -  ein  Pniikt 
über  welchen  nachher  noch  zti  sprechen  sein  wird  —  .so  kommt  aber  um 
die  Mcn>(e  der  auf  iiesuitanten  zu  prülenden  Ausdrücke  za  vereinigen  noch 
folgendem  hinzu. 

War  E  (2:,  s  0  die  zum  Aacais  £  »  Ta,  6,  c)  etc.  gehörige  Re- 
snltaate,  so  nraas  ebendiese,  nSmlieh  B  (ds,  ^er,  ji)  »  0  auch  an  dem  An- 
sätze   KS  ^  (d,  c,  &)  gehören,  weil  die  Gleichungen 

«  «  9  («,  c,  l>) ,    f/  =  9)  (b,  a,  c) ,    z  =  <p  (c,  b,  a) 

durch  die  gleichzeitige  Vertauschnn^  von  h  mit  r  und  ij  mit  z  in  die  vorigen 
aTTg^enscheinlich  verwandelt  werden  (mit  Umstellung  der  beiden  letzten  von 
ihnen). 

Von  den  sechs  Ausdrucken,  welche  aus  9>  (a,  6,  c)  durch  Vertanschong, 
Permntation  der  Argnmente  ableitbar  w8ren,  braucht  also  immer  nur  einer 

auf  seine  Resultante  (wenn  =  x  gesetzt,  etc.)  geprüft  zu  werden  —  womit 
im  Allgemeinen  (d.  b.  sofern  jene  sechs  Ausdrücke  ▼erschieden),  eine  fie> 
duktion  der  Arbeit  auf  ihren  sechsten  Teil  erzielt  sein  wird. 

Weiter  aber  mnss  der  Ansatz  x  =  <p  ('/, ,  f\ ,  ,  etc.  auch  seinerseits 
die  obige  Resultante  Jl  (x,  2)  =  0  liefern,  da  die  Bezeichnung  der  Eli- 
minanden  gleichgültig  ist,  diese  also  anch  durch  ihre  Negationen  durchweg 
ersetit  werden  durften  —  eine  Bemerkung,  durch  welche  die  resUrende 
Arbeit  sich  abermals  um  nahe  die  Hälfte  reduzirt,  nämlich  nur  dann  sich 
nicht  verringern  wird,  wenn  die  Funktion  9  (a,  b,  c)  bei  Vertauschnng  der 
Argnmente  mit  ihren  Negationen  nngoändert  blieb. 

Eine  abermalige  Keduktiun  der  Arbeit  auf  ihre  HUlfte  ermöglicht 
endlich  diese  Bemerkung:  Hat  der  Ansatz  a:  ~  gj  (a,  fc,  c),  etc.  zu  einer 
Besultaute  Ji^  (a',  ;?)  »  0  geführt,  wo  x  einen  gewissen  von  den  Indices 
1  bis  8  vorstellt,  so  muss  natürlich  aus  den  Gleichungen: 

*i  =  9i  («>  ^.  c)  9, 9t  (Pt     ö)  I   ^1  =  %  i*^*  ^')J 

—  unter  9),  die  Negation  von  <p  verstanden  —  sich  ganz  dieselbe  Besol* 
taute  ergeben,  weil  diese  Gluicliungen  bezüglich  äquivalent,  blosse  Ti-ans- 
skriptionen  von,  den  vorhergehenden  sind.  Daraus  folgt  aber,  dass  uim 
auch  der  Ansatz: 

»  —  9,  (a,  d,  c)  et&  [d.h.  9^    (b,  c,  a),  «==91  (p,  a,  h)] 

nun  auch  nicht  mehr  dondi  mühsames  Bliminireii  auf  saue  Besnltaate  ge- 
prüft EU  werden  braucht,  vielmehr  letztere  sich  aus  der  vorigen  onmitielhar 

abschreiben  lässt,  indem  man  die  Symbole  £  mit  ihren  Negationen 

vertauscht    Das  heisst,  die  hier  in  Frage  kommende  Resultante  lautet: 
litt  (x,^  y, ,  r,)  =  0,  oder  nach  der  eingeführten  Nomenklatur:  /)' / r,  ?/,  r)  =  0- 
Die  gleiche  Jiemerkung  trifft  auch  für  x  »  Ü  zu,  wenn  man  i^'  für 

einerlei  mit  7.',^  gelten  lässt. 

Auf  Grund  deri^olben  brauchen  die  Ausdrücke  der  zu  schon  goprflflen 
nhomplementSreD*'  Typen  nicht  mehr  auf  ihre  Resultanten  geprüft  zu  werden, 


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I 


Zur  Ghrappeutheorie  des  identbcheii  EalkolB.  695 

and  von  den  AnadTttokeii  eines  wa  sich^  aelbet  komplementKreii  Typus  nur 

die  eine  H&lfte. 

Ist  beispielsweise  als  Resultante  zu  sc  =  -!  nh^r^  ermittelt,  so 
musj»  i?^'  die  Resultante  sein  zu  dem  Ansätze  =  (a  +  />,  -f-  <,)  (<t,  +  b  +  c) 
—  Ol»  +  a,c,  +  6,c.  Und  —  in  Dlastratiou  zu  den  vorhergehenden  Be- 
merkungen — '  ist  i^'  die  Besnltante  m  dem  Ansaise  »  a  4*  so 
moss  es  aneh  die  Resultante  sein  sn  dem  jCH»a4-d|e,  der  doreh  Vea> 
tanschung  yon  b  und  c  ans  ihm  hervorgeht. 

Ist  Jij  die  Resultante  zu  «=»  a  (6^,  4  ^,c),  so  mnss  es  auch  die  zu 
a;  =3  «,  (6 c, -f  6, c)  sein,  weil  letzteres  Gleichungensystom  durch  Yertauschung 
von      bj  c  mit  a^,  6, ,  c,  in  das  vorige  Ubergeht,  iiiic. 

Hiemaoh  ist  es  nur  mehr  eine  kleine  Geduldsprobe,  die  Vollständigkeit 
nnsrer  Besnltantentafel  naehzaweiseo. 

Mfihsam  bleibt  aber  die  Ableitung  von  19  der  sosammengestellten  44 
Besultanten  selbst,  von  welchen  20  direkt  abgeleitet  werden  miissten  (was 
nur  bei  dem  Ansätze:  or  =  n  s\ch  auf  den  ersten  Blick  erledigt  —  und 
wobei  die  ebenso  teibotverbtändlich  auf  F~  f(5hrtiidon  VliWv  nicHt  ein- 
gerechnet sind).  Ich  habe  nach  schou  crliiuterlen  und  auch  ]i('cli  nicht,  er- 
Iftutertm  Hetboden  das  Eliminatumsverfiihmi  auf  die  manniglaltigste  Weise 
varürt)  dasselbe  aber  immer  als  ein  mtthsam  anzuwendendes  gefunden;  und 
wer  mir  auch  nur  einen  Teil  der  Resultanten  nachrechnet,  wird  sicherlich 
gleich  mir  den  Wunsch  nicht  unterdrücken  können,  dass  hierbei  eine  Art 
von  Denkrecbenmascbine  die  mechanische  Arbeit  abnehmen  möchte!  — 

Versuch eu  wir  jetzt  noch  den  rUcksfAsdigen  Beweis  des  sehr  plausibeln 

Satzes  zu  leisten,  den  ai.gli  die  Erfahrung  in  den  vorstehenden  Aufgaben 
bestätigte:  dass  die  Kesultaute  (x,  j?)  =  0  der  Elimination  von  a,  6,  c 
aus  den  drei  Gleichungen: 

eine  ^fnmelriseke  Funktion  von  or^  g  sein  milsse,  so  sollte  man  meinen, 
dieser  Beweis  mflsste  a  priori  gelingen:  es  mttsste  gelingen,  zu  zeigen^  dass 
wenn  man  irgend  zwei  Argumente  von  Ii,  wie  etwa  y  und  r,  in  den  vor- 
liegenden Gleichungen  vertauscht,  dio  nfimliche  Resultante  herauskommen 
wird.  Gelänge  dies,  so  wäre  in  der  Tbat  der  Beweis  der  Symmetrie  von 
Ii  erbracht,  indem  sich  durch  eventuell  wiederholtes  Vertauschen  („Trans- 
position") von  immer  nur  zweien  der  Argumente  ify  z  bekanntlich  jede 
erdenkliidie  Anordnung  derselben  wUrde  herstellen  lassen.  Anfiallender- 
waise  ist  es  non  aber  auf  k^e  Weise  mSglieh,  die  drei  Glsiobungeii: 

ä;  =  9  (^a,  6,  c),    z  =  (f)  (6,  c,  «j,    y  =  <p  (c,  a,  b) 

durch  was  immer  ftlr  Vertauschnn^en  unter  den  Parameteiii  a,  6,  c  in  die 
vorigen  dreie  zu  transformireu,  wie  es  der  Le^er  leichtlich  nachweisen  wird. 
Und  die  Versuche  einec  Beweisfiibruug  auf  dem  angedeuteten  Wege  scheinen 
fehlzuschlagen,  auch  wenn  man  etwa  noch  in  BerUcksichtigung  zieht,  daSB 
es  von  voniherein  gleichgültig  gewesen,  in  welcher  Reihenfolge  man  die 
Argumente  der  Funktion  qf  ansetzen  mochte.  IKe  Funktion  9  (a,  (,  c)  hKtte 
man  ja  s.  B.  auoh  <P  (a»  0,  b)  nennen  kOonen.   Allerdings,  wenn  man  b 


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696  AnbiUkff  6. 

mit  c  vertauscht  und  dazu  das  zweite  Argument  mit  dem  dritten,  so  gehen 
die  drei  letzten  Gleichtinj^en  in  der  That  in  die  thi  i  vorigen  tlber.  Von 
rechtswegen  heisbt  ei>  dann  aber  durchweg  uuu  0  biatt  q>.  — 

Auch  dio  ffiiumieliiiiig  der  AmiBhme,  dass  die  Funktion  9  (a,  c) 
aneser  h,  c  sonit  keine  Fftrameter  enthalte  —  eine  Annahme,  die  sich 
übrigens  für  die  Geltung  des  Satzes  als  unwesentlich  erweisen  wird  — 
sobeint  eine  aprioristische  Beweisführung  nicht  zu  fördorn. 

Und  somit  bleibt  nichts  librifr  als  den  Beweis  drs  Satzes  a  posteriori 
anzutreten,  indem  mau  die  Resultante  tür  die  allgemeiüüte  Funktion  qp  (/r,  h,  r) 
wirklich  herbtelU,  uud  ihre  Öyiuiuetric  darnach  sozusagen  empirisch  nach- 
weist als  eine  nnmittelhar  wahrzunehmende. 

Zu  dem  Ende  iSsen  wir  sunftchst  die  noch  allgemeinere 

Aufgabe.  Die  Parameter  a,  e  xu  eliminiren  ans  den  drei  Glei- 
chungen: 

x^ip  (a»  i>,  c),   y  —  ^  (a,      c),   £  —  jr  (a,  6,  c), 

wo  9,  ^,  %  irgendwelche  Funktionen  im  identischen  Kalkül  siod. 
Auflösung.   Man  hat  „entwickelt'*: 

(p  (a,       c)  =  <p^^^abc  +  cp^.^/ihr^  +  <Pun"  ^>t<^  +  ^'i.m)«^^'!  + 

+  9>ou«i^<^+  9oio«i<'^i+  9ooi«i^<^  +  9oeo«»^t|» 

analofif  für  tl>  und  35,  worin  nun  n1  die  Koeffizienten  als  gegeben  zu 
denken  sind  in  Gestalt  von  irgendwelclien  (iebiets-  oder  Klassensymbolcu. 

Bezeichnen  wir  hei  (Uesen  Koef/ijgimten  die  Nejgation  durch  übergesetzten 
Horizou talstrich,  so  ist  ferner: 

analog  ftlr  ^  und 

Vereinigte  Qldchnng  der  Prämissen  ist  nun; 

wo  die  linke  Seite  nun  leiehtlich  nach  den  c  geordnt  t  -jrh  .scli reiben 

liesse.    Mau  lieyt  iudess  die  Koettizienten  der  verschiedenen  Konstituenten 
schon  bequem  aus  den  fUr  9:»  und  cp^  gcinachten  Angaben  heraus,  liesul* 
tante  der  Elimination  von  a,  6,  c  ist  das  Produkt  dieser  Koeffizienten  =  O' 
gesetstf  mithin; 

Diese  Resultante  soll  jetst  noch  nach  den  Argumenten  m  enfp 
wickelt  werden.   Man  erhslt  unschwer: 


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Zur  Gruppeuiheorie  des  üleniiücheu  Kalküls.  697 

0— a?y*(^„,+^„,+2|,,)(9,io+ij?,,o+X,io)fVioi+^ioi+iioi)^^ 

•  (^01 1  +  %i  1  +  Z..  u (fou)  +  ^0 1 0  •*■  Zoi  o)  (^üoi  +  ^üoi  +  Zooi )  &000  +  '^wn)  ^  /Um)  + 

<9flit+^ou+5feii)(S»io+^rtio+X»io)(^ooi+^ooi+Xooi)(Vo(» 

+Äi/,-'(^ni+^iii+Ziii)l<Pi.o  +  V^iio-^2iio)(^i(.i^  V^M-^XioL)*  ^fioo  +  'f^,^^^^ 

•  (Voii  +  toi I  +  Zol  I )  («Pol«  *  ^010+ Xoio)  (^001  +  %oi  +  Zooi  *  ^  «Poott + V»©!»*  Zooo)  + 

♦•^i'i^X^^in  ♦Finnin)  (Vtio+V'uo+Xii5)(?nw  +^toi  +Ziw){9wo+*ioo+Xioo)- 
*(Voii+*oii+Xoit)(9oio+*oio+2Mo)(^ooi*^<H)i+Xooi)(Vow 

^•^•i/- (Vui +^»a +  Zi  1.  K?'!!©*  V'iio-^Ziio)  (g'ioi  +  tioi 

•(Vöu+*oii+2ou)(9oi«+^oio+it«w)(9ooi+^«oi+iioi)(^^ 

+«^V»^(9ul■^V^I.+ZHl)(9l^o  +  ^uo■'Zuu)(<?'l  l  +  ^''iül'Zlol)L^^^  'i'n)n+Zio))- 
•(Voii +^011  ^Zoii)  (.9010+ toio+ZoioK9'oo»+tw»i +Lm>i)  (9^0^ 

+«iyi«(9m+4'iii+Xui)(«»uo**uo*Xiio)(9'i»i+*toi+Zioi)^^^ 

•  (<Püi  1  +  -^01 1  +  Zoll)  («Jfoio + 1 010  +  Zolo)  (9>ooi  + 1  ooi  +  ZoqI  )  (^'ooo  +  ^<y^o  +  Zooo) + 
+^iyi^.(9jii  +  i^'iu+Xni)iVuü+^*'ito+Ziio)(9ifli+tioi+Xioi)(y^^ 

•(Vou+tou+Zoii)  C9»oio+toio+Ziio)(<^oi»i+*«oi+X(»i)(Vooo+*o«»+2o^  ~ 

Sei  nun  insbesondere: 

(a,  6,  c) 9»  (6,  c,  a),       Z  («.  ^'i     =*  9»  (C| 

mithin 

t  («.  ^>  c)  =  Tui^''>'"  +  <Pioi«^«'i  +  «Foll"^<^ + <3Pool«^<?l  + 

Z  («j  ^»1     —  +  9>oi|Ol><?i  +  Vllo«^«  +  9on>«^<'i  + 
oder  also; 

It*!!!      Viii»  ^ito"*Vm»    ^101      Vom  ^tno'^Voon 

'^'oii  ^  'J^iioj  toi"  ~  9'i(Mt'    t(i(ii  ~  Tüio»    to'^o  ~  9üoo» 

Zill  =  Villi  Ziio      Vom    Zioi  =  fiioi    Zioo  ~  9'oio» 

Zoll      Vioi»     Zoiö  ~  Vwn     Zo<it  —  9*100»     Zooo  ^  ^''oooi 
desgleichen  mit  übergesetzten  Horizontalstrichen,  so  erhalten  wir  durch 
diese  Einsetzungen  als  die  Besultante  der  filimioatioD  von  a,  d,  c  aus  den 
drei  Gleichungen: 

y  (a,  6,  c)        —  9  (6,  c,  <#),     r  —  9»  (c,  a,  d) 

die  nacfastehende  Gleichung: 


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69d  AobaDg  6. 

0  «y''9iii(9uo+9Mi+9«i)(9ioo+Voio+9qoi)9<K»+ 

'(9oio+9i'  o*9ooi)(9ooi +9oio+9>ioo)+ 
+«yi'(^iio*^^oii '*'Viot)(9ioi +9»iio+9oii)(9ioo*Voio+9ooi)(^^^ 

•  (^010  foQi  *  *PiQo)  ^9qoi  +  ^100 + 9oio)  + 

•  (9'oi  0  ■*■  "Pi  00 + ^odO  (Tooi  +  •Püio  +  9i  oo)  + 
•(vi4io+ Vooi  '*'9\>io)(Voio+9ioo+9«w)+ 

hierbei  wurde  lediglich  Gebrauch  gemacht  Ton  den  Tantologiegesetsen  t4\ 
dem  Th.  30^.)  ^  +  9>  —  1,  22+)  a  +  1  =  1  und  21 J  a*t^a. 

Beachtet  man  ttberdies,  dass  die  Koeffizienten  von  x^r,,  xy^z  und 

.r;/r  die  niluiliclion  sind,  desgleichen  sich  als  einerlei  herausstellen  die 
Koet'fizieuten  von  3C^yz^  und  x,»/,  r.  so  treten  weitere  Vereiofacbimgen 

ein.    In  diesen  Koet'tizienten  lassen  zudem  nach  dem  Rchema: 

(«,  +    +  y)  (a  +     +  y)  (o  +  |J  +  y,)  «=      +  ay  +  /Sy  +  «,fty, 

noch  drei  und  drei  Faktoren  rieh  aasmnltipliriren,  sodass  die  Resultante 
sich  am  einfachsten  darstellt  als: 

+(«,|/i;+xy,ir+a:y^,X9no^üti+^iio'Pioi+^ioi9Poii+9iio»'ioi9'o»i)" 
+(a:y,£f,+a?,yz,+ar,y,^)(g>,,o9„,+9„o«3f),oi+9iot  9oti+Viio9>ioi  9»oii)" 

1/,^,  9m  (9'iio+ Vioi + Von)  (9ioo+ Voio + 9m)9ooo' 

Die  Symmetrie  derselben  in  Besag  aaf  jt,  2/,  4:  ist  nun  ersichtlich. 

Er^etTien  wir  die  Namen  der  Argumente  a,  6,  c  durch  die  griechischen 
Duchstaböu  y  um  die  lateinischen  Buchstaben  frei  zu  bekümmeu  iür 

andre  Zwecke,  so  eiuptiehlt  es  sich  noch,  die  zwar  ausdrucksvolle,  doch 
etwas  schwerfällige  Bezeichnung  der  bisherigen  Koeffizienten  von  durch 
die  danmter  gesetiten  Zeichen  an  ersetien: 


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Zur  Orappentheorie  des  identischen  Kalküls.  699 

91  lu  9iiQt  9iön  9i90t  Vom  9^010»  9*001  >  ^^ooo 
a,     5,     c,     d,  Z',     ^,  Ä. 

Als  Resnltante  der  Elimination  von  a,  j3,     ans  den  drei  Gleichnngen: 

y -«»  a/Sy«  +  •  •      ««*aya/S  +  -'* 
ist  dann  gefunden: 

0  «=  flf jf jpo,  (6,  +  c,  +  e.)  (r/,  +  /; + Ä,  + 
+  (^.y^  +  xf/^z  +  xyz^)        +  6,r,  +  c/,  +  hcc)  (d,g,  +  rf/,  +  f,ff,  +  dfg)  + 

+  ar,y,r,a  (6  +  c  +  c)  (d  + +  A. 
Soll  eich  dies  in 

zuBainiueiusiebeu  —  wie  es  doch  der  Fall  sein  mtlssto,  wenn  diese  Gleichung 
eine  symmetrisch-allgemeine  Lösung  x  —  tp  (a,  y),  etc.  in  drei  arbiträren 
Piirame^tern  or,  |?,  y  besösse  —  so  müssen  der  erste  und  der  lel/to  KoefÜ- 
zieiit  gleich  1  gemacht  werden  (durch  geeis^etö  Bestimmung  vüü  a,  6,  c, 
^)  A  9\  '0  während  die  beideu  mittleieu  Koeffizienten  verschwinden. 
Jene  beiden  Gleicbnngen: 

tt,  (7>,  +  r,  +      f(/,  4-  /;  +  </,)//,  =  1  =  a  (i»  +  c  +  e)  ((Z  +  /+  /7)  Ä 

geben  aber  durch  Koutrapositiou: 

o  +  Ä  +  &<:e  +  d/>     0   nnd   a, +    +        +  «0 

nnd  inToMren  Widersprttebe  miteinander,  wie  diesen:  dasa  gldehzeitig 
a  =  0  und     =  0  sein  mttsste  (desgleichen  /» +  A,  »  o,  anstatt  «  l). 

Vergl.  auch  Tb.  24^). 

Es  geht  hieraus  von  neuem  die  Unmöglichkeit  hervor,  die  Gleicliung 
7?^  =  0  i^und  damit  auch  die  resp.  li^  =  O)  in  drei  Paiametern  sym- 
metriseh  aUgemeln  sa  lösen. 


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Literatnrverzeichiüss 

nqbst  Bemerkungen. 


Nacbatehend  goV..-  "rli  das  Verzeichniss  der  von  m'r  =<'lliat  benutzteu  Lit**- 
ralur,  noch  ergänzt  durch  Literaturangaben  aua  Yeuu'ti  bcbriil^  ebenda.  You 
dieien  sollen  die  beeteroten  nach  ihm  beeondere  fllr  die  eymbolisirende  ^oder 
rechnerißcho  Loj^ik  von  Interease  sein.  Wo  mir  dits  nuf  Griuul  ei;;i'n*>r  Tbcr- 
MDgung  oder  Einsichtnahrae  der  Fall  acbeint  oder  wir  überhaupt  zum  Bewuut- 
eein  gekommen «  daee  nnmittelbar  ein  Werk  von  erbeblichem  Einflnas  anf  die 
Gestaltung  meiner  vorliegenden  Schrift  geworden,  habe  ich  dasselbe  meistens 
noch  durch  den  Drack  henrorffehobon.  Von  jeder  Schrift,  die  ich  zu  Geeicht  be- 
kommen, findet  »ich  die  Anzahl  ihrer  Seiten  angeführt. 

Altited,  J.  H.    1)  Logicae  systema  barmonicum,  1614. 

Apelt»  E.  F.    l;  Die  Theorie  der  Induktion,  Leipzig  1854,  204  Seiten, 

Aristoteles,  l)  Kalcgorkn,  oder  Lehre  von  den  Grundbegriffen,  Ed.  von 
J.  II.  V.  Kirch  mann,    „Philosophisohe   Bibliothek*^   Bd.  70  und  71. 

Leipzig  1870,  41  +  Seiten. 

2)  IlennctmUica ,  oder  Lehro  vom  Urteil,  desgleichen  41  -f-  ^'^  ^seiten. 

3)  Ente  Analytiken,  oder  Lehre  Tom  Sehlus«,  desgL  Bd.  72  n.  73,  1877, 
150  +  260  Smten. 

4)  Zweite  Analytiken,  oder  Lehre  vom  Erkennen,  Bd.  77  n.  78,  1877, 

102  -{-  190  Seiten. 

5)  Toiiik,  desr?l.  IUI.  8l>  n.  OO,  18^2.  lMh;  -f  lÜO  Seiten. 

6)  Sophisfi^ciie  Widerk'giinLfL-n,  de^gl.  Bd.  [H  u.  Ü2.  GG  4"  04  Seiten  — je 
eiuscblieahlich  der  Erläuterungen  v.  Kirchmanu's. 

7)  Die  Metaphysik  des  eto.   Bd.  38  ii.  39,  432  +  346  Seiten. 

Bachmann,  G.  F.    1)  System  der  Logik,  1828. 

*Bain,  Alexander,   l)  Logic,  1870.  Part  L  Dednetion,  2.  ed.  London 

1873,  283  Seiten,  Part.  II.    Indaction,  445  Seiten. 
2)  A  higher  English  grammar,  new  edition,  London  1884,  358  Seiten. 
Im  erwähnten  Jahre  wurde  das  BOste  Tausend  der  revised  ed.  aus» 

3j  A  couipaniou  tu  the  higher  Euglish  grammar;  second  ed.  Londou 
1877,  858  Seiten. 

*Bardili,  C.  G.  1)  Gmndriss  der  ersten  Logik,  gereiniget  von  den  Lr- 
thttmmem  bisheriger  Logiken  Überhaupt,  der  Kantieehen  insbesondere. 
Keine  Kritik,  sondern  eine  Medieina  mentis,  brauchbar  hauptsftcblbh  für 
Deutschlands  ktitiache  Philosophie.   Stuttgart  1800,  860  Seiten. 


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Literatarverxeichniss  nebst  Bemerkungen.  701 

Bftynos,  T.  S.    l)  fiesay  ob  the  new  analjüc  of  logical  forma,  1850. 

Beb ag bei,  Otto,  l)  Die  deutsche  Sprache.  Leipzig  und  i'rag  1886, 
231  Bfliten;  zugleich  54.  Baad  der  deutschen  TJiÜTenalbibliothek  fttr 
Gebildete  „Das  WisBen  der  Geg^wart** 

Beueke,  Friedrich  Eduard.  1)  System  der  Logik  als  Kunstlehre  dea 
Denkens.    Berlin,  Dtlmmler,  184*2;  zwei  Bände  mit  328  +  397  Seiten. 

Beutham,  George.    1)  Outline  ot  a  new  system  of  logic,  1827. 

Bergmann,  Julias.    1)  Die  Grundprobleine  der  Logik.    Berlin  1682, 

19G  Seiten. 

BernouUi,  Johann,  l)  ParaUelismns  ratioeinii  logici  et  algebraici  (1 686 ; 
Opera  I,  214). 

Binet,  Alfred.  1)  La  peyehologie  du  raisonnemeift  fiecheiehes  eip6rimen- 
tales  par  rbypnotisme,  „Bibliothdqne  de  philosophie  contemporaiae^, 
Paris  1886,  168  Seiten. 

Bolsaao  B.    1)  Logik,  1837. 

Boele,  George  (gesprochen:  Buhl). 
*l)  7%e  ma^emtUktU  anatffsis'  of  logic,  being  an  essay  towards  a  oal> 

culus  of  deductive  reasoning.  Cambridge,  MaenuUao,  Barclay  A  Mae- 

mUlan,  London,  George  Bell,  1847;  82  Seiten. 
*2)  The  calculus  of  logic,  „Cambridge  aad  Dublin,  Mathematical  Jour- 

nar\  Vol.  H.  1848,  p.  183  . .  198. 
3)  The  Claims  ot  scieuce  (Lecture  at  Cork,  1851). 
♦4)  An  investigaiion  of  thc  Laws  of  ihought  on  which  are  fouudod  the 

mathematical  theories  of  logic  aad  probabilities.  London,  Walton 

and  Maberly,  Cambridge,  MacmiUaa  St  Co.,  1854;  424  Seiten. 
*6)  Of  propositious  numerically  definitc,  ,,Tran8actions  of  the  Cambridge 

philosophical  society'^.  Vol.  11,  p.3d6  ..411,  posthum  mitgeteilt  von 

A.  De  Morgan. 

Born,  Th.  1)  Über  die  Negation  iTnd  eine  notwendige  Einschränkung 
des  Satzes  vom  Widerspruch.  Ein  Beitrag  zur  Kritik  des  menschlichen 
CrkenntnissTermögens.    Leipzig,  Friedrich  (ohne  Jahreszahl),  91  Seiten. 

Bowen,  ?.   1)  Treatiae  on  logic  1872. 

Brentano,  T.    1)  Psychologie  vom  empirischen  Standpunkte,  1874. 

*  Busch,  M.    l)  AufangsgrOude  der  logikaliscben  Algebra,  Ttlbiagen  1768. 

Carrol,  Lowi^.  l)  The  garae  of  locric,  London,  Macmillan  1887,  cf.  Re- 
zension von  Alfred  Sidgwick  p.  3  sq.  und  John  Venn  p.  53  sq.  von 
„Natnre**  Vol.  36,  1887. 

Cayley,  Arthur  (gospr.  Keieh). 

♦l)  Note  on  tho  calcnhis  of  logic.  „Tbo  i^uarterly  Journal  of  pure  and 
applied  maUiematicä",  Vol.  11,  1871,  p.  282  bq. 


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702 


Ltteraturverzeichniä«. 


2)  Oo  Compound  oombinations,  „Prooe^dings  of  the  Utenuy  aad  philo- 
sophieal  sodetj  of  MancbeBter'S  Vol.  16,  1876  ..77,  p.  113..  114. 

*de  Castillon,  6.  F.  l)  Sur  un  nouvel  algori^me  logiqm  1803  (Classe 
de  Philosophie  specalAtive),  p.  3 . .  34  der  „Mömoires  de  l'Acad6niie 
Boyale  des  Sciences  et  Bellea-Lettres  depuis  rayönement  de  Fr6d6rie 
Guülaume  III  an  trdae  1803  avec  rhistoire  poar  le  mßme  temps", 
Berlin  180d. 

Chase p  D.  P.   l)  First  logie  book,  1875. 

CHfford,  W.  K. 

*l)  Lectares  and  essays,  1879. 

2)  „Contemporary  Review",  1873. 

3)  On  ßic  types  of  rompomul  sfafonenf  inroluing  four  dasses,  ,,Procee- 
dings  of  the  Literary  and  Philosophical  Society  of  Maocbester*\ 
Jan.  1877,  Vol.  16,  p.  88  . .  IUI. 

4)  On  the  nature  of  things-iD-themselves,  »,Mind"  (A  quarterly  retiew 
of  psyohology  and  philosophy,  ed.  by  Croom  Robertson)  VoL  3, 
1878,  p,  67  . .  67. 

Dal  gar  no,  G.   l)  Aza  sigaonun,  ed.  1834. 
*Darje8,  J.  G.    1)  Weg  sor  Wabrbnt,  1776. 

Dedekind,  Richard. 

1)  )V  as  smd  und  was  soUen  <Ue  ZaMm?,  Braunschweig,  Vieweg  188b, 
58  Seiten. 

2^  Stetigkeit  nnd  irrationale  Zahlen,  Braonschweig  1872,  31  Seiten. 
3)  Siehe  unter  Diricblet^ 

♦Delboeuf,  J.  l)  T.ogiquc  alijorilJinuque.  Eöbai  aur  un  Byst^mo  de  sigiies 
applitju^  ä  la  lügiijue  avec  ime  introduction  ou  sont  trait^ea  les  qua- 
stions  generale«  relatives  A  Femploi  des  notatioos  dans  lea  scienoes. 
Li^  et  Bmxellee,  1877,  99  Se\^n. 

De  Morgan,  Augnsttts. 

1)  First  notions  of  logie  (preparatory  to  the  study  of  geometty). 
London,  Taylor  is  Walton  1839;  32  Seiten. 
*2)  Formal  logie,  or  the  calculuh  nf  inference  necessary  and  probable» 

London,  Taylor  and  Walton,  Ib  lT;  336  Seiten. 
*'6)  SjfUnbus  of  a  pioposed  System  of  logie,  London,  Waltou  and  Maberly 
1860}  72  Seiten. 

*     Sodann  in  den  „Transaeticms  of  the  Cambridge  Philosophieal  Society**: 
On  Üte  struehtre  of  (he  ^ßoffiam  and  its  appUcation  (Nr.  I)  Nov.  9, 

1846,  Vol.  8,  part  3,  1847,  p.  379  408. 

Diese  Abhandlung'  (Nr.  29)  rief  jen*»  denkwürdi;.,'»^  Polomik  in  Betreff 
der  Selbständigkeit  von  Do  Morgau«  Entdeckuugeu  mit  Sir  W.  Ilamil» 
ton  hervor,  worin  letzterer  sie  schliesslich  auerkanote  (Die  Kontroverse 
begann  1846,  setzte  sich  intorniittireml  im  ,,Athenaeum"  fort  und  kam 
in  der  „Contemporary  Review"  1873  zum  Abachluss)  vgl.  Vfnn'  p,  9. 
6)  On  the  symbcäs  of  logie,  the  theoiy  of  Uie  ^Uoffistn  (l\r.  U)  and 


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LiteratarrerzeickDisB  nebst  Bemerkungen. 


703 


in  particiilar  of  tbe  copula,  and  Üie  applioation  of  the  theoiy  of 
pi-obabilities  to  some  questions  of  evidenoei  Febr*  S5,  1660,  Vol.  9, 

1851,  part.  1,  p.  79  . .  127. 

6)  On  the  sifUwfistn  Nr.  III  and  on  lopfic  ia  gouezal  Febr.  8,  1858, 
Vol.  10,  1864,  part.  1,  p.  173..  230. 

7)  Oll  (he  syllogism  Nr.  lY  and  on  the  logic  of  relatious.  April  23, 
1860,  Vol.  10,  1864,  part  2,  p.  331  ..  358. 

8)  On  Ote  syllogism  Nr.  V  and  on  Tarions  points  of  tbe  onymatic 
System.   Maj  4,  1868,  VoL  10,  1864,  part.  3,  p.  428  . .  487. 

9)  Artikel  Logic  in  der  „Englisch  Gjdopaedia"  Ton  1860. 
10)  VergL  Boole^ 

Dieffenbacb,  Ladwig.  1)  Der  mensddiehe  Wille  und  seine  Grundlagen. 
Die  Freiheit  des  Willens  und  die  Zurechnung.  Darmstadt  1886,  130  S. 
(Selbstverlag  des  nun  verstorbenen  Verfossers,  0.  F.  Winter'sehe  Baeh- 
dmekerei.) 

Diriehlet,  Lejenne.  1)  Vorlesungen  Uber  Zahlentheorie,  herausgegeben 
und  mit  Zusätzen  versehen  von  Dedekind,  8.  Aufl.,  2  Binde.  Braun- 
schweig  1879,  627  Seiten. 

^Drobiseh,  Morits  Wilhelu.  l)  Neue  Darstellung  der  Logik  nach 
ihren  einfiushsten  Verhiltnissen  mit  Rücksicht  auf  Mathematik  und  Natur* 

wiseenschafteo.  Vierte  Auflage.  Leipsig,  L.  Voss,  1875,  244  Seiten. 
Inswischen  ist  eine  fOnfte  Auflage  erschienen. 

Du  Bois  Beymond,  Emil,  l)  Beden.  Erste  Folge,  Xicipsig  1886, 
550  Seiten  (darin:  Die  sieben  Weltrftfbsel,  p.  381  ..411),  2.  Folge, 
ibid.  1887,  589  Seiten. 

'^Ellis,  A.,  J.  l)  On  the  algebraical  analogues  of  logical  relatious,  „Pro- 
oeedings  of  the  Bojal  Society  of  London",  Vol.  21,  p.  497  sq. 

EUis,  Vi.  L.    1)  Edition  of  Bacon's  works,  1858. 
*2)  Mathematical  and  othoc  writings  1863. 

Erdmann,  J.  E.    l)  Geschichte  der  neueren  Philosophie  1834 . .  53. 

Ealer,  Leonhard. 

l)  Briefe  an  eine  deutsehe  FOrstinn  ttber  ▼erscbiedene  Gegenstande  ans 
der  Naiurlehre.  Nach  der  Ausgabe  von  Condorcet  und  de  la 
Croix,  übers,  von  F.  Kries.  Leipzig  1792..  94,  3  Bde.  von  547 
-f  384  +  424  Seiten.  Das  Original  führt  den  Titel:  Lcttres  :\ 
une  princease  d'Allemagne  snr  (juolque  sujets  de  physique  et  do 
philoäophiü,  1768  ..  72  —  daijelbst  vergleiche  II  p.  106,  Lettre 
102 105  —  auch  existirt  eine  englische  Ausgabe:  Letters  to  a 
Getman  Piincess,  Ed.  Brewster,  1823. 

Franklin,  Frau,  s.  Ladd. 
Frege,  Gottlob. 


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704  Litentarreneidhiiisi. 

*l)  Begriffssdirifl ,  eine  der  aiitbmctiscben  nachgebildete  Formelsprache 

des  reinen  Denkens.    Halle  a.  S.  L.  Nebert,  1S70,  8S  Seiten. 
2)  Anwendnnfjen  der  Begriffsschrift,  Vortrag,    in  den  Sit  zu  ngsbe  l  ichten 
der  Jonaiäcbun  Gesellschaft  für  Medicin  und  Naturwissenschaften, 
1879;  5  Seiten. 

8^  Über  den  Zweck  der  Begiiffaflchrift,  ibid.  Jul  1882,  p.  1 10. 

4)  Die  Grundlag«!  der  Arithmetik,  eine  lof^ch  matbematisofae  ünter* 

Buchung  über  den  Begriff  der  Zahl,  Breslau  1884,  119  Seiten. 

Diese  Schrift  enthlilt  uiaiich'  kritischen  Seitenblick  anf  mein  Buch* 
(siehe  uuter  Schröder);  indesö  vermag  ich  nicht  zu  fiudeu,  dasd  der  Ver- 
fasser deuieelbeu  sonderlich  gerecht  geworden.  So  z.  B.  gründet  er  selbst 
seine  Begriffserklrirun«,'  der  „Anzahl'*  von  Einheiten  einer  Menge  atif  den 
büäouders  von  ihm  erklärten  ßef;priff  „gleichzahlig"  und  bittet,  p.  7t^,  dies 
Wort  aU  eine  willkürlich  gewühlte  Bezeiohnmifiwexfe  tu  betrachten  deren 
Bedeutung  nicht  der  sprachlichen  ZuBamTnensptznns^  flOodern  jener  Er- 
klärung zu  entnehmen  ist  —  ansonst  ja  in  der  That  ein  circulus  in  de- 
finieitdo  vorliegen  wfirde.  Die  gleiche  Rflekmoht  aber  Iftest  Herr  Frege 
keineswegs  auch  mir  an<;odBihen,  indem  er  (p  28)  bemängelt,  dass  in 
meiner  Definition  der  Anzahl  das  Wort  „Häutigkeit**  nur  ein  andrer  Aus- 
dmck  tOt  Anzahl  sei,  ohne  dessen  Brwftbniing  sn  thnn,  dass  daneben 
auch  meinerseits  der  Begriff  „gleichhäufig"  („von  ghiclier  Hiinfigkeit") 
seine  strenge  Erklärung  selbstäiadig  gefunden,  p.  Vill  findet  es  Herr 
Frege  „ergötzlich",  daas  ich  unter  der  Überschritt  „Einziges  Axiom"  auf 
die  „Permanenz  der  Zeichen'*  hingewiesen,  ein  Vergnügen,  das  ich  gern 
ihni  lasye;  die  .^us^stelliing  trifft  nnr  das  (von  mir  beliebte)  Wort  Axiom", 
womit  ich  glüubte  und  noch  glaube,  ouc  Voraussetzung  oder  Annahme 
beidehnen  zu  dürfen,  die  den  Beweisführungen  mit  zogronde  liegt  — 
wenn  sie  meinetwegen  nneh  ,. innere  oder  äussere  Bedingung  einer  jeden 
Beweisführung"  i»t.  Wetjeuthch  wollte  ich  1.  c.  andeuten,  da^ii»  jedenfalls 
eine  and^e  Voraussetzung  empiritch^i^ntiictischer  Art  bei  den  arithme- 
tischen Wahrheiten  nicht  gefordert  7,n  werden  braucht,  und  da  auch  ITcrr 
Frese  zu  der  Überzeugung  gelangt,  dasB  die^  arithmetischen  Wahrheiten 
„anuytiscbe"  seien,  so  b^tehi  wol  in  sachlicher  Hinsicht  hier  Überein- 
stimmung. Über  andi  re  einzelnen  meiner  Aussprüche  zuteil  gewordene 
Aufllegungeot  mit  denen  ich  nicht  ganz  einverstanden,  glaube  ich  hinweg- 
gehen SU  dfirfen,  sie  dem  Urteil  Derer  «ihehneieUend,  die  von  denselben 
Kenntniss  nehmen.  Richtig  ist  (p.  63)  dai>R  ich  einmal  genauer  hätte  sagen 
sollen,  dass  ein  (gewisser)  „JC^ame**  za  einem  gewissen  „Begtiffimorte** 
(anstatt  „Begriffe**)  wird. 

Qergonne,  J.  D. 

1)  Essai  de  dialectiquc  rationelle  (Gergoane's  „Anaales  de  mathömaii- 
ques'',  Tome  7,  p.  189  228. 

Gilman,  R.  J.    1"^  Observations  in  reliitive  nnmber  with  applications  to 
the  theory  of  probabiliiies,  siehe  „Studies  in  logic",  p.  107  ..  125. 

Grass  mann,  Hermann.    1)  Lehrbuch  der  Arithmetik  fttr  höhere  Lehr> 
ansialten.    Berlin  18C1,  220  Seiten. 

Grassmann,  Robert 

Die  Wi^Menschaftslehre  oder  Philoaophie.  Zweiter  Ergioziuigsteil:  Die 
Formenlehre  oder  Älathematik. 

1^  Erstes  Buch:  Die  Grüssenlehrc;  52  Seiten. 
*2)  Zweites  Buch:  Die  Begriff sichre  oder  Logik;  43  Seiten.  Stettin, 
B.  Qrassmann,  1872. 


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LiteratamcieictioiflB  Mbit  Bemarkongen.  705 

^Günther  Sigmund,  l)  „Vierteyahnebrlft  fllr  wissenaeliafUiohe  Pbüo- 
sophie'S  1879. 

Halsted,  George  Bruce. 

ia)  Boole'ä  logical  luetliod,  „Tlie  Journal  oi  speculaüve  philosophy^' 
(edited  by  Wm.  T.  Harris»  St  Louis  MO.).  VoL  13,  1878,  Nr.  1, 
p.  81 . .  91. 

Ib)  Statement  and  reduction  of  eyllogism,  ibid.  Nr.  t,  p.  418..42G. 

Ic)  Algorithmlc  division  in  logic,  ibid.  Vol.  13,  187'J.  Nr.  1,  p.  107  112. 

2)  Thö  modern  logic.  ibid.  April  ls<s3,  Vol.  17,  Mr.  2,  p.  210..  213. 

3)  De  Morgan  as  logician,  ibid.  Vol.  18,  Nr.  1,  p.  i  ..  d. 

*4)  Algebras,  space^,  logier,  „Populär  .^cicnee  raonthlj",  Aug.  1880. 

Hamilton,  W.    1)  Lcctures  on  Logic,  1860. 

2)  Discussious  ou  philoäopby,  1866. 

Hamilton,  William  Bowan.    l)  Blementa  of  Qoateniions,  1866. 

Hankel,  Hermann.  1)  Torlosmiigen  Uber  die  complmcen  Zablen  und 
ibro  Functionen.  Theorie  der  eomplexen  Zablensysteme  etc.  Leipzig  1867, 
196  Seiten. 

Harlcy,  Robert. 

*1)  „British  Quarteriy  Review",  July  1866. 

*2)  Ün  Boole's  laws  of  thought,  „Report  of  tlie  Biitish  Association" 
'       1866,  p.  3  ..  6  der  Notices  aud  abstracta,  und  1870,  p.  14  sq. 

3)  Remarks  on  Mr.  Murphy 's  paper'',  „Proceedings  of  tbe  Literary 
and  philosophieal  soeiety  of  Manchester",  VoL  23,  1884,  p.  36  ..  40. 

Hunas,  Friedrich,  l)  Logik.  Aus  dem  h.  Nachlaase  des  Verf.  berauä- 
gegeben  too  Heinrich  Wiese,  Leipzig  1886,  308  Seiten. 

Hauber,  F.  C.    1)  Scholae  logico-iaaLuematicae,  1829. 

V.  Helmholtz.  1)  Vorträge  uud  Reden.  1.  Pid.  Braunscbweig  1884, 
396  Ötiteo,  2.  Bd.  ibid.  380  Seit^jn,  darin:  Die  Thatöaciiou  in  der  Wahr- 
nehmung (1878)  p.  217  ..  251  —  auch  separat  erschienen. 

Herbartj  J.  F.    1)  Einleitung  in  die  Philosophie.    Vierte  Aufl.  1850. 

Hoffbaner,  J.  C.    1)  Analytik  der  Urtheile  und  Schlosse.  1792. 

*v.  Holland,  Georg  Jonathan.  1)  Abhandlung  über  die  Mathematik, 
die  allgemeine  Zeichenkunst  und  die  Yersdüodenheit  der  Rechnungsarten, 

1764. 

*Hughlings,  J.  P.  The  logic  of  names,  an  introduotion  to  Boole's  Laws 
of  thought,  1869. 

Ingleby,  C.  M.     1)  Uutlines  of  theoretical  logic,  1856. 

Itelson,  Gregor.  l)  Zur  Geschichte  des  psychophysi sehen  Problems, 
Stein  s „Archiv  für  Geschichte  der  Philosophie'*,  1889,  Bd.  3,  p. 282 ..  290. 

JoTons,  William  Stanley  (gcepr.  Dschihwns). 

ScMiADim,  AlgtItM  d«t  Logik.  46 


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706  LitoEtttonrecieifiliiiiM. 

♦1)  IWc  logic,  or  the  logic  of  qualitj  apart  from  quantity:  with  remarks 
on  Boolc's  System  and  on  thc  relailon  of  logic  and  mathematios. 

London,  E.  tStanford,  1864;  87  Seiten. 
*2)  TJw  ffuhsfitution  of  similnrs,  the  tnie  principal  ot'  reasoDint'.  d(  lived 
from  ä  modi&cation  of  Ariätotlü'ä  dictum.    Londou,  Macuuliaii  liu  Co.| 
1669;  86  Seiten. 

3)  On  a  ge&eral  System  of  namerically  defiaito  reasoniog,  1870, 
YoL  4  der  3^  Series  der  „Memoirs  of  the  liteniy  and  pUlosopliioal 

Society  of  Manchester",  187L  p.  330  ..  352. 

4)  On  the  mecbanical  performanco  of  logiwil  inference,  „Philosophical 
Transactions  of  the  Koyal  society  of  London",  1870,  YoL  160, 
p.  497  ...  518. 

5)  Primer  of  logic.  With  Ulostrations  aad  queetions  —  unter  den 
„Sdenoe  primers"  London,  Macmillun  1876,  ersciuenen. 

6)  Ekmentary  hssons  in  logic:  deductive  and  inductive.  With  copious 
qaestaons  and  cxamples  and  a  vocabulary  of  logical  terms.  7^  Edi- 
tion.   London,  Macmillan  «t  Co.  1878;  340  Seiten. 

7)  Lessons  in  li»iric.  indnctivc  and  deductive.  With  numerou.s  illnstm- 
tions,  London,  üucmillau  Ai  Co.,  ä*^-  ü*^;  2''  Ed.  (laut  liuclihündler- 
anzeige). 

*8)  The  prkieiples  of  scienee.  A  treatise  on  logic  and  adentifie  metbod. 
3**  Ed  London,  Maeroillaii  ä  Co.  1879;  786  Seiten.   (Erste  Ans- 

gäbe  1874,  2  Bände.) 
*9)  Sfudks  in  deductive  hqic.    A  n:aniial  for  stndents.    I«iondon,  Mac- 
,        '  milhiu  k  Co.  1880,  304  Soiten. 

10)  On  the  inveree,  or  iuductive,  logical  problem,  1871,  „Memoire  of 
the  literary  and  philosophical  soeiely  of  Mandiector^',  3^  series,  Vol.  5, 
1876,  p.  119..  130. 

11)  Who  diäcoveied  the  quantification  of  the  predioate?  ,)The  Contem- 
poraiy  Beview"  1873,  VoL  21,  p.  821  ..824. 

Kaut,  Immanuel 

1 )  Logik.  Em  iiandbucli  zu  Vorlesungen,  heraubgegebcu  von  G.  B. 
JSsche;  erlKutert  Ton  J.  H.  t.  Eirchmann,  2.  Aufl.,  Leipzig  1876, 
164  Seiten. 

2)  Die  falsdie  Spitsfindigkeit  der  vier  syllogiätischen  Figuren,  1762, 
Ed.  Bosenkrans  Ton  Kant's  Werken,   Leipsig  1838,  Bd.  1, 

p.  57  ..74. 

3)  Kritik  der  reinen  Vernunft,  Ed.  v.  Kirchmann,  2.  Aufl.  Berlin 

1870,  720  Seiten. 

Keller,  Julius.  1)  Der  Ursprung  der  Vernunft.  Eine  kritische  Studie 
über  Lazarus  Geiger's  Theorie  von  der  Entstehung  des  Menschen* 
geschlechts.    Heidelberg  1884,  220  Seiten. 

Keyues,  John  Neville.     l)  Ötudies  aud  exercises  in  formal  iogic,  in- 
cluding  a  geueralitiation  of  logical  proceäüei»  in  their  application  to  com- 
plez  inferenees,  London,  Macmillan  1884,  414  Seiten. 
2)  Matter  of  &ct  logic,  „Mind*',  YoL  4,  p.  120 . .  122. 


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LiteraturverzeichuidB  nehst  Bemerkungen.  707 

3)  On  Ihe  position  of  formal  lo^,  ibid.  p.  862 . .  376. 

Krrelier,  AtliaiiBsias.    l)  Ars  magna  adendi,  1631. 

V,  Krieti,  Johannes,    l)  Die  Prmcipieu  der  Walirscheinlichkeitsrechming, 
eine  logische  üntersttcbung.    Freilnirg  L  B,  1886,  398  Sdtan. 

Kvöt,  F.  B.    1)  Leibnizen's  Logik,  1857. 

Ladd,  Christine  (Frau  Fabian  Franklin). 

1)  On  ihe  algebra  of  logic,  siehe  unter  „Studies  in  logic"  p.  17  .71. 

2)  On  some  charadcrisücs  of  mmhnlie  Inqir.  „American  Journal  of  psy- 
chologj"  edited  by  G.  Stanley  Hall,  Worcester  1889,  Vol.  2, 
p.  543  ..  567. 

3)  Some  proposcd  rcforms  in  common  logic,  „Mind",  January  1890. 
p*  76  • .  86* 

4)  Aufgaben  in  den  „Mathematioal  Questiona'*. 

Lambert,  Johann  Heinrich. 
*l)  Neues  Organen,  oder  Gedanken  Uber  die  Erfonwhnng  und  Beseidi- 

nung  des  Wahren  und  dessen  Unterscheidung  vom  Irrthnm  nnd 

Schein,  2  Bde.,  Leipzig  1764,  592  +  436  Seiten. 
*2)  „Nova  acta  eniditonim"  17G5. 
*3)  Logische  und  philosophische  Abhandhmgcn,  1781. 
*4)  Dentsoher  gelehrter  Briefwechsel,   herausg.   von  J.  BernonlU, 

4  Bde,  1782..  84. 
6)  Anlage  zur  Architectonie,  oder  Theorie  des  Ersten  und  des  Ein- 

feu^hen  in   der  philosophischen   und   mathematischen  Erkenniniss, 

2  Bde,  Riga  1771»  376  +  660  Seiten. 

Lange,  Friedrich  Albert. 

1)  Logische  Studien.  VÄn  Beitrag  zur  Neubegründung  der  formalen 
Logik  und  der  l<>kenutaissÜieorie.    Iserlohn  1877,  149  Seiten. 

Lange,  J.  C.    1)  Nucli-us  loL-icae  Weisianae,  1712. 

2)  Inventum  novum  quadratilogici. 

Latham,  R.  G.    1)  Logic  in  its  applications  io  langnage,  1866. 
Leeohman,  J.    l)  Logic,  1864. 

V.  Leibniz,  Gottfried  Wilhelm. 

*l)  Opera  philosophioa,  Erdmas n's  Ed.  1840. 

Liard,  Lonis. 

*l)  Les  logicicns  unglais  coniemporoms,    2"**  Edit.  Paris,  Germer  Bail- 

It^re  1883;  177  Seiten. 

Unter  dem  Titi;l:  „Die  neuere  englische  Logik"  auch  ins  Deutsche 
Überheizt  von  J.  Imelmann,  2.  Auü.  Leipzig,  Denicke,  1883, 
168  Seiten. 

Liebmann,  Otto. 

1)  Zar  AnalyiiB  der  Wirklichkeit,  PhÜosophisdie  üntennohnngen, 
Stiasshmg,  E.  J.  Trabner,  1876;  619  Seiten.  (Inswisohen  in 
iweitcr  Anfla^  erschienen.) 

46* 


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708 


LiteratorrmeiehinM. 


Lindsay,  T.  M.    1)  Ueborwog^s  logic,  1871. 

Lipsehitz,  Bndolf.  1)  Lehrbuch  der  Analysis.  1.  Baad,  GrundleigeB 
d.  A.,  Bonn  1877;  594  Seiten.  (3.  Bd.  DHE-  und  Int^gialxecbnuiig, 
Bonn  1880;  734  Seiten.) 

Lotze,  Hermann. 

1)  Logik.  Drei  Bficher  ▼om  Denken,  vom  üniarsvdien  und  vom  Er- 
kennen.   Zweite  Aufl.    Leipzig,  Hinsel,  1880;  €08  Seiten. 

2)  Metaphysik.  Drei  Bücher  der  Ontologie,  Kosmologie  nnd  Psycho- 
logie.   Ibid.  1879i  604  Seiten. 

Maass,  J.  G.  E.    l)  Grundriss  der  Lugik,  1793. 

Macfarlane,  Alexander  (gesprochen:  Mkfnrlfihn). 

*1)  Frincipkfi  of  the  ahfrhra   of  hgic,  with  ezample«,  Edinboazgh, 

D.  Douglas,  1879;  155  Seiten. 
*2)  On  a  ccUculus  of  relaiionship.    Part  1.    „Proceedings  ot  the  Rojral 

Sodety  of  Edinbourgh",  YoL  10,  p.  334..  232,  Maj  1879. 

3)  Alff^  of  rOoHonO»^.  Vaxt  IL  ibid.  Vol.  11.  p.  &  ..13,  Dee.  1880. 

4)  Desgl.  Part  TU.   ibid.  Vol   11,  p.  162  ..  173,  March  1881. 

5)  An  analysis  of  rdaUon^tip.  ,^hilosophical  Magaane^*,  Jone  1881» 
p.  436  . .  i  if). 

Ii)  Analytii»  of  rulatiootihips  applied  to  various  problems.  „Journal  of 
the  anthropological  Institute'',  London  1882. 

7)  Antäjfaia  of  rMhiu^^,  of  oonsanguinity  and  affinity.  London, 
Hamsons  A  Sons,  1882,  18  Seiten. 

8)  Besprechung  yon  Kant 's  critiquc  of  pure  reason:  translated  into 
English  bei  F.  Max  Müller,  2  vols.  London,  MacmilJan  —  ^^hilo- 
sophical  Magaziue*^*,  June  1882,  p.  1  . .  4. 

9^  I7t€  logkiil  spedrum,  „Philos.  Mag.",  AprU  188Ö,  p.  286  ..289. 
10)  Aufgaben  in  der  „Educational  Times'\  cf.  „Math.  Qaestions*'. 

♦Maimon,  Salomon.    l)  Versuch  einer  neuen  Logik  1794. 

Mangel,  H.  L.    l)  Prolegomena  logica  1860.    2)  Aldrioh,  1862. 

McColl,  Hugh  (gesprochen:  Hjuh  Mäkohl). 

*l)  The  cafntlns  of  equivalent  Statements  and  integratirm  timifs.  („Procee- 
dings oi  the  London  Matbemaiical  Society",  VoL  9,  1877  ..  78, 
p.  9  ..  20. 

*2)  The  caUctdus  of  eguivalmi  Mements  (seeond  paper)^  ibid.  p.  177 ..  186. 

DeggL  (thiid  paper),  ibid.  Yol.  10,  1878,  p.  16 ..  38. 
*4)  Deßg^  (fonrth  paper),  ibid.  Yol.  11,  1880,  p.  113..  121. 

6)  A  note  on  prof.  C.  S.  Peiree's  probabilify  notation  of  1867,  ibid. 

Vol.  12,  p.  102. 

♦6)  Symbolical  reasoning,  ,.Mind",  Jan.  1880,  V(»l.  5.  p.  45  . .  60. 

7)  On  the  growth  and  use  of  a  symbolical  lauguage,  „Proceedings  of 
ibo  litefsiy  and  philosophieal  society  of  Haaehestei*,  1881,  YoL  20, 
p.  108. 

8)  Aufgaben  in  den  „Math.  Qoestions",  nnd  der  „Bdncational  Tiaue^ 


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Literalufreneichiiiu  oebsi  Bemorkuigeii. 


709 


Marquaud,  Allan. 

li  The  logie  of  ibe  Bpieureoiu,  «ehe  „Btndi«i  in  logic",  p.  1 11. 
3)  A  machme  for  prodnoing  syllogistio  vaiiatioiui,  mit  Note  od  an 

eight-term  logical  machine.    Ibid.  p.  12  ..  16. 
8)  A  new  logical  machioey  Froceed.  Amerie.  Acad.  Vol.  21,  p.  303 307. 

Mill,  John  Stuart 

1)  Sij<;fem  öf  logic,  ratioeinatiTe  and  indactive  8^  ed.  (Znletat  9^  ed. 

erschienen.) 

2)  Dasselbe  in  deutscher  Ausgabe,  als  „System  der  deUuctiven  und 
iuductiven  Logik^'  von  J.  Schiel,  Braunschweigf  Vieweg,  1868, 
S.  Aufl.,  573  +  586  Seiten.  Die  Citate  beneben  sieh  auf  Bd.  1 
der  5.  Aufl.  der  Übersetzung. 

8)  Ezamination  of  Sir  W.  Hamilton'»  Philoeopbj,  186«5. 

Hitobell,  0.  H. 

1)  Om  a  new  aXg^a  of  Ifigk,  Siehe  „Stndies  in  logi^,  p.  72 106. 
Mflller,  Max. 

1)  YorleBongen  Aber  die  WieBenadiaft  der  Sprache.  FUr  das  deatsebe 
PnbHkum  bearbeitet  von  Carl  BQttger,    Leiptig,  Gast*  Mayer, 

1863;  400  Seiten. 

2)  Da8selt)C  in  neuer  Aufla^p.  in  zwei  Bänden.  Bd.  1,  3.  Aufl.  1876, 
500  Seiten,  Bd.  2,  2.  Aufl.  1870,  036  Seiten. 

3)  The  science  o£  thought,  unter  dem  Titel:  „Das  Denken  im  laichte 
der  Spraebe**,  aberaetzt  ^on  Engelbert  Schneider,  Leipzig  1888, 
607  Seiten. 

4)  No  language  without  reason  —  no  reaaim  withont  langnage,  „Natnre*^ 

Vol.  36,  1887,  p.  249  ..  251. 
6)  The  original  Intention  of  coUectiTe  and  abstraot  terms,  ^Mind^' 
Vol.  1,  p.  345  351. 

Murphy,  Joseph  John. 

*1)  llddlton  of  logk  in  Invqutige,    Belfast  Natural  history  and  philo- 

ßophicai  Society",  Febr.  1875,  21  Seiten. 
«2^  Fandamental  logio,  „Mind'',  Jan.  1877,  Vol.  2,  p.  47..  55, 
*3)  On  ofi  extmsion  of  the  ordmartf  lopk,  eotmeeting  U  wlA  Ae  logie  of 
relatives.  „Proceedings  of  the  Literary  and  philoaopbioal.  Bodetj  of 
Manchester",  Vol.  19,  1880,  p.  90..  101. 

4)  On  tho  transformation  of  a  logical  proposition  containiag  a  single 
relative  term,  ibid.  1882,  Vol  21,  p.  36  sq. 

5)  On  the  quautihcation  of  predicates  aud  ou  tlie  inttiipielatiou  of 
Boole^B  logical  Symbols,  ibid.  1884,  Vol.  28,  p.  83..  36. 

6)  On  the  meaning  of  addiüon  and  subtraetion  in  logic,  ibid.  1886, 
Vol.  25,  p.  8  ..  16. 

Feano,  Ginseytpe  (Joseph). 

l)  Calcolv  (jmmdncu  secomlo  rAusdehuungülehro  di  11.  Grassmann, 
preceduto  dalle  operazioni  della  logi(»  deduttiva,  Torino,  Fratelli 
Booea,  1888,  170  Snten. 


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710 


Literaturrerseicliuias. 


S)  ÄriämeHees  pnndpia,  nova  methodo  ezposita»  Tarin,  Born,  Florenx, 

Fratelli  Bocca,  1889,  40  Seiten, 
8)  /  principti  (U  Qtametria,  logiounente  esposti,  Soggio  di  • .  ibid.  1689, 

40  Seiteu. 

Diti  Hehr  beachtemwcrten  Schriften  sind  dem  V'erf.  z,u  üpät  l>ckaaui 

Corden  um  iu  dieHoin  Bande  noch  eingehende  Berücksichtigaog  sa 
an.  Es  ist  höchst  frappant,  in  3)  z.  B.  eine  riesige  Meng©  Ton  f»eo- 
metriBchen  Sätsen  mitsamt  deren  Beweisen  —  fa.-t  einen  Druckbogen 
bindorch  nn^eflÜur  von  Zeile  zn  Zeile  fortschreitend  ~  ohne  jeglichen 
Text  oder  Figuren  lediglich  in  dtr  Zcichenffpradtt  dargestellt  zn  erbliekpn 

—  nur  erläutert  noch  durch  einige  ^anz  am  Sohlnsse  angehängte  Noten 
B«bit  voraaege8cbiekt«m  SehUtiel.  Die  Zeieheoipra^e  wesentlich  die 
unsrea  Klassen-  und  Aussagenkalkuls  (mit  wenigen  Zufügungen),  obwol 
äoaaerlich  ganz  eigenartig  ersonnen  und  Ton  der  hier  verfouitnen  leider 
▼erscbieden.  Es  erhellt  ans  ihrem  Anblick,  dass  das  S.  98  aaff^stellte 
Ideal  der  Pas^i^irrnphie  für  die  Zwecke  der  Wissenschaft  bereit«  in  ganz 
erheblichem  Umfange  verwirklicht  ist.  —  Die  Menge  der  «og.  Axiome 
mfisste  jedenfalls  noch  weiter,  noch  sehr  verringert  werden.  — 

P e i r c e ,  Benjamin  (gesprochen:  Pörsss). 

1)  Linear  associative  algebri^  new  edition  with  addenda  and  notes  hy 
Ch.  8.  Peiree,  aon  of  iho  anthor.   New-York,  Yan  Nostrand  1882 

—  Abdroflk  ans  dem  „American  Jonmal  of  MatheinaticB"  Vol.  4, 
97  .  •  229. 

Pcirce,  Charles  S(antiago). 

*X)  Tbreo  pnpers  on  logic,  rend  bcforo  the  Ameriean  Acadomy  of  arts 
and  scienees  1867  —  siehe:  „Proceedings  of  the  American  Academy 
of  arts  and  sciences"  Vol.  7,  1865  ..  1868: 

1»)  (hl  an  mq/rovcment  in  BooWs  ealculus  of  logic,  p.  260..  201. 

Ib)  On  the  natural  Classification  of  arguments,  p.  261 . .  287. 

1.)  On  a  new  list  of  categories,  p.  287  . .  298. 

2)  Descriptim  of  a  notation  for  the  loc/lr.  of  r'Iafircft  resulting  from  an 
amplification  of  the  conccptions  of  Boole's  ealcnlns  of  logic. 
moirs  of  the  American  Acadcmv*'  Vnl.  9,  1870,  p.  317...  378. 

3)  On  the  applicalion  (d"  logical  analysis  to  multiple  algebni,  „Procee- 
dinya  of  the  American  Acad.  '  1876,  Vol.  10,  p.  392  ..  394. 

4)  Note  on  Grassmann's  calcnlos  of  eztension,  iUd.  1878,  VoU  13, 
p.  115  sq. 

*5)  On  ihe  aJgehra  of  logic,  „American  Jonmal  of  MathematioB'*  1880, 

Vol.      p.  15  ..  57. 
6*  Briet  de:icription  of  the  algebra  of  relativea,  6  Se:*^^Il  (wo?). 
7)  On  the  logic  of  number,  ..Amor.  Journ.  of  Math \  ul.  4.  p.  85..  95. 
ii)  On  the  algebra  of  logic:  a  contribution  to  the  philoäopLy  of  uotatiou. 

Jonm.  of  Math.**  1884,  Vol  7,  p.  180..  202. 
9\  Li  dem  Buehe  ^Btndies  in  logic**  siehe  unter  8  unsrss  Veneichiiisses: 
9a)  A  theory  of  probable  inference,  p.  126  . .  182. 
9b)  Note  A.    On  a  limited  universe  of  marks,  p.  182  ..  187. 
9c)  Note  B.    Thr  logic  of  rdntivcs,  p.  187..  203. 
*10)  „Journal  of  speculative  pbilosophy",  Vol.  2,  IbGö  (tbreo  paper8^: 
1^0»)  Questions  conceming  «.^rtain  t'acultieä  claimed  for  man,  p.  103  ..  114. 
10b)  Some  consequences  of  fonr  incapittee  p.  140  '..  167. 


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Literaiurvoneicbiusa  uebst  B«mcrkuugeu. 


711 


lOe)  Oronnds  of  validity  of  ibe  laws  of  logie.  Parther  conseqnenoes  of 

foor  incapacities  p.  1 93  . .  208. 

loh  würde  diese  Schriften  in  der  Einleitung  berücksichtigt  haben, 
wenn  sie  mir  früher  zug&jiglich  gewesen  wären. 
11)  Upon  ibe  logic  of  matbenuitics,  „ProceediiigB  Amerie.  Acad.*'  Vol.  7, 
p.  403  . :  412. 

Ploncqaet,  Gottfried. 

*l)  Sammlang  der  Sohriften,  welche  den  logischen  Kalkal  des  Herni 

Prof.  Ploucquet  betreffen,  Prankfurt  und  Leipzig,  1773  —  Ton 
A.  F.  Bük.    Nach  Itelson':  177^        cf.  p.  284,  ibid. 

2)  Methodus  calculandi  in  logicis,  1  i  incof.  et  Lipa.  1763. 

3)  Godotredi  Ploucquet  Principia  de  bubsiautiis  et  phaenomenis  (Ao- 
cedit  Methodus  calcalandi  in  logicis  ab  ipso  in?enta  cui  pxaemitti- 
tur  Gommentatio  de  Arte  ChMaeteristica),  Fnuioof.  et  Lipsiae  1764. 
Die  erste  Auflage  der  ,»Priiicipia**  (ohne  die  Beilflge)  ist  1763  er- 
schienen. 

4)  Elementa  philosophiae  contemplativae ,  sive  de  scientia  ratincinandi 
nntionibus  discipliuarum  fimdameutalibus  Deo,  üniverso  et  speciatim 
de  Hominei  Stuttgart  1778,  543  Seiten;  enthält  p.  37..  42  ein 
Kapitel:  de  Calcnlo  logico. 

Pommer,   Josef.     1)   Beispiele   und  Aufgaben   zur  Lehre  vom  kate- 
gorischen Syllogismus,  Wien  1884,  36  Seiten. 

Port- Royal,  La  l>*gique  de. 

1)  EUiliou  nouvelle,  avec  introductiou  et  uotes  suivie  d'eclaiicissements 
et  d'extruts  d'Aristote,  DescarteSf  Malebranche,  Spinosa, 
Leibnitz,  Kant,  Hamilton,  Stuart  Hill,  par  Alfred  Foaill6e. 

Paris.  E.  Belin,  1871>,  l.'O  Seiten. 

Das  ursprüngliche  Werk:  ,,La  logiqnc,  ou  Tart  de  penacr'',  bekannter 
unter  obigem  Titel,  hatte  ta  Verfassern  Arnanld  und  Nicole,  Patres 
in  einer  neben  dem  Cisterciensernonnenkloster  Port-Royal-des-Champs  un« 
weit  Versailles  (in  einem  Üebäade  Les-Qrange«)  gegründeten  Kloster- 
schule;  es  erschien  1G62. 

.V.  Prautl,  KarL 

1}  GeBoIiiohte  der  Logik  im  Abendlande.  Vier  Bünde,  Leipzig  1666 . . 
1870,  733  +  408  +  426  +  305  Seiten. 

Biehl,  A. 

*1^  „Yierieyahxssebiift  für  wissenschaftliehe  Philosophie",  1877. 

2)  Der  philosophische  Kriticismua  und  seine  Bedeutung  für  die  posi- 
tiTO  Wissenschaft,  2  Bttnde,  Leipzig,  1876    79,  447  +  358  Seiten. 

Bttdiger,  A.    1)  De  sensu  Ten  et  ftlsi,  1741.  • 

Scheffler,  Hermann. 

1)  Die  Natnrgesetse  und  ihr  Zusammenhang  mit  den  I^rinzipien  der 
abstrakten  Wissenschaften. 

Dritter  Theil.  Die  Theorie  der  Erkenntniss  oder  die  logisehen 
Geeetse.   Leipiig  1880,  930  Seiten. 

«  Sehlote  1,  W.   1)  Zorn  4.  Mu  1876.   Kleine  Bausteine  sn  einem  Denk- 


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7X2  Ijit;4;raturTeraeichni88. 

male.    Zur  PriTatmittheilung  an  Gelehrte  bestimmt    Preiburg  L  Br. 

1876.  206  Seiten. 

S.  89  .  .  114  nimmt  der  (auf  dem  Titelblatt  nicht  fjcnanntt  )  Vi-rfa-sfr  auch 
einen  Aolaaf  zu  einer  von  ihm  als  „RecursioaBsjllogiistik''  bezeicbiiettiu  Sym- 
bolik (den  ich  aber  nicht  für  eioen  glücklichen  halte).  leh  würde  die  Arbeit« 
ganz  versteckt  wie  sie  ist  ,  in  i  inem  seiner  \*ielen ,  zumf'ii.t  fiepen  Profe^tior 
Drobisch,  die  Berliner  Akademie,  Bibliotheksvorstände  etc.  gerichteten  Pam- 
phlete, sicher  übersehen  haben,  hfttte  mich  nicht  ihr  Verfasser  In  finer  lelt^ 
Barnen  Zuschrift  auf  dieselbe  utul  darauf  aufmerksam  ^'omacht,  dasa  ich  lie  bei 
der  Groeah.  Badischen  Hof-  iiikI  I.aiule.sbihliothek  entleiben  könne. 
2)  Die  Logik,  neu  bearbeitet.    Güttingen  1854,  118  Öeit^u. 

^Schlosser,  P.  P.     1)  Dispiitatio  de  sororio  logiccs  et  niathcseos  nexu, 
et  appUcaUone  praeceptorum  logicorum  in  disciplinis  mathematiciS|  1727. 

Schopenhauer,  Arthur,    l)  Über  die  vierfache  Wurzel  des  Satiefl  TOm 
snreicheiideiL  Gninde,  8.  Aufl«   Leipiig  ,1864,  160  Seiten. 

Schräder,  Friedrich  Wilhelm  Karl  Ernst 

l)  Lehrbach  der  Arithmetik  imd  Algebra  fttr  Lehrer  und  Stadirende. 
1  Band:  Die  sieben  algebraischen  Operationen.    Leipiig,  Teabner 

1873,  360  Seiten. 

•2)  Der  Opera (ionskrtis  f?<"f  LofflH-nlkttls,  ibid.  1877,  37  Seiten  —  rezen- 
sirt,  von  Adamson  „Mind'\  Vol.  3,  p.  252  ..  255. 

3)  Note  über  den  Uperationäkreis  deä  Logikkalkulä ,  „Mathematische 
Annalen**  1877,  Bd.  12,  p.  481  ..484. 

4)  Rezension  von  Frege's  „Begriffsschrift^  in  Schlömilch*s  „Zeit* 
Schrift  für  Matb.  uiid  Physik^*,  1880,  Bd.  25,  p.  81  94  der  histo- 
risch-literarischen Abteilung, 

ö)  Exposition  of  a  logical  principlr»,  as  discloscd  by  tlie  alir»'^»ra  of 
lo^ic.  but  overloüked  by  the  ancient  logicians,  ^.Hopurt  oi  tlie  .'»:>*' 
Meeting  ol"  the  Britiöh  Association  held  at  Southporf,  18b3,  p.  112. 

6}  Über  das  MhiUwiiionqarolfkm  im  idmüM^  KtOkul  „Tagblait  d«r 
68.  Versammlnng  deutscher  Natnrforscher  nnd  Arzte  in  Strassbnrg^ 
18R5,  p.  353  sq. 

7)  Tafeln  der  eiiirleuti^'  mnkelirbaron  Funktionen  zweier  Variabein  auf 
den  einfachsten  Zahlengebieten.  „Matb.  Aunalen"  1887,  Bd.  29, 
p.  299  ..  317. 

8)  Über  Alguriilajun  und  Kalkuln.  Hoppe's  „Archiv  lür  Matb.  und 
Physik«,  1887,  2.  Reihe,  Teil  6,  p.  225  ..  278. 

Leider  wurde  mir  der  Aufsatz  einigerijuiysen  veruu^tiiltet  zufolge  Inter- 
venirens  der  Hedaktion  bei  den  Korrekturen,  an  die  ich  nicht  obnf^ 
Schaudern  zurückdenke.  Am  empfindlichsten  bleibt,  dass  bei  ErwAhuuug 
der  Integrabilitätsbedingungen ,  p.  207,  niobt  nur  mir  die  beabsichtigte 
Fusenote  tin't  den  ausfülirlirhen  Liteniturangaben,  sondern  anch  im  Teste 
die  ^,'ebiiihiende  Erwähnung  der  N;tm«n  Hiomauu  uiid  faul  Du  Bois 
Revuiond  (neben  dem  von  Thoina«)  ungeachtet  aller  meiner  Bitten, 
Anerbietungen  und  wiederholten  \'or?telIungen  au?  erster  und  zweiter 
Korrektor  gestricheu  wurde.  Ich  muss  den  Leser  erHUchen,  vor  der  Lek- 
türe die  (someiBt  zweimal  vergebens  angebrachten)  Korrektaren  nnd  Vex- 
l^e^fiernngen  ans  den  Berichtigungen  des  Bandes  eintragen  zu  wollen, 
iu  welche  sie  wenigstens  schliesnlich  aufgenommen  erschieuen. 

9)  Oher  dk  Anrahl  der  Urteile,  welche  die  Loffik  äbmgeben  vermag  iib^  * 


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Litenttnrreaeiehniaa  nebst  Bemerkongwi.  713 

ewei  Jirffrißc,  „Tagbiatt  der  U2.  Versammlung  deutscher  Natui*forticlier 
and  Ante  va  Heicitlberg"  1880,  p.  190. 

Anlässlich  genannter  VerBammlung  wurde  ich  ent  dnrch  Herrn 

Walti  r  Pyck  anf  dit;  Schriften*  nnd'  den  Herrn  Peano  anfmerkfam 
gftuucbt,  nach  welihiu  ich  auch  dessen  Schrift'  erwarb.  Ich  ersehe  aud 
dem  Vorwort  der  letzteren,  dass  die  von  mir  ermittelte  Zahl  32767  schon 
Horm  Peano  bekannt  war  und  in  piner  allgemeineren  Foninl  deuelben 
entli.uun  ist,  die  ich  im  Kweiten  liande  nun  begrüuden  werde. 

Schuppe,  Wilhelm.  1)  firkeontiiissthearetiaohe  Logik,  Bonn  187Ö, 
701  Seiten. 

*SegBor,  J.  A.    1)  Spedmeii  logieae  «niTenaliter  demonstratae,  1740. 

*SeiDler,  0.  A.    l)  Venneh  ttVer  die  oonibiaatorisehe  Methodei  1811. 

8ervoiö.  1)  Cf.  Gergouuu  s  „Annales  de  Math- matiiiues"  Tome  5,  p.  98, 
III,  142,  etc.  wo  sich  die  Namen  „commutalive^'  und  „distributive''  erst- 
malig finden. 

Sigwart,  Christoph. 

1)  LoffUs,  Erster  Band.  Die  Lehre  vom  ürtiieü,  vom  Begriff  und  vom 
Schluss.   Tflbingen,  Lanpp,  1873,  420  Seiten. 

2)  Zweiter  Baad.   Die  Methodenlehre.   Ibid.  1876,  61*1  Seiten. 

•SoUy,  T.    1)  Syllabüs  of  logic,  1839. 

Spalding,  W.    l)  Introduction  to  logical  science,  1857. 

Spottiswoode,  W.    l)  Reniark;?  on  some  recent  geneialüiations  of  algebra, 

„l'roceediugs  of  the  Loudon  Math,  hociety''  1872. 

Steinthnl,  H.  Der  ürspruncf  der  Sprache,  im  Znsammenhangf  mit  den 
letzten  Fra<,'on  alles  Wissens,  oine  Darsleiiung,  Kritik  und  Fortentwicke- 
iung  der  vorzuglichsten  AusichteD.   3.  Ausgabe,  Berlin  1877,  374  Seiten. 

Stolz,  Otto. 

l)  Vorlesungen  über  allgemeine  Arithmetik,  nach  den  neueren  An- 
sichteu  bearbeitet.  2  Bände,  Leip^g,  Teubner,  1885..  86;  344 
+  326  SeiteiL 

Siudies  in  logic  hj  members  of  the  Johns  Uopkius  Universitj.  Boston, 
Little,  Brown  is  Co.,  1883,  203  Seiten. 

Sweet,  Henry,  l)  Words,  logiu  und  grammar,  „Transactions  of  Philo- 
logical  society^^  1876. 

TbomsoB,  W.    1)  Law8  of  tbonght,  1875. 

Thüiights  ou  lü^'ic,  or  tlie  8.  X.  I.  X,  proposilioiial  tlieory,  1877. 

"^Tünnies.    1)  De  logicae  sQentiae  ad  exemplum  arithmeticae  insiituenda 

raUuno,  17. '»2. 

Trcndeienburg,  Adolf. 

1)  Logische  Untersuchungen,  2  Bde,  Leipzig  1870,  3.  Aufl.  388 
-f  538  Seiten. 


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714  Lilcraiuivcnteicluiiaa. 

2}  Hisforiflobe  Beitrage  mt  Pbilosoplii«»  4  Bde.  Baad  S,  Berfin  1867, 
444  Seiten. 

TweBten,  A.  D.  C.    1)  Logik  1825. 

üeberweg,  Friedrich. 

l)  System  der  Logik  und  ■Oßs^chiehte  der  logischen  Lehren.    4.  Aofl., 

Bonn,  Marcus  1874,  434  leiten. 
Ulrich.  J.  H.    l)  Institutiones  logicae  et  metaphysicae.  1792. 

ülrici,  H.  „^itschhit  für  Philosophie  und  philoBophische  Kritik'*,  18 *b, 
Venn,  Jobo. 

1)  SymMie  Loffie,  London,  Ifaeniillaii,  1881;  446  Seiten. 

Wef?(  n  cUr  ;^u.-^ erordentlichen  Beleseubeit  des  Verfassers.  >»nner  sorj?- 
fältigen  kritischen  Anmerkungen  und  seiner  „Historie  not^a^*  inChapterXX, 
tn  Bezng  auf  die  Entwickelungsgeschicbte  der  eymbolisirenden  Logik  eine 
Bcbiitzenswertc  Ergiatong  mm  TOrllegenden  Boche. 

2)  The  logic  of  cbancc,  an  essay  on  ibe  foundations  and  province  of 
the  thcory  of  probability  with  especial  refereuce  to  its  logical 
bearingt»  aud  itä  application  to  moral  and  social  science.  2^  ed. 
London,  Macmillan,  1876,  488  Seiten. 

3)  Cooeiateney  and  real  btference,  ^Mind",  Vol.  1,  1876,  p.  43 ..  52. 
*4)  Boole'a  logical  eystem,  ibidem  p.  47 9..  491. 

*5)  On  the  diagrammatic  and  meeliauical  represeniution  of  propoöitions 
and  reasonings  (Tbe  London,  Edinbourgh  :iud  Dublin),  .,I'hilosophical 
Magazine"  (and  Journal  off^cienrn\  Vol.  10.       titnies,  188o.  p.  1..18. 

*C)  Symbolic  losrif-,  „Princeton  Review".  XewYork,  Si'i»t.  1880.  p. 1*17.  .267. 

*7)  On  tbe  various  uotations  adopted  i'or  expressing  the  comtuun  pro- 
posi^ons  of  logic,  „Proeeedings  of  the  Cambridgo  PhUoaopbical  w- 
cieij^,  Bec.  1880,  Vol.  4,  p.  35  ..46. 

*8)  Oft  tlM  employment  of  geometrical  diagrams  for  tbe  BOBSible  re- 
presentaiion  of  logical  propositions,  ibid.  p.  46  ..  58. 
9)  Tbe  difficnlties  of  material  logic,  ,,Mind"  Vol.  4,  p.  35  . .  47. 

10)  On  ihe  forms  of  logical  proposition^  „Mind"  Vol.  5,  p.  336  349. 

In  4)  bii  8)  aind  einaelne  Kapitel  von  1)  vorantbearbeitet 

11)  Tbe  principlea  of  empirical  or  indnctiTe  logic,  MacmiUan  1889, 
594  Seitoii. 

Enthält  aach  viel  zur  fomialen  Logik  gehOiigei,  n.  a.  aohätsenswerie 
Angaben  über  UniversaUprachen. 

Vives,  Ludwig,    l)  De  censura  ?eri,  1556. 

Voigt,  Andreas  Tf«'Inricb. 

Ij  Die  Aufliisuug  von  Urteilasy steinen,  das  EUniinutionsproblcm  und 
die  Kriterien  deu  VViderspmchB  in  der  Algebra  der  Logik.  Frei- 
bnrger  BoktofdiBBertatioB,  Leipzig,  Ales.  Dans  1890. 

Waits,  Theodor,    l)  Lehrbnoh  der  Psychologio  ala  Natarwiaaeaacbaf^ 
Bramwobweig  1849,  685  Seiten. 

Weber,  Heinrich,    l)  Über  OanBalitSt  in  den  NitnrwiwwBBchaften. 


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LiteratunrenekluiiM  nebst  Bemerkungen.  715 

Rede,  gehalten  bei  der  Übergabe  deö  Prorectorats  der  Albertus-Üniversi- 
tit  m  Königsberg.    Leipzig,  Engelmaan  1881,  30  Seiten. 

Weise,  Chr.    cf.  Lange,  J.  C. 

-Wilkins,  J.    1)  Essay  towards  a  real  charucter  and  philosophical  lan- 
giiage,  1668. 

Wolf,  Christian.    Psychologia  empirica,  1779. 

Wundt,  Wilhelm. 

1)  Logik.  Eine  Untersuchung  der  Principien  der  Erkcnntniss  und  der 
Methoden  wissenächaftlit-her  Forschung.  1.  Bd.  Erkenutnisslehre, 
Stuttgart,  Enke  1880;  586, Seiten. 

2)  2.  Bd.    Methodenlehre,  ibid.  1883;  620  Seiten. 


Was  die  Legikliteratur  überhaupt  betrifft,  soweit  solche  bier  nicfU  an- 
geführt worden,  80  iind  Hchon  in  Ueberweg'  und  PrantP  ilie  reichlialtigöton 
Angaben  zu  finden  und  ausserdem  sei  bemerkt,  daüs  uach  L)e  Morgan*  p.  3S3 
—  tehoa  1847  —  die  aweite  Anflage  Ton  Blakey's  „Essay  on  logie**  einen  Kata> 
Ilw  von  über  tnnsond  LogikBchriften  mit  kurzer  Titelangabe  enthält. 

Biographische  Notizen  über  De  Morgan,  Boele  und  Jevons  finden  sich 
bei  Liard'  p.  71,  99,  147.  Boele'*  Leben  ist  unter  dem  Utet  „Homeeide  lifo 
of  a  Hcientific  niind"  in  dem  ,,Uni\<  r  liy  Magazine"  von  1878  anonym  von  seiner 
Wittwe  Mre.  Mary  Boole  beschrieben  —  vgl.  über  dasselbe  auch  Ilarlev*. 
Über  An^ustus  De  Morgan's  Loben  und  Schriften  gibt  aaeh  die  „KncyciO' 
paedia  Bntannica''  9^^  Ed.,  Vol.  7,  p.  64  . .  67  schätzenswerte  Notizen. 

Da  ich  die  Anwendungen  der  Algebra  der  Logik  auf  numeriBche  Probleme 
(im  Allgemeiaen)  und  iusbciiondere  auf  die  Aufgaben  der  WahrscheinlicJikeits-' 
redinung,  wie  im  Vorwort  erwähnt,  vorerst  beieeata  lassen  muaste,  so  sei  zum 
Schlüsse  bier  -wenigstenB  die  Literatur  darüber  zasammengeFtf^llt ,  «-»weit  solche 
mir  irgend  zur  Keuntnisa  gekommen.  Es  machten  in  erwSkhuter  Hinsicht  in  iie- 
tradit  kommen: 

Boole*  p.  24S..898,  (De  Morgan*  p.  893  ..  406,  *  p.  11«..  IW), 
Ch.  Peirce'»,  wo  er  Fehler  Boole's  berichtigt, 

Macfarlane*  sowie  „Math.  Qaestions"  Yol.  38,  p.  18 sq.,  p.  74..  77,  Vol.  86, 

p.  IUI  »q. 

Qilman*,  Elisabeth  BUokwood,  „Math.  Qnestions",  YoL  99,  ji.  U»..  108. 

MeColl'  p.  16  ..  17,  «  sowie  ,3Iath.  Qaeetioas^  Vol.  88,  p.  80..88,  p.  100, 

VoL  33,  p.  113. 

Betreffs  numeriacher  Syllogismen  und  Probleme  üborhaupt:  Boole'',  .Trvon':^  and 

Macfarlane  und  McCoU,  „Math.  Questious"  Vol.  35,  p.  103  sq.  Vol.  au,  p.  iTsq., 
p.  65,  p.  78. 


NamenverzeichniBs  zum  ersten  Bande. 


Die  Zahlen  hinter  den  Namen  bedeuten  die  Nummer  der  Seite,  auf  welcher 
der  Name  sich  erwähnt  findet. 

Apelt  8j  Aristoteles  92,  173,  319,  346,  SML 

Baco  61_i  Badorff  628,  567^  ßain  26;  Becher  94j  Behap:hel  47j  Beltrami 

288;   Beneke  Slj  Berkeley  27i   Bernoulli  611;  Blackwood  393^  894. 

653;  Blakey  716j  Bodenstedt  I6j  Bödicker  258j  Boole  VI,  119,  194,  248, 

245,  24t).  '251,  2G3.  214  . .  27(5^  ^  .lOt^  831^  360,  365,  309,  370,  411,  ÜA.  il^ 

418.  422,  4f.O.  4(')2,  477,  4'.)«).  522,  527,  628.  531,  640,  645.  654  ..  65'.).  56i.  564. 

667,  56'.>.  571,  584,  586.  588,  581» .  591.  663;   Bravais  629j    Brill  L.  679; 

Brown  26i  Büchner  19,  23- 
Cantor,  Georg  139,  156^  253,  44t ;   Cartesius  cf.  Descartes;  Canchy  137; 

CayleY288.  675;  Clifford  047^  663,  G66j  67r,  filS  . .  682]  Corti30;  Grelle  USL 
Dalgiirn  94j  Darwin  16£,  870;  Dedekind  IV,  100,  189,  268,  441^  629,  682; 

De  Morgan  28,  56^  105,  120^  140,  Ul^  154^  194^  2C3j  276,  302,  36ii  SW. 

887.  390  ..  392.  640;  Deacartes  03,  \n,  432;  Dieftenbach  24_i  Dio- 
genes 88i  Drobisch  4,  846;  Du  Bois  Keymond,  Emil  24,  30^  31;  Du 

Bois  Reymond,  Paul  140,  712;  Dyck  629,  Iii 
Edison  39j  Eckermann  I,  XI;  Erdmann  4,  270;  Euklides  169,  288;  Euler, 

Leonhard  101,  165,  156,  168,  162,  Mi.  570. 
Faucher  284;  Fechoer  34;  Fitger  24;  Fischer,  Kuno  21j  Franklin  cf. 

Ladd;  Frege  96,  704;  Fresnel  4L 
Galiani  24;   Gauss  263;  Geiger,  Lazarus  4j  Genese  641;  Gilman  715; 

Goclenius  173;  Goethe  Titelblatt,  XI,  154.  182,  23G;  Grassmann,  Bermann 

441,  609;  Grassmann,  Robert  243,  271,  274,  299,  801,  864,  366;  Grey  393; 

Urove  393^  632,  636,  hhl, 
Halsted  283.  370;  Hankel,  Hormann  283.  609;  Hamilton,  William  Rowan 

283;  Hamilton,  W.  702;  Harley  641^  678,  716;  Harms  31;  Hegel  5,  21; 

Henrici  394,  395;  Her  hart  244;  v.  Helmholtz26,  31,  33^  Hertz  41,  filSsq.; 

Hoppe  104;  Hoppe,  Reinhold  712;  v.  Humboldt,  Wilhelm  L 
Jevons  61  . .  63,  65,  G3,  72,  154.  17^  243,  263,  265,  274,  29Ü.  295,  302,  339,  341, 

849.  354.  366.  3G'J,  370.  374.  380.  381.  389  . .  391,  394,  460,  507,  530,  559  ..  562. 

6fifi  . ,  669,  572,  047,  658,  Üiia  . .  672;  Jordan,  CamiUe  629;  Jürgens  IM. 
Kant  36,  81  1)2,  110,  174,  319,  .320,  326^  329,  333,  885,  350,  441 ;  Keller,  Julius 

4,  97_,  98^  Keynes  287:   Kircher  94;  Klein,   Felix   288;   Knop  848; 

Kopp  680;  V.  Kries  8;  Kronecker  ß2ÄA 
Lactantius  33;  Ladd  120_,  274,  370,  394^  433,  467,  624,  6SLi  586i  648,  660; 

Lamarck  164i  Lambert  119 .  532,  533:   Lange,  F.  A.  3^  13,  14,  89,  104, 

146.  155.  177;   Leibnit  40,  4l_,  56,  £3  .  .  95,  HO,  270,  350 ;   Liard  VI,  716; 

Lie  629;  Liebmann  XI,  36;  Lotze  10,  33,  99,  102,  105,  120,  174,  320,  323, 

326.  329  ■  ■  331.  888.  836.  886.  888,  669,  666,  6G7;  "ITöröth  XT;  139,  156,  667; 

Lullius 

Macfarlane  276,  563,  664;  Mac  Laurin  411,  412;  Malchos  849;  Matz  641; 
Maxwell  41;  McCoU  161,  275,  365,  388,  391  420,  483,  462,  627,  630, 

68C.  541.  662,  663.  669,  670,  blÄ  . . .  576,  üllJ     ßSl,  öfiÄ  . . .  bHb^  ^  ...  592i 


NamenveneichnisB  zum  ersten  Bande. 


717 


Melancbthon  668i  Mill,  John  Stuart  V,  2i8,'2C,32^36i44.62,54i55. 

60^  62^  63.  86,  92^  ^06^  122^  1^2,  177^  222j  Miller  SÖSi  Milton  870j  Mitchell 

120,  457;  Monro  393,  5ö2j  MfllTer,  Max  46,  SiS» 
Papin  126;  Peano  710,  713;  Peirce,  Benjamin  802;  Peirce,  Charles  S.  III.  92. 

96,  107  ...  m,  115,  IIJL  120,  13S,  140,  141^  191,  193,  194,  211,  243^  253j 

257.  m  . .  .  276,  286,  290,  291^  SUL  301.  302,  814,  350,  353,  354,  iM  . . .  365, 

376.  378,  379.  418.  419.  423.  467.  496.  626.  632.  668.  669,  660.  673.  688.  589. 

691;  PTaton  88^  Ploucquet  119j  Port-Royal  122i~Forphyriu8  cf.  Mal- 

choB;  Prantl  101^  224,  TLh. 
Riehl  24;  Riexnann  33,  34,  112. 

V.  Scheffel  148i  SchefHer  568^  569j  Schlegel,  Victor  679_;  Schlömilch 
681;  Schlötel  lilsq  ;  Schxaparelli XI,  UOj  Schiel  26^  ü2i  Schiller  149; 
Schopenhauer  26^  81_i  Schubert,  Hermann  139,  189;  Schultheias  95j 
Shakespeare  182_,  370^  Semler  660;  Senior  557j  Servois  288;  Sigwart 
V,  2,  3,  8,^  11...  13,  15,  16,  82,  86,  90,  92,  106i  IJA  126,  142,  154»  244,  320, 
325,  326,  329,  331,  'i^  ■  ■ .  MiL  350j  Silesia  77j  Sohucke,  Leonliard 
629;  Spencer  26]  Spinoaa  23^  de  Stael  24i  Stas  XI.  163;  Steinthal  4,  97j 
Stolz  609j  6l2i  Stringham  filfl. 

Tanner  686j  Taylor  411:  Tenuyson  STOj  TertuUian  88^  Thaies  124;  Tho- 
mae  712;  Trede  94;  Trendelcnborg  38,  40,  46,  56^  98,  Öl. 

Ueberweg  4,  33,  84,  104,  105,  155^  ITT,  Iii. 

Venn  m,  244,  263,  270,  354.  366.  36iL  »70,  892,  528,  533,  536,  ÜID^  542, 
546,  559,  560,  5lili  .  .  572,  5«9i  Vieta  95^  VTves  155;  Voigt  419. 

Weber,  Heinrich  26,  139;  WeieratraHs  441 ;  Weise  155;  Weismann  108; 
Whately  2^  Wbewell  (gesproclieu:  Wjuil)  38^  Wilkin»  94i  Wundt  III 
.  .  .  179,  225  .. .  226,  274,  326,  öiL 

Zöllner  Si. 


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