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Full text of "Handwörterbuch der astronomie"

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Handwörterbuch  der 
Astronomie 

Karl  Wilhelm  Friedrich 
Johannes  Valentiner,  Wilhelm  Valentiner 


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ENCYKLOP^DIE 

DER 

NATURWISSENSCHAFTEN 

HERAUSGEGEBEN 

VON 

Prof.  Dr.  W.  FÖRSTER,  Prof.  Dr.  A.  KENN  GOTT, 
Prof.  Dr.  A.  LADENBURG,  Kustos  P.  MATSCHIE,  Prof. 
DR.  A.  SCHENK,  Geh.  Schulrath  Dr.  O.  SCHLÖMILCH, 
Prof.  Dr.  W.  VALENTINER,  Prof.  Dr.  A.  WINKELMANN, 

Prof.  Dr.  G.  C.  WITTSTEIN. 


IIL  ABTHEILUNG 

H.  THEIL: 

HANDWÖRTERBUCH  DER  ASTRONOMIE 

HERAUSGEGEBEN 
VON 

Professor  Dr.  W.  VALENTINER. 


BRESLAU 

VERLAG  VON  EDUARD  TREWENDT 

1898. 

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HANDWÖRTERBUCH 


DER 


ASTRONOMIE 


UNTER  MITWIRKUNO 
VON 

Prof.  Dr.  E.  BECKER -Strassburg,  Prof.  Dr.  E.  GERLAND- Klausthal,  Prof. 
Dr.M.HAID-Karlsruhe,  Dr.  N.  HERZ- Heidelberg,  Dr.  H.  KOBOLD-Strassburg, 
Dr.  N.  v.  KONKOLY-Budapest,  Prof.  Dr.  C.  W.  PETERS  (f),  Dr.  E.  v.  REBEUR- 
PASCH  WITZ  (f),  Dr.  Fr.  RISTENPART -Heidelberg,  Prof.  Dr.  W.  SCHUR- 
Göttingen,  Prof.  Dr.  H.  SEELIGER -München,  Dr.  C.  STECHERT-Hamburg, 
Prof.  Dr.  W.  WISLICENUS  Strassburg,  Dr.  K.  ZELBR-Brünn 

HERAUSGEGEBEN 
VON 

Dr.  W.  VALENTINER 

Ordentl.  Professor  der  Astronomie  an  der  Universität  und  Direktor  der  Astrometrischen  Abtheilung 

der  Grossbertoghchen  Sternwarte  zu  Heidelberg 


ZWEITER  BAND 


MIT  30  ABBILDUNGEN  IM  TEXTE  UND  4  TAFELN 


BRESLAU 

VERLAG  VON  EDUARD  TREWENDT 

1898. 


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HARVARD  «SU?«  LI9RARY 

c:  '•••.incr 
ASTROf:  alc;:i-:vatow 

R.W.  V  IL.  K.IUCTIÖ* 
JULY  12.  l.»3 


Das  Recht  der  Uebersetzung  bleibt  vorbehalten. 


-  -    —  d  by  GU*  - 


Inhaltsverzeichniss. 

Saite 

Gnomon.    N.  Herz   1 

Regula  parallactica   2 

Qundratum  geometricum   3 

Heliometer.    W.  Schur   4 

Kr^tc  Vorschlafe  zur  Herstellung  von  Heliometern   4 

Beobachtungen  von  Tkiksnkckkr  an  einem  Heliometer   5 

Die  kleinen  Fraunhofer  sehen  Heliometer   e, 

Verringerung  der  Helligkeit  des  Heliometerbildc»   6 

L>as  Konigsberger  Heliometer   6 

Beobachtungsweise  am  Heliometer   8 

Distanzmessungen.    Bestimmung  des  Schraubenwertes  im  Bogenmaass   IO 

Einfluss  der  Ocularstellung  auf  die  Distanzinessungen   Ii 

Messung  der  Positionswinkel   14 

Verschiedene  Heliometer  alterer  Zeit   1$ 

Repsoi  d's  neues  Heliometer  der  Gottinger  Sternwarte   17 

Berücksichtigung  der  Instrumentalfehler  bei  den  Messungen  von  Positionswinkeln  ■  24 

Belgisches  Heliometer   25 

Bemerkungen  über  die  tuktinftige  Bedeutung  des  Heliometers   26 

Heliotrop.    Vai.entINKr   27 

Horizontalpendel.    Valentinkr   27 

Das  Pendel  von  Henoler  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  28 

Das  Pendel  von  Zöllner   30 

Das  Pendel  von  v.  Rebeur-Paschwitz   32 

Ablenkung  des  Pendels  durch  Sonne  und  Mond   36 

Das  Pendel  als  Seismometer   39 

Interpolation.    Vai.knti.ner   41 

NMViON'sche  Interpolationsformel   4^ 

Interpolationsformel  für  die  Mitte   43 

Berechnung  der  numerischen  Wcrthe  der  Differentialr|tioticntcn  einer  nach  gleichen 

Intervallen  fortschreitenden  Function   45 

Jacobstab.    N.  Herz   48 

Davisquadrant   48 

Kometen  und  Meteore.    N.  Herz   49 

Einleitung   49 

A.  Kometen   S1 

Zahl  der  beobachteten  Kometen   52 

Acussere  Erscheinung  der  Kometen   53 


VI  Inhaltsverzeichnis«. 

Koma,  Kern,  getrennte  Kerne  .  '  S4 

Schweife,  anomale  Formen   55 

Lichtausstrftmungen  56 

Beobachtete  Kcrntheilungen  59 

Doppelkometen  60 

Bahnen  der  Kometen  66 

Langperiodische  Kometen  68 

Komet  Hallky  68 

Komet  PONS-BlOOm  .    .  ,  s__!    §9. 

Komet  OLBKRS  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  .  s  .  .  .  .  .  :  63 

Andere  Kometen  dieser  Klasse  7° 

Kurzperiodische  Kometen  70 

Komet  la  Hire-dk  Vico;  Komet  Grischow;  Komet  Helfen zrikdrr   .    .  7» 

Komet  Lkxki.i   72 

Komet  Biela;  Komet  Picott   73 

Komet  Enckk;  Komet  Turm  74 

Komet  Winnecke;  Komet  Blanvain   75 

Komet  Faye;  Komet  Brorsen;  Komet  Petsrs  75 

Komet  d'ARRKST;  Te.mpei.'s  Kometen  und  Andere  dieser  Klasse    ■  76 

Helligkeiten  und  Periheldistanren  der  Kometen  77 

Vergleichung  der  Bahnen  der  periodischen  Kometen  mit  denen  der  kleinen  Pla- 
neten  97 

Ursprung  der  Kometen  83 

Physische  Beschaffenheit  der  Kometen  und  ihrer  Schweife  85 

Einfluss  der  Planeten  auf  die  Kometen  90 

TtSfERAND's  Criterium  für  die  Identität  tweier  Kometen  94 

Kometensysteme  97 

B.  Meteore   103 

Allgemeine  Bemerkungen  über  die  meteorischen  Erscheinungen   103 

Beobachtete  Meteorstcinfälle   104 

Eintheilung  der  Meteormassen   109 

Erste  Bestimmungen  der  Höhe  der  Sternschnuppen   110 

Sternschnuppcnfällc   1 13 

Acussere  Erscheinung  der  Meteore,  Grösse,  Farbe,  Schweife    120 

Anomale  Bewegungserscheinungen   126 

Apex  und  Antiapex   128 

Berechnung  der  Höhe  der  Meteore   132 

Geschwindigkeit  der  Meteore,  Einfluss  der  Erdanziehung  und  der  Luft    .     .    .  147 

Die  scheinbare  Vcrtheilung  der  Meteore  nach  Zeit  und  Raum   158 

Sternschnuppenschwarme   177 

Bestimmung  der  Meteorbahnen   190 

Stellare  Schwarme   200 

C.  Beziehungen  zwischen  Kometen  und  Meteoren   208 

Bahnen  der  Lyraiden,  Perseiden,  Leoniden,  Andromediden   an 

Vergleichung  der  Kometen  und  Meteore  nach  den  Radianten   212 

Art  des  Zusammenhangs  »wischen  Kometen  und  Meteoren   221 

Kosmogonie.    E,  Gf.ri.and   228 

Einleitung    228 

Das  Weyen  des  l'rstofl's   230 

Die  Nebelmassen  und  Fivsternsysteme   231 

Die  Fixsterne   233 

Unser  Sonnensystem   237 

Neigungen  und  Excentricitäten  der  Planetenbahnen   241 

Neigung  der  Axen  der  Planeten   242 

Entstehung  der  Satelliten  ,   242 


I 

1 


InhalUverceichniss.  VII 

Der  Ring  des  Saturn    843 

Die  Kometen   »44 

Die  Meteore   244 

Das  Zodiacallicht   244 

Die  Quellen  der  Soniienwännc    245 

Längenbestimmung,    Valkntinkr   247 

Telegraphische  Längenbestimmung      .   249 

Durch    gleichreitigcs    Rcgistriren    der   Stcrndurchgängc    auf  den  Apparaten 

beider  Stationen   249 

Die  Coincidemmethode    3$2 

Die  Signalmethode   255 

Die  Stromtcit   257 

Langcnbestimmung  aus  Chronomcterllbertragung   259 

„  ,j  durch  Beobachtung  von  Mondculminationcn   269 

„  ,j  durch  Beobachtung  von  Mondatimuthen   272 

„  „  durch  Beobachtung  von  Mondhöhen   373 

u  jj  durch  Beobachtung  von  Monddistanzen   273 

Mechanik  de»  Himmel».    N.  Hekz   278 

1.  Allgemeine  Begriffe    278 

2.  Orthogonale  Transformation   280 

I.  Abschnitt.    Die  Translationsbcwegungcn    284 

8.  Kräftcfunction   284 

4.  Bewegung  des  Schwerpunktes   ....  a86 

5-  Princip  der  Flächen    286 

6.  Erhaltung  der  lebendigen  Kraft    288 

8.  HAMiLTON'schcs  Princip   289 

8.  Lagrangk's  Form  der  Bewcgungsgleichungen   »90 

9.  Differentialgleichungen  der  Bewegung  in  rechtwinkligen  Coordinatcn     .    ■     .  29 1 

10.  Differentialgleichungen  der  Bewegung  in  polaren  Coordinatcn   292 

11.  Differentialgleichungen  für  die  Variation  der  Elemente   296 

12.  Erste  Näherung.    Bewegung  in  Kegehchnittslinien   299 

13-  Die  Bewegung  in  der  Parabel   304 

14-  Bewegung  in  der  Ellipse  und  Hyperbel   306 

15.  Elliptische  Bahnen.    EntWickelungen  nach  der  mittleren  Anomalie    ....  307 

16.  Nahe  parabolische  Bahnen   3» 2 

17.  Berechnung  der  Coordinaten  und  Geschwindigkeiten    3*4 

18.  Transformation  der  Differentialgleichungen  für  die  Variation  der  Elemente    .  317 

19.  Variation  der  Elemente.    Einführung  der  störenden  Kräfte   319 

2Q.  Variation  der  Elemente  ftlr  grosse  Excentricitätcn  (nahe  parabolische  Bahnen) 

und  für  sehr  kleine  Excentricitaten  und  Neigungen   3*4 

21.  Die  Störung  der  Periheheit  in  der  parabolischen  Bewegung   327 

22.  Störungsrechnung   329 

a)  Berechnung  der  speciellen  Störungen   33° 

23.  Spccielle   Störungen    in    rechtwinkligen  Coordinaten.    BOND-ENCKKschc  Me- 

thode   3.30 

24.  Beispiel    336 

25.  Störungen  in  rechtwinkligen  Coordinaten.    L'ebergang  auf  osculirende  Elemente  342 

26.  Störungen  in  polaren  Coordinaten.    HANSKN-TfKTfEN'sche  Methode       ■    ■    .  343 

27.  Beispiel    351 

28.  Störungen  in  polaren  Coordinaten;  l'ebergang  auf  osculirende  Elemente  .    .  356 

29.  Vcrgleichung   der  Störungen    in   rechtwinkligen   und  polaren  Coordinatcn. 

Uebcrgang  auf  ein  anderes  Intervall   357 

30.  Variation  der  Elemente   360 

31.  Beispiel   363 


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VIII  Inhaltsverzeichnis«. 


b)  Berechnung  der  allgemeinen  Störungen   366 

32.  Vorbemerkungen   366 

33.  Entwickelung  der  störenden  Kräfte   367 

3t.  Kleine  Neigungen  tun]  K\centr:eiuten   370 

35.  Kr.twiekclung  der  negativen  ungeraden  l'otcnren  von  /•'   372 

36.  Differentialquotienten  der  K  und  P   377 

37.  Kntwickehing  der  St< 'rungslune tion  für  l'lanctenbewegnng   379 

38.  Variation  der  Elemente   383 

39.  Secularglieder  der  Storung-hmetion   3S7 

40.  Secularstorungen  in  c ,  i,         r.   390 

41.  Stabilität  der  Bewegungen   393 

42-  Secularstörcng  der  mittleren  Länge   396 

43.  Periodische  Störungen.    Glieder  langet  Periode   398 

44.  Beispiel    401 

4.'.  Argumente  langer  Periode  in  den  I'lanetenbewegungen   402 

■lfi.  Bemerkungen  filier  die  Stimmgen  rweiter  Potenz  der  M.i'-ai   404 

47.  Störungen  in  polaren  Coordinaten   40S 

48.  Beispiel   409 

49.  Die  canonische  Differentialgleichung   41g 

50.  Ideale  Coordinaten,  Han.-i:n's  Methode  der  Störungsrechnung   415 

51.  Differentialgleichungen  für  Länge  und  Radiusvector   4»8 

52.  Kntwickelung  der  Störungen  in  Breite   423 

53.  Entwickelung  der  Störungsfunction  für  grosse  Excentricitätcn  und  Neigungen  426 

54.  Osculirende  Elemente:  mittlere  Kiemente   429 

5").  rroportionalcoordinnten.     Ürroi./i'KVche  Meüuule   43' 

5fi.  Theorie  der  Bewegung  der  Satelliten,     Kntwickelung  der  Slorungsfunction      .  436 

57.  Integration  der  Differentialgleichung  für  die  Länge  und  den  Radiusvector      ■  440 

58.  Integration  der  Differentialgleichung  für  die  Breite   444 

59,  Elementüre  Glieder,    Secularbewegungcn  von  Knoten  und  I'erigeum   446 

60,  SceiilnratceK  ration   449 

Gl.  Andere  Formen  der  Entwickelung   45  1 

C2.  Die  Secularaccderation  de'  Mondes   454 

(>3.  Bestimmung  der  Ungleichheiten  aus  Beobachtungen;  parallaclische  Ungleichheit; 

die  Wirkung  der  Abplattung  des  Centraikörpers   45^ 

fit.  Die  Coordinaten  der  Satelliten  in  Bcrug  auf  die  Hauptplanetcn   4^0 

65.  Anomale  Bewegung  des  Pericentrums:   die  Bewegung  des  siebenten  Saturns- 
satelliten   464 

Hfi.  Die  Bewegung  der  Jupitersatelliten  

07.  Die  Störungen  in  der  Bewegung  der  Kometen       ,    47^ 

G8.  Bewegung  der  Kometen  bei  grosser  Annäherung  an  einen  Planeten      .    .    .  479 

(">!<■  Anomale  Bewcgung--ersd)cinungcn  bei  Kometen   4$4 

70.  Bewegungswiderstände   487 

71    Absolute  Bahnen;    intermediäre  Hahnen,   C. vLDKN'.-ehc  Methode   493 

7'j.  Aufteilung  der  Differentialgleichungen   495 

73.  Zerfallung  der  Bewcgutigsgh-ichungen  m  Differentialgleichungen  für  die  inter- 

mediäre Bahn  und  die  Storungsglcichungcn   499 

74.  Die  Differentialgleichungen  für  die  intermediäre  Bahn  des  Mondes  ....  501 

75.  Die  intermediäre  Bahn  des  Mondes.  Integration  der  Differentialgleichungen  .  505 
7>i.  Entwickelung  der  störenden  Kräfte   512 

77.  Die  Störungen   5*4 

78.  Convcrgeni  der  Entwickelungen   5*9 

II.  Abschnitt.    Die  Rotationsbewegung   Sa3 

79.  Das  Potential   S23 

80-  Das  Potential  einer  Kugel   S2^ 


osie 


Inhaltsverzeichnis».  IX 

81.  Das  Potential  eines  Ellipsoides  auf  einen  inneren  Punkt   528 

82.  Das  Potential  eines  Ellipsoldes  auf  einen  äusseren  Punkt   $35 

83.  Das  Potential  eines  Massencomplexes  auf  einen  sehr  entfernten  Punkt  .    .    .  539 

84.  Die  LAPLACE-PoissoN'sche  Gleichung   541 

85-  Attraction  von  Sphäroidcn   544 

86-  Figur  einer  flüssigen  rotirenden  Masse   547 

87.  Gleichgewicht  von  spharnidisch  geschichteten  Körpern  unter  Berücksichtigung 

äusserer  Kräfte ;  die  Oberflächenform   533 

88-  Gleichgewicht  von  sphäroidisch  geschichteten  Korperu.     Innere  Lagerung       .  555 

89-  Figur  der  Satelliten   561 

90.  Die  Differentialgleichungen  der  Rotationsbewegung   563 

91.  Die  Bewegung  des  Körpers  im  Räume   q66 

92.  Die  Bewegung  der  Rotationsaxe  im  Räume   569 

98.  Integration  der  Differentialgleichungen  für  den  Fall,  dass  keine  äusseren 

Kräfte  wirken   570 

94.  Die  störenden  Kräfte   573 

95.  Die  Bewegung  des  Erdkörpers   $77 

96.  Die  Bewegungen  der  Rotationsaxe  der  Erde   g8l 

97-  Präcession  und  Nutation   5S4 

98.  Numerische  Werthe   588 

99.  Aenderungen  der  Hauptträghcitsaxcn   593 

100.  Einfluss  auf  die  Rotationsaxe  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  ,  ,  ,  ,  ,  ,  fiflQ 

101.  Die  Libration  des  Mondes   604 

102.  Die  Libration  in  Länge   606 

103.  Die  Lil>raticn  in  Knoten  und  Neigung   609 

104-  Numerische  Werthe   613 

105.  Berechnung  der  geocentrischen  Coordinaten  eines  Mondkraters   615 

Mechanische  Quadratur.    N.  llnaz   618 

Berichtigungen   643 


Gnomon  bis  Mechanische  Quadratur. 


Gnomon  ist  das  älteste  und  einfachste  astronomische  Instrument,  welches 
bei  allen  alten  Völkern  zur  Bestimmung  der  geographischen  Breite  (Polhöhe), 
der  Schiefe  der  Ekliptik,  der  Richtung  des  Meridians  und  der  Zeit  verwendet 
wurde,  und  welches  noch  heute  in  einer  etwas  veränderten  Aufstellung  zur  Be- 
stimmung der  Zeit  bei 
den  Sonnenuhren  dient 
(Fig.  242).  Es  besteht 
aus  einem  auf  einer  ebe- 
nen horizontalen  Fläche 
senkrecht  befestigten 
Stabe  von  entsprechen- 
der Höhe.  Die  Anwen- 
dung ist  sehr  einfach. 
Der  Schatten,  den  der 
Stab  SP  wirft,  wird 
sich  im  Laufe  eines 
Tages  drehen  und  da- 
bei seine  Länge  ändern, 
der  kürzeste  Schatten 
fällt  natüilich  zur  Zeit 
des  wahren  Mittags, 
zur  Zeit  des  Durch- 
ganges der  Sonne  durch 
den  Meridian  (wenig- 
stens sehr  nahe,  da  auf 
die  Mittagsverbesserung 
hierbei  keine  Rücksicht 
genommen  zu  werden 
braucht).  Sei  also  der 
kürzeste  Schatten  PQ,  so  ist  PQ  die  Richtung  des  Meridians,  S  Q  P  die  Mittags- 
höhe der  Sonne,  und  die  Zeit,  zu  welcher  der  kürzeste  Schatten  beobachtet  wurde, 
der  wahre  Mittag.  Für  einen  gegebenen  Gnomon  wird  natürlich  jeder  Schatten- 
länge eine  gewisse  Sonnenhöhe  entsprechen  und  man  kann  leicht  eine  Tafel 
anlegen,  aus  welcher  mittels  der  gemessenen  Schattenlänge  die  Sonnenhöhe  ent- 
nommen werden  kann. 

Zu  gleichen  Zeiten  Vor-  und  Nachmittag  wird  die  Schattenlänge  dieselbe 
sein,  und  man  kann  daher  zur  Bestimmung  des  Meridians  und  des  wahren 


(A.242.) 


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Gnomon. 


Mittags  gleiche  vor-  und  nachmittägige  Schatten  beobachten,  was  mittels  einer 
Reihe  concentrischer  Kreise  wesentlich  erleichtert  wird.  Sind  PR  und  PR' 
zwei  gleich  lange  an  demselben  Tage  beobachtete  Schatten,  so  wird  die  Richtung 
des  Meridians  den  Winkel  RPR'  halbiren  und  die  Zeit  des  wahren  Mittags  wird 
ebenfalls  die  Zwischenzeit,  welche  zwischen  den  beiden  Beobachtungen  liegt, 
halbiren  (s.  a.  Zeitbestimmung  aus  correspondirenden  Höhen).  Zur  Erhöhung 
der  Genauigkeit  kann  man  eine  Reihe  von  gleichen  Vor-  und  Nachmittags- 
schatten RXP,  RX'P  u.  s.  w.  beobachten. 

In  Folge  des  den  Schatten  umgebenden  Halbschattens  entsteht  eine  gewisse 
Ungenauigkejt  der  Beobachtung,  welche  dadurch  verkleinert  werden  kann,  dass 
der  Stab  an  dem  oberen  Ende  mit  einem  Loche  versehen  wird.  Höhe  des 
Gnomon  und  Länge  der  Schatten  werden  dann  vom  Fusspunkte  desselben  bis 
zur  Mitte  des  Loches  bezw.  bis  zur  Mitte  des  in  dem  Schatten  entstehenden 
lichten  Fleckes  gemessen. 

Die  mittäglichen  Schatten  werden  natürlich  je  nach  dem  Stande  der  Sonne 
verschieden  sein;  im  Sommer  sind  dieselben  kürzer,  im  Winter  länger,  der 
längste  mittägliche  Schatten  findet  zur  Zeit  des  Wintereolstitiums  statt,  der  kürzeste 
zur  Zeit  des  Sommersolstitiums.  Man  kann  demnach  hieraus  die  kleinste  und 
grösste  Meridianhöhe  der  Sonne  ermitteln  und  aus  derselben  die  geographische 
Breite  des  Beobachtungsortes  und  die  Schiefe  der  Ekliptik;  es  ist  nämlich  die  geo- 
graphische Breite  ?  =  90°  —  \{hx  h%)  und  die  Schiefe  der  Ekliptik  t  =  ^{Ai  —  hx), 
wo  mit  hx  und  h%  die  beiden  betreffenden  Meridianhöhen  bezeichnet  werden. 

Die  Höhe  des  Gnomon  war  sehr  verschieden;  man  findet  Berichte  von 
Obelisken,  welche  als  Gnomone  verwendet  wurden,  von  700  und  mehr  Fuss 

Höhe;  noch  1467 
wurde  in  Florenz 
ein  Gnomon  von 
270  Fuss  Höhe  er- 
richtet. Nach  der 
Meinung  einiger 
Egyptologen  waren 
die  grossen  Pyra- 
miden, wenn  auch 
gerade  nicht  zu 
dem  Zwecke  er- 
richtet, so  doch 
als  Gnomon  ver- 
wendet. 

Zur  Messung 
von  Höhen  ande- 
rer Gestirne  als  der 
Sonne  ist  der  Gno- 
mon nichtverwend- 
bar, da  sich  sein 
Gebrauch  auf  die 
Messung  der  Schat- 
tenlänge stützt. 

Schon  für  den  Mond  bediente  sich  Ptolemäus  eines  anderen  Instrumentes,  welches 
er  Regula  parallactica  nannte,  da  er  es  zur  Bestimmung  der  Mondparallaxe  (aus 
den  gemessenen  Höhen  in  verschiedenen  Deklinationen  desselben)  verwendete. 


(A.  248 ) 


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Später  wurde  dasselbe  auch  Regula  Ftolcmoica  oder  auch  Triqvetrum  genannt 
(Fig.  243).  Ein  nach  Ptolemäus  »mindestens  vier  Ellen  langer«  Stab  AB,  welcher 
mit  Hilfe  eines  Bleilotes  vertical  aufgestellt  werden  kann,  ist  in  60  Theile,  und 
jeder  derselben  »in  so  viele  Untertheile  als  möglich«  getheilt  An  dem  oberen 
Ende  B  dreht  sich  ein  anderer  ebenso  langer,  unbiegsamer  Stab  B  C,  dessen 
zweites  Ende  C  längs  eines  dritten,  bei  A  ebenfalls  drehbaren  Stabes  AC  geführt 
wird.  Da  die  Drehung  von  BC,  sowohl  in  der  Verticalebene,  als  auch  um  den 
Stab  AB  herum  (in  verschiedenen  Verticalebenen)  erfolgen  kann,  so  kann  man 
längs  BC  hinweg  auf  einen  beliebigen  Ort  des  Himmels  visiren,  und  erhält 
dann  in  dem  zur  Sehne  A  C  gehörigen  Cen  tri  winke  1  CBA  die  Zenithdistanz  des 
Gestirnes.    Es  ist  nämlich 

AC=  chord  CBA 

oder  in  unserer  Schreibweise 

AC—%$i*\CBAt 

Die  Länge  von  AC  kann  dann  an  der  Theilung  von  AB  ermittelt  werden, 
indem  man  den  Stab  AC  durch  Drehung  um  A  längs  AB  anlegt.  Da  Ptolemäus 
eine  Sehnentafel  construirt  hatte, 
in  welcher  die  Länge  der  Sehnen 
in  Theilen  ausgedrückt  ist,  von 
denen  60  auf  den  Halbmesser 
gehen,  so  erklärt  sich  daraus  die 
Theilung  von  AB  in  60  Theilen 
und  deren  Untertheile.  Coper- 
nicus  vereinfachte  die  Ablesung 
dadurch,  dass  er  die  Theilung 
direkt  auf  dem  Stabe  ^Cauftrug. 

Bei  dem  Gnomon  und  der 
Regula  parallactica  wurden 
die  zu    bestimmenden  Zenith- 
distanzen  aus  einer  trigonome- 
trischen Linie    derselben  (bei 
dem  ersten  aus  der  Tangente, 
bei  dem  zweiten  aus  der  Sehne) 
ermittelt.     Nebst  diesen  hatte 
aber  Ptolemäus  auch  an  Instru- 
menten beobachtet,  welche  direkt  die  Zenithdistanzen  abzulesen  gestatteten.  Eins 
—  das  einfachste  —  bestand  aus  einem  behauenen  prismatischen  Steine  (Fig.  244), 
dessen  eine  Seite  AB  VC  in  die  Ebene  des  Meridians  gebracht  und  dessen  eine 
Kante  AB  durch  ein  Bleiloth  vertical  gestellt  wurde.   Um  den  Punkt  A,  in  welchem 
ein  Stift  senkrecht  zur  Fläche  ABDC  befestigt  war,  als  Mittelpunkt,  war  eine 
Kreistheilung  B  C  angebracht.  Zur  Beobachtung  des  mittäglichen  Schattens  wurde 
ein  zweiter  Stift  längs  der  Theilung  BC  so  lange  verschoben,  bis  der  Schatten 
des  Stiftes  A  auf  denselben  fiel;  der  abgelesene  Theilstrich  gab,  wenn  die 
Theilung  von  B  ausging,  sofort  die  Zenithdistanz  der  Sonne.   Peurbach,  welcher 
dieses  Instrument  Gnomon  geometrüus  oder  Quadratum  gtometricum  nannte,  ersetzte 
jedoch  die  Kreistheilung  wieder  durch  die  viel  leichter  herzustellende  TbeWung 
der  Seiten  BD,  CD,  sodass  die  Zenithdistanz  bezw.  Höhe  der  Sonne  durch 
ihre  Tangente  gegeben  wird.   Peurbach  gab  auch  eine  Tafel,  welche  aus  der 
Ablesung  (jede  der  beiden  Seiten  ist  bei  ihm  in  1200  Thle.  getheilf)  die  Wxnkel 
gab  (Tafel  von  Antitangenten).  N-  Herz. 


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4  Heliometer. 

Heliometer.  Erste  Vorschläge  zur  Herstellung  von  Helio- 
metern. Ehe  das  mit  dem  Namen  Heliometer  bezeichnete  Instrument  sich 
Eingang  in  die  astronomische  Beobachtungskunst  verschafft  hatte,  war  man  bei 
der  Bestimmung  des  gegenseitigen  Abstandes  zweier  Gestirne  hauptsächlich  auf 
das  Fadenmikrometer  angewiesen.  Bei  diesem  Apparat  wurden  die  festen  Fäden 
senkrecht  zur  täglichen  Bewegung  der  Gestirne  gestellt  und  daran  zur  Bestimmung 
des  Rectascensions- Unterschiedes  die  Durchgangszeiten  wahrgenommen,  ferner 
wurden  die  Deklinations-Unterschiede  dadurch  bestimmt,  dass  man  den  voran- 
gehenden Stern  auf  einem  festen  Faden  entlang  laufen  Hess  und  dann  auf  den 
nachfolgenden  durch  eine  Mikrometerschraube  einen  beweglichen  Faden  einstellte, 
so  dass  man  aus  der  Ablesung  der  Schraubentrommel  in  Verbindung  mit  einer 
zweiten  Ablesung,  die  der  Coincidenz  des  beweglichen  und  des  festen  Fadens 
entsprach,  den  Deklinations-Unterschied  in  Einheiten  der  Schraubenumdrehung 
ausgedrückt  bestimmen  konnte.  Nach  demselben  Verfahren  war  auch  der  Durch- 
messer eines  Himmelskörpers,  z.  B.  der  Sonne,  in  zwei  auf  einander  folgenden 
Richtungen,  nämlich  parallel  und  senkrecht  zum  Himmelsäquator  zu  bestimmen. 
Dagegen  versagte  die  Anwendung  des  Fadenmikrometers  bei  der  Bestimmung 
des  Durchmessers  in  einer  beliebigen  Richtung  gegen  die  tägliche  Bewegung  so 
lange  man  die  zu  Anfang  dieses  Jahrhunderts  durch  Fraunhofer  eingeführte  Uhr- 
bewegung der  Aequatoreale  noch  nicht  kannte. 

Aus  dem  BedUrfniss,  den  Durchmesser  eines  Himmelskörpers  in  jeder  ' 
beliebigen  Richtung  zu  bestimmen,  entstand  bei  dem  französischen  Astronomen 
und  Geodäten  Bouguer  in  Paris  der  Gedanke,  durch  Anwendung  zweier  in  dem- 
selben Rohre  befindlicher  Objective  von  demselben  Himmelskörper  ein  Doppel- 
bild herzustellen,  welches  durch  eine  messbare  Verschiebung  eines  der  Objective 
so  angeordnet  werden  konnte,  dass  sich  die  Ränder  der  beiden  Scheiben  be- 
rührten. War  diese  Berührung  einmal  hergestellt,  so  musste  sie  auch  erhalten 
bleiben,  wenn  durch  die  tägliche  Bewegung  das  Gestirn  über  das  Gesichtsfeld 
des  Fernrohres  vorüberzog.  Die  erste  Nachricht  über  diesen  Vorschlag  von 
Bouguer  findet  sich  in  der  >Histoire  de  l'academie  royale  des  sciences«,  Annee 
1748,  pag.  87,  und  in  den  »Mdmoires  de  l'academiec,  pag.  11,  und  nach  der 
hier  gegebenen  Beschreibung  bestand  die  vorgeschlagene  Einrichtung  darin,  zwei 
volle  Objective  anzuwenden,  die  so  standen,  dass  die  Ränder  der  neben  einander 
sichtbaren  Sonnenbilder  sich  berührten.  Bei  der  scheinbaren  Vergrösserung  der 
Sonnenscheibe  im  Winter  mussten  die  Bilder  dann  übereinander  treten,  im 
Sommer  dagegen  einen  freien  Raum  zwischen  sich  lassen  und  diese  kleinen 
Segmente  oder  Zwischenräume  sollten  mit  einem  Fadenmikrometer  gemessen 
werden,  um  additiv  oder  subtractiv  zu  dem  festen  Abstände  der  beiden 
Objectivmittelpunkte  hinzugefügt,  auf  diese  Weise  den  veränderlichen  Sonnendurch- 
messer zu  geben.  Würde  man  die  Objective  noch  weiter  gegen  einander  ver- 
schiebbar machen,  so  könnte  man  auf  diese  Weise  Abstände  von  3 — 4°  messen. 

Einige  Jahre  später  machte  Short  in  den  >Philosophical  Transactions«  der 
Royal  Society  in  London,  Vol.  48,  pag.  165,  darauf  aufmerksam,  dass  eine  solche 
Erfindung  von  Savery  in  Exeter  schon  im  Jahre  1743  angezeigt  worden  sei  und 
zwar  hat  Savery  in  einem  hier  wörtlich  mitgetheilten  Vortrage  den  Vorschlag 
gemacht,  ein  Objectiv  durch  drei  einander  parallele  Schnitte  in  vier  Segmente 
zu  zerlegen  und  entweder  die  beiden  äusseren  oder  die  beiden  inneren  Segmente 
in  der  Weise  aneinander  zu  befestigen,  dass  die  von  ihnen  entworfenen  Sonnen- 
bilder sich  mit  ihren  Rändern  nahezu  berühren. 


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Heliometer. 


In  den  >Phil.  Tr.  for  1753c  Vol.  48,  part.  I,  pag.  178,  wird  ferner  von  John 
Dollond  der  Vorschlag  gemacht,  ein  zur  Messung  beliebiger  Abstände  verwend- 
bares Heliometer  dadurch  herzustellen,  dass  übereinstimmend  mit  der  jetzt  ge- 
bräuchlichen Form  dieses  Instrumentes  ein  Objectiv  durch  einen  Schnitt  durch 
den  Mittelpunkt  und  in  der  optischen  Axe  in  zwei  Hälften  von  der  Form  einer 
halben  Kreisfläche  zerlegt  und  den  einzelnen  Theilen  eine  messbare  Bewegung 
in  der  Richtung  des  gemeinschaftlichen  Halbmessers  gegeben  wird.  Danach 
könnte  man  Dollond  als  den  Erfinder  der  gegenwärtigen  Form  des  Heliometers 
ansehen  (man  vergl.  noch  seine  nähere  Auseinandersetzung  »Phil.  Tr.  for  1753«. 
Vol.  48  part.  II.  pag.  551),  wenn  nicht  La  Gournerie  in  den  >Comptes  rendusc 
der  Pariser  Akademie,  Band  88,  pag.  215,  darauf  aufmerksam  gemacht  hätte, 
dass  auch  diese  endgültige  Form  des  Instrumentes  schon  von  Boucuer  im  Jahre 
1748  in  der  »Bibliotheque  impartialec  Vol.  m,  pag.  214,  in  Vorschlag  gebracht 
worden  sei. 

In  diesen  Schriften  ist  auch  mehrfach  die  Rede  von  der  Verbindung  eines 
Heliometerobjectivs  mit  einem  Spiegelteleskop,  jedoch  hat,  soweit  bekannt,  eine 
solche  Einrichtung  keine  praktische  Bedeutung  erlangt 

Die  Beobachtungen  von  Triesnecker  an  einem  Heliometer.  Wenn 
auch  Bouguer  als  der  eigentliche  Erfinder  des  Heliometers  in  seiner  jetzigen 
Gestalt  anzusehen  ist  und  er  dem  Instrument  mit  Rücksicht  auf  die  Anwendung 
auf  die  Sonne  diesen  Namen  gegeben  hat,  so  wird  doch  Dollond  als  derjenige 
zu  bezeichnen  sein,  der  ein  solches  Instrument  zum  ersten  Male  zum  Gebrauch 
für  die  Astronomen  hergestellt  hat,  und  fernerhin  muss  man  das  Verdienst,  zum 
ersten  Male  eine  grössere  Reihe  von  werthvollen  Beobachtungen  mit  solchem 
Instrumente  angestellt  zu  haben,  unzweifelhaft  dem  Wiener  Astronomen  Franz 
von  Paula  Triesnecker  zuschreiben.    Das  von  ihm  angewandte  DoLLOND'sche 
Objectivmikrometer  ist  in  den  »Wiener  Ephemeriden«  für  1796,  pag.  314,  näher 
beschrieben.    Dasselbe  war  an  einem  Fernrohr  von  3^  Fuss  Länge  und  2^  Zoll 
Oeffnüng  angebracht,  und  die  Scala  zur  Messung  der  Stellung  der  Objectivhälften 
war  in  englische  Zoll  und  deren  Unterabtheilungen  eingetheilt.     Die  beiden 
Objectivhällten  bewegten  sich  von  der  optischen  Axe  aus  gleichzeitig  nach  ent- 
gegengesetzten Seiten,  und  während  einer  der  Objectivschieber  eine  Scala  trug, 
war  an  dem  anderen  Schieber  ein  Index  angebracht,  der  auf  den  Nullpunkt  der 
Scala  zeigte,  wenn  die  optischen  Axen  der  beiden  Objectivhälften  zusammen- 
fielen und  das  Fernrohr  nur  ein  einfaches  Bild  des  Gestirnes  gab.   Eine  Zeichnung 
eines  Instrumentes  dieser  Construction  findet  sich  in  Pearson's  »Practical  Astro- 
nomyt   und  auch  Lalande's  »Astronomie«   Vol.  II  enthält  Beschreibungen  und 
Zeichnungen  älterer  Heliometer.    Die  von  Triesnecker  an  diesem  Instrument 
angestellten  Beobachtungen,  namentlich  über  die  Stellung  des  Jupiterstrabanten 
gegen  den  Planeten  würden  ihres  Alters  wegen  einen  hohen  Werth  besitzen, 
wenn  zuverlässige  Daten  zur  Verwandlung  der  Scalenablesungen  in  Bogenmaass 
vorhanden  wären;  aber  es  lässt  sich  nachträglich  Nichts  darüber  ermitteln,  da 
wohl  der  DoLLOND'sche  Rcfractor,  aber  nicht  mehr  der  Mikrometer-Apparat  auf 
der  Wiener  Sternwarte  vorhanden  ist. 

Die  kleineren  Fraunhofer' sch en   Heliometer.    Der  nach-te  ScV.r.tt 
auf  diesem  Wege  war  die  Herstellung  einer  Anzahl  von  kleineren  HeV.orr.e:«:- 
durch  Fraunhofer  in  den  ersten  Jahrzehnten  dieses  Jahrhunderts  für  d  e  >.rrr 
warten  in  Berlin,  Breslau,  Göttingen,  Gotha  und  anderen  Orten,  ab<?x  aV:^"f* 
von  einigen  Beobachtungen  an  den  Instrumenten  in  BreV.Au  ur.d  Be: 
Brandes  und  Winnecke  in  den  Zwanziger  und  FttnrV-ger  Jihrer.  ;r^«-v-r  K;'r" 


6 


Heliometer. 


beobachtungen  in  Gotha  von  Hansen  haben  diese  Instrumente  erst  später  Bedeutung 
erhalten  als  sie  von  Repsold  in  Hamburg  mit  neuen  Einrichtungen  versehen 
auf  den  Venusdurchgangs-Expeditionen  in  den  Jahren  1874  und  188a  verwandt 
wurden.  Die  kleineren  FRAUNHOFEa'schen  Heliometer  haben  eine  Brennweite 
von  1  *  15  m  und  eine  Objecüvöffnung  von  76  mm.  Die  beiden  Objectivhälften 
lassen  sich  mit  Hilfe  von  Stangen  bewegen,  die  neben  dem  Rohre  hin  zum 
Ocular  gehen,  und  durch  Uebertragung  ihrer  Drehung  werden  feine  Mikro- 
meterschrauben in  Thätigkeit  gesetzt,  die  einerseits  die  Bewegung  der 
Objectivschlitten  in  einer  zur  optischen  Axe  senkrechten  Ebene  ausfuhren  und 
andererseits  durch  die  Zahl  ihrer  Umdrehungen  und  der  an  einer  Trommel  ab- 
gelesenen Unterabtheilungen  ein  Maass  für  die  Grösse  der  Bewegung  geben. 
Um  den  Spalt  zwischen  den  beiden  Objectivhälften  in  die  Richtung  der  beiden 
gegen  einander  zu  bestimmenden  Gestirne  zu  bringen,  ist  der  ganze  Objectivkopf 
um  die  optische  Axe  mit  Hüte  einer  ebenfalls  am  Rohre  entlang  führenden 
Stange  drehbar  und  die  Grösse  der  Drehung  wird  mit  Hilfe  zweier  Nonien  an 
einem  Kreise  abgelesen,  der  sich  nahe  dem  Objectiv  am  Umfange  des  Fernrohres 
befindet.  Das  Material  der  Rohre  war,  wie  überhaupt  bei  den  meisten  Fern- 
röh  ren  aus  älterer  Zeit,  Holz  und  erst  in  Veranlassung  der  Expeditionen  wurde 
dafür  Eisenblech  gewählt.  Schon  diese  älteren  Instrumente  hatten  parallactische 
Aufstellungen,  und  mit  den  später  eingeführten  Verbesserungen  haben  sie  in 
Bezug  auf  Abstandsmessungen  Resultate  geliefert,  welche  denen  der  voll- 
kommensten und  besten  Apparate  der  Neuzeit  durchaus  nicht  sehr  nachstehen, 
und  nur  die  Kleinheit  der  Objective  legte  eine  Beschränkung  in  der  Wahl  der 
zu  beobachtenden  Gegenstände  auf. 

Es  wird  hier  die  Bemerkung  am  Platze  sein,  dass  bei  dem  Gebrauche  eines 
Heliometers  unter  allen  Umständen  ein  Verzicht  auf  die  Helligkeit  geleistet  werden 
muss,  denn  so  wie  das  Heliometer  als  solches  in  Thätigkeit  tritt  und  die  beiden 
Hälften  des  Objectivs  gegen  einander  verschoben  werden,  muss  die  Helligkeit 
des  von  einer  einzelnen  entworfenen  Bildes  auf  ein  Halb  reducirt  werden; 
beispielsweise  wirkt  die  einzelne  Hälfte  eines  sechszölligen  Heliometers  nur  noch 

wie  ein  Fernrohr  mit  der  Ocffnung  j/6^6  =  4*24  Zoll,  also  etwa  wie  ein  vier- 

zölliges  Objectiv,  von  Deformationen  der  Bilder  abgesehen,  von  denen  später 
die  Rede  sein  wird. 

Das  Königsberger  Heliometer.  Das  grösste  Ereigniss  auf  dem  Gebiete 
der  Anwendung  des  Heliometers  in  der  astronomischen  Beobachtungskunst  war 
die  Lieferung  des  Heliometers  von  6  Zoll  Oeffnung  für  die  Königsberger  Stern- 
warte durch  Fraunhofer  im  Jahre  1829,  von  wann  ab  es  dann  in  den  Händen 
Bessel's  in  den  folgenden  Jahrzehnten  zu  einer  Reihe  der  wichtigsten  Unter- 
suchungen gedient  hat.  Die  Beschreibung  desselben  findet  sich  theils  in  den 
> Astronomischen  Nachrichtenc,  theils  in  den  > Astronomischen  Beobachtungen 
der  Königsberger  Sternwarte« ,  zu  einer  Besprechung  wird  es  sich  jedoch 
empfehlen,  die  Stellen  nach  dem  Werke  anzugeben:  > Abhandlungen  von  Fried- 
rich Wilhelm  Bessel«,  herausgegeben  von  Rudolf  Engelmann.  3  Bde.  Leipzig 
1875.  Abbildungen  des  Königsberger  Heliometers  findet  man  u.  A.  in  den 
»Astronomischen  Nachrichten«  Bd.  8  und  in  Bd.  2  der  soeben  genannten  Ab- 
handlungen. 

Im  2.  Bde.  des  Werkes,  pag.  95,  findet  sich  zunächst  ein  Aufsatz  von  Bessel 
betitelt:  »Vorläufige  Nachricht  von  einem  auf  der  Königsberger  Sternwarte  be- 


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Heliometer. 


7 


findlichen  grossen  Heliometer«.  Hiernach  begann  Fraunhofer  mit  der  Her- 
stellung des  Instrumentes  im  Jahre  1824  und  von  ihm  rührt  das  Objectiv  und  die 
Einrichtung  des  Heliometer-Apparates  her;  da  sein  Tod  aber  schon  1826  erfolgte, 
so  war  das  Durchschneiden  des  Objectivs  und  die  Vollendung  der  parallactischen 
Aufstellung  seinem  Nachfolger  Utzschneider  vorbehalten. 

Es  mag  an  dieser  Stelle  erwähnt  werden,  auf  welche  Weise  ein  Heliometer- 
objectiv  hergestellt  wird.  Der  erste  Schritt  besteht  natürlich  darin,  ein  gewöhn- 
liches achromatisches  Objectiv,  welches  aus  einer  Crown-  und  einer  Flintglaslinse 
besteht,  herzustellen  und  es  dann  durch  einen  Schnitt  in  zwei  halbe  Objective 
zu  zerlegen.  So  lange  man  noch  mit  kleineren  Linsen  zu  thun  hatte,  mag  wohl 
der  meistens  eingeschlagene  Weg  derjenige  gewesen  sein,  jede  der  beiden  Linsen 
rund  hernm  mit  einem  Diamant  zu  ritzen  und  durch  einen  Schlag  mit  einem 
hölzernen  Hammer  die  beiden  Hälften  von  einander  zu  trennen.  Bei  den  in 
den  letzten  Jahrzeh  nten  hergestellten  grösseren  Heliometerobjectiven,  deren  Werth 
mehr  als  2000  Mark  beträgt,  dürfte  diese  Trennungsweise  aber  wohl  mit  Gefahren 
für  die  Linsen  verbunden  sein,  und  es  ist  daher  das  nachfolgend  beschriebene 
Veriahren  an  die  Stelle  getreten.  In  eine  eiserne  Kapsel  von  demselben  Durch- 
messer wie  der  des  Objectivs  wird  zunächst  eine  gewöhnliche  Glasplatte  gelegt, 
deren  untere  Fläche  eben  und  deren  obere  entsprechend  der  Krümmung  einer 
der  äusseren  Flächen  des  darüber  zu  legenden  Objectivs  ausgehöhlt  ist,  und  den 
Abschluss  nach  oben  bildet  eine  zweite  planconcave  Glasplatte.  Durch  den 
Mantel  des  eisernen  Cylinders  gehen  nun  senkrecht  zur  Grundfläche  zwei 
schmale,  diametral  gegenüber  stehende  Schlitze  hindurch,  und  durch  diese  wird 
die  Schneide  einer  feinen  mit  Fett  und  Diamantstaub  behafteten  Stahlsäge  hin 
und  her  geführt,  bis  beide  Linsen  des  Objectivs  und  die  werthlosen,  zur  Be- 
festigung dienenden,  darüber  und  darunter  liegenden  Glasscheiben  durch  einen 
feinen  Schnitt  zerlegt  sind.  Werden  nun  die  einzelnen  Objectivhälften  in  halb- 
kreisförmige Fassungen  gebracht  und  diese  mit  den  Objectivschiebern  verbunden, 
so  ist  noch  die  Einrichtung  zu  treffen,  dass  durch  kleine,  zur  Schnittlinie  senk- 
recht wirkende  Schrauben  die  optischen  Mittelpunkte  der  beiden  Hälften  genau 
mit  einander  zum  Zusammenfallen  gebracht  werden  können.  Es  mag  hier  ferner 
noch  die  allgemein  gültige  Bemerkung  hinzugefügt  werden,  dass  eine  etwa  mit 
der  Zeit  oder  bei  verschiedener  Neigung  des  Fernrohres  und  Richtung  des 
Spaltes  wieder  auftretende  seitliche  Entfernung  der  Objectivmittelpunkte  bei 
grossen  Sternabstünden  einen  nahezu  verschwindenden  Einfluss  hat,  bei  sehr 
kleinen  Abständen,  wie  z.  B.  Doppelsternen  einen  Fehler  von  erheblichem  Betrage 
gegenüber  der  zu  messenden  Grösse  selbst  hervorbringen  kann,  dass  aber  durch 
Messung  von  Positionswinkeln  engerer  Doppelsterne  in  zwei  symmetrischen 
Stellungen  der  Objectivhälften,  oder  wie  der  übliche  Ausdruck  lautet,  vor  und 
nach  dem  Durchschrauben  aus  dem  halben  Unterschiede  der  gemessenen 
Richtungen  in  Verbindung  mit  den  Distanzmessungen  der  Abstand  der  beiden 
Sterne  berechnet  werden  kann. 

Nunmehr  wieder  zu  dem  augenblicklichen  Gegenstande,  nämlich  der  Ein- 
richtung  des  Königsberger  Heliometers  zurückkehrend,  ist  zu  bemerken,  dass 
das  Instrument  im  October  1829  aufgestellt  werden  konnte.  Das  Fernrohr  hat 
8  Par.  Fuss  oder  2*6  m  Brennweite  und  70  Linien  oder  158  mm  Oeffnung.  Die 
beiden  Objectivhälften  können  jede  für  sich  durch  Schrauben  bewegt  werden, 
die  zugleich  auch  zur  Messung  der  Grösse  der  Bewegung  dienen,  indem  sie  am 
Ende  mit  Zähltrommeln  versehen  sind,  an  denen  Hundertel-Umdrehungen  direkt 
abgelesen  und  Tausendtel  geschätzt  werden,  so  dass  die  Ablesungen  bis  auf 


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s 


Heliometer. 


^  Secunde  in  Bogenmaass  gehen.  Eine  andere  Vorrichtung,  mit  welcher  man 
die  Verschiebung  der  Objectivschlitten  durch  Scalen  und  Mikroskope  messen 
kann,  ist  bei  den  Beobachtungen  nicht  zur  Verwendung  gekommen.  Die  Ver- 
schiebung der  Objectivhälften  geht  in  einer  vollkommenen,  auf  der  Axe  des 
Rohres  senkrecht  stehenden  Ebene  vor  sich  und  erstreckt  sich  auf  56  Bogen- 
minuten  nach  jeder  Seite,  so  dass  man  einen  Raum  von  1 0  52'  übersehen  kann. 
Bessel  hat  schon  damals  Fraunhofer  den  Vorschlag  gemacht,  die  Objectiv- 
hälften auf  einer  Cylinderfläche  beweglich  zu  machen,  deren  Axe  durch  den 
Brennpunkt  des  Objectivs  geht,  wodurch  die  später  zu  erwähnenden  Unter- 
suchungen über  optische  Ungleichheit  unnöthig  geworden  wären,  und  bei  den 
neuen  Heliometern  ist  diese  damals  mit  construetiven  Schwierigkeiten  verbundene 
Einrichtung  überall  eingeführt  worden.  Das  Ocular  des  Fernrohres  kann  ebenso  wie 
eine  Objectivhälfte  senkrecht  zur  optischen  Axe  verschoben  werden  und  die 
Richtung  der  Verschiebung  wird  durch  einen  eingetheilten  Kreis  angegeben. 
Die  5  Oculare  haben  die  Vergrößerungen  45,  91,  115,  179  und  290.  Gegen- 
über den  ausserordentlichen  Vortheilen,  welche  die  Einrichtungen  der  neueren 
Heliometer  gewähren,  die  Ablesung  der  Objectivstellung  und  des  Positionskreises 
vom  Oculare  aus  besorgen  zu  können,  musste  das  Königsberger  Heliometer 
für  jede  Ablesung  um  die  Deklinationsaxe  gedreht  werden,  bis  das  Objectivende 
dem  Auge  des  Beobachters  nahe  war.  Dadurch  entstand  nicht  nur  eine  grosse 
Unbequemlichkeit,  sondern  noch  das  Bedenken,  dass  durch  die  Veränderung  der 
Schwerewirkung  auch  eine  Veränderung  der  Stellung  der  Objectivschlitten  eintrat. 
Bei  dem  ähnlich  construirten  Bonner  Heliometer  ist  eine  Einrichtung  an- 
gebracht, die  Ablesung  mit  Hilfe  eines  kleinen  Fernrohres  vom  Ocular  aus  zu 
besorgen. 

Die  von  einem  halben  Objectiv  entworfenen  Bilder  eines  Sterns  sind  be- 
kanntlich nicht  kreisförmig,  sondern  haben  eine  etwas  birnförmige  Gestalt,  deren 
Längsrichtung  zur  Richtung  de&  Spaltes  senkrecht  steht.  Diese  Eigenschaft  muss 
sich  besonders  stark  bei  hellen  Sternen  zeigen  und  bei  dem  neuen  Göttinger 
Heliometer  verschwindet  dieser  Eindruck  erst  bei  Sternen  von  der  siebenten 
Grösse  ab,  aber  Bessel  hat  gezeigt,  dass  die  dadurch  entstehenden  kleinen 
Verschiebungen  in  der  Lage  der  Sternbilder  bei  symmetrischer  Anordnung  der 
Beobachtungen  vor  und  nach  dem  Durchschrauben  eliminirt  werden. 

Die  Art  und  Weise,  wie  an  einem  Heliometer  Distanzen  und  Positionswinkel 
gemessen  werden,  ist  von  der  Beschaffenheit  des  zu  beobachtenden  Gegenstandes 
abhängig.  Bei  engen  Doppelsternen,  die  nur  einen  kleinen  Theil  des  Gesichts- 
feldes einnehmen,  biingt  man  die  vier  von  beiden  Objectivhälften  gebildeten 
Lichtpunkte  durch  Drehung  in  Distanz  und  Positionswinkel  zu  gleichen  Abständen 
in  eine  gerade  Linie,  '.iesl  beide  Coordinaten  ab  und  wiederholt  dann  die 
Messung  in  umgekehrter  Richtung,  um  die  jedem  erfahrenen  Beobachter  bekannten 
systematischen  Unterschiede  in  den  Einstellungen  zu  vermeiden;  darauf  werden 
die  beiden  Objectivhälften,  wie  in  Zukunft  immer  kurz  gesagt  werden  wird, 
durchgeschraubt  und  nun  diese  beiden  Beobachtungen  wiederholt,  so  dass  man  in 
jeder  Coordinate  vier  Ablesungen  erhält  und  bei  der  Einrichtung  der  Ablese- 
vorrichtungen am  Königsberger  Heliometer  maass  Bessel  auf  diese  Weise  den 
vierfachen  Abstand. 

Handelt  es  sich  dagegen  um  die  Messung  des  Durchmessers  eines  Planeten, 
so  bringt  man  die  Bilder  der  Scheiben  mit  abwechselnder  Drehungsrichtung  in 
Berührung  mit  einander  und  erhält  daher  für  eine  Messung  ebenfalls  vier  Ab- 


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Heliometer. 


lcsungen.  Soll  die  Lage  des  Trabanten  eines  Planeten  gegen  den  letzteren 
bestimmt  werden,  so  würde  es  am  einfachsten  sein,  das  Bild  des  Trabanten 
nach  dem  Augenmaass  in  die  Mitte  des  von  der  anderen  Hälfte  herrührenden 
Bildes  des  Planeten  zu  stellen,  jedoch  ist  man  dabei  zu  sehr  auf  das  Augenmaass 
angewiesen  und  man  wird  daher  in  den  meisten  Fällen  besser  thun,  mit  Besskl 
d^n  Trabanten  nach  einander  auf  zwei  einander  gegenüber  stehende  Punkte 
des  Randes  zu  bringen,  indem  man  ihn  vorher  nach  dem  Augenmaass  in  die 
Mitte  des  Planeten  einstellt  und  ihn  dann  durch  Drehung  in  Position  oder 
in  Distanz  je  nach  dem  Zweck  der  Messung  auf  den  Rand  bringt.  Ist  das 
Licht  des  Planeten  zu  hell  gegenüber  dem  des  Trabanten,  so  dass  letzterer 
überstrahlt  wird,  so  kann  man  die  den  Planeten  abbildende  Objertivhälfte  mit 
einem  feinen  Drahtgitter  tiberdecken.  Bei  der  Bestimmung  der  gegenseitigen 
Lage  zweier,  weit  entfernter  Sterne  kann  das  tür  Doppelsterne  beschriebene  Ver- 
fahren nicht  mehr  zur  Anwendung  kommen,  da  man  nicht  mehr  alle  vier  Licht- 
punkte im  Gesichtsfelde  übersieht,  sondern  nur  zwei,  nämlich  bei  einem  Stern- 
paare a  b  etwa  das  vom  Objectiv  I  entworfene  Bild  von  a  und  das  von  II 
entworfene  Bild  von  b.  Das  einfachste  Verfahren  wäre  nun  offenbar,  diese  beiden 
Bilder  unmittelbar  mit  einander  zusammenfallen  zu  lassen  und  bei  verschiedener 
Richtung  der  Schraubendrehung  und  mit  Durchschrauben  zusammen  vier  Ein- 
stellungen zu  machen.  In  Wirklichkeit  ist  dieses  Verfahren  aber  nicht  zulässig, 
denn  bringt  man  etwa  eine  kleinere  Sternscheibe  auf  eine  grössere,  so  fehlt 
jedes  Unheil  darüber,  ob  die  Bedeckung  der  Bilder  eine  centrale  ist.  Es  tritt 
deshalb  nachfolgendes  Beobachtungsverfahren  an  die  Stelle.  Man  nähert  die 
beiden  Sternbilder  einander  und  führt  bei  Distanzmessungen  mit  der  Positions- 
schraube kleine  Schwankungen  aus,  so  dass  die  Sternbilder  bald  nach  der  einen, 
bald  nach  der  anderen  Seite  ein  wenig  von  einander  abweichen,  und  wird  dann 
bemerken,  dass  der  Weg,  den  ein  Lichtpunkt  gegen  den  anderen  beschreibt, 
als  gerade  Linie  erscheint,  wenn  die  Punkte  in  der  Ruhelage  sich  genau  bedecken 
würden.  Nach  Vollendung  einer  Messung  bringt  man  die  Bilder  zuerst  absicht- 
lich nach  der  entgegengeselzten  Seite  etwas  aus  einander,  und  bei  der  Messung 
der  Positionswinkel  verfahrt  man  ganz  ähnlich,  indem  man  dann  die  Einstellungen 
durch  Schwingungen  mit  der  Distanzschraube  prüft. 

Dieses  Beobachtungsverfahren  führt  bei  Messungen  entfernter  Sternpaarc 
erfahrungsgemäss  zu  sehr  genauen  Resultaten,  dagegen  um  erliegt  es  einer  Be- 
schränkung bei  kleineren  Sternabständen.  Sieht  man  nämlich  beide  von  einer 
Hälfte  entworfenen  Sternbilder  im  Gesichtsfelde  ,  so  ist  es  vorzuziehen,  die 
Sternbilder  in  der  Ruhelage  des  Instrumentes  mit  einander  zu  vergleichen,  indem 
man  z.  B.  das  Bild  des  Sternes  a  der  Hälfte  II  so  neben  das  Bild  des  Sternes  b 
in  der  Hälfte  I  setzt,  dass  ein  rechtwinkliges  Dreieck  mit  einer  so  kurzen 
Cathete  entsteht,  dass  man  gerade  im  Stande  ist,  ihre  re:htwinklige  Stellung  zur 
längeren  Cathete  ab  beurtheilen  zu  können  und  zwar  so,  dass  man  etwa  bei  der 
ersten  Messung  a  über  b  und  bei  der  zweiten  a  unter  b  setzt.  Mit  Hilfe  der  am 
Positionskreise  abgelesenen  Amplituden  kann  man  dann  die  kleine  Reduction,  die 
aus  der  Ausweichung  im  Positionsvvinkel  entsteht,  berechnen  (siehe  darüber 
Schur,  »Astronomische  Nachrichtenc,  Bd.  94).  Etwas  anders  hat  J.  Franz  bei 
seinen  Messungen  weiterer  Doppelsterne  am  Königsberger  Heliometer  verfahren, 
indem  er  die  vier  Sternbilder  zu  einem  Trapez  mit  einer  sehr  kurzen  Diagonale 
vereinigt,  und  es  lässt  sich  zeigen,  dass  in  diesem  Falle  eine  Reduction  wegen 
der  Grösse  der  Amplitude  in  Positionswinkel  nicht  erforderlich  ist  (»Astronom. 
Nachr. c,  Bd.  in). 


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IO 


Heliometer. 


Das  wichtigste  Erforderniss  bei  der  Anwendung  eines  Heliometers  ist  die 
Verwandlung  der  in  Schraubenumdrehungen  oder  in  Scalentheilen  abgelesenen 
Distanzmessungen  in  Bogenmaass,  und  es  stehen  dazu  mehrere  Wege  offen. 
Eines  dieser  Verfahren  besteht  darin,  sowohl  die  Höhe  eines  .Schraubenganges 
oder  eines  Scalentheiles  als  auch  die  Brennweite  des  Objectivs  in  derselben 
Maasseinheit  auszudrücken.  Die  Kenntniss  der  Brennweite  gewinnt  man  durch 
die  bekannte  Methode  der  Bestimmung  der  vierfachen  Brennweite.  Diese 
Methode  wandte  Bessel  auf  das  Königsberger  Heliometer  an  und  fand  nach 
wiederholten  Versuchen  für  die  Brennweite  des  Objectivs  1134  134  Par.  Linien 
bei  -+-  120,8  C.  mit  einem  wahrscheinlichen  Fehler  von  :£  0^*015  oder  einem 
75000tel  der  ganzen  Brennweite.  Ferner  bestimmte  er  die  Höhe  eines  Schrauben- 
ganges durch  Vergleichung  mit  einem  auf  dem  Objectivschieber  II  befestigten 
Stahlblatt,  worauf  eine  Länge  von  24  P.  L.  verzeichnet  war,  für  verschiedene 
Stellen  der  Schraube  und  fand  danach  82  52 12  Windungen  eines  Schraubenganges 
=  24  00006  P.  L.  und  aus  beiden  Zahlen  für  die  Normaltemperatur  von 
16°'25  C.  den  Winkelwerth  einer  Umdrehung  R  =  52"89329. 

Die  Kenntniss  dieser  wichtigen  Constanten  verschaffte  sich  Bessel  ferner 
noch  auf  folgende  Weise: 

1.  Beobachtung  der  Stellung  eines  Fadens  im  Brennpunkte  durch  das 
Objectiv  hindurch.  Zu  diesem  Zwecke  wurde  das  Heliometerfernrohr  mit  dem 
Objectiv  nach  unten  vertical  gestellt  und  darunter  ein  REicHENBACH'scher  Theo- 
dolit mit  Höhenkreis  gebracht.  Die  Objectivhälfte  I  wurde  in  die  Axe  des  Helio- 
meters gebracht  und  die  Hälfte  II  der  Reihe  nach  um  —  5  und  +5,  —  10  und 
-f-  10  u.  s.  w.  bis  —  60  und  +  60  Schraubenwindungen  verschoben  und  mit 
dem  Theodoliten  die  entsprechende  Entfernung  der  beiden  Bilder  des  Fadens 
gemessen     Das  Resultat  war  R  =  52"90299  m.  F.  =t  0"00275. 

2.  Bessel  hatte  hauptsächlich  in  den  Jahren  1838—40  in  der  Plejadengruppe  die 
Abstände  einer  grossen  Zahl  von  Sternen  gegen  Alcyone  gemessen  und  hiervon 
wurden  zehn  besonders  häufig  beobachtete  Sterne  ausgewählt,  deren  Oerter 
durch  Durchgangsbeobachtungen  am  Meridiankreise  festgelegt  waren.  Die  Ver- 
gleichung ergab  für  den  Schraubenwerth  R  =  52"-88127  ±.  0"  00880. 

3.  Es  wurden  sechs  Sterne  gewählt,  die  nahezu  in  einem  durch  die  Plejaden 
hindurchgehenden  grössten  Kreise  liegen  und  mit  a,  b,  c,  ät  e,  f  bezeichnet. 
Von  diesen  sind  die  Sterne  a,  c,  /  von  Busch  zu  wiederholten  Malen  in  den 
Jahren  1839  un(*  1840  am  Meridiankreise  bestimmt,  und  Schlüter  hatte  zwischen 
je  zwei  auf  einander  folgenden  Sternen  Abstände  und  Positionswinkcl  ebenfalls 
in  den  Jahren  1839  un<^  1840  am  Heliometer  gemessen.  Die  Vergleichung  der 
Bogenlängen  ac,  cf  und  af,  nach  den  Beobachtungen  an  beiden  Instrumenten 
berechnet,  ergab  das  Resultat:  R  =  52"-89036  ±  0"'00314. 

Das  Resultat  der  Bestimmung  eines  Schraubenwerthes  nach  verschiedenen 
Methoden  ist  also  das  folgende: 

1.  Beobachtungen  mit  dem  Theodolithen  52"90299  m.  F.  ±0"  00275 

2.  Beobachtungen  von  Plejadensternen  52  -88127  ±0  00880 

3.  Beobachtungen  von  6  Sternen  im  grössten  Kreise    52-89036  ±0  00314 

4.  Messung  der  Brennweite  und  einer  Schraubenwindung  52  '89329. 

Die  Uebereinstimmung  ist  eine  befriedigende.  Bessel  entschied  sich  aber 
doch  dafür,  das  E  rgebniss  der  Messung  der  Brennweite  und  der  Schraubenhöhe 
allein  anzunehmen,  nämlich  R  =  52' -89329  in  der  Wärme  50°  F.  Die  Reduction 
der  bei  einer  anderen  Temperatur  t  gemessenen  Abstände  wird  mit  einem 
Coefficienten  bestimmt,  der  sich  aus  der  Beobachtung  von  zehn  Plejadensternen 


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Heliometer. 


1 1 


gegen  Alcyone  zwischen  den  Temperaturen  —  1  °'5  und  74°  F.  oder  —  18°  und 

H-  23°  C.  ergeben  hat.    Demnach  ist  der  Ausdruck  für  die  Verwandlung  der 

e  L     v        J   ,  „   .  .  52"89329 

Schraubenumdrehungen  in  Kreisbogen  —+  ^  _  ^  0.0()()0037765  • 

Indessen  drückt  schon  Bessel  Uber  die  Richtigkeit  des  hier  angewandten 
Temperatur- Coefncienten  einen  Zweifel  aus,  indem  er  Über  das  bei  sehr 
niedrigen  Temperaturen  entstehende  Zittern  der  Sternbilder  klagt  und  das  Ver- 
härten des  Oeles  an  den  Schrauben  befürchtet.  Beobachtungen  von  Schlüter 
allein,  bei  denen  die  sehr  tiefen  Temperaturen  vermieden  sind,  ergeben  für  die 
Temperaturcoeföcienten  anstatt  des  von  Bessel  angewandten,  nämlich  rund 
378  Einheiten  der  achten  Decimale,  einen  solchen  von  1243  Einheiten  und  spätere 
Untersuchungen  von  Auwers  haben  dafür  854  ergeben,  welche  Zahl  wohl  die  zu- 
verlässigste und  auch  rückwärts  für  die  Beobachtungen  zu  Bessel's  Zeit  an- 
zuwenden ist.  Mit  diesem  Temperatur-Coefncienten  berechnet  ist  der  berichtigte 
Schraubenwerth  nach  der  Brennweiten-Bestimmung  R  =  52"89456.  Es  ist  bei 
der  Vergleichung  neuerer  Resultate  aus  Heliometer-Beobachtungen  mit  den 
BESSEL'schen  mehrfach  die  Rede  davon  gewesen,  ob  es  nicht  zweckmässiger  sei, 
anstatt  des  nur  einmal  aus  physikalischen  Experimenten  hervorgehenden  Schrauben- 
werthes  den  auf  Sternbeobachtungen  in  der  Nähe  der  Plejaden  beruhenden 
Werth  anzunehmen,  (verg).  Schur,  »Bestimmung  der  Masse  des  Planeten 
Jupiter«,  1882,  und  Elkin,  »Triangulation  der  Plejaden«.  New  Häven  1887), 
jedoch  bat  sich  keine  Veranlassung  ergeben,  davon  abzuweichen.  In  den  letzten 
Jahren  hat  J.  Franz  den  Winkelwerth  aus  Beobachtungen  der  für  die  Venus- 
durchgangs-Expeditionen  und  auch  an  den  neueren  Heliometern  für  diesen  Zweck 
verwandten  Sterne  im  grössten  Kreise  im  Cygnus  und  in  der  Hydra  beobachtet, 
und  es  hat  sich  der  Werth  R  =  52"'87567  ergeben,  der  von  der  BESSEL'schen 
Annahme  nicht  unerheblich  abweicht,  dagegen  wieder  ziemlich  nahe  einer  Neu- 
berechnung älterer  Bestimmungen  kommt,  nämlich 

aus  Schlüter'«  Plejadcnbeobachtungen  52"*  88469 
Schlüter's  Taurusbogen  52  87584. 

Diese  Unterschiede  zwischen  den  verschiedenen  Bestimmungen  des  Schrauben - 
werthes  des  Königsberger  Heliometers  sind  von  grossem  Interesse  für  diejenigen 
Astronomen,  die  sich  mit  der  Vergleichung  dieser  älteren  Beobachtungen  mit  solchen 
an  neueren  Heliometern  beschäftigen,  aber  man  wird  wohl  bei  dem  von  Bessel  selbst 
angenommenen  und  von  Auwers  verbesserten  Werthe,  nämlich  52"'89456  stehen 
bleiben  müssen,  weil  man  nicht  wissen  kann,  ob  die  Brennweite  eines  Objectivs 
auf  so  lange  Zeit  constant  bleibt  und  sich  nicht  durch  allmählich  eintretende 
kleine  Veränderungen  des  Druckes,  mit  welchem  das  Objectiv  in  seiner  Fassung 
gehalten  wird,  um  Grössen,  wie  sie  hier  in  Frage  kommen,  verändern  kann.  Da  die 
gTösste  am  Königsberger  Heliometer  messbare  Distanz  etwa  60  Umdrehungen 
beträgt,  so  bringt  der  Unterschied  der  Annahmen  52"  89456  nach  Auwers  und 
52"  87567  nach  Franz  oder  0"01889  im  äussersten  Falle  den  Unterschied  von 
etwa  1"  hervor.  Man  wird  daher  bei  Beobachtungen  aus  der  älteren  Zeit  den 
BESSEL'schen  Werth  mit  der  Verbesserung  von  Auwers  anwenden  und  bei  der 
gegenwärtigen  und  ferneren  Benutzung  den  Schraubenwerth  mit  Franz  aus  Stern- 
beobachtungen bestimmen. 

Es  erübrigt  noch  einige  Worte  über  den  Einfluss  der  Ocularstellung  auf  die 
Distanzmessungen  zu  sagen.  Bessel  hat  das  Ocular  so  gestellt,  dass  er  von  den 
zu  beobachtenden  Gegenständen  deutliche  Bilder  erhielt  und  die  bei  verschiedenen 
Temperaturen  beobachteten  Distanzmessungen  mit  Hilfe  eines  später  von  Auwers 


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12 


Heliometer. 


verbesserten  Temperatur-Coefficienten  auf  eineNormaltempeiatur  von  50°F.reducirt. 
Späterhin  ist  dann  am  Ocular  eine  Scala  angebracht,  und  dasselbe  ist  bei  den  auf  den 
Venus-Expeditionen  benutzten  FRAL'NHOFER'schen  und  bei  allen  später  construirten 
grösseren  REPSOLD'schen  Heliometern  geschehen.  Es  wird  jetzt  von  jedem 
einzelnen  Beobachter  bei  möglichst  verschiedenen  Temperaturen  das  Ocular  mit 
einem  an  dem  Rohre  angebrachten  Triebwerke  so  eingestellt,  dass  man  von 
einem  Gestirn,  am  Besten  einem  engen  Doppelstern  ein  deutliches  Bild  erhält 
und  dabei  die  Temperatur  des  Instrumentes  an  den  Thermometern  abgelesen; 
aus  der  Ausgleichung  dieser  Beobachtungen  erhält  man  dann  die  dem  Beobachter 
zukommende  Ablesung  für  0°  und  die  Veränderung  mit  der  Temperatur,  und 
bei  dem  Gebrauche  des  Instrumentes  hat  man  dann  dem  Ocularrohre  die  der 
Temperatur  entsprechende  Stellung  zu  geben  und  darüber  eine  Bemerkung  im 
Beobachtungsbuch  zu  machen.  Ist  das  Ocular  für  sich  allein  noch  gegen  das 
Ocularrohr  beweglich,  was  bei  einem  Heliometer  eigentlich  überflüssig  ist,  soweit 
man  nicht  etwa  Fäden  im  Ocularkopf  genau  sehen  will,  so  hat  man  es  bei 
diesen  Untersuchungen  und  bei  den  Beobachtungen  selbst,  natürlich  fest  in  seine 
Fassung  hineinzudrücken.  Da  man  die  richtige  Ocularstellung  schon  in  Folge 
der  allmählichen  Temperaturabnahme  während  eines  Abends  nicht  völlig 
genau  treffen  wird,  so  wird  immer  ein  kleiner  Unterschied  zwischen  der  be- 
rechneten und  der  abgelesenen  Einstellung  übrig  bleiben  und  die  gemessene 
Distanz  dafür  verbessert  werden  müssen.  Der  nächstliegende  Gedanke  ist  nun  der, 
die  Abweichung  der  Ocularstellung  durch  die  Brennweite  zu  dividiren  und  die 
gemessene  Distanz  mit  diesem  Quotienten  zu  multipliciren,  um  die  Reduction 
der  Distanzmessung  auf  die  normale  Ocularstellung  zu  erhalten. 

Auf  Veranlassung  von  Auwers  sind  jedoch  an  den  Expeditions-Heliometern 
und  ausserdem  auch  an  einigen  der  neueren  REPSOLD'schen  Heliometer,  an 
denen  Beobachtungen  zum  Zwecke  ihrer  Verwertliung  für  die  Reduction  der 
Expeditions-Beobachtungen,  z.  B.  Beobachtungen  der  Sterne  im  Cygnus-  und 
Hydrakreise  ausgeführt  worden  waren,  besondere  Untersuchungen  darüber  an- 
gestellt und  grössere  Sternabstände  gemessen  worden,  wobei  die  Stellung  des 
Oculars  um  kleine  Quantitäten,  z.  B.  1  mm  nach  der  einen  und  der  anderen 
Seite  von  der  der  Temperatur  und  dem  Beobachter  entsprechenden  Normal- 
stellung abwichen.  Dabei  hat  sich  nun  herausgestellt,  dass  die  Reductionen 
meistens  ein  wenig  kleiner  als  nach  der  Rechnung  sind.  Einen  Ueberblick 
darüber  gewährt  eine  Zusammenstellung  in  dem  grossen  Werke:  »Die  Venus- 
durchgänge 1874  und  1882.  Bericht  über  die  deutschen  Beobachtungen.  Im 
Auftrage  der  Commission  für  die  Beobachtung  des  Venusdurchganges,  heraus- 
gegeben von  Auwers,  Vorsitzender  der  Commissiom,  5.  Bd.,  pag.  172.  Danach 
ist  der  Mittelwerth  für  die  Expeditions-Heliometer,  sowie  für  die  älteren  Instrumente 
in  Königsberg  und  Bonn  nnd  das  neue  Göttinger  Heliometer  etwa  0  95  des 
berechneten  Werthes.  Die  Ursache  dieser  Abweichung  ist  noch  nicht  aufgeklärt, 
aber  wenn  man  sich  bemüht,  dem  Ocular  möglichst  genau  die  dem  Auge  und 
der  Temperatur  entsprechende  Stellung  zu  geben,  so  wird  eine  kleine  in  dem 
Coefficietiten  für  einen  Beobachter  steckende  Unsicherheit  nahezu  verschwinden. 
Nimmt  man  ein  Heliometer  in  Gebrauch,  so  wird  man  jedoch  in  erster  Linie 
bemüht  sein  müssen,  seine  Normal-Ocularstellung  und  die  Veränderlichkeit  mit  der 
Temperatur  zu  bestimmen,  und  so  lange  man  diese  noch  nicht  kennt,  womöglich 
an  jedem  Abende  auf  Doppelsterne  zu  focussiren. 

Im  Früheren  ist  schon  kurz  von  der  optischen  Verbesserung  die  Rede  ge- 
wesen, die  die  Distanzmessungen  au  den  Heliometern  mit  ebener  Objectivführung 


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Hclicmettr. 


'3 


betrifft.  Zur  genauen  Verfolgung  dieser  Frage  dient  die  BESSFx'sche  Original- 
abhandlung in  den  Astronom.  Untersuchungen,  Bd.  I,  pag.  104,  oder  nach  Engel- 
mann's  Ausgabe  Bd.  2,  pag.  148,  ferner  in  seiner  Anwendung  auf  das  Bonner 
Heliometer  durch  Winnecke  ist  auf  die  »Ast.onom.  Mittheilungen  von  der  Kgl. 
Sternwarte  zu  Göttingent.  4.'  Thl.,  pag.  198,  enthaltend  die  Abhandlung  von 
Schur  Uber  die  Triangulation  der  Praesepe,  hinzuweisen,  und  in  B^zug  auf  die 
Expeditions-Heliometer  auf  A.  Auwers  >  Venusdurchgänge  1874  und  1882c  5.  Bd., 
pag.  204.  An  dieser  Stelle  soll  eine  kurze  Erläuterung  dieser  Angelegenheit  ge- 
geben werden. 

Stehen  eine  Objectivhälfte  und  das  bei  den  älteren  Heliometern  seitlich 
verschiebbare  Ocular  in  der  Axe  des  Fernrohres  und  richtet  man  das  Letztere 
auf  einen  Stern,  so  werden  die  davon  herkommenden  Lichtstrahlen  in  axialer 
Richtung  durch  die  beiden  Linsen  hindurchgehen,  wenn  der  Stern  in  der  Mitte 
des  Gesichtsfeldes  erscheint.  Bringt  man  dagegen  das  von  der  anderen  Objectiv- 
hälfte entworfene  Bild  eines  zweiten  Sternes  dahin,  dass  es  mit  dem  Bilde  des 
ersten  Sternes  zusammenfällt,  so  gehen  die  von  ihm  kommenden  Lichtstrahlen 
in  einer  schiefen  Richtung  durch  das  übjectiv  entsprechend  dem  Winkel  zwischen 
den  beiden  Sternen. 

Bessel  hat  nun  auf  Grund  seiner  Kenntniss  der  Krümmungsradien  und  der 
Brechungsverhältnisse  der  beiden  Linsen  berechnet,  dass  bei  einer  Neigung  des 
Strahlencylinders  zur  Fernrohraxe  von  24'  das  von  einem  Punkte  ausgehende 
Licht  sich  über  einen  Raum  von  J"-7  und  bei  einer  Neigung  von  48'  sich  über 
5''*1  ausbreitet.  In  Folge  dieser  Eischcinung  ist  an  die  an  der  Messvorrichtung 
abgelesene  Distanz  zweier  Sterne  eine  Verbesserung  anzubringen,  die  im  Ver- 
hältniss  des  Cubus  der  Distanz  wächst  und  wobei  eine  Constante  <x  zu  ermitteln 
ist,  welche  man  dadurch  erhält,  dass  man  eine  Reihe  von  Abstandsmessungen 
zwischen  zwei  weit  entfernten  Sternen  ausführt  und  dabei  dem  Ocular  mit  Hilfe 
der  an  den  älteren  Heliometern  angebrachten  Bewegungsvorrichtung  senkrecht  zur 
optischen  Axe  eine  Verschiebung  in  der  Richtung  der  Verbindungslinie  der  beiden 
Sterne  ertheilt.  Diese  Messungen  werden  dann  unter  sich  Unterschiede  zeigen, 
welche  von  dem  schiefen  Durchgange  der  Lichtstrahlen  durch  die  Objectivhälften 
henühren,  und  dazu  benutzt  werden,  um  durch  Rechnung  die  an  die  Distanz- 
messungen anzubringende  Verbesserung  zu  ermitteln.  Bei  dem  Königsberger 
Heliometer,  bei  dem  die  Melsungen  in  der  Weise  angestellt  werden,  dass  eine 
Objectivhälfte  immer  in  der  Axe  des  Rohres  stehen  bleibt  und  die  andere  Hälfte 
sich  bald  auf  der  rinen,  bald  auf  der  anderen  Seite  der  Axe  befindet,  ist 
der  grösste  Werth  der  optischen  Verbesserung  nahe  1"  und  bei  dem  Bonner 
Heliometer  etwas  weniger.  Bei  den  auf  den  deutschen  Venusexpeditionen 
angewandten  kleineren  FRAUNHOFER'schen  Heliometern,  bei  denen  nach  der  neuen 
Einrichtung  das  Ocular  beständig  in  der  Mitte  stehen  bleibt  und  die  beiden 
Objectivhälften  sich  gleichzeitig  nach  entgegengesetzten  Seiten  bewegen,  wo  also 
die  Bewegung  jeder  von  ihnen  auf  die  Hälfte  reducirt  wird,  ist  bei  einer  Distanz- 
messung von  3500"  die  optische  Verbesserung  nach  den  Untersuchungen  von 
Auwers  auf  höchstens  0"-l  zu  veranschlagen. 

Die  Frage,  wie  bei  den  älteren  Heliometern  auch  ohne  Untersuchung  über 
die  Gestalt  der  Sternbilder  auf  diesen  Umstand  Rücksicht  zu  nehmen  ist,  hat 
Ambronn  an  dem  kleinen,  auf  den  Auckland-Inseln  und  in  Punta  Arenas  benutzten 
Heliometer  der  Göttinger  Sternwarte  dadurch  behandelt,  dass  er  eine  Reihe  von 
13  Sternpaaren  zwischen  377"  und  3100"  Abstand,  deren  Oerter  nach  Meridian 
kreis-Beobachtungen  bekannt  sind,  gemessen  hat.   Der  daraus  folgende  Ausdruck 

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>4 


Heliometer. 


für  die  Berechnung  einer  Distanz  von  r  Scalentheilen  hat  die  Form  A  =  17"9I129  r 
—  0"-0OO0OOO53  /-».  (»Mittheilungen  von  der  Kgl.  Sternwarte  zu  Göttingen. 
3.  Thl.  Triangulation  der  Plejadengruppe.t)  Nach  diesem  Ausdruck  ist  an  die 
mit  einem  constanten  Scalenwerth  berechnete  Messung  des  Sonnendurchmessers 
noch  eine  Verbesserung  von  ü"  06  und  an  die  an  der  äusserten  Grenze  der  Mess- 
barkeit  liegenden  Abstände  von  einem  Grade  etwa  0"*4  anzubringen.  Wenn 
aber,  wie  es  jetzt  durchweg  geschieht,  die  Verwandlung  der  Distanzmessungen 
in  Bogenmaass  auf  Messungen  anderweitig  bekannter  Sternabstände  beruht,  Jso 
fällt  eine  etwaige  Unsicherheit  in  der  Bestimmung  des  Coöfficienten  zum  grössten 
Theil  wieder  weg. 

Nach  eingehender  Besprechung  der  Abstandmessungen  ist  jetzt  noch  eines 
Umstandes  zu  erwähnen,  der  die  Messung  der  Positionswinkel  betrifft.  Dabei 
wird  nämlich  vorausgesetzt,  dass  der  Positionskreis  richtig  am  Instrument  ange- 
bracht ist,  so  dass  sich  für  zwei  in  einem  Stundenkreise  liegende  Sterne  die 
Ablesung  0  oder  180  Grad  ergeben  würde;  andernfalls  sind  die  Messungen  noch 
um  den  Indexfehler  des  Positionskreises  zu  verbessern.  Zur  Ermittelung  dieser 
Ccrrection  brachte  Bessel  bald  nördlich,  bald  südlich  vom  Heliometer  im  Spalt 
der  Drehkuppel  in  der  Höhe  des  in  die  Meridianebene  und  nahe  horizontal 
gestellten  Fernrohres  ein  Collimatorfernrohr  an,  dessen  Objectiv  gegen  das  des 
Heliometers  gerichtet  war  und  in  dessen  Brennpunkt  sich  ein  Fadenkreuz  befand. 
Bringt  man  nämlich  die  beiden  Objectivhälften  auseinander,  so  wird  man  vom 
Fadenkreuz  des  Collimators  zwei  getrennte  Bilder  erhalten,  und  stellt  man  den 
Spalt  des  Heliometerobjectivs  vertical,  so  kann  man  es  nach  einer  Reihe  von 
feinen  Drehungen  mit  dem  Positionswinkel  und  der  Rectascensionsschraube 
dahin  bringen,  dass  bei  dem  Auf-  und  Abbewegen  des  Heliometerfernrohres  sein 
Fadenkreuz  bald  mit  dem  einen,  bald  mit  dem  anderen  Bilde  des  Fadenkreuzes 
des  Collimators  zusammenfällt,  und  bei  dieser  Stellung  des  Spalts  müsste  die 
Ablesung  am  Positionskreise  entweder  0  oder  180  Grad  sein  und  die  Ab- 
weichung davon  ist  der  Indexfehler  des  Positionskreises.  In  gleicher  Weise  kann 
man  den  Indexfehler  auch  bestimmen,  wenn  man  den  Spalt  horizontal  stellt 
und  das  Heliometer  im  Stundenwinkel  hin-  und  hersch.vingt,  nur  ist  in  letzterem 
Falle  noch  auf  die  Aufstellungsfehler  des  Heliometers  als  Aequatoreal  Rück 
sieht  zu  nehmen,  die  bei  der  vorausgehenden  Methode  nicht  in  Betracht 
kommen.  Im  Jahre  1833  machten  C.  A.  F.  Peters  und  Selander,  die  sich 
damals  in  Königsberg  aufhielten,  die  Bemerkung,  dass  sich  für  den  Indexfehler 
verschiedene  Werthe  ergaben,  je  nachdem  sich  bei  der  Einstellung  des  Fernrohres 
auf  den  Collimator  die  Deklinationsaxe,  an  deren  Ende  das  Fernrohr  befestigt  ist, 
zur  Linken  oder  zur  Rechten  befand,  oder  wenn  der  Collimator  im  Süden  war, 
die  Axe  dem  Fernrohr  bei  der  täglichen  Bewegung  folgte  oder  voranging.  Der 
Grund  dieser  Erscheinung  liegt  darin,  dass  das  am  Ende  der  Axe  befestigte  Fernrohr 
durch  die  Wirkung  der  Schwere  eine  kleine  Torsion  erleidet,  in  Folge  derer  bei 
horizontal  oder  vertical  gestelltem  Objectivspalt  die  Ablesung  des  Positionskreises 
in  der  einen  Lage  etwas  zu  gross  und  in  der  anderen  Lage  ebenso  viel  zu  klein 
ausfällt.  Es  ergiebt  sich  dann,  wenn  diese  Drehungsconstante  ermittelt  ist,  der 
Einfluss  bei  der  Richtung  des  Fernrohres  auf  einen  bestimmten  Punkt  des 
Himmels  durch  Multiplikation  des  horizontalen  Maximalwertes  mit  einem  vom 
Stundenwinkel  und  der  Deklination  abhängenden  Coefficienten. 

Nachdem  die  Besprechung  der  Einrichtung  des  Königsberger  Heliometers 
und  der  im  Wesentlichen  von  Bessel  aufgestellten  Beobachtungsmethoden  der 
Hauptsache   nach  erledigt  ist,  sind  jetzt  noch  einige  Worte  den  anderen  Helio- 


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Heliometer. 


'5 


metern  aus  älterer  Zeit  zu  widmen.  Ein  Heliometer,  welches  dem  Königsberger 
in  seinen  wesentlichsten  Theilen  gleicht  und  mit  dem  von  Winnecke  und  Krüger 
eine  Reihe  von  wichtigen  Untersuchungen  ausgeführt  sind,  ist  das  im  Jahre  1840 
von  Merz  in  München  hergestellte  Heliometer  der  Bonner  Sternwarte, 
woran  Winnecke  Ende  der  fünfziger  Jahre  eine  Vermessung  der  Präsepe  ausführte, 
die  mit  einer  ähnlichen  Untersuchung  von  Schur  am  Göttinger  Heliometer  im 
Jahre  1895  nachträglich  herausgegeben  ist.  Nahezu  gleichzeitig  mit  dem  Bonner 
Heliometer  wurde  ein  anderes  für  die  Sternwarte  in  Pulkowa  gebaut  Eine 
Beschreibung  davon  nebst  Zeichnung  findet  sich  in  W.  Struve,  »Description  de 
l'observatoire  astronomique  central  de  Poulkovac,  St.  Petersburg  1845.  Das  Objectiv 
hat  7-4  Pariser  Zoll  Oeffnung  und  123  Zoll  Brennweite  und  übertrifft  daher  die 
Heliometer  in  Königsberg  und  Bonn,  welche  G  Zoll  Oeffnung  und  95  Zoll,  also 
nicht  ganz  8  Fuss  Brennweite  haben.  Bei  der  Beschreibung  dieses  wohl  haupt- 
sächlich der  starken  Winterkälte  wegen  wenig  benutzten  Instrumentes  stellte 
W.  Struve  einige  Forderungen  auf,  die  bei  den  neueren  Instrumenten  von 
Repsold  zur  Ausführung  gekommen  sind,  nämlich  die  unveränderliche  Stellung 
des  Oculars  in  der  Axe  des  Rohres,  die  Bewegung  der  beiden  Objectivhälften 
symmetrisch  nach  entgegengesetzten  Richtungen,  Herstellung  des  Rohres  aus 
Metall  anstatt  Holz,  feste  Verbindung  des  Objectivträgers  mit  dem  Rohre,  so  dass 
sich  nicht  wie  bisher  der  Objectivkopf  allein  gegen  das  feste  Rohr  dreht,  sondern 
das  ganze  Fernrohr  mit  allem  Zubehör,  wodurch  sich  auch  eine  bequemere 
Ablesung  des  Positionskreises  ermöglichen  lässt,  der  sich  dann  nicht  mehr  am 
Objectivende  des  Fernrohres  zu  befinden  braucht,  sondern  dem  Ocularende  näher 
gebracht  werden  kann,  und  ausserdem  wünschte  Struve  noch  ein  Metallthermo- 
meter im  Innern  des  Rohres,  welches  vom  Ocularende  abgelesen  werden  kann. 

Ein  Heliometer,  bei  dessen  Herstellung  schon  mehrere  der  von  B Essel  und 
Struve  aufgestellten  Forderungen  berücksichtigt  worden  sind,  befindet  sich  auf 
dem  Radcliffe  Observatory  in  Oxford  und  eine  Beschreibung  und 
Zeichnung  dieses  von  A.  Repsold  in  Hamburg  hergestellten  Instrumentes  ist 
in  >Astronomical  observations  made  at  the  Radcliffe  Observatory,  Oxford,  in 
the  year  1850«,  Vol.  XI,  Oxford  1852.  Das  Objectiv  von  Merz  &  Söhne  in 
München  hat  75  inches  =  7*2  Pariser  Zoll  Oeffnung  und  10^  engl.  =  lO'O  Pariser 
Fuss  Brennweite  und  die  Objectivhälften  bewegen  sich  auf  Kreisflächen,  deren 
Mittelpunkte  mit  dem  Brennpunkte  des  Objectivs  zusammenfallen.  Jede  Objectiv- 
hälfte  hat  eine  Bewegung  von  1|  Grad  nach  jeder  Seite,  so  dass  sie  um  2^  Grad 
von  einander  entfernt  werden  können.  Die  Bewegung  der  Objectivhälften  kann 
auf  zweierlei  Weise  gemessen  werden,  nämlich  entweder  durch  die  Umdrehungen 
der  Mikrometerschrauben,  wie  am  Königsberger  Heliometer  oder  an  Scalen  an 
der  inneren  Seite  der  Objectivschieber,  die  durch  glühend  gemachte  Platin- 
drähte beleuchtet  und  durch  ein  bis  zum  Ocularende  gehendes  Mikroskop  ab- 
gelesen werden.  Bei  den  Messungen  wurde  die  letztere  Einrichtung  benutzt  und 
der  Winkelwerth  eines  Scalentheiles  dadurch  bestimmt,  dass  man  das  Heliometer 
mit  vertical  gestelltem  Spalt  auf  einen  Collimator  richtete  und  den  Deklinations- 
kreis ablas,  dann  eine  Objectivhälftc  bis  zu  260  Theilen  der  Scala  verschob, 
das  Fadenkreuz  des  Heliometers  auf  das  des  Collimators  einstellte  und  wieder 
den  Deklinationskreis  ablas.  Auf  diese  Weise  erhielt  man  einen  Theil  der  auf 
Theilungstehler  untersuchten  Scala  zu  29"-4.  An  den  auf  diese  Weise  gefundenen 
Scalenwerth  wurde  später  noch  eine  kleine  Verbesserung  angebracht,  die  sich 
aus  der  Vergleichung  der  Heliometerbeobachtungen  zwischen  Plejadensternen  und 
Sternen  in  der  Nachbarschaft  von  1830  Groombridge  mit  Meridianbeobachtungen 


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Heliometer. 


und  Beobachtungen  am  Königsberger  Heliometer  ergab.  Der  Indexfehler  des 
Positionskreises  wurde  durch  Messungen  von  Sternpaaren  bestimmt,  deren  gegen- 
seitige Lage  aus  Beobachtungen  am  Königsberger  Heliometer  bekannt  waren; 
dabei  ergab  sich  die  Drehungs-Constante  zu  17  Minuten,  also  viel  grösser  als  in 
Königsberg,  wo  sie  nur  etwa  2  Minuten  betrug.  Die  Einstellungsweise  der 
Sterne  am  Oxforder  Heliometer  war  bei  Johnson  verschieden  von  derjenigen,  der 
sich  Bessel  und  alle  übrigen  Heliometerbeobachter  bedient  haben;  es  wurden 
dort  nämlich  die  Bilder  der  Sterne  in  symmetrischen  Stellungen  nebeneinander- 
gebracht und  die  Scalen  und  der  Positionskreis  abgelesen,  und  wenn  die  Sterne 
ungleich  hell  waren,  so  blendete  Johnson  den  helleren  nicht  durch  ein  Gitter, 
sondern  in  der  Wei^e  ab,  dass  nur  ein  kreisförmiger  Ausschnitt  der  Objectivhälfte 
zur  Geltung  kam.  Bei  den  Messungen  blieb  eine  Objectivhälfte  unveränderlich 
stehen  und  die  andere  wurde  bald  nach  der  einen  und  bald  nach  der  anderen 
Seite  bewegt.  Johnson  beobachtete  vorzugsweise  Sternparallaxen  und  Doppelsterne 
und  Planetendurchmesser,  und  nach  seinem  Tode  war  Main  1861  bis  1879  mit 
Messungen  von  Doppelsternen  beschäftigt,  aber  unter  Stone  wurde  das  Helio- 
meter nur  bis  1881  als  solches  benutzt 

In  Deutschland  begann  sich  zu  Anfang  der  siebziger  Jahre  wieder  eine  neue 
Epoche  der  Beschäftigung  mit  dem  Heliometer  anzubahnen,  indem  die  für  die 
Beobachtung  der  Venusdurchgänge  von  1874  und  1882  eingesetzte  Reichs- 
commission den  Beschluss  fasste,  dazu  Heliometer  zu  verwenden,  und  zu  diesem 
Zwecke  wurden  die  schon  erwähnten  FRAUNHOFER'schen  Heliometer  der  Stern- 
warten in  Berlin,  Breslau,  Gotha  und  Göttingen  durch  A.  Repsold  &  Söhne  in 
Hamburg  mit  verschiedenen  neuen  Einrichtungen  versehen.  Die  älteren  Holz- 
rohre wurden  durch  eiserne  ersetzt,  die  Stellung  der  Objectivschieber  wurden 
nicht  mehr  an  den  Schraubentrommeln,  sondern  an  zwei  silbernen  Scalen  mit  Hilfe 
eines  Mikroskops  vom  Objectivende  abgelesen,  und  die  Objectivschieber  wurden 
so  eingerichtet,  dass  sie  sich  gleichzeitig  in  entgegengesetzten  Richtungen  be- 
wegten. Die  Oculare,  wenn  auch  die  ältere  Einrichtung  zur  seitlichen  Ver- 
schiebung zum  Zwecke  von  Beobachtungen  für  die  optische  Verbesserung  noch 
beibehalten  war,  wurden  für  die  Beobachtungen  selbst  stets  in  die  Axe  des  Fern- 
rohres gebracht,  am  Ocularrohr  wurden  ferner  Scalen  angebracht,  und  die  kurzen 
für  die  Aufstellung  auf  einen  Tisch  eingerichteten  Säulen  mit  Dreifuss  wurden 
durch  lange  eiserne  Säulen  und  starkem  Dreifuss  zur  Aufstellung  in  Fussboden- 
höhe ersetzt.  Auch  mit  diesen  Instrumenten  wurden  vor  den  Expeditionen  in 
Strassburg  Beobachtungen  zur  Bestimmung  der  Brennweite  nach  der  Bessel' sehen 
Methode  angestellt,  aber  zur  Reduction  der  Distanzmessungen  wurden  ausschliess- 
lich die  Resultate  der  Messungen  von  Sternen  im  Bogen  grössten  Kreises  benutzt, 
deren  Oerter  durch  Meridianbeobachtungen  auf  einer  grossen  Zahl  von  Stern- 
warten festgelegt  waren.  Die  Resultate  aller  Beobachtungen  an  diesen  Instru- 
menten von  einer  grossen  Anzahl  von  Astronomen,  sowohl  auf  den  Venusdurch- 
gangs-Stationen  selbst  als  auch  zur  Vorbereitung  auf  diese  Erscheinungen  und 
zur  nachträglichen  Untersuchung,  sind  in  dem  schon  erwähnten  fünf  bändigen 
Werke  enthalten,  welches  Auwers  im  Namen  der  Reichscommission  verfasst  hat, 
und  welches  als  eine  der  bedeutendsten  literarischen  Erscheinungen  auf  dem 
Gebiete  der  Astronomie  zu  betrachten  ist.  Die  in  diesem  Werke  niedergelegten 
Vorschriften  und  Methoden  haben  auch  vielfach  zur  Richtschnur  bei  der  An- 
wendung der  neueren  grösseren  Heliometer  gedient. 

Während  also  die  deutschen  Expeditionen  sich  älterer  Instrumente  bedienten, 
wurden  für  andere  Nationen  durch  Repsold's  Reiseinstrumente  dieser  Art  von 


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Tafel  I. 


Valentiner,  Handwörterbuch  der  Astronomie. 


Band  II,  pag.  17. 


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Heliometer, 


17 


neuerer  Einrichtung  hergestellt,  darunter  zwei  Heliometer  auf  Bestellung  der 
russischen  Regierung,  von  denen  jetzt  eins  in  Dorpat  und  eins  in  Kasan  auf- 
gestellt ist,  von  deren  Leistungen  für  die  Expeditionen  aber  bis  jetzt  noch  nichts 
bekannt  geworden  ist,  abgesehen  davon,  dass  später  Backlund  und  nach  ihm 
Hartwig  das  Heliometer  in  Dorpat  fleissig  benutzt  haben. 

Ein  von  Oudemans  zur  Beobachtung  des  Venusdurchganges  1874  benutztes 
Instrument  dieser  Art  befindet  sich  auf  der  Sternwarte  in  Leiden,  und  ein  Helio- 
meter von  107  mm  Oeffnung  und  163  m  Focallänge  ist  im  Jahre  1873  für  Lord 
Lindsay  hergestellt  worden,  welches  von  Gill  auf  Mauritius  zur  Beobachtung  des 
Venusdurchganges,  zur  Bestimmung  der  Sonnenparallaxe  aus  Beobachtungen  der 
Juno  und  später  zu  demselben  Zwecke  zu  Beobachtungen  des  Planeten  Mars  auf 
der  Insel  Ascension  benutzt  worden  ist,  und  schliesslich  durch  Gill  und  Eijcin 
in  der  Capstadt  zur  Bestimmung  von  Fixsternparallaxen  Verwendung  gefunden 
hat.  Eine  Beschreibung  dieses  früher  dem  Lord  Lindsay  gehörenden  Heliometers 
findet  man  in  »Dun  Echt  Observationsc,  Vol.  2. 

Der  nächste  Schritt  war  dann  die  Lieferung  eines  Heliometers  neuester  Con- 
struetion  durch  Repsolds  an  die  Sternwarte  der  Yale  University  in  Newhaven  in 
Nordamerika,  welches  von  Elkin  in  den  »Transactionsc  dieser  Sternwarte  Bd.  1 
beschrieben  und  zunächst  auf  eine  Triangulation  der  Plejaden  angewandt  worden 
ist.  Das  Objectiv  hat  151  mm  Oeffnung  und  2*5  m  Brennweite.  Noch  etwas 
grössere  Instrumente  dieser  Art  sind  Ende  der  achtziger  Jahre  für  die  Sternwarten 
in  Leipzig,  Capstadt,  Göttingen,  Bamberg  und  neuerdings  für  die  von  KuFFNER'sche 
Sternwarte  in  Wien  von  Repsolds  hergestellt  worden.  Da  von  dem  Göttinger 
Heliometer  eine  grössere  Untersuchung  vorliegt  (»Astronomische  Mittheilungen 
von  der  Kgl.  Sternwarte  zu  Göttingenc,  vierter  Theil),  so  soll  als  Beispiel  für  die 
Art  und  Weise,  wie  Instrumente  dieser  Art  jetzt  benutzt  werden,  und  welche 
Resultate  sie  liefern,  eine  nähere  Beschreibung  dieses  Instrumentes  im  Vergleich 
zu  den  älteren  Einrichtungen  hier  gegeben  werden. 

Das  neue  REPSOLD'sche  Heliometer  der  Göttinger  Sternwarte  hat  ein 
Objectiv  von  6  Pariser  Zoll  oder  162  mm  Oeffnung  und  2'6  m  Brennweite  von 
Reinfelder  &  Hertel  in  München.  Eine  Abbildung  des  ganzen  Instrumentes  und 
einzelner  Theile  (S.  die  hier  beigefügten  Copien),  sowie  eine  ausführliche  Beschrei- 
bung und  Darstellung  aller  Untersuchungen  findet  sich  an  soeben  genannter  Stelle, 
wo  sich  zugleich  eine  Abhandlung  über  die  Oerter  der  Präsepesterne  von  Schur 
befindet.  Die  Bewegung  der  Objectivschlitten  geht  wie  bei  allen  neuen  Heliometern 
auf  einer  Cylinderfläche  mit  der  Brennweite  als  Radius  vor  sich,  und  die  auf  der 
Rückseite  der  Schieber  befindlichen  Scalen  werden  durch  ein  neben  dem  Ocular 
endigendes  Fernrohr  abgelesen.  Jede  der  beiden  Objectivscalen  ist  in  200  Thle.  ge- 
theilt,  und  um  Verwechselungen  zu  vermeiden,  geht  auf  Scala  I  die  Bezeichnung  von 
0  bis  200  und  auf  Scala  II  von  200  bis  400;  die  Ablesung  der  Stellung  der  Scalen 
geschieht  in  Göttingen  derart,  dass  zuerst  durch  Verschiebung  des  ganzen  Ablese- 
mikrometers mit  Hilfe  einer  Schraube  ohne  Trommel  ein  Fadenpaar  auf  einen 
Theilstrich  der  Scala  I  und  darauf  mit  Hilfe  einer  mit  Trommel  versehenen 
Mikrometerschraube  ein  anderes  Fadenpaar  auf  einen  benachbarten  Strich  der 
Scala  H  gebracht  wird.  Die  Stellung  der  Trommel  kann  wohl  abgelesen  werden, 
aber  dies  geschieht  nicht,  sondern  es  sind  die  Unterabtheilungen  und  die  Be- 
zifferung der  einzelnen  Hundertel  erhaben  aufgetragen,  und  daneben  befindet 
sich  eine  bewegliche  Bezifferung  der  ganzen  Umdrehungen,  und  mit  Hilfe  einer 
Druckvorrichtung  werden  die  ganzen  und  die  hundertel  Umdrehungen  in  einen 
vorüber  gezogenen  Papierstreifen  abgedrückt,  und  nachträglich,  z.  B.  am  folgen- 

Vaiät»«,  AMroBom*.   iL  2 

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Heliometer. 


den  Tage,  werden  dann  nach  dem  Augenmaass  noch  die  tausendtel  Umdrehungen 
abgelesen.  Da  bei  einer  Distanzmessung  vier  einzelne  Einstellungen  gemacht 
werden,  nämlich  je  zwei  vor  und  nach  dem  Durchschrauben  der  Objectivhälften, 
so  wird  bei  der  vierten  Einstellung  der  Abdruck  noch  zweimal  wiederholt,  um 
mit  Leichtigkeit  die  Einstellungen  filr  die  folgende  Distanzmessung  unterscheiden 
zu  können.  Die  Bestimmung  der  periodischen  Fehler  einer  Mikrometerschraube 
nach  den  BESsEL'schen  Vorschriften  ist  bekanntlich  insofern  etwas  umständlich, 
als  man  bei  jedem  Eingriff  in  den  Mechanismus  des  Mikrometers  auf  eine  Aen- 
derung  gefasst  sein  muss;  es  ist  deshalb  dem  Mikrometer  die  bekannte  Einrichtung 
gegeben,  dass  zwei  Fadenpaare  zur  Ablesung  der  Scala  II  verwandt  werden, 
deren  gegenseitiger  Abstand  ein  ungrades  Vielfache  einer  halben  Schrauben- 
umdrehung beträgt,  so  dass  bei  abwechselnder  Benutzung  der  beiden  Paare  die 
Hauptglieder  des  Ausdruckes  für  die  periodischen  Fehler  sofort  eliminirt  werden. 
Die  Ablesung  des  Positionskreises,  der  bei  den  neuen  Heliometern  nicht  mehr 
am  Objectivende,  sondern  mitten  auf  dem  Fernrohr,  nahezu  in  der  Verlängerung 
der  Deklinationsaxe  angebracht  ist,  geschieht  mit  Hilfe  zweier  um  180°  abstehen- 
der Mikroskope,  die  an  einem  das  bewegliche  Fernrohr  umschliessenden  und  an 
der  Deklinationsaxe  befestigten  eisernen  Cylinder  angebracht  sind,  und  deren 
Trommeln  den  Raum  von  10  Minuten  in  60  Theile  theilen,  so  dass  man  10  Se- 
cunden  direkt  ablesen  und  einzelne  Secunden  schätzen  kann. 

Zur  Ablesung  des  Positionskreises  wird  nur  eine  Hälfte  des  Gesichtsfeldes 
der  beiden  Mikroskope  verwandt,  und  in  der  anderen  Hälfte  erblickt  man  durch 
ein  die  Hälfte  des  Rohres  einnehmendes  Prisma  hindurch  ein  Bild  des  Dekli- 
nationskreises, der  ebenso  wie  der  Positionskreis  eingerichtet  ist,  und  um  Ver- 
wechselungen zu  vermeiden,  sind  beide  Kreise  durch  verschiedenartige  Dia- 
phragmen im  Brennpunkt  des  Ablesefernrohres  bezeichnet.  Zur  Drehung  des 
ganzen  Rohres  in  Positionswinkel  dienen  drei  verschiedene  Triebe,  mit  welchen 
man  den  Uebergnng  von  sehr  schneller  Bewegung  bis  zur  feinsten  Mikrometer- 
bewegung machen  kann.  Um  Sterne  von  verschiedener  Helligkeit  neben  einander 
einstellen  zu  können,  ist  vor  dem  Objectiv  senkrecht  zur  Axe  ein  in  sieben  Sec- 
toren  eingetheiltes  Blendrad  angebracht  und  drei  dieser  Sectoren  sind  mit  Draht- 
gittern von  verschiedener  Dichte  ausgefüllt,  so  dass  man  nach  Bedürfniss  eine  der 
Objectivhälften  damit  bedecken  und  einen  Stern  um  T4,  2*2  oder  2  5  Grössen- 
klassen  abblenden  kann,  und  mit  Hilfe  von  zwei  dichten  Zusatzgittern  kann  man 
einen  Stern  erster  Grösse  als  von  achter  Grösse  erscheinen  lassen,  ohne  den 
Eindruck  des  Bildes  zu  stören,  und  wenn  bei  sehr  hellen  Objecten,  z.  B.  dem 
Planeten  Jupiter,  Beugungserscheinungen  auftreten,  so  befinden  sie  sich  in  solcher 
Entfernung,  dass  bei  der  Messung  keine  Störung  entsteht. 

Die  Temperatur  des  Heliometers  wird  durch  zwei  Thermometer  bestimmt, 
von  denen  sich  eines  im  Objectivkasten  und  das  andere  am  Ocularende  in  einer 
Kapsel  befindet,  so  dass  die  Erwärmung  durch  die  Nähe  des  Beobachters  stark 
abgeschwächt  wird.  Ein  Metallthermometer  neben  dem  Objectivende  sollte  im 
Ablesefernrohr  für  die  Objectivscalen  sichtbar  sein,  aber  durch  die  Erschütterungen 
auf  der  Reise  von  Hamburg  nach  Göttingen  war  diese  Einrichtung  in  Unordnung 
gerathen  und  es  gelang  auch  nicht,  es  ohne  Störung  für  die  Objectivscalen  sicht- 
bar zu  machen,  als  die  Messungen  am  Instrument  schon  im  vollen  Gange  waren. 
Es  ist  deshalb  auf  den  Gebrauch  verzichtet  worden,  da  man  durch  die  beiden 
Quecksilberthermometer  die  Temperatur  des  Instrumentes  genügend  kennen  lernt. 

Bei  den  Messungen  mit  einem  Heliometer  wird  vorausgesetzt,  dass  bei  zu- 
sammengeschraubtem Objectiv  die  beiden  Bilder  eines  Sternes  sich  völlig  decken, 


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I 


Heliometer.  19 

dass  also  keine  seitliche  Verschiebung  der  Objectivbälften  senkrecht  zum  Spalt 
vorhanden  ist,  weil  man  sonst  keine  engen  Doppelsterne  messen  kann  und  auch 
bei  grösseren  Abständen  nur  eine  Projection  davon  zu  Stande  kommt.  Um  die 
Mittelpunkte  möglichst  nahe  zusammenzubringen,  lässt  sich  eine  der  Objectiv- 
hälften  durch  Correctionsschrauben  parallel  mit  der  Spaltrichtung  verschieben, 
aber  auch  nach  erfolgter  Correction  kann  sich  im  Laufe  der  Zeit  wieder  ein 
kleiner  Abstand  einstellen  und  dieser  kann  sogar  sofort  auftreten,  wenn  man  in 
Positionswinkel  bewegt.  Bei  Messungen  von  Doppelsternen  geben  die  Ablesungen 
des  Positionskreises  vor  und  nach  dem  Durchschrauben  immer  ein  Mittel,  die 
Abstandsmessungen  für  diesen  Fehler  zu  verbessern,  misst  man  dagegen  Durch- 
messer von  Planetenscheiben,  und  sucht  die  Abweichung  der  Objectivbälften 
durch  Messungen  an  einem  vielleicht  weiter  abstehenden  Doppelstern  mit  wesent- 
lich anderem  Positionswinkel  zu  bestimmen,  so  sind  die  daraus  erhaltenen  Resul- 
tate auf  die  Messung  der  Planetenscheibe  nicht  anwendbar.  Bedient  man  sich 
dagegen  eines  doppeltbrechenden  Ocularprismas ,  welches  einen  einfachen  Stern 
in  einen  Doppelstern  verwandelt,  und  am  Heliometer  vier  Bilder  von  einem 
Stern  hervorbringt,  so  kann  man  die  Abweichung  der  beiden  Objectivmittelpunkte 
mit  Hilfe  eines  am  Ocularende  angebrachten  Positionskreises  ermitteln,  und  in 
Göttingen  wird  dazu  der  kleine,  eigentlich  für  die  Oculareinstellung  bestimmte 
Kreis  benutzt 

Zur  Untersuchung  der  Theilungsfehler  der  Objectivscalen  dient  ein  Mikroskop 
in  der  Nähe  der  Scalen  und  parallel  dazu,  und  ein  an  seinem  Objectivende  an- 
gebrachtes reflektirendes  Prisma  lenkt  das  Bild  der  Scalen  um  90°  ab,  so  dass 
sie  im  Ocular  des  Mikroskops  sichtbar  werden.  Mit  Hilfe  eines  groben  Trieb- 
werkes lässt  sich  dem  Mikroskop  eine  Bewegung  in  einer  Längsrichtung  geben, 
so  dass  es  über  die  verschiedenen  Theilstriche  geführt  werden  kann. 

Die  Beleuchtung  der  Scalen,  Kreise  und  Mikrometertrommeln  geschieht 
durch  acht  Glühlampen,  die  ihr  Licht  von  vier  Accumulatoren  erhalten. 

Sowohl  für  die  Bestimmung  des  Indexfehlers  des  Positionskreises,  als  auch 
zur  Prüfung  der  Abhängigkeit  der  Brennweite  des  Heliometers  von  der  Tempe- 
ratur und  zur  Herstellung  von  künstlichen  Doppelsternen  und  Planetenscheiben, 
befindet  sich  in  einem  Aufbau  des  neben  dem  Heliometerthurme  stehenden 
Treppenhauses  ein  horizontales  Collimatorfernrohr  von  1*3  m  Focallänge.  Diese 
Einrichtung  ist  in  den  ersten  Jahren  benutzt,  aber  aus  nachfolgenden  Gründen 
später  aufgegeben  worden: 

1)  Der  Indexfehler  des  Positionskreises  wird  mit  Hilfe  eines  Collimators  nur 
in  einer  Lage  des  Fernrohres,  nämlich  ausschliesslich  im  Horizont  bestimmt;  da 
nun  die  Ableitung  des  Scalenwerthes  für  die  Objectivscalen  schon  auf  Stembeob- 
achtungen  beruht,  die  an  Meridiankreisen  gemacht  sind,  so  ist  es  consequenter, 
dasselbe  auch  in  Bezug  auf  die  Positionswinkel  zu  thun.    2)  Die  Prüfung  der 
Abhängigkeit  der  Brennweite  des  Objectivs  von  der  Temperatur  geschieht  viel 
genauer  durch  Einstellungen  auf  einen  Doppelstern  und  nach  den  Erfahrungen 
in  Göttingen  am  Tage  durch  Einstellung  auf  das  Bild  des  stets  sichtbaren  Polar- 
sternes, als  durch  einen  Collimator,  der  wohl  meistens  eine  kürzere  Brennweite 
als  das  Heliometer  haben  wird  und  dessen  Focallänge,  wenn  auch  bei  geschützter 
Aufstellung  in  geringerem  Maasse,  von  der  Temperatur  abhängig  ist.    3)  Unter- 
suchungen über  den  Einfluss  des  Positionswinkels  auf  Messungen  von  Doppel- 
sternen und  Planetendurchmesscr  lassen  sich  viel  einfacher  mit  Anwendung  des 
Ocularprisma  ausführen,   und  Untersuchungen  über   die  absoluten  Fehler  von 


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20 


Heliometer. 


Durchmesserbestimmungen  erhält  man  mit  einem  solchen  Collimator  auch  nur  in 
ungenügender  Weise. 

Die  vorhin  schon  erwähnte  Untersuchung  der  Theilungsfehler  der  Objectiv- 
scalen  hat  in  folgender  Weise  stattgefunden.  Die  Beweglichkeit  des  Unter- 
suchungsmikroskops geht  nicht  so  weit,  dass  man  die  ganzen  Längen  beider 
Scalen  unmittelbar  mit  einander  vergleichen  kann,  auch  ist  nicht  die  ganze  Länge 
von  200  Theilen  auf  jeder  Scala  zu  untersuchen,  sondern  nur  eine  Länge  von 
180  Theilen  kommt  bei  den  grössten  Ausweichungen  der  Objectivhälften  zur 
Geltung,  und  ferner  bildeten,  so  lange  noch  die  Ablesung  des  Metallthermometers 
in  Frage  kam,  nicht  die  Striche  100  und  300  die  sichtbaren  Mitten  der  beiden 
Scalen  bei  zusammengeschraubten  Hälften,  sondern  104  und  304,  weshalb  sich 
die  Untersuchung  auf  den  Raum  14  bis  194  auf  Scala  I  und  214  bis  394  auf 
Scala  II  zu  erstrecken  hat  Es  wurden  nun  zunächst  die  beiden  Hälften  einer 
Scala  mit  Hilfe  einer  Hälfte  der  anderen  Scala  miteinander  verglichen,  wodurch 
die  Fehler  des  Striches  104  gegen  die  Mitte  von  14  und  194,  und  304  gegen  die 
Mitte  von  214  und  394  bekannt  wurde.  Nachdem  auf  diese  Weise  beide  Scalen 
halbirt  waren,  wurden  in  verschiedener  Weise  Räume  von  30  Theilen  einer  Scala 
mit  den  aufeinanderfolgenden  Räumen  der  anderen  Scala  verglichen,  wodurch 
die  Theilungsfehler  der  Striche  44,  74,  104  ...  .  134,  164  auf  Scala  I  und  244, 
274  .  .  .  334,  364  auf  Scala  II  bekannt  wurden,  indem  man  die  Fehler  der  vier 
Endstriche  14,  194,  214,  394  als  Null  annehmen  konnte.  Durch  eine  zweite 
Dreitheilung,  nämlich  durch  Abtragen  des  Raumes  zwischen  10  Theilstrichen, 
wurden  dann  die  Fehler  von  24,  34,  54,  64  u.  s.  w.  bekannt,  dann  durch  eine 
Reihe  von  Fünftheilungen  die  Fehler  aller  mit  graden  Zahlen  bezeichneten 
Striche,  und  schliesslich  durch  Halbirung  dieser  Räume  ergaben  sich  die 
Theilungsfehler  auch  für  alle  einzelnen  Striche.  Diese  Untersuchung  wurde  in 
den  Sommermonaten  von  1889  und  1890  von  Schur  und  Ambronn  ausgeführt, 
und  jeder  von  ihnen  hat  darauf  an  90  Tagen  je  eine  Stunde  verwandt,  im 
Ganzen  hat  also  die  Untersuchung  von  der  Berechnung  abgesehen,  180  Stunden 
in  Anspruch  genommen.  Ohne  auf  Einzelheiten  einzugehen ,  hat  die  Rechnung 
gezeigt,  dass  durch  Vernachlässigung  der  Theilungsfehler  eine  Distanzmessung 
um  0"  3  unrichtig  werden  kann,  während  die  Unsicherheit  der  Messung  des  Ab- 
standes  zweier  um  4000  Secunden  von  einander  entfernter  Sterne  etwa  0"17 
beträgt  und  durch  Wiederholung  natürlich  erheblich  geringer  wird. 

Am  Positionskreise  sind  Untersuchungen  über  Theilungsfehler  nicht  angestellt, 
da  nur  zwei  nicht  verschiebbare  Mikroskope  vorhanden  sind.  Da  aber  dieser 
Kreis  von  Repsold  auf  derselben  Theilmaschine  getheilt  ist,  wie  der  Kreis  am 
Meridianintrument  der  Strassburger  Sternwarte,  bei  dem  nach  den  Untersuchungen 
von  Schur  der  Fehler  eines  Durchmessers  nur  ausnahmsweise  eine  Secunde  be- 
trägt, so  werden  wohl  auch  bei  dem  Göttinger  Heliometer  nur  ausnahmsweise 
Fehler  entstehen  können,  die  bei  Messungen  zwischen  um  2°  voneinander  ent- 
fernten Sternen  den  Betrag  von  0"  03  im  Bogen  grössten  Kreises  erreichen;  auch 
zeigt  es  sich  bei  den  Messungen,  dass  die  zufälligen  Beobachtungsfehler  den 
möglichen  Betrag  der  Theilungsfehler  bei  Weitem  überragen. 

Die  Abhängigkeit  der  Ocularstellung  von  der  Temperatur  des  Instrumentes 
ist  durch  häufiges  Einstellen  auf  Doppelsterne  bei  Nacht  und  auf  den  Polarstern 
vor  Beginn  von  Sonnenbeobachtungen  bestimmt  worden.  Aus  Gründen,  welche 
hier  nicht  näher  auseinandergesetzt  werden  können,  wird  die  Temperatur  des 
Instrumentes  aus  den  berichtigten  Angaben  des  Objectivthermometers  O  und  des 
Ocularthermometers  0  durch  den  Ausdruck  /  =  O  +  \  (o  —  O)  berechnet,  und 


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Heliometer. 


21 


für  die  jetzigen  beiden  Beobachter  haben  die  Ablesungen  der  in  Millimeter 
getheilten  Ocularscala  bei  verschiedenen  Temperaturen  ergeben: 

Schur  N=  21-18  -H  0  019  t°  Celsius 

Ambronn  21-40  -h  0  025, 

also  nicht  nur  für  den  Eispunkt  zwei  um  £  mm  verschiedene  Zahlen,  entsprechend 
der  ungleichen  deutlichen  Sehweite,  sondern  auch  etwas  verschiedene  Werthe 
der  Temperatur-Coefficienten  aus  Untersuchungen  zwischen  -+-  23  und  —  12° 
Celsius. 

Von  der  Reduction  der  Distanzmessungen  auf  die  normale  Stellung  des 
Auges  ist  schon  früher  die  Rede  gewesen;  dieselbe  beträgt  für  Schur  0-96  und 
für  Ambronn  0*90  des  aus  der  Rechnung  folgenden  Werthes.  Zur  Bestimmung 
der  Abhängigkeit  der  Distanzmessungen  von  der  Temperatur  des  Instrumentes 
sind  vorzugsweise  die  Abstände  zwischen  zwei  unweit  des  Pols  gelegenen  Sternen 
im  Winter  und  Sommer  gemessen  worden.  Der  Ort  des  Mittelpunktes  zwischen 
den  beiden  Sternen,  der  Positionswinkel  und  die  Länge  der  Verbindungslinie 
sind  für  1900 

o  =  12*  1"       8  =  +  86°  18'      p  =  82°  54'     und    s  =  6780", 

der  Abstand  ist  also  nur  um  einige  Minuten  kleiner  als  die  grösste  am  Helio- 
meter messbare  Distanz  von  2°. 

Aus  zahlreichen  Messungen  zwischen  -h  27  und  —  17°  C.  hat  sich  ergeben, 
dass  eine  Distanz  von  100  Scalentheilen  oder  4000  Secunden  bei  einer  Tempe- 
raturänderung von  einem  Grad  Celsius  verschieden  gemessen  wird, 

von  Schur      um  0  00079  Skalentheile  oder  0"-032 
„    Ambronn  „   0-00091  „  ,,  0"036. 

Auch  hier  zeigt  sich  wieder  eine  durch  die  Einzelwerthe  viel  zu  sehr  be- 
gründete Verschiedenheit,  um  mit  einem  Mittelwerthe  rechnen  zu  dürfen. 

Vereinigt  man  die  Einwirkung  der  Ocularstellung  und  der  Temperatur  auf 
die  Grösse  der  Distanzmessungen  mit  ihrem  richtigen  Zeichen,  so  zeigt  sich,  dass 
sie  sich ,  wenn  auch  einzeln  nicht  unbedeutend,  in  der  Gesammtwirkung  nahezu 
compensiren.  Bei  der  augenblicklichen  Kenntnis  der  Zahlenwerthe  stellt  sich 
heraus,  dass  bei  den  grössten  am  Heliometer  messbaren  Distanzen  und  Tempe- 
raturextremen von  40°  C.  nur  folgende  Aenderungen  hervorgebracht  werden,  bei 
Schur  —  0"-25,  bei  Ambronn  —  0"14,  so  dass  die  vollständig  reducirten 
Messungen  eigentlich  von  der  Temperatur  so  gut  wie  unabhängig  sind,  umsomehr 
als  auch  die  Bestimmung  der  Scalenwerthe  auf  Messungen  bei  verschiedenen 
Temperaturen  beruhen. 

Zur  Bestimmung  des  Scalenwerthes  sind  in  Göttingen  keine  Experimente  wie 
früher  in  Königsberg  vorgenommen  worden,  deren  durchaus  nothwendige  Wieder- 
holung bei  verschiedenen  Temperaturen  die  sehr  störende  Abnahme  des  schweren 
Fernrohres  erfordert  haben  würde,  sondern  wie  schon  bemerkt,  beruht  der 
Scalenwerth  wie  bei  den  Heliometern  der  Venusexpeditionen  auf  Beobachtungen 
einer  Reihe  aufeinanderfolgender  Sterne,  deren  Oerter  durch  zahlreiche  Meridian- 
beobachtungen auf  Veranlassung  von  Auwers  festgelegt  sind.  Diese  Beobach- 
tungen haben  folgende  Resultate  für  den  Scalenwerth  bei  0°  C.  ergeben. 


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Schur  Ambkohn 

Cygnuskreis  40"01601  40"01915 

Hydrakreis                                              01506  01610 

Polbogen                                                01486  01599 

Gill's  Standard  stars  für  Victoria  .    .         01750  01710 

und  die  einfachen  Mittelwerthe  sind  .    40"01586  40"  01710. 

Der  zwischen  beiden  Beobachtern  auch  hier  bestehende  Unterschied  hat  aut 
die  grössten  am  Heliometer  messbaren  Abstände  von  2°  einen  Einfluss  von  nur 
0"-2l.  Da  sich  schon  bei  den  anderen  Constantenbestimmungen  zwischen  beiden 
Beobachtern  Unterschiede  von  offenbar  individueller  Natur  gezeigt  haben ,  so 
rechnet  auch  jeder  mit  dem  von  ihm  bestimmten,  durch  spätere  Beobachtunger. 
noch  weiter  zu  bestätigenden  Scalenwerth,  und  nur  die  Tabelle  für  die  Theilungs- 
fehler  der  Objectivscalen  ist  bis  jetzt  gemeinschaftlich  benutzt  worden. 

Wie  für  die  Distanzen,  so  sind  auch  für  die  Positionswinkel  Untersuchungen 
über  die  innere  Uebereinstimmung  angestellt  und  werden  die  Ergebnisse  für 
letztere  auf  den  grössten  Kreis  reducirt,  so  hat  man  zur  Vergleichung  für  einen 
Bogen  von  4000  Secunden 

den  wahrscheinlichen  Fehler  einer  Distanzmessung  ±l  0"'176 
„  „  „      eines  Positionswinkels  ±  0"'359. 

Die  Fehler  verhalten  sich  nahe  wie  1  zu  2  und  das  Gewicht  einer  Distanz- 
messung ist  daher  viermal  so  gross  als  das  einer  Positionswinkel-Messung.  Wenn 
man  also  eine  grössere  Zahl  von  Sternen  miteinander  durch  Messungen  verbinden 
will,  so  ist  es  für  die  Bestimmung  der  gegenseitigen  Lage  am  zweckmässigsten, 
ein  Dreiecksnetz  über  die  Gruppe  zu  legen  und  darin  die  Seitenlinien  zu  messen 
und  ausserdem  die  Orientirung  der  Gruppe  durch  Messung  einiger  möglichst 
langen  Linien  am  Positionskreise  auszuführen. 

Nachdem  nun  hei  den  neuen  Heliometern,  gegenüber  der  früheren  geradlinigen 
Bewegung,  den  Objectivhälften  eine  Kreisbewegung  mit  der  Brennweite  als 
Radius  gegeben  ist,  hätte  man  erwarten  sollen,  dass  die  an  diesen  Instrumenten 
erhaltenen  Distanzmessungen  zwischen  zwei  Sternen  vollständig  einwandsfrei 
seien,  dass  also  der  Abstand  zwischen  zwei  Sternen  einfach  durch  Multiplikation 
der  an  den  Scalen  bestimmten  Objectivbewegungen  und  eines  constanten  Scalen- 
werthes  erhalten  werde,  und  zwar  ist  man  zu  dieser  Annahme  deshalb  berechtigt, 
weil  Focussirungen  auf  enge  Doppelsterne  bei  zusammengeschraubten  sowohl 
wie  bei  möglichst  weit  von  einander  getrennten  Objectivhälften  in  der  Ocular- 
stellung  keinerlei  Unterschiede  zeigten,  die  Bewegung  der  Schieber  also  als  voll- 
kommen kreisförmig  zu  betrachten  ist. 

Nichts  desto  weniger  zeigte  sich  bei  der  Ausgleichung  der  am  Göttinger 
Heliometer  angestellten  Distanzmessungen  in  der  Praesepe  (siehe  »Astronom. 
Mitthlg.,  vierter  Theil«),  dass  die  aus  den  Messungen  einer  grossen  Zahl  von 
kleinen  Dreiecksseiten  hervorgehenden  Entfernungen  zwischen  vier  an  den 
Grenzen  der  Gruppe  liegenden  Sternen  weder  mit  den  Meridianbeobachtungen 
noch  mit  den  darauf  angestellten  Heliometermessungen  zwischen  denselben  Uber- 
einstimmten. Nahezu  gleichzeitig  machte  auch  Gill  (Astr.  Nachr.,  Bd.  130, 
pag.  163  und  188)  darauf  aufmerksam,  dass  sich  bei  Gelegenheit  der  Bestimmung 
der  Sonnenparallaxe  aus  Beobachtungen  des  Planeten  Victoria  im  Jahre  1889  bei 
der  Vergleichung  der  an  den  Heliometern  in  Capstadt,  Newhaven  und  Göttingen 
erhaltenen  Distanzmessungen  im  Vergleich  mit  den  Resultaten  von  Beobachtungen 


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Heliometer. 


*3 


an  zahlreichen  Meridiankreisen  Unterschiede  herausgestellt  haben,  über  die  er 
folgende  Uebersicht  giebt: 


Mittlerer 

Capstadt 

NeuhaTen 

Göttingen 

Abstand 

Gill 

FlNLAY 

Jacob y 

Chase 

SCHUJt 

Ambronn 

*  Ann t § 

1000 

tt 

+  0*03 

+  0-07 

ii 

+  0-18 

tt 

+  0-14 

+  0V20 

+  0-14 

2000 

+  0-01 

000 

+  013 

+  008 

+  0-03 

+  0-02 

3000 

+  0-01 

—  0-01 

+  013 

+  0-08 

+  009 

—  011 

4000 

H-  0  01 

000 

000 

—  001 

—  0O8 

—  Oll 

5000 

—  0O6 

—  005 

-  015 

—  010 

—  001 

—  015 

6000 

—  004 

—  013 

—  0-21 

—  018 

—  012 

-0-22 

7000 

000 

-012 

-0-12 

-0-08 

-007 

-021 

Auf  noch  grössere  Correctionen  dieser  Art  ist  Elkin  bei  der  Triangulation 
zwischen  Polsternen  gekommen,  wo  sie  bei  634  Secunden  Abstand  ein  Maximum 
von  +  0"-50  erreichen. 


Gill  glaubte  diese  Eigentümlichkeiten,  die  besonders  die  Distanzen  von  etwa 
1000  Secunden  betreffen,  dadurch  erklären  zu  können,  dass  man  sich  bei  den 
neueren  Heliometern  bei  der  Beurtheilung  des  Durcheinanderschwingens  der 
Sternbilder  nach  einem  im  Gesichtsfelde  des  Fernrohres  befindlichen  Quadrat 
aus  Metallfäden  richte;  da  aber  diese  Art  der  Messung  am  Göttinger  Heliometer 
gänzlich  ungebräuchlich  ist,  indem  man  sich  dort  des  Quadrats  nur  vorüber- 
gehend bedient,  um  bei  sehr  genauen  Positionswinkelmessungen  die  Mitte  des 
Gesichtsfeldes  zu  bezeichnen  und  es  dann  wieder  bei  Seite  schiebt,  bei  den 
Distanzmessungen  aber  in  der  Weise  verfahren  wird,  dass  mit  Hilfe  des  Prismas 
am  Ocular  das  Durchschwingen  der  Sternbilder  nach  dem  Augenmaass  in  genau 
verticaler  Richtung  vor  sich  geht,  so  ist  die  Gux'sche  Erklärungsweise  auf  die 
Göttinger  Beobachtungen  nicht  anwendbar.  (Siehe  Schur,  Astr.  Nachr.,  Bd.  131, 
pag.  381).  In  Göttingen  ist  deshalb  eine  grössere  Reihe  von  Versuchen  an- 
gestellt, die  auch  in  Zukunft  noch  weiter  fortgesetzt  werden,  zwischen  einer  Reihe 
von  Sternen  in  der  Praesepe  und  in  der  Vulpecula,  die  nahezu  in  einer  geraden 
Linie  erscheinen  und  deren  Abstände  durch  Rechnung  mit  den  aus  Meridian- 
beobachtungen folgenden  Oertern  auf  den  die  beiden  äussersten  Sterne  ver- 
bindenden grössten  Kreis  reducirt  werden  können,  alle  möglichen  Abstände  zu 
messen,  um  auf  empirischem  Wege  die  Gestalt  einer  Curve  zu  bestimmen,  welche 
die  an  die  Distanzmessungen  anzubringenden  Verbesserungen  ergiebt.  (Siehe 
Astr.  Nachr.,  Bd.  134,  pag.  65  und  Astr.  Mitthlg.  Göttingen.  Vierter  Theil, 
pag.  153.)  Danach  wachsen  diese  Correctionen  für  Distanzen  von  0  bis  1500  Se- 
cunden schnell  bis  zu  einem  Maximum  von  +  0"-27  an  und  verschwinden  dann 
wieder  für  grössere  Distanzen.  Es  wird  dort  ferner  gezeigt,  dass  diese  Correctionen 
viel  zu  gross  sind,  um  durch  Constructionsfehler  des  Heliometers  erklärt  zu 
werden.  Diese  Correctionen  sind  also  in  ihrem  Verhalten  einigermaassen  be- 
kannt, aber  die  Ursache  liegt  noch  nicht  klar  vor  Augen,  jedoch  ist  zu  hoffen, 
dass  die  Fortsetzung  der  darauf  gerichteten  Untersuchungen  Uber  diesen  höchst 
wichtigen  Umstand  noch  die  nöthigen  Aufklärungen  geben  wird,  so  dass  man 
den  Betrag  nicht  nur  auf  empirischem  Wege  ermitteln  kann,  sondern  der  Grund, 
sei  es  in  der  Constructionsweise  des  Instrumentes,  sei  es  durch  Einwirkungen 
physiologischer  Natur,  klar  vor  Augen  liegt. 

Bei  der  Behandlung  der  Präsepebeobachtungen  ist  auf  Grund  des  empirisch 
bestimmten  Verlaufs  der  Correctionen  eine  Uebereinstimmung  mit  den  Heliometer- 
messungen des  erwähnten  grossen  Vierecks  erzielt  worden,  die  durch  fortgesetzte 


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24 


Heliometer. 


Untersuchungen  über  diesen  Gegenstand  vermuthlich  nicht  erheblich  abgeändert 
werden  wird. 

Es  ertibrigt  nun  noch,  in  Kürze  darzustellen,  wie  die  Messungen  von  Positions- 
winkeln am  Heliometer  von  den  Instrumentalfehlern  zu  befreien  sind  und  zu 
diesem  Zwecke  soll  der  Gang  angedeutet  werden,  wie  nach  den  Vorschriften 
von  Bessel  zu  verfahren  ist.  Ausser  Bessel's  Schriften  sind  übrigens  für  die 
Theorie  des  Heliometers  noch  zu  erwähnen: 

P.  A.  Hansen,  Ausführliche  Methode  mit  dem  Fraunhofer  sehen  Heliometer 
Beobachtungen  anzustellen  u.  s.  w.    Gotha  1827. 

H.  Seeliger,  Theorie  des  Heliometers.    Leipzig  1877. 

H.  Battermann.  Untersuchungen  über  die  Gestalt  der  Bilder  u.  s.  w.  Astr. 
Nachr.    Bd.  120. 

Es  seien 

/  und  8  berechnete  Werthe  des  Stundenwinkels  und  der  Deklination  eines 

Sternes  mit  Einschluss  der  Refraction, 
T  und  D  die  an  den  Kreisen  abgelesenen  Werthe  von  Stundenwinkel  und 
Deklination, 

x  und  y  die  Abweichung  des  Pols  des  Instrumentes  (der  Richtung  ('er  Stunden- 
de) vom  Himmelspole  und  zwar  x  in  der  Richtung  des  Meridians  gezählt, 
7  Indexfehler  des  Stundenkreises, 

C  Collimationsfchler  des  Fernrohres  bezogen  auf  das  Ende  derDeklinationsaxe, 
*  die  Neigung  der  Deklinationsaxe  gegen  die  Stundenaxe  bezogen  auf 

das  Ende  der  Deklinationsaxe, 
ß  die  horizontale  Biegung  des  Fernrohres, 
a  die  Biegung  der  Deklinationsaxe, 
k  Indexlehler  des  Positionskreises, 
(jt  Drehungs-Constante  bei  demselben, 
9  die  geographische  Breite  des  Beobachtungsortes, 
dann  hat  man  aus  den  Beobachtungen  von  Sternen  verschiedener  Deklination 
zur  Bestimmung  von  x  und  y  die  Gleichungen 

8  —  D  +  xeos  t  -i-ysint  —  ß  sin  (9  —  8)  =  0 
/  _  \5  T—  15f  -+-  (x  sin  t  —  y  cos  /)  tang  8  =  0 
und  wenn  7/  und  Tv  die  auf  das  Mittel  der  Uhrzeiten  bezogenen  Ablesungen  des 
Stundenkreises  bei  Axe  folgend  und  Axe  vorangehend  sind  und  man  die  Ausdrücke 
hT  =  £(7>  —  Tv)  bildet,  so  erhält  man  Gleichungen  für  C,  ii  und  et  von  der  Form 
15  bTcosd  =  C—  /,  sin  8  —  a  cos  9  cos  t  cos  8. 
Die  beste  Bestimmung  von  C,  /,  und  a  ergiebt  sich  aus  Durchgangsbeob- 
achtungen im  Meridian  und  in  zt  6*  Stundenwinkel,  und  nachdem  /,  gefunden 
ist,  folgt  die  Neigung  der  Axen  /  =  *,  —  et  sin  9. 

Zur  Reduction  der  Positionswinkel-Messungen  ist  dann  zu  rechnen 

X  =  (x  sin  t  —  y  cos  f)  sec  8  H-  ß  cos  9  tang  8  sin  t 
J  =  ix  sec  8  —  C  tang  6  -f-  |x  (sin  ycosö  —  cos  <p  sin  8  cos  t), 
oder  wenn  man  setzt 

sin  tsech  =  X 
—  cos  t  sec  8  =  Y 
cos  <p  tang  8  sin  t  =  B 
sin  fcosi  —  cos  y  sin  icost  =  M, 

so  hat  man 

x=  X  X+yY+  $B 

J  —  <,  sec  8  —  Ctang  8  -h  y.M. 

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Heliometer. 


*5 


Der  Positionswinkel  p  zwischen  zwei  Sternen  gezählt  am  Mittelpunkt  zwischen 
denselben  ergiebt  sich  aus  der  Ablesung  P  des  Positionskreises  nach  den 
Ausdrücken 

Axe  folgend        p  —  P-\-k-\-\->t-  / 
„  vorangehend    =  P  -h  k  +  \  —  J. 

Um  eine  Abweichung  des  Fadenkreuzes  von  der  optischen  Axe  des  Fern« 
rohres  zu  eliminiren,  werden  die  Beobachtungen  an  derselben  Seite  der  Säule 
nacheinander  immer  in  zwei  verschiedenen  Lagen  angestellt,  zwischen  denen 
das  Fernrohr  um  seine  Axe  um  180  Grad  gedreht  ist,  und  um  alle  in  obigen 
Ausdrücken  enthaltenen  Instrumental-Constanten  zu  bestimmen  sind  sowohl 
Beobachtungen  im  Meridian  an  Sternen  in  der  Nähe  des  Pols  und  nach  Süden 
hin  als  auch  zu  beiden  Seiten  des  Meridians  in  6  Uhr  Stundenwinkel  anzustellen. 

Auf  die  Bestimmung  des  Index-Fehlers  des  Positionskreises  mit  Anwendung 
des  Colli mators  ist,  wie  schon  bemerkt,  im  Laufe  der  Zeit  verzichtet  worden 
und  es  sind  später  Beobachtungen  weit  entfernter  Sterne,  deren  Oerter  aus 
Meridianbeobachtungen  bekannt  sind,  an  die  Stelle  getreten.  Um  sich  ein  Ur- 
theil  über  die  dabei  erreichbare  Genauigkeit  zu  bilden,  soll  hier  eine  Uebersicht 
Uber  die  Resultate  gegeben  werden. 

a)  Collimatorbeobachtungen. 


1889  Juni 

13 

Index-Fehler 
-t-  0'-27 

Drehungs-ConsUni 

Aug. 

16 

-r-  0-92 

-  0'  25 

Sept. 

3° 

-t-  0-60 

—  018 

1890  Febr. 

12 

-+-  013 

—  0  14 

Nov. 

12 

■+■  0  17 

■+•  0  09 

1891  Apr. 

16,  22 

-0-22 

-  0  32 

Oct. 

23 

-+-  0-37 

-0-60 

1892  Apr. 

14,  16 

-t-  0  f>4 

-  0  -58 

Mittel 

■+-  0  36 

—  0  -28 

b)  Sternbeobachtungen. 

Abstand 

1892  Hydrakreis  Sternpaar  cf   h- 0  30         -t- 0*192  118'*3 

ad   -»-0-89         -t- 0-179  111*3 

1889,  90  Stand,  stars.  Victoria    -t-  112  —  53  8 

Mittel  mit  Gewichten    +  069         4- 0-  18 
und  die  abgerundete  Annahme  ist 

*  =  +  0'-6  u.  =  -+-  0'*18. 
Die  Besprechung  des  Heliometers  kann  nicht  abgeschlossen  werden,  ohne 
noch  einer  ganz  besonderen  Form  zu  erwähnen,  welche  von  belgischen  Astronomen 
bei  der  Beobachtung  des  Venusdurchganges  im  Jahre  1882  benutzt  worden  ist, 
und  wovon  man  eine  Beschreibung  in  den  >Annales  de  l'observatoire  royal  de 
Bruxelles,  Tome  V  1884«  mit  Abbildungen  findet.  Man  hat  nämlich  auf  Veran- 
lassung von  Houzeau  eine  achromatische  Linse  von  4  34  m  Brennweite  und 
0-22  m  Oeffnung,  wie  bei  den  Heliometerobjectiven  in  zwei  halbe  Objective  zer- 
legt und  jede  der  beiden  Hälften  an  den  Enden  zweier  verschiedener  Fernröhre 
angebracht  und  an  jedem  Fernrohr  die  Hälfte  eines  anderen,  viel  kürzeren 
Objectivs  so  eingeführt,  dass  die  Brennpunkte  der  ungleichen  Linsen  mit  ein- 
ander zusammenfielen  und  zwar  wählte  man  die  Brennweite  des  kleinen  Objectivs 
so,  dass  sie  sich  zu  der  Brennweite  des  grossen  Objectivs  nahe  so  verhielt,  wie 


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Heliometer. 


der  Durchmesser  der  Venus  zum  Durchmesser  der  Sonne,  so  dass,  wenn  man 
die  Sonne  durch  das  kleine  und  die  Venus  durch  das  grosse  Objectiv  durch  ein 
gemeinschaftliches  Ocular  beobachtete,  bei  geeigneter  Einstellung  des  Abstandes 
der  beiden  optischen  Axen  in  Positionswinkel  und  Distanz  das  Bild  der  Sonne 
dasjenige  der  Venus  mit  einem  schmalen  Ringe  umgab.  Auf  die  allmähliche 
Veränderung  der  Lage  der  Mittelpunkte  der  beiden  Himmelskörper  wurde  da- 
durch Rücksicht  genommen,  dass  das  kleine  Objectiv  mit  Hilfe  einer  Mikrometer- 
schraube verschoben  und  das  ganze  Fernrohr  im  Positionswinkel  gedreht  werden 
konnte.  Die  centrische  Einstellung  des  Venusbildes  auf  das  wie  bemerkt  etwas 
grössere  Sonnenbild  wurde  nicht  direkt  durch  das  Ocular,  sondern  durch  Pro- 
jection  auf  einen  davor  angebrachten  Schirm  beobachtet  und  da  bei  einem 
solchen  Instrument  die  Objective  natürlich  nicht  durchgeschraubt  werden,  so 
waren  noch  besondere,  hier  nicht  näher  zu  erörternde  Untersuchungen  nothwendig, 
um  aus  den  jedesmaligen  Ablesungen  der  Mikrometerschraube  den  Abstand  der 
Mittelpunkte  von  Sonne  und  Venus  zu  bestimmen.  Diese  beiden  gleichgestalteten 
Heliometer  wurden  bei  dem  Venusdurchgang  1882  in  Amerika  unter  —  33£  und 
-t-  29|  Grad  Breite  benutzt. 

Zum  Schluss  dürften  wohl  noch  einige  Betrachtungen  darüber  anzustellen 
sein,  welche  Stellung  das  Heliometer  in  Zukunft  gegenüber  der  sich  immer 
weiter  ausbildenden  Anwendung  der  Photographie  auf  die  Astronomie  ein- 
nehmen wird. 

Unter  den  astronomischen  Instrumenten  nimmt  in  Bezug  auf  die  Genauig- 
keit das  Heliometer  entschieden  die  erste  Stelle  ein;  während  man  aber  den 
gewöhnlichen  Refractoren,  wie  der  Erfolg  lehrt,  immer  grössere  Dimensionen 
geben  und  dadurch  immer  schwächere  Sterne  beobachten  und  auch  photo- 
graphiren  kann,  sofern  bei  genügend  langer  Exposition  die  an  sich  schwache 
Lichtwirkung  sich  immer  mehr  steigert,  was  bei  Beobachtungen  mit  dem  Auge 
natürlich  nicht  stattfindet,  so  ist  diese  Aussicht  dem  Heliometer  mit  seiner 
complicirten  mechanischen  Construction  wohl  nicht  beschieden  und  selbst  bei 
den  grössten  erreichbaren  Dimensionen  fällt  immer  der  Nachtheil  ins  Gewicht, 
dass  man  bei  dem  Gebrauche  des  Heliometers  zuerst  damit  beginnt,  die  beiden 
Hälften  auseinander  zu  schrauben  und  dadurch  die  Lichtstärke  des  Apparates 
sofort  auf  die  Hälfte  zu  reduciren. 

Nachdem  man  bei  den  Venusdurchgängen  in  diesem  Jahrhundert  neben  den 
Heliometern  auch  photographische  Apparate  angewandt  hatte,  zeigte  es  sich  bei 
der  Bearbeitung,  dass  die  aus  den  Heliometerbeobachtungen  der  deutschen  Ex- 
peditionen erhaltenen  Resultate,  wenn  auch  die  Erwartungen  wohl  etwas  weiter 
gegangen  waren,  doch  vollkommen  auf  der  Höhe  der  Zeit  standen  und  dass  die 
photographischen  Aufnahmen  der  Nordamerikaner  Dank  der  ausserordentlichen 
sorgsamen  Vorkehrungen  damit  nahezu  gleichwerthig  waren,  dass  dagegen  die 
photographischen  Aufnahmen  auf  den  deutschen  Expeditionen  schon  viel  zu 
wünschen  übrig  Hessen,  weshalb  sie  bei  dem  zweiten  Venusdurchgang  im 
Jahre  1882  nicht  wiederholt  wurden,  während  anderweitige  Versuche,  soweit 
darüber  etwas  in  die  Oeffentlichkeit  gedrungen  ist,  als  vollständig  verunglückt 
anzusehen  sind. 

Im  folgenden  Jahrzehnt  hat  die  Anwendung  der  Photographie  auf  die 
Astronomie  freilich  sehr  bedeutende  Fortschritte  gemacht  und  bei  der  Schnellig- 
keit, mit  der  man  heutigen  Tages  einen  Sternhaufen  photographisch  auf- 
nehmen kann,  dessen  Bestandteile  an  Helligkeit  weit  jenseits  der  mit  dem 
Heliometer  zu  erreichenden  Grenzen  liegen,   hat  die  photographische  Methode 


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Heliotrop. 


*7 


auch  mit  Rücksicht  auf  den  Zeitaufwand  gegenüber  den  mühsamen  heliometrischen 
Vermessungen  einen  sehr  grossen  Vorsprung  gewonnen,  natürlich  unter  der 
Voraussetzung,  dass  die  Genauigkeit  der  aus  photographischen  Aufnahmen  ab- 
geleiteten Sternpositionen  an  die  der  heliometrischen  Vermessungen  heranreicht. 
In  letzterer  Hinsicht  würde  man  schon  viel  früher  sich  eine  Vorstellung  haben 
verscharTen  können,  wenn  nicht  die  RuTHERFURD'schen  photographischen  Auf- 
nahmen von  Sternhaufen  aus  den  sechziger  Jahren  so  lange  Zeit  so  gut  wie 
vollständig  unbeachtet  und  unbearbeitet  liegen  geblieben  wären.  Nach  dem, 
was  darüber  aber  aus  den  letzten  Jahren  von  der  Sternwarte  in  New-York  be- 
kannt geworden  ist,  in  deren  Besitz,  diese  älteren  Photographien  Ubergegangen 
sind  und  wo  sie  von  Harold  Jacoby  vermessen  werden,  hat  man  schon  vor 
zwanzig  Jahren  eine  recht  befriedigende  Genauigkeit  erreicht.  In  noch  höherem 
Maasse  wird  dies  wohl  bei  den  neueren  Aufnahmen  der  Fall  sein,  wie  man  sie 
in  Potsdam,  Paris  und  an  anderen  Orten  anstellt,  und  eine  sehr  günstige  Gelegen- 
heit zu  Vergleichungen  wird  das  Erscheinen  der  auf  der  Göttinger  Sternwarte 
in  den  letzten  Jahren  vorgenommenen  Triangulation  der  Praesepe  liefern.  Es  ist 
zu  vermuthen,  dass  auch  dem  Heliometer  in  Zukunft  immer  noch  eine  sehr  be- 
deutende Rolle  vorbehalten  bleibt,  wenn  es  sich  in  Händen  von  Astronomen 
befindet,  die  der  mühsamen  und  schwierigen  Behandlung  eines  Pracisions- 
instiumentes  gewachsen  sind,  aber  in  Bezug  auf  die  Schnelligkeit  der  Auf- 
nahmen und  der  raumdurchdringenden  Kraft  wird  es  hinter  den  photographischen 
Refractoren  zurückbleiben.  Man  wird  sich  in  Zukunft  wohl  nicht  mehr 
darauf  einlassen,  am  Heliometer  Oerter  von  Sternen  bestimmen,  die  nahe  an 
der  Grenze  der  Sichtbarkeit  liegen,  aber  ohne  Zweifel  wird  es  auch  in  Zukunft 
bei  der  Aufnahme  von  Sternhaufen  durch  die  Photographie  von  unschätzbarem 
Werthe  sein,  die  Abstände  der  helleren  und  von  einander  entfernteren  Sterne 
eines  photographisch  aufgenommenen  Sternhaufens  durch  heliometrische  Beob- 
achtungen festzulegen,  um  die  Dimensionen  der  Gruppe  durch  ein  sicher  be- 
stimmtes Winkelmaas  ausdrücken  zu  können.  Wenn  die  Heliometerbeobachter 
durch  den  Vorsprung  der  Photographie  entmuthigt,  die  Hände  in  den  Schooss 
legen  und  Alles  der  Photographie  überlassen  wollten,  zu  deren  Ausführung  am 
Femrohre  selbst  vielleicht  nicht  einmal  wissenschaftlich  ausgebildete  Astronomen 
erforderlich  sind,  so  könnte  vielleicht  eines  Tages  ein  ganz  unheilvoller  Rück- 
schlag erfolgen.  Auch  kann  wohl  kein  Zweifel  darüber  bestehen,  dass  man  die 
Bestimmung  der  Grösse  des  Sonnendurchmessers  und  dessen  von  einigen 
Astronomen  vermuthete,  aber  keineswegs  erwiesene  Veränderlichkeit  mit  der 
Sonnenfleckenthätigkeit  wohl  noch  auf  lange  Zeit  und  vielleicht  mit  Ausschliessung 
der  Photographie  für  immer  dem  Heliometer  überlassen  muss.  Dieses  Instrument 
wird  also,  ausser  seiner  grossen  Leistungsfähigkeit  auf  anderen  Gebieten,  eine 
Rolle  spielen  und  einen  Namen  verdienen,  der  ihm  mit  Rücksicht  auf  seine 
erste  Anwendung  von  seinem  Erfinder  zuertheilt  worden  ist.  Schreiber  dieser 
Zeilen  erfüllt  es  mit  einer  gewissen  Befriedigung,  dass  die  Göttinger  Sternwarte 
die  Verfolgung  solcher  Untersuchungen  zu  einer  ihrer  Hauptaufgaben  ge 
macht  hat  Schur. 

Heliotrop  ist  ein  ursprünglich  von  Gauss  angegebener  kleiner  Apparat, 
welcher  bei  geodätischen  Messungen  dazu  dient,  einen  anvisirten  Punkt  durch 
reflektirtes  Sonnenlicht  als  sternartiges  Object  erscheinen  zu  lassen.  Es  besteht 
aus  einem  kleinen,  um  zwei  Axen  (horizontal  und  vertical)  drehbaren  Spiegel,  der 
in  der  Mitte  eine  kleine,  kreisförmige  Oefinung  hat,  und  einer  etwa  £  Meter 


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Horizontalpendel. 


davon  entfernten  Röhre  mit  einem  Fadenkreuz.  Spiegel  und  Röhre  sind  auf  einem 
Brett  befestigt,  welches  auf  einem  Pfeiler  genau  über  dem  anvisirten  Fixpunkt 
aufgestellt  wird.  Durch  die  OefTnung  des  Spiegels  und  das  Fadenkreuz  visirt 
man  nach  der  Beobachtungsstation,  dreht  hierauf  am  Spiegel  so  lange,  bis  das 
Sonnenlicht  das  Fadenkreuz  erhellt.  Dann  geht  das  Sonnenlicht  nach  dem 
Stationspunkt  hin  und  erscheint  dort  als  sternartiger  Punkt  je  nach  der  Entfernung 
von  grösserer  oder  geringerer  Helligkeit.  Um  die  Einstellung  des  Spiegels  gut 
kenntlich  zu  machen,  ist  die  Röhre  am  vorderen  Ende  durch  einen  Deckel  ver- 
schliessbar,  es  erscheint  dann  bei  richtiger  Einstellung  ein  kreisrunder,  von  der 
OefTnung  im  Spiegel  herrührender  dunkler  Fleck  in  der  Mitte  des  Fadenkreuzes. 
Man  hat  natürlich  den  Spiegel  dem  Lauf  der  Sonne  entsprechend  nachzudrehen 
um  das  Centrum  des  dunklen  Flecks  stets  in  Coincidenz  mit  der  Mitte  des 
Fadenkreuzes  zu  erhalten.  Mit  einem  kleinen  Spiegel  kann  man  in  dieser  Weise 
sehr  entfernte,  sonst  nicht  mehr  mit  einem  Theodolitfernrohre  erkennbare  Punkte 
zur  scharfen  Einstellung  sichtbar  machen.  Valentiner. 

Horizontalpendel,  ein  Instrument  von  äusserster  Empfindlichkeit,  welches 
ursprünglich  bestimmt  war,  die  Massen  und  Entfernungen  von  Sonne  und  Mond 
durch  die  von  letzteren  geübten  anziehenden  Wirkungen  zu  ermitteln.  Es  beruht 
auf  der  Idee,  ein  Pendel  um  eine  nahezu  verticale  Axe  schwingen  zu  lassen. 
Schon  Gruithuisen  sprach  in  seinen  >Analecten  für  Erd-  und  Himmelskunde, 
München  1828c  den  Gedanken  aus,  dass  es  möglich  sein  müsse,  die  anziehenden 
Wirkungen  der  genannten  Körper  direkt  zu  bestimmen.  Er  wollte  dazu  lange 
und  feine  Bleilothe  verwenden,  die  er  tief  im  Erdinnern  aufzustellen  vorschlug. 
Bei  Vorversuchen,  die  er  mit  einem  solchen  Instrument  machte,  das  er  Elkysmo- 
meter  nannte,  glaubte  er  deutlich  die  »Wirkungen  der  Schwere  und  Bewegung 
der  Erde  und  die  der  zunehmenden  Nähe  anderer  grosser  Weltkörper<  zu  er- 
kennen. Wenngleich  es  keinem  Zweifel  unterliegt,  dass  Gruithuisen  in  seinen 
Resultaten  irregeleitet  wurde  und  diese  nur  durch  äussere  zufällige  Störungen 
veranlasst  sind,  da  die  kleinen  Grössen,  um  die  es  sich  hier  handelt,  durch  so 
rohe  Hilfsmittel,  wie  er  sie  beschreibt,  nicht  zu  erkennen  sind,  so  verdient  sein 
Name  hier  doch  Erwähnung,  weil  ein  Schüler  von  ihm,  L.  Hengler,  in  der 
That  bald  nachher  das  später  von  Fr.  Zöllner  und  E.  v.  Rebeur-Paschwitz 
construirte  Horizontaipendel  im  Princip  angegeben  hat. 

L.  Hengler,  damals  Student  der  Astronomie  in  München,  später  katholischer 
Geistlicher  in  Württemberg  und  astronomisch  nicht  mehr  thätig,  schreibt  in 
Dingler's  Polytechn.-Journal  1832,  Bd.  32  folgendes: 

(Da  in  seiner  Abhandlung,  die  lange  in  Vergessenheit  gekommen  war, 
und  erst  viele  Jahre  nachher,  als  Zöllner  ganz  unabhängig  die  Idee  des 
Horizontalpendels  erfasst  und  das  Instrument  zur  Ausführung  gebracht  hatte, 
wieder  bekannt  wurde,  das  Princip  deutlich  ausgesprochen  ist,  mögen  hier  die 
betretenden  Stellen  wiedergegeben  werden.) 

»Das  so  verschiedentlich  angewandte  und  für  so  viele  Zwecke  wichtige 
Pendel  ist  nach  einer  Richtung  hin  noch  nicht  gehörig  benutzt,  nämlich  als  In- 
strument, diejenigen  bewegenden  Kräfte  zu  messen,  welche  nicht  in  paralleler 
Richtung  mit  der  Schwere  wirken.  Es  ist  nämlich  bekannt,  dass  das  Pendel, 
wenn  es  von  der  Schwere  allein  afficirt  wird,  nur  in  verticaler  Lage  ruht,  und 
dass  eine  gewisse  Kraft,  die  aber  nicht  parallel  mit  der  Schwere  wirken  darf, 
erfordert  wird,  dasselbe  aus  der  senkrechten  Lage  zu  bringen,  welche  Kraft  dem 
Sinus  des  Elevationswinkels  proportional  ist;  daher  liesse  sich  durch  das  Pendel 

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Horiiontalpendel. 


jede  solche  einwirkende  Kraft  genau  bestimmen.  Allein,  da  es  viele  Kräfte 
giebt,  die  im  Verhältniss  zur  Schwere  so  gering  sind,  dass  wir  den  Sinus  des 
durch  sie  erzeugten  Elevationswinkels  bei  einem  Pendel  von  der  Länge,  die  wir 
ihm  zu  geben  im  Stande  sind,  unmöglich  wahrnehmen  können,  so  sind  wir  auch 
nicht  im  Stande,  solche  Kräfte  durch  ein  gewöhnliches  Pendel  zu  messen.  So 
wissen  wir  wohl,  dass  z.  B.  jeder  Körper  auf  der  Oberfläche  der  Erde  gegen 
den  Mond,  gegen  die  Sonne  u.  s.  w.  zu  einer  Zeit  stärker  gravitiren  müsse,  als 
zu  einer  anderen,  je  nachdem  er  auf  der  diesem  Körper  zu-  oder  abgewandten 
Seite  sich  befindet,  und  das  Pendel  müsste  diese  Diflerenz  seiner  Natur  nach 
genau  anzeigen;  allein  hierzu  wäre  schon  ein  Pendel  von  mehreren  tausend  Fuss 
I,änge  nöthig,  um  nur  eine  Spur  von  dieser  Differenz  wahrnehmen  zu  können. 
Ebenso  verhält  es  sich  mit  vielen  anderen  Kräften,  welche  alle  ganz  genau  durch 
das  Pendel  bestimmt  werden  könnten,  wenn  wir  im  Stande  wären,  ihm  jede  be- 
liebige Länge  zu  geben.  Diese  Schwierigkeit  nun  glaube  ich  durch  eine  Vor- 
richtung überwunden  zu  haben,  sodass  man  im  Stande  ist,  ein  Pendel,  oder 
eigentlich  eine  Pendelwage  zu  verfertigen,  die  an  Empfindlichkeit  einem  gewöhn- 
lichen Pendel  von  jeder,  selbst  von  unendlicher  Länge  gleichkommt,  und  man 
daher  ein  Instrument  hat,  jede  auch  noch  so  geringe  Kraft,  welche  nicht  in 
paralleler  Richtung  mit  der  Schwere  wirkt,  zu  messen.  Diese  Pendelwage  beruht 
auf  dem  Princip,  dass  man  ein  Pendel  in  einer  gegen  den  Horizont  geneigten 
Ebene  schwingen  lässt,  anstatt  in  einer  senkrechten,  wie  es  bei  gewöhnlichen 
Pendeln  der  Fall  ist,  und  hier  gilt  folgender  Lehrsatz:  Bei  einem  in  schiefer 
Ebene  schwingenden  Pendel  verhält  sich  die  Elevationskraft  zur  Schwere,  wie 
das  Product  aus  dem  Sinus  des  in  dieser  Ebene  beschriebenen  Elevationswinkels 
in  den  Sinus  des  Neigungswinkels  der  schiefen  Ebene  zu  dem  Produkte  aus  der 
Länge  des  Pendels  in  die  Länge  der  schiefen  Ebene.  Oder  wenn  y  die  genannte 
Kraft,  G  die  Schwere,  a 
der  Sinus  des  Elevations"  ^ 
winkels,  L  die  Länge  der 
schiefen  Ebene,  /  die 
Länge  des  Pendels,  und 
a  der  Sinus  des  Neigungs- 
winkels ist,  so  ist 

7  :  G  =  a  a  :  IL 

oder 

T  =  TL  G- 

Nach  Beweis  dieses 
Satzes  beschreibt  Heng- 
lf.r  sein  Instrument  wie 
folgt: 

»Um  einen  Körper  in  einer  gegen  den  Horizont  geneigten  Ebene  schwingen 
zu  lassen,  wobei  die  Reibung  fast  gänzlich  aufgehoben  ist,  mache  man  folgende 
Einrichtung: 

Es  seien  A  und  2?  senkrecht  über  einander  stehende  feste  Punkte;  DH  und 
AF  zwei  Fäden,  welche  in  A  und  H  befestigt  sind  und  den  Hebelarm  J>r. 
dessen  Schwerpunkt  nach  P  fallt,  in  horizontaler  Lage  halten;  so  wird  d>c«c: 
Hebelarm  nur  in  einer  mit  der  Linie  MN  (welche  durch  //  und  B  gezeerr. 
parallelen  Lage  ruhen,  und  jedes  Mal  wieder  dahin  zurückkehren,  wenn  er  h 
irgend  eine  Kraft  aus  dieser  Lage  gebracht  worden  ist,  oder  eigentlich  w»ch  Art 


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(A.  '.'45.) 


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3«  Horiiontalpendd. 

eines  Pendels  hin-  und  herschwingen,  und  zwar  in  einer  schiefen  Ebene,  deren 
Neigungswinkel  =  <  HAB  ist.  Man  mag  daher  ein  Gewicht  oder  eigentlich 
den  Schwerpunkt  des  Hebelarmes  auf  jeden  beliebigen  Punkt  desselben  über- 
tragen, so  beschreibt  er  Schwingungen  in  einer  unter  dem  Neigungswinkel 
HA  B  gelegten  Ebene ,  wobei  die  Länge  des  Pendels  dem  Abstand  von 
dem  Punkte  Z  (wenn  dieser  der  Punkt  ist,  wo  die  Linie  HA  den  Hebelarm 
schneidet)  proportional  ist.  Denn  man  wähle  sich  den  Punkt  F,  ziehe  Fa  senk- 
recht auf  AH  und  drehe  den  Hebelarm  um  die  Linie  AH  als  Axe  (denn  diese 
ganze  Linie  ist  unbeweglich,  weil  die  Punkte  A  und  H  unbeweglich  sind),  so 
beschreibt  die  Linie  Fu  eine  Kreisfläche  und  F  einen  Kreis  in  einer  Ebene, 
welche  gegen  den  Horizont  unter  dem  Winkel  uFz  =  HAB  geneigt  ist,  was 
sogleich  einleuchtet,  wenn  man  sich  das  Dreieck  AFu  als  festen  Körper  denkt, 
welcher  alsdann  einen  Kegel  beschreibt,  dessen  Axe  Au  ist  und  dessen  Grund- 
fläche uF  zum  Radius  hat.  Aus  dem  nämlichen  Grunde  beschreiben  die  Punkte 
xxF  Kreise  in  einer  schielen  Ebene,  deren  Neigungswinkel  vxz  =  wPz  =  uFz 
=  HAB  sind  und  deren  Radien  dem  Abstände  von  z  proportional  sind,  d.  h. 
für  den  Punkt  P  ist  Pw,  für  x  ist  xv  der  Radius. 

Will  man  nun  obige  Gleichung  hier  anwenden,  so  ist  HB  der  Sinus  des 
Neigungswinkels  der  schiefen  Ebene  =  a,AH  die  Länge  derselben  =  L,  wP  die 
I  änge  des  Pendels  =  /,  daher 

_a  •  HB 
'  ~~  AH-wP 

oder  da  man,  wenn  der  Winkel  HAB  =  wPz  sehr  klein  ist  (wie  hier  gewöhn- 
lich) ohne  merklichen  Fehler  AB  statt  AH  und  Pz  statt  Pw  setzen  kann,  so 
ist  auch 

a-HB 
T  =  ~ABTPz  G  t 

Es  müssen  nun,  worauf  Hengler  besonders  aufmerksam  macht,  die  Punkte 
A  und  D  unbeweglich  fest  sein;  es  dürfen  die  Fäden  AF  und  DH  keine 
drehende  Kraft  haben,  auch  keine  bekommen  durch  barometrische,  hygrometrische, 
thermometrische  Veränderungen ;  sie  dürfen  daher  nicht  aus  geflochtenen  Stoffen 
oder  dergl.  sein;  es  müssen  auch  alle  fremden  Kräfte,  Luftzug,  Magnetismus 
u.  s.  w.  abgehalten  werden,  endlich  muss  eine  Vorrichtung  vorhanden  sein,  den 
Hebelarm  in  Ruhe  zu  bringen. 

Mit  einem  solchen  Instrumente  stellte  Hengler  verschiedene  Versuche  an, 
die  ihm  die  ungemeine  Empfindlichkeit  desselben  zu  zeigen,  aber  jedenfalls  auch 
in  ihren  Resultaten  durch  Zufälligkeiten  weit  mehr  zu  liefern  schienen,  als  that- 
sächlich  der  Fall  gewesen  sein  kann,  da  der  Apparat  erst  in  ungleich  verfeiner- 
ter Ausführung  die  Bedeutung  erlangen  konnte,  die  er  gegenwärtig  that- 
sächlich  hat. 

Ebenso  wie  die  Hengler'scIic  Abhandlung  übrigens  keine  Beachtung  fand, 
erging  es  auch  einer  Mittheilung  Perrots  in  den  »Comptes  Rendus  Bd.  54t  (1862) 
über  einen  nach  gleichen  Principien  construirten  Apparat.  Selbst  die  ver- 
schiedenen Abhandlungen  Zöuner's  haben  längere  Ztit  zu  keinen  neuen  Ver- 
suchen in  der  Richtung,  für  welche  das  Horizontalpendel  eigentlich  bestimmt 
war,  angeregt,  und  doch  waren  die  Ergebnisse  der  ersten  Beobachtungen  Zöll- 
ner's  der  Art,  dass  eine  verbesserte  Construction  des  Apparats  wichtige  Folge- 
rungen hätte  erwarten  lassen.  Andererseits  hatte  aber  schon  Zöllner  darauf 
hingewiesen,  dass,  wenn  das  Pendel  nicht  zu  den  von  ihm  erwarteten  Resultaten 
bezüglich    der  Constatirung  der  Anziehungswirkungen  von  Sonne  und  Mond 


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Horiiontalpendel. 


3« 


führen  sollte,  es  jedenfalls  ein  sehr  empfindliches  Seismometer  abgeben  müsse. 
'  Und  nach  dieser  Richtung  hin  fand  es  zahlreiche  Anwendungen,  die  zu  all- 
mählichen Verbesserungen  in  der  Construction  des  Horizontalpendels  und  zu  seiner 
letzten  Vollkommenheit  geführt  haben.  Zöllner  beschreibt  seinen  ursprünglichen 
Apparat  in  folgender  Weise: 

An  einer  eisernen  Säule  mit  Dreifuss,  dessen  Füsse  möglichst  lang  sind,  um 
durch  feine  Bewegungen  der  Fussschrauben  möglichst  kleine  Aenderungen  in  der 
Lage  der  Aufhängepunkte  zur  Richtung  der  Schwerkraft  nach  Belieben  her- 
stellen zu  können,  befinden  sich  oben  und  unten  Klemmringe  mit  Ansatzstücken 
zur  Befestigung  zweier  Uhrfedern  (an  Stelle  derselben  hatte  Zöllner  ursprünglich 
feine  Drähte  genommen,  die  sich  aber  bald  als  unbrauchbar  erwiesen)  die  mittelst 
eines  3  kg  schweren  Bleigewichtes  mit   einem  vorn   befindlichen   Spiegel  in 
Spannung  gehalten  wurden.    Das  Gewicht  stellte  mit  einer  Glasstange,  die  durch 
Ringe  gelegt  wurde,  welche  ihrerseits  mit  dem  einen  Ende  der  Uhrfedern  ver- 
bunden waren,  das  eigentliche  Pendel  dar.    Auf  der  gegenüberliegenden  Seite 
der  Säule  war  ein  Gegengewicht  angebracht.    Eine  Fussschraube,  welche  mög- 
lichst in  der  durch  die  beiden  Aufhängepunkte  gelegten  Verticalebene  stehen 
muss,  gestattet  ganz  nach  Bedürfniss  die  Empfindlichkeit  des  Instrumentes  zu 
verändern,  indem  durch  die  relative  Lage  der  Aufhängepunkte  die  Schwingungs- 
dauer des  Horizontalpendels  bedingt  ist.     Eine  Schwingungsdauer  von  30  Se- 
cunden  (halbe  Periode)  war  leicht  zu  erreichen.   Bevor  das  Pendel  in  die  Ringe 
gelegt  wurde,  welche  in  kleine,  auf  der  Axe  angebrachte  Einschnitte  eingreifen, 
wurde  es  unter  dem  direkten  Einfluss  der  Schwere  vermittelst  einer  im  Dreh- 
punkt provisorisch  angebrachten  Schneide  in  Schwingungen  versetzt  und  ergab 
als  Schwingungsdauer  sehr  nahe  0"  250.    Der  Spiegel  am  Pendelgewicht  diente 
zur  Ablesung  der   Ablenkung  an  einer  Scala.     Die  Beobachtungen,  welche 
Zöllner  mit  diesem  Instrument  im  Jahre  1870,  anfangs  in  einem  KeUerraume 
der  Leipziger  Universität,  dann  im  Garten  der  Leipziger  Sternwarte  unter  Berück- 
sichtigung aller  denkbaren  Einflüsse  anstellte,  führten  beiläufig  zu  folgenden  Re- 
sultaten und  Ergebnissen.    Da  der  Abstand  der  Scala  vom  Spiegel  3186  mm 
betrug,  die  Dauer  einer  Schwingung  14"444,  ergab  sich  unter  Berücksichtigung 
der  Schwingungsdauer  bei  verticaler  Aufhängung  von  0"  25,  dass  1  mm  Sealentheil 
am  Horizontalpendel  einer  Ablenkung  von  0  0097063  Bogensccunde  eines  ge- 
wöhnlichen Pendels  entsprach.     Da  der  10.  Theil  eines  Scalentheils  leicht  zu 
schätzen  war,  so  war  eine  Ablenkung  von  der  Lothlinie  von  nur  0  001  Bogen- 
secunde  auch  leicht  zu  constatiren. 

Nun  hat  C.  A.  F.  Peters  in  seiner  Schrift  »Von  den  kleinen  Ablenkungen 
der  Lothlinie  und  des  Niveaus,  welche  durch  die  Anziehungen  der  Sonne,  des 
Mondes  und  einiger  terrestrischer  Gegenstände  hervorgebracht  werden<  (Bull,  de 
la  classe  physico-math.  de  l'Acad.  Imp.  d.  sc.  de  St.  Petersbourg,  t.  III,  14,  *844) 
nachgewiesen,  dass  die  mittlere  Ablenkung,  welche  der  Mond  in  günstiger  Lage 
hervorbringen  kann,  0"  0174  beträgt,  diejenige,  welche  unter  gleichen  Verhält- 
nissen durch  die  Sonne  hervorgerufen  wird  0"-0O80.    Wird  nun  das  Horizontal- 
pendel so  aufgestellt,  dass  die  Gleichgewichtslage  mit  der  Ebene  des  Meridians 
zusammenfällt,  so  werden  jene  Maximalablenkungen  entgegengesetzte  Zeichen 
annehmen,  je  nachdem  das  Gestirn  sich  im  Osten  oder  Westen  befindet,  man 
würde  darnach  also  die  doppelten  Wirkungen,    nämlich  0"0348  bezw.  0"  0l6O 
erhalten.    Es  müssten  sich  also  in  der  That    nach   jenen  Vorversuchen  diese 
Grössen  erkennen  lassen. 

Zöllner  selbst  gelang   dieser  Nachweis    nicht,   er  hat  einestheW»  Wem* 


32 


Horizontalpendel. 


genügend  ausgedehnten  Beobachtungsreihen  angestellt,  anderentheils  musste  der 
Apparat  erst  weiterer  Vervollkommnung  entgegengeführt  werden,  bevor  man 
wirklich  so  feine  Resultate  zu  erzielen  hoffen  konnte.  Nach  ihm  sind  ver- 
schiedene Verbesserungen  vorgeschlagen,  alle  zu  dem  Zweck,  das  Horizontal- 
pendel zur  Constatirung  der  leichtesten  Erschütterungen  der  Erdkruste  zu  ver- 
wenden. Sie  richteten  sich  auf  den  empfindlichsten  Punkt 
des  Apparats,  die  Aufhängevorrichtung,  sowie  auf  die  Ein- 
führung einer  Dämpfung,  welche  das  Pendel  nach  wenigen 
Schwingungen  zur  Ruhe  kommen  Hess.  Beobachtungen  sind 
aber  mit  den  zuletzt  genannten  Vorrichtungen,  die  darin 
beruhten,  dass  ein  am  Pendel  befestigter  Draht  in  ein  mit 
einer  Flüssigkeit  gefülltes  Gefäss  tauchte,  nicht  angestellt. 
In  ersterer  Beziehung  sind  Ewing  und  Gray  zu  nennen,  von 
denen  letzterer  die  Aufhängung  nach  der  aus  Fig.  246  ersicht- 
lichen Weise  durchführte.  Hier  ruht  das  Gewicht  C  in  einer 
Gabel  der  Stange  b,  die  sich  mit  der  Spitze  auf  ein  Stahl- 
lager am  Stativ  stützt,  während  der  Faden  a  vertical  über 
diesem  Stützpunkt  befestigt  ist. 
E.  v.  Rebeur  -Paschwitz  nahm  1887  die  Arbeiten  zuerst  an  einem  ganz 
primitiven  Apparat  in  höchst  ungünstiger  Aufstellung  in  Karlsruhe  auf,  wo  er 


(A.246.) 


damals  Assistent  der  Sternwarte  war.  Dann,  als  die  Möglichkeit  genauer  Resultate 
bei  Construction  eines  verbesserten  Apparats  unzweifelhaft  wurde,  lieferte  Repsold 
mehrere  Pendel,  die,  an  verschiedenen  Orten  aufgestellt,  in  Potsdam,  Wilhelms- 
haven, Strassburg,  Puerto  Orotava  (Teneriffa),  zum  Theil  sehr  überraschende 


y  Googl 


Horiiontalpenriel. 


33 


Ergebnisse  hatten.  Endlich  hat  Stückrath  in  Berlin-Friedenau  das  Horizontal- 
pendel auf  v.  Rebf.ur's  Anregung  noch  weiter  vervollkommnet  und  namentlich 
zwei  senkrecht  zu  einander  aufgestellte  Pendel  an  demselben  Apparat  vereinigt, 
um  mit  dem  gleichen  Instrument  die  Ablenkungen  und  Schwankungen  zu  unter- 
suchen, welche  genau  in  die  Ebene  eines  Pendels  fallen  und  daher  hier  un- 
vermerkt bleiben.  Obwohl  mit  letzterem  Instrument  auch  noch  keine  Beob- 
achtungen angestellt  werden  konnten,  da  der  Tod  den  jungen  Gelehrten  ereilte, 
so  mag  doch  jetzt  hier  die  Beschreibung  gerade  dieses  Instrumentes,  welche  der 
genannte  Mechaniker  in  der  »Zeitschrift  für  Instrumentenkunde  Bd.  XVIt,  pag.  loff. 
(Berlin  1896)  veröffentlichte,  wenigstens  im  Wesentlichen  wiedergegeben  werden, 
da  wohl  kaum  auf  frühere  Constructionen  zurückgegriffen  werden  dürfte. 

>Das  Instrument  ist  im  Ganzen  in  der  Fig.  247  abgebildet.  Die  Haupttheile 
sind  ein  leichter,  als  durchbrochenes,  gleichschenkliges  Dreieck  aus  Aluminium 


( A.  248 ) 


gefertigter  Körper,  das  Pendel  ABC  (Fig.  248)  (wie  es  ähnlich  vorher  von 
Repsold  gemacht  war)  und  die  beiden  am  Gestell  angebrachten  feinen  Spitzen  5 
und  S\  um  welche  die  Drehung  des  Pendelkörpers  stattfindet.  Bedingungen 
für  die  Empfindlichkeit  und  Brauchbarkeit  des  Instrumentes  sind  1)  möglichst 
feine  Spitzen  aus  möglichst  widerstandsfähigem  Material,  2)  die  Erzielung  einer, 
soweit  irgend  thunlich,  reibungsfreien  Bewegung  des  Pendels,  3)  die  Möglichkeit 
der  feinsten  Justirbarkeit  der  Lage  der  Spitzen  gegen  einander  bei  stabiler 
Lagerung  derselben  im  Gestell.  Als  vierter  Punkt  kommt  dann  noch  in  practischer 
Hinsicht  hinzu,  dass  dafür  Sorge  getragen  ist,  das  Aufhängen  des  Pendels  auf  die 
Spitzen  bewirken  zu  können,  ohne  Gefahr  zu  laufen,  die  feinen  Spitzen  durch 
Gleiten  der  Pfannen  auf  denselben  zu  beschädigen. < 

Bei  der  noch  mangelnden  Erfahrung  über  das  für  einen  solchen  Apparat 
zweckmässigste  Material  zu  den  Spitzen  nahm  Stückrath  Stahl  und  Achat,  und 

Valentin  er,  Astronomie.    II.  3 


34 


Horizontnlpendcl. 


es  gelang  ihm  der  Schlift  mit  beiden  Sorten  der  Art,  dass  der  Krümmungsradius 
der  äussersten  Spitzenabrundung  nicht  mehr  als  0  005  mm  betrug.  Um  ein 
möglichst  freies  Spiel  des  Pendels  auf  den  Spitzen  zu  erreichen,  verfuhr  der 
Verfertiger  folgendermaassen:  »Sei  (Fig.  249)  das  Dreieck  AB'  C  in  A  um  eine 
horizontale  Axe  drehbar  aufgehängt.  Sein  Schwerpunkt  O'  liegt  dann  selbst- 
verständlich senkrecht  un- 
ter A.  Um  dies  Dreieck 
in  der  gewünschten  Lage 
ABC  zu  erhalten,  muss 
ß  bei  C  ein  horizontal  ge- 
richteter Gegendruck  an- 
greifen. Auf  das  System 
wirken  nun  folgende 
Kräfte:  in  O  die  Schwer- 
kraft in  senkrechter  Rich- 
tung OU,'m  C  der  Gegen- 
druck horizontal ,  dessen 
Richtung  sich  mit  O  U  in 
X  schneidet.  Soll  im  Sy- 
stem Gleichgewicht  herr- 
schen, so  muss  die  Druck- 
(A.  2-10.)  richtung  in  A  durch  X 

gehen.  Werden  nun  die  Axe  A  und  der  Punkt  C  durch  Planflächen  ersetzt, 
welche  senkrecht  zu  AX  bezw.  CX  stehen,  und  stützen  sich  diese  Planflächen 
auf  Spitzen,  deren  Axen  in  AX  und  CX  liegen,  so  kann  das  System,  ohne 
Neigung  abzurutschen,  auf  diesen  beiden  Spitzen  schweben,  mit  der  denkbar 
leichtesten  Drehbarkeit  um  die  Verbindungslinie  der  beiden  Spitzen  als  Axe. 
Analog  einem  Wagebalken  kann  das  System  im  stabilen,  indifferenten,  und 
labilen  Gleichgewicht  sein.  Es  ist  stabil,  solange  die  Projection  O"  des  Schwer- 
punktes O  auf  die  Verbindungslinie  der  Spitzen  auf  der  entgegengesetzten 
Seite  der  Verticalen  Af  bleibt  wie  O,  und  labil,  wenn  O"  auf  dieselbe  Seite 
von  AF  fällt  wie  O.  Die  Empfindlichkeit  des  Instrumentes  wird,  ähnlich  der 
Wage,  um  so  grösser,  je  näher  O"  an  AF  herankommt.  Im  Gleichgewicht, 
also  in  Ruhe,  kann  das  Pendel  nur  hängen,  wenn  die  Ebene,  welche  durch  die 
Punkte  A,  O,  C  gegeben  ist,  zugleich  die  Richtung  der  Schwerlinie  enthält. 
Verschiebt  man  also  den  Punkt  C  in  der  Richtung  senkrecht  zur  Ebene  der 
Zeichnung,  so  muss  nothwendig  eine  Drehung  um  die  Axe  AC  eintreten,  bis 
sich  die  neue  Ebene  ACO  wieder  in  der  Richtung  der  Schwerlinie  befindet. 
Da  das  Instrument  ausserordentlich  empfindlich  ist,  so  kam  alles  darauf  an,  die 
Justirbarkeit  der  Spitze  C  so  fein  und  sicher  als  möglich  zu  machen. c 

Es  genügt  nun  bei  der  weiteren  Beschreibung  des  Apparats,  nur  ein  Pendel 
zu  berücksichtigen,  da  das  zweite  genau  gleich  construirt  ist  und  in  genau 
derselben  Weise  wie  das  erste,  nur  in  der  dazu  senkrechten  Ebene  zu 
funetioniren  hat. 

»Eine  starke  runde  gusseiserne  Platte  EE  (Fig.  248),  welche  auf  3  kräftigen 
Fussschrauben  ss  ruht,  dient  dem  Instrument  als  Grundplatte  und  kann  durch 
die  Fussschrauben  soweit  horizontal  gestellt  werden,  als  es  mittels  der  in  Fig.  247 
sichtbaren  Röhrenlibcllen  möglich  ist.  Auf  dieser  Platte  steht  als  Umhüllung 
des  Instrumentes  ein  kupferner  Cylinder,  der  durch  eine  oben  aufgelegte  starke 
Spiegelglasplatte  geschlossen  wird.   Durch  die  Grundplatte  geht  für  jedes  Pendel 


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HoritonUdpendc). 


35 


ein  zahnartiger  Conus  H  derart,  dass  seine  Axe  nahezu  senkrecht  unter  der 
oberen  Spitze  S  liegt,  welche  das  Pendel  trägt.   Jeder  Conus  trägt  unten  ein 
Schneckenrad  R,  welches  durch  eine  Schraube  ohne  Ende  sehr  langsam  gedreht 
werden  kann.   Auf  der  oberen  Conusfläche  ist  das  Lager  für  die  untere  Spitze  S' 
befestigt.    Die  Spitze  S'  geht  als  Mikrometerschraube  durch  ihr  Lager  und  kann 
ebenfalls  durch  Schraube  ohne  Ende  und  Schneckenrad  r  sehr  fein  vorwärts 
bewegt  werden.    Da  es  sich  für  die  Feir.stellung  der  Spitze  höchstens  um  eine 
Umdrehung  der  Mikrometerschraube  handeln  kann,   so  ist  die  Bewegung  durch 
Schneckenrad  und  Schraube  ohne  Ende  sehr  gut  möglich,   wenn  das  Rad  nicht 
dem  Durchmesser  der  Schraube  entsprechend  am  Rand  ausgedreht  ist,  sondern 
seine  Zähne  der  Neigung  der  Schraube  entsprechend  schräg  auf  den  Umfang 
aufgeschnitten  sind.   Unter  einem  Mikroskop 
wird  nun  die  Spitze  S'  so  eingestellt,  dass 
sie  etwas,  sagen  wir  0*5  mm  ausserhalb  der 
Axe  des  Conus  //  steht;  sie  wird  also  bei 
der  Drehung  von  H  einen  Kreis  von  0  5  mm 
Radius  beschreiben.    Nur  durch  diese  Ein- 
richtung ist  es  möglich,  die  Pendel,  während 
sie  schwingen,   in  eine  bestimmte  Gleich- 
gewichtslage zu  bringen.   Ueber  den  beiden 
Conis  //  steht  ein  dreibeiniger  Bock  DDD, 
dessen  Grundriss  und  Stellung  zu  HH  aus 
Fig.  250  ersichtlich  ist.     Auf  den  beiden 
winklig  zu  einander  stehenden  Oberflächen 
dieses  Bockes   sind  2  Schlitten  G  durch 
Schrauben  verstellbar.    Auf  diesen  Schlitten 

sind  die  Lagerböcke  L  befestigt,  welche  ihrerseits  die  Lager  /  für  die  oberen 
Spitzen  S  (Fig.  251)  tragen.   Analog  den  unteren  Spitzen  S'  gehen  die  Spitzen  5 
als  Mikrometerschrauben  durch  die  Lager  /  hindurch,  durch  Gegenmuttern  ge- 
sichert.  Die  Spitzen  S  werden  unter  dem  Mikro- 
skop so  eingestellt,  dass  sie  in  die  Axe  der  Zapfen  Z 
des  Lagers  J  fallen.   Es  tritt  dann  durch  Drehung 
von  /  in  den  Lagerböcken  L  keine  Verschiebung 
der  Spitzen  S  im  Kaum  ein. 

In  den  Kopf  A  des  Pendels  ist  ein  Messing- 
zapfen M  drehbar  eingepasst,  und  durch  eine 
Mutter  mit  demselben  verschraubt.  Dieser  Zapfen 
ist  senkrecht  zu  seiner  Axe  durchbohrt  und  in 
ihm  die  Schraube  V  durch  Gegenmuttern  be- 
festigt. Die  Schraube  V  trägt  an  ihrem  einen 
Ende  einen  eingckitte!en  Achatstift  a,  der  als 
Pfanne,  auf  der  das  Pendel  schwingen  soll,  gut 
plangeschliffen  ist.  Der  Kopf  A  ist  soweit  ausge- 
fräst, dass  man  M  mit  V  ca.  30°  drehen  kann, 
um  der  Schraube  V  die  richtige  Lage  Sx  geben 
von  a  soll  möglichst  genau  in  die  Axe  von 
von  M  ist  weiter  ausgedreht  als  das  Gewinde  V,  um  Raum  für  die  Arretirung 
des  Pendels  zu  bekommen.  Im  untern  Kopf  C  des  Pendels  ist  die  A.chaty>fanne 
ebenfalls  in  eine  Schraube  V*  eingesetzt  und  die  Schraube  im  Kopf  C  durch 
Gegenmutter  gesicherte 


(A.  250.) 


zu  können. 
M  fallen. 


Die  plane  Fläche 
Die   untere  Hälfte 


36 


Horiiontalpendel. 


Die  Arretirung  des  Pendels  geschieht  mittels  Schlüssel,  die  nach  aussen 
laufen  und  durch  welche  Stahlhülsen  auf  den  cylindrisch  gedrehten  Theilen  der 
Spitzen  5  und  S'  verschoben  werden.  Zur  Bestimmung  der  Schwingungsdauer 
der  Pendel  in  verticaler  Lage  dienen  noch  die  kleinen  Stahlspitzen  hh '.  Es  ist 
nun  nicht  schwer,  den  Apparat  zum  Gebrauch  fertig  zu  machen.  Mit  dem  beweg- 
lichen Schlitten  G  wird  die  obere  Spitze  5  möglichst  genau  senkrecht  über  die 
untere  S'  gebracht;  die  Arretirungshülsen  werden  soweit  vorgeschraubt,  dass  die 
Spitzen  in  ihnen  verschwinden,  das  Pendel  auf  erstere  aufgesetzt,  diese  dann 
zurückgeschraubt,  womit  das  Pendel  frei  ist.  Der  Schlitten  G  wird  dann  soweit 
verstellt,  dass  das  Pendel  schwingt,  und  die  einer  Schwingungsdauer  von 
25 — 30  Secunden  entsprechende  Empfindlichkeit  erreicht  ist.  Die  Feinstellung 
geschieht  dabei  an  der  unteren  Spitze  S\  Um  die  Pendel  ohne  Berührung  des 
Instrumentes  in  kleine  Schwingungen  versetzen  zu  können,  sind  noch  im  Innern 
2  kleine  Luftkammern  /  angebracht,  und  kann  man  durch  Gummischlauch  und 
Ball  Luft  gegen  die  Pendel  blasen,  welche  die  Pendel  in  Bewegung  setzt. 

Was  nun  noch  von  wesentlicher  Bedeutung  bei  den  REBEUR'schen  Apparaten 
ist,  ist  die  Einführung  der  photogtaphischen  Registrirung  der  Beobachtung,  sodass 
der  Apparat  sich  selbst  Uberlassen  ohne  Unterbrechung  (abgesehen  von  der  Er- 
neuerung des  photographischen  Papiers  u.  dergl.)  alle  in  Bettacht  kommender 
Erscheinungen  aufzeichnet.  Diese  Registrirung  wird  durch  ein  etwa  3  m  vor  dem 
Apparat  aufgestelltes  Benzinlämpchen,  dessen  Licht  durch  einen  feinen  Spalt  au: 
den  Pendelapparat  fällt,  und  geeignete  Spiegelvorkehrungen  bewirkt.  Auf  einer 
durch  ein  Uhrwerk  gleichmässig  fortbewegten  Trommel  befindet  sich  das  photo- 
graphische Papier  und  auf  diesem  zeichnen  sich  dann  die  Pendelschwankungen 
mit  genügender  Deutlichkeit  auf. 

Was  nun  die  Anstellung  der  Beobachtungen  anbetrifft,  so  handelt  es  sich 
darum,  die  Schwingungsdauer  des  Pendels  zu  ermitteln,  denn  wenn  man  den 
Neigungswinkel  der  Drehungsaxe  des  Pendels  gegen  die  Lothlinie  mit  /  be- 
zeichnet, T0  die  Schwingungsdauer  bei  horizontaler  Lage  der  Axe,  so  hat  man 
für  die  Schwingungsdauer  T  bei  sehr  kleinen  Schwingungen 


Man  kann  also  durch  Beobachtung  der  Schwingungsdauer  in  gewöhnlicher 
und  beliebiger  Lage  der  Drehungsaxe  die  Neigung  der  letzteren  leicht  ermitteln 
Bei  einer  Veränderung  der  Lage  der  Drehungsaxe  gegen  die  Lothlinie  wird  sich 
das  Azimuth  a  der  ersteren  verändern  und  die  Art  dieser  Veränderung  ist  zu 
ermitteln.  Solche  Veränderungen  können  in  sehr  verschiedener  Weise  verursacht 
werden,  es  können  lokale  Ursachen  auftreten,  Temperaturschwankungen,  Ver- 
änderungen des  Instrumentpfeilers  u.  dergl.,  sie  können  durch  Anziehung  von 
Sonne  und  Mond  bewirkt  werden,  durch  irgend  welche  Vorgänge  im  Erdinnern, 
Schwankungen  in  der  Richtung  der  Lothlinie  oder  durch  Aenderungen  des 
Horizonts  in  Folge  von  Schiebungen  in  der  Erdkruste.  Man  kann  in  jedem 
Fall  die  Azimuthveränderung  sowie  die  Aenderung  in  der  Neigung  der  Drehungs- 
axe gegen  die  Löthlinie  in  folgender  Weise  erhalten.  Es  treffe  eine  mit  dem 
Pfeiler  fest  verbundene  nahe  verticale  Gerade  die  Himmelskugel  in  einem  Punkte 
S,  die  ebenfalls  mit  dem  Pfeiler  fest  verbundene  Drehungsaxe  des  Pendels  treffe 
in  ihrer  Verlängerung  die  Sphäre  in  einem  Punkte  D,  es  sei  Z  das  Zenith,  und 
nennen  wir  nun  ferner  in  dem  so  gebildeten  sphärischen  Dreieck  SDZ  die 


y 


oder 


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Horizontal  pendc). 


Seite  S£>  to,  den  Winkel  ZSD  ir,  die  Seite  SZ  /,  ZD  i,  das  Azimuth  von  S  a, 
das  von  D  a,  so  ergeben  sich  die  folgenden  Gleichungen 

cos  cd  =  cos  i  cos  I  -+-  sin  i  sin  I  cos  (et  —  a) 
sin  to  cos  v  =  cos  i  sin  I  —  sin  i  cos  I  cos  («  —  d) 
sin  co  sin  n  =  sin  i  sin  (<x  —  a). 

Da  nun  co  constant  ist,  kann  eine  Aenderung  der  Richtung  von  D  als 
zusammengesetzt  gedacht  werden  aus  einer  Aenderung  in  der  Lage  von  5  und 
einer  Aenderung  des  Winkels  it.  Diflerenzirt  man  daher  obige  Gleichungen,  um 
die  Abhängigkeit  von  /  und  a  von  a,  /,  it  zu  erhalten,  und  lässt  man  dabei  die 
wegen  der  Kleinheit  von  *,  /,  co  gestatteten  Abkürzungen  eintreten,  so  ist 

0  —  äi[sin  I cos{ft  —  a)—  sin i\  +  dl [sin icos (»  -  a)—  sin  /]-  -  d(*  —  a) sin isin  /sin  (« — d) 
0  =  dn  sin  i  sin  (o  —  a)  —di  cos{*  —  a)-\-dI->r  d(a — a)  sin  i  sin  (a  —  d) 
0  =  dr>  [sin  i  cos  (a  —  a)  —  sin  f]-i-di  sin(a  —  a)  +  d{a  —  d)  sin  i  cos  (a  —  a). 

Daraus  folgt  also 

<//  =  <// cos  (et  —  a)  •+■  d-K  sin  Isin  (<z  —  a) 

und 

du  .  .  r  .  dl 

da  =  da.  H — : — ;  [sin  t  —  stn  I cos  (*  —  a)\  h  : — .  sin  (a  —  a) 

sin  t  1  v         /J      sin  i      ^  1 

und  man  sieht,  dass  die  Beobachtung  der  Azimuthänderungen  in  zwei  zu  einander 
senkrechten  Verticalkreisen  die  Niveauänderung  des  Pfeilers  sowohl  nach  Richtung 
als  Grösse  um  so  genauer  ergiebt,  je  kleiner  i  ist.  Man  erhält  die  betreffenden 
Ausdrücke  für  da,  wenn  man  einfach  a  der  Reihe  nach  0°,  90°,  180°,  270° 
setzt,  und  kann  annehmen,  dass  die  mit  da  und  dn  bezeichneten  Bewegungen 
des  Pfeilers  gegenüber  denen  dl  verschwindend  sind,  wenn  man  sie  nicht  durch 
Anwendung  von  Miren  in  geeigneter  Weise  bestimmt. 

Da  sich  nun  aber  von  vornherein  nicht  entscheiden  lässt,  welche  der  oben- 
genannten Ursachen  eine  Ablenkung  des  Pendels  hervorrufen,  so   wird  man 
dahin  zu  trachten  haben,  das  Beobachtungsmaterial  in  der  Art  zu  sammeln  und 
zu  ordnen,  dass  sich  eine  Trennung  lokaler,  kurz-  oder  langperiodischer  Einflüsse 
ermöglichen  lässt.    Hinsichtlich  der  F.ntwickelung  der  Ausdrücke  für  die  Kraft- 
componenten,  die  aus  dem  Unterschied  der  Anziehung   eines  Himmelskörpers 
auf  einen  Punkt  der  Erdoberfläche  und  den  Erdmittelpunkt  resuitiren,  kann  auf 
die  verschiedenen  Abhandlungen  verwiesen  werden,   z.  B.  auf  die  genannte  von 
Peters  oder  auf  eine  solche  von  Hagkm  (A.  N.  2568)  »on  the  deflection  of  the 
Level  due  to  solar  and  lunar  attraction«  oder  auf  die  RKBKUR'schen  Arbeiten, 
welchen  letzteren  dieser  ganze  Artikel  im  Wesentlichen  entnommen  ist,  da  der 
frühzeitige  Tod  ihres  Verfassers  die  Lieferung   eines  zugesagten  selbständigen 
Aufsatzes  für  das  Handwörterbuch  vereitelte.    In  Kürze  ergiebt  sich,  wenn  mit 
a,  x  Azimuth  und  Zenithdistanz  eines  Himmelkörpers  P,   mit  m  seine  Masse  in 
Tbeilen  der  Erdmasse,  mit  r,  A  seine  Entfernung  vom  Erdcentrum  und  einem 
Punkt  der  Erdoberfläche,  auf  den  sich  a  und  %  beziehen,   mit  g  die  Schwere, 
p  der  Erdradius  bezeichnet  wird,  der  Unterschied  der  Anziehung  von  P  im  Erd- 
mittelpunkt und  dem  Punkt  der  Erdoberfläche 

*-5(?-0 

und  mit  Vernachlässigung  von  p*  im  Ausdruck  für  A*  und  der  ParaWaxe  in  t 

A8  =  r'  —  2r  p  cos  z, 
sodass  auf  den  Punkt  der  Erdoberfläche  die  nach  P  gerichtete  Kraft 


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3* 


Horizontalpeodel. 


1  =  img -fc- cos  t 

wirkt.  Wird  nun  diese  in  drei  senkrechte  Componenten  X,  Y,  Z  zerlegt,  von 
denen  X,  Y  dem  Horizonte  parallel  und  bezw.  nach  Süd  und  West,  Z  der  Loth- 
linie  parallel  und  nach  dem  Nadir  gerichtet  ist,  so  hat  man 

X  =  7  sin  z  cos  a 

Y  =  f  sin  m  sin  a 

Z  =  —  7  cos  z. 

p 

Setzt  man  nun  in  dem  Ausdruck  für  7  r  =  A  und  —  =  sin  rr,  wo  die 

Horizontalparallaxe  von  P  bedeutet,  so  erhält  man  für  die  horizontalen,  bei  der 
Bewegung  des  Pendels  in  Betracht  kommenden  Componenten 

X  =  mg  sin*  tt  sin  1z  cos  a 
Y  =  mg  sin*  it  sin  1z  sin  a. 

Hieraus  folgen  dann  leicht  die  Bewegungen  eines  Pendels,  das  in  specieller 
Ebene  aufgehängt  ist,  z.  B.  für  die  Aufhängung  im  Meridian  ergiebt  sich,  da 
K  =  0  wird,  für  z  =  0°,  z  =  90°,  a  =  0°,  a  =  180°,  dass  sich  das  Pendel  zur 
Zeit  der  Culmination  und  des  Auf-  und  Untergangs  des  Gestirns  im  Meridian 
befindet,  dagegen  wird  es  nach  Westen  abgelenkt  zwischen  oberer  Culmination 
und  Untergang,  unterer  Culmination  und  Aufgang,  nach  Osten  in  den  übrigen 
Zeiten;  die  stärksten  Ablenkungen  treten  ein.  wenn  das  Gestirn  im  ersten  Vertical 
eine  Zenithdistanz  von  45°  hat. 

Hieraus  ergeben  sich  dann  auch  die  numerischen  Beträge  für  die  Ablen- 
kungen, welche  z.  B.  durch  Sonne  und  Mond  bewirkt  werden  müssen,  und  auf 
die  bereits  oben  hingewiesen  wurde. 

Die  seitherigen  Beobachtungen,  welche  mit  den  neuen  Apparaten,  wie  er- 
wähnt, an  verschiedenen  Orten  angestellt  wurden,  können  nun,  was  den  eigent- 
lichen Zweck  des  Horizontalpendels  betrifft,  nur  als  vorläufige  angesehen  werden, 
die  zu  sicheren  Ergebnissen  noch  nicht  führten.  Wohl  ist  auf  allen  Stationen 
die  Einwirkung  des  Mondes  auf  das  Pendel  klar  zu  Tage  getreten,  aber  da  sich 
in  den  photographischen  Aufzeichnungen  periodische  Aenderungen  der  ver- 
schiedensten Art  gezeigt  haben,  die  in  täglichen  und  jährlichen  Oscillationen 
zum  Ausdruck  kommen,  so  ist  es  noch  nicht  leicht,  die  Ursachen  und  Wirkungen 
genügend  von  einander  zu  trennen.  Bei  einer  kurzen  Beobachtungsreihe  in 
Wilhelmshaven  trat  eine  Mondwelle  sehr  deutlich  zu  Tage,  und  die  Coefficienten 
der  einzelnen  Glieder  unterlagen  Aenderungen,  die  als  Functionen  der  Deklina- 
tion des  Mondes  zu  erklären  waren;  in  Potsdam  und  in  Puerto  Orotava  waren 
solche  Aenderungen  angedeutet,  aber  die  Sicherheit  war  keine  grosse.  In  Strass- 
burg,  wo  die  ausgedehnteste  Untersuchung  angestellt  und  in  den  >Beiträgen 
zur  Geophysik,  Bd.  II«,  veröffentlicht  ist,  ergab  sich  die  Mondwelle  im  Jahres- 
mittel zu  0"00551  cos  (t  —  251  °4)  ~h  0"00522  cos  (2t  —  195°  ö),  sodass  die 
halbtägige  und  eintägige  Welle  nahe  dieselben  Coefficienten  haben,  die  aber  dem 
Mittel  aller  möglichen  Deklinationsstellungen  des  Mondes  entsprechen.  Werden 
nach  dieser  Formel  für  stündliche  Wcrthe  von  T  die  Oscillationen  berechnet,  so 


ergeben  sich  die  Abweichungen 

0A_.  o"'0069 

6/,_  0"-0002 

12*—  0"-0032 

18* 

-t-  0"  0102 

1  —  0  0082 

7  ■+-  0  0005 

13  —  00019 

19 

+  00096 

2  -  0  0079 

8  4-  0-0002 

14  -+-  0  0005 

20 

H-  0  0073 

3  _  0  0064 

9  —  00010 

15  -+-  0  0036 

21 

-h  0  0038 

4  -  0  0041 

10  -  0  0023 

16  -4-  0  0067 

22 

-  0  0003 

5  -  0  C018 

11  00032 

17  -+■  0  0091 

23 

-  0  0041. 

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Horiiontalpendel. 


Es  beträgt  darnach  die  ganze  Oscillation  0''018.  Vergleicht  man  nun  diese 
Werthe  mit  der  theoretisch  geforderten  Ablenkung 

ex  =  —  0  0174  sin  2t  cos  a  =  —  e0  sin  2z  cos  a, 

wo  z  und  a  die  Zenithdistanz  und  das  Azimuth  des  Mondes  (nördliche  Ablen- 
kungen als  positiv  gezählt)  sind,  welchen  Ausdruck  man  unter  Einführung  der 
Polhöhe  9  und  Deklination  8,  Stundenwinkcl  t  transiormiren  kann  in 

t ,  =  (e0  s  in  2  <p  —  \  e0  sin  2  9  cos  »  8)  -+-  e0  cos  2  <p  sin  2  8  cos  t  4-  £  e0  «'«  2  9  <w  *  8  f  w  (2t  —  1 80°), 

so  ist  zuerst  der  erste  Theil  als  constant  mit  dem  Nullpunkt  des  Pendels  zu 
vereinigen.    Das  zweite  Glied  erhält  für  die  Breite  von  Strassburg  (9  =  48°  35') 
den  Faktor  —  0"00218  sin  2  8  und  variirt  daher  zwischen  den  Grenzen  0"00181. 
Das  eintägige  Glied  bleibt  daher  immer  sehr  klein  und  verschwindet  bei  Beob- 
achtungen eines  Monats.     Die  Theorie  erklärt  also  hier  noch  nicht  die  beob- 
achtete Variation.  Das  halbtägige  Glied  ergiebt  den  mittleren  Ausdruck  für  80=28° 
zu   -+-  0"00798  cos  (2t  —  180°),  es  ist  also  etwas  grösser  als  das  beobachtete, 
und  letzteres  weicht  auch  in  der  Phase  in  dem  Sinne  etwas  ab,  dass  das  Maxi- 
mum der  Ablenkung  um  etwa  eine  halbe  Stunde  später  eintritt,  als  es  die  Theorie 
fordert.    Nimmt  man  aber  an,  dass  die  Erdoberflache  elastisch  deformirt  wird, 
sei  es  durch  die  direkte  Einwirkung  des  Mondes  auf  die  Erde,  sei  es  durch  in- 
direkte Wirkungen,  in  Folge  des  Drucks  der  vom  Mond  bewegten  Wassermassen, 
so  würde  sich  eine  solche  Verzögerung  erklaren,  während  die  Uebereinstimmung 
des  numerischen  Coefficientcn  in  diesem  Falle  zunächst  als  genügend  angesehen 
werden  dürfte1).     In  Betreff  der  Elasticität  der  Erdoberfläche  sind  die  Beob- 
achtungen in  Wilhelmshaven  sehr  interessant  und  lehrreich.    Dort,  wo  die  obere 
bis  auf  einige  Meter  hinabgehende  Erdschicht  aus  schwerem  Thonboden  bestand, 
der  bei  anhaltenden  Regengüssen  gänzlich  durchweicht,  zeigte  sich,  dass  wenn 
der  Luftdruck  um  1  mm  stieg,  die  Lothlinie  um  den  Betrag  von  0"  29  nach  Osten 
wanderte,  mithin  das  Niveau  des  Ortes  sich  um  diesen  Betrag  nach  Osten  senkte. 
Da  Barometerschwankungen  bis  zu  35  mm  beobachtet  wurden,  so  entsprach  dies 
Aenderungen  im  Niveau  von  mehr  als  10".    Die  Bewegungen  des  Pendels  ent- 
sprechen so  genau  den  Barometerschwankungen,  dass  man  das  Pendel  geradezu 
als  sehr  empfindliches  Barometer  ansehen  konnte.    Einflüsse  der  Temperatur 
sind,  wie  zu  erwarten,  auch  deutlich  wahrgenommen,  indessen  bei  der  jeweils  sorg- 
fältig beobachteten  Aufstellung  des  Apparates  nicht  in  direkter  Art,  sondern  als 
eine  Abhängigkeit  der  Sonnenstrahlung  auf  das  Gebäude  oder  den  dasselbe  um- 
gebenden Erdboden. 

Wie  schon  an  anderer  Stelle  erwähnt,  hat  sich  das  Instrument  sehr  empfind- 
lich gegen  seismische  Erscheinungen  gezeigt.  Die  photographische  Registrirung 
giebt  hier  im  Gegensatz  zu  vereinzelten  Beobachtungen  über  Erdschwankungen 
eine  fortlaufende  Controlle  über  den  Grad  der  Ruhe  oder  Unruhe  des  Erd- 
bodens. Es  lassen  sich  hier  aus  dem  gewonnenen  Material  bereits  drei  ver- 
schiedenartige Phänomene  unterscheiden,  v.  Rebeur  sagt  Uber  dieselben:  »Eine 
regelmässige  Erscheinung  in  den  aufgezeichneten  Curven  ist  die  mikroseis- 
mische Bewegung.     Dieselbe  entsteht  vermutlich  durch  kleine  Schwingungen 

')  Spätere  Beobachtungen  in  Strassburg,  welche  R.  Eiilkrt  angestellt  und  discutirt  hat, 
ergänzen  diese  Angaben  nach  verschiedenen  Richtungen  hin.  Es  wird  dabei  die  DiflTercnr  in 
Verbindung  mit  dem  eintägigen  Glied  zur  Berechnung  einer  Deformationswelle  verwandt.  Man 
würde  darnach  für  Strassburg  für  die  durch  Deformation  entstehende  Mondwelle  den  Ausdruck 
«halten  0"00551  ca  (t  -  25l0  4)  4-  0" -003*6  an  (2t  -  334°  7) 

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4D 


Horizontalpendel. 


des  Pendels,  die  durch  horizontal  gerichtete  Oscillationen  des  Bodens  erzeugt 
werden,  ohne  dass  dabei  eine  Veränderung  der  Gleichgewichtslage  eintritt 
Man  muss  dies  daraus  schliessen,  dass  wie  bei  den  Erdbebenstörungen 
symmetrische  Figuren  entstehen.  Wenn  Erdwellen,  wie  die  sogleich  zu  er- 
wähnenden, im  Spiele  wären,  so  tnüsste  diese  Symmetrie  zuweilen  gestört  sein, 
oder  die  Amplitude  der  Wellen  müsste  so  klein  sein,  dass  sie  gegenüber  den 
Ausschlägen  des  schwingenden  Pendels  nicht  in  Betracht  käme.  Die  mikro- 
seismische Bewegung  ist  in  Strassburg  im  Winter  häufiger  als  im  Sommer,  er- 
reicht aber  niemals  die  Grösse  wie  auf  den  früheren  Stationen  Wilhelmshaven 
und  Potsdam«. 

»Eine  zweite,  sehr  eigenartige  und  bisher  in  dieser  Weise  wohl  noch  nirgends 
wahrgenommene  Erscheinung  bilden  die  Erdpulsaticnen,  welche  wir  nach  dem 
Aussehen  der  Curven  und  auch  aus  anderen  Gründen  als  etwas  von  der  mikro- 
seismischen Bewegung  durchaus  Verschiedenes  anzusehen  berechtigt  sind.  Sie 
haben  mit  ihr  nur  das  gemeinsam,  dass  das  Maximum  ihrer  Entwickelung  etwa 
in  dieselbe  Jahreszeit  fällt.  Als  dritte  auffällige  Erscheinung  sind  die  zahlreichen 
Störungen  anzuführen,  die  wohl  alle  von  entfernten  Erdbeben  herrühren.« 
»Diese  Störungen  dauern  meistens  nur  einige  Stunden,  und  ihr  Zusammentreffen 
mit  gleichzeitigen  Erdbeben  ist  in  sehr  zahlreichen  Fällen  nachgewiesen,  wobei 
solche  aus  den  grösslen  Entfernungen,  Japan,  Persien  u.  s.  w.  deutlich  zur  Re- 
gistrirung  kamen.  Bei  369  correspondirenden  Beobachtungen  in  Strassburg  und 
Nicolajew  in  der  Zeit  von  1892  Februar  bis  1893  August  wurden  1 14  correspon- 
dirende  Störungen  verzeichnet,  und  wenn  bei  diesen  Registrirungen  nicht  für  jede 
Störung  am  Pendel  eine  entsprechende  Ursache  aufzufinden  war,  so  ist  zu  be- 
denken, dass  fast  £  der  Erdoberfläche  vom  Ocean  bedeckt  sind,  dass  es  anderer- 
seits noch  weite  Strecken  auf  der  Erde  giebt,  die  noch  kaum  oder  nur  sehr 
selten  von  Kulturmenschen  betreten,  daher  direkter  Beobachtung  oder  Ver- 
gleichung  unzugänglich  sind«. 

Auf  weitere  Einzelheiten  einzugehen,  ist  hier  nicht  der  Ort,  es  muss  dafür 
auf  die  in  grösseren  Abhandlungen  niedergelegten  Untersuchungen  verwiesen 
werden;  insbesondere  sind  zu  erwähnen: 

I.  Fr.  Zöllner.  1)  Ueber  eine  neue  Methode  zur  Messung  anziehender  und 
abstossender  Kräfte.  2)  Ueber  die  Construction  und  Anwendung  des  Horizontal- 
pendels. 3)  Zur  Geschichte  des  Horizontalpendels  (sämmtlich  in  den  »Berichten 
der  K.  Säch.  Ges.  d.  W.« ;  abgedruckt  im  4.  Band  von  Zöllner's  »wissenschaft- 
lichen Abhandlungen«,  in  denen  auch  eine  ursprünglich  in  Poggendorff's  »Ann. 
d.  Physik«  veröffentlichte  Schrift  Safarik's  »Beitrag  zur  Geschichte  des  Horizontal- 
pendels«  wiedergegeben  ist). 

II.  E.  v.  Rebeur -Paschwitz.  1)  Ueber  das  ZöLLNER'sche  Horizontalpendel 
und  neue  Versuche  mit  demselben  (»Verhandl.  d.  Naturw.  Vereins  in  Karlsruhe, 
10.  Bd.«,  1888}.  2)  Das  Horizontalpendel  und  seine  Anwendung  zur  Beobachtung 
der  absoluten  und  relativen  Richtungsänderungen  der  Lothlinie  (»Nova  acta  der 
Kaiserl.  Leop.  Carol.  Deutschen  Akademie  der  Naturforscher,  60.  Bd.  No.  1«, 
Halle  1892).  In  diesem  Werke  ist  am  Schluss  ein  ausführlicher  Literaturnachweis 
mit  Inhaltsangabe  gegeben,  wo  auch  die  verwandten  Arbeiten  von  Russell,  d'ABRADiE, 
Plantamour,  G.  H.  Darwin,  Milne  u.  A.  besprochen  werden.  3)  Horizontal- 
pendelbeobachtungen auf  der  kaiserlichen  Universitäts-Sternwarte  zu  Strassburg 
1892  — 1894  (»Beiträge  zur  Geophysik,  herausgegeben  von  G.  Gerland,  II.  Bd., 
2.  Heft,  No.  7«,  Stuttgart  1895).    ■*)  Verschiedene  Aufsätze  und  Mittheilungen  in 


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Interpolation. 


4« 


den  »Astron.  Nachr.«,  dem  »Seismological  Journal  of  Japan«,  und  verwandten  Zeit- 
schriften. 

HI.  Hecker,  das  Horizontalpendel  (»Zeitschrift  für  Instrumentenkunde,  16.  Bd., 
1.  Heft«),  Berlin  1896. 

IV.  A.  Schmidt,  die  Aberration  der  Lothlinie  (»Beiträge  zur  Geophysik,  3.  Bd., 
1.  Heft  No.  1«). 

V.  R.  Ehlert,  Horizontalpendelbeobachtungen  im  Meridian  zu  Strassburg  i.  E. 
(ebendas.  »No.  6«).  Valentinkr. 

Interpolation.  In  den  astronomischen  Hilfstafeln  und  Ephemeriden,  wie 
solche  in  verschiedenen  Jahrbüchern  und  in  zahllosen  speciellen  Fällen  gegeben 
sind,  finden  wir  die  numerischen  Werthe  für  regelmässig  fortlaufende  Tafel- 
argumente berechnet.  Mag  dieses  Argument  nun  die  Zeit  oder  ein  anderes 
Element  sein,  welches  als  unabhängige  Variable  für  die  entsprechenden  Functions» 
werthe  zu  betrachten  ist,  so  wird  es  häufig  vorkommen,  dass  man  letztere  für 
einen  Werth  des  Argumentes  gebraucht,  der  zwischen  zwei  Tafelargumenten  liegt. 
Man  muss  dann  den  verlangten  Werth  interpoliten.  Zur  Ableitung  bequemer 
Formelausdrücke  für  diese  Rechnung  sollen  hier  die  von  Encke  in  seiner  ersten 
Abhandlung  über  Mechanische  Quadratur  (»Berliner  Astron.  Jahrbuch  1837«)  ein- 
geführten Bezeichnungen  angewandt  werden. 

Nennen  wir  zunächst  die  Werthe  des  Arguments,  für  welche  die  numerischen 
Werthe  der  Function  gegeben  sind 

a,       a  4-  o>,       a  -+  2  a»,       a  +  3  u>  .  .  .  . 

und  die  entsprechenden  Functionswerthe 

/(<*).      /(*  +  0.      /(«  +  2),      /(«  +  3)  .  .  .  . 

sodass  also  die  gewählte  Intervalleinheit  co  unter  dem  Functionszeichen  fort- 
gelassen wird.  Ein  beliebiger  unbestimmter  Functionswerth  wird  dann  durch 
f{a  -t-  nto)  für  das  Argument  (a  -+-  nto)  ausgedrückt  werden  können,  wo  dann  n 
eine  positive  oder  negative,  ganze  oder  gebrochene  Zahl  sein  kann.  Die  ersten 
Differenzen  von /(«),  f(o  ■+■  1),  f(a  -+-  2)  u.  s.  w.  werden  dann  durch  das  Functions- 
zeichen /'  ausgedrückt,  und  um  den  Ort  der  Differenz  anzudeuten,  wird  unter /' 
das  arithmetische  Mittel  der  Argumente  derjenigen  beiden  Functionswerthe  hinzu- 
gefügt, welche  zur  Bildung  der  Differenz  dienten.    Darnach  ist 

f(a  ■+■  1)  -/(*)  =/>  +  \) 
f(a  -+-2)  —  f{a  •+-  1)  =/'(«  -+-  \) 
f{o  -f-  3)  -/(<*  -+-  2)  =/'(a         u.  s.  w. 

Aehnlich  geht  man  weiter  zur  nächsten  Differenz,  welche  nämlich  durch 
Abziehen  zweier  auf  einander  folgender  Differenzen  gebildet  wird.  Man  bezeichnet 
diese  zweite  Differenz  mit  /"  und  giebt  ihren  Ort  dadurch  an,  dass  man  wieder 
das  arithmetische  Mittel  aus  den  Argumenten  hinzufügt,  welche  bei  den  beiden 
vorhergehenden  Hauptfunctionen  lagen,  deren  Differenz  die  neue  Function  ist. 
Ebenso  wird  mit  /"'  die  dritte  Differenzenreihe  bezeichnet,  mit  /""  die 
vierte  u.  s.  f.    Z.  B.  wird 

/'(*  +  *)  -/*(*-  i)=/» 

J\a  +  \)  -f\a  -+-  \)  =/'(a  -+-  1)  u.  s.  f. 

/>-+-  1)-/»  =/">  +  *) 

/"(«  +  2)  -f\a  +  1)  =  /">  +  4)  u.  s.  f. 


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42  Interpolation. 

So  entsteht  folgende  Uebersicht: 

I.  Differenz        II.  Differenz     III.  Differenz        IV.  Differenz 


Argument 

TT              -  ^            .  « 

Hauptfunction 

a  —  3  o> 

J\a  —  3) 

a  —  /tu 

j\a  —  l) 

a  —  o) 

/<«-  0 

a 

/<«) 

a  4-  ci> 

/(«  +  i) 

a  4-  2<o 

/(«  +  2) 

« +  3o> 

/<«  +  3) 

/">-!)  ,„„,  n 


Es  stehen  also  hier  immer  die  geraden  Differenzen  mit  gleichen  Ausdrücken 
im  Functionszeichen  auf  gleichen  Linien,  die  ungeraden  Differenzen  mit  gleichen 
Ausdrücken  im  Functionszeichen  zwischen  den  Zeilen  der  Functionswerthe. 

Nach  dem  TAYLOR'schen  Lehrsatz  ist 

f{a  4-  «o>)  =  f(a)  4-  anm  4-  ß»*m*  4-  f«sü>3  -f-  .  .  .  . 

Nun  sind  uns  aber  die  Difterentialquotienten  nicht  bekannt,  sondern  nur  die 
Differenzen  der  Functionswerthe,  wonach  wir  haben 

f(a  4-  «ü>)  =/(a)  4-  Af  (a  4-     -t-  4-1)4-  ... 

Setzen  wir  nun  aber  für  n  die  verschiedenen  Werthe,  0,  1,  2,  3  .  .  .  ein, 
so  haben  wir  in  der  TAYLOR'schen  Reihe 

f{ä)  =  /(*) 


f(a  4-  u>)  =  f(a)  -f-  a<o  4-  ß 


tu*  -f-  7 u>5 


/(a  4-  2a>)  =  /(<*)  -+-  2ou>  4-  4ßws  4-  8yu>s  4-  .  . 
/(a  -t-  3oj)  =  f{a)  -t-  3aw  4-  9ßto*  4-  277<os  -f-  .  . 

u.  s.  w.f  andererseits  ist 

tür  Argument  (a  4-  u>)       f\a  4-  u>)  =  f{a)  4-/'(tf  -t-  £) 

(a  +  2<u)  /(«  4-  2 tu)  =  f{d)  +/'(a  4-  *)  4-/'(<*  -f-  |) 

=  /Crf)  ■+■  2/'(ö  ■+■     -+■         +  0 
(a  4-  3«o)  f{a  4-  3«,)  =/(«)  4-3/'(a4-i)4- 3/"(a4-  l)4-/"'(<*-»-f) 

u.  s.  w. 

Hieraus  findet  sich 

1)  /'(*  4-  f)  =  «co  4-  ßu>»  +  7">* 

2)  2/'(a  4-  i)  4-/>  4-  1)  =  2oto>  4-  4ß«>*  4-  8To>s 

3)  *f{a  4-  *)  +  3/"(«  4-  1)  +/'>  4-  |)  =  3ao>  4-  9ßo>»  4-  27To»s . 

Multipliciren  wir  Gleichung  1  mit  3,  Gl.  2  mit  —  3,  Gl.  3  mit  1  und  addiren, 
so  kommt 

T«**  =  */"(«  +  *) 

ebenso,  wenn  wir  Gl.  1  mit  5,  Gl.  2  mit  —  4,  Gl.  3  mit  1  multipliciren  und 
addiren 

3<d»  =  */>4-  1) -*/">  +  *) 
und,  wenn  wir  Gl.  1  mit  9,  Gl.  3  mit  —4$,  Gl.  3  mit  1  multipliciren  und 
addiren 

«<o  =/'(*  4-4)-  4-  1)  4-  */'"(«  4-  |). 

Setzen  wir  diese  Werthe  von  ao»,  ßu>s,  701»  in  die  TAYLOR'sche  Reihe  ein, 
so  kommt 

/{a  4  *•)  «/(*)  4-  nf\a  4-  j)  4-  +  0  + 

»(»  -  1)(«  -  2)  ,„,,  (0 
+         !.2.3  "/"'(«  4-  |)  4-  ...  . 


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Interpolation. 


43 


welche  Formel  die  NEWTON'sche  Interpolationsformel  ist,  und  aus  der  sich  andere 
Formeln,  die  zur  Berechnung  besonders  in  speciellen  Fällen  bequemer  sind, 
ohne  Mühe  herleiten. 
Zunächst  ist 

/>4-  1)=/»  4-/'>  +  *> 
/"'("  +  |;  =/'>  ■+■  i)  4- /""(<*  +  1)  u.  s.  w. 

Daraus  wird 

/(«  4-  *■•)  -/(«)  +  «/•(«  +     +  2GLlLl}/>)  4- 
»(»-  l)t>+  1)  *(«  -  l)fr  -f-        -  2)  W 

 P2T3     /  (a  ■+■  4)  +  —    TT ^3:4  /  W' 

wozu  wir  gleich  hinzufügen,  indem  wir  n  negativ  nehmen,  und  beachten,  dass 

/>  +  *)=/'(*-*)+/» 

u.  s.  w.  ist 

/(*  -  »•)  =  /(«)  -  */'(a      i)  "+*  ^f~JV>)  - 
(„  +  ,)„(„  _  i)  +  »>*(*  -D(»-8)  (3) 

—7.2.-3 — /       +    --r.2."TT4  r 

Während  also  die  NEWTON'sche  Formel  (1)  die  Differenzen  benutzt,  die  fort- 
laufend eine  halbe  Zeile  tiefer  stehen,  verwendet  die  zweite  Formel  für  die  un- 
geraden Difterenzen,  welche  zwischen  der  Ausgangsfunction  und  der  nächstfolgenden, 
also  eine  halbe  Zeile  tiefer,  liegen,  für  die  geraden  Differenzen  dagegen,  die  auf 
gleicher  Zeile  mit  der  Ausgangsfunction  liegen.  Wie  die  Formel  (2)  die  vorwärts- 
schreitende, nach  unten  gehende  (ungerade)  Differenz  verwendet,  so  die  Formel  (3) 
die  rückwärts,  nach  oben  gehende.  Bei  beiden  Formeln  kommen  also  die 
Functionswerthe  zur  Verwendung,  welche  dem,  von  dem  man  ausgeht,  voraufgehen 
und  folgen,  während  in  der  NEWTON'schen  nur  die  folgenden  gebraucht  werden. 
Was  den  Vortheil  der  Benutzung  von  (2)  und  (3)  betrifft,  so  wird  man  (2)  annehmen, 
wenn  der  gesuchte  Werth  näher  an  a  als  an  a  4-  «>  liegt,  (3)  im  entgegengesetzten 
Fall,  da  dann  beide  Male  n  <  \  ist. 

Die  Formel  (3)  läust  sich  auch  so  schreiben 

/(•  4-  ««)  =/(a)  4-  nf\a  -  *)  +  "(*  *  !)/"(«)  + 

(»  +  !)«(»- 1)  /f„ .           ^  («4-2)(»4-l)«(»»-l)  , 
+  1V2T3  f  (a~*)  +  1.2-3.4  f    (ö)u's  w 

Nehmen  wir  aus  (2)  und  (4)  das  arithmetische  Mittel  und  setzen 
so  kommt 

/(«  4-  »•)  =  /(*)  +  »/'(«)  +  4>  +  f]"^  V»  + 

(„  +  \)n>(n  -  1) 

+ — \~T^T^f  (a)- 

Setzen  wir  in  (2)  n  =  \,  so  kommt 

f{a  4-        =/(*)  4-  J/'(<J  4-  *)-*/*' (a)  -  +  4)  +  !**/"»  +  

und  ebenso  in  (3),  wenn  man  von  (<*  4-  a>)  ausgeht 

/(«4-i»)«/(«)-i/>4-i)-i/,X«+l)  +  T^"(«  +  *)-r-Tlt/,'"(«+>)+  •  '  ' 
und  das  Mittel  aus  diesen  beiden  Gleichungen  giebt 

/(a  4-         «/(«  4-  i)  -  !/"(«  4-  4)  4-  tI»/""(«  +  i)  -  t  A*/Vl(*  +  IX  (6) 


(4) 


(5) 


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44 


Interpolation. 


welche  Forme)  ein  sehr  bequemer  Ausdruck  Air  das  Interpoliren  in  die  Mitte  ist. 
Die  Bedeutung  ist  so  auszusprechen,  dass  man  das  Mittel  der  den  gesuchten 
Werth  einschliessenden  beiden  Functionswerthe  nimmt,  von  diesen  {  des  Mittels 
der  beiden  zweiten  Differenzen,  die  auf  gleichen  Zeilen  mit  den  Functions- 
werthen  stehen,  abzieht,  hierzu  yfy  (^)  des  Mittels  der  entsprechenden  beiden 
vierten  Differenzen  addirt  u.  s.  w. 

Die  vorigen  Formeln  (bis  zu  5)  lassen  sich  auch  in  der  Weise  schreiben, 
dass  man  nicht  die  einzelnen  Differenzen  mit  den  entsprechenden  Coefficienten 
multiplicirt  und  darnach  die  Summe  der  einzelnen  Glieder  bildet,  sondern  dass 
man  die  Glieder  so  anordnet,  dass  das  folgende  jeweils  als  eine  Correction  des 
vorhergehenden  erscheint.  Es  ist  dieses  Verfahren  für  die  numerische  Rechnung 
oftmals  bequemer.    Darnach  gestaltet  sich  z.  B.  Formel  (2) 


(7) 


/(a  -+-  mm)  =  /(a)  +  «[/>  +     +  [/"(«)  -r-  [/'"(a  +  4)  H 

+'-^\r»+  ■••]]]] 

Für  die  Coefficienten  *-* ~  l\  -*  ~  ^  u.  s.  w.  sind  mehrfach 

Tafeln  mit  dem  Argument  n  gerechnet,  die  aber  in  den  allermeisten  Fällen  dem 
geübten  Rechner  keine  Erleichterung  gewähren,  da  er  in  jedem  speciellen  Fall 
durch  Kürzungen  in  den  Brüchen  und  Differenzen  rasch  zum  Ziel  kommen  wird. 

Beispiel:  Die  Rectascension  des  Mondes  werde  nach  dem  Berliner  Astr. 
lahrbuch  gesucht  für  1897  April  215*.  Wir  finden  daselbst  folgende  An- 
gaben der  Rectascensionen  und  ersten  Differenzen,  womit  die  nebenstehenden 
höheren  Differenzen  gebildet  sind. 


April  1    0*  0*  8~23"94 


I.  Diff.  II.  Diff.      III.  Diff.    IV.  Diff.      V.  Diff. 


12  0  30  11  77      '"?!~tr,!?    +  10"17 

\y>H£ii  :i£  — 
sm» :ss -iz  -» 

12   159  57  80    ~1"22  j9"     +28  79     +  3  56 
4   0  2  23  26  36    +  23  2856 

Wenden  wir  zuerst  Formel  (2)  an,  so  haben  wir,  da  die  Functionswerthe  in 
12 stündigen  Intervallen  gegeben  sind,  für  April  2*15*  zu  interpoliren  zwischen 
April  2  12*  und  April  3  O*  und  es  ist  n  =  \  zu  setzen.    Ferner  ist  hier 

nf\a  -l-  £)  =  i  (+  22~34'54)  =       -f-  5- 38'635 

^lT2^/r'(Ä)  =  -"l(-+-20X'82)  ~       ~  !*957 

"*7.2(.V~ 1} <*  +  »  =  -  Tis (+  4"41)  -  -  0,169 


5-36"497 

Also  die  gesuchte  Rectascension  ==  1*  14-  23"49  +  5"'  36*  497=  1*  19-  59'99. 
Wählen  wir  die  Form  (7),  so  gestaltet   sich  die  Rechnung  in  folgender 

Weise: 


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Interpolation.  45 

""7 -/"'»=  -  A  (-  0"69)  -  -4-  0-31 

"      -  [/"'  (a  -4-  \)  -4-  0-31]  =  A  (-h  4-41  -4-  0-31)  -  ■+■  1-98 

[/'»  -+-  1-98]  =  -  f  (-4-  20-82  +  1-98)  =  -  8-55 
«[/'(<*  -+-  i)  -  8-55]  =  }(+  22-34'54  -  8-55)  =  5-36-50 

wie  vorher. 

Endlich  wollen  wir  die  Interpolationsformel  (6)  in  die  Mitte  anwenden  und 
erhalten  darnach  fUr  April  2  6*  und  18*  folgendes: 

-  */"(«  -4-  4)  =  -  i  (18-27;  =  -  2-28 
+  t1i/""(«  +  J)  =  A(-  0-57)  =  -  0  01 

also  1*  3-  16'  63  -  2-29  =  1*  3-  14-34  für  April  2  6*.  Ebenso 

-  t-  h)  =  -  i(+  23-02)  =  -  2-88 

+  tH/">  ■+■  4)  =  A(-  0-77)  =  -  002 

also  1*  25*«  40-76  —  2-90  =  1*  25-37-86  für  April  2  18*.  Darnach  finden  sich 
folgende  in  6  stündigen  Intervallen  fortlaufende  Kectascensionen  nebst  den  bei- 
stehenden Differenzen: 

April  2  0*  0*52-9-77 

-+-11—  4'\57 
6     1    3  1434       ^  +  4-58 

12     1  14  23  49       +  »     JJ}       -4-  5  22       +  J£ 

18     1  25  37  86  1         ,  I        +  5  80       +  058 

3  0     1  36  58  03       +  11  MU 

Wenn  wir  hier  wieder  zwischen  12*  und  18*  in  die  Mitte  interpolirten,  würden 
wir  für  April  2  15*  finden:  1*  19-  59-99  wie  vorher.  Es  mag  an  dieser  Stelle 
bemerkt  werden,  dass  es  sich  bei  der  sehr  bequemen  Interpolation  in  die  Mitte 
oft  empfiehlt,  die  ursprünglich  in  grösseren  Intervallen  gegebenen  Reihen,  bei 
denen  die  Differenzen  sehr  beträchtlich  sind  und  daher  hohe  Differenzen  berück- 
sichtigt werden  müssen,  die  Reihe  durch  fortgesetztes  Interpoliren  in  die  Mitte 
so  umzuformen,  dass  schliesslich  nur  kleine  Differenzen  bleiben,  sodass  es  dann 
genügt,  die  erste  oder  allenfalls  noch  zweite  Differenz  mit  in  Rechnung  zu  ziehen. 

Es  ist  nun  noch  kurz  der  Fall  zu  behandeln,  wo  man  die  numerischen 
Werthe  der  Differentialquotienten  der  nach  gleichen  Intervallen  fortschreitenden 
Werthe  der  Function  gebraucht. 

Die  NEWTON'sche  Interpolationsformel  (1)  können  wir  auch  wie  folgt 
schreiben: 

/(«  -4-  *.)  =/(*)  -+-  n[/'(a  -4-4)-  V»(a  +  1)  +  \f»\a  -4-4)  —  ] 

+  T^rä  [/'> ')  -  ••••]• 

Nach  dem  TAYLOR'schen  Lehrsatz  haben  wir  aber 

/(«^)-/W  +  »-a-  +  r,Jir  +  r.j.3  *" 

woraus  dann 


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46  Interpolation. 

"  ^  =/'(a  +  */>  +  D  +  */"'  (*+*)-••• 

~Tjr~r\a  +  1)  -/"'  («  +  |)  +  .  .  . 

Bequemer  ist  die  Anwendung  der  Formel  (5),  die  sich  dafür  nach  den  steigen- 
den Potenzen  von  n  geordnet  in  folgender  Form  schreibt: 

f(a  +  «„)  =  /(„)  +  «  [/'(«)  -  !/"'(„)  +  Jj/n,,)  -  +  . . .  ] 

*  -rn  \rw  -  T2S""w+  -k™  -  •  •  ] 

+  Ui T.T-T: »  [/T(">  ~  i/v"W  +■■•]• 

Hier  kommen  nun  die  Werthe  f"(a),/''"(a)  u.  s.  w.  wirklich  in  den  Differenzen- 
reihen  vor,  dagegen  sind  f'(a),f'"(a),/v(a)  die  arithmetischen  Mittel,  welche  in 
dem  allgemeinen  Schema  auf  einer  Horizontallinie  stehend  gedacht  werden  können, 
die  durch  die  /(a),  /"(a)  u.  s.  w.  gelegt  ist.    Durch  Vergleichung  kommt  dann: 

*  dJäT  -/W  ~  i/*"«  +  s/v«  -  iiö/vu«  •  •  • 

*Ssr  =  A«)  -  ^/"»+  <^/vV)  -  ^>/™<«)  •  •  • 
">        =/'"(«)-  */v(<0  +  Wo/vllW  •  •  ' 

Wir  erhalten  hiermit  die  Werthe  der  Differentialquotienten  für  den  gegebenen 
Functionswerth ,  von  dem  man  ausgeht.    Will  man  dieselben  für  eine  Function, 
die  nicht  unter  den  gegebenen  vorkommt,  so  hat  man  die  Differenzen  erst  für 
diese  zu  berechnen.    Wenn  man  die  Taylor' sehe  Reihe  differenzirt,  so  kommt 
d/(a  -+-  »tu)      df\a)  ^V(«)      n*m*  WM 

da        -    da    +  nW    da>  ~  +  1  •  2    da*    "*"  '  * 
d*f(a  -+-»«»)      d*f(a)  dV(a) 

da*        -    da  da     ^  '  '  ' 

In  diese  Ausdrücke  sind  darnach  die  vorher  berechneten  Werthe  für 

df{ä)  dV(a) 
da  '  da* 

einzusetzen.    Man  erhält 


•    •    •  * 


da 


d*/(a-hn<a) 


da*  u,a 


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Interpolation.  47 

Wollen  wir  aber  die  Differentiale  von  f{a  4-  suchen,  so  kann  man 
folgende  Interpolationsformel,  die  sich  leicht  aus  den  obigen  ableiten  lässt,  indem 
man  n  mit  tt  4-  ^  vertauscht,  benutzen;  wonach 

/(«  +      +         =  /(„  4-*)  +  */'(a  4-  «  4-  {n  +  ^^-^/"(a  -u  4) 

(w  -f-  \)n{n  ~  j)  («  4-  })(«  4-         -  \){n  -  \) 

1-2-3        7    ^a~,~*'"i~  12-3-4  7    ^       *;  "** 

und  wo  f(a  4-  \\  /"(«  4-  .  .  .  .  die  arithmelischen  Mittel  der  einschliessenden 
Differenzen  sind.    Nach  der  Formel  (6)  (Mitte)  ist  aber 

J (a  4-  *«,)  =  /(*  4-*)-  +  *)  +  ]f8-/">  +  *)  ~  löW^'  +  «+• 

das  sind  also  die  von  n  unabhängigen  Glieder,  und  wenn  wir  nun  nach  steigen- 
den Potenzen  von  n  ordnen,  kommt: 

/(«  4-  (»  4-  4)  »)  =  /(«  H-  i  »)  +  •  [/ '  (a  4-  4)  -  ,<4/'"  («  +  *)  +  +  *) 

4-  i  «*[/"(«  +  i)  -  n-  4)  +  m/^'  +  *)  +  •  -  •  )  ,0v 

+  i  «s  [/"'(«  +  *  -  i/v(*  +  h)  +  tMtt/v,1("  +  4)  +  -  -  •  J  W 
^»4|/>  +  i)-Ä/^+j)-] 

■+■  rb«5(/v("  +  i)  -  A'^C«  -+-  *)  +]■ 

Nach  dem  TAYLOR'schen  Lehrsatz  ist  wieder 

/(<*  4-  A  «•>  4-  *«»)  =  /(«  +"       ■+-  «"»  äa  H   j  .2  "  

und  daher 

-yvfr  +  i-)  =/>  + 1) _  5r>  + 1)  +  + 1)  + 

u.  s.  w. 

Beispiel.    Es  sind  zu  berechnen  die  ersten  Differentialquotienten  für  die 
Mondrectascension  im  obigen  Beispiel  und  zwar  für  April  2,  19*,  20*,  21A. 
Wir  haben  nach  obigen  Zahlen  zunächst  für 

f'(a)  =        22*  13'  72  -+-  22*  34-54)  =  4-  22*  24-13 
f'(a)  =  4-  20-82 

/»»  =  4(4-  5-10  -f-  4-41)  =  -+-  4-75 
/""(«)  =  -  0-69 

/V(a)  =  4(—  0-24— 0-16)  =  —  0-20. 

Diese  VVerthe  gelten  nun  für  April  2  12*,  für  19*,  20*,  21*  haben  wir,  bei 
dem  12 stündigen  Argument  n  der  Reihe  nach  zu  setzen  =  ^,  J,  \  und  erhalten 

nach  (8a)     /M  = 


(t-i)/"w 


4-  5 

i2*  24"  13 

4-  2  2"' 

24-13 

4-  22* 

24-13 

4- 

1214 

4- 

13-88 

4- 

1561 

4- 

001 

4- 

026 

4- 

054 

+ 

001 

+ 

000 

o-oi 

4-2 

!2*  36-29 

4-  22"' 

38"27 

4-  22* 

40-27 

Will  man  den  ersten  DifTerentialqtiotienten  für  eine  Stunde  haben,  so  hat 
man  obige  Zahlen  noch  durch  12  zu  dividiren  und  erhält  der  Reihe  nach 
1*  53-02,  1*  53-19,  1*  53-36.  Valentin«. 


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Jacob*stah. 


Jacobsstab  jst  ein  frtiher  gebrauchtes  Instrument  zur  Bestimmung  der 
Winkeldistanz  zweier  Objecte.  Die  Oerter  der  Planeten  wurden  in  den  ältesten 
Zeiten  meist  nicht  durch  direkte  Bestimmung  der  sphäriscl  len  Coordinaten  er- 
mittelt, sondern  durch  sogen.  Alignements  mit  anderen,  bereits  bekannten  Steinen 
verbunden.  Man  suchte  zwei  Sterne,  mit  welchen  das  zu  bestimmende  Object 
in  derselben  geraden  Linie  (in  einem  grössten  Kreise)  stand  und  schätzte  die 
Entfernung  derselben  von  dem  einen  der  beiden  Sterne  im  Verhältniss  zur  Ent- 
fernung der  beiden  bekannten  Sterne;  oder  aber  man  bestimmte  den  Ort  des 
zu  bestimmenden  Gestirns  als  den  Durchschnittspunkt  der  beiden  Verbindungs- 
linien je  zweier  bekannter  Sternpaare  u.  s.  w.  Diese  Schätzungen  waren  nur 
sehr  roh,  und  Regiomontan  führte  statt  derselben  die  direkte  Messung  der  Ent- 
fernung des  zu  bestimmenden  Objectes  von  zwei  oder  mehreren  bekannten  Sternen 


(A.  252.) 

ein.  Zu  diesem  Zwecke  bediente  er  sich  des  schon  früher  bei  den  Feldmessern 
verwendeten  Jacobsstabes,  den  er  Radius  astronomkus  nannte.  Derselbe  be- 
stand aus  einem  ziemlich  langen  Stabe  AB  (Fig.  252),  welcher  in  gleichen  Ent- 
fernungen mit  Löchern  versehen  war,  in  welche  ein  kurzer  Querstab  CD  ein- 
gesteckt wurde.  Man  legte  das  Auge  in  A  an,  und  visirte  Uber  C  und  D  nach 
den  beiden  Objecten,  deren  Distanz  zu  bestimmen  war.    Für  kleine  Winkel  ist 

CD 

<CA£f  =  ÄE' 

daher  der  Winkel  umgekehrt  proportional  der  Entfernung  AE,  in  welcher  der 
Stab  CD  von  unveränderlicher  Länge  eingestellt  wurde.  Für  grössere  Winkel 
(kleinere  Entfernungen  AE)  konnte 

tang\  CAD  =  \CD 

genommen  werden,  wenn  der  Stab  CD  stets  bis  zu  seiner  Mitte  eingesteckt  wurde. 
Wurde  diese  Vorsicht  nicht  gebraucht,  so  konnte  daraus  ein  kleiner  Fehler  der 
Winkelmessung  entstehen,  der  aber  damals  keinesfalls  in  Betracht  zu  ziehen  war, 
und  jedesfalls  z.  B.  von  dem  Fehler  Übertreffen  wurde,  der  in  der  nicht  ganz 
sicheren  Stellung  des  Auges  in  A  begangen  wurde.  Statt  der  Rechnung  nach 
der  Tangentenformel  bediente  sich  dann  Regiomontan  einer  Tafel,  die  mit  dem 
Argumente  AE  direkt  den  Winkel  CAD  gab. 

Das  Princip,  durch  einmaliges  gleichzeitiges  Visiren  nach  zwei  Objecten  den 
Winkel  sweier  Objecte  zu  bestimmen,  wurde  seither  auch  beibehalten;  eine  Ver- 
vollkommnung der  Idee  findet  sich  in  dem  später  zur  Bestimmung  von  Sonnen- 
höhen auf  dem  Meere  verwendeten  Davisquadranten.  Zwei  Bogen  AB  und 
ab  (Fig.  253),  welche  sich  zu  90°  ergänzen,  sind  von  A,  bezw.  a  aus  getheilt 
Die  Diopter  D  und  d  können  längs  der  beiden  Bögen  verschoben  werden, 
während  in  dem  Mittelpunkte  C  sich  ein  drittes  Diopter  befindet.  Zur  Beob- 
achtung wurde  d  auf  einen  gewissen  Theilstrich  gestellt,  so  dass  der  Winkel 
dCa  =  m  bekannt  war.  Sollte  dann  z.  B.  die  Sonne  beobachtet  werden,  so 
stellte  man  sich  so,  dass  man  die  Sonne  im  Rücken  hatte,  und  drehte  das 
Instrument  so  lange,  bis  die  Sonnenstrahlen  durch  das  Diopter  d  auf  die  Oeffnung 
von  C  fielen,  was  an  dem  entstehenden  Sonnenbildchen  leicht  zu  erkennen  war. 


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Kometen  und  Meteore. 


4«) 


Wurde  nun  noch  das  Diopter  D  so  gestellt,  dass  man,  durch  dasselbe  auf  C 
visirend,  den  Meereshorizont  sah,  so  gab  der  Winkel  dCD  die  Höhe  der  Sonne 
in  dem  Augenblicke  der  Beobachtung,  und  da  man  den  Winkel  ACD  —  n  an  der 
Theilung  ablesen  konnte,  so  war  h  =  m  •+■  n. 


(A.  VA.) 

Später  wurde  zur  Erhöhung  der  Genauigkeit  statt  des  Diopters  in  d  eine  Linse 
von  der  Brennweite  dC  angebracht,  und  im  weiteren  Verlaufe  entwickelte  sich 
mit  Zuziehung  von  Spiegel  und  Fernrohr  aus  diesem  Instrumente  der  Hadley' sehe 
oder  Spiegelsextant  und  der  Prismenkreis  (s.  Sextant.)  N.  Herz. 

Kometen  und  Meteore.  Zu  den  Meteoren  (griech.  t<x  firriopa  =  die 
I.ufterscheinungen,  vergl.  auch  das  aus  dhfo  =  Luft  und  Xtftoc  =  Stein  zusammen- 
gesetzte »Aerolith«)  wurden  in  den  ältesten  Zeiten  auch  die  Kometen  (griech. 
xoii^TTjC  =  Haar-  oder  Schwanzstern,  von  x^jat],  latein.  coma  =  Haupthaar ,  Haar 
gezählt.    Die  durch  die  Luftfeuchtigkeit  bedingten  Erscheinungen :  Regen,  Schnee 
Hagel;    die  von  der  Lufttemperatur  und  dem  Luftdruck  abhängen:  Wind  und 
Sturm;  die  elektrischen  Lufterscheinungen:  Blitz  und  Donner,  u.  s.  w.;  Feuerkugeln, 
Sternschnuppen,  aus  den  Wolkenregionen  zur  Erde  gefallene  Steine,  ja  selbst  viel 
später  noch  mitunter  neue  Sterne,  endlich  auch  die  Kometen  bildeten  zusammen 
die  Erscheinungen  des  Luftmeeres:  xa  yuHiop*.    Aber  alle  diese  Erscheinungen 
hatten  nach  der  verbreitesten  Ansicht  nicht  nur  ihren  Sitz,  sondern  auch  ihren 
Ursprung  in  der  irdischen  Atmosphäre;  sie  wurden  in  dieser  erzeugt,  entstanden 
und  verschwanden  in  ihr.   Insbesondere  mag  bemerkt  werden,  dass  Aristoteles 
die  Kometen  tili  eine  aus  trockenen  Ausdünstungen  entstandene  und  entzündete 
Masse  hält;  Heraclides  aus  Pontus  erklärt  sie  für  hochstehende,  erleuchtete  Wolken. 

V*mmm«,  A»tronomie.   tl.  4 


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Kometen  und  Meteore. 


Wenn  aber  diese  Ansichten  auch  die  verbreitetsten  waren,  so  findet  man  doch 
auch  schon  im  Alterthume  abweichende  Meinungen.  Anaxagoras  und  Demokrit 
erklärten  die  Kometen  für  eine  Conjunction  zweier  oder  mehrerer  Sterne,  die  ihre 
Strahlen  vereinigen,  eine  Ansicht,  durch  welche  allerdings  die  Kometen  von 
irdischen  Luftgebilden  ausgeschieden,  dafür  aber  zu  den  Phantasiegebilden  ver- 
wiesen wurden.  Nach  Plutarch  (»De  placitis  philosophorum«,  III.  Buch,  2.  Kap.) 
hatte  Diogenes  die  Kometen  für  wirkliche  Steme  gehalten.  Seneca  erwähnt  in 
seinen  »Naturales  questionesc  (VII.  Buch,  3.  u.  4.  Kap.),  dass  sich  diese  Annahme 
nach  der  Meinung  des  Apollonius  bereits  bei  den  Chaldäem  findet,  während 
Epicenes  gerade  das  Gegentheil  hiervon,  dass  nämlich  die  Chaldäer  die  Kometen 
für  Ausdünstungen  der  irdischen  Atmosphäre  hielten,  berichtet.  Dieser  Widerspruch 
löst  sich,  wenn  man,  was  ja  ganz  wohl  möglich  ist,  annimmt,  dass  beide  ihre 
Kenntnisse  aus  verschiedenen  Quellen  schöpften,  d.  h.  dass  einzelne  unter  den 
gelehrten  Chaldäem  der  ersteren,  andere  der  letzteren  Meinung  waren. 

Selbst  die  Meteoriten  sollen  bereits  von  Diogenes  im  5.  Jahrhundert  vor 
Christi  Geburt  für  Weltkörper  erklärt  worden  sein.  Er  hält  den  berühmten  bei 
Aegos-Potamos  gefallenen  Meteorstein  für  einen  aus  dem  Welträume  zur  Erde 
gelangten  Stein,  und  spricht  dabei  die  Meinung  aus,  dass  es  unsichtbare  Sterne 
giebt,  die  nur  dann  sichtbar  werden,  wenn  sie  auf  die  Erde  herabfallen. 

Seneca  selbst  hält  die  Kometen  nicht  für  vergängliches  Feuer,  sondern  für 
ewige  Werke  der  Natur,  wofür  er  als  Beweis  anführt,  dass  sie  einen  bestimmten 
Lauf  haben,  nicht  schnell  entstehen  und  vergehen,  und  ihre  Stellung  am  Himmel 
nicht  nach  der  Windrichtung  ändern.  (»Quaestiones  naturales«,  Kap.  23).  Den 
Einwand,  dass  sie  als  Wandelsterne  nicht  im  Thierkreise  stehen,  erklärt  er  für 
belanglos,  »denn  wer  hat  den  Sternen  Grenzen  vorgeschrieben?«  Dass  man  ihre 
Wiederkehr  noch  nicht  beobachtet,  und  ihre  Bahnen  noch  nicht  berechnet  hat, 
ist  kein  Grund,  ihnen  die  Beständigkeit  abzusprechen,  denn  man  sieht  einen 
Kometen,  wie  schon  Apollonius  hervorgehoben  hat,  nur,  wenn  er  aus  den  oberen, 
entfernteren  Regionen  des  Himmels  in  den  unteren,  »der  Erde  nahen  Theil  seiner 
Bahn  kommt«. 

Diese  vollständig  richtige  Ansicht  thcilte  das  Schicksal  anderer,  ähnlicher, 
z.  B.  der  Ansicht  von  der  Bewegung  der  Erde:  sie  wurde  im  Mittelalter  voll- 
ständig verlassen,  vielleicht  nicht  einmal  gekannt,  weil  —  nichts  davon  im 
Aristoteles  stand. 

Mit  den  Meteoriten  befasste  man  sich  im  Mittelalter  gar  nicht.  Vereinzelte 
Erscheinungen  wurden  nicht  beachtet,  und  auffallende  Objekte  am  Himmel  waren 
in  dem  abergläubischen  Mittelalter  immer  nur  Vorboten,  göttliche  Zeichen,  genau 
so  wie  die  Kometen.  Soll  man  annehmen,  dass  weniger  Erscheinungen  dieser 
Art  auftraten?  Sternschnuppenfälle,  Feuerkugeln,  Meteoritenfälle  bieten  sich  ja 
gerade  in  einer  Form  dar,  welche  mit  blossem  Auge  beobachtet  werden  kann, 
sodass  auf  ihre  Beobachtung  die  astronomischen  Hilfsmittel  der  späteren  Zeit 
(Fehrnrohr)  keinen  Einfluss  haben  konnten.  Nichts  desto  weniger  ist  es  viel  wahr- 
scheinlicher, dass  man  weniger  beobachtete  oder  vielmehr  weniger  beachtete,  wie 
dieses  an  dem  Beispiele  der  Sonnenflecken  ersichtlich  ist. 

Namentlich  seit  Regiomontan  waren  die  Kometenerscheinungen  Gegenstand 
der  Beobachtungen  von  Astronomen ;  und  jeder  bedeutendere  Astronom  zog  die- 
selben in  den  Kreis  seiner  Betrachtungen,  und  versuchte  die  Gesetze  ihrer  Be- 
wegung zu  erforschen;  in  der  That  machte  die  Kometenastronomie  auch  relativ 
bedeutende  Fortschritte  nicht  ohne  dass  sich  nebenbei  im  grossen  Publikum  die 
Meinung  von  der  astrologischen  Bedeutung  der  Kometen  als  göttliche  Warnungs- 


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Kometen  und  Meteore. 


5« 


zeichen  zur  Verkündigung  von  Strafen  u.  s.  w.,  erhalten  hätte.  Ja  selbst  im 
18.  Jahrhundert  war  die  Kometenfurcht  nicht  völlig  geschwunden,  und  selbst  noch 
im  Anfang  unseres  Jahrhunderts  fanden  die  Untersuchungen  der  Astronomen  über 
mögliche  Zusammenstösse  eines  Kometen  mit  der  Erde  ein  verzerrtes  Echo  bei 
der  grossen  Menge,  welche  in  diesen  Untersuchungen  nichts  weiter  zu  finden 
glaubte,  als  die  genaue  astronomische  Festsetzung  der  Zeit  des  bevorstehenden 
Weltunterganges. 

Anders  verhielt  es  sich  mit  den  Meteoren.  Der  Volksglaube  mass  den  Feuer- 
erscheinungen  in  der  Luft,  wenn  sie  nicht  massenhaft  auftraten,  keine  besondere 
Bedeutung  bei,  was  wohl  seine  Ursache  darin  haben  konnte,  dass  sie  allzu  ver- 
gänglich sind;  wenn  auch  jemand  ein  bedeutenderes  Meteor  sah,  so  war  dasselbe 
eben  nur  für  ihn  vorhanden,  nicht  aber  für  andere,  die  sich  von  der  Erscheinung 
desselben  nicht  wie  bei  den  Kometen  überzeugen  konnten.  Der  astronomischen 
Untersuchung  der  Sternschnuppenfälle  hingegen  stellte  sich  als  Haupthinderniss 
die  scheinbare  Unregelmässigkeit  im  Auftreten  derselben  und  in  deren  Bewegung 
entgegen. 

Auflällig  waren  nur  die  Meteorstein  fälle;  allein  diese  wurden  angestaunt, 
wohl  auch  als  vom  Himmel  gefallene  Steine  verehrt;  aber  die  Bedeutung  der 
Kometen  legte  man  ihnen  nicht  bei.  Man  dürfte  wohl  nicht  fehl  gehen,  wenn 
man  den  Grund  dafür  darin  sucht,  dass  diese  zur  Erde  gefallenen  Steine  sich 
von  den  Kometen  wesentlich  dadurch  unterschieden,  dass  man  ihre  Natur  kannte, 
während  man  von  der  Beschaffenheit  der  Kometen  so  gar  nichts  wusste. 

Seit  Reciomontan  hatte  man  nun  aber  die  Erscheinungen  der  Kometen 
und  der  Meteore  wenigstens  von  wissenschaftlicher  Seite  vollständig  getrennt 
Die  Kometen  waren  Objecte  der  Astronomie  geworden;  Meteore  irgend  welcher 
Art  mussten  aus  dem  Bereiche  derselben  gewiesen  werden.  Dieses  blieb  so  bis 
zum  Ende  des  vorigen  Jahrhunderts.  1794  erschien  die  für  die  Meteorastronomie 
epochemachende  Schrift  Chladni's:  »Ueber  den  Ursprung  der  von  Pallas  ge- 
fundenen und  anderer,  ihr  ähnlicher  Eisenmassen  und  über  einige,  damit  in  Ver- 
bindung stehende  Naturerscheinungenc ;  1799  fand  der  grosse,  von  Alex.  v.  Hum- 
boldt in  Cumana  beobachtete  Sternschnuppenfall  statt,  und  1803  wurde  durch 
die  im  Auftrage  der  Pariser  Academie  von  Biot  vorgenommene  Untersuchung  des 
Meteorsteinfalles  von  l'Aigle  die  immer  wiederkehrende,  und  damals  von  wissen- 
schaftlicher Seite  immer  wieder  geläugnete  Thatsache  von  Steinfällen  wissen- 
schaftlich ausser  Zweifel  gestellt,  und  damit  waren  auch  die  Meteore  in  den  Kreis 
der  astronomischen  Forschung  gerückt. 

Im  Jahre  1866  wurde  Schiaparelli  durch  seine  Untersuchungen  über  perio- 
dische Sternschnuppen  auf  die  Identität  der  Bahnen  grosser  Schwärme  mit 
einzelnen  Kometenbahnen  geführt,  und  damit  eröffnete  sich  der  astronomischen 
Forschung  ein  neues  Feld.  Wieder  traten  Kometen  und  Meteore  als  zusammen- 
hängende Glieder  in  dem  Reiche  der  Naturerscheinungen  auf,  aber  sie  sind  nicht 
mehr  Erscheinungen  unseres  Luftkreises,  nicht  Gebilde  tellurischen  Ursprungs, 
welche  Gegenstand  der  Meteorologie  sind,  sondern  zusammenhängende  Objecte 
kosmischen  Charakters,  Glieder  des  Sonnensystems,  welchem  sie  seit  Zeiträumen 
angehören,  die  sich  selbst  der  astronomischen  Forschung  entziehen,  oder  denen 
sie  sich  erst  in  späteren  Zeiten  einverleibt  haben,  um  demselben  längere  oder 
kürzere  Zeit  anzugehören. 

A.  Kometen. 

Die  ältesten  beobachteten  Kometen  waren  selbstverständlich  besonders  auf- 
fallende Himmelserscheinungen.    Sie  hatten  mächtige,  sich  über  weite  Himmels- 

4# 


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Kometen  und  Meteore. 


striche  hin  ausdehnende  Schweife,  woher  auch  der  Name  derselben  rührt.  Ihrer 
Ortsveränderung  am  Himmel  wendete  man  keine  Aufmerksamkeit  zu,  denn  sie 
wurden  als  der  terrestrischen  Atmosphäre  angehörige  Objecte  angesehen,  die, 
ähnlich,  wie  die  Morgen-  und  Abendröthe  jeden  Tag  neu  entstehen  und  ver- 
schwinden. Merkwürdig  ist,  dass  Aristoteles,  der  derselben  Meinung  huldigte, 
für  den  Kometen  (l)1),  372  v.  Chr.  Geb.  rohe  Ortsbestimmungen  gab  (Auftreten 
in  dei  Gegend  des  Frühlingspunktes,  Bewegung  gegen  den  Gürtel  des  Orion 
zu,  wo  er  verschwand),  so  dass  Pingre  sogar  seine  genäherte  Bahn  berechnen 
konnte. 

Von  wirklich  systematischen  Kometenbeobachtungen,  d.  h.  von  Bestimmungen 
der  Positionen  der  Kometen  nach  ihren  Coordinaten  an  der  Himmelskugel  kann 
erst  seit  Reciomontan,  welcher  in  dieser  Art  im  Jahre  1472  den  Kometen  (23) 


')  Es  wäre  der  Kürze  wegen  gut,  wenn  man  die  Kometen,  deren  Bahnen  bestimmt  sind, 
ähnlich  den  Planeten  consequent  durch  Nummern  bezeichnen  würde.  Daraus  ergiebt  sich  aller- 
dings die  Schwierigkeit,  dass  in  dem  Maasse,  als  die  Bahnen  von  älteren  Kometen  bestimmt 
werden,  neue  Zahlen  einzuschalten  sind,  während  andererseits  durch  Identifikation  älterer  Kometen 
mit  später  beobachteten,  andere  Zahlen  ausfallen.  Dieser  Wechsel  der  Bezifferung  erstreckt  sich 
jedoch  nur  auf  die  relativ  unsicheren,  namentlich  aus  chinesischen  Beobachtungen  abgeleiteten 
Bahnen  der  älteren  Kometen.  Da  diese  aber  keineswegs  mehr  als  eine  Direktive  für  die  späteren 
Untersuchungen  Uber  die  Identität  dieser  Kometen  mit  den  in  unserer  Zeit  beobachteten 
geben,  so  kann  hieraus  kaum  ein  Uebelstand  erwachsen,  und  kann  die  Numerirung  des  ersten 
GALLE'schen  Kometenverzeichnisses  (aus  dem  Jahre  1847),  welches  seither  manchen  späteren 
Werken  zu  Grunde  gelegt  wurde,  beibehalten  werden.  Dies  geschah  in  dem  diesem  Hand- 
wörterbuche zum  Schlüsse  beigegebenen  Verzeichnisse  der  Kometenbahnen.  Hierzu  ist  nur 
das  Folgende  zu  bemerken:  Die  älteren  Erscheinungen  des  Halley' sehen  Kometen  aus  den 
Jahren  12  vor  Chr.  Geb.,  ferner  66,  141,  837,  989,  1066,  1301,  1378,  1456,  1 531  'erhielten 
die  Nummer  19  des  GAl.LE'schen  Verzeichnisses;  die  von  Ckloria  aus  den  ToscANEUJ'schen 
Beobachtungen  ermittelten  Bahnen  der  Kometen  1449  und  1457  I  erhielten  die  Nummern  18 
bez.  20,  während  die  höchst  unsicheren  Bahnen  der  Kometen  aus  den  Jahren  240,  539,  565, 
135 1  und  1533  des  älteren  GALLE'schen  Kometenverzeichnisses  die  Bezeichnungen  a,  b,  e,  e 
und  i  die  Kometen  aus  den  Jahren  1006,  1402,  1499,  1500  des  zweiten  GALLE'schen  Ver- 
zeichnisses die  Bezeichnungen  d,  /,  g,  h,  und  die  wegen  mangelhafter  und  der  Zahl  nach  un- 
genügender Beobachtungen  ebenfalls  nur  unsicheren  Bahnen  der  Kometen  1816  und  1818  I  die 
Bezeichnungen  k,  l  erhielten.  Hierdurch  correspondiren  die  Nummern  von  22  angefangen 
durchweg  mit  der  GALLE'schen  Bezeichnung. 

Gewöhnlich  bezeichnet  man  die  Kometen  nach  dem  Jahre  ihres  Erscheinens,  und  fügt, 
um  Sie  von  einander  zu  unterscheiden,  römische  Ziffern,  nach  de»  Zeit  ihres  Periheldurch- 
ganges  bei.  So  ist  der  Komet  1892  I,  der  am  6.  März  1892  von  Swift  in  Rochester  N.  Y. 
entdeckte  Komet,  welcher  sein  Perihel  April  6  7  M.  Z.  Berlin  passirte;  der  Komet  1892  n  ist 
der  am  18.  März  von  Denning  in  Bristol  entdeckte  Komet,  der  Mai  1 1*2  durch  das  Perihel  ging; 
Komet  1892  III  der  am  6.  November  von  Holmes  in  London  entdeckte  Komet,  dessen  Durch- 
gang durch  das  Perihel  auf  Juni  13  2  fiel.  1892  IV  ist  der  am  18.  März  (also  vor  dem  Ko- 
meten 1892  III)  von  Spitäler  in  Wien  nach  der  Ephemeride  von  v.  Haerdtl  wieder  aufge- 
fundene WiNNECKE'sche  Komet,  dessen  Perihelzeit  Juni  30'9  fiel.  1892  V  ist  der  October  12 
(also  ebenfalls  vor  dem  Kometen  1892  III)  von  Barnard  auf  dem  Mount  Hamilton  auf  photo- 
graphischem Wege  entdeckte  Komet,  der  Dec.  1 11  durch  das  Perihel  ging;  1 892  VI  der  von 
Brooks  in  Geneva  N.  Y.  am  28.  August  (also  vor  den  Kometen  m  u.  V)  entdeckte  Komet, 
welcher  Dec.  28'1  durch  sein  Periuel  ging;  während  der  ebenfalls  von  Brooks  in  Geneva  N.  Y. 
am  19.  November  1892  entdeckte  Komet  bereits  mit  18931  bezeichnet  werden  muss,  da  seine 
Perihelzeit  1893  Januar  6  5  fallt.  Diese  Bezeichnung  muss  hier  zur  leichteren  Orieqtirung  bei- 
behalten werden.  Die  nach  der  Jahreszahl  beigefügte  Bezeichnung  a,  b,  c,  d  .  .  .  nach  deT 
Zeitfolge  der  Entdeckungen  ist  jetzt  fast  allgemein  aufgegeben  worden. 


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Kometen  und  Meteore. 


53 


beobachtete,  gesprochen  werden.  Die  Zahl  der  beobachteten  Kometen  beträgt 
in  den  Jahren 


vor  500  vor  Chr. 

Geb. 

3 

700 

bis 

799 

nach  Chr.  Geb. 

13 

499 

bis 

400 

II 

6 

800 

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899 

7  7 

II 

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31 

399 

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300 

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11 

7 

900 

11 

999 

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20 

2  99 

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27 

400 

1» 

499 

1» 

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1» 

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1700 

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II 

II 

96 

500 

1» 

599 

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11 

24 

1800 

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»895 

1» 

•  » 

II 

284 

600 

»» 

699 

l> 

II 

11 

21 

wobei  aber,  was  namentlich  für  das  letzte  Jahrhundert  zu  beachten  ist,  die 
periodischen  Kometen  in  jeder  Erscheinung  wiedergezählt,  hingegen  für  die  Zeit 
von  1800  bis  1895  24  Kometen,  die  nur  ein-  oder  zweimal  gesehen  und  dann 
nicht  mehr  wiedergefunden  wurden,  nicht  mitgerechnet  sind. 

Aus  dieser  Tabelle  ist  zu  ersehen,  dass  bis  200  vor  Chr.  Geb.  die  Zahl  der 
Kometen  noch  merklich  durch  die  Zahl  der  auffälligen  Kometen  gegeben  ist; 
erst  seit  200,  d.  i.  seit  Hipparch  wurde  diesen  Himmelskörpern  —  wie  überhaupt 
der  Astronomie  —  eine  grössere  Aufmerksamkeit  zugewendet,  woraus  sich  die 
plötzliche  Zunahme  der  gesehenen  Kometen  leicht  erklärt:  dass  thatsächlich  mehr 
Kometen  erschienen  sein  sollten,  kann  nicht  wohl  angenommen  werden.  Merk- 
würdigerweise erhält  sich  die  Zahl  der  beobachteten  Kometen  bis  1700  ziemlich 
constant;  selbst  die  Anwendung  des  Fernrohres  bringt  hierin  keine  Aenderung 
hervor.  Dieses  scheint  auf  den  ersten  Augenblick  sonderbar;  das  Befremden  ver- 
schwindet aber,  wenn  man  berücksichtigt,  dass  das  Fernrohr  nicht  zur  Aufsuchung 
von  Kometen,  sondern  anfänglich  nur  zur  Betrachtung,  später  (seit  Gascoigne  1640) 
zu  Ortsbestimmungen  verwendet  wurde.  Der  erste  teleskopisch  entdeckte  Komet 
war  der  von  Sarabat  1729  entdeckte  Komet  (60),  was  eigentlich  sehr  merkwürdig 
ist,  da  er  in  relativ  sehr  grosser  Entfernung  von  der  Erde  und  Sonne  entdeckt 
wurde,  indem  seine  Periheldistanz  vier  Erdbahnhalbaxen  (die  grösste  überhaupt 
bisher  bei  einem  Kometen  gefundene  Periheldistanz)  ist,  also  nahe  der  Jupiter- 
bahn fällt. 

Aber  erst  in  unserem  Jahrhundert  nahm  die  Zahl  der  teleskopisch  entdeckten 
Kometen  besonders  zu,  und  unter  den  bis  Ende  1895  entdeckten  284  Kometen 
ist  die  weitaus  grösste  Mehrzahl  teleskopisch. 

Die  Kometen  unterscheiden  sich  von  den  Planeten  durch  ihr  nebelartiges 
Aussehen.    Während  die  Planeten  im  Fernrohre  das  Bild  von  gut  bestimmten, 
von  scharfen  Contouren  begrenzten  Scheiben  (grosse  Planeten)  oder  feineren, 
fixsternartigen  l.ichtpünktchen  (kleine  Planeten)  bieten,  haben  die  Kometen  das 
Aussehen  von  dunstartigen,  den  Nebelflecken  ähnlichen,  kleinen,  meist  kreis- 
runden Wölkchen  von  mehreren  Bogenminuten  Durchmesser,  deren  mattes  Licht 
allmählich,  fast  continuirlich   gegen  den  dunklen  Himmelshintergrund  abnimmt, 
so  dass  der  Komet  meist  mit  verwaschenen,  sich  von  dem  dunklen  Hintergründe 
nur  unscharf  abhebenden  Contouren  erscheint.    Von  dieser  den  teleskopis*  hen 
fast  ausschliesslich  eigenen  Form  unterscheidet  sich  diejenige  der  mit  freiem 


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54 


Kometen  und  Meteore. 


Auge  sichtbaren  Kometen  durch  eine  oft  nur  kurze,  oft  ziemlich  ausgedehnte, 
bei  manchen  besonders  auffalligen  Kometen  sich  Uber  einen  grossen  Theil  des 
Himmels  ausdehnende  mächtige  »Ausstrahlung« ,  den  Schweif,  welchem  die 
Kometen  ihren  Namen  verdanken.  Man  nennt  den  Kometennebel,  welcher  das 
eigentliche  Objekt  des  Kometen  bildet,  die  Coma,  mitunter  auch  den  Kopf; 
doch  findet  man,  namentlich  in  älteren  Werken,  den  Namen  »Kopf«  in  zweierlei 
verschiedener  Bedeutung  gebraucht.  Schröter  nennt  die  Coma  des  Kometen 
die  »Kernlichtkugel«,  die  vordere,  der  Sonne  zugekehrte  Begrenzung  des  Kometen- 
schweifes, welcher  sich  z.  B.  bei  dem  Kometen  (122)  181 1  I  auf  einen,  anfänglich 
ca.  18-,  später  bis  zu  7  fachen  Durchmesser  der  Coma  erstreckte,  den  Kopf.  Dieses 
schliesst  sich  mehr  der  älteren  Bedeutung  an,  bei  welcher  unter  Coma  (Haar) 
der  eigentliche  Schweif  verstanden  war.  Hevel  gebraucht  in  seiner  Kometographie 
den  Namen  »Kopf  des  Kometen«  (caput  cometat)  in  der  jetzt  üblichen  Bedeutung, 
für  den  Kometennebel,  zählt  aber  die  Nebelhülle  (die  Coma)  bereits  zum  Schweife, 
während  er  als  Kometen  nur  den  in  der  Mitte  des  Nebels  auftretenden  Lichtpunkt, 
den  Kern  (nueleus)  erklärt1).  Lichtpunkte  dieser  Art,  Kerne,  sind  nicht  bei  allen 
Kometen  sichtbar.  Selbst  bei  grossen,  mit  freiem  Auge  sichtbaren  Kometen 
fehlen  dieselben  manchmal.  So  war  bei  dem  Kometen  (298)  (1887  I)  keine  Spur 
eines  Kernes  zu  finden;  die  Coma,  als  Begleiterin  des  Kernes  auch  »Nebel- 
hülle« genannt,  war  so  verwaschen  und  diffus,  dass  der  Komet  im  Fernrohr 
früher  verschwand  als  dem  blossen  Auge,  und  dass  mikrometrische  Messungen 
(Ortsbestimmungen)  überhaupt  nicht  gemacht  werden  konnten;  die  Positions- 
bestimmungen dieses  Kometen  waren,  ein  in  diesem  Jahrhundert  einzig  da- 
stehender Fall,  blosse  Einstellungen  am  Aequatoreal  und  Ablesungen  am  Kreise. 

Mitunter  treten  bei  Kometen  mehrere  Kerne  in  dem  Kopfe  aui;  mitunter 
haben  dieselben  nur  das  Aussehen  von  undeutlichen  Lichtansammlungen,  Ver- 
dichtungen, so  dass  bei  einer  grossen  Anzahl  von  Kernen  der  Kometenkopf  ein 
granulirtes  Aussehen  erhält.  Ein  derartiges  Aussehen  hatten  nach  den  Hevel- 
sehen  Zeichnungen  (vergl.  in  seiner  »Cometographie«  die  Tafeln  zwischen  pag.  452 
und  453  und  zwischen  pag.  458  und  459)  die  Kometen  von  1590,  1607,  1647  und 
1661.  Eine  ähnliche  Erscheinung  beobachtete  Schiaparelli  bei  dem  Kometen 
(224)  (1862  III)5*)  am  25.  August  1862. 

Mehrere  getrennte  Kerne  sahen  Tycho  und  Cornelius  Gemma  bei  dem 
Kometen  von  1577  (No.  29).  Spektroskopische  Beobachtungen  haben  gezeigt, 
dass  selbst  bei  denjenigen  Kometen,  bei  welchen  ein  deutlicher  Kern  nicht  wahr- 
zunehmen ist,  ein  solcher  vorhanden  ist.  Das  Spectrum  des  Kometen  besteht 
nämlich9)  aus  einem  continuirlichen  Spectrum,  das  von  einem  festen  (oder 
tropf barflüssigen)  Kern  herrührt,  und  mit  der  Helligkeitszunahme  dieses  Kernes 
auch  an  Intensität  gewinnt4)  und  aus  einem  Linicnspectrum,  das  den  in  der 
Nebelhülle  (Coma)  auftretenden  Stoffen  angehört.  Das  continuirliche  Spectrum 
zeigt  sich  nun  selbst  bei  denjenigen  Kometen,  bei  denen  ein  deutlicher  Kern 
nicht  constatirbar  ist 


»)  Caput  Ccmetae,  nemfe  nueleus  una  cum  circumfuso  jubare  (vergl.  u  B.  seine  »Cometo- 
graphie«, pag.  341. 

')  Vergl.  »Entwurf  einer  astronomischen  Theorie  der  Sternschnappen«,  deutsche  Ausgabe 
von  Boguslawski,  pag.  173. 

*)  Vergl.  den  Artikel  »Astrospectroskopic«,  pag.  408. 

*)  Ebenda,  pag.  409,  TergL  auch  Herz,  »Bestimmung  der  Bahn  des  grossen  Kometen  von 
181 1 « .  patf.  200. 


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Tafel  III. 

Valentiner,  Handwörterbuch  der  Astronomie. 


Hand  II,  pag.j 


Tafel  IV. 


vrALENTiNtK,  Handwörterbuch  der  Astronomie. 


Hand  II,  pag.  58. 


Herz  del. 


Fig.  3 
(1888,  Mai  ai) 

Komet  Sawerthal  1888  I 
(nach  Wutschichowsky ,  Astron.  Nachrichten  No.  2844) 


Verlag  von  EnuARD  Trkwknkt 


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Kometen  um)  Meteore. 


Der  Kern  des  Kometen  ist  nicht  immer  in  der  Mitte  des  Kopfes.  Bei  dem 
Kometen  (122)  (1811  I)  sah  Herschel  den  Kern  excentrisch,  und  zwar  »immer 
weiter  von  der  Sonne  entfernt,  als  die  Mitte  des  glänzendsten  Theiles  der  ihn 
umgebenden  Atmosphäre.  Diese  excentrische  Lage  war  so  beträchtlich,  dass  bei 
der  Schwierigkeit,  mit  welcher  der  Lichtpunkt  gesehen  war,  letzterer  sehr  leicht 
dem  Beobachter  entschlüpfen  konnte«1).  Bei  dem  Kometen  (270)  (1880 1),  dessen 
Bahn  sehr  nahe  mit  derjenigen  des  Kometen  (161)  (1843  I)  übereinstimmt,  erklärte 
Gould  die  geringen  Abweichungen  durch  die  Nichtübereinstimmung  des  optischen 
und  physischen  Schwerpunktes. 

Bei  den  grossen,  in  den  ältesten  Zeiten  allein  auffälligen  Kometenerscheinungen 
bildete  eine  der  merkwürdigsten  Erscheinungen  der  Kometen  der  Schweif.  Bei 
dem  Kometen  (161)  (1843  I)  und  bei  dem  DoNATi'schen  Kometen  (213)  (1858  VI) 
betrug  die  Schweillänge  nahe  60°;  bei  dem  Kometen  (122)  (dem  grossen  Ko- 
meten von  1811)  nahe  90°;  bei  dem  Kometen  (37)  (dem  grossen  Kometen  von 
1618)  über  100°,  und  bei  dem  grossen  Kometen  des  Jahres  1861  (221)  sogar  120°. 
Rechnet  man  hiermit  und  mit  den  wahren  Entfernungen  der  Kometen  von  der 
Erde  mit  Rücksicht  auf  die  Richtung  der  Kometenschweife  deren  absolute  Längen, 
so  ergeben  sich  ganz  ungeheure  Werthe;  für  den  Kometen  (221)  findet  sich 
35  Millionen  Kilometer,  für  den  Kometen  (213)  80  Millionen  Kilometer,  für 
den  Kometen  (122)  110  Millionen  Kilometer,  und  für  den  Kometen  (161) 
250  Millionen  Kilometer. 

Schon  Seneca  bemerkte,  dass  die  Kometenschweife  die  Sonne  fliehen,  und 
dieselbe  Regel  findet  sich  in  den  griechischen  Berichten  über  den  Kometen 
(19)  vom  Jahre  837.  Neuerdings  wurde  diese  Beobachtung  von  Fracastor  und 
von  Petrus  Aplanus  an  dem  Kometen  von  1531  gemacht.  Seither  hat  sich  die 
Regel,  dass  die  Kometenschweife  stets  von  der  Sonne  abgewendet  sind,  bestätigt 
gezeigt,  wenngleich  die  Kometenschweife  nicht  mit  der  Verlängerung  des  Radius- 
vectors  der  Kometen  zusammenfallen,  sondern  von  demselben  oft  nicht  unbe- 
trächtlich abweichen. 

Die  Form  der  Kometenschweife  ist  meist  schwach  gekrümmt,  an  den  Rändern 
lichtstärker  als  im  Innern,  so  dass  sie  das  Aussehen  einer  cylinderförmigen,  im 
innem  hohlen  Dunströhre  gewinnen,  sonst  aber  ausserordentlich  mannigfaltig: 
der  Schweif  geht  als  dünne  Säule  aus  dem  Kometenkopfe  an  der  der  Sonne 
abgewendeten  Seite  hervor  und  wird  allmählich  breiter,  wie  beim  Kometen  (37); 
oder  er  umgiebt  den  Kometenkopf  in  einer  ziemlichen  Entfernung,  durch 
einen  dunklen  Zwischenraum  von  demselben  getrennt,  wie  eine  kleine  Hohl- 
kugel, die  auf  der  von  der  Sonne  abgewendelen  Seite  in  eine  mächtige,  sich  all- 
mählich erweiternde  Röhre  übergeht,  so  dass  man  eigentlich  zwei  Schweife  zu 
sehen  glaubt,  die  nahe  parallel,  aber  von  dem  Kometen  weg  schwach  diver- 
girend  verlaufen  und  sich  gegen  die  Sonne  zu  um  den  Kometen  herum  durch 
einen  Kreis  schliessen  (Komet  122);  oder  der  Schweif  des  Kometen  besitzt 
an  der  einen  Seite  eine  scharfe  Begrenzung  (Lichtlinie)  und  ist  nach  der  anderen 
Seite  verwaschen,  federartig  geschlitzt  (Komet  29).  Bei  dem  Kometen  (37) 
beobachtete  Horatius  Crassus  am  30.  November  161 8  in  der  Mitte  des  Schweifes 
von  dem  Kopfe  des  Kometen  ausgehend,  über  eine  kurze  Strecke  hinziehend 
eine  schmale,  helle  Linie,  instar  meduüae  arboris*). 


»)  Monatliche  CorTespondenz  rur  Beförderung  der  Erd-  und  Himmelskunde  von  v.  Zach, 
Bd.  38,  pag.  459. 

*)  Hmt,  Cometographie,  pag.  881. 


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56 


Kometen  und  Meteore. 


Diese  Formen  bilden  schon  mannigfach  den  Uebergang  zu  den  anomalen 
Kometenschweifen.  Nebst  der  Hauptform  des  von  der  Sonne  weggerichteten, 
nur  wenig  gekrümmten  Schweifes  hat  man  nämlich  wiederholt  kürzere  Neben- 
schweife beobachtet,  die  zu  den  Hauptschweiten  geneigt,  oft  auch  gegen  den 
Radiusvector  der  Kometen  senkrecht  stehen,  oder  zur  Sonne  gerichtet  sind, 
und  die  deshalb  als  anomal  bezeichnet  wurden. 

.  Unter  den  älteren  Kometen,  von  denen  Hevel  in  seiner  Kometographie  be- 
richtet, bietet  die  merkwürdigsten  Erscheinungen  in  dieser  Art  der  Komet  (29), 
bei  welchem  Cornelius  Gemma  nebst  dem  Hauptschweife  noch  einen  zweiten, 
kürzeren  Schweif  von  derselben  Krümmung  in  nahe  derselben  Richtung  sah, 
überdies  aber  noch  drei  nahe  gleich  lange,  ziemlich  kurze  Nebenschweife,  von 
denen  der  eine  nahe  30°  gegen  den  Hauptschweif  geneigt,  von  der  Sonne  weg 
gerichtet,  der  zweite  nahe  senkrecht  auf  dem  Radiusvector  des  Kometen  und 
der  dritte  zur  Sonne  gerichtet  war. 

Zunächst  wäre  dann  der  grosse  Komet  von  1680  (No.  46)  zu  erwähnen,  bei 
welchem  Gottfried  Kirch  ebenfalls  einen  gegen  die  Sonne  zu  gerichteten  Schweif 
beobachtet  hatte,  weiter  der  Komet  von  1744,  welcher  6  fächerförmig  geordnete, 
30  bis  40°  lange  Schweife  hatte;  der  Komet  von  1807,  der  einen  längeren,  fast 
geraden  und  einen  kürzeren,  stark  gekrümmten  Schweif  hatte.  Der  Komet  von 
1823  hatte  zwei  mehrere  Grade  lange  Schweife,  von  denen  der  eine  der  Sonne 
zu,  der  andere  von  der  Sonne  weggerichtet  war. 

Merkwürdige  Erscheinungen  bot  der  DoNATi'sche  Komet  (213).  Derselbe 
hatte  nebst  einem  langen,  gekrümmten  Hauptschweif  noch  einen  zweiten,  be- 
deutend schwächeren,  geraden,  ebenfalls  von  der  Sonne  weg  gerichteten;  die 
zur  Sonne  zugekehrte  Schweifhülle,  gewöhnlich  die  Lichtausströmung  genannt, 
welche,  wie  oben  bei  dem  Kometen  (122)  erwähnt  wurde,  eine  durch  einen 
dunklen  Zwischenraum  von  der  Coma  getrennte  Dunsthülle  bildete,  war  beim 
DoNATi'schen  Kometen  geschichtet,  gleichsam  aus  einer  Reihe  von  concen- 
trisch  übereinandergelegten  Lichthüllen  bestehend;  eine  ähnliche  Erscheinung 
beobachtete  Wimnecke  auch  bei  dem  Kometen  1862  II. 

Anomale  Schweife  wurden  auch  beobachtet  bei  dem  Kometen  1844  I  und 
bei  dem  Kometen  1862  II. 

Der  WiNNECKF.'sche  Komet  (131)  hatte  im  Jahre  1875  zwei  kurze,  einen 
Winkel  von  60°  einschliessende  Schweife,  zwischen  welchen  sich  mehrere  andere 
fächerförmig  ausbreiteten. 

Der  Komer  1888  1  zeigte  einen  gegen  den  Haupfschweif  unter  60°  geneigten 
Nebenschweif  (vergl.  die  Fig.  1  und  2,  Tafel  IV). 

Besondere  Aufschlüsse  über  die  Kometenschweife  brachte  seit  1892  die  Photo- 
graphie. Bei  dem  Kometen  1892  I  zeigten  die  auf  dem  Mount  Hamilton  und  in 
Sydney  aufgenommenen  Photographieen  eine  Theilung  des  Schweifes  in  mehrere, 
bis  zu  8  Strahlen,  während  er  direkt  (im  Fernrohre)  nur  von  Barnard  am  3.  April 
doppelt  gesehen  wurde.  Am  7.  April  zeigten  die  Aufnahmen  eine  in  2°  Ent- 
fernung vom  Kopfe  sich  zusammenballende  Anschwellung,  welche  das  Bild  eines 
zweiten  Kometen  darstellte,  aus  dessen  Kopf  ein  neues  System  von  Strahlen 
hervorbrach.  Eine  ähnliche  Erscheinung  zeigte  der  Komet  1892  UJ  auf  einer 
photographischen  Aufnahme,  welche  Barnard  auf  dem  Mount  Hamilton  am 
10.  November,  vier  Tage  nach  seiner  Entdeckung,  erhielt:  eine  schwache,  diffuse 
Nebelmasse  am  Ende  des  ca.  1°  langen  Schweifes,  welche  Anschwellung  übrigens 
auch  von  Campbell  schon  am  8.  und  9.  November  beobachtet  worden  war. 


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Kometen  und  Meteore. 


Ebenso  zeigten  die  photographischen  Aufnahmen  der  Kometen  1893  II, 
1893  IV,  1894  II  Theilungen  des  Schweifes;  bei  dem  Kometen  1895  IV  beob- 
achtete man  einen  Nebenschweif,  der  gegen  den  Hauptschweif  um  etwa  30° 
geneigt  war,  und  überdies  eine  fächerförmige  Ausstrahlung  gegen  die  Sonne  zu. 

Eine  besonders  bemerkenswerthe  Erschei  nung  bot  sich  bei  dem  Kometen 
1894 1  dar;  dieser  Komet  hatte  eine  fächerförmige  Coma,  welche  sich  nur  in  der 
zur  Sonne  senkrechten  Richtung  in  einen  kurzen,  schwachen  Schweif  von 
etwa  2'  Länge  und  1'  Breite  fortsetzte. 

Dass  die  Schweiflänge  bei  den  verschiedenen  Kometen  variirt,  wurde  schon 
erwähnt;  allein  besonders  bemerkenswerth  sind  noch  die  Veränderungen  in  der 
Schweiflänge  eines  und  desselben  Kometen.  Im  allgemeinen  hängt  dieselbe  von 
der  Intensität  des  Schweifes  und  von  der  Vergrößerung  des  bei  der  Beobachtung 
verwendeten  Instrumentes  ab.  Je  stärker  die  Vergrösserung,  desto  mehr  wird 
das  schwache,  nebelartige  Licht  des  Kometen  zerstreut,  geschwächt,  desto  kürzer 
erscheint  der  Schweif,  während  bei  lichtstarken  Objekten  selbstverständlich  starke 
Vergrösserungen  den  entgegengesetzten  Effekt  hervorbringen.  Aehnliches  gilt  natür- 
lich auch  von  den  mit  freiem  Auge  angestellten  Beobachtungen;  je  schärfer  das 
Auge  des  Beobachters,  desto  weiter  wird  er  den  Schweif  verfolgen  können,  desto 
länger  wird  er  den  Schweif  sehen.  So  erklären  sich  die  untereinander  oft  so 
widersprechenden  Angaben  Uber  die  beobachtete  Länge  der  Kometenschweife. 

Die  Länge  der  Schweife  ist  jedoch  nicht  constant,  sondern  wechselt  von 
Tag  zu  Tag;  ganz  ausserordentliche  tägliche  Veränderungen  zeigte  z.  B.  der 
Komet  1893  II.  Allein  viel  merkwürdiger  sind  diejenigen  Veränderungen,  welche 
sich  innerhalb  weniger  Secunden  an  dem  Schweife  zeigen :  Fluctuiren,  Schiessen, 
Spielen.  Wohl  die  älteste  Beobachtung  dieser  Art  ist  die  von  Cysatus  an  dem 
Kometen  (37)  gemachte.  Hevel  berichtet  über  die  Beobachtung  von  Cysatus 
am  4  Dezember  1618,  dass  der  ganze  Schweif  des  Kometen  fluctuirte,  und  die 
Strahlen  des  Schweifes  von  dem  Kopfe  des  Kometen  wegschössen  und  sich  dann 
plötzlich  zusammenzogen,  so  dass  der  ursprünglich  an  seinem  äussersten  Ende 
mehr  spitzige  Schweif  auseinandergezogen  und  besenartig  zerstreut  war.  *Coma 
Cometac  tota  ßuetuabat,  quasi  vento  leviter  agitata;  radii  quoque  Comae  e  capite 
avibrabantur,  subitoquc  retrahebantur  .  .  .  ita  fiebat  haec  radiorum  e  capite  Cometac 
ejacuiatio,  ut  deniqut  Coma  alias  in  extremo  acutior  multum  dilataretur  et  scoparum 
instar  spargeretur*. l).  Ein  solches  Fluctuiren  und  Schiessen  im  Kometenschweite 
hatte  Schröter  bei  dem  Kometen  von  1807  und  bei  demjenigen  von  1811 
beobachtet.  Endlich  wurden  ähnliche  Erscheinungen  bei  dem  Kometen  1893  IV 
auf  photographischem  Wege  constarirt.  Die  mannigfachen  Photographien  weisen 
Veränderungen  auf,  welche  mit  Rauchsäulen  verglichen  werden  können,  die  sich 
in  den  umgebenden  Raum  hinaus  zerstreuen '•*). 

Zu  diesen  Fluctuationen  im  eigentlichen  Schweife  gesellen  sich  mitunter 
Erscheinungen  in  der  Coma,  welche  als  »Ausströmungen«  bezeichnet  und  auch 
seit  Brssel  als  Ursache  dieser  Fluctuationen  angesehen  wurden.  Bessel  be- 
schreibt diese  Erscheinung3)  bei  dem  HALLEv'schen  Kometen  in  seiner  Sonnen- 
nähe 1835,  am  2.  Oktober,  als  eine  »Ausströmung  der  Lichtmaterie  aus  dem 

•)  Cometopraghie,  pag.  883.  Hierzu  ist  zu  bemerken,  dass  hier  das  Wort  coma  noch  die 
ältere  Bezeichnung  »Schweif«  hat,  indem  der  Kern  mit  der  NebelhUlle,  welche  jetzt  als  Coma 
bezeichnet  werden,  immer  als  <aput  bezeichnet  erscheint. 

*)  Vergl.  Kjlkutz,  Bericht  Uber  die  Kometen  ;  Vierteljahrsschrift  der  Astron.  Gesellschaft, 
Bd.  29,  pag.  64. 

3j  Astron.  Nachrichten,  Bd.  13,  pag  187;  gesammelte  Werke.  I.  Bd..  png  55. 

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5« 


Kometen  und  Meteore. 


Kerne,  welche  einen  Kreissector  von  etwa  90°  bildete,  beiläufig  der  Sonne  zu- 
gekehrt war  und  bis  auf  12  bis  15"  Entfernung  von  dem  Mittelpunkte  von  dem 
nebligen  Grunde,  auf  welchem  sie  lag,  unterschieden  werden  konnte  .  .  .  Am 
8.  Oktober  heiterte  es  sich  wieder  auf  .  .  .  Die  Ausströmung  war  stärker  ge- 
worden als  am  2.,  der  Winkel  ihrer  Ränder  kleiner,  etwa  45°;  ich  konnte 
sie  bis  zu  15  bis  20"  Entfernung  von  dem  Mittelpunkte  von  dem  hellen  Grunde 
unterscheiden,  auf  welchem  sie  lagt.  Nach  und  nach  wurde  der  Winkel  an  der 
Spitze  des  Kegels,  nach  welchem  die  Ausströmung  scheinbar  stattfand,  kleiner, 
d.  h.  die  Ausströmung  mehr  cylindrisch,  jedoch  nicht  geradlinig  begrenzt,  sondern 
etwas  seitlich  gekrümmt;  am  12.  Oktober  war  der  Winkel  der  Begrenzung  nahe 
30°;  >der  Kern  des  Kometen  und  seine  Ausströmung  gewährten  das  Ansehen 
einer  brennenden  Rakete,  deren  Schweif,  durch  Zugwind  seitwärts  abgelenkt  wird« 
(vergl.  Taf.  III,  Fig.  1).  Am  13.  Oktober  war  das  Aussehen,  wie  Taf.  III,  Fig.  2 
zeigt,  völlig  verändert;  an  Stelle  der  Ausströmung  »lag  eine  unbegrenzte  Masse 
von  Lichtmaterie,  links  von  dem  Mittelpunkte.«  Am  folgenden  Tage,  dem  14.  Oktober, 
hatte  sich  aber  (vergl.  Taf.  III,  Fig.  3)  die  Lichtausströmung  wieder  hergestellt,  und 
blieb  so  mit  grösseren  Veränderungen  bis  zum  22.  Oktober,  an  welchem  Tage  sie 
die  durch  Taf.  III,  Fig.  4  dargestellte  Form  angenommen  hatte.  Diese  war  aber 
am  25.  Oktober  wieder  verschwunden,  und  an  ihre  Stelle  eine  der  Lichtanhäufung 
vom  13.  Oktober  ähnliche,  aber  weniger  intensive  und  weniger  ausgedehnte 
Lichtanhäufung  getreten.  Zu  bemerken  ist  dabei  noch,  dass  der  Komet  während 
der  Zeit  des  Ausströmens  einen  besonderen  Glanz  entwickelte.  Schon  am 
2.  Oktober  bemerkte  Bessel  eine  starke  Vermehrung  des  Glanzes;  am  12.  Oktober 
erschien  der  Komet  heller  als  die  Sterne  zweiter  Grösse  im  grossen  Bären;  ebenso 
am  13.  Oktober;  am  22.  Oktober  erschien  er  wie  ein  Stern  dritter  Grösse,  und 
am  25.  »war  der  Kern  des  Kometen  so  glänzend,  dass  man  ihn,  als  die  Dämmerung 
den  Nebel  noch  fast  unsichtbar  machte,  mit  der  schwächsten  Vergrösserung  des 
Heliometers  für  einen  Fixstern  hätte  halten  können.« 

Ganz  ähnliche  Ausströmungen  wurden  von  Hejnsius  bei  dem  Kometen  von 
1744  wahrgenommen1),  und  in  jüngster  Zeit  zeigte  sich  ein  auffälliges  Beispiel 
derselben  Art  bei  dem  Kometen  1888  I.  Am  21.  Mai  nahm  die  Helligkeit  des 
Kernes  um  1  bis  2  Grössenklassen  zu,  und  aus  dem  Kopfe  des  Kometen 
schössen  zwei  sehr  helle  Ausläufer  hervor,  die  sich  kreislörmig  nach  beiden 
Seiten  umbogen  (vergl.  Taf.  IV,  Fig.  3)  und  den  eigentlichen  Schweif  an  Helligkeit 
übertrafen.  Bemerkt  muss  noch  werden,  dass  der  Lichtausbruch  zwei  Monate  nach 
dem  Durchgange  durch  das  Perihel  stattfand. 

Lichtausbrüche,  welche  sich  durch  mehr  oder  weniger  schnelle,  oft  durch 
plötzliche  Vermehrung  der  Helligkeit  des  Kernes  äussern,  ohne  das  sonstige 
Aussehen  des  Kometen  wesentlich  zu  verändern,  sind  bereits  mehrfach  beob- 
achtet worden. 

Der  Komet  1884 1  (No.  124)  war  bis  zum  22.  September  1883  sternartig, 
von  der  12.  Grösse.  Am  23.  September  stieg  seine  Helligkeit  auf  die  8.  Grössen- 
klasse;  der  Kern  war  aber  dabei  nach  Schiaparelli  nicht  sternartig,  sondern 
hatte  einen  erkennbaren  Durchmesser  und  verwaschene  Conturen.  Am  2 5.  September 
hatte  sich  der  Kern  ganz  verloren,  und  der  Komet  bildete  einen  sehr  hellen 
Nebel;  hierauf  folgte  rasche  Abnahme  der  Helligkeit;  am  1.  Januar  1884  bildete 
der  Komet  nach  Beobachtungen  in  Potsdam  einen  feinen  Lichtpunkt  mit 
schwacher  Ausstrahlung;    1$  Stunden  später  war  an  Stelle  des  Kometen  ein 


»)  Bembl's  Werke,  Bd.  I,  pag.  64. 


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Kometen  und  Meteore. 


59 


Stern  7.  Grösse  getreten;  von  7*  20«-  bis  8*  10*  M.  Z.  Potsdam  fand  eine  weitere 
Zunahme  der  Helligkeit  statt;  dabei  trat  das  continuirliche  Spectrum  ausser- 
ordentlich stark  hervor,  während  das  Banden spectrum  bedeutend  zurücktrat. 
Auch  am  13.  und  19.  Januar  war  das  continuirliche  Spectrum  besonders  hell 
(der  Komet  ging  durch  sein  Perihel  am  25.  Januar). 

Der  Komet  (321),  entdeckt  am  6.  November  1892  bereits  lange  nach  seinem 
am  13.  Juni  erfolgten  Periheldurchgange,  wurde  am  14.  Januar  1893  noch  als 
ein  mit  Schwierigkeit  zu  erkennendes  Object  von  Houch  in  Evanston  gesehen; 
am  16.  Januar  wurde  er  aber  von  Kobold  in  Strassburg,  sodann  in  Nordamerika 
wieder  als  ein  fixsternartiges  Object  8.  Grösse  mit  einer  Nebelhülle  von  30" 
Durchmesser  gesehen,  und  am  23.  Januar  war  seine  Helligkeit  noch  8.  Grösse. 

Obgleich  die  mächtige  Schweifentwickelung  der  grossen,  mit  freiem  Auge 
sichtbaren  Kometen  jedenfalls  zu  den  grossartigsten  Naturschauspielen  zu  zählen 
ist,  so  bieten  sich  für  den  Astronomen  bei  gewissen  Kometen  noch  viel  merk- 
würdigere Erscheinungen  dar:  die  Theilungen  der  Kometen. 

Theilungen  von  Kometen  wurden  schon  in  doppelter  Art  beobachtet: 
Theilungen  des  Kernes,  wobei  die  sämmtlichen  Kerne  in  derselben  Nebelhülle 
eingeschlossen  waren,  sodass  der  Kopf  des  Kometen  aus  einer  Coona  bestand, 
in  welcher  sich  mehrere  Kerne  befanden;  und  Theilungen  des  Kometen  in 
mehrere  Theile,  von  denen  jeder  aus  Coma  und  Kern  bestand. 

Offenbar  können  die  bereits  früher  erwähnten  Kometen  mit  mehreren  Kernen, 
sofern  diese  deutlich  begrenzte  Lichtpunkte  bildeten,  ebenfalls  zu  denjenigen 
Kometen  gerechnet  werden,  welche  vielleicht  ursprünglich  ebenfalls  nur  einen 
Kern  hatten,  bei  denen  man  aber  die  Theilung  nicht  beobachten  konnte,  weil 
sie  vor  dem  Sichtbarwerden  des  Kometen  stattfand. 

Schon  Aristoteles  berichtet  in  seiner  »Meteorologia«  Kap.  VI,  dass  Democrit 
von  der  Erscheinung  von  in  Sternen  aufgelösten  Kometen  spricht  Die  Mittheilung 
ist  aber  zu  unbestimmt  und  von  keiner  anderen  Seite  bestätigt,  um  derselben 
grosses  Gewicht  beizulegen.  Ueberdies  muss  bemerkt  werden,  dass  Theilungen 
von  Kometenkernen  in  Anbetracht  der  Kleinheit  des  Kopfes  nicht  wohl  mit 
freiem  Auge  wahrgenommen  werden  können1). 

Wohl  die  erste  beobachtete  Theilung  eines  Kernes  ist  die  von  Hevel  in 
seiner  Kometographie2)  berichtete  Theilung  des  Kometen  von  1618.  Die  aus» 
führlichsten  Beobachtungen  rühren  von  Cysatus  her,  der  dieselben  folgender* 
maassen  beschreibt: 

Am  8.  December  war  der  Kern  bedeutend  grösser  geworden  und  nicht  mehr 
rund,  sondern  in  drei  oder  vier  unregelmässige,  kugelförmige  Figuren  getheilt, 
die  aber  mit  einander  verbunden  waren  (quales  solent  apparerc  Saturni  comitts). 

Am  17.  December  waren  an  Stelle  des  früher  festen  Kernes  einige  kleine 
Sterne  getreten,  welche  am  18.  noch  deutlich  getrennt  gesehen  wurden. 

Am  20.  December.  Der  Kern  scheint  aus  mehreren  Sternen  zu  bestehen, 
von  denen  sich  drei  durch  besondere  Helligkeit  auszeichnen. 

Am  24.  December.  Kern  und  Schweif  wurden  grösser,  aber  weniger  hell; 
von  den  drei  hellen  Punkten  wurde  nur  mehr  einer  gesehen;  die  übrigen  Kern- 
punkte schienen  an  Zahl  gewachsen,  aber  mehr  zerstreut. 


')  Man  beachte  nur,  dass  schon  ein  ziemlich  scharfes  Auge   dazu  gehört,   um  die 

Sterne  »  und  5  Lyrae,  welche  etwa  8$'  von  einander  entfernt  sind,  oder  selbst  die  beiden 

Sterne  o,  und  a,  Capricorni,  welche  ca.  6J'  von  einander  entfernt  sind,  getrennt  zu  sehen. 
*)  P**.  34« 


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6o 


Kometen  und  Meteore. 


Auch  Gottfried  Wendelin  hat  eine  Theilung  in  3  oder  4  Theile  gesehen1). 

In  der  ganzen  folgenden  Zeit  blieben  diese  Beobachtungen  ganz  unbeachtet. 
Erst  1846  trat  eine  noch  viel  auffälligere  Erscheinung  auf:  die  Theilung  eines 
Kometen  in  zwei  andere,  von  denen  jeder  für  sich  einen  vollkommenen  Kometen 
mit  Coma  und  Kern  darstellte.  Es  war  der  BiELA'sche  Komet  von  67  Jahren 
Umlaufszeit,  welcher  nach  seiner  Erscheinung  1832,  in  welcher  er  nichts  auffälliges 
darbot  (bei  seinem  Periheldurchgange  im  Jahre  1839  wurde  er  nicht  gesehen)  bei 
seinem  Wiedererscheinen  1845  (Periheldurchgang  1846  Februar  11.)  in  zwei 
Kometen  zerfiel.  Schon  am  19.  December  1845  nahm  Hind  eine  Verlängerung 
des  Kometen  wahr;  Encke  sah  den  Kometen  am  21.  December  noch  ungetheilt; 
erst  am  29.  December  wurde  er,  zuerst  in  Amerika,  bestimmt  getheilt  gesehen. 
Mauky  in  Washington  beobachtete  noch  einige  Zeit  nach  der  Theilung  eine 
eine  Verbindung  2wischen  beiden  Kometen  bildende  Strahlenbrücke;  die  Ent- 
fernung der  beiden  Kometen,  von  denen  der  kleinere  nördlich  voranging,  stieg 
bis  zum  20.  Februar  auf  6'  Distanz;  Ende  März  war  der  kleinere  unsichtbar 
geworden,  Mitte  April  auch  der  grössere,  folgende.  Bei  der  nächsten  Wiederkehr 
1852  wurde  der  Komet  am  25.  August  von  Secchi  entdeckt,  zunächst  aber  nur 
einfach;  erst  am  15.  September  wurde,  ebenfalls  von  Secchi,  auch  der  andere 
Theil  in  ^°  Entfernung  gefunden.  Die  Entfernung  war  also  jetzt,  entsprechend  seiner 
geocentrischen  Distanz,  auf  2^  Millionen  Kilometer  gestiegen;  doch  fanden  sowohl 
Hubbard  als  d'Arrest  bei  ihren  Berechnungen  der  Beobachtungen,  dass  das 
Maximum  der  Entfernung  sowohl  1846  als  1852  im  Perihel  stattfand,  d.  h.  dass 
die  Entfernung  bis  zum  Perihel  wuchs,  und  nachher  während  der  Zeit  der  Beob- 
achtungen wieder  etwas  abnahm. 

Die  beiden  Theile  wechselten  wiederholt  die  Helligkeitsverhältnisse,  waren 
überhaupt  ziemlich  lichtschwach  und  schwierig  zu  sehen,  und  wurden  nur  in  Rom, 
Cambridge,  Berlin  und  Pulkowa  beobachtet.  Am  28.  September  war  der  Komet 
verschwunden,  und  ist  in  den  folgenden  Perihelien  nicht  wieder  gesehen  worden. 

Ueber  die  muthmassliche  Wiedererscheinung  desselben  im  Jahre  1896  vergl. 
pag.  73- 

Das  zweite  bestimmte  Beispiel  eines  Doppelkometen  bot  der  Komet  (216); 
derselbe  wurde  am  26.  Februar  1860  von  Li  Ais  zu  Olinda  in  Brasilien  entdeckt, 
konnte  aber  nur  durch  7  Tage  beobachtet  werden.  Pechüle  hat  aus  den 
Beobachtungen  die  Bahnen  der  beiden  Köpfe  gesondert  berechnet. 

Ein  besonders  auffälliges  Beispiel  von  Kerntheilungen  bot  der  Komet  (281); 
er  ging  am  17.  September  1882  durch  sein  Perihel  in  einer  Entfernung  von 
0*00775  Erdbahnhalbaxen,  d.  i.  nahe  1157000  km  vom  Sonnenmittelpunkte,  also 
fast  in  Berührung  mit  der  Sonnenoberfläche.  Er  erschien  so  hell,  dass  er 
bei  Tage  in  der  Nähe  der  Sonne  gesehen  wurde.  Finlay  und  Elkin  beob- 
achteten am  Cap  der  guten  Hoffnung  am  17.  September  seine  Berührung  mit 
dem  Sonnenrande.  Beide  beobachteten  den  Eintritt  des  Kometen  in  die  Sonnen- 
scheibe wie  ein  Verschwinden  hinter  der  Sonne;  auf  dieser  war  keine  Spur 

•)  Hier  muss  auch  der  Erscheinung  des  Kometen  von  1652  gedacht  werden,  von  welchem 
Hevel  berichtet,  dass  er  in  Amerika  von  Pater  Joh.  Könige,  und  auch  in  Europa  bei  seinem 
Erscheinen,  aus  mehreren  Kometen  bestehend  gesehen  wurde,  die  sich  später  vereinigten 
(1.  c.  pag.  351).  Dass  der  Komet  mehrere  Kerne  hatte,  wurde  allerdings  auch  von  Hevel 
selbst  (ibid.  pag.  889)  und  von  Bl'LLlALous  (ibid.  pag.  890)  beobachtet;  allein  von  einer 
späteren  Vereinigung  der  Kerne  ist  dabei  keine  Rede.  Auch  sind  Erscheinungen  dieser  Art  später 
nie  wieder  beobachtet  worden,  und  muss  diese  Thatsache  vorläußg  bis  auf  weitere  Bestätigungen 
mit  grosser  Reserve  aufgenommen  werden. 


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Kometen  und  Meteore. 


61 


des  Kometen  zu  sehen,  während  die  Rechnung  ergab,  dass  die  Beobachtung  einem 
Durchgange  des  Kometen  vor  der  Sonnenscheibe  entsprach.  Finlay  verfolgte 
den  Kometen  an  einem  sechszölligen  Aequatoreal  von  4*  40**  M.  Z.  Cap;  um 
4*  50"»  58*  M.  Z.  Cap  war  der  Komet  plötzlich  verschwunden;  3  Secunden 
später  glaubte  er  noch  einen  Schimmer  desselben  zu  sehen,  aber  war  dessen 
nicht  mehr  sicher.  Elkin  beobachtete  am  Heliometer  das  Verschwinden  des 
Kometen  am  Sonnenrande  um  4*  50*»  52*;  4'  vorher  war  der  Komet  noch  deut- 
lich zu  sehen  er  vergleicht  die  Beobachtung  mit  der  Bedeckung  eines  Sternes 
4.  Grösse  durch  den  hellen  Mondrand. 

Statt  der  zahlreichen  Beobachtungen  über  die  Theilung  des  Kernes  genügt 
es,  die  folgende  Zusammenfassung  der  Erscheinungen  von  Kreutz  anzuführen1): 

>Bei  der  Entdeckung  des  Kometen  September  8.  war  der  Kern  durchaus  rund, 
10" — 15"  im  Durchmesser.  Mit  der  Annäherung  an  die  Sonne  nahm  derselbe 
eine  stetig  sternähnlichere  Gestalt  an;  September  17.,  £  Stunde  vor  dem  Eintritt 
in  die  Sonnenscheibe,  betrug  der  Durchmesser  nur  mehr  4",  desgleichen  am 
nächsten  Tage  bei  Gelegenheit  des  Durchganges  durch  den  Meridian  am  Cap 
der  guten  Hoffnung;  September  21  0  M.  Z.  Berlin  wird  der  Kern  zuerst  von 
de  Bernardieres  als  oval  notirt.  September  22-2  betrug  nach  den  Messungen 
Schäberle's  die  Ausdehnung  desselben  in  der  Längsaxe  11  "  9,  in  der  Breitcn- 
axe  4"  8. 

Gegen  Ende  des  Monats  wurde  die  Verlängerung  allgemein  bemerkt; 
Sept.  30*7  entdeckte  Finlay  zuerst  zwei  Lichiballen  im  Kopfe  des  Kometen  und 
damit  die  ersten  Anzeichen  der  vor  sich  gehenden  Trennung  des  Kerns  in 
einzelne  Punkte. 

Die  weitere  Entwickelung  in  den  Monaten  October  und  November  wird  von 
den  Beobachtern  je  nach  der  optischen  Kraft  ihrer  Femröhre  abweichend 
geschildert.  Die  Zahl  der  sichtbaren  Kernpunkte  variirt  zwischen  2  und  6,  stets 
aber  waren  die  im  nachfolgenden  mit  (2)  und  (3)  bezeichneten*)  bei  Weitem  die 
hellsten,  und  von  beiden  wieder  (2)  der  hellere.  Die  Identificirung  der  von  den 
verschiedenen  Beobachtern  gesehenen  Punkte  unter  einander  ist  nicht  immer 
leicht  .  .  .  Von  den  einzelnen  Beschreibungen  scheint  mir  die  von  Eddie  in 
Grahamstown  am  besten  die  Entwickelung  der  Kernpunkte  wiederzugeben. 

Vom  Monat  Dezember  ab  waren  die  einzelnen  Kernpunkte,  so  weit  über- 
haupt das  Schwächerwerden  der  ganzen  Nebelmasse  ihre  Sichtbarkeit  noch  er- 
laubte, in  Folge  der  zunehmenden  Ausdehnung  der  ganzen  Kernlinie  viel  leichter 
von  einander  zu  unterscheiden  als  früher,  und  ihre  Identification  kann  von  jetzt 
ab  keinen  Schwierigkeiten  mehr  unterliegen.  Die  relative  Helligkeit  der  einzelnen 
Punkte  erlitt  insofern  gegen  früher  eine  Aenderung,  als  jetzt  allmählich  der 
Punkt  (3)  den  Punkt  (2)  an  Helligkeit  erreichte  und  ihn  übertraf,  sodass  derselbe 
in  der  späteren  Sichtbarkeitsperiode  im  Gegensatz  zu  den  früheren  Beobachtungen 
fast  ausschliesslich  den  Ortsbestimmungen  zu  Grunde  gelegt  wurde.  Charakte- 
ristisch ist  noch  die  zunehmende  Entfernung  der  Punkte  (1)  und  (2),  die  nach 
und  nach  die  relativen  Entfernungen  der  anderen  Punkte  untereinander  bei 
weitem  überwog.  Im  Laufe  des  Monats  März  1883  wurden  auch  für  die  stärksten 
Femröhre  die  Punkte  unsichtbar;  die  wenigen  Ortsbestimmungen,  welche  noch 
angestellt  wurden,  beziehen  sich  meistens  auf  eine  schwache  Verdichtung  nahe 
der  Mitte  der  Kemlinie  .  .  .  Dass  die  Länge  der  Kernlinie  bei  den  verschiedenen 


0  »Untersuchungen  Uber  das  Kometensystem  1843  >88o  I  und  1882  II«,  I.  Thcil,  pag.  93- 
>)  VcrgL  die  Fig.  2Ö4. 


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63 


Kometen  und  Meteore. 


Beobachtungen  so  sehr  variirt,  darf  bei  der  Unbestimmtheit  der  Enden  derselben 
nicht  weiter  befremdenc. 

Ausser  dieser  Kerntheilung,  welche  nur  im  Fernrohr  sichtbar  war,  traten 
bei  diesem  Kometen  überdies  Nebenkometen  auf,  die,  wenigstens  theilweise, 

Süd 


Anblick  des  Kometen  im  umkehrenden  Fernrohre 
für  östliche  Stundenwinkel  für  westliche  Stundenwinkel 

(Aufgang  Tor  der  Sonne;  vor  dem       (Untergang  nach  der  Sonne;  nach  dem 
Periheldurchgange)  Periheldurchgange) 
nach  Kreutz  (> Untersuchungen  Uber  das  Kometensystem  1843I,  1880I  und  1 88211c). 

(A.  234.) 

sogar  mit  dem  freien  Auge  gesehen  wurden.  Am  5.  Oktober  soll  sich  der  Komet 
angeblich  in  Escuintla  (Guatemala)  vor  den  Augen  der  Passagiere  eines  Dampfers 
in  fünf  deutliche  Körper  zertheiit  haben.  An  demselben  Tage  um  4*  Morgens, 
l\h  früher,  sah  Markwick  in  Pietermaritzburg  südlich,  dem  Kopfe  vorangehend, 
in  einer  Entfernung  von  1^°  zwei  nebelartige  Gebilde,  die  er  aber  an  den 
späteren  Tagen  nicht  mehr  finden  konnte.  Am  10.,  11.  und  12.  Oktober  Morgens 
sah  Schmidt  in  Athen  einen  Nebel,  der  an  der  Bewegung  des  Hauptkometen 
im  Grossen  und  Ganzen  theilnahm,  sich  aber  von  diesem  täglich  um  etwa  1° 
entfernte.  Diesen  Nebenkometen  bemerkte  Hartwig  ebenfalls  mit  einem 
kleinen  Handfernrohre  auf  der  Reise  nach  Buenos  Ayres,  an  Bord  des  Dampfers 
»Petropolis«. 

Am  14.  Oktober  morgens  sah  Barnard  in  Nashville  südwestlich  von  dem 
Kometen  in  der  Entfernung  von  etwa  6°  sechs  teleskopische  Nebel  mit  Anzeichen 
von  Verdichtungen  in  der  Mitte. 

Am  31.  Oktober  bemerkte  Brooks  in  Phelps  8°  östlich  vom  Kometen 
einen  schwachen  Nebel  von  etwa  2°  Länge,  mit  einer  deutlichen  Verdichtung 
an  der  gegen  die  Sonne  zu  gerichteten  Seite;  diesen  Nebel  sah  er  nochmals 
am  22.  Oktober,  obzwar  bedeutend  schwächer  und  kleiner. 

Endlich  sah  de  Oliveira-Lacaille  am  16.  November  in  Olinda  (Pernambuco), 
6°  südlich  vom  Kometen  eine  kleine  Nebelmasse  von  sphärischer  Form  und 
schwacher  Verdichtung  in  der  Mitte. 

Der  Komet  1883  I  zeigte  Anfangs  April  nach  Pritchett  im  Kopfe  zwei  sehr 
nahe  bei  einander  liegende  Concentrationspunkte. 

Der  bereits  wegen  seiner  bedeutenden  Aenderungen  im  Schweife  erwähnte 
Komet  1888 1  war  auch  in  dieser  Richtung  merkwürdig.  Am  19.  März  sah 
Charlois  in  Nizza  nebst  dem  Hauptkern  8.  Grösse  einen  zweiten  Kern  11.  Grösse, 
und  am  27.  März  Cruls  in  Rio  de  Janeiro  noch  einen  dritten  Kern.  Alle  drei 
Kerne  waren  von  einer  gemeinschaftlichen  Coma  umgeben.  Bei  dem  Lichtausbruche 


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Kometen  und  Meteore. 


vom  21.  Mai  blieben  die  drei  Kernpunkte  unverändert  sichtbar;  sie  wurden 
zum  letzten  Male  am  4.  Juni,  wieder  von  Charlois  in  Nizza  gesehen. 

Auch  bei  dem  Kometen  1889  IV  trat  nach  Ricco  in  Palermo  Anfangs  August 
eine  Verdoppelung  Hes  Kerns,  am  n.  August  eine  Dreilheilung  auf. 

Auch  mag  bemerkt  werden,  dass  die  bereits  erwähnten  Lichtanschwellungen, 
welche  die  photographischen  Aufnahmen  der  beiden  Kometen  1892  I  und  1892  m 
zeigten,  hierher  zu  zählen  sind.  Mehrfache,  isolirte,  also  wahrscheinlich  plötzlich 
auftretende  und  rasch  verschwindende  Nebelmassen  in  der  Nähe  des  Schweifes, 
ähnlich  denjenigen  bei  dem  Kometen  (281),  wurden  auch  bei  den  photographischen 
Aufnahmen  des  Kometen  1893  IV  beobachtet 

Getrennte,  den  Hauptkometen  begleitende  Kometen  wurden  beobachtet  bei 
dem  in  mehrfacher  Beziehung  interessanten  Kometen  (309).  Am  1.  August  1889 
hatte  Barnard  in  Nashville  zwei  Begleiter  des  Hauptkometen  A  gefunden,  welche 
er  B,  C  nannte;  jeder  der  beiden  Begleiter  hatte  einen  sehr  kleinen  Kern  in 
einem  kleinen  Kopfe  (a  very  small  nuclcus  and  condensation  in  a  very  small 
head)x)  und  einen  kurzen,  feinen  Schweif,  und  bot  so  ein  vollständiges  Abbild 
des  grossen  Kometen  dar.  Es  war  absolut  keine  nebelartige  Verbindung 
(nebulous  conneetion)  zwischen  dem  Kometen  und  den  Begleitern,  weder  zur  Zeit 
der  Entdeckung  noch  jemals  später,  weder  in  dem  12-Zöller  noch  in  dem 
36  Zöller  zu  sehen.  Aug.  4.  entdeckte  Barnard  noch  zwei  andere  Begleiter  D 
und  E,  welche  bedeutend  schwächer  waren  und  nur  in  der  Nacht  der  Entdeckung 
gemessen,  später  nur  selten  und  schwer  gesehen  wurden. 

Vom  1.— 5.  Aug.  entfernte  sich  B  v.  A  tägl.  um  0"'93;  v.  16.— 24.  Aug.  tägl.  um  0"20 
u       »  n  Cy.A  „     ,,  1  ''72;         „  ,,    „  2  "76 

Die  Entfernungen  betrugen:  Aug.  3:  BA  =   66"  48         Aug.  28:  BA  «=  73"22 

CA  =  263"46  CA  =  328"'4.4 

Am  4.  August  war  die  Entfernung  CD  «=  78";  CE  =  156". 

Der  hellste  von  den  Begleitern  war  C;  am  2.  August  hatte  C  bereits  die 
Helligkeit  von  \A,  wurde  immer  heller,  und  war  Ende  August  heller  als  der 
Hauptkomet  A,  obzwar  bedeutend  kleiner.  Seit  Mitte  September  wurde  er 
immer  grösser,  aber  minder  hell  und  verschwand  Ende  November.  B  war  An- 
fangs etwas  heller  als  C,  verlor  aber  bereits  Mitte  August  an  Helligkeit,  und 
verschwand  schon  Mitte  September. 

Der  Komet  wurde  im  nächsten  Jahre  nochmals  in  der  Opposition  beobachtet, 
von  den  Nebenkometen  wurde  aber  dabei  keine  Spur  gesehen. 

Für  den  Kometen  (281)  hatte  Kreutz  16  verschiedene  Elementensysteme 
abgeleitet,  je  nachdem  der  Schwerpunkt  in  den  verschiedenen  Kernpunkten  an- 
genommen wurde,  die  Beobachtungen  vor  der  Theilung  ausgeschlossen  oder 
berücksichtigt  wurden,  u.  s.  w.,  denn  die  Kenntniss  des  wahren  Schwerpunktes 
des  Systems  konnte  selbstverständlich  aus  den  Beobachtungen  nicht  erlangt 
werden.  Allein  dem  Wesen  nach  kommt  diese  Untersuchung  darauf  hinaus,  die 
Bahnen  der  einzelnen  Kernpunkte  zu  untersuchen2);  die  Resultate  sind  im 
Folgenden  zusammengestellt'): 

*)  Astronomical  Journal,  Bd.  9,  png.  77. 

*)  Es  ist  dabei  zu  beachten,  dass  die  Cogffkienten  der  Normalgleichungen  fili  alle  Kern- 
punkte dieselben  sind,  und  nur  die  absoluten  Glieder  um  die  Rectascensions-  bezw.  Deklinations- 
Differenz  der  beiden  Punkte  zu  ändern  sind;  es  wird  dieses  sofort  klar,  wenn  man  bedenkt, 
dass  z.  B.  die  Bahn  des  Punktes  (3)  aus  derjenigen  des  Punktes  (2)  so  erhalten  werden  kann, 
als  ob  die  Beobachtungen  von  (2)  um  die  Beobacbtungsdifferenzeo  (8)  —  (2)  fehlerhaft  wären. 

»)  Krxutz,  1.  c,  II.  TheU,  pag.  35  ff. 


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Kometen  und  Meteore. 


Elemente  mit  Berücksichtigung  aller  Beobachtungen  für  diePo- 

(*)  (3)  (*> 

17261308        17-261298  17  26 12*1 

69°35'16"  0    69c35'14"-2    69°  35'  2' 


(I)') 

y—  1882  Sept.  17-261318 
»=  69°  35'  15"-4 

ü  -  346    0  39  9 

/=  141  59  45-3 

=  7-8893086 
e  =  0-9998987 
a  =  76-67 
U*=  671-3  Jahre 


346    0  38  8 
141  59  44-2 
7-8893177 
0-9999078 
8414 
771-8  Jahre 


17-261298 
69°  35'  14"-2 
346    0  33  4 
141  59  42-5 
7-8893361 
09999152 
91-48 
875-0  Jahre 


346     0  20*6  . 

141    59  3*4  l: 
7-8892472 
0-9999199 
9700 

955-2  Jahre 


Elemente  mit  Ausschluss 

(!)«) 

7-=  1882  Sept.  17-259805 
«  =  69°35'24"-5 
=  346    0  42-7 

i  =  141  59  44-6 

log  q  mm  7-8895744 
e  =  0-9998982 
a  =  76  22 

U  =  665-6  Jahre 


der  Beobachtungen  vor 
die  Punkte: 

(3) 
17-260737 

69°35'45"-5 

346    0  56  5 


(S) 

17-262826 
69°  34'  35"  0 


345  59  58-7 
141  59  32-2 
7-8889619 
0-9999077 

83-98 
769-7  Jahre 


141  59  48-7 
7-8897746 
0-9999158 
92-30 

886-8  Jahre 


der  Theilac: 

(4)») 

17-259659 

69°  35'  34"-2|  " 
346  O  42-7  J 
14i   59  44-6  Ij 

7-8897581 

0-9999206 

97-80 
967  2  Jahre 


Aus  den  Beobachtungen  vor  der  Theilung  ergab  sich  für  den  ungetbe. 
Kern: 


T=  1882  Sept.  17-2611872 
co  =  69°  34'  26"-3 

ft  =  346    0  52-9 

/=  141  59  42  0 


) 


Mittl.  Aequ. 
1882-0 


=  7-8888971 
e  =  0-9999407 
a  =     130  9 
U=  1497  Jahre 


Man  sieht  hieraus,  dass  nach  der  Theilung  jeder  der  Kernpunkte  eine  an:: 
Bahn  beschrieb.    Der  Haupteinflnss  der  Theilung  zeigt  sich  auf  die  Excentn. 
und  mit  dieser,  da  die  Periheldistanz  nur  unwesentlichen  Veränderungen  ur 
werfen  ist,   auf  die  grosse  Axe  und  die  Umlaufszeit.    In  dieser  Richtung  ^ 
ist  bemerkenswerth,  dass  man  nahe  dieselben  Werthe  erhält,  ob  man  die  Be 
achtungen  eines  Kernpunktes   mit  Rücksicht  auf  die  Beobachtungen   vor  . 
Theilung  oder  auch  mit  Ausschluss  dieser  Beobachtungen  bestimmte,   dass  j 
für  die  verschiedenen  Kernpunkte  die  Differenz  sich  nicht  in  demselben  S:r 
ergab.    Die  Excentricität  war  am  kleinsten  für  den  der  Sonne  nächstgeleef 
Kernpunkt,  und  um  so  grösser,  je  weiter  der  Punkt  von  der  Sonne  entfernt 
ein  Resultat,  welches  a  priori  erklärlich  ist,  da  man,  wenn  nicht  die  Resuh 
durch  Beobachtungsfehler  entstellt  sind,  für  den  von  der  Sonne  entfernteren  Purr 
eine  grössere  Umlaufszeit  finden  muss.    Man  kann  nämlich  annehmen,  das>  ' 


')  Mit  (1)  ist  dabei  der  der  Sonne  nächste  Kernpunkt  bezeichnet  (vergl.  Fig.  254). 

*)  Bei  diesen  Bahnen  der  Punkte  (1)  und  (4)  wurden  dabei  für  die  Lage  der  Bahn  kf'' 
Conectionen  gesucht;  und  /  sind  daher  die  Ausgangsclementc.  Die  Bezeichnung  - 
Elemente  ist  die  allgemein  übliche,  =  Länge  des  aufsteigenden  Knotens,  i  =  Neigung 
Bahn,  «0  =  Abstand  des  Ferihcls  vom  Knoten,  «  —  Länge  des  Perihels ;  a  =  halbe  gr<*- 
Axe,  t  —  Excentricität,  p  =  Parameter,  q  =  Periheldistanz,  7"=  Zeit  des  Periheldurchgaag? 
U  es  Umlaufszeit. 


\ 

V 


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Kometen  und  Meteore. 


65 


rihel  die  Kernpunkte  noch  dieselbe  Geschwindigkeit  v  hatten;  da  nun  (vergl. 
»allgemeine  Einleitung  in  die  Astronomiec,  pag.  135) 

1  =  1  -  v* 
a  r 

so  wird  a  umso  grösser,  je  grösser  r  ist,  und  da 

5t,  so  werden  bei  grossen  Werthen  von  a  und  kleinen  r  die  Unterschiede 
den  grossen  Axen  sehr  beträchtlich.    Nimmt  man  a  =  88  und  für  das  Perihel 

r  =  log  q  7  889,  so  wird  Aa  =  260000000  oder  für  Iq  =  0  000001 8  ent- 
echend  einer  Aenderung  von  log  q  um  eine  Einheit  der  4.  Decimale  wird 

=  471;  eine  derartig  starke  Diffeienz  zeigt  sich  aus  den  Beobachtungen  nicht. 

Aus  dem  Gange  der  Differenzen  in  den  Excentricitäten  kann  man  aber 
gern,  dass  ein  in  der  Nähe  von  (2)  gegen  (3)  hin  gelegener  Punkt  eine 
\\t\  beschrieb,  die  sich  sowohl  unter  Berücksichtigung  als  unter  Ausschluss  der 
:obachtungen  vor  der  Theilung  vollständig  identisch  ergeben  würde;  da  jedoch 
e  Bahn  vor  der  Theilung  eine  wesentlich  verschiedene  war,  so  lässt  sich  hier- 
is  immerhin  noch  kein  weiterer  Schluss  auf  die  Lage  des  Schwerpunktes  ziehen, 
enn  für  den  Schwerpunkt  müsste  sich  e'  en  die  Bahn  vor  und  nach  der  Theilung 
entisch  ergeben;  die  Differenz  kann  aber  von  der  Wirkung  äusserer  Kräfte, 
älche  möglicherweise  auch  als  Ursache  der  Theilung  anzusehen  sind,  herrühren, 
id  müsste  sich,  wenn  die  Beobachtungen  vor  der  Theilung  hinreichend  zahl- 
ich  wären,  um  die  Elemente  aus  dieser  Zeit  für  genügend  sicher  zu  halten, 
)llständig  heben  lassen,  wobei  auch  unter  Bestimmung  der  wirkenden  Kraft  die 
ifferenzen  zwischen  den  Bahnen  der  einzelnen  Kernpunkte  erklärt  würde. 

Bei  dem  Kometen  (309)  war  die  Theilung  nicht  beobachtet  worden;  die 
ebenkometen  waren  schon  als  Begleiter  entdeckt  worden.  Chandler  be- 
immte  nun  die  Bahnen  der  Nebenkometen l).  Für  die  Elemente  des  Haupt- 
ometen  A  wurde  angenommen: 

T=  1889  Sept.  30  0119  M.  Z.  Greenw.  e  =  0  470704 

ir  =  1°  26'  17"  3  \  w.  ,  A  a  =  3  684682 

Ä-  17  58  45-3      M'"^enqU-  1950229 

1=  6     4  10-5    )      ,ÖJUÜ  £/=  7  0730  Jahre 

Für  den  Begleiter  C  waren  155  Positionen,  über  den  Zeitraum  von  114  Tagen 
erthcilt,  und  von  16  Beobachtern  beobachtet,  gegeben;  viel  weniger  gut  waT  der 
legleiter  B  bestimmt;  für  diesen  waren  nur  23  Beobachtungen  auf  der 
ternwarte  und  6  Beobachtungen  von  Wien,  verthcilt  auf  einen  Zeitra.in 
5  Tagen,  vorhanden,  wobei  nebst  der  Kürze  der  Zeit  noch  der  zu-t-i:*  -  ----- 

itand  auftrat,  dass  die  Beobachtungen  vom  Mount  Hamilton  und  Wun  * •  ^ 
inder  stark  abwichen. 

Für  den  Begleiter  C  ergab  sich  das  Resultat,   dass  die  iMfir^^  _  :. 
ind      gegen  die  Bahn  des  Hauptkometen  verschwindend  kleu.  «-3— 
nimmt  daher  an,  dass  A&  =  A/  =  0  wäre,  woraus  der  -.  j-.    —  - 

Kraft,  welche  die  Trennung  bewirkte,  in  der  Bahnebene  wrr_^  - 
Voraussetzung  folgt  für  den  Begleiter  C: 


')  Aslronomical  Journal,  Bd.  10,  pag.  153. 

*)  Eine  Voraussetzung,  welche  auch  schon  toii  IIüs:— t  ■  ~  "** 

Elemente  IV  unter  der  Annahme  eines 
VALnrrona,  Astronomie.  IL 


66 


Kometen  und  Meteore. 


A7  =  -  (K2?21 ;        A?  =  —  0000245 
A<o  =  —  555"46;  =  0. 

Für  den  Begleiter  B  nimmt  Chandler  sofort  an,  dass  die  Bahnlage  nicht 
geändert  wurde;  unter  dieser  Voraussetzung  findet  sich: 

Aco  =  -f-  32"-95  -I-  1588  03  AT;   A*  =  —  0000456  —  00006551  dT 

A?  =  —  0  000153  —  0O014133  A7t 

Nun  wurde  auch  hier  die  Voraussetzung  gemacht,  dass  die  Form  der  Bahn 
dieselbe  ist,  also  A*  =  0  wäre;  dann  folgt: 

AT-  —  0*697        A?  =  -f-  0-000831 
Aco  =  -  1074". 

Dass  hier  der  Einfluss  von  e  viel  geringer  ist  als  bei  dem  Kometen  (2*1) 
hat  seinen  Grund  in  der  Form  der  Bahn  selbst:  der  Komet  (309)  beschreibt 
eine  Ellipse  mit  kurzer  Umlaufszeit,  wobei  auch  starke  Aenderungen  in  der 
Excentricität  nicht  so  merklich  hervortreten. 

Unter  der  Annahme,  dass  die  Theilung  in  der  Bahnebene  selbst  statt 
gefunden  habe,  leitet  Bredichin  für  den  Begleiter  E  dessen  Bahn  ab  und  findet 

A7'=  +  7*3987  A(x  =  -f-  0"-000225 

Ar  =  -+-  3°  18*  32"         A?  =  -h  T  57"-3. 

Berechnet  man  die  Schnittpunkte  der  Bahnen  der  beiden  Begleiter  C  und  L 
mit  dem  Hauptkometen,  so  findet  man  für  beide  nahe  denselben  Punkt  in  der 
Nähe  des  Aphels1).  Die  Entfernung  des  Aphels  ist  aber  für  diesen  Kometen 
a  (1  -+-  e)  =  5  42,  also  sehr  nahe  gleich  der  Entfernung  des  Jupiter;  in  dei 
That  war  der  Komet  im  Jahre  1886  dem  Jupiter  sehr  nahe  gekommen,  unc 
hatte  durch  diesen  bedeutende  Störungen  in  seiner  Bahn  erfahren,  und  ist  es 
daher  denkbar,  dass  auch  die  Theilung  des  Kometen  durch  die  Wirkung  des 
Jupiter  hervorgebracht  worden  war. 

i 

Die  Kometen  erscheinen  auf  kurze  Zeit  und  verschwinden  meist,  um  nie 
wiederzukehren:  ihre  Bahnen  sind  sehr  nahe  parabolisch.  Sie  scheinen  daher 
nicht  dem  Sonnensysteme  anzugehören,  sondern  fremde,  im  Welträume  herum- 
irrende Körper  zu  sein,  welche  nur  dann  sichtbar  werden,  wenn  sie  in  da» 
Bereich  der  Sonne  gelangen,  so  dass  die  Anziehung  derselben  hinreichend 
kräftig  ist,  nicht  nur  um  ihre  etwaige  geradlinige  Bahn  abzulenken,  sondern  auch, 
um  sie  soweit  anzuziehen,  dass  sie  in  die  Sonnennähe  kommen  und  hier  durch 
die  Wirkung  der  Sonne  (Licht,  Wärme  etc.)  sichtbar  werden.  Aber  nicht  nur 
die  Sonne  übt  eine  anziehende  Kraft  auf  die  Kometen  aus;  eine  qualitativ 
gleiche,  aber  nach  Maassgabe  der  Masse  viel  schwächere  Anziehung  üben  auch 
die  Planeten  aus,  und  es  ist  daher  möglich,  dass  auch  durch  die  Anziehung  der 
Planeten,  bei  hinreichender  Annäherung  an  einen  derselben,  der  Komet  der  Sonne  j 
zugeführt,  in  eine  weit  geringere  Periheldistanz  gebracht  wird.  Es  sind  daher  irr 
Folgenden  Wirkungen  zweierlei  Arten  zu  untersuchen:  die  Wirkungen  der  Sonne 
und  diejenigen  der  Planeten. 

Die  Wirkung  der  Sonne  äussert  sich  zunächst  durch  die  allgemeine 
Attracrion  als  eine  den  Kometen  dem  Sonnensysteme  näher  bringende  Kraft 


')  Der  Werth  dieser  Berechnung  darf  nicht  zu  hoch  angeschlagen  werden;  denn  bei  der 
kleinen  Verschiedenheit  der  drei  Bahnen  hat  man  es  nothwendig  mit  sehr  schiefen  Schnitten 
xu  thun,  die  natuigeroäss  keinesfalls  auf  irgend  welche  Sicherheit  Anspruch  erheben  können. 


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Kometen  und  Meteore.  67 

Bahn,  welche  der  Komet  um  die  Sonne  beschreiben  wird,  hängt  nur  ab 
der  Geschwindigkeit,  welche  er  in  einer  gewissen  Entfernung  hat;  ist  v  die 

Geschwindigkeit  des  Kometen  in  der  Entfernung  r,  so  würde  die  grosse  Axe 

der  Bahn  bestimmt  durch 


und  die  Bahn  wird  eine  Ellipse,  Parabel  oder  Hyperbel,  je  nachdem  sich  a  positiv, 
Null  oder  negativ  ergiebt.  Unter  der  Annahme,  dass  v  alle  möglichen  Werthe 
haben  kann,  würde  es  also  auf  den  ersten  Blick  scheinen,  dass  alle  möglichen 
Bahnen  gleich  wahrscheinlich  wären.  Dabei  ist  aber  zu  beachten,  dass  für  r 
ein  bestimmter  Werth  nicht  wohl  angenommen  werden  kann;  wo  beginnt  denn 
eigentlich  die  Wirkung  der  Sonne  auf  den  Kometen  merkbar  zu  werden?  Strenge 
genommen  wirkt  die  Sonne,  sowie  jeder  Körper  auf  jeden  anderen  selbst  in  un- 
endlicher Entfernung,  nur  mit  ausserordentlich  geringer,  der  Null  gleich  zu 
setzender  Intensität.  Die  Bahn  des  Kometen  kann  dann  noch  immer  geradlinig, 
oder  wenigstens  äusserst  nahe  geradlinig  bleiben,  mit  so  geringen  Abweichungen, 
dass  dieselben  sich  der  Beobachtung,  wenn  eine  solche  möglich  wäre,  völlig 
entziehen  würden ;  aber  eine  Wirkung  ist  vorhanden.  Aus  diesem  Grunde  muss 
also  für  v  die  Geschwindigkeit  in  der  geradlinigen,  noch  nicht  von  der  Sonne 
gestörten  Bahn  des  Kometen,  also  für  r  der  Werth  00  gesetzt  werden;  dann 

wird   ~  =  —  v*,  d.  h.  alle  Kometenbahnen  würden  hyperbolisch  sein. 

Betrachtet  man  aber  die  Bahnelemente  der  beobachteten  Kometen1),  so 
wird  man  eine  verhältnissmässig  sehr  geringe  Anzahl  von  hyperbolischen  Bahnen 
finden.  Dieses  hat  bereits  Laplack  veranlasst,  unter  Anwendung  der  Wahr- 
scheinlichkeitsrechnung zu  untersuchen,  welche  Wahrscheinlichkeit  dafür  besteht, 
dass  eine  Kometenbahn  hyperbolisch  sei;  er  findet  diese  Wahrscheinlichkeit 
äusserst  gering2),  indem  unter  8264  Kometen  nur  immer  eine  hyperbolische 
Bahn  beschrieben  wird,  deren  grosse  Halbaxe  gleich  oder  kleiner  als  100  wäre, 
d.  h.  welche  sich  von  der  grossen  Halbaxe  <v  (Parabel)  merklich  entfernt.  Die 
späteren  Untersuchungen  von  Schiaparelli3;,  Seeliger4),  Niessl8)  u.  A.,  welche 
mehr  oder  weniger  weitgehende  Voraussetzungen  über  die  Vertheilung  der  Kometen- 
bahnen, deren  Perihele,  über  die  Eigenbewegung  des  Sonnensystems  etc.  machen, 
führten  zu  theilweise  einander  widersprechenden  Resultaten  Uber  die  Wahr- 
scheinlichkeit des  Auftretens  von  Bahnen  der  drei  verschiedenen  Kegelschnitts- 
formen. Eine  befriedigende,  in  dem  Sinne  der  durch  die  Beobachtungen  ge- 
gebenen Erfahrungen  liegende  Beantwortung  der  Frage  ist  bisher  unter  der  An- 
nahme des  stellaren,  d.  i.  nicht  zum  Sonnensysteme  gehörigen  Charakters  der 
Kometen  noch  nicht  gegeben:  die  Beobachtungen  ergaben  bisher  ein  merk- 
würdiges Hervortreten  einer  bestimmten,  speciellen  Bahnform,  in  welcher  Ver- 
theilung allerdings  durch  die  in  neuester  Zeit  entdeckten  Kometen  eine  kleine 
Verschiebung  einzutreten  beginnt. 


»)  Vergl.  hierin  das  Kometenverzeichniss  am  Schlüsse  des  Werkes. 
*)  Coimaissanees  des  Tenpa  für  1816,  pag.  213. 

*)  Entwurf  einer  astronomischen  Theorie  der  Sternschnuppen,  pag.  a6i. 
«)  Astron.  Nachrichten  No.  2968. 
»)  Astron.  Nachrichten  No.  8224. 

5# 

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68 


Kometen  und  Meteore. 


Von  den  578  erwähnten  Kometen,  welche  bis  1709  gesehen  worden  waren1), 
sind  nur  für  135  Erscheinungen  zusammen  122  Bahnen  berechnet,  indem  sich  13  Er- 
scheinungen auf  den  periodischen  HAi.LEY'schen  Kometen  und  2  Erscheinungen 
auf  den  periodischen  PoNS-ENCKE'schen  Kometen  beziehen.  Unter  diesen 
122  Bahnen  sind  8  elliptisch  mit  grossen  Halbaxen  kleiner  als  10,  5  elliptisch 
mit  grossen  Halbaxen  grösser  als  10,  und  2  hyperbolisch.  Ueber  die  284  Er- 
scheinungen bis  1895  giebt  die  folgende  Tabelle  Aufschluss. 


In  der  Zeit 


Von  1801  bis  1830 

„  1831  „  1850 

„  185 1  „  1860 

„  1861  „  1870 

„  1871  „  1880 

„  1881  „  1890 

„  1891  „  1895 


-°  c  E 
a  4»  o 


V 

U 

w 

■u 


7 

1U 
10 

7 
13 
10 

7 


wurden  Kometen  entdeckt,  deren  Bahnen  sind: 


Ellipsen  mit  Halbaxen 


kleiner 
als  10 


2 
3 
1 
2 
l 
8 


gTösser 
als  10 


11 
12 
12 
6 
8 
9 
3 


Parabeln 


Hyperbeln 


25 
21 
16 
20 
17 
24 
8 


2 
2 


parabel- 
ähnliche 
Bahnen 


33 
30 
26 
25 
35 
11 


£ 
ß 
E 
« 

c/j 
3 
NJ 


47 
46 
41 

35 
39 
53 
23 


Zusammen 


22 


61 


131 


6 


198 


284 


Hierzu  muss  noch  erwähnt  werden,  dass  ausser  den  hier  angeführten  noch 
einige  Versuche  gemacht  wurden,  für  einzelne  Kometen  die  Beobachtungen 
durch  hyperbolische  Bahnen  besser  darzustellen.  Alle  berechneten  Hyperbeln 
unterscheiden  sich  von  den  Parabeln  so  wenig,  dass  sie  als  parabelähnlich  zu 
bezeichnen  sind:  dasselbe  gilt  von  denjenigen  Ellipsen,  welche  in  der  Columne 
>Ellipsen  mit  Halbaxen  grösser  als  10«  aufgenommen  sind,  wenngleich  hier  die 
Grenze  etwas  weiter  hinausgeschoben  hätte  werden  können.  Unter  diesen  61 
elliptischen  Bahnen  sind  9  mit  einer  Umlaufszeit  von  weniger  als  100  Jahren; 
es  sind  die  folgenden: 

1)  Komet  (19);  der  HALLEY'sche  Komet;  im  Jahre  1682  von  Flamsteed  am 
25.  August  zuerst  beobachtet  (nachdem  derselbe  schon  am  23.  August  von  den 
Jesuiten  in  Orleans  gesehen  worden  war).  Seine  Bahn  wurde  von  Halley  be- 
rechnet, welcher  aus  der  Aehnlichkeit  der  Elemente  mit  denjenigen  des 
von  Apian  1531  und  von  Kepler  und  Loncomontan  1607  beobachteten  Ko- 
meten auf  die  Identität  derselben  schloss,  und  seine  Wiederkehr  tür  1759 
vorhersagte.  In  der  That  wurde  er,  zuerst  am  25.  und  27.  December  1758  von 
einem  Landmanne,  Palitzsch,  bei  Dresden,  gesehen,  so  dass  die  Zusammen- 
gehörigkeit der  vier  Erscheinungen  von  1531,  1607,  1682  und  1759  unzweifelhaft 
festgestellt  war.  Laugier  berechnete  aus  diesen  4  Erscheinungen  Elemente, 
mit  denen  er  die  Berechnung  des  Kometen  zurück  verfolgte  und  die  Identität 
desselben  mit  älteren  Erscheinungen  festzustellen  versuchte.  Später  wurden  diese 
Rechnungen  von  Hind  wieder  aufgenommen;  aus  den  Jahren  1456,  1378,  1301, 


')  Für  die  Zeit  von  1800  bis  1895  sind  nur  diejenigen  Kometen  berücksichtigt,  deren 
Bahnen  bestimmt  worden  sind;  einzelne  Kometen,  welche  nur  einmal  gesehen  wurden,  deren 
Bahn  daher  nicht  bestimmt  werden  konnte,  wurden,  wie  schon  erwähnt,  nicht  mitgerechnet.  Dahin 
gehören  :  der  Sonnenfinstcrnisskomet  von  1882  Mai  16,  1893  April  16;  ein  von  M.  Wolf  auf 
den  photo graphischen  Platten  1892  März  19.  und  20.  gesehenes  Object  u.  s.  w.,  welche  in  der 
Zusammenstellung  nicht  aufgenommen  sind. 


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Kometen  uml  Meteore.  69 

1223,  1145,  1066,  989,  912,  837,  760,  684,  608,  530,  451,  373,  295,  218,  141, 
66  n.  Chr.  Geb.  und  12  v.  Chr.  Geb.  sind  die  Bahnen  der  Kometen  1456  und 
1378,  ferner  die  Bahnen  der  Kometen  aus  den  Jahren  1301,  1066,  989,  837,  141 
und  66  n.  Chr.  Geb.  und  vom  Jahre  12  v.  Chr.  Geb.  thatsächlich,  soweit  die 
rohen  Beobachtungen  die  Resultate  als  zuverlässig  zu  betrachten  gestatten,  von 
der  Bahn  des  HALLEY'schen  Kometen  nicht  allzu  verschieden,  obgleich  einzelne 
etwas  stärkere  Abweichungen  zeigen. 

Die  Vorausberechnung  ergab  eine  Wiederkehr  für  1835,  in  welchem  Jahre 
er  von  Dumouchel  in  Rom  am  5.  August  wieder  aufgefunden  wurde.  Ueber  seine 
Erscheinung  in  diesem  Jahre  wurde  bereits  gesprochen;  die  Folgerungen,  zu 
welchen  Bessel  gelangte,  werden  weiterhin  besprochen  werden.  Seine  Ele- 
mente1) sind: 

7*«=  1835  November  16.  q  =  0  586 
k  =  165°  48'  e  =  0-967 

Ä  =  55   10  a  =  18 

1  =  162  15  U~  76  Jahre. 

Die  nächste  Wiederkehr  wird  191 1  stattfinden. 

2)  Komet  (124)  Pons-Brooks;  am  20.  Juli  1812  von  Pons  entdeckt.  Aus 
seinen  Beobachtungen  1812  fand  Encke,  dass  die  Bewegung  in  einer  sehr  ge- 
streckten Ellipse  stattfand;  die  von  ihm  gefundenen  Elemente  ergaben  eine  Ellipse 
von  nahe  71  Jahren  Umlaufszeit;  vor  seiner  Wiederkehr  1883  wurde  die  Rechnung 
neuerdings  von  Schulhof  und  Bossert  in  Paris  aufgenommen,  welche  für  den- 
selben eine  sehr  ausgedehnte  Aufsuchungsephemeride  gaben.  Indessen  wurde  er 
unabhängig  von  dieser  Ephemeride  am  1.  September  1883  von  Brooks  in  Phelps 
wieder  entdeckt.  Ueber  die  an  demselben  beobachteten  Lichtausbrüche  s.  pag.  58. 
Die  Elemente  von  Schulhof  und  Bossert  sind: 

T  =  1884  Januar  26.  q  =  0  7757 

ic  —  93°  17'-2  e  =  09550 

ft  =  254     57  a  =  1724 

*  =  74     2  6  Ur=  71-56  Jahre. 

Die  nächste  Wiederkehr  wird 

1955  stattfinden. 

3)  Komet  (127);  der  OxBERS'sche  Komet,  den  6.  März  181 5  von  Olbers 
entdeckt.  Auch  dieser  Komet  wurde  bald  als  elliptisch  erkannt;  vor  seiner 
Wiederkehr  wurde  die  Berechnung  von  Ginzei.  in  Wien  wieder  aufgenommen, 
der  ebenfalls  sehr  ausgedehnte  Aufsuchungsephemeriden  gab;  er  wurde,  nachdem 
er  schon  1886  vielfach  aber  vergeblich  gesucht  worden  war,  am  24.  August  1887 
von  Brooks  in  Phelps,  ebenfalls  unabhängig  von  der  Ephemetide,  neu  entdeckt. 
Die  aus  den  beiden  Erscheinungen  abgeleiteten  Elemente  sind: 


r*=  1887  October8.  q=  11991 

ir  =  149°  52-5 
ß=  84  32  3 
i  =  44  343 


e  =  0-9311 
M,ttl.  Aequ.  a=  n.41 

1890  0      ^=  72-64  Jahre. 


Die  nächste  Wiederkehr  wird  i960  stattfinden. 


•)  Hier  sowie  im  folgenden,  wenn  nichts  besonderes  erwähnt  ist.  Mittlere» 


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7o 


Kometen  und  Meteore. 


4)  Komet  (172):  der  de  Vico'sche  Komet  1846  IV  entdeckt  1846  Februar  20. 


5) 
6) 
7) 
8) 
9) 


>> 
11 


(181): 
(193): 

(238)  : 

(239)  : 
(270): 


„  BROKSKN'sche 

„  WESTPHAL'sche 

„  TFMPEL'sche 

„  Coc(iiA'sche 

„  GouijVsche 


1» 


1847  V 
1852  IV 
(8661 
1867  I 
1880  I 


11 


1847  Juü  20. 
1852  Juli  24. 
1865  December  19. 
1867  Januar  22. 
18S0  Februar  4. 


sämmtlich  nach  ihren  Entdeckern  benannt;  ihre  Elemente  sind: 


Komet 

T 

a 

i 

1 

e 

a 

u 

Zu  erwartende 
Wiederkehr 

172 

1846  März  s 

90°  27' 

77° 33' 

85°  6' 

0-6638 

09022 

17-6 

* 

73-7 

1919 

181 

1 847  September  9 

79  8 

309  50 

19  9 

0-4883 

0-9739 

18  7 

811 

1928 

193 

1852  October  13 

43  14 

346  10 

40  55 

1-2500 

0-9190 

15-4 

.  60-7 

1913 

238 

1866  Januar  11 

42  24 

231  26 

162  42 

09765 

0-9054 

10-3 

33-2 

1899 

239 

1867  Januar  ao 

75  59 

78  28 

18  13 

1-5773 

0-8654 

1 1-7 

401 

1907 

270 

1880  Januar  27 

74  14 

356  19 

143  8 

00059 

09995 

IM 

36-9 

1917 

Bei  den  letzten  6  Kometen  ist  daher  die  Umlaufszeit  noch  nicht  durch  die 
beobachtete  Wiederkehr  bestätigt,  doch  wird  bei  allen  schon  am  Ende  dieses 
oder  im  Anfange  des  nächsten  Jahrhunderts  diese  Bestätigung  erfolgen  können. 
Der  Komet  (238)  hat  ein  erhöhtes  Interesse  durch  seinen  Zusammenhang  mit 
den  Sternschnuppen,  und  der  Komet  (270)  durch  seinen  Zusammenhang  mit  den 
Kometen  1843  I,  1882  II  und  1887  I,  filr  welchen  Fall  jedoch  für  den  letzteren 
die  von  Gould  und  Kreutz  berechneten  parabolischen  Bahnen  eine  grössere 
Wahrscheinlichkeit  haben  (vergl.  auch  pag.  55). 

Für  die  Kometen  mit  kurzer  Umlaufszeit  soll  zunächst  eine  Zusammenstellung 
ihrer  Elemente  bei  ihrer  Entdeckung  und  bei  ihrer  letzten  Erscheinung  gegeben 
werden. 


£ 

"C 

:Num.d.GALLK- 
sehen  Verreich. 

Jahr  und  OidA 
,  nungsnumm. 
d.  Erscheinung^ 

1 

45 

1678 

1 

164 

1844  I 

2 

65 

1743  I 

3 

79 

1766  II 

4 

81 

1770  I 

5 

84 

1772 

5 

r» 

1852  III A 

5 

1852  III  B 

i- 

92 

1783 

7 

96 

1786  I 

7 

96 

1895  I 

8 

102 

1790  II 

8 

102 

1858  I 

8 

102 

1885  IV  ; 

9 

131 

1819  III  ! 

9 

131 

1858  II 

9 

131 

1893  rv 

7 

M.  B.  2t* 


hgq 


9 


•4I322 

342 


August  18 
Sept.  2-5 
Januar  8  2  I  93 
April  27  0  |25l 
August  13  G  356 


Febr.  I6'7 
Sept.  23  7 
Sept.  24-0 
Nov.  20  0 
Januar  30'9 
Febr.  4  77 
Januar  28- 3 
Febr.  23  6 
Sept.  1118 
Juli  18-9 
Mai  2-07 
Juni  30-93 


1 10 
109 
108 
50 
156 
158 
III 
115 
116 
274 
275 
276 


°48' 
30-8 
19-6 
13 

16-  8 
18G 

5-3 
58-3 

17-  4 
38 

4232 
45 

51  r» 


63 
63 
86 
74 
131 
257 
245 
245 
55 
334 
334 
207 
269 
28-98|269 
41  113 


389 
11  07 


113 
104 


'20' 
49-6 
545 
11 

590 
15-6 
496 
53-5 
40-5 
8 

44-8.r. 
9 

3-  2 
4202 
11 

318 

4-  62 


2 
2 
1 
8 
1 

17 
12 
12 
4:> 
13 
12 
56 
54 
54 
10 
10 


52'    0-O589  38« 
54-8  0  0742  38 
53  7  9  9353  46 

2  9-6010  59 
34-5  9-8289  51 

31  9  9939  46 
33'5  99346  49 
33  8  9  9318  49 

6-9  0  1 641  33 
36  [9  5248  'ö8 
54 -4C  9-53284  57 


58 
24-2 
19-75 
43 
482 


50' 
7-5 
9-8 

46 

49-4 

25-7 
2-6 
7-4 

32*1 
2 

48-23 


]n-4872 
0-4914 
0-4901 
0-4674 
0-4988 
0-5538 
0-5458 
0-5476 
0-5133 
0-3440 
0-34597 


U 
Jahr. 


55 


00267 
00109 
0  01061.55 
9  8885  |49 
9-8859  49 


10-5  0-7578 
14-38|0759Ü8J 
2-5  0-4997 
0-7  0-4965 


14  31-57  9-9477 1|46  8308|o-50994 


659" -6 

649-9 

6528 

706- 1 

633-6 

5240 

538-7 

53.V3 

588-9 
1081-4 
1074- 108 

258-97 
257-865 
631-6 
638-7 
609-672 


53S 
5-46 
5  44 

503 

5-  60 

6-  77 
6-59 
663 
602 
3-27 
3-30 

13-70 
13-76 
5-62 
5-56 
682 


Digitized  by  LaOOQle 


Kometen  und  Meteore. 


V  <  ^ 

3     =  *» 

K  132 
1 1 '  1 63 


l. 


Ii  171 


I. 
13 

u 
n 


171 
174 
189 
189 


15240 
15740 
16  244 


16 

n 

17 
18 
19 
21 
20 


244 
251 
251 
277  ' 
285 
286 
486 


21  293 


22 

22 


295 
295 


23309 
24310 
25316 
26  321 
27|322 
28327 
29  329 
30|380 


1819  IV 
1843  m 
1881  I 
»846  III 
1879  I 
1846  VI 
1851  n 

1890  V 
1867  n 
1879  UI 
1869  III 

1891  V 
1873  II 
1894  III 
1881  V 
1884  II 
1884  III 

1891  II 
1886  IV 
1886  VII 

1893  m 
1889  V 

1889  VI 

1890  VII 

1892  m 
1892  V 

1894  I 

1894  IV 

1895  II 


T 

M.  B.  Z. 


Nov.  20-3 
Octob.  17-2 
Januar  22  7 
Febr.  25  4 
März  30-6 
Juni  1-2 
Juli  8-7 
Sept.  17  5 
Mai  23  9 
Mai  7-2 
Nov.  18-8 
Nov.  150 
Juni  25-2 
April  23-3 
Sept.  13  4 
August  16*5 
Nov.  17.8 
Septemb.3'5 
Juni  6-6 
Nov.  22-4 
Juli  122 
Sept.  30-4 
Nov.  29-6 
Octob.  26-5 
Juni  18-2 
Dec.  110 
Febr.  9  5 
Octobcrl2-5 
August  20-9 


67 
49 
50 
116 
116 
240 
322 
319 
236 
238 
42 
43 
306 
306 
18 
306 
19 
19 
229 
7 
7 
1 

40 

68 
345 
16 
130 
145 
338 


19 

84-3 


4878  209 


28 
141 

76 
570 
14  57 
10 
16 
59 
14-27 

6 


33-8 
110 
10 


77 

209 


102 
101 
260 
148 
146 
101 
78 
296 
296 
120 


14  9 

29-3  11 
35-42  II 
41 
190 
290 
25-5  i  13 
16  53  15 


30 
29 
30 


1  ,9  9506  43 

22-  5  !o  2285  33 
19  67  024008  33 
56  9  8130  52 

23-  2  9-7707  54 

24-  4  01843  1-16 
55  4  KJ  0695  41 


9 
46 
46 
3125 
57 


65 
5 

206 


54-2 
90 
18  5 


10*73206 
460  53 
34-5  52 


42-690  12190 


6 
0 
5 
5 
12 


25 
46 
24 


01941 
0-2482 
00266 
23-23[008607 
45     0  1284 


15  00  121   10  09  12  44-37  0  1305333 


6 
6 
25 


50-7 
27-6 
157 


38 
30 
27 
41 
10 
33 


9-8607 
01071 
01964 


56 
35 
34 


22-28,25   14-57O-202 16  33 


59-57 
84-92 
150 
23-7 


52 
17 
330 
45 


53-5  331 


52-6 
37-7 
192 
4-3 


206 
84 
48 

170 


3-4 
28-9 
2772 
59-07 
860 

5-3 
41-2 
88-7 
21-8 
446 
181 


12 
3 
3 
6 
10 
12 
20 
31 
5 
■> 
3 


56  0  0  1261 


1-  7 

2-  03 
411 

149 


99989 
9-99526 
0-29000 
01315 


12-5 
81-8 
57-9 
0-3 


50-4  0-2595 
47  3  0-3303 


01551 
00597 
01 438 
01131 


87 
45 
46 

28 
42 
28 
24 
35 
44 
34 
40 


loga 


22  4  jO-4547 
46-6  0  5811 


17-97 
80-2 
4-8 
100 
16-5 
50-30 


33-2 
9-3 


71 
44-8 

7-2 


0-58592 
0-4978 
0-4916 
0-7392 
10-5376 
0-55034 


38-7  0-5037 


0-5179 
0-4927 
44-730-49537 
82-7  0-4777 

26-  450-47836 
0-6307 
0-4888 
0-5539 

51-  680-55594] 

27-  2  0-5329 

52-  8  0-5485 
0-820-54733 
5- 10  0-56636 

31-  2  0-6208 
8-5  0-5866 

1 1-9  0-5594 

32-  2  0-5331 
17-6  0-5802 
521  0-5121 
39-5  0-5710 


736-9 
476-8 
468-942 
635-7 
6495 
276-2 
554  1 
630-27-2 
623- 1 
593- 1 
647- 1 
641139 
681-4 
679-939 
4017 
657- 1 
523-8 
520- Ui 
563- 1 
5337 
533  805 
501-723 
415-8 
566-0 
5139 
562-8 
478-4 
605- 1 
493-7 


4-  82 
7-44 

7-  57 

5-  58 

6-  46 
12  85 

6  40 
6-69 
5-69 
5-98 
5-48 
553 
5  21 
5-22 

8-  83 

5-  40 

6-  77 
6-82 
6-30 
6-65 
6-62 
707 
8-53 
6-88 
6-90 

6-  30 

7-  42 
5-86 
719 


1)  Der  la  Hif:e-de  Vico'sche  Komet.  Der  Komet  wurde  1678  von  la  Hfre 
entdeckt,  nach  dieser  Erscheinung  aber  nicht  wiedergesehen.  Die  Aehnlichkeit 
zwischen  seinen  Elementen  und  denjenigen  des  am  22.  August  1844  von  de  Vico 
entdeckten,  veranlasste  i.k  Verrif.r  und  Brünnow  zu  einer  genaueren  Untersuchung, 
welche  die  Identität  der  Kometen  ausser  Zweifel  stellte.  Nimmt  man  in  der 
Zwischenzeit  31  Umläufe,  so  wird  die  Umlaufszeit  5  36  Jahre.  Seit  1844  ist  der- 
selbe aber  wieder  nicht  mehr  gesehen  worden.  In  neuerer  Zeit  wurde  auf  die  ent- 
fernte Aehnlichkeit  seiner  Bahn  mit  denjenigen  der  periodischen  Kometen  (285)  und 
(295)  hingewiesen.  Der  blosse  Vergleich  der  Bahnen  genügt  dabei  nicht,  da  wie  bei 
den  Kometen  (Sl),  (286)  und  (309)  bedeutende  Störungen  nicht  ausgeschlossen  sind. 
Genauere  Rechnungen  von  Kri;eoer  und  Boss  ergaben  auch,  dass  diese  Kometen 
nicht  identisch  wären.  Mehr  Aehnlichkeit  zeigt  seine  Bahn  mit  der  Bahn  des 
periodischen  Kometen  (329);  nimmt  man  in  diesem  Falle  9  Umläufe  des  Kometen 
an,  so  würde  sich  die  Umlaufszeit  zu  5  612  Jahre  ergeben;  die  genaueren  Unter- 
suchungen von  Schulhof  hierüber  sind  noch  nicht  abgeschlossen,  scheinen  aber 
die  Identität  zu  bestätigen. 


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7i 


Kometen  und  Meteore. 


2)  Der  von  Grischow  1743  entdeckte  Komet  wurde  ebenfalls  später  nicht 
wiedergesehen.  Clausen,  der  seine  Bahn  berechnete,  hält  ihn  jedoch  für  identisch 
mit  dem  periodischen  Kometen  (132)  und  ist  der  Meinung,  dass  die  beträchtlichen 
Aenderungen  durch  eine  Störung  des  Jupiter  bewirkt  wurden,  welcher  die  Umlaufs- 
zeit von  673  Jahre  (vor  1758)  auf  5*60  Jahre  (nach  1817)  vermindert  hätte  (vergl. 
auch  pag.  90). 

3)  Auch  dieser,  am  1.  April  1766  von  Helfenzrieder  entdeckte  Komet,  ist 
nicht  wiedergesehen  worden.  Man  hat  neuerdings  die  Vermuthung  ausgesprochen, 
dass  der  Komet  identisch  wäre  mit  dem  periodischen  Kometen  (131);  mehr 
Wahrscheinlichkeit  hat  die  Annahme  der  Identität  mit  dem  Kometen  (277)  oder 
(293),  immerhin  unter  der  Voraussetzung  von  bedeutenden  Störungen;  ausführliche 
Untersuchungen  hierüber  sind  noch  nicht  angestellt. 

4)  Für  den  von  Messier  am  14.  Juni  1770  entdeckten  Kometen  hatte  bereits 
der  erste  Berechner  Lexell,  nach  welchem  der  Komet  auch  der  LEXELL'sche 
Komet  genannt  wird,  eine  Umlaufszeit  von  5£  Jahren  gefunden  ;  man  warf  daher  die 
Frage  auf,  warum  er  nicht  früher  gesehen  worden  war.  Als  er  dann  bei  seiner 
in  den  Jahren  1776  und  1781  erwarteten  Wiederkehr  nicht  gesehen  wuide  musste 
der  Grund  hierfür  angegeben  werden.  Zweifel  an  der  Ellipticität  der  Bahn,  an 
der  Güte  der  Beobachtungen,  veranlassten,  dass  die  Frage  wiederholt  von  ver- 
schiedenen Berechnern  insbesondere  von  Burckhardt  aufgenommen  wurde. 
La  place  hatte  als  Ursache  eine  starke  Annäherung  des  Kometen  an  Jupiter  ge- 
funden, durch  welchen  derselbe  im  Jahre  1767  aus  einer  nahe  parabolischen  Bahn 
in  jene  elliptische  übergeführt  worden  war,  welche  sich  aus  seinen  Beobachtungen 
im  Jahre  1770  ergeben  halte,  in  welcher  er  aber  nur  bis  1779  blieb,  in  welchem 
Jahre  neuerdings  eine  so  bedeutende  Annäherung  des  Kometen  an  Jupiter  stattfand, 
dass  seine  elliptische  Bahn  wieder  vollständig  umgestaltet  wurde. 

Die  Apheldistanz  dieses  Kometen  ist  in  seiner  elliptischen  Bahn  zwischen 
1 767 — 1779,  gleich  5*63,  also  etwas  grösser  als  die  grosse  Halbaxe  der  Jupiters- 
bahn. Steht  nun  Jupiter  in  der  Richtung  des  Aphels,  wenn  der  Komet  dasselbe 
passirt,  so  ist  die  Annäherung  der  beiden  Körper  so  stark,  dass  die  Wirkung 
des  Jupiter  nicht  mehr  als  Störung  angesehen  werden  kann,  indem  sie  die 
Wirkung  der  Sonne  Übertrifft,  und  Laplace  wandte  für  die  Untersuchung  eine 
Methode  an,  bei  welcher  die  Bahn  während  der  grossen  Annäherung  als  eine 
jovicentrische  angesehen  wird1).  Später  wurden  diese  Arbeiten  in  weit  ausge- 
dehnterem Umfange  von  Le  Verrier  wieder  aufgenommen51).  Da  es  denkbar  ist, 
dass  einem  gewissen  Werthe  eines  Elementes,  z.  B.  der  Knotenlänge ,  andere 
Elemente  entsprechen,  welche  die  mögliche  Bahn  des  Kometen  vor  der  ersten 
Störung  bezw.  nach  der  zweiten  grossen  Störung  innerhalb  der  zulässigen  Beob- 
achtungsfehler darstellen,  so  kann  man  die  sämmtlichen  möglichen  Elementen- 
systeme als  Funktionen  eines  Elementes  darstellen,  oder,  wie  dieses  Le  Verrier 
that,  alle  Elemente  von  einem  gewissen  Parameter  (unabhängige  Variable),  welchen 
er  ft  nennt  und  welcher  mit  der  Genauigkeit  der  Beobachtungen  zusammenhängt, 
abhängig  machen.  Le  Verrier  fand  so,  dass  unter  den  bis  dahin  entdeckten 
Kometen  kein  mit  dem  LEXELL'schen  identischer  sein  könne.  Erst  in  neuerer 
Zeit  wurden  durch  die  Untersuchungen  Chandler's  über  den  Kometen  309  (s. 
hierüber  das  später  Über  die  Störungen  durch  Jupiter  Gesagte)  auf  die  mögliche 
Identität  dieser  beiden  Kometen  aufmerksam  gemacht. 


')  Vergl.  den  Art.  »Mechanik  des  Himmels«  §  68. 
')  Annales  de  l'Observatoire  de  Paris;  T.  Iii. 


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Kometen  und  Meteore. 


5)  Der  BiELA'sche  Komet  wurde  1772  von  Montaigne  am  8.  März  entdeckt 
und  von  Messier  viermal  beobachtet,  u.  z.  am  26.  27.  30.  März  und  1.  April. 
Die  erste  Bahnbestimmung  war  daher  äusserst  unsicher.  Die  Aehnlichkeit  der 
Elemente  mit  denjenigen  des  am  10.  November  1805  von  Pons  entdeckten  Kometen 
(1806  I)  war  nicht  auffällig  genug,  dass  er  schon  in  dieser  Erscheinung  als  perio- 
disch erkannt  worden  wäre,  obzwar  Gauss  bei  seiner  Bahnbestimmung  bereits  auf 
eine  stark  elliptische  Bahn  geführt  worden  war.  Der  am  27.  Februar  1826  von 
Biela  zu  Josefstadt  in  Böhmen  und  unabhängig  von  diesem  am  9.  März  von 
Gambart  in  Marseille  entdeckte  Komet  wurde  aber  bald  von  beiden  als  identisch 
mit  demjenigen  von  1806  erkannt,  und  dadurch  wurden  beide  auch  auf  die  Identität 
derselben  mit  dem  Kometen  von  1772  geführt.  Bei  seiner  nächsten  Wiederkehr 
wurde  er  am  25.  August  1832  nach  der  von  Biela  vorausgerechneten  Ephemeride 
im  Collegio  Romano  wiedergefunden.  Hlbbard  und  d'Arrest,  welche  für  die  nächste 
Erscheinung  die  Vorausberechnung  Übernahmen,  fanden  nahe  identische  Bahnen. 
Ueber  seine  späteren  Erscheinungen  in  den  Jahren  1846  und  1852  wurde  bereits 
gesprochen.  Eine  Schwierigkeit  bei  der  Bahnbestimmung  ergab  die  bereits  er- 
wähnte Thatsache,  dass  die  Entfernung  der  beiden  Köpfe  im  Perihel  ein  rela- 
tives Maximum  erreichte.  Auch  schliessen  sich  die  beiden  Bahnen  nicht  voll- 
kommen den  beiden  Kometentheilen  an.  Als  der  Komet  im  Jahre  1859,  wie 
man  damals  annahm,  wegen  der  sehr  ungünstigen  Stellung  des  Kometen  nicht 
beobachtet  wurde,  setzte  man  grosse  Hoffnungen  auf  die  Wiederkehr  desselben 
im  Jahre  1865  behufs  genauerer  Bestimmung  der  Bahnen.  Allein,  wie  schon 
erwähnt,  ist  der  Komet  seither  nicht  wiedergesehen  worden.  Zwar  hatte  im  Jahre 
1865  am  4.  November  Talmace,  am  5.  Hind,  am  9.  Buckhincham,  am  18.  Barber 
und  bei  der  Erscheinung  1872,  von  Klinkerfues  aufmerksam  gemacht,  Pocson  in 
Madras  am  2.  December  in  der  Nähe  des  Ortes,  wo  der  Kometsich  befinden  musste, 
einen  kometenartigen  Nebel  gesehen,  allein  alle  diese  Beobachtungen  ergaben, 
mit  der  Ephemeride  verglichen,  so  bedeutende  Unterschiede,  dass  man  das  beob- 
achtete Object  nicht  mit  dem  BiELA'schen  Kometen  identificiren  kann. 

Am  8.  Dezember  1896  wurde  von  Perrine  ein  Komet  entdeckt,  für  welchen 
Ristenpart  die  folgenden  elliptischen  Elemente  berechnete: 

T=  1896  November  24  7433 
t:  =  50°  21'  37"  7 
=  246°  24'  7"  2 
<  =  13°  50'  41  "1 
log  q  =  0  0464 12 
?  =  44°  12*  27"  3 
u.  =  503"490 
log  a  =  0  565344 

Umlaufszeit  7  047  Jahre, 

aus  welchen  er  sofort  auf  die  Aehnlichkeit  mit  dem  BiELA'schen  Kometen  geführt 
wurde.  Doch  bleibt  vorerst  ohne  ausführliche  Störungsrechnung,  bei  denen  in 
erster  Linie  die  Wirkung  der  Erde  in  Betracht  zu  ziehen  ist,  der  grosse  Unter- 
schied in  der  Lage  des  Perihels  sowie  in  der  Durchgangszeit  durch  das  Perihel 
noch  unaufgeklärt,  und  muss  erst  die  genauere  Rechnung,  bei  denen  zunächst 
eine  engere  Verbindung  der  Erscheinungen  von  1846  und  1852  unerlässlich  ist, 
darüber  entscheiden  ob  der  erwähnte  Komet  mit  dem  BiELA'schen  identisch  ist 
oder  sich  nur  in  seiner  ursprünglichen,  später  durch  Erdstörungen  modificirten 
Bahn  bewegt.    Dass  der  Komet  zur  Zeit  der  grössten  Störung,   also  in  der 


Mittl.  Aequin.  1897  0 


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Kometen  und  Meteore. 


grössten  Erdnähe,  nicht  hat  beobachtet  werden  können,  kann  nicht  gegen  die 
Identität  sprechen,  da  er  in  seinen  früheren  Erscheinungen  an  Intensität  verlor ; 
auch  spricht  dafür,  dass  er  1896  erst  nach  seinem  Periheldurchgangew  also  wahr- 
scheinlich in  Folge  eines  plötzlichen  Anwachsens  der  Intensität,  entdeckt  wurde. 

6)  Der  von  Pigott  am  ig.  November  1783  entdeckte  Komet  unterscheidet 
sich  von  den  anderen  kurz  periodischen  Kometen  wesentlich  durch  die  grosse 
Neigung;  eine  noch  grössere  Neigung  hat  nur  der  Komet  (102),  der  aber  schon 
den  Uebergang  zu  den  lang  periodischen  bildet.  Der  Komet  ist  seither  nicht 
wiedergesehen  worden,  und  kann  auch  nicht  leicht  ohne  ausführliche  Störungs- 
rechnungen mit  einem  anderen  Kometen  verglichen  werden. 

7)  Der  Encke'scIic  Komet.  Der  Komet  wurde  von  Mechain  am  17.  Januar 
1786  entdeckt  und  ausserdem  nur  noch  einmal  am  19.  Januar  von  Mechain  und 
Messier  beobachtet;  an  eine  Bahnbestimmung  war  daher  damals  gar  nicht  zu 
denken.  Als  Encke  die  Berechnung  des  am  26.  November  18 j 8  von  Pons  ent- 
deckten Kometen  übernahm,  wurde  er  auf  eine  Ellipse  von  1207  Tagen  Umlaufszeit 
gelührt,  woraus  er  auf  die  Identität  desselben  mit  dem  von  Bouvard,  Pons  und 
Huth  am  19.  Oktober  1805  entdeckten,  ferner  mit  dem  von  Miss  Caroline 
Herrschel  im  Jahre  1795  entdeckten  aber  nur  vom  7.  bis  27.  November  beob- 
achteten Kometen  geführt  wurde;  eine  weitere  Zurückrechnung  ergab,  dass  auch 
die  Beobachtung  des  Kometen  1786  I  diesem  Kometen  angehöre. 

Der  Komet,  welcher  übrigens  lichtschwach  und  nur  teleskopisch  ist,  wurde 
seitdem  fast  bei  jedem  Periheldurchgange  beobachtet:  1822  in  der  ersten  voraus- 
berechneten Wiederkehr  wurde  er  von  Dunlop  in  Paramatta  aufgefunden  und 
von  Rümker  daselbst  vom  2.  bis  29.  Juni  beobachtet;  1825  wurde  er  von  Valz  in 
Nimes  am  13.  Juli  wiedergefunden;  1829  von  Encke  in  Berlin  am  7.  Oktober, 
1832  von  Mossotti  in  Buenos-Ayres  am  i.Juni,  1835  von  Kreil  in  Mailand  am 
22.  Juli;  1838  am  16.  September  und  1842  am  8.  Februar  von  Encke  in  Berlin; 
1845  am  4.  Juli  in  Washington;  1848  von  Bond  in  Cambridge  U.  S.  am  27.  August; 
1852  von  Vogel  in  Bishops  Observatory  in  London  am  9.  Januar;  1855  von 
Maclear  am  Cap  am  12.  Juli;  1858  am  7.  August  und  1861  am  4.  October  von 
Förster  in  Berlin;  1865  Febtuar  13  von  Bruiins  und  Engelmann  in  Leipzig; 
1868  Juli  17  und  1871  September  19  von  Winnrcke  in  Karlsruhe;  1875  Januar  26 
von  Holden  und  Tuttle  in  Washington;  1878  August  3  von  Tebbutt  in  Windsor; 
1881  August  20  von  Winnecke  in  Strasshurg;  1884  Dezember  13  von  Tempel  in 
Arcetri;  1888  Juli  8  von  Tebbutt  in  Windsor;  1891  August  1  von  Barnard  auf 
dem  Mount  Hamilton;  1895  gleichzeitig  von  Wolf  in  Heidelberg  und  Perrotin  in 
Nizza.  Seine  Vorausberechnung  hatte  später  v.  Asten,  und  in  letzter  Zeit  Backlund 
übernommen;  seine  nächste  Wiederkehr  ist  für  das  Jahr  1898  zu  erwarten. 

Die  zahlreichen  Beobachtungen  dieses  Kometen  ermöglichten  selbstverständlich 
eine  äusserst  genaue  Bahnbestimmung;  dabei  zeigte  es  sich  aber,  dass  sich  seine 
Umlaufszeit  stetig,  um  ungefähr  3  Stunden  für  jeden  Umlauf  verkürzt.  Encke 
wurde  hierdurch  auf  die  Einwirkung  eines  widerstehenden  Mittels  geführt, 
worüber  ausführlich  in  der  »Mechanik  des  Himmels«  gesprochen  werden  wird. 

8)  Für  den  am  9.  Januar  1790  von  MEchain  entdeckten  Kometen  ergaben 
sich  die  in  der  Tabelle  angegebenen  parabolischen  Elemente.  Der  von  Tuttle 
am  4.  Januar  1858  in  Cambridge  U.  S.  und  unabhängig  von  diesem  am  11.  Januar 
von  Bruhns  in  Berlin  entdeckte  Komet  erwies  sich  gleich  nach  der  ersten  Bahn- 
bestimmung als  identisch  mit  dem  Kometen  1790  II,  so  dass  inzwischen  5  Umläufe 
stattgefunden  hatten,  und  die  Umlaufszeit  13  7  Jahre  beträgt.   Der  Komet  wurde 


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75 


in  der  nächsten  Erscheinung  187 1  am  12.  Oktober  von  Borelly  in  Marseille  und  am  \ 
1 5.  Oktober  von  Winnecke  in  Kalsruhe  wieder  aufgefunden  und  am  8.  August  18S5  von  [ 
Perkotin  und  Chari.ois  in  Nizza.  Für  die  letzte  Erscheinung  hatte  die  Bearbeitung  \ 
Kahts  übernommen.   Die  nächste  Wiedelkehr  ist  für  das  Jahr  1890  zu  erwarten. 

9)  Der  WiNNECKE'sche  Komet;  entdeckt  im  Jahre  1819  von  Pons  am  12.  Juni, 
wurde  für  denselben  von  Encke  eine  elliptische  Bahn  gerechnet.  In  ganz  der- 
selben Weise  wie  beim  TurrLE'schen  Kometen  und  im  selben  Jahre,  unmittelbar 
nach  der  Entdeckung  des  Kometen  1858  I  wurde  dieser  Komet  von  Winnecke  in 
Bonn  am  8.  März  1858  entdeckt  und  als  identisch  mit  dem  Kometen  1819  III  erkannt. 
Unter  der  Annahme  von  7  Umläufen  seit  1819  wurde  Winnecke  auf  eine  Bahn  von 
5  54  Jahren  Umlaufszeit  geführt.  Bei  dem  nächsten  Periheldurchgange  1864  wurde  er 
nicht  gesehen;  1869  wurde  er  am  9.  April  von  Winnecke  in  Karlsruhe  wieder  auf- 
gefunden, sodann  1875  Februar  1  von  Borelly  in  Marseille,  1886  August  19  von 
Finlay  am  Cap,  endlich  1892  März  18  von  Spitaler  in  Wien.  Die  nächste 
Wiederkehr  ist  1898  zu  erwarten. 

10)  Der  Komet  wurde  am  27.  November  1819  von  Blanpain  in  Marseille 
entdeckt,  später  aber  nicht  wiedergesehen.  Ueber  die  Versuche  Clausens  ihn 
mit  dem  Kometen  (65)  zu  identificiren,  s.  pag.  90.  In  neuerer  Zeit  ist  auf  die 
mögliche  Identität  mit  dem  Kometen  (316)  hingewiesen  worden. 

11)  Der  FAYE'sche  Komet;  gleich  nach  seiner  Entdeckung  1843  November  22 
durch  Fayk,  als  elliptisch  erkannt.  Die  genauere  Bahn  ergab  sich  erst  nach  den  Er- 
scheinungen 1851,  wo  er  nach  den  in  der  Tabelle  mitgetheilten  Le-VERRiER'schen 
Elementen  von  Challis  in  Cambrigde  (England)  am  28.  November  1850  und  1858, 
wo  er  von  Bruhns  in  Berlin  am  7.  September  aufgefunden  wurde.  Die  Verbindung 
dieser  Erscheinungen  schien  anfänglich  nach  den  Rechnungen  von  Axel  Möller 
ebenfalls  (die  Berücksichtigung  der  Störungen  durch  ein  widerstehendes  Mittel 
zu  fordern.  1865  wurde  er  nicht  beobachtet,  in  der  Erscheinung  1873  wurde  er 
von  Stephan  in  Marseille  am  3.  September  wieder  aufgefunden,  sodann  1880 
August  2  von  Common  in  Ealing  (1881  I);  in  der  Erscheinung  1888  wurde  er 
nach  Aufsuchungsephemeriden  von  Kreutz,  denen  die  MöLLER'schen  Elemente  zu 
Grunde  liegen,  Aug.  9  von  Perrotin  in  Nizza  und  in  der  letzten  Erscheinung  1896 
nach  einer  genäherten  Ephemeride  von  Engström,  welche  ebenfalls  nach  den 
MöLLER'schen  Elementen  abgeleitet  war,  am  26.  September  1895  von  Javelle  in 
Nizza  aufgefunden. 

12)  Der  BRORSEN'sche  Komet;  sofort  nach  seiner  am  26.  Februar  1846  durch 
Broksen  in  Kiel  erfolgten  Entdeckung  als  elliptisch  erkannt;  bei  seiner  ersten 
Wiedererscheinung  1851  wurde  er  nicht  gesehen  ;  erst  in  der  folgenden  Erscheinung 
1857  wurde  er  von  Bruhns  am  18.  März  neuerdings  entdeckt,  während  die  Ephe- 
meridein  Folge  der  nach  van  Galens  Elementen  zu  kleinen  mittleren  Bewegung(623") 
den  Periheldurchgang  zu  spät  angab.  Für  die  Erscheinungen  des  BKORSEN'schen 
Kometen  giebt  Kreutz1)  die  folgende  Zusammenstellung:  Die  Erscheinungen  des 
Kometen  theilen  sich  wegen  der  fast  genau  5.1  Jahre  betragenden  Umlaufszeit  in 
Frühjahrs-  und  Herbsterscheinungen.  Gut  zu  beobachten  ist  er  nur  in  den  ersteren. 
Im  Jahre  1857  war  aber  seine  theoretische  Helligkeit11)  kleiner  als  die  Hallte  der- 
jenigen der  ersten  Erscheinung  im  Jahre  1846;  nichtsdestoweniger  wurde  er  be- 
deutend heller  gesehen.  Schmidt,  damals  in  Olmütz,  glaubte  den  Kometen 
sogar  1857  April  8  bis  12  mit  blossem  Auge  gesehen  zu  haben.   In  der  nächsten 


l)  Viertcljahrshcft  <l.  Astron.  Gcscllsch.  Bd.  26,  pag.  76. 
»)  Ucber  die  Helligkeit,  vcrgl.  pag.  77. 


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Kometen  und  Meteore. 


Herbsterscheinung  1862  wurde  er  nicht  wahrgenommen;  1868  wurde  er  von 
Schmidt  in  Athen  wieder  aufgefunden;  in  der  nächsten  Herbsterscheinung  winde  er 
am  31.  August  1873  von  Stephan  in  Marseille  wieder  aufgefunden;  der  Komet  war 
diffus,  ohne  merkbare  (Kondensation;  seine  Helligkeit  war  ^  dei jenigen  der  ersten  Kr- 
scheinung  1846,  thatsächlich  war  er  aber,  wahrscheinlich  in  Folge  seiner  ungünstigen 
Stellung,  noch  viel  schwächer.  1879  wurde  er,  wieder  im  Frühjahr  am  14.  Januar 
von  Tempel  in  Arcetri  aufgefunden,  mehrere  Wochen  nach  dem  Periheldurch- 
gange  zeigte  er  eine  rapide  Lichtzunahme  und  eine  VergrÖsserung  des  Kernes, 
eine  Erscheinung,  die  übrigens  auch  schon,  wenn  auch  weniger  decidirt  in 
den  früheren  Erscheinungen  wahrgenommen  worden  war.  In  der  Herbster- 
scheinung 1884  wurde  er  nicht  gefunden,  aber  ebensowenig  in  der  Frühjahrs- 
erscheinung 1890,  obgleich  seine  Stellung  in  diesem  Jahre  nahe  so  günstig 
war,  wie  1846;  in  der  Herbsterscheinung  1895  war  seine  Stellung  besonders 
ungünstig;  die  nächste  Wiedererscheinung  ist  für  das  Frühjahr  1900  zu  erwarten. 

13)  Der  Komet  wurde  von  C.  H.  F.  Peters  am  26.  Juni  in  Neapel  entdeckt; 
er  wurde  nur  in  dieser  einen  Erscheinung  beobachtet,  später  nicht  wiedergesehen. 
Zu  bemerken  ist  übrigens  dass  diese  Bahn  aus  Beobachtungen  abgeleitet  ist, 
welche  im  Ganzen  einen  Zeitraum  von  kaum  einen  Monat  umfassen. 

14)  Der  d'ARREST'sche  Komet;  am  27.  Juni  1851  von  d'ARREST  in 
Leipzig  entdeckt  und  bereits  in  der  ersten  Erscheinung  als  elliptisch  erkannt; 
in  der  nächsten  Erscheinung  1857  am  5.  December  am  Cap  wieder  aufgefunden, 
sodann,  nachdem  er  in  der  nächsten  Erscheinung  nicht  gesehen  wurde,  1870 
August  31  von  Winnecke  in  Karlsruhe  aufgefunden,  1877  Juli  9  von  Tempel  in 
Arcetri,  1890  Oktober  6  von  Barnard  auf  der  Licksternwarte.  Der  Komet  war 
in  seiner  Erscheinung  1890  ungefähr  unter  denselben  Umständen  sichtbar,  wie 
bei  seiner  Erscheinung  1870;  die  Periheldurchgänge  fielen  auf  1870  September  22, 
und  1890  September  17;  dennoch  wurde  er  im  Jahre  1890  nur  mit  grosser  Mühe 
gefunden;  lange  blieb  das  Suchen  erfolglos,  bis  er,  schon  nach  dem  Perihel- 
durchgange,  am  6.  October  von  Barnard  gefunden  wurde.  Der  Komet  hat 
daher  ausserordentlich  an  Lichtstärke  verloren.  Die  nächste  Wiederkehr  ist  1897 
zu  erwarten. 

■ 

15)  Der  erste  TEMPEL'sche  periodische  Komet,  mit  kurzer  Umlaufszeit :  Tempel  t 
entdeckt  von  Tempel  am  3.  April  1867  in  Marseille;  er  wurde  in  der  nächsten 
Erscheinung  1873  von  Stephan  in  Marseille  am  3.  April  wiedergefunden,  sodann 
1879  April  24  von  seinem  ersten  Entdecker  Tempel  in  Arcetri.  Bei  den  folgenden 
Periheldurchgängen  1885  und  1892  wurde  er  nicht  aufgefunden,  die  nächste 
Wiederkehr  ist  1897/8  zu  erwarten. 

16)  Der  dritte  TEMPEL'sche  Komet:  Tempel,  -  Swift:  entdeckt  am 
27.  November  1869  von  Tempel  in  Marseille.  Die  Ellipticität  seiner  Bahn 
wurde  nicht  gleich  bei  der  ersten  Bahnbestimmung  erkannt,  wenn  auch  die 
Abweichungen  von  der  Parabel  schon  damals  angedeutet  waren.  Bei  dem 
nächsten  Periheldurchgang  wurde  er  nicht  beobachtet  und  erst  durch  die  Ueber^ 
einstimmung  seiner  Bahn  mit  derjenigen  des  am  10.  Oktober  1880  von  Swift  in 
Rochester  entdeckten  Kometen  wurde  er  als  periodisch  erkannt  (die  Bezeichnung 
Tempel,  war  inzwischen  für  den  von  Tempel  entdeckten  periodischen  Kometen 
1873  II  gewählt  worden).  Die  Berechnung  des  Kometen  wurde  sodann  von 
Schulhof  und  Bossert  durchgeführt.  Bei  seinem  Periheldurchgange  1886  wurde 
er  jedoch  nicht  gefunden;  1891  wurde  er  am  27.  September  von  Barnard  auf  dem 
Mount  Hamilton  wieder  autgefunden;  seine  nächste  Wiederkehr  findet  im  Früh- 
jahr 1897  statt;  da  aber  die  Frühjahrserscheinungen  bei  diesem  Kometen  sehr 


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Kometen  und  Meteore.  77 

ungünstig  sind,  so  dürfte  er  nur  unter  besonders  günstigen  Helligkeitsverhältnissen 
gesehen  werden,  und  erst  im  Herbst  1902  kann  seine  Wiederkehr  mit  Sicherheit 
erwartet  werden. 

17)  Der  periodische  Komet  Tempel,,  entdeckt  am  3.  Juli  1873  von  Tempel 
in  Mailand,  wiedergefunden  1878  von  dem  ersten  Entdecker  Tempel,  in  Arcetri 
am  19.  Juli  und  1894  von  Finlay  am  Cap  als  äusserst  schwache,  kreisrunde  Nebel- 
masse von  1'  Durchmesser.    Nächste  Wiederkehr:  1899. 

18)  Der  erste  DENNmc'sche  Komet1);  wurde  bei  seinem  zweiten  Perihel- 
durchgange  1890  nicht  gesehen;  nächste  Erscheinung  1898/9. 

19)  Der  erste  BARNARD  sche  Komet  wurde  bei  seinen  folgenden  Perihel- 
durchgängen  1890  und  1895  nicht  gesehen;  nächste  Erscheinung  1900. 

20)  Der  WoLF'sche  Komet  wurde  bei  seinem  zweiten  Periheldurchgange 

1891  von  Spitäler  in  Wien  wieder  aufgefunden;  über  seine  Störungen  durch 
Jupiter  wird  später  gesprochen.    Nächste  Wiederkehr  1898. 

21)  Der  erste  BROOKS'sche  Komet  wurde  bei  seinem  zweiten  Periheldurchgange 

1892  nicht  wiedergefunden;  nächste  Wiederkehr:  1899. 

22)  Der  FmLAv'sche  Komet;  in  seinem  zweiten  Periheldurchgange  1893  von 
Finlay  selbst  am  Cap  wiedergefunden;  nächste  Wiederkehr  1900. 

23)  Der  periodische  Komet  Brooks,  hatte  eine  ungewöhnlich  lange  Sicht- 
barkeitsdauer,  und  sind  die  von  Balschingkr  abgeleiteten  Elemente  bereits 
sehr  nahe  richtig.    In  der  zweiten  Erscheinung  wurde  er  am  20.  Juni  1896  von 
Javelle  in  Nizza  wieder  aufgefunden.    Ueber  die  Begleiter  wurde  schon  früher 
gesprochen;  seine  Störungen  durch  Jupiter  werden  später  behandelt. 

Die  folgenden  7  Kometen:  (310)  =  Komet  Swift,,  (316)  =  Komet  Spitaler, 
(321)  =  Komet  Holmes,  (3*22)  =  Komet  Barnard,,  (327)  =  Komet  Dennikg,, 
(3*29)  =  Komet  Swift,,  (330)  =  Komet  Swift,  sind  bisher  erst  in  einem 
Periheldurchgange  beobachtet  worden.  Die  nächsten  Feriheldurchgänge  fallen 
bezw.  für  den  Kometen  (316)  in  das  Jahr  1897;  für  (310)  in  das  Jahr  1898;  für 
die  Kometen  (321)  und  (322)  in  das  Jahr  1899;  für  den  Kometen  (329)  in  das 
Jahr  1900,  für  den  Kometen  (327)  in  das  Jahr  1901  und  für  den  Kometen  (330) 
in  das  Jahr  1902. 

Dass  die  Kometen  nur  in  der  Nähe  des  Perihels  gesehen  werden,  hat  seinen 
Grund  darin,  dass  sie  in  grösserer  Entfernung  von  der  Sonne  zu  lichtschwach 
sind.  Ihre  Lichtintensität  wird  bestimmt  durch  die  von  der  Sonne  erhaltene 
Lichtmenge,  welche  umgekehrt  proportional  dem  Quadrate  ihrer  Entfernung  r 
von  der  Sonne  ist;  weiter  ist  für  eine  durch  ihre  Entfernung  von  der  Sonne 
bestimmte  Lichtintensität  die  von  der  Erde  gesehene  Lichtstärke  umgekehrt 
proportional  dem  Quadrate  der  Entfernung  A  von  der  Erde.  Ihre  Helligkeit 
wird  daher 


wobei  H0  die  Helligkeit  in  der  Entfernung  1  von  der  Sonne  und  Erde  eine  für 
den  Kometen  (abgesehen  von  Helligkeitsänderungen,  Lichtausbrüchen)  constante 
Grösse  ist.  Abweichungen  von  diesem  Gesetze  deuten  auf  Eigenlicht-Entwickelung. 
Kometen  werden  daher  nur  in  der  Nähe  ihrer  Perihele  entdeckt,  und  daher 
kommt  es  aurh,  dass  die  beobachteten  Kometen  überhaupt  nur  mässige  Perihel- 
distanzen  haben.    Vergleicht  man  die  bis  Ende  1895  beobachteten  Kometen, 


')  Die  Kometen  nach  ihren  Entdeckern  benannt. 


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78  Kometen  und  Meteore- 

deren  Bahnen  berechnet  wurden,  nach  ihren  Periheldistanzen,  so  erhält  man  ist 
folgende  Tabelle: 

Periheldistanzen 

zwischen  0  0  01  0  2  0  3  0  4  0  5  0  6  0  7  0  8  0  9  10  12    1  5  2*0  3i)  5' 

Bis  1800*)     5     4     4    16     9    25    10    18    11    13    11  4  2     1  1 

i8oibisi85o    533    15     3674    13     6    11  9  5  3- 

1851  bis  1880    3     2     3    15    —    9     9    11     9    13    15  13  11      2  - 

1881  bis  1895    3     1     272     1     5568    10  10  12  4- 

Zusammen    16    10    12    58    14    41    31    38    39    40    47  36  30    10  1 


Dabei  sind  jedoch  die  nach  Ephemeriden  gefundenen  Kometen  mit  j: 
rechnet;  zählt  man  diese  nicht  mit,  so  ergiebt  sich  die  folgende  Tabelle, 
welcher  jedoch  die  wiederholten  Erscheinungen  desselben  Kometen,   falls  die- 
selbe nicht  nach  der  Ephemeride  wieder  gefunden,  sondern  neu  entdeckt  wefc 
mitgezählt  sind*): 

Periheldistanzen 

zwischen  00  0  1  0-2  03  04  05  06  07  08  09   10   12    15    2*0  30 


Bis  18001) 

5 

4 

4 

16 

9 

25 

10 

18 

11 

13 

11 

4 

2 

1 

I 

1801  bis  1850 

5 

3 

6 

3 

6 

7 

4 

11 

5 

11 

9 

5 

3 

1851  bis  1880 

3 

2 

3 

6 

5 

9 

11 

8 

13 

14 

10 

6 

2 

1881  bis  1895 

3 

1 

2 

3 

2 

1 

5 

5 

6 

7 

9 

8 

9 

4 

Zusammen 

16 

10 

12 

31 

14 

37 

31 

38 

36 

38 

45 

31 

22 

10 

: 

In  diesen  Zahlen  zeigt  sich  auffallend  die  Wirkung  der  grösseren,  lich 
stärkeren  Kometensucher.  Bis  1800  fand  sich  das  Maximum  zwischen  05  ur: 
10  der  Periheldistanz;  zwischen  1801  und  1880  zwischen  0  7  und  15;  r.x- 
1880  zwischen  0  9  und  2  0.  Selbstverständlich  kann  diese  Tabelle  kein  v 
ständig  getreues  Bild  geben,  da  ja  viele  Kometen  in  neuerer  Zeit  schon 
vor  ihrem  Pcrihcldurchgange,  andere  erst  nach  demselben  entdeckt  wurdet 
Noch  weniger  zeigt  sich  hierin  die  Wirkung  der  grossen  Fernrohre  der  neur 
Zeit,  mit  denen  ja  keine  Kometen  entdeckt  werden.  Doch  zeigt  sich  die  Wirker, 
derselben  in  der  Dauer  der  Beobachtung  nach  dem  Periheldurchgange. 


')  Bei  dem  ersten  Kometen  von  372  vor  Chr.  Geb.,  dessen  Bahn  Oberhaupt  nur  genifcc* 
bestimmt  werden  konnte,  bleibt  die  Periheldistanz  unsicher;  man  findet  nur,  dass  sie  •kleic«  « 

*)  Speziell  mögen  die  Kometen,  deren  Periheldistanz  kleiner  als  0*2  und  jene,  deiea 
Periheldistanz  grösser  als  20  ist,  angeführt  werden. 


1668  (>)\ 

:  0  005 

1874  I  :0  044 

1830  JI  :  0126 

1826  II 

:  2-008 

1880 1  1 

1816 

:  0  048 

1827  III :  0138 

183SI 

:2041 

1680  1 

1882  I 

:  0  061 

1851  IV  :  0141 

1854  I 

:  2-045 

«8431 

:  0-006 

1689 

:  0  064 

1582     : 0168 

1890  IV 

:  2-048 

1887  I  J 

»593 

:  0  089 

1853  IV:  0173 

1847  II 

:  2115 

1882  II 

:  0-008 

182t 

:  0-U92 

1577     : 0178 

1892  III 

:  2  139 

1865 1 

:  0  026 

1780  I 

:  0  099 

1826  III :  0- 1 88  (?) 

1855  I 

:  2-194 

1826  V 

:  0  027 

1665 

:0  106 

1895  IV  :  0-192 

1747 

:  2199 

1847 1 

:  0-048 

1769 

:  0-123 

1889  n 

1885  H 
17*9 

:  2-255 
:  2-507 
:  4-043 

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Kometen  und  Meteore. 


79 


Der  erste  Komet,  der  in  einer  zweiten  Opposition  beobachtet  wurde1),  die 
nicht  mit  seinem  Periheldurchgange  zusammenfiel,  war  der  Komet  1811  I,  der 
von  Wisniewski  in  Neu  Tscherkask  im  Jahre  1812  beobachtet  wurde,  wo  er  von 
seinem  Perihele  bereits  sehr  weit  entfernt  war.  Die  Beobachtungen  des  Kometen 
1882  II  bilden  nach  dem  Durchgange  desselben  vor  der  Sonnenscheibe  am 
17.  September  eine  ununterbrochene  Reihe  bis  Mitte  März  1883,  obzwar  er  schon 
am  4.  Januar  1883  in  Opposition  war.  Der  Komet  1889  I  wurde  in  der  zweiten 
Opposition  1890  März  28  in  Wien  wieder  aufgefunden,  und  der  Komet  1889  V 
wurde  in  der  zweiten  Opposition  1890,  in  welcher  die  Entfernung  des  Kometen 
von  der  Sonne  bereits  3  8,  diejenige  von  der  Erde  2  8  Erdbahnhalbaxen  war, 
wiedergesehen,  und  bis  1891  Januar  1  beobachtet,  sodass  dessen  Beobachtungen 
vom  ersten  Periheldurchgange  bis  zu  seinem  Verschwinden  einen  Zeitraum  von 
556  Tagen  umfasst. 

Besonders  bemerkenswerth  jedoch  ist  die  Thatsache,  dass  die  Bahnen  mit 
grossen  Periheldistanzen  seit  1881  weniger  die  parabolischen  als  die  elliptischen 
Kometen  mit  kurzer  Umlaufszeit  betreffen. 

Von  den  seit  1881  entdeckten  periodischen  Kometen  sind  zwei  mit  Perihel- 
distanzen kleiner  als  l  (davon  einer,  dessen  Perihcldistanz  sehr  nahe  gleich  1  ist), 
und  11  mit  solchen  grösser  als  1.  Es  hängt  dieses  damit  zusammen,  dass  die 
Excentricitäten  dieser  Kometen  immer  massig  sind,  sodass  die  Bahnen  derselben 
denjenigen  der  Planeten  ähnlicher  werden. 

Vergleicht  man  die  periodischen  Kometen  mit  den  kleinen  Planeten,  so 
findet  man  übrigens  nicht  nur  diesen  einen  Berührungspunkt  zwischen  denselben. 
In  erster  Linie  tritt  der  Umstand  hervor,  dass  die  Halbaxen  derselben  von  den- 
jenigen der  kleinen  Planeten  nicht  sehr  verschieden  sind.  Unter  den  sämmtlichen 
beobachteten  kurz-periodischen  Kometen  haben  zwei  eine  mittlere  Bewegung 
kleiner  als  300";  mit  Rücksicht  auf  ihre  Perihcldistanz  wird  daher  in  demselben 
Maasse  ihre  Apheldistanz  wachsen;  sie  ist  für  den  Kometen  (174)  gleich  9'44, 
für  den  Kometen  (102)  gleich  10*43,  für  den  ersteren  daher  etwas  kleiner,  für 
den  letzteren  etwas  grösser  als  der  Halbmesser  der  Saturnsbahn.  Diese  beiden 
Kometen  bilden  gewissermaassen  den  Uebergang  zwischen  den  kurzperiodischen 
Kometen  und  denjenigen  mit  langer  Umlaufszeit.  Ihnen  zunächst  kommen  dann 
die  folgenden  Kometen: 


V- 

? 

• 

* 

(277) 

402" 

56°-l 

6°-8 

(310) 

4,6 

425 

102 

(163) 

468 

33-3 

11-3 

(327) 

478 

44-3 

5-5 

(330) 

494 

407 

30 

')  Bei  Kometen  mit  nahe  parabolischen  Bahnen  wird,  sobald  der  Komet  in  grössere  Ano- 
malien gekommen  ist,  seine  Bewegung  riemlich  langsam,  und  die  Richtung  von  der  Sonne  zum 
Kometen  sich  nur  wenig  ändern ;  sie  nähert  sich  immer  mehr  und  mehr  derjenigen  Richtung, 
welche  dem  Perihel  entgegengesetzt  ist,  und  welche  für  Ellipsen  das  Aphcl  ist,  und  für  Para- 
beln oder  parabelähnliche  Hyperbeln  auch  so  genannt  werden  kann.  Da  die  Erde  sich  in- 
zwischen in  ihrer  Bahn  fortbewegt  hat,  so  geht  sie  dann  zwischen  der  Sonne  und  dem  Kometen 
durch,  woraus  ersichtlich  ist,  dass  die  mit  den  Perihelien  nicht  zusammenfallenden  Opposi- 
tionen (filr  alle  Kometen,  deren  Periheldistanzen  kleiner  als  1  sind)  sehr  nahe  an  der  entgegen- 
gesetzten Seite  des  Himmels  (in  der  Gegend  des  Aphels,  für  Hyperbeln  genauer  in  der  Richtung 
der  Asymptoten)  stattfinden. 


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80  Kometen  und  Meteore. 

Zum  Vergleiche  mögen  hier  diejenigen  bis  Ende  1895  entdeckten  kleinen 
Planeten,  deren  mittlere  Bewegungen  kleiner  als  500"  sind,  nebst  den  Excen- 
tricitäten  und  den  Neigungen  angesetzt  werden: 


T 

• 

i 

Planet  (279) 

403" 

4°-7 

2°4 

(361) 

450 

11-8 

12G 

(153) 

451 

94 

7  9 

(190) 

452 

95 

6  1 

(334) 

456 

04 

4*6 

Kometen  mit  den  kleinsten  Halbaxen  sind: 

1* 

? 

■ 

1 

Komet  (96) 

1080" 

57°'8 

12°9 

(132) 

737 

434 

90 

(79) 

706 

598 

80 

und  die  Planeten,  deren  mittlere  Bewegungen  grösser  als  diejenigen  der 
periodischen  Kometen  sind: 


? 

• 

9 

• 

1 

Planet  (323) 

1120" 

16°0 

19°'3 

Planet  (270^ 

1089" 

8°'7 

2°-4 

(244) 

1106 

79 

28 

(341) 

1087 

110 

57 

(149) 

1106 

3-9 

09 

(8) 

1086 

90 

59 

(281) 

1098 

76 

53 

(228) 

1086 

13  9 

26 

(352) 

1092 

8-5 

34 

(43) 

1085 

9-7 

35 

(254) 

1091 

7-0 

45 

überdiess  noch  20  mit  mittleren  Bewegungen  zwischen  1000"  und  1080". 

Von  den  übrigen  20  Kometen  haben  10  mittlere  Bewegungen  zwischen  500" 
und  599"  und  10  zwischen  600 '  und  699".  Soweit  also  die  relativ  noch  geringe 
Zahl  der  periodischen  Kometen  einen  Schluss  gestattet,  unterscheiden  sich  die- 
selben von  den  kleinen  Planeten  nicht  wesentlich  durch  die  Axen  und  Neigungen, 
sondern  wesentlich  durch  die  Excentricitäten1). 

Bezüglich  der  Neigungen  ist  zu  bemerken,  dass  mit 

Neigungen  zwischen    0°  5°  10°  15°  20°  30°  40°  50°  60° 
die  Anzahl  d.  kurz  periodisch.  Kometen      6    8      7      2      2      3      1  1 

beträgt,  wobei  für  die  Kometen,  bei  denen  die  Neigung  ausserhalb  der  gewählten 
Grenzen  veränderlich  ist  (z.  B.  lür  den  Kometen  84),  stets  der  grössere  Werth 
angesetzt  ist.  Man  ersieht  hieraus  ein  Ucberwiegen  der  kleinen  Neigungen; 
zusammen  23  unter  20°  und  7  über  20°,  ganz  ähnlich  wie  dies  bei  den  kleinen 
Planeten  der  Fall  ist.  Immerhin  ist  zu  beachten,  dass  die  relative  Zahl  der 
Kometen  mit  kleinen  Neigungen  nicht  so  gross  ist,  als  bei  den  kleinen  Planeten. 
Von  den  bis  Ende  1895  entdeckten  kleinen  Planeten  sind  die  Bahnneigungen 


')  Auf  die  nahen  Beziehungen  zwischen  Kometen  mit  kurzer  Umlaufszeit  und  den  kleinen 
Planeten  hat  schon  V.  MARfH  im  Jahre  1862  hingewiesen.  Er  sagt:  »It  is  perkops  wortky  0/ 
rtmark,  that  tht  asteroid  Polyhymnia  approathts  in  txctntrkity  so  ntar  to  tht  tomets  of  shert  ptriod, 
as  to  suggest  tht  suspUion,  that  samt  of  tht  Asteroids  may  ytt  bt  found  to  partakt  somtwhtä  of 
tht  comttary  charaettr,  and  to  fournish  a  tonnttting  Unk  bttwttn  tht  plantts  and  comtts.  (StLLIMAN 
Journal  of  Sciences  and  Arts  II.  Serie,  Bd.  33,  pag.  94. 


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Kometen  und  Meteore.  8l 

zwischen    0°   5°     10°    15°   20°   30°  40° 
für  126  149     79     27     25  1 

demnach  in  $  ausgedrückt 

zwischen   0°   5°    10°    15c    20°    30°   40°  darüber 
für  die  kurz  periodische  Kometen       20   27    23      7      6      10  7 
für  die  kleinen  Planeten       31    37     19      7       6       0  0 

Mit  Neigungen  unter  J0°  sind  daher  68$  von  den  kleinen  Planeten,  hin- 
gegen nur  47$  der  kurz  periodischen  Kometen.  Ganz  auffällig  unterscheiden 
sich  aber  auch  die  periodischen  Kometen  von  denjenigen  mit  parabolischen 
oder  nahe  parabolischen  Bahnen.  Unter  allen  bisher  entdeckten  Kometen  sind: 

mit  Neigungen  zwischen  0°  5°  10°  15°  20°  30°  40°  50°  60°  70°  80°  90° 

Bis  1800  54536766776 

Zwischen  1801  und  1850  03213397525 

Zwischen  185 1  und  1895  366257857     14  13 

Zusammen  8    13     13      6     14     17    23     18     19    23  24 

mit  Neigungenzwischen  90°  100°  110°  120°  130°  140°  150°  160°  170°  180°Zus. 

Bis  1800  2       9       8     12     10      7       6       4       2  1221) 

Zwischen  1801  und  1850      471766302  76 
Zwischen  1851  und  1895     11       9      9     10      5    11       6      5      2  144 
Zusammen  17     25     18     29     21     24     15       9       6  342 

Von  30°  zu  30°  zusammengefasst  erhält  man  hier  Kometen  mit 
Neigungen  zwischen    0°    30°    60°    90°    120°    150°  180° 

54     58     66     60       74  30 

daher  auffallend  wenige  Kometen  mit  retrograden  Bewegungen  und  kleinen 
Neigungen,  während  im  Übrigen  die  Kometen  nahe  gleich  vertheilt  erscheinen. 
Rechnet  man  jedoch  die  periodischen  Kometen  ab,  und  zwar 

Mit  Neigungen  zwischen         0°  5°   10°  15°  20°  30°  40°  50°  60°  70° 
die  kurzperiodischen  687223      1      1  — 

ferner  die  langperiodischen  *)  —  —  —  2  —  —  2  —  — 
so  bleibt  f.d.  Korn.  m.  parab.  Bahnen    2    5     6      2     12     14    20     17  19 

Mit  Neigungen  zwischen        70°   80°   90°    100°    110°    120°  130°  140° 
die  kurzperiodischen  _____       —      —  — 

ferner  die  langperiodischen  *)  1  l  —  —  —  —  — 
so  bleibt  f.d.  Korn.  m.  parab.  Bahnen     22     23     17      25       18      29  21 

Mit  Neigungen  zwischen  140°    150°    160°    170°    180c  Zus. 

die  kurzperiodischen  —      —      —       —  30 

ferner  die  langperiodischen*)  1       —        2       —  9 

so  bleibt  f.d.  Korn.  m.  parab.  Bahnen  23       15        7        6  303 

oder  zwischen      0°    30°   60°   90°    120°    150°  180° 
parabolische  Kometen     27     51     64     60      73  28 
oder  in  |  9     17     21     20      24  9 

daher  ziemlich  gleich  viel  direkte  und  retrograde  Kometen  mit  kleinen  Nei- 
gungen ,  aber  eine  Uberwiegende  Anzahl  von  Kometen  mit  Neigungen  zwischen 


')  Ein  Komet  mit  unbestimmter  Neigung. 
*)  Mit  Umlaufszeiten  unter  100  Jahren. 
Valämtheb,  Astronomie,  IL 


6 


8a 


Kometen  und  Meteore. 


30°  und  150°.  Diese  Erscheinung  bietet  aber  durchaus  nichts  auffälliges.  Nimmt 
man  nämlich  eine  gleichmässige  Vertheilung  aller  Kometenbahnen  an,  so  wird 
sich  dieses  darin  äussern,  dass  die  Pole  aller  Kometenbahnen  an  der 
Himmelskugel  gleichmässig  vertheilt  sind,  worin  dann  sowohl  die  Vertheilung 
nach  der  Neigung  als  auch  diejenige  nach  dem  Knoten  enthalten  ist.  In  diesem 
Falle  wird  die  Neigung  gegen  irgend  eine  beliebige  feste  Ebene  gegeben  durch 
den  Abstand  des  Poles  der  Bahn  von  dem  Pole  der  festen  Ebene;  die  Zahl  der  in 
einer  gewissen  Calotte  enthaltenen  Bahnpole  muss  nun  proportional  der  Oberfläche 
dieser  Calotte  sein,  wobei  es  ganz  gleichgültig  ist,  auf  welche  feste  Ebene  die 
Bahnen  bezogen  werden.  Bahnen,  deren  Neigungen  nun  kleiner  als  i  sind, 
sind  in  einer  Calotte  enthalten,  deren  Mittelpunkt  der  Pol  der  festen  Ebene  ist, 
und  deren  Halbmesser  sin  i  ist;  die  Oberfläche  dieser  Calotte  ist  proportional 
ihrer  Höhe,  also  proportional  1  —  cos  /';  ist  daher  N  die  Anzahl  aller  Bahnen, 
so  ist  die  Zahl  n  derjenigen  Bahnen,  deren  Neigung  kleiner  als  i  ist,  gegeben 
durch 

n  =  N(\  —  cos  i)  =  2  Nsin* \i. 

Dabei  ist  ein  Unterschied  zwischen  direkter  und  retrograder  Bewegung  nicht 
gemacht;  es  sind  also  z.  B.  die  Neigungen  zwischen  0°  und  10°  und  diejenigen 
zwischen  170°  und  180°  zusammengezogen. 

Rechnet  man  diesen  Ausdruck  für  N=  100  (in  #)  so  erhält  man  für  die 
Zahl  der  Kometen  deren  Neigungen 

zwischen  0°    10°   20°    30°   40°   50°   60°   70°    80°  90° 

ist  den  theoretischem  Werth    15    4  5    7  3    10  0  12  3  14-3  15  8  16  9  17  4 

während  sich  a.d.  303beobacht. 

nicht  period.  Kometen  ergiebt  13     15    27     37     41     46     37     47  40 
oder  in  £  4  2    4  9    8  9    12  3   13  5  15  2  12  3   15  5  13  2 

Verhältnissmässig  zeigt  sich  demnach  noch  ein  geringes  Ueberwiegen  der 
kleinen  Neigungen;  dass  die  .retrograden  und  direkten  Bewegungen  ziemlich 
gleich  vertheilt  sind,  zeigt  die  vorhergehende  Tabelle. 

Es  zeigt  sich  also  hier  eine  auffallende  Trennung  der  Kometen  zwischen 
den  periodischen  und  parabolischen,  so  dass  die  ersteren  sich  mehr  den  kleinen 
Planeten  nähern,  gegen  welche  die  Unterschiede  in  den  Neigungen  nicht  so 
bedeutend  sind.  Hingegen  besteht  ein  sehr  bedeutender  Unterschied  in  den 
Excentricitäten.  Die  grösste  bisher  bei  einem  kleinen  Planeten  beobachtete 
Excentricität  ist  noch  immer  kleiner  als  die  kleinste  bei  den  periodischen 
Kometen  beobachtete.  Bezüglich  der  Anzahl  hat  man  unter  den  407  bis  Ende 
1895  entdeckten  Planeten: 

97  deren  Excentricitätswinkel  zwischen  0°  und  4°  59'*9 

175     „  „  n         5     „  9  59'9 

III  »  „  10     „  14  599 

21     „  „  „  15     „  19  59  9 

3     „  „  über  20  ist. 

Die  grössten  Excentricitäten  haben 

Planet  (332)   :  9  =  22°  7'  9  (f*  =  605")  Planet  (324)  9=19°  38'- 1  (fi  =  806") 

(183)*:       20  18-2  (fi  =  761")  (132)  19  21  2  (ji  =  904") 

(164)*:       20  160  (ji  — 831")  (393)  19  13  6  (|x  =  768") 
(33)*  :       19  389  (pu  =  731"). 


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Kometen  und  Meteore. 


83 


Von  diesen  sind  jedoch  nur  die  mit  *  bezeichneten  genügend  sichergestellt, 
da  die  Planeten  (33)  und  (183)  in  mehr  als  10,  der  Planet  (164)  in  6  Oppositionen 
beobachtet  wurde,  während  die  vier  anderen  nur  in  je  einer  Opposition  beob- 
achtet wurden;  speciell  der  Planet  (132)  ist  seit  seiner  Entdeckung  nie  wieder- 
gesehen worden.    Von  den  30  periodischen  Kometen  sind: 

1  dessen  Excentricitätswinkel  kleiner  als  25°  ist  (Komet  321) 

3  deren  „  zwischen  25°  und  29°59'9  sind  (Komet  309,  316,  240) 
5     „               „  „      30    „  34  59  9 

5  „  ,,  35         39  59*9 

5  „  „  „  40  „  44  59  9 

**  n  n  it  45  „    49  59-9 

2  „  „  50        54  59*9 

4  „  „  „      55    ,,  59  59*9 

sind;  dabei  sind  die  ausserhalb  der  angegebenen  Grenzen  veränderlichen  Excen- 
tricitäten  mit  ihrem  kleineren  Werthe  berücksichtigt. 

Hieran  wird  sich  unmittelbar  die  Frage  knüpfen,  ob  alle  möglichen  Excen- 
tricitäten  gleich  wahrscheinlich  sind.  Wird  Uber  die  Entstehung  der  Himmels- 
körper keine  besondere  Annahme  gemacht,  so  kann  man  offenbar  annehmen, 
dass  alle  Excentricitäten  zwischen  0  und  00  gleich  wahrscheinlich  sind;  allein 
eine  solche  Annahme  würde  den  ^tatsächlichen  Verhältnissen  nicht  entsprechen. 
Ebensowenig  kann  man  annehmen,  dass  alle  grossen  Halbaxen  gleich  wahr- 
scheinlich sind,  denn  die  Elemente  sind  stets  bedingt  durch  äussere  Umstände, 
nämlich  durch  die  Anfangsconstellationen  der  Himmelskörper  (Integrations- 
constanten).  Aus  der  pag.  65  angeführten  Formel  für  die  Geschwindigkeit  folgt, 
wenn  man  r  =  00  setzt: 

a 

also,  wie  schon  erwähnt,  sämmtliche  Bahnen  hyperbolisch.    Setzt  man  für  die 
Hyperbel  -  «an  Stelle  von  a,  so  wird  diese  Formel: 

1 

oder  da 
ist,  so  folgt 

f=l  +  qv*. 

Die  Excentricität  wird  sich  daher  um  so  mehr  von  der  Einheit  entfernen, 
je  grösser  q  und  je  grösser  v  ist.  Gemäss  der  Formel,  aus  welcht-r  dieses 
Resultat  abgeleitet  ist,  müssen  q  und  v  in  zusammengehörigen  Einheiten,  also  z.  B. 
q  in  Einheiten  der  Erdbahnhalbaxe,  v  in  Einheiten  der  mittleren  Geschwindigkeit 
der  Erde  um  die  Sonne  ausgedrückt  werden.  Für  v  hat  man  aber  nicht  die 
absolute,  sondern  die  relative  Geschwindigkeit  des  Kometen  gegen  die  Sonne  zu 
wählen,  dabei  also  die  Richtung  der  Bewegung  der  Sonne  in  Betracht  zu  ziehen. 
Aus  dem  Umstände  nun,  dass  die  meisten  Kometen  Parabeln  beschreiben,  wird 
man  folgern  können,  dass  v  in  grossen  Entfernungen  nahe  Null  ist,  d.  h.  dass 
die  Kometen  an  derBewegung  des  Sonnensystems  theilnehmen,  und 
nur  jene,  bei  denen  eine  starke  Abweichung  von  der  Parabel  bei  kleinem  Werthe 
von  q  stattfindet,  wird  man  als  stellaren  Ursprungs  (dem  Sonnensysteme 
vollständig  fremde  Körper)  anzusehen  haben.  Dass  die  ersteren  dem  Sonnensysteme 

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»4 


Kometen  und  Meteore. 


angehören,  und  dabei  dennoch  sich  nach  ihrer  einmaligen  Annäherung  fortwährend 
entfernen,  enthält  keinen  Widerspruch;  es  liegt  darin  nur  der  Ausdruck  der 
Thatsache,  dass  die  meisten  Kometen,  die  beobachtet  werden,  schon  vor  ihrer 
Erscheinung  dem  Sonnensysteme  angehörten,  und  mit  dem  Sonnensysteme  sich 
auch  noch  weiter  bewegen  werden.  Dieses  gilt  auch  für  jene  Kometen,  welche 
streng  parabolische  Bahnen  beschreiben,  also  thatsächlich  nicht  wieder  beobachtet 
werden  können. 

Die  periodischen  Kometen  nehmen  nun  aber  nicht  nur  an  der  Bewegung 
des  Sonnensystems  theil,  sondern  müssen  auch  mit  demselben  in  engerer  Ver- 
bindung stehen;  entweder  sie  sind  durch  die  Anziehung  der  kleineren  Körper 
des  Sonnensystems,  also  der  Planeten,  wenn  sie  denselben  hinreichend  nahe 
gekommen  sind,  in  ihre  Bahnen  gelenkt  worden,  oder  aber  sie  mussten  von 
vornherein  mit  den  Planeten  einen  gemeinsamen  Ursprung  haben,  was  seinen 
Ausdruck  in  der  berühmten  KANT-LAPLACE'schen  Hypothese  über  die  Entstehung 
des  Weltsystems1)  findet.  Dieses  zeigt  sich  auch  in  zwei  Thatsachen  ganz 
augenfällig:  dass  sie  sich  rechtläufig  bewegen,  und  dass  ihre  Bahnen  gegen  die- 
jenigen der  Planeten  nur  wenig  geneigt  sind. 

Nach  den  Erfahrungen  der  letzten  Jahre  wird  man  vermuthen  müssen,  dass, 
sowie  es  in  dem  Gürtel  zwischen  Mars  und  Jupiter  eine  grosse  Zahl  von  kleinen 
Planeten  giebt,  in  demselben  Gürtel  auch  eine  grössere  Zahl  von  Kometen  sich 
bewegt,  und  dass  vielleicht,  ebenfalls  gegen  die  Ekliptik  nur  wenig  geneigt,  noch 
eine  grössere  Anzahl  von  periodischen  Kometen  längerer  Umlaufszeit  mit  grösseren 
Periheldistanzen  existirt.  Die  Entdeckung  von  Kometen  dieser  letzteren  Art  kann 
natürlich  nur  mit  lichtstarken  Fernröhren  stattfinden,  die  aber  in  ihrer  jetzigen 
Construction  zum  Suchen  von  Kometen  wenig  geeignet  sind,  da  sie  nur  ein  geringes 
Gesichtsfeld  zu  überblicken  gestatten.  Mit  den  gegenwärtigen  Hilfsmitteln  bleibt 
also  die  Entdeckung  derselben  dem  Zufall  überlassen. 

Die  Frage,  ob  der  Unterschied  zwischen  den  kleinen  Planeten  und  den 
periodischen  Kometen  ein  in  der  Natur  derselben  gelegener  ist,  oder  eine  Folge 
ihrer  Bewegung,  hängt  aufs  innigste  mit  der  Frage  nach  der  Ursache  der  äusseren 
Beschaffenheit  der  Kometen  zusammen. 

Wenn  die  Kometen  kurzer  Umlaufszeit  und  die  Planeten  einen  gemeinsamen 
Ursprung  haben,  so  kann  ihr  äusserer  Anblick  nur  eine  Folge  der  Verschiedenheit 
ihrer  Bahnen  sein.  In  der  That  wird  das  Aussehen  derselben  wesentlich  bedingt 
erscheinen  durch  die  Wärmewirkung  der  Sonne.  Bedenkt  man,  welche  Verschieden- 
heit die  Sonne  in  den  verschiedenen  Zonen  unseres  Erdballes  erzeugt,  wie  hier 
tropische  Hitzen  und  dadurch  bedingte  Verdampfungen  mit  eisigen  Kälten  und 
den  begleitenden  allseitigen  Erstarrungen  wechseln,  und  bedenkt  man  weiter,  dass 
die  Wärmewirkung  der  Sonne  im  verkehrten  Quadrate  der  Entfernungen  steht, 
so  wird  man,  —  abgesehen  von  den  verschiedenen  Wärmewirkungen  auf  die 
einzelnen  Theile  eines  und  desselben  Körpers,  welche  theils  durch  die  Rotation 
desselben,  theils  durch  die  Lage  seiner  Rotationsaxe  bedingt  sind,  —  auf  die 
Abhängigkeit  der  Veränderungen  jedes  Weltkörpers  von  seiner  Bahn  geführt. 
Körper,  die  sich  in  nahe  kreisförmigen  Bahnen  bewegen,  werden  nahe  dieselbe 
Wärmemenge  in  allen  Punkten  ihrer  Bahn  erhalten;  so  wie  aber  die  Excentri- 
cität  grösser  wird,  wird  die  Wirkung  im  Perihel  bedeutend  stärker  als  im  Aphel. 


Man   hat  für  das  Verhältniss  V  der  Wärmemenge 


l)  VeTgl.  den  Artikel  »Kosmogonic. 


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£  Kometen  und  Meteore. 


für  e  =  O  l    <p  =  5°  7  V 


=  1-494      e  =  0-9   <p  =  64°-2  K 


361 
1521 
2401 
4312 

9801 
39600 


0-2  11-5 

0-3  17-5 

04  236 

05  300 

06  36-8 
0-7  440 
0-8  53-1 
085  582 


81  00 
1521 


2250  0-95  71-9 

3*449  0-96  73-7 

5-444  097  75-9 

9-000  098  78-9 

16-00  0-99  81-9 

3211 


Während  also  die  Wirkung  der  Wärme  bei  den  Planeten,  bei  denen  die 
Excentricitäten  kleiner  als  0  4  ist,  im  Perihel  höchstens  das  vierfache  von  der- 
jenigen im  Aphel  ist1),  wird  dieselbe  bei  den  periodischen  Kometen  schon  be- 
deutend grösser;  wie  die  kleine  Tafel  zeigt,  wächst  das  Verhältniss  ziemlich 
rasch.  So  ist  es  erklärlich,  dass  von  den  auf  den  Kometen  befindlichen  Stoffen, 
wenn  diese  in  die  Sonnennähe  kommen,  unter  den  gegenüber  der  Sonnenferne 
vollständig  veränderten  Verhältnissen,  ein  Theil  in  Dampf  verwandelt  wird  und 
sich  als  Dunsthülle  (Coma)  um  den  Kometen  lagert.  Bei  der  Entfernung  des 
Kometen  von  der  Sonne  werden  dann  die  Stoffe  wieder  condensirt,  und  so  ist 
die  Abnahme  der  Dunsthülle  nicht  ein  bloss  optisches,  sondern  ein  physisches, 
von  der  Verkleinerung  der  Coma  abhängiges  Phänomen. 

Allerdings  können  auch  Planeten  mit  grossen  Excentricitäten  beobachtet 
werden,  die  sich  von  den  Kometen  mit  kleinen  Excentricitäten  eben  durch  das 
Fehlen  der  Coma  unterscheiden.  Man  muss  also  jedenfalls  eine  gewisse  stoff- 
liche Verschiedenheit  annehmen,  und  wenn  auch  gemäss  den  spectroskopischen 
Untersuchungen  die  Grundstoffe,  aus  denen  die  Kometen  bestehen,  von  den- 
jenigen der  Planeten  nicht  verschieden  sind,  so  ist  doch  in  der  Zusammensetzung 
ein  Unterschied:  die  Kometen  zeigen  das  Kohlenwasserstoffspectrum  (modificirt 
durch  Kohlenoxyd).  Da  gewisse  Kohlenwasserstoffe  (Methylen)  selbstleuchtend 
sind  (phosphorescirend),  so  wird  das  durch  Polarisationsversuche  unzweifelhaft 
erwiesene  Selbstleuchten  der  Kometen  theilweise  auch  hierdurch  erklärt  Dass 
aber  die  Kometen  auch  andere  Grundstoffe  enthalten,  ist  durch  das  Auftreten  der 
Natriumlinie  (zum  ersten  Male  bei  dem  Kometen  1882  I  am  27.  und  28.  Mai 
in  Dunecht  gesehen)  und  zahlreicher  Eisenlinien  nachgewiesen.  Es  ist  aber 
bemerkenswerth,  dass  die  Metalllinien  bei  der  Annäherung  an  die  Sonne  auf- 
leuchteten und  bei  der  Entfernung  der  Kometen  von  der  Sonne  an  Intensität 
abnahmen.  Weiter  muss  hervorgehoben  werden,  dass  die  bedeutenden  Licht- 
ausbrüche in  der  Nähe  des  Perihels  (plötzliche  Lichtzunahme)  ebenfalls  durch  ein 
in  Folge  starker  Erwärmung  auftretendes  starkes  Glühen  (grosse  Intensität  des 
continuirlichen  Spectrums)  oder  durch  Ausbrüche  von  brennenden  Gasen  (grössere 
Intensität  des  Kohlenwasserstoffspectrums)  erklärt  werden  können.  Hierdurch  er- 
scheint die  erhöhte  Wärmewirkung  der  Sonne  auch  durch  Beobachtungen  constatirt. 

Es  ist  hierbei  bereits  von  den  nicht  periodischen  Kometen  die  Rede.  Dass 
sich  in  dieser  Richtung  die  periodischen  Kometen  von  den  nicht  periodischen 
nicht  unterscheiden,  ist  wieder  durch  spectioskopische  Beobachtungen  erwiesen; 
aber  bei  den  nicht  periodischen  Kometen  ist,  wie  die  obige  Tafel  für  das  Ver- 

»)  Hier  mag  bemerkt  werden,  dass  die  von  manchen  Geologen  zur  Erklärung  der  Eiszeit 
herangezogene  Veränderlichkeit  der  Excentricität  der  Erdbahn  keineswegs  die  erwähnte  Folge  haben 
kann,  wie  ja  auch  der  Unterschied  der  Jahreszeiten  nicht  auf  der  Entfernung  der  Erde  von  der 
Sonne  beruht  (da  die  Erde  im  Winter  in  der  Sonnennähe  ist),  sondern  wegen  der  Kleinheit 
der  Excentricität  und  ihrer  Veränderung,  auf  der  Stellung  der  Erdaxe. 


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86 


Kometen  und  Meteore. 


hältniss  der  Wärmewirkung  zeigt,  die  Wirkung  der  Sonne  noch  unvergleichlich 
viel  stärker.  Es  kann  daher  nicht  Wunder  nehmen,  wenn  bei  so  kleinen  Perihel- 
distanzen,  wie  diese  bei  den  Kometen  vorkommen  (vergl.  pag.  78),  theilweise 
Verdampfungen  und  Massenverluste  in  den  Weltraum  entstehen.  In  Hinsicht 
auf  die  Bewegung  bleiben  derartige  Massenverluste  nicht  ohne  Wirkung:  ein 
Massenverlust  ist  stets  von  einer  Verzögerung  der  mittleren  Bewegung  begleitet. 
Bei  den  Kometen  mit  parabolischer.  Bahnen  kann  diese  Erscheinung  nicht  wesent- 
lich hervortreten;  hingegen  kann  diese  Störung  bei  den  periodischen  Kometen 
mit  grosser  Sonnennähe  merklich  werden.  In  dieser  Richtung  mag  hervor- 
gehoben werden,  dass  unter  allen  bisher  bekannten  periodischen  Kometen,  wenn 
man  von  dem  nicht  wiedergefundenen  Kometen  ^79)  absieht,  der  EnckescIic 
die  grösste  Excentricität  und  (selbst  einschliesslich  des  Kometen  79)  die  kleinste 
Periheldistanz  hat1). 

Es  ist  aber  eine  bekannte  Thatsache,  dass  bei  manchen  Kometen  eine 
plötzliche  Verkleinerung  der  Dunsthülle  unmittelbar  vor  der  Annäherung  an  das 
Perihel,  und  nach  dem  Durchgange  durch  das  Perihel  wieder  eine  langsame 
Vergrösserung  der  Coma  stattfindet.  Diese  Erscheinung  haben  z.  B.  Hevel  bei 
dem  Kometen  von  1618,  Winnecke  bei  dem  DoNATi'schen  Kometen  1858  VI, 
Schmidt  bei  dem  ENCKE'schen  Kometen  beobachtet.  Diese  Erscheinung  lässt 
sich  eben  wegen  der  nachherigen  Vergrösserung  der  Coma  durch  einen  Massen- 
verlust nicht  erklären.  Ebenso  lassen  sich  die  längere  Zeit  nach  dem  Perihel- 
durchgange  erfolgten  Lichtausbrüche  nicht  wohl  auf  die  Wirkung  der  Sonne 
zurückführen.  Eine  Erscheinung  dieser  Art  ist  der  zwei  Monate  nach  dem  Perihel- 
durchgange  erfolgte  Lichtausbruch  bei  dem  Kometen  1884  I.  Auffällig  in  dieser 
Richtung  ist  auch  der  Komet  (321),  der  erst  4  Monate  nach  dem  Periheldurch- 
gange  als  ziemlich  helles  Object  entdeckt  wurde,  und  6  Monate  nach  seinem 
Periheldurchgange,  nachdem  er  bereits  ein  sehr  schwaches  und  schwierig  zu 
beobachtendes  Object  geworden  war,  neuerdings  eine  sehr  starke  Helligkeits- 
zunahme  in  einer  schon  sehr  grossen  Entfernung  von  der  Sonne  erfuhr. 

Ein  noch  viel  schwierigeres  Problem  bietet  die  Erklärung  der  Kometen* 
schweife.  Dass  man,  um  zu  einer  befriedigenden  Erklärung  zu  kommen,  nebst 
der  allgemeinen  Gravitation  noch  andere  Kräfte  annehmen  muss,  war  schon  am 
Ende  des  vorigen  Jahrhunderts  erkannt;  es  war  selbstverständlich,  eine  Repulsiv- 
kraft  anzunehmen,  weil  die  Kometenschweife  von  der  Sonne  weggerichtet  sind. 
Da  eine  solche  abstossende  Kraft  mit  den  aus  ihr  folgenden,  für  irdische  Ver- 
hältnisse grossartigen  Naturerscheinungen  in  der  Elektricität  bekannt  war,  so 
war  es  naheliegend,  diese  abstossende  Kraft  mit  der  Elektricität  zu  vergleichen. 
Schröter  nimmt  eine  >unserer  elektrischen  ähnliche,  ab-  und  fortstossende  Natur- 
kraftc  an;  Olbers  identificirt  diese  Repulsivkraft  mit  der  Elektricität;  er  sagt: 
»Enthalten  kann  man  sich  indessen  schwerlich,  dabei  an  etwas,  unseren  elektrischen 
Anziehungen  und  Abstossungen  Analoges  zu  denken.  Warum  sollte  auch  diese 
mächtige  Naturkraft,  von  der  wir  in  unserer  leuchten,  stets  leitenden  Atmosphäre 
schon  so  bedeutende  Wirkungen  sahen,  nicht  im  grossen  Weltall  nach  einem, 
weit  über  unsere  kleinlichen  Begriffe  gehenden  Maassstabe  wirksam  sein?« 

•)  Eine  Erscheinung,  auf  welche  schon  Peirce  und  Mitchell  hingewiesen  haben  (s. 
American  Journal  of  Sciences  and  Arts,  2.  Serie,  Bd.  33,  pag.  99).  Doch  lawt  sich  die  Be- 
schleunigung der  mittleren  Bewegung  de«  ENCKE'schen  Kometen  keinesfalls  durch  einen 
Massenverlust  erklären,'  hingegen  wlirde  ein  Massenverlust  die  Erscheinung  erklären,  dass 
zwischen  186$  und  1871  eine  Beschleunigung  der  Umlaufseeit,  wie  dieselbe  vor  1865  und 
nach  1871  sich  ergab,  nicht  stattfand. 


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Kometen-  und  Meteore. 


87 


B essel  unterwarf  die  Erscheinungen  der  Rechnung,  indem  er  die  Grösse  der 
Kraft  (das  Verhältniss  derselben  zur  Sonnenattraction)  zu  bestimmen  suchte, 
welche  nöthig  ist,  um  die  Schweifform,  d.  i.  die  Krümmung  der  Schweife  zu 
erklären.  Ist  —  (t  das  Verhältniss  derselben  zur  Sonnenattraction,  negativ,  da  sie 
im  entgegengesetzten  Sinne  wirkt,  so  ist  die  Summe  der  Massenanziehung  der 
Sonne  und  der  Abstossung  durch  die  Polarkraft  1  —  u..  Bredichin  hat  die  BESSEL'sche 
Theorie  auf  die  Berechnung  der  Schweife  einer  grossen  Zahl  von  Kometen  an- 
gewendet; er  findet  drei  Grundtypen:  für  den  ersten  Typus  1  —  u.  =  H  O;  für 
den  zweiten  Typus  1  —  jt  =  1*4;  für  den  dritten  Typus:  1  —  u.  =  0*3.  Bei 
den  Kometen  mit  mehreren  Schweifen  (anomale  Schweife)  gehört  dann  jeder 
der  Schweife  einem  anderen  Typus  an.  In  den  > Astronomischen  Nachrichtent  *) 
versucht  er,  um  die  Beobachtungen  mit  den  Rechnungen  zu  vergleichen,  Ephe- 
meriden  für  die  Kometenschweife  zu  rechnen,  und  Marcuse  geht  sogar  so  weit, 
deo  Typus  der  Kometenschweife  als  charakteristisches  Element  für  einen  Ko- 
meten anzusehen:  »dann  würden  dieselben  eine  wichtige  Rolle  bei  der  Identi- 
ficirung  von  Kometen  spielen  •)«. 

Das  Leuchten  des  Schweifes  entsteht  dann  dadurch,  dass  zwischen  den  elek- 
trisch polarisirten,  von  dem  Kometen  ausgestossenen  Theilchen  elektrische  Ent- 
ladungen, Ausgleichungen,  stattfinden. 

Bredichin  nimmt  an,  dass  die  Verschiedenheit  der  Kraft  auf  die  einzelnen 
Schweiftheile  dadurch  erklärt  wird,  dass  sie  aus  anderen  chemischen  Elementen  be- 
stehen. Unter  der  Annahme,  dass  die  Grösse  der  Abstossung  von  dem  Molekular- 
gewichte abhängt,  so  dass  auf  die  leichtesten  Moleküle  die  stärkste  Abstossung 
ausgeübt  wird,  erhält  Bredichin  die  folgende  Scala,  in  welcher  die  auf  Wasser- 
stoff ausgeübte  abstossende  Kraft  gleich  12  gesetzt  ist: 


für  alle  Elemente,  deren  Gewichte  zwischen  100  und  200  sind,  0*1.  Hiernach 
würde  auch  die  Erscheinung  erklärt  sein,  dass  der  Typus  I  sich  ziemlich  scharf 
von  den  beiden  Typen  II  und  III,  welche  in  einander  übergehende  Zahlen  liefern, 
scheidet. 

Hiergegen  ist  einzuwenden,  dass  Kräfte,  welche  nach  Art  der  allgemeinen 
Gravitation  wirken,  von  der  Masse  unabhängig  sind,  da  eine  der  Masse  propor- 
tionale Kraft  eine  der  bewegten  Masse  umgekehrt  proportionirte  Beschleunigung 
ertheilt,  und  dass  Kräfte,  welche  der  elektrischen  Anziehung  und  Abstossung 
analog  wirken,  ebenfalls  nicht  von  der  ponderabeln  Masse,  sondern  von  anderen 
Umständen,  bei  der  Elektricität  selbst  von  der  Dielektricitätsconstanten,  die  mit 
der  Masse  in  keinem  einfachen  Connexe  steht,  abhängen.  Von  diesem  Einwurfe 
frei  ist  die  Annahme  von  Marcuse,  dass  man  es  mit  magnetischen  Kräften  zu 
thun  hat,  und  dass  die  normalen  Schweife  aus  paramagnetischen,  die  anomalen 
aus  diamagnetischen  Stoffen  erzeugt  werden.  In  beiden  Fällen  aber  bleibt  eine 
Variation  der  Intensität  dieser  Kraft  mit  der  Zeit,  wie  dieselbe  von  Bredichin 
durch  seine  Rechnungen  in  einzelnen  Fällen  nachgewiesen  wurde,  unerklärlich. 


«)  Bd.  107,  No.  3563. 

*)  Ueber  die  physische  Beschaffenheit  der  Kometen,  pag.  51. 


H  12 

Li  1-7 

C  10 

N  09 

O  0-8 


Na,  Mg  0  5 

P,  S  0  4 

Cl  03 
K,  Ca  0-3 
Fe,  Co,  Ni,  Cu  0  2 


Kometen  und  Meteore. 


Weiter  aber  ist  zu  bemerken,  dass  die  Uebereinstimmung  in  den  Rechnungen 
von  Bredichin  nur  eine  scheinbare  ist,  und  dass  die  verschiedenen  Schweiftypen 
sich  weder  scharf  trennen1),  noch  auch  charakteristisch  sind,  indem  sich,  wie 
dieses  bei  der  Unsicherheit  der  Schweiftypen  nicht  anders  möglich  ist,  bei  ver- 
schiedenen Erscheinungen  desselben  Kometen  der  Schweiftypus  ändern  kann. 

Es  lassen  sich  aber  gegen  die  Annahme  von  materiellen  Schweifen,  welche 
durch   elektrische  Entladungen  sichtbar  werden,  noch  manche  andere,  nicht 
minder  wichtige  Bedenken  erheben:    Entsteht  der  Schweif  durch  unausgesetzte 
Ausstossung  von  Materie  aus  dem  Kometenkörper,  so  muss  sich  dieser,  wenn 
auch  die  Dichte  des  Schweifes  äusserst  gering  wäre,  dennoch  erschöpfen.  Zweitens 
haben  die  Theilchen  des  Kometenschweifes,  da  sie  in  sehr  verschiedenen  Ent- 
fernungen von  der  Sonne  sind,  aber  gegen  den  Radiusvector  immer  nahe  die- 
selbe Neigung  behalten  (entweder  in  der  Richtung  des  Radiusvectors  von  der 
Sonne  weg  oder  gegen  die  Sonne  zu,  oder  gegen  den  Hauptschweif  unter  einem 
bestimmten  Winkel  geneigt),  die  verschiedensten  Geschwindigkeiten  in  der  Bahn, 
welche  bei  den  normalen,  von  der  Sonne  weggerichteten  Schweifen  der  sehr 
sonnennahen  Kometen  mit  grossen  Schweifen  zu  ganz  ausserordentlichen  Unter- 
schieden führen.   Der  grosse  Septemberkomet  1882  II  hatte  die  wahre  Anomalie 
— 120°  bis  120°,  also  einen  Bogen  von  240°  in  9  Stunden  20  Minuten  zurückgelegt; 
dem  entspricht  eine  mittlere  Geschwindigkeit  von  143  km  in  der  Secunde,  und 
eine  wahre  Perihelgeschwindigkeit  von  ca.  238  km  in  der  Secunde.    Bei  einer 
Schweiflänge  von  nur  1 0  25'  musste  der  äusserste  Schweifpunkt  eine  lineare 
Geschwindigkeit  von  1000  km,  und  bei  einer  Schweiflänge  von  20°  eine  lineare 
Geschwindigkeit  von  nahe  15000  km  in  der  Secunde  gehabt  haben.    Aber  die 
Geschwindigkeit  von  ausströmenden  Theilchen  verändert  sich  ja  nicht  bei  ihrer 
Entfernung  vom  Ausgangspunkte;  ein  von  einem  bewegten  Körper  ausgehendes 
Projectil  behält  die  Geschwindigkeit  dieses  bewegten  Körpers  nebst  seiner  eigenen, 
und  so  müssten  die  Schweiftheilchen,  welche  an  der  Bewegung  des  Kometen 
mit  der  diesem  eigenen  Bewegung  theilnehmen,  eine  starke  Krümmung  nach 
rückwärts  zeigen,   welche,   wenn  die  Ausströmungsgeschwindigkeit  wesentlich 
kleiner  ist  als  die  Geschwindigkeit  des  Kometen,   dem   Schweife   eine  mehr 
tangentiale  Richtung  geben  würden3).    Ein  solcher  Fall  ist  thatsächlich  bei  dem 
Kometen  1894  I  (vergl.  pag.  57)  beobachtet  worden.    Endlich,  wenn  man  auch 
annehmen  wollte,  dass  die  Geschwindigkeit  der  Ausströmung  bei  einem  con- 
stanten,  sich  stetig  erneuernden  Schweife  mit  1  km  pro  Secunde,  wie  sie  Bessel 
für  den  HALLEv'schen  Kometen  erhält,  oder  selbst  mit  90  km  pro  Secunde,  wie 
sie  sich  aus  den  allerdings  nicht  ganz  einwurfsfreien  Rechnungen  von  Olbers 
für  den  Kometen  181 1  I  fand,  als  zulässig  erklärt  wurde,  so  bleibt  das  so  oft 
beobachtete  Fluctuiren  des  Schweifes,  das  Schiessen  und  Spielen,  wobei  der 
Schweif  sich  während  eines  kleinen  Bruchtheiles  einer  Secunde,  anscheinend 
plötzlich  um  mehrere  Tausende  Kilometer  verkürzt  und  verlängert,  ganz  unauf- 
geklärt. 

')  Beispielsweise  erhält  Bredichin  für  den  Kometen : 

1858  VI:   l  —  p.      6  1811  I;  l-ft^lO'4 

1472  6-2       1835  (Halley)  10-9 

1807  9-3       1862  II  11 

1877  II  9*3       1682  (Halley)  12 

3)  Nimmt  man  ein  widerstehendes  Mittel  an,  so  wird  an  diesem  Schlüsse  nichts  geändert; 
im  Gegenfheile  wirkt  das  widerstehende  Mittel  nur  in  demselben  Sinne,  den  Kometenschweif 
noch  stärker  lurückkrUmmend. 

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Kometen  und  Meteore. 


89 


Viel  wahrscheinlicher  erscheint  es,  den  Kometenschweif  als  eine  optische 
Begleiterscheinung  stark  elektrisch  polarisirter  Kometen  anzusehen.  Gerade  so 
nämlich,  wie  die  Sonne  Licht-  und  Wärmewirkungen  ausübt,  muss  sie  auch  als 
eine  Quelle  von  Elektricität  angesehen  werden,  welche  in  den  sie  umgebenden 
oder  umkreisenden  kleineren  Körpern  Elektricität  durch  elektrostatische  Induction 
(Influenz)  erregt.  Die  Menge  der  inducirten  Elektricität  ist  abhängig  von  der 
Natur  des  Körpers  selbst  (seiner  Dielektricitätsconstante)  und  von  der  Entfernung. 
Bei  denjenigen  Körpern,  deren  Bahnen  stark  excentrisch  sind,  wird,  gerade  so 
wie  bei  der  Wärmewirkung  eine  grosse  Verschiedenheit  in  dem  elektrischen 
Zustande,  eine  bedeutende  Erhöhung  der  elektrischen  Ladung  und  elektrischen 
Spannung  in  der  Sonnennähe  auftreten,  wodurch  sich  elektrische  Ausgleichungen 
mit  anderen  in  der  Nähe  befindlichen  Körpern  (Entladungen)  namentlich  Aus- 
gleichungen in  einem  etwa  vorhandenen  wenig  dichten  Medium  (ähnlich  wie 
bei  den  GEiSLFR'schen  Röhren)  auftreten  werden.  Diese  elektrischen  Aus- 
gleichungen werden  nun  wohl  auch  mit  einer  Ueberführung  von  Massen  ver- 
bunden sein,  welche  aber  in  einem  Massenaustausch  zwischen  den  nächstgelegenen 
Massen,  ohne  nennenswerthen  Massenverlust  bestehen.  Da  die  Entladung  in 
der  Richtung  der  Kraftlinien  (senkrecht  zu  den  Niveauflächen)  stattfindet,  so  ist 
die  Richtung  der  Entladung  in  der  Richtung  des  Radiusveciors  (von  der  Sonne 
weg),  während  sich  bei  in  der  Nähe  befindlichen  sehr  stark  polarisirten  anderen 
Körpern  in  anderen  Richtungen  auch  in  diesen  Ausgleichungen,  also  anomale 
Kometenschweife  ergeben  werden.  Eine  besondere  Stütze  erfährt  diese  Annahme 
noch  dadurch,  dass  jetzt,  seit  Anwendung  der  Photographie  die  Erscheinungen  der 
anomalen  Kometenschweife  viel  öfter  beobachtet  werden;  dass  übrigens  auf  den 
Platten  viel  mehr  Details  auftreten,  als  man  mit  freiem  Auge  wahrzunehmen  in 
der  Lage  ist,  deutet  darauf  hin,  dass  das  Licht  der  Schweife  stärker  aktinisch 
ist,  also  auf  der  brechbareren  Seite  des  Spectrums  liegt. 

Auch  das  Fluctuiren,  Schiessen,  Spielen  der  Schweife  erklärt  sich  durch 
diese  Annahme  ganz  ungezwungen.  Beobachtungen,  durch  welche  diese  Theorie 
eine  specielle  Stütze  erhält  sind  noch :  das  Zurücktreten  des  Kohlenwasserstoff- 
spectrums  bei  dem  Auftreten  von  Metalllinien,  eine  Erscheinung,  welche  nach 
Hasselberg  speciell  den  elektrischen  Entladungen  eigen  ist,  und  die  Beobachtung 
von  Herschel,  dass  die  Farbe  des  Kometen  1811  I  in  allen  Teleskopen  grün- 
lich oder  bläulichgrün  war,  während  die  Farbe  der  Lichthülle  eine  sehr  bestimmt 
gelbliche,  in  auffallendem  Contraste  mit  der  grünlichen  Farbe  des  Kopfes  stehende 
war,  was  auf  eine  disruptive  Entladung  an  einer  negativen  Elektrode  schliessen 
lässt. 

Schon  Schröter  nimmt  an  >dass  schlechterdings  die  Regionen  des 
Himmels  den  ätherischen  Lichtstoff  selbst  enthalten  müssen,  welcher  von  der 
fortstossenden  oder  fortwirkenden  Kraft  der  Sonne  und  des  Kometen  zum  Lichte 
des  Schweifes  erweckt  wird.c  Ziemlich  präcis  ist  die  Elektricität  als  Ursache  der 
Kometenschweife  1862  von  V.  March  in  folgenden  Worten  ausgesprochen1): 
•>...!  ventured  the  Suggestion,  that  the  tail  of  a  Comet  is  probably  of  the  samt  nature, 
it  being  simply  an  electric  currenl,  rendered  visible  by  its  cwn  illumination  of  a 
stream  of  particles  which  it  is  continually  transporting  with  nearly  the  velocity 
of  electricity  itself  from  the  atmosphere  of  the  Comet.*    Allein  hier  wird  noch 


!)  »The  distinguishing  Features  of  Comets  considered  as  Phascs  of  an  Electrical  discharge 
resulting  from  Excentricity  of  Orbit«.  American  Journal  of  Sciences  and  Arts,  II  Serie,  Bd.  33, 
pag.  89. 


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9° 


Kometen  und  Meteore. 


die  unwahrscheinliche  Annahme  gemacht,  dass  der  elektrische  Strom  die  Ursache 
ist,  dass  die  materiellen  Partikelchen  von  den  Kometen  mit  nahe  der  Geschwindig 
keit  der  Elektricität  von  dem  Kometenkörper  fortgerissen  werden. 

Was  nun  zweitens  die  Wirkung  der  Planeten  auf  die  Kometen  betrifft,  so 
ist  sie  im  allgemeinen  bedeutend  schwächer,  als  diejenige  der  Sonne,  wird  aber 
dennoch  nicht  zu  vernachlässigen,  wenn  der  Komet  den  Planeten  sehr  nahe  kommt; 
im  letzteren  Falle  kann  der  Einfluss  zweierlei  Art  sein:  er  äussert  sich  in  einer 
Umgestaltung  der  Bahn,  und  ferner,  wenn  die  Wirkung  auf  verschiedene  Theile 
des  Kometen  merklich  verschieden  ist,  in  einer  Theilung  des  Kometen  in 
mehrere  Theile,  welche  im  Laufe  der  Zeiten  auch  ganz  verschiedene  Bahnen 
beschreiben  können. 

Die  erstere  Wirkung  wurde  zuerst  beim  Kometen  (81)  constatirt  und  in 
Rechnung  gezogen,  nichts  desto  weniger  aber  anfangs  von  mancher  Seite  stark 
angezweifelt;  während  aber  dieser  Komet  die  Astronomen  immer  wieder  be- 
schäftigte, wurde  der  Frage  selbst  weiter  keine  Aufmerksamkeit  zugewendet. 
Mit  den  beiden  Kometen  (G5)  und  (79)  beschäftigte  man  sieb  damals  noch  gar 
nicht,  vielleicht  weil  die  Beobachtungen  derselben  eine  genaue  Bahnbestimmung 
nicht  vorzunehmen  gestatteten,  ein  Umstand,  der  bei  denselben  noch  jetzt  eine 
nicht  unerhebliche  Rolle  spielt.  Aehnliche  Umstände  waren  zufälligerweise  bei 
den  folgenden  periodischen  Kometen  vorhanden,  wie  aus  den  Bemerkungen  über 
den  BiELA'schen  und  ENCKE'schen  Kometen,  pag.  73,  ersichtlich  ist.  Die  Excen- 
tricität  des  Kometen  (102)  war  zu  gross,  als  dass  man  die  Abweichung  von  der 
parabolischen  Bahn  sofort  der  richtigen  Ursache  zugeschrieben  hätte,  und  so 
kam  es,  dass  man  erst  nach  der  Erscheinung  der  beiden  Kometen  (131)  und  (132), 
deren  Bahnen  als  elliptisch  erkannt  worden  waren,  auf  die  Frage  nach  den 
Ursachen  geführt  wurde,  warum  diese  Kometen  denn  nicht  schon  früher  gesehen 
worden  waren,  und  ob  nicht  frühere  Erscheinungen  mit  denselben  identisch 
wären  oder  Störungen  durch  die  Planeten,  namentlich  durch  Jupiter  stattgefunden 
haben  konnten.  Clausen  versuchte  es,  die  beiden  Kometen  (65)  und  (132)  zu 
identinciren ').  Für  den  ersteren  Kometen  leitete  er  die  in  der  Tabelle,  pag.  70. 
gegebenen  Elemente  ab;  für  den  Kometen  (132)  interpolirte  er  zwischen  zwei 
von  Encke  gegebenen  Elementensystemen  das  Folgende: 

T=  1819  Nov.  20-3 
7v  =  67°  39*4  logg  =  99501 

«,=  77    32-8  ?  =  45°31'1 

i  =     9  109 

Er  schloss  nun  folgendermaassen:  Wenn  die  beiden  Kometen  identisch  sein 
sollen  und  die  Bahn  des  ersteren  durch  die  Einwirkung  des  Jupiter  in  die 
Bahn  des  letzteren  verändert  worden  sein  soll,  so  müssen  sich  die  Bahnen 
nothwendig  in  einem  Punkte  schneiden,  welchen  einmal  gleichzeitig  die  beiden 
Kometen  und  Jupiter  eingenommen  haben.  Clausen  fand  nun  für  den  Schnitt- 
punkt der  beiden  Bahnen 

X  =  254°53'-3;      ß  =  Q°  25'  8 

in  der  wahren  Anomalie  des  Kometen  (65):  —  199°  30'  8  und  des  Kometen  (132): 
—  1720,48'1  mit  sehr  nahe  den  Radien-Vectoren  gleich  der  Entfernung  des 
Jupiter  von  der  Sonne.  Jupiter  hatte  diesen  Ort  eingenommen  1805  -h  n  x  lla'862. 


1   Astron.  Nachr.  Bd.  10,  p»g.  345. 


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Kometen  und  Meteore. 


Um  jedoch  von  der  Unsicherheit  der  Bahnen  frei  zu  sein,  rechnete  Clausen  für 
beide  Kometen  mit  r  gleich  der  Entfernung  des  Jupiter  von  der  Sonne  und  den 
vorhin  angegebenen  wahren  Anomalien  nebst  den  aus  den  beobachteten  Er- 
scheinungen von  1743  bezw.  1819  gefolgerten  Periheldistanzen  die  grossen 
Halbaxen  und  fand: 

hga  =  0-55187  für  den  Kometen  (65)  und  0-49877  für  den  Kometen  (183) 

oder  die  Umlaufszeiten  bezw.:  6  73  und  5-60  Jahre,  woraus  folgte,  dass  im  Jahre 
1759  oder  1760  beide  Kometen  in  demselben  Punkte  in  der  Nähe  des  Jupiter 
gestanden  waren,  d.  h.  dass  der  Komet  (65)  nachdem  er  seit  1743  zwei  und  einen 
halben  Umlauf  vollführt  halte,  in  die  Jupitersnähe  gekommen  war,  und  dadurch 
in  die  Bahn  des  Kometen  (132)  gedrängt  worden  war,  in  welcher  dieser  nach  etwa 
zehn  und  einen  halben  Umläufen  gefunden  wurde.  Die  auf  Grund  seiner  Unter- 
suchungen vorgenommene  Vorausberechnung  erwies  sich  jedoch  als  trügerisch, 
wie  erwähnt  wurden  die  beiden  Kometen  nicht  wiedergesehen. 

Da  alle  kurzperiodischen  Kometen  sowohl  wegen  ihrer  geringen  Neigung 
als  auch  wegen  der  eigenthümlichen  Verhältnisse  ihre  grossen  Axen  und  Excentri- 
citäten  in  ihren  Aphelien  sehr  nahe  der  Jupitersbahn  kommen,  so  sind  Störungen 
derselben  durch  Jupiter  nicht  ausgeschlossen;  da  aber  die  Störung  nicht  durch 
die  Jupitersbahn,  sondern  durch  den  Jupiter  ausgeht,  so  bleibt  bei  der  Beurtheilung, 
ob  eine  solche  Störung  vor  nicht  gar  langer  Zeit  stattgefunden  hat,  oder  statt- 
finden wird,  der  Umstand  maassgebend,  ob  bei  einem  der  letzten  Durchgänge 
des  Kometen  durch  das  Aphel  der  Planet  in  der  Nähe  gestanden  ist.  Hierfür 
wird  man  sehr  rasch  durch  eine  rohe  Näherung  einen  Ueberblick  erhalten.  Ist 
T  die  Zeit  des  Periheldurchganges  und  t  die  Umlaufszeit  in  Jahren,  so  sind 
T  -\-  (n  -\-  \)  x  die  Zeiten  der  Apheldurchgänge,  wobei  n  jede  beliebige  positive 
oder  negative  ganze  Zahl  bedeutet.  Sucht  man  für  diese  Zeiten  die  heliocentrischen 
Längen  L  des  Jupiter,  und  ist  diese  für  einen  der  Apheldurchgänge  genx^rr. 
gleich  180°  ■+■  *  (Länge  des  Aphels),  so  wird  eine  Jupitersnähe  wahrsch«-  v  \ 
und  eine  besondere  Untersuchung  erforderlich. 

Für  den  Kometen  (286)  zeigte  sich  eine  grosse  Jupitersnähe  im 
LEHMANN-FiLHfes  nahm  die  Berechnung  der  ehemaligen  Bahn  auf1  .  F" 
den  Kometen  mit  Rücksicht  auf  die  Störungen  die  heliocentris*  -'^ 

1875  August  13  0:  M=  230°  17'  34"  «•   -  ~ 

*  «   18   18  57  )  •  - 

ft  =  207   40  51    Mittl.  Aequ.  1880*         *  -  - 
/=  27   27  26  -         -  - 

Der  Uebergang  auf  jovicentrische  Elemente  bez-aeca  *-     ~       ---^  ~v--' 

Perijovium  1875  Juni  8  90  Mittl.  Berl.  Zeit 


<u  =  43°  53'  13' 
=  289  85  14 
66    7  50 


Mittl.  Aequ.  1880-0         -"»a»   *  .,••--...-» 


Damit  wurden  Sonnenstörungen  '«-  '* 

Februar  24,  und  für  1875  April  5. 
gegangen;  es  ergab  sich 


')  Astroo.  Nachr.  Bd.  124. 
»)  Vergl.  den  Art.  »1 


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94  Kometen  und  Meteore 

1875  April  5-0:3/=  226°  32  -6  <p  —  23°  1  '-2 

*  =     5  39  2 1  bga  =  0  62084 

&  =  208  26  8  1  Mittl.  Aequ.  18800  ft  =  415"668 

1=   29  26-6  )  C/=  8  54  Jahre. 

Noch  bedeutend  grösseren  Störungen  war  der  Komet  (309)  ausgesetzt,  dessen 
grösste  Jupitersnähe  p  =  0  0095  war.  Die  Rechnungen  hierüber  hatte  Chandler 
ausgeführt1),  wobei  er  während  der  Zeit  der  Jupitersnähe  die  Sonnenstörungen, 
d.  h.  die  Anziehung  der  Sonne  vernachlässigte;  er  erhielt  die  folgenden  Elemente'): 
Angenommene  heliocentrische 

Elemente  a.  d.  Beobachtungen     Jovicentrische      Heliocentrische  Elemente 
nach  der  JupitersttKhe  Elemente         vor  der  grossen  Störung 

T=  1889  Sept.  30  012     1886  Mai  20  747      1886  Nov.  28  779  Mittl.  Zeit  Greenwich 

tr=  1°26'17"  291°52'-6  203°  3'7 

=  17  58  45  242  20  6  179   13  4 

/=  6     4  10  37  555  7  438 

a=  368468  -0-16929  89896 

e=  047070                      1  0580  03947 

q=  195023                      0-00981  54411 

U=  70730  Jahre                   -  2695  Jahre 

Es  war  daher  die  Periheldistanz  vor  der  grossen  Störung  fast  genau  gleich 
der  Apheldistanz  nach  derselben  während  die  Richtung  der  Apsidenlinie  nur  um 
22°  gedreht  wurde,  d.  h.  durch  die  Anziehung  des  Jupiter  wurde  die  Bahn  des 
Kometen  so  stark  verändert,  dass  der  Ort  des  früheren  Perihels  zum  Aphel  wurde. 

Auch  die  Knoten  wurden  vertauscht,  d.  h.  der  Komet,  der  bei  seiner  Jupiters- 
nähe nahe  seinem  niedersteigenden  Knoten  war,  wurde  so  weit  abgelenkt,  dass 
er  an  dieser  Stelle  seinen  aufsteigenden  Knoten  erhielt,  während  die  Drehung  der 
Knotenlinie  nur  etwa  19°  betrug. 

Die  Umlaufszeit  war  vor  der  grossen  Störung  nahe  viermal  so  gross  als  nach 
derselben;  mit  dieser  waren  aber  vier  Umläufe  des  Kometen  107  8  Jahre,  während 
neun  Umläufe  des  Jupiter  106*6  Jahre  sind;  107  Jahre  früher  musste  also  wieder  eine 
Jupitersnähe  stattgefunden  haben,  diese  fiel  aber  in  das  Jahr  177p,  das  Jahr  der 
grossen  Störung  des  LEXELL'schen  Kometen.  Allerdings  bestehen  wohl  zwischen 
den  Elementen  des  Kometen  (309)  vor  seiner  Störung  1886  und  den  Elementen 
des  Kometen  (81)  nach  seiner  Störung  1779  noch  sehr  grosse  Abweichungen, 
allein  bei  der  grossen  Unsicherheit  der  letzteren  Elemente  giebt  dieses  noch 
keinen  ausreichenden  Grund  gegen  die  Annahme,  und  Chandler  hielt  die 
Vermutung  der  Identität  beider  Kometen  für  hinreichend  gesichert. 

Diese  Resultate  wurden  durch  die  Untersuchungen  von  C.  Lane  Poor*) 
etwas  modificirt.  Poor  berücksichtigte  während  der  Jupitersnähe  bei  der  jovi- 
centrischen  Bewegung  des  Kometen  auch  die  durch  die  Sonne  bewirkten 
Störungen,  und  rechnete  nach  dem  Uebergange  von  den  jovicentrischen 
Elementen  zu  den  heliocenttischen  Elementen  noch  mit  diesen  für  einige  Zeit 
die  durch  Jupiter  bewirkten  Störungen,  wobei  die  heliocentiischen  Elemente  nicht 
unerheblich  verändert  werden;  das  hauptsächlichste  Resultat  ist,  dass  die  Um- 
laufszeit sich  vor  der  Störung  zu  281 9  Jahren  ergiebt;  dann  sind  vier  Umläufe 
nahe  113  Jahre,  und  damit  fällt  die  grosse  Jupitersnähe  von  1779  also  auch  die 


l)  Astsronomical  Journal  Bd.  9,  pag.  100. 

«)  T  bedeutet  für  die  heliocentrischen  Elemente  die  Zeit  des  Perihels,  ftlr  die  jovicentrischen 
Elemente  die  Zeit  des  Pcrijoviums,  ähnlich  für  die  anderen  Elemente. 
5)  Astronomical  Journal  Bd.  10,  pag.  91. 


UlylllZGU  Oy 


Google 


Kometen  und  Meteore. 


93 


Wahrscheinlichkeit  der  Identität  mit  dem  LEXEix'schen  Kometen  weg.  Da  aber 
möglicherweise  eine,  wenn  auch  nur  ganz  geringfügige  Aenderung  in  den  Aus- 
gangselementen die  kleinste  Entfernung  vom  Jupiter  und  damit  auch  die  Wirkung 
dieses  Planeten  wesentlich  ändern  kann,  so  ist  das  Resultat  noch  nicht  voll- 
kommen sichergestellt. 

Bemerkenswerth  ist  übrigens,  dass  in  der  jetzigen  Bahn  des  Kometen  fünf 
Umläufe  desselben  gleich  35-4  Jahre  sind,  also  nahe  drei  Umläufen  des  Jupiter; 
es  muss  also  im  Jahre  192 1  eine  neuerliche  Annäherung  des  Kometen  an  Jupiter 
stattfinden.  Chandler1)  hat  die  Rechnung  für  dieselbe  durchgeführt  und  findet 
die  jovicentrische  Hyperbel: 

T=  1922  Juni  12  46 

it  =  339°  2'  9 1  p~  15555 

=   98  31-5  1  Mittl.  Aequ.  1920  0    p  _  0  2854 
/  =   26  55-2  ) 

also  eine  nicht  allzugrosse  Annäherung,  so  dass  die  Aenderungen  in  der  Bahn, 
wie  man  durch  eine  Vergleichung  mit  den  oben  angesetzten  Aenderungen  des 
Kometen  (286)  leicht  überblickt,  nur  sehr  mässig  sein  werden. 

Inzwischen  hatte  Tisserand2)  eine  Beziehung  gefunden,  welche  zwischen  den 
Elementen  der  Bahn  vor  der  Störung  und  nach  derselben  bestehen  muss. 
Bezeichnet  man  mit  Af,  m,  mlt  bezw.  die  Massen  der  Sonne,  des  Kometen  und 
des  störenden  Planeten,  mit  a,,  r,  die  grosse  Halbaxe  und  den  für  die  Zeit 
der  Störung  gültigen  Radiusvector  des  störenden  Planeten,  und  bezeichnet  man 
die  wegen  der  Kleinheit  von  m  (man  kann  m  =  0  setzen)  nur  von  dem  stören- 
den Planeten  abhängige  Grösse 

i  /AI  -r-  mx  Vax  _ 

so  besteht  zwischen  der  grossen  Halbaxe  a,  dem  Paiameter  p  und  der  Neigung  i 
der  Bahn  vor  der  Störung,  und  diesen  Grössen  (a,  p',  f)  nach  der  Störung  die 
Beziehung3)        j  I 

a  +  IPoYF cos  '  =  ~>  +  2  u.0  ^7  cos  /'  =  K, 

wobei  also  K  die  Stelle  einer  Charakteristik  der  Bahn  und  des  störenden  Himmels 
körpers  bezeichnet,  welche  Callandreau  *)  die  Invariante  für  den  Kometen 
(mit  Bezug  auf  einen  gewissen  störenden  Planeten)  nennt. 

Es  handelt  sich  zunächst  darum,  für  verschiedene  Kometen  zu  bestimmen, 
ob  dieselben  den  Planeten  nahe  kommen;  als  Wirkungssphäre  bezeichnet  man 
seit  Laplace  die  Entfernung  in  welcher,  wenn  Sonne,  störender  und  gestörter 
Himmelskörper  sich  in  gerader  Linie  befinden  würden,  die  Wirkung  der  Sonne  und 
diejenige  des  störenden  Körpers  einander  gleich  wären.   Diese  ist  gegeben  durch 

und  wird  für 

£  $  5         <S  2J.  I)  ?.  ^ 

p  =  0001    0003    0005    0003    0  280    0316    0296  0501 

Schulhof  hat  die  kleinste  Entfernung  der  Bahnen,  für  56  Kometen,  für 
welche  elliptische  Bahnen  berechnet  worden  sind,  bestimmt 5).   Aus  diesem  Ver- 

')  Astronomie*!  Journal  Bd.  10,  pag.  124. 

*)  Bulletin  Astronomique  Bd.  6,  pag.  291. 

*)  Vergl.  d.  Art.  «Mechanik  des  Himmels«  §  68. 

*)  Compt.  rend.  Bd.  112,  pag.  1304. 

*)  Bulletin  Astronomique  Bd.  8,  pag.  291. 


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94 


Kometen  und  Meteore. 


zeichnisse  sollen  im  Folgenden  die  wichtigsten  angegeben  werden.  Als  Grenze 
wurde  dabei  angesehen 

für  die  vier  äusseren  Planeten  0*8 
für  die  Erde  0*3 
für  Mercur,  Venus  und  Mars  0*06 


No. 

Name 

U 

Andere  stören- 

der 

Kometen 

Jahre 

0 

v 

de  Körper 

IQ 

naiiey 

76 

0*05 

0*0 

*  A.A* 

OVO 

AC 

*o 

,f.Qn  L';.-,.  i, 
ioöo  Mrcii 

OO  1  A 

A.AO  C 

0  OUd 

0*4 

10 

1 763  Messier 

7334 

0*025 

«.o 

1709  iviessier 

2090 

_ 

0"ö 

fU 

o-» 

c.e 
b"6 

0*011 

iLncKc 

q.q 
3*3 

y  UVl  1 

mLcnain- 1  utile 

1 4 

A.O 

0  8 

107 

*  793  Ai  rcrny 

4.4.4 

A.£ 
0'6 

ISA 

■  Oi  1  TT  nAII- 

10  Ii  11  rons 

8(0 

A.  1  K. 

124 

I  UI1S-DIOOKS 

79 
1* 

«uro 

127 

1  m  ■ 

V/Xucrs 

(4 

0*o 

186 

|R*4  TV  P<%na 

1022  iv  rons 

o*ou 

A.  IQ 

0'13 

149 

tft-*»*T  TTT  Dnn« 

■  027  ^  n  *ons 

Jf>  UVoo 

IRQ 

lOS 

1045  1-0118 

5500 

Ovo 

O  n-AQ  1 
2(.  U  U31 

172 

IC* 

1040  iv  ae  vico 

IC 

76 

174 

a  i  ■ 

1040  vi  reiers 

IQ 
13 

A.C 

0*b 

175 

111/ 

iS       VTT  TJrrN_-ai_ 
104"  YU  £>rür>t.n 

ouu 

A.neo 

0  007 

J*  fl  All 

181 

IUI 

1847  ^  Brorsen 

Ol 

A.K 

0"ö 

186 

1  fiin  TTT  KiL'ai*.tr 

'  049  ocnweizcr 

OQ71 
OO  <0 

0  6 

193 

105*  iv  wescpnai 

Ol 

A.  1 

0*4 

195 

1053  11  ocnweixer 

7S0 

0*073 

'0^4  iv  rvjinKertucs 

O'Olb 

0  13 

'202 

1054  "  wmnccKc 

(Kl  1 

A.Q 

0  3 

203 

iftrf  T   Kr K u'i<i*a> 

1035  1  ocnwcizer 

1  ftAQ 
IU0» 

X  0-'24 

207 

fSc»  TTT  Tflinlr<irfiiM 

7nin 

ö  0-003 

J|J     U  VVÜ 

208 

TÄCT  TV  P**«r« 

1057  iv  rcitrs 

9Q1 
ZoO 

Q  0  023 

209 

a«  vi  %/ 

1057  v  iviinkeriues 

Q1CQ 

Q  002S 

213 

TÄCÄ  VT  rinnst! 

1050  vi  uonati 

1  QfiA 

löoU 

Q  0-01 

QU 

1050  VII  luttle 

6000 

q  v  00,  no 

220 

iovi  i  xoaccncr 

i  IC 

4lo 

A.  Ar»  0 
0  UU/ 

ü"ö 

221 

i  SA  1  TT  TaUUii«» 

iöoi  11  lebuutt 

409 

A.f 

0"C 

224 

IOQ2  1X1    1  Utile 

120 

U  000 

n.or. 

0  70 

238 

1  oou  1    1  cnipci 

33 

A.AA7 

f..  j  f; 
U  40 

&  0*4 

239 

1 867  I  Coggia 

34 

0  021 ;  |  C-05 

248 

1871  I  Winnecke 

5200 

01 

$  0  C4 

250 

1 871  IV  Tempel 

2G90 

0063 

258 

1874  IV  Coggia 

806 

$  0  04 

275 

1 881  in  Tebbutt 

2954 

$  0-008 

279 

1881  VIII  Swift 

2740 

046 

284 

1883  n  Ross 

94«) 

$  0  033 

288 

1885  HI  Brooks 

496 

0-3 

302 

1888  I  Sawerthal 

2182 

$  0  027 

307 

1889  m  Barnard 

128 

05 

C?  0*04 

308 

1889  IV  Davidson 

5127 

0-04 

•)  Weitere  elliptische  Elemente  nicht  publicirt,  Umlaufsteit  als  unsicher  angegeben. 


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Kometen  und  Meteore.  9S 

Hierbei  ist  aber  nur  die  kürzeste  Entfernung  der  Bahnen  gegeben;  um  dann 
in  einem  gegebenen  Falle  zu  entscheiden,  ob  zwei  Kometen  identisch  sind,  hat 
man  durch  eine  genauere  Rechnung  den  Ort  (die  Länge  /)  der  grössten  Nähe 
des  Planeten  zu  bestimmen,  und  für  die  Anwendung  des  TissERAND'schen  Criteriums 
den  Ausdruck  K  zu  bestimmen.  Schulhof  hat  mit  Ausnahme  des  ersten  periodi- 
schen Kometen  (45)  und  des  Kometen  (174),  die  bis  Ende  1890  erschienenen  dieser 
Untersuchung  unterzogen,  und  die  folgenden  Resultate  erhalten1): 

Komet  /        K  Komet   /         K  Komet   /  K 

65  271°  0-525  132  248°  0517  285  126°  0  556 

79    80    0-493  163  210    0  508  \  0  492  (vor  1868) 


(  0-486  (1770)  164  163  0  537  "v  \0 

81  184  \  0-478  (nach  1779)  /  0'466  (1842)  293    54  0 

84  269    0-482  1 M  Zö4  \  0-475  (1890)  295  205  0 

92  233     0-473  189  153  0504  „Aft  ...  / 0531  (vor  1886) 


ro- 
\o- 


96  335    0-591                   240   59  0  590  \  0  530  (1889) 

102  263    0  337                   244  223  0  527  310  189  0-462 

131  108    0-509                   251  126  0  562  316  228    0  540 

277  223  0-414 

Hier  ist  nun  besonders  hervorzuheben: 

1)  Die  Veränderlichkeit  des  K  ist  eine  sehr  geringe. 

2)  Es  sind  gewisse  Kometen,  bei  denen  die  Differenzen  in  /  und  K  nur 
sehr  gering  sind,  und  die  dennoch  als  nicht  zusammengehörig  bezeichnet  werden 
müssen;  z.B.  (81)  und  (286);  (163)  und  (244)  u.  A.;  insbesondere  ist  die  Gleich- 
heit der  Richtung  der  Proximitätspunkte  und  die  Gleichheit  der  Invariante  K 
für  die  Kometen  (25 \)  und  (285)  zu  berücksichtigen,  und 

3)  Ist  die  Veränderung  von  K  für  den  BRORSEN'schen  Kometen  (171),  ohne 
dass  bei  demselben  eine  bedeutendere  Störung  stattgefunden  hätte,  auffällig. 

Dass  die  Veränderlichkeit  von  K  eine  geringe  ist,  hat  schon  Schulhof  in 
den  »Astron.  Nachrichten«  No.  2964  hervorgehoben;  was  jedoch  den  zweiten  und 
dritten  Punkt  anbetrifft,  so  wird  eine  Untersuchung  Uber  den  Einfluss  der 
Elementenänderungen  auf  den  Werth  von  K  erst  ein  Urtheil  über  dessen 
Schwankungen  ermöglichen. 

In  der  Gleichung 

ist  |a0  eine  von  den  Elementen  des  gestörten  Himmelskörpers  unabhängige  Grösse. 

Unterliegen  daher  a,  p,  i  gewissen  Aenderungen,  so  wird  K  eine  Veränderung 

erfahren,  welche  gefunden  wird  aus 

, _ .         da      u0       .  .  _ 
dK  =  —  ^  4-  ~=  cos  t  dp  —  2(i0y>  stn  tdt. 

Es  ist  ausreichend  genau,  für  diese  Untersuchung  in  dem  Werthe  von  fi0  die 
Masse  des  störenden  Himmelskörpers  gegenüber  der  Sonnenmasse  zu  vernach- 
lässigen, und  die  Jupitersbahn  als  kreisförmig  anzusehen;  dann  wird: 

1 


>)  Astron.  Nachrichten  Bd.  124,  No.  2964  für  die  ersten  22  und  Bulletin  Astronomique, 
Bd.  8,  für  die  letzten  swei.  Dabei  hat  er  /  und  K  bei  den  meisten  für  die  erste  und  letzte 
Erscheinung  gerechnet,  und  dabei  nur  sehr  geringe  Unterschiede  gefunden,  was  nach  dem  oben 
Gesagten  nicht  auffällig  sein  kann. 


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96 


Kometen  und  Meteore. 


und  da  «,=  5*2026  ist,  ji0  =  0  08427.  In  dem  letzten  Gliede  ist  übrigens  di 
im  Bogenmaasse  auszudrücken;  soll  es  in  Graden  ausgedrückt  werden,  so 
muss  der  Coefficient  noch  mit  arc  \°  =  001745  multiplicirt  werden;  es  ist 
demnach: 

AA'=  -  ~  -+-  0  0843  ^  A/>  -  000294  y^m  iM. 

Acndert  sich  die  Periheldistanz  eines  Kometen  beträchtlich,  so  dass  dieselbe 
grösser  als  2  wird,  so  wird  er  meist  nicht  wiedergesehen;  bei  den  kurzperiodi- 
schen Kometen  sind  überdiess  die  Neigungen  nur  mässig;  für  /'  =  10°,  p  —  2, 
A/  =  10°  würde  der  binfluss  des  letzten  Gliedes  0  007,  was  sich  mit  den  bei 
der  TissERAND'schen  Gleichung  vernachlässigten  Gliedern  vereinigt,  und  es  reducirt 
sich  demnach  die  Beziehung  auf  eine  solche  zwischen  a  und  p,  was  auch  aus 
der  Gleichung  (k)  ersichtlich  ist,  da  dann  cos  i  als  constant  angenommen  werden 
kann ;  dann  giebt  aber  diese  Gleichung  keinerlei  Aufschluss  Uber  die  Zusammen- 
gehörigkeit der  Bahnen,  indem  nur  Elemente,  die  von  der  Form  der  Bahn,  nicht 
aber  solche,  die  von  ihrer  Lage  abhängen,  in  die  Gleichung  eintreten.  Ist  aber 
i  gross,  so  wird  das  letzte  Glied  in  {k)  überhaupt  klein,  und  mit  den  vernach- 
lässigten Gliedern  zu  vereinigen  sein,  so  dass  daraus  die  Constanz  der  grossen 
Axen  der  Kometenbahnen  —  innerhalb  der  Grenzen  der  vernachlässigten  Glieder 
—  folgen  würde. 

Es  kann  daher  aus  der  Uebereinstimmung  der  Werthe  von  K  und  lx)  auf  die 
Identität  der  Bahnen  kein  sicherer  RUckschluss  gezogen  werden;  und  ebenso  ist 
die  grössere  Differenz  zwischen  den  Werthen  von  K  für  die  Kometen  (79)  und  (277) 
oder  fUr  die  Kometen  (81)  und  (399)  noch  nicht  gegen  die  Identität  beweisend. 

Durch  die  ungleiche  Wirkung  einer  attrahirenden  Masse,  sowohl  der  Sonne, 
als  auch  eines  störenden  Planeten,  oder  durch  Einwirkung  äusserer  Kräfte  auf 
verschiedene  Theile  eines  Kometen  kann  es  vorkommen,  dass  die  Massen  sich 
trennen,  wie  diess  durch  die  Beobachtungen  von  Kerntheilun^en  und  Kometen- 
komplexen (Hauptkomet  und  Begleiter)  constatirt  ist. 

Kreutz1)  untersucht  den  Einfluss,  welchen  eine  in  der  Richtung  der  Tan- 
gente wirkende  Kraft  (also  ein  Widerstand  des  Mittels)  auf  die  Bewegung  der 
verschiedenen  Kernpunkte  haben  müsste,  und  sucht  die  Constante  K  des  Wider- 

?'* 

Standes,  welchen  er  nach  dem  Gesetze  K-^t  d.  i.  proportional  dem  Quadrate 

der  Geschwindigkeit  und  umgekehrt  proportional  dem  Quadrate  des  Radiusvektors 
(entsprechend  einer  immer  stärkeren  Verdünnung  in  concentrischen  Schichten  von 
dem  Centraikörper  weg)  annimmt,  so  zu  bestimmen,  dass,  ohne  Rücksicht  auf 
diesen  Widerstand  alle  Kernpunkte  dieselbe  Bahn  beschreiben  würden.  Hierbei 
erscheint  also  die  Trennung  der  verschiedenen  Theile  des  Kometen  eine  Folge 
der  auf  verschiedene  Punkte  desselben  verschieden  wirkenden  Widerstandes  eines 
im  Weltraum  vertheilten  Mittels. 

Charlier8)  nimmt  als  Ursache  die  blosse  Attraction  nach  dem  Gesetze  der 
allgemeinen  Gravitation.  Gegen  die  Ableitung  der  Differentialgleichungen 
lässt  sich  nichts  einwenden;  dagegen  wird  die  Integration  derselben  unter  ganz 


•)  Dass  /  nur  genähert  Übereinzustimmen  braucht,  folgt  daraus,  dass  die  Störung  nicht  in 
dem  Punkte  der  grössten  Nähe  der  Bahnen,  sondern  nur  in  der  Umgebung  dieses  Punktes 
stattzufinden  braucht. 

3)  «Untersuchungen  Uber  das  Kometensystem  1843 1,  1880I  und  1882  II«,  zweiter Theil,  pag.  $3. 
*)  Bulletin  de  l'Academie  de  St.  Petersbourg,  Bd.  32,  pag.  383. 

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Kometen  und  Meteore.  97 

» 

unberechtigten,  dem  Probleme  nicht  entsprechenden  Voraussetzungen  vorge- 
nommen. So  wird  als  >Referenzcurve<,  d.  i.  die  gemeinschaftliche  Bahncurve,  von 
welcher  aus  die  Abweichungen  der  einzelnen  Theilchen  gesucht  werden,  ein 
Kreis  angenommen,  eine  Voraussetzung,  durch  welche  allerdings,  entgegen  der 
Behauptung  Charurr's  sehr  bedeutende,  dem  Problem  anhaftende  Schwierig- 
keiten verschwinden,  welche  aber  bei  der  Bewegung  der  Kometen  durchaus 
nicht  zutrifft.  Weiter  wird  bei  der  Ableitung  der  Stabilitälsbedingung  (Gleichung  15) 
ein  Zustand  relativer  Ruhe  vorausgesetzt;  die  Stabilität  der  Ruhe  ist  aber  eine 
wesentlich  andere,  als  die  Stabilität  der  Bewegung,  wie  schon  Laplace  bei  einer 
anderen  Gelegenheit  hervorhob1). 

Treten  in  dieser  Weise  durch  irgend  eine  Ursache  Theilungen  der  Kometen 
auf,  so  werden  sich  die  einzelnen  Theile  im  Laufe  der  Zeit  in  genähert 
gleichen  Bahnen  um  die  Sonne  bewegen,  sich  dabei  aber  von  einander  ent- 
fernen; so  entstehen  Kometensysteme,  für  welche  einzelne  oder  mehrere 
Elemente  njihe  dieselben  sind,  während  andere  von  einander  abweichen  können. 
Welche  Elemente  identisch  sein  müssen,  lässt  sich  nicht  allgemein  angeben.  In 
der  Regel  wird  man  zunächst  eine  genähert  gleiche  Lage  der  Bahnebene,  also 
nahe  dieselbe  Länge  des  Knotens  und  nahe  denselben  Werth  der  Neigung  an- 
nehmen müssen,  während  die  Lage  des  Perihels,  die  Exccntricitat  und  die 
Umlaufszeit  schon  ziemlich  weit  von  einander  verschieden  sein  können,  und  die 
Zeit  des  Durchganges  durch  das  Perihel  überhaupt  jeden  Werth  haben  kann, 
indem  dieselbe  von  der  Form  der  Bahn  und  auch  von  dtm  Zeitpunkte  der 
Trennung  abhängt*).  In  speziellen  Fällen  können  aber  auch  andere  Elemente 
stärkeren  Schwankungen  unterliegen;  ist  z.  B.  die  Periheldistanz  sehr  klein,  so 
kann  eine  Trennung  in  einer  zur  Bahnebenc  senkrechten  Richtung  zwei  Bahnen 
erzeugen,  deren  Neigungen  von  einander  stark  diftcriren,  u.  s.  w. 

Die  ersten  Untersuchungen  über  Kometensysteme  rühren  von  Hoek  her3). 
Es  wird  zunächst  die  Aphelrichtung  ttlr  22  Kometen  bestimmt,  und  diejenigen 
Kometen  zusammengestellt,  bei  denen  die  Richtungen  weniger  als  10°  im 
grössten  Kreise  abweichen;  so  entstehen  acht  Systeme  von  je  2  Kometen,  und 
die  folgenden  beiden  Systeme  von  je  drei  Kometen: 

167  (1845  13,      173  (1846  V)    und    176  (1846  VIII) 
218  (1860  in),   226(18631)     und    231  (1863  VI), 

für  welche  die  Längen  und  Breiten  des  Aphels  bez.  sind: 

167:  X=  280°-5,  ß  =  —  41°6  218:  X  =  303°1,  ß  =  —  73°2 
173  275-3  —  55  4       226  313  2  —73  9 

176  281  0  -  49   5       23t  313   9  -  76  4 

Nun  wird  untersucht,  ob  und  wann  die  Distanz  aller  drei  Kometen  einander 
nahe  gleich  waren.  Dieses  war  der  Fall  für  die  ersten  drei  Kometen  im  Jahre 
56-97  mit  den  Distanzen  600-00,  600  42  und  600  25;  und  für  die  letzteren  drei 
Kometen  im  Jahre  1020  87  mit  den  Distanzen  500  00,  500  56  und  500  36. 


')  Bei  der  Interpretation  der  Gleichung  (15)  muss  es  Übrigens  hcissen,  »die  beiden  Körper 
müssen  also  V3  —  1-732  mal  (nicht  aber,  wie  Charlier  meint,  3  mal)  eine  Rotation  um  den 
gemeinsamen  Schwerpunkt  ausführen,  während  der  Schwerpunkt  selbst  einmal  einen  Umlauf  um 
die  Sonne  TOilfuhrt,«  Q  ist  nämlich  nach  der  Definition  das  Quadrat  einer  mittleren  Bewegung. 

*)  In  diesem  Sinne  kann  man  dann  auch  von  Kometensystemen  ohne  direkt  nachweisbare, 
physische  Zusammengehörigkeit  sprechen. 

*)  »On  the  Comets  1860  HI,  1863  I,  1863  VI,«  Monthly  Notices,  Bd.  25,  pag.  243. 
Vauwtime»,  Astronomie.   II.  7 


Mittl.  Aequ. 
1864-0 


q8  Kometen  und  Meteore. 

Die  nächste  Bedingung  ist  nun  die,  dass  die  drei  Bahnen  einen  gemein- 
schaftlichen Durchschnittspunkt  haben,  dieses  ist  für  die  drei  ersten  Kometen 
nicht  der  Fall;  die  Durchschnittspunkte  sind: 

Für  die  Kometen:  167,  173  X  =  171°  11'  ß-=-14°53' 

167,  176         249  26  —  46  49 

173,  176         298  45  -  47  5. 

Diese  drei  Kometen  bilden  daher  kein  System.  Für  die  drei  letzten  Kometen 
hingegen  rinden  sich  die  Durchschnittspunkte: 

Für  die  Kometen:  218,226  X  =  316°42'-9  ß  =  -76°31'ö 

218,  231         312  18  6  -75  39  5 

226,  231         320  46  2  —78  39  3 

also  in  genügender  Ueberein- 

stimmung;  demnach  im  Mittel  X  =  316  35  9  ß  =  —  76  56*7 

und  Hoek  nimmt  daher  an,  dass  diese  drei  Kometen  ein  System  gebildet  haben. 
In  der  Nähe  dieser  Schnittpunkte  aber  muss  auch  eine  Ursache  für  die  Trennung 
gesucht  werden,  und  Hoek  macht  die  Hypothese,  dass  dort  ein  Bewegungs- 
centrum war,  um  welches  früher  die  Bewegung  stattgefunden  hat. 

Hoek  setzte  später  seine  Untersuchungen  fort,  und  dehnte  sie  auf  alle  Kometen 
seit  1556  aus;  aus  diesen  Untersuchungen  mag  noch  das  System  der  drei  Kometen 
(43)  (1672),  (44)  (1677)  und  (47)  (1683)  hervorgehoben  werden.  Er  findet  für 
die  Durchschnittspunkte  der  Bahnen1): 

Für  die  Kometen:    43,  44    X  =  275 °5       ß  —  —  72°'8 

43,  47  286  9  -  82  4 

44,  47  315  9  -  78  -8, 

also  im  Mittel,  reducirt  auf  das  Aequinoctium  1864  0: 

X  =  318°5,     ß  =  —  78°-8 
sehr  nahe  dem  Durchschnittspunkt  der  Bahnen  der  drei  Kometen  (218),  (226),  (231). 
Die  Radienvektoren  der  Kometen  44  47 
waren  im  Jahre  1076  54   400  402*4 
513-86    600  602«) 

woraus  Hoek  schliesst,  dass  gegen  die  ursprüngliche  Identität  derselben  kein  Ein- 
wand zu  erheben  ist*). 

Man  darf  jedoch  in  den  Conjekturen  hierbei  nicht  zu  weit  gehen.  Sucht 
man  nach  Aehnlichkeiten  zwischen  Kometenbahnen,  so  wird  man  bei  der  Identi- 
fikation oder  bei  der  Zusammenstellung  derselben  in  Gruppen  oder  Systemen  etwas 
vorsichtig  sein  müssen;  einerseits  lcönnen  Kometen  identisch  sein,  bei  denen  die 
Elemente  nicht  die  geringste  Aehnlichkeit  zeigen;  Identität  solcher  Kometen 
kann  aber  nur  eine  eingehende  theoretische  Untersuchung  zeigen,  unter  Berück- 
sichtigung der  Störungen  seitens  anderer  Himmelskörper.  Beschränkt  man  sich 
aber  auf  die  Aehnlichkeit  der  Bahnelemente,  so  wird  man  selbstverständlich  nach 


')  Monthly  Notices,  Bd.  26,  pag.  4. 

a)  Mit  demselben  Rechte  könnte  man  aber  mit  Rücksicht  aof  die  Unsicherheit, 
die  Bestimmung  dieser  Radienvcctorcn  aus  den  doch  nicht  absolut  genauen  Elementen  in  An» 
betracht  der  Entfernung  selbst  unterliegt,  schltessen,  dass  die  Kometen  wahrend  dieser 
ganzen  Zeit  nicht  verbunden  waren,  als  auch,  dass  sie  um  diese  Zeit  noch  einen  einzigen 
Kometen  bildeten. 


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Kometen  und  Meteore. 


99 


Maassgabe  des  Anwachsens  der  Zahl  der  Kometen  immer  gewisse  ähnliche 
Elementensysteme  finden,  ohne  dass  desshalb  an  eine  engere  Verbindung  ge- 
dacht zu  werden  braucht.  Bei  den  neueren  Kometen,  bei  denen  in  Folge  der 
guten,  hauptsächlich  aber  zahlreichen,  über  einen  grossen  Zeitraum  sich  erstrecken- 
den Beobachtungen  eine  ziemlich  sichere  Bahnbestimmung  ermöglicht  ist,  wird 
man  die  Grenzen  für  die  zulässigen  Unterschiede  zwischen  den  Elementen 
ziemlich  enge  zu  ziehen  haben;  bei  den  älteren  Kometen,  namentlich  etwa  vor 
dem  Jahre  1700,  also  für  die  ersten  50  Kometenbahnen,  wird  man  auch  weitere 
Grenzen  in  den  Unterschieden  für  zulässig  halten  können. 

So  sind  die  Elemente  der  periodischen  Kometen  (131)  und  (241),  namentlich 
die  Bahnlage,  nicht  allzu  verschieden;  und  wenn  nur  sehr  wenig  periodische 
Kometen  bekannt  wären,  etwa  wie  im  Anfange  unseres  Jahrhunderts  die  4  kleineren 
Planeten,  so  könnte  man  ganz  wohl,  sowie  ursprünglich  bei  diesen,  an  einen 
gemeinsamen  Ursprung,  einen  Zusammenhang  in  historischen  Zeiten,  denken. 
Gemäss  der  Zahl  und  Lage  der  periodischen  Kometen  wird  man  wohl  aber  alle 
kurzperiodischen  Kometen  als  eine  zusammengehörige  Gruppe  auflassen  können, 
ohne  zwischen  einzelnen  derselben  einen  besonderen  tieferen  Zusammenhang 
zu  vermuthen,  wenn  nicht  die  Elemente  durch  aussergewöhnliche  Uebereinstimmung 
auf  einen  solchen  hinweisen. 

Der  Komet  (94)  zeigt  eine  grosse  Aehnlichkeit  mit  dem  Kometen  (124)  von 
74  Jahren  Umlaufszeit;  seine  Elemente  sind: 

T  =  1785  Jan.  27;   *  =  109°9;   ft  =  264°  2;   i  =  70°2;   q  =  1143. 

Da  jedoch  der  Komet  (124)  im  Jahre  1812  durch  sein  Perihel  ging,  so  kann 
der  Komet  (94)  mit  ihm  nicht  identisch  sein,  wohl  aber  in  der  Zwischenzeit  von 
27  Jahren  ihm  vorangehen.  Unter  der  Annahme  einer  nahe  gleichen  Umlaufs- 
zeit würde  er  um  1859  wieder  durch  sein  Perihel  gegangen  sein;  doch  ist  die 
Umlaufszeit  kein  charakteristisches  Element. 

Mit  den  kurzperiodischen  Kometen  haben  folgende  4  Bahnen  Aehnlichkeit: 
Komet  (4):  T  =  568  August  29;  *  =  317°;  &  =  294°;  i  =  4°;  Iogq  =  9  96 
mit  dem  Kometen  (81);  allerdings  sind  hier  die  Knotenlängen  um  nahe  180° 
verschieden,  allein  unter  der  Annahme  einer  Neigungsänderung  von  nur  5g, 
wobei  der  aufsteigende  Knoten  zum  niedersteigenden  würde,  würde  die  Knoten- 
änderung nur  etwa  17°  betragen.  Aber  der  Komet  (81)  hatte  vor  1766  eine  ganz 
andere  Bahn,  und  wenn  die  beiden  Kometen  früher  ein  System  gebildet  hätten, 
so  müsste  der  Komet  (4)  sich  in  der  alten  Bahn  des  Kometen  (81)  bewegen1). 
Weiter: 

Komet  39    T=  1661  Jan.  27;    ir=116c;    ft  =  82°;    *  =  33°;    iogq  =  965 

mit  dem  Kometen  (171)  und 
Komet  208    T=  1857 Aug. 24;    it  =  21*8;    fl,  =  2008;  <=  328;  %?  =  9873 
Komet258    T=  1874  Juli  18;     ir  =     55;    ß,  =  2159;  /=  341;  iogq  =  0227 

mit  dem  Kometen  (322); 

die  beiden  Kometen  (208)  und  (258)  sind  jedoch  als  elliptisch  erkannt,  mit  den 
grossen  Halbaxen  38,  bezw.  45,  Umlaufszeiten  235  und  306  Jahren,  und  es  ist  daher 
nicht  ausgeschlossen,  dass  der  Komet  (322)  durch  eine  bedeutende  Störung  aus 
einer  ähnlichen  Bahn  in  seine  jetzige  übergeführt  wurde. 


•)  Es  ist  dieses  ein  auffälliges  Bci?piel,  dass  man  bei  der  Vergleichung  der  Bahnen  stets 
auf  die  der  ersten  Vergleichung  untugängliclien  näheren  Un;siändc  Kti^kMclit  nehmen  nmss. 

7* 


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lOO 


Kometen  und  Meteore. 


Eine  bedeutende  Aehnlichkeit  in  den  Bahnen  findet  sich  bei  den  folgender. 
Kometen l): 

13,  247  70,  186  (b)      /,  254 

30,  313  (a)  101,  279,  324  134,  203,  232,  326 

35,  262,  312  118,  275  (c)  161,  270,  281,  298 

38,  331  257,  274. 

Sodann  in  etwas  weniger  guter  Uebereinstimmung  in  einzelnen  Elementen 

12,  55  (mit  einer  Aenderung  von  10°  in  der  Neigung,   bei  welche: 

der  aufsteigende  Knoten  zum  niedersteigenden  wird). 
119,  225,  332  mässiger  Unterschied  im  Knoten, 
213,  224,  264      „  „  „  „ 

Durch  die  Länge  des  Pcrihels  unterscheiden  sich  die  folgenden  Bahnen: 

265,  299  76,  263  151,  169  und  Gruppe  (c 

28,    53  90,  269  236,  306 

40,  314  103,  268  260,  292. 

48,  118  104  und  Gruppe  (a) 

Bei  sonstiger  Uebereinstimmung  der  Elemente  finden  sich  grössere  Unter- 
schiede im  Knoten  bei  den  Kometen: 

46,    72         125,  314        273,  275 
106,  245         137,  292         275,  308; 
118,  273         149,  253, 

in  der  Neigung  bei  den  Kometen: 

94,  102         265,  320, 

ferner  bei  Gruppe  (b)  und  Komet  (20); 

in  der  Periheldistanz  bei  den  Kometen: 

76,  263         237,  320        266,  287, 

in  der  Lage  des  Perihels  und  Periheldistanz  bei  den  Kometen: 

68,  250        227,  278; 

in  der  Peiiheldistanz  und  im  Knoten  bei  den  Kometen: 

130,  296. 

Die  Bewegung  der  Kometen,  und  zwar  die  ungestörte  um  die  Sonne, 
sowie  die  Störungen  durch  die  Planeten,  sind  unabhängig  von  der  Masse  der 
Kometen');  umgekehrt  wären  aber  die  Bewegungen  der  Planeten  von  den 
Kometen  beeinflussr,  wenn  diese  eine  bedeutendere  Masse  hätten.  Im  Volke 
hat  sich  auch,  nachdem  der  astrologische  Aberglaube  über  die  Bedeutung  der 
Kometen  zu  schwinden  begann,  die  Kometenfurcht  herausgebildet,  die  Furcht, 
dass  durch  den  Zusammenstoss  eines  Kometen  mit  der  Erde  die  Welt,   d.  h 


')  Eine  derartige  Zusammenstellung  giebr,  wie  schon  erwähnt,  nicht  unmittelbar  die 
Zusammengehörigkeit  der  Kometen  an;  die  Fixirung  der  Grenzen  bleibt  daher  immer  mehr  oder 
weniger  dem  «ubjektiven  Ermessen  anhcimgestellt  (vcrgl.  pag.  98). 

')  So  lange  diese  nicht  mit  der  Masse  des  Centralkörpers  vergleichbar  ist,  d.  h.  so  lange 
in  der  Summe  M  +  m  die  Masse  m  des  gestörten  Körpers  gegen  die  Masse  M  des  Centralkörpers 
vernachlässigt  werden  darf. 


uign 


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Kometen  und  Meteore. 


toi 


die  Erde,  zu  Grunde  gehen  würde:  es  wurde  an  die  Erscheinung  eines  Kometen 
der  Weltuntergang  geknüpft.  Nun  hat  man  aber  bisher  noch  keinerlei  Störungen 
der  Planeten  durch  irgend  einen  Kometen  angeben  können.  Der  ExcKE'sche 
Komet  kann  sich,  wie  schon  Bessel  1819  bemerkte,  dem  Merkur  bis  auf  0-017 
Erdbahnhalbmesscr  nähern,  so  dass  seine  Entfernung  vom  Merkur  etwa 
seiner  Entfernung  von  der  Sonne  wird,  und  die  vom  Merkur  auf  denselben  aus- 
geübte Kraft  sich  zu  der  von  der  Sonne  ausgeübten  wie  6500  m  \  M  verhält,  wenn 
m  die  Merkurmasse  ist,  und  die  durch  Merkur  bewirkten  Störungen  in  der  Be- 
wegung des  ENCKE'schen  Kometen  zur  Bestimmung  der  Masse  des  Merkur  dienen 
können.  In  der  That  hat  Encke  zuerst  auf  diese  Art  eine  genauere  Bestimmung 
der  Merkursmasse  durchgeführt,  und  durch  die  fortgesetzte  Beobachtung  des 
ENCKE'schen  Kometen  hat  diese  Bestimmung  später  durch  von  Asten  und  Back- 
lund  einen  hohen  Grad  von  Genauigkeit  erlangt.  Umgekehrt  hat  man  aber 
eine  Einwirkung  des  ENCKE'schen  Kometen  auf  die  Bewegung  des  Merkur  nicht 
constatiren  können. 

Ferner  hat  bereits  Olbers  auf  die  grosse  Annäherung  des  BiELA'schen  Ko- 
meten an  die  Erde  hingewiesen;  seine  Entfernung  kann  bis  auf  0011  herab- 
sinken, d.  h.  bis  auf  etwa  ^  der  Entfernung  der  Erde  von  der  Sonne.  Die 
von  der  Erde  auf  ihn  ausgeübte  Kraft  ist  dann  etwa  der  41*5te  Theil  von  der  von 
der  Sonne  ausgeübten1);  wäre  die  Kometenmasse  nur  der  «te  Theil  der  Erdmasse, 

so  würde  die  von  dem  Kometen  auf  die  Erde  ausgeübte  Kraft  . ,  sein.  Für 

41  •  bn 

den  BiELA'schen  Kometen  allerdings  ist  zu  beachten,  dass  diese  Eventualität  ein- 
treten kann,  oder  eigentlich  hätte  eintreten  können,  aber  nie  eingetreten  ist,  und 
vielleicht  nie  eintreten  wird,  da  inzwischen  der  BiSLA'sche  Komet  verschwunden  zu 
sein  scheint. 

Noch  näher  kann  die  Erde  dem  Komet  (220)  (1861  I)  kommen;  die  kleinste 
Entfernung  der  Bahnen  beträgt  0*002,  und  es' würde  die  Wirkung  der  Erde  auf 
den  Kometen,  wenn  beide  Körper  zur  selben  Zeit  den  nächsten  Punkt  ihrer 
Bahnen  passiren  würden,  73  mal  stärker  als  die  Wirkung  der  Sonne  auf  den 

7*3 

Kometen,  und  die  Wirkung  des  Kometen  auf  die  Erde  —  ,  wenn  die  Masse  des 

Kometen  der  n  te  Theil  der  Erdmasse  wäre. 

Dass  man  durch  den  Schweif  und  selbst  mitunter  durch  die  Coma  Fixsterne 
fast  ungeschwächt  hindurchsicht  —  die  mitunter  beobachtete  geringe  Licht- 
schwächung lässt  sich  durch  die  Contrastwirkung  gegen  den  dunklen  Himmels- 
hintergrund einerseits  und  gegen  den  helleren  Hintergrund  des  Kometen  anderer- 
seits erklären  —  kann  nicht  als  Beweis  für  die  geringe  Masse  gelten.  Bei  einer 
noch  so  geringen  Dichte  des  Kometen  müsste  eine  geringe  Schwächung  des 
Lichtes,  überdies  aber  auch  eine  Ablenkung  stattfinden,  wenn  der  Fixstern  nicht  im 
Centrum  des  Kometen  oder  in  der  Schweifaxe  sich  befindet.   Wenn  aber  auch  mit 


— j  ~,  wo- 
bei r  die  Entfernung  des  Centraikörpers,  rx  diejenige  des  störenden  Kcrpers,  M  und  m  die 
Massen  des  ersteren  und  letzteren  sind;  fllr  kleine  Entfernungen  ist  dieser  Ausdruck  nicht  aus- 
reichend (wegen  der  vernachlässigten  Glieder).  Da  aber  die  Wirkung  der  Sonne  und  des 
störenden  Körper«  in  der  Entfernung  p  =  dem  Radius  der  Wirkungssphäre  einander  gleich  sind, 

so  ist  die  Wirkung  in  der  Entfernung  r  gleich  (-£)  ;  ftlr  die  Erde  ist  der  Radius  der  Wirkungs- 


sphäre V+^oxr)'-  000540. 


u 


102 


Kometen  und  Meteore. 


Gewissheit  constatirt  werden  könnte,  dass  eine  Lichtablenkung  nicht  stattfindet, 
so  wäre  damit  noch  nichts  erwiesen,  denn  dann  ist  der  nächstliegende  Schluss, 
wie  auch  Olbers  bemerkt,  dass  der  Schweif  aus  discreten  Theilchen  besteht: 
bei  der  enormen  Ausdehnung  des  Schweifes  könnte  dann  die  Masse  noch  eine 
ganz  beträchtliche  sein.  Die  Kerne  selbst  scheinen  allerdings  nicht  sonderlich 
gross  zu  sein;  für  den  Kometen  1811  I  war  der  wahre  Durchmesser  des  Kerns 
nicht  über  4000  km;  für  den  grossen  DoNATi'schen  Kometen  1858  VI  nur  1000  km, 
bei  dem  grossen  Kometen  von  1862  nach  Winnecke's  Messungen  bloss  40—50  km. 
Die  Messungen  dieser  kleinen  Winkel,  unter  denen  die  Kometenkerne  erscheinen, 
sind  aber  dann  mehr  Schätzungen,  mit  erheblicher  Unsicherheit  behaftet. 
Würde  man  für  den  Kometen  (220)  einen  Halbmesser  von  etwa  1000  km  und 
für  seine  Dichte  etwa  diejenige  der  Erde  annehmen,  so  würde  n  =  258  5,  und 
seine  Wirkung  auf  die  Erde  ^  der  Sonnenwirkung,  also  4158  mal  stärker  als 

die  Wirkung  des  Jupiter.  Allein,  wenn  der  Halbmesser  nur  -fo  des  früheren,  also 
100  km  angenommen  wird,  so  wäre  die  Wirkung  schon  jjhns  der  fiühereo,  also 
3S"hnj»  ur)d  nimmt  man  für  den  Kometen  etwa  die  Dichte  des  Wassers,  so  wäre 
die  Wirkung  im  Verhältniss  5*5  :  1  zu  verkleinern,  also  nur  ^^55  der  Sonnen- 
wirkung, wäre  aber  noch  beinahe  ;o  gross,  wie  die  Wirkung  des  Jupiter. 

Ob  man  auch  für  den  Kometenkern,  dessen  Spectrum  jedenfalls  dasjenige 
eines  festen  oder  flüssigen  Körpers  ist,  eine  Dichte,  etwa  wie  diejenige  der 
atmosphärischen  Luft  annehmen  dürfte,  bleibt  fraglich;  Uber  die  Grösse  der 
Kerne  befinden  wir  uns  noch  ziemlich  im  Unklaren;  viele  sind,  wie  erwähnt, 
selbst  im  Fernrohre  nicht  sichtbar  (vergl.  pag.  54)  und  veirathen  sich  nur  durch 
das  Spektroskop.  Auf  diese  Weise  können  wir  also  Uber  die  Wirkung  der  Ko- 
meten kaum  Aufschluss  erhalten,  um  so  mehr,  als  eine  solche  hypothetische 
Annäherung  nicht  oft  stattfindet,  da  die  angeführten  Proximitätspunkte  sich  auf 
die  Bahnen  beziehen,  die  Körper  selbst  aber  äusserst  selten  gleichzeitig  durch 
diese  Punkte  gehen  werden  und  man  bleibt  bei  diesen  Schlüssen  zur  Zeit  auf 
den  Mangel  jedes  Einflusses  des  Encke' sehen  Kometen  auf  den  Planeten  Mercur 
angewiesen.  Um  so  werthvoller  ist  für  die  Beurtheilung  der  Kometenmassen  daher 
noch  die  Thatsache,  dass  im  Jahre  1886  der  Komet  (309)  mitten  durch  das 
Jupitersystem  ging,  ohne  in  den  Bewegungen  der  Satelliten  auch 
nur  die  geringste  merkliche  Störung  hervorzubringen.  Der  Komet 
näherte  sich  dem  Jupiter  bis  auf  0  0098  Erdbahnhalbmesser  (vergl.  pag.  92)  oder 
20  38  Jupiterhalbmesser,  während  die  Entfernung  des  äussersten  Jupitersatelliten 
27  Jupiterhalbmesser  beträgt. 

Diese  Thatsachen  beweisen  zur  Genüge,  dass  die  Kometenmassen  nur 
äusserst  klein  sind,  und  dass  man  bei  der  Berechnung  der  Störungen  der  anderen 
Himmelskörper  ihre  Massen,  wenigstens  bei  der  jetzt  angestrebten  und  erreich- 
baren Genauigkeitsgrenze,  und  vielleicht  noch  sehr  lange  hinaus,  in  völliger 
Strenge  gleich  Null  setzen  kann.  Es  gilt  dieses  nicht  nur  für  die  grossen  Planeten, 
sondern  auch  für  die  kleinen  Planeten,  ja  sogar  für  jeden  Stein  auf  der  Erde, 
da  die  Wirkung  nicht  von  der  Masse  des  beeinflussten  (gestörten)  Körpers,  sondern 
nur  von  dem  Verhältniss  der  Massen  des  störenden  und  des  Centraikörpers  ab- 
hängt. Man  könnte  nur  noch  einwerfen,  dass  die  Wirkung  eine  wesentlich 
andere  sein  müsste,  wenn  die  Annäherung  bis  zur  Berührung  stattfinden,  d.  h. 
wenn  ein  Zusammenstoss  stattfinden  würde.  Die  Wahrscheinlichkeit  dieses  Zu- 
sammenstosses  ist  nun  wohl  äusserst  gering;  aber  selbst  wenn  ein  solcher 
stattfinden  sollte,  so  würde  er  nur  von  verderblichen  Folgen  für  den  Kometen, 


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Kometen  und  Meteore. 


«03 


nicht  aber  für,  die  Erde,  begleitet  sein.  Zwar  ist  die  Geschwindigkeit  der  Ko- 
meten, ebenso  wie  diejenige  der  Erde  weit  grösser,  als  die  Geschwindigkeiten, 
welche  man  bei  terrestrischen  Objecten  zu  beobachten  Gelegenheit  hat,  und  wenn 
der  Komet  der  Erde  mit  dieser  Geschwindigkeit  begegnen  würde,  so  könnte 
er  zum  mindesten  ein  hübsches  Loch  in  sie  hineinschlagen;  denn  die  Ge- 
schwindigkeit des  Kometen  ist,  eine  parabolische  Bahn  vorausgesetzt,  1*4142  Mal 
so  gross,  wie  diejenige  der  Erde,  also,  da  die  letztere  29*5  km  pro  Secunde  be- 
trägt, ftlr  den  Kometen  42  km  pro  Secunde.  Die  relativen  Geschwindigkeiten 
werden  daher  zwischen  12  und  72  km  variiren.  Aber,  wie  spater  gezeigt  wird, 
kommt  der  Komet  eben  nicht  mit  dieser  Geschwindigkeit  zur  Erde;  so  wie  er 
in  den  Luftraum  treten  würde,  müsste  er  sich  entzünden,  und,  wie  ein  riesiges 
Meteor  leuchtend,  zum  grössten  Theile  verbrennen;  der  Rest  könnte  detonirend 
zerspringen,  oder  auch  als  ein  grosser  Block  zur  Erde  fallen;  aber  die  Ge- 
schwindigkeit des  Falles  würde,  wie  gross  auch  die  kosmische  Geschwindigkeit  beim 
Eintritte  in  die  Atmosphäre  wäre,  lange  bevor  er  die  Erde  ei  reicht,  unter  Um- 
ständen schon  in  den  oberen  Regionen  der  Atmosphäre,  unter  1000  m  gesunken 
sein.  Die  Luft  wirkt  dabei  wie  ein  elastisches  Polster,  das  die  Erde  und  ihre 
Bewohner  gegen  Kaustrophen  von  Aussen  schützt 

d.  Meteore* 

Auffallende  Erscheinungen  in  den  Luftregionen,  von  welchen  bereits  im 
Alterthum  berichtet  wird,  waren  hellglänzende,  leuchtende  Feuererscheinungen,  oft 
von  dem  scheinbaren  Durchmesser  der  Mondscheibe,  an  Glanz  dem  Monde  nicht 
viel  nachstehend,  ihn  mitunter  Ubertreffend;    Erscheinungen,  welche  man  in 
späterer  Zeit  mit  dem  Namen  Bolide,  Feuerkugeln  belegte;    ferner  die 
»vom  Himmel    gefallenen  Steinet,   welche   meist  aus  einer  detonirenden 
Feuerkugel,  d.  h.  aus  einer  Feuerkugel,  welche  unter  einer  heftigen,  weithin, 
oft  mehrere  Meilen  weit  hörbaren  Explosion  zerspringt,  zur  Erde  fallen,  und 
welche  man  als  Aerolithe,  oder  je  nach  ihrer  Beschaffenheit  als  Meteor- 
steine  oder  Meteoreisen  bezeichnete.     Die   Meteorerscheinungen,  welche 
Meteormassen  zur  Erde  entsenden,  nannte  man  früher  wohl  auch  zum  Unter- 
schiede von  den  anderen,  Meteorite.    Es  ist  jedoch  schon  hieraus  klar,  dass 
zwischen  Feuerkugeln  und  den  Meteormassen  ein  Unterschied  nicht  besteht. 
Nichtsdestoweniger  hielt  man  diejenigen  Feuerkugeln,  welche  ohne  Zurücklassung 
irgend  einer  sichtbaren  oder  hörbaren  Spur  verschwinden,  wesentlich  verschieden 
von  denjenigen,   welche  Meteormassen  zur  Erde  senden,  und  bezeichnete  wohl 
auch  als  Feuerkugeln  vorzugsweise  die  ersteren.    Heute  ist  dieser  Unterschied 
hinfällig,  und  Meteormassen  sind  nichts  anderes,  als  die  zur  Erde  gefallenen 
Reste  der  Feuerkugeln,  diese  nichts  anderes,  als  die  in  der  Atmosphäre  befind- 
lichen oder  sich  bewegenden  Meteormassen. 

Nicht  alle  Feuerkugeln  sind  gleich  gross  und  glänzend.  Schmidt  beschreibt 
eine  besonders  glänzende  in  seinen  »Resultaten  aus  zehnjährigen  Beobachtungen 
über  Sternschnuppen,  Berlin  1852c  (pag.  44)  folgender maassen : 

»1848  Januar  21.  Von  allen  Meteoren,  die  ich  seither  gesehen  habe,  das 
glänzendste  und  grösste.  ...  Es  schien  mir,  als  sei  das  Meteor  im  Zenith  ent- 
standen; ich  erblickte  es  erst  in  etwa  60°  Höhe,  gleich  einem  Sterne  2-  an 
Glanz,  wo  es  bald  Aldebarans  Helligkeit  und  Farbe  erreichend,  in  wenig  g*- 
schlängeltem  Laufe  dem  Kopfe  des  Pegasus  sich  zuwandte.  Hier  nahm 
Meteor  schnell  einen  gewaltigen  Glanz  und  das   intensivste  Smaragdgx-^a 


104 


Kometen  und  Meteore. 


dem  sich  hinten,  in  der  Richtung  der  Bewegung,  ein  ganz  unscheinbarer  grauer 
und  kurzer  Schweif  anschloss.  Das  Merkwürdigste  jedoch  war  der  feurige  Licht- 
schein, der  rothen,  carminfarbigen  Nordlichtglnth  ähnlich,  welcher,  soviel  ich  er- 
kennen konnte,  sich  zu  beiden  Seilen  des  Meteors  so  an  die  grüne  Hauptmasse 
anlagerte,  dass  es  an  beiden  Seiten  wie  zurückwehendes  Haar,  von  dem  scharf 
elliptisch  abgerundeten  Kopfe  in  zwei  schmalen  Zonen  den  Uebergang  des  grünen 
Lichtes  in  die  graue  Schweifmaterie  begrenzte.  Diese  Lage  und  die  beiderseitige 
scharfe  Absonderung  von  der  Umgebung  macht  es  mir  augenblicklich  während 
der  kurzen  Dauer  der  Erscheinung  durchaus  wahrscheinlich,  dass  hier  kein 
subjektives  Phänomen  vorwalte.  Das  Meteor  glich  einem  langgedehnten  fallenden 
Tropfen  geschmolzenen  Metalles.  ...  Als  das  Meteor  einen  fast  blendenden 
und  ungeachtet  des  Mondscheines  schattenwerfenden  Glanz  erreicht  hatte,  trat 
es,  schon  in  der  Nähe  des  Südwest-Horizontes,  hinter  mässige,  vom  Monde  erhellte 
Schneewolken,  durch  welche  das  grüne  Licht,  zwar  verwaschen  und  vom  Nimbus 
befreit,  doch  wunderbar  stark  in  grosser  Scheibenform  durchstrahlte.  Den  Durch- 
messer des  scheinbar  begrenzten  grünen  Theiles  schätzte  ich  in  10°  Höhe  auf 

30  Minuten l)  wenigstens  Die  Dauer  der  Sichtbarkeit  des  Meteors  überstieg 

schwerlich  4'.    Es  verschwand  um  7*  25"»  54'  Mittl.  Berl.  ZeiU. 

Nicht  jede  Feuerkugel  giebt  Anlass  zu  einem  Meteorsteinfall.  Im  Gegentheile 
sind  die  Meteorsteinfäile ■)  weit  seltener,  als  das  Aufleuchten  von  Feuerkugeln. 
Wenn  nichtsdestoweniger,  namentlich  in  den  chinesischen  Annalen,  von  ziemlich 
zahlreichen  Meteorsteinfällen  berichtet  wird,  so  hat  dieses  vielleicht  nur  darin 
seinen  Grund,  dass  den  »vom  Himmel  gefallenen  Steinent  mehr  Aufmerksamkeit 
zugewendet  wurde,  als  den  spurlos  verschwindenden  Feuerkugeln.  Arago  giebt 
die  folgende  Zusammenstellung  der  in  historischen  Zeiten  bemerkten  Feuer- 
kugeln. 

Vor  Chr.  Geb.    3     Im  5.  Jahrh.    3     Im  io.  Jahrh.  27     Im  15.  Jahrh.  13 
Im  1.  Jahrh.    7     Im  6.  Jahrh.  20     Im  n.  Jahrh.  29     Im  16.  Jahrh.  12 
Im  2.  Jahrh.    2     Im  7.  Jahrh.  13     Im  12.  Jahrh.    4     Im  17.  Jahrh.  39 
Im  3.  Jahrh.    1      Im  8.  Jahrh.  13     Im  13.  Jahrh.    8     Im  18.  Jahrh. über  100, 
Im  4.  Jahrh.  17     Im  9.  Jahrh.  14     Im  14.  Jahrh.  7 

während  in  unserer  Zeit  fast  in  jedem  Monate  in  der  einen  oder  anderen  Gegend 
der  Erde  eine  glänzende  Feuerkugel  gesehen  wird.  Hingegen  hat  Biot  aus  der 
Zeit  von  644  v.  Chr.  Geb.  bis  333  n.  Chr.  Geb.  16  Meteorsteinfälle  nur  allein 
in  den  chinesischen  Annalen  verzeichnet  gefunden. 

Das  Auftreten  derselben  ist  sehr  verschieden.  Zumeist  sieht  man  sie  nach 
mehr  oder  weniger  heftig  detonirenden  Feuerkugeln,  deren  Theile  nach  allen 
Seiten  zerstieben,  von  denen  einzelne  als  Meteormassen  zur  Erde  gelangen.  Viel 
seltener  kommen  Meteorsteinfäile  vor,  ohne  dass  vorher  eine  Feuerkugel  gesehen 
worden  wäre;  in  diesen  Fallen  wird  oft  nur  eine  starke  Detonation  vernommen, 
oder  aber  es  fällt  eine  grosse  Zahl  kleiner  Meteorsteine  aus  einer  dunklen  Wolke. 

Ebenso  verschieden  ist  die  Grösse  der  Meteormassen.  Die  meisten  sind  nur 
kleine  Bruchstücke  von  wenigen  Grammen,  doch  sind  auch  mässig  grosse  von 
einigen  Kilogrammen  Gewicht  nicht  allzu  selten.  Sehr  grosse  Meteormassen,  die 


')  Also  etwa  gleich  der  Grösse  des  Mondes. 

*)  Man  spricht  von  Metcorsteinfällen  ohne  Unterschied  auf  die  Beschaffenheit  der  gefallenen 
Mnssen,  also  ebensowohl  bei  eigentlichen  Meteorsteinen  als  auch  bei  Meteoreisenmassen. 


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Kometen  und  Meteore. 


dann  vereinzelt  zur  Erde  fallen,  gehören  zu  den  Seltenheiten  und  erregten  zu 
alten  Zeiten  Aufsehen.    Zu  den  merkwürdigsten  sind  die  folgenden  zu  zählen. 

Der  grosse  Stein,  der  465  v.  Chr.  Geb.  bei  Aegos-Potamos  in  Thrakien  zur 
Erde  gefallen  war,  soll  >zwei  Mühlsteine  gross  und  eine  ganze  Wagenlast  schwer« 
gewesen  sein. 

Im  Anfange  des  zehnten  Jahrhunderts  fiel  bei  Narni  in  Italien  ein  Stein  in 
die  Nera  (Nebenfluss  des  Tiber),  der  noch  eine  ganze  Elle  über  der  Oberfläche 
des  Wassers  hervorragte. 

Am  7.  November  1492  zwischen  11  und  12  Uhr  Mittags  fiel  bei  Ensisheim 
hn  Elsass  eine  bedeutende  Meteormasse  in  ein  Getreidefeld,  einen  Meter  tief  in 
den  Boden  eindringend. 

Im  Jahre  1750  wurde  in  Sibirien  auf  einem  Hügel  in  der  Nähe  des  Jenissei 
von  einem  Kosaken,  Medwedeff,  eine  Meteormasse  von  635  kgr  aufgefunden, 
von  welcher  die  Tataren  behaupteten,  dass  sie  vom  Himmel  gefallen  sei.  Diese 
Masse,  obzwar  keine  von  den  grössten,  hat  insofern  ein  besonderes  Interesse, 
als  sie  Chladni  Veranlassung  zu  seiner  ersten  berühmten  Abhandlung  >Ueber 
den  Ursprung  der  PALLAS'schen l)  und  anderer  ihr  ähnlicher  Eisenmassen  und 
über  einige  damit  in  Verbindung  stehende  Naturerscheinungen;  Riga  1794«  bot. 

1783  fand  eine  von  den  Spaniern  zur  Ausbeutung  von  Silberminen  nach 
Otumpa  im  Bezirke  San  Jago  del  Estero,  Provinz  Chaco-Gualambo  der  Laplata- 
Staaten  kommende  Expedition  daselbst  eine  Meteoreisenmasse  von  2*5  m  Länge, 
2  m  Breite  und  \  m  Dicke  mit  ca.  15000  kgr  im  Gewicht. 

1784  wuide  von  Bernardina  da  Mota  Bertellio  in  der  Nähe  von  Bahia 
(Brasilien)  eine  Eisenmasse  von  über  2  m  Länge,  1  m  Breite  und  nicht  ganz  1  m 
Dicke  im  Gewicht  von  ca.  7000  kgr  gefunden. 

Noch  grössere  Eisenmassen,  welche  den  Charakter  meteorischen  Eisens 
tragen,  sollen  sich  nach  Chladni9)  am  rechten  Ufer  des  Senegal  in  Afrika  finden. 

In  neuerer  Zeit  hat  Nordenskjöld  1870  im  südlichen  Theile  der  zu  Grönland 
gehörigen  Insel  Disko  mitten  unter  Granit-  und  Gneissblöcken  15  Blöcke  meteori- 
schen Eisens  gefunden,  von  denen  die  drei  grössten  bezw.  20000  ,  8500  und 
4300  kgr  Gewicht  haben3). 

Zu  den  grösseren  Massen  gehören  auch  diejenigen,  über  welche  Daubree 
in  den  Comptes  rendus,  Bd.  64  berichtet,  von  denen  die  eine,  aus  den  Seealpen, 
625  kgr,  die  andere,  aus  Mexico,  780  kgr  im  Gewicht  haben. 

Kleinere  Meteormassen  fallen  zumeist  in  grösserer  Zahl  in  den  sogen.  Stein- 
regen.  Von  den  älteren  Steinregen,  welche  sich  z.  B.  in  der  bereits  erwähnten 
Schrift  von  Chladni  über  Feuermeteore  erwähnt  finden,  sind  manche,  wenn  auch 
nicht  mythologischen,  so  doch  mythischen  Ursprungs.  Dass  dieselben  nicht  als 
Steinregen  im  eigentlichen  Sinne  des  Wortes  aufzufassen  sind,  erwähnt  schon 
Chladni  bei  einzelnen  (vergl.  z.  B.  in  seiner  Schrift  pag.  233).  Die  grosse  Mehrzahl 
derselben  ist  allerdings  zweifellos  sichergestellt.  Zu  kritischen  Untersuchungen  in 
dem  Gebiete  der  Meteorastronomie  können  nichtsdestoweniger  erst  die  Meteorfälle 
seit  der  Mitte  des  vorigen  Jahrhunderts  herangezogen  werden,  weil  bei  den  früheren 
die  nöthigen  Detailangaben  fehlen.  Wohl  der  erste  gut  bestimmte  ist  der  am 
26.  Mai  175 1   stattgefundene  Steinfall  bei  Hraschina  in  Slavonien,  wo  Abends 


»)  Sie  wurden  von  dem  Reisenden  Pallas  in  Petersburg  untersucht. 

*)  »Ueber  Feuermeteore  und  Uber  die  mit  denselben  herabgefallenen  Massen,  Wien  1819.« 
P*6-  333- 

*)  Deren  meteorischer  Ursprung  wird  übrigens  mehrfach  angezweifelt. 


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io6 


Kometen  und  Meteore. 


gegen  6  Uhr  aus  einer  in  einem  grossen  Theüe  von  Deutschland  siebtbaren 
Feuerkugel,  die  unter  heftigem  Getöse  zersprang,  zwei  Meteormassen  im  Gewichte 
von  35  kgr  und  8  kgr  in  einer  Entfernung  von  ca.  1,500  m  von  einander  zur  Erde 
fielen.  Der  erstere  grössere  drang  ungefähr  6  m  tief  in  die  Erde,  wohl  die 
grösste  Tiefe,  bis  zu  welcher  das  Eindringen  der  Meteore  constatirt  wurde.. 

Eine  gewisse  Berühmtheit  erhielt  der  grosse  Steinregen  von  Barbotan  in  der 
Gascogne  am  24.  Juli  1790.  Aus  einer  zwischen  9  und  10  Uhr  in  verschiedenen 
Gegenden  gesehenen  Feuerkugel  mit  langem  Schweife  fielen  zwei  Minuten  nach 
ihrem  Zerspringen  eine  Menge  Steine  zur  Erde,  die  gesammelt,  und  mit  einem 
von  dem  Maire  unterzeichneten  Berichte  an  die  Academie  geschickt  wurden. 
Der  mit  der  Untersuchung  betraute  Gelehrte  Bertholon  erklärte  aber  diesen 
ganzen  Bericht  als  ein  dein  Volksglauben  entsprungenes  Märchen1)  —  vielleicht 
die  letzte  Erklärung  dieser  Art,  welche  von  einer  wissenschaftlichen  Körperschaft 
gegeben  wurde.  Für  die  am  26.  April  1803  bei  L'Aigle  gefallenen  Meteot massen, 
von  denen  die  grösste  nahe  9  kgr  wog  und  welche  ebenfalls  der  Akademie  ein- 
gesendet worden  waren,  gab  der  Physiker  Biot,  wie  schon  erwähnt,  die  richtige 
Erklärung.  Der  Fall  von  L'Aigle  gehört  übrigens  zu  den  eigentlichen  Steinregen; 
auf  einer  elliptischen  Fläche,  in  der  Ausdehnung  von  11  km  von  S.  O.  nach  N.  W. 
und  4£  km  in  der  dazu  senkrechten  Richtung  fiel  eine  grosse  Menge  Steine. 
Ein  ähnlicher,  wenn  auch  nicht  so  ausgedehnter  Steinfall  war  der  vom  20.  Januar 
1868  bei  Pultusk;  aus  einer,  im  ganzen  östlichen  Deutschland,  in  Polen,  Böhmen, 
Mähten  beobachteten  Feuerkugel  fielen  nach  einem  unter  donnerartigem  Getöse 
erfolgten  Zerplatzen  über  3000  Steine,  von  denen  die  grössten  ein  durchschnittliches 
Gewicht  von  1  ^  bis  2  kgr  hatten,  auf  einer  Fläche  von  mehr  als  7  5  km  Länge 
und  2  km  Breite. 

Ausser  den  Meteorsteinfällen  ist  noch  der  Staub  fälle  Erwähnung  zu  thun, 
zu  denen  vielleicht  auch,  wenigstens  theilweise  die  Erscheinungen  des  rothen 
Schnees,  des  rothen  Regens,  Blutregens,  Schlammregens  u.  s.  w.  zu  zahlen  sind. 
Chladni  zählt  in  seiner  zweiten  Schrift  eine  grosse  Menge  auf,  welche  haupt- 
sächlich aus  dem  Grunde  Beachtung  verdienen,  weil  die  weitaus  grösste  Mehr- 
zahl auf  ganz  bestimmte  Daten  fällt.  Die  wichtigsten  mögen  deshalb  hier  an- 
geführt werden. 

1)  1548  November  6  fiel  im  Mansfeldischen  eine  rothe  Flüssigkeit,  wie 
geronnenes  Blut,  nach  einer  Feuerkugel  (10.  November)*). 

%}  1560  December  24  in  Lillbonne:  Blitz  und  Krachen  bei  heilerem  Hitpmel; 
Feuer  am  Himmel.    Alibi  rfieitur,  pluisse  satiguine  (December  28). 

3)  1618  in  der  zweiten  Hälfte  des  August  Steinfall,  Feuermeteore  und 
Blutregen  in  Steiermark. 

4)  1623  August  12  Blutregen  zu  Strassburg  (August  15). 

5)  1637  December  6.  Zwischen  7  Uhr  Abends  bis  den  folgenden  Tag  2  Uhr 
auf  einem  Schirl  im  Meerbusen  von  Volo:  zwei  Finger  hoch  Staubfall. 
(December  9). 

')  Vier  Jahre  früher  war  bei  Luce  (in  Maine)  am  1 3.  September  4  \  Uhr  Nachmittags  aus 
einem  dunklen  Gewölke  nach  einem  kanonensdmssahnlichen  Donner  ein  ca.  3^  kgr  schwerer 
Stein  tur  Erde  gefallen,  welcher  ebenfalls  mit  noch  rwei  anderen  zur  selben  Zeit  bei  Aire  in 
Artois  und  bei  Coutances  in  Manche  gefallenen  der  Academie  geschickt  wurde,  von  dieser  aber 
als  irdisches  Gestein  erklärt  wurde. 

*)  Die  in  ()  beigesetzten  Zahlen  geben  die  Reduction  auf  eine  gemeinsame  Epoche  (1850) 
wie  dieselbe  von  H.  A.  Newton  für  die  Sternschnuppen  des  BioT'schen  Kataloges  in  Siuman 
American  Journal  of  Science  and  Arts.,  II  Serie,  Bd.  36  durchgeführt  wurde. 


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Kometen  und  Meteore.  107 

6)  1643  Januar  in  Weinsberg  blutiger  Schnee. 

7)  1645  Januar  23/24  in  Herzogenbusch  blutiger  Sehne  (Januar  36). 

8)  1646  October  6;  um  7  Uhr  Morgens  in  Brüssel  rother  Regen  (October  8). 

9)  1721  Mitte  März  in  Stuttgart  rother  Schlammregen. 

10)  « 7  55  October  14  Morgens  8  Uhr  in  Lucarno  ein  warmer,  wie  aus  einem 
Backofen  kommender  Wind;  die  L'ift  füllte  sich  mit  Dünsten,  um  10  Uhr  voll 
von  einem  rothem  Nebel,  um  4  Uhr  blutrother  Regen,  der  beim  Aufsammeln 
£  rothen  Bodensatz  gab.  Darnach  ein  entsetzliches,  8  Stunden  währendes  Gewitter. 
Regenmenge  9  Zoll.  Der  Regen  fiel  auch  aui  der  Nordseite  der  A'pen  bis  nach 
Schweden.    Auf  den  Alpen  lag  2«  hoch  rother  Schnee  (October  15). 

11)  1755  October  20  schwärzet  Staub  wie  Lampenruss  auf  der  Insel  Zetland 
(eine  der  Orkney-Inseln)  bei  Südwestwind  (daher  kein  vulkanischer  Staub  vom 
Hekla);  in  der  Nacht  vom  23.  auf  den  24.  October  schwarzer  Staub  auf  einem 
Schiff  zwischen  den  Shetlands-Inseln  und  Irland  (October  21,  24,  25). 

12)  1755  November  15  rother  Regen  in  Russland,  Schweden  und  am  Boden- 
see; das  rothe  Wasser  schmeckte  säuerlich,  der  Bodensatz  zum  Theil  vom 
Magnet  angezogen1). 

13)  1781  April  24  weisslicher  Staub  3  mm  hoch  in  Sicilien;    nach  den  da- 
maligen Untersuchungen  kein  vulkanischer  Staub. 

14)  1803  März  5/6  in  Udine,  Venedig,  Neapel,  Friaul  rother  Schnee. 

15)  1813  März  13/14  wurde  in  Catalonien  und  den  Abbruzzen  eine  rothe 
Wolke  beobachtet,  von  welcher  nach  und  nach  der  ganze  Himmel  die  Farbe 
des  rothglühenden  Eisens  annahm;  dabei  wurde  es  finster,  so  dass  man  Licht 
anzünden  musste,  nierauf  fiel  rother  Schnee;  der  Rückstand  bestand  aus  Kiesel- 
erde, Thonerde,  Kalkerde  und  Eisen. 

16)  1814  October  27/28  im  Thale   bei  Onegha   bei  Genova  Regen  von 
rother  Erde. 

Nun  kam  es  allerdings  auch  vor,  dass  man  eine  papierartige  Substanz, 
Seide,  Menschenhaare,  ferner  ölige,  theeiige,  klebrige,  schlammige,  gallertartige 
Massen,  Pilze  und  Srhimmelsubstanz  in  dem  gefallenen  Regen  erkannt  hat,  und 
selbst  aus  Feuerkugeln  fallen  gesehen  haben  will.    Die  gallertartige  Substanz 
welche  früher  auch  als  »Sternschnuppensubstanz«  bezeichnet  wurde,  ist  aber, 
wie  schon  Merett  1667   in   seinem  Kataloge  britischer  Thiere,  Pflanzen  und 
Mineralien  bemerkt,  nichts  anderes,   als  eine  aus  Eingeweiden  von  Fröschen 
bestehende  oiganische  Masse.     Diese  Bemerkung  wurde  neuerdings  von  Carus 
geprüft,   welcher  in  jener  Substanz  sogar  gewisse  Theile   von  Eingeweiden 
erkannte.     Die   Eileiter  der   Frösche   haben    nämlich   die  Eigentümlichkeit, 
durch  Aufnahme  von  Feuchtigkeit  stark   aufzuquellen,  und  zwar  bis  auf  das 
hundertfache  ihres  Volumens,  so  dass  ein  einziger  Frosch  einen  Liter  Gallerte 
liefert.     Doch   lässt   sich   dieses  Aufquellen   nicht   immer  gleich  beobachten, 
und  scheint  zur  Laichzeit  am  grössten  zu  sein,  und  nach  dem  Laichen  zu  ver- 
schwinden11).  Hiernach  wären  die  gallertartigen  Massen  Auswürfe  vgn  inj  Magen 
von  Vögeln  stark  aufgequollenen  Froscheingeweiden.    Welche  Bewandtnis*  es 
mit  den  Pilzen,  Sthimmel,  Papier,  Seide,  Menschenhaaren  hat,  ist  d.il>ci  w<  ht 
aufgeklärt.    Ob  dabei   in   mancr.en  Fallen   nicht  Verwechselungen   nni  Antrat, 

')  Hier  wiid  die  Vermuthung  auagesprochen,   dat»   diese  Rr*<:hc-inunt;   vn-H<-i<ht  lf'c^^nt 
ist  mit  derjenigen  Tom  20.  Octob«»;  diesai  1*1  jedoch  nicht  nothig,    mclmelir  i»t 
dui  eich  an  beiden  Daten  SttrnscUnuppenfiUe  ereignen.  ^ 

«)  Die  Ursache   liegt  in  der  vermehrten  Absonderung  »on   Muan   in  den» 


1 


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Kometen  und  Meteore. 


Glimmer  etc.  vorgekommen  sind  (in  einzelnen  Fällen  wird  ausdrücklich  die  Un- 
verbrennlichkeit  derselben  erwähnt,  in  anderen  die  Brennbarkeit  mit  einem 
brenzlichen  Gerüche),  in  anderen  Fällen  nicht  thatsächlich  organische  Substanzen 
durch  den  Wind  mitgerissen  worden  waren,  lässt  sich  aus  den  älteren  Berichten 
nicht  mehr  deduciren.  Wo  aber  mineralische  Stoffe  als  nachgewiesen  anzusehen 
sind,  ist  der  tellurische  Ursprung  nicht  so  unmittelbar  anzunehmen.  Allerdings 
hat  die  Annahme,  dass  man  es  nicht  nur  mit  Meteorstaub,  sondern  mit  sogen. 
Passatstaub  zu  thun  hat,  der  meist  zimmt-  oder  blutfarbig  ist,  und  namentlich 
an  der  Westküste  des  tropischen  Afrika,  zwischen  Cap  Bojador  und  Cap  Blanco 
so  häufig  ist,  seine  Berechtigung  —  allein:  der  Passatstaub  ist  nicht  an  bestimmte 
Daten  gebunden;  allerdings  kann  am  io.  August  oder  am  13.  November  oder 
an  den  nächstgelegenen  Daten  ebenso  gut  Passatstaub  fallen,  wie  an  jedem 
anderen  Tag,  aber  umgekehrt:  an  jedem  Tag  ebenso  gut  wie  an  diesen  ganz 
bestimmten  Tagen. 

Nebst  den  obigen  Mittheilungen  von  Chladni  mögen  noch  die  folgenden 
auffälligen  Beobachtungen  bemerkt  werden: 

17)  Olmsted1)  führt  einen  Bericht  von  rothem  Staub  1755  November  13 
und  von  rothem  Regen  in  der  Picardie  von  1765  November  14  an. 

18)  Aus  der  neueren  Zeit  ist  der  Fall  von  rothem  Schnee  am  25.  Februar 
-  1879  im  südlichen  Europa  bekannt;  er  wurde  als  Wüstenstaub  aus  der  Sahara 

erklärt;  G.  Rohlfs  und  Dr.  Stecker,  die  sich  damals  bei  Lokna  (Tripolis)  auf- 
hielten, berichteten  von  einem  am  24.  Februar  daselbst  stattgefundenen  heftigen 
Samum. 

19)  1880  März  30  war  ein  heftiger  Staubfall  in  Catania. 

20)  1885  October  14  Schlammregen  unter  heftigem  Sirocco  in  Klagenfurt. 

21)  1896  Februar  25/26  rother  Schnee  im  westlichen  Ungarn,  Steiermark, 
Niederösterreich,  Mähren,  bis  nach  Schlesien,  wo  (in  Troppau)  bei  leicht 
bewölktem  Himmel  und  Windstille  grauer  Staub  fiel.  Dass  dieser  Staub  nicht 
aus  den  Sandebenen  Ungarns  herrühren  konnte,  wird  dadurch  erwiesen,  dass 
gleichzeitig  in  Serbien,  Kroatien,  im  Banat,  Südoststürme  wehten,  welche  grosse 
Staubmassen  führten  Auch  die  Erklärung,  dass  es  Wüstenstaub  aus  der  Sahara 
gewesen  sei,  trifft  nicht  zu,  da  sonst  Süd  bis  Südwestwind  hätte  wehen  müssen. 
Auf  1  Liter  Schnee  kamen  3  gr  Staub,  welcher  nach  chemischen  Untersuchungen 
frei  von  jeder  organischen  Substanz  war,  und  hauptsächlich  aus  Quarz  bestand. 

Nach  den  einzelnen  Daten  zusammengestellt  hat  man: 
Januar  26:  No.  7;  im  Januar:  No.  6. 
Februar  24:  No.  18;  Februar  25/26:  No.  21. 

März  6:  No.  14;  März  13/14:  No.  15;  Mitte  März:  No.  9;  März  30:  No.  19. 
April  24:  No.  13. 

August  15:  No.  4;  zweite  Hälfte  August:  No.  3. 

October  8:  No.  8;  October  14:  No.  20;  October  15:  No.  10;  October  21 
bis  24:  No.  11;  October  27/28:  No.  16. 

November  10:  No.  1;  November  14:  No.  17;  November  15:  No.  12. 
December  9:  No.  5;  December  28:  No.  2. 

Hält  man  diese  Daten  mit  den  später  gegebenen  charakteristischen  Daten 
für  die  Stemschnuppenfä.le  zusammen,  so  wird  man  nicht  umhin  können, 
diese  Falle  als  höchst  wahrscheinlich  nicht  terrestrischen,  sondern  ebenfalls 
kosmischen  Ursprungs  anzusehen.   Ebenfalls  kosmischen  Ursprungs  ist  jedenfalls 


')  Su.mman,  Bd.  26,  pag.  132. 


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Kometen  und  Meteore. 


109 


der  Meteorstaub,  den  zuerst  (1872)  Nordenskjöld  auf  dem  Polareise  in  Grön- 
land, dann  in  Spitzbergen  und  auf  dem  Schnee  in  Schweden  und  Finnland 
gesammelt  hat. 

Die  zur  Erde  gefallenen  Meteormassen  sind  im  Momente  des  Fallens  in 
einem  Zustande  hoher  Erhitzung,  von  einer  sogen.  »Schmelzrinde«,  d.  i.  von  einer 
geschmolzenen,  erst  in  Erstarrung  begriffenen,  dünnen,  glatten  und  dunklen  Kruste 
umgeben.  Aerolithe  ohne  Rinde  führt  Schiaparelli1)  nur  zwei  an:  den  von 
Chantonnay,  gefallen  am  5.  August  18 12  und  von  Stirif,  gefallen  9.  Juni  1867. 
Versuche  Uber  die  Schmelzrinde  an  terrestrischen  Körpern  gleicher  Natur  haben 
gezeigt,  dass  das  Aussehen  und  die  Constitution  der  Kruste  durch  eine  plötzliche, 
blitzartige  Schmelzung  erklärt  werden  können*). 

Ihrer  chemischen  Constitution  nach  bestehen  die  Meteormassen  entweder 
aus  gediegenem,  metallischem  Eisen  oder  aus  Gesteinen,  oder  aus  Gemengen 
beider;  in  den  Steinmeteoren  findet  man  kleine  Krystalle  eingesprengt,  was 
ebenfalls  auf  eine  rasche  Abkühlung  oder  heftige  Erschütterung  während  der 
Krystallisation  hindeutet,  da  bei  Schmelzung  und  langsamer  Abkühlung  sich 
grosse,  ausgesprochene  Krystalle  bilden. 

Unter  den  vielen  Eintheilungen,  welche  für  Meteormassen  gegeben  wurden, 
ist  die  consequenteste  die  von  Daubree8)  gegebene;  er  theilt  die  Meteor- 
massen in: 

A.  Siderite,  welche  Eisen  enthalten, 

B.  A siderite,  welche  kein  Eisen  enthalten. 

A.  Zu  den  Sideriten  gehören:  I.  Holosideren,  welche  nur  Eisen  enthalten, 
oder  Gesteinsbeimengungen  in  so  geringen  Quantitäten,  dass  nur  die  chemische 
Analyse  sie  nachzuweisen  vermag,  sie  sind  sehr  selten,  etwa  1  %  aller  Meteorfälle. 
Diese  nach  Rose  vorzugsweise  als  Meteoreisen  benannten  Massen  bestehen 
au?  einer  Legirung  voa  Eisen  mit  geringen  Quantitäten  (bis  zu  20  %)  Nickel.  Die 
auftretenden  nichtmetallischen  Bestandteile  sind:  phosphorsaures  Nickeleisen 
(Schreibersit),  Spuren  von  Silicium.  An  der  polirten  Oberfläche  des  Meteoreisens 
treten,  wenn  dieselbe  mit  Salpetersäure  geätzt  wird,  die  sogen.  Widmannstätten- 
schen  Figuren,  d.  s.  zarte  Linien  und  Zeichnungen  hervor,  aus  welchen  man 
erkennen  kann,  dass  die  Masse  krystallinisch  ist,  aus  dünnen  Lagen  einzelner, 
feiner  Krystalle  bestehend. 

')  »Entwurf  einer  astronomischen  Theorie  der  Sternschnuppen»,  pag.  27. 

*)  Wohl  die  ersten  Versuche  dieser  Art  rühren  von  Schreibers  (1816)  her.  In  neuerer 
Zeit  wurde  von  H.  Reüsch  versucht,  diese  Schmclirinde  als  durch  wiederholte  oberflächliche 
Schmelzung  der  Masse  beim  Durchgange  durch  das  Perihel  ru  erklären.  Der  Widerlegung 
dieser  Ansicht  hat  v.  NlESSL  einen  grossen  Theil  seiner  Abhandlung  »Ueber  die  Periheldistanzen 
und  die  Bahnelemente  jener  Meteoriten,  deren  Fallerscheinungen  mit  einiger  Sicherheit  beobachtet 
werden  konnten,  Brünn  1891«  gewidmet.  Er  untersuchte  die  Bahnen  von  86  Meteoriten  und  fand, 
dass  von  diesen  nur  für  einen,  denjenigen  von  Tieschitx  (gefallen  15.  Juli  1878),  gleichgültig  ob 
man  die  kosmische  Geschwindigkeit  gleich  2,  V2  oder  ]/  1  •  5  annimmt,  die  Periheldistanz  kleiner 
ist  als  diejenige  des  Mcrcur:  und  ausserdem  noch  für  5,  resp.  6  kleiner  als  diejenige  der  Venus, 
und  zwar  für  die  Fälle  von  Toulouse  (gefallen  10.  April  1812),  Hraschina  (gefallen  26.  Mai  1751), 
Villanova  (gefallen  29.  Februar  1868;,  Blansko  (gefallen  25.  November  1833)  unter  jeder  der 
drei  Annahmen,  und  für  diejenigen  von  Jova  City  (gefillen  15.  November  1861),  für  v  —  y~2 
oder  2  oder  aber  für  die  beiden  von  Stannern  (gefallen  22.  Mai  1808)  und  Agen  (gefallen 
5.  September  18 14)  für  die  Annahme  v  —  yVh.  An  eine  Schmelzung  in  diesen  Entfernungen 
kann  aber  bei  der  bekannten  Constitution  dieser  (zur  Erde  gefallenen)  Meteore  nicht  gedacht 
werden. 

>)  Compt  rend.,  Bd.  65,  pag.  60. 


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I  IO 


Kometen  und  Meteore. 


II.  Syssi deren,  wo  in  den  Gemengen  von  Eisen  und  Gestein  das  erstere 
m  compakten  Massen  auftritt,  und  die  Gesteine,  zumeist  Olivin,  Bronzit,  nur  in 
mässigen  Quantitäten  eingestreut,  vorkommen  (nach  Rose  Pallasit  genannt). 

m.  Sporadosideren,  in  denen  die  Gesteinsmassen  vorwiegen.  Sie  ent- 
halten das  Eisen: 

1)  in  grösseren  Massen,  compakt:  Polysideren  (nach  Rose  Mesosiderit). 

2)  in  kleinen  Massen,  eingestreut:  Oligosideren.  Sie  bestehen  aus  Silikaten, 
und  zwar  vorwiegend  aus  Aluminium-,  Calcium-,  Eisen-,  Magnesiumsilikaten  (Anorthit, 
Augit,  Bronzit,  Diopsit,  Enstatit,  Olivin),  aus  reiner  Kieselsäure  (Quarz)  und  ent- 
halten ferner  die  Sulfide  von  Eisen,  Kupfer,  Chrom  (Magnetkies,  Magneteisenerz, 
Kupferkies,  Chromeisenerz),  dann  das  metallische  Eisen,  Nickeleisen,  Phosphor- 
nickeleisen. Rose  unterscheidet:  a)Chondrite,  feinkörnige  Gemenge  von  Bronzit 
und  Olivin  mit  eingelagerten  Eisenkörnern  (Chondren).  b)  Howardite,  fein- 
körnige Gemenge  von  Anorthit,  Augit,  Olivin  mit  eingelagertem  Eisen,  Schwefel- 
eisen und  Chromeisenerz;  von  diesen  trennt  er  die  beiden  folgenden,  seltener 
auftretenden  Formen:  c)  Chladnit,  nur  durch  zwei  Exemplare  vertreten:  die 
Meteorsteine  von  Bishopwill  und  Bussi;  d)  Chassignil  (eisenreicher  Olivin)  nur 
durch  ein  einzelnes  Exemplar  vertreten  (Meteorstein  von  Chassigny). 

3)  Eisen  in  äusserst  kleinen  Quantitäten:  Cryptosi deren.  Zu  diesen 
gehören  die  von  Rose  als  Eukrit  bezeichneten  Meteormassen. 

B.  Die  Asiderite,  welche  Uberhaupt  kein  Eisen  enthalten,  bilden  die 
Asi deren.  Zu  diesen  gehören  unter  anderen  die  folgenden  beiden  Formen  von 
Rqse:  a)  der  Shalkit  (nur  durch  ein  Exemplar  vertreten:  Meteorit  von  Shalka) 
und  b)  die  kohligen  Meteorite  von  Bokkeweld  und  Alais. 

Auf  die  viel  kleineren  Feuererscheinungen,  welche  in  der  Luft  auftreten, 
wurde  man,  obgleich  dieselben  viel  häufiger  sind,  erst  viel  später  aufmerksam. 
Die  Hauptursache  dafür  ist  wohl  darin  zu  suchen,  dass  sie  in  grösserer  Zahl  nur 
in  den  Morgenstunden  sichtbar  sind,  und  dass  die  vereinzelt  auftretenden  der  frühen 
Nachtstunden,  wenn  sie  überhaupt  beachtet  wurden,  nicht  viel  Anlass  zum 
Nachdenken  gaben.  Erst  Lichtenberg  (seit  1770  Professor  in  Göttingen)  scheint 
denselben  eine  grössere  Aufmerksamkeit  zugewendet  zu  haben,  und  zwei  seiner 
Schüler  Brandes  und  Benzenberg,  fassten  schon  1798  den  Plan,  correspondirende 
Beobachtungen  dieser  vereinzelten  Feuererscheinungen,  Sternschnuppen,  an 
verschiedenen  Punkten  zu  machen,  um  deren  Höhe  zu  bestimmen.  Als  Standlinie 
wählten  sie  ursprünglich  die  etwas  Uber  eine  deutsche  Meile  von  einander  ent- 
fernten Punkte  Clausberg  und  Ellershausen  bei  Göltingen,  später  Clausberg  und 
den  etwa  drei  Meilen  davon  entfernten  Ort  Sesebühl  bei  Dransfeld.  Zwischen 
11.  September  und  4.  November  1798  beobachteten  sie  zusammen  402  Stern- 
schnuppen, aus  welchen  sie  aus  der  Bcobachtungszeit  und  den  begleitenden 
Umständen  (Bewegungsrichtung,  Grösse  etc.)  22  als  identisch  erkannten.  Aus 
diesen  fanden  sie  die  Höhe  derselben:  für  7  unter  10  Meilen,  für  9  zwischen 
10  und  20  Meilen,  für  5  zwischen  20  und  30  Meilen,  und  für  eine  über  30  Meilen. 
Diese  Höhen  zeigten  zum  ersten  Male  zur  Evidenz,  was  früher  nur  aus  einzelnen 
Beobachtungen  gefolgert  und  immer  wieder  angezweifelt  wurde:  die  grosse 
Höhe  der  Sternschnuppen  und  ihre  Identität  mit  Feuerkugeln.  Schon  Chladni 
hatte  in  seiner  1794  erschienenen  Monographie  über  die  PALLAs'sche  Eisenmasse 
die  Höhe  einzelner  Feuerkugeln  berechnet,  und  daraus  im  Verein  mit  der  Länge 
des  zurückgelegten  Weges  am  Himmel  im  Bogen  auf  die  Länge  des  Weges  in  Kilo- 
metern geschlossen,  welche  mit  Rücksicht  auf  die  Zeitdauer  der  Erscheinung  die  Ge- 


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Kometen  und  Meteore. 


in 


schwindigkeit  gab.  Sind  a1(  8X  die  Rectascension  und  Deklination  des  Autblitzens, 
as,  8,  Rectascension  und  Deklination  des  Verschwindens  einer  Feuerkugel,  so 
wird  die  Länge  des  Weges  am  Himmel  (der  Bogen  des  grössten  Kreises)  aus 
dem  sphärischen  Dreieck,  dessen  Ecken  der  Pol  des  Aequators  und  die  beiden 
genannten  Punkte  sind,  gefunden: 


Chladni  fand  für  die  Feuerkugel  vom  17.  Mai  17 19  wenigstens  5  deutsche 
Meilen  pro  Secunde,  für  diejenige  vom  26.  November  1758:  6^  deutsche  Meilen; 
für  eine  andere  vom  17.  Juli  1771:  4^  bis  6  deutsche  Meilen,  also  die  Ge- 
schwindigkeit der  Bewegung  vergleichbar  mit  der  kosmischen  Geschwindig- 
keit der  Erde  und  anderer  Himmelskörper  in  ihren  Bahnen.  Die  Resul- 
tate wurden  vielfach  für  nicht  beweisend  erklärt;  bei  der  kurzen  Dauer  der  ' 
Erscheinung  ist  man  selbstverständlich  bei  dieser  Art  von  Beobachtungen  auf 
Schätzungen  der  Orte  am  Himmel  für  den  Anfangs-  und  Endpunkt  der  Bahn 
angewiesen,  und  ebenso  wird  die  Angabe  der  Zeitdauer  der  Erscheinung  eine 
blosse  Schätzung  sein.  Aus  einigen  wenigen  Beobachtungen  wird  daher  der 
Schluss  nur  sehr  unsicher.  Noch  fraglicher  blieb  aber  die  von  Chladni  ver- 
muthete  Identität  zwischen  Feuerkugeln  und  Sternschnuppen.  Seine  Beobach- 
tungen beruhten  ja  ausschliesslich  auf  den,  wenigstens  öfter  und  an  verschiedenen 
Orten  beobachteten,  also  in  gegebenen  Fällen  leicht  als  identisch  zu  erkennen- 
den Feuerkugeln,  aber  durchaus  nicht  auf  Sternschnuppen.  Chladni  erklärte, 
nachdem  er  die  älteren  Ansichten  über  den  terrestrischen  Ursprung  der  Feuer- 
kugeln ausführlich  widerlegt  hat,  die  Feuerkugeln  als  dichte,  schwere,  im  Welt- 
raum zerstreute  Massen,  »in  welchem  sie  sich,  durch  die  Wurlkraft  oder  An- 
ziehung getrieben,  so  lange  fortbewegen,  bis  sie  etwa  einmal  der  Erde  oder 
einem  anderen  Weltkörper  nahe  kommen,  und  von  dessen  Anziehungskraft  er- 
griffen, darauf  niederfallen.,  Durch  ihre  äusserst  schnelle  und  vermöge  der  An- 
ziehungskraft der  Erde  noch  mehr  beschleunigte  Bewegung  muss  nothwendig 
wegen  der  heftigen  Reibung  in  der  Atmosphäre  eine  sehr  starke  Elektricität 
und  Hitze  erregt  werden,  wodurch  sie  in  einen  brennenden  und  geschmolzenen 
Zustand  gerathen,  und  eine  Menge  Dünste  und  Luftarten  sich  darinnen  ent- 
wickeln, welche  die  Masse  zu  einer  ungeheuren  Grösse  aufblähen,  bis  sie 
endlich  bei  einer  noch  stärkeren  Entwickelung  solcher  elastischer  Flüssigkeiten 
zerspringen  muss.  Gegen  das  wirkliche  Brennen  dieser  Körper  ist  von  einigen 
eingewendet  worden,  dass  in  einer  so  beträchtlichen  Höhe  die  Luft  so  dünn 
und  so  unrein  sein  muss,  dass  kein  Brennen  daselbst  stattfinden  könne. 
Aber  abgesehen  davon,  dass  man  noch  gar  nicht  weiss,  in  welcher  Höhe  die  Luft 
nicht  mehr  zur  Unterhaltung  des  Feuers  tauglich  ist,  so  wird  auch  die  etwas 
geringere  Tauglichkeit  der  Luft  durch  die  Schnelligkeit  der  Bewegung  dieser 
Massen  reichlich  ersetzt« ').    Auch  hebt  er  gleich  eingangs  seiner  Schrift  hervor, 


cos s  =  sin  it  sin  8,  +  cosit  cos  d,  cos  (ot,  —  ax). 


Ist  die  Höhe  der  Feuerkugel  gleich  h  km  gefunden  worden,  so  wird  diesem 
Bogen  s  ein  linearer  Weg  h  arc  s  entsprechen l).  Hat  man  nun  die  Dauer  der  Erschei- 

/ h  arc  s\ 

nung  gleich  /Secunden  nourt,  so  wird  die  Geschwindigkeit  I  — - —  \km  pro  Secunde. 


!)  Dabei  ist  auf  die  verschiedene  Höhe  des  Aufblitrens  und  Verschwindens  nicht  Rück- 
sicht genommen.  Hiertiber  vcrgl.  pag.  134  ff.  Die  älteste  Messung  ist  wohl  diejenige  von  Haixzy, 
welcher  fUr   die  Höhe  einet  Feuerkugel  90  englische  Meilen  (144  8  km)  fand. 

*)  1.  c,  pag.  24/5. 


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I  12 


Kometen  und  Meteore. 


dass  die  Meteormassen  ihren  Ursprung  in  den  Feuerkugeln  haben,  und  dass 
sich  diese  in  einer  wahrscheinlich  parabolischen  Bahn  im  Welträume  bewegen 
(was  er,  wie  es  scheint,  aus  ihren  kosmischen  Geschwindigkeiten  schliesst). 
Endlich  bemerkt  Chladni,  dass  Sternschnuppen  sich  von  den  Feuerkugeln  nur 
durch  ihre  schnellere  Bewegung  unterscheiden1),  womit  bereits  alle  drei  Arten 
von  Meteorerscheinungen  als  identisch  erklärt  erscheinen,  was  er  auch  (pag.  56) 
besonders  hervorhebt:  >Aus  dem,  was  bisher  vorgetragen  wurde,  ist  zu  ersehen, 
dass  folgende  4  Naturerscheinungen,  von  denen  roch  keine  einzige  auf  eine 
befriedigende  Art  erklärt  worden,  sich  durch  einander  selbst  erklären,  sobald 
man  ihre  Identität  annimmt:  1)  die  sonderbare  Beschaffenheit  des  Pallasi- 
schen  und  ähnlicher  Eisenmassen;  2)  die  Feuerkugeln,  3)  die  Sternschnuppen, 
4)  das  Herabfallen  eisenhaltiger  Massen.« 

Für  die  Sternschnuppen  war  jedoch  in  keiner  Weise  ein  Beweis  geliefert; 
die  Annahme  der  Identität  derselben  mit  den  Feuerkugeln  war  ein,  allerdings 
sehr  naheliegender  Inductionsschluss.  Nichtsdestoweniger  findet  man  noch 
viel  später  eine  Trennung  dieser  Erscheinungen.  Quetelet  meint,  man  habe  sehr 
häufig  Sternschnuppen  mit  Aerolithen,  Boliden  und  Staubfällen  verwechselt;  er 
hält  aber  ihren  Ursprung  für  sehr  verschieden:  Niemand  hat  noch  eine  Stern- 
schnuppe berührt').  Es  ist  jedoch  eine  der  Logik  widerstreitende  Forderung, 
eine  Sternschnuppe  berühren  zu  wollen.  In  dem  Momente,  wo  sie  zur  Erde 
fällt,  ist  sie,  in  der  ursprünglichen  Bedeutung  der  Worte,  nicht  mehr  als  Stern- 
schnuppe, sondern  als  Meteorsteinfall  zu  bezeichnen.  Schiaparelli  meint  allerdings*), 
dass  drei  sicher  verbürgte  Fälle  angeführt  werden,  wo  Sternschnuppen  auf  die 
Erde  fielen;  damit  ist  aber  nur  das  wirklich  beobachtete  Fallen  von  Meteor- 
massen unter  den  bekannten  Begleiterscheinungen  der  Feuerkugeln  verstanden, 
welche  hierbei  an  Stelle  der  sonst  die  Meteorsteinfalle  charakterisirenden  Begleit- 
erscheinungen treten. 

In  Deutschland  waren  die  ersten  Anhänger  Chladni's  v.  Zach  und  Olbers; 
der  letztere  hielt  die  Meteorsteine  anfänglich  für  Mondsteine,  d.  h.  für  Steine, 
welche  aus  Mondvulkanen  mit  einer  grossen  Geschwindigkeit  herausgeschleudert 
wurden,  so  dass  sie  bis  zu  jenem  Punkte  kamen,  wo  die  Anziehung  der  Erde 
diejenige  des  Mondes  überwiegt,  und  sie  in  Folge  dessen  von  der  Erde  an- 
gezogen würden  und  nicht  mehr  zum  Monde  zurückkehren  könnten. 

Die  Beobachtungen  von  Brandes  und  Benzenberg  aber  über  die  Höhe  der 
Sternschnuppen  bildeten  den  bis  dahin  fehlenden  Beweis  für  die  Identität  der 
Sternschnuppen  mit  den  Feuerkugeln,  und  gleichzeitig  den  Beweis,  dass  die  kos- 
mischen Geschwindigkeiten,  wie  sie  früher  in  vereinzelten  Fällen  gefunden 
wurden,  allen  Körpern  dieser  Art  zukommen.  Olbers  gesteht4),  dass  es  die 
Beobachtungen  von  Brandes  (die  inzwischen  wesentlich  vermehrt  worden  waren) 
über  die  Geschwindigkeit  der  Sternschnuppen  waren,  welche  seine  frühere  An- 
nahme widerlegten.  Die  Geschwindigkeit,  welche  einem  Körper  auf  dem  Monde 
ertheilt  werden  müsste,  damit  er  nicht  mehr  zum  Monde  zurückkehren  könne,  wäre 
nämlich  ca.  7967  Pariser  Fuss  (2*59  km),  und  dann  würden  die  Massen  mit  einer 
Geschwindigkeit  von  35000  Pariser  Fuss  (11  -37  km)  zur  Erde  gelangen.  Damit 
dieselben  aber  mit  den  beobachteten  Geschwindigkeiten  von  4  bis  6  deutschen 


')  Jetzt  ist  das  Gegentheil  erwiesen. 
')  Physique  du  Globe,  pag.  319. 
»)  1.  c,  pag.  197. 

*)  Schumacher^  Jahrbuch  für  1837,  pag.  54. 


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Kometen  und  Meteor«. 


«»3 


Meilen  (30  bis  45  km)  zur  Erde  gelangen  könnten,  müsste  man  annehmen,  dass 
dieselben  vom  Monde  mit  einer  Geschwindigkeit  von  110000  Pariser  Fuss 
(35  7  km)  pro  Secunde  fortgeschleudert  worden  wären:  dieses  aber  hält  Olbers 
für  nicht  mehr  wahrscheinlich. 

Ueber  die  Beziehungen  zwischen  Sternschnuppen  und  Feuerkugeln  spricht 
sich  Olbers  in  »Schumacher's  Jahrbuch«  für  1837  dahin  aus,  dass  sich  zwischen 
beiden  kein  Unterschied  angeben  lässt;  »sie  gehen  in  einander  Uberc.  Sie 
haben  dieselben  Höhen,  dieselben  Geschwindigkeiten,  dasselbe  Aussehen,  ganz 
ähnliche  Schweife.  Allein  unter  den  Sternschnuppen  selbst  macht  Olbers  einen 
Unterschied,  der  allerdings  nicht  in  ihrem  Aussehen  begründet  ist,  sondern  in  ihrer 
uns  unbekannten  Materie.  »Ein  Theil  der  Sternschnuppen  wenigstens  muss  also 
mit  den  Feuerkugeln  gleichen  Ursprung,  gleiche  Beschaffenheit  haben,  und  wir 
können  ohne  Bedenken  das,  was  von  den  Feuerkugeln  erforscht,  erwiesen,  oder 
wahrscheinlich  gemacht  ist,  auch  auf  diese  Sternschnuppen  anwenden.  Aber 
sind  denn  die  Sternschnuppen  wirklich  untereinander  wesentlich  verschieden? 
Ich  glaube  es  mit  Brandes,  ob  ich  gleich  nach  meinen  Erfahrungen  nicht  alle 
von  ihm  angegebenen  Verschiedenheiten  bestätigen  kann  ...  es  mag  unter  den 
Sternschnuppen  einige  geben,  die  bloss  elektrische  Funken  sind,  oder  in  unserer 
Atmosphäre  aus  bekannten  oder  noch  unbekannten,  sich  entzündenden  oder 
bloss  phosphorescirenden  Gasarten  und  Dämpfen  oder  auf  andere  Art  entstehen: 
der  grösste  Theil  der  Sternschnuppen  bleibt  mit  den  Feuerkugeln  identisch1)« 

Auch  Olmsted  hatte  1834,  als  er  bereits  nicht  nur  den  kosmischen  (nicht  tellu- 
rischen) Charakter  der  Sternschnuppen  erkannt  hatte,  sondern  auch  die  ersten 
Versuche  zu  einer  Bahnbestimmung  für  die  Novembermeteore  vornahm,  die  gleich- 
artige Zusammensetzung  der  Sternschnuppen  und  der  Meteormassen  geleugnet; 
als  Grund  hierfür  führt  er  an,  dass  er  nicht  begreifen  könne,  wie  solche  Massen 
in  so  kurzer  Zeit  einer  so  vollständigen  Zerstörung  unterliegen  könnten'). 

In  England  wurde  Chladni's  Schrift  durch  Eduard  King,  welcher  1796 
einen  Auszug  derselben  in  seiner  Abhandlung  »Remarks  concerning  Stars,  said 
to  have  fallen  from  the  Cloudsc  gab,  bekannt,  jedoch  in  einer  etwas  modificirten, 
oft  entstellten,  und  nicht  zu  billigenden  Form.  Dass  Chladni's  Meinung  in 
Frankreich  unbekannt  blieb  oder  nicht  gebilligt  wurde,  geht  schon  aus  dem 
pag.  106  von  dem  Gutachten  der  Pariser  Akademie  über  den  Steinfall  von 
Barbotan  gesagten,  hervor.  Erst  der  Steinfall  von  L'Aigle  bewirkte  einen  Um- 
schwung der  Meinung,  und  1804  erschien  eine  französische  Uebersetzung  der 
CHLADNt'schen  Schrift  von  Eugene  Coquebert. 

Den  Beobachtungen  von  Brandes  und  Benzenberg  wurde  allgemein  wenig 
Interesse  entgegengebracht;  ihr  Beispiel  fand  auch  keine  Nachahmung.  Erst 
als  in  Europa  die  Einzelheiten  des  grossen  Sternschnuppenfalls  von  1799  be- 
kannt wurden,  änderte  sich  die  Sachlage.  In  Europa  selbst  war  der  Sfern- 
schnuppenfall  wenig  auffällig;  er  wurde  zwar  an  vielen  Punkten  Deutschlands 
gesehen,  auch  im  Norden  Europas,  und  selbst  in  Grönland  wahrgenommen; 
nirgends  aber  bot  er  besonders  auffällige  Momente,  wenn  auch  die  Zahl  der 
Sternschnuppen  über  den  normalen,  gewohnten  Durchschnitt  stieg.  Um  so  gross- 
artiger entfaltete  sich  das  Schauspiel  in  Süd-Amerika,  und  theilweise  auch  in 
den  südlichen  Theilen  von  Nord-Amerika.    Humboldt  beschreibt  denselben  in 


•)  1.  c,  pag.  5a 

*)  SlLUMAN,  I.  Serie,  Bd.  26,  pag.  15a. 
VALXxmirai,  AttTDoomic.  Jl. 


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ii4 


Kometen  und  Meteore 


seiner  > Reise  in  die  Aequinoctialgegenden  des  neuen  Continents1)«  folgender- 
maassen. 

>Die  Nacht  vom  n.  zum  12.  November  (1799)  war  kühl  und  ausnehmend 
schön.  Gegen  Morgen  von  2$  Uhr  an,  sah  man  gegen  Ost  höchst  merkwürdige 
Feuermeteore.  Bonpland,  der  aufgestanden  war,  um  auf  der  Gallerie  der  Kühle 
zu  geniessen,  bemerkte  sie  zuerst.  Tausende  von  Feuerkugeln  und  Sternschnuppen 
fielen  hintereinander,  vier  Stunden  lang.  Ihre  Richtung  war  sehr  regelmässig 
von  Nord  nach  Süd;  sie  füllten  ein  Stück  des  Himmels,  das  vom  wahren  Ost- 
punkte 30°  nach  Nord  und  nach  Süd  reichte.  .  .  Nach  Bonpland's  Aussage 
war  gleich  zu  Anfang  der  Erscheinung  kein  Stück  am  Himmel  so  gross  als 
drei  Monddurchmesser,  das  nicht  jeden  Augenblick  von  Feuerkugeln  und  Stern- 
schnuppen gewimmelt  hätte.  Der  ersteren  waren  wenigere;  da  man  ihrer  aber 
von  verschiedenen  Grössen  sah,  so  war  zwischen  diesen  beiden  Klassen  von 
Erscheinungen  unmöglich  eine  Grenze  zu  ziehen.  Alle  Meteore  Hessen  8  bis  10° 
lange  Lichtstreifen  hinter  sich  zurück,  was  zwischen  den  Wendekreisen  häufig 
vorkommt.  Die  Phosphorescenz  dieser  Lichtstreifen  hielt  7  bis  8  Secunden  an. 
Manche  Sternschnuppen  hatten  einen  sehr  deutlichen  Kern  von  der  Grösse  der 
Jupiterscheibe,  von  dem  sehr  stark  leuchtende  Lichtfunken  ausfuhren.  Die 
Feuerkugeln  schienen  wie  durch  Explosion  zu  platzen;  aber  die  grössten,  von 
1°  bis  1°  13'  Durchmesser,  verschwanden  ohne  Funkenwerfen,  und  Hessen  leuch- 
tende, 15—20  Minuten  breite  Streiten  (trabes)  hinter  sich.  Das  Licht  der  Meteore 
war  weiss,  nicht  röthlich,  wahrscheinlich,  weil  die  Luft  ganz  dunstfrei  und 
sehr  durchsichtig  war.  .  .  Fast  alle  Einwohner  von  Cumana  sahen  die  Er- 
scheinung mit  an,  weil  sie  vor  4  Uhr  aus  den  Häusern  gehen,  um  die  Frühmesse 
zu  hören.  Der  Anblick  der  Feuerkugeln  war  ihnen  keineswegs  gleichgültig; 
die  ältesten  erinnerten  sich,  dass  dem  grossen  Erdbeben  des  Jahres  1766  ein 
ganz  ähnliches  Phänomen  vorausgegangen  war.  .  .<  (pag.  51,52). 

»Von  4  Uhr  an  hörte  die  Erscheinung  allmählich  auf;  Feuerkugeln  und  Stern- 
schnuppen wurden  seltener,  indessen  konnte  man  noch  eine  Viertelstunde  nach 
Sonnenaufgang  mehrere  an  ihrem  weissen  Lichte  und  dem  raschen  Hinfahren  er- 
kennen  «  (pag.  52).    >Da  bei  meinem  Abgange  von  Europa  die  Physiker 

durch  Chladni's  Untersuchungen  auf  Feuerkugeln  und  Sternschnuppen  besonders 
aufmerksam  geworden  waren,  so  versäumten  wir  auf  unserer  Reise  von  Caracas 
nach  dem  Rio  Negro  nicht,  uns  überall  zu  erkundigen,  ob  am  12.  November 

die  Meteore  gesehen  worden  seien  Der  Kapuziner  in  der  Mission  San 

Fernando  de  Apure,  die  mitten  in  den  Savannen  der  Provinz  Varinas  liegt,  die 
Franziskaner  an  den  Fällen  des  Orinoko  und  in  Maroa  am  Rio  Negro  hatten 
zahllose  Sternschnuppen  und  Feuerkugeln  das  Himmelsgewölbe  beleuchten  sehen. 
Maroa  liegt  780  km  südwestlich  von  Cumana.  Alle  diese  Beobachter  verglichen 
das  Phänomen  mit  einem  schönen  Feuerwerk,  das  von  3  bis  6  Uhr  morgens 

gewährt  Am  Süd-Ende  von  spanisch  Guyana,  im  kleinen  Fort  San  Carlos, 

traf  ich  Portugiesen,  die  von  der  Mission  San  Jos£  dos  Maravitanos  den  Rio  Negro 
heraufgetahren  waren.  Sie  versicherten  mich,  in  diesem  Theile  Brasiliens  sei 
die  Erscheinung  zum  wenigsten  bis  San  Gabriel  des  Cachoeiras,  also  bis  zum 
Aequator  sichtbar  gewesen. 

»Ich  wunderte  mich  sehr  über  die  ungeheure  Höhe,  in  der  die  Feuerkugeln 
gestanden  haben  mussten,  um  zu  gleicher  Zeit  in  Cumana  und  an  der  Grenze 
von  Brasilien,  auf  einer  Strecke  von  1035  km  gesehen  zu  werden.    Wie  staunte 


')  Gesammelte  Werke,  Cotta'nche  Ausgabe,  Bd.  6. 


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Kometen  und  Meteore. 


ich  aber,  als  ich  bei  meiner  Rückkehr  nach  Europa  erfuhr,  dieselbe  Erscheinung 
sei  auf  einem  64  Breiten-  und  91  Längengrade  grossen  Stück  des  Erdballes, 
unter  dem  Aequator,  in  Südamerika,  in  Labrador  und  in  Deutschland  gesehen 
worden  1  .  .  .«  (pag.  53/54). 

>Von  Weimar  an  den  Rio  Negro  sind  es  3340  km,  vom  Rio  Negro  nach 
Herrnhut  in  Grönland  5850  km.  Sind  an  so  weit  auseinander  gelegenen  Punkten 
dieselben  Meteore  gesehen  worden,  so  setzt  dies  für  dieselben  eine  Höhe  von 
1850  km  voraus  ....  Ich  möchte  fast  glauben,  dass  die  Chaymas  in  Cumana 
nicht  dieselben  Feuerkugeln  gesehen  haben,  wie  die  Portugiesen  in  Brasilien 

und  die  Missionäre  in  Labrador  Die  Physiker  (Benzenberg  und  Brandes), 

welche  in  neuerer  Zeit  über  die  Sternschnuppen  und  ihre  Parallaxen  so  mühsame 
Untersuchungen  angestellt  haben,  betrachten  sie  als  Meteore,  die  der  äusseisten 
Grenze  unseres  Luitkreises,  dem  Räume  zwischen  der  Region  des  Nordlichtes 
und  der  der  leichtesten  Wolken  angehören.  .  .  .  Welchen  Ursprung  nun  auch 
diese  Feuermeteore  haben  mögen,  so  hält  es  schwer,  sich  in  einer  Region,  wo 
die  Luft  verdünnter  ist,  als  im  luftleeren  Räume  unserer  Luftpumpen,  wo  (in 
49  km  Höhe)  das  Quecksilber  im  Barometer  nicht  0-024  mm  hoch  stände,  sich 
eine  plötzliche  Entzündung  zu  denken.  .  .  .  Man  könnte  annehmen,  bei  den 
frühesten  Umwälzungen  des  Erdballes  seien  Gase,  die  uns  bis  jetzt  ganz  unbekannt 
geblieben,  in  die  Luftregion  aufgestiegen,  in  der  sich  die  Sternschnuppen  bewegen; 
aber  aus  genauen  Versuchen  mit  Gemischen  von  Gasen  von  verschiedenem  speci- 
fi sehen  Gewichte  geht  hervor,  dass  eine  oberste,  /on  den  unteren  Schichten  ganz 
verschiedene  Luftschichte  undenkbar  ist  ....  Diese  Schwierigkeiten  würden 
grossentheils  beseitigt,  wenn  man  die  Sternschnuppen  nach  der  Richtung,  in  der 
sie  sich  bewegen,  als  Körper  mit  festem  Kern,  als  kosmische  (dem  Himmels- 
raume  ausserhalb  unseres  Luftkreises  angehörige)  nicht  als  tellurische  (nur 
unserem  Planeten  angehörige)  Erscheinungen  betrachten  könnte.«  (pag.  57). 

Humboldt  führt  hier  in  seinem  Berufung  auf  Chladni  an,  dass  dieser  die 
Sternschnuppen  als  den  äussersten  Grenzen  des  Luftkreises  dem  Räume  zwischen 
der  Region  des  Nordlichtes  und  der  der  leichtesten  Wolken  angehörig,  betrachtet  j 
dieses  kann  jedoch  nur  auf  ein  Missverstehen  der  CHLAONt'schen  Meinung  zurück- 
geführt werden.  Merkwürdig  ist,  dass  sich  in  der  nächsten  Zeit  die  Meinung 
herausbildete,  dass  die  Sternschnuppen,  aus  dem  Welträume  kommend,  duich  die 
Anziehung  der  Erde  zu  Satelliten  derselben  werden.  Laplace  sieht  dieses  als  eine 
bekannte  Thatsache  an,  er  schreibt  in  der  Connaissance  des  temps  für  18 16 
(pag.  213)  in  einem  Aufsatze:  >Sur  Us  Comiies*  :  »Les  Cometes  serraient  ainsi  re- 
lativement  au  Systeme  solaire,  ce  que  les  aerolithes  sont  par  rapport  ä  la  terre,  ä  la- 
quelles  elles  paraissent  ötrangeres.«  Die  Erscheinung  der  Kometen,  als  aus  dem  Welt- 
räume kommende,  dem  Sonnensysteme  einverleibter  Körper,  wird  hierbei  mit  den- 
jenigen der  in  gleicherweise  aus  dem  Weltraum  kommenden,  zu  Satelliten  der  Erde 
umgewandelten  Aerolithen  erklärt.  Dieselbe  Meinung  äussert  H.  Daw  in  seinen 
»Untersuchungen  Uber  die  Flamme«1).  Er  sagt:  >Die  Thatsachen,  welche  in 
dem  ersten  Abschnitte  dargestellt  sind,  enthalten  den  Beweis  in  sich,  dass  das 
Licht  der  Sternschnuppen  und  der  Meteore  nicht  von  einem  Entflammen  (in- 
fiammation)  elastischer  Flüssigkeiten  herrühren  kann,  sondern  dass  es  auf  dem 
Glühen  (ignition)  fester  Körper  beruhen  muss.  .  .  .  Diese  Körper  bewegen  sich 
auf  jeden  Fall  mit  einer  ungeheuren  Geschwindigkeit,  bei  der  sie  fähig  sind,  in 
der  allerverdünntesten  Luft  eine  Verdichtung  zu  bewirken,  welche  hinreicht,  aus  ihr 


')  Gilbert*!  Annalen  der  Physik,  I.  Serie,  Bd.  56,  pag.  240. 

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Kometen  und  Meteore. 


hinlänglich  viel  Wärme  zu  entbinden,  um  diese  Körper  zu  entzünden.  Man  wird 
daher  alle  diese  Phänomene  erklären  können,  wenn  man  annimmt,  dass  die  Stern- 
schnuppen kleine,  feste  Körper  sind,  welche  sich  um  die  Erde  in  sehr  excentri- 
schen  Bahnen  bewegen,  und  sich  bloss  dann  entzünden,  wenn  sie  mit  unermess- 
licher  Geschwindigkeit  durch  die  oberen  Theile  der  Atmosphäre  hindurchziehen, 
und  dass  diejenigen  dieser  Meteore,  welche  Steine  herausschleudern,  indem  sie 
explodiren,  ahnliche  Körper  sind,  welche  eine  verbrennliche  oder  elastische 
Materie  enthalten.«. 

In  seiner  zweiten  Schrift  fUeber  die  Feuermeteore  und  über  die  mit  den- 
selben herabgefallenen  Massen c  beschränkt  sich  Chladni  nicht  bloss  auf  eine 
Erweiterung  seiner  ersten  Schrift,  sondern  er  macht  auf  einige  bei  den  Stern- 
schnuppen gemachte  Beobachtungen,  auf  gewisse  anomale  Bewegungen,  auf  das 
Verhältniss  der  kosmischen  Geschwindigkeiten,  mit  denen  die  Meteore  in  die 
Luft  eintreten,  zu  denjenigen,  mit  denen  sie  zur  Erde  gelangen,  auf  den  Ursprung 
der  Sternschnuppen  u,  s.  w.  aufmerksam,  wovon  später  an  seiner  Stelle  die 
Rede  sein  wird.  Ferner  vergleicht  er  bereits  die  Zahl  der  Sternschnuppen  nach 
den  Tages-  und  Jahreszeiten,  wo  allerdings  mehr  die  Anregung  zu  diesen  Zählungen, 
als  seine  aus  nur  wenigen  Beobachtungen  gefolgerten,  von  den  späteren  wesent- 
lich verschiedenen  Resultate,  zu  erwähnen  sind. 

Brandes  hatte  im  Jahre  1823  neuerdings  correspondirende  Beobachtungen 
zur  Bestimmung  der  Höhe  der  Sternschnuppen  aufgenommen,  und  einen  weit 
ausgedehnteren  Plan  dafür  entworfen.  Seine  Mitarbeiter  waren1):  Scholz  in 
Leipe  bei  Bolkenhain  und  Ottawa  in  Trebnitz  (beides  Schüler  von  Brandes), 
Liedtky  und  Wolf  in  Gleiwitz  (Gymnasiallehrer  daselbst),  Petzoldt  in  Neisse 
(Gymnasiallehrer  daselbst),  Lohrmann  und  Pressler  in  Dresden,  Baron 
von  Richthofen  auf  Brecheishof  bei  Jauer;  Lieutenant  von  Prittwitz  in  Berlin, 
Krzizanowsky  in  Krakau,  Dr.  Heilbronn  in  Brieg  und  Brettner,  Dove,  Feldt, 
Gebauer,  Nepilly,  Türkheim,  Weber  und  Wicher  in  Breslau.  Für  diese  Zahl 
der  Beobachter  waren  aber  die  erhaltenen  Beobachtungen  nicht  gerade  allzu  zahl- 
reich: Brandes  erhielt  Höhenbestimmungen  für  63  Sternschnuppen.  Bemerkens- 
werth aber  ist,  dass  er  bereits  das  Vorherrschen  einer  gewissen  Bewegungsrichtung 
bei  den  Sternschnuppen  constatirte,  und  dafür  auch  die  richtige  Ursache  angab. 

Um  dieselbe  Zeit  hatte  auch  Quetelet,  ohne  von  den  Untersuchungen 
von  Brandes  zu  wissen,  seine  Untersuchungen  über  die  Sternschnuppen  be- 
gonnen*); bald  darauf,  nach  der  Wiederkehr  des  grossen  Sternschnuppenphänomens 
im  Jahre  1833,  wurde  Olmstedt  auf  die  Periodicität  der  Erscheinung  geführt  und 
damit  waren,  um  die  Worte  Bessels  zu  gebrauchen,  die  Sternschnuppen  >zu 
Gegenständen  der  Aufmerksamkeit  des  Astronomen  geworden,  und  forderten 
diesen  auf,  auch  ihre  nähere  Untersuchung,  als  nicht  ausser  seinem  Kreise 
liegend,  zu  betrachten.«  Die  erste  praktische  Aufforderung  dieser  Art  war  wohl 
diejenige,  welrhe  Arago  in  den  Instructionen  für  die  Officiere  des  Schiffes  »La 
Bonite«  bezüglich  der  astronomischen  Beobachtungen  der  Sternschnuppen  giebt. 
Die  Officiere  des  Schiffes  wurden  angewiesen,  die  Zeit  der  Erscheinung  der  Stern- 
schnuppen, ihren  Ort  am  Himmel  und  die  Richtung  der  Bewegung  zu  notiren*). 

Gegen  den  kosmischen  Ursprung  der  Meteore  schien  auch  der  Umstand  zu 
sprechen,  dass  dieselben  oft  mit  heftigen  Winden  und  plötzlicher  Abkühlung 
auftraten.  Dass  dieses  eine  nothwendige  Begleiterscheinung  der  Sternschnuppenfälle 

')  Vergl.  seine  »Unterhaltungen  für  Freunde  der  Physik  u.  Astronomie«,  Leipzig  1825,  pag.  5. 
*)  »Physique  du  Globe«,  pag.  267. 
*)  Compt.  rend.,  Bd.  I,  pag.  393. 


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Kometen  und  Meteore 


"7 


ist,  ist  längst  widerlegt;  hingegen  treten  Fälle  von  Meteormassen,  detonirenden 
Feuerkugeln  u.  s.  w.  mitunter  mit  derartigen  Begleiterscheinungen  auf,  und  es 
herrschte  daher  die  Ansicht,  dass  die  meteorologischen  Processe  primär  und  die 
auftretenden  Feuerkugeln  eine  secundäre  Erscheinung  wären.  Olmstrdt  war 
der  erste,  der  die  meteorologischen  Processe  als  eine  Folge  der  Sternschnuppen- 
fälle —  er  dehnt  dabei  die  Begleiterscheinungen  auf  alle  diese  Processe  aus  — 
darstellte:  es  wird  eine  grosse  Menge  Luft  aus  den  oberen  Regionen  von  der 
grösseren  Geschwindigkeit  der  täglichtn  Bewegung  in  die  unteren  Regionen 
kleinerer  Geschwindigkeit  geführt,  wodurch  nothwendig  ein  Westwind  entstehen 
muss;  da  überdiess  die  starke  Erhitzung  der  Luft  sich  nur  auf  die  die  Stern- 
schnuppen unmittelbar  umgebenden  Theile  der  Luft  erstreckt,  und  auf  entferntere 
Theile  nicht  so  schnell  fortpflanzt,  so  wird  die  mitgefilhrte  Luft  zumeist  kalt 
und  eisig  sein,  daher  die  plötzliche  Abkühlung.  Jedenfalls  kann  dieser  Verlauf 
der  Erscheinungen  eintreten,  wenn  die  entwickelte  Wärme  nicht  jene  abnorme 
Höhe,  wie  beim  Glühen  der  Meteormassen  hat,  also  bei  den  Staubfällen,  welche 
daher  auch  zumeist  von  plötzlichen  Condensationen  der  in  der  Luft  befindlichen 
Dünste,  also  von  heftigem  Regen  begleitet,  auftreten. 

Am  spätesten  wurden  die  Grösse  und  Farbe,  Uberhaupt  das  äussere  Aussehen 
in  den  Kreis  der  Untersuchungen  gezogen,  zum  ersten  Male  geschah  dieses, 
wenigstens  in  systematischer  Weise  von  Schmidt,  welcher  erwähnte,  dass  es 
zur  Untersuchung  über  die  physische  Constitution  nicht  genügt,  die  Sternschnuppen 
als  Punkte  zu  betrachten. 

Die  Sternschnuppen  erscheinen  als  plötzlich  am  Himmel  aufblitzende,  fixstern- 
artige Lichtpunkte  von  verschiedener  Grösse;  als  feine,  kaum  und  selbst  mit 
freiem  Auge  überhaupt  nicht  wahrzunehmende,  nur  im  Fernrohr  sichtbare  Licht- 
pünktchen,  durch  alle  Grössenabstufungen  bis  zu  solchen  von  der  Helligkeit 
der  Fixsterne  erster  Grösse  und  selbst  vom  Glänze  der  Venus  in  ihrer  Erdnähe: 
man  hat  solche  beobachtet,  die  deutliche  Schatten  geworfen  haben,  und  zu  den 
zahlreichen  kleineren  Sternschnuppen  treten  auch  zur  selben  Klasse  von  Körpern 
gehörige  Feuerkugeln.  Manche  Sternschnuppen  ändern  ihre  Helligkeit  während 
ihrer  Erscheinung;  sie  erscheinen  klein,  unansehnlich,  und  werden  dann  immer 
heller;  oft  entwickeln  sich  aus  solchen  Sternschnuppen  Feuerkugeln  der  grössten 
Gattung,  wie  schon  in  einem  Beispiele  pag.  103  erwähnt  ist.  Eine  andere,  von  Heis 
am  26.  September  185 1  in  Aachen  beobachtete  leuchtende  Kugel  nahm  allmählich 
an  Helligkeit  und  Grösse  zu,  bis  sie  auf  etwa  $  Monddurchmesser  angewachsen 
war,  und  wurde  dabei  so  hell,  dass  sie  die  ganze  Stadt  wie  mit  einem  bengalischen 
Feuer  erleuchtete.  Am  Ende  ihrer  Bahn  blieb  sie  etwa  10  Secunden  wie 
unbeweglich  am  Himmel,  und  verschwand  durch  Abnahme  an  Helligkeit. 

Von  diesen  sternartigen,  scharf  begrenzten  Sternschnuppen  trennt  Schmidt1) 
eine  gewisse  Gruppe  von  nicht  scharf  begrenzten,  verwaschenen,  deren  Zahl 
durchaus  nicht  unbeträchtlich  ist,  und  die  er  nebelige  nennt.  Der  Grösse 
nach  lassen  sie  sich  in  eine  der  sechs  Grösscnk lassen  einreihen,  hingegen  bleibt 
bei  denselben,  wie  aus  den  ScHMiDT'schen  Zusammenstellungen  ersichtlich  ist 
die  Farbe  unbestimmbar. 

Dass  die  Sternschnuppen  feste  Körper  sind,  geht  daraus  hervor,  dass  sie 
continuirliche  Spectra  geben;  dabei  ist  zu  bemerken,  dass  bei  denselben  vorzugs- 
weise das  Grün  mit  bedeutender  Intensität  hervortritt«). 


•)  «Resultate  aus  lehnjährigen  Beobachtungen  Uber  Sternschnuppen,  Berlin  1852t,  p»g.  4. 
>)  Vergl.  den  Artikel  .Astrospektrotkopie«. 


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Kometen  und  Meteore. 


Die  Sternschnuppen  beschreiben  am  Himmel  Bahnen,  die  oft  nur  1°  bis  2°, 
oft  jedoch  8  bis  10°  lang  und  auch  länger  sind,  und  verlöschen  dann  meist  plötz- 
lich. Ob  das  Aufleuchten  plötzlich  stattfindet  oder  ncht,  kann  im  Allgemeinen 
nicht  angegeben  werden;  meist  sieht  man  eine  Sternschnuppe  erst,  wenn  sie  schon 
einen,  wenn  auch  nur  kleinen  Bruchtheil  einer  Secunde  geleuchtet  hat;  nur 
dann,  wenn  man  zufällig  sein  Auge  auf  die  Stelle  des  Aufleuchtens  gerichtet 
hatte,  kann  man  dieses  wirklich  beobachten.  Mit  grösserer  Sicherheit  kann  man 
über  das  Verschwinden  der  Sternschnuppen  sprechen.  Im  Allgemeinen  wird 
das  Verschwinden  derselben  als  plötzlich  bezeichnet.  Doch  berichtet  schon 
Bessel  über  einen  Fall,  in  welchem  Feldt  eine  fast  oder  ganz  verschwundene 
Sternschnuppe  aufs  neue  leuchtend  werden,  ihren  Weg  am  Himmel  noch  be- 
trächtlich weit  fortsetzen  und  dann  allmählich  verschwinden  sah.  Fälle  dieser 
Art  sind  später  mehrfach  aufgetreten.  Zeziou  beobachtete  4  Fälle,  wo  das 
Meteor  in  der  Mitte  seines  Laufes  unsichtbar  war,  und  4  andere,  wo  das  Meteor 
abwechselnd  erschien  und  wieder  verschwand.  Hierher  gehörte  z.  B.  auch  der  oben 
beschriebene  Fall  der  von  Heis  am  26.  September  1851  beobachteten  Sternschnuppe. 

Der  Weg,  den  die  Sternschnuppe  an  der  scheinbaren  Himmelskugel  be- 
schreibt, ist  zumeist,  wie  man  sich  ausdrückt,  eine  gerade  Linie,  d.  h.  ein  Bogen 
grössten  Kreises.  Ihre  Bahn  ist  also  entweder  geradlinig,  oder  wenigstens  in 
einer  Ebene  gelegen,  die  durch  das  Auge  des  Beobachters  geht;  dass  aber 
die  wirklichen  Bahnen  der  Sternschnuppen  gerade  in  Ebenen  liegen,  die  eine 
ganz  bestimmte  Lage  zu  einem  ganz  bestimmten  Beobachtungspunkte  haben 
würden,  in  Ebenen,  die  durch  diesen  Beobachtungsort  gehen  sollten,  ist  viel 
weniger  wahrscheinlich,  als  dass  alle  Bahnen  geradlinig  und  beliebig  im  Räume 
vertheilt  wären.  Ueberdies  hat  man  bei  jenen  Sternschnuppen,  welche  gleich- 
zeitig an  mehreren  Orten  gesehen  wurden,  an  sämmtlichen  Orten  ihre  schein- 
baren Bahnen  als  grösste  Kreise  beobachtet,  woraus  folgt,  dass  ihre  wahren 
Bahnen  in  denjenigen  Ebenen  liegen  müssen,  welche  durch  die  bezüglichen 

grössten  Kreise  und 
die  bezüglichen  Beob- 
achtungsorte gehen, 
also  in  der  Schnitt- 
linie dieser  Ebene, 
d.  h.  in  einer  Geraden. 
Hieraus  folgt  dann 
aber  auch,  dass,  wenn 
eine  Sternschnuppe  an 
mehreren  Orten  zu- 
gleich gesehen  wur- 
de, die  sämmtlichen 
grössten  Kreise  sich 
in  demselben  Punkte 
an  der  Himmelskugel 
schneiden  müssen, 
nämlich  in  dem  Punkte,  in  welchem  die  durch  die  Beobachtungspunkte  zur 
Bewegungsrichtung  gelegte  Parallele  die  Himmelskugel  trifft.  Schneiden  sich 
die  grössten  Kreise  nicht  säromtlich  in  demselben  Punkte,  so  gehören  die 
Beobachtungen  nicht  derselben  Sternschnuppe  an. 

Von  der  Bewegungsrichtung  im  grössten  Kreise  finden  sich  auch  mannigfache 
Abweichungen;  man  sieht  schlangenförmig  (a,  b,  Fig.  255),  wellenlörmig  (<r)  ge- 


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Kometen  und  Meteore. 


ii9 


krümmte  Bahnen;  manche  Sternschnuppen  scheinen  sich  plötzlich(</)  oder  auch 
stetig  (*)  zurückzukrümmen,  um  ihre  Bahn  in  einer  gegen  die  frühere  um  einen 
beträchtlichen  Winkel,  oft  sogar  um  180°  geänderten  Richtung  fortzusetzen;  andere 
scheinen  auch  einen  Moment  still  zu  stehen,  und  dann  ihre  frühere  Bahn  fortzusetzen, 
oder  auch  in  dieselbe  wieder  zurückzukehren ;  oft  beobachtet  man  eine  springende, 
schnellende  Bewegung  wie  beim  mehrfachen  Abprallen  eines  bewegten  Körpers 
von  Widerständen.  Schmidt  beschreibt  einige  Fälle  von  ganz  merkwürdigen 
Bewegungsanomalien;  so  z.  B.  bemerkte  er  am  17.  September  1843  ein  Meteor, 
das  schussweise  Sätze  machte1);  am  11.  November  1849  beobachtete  er  in  Bonn 
ein  solches  mit  schlangenförmig  gekrümmter  Bahn,  während  Heis  in  Aachen 
dasselbe  sich  in  einer  geradlinigen  Bahn  bewegen,  aber  abwechselnd  aufleuchten 
und  verschwinden  sah,  so  dass  für  den  ersten  Anblick  die  Meteore  als  zwei 
verschiedene  gelten  konnten9). 

Viele  Sternschnuppen  hinterlassen  auf  den  zurückgelegten  Bahnen  eine 
leuchtende  Spur,  bei  manchen  sehr  kleinen  Sternschnuppen  ist  weiter  nichts  als 
diese  Spur  zu  sehen,  so  dass  sie  sich  nur  als  Lichtlinie  darstellen.  Olmstedt8) 
bezeichnet  diese  als  phosphorie  Ihtes,  und  unterscheidet  sie  von  den  tumtnous 
bodks,  welche  ihre  Bahn  für  längere  Zeit  sichtbar  fortsetzen  und  der  dritten 
Gattung,  den  grossen  ftre  balh. 

Von  diesen  Lichtlinien,  >leuchtenden  Bahnstücken«,  welche  nur  subjektive 
Phänomene  sind,  entstanden  durch  den  zurückbleibenden  Rindruck,  den  das 
helle,  rasch  bewegte  Meteor  auf  der  Netzhaut  des  Auges  zurücklässt,  ist  aber 
wohl  zu  unterscheiden  der  eigentliche  Schweif  der  Sternschnuppe,  welcher 
oft  erst  nach  dem  Verschwinden  der  Lichtlinie  erscheint.  Schmidt  beschreibt 
diesen  folgendermaassen  *). 

»Der  Schweif  hat  selten  parallele  Ränder,  manchmal  eine  besondere  Farbe, 
und  äusserst  selten  erkennbare,  und  dann  sehr  merkwürdige  Bewegungen.  Ge- 
wöhnlich ist  der  Schweif  an  seinen  beiden  Enden,  namentlich  am  Anfange  der 
Bahn,  zugespitzt,  und  ist  gegen  den  Punkt  des  Verlöschens  hin,  etwas  breiter, 
zuweilen  auch  etwas  heller.  Ausnahmen  mannigfacher  Art  sind  sehr  häufig. 
Der  Schweif  ist  in  einigen  Fällen  ganz  gerade,  mit  deutlichem  Durchmesser, 
und  an  seinen  Rändern  äusserst  scharf  begrenzt;  er  ist  in  der  Mitte  breiter,  oft 
so  breit,  dass  das  Fragment  eine  elliptische  Gestalt  annimmt,  zuweilen  stellen- 
weise abgebrochen,  aus  Stücken  bestehend,  die  wiederum  in  der  Mitte  breiter, 
an  den  Enden  zugespitzt  erscheinen.  Bei  weitem  in  den  meisten  Fällen  zeigt  das 
Schweiffragment  keine  Spur  von  Bewegung.  Dass  solche  aber,  wenn  auch 
äusserst  selten,  wirklich  vorkommt,  und  dann  gewöhnlich  in  auffallender  Weise,  ist 
nicht  zu  bezweifeln.  .  .  . 

»Am  24.  Oktober  1845  um  Mitternacht,  als  ich  bei  sehr  heiterem  Himmel 
mit  HerTn  Prof.  Argelander  im  Garten  der  Bonner  Sternwarte  Vergleichungen 
über  die  Helligkeit  verschiedener  Fixsterne  anstellte,  leuchtete  plötzlich  ein  roter 
Blitzschein  auf,  der  die  Nacht  schwach  erhellte.  Wir  sahen  sogleich  gegen  das 
Zenith,  woselbst  eben  das  letzte  gelbrothe  Fragment  eines  von  O— W  durch  den 
Perseus  ziehenden  bedeutenden  Meteors  erlosch.  Zwei  5°  lange,  $°  breite,  ganz 
gerade  Schweifstücke  blieben  stehen,  und  von  ihnen  erlosch  das  östliche  schon 


*)  1.  c,  pag.  10. 
*)  1.  c,  pag.  101. 

*)  SnxiMAN,  I.  Serie,  Bd.  25,  pag.  339. 

*)  »Resultate  am  zehnjährigen  Beobachtungen*,  pag.  92. 


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HO 


Kometen  und  Meteore. 


nach  10  Secunden.  Aber  höchst  auffallend  war  das  Verhalten  des  grossen, 
gelblichweissen,  in  der  Mitte  breiteren  SchweifstUckes  unter  a  Persei;  nachdem  es 
ungefähr  15  Secunden  stark  geleuchtet  hatte,  bemerkte  zuerst  Prof.  Argelander 
dass  es  sich  zu  krümmen  begann.  .  .  Das  Schweiffragment,  am  Ende  der  ersten 
Minute  der  Sichtbarkeit  schlangenförmig  gekrümmt,  hatte  am  Ende  der  zweiten 
Minute  die  Sichelform  angenommen.  Um  12*  3*"  bemerkte  ich  im  kleinen  Fern- 
rohre, dass  an  dem  Punkte  der  stärksten  Krümmung  die  Sichelgestalt  des  schon 
lichtschwächer  gewordenen  Schweifstückes  auseinanderging.  Es  trennte  sich 
dann  völlig  in  zwei  kleine  Nebelflecken,  deren  letzte  Spur  ich  mit  freiem  Auge 
noch  um  12*  Zm'b  erkannte,  mit  dem  Fernrohr  aber  um  12*  5""  erlöschen  sah  .  . 
Der  Durchmesser  der  kleinen  Nebelmassen  war  gewiss  10  Bogenminuten.c 

Diese  mehr  oder  weniger  kurzen  Anhängsel,  wirkliche  Schweife  der  Stern- 
schnuppen, welche  übrigens  nicht  allzuhäufig  auftreten,  scheinen  thatsächliche  Resi- 
duen des  durch  Verbrennen  theilweise  oder  ganz  im  Auflösen  begriffenen,  oder  bereits 
aufgelösten  Meteors  zu  sein.  So  beobachtete  Schmidt  am  23.  September  1845  e'n 
Meteor,  das  ein  nebel artiges  Fragment  hinter  sich  zog,  in  welchem  verschiedene 
matte,  phosphorescirende  Punkte  zu  erkennen  waren1),  und  am  10.  August 
1850  ein  Meteor,  das  einen  in  der  Mitte  breiteren  Schweif  zeigte,  der  fünf  Se- 
cunden nach  dem  Verlöschen  des  Meteors  nochmals  stark  aufglühte,  und  erst 
am  Ende  der  zwanzigsten  Secunde  verschwand1). 

Nach  dieser  allgemeinen  Uebersicht  kann  nun  an  die  Erörterung  der  wesent 
lichsten  Punkte  geschritten  werden. 

I.  Die  äussere  Erscheinung  der  Meteore  (Grösse,  Farbe, 
Schweife).  Mit  normalem,  nicht  sehr  scharfem  und  nicht  sehr  geschwächtem 
Auge  sieht  man  in  klaren  Nächten  die  Sterne,  welche  man  in  die  ersten  sechs 
Grössenk lassen  getheilt  hat,  und  es  gehört  nicht  allzu  viel  Uebung  dazu,  diese 
Sternklassen  von  einander  zu  unterscheiden.  Man  wird  daher  auch  leicht  die 
Sternschnuppen  der  verschiedenen  Grössen  in  eine  dieser  Klassen  einreihen 
können. 

Teleskopische  Fixsterne  sind  in  viel  grösserer  Anzahl  vorhanden,  wie  mit 
freiem  Auge  sichtbare,  und  nach  Argelander  beträgt  die  Zahl  der  zur  7.,  8.  und 
9.  Grössenklasse  gehörigen  Sterne  etwa  das  40  fache  der  mit  freiem  Auge  sicht- 
baren. Teleskopische  Sternschnuppen  hingegen  gehören  zu  den  Seltenheiten: 
nach  Schmidt's  Beobachtungen  etwa  36  teleskopische  auf  1000  mit  freiem  Auge 
sichtbare.  Das]  erste  teleskopische  Meteor  sah  J.  H.  Schroeter  im  Jahre  1795. 
Er  beschreibt  dasselbe3)  folgendermaassen :  »Am  28.  Juni  1795  um  11*  15,,  zog 
sich  ein  äusserst  feines  und  mattes,  einer  äusserst  entfernten,  sogenannten  Stern* 
schnuppe  völlig  ähnliches  Lichtpünktchen  von  oben  bis  unten  mitten  durch  das 
ganze  Gesichtsfeld,  so  dass  es  dieses  ungefähr  in  einer  Secunde  Zeit  passirte  .  .  . 
es  strich  zwar  deutlich,  aber  so  fein,  und  in  milchfarbig  gräulichem,  äusserst 
schwachem  Lichte  durch  das  Gesichtsfeld,  als  wenn  es  kein  Meteor  in  unserer 
Atmosphäre,  sondern  ein  ätherisches,  in  dem  sehr  entfernten  Himmelsraume 
wäre.c  Olbers  bezweifelt  in  vielen  Fällen  die  Realität  der  Erscheinung:  »Die 
höchst  seltenen  Beispiele,  wo  andere  Astronomen  in  grossen  Teleskopen 
sehr  kleine  und  blasse  Sternschnuppen  gesehen  haben  wollen,  scheinen  zum 


>)  ibid.,  pag.  22. 
»)  ibid.,  pag.  69. 

»)  .Aphroditographische  Fragment  -,  Helmstadt  1796«,  pag.  341. 


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Kometen  und  Meteore. 


Iii 


Theile  auf  Verwechselung  mit  anderen  Gegenständen  zu  beruhen1).!  Niehl 
lange  darauf  aber  sah  Mason  bei  der  Gradmessung  in  Pennsylvanien  ungefähr 
SO  teleskopische  Meteore,  und  1839  zog  Schmidt  auch  die  teleskopischen  Meteore 
in  den  Bereich  seiner  Untersuchungen. 

Die  Ursache  der  relativen  Seltenheit  der  teleskopischen  Meteore  ist  aber 
leicht  einzusehen:  Die  Fixsterne  sind  bleibend,  und  können  leicht  verfolgt  werden; 
die  Sternschnuppen  sind  ephemere  Erscheinungen,  und  die  Wahrscheinlichkeit, 
dass  ein  Beobachter  sein  Fernrohr  gerade  auf  einen  Punkt  des  Himmels  ge- 
richtet hat,  wo  eine  Sternschnuppe  aufleuchtet  oder  passirt,  ist  nur  sehr  klein, 
und  um  so  kleiner,  je  kleiner  das  Gesichtsfeld  des  Fernrohrs  ist;  daher  werden 
die  grösseren  lichtstarken  Fernrohre  mit  kleinem  Gesichtsfelde  sich  zu  Stern- 
schnuppenbeobachtungen nicht  eignen ;  man  muss  zu  dergleichen  Beobachtungen 
kleine  Handfernrohre,  eventuell  die  Kometensucher  verwerthen,  welche  lichtstarke 
Objective,  bei  kurzer  Brennweite  und  daher  ziemlich  grosses  Gesichtsfeld  (bis 
zu  4°)  haben.  Kleiber  findet*),  dass  ein  Beobachter,  der,  ohne  seinen  Stand- 
punkt und  seine  Stellung  zu  verändern,  seinen  Blick  gegen  den  Himmel  richtet, 
ein  Gesichtsfeld  von  etwa  80°  Oeffnungswinkel  umfasst.  Nimmt  man  an,  dass 
das  von  Schmidt  für  seine  Beobachtungen  verwandte  Fernrohr  ein  Gesichtsfeld 
von  3°  hatte  (er  erwähnt  nur,  dass  er  hierzu  ein  >mittelstarkes<  Fernrohr  ver- 
wandte), so  würde  das  von  diesem  umspannte  Gesichtsfeld  etwa  (^)*  des  sich 
dem  freien  Auge  darbietenden  betragen;  die  Anzahl  der  durch  das  Fernrohr 
am  ganzen  Himmel  gesehenen  Sternschnuppen  wird  gleich  der  Zahl  der  Stern- 
schnuppen, welche  durch  eine  grosse  Anzahl,  nämlich  (^;s  auf  verschiedene 
Punkte  des  Himmels  gerichtete  Fernrohre  gesehen  werden;  setzt  man  voraus,  dass 

')  »Schchmacher's  Jahrbuch  für  1837«,  pag.  37;  bei  massig  stark  bewegten  terrestrischen 
Objekten  (fliegenden  Vögeln)  müsste  aber  die  Geschwindigkeit  selbst  bei  schwachen  Vergrößerungen 
schon  »ehr  gross  sein ;  Objekte,  die  sich  in  starker  vergrößernden  Fernrohren  langsam  bewegen, 
können  daher  kaum  terrestrischen  Objekten  angehören. 

')  Astronomische  Nachrichten,  Bd.  110,  No.  3621  und  No.  2638.  Ist  /  eine  der  Grösse 
des  Gesichtsfeldes  proportionale  Grösse,  welche  die  Wahrscheinlichkeit  für  das  Aufleuchten  eines 

Meteors  darstellt,  so  ist  die  Wahrscheinlichkeit,  dass  dieses  Meteor  nicht  gesehen  wird:  q  =  l  / 

und  die  Wahrscheinlichkeit,  dass  n  Beobachter  dasselbe  nicht  sehen,  q*  =•  (1  —  p)ny  daher  die 
Wahrscheinlichkeit,  dass  «üeses  Meteor  wenigstens  von  einem  der  n  Beobachter  gesehen  wird, 
1  —  q*.  Ist  nun  aus  Beobachtungen  bekannt,  dass  1,  2,  8  ...  n  gleichseitig  beobachtende 
Beobachter        «,...*«  Meteore  sahen,  so  ist 

1  —  q  =  amt ;  l  -  g*      at»t;  ....  1  —  qn  —  amH. 
Daraus  folgt  durch  Elimination  des  Proportionalititsfaktors  a: 

l+q^^-i;   \+q  +  q*=  ~l   ....    1  +  q  +  q'  +  .  .  .  +  qn- 1  =  ^ 

und  durch  Subtraktion: 

q  —        ~  m^  =        -  m>y^        —  m>y^  =         -  »'«-ij_L_ 

Versuche  in  dieser  Richtung  wurden  von  Newton  mit  12  Beobachtern  gemacht,  und 
spater  von  Kleiber  mit  8  Beobachtern. 

Ist  die  Zahl  der  Beobachter     1      2      3       4        f.       €       7       8       9      1011  12 
so  istd.  Zahl  Av.dens.  I  Newton  325  633  834  1000  1114  1200  1279  1342  1404  1456  1508  1560 
geseh. Stemschn. nach  1  Ki  kibkr  380  652  863  lüt-ü  1125  1250  1340  1405  —     -     --  — 

Aus  diesen  Zahlen  folgt  nun  q  —  0  768,  demnach  f>  =  0'232,  d.  h.  ein  Beobachter  sieht 
etwa  A  aller  am  Himmel  erscheinenden  Meteore.  Diese  Anzahl  ist  der  Grösse  des  Gesichts- 
feldes proportional.  Das  Gesichtsfeld  der  Oberfläche  für  die  ganze  Halbkugel  ist  2n,  das 
Gesichtsfeld  einer  Calotte  vom  Gesichtswinkel  2  a  ist  2«  (1  —  cot  a)  =-=  4«  sin*  demnach 
/  —  2rt»*4«.    Hieraus  bestimmt  sich  der  Gesichtswinkel  2a  —  79°  40'  also  etwa  80°. 


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122 


Kometen  und  Meteore. 


die  Zahl  der  Beobachtungsstunden,  welche  Schmidt  auf  teleskopische  Meteore  ver- 
wandte, gleich  war  derjenigen,  welche  er  mit  freiem  Auge  beobachtete,  so  würde 
die  Zahl  der  teleskopischen  Meteore  etwa  die  700  fache  der  von  ihm  beob- 
achteten, also  auf  1000  etwa  25000  sein,  demnach  das  25  fache  der  mit  freiem 
Auge  sichtbaren.  Diese  Zahl  hat  natürlich  nicht  einmal  die  gleiche  Sicherheit 
wie  die  von  Argelanoer  für  die  Fixsterne  gefundene,  es  ist  eben  nur  eine 
rohe  Schätzung.  Thatsächlich  hatte  Schmidt  im  Fernrohre  einmal  eine 
Sternschnuppe  1%  einmal  eine  zweiter  Grösse,  2  mal  solche  dritter  Grösse, 
4 mal  von  vierter  und  8  mal  von  fünfter  gesehen,  zusammen  also  solche  der  6 
ersten  Grössenklassen  16,  d.  i.  nur  den  neunten  Theil  der  von  ihm  beobachteten 
teleskopischen.  Zu  einer  wesentlich  abweichenden  Zahl  kommt  H.  A.  Newton  ,). 
Aus  gleichzeitigen  Beobachtungen  von  Pape  und  Winnecke,  bei  denen  der 
erstere  mit  freiem  Auge,  der  letztere  in  einem  Kometensucher  beobachtete,  wird 
geschlossen,  dass,  wenn  mit  dem  Femrohre  der  ganze  Himmel  überblickt  werden 
könnte,  die  Zahl  der  teleskopischen  Meteore  das  200 fache  derjenigen  mit  freiem 
Auge  betragen  würde.  Das  Gesichtsfeld  war  nämlich  nur  der  1371te  Theil  des  mit 
freiem  Auge  sichtbaren,  und  da  Winnecke  45  beobachtete,  während  Pape  312  sah, 
so  ist  das  Verhältniss  ^-1371.  Eigentlich  mtlsste  man  sagen,  dass  man  durch 
dieses  Fernrohr  Sternschnuppen  bis  zu  einer  gewissen  Grössenklasse 
in  200  facher  Zahl  wie  mit  freiem  Auge  sichtbare  beobachtet,  und  Newton  bemerkt, 
dass  man  mit  einem  stärker  vergrössernden  Feinrohre  noch  mehr  sehen  würde *)• 

Schmidt  beobachtete: 


1842  an 

57  Tagen  311 

Meteore,  darunter 

50  geschweifte. 

1843  „ 

93  „ 

385 

1» 

>> 

18 

1844  „ 

128  „ 

523 

11 

11 

58 

" 

1845  ,> 

153  „ 

613 

M 

>' 

53 

»1 

1846  „ 

93  „ 

411 

II 

>> 

39 

'1 

»847  ,. 

98  „ 

473 

>> 

11 

80 

>' 

1848  „ 

133  „ 

483 

»1 

M 

55 

» 

1849  „ 

90  „ 

505 

II 

II 

77 

II 

1850  „ 

* 

364 

1t 

11 

101 

II 

Zusammen      4068  Meteore,  darunter  531  geschweifte. 

Der  Grösse  nach  waren  dieselben8): 

Im 

2*»  3' 

n      4""    5"*  6m 

darunter  geschweifte  1"» 

2- 

3- 

1842 

90 

95  76 

32  15 

3 

40 

8 

2 

1843 

86 

110  108 

63  14 

2 

14 

4 

1844 

82 

99  155 

115  54 

13 

36 

18 

4 

1845 

65 

98  162 

152  93 

33 

27 

18 

8 

1846 

74 

81  76 

98  51 

12 

24 

10 

3 

1 

1847 

98 

85  81 

104  52 

19 

48 

17 

8 

3 

1848 

81 

91  105 

125  54 

16 

30 

17 

6 

1 

1849 

44 

83  111 

140  69 

37 

22 

24 

20 

6 

1850 

36 

64  79 

71  45 

21 

23 

29 

25 

10 

5 

*)  Siluman,  II.  Serie,  Bd.  39,  pag.  201. 

')  Es  scheint  jedoch,  dass  hier  das  Fernrohr  auf  eine  bestimmte  Gegend  rur  Zeit  eines 
stärkeren  Erscheinens  von  Meteoren  gerichtet  war,  es  müsste  sonst  auffallen,  dass  die  meisten 
Beobachter  in  den  Femröhren  thatsächlich  so  selten  Sternschnuppen  beobachten. 

*)  Die  Summen  stimmen  bei  Schmidt  nicht  immer ;  er  hat  bei  seinen  Zählungen  hin  und 
wieder  1  oder  3  Ubersehen. 


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Kometen  und  Meteore. 


Der  Farbe  nach  waren  (einschliesslich  der  teleskopischen) 


weisse 

gelbe 

gelbrothe 

grüne 

nebelige 

1842 

264 

5 

21 

8 

13 

1843 

282 

26 

46 

19 

13 

1844 

352 

86 

17 

27 

40 

1845 

415 

50 

39 

8 

93 

1846 

230 

55 

27 

15 

85 

1847 

269 

72 

35 

7 

90 

1848 

248 

107 

29 

11 

87 

1849 

207 

142 

20 

8 

128 

1850 

187 

102 

11 

2 

61. 

Insgesammt  waren 
unter  2151  weissen 


213  geschweifte,  also  0  099  aller  geschweift 


„      589  gelben  159 

<> 

0270  „ 

213  gelbrothen  39 

» 

ti    0'183  „ 

„       97  grünen  36 

>> 

„    0-371  „ 

577  nebeligen  8 

<> 

,,    0014  „ 

unter  566  Meteoren  1"»  waren 

224,  alsc  0-395  aller  geschweift 

711       „  2- 

»1 

119 

0167  „ 

„    877       „  3" 

n 

69 

„   0078  „ 

„    868      „     4u.  5~ 

>i 

26 

„    0029  „ 

Hieraus  folgt,  dass  die  helleren  Meteore  am  öftesten  geschweift  erscheinen, 
und  dass  der  Farbe  nach  die  Schweife  am  öftesten  bei  den  grünen  Meteoren 
auftreten. 

Auf  100  Sternschnuppen  entfallen: 


1»» 

2- 

3*« 

4"« 

5"' 

6"» 

weisse 

gelbe 

gelbrothe 

grüne 

neblige 

1842 

290 

30-5 

245 

10-3 

4-8 

09 

84-9 

1-6 

6-7 

26 

42 

1843 

223 

286 

280 

16-3 

36 

0-5 

732 

67 

11*9 

49 

3-4 

1844 

158 

191 

29-9 

22-2 

10-4 

2-5 

673 

164 

3-2 

5-2 

7-6 

1845 

10  8 

16-2 

26-8 

252 

15-4 

5-5 

68-6 

8-3 

64 

1-3 

15-4 

1846 

18-8 

20-6 

195 

250 

130 

31 

55-1 

13-4 

6  1 

3-8 

21-6 

1847 

223 

193 

18-5 

23-8 

118 

4-3 

584 

13-4 

73 

1-6 

19-2 

1848 

172 

19-3 

222 

26-5 

11-4 

34 

51-9 

22' 1 

5-5 

2-3 

181 

1849 

9  1 

17-2 

22  9 

289 

14-2 

7-7 

41-2 

27*9 

3-7 

1-7 

25-5 

1850 

11-4 

20-2 

250 

224 

14-2 

6-7 

56-7 

23-2 

3-2 

0-6 

16-3 

im  Mittel 

17-4 

21-2 

24- 1 

22-3 

110 

3-8 

61-9 

14-8 

60 

2-7 

14*6 

Hier  zeigt  sich  nun  ein  Gang,  sowohl  in  den  Grössenbestimmungen,  als 
auch  in  den  Farbenangaben.  Schmidt  schreibt  dieses  aber,  wie  selbstverständ- 
lich ,  der  fortgesetzten  Uebung  zu;  es  waren  ja  1842  Uberhaupt  die  ersten 
Beobachtungen  dieser  Art,  und  Schmidt  der  erste  Beobachter;  er  musste 
sich  also  erst  successive  die  passendste,  bequemste  und  sicherste  Beobachtungs- 
art zurechtlegen,  und  sich  auf  Grössen-  und  Farbenschätzungen  einüben.  Es  ist 
eine  jedem  Beobachter  bekannte  Thatsache,  dass  im  Laufe  der  Zeiten  den 
schwächeren  Objecten  eine  grössere  Aufmerksamkeit  zugewendet  wird,  und  die 
helleren  etwas  schwächer  geschätzt  werden;  es  wird  daher  die  Zahl  der  beob- 
achteten schwächeren  Objecte  steigen,  die  Zahl  der  helleren  abnehmen, 
während  ungefähr  die  dritte  und  vierte  Grössenklasse  ziemlich  constant  bleibt. 
Noch  mehr  unterliegen  die  Farbenschätzungen  subjectiven  Elementen;  Schmidt 


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it4  Kometen  und  Meteore. 

bemerkt:  »Es  ist  mir  oft  auffallend  gewesen,  dass  verschiedene  Personen  sowohl 
Fixsterne  als  Stern  sehn  uppen,  die  ich  entschieden  grün  nannte,  als  blau  oder 
blaugrün  bezeichneten  *j.<  In  der  That  hatte  er  ein  blaues  Meteor  nur  ein  ein- 
ziges Mal  gesehen  und  zwar  1842,  Juli  31;  das  Meteor  erschien  anfangs  hell- 
grün, veränderte  aber  dann  seine  Farbe,  und  schien  mit  blauem  Lichte  zu  zer- 
springen. Wirklich  rothe,  carmin  und  blutfarbige  bemerkte  Schmidt  ebenfalls 
nicht;  die  roth  gefärbten  waren  stets  mit  einer  Mischung  aus  Gelb,  also  gelb- 
roth8). 

Von  teleskopischen  Meteoren  beobachte  Schmidt: 


7~ 

8- 

9« 

10« 

11- 

Zusammen 

1844 

0 

0 

2 

0 

0 

2 

1845 

0 

1 

1 

0 

0 

2 

1846 

2 

6 

4 

4 

2 

18 

1847 

4 

8 

6 

3 

0 

21 

1848 

2 

0 

5 

2 

0 

9 

1849 

1 

8 

G 

3 

4 

22 

1850 

5 

11 

18 

14 

0 

48 

1851 

1 

5 

10 

6 

2 

24 

Zusammen: 

15 

39 

52 

32 

8 

146 

daher  unter  100: 

103 

26-7 

354 

219 

55. 

Die  häufigste  Farbe  ist  das  Gelb,  doch  hält  er  dieses  für  subjectiv,  wie 
ja  auch  mit  freiem  Auge  die  meisten  Fixsterne,  mit  Ausnahme  der  auffällig  ge- 
färbten, weiss  erscheinen,  während  im  Fernrohr  das  Gelb  mehr  hervortritt. 

Nebelige  hatte  Schmidt  im  Fernrohre  keine  gesehen. 

Das  sonstige  Aussehen  der  teleskopischen  Meteore  war  von  denjenigen  der 
mit  freiem  Auge  sichtbaren  nicht  verschieden:  sie  beginnen  schwach  und  enden 
im  Maximum  des  Glanzes. 

1869  giebt  Schmidt  für  die  von  ihm  später  beobachteten  Meteore  eine 
Zusammenstellung  der  Helligkeit  nach  den  einzelnen  Monaten  und  nach  den 
einzelnen  Tagesstunden;  welcher  er  später  eine  Ergänzung  für  die  späteren  Beob- 
achtungen folgen  Hess.    Es  war  die  Helligkeit 

Aus  den  Beobachtungen  bis  1869')  aus  den  Beobachtungen  bis  1876*) 

im  Januar  4  06  aus    19  Beobachtungen       4  22  aus    35  Beobachtungen 

im  Februar  4'98  „     27          „  4  80    „  44 

im  März  4  03  „11          „  4  33  „  33 

im  April  4  30  „       8          „  4*31  „  54  „ 

im  Mai  4  21    „     20          „  4  22  „  80 

im  Juni  4- 12    „     47          „  4' 32    „  103 


11 


')  1-  c,  pag.  85.  Doch  ist  die  blaue  Farbe  nicht  gar  so  selten,  wie  denn  namentlich 
die  weissen  Sterne  stets  einen  Stich  ins  Bläuliche  haben.  Jedenfalls  scheint  hier  eine  subjec- 
tive  Disposition  Schmidt'*  vorzuliegen.  Schmidt  beobachtete  ziemlich  viele  Meteore,  deren 
Farbe  gegen  das  Ende  ihres  Laufes  in  grün  bis  smaragdgrün  Uberging;  dieses  ist  der  Fall  bei 
den  Meteoren  No.  318,  1171,  2»  87,  2289,  2733  (das  grosse  Meteor  vom  ai.  Januar  1848) 
2873,  3565,  3684  Wahrscheinlich  auf  Contrastwirkungen  ist  es  zurückzuführen,  dass  eT  nach 
den  hellen,  prachtvoll  grünen  Meteoren  meist  schwach  röthliche,  trübe  und  lichtschwache,  einer 
verglimmenden  Kohle  ähnliche  Fragmente  als  Rückstände  beobachtete. 

*)  In  den  Astron.  Nachr.  Bd.  88,  pag.  348  bezeichnet  er  aber  kurzweg  diese  Meteore  als  roth. 

s)  »Astron.  Beobachtungen  über  Meteorbahnen,  Athen  1869«,  pag.  5a. 

*)  »Astron.  Nachr.«  Bd.  88,  pag.  343. 


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Kometen  und  Meteore. 


'«5 


Aus  den  Beobachtungen  bis  1869  aus  den  Beobachtungen  bis  1876 

im  Juli         4-16  aus    95  Beobachtungen      4  34  aus  215  Beobachtungen 


im  August  4*05 

119 

>• 

409    „  260 

11 

imSeptember4*33  „ 

56 

4*33    „  114 

rl 

im  Oktober  4  09  „ 

64 

11 

414    „  92 

» 1 

im  November  4  02  „ 

31 

i» 

4  09    „  49 

M 

im  Dezember  412  „ 

44 

•1 

426    „  78 

M 

Der  Unterschied  steigt  bis 

auf  eine 

G rossen klasse;  die  geringste  Helligkeit 

war  im  Februar,  die  grösste  im  November.  Dass  dieser  Unterschied  auf  die  Rein- 
heit der  Luft  zurückzuführen  wäre,  ist  nicht  wahrscheinlich,  einmal,  weil  für 
diese  Zusammenstellung  nur  die  heitersten  Nächte  gewählt  wurden,  und  anderer- 
seits,  weil  sich  ein  solcher  Unterschied  bei  anderen  Beobachtungen  nicht  con- 
statiren  lässt.  Nach  den  Tagesstunden  ergiebt  sich  aus  den  Beobachtungen  bis 
1869  Tür  die  Zeit») 

6  5*  7-5*  8  5*  9-5*  10  5*  11'5*  12*5*  13  5*  14  5*  15  5*  16  5* 
die  mittlere  Helligkeit  4  36  4-34  4-31  4  07   4  19  4*28  4  26  4  12    3  88    3  91    4  34 

Die  mittlere  Helligkeit  aus  11000  zwischen  1853  und  1876  beobachteten 
Meteoren  ergab  sich  zu  4  27;  für  die  verschiedenen  Nachtstunden  war  ein  merk- 
licher Unterschied  nicht  zu  constatiren. 

Für  die  mittlere  Dauer  der  Meteore  fand  Schmidt 

für  die      weissen  gelben            gelbrolhen         grünen  nebeligen 

imjah.  1844  1"00    (24B.)  l'*51  (18B.)     -             1-96  (12B.)- 

1849  085     (64B.)  0-90    (80B.)   1"28  (14B.)  1*60      (5B.)  0-91  (17B.) 

1850  116     (12B.)  1-25     (8B.)   1*41     (6B.)  -  - 
1842-18500*82    (100B.)  1*03  (106 B.)    1-31  (20  B.)  1*85     (17B.)  0*91  (17B.) 
1842  — 1876  0*746  (886 B.)  0*983(400 B.)   1*627(188B.)  1*973  (125B.)  — 

Die  Constanz  dieser  Zahlen  im  Laufe  der  Jahre  zeigt,  dass  der  Unterschied 
in  der  Dauer  bei  den  verschieden  gefärbten  Meteoren  reell  ist;   die  Meteore 
von  kürzester  Dauer  sind  die  weissen;  die  längste  Dauer  haben  die  grünen. 
Hierzu  mögen  noch  die  folgenden  Angaben  hinzugefügt  werden: 
Herschel  fand  aus  17  Sternschnuppen  am  12.  u.  13.  Dez.  1863  die  mittlere 
Weglänge  11°*7,  die  mittlere  Dauer  0**78'); 

aus  23  Sternschnuppen  am  28.  und  29.  Decftmber  1864  die  mittlere  Weglänge 
1I°*0,  die  mittlere  Dauer  0*64  •); 

aus  19  Sternschnuppen  am  18.  October  1864  und  20.  October  1865  die 
mittlere  Weglänge  19°*0,  die  mittlere  Dauer  0*684); 

Newton  fand  aus  867  von  6  Beobachtern  angestellten  Beobachtungen  die 
mittlere  beobachtete  Weglänge  12°*6  und  mit  Rücksicht  auf  perspectivische  Ver- 
kürzung daraus  16°' 4  als  wirkliche  mittlere  Weglänge  unda  die  mittlere  Zeit- 
dauer 0*45*);  also  wesentlich  kleiner;  auch  bemerkt  er  dazu,  dass  die  Zeit- 
schätzungen im  Allgemeinen  zu  klein  werden.    Hingegen  haben  andere  Beob- 


')  6*5*  gleich  6*  bis  7*  u.  s.  w. 

•)  Radiant:  a  =  105°,  8  =  +  30°  in  der  Nähe  von  t  Geminorum.  Monthly  Notices, 
M-  25.  P»B-  l63- 

*)  Radiant:    a  =  94 °,  i  =  •+•  3T°  in  der  Nahe  von  ö  Geminorum;   Monthly  Notices, 

«)  Radiant:  a  =  90°,  &  =  -f-  15*5°  Monthly  Notices,  Bd.  26,  pag.  51. 
*)  Suximan,  II.  Serie,  Bd.  39,  pag.  203. 


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Kometen  und  Meteore. 


achter  die  Bemerkung  gemacht,  dass  die  Zeitschätzungen  im  Allgemeinen  zu 
gross  werden.  Es  scheint  hier  jedenfalls  ein  subjectiver  Unterschied  vorzuliegen, 
welcher  vielleicht  in  der  Gewohnheit  begründet  ist.  Man  schätzt  den  Ein- 
tritt eines  Phänomens  zu  früh  oder  zu  spät,  wenn  man  gewarnt  ist,  und  dasselbe 
nicht  zu  spät  oder  zu  früh  beobachten  will,  und  man  schätzt  die  Dauer  einer 
Erscheinung  zu  gross  oder  zu  klein,  wenn  man  dem  entgegengesetzten  Fehler 
entgehen  will.  Im  Allgemeinen  dürften  die  Zeitschätzungen  eher  ru  gross  aus- 
fallen, wie  man  denn  bei  sehr  kleinen  Grössen  immer  geneigt  ist,  grössere 
Werthe  anzugeben.  Im  Mittel  aus  allen  würde  sich  die  mittlere  Zeitdauer  sehr 
nahe  0*  7  ergeben. 

II.  Anomale  Bewegungserscheinungen.  Schmidt  sah  175  von  dem 
grössten  Kreise  abweichende  Meteorbahnen;  auf  1000  Meteore  kamen  43  mit 
anomalen  Bahnen.    Von  den  175  beobachteten  entfallen: 

auf  das  Jahr  1842  1843  1844  1845  1846  1847  1848  1849  1850 
Anzahl  von  anomalen  Bahnen  12      9      17      26     22     21     26     37  5. 

Im  Ganzen  waren  unter  den  Beobachtungen  1842  bis  1850  von  den  ge- 
krümmten Bahnen:  68  unter  den  weissen,  49  unter  den  gelben,  31  unter  den 
gelbrothen,  13  unter  den  grünen,  17  unter  den  nebeligen;  relativ  am  häufigsten 
ist  daher  die  Anomalie  bei  den  grünen.  Es  muss  jedoch  bemerkt  werden,  dass 
dieser  Schluss  mit  Rücksicht  auf  die  geringe  Zahl  der  grünen  Meteore  noch 
nicht  als  erwiesen  anzusehen  ist. 

Nach  den  Grössenklassen  waren  48  anomale  Bahnen  bei  Meteoren  der 
ersten,  45  bei  Meteoren  der  zweiten,  45  bei  der  dritten,  26  der  vierten,  9  der 
fünften  und  3  der  sechsten  Grösse. 

Zezioli  fand  unter  6853  beobachteten  scheinbaren  Bahnen  48  gekrümmte 
(vom  grössten  Kreise  abweichend),  24  wellenförmige,  22  geschlängelte,  10  schwan- 
kende, zusammen  104,  daher  auf  1000  Meteore  15  mit  anomalen  Bewegungs- 
erscheinungen, also  eine  wesentlich  kleinere  Anzahl  wie  Schmidt. 

Die  Unregelmässigkeiten  in  der  Bewegung  können  zweierlei  Ursachen  haben: 
6ie  können  wirklich  stattfinden  und  auch  nur  optisch  sein,  d.  h.  durch  die  Lage 
des  Beobachters  gegen  die  Bahn  der  Sternschnuppe  bedingt.  Wäre  die  Bahn 
der  Sternschnuppen  stets  gradlinig,  so  könnten  Anomalien  überhaupt  nicht  vor- 
kommen. Aber  die  Sternschnuppen  bewegen  sich  mit  sehr  grosser  Geschwindig- 
keit, welche  die  auf  der  Erde  beobachteten  weit  übertreffen,  in  einem  wider- 
stehenden Mittel:  der  Luft,  und  schon  Chladni  erklärte  1819,  dass  der  Grund 
für  die  schlangenförmige  oder  Zickzackbewegung  »in  nichts  anderem  als  in  einem 
Abprallen  oder  Ricochetiren  von  der  einer  so  schnellen  Bewegung  wider- 
stehenden Atmosphäre  liegen  kann.«  Dieser  Meinung  schlössen  sich  auch  im 
Allgemeinen  Brandes  und  Olbers  bezüglich  der  stetigen  Richtungsänderungen  an. 
Die  sprungweise  geänderten  und  auch  die  aufsteigenden  Bewegungen  erklärt 
jedoch  Brandes,  und  hier  stimmt  ihm  Olbers  bei,  aus  partiellen  Explosionen, 
welche  die  Feuermeteore  nach  Art  der  Raketen  in  die  Höhe  treiben.  Viel  ein- 
gehender haben  sich  mit  dieser  Frage  Schmidt  und  Schiaparelu  beschäftigt. 
Ob  nun  das  Leuchten  der  Meteore  nach  der  ursprünglich  (1794)  von  Chladni 
geäusserten  Meinung  durch  die  Reibung  der  Meteore  entsteht,  oder  ob  nach  der 
von  Davy  1817  geäusserten  Meinung,  welcher  sich  später  (1819)  auch  Chladni 
anschloss,  die  grosse  Erhitzung  durch  Compression  der  Luft  stattfindet,  in  allen 
Fällen  wird  man  es  als  erwiesen  anzusehen  haben,  dass  der  leuchtende  Theil 
der  Bahn  sich  in  der  atmosphärischen  Luft  befindet.   Aber  der  Einfluss  der 


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Kometen  and  Meteore. 


«7 


Bewegung  der  Luft  kann  auf  die  Bewegung  der  Sternschnuppen  nicht  merk- 
lich sein;  die  Geschwindigkeit  eines  heftigen  Sturmwindes  ist  etwa  40  m  in  der 
Secunde l) ;  die  Geschwindigkeit  der  Luft  in  Folge  der  Erdrotation  erreicht  ihr 
Maximum  im  Aequator;  sie  betragt  hier  auf  der  Erdoberfläche  464  m  und  in  der  Höhe 
von  100  km  471  m,  während  die  direkt  gemessenen  Geschwindigkeiten  der  Stern- 
schnuppen mehr  als  das  50 fache  betragen.  Nimmt  man  dieselbe  zu  30  km  an, 
so  tritt  daraus  eine  Ablenkung  in  der  Richtung  von  etwa  06°  auf;  da  dieses 
jedoch  nicht  plötzlich  geschieht,  so  wiid  die  Bahn  etwas  gekrümmt;  die  hieraus 
resultirende  Krümmung  wird  aber  so  schwach,  dass  sie  nie  bemerkt  werden  kann. 

Wesentlich  anders  aber  wird  der  Einfluss  der  jährlichen  Bewegung  der  Erde, 
die  Anziehung,  welche  die  Erde  auf  die  Sternschnuppen  ausübt,  und  die  Ein- 
wirkung des  Luftwiderstandes.  In  Folge  der  Erdanziehung  würden  die  Stern- 
schnuppen Hyperbeln  um  die  Erde  beschreiben,  die,  in  so  lange  6ie  sehr  grosse 
Distanzen  im  Perigeum  haben,  nicht  merklich  von  der  Geraden  abweichen  werden; 
dieses  gilt  aber  nur  für  diejenigen  Sternschnuppen,  welche  von  der  Erde  weitab 
vorübergehen,  während  für  jene,  welche  in  die  Atmosphäre  der  Erde  gelangen, 
ganz  merkliche  Krümmungen  auftreten  werden').  Die  durch  die  Bewegung  der 
Erde  hervorgebrachten  Aendeiungen  in  der  Richtung  der  Bewegung  werden  sich 
aus  zwei  Theilen  zusammensetzen:  eine  scheinbare8)  und  eine  wirkliche,  welche 
daher  rührt,  dass  sich  die  Bewegung  der  Erde  auf  die  Bewegung  der  Stern- 
schnuppen überträgt;  diese  letztere  wird  ebenfalls  nicht  plötzlich  auftreten,  und 
auch  hierdurch  wird  eine  Krümmung  der  Bahn  folgen.  Da  hierbei  von  der 
Rotation  der  Erde  abgesehen  werden  kann,  so  genügt  es,  der  Luft  die  jährliche 
Geschwindigkeit  der  Erde  beizulegen,  wobei  also  während  der  kurzen  Dauer  der 
Erscheinung  einer  Sternschnuppe  die  Bewegungsrichtung  der  Luft  stets  mit  der 
Bewegungsrichtung  der  Erde  um  die  Sonne  zusammenfällt. 

Fällt  eine  Sternschnuppe  aus  dem  Zenith  gegen  die  Erde,  so  wird  die  An- 
ziehung der  Erde  die  Bewegung  beschleunigen,  der  Luftwiderstand  dieselbe 
verzögern    und   die  Bewegungsrichtung  t* 
wird  geradlinig  bleiben,  wenn  die  Zenith- 
richtung  mit  der  Richtung  der  Erdbewe- 
gung zusammenfällt.    Fällt  dagegen  die 
Sternschnuppe  nicht  aus  dem  Zenith,  so 
wird    sie  durch  die  Erdanziehung  aus 
ihrer  Bahn  abgelenkt  und  der  Erde  ge- 
nähert (vergl.  Fig.  268).    In  allen  Fällen 
aber  wird  sich  die  Componente  der  Ge- 
schwindigkeit des  Meteors  in  der  Rich- 
tung der  Erdbewegung  verändern  und 
schliesslich  die  Geschwindigkeit  der  Erd- 
bewegung selbst  erlangen. 

Man  nennt  den  Punkt  am  Himmel, 
gegen  welchen  sich  die  Erde  bewegt, 

nach  Pritchard  den  Apex,  den  ent-  (A  2JÄ) 

>)  Fave  (Compt.  rend.,  Bd.  63,  pag.  1100)  betrachtet  die  raschen,  schlängelnden  Bahnen, 
das  rasche  Aufleuchten  und  Verschwinden  der  Meteore  als  optische  Tauschungen,  verursacht 
durch  meist  nicht  sichtbare  Wasserdunste  (Cirrocumutus,  Cirrui);  hingegen  die  langsam 
schlängelnden  als  Folgen  von  Strömungen  in  den  höheren  Luftregionen. 

*)  Vergl.  hierüber  das  später  bei  der  Zenithattraction  Gesagte. 

*)  VergL  apäter  Uber  den  Unterschied  zwischen 


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Kometen  und  Meteore. 


Regengesetzten  Punkt  den  Antiapex.  Sei  5  (Fig.  256)  die  Sonne,  O  die  Erde,  so  ist 
O  A  die  Richtung  nach  dem  Apex,  OS  diejenige  nach  der  Sonne;  da  nun  die  Be- 
wegung der  Erde  in  der  Ekliptik  stattfindet,  so  wird  auch  die  Tangente  OA  an  die 
Bewegungsrichtung  stets  in  der  Ekliptik  liegen,  folglich  die  Breite  des  Apex  stets  Null 
sein.  Ist  Or  die  Richtung  nach  dem  Frühlingspunkte,  so  ist  rO  A  die  Länge  / 
des  Apex;  rOS  die  Unge  Oder  Sonne,  daher  die  Länge  des  Apex  stets  nahe  90° 
kleiner  als  diejenige  der  Sonne.  Bei  den  Rechnungen  über  die  Meteore 
wird  man  zumeist  damit  ausreichen,  die  Erdbahn  als  Kreis  anzusehen,  daher 
/  =  0  _  90°  Zu  setzen;  doch  ist  die  Berechnung  des  Winkels  w  zwischen  der 
Tangente  und  dem  Radiusvector  der  Erde  nicht  schwer,  und  in  manchen  Fällen 
dennoch  erwünscht.  Man  hat,  wenn  man  die  Ellipse  auf  rechtwinklige  Coordi- 
naten  bezieht,  von  denen  die  J(-Axe  mit  der  Richtung  nach  dem  Perihel  zusammen- 
fällt, und  a,  e,  <p  die  halbe  grosse  Axe,  Excentricität  und  Excentricitätswinkel,  r,  v,  E 
Radiusvector,  wahre  und  excentrische  Anomalie  bedeuten: 

ä— * 

dy  Tx  =  ~  CotE' 

y  =  acos<?smE  ■+■  acosycosE 

und  da 


ist,  so  wird 


.  r  stnv  _       cosv  -\-  e       ricos  v  -+-  e) 

sin  E  =  ,      cos  E  —   — —  =  —  

acosy  1  •+■  e  cosv         a  cos  <?* 

dy  cosv  -k-  c 


dx  sin  v 

Ist  T  der  Winkel,  welchen  die  Tangente  mit  der  positiven  Richtung  der 
X-Axe  einschliesst,  so  ist 

/angT=Tx'  180°  —  w  =  T-  v, 

daher 

t™<rT         cosv      e  \  +  ecosv 

lang  1  —  :   tangw  =  :  . 

stnv  *  estnv 

Setzt  man  nun 

w  =  90°  -  oi, 


so  ist 


wenn  FI  die  Länge  c'er  Sonnenperigäums,  also 

n  =  280°  21  '-3  -f-  1'  028(/—  1850) 

%r^7?  =  82244  (2) 

ist.    Da  nun  /  =  ©  —  w  ist,  so  wird 

/  =  0-+- 0,-90°,  (3) 
und  wenn  a,  d  die  Rectascension  und  Deklination  des  Apex  sind  und  e  die 
Schiefe  der  Ekliptik  bedeutet: 

cos  d  cos  a  =  -+-  sin  (0  ■+■  °*) 

cos  d  sin  a  =  —  cos  (0  -+-  o>)  cos  t  (4) 
sin  d  —  —  cos  (0  -f-  t»)  sin  c. 
Zur  Berechnung  der  Rectascension  und  Deklination  des  Apex  dienen  die 
Formeln  (1),  (2)  und  (4),  in  denen  der  Radiusvector  R  und  die  Länge  O  der 
Sonne  aus  den  astronomischen  Ephemeriden  zu  entnehmen  sind. 


uigii 


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Kometen  und  Meteore. 


I39 


Beispiel:  Für  1865  Juli  285  ist  0  =  125°  48';  logR  —  0  0065 

n  —  280  37 
O  —  n  =  205  11    log  lang  <» 
logm(Q-U)  =  96289»  «» 

&y .       %  R  —  8  2309 


7-8598 
u.  =  +  0°  24'  9 

/=36°  13'. 


Sei  nun  OA  (Fig.  257)  die  Richtung  der  Erdbewegung,  d.  h.  die  Richtung 
nach  dem  Apex,  55'  die  Richtung  der  Bewegung  der  Sternschnuppe.  In  dem 
Momente,  wo  dieselbe  die  Erdgeschwin- 
digkeit vollständig  recipirt  haben  wird 
wird  man  ihre  Bewegungsrichtung  er- 
halten, indem  man  die  Geschwindig- 
keiten nach  dem  Geschwindigkeitsparal- 
lelogramm zusammensetzt  Stellt  os  die 
Geschwindigkeit  der  Sternschnuppe  vor, 
wenn  oa  dieselbe  für  die  Erdbewegung 
ist,  so  würde  schliesslich  die  Bewegung 
der  Sternschnuppe  ob  sein;  da  aber  diese 
Mittheilung  der  Geschwindigkeit  eben 
nicht  plötzlich  stattfindet,  so  wird  die 
Sternschnuppe  thatsächlich  eine  Curve 
beschreiben,  welche  in  gewissen  Fällen 
auch  nach  aufwärts  gekrümmt  sein  kann. 

In  dieser  Weise  wird  nun  allerdings  die  Erscheinung  nicht  auftreten;  denn 
man  sieht  sofort,  dass  es  sich  hier  um  eine  Stosserscheinung  handelt,  und  die 
Uebertragung  der  Geschwindigkeiten  findet  etwa  in  folgender  Weise  statt:  Seien 
Af,  m  die  Massen  der  Erde  und  der  Sternschnuppe,  oa  =  G  die  Geschwindig- 
keit der  Erde,  und  zerlegt  man  die  Geschwindigkeit  v  der  Sternschnuppe  in  die 
beiden  Componenten  os'  =  v x  in  der  Richtung  der  Erdbewegung,  os"  =  v% 
senkrecht  dazu,  so  würden  die  beiden  Körper  schliesslich  in  der  Richtung  OA 


(A.  257.) 


die  Geschwindigkeit 


MG 


mv 


-  haben,  und  da  m  gegenüber  M  verschwindend 


Af-hm 

klein   ist,  die  Geschwindigkeit  G,  welche  sich  mit  der  Geschwindigkeit  vt 
cusammensetzen  würde.    Die  relative  Bewegung  der  Sternschnuppe  gegen  die 
Erde  wäre  aber  in  der  Richtung  OA  gleich  Null,  so  dass  schliesslich  die  Stern- 
schnuppe sich  in  der  Richtung  der  Tangente  des  Auffallsortes  bewegen  würde. 
Dieses  wird  aber  nur  der  Fall  sein,  wenn  die  beiden  Körper  vollkommen  un- 
;lastisch  sind;  sind  die  beiden  Körper  vollkommen  elastisch,  so  wäre,  wieder 
jnler  der  Voraussetzung  der  Kleinheit  von  m,  die  Endgeschwindigkeit  der  Stern- 
;chnuppe  in  der  Richtung  OA  gleich       +  f„  daher  die  relative  Geschwindig- 
keit gegen  die  Erde  die  resultirende  aus  den  Geschwindigkeiten  G  •+■  vx  in  der 
Richtung  OA  und  f,  in  der  dazu  senkrechten  Richtung.    Nun  ist  die  Stern- 
ichnuppe  allerdings  nicht  elastisch,  hingegen  erfolgt  ihr  Stoss  gegen  einen  elasti- 
schen Körper,  die  Luft;  aber  die  jeweilige  gestossene  Masse  ist  veränderlich, 
ind  hängt  von  der  Dichtigkeit  der  Luft  ab.    Das  Problem,  die  Untersuchung 
ler  Bewegung  einer  unelastischen  Masse  bei  dem  Stosse  gegen  eine  elastische 
vlasse  von  veränderlicher  Dichtigkeit,  ist  aber  nichts  anderes,  als  das  Problem 
les  Luftwiderstandes.     Aber  es  ist  hieraus  klar,  dass  die  Wirkung  des  Luft- 
sviderstandes  sich  nicht  nur  auf  die  Veränderung  der  Geschwindigkeiten,  sondern 

Valbntink»,  Astronomie.    II.  9 


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«30 


Kometen  und  Meteore. 


auch  auf  die  Aenderung  der  Bahnform  bezieht,  und  dass  der  Einfluss  dieser 
Geschwindigkeit  auf  die  Bahnform  infolge  des  Umstandes,  dass  die  Geschwindig- 
keiten der  Sternschnuppe  und  der  Erde  vergleichbar  sind  (Grössen  derselben 
Ordnung)  unter  Umständen  grösser  werden  kann,  als  selbst  die  Anziehung 
der  Erde. 

Die  Anziehung  der  Erde  wirkt  in  der  Ebene  des  Radiusvectors  OS  und  der 
Bewegungsrichtung  der  Sternschnuppe  SS\  und  in  Folge  derselben  würde  die 
Sternschnuppe  eine  in  der  Ebene  SS'O  gelegene  krumme  Bahn  beschreiben. 
Der  Luftwiderstand  wird,  wie  später  gezeigt  wird,  die  Bahnebene  unter  der  Vor* 
aussetzung,  dass  die  Sternschnuppe  eine  Kugel  ist,  nicht  ändern.  Die  Zusammen- 
setzung der  Geschwindigkeiten  aber  findet  in  derjenigen  Ebene  statt,  welche 
durch  die  Bewegungsrichtung  der  Sternschnuppe  parallel  zur  Bewegungsrichtung 
OA  der  Erde  gelegt  wird.  Fallen  diese  beiden  Ebenen  zusammen,  oder  mit 
anderen  Worten,  schneidet  die  Bahn  der  Sternschnuppe  die  Bewegungsrichtung 
der  Erde,  so  wird  die  von  ihr  beschriebene  Curve  eine  ebene  Curve  sein. 
Diese  wird  sich  aber  als  grösster  Kreis  an  der  Himmelskugel  nur  dann  projiciren, 
wenn  der  Beobachter  sich  in  derselben  Ebene  befindet.  In  allen  andern  Fällen 
muss  die  Sternschnuppe  eine  von  einem  grössten  Kreise  abweichende  Bahn 
beschreiben;  die  Krümmung  der  Bahn  wird  aber  nur  nach  der  einen  Seite  statt- 
finden; es  treten  Bahnen  von  der  Form  d,  e  Fig.  255  auf. 

Fällt  aber  die  Richtung  der  Erdbewegung  nicht  in  die  Bahn  der  Stern- 
schnuppe, so  wird  die  Sternschnuppe  in  Folge  der  Erdanziehung  und  der  Erd- 
bewegung eine  doppelt  gekrümmte  Curve  beschreiben,  die,  von  verschiedenen 
Erdorten  aus  gesehen,  eine  sehr  verschiedenartige  Gestalt  haben  kann. 

Wie  später  gezeigt  wird,  ist  aber  der  Einfluss  der  Erdanziehung  nur  be- 
deutend für  die  aus  der  Nähe  des  Antiapex  kommenden  Sternschnuppen;  für 
alle  aus  grösserer  Entfernung  vom  Antiapex  kommenden  Sternschnuppen  wird 
demnach  die  Aenderung  der  Bewegung  in  die  Ebene  fallen,  welche  durch  die 
Bewegungsrichtung  der  Sternschnuppe  parallel  zur  Tangente  an  die  Erdbewegung 
in  dem  Momente  des  Eintritts  des  Meteors  in  die  Atmosphäre  gelegt  wird, 
und  die  Bahn  wird  wenig  von  einer  ebenen  Curve  verschieden  sein.  Für  die 
aus  der  Nähe  des  Antiapex  kommenden  Sternschnuppen  ist  aber  wieder  der 
Einfluss  des  Luftwiderstandes  gering,  und  für  diese  wird  daher  die  Bahn  in  der 
durch  die  Anfangsrichtung  der  Sternschnuppe  und  den  Erdmittelpunkt  gelegten 
Ebene  enthalten  sein,  die  Bahn  daher  ebenfalls  eine  ebene  Curve,  so  dass  die 
Bahnen  sich  zumeist  in  den  Formen  d,  e  darstellen  werden.  In  denjenigen 
Fällen,  wo  der  Einfluss  der  Erdanziehung  und  Erdbewegung  gemeinschaftlich 
wirkt,  wird  derselbe  jedoch  nur  mässig  sein,  und  die  Bahn  wird  zur  doppelt  ge- 
krümmten: es  treten  mässig  gekrümmte  Curven  von  der  Form  b  auf. 

Im  ersten  Theile  der  Bewegung,  wo  die  Masse  der  Luft  wegen  der  sehr 
geringen  Dichte  nur  klein  ist,  wird  ausser  dem  Verluste  an  lebendiger  Kraft  und 
dem  damit  verbundenen  Glühen  und  Verbrennen  eine  merkliche  Aenderung  in 
der  Bewegungsrichtung  nicht  auftreten.  Eine  bedeutende  Aenderung  in  der 
Richtung  wird  aber  dort  auftreten,  wo  die  Geschwindigkeit  des  Meteors  bereits 
abgenommen,  und  die  Dichte  der  Luft  zugenommen  hat,  also  in  den  unteren 
Theilen  der  Bahn ;  daher  kommt  es,  dass  gerade  gegen  das  Ende  der  Bahn  oft 
starke  Krümmungen  sichtbar  werden,  und  dieses  zumeist  bei  den  hellen  und 
lange  sichtbaren  Meteoren. 

Manche  mögen  thatsächlich  ihre  Bewegungsrichtung  so  weit  geändert  haben, 
dass  sie  wieder  aus  der  Erdatmosphäre  heraustreten,  ihren  Weg  im  Welträume 


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Kometen  und  Meteore. 


131 


fortsetzen.  Kleinere  Meteore  werden  schon  in  den  obersten  Schichten  der  Luft 
aufgezehrt,  ohne  dass  eine  Abweichung  ihrer  Bewegungsrichtung  vom  grössten 
Kreise  sich  merkbar  machte;  grössere  ändern  ihre  Bewegungsrichtung,  wie  er- 
wähnt gegen  das  Ende  ihrer  Bahn,  und  nur  diejenigen  grossen  Meteore,  welche 
trotz  des  fortwährenden  Verbrennens  noch  hinreichende  Masse  haben,  um  in 
die  unteren  Luftschichten  zu  gelangen,  beschreiben  dann  Bahnen  von  der  Form / 
(Fig.  255);  nur  wenige  Meteore,  und  zwar  nur  jene,  welche  nahe  aus  dem  Zenith 
fallen,  gelangen  thatsächlich  zur  Erde.  Auch  in  dieser  Richtung  wirkt  die  Luft 
wie  ein  elastisches  Polster1). 

Eine  zweite  Ursache,  durch  welche  die  Bewegungsrichtung  thatsächlich  ge- 
ändert wird,  ist  die  unregelmässige  Form  der  Meteore.  Jeder  Körper  von  un- 
regelmässiger Gestalt,  der  in  einer  Translationsbewegung  begriffen  ist,  wird  durch 
den  Luftwiderstand  in  eine  Rotationsbewegung  versetzt,  wodurch  auch  die  Richtung 
seiner  Bewegung  geändert  wird.  Derartige  Complikationen  treten  bei  der  Be- 
wegung von  Kugeln  aus  gezogenen  Geschützen  auf;  bei  diesen  ist  der  Lauf  schwach 
schraubenförmig  gedreht;  dadurch  erhält  die  Kugel  eine  Rotationsbewegung, 
und  da  sie  nicht  kugelförmig,  sondern  conoidisch  ist,  so  wird  sie  aus  der  verticalen 
Ebene  etwas  abgelenkt. 

Noch  complicirter  werden  die  Bewegungen,  wenn  der  Schwerpunkt  einer 
solchen,  in  dieser  Weise  in  Rotation  versetzten  Kugel  ausserhalb  der  Symmetrie- 
axe  liegt.    Schiessversuche  wurden  in  Christiania  mit  derartigen  Kanonenkugeln 
vorgenommen ;  sie  wurden  hergestellt,  indem  man  in  der  Form  seitlich  an  einem 
Stäbchen  ein  Thonkügelchen  anbrachte.    Dieses  wurde  dann  herausgeschabt, 
und  die  Oeffnung  an  der  Stelle,  wo  das  Stäbchen  das  Kügelchen  hielt,  durch 
einen  Eisenpfropfen  verschlossen.    Bei  einem  vierzehnpfündigen  Geschütze,  das 
unter  einem  Elevationswinkel  von  10°  mit  einer  Anfangsgeschwindigkeit  von 
1000  engl.  Fuss  (ca.  300  m)  abgeschossen  worden  war,  war  nach  einem  Wege 
von  8400  engl.  Fuss  (2*5  km)  die  Kugel  um  40  Fuss  (12  m) 
von  der  ursprünglichen  Richtung  nach  der  Seite  abgewichen; 
die  Horizontalprojection  der  Bahn  war  ungefähr  ein  Kreis  von 
270  km  Radius.  Eine  vierpfündige  Haubitze,  unter  einem  Ele- 
vationswinkel von  45°  abgeschossen,  wich  in  der  Entfernung 
von  1316  Fuss  (400  m)  um  27  Fuss  (8'5  m)  ab;  die  Horizontal- 
projection der  Bahn  war  ungefähr  ein  Kreis  (aber  etwas  ge- 
schlängelt) von  nahe  10  km  Radius. 

Sehr  instructiv  in  dieser  Richtung  ist  das  von  den  Austra- 
liern benützte  Wurfgeschoss :  der  Bumerang,  eine  knieartig 
gebogene  Scheibe  ab  cd,  Fig.  258  die  etwas  windschief,  also 
wie  eine  Schraubenfläche  gebogen  ist,  so  dass  z.  B.  die 
Ecken  ac  Uber  die  Zeichnungsfläche  heraustreten;  wie  ein 
Pfeil  abgeschossen,  geräth  dieselbe  in  eine  drehende  Be- 
wegung und  wird  dabei  in  einem  weiten  Bogen  zum  Ausgangspunkte  zurückkehren. 

Manche  Abweichungen  von  den  Bahnen  lassen  sich  durch  optische  Unregel- 
mässigkeiten erklären.    Schmidt  erklärt  die  schlängelnde  Bewegung  dadurch, 

•)  Dieses  scheint  auch  die  Ursache,  dass  bei  den  teleskopischen  Meteoren  anomale 
Bewegungserscheinungen  viel  seltener  auftreten.  Schmidt  sah  (Resultate,  pag.  173)  unter  146 
teleskopischen  Meteoren  nur  eine  sicher  als  anomal  tu  bezeichnende  Bahn  (und  eine  möglicher- 
weis« schwach  gckrlimmte)  wahrend  er  unter  4068  mit  freiem  Auge  beobachteten  Meteoren  175 
anomale  Bewegungen  sah;  diesem  entspricht  der  Prozentsatz  von  0  68 %  bei  den  teleskopischcn, 
hingegen  4*4  g,  also  nahe  7  mal  so  viele  bei  den  mit  freiem  Auge  sichtbaren. 

9* 

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Kometen  und  Meteore. 


dass  ein  Meteor  eine  rotirende  Bewegung  senkrecht  zu  seiner  Bewegungsrichtung 
hat,  so  also,  dass  die  Rotationsaxe  in  die  Richtung  der  Bewegung  fällt,  aber 
nicht  das  ganze  Meteor,  sondern  nur  z.  B.  ein  Punkt  ausserhalb  der  Axe,  welcher 
vielleicht  aus  leichter  entzündlichen  Stoffen  besteht,  zum  Glühen  oder  Verbrennen 
kommt  Je  nach  dem  Standpunkte  der  Beobachter  wird  dann  ein  solches  Meteor 
einen  verschiedenen  Eindruck  auf  das  Auge  machen;  ist  die  Rotationsaxe,  also 
die  Bewegungsrichtung  gegen  die  Gesichtslinie  nur  wenig  geneigt,  so  entsteht 
die  schlängelnde  Bewegung;  ist  eine  starke  Neigung,  steht  sie  z.  B.  beinahe 
senkrecht  auf  der  Visirlinie,  so  wird  das  Meteor  in  regelmässigen  Intervallen 
aufblitzen  und  verschwinden,  eine  Erscheinung,  welche  sich  z.  B.  bei  dem  bereits 
erwähnten  Meteore  vom  n.  November  1849  (vergl.  pag.  119)  den  beiden  Beob- 
achtern Schmidt  und  Heis  darbot. 

Eine  Bahn  von  der  Form  e,  Fig.  255,  wird  einem  Beobachter  in  der  Richtung 
mm'  je  nach  der  Neigung  in  allen  möglichen  Formen  zwischen  d  und  e  er- 
scheinen, und  wenn  die  Ebene,  in  welcher  die  Curve  d  Hegt,  durch  das  Auge 
des  Beobachters  geht,  so  wird  das  Meteor  eine  gerade  Linie  nach  der  einen  Seite 
zu  beschreiben  scheinen,  sodann  einen  Augenblick  still  stehen,  und  in  seine 
frühere  Bahn  zurückkehren.  Bei  einer  Bahn  von  der  Form  b  wird,  wenn  sich 
das  Auge  in  der  Richtung  mm'  befindet,  das  Meteor,  während  es  die  Bahnstrecke 
aß  zurücklegt,  still  zu  stehen  und  dann  in  seiner  früheren  Bahn  fortzufahren 
scheinen,  u.  s.  w. 

III.  Die  Höhe  der  Meteore.  Einer  der  wesentlichsten  Funkte  in  der 
Theorie  der  Meteore  war  die  Ermittelung  ihrer  Höhe.  Nur  durch  wirkliche 
Bestimmung  derselben,  ohne  jegliche  Hypothese  darüber,  kann  erwiesen  werden, 
ob  sie  terrestrischen  Ursprungs  sind,  oder  nicht;  nur  wenn  ihre  Höhe  bekannt 
ist,  kann  ihre  lineare  Geschwindigkeit  gefunden  werden,  welche  für  die  Be- 
urtheilung  ihrer  wirklichen  Bahn  im  Räume  von  wesentlicher  Bedeutung  ist. 

Ein  einfaches,  zum  Theile  graphisches  Verfahren  zur  Bestimmung  der  Höhe 
ist  das  folgende:  Man  trägt  von  dem  Beobachtungsorte  A  die  Richtung  Axx),  in 
welcher  das  Meteor  aufblitzte  (das  Azimuth)  auf  einer  in  genügend  grossem  Maass- 
stabe ausgeführten  Spezialkarte  der  Gegend  ein,  und  notirt  die  beobachtete  Höhe 
o  über  dem  Horizonte.  Hat  man  die  Azimuthe  von  zwei  oder  mehreren  Orten 
(A,  B,  C  u.  s.  w.),  so  werden  sich  die  Richtungen  Ax,  By,  C«,  ....  in  einem 
Punkte  O  schneiden,  über  welchen  eben  das  Meteor  S  aufblitzte.  O  ist  dann  die 
Projection  von  S  auf  die  hierzu  in  dem  Bereiche  der  Erscheinung  des  Meteors 
als  eben  angenommene  Erde;  AO,  BO,  CO  .  .  .  sind  die  Projectionen  der 
Visirlinien  AS,  BS,  CS,  und  OS  ist  die  Höhe,  in  welcher  das  Meteor  aufgeblitzt 
ist  Die  Entfernungen  AO,  BO  .  ,  .  können  mit  einem  Maassstabe  entnommen 
werden,  und  dann  folgt 

OS  —  AOianga.  =  BOtang§  =  CO  tätig -\  .  .  . 
In  derselben  Weise  erhält  man  die  Höhe  O'S'  des  Verschwindens,  und  dann 
ist  die  Länge  des  Weges,  welchen  das  Meteor  zurückgelegt  hat: 

W=  y(00')*  +  (OS  -  O'S')' 
und  die  Geschwindigkeit  des  Meteors 

W 

ue  =  ~J  > 

wenn  /  die  Zeitdauer  der  Erscheinung  ist 


')  Die  Figur  kann  jeder  leicht  selbst  ergänzen. 

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Kometen  und  Meteore. 


«33 


Bedingung,  dass  an  allen  Orten  dasselbe  Meteor  beobachtet  wurde,  ist 
zuerst  Uebereinstimmung  der  Zeiten,  wobei  aber  auf  die  Längendifferenz  Rück- 
sicht genommen  werden  muss.  Meteorerscheinungen,  welche  z.  B.  in  Berlin, 
Heidelberg  und  Breslau  gesehen  werden,  können  nur  dann  als  demselben  Meteor 
angehörig  angesehen  werden,  wenn  die  Erscheinung  in  Heidelberg  um  die 
Längendifferenz,  d.  i.  um  20  Minuten  Ortszeit  früher,  und  in  Breslau  um  14^  Minuten 
Ortszeit  später  gesehen  wird,  als  in  Berlin. 

Die  zweite  Bedingung  ist,  dass  sich  die  sämmtlichen  Richtungen  AO,  BO 
CO  .  .  .  und  ebenso  die  Richtungen  AO',  BO',  CO'  ...  in  denselben  Punkten 
O,  O'  schneiden,  und  dass  sich  aus  allen  beobachteten  Höhen  a,  %  7  .  . 
a',  ß',  7'  .  .  .  dieselben  Abslände  von  der  Erde  O S,  O'S1  ergeben;  Bestimmungen 
dieser  Art  waren  es,  welche  schon  im  vorigen  Jahrhundert  die  grosse  Höhe  der 
Meteore  über  der  Erde  und  ihre  grossen  Geschwindigkeiten  darthaten. 

Selbstverständlich  wird  der  Schnitt  der  Linien  AO,  BO  .  .  .  nicht  genau 
in  einem  Punkte  stattfinden,  denn  die  Beobachtungen  können  nicht  absolut 
genau  sein,  und  sind  stets  mit  gewissen  Beobachtungsfehlern  behaftet,  die  bei 
den  Meteoren  eine  nicht  unbeträchtliche  Grösse  erreichen.  Erstrecken  sich 
daher  die  Beobachtungen  nur  auf  einen  geringen  Bereich,  so  wird  diese  Methode 
ausreichend  genau  sein.  Will  man  aber  den  graphischen  Weg  verlassen,  und 
die  sämmtlichen  Operationen  durch  Rechnung  ersetzen,  so  wird  man  besser  auf 
die  Krümmung  der  Erde  Rücksicht  nehmen,  wenn  das  Beobachtungsbereich 
wie  in  dem  obigen  Beispiele  (Berlin,  Breslau,  Heidelberg)  etwas  grösser  ist 

Diesem  Umstände  trägt  bereits  die  von  Olbers  gegebene  Methode  Rechnung. 
Olbers  leitete  aber  seine  Formeln  unter  der  Voraussetzung  ab,  dass  sich  die 
Gesichtslinien  von  sämmtlichen  Beobachtungsorten  in  einem  Punkte  schneiden. 
Unter  dieser  Voraussetzung  werden  jedoch  die  Resultate  nicht  ganz  correkt,  und 
Brandes  schlägt  eine  andere  Berechnungsart  vor1),  bei  welcher  auf  die  Möglich- 
keit Rücksicht  genommen 
ist,  dass  sich  die  Gesichts- 
linien im  Räume  nicht 
wirklich  schneiden ,  son- 
dern kreuzen,  wie  dieses 
in  Folge  derBeobachtungs- 
iehler  zumeist  der  Fall  sein 
wird.  Die  Berechnungsart 
von  Brandes  lässt  sich  am 
einfachsten  in  folgender 
Weise  darstellen: 

Sei  O  (Fig.  259)  der 
Mittelpunkt  der  Erde,  OC 
die  Rotationsaxe,  AB  der 
Aequator,  Px  ein  Beob- 
achtungsort, also  CPX  des- 
sen Meridian,  pxOPx*=Bx  dessen  geographische  Breite,  und|sei  für  die  Zeit  der 
Beobachtung  OA  die  Richtung  nach  dem  Frühlingspunkt,  so  ist  px  OA  der 
Stundenwinkel  des  Frühlingspunktes,  also  die  Sternzeit  0t  für  die  in  Px  gemachte 
Beobachtung.  Bezieht  man  nun  alle  Punkte  auf  ein  rechtwinkliges  Axensystem, 
dessen  XAxe  durch  den  Frühlingspunkt,  dessen  K-Axe  nach  dem  Punkte, 


(A.259.) 


•)  »Unterhaltungen  für  Freunde  der  Physik  und  Astronomie,  Leiptig  1829«,  pag.  17.« 


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134  Kometen  und  Meteore. 

Rectascension  90°  ist,  und  dessen  Z-Axe  nach  dem  Nordpol  gerichtet  ist,  so 
werden  die  Coordinaten  von  Px,  wenn  man  mit  a  den  Erdhalbmesser  bezeichnet: 
xx  =  a  cos  Bx  cos  Bx ;  yx  =  a  cos  Bx  sin  Bx',  zx  =  a  sin  Bv  (1) 
Es  möge  nun  @1(  mit  den  Rectascensionen  und  Deklinationen  a,,  $x,  der 
von  Px  aus  beobachtete  Ort  der  Sternschnuppe  am  Himmel  sein;  ist  nun  PXS 
die  beobachtete  Richtung,  PX'S'  die  Projection  dieser  Richtung  auf  die  X  K-Ebene, 
so  wird,  wenn  man  Px '(V)  parallel  zu  OV  und  Pxs  parallel  PX'S'  zieht, 

CYW-S'-^;   sPxS  =  Sx 
sein.    Ist  Q  ein  beliebiger  Punkt  in  der  Richtung  PXS  mit  den  (laufenden) 
Coordinaten     ij,  C,  so  findet  man  leicht,  wenn  man  Px  Q*  =  f>x  setzt 

izi£i  =  i^yj.  =  c  -  *i  =  (2) 

cosax        sin  ax       tanghx      Pl  *  ' 

und  dieses  ist  die  Gleichung  der  Geraden  Px  S.  In  ganz  gleicher  Weise  hat  man 
für  einen  zweiten  Beobachtungsort  P9: 

=  a  cos  B%  cos  9a ;  y s  =  a  cos  B9  sin  6 , ;    *2  =  ö  jmt  2?8  ( 1  a) 

und  ist  @s  mit  den  Coordinaten  at,  6",  der  von  aus  beobachtete  Ort  der 
Sternschnuppe,  so  wird  die  Gleichung  der  Visur  für  diesen  Ort: 

Sei  nun  die  Determinante 

f<7iaj  ««a,  (3) 

*wa,  j/«a,  tangh% 

und  die  Unterdelerminanten  der  ersten  Zeile 

Dx  =  4-  sin  a,  /a«^-  Ss  —  sin  a,  /ä«^"  3t 

Z>4  =  —  ftw  aj  to/^  fij  -+-  aa  Ajt«^  8 ,  (3a) 
Z?3  =  -f-  cos  ax  sin  a9  —  sin  ax  cos  as  =  x/«  («4  —  a, ), 

so  ist  die  Bedingung  für  das  Schneiden  der  beiden  Visuren 

Z>  =  0.  (4) 
Ist  diese  Bedingung  nicht  erfüllt,  so  wird  der  kürzeste  Abstand  der  beiden 
Visuren 

D 

k  =   •  (5) 

Die  Grösse  dieses  kürzesten  Abstandes  wird  auch  einen  Massstab  geben  für 
die  Güte  der  Beobachtungen  bezw.  für  die  Zusammengehörigkeit  derselben.  Da 
D  =  Dx(xi-xx)  +  Dt  (yt -yx)  +  Dt  (*,  -  *,)  (3b) 
ist,  so  wird  D  in  demselben  Maasse  erhalten,  in  welchem  a  ausgedrückt  ist: 
Man  kann  aal  wählen  und  erhält  dann  k  in  Einheiten  des  Erdhalbmessers 
ausgedrückt;  in  dieser  Einheit  ist  1  km  =  0  000157  oder  0  0001  =  0  637  km 
=  637  m.  Nähert  sich  k  diesem  Werthe,  so  sind  entweder  die  Beobachtungen 
sehr  schlecht,  oder  die  an  den  beiden  Punkten  gemachten  Beobachtungen 
gehören  nicht  derselben  Sternschnuppe  an.  Schneiden  sich  die  beiden  Geraden, 
so  sind  die  Ausdrücke 

j       mi  .        *       m,j  .        .  ms 
1     D~x'         *  =  D\'         l  =  D~*'  () 

wobei 

mx  =  tanghi{y%  -yx)-  ««<*,(*,  -  zx) 

m,  =  cos  «,(*,  —  zx)  —  lang  8,  (*,  —  xx)  (6a) 

w,  =  sin  *i(x%  -  xx)  —  cosa^yt  -  yx) 


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Kometen  und  Meteore. 


»35 


ist,  einander  gleich,  also  dx  =  rf,  =  </3  =  pt,  wenn  jetzt  p,  die  Entfernung  der 
Projektion  S'  des  Schnittpunktes  S  der  beiden  Visuren  von  Pt'  bedeutet  und  man 
hat  dann  tür  die  geocentrischen  Coordinaten  x0,  y0,  s0  dieses  Schnittpunktes, 
also  für  die  Coordinaten  der  Sternschnuppe: 

xo  =  *\  +  9xcos^\ 

y*=yx  +  Pi«««i  (7) 
*o  =  *i  Pi'*V*i- 
Die  Entfernung  p0  der  Sternschnuppe  vom  Erdmittelpunkte  und  ihre  Höhe  h 
über  der  Erdoberfläche  werden  gegeben  durch 

t^Y^F+yT+^'t    h  =  H-a.  (7a) 

Da  sich  die  Gleichungen  (6)  in  der  Form  schreiben  lassen 

Vldi  =  ml;   D%  d,  =  w, ;   Dtdt  =  mt  (6b) 

so  kann  man,  wenn  die  Bedingung  des  Schneidens  nicht  erfüllt  ist,  und  die 
Abweichungen  als  Folge  von  Beobachtungsfehlern  angesehen  werden  können, 
als  den  wahrscheinlichsten  Werth  von  px  den  Ausdruck1): 

betrachten.  Ganz  ähnliche  Ausdrücke  erhält  man  für  die  Entfernung  p,'«)  für 
die  Coordinaten  x0',  y0\  *0',  die  geocentrische  Entfernung  p0'  und  die  Höhe  h' 
des  Verschwindens,  wenn  man  an  Stelle  der  beobachteten  ap  4t>  a„  des 
Aufleuchtens  die  Coordinaten  at',  i/,  o,',  6t'  des  Verschwindens  setzt  Der 
zurückgelegte  Weg  W  folgt  aus 

=  (*0  -  *>')'+  (y.  ~  y.')9  +  (*•  -  *•')•  (9) 
und  die  Geschwindigkeit  u0  aus 

«o  =  T '  <10) 

wenn  die  Dauer  der  Erscheinung  /'  ist  IV  und  u0  sind  in  derselben  Einheit 
ausgedrückt  wie  a\  wurde  daher  für  a  die  Einheit  gewählt,  so  hat  man  W  und 
u0,  um  dieselben  in  Kilometern  auszudrücken,  mit  6370  3  {log  =  3  804 16)  zu 
multipliciren. 

Die  Bedingung  (3)  hat  eine  einfache  geometrische  Bedeutung.  Bezeichnet 
man  den  Punkt  an  der  Himmelskugel,  wo  die  Verbindungslinie  PXP%  in  der 
Richtung  über  P%  verlängert  die  Himmelskugel  trifft,  mit  und  seien  dessen 
Rectascension  und  Deklination  A,  A,  so  ist,  wenn  die  Entfernung  PtP9  =  ?  ist 

xt  —  x ,  =  P  cos  A  cos  A 

—  y  j  =  P  cos  A  sin  A  (1 1) 

*a  —  s,  =  P«»  A 

und  die  Gleichung  (3)  wird 

D  =  P  cos  A   *w  A  i/«  A  /a»^  A 

COS  Oj    J/fl  Äj    /<I«^  5j 

*w  Oj  */«  et,  fang  ö*s 

und  die  Bedingung  (4)  wird: 

A**^  A  j/*(a,  —  at)  -f-  tanglx  sin  (A  —  a4)  —        B9sin  (A  —  aj  =  0,  (4') 


(3') 


«)  Brandes  schlägt  hier  natürlich  einen  andern  Weg  ein. 

*)  Selbstverständlich  kann  man  auch  ganz  ähnliche  Ausdrucke  fllr  die  Entfernungen  p,,p,' 
zweiten  Beobacbhmgspunkte  erhalten,  indem  nur  in  (6a)  af,  it  durch  «,,  i,  ersetzt  wird. 


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•36 


Kometen  und  Meteore. 


welche  Gleichung  aussagt,  dass  die  drei  Punkte  @„  @„  $  in  einem  gTössten 
Kreise  am  Himmel  liegen  müssen.  Dieses  ist  auch  selbstverständlich;  sollen 
die  Visuren  P^lt  -P,©,  derselben  Sternschnuppe  angehören,  so  müssen  sie 
sich  schneiden,  also  in  einer  Ebene  liegen,  welche  die  Himmelskugel  in  dem 
grössten  Kreise  ©,©,$  schneidet.  Sind  nun  die  Beobachtungen  fehlerhaft,  so 
werden  die  Punkte  ©,,©„$  nicht  in  einem  grössten  Kreise  liegen,  aber  wenn 

die  Beobachtungen  thatsächlich  einer 
und  derselben  Sternschnuppe  ange- 
hören, so  werden  die  Abweichungen 
vom  grössten  Kreise  nur  massig  sein, 
und  die  kleinstmöglichen  Aende- 
rungen,  welche  man  an  die  Orte 
©j,  ®j  anbringen  muss,  um  sie  auf 
einen  grössten  Kreis  zu  reduciren, 
geben  nach  Bksskl1)  ein  Maass  Mir 
die  Genauigkeit  der  Beobachtungen. 
Die  anzubringenden  Aenderungen 
werden  aber  am  kleinsten,  wenn 
man  für  den  grössten  Kreis  den  durch 
den  Halbirungspunkt  ©  (Fig.  260)  von  @t  ©,  gehenden  grössten  Kreis  wählt. 
Diese  Aenderungen  sind  dann  =  @,S2  = /,  wenn  die  Kreisbögen  S,8„ 

@,  8a  senkrecht  auf  ©g*  stehen.  Man  hat  nun  zunächst  die  Grössen  j,,/,,  xlf 
zu  berechnen,  wobei/,,  p%  die  Positionswinkel  der  Linien  sx,  s%  (vergl.  die  Fig.  260) 
bedeuten,  wo  also  der  grösste  Kreis  Sßx  gegen  den  Nordpol  gerichtet  ist.  Die 
Berechnung  erfolgt  aus  den  Dreiecken  ©rgJ-Pol  des  Aequators,  ©,-$-Pol  des 
Aequators;  man  erhält: 

cos  j,  =  sin  A  sin  5,  -+•  cos  A  cos  Bx  cos  (o,  —  A) 
sin  sx  cospx  =  cos  A  sin  ix  —  sin  A  cos  8,  cos  (c^  —  A) 
sin  sx  sinpx  =  cos  8t  sin  (o,  —  A), 

und  ebenso  für  den  zweiten  Ort;  setzt  man  daher 

sin  8 ,  =  kx  sin  Kx 


(A.  260.) 


cos  8X  cos  (a,  —  A)  =  kx  cos  Kx 
so  wird: 

cos  sx  =  kx  cos  (AT,  —  A) 
sin  sx  cospx*=  kx  sin  (AT,  —  A) 
sin  sx  sin px  =  cos  9X  sin  (a,  —  A) 


sin  8,  =  £8  sin  K% 


cos  8a  *w  (o,  —  A)  =  k%  cos  AT,, 


(12) 


cos  s9  =     <w  (A*,  —  A) 
sin  j,  <w/>3  =  kt  sin  (AT,  —  A)  (12a) 
sinstsinpi  =  cosbisin{a%  —  A). 


Ist  jl/  der  Positionswinkel  von  ©<p,  so  ist 

«=  «» Xl  j/«  (M-  px)  =  sin  s ,     0>,  —  3/) 


und  daraus 

«'« *i  _  sin(pt—  AT) 
-~si»{M-pxy 


(13) 


sin  s 


sm  Sr 


sin  s. 


oder 


sm  sx  —  sm  s% 


sin  —  M)  -h  sin  {M  —  px) 
sin  (/>,  —  M)  —  sin{M—p~) 


Nachdem  M  aus  (14)  berechnet  ist,  erhält  man  /  aus  (13). 
Unter  48  von  Brandes  als  correspondirend  angegebenen  Sternschnuppen 
fand  Bessel  unter  der  Voraussetzung  ihrer  Gleichzeitigkeit 

»)  A«tron.  Nachrichten  Bd.  16.  pag.  321;  gesammelte  Werke,  in.  Bd.,  pag.  328. 


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Kometen  und  Meteore. 


«37 


(A.2GI.) 


Fehler  /  zwischen   0°    1°   2°   3°   4°   5°   6°   7°  8° 

in  14  11  5  7  5  8  2  1  Fällen 
und  schliesst  hieraus,  dass  die  Beobachtungen  eben  nicht  als  streng  gleich- 
zeitig anzusehen  sind.  Nimmt  man  aber  an,  dass  die  Sternschnuppen  an 
den  beiden  Beobachtungspunkten  nicht  wirklich  gleichzeitig  aufleuchten  und  ver- 
schwinden gesehen  wurden,  so  werden  sich  auch  manche  Anomalien  der  Be- 
wegung erklären  lassen.  Bsssel  führt  den  folgenden  charakteristischen  Fall  an: 
Sei  AB  (Fig.  261)  der  Weg  einer  Sternschnuppe 
Uber  den  beiden  Beobachtungspunkten  PA  P9, 
wobei  der  Einfachheit  halber  die  Bahn  der 
Sternschnuppe  und  die  beiden  Beobachtungs- 
punkte in  derselben  Ebene  angenommen  werden, 
und  werde  ihr  Aufblitzen  in  Px  bemerkt,  wenn 
sie  in  Sx  ist;  ihr  Verschwinden,  wenn  sie  in  Sx' 
ist;  von  P9  aus  bezw.,  wenn  sie  in  St,  St'  ist, 
so  ergiebt  die  Rechnung  für  den  Ort  der  Stern- 
schnuppe im  Räume  zur  Zeit  des  Aufblitzens 
den  Schnittpunkt  der  beiden  Visuren  PiSx,  PtS9, 

also  S0,  für  den  Ort  des  Verschwindens  S0',  so  dass  man  durch  die  Rechnung 
an  Stelle  der  Bahn  AB  eine  andere,  davon  ganz  verschiedene,  aufsteigende 
A0B0  erhält.  In  der  That  giebt  die  Rechnung  in  sehr  vielen  Fällen  aufsteigende 
Bahnen;  wie  aus  dem  Früheren  folgt,  sind  aber  aufsteigende  Bahnen  nur  dann 
als  reell  zu  betrachten,  wenn  die  scheinbare  Bahn  der  Sternschnuppe  merklich 
vom  grössten  Kreise  abweicht;  wo  aber  nur  der  erste,  normale  Theil  der  Bahn 
gesehen  wird,  was  man  leicht  daraus  schliessen  kann,  dass  von  verschiedenen 
Beobachtungspunkten  aus  die  Bahn  der  Sternschnuppe  sich  als  grösster  Kreis 
darstellt,  kann  von  aufsteigenden  Bahnen  nicht  wohl  die  Rede  sein. 

Wenn  nun  überdies  die  Ebenen  PiSl Sx  und  P^S^S^  nicht  zusammen- 
fallen, so  werden  sich  die  Visuren  PtSlf  ^,5,  und  ebenso  die  beiden  anderen 
kreuzen,  und  einen  Schnittpunkt  überhaupt  nicht  ergeben. 

Besskl  ersetzt  nun  die  Voraussetzung  der  Gleichzeitigkeit  des  Aufblitzens 
und  Verschwindens  durch  die  Annahme,  dass  die  Bahn  der  Sternschnuppe  eine 
gerade  Linie  wäre,  welche  ^ 
Voraussetzung  bei  allen  je- 
nen Sternschnuppen,  wel- 
che keine  Bewegungsano- 
malien gezeigt  haben,  zu- 
treffend ist. 

Seien  ©i©!' (Fig.  262) 
die  durch  die  Rectascen- 
sionen  und  Deklinationen 
Oj,  d|,  ax',  8|'  an  der  Him- 
melskugel bestimmten 
Punkte  des  Aul  blitzens 
und  Verschwindens  der 
Sternschnuppe  vomPunkte 
Px  aus  gesehen,  so  stellt 


(A.  262.) 


dieser  Voraussetzung  der  grösste  Kreis  die  scheinbare  Bahn  der 

Sternschnuppe,  gesehen  von  Px,  dar;  seien  die  Projectionen  des  Entzün- 

dungs-  und  Verschwindungspunktes  der  Sternschnuppe  von  Pt.    Wenn  nun  die 


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138  Kometen  und  Meteore. 

Beobachtungen  gleichzeitig  wären,  so  müssten  die  drei  Punkte  der  Himmelsk  : 
in  einem  grössten  Kreise  liegen,  und  ebenso  die  drei  Punkte  2/3  . 
Da  dieses  nicht  der  Fall  ist,  so  entsprechen  die  Beobachtungen  nicht  dense  >- 
Zeiten,  und  zu  den  Zeiten,  zu  denen  die  Sternschnuppe  von  Px  aus  in  2r: 
gesehen  wurde,  würde  sie  von  Pt  aus  in  zwei  Punkten  2„  2,'  gesehen  «rci: 
sein,  welche  man  erhält,  wenn  man  die  grössten  Kreise  9ß<5lt  f$2,'  r~ 
Schnitte  mit  dem  grössten  Kreise  <S,@,'  bringt 

Aus  der  Figur  folgt  sofort,  dass  die  Beobachtungen  als  gleichzeitig  znmsekc 
sind,  wenn  die  Positionswinkel  px  =  />,,  px  =  />,'  sind. 

Führt  man  die  auf  den  Deklinationskreis  von  $  bezüglichen  Polarcoordicifr 
p,  s  ein,  so  sind  die  Polarcoordinaten  von  2„  2,',  wenn  man  die  Strecken  JI 
=  u,,  $2,'  «=       setzt,  bezw.:  pv  ff,,  px, 

Die  Bedingung,  dass  ein  Punkt  A*  auf  dem  grössten  Kreise  €=)3f'  — 
ist,  wenn  =  S  das  Perpendikel  von  $  ist,  dessen  Positionswinkel  mit/': 
zeichnet  war,  ausgedrückt  durch 

cos  (p  —  F)  =  tang  S  cot  s. 
Aus  den  Coordinaten  der  beiden  Punkte  <3„  <&,'  folgt  daher: 

cos(p9  —  P)  =  tang  Scots9  \    cos  (pt  '—/>)  =  tang  S  cots,', 
woraus  sich  P  und  S  bestimmen,  und  dann  ist  für  die  Punkte  2,,  2,': 
cos  (px  —  P)  =  tang  S  cot <r, ;    cos(px  —  P)  =  tang  S  cot  a,'. 
Aus  den  beiden  Gleichungen  (15)  folgt: 

cotst  cos  (pt  —  P) 
cots,'  ~~  cos  (J>%'  —  -P) 

und  dann  in  derselben  Weise  wie  bei  (14)  zur  Bestimmung  von  P: 


■ 


■ 


dann  folgt  S  aus  einer  der  Gleichungen  (15),  und  endlich 

cot  <»,  =  cotS  cos(px—  P) 
cot     =  cot  Scos{px  —  P). 
Aus  den  Grössen  px,  a9,  px\  <x,'  erhält  man  nunmehr  die  Rectascensions 
und  Declinationen  a,  8,      8'  der  Punkte  2,,  2,'  nach: 

;i»  8  =      <y,  j#«  A  -t-  sin  ff,  *m  A  rar 
<w  8     (a  —  A)  =  cos  q  ,  <w  A  —      ff,  sin  &  cos  px 
cos  8  sin  (a  —  A)  =  sin  ff,  sin  px 
und  ebenso  für  a'8';  oder  wenn  man 

cos  o,  =  /  jm!  Z  cos  <j,'  =  /' sin  Z ' 

sin  <j,  w  px  —  IcosL       cos  o,' cos  px  =  /V«  X ' 

setzt: 

sin  &  =  /cos(L-  A)  «ff  8'  =  /' w  (Z  *  —  A) 

cos  8  w  (a  —  A)  =  / i/V»  (Z  -  A)  <rw  8'  cos  (a'  —  A)  =  /' (Z '  -  A)  (1>> 
<w  8      (a  —  A)  m  sin  <s^sinpx       cos  3' sin  (a'  —  A)  =  jw  ff,'j«i px\ 

Ersetzt  man  ietzt  die  Beobachtungen  ©i®!*  durch  die  mit  den  Be- 
achtungen in  Px  gleichzeitigen,  fiktiven,  der  wirklichen  Bahn  der  Stemscbnuf^ 
angehörigen  Beobachtungen  2,2,'  in  P9,  so  werden  sich  die  Visurcn  ge** 
schneiden,  die  Bedingung  (3)  oder  (3  a)  ist  erfüllt,  und  man  würde  durch  fl* 
Gleichungen  (6)  denselben  Werth  erhalten;  es  wird  also  genügen 
_  p  co*  A  sin  (tt  —  A)  m  casbsmj*'-  A) 

P*-r     sin(a-ax)     *    ^'  «»(«'-»/) 
zu  berechnen,  und  dann  nach 


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Kometen  und  Meteore. 


«39 


x0  —  Jf, 


■  p, cos  a, 
p,  sin  o, 


.r0'  =  xx  ■+■  p/ma,' 
*o'  =  *i  -r-  Pi'^V 
h'  =  Po'  -  a 


(7) 


(7  a) 


Po  =  y*o*  +  V  +  *<? 
A  =  p0  -  a 

die  Höhen  der  Sternschnuppe  und  nach  (9),  (10)  ihre  Geschwindigkeit. 

Bessel  leitet  nun  auch  Formeln  ab  für  den  Einfluss  von  fehlerhaften  Beob- 
achtungen auf  die  Resultate.  Hierbei  setzt  er  aber  voraus,  dass  der  Gesammt- 
fehler  sich  in  s  äussert,  und  die  p  fehlerfrei  sind;  man  kann  jedoch  auch 
Formeln  ableiten,  welche  diese  Voraussetzung  nicht  erfordern,  und  zwar  durch 
Differentiation  der  Formeln  (12) *);  man  erhält  dann 

dsx=txt]    dsi  =  tif,    dpx=qx%\    dp^  =  q9t, 

wenn  «  =  cos  8  da  dH  der  in  den  Rectascensionen  und  Deklinationen  voraus- 
zusetzende Fehler  ist,  und  mit  diesen  Werthen  wäre  weiter  zu  operiren.  Da 
man  jedoch  auf  einfachere  Weise  zum  Ziele  gelangen  kann,  so  sollen  die  Werthe 
für  die  Coefficienten  tx,  /s,  qx,  qt  nicht  weiter  abgeleitet  werden. 

Die  Resultate  werden  nämlich  etwas  übersichtlicher,  wenn  man  von  den 
Formeln  ausgeht,  welche  LehmannFilh£s  in  seiner  Inauguraldissertation  »Zur 
Theorie  der  Sternschnuppen t,  Berlin  1878,  gab. 

Die  Richtung,  aus  welcher  die  Sternschnuppe  kommt,  ist  bestimmt  durch 
den  Durchschnittspunkt  ihrer  geradlinigen  Bahn  (oder  auch  der  zu  ihr  parallelen 
Geraden  durch  das  Auge)  mit  der  Hirn- 
mclskugel.  Legt  man  ein  rechtwinkliges 
Axensystern,  dessen  XY-  Ebene  der 
Aequator,  dessen  XAxe  nach  dem  Früh- 
lingspunkt, und  dessen  Z-Axe  nach  dem 
Nordpol  gerichtet  ist,  zu  Grunde;  ist  ST 
(Fig.  263)  die  wieder  als  geradlinig  ge- 
dachte Sternschnuppenbahn,  und  T  ihr 
Durchschnittspunkt  mit  dem  Aequator, 
TS'  ihre  Projection  auf  den  Aequator, 
so  ist  ('Y')TS,=  %L'  die  Rectascension, 
STS  =  ©'  die  Deklination  des  schein- 
baren kosmischen  Ausgangspunktes;  die- 
ser ist  aber  nichts  anderes,  als  der  Ra- 
diant Sind  nämlich  mehrere  Stern- 
schnuppen beobachtet,  die  in  derselben 
Richtung  kommen,  so  wird  die  durch 
das  Auge  des  Beobachters  gelegte  Parallele  den  Verschwindungspunkt  (Flucht- 
punkt) bestimmen,  in  welchem  sich  die  scheinbaren  Bahnen  schneiden  müssen1). 
Den  Radianten  für  eine  einzelne  Sternschnuppe  kann  man  aus  den  Beobachtungen 
an  einem  Orte  nicht  bestimmen;  hierzu  müssen  Beobachtungen  von  mindestens 
zwei  Orten  vorliegen;  hingegen  ist  der  Radiant  mehrerer  Sternschnuppen  durch 
den  gemeinschaftlichen  Schnittpunkt  aller  ihrer  scheinbaren  Bahnen  (grösste 
Kreise  am  Himmel)  bestimmt 

die  Coordinaten  des  Durchstosspunktes  T  der  Meteorbahn  mit  der 


$  «•      ••>-••  *  ........... 


CA,*».) 


*)  Am  besten  vor  Einführung  der  Hilfswinkel. 

*)  Vergl.  auch  'Allgemeine  Einleitung  in  die  Astronomie«,  pag.  161. 


140  Kometen  und  Meteore. 

X  K-Ebene  /,  q,  0,  die  laufenden  Coordinaten  der  Sternschnuppen  bahn  £,  r, ; 
ist  die  Gleichung  derselben 

5  -  P  _  Ti  -  <?  C_  _ 

cosW  ~  sin*'  -  tang 

wenn  p  =  TS'  die  Entfernung  der  Projektion  des  Punktes,  dessen  Coortkr-i 
E,  i),  C  sind,  von  T  bedeutet. 

Ist  nun  Px  ein  Beobachtungsort,  dessen  Coordinaten  wie  früher  xvr. ,: 
seien,  und  r, ,  a,,  8t   Projection  der  Entfernung,  Rectascension  und  Ihi 
nation   des  Punktes  5  von  dem  Beobachtungsorte  Px ,   so  werden  für  er 
Anfangs-  und  Endpunkt  die  Grössen  «,,  8,,  ol',  8,'  bekannt  sein,  hinter 
sind  rx,  rx    unbekannt.    Nun  ist  aber  für  einen  beliebigen  Punkt  r,  «,  Je 
Sternschnuppenbahn : 

\  =      -+-  r  rt>i  a  -=  p  -+-  p  w  9t' 

i)  «=»  .y,  ■+-  r  im  a  =  q  -f-  p  im  9T  ;?. 
C  =  *t  -f-  r fangt  =  p/attg® 

Diese  drei  Gleichungen  lassen  sich  schreiben: 

x ,  —  p  +  r  cos*  —  p  r<?j  9T  =  0 

^1  —  ?  +  —  p  im  9t'  =  0  2 

i,  -f-  r  Am^  8  —  p  Am^  $)'  =  0. 

Eliminirt  man  hieraus  r  und  p,  so  folgt 

*\~P       Vi-**  *i 
cosa  sina  tätigt 

cosW         im  9t'  tang%' 
oder 

(*»  —  P){*in  «       S)'  —  *in  Wta*g —  Oi  —         *  <*W  £'  —  *)  v 

-f  zxsin  =  0.  ^ 


Setzt  man  für  die  vorläufig  unbestimmten  Coordinaten  o,  8,  die 
des  Aufleuchtens  et,,  8t  und  diejenigen  des  Verschwindens  o,',  8t'  an  dein  B*. 
achtungsorte  Px,  so  erhält  man  zwei  Gleichungen  für  diesen  Beobachtung^ 
ebenso  erhält  man  aus  den  Beobachtungen  für  das  Aufleuchten  und  Verschwicdr 
an  dem  zweiten  Beobachtungsorte  zwei  Gleichungen:  zusammen  4  Gleichung 
aus  denen  sich  die  vier  Unbekannten  p,  q,  91',  3)'  bestimmen  lassen.  Die  Gleich^ 
ist  jedoch  in  Bezug  auf  9t'  nicht  von  der  ersten  Ordnung,  indem  sie  im  V  or: 
cos  8t'  enthält.  Man  wird  jedoch  leicht  genäherte  Werthe  für  9t'  und  SV  erhalte 
verschafft  man  sich  gleichzeitig  genäherte  Werthe  für  p  und  q  und  setzt  6; 
Ausdrücke 

9t'  =  9l0  -f-  A91;    S)'  =  S)0  +  AS>;   p  «  p0  +  A/;    7  =  ?0  -t-  A? 
in  die  Gleichung  (22  a)  ein,  und  entwickelt  nach  Potenzen  der  Incremente  1* 
AS),  fXpt  bq,  wobei  man  diese  Aenderungen  einfach  als  diflerentiell  ansehen  kzr 
so  erhält  man: 

nx  =  axbp  +  bxbq     <rtA9l  -1-  dxb%  (55 

wobei 

-f-  im  aj  /<M£  SSD0  —  im  %0tang  tx  =  a, 

—  <w  at  tang^o  4-  <w  %0tang  8,  =  ^ 

+  (*i  -  /><>)      9t0Az«^  8,  -+-  Oi  -  y\>)  «'«  V"tf  8t  -  *, <r*i  (9t0  —  a,)  =  ^ 

—  K*i  —  />•)  "*  ai  —  Oi  —  ?o)     «ll  *«%  2>o  =  ^1 

(*i  —  Po)a\  +  Oj  —  ?o)*i  +  «1 «» (9t0  —  «1)  =  »x 
ist,  oder  für  die  Rechnung  bequemer: 


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Kometen  und  Meteore. 


141 


(23a) 


ax  =  4-  sin  *xtang  2>0  —  sin  % tangt^ 
bx  =  —  cos  a,  tang  S)0  4-  cos  H0  tang6x 
gx  sin  G\  =  ax       hx  sin  Bx=yx  —  q9 
gxcosGx  =  ol      hxcosHx*~xx — p0 
cx  =  hxcos{Hx  —  ^iti)tang^x  —  sxcos($l0  —  ax) 
dx  =  hxsin  (Hx  —  *x)scc*  S)0 
gx  hxsin  (Gx  4-  Hx)  4-  sx  sin  (&0  —  ox)  =  nx. 
In  ähnlicher  Weise  erhält  man  fllr  die  drei  Übrigen  Beobachtungen  a,\  4,'; 

a„  8,;  os',  6",'  Werthe  für   ;  «„  A,  und  damit  die  Gleichungen 

nx'  =  axkp  4-  4-  fj'A  &  -+-  <rVA3> 

«»  «  a,A/>  -f-         4-  <r, A91  4-  </,A$  (23') 
-  a^p  4-         4-  ct'&%  4-  </s'A2>. 
Sind  mehr  als  zwei  Beobachtungsorte,  so  erhält  man  mehr  Gleichungen  als 
Unbekannte,  und  man  wird  hieraus  die  Werthe  für  A/\  A?,  A«,  A3)  nach  der 
Methode  der  kleinsten  Quadrate  bestimmen. 

Hat  man  nur  zwei  Beobachtungsstationen,  so  wird  es  gut  sein,  diese 
Gleichungen  unbestimmt  aufzulösen,  was  am  besten  durch  Determinanten  ge- 
schieht; man  erhält  dann  leicht: 

A/  =  Axnx  4  Axnx  4-  A%n%  4-  A%'nt' 
A?  =  Bxnx  4-  B\'nx  4-  Byn%  4-  -ff,'«,'  ^.^ 
A3t=  C^j  4-  CtV  4-  C>,  4-  <:,'«,'  *  ; 

AS^Z»!»,  4- 

Dabei  wird  es  (wegen  des  folgenden)  praktisch,  die  Coefficienten  cx,  dx 
unverändert  beizubehalten  (nicht  mit  arc  V  zu  multipliciren)  und  erst  die  er- 
haltenen Correctionen  ASl,  A£>  durch  Division  mit  arc  1'  in  Winkelmaass  über- 
zuführen. 

Die  Gleichungen  werden  nur  dann  unanwendbar,  wenn  2>0  oder  eine  der 
beobachteten  Deklinationen  nahe  90°  sind;  in  diesem  Falle  wird  es  am  besten, 
auf  ein  anderes  Coordinatensystem  Uberzugehen, 
etwa  auf  das  der  Ekliptik.  Um  jedoch  einfache 
Transformationsformeln  zu  erhalten ,  schlägt 
Lehma  nn-Filhes  nach  dem  bereits  früher  von  v. 
Oppolzer  bei  einer  anderen  Gelegenheit  em- 
pfohlenen Vorgange  vor,  das  Coordinatensystem 
so  zu  wählen,  dass  der  Frtihlingspunkt  zum  Pole 
wird.  Zählt  man  dann  die  Coordinate  \i  analog 
der  Rectascension  vom  Pole  über  das  Winter- 
solstitium  weiter  (vergl.  Fig.  264)  und  die  Coor- 
dinate v  der  Deklination  analog,  so  hat  man  für 
einen  Punkt  S  der  Himmelskugel  aus  dem 
sphärischen  Dreiecke  PS\P\\ 

sin  v  =s  cosi  cos  o 
cos  v  sin  fi  =  —  cos  6  sin  ot 
cos  vcosy.  =  sin  6,  v  stets  positiv; 

und  die  Berechnung  wird  dann  so  wie  früher  durchgeführt,  wobei  nur  p,  v  an 
Stelle  von  a,  <  tritt. 

Wurden  SC,  2)'  aus  nur  zwei  Beobachtungsstationen  ermittelt,  so  wird  die 
Gleichung  (22)  vollständig  erfüllt  sein  müssen,  und  eventuell  noch  übrigbleibende 
Fehler  werden  nur  sehr  klein  sein  und  nur  von  der  Vernachlässigung  der  Qua- 


(A.264) 


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142  Kometen  und  Meteore. 

drate  und  Produkte  der  Correctionen  A91,  A$,  A/\  bq  herrühren1).  Sind  aber 
die  Correctionen  aus  mehr  als  zwei  Orten  bestimmt,  so  werden  die  Gleichungen 
(22)  nicht  vollständig  erfüllt  sein  können,  und  es  werden  gewisse  Fehler  übrig 
bleiben,  die  von  den  den  a,  8  anhaftenden  Beobachtungsfehlern  herrühren.  Setzt 
man  also  in  die  Gleichungen  (22)  die  bereits  corrigirten  Werthe  91',  2)',  /,  q, 
hingegen  an  Stelle  von  8,,  .  .  die  zur  Erfüllung  der  Gleichungen  nothwendigen 
corrigirten  Werthe  a,  -t-  Aa1(  3,  +  A8,  .  .  .  und  entwickelt,  so  erhält  man: 

kxcos  8t  Aa,  -f-  /,  A8j  =  mx.  (25) 

Da  man  jedoch  nur  die  ersten  Potenzen  der  Correctionen  zu  berücksichtigen 
braucht,  so  wird  man  bei  der  Berechnung  der  Coöfficienten  ausreichend  genau 
die  Werthe  p0,  q0  anwenden  können;  bei  der  Bestimmung  von  mx  hingegen  muss 
man  die  corrigirten,  definitiven  Werthe  p,  q,  91',  5)'  verwenden,  weil  der  durch 
das  Einsetzen  derselben  hervorgehende  Unterschied  gegen  Null  die  Fehler  Aa,, 
A8t  bestimmt.  Da  jedoch  die  Werthe  xx  -  p,  yx  —  q  überdies  zur  Berechnung 
von  rx  und  p,  erforderlich  sind,  so  kann  man  setzen: 

*\—t  =  'i  ""/i 
yx-q  =  ixsinjx 

k\  =  |—  'i  cos  C/i  —  a,)  tang     ■+-  s,  cos  (91'  —  «,))  sec  8, 
/,=-/>«(/,-  «•  r2,  . 

mx  =  (*t  —  />)  (««  a,  /tf/i^  £'  —  i/'/i  41'  /a»^  8 , )  -  v  ; 

—  OVt  —  *i)       «i  tong'S'  —  cos  91'  /<™^  8J  -h  zx  sin  (91'  —  a,). 

Macht  man  nun  die  Annahme,  dass  man  in  jeder  Richtung  einen  gleich 
grossen  Fehler  zt  t  begeht,  dass  also  cos&lbzx  =  &&x  =  =fc  e  anzunehmen  ist, 
so  wird 

e  Ü!_ 

[*.]  +  [/.]• 

wobei  [Zj  den  absoluten  (stets  positiv  zu  nehmenden)  Betrag  einer  Zahl  Z  be- 
deutet5). Führt  man  diese  Rechnung  für  jede  Beobachtung  (für  das  Aufleuchten 
und  Verschwinden,  für  jeden  Beobachter  getrennt)  aus,  so  kann  man  durch  ent- 
sprechende Combinationen  den  Beobachtungsfehler  s  für  das  Aufleuchten  und 
Verschwinden  für  jeden  einzelnen  Beobachter  oder  auch  für  Sternschnuppen 
verschiedener  Grössenklassen  u.  s.  w.  erhalten. 

Bestimmt  man  aber  den  Fehler  Aa,  A8  aus  der  Gleichung 

,  

wobei  für  die  Coefficienten  nicht  die  absoluten  Beträge,  sondern  die  wirklichen 
Werthe  eingesetzt  werden,  so  erhält  man  die  an  die  beobachteten  Werthe  a,  8 
anzubringenden  Correctionen  A8  =  e,  Aa  =  tsecB,  damit  die  Visuren  die  Stern« 
schnuppenbahn  schneiden;  führt  man  dann  die  corrigirten  Werthe  *x  -+-  Aa1# 
8j  -H  A8lt  o,'  +ao,',   8/ H- A8,',  aa  -f-  Aa,  ...  für  alle  Stationen  ein,  so 


')  Dieses  übersieht  Lehmann-Filhks  in  seinem  Beispiele.  Zwar  ist  im  Räume  eine  Gerade 
durch  drei  sich  kreuiende  Gerade  bestimmt,  hier  sind  aber  die  vier  sich  kreuzenden  Geraden  in 
einer  specieücn  Lage:  es  schneiden  sich  twei  und  iwei  derselben.  Und  in  der  That  ist  durch 
diese  vier  Geraden  eine  alle  vier  schneidende  möglich:  die  Schnittlinie  der  durch  sie  gelegten 
Ebenen. 

*)  Lekmann-FelhäS  bestimmt  die  Correctionen  Aa,  AÄ  so,  dass  die  Fehlerquadratsumme 
ein  Minimum  wird. 


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Kometen  und  Meteore. 


•43 


werden  die  Gleichungen  (21)  gleichzeitig  erfüllt  sein,  und  es  genügt  zur  Be- 
stimmung von  r  und  p  zwei  dieser  Gleichungen  zu  verwenden  (die  dritte  ist  dann 
von  selbst  mit  erfüllt);  verwendet  man  dazu  die  beiden  ersten,  so  folgt: 

ixsin  (/,-«'). 
r»  ™   ««(«'-<*,)  • 

für  den  Punkt  des  Aufleuchtens,  und 

,      ixsin{Jx  —  *'), 

für  den  Punkt  des  Verschwindens.  p,  ist  die  Entfernung  der  Projection  des  Ent- 
zündungspunktes von  T,  pt'  die  Entfernung  des  Verschwindungspunktes;  p,,  px' 
werden  sich  also  für  die  verschiedenen  Stationen  nicht  identisch  ergeben  müssen ; 
je  grösser  ihre  Werthe,  desto  früher  wurde  ihr  Aufleuchten,  bezw.  Verschwinden 
beobachtet.    Die  I^änge  des  beschriebenen  Weges  folgt  hieraus: 

Jf=(Pl  -9x')sec<®.  (27) 

Die  Coordinaten  des  Punktes  des  Aufleuchtens  und  Verschwindens  sind  für 
den  ersten  Ort: 

rjoi  -f-r-P!«»«'  Vot-f  +  Pi'™*'  (28) 

Coi  =  ?X  tätig  %'  Co,  =  p,'ÄWff  ©' 

und  es  werden  die  Entfernungen  dieser  Punkte  vom  Erdmittelpunke  und  von 
der  Erdoberfläche: 

Po i  =  VV  +  W  +  Cot*       Po i '  -  Vl'öt  +  Voi'  +  C-.? 

Verwendet  man  statt  px,  p,'  die  Werthe  p9,  p,'  für  den  zweiten  Beobachtungs- 
ort, so  werden  die  Endwerthe  50>»tJoj.  •  •  •  V  natürlich  etwas  verschieden 
erhalten  werden;  denn  nach  der  Annahme  wird  das  Aufleuchten  und  Ver- 
schwinden nicht  an  allen  Orten  gleichzeitig  wahrgenommen. 

Hat  man  mehrere  Beobachtungsstationen,  so  wird  man  durch  die  Auflösung 
der  Gleichungen  (23;,  (23')  nach  der  Methode  der  kleinsten  Quadrate  bereits 
die  Beobachtungsfehler  unschädlich  gemacht  haben.  Hat  man  aber  nur]  zwei 
Beobachtungsstationen,  so  wird  die  Gleichung  (22)  strenge  erfüllt  sein;  aber 
man  hat  keinerlei  Controlle  über  den  Einfluss  der  Beobachtungsfehler,  und  dann 
kann  es  auch  vorkommen,  dass  sich  aufwärts  gerichtete  Bahnen,  nur  als  Folge 
von  Beobachtungsfehlern,  ergeben.  Es  ist  also  nöthig,  den  Einfluss  von  Beob- 
achtungsfehlern in  «,  8  auf  die  berechneten  Höhen  zu  ermitteln. 

Differenzirt  man  die  Gleichung  (22  a)  nach  allen  darin  vorkommenden  Grössen, 
mit  Ausnahme  der  festen  Werthe       yx,  *,,  so  erhält  man,  wie  man  sofort  sieht: 
ax  A/>  -+-  bx  iiq  +  cx  A91  -I-  dx  AS)  -f-  kx  cos  6X  Aat  -+-  lx  btx  =  0.  (30) 

Würde  man  nun  hier  <w<5,Aa,  =  A8j  =  e  setzen,  so  würde  dieses  voraus- 
setzen, dass  immer  nur  Fehler  desselben  Zeichens  s  möglich  sind.  Wollte  man 
ferner  ±  e  zulassen,  so  müssten  die  Gleichungen  mit  jeder  der  Zeichencombi- 
nationen  ±  ^,  i  ±  /,  t  aufgelöst  werden;  es  ist  daher  am  besten,  den  Einfluss 
der  Fehler  C0s&x&*x  =  e,,  A8,  =  yx,  ^^Aa,  =  e9  ....  zuerst  getrennt  zu 
untersuchen.  Hat  man  die  Gleichungen  (23),  (23')  unbestimmt  aufgelöst,  so  er- 
hält man  sofort  die  Auflösung  der  Gleichungen  (30),  indem  man  die  Grössen 
n\>  n%>  n\*  *t  durch  die  correspondirenden  Werthe  Attx  /,?,, 
4-  *»if  ■+■  V*t'      /,>9'  ersetzt;  es  wird  also: 


ixsin(Jx  —  <xx) 
sin{W-ax) 


(26  a) 


Pi 


"««(»'- a,') 


(26  b) 


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«44 


Kometen  und  Meteore. 


=      (*,  e,  +  /,  ?1)  +  Ax'(kx'tx'  +  /,  V)      ^.(*»*t  +  'i».)  + 

4- «»'-»■  V?«') 

A?  =  *,(*,ti  +  A?,)  -r-  4-  /,  V)  4-  4-  4- 

4-  -£,'(*,'*>'  -+-  /,>,')  f„  , 

A« -^(^tj  4- 4-  +  4-  C,(*,tf +  /,»,)+  ' 

A$  =  />,<*!  «.  4-  /,  ?l)  4-  ZY(*l  V  4-  /,  V)  4-  /Wt  4-  /,?t)  4- 

Es  ist  zu  bemerken,  dass  alle  hier  auftretenden  Coöfficienten  schon  früher 
berechnet  sind. 

Den  Einfluss  von  A9(,  A2\  A/,  A^  auf  p01,  pot'  kann  man  mittelst  der 
Gleichungen  (29)  bestimmen ;  das  Resultat  wird  jedoch  Ubersichtlicher,  wenn  man 
alle  drei  Gleichungen  (20)  verwendet.  Es  wird  dabei  besser  Ar  zu  bestimmen,  als 
Ap;  denn  A&,  Atj,  AC  enthalten  A91,  A£,  A/>,  bq  sowohl  implicite  in  Ap  als  auch 
explicite,  hingegen,  wenn  man  Ar  benutzt  nur  implicite  in  diesem  Ausdrucke;  das 
Resultat  muss  zwar  identisch  sein,  doch  werden  die  Reducttonen  im  ersten  Falle 
etwas  länger.  Eliminirt  man  also  aus  der  ersten  und  dritten,  und  dann  aus  der 
zweiten  und  dritten  Gleichung  (20)  p,1),  so  folgt: 

rx  (cos  a,  tang  2)'  —  cos  9t' tang  8 1 )  =  z  t  cos  %'  —  (xx  —  /)  tang  2)' 
r,  (sin  ax  tang  2)'  —  sin  W  tang  4 ,)  =  sx  sin  St'  —  (yx  —  q)  tang  25'. 

Differenzirt  man  diese  Gleichungen,  so  folgt: 

A25 

Ar,  (cos  *xtang<®  —  cos%'tangÖx)  =  —  9lcos  H'  —  Pl  tang®' sin W AtL  + 

cosW 

-+■  kptangV  -f-  rxsinaltang$}'b*x  -+-  r,      ^  A8, 

A3)  1 

Ar,  (««  a,  tang  S>'  —  ««  Sl'/tf^«,)  =  —  9xsin  %'  -f-p,  tang  2)'  cos  &'  ASt  + 

j/n  ST 

t-  bqtang%'  —  rt  cos  ax  tang®  In x  -+-  rx  Adt. 

Multiplicirt  man  jede  dieser  Gleichungen  mit  dem  Coefficienten  von  Ar, 
und  addirt,  und  setzt: 

Ax  =  xxcosKx     Cx=\xcosLx     Ax'  =  x,'  cos  Kx'     Cx  —  X,' cos  Lx' 
Bx  —  x,  sin  Kx     Dx  =  \xsin  Lx     Bx  =  xj  sin  Kx      Dx  =  kx% sin  Lx 
A%  =  x%cos  K%     Cs  «=  X,  cos  Lt     A9'  =  x%'cos  KJ     C,'  =  XJcos  Lt' 
Bt  =  x%sin  ATS    Z>,  =  X,  sin  Z,     2?4'  =  x,'**»  DJ  «=  X,'j/«  Zt' 
tang »  2)'  4-  /«v*  6v  —  2  <w  (51'  —  ai)  tang  2)'  /<r»^  6",  =  A$ 
<w  (9f  —  a,)  tang  2)'  —  tang  8V  . 
 N~äü*W  a,Un1' 

sin  (*»  -a,)  tang*® 
 ^  2  _  9.C05  j. 


(31) 


4- j^==T,  ««7; 
f<»  (M'  —  g,)  tofyg)'  x/«g,- 

^oj  (St'  —  ctt)  /<in^2)'  —  tang  3, 


(32) 


»)  Man  könnte  «uch  andere  Verbindungen  wühlen,  doch  werden  die  Zwischenresultate 
weniger  symmetrisch. 


igmzeo  Dy 


Google 


■45 

so  wird: 

Ar,  =  [-p.ff/X,  cosßi—  ZJ4-  t,x,  tang<S>'ccs{Ti^-Ki)](kl  tt  +  ^  ft) 
-I-  [-  p, »,  X,  Vw(2,  -  Z,  ')4-  T«*i '  tang%'cos{Ti-Kx  ')j(V«i '+ V?i ') 
4-[—  p^X,         —  Z^+t.XjtovS)'»^^-^)]^!,  4-/,f,)  /— 1.  l'»2,  2' 

+(-P^xt^i(2/-.z>')+t/x1,AwVa)'«i(7;--/rt,)](*1'tf '+/,>,') 

4-  ruiti-t-  rififi. 

Endlich  ist 

Aß0,  =  Afjfwa,  —  rt  jf*a,Aat 
Atj01  «=  Art««  a4  4-  rt  cos  «j  Aat 

AI. 

AC01«A>'ItoV*l4-r1^- 

AA,  =  *Po,  =  ^  *$oi  4-  3*1  A,„  4-^-  ACP1 
Poi  Poi  Poi 

=  Ar,         ccs  «,  4-  ^  «V»  «,  4-  ^-        8.)  4- 
VPoi  Poi  Poi  / 

Setzt  man  also  noch 

p0/  Po*  Po» 

sec  «,  a,  -  ^  sin  *,)  -  (33) 

\Po'  Po»  / 

Po« 

^/ 1-  p, X, «« (2«  -  lj)  +  x'  *>  *»V  ©'     C7»  —  A»l  =  (33  a) 

-9,  (33b) 

so  wird: 

A/*,  -  ±  {[£,,]  ([*,]  4-  [/,])  4-  [Etl']([ix'))  4-  ['.'])  4-  [Ei%]  ([*,]  +  [/,])  4- 

+        ((VI  4-  [/,'))  4-  [&,]  4-  [9,]|  e 
Die  Berechnung  der  Coefhcienten  ist  viel  einfacher  als  es  auf  den  ersten 
Blick  erscheint  Da  die  Coefhcienten  der  Gleichung  (30  a)  bereits  früher  berechnet 
sind,   so  hat  man  nur  noch  nach  den  Gleichungen  (31),  (32),  (33)  und  (33a), 
(33  b)  die  in  (34)  auftretenden  Coefhcienten  zu  bestimmen  und  erhält  dann: 

AA,  =  dt  <2„. 

Es  wird  demnach  die  berechnete  Höhe  Jt,  unter  der  Annahme  eines  Fehlers 
s  in  den  beobachteten  Coordinaten 

hi  ±  Q,  t 

werden  können.   Ist  nun  eine  Bahn  als  aufsteigend  gefunden  worden,  so  wird 
man  aus  dem  Gliede        finden,  ob  durch  einen  Fehler  e  —  =fc  0o-5  (oder  einen 
den  Umständen  entsprechenden  Fehler)1)  die  Höhen  so  geändert  werden  können, 
dass    die  Bahn  absteigend  wird;  in  letzterem  Falle  kann  man  die  aufsteigende 
Bahn  als  eine  blosse  Folge  der  Beobachtungsfehler  ansehen;  wird  jedoch  durch 
eine   zulässige  Annahme  über  t  das  Resultat  nicht  geändert,  so  sind  einzelne 
Beobachtungen  zu  verwerfen;  aber  nur  dann,  wenn  die  Güte  der  Beobachtungen 
ausser  Zweifel  gestellt  ist,  was  wohl  selten  mit  Sicherheit  zu  constatiren  ist, 
die  Bahn  thatsächlich  aufsteigend. 


i)  Das  Resultat  wird  dann  sofort  in  derjenigen  Einheit  erhalten,  in 
war,  wenn  <v,  <*V  nicht  mit  arc\'  multiplicirt  wurden. 


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l46 


Kometen  und  Meteore. 


Zur  Bestimmung  der  Höhe  und  Geschwindigkeit  der  Meteore  ist  die  Kennt- 
niss  der  Rectascensionen  und  Deklinationen  des  Anfangs-  und  Endpunktes  uner- 
lässlich.  Ein  geübter  Beobachter,  der  ein  scharfes  Auge  und  eine  genügende 
Kenntniss  des  gestirnten  Himmels  hat,  wird  dabei  meist  ausreichend  genau  die 
Coordinaten  der  beiden  Punkte  durch  die  Lage  derselben  zu  den  Fixsternen  be- 
stimmen, und  durch  Einzeichnen  in  eine  Sternkarte  fixiren.  Man  hat  zwar  auch 
ein  Instrument  hierfür  construirt,  das  Meteoroskop,  welches,  selbstverständlich 
ohne  Fernrohr  und  selbst  ohne  Diopter,  die  Visur  längs  eines  Stabes  gestattet, 
welcher,  azimuthal  montirt,  Höhe  und  Azimuth  giebt.  Selten  aber  wird  man  Zeit 
haben,  auf  beide  Punkte  einzustellen,  und  inzwischen  für  den  Punkt  des  Auf- 
leuchtens abzulesen,  selbst  wenn  zwei  Beobachter  thätig  wären.  Die  Genauigkeit 
der  Beobachtung  dürfte  hierdurch  keinesfalls  erhöht  werden.  Feldt  giebt  die 
Genauigkeit  der  Schätzung  nach  der  erst  angegebenen  Methode  auf  etwa  $°  an. 

Oft  kommt  es  darauf  an,  einen  Punkt  der  scheinbaren  Meteorbahn  und  die 
Richtung  derselben  zu  kennen;  dieses  ist  der  Fall,  wenn  man  für  mehrere 
Meteore  am  selben  Beobachtungsorte  den  Punkt  finden  soll,  in  welchem  sich 
ihre  scheinbaren  Bahnen  schneiden.  In  diesem  Falle  ist  der  von  Lehmann- 
Filhes1)  gethane  Vorschlag  empfehlenswerth. 

Brandes  fand  nach  seiner  Methode1)  unter  63  Meteoren 

die  Höhe  zwischen       0       3       6       10       15       20       Meilen  und  darüber 
für  3      8      12      23       10      7  Meteore. 

Unter  31  neu  reducirten  Meteoren  fand  Bessel  die  mittlere  Höhe 

zwischen      0      3      6      10       15      20      25      Meilen  und  darüber 
für  1     —     5       H       6       2       3  Meteore. 

Schmidt  und  Heis  fanden3)  für  die  Meteore  1"»    2«    3*"    4*»   und  kleiner 
die  mittlere  Höhe  16*2   15  9   10  8  8'5  Meilen 

aus  14      20     24    21  Beobachtungen. 

Hieraus  würde  folgen,  dass  die  höheren  Meteore  die  helleren  sind. 
Diesem  widerspricht  die  frühere  Annahme,  dass  nur  die  grösseren  Meteore  bis  zur 
Erde  gelangen,  durchaus  nicht;  nur  die  grösseren  Meteore  gelangen  in  die 
tieferen  Regionen,  allein  ihren  grössten  Glanz  entwickeln  sie  in  den  höheren 
Regionen,  wo  ihre  Geschwindigkeit  und  daher  auch  Wärmeentwickelung  am 
grössten  ist.  Allerdings  geben  die  hier  angelührten  Zahlen  noch  keineswegs 
definitive  Werthe,  indem  die  Zahl  der  Beobachtungen  noch  zu  gering  ist.  Nur 
das  eine  ist  aus  allen  diesen  Angaben  jetzt  wohl  schon  mit  Sicherheit  zu 
schliessen,  dass  die  Höhe  der  Meteore  jedenfalls  zwischen  6  und  20  Meilen  an- 
zunehmen ist. 

1865  gab  Newton  die  folgende  Zusammenstellung  der  Resultate  über  seine 
Rechnungen4):  Die  Höhe  der  Meteorbahnen  war 

zwischen  den  Grenzen  0    30    CO    90    120  150  180  210  240  270km  u.  darüb. 

daher  d.mittl.  Höhe  x=  *     45    75    105   135  165    *      *      *  km 

für  P=(39)  114  243  277   100    57    (20)  (20)  (8)  (12)  Meteore. 


!)  Astron.  Nachrichten,  Bd.  96,  No.  2296. 

*)  Unterhaltungen  für  Freunde  der  Physik  und  Astronomie c,  pag.  53. 

')  »Resultate«,  pag.  112. 

*)  American  Journal  of  Sciences  and  Art»,  II.  Serie,  Bd.  39,  pag.  193. 


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Kometen  und  Meteore. 


U7 


Als  Mittel  der  Höhen  findet  er  hieraus,  indem  er  die  Höhen  unter  30  und 
über  180  km  weglässt 

2  (ex) 

Ferner  fand  er  aus  correspondirenden  Beobachtungen 

mittlere  Höhe 
des  Erscheinens     des  Verlöschens    der  Mitte  der  Bahn 

für  39  Meteore  vom  lo/n.  Aug.  1863 l)    112-4*»*  62'9>fa»i  901km 

für  78  Meteore  vom  13/14.  Nov.  1863»)    154  9  97  8  126  4 

Hierbei  erscheinen  einzelne  Meteore  in  Höhen  Uber  200  km.  Newton 
ist  der  Ansicht,  dass  alle  Höhen  über  150  km  verworfen  werden  sollten3). 
Mason  giebt  aber  an,  dass  sich  die  teleskopischen  Meteore  in  seinem  Femrohre 
mit  80  facher  Vergrösserung  nicht  schneller  zu  bewegen  schienen,  als  die  sonst 
mit  freiem  Auge  gesehenen;  ihre  thatsächliche  Winkelgeschwindigkeit  war  daher 
nur  -fo,  ihre  Höhe  unter  der  Annahme  derselben  linearen  Geschwindigkeit  80 mal 
so  gross  als  diejenige  der  letzteren.  Mason  schätzt  ihre  Höhe  auf  1200  engl. 
Meilen  (1930  km).  Auch  Erman  fand  für  einzelne  Meteore  die  Höhe  über  100 
deutsche  Meilen  (750  km). 

Obzwar  hierüber  noch  viel  zu  wenig  Erfahrungen  vorliegen,  kann  doch  das 
Vorkommen  viel  grösserer  Höhen  als  derjenigen,  welche  man  im  Durchschnitte 
findet,  nicht  schlechtweg  geleugnet  werden.   Schtaparelli  nimmt  an,  dass  dieses 
Meteore  von   ganz  bedeutenden  Massen   wären,   welche  einen  bedeutenden 
Luftwiderstand  erfahren,  und  schon  in  den  äusserst  verdünnten  Schichten  der 
Atmosphäre   verbrennen.     Schon   Quetelet4)   sagt,   dass   die  verschiedenen 
Meinungen  Uber  die  Höhe  der  Sternschnuppen  daher  rühren,  dass  wir  eine  un- 
genügende Kenntniss  von  der  Höhe  der  Atmosphäre  haben,  und  Schiaparelli 
bemerkt  noch8),  dass  die  allgemein  angegebene  Höhe  der  Atmosphäre  zu  28 
bis  47  km  sich  eben  nur  auf  jenen  Theil  erstreckt,  welcher  noch  Licht  reflektiren 
kann.    Er  bemerkt,  dass  alle  über  die  Höhe  der  Atmosphäre  »von  vielen  grossen 
Mathematikern  publicirten  Arbeiten  grösstentheils  nur  scharfsinnige  Rechnungs- 
Ubungen  sind,  deren  Resultate  keine  grössere  Genauigkeit  gewähren,  als  die 
mehr  oder  weniger  willkürlichen  Hypothesen,  die  der  analytischen  Beweisführung 
zu  Grunde  liegen.«    Quetelet  theilt  die  Atmosphäre  in  eine  atmosphire  stable, 
den    oberen  Theil,  der  sich  in  relativer  Ruhe  befindet,  und  die  Domäne  der 
Sternschnuppen  ist;  der  untere  Theil,  von  Winden  bewegt,  die  Region  der  von 
uns  als  Sitz  der  meteorologischen  Erscheinungen  bezeichneten  Phänomene,  ist  die 
atmosphire  instable.     Doch  nimmt  er  die  Höhe  beider  Theile  noch  relativ 
niedrig  an. 

IV.    Die  Geschwindigkeit   der  Meteore;     Einfluss   der  Erdan- 
ziehung und  der  Luft.    Dividirt  man  die  Weglänge  eines  Meteors  durch  die 
Zeit,    so  erhält  man  seine  Geschwindigkeit.    Hier  sind  aber  zwei  Faktoren,  die 
der  Beobachtung  zu  entnehmen  sind,  und  beide  sind  mit  gewissen  Unsicherheiten 
behaftet.     Nichtsdestoweniger  sind  die  erhaltenen  Resultate  alle  insoweit  :»tn 


')  American.  Journal  of  sciences  and  arts ;  U.  Serie,  Bd.  36,  pag.  303. 

»)  Ibidem,  II.  Serie,  Bd.  40,  pag.  350.  Der  Schluss,  dass  die  Novembermeteore  betTÜchtWctA 
höher  erscheinen,  ist  vorläufig  noch  nicht  genügend  sichergestellt. 
8)  Ibidem,  Bd.  39,  pag.  303. 
«)  »Physique  du  Globc«,  pag.  313. 
*)   »Entwurf«,  pag.  4. 


14» 


Kometen  und  Meteore. 


Einklänge,  dass  sie  für  die  Meteore  eine  Geschwindigkeit  ergeben,  welche  mit 
der  Geschwindigkeit  der  Erde  in  ihrer  Bahn  vergleichbar  ist. 

Schmidt  giebt  in  seinen  »Resultaten«  über  die  Geschwindigkeiten  keine 
Zahlen;  die  Resultate  waren  nicht  befriedigend,  meist  enorm  gross,  so  dass  er 
es  vorzog,  »alte  Ungewissheiten  nicht  durch  neue  schwankende  Angaben  zu 
venu  ehren«1). 

Hält  man  für  die  mittlere  Weglänge  16°,  für  die  mittlere  Höhe  100  km, 

für  die  mittlere  Sichtbarkeitsdauer  0*  7  fest,  so  folgt  die  mittlere  Geschwindigkeit 

16  X  0  01745  X  100      atx  L 
 —  =  40  km. 

Diese  Geschwindigkeit  ist  das  70 fache  der  Geschwindigkeit  einer  Kanonen- 
kugel, und  etwa  um  die  Hälfte  grösser,  als  die  Geschwindigkeit  der  Erde  in 
ihrer  Bahn.  Sie  ist  aber,  wie  später  gezeigt  wird,  nicht  die  wahre  kosmische 
Geschwindigkeit  (»),  sondern  die  relative  Geschwindigkeit  gegen  die  Erde  (*); 
v  ist  im  allgemeinen  kleiner1).  Allein  man  hat  zu  beachten,  dass  diese  Ge- 
schwindigkeit die  mittlere  Geschwindigkeit  nicht  nur  aller  Meteore,  sondern 
auch  jedes  Meteors  im  Laufe  seiner  Bahn  ist,  und  zwar  die  mittlere  Ge- 
schwindigkeit während  seiner  Sichtbarkeitsdauer.  Beim  Beginn  seiner  Sicht- 
barkeit war  seine  Geschwindigkeit  schon  grösser  und  hat  zu  Ende  seiner 
Sichtbarkeit  in  Folge  des  Luftwiderstandes  schon  abgenommen.  Aber  bereits, 
wenn  es  sichtbar  wird,  hat  es  so  viel  an  lebendiger  Kraft  verloren,  dass  es 
zum  Glühen  kommt,  und  dieser  Verlust  an  lebendiger  Kraft  ist  natürlich  auf 
Kosten  seiner  Geschwindigkeit  eingetreten:  die  Geschwindigkeit  der  leuchtenden 
Sternschnuppe  ist  schon  bedeutend  kleiner,  als  diejenige  der  noch  nicht  leuchten- 
den. Man  kann  also  annehmen,  dass  die  kosmische  Geschwindigkeit  der  Meteore 
eine  weit  grössere  ist,  als  die  Geschwindigkeit  der  Erde. 

Denkt  man  sich  im  Räume  ein  beliebiges,  festes,  rechtwinkliges  Axensystem, 
und  seien  x9,y0,  z0  die  Coordinaten  der  Erde,  xx,yx,  st  die  Coordinaten  einer 
Sternschnuppe  S,  so  werden  die  Differentialgleichungen  der  Bewegung  der  Stern- 
schnuppe im  Räume  in  der  Nähe  der  Erde3) 

X\    ,«   *1  *Q  y 

dt*   r» 

dt*  *       r»      +  * 

dt*  *       r*      +  * 

=  (*i  -  *o)'  +    -y9)*  +  (*i  —  *<>)•> 

wobei  k  die  Constante  der  Erdanziehung  ist.  Wählt  man  als  Einheit  den 
Aequatorhalbmesser  der  Erde,  als  Einheit  der  Zeit  die  Zeitsecunde  (an  Stelle  des 
mittleren  Sonnentages),  so  wird 

k  __  *®Y~fn   

(sin  ic)t  •  24  •  60  •  60  ' 
wobei  k®  die  Constante  der  Sonnenattraction,  m  die  Erdmasse  und  it  die  Sonnen- 
parallaxe ist;  also  mit  m  =  ^sqoqo  • *  Ä  8"*815: 
  log  k  =  7  093615  -  10,    log  k"  =  2-408040. 


»)  1.  c,  pag.  144. 

*)  Weil  die  meisten  Sternschnuppen  aus  der  Gegend  des  Apex 
8)  Vergl.  den  Artikel  »Mechanik  des  Himmels«,  §  9  und  §  25. 


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Kometen  und  Meteore. 


149 


Die  Anziehungskraft  der  Erde  ist  dann  ^ ;  diese  ist  aber  identisch  mit  der 

(mit  der  Entfeinung  veränderlichen)  Beschleunigung  der  Schwere,  welche  mit  g 
bezeichnet  wird;  es  ist  also 

k*  -  gr\ 

Für  die  Erdoberfläche  ist  also  k*  =  g,  gleich  dem  Werthe  der  Beschleunigung 
an  der  Erdoberfläche;  in  der  That  ist  k*  dieser  Werth,  aber  in  Einheiten  des 
Erdhalbmessers;  will  man  denselben  in  Metern  erhalten,  so  muss  er  mit  dem 
Radius  der  Erde  in  Metern  {log  =  6*80464)  multiplicirt  werden. 

X,  Y,  Z  sind  anderweitig  auftretende  störende  Kräfte;  von  der  Anziehung 
der  übrigen  Himmelskörper  kann  in  den  Entfernungen,  in  welchen  Stern- 
schnuppen beobachtet  werden,  jederzeit  abgesehen  werden;  mithin  bleibt  dabei 
nur  der  Widerstand  der  Luft.  Dieser  ist  eine  Function  der  Dichte  der  Luft  und 
der  Geschwindigkeit,  sowie  des  Querschnittes  und  der  Masse  des  Meteors.  Die 
erstere  ist  eine  Function  der  Entfernung  r  vom  Erdcentrum  und  kann  durch 

6  -/(r) 

ausgedrückt  werden.  Die  Function  der  Geschwindigkeit,  und  zwar  der  relativen 
Geschwindigkeit  u  des  Meteors  gegen  die  mit  der  Erde  bewegten  Lufttheilchen 
werde  mit  ?(*)  bezeichnet.    Ist  endlich  p  der  Halbmesser  des  als  kugelförmig 

4  no*Q 

gedachten  Meteors,  so  wird  sein  Querschnitt  icp1,  seine  Masse  — — — ,  wenn 
Q  sein  specifisches  Gewicht  ist,  daher  der  Luftwiderstand: 

wobei 

4  Q9 

gesetzt  wurde.  Die  Componenten  des  Widerstandes  werden  daher,  da  dieselbe 
in  der  Richtung  der  Tangente  an  die  Bahn  wirkt: 

X=-AArMu)^-t     Y=-AArM»)^;    Z  -  -  A/(r)v  (u)  ^ , 

wobei  das  negative  Zeichen  zu  nehmen  ist,  weil  der  Luftwiderstand  der  Bewe- 
gung entgegengesetzt  wirkt.  Wenn  man  die  absolute  Geschwindigkeit  des 
Meteors  im  Raum  mit  v  bezeichnet,  so  wird 

-  -  (£)'=  ffl+ 

und  da 

dxx 

dxx        dt       1  dxx    4y±      2  ^±  1  ^ll 

ds  ~  _ds_  ~  v    dt  '   ds  ~  v  ~dt  '  ~ds  ~  v  ~di 
dt 

ist,  so  werden  die  Difierenzialgleichungen 


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150  Kometen  und  Meteore. 

Bei  der  Untersuchung  der  Bewegung  des  Meteors  kommt  es  jedoch  wesent- 
lich auf  die  relative  Bewegung  des  Meteors  gegen  die  Erde  an;  führt  man  daher 
die  relativen  Coordinaten  des  Meteors  gegen  den  Erdmittelpunkt 

ein,  so  wird 

dxx      dx      dx0  m  d* xx      d*x  d*x0 

~dl Tt~*~~dt  >  ~dJi~  =  Tn  +  ~~di*~ 


Nun  kann  man  für  die  kurze  Zeit,  während  welcher  die  Bewegung  der 
Sternschnuppe  untersucht  wird,  von  der  ungleichförmigen  Bewegung  der  Erde 
absehen,  und  diese  als  geradlinig  und  gleichförmig  betrachten;  es  wird  also 

dt*  =  dt*  ~~  dt*  ~U" 

Weiter  wird  die  Erdgeschwindigkeit  conslant  zu  setzen  sein;  sei  dieselbe 
für  den  Moment  der  Beobachtung  G  und  ihre  Componenten  nach  den  drei 
Axen  Glt  Gv  GSI  so  wird: 

sein,  und  man  hat: 

G*  =  G*  -h  Gf  +  G? 
r*  =  x*  H-  y*  +  »* 


v* 


und  die  Differenzialgleichungen  werden: 

jp-  +  *■  T,  +  A/(r)  Ii-'  |Ä  +  G,)  =  0. 

Multiplicirt  man  diese  Gleichungen  der  Reihe  nach  mit  0,  —  *,  y,  dann 
mit  z,  0,  —  x,  endlich  mit  — y,  x,  0,  und  setzt  für  den  Augenblick 

dz         dy  , 

dx  dz 
*Tt~*  dt~f* 
dy  dx 

*Tt  ~y  Tt 

so  erhält  man  die  Gleichungen: 

^  +  Af(r)  *P  [/,  +  {Gxy  -  <7,,)]  -  0 

+  Afir)         [/,  +  (G\a_  Gtx)  ]  =0  (5) 


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Kometen  und  Meteore.  151 

Wäre  die  Erde  ruhend,  also  Gx  =  Gt  =  <7,  =  0,  u  =  v,  so  könnte  man 
diese  Gleichungen  integriren;  es  wird,  wenn 

m  =  eSM*¥«  (5a) 

gesetzt  wird: 

fx  =  /»  =  ^t*W;    A  =  'i<M')  (5b) 

und  da  gemäss  der  Bedeutung  von  /p/t« /»: 

/1*  +  /»J  +  /i*  =  0 
ist,  so  erhält  man  durch  Multiplication  mit  jc,  y,  s: 

oder  da  t}»(/)  nur  dann  verschwinden  kann,  wenn  der  Exponent  —  a©  wird,  so 
wird  allgemein: 

cxx  +  cty  -f-       =  0, 
d.  h.  die  Bahn  der  Sternschnuppe  würde  eine  Ebene  sein,  was  an  sich  klar  ist. 
da  in  diesem  Falle  der  Widerstand  in  der  Ebene  der  Bahn  wirkt,  also  eine  Ver- 
änderung der  Bahnlage  nicht  bewirkt  werden  kann. 

Multiplicirt  man  die  Gleichungen  (4)  xnit^,  ^ ,  ~  und  addirt,  so  folgt 
mit  Rücksicht  auf  (3): 

du      k*  dr       M , ,  .  ©  (u)  (  .       _  dx  dy      „   d%\      Ä      .  . 

"  7/ +  7*  17  +  A'  W  v   r  +  G>  Tt  +  G>  Tt +  G>  Tt)  -  °-  W 

Für  den  Fall  der  ruhenden  Erde  wird  hieraus 

"  Tt +  ^  7? +  w ' *  =  a  (6a) 

Betrachtet  man  zunächst  die  Erdatti action  in  jenem  Bereiche,  in  welchem 
der  Luftwiderstand  noch  nicht  vorhanden  ist,  so  folgt: 

du     k*  dr 

uTt  +  V*Tt  =  «> 

Diese  Gleichung  integrirt  giebt 

.,  _  ...  -  2*.  (i  _  I) 

und  da  für  r0  =  00  :  u  =  »0,  d.  i.  die  relative,  von  der  Erdattraction  nicht 
beeinflusste  Geschwindigkeit  der  Sternschnuppe  ist,  so  wird1) 

tfi  —  «0>  =  —  ;       «s  =  «0>  -+-  2gr. 

u,  u0  drückt  man  gewöhnlich  in  Einheiten  der  mittleren  Erdgeschwindigkeit 
aus;  dann  muss  man  für  g,  r,  k  die  entsprechenden  Einheiten  wählen,  k  gilt 
aber  für  die  Einheit  des  Radius  des  Erdäquators.    Nun  ist 

hg  Halbmesser  des  Erdäquators  =  Ag- 6377*4  km  =  3  80464 
log  Geschwindigkeit  der  Erde  in  ihrer  Bahn  =  hg  29  6  km  =  1  47 129 
log  Erdhalbmesser  in  Einheiten  der  Erdgeschwindigkeit  =  hg  (r)  =  2  33335 

hgk  (für  die  Secunde  und  r  =  1)  =  7  09361 

hg  (r)t  =  3-50002 
logk  =  059363 
Atf  2*2;(r)  =  9-15494 

„>  =  «»4  0  14287. 


')  Die  Formel  folgt  natürlich  viel  einfacher,  wenn  man  die  Bewegung  einfach  als  einen 
beschleunigten  Fall  ansieht;  es  wurde  aber  biet  wegen  des  späteren  die  Ableitung  aus  den 
DifTereniiaJgleichungeo  gewühlt. 


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«3» 

Hiernach  itt  die  Tafel  auf  pag.  168  gerechnet.  Für  grosse  Werthe  von  ». 
gCDÜgt  C$  0  07143 

zu  nehmen.   Beispielsweise  sei 

9-7408 
toguj  =  94816 

2^r  —  9- 1 549  log  *"  =  96493 
Add.  =  01677  logu  =98246. 
Setzt  man  Sternschnuppen  voraus,  welche  sich  in  parabolischen  Bahor 
um  die  Sonne  bewegen,  so  ist  ihre  Geschwindigkeit  in  der  Entfernung  der  Er:? 
von  der  Sonne,  also  in  der  Erdnähe  29  6  }/2  =  417  km;  die  grösste,  be« 
kleinste  relative  Geschwindigkeit  wird  daher  713  km,  bezw.  121  km,  für  die 
von  Schiaparelu  als  Grenzwerthe  angenommenen  Anfangsgeschwindigkdttr 
u0  =  71200  und  12200  Meter  werden  die  durch  die  Erdattraction  veränderter 
Geschwindigkeiten :  u  =  72070,  bezw.  16545  Meter,  daher  die  Geschwindigkeit 
zunahmen  870,  bezw.  4345  Meter.  Für  das  Eintreffen  der  Meteore  in  der  Niie 
der  Erde  wird  man  diese  Geschwindigkeiten  an  Stelle  der  kosmischen  O 
schwindigkeiten  zu  setzen  haben;  ein  Theil  dieses  Zuwachses  entfällt  allerdings 
schon  auf  die  Bewegung  in  der  Atmosphäre,  aber  innerhalb  der  Erdatm osphä-t 
werden  diese  Geschwindigkeiten  nur  noch  unwesentlich  geändert.  Um 
von  dem  früheren  abzutrennenden  Theil  zu  bestimmen,  kann  man 


4 


v  ^ 

setzen.  Nimmt  man  die  für  das  Aufleuchten  der  Meteore  maassgebende  Höhe 
wieder  zu  100  km,  so  wird 

u'  —  u  =  13-6  bezw.  59  3  Meter. 

Diese  Beträge  können  gegenüber  den  grossen  Geschwindigkeitsändeningec, 
welche  die  Meteore  durch  den  Luftwiderstand  erfahren,  als  vollständig  ver 
schwindend  angesehen  werden. 

Nimmt  man  jetzt  die  Erde  als  ruhend  an,  und  vernachlässigt  die  Attractioo 
innerhalb  der  Bewegung  in  der  Luft,  so  hat  man 

k*  =  0,  Gl  =  Gt  =  G%  =  0 
zu  setzen,  und  erhält  dann  die  Integrale  (5  a),  (5  b)  und  an  Stelle  von  (6)  tritt: 

und  da  udt  =  ds  ist: 

u  du 

Nun  ist  icp*ds  das  von  der  Sternschnuppe  in  der  Zeit  dt  verdrängte  Luft- 
tc  p  ^/{r^ds 

volumen,  daher  dm  =  —  die  zugehörige  Luftmasse;  versteht  man  unter 

u0  die  Geschwindigkeit  der  Sternschnuppe  im  Welträume  (relativ  gegen  die  Erde), 
so  kann  man  die  zugehörige  Grenze  für  m  gleich  0  setzen,  und  es  ist 


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und  Meteore»  '53 

Hieraus  folgt  der  Satz:  »Bei  der  Bewegung  in  einem  widerstehenden  Mittel 
wird,  wenn  keine  anderen  Kräfte  wirken,  die  Endgeschwindigkeit  nicht  von  dem 
besetze  abhängen,  nach  welchem  die  Dichtigkeit  sich  ändert,  sondern  nur  von 
der  Menge  der  verdrängten  Materie c »).  Die  verdrängte  Luftmasse  ist  aber,  wenn 
die  Sternschnuppe  vertical  fällt,  gegeben  durch  das  Gewicht  der,  der  Luftsäule 
das  Gleichgewicht  haltenden  Quecksilbersäule,  und  wenn  die  Sternschnuppe  in 
der  Zenithdistanz  Z  fällt,  wenn  man  ihre  Bewegung  als  geradlinig  ansieht,  in 
dem  Verhältnisse  sec  Z  vergrössert,  also 

m  =  —  1  sec  Z, 

g 

,venn  q  das  spezifische  Gewicht  des  Quecksilbers,  und  H  die  Höhe  des  Baro- 
meters in  dem  Punkte  ist,  welchem  die  Geschwindigkeit  u  entspricht;  man 
mt  daher 

tu  e  . 

-k  H  sec  Z. 


f t^t  =  _  AHqsccZ^  -\$-  £ 


Sei 


"•> 


«0 

>o  wird  für  alle  Sternschnuppen,  die  mit  der  gleichen  Anfangsgeschwindigkeit 
40  aus  dem  Welträume  in  die  Atmosphäre  treten,  dieser  Ausdruck  eine  blosse 
Function  der  Erdgeschwindigkeit  «,  sein.  Wenn  für  verschiedene  Meteore  die 
Geschwindigkeit  ux  denselben  Werth  erreicht  hat,  so  wird  der  Ausdruck 

~  3^  *       Uo)  =  C 
;ine  Constante  sein;  und  dann  wird: 

H 


=  c. 


p  Q  cos  Z 

Eine  andere  Sternschnuppe  von  dem  spezifischen  Gewichte  Q'  und  dem 
Halbmesser  p'  wird,  mit  derselben  Geschwindigkeit  «0  in  der  Richtung  Z  aus 
dem  Weltraum  kommend,  dieselbe  Geschwindigkeit »,  erlangen  in  einer  Luftschicht, 
für  welche  der  Luftdruck  durch  die  Barometerhöhe  ff  angegeben  ist;  dann  ist 
lir  diese  Sternschnuppe 

H'_  

p'Q'cosZ'^" 

lemnach,  wenn  A,  A'  die  Dichten  derselben  sind,  da  Q :  Q'  =  A :  A'  ist: 

H\IT  =  PbcosZ:p'  A'  cos  Z. 
Hieraus  folgen  die  Sätze: 

1)  Sternschnuppen  gleicher  Dichte,  welche  in  derselben  Richtung  aus  dem 
kVeltraum  kommen,  werden  dieselbe  Geschwindigkeit  erreicht  haben  in  Luft- 
ichichten,  für  welche  die  Barometerhöhen  sich  verhalten  wie  die  Halbmesser. 
7ür  kleinere  Sternschnuppen  wird  also  die  Geschwindigkeit  bereits  in  höheren 
Luftregionen  (bei  kleineren  Barometerhöhen)  auf  denselben  Werth  reducirt  sein; 
die  grösseren  werden  daher  tiefer  herabsinken. 

2)  Bei  Sternschnuppen  verschiedener  Dichtigkeit  wird  caeteris  paribus  die- 
selbe Endgeschwindigkeit  in  Luftschichten  erreicht,  für  welche  die  Barometer- 


»)  SchiapaäILU,  .Entwurf  einer  astronomischen  Theorie  der  Sternschnuppen*,  p«g.  331. 


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»54 


Kometen  und  Meteore. 


höhen  sich  verhalten  wie  die  Dichten;  die  dichteren  steigen  also  tiefer  hinab. 
Hieraus  foli?t  die  geringe  Wahrscheinlichkeit  für  das  Herabfallen  kleiner,  wenig 
dichter  Stoffe.  Solche  können  nur  dann  in  tiefere  Regionen  herabgelangen, 
wenn  sie,  durch  grosse  Meteorsteine  gedeckt,  hinter  diesen  sich  bewegen,  oder 
aber  erst  durch  Explosion  von  grossen  Meteoren  in  geringen  Tiefen  entstanden 
sind.  Meteorstaub  kann  nicht  als  solcher  zur  Erde  gelangen,  da  seine  Ge- 
schwindigkeit schon  in  den  obersten  Luftschichten  aufgezehrt  wird;  er  ver- 
brennt. Doch  ist  es  immerhin  nicht  ausgeschlossen,  dass  in  der  Luft  ver- 
brannte Stauhmassen  als  Oxyde  (Eisenoxyd,  Silicate),  die  sich  in  der  Luft 
schwebend  nicht  erhalten  können,  nach  und  nach  als  Meteorablagerungen  zur 
Erde  gelangen.  Dass  auch  die  verbrannten  Meteore  Rückstände  in  den  Dämpfen 
zurücklassen,  wird  auch  schon  von  Daubree  erwähnt 

3)  Je  grösser  cos  Z,  d.  h.  je  kleiner  Z,  desto  grösser  wird  H  für  dieselbe 
Geschwindigkeit  u,  d.  h.  desto  tiefer  steigen  die  Meteore  in  die  Atmosphäre 
herab  (ein  übrigens  an  sich  klarer  Satz}.  Ist  cos  Z  sehr  klein,  d.  h.  bewegt  sich 
das  Meteor  nahe  in  horizontaler  Richtung,  so  wird  der  Geschwindigkeitsverlust 
in  sehr  grossen  Höhen  stattfinden. 

Die  Höhen  Hx,  Hv  für  welche  ein  gegebenes  Meteor  die  Geschwindigkeiten 
uv  «,  erreicht,  folgen  aus 

»o  «0 

und  daraus  -j 

(8a) 

"1 

Nun  ist  9  fu)  für  die  kosmischen  Geschwindigkeiten  der  Meteore  sehr  gross 
(es  wächst  wie  die  dritte  oder  vierte  Potenz  der  Geschwindigkeiten),  demnach 
würde  das  Integral  in  (8  a)  nur  klein  sein  gegenüber  den  Integralen  in  (8),  und 
daraus  folgt,  dass  die  stärkste  Verminderung  der  Geschwindigkeiten  in  den 
oberen,  dünneren  Theilen  der  Atmosphäre  stattfindet,  und  dass  im  unteren 
Theile  der  Bahn  die  Bewegung  beinahe  unabhängig  von  der  Anfangsgeschwindig- 
keit der  Meteore  ist,  eine  Thatsache,  die  bereits  von  Benzenberg  erkannt  wurde. 

Die  wirkliche  Berechnung  des  Integrales  kann  nur  vorgenommen  werden, 
wenn  man  das  Gesetz  <p  («)  kennt.  Schiaparelli  legte  der  Rechnung  die  folgen- 
den beiden,  aus  Artillerieschiessversuchen  abgeleiteten  Gesetze  zu  Grunde: 

I.  Das  Gesetz  von  Didion: 
<p  («)  =  0  026  «»  -f-  0  0000G5  ««  =  0  026       -+-  ^  k2 

II.  Das  Gesetz  von  S.  Robert: 
9  („)  =  0-03874  «»  4-  0  00000007997  «*  =  0  03874  [l  -+-  {^f]  »*, 

wobei  als  Einheiten  das  Meter,  die  Zeitsecunde,  und  das  Kilogramm  gewählt 
sind.  Es  ist  nun  allerdings  noch  weitaus  nicht  erwiesen,  dass  diese,  für  mässige 
terrestrische  Geschwindigkeiten  geltenden  Gesetze  auch  für  die  kosmischen  Ge- 
schwindigkeiten der  Sternschnuppen  gelten;  legt  man  jedoch  diese  Gesetze  zu 
Grunde,  und  schreibt 

das  Gesetz  I  in  der  Form  <p  («)  =  a  (1  -+-  clu)u* 
„     II  „    »  9{u)  =  a'(l  -h  *'«»)«', 

so  erhält  man  durch  unbestimmte  Integration: 


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Kometen  und  Meteore.  155 


_  T  fudu    r    du        1  rn      *   \  - 

Für  das  Gesetz  I :  /  —7-7  =  I  T.  :  =  -  /  (  -  —  —  I  du 

J  9  («)     ja«  1  +  a«       a J  \u     l  + 


■i        *  —  /ff»  (1  +  a  »)]  =  ^  £g»  j- 


-I-  Ott 


,   _     „  fudu    r      du         1  /vi      a '«  \ 

Für  das  Gesetz  II:  /  — j-z  =  I  — —  r—st  =  —  I  I  -  —  ^ — ; — r~i )  = 

J  <f(u)     J  a'  u  (1  -+-  a'  »«)      a  J  \u      l  +  a'«2/ 

1  1  u 

=  -r  [/^»  »  —  i  Ay»  (1  -t-  a'«')]  =  -r  Ätf  „    ,  • 
«  "       yl  +  a«' 

Nimmt  man  daher  das  Integral  zwischen  den  angegebenen  Grenzen,  so  wird 
für  das  Gesetz  I:  +  |  H  =  **.  (y^»—  ±±Z*) 

fllr  das  Gesetz  II:  +  }  Ä  =  %  (  — ^  Vl->-°V\ 

Hier  sind  für  g,  p,  //"  das  Meter  als  Einheit,  und  ebenso  q  und  Q  das 
spezifische  Gewicht,  bezogen  auf  dieselbe  Einheit,  zu  setzen.  Da  aber  die 
spezifischen  Gewichte  sich  wie  die  Dichten  verhalten,  und  die  Dichte  des  Queck- 

q  13*60 

silbers  13  60,  bezogen  auf  Wasser  ist,  so  kann  man  -~  =  — ^—  setzen,  wenn  1 

die  Dichte  des  Meteors,  bezogen  auf  Wasser  ist.  Will  man  die  Quecksilber- 
höhen statt,  wie  dieses  hier  geschehen  ist,  in  Metern,  lieber  in  der  üblichen 


Weise  in  Millimetern  ausdrücken,  so  ist  H=         und  man  erhält,  wenn  Uberdiess 

von  den  natürlichen  Logarithmen  durch  Multiplikation  mit  dem  Modul  M 
=  0*43429  auf  BRiGG'sche  Logarithmen  übergegangen  wird,  und  die  Zahlenwerthe 
der  Coefficienten  eingesetzt  werden1): 

für  das  Gesetz  I: 

/     f,      400\      ,     f,      400\        3      9-805xl3*6xO-026xO-43429  L 
hg  (   +  "»7/  ~    *  V  +  «0  )  =  4Ö5Ö  ^cosZ  ' 

=  0001,293  JK7o72 
hg  400  =  2*60206 
Atf  0-001 1293  =  7  05280, 

für  das  Gesetz  II: 


9*805x1 3*6x003874x0*43429  . 

 •  h 


4000  ?bcosZ 

=  00033653  — r— — ~ 
pbcos  Z 

Äg-696  =  2-84261 
hg  00033653  =  7*52702. 


»)  Schiapakklu  hat  für  q  irrthUmlich  den  Werth  10*5;  daher  wird  der  Co*fficient  für 
das  erste  Gesetz  irrthUrnlich  0  0008719;  die  Tabelle  von  Schiaparelli  kann  aber  unmittelbar 
beibehalten  werden,  wenn  statt  der  von  ihm  angenommenen  Dichte  des  Meteors  35  die 
Dichte  gleich  2  702  angenommen  wird.  Dasselbe  gilt  beim  zweiten  Gesetr  ,  (ür  welches  der 
Coefficient  O  C0278  wurde. 


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'$6 


Kometen  und  Meteore. 


Aus  der  Form  der  linken  Seite  wird  schon  klar,  wie  gering  der  Einfluss 
von  u0  bei   sehr  grossen  Anfangsgeschwindigkeiten  wird;  selbst  eine  Anfangs- 
geschwindigkeit u0  =  < 
Beispielsweise  möge 


würde  an  dem  Resultate  nichts  wesentliches  ändern. 

=  2000  m 


u0  =  72000  m;  ux 
Dann  wird  für  das 


angenommen  werden 
I.  Gesetz 

log{\  +  ^  =  log  12  =  007918 


log 


hg  1  T8Ö  =  000241 


log 


007677 
,  .  8  88519 
705280 
=  1-83239 


log[ 
log[ 


II.  Gesetz 
l  -f- 


1  -f- 


0  04964 

0  00004 
004960 
8 69548 
7-52702 


log 


pA  cos  Z 


1-16846 
Halbmesser 


p  A  cos  Z 

für  eine  aus  dem  Zenith  fallende  Sternschnuppe  (Z  =  0)  vom 
p  =  4  cm  =  0  04  m  und  dem  specifischen  Gewichte  A  =  2  7  wird 

log  pbcos  Z=  9  03342, 

demnach  für  das  erste  Gesetz  h  =  7  34  Millimeter,  für  das  zweite  Gesetz 
h  =  1*60  Millimeter. 

Für  einen  Eisenblock  (A  =  7'79)  von  der  Grösse  des  in  Otumpa  gefundenen 
(15000  kgr  Gewicht)  würde  der  Halbmesser  unter  der  Voraussetzung  der  Kugel- 
gestalt p  =  0*772  Meter ;  tür  diesen  Fall  wäre,  wenn  der  Block  aus  dem  Zenith 
gekommen  wäre:  log  pA  cos  Z  =  0*77916,  daher  wird  die  Geschwindigkeit 
2000  Meter  nach  der  DmioN'schen  Formel  in  der  Luftschicht  vom  Luftdruck 
408*9  mm,  nach  der  RoBERT'schen  Formel  in  jener  vom  Luftdruck  88  6  mm  ge- 
wesen sein.  Der  Block  würde  zur  Erde  gekommen  sein,  wenn  er  die  kosmische 
Geschwindigkeit  72000«  gehabt  hätte  mit  der  Geschwindigkeit  1008«  (nach 
der  DiDiON'schen  Formel)  bezw.  539*8  m  (nach  der  RoBERT'schen  Formel);  wenn 
seine  kosmische  Geschwindigkeit  16000  m  gewesen  wäre  mit  der  Geschwindig- 
keit 944  m  (nach  der  DiDiON'schen  Formel)  oder  539*0  m  (nach  der  RoBERT'schen 
Formel).  Die  Wirkung  der  Erdbewegung  wurde  dabei  näherungsweise  berück- 
sichtigt, indem  an  Stelle  der  wirklichen  kosmischen  Geschwindigkeit  die  relative 
Geschwindigkeit  gesetzt  wurde. 

Der  hier  auftretende  Verlust  an  lebendiger  Kraft  ist  ein  ganz  enormer. 
Eine  Reduction  der  Geschwindigkeit  von  72000  m  auf  einige  hundert  Meter 
würde  eine  Erwärmung  von  mehreren  Millionen  Graden  zur  Folge  haben.  Dass 
diese  Temperaturen,  welchen  kein  Körper  widerstehen  kann,  nicht  wirklich  auf- 
treten, hat  seinen  Grund  darin,  dass  der  Prozess  sich  nicht  in  dieser  einfachen 
Weise  abspielt  Zunächst  wird  vor  dem  Meteor  Luft  comprimirt:  die  hierdurch 
erzeugte  Wärme  wird  theilweise  weggeführt,  theilweise  in  Töne,  also  wieder  in 
lebendige  Kraft  umgewandelt.  Schiaparklli  findet1),  dass  die  hierbei  erzeugten 
Temperaturen  bei  einer  Anfangsgeschwindigkeit  von  72000  m  auf  11000°,  bezw. 
42500°  C.  steigen,  und  bei  einer  Anfangsgeschwindigkeit  von  16000  m  auf  2800° 
bezw.  7050°  C.,  je  nach  dem  man  die  DmioN'sche  oder  RoBERT'sche  Formel 
anwendet. 


')  L  c,  pag.  239. 


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Kometen  und  Meteore.  157 

Um  nun  auch  noch  die  Bewegung  der  Erde  zu  berücksichtigen,  möge 
zunächst  vorausgesetzt  werden,  dass  die  Geschwindigkeit  der  Erde  nur  klein  ist; 
dann  hat  man  nach  (3): 

1  1,  aGldl+G*Tt  +  G>Tt  G%  I 
v  =  uV  +  *  5»  +  1?J 

\\     G*Tt+G>Tt+G*dl      G-*     .  {G*dji  +  G'%t+G*Tt)  ] 

und  das  zweite  Glied  in  (6)  wird: 

u*(       G*  <dl+G*Tt  +  G*7i\ 

4/Wt«V  V  +  — ~  5^  

[        G>      (G*Ts  +  G*T*+G*Ts)  1 

=  ^/(r),r»«  [l  -V^T  +  i  ^—  5?  ^-J  ■ 

Es  ist  aber  Gx  ^  -4-  (7,  ~     G,  ^  die  Projection  der  Geschwindigkeit 

der  Erdbewegung  auf  die  Richtung  der  Bewegung  des  Meteors.  Der  Winkel 
zwischen  diesen  beiden  Richtungen  ist  gegeben  durch  den  Bogen  des  grössten 
Kreises  am  Himmel  zwischen  dem  Antiapex  und  dem  Radianten.  Sind  8',  93' 
Länge  und  Breite  des  Radianten1),  /  die  Länge  des  Apex,  also  180°  +  /  die 
Länge  des  Antiapex,  so  ist  der  Cosinus  des  Winkels  zwischen  dem  Antiapex  und 
dem  Radianten:  —  cos  93'  cos  (£'  —  /);  demnach  wird  der  obige  Ausdruck: 

A/(r)9(u)u  [l  -  \~  [1  -  cos*  93'  cos*  («»  -  /)]]  .  (8a) 
Sei  zweitens  G  >  u,  so  wird 

\__\(       G*%+G*%  +  G*Tt  u*\k_ 
-fcl1  G>  l-G>+*—  Gi  "  J 


Setzt  man  wieder 


so  wird 


G*Tt  +  G*  %  +  G*  Tt  =  ~  Gu  cos  ®cos{$  ~ l)t 


;  =  ^[l+|  cos®  cos  («•_  /)  -         h-  i  ^  «x»  /)]  , 

daher 

& («•  +  c,  $  +  c,  g  +  c,  ^)  =  ^/WfW £  [1  -  (gc) 

Der  Fall  (a)  tritt  ein  bei  den  aus  der  Nähe  des  Apex  kommenden  Meteoren, 
der  Fall  (b)  bei  den  aus  der  Nähe  des  Antiapex  kommenden ;  u  kann  nur  nahe 


•)  Und  «war  des  scheinbaren  Radianten. 


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«5« 


Kometen  und  Meteore. 


gleich  G  werden,  wenn  die  Beweeungsrichtungen  nahe  auf  einander  senkrecht 
stehen;  dann  kann  man  aber 

„  dx  dy       _  dz 


setzen  und  erhält  v*  =  u9  +  G*  und  das  letzte  Glied  in  Gleichung  (6)  wird 

A/(r)?{u)7/^L^.  (8  b) 

yu*  -+■  Cr* 

Man  erhält  daher  für  die  drei  Fälle  die  Resultate,  wenn  man  an  Stelle  des 

/u  du 
^ü)  setzt: 

(9  b) 
(9  c) 


(9  a) 


r  u  a  //  

f  <t(u)[u-Gcos 53Vw(i*'-  /)]  ©' cosQl'- /)- 1^+1^**  9'  ')] 


Die  weitere  Behandlung  dieser  Integrale,  welche  übrigens,  wie  man  leicht 
sieht,  keinen  theoretischen  Schwierigkeiten  unterliegt,  würde  an  dieser  Stelle  zu 
weit  führen.  Als  Resultat  mag  jedoch  hervorgehoben  werden,  dass  die  früher 
erhaltenen  Resultate  eine  sehr  wesentliche  Modifikation  erleiden,  und  dass  man 
zu  dem  Schlüsse  kommt,  dass  für  die  kosmischen  Geschwindigkeiten  weder  die 
DiDiON'sche  noch  die  RoBERT'sche  Formel  das  Widerstandsgesetz  darstellen. 
Dass  aber  durch  diese  Näherungsformeln  die  analytische  Behandlung  des 
Problems  durchaus  nicht  erschöpft  ist.  sieht  man  sofort  an  der  Form  der  er- 
haltenen Näherungen. 

V.  Die  scheinbare  Vertheilung  der  Meteore  nach  Zeit  und  Raum. 

Ueber  die  Vertheilung  der  Meteore  im  Weltraum  können  wir  natürlich  nur 
Schlüsse  ziehen  aus  der  Vertheilung  der  Meteorerscheinungen,  wie  sie  sich 
uns  direkt  darbieten.  In  dieser  Beziehung  hat  man  die  Häufigkeit  und  die  Richtung 
der  Meteore  zu  untersuchen. 

Meteore  sieht  man  in  allen  Nachtstunden,  des  Sommers  und  des  Winters; 
aber  sie  erscheinen  nicht  gleich  häufig.  Die  grösste  Zahl  der  Sternschnuppen 
erscheint  in  den  Morgenstunden,  worauf  bei  der  Instruction  für  Beobachter 
besonders  Rücksicht  genommen  werden  sollte,  da  die  meisten  Beobachter  nur 
in  der  ersten  Hälfte  der  Nacht  beobachten,  und  dann  das  Wachen  aufgeben; 
und  die  meisten  Sternschnuppen  erscheinen  in  der  zweiten  Hälfte  des  Jahres1). 
Die  Meteore  erscheinen  in  allen  möglichen  Richtungen,  aber  doch  sind  gewiss« 
Richtungen  vorherrschend;  endlich  scheinen  viele  Meteore  aus  einem  und  dem- 
selben Punkte  auszustrahlen,  als  wenn  sie  hier  entstehen  und  sich  dann  von  dem- 
selben entfernen  würden. 

Man  hatte  nicht  so  bald  begonnen,  sich  mit  den  Sternschnuppen  zu  be- 
schäftigen, so  mussten  diese  Erscheinungen  auch  auffallen;  sie  bildeten  anfäng- 
lich ebcnsoviele  Einwände  gegen  den  kosmischen  Ursprung  der  Meteore,  und 
hauptsächlich  Coulvier-Gravier  zog  aus  ihnen  Argumente  für  den  terrestrischen 

l)  Jedoch  nur  für  die  Beobachtungsorte  auf  der  nördlichen  Halbkugel. 


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Kometen  und  Meteore. 


•59 


Ursprung1):  vorherrschende  Windrichtung,  Zeiten  der  Bewölkung,  der  elektri- 
schen Erscheinungen,  u.  s.  w.  Aber  so  wie  bei  dem  CoPERNicANi'schen  Systeme 
alle  anfanglich  gegen  dasselbe  geltend  gemachten  Argumente  schliesslich  nur 
dazu  dienten,  dasselbe  zu  bestätigen,  so  auch  hier:  alle  diese  Erscheinungen  sind 
die  nothwendige  Folge  des  kosmischen  Ursprungs,  wenn  man  auf  die  Erd- 
bewegung Rücksicht  nimmt. 

Das  Gesetz  der  stündlichen  Variation  der  Sternschnupper  wurde  zuerst  von 
Herrick  1838  erkannt.  Chladni  untersuchte  zwar  bereits  18 19  die  stündliche 
Häufigkeit  der  Meteore;  das  ihm  vorliegende  Beobachtungsmaterial  erstreckte 
sich  natürlich  nur  auf  die  Meteorsteinfälle  und  Feuerkugeln.  Unter  den  seit 
852  bis  1818  beobachteten  Meteoren  findet  er 

zwischen       12       18      0       6  12  Uhr 

12  16  37  11  bis  12  Fälle. 
Dass  auf  die  Nachtstunden  eine  geringere  Anzahl  entfällt,  erklärt  er  damit, 
dass  während  dieser  Zeit  weniger  Menschen  im  Freien  sind,  und  schliesst,  dass 
ein  Einfiuss  der  Zeit  sich  hierin  nicht  kundgiebt.  Bezüglich  der  Vcrtheilung  der 
Detonationen  und  Meteoritenfälle  nach  den  Tagesstunden  meint  auch  Schmidt'), 
dass  eine  sie  darstellende  Curve  in  Zukunft  darthun  werde,  dass  sie  »weniger  die 
Variation  jener  Phänomene,  sondern  weit  mehr  die  mittlere  Gewohnheit  der 
Lebensweise  der  Menschen  repräsentirt,  von  denen  verschwindend  wenige  in 
den  Nachtstunden  beobachten,  während  welcher  die  halbe  Bevölkerung  der  Erde 
schläft.c 

Bezüglich  der  Vertheilung  nach  Jahreszeiten  findet  Chladni: 

im  Jan.     Febr.    März     April       Mai  Juni 
die  Zahl  d.  Sternschnuppenfalle:        7  6        13       9—10       12  8-9 

die  Zahl  der  Feuerkugeln:  24         21        21         18         17  8 

Juli       August    Sept.    Oct.    Nov.  Dez. 
die  Zahl  d.  Sternschnuppenfälle:       9—11       9—10       8        10       7  7 
die  Zahl  der  Feuerkugeln:  21  27        20       23      27  23 

wo  die  in  einzelnen  Monaten  auftretenden  Doppelzahlen  daher  rühren,  dass  sich 
die  Fallzeiten  nicht  genauer  ermitteln  Hessen.  Auch  hier  schliesst  Chladni,  dass 
sich  ein  Einfiuss  der  Jahreszeiten  nicht  bemerkbar  macht. 

Coulvier-Gravier  in  Paris  hatte  auf  diese  Veränderlichkeit  ein  besonderes 
Augenmerk  gerichtet,  und  wenn  auch  seine  Erklärungen,  nach  welcher  die 
Meteore  in  der  Atmosphäre  entstehen,  längst  veraltet  sind,  so  verdankt  man  ihm 
doch  ein  werthvolles  Beobachtungsmaterial.  Er  fand  aus  12jährigen  Beob- 
achtungen für  die  durchschnittliche  Anzahl  der  Sternschnuppen  in  den  einzelnen 
Nachtstunden  die  in  der  folgenden  Tabelle  eingetragenen  Zahlen.  Schmidt 
giebt  1869  die  Resultate  der  Zählungen  während  eines  Zeitraumes  von  27  Jahren, 
während  welcher  1246  Beobachtungstunden  waren,  in  welche  sich  Schmidt  mit 
einigen  Gehilfen  theilfe.  Ersterer  beobachtete  zusammen  1637,  die  letzteren  1594 
Sternschnuppen;  die  Resultate  sind  in  der  zweiten  Columne  der  folgenden 
Tabelle  eingetragen;  als  Mittel  für  die  stündliche  Anzahl  findet  er  dabei  1162) 


')  Humboldt  schrieb  1850  im  Kosmos:  »Es  ist  schwer,  die  Ursache  einer  solchen 
stündlichen  Variation,  einen  Einfiuss  des  Abstandes  vom  Mitternachtspunkte  »u  erraten«. 
(Cotta 'sehe  Ausgabe,  3.  Band,  pag.  439). 

*)  »Astron.  Beobachtungen  Uber  Metcorbahnen«.  pag.  54. 

*)  Doch  sind  dabei  die  periodischen  Novembermeteore  ausgeschlossen.  Hatdikgsb. 
(Sitiungsberichte  der  Wiener  Academie,  Bd.  55,  pag.  131  und  187)  versuchte  eine  Abhängigkeit 


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i6o 


Kometen  und  Meteore. 


ist  die  mittlere  stündliche  Anzahl 
nach  COOXVIER-    Dach  Schmidt 
Gravier 

107  1407 

131  16-32 

168  17-91 

15-6  18-21 

13-8  1875 

13*7  14-92 

130  — 

Die  jährliche  Variation  wurde  zuerst  1838  von  Brandes  bemerkt;  er  fand,  dass 
die  Zahl  der  Sternschnuppen  im  Herbste  grösser  sei.  Von  den  späteren  Beob- 
achtungen sind  in  der  folgenden  Tabelle  die  stündliche  Anzahl  der  Meteore  aus 
12jährigen  Beobachtungen  von  Wolf  enthalten;  Schmidt  giebt  in  seinen  Resul- 
taten« aus  den  von  ihm  in  der  Zeit  1842  bis  1852  beobachteten  Sternschnuppen 
die  mittlere  Anzahl  der  in  einem  Jahre  gesehenen  Sternschnuppen  478  davon 
entfallen  auf  die  einzelnen  Monate  die  in  der  zweiten  Columne  eingetragenen 
Zahlen;  die  durchschnittliche  Anzahl  der  Beobachtungsnächte,  welche  einen 
Maassstab  für  die  Güte  der  Atmosphäre  in  den  einzelnen  Monaten  giebt,  ist  in 
der  dritten  Columne  eingetragen.  Mit  Rücksicht  darauf,  dass  die  grössere  Anzahl 
der  Meteore  der  grösseren  Zahl  der  Beobachtungsnächte  entspringt,  lässt  sich 
hieraus  kein  sicherer  Schluss  auf  die  Häufigkeit  der  Sternschnuppen  ziehen,  da 
das  Ansteigen  der  Zahlen  ebensowohl  als  eine  Folge  der  häufigeren  Beobachtungen 
angesehen  werden  kann;  doch  ist  die  grössere  Häufigkeit  der  auf  eine  Nacht 
entfallenden  Meteore  auch  aus  dieser  Tabelle  ersichtlich. 


Wouaus 

Schmidt 

QUETRI.KT 

Schmidt 

jährigcnBcob- 
achtungen 

durchschnitt-  aurchschnin- | 

...      ,      ,  ,  liehe  Anzahl 
liehe  Anzahl  i 

Zahld.  Nacht, 
m.  ausseror- 
dcntl.  grosser 

Zusammenstellung  aller 
beobachteten  Stcrnschnup- 
penbahnec9)  bis  1868 

stund!. Anzahl 

der  Meteore  j 

der  Boobach- 

Zahl  v.  Stern- 

Schmidt 

der  Meteore 

  1 

tungsnachte 

schnuppen 

Januar 

55 

17 

1 

11 

93 

15 

Februar 

54 

5 

4 

12 

46 

3 

März 

5-2 

11 

6 

14 

56 

7 

April 

46 

11 

6 

19 

76 

16 

Mai 

4  1 

12 

9 

7 

60 

15  . 

Juni 

5-4 

14 

8 

6 

66 

28 

Juli 

98 

45 

10 

14 

484 

800 

August 

12  9 

188 

16 

68 

1531 

612 

September 

7-4 

38 

12 

13 

329 

157 

October 

64 

37 

10 

29 

586 

256 

November 

50 

53 

10 

37 

1134 

179 

Decembcr 

41 

29 

8 

17 

271 

92 

—^?5va- 

der  Mcteoritenfalle  nicht  von  der  Ortsieit,  sondern  von  der  Zeit  Uberhaupt  tu  constatiren,  und 
reducirte  zu  diesem  Zwecke  alle  Fallzeiten  auf  Greenwicher  Zeit  Dadurch  aber  gelangte  er  nur 
au  dem  Resultate,  dass  die  Häufigkeit  der  Nachmittags  falle  verschwindet,  indem  ja  »was  für 
einen  Ort  Nachmittag  ist,  für  einen  um  180°  verschiedenen  Vormittag  ist.»  Hierzu  bedarf  es 
allerdings  keiner  umständlichen  Reducrjonen. 

')  Die  periodischen  Novembermeteore  ebenfalls  ausgeschlossen. 

*)  Beobachtete  Coordinaten  des  Anfangs-  und  Endpunktes. 


In  der  Zeit  ist  die  mittlere  stündliche  Anzahl  in  der  Zeit 

zwischen  nach  Cour. vier-  nach  Schmidt  zwischen 
hA  Gravier 

6  72  417  iq 

7  C-5  5-33  " 

8  70  572  15 

9  63  667  16 

n          K  £  II 


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Kometen  und  Meteore. 


Aus  Quetelkt's  Katalog  von  Meteorerscheinungen  seit  1800  vor  Chr.  Geb. 
ergiebt  sich  überdiess 

für  die  Zeit            Januar  bis  Juni  Juli  bis  December 

Die  Zahl  der  Meteorsteinfälle         186  216 

Die  Zahl  der  Feuerkugeln             553  843 

Nach  den  von  ihm  in  der  vorigen  Tabelle  mitgetheilten  Beobachtungen  ent- 
fallen auf  das  erste  Halbjahr  69,  auf  das  zweite  178  Nächte  mit  besonders  grosser 
Zahl  von  Sternschnuppen;  doch  giebt  dieses  auch  nur  mehr  ein  allgemeines  Bild 
über  die  Vertheilung  der  Meteore.  Eine  die  stündliche  und  jährliche  Ver- 
theilung  berücksichtigende  Zusammenstellung  giebt  Schmidt  in  den  Astron.  Nach- 
richten, Bd.  88,  pag.  321.  An  den  Beobachtungen  hatten  sich  nebst  Schmidt  noch 
vier  Beobachter:  W  (Wuri.isch),  Ch  (Chantzidakis),  Ii"  und  G  betheiligt.  Es 
beobachteten  gleichzeitig: 

in  136  Stunden    S  2225  Meteore  und  IV  2606 
29       „  277       „        „    Ch  321 

100       „  1399       „        „    IV  1326 

51       „  1101       „        „    G  755 

Zusammen  316      „        S  5002      „        „    —  5008 

Aus  den  Beobachtungen  wurde  die  stündliche  Häufigkeit  der  Meteore  für 
jede  volle  Stunde  abgeleitet,  wo  also  2.  B.  die  Zeit  12*  als  die  Stunde  zwischen 
11*  30«  und  12*30"«  anzusehen  ist:  es  folgt1)  für  die  stündliche  Häufigkeit 
der  Meteore. 


• 

6*0 

7*0 

8*0 

9*0 

10*0 

11*0 

13*0 

14*0 

15*0 

16*-0 

17*0 

70 

87 

3-4 

47 

51 

90 

41 

6-5 

14  2 

1 1*3 

11-5 

Februar 

2-6 

31 

3-5 

4-7 

40 

5-2 

7-8 

91 

6-6 

10-2 

70 

Man 

40 

41 

51 

51 

4-6 

7'6 

70 

90 

60 

7-7 

April 

4-7 

4-4 

5-9 

6-5 

91 

8-8 

8-2 

8-8 

8-3 

Mai 

44 

51 

6-3 

6-9 

7-2 

7-7 

80 

Juni 

6-0 

68 

68 

6-8 

6-4 

7-8 

8-8 

Juli 

81 

8*8 

121 

13-4 

12-4 

16-0 

191 

230 

August 

127 

145 

17-9 

251 

321 

37-3 

24-5 

25-8 

Scptemb. 

6-2 

56 

7-9 

8-9 

112 

90 

10-4 

180 

12-2 

101 

<> 

October 

6-3 

7-3 

8-7 

9-9 

12-3 

13-8 

200 

25-0 

17  8 

290 

29* 

Novemb. 

5-5 

6*5 

90 

10-4 

10-6 

121 

14-8 

18*1 

18-9 

17-9 

14-4 

?1'5 

Deccmb.  |  6  0 

62 

7-7 

6-7 

114 

140 

11-2 

1J-5 

17-7  |  18-9 

10-4 

15-6 

Die  Zahlen  dieser  Tabelle  wurden  nun  graphisch  ausgeglichen,  und  diejenige 
Zeit  7*'  gesucht,  für  welche  die  sich  hieraus  ergebenden  Monatsmittel  *  gelten; 
das  Maximum  ergiebt  sich  für  die  einzelnen  Monate  zu  den  Zeiten  T. 

Es  folgt: 

in  den  Monaten  Januar  Februar  März 

die  stündl.  Häufigkeit  z  =  8  62  5  62  6*47 
zu  den  Zeiten  T  =  11*  05   11*  60    11*  55 


1510 
Juli 


Zeit  des  Maximums  T 

in  den  Monaten 
die  stündl.  Häufigkeit  z  r=  H  13 
zu  den  Zeiten  T  =  11*  45 
Zeit  des  Maximums    T=  — 


April 
6-40 
10*60 
13-75 


15-75  1460 

August  Septb.  Octob. 

2060  9-81  14-15 

10*80  10*76  12*30 

14-60  14-60 


Mai 
6-05 
11*15 

14-  60 
Nov. 
13-29 

11*75 

15-  25 


')  Die  periodischen  Novembcrmetcorc  ebenfalls  ausgeschlossen. 
IL 


Juni 
612 
10*53 
14-75 

Dec. 
1216 
10*40 
14-75 


11 


im  Jahre 
10-03 
11*60 
14-80 


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i6a 


Kometen  und  Meteore. 


Als  Jahresmittel  ergiebt  sich  die  stündliche  Häufigkeit  z  =  10  in  der  Stunde 
zwischen  11  und  12  Uhr;  wollte  man  also  die  Beobachtungen  abkürzen,  und  nur 
die  Mittelwerthe  aus  den  Beobachtungen  direkt  erhalten,  so  würde  es  genügen, 
die  Beobachtungen  in  der  Stunde  zwischen  11  Uhr  und  12  Uhr  Nachts  vorzu- 
nehmen.   Schmidt  gelangt  zu  den  folgenden  Schlüssen: 

1)  Die  mittlere  stündliche  Häufigkeit  der  Meteore  für  einen  Beobachter  ist 
im  Jahre  s  =  10. 

2)  Das  mittlere  Maximum  der  Häufigkeit  trifft  auf  15  Uhr. 

3)  Die  Epoche  des  jedesmaligen  (täglichen)  Mittelwerthes  von  *  ist  1 1  £  Uhr 
Nachts. 

4)  Das  allgemeine  Minimum  fällt  in  den  Februar,  das  Maximum  in  den 
August,  wobei  die  grossen  Novemberströme  ausser  Betracht  blieben. 

5)  Vom  Januar  bis  Anfang  Juli  ändert  sich  *  nur  wenig  und  erreicht  im  Mittel 
nicht  7;  dann  erfolgt  die  rasche  Zunahme  mit  bedeutenden  Maximis  im  Juli 
und  August.  Der  September  zeigt  allgemeine  Abnahme,  und  in  den  drei  folgenden 
Monaten  wächst  z  wieder  zum  doppelten  Betrage  des  z  im  ersten  Halbjahre. 

Es  muss  jedoch  darauf  hingewiesen  werden,  dass  der  Schluss  No.  2  nicht  mit 
voller  Sicherheit  gezogen  werden  kann.  Vergleicht  man  die  Tabelle,  so  rindet 
man  zunächst  im  Juli  und  October  innerhalb  der  Beobachtungszeiten  ein  fort- 
währendes Ansteigen:  für  T  ergiebt  sich  das  Maximum  erst  später.  Auch  im 
November  ist  das  Ansteigen  gegen  17A  ziemlich  gut  angedeutet,  wenn  dem  Ab- 
falle gegen  16*  kein  besonderes  Gewicht  beigelegt  wird.  Erwünscht  wären  jeden- 
falls noch  Beobachtungen  aus  den  späteren  Morgenstunden,  nur  mttssten  dieselben 
mit  den  übrigen  Beobachtungen  eine  homogene  Serie  bilden,  also  auch  die  durch 
die  Dämmerung  bewirkte  Verminderung  der  Anzahl  berücksichtigt  wird. 

Dass  die  Meteore  vom  i  j.  und  27.  November  ausgeschlossen  wurden,  hat 
seinen  Grund  darin,  dass  die  Häufigkeit  der  Meteore  an  diesen  beiden  Tagen 
unverhältnissmässig  gross  ist.  Die  Maximalwerthe  für  die  stündliche  Anzahl 
waren  für  die  einzelnen  Monate1): 


Im  Januar: 

am    2:  29 

Februar:  am   8:  18 

März: 

am    7:  30 

11 

April: 

am  27:  20 

11 

Mai: 

am    6:  35 

11 

Juni: 

am  30:  24 

11 

Juli: 

am  31:  56 

Im  August:    am  10:  136 

m       n        am  11:  81 

11       11        am   9:  65 

„  Septemb.:  am   3:  28 

„  October:  am  16:  81 

M        am  15:  80 

am  14:  64 


Im  November:  am  27:  2777 
»  11  am  13:  2052 
11  11  am  12:  120 
„  „  am  7:  46 
„  December:  am  6:  120 
„        am    7:  82 


Dass  die  Sternschnuppen  nicht  aus  allen  Richtungen  mit  gleicher  Häufigkeit 
kommen,  hatte  schon  Brandes  beobachtet*).  Die  Richtungen,  nach  welchen  sich 
die  Meteore  zu  bewegen  scheinen,  waren  für  34  von  ihm  beobachtete  Meteore 
in  den  folgenden  Oktanten 

nachd.Richtungzwischen  26fc  71°  116°  161°  206°  251°  296°  341°  26°  Azimuth 
schienen  sich  zu  bewegen    94      62      —  337 


')  Diese  Maximalwerthe  wurden  natürlich  nicht  jede«  Jahr,  sondern  nur  in  einem  der 
36  Beobachtungsjahre  gefunden. 

8)  Arago  hatte  in  seinen  bereits  erwähnten  Instruktionen  (Compt.  rend.  Bd.  I,  pag.  391) 
auch  auf  diese  Thatsachc  hingewiesen. 


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Kometen  und  Meteore. 


163 


Coulvier- Gravier  gicbt  die  folgenden  Zahlen: 

Aus  der  Richtung  zwischen*)  202°  247°  292°  337°  22°  Azimuth 
schienen  zu  kommen  246       293      258  202 

Aus  der  Richtung  zwischen  22°  67°  112°  157Ä  202°  Azimuth 
schienen  zu  kommen  88        87        90  198 

H.  A.  Newton  giebt  Zusammenstellungen  für  die  Zahl  der  Meteore,  welche  in 
den  einzelnen  Azimuthen  zu  sehen  waren  (also  nicht  Richtungen);  die  Vertheilung 
war  eine  ziemlich  gleichmässige,  mit  einem  kleinen  Ueberschuss  in  Südost 

Brandes  gab  auch  schon  die  richtige  Erklärung:  Die  meisten  Sternschnuppen 
müssen  entgegengesetzt  der  Bewegungsrichtung  der  Erde  zu  kommen  scheinen: 
die  meisten  Sternschnuppen  kommen  aus  dem  Apex;  denn  wenn  sie  kosmischen 
Ursprungs  sind,  und  sich  Sternschnuppen  aus  allen  Richtungen  gleichmässig 
gegen  die  Erde  zu  bewegen,  so  wird  diese  Vertheilung  auf  der  Erde  nur  dann 
gleichmässig  erscheinen,  wenn  die  Erde  ruhend  ist;  sobald  sich  aber  die  Erde 
gegen  einen  gewissen  Punkt  hin  bewegt,  so  werden  die  hinter  der  Erde  kommen- 
den zurückbleiben,  einzelne,  deren  Geschwindigkeit  kleiner  ist,  wie  diejenige  der 
Erde,  werden  diese  gar  nrcht  erreichen,  während  vor  der  Erde  nicht  nur  die- 
jenigen zur  Erde  (in  die  Atmosphäre)  gelangen,  deren  Bewegung  gegen  die  Erde 
zu  gerichtet  ist,  sondern  auch  andere,  welche  sich  mit  kleinerer  Geschwindigkeit 
als  die  Erde  in  derselben  Richtung  bewegen,  welche  also  gleichsam  von  der  Erde 
eingeholt  werden.  Nun  findet  Brandes,  dass  die  Bewegungsrichtung  der  Erde  im 
Mittel  gegen  das  Azimuth  228°  10'  gerichtet  ist*);  aus  dieser  Richtung  muss  also 
die  Mehrzahl  der  Meteore  zu  kommen  scheinen;  d.  h.  ihre  Bewegungsrichtung 
muss  gegen  das  um  180°  verschiedene  Azimuth  48°  10'  gerichtet  sein,  was  sich 
auch  aus  seinen  Zahlen  ergiebt. 

Diese  Idee  von  Brandes  wurde  in  sehr  glücklicher  Weise  von  Bompas  1856 
zur  Erklärung  der  stündlichen  Veränderung  in  der  Anzahl  der  Meteore  und  des 
Maximums  der  Häufigkeit  derselben  in  den  Morgenstunden  herangezogen*) 
und  acht  Jahre  später  von  A.  S.  Herschel  zur  Erklärung  der  jährlichen  Ver- 
änderung4). ' 

Die  Richtung  gegen  welche  sich  die  Erde  bewegt  ist  immer  um  90°  von  der 
Sonne  entfernt,  gegen  diese  zurück.  Wendet  man  sich  also  mit  dem  Gesichte  gegen 
die  Sonne,  so  hat  man  den  Apex  zur  rechten  Hand  in  90 p  Entfernung  (vergl. 
Fig.  256)  in  der  Ekliptik.  Vernachlässigt  man  zunächst  die  Schiefe  der  Ekliptik, 
und  nimmt  die  Bewegung  der  Erde  im  Aequator  an,  so  kann  auch  der  Apex 
als  im  Aequator  gelegen  angenommen  werden.  Am  Abend,  wenn  die  Sonne 
im  Westen  untergeht,  ist  also  der  Apex  im  Norden  in  seiner  unteren  Culmination 
(unter  dem  Horizonte),  es  ist  »meteorische  Mitternächte  Um  Mitternacht,  wenn 
die  Sonne  in  ihrer  unteren  Culmination  ist,  geht  der  Apex  auf,  es  ist  »meteorischer 
Morgen«.  Des  Morgens  ist  der  Apex  in  seiner  grössten  Höhe,  es  ist  »meteorischer 


')  Hier  sind  also  die  Aximuthe  um  180°  verschieden  gegen  Brandes. 

*)  Dabei  ist  die  Bcobachtungsxeit  also  twischen  Abend  und  Mitternacht  vorausgesetzt, 
während  welcher  Zeit  der  Apex  von  der  unteren  Culmination  (Aximuth  180°)  zum  Aufgangs- 
punkt (Aximuth  270°)  steigt.  Es  ist  merkwürdig,  dass  Brandes  diese  Idee  nicht  weiter  ver- 
folgte; hätte  er  dieses  gethan,  so  hätte  er  nothwendig  auf  das  Maximum  der  Häufigkeit  in  den 
Morgenstunden  geführt  werden  müssen.  Bei  Coulvikr-Gravier  fällt  das  Maximum  auf  270° 
wie  dieses  der  Fall  sein  muss,  wenn  die  Beobachtungen  Uber  die  ganze  Nacht  vertheilt  sind. 

3)  »Monthly  Notices  of  the  R.  Astr.  Soc«,  Bd.  17,  pag.  148. 

*)  »Monthly  Notices  of  the  R.  Astr.  Soc«,  Bd.  24,  pag.  133. 

II* 


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i64 


Kometen  und  Meteore. 


Mittage,  und  wenn  die  Sonne  in  ihrer  oberen  Culmination  ist,  ist  der  Apex  im 
Untergehen  begriffen,  es  ist  »meteorischer  Abende1).  Nun  kommen  aber  die 
Sternschnuppen  am  zahlreichsten  aus  jener  Halbkugel,  in  welcher  der  Apex  sich 
befindet;  von  dieser  Halbkugel  ist  zur  Zeit  des  »meteorischen  Mittags«,  also  bei 
Sonnenaufgang,  der  grösste  Theil  Uber  dem  Horizonte,  und  zur  Zeit  der 
»meteorischen  Mitternacht«,  bei  Sonnenuntergang  der  grösste  Theil  unter  dem 
Horizonte,  zur  Zeit  der  oberen  und  unteren  Culmination  der  Sonne  gerade  zur 
Hälfte  über  dem  Horizonte,  und  zwar  um  Mitternacht  auf  der  Ostseite.  Daraus 
folgt,  dass  das  Maximum  der  Häufigkeit  der  Sternschnuppen  um  6  Uhr  Morgens 
eintreten  müssle.  Nach  den  Ubereinstimmenden  Angaben  aller  Beobachter  tritt 
aber  das  Maximum  nicht  um  diese  Zeit,  sondern  etwa  2  Stunden  früher  ein ; 
diese  Erscheinung  ist  zur  Zeit  noch  nicht  genügend  erklärt. 

Die  Häufigkeit  der  Meteore  ergiebt  sich  hier  als  eine  Function  der  Zenith- 
distanz  des  Apex;  je  höher  der  Apex  Uber  den  Horizont  steigt,  desto  grösser 
wird  die  Menge  der  sichtbaren  Sternschnuppen.  In  Folge  des  Umstandes  nun, 
dass  der  Apex  sich  nicht  im  Aequator  bewegt,  wird  er  in  verschiedenen  Jahres- 
zeiten veischiedene  Höhen  erreichen.  Am  21.  Juni,  wenn  die  Sonne  in  der 
Ekliptik  am  höchsten  steht,  ist  der  Apex  um  90°  zurück,  im  Frühlingspunkt,  es 
wird  also  Mitte  des  »meteorischen  Frühlings«;  am  23.  September  steht  der  Apex 
am  höchsten;  seine  Deklination  ist  gleich  der  Schiefe  der  Ekliptik,  also  +23°  27', 
er  erreicht  die  grösstmögliche  Höhe,  es  ist  also  Mitte  des  »meteorischen  Sommers« ; 
am  22.  December  ist  der  Apex  im  Herbstäquinoktium,  es  ist  Mitte  des  »meteori- 
schen Herbstes«  und  am  21.  März,  wenn  der  Apex  die  Deklination  —  23°  27' 
hat,  ist  Mitte  des  »meteorischen  Winters«.  Die  grösste  Höhe,  welche  der  Apex 
erreichen  kann,  ist  am  23.  September,  morgens  6*;  dann  ist  seine  Höhe  für  die 
Breite  von  Mitteleuropa  ungefähr  70°;  am  21.  März  wird  seine  grösste  Höhe 
nur  ungefähr  23°;  während  der  ganzen  zweiten  Hälfte  des  Jahres  steht  daher 
der  Apex  auf  der  nördlichen  Halbkugel  höher,  während  der  ersten  Hälfte  des 
Jahres  tiefer;  daher  der  grössere  Reichthum  an  Sternschnuppen  in  der  zweiten 
Hälfte  des  Jahres*). 

Um  das  Verhältniss  der  Zahlen  durch  Rechnung  zu  bestimmen,  hat  man  zu 
beachten,  dass  durch  die  Bewegung  der  Erde  die  Richtung,  aus  welcher  eine 

Sternschnuppe  kommt,  geändert  erscheint; 
s  *  es  ist  dies  eine  dem  Aberrationsphänomen 
ähnliche  Erscheinung.  Ist  E  (Fig.  265)  der 
Ort  der  Erde,  EA  die  Richtung  nach  dem 
Apex,  Ea  die  Geschwindigkeit  der  Erde  in 
ihrer  Bahn,  SE  die  Richtung  der  Bewegung 
der  Sternschnuppe,  sE  ihre  Geschwindigkeit, 
so  giebt  die  Diagonale  des  aus  sE,  aE 
construirten  Paralellogramms  S'E  die  schein- 
bare Richtung  und  Geschwindigkeit  des 
(a  ^  ^  Meteores.    Die  Richtung  ES  bestimmt  nun 

den  Radianten,  und  es  ist  daher  SEA  =  9 
die  Elongation  des  wahren  Radianten  vom  Apex.   Da  die  Sternschnuppe 


')  Die  meteorischen  Tageszeiten  folgen  der  Sonnenzeit,  weil  die  tägliche 
Apex  entgegengesetzt  der  jährlichen  Bewegung  der  Erde  in  ihrer  Bahn  ist. 

')  Coulvier-Gravirr  brachte  diese  Häufigkeit  in  Beziehung  zur  Lage  des  Perihels  der 
Erdbahn. 


iguizeo  oy 


Google 


Kometen  und  Meteore. 


i«5 


aus  der  Richtung  S'E  tu  kommen  scheint,  so  wird  die  durch  das  Auge  ge- 
legte parallele  Grade  die  Himmelskugel  in  der  Richtung  ES'  treffen;  diese  Richtung 
bestimmt  den  scheinbaren  Radianten,  S'EA  =  <J»  ist  ihre  Elongation  vom 
Apex.  Durch  die  Erdbewegung  werden  also  die  Radianten  aller  Stern- 
schnuppen dem  Apex  genähert. 

Die  scheinbare  Elongation  vom  Apex  <|>  lässt  sich  aus  der  wahren  9  und 
den  Geschwindigkeiten  Ea  —  G  und  sE  =  v  der  Erde  und  der  Sternschnuppe 
einfach  berechnen;  es  ist: 

v  sin  y 


tangty 


veosy 


Umgekehrt  erhält  man  aus  der  beobachteten  Elongation  diejenige  ?  aus 
der  Formel 

sin  (<p  -  y)  =  -  sin  4. 

Allein  diese  Formeln  sind  nur  verwendbar,  wenn  die  wahre  Geschwindigkeit 
r  bekannt  ist;  die  aus  den  Beobachtungen  gefolgerte  ist  aber  nicht  die  kos- 
mische v,  sondern  die  durch  die  Erdbewegung  veränderte  u9\  denn  indem  die 
Erde  sich  in  Folge  ihrer  Bewegung  dem  Meteore  entgegen,  oder  von  ihm  weg- 
bewegt, werden  aus  den  durch  die  Beobachtungen  erhaltenen  Erscheinungen  nur 
die  relativen  Geschwindigkeiten  erhalten.  Man  erhält  aber  aus  dem  wahren 
Radianten  und  der  wahren  Geschwindigkeit  den  scheinberen  Radianten  und  die 
scheinbare  Geschwindigkeit  durch 

v  sin  9 


tangty 


oder 


u0  stn  tj»  =  v  sin  9 
u0  cos  y  =  v  cos  <J;  -+-  G 


G  -+-  vcosy 
«08  =  G9  -h  v*  -h  2Gvcosy 

und  aus  den  beobachteten  Radianten  und  der  beobachteten  Geschwindigkeit  die 
wahren  Grössen  durch  die  Formeln: 


»0  sin  <J> 


oder 


v  sin  y  =  u0  sin  <J> 
vcosf  =  u0  cos  4»  —  G. 


v*  =  »0»  +  G*  —  2G  u0  cos  <|» 

Ist  aber  der  scheinbare  Radiant  beobachtet,  während  man  über  die  wahre 
Geschwindigkeit  eine  Annahme  zu  machen  in  der  Lage  ist,  so  sind  v 
und  4»  gegeben,  und  man  erhält  9 
und  v  aus  den  Formeln 

Q 

sin(f  —  4»)—  -  sinty\ 


v 


stn  9 


0        stn  <|* 
Eine  Unbestimmtheit  bleibt  filr 
9  =  0  und  180°,  da  u  in  der  Form  % 
auftritt,  in  diesem  Falle  wird  aber 
»0  =  v  ±  G. 

Denkt  man  sich  aus  allen  Punkten 
der  Himmelskugel  Sternschnuppen 
kommend  gegen  den  Mittelpunkt 
einer  Kugel,  in  welcher  sich  der 
Beobachter  befinden  soll;  sei  OD 
(Fig.  266)  die  Richtung  nach  dem 


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i66 


Kometen  und  Meteore. 


Apex.  Eine  Sternschnuppe,  die  zur  selben  Zeit  von  C  aasgeht,  zu  welcher  de- 
Beobachter  von  A  ausging,  trifft  diesen  in  O,  wenn  CO  die  Geschwindigkeit 
der  Sternschnuppe  und  AO  die  Geschwindigkeit  des  Beobachters  ist.  Ist  AB  da 
Horizont  des  Beobachters,  so  wird  eine  von  B  nach  O  gehende  Sternschnuppe  in 
allen  Punkten  ihrer  Bahn  im  Horizonte  BA  bleiben,  der  sich  mit  derselben 
Geschwindigkeit  in  der  Richtung  AD  bewegt,  so  dass  der  Beobachter  A  und  die 
Sternschnuppe  B  gleichzeitig  in  O  ankommen.  Von  allen  Sternschnuppen,  die 
sich  mit  derselben  Geschwindigkeit  CO  gegen  O  hin  bewegen,  werden  daher 
alle  über  dem  Horizonte  BE  befindlichen  sichtbar,  und  über  dem  als  ruhend 
gedachten  Horizonte  B' E'  erscheinen;  umgekehrt:  wenn  der  Apex  £>  unter  den 
Horizonte  ist,  so  bleiben  alle  aus  dem  Kugeltheile  BDE  kommenden  Stern- 
schnuppen unter  dem  Horizont,  weil  sie  mit  diesem  gleichzeitig  nach  O  rücken 
und  nur  diejenigen  werden  über  dem  Horizonte  sichtbar,  welche  aus  dem  kleinen 
Kugeltheile  BEF  kommen.  Die  Zahl  der  sichtbaren  Sternschnuppen  wird  also 
von  der  Lage  von  AD  gegen  BE,  d.  i.  von  der  Höhe  des  Apex  abhängig  sein. 

Denkt  man  sich  die  Sternschnuppen  im  Raum  gleichmässig  vertheilt,  so 
werden  aus  gleichen  Oberflächentheilen  der  Kugel  BDE  auch  eine  gleiche 
Anzahl  Sternschnuppen  fallen;  die  Zahl  der  aus  irgend  einem  Kugeltheile,  d.  i. 
in  irgend  einer  Richtung  fallenden  Sternschnuppen  ist  daher  der  Oberfläche  dieses 
Theiles  proportional.    Die  Oberfläche  der  Calotte  BDE  ist  aber 

2Är  G//=2J?*Cff  4-  OAcosz), 
wenn  *  die  Zenithdistanz  des  Apex  ist.    Ist  demnach  N  die  Gesammtzahl  der 
Sternschnuppen,  n  die  Zahl  der  über  dem  Horizont  sichtbaren,  so  ist 

N=K-±Rk\       n  =  K-2Rr,(R  4-  OAcost), 
wo  K  ein  Proportionalitätsfaktor  ist,  hieraus: 

n         (       OA  \ 

Da  nun  OA  :  R  =  G :  v  ist,  so  ist 

n  =  \n[\  4-  ^  cos  . 

Würde  G  »  0  sein,  so  wäre  stets  n  =  \N,  d.  h.  es  würden  immer  die 
Hälfte  aller  Sternschnuppen  sichtbar  sein;  der  Faktor 

G  G 
F*=  1  -+-  -  cos  9=  1     -  sin  H, 

wenn  H  90°  —  *  die  Höhe  des  Apex  über  dem  Horizonte  bedeutet,  stellt 
daher  den  Vergrösserungsfaktor  der  sichtbaren  Sternschnuppenzahl  dar;  es  ist 
für  v  =  G  -|/2 : 


H=  0° 

F  =  1-000 

H=  0° 

F  =  1000 

4-  10 

1123 

—  10 

0-877 

4-20 

1*242 

-20 

0-758 

4-  30 

1-354 

-30 

0-646 

4-40 

1-455 

-40 

0-545 

-+-  50 

1-542 

—  50 

0-458 

-h  60 

1-613 

—  60 

0-387 

4-  70 

1-665 

—  70 

0-335 

4-  80 

1-697 

—  80 

0-303 

4-  90 

1-707 

-  90 

0-293 

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Kometen  and  Meteore. 


*7 


Um  die  Höhe  des  Apex  zu  finden,  hat  man  zunächst  seine  Rectascension 
und  Deklination  zu  berechnen  (vergl.  pag.  128;  und  dann  wird,  wenn  B  die  geo- 
graphische Breite  des  Beobachtungsortes,  0  die  Sternzeit  der  Beobachtung,  also 
*8  —  a  der  Stunden winkel  des  Apex  ist: 

sinH     sin  B  sin  d  -f-  cos  B  cos  d  cos  (8  —  ä). 

Die  grösste  Zahl  der  Sternschnuppen  würde  man,  abgesehen  von  der  durch 
die  Helligkeit  der  aufgehenden  Sonne  stattfindenden  Störung,  sehen,  wenn  der 
Apex  im  Zenith  ist,  die  geringste  Anzahl,  wenn  er  im  Nadir  ist.  Im  ersten 
Falle  ist  //«-+-  90°,  im  letzten  Falle  —  90°;  und  es  wird  sich  die  Zahl  der 
sichtbaren  Sternschnuppen  in  beiden  Fällen  verhalten,  wie 

Wäre  v<G,  so  würde  man  keine  Sternschnuppe  sehen  können,  wenn  der 
Apex  im  Nadir  ist;  für     —  Gfö  wäre  das  Verhältniss 

()/2 1) :  (|/2  —  1)  =  2  4142  :  0  4142  =  5-8284. 

In  der  folgenden  Tabelle  giebt  der  erste  Theil  die  wahre  Elongation  cp 
vom  Apex  mit  dem  Argumente:  beobachtete  scheinbare  Elongation  <\>  für  die 
Geschwindigkeiten  v  =  Y2  •  2,  |/2  •  1,  >/2  •  0,  ]/l  •  9,  /l  •  8  entsprechend  den 
hyperbolischen  Bahnen  mit  den  Halbaxen  5,  10,  der  Parabel  und  den  Ellipsen 
mit  den  Halbaxen  10  und  5;  der  zweite  Theil  giebt  für  dieselben  Annahmen  die 
kosmischen  relativen  (nicht  von  der  Erdattraction  afficirten)  Geschwindigkeiten  u0 ; 
die  zweite  Tafel  giebt  mit  dem  Argumente  u9  die  veränderte  Geschwindigkeit  u 
und  den  Werth  <D,  der  später  erklärt  wird. 


V  = 

r  — 

v  — 

1 

Vi-öc 

V  — 


v  =■       |!    V  =    I    V         I    V  — 

^1-8  6-  \  i/fidViKr.Vi^G 


Vl'9G 


Wcrthe  für  <p 


Werthe  für  un 


0° 
10 
20 

30 
40 
50 
60 
70 
80 
90 
100 
110 
120 
130 
140 
150 
160 
170 
180 


0°  o'-o 

16  43-41 
33  19*9 
49  42*0 
65  40-9 
81  57 
95  43-4 
109  187 
121  361 
182  23-7 
141  36  1 
149  18  7 
155  43  4 
161  57 
165  40  9 
169  42-0 
173  19-9 
176  43  4 
180   0  0 


0°  O'-O 
16  52*9 
33  39- 1 
50  H  O 
66  19-9 
81  54*6 
96  42  0 
110  25  5 
122  48  6 
133  38- 1 
142  48-6 
150  25  5 
156  42  0 
161  54-6 
166  199 
170  110 
173  39  1 
176  52-9 
180  00 


0°  O'-O 
17  32 
83  59-7 
50  42-3 
67    2  1 
82  47-9 
97  45-7 
III  38-6 
124  8-2 
135  00 
144  82 
151  386 
157  45-7 
162  47-9 
167    2  t 
170  42-3 
173  59-7 
177  3-2 
180    0  0 


0°  O'-O 
17  14*3 
34  22  0 
51  161 
67  47  8 
83  45-8 
98  55-4 
112  58-8 
125  35-9 
136  30-6 
145  35-9 
152  58-8 
158  55-4 
163  45-8 
167  47-8 
171  16  1 
174  22  0 
177  143 
180  00 


0°  O'  O 
17  26-2 
34  46-2 
51  52-9 
68  37*7 
84  49- 1 
100  12  2 
114  27-7 
127  13-6 
138  1 1*5 
147  13-6 
154  27  7 
160  12  2 
164  49  1 
1G8  37-7 
171  52-9 
174  46-2 
177  26-2 
180  00 


2-4832  2-4491 


2-4579 
2-3835 

2-262- 
2  1028 


1-9129  1-8729 
1-7042  1-6619 


1-4896 
1-2828 
1  0954 
0-9355 


2*4234 
2-3479 
2-2261 
20648 


1-4452 
1-2367 
1  0488 
0-8895 


0  8056  0  7611 
0  7042  0-6619 
j  0-6273  0-/>874 
0-5707  0-5327 
0-r>304l  0*4941 
0-5036  0-4685 


04882 
04832 


0  4540 
04491 


2*4142 
2*3883 
2-3118 
2- 1888 
20257 
1-8315 
1-6180 
1-3988 
11886 

l-ooooj 

0*8413 
07148 

0-6180 
05460 
04J36 
0-4568 
0-4325 
04186 
0  4142| 


2*3416 
2*352^2-3152 
2-275«  2-2370 
2  1505  2  1110 
1-9854  1  9437 


1-7887 


1-7442 


1-5724  1-5247 
1-3504  1-2996 
1  1381  1  0847 
0-9486  0*8944 


0-7908 
0-66(14 
0-5724 
0-5031 
0-4533 
0-4185 
0-3956 
0-3824 
0-3784 


0-7374 
0-6155 
0-5247 
0-4586 
04115 
0-3789 
0-3576 
0-3455 
03416 


i<>8  Kometen  und  Meteoie. 


u 

*  ! 

U 

u 

]  .  

1  ° 

u 

0 

0-35 

0-5152 

21°37'-0 

0-60 

0-7091 

9°32'0 

1-25 

1-3059 

2o30'S 

0-36 

0-5221 

20 

49  1 

0-62 

0-7261 

9 

11 

1-80 

1-3538 

2 

19-4 

0-37 

0-5290 

20 

8-4 

0-64 

'  0-7433 

8 

32-4 

!  1-35 

1-4019 

2 

9-7 

038 

0-5360 

19 

19-8 

0-66 

0*7606 

8 

5-7 

,  1-40 

1-4502 

2 

11 

0-39 

0-5431 

18 

38-2 

0-68 

0-7780 

7 

41-2 

1  1-45 

1-4985 

1 

53-1 

0-40 

0-5503 

17 

58-5 

0-70 

0-7955 

7 

18-4 

1-50 

1-5469 

l 

45-8 

(Ml 

0-5576 

17 

20-7 

0-72 

0-8131 

6 

57-2 

1-55 

1-5954 

1 

39  2 

0-42 

0-5650 

16 

44-7 

0-74 

0-8309 

6 

374 

1-60 

1-6440 

1 

33  2 

0-43 

0-5725 

16 

10-4 

!  0-76 

0-8487 

6 

191 

1-65 

1-6928 

1 

27-7 

0-44 

0-5800 

15 

37  8 

0-78 

0-8667 

6 

1-8 

1-70 

1-7416 

l 

229 

0-45 

05876 

15 

G-6 

0-80 

0-8847 

5 

45-7 

1-75 

1-7904 

1 

18*4 

0-46 

05953 

14 

3G-8 

082 

0-9029 

5 

30-5 

1-80 

1-8392 

1 

14-2 

<W 

06081 

14 

8-3 

0-84 

0-9211 

5 

16-3 

1-85 

1-8882 

1 

10-3 

048 

0-6109 

13 

4M 

0-86 

09393 

5 

2*9 

1-90 

1-9372 

1 

6-7 

0-49 

0-6188 

13 

151 

088 

0-9577 

4 

50-5 

1-95 

1-9863 

1 

3  4 

0-50 

0-6267 

12 

50-2 

0-90 

09761 

4 

38-8 

200 

2-0354 

1 

0-2 

0-51 

0-6347 

12 

26-4 

092 

0-9945 

4 

27-7 

205 

2*0845 

0 

57-4 

0-52 

0-6428 

12 

3-6 

0-94 

10131 

4 

17-2 

210 

2-1337 

0 

548 

0-53 

0.6509 

1 1 
1 1 

4.1*7 

096 

10317 

A 
% 

215 

21829 

0-54 

0-6591 

11 

20-8 

0-98 

1  0503 

3 

57-9 

2-20 

2-2322 

0 

500 

0-55 

0-6673 

II 

0-8 

100 

1  0689 

3 

49- 1 

225 

2-2815 

0 

47-8 

a  r/t 

0'56 

06756 

10 

41-6 

rüo 

I.II  AO 

rl  loa 

3 

291 

2'oU 

2-O008 

0 

45-8 

057 

0G839 

10 

231 

MO 

11631 

3 

11-8 

2-35 

2-3802 

0 

439 

0-58 

0-6923 

10 

5-3  : 

115 

1-2106 

2 

56-8 

2-40 

2-4296 

0 

42-2 

0-59 

0-7007 

9 

48-3 

1-20 

1-2581 

o 

42-6 

2-45 

2-4790 

0 

40-5 

060 

07091 

9 

320  1 

1-25 

1-3059 

2 

30-3 

2-50 

1 

2-5284 

0 

38-8 

Die  Dichte  der  Sternschnuppen  in  den  beiden  Halbkugeln,  in  denen  sich 
der  Apex  befindet,  und  in  der  anderen  Halbkugel  verhalten  sich  wie  5  83 : 1 ; 
aber  die  Dichte  wird  nicht  in  allen  Punkten  gleich  sein.  Gleiche  Flächen- 
elemente der  Kugel,  welche  man  von  O  unter  gleichen  Gesichtswinkeln  sieht, 
erscheinen  nämlich  dem  Beobachter  in  A  ungleich,  und  da  bei  gleicher  Ver- 
theilung  der  Radianten  auf  gleiche  Flächentheile  eine  gleiche  Anzahl  von  Stern- 
schnuppenradianten kommen  muss,  so  verhalten  sich  die  Dichten  umgekehrt  wie 
die  Gesichtswinkel,  unter  denen  gleiche  Flächentheile  erscheinen;  diese  ver- 
halten sich  aber  wie  umgekehrt  die  Quadrate  der  Entfernung,  daher  ist  die 
Dichte  der  Sternschnuppen  in  einem  Punkt  C  proportional  AC*,  d.  h.  proportional 
dem  Quadrate  der  relativen  Geschwindigkeit,  und  hängt  daher  von  der  Elon- 
gation  vom  Apex  ab.  Es  verhalten  sich  demnach  die  Dichten  der  Radianten 
im  Apex  und  Antiapex  wie  (-j/2  -+•  1)»  :  ()/2  —  1)*  =  33*97  :  1.  . 

Der  Faktor  F  giebt  ein  Gesetz  für  die  Veitheilung,  aus  welcher  sich  die 
tägliche  und  jährliche  Variation  ableiten  lässt.  Vergleicht  man  die  aus  diesem 
Gesetze  folgende  Anzahl  mit  den  Beobachtungen  für  verschiedene  Annahmen 
von  v,  so  kann  man  hieraus  auf  den  wahrscheinlichsten  Werth  von  v  einen 
Rückschluss  ziehen.  H.  A.  Newton1)  vernachlässigt  für  die  Untersuchung  der 
täglichen  Variation  die  Veränderlichkeit  von  d,  und  setzt  d  =  0,  d.  h.  er  nimmt 
die  Bewegung  der  Erde  in  der  Aequatorebene  an;  es  wird  dann 

cos  z  =  c os  B  cos  t 

und  da  in  diesem  Falle  der  Stundenwinkel  des  Apex  auch  immer  um  90°  grösser 
')  American  Journal  of  Sciences  and  Arts,  III.  Serie,  Bd.  39,  pag.  205. 


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Kometen  and  Meteore. 


169 


angenommen  werden  kann,  als  derjenige  der  Sonne,  so  ist  /  =  T  +  90°,  wenn 
T  die  wahre  Sonnenzeit  ist;  es  ist  also 

cos  s  a  —  cos  B  sin  T 
und  damit  der  Coefficient  von  N 

\F=        -  ^  cos  B  sin  • 
Newton  rechnete  diesen  Ausdruck  für  die  Breiten  von  New  Häven  und 


Paris  für  drei  verschiedene  Werthe  von  —  und  erhält: 

v 


T  = 


6* 

9 
12 
15 
18 


Paris:  B  =  48°  50' 
=  $G   v  =  G  v  =  GY2 


0089 
0-209 
0500 
0791 
0-911 


0  171 

0268 
0500 
0732 
0829 


0-268 
0-336 
0-500 
0-664 
0-732 


New  Häven,  B  - 
v  =  \G   v  =  G 


0030 
0-168 
0-500 
0832 
0-970 


0-125 
0-235 
0-500 
0-765 
0-875 


=  41°  18' 

v  =  oyi 

0-235 
0-311 
0-500 
0-687 
0-765. 


Je  kleiner  v  ist,  desto  grösser  muss  selbstverständlich  der  Unterschied  zwischen 
der  Zahl  der  am  Abend  und  am  Morgen  sichtbaren  Sternschnuppen  sein;  die 
Verhältnisszahlen  des  Maximums  und  Minimums  werden 

für  Paris  10  24     4  85     2  73 

für  New  Häven  32  33     7  00     3  30. 
Newton  vergleicht  nun  diese  Zahlen  mit  den  von  Coulvier-  Gravier  aus 
Beobachtungen  gefundenen;   nach  ihm  ist  dieses  Verhältniss  (vergl.  pag.  160) 


16-8 
6-3 


2-667.    Daraus  zieht  Newton  den  Schluss,  dass  die  kosmische  Ge- 


schwindigkeit v  noch  grösser  sein  müsse  als  G  |/2,  d.  h.  die  Sternschnuppen  be- 
wegen sich  mit  hyperbolischen  Geschwindigkeiten.  Berücksichtigt  man  aber 
das  spätere,  aus  viel  zahlreicheren  Beobachtungen  abgeleitete  Resultat  von 


Schmidt,  wonach  dieses  Verhältniss 


18-75 
4-17 


4-497  ist,  so  würde  folgen,  dass 


die  Mehrzahl  der  beobachteten  Sternschnuppen  elliptische  Bahnen 
um  die  Sonne  beschrieben,  deren  kosmische  Geschwindigkeiten  in  der  Ent- 
fernung der  Erde  von  der  Sonne 
grösser  als  die  Geschwindigkeit  der 
Erde  in  ihrer  Bahn,  aber  kleiner 
als  die  parabolische  Geschwindig- 
keit ist 

Dieses  Resultat  steht  auch  im 
Einklänge  mit  einem  auf  ganz  an- 
derem Wege  erhaltenen,  welches 
sich  aus  der  Bewegung  des  Sonnen- 
systems ableitet. 

Das  Sonnensystem  bewegt  sich 
gegen  einen  Punkt,  der  sehr  nahe 
die  Rectascension  260°,  und  die 
Deklination  32°  hat  (Apex  der 
Sonnenbewegung).  Sei  in  ("Fig.  267) 
A  der  Aequatorpol;  0,  VI,  XII,  XVIII  der  Aequator;  sjir,  i:9jt,,  die  Ekliptik 
also  0  der  Frühlingspunkt,  so  stellt  r^,  den  Apex  der  Erdbewegung  für  den 


(A.267.) 


170 


Kometen  und  Meteore. 


December  yor  (wenn  die  Sonne  in  it,  ist);  n,,  ic6,  it9  sind  die  Orte  des  Apex 
für  die  Monate  März,  Juni,  September;  dabei  ist  As,  =  66"5°.  Ist  n  der  Apex 
der  Sonnenbewegung  (im  Sternbilde  des  Hercules),  so  ist 

n%A\\  =  10°;  A  n  =  58°. 

Die  Geschwindigkeit  der  Bewegung  ist  nahe  gleich,  ftlr  die  Erde  29*5  km 
pro  Secunde,  ftlr  das  Sonnensystem  etwa  24  km,  allerdings  mit  beträchtlichen 
Unsicherheiten;  es  soll  für  die  Geschwindigkeit  des  Sonnensystems  T  =  0*8  G 
=  23-6  km  festgehalten  werden.  Legt  man  durch  II  und  it6  einen  grössteti 
Kreis,  und  theilt  ihn  so,  dass  sin  nil6  :  sin  Il6Tt€  =  G  :  Y  =  5  :  4  ist  (vergl. 
Fig.  265;  es  ist  y  =  [\it6\  =  nßr6  und  T  tritt  an  Stelle  von  v),  so  erhält 
man  in  ü6  den  Ort  des  resultirenden  Apex  für  den  Juni.  Ebenso  folgen  die 
übrigen  Orte  desselben.  Nun  sieht  man  sofort,  dass  zwischen  dem  März  und 
September  die  Rectascension  des  resultirenden  Apex  kleiner  ist,  für  die 
Monate  von  September  bis  Marz  hingegen  grösser  als  diejenigen  des  Apex  der 
Erdbewegung.  In  den  Sommermonaten  wird  also  der  resultirende  Apex  früher 
culminiren  (vor  6*  Morgens),  in  den  Wintermonaten  später  (nach  6*  Morgens). 
Wenn  eine  solche  Verschiebung  der  Culmination,  die  im  Sommer  und  Winter 
im  entgegengesetzten  Sinne  stattfinden  würde,  nicht  beobachtet  ist,  so  kann, 
da  eine  über  das  ganze  Jahr  sich  erstreckende  Verfrühung  des  Maximums  der 
Häufigkeit  der  Sternschnuppen  nicht  dieser  Ursache  zugeschrieben  werden  kann, 
gefolgert  werden,  dass  die  weitaus  grösste  Mehrzahl  der  beobachteten 
Sternschnuppen  an  der  Bewegung  des  Sonnensystems  theilnimmt 
In  dieser  Allgemeinheit  ist  der  Satz  jedoch  vorläufig  nicht  erwiesen.  Vergleicht 
man  die  von  Schmidt  in  der  Tabelle  auf  pag.  160  gegebenen  Zahlen,  so  findet 
man,  wie  schon  dort  erwähnt,  dass  die  Zeit  des  Maximums  noch  nicht  mit  ge- 
nügender Sicherheit  festgelegt  ist.  Eine  Entscheidung  hierüber  muss  also  erst 
späteren  Zeiten  vorbehalten  bleiben.  Allein  auf  andere  Weise  kann  man  wenigstens 
Anhaltspunkte  für  eine  Bestätigung  dieses  Satzes  erhalten;  doch  muss  zu  diesem 
Zwecke  die  Rechnung  zu  Hilfe  gezogen  werden. 

Sind  A,  D,  Rectascension  und  Deklinatien  des  Sonnenapex,  T  wie  bisher 
die  Geschwindigkeit  der  Bewegung  des  Sonnensystems,  und  haben  a,  8,  ?  die- 
selbe Bedeutung  für  den  resultirenden  Apex,  so  ist 

7  sin  8  ■=  T  sin  D  -4-  G  sin  d  =  T  sin  D  —  G  cos  Qsin  c 

7  cos  6  cos  a  =  T  cos  D  cos  A  -+-  G  cos  dcosa  =  r  cos  D  cos  A  •+•  GsütQ  (J) 
7  cos  8  sin  a  «=*  T  cos  D  sin  A  ■+■  G  cos  dsina  =  T  cos  D  sin  A  —  G  cos  O  tos  s. 

Sind  a©,  8®  Rectascension  und  Deklination  der  Sonne,  so  hat  man 

sin  8®  =  sin  0  sin  t 
cos  d®  cos  a®  =  cos  ©  (2) 
cos  Ä®  sin  a®  =  sin  0  cos  t 

daher  wird  : 

Y  cos  4  cos  8  ©  cos  (a©  —  a)  =  T  cos  D  (cos  AcosQ-h  sin  AsinQ  cos  s)+G  sin  <3cosQsin*t 
^cosicosiotsin  (a©—  a)  —  Y cos D (cos  AsinQ  cos  i—  cosQsinA)+  Gcost  ' 

und  ferner  folgt  aus  (1)  mit  Rücksicht  auf  die  Beziehungen 

sin  D  sin  e  -+•  cos  D  sin  A  cos  t  —  cos  ß  sin  X 
cos  D  cos  A  =  cos  ß  cos  X 

wo  X,  ß  die  Länge  und  Breite" des  Sonnenapex  sind: 

7»  =  c7«  +  T»  _  2G  T  cos  ß  sin  (X  -  0).  (3a) 


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«7i 

Die  Zenithdistanz  z  des  resultirenden  Apex  folgt  aas: 

cos  z  s=  sin  Bsin  $  4-  cos  Bcos  6  cos  (6  —  a) 

und  es  ist  8  «=  7*4-  a®,  wenn  T  der  Stundenwinkel  der  Sonne,  also  die  wahre 
Sonnenzeit  ist;  daher 

cos  z  =  sin  B  sin  6  4-  cos  B  cos  h  cos  T cos  (a©  —  oc)  —  cos  B  cos  8  sin  Tsin  (ot©  —  et), 
daher  mit  Rücksicht  auf  (3),  wenn 

sitt  B 

  [r  sinD  —  GcosQsmt)  =  k 

cosB 


^  [T  cos  D  (cos  AcosQ  +  sin  A  sin  0  cos  %)  4-  Gsin  0  cos  0  sin »  e]  =  /  (4) 
[r  cos  D  (cos  A  sin  Qcost  —  cos  0  sin  A)  4-  G  cos  s]  =  m 

gesetzt  wird: 

cos  z  =  k  4-  l  cosT 1  —  m  sin  T.  (5) 

Hier  ist  nun  in  F=  (1  4-  a  cos  z)  wie  leicht  ersichtlich  a  =  ^  zu  setzen,  und 
dann  ist 

N  7 
«  =  y(l  +  ak  4-  alcosT—  am  sinT)\       a  =  ~- 

Da 

—  =  ~  (—  aisin  T  —  amcosT), 

ist,  so  wird  für  die  Zeit  des  Maximums  und  Minimums: 

lsinT0  +  mcosT0  =  Q 

und  die  zugehörigen  Maximal-  und  Minimalwerthe  werden: 

N 


*i,  t  =  "2  0  + ak  =*=  a  Y**  **')• 

Hieraus  folgt  das  Verhältniss  zwischen  dem  Maximum  und  Minimum: 


«1 


11 


*s        \  -\-  ak  —  a  y7*~4-  «* 
Man  kann  nun  schreiben 

k*=sinB'k0;      i     cos  B  >  J0]      m  =  cosB  •  m0 
und  es  wird  daher 

tangT^-^  (6) 
unabhändig  von  der  geographischen  Breite.    Ferner  wird: 


oder  wenn  man 


setzt: 


Vess  1  +  a  (*o  sin  B  +  Y*o       mo  cos  2) 
"l+fl  (k0  sin  B  —  |//0>  4-  «(?  <w  -ff) 

£0  =  x  *w  AT 

1  4-  axsin  (B  4-  AT) 
14-  axsin  (B  —  K) 


(7) 
(8) 

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17a 


Kometen  and  Meteore. 


Berücksicht  man  die  Formeln  (2)  so  kann  man  schreiben: 


Y  [r  sin  D  —  GeosQ  sin  t] 


/„  =  Y  [P  w  ^  fM  (a®  —  /f)  +  2 
«0  =  Y  [r«xZ>«n  («©  -  i<)  + 


*w  8® 
cos 


sin  2  0«a8  sj 

l 


Für  r  =-  0  wird 


tangT^  =  — 


2  w  e 


1  0636, 
;«2  0 


sin  2  0  e 

Die  Maximalabweichung  von  T0=  6  Uhr  und  18  Uhr  findet  statt  für  sin 
=  1,  oder  0  =  45°,  135°,  225°,  315°,  und  schwankt  zwischen  ±  19*8  Minuten 
die  Berücksichtigung  der  Schiefe  der  Ekliptik  giebt  daher  keinen  Aufschluss  fir 
die  Verfrühung  des  Maximums  der  Sternschnuppenzahl  auf  die  Zeit  gegen  14 
und  16*.    Für  das  Verhältniss  V  findet  man  für  T  =  0: 

V  ~*~  mo  =  cos  e>      iin  e2  stn      >       *o  =  —  <w  0  j/«  e 
und  da,  wie  man  hieraus  sieht,  k$  -+-  /0*  4-  m0»  =  1  ist,  so  wird  x  =  1, 

cos  K'  =  —  cosQ  sin  t.  (7 1 

Um  nun  den  Einfluss  der  Sonnenbewegung  auf  die  Sternschnuppen  zu  be- 
rechnen, müssen  die  Cocfficienten  numerisch  entwickelt  werden.    Man  hat 

A  =  260°,  D  =  -+-  32° 

X  =  25ö°8'-5;     B  =  ■+-  54°56'-6 

und  mit  der  Annahme  T  =  0  8  (für  C  =  1): 

7»  =  1-64  [1  •+-  0  5604  j/'«  (0  -h  104°  51r*ö)]. 
Die  Werthe  von  7,  kQt  /0,  w0,  7*0  (für  das  Minimum)  Tx  (für  das  Maximum 
ferner  logx,  K  und  K'  sind  in  der  folgenden  Tabelle  zusammengestellt. 


23°27'5; 


Monat 

,0 

T 

'0 

T 

i 

1-590 

0045 

-  0O74 

0  997 

5*  4:w 

17*43« 

April     .     .  | 

10 

1-572 

0-049 

-0-125 

0992 

5 

31 

17  31 

20 

1-547 

0062 

-  O  l 76 

0984 

5 

19 

17  19 

30 

1-514 

0-084 

—  0  229 

0-972 

5 

7 

17  7 

40 

1-473 

0-114 

-  0-285 

0-955 

1 

54 

16  54 

Mai  ...  | 

50 

1-425 

0-152 

~  0-344 

0-932 

4 

39 

16  39 

60 

1-371 

0-198 

—  0-405 

0-900 

4 

23 

16  23 

70 

1-312 

0254 

-  0-464 

0-858 

4 

6 

16  6 

Juni     .    .  < 

80 

1-250 

0321 

-0-519 

0806 

3 

49 

15  49 

90 

1-185 

0-397 

-  0-564 

0-745 

3 

32 

15  32 

100 

1-119 

0482 

—  0-592 

0-675 

3 

15 

15  15 

Juli  .    .    .  < 

110 

1055 

0-574 

—  0599 

0-600 

3 

0 

15  0 

120 

0996 

0672 

-  0-579 

0524 

2 

49 

14  49 

130 

0-943 

0  772 

-  0-526 

0-452 

2 

43 

14  43 

August      .  < 

UO 

0899 

0-862 

-0-440 

0387 

2 

45 

14  45 

150 

0-867 

0-937 

-0321 

0  335 

3 

i) 

15  5 

160 

0-851 

0-91)2 

-  0-177 

0-299 

3 

58 

15  58 

September  | 

170 

0851 

1-015 

—  002 1 

0283 

5 

43 

17  43 

180 

0-867 

1-0O2 

+  0136 

0-287 

41 

19  41 

190 

0898 

0-960 

+  0-278 

(»•310 

8 

47 

20  47 

October    .  | 

j200 

0-941 

0897 

4-  0-399 

0-350 

9 

15 

21  15 

1-210 

0-194 

0-821 

4-0-491 

0-403 

9 

22 

21  22 

leg  % 


00003  87°  2T 
0  0005  87  11 


86 
85 


00007 
00010 
00014183 
00021 '81 


0-0028 
0OO36 


78 

75 


0-0047  71 


0-0063 
00081 
0-0103 
0-0130 


0-0160  41  56 


00184  34 


00201 
0-0216 
00224 
0-0216 
00197,23 
0017630 
00154  37 


66 
61 
55 
49 


27 
12 
28 
15 
33 
18 
29 
69 
47 
54 
17 


26 
19 
15 
17 


10 
20 
18 
37 
36 
27 
37 
44 


1 13°  28' 

113  5 

III  M 

110  10 

107  45 

104  50 

101  29 


9 
90 
86 


0 


82  51 

78  31 

75  10 

72  15 

69  50 

68  2 

66  55 

66  32 

66  55 
68 
69 


Digitized  by\jOOg 


Konu-tcn  und  Meteore. 


173 


1»1  U  OKI 

7 

f. ,., 

mo 

7' 

■  0 

T 
J  1 

1*7 -T  X 

*VS  * 

A- 

( 

220° 

1054 

0-735 

4-  0-552 

0-466 

9*19*« 

21*19« 

00131 

1  j  0 

44 

z» 

7z 

15 

November.  < 

230 

1118 

0-649 

4  0-585 

0-536 

9  10 

21  10 

0-0110 

CA 

50 

43 

«IE 

75 

10 

l 

240 

1-183 

0-566 

4-  0-593 

0-609 

8  57 

20  57 

00090 

5b 

00 
zz 

na 
78 

31 

( 

250 

1-248 

0-486 

4-  0-577 

0-682 

8  41 

20  41 

0-0073 

Ol 

*7 

00 

oz 

Ol 

DezembcT .  { 

260 

1-311 

0-411 

4-0541 

0-752 

8  23 

20  28 

00058 

ob 

0 

0 

06 

l 

270 

1-370 

0-343 

4-0-488 

0-816 

8  4 

20  4 

O-0O46 

70 

10 

90 

0 

( 

280 

1-424 

0-282 

•h  0-4-24 

0-870 

7  44 

19  44 

00035 

73 

46 

93 

CO 

58 

Januar.  . 

29U 

1-472 

0-227 

4-  0-353 

0-914 

7  24 

19  24 

00025 

76 

i»7 

in 

vd 

l 

3C0 

1-513 

0-180 

4-  0-281 

0-947 

7  6 

19  6 

0-0019 

79 

42 

101 

29 

| 

310 

1-546 

0140 

4-0  213 

0-970 

6  50 

18  50 

0-0014 

81 

59 

104 

50 

Februar     .  < 

IJli 

U  IUI 

-+-  U  14a 

U  iJÖO 

£  Ii 

fVIVtl  1 
yj  uui  1 

83 

53 

107 

45 

330 

1-590 

0-080 

4-  0  089 

0-995 

6  20 

18  20 

00008 

85 

25 

110 

10 

340 

1-599 

0  060 

4-  0-032 

0999 

6  7 

18  7 

0-0006 

86 

31 

in 

58 

März    .    .  | 

350 

1-599 

0049 

-  0-022 

0-999 

5  55 

17  55 

00004 

87 

11 

113 

5 

360 

1-590 

0045 

-  0-074 

0-997 

5  43 

17  43 

00003 

»7 

24 

113 

28 

Rechnet  man  nach  dieser  Tabelle  für  die  einzelnen  Monate  (Sonnenlänge 
0  =  295°,  355°  . . .)  unter  der  Annahme  v=\/2G  den  Werth  von  V,  so  erhält  man 

r  =  0  8  G         Beobachtet  v.  Schmidt 

(vergl.  pag.  16t) 
4-2 
39 


Januar 
Februar 
März 
April 
Mai 
Juni 
Juli 

August 
September 
October 
November 


-5  =  40* 

3-  740 
4090 
4083 

4-  053 
3-858 
3-444 
2-983 
2-613 
2459 
2-537 

2-  837 

3-  282 


r  =  0 


B  =  50° 

2-  929 

3-  181 
3-266 
3-226 
3039 
2-724 
2-286 
2- 152 
2048 
2096 
2-300 
2-610 


£  =  40°  B  =  50° 

5-650  3-688 

9039  4-950 

11  109  5-581  2-2 

8-455  4-806  1*9 

5  137  3-493  1*8 

3185  2476  1*6 

2082  1-787  28 

1-451  1-346  2-9 

1-223  1  174  2-3 

1-571  1-430  4-7 

2274  1-907  39 

3-489  2-630  3  1 

Schlüsse  hieraus  zu  ziehen,  gestattet  die  Unverständigkeit  der  Beobachtungen 
nicht.  Die  bereits  früher  erwähnte  Verschiebung  der  Zeiten  für  die  Maxima  ist 
aus  der  Tabelle  auch  ihrer  Grösse  nach  ersichtlich;  sie  Uberschreitet  3  Stunden; 
die  Verfrühung  in  den  Sommermonaten  ist  damit  erklärt,  allein  die  Verspätung 
erreicht  ihr  Maximum  Ende  October1);  bis  zu  den  in  der  Tabelle  angegebenen 
Zeiten  Air  die  Maxima  kann  natürlich  nicht  beobachtet  werden,  aber  ebenso 
wenig  könnte  ein  weiteres  Aufsteigen  der  Zahl  der  Sternschnuppen  der  Beob- 
achtung entgehen. 

Auch  für  das  Verhältniss  V  ergiebt  sich  eine  genügende  Uebereinstimmung 
mit  den  Beobachtungen  weder  unter  der  Annahme  V  =  0,  noch  unter  der 
Annahme  T  =  0*8  G\  im  Allgemeinen  zeigt  sich,  mit  Ausnahme  der  Monate 
Juli,  August,  September  eine  bessere  Uebereinstimmung  für  T  =  0.  Hierzu 
kommt  aber,  dass  mit  wachsendem  v,  a  kleiner  wird,  also  auch,  weil  für  die 
Maximalvergrösserung  B  —  K  negativ  ist,  V  kleiner  wird;  die  Uebereinstimmung 


•)  Es  ist  jedoch  iu  beachten,  dass  die  grossen  Novembermeteore  ihr  Maximum  ebenfalls 
vor  der  Culmination  des  Apex  haben. 


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»74 


Kometen  und  Meteore. 


wird  also  für  hyperbolische  Bahnen  besser,  gleichmässig  in  beiden  Annahmen 
fiir  r. 

So  wird  fiir  v  =  2: 

T  ==  Q  T  =  0-8  G 

B  =  40°     50°        B  =  40^  50° 
K=    2-350      2067  3952  2983; 

doch  sind,  namentlich  im  ersten  Halbjahre,  die  Beobachtungen  noch  zu  wenig 
zahlreich,  um  einen  sicheren  Schluss  daraus  zu  ziehen. 

Im  Grossen  und  Ganzen  überwiegt  die  Wahrscheinlichkeit  T  =  0,  woraus 
der  bereits  ausgesprochene  Satz  folgt,  dass  die  Mehrzahl  der  Sternschnuppen 
an  der  Bewegung  des  Sonnensystems  theilnimmt.  Für  die  Verfrühung  des 
Maximums  der  Erscheinung  ist  hierdurch  keine  Erklärung  gegeben;  doch  folgt 
dieselbe  naturgemäss,  wenn  eine  thatsächliche  physische  Concentration  der 
Sternschnuppen  in  der  Richtung  von  OA  (Fig.  256)  weg  gegen  die  Verlängerung 
des  Radiusvectors  zu,  also  etwa  in  der  Richtung  Or  (wo  r  nicht  den  Frühlings- 
punkt bedeutet),  stattfindet,  weil  dann  dieser  Hauptpunkt  der  Concentration  vor 
dem  optischen  Concentrationspunkte  (dem  Apex)  culminirt.  In  der  That  rindet, 
wie  Lehman-FilhEs  gezeigt  hat,  eine  solche  Concentration  statt,  wenn  man  in 
Ellipsen  sich  bewegende  Sternschnuppen  annimmt,  so  dass  auch  hieraus  wieder 
die  Annahme  der  Zusammengehörigkeit  der  Sternschnuppen  mit  dem  Sonnen- 
systeme eine  Stütze  erhält. 

Die  Richtung  der  Meteore  wird  noch  etwas  durch  die  Anziehung  der  Erde 
geändert.  Die  Sternschnuppen  werden  in  Folge  der  Erdanziehung  Bahnen  um 
die  Erde  beschreiben,  deren  Form  von  der  Geschwindigkeit  abhängig  ist  Man 
kann  hierfür  wieder  die  Fundamentalgleichung 

verwenden1);  will  man  V,  a  und  r  in  Einheiten  des  Erdhalbmessers  ausdrücken, 
so  hat  man  Vsinn,  asinn,  rsintt,  an  Stelle  dieser  Grössen  zu  setzen;  weiter 
wird,  da  für  m  die  Erdmasse  zu  setzen  ist  und  die  Masse  des  Meteores  als 
verschwindend  klein  angesehen  werden  kann: 

und  die  Geschwindigkeit  ergiebt  sich  dann  für  die  Einheit  des  mittleren  Sonnen- 
tages. Will  man  dieselbe  für  die  Secunde,  so  folgt  mit  Berücksichtigung  der 
Beziehungen  auf  pag.  148: 

welche  Gleichung  übrigens  aus  den  Gleichungen  (4)  pag.  150,  wenn  4  =  0  ge- 
setzt wird,  sofort  folgt 

Nun  war  gefunden  (pag.  i5i)«8  =  «08-r-  2gr,  wobei  u0  die  kosmische  relative 
(von  der  Erdattraktion  freie)  Geschwindigkeit  der  Meteore  bedeutet.  Hieraus  folgt: 


')  Nimmt  man  die  Geschwindigkeit  der  Erde  als  Einheit  an,  so  wird  *  =  I  (vergl.  »All- 
gemeine Einleitung  in  die  Astronomie«,  pag.  135). 

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Kometen  und  Meteore. 


•75 


Die  grosse  Halbaxe  ergiebt  sich  also  stets  negativ,  die  Bahnen  werden 
Hyperbeln  sein.    Es  soll  in  der  Folge  der  positive  Werth 

a  =  —  «, 

dieser  Axe  eingeführt  werden,  und  dann  ist 


(1) 


Sei  nun  O  (Fig.  268)  der  Mittelpunkt  der  Erde,  QC  die  von  der  Erdan- 
ziehung nicht  gestörte  Bahn  einer  Sternschnuppe  aus  einem  Radianten  in  der 
Richtung  AO, 
und  sei  die  durch 
die  Erdanzie- 
hung geänderte 
Bahn  SM.  Diese 
Aenderung  fin- 
det in  der  durch 
die  Anfangsrich- 
tung und  den 
Erdmittelpunkt 
gelegten  Ebene 
statt,  wird  also 
eine  krumme 
Linie  in  derVer- 
ticalebene  des 
Punktes  M  er- 
geben. DieRich- 
tung  der  Stern- 
schnuppe er- 
scheint dem  Be- 
obachter in  der 
Tangente  TM 
dieses  Punktes 
an  der  Bahn, 
wird  also  stets 


(A.268) 


mit  dem  Zenith  einen  kleineren  Winkel  bilden,  weshalb  Schiaparei.m  diese 
Wirkung  die  Zenithattraction  nennt. 

In  dem  Punkte  M  ist  die  Geschwindigkeit  der  Sternschnuppe  u\  daher 
ihre  Flächengeschwindigkeit  \u-rsinz,  wenn  r  der  Halbmesser  der  Erde  und  z 
der  Winkel  ZMTt  zwischen  der  Richtung  nach  dem  Zenith  und  der  Richtung 
der  Tangente  an  der  Bahn,  also  nach  dem  scheinbaren  Radianten,  d.  h. 
die  Zenithdistanz  des  scheinbaren  Radianten  ist.  Diese  Flächen- 
geschwindigkeit ist  gleich  \k^p,  wenn  /  der  Parameter  ist  (vergl.  den  Artikel 
»M.  d.  H.«  §  12,  Formel  (5),  folglich  wird: 

ursinz  =  Yg~^       {e*  —  1) 


demnach 


tt>  sin  s 3 

- 


(2) 


Multiplicirt  man  die  Gleichungen  (1)  und  (2)  und  zieht  die  Quadratwurzel, 
so  erhält  man  für  die  conjugirte  Axe: 

r  u  sin  s 
o  —   . 


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.fj6  Kometen  und  Meteore. 

Ist  OD  die  Richtung  der  grossen  Halbaxe,  E  der  Scheitel  der  Hyperbel, 
ED  =  a,  so  ist,  weil  DQ  die  Tangente  in  der  Unendlichkeit,  also  die  Asymp- 
ote  der  Hyperbel  ist,  CDE=  A  der  halbe  Asymptotenwinkel,  gegeben  durch 

b      uu0  sin  z 
tangA  =  -~      ^  (3) 

und 

e  =  sec  A. 

Die  in  Folge  der  Erdanziehung  stattgefundene  Verschiebung  des  Radianten 
ist  qMT '  =  7).  Die  Aufgabe  ist  eine  rein  geometrische:  Für  einen  durch  seine 
Entfernung  r  vom  Brennpunkt  O  gegebenen  Punkt  einer  Hyperbel  den  Winkel  tj 
zwischen  der  Tangente  und  Asymptote  zu  bestimmen.  Macht  man  DO'  =  DO, 
so  ist  O'  der  zweite  Brennpunkt;  zieht  man  OC  und  O'C  senkrecht  zu  QD>, 
so  ist 

CD  =  C D  =  OD  cos  A  =  aecosA  =  a, 

daher  CC  =  2  a.  Verbindet  man  M  mit  dem  zweiten  Brennpunkte  O',  so  ist 
MO'  =  r  +  2a. 

Da  die  Tangente  den  Winkel  zwischen  den  Leitstrahlen  halbirt,  so  ist 

<  O'  Mt  =  tMO  =  TMZ  =  z, 

<  /  Mm  =  1  Mq  =  r, 

folglich  <0'  Mc  =  z  —  ij;  O Mm  =  z  -f-  tj,  und  man  erhält: 

Mc  —  mc  -+-  Mm 
O'Mcos  O'Mc  =  CC  -t-  OMcos  OMm 
(r  +  2fl)w(s-T))  =  2<i+r  <w  {z  -h  tj)  (4) 
aus  welcher  Gleichung  sich  tj  bestimmt    Setzt  man  für  a  seinen  Werth  aus  (1) 
ein,  und  dividirt  durch  r,  so  folgt 

(        2  gr\  2gr 

(l  i-  -fr)  cos  (z  -  tj)  =  -fj  h-  <w  f>  H-  tj) 

oder  da  2^r  =  «'  —  «0*  ist,  so  wird 

«»  Ji» »  ^  («  —  rj)  =  «0»  «*»  i  (*  -f-  l) 
«  «'«  \  (z  —  tj)  =  ±  »0  j<«  |  (*  -f-  1)) 

demnach: 

tang\r{^  u  ±  J>  tang\z. 

Da  nun  tj  immer  von  der  Ordnung  der  durch  die  Anziehung  bewirkten 
Aenderung  in  der  Geschwindigkeit,  also  von  der  Ordnung  u  —  u0  ist,  so  müssen 
die  oberen  Zeichen  gewählt  werden,  und  es  ist 

tang  $7)  =  u  +  u°q  fang  \  z.  (5) 

Wird  für  den  Fall,  dass  die  Sternschnuppe  in  horizontaler  Richtung  zur 
Erde  gelangt  {z  =  90°)  die  Ablenkung  mit  <P  bezeichnet,  so  ist 

°  a         u  -h  uQ  w 
tang  ^  t)  =  /a«£*  ^  <t>  tang  ^  «.  (6  a) 

Die  Werthe  von  <I>  sind  in  der  Tabelle  pag.  168  mit  dem  Argumente  u0 
eingetragen. 

<D  wird  am  grössten,  wenn  u  —  u0  am  grössten  ist,  und  nimmt  mit  u  —  t/0 
ab ;  u  —  u0  ist  am  grössten  im  Antiapex,  am  kleinsten  im  Apex,  daher  wird 
die  Zenithattraction  am  stärksten  im  Antiapex.  Die  Zenithattraction  wächst  vom 
Apex   an  langsam  bis  etwa  120°,  wo  sie  ihren  mittleren  Werth  erreicht,  und 


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Kometen  und  Meteore. 


»77 


von  hier  aus  ziemlich  rasch  bis  zum  Antiapex,  wo  sie  im  Horizonte  ungefähr 
17°  beträgt. 

Die  Zenithattraction  beeinflusst  aber  auch  die  scheinbare  Elongation  des 
Radianten;  strenge  genommen  würde  man  also  aus  dem  scheinbaren  Radtanten 
seine  Elongation  vom  Apex,  mit  dieser  die  Zenithattraction  zu  bestimmen  haben; 
dadurch  erhält  man  die  corrigirte  scheinbare  Elongation  vom  Apex,  mit  welcher 
man  erst  die  wahre  Elongation  vom  Apex  und  damit  den  wahren  Radianten 
bestimmen  muss.  Zu  diesem  Zwecke  wird  die  Tafel  auf  pag.  168  stets  aus- 
reichend sein,  da  es  genügt,  den  Radianten  auf  ganze  Bogenminuten  genau  zu 
erhalten.  Dabei  ist  zu  beachten,  das  <D  mit  dem  Argumente  <J*  (scheinbare  Elon- 
gation vom  Apex)  zu  entnehmen  ist,  z  hingegen  die  Entfernung  des  wahren 
Radianten.  Die  Berücksichtigung  der  Zenithattraction  auf  die  Coordinaten  des 
Radianten  kann  daher  so  erfolgen,  dass  man  aus  seiner  Länge  und  Breite  oder 
direkt  Rectascension  und  Deklination  Azimuth  und  Zenithdistanz  ermittelt,  letztere 
um  tj  vermehrt,  und  mit  der  corrigirten  Zenithdistanz  rückwärts  Rectascension 
und  Deklination  bestimmt.  Man  kann  jedoch  diese  zweimalige  Coordinaten- 
transformation  umgehen,  wenn  man  sich,  was  meist  ausreicht,  gestattet,  tj  als  eine 
differentielle  Aenderung  anzusehen;  man  hat  dann,  wenn  p  der  parallacu'sche 
Winkel  ist: 

Man  erhält  für  die  geographische  Breite  B  und  Sternzeit  0  der  Beob- 
achtung gleichzeitig  *  und  p  aus  den  Formeln: 
sinz  sinp  »  cosB  sin  (0  —  ti) 
sinz cos p  =  cos%  sin  B  —  sin%  cosB  cos  (0  —  8). 
Hier  wird  rechts  in  erster  Näherung  51',  ©'  eingesetzt,  damit  z,  p  bestimmt, 
ferner  4»  aus 

COS     «  COS®  COS  (8'  —  l). 

Mit  erhält  man  aus  der  Tafel  pag.  167,  168:  <D,  damit  tj,  ferner  All,  A&>, 
welche  an  W,  2)'  angebracht  werden.  Diese  dienen  zur  Bestimmung  der 
Coordinaten  des  wahren  Radianten  (vergl.  pag.  165),  welche,  wenn  nöthig,  zur 
Wiederholung  der  Rechnung  für  z  und  /  verwandt  werden. 

Bei  dieser  Rechnung  ist  nun  allerdings  die  Wirkung  des  Luftwiderstandes 
nicht  berücksichtigt:  Die  Rechnung  kann  aber  auch  nür  auf  Sternschnuppen 
angewendet  werden,  deren  scheinbare  Bahnen  nahe  grösste  Kreise  sind,  und 
wenn  dieses  der  Fall  war,  so  ist  immer  anzunehmen,  dass  die  Wirkung  des  Luft- 
widerstandes auf  die  Form  der  Bahn  noch  nicht  sehr  bedeutend  war.  Hier  kann 
übrigens  das  bereits  früher  über  die  Wirkung  der  Erdanziehung  erwähnte  aus 
den  Zahlen  selbst  ersehen  werden :  Die  Anziehung  der  Erde  wird  nur  bedeutend 
in  der  Nähe  des  Antiapex,  wo  die  relative  Geschwindigkeit  bedeutend  kleiner, 
und  demnach  auch  der  Luftwiderstand  geringer  ist.  Stark  gekrümmte  Bahnen 
werden  daher  auch  meist  in  der  Nähe  des  Apex  vorkommen;  bei  solchen 
Bahnen  ist  aber  an  eine  Bestimmung  des  Radianten  Uberhaupt  nicht  zu  denken, 
oder  doch  wenigstens  nur  aus  demjenigen  Stücke  im  Anfange  der  Bahn,  welches 
ein  grösster  Kreis  ist. 

VI.  Sternschnuppensch  wärme.  Die  durchschnittliche  Zahl  der  von 
einem  Beobachter  per  Stunde  sichtbaren  Meteore  ist  10.  Nebst  der  Verschieden- 
heit, welche  in  der  beobachteten  Dichtigkeit  der  Meteore  zu  den  verschiedenen 
Tages-  und  Jahreszeiten  auftritt,  und  welche  sich  aus  der  Bewegung  der  Erde 
erklären,  muss  aber  noch  eine  zweite  Ursache  für  das  Vorkommen  einer  grösseren 

11.  12 


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17» 


Kometen  und  Meteore. 


Anzahl  von  Sternschnuppen  zu  bestimmten  Zeiten  vorhanden  sein,  zu  welchen 
dieselbe  per  Stunde  auf  hundert  und  tausend  steigt.  Ein  solcher  grosser  Stera- 
schnuppenfall  im  Jahre  1799  lenkte  die  allgemeine  Aufmerksamkeit  auf  die 
Sternschnuppen,  und  ein  mit  diesem  im  Zusammenhange  stehender  ebenso 
grossartiger,  im  Jahre  1833,  auf  die  gesetzmässige  Wiederkehr  derartiger 
Erscheinungen. 

Am  13.  November  1831  hatte  Capitän  Berard  auf  der  an  der  französischen 
Küste  kreuzenden  Brigg  »Loiretc  eine  bedeutende  Anzahl  von  Sternschnuppen 
beobachtet;  am  12.  und  13.  November  1832  wurden  aus  Frankreich,  der  Schweiz 
und  den  Niederlanden,  besonders  aber  aus  Russland  grosse  Sternschnuppenfälle 
gemeldet.  Besonders  grossartig  aber  entfaltete  sich  wieder  der  Sternschnuppen  - 
fall  vom  13.  November  1833  in  Nordamerika.  Olmsted  hatte  über  denselben 
die  Berichte  gesammelt,  und  im  »American  Journal  of  Sciences  and  Arts», 
Bd.  25  (pag.  363)  veröffentlicht.  Die  ausführlichsten  Schilderungen  sind  von 
einem  (nicht  genannten)  Beobachter  in  Boston,  der  seine  Wahrnehmungen  schon 
früher  im  >Boston  Centinel«  publicirt  hatte.  Er  schätzte  die  Zahl  der  Stern- 
schnuppen innerhalb  eines  Zeitraumes  von  15  Minuten  vor  6  Uhr  auf  8660:  die 
Gesammtzahl  der  an  diesem  Morgen  gesehenen  Sternschnuppen  auf  über 
200000.  Der  Fall  begann  zwischen  9  und  12  Uhr  Abends,  war  am  stärksten 
zwischen  2  und  5  Uhr  Morgens,  im  Maximum  etwa  4  Uhr  Morgens.  Dieser 
Beobachter  weist  auch  schon  auf  den  Sternschnuppenfall  desselben  Datums  vom 
Jahre  1799  in  Cumana  hin. 

Der  Bereich  der  aussergewöhnlich  grossen  Zahl  der  Sternschnuppen  war 
aber  nicht  sehr  ausgedehnt.  Capitän  Parker  am  Schiffe  »Junior«,  das  sich  am 
Eingange  des  Hafens  von  Mexiko  befand  (Breite  26°,  westl.  Länge  von  Green- 
wich  85$  °),  begann  zu  zählen,  musste  es  aber  aufgeben;  er  berichtete,  dass 
die  Sternschnuppen  nach  allen  Richtungen  von  einem  festen  Punkte  auszugehen 
schienen,  der  ungefähr  45°  Höhe  hatte,  aber  während  der  Beobachtung  5° 
bis  10°  zu  steigen  schien. 

Am  Schiffe  »Francia«,  dass  sich  nordöstlich  von  den  Bcrmudasinseln  befand 
(in  36°  Breite,  61 c  westl.  Länge  von  Greenwich),  waren  die  Meteore  sehr  zahlreich, 
aber  ihre  Zahl  konnte  leicht  gezählt  werden. 

Am  Schiffe  »Douglas«,  das  sich  in  der  Nähe  der  Mündung  des  Amazonen- 
stromes befand  (in  2°  Breite,  41°  westl.  Länge)  wurde  bei  vollständig  freiem 
Himmel  nichts  besonders  Auffälliges  bemerkt,  desgleichen  am  Schiffe  »St.  Georg« 
auf  hoher  See  in  51£°  Breite  und  20°  westl.  Länge.  Dass  die  Sternschnuppen 
auch  in  Europa  in  grösserer  Zahl  beobachtet  wurden,  wurde  schon  oben 
erwähnt. 

Aus  den  Berichten  aller  Beobachter  zieht  Olmsted  den  bemerkenswerthen 
Schluss:  dass  die  sämmtlichen  Sternschnuppen  aus  einem  Punkte  des 
Himmels  zu  kommen  schienen,  welcher  sich  im  Sternbild  des 
Löwen  befand1),  und  dass  dieser  Ausstrahlungspunkt  (der  Radiant) 
der  täglichen  Bewegung  folgte').  Damit  war  aber  eine  der  wichtigsten 
Grundlagen  für  die  späteren  Untersuchungen  über  die  Novembermeteore  und  im 
allgemeinen  Uber  die  Meteorfälle  gegeben. 

Dieser  Radiant  ist  nichts  anderes  als  der  bereits  früher  erwähnte  Radiant 
jeder  einzelnen  Sternschnuppe,  der  Punkt,  in  welchem  die  durch  das  Auge  zu 

l)  1.  c.  Bd.  25,  pag.  405. 
*>  1.  c.  Bd.  26,  pag.  140. 

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Kometen  und  Meteore. 


•79 


ihrer  geradlinigen  Bahn  gelegte  Parallele  die  Himmelskugel  trifft.  Haben  aber 
alle  Sternschnuppen  denselben  Radianten,  so  kommen  sie  in  untereinander 
parallelen  Bahnen  zur  Erde:  sie  bilden  einen  Schwärm  zusammengehöriger, 
sich  in  parallelen  oder  wenigstens  in  der  Nähe  der  Erde  sehr  nahe 
parallelen  Bahnen  bewegender  Körper,  einen  »Sternschnuppen* 
schwärm  c 

Der  beobachtete  Radiant  giebt  nur  die  Richtung  der  Tangente  in  derjenigen 
Bahnstrecke,  welche  eben  beobachtet  wurde  (7V,  Fig.  268).  Olmsted  nimmt 
jedoch1)  einen  effektiven  Ausstrahlungspunkt  in  der  aus  seinen  Rechnungen 
folgenden  Höhe  von  2238  englischen  Meilen  (3600  km)  von  der  Erdoberfläche  an. 

Es  waren  nun  zwei  Fragen  zu  beantworten:  1)  Ist  die  Erscheinung  des  fixen 
Radianten  im  Löwen  eine  dem  Meteorfalle  vom  13.  November  allein  angehörige 
Erscheinung,  oder  giebt  es  noch  andere  Radianten,  aus  welchen  eine  grössere 
Anzahl  von  Sternschnuppen  zu  kommen  scheint,  und  2)  war  das  Wiedereintreten 
des  grossen  Sternschnuppenfalles  1833  am  selben  Datum  wie  1799  eine  zu- 
fällige Erscheinung,  oder  musste  man  hier  eine  Gesetzmässigkeit  vermuten3)? 

Beide  Fragen  können  von  einander  nicht  getrennt  werden;  man  fand  bald, 
dass  es  thatsächlich  eine  grössere  Anzahl  von  Punkten  am  Himmel  giebt,  aus 
welchen  Sternschnuppen  zu  kommen  scheinen,  und  »war  stets  an  bestimmten 
Tagen  des  Jahres;  d.  h.  das  Bild,  welches  die  Sternschnuppen  im  Grossen  und 
Ganzen  darbieten,  ist  zwar  so,  dass  aus  allen  Punkten  des  Himmels  Stern- 
schnuppen auszustrahlen  scheinen,  also  in  allen  Punkten  des  Himmels  Radianten 
gelegen  sind,  welche  aber,  ohne  bestimmtes  Gesetz  vertheilt,  jeden  beliebigen 
Tag  des  Jahres  Sternschnuppen  liefern,  und  bei  denen  die  Ungleichmässigkeit 
der  Vertheilung  nur  eine  Folge  der  Bewegung  der  Erde  ist;  nebst  diesen 
Sternschnuppen,  welche,  vereinzelt  von  verschiedenen  Radianten  kommend,  als 
sporadische  bezeichnet  werden,  giebt  es  aber  noch  gewisse  Radianten,  aus  denen 
Sternschnuppen  in  grosser  Zahl,  in  ganz  bestimmten  Zeiten  kommen,  und  welche 
Radianten  von  Sternschnuppenschwärmen  oder  (nach  Schiaparelli)  syste- 
matischen Sternschnuppen  bilden. 

Quetelet  machte  schon  1836  auf  den  Radianten  im  Perseus  aufmerksam, 
aus  welchem  am  10.  August  eine  grosse  Zahl  Sternschnuppen  ausstrahlt.  Diese 
Erscheinung  war  übrigens  schon  frühzeitig  bemerkt  worden,  wenn  man  auch 
derselben  keine  weitere  Bedeutung  —  am  allerwenigsten  eine  astronomische  bei- 
legte; ihrer  wurde  als  der  »feurigen  Thränen  des  hl.  Laurentius«  bereits  in 
alten  Kirchenkalendern  gedacht,  welche  Bezeichnung  sich  im  Volksmunde  auch 
noch  jetzt  erhalten  hat. 

1836  und  1837  machten  Humboldt  und  Herrick  auf  den  bedeutenden  Stern- 
schnuppenfall am  6.  Dezember  aufmerksam,  welcher  mit  einem  am  6.  Dezember 

>)  1.  c,  Bd.  a6,  pag.  144.  Die  Höhe  ist  aus  den  an  verschiedenen  Punkten  beobachteten 
Orten  des  Radianten  berechnet.  Da  diese  Beobachtungen  aus  den  Bahnen  der  Sternschnuppen 
am  Himmel  bestehen,  aus  denen  erst  der  Radiant  erschlossen  werden  muss,  so  kann  der 
angegebene  Ort  Air  diesen  selbst  um  mehrere  Grade  fehlerhaft  sein. 

*)  Der  Sternschnuppenfall  wiederholte  sich  in  aussergewöhnlich  grossartigen  Dimensionen 
wieder  im  Jahre  1866;  dieses  Mal  aber  sehr  stark  in  Europa,  wahrend  er  in  Amerika  nur 
schwach  war.  In  Greenwich  zählte  man  um  12*  42*»:  70  Sternschnuppen  in  der  Minute,  um 
1*5*»:  118,  um  1*20  das  Maximum  von  123  Sternschnuppen  in  deT  Minute.  Fayk,  der  in 
Paris  beobachtete  bemerkt  dazu  (Compt.  rend.  Bd.  63,  pag.  849)  :  »CV  qui  m'a  U  plus  frappi 
ttsi  qut  ioutts  ces  itoilts  sauf  deux  dtvergeaunt  de  la  partit  supirieure  dt  la  consUllatum  du  Lion 
(omme  tn  /8jj.< 

12« 

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Kometen  und  Meteore. 


1798  beobachteten  coincidirte l).  Araco  fand  einen  fixen  Radianten  für  den 
Sternschnuppenschwarm  vom  21.  April;  Heis  einen  solchen  für  den  26.  Mai, 
und  für  den  1.  2.  und  3.  Januar;  Schmidt  für  den  29.  Juli. 

Hieraus  kann  man  nun  zunächst  schliessen,  dass  solche  Schwärme  sich  im 
Welträume  in  Bahnen  bewegen,  welche  die  Erdbahn  schneiden,  und  zwar  in 
Punkten,  in  welchen  die  Erde  an  den  angegebenen  Daten  sich  befindet  Diesen 
Schluss  zog  bereits  Olmsted  1834  aus  dem  Novemberphänomen.  Er  erwägt  noch 
die  Möglichkeit,  dass  die  Sternschnuppen  Satelliten  der  Erde  wären;  der  von 
ihm  gefundenen  Entfernung  des  Radianten  von  3600  km  von  der  Erdoberfläche: 
d.  i.  nahe  r  =  9970  km  =  1565  Erdhalbmessern  entspricht  aber  die  mittlere 

Bewegung  in  einer  Secunde       «=  130"*7  oder  eine  Umlaufszeit  von  9917* 

=  2*45*"  17'.  In  diesem  Falle  aber  müsste  sich  der  Radiant  zwischen  den  Gestirnen 
weiter  bewegt  haben,  und  zwar  der  obigen  mittleren  Bewegung  entsprechend,  um 
130°-7  in  einer  Stunde,  während  er  nach  den  Beobachtungen  zwischen  den  Ge 
Stirnen  fest  war.  Olmsted  schliesst  demnach,  dass  der  Schwärm  sich  um  die  Sonne 

] 

bewegt").  Die  Umlaufszeit  des  Schwarms  muss  aber  genau  —  Jahre  sein,  da  sonst 

der  Schwärm  nicht  immer  zur  selben  Zeit  die  Erde  begegnen  würde:  dann  aber 
wird  die  halbe  grosse  Axe  in  Einheiten  der  Erdbahnhalbaxe: 

«  —  y=f  also  für  «  =  2,  3  0  =^  =  0*630,     y=  —  0  481  ... 

Da  aber  das  Aphel  die  Erdbahn  erreichen  muss,  weil  sonst  die  Sternschnuppen 
nicht  zur  Erde  gelangen  könnten  und  das  Perihel  auf  der  anderen  Seite  der 
Sonne  liegen  muss,  so  muss  2a  mindestens  gleich  der  Entfernung  der  Erde 
von  der  Sonne,  also  mindestens  gleich  1  sein;  die  Umlaufszeit  kann  daher  nicht 
IJahr  sein;  und  daraus  schliesst  Olmsted,  dass  die  Umlaufszeit  ein  halbes  Jahr, 
die  halbe  grosse  Axe  0  630,  daher  die  Entfernung  des  Perihels  0-260,  also  noch 
etwas  innerhalb  des  Mercurperihels  sein  muss.  Die  Bahn  liegt  weiter  so,  dass 
die  Richtung  des  Aphels  nach  dem  Erdorte  am  12.  November,  daher  die  Richtung 
des  Perihels  gleich  der  geocentrischen  Länge  der  Sonne  am  12.  November,  also 
gleich  21°  Scorpion  ist,  und  dass  die  Neigung  der  Bahn  gegen  die  Ekliptik  so 
ist,  dass  die  Richtung  der  Tangente  an  die  Bahn  gegen  den  beobachteten 
Radiationspunkt  geht,  also  etwa  7  bis  8°.  Auch  H.  A.  Newton  hielt  später 
noch  an  der  Annahme  einer  kurzen  Umlaufszeit,  nahe  ein  Jahr,  fest 

Gegen  diese  Resultate  waren  aber  zwei  Bedenken:  die  Erscheinung  wiederholt 
sich  nicht  alle  Jahre,  und  wenn  man  die  hierbei  gemachte  Annahme  festhalten 
wollte,  müsste  man  für  alle  an  bestimmten  Daten  periodisch  wiederkehrenden 
Sternschnuppenschwärme  genau  dieselbe  Umlaufszeit  von  einem  halben  Jahr  oder 
einem  Jahr  annehmen.  Olbers  folgert  daher  viel  richtiger,  dass  der  November- 
schwärm  sich  in  einer  viel  länger  gestreckten  Ellipse  mit  einer  Umlaufszeit  von 
mehreren  Jahren  in  einer  Bahn  um  die  Sonne  bewegt,  die  die  Erdbahn  am 
13.  November  schneidet.  Dass  durch  mehrere  aufeinanderfolgende  Jahre  Stern- 
schnuppen beobachtet  werden,  die  diesem  Schwärm  angehören,  hat  seinen  Grund 
darin,  dass  die  Sternschnuppen  nicht  in  einem  Punkte  concentrirt,  sondern  über  ein 

')  Aeltere  Angaben,  vor  1772,  finden  sich  für  diese  Schwärme  nicht. 

a)  Auch  Araco  schliesst  sich  dieser  Meinung  an,  und  bezeichnet  die  Sternschnuppen  als 
eine  neue  planetarische  Welt :  » C  est  un  notatau  mondt  planctaire,  qul  commena  h  st  reveler  ä 
tums*  (Compt.  rend.,  Bd.  I.,  pag.  395,) 


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Kometen  und  Meteore. 


181 


grösseres  Bahnstück  vertheilt  sind,  so  dass  man  »im  Jahre  1834  nicht  dieselben 
wiederkehrenden  Körperchen  sah,  die  man  im  Jahre  1832  und  1833  gesehen  hattest. 
In  der  That  kann  man,  wenn  man  die  Erscheinungen  1833,  1799  mit  der  bereits 
früher  von  Humboldt  erwähnten  von  1766  zusammenhält  auf  eine  Umlaufszeit 
von  33  Jahren  schliessen;  der  Sternschnuppenfall  von  1866  führt  dann  unmittelbar 
darauf,  dass  1899  wieder  der  Punkt  der  stärksten  Concentration  die  Erde  treffen 
wird,  und  1898  und  1900  noch  bedeutende  Sternschnuppenfälle  als  Vorläufer  und 
Nachzügler  zu  erwarten  sind. 

Bei  den  Beobachtungen  der  Sternschnuppen  musste  aber  nunmehr  das 
Augenmerk  nicht  nur  auf  die  Sternschnuppen  selbst,  sondern  auch  auf  die 
Radiation  gerichtet  werden.  Bei  denjenigen  Beobachtungen  mehrerer  Stern- 
schnuppen an  demselben  Orte  oder  an  verschiedenen  Orten,  für  welche  sich 
Radianten  bestimmen  Hessen,  wurden  diese  ermittelt,  und  alle  berechneten 
Radianten  in  ein  Verzeichniss  eingetragen.    Solche  Radiantenverzeichnisse  sind: 

Greg:  Verzeichniss  von  56  Radianten  in  dem  »Report  of  the  British  Asso- 
ciation« für  1864  (pag.  98),  nebst  einer  Erweiterung  in  der  Scientific  Revue  für  1868. 

Heis.  Verzeichniss  von  84  Radianten,  Astron.  Nachrichten,  Bd.  69  (No.  1642). 

Schiaparelli:  Verzeichniss  von  189  Radianten  aus  den  Beobachtungen  von 
Zezioli;  »Entwurf  einer  astron.  Theorie  der  Sternschnuppen <  1866  (pag.  84). 

Schmidt:  Verzeichniss  von  150  Radianten;  in  den  »Astron.  Beobachtungen 
über  Sternschnuppen«,  1869. 

Endlich  fasste  Kleiber  1490  berechnete  Radianten,  welche  von  Corder, 
D enning,  Greg,  Gruber,  Heis,  Konkoly,  Neumayf.r,  Schiaparelli,  Schmidt, 
Tupmann,  Zezioli  in  26049  Nächten  beobachtet  worden  waren,  in  einem 
Radianten-Katalog  zusammen. 

Untersuchungen  über  die  Vertheilung  der  Radianten  rühren  wieder  von  dem 
um  die  Meteorastronomie  hoch  verdienten  Schmidt  her.  Er  giebt  die  folgende 
Zusammenstellung  der  in  seinem  Kataloge  vorkommenden  Radianten: 

Im  Jan.  Febr.  März  April  Mai  Juni  Juli  Aug.  Sept.  Oct.  Nov.  Dec. 

Sicher  bestimmte  Rad.    1      0      0      1      2018    26     9     12  52 
Genäherte  Radianten      3      1       1      0      0888179  612 

Zwischen  der  Anzahl  der  Radianten  einer  Nacht,  und  der  stündlichen  Häufig- 
keit der  Sternschnuppen  findet  Schmidt  die  folgende  Beziehung: 

für   «=1      23       4       5       6  7 
Radianten  in  einer  Nacht  ist  die  stündliche  Häufigkeit  der  Sternschnuppen 
$  =  4-7    6-7    99    138    210    220  308 
aus         25    325   338    185     121     51       61  Beobachtungen'). 
Reducirt  man  diese  für»  Radianten  gültigen  Zahlen  auf  einen  Radianten,  so  folgt  für 
««=  1      2      3      4      5      6  7 

-  =  47    33    33    3-4    42    3-7  4-4 
« 

im  Mittel  als  Anzahl  der  von  einem  Radianten  stündlich  ausgehenden  Stern- 
schnuppen 3*9. 

Noch  ausgedehntere  Untersuchungen  über  die  Vertheilung  der  Radianten 
hat  Tillo ')  gestützt  auf  den  KLEiBEß'schen  Radiantenkatalog,  vorgenommen. 
Die  1490  Radianten  vertheilen  sich  auf  die  einzelnen  Monate  folgendermaasscn: 

')  SchumaCHkr's  Jahrbuch  für  1837,  pag.  60. 

•)  Artron.  Nachrichten,  Bd.  88,  pag.  341. 

*)  Bulletin  Artronomique,  Bd.  5,  pag.  237  und  283. 


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Kometen  und  Meteore. 


Im  Jan.  Febr.  März  April  Mai  Juni  Juli  Aug.  Sept  Oct.  Nov.  Dec. 

Zahl  d.  Radianten1)  106  95  136  180  108  115  238  306  188  219  169  115 
in  %  5  4  4  8  6  9  9  1  5  5  5  8  12  0  15  5  9'6  11 '0  8  6  5*8 
Zahl  der  Tage  in  %  5  4  6  1  5  6  7  6  5  5  5  9  10-9  13  4  12  4  1P0  8'6  7  6 
Zahl  d.  Meteore  in  &  3  4  2  2  2  1  6  8  2  6  2  9  121  38  1  5-1  8  5  113  4-9 
Um  die  Vertheilung  der  Radianten  auf  der  Himmelskugel  zu  untersuchen, 
wird  diese  durch  Deklinationskreise  und  Parallelkreise  von  30°  zu  30°  getheilt, 
und  für  jeden  Monat  die  Zahl  der  Radianten  untersucht,  welche  in  eines  dieser 


Viereck 


allen 


Füi 


wird  diese  Tafel: 


-+-  60°     +  30« 


0° 
30 
I  60 
90 

120 
II  150 
180 

210 
m  240 

270 

300 
IV  330 

360 


34 

33 
26 


53 
63 
57 


47 
40 

39 


—  30°     —  60°  Zu- 
sammen 


7 

(0 
5 


2 
0 
2 


20 
19 
16 


34 
89 
36 


33 
32 
30 


4 
4 

6 


2 
4 
1 


143 
146 
129 


93 
98 
89 


In 

f.  alle  nördf. 
Meteore 


10-2 
10 
9 


•3  | 
•3' 


29-8 


6-6 
6 

6-3 


1 

•8  \  19 


für  alle  De- 
klinationen 


9-6 
98 
8-7 


J  28-1 


6-2 
6 
6 


•6  1  18-8 
■0^ 


13 
21 

35 


42 

50 
86 


23 
88 

29 


307 


58 
50 
47 


565 


25 
34 
46 


43 


36 


413 


17 
10 
17 


3 
3 
4 


27 
18 
19 


144 


3 
4 
3 


3t 


100 
118 
188 


61 1 

8  0  \  23-0 
8-9  ' 


6-  7 

7-  9 
9-3 


23  9 


154 
146 
136 


1490 


9-4 

9  4  \  27  ! 
8-7  J 


10-8 
9 
9 


\ 

•1  ' 


29-2 


Die  Zahl  der  Nächte,  in  weiden  während  des  ganzen  Zeitraumes,  über  den 
sich  der  Catalog  erstreckt,  Sternschnuppen  aus  diesen  Radianten  beobachtet 
wurden,  ist  in  der  folgenden  Tabelle  eingetragen: 


8  =  +  90°  +60 


631 
517 
405 


360 


30« 


0°      -  30°     -  60 


1227 
1191 
1015 


208 
418 


380 
252 
605 


859 
790 
512 


712 
469 
384 


341 

572 
297 


1005 
783 
788 


992 
858 
783 


607 
564 
558 


SU 
562 
636 


210 
121 
42 


80 
103 
125 


359 
229 
374 


60 
0 

32 


90 
123 
28 


zu- 
sammen 


8120 
2687 
2227 


In  Procenten 


f.  alle  nördl. 
Meteore 


12-6 
II 

9-5 


für  alle  De- 
klinationen 


•6 ,  121  * 

2  1 38-3  10-4  1 310 
•s  i  8-5  > 


1839 
1998 
1618 


7  4  7-0. 
7-8  J  21-7  7  7  \ 
6-5  '  «•«  ' 


7-0 

7-7  }  0  - 
6-2 


56 
66 
121 


1767 
1578 
2120 


60, 
57  1 
72  ' 


189 


6-8  x 

6-0  1 20-9 
81' 


657 
632 
810 


294 
178 
492 


80 
103 

63 


2377 
2268 
2450 


4966    |  9735    |  7920    j  2607    |    821  | 


26049 


8-9 
8-8 
8-4 


261 


91 
8 

9-4 


•7  J  27  S 


')  Die  Gesammuabl  beträgt  hier  1975,   indem  485  in  mehreren 
Radianten  wiederholt  angeführt  erscheinen. 


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Kometen  und  Meteore. 

Dach  der  Deklination  geordnet  entfallen: 

Zwischen  8= -h  90°     4-80°     H- 70°     -h  60°     +  50°     4-40°  -4-30° 
In  ft:  39         59        110        128        131  119 

Zwischen  8  =     30c         20°     4-10°        0        —  10°       und  darunter: 
In  #:  10  8        11-5         7-4       5  0  6-7 

Nach  der  Stellung  zur  Sonne  vertheilen  sich  die  Radianten  folgender- 
maassen1)  (in  Procenten): 

Im  Heiion  Im  Antiapex  Im  Anthelion  Im  Apex 

315°                    45°  135°  225° 

330     *'\             60  150     *'*  -240  9* 

0                      90     II  180    \*l  270  lH 

30     "**            120     b'l  210  300  II 

45     07  135     42  225     90  315  23 

Zusammen  5*4  12'5  47  0  35  1 

Es  sind  daher  im  Antiapex  nur  etwa  der  dritte  Theil  wie  im  Apex,  tn  diesem 
aber  etwas  weniger  als  im  Anthelion;  dabei  ist  aber  zu  bedenken,  dass,  da  der 
Ort  des  Apex  von  dem  Orte  der  Sonne  nur  um  90°  absteht,  in  dem  Oktanten 
270°  bis  315°  die  Zahl  der  Radiationspunkte  in  dein  Maasse  verringert  werden  muss, 
als  die  Gegend  näher  zur  Sonne  rückt. 

Bei  der  Vergleichung  der  von  verschiedenen  Beobachtern  gefundenen 
Radianten  zeigt  sich,  dass  nebst  einer  grossen  Zahl  von  sporadischen  Meteoren 
sich  auch  einzelne  Radianten  finden,  die  sich  innerhalb  der  Unsicherheit,  welche 
der  Bestimmung  derselben  aus  den  Beobachtungen  zugeschrieben  werden  darf, 
als  identisch  ergeben,  welche  sich  überdiess  durch  mehrere  Nächte  erhalten, 
welche  also  den  Charakter  der  früher  erwähnten  Radianten  im  Löwen  und  im 
Perseus  tragen,  wenn  auch  das  Phänomen  für  das  blosse  Auge  nicht  so  auffällig 
zu  Tage  tritt.  So  fand  Schmidt  von  150  in  seinem  Kataloge  aufgenommenen 
Kadianten  26  identisch  mit  von  Heis  beobachteten,  45  identisch  mit  GREG'schen, 
und  17  mit  von  Neumayer  bestimmten  Radianten. 

Die  grosse  Mehrzahl  der  Schwärme  ist  nicht  so  sehr  hervorstechend  durch 
Zahl  und  Helligkeit  der  Sternschnuppen,  als  durch  ihre  regelmässige  Wiederkehr 
an  ganz  bestimmten  Tagen. 

Ob  es  auch  Sternschnuppenschwärme  giebt,  welche  die  Erdbahn  nicht 
schneiden,  kann  natürlich  nicht  behauptet,  weil  nicht  erwiesen  werden;  solche 
Schwärme  müssten,  um  gesehen  zu  werden,  wenn  sie  nicht  in  der  Atmosphäre 
eines  anderen  Himmelskörpers  zum  Leuchten  kommen,  selbstleuchtend  sein; 
wenn  sie  aber  in  der  Atmosphäre  eines  anderen  Himmelskörpers  in  grosser  Zahl 
zum  Leuchten  kommen,  so  können  sie  bei  diesem  eine  Erhöhung  der  Licht- 
intensität, ähnlich  wie  bei  Lichtausbrüchen  bewirken.  Es  ist  nicht  unmöglich, 
dass  z.  B.  der  zwei  Monate  nach  dem  Periheldurchgange  erfolgte  Lichtausbruch 
des  Kometen  1888  I  auf  eine  solche  Ursache  zurückzuführen  ist.  Für  den 
Kometen  1884  I  machte  Chapel9)  die  Bemerkung,  dass  er  am  13.  Januar  durch 
den  Schwärm  der  Bieliden  und  am  19.  Januar  durch  den  Schwärm  vom  6.  bis 
13.  December  gegangen  sei. 

Ueber  die  Beobachtung  eines  thatsächlich  teleskopischen  Meteorschwarms 
belichtet  Schmidt  in  seinen  »Resultaten«  (pag.  173).    Während  der  Tagesbeob- 


>)  Die  Zahlen  zwischen  30°  und  60°,  zwischen    120°  und  150°  sind  hier  halbirt,  um 
die  Quadranten  gemäss  der  Stellung  zur  Sonne  besser  zu  trennen. 
*)  Compt.  rerul.,  Bd.  98,  pag.  591. 


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Kometen  und  Meteore. 


achtungen  des  Polarsternes  am  16.  Mai,  sah  er  im  Fernrohre  einen  Strom  von 
feinen  Lichtpunkten  in  ausserordentlich  grosser  Menge,  die  das  Fadennetz  unter 
einem  Winkel  von  40°  durchschnitten,  und  aus  dem  HEis'schen  Nordpol- 
radianten tt  —  353°,  8  =  -+-  85°  zu  kommen  schienen.  Schmidt  hält  diese 
Lichtpunkte  Air  einen  Meteorstroro. 

Von  grossen  Sternschnuppenschwärmen  sind  in  erster  Linie  die  4  folgenden 
zu  erwähnen,  wobei  das  Datum:  die  »FallzeiU  vorangesetzt  ist: 

1)  April  18.  19.  20.  Radiant:  a  =  267°;  8  =  -4-  33 °,  in  der  Nähe  des 
hellen  Sterns  Wega  in  der  Leier;  der  Schwärm  wird  aus  diesem  Grunde  auch 
die  Lyraiden  genannt. 

2)  August  10.  it.  12.  Radiant:  ot  =  45°,  8  =  H-  57°  in  der  Nähe  des 
Algol  im  Sternbild  des  Perseus,  daher  auch  Perseiden  (im  Volkesmunde  die 
Thränen  des  hl.  Laurentius)  genannt.  Bei  diesem  Schwärm  ist  jedoch  zu  be- 
merken, dass  hier  weniger  von  einem  Radianten,  als  von  einer  Radiationsgegend 
gesprochen  werden  muss,  welche  sich  nördlich  und  östlich  von  dem  Algol 
hin  erstreckt.  Nebst  dem  erwähnten  Hauptradianten  sieht  man  zur  selben 
Zeit  stets  noch  eine  grössere  Anzahl  anderer  Radianten  in  der  Umgebung  thätig1); 
hierzu  kommt,  dass  auch  die  Fallzeit  sich  bedeutend  länger  erstreckt,  als  bei 
anderen  Strömen;  zwischen  2.  und  12.  August  sieht  man  unausgesetzt  eine 
auffallend  grosse,  wenn  auch  nicht  so  übermässige  Anzahl  von  Sternschnuppen; 
selbst  schon  von  Ende  Juli  angefangen  kann  man,  und  zwar  aus  derselben 
Radiationsgegend,  eine  erhöhte  Anzahl  von  Sternschnuppen  beobachten,  welche 
jedoch  von  Schmidt  als  ein  besonderer,  nicht  zu  den  Perseiden  gehöriger  Schwann 
angesehen  werden. 

Coul vier- Gravier  glaubt  bemerkt  zu  haben,  dass  der  Augustschwarm  von 
Jahr  zu  Jahr  an  Intensität  abnimmt;  Quetelet  führt,  um  dieses  zu  untersuchen, 
die  Mittelwerthe  für  die  Anzahl  der  beobachteten  Sternschnuppen  zwischen  1837 
und  1853  an,  und  hält  aus  denselben  diese  Behauptung  für  bestätigt.  Zieht  man 
aus  den  Beobachtungen  an  verschiedenen  Stationen  das  Mittel,  so  findet  man: 


August 

8. 

9- 

IQ. 

11. 



12. 

Zahl  der  Beob- 
achtungsorte 

1837 

655 

2 

1838 

530 

1 

1839 

28-3 

54- 1 

1,  2 

1840 

148-7 

620 

1.  1 

1841 

870 

68*0 

1 

1842 

77'4 

63*5 

124-7 

1,  3,  6 

184S 

640 

l 

1846 

27-6 

1 

1847 

480 

ms 

66-7 

1.  1.  1 

1849 

82-0 

50-8 

880 

1,  1.  1 

I850 

80-0 

80-2 

555 

820 

1,  5,  3,  1, 

1853 

24*4 

69-7 

242 

1.  2,  l 

Aus  diesen  Zahlen  scheint  jedoch  eine  Verminderung  der  Intensität  nicht 
hervorzugehen;  allerdings  scheint  nicht  jedes  Jahr  dieselbe  Intensität  zu  heirschen, 
aber  eher  eine  Andeutung  von  Stellen  stärkerer  Verdichtung  aufzutreten,  wenn 
sich  auch  eine  Gesetzmässigkeit  nicht  verräth. 

*)  Man  gebraucht  das  Wort  »die  Thatigkeit«  eines  Radianten  für  die  Erscheinung,  das« 
von  ihm  Sternschnuppen  tu  kommen  scheinen. 


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i85 


3)  November  13.  14.  15.  Radiant:  o«  149°,  9  =3  ■+-  21°  in  der  Nähe  des 
Regulus  im  Sternbilde  des  Löwen,  daher  Leoniden  genannt.  Der  zuerst  be- 
kannte und  reichste  Sternschnuppenschwarm. 

4)  November  27.  Radiant:  a  =  24°,  3  =  -+-  44°.  Im  Sternbilde  der  An- 
dromeda,  daher  Andromediden  und  aus  einem  später  ersichtlichen  Grunde 
auch  Bieliden  genannt 

Andere  bemerkenswerthe  Sternschnuppenfälle  finden  statt: 

2.     3.  Januar;    Radiant  im  Hercules  am  16.— 24.  October;    Radiant  im 

19.    20.  Februar;  Radiant  im  Hercules  Orion  (Orioniden) 

12. — 15.  April;     Radiant  in  der  Leier  „     8.  — 12.  December;  Radiant  in 

25. — 31.  Juli;       Radiant  im  Schwan  den  Zwillingen  (Geminiden). 

Ueber  die  mittlere  Helligkeit  der  einzelnen  Ströme  giebt  Schmidt1)  die 
folgenden  Daten: 


»> 


»> 


für  den  Strom  vom 

1. —  5.  Januar 

B  =  414 

aus 

13  Beobachtungen 

19.    20.  Februar 

4-80 

n 

44 

'» 

20.    21.  April 

371 

11 

13 

(meist  Lyraiden) 

25. — 31.  Juli 

422 

11 

84 

» 

(Vorläufer  der  Perseiden) 

7. — 13.  August 

399 

11 

75 

»» 

(meist  Perseiden' 

17.— 24.  October 

348 

1» 

49 

11 

12.— 13.  November 

3-31 

11 

12 

11 

(meist  Leoniden) 

11.— 12.  December 

390 

11 

14 

11 

Ein  besonderer  Unterschied  der  Helligkeit  gegen  die  Helligkeit  der  spora- 
dischen Meteore  in  den  einzelnen  Monaten  ist  dabei  nur  für  die  Lyraiden,  den 
Otionstrom  und  die  Leoniden,  welche  etwa  um  eine  halbe  Grössenklasse  heller 
sind.  Auch  die  Perseiden  sind  durchschnittlich  nicht  heller  wie  die  sporadischen 
Juli-  und  August-Meteore. 

Newton  hat  im  Jahre  1863*)  aus  den  älteren  Erscheinungen  diejenigen 
herausgesucht,  welche  der  Zeit  nach  mit  diesen  Schwärmen  identisch  sind,  indem 
er  die  Zeitangaben  mittels  der  Länge  des  siderischen  Jahres  auf  den  Gregoriani- 
schen  Kalender  und  die  Epoche  1850  reducirte.  Er  findet  die  folgenden  An- 
gaben von  bedeutenden  Sternschnuppenfällen  als  zusammengehörig: 

1)  Die  Lyraiden:  687  und  15  v.  Chr.  Geb.,  dann  n.  Chr.  Geb.:  582,  1093, 
1094,  1095,  1096,  1122,  1123,  1803  ziemlich  genau  coincidirend  zwischen  April  19 
und  21. 

2)  Die  Perseiden:  n.  Chr.  Geb.:  830,  833,  835,  841,  924,  925,  926,  933, 
1243,  I45I  ziemlich  genau  zwischen  August  8  und  10  fallend;  nur  933  giebt 
die  Rechnung  August  6— 11;  ausserdem  noch  in  der  Nähe  die  folgenden  vier 
Einzelangaben:  nach  Chr.  Geb.:  36  Juli  21,  784  Juli  29,  714  August  3,  und 
865  August  19.  Hier  kann  noch  von  einer  Ausdehnung  der  Radiation  über 
mehrere  Tage  in  der  jetzt  beobachteten  Art  nicht  gesprochen  werden. 

3)  Die  Leoniden:  n.  Chr.  Geb.:  585,  902,  1582,  1698,  1799,  1833,  No- 
vember 11 — 13. 

4)  Für  die  Bieliden  findet  sich  keine  ältere  Angabe. 

Newton  reducirt  auch  die  übrigen  Sternschnuppen  aus  Quetelet's  Katalog 
und  findet  die  folgenden  Resultate: 


»)  Astr.  Nachrichten,  Bd  88,  pag.  348. 

•)  American  Journal  of  Science  and  Art»,  II.  Serie,  Bd.  36. 


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i86 

Kc 

»meten  und 

Meteore 

Tzinuar     6  ; 

Iiis/o1) 

f  März  28  ! 

861 

Mai 

*o 

o6< 

7  J 

Novemb. 

0 

;  1 101 

14.  ' 

848/O 

1          *i  : 

l     11       «3  *  • 

842 

Tuli  0  — 

-Ii, 

1022 

II 

8<< 

t  16 

c  00/600 

April  12  j 

8*0 

Sept. 

/  * 

io37 

II 

1 202 

\      M     »°l  <u 

14 : 

1 108 

1  »• 

7 

106* 

II 

c 

J 

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'  20 

16  : 

840 

18  . 

<;*2 

•  1 

6 : 

1*66 

Februar  9 

:  308 

„     16 : 

IOOO 

28  : 

IOI2 

r  1 

7 

1  10 

018 

24  * 

■?*8'} 

jju  1 

Octob. 

1 : 
o  • 

M 

14 

070 
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■  010 

28  * 

1009 

11 

I  *  ' 

II 

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'  20 

Ol  1 

20  I 
II              7  • 

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11 

16  : 

I  74* 

II 

20  ! 

070 

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1 106 

•  •      20  I 

II  7 

027 

16 : 

I798 

Decemb. 

2 

'  899 

März  2 

II           J  '  * 

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11 

17  : 

14*6 

11 

I  I  ' 

1571 

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11 

18 

288 

ii 

I  2 

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»»  *♦ 

0*7 

Mai    1 2  : 

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10 . 

I4*Q 

11 

1 1 

OOI 

i  ..  16 

.  8o7 

10  : 

842 

*I 

Q*I 

>• 

l6 

848 

l  »  »9 

.  842 

(    ..  24: 

954 

31  : 

934 

•1 

:  1565 

t    „  26: 

839  ' 

1  >i 

3» 

:  1002 

Hiernach  gruppiren  sich  die  Sternschmppenfälle  um  gewisse  Daten,  von 
denen  die  auffälligsten  durch  Klammern  verbunden  sind.  Insbesondere  ist  hervor- 
zuheben, dass  nebst  den  oben  erwähnten  beiden  Schwärmen  von  585  und  902 
deren  Datum  (reducirt)  auf  den  12.  bezw.  11.  November  fällt,  sich  von  855  an 
eine  Reihe  von  Daten  findet,  die  sehr  wohl  mit  den  späteren  Novemberphänomenen 
1582,  1698,  1799,  1833  vereinbar  sind,  wenn  man  eine  sucsessive  Verspätung  in 
der  Fallzeit  annimmt.  Newton  nimmt  dafür  einen  Tag  in  70  Jahren.  Nun 
fand  zwischen  dem  11.  November  1799  und  12.  November  1833  eine  Verspätung 
von  einem  Tage  statt,  und  ebenso  wieder  bis  zum  13.  November  1866,  für 
welche  Humboldt  und  Olbers  eine  Erklärung  in  der  Verschiebung  des 
Knotens  der  Bahn  gaben.  Durch  die  Störungen,  welche  die  Planeten  auf 
die  übrigen  sich  um  die  Sonne  bewegenden  Himmelskörper  ausüben,  wird  näm- 
lich die  Bahnfage  geändert.  Hierfür  wurden  bereits  in  der  >a)lgemeinen  Ein- 
leitung in  die  Astronomie«  Formeln  entwickelt  (Formel  3,  pag.  110),  welche 
auch  hier  angewendet  werden  können,  wenn  man  nur  unter  ([,  0,  D  bezw.  die 
Länge  des  gestörten,  des  störenden  Himmelskörpers,  und  die  Elongation  der 
beiden  versteht.  Das  seculare  Glied  ist  übrigens  von  diesen  Grössen  frei,  und 
daher  von  dem  Orte  des  Himmelskörpers  in  der  Bahn  unabhängig.  Dabei 
ist  o»  =  dfo  das  Differential  der  Störung  in  der  Knotenlänge,  ot  das  Differential 
der  Bewegung  des  gestörten  Körpers  in  Länge.  Es  ist  aber  zu  beachten,  dass 
diese  beiden  Grössen  im  entgegengesetzten  Sinne  zu  nehmen  sind:  o  im  Sinne 
der  directen  Bewegung,  o>  im  Sinne  der  retrograden  Bewegung  (wie  aus  Fig.  40 
pag.  108  folgt)3).  Ist  daher  die  Bewegung  des  gestörten  Körpers  direct,  so  ist 
die  Secularbewegung  des  Knoten  'vdas  constante  Glied  in  Formel  3)  retrograd. 
Da  nun  das  Verspäten  der  Sternschnuppen  des  Novemberschwarmes  auf  ein 


')  11 18  December  27,  reducirt  auf  1850:   11 19  Januar  5. 
9)  Vielleicht  zu  den  Lyraidcn  gehörig. 

*)  Daran  wird  auch  nichts  geändert,  wenn  man  den  anziehenden  (störenden)  Körper  statt 
in  der  Richtung  BS  in  der  entgegengesetzten  Richtung  (rechts  von  E)  annimmt,  denn  die 
Störung  äussert  sich  in  der  Differenz  der  Anziehung  auf  den  Körper  E  und  S;  da  der  gestörte 
Körper  dann  weiter  vom  störenden  Körper  entfernt  ist,  als  der  Centraikörper,  so  wird  letzterer 
stärker  angezogen,  so  dass  die  Differenz  der  Anziehungen  sich  gleichsam  in  einer  Abstossung, 
wieder  im  Sinne  RS  offenbart. 


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Kometen  un<1  Meteore. 


Vorrücken  der  Knotenlinie  (zu  einem  Orte,  wo  sich  die  Erde  in  einem  späteren 
Datum  befindet),  deutet,  so  schloss  schon  Humboldt,  dass  die  Meteore  des 
Novemberschwarms  in  ihrer  Bahn  retrograd  sein  mlissen,  eine  Vermutung,  die 
sich  später  auch  bestätigte. 

Die  Störungen,  welche  die  sich  in  elliptischen,  parabolischen  oder  hyper* 
boiischen  Bahnen  um  die  Sonne  bewegenden  Sternschnuppenschwärme  erleiden, 
sind,  solange  sie  sich  den  störenden  Himmelskörpern  nicht  allzusehr  nähern, 
so  gross  oder  so  klein  auch  die  Sternschnuppen  sind,  ganz  von  derselben  Art, 
wie  die  Störungen  aller  andern  Himmelskörper.  Ihre  Berechnung  kann  auch  auf  die» 
selbe  Art  erfolgen,  und  gehört  nicht  hierher.  Nebst  diesen  Störungen  erleiden  aber 
die  Sternschnuppen,  ebenso  wie  diejenigen  Kometen,  welche  sich  einem  Planeten 
auf  sehr  kleine  Distanzen  nähern,  weitaus  grössere  Störungen,  welche  aber  bei 
den  periodischen  Schwärmen  genau  derselben  Art  sind,  wie  sie  bereits  bei  den 
sporadischen  Meteoren  angeführt  wurden:  Geschwindigkeitsänderungen  und 
Aenderungen  der  Radianten  (Zenithattraction). 

Infolge  der  Zenithattraction  können  nun  aber  diejenigen  Sternschnuppen  des 
Schwanns,  welche  bei  einem  Umlaufe  sehr  nahe  bei  der  Erde  vorbeigehen,  so 
weit  aus  ihrer  Bahn  abgelenkt  werden,  dass  sie  ihre  Umlaufszeit  beträchtlich 
ändern1).  So  kann  für  den  Novcmberschwarm,  dessen  Umlaufszeit  33 J  Jahre 
beträgt,  durch  die  Erdanziehung  diese  Umlaufszeit  auf  28f  Jahre  verkürzt  oder 
auch  auf  50  Jahre  verlängert  werden;  eine  parabolische  Bahn  kann  durch  die 
Erdanziehung  in  einen  elliptischen  Strom  verwandelt  werden,  für  welchen  die 
Umlaufszeiten  je  nach  der  Entfernung,  bis  zu  welcher  sich  der  Strom  der  Erde 
nähert,  selbstverständlich  verschieden  sind  Nähert  sich  der  Strom  zur  Entfernung 
p,  so  wird  die  Halbaxe  a  und  Umlaufszeit  /'gegeben  durch2): 

für  p=\        2       3      4       5       6       7       8        9        10  Erdradien 
wird  ö=2  65  5  04  7  43  9  90  12  46  14  77  1719  19  64  22  08  24  45  Erdbahnhalbax. 

7=4-31  H'31  20  26  3115  43  98  56-76  71-27  87  04  103  75  120  90  Jahre. 

Dadurch  werden  dann  diese  Theile  aus  der  Sternschnuppenwolke  abgelöst, 
sie  eilen  vor  oder  bleiben  zurück,  treten  theilweise  auch  aus  dem  ganzen 
Schwarme  heraus,  sodass  dieser  in  die  Länge  gezogen  und  verbreitert  wird.  Im 
l^ufe  der  Jnhre  bei  wiederholten  Vorübergängen  muss  dann  durch  die  fort- 
währende Zerstreuung  eine  Vertheilung  des  Sternschnuppenschwarmes  und  eine 
Verringerung  der  Dichtigkeit  entstehen.  Diese  Zerstreuung  ist  aber  um  so  grösser, 
je  grösser  die  Zenithattraction  ist,  d.  h.  sie  ist  stärker  für  Ströme,  die  aus  dem 
Antiapex  kommen,  welche  sich  also  direkt  bewegen.  Daher  kommt  es,  dass  der 
sich  retrograd  in  geringer  Neigung  bewegende  Strom  der  Leoniden  (Entfernung 
des  Radianten  vom  Apex  etwa  14°),  so  wenig  zerstreut  wird,  und  daher  mit  so 
grosser  Regelmässigkeit  nach  je  33^  Jahren  mit  seinem  Maximum  auftritt,  während 
die  Zerstreung  des  Stromes  sich  auf  etwa  3  Jahre,  d.  i.  ungefähr  ^  seiner  Bahn- 
länge erstreckt.  Mehr  zerstreut  ist  der  Strom  der  Perseiden,  für  welchen  der 
Abstand  des  Radianten  vom  Apex  40°  ist;  dieses  würde  aber  noch  nicht  hin- 
reichen, die  sonderbaren  Erscheinungen  der  grossen  räumlichen  und  zeitlichen 


')  TwiNiNG  (American  Journal  of  Sciences,  II.  Serie,  Bd.  33,  pag.  255)  bemerkt,  dass  durch 
die  Zenithattraction  auch  der  Knoten  eine  retrograde  Bewegung  erhält,  indem  die  Sternschnuppen 
schneller,  also  früher,  d.  h.  an  einem  etwas  zurückliegenden  Punkte  der  Erdbahn ,  zur  Erde  ge- 
langen; doch  betrifft  dieses  natürlich  nur  die  zur  Erde  oder  in  unmittelbarste  Nähe  derselben 
gelangenden  Meteore,  nicht  aber  den  ganzen  Schwärm. 

*)  SCHIAPAKELLI,  1.  C,  pag.  153. 


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i88 


Kometen  und  Meteore. 


Zerstreuung  dieses  Stromes  zu  erklären.  Weniger  intensiv,  fast  unauffällig  sind 
die  stark  zerstreuten  Ströme  der  Lyraiden  (Elongation  des  Radianten  vom  Apex 
57°)  und  der  Bieliden  (Elongation  des  Radianten  vom  Apex  115°).  Namentlich 
der  letztere  Strom  scheint  in  stetiger  Auflösung  begriffen  zu  sein. 

Ganz  ähnliche  Wirkungen  müssen  natürlich  auch  die  anderen  Planeten 
hervorbringen;  nur  wird  bei  ihnen  die  Wirkung  in  dem  Maasse  kleiner,  als  die 
Masse  und  die  Entfernung  von  der  Sonne  kleiner  wird,  d.  h.  je  kleiner  die 
Wirkungssphäre  ist    Schiaparelu  giebt  die  folgende  Tafel1): 


Aequi- 
tor- 
hnlb- 
messer 


Ma?5C 


Rela- 
tive 


Ströme  aus  dem  Antiapcx 

Bc-  Zcnith- 
s-chlcu-  attiaction 


nigte 
Geschwintligk. 


Mcrcur 

Venu» 

Erde. 

Mnrs. 

Jupiter 

Saturn 

Uranus 

Neptun 


0-  390 
0969 

1-  000 
0545 


0  08 


19483'"!  -2012!» 


0  8«  14432 
1-0O  12120 
0-12  |  9818 
11-640  338-0O  i  5314 
10010  10100  1  3924 


4-790 
4  450 


17-00 
1800 


2767 
2227 


17717 
164*2 
11129 
00419 
35694 
21221 
2257  i 


im 

I  lorironte 


1°52' 

12  22 

17  20 

7  10 

79  56 

77  27 
75  1 

78  45 


Ströme  aus  dem  Apex 


Be- 
schleu- 
nigte 

Gc«-cliwinriigk. 


Rela- 
tive 


Zcnith- 
attraetion 
im 

Horizonte 


.  1 13558 


113671 


7-30!  83081  83743 

1174  70642  71520 

2- 15  57224  57465 

20651  30971  67686 

h314  22873 


3830 
6349 


12890 


42212 
26512 
25898 


0°  3' 

0  35 

0  42 

0  14 

40  48 

33  6 

27  22 

37  5 


608 
333 
113 
187 


Dabei  ist  als  Einheit  der  Entfernung  der  Erdhalbmesser,  als  Einheit  der 
Masse  die  Erdmasse  gewählt;  in  der  mit  E  überschriebenen  Colonne  ist  die 
äusserste  Distanz  (in  Erdradien )  angesetzt,  bis  zu  welcher  sich  der  Körper  nähern 
muss,  um  eine  Ablenkung  von  4°  im  Horizonte  zu  erfahren. 

Je  kleiner  die  Wirkungssphäre  ist,  desto  geringer  ist  die  Aenderung  der 
Geschwindigkeit,  desto  geringer  daher  auch  die  Zenithattraction;  dieses  ist  bei 
den  inneren  Planeten  der  Fall.  Für  die  äusseren  Planeten,  deren  Geschwindig- 
keiten nur  mässig  sind,  werden  hingegen  die  relativen  Geschwindigkeiten  aus  ver- 
schiedenen Theilen  des  Himmels  nicht  sehr  verschieden,  daher  gleicht  sich  der 
Unterschied  zwischen  den  Strömen  aus  dem  Apex  und  Antiapex  aus. 

Bei  dem  Anlegen  von  Radiantenverzeichnissen  muss  man  nothwendig  jene 
Radianten  zusammenziehen,  welche  am  Himmel  nur  so  weit  von  einander  liegen, 
dass  man  die  Unterschiede  ab  aus  Beobachtungsfehlern  entstanden  ansehen 
kann.  Dabei  ist  jedoch  zu  beachten,  dass  der  wahre  Radiant  fest  ist,  nicht  aber 
der  scheinbare,  von  der  Erdbewegung  afficirte.  Es  genügt,  den  Werth  des 
scheinbaren  Radianten  aus  demjenigen  des  wahren  Radianten  zu  suchen,  und 
den  Einfluss  einer  Veränderung  des  Apex  auf  den  Ort  des  scheinbaren  Radianten 
zu  bestimmen,  um  sich  von  dem  Fortrücken  des  letzteren  von  einem  Tage  zum 
anderen  zu  überzeugen.  Auf  diesen  Umstand  hat  schon  Ermann*)  im  Jahre  1840 
hingewiesen.  In  den  bisher  festgehaltenen  Bezeichnungen  wird,  wenn  noch  mit 
g  die  Rotationsgeschwindigkeit  der  Erde  am  Aequator,  also  g  cos  B  die  Rotations- 
geschwindigkeit in  der  Breite  B,  und  a,  6  die  Rectascension  und  Deklination 
des  Punktes,  gegen  welchen  die  Erdrotation  zu  stattfindet,  bedeuten: 

v  cos  %cos  S)     G  cos  a  cos  d  -f-  geos  B  cos  a  cos  3  =  uQ  cos  %'  cos  £>' 
v  sin  ü  c os  SS)  ■+-  G  sin  a  cos  d  -4-  g  cos  B  sin  a  cos  $  =  u0  sin  $f  cos  S)' 
  v  sin  $5  -h  G  sin  d  4-  g  cos  B  sin  6  =  »0  sin  2>'. 

«)  1.  c,  P*g.  156. 

*)  Astron.  Nachrichten,  Bd.  17,  pag.  8. 


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Kometen  und  Meteore. 


189 


Aendern  sich  nun  die  Grössen  a,  d,  a,  6  so  werden  sich  auch  bei  constanten 
Werthen  von  v,  SH,  $  die  Grössen  u0,  §(',  5)'  ändern.  Die  Untersuchung  wird  am 
einfachsten,  wenn  man  die  Gleichungen  auf  die  Ekliptik  bezieht;  dann  ist  an 
Stelle  von  %  2),  a,  ä,  W  £':  1',  B,  /,  0  (weil  die  Breite  des  Apex  Null  ist), 
■1?',  93'  zu  setzen.  Die  Richtung  der  Erdrotation  ist  senkrecht  auf  den  Meridian 
gegen  die  Westseite  zu,  und  parallel  zum  Aequator;  also  die  Rectascension  des 
Apex  der  Erdrotation  gleich  der  um  90°  verminderten  Sternzeit  9,  und  die 
Declination  Null,  also  a  =  9  —  90°,  6  =  0;  hieraus  folgt  fttr  die  Länge  und 
Breite  (X  und  ß) 

cos  ß  cos  X  =  -+■  sin  9 
cos  ß  sin  X  =  —  cos  9  cos  t 
sin  ß  =      cos  9  sin  e 

und  damit: 

u0  cos  g'  cos  33'  =  v  cos  ?  cos  f&  -4-  G  cos  l  •+■  g  cos  B  sin  9 
u0  sin    cos  SB'  =  v  sin  t?  cos  SB  -+-  G  sin  l  —  g  cos  B  cos  9  cos  % 
u0  sin  93'  =  v  sin  SB  -t-  g  cos  B  cos  9  sin  t. 
Durch  Differentiation  dieser  Gleichungen  bei  constanten  v,  ?,  33,  G,  g,  t, 
B  erhält  man: 

cos  V  cos  SB'  A*0  —  u0  sin  ?'  cos  93' AS'  —  u0  cos  ?'  sin  93'  A93'  = 

— '  G  sin  /A/  -+-  g  cos  B  cos  9  A9 
sin  2'  cos  93'  A»0  -+-  »0  cos  Ö'  <w  93'Atf'  —  «0  sin  2'      93' AS'  = 

-+-  G  cos  IM  -+-  geos  B  sin  9  <w  s A9 
j/ä  93'  A«0  -+-  «0  cos  SB'ASB'  =  —  9  sin  *A9, 

folglich^): 

«0  <w  93' A8'  =  -h  G  cos  (/  —  2')  M  —  g  cos  B  [sin  ?'  cos  9  —  cos  2'  sin  9  cos  •]  A9 
«0  A©'  =      G  sin  (/  -  2')  i/«  %>'M—  gcosB  [{cos  2'  <w  9  -+- 
4-  sin  2'  «'«  9  <w  e)  sin  SB'  -+-  «'»  9  f/«  e  <w  SB']A9. 

Nun  ist  g  —        ,  wenn  p  der  Etdhalbmesser,  und  <n  die  Anzahl  der  mittleren 
o 

Zeitsecunden  in  einem  Sterntage  ist;  ferner  G  =  jr^  ,  wenn  R  die  mittlere  Ent- 
fernung der  Erde  von  der  Sonne,  T  die  Länge  des  Beobachtungsjahres,  und  tol 
die  Anzahl  der  mittleren  Zeitsecundcn  in  einem  mittleren  Sonnentage  also 


^  »  1  002738  ist;  daher  ist 


G      r  1  o> 


P 

und  da  ^  =  sin  rr®  ist,  wobei  ir®  die  mittlere  Acquatoreal- Horizontalparallaxe 


der  Sonne  bedeutet,  so  wird 


g  —  G  —  Tsin  jr®  =  0  0165  G  =  460  m\ 


soll  A9  in  Stunden  ausdrückt  werden,  so  hat  man  15^=0  247  G  oder  hinreichend 
genau  \G  zu  substituiren;  man  kann  daher  schreiben: 

*w33'A2'  =  —  [*«(/  —  2')A/-  i^^^/jm^A9] 

A93'     —  [j/Vi(/—  2')*/«93'A/  -  |  cos  B(cos p  sin  SB'    «'«  9  «*  c  cos  93')  A  9] 
A9  in  Stunden;  M,  AI*',  ASB'  in  Graden, 


')  Ermann  erhält  A93'  von  M  unabhängig,  weil  et  A«0  vernachlässigt. 


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190  Kometen  und  Meteore. 

wobei  /  und  q  eine  einfache  geometrische  Bedeutung  haben :  es  ist  /  der  Winkel 
zwischen  dem  Meridian  und  dem  Breitenkreis  des  scheinbaren  Radianten,  und  q 
die  Breite  des  Durchschnittspunktes  dieser  beiden  Kreise. 

Q 

Da  nun  —  <  1  ist,  so  wird  bei  einer  z.  B.  3  stündigen  Beobachtung  cos  33'  A 2' 

und  noch  nicht  £°  sein.    Man  sieht  übrigens  hieraus  auch,  dass  man  die 

vong  abhängige  Verschiebung  des  Radianten,  die  sogenannte  »tägliche  Aberration* 
desselben,  gnnz  übergehen  kann1).  Für  die  Verschiebung  des  Radianten,  welche 
in  Folge  der  Aenderung  des  Apex  eintritt,  hat  man  daher: 

cosWW^  G  cos(l- 
uo 

A5LV  =  -6-  sin  (l  -  «')«'*  Ö'A/. 
"0 

Da  der  Apex  täglich  um  nahe  1°  fortrückt,  so  erhält  man  die  tägliche 
Veränderung  des  Radiationspunktes,  indem  man  A/=  1°  setzt.  Man  wird 
daher  den  Radianten  nicht  für  längere  Zeit  als  constant  ansehen  dürfen. 
Hierauf  hat  bereits  Schmidt  aufmerksam  gemacht;  doch  kann  man  Mittelwerthe 
für  mehrere  oder  einzelne  Tage  nur  nehmen,  wenn  für  jeden  Tag  eine  genügende 
Anzahl  von  Bestimmungen  vorliegt;  da  dieses  jedoch  bisher  nicht  der  Fall  ist, 
so  muss  man  sich  jetzt  noch  mit  Mittelwerthen  aus  mehreren  und  selbst  einer 
grösseren  Reihe  von  Tagen  begnügen.  Immerhin  wäre  es  angezeigt,  die 
Radianten  mehrerer  Tage,  ehe  sie  zu  einem  Mittel  vereinigt  werden, 
auf  eine  gemeinschaftliche  Epoche  zu  reduciren. 

In  aller  Strenge  aber  dürfte  man  dann  nicht  die  zuletzt  abgeleiteten  Formeln 
anwenden,  sondern  wie  dieses  v.  Niessl  zuerst  gethan  hat1),  auf  die  kosmische 
Verschiebung  des  wahren  Radianten  Rücksicht  nehmen,  welcher  aber  erst  aus 
der  Betrachtung  der  Bahnen,  welche  die  Meteorströme  um  die  Sonne  beschreiben, 
hervorgeht. 

VII.  Bestimmung  der  Meteorbnhnen.  Die  Bestimmung  der  Bahn  eines 
Meteorschwarmes  unterscheidet  sich  wesentlich  von  der  Bestimmung  einer 
Planeten-  oder  Kometenbahn  dadurch,  dass  man  nicht  drei  oder  mehr  Positions- 
bestimmungen hat,  sondern  nur  den  Radiationspunkt,  die  Richlung  aus 


')  Denkt  man  sich  den  wahren  Radianten  bereits  wegen  der  Bewegung  der  Erde  in  ihrer 
Bahn  corrigirt  (mit  Ausschluss  der  von  g  abhängigen  Glieder),  und  sucht  dann  noch  die  Correction 
wegen  g,  so  kann  man  A(w0  tos  93'  cos  8')  =  geos  33  sin  0,  u.  s.  w.  betrachten;  man  erhält  dann  in 
genau  derselben  Weise 

cos  93'  A8'  =  —  —  tos  B  [sm  8w/8'  +  tot  9  tos  8'  tos  t] 
«0 

A  93'  =  —  —  cos  B  {{sm  9  cos  8'  —  tos  9  sm  8'  tos  e)  sin  93'  -  tos  9  sin  t  cos  93'1. 
»0 

Dabei  ist  der  Cocfficient,  wenn  man  die  Aenderung  gleich  in  Graden  erhalten  will: 

0*945 

Die  Formeln  werden  hier  noch  einfacher,  wenn  man  sofort  die  Verschiebung  in  Rectascension 
und  Declination  sucht;  di>nn  ist  e  =  0,  und  man  hat: 

«vS'AST  =  -      tos  ß  tos  (ß  -  «') 
«0 

ASV  =  —  tos  ß  sin  (9  —  «')  sin 

«0 

*)  Sitzungsberichte  der  Wiener  Akademie  der  Wissenschaften,  Bd.  83,  png.  96. 


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Kometen  und  Meteore. 


igt 


welcher  die  Meteore  zu  kommen  scheinen.  Ein  zweites  Datum  ist  allerdings 
die  Beobachtungszeit;  diese  giebt  den  Ort  der  Erde,  also  den  Schnittpunkt  der 
Sternschnnppenbahn  mit  der  Ekliptik ,  d.  i.  den  Knoten,  und  zwar  den  auf- 
steigenden oder  niedersteigenden  Knoten.  Die  Entscheidung  hierüber  ist  nicht 
schwer.  Ist  die  Breite  50  des  Radiationspunktes  positiv,  so  kommt  der  Schwärm 
aus  der  Richtung  der  positiven  Breiten  zu  denen  der  negativen,  der  beobachtete 
Schnittpunkt  mit  der  Ekliptik  ist  daher  der  niedersteigende  Knoten,  und  die 
Richtung  des  aufsteigenden  Knotens  befindet  sich  in  der  Richtung  der  Sonne; 
es  ist  also  die  Länge  des  autsteigenden  Knotens  gleich  dei  Sonnenlänge  0; 
ist  hingegen  die  Breite  35  des  Radiationspunktes  negativ,  so  wird  die  Länge 
des  aufsteigenden  Knotens  180°  -+-  0.  Angenommen  wird  nun,  man  habe  den 
scheinbaren  Radiationspunkt  direct  aus  den  Beobachtungen  abgeleitet,  was  ja 
keine  Schwierigkeit  hat,  wenn  man  die  Schnittpunkte  der  scheinbaren  Bahnen 
einer  grösseren  Zahl  von  Sternschnuppen  an  der  Himmelskugel  in  einen  Globus 
oder  eine  Sternkarte  einträgt.  Dieses  graphische  Verfahren  wird  bei  dem  jetzigen 
Stand  der  Genauigkeit  der  Sternschnuppenbeobachtungen  stets  ausreichen.  Aus 
diesem  scheinbaren  Radianten  ist  zunächst  der  wahre  Radiant  zu  bestimmen. 
Dazu  können  aber  die  auf  pag.  189  angegebenen  Formeln  nicht  dienen, 
weil  dieselben  die  Kenntniss  von  u0,  der  relativen  kosmischen  Geschwindigkeit 
voraussetzen.  Kennt  man  diese  (ebenfalls  aus  den  Beobachtungen),  so  hat  man 
alle  zur  Berechnung  nöthigen  Daten.  Allein  man  kennt  nur  Mittelwerthe  aus  ver- 
einzelt erhaltenen  Beobachtungen  an  verschiedenen  Punkten,  und  gerade  für  die 
Meteorschwärme  ist  es  zunächst  unmöglich,  oder  wenigstens  nicht  leichter  als 
für  vereinzelte  Meteore  Bestimmungen  von  absoluten  Höhen  zu  machen,  da  die 
ungewöhnlich  grosse  Zahl  der  nahe  gleichzeitig  erscheinenden  Meteore  eine 
Identifikation  der  an  verschiedenen  Punkten  gemachten  Beobachtungen  erschwert. 
Man  ist  dann  auf  gewisse  Annahmen  über  die  wahren  kosmischen  Geschwindig- 
keiten angewiesen.  Unmittelbar  gegeben  ist  diese  dort,  wo  die  Umlaufszeit 
des  Schwarmes  bekannt  ist;  dieser  Fall  findet  z.  B.  bei  den  Leoniden  statt; 
die  Umlaufszeit  ist  für  sie  33*25  Jahre,  daher  die  grosse  Axe  10*34;  hiernach 
wird  die  Geschwindigkeit  in  der  Entfernung  r  =  R  =  0*9911  (für  November  13): 


V  R  a' 


0) 


daher  für  die  Novembermeteore  (Ä-=  0*991 1  für  den  13.  November)  «r==  |/ 1*9212  •= 
1*3861.  Ist  umgekehrt  aus  der  beobachteten  relativen  Geschwindigkeit  u0  die 
wahre  Geschwindigkeit  v  gerechnet,  so  erhält  man 

a  =  ~2  (2) 

wobei  v  in  Einheiten  der  Geschwindigkeit  der 
Erdbahn  auszudrücken  ist,  also  wenn  dieselbe 
in  Kilometern  gefunden  wurde: 

(v)  Kilometer 
tf  —  —  — -■  —  . 
29*6 

Sei  E  (Fig.  269)  der  Nordpol  der  Ekliptik 
A  der  Apex,  S'  der  scheinbare  Radiant;  nach 
Fig.  265  ist  dann  AS'  =  <|>  und  man  findet  und  die  Neigung  7  des  grössten 
Kreises  AS'  gegen  die  Ekliptik  aus  dem  Dreiecke  AES\  in  welchem  AE=  90 3, 
ES'  =  90°  -       AS'  =      <  AES'  S'AE=  90°  -  7  »st: 


(A.  269.) 


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192 


Kometen  und  Meteore. 


cos  <|»  —  cos  93'  cos  (?'  —  /) 
sin    stnf  =  sin  (3) 
sin    cos  y  =  cos  93'  sin  (?'  —  /). 

Da  <J*  <  180°  angenommen  werden  kann,  so  wird  sin  stets  positiv  zu 
nehmen  sein. 

Nun  ist  der  wahre  Radiant  (vergl.  Fig.  265)  in  der  Ebene  Apex  —  Beobachter 
—  scheinbarer  Radiant  gelegen,  also  an  der  Himmelskugel  der  wahre  Radiant 
S  in  dem  grössten  Kreise  AS'\  sei  derselbe  S,  so  ist  AS  =  9  und 

sin  (f  -  *)  =  |  x/V»  4,.  (4) 

In  dieser  Formel  ist  jedoch,  wenn  die  Excentricität  der  Erdbahn  nicht  ver- 
nachlässigt wird,  G  die  wahre  Geschwindigkeit  der  Erde,  in  Einheiten  der  mittleren 
Geschwindigkeit,  also 


R  ~  1 

oder  ausreichend  genau  mit  Vernachlässigung  der  zweiten  Potenzen  der  Excentri- 
citäten  •) 

0  =  \-  (4a) 

Dann  folgt  aus  dem  Dreiecke  ESA,  in  welchem  EA  =  90°,  AS  =  <p, 
ES  =  90°  -  93,  SEA  =  2  -  /  ist: 

cos  93  sin  (?  —  /)  =  ««  f  rttf  y 

<vx  33  cos  (2  —  /)  =  w  ?  (5) 
x/w  93  =  x/*«  ff  sin  > 

Dann  sind  die  Compnnenten  der  wahren  Geschwindigkeit  v  nach  den  drei 
Axen,  von  denen  die  A"-Axe  nach  dem  Frühlingspunkte  gerichtet  ist: 

^  =  —  v  c os  ©  cos  8 

^  = -t/,r*x93x<»e  (6) 
dz 

j  -  =  —  v  sin  93. 

Die  Coordinaten  der  Sternschnuppen  zur  Zeit  der  Beobachtung  sind  identisch 
mit  den  Coordinaten  der  Erde;  sind  also  0,  R,  Länge  und  Radiusvector  der 
Sonne,  so  ist 

X  =  —  R  COS  0 

y  =  —  RsinQ 
z  -*  0. 

Da  nun  (vergl.  d.  Art.  >M.  d.  H.«) 

dy        dx      ,  g- 

x~dt-y  Tt  =  *o  v7«*< 


y  Ii  ~  *  %  =  VPsin&sini 

dz        dx  r-  .  . 

x      —  z  -jf  =  *o  VP  cos  ß  xi«  1 


')  Setit  man     =  1  -f-  a,  so  ist  et  von  der  Ordnung  der  Excentricität,  daher 

\~*      Vi  -  o'  1 


1  +  a  .ff* 


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Kometen  und  Mcte*re.  '93 

ist,  wobei  /  der  Parameter  der  Bahn,  ft,  /  Knoten  und  Neigung  derselben,  und 
Jk9,  da  man  es  mit  einer  heliocen  tri  sehen  Bahn  zu  thun  hat,  die  Constante  des 
Sonnensystems  ist.  Wählt  man  aber  für  v  als  Einheit  die  mittlere  Geschwindig- 
keit der  Erde  in  ihrer  Bahn,  so  ist  k0  =  1,  daher 

Yp  cos  i  =  RvcosQ  sin  (8  —  0) 
Yp  sin  Q»  sin  <  =  RvsinSb  sin  0 

Yp  cos  &  sin  i  =  Rv  sinfd  cos  0. 

Nun  ist  aber,  wenn  der  Kürze  halber  alle  auf  den  Fall  »93  positive  bezüg- 
lichen Formeln  mit  a,  alle  auf  den  Fall  >8  negativ«  bezüglichen  mit  b  bezeichnet 
werden : 

ft  =  0   (Ia)        ft=18O°  +  0  (Ib). 
Setzt  man  dieses  in  die  zuletzt  erhaltenen  Formeln  ein,  so  werden  die  letzten 
beiden  identisch,  und  man  erhält: 

YJcos  i=  RvcosSÖ  sin  (8  —  0)  Yp  cos  i  —  Rvcos®  sin  ($  —  0) 

Yp  sin  i  =  Rv  sin  33  Yp  sin  /  =  -  Rvsin®  (Ub)' 

Hieraus  werden  i  und  p  bekannt;  da  v  und  a  nach  (2)  gleichzeitig  bekannt 
werden,  so  folgt  dann 

1)  für  den  Fall  der  Parabel:     die  Periheldistanz  q  =  | 

p 

2)  „         der  Ellipse:      cos*  <p,  =  ~,  e  =  sin?,  (III) 

p 

3)  „         der  Hyperbel:  e  =1+^. 
Aus  der  Gleichung  des  Kegelschnittes: 


\+ecosV 

in  welcher  V  die  wahre  Anomalie  bedeutet,  folgt 

dr      kae  sin  V 

-d'-^YT-  <7> 

Es  ist  aber 

dr        dx        dy  dt 
rTi  =  X  Tt     y  Tt  *  *  ~dt 

und  da  für  den  Augenblick  der  Beobachtung  r  =  R  ist,  mit  Rücksicht  auf  (6) 
und  (7) 

demnach 

esin  V=  Ytvcos  —  0) 

*wK«J-l. 

Im  Augenblicke  der  Beobachtung  stehen  aber  die  Sternschnuppen  des 
Schwarmes  im  Knoten,  es  ist  also  —  V  der  Abstand  des  Perihels  vom  Knoten, 
im  Falle  a)  vom  niedersteigenden,  im  Falle  b)  vom  aufsteigenden;  es  ist  daher 
der  Abstand  des  Perihels  vom  Knoten: 

»«180°-  V  (a);        w  =  —  V  (b) 
und  folglich  die  Länge  des  Perihels  in  beiden  Fällen: 

*  =  180°  -  V+  0.  (V) 

Die  Durchgangszeit  durch  das  Perihel  ist  belanglos,  da  sie  bei  einem 
Schwärm  für  die  einzelnen  Sternschnuppen  nicht  dieselbe  ist. 

Vatnrruco,  A.txonomk.  IL  I3 

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i94 


Beispiel:  Ei  sei  Juli  28  5:  8'  «=  329°  5';  33'  =  —  17°  24'  beobachtet. 
Man  hat  für  diesen  Tag  (vergl.  pag.  129): 

/  —  36°  13';   0  —  135°  48';   log R  =  00065;   Äff  (7  —  9*9935. 
In  Ermangelung  irgend  welcher  Kenntnisse  über  die  Geschwindigkeit,  wird 


1/1 


also  eine  parabolische  Bewegung  angenommen,  also 


logv  =  01472;   Äff  — 

Die  weitere  Rechnung  wird: 

8'  —  /  =  292°  52' 
log  cos  (8'  —  /)  =  9  5895 
A>1  cos  33'  —  9*9797 
Aff*m  (8'        =  9-9644,. 
Äff  ««  4»  jm  7  =  9-4757« 
log  sin  tycost  =  9*944 1* 
log  sin  ^  —  9  9679 
Äff  w  <ji  —  95692 
%  ««  (9  -  <|,)  =  9-8142 


9-8463. 


8  —  0=  160°  31' 
Äff  cos  (8  —  0)  —  9*9744,. 

Äff  <w  8  =  9-9788 
log  um  ^  -0)  =»9  5231 
logü  »«01537 
Äff  «*  33  -  9-4837« 
log-yfpsin  i  =  9-6374 
9-8584 

logYpcos  i  =  9-6556 

^y7=  9-7972 
Äff-  ^  =  9-5914 


logYpv  =  9-9444 
Ä^  w8f«(«-0)-  9-9532« 


95879 

Suötr  = 

01994 

log  sin  V  = 

9-8976. 

Äff      T  «» 

9-7873. 

K=  - 

127°  49' 

ß  = 

305°  48' 

43  48 

n  an 

73  37 

iogq  = 

9-2934 

<|,       68°  14' 
<p  =  108  55 
log  sin  7  =  9-5078* 
log  sin  <p  =  9*9759 
log  cos  7  =  9-9762« 
log  cos  33  cos  (8  —  /)  =  9-5108. 

9-9733 

Äff  cos  33  ;w  (8  —  /)  =  99521, 
8-/=  250°  6' 
8  =  286  19 
53  =  —  17  44 


Würde  man  eine  Ellipse  voraussetzen  mit  der  Halbaxe  gleich  5,  so  wäre 

(2        1\  G 
^  —  -  )  =  0-2480,   logv  =  0-1240;   log  —  =  98694 

log  sin  (9  -     =  9-8373         (8  -  0)  =  157°  39'  log^Jv  =>  9-9269 

<p=lll°40'  Äff<w(8-0)=  9-5661*  Äff 33 w(8-0)=  99454 
log  sin  7  =  9-5078,        Äff  cos  33  =  9  9796 
log  sin  <p  =  9-9682    Äff  w**(8-0)=  9  5801 
log  cos  1  =  9-9762* 
logcos&cos&—l)—  9-5673. 

9-9648 

logcos?bsin($  -  /)=  9-9444, 
8  —  /  =  247°  14' 
8  =  283  27 
13  =  —  17  25 


logRv**  01305 
Äff     33  =  9-4760. 
Äff  y£7«*  1  =  9-6065, 
9-8873 

log  yp  cos  i  =  9-6902 
Äff  }/p  =  9-8029 
logp  «  9-6058 


8-9068 
Äff  w    =  9-4534 


9-5993 

Subtr  = 

0-1807 

Äff***!  K  = 

9-8726, 

log c cos 

9-7800, 

r=  — 

128°  56* 

ft  = 

305°  48' 

39  31 

1t  = 

74  44 

Äff  a  = 

0-6990 

Äff  *  « 

9-9817 

:ized  by-Geo^-*-4 


Kometen  und  Meteore. 


'95 


Die  Rechnung  lässt  sich  jedoch  noch  in  bequemerer  Weise  anordnen.  Be- 
rücksichtigt man,  dass  /  «  0  -t-  «o  —  90°,  und  »  ein  kleiner  Winkel  ist,  dessen 
Sinus  man  mit  dem  Bogen  und  dessen  Cosinus  man  mit  der  Einheit  vertauschen 
kann,  so  erhält  man  aus  (5): 

+  cos  33  cos  (8  —  0)  -+-  tos  33  sin  (8  —  Q)  -  n  s=  sin  f  cos  ^ 

—  cos  33  sin  (8  —  0)  -H  cos  33  cos  (8  —  0)-»  9, 

daher  mit  Rücksicht  auf  die  Formeln  pag.  165,  und  wenn  man  in  den  Coeffi- 
cienten  von  <d  die  ersten  Näherungen  einführt  (die  zweiten  Potenzen  von  o 
vernachlässigt): 

v  cos  33  cos  (8  —  0)     +  *o*»»  <|<»n+o  (*0 cos  «|»  —  G) 
v  cos  $b  sin  (%  —  O)     —  u0cos    +  G  +  m  (u0sin    cos  7) 
v  sin  33  =»  -r-  »o  sin   sin  7. 
Entwickelt  man  in  ähnlicher  Weise  die  Formeln  (3)  und  setzt  die  Werthe 
in  diese  Gleichungen  ein,  so  erhält  man: 

v  cos  33  cos  (8  —  0)  =  u0cos  33'  cos  (8'  —  ©)  —  « 
*  cos  33     (8  —  0)  =  G  +  u0cos  33'  sin  (8'  —  0) 
vsinfQ  =  k0x/»33' 

indem  sich  alle  Übrigen  von  der  ersten  Potenz  von  o>  abhängigen  Glieder  weg- 
heben.  Hier  ist  noch  die  Kenntniss  von  u0  nöthig;  es  ist  aber: 

u9'  =  G*+  v*+  1Gvcosy  =  G*     v*-r  2Gvcos®cos($  —  /) 
==  G*  -r-  v*  —  2Gv  cos  93  sin  (8  —  0  —  ») 

—  G>     v'  —  2G»  [w  33  sin  (8  —  0)  —  »  cos  33     (8  —  0)] 
«=  C-t-  p»—  2G*H-  %uilGcos 4» 

oder 

»0 « c?w4»  ±  y  G*  cos*  <|.-r- —  g  w  «i<  ±  y»*  —  g*  8  4». 

Hieraus  folgt,  dass  der  Minimalwerth  von  v,  welcher  ein  reelles  u0  giebt, 
d.  h.  welcher  mit  dem  beobachteten  Radiationspunkte  bestehen  kann,  v  =  G sinty 
ist;  eine  Bemerkung,  die  bereits  Er  man  1840  gemacht  hat  Es  ist  dieses  jedoch 
nur  eine  rein  geometrische  Beziehung,  welche  besagt,  dass  in  Fig.  265  as  >  aa' 
sein  muss;  in  der  That  lässt  sich  sonst  in  der  angegebenen  Elongation  <J»  kein 
Punkt  s  finden. 

Ist  v  >  Gsinty,  so  sind  drei  Fälle  zu  unterscheiden: 

a)  Ist  *tfv*  —  G'sin*ty<  G  cos  und  |  <  90°,  so  giebt  es  zwei  Lösungen 
für  *0;  dieses  findet  statt,  wenn  v'  —  G*sin*ty<  G'cos'ty  oder  v  <  G  ist;  es 
sind  die  beiden  Strecken  Ea,  2?ß,  wenn  a,  ß  die  Schnittpunkte  des  aus  a  als 
Mittelpunkt  mit  dem  Halbmesser  oa  =*  aß  v  beschriebenen  Kreisbogens  mit 
ES  sind. 

b)  Ist  v  <  G  sin)  und  cos)  negativ,  also  <|>  >  90°  [in  Fig.  265  ES  die  Richtung 
der  Sternschnuppe  und  •<  (S)  EA  =  tj»],  so  sind  beide  Losungen  für  uQ  negativ, 
also,  da  u9  eine  wesentlich  positive  Grösse  sein  muss,  überhaupt  keine  brauch- 
baren Lösungen:  die  beiden  Schnittpunkte  fallen  in  die  Verlängerung  der 
Geschwindigkeitsrichtung. 

c)  Ist  y»1—  G'sin*  )  >  G  cos  <|>,  also  v  >  G,  so  kann  nur  das  obere 
Zeichen  genommen  werden,  und  es  giebt  nur  eine  Lösung 

u0  =  Gcos)  +  y»»  -  G'sin')  (8) 

für  «}» <  90°  der  von  E  entferntere  Punkt  s'  und  für  )  >  90°  der  in  der  Richtung 
des  Radianten  gelegene  Punkt  (*'). 

«*• 

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196 


Kometen  und  Meteore. 


Der  entere  Fall  entspricht  einer  elliptischen  Bewegung,  für  welche  die 
Halbaxe  kleiner  als  die  Erdbahnhalbaxe  ist;  da  nämlich 

2       12  1 
=«  ^  -  1,      also      »'  -  G»  =  1  -  - 

ist,  so  wird  v  <  G,  wenn  a  <  1  ist.  Erman  schliesst  diesen  Fall  nicht  aus  und 
hätte  daher  folgerichtig  für  jene  Fälle,  in  denen  er  (für  den  Augustschwarm) 
v  =  0*557,  0*774,  0*990  annimmt,  beide  Lösungen  untersuchen  müssen1). 
Schliesst  man  nach  den  jetzigen  Kenntnissen  von  der  Geschwindigkeit  der 
Meteore  diesen  Fall  aus,  so  erhält  man  nur  eine  positive,  brauchbare  Lösung 
in  Formel  (8).    Der  Ausdruck  unter  dem  Wurzelzeichen  wird: 

G>fM>*+     -  G*  =  -+-  1  -  |. 

Für  den  Fall,  dass  der  absolute  Werth  von  a  nicht  sehr  klein  angenommen 
wird,  was  bei  Sternschnuppenschwärmen  stets  der  Fall  sein  wird,  kann  man 

nach  Potenzen  von  ^  entwickeln.  Führt  man  cos  =  cos  ?&' cos  (V  —  f)  ein,  und 
setzt: 

cos  33'  cos  (V  —  I) 

 =  cotang  %, 

so  folgt 


'°  =  V1      C~^R^  ~  \  =  cota*g*  ■+■  y cosec*  z  —  ^  = 

—  cotang  z  -+-  <•      *  p  1  — 

(.         s       .  «Vi4  *  sin*  z  \ 

1  -  i  —  *   ^  ~^»~  *  •  J 


z         sin  z        sin1  z       ,  sin*  z 
-  cotang  g  -  i~  4  -      ~^r~  *  •  • 

Da  »0  positiv  sein  muss,  so  wird  z  <  180°  zu  nehmen  sein;  also  im 
oder  zweiten  Quadranten,  je  nachdem  cotang  z  positiv  oder  negativ  ist. 

Die  Convergenz  dieses  Ausdruckes  wird  noch  erhöht  durch  das  Auftreten 
von  sin*  z  im  Zähler*).    Man  hat  daher  zu  rechnen: 

cos  33'  cos  (?'  —  /)  .  ton0 
 -~   «=  cotang z\   z  <  180° 

■t/~      sin*  z 
uQ  =  cotang  z     <wtts  p  1  — 

z       sinz  r       ,  /«'«>s\       t  /fw*s\"  j 

= «**«•  2  -     l> +  H^rj  +  H-jt)  +  •  •  J 

Ist  u0  direkt  gegeben,  so  wird  der  Werth  bei  der  Rechnung  sofort  benützt. 
Weiter  die  Formeln  a)  oder  b)  je  nachdem  33'  positiv  oder  negativ  ist; 


oder 


')  Die  zweite  Lösung  giebt,  wie  die  unten  folgenden  Formeln  n  zeigen,  einen  »ehr  kleinen 
Werth  der  Neigung.    Hierauf  machte  zuerst  Peirck  in  den  »Transaction»  of  the  American. 

Philosophie»!  Society,  Bd.  8*  aufmerksam. 

,  .  I  t 

")  Für  a  =  00  erbalt  man  hieraus  den  bekannten  Werth  für  die  Parabel :  «e  =  cotang  —  • 

• 

vergL  v.  Oppolzek  :  Lehrbuch  zur  Bahnbestimmung  von  Planeten  und  Kometen  I.  Bd.,  2.  Aufl., 
pag.  350.  Es  mag  bemerkt  werden,  dass  dort  in  den  Ausdrücken  IV  das  Zuzatzglied  u>  fehlt, 
welches  nicht  ohne  Einfluss  auf  die  Uebcrcinstimmung  der  Resultate  fllr  t  aus  den  Formeln  III 
und  IV  bleibt. 


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Kometen  und  Meteore. 


a-o  (Ia) 

yfpcosi=l+Ru0cos%'sin(V-3) 
yfpsini~Ru0smW  C 

Für  die  Parabel: 


ft  =  180°-+- 0 

Yfcosi=\  +  Ru0  cos&sin  (8'-  0) 


fllr  die  Ellipse:  cos^t < 
für  die  Hyperbel:    e*  =  l  +  •£ 
<r  xm  y=yp[uoCOs  93' (8'  -  0)  -  ^] 


(IIb) 


(TO) 


*  =  180°-  K+0. 
Es  soll  das  frühere  Beispiel  gerechnet  werden.    Es  wird: 


(IV) 
(V) 


8'  —  /  =  292°  52' 
23'     =-17  24 
8'- 0  =  203  17 
log  cos  (8*  -  /)  =  9-5897 
comp  log  R^  9  9935 
log  cos®'  =  9*9797 
hgsin(V  —  0)«  9-5969. 
Ätf  <w(Z'  —  0)  =  9-963 1« 
log  cotang  $  =  9*5627 
log  z  =  69°  56' 


log  p  =  9  5944 
«  =  -+-  25'  =•  0  00727 
log  cos  93'  cos  (8'  -  0)  =  9-9428« 
logu0cos&cos(V-®)  =  0  098  L 
A^»  =  7-8615 
Subtr  =  00025 
^»o""8'<w(8'--0)-«d  =  0-1006* 


%  ^  =  9-5879 

5i^/r     0-1 995 
Ay-M*  F  =  9*8978« 
A^<w  F  =  9-7874« 

F=  -127°  48' 


«0  =  tt»Ajfi£-|s  =  0*1553 
log  sin  93'  =  9-4757» 
logu0R*=  01618 
Zog  <w  23'  j/'«  (8'  —  0)  =  9-5766* 
Ru0cos  Wsin{V  -  0)  =  9-7384» 

=  9-9172 
<<5f  YP  c°*  9*6565 
9*8584 

log  yp  sin  1  =  9-6375 
lo?Yp^  9-7972 

Für  die  elliptische  Bewegung  mit  der  Halbaxe  a     5  wird  die  Rechnung: 


ß  —  305°  48' 
i—  43  48 
k=  73  36 
?  =.  9-2934 


hgsin  2  —  9*9728 
9  0000 


.  1 


89728 

Ag-  10480  =  0  0204 
logCorrekt  =  8*9932 

log  cotang-^  =  0- 1 553 

S»#r  =  9-9691 
hgu0  =01244 


(sin%  z\ 


00441 

0039 
048Ö 


log  sin®'  =  9*4757« 
logu0R=*  01 309 
hg  cos  &  sin{$  -  0)  =  9  5766« 
hgRutCos®rin<p-0)  =  97075« 

^  =  9-9823 
logYpcosi*-  9-6898 
9-8871 

Atf  vT"«»»  =  96066 
y7  =  98027 
9*6054 

£  =  8-9064 

log  cos     =  9-4532 


log     =  01244 
log  tos  &tos  (8'  —  0)  =»  9-9428« 
log  «0  tos  8'  w  («'  —  0)  =  0  0672» 

logt»  =  7-8615 
Si^/r  =  0  0026 
^[Vw^'-O)-«]  «=  0  0698« 

log  ^  =  9-5989 

.Sid/r  =  01813  ft  =  305°  48' 

log  tsin  V=  9-8727,  s:  —  39  33 

9-8909  x  =  74  44 

V=  9-7802«  log**=  0-G990 

r=— 128°  56'  Äff*-*  9-9818 
Wären  die  Gleichungen  II  und  IV  von  einander  unabhängig,  so  würden 
sich  hieraus,  wenn  man  für  u0  seinen  Werth  substituirt,  und  dann  die  Glei- 
chungen II  quadrirt  und  addirt  und  ebenso  die  Gleichungen  IV,  zwei  Glei- 
chungen zwischen  p,  c,  a  ergeben,  oder  da  p  «=  a  (1  —  c*)  ist,  zwei  Gleichungen 
zwischen  e  und  a,  so  dass  diese  aus  dem  gegebenen  Radianten  bestimmt  werden 
könnten.  Dieses  kann  aber  nicht  sein,  da  ja  die  Axe  nur  von  der  Grosse  der 
Geschwindigkeit,  nicht  aber  von  der  Richtung  abhängig  ist  Hieraus  folgt,  dass 
diese  vier  Gleichungen  nicht  von  einander  unabhängig  sind;  in  der  That  lässt 
sich  dies  auch  direkt  zeigen.  Geht  man  zu  diesem  Zwecke  von  den  Gleichungen 
auf  pag.  193  aus,  so  erhält  man: 

/  =  /?»  v*  [cos»  93«Vi»  (8  -  0)  +  sm'  ö] 

c*  —  pv*tos*$tos'  (8-0)  -r-  l)'. 


Substituirt  man 


und  setzt  Kürze  halber 

«v»8«*»(8-0)-wm»©  =  w;  w»8«*»(8-0)-» 

so  folgt: 

R 

Setzt  man  weiter  x  =  —  ,  so  folgt : 

£  =  (2  —  x)  M 


,-**=*<s-->"+(£-1)'- 


P 

Elimmirt  man  ~,  so  erhält  man  die  Gleichung 

1  —  (2  —  (2  —  *)'  *tn  +  [(%  —  x)m  —  1]» 

oder 

(2  —  *)  [(2  —  x)  m  (m  -+■  n)  —  2  m  -+-  m  x]  —  0, 
welche  Gleichung,  da  m  -+■  n  =  1  ist,  eine  Identität  ergiebt. 

Die  gefundenen  Formeln  reichen  aus,  um  die  umgekehrte  Aufgabe  zu  lösen: 
Aus  den  gegebenen  Elementen  eines  Sternschnuppenschwarmes  seinen  Radiations- 
punkt zu  bestimmen. 


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Kometen  tmd  Meteore.  199 

Als  Elemente  können  angenommen  weiden:  ft,  i,  n,  p,  e)  für  die  Parabel 
ist  /  =  1,  /  =  2?;  für  die  Ellipse  ist  p  =  a  (1  —  *»)  und  für  die  Hyperbel 
/  =  a  (**  —  1);  man  kann  daher  aus  zwei  dieser  drei  Grossen  die  dritte  leicht 
finden.    Nun  muss 

0  *»  ß  (Ia)        oder        0  =  180°  +  Q>  (Ib) 
sein.   Mit  diesen  Sonnenlängen  erhält  man  dann 

F«  180°  -+-  0  —  k 

und  aus  den  Ephemeriden  den  zur  Sonnenlänge  0  gehörigen  Radiusvector  R. 

Zur  wahren  Anomalie  V  gehören  nun  zwei  Radien vectoren  r,  je  nachdem 
man  die  Sonnenlänge  aus  (Ia)  oder  (Ib)  verwendet;  es  ist 

Soll  nun  der  Stemschnuppenschwarm  die  Erde  schneiden,  so  muss  r  =■  R 
sein;  der  zweite  Werth  wird  verworfen;  wird  r  =  R  für  die  Sonnenlänge  aus 
Ia,  so  ist  der  Stemschnuppenschwarm  im  niedersteigenden  Knoten  beobachtet; 
wenn  für  Ib,  so  ist  die  Beobachtung  im  aufsteigenden  Knoten.  Dann  folgt 
weiter:  . 

u9cosWtos{y -Q)  =  i  in  ' 


YP  w1 

ua  cos  »'  sin  (*'  -  0)  -  ~  1  (nia) 

».  cos  W  cos  (8(  -0)  -  ^=^+ 

«0    «* («'  -0)  «=  ^tfy "~ 1 


«0  sin  53' 


Y±sin± 


(Mb) 


Beispiel:  Es  sei  A  =  245°  63' 

12  33 
*  —  108  58 
logp  =  01794 
Äsr#-  9  8785 

0-  245°  53'   und   0  «  65°  53' 
316  55  136  55 

logr  =  9-9986  0-4949; 

es  ist  daher  der  zweite  Werth  zu  verwerfen;   die  Erde  wird  vom  Schwann  in 
seinem  niedersteigenden  Knoten  getroffen,  und  zwar  am  28.  November,  zu  welcher 
Zeit  die  Sonnenlänge  den  angegebenen  Werth  hat;   für  dieses  Datum  ist  log  R 
=  9*9958  und  »  =  -1-  46*9'  =  0*0136;  die  weitere  Rechnung  wird: 
log  sin        9*8635«  log  cos  i  «  9.9895 

log  e  sin  V  =  97420,  log  Yp     0  0897 

log-/p^  0  0897  log  sin  i     9  3370 

Arü^r«  9.6523         ^  ™  *  s  00792 
*/p  "     log{Yp€osi—\)*m  9-3011 

/«f  •  =  8  1385  log  R  —  9  9958 

^  ^  =  9-9866         Atf-  y7  *'»  '  —  9  -*267 


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200 


Kometen  und  Meteore. 


kgu^cosW  cos(V  —  O)  =  9-6389» 

9  9577 

logu^cosWsin  (g'— 0)  =  9-3053 
logu0  ccs*&  •=  9-6812 
9-9414 

hgu0  sin®'  =  9-4309 
(¥'  -0)  =  155°  7' 

8'=   41  0  26°37' 
33'  =  -+-  29  20  °der  2)'* +  42  37 
Ä^r  «0  =  9*7408 


Hier  wäre  noch  die  Zenithattraction  zu  berücksichtigen;  man  erhält  mit  dem 
Argumente  u0  =  0  5506  aus  der  Tafel  pag.  168:  <D  =  10°  59  7';  die  Berechnung 
der  Veränderung  des  scheinbaren  Radianten  erfordert  aber  die  Kenntniss  der 
Zenithdistanz,  und  kann  daher  nur  von  Fall  zu  Fall  durchgeführt  werden. 

Die  scheinbare  Elongation  des  Radianten  vom  Apex  ist  gegeben  durch 
cos  4,  =  cos®'  cos  (2*  —  0)  und  ergiebt  sich  <|>  ■=  112°  14';  damit  erhält  man 
für  die  wahre  Elongation  und  wahre  Geschwindigkeit  nach  den  Formeln  pag.  165: 
?  —  157°  18';  logv  =  0-1204;  man  erhält  direkt  mit  dem  Werthe  loga  =  0  5476 


die  Geschwindigkeit  v  =  y     —  —  :  log  v  =  01 198  in  genügender  Ueberein- 


VIII.  Stellare  Schwärme.  Für  die  Berechnung  der  Sternschnuppenschwärme 
legt  man,  sofern  nicht  durch  die  Umlaufszeit  eine  Kenntniss  der  Geschwindig- 
keit erlangt  wird,  die  parabolische  Geschwindigkeit  zu  Grunde.  Man  reicht 
damit  zumeist  aus,  und  kann  diese  Näherung  mit  demselben  Recht  anwenden, 
wie  man  bei  der  Bestimmung  von  ersten  Kometenbahnen  die  Parabel  zu  Grunde 
legt  Allein  in  vielen  Fällen  wird  man  dadurch  doch  in  einen  Fehler  ver- 
fallen; für  detonirende  Meteore  und  zur  Erde  fallende  Meteormassen  hat  man 
fast  ausnahmslos  Geschwindigkeiten  gefunden,  die  die  parabolischen  weit  über- 
treffen. Das  Meteor  von  Pultusk  hatte  nach  Galle  eine  Geschwindigkeit  von 
7*28  deutsche  Meilen,  d.  i.  nahe  55  km.  v.  Niessl  giebt  eine  Zusammenstellung 
der  von  ihm  berechneten,  und  in  verschiedenen  Bänden  der  Sitzungsberichte 
der  kais.  Akademie  der  Wissenschaften  in  Wien  publicirten  Resultate1)  in  seiner 
Abhandlung  »Ueber  die  Periheldistanzen  und  andere  Bahnelemente  jener  Meteoriten, 
deren  Fallgeschwindigkeiten  mit  einiger  Sicherheit  beobachtet  werden  konnten  *). 
Die  Geschwindigkeiten  ergaben  sich  zu  53  bis  150  km,  im  Durchschnitte  zu 
75  km.  Hierdurch  scheint  sich  eine  neuerliche  Trennung  zwischen  den  Meteo- 
riten und  Sternschnuppen  zu  ergeben,  und  thatsächlich  spricht  auch  Schiaparelu 
von  zwei  Arten  von  Körpern:  Kometen  und  Sternschnuppen,  die  in  paraboli- 
schen Bahnen  und  Meteoriten,  »Boten  der  Sternenweltc,  die  in  hyperbolischen 
Bahnen  zu  uns  kommen*). 

Der  Unterschied  fällt  aber  wieder,  wenn  man  die  Erscheinung  näher  be- 
trachtet: Es  giebt  kosmische  Körper,  die  sich  mit  verschiedenen  Geschwindig- 
keiten bewegen;  je  grösser  die  kosmische  Geschwindigkeit,  desto  grösser  die 
Wahrscheinlichkeit,  dass  sie  tiefer  in  die  Atmosphäre  eindringen,  oder  zur  Erde 
fallen;  folglich  werden  in  die  tieferen  Regionen  der  Atmosphäre  und  zur  Erde 

')  Vergl.  Bd.  75,  79,  83,  88,  93,  96,  97,  98. 

a)  Verhandlungen  des  naturforschenden  Verein«  in  Brünn,  Bd.  29. 

3)  1.  c,  pag.  219  und  222. 


Stimmung. 


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Kometen  und  Meteore. 


nur  jene  gelangen,  deren  kosmische  Geschwindigkeiten  eben  die  grössten  sind, 
also,  die  sich  in  hyperbolischen  Bahnen  bewegen. 

Hierin  ist  auch  eine  sehr  einfache  Erklärung  der  Erscheinung  gelegen,  dass 
zu  den  Zeiten  der  grossen  SternschnuppenfäUe  so  wenig  detonirende  Meteore 
und  Meteoritenfälle  zu  verzeichnen  sind;  diese  Erscheinung  wird  um  so  auf- 
fälliger, je  mehr  Aufmerksamkeit  man  den  Meteorerscheinungen  zuwendet.  Nun 
ist  aber  die  Detonation  eine  secundäre  Erscheinung,  welche  von  der  Zusammen» 
pressung  der  Luft  (Umsetzung  der  Wärme  in  Bewegung)  herrührt,  und  hängt 
wesentlich  von  der  Entfernung  des  Meteors  ab.  Detonationen  können  daher 
nur  bei  den  tief  nach  unten  gelangenden  Meteoren,  also  bei  jenen,  welche  mit 
grosser  Geschwindigkeit  in  die  Atmosphäre  gelangen,  auftreten.  In  der  That 
haben  sich  auch  bei  den  grossen  Sternschnuppenfällen  noch  am  meisten 
Meteoritenfälle  zur  Zeit  der  Leoniden,  die  aus  der  Nähe  des  Apex  (vergl.  pag.  187) 
kommen,  gezeigt 

Wenn  die  Meteorite  nun  auch  wahrscheinlich  stellaren  Ursprungs,  als  nicht 
zum  Sonnensystem  gehörig  anzusehen  sind,  so  zeigt  ihre  chemische  Beschaffen- 
heit, dass  sie  sich  nichtsdestoweniger  ihrer  Zusammensetzung  nach  von  den  dem 
Sonnensystem  angehörigen  Körpern  nicht  unterscheiden;  hieraus  einen  Grund 
gegen  ihren  stellaren  Ursprung  zu  schöpfen,  ist  aber  durchaus  unzulässig,  da 
man  ja  bei  den  Untersuchungen  über  die  Fixsternspectra  genau  zu  denselben 
Resultaten  gelangt.  Dass  sie  aber  stellaren  Ursprungs  sind,  zeigt  auch  noch  eine 
eingehendere  Untersuchung  ihrer  Radianten. 

Es  zeigt  sich,  dass  gewisse  Radiationspunkte  durch  mehrere  Wochen,  selbst 
durch  Monate,  ihren  Ort  am  Himmel  unverändert  beibehalten,  stationär 
bleiben.  Beispiele  von  stationären  Radianten  führt  Denntng  aus  seinen 
Beobachtungen  1877  und  1885  an: 

Zwischen  Juli        13  bis  September  22:  V  =  7°:  2>'  «  +  12° 
27    „  December    4  30  -h  36 

30  „  November    7  31  18 

Juni        26   „         „        30  60  -+-  50 

August    21   „  September  21  61  +36 

„      October    9   „  October     29  92  -H  15. 

NrxssL  führt1)  die  folgenden  Meteore  mit  nahe  demselben  Radianten  an: 
3.  Juni  1883,  7.  Juni  1878,  17.  Juni  1877,  13.  Juli  1879:  81' =  249°,  ©'  =  —  20°; 
dieser  Radiant  findet  sich  auch  noch  im  Monate  Mai  und  August  und  zwar  am 

18.  Mai  1874,  20.  Mai  1869,  20.  August  1864,  11.  August  187 1,  19.  August  1847, 
31.  August  1871. 

Ferner  den  Radianten  &'  =  210,  2)'  =  -+-  19°  bei  den  Meteoren  vom 
5.  September  1863,  19.  September  1861,  25.  September  1862,   15.  October  1889, 

19.  October  1877;  den  Radianten:  £'  =  216°,  33'  =  -t-  4°  bei  den  Meteoren  vom 
11.  April  1871,  21.  April  1877,  12.  Mai  1878;  hiermit  im  Zusammenhange  stehen 
die  beiden  Radianten:  tf'  =  193°;       =      17°  vom  5.  September  1872,  und 

=  138°,  23'  =  -h  36°  vom  26.  September  1865  und  27.  September  1870«). 
Ferner  die  Radianten: 


1»  » 
tt  tt 

11 


')  Astron-  Nachr.  Bd.  107,  No.  2566. 

*}  Kosmischer  Ausgangspunkt:  80  =  182°,  «0  =  +  4C 


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Kometen  und  Meteore. 


100c, 

109 
114 

86°, 

90 

86 


25' 


28° 

26 

22 

28° 

28 

44 


für  das  Meteor  vom  27.  November  1862 

24.  December  1873 
17. Januar  1894 
14.  Mai  1867 
9.  Juni  1888 
11.    „    1867 l). 


»» 


Tüpmann  untersuchte  zuerst  die  Bedingungen,  unter  denen  ein 
stationär  sein  könne,  und  fand8)  als  Bedingung  hierfür:  schwache  Breite,  direkte 
Bewegung,  Periheldistanz  des  Condensationscentrums  nahe  1,  und  die  Lage 
des  Radianten  für  die  Mitte  der  Zeit  der  Ausstrahlung  nahe  dem  Antiapex. 

Eine  ausführliche  Untersuchung  dieser  Erscheinung  gab  v.  Niessl ').  Die 
Aufgabe  ist  zunächst:  aus  der  kosmischen  Richtung  und  Geschwindigkeit  eines  in 
die  Breite  gezogenen  Schwanns,  der  die  Erdbahn  in  einem  ziemlich  ausgedehnten 
Bereiche  trifft,  die  Bahnelemente  und  den  scheinbaren  Radianten  zu  finden, 
welche  den  verschiedenen  Knoten  entsprechen.  Auf  Grund  der  im  Früheren  hier 
erhaltenen  Resultate  kann  die  Ableitung  folgendermaassen  geführt  werden: 

Da  es  sich  um  Schwärme  handelt,  welche  aus  dem  Weltraum  kommen,  so 
werden  die  Bahnen  Hyperbeln  sein,  deren  Asymptote  die  Richtung  im  Welt- 
raum giebt.  Sei  also  (Fig.  268) 
MM'  die  Erdbahn,  O  die  Sonne, 
SM  die  Bahn  eines  Sternschnup- 
penschwarms,  welcher  die  Erde 
in  M  schneidet,  so  ist  Q  D  die 
Richtung,  aus  welcher  der 
Schwärm  kommt,  und  diese 
Richtung  ist  bestimmt  durch  die 
Parallele  OA,  welche  mit  der 
grossen  Axe,  d.  i.  mit  der  Richtung  nach  dem  Perihele  E  den  Winkel  180°  —  A 
einschliesst  Ist  nun  ?0  die  heliocentrische  Länge,  S30  die  heliocentrische  Breite 
der  Richtung  OA,  also  des  kosmischen  Ausgangspunktes  (für  den  stellaren  Schwärm 
identisch  mit  der  geocentrischen  Länge  und  Breite  der  Richtung  Mq),  und  ist 
derselbe  dargestellt  durch  den  Punkt  A  (Fig.  270)  in  der  Bahn  &>A  der  Stern- 
schnuppe, so  ist  der  Abstand  dieses  Punktes  von  dem  Perihel  E  gleich  180°  —  A, 
also  AE  =  180°  — A 

Ist  A  P  ein  Stück  der  Ekliptik,  und  AP  senkrecht  darauf,  so  ist 

PQ,  AP=  a0 

und  man  erhält,  wenn  man  den  Bogen  Q>  A  =  T  nennt  und  diesen  in  der 
Richtung  der  Bewegung  der  Himmelskörper  von  0°  bis  860°  zählt: 

sin  isin  V  =5  sin  33  0 

cos  i  sin  V  =  cos  $50  sin  (80  —  ft)  ( 1 ) 

cos?  —  cos%0  cos  (?0—  ft). 

Nun  ist  wie  früher: 

ft=0   (2a)   oder    ft  -  180°  -+-  O  (2b) 

*  =  r-  (180°  -A)+a  =  r  +  A  +  &-  iso° 

V=  180°  —  n-4-0, 


(A.  270.) 


also 


v=  0  _  r  -  a  -  a. 


(3) 


')  Kosmischer  Ausgangspunkt:  80=  83 °,  ©0  =  +  2°. 
•)  Monthly  Notices,  Bd.  38,  pag.  115. 

y  •Sitzungsberichte  der  kais.  Acadcmie  der  Wissenschaften  in  Wien*,  Bd.  83,  pag.  26. 


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Kometen  und  Meteore.  203 

Hiermit  sind  die  Elemente  *,  ß,  it,  V  durch  ?0,  ©0,  0,  ^  ersetzt,  und  es 
sind  noch  e,  p,  a  und  A  durch  0,  .tf,  v  auszudrücken. 
Man  hat  aber 

""VT1!;  ee»v=t_x. 

In  Folge  der  einfachen  Beziehung  zwischen  v  und  a  wird  es  gestattet  sein, 
a  an  Stelle  von  t»  beizubehalten;  man  hat  nur  zu  berücksichtigen,  dass  für  die 
Hyperbel  a negativ  ist;  settt  man,  um  mit  positiven  Grössen  zu  rechnen,  a  =  —  alf 
so  ist 

Dann  wird 

e  cos  (0  _  r  -  ft  -  Ä)  =  *l         1}  -  1 . 

Substituirt  man  für  e  =  e%  —  1  =  tang^A  und  setzt  Kürze  halber 

0  _  r  -  ft  «.  -  w,  (5) 

wobei  also 

a/  =  -H  T   (6a)      oder      w  =  180°  +  T  (6b) 

ist,  so  wird: 

tu  —  sin  w  tätig  A  «=  ^  Awi^*  i4  —  1 


tangA~Y^  cos*w  (~Y^  sinlwdLy^sin'iw  +2}. 
Setzt  man  daher: 

]/~^«t;   zsm\w  ~*  tongy  (7) 

so  wird 

/afltf-  A-=  ±.1*c0s\w  fang  (45°  ^:  ^>)  (8) 

wobei,  was  für  das  Folgende  zu  beachten  ist,  Correspondenz  der  Zeichen 
stattfinden  muss.    Dann  wird1) 

ic  =  I\+  A  -f-  ft  —  180°;       P=  —  (w  +  A) 

emmseeA;       p  «=  aitang%  A  (9) 

V7—  ±  /2~Ä  <w  i  w  A«tf  (45°  =p  }  v). 

Setzt  man  die  Wertbe  für  t,  V,  p,  i  m  die  Formeln  m,  pag.  199  ein,  so 
erhält  man  für  einen  von  einem  gegebenen  kosmischen  Ausgangspunkt  £0,  $0 
mit  der  Geschwindigkeit  v  (grosse  Axe  ax)  kommenden  Strom  den  scheinbaren 
Radianten  8\  33'  in  demjenigen  Punkte  der  Erdbahn,  für  welchen  die  Sonnen- 
länge 0  ist;  die  dazu  dienenden  Formeln  sind  (1),  (2),  (4),  (5),  (7),  (8)  und  (9). 

Hiernach  kann  man  sehr  einfach  die  Aenderungen  d%',  d^&  bestimmen, 
welche  der  scheinbare  Radiant  bei  constantem  kosmischen  Ausgangspunkt  $J0,  S30 
in  Folge  der  Veränderung  des  Erdortes  (Aenderung  der  Sonnenlänge  um  dQ) 
erfährt 

Aus  (2)  folgt: 

da  =  dO, 

sodann  aus  (1): 


')  Dass  hier  YF  besonders  eingeführt  ist,  hat  seinen  Grund  darin,  dass  in  dem  Faktor  für 
8',  ©'  nicht  /,  sondern  ^"auftritt;  das  durch  das  Ausziehen  der  Quadratwuitel  entstehende 
Doppclaeichcn  ist  aber,  gemäss  dem  Werthe  für  ta»g  A  nicht  beliebig  mit  dem  Zeichen  von  y 
sondern  es  findet  wieder  Correspondem  der  Zeichen  statt. 


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204  Kometen  und  Meteore. 

sin  icos  TdT  -+-  cos  i sin T  di  =  0 

cos  icos  TdT  —  sin  i sin T  di  =  —  cos T  d® 

—  sinTdT  =  -+-  cos  i sinT  dQ 

und  daraus 

dT  =  —  cosidQ 

di  =  -+-  sin  i  cotwdQ  (10) 
dw  =  // r. 

Für  das  Weitere  kann  man  R  während  des  Zeitraums,  während  dessen  man 
die  Veränderung  des  Radianten  sucht,  constant  nehmen;  dann  ist  dR  =  0,  dax 
=  0,  d.  h.  alle  Sternschnuppen  beschreiben  Bahnen  mit  derselben  Halbaxe1); 
dann  folgt  aus  (7)  und  (8): 

dy  =  ■+■  \  t cos  \  w  cos* y  dT 

Tol^Ä  =  ~  T  C0S  *  W  cos*  (45^  \y)^Xtang  (45°  T  *J)  "n  *Wdr 

und  nach  einigen  leichten  Reductionen 

m  =  ^  {lang  \  w  =fc  J  u>) 

d  A  =  ^  m  sin  2  A  cos  i  d  Q  * 

und  weiter 

dV=(\-\m  sin  2  ^)  <w  idQ 

de  =  m  sin  A  fang  A  cos  i  d  3  (12) 
<ty  =  2pmcosidQ. 

Differenzirt  man  jetzt  die  Formeln  III  (pag.  199),  so  folgt: 

duQ  cos  S'  cos  (tf'  -  0)  —  u0  sin  23'  cos  (8'  —  0)  d® 

-  u0  cos  39'  sin  (8'  -  0)  (dV  -dQ)  =  l  dQ) 
du0  cos  ©'  sin  (?'  -  O)  -  u0  sin  ©'  sin  (?'  -  0)  d& 

-h  «o  m  33'  cos  (8'  -  0)  (</*'  -dO)  =  ^dQ  °3) 
</«0  m  23'  +  «0  m  ©'  <f  8'  =  ±  ™  ^0. 
 sin  V  de         e  sin  V  dp      ecos  V  d  V 

~ ~yfdQ  ~^~J^pz~äö'k"yfäö 

.  cos  i  dp        /—  .   .  di 

n-*     TS -^""»73  (") 


wobei 


und  damit 


^  *0rf8'  =  [-I*«»V«(«,-©)-5J/Ä^^^  (15) 
»x8'(rf«'-rf0)-  [-!«*«  (2"-0)  H-  ^  <w (8'-0)]</0. 


')  Ein  genähertes  Bild  von  dem  Ausseben  eines  solchen  Schwanns  erhält  man,  wenn 
man  sich  in  Fig.  268  eine  Reihe  von  Hyperbeln  mit  parallelen  Asymptoten  in  der  Richtung  OA 
und  mit  den  Perihelien  in  £?,  E",  £"'.  .  .  zeichnet,  und  die  Figur  um  OA  als  Axe  dreht; 
die  Erdbahn  MM'  muss  nicht  in  der  Zeichnungsfläche  liegen,  sondern  in  einer  die  Zeichnungsfläche 
in  MO  schneidenden  Ebene;  alle  die  Erdbahn  treffenden  Hyperbeln  haben  dann  gleiche 
Halbaxen  ED,  ED',  E"  D"  .  .  . 


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Kometen  und  Meteore.  205 
Durch  Substitution  von  (10)  und  (12)  in  <U)  erhält  man  nach  einigen  Re- 

eos*  cosi ,  .  _  . 

I™  —=  Im  smtv  -+-  e  cos  V)      —  —r=  [cos  w  -+-  (m  —  tang  A)  sin  w] 

Yp  Yp  _ 

11  =  Yp  {m  cos*  i  —  cot  tu  sin*  i)  =  —  |//  [cot  w  —  (m  H-  *?/«/)  rtws  /] 
HI  =  ypsin  i  cos  i  (m  +  «/). 
Es  ist  aber: 

m  —  Arag-  A  =  \  tang  \  tu  ±  ^  siny  cot  \w^.  2-ccos±w  tang  (45°  =f  IjO 
demnach 

(»1  —  tang  A) sin  w  =  sin*\w±  siny  cos%\w^.2  sinw  cot\w  tangy  tang  (45°:p^y) 

=  1  —  cos*  \  w  (1      siny  dt  4  tangy  tang  (45°  qp  ^.y)]. 
Setzt  man  daher: 

sin*  (45°  =f  i.)0  ±  2  tangy  tang  (45°  zp  *>)  =  1  -  *  K, 

oder1) 

K  =  2  <w*  (45°  m  \y)  zsz  4  AjW  Any  (45°  =f  i^)»  H6) 

so  wird 

(m  —  /a»^  A)sinw  =  1  —  2  ;m  }  w1  (I  —  i  K). 

Weiter  ist: 

«1  -+-  cotw  =  }  tang\  w±.\  siny  cot\  w  +  \  cot\  w —\  tang \w=cot\w  sin  *  (45  0  ±  $y). 
Demnach  wird 

t         cosi     •  ,  w 

I  =  -+-  -7=  rf*'  \w-  Y 

II  =  —  Yp\cotw  —  cot\w  cos*  isin*  (45°  ±  $  v)]  (17) 
III  =  -h  yjsin  i  cos  i  cot  \  w  sin*  (45  0  ±.  \y). 

Um  nun  die  Rechnung  durchzuführen,  hat  man  die  Werthe  für  c,  V,  p,  i, 

in  die  Gleichungen  III  (pag.  199)  zu  setzen.    Man  erhält: 

mi      /Q,      ~x          stc  A  sin  (10  -f-  A) 
«0  cos  ©  cos  (£'  -  O)  =  >L   -+-  «o  = 

Yp 

sin  w  •+■  cos  w\f  iL- 
sin  w  -+-  cos  w  tang  A                                    *  a, 
 7=  —   -t-  co  =  7=  -+-  o». 

Yp  Yp 

Man  hat  daher  zu  rechnen:  [Für  S30  positiv  die  Formeln  (a);  für  S0  negativ 
die  Formeln  (b)l: 

sin  i  sin  w  =  sin  §3  0  sin  i  sin  w  =  —  sin  ©0 

cos  i  sin  w  =>  cos  330  sm  (80  —  0)   (I  a)      <w  1     w  =  cos  93  0  im  (2 0  —  0)   (I  b) 

cos  w  =  w  330  rar  (80  —  0)    cos  w  =  cos  330  cos  (?0  —  0) 

1  1  /  .i? 

±  yTtf  cos  *  «p  Aw^  (45°  T  i-V) 

«'» W       COS  W  o» 


«o  w  ©'  w  (2*  -  0)  —  — 


y7       Y*l     arc  V 


u0  cos  33'  sin  («'  -  0)  =  VZf^i  L  (IIIa) 


«0  j/n  so  =  — ^ — 


')  K  wird  für  die  Parabel  gleich  1 ;  und  da  gemäss  den  Gleichungen  (7)  y  ftir  grosse  Werthe 
von  ax  nur  klein  bleibt,  so  wird  Y  nur  wenig  von  der  Einheit  verschieden  sein;  man  kann 
leicht  mit  dem  Argumente  y  eine  Tafel  für  Y  rechnen. 


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206  Kometen  und  Meteore. 


™,      <~.     ^v         stnw  cosu 
u0  cos  33'  cos  (8'  —  O)  =  7=  ■+■ 


~\fti  cos  i  —  1 

«o  <w  33'  x*V»  (8'  -  0)  =  K/    ^  -  (mb) 

.  YT sin  i 
u0  sin  23'  =  —  ^ — 

/  ist  stets  positiv  zwischen  0°  und  180°;  aus  den  Formeln  III  folgt  daher, 
dass  u0  und  Yp  gleichbezeichnet  sein  müssen,  also  YP  stets  positiv;  hieraus 
folgt,  dass  in  II  die  oberen  Zeichen  zu  nehmen  sind;  wenn  w<  180°  ist,  und 
die  unteren,  wenn  w  >>  180°  ist,  und  zwar  sowohl  in  dem  ganzen  Ausdrucke, 
als  auch  in  tang  (45°  dz  ^y),  weil,  wie  erwähnt,  Correspondenz  der  Zeichen 
stattfinden  muss.  Aus  der  dritten  Gleichung  (I)  folgt  aber,  dass  w  >  180°  ist, 
jenachdem  (80  —  0)  $  180°  oder  80  $  180°  «+■  0  ist,  d.  h.  je  nachdem  der 
kosmische  Ausgangspunkt  rechts  oder  links  (in  der  Nacht  westlich  oder  östlich) 
vom  Anthelion  liegt 

Die  Berechnung  von  </8',  erfolgt  dann  nach  den  Formeln  (16),  (17) 
und  (15). 

Als  Beispiel  soll  der  Fall  einer  parabolischen  Geschwindigkeit  mit  dem 
kosmischen  Ausgangspunkt  in  der  Ekliptik  genommen  werden.    Es  ist  dann: 

<*i  -  «>,  y  =  0, 

und  man  hat: 

aus    I:  i  =  0,  w  -  80  —  0 
aus  II:  Yp     de         cos  ±  w 
(stets  positiv;  die  oberen  Zeichen  für  w  <  180°;  die  unteren  für  w>  180°) 

aus  HI:  »'  =  0; 

,a,      _  sinw         c»  -i/~2    .  _  w 

«o^(e'-0)  =  --^-4-— p  ==F  yjiStntw+  arcl, 


u0  sin  (8'  -  0)  -  >£_i  -  ±  ]/l  W  *  «r  -  1 


(18) 


Aus  (16):    y=  l;    aus  (17):   I  =  ^|^;   II  =  l  y^Aw^  *«/;   m  -  0 
oder:    I  =  ±  —/==cos\w\  dz —==  sm  Iw. 

Y2H    J     R      ylÄ  * 

Aus  (15):   <f*93'  =  0; 

u0(dV  -<rO)  =  ±         *w (i  w  -  (8'  -  0)]  d®. 

Multiplicirt  man  die  Gleichungen  (18)  mit  cos(V  —  0)  und  *m(8'  —0)  und 
addirt,  so  folgt 

uo  -  =F  [|  w  -  (8'  -  O)]  -  ^      (8'  —  0)  -+•  ~-p<"(«'  -  0)- 

demnach 

m  =  T  70  "'"  *  •  _  (?'  -  0»  -  i '™  <8'  -  0> + <"  <8'  -  0)- 

Soll  der  Radiant  stationär  sein,  so  muss  </8'— 0  sein;  hieraus  folgt: 

(T  yö""*  •  +  i^r) (?' "  3) "  (* T  vh    * •) (8' "  0)  (I9) 


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Kometen  und  Meteore.  307 

Multipliern  man  diese  Gleichung  mit  uQ  und  setzt  für  u0  cos  (8'  —  0), 
*0  */*(?'  —  0)  ihre  Ausdrücke  aus  (18)  ein,  und  führt  die  Multiplikation  aus, 
so  erhält  man: 

cos\ w  -  ±  }X  VRV*        +  ^  =F  ^~  ~J,  s*t») 
oder  wenn  R  =  1      a  gesetzt  wird: 


2)/2        o)      .  , 


Das  zweite  Glied  hängt  von  der  Sonnenlänge  selbst  ab;  abgesehen  von 
diesem  Gliede  wird  daher 

für  cos        =  +         :  =   38°  56'5  (und  321°  3*  5) 

für  cos  \wx  =  —  ^jp :        a/,  =  321 0  3'5  (und    38°  56'5). 

Dass  das  obere  Zeichen  für  wx  <  180°,  das  andere  für  wx  >  180°  gilt, 
wird  hier  gegenstandslos,  da  die  auszuschliessenden  Werthe  in  Folge  des  Umstandes, 
dass  y  =  0  ist,  sich  mit  den  beizubehaltenden  decken. 

Ein  stationärer  Radiant  kann  also  in  der  Ekliptik  nur  auftreten,  wenn  der 
kosmische  Ausgangspunkt  ?0,  $0  die  Elongation  39°  nach  Osten  oder  Westen 
von  der  Sonne  hat.  Dann  ist  mit  Vernachlässigung  der  von  der  Excentricität 
der  Erdbahn  abhängigen  Glieder: 

y7=H-1/2w  19°  28* 

—  YH  cos  160  32;  logp  =  0  2499. 

Man  kann  8'  —  0  unmittelbar  erhalten,  wenn  man  für  sin  $  10,  cos  $  w  die 
Ausdrücke  aus  (18)  in  (19)  substituirt;  man  erhält  dann  nach  gehöriger  Re- 
duetion  und  Vernachlässigung  der  von  der  Excentricität  der  Erdbahn  abhängigen 
Glieder: 

sin  (8'  -  0)  _  «o 

und  aus  (18)  durch  Quadriren: 

«o  =  Y$  =F  2  föcos\w  =  -|/f . 

Es  ist  daher  u0  «=  0  57735;  —  0  =  35°  16'  oder  144°  44'.  Diese  beiden 
Werthe  entsprechen  den  beiden  kosmischen  Ausgangspunkten  wl,  wt\  es  ist 
aber  hieraus  nicht  ersichtlich,  wie  die  Werthe  zusammengehören.  Setzt  man 
aber  für  w  unmittelbar  in  die  Gleichung  (18)  ein,  so  sieht  man,  dass,  da  \fp 
positiv  sein  muss,  cos  (?'      0)  negativ  ist  für  w  <  180°,  dass  sich  daher 


fürgo-0=  38°56'5        8'  —  0  =  J44°  44'  \ 
für  g0  — 0=321     3  5         8'  —  0  =   35   16  |  * 


u0  =  057735 


entsprechen.  Der  zweite  scheinbare  Radiant  liegt  der  Sonne  sehr  nahe,  und  es 
können  daher  nur  äusserst  helle  Meteore,  die  aus  demselben  kommen,  gesehen 
werden ;  es  bleibt  also  nur  der  erstere,  der  aber  durch  einen  ganzen  Monat 
stationär  erscheinen  kann.  Für  denselben  kosmischen  Ausgangspunkt  ?0  330 
werden  sich  daher  auch  nach  den  verschiedenen  Sonnenlängen  verschiedene 
scheinbare  Radianten  8'  93'  ergeben;  es  ist  mithin  möglich,  dass  aus  ganz  ver- 
schiedenen scheinbaren  Radianten  kommende  Meteore  aus  demselben  kosmischen 


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208 


Kometen  und  Meteore. 


Ausgangspunkte  kommen  können;  dahin  gehören  z.  B.  die  auf  pag.  aoi  an- 
geführten Fälle1). 

Eine  genauere  Untersuchung  im  allgemeinen  Falle,  wenn  S30  nicht  Null  ist, 
ist  selbstverständlich  weniger  einfach  und  muss  hier  Ubergangen  werden.  Es 
zeigt  sich,  dass  kein  ausserhalb  der  Ekliptik  liegender  Radiant  stationär  sowohl 
in  Länge  als  in  Breite  bleiben  kann;  dass  aber  die  Veränderungen  sehr  klein 
sein  können,  kann  aus  der  folgenden  Tafel  von  v.  Niessl2)  ersehen  werden, 
welche  die  Verschiebung  im  grössten  Kreise  für  verschiedene  Elongationen 
und  Breiten  für  </Q  =  1°,  also  täglich,  in  Graden  ausgedrückt,  giebt. 


*j-o 

V 

90° 

1-20° 

150° 

©•  - 

o 

0 

0° 

0-45 

0-09 

20 

1*84 

0-66 

40 

2-2*2 

L« 

60 

317 

1-76 

80  | 

677 

377, 

0-63 


065 
070 
085 


091 
1  32  1  23  1-51 


0-43  0  13 


O-l5j0-33 
0-25 
036 
0-49 


036 
0-43 
049 

0  54|0  53jO  53  0  53 


Im  Pole  der  Ekliptik  ist  für  v  =  -|/2  2 
die  tägliche  Verschiebung        o©        0°  53 


0-43  0-50 
0-50 
0-51 
0-52 
0-53|  0-53 

25 
0°-42 


0-01 110-33 
0-33 


0-34 


041  |o-34  0-34 


006 

o-u 

0  33  0  23 


030 


3 

0°34. 


Die  Resultate  können  kurz  zusammengefasst  werden: 

1)  Die  Verschiebungen  werden  um  so  kleiner,  je  grösser  die  Geschwindig- 
keiten sind;  scheinbar  stationäre  Radianten  setzen  grosse  Geschwindigkeiten, 
daher  hyperbolische  Bahnen  voraus. 

2)  Die  kleinsten  Verschiebungen  finden  stets  in  der  Nähe  des  Anthelions, 
in  kleinen  Breiten  statt,  und  können  bei  grösseren  Geschwindigkeiten  selbst  in 
mittleren  Breiten  noch  durch  mehrere  Wochen  scheinbar  stationäre  Radianten 
ergeben. 

C.  Beziehungen  zwischen  Kometen  und  Meteoren. 

Sieht  man  von  jenen  historischen  oder  vielleicht  mehr  prähistorischen  Ver- 
gleichen der  Kometen  und  Meteore,  welche  beide  Klassen  von  Körpern  in  die 
Luftregion  versetzten,  ab,  so  treten  in  späterer  Zeit  zunächst  die  Vergleiche  von 
Kepler,  Cardan  u.  A.  entgegen,  welche  sich  auf  die  äusseren  Erscheinungen: 
die  Vergänglichkeit  derselben,  den  Glanz,  den  Schweif  u.  s.  w.,  stützen.  Chladni 
hatte  1819  die  Meteorite  als  Trümmer  einer  vergangenen  Welt  betrachtet;  dazu 
wurde  er  vornehmlich  durch  zwei  Gründe  veranlasst;  der  erste  Grund  war  darin 
gelegen,  dass  er  die  damaligen  Untersuchungen  über  die  Massenverluste,  welche 
die  Kometen  in  der  Sonnennähe  durch  die  Ausstrahlungen  in  den  Schweifen 
erleiden,  mit  dem  Vorhandensein  von  kleinen  Körperchen  im  Welträume  in 


')  Es  muss  jedoch  erwähnt  werden,  dass  man  hierbei  wesentlich  auf  Annahmen  Uber 
kosmische  Geschwindigkeiten  angewiesen  ist,  und  durch  Variation  dieser  Geschwindigkeiten  ent- 
sprechende Coincidcnzcn  her)  eifuhren  kann;  die  angeführten  Fälle  können  also  durchaus  nicht 
als  wirklich  rusammenßehöriR  erklärt  werden,  sondern  nur  als  unter  gewissen  Annahmen  Uber 

die  Geschwindigkeiten  möglicherweise  zusammengehörig. 
*)  L  c,  pag.  140. 


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Kometen  und  Meteore.  209 

einen  Zusammenhang  zu  bringen  versuchte;  der  zweite  Grund  lag  in  der  damals 
von  Olbers  angenommenen  Hypothese,  dass  die  vier  bis  dahin  entdeckten 
kleinen  Planeten:  Ceres,  Pallas,  Juno  und  Vesta  Trümmer  eines  grösseren  Welt- 
körpers wären1).  Auch  die  bereits  erwähnte  Meinung  von  Laplace,  dass  die 
Meteoriten  Satelliten  der  Erde  wären,  gehört  hierher. 

In  diesem  Stadium  der  Vermuthungen  blieben  die  Beziehungen  zwischen 
den  Kometen  und  Meteoren  lange  Zeit,  ohne  dass  man  auch  nur  den  ge- 
ringsten Beweis  filr  diese  Zusammengehörigkeit  gehabt  hätte:  die  früher  be- 
kannt gewordenen  Theilungen  von  Kometenkernen,  mehrfachen  Kernen,  blieben 
vergessen  oder  doch  wenigstens  unbeachtet. 

Die  erste  auffällige  Erscheinung,  welche  eine  Bestätigung  dieser  Ansicht  zu 
enthalten  schien,  war  die  im  Jahre  1846  beobachtete  Theilung  des  BiELA'schen 
Kometen.  Als  derselbe  in  den  beiden  folgenden  Periheldurchgängen  1859  und 
1865  nicht  zu  sehen  war,  war  die,  ebenso  unerwiesene  Vermuthung  naheliegend, 
dass  weitere  Theilungen  stattgefunden  hätten  und  die  Theile  sich  in  irgend 
einer  Weise  im  Welträume  weiterbewegten,  als  Meteorschwärme,  ähnlich  den 
Perseiden  und  Leoniden. 

Auch  die  Frage  nach  der  Berechnung  der  Bahnen  der  Schwärme  war  ihrer 
Lösung  noch  nicht  weit  entgegengetreten,  und  nach  den  ersten  Rechnungen 
Erman's  über  die  Perseiden  wurde  lange  nichts  wesentliches  hinzugefügt.  Erst 
Schiaparelli  war  durch  seine  weiteren  Untersuchungen  unter  der  Voraussetzung 
des  kosmischen  Ursprungs  der  Meteore  auf  die  parabolische  oder  der  paraboli- 
schen ähnliche  Bewegung  der  Meteore  um  die  Sonne  geführt  worden,  und  hatte 
im  Jahre  1866  unter  dieser  Voraussetzung  die  Bahn  der  Perseiden  berechnet. 
Dass  aber  nicht  auch  diese  Rechnung  resultatlos  verlief,  hat  wohl  hauptsächlich 
darin  seinen  Grund,  dass  vier  Jahre  vorher  der  für  die  Meteorastronomie  deshalb 
vielleicht  als  epochemachend  zu  bezeichnende  Komet  1862  III  beobachtet 
worden  war.  Die  um  dieselbe  Zeit  publicirten  Resultate  von  v.  Oppolzer  über 
diesen  Kometen  ergaben  Elemente,  deren  Aehnlichkeit  mit  seinen  Elementen 
der  Perseiden  Schiaparelli  auf  den  Gedanken  eines  Zusammenhangs  des  Stern- 
schnuppenschwarmes der  Perseiden  mit  dem  Kometen  1862  III  brachte.  Die 
Resultate  waren: 

Elemente  der  Perseiden  nach  Schiaparelli   Elemente  d.  Kometen  (224)  (1862  III) 

Radiant:  «'  =  44°,  S>'  =  +  56°;  .  rx 

xt  j    tt«  £.  i   1  a  '  „.  nach  v.  Oppolzer 

Maximum  der  Häufigkeit  August  10'75 

Durchgang  durch  das  Perihel:  Juli  23  62  T=  1862  August  22  9 

Durchgang  durch  d.  niedersteigenden  Knoten : 

August  10-75  ~~ 

it  =  292°  54'  ic  =  290°  13' 

ft  =  138  16  ß  =  137  27 

1=  115  57  /  =  113  34 

q  =  09643  q  —  09626 

U=  108  Jahre  U=  1215  Jahre. 

Mit  der  Periode  von  108  Jahren  war  Schiaparelli  auf  die  Identität  der 
bereits  von  H.  A.  Newton  erwähnten  älteren  Erscheinungen  (vergl.  pag.  185)  ge- 
führt, denen  er  noch  die  Erscheinungen  von  1029,  1779,  1784,  1789  hinzufügte. 


')  Ueber  Feuenneteorc,  pag.  412. 


14 

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2IO 


Kometen  und  Meteore. 


Schiaparelli  und  gleichzeitig  Le  Verrier  hatten  überdies  die  Bahn  der  Leoniden 
berechnet  —  und  im  selben  Jahre  noch  erschien  der  zweite  in  dieser  Richtung 
denkwürdige  Komet  (238),  dessen  Elemente,  von  v.  Oppolzer  berechnet,  von 
C.  W.  F.  Peters  sofort  als  mit  denjenigen  des  Schwarmes  der  Leoniden  identisch 
erkannt  wurden.    Die  Resultate  waren: 

Elemente  der  Leoniden  nach  Schiaparelli1)  Elemente  des  Kometen  (238)  (1866 1) 


H.  A.  Newton  hatte  schon  früher  gefunden,  dass  die  Knotenbewegung  des 
Schwanns  jährlich  l'*711  direkt  ist;  indem  auf  die  Präcession  0**837  entfällt, 
verbleibt  eine  direkte  Knotenbewegung  von  0'*874;  dass  der  Schwärm  eine 
retrograde  Bewegung  besitzt,  ergab  sich  übrigens  aus  der  Bahnbestimmung  von 
selbst,  und  so  schloss  Le  Verrier'),  dass  der  Schwärm  nicht  immer  dem  Sonnen- 
system angehört  haben  könne;  da  nun  die  einfache  Sonnenattraction  unter 
allen  Umständen  die  Bahn  eines  aus  dem  Welträume  kommenden  Körpers 
immer  in  eine  hyperbolische  Bahn  lenkt,  so  kann  nur  durch  die  störende 
Wirkung  eines  Planeten  diejenige  Aenderung  seiner  Geschwindigkeit  stattgefunden 
haben,  welche  seine  Bahn  in  eine  elliptische  Form  brachte,  und  Le  Verrier  fand, 
dass  diese  störende  Wirkung  auf  den  Novemberschwarm  im  Jahre  126  n.  Chr. 
Geb.  durch  Uranus  stattgefunden  haben  müsse.  Dieser  Schluss  wurde  nun  durch 
die  bald  darauf  gefundene  Beziehung  zu  dem  Kometen  (238)  stark  erschüttert; 
allein  ehe  weitere  Schlüsse  gezogen  werden,  muss  die  im  Jahre  1899  statt- 
findende Wiederkehr  des  Kometen  abgewartet  werden. 

Es  war  schon  früher  erwähnt  worden9)  dass  Newton  für  den  Schwärm  an 
der  Umlaufszeit  von  nahe  einem  Jahre  festhielt;  er  nahm  für  dieselbe  354*62  Tage, 
sodass  34  Umläufe  des  Schwarmes  nahe  gleich  33  Umläufen  der  Erde  wären. 
Um  über  die  Richtigkeit  der  einen  oder  anderen  Annahme  zu  entscheiden,  be- 
rechnete nun  Adams  die  Secularstörungen  des  Kometen  durch  Jupiter,  Saturn 
und  Uranus  nach  der  GAUss'schen  Metbode;  die  Störungen  müssen  natür- 
lich verschieden  sein,  wenn  die  Umlaufszeit  nahe  1  Jahr  oder  wenn  dieselbe 
33  Jahre  ist;  die  Rechnung  ergab  eine  Bestätigung  der  letzteren  Annahme, 
indem  sich  mit  dieser  die  Secularstörungen  für  die  Dauer  eines  Umlaufs 
(33£  Jahr)  durch  Jupiter  20',  durch  Saturn  74/,  durch  Uranus  14/,  zusammen  29', 
also  jährlich  0'*872,  übereinstimmend  mit  den  Beobachtungen  ergab4). 


')  Die  Resultate  von  Le  Verrier  (Compt.  rend.  Bd.  64,  pag.  248)  sind  gam  ähnlich,  nur 
in  der  Neigung  findet  sich  eine  stärkere  Abweichung. 
3)  Compt.  rend.  Bd.  64,  pag.  94. 

*)  Vergl.  pag.  180;  die  Elemente  von  Le  Verrier  und  Schiaparelli  gründen  sich  auf  die 
Voraus  sctiung,  dass  die  Umlaufsrcit  3  4  Jahr  wäre,  aus  welcher  die  Geschwindigkeit  folgte. 
*)  Compt.  rend.,  Bd.  64,  pag.  651. 


Radiant:    V  =  143°  12',    33'=  10°  16'; 
Maximum  der  Häufigkeit:  Nov.  13,  13*  11*" 


nach  v.  Oppolzer 


7  =  November  10092 
it  =    46°  30'*5 
ß  =■  231  28*2 
i  =   162.  15*5 
q  =  0-9873 
e  =  0*9046 
a  =  10*340 
*/=  33*25  Jahre 


r=  Januar  11-160 
ic—  42°24'*2 

ß  =  231  26  1 

i—  162  41-9 

q  =  0*9765 

e  =  0*9054 

a  =  10-324 

U  =  33  176  Jahre. 


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Kometen  und  Meteore. 


Sil 


Im  folgenden  Jahre  (1867)  berechnete  Galle  die  Elemente  der  Lyraiden; 
bald  nach  dem  Erscheinen  des  Kometen  (220)  hatte  Pape  auf  die  ungemein  grosse 
Annäherung  des  Kometen  an  die  Erde  aufmerksam  gemacht1).  Nach  den 
definitiven  Elementen  von  v.  Oppolzer  ergiebt  sich  diese  Entfernung  zu  0*0022  Erd- 
bahnhalbmessern, im  aufsteigenden  Knoten,  dessen  Länge  30°v  also  der  Stellung 
der  Erde  am  20.  April  entspricht  Hiermit  war  der  erste  Anknüpfungspunkt  für 
die  Beziehungen  zwischen  den  Lyraiden  und  diesem  Kometen  gegeben,  und  in 
Her  That  ergab  die  Rechnung  eine  Uebereinstimmung  der  Bahnelemente. 
Diese  sind: 


Elemente  der  Lyraiden  nach  Galle 

Radiant     =  2810  6,  23'  =  -+-  57  °  0 
ir=  236° 
ß  =  30 
/  =  89 
log  q  =  9  980 
loga  =  1-746 
e  =  0-9829 


Elemente  des  Kometen  (220)  (1861I) 

nach  v.  Oppolzer 
k  =  243° 
ft  —  30 
i=80 
log  q  =  9-964 
bga  =  1-746 
e  =  0-9835 


Der  im  Jahre  1836  von  Humboldt  und  Herrick  erwähnte  Strom  vom 
6.  December  hatte  sich  1847  wieder  am  6.  December  wiederholt;  ausserdem  wurde 
dann  1839  ein  spärlicher  Fall  (nur  12  Sternschnuppen)  aus  demselben  Radianten 
am  27.  und  29.  November  von  Capocci  beobachtet;  ebenso  1850  zwischen 
dem  26.  und  29.  November  von  Heis;  1852  November  28  und  1866  November  30 
von  Herschel  und  1867  November  30  von  Zezioli.  1872  und  1885  traten  am 
27.  November  ausserordentlich  reiche  Sternschnuppenfälle  auf,  und  endlich  1892 
dieses  mal  wieder  mit  4  Tagen  Verfrühung  (am  23.  November). 

1867  wies  nun  d'Arrest  auf  den  Zusammenhang  dieses  Schwanns  mit  dem 
BiELA'schen  Kometen  hin  (daher  der  Name  Bieliden),  welcher  seit  1852  ver- 
schwunden war.   Auf  pag.  199  ist  für  diesen  Kometen  der  Radiant  aus  den 
Elementen   berechnet;    der  Radiant  der  Andromediden  ist:    «'  =  24°,  2)'  = 
44°,  also  sehr  nahe  der  dort  gefundene  Radiant. 

Es  muss  hier  noch  darauf  aufmerksam  gemacht  werden,  dass  die  Schwärme 
nicht  an  einem  einzigen  Tage  erscheinen;  Corrigan  rechnete1)  für  die  er- 
wähnten vier  Schwärme  die  folgenden  Bahnen  mit  den  den  verschiedenen 
Tagen  entsprechenden  Radianten: 

Lyraiden. 


Scheinbarer 
Radiant 

Wahrer 
Radiant 

April  18 
«'«W-O;  $'=+33°-5 

«=210-5;  $=+55-7 

April  19 
«'=-267°0;  S>'=+83°0 

«=222-9,  $=+581 

April  20 
«'=274°-0;  ®'=-r-38°-5 

«=233-8;  35=4-61-0 

Komet 
1861I 

1t 

A 

i 

1 

255°  42' 
29  5 
71  21 
0-8478 

248°  54' 
30  4 
77  29 
0-8944 

240°  34' 
81  3 
81  29 
0-9402 

243*42' 
30  16 
79  46 
0-9270 

Astron.  Nachrichten,  Bd.  55,  pag.  206. 
*)  Sidereal  Messenger,  Bd.  5,  pag.  146  und  147. 

14* 


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212 


Kometen  und  Meteore. 
Perseiden. 


Scheinbarer 
Radiant 

Wahrer 
Radiant 

Juli  26 

«'=  27°0;2>'=4-556-0 
«  =859-1;  $=4-81-3 

August  10 
3l'=45°-0;  $'=+57°0 

«=85-2;  ®  =  4-838 

August  19 
«'=  68°-0;  ®'=.+57°-0 

««=114-8;  $=4-78-5 

Komet 
1862 

m 

a 

274°  27' 
124  4 
109  56 
09491 

290°  49' 
188  26 
114  11 

09555 

Leoniden. 

282°  35' 
147  5 
117  7 
0-8664 

290° 32' 
137  46 
113  34 

0-9626 

Scheinbarer 
Radiant 

Wahrer 
Radiant 

November  13 
1H'=148o0;®'=4-23o0 

«1=150  8;  ®  =+28-9 

November  14 
«'=149°0;  $'=+21°-0 

21  =151-5;  ©=4-26-3 

November  16 
«'=150°-0;S>'=4-22°-0 

U  =151-8;  $=4-28-5 

Komet 
1866  I 

TT 

a 

i 

1 

49°  32' 
281  50 
164  17 

0-9884 

50°  5' 
232  49 
166  21 

0-9882 

57°  22' 
284  50 
164  11 

0-9876 

42°  24' 
231  26 
162  42 
0-9765 

Andromediden. 


T. 

a 

1 


108°  16' 
245  67 
13  8 
0-8578 


108°  58' 
246  53 
12  33 
0-8606 


In  wieweit  die  Veränderlichkeit  desselben  Radianten  innerhalb  dieser  wetten 
Grenzen  thatsächlich  den  Beobachtungen  entspricht,  lässt  sich  allerdings  durch 
den  blossen  Anblick  nicht  constatiren,  und  mtisste  Gegenstand  einer  besonderen 
Untersuchung  sein. 

Seilher  sind  noch  eine  grosse  Zahl  von  Kometenbahnen  mit  Radianten  ver- 
glichen worden.  Eine  ausführliche  Zusammenstellung  gab  H  er  sc  h  EL  1878 l), 
welche  im  folgenden  abgekürzt  wiedergegeben  wird. 

In  der  ersten  Columne  ist  der  Name  des  Kometen  in  der  üblichen  Bezeichnung 
in  der  zweiten  das  Zeichen  ß  oder  V  je  nachdem  er  sich  im  aufsteigenden  oder 
niedersteigenden  Knoten  der  Erde  stark  nähert,  nebst  der  Entfernung  der  Bahnen 
in  Einheiten  der  Erdbahnhalbaxe,  positiv  oder  negativ,  je  nachdem  der  Komet 
innerhalb  oder  ausserhalb  der  Erdbahn  vorbeigeht;  in  der  dritten  und  vierten 
Columne  das  Datum,  zu  welchem  sich  die  Erde  in  dem  Knoten  der  Kometen« 
bahn  befindet,  nach  welchem  die  Reihenfolge  angeordnet  ist,  und  der  aus  den 
Elementen  berechnete  Radiant  $(\  in  der  fünften  Columne  die  diesem  Datum 
entsprechenden  Daten  von  Sternschnuppenfällen;  in  der  sechsten  Columne  der 
Radiant  $f,  und  in  der  letzten  Columne  die  Berufung  auf  den  Beobachter 
oder  das  Radiantenverzeichniss.    Dabei  bedeutet: 


')  Monthly  Notices,  Bd.  38,  pag.  369. 


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Kometen  und  Meteore. 


C:  Corder  Hk:  Herrick 

D:  Dknza  N:  Neumeyer 

Dt:  Denking  Sch:  Schmidt 

Df:  Radianten  von  TuPMANN'schen  und  T:  Tupmann 

anderen  Meteorbahnen  nachDENNiNG  GH:  Katalog  von  Greg  und  Herschei. 

Gr:  Gruber  HN:  Katalog  von  Heis  und  Neumeyer 

H:  Heis  SZ:  Katalog  von  Schiaparelli  nach 

Beobachtungen  von  Zkzioli. 


Name 

Erdnahe 

Komet 

1 

1 

Meteore 

Autorität 

Datum 

Radiant 

Datum 

Radiant 

179a  n 

°J-r-007 

Januar  5 

194° +24°  5 

Januar  11  — 12 

4-3" 
t-25 

183°  4-  28° 
180°  4-  35° 
183°  4-  36° 

S.  Z. 

T. 
G.  H. 

1860  I\ 

f\              A  Alf 

4i  —  0045 

Januar  6 

187°—  22° 

Januar  \ 
Februar ( 

188°  —  26° 

D,.  T. 

184O  I 

ft-0-04 

Janaar  20 

128°-5-28°f» 

Januar  5 

»» 

145°—  25° 
145° —40° 

T. 
H  N. 

1746 

?J  4-0-07 

Januar  16 

60°  4-  40° 

Januar  28 

67°  4-  25" 

S.  Z. 

Decemb.  20  (?) 

65°  4-  20° 

Februar  6 

G.  H. 

1759  in 

ft—  005 

00 

Januar  19 

210°-  15° 

Januar  5—  1 1 
Februar  3-10 

210°—  6° 

T. 

219°-  23° 

T. 

Februar  17 

0100     1  *>  0 

£10 —  lO 

T. 

Januar  I 

204° —  10° 

D,.  T. 

; 

Februar  \ 

210°-  13° 

Dr 

1672 

Januar  20 

256°  4-  20° 

Januar ')  \ 

251°4-23° 

1857 1 

°J-r-0-03 

Februar  2 

261  °+  23° 

Februar  / 

D,. 

1833 

°J+0"04 

Januar  27 

185°  4-  25° 

Januar  28—  31 
3* 

135°  bis  140°; 
4-  40° 
134°  4-  40° 

G.  H. 
S.  Z. 

1833") 

OO  A*01 
U  —  ü*3fl 

Februar  12 

144  +  a4 

Februar  3 
..  13 

153°  4-  21° 
133°  4-  26° 

s.  z. 
s.  z. 

1718 

ft  4-0-04 

Januar  29 

208°-5  -  31° 

Februar  3 — 10 
Jan.  —  Febr. 

198°—  22° 
213°—  32° 

T. 
D,.  T. 

1699 1 

ü  +  0-12 

Februar  14 

266°  4-  9° 

Februar  13  3) 

260°  0° 

T. 

1797 

?j4-0-27 

Februar  18 

211°+  9° 

Februar  13 
März  2—3 

205°  4-  4° 
209°  4-  18° 

T. 
T. 

184s  m 

?J4-O06 

Februar  26 

283°-4°-5 

Februar  10 

290°-  12° 

T. 

1746 

tf-0-03 

Februar  25 

33°  4-  33°-5 

Februar  20  \ 
bis  März  l  J 

33°  4-  36° 

* 

Dr 

1231 

y+o-06 

März  10 

32°  4-  31° 

Februar  bis! 
März  12  J 

28°  4-  35° 

D,.  S. 

1590 

ft-0-30 

März  8 

275°-  38° 

März  7*) 

270°  -  22° 

T. 

»)  Weiter  entfernt  ist  der  Radiant  für  den  Kometen  1863  V      Januar  24;  272°  4-  25° 
und  für  den  Kometen  1810  «tf  Januar  29:  277°  4-  21°. 
*)  Mit  Verschiebung  des  Knotens. 

3)  In  der  Nähe  noch  filr  Februar  13—15  die  Radianten  Air  die  Kometen  1858  IV,  272° 
4-  18°,  und  1799  II:  264°  4-  17°. 

4)  In  deT  Nähe  die  Radianten  für  den  Kometen:   1506  Q,  4-  043;  Februar  6;  2CG°  5— 37° 
und  für  den  Kometen  1877  I      —  0*185;  März  27:  273°—  40°. 

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214 


Kometen  und  Meteore. 


Name 

Komet 

Meteore 

Autorität 

Erdnähe 

Datum 

|  Radiant 

Datum 

Radiant 

1864  V 

tJ  +  0-115 

Märt  1 

250°-5-12°-5 

Mar*  T 

235°—  15° 

T. 

Märt  3—25 

247°-  3° 

S.  Z.,  G.  H. 

1862  IV 

tJ  — 0013 

Märe  16 

249°-5+l° 

Märt  7 
Märt  14,  15 
Märt  2 — 7 

246°  0° 
266°+  6° 
246°  4-  16° 

T. 
T. 
T. 

1 00  j 

00  u" 

MHrz  16 

IVA  cU£   1  W 

907°  4Ä0,/i 

Märt 
Märt  Ii — 19 

192°—  38° 
203°5— 30°-5 

H.  N. 
T. 

I763 

TJ-t-UUZ 

.ti.irz  1  0 

Ol*    O^&l  0 

Märt  15  bis  l)l 

30*>°  -4-  37° 

G.  H. 

t*nn  TTT 

Auril  ~* a 

319°  4-  19° 

April  20  ( 

1550 

Mir.  In 

fwlMTZ  ty 

1  U  iD 

März 

174°  —  30° 

H.  N. 

1264 

ft-  0  02 

Märt  25 

182  °-5-  28° 

1877  I 

ß- 0-185 

Märt  27 

273°  -  40° 

April 

280°  -  38° 

H.  N. 

961 

9J+0-27 

Märt  23 

308°  -f-  12° 

:  Märts)  1  — 19 

oOr-5-4-  12°-5 

D,. 

1857  v 

ty  — 0-28 

April  4 

302° -f-  11° 

3A4.0  -1-  12  0 

D,. 

1847 1 

-  0  95 

April  Ii 

231°-5-r-  27° 

April  13 
März  27— Mai  22 

Mär*  1  **       A  r»  «>n 

April  11—30 

9Q1  0  _1_  07° 

234°  4-  29° 
223°  -1-  40° 
241°'54-24°-5 

S.  Z. 
S.  Z. 
G.  H. 
Di- 

April  12  bis 

235  bis  240° 

G.  H. 

Juni  30 

April  1  —  13 

235°  4-  25° 

D  •  S 

1830 1 

ß-0-08 

April  15 

U6°-5-  36° 

April 
März 

126°— 42° 
125°  -  38° 

H.  N. 
H  N 

1743  n 

tf  — 0-80 

Märt  26 

290°+  l°-5 

Man  25*)  bis  1 

290°—  10° 

G.  H. 

180g  III 

-  0  27 

April  15 

307°  +  4° 

April  30  j 

1861 1 

4-0-01 

April  20 

270°D4-  32° 

April  19 — 21 
April  20 — 22 

277° -f-  34° 
272°  4-  32° 

Lyraiden 
D,. 

1748  II 

?J—  011 

April  22 

255°-5+27°-5 

April  23 
April  2£ 
Märt  15—  Ap.23 

o^n0  _l  tn  0 
i50U  ■+■  w 

260°  4-  24° 

268°  4-  25° 

S.  Z. 

s.  z. 

G.  H. 

April  I— 13 

255°  4-  27° 

D,;  S. 

1844  n 

9J-008 

April  21 

288°-54-  5° 

April  19—23 

287°+  22° 

Dj. 

Mai  2  | 

285° -f-  12° 

T. 

298° -f-  5° 

T. 

tflei  TT 

1053  11 

Op   (\-fY7 

XJ  —  UTJl 

April  19 — 27 

286°  4-  5° 

rj 

ur 

1737  I 

ft—  0-13 

April  12 

Mai 

Märt  20 -Mai  29 

223°-  12° 
227°—  5° 

SCH* 

G.  IL 

8371 

1835  III 

ft-f-0-03 
y  — 0-06 

Mai  1 
Mai  4 

334°-5-  16° 
337°  0 

Apr.  30  bisl 
Mai  2,  3.  i 

326°  —  2°-5 

T. 

1618  III 

y  4-010 

Juni  10 

273°-5  4-  0°-5 

Juni  10—13 

273°—  3° 

D,;  S. 

Juni 
Juni 
Juni 

282°—  3° 
266°-  12° 
269°-  11° 

SCH. 
SCH. 

H.  N. 

')  In  der  Nähe  auch  die  Radianten  für  die  Kometen  1845  I  und  1854  V  (Februar  13 
u.  25)  und  für  die  Kometen  1580  u.  1784  II  (April  12  u.  26). 

3)  In  der  Nähe  auch  die  Radianten  für  die  Kometen  1763  (Märt  18);  961  (Märt  23); 
1857  V  (April  4)  u.  1825  I  (April  9). 

3)  In  der  Nähe  auch  der  Radiant  für  den  Kometen  1790  III  (April  24):  319°  4-  19°. 


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Kometen  und  Meteore. 


Name 

ErdnShc 

Komet 
Datum 

|  Radiant 

Meteore 
Datum       1  Radiant 

A.  u  1 0  n  t  Ü  t 

1781  I 

ty— 019 

Juni  14 

338°-+-  57° 

Mai  26  — Juni  13 
Mai  1— 31 
Juni 

837°  4-  59° 
325°  4-  55° 
333°  4- 42° 

D,.;  S. 
H. 
H. 

1850 1 

y  +  0-065 

Juni  24 

312°-54-60°-5 

Mai  26— Juni  13 
Juni  1 1  —  Juli  1 1 
Juli  1  — 15 
Juli  16—31 
Juli  8 
Juli  13 

312°  4-  68° 
315°  4-  60° 
316°  4- 54° 
320°  4-  70° 
288°  4-  64° 
338°  4-  65° 

Dl.;  S. 
G.  H. 

H. 

H. 
S.  Z. 
S.  Z. 

18640 
1864  II1) 

ty  0  00 
y-o-05 

Juni  20 
Juni  27 

8°+  5° 
12°  4- 6° 

Juli 
Juli 
Juli 

7°  4-  4° 
18°  0° 
0°4-  17° 

SCH. 
SCH. 

1822  IV 

y  4-014 

Juni  25 

348°-54-  28° 

Juli 
Juli  18 

345°  4-  25° 
342  °  4-  23° 

SCH. 

S.  Z. 

1822  m 
177**  11 

ty  4-0-11 

jj  —  UTjy 

Juni  30 

Juli  13 

342°  4-  14° 

04  riO    1  100 

Juni  1  — 13 
Juni 

Juni  28 
Juni  29  bisl 
August  24  J 

Juli  1-6 

343°  4-  16° 
335°  4-  10° 
338°  4-  13° 
330°  bis  345° 
4-  14° 
337°  4-  1° 

D,.;  S. 

SCH. 

T. 
G.  H. 
C. 

770 

^  4-0-20 

Juli  8 

89°  4- 45° 

Juni  1  — 13 
Juli  6—20 

35*4-47° 
36°  4- 47° 

Dr;  S. 
D,. 

1770 1 
1770 11) 

ü-r-002 
tf  — 022 

Juli  8 
August  6 

276°-  21°  ö 
283°  —  20° 

Juni  29  bis  Juli  6 
Juli  —  August 
Juli  18  bis  1 
August  31 1 

283°-  13° 
266°-  12° 

285°-  25° 

T. 

SCH. 
SCH. 

•  m  <•%  m  TT 

1737  II 

U  -  UVZO 

Juli  29 

17594-  71° 

Ende  Juli 

165°  4-  62° 

*  »  •      m-f  • 

G.  H. 

568 
568') 

ß-0-01 
ß-0-06 

Juli  23 
August  5 

262°-5  -  33° 
259°  -  36° 

Juli 
Augu't 
August 

258° -  20° 
250°-  35° 
266° -42° 

N. 

N. 

SCH. 

1764 
t862in 
1870  I 

ü-011 

°j4-002 
TJ4-0-03 

JuK  25 
August  10 
August  12 

49°4-45°-5 
43°4-57°-5 
48°-54-  53° 

Juli  12—20 

Aufruit  7—12 

47°  4- 45° 
44°  4-56° 

D. 
PerseYden 

1853  m 

tJ-0-69 

August  12 

299°  4- 80° 

Juli24—AUg.II 

Ulli  16  —  Auff.  ti 

Juli  28  —  Scpt  10 

r 

August  10  —  22 

315°  4-  87° 
ol  5  4-  84  5 
359  °  4-  89° 
270°  4-  83° 

S  Z. 

H. 
G.  H. 

T. 

1877 11 

a  +  0-30 

August  9 

32°  - 18°-5 

August  1— 12 

26° -  6° 

SCH. 

1852 11 
1827  n 
1858 

£4-0018 
ß-016 

ft-011 

August  10 
August  11 
August  26 

40°-5-13°-5 
48°—  8° 
65°—  22° 

i 

August 

1 

55°  -  18° 

SCH. 

0  Mit  geändertem  Knoten. 


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2l6 


Kometen  und  Meteore« 


Name 


Erdnahe 


1862  II 
1862  II1) 
>746a) 


1780  II 


1808  II 
1797 
1596 
1845  HI 
1854  IV 


1858  VI 

1763 
961 

1769 
1769«) 


1683 
1830  III 

1847  VI 

1723 


1825  n 

1580 

1779 
185011 

1842 11 
1848 1 


t?- 0-025 

ty  +003 

a+o-03 


y  -  018 


Datum 


Radiant 


Meteore 
Datum  Radiant 


August  7 
August  19 
August  22 


August  14 


ß+007 
ft-009 

a  ~  0  25 
Sl  ~  0  36 
&+002 


y-o-29 

A-003 
ft-0-03 

tf+0-78 
15—  002 


W +0-175 
tf-015 
IS  —  0-265 
ft  +  0065 


ft+;oi8 
a  -  002 

tf-O-22 

y— ou 

y  —  0-23 


August  16 
August  23 

August  27 
August  31 
September  10 


September  8 

September  20 
Septb.  26,  27 

September  19 
September  28 


September  19 
September  30 

October  4 

October  9 


October  7 

October  16 

October  19 
October  19 

October  21 
October  25 


41°  +  11°-5| 
47°-5+  13°  ! 
57°+  21° 


August  10 
August  4,  22 
August  3—15 
August  3 — 12 
August  20—25 
Septemb.  3—30 

3°-5+  38°  5  Juli  28  — Sept.  3 
.  August  2  —  1 1 
Juli  27— Aug.  23 
August  8 — 13 
August  1  — 31 

August  29 
August  31 

August 
August  20 — 25 

September 
Septemb.  3—27 


47°+  18° 
40°+  30° 
55°  +  26° 


89°  +  6° 
92°-5  0° 

49°-  9° 
47°-5-  6° 
53°-  16° 


100° +  59° 

44°-5-  24° 
62°—  13° 

17°-5+  18° 
24°-5+17°-5 


Aug.,  Sept.Octb. 
Septb.  1— 15 


145°+49°-5 
172°-5+  68 

54°+52°-5 

112°-5-  7° 


134° +77° 

61°-7(° 

39°-29°-5 
2°+  54° 

81°+  57° 
78°  +  60° 


Septb.  13—15 
Septb.  3—27 

Septb.  1  — 10 

Sept  17  bis 
Oct.  21 

September 


Octb.  I  — 15 

October 
Octb.  11— 16 
October  14 

Octb.  1— 15 
Sept.20-Oct.29 

Octb.  5—6 
Octb.  12,  13 

October 

Octb.  22—28 
Octb.,  Novemb 

September  28 
Octb.  14 — 25 

c  .  .„    M         83° bis  92°; 
Sp..i7-Nov.24+5()0bis  550 


October  15,  16 


55°  +  7° 
53°+  1° 
51°+  14° 

Ibisl5°+36 
10°+  42° 
7°  +  32° 
2°+  29° 
11°+  30° 

78°  +  23° 
85°-  15° 

53°+  1° 
53°+  1° 
55°-  6° 
66°—  22° 

101°  +  57° 
99° +57° 

40°  -  8° 

65°+  6° 
66°—  22° 

17°+  9° 
21°+  18° 

15°+  11° 

142°+  67° 

51°  +  61° 

115°-  10° 
107°1  —  2°-5 
110°+  6° 

105° +  81° 
161°+84° 

54°-  14° 
76°-5  -  10° 

40°-  30° 

5°  +  53° 
15°+  52° 

83°+  54° 
90°+  58° 


Autorität 


86°+ 45° 


S.  Z. ;  T. 
T. 
G.  H. 

SCH. 
Seil.;  T. 

SCH. 

G.  H. 

D. 

T. 
D.;  T. 
Sch. 

T. 
T. 

SCH« 

T. 

SCH. 
SCH. 

Dx;  T.,  S. 
D,;  S. 

Sch. 
T. 
Sch. 
Sch. 
Sch. 

D,. 

Sch. 

H. 

Sch. 
T. 
T. 

H. 

Di- 
T. 
T. 

Sch. 

Sch. 
D,. 

S.  Z. 
D,. 

G.  H. 

T. 


')  Mit  geändertem  Knoten. 

a)  Nkwton  hat  hier  irrthUmlich  1864  II. 


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Kometen  und  Meteore. 


"739 


«757 
«757 ') 


1857 IV 
1695 


1864  IV 
1097 

837  I 


1582 


1821 


1866  I 


1813I 


1852  III 


1702 


1798  II 


ty+008 

tf-O-33 


tf-012 


October  8 
Octobcr  29 


October  14 
November  1 


tf+ 0-045     October  16 


-  0  0G 
tf-f-O-34 


V  00(?) 


November  1 
November  4 


November  9 


ft  +  0-03  Novembern 


V-  0015 


ft-  0-30 


ü  4- 0005 


November  13 


November  24 


November  28 


ü-007 


tJ-014 


November  27 


Dccember  2 


209o-5+42o-.r) 
205°  +  48° 
l04°-5  +  27° 


Octb.  3  —  20 
November  7 
19°-5+19°  |     October  17 
30°+2G°      Octb.  19-27 
November  3 
Nov.  9-10 

278°  -f-  53°  Isept.  17-  Oct.25 
318°  +  53° 

Nov.  1-  13 

Nov.  7-25 
Nov.  1  — 15 

Nov.  13— Dec.io 
Nov.21— Dec.20 
Octb.  20 — 26 
Octb.  22  —  27 
Octb.  21  —  25 
Octb.  18—27 
November 
Oct.25— Nov.  23 
Nov.  16,  17 

Octb.  16—31 
Oct.  19— Nov.  10 
October  24 
November  10 
Octb.  10 — 27 
November 
Nov.  7—17 
Nov.  7—10 

Oct.  17- Nov.  13 
Octb.  10 — 27 
Octb.  18—27 
Nov.  20 —  Dec.  8 

Nov.  13,  14 
Nov.  19,  20 

Nov.25-Dec.21 


89°  +  36° 


8(.; 


:° 


19°-5 


150°-5-r-23°-5 
147°  0° 

23°-4-r-43° 


56° +  20° 


162°+34°-5 


December 
November  27 


142°+  44° 
160°  +  40° 

24°-f-2ß°-5 
33°+  21° 
30°  4-  22° 
23°+  10° 
317°  4-  57° 
282°+  57°  1 
307°H-53°I 
299°  4-  50° 
279°  4-  56° 
201  °+  44° 
208°  4-  43° 
99°  +  26° 
109°-5  +  25  0,2 
111°  ■+•  29° 
108°  +  12°l 
113°  +  14°i 
110°+  23° 
106°  4-  23° 

72°  -+-44° 
71°  +  43° 
77°  +  45° 


87°  +  47 
71°+  31° 


82°  +  45 
75°  +  45° 
86°  86° 

90°  +  15° 
79°  +  13° 
93°  +  17° 
80°  4-23° 

149°  +  23° 
149°  +  22° 


Autorität 

G.  II. 
T. 

Gr. 

Sch. 
T. 
C. 

Sch. 

H. 
IV 

Hk. 
Gr. 

S.  Z. 

Sch« 

Dr 
C. 
H. 
D. 

s.  z. 
s.  z. 

Sch. 
C. 

G.  11. 
Sch. 
Sch. 
D,. 

Leo  rnden 


i  - .  „  1    148°  ■+■  2° 
Oct.31_Dec.12  134° +  6°        G.  H. 

•46°  +16°  Sch. 

25°  +  43°  1  Andr°- 
1  mediden 

24°  +  43°  1      D ,. 

17°  +  48°  \     8.  Z. 

25°  +  40°  1 

64°  -+-  18°  \ 
57°  4-  2G°  \ 
20°  l 


Nov.  16—17 
November  30 
December  6 

Oct.25 — Nov.21 
Nov.28-Dec.24 

November  10 
Nov.22 — Dec.14 

Nov. 20 — Dec.  13 
December  9 
Dec.  5—14 


70° 


79°      24°  \ 
155°  -+-  S6° 
154°  26< 


S2< 


•)  Mit  geändertem  Knoten. 


2l8 


Kometen  und  Meteore. 


Name 

Komet 

Meteore 

Autorität 

Erdnähe  I 

Datum 

Radiant 

u  aluin 

1818  I 

V9  —  (1-20 

35<)°  -4-  53° 

Nov.  Dec. 

342°  +  62° 

D 

iXl  2 

December  6 

200°  -4-68 cv) 

Dec  Januar 
Nov.25— Dec.  14 

209° +  67° 
210° +  67° 

D,. 
C. 

I  7A1  I 

XI— 0025 

NnwmhiT  1  "2 

Oct.18—  Nov.  10 

23° +  8° 

Greg 

1743  I  ') 

A— 014 

December  21 

11°-  2°*5 

December 

4° +  4° 

SCH. 

.fi.A  VIT 

jj  -t-t  j  vj 

¥~^r»f»     ff  •>        V  *9 

UCC   12 —  I  / 

äIAJ    tj  -f-  t  t) 

Dec.  Januar 

207°  +  5° 

D,. 

1858  I 

December  20 

221  0      n  0 

l/Hii  JflllUill 

Dec.  1 — 15 

240°  +70° 
223°  -+-  78° 

D,. 
H. 

1680 

ÜO'i 

December  26 

132°+21°-5 

December  9 

135°  +  37° 

S.  Z. 

December 

146°-f-16°l 

Dec. -Januar 

117°-+-13°l 

Dec.  21  —  Jan.  5 

130°  +  20° 

D. 

December 

130°  +  30° 

SCH. 

December  12 

136°  +  80° 

H. 

Die  Zahl  der  Kometen  und  Sternschnuppen,  welche  hier  in  einer  Beziehung 
stehen,  erscheint  demnach  ganz  bedeutend;  aber,  wie  dieses  schon  bei  einer 
anderen  Gelegenheit  bei  den  Kometen  bemerkt  wurde,  muss  sich  wohl  die 
Zahl  der  anscheinend  zusammengehörigen  Bahnen  und  Radianten  in  dem  Maasse 
erhöhen,  als  die  Beobachtungen  zahlreicher  werden.  Die  Sicherheit  der  Kometen- 
bahnen ist  bis  auf  jenen  Grad  der  Genauigkeit,  welcher  für  diese  Identifikation 
nothwendig  ist,  schon  vorhanden;  nicht  dasselbe  gilt  von  den  Radiationspunkten. 
In  vielen  Fällen  wird  man  auch  in  dem  obigen  Verzeichnisse  Radianten  neben- 
einandergestellt finden,  die  um  mehrere  Grade  von  einander  abweichen,  und 
oft  ist  die  Uebereinstimmung  nur  als  eine  sehr  massige  zu  bezeichnen.  Erst 
wenn  es  möglich  sein  wird,  genauere  Bestimmungen  für  die  Radianten  zu  er- 
halten, wozu,  auch  schon  nach  dem  jetzigen  Stande  der  Beobachtungen,  die 
Reduction  der  Radianten  verschiedener  Nächte  auf  eine  gemeinschaftliche  Epoche 
unerlässlich  ist,  wobei  man,  zunächst  von  stellaren  Schwärmen  absehend,  die 
Formeln  von  pag.  189  verwenden  kann,  wird  man  über  die  wirkliche  Zusammen- 
gehörigkeit entscheiden  können. 

Ein  unleugbarer  Zusammenhang  ist  aber  unter  den  vielen  Strömen  und 
Kometenbahnen  doch  bisher  nur  für  vier  nachgewiesen:  lür  die  Lyraiden, 
Perseiden,  Leoniden  und  Bieliden;  bei  den  anderen  muss  erst  die  Zukunft  die 
Entscheidung  bringen. 

Sucht  man  aus  der  Tafel  auf  pag.  94  diejenigen  Kometen  heraus,  die  der 
Erde  sehr  nahe  kommen,  so  erhält  man  die  folgenden  vierzehn: 


19.  — 
4G.  1680 
76.  1763 
84.  - 

136-  1822  IV  Pons 
169.  1845  UI  Colla 


Grösste  Erdnähe 
Halley  0050 
Kirch  0  005 
Messier  0  025 
Biela  0*011  Bielt  Jen 
01 30 
0050 


175. 1846  VII  Brorsen  0  057 


Grösste  Erdnähe 
195.  1853  II  Schweizer  0*073 
201.  18541V  Klinkerfues  0  016 
220.  1861  I    Thatcher    0*002  Lyraiden 
224.  1862  III  Tuttle 
238.  1866  I  Tempel 
250.  187 1  IV  Tempel 
308.  1889  IV  Davidson 


0005 

0  007  leoniden 
0-063 
0  040 


>)  Mit  geänderten  Knoten. 


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Kometen  und  Meteore. 


219 


Der  nachgewiesene  Zusammenhang  bezieht  sich  also  auf  vier  Kometen,  für 
welche  die  grösste  Erdnähe  kleiner  als  0015  bleibt;  für  den  Kometen  1680  ist 
der  Zusammenhang  mit  den  Decembermeteoren  sehr  wahrscheinlich,  aber 
immerhin  bleibt  dabei  die  Ursache  der  geringen  Zahl  der  Sternschnuppen  noch 
zu  erörtern. 

Wird  die  Entfernung  wesentlich  grösser,  so  kann  ein  Theil  des  Schwanns 
die  Erde  nur  dann  treffen,  wenn  dieser  sehr  ausgedehnt  ist,  dann  wird  aber  der 
Radiant  nicht  fest  bleiben,  und  es  werden  mehrere  nahe  bei  einandcrliegende 
Radianten  an  aufeinanderfolgenden  Tagen  beobachtet  werden ;  sehr  nahe 
liegende  Radianten  können  dann  demselben  Schwarme  angehören.  Die  Ent- 
fernung 0*01  Erdbahnhalbmesser  ist  noch  etwa  233  Erdhalbmesser;  der  Schwärm 
muss  also  immerhin  schon  eine  sehr  beträchtliche  Ausdehnung  haben,  wenn  er 
sich  selbst  in  dieser  Bahn  bewegend  Theile  in  die  Erdatmosphäre  abgeben 
soll,  die  bis  auf  150  km  Höhe  herabsteigen.  So  kann  es  wohl  auch  vorkommen, 
dass  einzelne  Sternschnuppen  von  minder  ausgedehnten  Schwärmen  in  den 
obersten  Regionen  der  Atmosphäre  die  Erde  streifen,  und  es  wird  kein  aus- 
gesprochener Sternschnuppenfall  von  grossem  Reichthum  zu  sehen  sein;  dieser  Fall 
mag  bei  dem  Kometen  (46)  vorliegen.  Nichtsdestoweniger  wird  die  Wirkung  der 
Erde  auf  den  Schwärm  in  dieser  Entfernung  noch  ziemlich  beträchtlich  sein, 
und  es  können  auch  Bahnänderungen  für  denjenigen  Theil  des  Schwarms,  der 
an  der  Erde  vorübergeht,  auftreten,  während  der  übrige  Theil  nicht  weiter  be- 
rührt wird.  Hat  nun  der  Sternschnuppenschwarm  an  einzelnen  Stellen  eine 
grössere  Ausdehnung  in  der  Breite,  so  kann  von  dem  Wulste,  wenn  dieser  an 
der  Erde  vorübergeht,  selbst  ein  neuer,  kleinerer  Schwärm  abgetrennt  werden. 

Noch  mehr  ist  dieses  der  Fall  bei  den  Wirkungen  der  äusseren  Planeten, 
deren  Wirkungssphäre  bedeutend  grösser  ist;  dadurch  kann  es  auch  kommen, 
dass  ein  der  Erde  sehr  nahe  kommender  Schwärm  in  den  aufeinanderfolgenden 
Erscheinungen,  inzwischen  gestört  durch  einen  anderen  Planeten,  ein  verändertes 
Bild  darbietet.  Ein  solcher  Fall  würde  eintreten,  wenn  z.  B.  der  Komet  (201) 
als  Theil  eines  grossen  Schwarms  gedacht  wird.  Dieser  Schwärm  müsste,  da 
er  sich  dem  Jupiter  auf  0*13  nähert  (vergl.  die  Tafel  auf  pag.  94),  vollständig 
aufgelöst  werden,  und  der  aufgelöste  Theil  kann  in  die  Gegend  der  Erde  nur 
als  sporadischer  Schwärm  kommen.  Das  Fehlen  eines  Sternschnuppenschwarms, 
welcher  diesem  sich  der  Erde  ebenfalls  stark  nähernden  Kometen  entspricht,  ist 
daher  ebensowenig  direkt  ein  Zeichen,  dass  dieser  Komet  eine  Ausnahme  gegen 
die  anderen  macht. 

Diesem  Kometen  zunächst  kommt,  was  Annäherung  an  einen  grossen  Pla- 
neten betrifft,  der  Komet  (220),  welcher  sich  dem  Saturn  auf  0'3  nähert,  und 
der  Komet  (46),  welcher  sich  dem  Jupiter  auf  0*4  nähert.  Thatsächlich  ent- 
spricht dem  ersten  Kometen  der  mit  den  Leoniden  an  Zahl  kaum  vergleichbare 
Strom  der  Lyraiden;  für  den  zweiten  Kometen  ist  hierin  ein  zweiter  Grund 
für  das  schwache  Auftreten  des  ihm  entsprechenden  Stroms  vom  26.  December 
gelegen. 

Callandrrau  *)  hat  auch  den  Fall  in  Untersuchung  gezogen,  dass  durch  die 
Anziehung  eines  Planeten  die  Bahn  eines  Sternschnuppenschwarms  vollständig 
geändert  würde,  und  die  in  der  Invariante  K  der  Bahn  auftretenden  Bahn- 
elemente durch  die  Coordinaten  des  Radianten  ersetzt,  so  dass  man  eine  Bedingung 


•)  Compt.  rend.  Bd.  112,  pag.  1303. 


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220 


Kometen  und  Meteore. 


erhält,  welche  zwischen  zwei  Radianten  erfüllt  sein  muss,  wenn  diese  demselben 
Schwärm  entsprechen  sollen.    Die  Bedingung  lautet: 

0  =  {  (l  4-  ~  -  K)  [sin*  ö»  -+-  ccs*  2V  sin*  (**  -  0;]  H-  1  - 
-Acos*®sin*V'-®)^\  -  -p)  -H  (l  4-  - 

|l  -  (l  -         [sin*  Ü3'  4-  w»  23' (*'  -  0)]} . 

Bei  der  Unsicherheit  der  Radianlenbestimmung  und  der  geringen  Ver- 
änderlichkeit der  Invariante  wird  diese  Gleichung  wohl  nur  ein  rein  theoretisches 
Interesse  beanspruchen  können. 

Erscheinungen  der  erwähnten  Art  können  nun  die  mitunter  auffallende 
Aehnlichkeit  zwischen  den  Radianten  einzelner  nicht  periodischer  Kometen  mit 
Radianten  von  Sternschnuppen  erklären,  welche  nur  einmal  oder  wenigstens 
nicht  oft  und  nicht  auffällig  genug  hervortraten,  und  als  grosse  Schwärme  im 
Sinne  der  vier  zuerst  angeführten  nicht  bezeichnet  werden  können. 

Betrachtet  man  die  Tabelle  von  Herschel  etwas  genauer,  so  findet  man 
eine  sehr  bemerkenswerthe  Aehnlichkeit  mit  einzelnen  der  dort  angeführten 
beobachteten  Sternschnupperfälle  bei  den  folgenden  Kometen,  die  sich  der  Erde 
auf  weniger  als  0*06  Erdbahnhalbmesser  nähern  können1). 

Komet  Fallzeit  Komet  Fallzeit 

9.  1097  November  1  87.  1779      October  19 

10.  1231  März  10  133.  1821  Novembern 

11.  1264  März  25  153.  1833      Januar  27 
31.  1582  Novemberg  206.  1857 1    Februar  2 
43.  1672  Januar  20  219.  1860  IV  Januar  6 
58.  17 18  Januar  29  225.  1862  IV  März  16 
65.  1743  I  November  13  233.  1864  II  Juni  20 

—  1746      Februar  25  L  niedersteigenden  u.  235.  1864  IV  October  16 

August  22  >•  autsteigend.  Knoten  245.  1870  I     August  12 
73.  1759  HI  Januar  19 
Hingegen  kann  bei  anderen  Kometen,  deren  kleinste  Entfernung  von  der 
Erde  ebenfalls  0  06  nicht  erreicht,  der  Zusammenhang  mit  den  Sternschnuppen 
nicht  behauptet  werden,  d.  i.  bei  den  Kometen'): 

47:  1683       März  16  (d.  Annäherung  Sept.  19  ist  nicht  so  bedeutend; 
103:  1790  III  April  24 
156:  1840  I    Januar  20 
223:  1862  II  August  7. 

Andererseits  findet  sich  eine  bemerkenswerthe  Aehnlichkeit  zwischen  den 
berechneten  Radianten  von  Kometenbahnen  und  den  beobachteten  Sternschnuppen- 
radianten bei  den  folgenden  Kometen,  die  von  der  Erde  ziemlich  weit  vorUber- 


*)  Zur  Erleichterung  des  Auffindens  in  der  Tabelle  ist  die  Knotenlänge  (Fallzeit)  hiniu- 


8)  Von  den  beiden  Kometen  von  568  und  961,  deren  Entfernungen  — 0*06  und  — 0*03  be- 
rechnet sind,  kann  natürlich  abgesehen  werden;  für  die  Entfernung  wurde  hier  0*06  als  Grenze 
angenommen,  da  dieselbe  durch  massige  Acndcrung  in  den  Elementen  wesenüich  geändert 
werden  kann;  so  sind  auch  die  ausserordentlichen  Annäherungen  der  vier  Kometen  (213)  (0*0), 
(•225)  (-  0013)  und  (ll)  bezw.  (87)  je  —  0*02)  durchaus  nicht  sicher  verbürgt. 


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Kometen  und  Meteore.  »*» 

gehen  (wobei  jedoch  nur  die  Kometen  nach  1 500  berücksichtigt  sind),  und  zwar 
bei  den  Kometen  für  welche  elliptische  Bahnen  berechnet  wurden: 

124.  181 2        December6  (kürzeste  Entfernung  —  0  23) 

136.  1822  IV  Juni  25 

175.  1846  VII  December  12 

208.  1857  IV  October  14  (kürzeste  Entfernung  —  0*26) 

209.  1857  V    April  4  (kürzeste  Entfernung  —  0  28). 

Bei  dem  Kometen  (124)  bemerkt  Lehmann  Filhes,  dass  die  Abweichung  im 
Radianten  durch  eine  geringfügige  Aenderung  im  Knoten  beseitigt  werden  kann. 
Ferner  bei  den  parabolischen  Kometen: 
27:  1556      März  19 

35:  1596       Februar  23  i.  niedersteigend.  Knoten,  kürzeste  Entf.  +14  u. 

August  27  i.  aufsteigenden  Knoten,  küneste  Entf.  -0  25 
37:  1618      Juni  10 
51:  1695      November  1 
55:  1702      November  27 
59:  1723      October  9 
63:  1739      October  22 
70:  1748  II  April  22 
71:  1757      October  29 
81:  1770  I    August  6 
82:  1770  II  Juli  13 
89:  1780  II  August  14 
90:  1781  I    Juni  14 
111:  1798  II  December  2 

125:  1813  I    November  24  (kürzeste  Entfernung  —  0  30) 
135:  1822  III  Juni  30 
160:  1842  II  October  21 

177:  1847  I    April  11  (kürzeste  Entfernung  —  0  95) 
187:  1850  I    Juni  24 
188:  1850  II  October  19 
213:  1858  VI  September  8 
261:  1877  I    März  27. 

Bei  den  Kometen  (70)  und  (177)  ist  die  Differenz  in  den  Radianten  kleiner 
als  1°,  bei  den  Kometen  (90)  und  (213)  kleiner  als  2°,  und  bei  den  Kometen  (37), 
(135),  (187)  (kleinste  Entfernung  0065),  und  (209)  kleiner  als  3°. 

In  diesem  Falle  muss  man  wohl,  wenn  man  den  Zusammenhang  aufrecht 
erhalten  will,  wie  er  z.  B.  bei  den  letzt  erwähnten  acht  Kometen  kaum  zu  leugnen 
ist,  ausserordentlich  breite  Ströme  annehmen;  insbesondere  mag  der  Strom 
hervorgehoben  werden,  der  mit  dem  Kometen  (177)  jedenfalls  zu  identificiren  ist 
Der  Komet  geht  an  der  Erde  in  der  Entfernung  von  nahe  einer  Sonnenweite 
vorüber;  hier  wird  man  unmittelbar  auf  die  Idee  geführt,  dass  sich  nicht  der 
Schwärm  in  der  Bahn  des  Kometen,  sondern  der  Komet  als  ein  besonderes 
Glied,  allerdings  als  ein  besonders  hervorragendes  Glied  in  der  Bahn  des  aus- 
gedehnten Schwarms  bewegt,  von  welchem  ausserdem  trotz  der  grossen  Entfernung 
noch  immer  sehr  häufig  kleinere  Theile  als  Sternschnuppen  in  die  Erdatmosphäre 
gelangen. 

Ueber  die  Art  des  Zusammenhanges  zwischen  Kometen  und  Meteoren  ist 
man  vorläufig  ebenfalls  nur  auf  Vermuthungen  angewiesen.    Da  sich  Kometen 


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222 


Kometen  und  Meteore. 


und  Meteore  in  denselben  Bahnen  bewegen,  so  haben  vorzugsweise  zwei  Hypo- 
thesen Platz  gefunden:  diejenige  von  der  Bildung  der  Kometen  aus  Meteoren 
und  von  dem  Zerfalle  von  Kometen  zu  Meteoren. 

Gegenwärtig  ist  fast  allgemein  die  Hypothese  angenommen,  dass  die  von 
Kometen  weggestossenen  Theile  die  Sternschnuppen  bilden.  An  sich  ist  diese 
Hypothese  gestützt  nicht  nur  durch  die  Schweifbildung  der  Kometen,  sondern 
auch  durch  den  wirklich  beobachteten  Zerfall  einzelner  Kometen.  Aber  die 
Schwierigkeit  ist  dabei  die,  dass  die  Kometenschweife  nicht  in  der  Bahn, 
sondern,  namentlich  in  der  Sonnennähe  nahe  senkrecht  zu  derselben,  in  der 
Richtung  des  Radiusvectors  sind.  Fave1)  glaubt  diese  Schwierigkeit  dadurch  zu 
beheben,  dass  er  annimmt,  dass  nicht  alle  Partikel  von  dem  Kometen  durch 
den  Schweif  in  den  Weltraum  gehen ,  sondern  einzelne  Theile  in  der  Nähe 
bleiben  ,  welche  dieselbe  Bahn  beschreiben.  Dieses  widerspricht  aber  geradezu 
der  Annahme  der  abstossenden  Kraft,  wenn  man  nicht,  was  viel  correkter  ist, 
annimmt,  dass  sich  die  den  Kometen  entsprechenden  Meteortheile  von  dem 
Kometenschweife  selbst  durchaus  unterscheiden. 

Bredichin  löste  diese  Schwierigkeit  in  anderer  Weise;  er  behauptete,  dass 
die  Sternschnuppen  geradezu  aus  ganz  bestimmten  Theilcn  der  Ausströmungen, 
nämlich  aus  den  anomalen  Kometenschweifen  entstehen;  eine  Meinung, 
der  sich  später  auch  andere  anschlössen.  Man  müsste  aber  hinzufügen:  aus 
anomalen  Kometenschweifen,  die  in  der  Richtung  der  Bahn  liegen;  da 
solche  aber  nur  äusserst  selten  (insbesondere  z.  B.  bei  dem  Kometen  1894  I) 
beobachtet  wurden,  so  ist  die  Meinung  Bkk.dichin's  wohl  kaum  in  diesem  Sinne 
zu  verstehen.  H.  A.  Newton,  der  noch  1865  die  Sternschnuppen  nicht  als  die 
Fragmente  einer  vergangenen  Welt,  sondern  eher  als  das  Material  fiir  eine 
zukünftige  ansah2),  sieht  1894  die  Sternschnuppen  als  diejenigen  Theile  eines 
Kometen  an,  welche  nicht  in  den  Schweif  gestossen  werden,  sondern  dem 
Kometen  in  seiner  Bahn  folgen8).  Endlich  findet  man  auch  die  Meinung,  dass 
wenn  in  einem  Meteorstrom  sich  kein  Komet  bewegt,  dieses  ein  Zeichen  ist, 
dass  der  letztere  schon  ganz  aufgelöst  ist. 

In  dieser  Allgemeinheit  kann  der  Satz  wohl  nicht  behauptet  werden.  Man 
kann  wohl  sagen,  dass  durch  den  Zerfall  von  Kometen  jene  Körperchen  ent- 
stehen, die  als  Sternschnuppen  in  deren  Bahnen  um  die  Sonne  kreisen:  dass 
aber  alle  Sternschnuppen  so  entstanden  sein  müssen,  ist  unrichtig.  Im  Gegen- 
theil  scheinen  grosse  und  kleine  Körper  in  buntem  Durcheinander  um  die  Sonne 
zu  schwärmen:  von  den  kleinsten,  unsichtbaren,  die  in  die  Erdatmosphäre  ge- 
langend, dort  als  teleskopische  Meteore  oder  auch  überhaupt  gar  nicht  sichtbar 
werden,  durch  die  Gruppe  der  Sternschnuppen  von  den  verschiedenen  GrÖssen- 
klassen  und  den  grossen  Feuerkugeln,  von  denen  oft  trotz  der  ausserordentlichen 
Menge  des  verdampften  Materials  noch  kolossale  Stücke  als  Ueben-este  zur  Erde 
fallen,  hindurch,  bis  zu  den  grössten,  nicht  mehr  mit  den  Sternschnuppen 
selbst,  sondern  vielmehr  mit  den  planetarischen  Massen  vergleichbaren  Körpern, 
welche  die  Kometen  bilden4).  Dieser  qualitativen  Zusammengehörigkeit,  welche 
nur  einen  Unterschied  in  der  Grösse  postulirt,  hat  Kirkwood  durch  die  Wahl 
des  Namens  Ausdruck  gegeben;  ganz  ähnlich,  wie  man  die  kleinen  Planeten 


')  Compt.  rend.,  Bd.  64,  pag.  553 

")  American.  Journ.  of  Sciences  nnd  Arts,  II.  Serie,  Bd.  39,  pag.  207. 
?)  Ibid.    III.  Serie,  Bd.  47,  p.ig.  152. 

*)  Non  ad  unam  natura  formam  opus  suutn  praestat,  sed  ipsa  varietate  se  jactat  (Sknbca). 


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Kometin  und  Meteore. 


als  Planetoiden  bezeichnet,  hat  Kirkwood  iür  die  Meteoie  den  sehr  passenden 
Namen  Kometoiden  vorgeschlagen;  doch  hat  sich  dieser  Name  nicht  eingebürgert. 

Dabei  ist  eine  Disgregation  der  Kometen  zu  Sternschnuppen  ebenso  wenig 
ausgeschlossen,  wie  eine  Aggregation  von  Sternschnuppen  zu  Kometen,  und 
dass  in  einzelnen  Fällen  periodische,  früher  nie  gesehene  Kometen  sich  durch 
Aggregaten  von  in  ihren  Bahnen  kreisenden  Kometoiden  gebildet  haben,  ist 
nicht  unwahrscheinlich.  Dass  man  die  Kometoiden  nicht  sieht,  hat  seinen  Grund 
darin,  dass  sie  der  Lage  ihrer  Bahn  nach  nicht  in  die  Erdatmosphäre  gelangen. 

Diese  Annahme  wird  auch  wesentlich  dadurch  gestützt,  dass  sich  in  einer 
und  derselben  Bahn  oft  mehrere  Kometen  von  ganz  verschiedenem  Aussehen: 
grosse  und  kleine  Kometen  bewegen,  wie  sich  dieses  in  den  »Kometensystemen« 
zeigt  Dass  ihre  Bahnen  nicht  identisch  sind,  "hat  seinen  Grund  in  äusseren 
Störungen,  Massenanziehungen  der  Sonne  oder  der  Planeten,  gegen  welche  die- 
selben ja  eine  verschiedene  Lage  und  verschiedene  Entfernungen  haben.  In 
solchen  Kometensystemen  erblickt  man  eben  die  grössten  unter  den  zahlreichen 
kleinen  Körperchen,  welche  sich  in  diesen  Bahnen  bewegen;  Körper,  deren 
Dimensionen  jedenfalls  so  gross  sind,  dass  sie  unter  einem  für  ihre  Beleuchtungs- 
intensität entsprechenden  Gesichtswinkel  erscheinen,  um  gesehen  zu  werden. 
Auch  in  den  Sternschnuppenschwärmen  muss  die  Umlaufszeit  aller  Meteore  nicht 
dieselbe  sein;  für  die  aufgelösten  Schwärme  war  dieses  bereits  erwähnt;  in  dem 
Schwärm  der  Leoniden  hat  Kirkwood  überdies  drei  Concentrationscentra,  drei 
zusammenhängende  Schwärme  mit  etwas  verschiedener  Umlaufszeit  erkannt,  der 
Hauptschwarm  hat  eine  Umlaufszeit  von  3325  Jahren,  der  zweite  eine  solche 
von  33*31  Jahren,  der  dritte  von  33"  11  Jahren.  Zum  ersten  Schwarme  gehört  der 
Komet  (238),  welcher  vielleicht  ein  Beispiel  für  die  Aggregation  eines  Kometen 
aus  Meteoren  giebt.  Dieser  Komet,  der  sich  in  derselben  Bahn,  man  könnte 
sagen,  mitten  unter  dem  Hauptschwarm  der  Leoniden  bewegt,  wurde  vor  1866 
nie  gesehen;  man  kann  daher  auf  seine  Wiederkehr  1899  wohl  gespannt  sein. 
Der  zweite  Schwärm  bewegt  sich  nahe  12  Jahre  später,  der  dritte  nahe  20  Jahre 
später  in  der  Bahn.    Eine  Bestätigung  dieser  Ansicht  bleibt  noch  abzuwarten. 

Das  Verschwinden  des  BiELx'schen  Kometen  wurde  so  gedeutet,  dass  aus 
ihm  der  Meteorschwarm  der  Bieliden  entstand.  Wieder  aber  kann  man  nur  be- 
haupten, ein  Schwärm  aus  der  Reihe  der  Andromediden;  denn  Andromediden 
wurden  schon  beobachtet,  lange  bevor  der  BiELA'sche  Komet  sich  theilte,  und 
dass  die  Andromediden  von  1798  und  1838  von  einem  Fragmente  des  Kometen 
herrühren  sollten,  ist  wohl  möglich,  aber  nicht  gerade  nothwendig.  Schulhof 
meint,  dass  diese  beiden  Schwärme  von  einem  Fragmente  herrühren  müssten, 
welches  dem  Kometen  im  Jahre  1798  um  4  Monate,  1838  um  7  Monate  voran- 
ging und  sich  wahrscheinlich  1772  (dem  ersten  Erscheinen  der  Bieliden)  ab- 
getrennt hat  Es  bleiben  aber  noch  die  Kometoiden  von  1830,  1847,  welche 
von  dem  Kometen  sehr  weit  entfernt  waren,  und  selbst  die  grossen  Fälle  von 
1872,  1885,  1892  können,  wie  Schulhof  zugiebt,  nicht  von  den  beiden  Kernen 
herrühren,  in  welche  der  Komet  im  Jahre  1846  und  1852  zerfallen  war;  diese 
bilden  also  offenbar,  da  ihre  Umlaufszeit  mit  derjenigen  des  BiELA'schen  Kometen 
stimmt1),  einen  selbständigen  Schwärm,  ein  zweites  Concentrationscentrum,  das 
von  dem  BiELA'scben  Kometen  völlig  unabhängig  ist 


')  Bezüglich  der  ausserordentlich  reichen  Stern  schnuppen  Hille  in  den  Jahren  1798  und 
1838  hat  bereits  d' Arrest  hervorgehoben,  dass  sie  gerade  um  6  Imlaufsieiten  des  BlKt.A'schcn 
Kometen  auseinanderliegeo. 


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324 


Kometen  und  Meteore. 


Aehnliche  Verhältnisse  zeigen  sich  nach  Schulhof  bei  den  Leoniden. 
Newton  identificirte  den  Kometen  vom  Jahre  1366  mit  dem  Kometen  (238)  und 
Hind  fand  durch  Discussion  von  chinesischen  Beobachtungen  diese  Annahme 
gerechtfertigt.  Im  Jahre  1366  ging  aber  der  Komet  Anfangs  October  durch  sein 
Perihel,  1866  im  Januar.  Daraus  schliesst  Schulhof  auf  die  Möglichkeit,  dass 
die  Umlaufszeiten  des  Schwarms  und  des  Kometen  nicht  genau  gleich,  und  der 
Unterschied  (33  25  Jahre  für  den  Strom,  und  3318  Jahre  für  den  Kometen)  reell 
wäre.  In  der  That  können  sich  Schwärm  und  Komet  von  einander  ganz  un- 
abhängig bewegen,  und  jedes  Theilchen  des  Schwarms  hat  eigentlich  für  sich 
seine  eigene  Umlaufszeit.  Immerhin  aber  ist  es  schwer,  die  Umlaufszeit  eines 
Schwarms,  der  sich  über  ein  Gebiet  ausdehnt,  welches  nahe  ^  seiner  ganzen 
Bahn  ausfüllt,  auf  einer,  kleinen  Bruchtheil  des  Jahres  genau  zu  bestimmen. 
Je  nachdem  man  dem  Bereiche  der  grössten  Verdichtung  eine  mehr  oder  weniger 
grosse  Ausdehnung  giebt,  kann  die  Abweichung  auch  in  weitere  Grenzen  ein- 
geschlossen werden. 

Das  Verschwinden  des  BiELA'schen  Kometen  ist  keine  alleinstehende  That- 
sache,  und  ist  nur  deshalb  als  eine  erwiesene  Thatsache  angesehen  worden, 
weil  man  den  Zerfall  desselben  in  zwei  Theile  als  den  Beginn  zu  seiner  Auf- 
lösung ansah.  Es  giebt  aber  eine  grössere  Anzahl  von  als  periodisch  erkannten 
Kometen,  die  nach  einer  oder  nach  einigen  wenigen  Erscheinungen  nicht  wieder 
gesehen  wurden.  Es  sind  dieses  (vergl.  pag.  70)  die  Kometen  (45),  der  nach 
seiner  ersten  Erscheinung  verschwunden  blieb,  bis  er  nach  31  Umläufen  neuer- 
dings entdeckt  wurde,  dann  wieder  in  den  nächsten  neun  Umläufen  nicht  gesehen 
wurde;  die  Kometen  (65),  (79),  (92),  (132),  (174),  die  nur  einmal  gesehen  wurden 
(von  den  späteren  Kometen,  bei  welchen  nur  die  zweite  Erscheinung  nach  ihrer 
Entdeckung  nicht  beobachtet  werden  konnte,  kann  natürlich  vorläufig  abgesehen 
werden),  der  Komet  (171),  der  seit  1879  nicht  wiedergefunden  wurde,  und  end- 
lich der  Komet  (189),  der  bei  seiner  letzten  Erscheinung  durch  seine  ausser- 
ordentliche Verminderung  der  Helligkeit  auffiel.  Hier  scheint  man  es  mit 
einem  Zerfalle  zu  thun  zu  haben,  der  aber  nicht  vollständig  ist,  sondern  mit 
einer  partiellen  Auflösung,  welche  eine  bedeutende  Schwächung  der  Licht- 
intensität zur  Folge  hat,  und  einer  späteren  neuerlichen  Aggregation,  mit 
Vei  Stärkung  der  Lichtintensität. 

In  dieser  Form  offenbaren  sich  die  Kometen,  oder  eigentlich  einzelne  Ko- 
meten als  ephemere  Erscheinungen  einer  anderen  Art:  sie  entstehen  nicht  als 
ephemere  Erscheinungen  im  Luftkreise,  sondern  als  ephemere  Erscheinungen  im 
Welträume,  und  unterscheiden  sich  von  den  Planeten  durch  ihre  geringere  Con- 
sistenz.  Aus  kleinen  Körpern  bestehend,  über  deren  Kleinheit  oder  Grösse  wir 
keinerlei  sichere  Anzeichen  haben,  bilden  sich  dieselben  durch  Vereinigung,  viel- 
leicht durch  eine  sehr  lose  Vereinigung  von  solchen  kleinen  Körpern,  die  erst 
durch  äussere  Kräfte,  namentlich  durch  die  Sonnenwärme  in  der  Sonnennähe 
wesentlich  gelockert,  aufgehoben  wird,  so  dass  man  einen  Zerfall  des  Kometen 
in  mehrere  Kerne  und  selbst  mehrere  selbständige  Kometen  wahrnimmt,  welche 
sich,  je  nach  der  Beschaffenheit  und  den  weiterhin  wirkenden  Kräften  bei  der 
Entfernung  von  der  Sonne  wieder  in  einen  einzigen  Körper  vereinigen,  oder 
selbst  in  Theile  zerfallen,  in  grössere,  die  selbständig  ihre  Bahnen  als  Kometen 
beschreiben,  oder  auch  in  ganz  kleine  Kometoiden. 

Die  Materie,  aus  welcher  die  Kometen  bestehen,  ist  durch  spectroskopische 
Untersuchungen  schon  genähert  bekannt.  Nicht  dasselbe  gilt  von  den  Stern- 
schnuppen.   Für  letztere  hingegen  kann  man  zwei  verschiedene  Gattungen  an- 


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Kometen  and  Meteort.  225 

'■  i 

nehmen,  welche  nach  den  Meteoritenfällen  unzweideutig  erwiesen  sind:  die 
metallischen  (Meteoreisen)  und  die  nicht  metallischen  (Meteorsteine).  Während 
nun  die  Massenanziehung  der  Sonne  auf  beide  Klassen  von  Körpern  gleichartig 
ist,  kann  die  Wirkung  der  elektrischen  Thätigkeit  gewiss  nicht  die  gleiche  sein ; 
von  dieser  werden  die  metallischen  Körper  mehr  beeinflusst,  und  indem  sie 
selbst  in  einen  Zustand  starker  Ladung  versetzt  werden  müssen,  denn  es  ist  vorerst 
kein  Grund  vorhanden,  im  Welträume  andere  Wirkungen  anzunehmen,  als  wie  wir 
dieselben  auf  der  Erde  kennen,  so  werden  die  mit  Elektricität  und  wahrscheinlich 
auch  mit  Magnetismus  geladenen  metallischen  Kometoiden  aufeinander  wirken,  und 
zwar  lediglich  in  Folge  ihres  elektrischen  und  magnetischen  Zustandes,  während 
die  Massenanziehung  derselben  gegenüber  der  weitaus  Überwiegenden  Sonnen- 
anziehung verschwindet:  dadurch  wird  eine  Aggregation  von  Meteoreisen  zu 
grösseren  Körpern  stattfinden  können.  Damit  stimmt  auch  überein,  dass  man 
im  Kometenspectrum,  wo  man  nicht  bloss  das  charakteristische  Kohlenwasser- 
stoffspectrum fand,  die  Eisenlinien  hervortreten  sah.  Umgekehrt  wird  es  dann,  wenn 
die  elektrische  Ladung  in  grösseren  Entfernungen  von  der  Sonne  gegenüber 
der  Massenanziehung  zurücktritt,  von  der  Intensität  der  letzteren,  bezw.  von  der 
Massenanziehung  äusserer  Körper  auf  die  zusammenhängenden  Kometentheile 
abhängig  sein,  ob  dieser  Zusammenhang  weiter  bestehen  kann,  oder  gelöst  wird. 
So  können  innerhalb  ausgedehnter  Meteorschwärme  mit  Halbaxen,  welche 
Umlaufszeiten  von  mehreren  hundert  Jahren  entsprechen,  Kometen  entstehen 
und  vergehen,  und  die  Sternschnuppen  sind  gleichzeitig  die  Bausteine  für  eine 
neue  Welt,  und  das  Resultat  des  Zerfalles  einer  gewesenen. 

Gleichzeitig  ist  hierbei  nicht  zu  übersehen,  dass  wenn  die  elektrischen 
Ladungen  die  Ursachen  dieser  Aggregationen  und  Bildungen  von  Kometen  sind, 
dieselben  auch  gleichzeitig  zu  Entladungen  Anlass  geben  können  und  müssen, 
welche  sich  dem  Auge  in  den  Kometenschweifen  darbieten. 

Es  ist  nun  allerdings  keine  absolute  Bedingung  für  den  Zusammenhang  von 
Kometen  und  Meteoren,  dass  jeder  Komet  sich  als  ein  Glied  in  einem  Stern- 
schnuppenschwarme bewege.  Dehnt  man  aber  diese  Aggregation  auch  auf  die 
kurz  periodischen  Kometen  aus,  so  kommt  man,  da  alle  sich  nahe  in  der  Ebene 
der  Ekliptik  und  in  einem  Gürtel  von  nicht  zu  grosser  Breite  bewegen,  zu  dem 
Resultate,  dass  sich  ein  einziger  Ring  von  Meteoriten  nahe  in  der  Ekliptik  und 
in  dem  Zwischenraum  zwischen  Mars  und  Jupiter  bewegt.  Dass  dieses  nicht 
ausgeschlossen  ist,  ist  klar;  hier  liegt  wieder  ein  Bindeglied  zwischen  den  Kometen 
und  den  kleinen  Planeten.  Die  Erhöhung  der  optischen  Kraft  der  Fernröhre 
bringt  immer  neue  Glieder  dieses  Ringes,  kleine  Planeten  und  kurz  periodische 
Kometen,  zu  unserer  Kenntniss. 

Nicht  anders  aber  steht  es  mit  den  nicht  periodischen  Kometen;  wenn  jeder 
dieser  Kometen  ein  Aggregationscentrum  von  Meteoren  wäre,  so  müssten  sich 
den  fortgesetzten  aufmerksamen  Beobachtungen,  wenn  auch  nicht  jetzt,  so  doch 
in  späteren  Zeiträumen  und  mit  lichtstärkeren  Instrumenten  auch  jene  Fälle  von 
Kometoiden  offenbaren,  die  sich  in  den  zugehörigen  Bahnen  bewegen,  aber  ihrer 
UnaurTälligkeit  wegen  sich  der  planlosen  Beobachtung  entziehen.  So  werden 
bereits  seit  einigen  Jahren  für  alle  neu  erscheinenden  Kometen  die  Radianten 
gerechnet;  wenn  das  Resultat  bisher  noch  negativ  ist,  so  kann  deshalb  noch 
nicht  geschlossen  werden,  dass  die  Kometen,  welche  zu  den  Aggregationscentren 
zu  zählen  sind,  zu  den  Ausnahmen  gehören:  denn  vorläufig  entziehen  sich  alle 
Meteore,  welche  nicht  in  die  Atmosphäre  gelangen,  und  welche  von  Newton 
mit  dem  Namen  Meteoride  belegt  wurden,  sofern  sie  nicht  eine  schon  ziem- 

VaLWTWU,  Agronomie.   IL  15 

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Kometen  und  Meteore. 


lieh  beträchtliche  Grösse  haben,  so  dass  sie  mit  den  Kometen  oder  kleinen 
Planeten  verglichen  werden  können,  der  Beobachtung. 

Man  darf  nicht  vergessen,  dass  man  sich  hier  noch  auf  dem  Gebiete  der 
Spekulation  bewegt.  Die  Meinung,  welche  die  Kometen  für  primäre  Körper  er- 
klärt,  welche,  durch  äussere  Kräfte  affizirt,  zerfallen,  Sternschnuppenschwärme 
bilden,  die  durch  die  Erde  oder  irgend  einen  anderen  Planeten  gestört,  auf- 
gelöste, in  die  Länge  und  Breite  gezogene  Ströme  geben,  kann  als  durch  zahl- 
reiche Thatsachen  der  Beobachtung  bestätigt  angesehen  werden.  Nicht  minder 
aber  sprechen  andere  Thatsachen  dafUr,  dass  man,  bei  anderen  Kometen,  nicht 
von  einem  Zerfalle  sprechen  kann,  sondern  von  einer  Neubildung.  Und  die 
Frage,  warum  ist  ein  Komet  nach  seiner  ersten  Erscheinung  oder  nach  einer 
Reihe  von  Erscheinungen  nicht  wiedergesehen  worden,  ist  nicht  mehr  und  nicht 
weniger  berechtigt,  als  die  Frage,  warum  ist  er  nicht  früher  gesehen  worden? 
Bei  der  Beantwortung  dieser  Frage  darf  man  sich  jedoch  nicht  von  dem  Gedanken 
leiten  lassen,  dass  dabei  eine  den  Kometen  speeifische  Erscheinung  vorliegt. 
Eine  Reihe  von  kleinen  Planeten  wurde  nach  ihrer  ersten  Opposition  oder  nach 
einigen  Oppositionen  nicht  wiedergesehen,  und  trotz  der  Mannigfaltigkeit  der 
Natur  in  den  Details  ist  kein  Grund  vorhanden,  hier  eine  für  beide  Klassen 
von  Objecten  verschiedene  Ursache  anzunehmen.  Die  nächstliegende  Ursache 
bleibt  aber  die,  dass  man  es  mit  einem  Kreislauf  der  Erscheinungen  zu  thun 
hat,  mit  keiner  fortwährenden  Neubildung  und  keinem  fortwährenden  Zerfalle, 
sondern  mit  einem  Wechsel  von  Erscheinungen  theil weise  constituirender,  theil- 
weise  destruirender  Art 

Auch  die  Planeten  sind  in  diesen  Kreislauf  mit  eingeschlossen,  indem  sie 
durch  die  Meteorfälle  nothwendig  Massen  aufnehmen.  Wenn  auch  nur  die 
wenigsten  Meteore  zur  Erde  gelangen,  so  darf  deshalb  nicht  Ubersehen  werden, 
dass  jede  in  den  Dunstkreis  der  Atmosphäre  gelangte  Masse  als  mit  der  Erde 
vereinigt  zu  denken  ist,  und  deren  Masse  vergrössert:  denn  sie  lässt  ihre  ganze 
Masse  in  Dampfform  oder  in  Form  von  kosmischem  Staub,  der  sich  langsam 
zur  Erde  niederschlägt,  zurück.  Man  hat  daher  für  die  Massenvermehrung  nicht 
nur  die  Gesammtzahl  der  Meteorfälle,  sondern  die  Gesammtzahl  der  Stern- 
schnuppenfalle zu  berücksichtigen.  Dass  andererseits  eine  Ausstrahlung  von 
Materie  in  den  Weltraum  stattfindet,  stattfinden  muss,  folgt  unmittelbar  aus  der 
jedem  gasförmigen,  flüssigen  oder  festen  Körper  eigenen  Tension,  vermöge  deren 
er,  wenn  nicht  ein  gewisser  äusserer  Druck  auf  ihr  lastet,  Theile  in  Dampftorm 
abgiebt,  sich  theilweise  verflüchtigt.  Dieser  äussere  Druck  kann  aber  bei  den 
Weltkörpern  nur  durch  einen  erfüllten  Weltraum  gedacht  werden,  und  der  noth- 
wendige  Druck  regulirt  sich  durch  die  Menge  der  Ausstrahlung  von  selbst  Ob 
die  Aufsaugung  von  Materie  aus  dem  Weltraum  oder  die  Ausstrahlung  der 
Materie  in  den  Weltraum  sich  gegenseitig  das  Gleichgewicht  halten,  oder  ob 
eine  derselben  vorherrscht,  kann  nur  durch  astronomische  Beobachtungen  ent- 
schieden werden.  Durch  die  Aufsaugung  von  Massen  muss  in  erster  Linie  eine 
Verzögerung  der  Translations-  und  Rotationsbewegungen  auftreten.  Für  die  Erde 
speciell  müsste  sich  die  Verzögerung  der  Rotationsbewegung  in  Form  einer 
Secularbeschleunigung  der  Translationsbewegungen  der  anderen  Himmelskörper, 
in  erster  Linie  beim  Monde  offenbaren.  Auch  wurde  diese  Erscheinung  in  glück- 
licher Weise  von  v.  Oppolzer  zur  Erklärung  des  Umstandes  herangezogen,  dass 
die  beobachtete  Secularbeschleunigung  des  Mondes  grösser  ist,  als  die  aus  der 
Theorie  der  allgemeinen  Anziehung  sich  ergebende.  Doch  ist  man  bei  der  nume- 
rischen Bestimmung,  vorläufig  wenigstens,  auch  nur  auf  Vermuthungen  angewiesen. 


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Kometen  und  Meteore. 


227 


Nicht  minder  wichtig  ist  die  Betrachtung  der  zweiten  Gattung  von  Strömen, 
der  stellaren  Ströme.  Hier  hat  man  es  nicht  mit  Himmelskörpern  zu  thun, 
die  dem  Sonnensystem  angehören;  es  sind  Schwärme,  welche  an  der  Bewegung 
des  Sonnensystems  nicht  theilnehmen,  und  durch  die  Anziehung  der  Sonne  auf 
kurze  Zeit  dem  Sonnensystem  einverleibt,  dasselbe  wieder  verlassen.  Ein  Unter- 
schied bezüglich  ihrer  Stellung  zu  den  Kometen  kann  jedoch  nicht  angenommen 
werden,  denn  sie  stehen  zu  den  sich  in  hyperbolischen  Bahnen  bewegenden 
Kometen  in  derselhen  Beziehung,  wie  die  planetaren  Schwärme  zu  den  sich  in 
elliptischen  Bahnen  bewegenden  Kometen. 

Bezüglich  der  stellaren  Schwärme  ist  jedoch  eine  noch  grössere  Vorsicht 
geboten.  Man  hat  in  vielen  Fällen  bereits  eine  grössere  Anzahl  von  identischen 
Radianten  für  lange  Zeiträume,  aber  die  erscheinenden  Sternschnuppen  tragen 
dabei  doch  den  Charakter  von  sporadischen  Sternschnuppen.  Zumeist  erscheinen 
während  einer  Nacht  nur  einige  wenige  Meteore  aus  einem  gewissen  Radianten, 
wenn  auch  durch  längere  Zeiträume  hindurch,  durch  viele  Nächte  immer  aus 
demselben  Radianten;  eigentlich  stellare  Schwärme,  d.  i.  Sternschnuppen  in 
grösserer  Zahl,  die  aus  einem  stationären  Radianten  kommen,  sind  selten.  Da 
ist  es  denn  nicht  ausgeschlossen,  dass  hin  und  wieder,  wie  schon  erwähnt  Radianten, 
die  in  Folge  der  zulässigen  Beobachtungsfehler  für  identisch  gehalten  werden, 
bei  genauerer  Bestimmung  derselben  sich  als  verschiedene  ergeben  würden; 
Uberhaupt  ist  die  zulässige  Zahl  der  Radianten  um  so  grösser,  je  mehr  dieselben 
getrennt  werden,  d.  h.  je  weiter  die  Genauigkeit  der  Beobachtung  eine  Differen- 
zirung  gestattet.  Bei  dem  heutigen  Stande  der  doch  nur  sehr  rohen  Stern- 
schnuppenbeobachtungen ergiebt  sich  daher  eine  überwiegende  Wahrscheinlich- 
keit zu  Gunsten  der  Identität  von  beobachteten  Radianten,  und  damit  eine  er- 
höhte Wahrscheinlichkeit  für  planetare  oder  stellare  Sternschnuppenschwärme. 

Nichtsdestoweniger  muss  das  Vorhandensein  von  Radianten  in  Betracht  ge- 
zogen werden,  welche,  nach  Ausscheidung  der  den  Schwärmen  angehöngen 
Radianten,  regellos  nach  allen  Richtungen  vertheilt  sind,  und  den  eigentlich 
sporadischen  Meteoren  angehören.  Trotz  der  grossen  Zahl  der  Radianten  der 
ersten  Klasse  bleibt  die  von  Schiaparelli  erkannte  Thatsache  im  Grossen  und 
Ganzen  die,  dass  ider  Apex  als  das  hauptsächlichste  Condensationscentrum  der 
Meteorschauer  anzusehen  ist,  und  dass  alle  Anomalien  in  der  Vertheilung  der 
Ströme  nicht  hinreichen,  dieses  Merkmal  zu  verwischen c  t). 

Eine  gewisse  Rectifikation  hat  dieser  Satz  allerdings  in  der  auffälligen  Er- 
scheinung der  Verspätung  des  Maximums  der  Sternschnuppenfälle  erfahren  müssen, 
wodurch  sich,  wie  schon  Schiaparelli  erklärt,  unleugbar  nebst  diesem  optischen 
ein  physisches  Condensationscentrum  offenbart.  Allein  es  tritt  hier  nur  eine 
theilweise  Verschiebung,  eine  resultirende  aus  zwei  Wirkungen  auf,  von  denen 
die  eine,  die  Wirkung  des  optischen  Condensationscentrums,  immerhin  auf 
eine  ausserordentlich  gTosse  Zahl  von  sporadischen,  regellos  vertheilten 
Meteoren  weist 

Dass  diese  Meteore,  vereinzelt  ohne  Wirkung  auf  die  grossen  Himmelskörper, 
in  ihrer  ganzen  Menge  aber  eine  nicht  unbeträchtliche  Wirkung  auf  die  Bewegung 
der  Himmelskörper  ausüben  können,  ist  selbstverständlich.    Walker  bemerkte 
schon  1864,  dass  man  in  den  um  die  Sonne  kreisenden  Meteoren  den  Wider- 
stand zu  suchen  hat,  welcher  die  Anomalie  in  der  Bewegung  des  ENCxYschen 
Kometen  erzeugt.   Faye  hat  diese  Idee  spater  dahin  erläutert,  dass  man  es  in 

«5# 


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aa8  Kosmogonie. 

diesem  Falle  mit  einem  sich  bewegenden  wiederstehenden  Mittel  zu  thun 
hat,  mit  dessen  Theorie  er  sich  übrigens  schon  früher  (1860  und  1861)  be- 
schäftigt hatte.  Dem  widersprechen  aber  zwei  Thatsachen:  Dieses  von  Faye 
supponirte  widerstehende  Mittel  setzt  nämlich  eine  durchweg  rechtläufige  Be- 
wegung aller  Sternschnuppen  voraus,  und  zweitens  eine  Geschwindigkeit,  welche 
kreisförmigen  oder  nahe  kreisförmigen  Bahnen  entspricht.  Beide  Voraussetzungen 
sind  durch  die  Erscheinungen  widerlegt.  Selbst  wenn  man  Sternschnuppen 
sich  in  Strömen  bewegend  annimmt,  so  sind  diese  Schwärme  ebenso  wie  die 
sie  begleitenden  Kometen  nicht  durchweg  rechtläufig,  und  die  Geschwindigkeit 
ist  in  allen  Fällen  weit  grösser  als  die  einer  kreisförmigen  Bahn  entsprechende, 
in  einer  überaus  grossen  Zahl  von  Fällen  auch  grösser  wie  die  einer  parabo- 
lischen Bahn  entsprechende.  Will  man  also  die  Sternschnuppen  als  die  das 
widerstehende  Mittel  bildenden  Körperchen  ansehen,  so  hat  man  sie  als  in 
regellosen  Bahnen  sich  bewegend  anzusehen,  ähnlich  den  hypothetischen  Be- 
wegungen, welchen  nach  der  Voraussetzung  der  kinetischen  Gastheorie  die  Mole- 
küle jedes  Gases  unterliegen.  Die  in  diesen  Bewegungen  begriffenen,  sporadischen 
Sternschnuppen  stehen  in  keinem  unmittelbaren  Zusammenhang  zu  den  Kometen ; 
sie  sind  Theile  desselben  Weltganzen ,  und  können  zur  Vergrösserung  der 
Kometen  wie  der  Planetenmassen  und  zur  Beeinflussung  ihrer  Bewegungen 
führen,  aber  nur  regellos,  wie  ihre  Vertheilung  ist:  kosmisch  derselben  Art, 
sind  sie  immerhin  in  Rücksicht  auf  ihre  Weltstellung  von  den  Sternschnuppen- 
schwärmen zu  trennen.  N.  Herz. 

KosmOgOtlie.  Einleitung.  Wenn  es  auch  zu  keiner  Zeit  an  Ver- 
suchen, über  die  Entstehung  des  Weltalls  Klarheit  zu  gewinnen,  gefehlt  hat,  so 
konnten  diese  doch  so  lange  nur  dichterischen  oder  geschichtlich-philosophischen 
Werth  haben,  als  die  Naturwissenschaft  noch  nicht  Über  genügendes  Beobachtungs- 
material und  einwandsfreie  Methoden,  es  zu  bearbeiten,  verfügte.  Die  in  den 
Schöpfungsgeschichten  und  den  philosophischen  Systemen  niedergelegten  Welt- 
bildungshypothesen  gaben  demnach  den  Aufschluss,  den  sie  geben  wollten, 
in  keiner  Weise  und  können  höchstens,  worauf  Faye1)  zuerst  aufmerksam  ge- 
macht hat,  dazu  dienen,  den  Umfang  der  naturwissenschaftlichen  Kenntnisse, 
welche  ihre  Urheber  besassen,  bestimmen  zu  lassen.  So  ist  denn  auch  noch 
die  Kosmogonie  des  Cartesius8)  trotz  mancher  brauchbarer  Einzelheiten,  viel 
zu  sehr  durch  vorgefasste  Meinungen  beeinflusst,  als  dass  sie  jetzt  noch  Be- 
deutung haben  könnte,  und  der  erste  Versuch  dieser  Art,  mit  dem  wir  uns  hier 
zu  beschäftigen  haben,  ist  derjenige,  welchen  Kant')  1755  in  seiner  anonymen, 

')  Faye,  Sur  l'hypothese  de  Laplacb,  Compt.  rend.  XC,  pag.  566.  —  Sur  l'origine  du 
Systeme  solaire,  Compt.  rend.  XC,  pag.  637.  —  Sur  l'origine  du  Monde,  Theorie«  cosroographiques 
des  Ancicns  et  des  Modernes.    2.  Ed.    Paris  1885,  pag.  8  ff. 

•)  Renatj  CARTESn,  Principia  Pbilosophiae.    Ult.  Ed.  Amstelodaroi  1692. 

3)  Kant,  Allgemeine  Naturgeschichte  und  Theorie  des  Himmels  oder  Versuch  von  der 
Verfassung  und  dem  mechanischen  Ursprung  des  ganzen  Weltgebttudes  nach  NEWTON'schen 
Grundsätzen  abgehandelt.  Königsberg  und  Leipzig  J.  Fr.  Petersen  1755.  Im  Auszuge  von 
Gensichkn  1791  nur  bis  pag.  94  der  Originalausgabe  nochmals  abgedruckt  unter  Beifügung 
dreier  Abhandlungen  von  \V.  Herschel  und  Anmerkungen  von  Sommer.  (Von  Kant  durch- 
gesehen und  genehmigt.)  Neu  herausgegeben  1798  von  M.  F.  In  der  Ausgabe  der  Werke 
Kant's  von  Rosenkranz  und  Schubert  befindet  sie  sich  im  6.  Bande.  Sie  bildet  1890  von 
H.  Ebert  herausgegeben  das  12.  Heft  der  Classiker  der  exakten  Wissenschaften.  —  Einzig 
möglicher  Beweisgrund  zu  einer  Demonstration  des  Daseins  Gottes.  1763.  Sämmtliche  Werke 
herausgegeben  von  Hartenstein  II,  pag.  180  ff. 

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Kosmogonie. 


229 


Friedrich  dem  Grossen  gewidmeten  »Naturgeschichte  des  Himmels«  veröffent- 
licht hat  Nach  ihrem  ersten  Auftreten  freilich  blieb  diese  merkwürdige  Schrift 
so  unbekannt,  dass  noch  im  Jahre  1761  Lambert1)  in  seinen  >kosmologischen 
Briefen«  eine  Anzahl  der  von  dem  Königsberger  Professor  bereits  behandelten 
Fragen  nur  nach  Zweckmässigkeitsgründen,  die  nach  des  Verfassers  eigenem 
Geständniss  keine  grosse  Tragweite  hatten,  glaubte  beantworten  zu  können,  und 
erst  nachdem  Laplace's')  »Exposition  du  Systeme  du  Monde«  die  allgemeine 
Aufmerksamkeit  auf  kosmologische  Ideen  gelenkt  hatte,  entdeckte  man,  dass 
das  Werk  Kant's  reich  an  solchen  war,  die  mit  denen  des  französischen  Geo- 
meters  zum  Theil  übereinkamen.  Doch  ist  der  Unterschied  in  den  An- 
schauungen beider  grossen  Gelehrten  immerhin  ein  so  beträchtlicher,  dass  es 
nicht  angemessen  erscheint,  sie  als  KANT-LAPLAtE'sche  Weltbildungshypothese 
zusammenzuwerfen,  wie  dies  üblich  geworden  ist3). 

Seit  dem  Bekanntwerden  der  Arbeit  Kant's  ist  die  Frage  nach  der  Ent- 
stehung der  Welt  nicht  wieder  von  der  Tagesordnung  verschwunden.  Spätere 
Arbeiten  haben  Neues  dem  Vorhandenen  zugefügt  oder  sie  haben,  namentlich 
seit  Helmholtz4)  und  Ritter»)  das  Princip  von  der  Erhaltung  der  Energie  und 
die  kinetische  Gastheorie  auf  die  Lehren  Kant's  und  Laplace's  anwendeten, 
Unhaltbares  ausgeschieden.  Darüber  hat  man  aber  vielfach  aus  dem  Auge  ver- 
loren, dass  eine  gerechte  Würdigung  der  Verdienste  Kant's  um  die  Weltbildungs- 
theorie  nicht  den  heutigen  Standpunkt  der  Wissenschaft  als  Maassstab  anlegen 
darf,  sondern  auf  den  der  Mitte  des  vorigen  Jahrhunderts  zurückgehen  muss. 

Wir  werden  demnach  am  zweckmässigsten  ein  Bild  der  geschichtlichen  Ent- 
wickelung  der  Lehre  und  ihres  gegenwärtigen  Standpunktes  erhalten,  wenn  wir, 
stets  von  den  Ansichten  Kant's  ausgehend,  deren  Fortbildung  bis  zur  Gegen- 
wart verfolgen  und  nacheinander  das  Wesen  des  Urstoffes,  die  Nebelmassen  und 
Fixsternsysteme,  die  Fixsterne  und  unser  Sonnensystem  betrachten,  um  schliesslich 
auf  die  Quellen  der  Sonnenwärme  noch  etwas  näher  einzugehen. 

Vorher  jedoch  sei  die  Bemerkung  gestattet,  dass  Versuche,  wie  der  Duprel's6), 
die  Lehre  Ch.  Darwtn's  auf  die  Entstehung  der  Himmelskörper  anzuwenden, 
völlig  aussichtslos  erscheinen.  Fehlen  doch  den  Himmelskörpern  und  den  sie 
zusammensetzenden  Massentheilchen  die  Grundbedingungen  aller  individuellen 
Fortentwickelung,  wie  die  Möglichkeit  der  Anpassung  an  gegebene  Verhältnisse 
und  die  der  Vererbung  erworbener  Eigenschaften.    Wenn  Kant7)  (pag.  18) 

')  Lambert,  Kosmologische  Briefe.    Augspurg  176 1,  pag.  70  und  102. 
*)  Laplacb,  Oeuvres.    Paris  1846  VI,  Note  VII.   Die  «Exposition  du  Systeme  du  Monde« 
erschien  zuerst  1796. 

*)  So  Helmholtz.  Populäre  wissenschaftliche  Vorträge.  3.  Heft.  Braunschw.  1876, 
pag.  101. —  Schopenhauer,  Parerga  II,  pag.  117. — C.  Braun,  Die  Kosmogonie  vom  Stand- 
punkte christlicher  Wissenschaft.  1889,  pag.  49  ft.  —  Lampa,  Naturkräfte  u.  Naturgesetze, 
Wien  1895,  pag.  117  ff.  etc.  Schematische  Zusammenstellungen  beider  Hypothesen  gehen 
Zöllner,  Natur  der  Kometen.  Leipz.  1872,  pag.  460,  und  G.  Eberhard,  die  Kosmogonie  von 
Kant,  Publicationen  der  v.  KUFFNER'schen  Sternwarte  in  Wien.  III.  Bd.  Herausg.  von 
L.  de  Ball,    Wien  1894,  pag.  XX VIII  ff. 

4)  Helkholtz,  Populäre  Vorträge.  Braunschw.  187 1  und  1876.  2.  Heft,  pag.  120  u. 
134.    3.  Heft,  pag.  101. 

5)  Ritter,  Untersuchungen  Uber  die  Höhe  der  Atmosphäie  und  die  Constitution  gas- 
förmiger Weltkörper.    Wied.  Ann.  V-VIII,  X-XIV,  XX. 

6)  DUPREL,  Die  Planetcnbewohner  und  die  Ncbularhypothese.  Leipzig  1880.  Ent- 
wickelungsgeschichte  des  Weltalls.    Leipzig  1882. 

7)  Ich  eitire  nach  dem  Abdruck  in  Heft  12  der  Clnssiker  der  cxaclen  Naturwissenschaften. 


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Kosmogonie. 


sagt,  »dass  die  Theilchen  ihre  Bewegung  untereinander  so  lange  einschränken, 
bis  sie  alle  nach  einer  Richtung  fortgehen«,  so  ist  das  gewiss  doch  etwas  ganz 
Anderes,  als  eine  solche  Anpassung  oder  eine  direkte  Auslese  im  Sinne  Dar- 
win's,  wie  Ebert  (pag.  99)  und  Eberhard  (pag.  VII)  annehmen. 

1)  Das  Wesen  des  Urstoffes, 
Soll  eine  Weltbildungshypothese  nicht  von  vornherein  gegenstandslos  sein, 
so  darf  sie  nicht  mit  Newton»)  die  Welt,  wie  sie  ist,  aus  der  Hand  des 
Schöpfers  hervorgehen  lassen.    Aber  ebenso  wenig  kann  sie  mit  dem  absoluten 
Nichts  beginnen.    Sie  muss  unter  allen  Umständen  ein  von  Anfang  Gege- 
benes voraussetzen.    Darüber,  dass  dies  der  noch  nicht  diiferenzirte,  mit 
Anziehungs-  und  Abstossu ngskräften  ausgerüstete  Stoff  war,  sind  alle 
Forscher,  welche  sich  mit  dem  Gegenstand  beschäftigt  haben,  einig.  Während 
nun  Kant  (pag.  17)  als  anziehende  Kraft  nur  die  Gravitation  voraussetzte, 
fügte  man  später  auch  die  molekularen  Kräfte  hinzu  und  brachte  sie  zugleich 
mit  der  Wärme  in  die  Verbindung,  die  die  kinetische  Gastheorie  fordert.  Die 
Entdeckung  der  Fähigkeit  der  Wärme,  chemische  Verbindungen  zu  dissoeiiren, 
führte  dann  weiter  zu  der  Annahme,  dass  der  noch  nicht  differenzirte  Stoff  aus 
den  unverbundenen  Elementen  bestanden  haben  möchte,  ja,  als  die  Fortschritte 
der  Spectralanalyse  es  als  möglich  erscheinen  Hessen,  dass  die  in  gegenwärtiger 
Zeit  als  Elemente  angesprochenen  Körper  noch  zusammengesetzter  Natur  seien, 
da  lag  es  nahe,  sie  als  aus  einem  einzigen  oder  einigen  wenigen  Stoffen  ge- 
bildet anzusehen,  welche  somit  im  eigentlichen  Sinne  des  Wortes  die  Urstoffe 
wären.    Zu  der  nämlichen  Ansicht  führten  Crookes1)  Versuche,  die  er  mit  den 
»seltenen«,  namentlich  Yttrium  und  Samarium  enthaltenden  Erden  im  äusserst 
luftverdünnten  Raum  unter  Anwendung  des  Inductionsfunkens  und  des  Spektro- 
skops anstellte  und  deren  Ergebnisse  er  zum  Gegenstand  eines  am  18.  Fe- 
bruar 1887  in  der  Royal  Institution  gehaltenen  Vortrag  machte.   Danach  sollen 
die  bisher  als  Elemente  angesehenen  Stoffe  aus  einem  Grundstoff,  dem  >Pro- 
tyle8)«  gebildet  sein,  aus  dem  sich  die  Atome  zusammenballen,  wie  die  Flocken 
aus  den  Niederschlägen  oder  die  Wirbelringe  aus  Rauch.   Indem  die  neuen  Ge- 
bilde auf  das  Protyle  weiter  verdichtend  wirkten,  beschleunigten  sie  den  Fort- 
gang der  Atombildung.   Als  erstes  Element  entstand  der  Wasserstoff,  der  die 
einfachste  Structur  bei  niedrigstem  Atomgewicht  aufweist;  ihm  folgten  der  Reihe 
nach  Lithium,  Beryllium,  Bor,  Kohlenstoff,  Stickstoff  Sauerstoff,  Fluor,  Natrium, 
Magnesium,  Aluminium,  Silicium,  Phosphor,  Schwefel,  Chlor  etc.,  so  dass  die 
Elemente,  aus  denen  die  organische  Welt  besteht,  zu  den  am  frühesten  auf- 
tretenden gehören.    Ging  diese  Atombildung  hinreichend  langsam  vor  sich,  so 
entstanden  scharf  ausgeprägte  Elemente,  wurde  sie  durch  irgend  eine  Ursache 
beschleunigt,  so  konnten  Gruppen  einander  ähnlicher  Stoffe  zum  Vorschein 
kommen,  wofür  die  Eisen,  Nickel  und  Kobalt  enthaltende  ein  Beispiel  ist.  Die 
graphische  Darstellungsweise  Reinolds'  (Crookes  a.  a.  O.,  pag.  24),  welche  die 
Atomgewichte  als  Abscissen,  die  Phasen  der  abnehmenden  Schwingungsweite 
eines  Pendels,  dessen  Schwingungsmittelpunkt  auf  der  Abscisse  fortschreitet,  als 

>)  Newtoni,  Philosophiae  naturalis  Principia  mathematic*.  Ed  altera.  Colon.  Allo- 
brog.  176a    T.  ID.  pag.  672. 

*)  Crookm,  Die  Genesis  der  Elemente,  ein  Vortrag,  gehalten  in  der  Royal  Institution  tu 
London.    Deutsch  von  Deusle.    Braunschw.  1888. 

•)  Nach  der  Ableitung  aus  izph  und  üXrj  hätte  man  die  Bezeichnung  »die  Prohylc«  er- 
warten sollen. 


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Kosmogonie. 


231 


Ordinalen  benutzt,  giebt  zugleich  über  das  elektrische,  vielleicht  auch  magne- 
tische Verhalten  der  Körper  und  ihre  Stellung  im  Newland-Mendelejeff' sehen 
System  Aufschluss.  Dass  Grünwald1)  zu  ähnlichen  Ergebnissen  durch  Unter- 
suchung der  Gasspectren  kam,  darf  hier  freilich  nicht  als  Bekräftigung 
herangezogen  werden,  da  nach  Kaiser's3)  Kritik  diese  Ergebnisse  schwerlich 
gerechtfertigt  sind.  Die  Frage,  was  dem  Protyle  voranging,  beantwortet  Crookes 
nicht,  er  deutet  nur  an,  dass  dies  Elemente  mit  negativem  Aequivalent  gewesen 
sein  könnten,  vielleicht  auch  die  Elektricität,  die  nach  Helmholtz3)  möglichenfalls 
aus  Atomen  bestehe  und  aus  dem  Lichtäther  gebildet  sein  könne.  Dieser  setze 
demnach  in  seinen  abgeleiteten  Formen  das  Weltall  zusammen.  Mehrere  Ent- 
deckungen der  neuesten  Zeit  namentlich  auf  chemischem  Gebiete  dürften  freilich 
eine  Modinkation  einiger  dieser  Annahmen  fordern. 

2)  Die  Nebelmassen  und  Fixsternsysteme. 

Wenn  Crookes  auch  die  Ursache,  die  das  Protyle  zur  Verdichtung  an- 
regte, im  Dunkeln  Hess,  so  hat  er  mit  seiner  Hypothese  einen  Schritt  weiter 
zu  thun  versucht,  als  alle  seine  Vorgänger.  Denn  diese  beschränken  sich  da- 
rauf, aus  der  Voraussetzung  eines  mit  Kräften  ausgestatteten  Urnebels  oder 
Feuernebels  die  Entstehung  von  Weltkörpern  mit  rotirender  und 
in  bestimmter  Richtung  foitschreitender  Bewegung,  wie  es  die  Fix- 
sterne sind,  zu  erklären. 

Dass  solche  Nebelmassen,  deren  Theilchen  gasförmig  sind,  in  der  That  be- 
stehen, ist  durch  die  Spectroskopie  bewiesen  worden,  dass  der  Weltraum 
»geradezu  ausgefüllt  ist  mit  mehr  oder  weniger  ausgedehnten  Gebilden  sehr 
dünn  verstreuter  Materie,  <  die  vermuthlich  in  physikalischer  Beziehung  sehr  ver- 
schiedene Constitutionen  aufweisen,  hat  die  Himmelsphotographie  Uber  jeden 
Zweifel  erhoben4).  Aber  es  giebt  auch  eine  Anzahl  Nebel,  welche  sich  bei  ge- 
nügend starker  Vergrösserung  in  Sterne  auflösen,  und  die  Beobachtung  solcher 
war  es,  welche  William  Herschel»)  eine  Ansicht  wieder  aufnehmen  Hess,  die 
Kamt  bereits  dreissig  Jahre  vorher  auf  eine  Arbeit  von  Wricht8)  gestützt  aus- 
gesprochen hatte  (pag.  11).  Danach  sollen  alle  Nebelflecke  Fixstern  Systeme 
sein,  die  so  weit  von  uns  entfernt  sind,  dass  die  einzelnen  Sterne  nicht  mehr  als 
solche  erkannt  werden  können,  ihr  Licht  zu  einem  gemeinschaftlichen  hellen 
Scheine  zusammenfliesst.  Diese  wie  Inseln  im  Weltall  verstreuten  Sternmassen 
sollten  Systeme  bilden,  welche  Räume  von  verschiedenster  Form  einnähmen. 
Auch  unsere  Sonne  gehöre  einem  solchen  von  linsenförmiger  Gestalt  an. 
Für  das  in  der  Richtung  seiner  grössten  Ausdehnung  blickende  Auge  fliesse 
das  Licht  der  dort  befindlichen  Sterne  zusammen  und  erscheine  am  Himmel 
als  eine  Zone  von  grösserer  Helligkeit,  wie  die  Umgebung,  erscheine  als  uns 

*}  Grünwald,  Ueber  die  merkwürdigen  Beziehungen  zwischen  dem  Spectrum  des  Wasser- 
dampfes und  den  Linienspectren  des  Wasserstoffs  und  Sauerstoffs,  sowie  Uber  die  chemische 
Stractur  der  beiden  letzteren  und  ihre  Dissociation  in  der  Sonnenatmosphäre.  Astron.  Nachr. 
1887.  Na  2797.  —  Mathematische  Spectralanalyse  des  Magnesiums  und  der  Kohle.  Sitzungsber. 
der  Akademie  der  Wissenschaften  zu  Wien.  1887.  XCV1.  Abt  II,  pag.  1154.  —  Spectral- 
analyse des  Cadmiums.    Ebenda.    1889.    XCVIH.  Abt  II.  967. 

*}  Kaiseh,  Chemiker-Zeitung  1889,  No.  100  und  102. 

*)  Helmholtz,  Faradav- Vorlesung  1881. 

*)  H.  Sezliger,  Ueber  den  neuen  Stern  im  Sternbild  Auriga.  Astron.  Nachr.  1892, 
No.  3x18. 

*)  W.  Hkrschel,  On  some  observations  tending  to  investigate  the  construetion  of  the 
heavens.    Philosophical  Transactions  of  the  Royal  Society.  1784. 
«)  WftlGHT,  An  original  Theory  of  the  Univers.    London  1750. 

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32 


Kosmogonie. 


Milchstrasse.  Ein  solches  System  besitze  eine  rotirende  Bewegung,  die  einen 
Mittelpunkt  voraussetze,  und  zwar  sollte  diese  nach  Kant's  Vermuthung  (pag.  7) 
für  unser  Sonnensystem  im  Sirius  liegen.  Wegen  des  grossen  Radius  erscheine 
uns  diese  Rotation  nicht  als  solche,  sondern  sie  mache  sich  in  einer  fort- 
schreitenden Bewegung  unserer  Sonne  bemerkbar»  wie  Kant  bereits 
annahm.  Wenn  nun  auch  Sirius  als  Centraisonne  nicht  beibehalten  werden 
konnte,  so  ist  es  bekannt,  dass  man  erst  in  neuerer  Zeit  von  den  Bestrebungen 
zurückgekommen  ist,  ihn  durch  eine  andere  zu  ersetzen. 

Die  Annahme  Kant's  und  Hrrschel's  konnte  in  ihrer  Allgemeinheit  nicht 
beibehalten  werden,  nachdem  die  gasförmige  Natur  vieler  Nebel  unzweifelhaft 
dargethan  worden  war.  Man  hielt  diese  nun  für  in  der  Bildung  begriffene 
Fixsternsysteme  und  wurde  in  diesem  Glauben  durch  die  von  einigen  von  ihnen 
mit  Hilfe  der  Photographie  erhaltenen  Bilder  nur  bestärkt.  So  zeigt  der  von 
Roberts1)  am  26.  November  1892  photographirte  Nebel  M  77  Ceti  einen  dich- 
teren sternförmigen  Kern  mit  einem  ebenfalls  starke  Verdichtungen  aufweisen- 
den Ringe,  der  von  demselben  Astronomen")  am  14.  April  1893  photographisch 
aufgenommene  H  1  168  Ursae  majoris  Spiralform  mit  einem  Stern  in  der  Mitte 
und  mit  Windungen,  von  denen  jede  in  Sterne  aufgelöst  ist.  Von  diesen  Sternen 
sind  einige  scharf  begrenzt,  während  sich  die  anderen  in  allen  Stadien  der  Ent- 
wickelung  zu  befinden  scheinen.  Auch  im  berühmten  Sternhaufen  im  Hercules, 
in  dem  Nebel  der  Andromeda  zeigen  photographische  Aufnahmen  deutlich  Sterne 
mit  nebelartiger  Umgebung,  und  Nebeltheile  mit  sternartiger  Verdichtung,  die 
die  verschiedenen  Stadien  der  Entwickelung  darstellen  mögen. 

Soll  ein  Nebel  über  weite  Räume  ausgebreitet  werden,  so  muss  er  eine 
grosse  Menge  von  Energie  zugeführt  erhalten,  die  er  dann  bei  seiner  Ver- 
dichtung wieder  ausgiebt.    Kant  und  Laplace  legten  seinen  Theilchen  nur  die 
Eigenschaft  der  Schwere  bei,  um  die  Möglichkeit  seiner  Verdichtung  zu  erklären, 
wenn  auch  der  französische  Forscher  sich  den  Nebel  als  im  höchsten  Grade 
erhitzt  vorstellt,  während  Helmholtz  in  der  von  Anfang  an  vorhandenen  beträcht- 
lichen Wärmemenge  in  Uebereinstimmung  mit  dem  Princip  der  Erhaltung  der 
Energie  den  in  Nebel  enthaltenen  Kraftvorrath  sieht  Zur  Erklärung  dieser  Wärme 
blieb  nun  nichts  übrig,  als  die  beim  Zusammentreffen  zweier  Nebel  auftretende 
Stosswirkung  heranzuziehen.  Das  that  zuerst  1870  Lane*),  indem  er  aber  zugleich 
daraufhinwies,  dass  die  Contraction  einer  Nebelmasse,  welche  in  Folge  ihrer  durch 
Stoss  erzeugten  Erhitzung  weit  über  ihr  früheres  Volumen  ausgedehnt  worden  sei, 
nachher  keineswegs  nur  eine  durch  Abkühlung  hervorgerufene  Volumverminderung 
zeigen  könne.    Der  1877  von  Croll4)  gemachte  Versuch,  durch  dieselbe  An- 
nahme die  kosmischen  Nebeln  inne  wohnenden  Wärmemengen  zu  erklären, 
scheiterte  daran,  dass  er  seinen  Rechnungen  Geschwindigkeiten  zu  Grunde  legte, 
wie  sie  im  Weltenraum  nicht  vorkommen.  So  blieb  es  Ritter  vorbehalten,  mit 
Vermeidung  dieses  Fehlers  an  der  Hand  der  Errungenschaften  der  kinetischen 
Gastheorie  das  Problem  in  einer  Weise  zu  behandeln,  die  bei  grossem  Reich- 
thum ihrer  Ergebnisse  auch  die  Erklärung  vieler  an  den  kosmischen  Nebeln  ge- 
machten Beobachtungen  liefert.   Danach  muss  sogleich  nach  dem  Zusammenstoss 

l)  Roberts,  Monthly  Noticcs  of  thc  Royal  Astronomical  Society  1893.  v°l-  LIA. 
P*g.  33i. 

*)  Roberts,  Ebcndas.  1893.    Vol.  LIV,  pag.  92. 

3)  Lank,  On  theorctical  temperature  of  thc  Suo.  Sillitnana  Journal,  Juli  1870. 

*)  Croll,  Philosophical  Magazine.  1878,  Ser.  V,  T.  VI,  pag.  1.  Quarterly  Journal  of 
Science  1877,  LV.  Ueber  die  Unnahbarkeit  der  gemachten  Annahme  vergl.  auch  R.  C.  Wolf; 
Los  hypntheses  cosraogoniques.    Bulletin  attronomique  1884,  T.  I,  1885,  T.  II. 

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Kosmogonie. 


die  innere  Wärme  so  gross  werden,  dass  die  von  ihr  hervorgerufene  Expansion 
die  Massentheilchen  des  Nebels  in  heftige  Bewegung  versetzt.  In  Folge  ihrer 
Trägheit  überschreiten  sie  dabei  ihre  dem  Zusammenwirken  der  Expansion  und 
Cohäsion  entsprechende  Gleichgewichtslage  und  die  so  entstehende  übermässige 
Ausdehnung  muss  Abkühlung  hervorrufen.  Dann  tritt  die  Gravitation  wieder 
in  Wirkung,  die  Theilchen  gehen  aber  wieder  nach  der  anderen  Seite  über  die 
Gleichgewichtslage  hinaus,  die  innere  Wärme  und  mit  ihr  die  Leuchtkraft  wird 
wieder  erhöht,  und  so  muss  sich  der  geschilderte  Vorgang  in  regelmässigen 
Schwingungen,  Pulsationen,  wiederholen.  Weniger  glücklich  dürfte  die  Annahme 
Lockver's1)  und  G.  H.  Darwin's2)  sein,  die  einen  Meteorschwarm  voraussetzt, 
welcher  sich  durch  Verdichtung  bis  zum  Verdampfen  erhitzte  und  so  den  kos- 
mischen Nebel  erzeugte. 

Ein  auf  die  obige  Weise  durch  den  Zusammenstoss  eingeleiteter  Neu- 
bildungsprocess  kann  nun  auf  doppelte  Art  seinen  Abschluss  finden.  Je  nachdem 
er  in  einer  nach  Innen  oder  nach  Aussen  gerichteten  Bewegung  der  Massen- 
theilchen endet,  müssen  centripetale  und  centrifugale  Gebilde  entstehen. 
Zu  den  letzteren  gehören  vielleicht  die  spiralförmigen  Nebel,  deren  Eigen- 
thümlichkeiten  unter  der  Voraussetzung  eines  excentrischen  Stosses  sich  erklären 
lassen.  Ihre  sich  ausbreitenden  Massentheilchen  können  sich  im  Räume  zer- 
streuen und  Ritter  denkt  daran,  dass  sie,  wenigstens  zum  Theil,  den  Stoff  für 
die  Kometen  und  Meteore  lieferte.  Doch  ist  es  auch  denkbar,  dass  die  nach 
Aussen  gerichtete  Bewegung  der  Massentheilchen  eines  centrifugalen  Nebels  bei 
zunehmender  Entfernung  vom  Mittelpunkt  auf  umherschwärmende  Stofftheilchen 
stossen,  welche  ihre  Bewegung  hemmen,  so  dass  bei  fortschreitender  Verdünnung 
der  im  Innern  gelegenen  Regionen  ringförmige  Nebel  entstehen  können. 
Ebenso  würde  die  Bildung  strahlenförmiger  Nebel  und  Sternhaufen  ver- 
ständlich werden,  vielleicht  auch  die  Existenz  der  Milchstrasse  und  das 
Verschwinden  von  Nebeln  aus  ähnlichen  Vorgängen  zu  erklären  sein.  Noch 
in  langsamen  Schwingungen  begriffene  Gebilde  sind  vielleicht  die  zuerst  von 
Winneock*)  beobachteten  periodischen  Nebel  (Ritter  XII,  461.) 

3)  Die  Fixsterne. 
Sollten  sich  aus  den  kosmischen  Nebelmassen  Fixsternsysteme  bilden,  so 
mussten  sich  einzelne  Parthieen  ablösen  und  ihr  Verdichtungsprocess  musste 
zur  Bildung  von  Fixsternen  führen.  Diesen  Vorgang  denkt  sich  Kant, 
der  übrigens  weder  Doppelsterne,  noch  vielfache  Sterne  kannte,  folgendermaassen. 
Den  solche  Nebel  bildenden  Atomen  kommen  abstossende  und  anziehende  Kräfte 
zu,  die  letzteren  treten  in  verschiedener  Stärke  auf.  Die  in  geringerer  Menge 
vorhandenen,  mit  stärkerer  Anziehung  begabten  Atome  werden  einerseits  mit 
grösserer  Kraft  nach  dem  Mittelpunkt  der  Anziehung  hinstreben,  andererseits 
aber  eine  Anzahl  anderer  um  sich  sammeln  und  so  zunächst  zu  kleineren  Atom- 
gruppen zusammentreten,  die  sich  durch  dieselbe  Wirkung  je  länger,  je  mehr 
vergrössern.  So  kommen,  wie  Kant  es  ausdrückt,  >Klumpenc  zu  Stande,  welche 
sich  nach  dem  Mittelpunkt  zu  bewegen  suchen.  Da  aber  die  Zurückstossungs- 
kraft  der  auf  ihrem  Wege  liegenden  Theilchen  und  Gruppen  sie  hindert,  dies 
in  gerader  Linie  zu  thun,  so  werden  sie  seitlich  abgelenkt  und  ertheilen  der 

•)  Lock Y KR,  The  metcoric  hypothesis.  London  1890.  Bulletin  astronomique.  T.  V. 
pag.  408  and  T.  VIII,  pag.  225. 

")  G.  H.  Darwin,  Philosophical  Transactions  of  the  Royal  Society.  1889,  V.  180,  pag.  1. 
3)  Win  NECKE,  Astron.  Nachr.  No.  2293. 


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»34 


Kosmogonie. 


ganzen  chaotischen  Masse  mit  der  Zeit  eine  langsame  Rotation  um  eine  durch 
jenen  Mittelpunkt  gehende  Axe.  Das  setzt  allerdings  voraus,  dass  die  einzelnen 
Antriebe  in  einer  bestimmten  Drehungsrichtung  überwiegen  und  dass  das  der 
Fall  sein  wird,  ist  in  hohem  Grade  wahrscheinlich.  Das  geringste,  nach  einer 
Seite  hin  auftretende  Uebergewicht  muss  aber  eine  Drehung  in  einem  bestimmten 
Sinne  hervorrufen  und  so  eine  Rotation  des  Nebels  verursachen.  Ist  diese 
nun  eingetreten,  so  werden  eine  Anzahl  solcher  Theilchen  oder  Gruppen  in 
>  freier  Cirkelbewegung«  in  den  Abständen  vom  Rotationsmittelpunkt  verharren, 
in  denen  ihre  Schwere  der  Centrifugalkraft  gleich  ist.  Alle  diejenigen  aber,  die 
nicht  in  diese  Bewegung  hinein  gezogen  sind,  setzen  ihre  Bahn  zum  Mittelpunkte 
fort,  bis  auch  sie  eine  rotirende  Bewegung  erhalten  oder  bis  sie  an  der  Bildung 
des  Centraikörpers  Theil  nehmen.  Die  gegenseitige  Anziehung  der  letzteren 
wird  diesem  eine  Kugelform  ertheilen,  während  sich  die  rotirenden  Theilchen 
in  eine  flache  Scheibenform  ordnen,  die  ihr  Entstehen  dem  Umstand  verdankt, 
dass  an  alle  diejenigen  von  ihnen,  welche  nicht  in  der  Aequatorebene  liegen, 
eine  in  diese  sie  zu  ziehen  strebende  Kraftcomponente  angreift. 

Diese  Entwickelung  Kant's  ist  aber  unannehmbar,  weil  sie  gegen  das  Princip 
der  Erhaltung  der  Flächen  verstösst.  Indessen  darf  man  dessen  Nichtberück- 
sichtigung dem  Königsberger  Philosophen  nicht  zu  hoch  anrechnen.  War  auch 
das  genannte  Gesetz  1746  von  Eut.er1)  und  Danfel  Bernoulu9),  sodann  in  einer 
1750  veröffentlichten  Abhandlung  noch  einmal  von  d'Arcv1)  aufgestellt  worden, 
so  war  dies  in  einer  Form  geschehen,  welche  seine  Gültigkeit  für  den  vor- 
liegenden Fall  nicht  so  ohne  Weiteres  hervortreten  Hess4).  Laplace  (pag.  471) 
vermied  diesen  Fehler,  indem  er  die  rotirende  Bewegung  des  Urnebels  als  mit 
ihm  gegeben  voraussetzte.  Ihm  folgte  Helmholtz  (II,  pag.  119),  der  sich  sonst 
eng  an  Kant  anschliesst  Ritter  (XII,  pag.  459)  ist  dagegen  der  Ansicht,  dass 
>so  lange  man  an  der  Kant-Laplace' sehen  Hypothese  festhält,  nach  welcher 
die  Sonnenoberfläche  ursprünglich  bis  Über  die  Neptunsbahn  hinaus  sich  erstreckt 
haben  musstec,  die  Annahme  nicht  wohl  umgangen  werden  kann,  dass  unser 
Sonnensystem  >durch  den  Zusammenstoss  von  zwei  oder  mehreren  kosmischen 
Wolken,  welche  vor  dem  Stosse  bereits  gewisse  interstellare  Anfangsgeschwindig- 
keiten besassenc,  entstanden  sei.  Dieselbe  Forderung  stellt  er  mit  der  bereits 
für  die  veränderlichen  Nebel  ausgeführten  Begründung  auch  für  die  Entstehung 
der  veränderlichen  Sterne,  während  er  >gegen  die  Annahme,  dass  unter  den  un- 
veränderlich leuchtenden  Fixsternen  der  eine  oder  andere  durch  allmähliche 
Verdichtung  einer  einzelnen  kosmischen  Wolke  entstanden  sein  könnte«,  keinen 
wesentlichen  Einwand  zu  erheben  vermag. 

Gegen  diese  Stosstheorie  sind  zweierlei  Einwände  gemacht  worden,  einmal 
der,  dass  die  grösste  Wärmemenge  bereits  ausgestrahlt  gewesen  sein  müsse,  ehe 
sich  die  Körper  des  betreffenden  Systems  ausbilden  konnten,  und  sodann  der 
andere,  dass  ein  solches  Zusammentreffen  noch  nie  beobachtet  worden  sei.  Bei 
dem  ersten  Einwand  ist  aber  übersehen,  dass  die  Bildung  des  Systemes  und  die 

')  EulEr,  Solutio  problcmatis  mechanici  de  motu  corporum  tubis  mobilibus  inclusorum, 
Opuscula  varii  Argumenti.    Bd.  II.  1746. 

')  D.  Bkrnoulli,  Nouveau  probleme  de  mecanique  resolu.  Abhandlangen  der  Akademie 
der  Wissenschaften  zu  Berlin.    Bd.  I.  1746. 

3)  D'AaCY ,  Probleme  de  Dynamique.  Memoire«  de  l'Academie  Francaise.  Paris  1750, 
pag-  344-  3ÖI. 

*)  Dühring,  Kritische  Geschichte  der  allgemeinen  Principien  der  Mechanik.  3.  Aufl. 
Leipzig  1887,  pag.  281. 

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235 


Wärmeausstrahlung  ja  der  nämliche  Vorgang  ist  Gegen  den  zweiten  führt 
Ritter  an,  dass  die  an  der  Erdoberfläche  beobachteten  Meteoritenfälle,  die 
höchst  wahrscheinlich  auch  auf  der  Sonne  vorkommen,  ja  nichts  anderes  sind, 
als  gelegentliche  Zusammenstösse  von  Theilen  der  im  Weltenraume  zerstreuten 
Materie.  Dem  ist  zuzufügen,  dass  wenn  wir  annehmen  müssen,  wie  sogleich 
näher  begründet  werden  soll,  dass  die  Fixsterne  gleichaltrig  sind,  solche  Ereig- 
nisse überhaupt  nicht  mehr  stattfinden  werden.  Indessen  liegen  auch  Beob- 
achtungen vor,  die  vielleicht  auf  einen  zukünftigen  oder  aber  auf  einen  thatsäch- 
lichen  Zusammenstoss  hindeuten.  So  sind  möglichenfalls  die  Doppelnebel  Ge- 
bilde, für  welche  eine  solche  Katastrophe  in  verhältnissmässig  naher  Aussicht 
stellt,  so  hat  man  von  verschiedenen  Seiten  das  mehrmalige  Wiederaufleuchten 
des  neuen,  im  December  1891  erschienenen  Sternes  im  Fuhrmann  auf  solche 
Zusammenstösse  zurückgeführt.  Vogel1)  macht  darauf  aufmerksam,  dass  die 
dabei  beobachteten  Erscheinungen  sehr  wohl  ihre  Erklärung  in  der  Annahme 
finden  würden,  dass  ein  Körper  von  der  Grössenordnung  unserer  Sonne  durch 
das  System  eines  andern  ebensolchen  gegangen  und  mit  einigen  von  dessen 
Gliedern  zusammengestossen  sei,  wählend  Seeliger*)  meint,  derselbe  Zweck 
werde  durch  die  Unterstellung  erreicht,  dass  ein  solcher  Körper  verschieden 
dichte  Parthieen  eines  Nebels  durchzogen  habe.  Dabei  dürfen  wir  jedoch  zu 
bemerken  nicht  unterlassen,  dass  Huggins3)  und  Berberich4)  diese  Annahmen 
nicht  für  nöthig  erachten,  sondern  das  mehrfache  Aufleuchten  der  Nova  Aurigae 
durch  Gasausbrüche,  die  dort  stattfanden,  erklären  zu  können  glauben. 

Die  Fixsterne  werden  als  Endgebilde  der  sich  verdichtenden  centripetalen 
Nebel  angesprochen  werden  müssen,  es  wird  von  deren  Form  und  Grösse  ab- 
hängen, ob  sich  ein  einzelner  oder  mehrere  bilden.  Die  Theilchen  eines  ur- 
sprünglich kugelförmigen  Nebels  können  sich  zu  einer  grossen  Zahl  kleiner 
Körper  vereinigen  und  aus  solchen  sind  vielleicht  die  kugelförmigen  Sternhaufen 
im  Hercules  und  in  den  Jagdhunden  entstanden  (Faye).  Hatte  der  Nebel  von 
vornherein,  oder  in  Folge  seiner  Rotation  eine  abgeplattete  Gestalt  erhalten,  so 
konnten  mehrere  grössere  Stoffanhäufungen  zu  Stande  kommen,  wie  sie  die 
doppelten  und  vielfachen  Sterne  zeigen,  oder  es  trat  im  Mittelpunkt  ein  einziger 
Körper  von  grosser  Masse  auf,  ausser  ihm  aber  entstehen  eine  grössere  oder  geringere 
Anzahl  rasch  erlöschender  Begleiter,  welche  der  Centraikörper  zwingt,  ihn  nach 
dem  dritten  K EPPLEJt'schcn  Gesetz  zu  umkreisen,  es  entstehen  Sonnensysteme. 

Fassen  wir  zunächst  den  Centraikörper  ins  Auge,  der  durch  die  Verdichtung 
der  in  die  Mitte  des  Systemes  gelangenden  Nebelmassen  sich  bildete,  so  werden 
bei  diesem  Vorgange  in  derselben  Weise,  wie  wir  dies  bei  den  Nebeln  gesehen 
haben,  pulsirende  Bewegungen  Platz  greifen,  die  eine  abwechselnde  Erhitzung 
und  Abkühlung  und  in  Folge  davon  ein  periodisches  Aufleuchten  zeigen  müssen. 
Während  die  Dauer  einer  Pulsation  im  Laufe  der  Zeiten  sich  nicht  ändert,  nimmt 
ihre  Amplitude,  je  nach  der  Menge  der  schwingenden  Stofftheilchen,  in  kürzeren 
oder  längeren  Zeiträumen  ab.  Auf  solche  Weise  würden  die  veränderlichen 
Sterne  von  nicht  zu  kurzen  Perioden  entstehen,  die  ihre  Veränderlichkeit  mit 
der  Zeit  verlieren  müssen.  Veränderliche  Sterne  von  sehr  langen  Perioden 
würden  vielleicht  in  manchen  Fällen  als  plötzlich  aufleuchtende  erscheinen  können 


»)  H.  C.  Vogel,  Abhandlungen  der  Akademie  der  Wissenschaften  zu  Berlin  1893. 
*)  H.  S seliger,  a.  a.  O. 

*)  W.  Huggims,  Naturwissenschaftliche  Rundschau.    1893.  VIII,  pag.  389. 
*)  Berberich,  Ebendas.    1893.  VIII,  pag.  307. 


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Kosmogonie. 


(Ritter  VIII,  181,  XII,  459,  XIII,  366),  welche  Annahme  dem  Ergebniss  der 
spectralanalytischen  Forschung  wenigstens  nicht  widerspräche.  Veränderliche 
Sterne  von  kurzer  Periode  werden  dagegen  nach  den  an  Algol  gemachten  Beob- 
achtungen vielfache  oder  Doppelsterne  mit  schwach  leuchtenden  oder  dunkeln 
Begleitern  sein.  War  die  den  Fixstern  bildende  Nebelmasse  nicht  gleichförmig 
vertheilt,  so  können  im  Innern  der  ihn  bildenden  Gaskugel  noch  untergeordnete 
Schwingungen  der  Massentheilchen  eintreten,  welche  die  Ursache  von  secundären 
Maximis  und  Minimis  der  Helligkeit  würden. 

Demnach  zerfallt  die  Erscheinungsdauer  eines  Fixsterns  in  drei  Abschnitte 
(Ritter  XX,  158).    Während  der  ersten  wird  nur  ein  Theil  der  durch  die 
Gravitationsarbeit  erzeugten  Wärme  ausgestrahlt;  der  Rest  wird  verwendet,  um 
seine  innere  Wärme  und  Oberflächentemperatur  zu  erhöhen.    Da  alsdann  die 
Dichtigkeit  des  Sterns  noch  gering  ist,   so  werden  Strahlen,   die  aus  seinem 
Innern  austreten,   kaum  Absorption  erleiden,  da  aber  auch  seine  Temperatur 
noch  sehr  niedrig  ist,  so  wird  die  ausgesendete  Lichtmenge  nicht  gross  und 
namentlich  arm  an  brechbaren  Strahlen  sein.   Erfolgt  nun  die  Zustandsänderung 
des  Sterns  am  Anfange  dieses  Abschnittes  sehr  langsam,   so  nimmt  sie  gegen 
dessen  Ende,  wenn  der  Stern  beginnt,   helleres  Licht  auszustrahlen,  an  Ge- 
schwindigkeit zu,  bis  ein  Maximum  der  Helligkeit  und  der  Menge  der  ausgegebenen 
brechbareren  Strahlen  erreicht,  der  Stern  in  den  zweiten  Abschnitt  seines  Be- 
stehens getreten  ist.    Dieser  geht  noch  über  den  Zeitpunkt  hinaus,  in  welchem 
sich  ein  centraler  dichter  Kern  zu  gestalten  beginnt.    In  ihm  nehmen  zunächst 
die  Oberflächentemperatur  und  die  innere  Wärme  fortwährend  zu,  auch  dann 
noch,  wenn  die  Stärke  des  ausgestrahlten  Lichts  bereits  abzunehmen  beginnt 
und  die  anfangs  noch  erfolgende  Zustandsänderung  langsamer  geworden  ist 
So  lange  die  umgebenden  Gasschichten  noch  immer  heisser  werden,  ist  es 
möglich,  dass  das  Spectrum  eines  solchen  in  seiner  Anfangsperiode  befindlichen 
Sterns  die  Wasserstoff-  und  Heliumlinien  hell  zeigen  kann.  Je  mehr  sich  aber 
nun  jene  Gasschichten  abkühlen  und  gleichzeitig  verdünnter  werden,  in  um  so 
reicherem  Maasse  durchdringen  die  vom  Kern  ausgehenden  Strahlen  die  Hülle, 
indem  diese  aber  Strahlen  bestimmter  Brechbarkeit  absorbirt,  zeigt  der  Stern 
nunmehr  ein  dem  der  Sonne  ähnliches  Spectrum.    Dieser  Zustand  zeigt  die 
längste  Dauer  und  ist  dadurch  ausgezeichnet,  dass  sich,  während  er  anhält,  die 
Oberflächentemperatur  des  Fixsterns  nicht  merklich  ändert.    Ihr  absoluter  Werth 
ist  um  so  grösser,  je  grösser  die  Masse  des  Sterns  ist,  und  da  ein  Körper  von 
höherer  Temperatur  brechbarere  Strahlen  in  grösserer  Menge  aussendet,  als  ein 
solcher  von  weniger  hoher,  so  müssen  die  weissen  Sterne  eine  grössere  Masse 
haben,  wie  die  gelben,  damit  stimmt  Uberein,  dass  die  Masse  des  Sirius  vierzehn 
Mal  grösser  ist,  wie  die  der  Sonne1).    Erst  wenn  im  dritten  Abschnitt  der 
Existenz  eines  Sterns  Oberflächentemperatur  und  Wärmestrahlung  in  steter  Ab- 
nahme begriffen  sind,  strahlt  der  Stern  wieder,  wie  im  Anfang,  nur  wenig  brechbare 
Strahlen  aus,  das  Spectrum  seines  Lichtes  unterscheidet  sich  aber  von  dem, 
welches  es  damals  zeigte,  durch  das  Auftreten  breiter  Absorptionsbanden,  die 
auf  das  Vorhandensein   von  Verbindungen  in   seiner  Atmosphäre  hinweisen. 
Auch  die  Zustandsänderung  in  diesem  Abschnitte  erfolgt  nur  langsam.  Aus 
dem  Spectrum  des  Lichtes,  welches  ein  Stern  ausstrahlt,  lässt  sich  demnach 
auf  sein  Alter  schliessen,  freilich  nur  auf  sein  relatives,  da  er  seine  ZuStands- 
änderungen  um  so  rascher  durchläuft,  je  kleiner  seine  Masse  ist. 


')  Nf.wcomb,  Toj  ulätc  Astronomie.    Deutsch  von  Engrlmann.    Leipzig  1881,  pag.  498. 


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Kosmogonie.  337 

In  den  geschilderten  Zuständen  der  Entwickelung  eines  Sterns  erkennt  man 
unschwer  die  vier  Sterntypen,  welche  Secchi1),  oder  die  drei,  welche  Vogel») 
aus  spectralanalytischen  Beobachtungen  abstrahirt  haben.  Auch  Hesse  es  sich  mit 
dem  beschriebenen  Verlauf  des  Farbenwechsels  in  Einklang  bringen,  wenn  die 
Schriftsteller  des  Alterthums  den  Sirius  einen  rothen  Stern  nennen.  Aber  auch 
das  Zahlenverhältniss  der  Sterne  der  verschiedenen  Klassen,  welches  Vogel' s 
Untersuchungen  ergeben  haben,  stimmt  damit  überein.  Unter  3702  Sternen 
einer  bestimmten  Himmelszone  gehörten  2165  der  ersten,  1240  der  zweiten 
und  nur  297  der  dritten  Klasse  an.  Bei  der  langen  Zeit,  während  welcher 
der  Stern  in  dem  ersten  Theil  der  ersten  Periode  seines  Bestehens  verharrt, 
werden  eine  grosse  Menge  Sterne  gleichzeitig  in  ihrem  ersten  noch  dunkeln 
Zustand  sein,  viel  weniger  in  dem  bereits  zu  grösserer  Helligkeit  fortge- 
schrittenen. Sie  bilden  die  beiden  Abtheilungen  a  und  b  der  VocEL'schen 
Klasse  I,  jene  mit  2155,  diese  mit  nur  10  Einzelkörpern.  Aus  demselben 
Grunde  wird  die  zweite  Periode,  in  der  sich  die  Sterne  der  Klasse  II  nach  Vogel 
befinden,  lange  dauern,  demnach  reich  an  Beispielen  sein.  In  der  That  wurden 
von  solchen  1240  gefunden.  Obgleich  nun  auch  die  dritte  Periode  oder  die 
Klasse  III  Vogel's  eine  grosse  Zahl  von  Sternen  enthalten  muss,  so  kann  ihre 
geringe  Zahl  von  279  nicht  überraschen,  da  die  meisten  derselben  in  Folge 
ihrer  vorgeschrittenen  Abkühlung  ihre  Leuchtkraft  mehr  oder  weniger  einge- 
büsst  haben.  Vielleicht  ist  es  dann  auch  nicht  zu  gewagt,  die  Fixsterne  für 
nahezu  gleichaltrig  zu  halten  und  in  denen,  welche  ihrem  Erlöschen  nahe  sind, 
solche  von  geringer  Masse  zu  sehen.  Die  von  Pierson3)  aus  der  Beobachtung 
der  Farben  von  Doppelsternen  gezogenen  Schlüsse  führen  allerdings  zu  entgegen- 
gesetzten Anschauungen.  Da  sie  aber  mit  den  Erfahrungen  der  Physik  in  Wider- 
spruch stehen,  so  werden  sie  einer  erneuten  Prüfung  unterzogen  werden  müssen. 

4)  Unser  Sonnensystem. 

Kant  und  Laplace  stimmen,  wie  wir  gesehen  haben,  darin  überein,  dass 
der  Nebel,  aus  welchem  sich  die  Sonne  und  ihre  Planeten  bildeten,  Rotation 
besass  und  eine  flache  Scheibe  darstellte.  Ehe  er  sich  in  einzelne  Körper 
differenzirte,  reichte  er  bis  über  die  Neptunsbahn  hinaus,  die  Frage  Radau's4) 
aber,  ob  sich  die  beiden  Forscher  ihn  aus  staubförmigen  Theilchen  oder  aus 
Gasmolekülen  bestehend  dachten,  ist  aus  ihren  Schriften  nicht  zu  beantworten. 
Doch  sei  bei  dieser  Gelegenheit  erwähnt,  dass  sie  iür  die  Stosstheorie  bedeutungs- 
los ist.  »Da  die  Verdampfungswärme  der  bekannten  festen  Substanzen  nur  wenige 
hundert  Wärmeeinheiten  pro  Kilogramm  beträgt,  während  die  beim  Zusammen- 
stosse  grosser  kosmischer  Massen  pro  Kilogramm  entwickelte  Wärmemenge  nach 
Hunderttausenden  oder  Millionen  von  Wärmeeinheiten  sich  beziffert,  so  darf  es 
bei  der  vorliegenden  Untersuchung  als  gleichgültig  betrachtet  werden,  ob  die 
zusammenstossenden  Massen  im  festen  oder  im  gasförmigen  Zustande  sich  be- 
fanden.« (Ritter  XII,  452.)  So  würde  die  Sonne  in  derselben  Weise  gebildet 
sein,  wie  die  übrigen  Fixsterne  auch. 

Wenden  wir  uns  nun  zur  Betrachtung  der  Entstehung  der  Planeten,  so 
rinden  wir  hinsichtlich  dieser  Frage  zwischen  den  Lehren  Kant's  und  Laplace's 

')  Secchi,  Die  Sonne.    Deutsch  von  Schellen.    Braunschweig  1873,  pag.  775. 
*)  H.  C.  Vogel,  Publicationen  des  astrophysikalischen  Observatoriums  tu  Potsdam.  1883. 
III,  pag.  127. 

s)  Pierson,  Bulletin  astronomique  1891.    T.  VIII,  pag.  559. 
*)  Radau,  Bulletin  astronomique  1885.    T.  II,  pag.  309. 


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*3« 


Kosmogonic. 


wesentliche  Unterschiede.  Nach  Kant  (pag.  21)  sind  die  Keime  der  Planeten 
die  untergeordneten  Centren  der  Anziehung,  welche  wir  bereits  erwähnten.  Da 
bei  ihrer  Bildung  die  schwereren  Theilchen  durch  die  Menge  der  Widerstand 
leistenden  andern  zur  Sonne  hindurch  dringen  und  nicht  leicht  von  ihrem  Wege 
abgebeugt  werden,  als  die  weniger  schweren,  so  nehmen  sie  ihre  kreisförmige 
Bewegung  erst  in  grösserer  Nähe  der  Sonne  an.  Die  unteren  Planeten  sind 
also  die  dichteren,  eine  Thatsache,  zu  deren  Erklärung  Newton  nur  anzuführen 
wusste,  dass  sie  in  Folge  dieser  Eigenschaft  die  stärkere  Erhitzung  besser  aus- 
halten könnten.  Wäre  das  der  Grund,  so  müsste  ja,  wie  Kant  mit  Recht  be- 
merkt, die  Sonne  alle  Planeten  an  Dichtigkeit  übertreffen,  was  nicht  der  Fall 
sei  und  auch  nicht  der  Fall  sein  könne,  da  der  Centraikörper  aus  Theilchen 
aller  Art  bestehen  müsse. 

Nehmen  nun  die  Dichtigkeiten  der  Planeten  in  der  Richtung  nach  der  Sonne 
zu,  so  müssen  ihre  Massen  in  derselben  Richtung  abnehmen,  weil  unter  sonst 
gleichen  Verhältnissen  die  Anziehungssphäre  eines  Planeten  durch  die  Sonne  um 
so  weniger  eingeschränkt  wird,  je  weiter  entfernt  er  sich  von  ihr  befindet,  weil 
ferner  die  Kreise,  welche  die  Zonen  der  entfernteren  begrenzen,  grösser  sind, 
und  weil  endlich  aus  demselben  Grunde  der  Raum  zwischen  den  zwei  Flächen 
grösster  Abweichung  bei  gleicher  Anzahl  der  Grade,  in  grösserer  Entfernung 
grösser  ist.  Diese  zu  erwartende  Anordnung  wird  nun  aber  gestört  durch  die 
Einwirkung  der  entstehenden  Körper  aufeinander,  die  zur  Folge  haben  muss, 
dass  ein  grösserer  Planet  in  seiner  Nachbarschaft  die  Bildung  verhältnissmässig 
kleinerer  bewirkt,  wofür  der  mächtige  Jupiter  in  Mitten  seiner  beiden  kleineren 
Nachbarn  Saturn  und  Mars  —  die  Asteroiden  und  die  beiden  äussersten  Pla- 
neten waren  noch  nicht  entdeckt,  als  Kant  seine  Naturgeschichte  des  Himmels 
schrieb  —  ein  einleuchtendes  Beispiel  liefern. 

Wären  alle  materiellen  Theilchen,  welche  von  Anfang  an  sich  in  den 
äusseren  Theilen  des  Nebels  befanden,  zur  Bildung  der  Planeten  verwendet 
worden,  so  müsste  sich  die  Masse  der  Sonne  zu  der  Gesammtmasse  der  Pla- 
neten, wie  17:1  verhalten.  In  Wahrheit  aber  ist  dieses  Verhältniss  650:1  (ge- 
nauer 745:1).  Es  sind  somit  nicht  alle  Theilchen  des  Nebels  in  Rotation  ge- 
treten, vielmehr  haben  sich  solche  aus  allen,  auch  aus  den  obersten  Regionen 
zur  Sonne  begeben.  Daraus  muss  geschlossen  werden,  dass  die  Sonne  und  die 
Planeten  aus  denselben  Stoffen  bestehen,  ein  Schluss,  den  die  Spectralanalyse 
bestätigt  hat.  Dabei  ist  jedoch  nicht  zu  Ubersehen,  dass  der  Verdichtungs- 
process  auch  der  Planeten  keineswegs  für  abgeschlossen  zu  halten  ist,  und 
damit  stimmt  das  Ergebniss  der  Untersuchung  Ritter's  (XX,  pag.  6x9  ff.)  Uber- 
ein, dass  die  kleinen  Planeten  in  ihrer  Zustandsänderung  der  Sonne  voran- 
geeilt, die  grösseren  hinter  ihr  zurückgeblieben  sind.  Auch  die  Dichtigkeit,  die 
der  Urnebel  gehabt  haben  müsse,  berechnet  Kant,  doch  gehen  die  von  seinen 
Nachfolgern  dafür  erhaltenen  Werthe  noch  weit  über  die  seinigen  hinaus. 

Näher  denkt  sich  der  Königsberger  Weise  die  Entstehung  der  Planeten  so, 
dass  sich  durch  den  Zusammenlauf  einiger  Elemente,  »welche  sich  durch  die 
gewöhnlichen  Gesetze  des  Zusammenhanges  vereinigen«,  der  erste  »Klumpen« 
bildet,  sobald  dieser  eine  solche  Grösse  erreicht  hat,  »dass  die  NEWTON'sche 
Anziehung  an  ihm  vermögend  geworden«  ist,  zieht  er  Theilchen  auch  aus 
grösserer  Entf  ernung  heran.  Vor  jedem  möglichen  Lehrbegriffe,  findet  Kant, 
hat  der  seinige  das  voraus,  dass  »der  Ursprung  der  Massen  zugleich  den  Ur- 
sprung der  Bewegung  und  die  Stellung  der  Kreise  in  eben  demselben  Zeitpunkt 
darstellt« .    Denn  »die  Planeten  bilden  sich  aus  Theilchen,  welche  in  der  Höhe, 


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Kosmogonie. 


239 


da  sie  schweben,  genaue  Bewegungen  zu  Cirkelkreisen  haben :  also  werden  die 
aus  ihnen  zusammengesetzten  Massen  eben  dieselben  Bewegungen,  in  eben  dem 
Grade,  nach  eben  derselben  Richtung  fortsetzen!,    (pag.  20.) 

Laplace  (pag.  473)  stellt  sich  dagegen  die  Entstehung  der  Planeten  folgender- 
maassen  vor.  Die  Grenze  der  ursprünglichen  Nebelmasse  war  da,  wo  die 
Cenlrifugalkraft  und  die  Gravitation  sich  im  Gleichgewicht  hielten.  Als  sie  sich 
abkühlte,  zog  sie  sich  zusammen,  während  im  Einklang  mit  dem  Princip  der 
Flächen  die  Rotationsgeschwindigkeit  der  sich  dem  Mittelpunkt  nähernden  Theil- 
chen  wuchs.  Dabei  blieben  diejenigen  zurück,  deren  Schwerkraft  durch  die 
Centrifugalkraft  aufgehoben  wurde  —  bildeten  sich  eine  Anzahl  concentrischer 
Gasringe,  welche  um  den  gemeinschaftlichen  Mittelpunkt  kreisten.  Bei  regel- 
mässig fortschreitender  Abkühlung  wären  sie  zu  flüssigen,  ja  festen  geworden, 
die  geringste  Störung  aber  verhinderte  dies.  Sie  zerbrachen  und  die  Bruch 
stücke  vereinigten  sich  mit  der  Zeit  zu  Planeten. 

Aus  der  Art  ihrer  Entstehung  erklären  nun  Kant  und  Laplace  die  Rotation 
der  Planeten  um  ihre  Axen  und  deren  Drehungssinn.  Da  nach  des  französischen 
Astronomen  Ansicht  der  Centraikörper  zur  Zeit  ihrer  Bildung  noch  nicht  vor- 
handen war,  so  musste  die  Anziehung  im  umgekehrten  Verhältniss  der  ersten 
Potenz  des  Halbmessers  des  betreffenden  Ringes  erfolgen,  seine  inneren  Theile 
also  eine  geringere  Geschwindigkeit  haben,  als  seine  äusseren  und  die  Rotation 
der  aus  ihnen  entstehenden  Planeten  somit,  wie  es  bei  den  sechs  unteren  in 
der  That  der  Fall  ist,  rechtläufig  sein.  Kant  aber  hätte,  da  er  bei  der  Ent- 
stehung der  Planeten  die  NEWTON'sche  Anziehung  und  somit  das  Vorhandensein 
des  Centraikörpers  voraussetzt,  den  entgegengesetzten  Schluss  ziehen  müssen. 
Dass  er  gleichwohl  die  rechtläufige  Rotation  annimmt,  ist  offenbar  ein  Fehler, 
und  selbst  Zöllner1)  muss  bei  aller  Bewunderung  für  den  grossen  Philosophen 
bekennen,  dass  er  diese  Schlussfolgerung  nicht  verstehe.  Darin  liegt  auch  wohl 
der  Grund,  dass  man  Kant's  Ansicht  vielfach  dahin  ausgelegt  hat,  dass  die  fertig 
gebildete  Sonne  die  Nebelringe,  welche  die  Geburtsstätten  der  Planeten  wurden, 
abgeworfen  habe.  Wie  Helmholtz  (III,  pag.  123)  diesen  Theil  der  Kant' sehen 
Hypothese  auffasst,  wird  nicht  recht  klar. 

An  Einwendungen  gegen  die  Ideen  Kant/s  und  Laplace's  hat  es  nicht  ge- 
fehlt. Wolf1)  ist  der  Ansicht,  dass  die  Ringe  sich  überhaupt  nicht  hätten  bilden 
können,  während  Kuikwood*)  glaubt,  dass  in  der  geschilderten  Weise  keine 
Planeten  entstehen  konnten,  sondern  nur  eine  grosse  Menge  kleiner  Körperchen 
in  dem  die  Sonne  umgebenden  Raum.  Ritter  (XX,  pag.  918)  wiederum  hält 
dafür,  dass  nicht  die  Entstehung  der  Ringe,  wohl  aber  die  der  Planeten  aus  den 
Ringen  einer  besonderen  Erklärung  bedürfe,  die  er,  wie  folgt,  giebt  Während 
die  in  der  Oberflächenschicht  einer  ruhenden  Gaskugel  von  grosser  Masse  ent- 
stehenden Condensationsprodukte  sofort  in  heissere  Regionen  herabsinken  und 
sich  hier  wieder  auflösen  roussten,  so  mussten  in  dem  rotirenden  System  diese 
Produkte  schon  vor  der  Abtrennung  der  Ringe  vorhanden  gewesen  sein,  weil 
sie  sich  durch  starke  Ausstrahlung  von  der  Oberfläche  in  reichlicher  Fülle  bilden 
konnten,  ihre  Schwere  aber  durch  die  Condensationsprodukte  aufgehoben  wurde. 


')  Zöllner,  Photometrische  Untersuchungen.    Lciptig  1865,  pag.  224. 

*)  R.  C.  Wolf,  Les  Hypothese*  cosmogoniques.  Bulletin  astionomique  1884.  T.  I.  1885. 
T.  II,  siehe  T.  I,  pag.  590. 

*)  Kirjcwooi),  Monthly  Notices  of  the  Royal  Astronomical  Society,  T.  XXIX,  pag.  96.  — 
Proceedings  of  the  American  philosophica!  Society  April  1880. 


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Kosmogonic. 


Die  condensirten  Massen  zogen  aber  noch  nicht  condensirte  an  sich  heran  und 
nur  unter  besonders  günstigen  Umständen  konnte  die  Condensation  der  Ring- 
masse eine  ziemlich  vollständige  werden  und  so  zur  Entstehung  einer  grösseren 
Menge  kleiner  Körper,  wie  die  Asteroiden,  Veranlassung  geben.  Dass  bei  der 
Bildung  der  letzteren  die  anziehende  Wirkung  des  benachbarten  gTÖssten 
Planeten  eine  entscheidende  Rolle  spielte,  indem  er  die  Ausbildung  eines  hin- 
reichend kräftigen  Mittelpunktes  der  Anziehung  verhinderte,  nahm  Laplace 
(pag.  474)  an,  der  freilich  nur  vier  Asteroiden  kannte,  hielt  aber  auch  die  von 
Olbers  zuerst  ausgesprochene  Ansicht,  diese  kleinen  Weltkörper  verdankten  ihre 
Entstehung  einem  zersprungenen  Planeten,  keineswegs  für  unmöglich.  Neuer- 
dings haben  sich  Kirkwood  und  Hornstein1)  der  Ansicht  von  Laplace  an- 
geschlossen. 

Den  wichtigsten  Einwand  gegen  die  Meinung,  dass  die  Planeten  früher  wie 
die  Sonne  entstanden  sein  müssten,  bildet  die  aller  Wahrscheinlichkeit  nach  vor- 
handene rückläufige  Bewegung  des  Neptun  und  Uranus.  Es  ist  Faye's  Verdienst, 
diese  Schwierigkeit  gehoben  zu  haben.  Nach  seiner  Schilderung  gestaltete  sich 
die  Bildung  des  Planeten  in  der  folgenden  Weise  (pag.  266).  Die  Bewegung  der 
Ringe  in  ihrer  Gesammtheit  Hess  den  Molekülen  genügend  lange  Zeit,  ihrer 
gegenseitigen  Anziehung  zu  gehorchen  und  sich  nach  einem  in  der  Meridian- 
schicht gelegenen  Mittelpunkte  hinzubewegen.  Endlich  aber  hatten  die  in  den 
Ringen  vorhandenen  Bedingungen  zur  Hervorbringung  von  Wirbeln  zur  Folge,  dass 
sie  sich  in  solche  auflösten.  Von  diesen  nahmen  die  stärkeren  die  schwächeren 
auf,  sei  es  durch  Attraction,  sei  es,  dass  sie  sie  vermöge  ihrer  grösseren  Ge- 
schwindigkeit einholten.  Da  aber  die  Centrifugalkraft  der  in  ihnen  rottenden, 
*  noch  homogenen  Masse  immerhin  nur  gering  war,  so  bildeten  die  Wirbel  sich 
zu  Kugeln  aus,  deren  Axe  mehr  oder  weniger  senkrecht  zu  der  Ebene  des 
Ringes  lag.  Unterdessen  setzten  die  Theilchen,  welche  von  jenen  Wirbeln  nicht 
ergriffen  wurden,  ihren  Weg  langsam  zum  Mittelpunkte  fort,  und  wuchsen  dort 
zur  Sonne  heian,  welche  je  länger,  je  mehr  ihre  Anziehung  auf  ihre  Umgebung 
geltend  machte.  Nun  ist  allgemein  die  die  Theilchen  nach  dem  Mittelpunkt 
ziehende  Kraft 

kzm  "  +  7?» 

wo  r  den  Abstand  vom  Mittelpunkt,  a  und  b  Constante  bedeuten.  Ist  hier 
b  =  0,  so  wird  k  =  ar,  und  dieser  Ausdruck  giebt  die  Grösse  der  Kraft  für  die 
Zeiten  vor  der  Ausbildung  des  Centraikörpers.    Wird  dagegen  a  —  0,  so  wird 

*  =  ^  und  hierdurch  i.t  die  Kreit  „.ch  dem  Art**,  der  Sonne  bestimmt. 

In  den  Zeiträumen  nun,  wo  k  *=  ar  war,  entstanden  die  sechs  untersten  Planeten 

und  die  Asteroiden,  die  Bildung  des  Neptun  und  möglicherweise  des  Uranus  er- 

b 

folgte  dagegen,  nachdem  k  den  Werth  von  — j  erhalten  hatte.  Die  Rotations- 
verhältnisse des  Uranus  sind  freilich  noch  nicht  genügend  aufgeklärt.  Haben 
doch  die  Bestrebungen  Schiaparelli's1)  und  Young's*),  eine  Abplattung  des 
Planeten  nachzuweisen,  zu  keinem  Resultate  geführt,  während  Seeliger4)  und 

•)  Hornstein,   Sitzungsberichte  der  Academie  der  Wissenschaften  zu  Wien,  Mathem.- 
Naturw.  Classe,  II.  Abt.  LXXXIV,  pag.  7. 

*)  S ein apar ULLI,  Astron.  Nachr.  No.  2526. 
*)  Yoi'NG,  Astron.  Nachr.  No.  2545. 

*)  H.  Sebligek,  SiUungsber.  der  Academie  der  Wissenschaften  in  München.  1864,  pag.  267. 


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Kosmogonie. 


24I 


Meyer1)  keine,  Lamey1)  eine  sehr  veränderliche  Abplattung  fanden.  Man  wird 
demnach  einstweilen  die  aus  der  Rotationsebene  der  Satelliten  gefolgerte  Lage 
der  Axe  beibehalten  müssen,  wonach  sie  in  die  Ebene  seiner  Bahn  fällt.  Diese 
aber  erklärt  Faye's  Theorie  leicht,  indem  sie  die  Entstehung  des  Uranus  in  die 
Zeit  setzt,  wo  weder  a  noch  b  Null  waren.  Die  zu  dem  Planeten  zusammen- 
tretenden Theilchen  mussten  alsdann  in  sich  mehr  und  mehr  verstärkendem 
Maasse  den  Sinn  seiner  Axendrehung  ändern  und  dabei  seine  Aequatorebene 
nach  und  nach  in  ihre  jetzige  Axe  heben.  Sollte  sich  die  noch  sehr  unwahr- 
scheinliche Bestimmung  der  Neigung  der  Uranusaxe  zu  58°  bei  rechtläufiger 
Rotation  durch  Henry*)  bestätigen,  so  würde  man  nur  die  Annahme  machen 
müssen,  dass  die  Bildung  des  Uranus  ebenfalls  in  die  Periode  vor  Entstehung 
der  Sonne  falle,  der  FAYE'schen  Theorie  aber  würde  daraus  durchaus  keine 
Schwierigkeit  erwachsen.  In  jedem  Fall  würde  sie  das  abweichende  Verhalten 
des  Uranus  zwangloser  erklären,  als  dies  die  Annahme  Radau's  (pag.  315)  zu 
thun  im  Stande  ist,  welcher  die  zur  Sonne  sich  langsam  bewegenden  Theilchen 
dazu  heranzieht.  Ist  es  doch  nicht  einzusehen,  warum  ähnliche  Einwirkungen 
die  übrigen  Planelen  nicht  erfahren  haben  sollten.  Die  sehr  complicirte  Theorie 
Roche's*)  wird  durch  die  FAYE'sche  vollends  unnöthig  gemacht. 

Die  Neigungen  und  Excentricitäten  der  Planetenbahnen  finden 
in  den  vorgeführten  Theorieen  ihre  Erklärungen  nicht.  Den  Grund  der  ersteren 
sieht  Kant  in  Störungen,  welche  die  sich  bildenden  Anziehungscentren  auf- 
einander ausgeübt  haben  sollen.  Nach  Trowbridüe5)  dagegen  soll  sich,  während 
sich  die  Planeten  bildeten,  auf  der  einen  Seite  der  Aequatorebene  des  Nebels 
mehr  Masse  befunden  haben,  wie  auf  der  andern,  und  dadurch  soll  seine 
Rotationsaxe  dauernd  langsam  gedreht  worden  sein.  Dieselbe  Einwirkung 
habe  dann  die  Axen  der  zurückgelassenen  Ringe  ein  wenig  gegen  einander 
geneigt.  Da  aber  auf  solche  Weise  die  starke  Neigung  der  Mercursbahn, 
sowie  diejenigen  der  Bahnen  einiger  Asteroiden  nicht  entstanden  sein  können, 
so  suchen  Leverrier6)  und  Tissandier7)  den  Grund  für  diese  in  den  Störungen, 
welche  die  Sonne  und  Venus  auf  Merkur,  Jupiter,  Saturn,  Mars,  Erde  und  Venus 
auf  die  Asteroiden  ausüben  mussten. 

Um  die  Excentricitäten  der  Planetenbahnen  zu  erklären,  ging  Kant  (pag.  31) 
von  der  Ansicht  aus,  dass  sie  mit  der  Entfernung  von  der  Sonne  wüchsen.  Die 
kleineren  der  unteren  Planeten  wollte  er  aus  der  Breite  der  Zonen,  welche  zu 
deren  Bildung  das  Material  geliefert  hätten,  herleiten,  während  die  grösseren  der 
oberen  ihren  Grund  zumeist  in  der  stark  excentrischen  Bewegung  der  zur  Sonne 
sinkenden  schwereren  Theilchen  haben  sollten.  Die  ausnahmsweise  grossen 
Excentricitäten  des  Merkur  und  Mars  leitete  er  aus  der  Wirkung  der  Sonne  und 
des  Jupiter  her.  Laplace  (pag.  475)  schreibt  die  Abweichung  von  der  Kreisbahn 
zufälligen  Verschiedenheiten  in  der  Temperatur  und  der  Dichtigkeit  der  Massen 
der  Ringe  zu.  Faye  (pag.  363)  glaubt  dagegen,  dass  unter  den  ursprünglichen 
Bedingungen  unseres  Sonnensystemes  eine  gewesen  sei,  welche  die  Excentricität 
verursacht  habe,  da  es  nach  den  Grundsätzen  der  Mechanik  gleichgültig  wäre, 

»)  Mbveb,  Astron.  Nachr.  No.  2534. 

»)  Lamey,  Coinpt.  rend.  T.  C,  pag.  1372. 

*)  Henry,  Balletin  astronomique,  T.  II,  pag.  321. 

*)  Roche,  Essai  sur  la  Constitution  du  Systeme  Solaire.    Montpellier  1873. 
*)  Teowbridgk,  Suujman's  Journal,  Ser.  2,  T.  XXXVIII,  pag.  358. 
•)  Leverrier,  Annales  de  l'obseTratoire  de  Paris.    T.  II,  pag.  365. 
T)  Tbsandikr,  Compt.  rend.  T.  XCIV,  pag.  947. 
Vaiätwu,  Astronomie.   11.  l6 


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2+2 


Kosmogonie. 


ob  die  ursprüngliche  Form  der  Ringe  kreisförmig  oder  elliptisch  wurde,  setzt 
also  als  gegeben  voraus,  was  erklärt  werden  soll.  Eberhard  (pag.  VIII)  beruft 
sich  ohne  weiteres  auf  das  Gravitationsgesetz,  was  nur  statthaft  sein  würde, 
wenn  die  Sonne  früher,  wie  alle  Planeten  entstanden  wäre. 

Für  die  Neigung  der  Axen  der  Planeten  macht  Kant  (pag.  69)  Unregel- 
mässigkeiten verantwortlich,  die  zur  Zeit  ihrer  Erstarrung  vorhanden  waren. 
Namentlich  hätten  sich  seiner  Meinung  nach  in  der  Gegend  des  Aequators  Hohl- 
räume bilden  müssen,  in  welche  die  Rinde  mit  der  Zeit  einsank.  Das  so  ge- 
störte Gleichgewicht  hätte  sich  dann  nur  durch  eine  Drehung  der  Axe  wieder 
herstellen  können.  Dagegen  hat  aber  G.  H.  Darwin1)  geltend  gemacht,  dass 
die  Grösse  der  Axenneigung  durch  diese  Wirkung  der  Gebirge  sich  allein  nicht 
erklären  lasse.  Darwin  und  Simon*)  ziehen  deshalb  zur  Erklärung  der  Axen- 
neigung die  Anziehung  der  Sonne  auf  die  zur  Zeit  ihrer  Bildung  noch  sehr  ab- 
geplatteten, vielleicht  gar  noch  mit  Ringen  umgebenen  Planeten  heran.  Dann 
müssen  sie  freilich  die  weiteren  Annahmen  machen,  dass  Jupiter  damals  bereits 
zur  Kugel  ausgebildet  war,  während  die  Wirkung  der  Sonne  auf  das  complicirte 
System  des  Saturns  trotz  dessen  grosser  Entfernung  besonders  stark  auftrat. 
Ueber  die  Lagen  der  Axen  von  Uranus  und  Neptun  liegen  noch  nicht  genügend 
genaue  Bestimmungen  vor,  um  Uber  sie  eine  Entscheidung  treffen  zu  können. 
Warum  jedoch  der  jetzt  wohl  noch  flüssige  Jupiter  mit  setner  raschen  Axen- 
drehung  und  bedeutenden  Abplattung  eine  Kugelgestalt  so  frühe  erhalten  haben 
soll,  ist  nicht  einzusehen. 

Um  die  Entstehung  der  Satelliten  zu  erklären,  setzt  Kant  (pag.  34  ff.) 
eine  weitere  Sphäre  der  Anziehungskraft  der  Planeten  voraus,  welche  den  ihr  folgen- 
den Theilchen  eine  genügende  Fallgeschwindigkeit  ertheilen  konnte,  um  zu  freiem 
Umschwung  zu  gelangen,  dann  aber  auch  eine  zur  Bildung  dieser  Weltkörper  aus- 
reichende Stoffmenge.  Laplace  (pag.  477)  erörtert  seine  Ideen  am  Beispiel 
des  Erdmondes.  Bereits  im  gasförmigen  Zustand  musste  dieser  ein  Sphäroid 
bilden,  dessen  grosse  Axe  sich  bei  der  leichten  Verschiebbarkeit  der  Theilchen 
stets  gegen  den  Planeten  richtete.  Wenn  nun  auch  Anfangs  Revolution  und 
Rotation  nicht  genau  gleich  waren,  so  wurden  sie  es  je  länger  je  mehr,  da  die 
Anziehungskraft  des  Planeten  unausgesetzt  auf  dies  Verhältniss  hinarbeitete  und 
mit  um  so  grösserer  Geschwindigkeit,  je  mehr  auf  dem  sich  verflüssigenden 
Planeten  die  Wirkung  der  Fluth  auf  seine  Rotation  hervortrat.  Die  merkwürdige 
Beziehung  zwischen  den  Jupitersmonden,  dass  die  mittlere  Bewegung  des 
zweiten  vermehrt  um  die  doppelte  des  ersten  so  gross  ist,  wie  die  dreifache  des 
dritten,  leitet  Laplace  aus  dem  Widerstand  her,  den  unmittelbar  nach  ihrer  Ent- 
stehung die  in  ihrer  Umgebung  in  sehr  verdünntem  Zustand  noch  vorhandene 
Materie  diesen  Bewegungen  entgegensetzte.  Da  jener  Widerstand  auf  die  ein- 
zelnen Monde  in  verschiedener  Weise  einwirkte,  so  musste  sich  das  angegebene, 
durch  ihre  Anziehung  geforderte  Verhältniss  ausbilden  und  immer  mehr  festigen. 
Gegen  diese  Annahme  wendet  Roche  (pag.  123)  jedoch  ein,  dass  die  Monde 
erst  hätten  entstehen  können,  als  ihre  Planeten  bereits  in  ihrer  Bildung  weit 
fortgeschritten  waren.  Wäre  das  nicht  der  Fall,  so  müssten  ihre  Abstände  von 
den  Planeten  grösser  sein.  Nur  der  Erdmond  bilde  eine  Ausnahme.  Er  ver- 
danke seine  Entstehung  Nebelmassen,  welche  von  dem  grossen  ursprünglichen 
Erdnebel  abgelöst,  in  einem  Zustand  vorgeschrittener  Erkaltung  in  die  dabei 


•)  G.  H.  Darwin,  »The  Observatoryc.    T.  I,  pag.  135. 

»)  Simon,  Annales  de  l'&ole  Normale.    1869.    I.  T.  VI,  pag.  73. 


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Kosmogonie. 


*43 


um  die  Erde  gebildete  Nebelringmasse  eingetreten  und  hier  der  Kern  einer  Ver- 
dichtung geworden  sei,  welche  je  länger  je  mehr  an  der  Bewegung  der  Erde 
theilgenommen  und  sie  nach  deren  vollständiger  Verdichtung  beibehalten  habe. 
Auch  hier  wird  wohl  die  Ansicht  Fayb's  die  annehmbarste  sein,  wonach  sich  die 
Vorgänge  bei  Bildung  der  Planeten  lediglich  wiederholen.  Wie  diese  Weltkörper 
sogleich,  nachdem  sie  entstanden  waren,  ihre  früher  viel  weiteren  Bahnen  in 
Folge  der  Gravitation  und  des  Widerstandes  der  übrigens  zur  Sonne  sinkenden 
Theilchen  einschränkten,  bis  der  Raum  von  solchen  gesäubert  war,  so  auch  die 
Monde,  ja  es  ist  neuerdings  die  Ansicht  ausgesprochen  worden,  dass  dieser 
Process  noch  nicht  beendigt  sei,  dass  jetzt  vielmehr  kosmischer  Staub  und 
Meteore  die  Rolle  des  widerstehenden  Mittels  übernommen  hätten1).  Die  ab- 
weichende Bewegung  der  Marsmonde  lässt  sich  freilich  auf  solche  Weise  nicht 
erklären,  während  die  Entdeckung  Schiaparelu's'),  dass  Rotation  und  Revolution 
des  Merkur  und  vielleicht  der  Venus  von  gleicher  Dauer  sind,  geeignet  sein 
dürfte,  jene  Annahme  zu  stützen. 

Die  Forschungen  der  jüngsten  Zeit  haben,  eine  Idee  Cassini's  wieder  auf- 
nehmend, das  merkwürdigste  Gebilde  des  Planetensystemes,  den  Ring  des 
Saturn,  in  die  engste  Beziehung  zu  den  Satelliten  der  Planeten  gebracht1). 
Sie  haben  gezeigt,  dass  er  nur  dann  sich  im  Gleichgewicht  halten  kann,  wenn 
er  aus  einer  grossen  Anzahl  kleiner  Satelliten  besteht,  und  so  stellt  ihn  Ritter 
in  Parallele  mit  dem  Ringe  der  Asteroiden.  Faye  glaubt  zwar,  dass  ihn  seine 
Rotationsgeschwindigkeit,  die  verhältnissmassig  grosse  Masse  des  Satum  und  die 
Leichtigkeit,  mit  der  sich  seine  concentrischen  Schichten  gegen  einander  ver- 
schieben können,  in  den  Stand  setzen  würde,  den  störenden  Wirkungen  der 
Saturnsmonde  Widerstand  zu  leisten,  auch  wenn  er  aus  gleichmässig  vertheilte m 
Stoffe  bestehe  und  sieht  in  ihm  einen  der  ursprünglichen  Nebelringe,  der  durch 
besonders  günstige  Umstände  der  Zerstörung  entgangen  sei.  Er  schliesst  sich 
damit  Laplace's  Ansicht  an,  während  Kant  (pag.  42),  von  der  Annahme  aus- 
gehend, dass  die  äussersten  Planeten  Uebergänge  zu  den  Kometen  darstellten 
und  erst  im  Laufe  der  Zeiten  ihre  ursprünglich  stark  elliptischen  Bahnen  in 
mehr  kreisförmige  verwandelt  hätten,  ihn  für  einen  vom  Planeten  aufgestiegenen, 
so  zu  sagen  stabil  gewordenen  Kometenschweif  erklärt,  der  Form  und  Lage  der 
Umdrehung  des  Planeten  verdankt.  Die  eigenthümlichen  Rotations-  und  Grössen- 
verhältnisse  des  Planeten  im  Gegensatz  zu  andern  erklärten,  warum  sich  nur  an 
ihm  ein  Ring  gebildet  habe.  Es  ist  Kant  und  Laplace  immer  zu  grossem  Ver- 
dienst angerechnet  worden,  dass  sie  vor  Herschel  aus  den  beobachteten 
Umlaufszeiten  eines  Saturnstrabanten  die  Umlaufszeit  der  Theile  des  Ringes  be- 
rechnet hätten.    Unter  Anwendung  der  Formel 


wo  T  die  Umlaufszeit  eines  Saturnstrabanten,  R  den  Halbmesser  von  dessen 


')  Oppolzek,  Astron.  Nachr.  No.  2573.  —  Kleiber,  Ebenda».  No.  2657  und  2664.  — 
Newton,  »Naturforscher«  1885.  XVIII,  pag.  427. 

')  Schiaparkixi  ,  Astron.  Nachr.  1889.  No.  2944.  —  Atti  della  Reale  Accademia  dei 
Lincei  1889,  Ser.  4,  Vol.  V,  pag.  283.  —  Reale  Institute  Lombardo.  Rendiconti  1890,  pag.  2, 
Vol.  XXm.  -  Bulletin  de  l'Academie  Royale  Belgique  1890,  Ser.  3,  T.  XX,  pag.  535,  T.  XXI, 
P»*-  45*- 

')  Maxwell,  Monthly  Notices  of  the  Royal  Astronomical  Society.  1859.  —  Hirn, 
Memoire  «ur  les  condirJons  de  l'equilibre  cur  la  nature  probable  de  Saturne,  pag.  31.  — 
Mxye«,  ArchiTes  des  Sciences  physiques  et  naturelle«.    Ser.  3,  T.  X,  pag.  73. 

i6» 


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244 


Kosmogonie. 


Bahn,  p  den  Halbmesser  des  Saturn  und  r  den  des  inneren  Ringes  bedeutet, 
findet  Kant  (pag.  44  ff.)  die  Umlaufszeit  des  inneren  Ringes  zu  etwa  10,  die  des 
äusseren  zu  etwa  15  Stunden.  Dabei  darf  man  freilich  nicht  Ubersehen,  dass  er 
mittelst  derselben  Formel  unter  Benutzung  CASSim'scher  Beobachtungsdaten  die 
Umlaufszeit  des  Saturns  selbst  zu  6*  23"«  53*  erhielt,  dass  aber  die  obige  Formel 
einen  von  dem  wirklichen  viel  stärker  abweichenden  Werth  giebt,  wenn  man  die 
Ergebnisse  neuerer  Beobachtungen  zu  Grunde  legt. 

Die  Kometen  hielt  Laplace  (pag.  475)  für  Körper,  welche  unserem  Planeten- 
system fremd  sind  und  von  System  zu  System  irren.  Dadurch  erklärt  es  sich, 
dass  sie  in  jedem  Sinne  und  unter  den  verschiedensten  Neigungen  ihrer  Bahnen 
zum  Sonnenäquator  sich  bewegen,  und  dass  ihre  Excentricität  eine  sehr  grosse 
ist.  Kant  (pag.  33)  und  Faye  (pag.  271)  sehen  dagegen  in  den  Kometen  Reste 
des  Urnebels,  welche  aus  so  weit  vom  Centrum  gelegenen  Gegenden  stammen, 
dass  ihre  Bahnen  Ellipsen  von  grosser  Excentricität  wurden  und  sie  dieselben 
sowohl  im  Sinne  der  Planetenbewegung,  als  auch  im  umgekehrten  durchlaufen 
können.  Durch  Einwirkung  der  Planeten  können  ihre  Umlaufszeiten  verkürzt, 
sie  selbst  zu  periodischen  Kometen  verwandelt  werden.  So  ordnen  beide 
Forscher  die  Entstehung  und  Bewegungsart  der  Kometen  zwanglos  in  das  Ganze 
ihrer  Hypothesen  ein,  ohne  dass  sie  wie  Lagrangb1)  die  Annahme  machen 
müssten,  die  Kometen  seien  von  den  Planeten  abgeschleudert.  Die  Wahr- 
scheinlichkeit dieser  Annahme  prüfte  Faye1)  zum  Ueberfluss  noch  dadurch,  dass 
er  untersuchte,  ob  die  Kometenbahnen  mit  solchen  von  Planeten  irgend  welche 
Uebereinstimmung  zeigen.  Das  negative  Resultat  dieser  Untersuchung  macht 
auch  Proctor's  Annahme  der  Abstammung  der  periodischen  Kometen  von  den 
Planeten  unannehmbar. 

Dagegen  glaubt  der  französische  Akademiker  die  Ansicht  Lacranoe's  für 
den  Ursprung  der  Aerolithen  festhalten  zu  sollen.  Ihrer  Zusammensetzung 
nach  sind  sie  Bruchstücke,  die  aus  den  tieferen  Schichten  einer  der  Erde  ähnlich 
zusammengesetzten  Kugel  stammen.  Sie  können  also  nur  von  der  Erde  oder 
dem  Monde  abgeleitet  werden.  Namentlich  die  Krater  des  letzteren  scheinen 
in  früheren  Perioden  Explosionskrater  gewesen  zu  sein,  die  vulkanischen  Aus- 
brüchen von  der  grössten  Heftigkeit  ihren  Ursprung  verdanken.  Haben  sie  doch 
die  Mondrinde  auf  weite  Strecken  hin  gespalten!  Jetzt  ist  ihre  Thätigkeit  längst 
erloschen.  Das  Ergebniss  der  Untersuchungen  von  Aerolithenbahnen,  welche 
Newton3)  anstellte,  lässt  sich  mit  Faye's  Ansicht  wohl  vereinigen.  Von  265 
solcher  Fälle  konnten  1 16  zu  Bahnbestimmungen  benutzt  werden,  und  diese  er- 
gaben sämmtlich  rechtläufige  Bewegungen.  Freilich  wären  dann  die  Aerolithen 
von  den  Meteoren  scharf  zu  unterscheiden,  von  denen  die  periodischen, 
die  sich  in  Kometenbahnen  bewegen,  diesen  Weltkörpern  angeschlossen  werden 
müssen. 

Mehr  Uebereinstimmung  zeigen  die  Ansichten  der  Forscher,  die  sich  darüber 
ausgesprochen  haben,  hinsichtlich  des  Zodiakallichtes.  Kant  (pag.  53)  hielt 
dasselbe  für  einen  die  Sonne  umgebenden  Ring,  der  entweder  in  ähnlicher 
Weise,  wie  der  Ring  des  Saturn  von  diesem  aufstieg,  sich  von  der  Sonne,  viel- 
leicht als  Verbrennungsprodukt,  losgelöst  habe,  oder  aus  Theilchen  bestehe, 
welche  nach  vollendeter  Bildung  des  Sonnensystemes  mit  geschwächter,  aber 


»)  Lagrange,  Memoire  lu  au  Bureau  des  Longitudes  dans  la  Seance  du  29.  Janv.  1812. 
»)  Faye,  Compt.  rend.  1888,  T.  CVI,  pag.  1703. 

*\  Newton,  American  Journal  of  Science.    1888,  Ser.  3,  V,  36,  pag.  1. 


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Kosmogonie. 


245 


an  seiner  Rotation  theilnehmenden  Bewegung  herabsanken  und  durch  eine  ab- 
stossende  Wirkung  der  Sonnenstrahlen  an  ihrem  gegenwärtigen  Orte  gehalten 
werden.  Die  letztere  Ansicht  theilen  Laplace  (pag.  476)  und  Helmholtz  (II, 
pag.  119).  Der  erstere  spricht  sich  zwar  vorsichtig  dahin  aus,  dass  wenn  in  den 
von  der  Sonnenatmosphäre  verlassenen  Zonen  Theilchen  von  so  grosser  Flüchtig- 
keit zurückgeblieben  seien,  dass  sie  sich  weder  mit  dem  Centraikörper,  noch 
mit  einem  der  Planeten  hätten  vereinigen  können,  diese  die  Erscheinungen  des 
Zodiakallichtes  bieten  mussten,  ohne  der  Planetenbewegung  einen  merklichen 
Widerstand  entgegenzusetzen,  entweder  weil  ihre  Dichtigkeit  eine  zu  geringe 
sei,  oder  weil  ihre  Bewegung  mit  der  der  Planeten  übereinstimme.  Danach 
würde  die  Substanz,  die  der  Träger  des  Zodiakallichtes  ist,  einen  etwa  linsen- 
förmigen Raum  in  der  Umgebung  ausfüllen  und  nach  Helmholtz  aus  staubförmig 
zerstreuten  Theilchen  bestehen,  welche  sich  nach  dem  Gravitationsgesetz  be- 
wegen. 

Von  der  Zusammenstellung  einiger  das  absolute  Alter  der  Sonne  und 
der  Planeten  gebenden  Zahlen  sehe  ich  ab,  da  sie  allzu  grosse  Unterschiede 
zeigen.  Namentlich  bieten  die  für  das  Alter  der  Erde  aus  kosmogonischen 
Voraussetzungen  erhaltenen  Bestimmungen  viel  kleinere  Zeiträume,  als  sie  die 
Geologen  aus  der  Dicke  der  abgelagerten  Schichten  gefolgert  haben.  Wenn 
auch  Fayb's  Theorie  (pag.  279)  diese  Schwierigkeit  zu  heben  im  Stande  sein 
dürfte,  so  ist  es  doch  fraglich,  ob  eine  solche  in  Wirklichkeit  besteht,  und  ob 
die  seinen  geologischen  Zeitbestimmungen  zu  Grunde  liegende  Voraussetzung, 
zu  allen  Erdperioden  seien  gleiche  Zeiten  zur  Ablagerung  gleich  dicker  Schichten 
nothwendig  gewesen,  genügend  begründet  ist. 

5)  Die  Quellen  der  Sonnenwärme. 
Wenn  auch  die  Annahmen  der  Entstehung  der  Sonne  aus  dem  Urnebel 
ihre  hohe  Anfangstemperatur  erklärt,  so  bleibt  doch  noch  die  weitere  Frage  zu 
beantworten,  aus  welcher  Quelle  sie  die  enorme  Wärmemenge,  die  sie  Jahr  für 
Jahr  ausstrahlt  und  ausgestrahlt  hat,  deckt.  Mit  dieser  Aufgabe  haben  sich  eine 
Anzahl  der  berühmtesten  Gelehrten  in  eingehender  Weise  beschäftigt.  Kant 
(pag.  70)  sah  die  Quelle  der  Sonnenwärme,  ohne  jedoch  viel  Gewicht  auf  diese 
Annahme  zu  legen,  in  einem  Verbrennungsvorgang1).    Er  dachte  sich,  dass  in 
dem  ursprünglichen  Gemenge  der  den  Nebel  bildenden  Theilchen  jeder  Art 
sich  auch  befänden  > heranschwebende  Sorten  vorzüglicher  Leichtigkeit,  die  durch 
die  Widerstrebung  des  Raumes  gehindert  durch  ihren  Fall  zu  der  gehörigen 
Schnelligkeit  der  periodischen  Umwendungen  nicht  durchdringen  und  die  folglich 
in  der  Mattigkeit  ihres  Schwunges  insgesammt  zu  dem  Centraikörper  herab- 
gestürzt werden.«    Diese  sind  die  feuernährenden  Bestandtheile,  welche  auf  der 
Oberfläche  der  Sonne  verbrennen,  während  die  Vermengung  mit  schwereren 
und  dichteren  Sorten  von  Elementen  die  Heftigkeit  des  Verbrennungsvorganges 
mildern.    Die  aus  den  Höhlungen  des  Sonnenkörpers  nachdrängenden  Theil- 
chen des  brennbaren  Stoffes  sollen  die  Flammen  nähren,  während  die  durch  die 
Heftigkeit  der  Hitze  zerstreuten  vielleicht,  wie  bereits  erwähnt  wurde,  den  Stoff 
zum  Zodiakallicht  liefern.    Folgt  hieraus  einerseits,  dass  dieses  »unschätzbare 
Feuer,  das  die  Natur  zur  Fackel  der  Welt  aufgesteckt«  hat,  nicht  ewig  währen 
kann,  so  wird  auch  andererseits  klar,  warum  der  Mittelpunkt  eines  jeden  Planeten- 
systems von  einem  flammenden  Körper  eingenommen  wird.    Diese  Hypothese 


«)  Kant,  Naturgeschichte  de«  Himmels.    Ausgabe  Ton  1798,  pag.  71.    Anm.  a. 


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Kosniogonie. 


Kant's,  zu  deren  gerechter  Würdigung  man  wohl  im  Auge  behalten  muss,  dass 
sie  fast  30  Jahre  vor  Lavoisier's  Erklärung  der  Verbrennung  ersonnen  wurde, 
ist  freilich  in  entsprechend  abgeänderter  Form  von  William  Siemfns1)  neuer- 
dings wieder  aufgenommen  worden.  Als  Wärmequelle  der  Sonne  betrachtet 
Sir  William  die  Verbrennung  von  Wasserstoff  und  von  Kohlenwasserstoffen  in 
Sauerstoff,  dessen  Vorhandensein  auf  der  Sonne  er  voraussetzt.  Indem  die  Pro- 
dukte dieser  Verbrennung  vom  Sonnenäquator  in  anhaltendem  Strome  weg 
geschleudert  werden,  werden  sie  durch  die  Wirkung  der  sie  in  einiger  Ent- 
fernung von  ihrem  Ausgangsort  treffenden  Sonnenstrahlen  wieder  dissociirt  und 
strömen  in  diesem  Zustand  wieder  an  den  Polen  der  Sonne  ein,  um  von  Neuem 
verbrannt  zu  werden  und  denselben  Kreislauf  abermals  zu  durchlaufen.  Das 
hohe  elektrische  Potential,  welches  die  Sonne  durch  die  Reibung  der  sich  an 
ihrer  Oberfläche  bewegenden  Gasmassen,  auf  deren  Weg  die  ;die  Sonnenflecken 
enthaltenden  Zonen  liegen,  erhält,  wird  dann  vielleicht  Ursache  des  Zodiakal- 
lichtes.  Ohne  das  Gewicht  mancher  gegen  die  Hypothese  seines  Bruders 
geltend  gemachter  Gründe  zu  verkennen,  ist  Werner  von  Siemens")  geneigt,  sie 
anzunehmen.  Indessen  unterlasse  er  nicht,  den  wichtigsten  Einwand  dagegen 
dadurch  zu  beseitigen,  dass  er  wie  J.aplace  den  Theilchen,  welche  von  der 
Sonne  ausgestossen  in  die  Nähe  von  Planeten  gelangen,  eine  nach  den  Keppler- 
schen  Gesetzen  geregelte  Umdrehung  um  den  Centraikörper  zuschreibt.  Er  be- 
nutzt alsdann  das  sich  ergebende  hohe  Potential  der  Sonne,  um  die  elektrischen 
und  magnetischen  Eigenschaften  des  Erdkörpers,  die  Elektricität  der  Gewitter- 
wolken etc.  zu  erklären. 

Die  Stosswirkung  hat  zuerst  Button  >)  zur  Deckung  des  Wärmeverbrauchs 
der  Sonne  herangezogen,  die  nämliche  Ansicht  vertrat  neuerdings  Robert  Mayer4). 
Danach  sollen  eine  solche  Wirkung  meteorische  Körper  ausüben,  die  in  dauern- 
dem Strome  auf  die  Sonne  stürzen.   Wenn  nun  auch  aus  den  irdischen  Zählun- 
gen der  Meteore  gezeigt  werden  konnte,  dass  die  Menge  der  in  der  Umgebung 
der  Sonne  vorhandenen  derartigen  Körperchen  hinreichen  würde,  um  deren  ge- 
waltigen Wärmeheerd  zu  speisen,  und  sich  deshalb  auch  Lord  Kelvin  (William 
Thomson)  anfänglich  dieser  Annahme  zuneigte,  so  schloss  der  berühmte  englische 
Gelehrte  sich  doch  später  dem  dritten  in  Vorschlag  gebrachten  Erklärungs- 
versuche an,  der  in  der  immer  fortschreitenden  Verdichtung  die  Vorraths- 
kammer sieht,  aus  welcher  die  Sonne  ihren  Wärmebedarf  deckt   Hatte  doch 
Hf.lmholtz  gezeigt,  dass  diese  Annahme  als  nothwendige  Folgerung  der  Welt- 
bildungshypothese  das  Vorhandensein  der  Sonnenwärme  am  zwanglosesten  er- 
klärte.  Nach  seiner  Rechnung  (II,  pag.  135)  würde  eine  Verkürzung  des  Halb- 
messers der  Sonne  um  60  m  hinreichen,  um  deren  Wärmeverbrauch  für  den 
Zeitraum  eines  Jahres  zu  decken,  eine  Verkürzung  des  Sonnenhalbmessers  um 
0  0001  denselben  Zweck  für  2289  Jahre  erfüllen.    Der  Ansicht  Helmholtz's  hat 
sich  Ritter  angeschlossen  und  sie  weiter  geführt  (XI,  pag.  993).    Unter  der 
Voraussetzung,  dass  die  Sonne  aus  einem  einatomigen  Gase  bestehe,  welches 
die  Eigenschaften  eines  idealen  Gases  besitzt,  erhält  er  statt  des  obigen  Werthes 

•)  William  Siemeks,  Ueber  die  Erhaltung  der  Sonnenenergie.    Deutsch  von  Worms, 
Berlin  1885. 

*)  Werner  Siemens,  Wied.  Ann.  1883,  XX,  pag.  to8. 

")  Button,  Histoire  naturelle  generale  et  particuliere.    T.  I  und  SuppL    T.  IX  und  X, 
Pam  1778. 

*)  Mayer,  Die  Mechanik  der  Warme  in  gesammelten  Schriften.    3.  Aufl.  herausg.  von 
Weyrauch.   Stuttgart  1893,  P*fr  160  ff. 


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Längenbestimmung. 


247 


von  60  m  sogar  nur  einen  solchen  von  50  m,  wobei  der  davon  verschiedene 
Zustand  der  chemischen  Elemente  in  der  jedenfalls  nur  dünnen  Oberflächen- 
schicht jedoch  vernachlässigt  worden  ist.  Die  aus  allen  diesen  Annahmen  sich 
ergebenden  Verkürzungen  des  Sonnenhalbmessers  sind  so  klein,  dass  sie  sich 
der  direkten  Beobachtung  entziehen  mussten.  Mit  der  von  Ritter,  wie  bereits 
oben  erwähnt  wurde,  gezogenen  Folgerung  einer  gegenwärtig  unveränderlichen 
Oberflächentemperatur  der  Sonne  stimmt  auch  Aitken's1)  Annahme  Über  die 
Quelle  der  Sonnenwärme  überein,  nur  begründet  sie  der  englische  Forscher  wohl 
weniger  zwingend  mit  der  sich  im  Laufe  der  Zeiten  ändernden  chemischen 
Constitution  der  Sonne. 

Aus  allen  diesen  Theorieen  ergiebt  sich  der  für  die  Zukunft  unserer  Erde 
wenig  erfreuliche  Schluss,  dass  der  Energievorrath  der  Sonne  ein  beschränkter 
ist,   also  mit  der  Zeit  ihre  Wärmestrahlung  eine  immer  geringere  werden  muss. 
Man  hat  ihn  auf  verschiedene  Weise  zu  entkräften  gesucht.    Poisson»)  Hess  zu 
diesem  Zwecke  das  Sonnensystem  durch  verschieden  warme  Theile  des  Welten- 
raumes  wandern,  von  denen  der  eine  wieder  ersetzen  sollte,  was  der  andere 
zurückbehalten  hätte.    Riemann»)  weist  darauf  hin,  dass  möglicher  Weise  der 
Raum  nicht  allseitig  in  geraden,  sondern  in  krummen,  in  sich  zurücklaufenden 
Linien  ausgebreitet  sei,  auf  denen  die  ausgestrahlte  Wärme  zu  ihrer  Quelle  wohl 
zurückkehren  könne.    Rankine4)  endlich  denkt  sich  den  vom  Aether  erfüllten 
Raum  von  einem  ätherleeren  umgeben.    Indem  die  an  der  Grenze  beider  an- 
kommenden Aetherwellen  zurückgeworfen  werden,  kehren  sie  auf  demselben 
Wege  zurück,  auf  dem  sie  ausgestrahlt  werden.    Indessen  sind  das  Hypothesen, 
mit  denen  die  exakte  Naturwissenschaft  schwerlich  sich  befreunden  dürfte.  Da 
sie  über  die  Grenzen  der  Kosmogonie  hinausgehen,  so  genügt  es  hier,  auf  sie 
hingewiesen  zu  haben.  E.  Gerland. 

Längenbestimmung.    Die  Länge  eines  Ortes  auf  der  Erdoberfläche 
kann  als  der  Winkel  deßnirt  werden,  welchen  der  Meridian  desselben  mit  einem 
als  Anfangsmeridian  gewählten  anderen  Meridian  am  Pol  bildet;  der  Längen - 
unterschied  zweier  Orte  als  der  Winkel,  welchen  die  Meridiane  der  beiden  Orte 
am  Fol  mit  einander  bilden,  und  dieser  ist  gleich  dem  Unterschied  der  Zeiten, 
welche  an  den  beiden  Orten  in  demselben  Augenblick  beobachtet  werden. 
Sind  PS,  PM,  PO,  PM'  (die  Figur  ist  leicht  herzustellen)  eine  Anzahl  Stunden 
kreise  oder  Meridiane,  und  sei  in  S  der  Sonnenmittelpunkt,  so  sind  die  Winkel 
am  Pol  P  SPM,  SPO,  SPM\  die  Stundenwinkel  der  Sonne  oder  die  Sonnen- 
zeit für  die  durch  M,  O,  AT  bezeichneten  Orte.    Es  ist  also  der  Winkel  MPO 
gleich  dem  Unterschied  der  im  gleichen  Augenblick  stattfindenden  Zeiten  in  M 
und  O,  gleich  der  Länge  des  Ortes  M  gegen  den  Ort  O.    Nehmen  wir  den 
Meridian  PO  als  Anfangsmeridian,  so  ist  damit  jener  Winkel  schlechthin  die 
Länge  des  Ortes  M.    Nehmen  wir  ferner  an,  dass  M,  S  westlich  von  O,  da- 
gegen M'  östlich  von  O  liegt,  so  ist  der  Winkel  MPO  als  westliche  Länge  des 
Ortes  M  gegen  O,  der  Winkel  OPM'  als  östliche  Länge  des  Ortes  M'  gegen 


')  Aitken,  Proceedings  of  the  Royal  Society  of  Edinburgh.  1888.  Vol.  XIV.  pag.  118. 
*)  Poisson,  Theorie  mathematique  de  la  Cbaleur.    Paris  1835. 

»)  Riem  ANN,  Gesammelte  mathematische  Werke.  Leiprig  1876,  pag.  226,  vergl.  Newcomb, 
P«g-  583. 

<)  RANKDfE,  Annales  de  Chimie  et  de  Physique.    Se>.  5.  T-  OT  ,88a'  P1*"  5*8 


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24» 


Längenbestimmung. 


O  zu  bezeichnen.  Nennen  wir  die  Ortszeiten  für  M,  O,  Af'  der  Reihe  nach 
T,  T„,  T\  und  Z«,  die  westliche  Länge,  La  die  östliche,  so  ist 

Lw=Ta-T 

und 

Z„  =  T  -  Ta 

oder  wenn  wir  die  Östliche  Länge  negativ  nehmen,  können  wir  allgemein 
L  =  T0  —  T  setzen,  wo  nun  mit  T  allgemein  die  Ortszeit  eines  östlich  oder 
westlich  vom  Anfangsmeridian  gelegenen  Ortes  ist  und  wobei  dann  auch  die 
Zeiten  immer  westlich  und  astronomisch,  d.  h.  von  0*  bis  24*  gezählt  werden. 

Dieser  Ausdruck  L  =  Tü  —  T  ist  übrigens,  wie  leicht  ersichtlich,  nicht  nur 
gültig  für  Sonnenzeit,  sondern  für  jede  beliebige  Zeit.  Mit  S  bezeichnen  wir 
dann  einfach  irgend  einen  Punkt  der  Sphäre  und  T0  und  T  sind  die  Stunden- 
winkel dieses  Punktes  für  die  beiden  Meridiane,  deren  Längendifferenz  L  ist. 

Was  den  nullten  Meridian  betrifft,  so  wird  allgemein  bekanntlich  jetzt  der 
Greenwicher  als  solcher  angesehen,  wenngleich  die  verschiedenen  astronomischen 
Tafeln  und  Ephemeridensammlungen  auch  verschiedene  Nullmeridiane  zu  Grunde 
legen,  für  welche  die  betreffende  Sammlung  berechnet  ist,  so  nimmt  das 
»Berliner  Astron.  Jahrbuch«  Berlin,  die  »Connaissance  des  Tempsc  Paris  u.  s.  w. 
als  Anfangsmeridian  an. 

Aus  der  obigen  Definition  der  Länge  ergiebt  sich,  dass  die  Bestimmung 
derselben  in  einer  doppelten  Operation  zu  bestehen  hat,  1)  in  der  Ermittelung 
der  Zeit  an  den  Orten,  deren  Längendifferenz  zu  ermitteln  ist,  mag  nun  der 
nullte  Meridian  direkt  oder  ein  anderer  in  Betracht  kommen,  und  2)  in  der  Ver- 
gleichung  der  Zeit  an  den  beiden  Orten. 

Diese  Aufgabe  lässt  sich  in  sehr  verschiedener  Weise  lösen.  Man  kann 
Signale,  Erscheinungen,  die  für  beide  Orte  in  dem  gleichen  absoluten  Zeit- 
moment  sichtbar  sind,  an  beiden  Orten  beobachten  und  die  Zeitangaben  der 
genau  berichtigten  Uhren  mit  einander  vergleichen,  der  Unterschied  dieser  Zeit- 
angaben liefert  sofort  die  Längendifferenz.  Als  solche  Signale  kann  man 
terrestrische,  die  aber  nur  auf  kurze  Entfernungen  sichtbar  sein  werden,  annehmen, 
oder  himmlische,  und  für  letztere  ist  wieder  nicht  immer  die  gleichzeitige  Beob- 
achtung nöthig,  wenn  nämlich  an  Stelle  der  einen  die  Berechnung  treten  kann, 
wann  ein  solches  Phänomen  am  nullten  Meridian  eintreffen  muss,  und  wenn  man 
sich  auf  Grund  der  astronomischen  Theorieen  auf  diese  Vorausberechnung  ver- 
lassen kann.  Insbesondere  eignen  sich  hierfür  verschiedene  Erscheinungen,  die 
die  Satelliten  des  Jupiter  und  unser  Mond  verursachen,  sowie  sich  auch  die 
rasche  Bewegung  des  Mondes  für  die  Längenbestimmung  verwenden  lässt.  Die 
wichtigsten  dieser  Methoden  sollen  hier  später  angeführt  werden,  sie  liefern  aber 
sämmtlich  nicht  den  höchsten  Grad  der  Genauigkeit  und  können  nur  zur  An- 
wendung kommen,  wenn  zwei  andere  Methoden  durch  die  Umstände  nicht  be- 
nutzt werden  können.  Diese  Methoden  beruhen  darauf,  dass  man  an  der  einen 
Station  den  Stand  und  Gang  einer  tragbaren  Uhr,  eines  Chronometers,  so  genau 
als  möglich  nach  Stembeobachtungen  ermittelt,  darauf  unter  Inachtnahme  aller 
Vorsichtsmaassregeln,  wie  sie  auch  in  dem  Artikel  »Chronometer«  angegeben 
sind,  mit  dem  Chronometer  an  die  andere  Station  reist,  und  hier  wiederum  den 
Sund  und  Gang  des  Chronometers  durch  Sternbeobachtungen  ermittelt.  Hat 
sich  der  Gang  nicht  in  der  Zwischenzeit  geändert,  so  wird  der  nach  dem  Stand 
an  der  ersten  Station  und  dem  daselbst  ermittelten  Gang  für  die  Beobachtungs- 
zeit an  der  zweiten  Station  berechnete  Stand  verglichen  mit  dem  hier  direkt 
beobachteten,  sofort  die  Längendifterenz  ergeben.  Diese  Methode  der  Chronometer- 


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Längenbestimmung. 


249 


Übertragung  führt,  namentlich  unter  Anwendung  einer  grossen  Zahl  von  Chrono- 
metern, zu  guten  Resultaten.  Die  äusserste  Genauigkeit,  wie  sie  z.  B.  bei  den 
Längenbestimmungen  unter  ständigen  Sternwarten  oder  für  die  Zwecke  der 
internationalen  Erdmessung  gefordert  wird,  ergiebt  die  Benutzung  der  telegraphi- 
schen Uhrvergleichung,  indem  man  an  den  beiden  Stationen  die  Correctionen 
der  Uhren  genau  beobachtet  und  dann  unmittelbar  nach  oder  zwischen  diesen 
Beobachtungen  die  Uhren  unter  direkter  Einschaltung  in  die  Linie  mit  einander 
vergleicht,  indem  die  Beobachter  an  beiden  Stationen  sich  gleichsam  zurufen, 
welche  Zeit  für  genau  verabredete  Momente  die  genau  berichtigten  Uhren 
zeigen. 

Zunächst  mag  nun  mit  der  Besprechung  dieser  genauesten  Methode,  die 
zugleich  die  einfachste  ist,  sobald  Telegraphenleitung  zur  Verfügung  steht,  be- 
gonnen werden. 

Auch  hier  kann  man  in  verschiedener  Weise  vorgehen,  denn  wenn  auch  die 
telegraphische  Methode  darauf  beruht,  dass  an  beiden  Orten  die  Correction  der 
Uhren  aufs  genaueste  ermittelt  und  diese  durch  elektrische  Signale  mit  einander 
verglichen  werden,  so  ist  doch  in  der  Verbindung  dieser  beiden  Operationen  und 
in  der  Anordnung  jeder  einzelnen  eine  gewisse  Mannigfaltigkeit  möglich.  Man 
kann  nämlich  entweder  beide  Operationen  so  zusammenlegen,  dass  eine  eigent- 
liche Signalabgabe  ganz  fortfällt,  indem  die  Sternbeobachtungen  selbst  hierzu 
verwandt  werden,  oder  man  kann  bei  einer  Trennung  beider  Operationen  die 
Signale  als  Coincidenzbeobachtungen  zwischen  der  Stationsuhr  und  einer  ein- 
geschalteten Hiltsuhr  auffassen,  oder  sie  unabhängig  als  registrirte  Signale  ab- 
geben. Alle  Methoden  haben  Anwendung  gefunden,  die  letzte  ist  diejenige, 
welche  sich  als  die  zweckmässigste  herausgearbeitet  hat  und  demgemäss  in  neuester 
Zeit  fast  ausschliesslich  gebraucht  wird. 

Für  alle  diese  Methoden  wird  vorausgesetzt,  dass  an  jeder  Station  ein 
Registrirapparat  vorhanden  ist,  dessen  doppelte  Elektromagnete  einmal  mit  der 
Beobachtungsuhr  verbunden  sind,  sodass  diese  von  Secunde  zu  Secunde  ein 
Zeichen  auf  dem  sich  abrollenden  Papierstreifen  oder  Bogen  markirt,  sodann 
mit  einem  Handtaster,  mit  dem  der  Beobachter  auf  demselben  Streifen  oder 
Bogen  ober-  oder  unterhalb  der  Uhrsignale  ein  Zeichen  für  den  Moment  des 
Stemdurchganges  durch  einen  Faden  des  Passageninstrumentes  giebt.  Femer 
muss  die  Telegraphenleitung  zwischen  beiden  Beobachtungsstationen  zur  Ver- 
fügung stehen,  und  zwar  als  vollkommen  direkte,  bei  der  keine  Uebertragung 
irgend  welcher  Art  stattfindet. 

Man  kann  nun  in  solchem  Falle  dieselben  Sterne  in  der  Art  an  beiden 
Stationen  beobachten,  dass  zunächst  an  der  östlich  gelegenen,  wo  der  Stern 
früher  in  den  Meridian  tritt  als  an  der  westlichen,  die  Durchgänge  regristrirt 
werden,  die  sich  dann  auf  beiden  Registrirapparaten  verzeichnen ;  sodann  wird 
an  der  westlichen  Station,  sobald  die  Sterne  in  diesen  Meridian  eintreten,  jeder 
Fadendurchgang  registrirt  und  zwar  wieder  mit  Markirung  auf  beiden  Apparaten. 
Man  hat  in  dieser  Weise  eine  doppelte  Bestimmung  der  Längendifferenz,  indem 
einmal  auf  der  östlichen  Station,  bezw.  dem  östlichen  Registrirapparat  unter 
Einschaltung  der  östlichen  Uhr  allein  nach  dieser  der  Durchgang  desselben 
Sternes  über  die  beiden  Meridiane  verzeichnet  ist,  sodann  dasselbe  auf  der  west- 
lichen Station. 

Nennen  wir  die  auf  den  Mittelfaden  reducirten  Fadendurchgänge,  die  für  die 
Instrumentalfehler  des  östlichen  Passageninstrumentes  corrigirt  sein  sollen,  T„, 
die  an  der  westlichen  Station  beobachteten  und  ebenso  behandelten  Durchgänge 


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Lringenbcstimmung. 


Tw,  so  würde  die  Differenz  Tw  —  T0  die  Längendifferenz  sein,  wenn  der  Uhr- 
gang null  wäre  und  keine  Zeit  für  die  Uebertragung  des  Stromes  verloren  ginge. 
Der  Uhrgang  muss  aber,  wenn  er  besteht,  was  meistens  der  Fall  sein  wird,  in 
Rechnung  gezogen  werden,  da  die  Durchgangszeiten  ja  in  einem  um  die  Längen- 
differenz verschiedenen  Zeitmoment  wahrgenommen  werden.  Nennen  wir  den 
stündlichen  Uhrgang  y„  (für  die  östliche  Station)  und  drücken  die  Längendifferenz 
L  in  Stunden  aus,  so  haben  wir,  um  auf  Te  zu  reduciren,  von  T*,  noch  Lyc  ab- 
zuziehen, oder  die  entsprechende  Grösse  zu  T0  zu  addiren,  um  auf  Tw  zu  re- 
duciren. Ferner  ist  zu  beachten,  dass  wenn  wir  wieder  Apparat  und  Uhr  auf 
der  östlichen  Station  annehmen,  dass  dann  die  Beobachtungen  an  der  westlichen 
Station  in  Folge  der  endlichen  Stromgeschwindigkeit  (worunter  hier  überhaupt 
die  Zeit  bis  zum  Ansprechen  des  Apparates  verstanden  wird)  zu  spät  markirt 
werden  müssen,  es  wird  also  Tw  und  ebenso  die  Längendifferenz  um  eine  Grösse 
t  zu  gross  erscheinen,  sodass  die  an  der  östlichen  Station  gewonnene  Längen- 
differenz 

L„  =  T«,  —  T0  -H  Ly0  =  L  -h  x 

ist.  Nun  liefert  aber  der  westliche  Apparat  ebenfalls  eine  Längenbestimmung, 
nennen  wir  das  hier  gewonnene  Resultat  Lw,  so  haben  wir 

Lu.  =  Tn,  —  T0  -+-  Lyw  =  L  -  t, 

wo  dann  mil  yw  der  stündliche  Gang  der  westlichen  Stationsuhr  bezeichnet  wird. 
Hier  werden  nämlich  in  Folge  der  »Stromzeit«  die  Signale  der  östlichen  Station 
zu  spät  und  daher  die  Längendifferenz  zu  klein  erhalten.  Nimmt  man  nun  aus 
beiden  Bestimmungen  das  Mittel,  so  hat  man 

L  =  %  (L„  ■+-  ZJ), 

es  ist  dasselbe  also  von  der  Stromzeit  vollkommen  frei. 

Bei  allen  Methoden  spielt  die  sogen,  »persönliche  Gleichungc  des  Beob- 
achters eine  grosse  Rolle.  Das  beste  ist  natürlich  dieselbe  zu  elimtniren,  was 
dadurch  geschieht,  dass  die  Beobachter  die  Stationen  austauschen,  d.  h.  einige 
Abende  etwa  in  der  Combination  Ao»t,  <#Wc«  beobachten,  dann  einige,  ungefähr  die 
doppelte  Zahl  der  Abende  erster  Combination  in  der  Combination  AWnU  B^, 
dann  wieder  wie  anfangs  Ao«,  ßw*n-  Das  Mittel  aus  allen  diesen  Bestimmungen 
wird  frei  von  der  persönlichen  Gleichung  sein.  Es  ist  aber  bei  dem  Wechsel 
der  Beobachter  zugleich  von  Wichtigkeit,  dass  die  Beobachter  auch  ihr  Instru- 
ment mitnehmen,  da  sich  herausgestellt  hat,  dass  die  persönliche  Gleichung  in 
Abhängigkeit  vom  Instrument,  vom  Fadennetz,  des  Sternbildes,  der  Beleuchtung 
u.  s.  w.  steht.  Kann  man  nicht  diese  Elimination  bewerkstelligen,  so  bleibt 
nur  übrig,  die  persönliche  Gleichung  durch  gemeinschaftliche  Beobachtungen 
zu  bestimmen,  was  aber  dann  vor  und  nach  der  Längenbestimmung  selbst  zu 
geschehen  hat,  um  eine  etwaige  Veränderung  derselben  in  der  Zwischenzeit  in 
Rechnung  ziehen  zu  können.  Uebrigens  wird  unter  Anwendung  der  Repsold- 
schen  Registriroculare  (s.  den  Artikel  »persönliche  Gleichungc)  diese  Fehlerquelle 
auf  ein  Minimum  reducirt. 

So  bequem  die  Methode  scheint,  so  haftet  ihr  doch  ein  wesentlicher  Uebel- 
stand  an,  der  auch  zur  Folge  hatte,  dass  man  von  ihrer  häufigen  Anwendung 
abgekommen  ist.  Man  gebraucht  nämlich  die  Telegraphenleitung  während  eines 
grossen  Theils  des  Abends,  was  in  der  Regel  mit  Schwierigkeiten  des  all- 
gemeinen Verkehrs  wegen,  dem  die  Leitungen  zu  dienen  haben,  verbunden  ist. 
Für  vollständige  Zeitbestimmungen  zu  einer  Längenbestimmung  muss  in  der  Regel 
auf  16—20  Zeit-  und  einige  Polsterne  gerechnet  werden,  letztere  zur  Ermittelung 


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Längenbestimmung. 


251 


der  Instrumentalfehler,  und  hierzu  sind  wieder  etwa  zwei  Stunden  nöthig,  so 
lange  muss  also  unter  allen  Umständen  die  Leitung  verfügbar  sein.  Es  kommt 
aber  noch  ferner  hinzu,  dass  wenn  die  Längendifferenz  gross  ist,  die  Zeit  für 
die  Leitungsbenutzung  noch  um  eben  soviel  vergrössert  wird,  da  die  Sterne  um 
die  Längendifferenz  später  in  den  westlichen  Meridian  eintreten.  Ist  die  Längen- 
differenz aber  nicht  sehr  bedeutend,  so  wird  es  schwer  werden,  die  zu  beob- 
achtenden Sterne  derartig  auszuwählen,  dass  die  Beobachtungen  an  den  beiden 
Stationen  sich  nicht  gegenseitig  auf  dem  Registrirstreifen  stören.  Endlich  wird 
man  von  dem  Ort  des  Sternes  nur  dann  unabhängig,  wenn  es  gelingt,  an  beiden 
Stationen  dieselben  Stcme  zu  beobachten;  misslingt  dagegen  an  einer  Station 
die  Beobachtung  eines  Sternes,  so  hat  auch  die  gelungene  Beobachtung  auf  der 
andern  Station  keinen  Werth,  vorausgesetzt,  dass  man  nicht  ein  anderes  Reductions- 
verfahren  anwenden  will,  indem  man  unter  Berücksichtigung  der  Rectascension 
des  Sternes  aus  jedem  einzelnen  Stem  einen  Uhrstand  ableitet  und  aus  dem 
Mittel  dieser  dann  die  Längendifferenz  berechnet,  ein  Verfahren,  welches  aber 
auf  einen  der  Hauptvorzüge  dieser  Methode,  der  vollständigen  Elimination  der 
Rectascension  der  Sterne,  von  vornherein  verzichtet. 

Beispiel.  Im  Jahre  1863  wurde  zwischen  der  Sternwarte  Leipzig  und  dem 
temporären  Observatorium  Dablitz  bei  Prag  eine  Längen bestimmung  unter  An- 
wendung verschiedener  Methoden,  auch  der  eben  besprochenen  Registrirmethode 
ausgeführt.  In  der  folgenden  Tabelle  werden  die  Beobachtungen  vom  5.  October 
mitgetheilt,  und  zwar  unter  I  die  Beobachtungen  nach  dem  Dablitzer,  unter  II 
die  nach  dem  Leipziger  Registrirstreifen.  Die  Bedeutung  der  in  den  einzelnen 
Columnen  befindlichen  Ziffern  ist  durch  die  Ueberschriften  klar,  nur  sei  bemerkt, 
dass  die  in  der  3.  und  6.  Columne  gegebenen  Correctionen  des  Instrumentes 
aus  der  hier  nicht  mitgetheilten  Verbindung  der  Zeitsterne  und  Polsterne  ab- 
geleitet wurden. 


Durchgangs- 

Corr. 

Stern 

Durchgangs- 

Corr. 

otem 

Dablitt 

des 

teit 

des 

im 

seit 

des 

im 

tu  in  us 

Sternes 

Dablitz 

Iottr. 

Meridian 



Leiptig 

Instr. 

Meridian 

Leiptig 

1863  October  5 

1.  Dablittex  I 

nstrmn. 

Kreislage  Ost;  Leipziger  Instrum. 

Kreislage  West. 

1 

22*  44~31;06 

—1*19 

29* -87 

22*  52«  48*  48 

— 0*-60 

47* -98 

-8«  18*11 

2 

22  48  24*5 

-0-96 

23-99 

22  56  4307 

-0-92 

4215 

1816 

3 

22  58  10-67 

-0  95 

9-72 

23    6  28-99 

-094 

2805 

18-33 

4 

23    0  86-06 

—  104 

35-02 

23    8  54-01 

-0-76 

53-25 

18-23 

5 

23    3  36-03 

—0-99 

35-04 

23  11  53-87 

—0-86 

5301 

17-97 

11 

23  45   17  41 

-0-85 

16-56 

23  53  35-60 

-117 

34-43 

17-87 

IS 

23  50    8  03 

—117 

6-86 

23  58  25-65 

-054 

2511 

18-25 

Mittel 

-8-  18*131 

Dabl.  Iottr. 

KreisL  West;  Leipz.  Instr.  KreisL 

Ost. 

6 

23*  14«  57' -45 

-0*-26 

57*19  1 

•23*  22«  14*  95 

+0*50 

15* -45 

—B-  18* -26 

7 

23  16  50-06 

-0-27 

49-79 

23  25  7-90 

-M>05 

7-95 

1816 

8 

23  19  86-92 

-0-27 

36-65 

23  27  54-87 

-013 

54-74 

1809 

9 

23  29  42-76 

—0-27 

42-48 

28  38  0-87 

—016 

0-71 

1823 

w  1 

28  83  25-49 

-0-26 

25-23  | 

23  4L  42-95 

+038  | 

43-33 

18-10 

Mittel  -8*  18-168 


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2,2 


Numm. 

Durchgangs- 

Corr. 

Stem 

Durchgangs- 

Corr. 

Stern 

Dablitz 

des 

zeit 

des 

im 

teil 

des 

im 

minus 

Sternes 

Dablitz 

Instr. 

Meridian 

Leipzig 

Instr. 

Meridian 

Leipzig 

U.  Dabl.  Instr.    Kreisl.  Ost;  Leipz.  Instr.    Kreisl.  West. 

1 

22*  31»«  49' 80 

-l'-19 

48*61 

22*40-  7"  17 

-0--50 

6*  67 

-8*-  18*  06 

2 

22  35  43  68 

—0-96 

42  72 

22  44  1*75 

—092 

0-83 

18*11 

22  45  29-36 

-0-95 

28-41 

22  53  47-60 

—0-94 

46-66 

4 

22  47  64-72 

—  104 

53-68 

22  56  12-63 

—0-76 

11-87 

18-19 

5 

22  50  54-78 

-0-99 

53-74 

22  59  12-43 

—0-86 

11-57 

17-83 

11 

23  32  35-75 

-0-85 

34  90 

23  40  53-90 

—  117 

52-73 

17  83 

12 

23  37  26  33 

-117 

25-16 

23  45  43-94 

—0-54 

43-40 

18-24 

Mittel 

-8-  18*  073 

Dabl.  Instr. 

Kreisl.  West;  Leipz.  Instr.    Kreisl.  Ost. 

c 

23*   l«  16*01 

-0*26 

15' -75 

23*  9-3JK-45 

4-0* -50 

33* -95 

— O***  lO*  «V 

7 

23    4     8-6 1 

-027 

8-34 

23  12  26-36 

+005 

26-41 

ISA7 

IOUI 

8 

23    6  5542 

-0-27 

55  15 

23  15   13  33 

-013 

1320 

18-05 

9 

23  17  1-20 

-0-27 

093 

23  25   19  27 

-016 

1911 

18  18 

10 

23  20  43  92 

-0-26 

43-66 

23  29  1-84 

-T-0-38 

1-72 

18*06 

Mitte 

—8»*  18*  - 1 12 

Mittel  aus  beiden  Kreislagen  I  —8**  18**149,  Corr.  f.  Uhrgang  -+-0*  032 

II  —8   18*092  —0018 
Li  —  8-  18"  117 
Lu  —  8  18110 

In  diesen  Werthen  für  L  steckt  nun  noch  der  Unterschied  der  persönlichen 
Gleichungen  der  Beobachter  und  die  Stromzeit;  wenn  man  erstere  mit  p,  letztere 
mit  s  bezeichnet,  so  würde  man  haben 

—  8*  18'*  117  =  /  +  p  H-  s 

—  8    18  *  110  =  I  +  p  —  s, 

sodass  das  Mittel  aus  beiden  Werthen,  —  8»*  1 8jr*  113  von  der  Stromzeit,  nicht 
aber  von  der  persönlichen  Gleichung  frei  ist.  Letztere  ist  durch  Wechsel  der 
Beobachter  bei  dieser  Längenbestimmung  eliminirt. 

Die  beiden  anderen  Methoden,  bei  denen  der  elektrische  Telegraph  zur 
Anwendung  kommt,  können  als  Coincidenz-  und  Signalmethode  bezeichnet  werden. 
Der  Unterschied  liegt  nur  in  der  Vergleichung  der  Uhren. 

Für  die  Coincidenzmethode  gebraucht  man  auf  jeder  Station  noch  eine  Hilfs- 
uhr, deren  Gang  so  regulirt  ist,  dass  sie  im  Zeitraum  von  etwa  2  bis  3  Minuten 
einen  Schlag  gegen  die  Beobachtungsuhr  gewinnt  bezw.  verliert.  Hat  man  näm- 
lich z.  B.  zwei  Secundenuhren,  von  denen  die  eine  nach  mittlerer  Zeit,  die 
andere  nach  Sternzeit  regulirt  ist,  so  gewinnt  die  letztere  in  einem  Tag  gegen 
die  erstere  3m  56*  =  236*  oder  Pendelschläge.  Fallen  also  in  einem  gegebenen 
Augenblick  die  Schläge  beider  Uhren  genau  zusammen,  so  werden  sie  bald 
auseinander  gehen,  um  nach  etwas  weniger  als  6  Minuten  wiederum  zusammen 
zu  fallen,  wobei  dann  die  Sternzeituhr  eine  Secunde  gegen  die  mittlere  Zeituhr 
gewonnen  hat.  Will  man  zwei  solche  Uhren  mit  einander  vergleichen,  so  ge- 
schieht dies  am  schärfsten  durch  die  Beobachtung  einer  sogen.  Coincidenz,  d.  h. 
des  Momentes,  wo  die  Schläge  zusammenfallen.  Mit  einiger  Uebung  lässt  sich 
diese  Beobachtung  sehr  genau  machen,  man  hört  nämlich  bei  der  Coincidenz 


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hin  genbe»timroung. 


nur  einen  Schlag,  wogegen  das  Auseinandergehen  der  Schläge  sehr  auffallend 
hervortritt.  Da  nun  aber  auf  ca.  350  Secunden  der  Unterschied  zwischen  beiden 
Uhren  eine  Secunde  beträgt,  so  würde  bei  35  Secunden  die  Abweichung  nur 
0M  betragen,  es  lässt  sich  aber  namentlich  bei  präcisem  metallischem  Schlage 
der  Uhren  das  Auseinandergehen  schon  nach  einigen  Secunden  deutlich  hören, 
sodass  der  Fehler  einer  einzelnen  Coincidenzbeobachtung  kaum  0*  '02  betragen 
kann.  Es  ist  daher  in  der  Astronomie  bei  Uhrenvergleichungen  die  Coincidenz- 
beobachtung die  gebräuchlichste.  Das  seltene  Eintreffen  einer  Coincidenz,  nach 
jeweils  6  Minuten,  wird  durch  die  grosse  Sicherheit  aufgewogen,  da  andere 
Vergleichungsarten,  z.  B.  indem  man  Signale  nach  der  zu  vergleichenden  Uhr 
auf  dem  mit  der  Normaluhr  verbundenen  Registrirapparat  giebt,  wobei  in  weit 
kürzerer  Zeit  die  Vergleichung  bewirkt  wird,  oder  indem  man  besondere 
Coincidenzzwischenuhren  verwendet,  die  (s.  weiter  unten)  in  geringen  Intervallen 
in  6  bis  12  Secuntlen  Coincidenzen  geben,  entweder  mit  starken  systematischen 
und  für  die  gerade  vorliegende  Beobachtungsreihe  constanten  Fehlern,  oder  mit 
starken  sonstigen  Unsicherheiten  behaftet  sind. 

Diese  Coincidenzbeobachtungen  hat  man  nun  bei  den  Längenbestimmungen 
in  der  folgenden  Weise  verwandt.  Sei  auf  der  einen  Station  A  neben  der  Haupt- 
uhr U  die  Hilfsuhr  C  aufgestellt  und  diese  in  der  Art  mit  der  Telegraphen- 
leitung verbunden,  dass  jeder  ihrer  Schläge  ein  Relais  auf  der  Station  B  zum 
Ansprechen  bringt,  wo  sich  die  Hauptuhr  U'  befindet.  Zu  gewisser  Zeit  wird 
nun  der  Stromschluss  auf  A  hergestellt  und  hier  (zu  wiederholten  Malen,  um  die 
Sicherheit  der  Beobachtung  zu  erhöhen)  das  Zusammenfallen  der  Schläge  der 
Uhren  U  und  C  beobachtet  und  notirt,  zu  gleicher  Zeit  wird  auch  auf  B  das 
Zusammenfallen  der  Schläge  des  die  Uhr  C  vertretenden  Relais'  mit  denen  der 
Uhr  U'  beobachtet  und  notirt.  Es  ist  ohne  Weiteres  ersichtlich,  dass  wenn  die 
Uhren  U  und  U'  genau  richtig  gehen,  oder  ihre  Fehler  genau  ermittelt  sind,  die 
auf  die  gleichen  Zeitmomente  reducirten  Coincidenzen  in  ihrer  Differenz  den 
Längenunterschied  geben  müssen.  In  dieser  ist  nun  noch  die  oben  erwähnte 
sogen.  Stromzeit  enthalten,  indem  die  Schläge  von  C  um  die  Strorrzeit  verspätet 
in  B  eintreffen.  Man  wird  daher  auch  in  B  neben  CT  noch  eine  Coincidenzuhr 
aufstellen,  und  diese  ebenso  wie  in  B  mit  U1  auch  in  A  mit  U  vergleichen 

Was  die  Beobachtung  der  Coincidenzen  betrifft,  so  kann  man  diese  auch 
anstatt  nach  dem  Gehör  durch  Selbstregistrirung  ermitteln,  indem  man  die 
Coincidenzuhr  mit  dem  Tasterelectromagneten  des  Registrirapparates  verbindet. 
Hat  man  bei  der  Zeitbestimmung  die  Registrirmethode  angewandt,  so  wird  auf 
diese  Weise  die  Einführung  einer  Beobachtung,  bei  der  das  Gehör  die  Haupt- 
rolle spielt,  vermieden.  Denn  wenn  auch  starke  persönliche  Fehler  bei  der 
Erfassung  der  Coincidenz  nicht  in  Betracht  kommen,  so  wird  doch  jede  ou 
mögliche  Quelle  solcher  Fehler  zu  umgehen  oder  zu  eliminiren  sein. 

Wenn  der  gegenseitige  Stand  der  beiden  Hauptuhren  nahe  bekannt  ist, 
was  in  der  Regel  sehr  bald  der  Fall  sein  wird,  so  kann  man  dann  von  einem 
beliebigen  Schlage  der  Coincidenzuhr  ausgehen  und  leicht  die  den  folgenden 
Coincidenzen  zwischen  Haupt-  und  Coincidenzuhr  entsprechenden  Secunden 
nach  letzterer  durch  Weiterzählen  angeben,  ohne  Gefahr  zu  laufen,  etwa  die  eine 
Secunde  zu  einer  falschen  der  Hauptuhr  zu  zählen.  Es  ist  dann  einfach,  die 
Coincidenzen  eines  jeden  Abends  auf  ein  nahe  der  Mitte  sämmtlicher  Coincidenzen 
gelegenes  Zeitmoment  zu  reduciren.  Wenn  nämlich  T  dieses  Zeitmoment,  /  die 
Secunde  der  beobachteten  Coincidenz  nach  der  Coincidenzuhr  bezeichnet,  und 
T  und  /'  die  entsprechenden  Momente  nach  der  Hauptuhr,  ferner  u.  das  Ver- 


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«54 


hältniss  der  Serunde  der  Coincidenzuhr  zu  der  der  Hauptuhr,  also  die  Länge 
einer  Coincidenzuhrsecunde  ausgedrückt  in  Hauptuhrsecunden,  so  ist 

T  =  t  ■+■  (T  —  f)  vl. 

Hier  lässt  sich  ja  aus  der  beobachteten  Zwischenzeit  zwischen  der  ersten 
und  letzten  Coincidenz  bestimmen. 

Ein  Uebelstand  dieser  Methode  liegt  ebenfalls  in  der  langen  Benutzung  der 
Leitungen,  da  zur  erforderlichen  Genauigkeit  eine  grössere  Anzahl  Coincidenzen 
beobachtet  werden  müssen,  und  in  dem  Zeitverlust,  der  durch  die  zwischen  den 
Coincidenzen  nutzlos  verfliessenden  Pausen,  entsteht,  endlich  in  der  Schwierigkeit, 
den  Relaisanschlag  zn  einem  scharf  zu  beobachtenden  Uhrschlag  zu  gestalten. 

Beispiel.  Bei  der  schon  vorher  erwähnten  Längenbestimmung  Leipzig- 
Dablitz  wurde  auch  die  Methode  der  Coincidenzen  angewandt.  Am  5.  October 
fanden  folgende  Beobachtungen  statt: 

I.  Die  Coincidenzuhr  in  Dabli  z. 


a)  Dablitz 

Coincidenzen  gehört 

nach  der 
Hauptuhr  Coincidenzuhr 


1* 

1 

1 

1 

1 

1 


0-45' 


3 
5 
8 
10 
13 


13 
36 
9 

36 
0 


-  28' 
+  121 
265 
419 
567 
712 


b)  Leipzig 

Coincidenzen  gehört 

nach  der 
Hauptuhr  Coincidenzuhr 


0*48-31' 
0  50  58 


0 
0 


53 
55 


0  58 

1  0 


21 
47 
13 

38 


0* 
148 
292 
439 
586 
732 


II.  Die  Coincidenzuhr  in  Leipzig 


a)  Dablitz 


Coincidenzen  gehöit 

nach  der 
Hauptuhr  Coincidenzuhr 


\h  15-  13' 


b)  Leipzig 

Coincidenzen  gehöit 

nach  der 
Hauptuhr  Coincidenzuhr 


1 
1 
1 
1 
1 


18 
21 
24 
27 
30 


18 
17 
15 
19 
22 


—  11' 
4-175 
355 
534 
719 
903 


1* 


2* 

5 

8 
11 
14 
17 


42' 

45 

47 

47 

46 

46 


0* 
184 
367 
548 
728 
909 


Werden  nun  diese  Angaben  mit  dem  Reductionsfactor,  der  sich  z.  B.  aus 
den  Beobachtungen  unter  Ia  ergiebt,  wenn  man  die  erste  und  letzte  Beobachtung 
von  einander  abzieht,  nämlich  12-  15'  =  735' der  Hauptuhr  gleich  740  Schlägen 
der  Coincidenzuhr,  auf  eine  bestimmte  Zeit  reducirt,  so  erhält  man 


reducirt  auf  350' 
für 


n 

reducirt  auf  450* 
für 


Dablitz 
1*  7-  0M5 
046 
0-43 
047 
0-47 
044 

Mittel    1*  7-  0"45 
Leipzig-Dablitz 


Leipzig 
0*54-  18"61 
18-62 
18-60 
1861 
1862 
18-62 
0*  54-  18"61 
—  12- 41' 84 


Dablitz 
1*22-51"47 

51-49 

51-48 

5146 

51-48 

51-48 

1*  22-  51"48 

—  12-41"95 


Leipzig 
1*  10-  9"53 
9*54 
9-54 
9-54 
9-53 
9  52 
1*  10-  9*-53 


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Längenbestitnaiung. 


255 


Zu  diesen  Unterschieden  Leipzig-Dablitz  hat  man  nun  noch  den  durch  die 
Zeitbestimmungen  gefundenen  Unterschied  der  Uhrzeiten  in  Dablitz  und  Leipzig 
unter  Berücksichtigung  des  Ganges  hinzuzufügen.  Derselbe  ist  für  den  Unter- 
schied I  (1*12)  -+-  4"  24*10,  für  den  Unterschied  II  (1*  41)  -I-  4~  24"17,  sodass 
darnach  für  die  Längendifferenz  die  Werthe 

LI  —  8-  17' -74 
L  U  —  8   17  78 

folgen. 

Die  in  neuester  Zeit  am  allgemeinsten  zur  Anwendung  kommende  Methode 
ist,  wie  schon  vorher  angedeutet,  die  Signalmethode,  der  vorigen  ähnlich  in  der 
Anwendung  der  Operationen.  Der  Unterschied  liegt  in  der  Art  der  Uhren» 
vergleichung.  An  Stelle  der  einzuschaltenden  Coincidenzuhr  tritt  der  Handtaster, 
mit  dem  eine  Reihe  auf  einander  folgender  Signale  gegeben  werden,  die  an 
beiden  Stationen  gleichzeitig  gehört  und  nach  den  Schlägen  der  Hauptuhr  auf- 
gefasst  werden.  In  der  Regel  wird  dies  Signal  nicht  mehr  nach  dem  Gehör 
mit  der  Hauptuhr  beobachtet,  sondern  es  wird  auf  dem  Registrirapparat  beider 
Stationen  aufgefangen,  wo  es  sich  dann  neben  den  Secundenpunkten  der  Haupt- 
uhr verzeichnet.  Mit  aller  wünschenswerten  Schärfe  kann  dann  dies  Signal 
abgelesen  werden.  Es  liegt  auf  d«;r  Hand,  dass  dies  Verfahren  dasjenige  ist, 
welches  in  der  allerkürzesten  Zeit  und  unter  Vermeidung  aller  persönlichen 
Auflassungsfehler  ausgeführt  werden  kann.  Man  kann  die  Signale  in  1  —2  Secunden- 
intervall  geben,  erhält  also  im  Zeitraum  einer  Minute  ohne  Schwierigkeit  30  Sig- 
nale. Und  da  zur  Elimination  der  Stromzeit  die  Signale  von  beiden  Stationen 
gegeben  werden  müssen,  wird  man  in  2  Minuten  die  Vergleichung  vollenden 
können,  also  für  die  ganze  Operation  der  elektrischen  Vergleichung,  wenn  sonst 
alle  Maassnahmen  gut  getroffen  und  verabredet  sind,  die  Telegraphenleitung 
kaum  länger  als  5  Minuten  benöthigen. 

Es  sind  nun  aber  hier  noch  eine  Reihe  von  Vorsichtsmaassregeln  zu  treffen, 
welche  das  vollkommene  Gelingen  dieser  Operation  erst  gewährleisten.  Voraus- 
gesetzt wird,  dass  die  Zeilbestimmungen  registrirt  werden,  und  zwar  local,  dass 
der  Beobachter  in  A  die  Fadenantritte  der  Sterne  auf  dem  eigenen  Registrir- 
apparat verzeichnet,  wie  der  in  B  seine  Beobachtungen  auf  dem  in  B  befind- 
lichen Apparat.  Zu  einer  vollkommenen  Zeitbestimmung  gehören  nach  der 
Methode  der  Beobachtung  im  Meridian  etwa  6—8  gleichmässig  auf  beide  Kreis- 
lagen vertheilte  Zeit-  (Süd-)sterne  und  ein  Polstern  mit  Umlegung,  und  zwar 
wird  man  die  Sterne  so  anordnen,  dass  der  Polstern  in  die  Mitte  fällt,  also 
erst  3—4  Zeitsterne  in  einer  Kreislage  beobachtet  werden,  dann  ein  Polstern 
zur  Hälfte  in  der  gleichen  Lage,  zur  zweiten  Hälfte  in  der  anderen,  in  welcher 
dann  die  übrigen  3—4  Zeitsterne  angeschlossen  werden.  Nach  einer  solchen 
vollständigen  Zeitbestimmung  erfolgt  darauf  die  Uhrvergleichung  beider  Stationen 
durch  elektrische  Signale  unter  Benutzung  der  Telegraphenleitung.  Um  nun 
von  einem  Uhrgang  der  beiden  Stationsuhren  unabhängig  zu  sein,  ist  es  not- 
wendig, gleich  nach  dem  Signalaustausch  eine  zweite  Zeitbestimmung  in  gleicher 
Anordnung  wie  die  erste  vorzunehmen,  sodass  die  Uhrvergleichung  gerade  von 
zwei  unabhängigen  Zeitbestimmungen  eingeschlossen  ist  Hiermit  ist  dann  eine 
Längenbestimmung  durchgeführt.  Man  wird  aber  in  der  Praxis  zur  Erhöhung 
der  Genauigkeit  eine  nochmalige  Bestimmung  an  diese  erste  unmittelbar  an- 
schliessen,  indem  man  nach  der  zweiten  Zeitbestimmung  einen  zweiten  Signal- 
wechsel vornimmt,  dem  dann  zum  Schluss  eine  dritte  Zeitbestimmung  zu  folgen 
hat.    Da  bei  dieser  Anordnung  die  zweite  Zeitbestimmung  in  beide  Resultate 


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a$6 


Langeobestimmung. 


eingeht,  so  ist  es  nothwendig,  durch  Hinzufügung  einiger  Sterne  ihre  Sicherheit 
zu  erhöhen,  wenn  man  es  nicht  überhaupt  vorzieht,  um  zwei  ganz  unabhängige 
Endresultate  zu  erhalten,  an  die  zweite  Zeitbestimmung  sofort,  oder  nach  kleiner 
Pause,  eine  dritte  anzuschliessen,  auf  welche  dann  erst  der  zweite  Signalwechsel 
mit  der  unmittelbar  anschliessenden  vierten  Zeitbestimmung  zu  folgen  hat  Es 
hat  also  ein  mehrfacher  Uebergang  vom  Localregistriren  auf  den  Signalwechsel 
stattzufinden,  und  da  hierbei  entsprechend  der  kurzen  Leitung  im  Beobachtungs- 
raum und  der  langen  zwischen  beiden  Stationen  mit  sehr  verschiedenen  Strom- 
quellen gearbeitet  werden  muss,  so  ist  es  unbedingtes  Erforderniss,  dass  die  zur 
Erzielung  gleicher  Wirkungen  auf  die  Empfangsapparate  nöthigen  Operationen 
leicht  und  rasch  auszuführen  sind.  Es  müssen  sowohl  beim  Localregistriren  als 
auch  beim  Signalwechsel  und  zwar  bei  letzterem  sowohl  bei  ankommenden  als 
abgehenden  Strom  stets  Ströme  ganz  gleicher  Intensität  durch  das  mit  einer 
Localbatterie  und  dem  Signalanker  des  Registrirapparates  verbundene  Relais 
gehen.  Wenn  dies  nämlich  nicht  der  Fall  ist,  so  ist  das  gleichmässige  Ansprechen 
des  Signalankers  bei  den  verschiedenen  Operationen  nicht  gesichert,  und  nur 
unter  dieser  Annahme  wird  das  Resultat  der  Längenbestimmungen  im  Mittel  aus 
den  entsprechend  angeordneten  Beobachtungen  als  frei  angesehen  werden  dürfen 
von  den  unter  der  Bezeichnung  der  Stromzeit  inbegriffenen  Verzögerungen,  die 
zwischen  dem  Stromschluss  und  dem  Signalempfang  vorkommen.  Es  ist,  um 
diese  gleiche  Relaisthätigkeit  zu  erzielen,  übrigens  auch  nothwendig,  dass  der 
abgehende  und  ankommende  Strom  das  Relais  in  gleicher  Richtung  durchläuft, 
was  erreicht  wird,  wenn  an  den  beiden  Stationen  die  entgegengesetzten  Pole  der 
Linienbatterie  mit  dem  »Erddraht  verbunden  werden.  In  den  »Veröffentlichungen 
des  Königl.  Preuss.  Geodätischen  Institutsc  sind  die  Hauptnormen  mitgetheilt, 
welche  sich  auf  Grund  der  bei  den  zahlreichen  Längenbestimmungen  gemachten 
Erfahrungen  als  nothwendig  zu  beachtende  Regeln  ergeben  haben,  und  die 
ausserordentliche  Genauigkeit,  welche  genannte  Behörde  bei  ihren  Arbeiten  er- 
reicht hat,  ist  ein  Beweis  für  die  Richtigkeit  solcher  Regeln. 

Um  die  Stromstärke  jeweils  festsetzen  und  controliren  zu  können,  ist  die 
Einschaltung  einer  Tangentenbussole  und  zur  Regulirung  der  Stromstärke  die 
eines  Rheostaten  erforderlich.  Die  sonstigen  Hilfsapparate,  Galvanoskop,  Blitz- 
ableiter, ein  Schreibapparat  mit  getrenntem  Taster  gehören  selbstredend  in  den 
Stromkreis,  wie  die  Uhr  und  der  Chronograph.  Die  Linienbatterie  ist  am  besten 
getrennt  von  der  Localbatterie  zu  halten,  doch  kann  man  natürlich  auch  als 
letztere  eine  Anzahl  Elemente  von  der  Linienbatterie  abzweigen.  Um  rasch  von 
der  einen  Operation  auf  die  andere  übergehen  zu  können,  bedarf  es  ferner 
eines  dreifachen  Kurbelumschalters,  dessen  einfache  Drehung  die  Leitung  für 
Localregistrirung,  für  Signalwechsel  und  für  die  geschäftliche  Correspondenz 
schaltet 

Bei  der  raschen  Veränderlichkeit  der  Stromstärke,  die  nicht  allein  von  Tag 
zu  Tag  zu  bemerken  ist,  müssen  für  den  abgehenden  und  ankommenden  Strom 
die  einzuschaltenden  Widerstandsgrössen  jedes  Mal  neu  bestimmt  werden,  was 
in  der  Weise  geschieht,  dass  erst  die  eine  Station  den  Strom  1 — 2  Minuten  lang 
beständig  schliesst  und  beide  Stationen  während  dieser  Zeit  die  Widerstands- 
grössen so  lange  variiren,  bis  die  Tangentenbussole  den  Normalausschlag  giebt. 
Hierauf  wird  man  von  der  anderen  Station  aus  ebenso  verfahren,  und  man  kann 
nun  jedes  Mal  bei  Abgang  und  Ankunft  der  Signale  den  so  ermittelten  Wider- 
stand einschalten.  In  gleicher  Weise  muss  auch  vor  der  Zeitbestimmung  für  die 
Localregistrirung  die  Widerstandsgrösse  ermittelt  werden. 


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Längenbestimmung. 


»57 


Die  galvanischen  Apparate  sind  nun  erfährungsgemäss  so  zu  wählen,  dass 
die  Tangentenbussole  bei  Anwendung  eines  MEiDiNGER'schen  Elementes  von 
mittlerer  Grösse  und  bei  Einschaltung  von  10  km  Widerstand  einen  Nadel« 
ausschlag  von  45—60°  zeigt,  dass  der  Rheostat  von  1  —  10000  Ohm  (0*1—1200  im 
Leitungslänge)  von  Einheit  zu  Einheit  regulirbar  ist.  Die  Linienbatterie  muss 
unter  allen  Umständen  sehr  kräftig  genommen  werden,  die  Localbatterie  em> 
sprechend  schwächer,  jedoch  so,  dass  bei  der  ersten  Berührung  der  Relais- 
contacte  die  Signale  auf  dem  Registrirapparat  erfolgen;  für  den  Durchgang 
durch  die  Uhr  ist  ein  möglichst  schwacher  Strom  zu  nehmen. 

Was  die  Stromzeit  betrifft,  so  haben  die  von  Th.  Albrecht  am  Rön.  Preuss. 
Geodät.  Institut  angestellten  Untersuchungen  zu  dem  Resultat  geführt,  dass  man 
für  dieselbe  angenähert  den  Ausdruck 

0  =  O"O0O0208  L  +  0*0000000206  L* 

annehmen  kann,  wo  L  die  Leitungslänge  in  Kilometern  bedeutet.  Es  ist  abge- 
leitet aus  sämmtlichen  Längenbestimmungen,  die  1874 — 1884  vom  Geodätischen 
Institut  unter  Anwendung  gleicher  Apparate  und  gleicher  Beobachtungsmethoden 
ausgeführt  wurden,  und  wo  Leitungen  von  146  km— 1230  Am  Länge  in  Benutzung 
kamen.  Die  Einzelwerthe  für  diese  Längenbestimmungen  und  die  Darstellung 
der  Stromzeit  durch  obige  Formel  giebt  folgende  Tabelle: 


Jahr  der 

Länge 

Stromzeit 

Beob.- 

Längenbestimmung 

Aus- 

der 

Rechn. 

führung 

Leitung 

Beobachtung 

Rechnung 

Brocken-Göttingen 

1874 

146*-« 

+  0*002 

4-  0*  004 

—  0**002 

Manoheim-Strassburg     .  . 

1876 

167 

0O03 

0-004 

—  o-ooi 

Brocken-Leipzig  .... 

1874 

229 

0010 

0-006 

+  0-004 

Altona- Wilhelmsbaven   .  . 

1878 

234 

0-006 

0006 

0-000 

Berün-SwinemUnde  . 

1883 

245 

0*008 

0006 

+  0-002 

Berlin-Göttingen  .... 

1874 

403 

0011 

0012 

—  0-üOl 

Bonn-Wilhelmshaven      .  . 

1878 

416 

0016 

0-013 

+  0  003 

Kiel-Swinetnunde  .... 

1883 

448 

0-013 

0-014 

-0001 

Strassburg-Bonn  .... 

1876 

467 

0-OI6 

0-014 

+  0-002 

1878 

536 

0019 

0017 

+  0-002 

Berlin-Warschau  .... 

1884 

666 

0-024 

0-023 

+  0  001 

SwinemUnde-Königsberg 

1884 

673 

0022 

0024 

—  0O02 

1877 

680 

0-O23 

0024 

-0-001 

1877 

706 

0024 

0025 

—  0  001 

Königsberg- Warschau    .  . 

1884 

766 

0020 

0028 

-  0  008 

Berlin-Strassburg  .... 

1876 

778 

0030 

0029 

+  0-001 

1877 

1230 

0-059 

0057 

+  0002 

Die  Darstellung  der  Beobachtungen  durch  die  obige  Formel  ist  also  eine 
sehr  gute,  so  dass  man  nicht  zweifeln  kann,  dass  letztere  als  empirischer  Aus- 
druck der  Wirklichkeit  entspricht.  Es  ist  aber  doch  hervorzuheben,  dass  sie  bei 
der  Abhängigkeit  der  Stromzeit  von  den  benutzten  Apparaten  immerhin  nur  für 
die  hier  angewandten  gilt,  dass  bei  Benutzung  anderer  Apparate  wohl  die  Formel 
sich  anders  gestalten  kann,  wenngleich  anzunehmen  ist,  dass  die  hier  gegebene 
auch  für  andere  Fälle  einen  Anhaltspunkt  liefert.  Das  in  der  Formel  auftretende 
quadratische  Glied  wird  aber  als  die  Wirkung  der  Verzögerung  angesehen  werden 
können,  die  durch  das  allmähliche  Anwachsen  der  Stromstärke  bis  zur  vollen 
Intensität  an  der  Endstation  gegenüber  den  Verhältnissen  an  der  Abgangsstation 
VAiaamma,  Aatraaoaic.  IL  17 

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358  L&Dgtnbestimmung. 

entsteht.  Denn  wenn  wir  mit  U,„  und  Ua  die  Uhrdifferenzen  bezeichnen,  die 
sich  aus  den  Ablesungen  der  von  der  westlichen  und  östlichen  Station  gegebenen 
Signale  auf  den  Registrirstreifen  ergeben,  mit  r,  und  rj  die  Verzögerung  der 
Relais  auf  der  östlichen  und  westlichen  Station  bei  den  von  der  östlichen  Station, 
mit  rj  und  rw  bei  den  von  der  westlichen  Station  gegebenen  Signalen,  so  ist 
der  Ausdruck  für  die  Fortpflanzungszeit  des  elektrischen  Stromes 

—  U0       ra  —  rj      rK,  —  rj 

s  -  — 2—  +  —3—  +  2  

Bei  langen  Leitungen  wird  nun  die  durch  vorgenommenen  Ausgleich  der 
Stromstärken  möglichst  erstrebte  Gleichheit  von  r0  und  r0\  rw  und  rj  doch 
nicht  in  Strenge  erreicht  werden,  und  es  werden  wegen  der  allmählich  ansteigen- 
den Stromstärke  die  Werthe  von  r0'  und  rj  stets  grösser  sein  als  die  r,  und 
rWi  und  zwar  desto  mehr,  je  länger  die  Leitung  ist. 

Es  mag  nicht  unerwähnt  bleiben,  dass  Albrecht  auch  darüber  gelegentlich 
Untersuchungen  anstellte,  in  wiefern  sich  eine  Abhängigkeit  dieser  Stromzeit 
von  der  Stärke  der  in  Anwendung  gekommenen  Batterie  zeigte.  Bei  zwei 
Längenbestimmungen  zwischen  Berlin  und  Bonn,  und  Bonn  und  Paris  war  die 
eigentliche  Linienbatterie  aus  140  MEiDiNCER'schen  Elementen  mittlerer  Grösse 
zusammengesetzt  Sie  wurde  dann  auf  das  möglichst  geringe  Maass  reducirt, 
sodass  aber  der  Signalwechsel  noch  in  normaler  Weise  vorgenommen  werden 
konnte.  Bei  möglichst  empfindlicher  Relaisstellung  genügten  noch  15  Elemente 
zum  Signalwechsel,  es  bestand  aber  dabei  nur  ein  ganz  geringer  Spielraum  für 
die  Stellung  der  Relais,  sodass  sich  die  Bedingung,  diese  Stellung  so  zu  wählen, 
dass  sie  bereits  im  ersten  Stadium  des  Anwachsens  des  Stromes  functionirte, 
nicht  ganz  erfüllen  liess.  Im  Uebrigen  wurde  auch  hier  für  thunlichsten  Aus- 
gleich der  Stromstärken  bei  abgehendem  und  ankommendem  Strom  gesorgt. 
Es  ergaben  sich  folgende  4  bezw.  6  Bestimmungen  an  verschiedenen  Tagen: 


140  Elemente 

15  Elemente 

Differenz 

Berlin-Bonn,  Stromzeit 

=*  -+-  0-024 

-h  0"030 

-1- 0*  006 

0  021 

0028 

-h  0-007 

0032 

0032 

0000 

0026 

0-035 

+  0-009 

Bonn-Paris 

-1-  0  029 

4-  0  045 

-1-  0016 

0-030 

0  047 

-4-  0017 

0035 

0044 

-+•  0009 

0-027 

0040 

-4-  001 3 

0030 

0  049 

-+-  0019 

0024 

0057 

-1-  0  023 

Im  Mittel  findet  sich  also  bei  Berlin-Bonn  eine  Verzögerung  von  0*  006,  bei 
Bonn-Paris  eine  solche  von  0"016.  Da  beide  Leitungen  sehr  nahe  gleich  lang 
waren,  spricht  sich  in  diesem  Unterschied  zwischen  beiden  Resultaten  nicht  eine 
Abhängigkeit  von  der  Länge  der  Leitung  aus,  sie  wird  vielmehr,  da  die  Ver- 
suche gleichzeitig  von  Bonn  ausgingen,  in  der  Verschiedenheit  der  in  Berlin 
und  Paris  angewandten  Apparate  liegen.  Sie  liefern  aber  vor  allem  das  wich- 
tige Resultat,  dass  wenn  bei  einer  Abschwächung  der  Batterie  auf  den  9-  Theil 
die  Differenz  der  Stromzeit  nur  etwa  0*-01  beträgt,  von  den  vorübergehenden 
Einflüssen  der  Witterung  auf  die  Leitungswiderstände  unter  Beobachtung  mög- 
lichster Ausgleichung  der  Stromstärken,  wie  oben  angegeben,  kein  nennens- 
werter, schädlicher  Einfluss  auf  die  Resultate  der  Längenbestimmungen  selbst 


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Län  genbefttimmung. 


259 


L  = 


zu  befürchten  ist.  (Vergl.  hierüber  Albrkcht's  Mittheilungen  in  den  »Astron. 
Nachr.c,  in  den  »Veröffentlichungen  des  Geodät  Instituts  1883— 84c,  und  seine 
»Formeln  und  Hilfstafeln  für  geograph.  Ortsbestimmungenc) 

Soll  schliesslich  der  Ausdruck  für  die  Berechnung  der  Längendifferenz  unter 
Anwendung  der  telegraphischen  Methode  gegeben  werden,  so  folgt  derselbe  in 
einfacher  Weise.  Es  seien  dazu  U0  und  Uw  die  aus  den  Zeitbestimmungen 
hervorgegangenen  Uhrstände  auf  der  östlichen  und  westlichen  Station  mit  dem 
event.  Uhrgang  reducirt  auf  die  Zeit  der  Mitte  des  Signalwechsels  oder  auf  einen 
sonstigen  gleichen  Zeitmoment,  Re  und  Rw  die  Verzögerung  der  Relais  beim 
Localregistriren,  re  und  rj  die  bei  den  von  der  östlichen  Station  aus  gegebenen 
Signalen,  rf  und  rw  die  auf  die  westliche  Station  bezüglichen  Grössen,  sodass 
der  Index  für  den  ankommenden  Strom  gilt,  endlich  seien  die  Uhrdifferenzen 
bei  den  von  der  östlichen  und  der  westlichen  Station  aus  gegebenen  Signalen 
de  und  ärv,  so  *st  die  Längendifferenz  L 

Ist  nun  durch  den  Ausgleich  der  Stromstärken  i?„     r„  «  rj  und  Rw  —  rw 
rj  und  wird  die  Stromzeit  überhaupt  durch  das  Hin-  und  Herregistriren  eli- 
minirt,  so  fallen  damit  ja  die  letzten  beiden  Glieder  fort.    Will  man  dagegen 
noch  die  persönliche  Gleichung  berücksichtigen,  oder  dieselbe  andererseits  aus 
den  Abend  wert  hen  ermitteln,  so  findet  sich 

wo  dann  P,  die  persönliche  Gleichung,  so  zu  verstehen  ist,  dass  man  Beobachter 
auf  der  östlichen  Station,  weniger  Beobachter  auf  der  westlichen  Station  nimmt. 
Treten  nun  die  Einzelwerthe  verschiedener  Abende  zusammen,  so  wird  man  in 
der  Regel  letztere  nicht  als  gleichwertig  ansehen  dürfen,  da  auf  der  einen  oder 
anderen  Station  oder  auf  beiden  die  Uhrstände  nicht  immer  mit  gleicher  Sicher- 
heit erhalten  werden,  indem  der  eine  oder  andere  Stern  verloren  geht,  oder 
durch  die  Luftbeschaffenheit  und  sonstige  Störungen  Unsicherheiten  hinzutreten 
können;  dabei  ist  noch  zu  beachten,  dass  die  Beobachtungen  der  Polsteme  zur 
Ermittelung  des  Azimuthfehlers  der  benutzten  Instrumente  führen,  also  ebenso- 
wohl wie  die  Zeitsterne,  welche  direkt  zur  Bestimmung  des  Uhrstandes  führen, 
bei  einer  Gewichtsbestimmung  hinsichtlich  der  abendlich  erreichten  Sicherheit 
herangezogen  werden  müssen.  Nach  Oppolzer  kann  man  für  die  Bestimmung 
des  Gewichtes  der  Uhrstände  die  Formel 

c  _  P* 

0*7/  -+-  03« 

verwenden,  wo  p  und  *  die  Zahl  der  beobachteten  Pol-  bezw.  Zeitsterne  be- 
zeichnen. Das  Gewicht  der  Längenbestimmung  selbst  setzt  sich  dann  aus  den 
so  ermittelten  Gewichten  der  Zeitbestimmung  an  der  östlichen  und  westlichen 
Station  zusammen,  und  lautet 

^Tff 

und  das  Endresultat  der  Längenbestimmung  aus  allen  Abenden  wird  das  unter 
Berücksichtigung  dieser  Gewichte  gebildete  Mittel  sein. 

Die  Längenbestimmung  aus  Chronometerübertragungen,  auf  welche 
Methode  nun  im  folgenden  näher  eingegangen  werden  soll,  wurde  zuerst  von 

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a69 


Liln  Kenbestimmung. 


Schumacher  zur  Ausführung  gebracht,  indem  er  im  Jahre  1817  die  Längendifferenz 
zwischen  Hamburg  und  Kopenhagen  auf  diesem  Wege  zu  bestimmen  versuchte. 
Das  Resultat,  welches  er  mit  Benutzung  zweier  Chronometer  erhielt,  zeigte  aber 
■noch  von  einem  im  Jahre  1820  wiederholten  Versuch  mit  drei  Chronometern  eine 
Abweichung  von  etwa  8  Secunden.  Auch  eine  Reise  im  Jahre  1821  mit  5  Chrono- 
metern Hess  grosse  Unsicherheilen  in  den  Ergebnissen  der  einzelnen  Uhren. 
Indessen  lag  die  Unsicherheit  ersichtlich  in  der  Schwierigkeit  der  Reise,  welche 
theils  zu  Wagen,  theils  mit  Segelschiff  bei  stürmischem  Wetter  viele  Tage  in 
Anspruch  nahm,  Umstände,  welche  die  gegen  jeden  Stoss  empfindlichen  Chrono- 
meter nicht  vertragen  konnten.  Es  trat  dies  deutlich  hervor,  als  Schumacher 
noch  in  dem  gleichen  Jahre  durch  Zahrtmann  eine  Reise  mit  sechs  Chronometern 
unter  Benutzung  des  Dampfschiffes  von  Kiel  nach  Kopenhagen,  und  anderweitiger 
Uebertragung  von  Kiel  nach  Hamburg  ausführen  liess.  Hier  waren  die  grössten 
Abweichungen  unter  den  sechs  Chronometern  nur  eine  Secunde,  wogegen  die 
Rückreise  mit  vier  der  gleichen  Chronometer  aber  unter  Benutzung  einer  um 
Skagen  herumgehenden  Brigg,  die  1 1  Tage  unterwegs  war,  zu  Einzeliesultaten 
führte,  die  fast  18  Secunden  von  einander  differirten.  Es  geht  schon  aus  diesen 
ersten  grösseren  Versuchsreisen  hervor,  dass  man  auf  genaue  Längenbestimmungen 
nur  rechnen  kann,  wenn  die  Reisen  schnell  und  unter  grosser  Schonung  der 
Chronometer  bewirkt  werden  können.  Selbstverständlich  wird  man  auch  nur 
ausgesucht  gute  Uhren  und  eine  grosse  Anzahl  verwenden,  ausserdem  die  Reisen 
thunlichst  mehrmals  wiederholen.  Diese  Bedingungen  haben  Veranlassung  zu 
sehr  ausgedehnten  Chronometerexpeditionen  gegeben.  Die  erste  derartige  kam 
im  Jahre  1824  zur  Ausführung,  wo  die  englische  Admiralität  ein  Dampfschiff  aus- 
rüsten liess,  um  einestheils  die  Längendifferenzen  zwischen  dänischen  und  engli- 
schen Dreieckspunkten  und  einigen  sonst  wichtigen  Häfen  der  Nordsee  zu  be- 
stimmen, sodann  zur  Untersuchung  anderer  für  die  Marine  wichtiger  Fragen,  die 
hier  nicht  in  Betracht  kommen.  Das  Schiff  erhielt  28  Chronometer,  und  da 
Helgoland  eine  Referenzstation  bildete,  wo  ein  passageres  Observatorium  zur 
gleichen  Verbindung  mit  Altona  errichtet  war,  so  wurden  jenen  28  englischen 
Chronometern  noch  9  dänische  hinzugefügt,  von  denen  sich  aber  im  Laufe  der 
Reise  2  unbrauchbar  erwiesen,  sodass  im  ganzen  35  Chronometer  zur  Verfügung 
standen.  Das  Schiff  war  vom  30.  Juni  bis  10.  September  unterwegs,  und  wieder- 
holte in  dieser  Zeit  die  Vergleichungen  an  den  einzelnen  in  Betracht  kommenden 
Häfen  häufiger,  sodass  z.  B.  die  Längendifferenz  Altona-Helgoland  achtmal  durch 
die  7  dänischen,  viermal  durch  die  28  englischen  Chronometer  bestimmt  wurde, 
und  die  zwischen  Helgoland  und  Greenwich  viermal  durch  die  7  dänischen  und 
sechsmal  durch  die  28  englischen.  Die  hierbei  erreichte  Genauigkeit  entsprach, 
was  die  Uebereinstimmung  der  einzelnen  Reisen  und  Chronometer  betrifft,  allen 
Wünschen  und  Erwartungen. 

Eine  zweite  grosse  Chronometerexpedition  wurde  in  Russland  unter  der 
Leitung  des  Generals  Schubert  ausgeführt,  um  die  Längen  der  für  die  Schiff- 
fahrt wichtigsten  Häfen  der  Ostsee  zu  bestimmen.  Auch  Preussen,  Dänemark 
und  Schweden  waren  durch  die  Antheilnahme  der  auf  ihren  Gebieten  belegenen 
Sternwarten  an  diesem  Unternehmen  betheiligt.  Ein  russisches  Kriegsdampf- 
schiff war  besonders  dazu  ausgerüstet  und  machte  während  eines  Zeitraums  von 
115  Tagen  im  Jahre  1833  eine  dreimalige  Reise  mit  Anlaufen  aller  im  Programm 
aufgenommenen  Häfen.  Nicht  weniger  als  56  Chronometer  kamen  zur  Ver- 
wendung. Zum  ersten  Mal  wurde  bei  diesen  Längenbestimmungen  auch  auf  die 
Ermittelung  der  persönlichen  Gleichung  Bedacht  genommen,  denn  auch  diese 

:» 

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Langenbestimmung. 


muss,  was  schon  Schumacher  gelegentlich  der  ersten  Expedition  erwähnte,  m 
sofem  von  Bedeutung  sein,  als  die  Chronometer  vor  der  Abreise  mit  der  nach 
den  daselbst  erhaltenen  Beobachtungen  regulirten  Pendeluhr  und  nach  der  An- 
kunft an  dem  nächsten  Ort  mit  der  dortigen  Zeit  verglichen  werden,  die  im  All- 
gemeinen wenigstens  von  einem  anderen  Beobachter  bestimmt  wurde.  Zu  einem 
ganz  genauen  Resultat  gehört  übrigens  auch  noch  streng  genommen  die  An- 
stellung einheitlicher  Zeitbestimmungen,  d.  h.  unter  Anwendung  derselben  Sterne 
und  gleicher  Rectascensionen. 

Hiernach  sind  vielfach  kleinere  Verbindungen  vorgenommen  worden,  da 
diese  Methode  ohne  Zweilei  zu  den  besten  Ergebnissen  führt,  so  lange  nicht  die 
telegraphische  Längenbestimmung  möglich  ist  und  wenn  die  Benutzung  terrestri- 
scher Signale  versagt.  Die  grössten  derartigen  Unternehmungen  gingen  aber 
von  Russland  aus,  wo  nach  der  Gründung  der  grossen  Centraisternwarte  Pulkowa 
die  Anschlüsse  an  andere  Hauptsternwarten  mit  äusserster  Genauigkeit  zu  er- 
streben waren.  Die  hauptsächlichsten  Bestimmungen  der  Art  waren  die  Chrono- 
meterexpeditionen zwischen  Pulkowa  und  Altona  im  Jahre  1843,  sodann  die  sich 
fast  unmittelbar  anschliessende  zwischen  Altona  und  Greenwich  im  Jahre  1844, 
wodurch  Pulkowa  mit  Greenwich  verbunden  wurde.  Später,  im  Jahre  1854,  folgte 
dann  die  zur  grossen  russischen  Breitengradmessung  gehörige  Verbindung  zwischen 
Pulkowa  und  Dorpat  In  den  drei  auf  diese  Unternehmungen  bezüglichen  aus- 
führlichen Werken  ist  alles  gesagt,  was  zur  Ausführung  einer  Längenbestimmung 
auf  dem  Wege  der  Chronometerübertragung  gehört.  In  neuester  Zeit  hat  die 
Methode  auch  noch  Anwendung  gefunden,  so  bei  Gelegenheit  der  Expeditionen 
zur  Beobachtung  der  Venusvorübergänge,  wo  insbesondere  von  Lord  Lindsay 
eine  Längenbestimmung  zwischen  Mauritius  und  Aden  durch  50  Chronometer 
ermittelt  wurde,  wogegen  an  anderen  Stationen  nur  eine  geringe  Zahl  Chrono- 
meter zur  Verfügung  stand,  wo  denn  auch  durch  mehrfache  Reisen  die  erforder- 
liche Genauigkeit  erreicht  werden  musste,  die  aber  nicht  den  Resultaten  an  die 
Seite  gestellt  werden  kann,  welche  auf  den  genannten  russischen  Expeditionen 
erlangt  wurde. 

Für  die  erste  der  genannten  russischen  Expeditionen  waren  insgesammt 
86  Chronometer  zur  Verfügung,  von  denen  aber  einige  ausgeschieden  wurden 
oder  zur  Vergleichung  der  Chronometer  unter  einander  dienten,  sodass  im 
Ganzen  81  verblieben.  Die  Vergleichung  bei  einer  so  ungeheuren  Zahl  von 
Uhren  erforderte  eine  beträchtliche  Zeit  und  wäre  kaum  mit  genügender  Genauig- 
keit durchführbar  gewesen,  wenn  man  die  gewöhnlichen  Coincidenzen  zwischen 
Sternzeit  und  mittlerer  Zeit  hätte  anwenden  wollen.  Es  kam  daher  hier  ein 
130-Schläger,  eine  Uhr,  die  130  Schlage  in  einer  Minute  macht,  wo  sich  also 
die  Coincidenzen  sehr  rasch  folgen,  zur  Verwendung.  Die  ganze  Vergleichung 
war  damit  in  etwa  einer  Stunde  vollendet  und  konnte  auch  täglich  während  der 
Reise  gemacht  werden,  sodass  man  über  etwaige  Sprünge  im  Gang  Aofschluss 
erhielt.  Die  Reise  selbst  wurde  natürlich  mit  der  erdenklichsten  Sorgfalt  unter- 
nommen, sie  setzte  sich  aus  mehreren  Theilen  zusammen  und  bestand  erstens 
aus  einer  Wagenfahrt  von  etwa  40  km  von  Pulkowa  nach  dem  Halen  Oranien- 
baum,  zweitens  aus  einer  Bootfahrt  von  dem  Hafen  nach  Kronstadt,  wo  ein 
Dampfschiff  nach  Travemünde  bereit  lag;  drittens  folgte  die  Seefahrt  von  Kron- 
stadt nach  Travemünde  und  vieitens  wieder  eine  Wagenfahrt  von  etwa  80  km 
von  Travemünde  nach  Altona.  Der  Vorgang  war  folgender.  Unmittelbar  vor 
der  Abreise  von  Pulkowa  wurden  die  Chronometer  mit  der  dortigen  Normal- 
pendeluhr  verglichen;  sofort  nach  Ankunft  an  Bord  des  Schiffes  geschah  eine 


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Längenbestitnmung. 


Vergleichung  durch  einen  in  Kronstadt  an  einer  dortigen  temporären  Stern- 
warte angestellten  Astronomen.  Auch  in  LUbeck  befand  sich  ein  kleines  Ob- 
servatorium, wo  die  Vergleichungen  aufs  Neue  vorgenommen  wurden;  endlich 
geschah  unmittelbar  nach  der  Ankunft  in  Altona  die  Vergleichung  mit  der  dor- 
tigen Normaluhr.  Nach  kurzem  Aufenthalt  in  Altona  von  etwa  1—2  Tagen 
erfolgte  die  Rückreise,  auf  welcher  die  Vergleichungen  ebenso,  nur  natürlich 
in  umgekehrter  Reihenfolge,  vorgenommen  wurden.  Kein  Tag  verging  ohne 
Vergleichung,  selbst  wenn  sich  die  Chronometer  an  demselben  Ort  und  in 
Ruhe  befanden.  Diese  Reise,  welche  hin  und  her  mit  der  Pause  in  Altona  und 
einer  etwas  längeren  in  Pulkowa  14  Tage  erforderte,  wurde  vom  19.  Mai  bis 
8.  September  achtmal  wiederholt,  sodass  jedes  Chronometer  16  Bestimmungen 
lieferte,  oder,  wenn  man  die  Hin-  und  Rückreisen  zusammen  nimmt,  8  Einzel- 
bestimmungen. 

Den  Zeitbestimmungen  in  Pulkowa  und  Altona  wurde  selbstredend  grösste 
Aufmerksamkeit  zugewandt,  hängt  doch  von  der  Ermittelung  der  absoluten  Zeit 
an  den  betreffenden  Orten  und  den  daraus  abgeleiteten  Gängen  der  Hauptuhren 
die  Genauigkeit  des  Endresultates  ab.  Da  ja  in  der  Regel  nicht  im  Augenblick 
der  Ankunft  die  Zeitbestimmung  zu  erhalten  ist,  so  kommt  es  darauf  an,  mit 
möglichster  Zuverlässigkeit  die  Uhrcorrection  für  den  Moment  der  Vergleichung 
interpoliren  zu  können. 

Die  Berechnung  der  Längendifferenz  aus  den  Vergleichungen  bildet  eigent- 
lich eine  Interpolation,  die  sich  aber  nur  unter  der  Annahme  gewisser  Hypothesen 
Uber  den  Gang  oder  Uberhaupt  das  Verhalten  der  Chronometer  in  der  Zwischen- 
zeit durchführen  lässt.  Denn  an  und  für  sich  ist  die  Berechnung  in  sofern  eine 
unbestimmte,  als  bei  einer  gewissen  Anzahl  von  Reisen  eine  Gleichung  weniger 
vorhanden  ist  als  Unbekannte,  welche  letztere  die  jeweiligen  Gänge  und  die 
Längendifierenz  sind,  während  die  Gleichungen  durch  jede  Reise  geliefert  werden. 
Die  Unsicherheit  des  Ganges  wird  aber  um  so  grösser,  als  sich  derselbe  zusammen- 
setzt •  aus  dem  Gang  der  Uhr  zwischen  Beginn  der  Reise  und  Ankunft  an  der 
zweiten  Station,  sodann  aus  der  Zeit  des  ruhigen  Aufenthalts  an  der  zweiten 
Station  und  endlich  dem  Gang  zwischen  der  Abreise  von  der  zweiten  Station 
und  der  Ankunft  an  dem  Ausgangsort.  Wenn  ein  Unterschied  zwischen  dem 
Reise-  und  Ruhegang  nicht  vorhanden  wäre,  so  würde  man  .einfach  die  Uhr- 
correction vor  Abgang  vom  ersten  Ort  und  bei  Rückkehr  an  denselben  ver- 
binden, und  durch  Division  mit  der  Zwischenzeit  den  mittleren  Gang  erhalten. 
Eine  solche  Co ns tanz  ist  aber  keinesfalls,  selbst  bei  aller  Sorgfalt  in  der  Be- 
handlung deT  Chronometer  anzunehmen.  Und  wenn  wirklich  ein  Chronometer 
diese  Annahme  rechtfertigte,  so  dürfte  dieselbe  darum  für  ein  anderes  Chrono 
meter  noch  nicht  gemacht  werden.  W.  Struvb  hat  nun  den  folgenden  Weg 
eingeschlagen : 

Nennen  wir  den  Abgang  von  der  ersten  Station  A,  die  Ankunft  au  der 
zweiten  B,  den  Abgang  von  der  zweiten  B\  die  Ankunft  an  dem  ersten  -Ort 
A\  sodass  diese  Hin-  und  Herreise  als  eine  vollständige  Reise  betrachtet  wird. 
Es  seien  die  betreffenden  Zeiten  /,  /,  /",  /"',  die  beobachteten  Uhrcorrectionen 
<t,  kx,  k),  £t,  die  Zwischenzeiten  t,,  p„  t„  sodass  mit  p,  die  Zeit  des  Auf- 
enthalts am  zweiten  Ort  gemeint  wird,  endlich  7t,  7,  .  .  .  die  mittleren  Uhr- 
gänge in  der  Zeiteinheit  während  das  Chronometer  sich  auf  der  Reise  befindet, 
dann  ist,  wenn  wir  annehmen,  dass  der  Gang  des  Chronometers  während  der 
Hin-  und  Herreise  xlt  t,  derselbe  blieb,  und  wenn  mit  X  die  westliche  Länge 
bezeichnet  wird 


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Längenbestimmung.  263 


cx  —  kx  —  X         k%  —  Ct  4-  X 
*i  ~~ 

woraus 

(r,  -  *x)  x,  4-  (<-,  -  *,)  Tt 


X,  +T, 


Für  die  Rechnung  kann  man  diesen  Ausdruck  noch  wesentlich  einfacher 
machen,  wenn  man  zu  den  Grössen  *a  und  c%  die  Differenz  kx  —  kt  hinzufügt, 
um  so  den  Ruhegang  zu  eliminiren.  Dann  hat  man  die  4  Uhrcorrectionen  cx, 
kx,  kx,  ct  4-  kx  —  kt  =  ct'  mit  den  Zeitintervallen  x,  und  x,.   Nennt  man  jetzt 

r  =  ('t'-<i)^-         (<)='»  +r, 

so  ist  die  Länge 

x  -  (0  -  *P 

Beispiel.  Bei  Gelegenheit  des  Venusdurchganges  im  Jahre  1874  wurden  Längen- 
besftmmungen  der  Beobachtungsstationen  auch  nach  der  Methode  der  Chrono- 
meterübertragung ausgeführt,  so  z.  B.  wurde  die  Station  Tschifu  in  China  mit 
Nagasaki  in  Japan  durch  mehrmalige  Reisen  mit  mehreren  Chronometern  ver- 
bunden. Auf  einer  der  Reisen  lieferte  das  Chronometer  Nieberg  No.  562  folgende 
Daten:  Abreise  von  Tschifu  December  12,  Ankunft  in  Nagasaki  December  18, 
Abreise  von  Nagasaki  December  25,  Ankunft  in  Tschifu  Januar  2.    Darnach  ist 

/   =  Decemb.  12  08       cx  =  V>  21-  36'72 

/»  =  „  18-83  *t  -  8  55  82  65  7-53 
r  =      „      25  83  =  8  55   40  18      c3'  =  8*  21-  44'*48 

/"'  =  Januar      2  92  =  8  21    52  01 

T  =  6*25  =  150*-0        t'  =  8*09  =  194*1 

<Y  —  cx  =  +7' 76 

_  nn  1500  ntQQ 
+7  *76*34TT  -  +  3  38 

(<•)  »  cx  4-  r  =  8*  21-  40"10 
\  =  (c)  —  kx=  —  33-  52"55. 

Nun  wird  aber  diese  einfache  Interpolation  in  der  Regel  nicht  genau  genug 
sein,  man  wird  vielmehr  suchen  müssen,  zweite  Differenzen  zu  berücksichtigen, 
da  der  Gang  des  Chronometers  kein  so  constanter  ist.  Selbst  eine  regelmässig 
zunehmende  Beschleunigung  oder  Verlangsamung  des  Ganges  wird  nur  als  eine 
weitere  Annäherung  anzusehen  sein,  bei  der  man  aber  in  Ermangelung  genauer 
Gesetze  Uber  den  Gang  eines  Chronometers,  und  bei  möglichster  Inachtnahme 
der  Symmetrie  in  den  Reisen  stehen  bleiben  kann.  Wenn  man  die  Rechnung 
so  anordnet,  dass  man  nicht  beständig  von  derselben  Station  ausgeht,  sondern 
vielmehr  abwechselnd  von  der  einen  und  anderen  und  so  zuerst  die  zweite 
Station  zwischen  die  Beobachtungen  an  der  ersten  Station  einschliesst,  dann 
die  an  der  ersten  zwischen  zwei  an  der  zweiten,  so  gestaltet  sich  die  Rechnung 
nach  Struvf.  wie  folgt: 

Nehmen  wir  vier  Beobachtungsepochen  /,  /,       /"'  und  die  zugehörigen 
Correctionen  cx,  kx,  cit  kt  mit  den  Zwischenzeiten  x,  x',  x",  wobei  also  die 
Ruhepausen  ausser  Betracht  bleiben.    Wenn  nun  der  Gang  ein  gleichmässig 
beschleunigter  oder  verzögerter  ist,  so  folgt 
cx  =  cx 

kx  =  cx  4-  ax  4-  ßx>  —  X 

e%  «*  cx  4-  a  (x  4-  x')  4-  ß  (x  -+-  x')' 

kt      q  +  a(t  +  t'  +  x")  +  ?(t  +  t,  +  x")»  -  X. 


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Bilden  wir  nun  den  Werth  von  (c),  der  für  die  Zeit  t,  also  für  ix  gültig 
wäre,  indem  wir  einfach  für  diese  Zeit  zwischen  c%  und  cx  interpoliren,  so  er- 
halten wir 

Ca  —  c. 

und  indem  für  c%  der  obige  Ausdruck  gesetzt  wird 

(0  =  c ,  +  «t  -+•  ßx  (t  +  t') 
und  darnach  würde  die  Länge  herauskommen 

X'  =  (0  -  kx  =  X  -t-  ßxx\ 
sodass  die  sich  so  ergebende  Länge  den  Fehler  ßxx'  enthielte.    Wenn  wir  nun 
aber  die  Ausdrücke  berechnen,  indem  *ir  vom  zweiten  Ort,  k,  ausgehen  und 
den  ersten,  c,  einschliessen,  so  wird  sich  für  (k)  durch  einfache  Interpolation 
ewischen  kx  und  kt  entsprechend  c9  ergeben 

«  ex  +  a  (t  -+-  x')  -+■  ß  (x*  +  2  tt'  -+-  x'«  ■+■  x'x")  —  X, 
woraus  die  Länge 

X"-<r,-(*)~X-ßx'x". 
Es  erleidet  also  die  wahre  Länge  das  eine  Mal  den  Fehler  —  ßxx',  das 
andere  Mal  4-  ßx'x",  und  wenn  wir  beide  Resultate  zusammenfassen,  so  wird 
dann  der  Fehler 

ßT'  (x"  -  t) 

sein,  der  vollkommen  verschwindet,  wenn  die  Zwischenzeiten  t"  und  x  einander 
gleich  sind,  eine  Bedingung,  die  allerdings  schwerlich  je  strenge  erfüllt  sein 
wird,  der  man  sich  aber  zu  nähern  nach  Kräften  bemüht  sein  wird,  und  jedenfalls 
sieht  man,  dass  ein  solches  Vorgehen  in  der  Rechnung  den  Eiofluss  der  regel 
mässigen  Veränderung  des  täglichen  Ganges  auf  ein  Minimum  herabdrückt. 

Beispiel.    Wir  setzen  obiges  Beispiel  fort,  indem  wir  von  Nagasaki  ausgehen 
und  folgende  Angaben  zu  Grunde  legen.    Die  Abreise  von  Nagasaki  erfolgte 
December  25,  die  Ankunft  in  Tschifu  Januar  2,  die  Abreise  von  Tschifu  Januar  6, 
die  Ankunft  in  Nagasaki  Januar  10.    Damach  ist 
/   =  Decemb.  25  83       cx  =  8*  55"»  40"  18 

/  «Januar       292      kx  =  8  21    52  01       *,  —  i,  —  —  1"19 
/"=  Januar       6  92  =  8  21    53  20 

r  =  Januar     10  92       c %  =  8  55   49*50      c%'  =  8*  55-  48"31 

t  =  194*1  xx  =  96*0 

—  cx=  +  8*13         r  =  -+-  5"44         (c)  =  8*  55-  45*  62 

X  «  —  33-  53"61. 

Von  grosser  Wichtigkeit  ist  nun  aber  die  Berücksichtigung  der  Gewichte 
der  einzelnen  Reisen.  Es  ist  von  vornherein  klar,  dass  wo  der  Uhrgang  von 
solcher  Bedeutung  für  das  Endresultat  ist,  die  einzelnen  Reisen  je  nach  ihrer 
Länge,  nach  den  Vorgängen  auf  derselben,  ihrer  Art  u.  s.  w.  von  verschiedener 
Genauigkeit  und  Sicherheit  sein  werden.  Indessen  ist  es  nicht  möglich,  diese 
Genauigkeit  durch  eine  gewisse  Gesetzmässigkeit  gegen  einander  auszudrücken. 
Immerhin  wird  die  Länge  der  Reise  das  Hauptkriterium  abgeben,  und  wenn 
man  nach  obigen  Bezeichnungen  für  die  Länge  X  bei  einfacher  Interpolation 
cx  und 


x  =  (o  -  kx 

fand,  so  liegt  die  Hauptunsicherheit  gerade  in  dem  interpolirten  Werth  (f). 
Struve  hat  nun  bei  anderer  Gelegenheit  gefunden,  dass  für  zwei  Pulcowaer 


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Längenbcstimmung.  265 

Pendeluhren  der  wahrscheinliche  Fehler  eines  zwischen  zwei  beobachteten 
Werthen  der  Uhrcorrection  interpolirten  sich  in  folgender  Weise  ergiebt.  Es 
seien  die  durch  die  Beobachtungen  gegebenen  Uhrcorrectionen  u  und  «'  gültig 
für  die  Epochen  T,  T  mit  den  wahrscheinlichen  Fehlern  t.  Es  werde  für  die 
zwischen  T  und  T'  liegende  Epoche  x  die  Uhrcorrection  w  gesucht,  deren 
vom  wahrscheinlichen  Fehler  e  herrührender  wahrscheinlicher  Fehler  dann  mit 
dw  bezeichnet  wird,  während  der  wahrscheinliche  Fehler,  der  aus  den  Unregel- 
mässigkeiten im  Gange  der  Uhren  entsteht  d'w,  und  der  gesammte  wahrschein- 
liche Fehler  von  w  ist.  Dann  ist,  wenn  mit  t  und  t'  die  Zwischenzeiten 
x  —  T  und  T—  x  bezeichnet  sind 


dw  =  — 

d'w  =    V  ,  9 


-+-  T'»)e»  t'»  CT» 


wo  dann  a  eine  von  abhängige,  für  die  betreffende  Uhr  zu  ermittelnde  Con- 
stante  ist 

Wir  werden  also  hier  für  die  berechnete  Länge  den  aus  der  Unregelmässig- 


«xtt' 


keit  des  Uhrganges  herrührenden  wahrscheinlichen  Fehler  /=  ;  und  das 

t  -t-  T 

Gewicht 

x  (t  +-  t"l» 

haben,  wo  x  eine  willkürliche  Constante  ist.  Nun  ist  aber  hierbei  die  Zeit  der 
Ruhe  während  der  Reise  ausser  Betracht  gelassen.  Nehmen  wir  diese  Zeit, 
die  ja  die  Reisedauer  verlängert,  mit,  so  kann  man,  immer  unter  Annahme 
gleicher  Verhältnisse  bei  den  Chronometern  und  den  in  Pulcowa  untersuchten 
Uhren,  folgendermaassen  verfahren. 
Es  war 

_  (cx  —  kx)  t,  -h  {c%  —  Tt 

Die  in  cx  —  kx  und  c%  —  k%  bestehenden  Ungenauigkeiten  werden  aus- 
gedrückt durch 

d\  =         ~  k^'C*  +         —  *»)  t, 

und  sehen  wir  die  d(cx  —  kx)  und  d  (ct  —  k%)  als  die  Unregelmässigkeiten  im 
Uhrgang  in  den  Zeiten  xx  und  t,  an,  so  finden  sich  hierfür  nach  obigem  für 

Ti  -+-  p  T> 

und 

V  S  *'        Tt  -+-  p  -h  T,  ' 

wo  dann  p  die*  Zeit  der  Ruhe  der  Chronometer  an  der  zweiten  Station  zwischen 
Ankunft  und  Abgang  daselbst  bedeutet.    Diese  Werthe  in  d\  eingesetzt  kommt : 

(t,  +  ('  +  t j)  (t,  -f-  t,) 

und  als  Gewicht 


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Längenbestimmung. 


wo 

T  =  T  j  +  p  +  t, 

und  Ä'  eine  willkürliche  Constante  ist,  welche  so  zu  wählen  ist,  dass  die  Ge- 
wichte bequeme  Werthe  ttlr  die  Rechnung  erhalten. 

Dieser  Ausdruck  für  das  Gewicht  hat  aber  den  Nachtheil,  auf  den  Struve 
selbst  aufmerksam  wurde,  dass  er  nämlich  bei  der  Verbindung  einer  Hin-  und 
Rückreise  von  sehr  ungleicher  Dauer  das  gleiche  Gewicht  geben  wird,  wie  für 
eine  Hin-  und  Rückreise  von  gleicher,  allerdings  beiderseits  längerer  Dauer. 
Da  nun  die  längeren  Reisen  in  der  Regel  durch  stürmisches  Wetter  auf  der 
See  und  entsprechendes  Schwanken  des  Schiffes  oder  ähnliche  Verhältnisse 
hervorgerufen  werden,  so  wird  die  daraus  entspringende  Unsicherheit  im  Uhr- 
gang kaum  genügend  durch  eine  besonders  günstige  Reise  aufgewogen  werden 
Struve  hat  daher  an  Stelle  dieses  Ausdruckes  eine  rein  empirische  Formel  ge- 
setzt, nämlich  „ 

£<  =   *  

welche  noch  den  Vorzug  sehr  grosser  Einfachheit  hat  und  welche  bei  der  Dis- 
kussion der  Altona-Pulcowaer  Expedition  im  Allgemeinen  die  gleichen  Gewichte 
wie  der  obige  Ausdruck  gab,  aber  dabei  solchen  besonders  extremen  Fällen 
thatsächlich  mehr  Rechnung  trug. 

Bei  Gelegenheit  einer  später  wieder  von  Pulcowa  ausgegangenen  Expedition 
zur  Ermittelung  der  Länge  zwischen  Pulcowa  und  Dorpat  hat  Lindeloef  die 
Berechnung  in  anderer  Weise  behandelt.  Er  geht  davon  aus,  dass  die  Aufgabe, 
aus  einer  Reihe  Correctionen  eines  Chronometers,  die  abwechselnd  für  zwei 
Oerter  gegeben  sind,  die  Längendifferenz  zwischen  beiden  zu  bestimmen,  eigent- 
lich eine  unbestimmte  ist,  indem  selbst,  wenn  die  Uhrcorrectionen  fehlerlos 
sind,  doch  die  Länge  zwischen  zwei  aufeinanderfolgenden  Zeitbestimmungen  an 
beiden  verschiedenen  Orten  mit  der  Längendifferenz  vermischt,  oder  bei  Eli- 
mination der  Längendifferenz  nicht  der  einzelne  Gang,  sondern  die  Summe 
zweier  aufeinanderfolgender  bekannt  sind.  Es  wird  daher  eine  Gleichung 
weniger  vorhanden  sein  als  Unbekannte,  und  es  bleibt  die  Aufgabe,  die  fehlende 
Gleichung  durch  eine  möglichst  wahrscheinliche  Annahme  zu  ersetzen. 

Sei  der  Längenunterschied  /  zwischen  A  und  B  zu  ermitteln,  sei  eine  gerade 
Anzahl  Reisen  gemacht,  wobei  wie  vorher  die  Correctionen  eines  Chronometers 
cx,  kx,  k9,  c%t  &t  .  .  .  .  abwechselnd  in  A  und  B  bestimmt  sind.  Die 
Zwischenzeiten  zwischen  den  einzelnen  Epochen  der  Zeitbestimmungen  seien 
Ti»  Pi»  Tt»  P«  •  •  (wo  m^  P  •  •  die  Ruhegänge  bezeichnet  sind),  endlich  seien 
die  zu  tj,  t„  tj  .  .  .  gehörigen  mittleren  Gänge  in  der  Zeiteinheit  7, ,  7,,  7,,  .  . 
Man  hat  also  folgendes  Schema 


Correct. 

Zwischen- 

Mittl. Gang  in 

Reise 

d.  Uhr 

teil 

der  Zeiteinheit 

I. 

A 

'1 

B 

*i 

Tl 

Tt 

II. 

B 

*! 

Pl 

A 

Tt 

HI. 

A 

P* 

B 

Ta 

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Längenbestimmu  ng. 


267 


Zwischen  den  n  -+•  1  Unbekannten  /,  7^  7,,  7,  .  .  .  bestehen  dann  folgende 
n  Bedingungsgleichungen 

=  ^  -  4,  -h  t37j 


Um  nun  also  hier  die  passende  Gleichung  zu  ersetzen,  verfehlt  Lindeloef 
wie  folgt:  Unter  Annahme  eines  constanten  Ganges  wird  aus  den  Reisen  I,  II 
die  Lange  berechnet  und  man  erhält  dann  den  Werth 


T,  T 


*-'+^<T.-T,>. 
Ebenso  geben  die  Reisen  II,  III,  die  III,  IV  .  .  .  u.  s.  w. 


*.-'-T-^(T.-T.) 

u.  s.  w.    Das  Mittel  aus  allen  Bestimmungen  ist,  unter  ZufUgung  der  Gewichte 

(/>  =  /  +  Tf  [>.  ^  (T,  -  T.)  -  P,  ft,  "  T.)  +  •  • 

+  '-,^T^&.-T.-0.]. 

Nimmt  man  also  (/)  =  /,  so  macht  man  damit  den  Ausdruck  in  der  Paren- 
these =  0  und  die  Gewichte  müssen  so  bestimmt  werden,  dass  diese  Annahme 
möglichst  erfüllt  ist.    Nennt  man 

*i      Pi  +     —  Tx 

T,        p,        T,  =  Tt   U.  S.  W. 

und  setzt 

n  —  T*      T\         n          7»  ~  7»  1*  7» 

1  ~  tx  +  Pl       *~     +  P,      fl»    r1  +  Pl» 

so  wird  der  Ausdruck  in  der  Parenthese 

Bei  einem  gleichförmig  accelerirten  oder  retardirten  Gange  ist  <r,  =  <j2 
s  <73  =  a»_i.  Wenn  aber  die  Beschleunigung  gleichförmig  zu-  oder  abnimmt, 
so  sind  bei  einer  symmetrischen  Anordnung  der  Reisen  (d.  h.  wenn  tt  =  t, 

ss  Tj  und  p,  =  p3  =  p,  .  .  .)  die  Differenzen  dieser  Grössen  constant, 

d.  h.  a,  —  ax  =  as  —  a9  =*  aA  —  «,  «=  .  .  .  .  Darnach  wird  also  die  An- 
nahme 

at      at  -+■  as  4-  .  .  ■  -+-  g,  -t-  a4  -t-  .  .  .  -H  g—3 

berechtigt  sein,  da  sie  bei  constanter  Beschleunigung  ganz  genau,  bei  einer 
gleichförmig  zu-  oder  abnehmenden  Beschleunigung  sehr  nahe  richtig  ist.  Dann 
aber  müssen  die  Gewichte       pv  p%  .  .  .  sein: 

__       T\  —  Pi      _^     h  _      Ti  —  Pa  ^ 

wo  K  eine  willkürliche  Constante  ist. 


T.T 


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268 


L&ngenbestimtnung. 


Man  wird  also  in  der  Praxis  das  Gewicht  einer  jeden  Länge  Alf  Bx,  A„ 
B«  .  .  .  nach  der  Formel 

K{T-_?l 

berechnen  und  unter  Berücksichtigung  dieser  Gewichte  das  Mittel  aus  allen  A 
und  das  aus  allen  B  nehmen  und  darnach  den  Mittelwerth  aus  beiden,  womit 
die  Länge  gegeben  ist. 

Uebrigens  muss  erwähnt  werden,  dass  gerade  bei  der  Dorpater  Längen- 
bestimmung, welche  mit  29  Chronometern  durch  10  Reisen  zwischen  Dorpat 
und  Pulcowa  ausgeführt  wurde,  Struve  mit  Rücksicht  auf  die  kurze  Dauer  jeder 
einzelnen  Reise  (im  Mittel  nur  45  Stunden)  ausser  der  obigen  Ableitung  nocl, 
eine  andere  Methode  anwandte,  indem  er  für  jedes  Chronometer  einen  an  sich 
constanten  Gang  annahm,  der  nur  durch  die  Temperatur  beeinflusst  wurde.  Er 
ermittelte  für  jedes  Chronometer  die  Temperaturcoefhcienten  und  bestimmte  so 
die  Längendifferenz.  Es  ist  auffallend,  ein  wie  verschiedenes  Verhalten  die 
einzelnen  Chronometer  nach  diesen  zwei  Methoden  zeigen.  Das  Chronometer, 
welches  nach  Struve's  Methode  das  grösste  Gewicht  hat,  steht  nach  Ltndeloef's 
Rechnung  an  25.  Stelle,  ist  also  dort  fast  das  schlechteste,  umgekehrt  ein  Chrono- 
meter, welches  nach  Lindeloef  an  5.  Stelle  steht,  kommt  nach  Struve  erst  an 
22.  u.  s.  w.  Es  spricht  sich  hierin  aus,  dass  ein  Chronometer,  welches  einen 
starken  Temperaturcoefficienten  hat,  im  übrigen  seinen  mittleren  Gang  längere 
Zeit  beibehält,  dass  dagegen  ein  andres  einen  mit  der  Zeit  stark  veränderlichen 
Gang  hat.  Beide  Methoden  ergänzen  sich  daher  in  gewisser  Weise.  Nach 
Lindeloef  wird  den  Gangänderungen  mehr  Rechnung  getragen,  aber  die 
Tempeiatureinflüsse  weniger  berücksichtigt,  welches  letztere  bei  Struve  vorzugs- 
weise geschieht.  Was  übrigens  das  Endresultat,  das  auf  beiden  Wegen  erhalten 
wurde,  betrifft,  so  ist  der  Unterschied  äusserst  gering,  indem  sich  im  Mittel  aus 
allen  Chronometern  und  Reisen  nach  Lindeloef  findet  14""  24'*86,  nach  Struve 
14«  24"90  mit  dem  wahrscheinlichen  Fehler  =fc  0*  033. 

Die  nun  folgenden  Methoden  können  sich  an  erreichbarer  Genauigkeit  nicht 
mit  den  oben  besprochenen  messen,  indessen  ist  aus  dem  Gesagten  genugsam 
klar  geworden,  dass  jene  nur  an  festen  Observatorien  oder  sonst  unter  günstigen 
Verhältnissen  anwendbar  sind.  Es  werden  aber  oft  genug  Fälle  eintreten,  wo 
man  nur  auf  geringe  instrumenteile  Hilfsmittel  angewiesen,  fern  von  jeglichem 
Anschlussort,  Uberhaupt  in  entlegenen  Gegenden  auf  Reisen  die  Länge  zu  er- 
mittein  hat.  Dann  ist  man  fast  ausschliesslich  auf  die  Beobachtung  des  Mondes 
angewiesen,  der  in  Folge  seiner  raschen  Bewegung,  insbesondere  in  Rectascension 
seinen  Ort  am  Himmel  in  kurzer  Zeit  merkbar  verändert  Kennt  man  also  seinen 
Ort  für  einen  bestimmten  Zeitpunkt,  für  den  Durchgang  durch  einen  bestimmten 
Meridian,  und  weiss  wie  viel  er  sich  in  einer  Stunde  oder  einem  sonst  beliebigen 
Zeitintervall  weiter  bewegt,  beobachtet  man  schliesslich  seinen  Ort  beim  Durch- 
gang durch  einen  andern  unbekannten  Meridian,  so  kann  man  daraus  die  Lage 
dieses  Meridians  gegen  den  bekannten  berechnen.  Da  nun  die  absoluten  Orts- 
bestimmungen zu  viele  unsichere  Elemente  in  sich  bergen,  so  verfährt  man  in 
der  Weise,  dass  man  den  Rectascensionsunterschied  gegen  einige  bekannte  Sterne 
ermittelt.  In  den  astronomischen  Tafelsammlungen  finden  sich  nun  für  jeden 
Tag  vier  Sterne  angegeben,  von  denen  zwei  kurz  vor  dem  Mond,  zwei  kurz 
nach  dem  Mond  culminiren,  und  deren  Deklination  im  Mittel  mit  der  Deklination 
des  Mondes  an  dem  betreffenden  Tag  übereinstimmen.    Ist  nämlich  ft,  d'  die 


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Lingeobestimmung. 


*69 


wahre  Sternzeit  der  Culmination  von  Mond  und  Stern,  d.  h.  sind  die  beob- 
achteten Sternzeiten  wegen  der  bekannten  Instrumental-  und  Uhrfehler  verbessert 
und  sind  o,  o'  die  Rectascension  von  Mond  und  Stern  für  den  Augenblick  des 
Monddurchgangs,  so  ist  natürlich  die  Rectascension  des  Mondes  ausgedrückt 
durch  die  des  Sternes  und  die  beobachteten  Momente 

a  =  a'  -+-  ft  -  »'. 

Durch  die  Gleichheit  der  Deklination  des  Mondes  und  des  Mittels  der 
Sterne  werden  die  Aufstellungsfehler  des  Instrumentes  in  nahe  gleicher  Weise 
auf  die  Durchgangszeilen  des  Mondes  und  des  Sternmittels  wirken,  immerhin 
ist  doch  der  Fehlerbestimmung  grosse  Sorgfalt  zu  widmen,  da  die  durch  die 
fehlerhafte  Aufstellung  in  der  Zeit  des  Durchgangs  verursachte  Grösse  die  Länge 
um  genau  den  gleichen  Betrag  fehlerhaft  giebt. 

Sind  nun  an  zwei  Orten  correspondirende  Beobachtungen  erhalten,  so  er- 
giebt  sich  die  LängendifTerenz  zwischen  beiden  in  einfacher  Weise.  Hat  man 
nämlich  nach  obiger  Weise  die  Rectascension  des  Mondes  an  beiden  Orten  er- 
halten und  bezeichnen  wir  dieselben  mit  at,  a,,  sei  X  die  wahre  Längen- 
difTerenz  und  //„  die  Variation  der  Mondrectascension  für  1  Stunde  in  Länge, 
während  der  Mond  von  dem  einen  Meridian  zum  andern  geht,  so  ist 

l      a»  ~  gt 

wo  dann,  wenn  a,  —  a,  und  //„  in  Secunden  gegeben  sind,  X  in  Stunden  und 
deren  Bruchtheilen  erhalten  wird.  Hier  kann  nun  für  Längenunterschiede,  die 
kleiner  als  zwei  Stunden  sind,  //0  als  constant  angenommen  werden,  wenn  man 
den  Wert  für  das  Mittel  der  Längen  der  beiden  Orte  annimmt.  Ist  die  Längen- 
differenz  grösser  als  zwei  Stunden,  so  kann  man  in  der  Weise  verfahren,  dass 
man  für  jeden  Ort  die  beobachtete  Rectascension  berechnet,  dass  man  dann  für 
eine  genäherte  Länge  der  beiden  Orte  aus  den  astronomischen  Jahrbüchern  die 
Rectascension  berechnet  und  die  Differenzen  der  Rectascensionen  mit  einander 
vergleicht.  Würde  der  Ephemeridenort  fehlerhaft,  aber  für  die  Stunden  des 
Längenunterschiedes  constant  fehlerhaft  sein,  so  kommt  ein  solcher  Fehler  doch 
nicht  in  Betracht,  denn  man  würde  statt  der  berechneten  Rectascension  für  den 
einen  Ort  statt  A,  A  -f-  e  (wenn  e  den  Fehler  bezeichnet)  haben,  für  den  andern 
Ort  statt  AJt  At  -h  e,  sodass  die  Differenz  wieder  A%  —  At  wäre.  Wenn  nun 
weiter  die  beobachtete  Rectascensionsdifferenz  gleich  der  berechneten  ist,  so  ist, 
vorausgesetzt  dass  die  angenommene  Länge  des  einen  Ortes  nahe  richtig  ist, 
auch  die  Differenz  richtig.  Ist  dies  nicht  der  Fall,  so  kann  man  die  Correction 
der  Längendifferenz  AZ  erhalten,  wie  vorher,  indem  man  setzt 

*£  =  x- 

wo  dann  ^  der  Unterschied  der  beiden  Rectascensionsdifferenzen  ist,  und  H  die 
stündliche  Rectascensionsänderung,  die  der  Mitte  zwischen  den  Meridianen  des 
unbekannten  Ortes  und  dem  durch  AZ  gegebenen  entspricht.  Strenggenommen 
wird  man,  da  AZ  noch  unbekannt  ist,  nur  eine  erste  Näherung  erhalten,  in- 
dessen wird  bei  kleinen  Grössen  von  AZ  eine  nochmalige  Rechnung  kaum 
nöthig  sein.    Sonst  wird  man  zuerst  für  H  den  zur  (genähert  bekannten)  Länge 

des  zweiten  Ortes  gehörigen  Werth  nach  AZ  =  jj  berechnen,  daraus  dann  AZ 

genau  genug  erhalten,  um  nun  H  für  jene  Länge  -h  £AZ  zu  berechnen  und 
damit  den  definitiven  Werth  von  AZ  abzuleiten.    Will  man  AZ  in  Secunden 


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270  Längenbestimmung. 

statt  nach  obigem  Ausdruck  in  Bruchtheilen  der  Stunde  haben,  so  hat  man  zu 
setzen 

Es  ist  hier  zu  bemerken,  dass  stets  der  eine  oder  andere  Rand  des  Mondes 
beobachtet  wird,  während  in  den  Ephemeriden  die  Rectascensionen  des  Mondes 
auf  seinen  Mittelpunkt  bezogen  sind.  Man  muss  daher  die  Culminationszeit  des 
Mittelpunktes  aus  der  Beobachtung  berechnen.  Beobachtet  man  nun  den  ersten 
Rand,  so  beobachtet  man  vor  der  Culmination  des  Mittelpunktes,  man  muss 
also  eine  Grösse  der  beobachteten  Zeit  hinzufügen,  welche  gleich  der  Zeit  ist, 
die  der  Mondhalbmesser  gebraucht,  um  durch  den  Meridian  zu  gehen.  Beob- 
achtet man  den  zweiten  Rand,  so  beobachtet  man  entsprechend  später,  und  hat 
jene  Zeit  von  der  beobachteten  abzuziehen.  Die  Zeit  aber,  welche  der  Mond- 
halbmesser zum  Durchgang  durch  den  Meridian  gebraucht,  ist  gleich  dem 
Stundenwinkel,  welcher  dem  Mondhalbmesser  entspricht  und  für  diesen  findet 
sich  ohne  Weiteres  (aus  dem  rechtwinkligen  sphärischen  Dreieck  zwischen  Pol, 
Mondrand  im  Meridian  und  geocentrischem  Mondmittelpunkt) 

sin  x  =  oder    t  =  ^  R  sec  8, 

COS  6 

wo  t  den  Stundenwinkel  des  Mittelpunkts,  R  und  «  den  geocentrischen  Halb- 
messer und  die  Deklination  des  Mondes  bedeutet  und  wo  der  zweite  Ausdruck  t 
unmittelbar  in  Zeitsecunden  giebt. 

Wie  an  anderer  Stelle  (s.  d.  Art.  Passageninstrument)  näher  ausgeführt  ist, 
hat  man  nun  bei  der  Reduction  des  im  Meridian  beobachteten  Mondrandes  auf 
seinen  Mittelpunkt  zu  berücksichtigen,  dass  die  Rectascension  des  Mondes  be- 
ständig zunimmt,  es  ist  daher  die  Zeit,  die  der  Mond  gebraucht,  um  den  Stunden- 

x 

winkel  t  zu  durchlaufen,  gleich  y— - wo  X  die  Zunahme  der  Rectascension 

in  einer  Zeitsecunde  bedeutet,  oder  unter  Benutzung  der  in  den  Jahrbüchern 
gegebenen  Bewegung  für  1  Stunde  mittlerer  Zeit 

0-9972693 
=     3600  ht 

indem  durch  0*9972693  das  Verhältniss  des  Sterntages  zum  mittleren  Tage,  und 
durch  h'  die  Bewegung  in  einer  mittleren  Stunde  ausgedrückt  wird.  Es  ändern 
sich  aber  beim  Mond  auch  R  und  8  und  so  hat  man  die  Zeiten,  in  denen  der 
Rand  des  Mondes  an  den  beiden  Orten  beobachtet  wurde  um 

zu  corrigiren,  wo  das  obere  oder  untere  Zeichen  zu  nehmen  ist,  je  nachdem 
der  erste  oder  zweite  Rand  beobachtet  wurde. 

Eine  Schwierigkeit  in  der  Anwendung  dieser  sonst  so  einfachen  Methode 
liegt  darin,  dass  es  nur  in  relativ  seltenen  Fällen  gelingen  wird,  dass  der  Mond 
gleichzeitig  an  den  beiden  Orten,  deren  Längendifferenz  ermittelt  werden  soll, 
beobachtet  werden  kann.  Wäre  die  Mondephemeride,  wie  sie  in  den  Jahr- 
büchern gegeben  wird,  fehlerfrei,  so  würde  man  an  Stelle  der  einen  Beobachtung 
den  der  Ephemeride  entnommenen  Mondort,  der  also  für  den  Meridian  der 
Ephemeride  gilt,  setzen  können,  und  erhielte  so  ohne  Weiteres  aus  der  beob- 
achteten Mondculmination  die  Längendifferenz  gegen  den  Meridian  des  be- 
treffenden Jahrbuchs.     Es  würde  dann  sogar  der  wahrscheinliche  Fehler  des 


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Längenbestimmung.  2  7 1 

Endresultats  erheblich  geringer  sein,  nämlich  einfach  =  e,  während  er  sonst 
«=  y%*  -+-  t'»  wäre,  wo  c  und  t  die  wahrscheinlichen  Fehler  der  Beobachtungen 
an  beiden  Orten  sind.  Diese  Annahme  eines  genau  richtigen  Mondortes  ist 
aber  nach  dem  Stand  der  Mondtheorie  unzulässig,  und  kann  man  die  stündliche 
Veränderung  der  Mondrectascension  für  die  bei  LängenditTerenzen  in  Frage 
kommenden  kurzen  Zeitintervalle  als  richtig  annehmen,  so  kann  man  das  nicht 
mit  den  absoluten  Rectascensioncn.  Ein  geringer  Fehler  in  derselben  ruft  sehr 
erhebliche  Fehler  in  der  LängendifTerenz  hervor.  Peircb  hat  vorgeschlagen,  die 
Mondephemeride  gleichsam  von  Fall  zu  Fall  zu  corrigiren  und  zwar  in  fol- 
gender Weise.  Die  Fehler  der  Mondtheorie  können  für  jede  Lunation  in  zwei 
Glieder  zusammengefasst  werden,  von  denen  das  eine  constant,  das  andere  eine 
Periode  einer  halben  Lunation  hat,  und  man  kann  mit  genügender  Genauigkeit 
die  Ephemeridencorrection  fllr  jede  Halblunation  in  die  Form 

X=  A  +  Bt  +  C/* 
bringen,  wo  A,  B,  C  Constante  sind,  die  aus  den  Gesammtbeobachtungen  des 
Mondes  an  allen  Hauptsternwarten  während  der  betreffenden  halben  Lunation 
zu  bestimmen  sind,  und  wo  /  die  Zeit  bezeichnet,  welche  von  einer  passend 
gewählten  Epoche  in  Tagen  gezählt  wird. 
Seien  dann 

ai»  as»  «a  •  •  •  die  Rectascensionen,  welche  an  einer  Sternwarte  an  den  Daten 
t\>  's»  'j  von  der  angenommenen  Epoche  aus  beobachtet  wurden, 

«1'»  «§'  •  •  •  die  Rectascensionen,  wie  sie  die  Ephemeride  für  dieselben 
Daten  giebt, 

at  —  ax\  a,  —  at',  a,  —  a,',  =  nlt  »j,  «,  u.  s.  w., 

dann  sind  diese  «„  «3  die  Verbesserungen,  welche  die  Ephemeride  an 
den  betreffenden  Daten  fordert  und  daraus  entstehen  dann  die  Bedingungs- 
gleichungen 

A  •+-  Bty  +  Ct  »  —  «,=  0 
A  -+-  Btt  +  Ctf  —  «a  =  0 
A  -+■  Btt  h-  C/,*  —  «,  —  0 

mit  den  Endgleichungen  der  Form 

mA  +  TB  •+■  T%C  -  iV,  =  0 

TA  -+-  TtB  -\-  T^C  —  iVj  =  0 

TtA  -+-  T%B  4-  T4C  -  Nt  -=  0 
wo  m  die  Zahl  der  Beobachtungen  gleich  der  Zahl  der  Bedingungsgleichungcn 
ist,  T  die  algebraische  Summe  aller  /,  Tt  die  aller  /»,  T%  die  aller  /*,  T4  die 
aller  /*,  N  die  aller  n,  Nx,  Nt,  u.  s.  w.  die  der  Produkte  von  n  und  /,  bezw. 
n  und  /*.    Aus  diesen  Gleichungen  bestimmen  sich  dann  A,  B,  C. 

Was  den  Grad  der  Genauigkeit  betrifft,  den  man  mit  einer  solchen  Ver- 
besserung der  Ephemeride  erreicht,  gegenüber  der  Benutzung  correspondirender 
Beobachtungen,  so  kann  man  den  wahrscheinlichen  Fehler  der  Längenbestimmung 
nach  erster  Methode  auf  Grund  plausibler  Annahmen  zu  etwa  }  des  wahr- 
scheinlichen Fehlers  letzterer  Methode  schätzen;  kann  man  aber  correspondirende 
Beobachtungen  an  zwei  oder  gar  drei  Sternwarten  verwenden,  so  wird  man 
darnach  ein  Resultat  erhalten,  welches  dem  der  verbesserten  Ephemeride  min- 
destens gleichwerthig  ist.  Die  Sicherheit,  die  sich  überhaupt  in  der  Längen- 
bestimmung durch  Mondculminationen  erreichen  lässt,  ist  aber  nicht  besonders 
gross,  und  man  hat  jedenfalls  eine  sehr  beträchtliche  Anzahl  von  Beobachtungen 
anzustellen,  wenn  man  den  wahrscheinlichen  Fehler  des  Resultats  auf  eine  halbe 


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372 


I  an  genbestimmung. 


Secunde  herabdrücken  will.  Für  die  eingehende  Behandlung  von  Mondculmi- 
nationen,  die  zu  Längenbestimmungen  unter  zum  Theil  selbst  ungünstigen  Ver- 
hältnissen auf  Reisen  beobachtet  wurden,  ist  das  AuwERs'sche  Werk  über  die 
deutschen  Venusexpeditionen  Bd.  VI  zu  vergleichen. 

Auf  Reisen  namentlich  kann  es  sich  treffen,  dass  man  auf  die  exakte  Auf- 
stellung des  Instruments  in  der  Ebene  des  Meridians  verzichten  muss,  oder  dass 
man  möglichst  rasch  eine  Längenbestimmung  ausführen  will  und  nicht  die  für 
die  Mondculminationen  günstigen  Zeiten  abwarten  kann.  Dann  führt  auch  die 
Beobachtung  in  beliebigen  Azimuthen  zum  Ziel.  Allerdings  wird  diese  Methode 
nur  dann  zu  angenähert  genauen  Resultaten,  wie  die  Mondculminationen  führen, 
wenn  man  in  möglichst  gleichen  und  kleinen  Azimuthen  östlich  und  westlich 
vom  Meridian  beobachtet,  wo  also  in  der  Regel  auch  die  Mondculmination 
selbst  wahrzunehmen  ist.  Für  solche  Beobachtungen  dient  dann  das  Universal- 
instrument und  es  kann  auf  die  ausführliche  Besprechung  der  Behandlung  dieses 
Instrumentes  in  dem  betreffenden  Artikel  verwiesen  werden.  An  dieser  Stelle 
mag  eine  kurze  Darstellung  des  Ganges  der  Beobachtungen  genügen. 

Auch  hier  kommt  es  darauf  an,  den  Mond  möglichst  genau  an  andere 
Sterne,  die  auf  demselben  Parallel  sind  und  als  welche  am  besten  auch  die 
> Mondsterne«  benutzt  werden,  anzuschliessem  Man  berechnet  sich  dann  Zenitb- 
distanz und  Azimuth  für  Mond  und  Stern  für  einen  passend  angenommenen 
Zeitpunkt,  oder  umgekehrt  für  ein  als  passend  angenommenes  Azimuth  die 
Zenithdistanz  und  die  Zeit  aus  der  Rectascension  und  Deklination  nach  be- 
kannten Formeln,  nämlich,  bei  üblicher  Bezeichnung  (vergl.  Bd.  I  pag.  659) 
ftlr  den  Mond  für  den  Stern 

/  =  r+  Ar-  *  /^r  +  dr-«' 

tang  M  —  tang  8  sec  t  fang  M'  —  tang  b'  sec  t' 

fang  A  =  cos  M  fangt  eosec(<?  —  M)      tang  Ä  =  cos  M'  tang  t'  cosec(tf  —  M') 
tangh  =  cotang  (9  —  M)  cos  A  tang  h'  =  cotang  (9  —  AT)  cos  A', 

wo  sin  A  dasselbe  Zeichen  hat  wie  sin  t.  Hier  braucht  h  nur  genähert  be- 
rechnet zu  werden,  A  dagegen  mit  aller  Schärfe.  An  die  so  berechneten  Azi- 
muthe  sind  nun  die  Instrumentalcorrectionen  anzubringen,  wie  sie  für  das 
Universaiinstrument  abgeleitet  werden,  nämlich  wenn  c  und  b  den  Collimations- 
fehler  und  die  Neigung  der  Horizontalaxe  in  dem  an  betreffender  Stelle  ange- 
gebenen Sinn  bedeuten 

zp  esee  h      b  tang  h, 

das  obere  und  untere  Zeichen  je  nach  der  Kreislage  der  Beobachtung  und  h 
als  Höhe  des  Mondes  bezw.  des  Sternes  genommen.  Ferner  ist  noch  zu  be- 
rücksichtigen, dass  man  beim  Mond  stets  den  Rand  beobachtet,  man  also  je 
nach  der  Beobachtung  des  ersten  oder  zweiten  Randes  r  sec  h  (r  der  geocen- 
trische  Halbmesser  des  Mondes)  zu  addiren  bezw.  zu  subtrahiren  hat,  dass 
endlich  hier  die  Parallaxe  nach  dem  Ausdruck  pit  (9  —  9')  sin  1"  sin  A'  sec  h  zu 
addiren  ist.  Man  würde  darnach  die  Instrumentalazimuthe  für  Mond  und  Stern 
wie  folgt  erhalten: 

Ax  (Mond)  =  A  dt  r  sec  h  ■+■  prc  (<p  —  <p')  sin  1"  sin  A'  sec  h  ^  c  sec  hx^.  b  tang  hx 
Ax    (Stern)  =  A'     c  sec  hx  qr  b' tang hx ', 

wo  hx  und  hx  die  scheinbaren,  um  Refraction,  bezw.  auch  Parallaxe  verbesser- 
ten Höhen  sind.  Aus  einer  etwaigen  Abweichung  zwischen  beiden  Werthen 
ist  dann  die  Correction  der  angenommenen  Länge  zu  ermitteln.  Hierbei  ist 
zunächst  die  Veränderung  zu  suchen,  welche  die  Aenderung  der  Rectascension 


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T  ,ä  ngenbcstimmung. 


»73 


und  Deklination  des  Mondes  (in  der  Zeiteinheit)  auf  das  Azimuth  ausübt,  und 
dazu  hat  man  die  Bd.  I,  pag.  667  gegebene  Differentialformel 

dA  =  cos  3  cos  q  sec  h  dt  -+-  sin  q  scc  h  dh 
zu  benutzen.    In  derselben  ist  q,  der  parallactisr.he  Winkel,  zu  berechnen  nach 

tang  q  =  tangt  sin  v  sec  (i  ■+■  v) 
tang  v  =  cos  t  co tang  ^p. 
Ist  dann  v  und  w  die  Zunahme  der  Rectascension  und  Deklination  des 
Mondes  in  einer  Sternzeitsecunde,  AZ  der  Fehler  der  Länge,  so  wird  der  Aus- 
druck für  dA 

dA  =*  —  cos  4  cos  q  scc  hv  A  Z  -+-  sin  q  scc  hwhL, 

woraus  dann  AZ  sofort  folgt. 

Ueber  die  Genauigkeit  der  Methode  kann  man  im  Allgemeinen  annehmen, 
dass  eine  doppelte  Beobachtung  des  Mondazimuths,  symmetrisch  zu  beiden 
Seiten  des  Meridians  der  einfachen  Mondculmination  gleich  zu  achten  ist;  man 
könnte  also  durch  Vermehrung  der  symmetrischen  Mondazimuthe  das  End- 
resultat eines  Abends  genauer  machen  als  durch  Beobachtung  der  Culmination. 
Indessen  wird  die  Einfachheit  der  Berechnung  der  Letzteren  doch  die  Veran- 
lassung sein,  dass  man,  wo  es  sich  nicht  um  besondere  Fälle,  z.  B.  auf  Reisen, 
handelt,  die  Beobachtungen  der  Culmination  vorzieht 

In  ganz  ähnlicher  Weise  kann  man  durch  die  Beobachtung  von  Mondhöhen 
die  Länge  bestimmen,  und  zwar  durch  Bestimmung  der  absoluten  Höhe  des 
Mondes,  wobei  aber  mit  den  gewöhnlichen  Instrumenten  genaue  Resultate  nicht 
zu  erwarten  sind,  oder  durch  Anschluss  an  Mondsterne,  indem  man  Mond  und 
Sterne  zur  Zeit  der  gleichen  Höhe  beobachtet  Im  Princip  ist  diese  Methode 
ganz  ähnlich  der  vorher  besprochenen,  wo  Azimurhe  beobachtet  werden,  es 
mag  daher  genügen,  hier  nur  auf  dieselbe  hinzuweisen  und  einige  Punkte  hervor- 
gehoben zu  haben.  Man  berechnet  für  den  Mond  unter  Annahme  nur  ge- 
näherter Länge  nach  den  in  den  astronomischen  Jahrbüchern  gegebenen  Oertern, 
sowie  für  den  Mondstern  (der  dem  Mond  möglichst  nahe  ist)  Zenithdistanz  und 
(zur  Einstellung  genähert)  Azimuth,  und  vergleicht  die  Zeiten,  zu  denen  diese 
Zenithdistanz  erreicht  wurde,  mit  den  berechneten.  Nur  wenn  die  Längen- 
differenz richtig  angenommen  wurde,  kann  die  berechnete  Zenithdistanz  der 
beobachteten  Zeit  entsprechen.  Im  anderen  Falle  hat  man  die  Beziehung 
zwischen  der  Veränderung  der  Zenithdistanz  und  der  Länge  abzuleiten.  Streng 
genommen  hängt  auch  hier  die  Aenderung  der  Zenithdistanz  nicht  allein  von 
der  Länge,  sondern  auch  von  den  Fehlern  der  Ephemeride  und  Beobachtung 
selbst  ab.  Diese  von  Kaiser  herrührende  Methode  wird  mit  Vortheil  nur  in 
der  Nähe  des  ersten  Verticals  und  in  niederen  geographischen  Breiten,  also  in 
beschränkten  Fällen  anzuwenden  sein;  durch  Beobachtung  gleicher  Höhen  zu 
beiden  Seiten  des  Meridians  werden  dabei  die  Fehler  der  Ephemeride  im 
Ganzen  eliminirt. 

Es  muss  nun  noch  einer  Methode  gedacht  werden,  die  freilich  fast  aus- 
schliesslich auf  Reisen  und  namentlich  auf  der  See,  hier  aber  besonders  oft, 
angewandt  wird,  die  Methode  der  Monddistanzen.  Das  Princip  ist,  dass  man 
den  Abstand  der  Sonne  oder  eines  Sterns,  Planeten  oder  Fixsterns  vom  Mond 
misst  und  dass  man  aus  den  Jahrbüchern  und  Ephemeriden  berechnet,  für 
welchen  Zeitpunkt  des  Nullmeridians  dieser  Abstand  stattfand.  Es  sind  zu 
diesem  Zweck  die  Monddistanzen  von  der  Sonne,  den  Hauptplaneten  und  einer 
Anzahl  heller  Fixsterne  in  engen  Zeitintervallen  in  den  Ephemeridensammlungen 
angegeben.     Die  Methode  ist  darnach  im  Princip  auch  einfach,  erfordert  aber 


274 


Längenbestimmung. 


in  Wirklichkeit  eine  zusammengesetzte  Berechnung,  da  die  beobachteten  schein- 
baren  Distanzen  durch  die  Refraction  und  die  Parallaxe  afficirt  sind  und  diese 
Correctionen  berechnet  werden  müssen,  dazu  tritt  dann  noch  die  Berücksichtigung 
des  Mond-  und  event.  Sonnenhalbmessers,  um  den  auf  den  Mittelpunkt  be- 
zogenen Abstand  zu  erhalten,  da  man  direkt  nur  die  Entfernungen  der  Ränder 
misst.  Es  haben  sich  viele  Astronomen  mit  dem  Problem  beschäftigt,  bei  dem 
es  sich  vor  Allem  darum  handelt,  bequeme  Näherungsausdrücke  zu  erhalten, 
die  doch  im  einzelnen  Fall  die  genügende  Genauigkeit  im  Resultat  ergeben. 

Sei  (in  leicht  herstellbarer  Figur)  Z  das  Zenith  des  Beobachtungsortes,  sei 
M'  der  scheinbare,  M  der  wahre  Ort  des  Mondes,  S'  der  scheinbare,  S  der 
wahre  Ort  der  Sonne  oder  des  Sterns,  so  ist  M' S'  der  Bogen  grössten  Kreises, 
der  die  scheinbare  Distanz  des  Mondes  von  der  Sonne  darstellt,  MS  die  wahre 
Distanz.  Die  Höhenparallaxe  wirkt  der  Refraction  entgegen,  letztere  ist  beim 
Mond  geringer  als  erstere,  bei  der  Sonne  findet  das  entgegengesetzte  statt,  es 
wird  daher  der  scheinbare  Ort  des  Mondes  geringere  Höhe,  der  der  Sonne 
grössere  Höhe  haben  als  der  wahre.  Es  kommt  nun  darauf  an,  aus  der  schein- 
baren Monddistanz  die  wahre  herzuleiten.    Nennen  wir  dafür 

ZM  =90-/4         ZM'  =  90-/4' 
ZS  =  90  -  H        ZS'    -  90  —  ff. 

Zuerst  mag  die  Erde  als  kugelförmig  angesehen  werden,  sodass  M  und  S 
auf  der  Ebene  des  betreffenden  Vertikalkreises,  auf  ZM1  und  ZS*  liegen.  Es 
kann  dann  auch  der  Winkel  MZS  =  M'  ZS'  gesetzt  werden.  Nennen  wir  ferner 
M'S'  =  d  die  gemessene  Distanz  zwischen  den  Mittelpunkten  beider  Objecte, 
und  MS  sa  d  die  wahre,  die  berechnet  werden  soll.  Aus  den  Dreiecken  ZMS 
und  ZM'S?  folgt  dann 

cos  d  =  sin  h  sin  ff  4-  cos  h  cos  H cos  MZS 
cos  <t  =  sin  h'sin  ff'  4-  cos  h' cos  ff '  cos  MZS 

oder  für 

cos  MZS  =  2  cos*  i  MZS  —  1 

gesetzt 

cos  d  =  —  cos  (h  4-  ff)  4-  2  cos*  \  MZS  cos  h  cos  ff 
cosd'=—  cos  {h'  -+•  ff')  4-  2  cos*  \  MZS  cos  h cos  ff', 

woraus 

cos  d     cos  {h  +  ff)  _  cosd  +  cos{h'  -h  H') 
cos  h  cos  ff  cos  h'  cos  ff 

Wird  d1  -+-  h'  4-  ff1  =  2f  gesetzt,  so  ist 
cosa"  +  cos(AJ+  ff')=2cosW  4-/4'  -+-  ff)cos\[d'  -  (h'  4-  ff)]  =  2cos  s  cos(s  -  d'), 
woraus 

cos* \{h  4-  ff)  —  sin* \d      cos  s  cos(s  —  d') 
cos  h  cos  ff  cos  h'  cos  ff' 

oder 

sin* \d=  cos*±{h  4-  ff)-  ellv^jp  <°*  *  «>*  (*  -  <0, 

welcher  Ausdruck  die  Grundformel  ist,  die  nun  in  verschiedenster  Weise  um- 
geformt worden  ist.  Zunächst  kann  man,  da  die  linke  Seite  stets  positiv  und 
folglich  auf  der  rechten  Seite  das  zweite  Glied  kleiner  als  das  erste  sein  muss, 
einen  Hilfswinkel  M  in  der  Weise  einführen,  dass 

...  1  i/  cos  h  cos  ff 

stn  M  =  .  . ,  ,    r,,  y   r,  tt,  cos  s  cos  (s  —  d') 

cos  4  (A  4-  ff)  '  cos  h  cos  ff  v  ' 

ist,  dann  wird 

sin  \d=cos\{fi  +  ff)  cos  M 


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Längcnbestimmung. 


275 


eine  schon  von  Borda  gegebene  und  durchaus  bequeme  Formel.  Indessen  ist 
die  Genauigkeit  sehr  von  der  Grösse  der  Distanz  und  der  Summe  der  Höhen 
abhängig.  Wird  die  Distanz  und  die  Summe  der  Höhen  klein,  so  rückt  der 
Winkel  M  nahe  an  90°  und  der  Uebergang  vom  Sinus  auf  den  Cosinus  wird 
unsicher.  Wenn  z  B.  die  Summe  der  Höhen  •=  20°  und  die  Distanz  =  5°,  so 
wird  eine  mit  sieben  Decimalstellen  geführte  Rechnung  noch  ganz  unsicher 
werden.  Encke  hat  dieser  BoRDA'schen  Formel  eine  etwas  andere  Gestalt  ge- 
geben, indem  er  einen  Winkel  C  derart  bestimmt,  dass 

c  =  ^r^sj' cos  *  &  +    +  d^0S  w  +    -  <n 

ist,  woraus  dann 

sin*\d  =  cos \(h  +  ff  +  C)  cos \{h  -H  ff  —  C) 
wird.    Aber  auch  hier  ist  wenig  gewonnen.    Ganz  erheblich  einfacher  ergiebt 
sich  die  Rechnung,  wenn  man  zwei  Fälle  von  einander  trennt,  wo  die  Distanz 
nämlich   kleiner  als  90°  und  grösser  als  90°  ist    In  ersterem  Falle,  wo  die 
Distanz  kleiner  als  90°  ist,  wird  gesetzt 

'cZkZIt  w  +  *-*•>  w  -  (*  -    =  <• 

und 

sin{{h  -ff) 


so  ist 

sin 


tangy., 


sin  \{h  —  ff)  c 
*    —        sin  |t        =  cos  (i 


Im  anderen  Fall,  wo  die  Distanz  grösser  als  90°  ist,  wird  dagegen  gesetzt 

ZhUos% £0S  W  +  *'  +  <0 <« H*r  +      d')  =  c'% 

und 

so  ist 

.        sini(n  +  ff)  c' 

cos  \  d  =  —. — -,  =  -,  • 

2  sin  ji'  cos  ja' 

In  beiden  Ausdrücken  geht  man  von  tangy.  und  tangy!  auf  den  Sinus  oder 
Cosinus  der  Winkel  über,  wählt  also  für  sin \d  oder  cos  \d  die  erste,  bezw. 
zweite  Formel,  je  nachdem  ji  und  \i  grösser  oder  kleiner  als  45°  sind.  Die 
Winkel  ja,  ji'  selbst  werden  nicht  gebraucht.  Wenn  auch  diese  Umformung 
die  grösste  Schärfe  in  der  Rechnung  gestattet,  so  ist  es  doch  stets  unbequem 
Fälle  unterscheiden  zu  müssen,  und  besonders  bei  dem  am  ersten  in  Betracht 
kommenden  Zweck  die  Länge  zur  See  zu  ermitteln.  Bremiker  hat  daher  eine 
andere  Umformung  gegeben,  die  ebenfalls  ausreichende  Schärfe  der  Rechnung 
gewährt  und  dabei  höchst  einfach  ist,  sodass  selbst  fünfstellige  Rechnung  genügt. 

Man  kann  die  Grundgleichung  auch  so  schreiben: 

cos  h  cos  ff 

ros  d  =  cos  (h  —  ff)  h  r,  jti  \cos  d'  —  cos  (h*  —  IT)]. 

v  '      cos  h  cos  ff  ^  v  /J 

Setzt  man  hier  den  Faktor 

cos  h  cos  ff  1 
cos  ti  cos  fT  =C' 

so  wird  C  in  den  meisten  Fällen  grösser  als  1  sein.  Nur  wenn  die  Höhe  der 
Sonne  sehr  gering  und  zugleich  die  Höhe  des  Mondes  sehr  gross  ist,  wird 

18* 


276  Längenbestimmung. 

C<  1  sein,  z.  B.  wenn  //=  2°  und  h  über  70°  ist.  Ist  also  C>  1,  so  kann 
man  setzen 

— ^r-  =  cos  d'     und  — ^ —  ■»  Z>' 

und  erhält,  wenn  H  —  h  =  d  und  /**'—*'  =  </•»  gesetzt  wird 

<w  Z?"  —  <w  Z?'  =  cos  d'  —  <w  rf". 
Wird  nun  hier  die  Differenz  der  Cosinus  durch  die  Produkte  der  Sinus  der 
halben  Summen  und  Differenzen  ersetzt  und  als  einzige  Näherung  der  Bogen 
statt  des  Sinus  der  kleinen  Bögen  genommen,  so  ist 


/>»'  _  ZT  -  M»     d")  O 


Hier  kann  schliesslich  mit  seltenen,  im  Laufe  der  Rechnung  leicht  kenntlichen 
Ausnahmen  sin  \  (£>'  -+-  D)  statt  sin  \  (/?'  Z?")  genommen  werden.  Setzt  man 
dann  noch  D"  —  Z?'  =  *,  so  ist 

und  D'  +  z  gleich  der  reducirten  Distanz.  Sollte  aber  Z>'  von  Z?"  erheblich 
abweichen,  so  muss  die  letzte  Rechnung  wiederholt  werden,  indem  mit  dem 
zuerst  gefundenen  Werth  von  D  nochmals  z  berechnet  wird. 

Es  kommt  nun  aber  bei  der  Berechnung  der  Monddistanzen  in  Betracht, 
dass  man  nicht  vom  Erdmittelpunkt  aus  beobachtet,  dass  die  Höhen  durch  die 
Refraction  beeinflusst  sind,  dass  die  Ränder  der  Mond-  evenL  Sonnenscheibe 
zur  Berührung  gebracht  werden  und  dass  endlich  die  Scheiben  der  Gestirne 
durch  die  Refraction  eine  Verzerrung  erleiden.  Hieraus  ergeben  sich  folgende 
noch  anzubringende  Correctionen. 

1)  Parallaxe.  Für  die  Sonne  hat  man  einfach  p  —  ic  cos  h  zu  rechnen,  wo 
w  die  mittlere  Aequatoreal-Horizontalparallaxe  der  Sonne  ist.  Für  den  Mond  hat 
man  dagegen 

cos  (*  —  *').,  v 
p  smt  tost      Sm  (*  ~~  ^ 

tangp'  =  tang(z'  -  z)  = 


cos  (9  —  © )  . 

r      r       COSf  v  " 

wo 

ta"*l  =  cosW-A)  ~  »> 

ist,  oder  genähert 

7  =  cos  A  («  —  9') 

und 

tnmtr  v  _  //?#,  er  (,>      *  _     9sinpsi*[*  —  to-  j)cosA\ 

worin  die  Bezeichnungen  bekannte  Bedeutung  haben,  nämlich  p  der  Erdradius 
Mir  den  Beobachtungsort,  9  die  geographische,  9'  die  geocentrische  Breite  des 
Ortes,  A  das  Azimuth  (bezw.  wahres  und  scheinbares),  z  die  Zenithdistanz  (wahre 
und  scheinbare),  p  die  Aequatoreal-Horizontalparallaxe  des  Mondes. 

2)  Refraction.  Man  sucht  für  die  mit  der  Parallaxe  behaftete  Höhe  die 
Refraction  mit  Rücksicht  auf  die  meteorologischen  Instrumente,  bringt  dieselbe 
an  und  hat  damit  die  scheinbaren  Höhen  der  Gestirne.  Da  man  aber  für  die 
Berechnung  der  Refraction  schon  die  scheinbare  Höhe  haben  muss,  so  ist  diese 
Rechnung  doppelt  zu  führen.  Um  überhaupt  die  Höhe  zu  erhalten,  wird  sie 
auf  der  See  vor  und  nach  der  Beobachtung  der  Monddistanz  direkt  beobachtet 


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a77 

Sicherer  ist  jedoch,  sie  nach  den  Bd.  I,  pag.  659  gegebenen  Formeln  aus  /,  &,  ? 
flir  die  Zeit  der  Beobachtung  unter  Annahme  einer  genäherten  Länge  zu  be- 
rechnen. 

3)  Distanz  der  Mittelpunkte.  Da  man  nicht  die  Mittelpunkte,  sondern  die 
Ränder  beobachtet,  so  muss  man  daher  noch  die  Summe  der  scheinbaren 
Halbmesser  addiren  oder  subtrahiren,  je  nachdem  man  die  näheren  oder  ent- 
fernteren Ränder  nimmt  Nun  ist  aber  der  Mondhalbmesser  durch  die  Parallaxe 
vergrössert  und  zwar  ist  der  vergrösserte  Halbmesser 

wo  A,  A'  die  Entfernung  des  Mondmittelpunktes  vom  Erdmittelpunkt  bezw. 
dem  Beobachtungsort  auf  der  Erdoberfläche  ist,  und  da 

A'  sin  p'  =«  p  sin  (*  —  /') 

A'  f«/'ss4-p  cos  (s  —  p'), 

so  ist 

A'  =  A  cos  p'  —  p  cos  (s  —  p')  cos  p'  -+-  p  sin  («  —  p*)  sin  p'     A  cos  p'  —  p  cos  z 

A  cos  /  =  p  cos  %  -+-  A' 
A  p 

^  =  sec  p'  -+-  ^  cos  s  sec  p'  =  1  -+-  p  sin  h, 
also 

r1  =  r  (1  •+-  p  sin  A), 

wo  p  die  Horizontalparallaxe  ist. 

Die  Refraction  verkürzt  den  Verticaldurchmesser,  während  der  horizontale 
derselbe  bleibt.  Diese  Verkürzung,  die  die  Scheibe  in  eine  Ellipse  verwandelt, 
lässt  sich  aus  der  Refraction  finden.  Ist  *  der  Winkel,  den  die  Richtung  der 
Distanz  mit  dem  durch  das  eine  Gestirn  gehenden  Verticalkreis  macht,  h'  die 
Höhe  des  anderen  Gestirns,  A  die  Distanz  beider,  so  ist 

sin  1c  sin  A  =  cos  h'  sin  (A'  —  A), 


cos  h'  sin  {Ä  —  A) 

sin , 


"**  =  -TA 


sin  K  =  sin  h  cos  A  -+-  cos  h  sin  A  cos  it, 
sin  h'  —  sin  h  cos  A 


COS  TZ 


cos  h  sin  A 


woraus 

und  da 

so  ist 

mithin 

1 1        sin  (A  +  ^)  —  sin  h'  _  cos\(k  ■+  h  -\-  A')  sin  }  (A     h  —  h') 
fang  i«  -  s.n  (Ä  _  q  +  -  siH^^  +  Är  _  A)        (/4  +  A,  _  d)  • 

Setzen  wir  dann  in  der  Gleichung  der  Ellipse  x  =  r  sin  n  und  y  =  r  cos  ic, 
so  haben  wir 

r>     «Vi»  ic  4-  r*  a»  <w»  it  =  a»  b* 

daraus 

,  


l/  

Y  cos*  1t      ^  xm*  tt 

Zur  Erleichterung  der  Rechnung  giebt  es  auch  hierfür  in  den  nautischen  und 
anderen  Tafelsammlungen  Hilfstafeln. 


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278 


Mechanik  des  Himmels.  1. 


Es  ist  nun  noch  zu  beachten,  dass  in  der  ersten  Entwicklung  die  Erde  als 
kugelförmig  angesehen  wurde,  was  aber  nicht  der  Fall  ist,  in  Folge  dessen  ist 
der  Winkel  MZS  nicht  gleich  dem  Winkel  M'  ZS\  denn  die  Parallaxe  wirkt  auf 
das  Azimuth,  sodass  der  Unterschied  der  scheinbaren  Azimuthe  des  Mondes  und 
der  Sonne  nicht  gleich  dem  Unterschied  der  wahren  Azimuthe  der  beiden 
Gestirne  ist.  Wir  haben  daher,  wenn  wir  mit  die  Aenderung  des  Azimuthes 
des  Mondes  durch  die  Parallaxe  bezeichnen, 

9sin/>sin(y  -  9') 

tang{Ä  -A)=  - 


p  sin  p  sin  (9  —  9')  cos  A 
sin  z 

oder 

.    .  p  sin  p  sin  (9  —  9')  sin  A 

cos  h 

wo  h  die  wahre  Höhe  bedeutet;  statt  des  Winkels  MZS  haben  wir  dann  in 
der  ersten  Formel,  pag.  274,  MZS —  &A  zu  setzen.    Differenziren  wir 

cos  d  =  sin  h  sin  H  -h  cos  h  cos  H  cos  MZS, 

so  giebt  dies 

.  .         cosHcos  h  sinMZS  .  , 

A  d  =  .-  ,  - — —  A  A 

sin  a 

p  sin  p  sin  (9  —  9')  sin  A  cos  II  sinMZS 
sin  d 

ein  Ausdruck,  der  aber  gewöhnlich  =  0  ist. 

In  Betreff  der  Verwendung  der  Sonnenfinsternisse  und  verwandter  Er- 
scheinungen zur  Längenbestimmung  kann  auf  den  Art.  Finsternisse  um  so  eher 
verwiesen  werden,  als  diese  Erscheinungen  ja  doch  zu  den  seltenen  gehören 
und  ihre  Benutzung  für  vorliegende  Zwecke  daher  eine  beschränkte  bleibt. 

Valentinkr. 

Mechanik  des  Himmels. 

1.  Allgemeine  Begriffe.  Obzwar  in  der  »Allgemeinen  Einleitung  in  die 
Astronomiec  im  wesentlichen  ein  kurzer  historischer  Abriss  gegeben  wurde,  so 
wurden  doch  auch,  wenigstens  im  Princip,  die  Hauptfragen,  welche  die  wissen- 
schaftliche Astronomie  der  Gegenwart  beschäftigen,  berührt.  Seitdem  am  Ende 
des  vorigen  Jahrhunderts  Newton  das  Gesetz  der  allgemeinen  Gravitation  auf- 
stellte, ist  es  die  Aufgabe  der  theoretischen  Astronomie  geworden,  alle  Bewegungs- 
erscheinungen, welche  die  Himmelskörper  dem  Beobachter  darbieten,  aus  diesem 
Gesetze  einheitlich  abzuleiten  und  in  jenen  Fällen,  wo  nach  sorgfältiger  Berück- 
sichtigung aller  Umstände  eine  Uebereinstimmung  mit  den  Beobachtungen  nicht 
zu  erzielen  ist,  jene  accessorischen  Ursachen  zu  suchen,  welche  die  beobachteten 
Wirkungen  zu  erklären  ermöglichen:  Die  theoretische  Astronomie  wurde 
Mechanik  des  Himmels. 

Die  allgemeine  Gravitation  sowie  auch  alle  anderen  eventuell  auftretenden 
Bewegungsursachen  werden  unter  dem  Begriffe  der  Kraft  subsumirt.  Die  Natur, 
das  Wesen  der  Kraft  bleibt  dabei  völlig  gleichgültig.  Ganz  unwesentlich  ist  es, 
ob  man  sich  die  Anziehung  als  eine  »natürliche  Verwandtschaft«,  als  einen 
»Willen«  oder  in  irgend  welcher  Form  vorstellen  wolle,  oder  ob  man  sich  eine 
»unvermittelte  Anziehung«  Uberhaupt  nicht  denken  könne:  wesentlich  ist  nur 
das  Wirkungsgesetz,  der  mathematische  Ausdruck,  d.  h.  das  Verhältniss 
der  Wirkungen  für  verschiedene  gegebene  F,!cmentarztist;indc. 


Mechanik  des  Himmels.  I. 


2  70 


Die  der  Erfahrung  entnommenen  Elemente,  welche  einen  Zustand  mechanisch 
bestimmen,  sind  zunächst  die  Massen  der  aufeinander  wirkenden  Körper,  ihre 
Entfernungen  von  einander  und  die  Richtungen  ihrer  Verbindungslinien. 

Die  Masse  eines  Körpers  kann  nur  aus  der  Wirkung  selbst  durch  die  Er- 
fahrung erschlossen  werden;  man  sagt,  die  Masse  eines  Körpers  ist  die  doppelte, 
dreifache  .  .  .  »fache,  wenn  ihre  Wirkung  (z.  B.  die  bei  einem  und  demselben 
zweiten  Körper  erzeugte  Geschwindigkeit  oder  Beschleunigung)  die  doppelte, 
dreifache  ...»  fache  ist  Sind  in  verschiedenen  Fällen  gleiche  Massen  in  ver- 
schiedenen Räumen  enthalten,  so  sagt  man,  die  Körper  haben  verschiedene 
Dichten,  und  nennt  Dichte  das  Verhältniss  der  Masse  zum  Volumen.  Das 
Wesen  der  die  Räume  ausfüllenden  Massen,  die  Materie,  bleibt  uns  dabei 
ebenso  verborgen,  wie  die  Kraft,  und  es  ist  vom  philosophischen  Standpunkte 
eine  Inconsequenz,  von  der  Unvorstellbarkeit  einer  »Wirkung  in  die  Ferne«  zu 
sprechen,  wenn  man  nicht  ebensowohl  von  der  Unvorstellbarkeit  »verschieden 
dichter  Massen«  spricht 

Eine  nothwendige  Folge  der  gemachten  Annahme  ist  die  Proportionalität 
der  Kraft  mit  der  Masse1). 

Weitere  Erfahrungselemente  sind:  das  Gesetz  der  Trägheit,  das  Gesetz  von 
der  Zusammensetzung  der  Bewegungen,  Geschwindigkeiten  und  Kräfte  nach  dem 
Bewegungs-,  Geschwindigkeits-  und  Kräfteparallelogramme,  und  das 
Gesetz  der  Gleichheit  von  Wirkung  und  Gegenwirkung'). 

Die  Intensität  der  Kraft  wird  gemessen  durch  die  erzeugte  Bewegung:  Ge- 
schwindigkeit oder  Beschleunigung,  und  ist  dieser  proportional.  Da  andererseits 
die  erzeugte  Beschleunigung  g  (bei  continuirlichen  Kräften)  verkehrt  proportional 
der  bewegten  Masse  m  ist,  so  wird 

e  =  £m  oder  mJT>  =  cF- 

Kennt  man  das  Gesetz,  nach  welchem  sich  die  Kraft  Rändert  in  analytischer 
Form,  so  wird  man  die  Bewegung  der  Masse  m  durch  analytische  Operationen 
verfolgen  d.  h.  die  Bewegung  beschreiben  können. 

Hat  man  es  mit  der  Anziehung  zweier  Massen  zu  thun,  so  wird  P  pro- 
portional den  beiden  wirkenden  Massen  M  und  m,  und  überdies  eine  Function 
der  Entfernung  sein,  also 

P=>  Mm/(r)  't 

für  den  Fall  des  NEwroN'schen  Attractionsgesetzes  ist  die  Intensität  der  Kraft 
bestimmt  durch 

/(')  =  ^  • 

Die  Richtung  der  Kraft  fällt  erfahrungsgemäss  (s.  I.  Rand,  pa^.  100)  mit  der 
Richtung  der  Verbindungslinie  der  wirkenden  Massen  zusammen,   und  unter 

')  Das«  auch  Entfernung  und  Richtung  Erfahrungselementc  sind,  mag  nur  beiläufig 
erwähnt  werden.  Zu  Grunde  gelegt  muss  nach  unserer  Erfahrung  der  Eucuo'sche  Raum  werden 
in  dem  tieb  durch  jeden  Punkt  zu  einer  gegebenen  Geraden  nur  eine  sie  nicht  schneidende  Gerade 
legen  lässt,  und  in  welchem  Strecken  ohne  Grössenänderungen  verschoben  weiden  können.  Die 
Beweise  für  das  Kräfteparallelogramm  sind  ebenso  Scheinbeweise  wie  diejenigen  ftlr  die  Winkel- 
summe des  Dreiecks. 

*)  Der  Vollständigkeit  halber  mag  erwähnt  werden,  dass  der  in  philosophischen  Schriften 
öfter  wiederkehrende  Einwurf  gegen  die  Möglichkeit  einer  »Wechselwirkung«  nur  auf  eine 
falsche  Deutung  des  Wortes  zurückzuführen  ist,  indem  es  sich  dabei  nicht  um  eine  »ab- 
wechselnde«,  sondern  um  »Simultanwirkungen«  der  Massen  auf  einander  handelt. 


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2&0 


Mechanik  des  Himmels.  1.  9. 


diesen  Voraussetzungen  sind  nun  die  aus  der  gegenseitigen  Wirkung  aller  Himmels- 
körper1) auftretenden  Erscheinungen  zu  erklären. 

Die  Erscheinungen  selbst  sind  nun  doppelter  Natur: 

1)  Translationserscheinungen:  Die  Ortsveränderungen  der  Gestirne  gegen- 
einander, bei  deren  Untersuchung  dieselben  im  allgemeinen  als  Massenpunkte 
angenommen  werden. 

2)  Rotationserscheinungen:  Die  Drehung  der  Gestirne  um  Axen,  bei  deren 
Untersuchung  auf  individuelle  Eigentümlichkeiten  des  untersuchten  Objektes 
Rücksicht  genommen  werden  muss. 

2.  Orthogonale  Transformation.  Um  im  Folgenden  den  Gang  der 
Entwickelungen  nicht  zu  unterbrechen,  mögen  vorerst  einige  allgemeine,  immer 
wieder  verwandte  Beziehungen  angeführt  werden. 

Seien  die  Coordinaten  eines  Punktes  im  Räume,  bezogen  auf  ein  recht- 
winkliges Axensystem  x,  y,  z\  die  Coordinaten  desselben  Punktes  bezogen  auf 
ein  anderes,  ebenfalls  rechtwinkliges  Axensystem  x',  y',  z',  so  bestehen  zwischen 
diesen  Coordinaten  die  Beziehungen: 

x  =  <txx  -\-  ßty  H-  7j  g'  x'  =  <*!  x  -+-  aty  -t-  a,  z 

>««t«,  +  P^,+  7t*'  0)  y  =  ßi*-f-M-+-ßs«  (2) 
z  =  azx'  t-  ß,/  •+■  7s*'-  *'  =  7i*  "t-  W  7a*- 

Die  dabei  auftretenden  Coefficienten  a,,  a2,  .  .  .  7,  sind  die  Richtungs- 
cosinus der  Axen  des  einen  Systems  bezogen  auf  diejenige  des  anderen,  und 
zwar  sind  ax,  ß,,  7,  die  Cosinus  der  Winkel,  welche  die  X*-,  V-,  iT-Axe  mit  der 
Jf-Axe  einschliessen ;  ov,  ßa,  7»  die  Cosinus  der  Winkel  mit  der  K-Axe;  a,,  ß>,  7S 
die  Cosinus  der  Winkel  mit  der  Z-Axe.  Von  diesen  neun  Richtungscosinus 
sind  natürlich  nur  drei  von  einander  unabhängig,  es  müssen  daher  Bedingungs- 
gleichungen zwischen  denselben  bestehen.  Aus  der  grossen  Menge  der  Relationen, 
welche  im  folgenden  angeführt  werden,  sind  aber  nur  sechs  von  einander 
unabhängig. 

Man  hat  zunächst  für  die  Determinante  der  Coefficienten 

*i  ßi  7i  I  =  1- 


a  ßa  7a  (3) 
aa  ßa  7a  I 

Eine  Substitution  (1)  oder  (2),  ftlr  welche  die  Determinante  der  Substitutions- 
coefficienten  gleich  der  Einheit  ist,  nennt  man  eine  orthogonale  Substitution. 
Für  diese  bestehen  die  Beziehungen: 

«i*  1-  «i  +  «»*  =  1  «i*     ßi9  +  7i*  =  1 

ß.' +  ßa*  +  ßa4  =  1     (4)  +  M  +  (o) 

ti9  +  7,'  +  7,8  =  1  +  ßa*  +  7.'  -  1 

«1  ßi  +  «aßa      «aß»  =  0  «,«*  +  ßißa  +  7j7a  =  0 

ßi7»  +ß>7SH-ßa7a  =0  (6)  «1  «a  +  ßi  ßa  +  7,7a  =  0  (7) 
«i7i  H~  «a7a      «a7a  =  0  aaaa  +  ßißs  +  7a7a  =  0 

ai  =  ßi7a  —  ßa7a  «a  =  ßa7i  —  ßi7a  «a  =  ßi  7a  —  ßa7, 

ßi  =  7a«a-7a«a  (»)  ßa  =  7a  «1  —  7i  «a  (9)  ßa  =  7,«t-7a«,  (10) 
7i=«aßa~  «aßa  7a  =  aaßi  — °ißa  7a  =  «lßa- aaßi- 


')  Unter  dem  Ausdruck  Körper  ist  dabei  eine  auf  einen  endlichen  Raum  vertheilte  oder 
auch  in  einem  Punkte  Concentrin  gedachte  Masse  zu  verstehen,  ohne  dass  hiermit  irgend  welche 
metaphysische  Voraussetzungen  zu  verbinden  wären. 


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Mechanik  des  Himmel».  2.  481 

In  den  Untersuchungen  Uber  die  Bewegungen  der  Körper  kommt  es  wieder- 
lt  vor,  dass  man  eines  der  beiden  Axensysteme  beweglich  annimmt;  dann 
irden  die  sämmtlichen  neun  Coeftkienten  als  mit  der  Zeit  /  veränderlich  anzusehen 
n,  und  man  erhält  aus  (4): 

da.  da9  da.. 

+  ou 


Setzt  man  nun 


Tl      dt  dt      ^    7*     dt  " 

da.       .   t/a«       w  </oc. 


ergiebt  sich  aus  (6): 


*ßi   „  <*ß> 

**~di  +  *'-dt 


l>  <//  


*r*a,  </a8  </a8 

7»  "77  +    "77  +  *  77  =  ~  *' 
Die  drei  Gruppen  (11),  (12),  (13)  liefern  durch  entsprechende  Combination l) 


d7i 
dt 

dt 

=  7,/> 

— 

~7t? 

d"\\ 
dt 

=  «»?-ßs/> 

*/ß  .j 

Ii 

=  7,/> 

-a,r 

dt  = 

dtt 
dt 

dt 

rf7  =  ß«' 

-7«f 

(M) 


Bildet  man  hieraus  die  links  in  (15)  angegebenen  Summen  von  Produkten, 
>  erhält  man: 

d*\  i$\  d*i  dh.  ,  da*  d$s  _  A_ 

<//    <r7  <//  ^  <//    dt  -  ~pq 

d*x  dix      da,  d^  </as 

-^~di'ir'di~di  +  -di~dt=-f,r  (15> 

<//    <r7  "W/    dt  ^  dt    dt  qr' 
Setzt  man  ferner 

ffl+  ffl- 

o  erhält  man  aus  (11)  durch  Differentiation: 

• — — — - 

')  Multiplicirt  man  r.  B.  die  dritte  Gleichung  in  (ü)  mit       die  rweite  in  (Cv  in  1  ... 
ie  dritte  in  (11)  mit  y,  und  addirt,  so  folgt  die  erste  Gleichung  von  (14) 


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ig*  Mechanik  des  Himmels. 


a,    ,,.   4-  a 


rf'ß.  </»ß, 

~dfl  =-A«  (17) 

^7  ^T  ^  _  _  A 

Die  Differentiation  der  Ausdrücke  (12),  (13)  liefert  mit  Berücksichtigung  von  (15): 
rf»P1^P1^ß1_  dr 

*»  rf/i  +  a»  */»  "*"  «»  dt*  ~di+pq 

P»  Tö  +  ß>      +  ß»  77*"  =  ~  Tt  +  qr 

d*ax  d*a9  d%al  dq 

T»  ~W  +  7»       + T«  77»~  =  -  Tt  +  'r 

^a,  ^a,  ,/»«,  <*>  <18> 

^»p,      <**ßf      ^ß.  <r> 


3    füll  +  a  *I»  -l.  «  *I«  =   .  Ö       ,  , 
Endlich  erhält  man  aus  (14): 

Sir  +  <iir  +  rw  = 0 

und  aus  (16),  wenn  man  die  Werthe  der  Differentialquotienten  aus  (14)  einführt: 

At  =      +  r»         A9  =  r»  -+-  />2         A,  =  /»*  -+-  (20) 

Seien  die  Schnittpunkte  der  sechs  Axen  mit  einer  aus  dem  Coordinatenanfangs- 
punkt  als  Mittelpunkt  beschriebenen  Kugel  X,  Y,  Z,  X',  Y\  Z',  (Fig.  270),  sei 
der  Schnittpunkt  der  Bögen  XY,  X '  Y'  in  ß,  so  wird  die  Lage  des  zweiten 
Axensystems  bestimmt  durch  den  Abstand  X&  =  durch  den  Neigungswinkel  i 
der  beiden  Ebenen  und  den  Abstand  ftJT  =  a».    Nun  ist 

at  =  cos  XX'  ß,  =  cos  XY'  t\  =  cos  XZ* 

a,  _  cos  YX'  ß,  =  cos  YY'  7>  =  cos  YZ' 

as  =  cos  ZX'  ß,  =  cos  ZY'  7,  =  cos  ZZ'. 

Man  findet  nun  leicht  aus  den  sphärischen  Dreiecken,  von  denen  zwei  Ecken 
in  den  Endpunkten  der  Axen,  die  dritte  immer  in      ist,  sofort  die  Formeln: 

a,  =  -+-  cos  &  cos  m  —  sin  &  sin  m  cos  i 
ßt  =  —  cos  &  sin  co  —  sin  ß  cos  cd  cos  i 
7i  =  4-  sin  &  sin  i 

Oj  =  -f-  x/'«  Q,  cos  a>  -t-  cos  fosinw  cos  i 

ß,  =  —  sin  &  sin  a>  -+-  cos  ß  <w  tu  cos  i  (21) 
7s  =  —  a>x  &  ««  » 
o3  =  ■+■  sin  tu  xi«  1 
ß,  *  -+-  cos  tu  sin  i 
7,  =  -H  w  1, 

durch  deren  Differentiation  sich  die  Folgenden  ergeben: 


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Mechanik  de»  Himmels.  5. 


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284 


Mechanik  des  Himmels.  8.  3. 


Da  die  Cosinus  der  Neigungswinkel  der  Flächennormale  der  X'-  K-Ebene 
gegen  die  X-,  Y-,  Z-Axe,  bezw.  fx,  y>i  T>  sind,  so  wird  die  Projection  eines 
in  der  X'-,  K'-Ebene  gelegenen  Flächenstückes  /  auf  die  drei  Ebenen  der  X-Y, 
Y-Z  und  Z-X  sein: 

/?*  =  Tt/  =  /sin  i sin  (25) 
/xt  =  7j/  =  ~-/sinicos& 


I.  Abschnitt   Die  Translationsbewegungen. 

3.  Kräftefunction.  Die  Dimensionen  der  betrachteten  Himmelskörper 
sind  gegenüber  den  von  denselben  beschriebenen  Bahnen  so  klein,  dass  die- 
selben zunächst  als  verschwindend  angesehen  werden  können,  d.  h.  dass  man 
sich  auf  die  Betrachtung  der  Bewegungen  von  Massenpunkten  beschränken 
kann1).  Seien  demnach  ganz  allgemein  n  Massenpunkte  gegeben,  die  sich 
gegenseitig  mit  Kräften  anziehen,  welche  proportional  ihren  Massen  und  einer 
gewissen  Function  /(r)  der  Entfernung  sind.  Diese  in  verschiedenen  Richtungen 
wirkenden  Kräfte  müssen,  um  vereinigt  werden  zu  können,  in  drei  auf  einander 
senkrechte  Richtungen  zerlegt  werden.  Die  Anziehung,  welche  ein  Massenpunkt 
m  mit  den  rechtwinkligen  Coordinaten  xy,  yx,  zx  von  einem  andern  Massen- 
punkte <Wj  erfährt,  dessen  Coordinaten  xt,  yt,  ss  sind,  wird  ntlmtf(rl9)  sein, 
wenn  rx ,  die  Entfernung  der  beiden  .Massenpunkte  bezeichnet.  Da  die  Cosinus 

der  Winkel,  welche  die  Richtung  rx ,  mit  den  drei  Axen  bilden,  —  1 , 

—  —  ,  —  —  sind,  so  werden  die  drei  Componenten  der  Anziehung 

Zerlegt  man  in  derselben  Weise  die  Componenten  der  Anziehung  der 
übrigen  Massenpunkte  mit  m4,  .  .  .  und  summirt  die  sämmtlichen  in  derselben 
Richtung  wirkenden  Componenten,  so  erhält  man  in  der  Richtung  der  X-Axe 
die  Kraft 

Xt  =  Mxm%/{rx%)*%~  *x  -+-  mx  i*t/(rll)X%~~*1  ■+■  .  .  .  . , 
daher  in  kürzerer  Form  die  drei  Componenten: 


Xx  =  mx^mx /(ru)  ;       Yx  =  mx^mx/(ru)  ; 


zi  —  /(ri0 


cd 


t  =  2,  3,  .  .  .  .  n. 


')  Die  Berücksichtigung  der  Abweichungen  von  diesem  Umstände  folgt  später  in  tt 
und  81. 


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Mechanik  de«  Himmel».  3.  285 

Achnliche  Ausdrücke  erhält  man  itlr  die  Componenten  der  auf  die  Massen 
unkte  «„  m,  wirkenden  Kräfte,  und  allgemein  für  den  Massenpunkt  m. 


Xp  =  m£ mj(r,0 ;         Y>  =  Ml/M 


» 


2      *  (2) 
i*l,2,....  n1), 

jobei 

rx ,»  =  r„ ,»  =*  (*,  —  (y,  -        +  (*•  ~  **)'• 

Zwischen  diesen  Kräften  bestehen  einige  allgemeine  Beziehungen.    Man  hat 

S*-o;    2y-=°;    S^=°'  w 


1 


lenn  ein  von  r„  abhängiges  Glied  kann  nur  in  Xx  und  X,  enthalten  sein»)  und 

st  in  ersteren  mxmxf(rxx)  —  -,  in  letzterem 0**»it/(rs»)  —  -,  deren  Summe 

'erschwindet.    Weiter  ist 

£(xxVx  -  ytXt)  =  0;     2(KlÄ,  -  z,*)  =  0;      JJz.*-      ~  0 

Sucht  man  zum  Beweise  der  ersten  Formel  wieder  die  von  rxx  abhängigen 
Glieder,  so  findet  man: 

*nitn1J{rxx)         *'  yx  —  mxmx/{rxx)  >l  xx  -r- 

H-  **xmJ(rK%)Xl~~  *-  yx  —  mxmx/{rxx)  *  xx 

also  gleich  Null. 
Sei 

-f/{r)dr=F(r)  (*) 

und  bildet  man  die  Function 

£7=  2  mlmxF(riX)=  mx  m%  F{rxi)-\-  mv  mt  F(rx  ,)-+-   +  mtmmF(rim) 

+  m%m%F(rit)+   mtMnF{r%j  ^ 

-\-mn_\mnF{rH_\s  m), 

so  lassen  sich  die  drei  Componenten  X/t  Yp,  Zp  als  die  partiellen  Diflerential- 
quotienten  dieser  Function  U  nach  den  zugehörigen  Variabein  J>  darstellen; 

Für  die  Differentiation  nach  xA  kommen  nur  jene  Glieder  von  U  in  Betracht, 
die  von  r/t  abhängen,  also  ein  Theil  m,U>,  wenn 

Up=mx  F(rlp)-h  m,F(r2P)  -+-  .  .  .  -+-  mnF{rHf).  (8) 

Da  aber 

dJV>*)  _  cF{rpx)  drpx  =__  f,  xp-xx 
 dx,     ~     drpx    dx,  rpx 


')  Eigentlich  wäre  c=/  austuschliessen ;  man  sieht  aber  leicht,  dass  die  auf  t  =  p  be- 
tüglicben  Ausdrücke  verschwinden. 

*)  Wo  gans  ahnliche  Bettachtungen  für  alle  drei  Coordinaten  gelten,  wird  KUrxc      n  -t 
nur  eine  erwähnt 


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Mechanik  de«  Himmels.  3.  4.  5. 


ist,  so  sind  die  Beziehungen  (7)  unmittelbar  ersichtlich.  Die  Function  U  nennt 
man  die  Kräftefunction,  Potentialfunction,  oder  das  Potential1). 

Die  Translationsbewegungen  der  n  Massenpunkte  mltmt,  .  .  .  mH  werden  nun 
nach  (1)  durch  die  Gleichungen  bestimmt: 

d'x,  d*xp  dU 

d%yP  d*y*      dU  .... 

m>  ~dfi-  =  V>      W      üder       m>~d^  =  Jy]  ( 10> 

d*zp  d**,,  _  cU 

m>  dt*  m>~dT*~-~J7/ 

Durch  die  Integration  dieser  Differentialgleichungen  gelangt  man  zur  Kennt- 
niss  der  Werthe  von  jt>,  yh  tp  als  Functionen  der  Zeit.  Die  3«  Differential- 
gleichungen zweiter  Ordnung  fuhren  vollständig  integrirt  auf  6«  allgemeine  In- 
tegrale (3/*  Coordinaten  und  3»  Geschwindigkeiten);  aber  die  Ausführung  dieser 
Integrationen  stösst  auf  zur  Zeit  noch  unüberwindliche  Schwierigkeiten,  und  es 
ist  bisher  nur  gelungen,  zehn  Integrale  in  geschlossener  Form  anzugeben,  während 
die  6»—  10  übrigen  nur  in  einigen  wenigen  speziellen  Fällen  bestimmt  werden 
konnten. 

4.  Bewegung  des  Schwerpunktes.  Die  Coordinaten  \t  »j,  C  des  Schwer- 
punktes des  gegebenen  Systemes  von  n  Massenpunkten  sind  bekanntlich  bestimmt 
durch  die  Gleichungen: 

2«,  =  M;    MX  —  1tn,x,\    Mt\  =  lm^\    MX  =  2w,*„ 

Durch  zweimalige  Differentiation  folgt 

Mä*  =  £m'  TPr  -  2 x •'■    M  77*  ~  2  y"    M7P  =  ZZ" 

folglich  mit  Rücksicht  auf  die  Beziehung  3.  3«) 

d*l  d*l 
Mdt*  =  0>     MdtT  =  0>     MdT>=°-  & 

Diese  Gleichungen  geben  integrirt: 

Tt  =  *>'>        Tt  =  b^        dl  =  C*  « 
S  =  *,/-+- a,;      n  =  ölt  +  di\      i  =  ext  +  c%.  (3) 

Die  sechs  Integrale  (2),  (3)  geben  den  Satz,  dass  der  Schwerpunkt  des 
Systemes  in  einer  geradlinigen,  gleichförmigen  Bewegung  begriffen 
ist.    (Princip  der  Erhaltung  der  Bewegung  des  Schwerpunktes.) 

5.  Princip  der  Flächen.  Drei  weitere  Integrale  erhält  man  auf  folgende 
Art:  Multiplicirt  man  die  die  Bewegung  des  Massenpunktes  mx  bestimmenden 


')  Sehr  häufig  findet  man  den  Namen  Potential  nur  für  den  Fall  angewendet,  dass  das 
Kraftgesetz  das  NEWTON'sche  Attractionsgcscti  ist,  doch  spricht  man  auch  von  logarithmischem 
Potential  u.  s.  w.  Auch  findet  man  mitunter  das  Potential  als  Werth  der  Potentialfunction  für 
die  Masseneinbeit,  d.  b.  ohne  einen  von  der  Masse  abhängigen  Faktor,  doch  spricht  man  hin- 
wieder auch  von  einem  Potential  auf  die  Masseneinheit  u.  s.  w.  Nach  der  obigen  Darstellung 
tritt  das  Potential  als  eine  blosse  Function  der  Entfernung  auf;  doch  können  immerhin  auch 
die  Coordinaten  selbst  eintreten,  nur  muss  es  dann,  wie  zu  sehen,  die  Invarianteneigenschaft 
besitzen,  d.  h.  der  Ausdruck  für  das  Potential  darf  durch  eine  orthogonale  Substitution  seine 
Form  nicht  Indern. 

')  Kurze  halber  wird  im  Folgenden  stets  durch  die  beiden  Ziffern  die  Nummer  des  Para- 
graphen und  der  Formel  angegeben;  es  bedeutet  also  z.  B.  8.  9:  Paragraph  3,  Formel  9. 

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Mechanik  des  Himmels.  5. 


287 


Gleichungen  der  Reihe  nach  mit:    \)  —  yiP   4-*,,  0;    2)0,   —  4- 
3)  -h  *„  0,  —  *t,  und  addirt  die  für  die  einzelnen  Massenpunkte  erhaltenen 
Produkte,  so  folgt: 

(- *  4?r  +  *  ^)  =  2("      +  **> 

Mit  Rücksicht  auf  die  Gleichungen  3.  4  werden  aber  jetzt  die  rechten 
Seiten  verschwinden,  und  da  die  linken  Seiten  vollständige  Diflerentiale  sind, 
so  erhält  man  durch  einmalige  Integration: 

Sind  r,  /  die  Polarcoordinaten  eines  Punktes  in  einer  Ebene,  dessen  recht- 
winklige Coordinaten  m,  n  sind,  sodass 

r  cos  i  =  m,       r  sin  l  =  n 

ist,  so  findet  man  leicht 

dn        dm         dl  df 
m  di~n  dt=r  dt"1,  dt* 

wenn  df  das  Element  der  von  dem  Radiusvector  überstrichenen  Fläche  be- 
deutet. Werden  nun  für  den  Massenpunkt  mK  die  Projectionen  des  Radius- 
vectors  r,  auf  die  Ebenen  der  Y-Z,  X-Z,  Z-X  mit  r,',  r,",  rT'  und  die  von 
diesen  Projectionen  beschriebenen  Winkel  mit       v",  v"'  bezeichnet,  so  sind 

2d/i'^r^dv%';    2*/l"«r1"W;  W/M,-r«"»Ar 
die   Projectionen  der  von  dem  Radiusvector  r,  in  der  Zeit  <//  beschriebene 
Elementarfläche  (wobei  nicht  zu  Ubersehen  ist,  dass  der  Radiusvector  im  Räume 
keine  Ebene,  sondern  die  Mantelfläche  eines  Kegels  beschreibt),  und  man  hat 
daher  „ 

lm<  df:  =\Adt\        Imjf"  =  *  Bdt\         Imjf'"  =  \  Cdt,  (3) 
daher  integrirt: 

Imj:  =  \  At  -\-  A)  ImJS  =  \Bt  +  Bx  Imjr  =  \Ct  +  Cx%  (4) 
welche  Gleichungen  zeigen,  dass  die  Summe  der  Projectionen  der  sämmt- 
lichen,  von  den  einzelnen  Radienvectoren  aller  Massenpunkte  des 
Systemes  überstrichenen  Mantelflächen,  auf  eine  beliebige  Ebene 
im  Räume  genommen,  der  Zeit  proportional  wachsen.  Diesen  Satz 
nennt  man  das  Princip  der  Erhaltung  der  Flächen,  und  die  Constanten  A,  B,  C 
die  Constanten  des  Flächensatzes  für  die  drei  betrachteten  Ebenen. 

Ueber  den  Anfangspunkt  des  Coordinatensvstemes  wurde  keinerlei  Voraus- 
setzung gemacht,  man  kann  diesen  daher  auch  in  den  gemeinsamen  Schwer- 
punkt aller  Massenpunkte  verlegen,  da  die  Bewegung  aller  Punkte  des  Systemes 
um  diesen  so  erfolgt,  als  wenn  dieser  sich  im  Zustande  absoluter  Ruhe  befinden 
würde  (die  Constanten  ax,       cx  in  4.  2  und  3  gleich  Null). 

Für  verschiedene  Ebenen  werden  die  Constanten  A,  B,  C  verschieden  sein; 
da  dieselben  aber  bei  einer  endlichen  Anzahl  von  Körpern  nicht  über  alles  Maass 
wachsen  werden,  so  wird  es  nothwendig  eine  Ebene  geben,  bezüglich  welche 


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Mechanik  de«  Ilimmeli  5.  6. 


Constante  ein  Maximum  sein  wird.  Diese  Ebene,  sowie  der  Maximal*«! 
selbst  bieten  ein  besonderes  Interesse;  um  sie  zu  finden  möge  das  System  de 
Massen  auf  ein  anderes  festes  Coordinatensystem  bezogen  werden.  Man  et£r 
zunächst  aus  den  Gleichungen  2.  1,  2  mit  Berücksichtigung  der  Relationen  1 4 
bis  10  (mit  Weglassung  des  Index  t): 


daher 


■ 


,  dy'       ,  dx'         (  dz       dy\  (  dx        dz\         (    dy  dx\ 

1  (' '  lif  ~  *'  4r)  Ä  *>A  +  *>B  +  a • c  =  A 

Definirt  man  eine  Grösse  F  durch  die  Bedingung 

F*  =  A'  +  B'  +  C, 
so  wird  gemäss  den  letzteren  Beziehungen  auch 

F*  =  A'*  +  B'*  +  C 
sein,  und  es  können  A,  B,  C  nach  den  Gleichungen  (5)  als  die  Projectionen  de- 
Grösse F  auf  die  drei  ursprünglichen,  Ä,  B\  C  auf  die  neuen  Projcctionsebe«: 
angesehen  werden.  Hieraus  folgt  unmittelbar,  dass  F  der  grösstmögliche  Wer 
aller  Flächenconstanten  ist,  und  wählt  man  das  neue  Coordinatensystem  so,  dü; 
die  Constante  für  die  X-Y- Ebene  F  sei,  so  wird  C  «  F,  Ä  =  B'  =  0  sein,  mtf 
die  Lage  der  Ebene,  für  welche  die  Constante  des  Flächensatzes  ein  MaximnB 
sein  soll,  wird  durch  die  Gleichungen  bestimmt: 

otj  A  -+-  a9B  -+-  as  C  =  0 

ß,^-fß,^-hßsC  =  0  

T,  A  -+-  t,  B  +  y»  C  =  YA*  +      +  C»  =  F, 

aus  denen  man 

A.  £  i 

Tfl  —  jp't         TT»  —  tt  —  jp  1 

erhält.  Die  Lage  dieser  Ebene  ist  daher  von  der  gegenseitigen  Lage  der 
Massenpunkte  völlig  unabhängig,  und  nur  abhängig  von  den  Constanten  A,  Ä 
C.  Laplace  hat  daher  diese  Ebene  die  unveränderliche  Ebene  genanni 
indem,  solange  die  Constanten  der  Flächengeschwindigkeiten  ungeändert  bleiben, 
d.  h.  insolange  nur  innere  Kräfte  wirken,  und  keine  äusseren,  nicht  dem  Wen- 
System  angehörigen  Ursachen  hinzutreten,  die  Lage  dieser  Ebene  im  Weltraoir* 
unverändert  bleiben  muss. 

6.  Erhaltung  der  lebendigen  Kraft.    Multipliern  man  die  Differential 

gleichungen  der  Bewegung  der  Reihe  nach  mit  ,  -jjj ,  ^jj  und  addirt,  so  er- 
hält man  einerseits: 

(dx,d*x,     dy,d*y,    dz,d?z,\  d  \(dx\'(  Jy\*  (ä*\}Jl 


Im, 

andererseits  aus  3.  9: 


oder  aus  3.  10: 


(bU  dx,  cU_  dy,  dU_  dz\  dU^ 
[dx,  dt  +  dyx    dt  ~*~  dz,   dt)  ~   dt  ' 


Mechanik  des  Himmels.  6.  7. 


289 


Da  nun 

ist,  wenn  man  mit  t\  die  Geschwindigkeit  des  Massenpunktes  mt  bezeichnet,  und 
\  mxvx*  die  lebendige  Kraft  dieses  Massenpunktes  ist,  so  wird 

T  =  \lm,v*  (1) 

die  Summe  der  lebendigen  Kräfte  aller  Massenpunkte  sein,  welche  Summe  man 
als  die  lebendige  Kraft  des  Systemes  bezeichnet  Wird  nach  /  integrirt, 
so  folgt  aus  3.  9: 

welcher  Ausdruck  jedoch  nur  in  speziellen  Fällen  integrabel  ist,  z.  B.  wenn  Xt  eine 
blosse  Function  von  xu  X,  eine  blosse  Function  von  yu  Z,  eine  blosse  Function 
von  *,  ist,  ein  Fall,  der  in  der  Natur  nicht  vorkommt.  Für  die  in  der  Natur 
vorkommenden  Fälle  bestehen  jedoch  die  Gleichungen  3.  7,  daher  die  Bewegungs- 
gleichungen 3.  10,  aus  welchen  man 

T=  U  +  h  (3) 

erhält,  wenn  h  eine  Integrationsconstante  bedeutet.  Dieses  ist  das  zehnte  Integral1) 
der  Bewegungsgleichungen;  es  besagt,  dass,  so  oft  das  Massensystem  einen 
Zustand  erlangt,  den  es  bereits  früher  einmal  inne  hatte  (die  Coordinaten,  und 
daher  auch  die  Kräftefunction  die  früheren  Werthe  erlangen),  auch  die  lebendige 
Kraft  des  Systemes  denselben  Werth  erhält  Dieser  Satz  heisst  der  Satz  von 
der  Erhaltung  der  lebendigen  Kraft 

7.  Hamilton* sch es  Princip.  Wenn  es  auch  durch  weitere  Transformationen 
nicht  möglich  ist,  ein  weiteres  Integral  zu  erhalten,  so  lassen  sich  doch  einige 
allgemeine  Sätze  aufstellen,  welche  von  besonderem  Interesse  sind  und  eine 
vielfache  Anwendung  gestatten.  Hierher  gehört  das  Hamilti >n  'sch  e  Princip;  es 
besagt  dass 

tf{T+U)dt=0  (1) 

ist  wo  die  Variationen  8  sich  auf  Verschiebungen  der  Coordinaten  beziehen, 
die  mit  den  Bedingungen  des  Problems  vereinbar  sind1).  Die  Richtigkeit  lässt 
sich  leicht  durch  die  Ausführung  der  Variationen  erweisen.  Es  ist  wenn  man 
Kürze  halber 

dxy_        ,         dj\  dzx  , 

dt  =  Xx  '        dt  dt  ~St 

setzt: 

<»  '»  '1 
tfTdt  =  fiT-dt  =  flm^xSBx:  -t-ySW  +  *,'«*,']<//. 
  '■          '1  '1 

')  Es  muss  hervorgehoben  werden,  dass  die  in  4  und  5  gegebenen  neun  Integrale  in  dieser 
Form  nur  gelten,  wenn  die  Bedingungen  8-  3,  4  erfüllt  sind,  wenn  also  z.  B.  in  dem  System 
nur  innere  Kräfte  wirken,  und  dass  ferner  das  zehnte  Integral  in  6  an  die  Bedingung  der  Existenz 
einer  Kräftefunction  gebunden  ist.  Es  ist  noch  zu  bemerken,  dass  sich  bei  den  mechanischen 
Problemen,  wenn  es  gelungen  ist,  alle  Integrale  bis  auf  eines  anzugeben,  das  letzte  in  Form 
von  Quadraturen  finden  laset.  S.  Jacobi:  »Theoria  nova  multiplicatoris  systemati  aequationum 
differentialium  vulgarium  applicandi.*    (Werke,  4.  Bd.). 

*)  Die  Variationen  «strecken  sich  nur  auf  die  abhängig  Veränderlichen,  die  Coordinaten, 
nicht  aber  auf  die  Zeit 


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Mechanik  des  Himmels.  7.  8. 


Nun  findet  man  durch  theilweise  Integration: 


da  die  Variationen  für  die  festen  Grenzen  des  Integrales  verschwinden.   Da  weiter 

ist,  weil  die  Kräftefunction  von  den  Geschwindigkeiten  unabhängig  ist,  so  erhält 
man: 

tj{T  +  U)dt  = 

-  Für  den  Fall,  dass  die  Variationen  8 xlt  6>w  6zt  keinen  weiteren  Bedingungen l) 
unterworfen,  d.  h.,  dass  sie  völlig  willkürlich  sind,  zerfällt  diese  Summe  in  die 
Gleichungen  3.  10,  da  jeder  Klammerausdruck  für  sich  verschwinden  muss. 

8.  Lacrange's  Form  der  Bewegungsgleichungen.  Nimmt  man  an, 
dass  in  den  Ausdrücken  für  die  lebendige  Kraft  und  die  Kräftefunction  beliebige 
andere  Variable  Et,  £j  .  .  .  £,„  substituirt  worden  sind,  so  werden  sich  die 
Differentialgleichungen  der  Bewegung  für  diese  neuen  Variabein  aus  dem  Ausdrucke 
7.  1  unmittelbar  ergeben.    Es  wird  wieder: 

/,  /,  /, 

ifTd'  =J "  T'dt         *  t + w  w) äl' 

*\  'l  <!•  ' 

dl, 

wenn      =  —  gesetzt  wird.    Man  hat  weiter  wie  in  7: 

Jw     =  lw  -ätdt=        -)*ld\w)  dt> 

wo  wieder  der  erste  Ausdruck  verschwindet,  weil  8&  für  die  festen  Grenzen 
verschwindet.    Ebenso  wird: 

t\  'i  1 

folglich  erhält  man 

Für  den  Fall  der  freien  Bewegung  aller  Punkte  (wenn  keine  beschränkenden 
Bedingungen  auftreten)  sind  die  8E,  völlig  willkürlich,  weshalb  jede  einzelne 
Summe  verschwinden  muss,  und  man  hat: 

d(dT\      dT  dU 
 t-1.8  .  .  .  3«.  (2) 

')  Der  Fall,   dass  für  das  Problem  gewisse  Bedingungen  tu  erfüllen  sind  (Auftreten  von 
Bedingungsgleichung«)),  ist  hier  nicht  weiter  tu  betrachten. 


UigitlZGö  ö^Aa*4Mi^ 


Mechanik  des  Himmels.  9.  391 

welches  die  von  Lagrange  gegebene  allgemeine  Form  der  Differentialgleichungen 
der  Bewegung  ist1). 

9.  Differentialgleichungen  der  Bewegung  in  rechtwinkligen 
Coordinaten.  Zur  Bestimmung  der  rechtwinkligen  Coordinaten  der  Himmels- 
körper  dienen  die  Differentialgleichungen  3.  9  oder  10.  Für  die  praktische  An- 
wendung wird  es  aber  bequemer,  jeden  einzelnen  Massenpunkt  für  sich  zu  ver- 
folgen. In  Anbetracht  des  Umstandes,  dass  im  Sonnensystem  stets  die  Anziehung 
eines  Centraikörpers  überwiegt,  empfiehlt  es  sich,  die  relative  Bewegung  eines 
Planeten  um  diesen  Centraikörper  zu  betrachten. 

Seien  die  Coordinaten  des  Centraikörpers  E,  ij,  C,  die  Masse  desselben  M\ 
die  Coordinaten  des  Massenpunktes  m,  dessen  Bewegung  betrachtet  wird,  des 
sogenannten  gestörten  Körpers  x',  y\  s\  dessen  Entfernung  von  der  Sonne  r; 
die  Coordinaten  der  übrigen  anziehenden,  störenden  Körper  mit  den  Massen 
m%  seien  Xi,  y',  r,  die  Entfernung  der  Masse  m,  rj  diejenigen  der  Massen 
mx  von  der  Sonne,  und  r0l  die  Entfernung  des  Massenpunktes  m,  von  m.  Die 
Bewegungsgleichungen  für  die  Sonne  werden,  wenn  der  gemeinschaftliche  Faktor 
M  weggelassen  wird 

Die  Gleichungen,  welche  die  Bewegung  des  Körpers  m  bestimmen,  werden: 
d*x'  E  —  x'  x'  —  x* 

Subtrahirt  man  (1)  von  (2),  so  erhält  man: 

4fl       =  ~  W+m)f{r)  — 5  +  lmt  |/(r#l)  -/(r()  —  J  .  (3) 

Nun  sind 

x  »     —  l\      y  =  y  —  Tj       z  =  s'  —  C 

*i  =       5;     yt  =  yt'-n     »«  =  C 

die  rechtwinkligen  Coordinaten  der  Massenpunkte  m  und  mx  bezogen  auf  ein 
zweites  Coordinatensystem,  dessen  Axen  parallel  den  Richtungen  des  ersten 
Systems  sind,  dessen  Ursprung  aber  in  den  Centraikörper  fällt;  die  durch  diese 
Substitution  aus  (3)  entstehenden  Gleichungen 

~=-(Jf+«)/(r)^  +  2«t  [/(r0l)  5^  -  /  (n)  ^]  (4) 

bestimmen  daher  die  relative  Bewegung  der  Masse  m  um  die  Masse  M.  Setzt 
man  daher 


>)  Es  muss  erwähnt  werden,  da»  auch  die  Gleichungen  (1),  (2)  in  dieser  Form  die 
Existenz  einer  von  der  Geschwindigkeit  unabhängigen  Kräftefunction  voraussetzen. 

Bezüglich  der  canonischen  Form  der  Differentialgleichungen,  so  wie  der  Einführung 
canonischer  Elemente,  aus  denen  sich  dann  die  LAGRANGB'schen  Gleichungen  für  die 
Variation  der  Constanten  ebenso  einfach  ergeben,  muss  auf  die  Abhandlung  von  Jacobi:  «Nova 
methodus  aequationes  differentiales  partiales  primi  ordinis  inteT  numerum  variabiJium  quemeumque 
propositae  integrandi«  und  »Ueber  diejenigen  Probleme  der  Mechanik,  in  welchen  eine  Kräfte- 
function existirt,  und  Uber  die  Theorie  der  Störungen«  (Werke,  5.  Band)  und  »Dynamik«  (24. 
und  36.  Vorlesung)  verwiesen  werden.  Ueber  eine  explicite  Form  dieser  Differentialgleichungen, 
welche  bei  theoretischen  Untersuchungen  sehr  fruchtbar  scheint,  s. :  Stäcksl  «Ueber  die 
analytische  Aequivalenz  dynamischer  Probleme«,  Crellk,  Journal  für  die  reine  und  angewandte 
Mathematik,  Bd.  107,  pag.  323. 

19* 


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Mechanik  des  Himmel«.  9.  10. 


Y0=-  W+m)/{r)y--    F1«2i»l|/(ro0^=^-/(rl)^];  K-K.+y^ 

Z0  =  -  (3/4-  *)/(r)  £ ;    Z,  =  2«,  [/(rot)  -/(r|)  ^]  ;     Z=  Ze  +  Z, 

so  werden  die  Differentialgleichungen  für  die  Bewegung  des  Massenpunktes « 


Ist  wieder 
so  findet  man 


dt*  - A'     dt*  - r'      dt*    z  1 


0 


2Qo        7       «0»         -  30 


wenn 


Q0  =  +  (M+m)F(r);  Q^lm,  [F(r0t)  -/(rt)  j;  Q^Qo  +  ß,  ,7 

ist.  In  den  Ausdruck  für  U  treten  nur  die  Entfernungen  ein;  es  ist  daher  sofort 
klar,  dass  der  Differentialquotient  nach  irgendeiner  Richtung  die  in  dieser 
Richtung  wirkende  Kraft  giebt.  Allein  in  0  treten  auch  die  Coordinaten  selbst 
ein,  und  es  wäre  zunächst  zu  erweisen,  dass  man  die  Kraft  in  einer  beliebige 
Richtung  x*  erhält,  wenn  man  Q  nach  dieser  Richtung  differenziirt.  Da  fi0  va 
von  den  Entfernungen  abhängt,  so  genügt  es,  dieses  für  S,  nachzuweisen.  Nun  * 

Nimmt  man  x'  als  Axe  eines  zweiten  Systems,  in  dem  die  beiden  anderer 
Axen  willkürlich  sind,  so  hat  man  nach  2.  1,  2: 

dx  dy  d* 

Xl  dx1      •*        ~*~  "  dx1  =  a»  Xl     **  *  +  ">  *'  =  Xx ' 

Transformirt  man  aber  0,  auf  das  neue  Axensystem,  so  wird 
xx,  h-  yyx  ■+■  szt  =  *'      -+-  jf  yt'  +  s'  */, 
woraus  man  sofort  sieht,  dass  die  oben  angegebene  Differentiation  nach  x'  ät 
Kraft  nach  dieser  Richtung  giebt. 

10.  Differentialgleichungen   der  Bewegung  in  polaren  Coordi 
naten.    Es  mögen  die  folgenden  Bezeichnungen  gelten:   Sei  r  der  Radiu4- 
vector,   r  seine  Projection  auf  eine  feste  Ebene  (X  K-Ebene),  b  der  Wi"ke 
zwischen  r  und  r  (Breite  des  Himmelskörpers);  /  der  Winkel  von  r  gegen  ein« 
feste  Richtung  in  der  X  K-Ebene,  der  A'-Axe  (Länge  des  Himmelskörpers); 
linearer  Abstand  von  der  Projectionsebene ;  u  der  reeiproke  Werth  von  r 
s  die  Tangente  der  Breite,  und  bezeichnet  man  die  Differentialquotienten  durch 

d/(x) 

angefügte  Striche,  also:  —  /'(*),  so  ist: 


t^itizecLbyX^ogte 


Mechanik  de«  Himmel».  10.  «93 

r  *=  rcosb,       z  =  rsinb  =  r  tang  b  =  r  s 

s  =  tang  b       «  =  —  =  r  =  

v  x      rcosb  r 

1)  Wählt  man  als  Polarcoordinatcn  r,  /,  *,  und  behält  dabei  *  als  dritte 
Variable,  so  wird: 

dx 

x  =  x  cosl  -r.  =  r1 cos  l  —  x  sin  l  •  /' 
j>  =  rji«/       J^f  sinl  +  xcosl-V 

ar 


ar  (dr\  „ 


und  ebenso  für  die  beiden  anderen  Coordinaten  /,  *;  man  erhält  daher  aus  den 
Gleichungen  8.  2  unmittelbar1). 

Jt{V*j)^  ™  =  -XxsinI  +  YxcosL  (B) 
di*  -  * 

2)  Wählt  man  als  Polarcoordinaten  r,  lt  b,  so  folgt: 

x  =  r  cos  b  cos  l  x '  =  r'  cos  b  cos  l  —  r  sin  b  cos  /b'  —  r  cos  b  sin  l  C 
y  =  rcosb  sin  I  y'  =  r1  cos  b  sin  l  —  r  sin  b  sin  IV  -+-  rcosb  cos  i  V 
x  =  r  sin  b  t'  =  r'  sin  b  -f-  r  cos  b  b'  »  w 

T  =  \  2  «,  [rt  »  h-  r*  bt*  +  r.»  cos*  b,  /,»»] 

folglich 

^2  rcos*  b  XjA  —  r  f  ^  1  =       =  Jf  tw  b  cos  l  +  Y  cos  b  sin  1+  Z  sin  b 

jf  \  r*  cos*  b       =  ~=  —  Xrcosb  sin  /  +Kr  cos  b  cos  I.  (C) 

d  (    db\  (dl\*  dQ 

j-A  ■+-  r**/»        £  I  ^1  =       =  —  Xrsinbcos l — Yrsinbsm/-¥-  Zrcosb 

3)  Führt  man  in  (B)  an  Stelle  von  *  die  Variable  s  ein,  so  tritt  an  Stelle 
der  dritten  Gleichung  die  folgende: 

d\xs) 


dt* 


Z.  <B') 


4)  Die  Einführung  der  Variablen  u,  I,  s,  führt  auf  sehr  häufig  mit  Vortheil 
verwendete  Formeln,  wenn  die  unabhängig  veränderliche  /  an  Stelle  der  Zeit  / 
eingeführt  wird8).    Setzt  man  Kürze  halber 


')  In  T  treten  Werth e  für  den  betrachteten  Massenpunkt  m  natürlich  auch  ein ;  es  ist  daher 
für  (  auch  der  Werth  t  —  0  tu  setzen,  wobei  jedoch  der  Index  Null  wegzulassen  ist.  Die 
Ausdrücke  für  die  DitTerentialquotienten  von  Q  folgen  unmittelbar  aus 

bü       dÜ  dx      dQ  dj 
dx  =  dx  dx  +  dy  dx' 
*)  Die  Ableitung  der  Formeln  aus  der  lebendigen  Kraft  führt  hier  auf  sehr  ausgedehnte 
Rechnu  ngen. 


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»94  Mechanik  des  Himmels.  10. 


i  — 

u*  dt 

so  gicbt  die  zweite  Gleichung  (C): 

ä_V  _d_ü 

dt  -  dr 

Multiplicirt  man  beiderseits  mit  2  Vdt  und  integrirt,  so  folgt: 

,„  n  fdQ  dl 

+  TiV* 

und  dann  aus  (4): 

dl 

dt  = 


u* 


Aus  den  Formeln  (1)  folgt: 

db  1     ds  db      1  <fr 

*  =  7riT?^;  r  d~t=u~*  dt' 

womit  man  aus  der  dritten  Gleichung  (C)  findet1): 

<r7  V«'  dt)  +  u*  \dt)  ~  db 


*  (vdA 

diy  di) 


d_  /J_  </A  !ü 
<//  V«*       +  «W/  ~  db  dl 


d*s     ds  dVdt 
+  sV-  v dl*~*~  dl  dt  dl~*~sV~  db  dl 


1     pQ      dldZ]       JL.IV         s\£?         ??  dsdQl 

+  s-  y*u*[db    didtj"*  v*u*[V  +* )  ds^sudu~  di  diy  (i 


dl* 

Um  auch  eine  Differentialgleichung  für  u  zu  erhalten,  wird  der  Ausdruck 
für  1  :  u  zweimal  differenzirt;  man  erhält: 


dt{u) 


cosbTt-r»n4>Tt 


Da  aber 

d_ 

dt 


dQ      sin  b  eil  (diy 
C0ibTr-  —  Tb  +  rC05b\dl)  ' 


\u)~*      u*  dt~      u*  dldi~      V dl 
d%  (l\   ^      dV du      „d*u  dl 
77*  \ü)  =  ~~  dt  dl  ~~  v  dl*  7t 


du  ^  d*_u 

dt*  \u)    ~  '     dt  dl       '  di'*  dt  "      "  dl  dl      V  u  dt* 
ist,  so  wird 


r  cos  b  u* 


x)  Behufs  Einführung  der  Differentialquotienten  von  Q  nach  u,  s,  an  Stelle  derjenigen  nach  r,  &  hat  m~ 

?^      —      *'  0«  2/ 

0r  KF+7i;  ä*""^ 

und,  da  /  beibehalten  wird, 

dü  da  dt  da  du  „  da  da 
Tö  =  TsT»  +  Tudi;=(>i+s')Ts  +  usTu 

da     dQdu_         «'  da 

dr     du  dr  '       yi     st  du' 


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Mechanik  des  Himmels.  10.  *95 

</*  u      dQ  du 


dl*      dl  dl 


u*  dQ  su  r  da  t  aal 
i_  r  f  da        dQ     est  du] 


d*u  1     T  .  dQ      dQ  du 

dl*  *  u  ~  V* 


Setzt  man  daher 

o  9,dQ  dQ  dsdQ 

Ä«(l+,.)_+J. ______ 

da      .  aa  #a 


=  /*'  -h  2 
so  wird 

4/ 


/<//  dQ 
u*  a/' 


d*u  1 
<r7*  +  *  ~~  ^ 

£i  _i_ 


U  (D) 


(10) 


An  Stelle  der  Ableitungen  der  Kräftefunction  Q  können  hier  die  folgenden 
Kräfte  eingeführt  werden:  Die  Kraft  P,  welche  in  der  Richtung  des  Radius- 
vectors  wirkt,  die  Kraft  Q,  senkrecht  zu  dieser  in  der  Projectionsebene,  und  die 
Kraft  Z  senkrecht  auf  die  Projectionsebene.    Für  diese  hat  man 

P  =  Xcosl+  Ysinl 
Q  =  Ycos  l  -  Xsin  l 

dQ  dQ  P  Zs 

-K-  =      Pcos  b  -+-  Zsin  b  -s—  =  5  f 

Cr  d  u  u*  u* 

dQ  dQ  Q 

~=+Qrcosb  Tl  =  +u  OD 

dQ  [dü  Z 

~db=  ~  Prsinb  +  Zrcosb      ^  =  +  —  . 

Hiermit  gehen  die  Differentialgleichungen  (B)  und  (D)  in  die  folgenden  über: 

..p  *„_L 


d3 1     a  dl  dT      „  d' u  1     /„      <?</iA  , 


dt*  ~Z  dl*  +  '  Ä  V* 


Die  hier  auftretenden  Formeln,  in  denen  AT,  Y,  Z,  Pt  Q  enthalten  sind,  be- 
halten auch  ihre  Gültigkeit,  wenn  eine  Kräftefunction  nicht  besteht,  wenn  also 
z.  B.  beim  Hinzutreten  von  accessorischen  Kräften,  diese  sich  nicht  als  Differential- 
quotienten einer  einzigen  Function  angeben  lassen.  Bei  der  Verwendung  der 
Differentialquotienten  der  Störungsfunction  hat  man  jedoch  noch  folgendes  zu  be- 
achten. Die  durch  die  störenden  Kräfte  bewirkten  Incremente  der  Coordinaten, 
die  Störungen  werden  von  den  Coordinaten  der  störenden  Körper  abhängen, 
und  es  wird 

x  a  *(<>)  +/j  (Xl,  yt,  zt) 

y  ==  y(o)  -h/,  (*w  yu  s.)  (12) 
z  =  s<©)  -f-  /,  (*M  y»  at) 


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296  Mechanik  des  Himmels.  10.  11. 

sein,  wenn  xio),  jK«),  *<°>  die  ungestörten  Coordinaten  bedeuten.  Sind  nun  xx, 
y»  zt  von  den  Coordinaten  x,  y,  z  unabhängig,  so  wird  offenbar 

dx^dx^'       dy~dyM  ;        dz  ~  dzW 

Berücksichtigt  man  in  Q  die  ungestörten  Coordinaten  x0>),  yt*),  zb\  so  er- 
hält man  die  Störungen  mit  Rücksicht  auf  die  ersten  Potenzen  der  Massen;  diese 
geben  dann  zunächst  fx,  f1t  f9  von  der  Ordnung  von  «t,;  verwendet  man  nun  in 
D  die  Ausdrücke  (12),  so  werden  die  von  w,  abhängigen  Glieder  /p/,,/,  neuer- 
dings mit  mx  multiplizirt,  also  in  Q  Glieder  zweiter  Potenz  der  Massen  auftreten. 
Für  x„  yu  s,  sind  aber  auch  die  gestörten  Coordinaten  zu  verwenden,  die  selbst 
von  *,  y,  z  abhängen  werden;  bei  der  completen  Differentiation  nach  x  wäre 
auch  nach  den  in  xx,  yu  x,  enthaltenen  Coordinaten  x,  y,  z  zu  differenziiren,  und 
man  sieht  sofort,  dass  dann  das  Resultat  der  Differentiation  nicht  mehr  die 
störenden  Kräfte  sind.  Sei  z.  B.  die  von  x  abhängige  Störung  von  xt  gleich  xx, 
wobei  x  von  der  Ordnung  von  m  ist,  so  wird  der  zweite  Ausdruck  in  0, 

x  (*,<<>>  -h  x  x)  -+-  yyK  -+-  zzt 

/CO  7; 

durch  dessen  Differentiation  nach  x  man 

+  2x*)  +  [*(*<•>  +  *x)  +  yy<  +  zzt]  jf 

erhält,  einen  Ausdruck  der  von  den  störenden  Kräften  verschieden  ist.  Es  folgt 
daraus,  dass  man  bei  der  Berücksichtigung  der  von  den  zweiten  und  den  höheren 
Potenzen  der  Massen  abhängigen  Glieder  in  der  Function  Q  stets  die  unge- 
störten Coordinaten  der  störenden  Himmelskörper  zu  verwenden 
und  erst  nach  allen  vorgenommenen  Differentiationen  die  gestörten 
Coordinaten  der  störenden  Körper  einzuführen  hat. 

11.  Differentialgleichungen  für  die  Variation  der  Elemente.  In 
allen  diesen  Formeln  wird  man  in  der  praktischen  Anwendung  die  wirkenden 
Kräfte  in  zwei  Theile  zerlegen,  so  dass  der  eine  zunächst  betrachtete  analytisch  und 
numerisch  Uberwiegt  und  den  allgemeinen  Charakter  der  Bahn  bestimmt,  während 
der  Ub.rige  Theil  die  Abweichung  der  wahren  Bewegung  von  der  zunächst  bestimmten, 
genäherten,  giebt.  Sei  für  die  Gleichungen  (A)  in  9  eine  solche  Zerlegung 
X  =  X0  -+-  Xx ;      K=K0-f-K,;     Z  =  Z0  -+■  Zx, 

wobei  diese  Zerlegung  mit  der  dort  vorgenommenen  identisch  sein  kann,  aber 
auch  nicht  identisch  zu  sein  braucht.  Führt  man  Kürze  halber  die  Bezeichnung 
der  Differentialquotienten  wie  in  10  ein,  so  wird 

dx'  dy'  dz' 

-jj  =  X0  -h  Xx ;      -jj  «=  YQ  ■+-  y, ;      -jj  =  Z0  -+-  Zx .  (1) 

Angenommen  man  habe  die  Differentialgleichungen  unter  der  Annahme  in- 
tegrirt,  dass  Xx  =  Yx  =  Zx  =  0  sei;  dann  wird 

und  seien  die  Integrale  dieser  Gleichungen: 

[x]  =  «>(/,  a,  b,  (,/,  g,  h)\    [y]  =       a,  b,  c,/,g,  h)\    [z]  =  X(/,  a,  b,  c,/tg,  h)  (3) 

Functionen  der  Zeit  und  der  sechs  Elemente  a,  b,  c,  /,  g,  h\  aus  diesen  findet 
man  durch  Differentiation: 


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Mechanik  des  Himmels.  1 1. 


297 


M  =  [S]  - 1  ('.  °>  >>  '>/.  *  *);    [/]  =  [s]  -  +  ('.  *  *.  <•/  * 

X  (A         <*.  /»  ^.  h\ 


wobei 


(4) 


30  ax 
a/  ~  ?;    a/  ~~  *;    a/  ~* x 

ist,  welche  durch  nochmalige  Differentiation  die  Gleichungen  (2)  geben. 

Man  kann  nun  annehmen,  dass  die  Integrale  der  Differentialgleichungen  (1) 

+ 5;  y  =  \j>}  +  T,;  ,  =  (5) 
seien,  und  kann  £,  tj,  C  d.  i.  die  Störungen  in  den  rechtwinkligen  Coordi* 
naten  ermitteln.  Man  kann  in  derselben  Weise  aus  den  Gleichungen  {B),  (C),  (D) 
Störungen  in  den  polaren  Coordinaten  ableiten.  Man  kann  jedoch  auch 
annehmen,  dass  sich  unter  Berücksichtigung  der  störenden  Kräfte  Xlt  K,,  Zx  die 
Coordinaten  (rechtwinklige  sowie  polare)  in  derselben  Weise  ergeben,  dass  also 

jt  =  4>;    y  *  =  X 

sein  wird,  unter  der  Voraussetzung  jedoch,  dass  die  Elemente  a,  b,  c,  f,  g,  h 
nicht  mehr  constant,  sondern  veränderlich  seien.    Dann  wird: 

y  =  %  =     a,b,c,/tg,h)-<-r     d-jj=y*  +  Vx  (6) 

<■/*  dz' 
*'  -  ^7  =  X(A  «,        /»  Z'  =  Z0  +  Z, , 

wobei  A"',  K',  Z'  ebenfalls  Functionen  der  Zeit  und  der  sechs  Elemente  sein 
werden,  welche  von  der  Differentiation  der  Functionen  <D,  V,  X  nach  den  ver- 
änderlichen Elementen  herrühren.    Es  ist  nämlich 

dx      a<>  dQdb      dQde      W  4/      dQ  dg  dh 

dt~  dt  ^  da  dt  +  db  dt~*~  de  dt  ~*~  df  dt  +  dg  dt+  dh  dt ' 
folglich: 

aO  da      W  db      aO  de      c®  df      dQ  dg  dQdh 
da  dt  ~*~  db  dt~*~  de  dt  "*"  df  dt  ~f"  dg  dt      dh  dt  ~ 

da      W  db      W  de      dW  df      W  dg      dV  dh 
da  dt      cb  dt  +  de  dt      df  dt  H~  dg  dt  +  dh  dt  ~~  Y 
aX  da      aX  db      dX  de      dJL  df      dj>  dg      dl.  dh 
da  dt  ~*~  db  dt~*~  de  dt  ~*~  df  dt  ~*~  dg  dt      dh  dt  ~  Z' 

Ebenso  wird: 

dx*     df     dy  da     df  db      df  de      df  df     df  dg     df  dh 
~dt==Jt~hJä  d~/~*~  db  dt  ~*~  ~de  dt  +  df  dt  "•"  dg  dt  + Th  dl 
dX'     dX'  da     dX'  db     dX'  de     dX'  df     dX'  dg     dX'  dh 
~*~  dt  +  da  dt+  db   dt~*~  de  Tt~*~  df  dt+  dg  dt+  dh  dt' 

d<p 

Da  nun  ^  =  X0  ist,  so  wird  man,  wenn  man  Kürze  halber 


(8) 


da~*~  da  ~\da)'      db+  db  ~\db)    '  '  '  ~   dt  "  ^ h 

Ba  +  da       \da)  '  '  '  '  dt  Z«  dt~^} 

setzt,  die  Beziehungen  erhalten: 


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298  Mechanik  des  Himmels  II. 

fd9\  da     (d^  db     (djX  de_     (df\  df     (dy\  dg     (dy\  dh  _ 
\da)  dt     \db)  dt     \dc)  dt     \df)  dt     \dg)  dt  +  \dh)  dt  ~  {A) 
(d)\  da     (d)\  db     m\  d±     (dj\  df     (d*\  dg     (d)\  dh 

\Va)  dt  +  \db)  ut  +  Xdc)  dt-*~\df)  dt~*~\d})  di+\n)  ~dt  =  (y)  (9) 

/dy\  da      (dy\  db      (dA  de      (d;\  df     (*A*g     (h\  dh  _ 
\da)  dt  +  \db)  dt  +  \d e)  dt  +  \df)  dt  +  \dg)  dt  +  V/  ~~  (Z)' 

Die  Gleichungen  (7)  und  (9)  sind  sechs  Gleichungen  zwischen  den  Ver- 
änderungen der  sechs  Elemente  mit  der  Zeit;  diese  lassen  sich  daher  daraus 
bestimmen.  Die  Elimination  würde  im  Allgemeinen  auf  sehr  complicirte  Aus- 
drücke führen;  es  ist  jedoch  nicht  schwer,  zunächst  sechs  andere  Gleichungen 
abzuleiten,  von  denen  jede  nur  fünf  Differentialquotienten  enthält,  und  die  in  der 
Folge  Verwendung  finden  werden.  Multiplicirt  man  die  Gleichungen  der  Reibe 
nach  mit 

(h\       (?$\       (dA       i?        *1  ?x 

~~\dk)'         ~\dk)>  +  dk  »       +  8*'       ^  dk 

und  addirt,  und  führt  die  folgenden  Bezeichnungen  ein: 

»•  m  _  ||  (|?) + « ff*)  _  u  f  m + «  m  _  |f  ( |?)  „  [„, 

dt  \dk)     dh  \öt )      ot  \ok)     dk  \dt }  dt  \dk)      ck  \dt )      1  1 

/,  k  irgend  zwei  der  sechs  Elemente, 

so  wird 

da            db             de             df  dz  dh 

M  Tt  +  l**)d-t  +  [*^dt  +  M  it  +  M  ft  +  ^  Tt  =  *' '  (E> 

wobei  zu  bemerken  ist,  dass 

[kk)  =  Q\       [ik\  =  —  [kt\. 
Für  irgend  eines  der  Elemente  folgt  hieraus 

^  =  /*(/,  «,  *,  A)  (11) 

und  durch  Integration  dieser  Gleichungen  erhält  man  die  Elemente  als  Functionen 
der  Zeit.  Diese  Methode,  welche  man  die  Methode  der  Variation  der  Con- 
stanten nennt,  wurde  theilweise  schon  von  Newton,  später  in  consequenterer 
Durchführung  von  Euler  verwendet;  die  Principien  der  hier  gegebenen  Ab- 
leitung rühren  in  dieser  Form  jedoch  erst  von  Lagrange  her.  (Vergl.  Bd.  I, 
pag.  108  und  135). 

Die  Auflösung  der  Gleichungen  ist  im  Allgemeinen  nicht  sehr  einfach1). 
Legt  man  jedoch  der  Rechnung  osculirende  Elemente  (s.  Bd.  I,  pag.  133) 
zu  Grunde,  so  hat  das  Gleichungssystem  {£)  die  Eigenschaft,  in  leicht  auflösbare 
Gruppen  zu  zerfallen. 

Osculirende  Elemente  sind  solche,  aus  denen  nicht  nur  der  Ort  des  Himmels- 
körpers, sondern  auch  die  Geschwindigkeit  ihrer  Grösse  und  Richtung  nach  in  jedem 
Augenblicke  durch  die  Formeln  der  ungestörten  Bahn  gegeben  werden;  es  ist  daher 
X'  =  V  =  Z'  =  0;      (*)  =  *,;      {Y)-Yt;      {Z)  =  ZX 

(d<f\_d1         /y\    aj  (d_i\-?l 

\dh)-dh'  \di)~dht  \dk)-dh' 

folglich 


•)  Die  inveree  Lösung:   direkte  Bestimmung  des  Differentialquotienten  jedes  einzelnen 
Elementes  gab  spater  (1808)  Poisson;  doch  reicht  man  xumcisl  mit  den  obigen  Formeln  aas. 


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Mechanik  de«  Himmels.  II.  12. 


299 


T..,M>  dQ  df     dV  dty  H     8X  dy     dl.  dy 

[,*J=  di  dk~  dk  ~di  +  di  dk~  dk  di  +  di  dk~~bk  di 

=  A*dk  ~*~  *ldk  ~*~  *xdk  » 

welche  Werthe  in  die  Gleichungen  £  einzusetzen  sind.  Lassen  sich  Jf, ,  K,,  Z, 
als  die  Differentialquotienten  einer  Function  Q  nach  den  drei  Coordinaten  x,  y, 
x,  darstellen,  so  wird,  wie  man  sofort  sieht 

Kk  =  dk' 

Die  Coefficienten  [i  k]  haben  die  bemerkenswerthe  Eigenschaft,  dass  sie  von 
der  Zeit  unabhängig  sind,  was  bei  ihrer  Berechnung  (vergl.  18)  mit  Vortheil  ver- 
wendet werden  kann.    Denn  es  ist 

^  (dx  ^    dx  ay\    a*a/    0*;  d*    dx  a*"    d^  pjs 

dt\di  dk      dk  dij^di    dk  "**  di  dk      dk  di       dk  di 

dx  dX_     dx  dX_ 
a  di  dk  ~  dk  di  ' 

Besteht  nun  eine  Kräftefunction,  so  wird: 

d\ik\     fdX  dx     dY  dy     dZ  dx\     idX  dx     d_V  dy      dZ  ds\ 
dt  ~\dk  di*  dk  di~*~dk  di)~\di  dk*'  di  dk*  di  dk) 

~~      \dk  [dx  di  *  dy  di  *~  dz  Ti\  ~~  [dx  didk*~  dy  didk*~  dt  JWk\  } 

~~  \di[dx  dk*  dy  Tk*~  dx  Tk\~  [dx  Jidk  *~  dy  didk  *~  dt  didk\  \ 

daher,  weil  die  Kräftefunction  von  den  Geschwindigkeiten  unabhängig  ist,  folglich 
die  Ausdrücke  der  eckigen  Klammern  die  partiellen  Differentialquotiente  1  von  Q 
nach  den  betreffenden  Elementen  sind: 

d[ik]      d   aa  JL 
dt   =  dk  di  ~  di  dk  ~  °' 

also  [ik]  von  der  Zeit  unabhängig. 

12.  Erste  Näherung.  Bewegung  in  Kegelschnittslinien.  Ehe  an 
die  weiteren  Entwickelungen  geschritten  werden  kann,  müssen  nunmehr  die 
Coordinaten  als  Functionen  der  Elemente  ausgedrückt  werden.  Sind  die  stören- 
den Massen  genügend  klein,  so  wird  man  in  erster  Linie  von  denselben  voll- 
ständig absehen  können  und  die  Bahn  des  Himmelskörpers  unter  der  Voraus- 
setzung der  alleinigen  Attraction  des  Centraikörpers  bestimmen1).  In  diesem 
Falle  werden  die  Differentialgleichungen  (A): 

(fix  x 
—  =  -(M+m)/(r)- 

z  z 

—-  =  _(M+m)f(r)-. 

Aus  diesen  Gleichungen  erhält  man  auf  dem  in  5  eingeschlagenen  Wege  die 
drei  Flächenintegrale: 


')  TJeber  eine  andere  Art  der  Zerlegung,  bei  welcher  auch  gewisse  Hauptglieder  der 
störenden  Kräfte  in  der  ersten  Näherung  berücksichtigt  werden,  siehe  71. 


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3oo  Mechanik  des  Himmels.  12. 

dz         dy       M  dx        dz      n  dy         dx  „ 

ym-'7,-A<   'dl-**-*-  "in  ~ y  m  ~  '  <2> 

aus  denen  sofort  folgt: 

Ax     By  -t-  Cz  =  0.  (3) 

Diese  Gleichung  zeigt,  dass  sich  der  Himmelskörper  in  einer  Ebene  bewegt, 
die  durch  das  Attractionscentrum  geht.  Legt  man  zur  Vereinfachung  die 
X  K-Ebene  in  diese  Bahnebene,  so  entfällt  die  dritte  Differentialgleichung;  es 
bleiben  noch  zwei  Differentialgleichungen  zweiter  Ordnung,  deren  vollständige 
Integration  vier  Constante  einführt,  während  die  zwei  übrigen  durch  die  Lage  der 
Bahnebene  (Länge  des  Knotens  und  Neigung  gegen  eine  feste  Ebene)  ersetzt 
sind.  Die  beiden  Differentialgleichungen  in  x,  y  geben,  entsprechend  transformirt, 
die  Gleichungen  (ß)  aus  10,  in  denen  nur  r  =  r,  *  =  0  zu  setzen  ist,  und 
es  wird: 

«o/M 

d  (  dl\  ft  w 

Aus  der  zweiten  Gleichung  erhält  man  das  Flächenintegral 
und  daraus 

/-/o  =  i"- 

Beschreibt  der  Himmelskörper  eine  geschlossene  Curve,  und  sei  die  Um- 
laufszeit in  derselben  T,  die  von  der  Linie  eingeschlossene  Gesammtfläche  F, 
so  ist 

F=\cT\  c  =  ~  (6) 

Führt  man  (5)  in  die  erste  Gleichung  (4)  ein,  so  folgt: 

d*r  c* 

j,i  -  "a  +  (Af  +  m)/{r)  =  0. 

dr 

Multipliern  man  diese  Gleichung  mit  2  -^j  ,  so  wird  sie  integrabel,  und  giebt 
integrirt 

und  daraus 


(drV 


dt  " 


]/ c,  +  2(M+  m)  F(r)  -  ~  <7> 


Führt  man  den  Werft  von  dt  in  (5)  ein,  so  wird 

edr 


d/  = 


rrf  cx  -+-  2  (M  ■+-  tn)  F(r)  —  £  ($) 
Für  die  Geschwindigkeit  V  erhält  man 

V  =  (^)'+  r»  =      +  20*/+  m)^(r), 

welche  Gleichung  auch  aus  dem  Satze  von  der  Erhaltung  der  lebendigen  Kraft 
unmittelbar  folgt. 


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Mechanik  des  Himmels  12- 


30l 


Sei  nun  fir)  =  also  die  Anziehung  der  Massen  bestimmt  durch 
k*  Mm 

rt    ,  so  ist  k*  die  Anziehungskraft  zweier  Masseneinheiten  in  der  Einheit  der 

Entfernung;  der  numerische  Werth  dieser  Constanten  wird  daher  von  der  Wahl 
der  Einheilen  abhängen.    Dann  ist 

F(r)  =  *-  . 

dr 

Der  Werth  von  r  wird  ein  Maximum  oder  Minimum,  wenn  -jj  =  0  ist,  d.  h. 
wenn 

r  =  -i[+  ^(jV+«)±  \/k*  (M~+  m)*~->r  <r»<r,] 

ist.  Sei  das  Maximum  a  (1  -he),  das  Minimum  a  (1  —  e),  so  dass  a  der  mittlere 
Werth  und  2ae  die  Differenz  zwischen  dem  Maximum  und  Minimum  ist,  so 
folgt: 

a  ^(M^  m);         ae  =  -  1  yA*(M+  *)»  +  c'ct. 

'1  *i 

und  daraus: 

Durch  Substitution  dieser  Werthe  folgt: 

^  _       _  _  r  1  __   .       dt  =  —    -  /p,\ 

"  rföar- r*- a*(\  -7>)  '  y^öW>T^)  ^(1  _  ,i)  '  w 

und  für  die  Geschwindigkeit  die  bereits  vielfach  angewendete  Formel  (vergl.  den 
Artikel  »Kometen  und  Meteore«,  II.  Bd.,  pag.  65  u.  83) 


Integrirt  man  die  erste  Gleichung  nach  bekannten  Methoden  (Integration 
von  Wurzeigrössen  aus  Polynomen  zweiten  Grades)  so  erhält  man: 

r  «  0  ~  '*> 

r~  1+  10)  ' 

wo  to  die  Integrationsconstante  bedeutet.  Für  das  Minimum  von  r,  Pericentrum l), 
muss  /  —  cd  gleich  Null  sein;  es  ist  also  to  die  Länge  des  Pericentrums  und 
/  —  »  =  v  die  wahre  Anomalie.  Für  den  Fall  e  <  1  beschreibt  der  Massen- 
punkt eine  Ellipse;  in  diesem  Falle  ist  F  =  ab*  =  a>yi  —  7»tc,  folglich: 

V*  (1  -  **)  Y*>  (M  -+-  m)  =  *^Ylr~zJL± 

und  damit 

«ä^.  (,o) 

Euler  lässt  den  Faktor  2  im  Zahler  weg,  nimmt  die  Sonnenmasse  3/=  1 
vernachlässigt  die  Erdmasse  («  =  0),  setzt  T=  365  256  Tage,  a  —  100000  und 


*)  Ist  du  Attractionscentrum  die  Sonne,  Erde,  Jupiter,   Satum,   ...  so  nennt  man  die 
kleinste  Entfernung  Ptrihel,  Pcrigeum,  Perijovium,  PeTisaturnium  u.  s.  w. 


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302 


Mechanik  des  Himmels.  12. 


findet  log  =  5*4345525139  *).  Lambert  setzt  a  <=  1,  T=  365  25659,  führt  aber 
den  reziproken  Werth  £s  durch  die  Beziehung  T  =  k%v.<A  ein;  er  findet 
bgkt  =  2  0654481 »).  Gauss  setzt  a  =  1,  T=  365  2563835  Tage,  m  =  1:3547  1  0 
und  findet 

logk=  8235  5814  414-10 
£  =  0-017  2020  9895 

log  k"  =  =  3-550  0065  746. 

Diese  Constante  k  ist  seither  unverändert  beibehalten  worden;  bei  derselben 
wird  als  Einheit  der  Masse  die  Sonnenmasse,  als  Einheit  der  Zeit  der  mittlere 
Sonnentag,  als  Einheit  der  Entfernung  die  mittlere  Entfernung  der  Erde  von  der 
Sonne  zn  Grunde  gelegt.  Da  aber  ebensowohl  die  Jahreslänge,  als  auch  die 
Erdmasse  einer  Verbesserung  bedürfen,  so  würde  man  im  Laufe  der  Zeiten  immer 
andere,  allerdings  nur  wenig  geänderte  Werthe  dieser  Constanten  zu  Grunde  zu 
legen  haben.  Statt  dessen  behält  man  diese  sogenannte  GAUSs'sche  Constante 
des  Sonnensystemes  unverändert  bei,  und  gentigt  den  veränderten  Rechnungs- 
elementen, indem  man  für  eine  der  Grössen  eine  andere  Einheit  wählt.  Legt 
man  als  Einheit  der  Masse  stets  die  Sonnenmasse,  als  Einheit  der  Zeit  stets  den 
mittleren  Sonnentag  zu  Grunde,  so  wird  sich  für  die  jeweiligen  besten  Werthe 
von  T,  m,  und  dem  festen  Werthe  von  k  ein  gewisser,  von  der  Einheit  ver- 
schiedener Werthe  von  a  ergeben.  Nimmt  man  z.  B.  nach  Le  Verrier  die 
mittlere  siderische  Bewegung  der  Sonne  in  einem  julianischen  Jahre  (365'25-Q 
gleich  1295977"  4427  an,  so  wird  T=  365-2563574'';  dann  wird  mit  m  =  1 : 330000 

loga  =  0000  0000  099 
d.  h.  als  Einheit  der  Entfernung  ist  eine  Strecke  zu  wählen,  welche  gleich  ist 
0-9999999772  der  Erdbahnhalbaxe.  Wählt  man,  wie  dies  für  manche  Fälle, 
z.  B.  bei  der  Berechnung  der  speziellen  Störungen,  vortheilhaft  erscheint,  eine 
andere  Einheit  für  T,  so  wäre  auch  für  k  ein  geänderter  Werth  zu  setzen.  Sei 
als  Einheit  der  Zeit  w  mittlere  Sonnentage,  so  wird  in  dieser  Einheit  Tx  —  Tiw 
folglich  kx  =  (wk). 

Führt  man  in  den  Ausdruck  für  r  die  wahre  Anomalie  v  und  den  Parameter 
p,  oder  die  kleinste  Distanz  (Distanz  im  Pericentrum,  Periheldistanz)  q  ein, 
so  wird ' 

«(1  -<')=/>;       a{\-c)  =  q\       p  =  q{\+t)  (11) 

"  0  ~  <»)  .  _  9  0  +  0   =  P 
1  h-  e  cos  v      \  +  ecosv       1  -h  ecosv 

und  damit  der  Ausdruck  für  die  Zeit  aus  (9): 


(12) 


q\  (1  +e)\      "  (\  +  <cosv)*' 
wo  Kürze  halber  kQ  =  k  Y Af  ~h  m  gesetzt  wurde.    Es  ist  also 

k0  =  kYJT-}/l  +  ~.  (13) 

Für  die  Bewegung  von  Körpern,  z.  B.  der  Satelliten  um  die  Hauptplaneten 
wird  hiernach  die  Constante  &Q  verschieden  sein,  und  zwar  ist  nach  (13)  für 


')  Theoria  motuum  planetarum  et  cometarum.    Berolini  1744,  pag.  3. 

*)  Insigniores  orbitae  cometarum  propritates.    Augustae  vindelicorum   1761.  §  73.  E« 

ist  also  ix  =  $A(IC(000)*;  *,  =  ^  ohne  Rücksicht  auf  die  Erdmasse  und  die  geänderten 

Werthe  des  siderischen  Jahres. 


igmzeo  Dy 


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Mechanik  des  Himmel*.  12.  3°3 

* 

irgend  einen  Planeten,  wenn  man  als  Einheit  der  Zeit  den  mittleren  Sonnentag, 
als  Einheit  der  Entfernung  die  mittlere  Entfernung  der  Erde  von  der  Sonne  wählt: 

wobei  m  die  Masse  des  Planeten  in  Einheiten  der  Sonnenmasse  ist,  wenn  *©  =  k 
die  Gxuss'sche  Constante  (für  die  Sonnenmasse  =  1)  bedeutet.  Dabei  ist  jedoch 
die  Masse  des  angezogenen  Himmelskörpers  vernachlässigt,  und  handelt  es  sich 
um  die  Untersuchung  der  Bewegung  einer  grösseren  Masse,  so  ist  zu  setzen 

wenn  |jl  die  Masse  des  angezogenen  Körpers  in  Einheiten  der  Planetenmasse  ist. 

Wählt  man  als  Einheiten  die  Secunde  und  den  Aequatorealhalbmesser  des 
Planeten,  so  wird:1) 

 k  , 

**       (««p)*-24  60.60 
wobei  p  der  scheinbare  Halbmesser  des  Planeten  in  der  Entfernung  1  ist  (also 
für  die  Erde  die  mittlere  Aequatorealhorizontalparallaxe  der  Sonne).   Der  Werth 
von  kt  in  Secunden  ausgedrückt,  also 

i»  

**  arcl" 

ist,  wie  aüs  Formel  (10)  folgt  die  mittlere  tägliche  Bewegung  eines  in  der  Ent- 
fernung 1  befindlichen  Massenpunktes  von  verschwindender  Masse,  um  den 
Planeten,  und  ebenso  ist 

,(o) 

L  (0)l>  _  KP 

*'  "arcl" 

die  mittlere  Geschwindigkeit  in  einer  Secunde  eines  an  der  Oberfläche  des 
Planeten  um  diesen  kreisenden  Massenpunktes. 

ist  aber  weiter  die  Attraction  des  Körpers  von  der  Masse  Af  auf  die 
Masseneinheit  in  der  Entfernung  gleich  dem  Halbmesser  des  Planeten,  also  die 
Beschleunigung  der  Schwere  auf  diesem  Planeten  in  Einheiten  des  Planetenhalb- 
messers; multiplicirt  man  daher  k^1  mit  dem  Werthe  des  Planetenhalbmessers 
in  Metern,  so  erhält  man  den  Werth  g  die  Beschleunigung  der  Schwere  in  Metern. 
Hiernach  wird  die  folgende  Zusammenstellung  leicht  verständlich  sein. 


Durchmesser 
Masse  *)    schei  nbarerj  wahrer 
i.  d.  Entf.  l|  in  km 

|  logkf 

%v 

log  k^" 

i 

in 
Metern 

r 

in  Einhei- 
ten d.Erd- 
schwere 

Merkur 

Venus 

Erde 

Mars 

JupiteT  3) 

Satum 

Uranus 

Neptun 

Sonne 

1 : 53 10000 
1 :4 10000 
1:830000 
1:3100000 
1:1047-609 
1 :3501-6 
l :22600 
1:19500 
l 

6"  455  4670 
17  190  12437 
17-680  12755 
9-780  7089 
19600  141800 
164-80  119280 
72-68  52582 
83  14  60150 
1919-3  1388600 

4-  8730842 

5-  4291895 

5-  4768245 
4-9899006 
67254818 

6-  4634482 
6-0585272 
6  0905641 
8  2355814 

—  10 

0- 1874593 
0-7436146 

0-  7907496 
0  3048257 
2-0899069 

1-  7778738 
1-8729523 
1-4049892 
8-5500066 

7- 144859 
7KJ62044 
7-093615 
6-994400 
6773767 
6-624681 
6-753073 
6-697518 
6-797535 
-  10 

2-459284 
2-377870 
2-408041 
2-808825 
2088192 

1-  939106 

2-  067498 
2011943 
2111961 

4-550 

8-  310 

9-  815 
3-480 

25015 
10-586 
8-433 
7-469 
273-281 

0-464 
0847 
1000 
0349 
2-549 
1079 
0-859 
0-761 
27-844 

')  Vergl.  auch  den  Artikel  »Kometen  und  Meteore«,  II.  Bd.,  pag.  148. 
*)  lieber  diese  Annahmen  vergl.  den  Artikel  »Planeten«. 

»)  Mit  der  Masse       }  __n  ,   welche  hier  bei  den  schon  vor  einigen  Jahren  gerechneten 
I047-o7y 

Beispielen  angewendet  wurde,  ist  k>gk  —  6  72 '»426— 10. 


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Mechanik  des  Himmels.  Vi.  13. 


Die  Gleichung  für  dt  giebt,  integrirt: 


?*(!-+- 0* 

wenn  der  Zeit  /  =  T0  die  wahre  Anomalie  v  =  0  entspricht,  d.  h.  wenn  T0 
die  Zeit  des  Durchganges  des  Himmelskörpers  durch  das  Pericentrum  (Zeit  des 
Pericentrums)  ist.  Führt  man  zur  Integration  an  Stelle  von  v  eine  neue  Variable 
t  ein,  definirt  durch  die  Gleichung 

x  =  tang\v,  (14) 

so  geht  die  Gleichung  über  in 


oder  wenn 
gesetzt  wird 


f  o 

1  —  <r 

*o/T+-,  (/  -  7*.)       /      </t  /  T»^T 

2*1  ~~ /0+«»)»  +/(H-eT»)>' 


(15) 


(16) 


13.  Die  Bewegung  in  der  Parabel.    Für  diese  ist  e  =  1,  t  ■=  0,  daher 

/2^i      =  **ng\v  +  \tang*\v.  (1) 

wo  die  Integrationsconstante  T0  verschwindet,  wenn  die  Zeit  vom  Durchgange 
der  Himmelskörper  (Kometen)  durch  das  Perihel  (r  =  0)  gezählt  wird;  dann  wird: 

~  =  M  -  &  H-  i  ^  ÄV»  |»  (2) 

Zu  einem  gegebenen  Werthe  von  /  würde  sich  der  zugehörige  Werth  von 
tang\v  durch  eine  Gleichung  dritten  Grades  ergeben,  die  Auflösung  dieser  Gleichung 
wird  durch  Hilfstafeln  ersetzt,  welche  zuerst  von  Halley1)  gegeben,  und  später 
in  grösserer  Ausdehnung  und  etwas  geänderter  Form  als  BxRKER'sche  Tafel 
eingeführt  wurden.  Der  Werth  von  M  ist  für  eine  gegebene  Parabel  (gegebene 
Werthe  von  q  und  T0)  und  eine  gegebene  Zeit  /  leicht  zu  bestimmen. 

Diese  Tafel  gilt  zunächst  nur  für  einen  gegebenen  Werth  von  k,  also  für 
die  Bewegung  der  Himmelskörper  um  die  Sonne;  will  man  dieselbe  auch  für 
einen  Planeten  anwenden,  so  hat  man  zunächst  zu  beobachten,  dass  für  diesen 

q\  =  M  =  ^  tanS±V  +  *  V  ***** 
ist.    Multiplicirt  man  diese  Gleichung  mit  -~  =  Ym,  wobei  m  die  Masse  des 

attrahirenden  Planeten,  um  welchen  die  Bewegung  untersucht  wird,  ist  (vergl.  12), 
so  folgt 

M  im  =  ^  fang  \  v  +  \  ^  tang*  \  v, 

woraus  man  sieht,  dass  man  die  BARKERsche  Tafel  (für  die  Bewegung  um  die 
Sonne)  benutzen  kann,  wenn  man  mit  dem  Argumente  M|/<w  in  dieselbe  eingeht. 


')  Phil,  transact.  No.  293.  Eine  Tafel,  welche  mit  dem  Argumente  v  von  10"  zu  10" 
nach  Formel  (2)  sofort  M  bezw.  hg  M  giebt,  findet  sich  in  v.  OPPOI-ZER,  »Lehrbuch  zur  Bahn- 
bestimmung von  Planeten  und  Kometen«.  I.  Theil,  2.  Aufl.,  sowie  in  wenig«  ausgedehnter  Gestalt 
auch  am  Schlüsse  dieses  Werkes.   Für  Kometen  kann  dabei  *0  «=  k  (m  =  U)  angenommen  werden. 


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Mechanik  des  Himmels.  13.  3«S 

Für  grosse  Werthe  der  wahren  Anomalie  wird  die  Interpolation  aus  der 
Tafel  unbequem,  da  sehr  kleine  Aenderungen  in  v  sehr  grossen  Zwischenzeiten 
entsprechen  und  überdiess  auch  höhere  Differenzen  berücksichtigt  werden 
müssten.  In  diesem  Falle  wird  es  besser,  das  folgende  Verfahren  einzu- 
schlagen *).  Da 

2fl 

tang  |  v     cotang  \  v 

ist,  so  wird 

Es  ist  aber 


sin  v 


g 

\  tang*  \  v{\  +  cotang*  \  v)*      ^  sin>  v 


Ist  die  Anomalie  r  nahe  180°,  so  wird  cotang^v  eine  sehr  kleine  Grösse, 
und  es  unterscheidet  sich  daher  der  letztere  Ausdruck  von  dem  ersteren  nur  um 
sehr  kleine  Grössen  der  zweiten  Potenz  von  cotang*  \v.    Setzt  man  daher 

*o('-  T9)  8  2/2?  ... 

.      =  o  .  —        oder       stn  w  =  y-— ^i^-  -^=r-. ,  (3) 
/2  q\         3  stn*  w  V^C^-  ^o) 

so  wird 

sin  v  =  b  sin  w  (4) 

gesetzt  werden  können,  wo  b  sich  von  der  Einheit  nur  um  Grössen  von  der 
Ordnung  cotang*  \  v  unterscheidet    Es  ist,  wenn 

x  =  cotang*  4  v  (5) 

gesetzt  wird, 

Ist  f  gegeben,  so  rechnet  man  x  nach  (5),  b  nach  (6),  w  nach  (4)  und  / 
aus  (3).  Man  wird  jedoch  den  zu  einem  gegebenen  Werthe  von  v  gehörigen 
Werth  von  b  zu  dem  hieraus  folgenden  Werthe  von  w  gehörig  ansehen,  und 
daher  mit  dem  Argumente  tt  tabuliren  können,  wo  darin  die  Formeln  (3)  und 
(4)  unmittelbar  den  zu  einem  gegebenen  Werthe  von  /  gehörigen  Werth  von  v 
finden  lassen.  Die  Berechnung  von  /  bei  gegebenem  v  kann  unmittelbar  aus 
(1)  oder  ebenfalls  mit  Benützung  der  Hüfstafel  für  b  aus  (3)  und  (4)  mittels 
einer  kleinen  indirekten  Rechnung  gefunden  werden. 

Die  Gleichung  für  sinw  kann  geschrieben  werden: 

VI 

sinw  =  c  tt-— — ,  (3a) 

wobei 

2/2 

Man  hat  mit  den  Werthen  des  §  12  (pag.  303)  für  die  Bewegung  um 

die  Sonne  Zog  c  =  0-7803007 
Mercur  19011498 
Venus  1-7157647 
Erde  1-7000530 
Mars  1-8621943 


•)  S.  v.  Oppolzbr,  »Monatsberichte  der  königl.  preuss.  Akademie  der  Wissenschaften«,  1SS0, 
pag.  511. 


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306  Mechanik  de»  Himmels.  14. 

Jupiter»)  logc  =  1-2836673 

Saturn  13710118 

Uranus  1 -5059855 

Neptun  1-4953065 

14.  Bewegung  in  der  Ellipse  und  Hyperbel.  Für  Ellipsen  massiger 
Excentricitäten  (e  sehr  klein,  «  nahe  1)  erhält  man  durch  direkte  Integration  voa 
12.  16: 

*0(1  —  e)yi~+~e  2tx  2         .      .    y- .  , 
 ~q\-  ('  -To)=-  Y^T^i  +       *rc  tang  (1 

wobei  die  Constante  T0  gleich  Null  zu  setzen  ist,  wenn  die  Zeit  vom  Durch- 
gänge durch  das  Pericentrum  gezählt  wird.    Setzt  man 


TyT«  fang  =  fang  \  E 


(2; 

und  berücksichtigt  die  Beziehungen  12.  11,  so  reducirt  sich  die  Gleichung  (l) 
auf 

oder  wenn  man 

^  =  K       -*T0  =  M0  (3) 

setzt,  auf 

M=M0-h  E  —  e  sin  E  =  M.  (i 

M0  ist  der  Werth  von  M  für  die  Zeit  /  =  0,  ji.  die  Veränderung  von  M  rar 
einen  mittleren  Sonnentag,  die  mittlere  tägliche  siderische  Bewegung. 
M  die  mittlere  und  E  die  excentrische  Anomalie  (vergl.  I.  Bd.  pag.  91)- 
Führt  man  statt  der  Excentricität  e  den  Excentricitätswinkel  ?  ein,  bestimmt  durcb 
die  Gleichung 

t  —  Mftf  (5) 

so  wird 

tang  ^  v  =  /a«^  (45°  -+-  *  <p)  /<m^  |  E.  (6; 
Die  Gleichungen  (3),  (4),  (5),  (6)  und 

«0  -  <•) 

bestimmen  den  Ort  des  Himmelskörpers  in  seiner  Bahn.  Aus  diesen  Gleichungen 
leitet  man  noch  auf  elementare  Weise  die  folgenden  ab9) 

}/V  cos\v  =  Ya  ( 1  —  e)  cos  ±E  rcosv  =  a  {cos  E  —  e) 

Yrsin\v  =  Ya  (1  H-  <r)  */»  ^  £  r««i>  =  acos^sinE 

r  =  a(l  —  ccos  E).  (10) 

Aus  (4)  und  (6)  folgt  ferner  noch  die  häufig  verwandte  Beziehung 

dv      k^P  m. 


1 

l)  Mit  der  bei  dem  folgenden  Beispiel  angewandten  Jupitennasse  ^q.^  >»*  ^Sc=  1 -28368$ 

a)  Substituirt  man  in  (7)  Air  v  die  Variable  T,  so  erhält  man  die  erste  Gleichung  (8). 
multiplicirt  man  diese  mit  (6),  so  folgt  die  zweite  Gleichung  (8);  quadrirt  und  addirt  man 
die  Gleichungen  (8),  so  ergiebt  sich  (10);  quadrirt  und  subtrahirt  man  (8),  so  folgt  die  erste 
Gleichung  (9);  multiplicirt  man  die  beiden  Gleichungen  (8),  so  erhalt  man  die 
Gleichung  (9). 


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Mechanik  des  Himmels.  14.  15. 


Die  Schwierigkeit  in  der  Berechnung  der  Planetenorte  liegt  in  der  Lösung 
der  Gleichung  (4):  aus  der  mittleren  Anomalie  die  excentrische  zu  bestimmen. 
Ist  Ex  ein  genäherter  Werth  von  E  und  der  daraus  folgende  Werth  von 
Afx  =  Ex  +  esinEx,  so  wird  sich  die  Correction  E  —  Ex  =  &E  aus  der 
Differenz  M—  Mx  =  &M  leicht  finden  lassen;  denn  wenn  die  Bewegungen 
genügend  klein  sind  (als  differentiell  angesehen  werden  können),  so  wird 

&M=1£{1  -ecosE)     folglich     A£=>  \ -f(0S  E 

sein.  Bei  Ephemeridenrechnungen  wird  man  einen  genäherten  Werth  von  Ex, 
wenn  auch  nicht  für  den  ersten  zu  bestimmenden  Ort,  so  doch  für  die  folgenden 
leicht  aus  dem  Gange  der  Werthe  entnehmen.  Man  kann  übrigens  die  Differenz 
£  —  M=  x  leicht  auf  folgende  Weise  ermitteln;  es  ist 

x  =  e  sin  (M  -+■  x)  =  e  sin  M  cos  x  -+■  e  cos  M sin  x 
=  c  sin  M[\  —  ±x*  +  fax*  —....]  4-  c  cos  M[x  —  {x*  +  T^  xi  .  .  .  .  ] 
oder  wenn  das  Glied  x  ■  t  cos  Af  nich  links  gebracht  wird: 

C  S  l  ft  \f 

*  =  TTTTolM [1  ~  ***  ~  \cotanSM'  +  JnCotangMx*  ....]. 

Setzt  man 

c  sin  Äf 

so  wird 

tangy  =  i)  +  J  tjs  H-  f  tj6  4-  ^  V  .  .  .  . 
Durch  Umkehrung  der  Reihe  findet  man  dann1) 
x  =  t)  —  \  cotang Mtf  -+-  fa*  +  ^  cotangMrf  .  .  .  . ;    E  =  M-+-x.  (13) 

Für  die  Bewegung  in  der  Hyperbel  hat  man  in  12.  16:  e  negativ  zu  setzen; 
schreibt  man  dann  *  =  —  tj  und  führt  die  Integration  aus,  so  erhält  man 

*o('-rjyTT7fr-- 1)  _      2.x  i  L+jj/tT 


oder 


Setzt  man 

also 


(15) 


t}fil  =  tang\F 

tang^v^tang^F^'j^  (14) 
und  zählt  die  Zeit  vom  Perihel  (T0  —  0),  so  wird 

Beispiel:  Es  sei  für  die  Bewegung  um  den  Jupiter: 

log  a  =  8  93OOOO0M|;    log  e  —  0  0046 135  ;    v  =  169°  6'  59"  39, 

so  wird: 

^  =  74°  50'  3"22;     %  — =  0-233568;    /  =  80-0096'*. 

( —  a)4 

15.  Elliptische  Bahnen.  Entwickelungen  nach  der  mittleren 
Anomalie.  Für  das  Folgende  wird  es  nöthig,  statt  der  Bestimmung  der  zu 
gegebenen  Specialwerthen  von  M  gehörigen  speciellen  Werthe  von  E  einen  allge- 

0  Die  von  Enckb  vorgeschlagene  Einführung  der  Grösse  i)  bewirkt  das  Wegfallen  der 
Glieder  zweiter  und  dritter  Ordnung. 

ao* 

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3°8  Mechanik  des  Himmels.  15. 

meinen  Ausdruck  E=*f(M)  zu  finden,  und  ebenso  gewisse  Functionen  des 
Radiusvectors  und  der  wahren  Anomalie  direkt  durch  die  mittlere  Anomalie 
auszudrücken.    Sei  zunächst: 

sinmE  =  ij^Spsm  xM\        cosmE- fö^cos  tM.  (1) 

—  O«  — 

Nach  der  Lehre  von  den  FouRiER'schen  Reihen  ist 

=  \jsinmE  sin  i  MdM      (<m)  =  \fi *s  mEcost  MdM.  (2) 
o  o 
Für  t  =  0  erhält  man  sofort  durch  die  Substitution  von  dM=(l  —  ecosE)dK 
und  Ausführung  der  Integration: 

•S0(0)  =  0;  -0;       Cf)  =2;      C<«--#;  (3) 

und  S<m)  =  0;   Cj^  *=  0  (für  alle  m  mit  Ausnahme  von  m  =  0  und  1). 
Für  beliebige  i  folgt  durch  partielle  Integration 

c(~)_2/r     (oskM  .       "]"     m  C       mM  \     2m  f 

*\        n\\  ; —  s*nmE\  4-  -  /  cos  i  Af  cos  m  EdE\  =  —  J  cos  tM  cos  mEdE 

* 

2m  C 

=  kT  Uos\(E  —  e  sin  E)  cos  mEdE 
SM  =  ^Jcos  [(l  +  m)E-ct  sin  £]d£  +  ™f  os  [(t  -  m)E  -  e  i  sin  E)dE 

0  « 


0 

und  ebenso 

IC 


^"rj/^  -  >")E  -  asin  E]dE  -  ™Jcos[(t  +  m)E  —  et  sin  E]dE. 

Bezeichnet  man  nach  Bessel 

it 

\jcos[\E-x  sin  E]  dE  =  /,\  (4) 

0 

so  wird,  ausgedrückt  durch  diese  BESSKL'schen  Functionen 

•s,'-1  =  7  [/.r-1 +  /.'.— '];    c<->=^[y,';--)-yr-1].  (5) 

Um  nun  rm+»cosmv  und  r>"+»sinmv  durch  £  auszudrücken,  wird  man  am 
kürzesten  folgendermaassen  verfahren.  Sei 

psinq  =  «sinQ  <angq=s  «si*Q 

(6)      oder  (6  a) 

/«v?  =  1  —  acosQ  p*  =  |  —  2acosQ  +  ot», 

so  erhält  man  durch  Einführung  der  Exponentiellen  mit  imaginären  Exponenten l), 
wenn  «  =  ]/—  1  ist: 

p(e+'t—  e-'9)  =  o(r»-'Q—  *-«Q)  pg+'f=  1  —  ««r-«Q 

H-         =  2  —  a(r»-'Q+  *-«Q)     oder  =  l  _  «r+'Q,  (7) 

folglich 


»)  Die  Einführung  von  <•  als  Basis  der  natürlichen  Logarithmen,  kann  tu  Irrungen  keinen 
Anlass  geben;  /  bedeutet  hier  ebenfalls,  wie  leicht  tu  sehen,  nicht  den  Parameter. 


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Mechanik  de«  Himmels.  IS.  309 
bfmp  +  if**-*t-i<l—  -±**e   8/Q_$a4,-4.Q_  .... 

bgnp  —  iq  =  —  ar^'Q  —  ia»r»-*'Q  -  |a»^s.Q_  ±<x*r"'Q  —  .  .  .  . 

daher  durch  Addition  und  Subtraction  dieser  beiden  Gleichungen: 

l°inP  =  —  *cosQ  —  i*Uos2Q  -  ±<x*cos3Q  —  ±**cos4Q  —  .  .  .  . 

q  =  -+-  usinQ  +  \a'sin2Q  4-  ±**sinSQ  +  \**si»4Q  -+-....  W 

Ferner  erhält  man  durch  Multiplication  der  Gleichungen  (7): 

=  (1  -  «*-'Q)(l  -  a*+'Q) 

p*  —  (1  —  a/-'Q)f  (1  —  arNQ)?. 

Entwickelt  man  hier  jeden  Faktor  nach  dem  binomischen  Lehrsatze,  bildet 
dann  die  Producte  der  beiden  Entwicklungen,  und  setzt 

so  wird 

=  tfjW  ■+-  2tf cos  Q  +  8tf.ro  «u  2  (?  +  2tf.ro  au  3  £  +  •  •  •  (10) 
Für  gerade  n  wird  es  etwas  bequemer 

ptn  =  Zro  -+-  2Z„(1)      £  -+-  2Z  «  tos2Q  +  2Z  w(8)  w8Ö+...  (10a) 
zu  setzen,  wobei  Z„(,>  —  tf3(2 ,  daher 

-  12  3  .  .  .  t         a ,  +  r   L2.3  .  .  .  (1+  1)" 

L~2  LS  (H-2)       «1+4  +  •  •  ■ 

ist  Quadrirt  man  die  Gleichungen  (7)  und  multiplicirt  die  aus  der  ersten  ent- 
stehende mit  r+'Q,  die  aus  der  zweiten  entstehende  mit  so  erhält  man: 

^-2,v-.Q  =  ,  -,Q  _  2a  +  a»r»-'Q  «=  fW'Q-  ar+*'Q)». 

Erhebt  man  diese  Gleichungen  zur  «iten  Potenz,  und  fügt  der  grösseren 
Symmetrie  wegen  zum  ersten  Ausdruck  in  der  Klammer  einen  Faktor  ß  hinzu, 
der  schliesslich  gleich  1  gesetzt  wird,  so  folgt: 

p2me  - (2 ,+o> .•     (ß e  \ ' Q  —  ar*-*'Q)* m. 

Aus  dem  ersten  Ausdrucke  folgt  durch  Entwicklung  der  2«ten  Potenz 
(die  Entwickelung  des  zweiten  Ausdruckes  folgt  einfach  durch  Vertauschung  von 
<x  und  ß): 

pl-t+Vl+tymi^  pm^.Q-  *  ß2~  +  [2™  J  g(m  -2>Q  _  

+  (-1)~(2*)«~?"M-  ....     -  (2j  )  tf— iß*-<--l>Q  + 


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3io  Mechanik  des  Himmels.  15. 

Die  additive  und  subtractive  Verbindung  dieser  Gleichung  mit  der  Ent- 
wicklung der  zweiten  Gleichung  (11)  giebt: 

p°>cosmQq  4-  Q)  =  (1  4-  a?>")cos  mQ  —  pJ*J  ct(l  4-  a«~-»)  cos  (m  —  \)Q 
+  ^f)**Q+*m-*)™i"-*)Q+'  .  .  .  4- (_  1)^-1^^-1(1  +  ^yosQ 

jßsin  m(2g  4-  Q)  =  (1  -  tfi«)sinmQ  -  (2*)  a(l  -  a*~-2)  „„  (/»-!)£ 

4'(22,ja,(1_a2""4)w/,(w~2)ÖH"  •  •  •• +(-i>^1(w2!!i)«"-i(i-«,>«»e. 

Schreibt  man  ^2*  in  der  Form: 

.  .  .  .  4-  Zj4)rH.Q4-  Z^r^/Q Z„(8V»-2.Q  +  Z,(1WQ+  Z„(0) 
4-  Zw(-lWQ  4-  Zj-^-fQ  4-  Z^-S'Q  4-  .  .  . , 

wobei  also 

z«  =  z<-° 

ist,  und  multiplicirt  mit  (Ha),  so  folgt 

^2(w»-f«o^-H2 ?+Q)w» i  =  .  .  .  jyj»  rrt/Q  4-  N<*le+**d  4-  A^irWQ 
4-  4-  Aj->WQ  4-  <-^-i'Q  4-  .  .  . 

+  <i  +  Aj"«rKg  +  A£?r"'Q  4-  .  .  . 

wobei 

<t  =  2C-l>(2xW)a«Zi— -H).  (13) 

Durch  Addition  und  Subtraction  der  letzten  beiden  Gleichungen  erhält  man 
endlich : 

Aus  der  Gleichung  14.  6  folgt  nun,  wenn  für  einen  Augenblick  tang(45°+ ±<?) 
—  n  gesetzt  wird: 

S*KV        }      X+tang^vtang^-  X+n/ang^E 
=  {n  —  X)sin\Ecos\ E  ^  («  —  1)  sin  E  a  sin  E 

cos'*  J£  +  n  sin3  \E      V-+-  cosE  4-  «(1  —  cos£)  ~~  l  —  acosE ' 

»-1      Aj^(45°4- ^9)-  1  ,  . 

wenn  a  =  ^—  =  — JJZ—^  =  fang  \  9  ist.   Weiter  folgt  aus  14.  10: 

a((,s*  }i9  =  1  +'anf*h9-2to»£h9«>s£=  1  -  2acosE+<i*. 
Setzt  man  daher  in  den  Gleichungen  (6)  oder  (6  a) 

.  .     .  .         ~  *  =  tangl9,  (15) 

so  ergiebt  sich  sofort  : 


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Mechanik  des  Himmels.  15.  311 

\{v—E)  =  «  sinE  -f-  \  a»  sm  2£  -+-  *  a«  rm       4-  .  .  . 

logHr*=  hgniacos*  2  +        <w  2.E -+-  i  a>  cos$E  +  .  .  .]  (16) 

r*  =fl-^-^[Zj0)     IL^cosE  +  2L®fos2E  +  2Z„(")<w3J£-+-. . .] 

r~  cos  mv  =  er*  cosim\  <p[(l  -f-  o,m)  <w  — 

-  Pj")  «(1  +  012—2)  *w («  -  1)  £  4-  +  ( —  l)m  (2J)  a-] 

rw>««*t>[(i  —  <t*~)sinmE  —  <17) 

-(*  I")  «(1  -  #—*)sm{m  -  1)£  +  . . .  H-(-  1)— «"-Kl  - 


cosmv  =        ,««~HO  *  ?  +  + A*"1*)  cos  E  + 

+  (AÄ+Ai-?)«rW+  .  .  .] 
r~M  ,/„      =         ,#j»C«+.>  i  <p  [{N^m  -  N^)  sin  E  +  K  ' 

h~  (^-?L-<-V'*«2i?  +  . . .]. 

Hier  ist  noch  die  excentrische  Anomalie  durch  die  mittlere  Anomalie  zu 
ersetzen;  zu  diesem  Zwecke  müssen  die  BESSEL'schen  Functionen  entwickelt 
werden.    Schreibt  man 

/,*  =  ~  j[cos  XEcos  (x  sinE)  -+-  sin  XEsin  (x  sin E)  JE, 

entwickelt  hier  cos  (x  sinE),  sin  (x  sinE)  in  Reihen,  ersetzt  die  Potenzen  von 
sinE  durch  die  Sinus  und  Cosinus  der  Vielfachen  von  £  und  integrirt1),  so  wird 

ß  _  6)  r. _ _i_ (*y.  j  («y _   1  (19) 

y*         XI    L       X-+-1  \2j  +  1  -2(X-h  l)(XH-2)  V2J 

Da  nun  in  den  Formeln  (5)  für  x  der  Werth  u  zu  setzen  ist,  so  werden 
SSm>  und  CS»)  als  Reihen  erhalten,  die  nach  Potenzen  von  e  fortschreiten.  Für 
die  einfachsten  Functionen  r,  v,  cos  v,  sin  v,  r  cos  v,  r  sin  v,  cos  v :  r9,  sin  v  :  r9, 
in  denen  die  Coefficienten  der  Sinus  und  Cosinus  der  excentrischen  Anomalie 
einfache  Functionen  von  e  sind,  wird  die  Substitution  der  Sxm,  Ctm  einfach  durch- 
geführt  werden  können;  man  erhält  die  in  37  angegebenen  Reihen.  Wegen 
der  Entwickelung  von  rm+*  cosmv  und  rm+*  sin  mv  wird  es  jedoch  besser  auch 
in       die  Grösse  a  =  tang\^  einzuführen*).    Für  x  =  it  wird 

x  at 
8"l  +  a>' 

Setzt  man  diesen  Werth  in  den  Ausdruck  für  Jx  ein  und  ordnet  nach 
Potenzen  von  a,  so  erhält  man 


jl  =  "ir  [i  -     *)i  **  +  0.  *)»  «4  -  («.  *)s  «*  +  ]  (20) 


Ueber  die  Ausführung  der  Rechnung  siehe  t.  B.  Bessel.  Ges.  Werke,  1  Band,  pag.  18. 
Ueber  eine  Kettenbruchentwickelung  für  dieselben  Functionen  siehe  ebenda,  I.  Bd.,  pag.  96. 

•)  Dabei  muss  jedoch  bemerkt  werden,  dass  die  Reihen  schwächer  convergiren;  a  ist  die 
ron  Hansen  in  seiner  »Entwickelung  des  Produktes  einer  Potenz  des  Radiusvectors  mit  dem  sin 
oder  cos  eines  Vielfachen  der  wahren  Anomalie«  (Abhandl.  der  königl.  sächs.  GeseUschah  der 
Wissenschaften,  Bd.  IV,  pag.  183)  mit  ß  bezeichnete  Grösse.  Vergl.  besonders  pag.  241  und 
für  die  Coefficienten  (tX)*,  pag.  257. 


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312  Mechanik  des  Himmels.  15.  16. 

wobei 

rXH"^     A     z\      <8  fx  +  3\  xl  

Cw  ^*      V    2    /V    1    /l-a+0+V   0  />-2(X+l)(X-f-2) 

A  -t-  2\      h  +  3\  _  i«  A     4\  t« 

0»*)i-^    3    J  +  ^    2    J  I  .(X~i-  1)  +  V    1    /  1  -2(X-+-  l)(X-»-2) 

+  \    0    J  1-2  -3(X-h  l)  (X  +  2)(X  +  3)  <-21) 
(k  +  3\      (X  "*~  4\        l$  (X  +  5\  '*  

(t,Aj4-"V  4  )~*-\  3  yi-(x-hi)+V  2  j  i". a (x  +  i) (x  + *) 

A  +  6\   t«  

V    1    )  1  •  2  •  3  (X  H-  1)  (X  -+-  2)  (X  -+-  3) 

^  ^    0    ;  1  -  2.  3*4(X 


l)(X  +  2)  (X -4- 8)  (X  +  4)  " 


16.  Nahe  parabolische  Bahnen.  Für  diesen  Fall  wird  es  am  vottheil- 
haftesten,  in  der  Gleichung  12.  16  vor  der  Integration  nach  den  Potenzen  der 
kleinen  Grösse  t  zu  entwickeln.  Ist  e  positiv,  so  wird  die  Bahn  eine  Ellipse; 
negative  e  gelten  für  eine  hyperbolische  Bahn.    Man  erhält: 


^t^i(/-r,)-T  +  iT«-2taT»  +  iT»)H-8t»(iti  +*t')-...  (1) 

Um  aus  dieser  Gleichung  den  Werth  von  t  für  eine  gewisse  Zeit  zu  be- 
stimmen l),  sei,  wenn  die  Zeit  vom  Periheldurchgang  gezählt,  also  T0  ==  0  an- 
genommen wird:   

V 1  •+-  e  Vi 

oder 

M/- + *(/*)»];  (3) 

dann  wird  man  fx  mit  dem  Werthe  M  f  aus  der  Barker' sehen  Tafel  entnehmen 
können,  wenn  /  bekannt  ist.  /  bleibt  aber  vorerst  willkürlich,  und  es  ist  ge- 
stattet, noch  eine  Bedingung  dafür  anzunehmen,    v.  Oppolzer  nimmt  an,  dass 
/  so  gewählt  werde,  dass  sich  t  durch  x  mit  Hilfe  der  Gleichung 

i  =  x\\  -¥  Axtx%  +  A%i%  x*  +  A%%*  x*      .  .  .  .]  (4) 

finden  lasse,  wobei  die  Av  A9  .  .  .  von  der  nullten  Ordnung  der  Excen- 
tricität  seien*).    Nun  muss 


»)  Von  den  verschiedenen,  von  Bessri.,  Brünnow,  Gauss  und  v.  Oppolzrr  vorgeschlagenen 
Methoden  genügt  es  die  letztere  anzuführen. 

*)  Diese  Bedingung,  denen  die  A  unterworfen  werden  sollen,  drückt  v.  Oppolzer  nicht 
explicite  aus,  s.  sein  »Lehrbuch  cur  Bahnbestimmung«,  I.  Thcil,  II.  Aufl.,  pag.  66;  sie  liegt 
aber  in  den  darauffolgenden  Gleichungen  (6),  pag.  67.  Radau,  Bullet,  astr.,  Nov.  1885  ersetzt 
dies:?  Bedingung  durch  eine  andere,  welche  die  Ableitung  scheinbar  vereinfacht.  Unter  der 
Annahme,  dass  t  eine  gante  Function  von  x  sei,  müssen  in  dem  Ausdrucke 

<"+«•>■  _ 

1  (f*)3  und  1  +  t9  gleichzeitig  verschwindem  daher  T  und  fx  gleichzeitig  ]/  —  1  werden. 
Für  diesen  Fall  erhält  allerdings  /  den  Werth,  den  die  v.  OppoLZKRsche  Lösung  fordert,  aber 


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Mrchanfk  des  Himmels.  16.  313 

*-M/»*»  =  t  +  Jt»  -  2eCit> -I-|t»)  +  .  .  .  (5) 

3ein.  Substituirt  man  hier  für  t  die  Reihe  (4),  so  erhält  man  zur  Bestimmung 
der  Coeffkienten  A  die  Gleichungen: 

/»-l+2e  =  3e^ 

2  —  3  t  =  5  «4,  H-  5(1  -  2  t)Ax 

3  —  4  c  =  7  t>48  -f  7  (I  —  2  «)  (At  -f-  ^  »)  -  7  (2  -  3  «)  Ax  (6) 

4  -  5  e  =  9  e^4  H-  9  (1  —  2  t)  (A,  +  2^4,  At  +  \  A*) 

-  9  (2  —  3 1)  {A%  •+  2  A*)  +  9  (3  -  4  1) 


Sei  /*  =  1  t^,  so  folgt  aus  der  ersten  Gleichung  Ax  =  J<p  4-  |;  dieses 
in  die  zweite  Gleichung  substituirt,  giebt  als  Bedingung  dafür,  dass  eine 
ganze  Function  von  t  sei,  wenn       der  constante  Theil  von  9  ist: 

Die  Weitläufigkeit  der  hierbei  auftretenden  Operationen  umging  v.  Oppolzer 
dadurch,  dass  er  die  Functionen  A  und  9  in  der  Form 

«1  +  «,  i  +  «j  i*  +  .  .  .  . 

annahm,  und  in  die  Gleichungen  (6)  substituirte.    Es  folgt: 

^  1  —  5  —  ITC  *  ~  7«75  1    •  •  •  • 

^»  ~~  173  7873  *  '  '  '  •  \l) 
^1        ?875  '  •  •  • 


•      •      •  • 


und  nach  Radau: 

^       1       2         3    j      4  « 

3/=  F»      F3*  ~*~  5^7  *  +  r»  1   •  •  •  (8) 
Für  die  praktische  Anwendung  wird  dann  gesetzt 

wo  die  Coefficienten  der  Reihe  G  die  Anfangsglieder  A%b),  AJ°),  At(°)  .  .  .  . 
der  Reihen  (7)  bilden,  dann  wird,  wie  sich  leicht  ergiebt 

t  =  xGH,  (11) 


wobei 

Ä=  1      1  [(A,  -  A9M  E*)  «»  x*  -+-  (^,  -  ^,(0)  £*)  «>*«-+-....] 

= 1  —  ^[(üök  +  dälb«  ■+■  ••)**  +  (Mm  ■+■•••)*•*'  ~*~  •••]  • 


(12) 


Tabulirt  sind:  /,  £  mit  dem  Argument  c,  G  mit  dem  Argument  n,  und 
als  kleine  Ergänzungstafel  mit  doppeltem  Eingange  mit  den  Argumenten  c  und 


die  Identität  der  Bedingungen  ist  nicht  a  priori  ersichtlich.  Dieses  wird  offenbar,  wenn  man 
einen  anderen  Werth  von  /  betrachtet,  der  den  Charakter  der  Function  x  nicht  ändert,  aber 
die  gestellte  Bedingung  nicht  erfüllt.  Angenommen,  es  werde  f  so  bestimmt,  dass  in  (4) 
das  Glied  mit  Axt  verschwindet;  dann  wird  nach  der  ersten  Gleichung  (6//*  =  1  —  2t  iu 

2  8 

setzen  sein.  Dann  wird  At  =  0,  und  die  iweite  Gleichung  (6)  giebt  /f,  =  —  —  -  ,  folg- 
lich wUrde  sich  ergeben 

t«=  jr  [l  -f-  At'tx*  +  ...]. 


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314 


[Mechanik  de«  Himmels.  16.  I?. 


x.  Man  wird  dann  zunächst  mit  dem  Argumente  s  die  Werthe  von  f  und  E 
(Constanten  für  einen  Kometen)  entnehmen;  mit  dem  Werthe  von  M/"  aus  der 
BARKER'schen  Tafel  den  Werth  von  w,  dann  ist 

x  =  j  fang  \  w. 

Hiermit  wird  n  gerechnet,  G  und  H  aus  den  Tafeln  entnommen,  und  es 
ist  schliesslich 

tang\v  =  xGH. 

17.  Berechnung  der  Coordinaten  und  Geschwindigkeiten.  Die 
Grössen  r  und  v  bestimmen  den  Ort  des  Himmelskörpers  in  seiner  Bahn.  Um 
auf  eine  feste  Ebene  überzugehen,  sei  diese  die  A^y-Ebene  (Fig.  271),  während  die 
X'  y -Ebene  die  Bahnebene  vorstellt.  Dann  werden  ft,  »,  i  die  die  Bahnlage 
bestimmenden  Elemente  sein,  und  es  ist 

x'  =  r  cos  v,  y'  =  r  sin  v,    z'  =  0;     x  =  at  x'     ßt/    u.  s.  w., 

folglich 

x  =  r  [cos  ß  cos  (v  -f-  o>)  —  sin  ß  sin  (v      o»)  cos  <] 

y  =  r  [sin  ß  cos  (v  +  co)  -f-  cos  &  sin  (v  -+-  cd)  cos  i]  (I) 

*  =  r  sin  (v  -i-  tu)  */«  i. 

Setzt  man 

sin  a  sin  A  =  -+-  cos  &  f/»  *  imJ  =  -f-  sin  &  C  =  0 

*#» acosA  =  —  sin  &  cos  i         sin  b  cosB  =  H-  *<?f    *w <  sine  =  ««  / 

rox  tf  =  -h  */'«     i/*«  /  cos  b  =  —  cos  Sh  sin  i  cos  c  =  cos  i 

A'  =  A+  v>  (2) 

ff  =  B  +  to 

C  =  C  +  » 

so  wird1) 

x  =  r  sin  a  sin  (A'  ■+■  v) 

y  =  r  sin  b  sin  (B  -¥  v)  (3) 
z  =  r  sin  c  sin  (C  -+-  v). 

Für  den  Fall,  wo  die  Coordinate  z'  Uber  der  Bahnebene  nicht  verschwindet, 
was  z.  B.  in  der  gestörten  Bewegung  eintritt  (s.  z.  B.  §  29)  treten  noch  die 
Glieder  7,      ^iz',  7,«'  hinzu,  und  man  erhält: 

x  =  r  sin  a  sin  (A'      v)  ■+■  z'  cos  a 

y  —  r  sin  b  sin  (B'     v)  -+-  z'  cos  b  (3  a) 

z  =  r  sin  c  sin  {C  +  p)  +  «'  cos  c. 

Sind  die  Polarcoordinaten,  heliocentrische  Länge  und  Breite,  gegeben 
(Coordinaten  der  störenden  Planeten),  so  findet  man  hieraus  die  rechtwinkligen 
Coordinaten  nach: 

x  =  r  cos  I  cos  b,     y  =  r  sin  l  cos  b,     z  =  r  sin  b.  (4) 

Sind  die  Polarcoordinaten  /,  b  zu  bestimmen,  so  hat  man,  wenn  die  Jt-Axe 
in  die  Knotenlinie  gelegt  wird,  einerseits  in  (4)  /  —  an  Stelle  von  /  zu  setzen 
und  andererseits  in  den  Formeln  (3)  &  =  0,  z  s=  r  sin  ß  zu  setzen,  wenn  ß  die 
Breite  des  Himmelskörpers  über  seiner  Bahnebene  ist.  Da  ß  stets  sehr  klein  ist, 
so  kann  $arc  l"  für  s in  ß  gesetzt  werden,  und  man  erhält  die  heliocentrischen 
Coordinaten  /,  b,  bezogen  auf  eine  feste  Ebene  (Ekliptik,  Ebene  A  in  Fig.  272) 
aus  den  auf  die  Bahnebene  bezogenen  Coordinaten  v,  ß  durch: 


')  Ueber  die  Berechnung  der  Constanten  für  den  Aequator  s.  »Bahnbestimmung«,  I.  Band, 
pag.  471. 


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Mechanik  des  Himmels.  17. 


31$ 


cos  (/  —  &)  cos  b  =  cos  (v  -f-  o>) 

sin  (/  —  ß)  cos  b  =  sin  (v  -+•  u>)  cos  i  —  ß  arc  \"-  sin  i  (5) 
sin  b  =       (t>  -f-  o»)  sin  i  ■+-  ß  «r*  1"  /. 

Es  tritt  häufig  der  Fall  auf,  dass  man  die  Potarcoordinaten  Lx,  Bx  des  in 
der  Ebene  Bx    sich   bewegenden  Himmelskörpers  bezogen  auf  eine  andere 


(A.  272.) 


Fundamentalebene  B  (z.  B.  die  Coordinaten  des  störenden  Himmelskörpers,  be- 
zogen auf  die  Bahnebene  des  gestörten)  zu  beziehen  hat.  Man  hat  dann  zu- 
nächst aus  dem  sphärischen  Dreiecke,  dessen  eine  Seite  £&,  —  Q,  und  dessen 
anliegende  Winkel  i  und  180°  —  ix  sind,  die  beiden  anderen  Seiten  $  und  <S>t 
und  den  dritten  Winkel  J  zu  bestimmen,  wozu  die  Formeln  dienen: 

sin  \Jsin  ^(0  +  <!>,)  =  sin  \  (ftt  —  ft)  sin  $  (ix  -+-  i) 

sin  l  /cos  }  (<D  4-  <J>X)  =  w  *  (&,  -  ft)  «»  *  (/',  -  /) 

<™  \Jsin  \{<f>  -        =      i  (ß,  -  ft)  cos  \  (/,  +  0  ^  } 

cos  \jcos  4  (0>  —  O,)  =  cos  \  (ft,  —  ft)  w  *  (*,  —  0- 

Dann  ist  vx  -+-  o>,  —  <!>,  =  Ä"»»  (Fig.  272)  das  Argument  der  Breite  des 
Himmelskörpers  gezählt  vom  aufsteigenden  Knoten  K  der  Bahnebene  Bx  auf 
der  Fundamentalebene  B\  es  ist  daher  nach  (5): 

cos  [Lx  —  (C  -+-  <&)]  cosBx  =  cos  (vx  ■+■  <ox  — 

sin  [Z,  —  (C     O)]  <w-ff,  =  sin  (»,  -»-  «»,  —  4>,)  <w/  —  ß,  a>v  1"  sin /  (6b) 

jm2?!  =  «»  (»,  -(-  wj  —  Ot)  sin/  -+-  ß,  a/r  1"  r<v/. 

Die  Längen  Z,  sind  dabei  von  einem  Punkte  gezählt,  der  um  C  gegen  fl, 
zurückliegt,  so  dass  C  die  in  der  Ebene  B  gezählte  Länge  von  ß,  ist.  Wird  C 
=  &  genommen,  so  ist  Lx  die  Länge  in  der  Bahn,  ft  a>  die  Länge  des 
Perihels  des  gestörten  Körpers. 

Sind  die  auf  die  Ebene  A  bezogenen  Coordinaten  /,,  bx  (aus  den  Ephemeriden) 
bekannt,  so  erhält  man  Z,  Bx  aus  dem  sphärischen  Dreiecke,  dessen  Ecken  die 
Pole  der  beiden  Ebenen  A,  B  und  der  Ort  P  sind,  durch: 

cosB  x  cosLx  =  cos  bx  cos  (/,  —  ft) 

cosBxsinLx  =  sin  bx  sin  i  -+•  cos  bx  cos  i  sin  (/,  —  ft)  (7) 
sinBx  =  sin  bx  cos  i  —  cos  bx  sin  i  sin  (Jx  —  Q), 


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3  ■  6  Mechanik  des  Himmels  17. 

welche  durch  die  Einführung  zweier  Hilfsgrössen  g,  Q  die  folgende  Form  an- 
nehmen : 

Q\  sinQl  =  sin  bx  cosBx  cosLx  =  cos  bx  cos  (/,  —  ß) 

qx  cosQx  =  cos  bx  sin  (/,  —  ß)       cosBx  sin  Lx  =  qx  cos  (Qx  —  i)  (8) 

sinBx  =  qx  sin  (Qx  —  i). 

Die  rechtwinkligen  Coordinaten  jr,  y,  z,  bezogen  auf  die  Ebene  B  werden 

dann 

xx  =  r,  cosBx  cosLx ;       yx  =  rx  cosBx  sinLx ;       *,  =  rx  sinBx  (8b) 
Die  Entfernung  der  Massenpunkte  Px  P  ist  gegeben  durch 

roia  =  (*i  -  *)*  -+-  Cvi— >)*  +  («i  —  *)*• 

Für  die  numerische  Berechnung  aus  den  rechtwinkligen  Coordinaten  wäre 
zu  rechnen: 

r0,  cos  ft  cos  9'  =  xx  —  x 

rox  cosb  sinS'  =  yx  —  y  (9) 
r01  sin  ft  =  zx  —  z. 

Führt  man  die  Polarcoordinaten,  bezogen  auf  die  Fundamentalebene  A  ein, 
so  wird 

xx  —  x  =  rx  cos  bx  cos  lx  —  r  cos  b  cos  l 
yx  —  y  —  rx  cos  bx  sin  lx  —  r  cos  b  sin  l 
zx  —  z  =  rx  sin  bx  —  r  sin  b. 

Legt  man  die  Fundamentalebene  B  zu  Grunde,  so  treten  Z,,  Bx  an  Stelle 
von  lx,  bx,  es  wird  r  cos  b  =  r,  r  sin  b  =  z,  l  ist  die  Länge  in  der  Bahn,  und 
wenn  0'  —  /  =  0  gesetzt  wird: 

rox  cos  d  cos  9  =  rx  cos  Bx  cos  (Zx  —  I)  —  r 
r0,  cos  d  sin  0  =  rx  cos  Bx  sin  (Z,  —  /)  (10) 
rox  sin  d  =  rx  sin  Bx  —  z. 

Aus  den  Formeln  (3)  lassen  sich  die  Geschwindigkeiten  nach  den  drei  Axen 
leicht  ableiten;  es  ist 

dx  dr  dv 

=  sin  a  sin  {Ä  -+■  v )  ^/  -+-  r  sin  a  cos  (Ä     v)  ^ 

dr       ka      .  dv        ka    ,  iaVfi  .  „ 

führt  man  diese  Werthe  ein,  löst  sin  (A'  •+•  v),  cos  (A'  -+•  v)  auf,  so  erhält  man 
mit  Einführung  zweier  Hilfsgrössen  7,  T  die  Formeln: 

7  */«  T  =  ~j  sin  v  ^dt***^  sin  a  cos  (A'  ^ 

T^r=  — ^  (rox  v  4-  0        ^=isinb  cos{J¥  •+■  T)  (12) 

^  T=lsinccos(C'  -+-  V) 

Da  die  Constanten  «4,  2?,  C,  in  den  Formeln  12.  2  tlie  Frojectionen  der 
Flächen  geschwindigkeit  ^0y'/>  auf  die  drei  Coordinatenebenen  sind,  so  hat  man 
nach  2.  25: 


aber 


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Mechanik  de»  Himmels.  17.  18. 


3'7 


dy       dx  . 
-3-  - y  7.  =  krfpcosi 


dt 
dt 


dt 

y~dt~*dt  =  *oVP"»"'n& 

dx        dz  i — 

zTt~x~dt  =  ~  **** sin  1 C0S ft 
oder,  wenn  man  die  Variabein  r,  /,  z  nach  10.  2  einführt: 


(13) 


dl 
dt 


(OS  t 


dz  dl  dx 

xsinl-^-xcosl-z-^-zsinl-^ 


dz  .,dl 


zeosl 


dx 
dt 


A^yj  sin  &  sin  i 
k^p cos  ft  sin  i. 


(U) 


18.  Transformation  der  Differentialgleichungen  für  die  Variation 
der  Elemente.  Die  Differentialgleichungen  der  Bewegung  in  rechtwinkligen 
und  polaren  Coordinaten  (A  bis  D)  (pag.  292—295)  können  mit  einigen  leichten, 
bei  der  Berechnung  der  Störungen  vorzunehmenden  Transformationen  sofort  ver- 
wendet werden.  Die  Gleichungen  (£)  (pag.  298)  jedoch  müssen  noch  weiter  aus- 
geführt werden,  um  die  Variation  jedes  einzelnen  Elementes  für  sich  zu  er- 
halten. Zu  diesem  Zwecke  sind  zunächst  die  Coordinaten  x,  y,  z  als  Functionen 
der  sechs  Elemente  a,  e,  Af0,       i,  u>  darzustellen. 

Sind  x0,  y0  die  rechtwinkligen  Coordinaten  eines  Himmelskörpers  in  seiner 
Bahn,  wenn  die  X0'Axe  in  der  Richtung  des  Perihels  angenommen  wird,  so  erhält 
man  die  Coordinaten,  bezogen  auf  eine  feste  Fundamentalebene  nach  2.  1  nebst 
den  Geschwindigkeiten  gemäss  der  Bedingung  X'  =  V  =  Z  =-  0  (s.  §  11) 1). 
x  *  <t>  =  «,  x0      ß,.y0         x'  =  f  =  a,  x0'  -+-  ß^0' 
y  =U/  =  Os^0  +  QiJ,o  /-»♦-«f*0'  -r-PtV  0) 

,  =  X  =  a»*0  +  ß,.y0  z'  =  X  =  *sV  +  Mo'- 

Die  Formeln  (1)  haben  die  Eigenthümlichkeit,  dass  die  drei  Elemente  a,  e, 
M0  nur  in  den  x0,  y0,  hingegen  die  drei  anderen  Elemente  ß,  /',  o»  nur  in  den 


Coefficienten  et,,  a,,  a 


P  J» 


ß,  auftreten.    Seien  b,  c  zwei  Elemente  der 


ersten  Gruppe,  /,  g  zwei  Elemente  der  zweiten  Gruppe,  so  wird  daher 


dx 


-=  et, 


db 


+  db 


dx' 

db  ~  "»  db       ^  ^db  ~db 
dx         dal  aß,  dx'         ,a*,         ,  3ß, 

dj  ~  x°  ~d~f      y°  ~Tf  ~df  =  x°  ~df      y°   df  ' 

Man  hat  daher,  wenn  2  die  Summe  dreier  Ausdrücke  für  t  =  1,  2,  3  bedeutet: 

r^i-zfJ^  +  R^V«-^-,-«  dyA  (Jx*  -4-*  dy»\(Jx*    a  dy*\ 

M-^db  dd)\*^  +  ^c-)-\*^+b^)\«-W-b  db  ) 

~\db    de   ~   de    db  )  Z*1  +  \db  TT 

,(^y±  £V    ^0  IV    ifo  iV_  a^o 

V  0*    ar       de  ~W  ^  db  de 
daher  mit  Rücksicht  auf  2.  4  bis  7: 


dx0' 

'»  a* 
,a*, 


p»  a* 


a<  a* 


»)  Es  ist 


4- 


(■• 


a^»/„ 


£^0 
dt 


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3i8 


Mechanik  des  Himmels.  18. 


ri  -i  _  dx0    dx0     ,    ho    ho         0*0    dx0  ho    ho'  ,c,s 

Ebenso  erhält  man 
Nun  ist 

£  —  esin£  =  M0  H-  u./;   *0  =        E  —  e)\  y  =         —         £  (5) 

_         H  ,  apsinE  ,         g;j.)/l  —  e*  cos  E 

dt  ~  \-ecosE  x°  =  ~  l—ecosE'  y°  =  +  (6) 
Die  Ableitung  der  Ausdrücke  (2)  führt  nun  zu  ziemlich  complicirten  Aus- 
drücken; man  kann  jedoch  die  Rechnung  vereinfachen,  wenn  man  bedenkt, 
dass  die  Coefficienten  die  Zeit  nicht  explicite  enthalten  (s.  §  11);  da  dieselbe 
demnach  im  Resultate  herausfällt,  so  kann  man  sofort  einen  Spezialwerth  ein- 
führen, der  so  gewählt  werden  kann,  dass  die  Rechnung  sich  möglichst  verein- 
facht.   Hierzu  ist  t  =  —  Af0 :  u,  zu  setzen,  weil  dann  E  =  0  wird ;  es  wird  dann 

dE      dE  dy.  a    M0        dE  dE  1 

Es  wird  nun  z.  B. 

=  5  -  l  -t  — y?  I  •  stn  E  —  z  — p  •  cos  £  —z —  =  0, 

de  de\\—ecosE)  1  —  e  cos  £  de 

da  der  erste  Ausdruck  wegen  des  Faktors  sin  E,  der  zweite  wegen  des  Faktors 

dE 

verschwindet.    Man  erhält  auf  diese  Weise 


x0  =  a(l  -e)  x0' 


(8) 


(l-01  (9) 


ajV      .  i/L±j     aV  av-         ho  ft 

-äT  =  -^Krzr7     -^  =  H-(i-0v/i-^   m  =  0' 

Weiter  wird 
da, 

äft 

d_h 

da 

da, 


1i 
dm 


-a, 

3a, 

=  -+-  a, 

aß 

0 

~ß, 

ap, 

aß 

=  H-ß, 

ap3 

0 

-+-  7t «»  a> 

aa, 

a* 

=  -+-  7j«  «  0» 

dt 

-+-  7,  sin  w 

-+•  Tf  t  COS  U> 

ap, 

di 

=  -r-  Y,  a> 

ap, 
a* 

-f-  7,  W  CD 

+  ßl 

da, 

-  +  ß« 

ao, 

+  ßa 

ap, 

a<o 

aßl  <10> 


Mechanik  des  Himmels.  18.  19.  319 

Folglich   

[ae]  =  0  [fti]  =  -  c*y.y\—c*sin  i 

[eMt)  =  0  [/cd]  =  0 

[aM0]  -  -  W        [ft»]  =  0 

[aß]  \a^yrT^cosi  [e&]=  +  -~*=tcosi      [J/0ß]  =  0  (11) 

M-o  H  =  o        '  [Af0  i)  =  o 

Hiermit  werden  die  Gleichungen  (£)  (pag.  298): 

tf*a'  .  d&        a*pe     dt»  dQ 

cos  t 


T  yi^TTi    '     dt  ^  yx^T'ei  dt  ~  de 
da  dQ 

+  ta*Tt-dÄT0 


.da        a9tie         .de       .     .   .   . di  dQ 

+  W  y\-eUos  1  -dl  -  yfzrel  C°5  '  dt  ~  *  *  ^  ~  '  sm  '     ~  äft 

.     n  s  .  .  d&  dQ 

 j  da        a*u.e     de  dQ 

Aus  diesen  Gleichungen  erhält  man  sofort1) 
da  2  dQ 


dM0  dQ      1  —  e*  dQ 

dt  ~~  ap.       "     a*p.e  de 

dg  1   dQ 

dt  ~~  *Vj/l  —  e*sini  ö* 

di  1              dQ_  cos  t  dQ 

dt=  '  "  «V]/l  —         /  0ß      «VyT^T'xMi  1  d<° 

<x\u       y  1  _ aü   £öj/  aü 

de  YT^~e*  dQ      1  —  <r»  3Q 


(12) 


19.  Variation  der  Elemente.  Einführung  der  störeaden  Kräfte 
P,  Q,  Z^°\  Will  man  statt  der  Differentialquotienten  der  Störungsfunction  die 
störenden  Kräfte  X,  Y,  Z  einführen,  so  hat  man 

dQ      dQ  dx      dQ  dy      dQ  dt 
Tk  ~      Tk~*~  ~cj  Tk  +  Ti  Tk' 

wenn  k  irgend  eines  der  sechs  Elemente  ist.    Man  hat  daher  zunächst  die 


')  Die  Gleichungen  entstehen  der  Reihe  nach  in  folgender  Weise:   I)  die  dritte  Gleichung. 

1  —  e* 

2)  Die   zweite   multiplicirt  mit  —  und   xur  ersten  addirt.    3)  aus  der  fünften.    4)  Die 

tat  % 

sechste  multiplicirt  mit  —  tos  i  und  rur  vierten  addirt;  5)  6)  durch  Substitution  der  bereits  er- 
haltenen Werthe  in  die  zweite  und  sechste. 


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3^0  Mechanik  des  Himmels.  19. 

Differentialquotienten  der  rechtwinkligen  Coordinaten  zu  ermitteln.  Aus  den 
Formeln  14.  (4),  (10)  und  (6)  folgt1), 

da         *  a(l  —  t  cosE) '     Te  ~  ~*~  1  -  e  cosE  »    dM0  ~~  +  1  —  e  cosE  (1) 

dr  r  dv  au./ 

fa=  +  a  -iv-ttangisrnv    ja=  -k^cos? 

ö-  =  —  acosv  —  =  -|  =-  2  +  f  <w  »)  (2) 

Setzt  man 

cos  (v  4-  u>)  <w  &  —  j/'«  (n  -f-  a»)  sin  ß  <w  *  =  I 
cos  (v  4-  w)  «■»     -|-  j//t  (?/  4-  u>)  cos  ft      /  =  II 
sin  (v  4-  tu)  cos  &  -+-  <w  (v  4-  u>)  «'«  &  cos  i  =  III 

J/'«  (V  -h  to)  ;m  ß  —  COS  (V  -h  «>)  COS  ft  <W  /  =  IV, 


(3) 


so  wird: 


rl        y  —  rll         z  =  r  sin  (v  4-  u>)  j/«  #' 


3jc  3v  3* 

—  =  4-1  ^  =  H-  II  ^;=-r-JW(»-»-to)xw/ 

^*      ^*              „,  ^      ^              _  _  _  3*                            ,         .    .  . 

ö-  =  j-  =  — rill  ^  =  ö— =  —  rIV  —  =5—  =s-|-rr^(»+a»)jx»< 

a*             TT  ^  « 

äÄ=-rI1  Jä=+rl  ää=0 

^Jf  0v  3* 

öj  =  H-  r««  (V-h  «) ««  /       =  —  r  sin(v+  cd)  *w ß  f /» /'  ^  =  4-  r  jm  (f 4-  «o)«v  *, 

folglich 


v  au»/ 
=  -  —  f  ix//tf«^<p  ji*  f  II-+- 1       <w  <?  IV 


d*       X        •  .  tfll/ 

^  =  -  -  \  u./ to»^  ?  «»  r'I  4-  \  —  cosif  III 

dy 
da 

^  =  ~  —  \\*.t  tangy  sinv  sin(v  +  <a)sin  i  —  \^~cos^cos  (v+*>)sin$ 

dx  r  sin  v 

S~  =  —  acosv  \  5—  (2  4-  e  cos  v)  III 

cc  cos*yK  ' 

dy  r  sin  v  , 

J7=-acosv\\--7^V+ecosv)lV 

dz    .  .  .     r  sin  v  _  .      ,        x  • 

j-  =2  —  a  cos  v  stn  (v  •+■  u>)  stn  1  -+-  (2  +  <  cos  v)  cos  (v  4-  »)  jot  < 

+  atang^sinvl  -^wtplll 

==  4-  a  iangf  sin  f  II —     cosf  TV 

Bs  a* 

=  4.  a  tangj  sin  v  sin  (v  4-  «>)  sin  i  4-  —  cosy  cos  (v  4-  «>)  sin  i. 


>)  Es  genügt  hier  die  Zwischenresultate  anzufahren,  da  die  Ausfuhrung  der 
und  die  Rcduction  der  erhaltenen  Ausdrücke  keinen  Schwierigkeiten  unterliegt 


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Mechanik  des  Hinmiel».  19.  321 

Führt  man  hier  die  angezeigten  Operationen  durch,  so  erhält  man  nach  ent- 
sprechender Reduction1): 

de           cos*?       *      1  le  cos%y  2 

TTT=  —  Jrr^-  —  (+  IV -rß,) 

!iL  =*  -  +  I J^-  [-  cos  (v  -f-  •)  «V«  i  -  e  ß .  1 
da      a     *  cosy1        v        '  r,J 

2*  rsmv     ,        .   .  . 

Hieraus  erhält  man  nun 

»  _ ,xt+,yl  +  .zs  _kjL[Q  +  <CPi +  ?, Ki  +  P>Z))] 

c  ß  r  ji«  v 

Q  —  a(alXl  -+-  a4  Yx  ■+■  atZl) 


de  cos*y 

-  r(i  yt  -  njr.) 

dQ 

—  «  r«»(V  4-  «)(7i*t  +  7s  *\  +  7s £.) 


(6) 


wobei 

Q  =  —  III  Xt  —  TV  Vl  -h  cos  {v  *>)siniZ1 
gesetzt  ist.   Aus  den  Gleichungen  18.  1  folgt  aber 

04*  -+-  a ty  -f-  a3*  =  #0  =  rcosv 

ßi*  +  ßs>  +  ßs*  =^0  =  rsinv 

7i*  "+"  TsJ' "+"  Ts*  =  0 
und  da  Kräfte  ebenso  zusammengesetzt  werden,  wie  die  Coordinaten  selbst, 
so  ist 

axXx  -haiyi  -+-  *%ZX  =  JT(o)         A\  =  at X«»  -t-  ß,  K«»  +  ^-ZW 

ßi*i  -+-  ßs  ^1  +  ßs^i  =  Yx  =  «,*(0)  +  ßs  y(0)  +  T,£<°>  (7) 

7i*i  H-  Ts^i  +  Ts^i  =  2«         ^  =  «s*(0)  +  ßs*™  +  7»^(0) 


»)  Es  wird  t  B. 

=  —  —  4  -jj—  [ —  III  —  *  («»  (O  -f"  (OS  CO  «W  &       I )]. 

Die  Ausdrücke  für  00       dß  £ö 

ergeben  sich  auch  unmittelbar,  wenn  man  die  Kräfte  X<P),  Z(°)  einrührt,  denn  es  ist  t.  B. 

00       0jro    £o        C/0   0<»    '   0«o  öfl  <?«  0tf 

Vai  kmttxm,  Astroeomic   II.  21 

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322  Mechanik  des  Himmels.  19. 

wenn  die  störende  Kraft  in  der  Richtung  des  Perihels,  FW  die  störende 
Kraft  senkrecht  dazu  in  der  ungestörten  Bahnebene,  und  die  störende  Kraft 
senkrecht  auf  die  ungestörte  Bahnebene  sind.    Hiermit  findet  sich: 

Q  ms.  —  sin  v(axXx  -+•  aiYl      *%ZX)  h-  cosv($xXx  +  ßjF,  ß,Z,) 
I Yx  —  ü Xt  m=  T,  (K(o)  cos  v  —  XWsin  v)  —  ZW  cos  (0  H-  »)  sin  i 

oder 

Q=  KW  cosv  —  XW  sinv 
I  K,  —  IIA',  ms  itQ  —  Z<°>  <w  (0  +  co)  *m  i 
*A\  +  yYx  +  zZx  ms  x0X(°)  +  y9Yl°). 

Q  ist  demnach  die  Kraft  senkrecht  zum  Radiusvector  in  der  ungestörten 
Bahnebene;  führt  man  noch  die  Kraft  P  in  der  Richtung  des  Radiusvectors  ein, 
so  dass 

P  =  Y0  sin  v  -+•  X0  cos  v 
Q  «=  KQ  <w  v  —  X0  sin  v 

ist,  so  wird 

~  ms  +  -  /»_  1  J^-  (Q  +  5^-  =  +—  (Q  -+-  <KW 

dfi  rsinv  _  , 

=  +  r  cos  i  Q  —  rZ«»cos(v  +  co)  jm  i   ^  -  4-  r  sin(v  4- 

Damit  werden  die  Differentialgleichungen  ftlr  die  Elemente: 
da  2 

dt         n  im  *- VXi  ' 

2r  3/  rsinv         cos*  9 

d&      rsin(v  +  e>)  ^ 


dt  '  "  ai\LCOS^sini 
<r/  a*\acosf 


(10) 


</  co        r  .>-/«  y  <w  cp  r  «»  (9  H-  <o)  <W  * 

In  den  Differentialquotienten  für  <z,  u»,  jV0  und  «?  sind  noch  Jf<°>  und  K<*) 
durch      und  Q  zu  ersetzen.    Es  ist  aber 

y\°)  =        9  +  Q     0        Jfl°>  =        v  —  Qsmv. 
Nach  einigen  leichten  Reductionen  erhält  man  dann  für  a,  e,  co  die  in  den 
Formeln  (11)  enthaltenen  Resultate.    Für  dM0  jedoch  ist  noch  eine  Bemerkung 
zu  machen,  da  hier  die  Zeit  noch  explicite  vorkommt;  trennt  man  diesen  Theil 
ab,  so  wird  der  erste  Theil 

(dMA  2r         rsinv  <w'y 

sein,  dessen  Reduction  ebenfalls  keinen  weiteren  Schwierigkeiten  unterliegt  Der 
zweite  Theil  lässt  sich  schreiben 

und  man  hat  daher 


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Mechanik  de»  Himmels.  19. 


323 


da 

dt 


=  — - —  \e  sinv-  P  +  -  cos*  9  Q] 

da       rsinjv  -+-  to)  . 
dt      <zl  fx  cos  9  stn  1 


dta  1    ri  .    _              .    v*»                     nl     r  sm(v-h  m)cos  i  „,_x 

rf/  a>  ja  tw  9 

-77     H  1  [(cos  £  H-  c«r  ?)<?  +  sinvF). 

dt  a  ja 

Der  zweite  Theil  m  —jf-  wird 


( 


#),-.-sH«~"'-<53f— ™ 

Man  kann  nun  die  Störung  In  doppelter  Weise  berücksichtigen. 

Es  ist  nämlich  in  der  ungestörten  Bewegung: 

M=  Af0  -+-  ja/. 

Für  die  Berechnung  von  M  in  der  gestörten  Bewegung  hat  man  für  Af0  die 
gestörte  mittlere  Anomalie  zur  Zeit  der  Epoche  zu  nehmen,  welche  durch  Ver- 
änderung der  Elemente,  ohne  Rücksicht  darauf,  dass  auch  u.  veränderlich  ist, 
bestimmt  wird.  Da  nun  die  in  /  multiplicirten  Glieder,  wie  aus  dem  Anfange 
dieses  Paragraphen  ersichtlich  ist,  daher  rühren,  dass  auch  \l  veränderlich  ge- 

nomme»  wurde,  mdem  hieraus  der  Differentialquotieat  g  -  -  »  £  eintritt 
[vergl.  die  Formeln  18  (6)  und  (7)],  so  wird  dieser  Theil  die  Störung  der  mittleren 

Anomalie  ^ {~jf^  dt-  wiu  man  nun  erstens  m't  der  constanten  mittleren 
Bewegung  nach  der  Formel  J/=  Af0  ■+■  p./  rechnen,  so  wird  wegen: 


M 


von  der  Veränderlichkeit  von  \x  herrührende  Variation  von  M  in  die  Störung 
der  minieren  Anomalie  zur  Zeit  der  Epoche  einbezogen  sein  und  es  wird: 

M-M^H^AX.     wobei     2g*  =  +  (13) 

für  p,  ist  die  ungestörte,  constante,  mittlere  Bewegung  zu  setzen. 

Man  kann  aber  auch  in  der  Formel  M  =  M9  +  \nt  für  die  gestörte  Be- 
wegung p.  als  veränderlich  ansehen,  und  dann  an  M0  nur  den  ersten  Theil  der 
Störung  anbringen;  dann  ist 

dM     idM\      (dM\  (dM\ 

~d7  =  \-ä7)^  VdT)     wo     VdT)  =  » 

und  ja  veränderlich.   Daraus  erhält  man  durch  Integration 


ai» 


uigiiizeo  uy 


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324 


Mechanik  des  Himmels,  19.  20. 


Da  aber 


ist,  wobei 


dy.  3  p.  da  _3_  dü 

dt~      2  a  df      «>  dM0 


M=  M0  -+-  bMQ  +  C  (15a) 


ist,  so  wird  man 
erhalten,  wobei 


20.  Variation  der  Elemente  für  grosse  Excentricitäten  (nahe 
parabolische  Bahnen)  und  £ür  sehr  kleine  Excentricitäten  und 
Neigungen.  F'tihrt  man  statt  der  mittleren  Anomalie  M0  die  Zeit  des  Perihel- 
durchganges  T0  ein,  so  wird  man  für  die  sämmtlichen  Elemente  dieselben 


dM0 


Formeln  erhalten,  nur  an  Stelle  von  -~  tritt  die  Störung  der  Perihelzeit,  für 
welche  sich 


dT              1     \(     Ire  \  1 

~df  ~  ~~  a~\iJe  \\  ä  *~  C0S%  *  C0S  VJJ3~~  (cos  9  sin  E  +  cos%9  sin  r)  @J 


y^-  (sin  vsinyP  ■+-  ~  cos**  q) 


(1) 


a  cos  y 

ergiebt,  wobei  an  Stelle  von  /  hier  /  —  T0  als  die  seit  der  Epoche  7*0  verflossene 
Zeit  eingesetzt  ist. 

In  dieser  Form  sind  die  Formeln  auch  für  nahe  parabolische  Bahnen  an- 
wendbar, in  welchem  Falle  e  nahe  der  Einheit  sein  wird,  ji  ist  aber  in  diesem 
Falle  noch  durch  k0  :  a%  zw  ersetzen.  Da  übrigens  a  sehr  gross  und  cos*  sehr 
klein  wird,  so  wird  man  a  überall  durch  p  =  a  cos*  *  ersetzen.    Es  wird  dann 

zunächst 

da       2«»  /    .      _      /  \ 

während  in  den  übrigen  Ausdrücken  a  vollständig  verschwindet.  Um  auch  hier 
a  zu  eliminiren,  kann  man 

di\a)  "      a*  dt 

bestimmen;  hieraus  wird  also: 


oder  man  sucht  an  Stelle  der  Aenderung  a  diejenige  des  Parameters.  Da 


dp         „    da  de 
ist,  so  erhält  man  mit  Einführung  der  Werthe  von  ^  und  ~ 

***      k9(\  +  ecosv)Q' 

Dividirt  man  noch  durch  —IpYp  so  erhält  man  die  erste  Formel  (3);  die 
übrigen  folgen  unmittelbar  aus  19.  11.    Man  hat: 


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Mechanik  des  Himmels.  20.  3*5 


<*oy7 


In  dem  Ausdrucke  für        tritt  der  Nenner  x«*  /  auf,  in  den  Ausdrücken  fttr 

^ ^f.-  ,  -rr  der  Nenner  e,  in  —7  überdiess  ebenfalls         Sind  daher  die  Neigungen 
dt      dt  dt 

und  Excentricitäten  klein,  so  wird  daraus  eine  beträchtliche  Ungenauigkeit  ent- 
stehen. Dass  die  Störungen  bedeutend  werden,  ist  theüweise  in  der  Natur 
der  Sache  gelegen,  da  ja  bei  kleinen  Neigungen  der  Bahnen  sehr  beträchtliche 
Verschiebungen  der  Knoten  stattfinden  können,  ohne  dass  der  Ort  des  Himmels- 
körpers dadurch  wesentlich  geändert  würde,  und  andererseits  in  sehr  nahe  kreis- 
förmigen Bahnen  starke  Drehungen  der  Apsiden  ebenfalls  nur  ganz  unwesentliche 
Aenderungen  der  Planetenorte  mit  sich  bringen.  Aber  auch  das  umgekehrte  ist 
der  Fall:  ein  nur  geringfügiges  Hinaustreten  des  Himmelskörpers  aus  seiner 
Bahnebene  wird  bei  kleiner  Neigung  derselben  eine  bedeutende  Knotenverschiebung 
der  osculirenden  Ebene  erzeugen,  und  ebenso  wird  ein  nur  unbedeutendes  Ab- 
weichen des  Planeten  von  einer  nahe  kreisförmigen  Bahn  eine  sehr  bedeutende 
Verschiebung  der  Apsiden  der  osculirenden  Ellipse  zur  Folge  haben.  Wenn 
aber  auch  die  Störungen  in  der  Länge  des  Knotens  und  in  der  Richtung  der 
Apsiden  durch  keinerlei  Transformationen  verkleinert  werden  können,  so  könne  n 
doch  die  für  die  Bestimmung  des  Ortes  des  Himmelskörpers  nöthigen  Störungen 
von  jenen  starken  Aenderungen,  die  sich  schliesslich  wegheben,  befreit  werden. 
Zunächst  kann  die  von  der  Neigung  abhängige  starke  Aenderung  der  Apsiden- 
richtung, die  sich  in  to  zeigt,  eliminirt  werden,  da  eine  nahe  gleich  grosse,  ent- 
gegengesetzte Aenderung  in  &  auftreten  muss.    Setzt  man  also 

&     o>  «  it  (Länge  des  Pericentrums), 

so  wird 

diz        1    r/  -    e*  »1     rsin(p +  to) 

dt^TiTe       E  +  C0S  *  Hn  V)Q~  C0S  *C05V'P\+    a^cas9    tans  * ' Z 

1  r  $in(v  -r  to)  ^ 

"  *oV7< [(r +fisinv'Q-P cos  v'f}+    koyp    tans  * ' z  (0) 

von  der  Neigungsänderung  nur  minimal  beeinflusst.  Ebenso  werden  bei  starken 
Aenderungen  der  Richtungen  der  Apsiden  nothwendig  nahe  gleiche  und  ent- 
gegengesetzte Störungen  der  mittleren  Anomalie  auftreten;  setzt  man  daher 

Tt  +  M0  =  Z0  (mittlere  Länge  in  der  Bahn  für  die  Epoche), 


so  wird 
dt 


r  sin  (v  -+-  a>) 
a a  ]u  cos  9 


(5) 


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326 


Mechanik  des  Himmels.  20. 


wobei  das  letzte  Glied  wieder  in  genau  derselben  Weise  berücksichtigt  werden 
kann,  wie  bei  der  mittleren  Anomalie.    In  der  Form 

*oVP  ,e\ 

rsinlv  -+-  o>)        .  .      .      3(/  —  Ta)         (  .  *  Ä\ 

H  ^V^.    '  tang  \  / .      +        — <w  <p       <p  ««  * .  QJ 

ist  die  Formel  auch  auf  nahe  parabolische  Bahnen  anwendbar.  Handelt  es  sich 
um  die  Berechnung  der  Störungen  in  &  und  k,  so  wird  man  für  sehr  kleine  Werthe 
von  /  oder  e  das  Auftreten  der  Nenner  umgehen,  indem  man  andere  Variable 
durch  die  folgenden  Gleichungen  einführt: 

sin  isin  &  =  S  e  sin  n  =  $ 

sinicos&  =  R         W  «mic«V  (8) 

Da 

</3  rfi  dQ>  de  du 

—  =  (os  i  sin  &  -j  +  sin  i  cos  &  -jj  -jj  =  sinn-^  -t-  e  cos  * 

dW  di  da        d*V  de  d* 

—  =  cos  i  cos&jt-  sin  i  sina-jj        17  =  cos  *  Tt  ~  €  si*  *  Tt 

ist,  so  folgt 
</E  1 

r [sin     +  tu  -h  ft)  —  2  cos  (v  ■+■  a»)  ;m  ft       }  i J  ZW 


(9) 


di       a3  ja  cos  <p 

%  _  _L_ .  r[,„(.  +  .  +  ß)_ «.  „„a*,»^« 

1     ri  ,  _J 

=  —  [jwurä^i-  sinncos  Ecosy  -+-  fw^x»»(it  ■+-  »)}(?  — r«fwi(ir-r-ü)/^j 

<w    i  (10> 

—  —  [\—sinitsinE+ cos  neos  Ecos  ?  +  cos<fCos(it+  v)\Q  +  cosysin(ic-h  v)P] 

rsin(v  ■+-  «)«** 
 a»|x   ^ <p  /<wtf  *  *  Z Co), 

aus  welchen  Formeln  die  kritischen  Nenner  verschwunden  sind.  Sind  diese 
DirTerentialausdrücke  integrirt,  und  die  Aenderungen  der  Elemente  S,  H,  V 
gefunden,  so  wird  man  mittels  der  Formeln  (7),  (8)  die  Elemente  i,  ic  er* 

halten,  wobei  allerdings  wieder  die  Nenner  *,  e  auftreten;  da  sie  jedoch  erst 
zum  Schlüsse  erscheinen,  so  werden  sie  die  Genauigkeit  der  numerischen  Opera- 
tionen nicht  beeinträchtigen. 

An  Stelle  der  Grösse  it  kann  auch  eine  andere  v  eingeführt  werden,  die  mit 
ß  und  o»  durch  die  Beziehung  verbunden  ist 

di  .d&  da» 

Für  diese  ergiebt  sich 

%  =  -r-TT  Kr  +  p)smv  *  Q  —  p  cosvP].  (12) 

Da  weiter 

geschrieben  werden  kann,  so  folgt 

rfv        1    (dM0\  2r_ 


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Mechanik  des  Himmels.  91.  3S7 

21.  Die  Störung  der  Perihelzeit  in  der  parabolischen  Bewegung. 
Sämmtliche  Formeln  bleiben  brauchbar,  ebensowohl  für  sehr  nahe  parabolische 

Bahnen,  als  auch  für  die  Parabel  selbst,  mit  Ausnahme  der  Formel  für  ~~  , 

in  welcher  der  Faktor  o,  die  grosse  Halbaxe  auftritt,  welcher  für  die  Parabel 
unendlich  wird.  In  Folge  dessen  muss  der  «weite  Faktor  Null  werden,  und  für 
die  Parabel  wird  sich  der  Ausdruck  in  der  Form  0-°°  darstellen;  fllr  sehr  nahe 
parabolische  Bahnen  wird  derselbe  das  Produkt  zweier  Faktoren,  von  denen  der 
eine  sehr  gross,  der  andere  sehr  klein  ist.  Um  diesem  Uebelstand  abzuhelfen, 
kann  der  folgende  dem  von  v.  Oppolzkr  eingeschlagenen  ähnliche1)  Vorgang  dienen. 

Es  ist:   

dT0  _   _p_  \<lre  —  pcosv      S*VM  -hm  (/  -  T0)  e  sin  vi 

j\(r+  p)sinv  _  3iyM+m{/-  T^f] 
*o*L    ecos*i  rcos*f  J  ^' 

Setzt  man  den  Coefficienten  in  der  Klammer  bei  Q  gleich  £/*),  sodass 

(r  +  /),*. ,  _  »*„(/  -  T,)Yp  _  _rT/       A  _ 
ea>t*f  rcos*y  ^w1?^  r) 


so  wird  der  Klammercoefficient  von  P~. 


1 


Ire  —  pcosv      r  esinv         r  e sin  v  (r  -+-  p)sinv 
e  cos*  9  p        ~~      p  ecos'y 


r esinv  „  r% 
-J-U--MV 


l)  VergL  dessen  »Lehrbuch  tur  Bahnbe»timmung  von  Planeten  und  Kometen«,  II.  Theil, 
pag.  226  u.  398. 

*)  Dieser  Coefficient  hat  eine  einfache  analytische  Bedeutung.  ErseUt  man  in  den  Elementen 
und  den  Differenfialquotienten  nach  denselben  a  durch  /,  so  wird 

dv  (Bv\  (dv\  da 
Ti  =  \T*J  +  \Ta)  Te 

und  di  \  *  t*  **'  *°         mit  den  Fonneln  W 

"  'dv  _  j*v  f  V)_&JVM±^-J^ 

daher,  wie  man  leicht  findet,  wenn  man  die  Relation  ^-  =  1  +  eeosv  berücksichtigt: 


r 

r  dv 


U=  - 

t  de 


v.  Pppolzer  ersetzt  a  nicht  durch  /,  sondern  durch  q  (Periheldistanz).  Beteichnet  man 
in  diesem  Falle  den  Differentialquotienten  mit  ,  so  findet  man  leicht 

dv     ratq      8'     ,  l  —e  (dv\ 

Tt  a  Lä7j '  TT"'    H7*  väiy  ■ 

dT 

sich  die  Identität  der  hier  gegebenen  Formeln  Air         mit  der  von  v.  Oppolzkr  gegebenen 


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3*8  Mechanik  des  Himmels.  21. 

demnach 

dTo  1  /     r*  J  l 

~JT  =  -J"!V  +  resinvü^P+  ^  .pU-  Q  (l) 

und  es  handelt  sich  noch  um  die  Entwickelung  von  U.  Es  ist  aber  für  nahe 
parabolische  Bahnen  nach  Gleichung  14  (1),  wenn  T0  die  Perihelzeit  ist: 

^  2fT'(/~  ro)  =  *  =  *  +  4*»-  2e(ir» i t»)  +  3t'(it» 4-  |x')  , 


wobei 

1  —  e 


1  +  e 


so  wird: 


ist.  Benützt  man  den  ersten  der  beiden  Werthe,  so  erhält  man  für  U  einen  ge- 
schlossenen Ausdruck,  jedoch  in  der  Form  %  da  im  Nenner  der  Faktor  cos*tf 
stehen  bleibt;  es  wird  daher  besser,  sofort  die  Reihenentwickelung  vorzunehmen. 
Nun  ist: 

I  =  (l  +  4 V«  +  <  cos  v)  sin  *  =  4  ,?  »  = 

=  £*_     t     (3  -h  i)  +  (1  +  3t)ta 

r!    1  (1  -+-  «T»)* 

ii  =  iM_T_ro)v7if  _^  3(i  - «) 

Setzt  man  nun 
und  für  den  Augenblick  der  Kürze  halber 

=  *[t+4t»  +  er»  -f|ET-(t  +  T8i-}tT  +  |t»)  ^rgjj] 
II  —  91(1  -  e)J?  — 

=  «[t  -f-        -  t(T  +  T«+f  x*)  +  t»(4t«-r-T»H-4t»)-e»(|T»-r-T»H-|t»)  4-  ,  .,  ] 

-«[T-r-it'-^^j^i-ie-r-f  9>-49»+ . . .  )_«t*(!-49-h9*- . .  J 

«  *  |x  +  $T«  -          -  ex(l  -  e  4- e»  -  03  . .  .  .)- 

-«t(4e-.|e*-T-4e>-  .  .  .  )_  «»(4-49 +  49»-  .  .  .  )J 
=  «  ^  +  *  T»  _  -  4tte  -  (et»  -  .»t»x4  -  49  +  49*  -  . . .)] . 

Nach  einer  leichten  Reduktion  folgt  daher 

1  -  n  =  $uT  [*  +  e ~ ^t49~ *9t*  +  ^+0  - «»)t*(4 - 49 4- 49»  - . .  )j . 


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Mechanik  des  Himmels.  21.  82.  3i9 

Setzt  man  daher 

t±!  +  ieo  +  e)-e.;  i±£  =  8< 
(l _ ie  +  48» - a»1  +  Tfö4 -....)  (i+e)  =  H, 

so  wird 
und  demnach 

3i>(l  -+-  e  eosv) 

Setzt  man  noch  p  =  q{\ -¥  e)  und  ersetzt  überall  r  durch  «,  so  wird  der 
Coefficient  vor  der  Klammergrösse: 

3f       \  +  eeos  v      3q  (1  -f-  c)»  -r-tfma|g  3^  (1  »)» 

<i  -h  *)•     i+e  r~  2    1  -  c         l+e       -töt  ~T^Tshlv' 

folglich 

Die  Entwickelung  der  Ausdrücke  für  80  und  8'  in  Reihen  wird  nicht  vor- 
teilhaft; hingegen  lassen  sich  die  Ausdrücke  etwas  vereinfachen.  Es  ist  nämlich, 
wenn  man  in  80  auf  gemeinschaftlichen  Nenner  bringt: 

_l  +  ie-H|8»  +  j8»_f(i  +  8)-hj8>(i  +  e)-ie»  e, 
1^-8  TT8  =*+l8,-iire- 

Die  Reihe  für  H  wird,  wenn  mit  dem  Faktor  (1  4-  8)  ausmultiplicirt  wird, 
stark  convergent;  man  erhält: 

"-•-Ä«  +  Ä»,-ni»,  +  ini 

und  hat  daher  zur  Bestimmung  von  U  die  Formeln ; 


H»l-5^Ö-f-^8»-9-L83 


(2) 


£/  =       ^^1^'  jw  f[80  —  Wtang*  {  v  ■+-  (1  -  e»)H  /<«i^ $  (3) 

Die  Rechnung  würde  erleichtert  durch  Hilfstafeln,  welche  80,  8',  H  mit  dem 
Argumente  8  geben1).  Für  die  Parabel  ist  s  =  0.  8  =  0,  daher  80  =  \, 
8'  e=  |,  H  =  },  demnach 

U  a  q  sin  v{\  —  \  tang*  \  v).  (4) 

22.  Störungsrechnung.  Bei  der  Untersuchung  des  Einflusses  der  stören- 
den Massen  kann  man  zwei  wesentlich  verschiedene  Wege  einschlagen.  Man 
kann  die  auftretenden  Störungen  durch  numerische  Rechnung  bestimmen,  wobei 
man  diese,  in  gleichmässigen  Zeitintervallen  fortschreitend,  für  jeden  Zeitpunkt 
speziell  ermittelt.  Der  Vorgang  ist  dann  der,  dass  man  für  einen  gegebenen 
Moment  den  wirklichen,  gestörten  Ort  des  Himmelskörpers  als  bekannt  (bereits 


')  Deshalb  wurde  der  Coefficient  von  tang*  ^  v  nicht  zusammengezogen ;  dieser  Coefficient 
[0'  —  (l  —  «')H]  hängt  nämlich  ausser  von  dem  Argumente  8  noch  von  c  selbst  ab.  Tafeln 
ftlr  H0,  8',  H  sind  vom  Verfasser  berechnet,  aber  bis  her  noch  nicht  publicirt  worden. 


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33° 


Mechanik  de*  Himmels.  22.  23. 


berechnet)  ansieht,  die  aus  dieser  Lage  und  der  gleichzeitigen  Lage  aller  störenden 
Körper  resultierenden  Kräfte  numerisch  bestimmt  (in  ihrem  Verhältniss  zu  der 
Anziehung  des  Centraikörpers)  und  aus  diesen  Kräften  den  Ort  des  Himmels- 
körpers für  das  nächste  Zeittheilchen  sucht.  Man  nennt  diese  Methode  die 
Methode  der  speziellen  Störungen.  Sie  wird  verwendet,  wenn  es  sich 
um  die  Berechnung  der  Störungen  nicht  periodischer  Kometen  handelt,  oder  um 
die  Ermittelung  der  Störungen  eines  periodischen  Kometen  oder  eines  kleinen 
Planeten  in  den  ersten  Jahren  der  Erscheinung,  wenn  noch  nicht  genügend  sichere 
Elemente  bekannt  sind,  und  dieselben  erst  aus  der  Verbindung  mehrerer  Er- 
scheinungen unter  Berücksichtigung  der  Störungen  abgeleitet  werden  sollen. 

Handelt  es  sich  jedoch  darum,  die  Bewegung  eines  Himmelskörpers  in  der 
Art  darzustellen,  dass  man  durch  analytische  Formeln  jederzeit  den  Ort  desselben 
sofort,  ohne  die  numerische  Berechnung  der  früheren  Orte,  erhält,  so  wird 
man  analytische  Formeln  aus  der  analytischen  Form  der  störenden  Kräfte  ab- 
zuleiten haben.  Diese  Methode  der  Störungsrechnung  nennt  man  die  Methode 
der  Berechnung  der  allgemeinen  Störungen  oder  (nach  Hansen)  ab- 
soluten Störungen.  Sie  wird  zweckmässig,  wenn  man  die  Erscheinungen 
eines  periodischen  Kometen,  eines  Planeten,  des  Mondes  oder  der  anderen 
Nebenplaneten  zu  vertolgen  hat,  einestheils,  weil  man  für  jene  Zeiten,  während 
welcher  der  Himmelskörper  unsichtbar  ist,  die  Störungen  nicht  zu  kennen  braucht 
und  andemtheils,  weil  durch  die  einmalige  Berechnung  der  allgemeinen  Störungen 
Formeln  gegeben  sind,  welche  während  beträchtlicher  Zeiträume  ungeändert 
anwendbar  sind,  während  die  Berechnung  der  speziellen  Störungen  immer  wieder 
von  Ort  zu  Ort  weiter  geführt  werden  muss. 

Bei  der  Ermittelung  der  speziellen  Störungen  lassen  sich  die  Methoden  der 
Berechnung  der  Störungen  in  rechtwinkligen,  in  Polarcoordinaten  und  in  den 
Elementen  ziemlich  scharf  trennen;  nicht  so  bei  der  Bestimmung  der  allgemeinen 
Störungen,  wo  die  Versuche  zur  Integration  der  Differentialgleichungen  oft  auf 
mannigfache  Combinationen  zwischen  den  zu  wählenden  Variabein  führen. 

a)  Berechnung  der  speziellen  Störungen. 

23.  Spezielle  Störungen  in  rechtwinkeligen  Coordinaten.  Bond- 
ENCKE'sche  Methode.    Bezeichnet  man  wie  früher 


so  gelten  für  die  ungestörte  Bewegung  die  Gleichungen  (2),  für  die  gestörte  die 
Gleichungen  (3): 


(3) 


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Mechanik  des  Himmels.  23. 


33' 


Man  wird  nun  nicht  die  gestörten  Coordinaten  x,  y,  z,  sondern  die  Störungen 
x  —  x0  =         y  —  y0  =  ij,       z  —  z0  =  C 
ermitteln,  und  erhält  hierzu  durch  Subtraction  der  Gleichungen  (2)  von  (3): 


Die  Berechnung  der  störenden  Kräfte  Jfj,  Klt  Zt  bietet  keine  Schwierigkeit. 
Zwar  sind  in  denselben  auch  die  gestörten  Coordinaten  x,  y,  t,  enthalten;  da 
sie  aber  mit  den  störenden  Massen  «,  multiplicirt  sind,  so  wird  es  genügen,  fUr 
dieselben  Näherungen  zu  setzen,  welche  man  stets  haben  wird.  Legt  man  näm- 
lich osculirende  Elemente  der  Störungsrechnung  zu  Grunde  (die  vorhandenen 
Elemente  können  dabei  immer  als  osculirende  Elemente  für  eine  gewisse  Epoche 
angesehen  werden  und  die  durch  eine  definitive  Bahnbestimmung  mit  Berück- 
sichtigung der  Störungen  gefundenen  Elementenverbesserungen  geben  dann 
Correctionen  dieser  osculirenden  Elemente  für  die  angenommene  Epoche)  so 
sind  die  Störungen  für  die  Epoche  der  Osculation  gleich  Null,  und  steigen  sehr 
langsam  an.  Im  weiteren  Verlaufe  der  Störungsrechnung  wird  man  bereits  eine 
Reihe  von  Störungswerthen  haben,  aus  denen  sich  die  in  den  störenden  Kräften 
Xx,  Yx,  Zx  auftretenden  gestörten  Coordinaten  ausreichend  genau  finden  lassen. 
Nicht  dasselbe  gilt  von  den  in  den  Gleichungen  (4)  auftretenden  Schlussgliedern. 
Diese  sind  nicht  mit  störenden  Massen  multiplicirt,  und  ihr  Einfluss  hängt  gerade 
von  der  Differenz  der  gestörten  und  ungestörten  Coordinaten  ab.  Es  ist  daher 
zunächst  nothwendig,  diese  sogen,  indirekten  Glieder  in  einer  für  die  Be- 
rechnung brauchbaren  Form  darzustellen.    Man  hat: 


Nun  ist 

'»  =  (*•  +  5)»  +  (*  +  ii)*  +  (*o  ■+-  08 

=  r0»  -+-  (2*0  -f-  5)S  •+•  &y0  +  tj)tj  •+-  (2*0  +  C)C 
Setzt  man  daher, 

(«,  +  K)g  +  Cy>  +  ii.)q  +  («o  +  10C  =  qt 

so  wird 

,»  »  r,»(l  -4-8»);    ^  =  {l+JfH-l-3j  +  g?'-gf'+  

Setzt  man  daher 

/=3[l-h  +  ^'-g?'  +  ..    .].  (6) 


so  wird 


Setzt  man  noch 

K  (7) 


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33* 


Mechanik  des  Himmel».  28. 


so  gehen  die  Gleichungen  (4)  in  die  folgenden  über: 

d*\ 

-jjj-  ■+■  hl  -  Xx  -H  hfqx 

-jjf  +  /4r)  =  K,  +  A/^  (8) 

+  *C  =  Zx  +  W*- 

In  diesen  Ausdrücken  ist  nun  q  von  der  Ordnung  der  Störungen1);  allein 
die  Differentialgleichungen  sind  für  die  numerische  Integration  noch  nicht  ver- 
wendbar, da  sie  noch  £,  tj,  C,  selbst  enthalten.  Die  Differentialquotienten 
<P\    d**  d*Z 

dl*  '  ^fi* '  ~dl*   b,ldcn  ftlr  gleichmässig  fortschreitende  Intervalle  von  z.  B. 

10  Tagen,  eine  regelmässige  Reihe  von  Functionswerthen  A  /„  /c.  Da  die 
Störungen  für  die  Osculationsepoche  verschwinden  und  in  der  Nahe  derselben  sehr 
klein  bleiben,  so  kann  man  für  zwei  Zeitmomente  \w  und  \w  vor  und  \w  und 
\w  nach  der  Osculationsepoche  die  Werthe  der  Differentialquotienten  (störenden 
Kräfte)  nach  (8)  mit  alleiniger  Berücksichtigung  der  X,  Y,  Z  berechnen,  indem 
ftlr  diese  4  Orte  die  E,  tj,  C  gleich  Null  gesetzt  werden.  Hiermit  erhält 
man  zunächst  4  Werthe  der  Differentialquotienten  und  deren  Differenzreihen 
/',/",  aus  denen  sich  sofort  die  ersten  und  zweiten  Summen  i/e,  ij/j,  y^,  ii/"T(f 
!A»  "A  (s»  den  Artikel  »mechanische  Quadratur«)  bilden  lassen,  wobei  man  nur 
die  Anfangsconstante  für  die  Summation  so  zu  bestimmen  hat,  dass  die  IntegTale 
für  die  Osculationsepoche  verschwinden.  Man  hat  also,  wenn  die  für  die  Oscu- 
lationsepoche giltigen  Grössen  den  Index  0  erhalten  (die  Indices  £,  tj,  C,  können 
weggelassen  werden,  die  Operationen  sind  gleichmässig  iür  alle  drei  Reihen  aus- 
zuführen) und  die  Functionswerthe,  welche  sich  auf  die  unmittelbar  vorhergehende 
und  folgende  Störungsepoche  beziehen  mit  den  Indices  —  },  +  ^  versehen 
werden : 

Mit  diesen  Werthen  erhält  man  sotort  %  für  den  nächsten  Ort, 

welche  zur  Bestimmung  der  Doppelinlegrale  für  diesen  Ort  bereits  dienen 

d*l 

können.    Ganz  allgemein  wird  man  daher,  wenn  der  Differentialquotient 

(und  ebenso  die  beiden  andern  Differentialquotienten)  ftlr  den  iten  Ort  be- 
rechnet ist,  durch  Addition  dieser  Werthe  zur  Summe  Vi-\  den  Werth  Vi+\ 
und  durch  Addition  dieses  Werthes  zur  Summe  n/,  den  Summenwerth  uf;+i 
erhalten.    Da  aber  das  Integral  £  nach 

l  -  UA  +  *A  -  ,hA"  

berechnet  wird,   so  könnte  man  die  Störung  für  den  (i  -+-  l)ten  Ort  finden, 
d*l 

wenn  f%  =  ^  und  die  Differenz  /"  auch  für  den  (i  -+-  l)ten  Ort  bekannt  wären. 
Dieses  ist  aber  nicht  der  Fall.    Setzt  man  aber  in 


')  Will  man  nur  Störungen  von  der  ersten  Potent  der  Massen  berücksichtigen,  so  wird 
man  in  den  störenden  Kräften  Xlt  K,,  Z,  an  Stelle  von  x,  y,  t  die  ungestörten  Coordinaten 

x0.yt,  t0  zu  seuen  haben,  und  ?-=-i-(x05  +  y0i)  +  *0Q;  /=  3. 


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Mechanik  des  Himmels.  23. 


333 


den  Werth  für  -j^  aus  (8)  ein ,  so  erhält  man 

5  =  uA+*Xt  ^^hfqx -^h\- jfrA" 

oder  wenn  man 

setzt,  welche  Werthe  für  jedes  Intervall  bekannt  werden,  sobald  die  Xlt  Kp  Zv 
bestimmt  sind: 

{(i  +  A*)-4  +  AVf*  fm 
= 

Diese  Werthe  von  5,  tj,  C  können  noch  nicht  verwendet  werden,  denn  q 
enthält  alle  drei  Grössen;  man  könnte  diese  Gleichungen  auch  als  drei  Gleichungen 
mit  den  drei  Unbekannten  £,  tj,  C  ansehen,  und  dieselben  daraus  bestimmen; 
einfacher  jedoch  wird  es,  die  aus  (10)  folgenden  Werthe  von  (j,  ij,  C  in  die 
Gleichung  (5)  einzusetzen,  wodurch  man  eine  Gleichung  zur  Bestimmung  von  q 
erhält,  die  5,  »),  C  nicht  mehr  als  Faktor  enthält1).    Setzt  man: 

so  erhält  man 

g'S'r  -f-       -4-  cSt 
9  ~  \  —  hhf{ax  +  by  +  ct)'  U^ 

Substituirt  man  nun  die  aus  (10)  folgenden  Werthe  von  £,  »j,  in  denen 
jetzt  f  durch  (12)  bestimmt  erscheint,  in  die  Gleichungen  (8),  so  erhält  man 

\  h  h 

folglich,  wenn  man 

*'  (13) 


setzt: 


i 


^  =  X,  +  h'(Jqx-Sx) 
^3  -  Yx  +  "  -SO  (U) 

g|  -  Z,  +  h\fqz  -  5.). 

Nachdem  man  daher  für  die  ersten  4  Orte  (zwei  vor,   zwei  nach  der 
Osculationsepoche)  die  Differentialquotienten,  unter  der  Voraussetzung  Sx  «  S, 
S%  =  q  =  0  berechnet  hat,  wird  man  die  erste  und  zweite  summirte  Reihe 
bilden,  womit  die  »/  für  den  nächsten  Ort  bekannt  werden;   die  zweiten 
Differenzen  /"  in  Formel  (9)  wird  man,  da  sie  mit  dem  kleinen  Faktor  ^ 


»)  Die  Incremente  tf,  (q,  JC  von  *0,  y0,  «0  können  beibehalten  werden,  da  das  Resultat 
in  Anbetracht  ihrer  Kleinheit  gegenüber  den  x0,  ya.  t0  nicht  wesentlich  ' 
man  für  dieselben  auch  nur  genäherte  (extrapolirte)  Werthe  substituirt. 


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334  Mechanik  des  Himmels.  23. 

multiplizirt  sind,  genügend  genau  durch  Extrapolation  erhalten.  Sobald  dann  für  die 
vier  ersten  Orte  -j^ ,  -j-^ ,  -j^  bekannt  sind,  bestimmt  man  die  Integrations- 

constanten  so,  dass  die  ersten  und  zweiten  Integrale         ^7»       un<*     »).  C 

gemäss  der  Bestimmung,  dass  die  Elemente  osculiren  sollen,  für  die  Osculations- 
epoche  verschwinden;  hierfür  hat  man1) 

>/  c«  -*)--*/•<«-  *>  +  §ö/"'  c* -  *) 
»/(«-  i)  =  -*>/(«- tt+^/c«-*) - flSi/'V - 

Dann  hat  man  für  jeden  folgenden  Ort3)  das  Foimelsystem  1,  6,  7,  9,  11,  12,  13,  14 
zu  berechnen. 

Bei  Anwendung  dieser  Methode  wird  man  zweckmässig  als  Fundamental» 
ebene  eine  feste  Ekliptik  wählen;  man  drückt  dieses  dadurch  aus,  dass  man 
die  osculirenden  Elemente  ö,  u»,  /  auf  die  feste  Ekliptik  und  das  mittlere 
Aequinoctiu  m  eines  bestimmten  Jahresanfanges  bezieht.  Alle  Coordinaten  werden 
auf  diese  bezogen.  Die  Berechnung  der  ungestörten  Coordinaten  *0,  y0,  z0 
wird  nach  17.  2,  3  vorgenommen;  die  der  Coordinaten  der  störenden  Planeten 
xv  y\>  *i  erfolgt  nach  den  Formeln  17.  4,  wobei  man  nur  zu  beachten  hat, 
dass  die  heliocentrische  Länge  und  Breite  (/t,  bx)  auf  die  gewählte  Ekliptik  und 
das  gewählte  Aequinoctium  bezogen  werden.  Da  sich  die  Störungsrechnung 
über  mehrere  Jahre  erstrecken  kann,  so  wird  man  die  in  den  Jahrbüchern  an- 
gegebenen Daten,  falls  dieselben  wahre  Längen  und  Breiten  sind,  von  Nutation 
befreien,  und  durch  Anbringen  der  Präcession  auf  das  gewählte  Aequinoctium 
beziehen.  Die  Entfernungen  r0,  bestimmen  sich  aus  17.  9,  wobei  selbstverständ- 
lich die  Hilfswerthe  0,  0'  nicht  gebraucht  werden. 

Bei  der  Wahl  der  Daten  wird  man  sich  zweckmässig  an  diejenigen  halten, 
für  welche  das  > Berliner  Astronomische  Jahrbuchc  die  Coordinaten  der  störenden 
Planeten  giebt,  und  es  mag  noch  erwähnt  werden,  dass  diese,  ausgedrückt  in 
Tagen  der  julianischen  Periode  von  der  Form  40«  -+-  24  sind. 

Die   St  Ölungen  \,  r\,  C  beziehen  sich  ebenfalls  auf  die  Ekliptik;  da  man 
aber  bei  den  Ephemeriden  stets  Aequatorcoordinaten  wählt,  so  wird  man  aus 
den  Störungswerthen  i,  ^,  C  am  zweck  massigsten  sofort  die  Aequatorealstörungen 
V,  C  ableiten,  was  durch  die  Formeln 

=  i  ;      tj'  ^  v)  cos  t  —  C  sin  c;      C  =  tj  sin  t  +  Zcosz  (15) 

geschieht,  wobei  t  die  mittlere  Schiefe  der  Ekliptik  für  das  angenommene 
Aequinoctium  bedeutet. 

Das  Argument  q  für  die  Reihe  /  wird  erst  durch  (12)  bekannt;  in  erster 
Näherung  kann  man  in  (12)  /=  3  setzen,  oder  in  (6)  für  q  einen  extrapolirten 
Werth  verwenden,  und  wenn  nöthig  die  Rechnung  mit  einem  verbesserten  Werthe 
wiederholen.  Die  Rechnung  der  Formel  (6)  wird  umgangen,  wenn  man  /  mit 
dem  Argumente  q  tabulirt  hat.  Eine  solche  Tafel  auf  6  Decimalen  findet  sich 
in  v.  Oppolzer,  »Lehrbuch  zur  Bahnbestimmung  von  Planeten  und  Kometen«, 
II  Bd.,  pag.  590;  auf  5  Decimalen  abgekürzt  ist  dieselbe: 


')  Vergl.  den  Artikel  »Mechanische  Quadratur«. 

*)  Man  kann  für  die  vier  der  Osculationsepoche  nächst  gelegenen  Orte  mit  den  bereits  be- 
kannten Werthcn  der  %  die  Rechnung  auch  wenn  nöthig  wiederholen. 


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Mechanik  des  Himmel».  23- 


335 


O-O30OO0 
0-029000 
0O280C0 
0027000 
0-026000 
0-025000 
0-024000 
0028000 
0-022000 
0-021000 


0O19000 
0-018000 
0-017000 
0016000 
0OI5000 
0-014000 
0-018000 
0012000 

ooucoo 

0O10000 
0009000 
0008000 
0O070C0 
0006000 
OO050C0 
0004000 


IHM*.  1 1  • 


0  002000 

o-ooiooo 


IBIII  I  II  II 


0-51080 
0-50964 
0-50848 
0-50788 
0-50618 
0-50508 
0-50888 
0-50274 
0-50160 
0-50046 

0-49982 
0-49819 
0-49706 
049598 
0-49480 
0-49368 
0-49256 
0-49144 
0-49082 
0-48921 

0-48810 
0-48699 
0-48588 
0-48478 
0-48368 
0-48258 
0-48148 
0-48039 
0-47980 
0-47821 

047712 


Diff. 


nrzi 


116 
116 
115 
115 
115 
115 
114 
114 
114 
114 

113 
113 
US 
113 
112 
112 
112 
112 
111 
III 

III 
111 
110 
110 
110 
HO 
109 
109 
109 
109 


ooooooo 

+  0-001000 
+  0-002000 
+  0  008000 
-f  0004000 
+  0005000 
+  0006000 
+  0  007000 
+  ö 008000 
+  0009000 

+  0O10000 

4- oouooo 

+  0012000 
+  0018000 
+  0014000 
+  0015000 
+  0016000 
+  0OI7000 
+  00 18000 
+  0-019000 

+  0  020000 
+  0021000 
+  0022000 
+  0-0230OO 
+  0024000 
+  0025000 
+  0  026000 
+  0027000 
+  0O280O0 
+  0029000 

+  0030000 


0-47712 
0-47604 
0-47495 
0-47387 
0-47280 
047178 
0-47065 
0-46958 
0-46851 
0-46744 

0-46638 
0-46532 
0-46426 
0-46320 
0  46215 
0-46109 
046004 
0-45900 
0-45795 
0-45691 

0-45586 
045482 
0-45379 
0-45275 
0  45172 
0-45069 
0-44966 
0-44863 
0-44761 
0-44659 

044557 


116 

115 

114 

113 

112 

111 

110 

109 

1 

116 

11-5 

1 14 

U-3 

11-2 

III 

110 

10-9 

2 

232 

230 

228 

22-6 

22-4 

22  2 

22  0 

21-8 

8 

34-8 

34-5 

84-2 

33  9 

336 

33-3 

330 

32-7 

4 

46-4 

460 

45-6 

45-2 

44-8 

44-4 

440 

48-6 

5 

58-0 

57-5 

570 

56-5 

560 

55-5 

550 

545 

6 

69-6 

690 

684 

67-8 

67-2 

66-6 

660 

65-4 

7 

81-2 

80-5 

798 

791 

78-4 

77-7 

770 

76-8 

8 

92-8 

920 

91-2 

90-4 

89-6 

88  8 

880 

87-2 

9 

104  4 

103-5 

102-6 

101-7 

100-8 

99-9 

990 

98- 1 

108 

107 

106 

105 

104 

103 

102 

1 

10-8 

10-7 

10-6 

10-5 

10-4 

10  3 

10  2 

2 

21-6 

21-4 

21-2 

210 

20-8 

20-6 

20-4 

3 

32-4 

321 

81-8 

31-5 

31-2 

30-9 

80-6 

4 

43-2 

42-8 

42-4 

420 

41-6 

41  2 

40-8 

5 

540 

53-5 

530 

62-5 

520 

51-5 

510 

6 

64-8 

64-2 

63-6 

630 

62-4 

618 

61-2 

7 

75-6 

74-9 

74-2 

73-5 

78-8 

72-1 

71-4 

8 

864 

85-6 

84-8 

840 

83-2 

82-4 

81-6 

9 

97-8 

96-8 

95-4 

94-5 

93-6 

92-7 

91-8 

Diff. 

-  108 

-  109 

-  108 

-  107 

-  108 

-  107 

-  107 

-  107 

-  107 

-  106 

-106 

-  106 

-  106 

-  105 

-  106 

-  105 

-  104 

-  105 

-  104 

-  105 

-  104 

-  108 

-  104 
-103 

-  108 

-  103 

-  103 
-102 

-  102 
-  102 


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336  Mechanik  des  Himmels.  23.  24. 

Die  Störungen  £,  t\,  C  werden  selbstverständlich  successiv  anwachsen,  es  ist 
aber  keineswegs  nöthig,  dieselben  für  jeden  Tag  zu  berechnen.  Das  zu  wählende 
Intervall  hängt  wesentlich  von  den  Grössen  der  störenden  Kräfte  und  den 
Aenderungen  der  Distanz  zwischen  dem  störenden  und  gestörten  Körper,  ab; 
das  Intervall  kann  erfahrungsmässig  bei  kleinen  Planeten  40  Tage  angenommen 
werden;  bei  Kometen  werden  oft  kleine  Intervalle  bis  zu  10  Tagen,  und  auch 
noch  kleinere,  nöthig  werden;  natürlich  tritt  an  Stelle  von  k  überall  (wk). 

Da  die  Störungen  stets  klein  sind,  so  kann  man,  um  das  unnöthige  Anschreiben 
von  Decimalen  zu  vermeiden,  gewisse  Grössen  in  einer  kleineren  Einheit  ausdrücken. 

d'i   d*-n  d*X, 

In  der  Praxis  wählt  man  als  Einheit  für  i,  tj,  C  und  -j^  ,  -j^f ,  ^jj  ^ie  sie0«»1« 

Decimale;  der  Anblick  der  Formeln  (8)  und  (14)  zeigt  dann,  dass  diese  Grössen 
sofort  in  dieser  Einheit  erhalten  werden,  wenn  man  Xx,  Yx,  Zx  in  Einheiten 
der  siebenten  Decimale  ausdrückt.  Gemäss  den  Formeln  (9)  werden  dann  auch 
die  Summen  Sr,  S,,  S,  in  derselben  Einheit  erhalten.  Drückt  man  x,  y,  m  und 
folglich  nach  Formeln  (11)  auch  a,  b,  c  in  der  gewöhnlichen  Einheit  (der  Erd- 
bahnhalbaxe)  aus,  so  folgt  nach  (12)  auch  q  in  Einheiten  der  siebenten  Decimale, 
und  da  /  nahe  3  ist,  so  werden  auch  die  Glieder  fqx,  fqy,  fqt  in  (14)  in  Ein- 
heiten der  siebenten  Decimale  erhalten,  während  h,  K  Verhältnisszahlen  in  der 
gewöhnlichen  Form  sind. 

Um  die  störenden  Kräfte  sofort  in  Einheiten  der  siebenten  Decimale  zu 
erhalten,  genügt  es  an  Stelle  von  (wk)*ml  die  Werthe  (wi)tml'l01  einzuführen. 
Dieselben  sind  mit  den  pag.  303  angeführten  Werthen  für  die  Massen: 

£•?(«•*)>  Mt  10 r  log(wkym%W 
Mercur  9  9502-10  Jupiter»)  3656084 

Venus  1  0625  Saturn  3-13102 

Erde Mond    1*1244  Uranus  23217 

Mars  0  1839  Neptun  23852 

24.  Beispiel.  Es  wird  zweckmässig  sein,  ein  Beispiel  zu  wählen,  bei  welchem 
die  Störungen  beträchtlich  anwachsen,  weshalb  ich  die  Berechnung  der  Störungen 
des  Kometen  1889  V,  Brooks  wähle.  Die  zu  Grunde  gelegten  Elemente  sind 
die  von  Bauschinger  aus  der  ganzen  Erscheinung  1889  b*s  l&91  abgeleiteten*): 

Epoche  1889  Sept.  30-5  mittl.  Zeit  Berlin. 
M0  =    0°    1'5"01  <p  =  28°  5' 5"-75 


«  =     1  34  54-99 

u>  •=  343  35  50  62 

ft  =   17  59  4-37 

1=6  4  6-57 


I*  =501"-72306 
Ekliptik  und  log  a  •=  0-5663617 

Aequinoct.  1890  0    log  sin  ?  =    9  6728179 

logp=    0  4575457 

Die  Epoche  der  Osculation  wird  bei  Kometen  am  zweckmässigsten  in  die 
Nähe  des  Perihels  gelegt;  da  sich  nämlich  hier  die  Coordinaten  ausserordentlich 
rasch  verändern  (in  Folge  der  schnellen  Bewegung  der  Kometen),  namentlich 
aber  höhere,  bis  zu  den  vierten  und  fünften  Differenzen,  beträchtlich  werden,  so 
würden,  wenn  die  Störungen  bereits  grösser  sind,  diese  Differenzen  sich  auch 
in  den  Störungen  zeigen,  und  einen  sehr  un regelmässigen  Gang  derselben  er- 
zeugen, weshalb  es  nöthig  würde,  viel  engere  Intervalle  zu  nehmen.  In  der 
Nähe  der  Osculationsepoche  aber  sind  die  Störungen  natürlich  sehr  klein,  weil 


')  Masse  1  :  355500. 

»)  Mit  der  Masse  I  :  1047-87J  gleich  3*654972. 

*)  Untersuchungen  Uber  den  periodischen  Kometen  1889  V  (Brooks)  h  Theil,  pag.  38. 


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Mechanik  des  Himmels.  24. 


337 


eben  die  Elemente  osculiren,  und  die  rasche  Veränderung  der  Coordinaten 
bleibt  ohne  Einfluss,  wie  man  sich  aus  dem  folgenden  Beispiele  selbst  leicht 
überzeugen  kann.  Es  ist  jedoch  nicht  nöthig  die  Osculationsepoche  direkt  mit 
dem  Durchgange  des  Kometen  durch  das  Perihel  zusammenfallen  zu  lassen, 
und  wird  man  dabei  zweckmässig  als  Osculationsepoche  einen  Tag  wählen, 
welcher  in  der  Mitte  zwischen  zwei  Daten  des  »Berliner  Jahrbuches«  liegt, 
weil  dann  die  Bestimmung  der  lntegrationsconstanten  (Integration  für  die  Mitte 
zweier  Intervalle)  am  einfachsten  wird. 

Die  vorigen  Elemente  sind  als  osculirend  für  1889  Oct.  8  angesehen,  und  die 
Störungen  t  1»  C  für  die  zwei  der  Osculationsepoche  vorangehenden  und  für  die 
zwei  nachfolgenden  Daten,  also  für  1889  Dec.  7,  Okt  28,  Sept.  18,  Aug.  9  gleich 
Null  angenommen. 

Das  nachstehende  Beispiel  ist  natürlich  bedeutend  verkürzt  wiedergegeben; 
für  den  Beginn  der  Rechnung  sind  sechs  Orte  angeführt;  zwischen  1889  Mai  21 
bis  1887  Dec.  18  sind  die  Details  weggelassen,  und  sodann  bis  1887  Juni  1 
wieder  angegeben  *).  Die  Berechnung  der  störenden  Kräfte  ist  auf  pag.  339  für 
Jupiter  (die  ganz  gleichartige  Berechnung  für  Saturn  ist  weggelassen)  und  zwar 
lür  die  vier  ersten  und  die  zwei  letzen  Orte  mitgetheilt.  Es  wird  dieses  selbst 
für  den  Anfänger  zur  Orientirung  vollständig  ausreichen;  das  Fehlende  wird 
mit  Hilfe  der  Zusammenstellungen  auf  pag.  341  leicht  ergänzt  werden;  aus  dem 
gleichen  Grunde  sind  hierbei  die  Differenzwerthe  weggelassen. 

Auf  pag.  338  finden  sich  die  Bezeichnungen  N  und  Z,  und  es  ist 

1  —  N=*  &hf{ox  +  by  +  cm)]  Z  =  aSx  +  bS,  +  cSt. 

Zu  bemerken  ist  übrigens,  dass  die  Werthe  der  Sxt  Syt  St  für  die  ersten 
vier  Orte  bei  Beginn  der  Rechnung  unbekannt  sind,  und  daher  gleich  Null  an- 
genommen werden  müssen;  es  wird  dann  auch  q  =  0,  daher  auch  die  mit  AZA, 
A2K,  A2Z  bezeichneten  Zusatzglieder  in  23  (14)  verschwinden  und  folglich 
cP\  ePr,  d*t 

JÄ  =  Xi>  jji  =  s=  Z\-    Auf  Pa8-  338  sind  jedoch  auch  für  die  vier 

ersten  Orte  bereits  Werthe  für  Sx,  Sy,  Ss  eingesetzt,  indem  mit  den  aus  einer 
provisorischen  Rechnung  erhaltenen  Werthen  die  Rechnung  wiederholt  wurde. 

Die  Rechnung  ist  nur  fünfstellig  durchgeführt,  und  die  Störungen  in 
Einheiten  der  sechsten  Decimale  angegeben.  Für  diese  Einheit  wird  daher  z.  B. 
für  Jupiter  iog{vA)*mtlQ*  =  2*65508.  In  Einheiten  der  sechsten  Decimale  ist 
dann  z.  B.  für  1887  Juni  1*0  :  tj  =  —  21646*58  (vergl.  pag.  343).  Hiervon  sind  für 
die  Störungsrechnung  nur  5  Decimale  beizubehalten,  d.  h.  nur  die  vier  ersten 
Stellen  zu  berücksichtigen;  daher  würde  für  die  Störungsrechnung  ij  =  —  2165, 
wofür  vor  Schluss  der  Störungsrechnung  für  dieses  Intervall  der  ausreichend 
genäherte,  extrapolirte  Werth  —  2164  verwendet  erscheint. 

Die  Störungsrechnung  wurde  hier  nach  rückwärts  geführt,  man  hätte  daher 

d\    dt[  dl 

dt  negativ  zu  nehmen,  da  sonst1/  und  somit  auch         dt'  ~dt  (n'c*lt  a*)er  U/) 

mit  entgegengesetzten  Zeichen  erscheinen  würden.  Es  genügt  aber,  für  die  Be- 
rechnung die  ungeänderten  Formeln  beizubehalten,  aber  die  erhaltenen  Werthe 
nach  rückwärts  einzutragen  und  in  dieser  Weise  die  Differenzen  zu  bilden,  wie 
dieses  aus  pag.  341  ersichtlich  ist. 

Bezüglich  der  Bestimmung  der  Constanten  der  Integration  vergl.  den  Artikel 
»mechanische  Quadratur«. 


l)  Die  epbcmeridenartig  gerechneten  Zeiten  sind  durch  *  bezeichnet 


338  Mechanik  des  Himmels.  24. 


iRRn 
1  öi>9 

L/CC*    1  U 

uci,  20  u 

C.nl  ifi.fi 

An»  Q-fi 

JUll  uV  V 

Mai  -*l-0 

•M  .... 

9°  25'  31  "3 

3°  51'  2"-4 

858°  16'  83"-5 

352°  42'    i"  b 

347°  7'35"-6 

341°  33'   6"  7 

*E  .... 

17  33  58-5 

7  16  31*8 

356   44  38-0 

346   19  25-2 

336  16  22-2 

326  46  13-4 

*v  

28  53  16-6 

12    4  20-7 

354  34  27-9 

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Mechanik  de«  Himmel».  24.  339 


889 

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Mechanik  de*  Himmel«. 


1887 

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+ 110 

+  146 

+  190 

+  246 

+  S16 

+  401 

»4  

+  009445 

+  0-09873 

+  0- 10278 

+  0*10641 

+  0-109/8 

+  01 1282 

«D  

-|-  0062 17 

+  005208 

+  0-04196 

+  003 181 

+  002165 

+  0*01144 

log  h  

773739 

7-70167 

7-66933 

7-64007 

7-61S66 

7-58994 

hgJt*  

1-29212 

1-31592 

1-33747 

1*35697 

1-37456 

1-39037 

**  

0,50966 

0.54380 

0.57343 

0.59930 

0,62193 

0,64177 

hg  0  

9.81732 

9.22763 

9,23568 

9,24200 

9.24699 

0,25095 

logS,  

3.49738 

3,59645 

3,69125 

3.78207 

3.86988 

3,95325 

*T>  

0.48085 

0,46476 

0,44585 

0.42403 

0.39915 

0,37100 

log  b  ..... 

9,18822 

9.14817 

9.10749 

9.06590 

9.02307 

8.97868 

hg  s,  

3.84692 

3,95394 

4.05549 

4.15241 

4,24541 

4,33537 

logt  

9.29692 

9,24991 

9.19443 

9,12801 

9.04673 

8.94359 

hg  c  

8.00601 

7.93577 

7,85959 

7.77500 

7,67829 

7.56305 

hgSt  

304294 

3  16398 

3-27989 

3-39129 

3-49883 

3-60322 

log{fix  +  ly  +  cx) 

000089 

000106 

000130 

000159 

000191 

0OO222 

log/  

047540 

047503 

0-47464 

0.47420 

0-47371 

0-47318 

log  q  

3-20240 

3-28371 

8-85973 

3  431 12 

3-49843 

3-56828 

hg  (1  -  N)  .    .  . 

7- 13450 

7-09858 

7-06609 

7-03bb8 

7-01010 

6-98616 

hgZ  

3-20181 

3-28316 

3-35922 

3-43064 

3-49797 

356185 

hgN  

9-99941 

9-99945 

9'99949 

9-99952 

9-99954 

999957 

/f*  

-  15397-8 

-  20069-5 

-  25574  0 

-  31960-8 

-  89270  9 

-  47558-9 

/f>  

—  14409-7 

-  16730-0 

-  19064-4 

-  21347-6 

-23512  1 

-  25495-3 

/9*  

-  943-4 

-  10201 

—  1068-6 

—  1079-8 

-  1044-4 

-952-9 

bg(Jix—Sx).  . 

4,08830 

4,20740 

4.31517 

4,41341 

4.50838 

4.58635 

kg^/qy  -  sy) .  . 

3.86808 

3.88853 

3.88657 

3.85392 

3.77206 

3.58544 

3,31120 

3,39425 

3,47327 

3.54923 

3.62306 

3.69579 

hgh  

7-73720 

7-70149 

7-66916 

7-63991 

7-61351 

7-58980 

x-^  

-  72-35 

-  77-46 

-  83-51 

-  91-23 

-  101-63 

-  116-34 



-1-0-70 

+  072 

+  0-72 

+  0-73 

+  0-75 

+  0-75 

Y*  

—  307-74 

—  364-48 

—  433-44 

—  519-22 

-  629-29 

-  775-50 

yr>  

—  0-26 

—  0-27 

—  0-27 

—  0-28 

-  0-29 

—  0-30 

z^  

+  86-47 

+  103-64 

+  124-26 

+  149-56 

+ 181-59 

+  283-58 



+  002 

+  001 

+  001 

+  001 

+  0O2 

+  0-01 

ix  

-  71-65 

—  76-72 

-  82-79 

-  90-50 

-  100-88 

-  115-59 

MX  

—  66-91 

-  81-08 

—  96-46 

-  11306 

-  130-89 

-  150-02 

IV  

—  30800 

—  364-75 

-  433-71 

—  519-50 

-  689-58 

-  775  80 

MV  

—  40-30 

—  88-91 

—  35-95 

—  8118 

—  84-89 

—  14-97 

1Z  

+  86-49 

+  108-65 

+  184-87 

+ 149-57 

+ 181-61 

+  283-59 

Mz  

-  11  18 

-  12-47 

-  13-88 

-  15-46 

-  17-24 

-  19-30 

Digitized  by  Google 


Mechanik  des  Himmels.  24. 


34' 


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342  Mechanik  des  Himmels.  25. 

25.  Störungen  in  rechtwinkligen  Coordinaten.  Uebergang  auf 
osculirende  Elemente.  Im  Laufe  der  Zeiten  wird  es  eintreten,  dass  die 
Bahn  des  Himmelskörpers  sich  merklich  nach  beiden  Seiten  von  der  ursprünglich 
angenommenen  Ebene  entfernen  wird,  und  sich  eine  geänderte  Bahnebene  und 
eine  andere  Ellipse  dem  wahren  Laufe  besser  anschmiegen  wird.  Die  Störungs- 
werthe,  bezogen  auf  die  ursprünglich  angenommene  osculirende  Bahn  werden 
dann  sehr  beträchtlich,  und  der  Gang  der  Differenzen  ziemlich  unregelmässig 
(auch  die  höheren  Differenzen  sehr  bedeutend).  Hat  man  die  Störungsrechnung 
durch  einige  Zeit  fortgeführt,  und  bemetkt  man,  dass  die  Störungen,  insbesondere 
aber  die  ersten  und  höheren  Differenzen  zu  gross  werden,  so  wird  man  für  eine 
neue,  zu  wählende  Epoche,  von  welcher  ausgehend,  man  die  Störungsrechnung 
fortsetzen  will,  neue  osculirende  Elemente  ableiten,  welche  man  aus  den 
Coordinaten  und  Geschwindigkeiten  für  diese  Epoche  leicht  erhält. 

Man  rechnet  zunächst  für  die  neue  Osculationsepoche  die  ungestörten 
Coordinaten  nach  den  Formeln  17.  2,  3,  und  die  ungestörten  Geschwindigkeiten 
nach  17.  12.    Aus  den  Tafeln  für  die  Störungen  entnimmt  man  die  numerischen 

dl    dri  dl 

Werthe  der  Störungen  \,  rj,  C  und  ihrer  Differentialquotienten      ,       ,  -j- ,  die 

entweder  durch  numerische  Differentiation  der  Störungen  oder  durch  einmalige 
Integration  der  störenden  Kräfte  erhalten  werden,  dann  hat  man  für  die  neue 
Epoche 

x  =  x0  +  t,      y  =  y0  -+-  t),      *  =     4-  C 
dx      dx0      dl    dy      dy0       </r)     dz       dz0       dZ  *  ' 

"dl  =  ~d7  +  dt'  ~dt  ~  ~dt  +  ~dt  '  IT ~  ~dt  +  ~dt " 

Hiermit  erhält  man  die  Lage  der  neuen  Bahn  nach  den  Formeln  17.  131), 
welche  nebst  dem  Knoten  und  der  Neigung  auch  den  Parameter  /  geben. 
Dann  wird  mit  den  gestörten  Coordinaten  und  Geschwindigkeiten 

dr  dx  dy  dz 

rSt"~i. i+r-ST+'-dt  « 

und  aus  17.  11,  14.  7  und  17.  1: 
Vp  är 

e  sin  v  =  sj-    ,j  r  cos  u  =  x  cos     4-  y  stn  ß 

p°  0)  (4) 

e  cos  v  =  ~ -  —  1  rsinu  =y  cos&cos  i—x  sin&cosi  -+-  zsin i 

tang  \E  =  tang{Ab°  -  }7)  fang \v 
M  =  E  —  e  sin  E 
tu  —  u  —  v. 

Hieraus  leitet  man  noch  für  elliptische  Bahnen 

a—p  sec%  9         u.  =  -  ~ 

ab.  Die  strenge  Berechnung  dieser  Formeln  erfordert  Tafeln  mit  7  Decimalen; 
dabei  werden  die  osculirenden  Elemente  unmittelbar  erhalten.  In  vielen  Fällen 
wird  es  sich  aber  empfehlen,  nur  die  Aenderung  der  osculirenden  Elemente, 
d.  h.  die  Differenz  der  neuen  gegen  die  ursprünglichen  abzuleiten.    Da  diese 


')  In  den  Formeln  2,  3,  12  sind  selbstverständlich  die  ungestörten  Coordinaten  und 
Geschwindigkeiten,  in  den  folgenden  Formeln  13  aber  bereits  die  gestörten  tu  verwenden. 
Ein  Mißverständnis«  kann  hieraus  nicht  entstehen. 


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Mechanik  des  Himmels.  25.  36. 


343 


Differenzen  stets  mässig  sind,  so  wird  man  mit  weniger  Decimalen  ausreichen; 
doch  sind  die  Rechnungsvorschriften,  da  man  die  Aenderungen  keineswegs  als 
differentielle  ansehen  kann,  etwas  weitläufig1).  Insbesondere  jedoch  wird  sich 
dieser  Vorgang  für  die  Bestimmung  der  neuen  Excentricität  (ecosv  bestimmt 
sich  ja  durch  die  sehr  kleine  Differenz  ß:r —  1)  und  der  neuen  mittleren  Be- 
wegung u.  empfehlen,  welche  sehr  genau  bekannt  sein  muss,  weil  mit  Hilfe  der- 
selben über  einen  relativ  ziemlich  bedeutenden  Zeitraum  hinaus  die  mittleren 
Anomalien  zu  bestimmen  sind.  Endlich  ist  noch  zu  bemerken,  dass,  wenn  für 
die  Störungsrechnung  ein  Intervall  von  w  Tagen  zu  Grunde  gelegt  wird,  auch 
dl    d-n  dX. 

die  Werthe  ,  ~ ! ,  jj  in  diesem  Intervall  ausgedrückt  sind,  und  daher  überall 
(wi)  an  Stelle  von  k  zu  setzen  ist. 

Beispiel:  Für  Juni  10  erhält  man  aus  der  Tafel  der  ersten  und  zweiten 
summirten  Werthe  (pag.  341)  für  den  Kometen  1889  V  Brooks») 

l  =  -  8991  91  tj  -  —  21646  58         C  =  -+-  4009  07 

dl  d-n  dt 

^  =  4-  1707  02        -Jj  =  -+-   4419-71        dt=  ~  Ml'75. 

Für  die  ungestörten  Coordinaten  erhält  man,  da  v0  =  206°  29'  48" '7  ist: 
x0  =  -  4-374010       y0  =  -  2  327995       *0  =  -  0  091825, 
und  für  die  Geschwindigkeiten  nach  17  (12): 

r  =  226°  26'  45"-7      log  7  =  9-789307      log{wk)t  =  9-626948 
(w  =  40*,  d.  h.  die  Geschwindigkeit  in  40  Tagen,  die  Einheit,  auf  welche  sich 

dl    d*  dZ 
auch        j~t>  2~t  bezicnen)»  damlt: 

Iß  =  +  0  187300  =  —  0  161709      ^  =  -  0  023843. 
Hieraus  erhält  man 

logwktfpcosi= 0  0602666  log  sinysin  f=9„3333188    logrcosu  =  0„69 10993 

logwkYpsinisin&  =  8  6214046  logsinycos  v  =  9,6360551    logrsirtu  =  9,8993795 

logwkYpsini cos &  =  9  0S2G125  f  =  206°  22'  30"-42  u=  189°  10'  34"-65 

ß=19°  4'26"56  9=  28  53  51  86  u>  =  342  42  423 

ij=  6  21  22-73         log  a  =  0'5661 102  it  =    1  46  30*79 
log^p  =  0-2253032                ft  =  502"- 1 597 

iW=242  °  30'  13"-26. 

26.  Störungen  in  polaren  Coordinaten.  Hansen  -  TniTjEN'schc 
Methode.  Für  die  Bestimmung  der  polaren  Coordinaten  r,  /,  dienen  die 
Gleichungen  (Bx)  No.  10.  Legt  man  als  Fundamentalebene  die  ungestörte 
Bahnebene  des  Massenpunktes  m  (die  osculirende  Ebene  zu  einer  gegebenen 
Epoche)  zu  Grunde,  so  werden  die  Coordinaten  des  störenden  Körpers,  bezogen 
auf  diese  Ebene  durch  17.  6a,  6b  oder  7  bestimmt,  und  r0l  folgt  aus  den 
Gleichungen  17.  10.  Die  störenden  Kräfte  werden  hier,  wenn  man  für  X,  Y,  Z 
ihre  Werthe  in  Pt  Q  einführt: 

wo,  wie  man  leicht  findet 


')  S.  hierüber  y.  Oppolzer,  1.  c.  IL  Band,  pag.  89. 
*)  VcrgL  Artikel  »Mechanische  Quadratur«. 


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344  Mechanik  des  Himmels.  26. 


*ll  o  -0  Z  = 

ist.   Setzt  man1) 

=  2  40a*K,i  r, <w  A     (Z,  —  /)  •  A'  =  2  k^r.sinB,  •  JT 

Q  =  lk*m%rricosBisin(L>-l)'K         w  =  2  ~V* , 

so  findet  man  leicht 

Px=xR  —  rw;      rQt  =  Q;      ZX  =  W—  wz 
und  die  Differentialgleichungen  werden: 

In  diesen  Gleichungen  tritt  nebst  den  zu  betrachtenden  Variabein  r,  /,  *, 
noch  r  auf,  welche  Grösse  aber  mit  r,  *  durch  die  Gleichung  verbunden  ist, 

r»  =r»  +  «>. 

Es  ist  daher 

i  -  i(. + 3 = [i  - (.  -  *, + Hf.  - . . . .)] 

wenn 

gesetzt  wird.  /  ist  die  bereits  bei  der  Berechnung  der  Störungen  in  recht' 
winkligen  Coordinaten  eingefühlte,  von  dem  Argumente  q  abhängige  Reihe 
(23.  6).    Setzt  man  noch 

so  werden  die  Differentialgleichungen 

^H-w«*-  »V  (4) 
In  der  ungestörten  Bewegung  hat  man 

*)  Die  Abtrennung  gewisser  Faktoren  bleibt  dabei  immerbin  willkürlich;  doch  wird  bei 
gewissen  Anordnungen  die  Rechnung  am  Ubersichtlichsten  oder  einfachsten.  Der  Nenner  r  in 
A*  wird  t.  B.  eingeführt,  damit  in  der.  ersten  Gleichung  (1)  der  Fakter  r  auftritt,  der  spater  bei 
der  Einführung  der  Variabein  v  (s.  Gleichung  12)  wegfallt. 


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Mechanik  des  Himmels.  26. 


345 


Integrirt  man  die  Gleichungen  (3),  (3a),  so  erhält  man,  da  sich  die  Inte- 
grationsconstante  in  der  ungestörten  Bewegung  {Q     0)  gleich  k9Yp  «giebt: 

Nun  ist 

/0  =  f0  #o> 

wobei  N0  je  nach  der  Lage  des  Anfangspunktes  der  Zählung  Air  die  /  den 
Abstand  des  Perihels  vom  Knoten  (Anfangspunkt  im  Knoten  der  Bahn  auf  der 
Ekliptik)  oder  die  Länge  des  Perihels  (Abstand  vom  FrUhlingspunkt  gezählt  in 
der  Ekliptik  bis  zum  Knoten  und  von  hier  in  der  Bahnebene)  bedeutet.  Da 
hier  die  ungestörte  Bahnebene  als  Fundamentalebene  angenommen  ist,  so  wird 
man  für  die  gestörte  Bewegung  ebenfalls 

/=,  V+  N  (6) 

setzen  und  V  als  eine  wahre  Anomalie,  gezählt  vom  beweglichen  Perihel  und 
N  als  Abstand  des  Perihels  vom  beweglichen  Anfangspunkt  nehmen  können. 
Die  Zerlegung  ist  nun  ganz  willkürlich,  sofern  nur  die  erste  Gleichung  (5)  er- 
füllt ist.    Setzt  man  also 

so  könnte  man  N  =  N9  (constant)  setzen,  und  die  ganze  Veränderung  auf  den 
Werth  von  V  werfen;  oder  man  könnte  V  =  v0  setzen,  und  hiernach  die 
Aenderung  von  N  bestimmen,  was  im  Grunde  genommen  auf  dasselbe  hinaus- 
läuft. Am  bequemsten  erweist  es  sich,  die  Veränderung  von  N  durch  die 
Differentialgleichung l) 


(7) 


zu  bestimmen;  dann  wird  V  nicht  gleich  v0  sein,  da  der  Faktor  r  nicht  der 
ungestörten  Bewegung  entspricht    Es  muss  also 

dV 


rl  

F  dt 


sein.  Zur  Bestimmung  der  wahren  Anomalie  vQ  in  der  ungestörten  Bewegung 
dienen  die  Formeln  14.  4  und  9;  an  die  so  bestimmte  wahre  Anomalie  »0 
wäre  dann  eine  Correction  A»  anzubringen,  so  dass  V  =  vQ  -+-  Atr  wäre;  statt 
dessen  kann  man  aber  an  die  seit  der  Epoche  verflossene  Zeit  /  eine  Correction 
A/  anbringen,  so  dass  sich  durch  Berechnung  der  Formeln  14.  4,  9  sofort  V 
ergiebt.    Dann  wird  also: 

M=*  M0  -+- 1*(/  4-  A/)        r0  <os  V=  a  {cos  E  —  e) 

£  —  esm£  =.  M  r0sinV '  =  aeos  <p  sin  £  (TV) 

/=  K+  JV0  +  A7V. 

Nun  ist  nach  14»  11 

dV  k0Vp  . 
</J/  =  r0»p.  ' 

>)  Wählt  man  als  Ausgangspunkt  der  Zählung  ftir  /  und  jVden  FrUhlingspunkt,  so  ist  jVdie 

Länge  des  Perihels.    Der  Ausdruck  für  — —  kann  natürlich  mit  demjenigen  ftlr  die  Aenderung 

▼on  1t  (20*  4)  keineswegs  identisch  sein,  da  hier  ß,  und  tu  nicht  einer  osculirenden  Ebene 
angehören;  ersteres  ist  Überhaupt  für  den  gansen  Verlauf  der  Störungsrechnung  als  constant 


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346  Mechanik  des  Himmels.  26. 

Die  mittlere  Anomalie  ist  hier  aber  sowohl  wegen  des  Gliedes  \it  als  auch 
wegen  der  von  der  Zeit  abhängigen  Correction  A/-  veränderlich,  so  dass 

dM       (  dlt\ 

dt  —rf   V  +  dt) 
ist.    Setzt  man  dies  in  (8)  ein,  so  folgt 

Sobald  r  aus  der  Gleichung  (2)  bekannt  wird,  folgt  hieraus  A/.  Setzt 
man  nun 

r  =  r0  (1  -h  v),  (V) 
so  erhält  man  nach  einer  leichten  Reduction: 

d&t  (2-4-v) 

—  =  _av,    wobei    o  =  (1  ^  v)>  .  (9) 

Diese  Formel  ist  auch  für  parabolische  Bewegungen  anwendbar,  da  aus 
derselben  \l  verschwunden  ist.  Für  die  elliptische  Bewegung  wird  es  kürzer,  so- 
fort die  Störung  der  mittleren  Anomalie  zu  erhalten;  sie  ist 

___  =  -  nva.  (9  a) 

Um  die  Störung  im  Radiusvector  zu  berechnen,  hat  man  zu  beachten,  dass 
der  Radiusvector  r0  zur  wahren  Anomalie  V  gehört,  daher  nach  (TV)  und  (V): 

1  H-  e  cos  V 

ist.   Hieraus  folgt  durch  Differentiation: 

dx  p        </v     p{\  -l-  v)  e  sin  V  d  V 

~dl  ~~  1  -+-  ecos  V  ~dl      ~(i  -+■  e  cos  V)*  ~dt 

dV 

und  daher,  wenn  man  für  -j-  seinen  Weith  aus  (8)  einsetzt: 

dr         r     dv  A0  . 

-J-.  =  -z — - — -77  H — 7= —   e  sin  V.  (10) 

dt    i  +  v  (//    Yp  0  *+"  v) 

Difterenzirt  man  nochmals,  und  setzt  in  dem  entstehenden  Ausdrucke  für 

dx 

j-t  den  Werth  aus  (10)  ein,  so  folgt: 

d*x         r      </*v        kQecos  V  dV 

dl*  -  r+"v  ~di*  +     +  ~dl 

dt*  -  1  +  v  <//»  +  (1  -4-  v)r»' 

Weiter  folgt  aus  (5): 

folglich,  wenn 
gesetzt  wird: 


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Mechanik  des  Himmels.  26. 


347 


Hiermit  wird  die  Gleichung  (2) 


*2  +  kJ_   L*o_V>  q.  _  r 


l  +  »rf/»Tr>  l+v    "  r» 

1  +  V 

Multipliern  man  hier  mit  — —  und  setzt: 


<2'  =  r*0.  (12) 


*«*      „      .  <IIIb> 

so  wird: 


r,       H  h, 


%  +  h,  =  H.  (13) 

Nachdem  man  die  Coordinaten  Z,,  2?t  und  die  Entfernung  r0l  nach  17.  6 
oder  7  und  10  bestimmt  hat,  erhält  man  die  störenden  Kräfte  R,  Q,  W,  w  nach 
I;  A,  A',  Ä0,  fV0,  w0  nach  II,  (?',  Rx,  H,  h  nach  lila,  III b ;  V,  l,  r  sind  be- 
stimmt durch  die  Gleichungen  IV,  V,  wobei  die  Störungen  A/,  A^,  v  und  die 
Breitenstörung  *  senkrecht  zur  ungestörten  Bahnebene  durch  die  Differential- 
gleichungen 

d\t  (2  ->-  v) 

_  =  _av;  *=  (1  +  y)« 

^  +  ^-^  (VI) 
<P  z 

gegeben  sind.  In  den  störenden  Kräften  treten  allerdings  bereits  die  gestörten 
Coordinaten  r,  /,  *  auf,  für  welche  aber,  da  sie  mit  den  störenden  Massen 
multiplicirt  erscheinen,  die  Störungen  immer  genügend  genau  extrapolirt  werden 
können.  Die  Integration  der  Differentialgleichung  für  A/  bietet  keine  weiteren 
Schwierigkeiten,  da  sie  auf  einfache  Quadraturen  führt,  denn  es  ist: 

A/=  — /ovrf/, 

wobei  allerdings  zuerst  der  Werth  von  v  für  das  (<*  -+-  l)te  Intervall  bekannt 
sein  muss,  wenn  man  den  Werth  von  A/  für  dieses  Intervall  bestimmen  will. 

Zur  Erleichterung  der  Rechnung  kann  a  mit  dem  Argumente  v  tabulirt 
werden;  eine  solche  Tafel  findet  sich  in  v.  Oppolzer's  t Lehrbuch  zur  Bahn- 
bestimmung von  Planeten  und  Kometent,  II.  Bd.,  pag.  597  auf  6  Decimalen;  im 
folgenden  ist  dieselbe  auf  5  Decimalen  mitgetheilt;  dabei  ist  für  /  der  Tag  als 
Zeiteinheit  gewählt;  wenn  also  die  Zeiteinheit  für  die  Störungsrechnung  (das 
Störungsintervall)  w  Tage  beträgt,  so  ist  (w|x)  an  Stelle  von  p.  zu  setzen;  über- 
dies ist  in  der  Tafel  der  Werth  von  a  mit  10~6  multiplicirt,  wobei  also  voraus- 
gesetzt ist,  dass  v  in  Einheiten  der  sechsten  Decimale  ausgedrückt  wird.  Wenn 
also  z.  B. 

v  ==  -+-  0-002340 

ist,  so  wird 

log  y  =  3-36922 
loga  =  4-29951 

</A/  dM 
daher   für  diesen  Ort  log     -  =  7,66873   und  die  tägliche  Störung  -  ^  = 

-  0  004664. 


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348 


Mechanik  des  Himmels.  26. 


—  0030000 

—  0029000 

—  0O28000 

—  0027C00 

—  0-026000 

—  0025000 

—  0  0240C0 

—  0  028000 

—  0  022000 
-0021000 

—  0  020000 

—  0-0 19000 

—  0018000 

—  00 17000 

—  0-016000 

—  00 15000 

—  0  014000 
-0013000 

—  0  0 12000 
-001 1000 

—  o-oioooo 

—  0009000 

—  0  008000 

—  0  007000 

—  0-0O6OC0 

—  0-005000 

—  0004000 

—  0-003000 

—  0O02O0O 

—  0  001000 

o-oooooo 


log  0 


Diftereni 


4-82092 
4-32025 
4  31957 
4-31890 
4-31823 
4  317*6 
4-31689 
4-31622 
431555 
4-31488 

4-31421 
4-31355 
4-31288 
4-31222 
4-31155 
4-31089 
4-81022 
4-30956 
4-80890 
4-30824 

4-30758 
4-30692 
4-30627 
430561 
4-80495 
4-30430 
4-30364 
4-30299 
4-30233 
4-30168 

4-80103 


67 
68 
67 
67 
67 
67 
67 
67 
67 
67 

66 
67 
66 
67 
66 
67 
66 
66 
66 
66 

66 
65 
66 
66 
65 
66 
65 
66 
65 
65 


V 

Iog<S 

0-000000 

4-80108 

+  0001000 

4-80038 

+  0-002000 

4-29978 

+  0-003000 

4-29908 

+  0004000 

4-29843 

-f-  U  UUOuUU 

4  ZV  1  iO 

+  00O60O0 

4  29718 

+  0-007000 

4-29649 

+  0-008000 

4-29584 

+  0009000 

4-29520 

+  0O10O00 

429455 

+  0011000 

4-29391 

+  0012000 

4-29327 

+  0-013000 

4-29262 

+  0-014000 

4-29198 

l -901*1. 

+  0-016000 

4-29070 

+  00 17000 

4-29006 

+  0-018000 

4-28943 

+  0019000 

4*28879 

+  0*020000 

4-288(5 

+  0021000 

4-28751 

+  0-022000 

4-28688 

+  0023000 

428624 

+  0024000 

4-28561 

-f~  1/  \JiO\J\J\. 

+  0026000 

4-28434 

-f  0  02(000 

428371 

+  0028OO0 

4-28808 

+  0-029000 

4-28245 

+  0*030000 

4-28182 

65 
65 
65 
65 
65 
65 
64 
65 
64 
65 

64 
64 
65 
64 
64 
64 
64 
63 
64 
64 

64 
63 
64 
63 
63 
64 
68 
63 
68 
63 


68 

67 

66 

65 

64 

63 

1 

6-8 

6-7 

6-6 

65 

6-4 

6-3 

2 

136 

13-4 

13-2 

130 

12-8 

12-6 

3 

20-4 

201 

19-8 

19-5 

19-2 

18-9 

4 

27-2 

26-8 

26-4 

260 

25  6 

25-2 

5 

340 

88-5 

83*0 

82-5 

82-0 

81-5 

6 

40-8 

40-2 

39-6 

890 

38-4 

87-8 

7 

47-6 

46-9 

462 

455 

44-8 

441 

8 

54  4 

53-6 

52-8 

520 

61*2 

50-4 

9 

61-2 

608 

59-4 

58-5 

57-6 

56-7 

Die  Integration  der  beiden  anderen 
wenn  man  sie  in  der  Form  schreibt: 


Gleichungen  führt  auf  Doppelintegrale, 


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Mech.nfk  des  Hlnwn«!».  26.  34f 

Doch  erfordert  dies  bereits  einen  ausreichend  genäherten  Werth  von  x. 
Für  den  Beginn  der  Rechnung  wird  man  denselben  in  folgender  Weise  er- 
langen: Sei 

F(t)  —  F0  +  Fxt  +  Ftf*  -4-  .  .  . 

so  wird  F0  =  F(0)\  Fx  =  F'(0);  F9  =  ±F"(0)  .  •  •  •  Sind  daher  eine  Reihe 
von  Functionswerthen  /*(—  }),  F(—  \),  F(+  *),  f)  bekannt,  so  kann 

man  F(0),  F'(0),  F"(Q)  .  .  .  nach  der  Methode  der  mechanischen  Differentiation 
(s.  den  Artikel  »Interpolation t,  pag.  43,  Formel  6  und  pag.  47).  und  damit  d,c 
Coefficienten  F9,  Fx,  F%  .  .  .  bestimmen.   Man  findet 

-         \)  +  F{+  W  -  M/"  <-  k)  +/"  (+  *» 

^-/'(O)-*/'"«))  (i5) 

*t -*[/"<- *)+/"(+*)] 

^,  -  i/"'(0), 

wo  die  /',  /",  /'"  ...  die  ersten,  zweiten,  dritten  .  .  .  Differenzen  bedeuten. 
Man  wird  so  aus  der  Reihe  der  numerischen  Werthe  der  G,  g  die  Reihen  ab- 
leiten 

G  =  G9  -t-  Gxt  ■+■  Gtt*  ■+-...  (16) 

Setzt  man  *  ebenfalls  in  der  Form  voraus: 

*  =  x0  -+-  xxt  +        -+-  x3/s  4-  .  •  •  (17) 

so  wird  man  die  Coefficienten  *0,  xx  .  .  .  durch  Einsetzen  in  die  Differential- 

dx 

gleichung  (14)  ermitteln.   Für  die  Osculationsepoche  muss  aber  x  =  0,  ^  =  0 

sein,  woraus  *0  =  xx  =  0  folgt.  Für  die  übrigen  Coefficienten  ergiebt  sich  durch 
die  Substitution  in  (14) 

Xt  =  \G0         X4  *=  MG9  —  teoG0>  (lg) 

*•  -  tGi  *»  =  ^(Gs  -  Uo^i  -  i*i G*)- 
Substituirt  man  nun  die  Ausdrücke  (18)  in  (17),  so  erhält  man  allerdings 
bereits  die  Störungen  selbst;  um  dabei  jedoch  eine  genügende  Genauigkeit  zu 
erzielen,  müsste  man  nicht  nur  x%,  sondern  oft  auch  noch  folgende  Glieder  be- 
rücksichtigen. Da  man  jedoch  für  die  spätere  Rechnung  ohnediess  die  zweiten 
Differentialquotienten  benöthigt,  so  wird  die  Formel  (17)  mit  den  Coefficienten 
(18)  (selbst  mit  Vernachlässigung  von  *6)  ausreichen,  um  die  zwei  der  Osculation 
vorangehenden  und  die  beiden  folgenden  Differentialquotienten  mit  Hilfe  des 
nach  (17)  ermittelten  x  nach  (14)  zu  finden.  Aus  diesen  werden  die  summirten 
Reihen  berechnet,  nachdem  die  Anfangsconstanten  so  ermittelt  wurden,  dass  die 
Integrale  für  die  Osculationsepoche  verschwinden.  Für  die  folgenden  Intervalle 
hätte  man  dann  aus  den  zweiten  summirten  Reihen  die  x  nach  den  Formeln 
zu  bestimmen  .  , 

x,+i  -  »/('■  +  1)  +  +  1)  -  +  1). 

Den  Werth  von  /'  (<  -+■  1)  wird  man  wegen  des  kleinen  Faktors  ^  mit 
ausreichender  Genauigkeit  nach  dem  Gange  der  Differenzen  extrapoliren  können; 
um  die  Unsicherheit,  welche  aus  der  Extrapolation  de»  /(*  +  1)  aus  den  bis 
/(/)  reichenden  Functionswerthen  entsteht,  zu  heben,  kann  man 

Ai+l) 
einsetzen,  und  erhält  dann 


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350  Mechanik  des  Himmel*.  26. 

(1  -  A  *>*-:  =  "/('         +  rf, /"('■  +  1). 

Setzt  man  daher 

=  »/('  -HO  -  Sh/"('  +  D  + 

und  set/.t  den  hiermit  folgenden  Werth 

in  die  Gleichung  (14),  so  erhalt  man 

-   j-  j-    —  G  ~  - — -^-j —  Sx.  I1 
dt*  1  4- 

wobei  Cr,  x,  die  Functionswerthe  //,  //,  U'Q,  w0  für  den  (1 -H  l)ten  Ort  sind 
Zu   dem   folgenden  Heispiele  sind  noch   einige  Hemerkungen  erforderic 
Die  Längen         /  sind  vom  Knoten  der  Bahnebene  auf  der  Ekliptik  gerecht 
Bx  wird  nicht  gebraucht,  daher  auch  nicht  aufgeschlagen,  daher  sind  nur  itiS  j 
und  sinBx  angeschrieben.    Die  störenden  Kräfte  sind  wieder  in  Einherten es 
sechsten  Dccimale  gerechnet;  ebenso  natürlich  //  und  wQ\  hingegen  treten  et  \ 
Greven  /; :  (1  +      /i)  und  «'„ :  (1       ^tcq)  als  Faktoren  von  den  ebenfalls 
Einheiten  der  siebenten  Dccimale  ausgedrückten  S;t  und  S:„  auf  (s.  die  Formeln : 
und  müssen  daher  durch  Multiplikation  mit  IG1-6  auf  die  gewöhnliche  Embd| 
reducirt  werden  ';. 

Für  das  einfache  Integral  \\)ät  und  die  Integration  filr  A N  ist  nichts  *| 
sonderes  zu  erwähnen;  nur  wird  zweckmässig,  da  \N  in  Bogensecunden  !*] 
gedrückt  wird,  sofort  JQdt:  <irc  1"  verwendet. 

Es  wird  hier  für  die  Anwendving  bequemer,  die /erstreut  erhaltenen  Forss^ 

zu  sammeln.    Man  hat: 

AI  —  Jf0  -h  fx(/  -i-  1/)  =  AfQ      a/  +  A M       r0  cosV  =  a  (cotE-t) 
K  -  sin  Ii  —  M  r0sinV=:  acosyünE 

I  =  P'+  A0  +  A  X;        r  =  r0(l+v) 

l 

r,  cos  />\  cos  f  /.,  —  /)  =  P,         R  —         myj  *  K 

>\  cos  B,  shi  ( —  /)  =  r;,        ö  =  2  V  w(f),r  AT 
rt  sin  l  W^lkJm^K 

R  =  -  -  -  7^  =  2  *°* 

'V3  ^  r0<5 

R^  zu  -4-  A  =  i?0;  A'  =»  W0 

^2  V  2 

^  +  //v  =  //;  ^  +  W02  =  W0. 

Für  ein  Interwall  von  n>  Tagen  ist  wieder  (w/*0)  an  Stelle  von  *0  xu  se* 


')  Dasselbe  gilt  natürlich  auch  für  die  Summanden  ^  h,  T1j«'. 


•  I 


/  ■ 


■ 


•  -  *  / 


e  jä 
Eint  - 

i£3  3ITT  r 

aitr.  iie 

■cli-zz  ier    -  - 


- 

13 

628 
1573 
.0-99 

)6-0J 
S4547 
00025 
05998 

,8452» 
692*64 

-  80-89 

+-  6399*7 
3-80616 
4*29687 


2,26014 


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35«  Mechanik  de»  Himmels.  27. 


1889 

Dec.  7-0 

Oct.  28  0 

Sept  180 

Aug.  90 

J 

4. 0'"3 

0"-0 

0"O 

-  0"-2 

A  M  

4-0-1 

OK) 

0-0 

—  01 

M%  -1-  f*/  .  .  .  . 

9°  25'3l"*8 

S°51'  2"*4 

358°  16'  3S"*5 

362°  42'  4"-5 

347 

9  25 

3  51  24 

3:8   16  33-5 

352  42    4  4 

347 

17   33  58  8 

7  15  31-8 

356   44  38  0 

346   19  25*2 

336 

v  

28  53  16*7 

1 2    4  20-7 

354   31  27-9 

337   23  23  4 

321 

A*0  4-  AA>"    .   .  . 

343  35  60 9 

343  35  50-6 

343   35  50  6  1 

343  35  50*4 

343 

12  29  7-6 

355  40  11-3 

338    10  185 

320  59  13*8 

304 

14-  v  

0-999997 

1-000000 

1-000000 

0-999996 

C 

0# 307 650 

0  293082 

0*290623 

0  300817 

C 

fn  er  f 

M>S  •  

0*307649 

0*293032 

0*300815 

f 

V 

O-i, 

4-  11-67 

5-92 

#  lv 

—  12-55 

Qt,  

—  082 

-  0-80 

-  0-64 

—  0*37 

0-00 

-f*  yj  liß 

1         4  W 

/tf.  

4-  010 

-HO  19 

4-0-28 

4-  0*34 

—  V/  vi 

■  n.  iQ 

-f-  u  U 

1  fl.7*, 

H-'fc 

-4-  0*04 

4-  2-12 

4-  2  66 

4-3-43 

»         j    •*  /*» 

4-  4-56 

«4-  0  12 

4-0-11 

4.  n-io 

4-  0-10 

9-38470 

9-41384 

9-41875 

9-39887 

t  \    (Iii*  C 

099255 

0  22011 

9*49136 

0*90200 

9-49136 

UiWivU 

1-35999 

058755 

9-85880 

1-26944 

1-23060 

1  17233 

1*  16249 

1-20326 

4-0*77 

4-0  19 

4-0*48 

4-S02 

-  2  24 

-  2-77 

-  3*53 

—  4-66 

*o  

-  1-47 

-2-58 

-  810 

-  2-64 

*i  

4-  134 

4-0-26 

4-0*05 

4-  116 

092295 

0-87925 

0  87187 

0*90244 

H  

-  013 

-  2  32 

-  3  05 

.  —  1-48 

(wk0)'T*  .... 

4-  5637-5 

4-  62522  6 

1 

4-  63593*7 

4-  59269*6 

H 

4-  2-24 

4-277 

4-3-53 

4-4*66 

4-  56537-6 

4-  62524-9 

4-  63596*7 

4-  5927 1  1 

H 

A»flO-«Ä.    .    .  . 

8-75234 

8-79604 

8-80344 

8-77284 

0  00204 

000225 

0*00229 

000214 

0-3927 

9-5051 

9-5441 

0-5079 

i 

% A'  

8-76030 

879379 

8-80115 

8*77070 

—  A'&,  =  —  /4v  . 

4-015 

4-0*02 

4-002 

4-0*20 

4-  56539  7 

4-  62525-4 

4-  63597*3 

4-  59274*2 

_ 

%  7V0  IO-«     .      .  . 

8-75234 

8-79606 

8-80344 

8*77286 

0  00204 

0-00225 

0-00229 

000214 

9-4624 

8-0000 

— 

9*3010 

875032 

8-79381 

8*80115 

8*77072 

ff  =  pi'J „  ... 

-0-58 

—  0  28 

4-016 

4-0  79 

—  wSt  =■«■  —  w0 t  . 

4-002 

4-0-01 

0-00 

-001 

—  246 

-  0-32 

—  0*35 

-3-21 

0-3909 

9-505 

9,544 

0-5065 

• 

4-3010 

4-301 

4*301 

4-3010 

UgdhM:  dt  .    .  . 

91018 

8-171 

8- 182 

9*  1525 

logdbw.dt    .     .  . 

9-6916 

8-9483 

8*2245 

9*6148 

Mechanik  des  Himmels.  27. 


353 


iSb; 

Aug.  2CO 

Juli  U-0 

Juni  1*0 

April  22-0 

• 

Miin  13-0 

•    •  • 

+  0'24"-5 

+    l'  14"'3 

+  2'  21  "-5 

+  o  anr  i 

+   0  4o  4 

•    •  • 

+  10  290 

+  12  43-4 

+  16  29*0 

+  18  37*8 

.  OQ  \C'A 
-r  22   l«  * 

252°21'23"-9 

246°  46'  56"0;24l°  12'  26 '1 

235°  37'  57"*2 

M  Vi/        W  1       W  4  « 

.  1252  31  52  9 

246   59  38-4 

91 1     Q7  Kt.l 
«4 1     II    OO  1  | 

235  56  36  0 

230  25  44  7 

.  231  26  21-5 

227  12    7  1 

223    3  5*5 

218  58  35-5 

214  68  9-9 

.  1212  18  57-2 

209  22  18-2  ! 

206  37  21*9 

203  68  10  9 

20 1    Ji  5*1 

tu  1      «'S  V 

LI  ir  . 

343  36  15' 1 

343  37  4-9 

343  38  12  1 

343  39  41*3 

343  41  37  0 

int     i/\  io.O 

195  50  12*3 

192  59  23- 1 

190  15  34  0  j 

187  37  52-2 

185    5  42  4 

1  003354 

1003877 

1004443 

1005049 

1-005700 

0-678114 

V  O  »Ol  1 ^ 

0-686888 

0-694767 

0*701809 

0708089 

.      .  . 

0-679568 

U  6oöj7ö 

0*696692 

0-703997 

0*710507 

.      .  . 

T  II **0 

+  2272*76 

+  2989-24 

+  3984*48 

+  5434*41 

.     .  . 

+  3-06 

+  3-07 

•  «VI 

+  O  I/O 

+  809 

+  3-08 

.     .  . 

+  697-98 

+  905-88 

+  1209-25 

+  1676  06 

+  2442*23 

+  UtJ/ 

+  001 

+  001 

+  0*01 

o-oo 

+  200-27 

+  244  42 

+  30304 

+  384*64 

+  504*63 

.      .  . 

+  007 

+  007 

+  006 

+  0*06 

+  006 

.      .  . 

-4-  622-72 

+  822-72 

+  1115-86 

+  1568*83 

+  2815  09 

+  011 

+  011 

+  0-11 

+  011 

+  012 

8-640864 

8-622844 

8606616 

w  www  m  v 

8*592006 

8*578986 

lOdt 

3-670237 

8-824415 

3-967948 

4-105416 

4-240816 

•       •  • 

3.669364 

3-823170 

3-966214 

4-103034 

4-237658 

r/t  b  \ 

4nUtJböUö 

A..  IWiCXA 

'l  tl  0  QODiJO 

4-470478 

4-605002 

2-718272 

2*754312 

2-786768 

ff     V  *VU  | 

2*815998 

2*842028 

+  b  Ja  (A) 

.  1 909*26 

+  1676-07 

+  2442*23 

—  D2K  SO 

—  Ott  OO 

__  1 1 1  VQ7 

—  1568-94 

—  2315-21 

•  IIC.I1 

+  75  17 

+  OO  UO 

+  30  3f*7 

+  107- 18 

+  127  02 

—  ;U9; 

—  x  i  oi 

—  Oü  tu 

—  4513 

-57-94 

2-03870 

2*06573 

2  09008 

211199 

218152 

+  54-35 

+  00  70 

+  08  UO 

+  6200 

+  6908 

)»:r»  . 

+  4330-91 

+  4Uo<j  a  i 

S817-75 

+  3658-41 

+  8497-58 

+  622-83 

+  Ott  OO 

.III  H'Q7 

+  156894 

+  231509 

+  4276-56 

■  Ain  et  .*» 

+  4013*82 

+  3789*69 

+  859641 

+  8428*45 

)~9  n 

7-63109 

7-60356 

7  57860 

7*55687 

7-53510 

000015 

0-00014 

0*00014 

0-00013 

0-00012 

3-52577 

3-58885 

8*64786 

870338 

3*75597 

7-63094 

7-60342 

7*67846 

7*55574 

7*53498 

s,  =  - 

-  14-35 

—  15-57 

—  16  84 

—  1816 

—  1954 

*  • 

+  4953-74 

+  4892-40 

+  4963-72 

+  O-i*  1  00 

.  rioi  9-C9 

-+■  Jö  U  Di 

7-69493 

7-68952 

7*69581 

7  U82o 

+^10- 

•".) 

000018 

000018 

0-00018 

0*00021 

3-56577 

3-66882 

3*76886 

3-86671 

3*96335 

%J  W***WW 

•  • 

7-69475 

7-68934 

7  69563 

7*71809 

7*76416 

+  200-34 

+  24449 

+  303-10 

+  384-71) 

+  604*69 

Jj  =  — 

—  18-22 

-  22-81 

—  2914 

—  38-44 

—  53-40 

•  • 

+  3354-4 

+  3878-8 

+  4443*5 

S049  5 

+  5699-6 

•  • 

352562 

3-58870 

3*64772 

0  lyjolO 

8*75684 

•  • 

4*29885 

4-29851 

4*29814 

4*29775 

4-29733 

L\M  \  dt 

2-12699 

2-18973 

2-24838 

2-30352 

2-35569 

•  • 

1-62653 

1-76167 

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354 


Mechanik  de«  Himmels.  27. 


Jupiter. 


1889 

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September  180 

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—  3-03 

—  0*001 

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October  28*0    .  . 

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+  0*02 

-0-302 

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by  Gobgl 


Mechanik  des  Himmels.  27. 


355 


1887 


1887 


iSSS 


Febr. 

10 

-23886-51 

März 

13-0 

-1741069 

April 

220 

-12747-23 

Juni 

ro 

—  929060 

Juli 

110 

-  6674  45 

Aug. 

200 

—  4679-90 

Sept. 

290 

—  3157-65 

Nov. 

80 

-  2003-86 

Dec. 

180 

-  114304 

Jan. 

27'0 

-  517  72 

März 

7-0 

-8158 

April 

160 

+  20358 

Mai 

260 

4-  370  54 

Juli 

50 

+  447  90 

Aug. 

14-0 

+  460-61 

Sept. 

230 

+  428-49 

Nov. 

2-0 

+  370-46 

Dec. 

120 

+  299  89 

Jan. 

210 

4-  227  28 

Märt 

20 

4  159-86 

April 

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4  100-87 

Mai 

21*0 

4-  58-23 

Juli 

300 

4-  26-78 

Aug. 

9-0 

+  7-98 

Sept. 

18-0 

4-  0-31 

Oct. 

280 

4-  1-66 

Dec. 

7-0 

4-9-83 

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-14843  58 
-1085601 

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—  5587-86 

—  3849  82 

—  2526  19 

—  1529-78 

-  795  33 

—  271-48 
4-  83  22 
4-  304-24 
4  421-96 
4  462-94 
4  450-03 
4-  402-5i 
+  336  28 
+  263- 17 
4-  192-28 
4-  129-51 

4-  7835 
4-  40-30 
4-  15-38 
4-  2-46 
—  033 
4-  4-79 
4- 15-64 


4  7674-93 
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3987-57 
-  2992-32 
4-  2275-83 
4  173804 
4-  132369 
+  996-41 
4-  734  45 
4-  523-85 
4-  354  70 
4  221  02 
+  117-72 
+  40-98 

—  12-91 

—  47-48 

—  6632 

—  7306 

—  70-89 

—  6277 

—  5116 

—  38  05 

—  24-92 

—  12-92 

—  279 
+  512 
+  10-85 


+  1701-97 
+  1447-55 
+  1220-73 
+  101958 
+  842  41 
+  68763 
+  553-66 
+  43896 
+  34195 
+  261  04 
+  19463 
+ 14118 
+  98-96 
+  66-55 
+  42  43 
+  2517 
+  1344 
+  6-01 
+  1-77 
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—  0  79 

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-  32  40 

-  2412 

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-  7-43 
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+  10465 
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+  4-66 

—  25-16 

—  4506 

—  57  06 

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—  49  25 

—  41-55 

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—  25-89 

—  18-82 

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+  0-09 
+  0-49 


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März  130 
April  22*0 
Juni  10 
Juli  110 
Aug.  20  0 
Sept.  29  0 
Nov.  80 
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März  7-0 
April  26  0 
Mai  26  () 
Juli  50 
Aug.  14-0 
Sept.  23  0 
Nov.  2*0 
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März  20 
April  110 
Mai  210 
Juli  30-0 
Aug.  9  0 
Sept.  18*0 
Oct.  28-0 
Dec  7*0 


+  6401-48 


+  7155-40 
+  6394-66 


+  5701-2I  +  569549 
+  5051-03+6045-86 
+  4444-91  +  444007 
+  3880-14+  3875-50 
+  3355-64  +  3351- II 
+  2866*72 
+  2422*48 
+  201863 
+  165532 
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+  80504 
+  598-45 
+  427  51 
+  289-90 
+  182-93 
+  10358 
+  4858 
+  14  25 

—  3  44 

—  909 

—  7-38 

—  310 

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—  0-13 

—  2  46 

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+  2871-16 
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+  2022-92 
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+  1336  34 
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+  430-68 
+  292  76 
+  18553 
+  105  77 
+  5040 
+  15-67 

-  244 

-  8-501 

-  719 
-322 

-  0-35 

-  0*32 

-  2  47 


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-  323  03 

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-  244- 13 

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-  79-35 

-  5500 

-  34*33 

-  17*69 
-565 
+  1-71 
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+  11480-91 
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+  286305 
+  2214-M 
+  IG»*-» 
+ 
- 


d*t 
dt» 


2274*M 
182362 
1477-36' 
\i  :  4 


— rtm 


356 


Mechanik  des  Himmelt.  28. 


28.  Störungen  in  polaren  Coordinaten;  Uebergang  auf  oscu- 
lirende  Elemente.  Durch  die  Störungsrechnung  erhält  man  die  Coordinaten 
r,  /,  *  und  ihre  Differentialquotienten  für  die  neue  Osculationsepoche  und  mit 
diesen  die  Projectionen  der  Flächengeschwindigkeiten  in  Bezug  auf  das  feste 
Axensystem  d.  i.  auf  die  ungestörte  Bahnebene  und  zwei  dazu  senkrechte  Ebenen. 
Bezeichnet  man  die  Neigung  der  neuen  Osculationsebene  gegen  die  alte  mit  J 
und  die  Länge  des  aufsteigenden  Knotens  der  neuen  Bahnebene,  gezählt  vom 
Anfangspunkte  der  /  mit  <J>,  so  gelten  (vergl.  Fig.  272,  pag.  315)  die  Formeln  17.  14, 
aus  denen  man  leicht  die  folgenden  ableitet1): 

*o  VP  sin  J sin  (/  -  <t>)  =  r  *  jf  (1) 

Aus  den  Grössen  <D,  J  in  Verbindung  mit  den  /'0,  ß0  kann  man  nun  leicht 
ft,  /  (die  Lage  der  neuen  Osculationsebene)  finden.  In  dem  Dreiecke  ß0  K 
hat  man 

*mt !  [•.  +  (a  -  a.)]  =  w 

sodann 

=  (3) 

Ist  Px  der  Ort  des  Planeten  für  die  neue  Osculationsepoche,  und  Pm  senk- 
recht auf  der  ursprünglichen  Bahnlage,  so  wird  mK  =  l—  <D,  daher,  wenn  man 

KPX  =  («)  setzt«): 

tang  (u)  =  tang  (/  -  <D)  stc  /.  (4) 

Da  r»  =  r2  +  j'  ist,  so  wird 

dr       r  dr  s_dz 
dt=  r  dt+rdt' 

und  dann  ist: 


(5) 


Vp  dr 

e  sin  v  =  ^-  tang\E  =  cotang  (45°  4-  tang\v 

p 

eeosv^^—i  M=  E  —  csinE 


(6) 


o)  =  (»)  4-  <D  —  r/ 
a  =  psec?  iKm'~al  (7) 

Beispiel:  Aus  der  Störungstafel  pag.  355  erhält  man  durch  mechanische 
Quadraturen  für  1887  Juni  10: 

f  Qdt  =  -  9290-60  =  4-  15'  29"  07      v  =  4-  444349     *  =  4-  5870-59 

-  4-  2  21-58    —  =  —  585  04   ^  =*  —  1835  34. 


')  ra  ^  könnte  man  in  der  ersten  und  »weiten  Formel  sofort  durch  *0V7ö  +  $Qdt 

')  Die  Ausdrücke  ftlr  die  Aenderungen  des  Parameters,  der  Excentricität  u.  *.  w. 
s.  v.  Oppolzer,  1.  c.  II.  Band,  pag.  163. 


iguizeo  oy 


Googl 


V 

206°  28*  29"'98 

logp 

04506052 

9 

28 

53  51  91 

loga 

0-5661092 

49  1017 

1* 

502"- 16081 

22 

E 

223°  27'  31"-38 

/ 

0 

18  39*49 

M 

242  30  12-74 

21 

44  1128 

19 

4  26-28 

CD 

342  42  4-65 

6 

21  2255 

1  46  30-93. 

Damit  wird: 

M=  241°  27'  55"- 17 
P=  206  37  22  02 
/«=  190  15  3417 

Atfr0=-  0-6947666 
logv  —  0*6966921 
logr  —  0-6966924 
/ogdr:ät  =  8.9456559 

29.  Vergleichung  der  Störungen  in  rechtwinkligen  und  polaren 
Coordinaten;  Uebergang  auf  ein  anderes  Intervall.  Hat  man  die 
Störungen  nach  zwei  verschiedenen  Methoden  bestimmt,  so  wird  es  sich,  in  jenen 
Fällen,  in  denen  die  Störungsrechnung  ohnediess  von  einer  neuen  Osculations- 
epoche  aus  weiter  geführt  werden  soll,  zum  Vergleiche  der  Resultate  empfehlen, 
auf  neue  osculirende  Elemente  Uberzugehen.  Wurden  die  Störungen  in  recht- 
winkligen Coordinaten  und  nach  der  folgenden  Methode  der  Variation  der 
Elemente  berechnet,  so  genügt  es  für  die  ersteren  auf  osculirende  Elemente 
überzugehen,  da  die  Methode  der  Variation  der  Elemente  für  jeden  Zeitmoment 
osculirende  Elemente  giebt.  Dasselbe  gilt,  wenn  man  die  Störungen  in  polaren 
Coordinaten  mit  den  Elementenstörungen  zu  vergleichen  hat.  Sind  aber  die 
Störungen  in  rechtwinkligen  und  polaren  Coordinaten  ermittelt,  und  erscheint 
ein  Uebergang  auf  neue  osculirende  Elemente  unnöthig,  wie  z.  B.  bei  der  Be- 
rechnung von  Störungen  für  nicht  periodische  Kometen,  so  kann  die  Vergleichung 
auf  wesentlich  kürzere  Weise  erlangt  werden.  Zur  Correction  der  Zeit  A/  ist 
eine  Correction  der  wahren  Anomalie  und  des  Radiusvectors  gehörig,  welche 
nach  17.  11 

A»  =  ^*1Za/;  Ar  =  -$$rtsmvlt.  (1) 


r 


Yp 


sind,  und  es  sind  daher  die  aus  IV  abgeleiteten  Werthe  r0,  V  durch  die  un- 
gestörten r0°,  v9  ausgedrückt: 

F=tKo)-r-A»;     r0=r0(°)-i-Ar;     r-  (r0(»)+  Ar)(l  +  v)= röW+  Ar  +  r0W  v.  (2) 
Nach  17,  3  ist: 

x0  «  r0(<>)««  a  sin  (A'     tv(o));      y°)  =  r0        b  sin      -+-  zK«)); 
*0     r0<°)«'»  c  sin  (C  -+-  t-(°)). 
Durch  Differentiation  erhält  man  hieraus: 
6  x0  =  a  r0  sin  a  sin  (Ä  ■+- 1*>>)  -+■  r0<<>)  sin  a  cos  (Ä  +  r/<<»)  («  v     «  Ä). 

Da  nun 

a*Ä=-S,  a*0=c;  «c^ajv-  dt-«=At/,  ar0=r0(ov  (3) 

ist,  wenn 

v'  =  v  +  ^=v  H  —=  e  sin  z>  A  /  (4) 

ist,  überdies  noch  die  in  17,  3  auftretenden,  von  %  abhängigen  Zusatzglicder  in 
den  gestörten  Coordinaten  zu  berücksichtigen  sind,  so  wird 

\  =  *0  v'  -|-  r0(o)«»  a  cos  {Ä  ■+•  tM)  (Ap  +  AjV)  -+-  $  cos  a 
H  =  y0 y»  +  ro«0x/»  b  cos  (B'  +  tKo))  (A  v     AiV)     *  cosb  (5) 
C  —  *0  v'  -H  r0l<»  sin  c  cos  (C  -+•  tK©))  (A  v  -+-  AiV)  ■+-  *  cos  c. 
Obzwar  der  Uebergang  auf  ein  anderes  Störungsintervall  keinen  theoretischen 
Schwierigkeiten  unterliegt,  wird  es  für  die  praktische  Anwendung  nicht  un- 


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35» 


Mechanik  des  Himmels.  29. 


erwünscht  sein,  hier  das  Wichtigste  zu  bemerken,  um  so  mehr,  als  in  den  Lehr- 
büchern hierüber  meist  nichts  erwähnt  ist. 

Ueber  die  Wahl  der  Constanten  (wk),  {wkymy  u.  s.  w,  ist  nichts  besonderes 
zu  bemerken;  man  findet  sofort  für  die  Berechnung  der  Störungen  durch  Jopitr 
in  achttägigen  Intervallen: 

log  {wk)*m^'\Q*  =  1-257032 
hg (2w&)  10«  yfc  =  5  668474. 

Hingegen  ist  ein  besonderes  Augenmerk  auf  die  Bestimmung  der  SumroatioES- 
constanten  zu  richten;  bei  der  Aenderung  des  Integrationsintervalles  wird  au: 
nämlich  nicht  die  Summationen  mit  den  ursprünglichen  Summationsconstante 
fortsetzen  dürfen,  da  sich  mit  diesen  die  Integrale  aus  den  neuen  Störtmgstafc- 
nicht  richtig  ergeben  würden.  Man  wird  daher  zunächst  für  ein  gegebenes  Data_ 
die  Störungen  (Integrale)  aus  der  bisherigen  Störungsrechnung  bestimmen,  cc: 
die  Summationsconstanten  für  die  Fortsetzung  der  Störungsrechnung  so  bestimm», 
dass  die  Integrale  die  gefundenen  Werthe  annehmen.  Man  findet  für  das  ver 
liegende  Beispiel  (Komet  1889V,  Brooks): 
für  1887  Febr.  13-0:  fQdt  =  —  21705  16 

AM=r  +  1497"-32     v  =  +  6183-87       jj  =  —  710  s) 

dz 

AJV=  +     455-34     *  =  +  10731  65  =  —  2390-5-3 

</v  dt 

Die  hierbei  aus  der  Störungstafel  folgenden  Werthe  für  -jj  und  ^  geito 

natürlich  für  ein  vierzigtägiges  Intervall ;  für  ein  achttägiges  Intervall  wird  daher 

£—14216;  £--  478  19. 

Da  nun  für  die  Mitte  zweier  Intervalle  (die  neuen  Störungsdaten  sbd 
Febr.  17  0  und  Febr.  9  0) 

das  erste  Integral  =  1/  +  ^  /'  —  5^/'" 
ist,  so  wird  die  neue  Summationsconstante 

für  Febr.  13  0:     V  =  Integral  -  ±/'  +  ^/"'. 
Man  erhält  so,  indem  man  zunächst  ausreichend  genau  die  bisher  erhaltenes 

„.    ,  </'v    d-s    ,  ,  dkM  d\N    -    .     .  „  ,. 

Werthe  von  -j^  ,  -j^  durch  w%  =  25,  und  —jp  ,  —jj- ,  Q  durch  w  =  5  dm 

dirt,  die  in  der  folgenden  Störungstafel  (pag.  359  und  360)  in  eckigen  Klammem 
eingeschlossenen  Werthe. 

Für  die  zweiten  Summen  *  und  v  wird  es  nöthig,  das  Integral  für  eic 
Störungsdatum  selbst  zu  ermitteln ;  da  es  ganz  gleichgültig  ist,  für  welches  Datua 
man  die  Summationsconstanten  bestimmt,  indem  man  von  jedem  beliebigen  Daun 
ausgehend,  zu  jedem  anderen  gelangen  kann,  so  wird  es  am  einfachsten,  Daten 
zu  wählen,  welche  der  ursprünglichen  Störungsrechnung  angehören,  weil  für  die« 
die  Formeln  am  einfachsten  sind.    Für  Februar  1*0  erhält  man 

z  =  11474  29;         v  =  4-  6399-74; 
und  da  für  ein  Störungsdatum 

das  Doppelintegral  =  n/  -f-  ^/  —  ... 
ist,  so  folgt  die  Summationsconstante 

11/"=  Integral  für  das  Störungsdatum  —  hf  ~h  •  •  • 
womit  sich  die  in  der  Störungstafel  (pag.  360)  in  eckige  Klammern  eingeschlossene" 
Werthe  ergeben. 


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Mechanik  des  Himmels.  29. 


Im  Folgenden  sind  noch  die  wichtigsten  Zwischenresultate  für  die  ersten 
vier  und  die  letzten  drei  Intervalle  für  das  bereits  begonnene  Beispiel  an- 
geführt (wobei  jedoch  nur  die  Jupiterstörungen  berücksichtigt  sind)  während  Kürze 
halber  die  zwölf  Zwischenintervalle  weggelassen  wurden. 


.887 

Februar  25  0 1  Februar  17  0 

Februar  9  0 

Februar  1-0 

1886  Okt.  2O0 

Oktober  120 

Oktober  4  0 

A  Ar 

+  6' 44" -5 

4-  7'  l6"-6 

+   7  5v  S 

+  «lr  00  'S 

+  *X  »  ö 

+  *4  1 12 

A  M     .  . 

4-  23  44-6 

+  24  32  8 

1    OK  OO.I 

-|-25  22  1 

+  26  12  4 

+  88  59*6 

1   j  f\  o.e. 
+  40  8'5 

+  41  ISO 

Jlf  . 

228°  13'  25"-3 

227°  7  19"-7 

IIb     V  15  « 

OOi  O  CCI  1  f  11.1 

«24  00  11  7 

1210  00  19"#7 

«uy  3«  34  y 

OAQ  O  il/V  El  //./• 

/0ö        M  '6 

E     .       .  . 

-213  22  55-9 

212  35  32-9 

211   48  17 0 

«11     1  10*4 

kiAA     CO    ILA .  "7 

*W   13  lz'O 

iyy  27  sy'ö 

V   .    .  . 

20O  23  33-8 

199  53  85-6 

1  (IQ     OO     J  £.0 

iyy      4G  y 

lyy  04  7*4 

lyts   4U  00  u 

iy«  1«  00  b 

1A1     ii    a  je  .a 

/ 

184    6  8-9 

183  36  42-8 

1  OQ        *7  OQ.i 

17b   37  iy  l 

I/O    10  ODO 

I7D  44  47 

/cgrt  .  . 

0-710347 

0-711447 

0-712519 

0-713560 

0-724594 

0-725957 

0725894 

leer    .  . 

0-712934 

0-714095 

0  715228 

0-716331 

0-728308 

0*729061 

0*729792 

<*fQ'  •  • 

3,59268 

8*  61987 

3»  64724 

3«  67483 

4»  08841 

4«  12266 

4«  16424 

A>0.   •  • 

+  5-60 

+  5-74 

+  6-00 

+  6-29 

+  16-77 

+  1902 

+  21-97 

• 

—  2-57 

—  2-70 

-  285 

-  8*01 

—  6-90 

—  7-50 

-  8-20 

H  .    .  . 

+  2-98 

+  304 

+  315 

+  3-28 

+  9-87 

+  11-52 

+  13-77 

(•*•)•:  r» 

+  137-58 

+  13648 

+  135-41 

+  134-38 

+  123-71 

+  12307 

+ 122-45 

rr,  .    .  . 

+  11014 

+  120-64 

+  132-64 

+  146-32 

+  899-81 

•4-1113-85 

+  1407-00 

«V    •  • 

+  22-79 

+  24-29 

+  25-96 

+  27-81 

-4-  103  47 

+  121-51 

+ 145-18 

—  VS,  . 

—  0-81 

-  082 

-  083 

—  0-84 

-  098 

-  0-98 

-  0-98 

-  . 

-  2-49 

-  2-70 

-  2-94 

-  8-22 

-  21*66 

-  27-59 

-  35-99 

«Vit  • 

»VC,  • 


188°42'47"-5188; 
4  36  38-6 
0-734539 
9-64112 
9-31620 
8  00186 
026163 
0-78446 


6'  37"-2 
4  29  64  4 
0-784686 
9-63051 
9-30429 
802119 
0-27482 
0-82405 


Jupiter. 
18703<y27"-7186o54'  18"-9 


4  22  59-3 

0-734818 

9-61933 

9-29199 

8  04048 

0-28854 

0-86527 


4  15  53-8 

0734954 

9-60753 

9-27928 

8  05971 

0-30275 

0  90793 


179°  5'1S"- 
2  27  54  1 
0-736870 
9-37033 
906072 
8-32562 

0-  56571 

1-  69708 


31178 


°29'11"1 
2  18  15  6 
0-736448 
9-34111 
9  03784 


0-  59660 

1-  78976 


177°  53'  0"-* 
2    8  220 
0-736520 
930890 
9-01365 
8-37154 

0-  63042 

1-  89123 


fQdt 


dt 


dt 


1886  Oct.  4  0 
Oct  120 
Oct.  20O 
Oct.  28  0 
Nov.  5-0 
Not.  130 
Nov.  2IO 
Not.  290 
Dec.  70 
Dec.  150 
Dec  23  0 

1886  Dec  310 

1887  Jan.  80 
Jan.  160 
Jan.  240 
Febr.  10 
Febr.  9*0 
Febr.  170 
Febr.  25  0 


15084-45 
13665*74 
12450  13 
11395-80 
10471-93 
9655-30 
892808 
8275-88 

•  7687-84 

•  715501 

•  6669-78 

•  6226-21 

•  5819-25 

-  5444-66 

-  5098*83 

-  4778-70 

-  4481-63 

-  4205-38 

-  3947-97 


-  15875-20 


14337  12 

13028  06 

11898-91 

10914-29 

10047-39 

92'(805 

8590-42 

7971-99 

7412-85 

6904-86 

6441-42 

6016-99 

5626*89 

5267-23 

4934-71 

4626-52 

[—  4340-20] 

4073-70 

3825  07 

+  153808 
+  130906 
+  112915 


Z 


+ 
1 

-r 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 

1 

-r 
+ 
+ 
t- 

+ 
+ 

+ 


984-62 

866-90 

769-34 

687-63 

618-43 

559  14 

507-99 

463-44 

424-43 

390  10 

359-66 

832-52 

30819 

286-32 

266-50 

248-63 


+  2514-90 
+  2443*48 
+  2373-78 
+  2305-71 
+  2239-20 
+  2174-19 
+  2110-63 
+  2048-48 
+  1987-69 
+  1928-24 
+  187009 
+  1813-21 
+  1757-58 
+  1703-16 
+  1649-94 
+  1597*90 
+  154702 
[+  1497-27] 
+  1448-64 
+  140112 


71"-42 
6970 
68  07 
66*51 
6501 
63-56 
6215 
60-79 
59-45 
5815 
•  56-88 

■  55-63 

■  54-42 

■  53-22 
-5204 
-50-88 

-  49-75 
-48-63 

-  47-52 


+  150610 
+  1398-11 
+  1299*95 
+  1210-21 
+  1127-80 
+ 1051-77 


+ 

981-41 

+ 

916-09 

+ 

855*30 

+ 

798-60 

+ 

745-60 

+ 

695-98 

+ 

649-45 

+ 

605-77 

+ 

564-70 

+ 

526-06 

+ 

489-66 

[+ 

455-35] 

+ 

422-99 

+ 

392-45 

-  107"-99 

-  9816 

-  89-74 

-  82-41 
-7603 

-  70-36 

-  65-32 
-60-79 

-  56-70 

-  53-00 

-  49-62 

-  46-53 

-  43-68 

-  4107 

-  38-64 

-  36-40 

-  34-31 
-3236 
-30-54 


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36o 


Mechanik  des  Himmels.  29.  SO. 


1886  Oct.  4-0 
Oct.  120 
Oct.  20  0 
Oct.  28  0 
Nov.  50 


»/ 


+ 
+ 
+ 
+ 
+ 


Nov.  13-0  + 


Nov.210 
Nov.  290 
Dec.  7  0 
Dec.  150 


Dec.  23-0  + 


1886  Dec.  31  0 

1887  Jan.  80 
Jan.  160 
Jan.  24  0 
Febr.  10 
Febr.  9  0 
Febr.  170 
Febr.250 


+ 
+ 
+ 
+ 


+ 

+ 
+ 
+ 
+ 
+ 


901701 

879807 

8589-71 

8390-271 

8198-44 

801319 

7833-73 

7659-40 

748963 

7323-98 

7 162- 15 

7003-74 

6848-50 

6696-22 

6546-74 

6399-81 

625533 

611317 

597323 


+  9247-42 
+  9015-87 
-h  8797  11 
4-  8588  89 
+  8389-56 

+  8197-81 
+  8012-63 
+  7833-23 
+  7658-94 
+  748921 
+  7323-61 
+  7161-79 
+  7003-40 
+  6848- 18 
+  669592 
+  6546-45 
[+  6399-54] 
+  6255-07 
+  6112-92 
+  5972-99 
+  5835-18 


V 


«IUI  *J*J 

«iO  10 

'20R  -22 

■01 .7^ 
IS.vlR 

174-2«» 

j  nj  10 

IUJ  DU 

1 0  i  o. 

luo  0.' 

155-22 

152-26 

14950 

14691 

144-47 

[- 

142- 15] 

139-93 

187-81 

+12-79 
+10-54 
+  8-89 
+  7-58 
+  6-57 
+  5-78 
511 
4-56 
413 
3-78 
3-43 
317 
2-96 
2-76 
2  59 
2-44 
2-82 
+  2-22 
+  21 2 


+ 
+ 

+ 

+ 


-r 
+ 
+ 


+ 

+23532-55  + 
+22302-53 
+21166-90 
+20113-22  + 
+  1913213  + 
+18215-10  + 
+  17355-59  + 
+  16547-79  + 
+  15786-67  + 
+  1506809]  + 
+  14388-38'  + 
+  13744-381  + 
+  I3133-32J  + 
+  12552-74  + 
+  12000-48  + 
+  11474-56  [+ 
+  10973-25  + 
+  10495-001  + 
+ 10038-32  + 
+ 


24857-68 
2352045 
22292-41 
21158-29 
20105-98 
19125-63 
18209-36 
17350  48 
16543-20 
15782-53 
15064-33 
14384-95 
13741-23 
13130  42 
12550  06 
11997-98 
11472-24] 
10971  09 
1049296 
10036-42 
9600  18 


Hl 
dt* 


{- 


1337-23 
1228-04 
113412 
1052-31 
980-35 
916-27 
858-88 
807-28 
760-67 
718-20 
679-38 
64372 
610-81 
580-36 
552-08 
525-74 
50115 
478- 13] 
456-54 
436-24 


+  109*19 


+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 


+ 
+ 
+ 

+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 


93-92 
81-81 
71-96 
64-08 
57-39 
5160 
46-61 
42-47 
38-82 
35-66 
32-91 
30-45 
28-28 
26-34 
24-59 
2302 
21  59 
20  30 


30.  Variation  der  Elemente.  Die  Gleichungen,  welche  die  Variation 
der  Elemente  geben,  sind  bereits  in  den  §§  19.  20  abgeleitet,  und  können  mit 
geringen  Modifikationen  auch  sofort  zur  numerischen  Berechnung  verwendet 
werden.  Die  störenden  Kräfte  F,  Q,  Z(°>  sind  identisch  mit  den  in  26 
mit  Px,   Qx,  Zj  bezeichneten  Grössen.    In  diesen  tritt  der  Faktor  k£m%  auf. 

Führt  man  in  den  Formeln  19.  10  an  Stelle  von  jjl  seinen  Werth  &0.ai  ein,  so 
tritt  t0  in  den  Nenner;  dieser  kann  daher  sofort  weggelassen  werden,  wenn  in 
den  störenden  Kräften  einfach  k9  m,  als  Faktor  geschrieben  wird.  Die 
Aenderungen  von  ft,  /,  <o,  Af0  ergeben  sich  im  Bogen maass;  um  dieselben  in 
das  Winkelmaass  umzusetzen,  wird  man  durch  arc  1"  dividiren,  welcher  Nenner 
auch  passend  mit  kQmx  verbunden  wird.  Es  wird  dann  auch  bequemer  statt 
der  Aenderung  der  Excentricität  die  Aenderung  des  Excentricitätswinkels  9  zu 
bestimmen,  indem 

dt  ~  cos  ?  dt 

ist.  Da  k.arc  1"  ist,  so  wird  man  durch  Einführung  von  k  in  Bogensecunden 
die  störenden  Kräfte  gleich  in  Bogensecunden  ausgedrückt  erhalten.  Bei  der 
Ausführung  findet  man  aber  Uberdiess,  dass  die  störenden  Kräfte  mit  dem  Nenner 
verbunden  erscheinen,  und  man  erhält  daher,  wenn  man  die  sämmtlichen 
Längen  von  dem  (veränderlichen)  Knoten  der  momentanen  osculirenden  Ebene 
des  gestörten  Planeten1)  zählt,  also  die  Coordinaten  des  störenden  Himmels- 
körpers nach  17  (8),  die  Entfernung  r0,  nach  17  (10)  ermittelt: 


l)  Zur  besseren  Uebersicht  mag  noch  bemerkt  werden,  dass  bei  der  Berechnung  der 
in  rechtwinkligen  Coordinaten,  diese  sich  auf  die  Ekliptik  beliehen,  bei  der  Methode  der 
Störungen  in  Polarcoordinaten  dieselben  auf  die  feste,  ungestörte  Bahnebene  des  gestörten 
Himmelskörpers,  und  bei  der  Methode  der  Variation  der  Elemente  auf  die  veränderliche,  je- 
weilige osculirende  Ebene. 


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Mechanik  des  Himmels.  80.  36 1 

+  1  1 

l  =  rxcos  B^cos^  —  /)     K  ~    r0l»  ~~  r.» 
tj»  *  r.rtv  B.sm^L,  —  i)  k"mx  f  r  \ 


DaD„wird 

</  IC 

üny-jj=  \{r  ■+■  p)  sinv-Q  —  p  cos  vP\-\-  r  sin{v  +  w)      ip  fang  }iZW 


(1) 


~  ==  2  a*         sinvP-»r  ^       arc  1" 
=       £  -f-  ^  v)Q  -+-      v  •  P)  a  cos  <? 


(1 


-j-t  J  =[(— 2r<w?— pcosvtang\<j)P+(r+p)sinvtang\ iQ)+rsin{j>+ta)tang\iZP) 

er  zweite  Theil  der  Störung  der  mittleren  Anomalie  wird  in  der  Praxis 
direkt  berechnet,  so  dass  man  die  mittlere  Anomalie  stets  mit  dem  constanten 

VVerthe  fi0  rechnen  kann.    An  Stelle  des  Integrals  jt^j-.dt,  schreibt  man  aber 

hier  allgemein,  allerdings  nicht  ganz  richtig  jfjf  ^^a-  Da 

ß«-%-f*%«  f<>=ffP<>+ff<&«' 

ist,  so  setzt  die  übliche  Schreibweise  voraus,  dass  das  zweite  Doppelintegral  vernach- 
lässigt werden  kann.  In  allen  Fällen  bedarf  man  hier  der  Kenntniss  der  Aenderung  der 
mittleren  Bewegung.  Man  wird  daher  besser  diese  an  Stelle  von  da  einführen.  Man 

hat  aber^  =  _  ^a  ^  ^  p  #  p  +  t  ^  =  _  sin  v  •  P+  P-  q) 

Entsprechend  zusammengestellt  erhält  man  daher  zur  numerischen  Berechnung 

gl"'  =  r  sin  u  cosec  i  i'"  —  rcosu 

ic'  =  —p  cos  v  cosec  9  1t"  =  +  (r  +  p)sin  v  cosee  9   w"1     rsin  u  tang\i 

^ '  =  4-  a  cos  ^  sin  v  9"  =  +  acos y(cos £+ cos v)  (2) 

V  =  —1rcosy—pcosvtang\y  L"  =  +  (r  +  p)sinvtang\y    £"'=  r  sin  u  fang  ±i 

3*o     .  „  3*0  / 

u  = —  —z=  c  stnv  u.  =  —  — =  — 

Ä.f.^+f..ö  (3) 
&  -h'-p+fi"  ö      (^)  =  vp+  vq  +  rzw 

Zu  diesen  Formeln  ist  noch  zu  bemerken,  dass  überall  ff*  an  Stelle  von 
£  zu  setzen  ist,  wenn  man  als  Störungsintervall  w  Tage  wählt;  dann  wird  auch 

u/*jj  an  Stelle  von  ^ ,  d.  h.  die  Aenderung  der  w-tägigen  mittleren  siderischen 


362 


Mechanik  des  Himmels.  30.  31. 


Bewegung  w\i  (start  derjenigen  der  täglichen  siderischen  Bewegung  ji)  erhalten, 
welche  in  der  Gleichung  für  AZ2  unmittelbar  wieder  zur  Verwendung  kommt 

Dabei  sind  die  Logarithmen  der  zu  verwendenden  Werthe  von  (wk)"  mt  für 
ein  40  tägiges  Intervall  für: 

Mercur  .    .    8  4270—10  Jupiter  .    .    2  131868 x) 

Venus    .    .    9*5393—10  Saturn  .    .    1  60780 

Erde-f Mond  96012— 10  Uranus.    .  079796 

Mars     .    .    8-6607—10  Neptun     .  08620. 

Will  man  in  nahe  parabolischen  Bahnen  die  Störung  der  Perihelzeit  ein- 
führen, so  hat  man  nach  20  mit  den  hier  angegebenen  Modifikationen 

Da  hier  noch  der  Faktor  a  auftritt,  so  wird  man  für  parabolische  Bahnen 
die  Formeln  von  21  zu  verwenden  haben,  und  für  die  Bestimmung  der  Störung 
der  mittleren  Länge: 

^jf  =  [(-  Zrcosff -p  cos  v  tätig \i)P+  (r  4-  p)  sin  v  tang \^Q\  4- 

4-  r  sin  (v  4-  <*»)  tang  \  iZW  —       y~     °  cos  *['  sin  v  P r  Qj 

wo  für  parabolische  Bahnen  das  letzte  Glied  verschwindet.  Zur  Berechnung  der 
Elemente  X,  H,  O,  V  an  Stelle  von  i,  ß,  e,  n  hat  man  hier  aus  20.  9  und  10: 

^  «  r[sin(v  +  0)  +  ß)  —  2  cos  (#  4-  «)  sin&  sin*  \i)  ZW 

dH 

—  =  r  [cosiv  4-  »  4-  ft)  —  2  cos  (v  4-  o>)  cos  ß  sin*  %  i]  ZW 
d<t> 

=  [r  ««  f  cos  it  4-  ^  f<w  £  sin  ic  4-  /  «'« (ic  H-  tf)]C  —  /      (*  4- 
4-  r  jm  (t/  4-  »)  <w  k  Jwi  9        ^  1  Z(°> 

dW 

—  =  [_  r  *m  t? «»  k  4-  P  cos  JE  cos  n  4~  P  cos  (ic  4-  v)]  Q  4-  ^  J**  (it  4- 

4-  r      f>  4-  «1»)  sin  nsinf  tang  \  i  ZW. 

81.  Beispiel.  Für  die  numerische  Berechnung  bedarf  es  hier  keiner  weiteren 
Auseinandersetzung.  Für  zwei  der  Osculationsepoche  vorangehende  und  zwei  ihr 
folgende  Zeitmomente  werden  die  Elemente  constant  angenommen,  die  Differential- 
quotienten für  die  Elementenstörungen  berechnet,  hiermit  dieSummationsconstanten 
so  bestimmt,  dass  die  Integrale  für  die  Osculationsepoche  verschwinden,  worauf 
die  numerische  Integration  mit  den  erhaltenen  summirten  Werthen  von  Intervall 
zu  Intervall  vorgenommen  wird. 

In  dem  folgenden  Beispiele  wurden  jedoch  auch  für  die  ersten  vier  Intervalle 
die  Elemente  nicht  constant  angenommen,  sondern  die  aus  einer  ersten  vor- 
läufigen Störungsrechnung  erhaltenen  Werthe  verwendet,  was  bei  bedeutenden 
Elementenstörungen  stets  zu  empfehlen  ist.  Kleinere  Unregelmässigkeiten  im 
Gange  der  Differenzen  sind  nicht  zu  vermeiden,  und  rühren  von  der  unvermeid- 
lichen Ungenauigkeit  der  Extrapolation  her;  sind  die  Unregelmässigkeiten  etwas 
grösser,  wie  dies  namentlich  bei  den  Elementenstörungen  wegen  der  bedeutenden 
Grösse  derselben  auftreten  kann,  so  wird  es  sich  stets  empfehlen,  die  Rechnung 
für  das  betreffende  Intervall  mit  den  schliesslich  erhaltenen  osculirenden  Elementen 
an  Stelle  der  für  die  erste  Rechnung  verwendeten  extrapolirten  (in  dem  Beispiele 
auf  pag.  363  in  den  ersten  sechs  Zeilen  angeführten)  zu  wiederholen. 


')  Mit  der  Masse  m*.m   wird  der  Coefficient  gleich  2  131765- 

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Mechanik  des  Himmels.  31. 


363 


Oer  -J8-0    j   Sept.  l8  o" 


Aug.  9-0     1 1887  Aug.  200 


Dec.  7  0 


Juli  110 


Juni  10 


11°  0'26'"3 


■>    >■>  "••  4   ■' 7| . 1 '  ■"'  1 1  - ":  ■  •     1''  1 1 .1  59  ""5! 25         i>  ;<;Msc-r:>  t?<  21-1 


11 
1 

17 
6 

28 


0  310 
35  50 
59  4-3 

4  644 

5  10  2 


50l"6931 


o 
I 

17 
6 

28 


25  59-4 

34  58.1 

59  4-4 

4  6-57 

5  6  5 


9°  25'  26"  0| 
17  33  51-1 

4987261 
9672836 
0566379 
0  228777 


9991648 

9-942300 
0-249948 

28°  53'  7"-2 
343  36  0-7 

12  29  7-9 

9-989606 
0-307648 
9-334842 

9  024143 

9-642490 
8724332 
9-398160 
9-942300 
0*457553 
0-307648 
0-232514 
0  246617 
0690067 
9684000 
0  327164 
0,399853 
9-356*36 
0*031573 
0-149905 

9*798013 
0*554265 
0-070144 

9-942300 
9-979266 
0282940 

0-262206 
0-511966 


501"-7l80 

3°  51'  l"-3 
7  15  30  0 

4-987246 
9  672821 
0566365 
0-228774 

9-613508 
9-990269 
0283374 
12°  4' 17" 
343  35  53-7 
355  40  11-3 

9-998758 
0293085 
8*877972 

9024145 
9*171057 

8-  724334 

9-  398143 
9-990289 
0457547 
0-293085 
0226538 
0  246621 
0684085 
9  320423 
0  327179 
0*447836 
8993244 
0*031580 
0  164462 

9*845979 
0*539706 
0-080059 

9-990289 
9-996506 
0-297932 

0294438 
0-511956 


359 
1 

17 

6 
28 


51  26-2 

34  51-8 

59  4-4 

4  6-54 

5  5-9 


354  16  52  9  !255 

1  34  43-7  Ii  1 

17  59  5-2  |j  18 

6  4  G40j  6 

28  5  9-4  I  28 


3  49 
37  5-8 
51  11-9 
14  26-5 
36    9  1 


249 
1 


501"-7221 

358°  16'  34"-4 
356  44  39-7 

4-987244 
9-672819 
0566363 
0228774 


501  "6985  5O0"-4629 


9*266235 
9-998050 
0-288673 
°34'  30"- 
343  35  47-4 
338  10  18  2 


G354c 


9-967690 
0-290623 
9*570340 

9  024145 
9*860963 

8-  724334 

9-  398141 
9998050 
0457547 
0-290623 
O-225039 
0246622 
0683086 
8*975612 
0327181 
0*455597 
8*648431 
0*031581 
0  166924 

9*853738 
0*537245 
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3«4 


Mechanik  des  Himmels.  31  . 


1889 

Dec.  7  0 

Oct.  28  0 

Sept.  ISO 

Aug.  9-0 

1887  Aug.  200 

Juli  110 

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—  414*014 

-  559*452 

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Mechanik  des  Himmels.  31. 


365 


1/ 

1887  Juni  1-0 

+  19'32"386 

Juli  HO 

+  15  10  396 

Aug.  20-0 

-j-  11  44471 

Sept  290 

-}-9  1103 

Not.  8-0 

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1S87  Dec.  18  0 

+  5  7-377 

isöö  Jan.  27  0 

+  3  45-458 

Marx  7  0 

+  2  41*392 

AprU  16  0 

+  1  52  101 

Mai  96*0 

+  1  14-990 

Juli  50 

+  0  47-814 

Aug.  H  O 

+  28598 

Sept  23*0 

4- 15-597 

No».  2*0 

+  7-292 

1888  Dec.  12  0 

+  2-897 

1889  J»"-  21-0 

-  0148 

Märt  2  0 

—  1  178 

April  1 10 

—  1-325 

Mai  21*0 

—  1-040 

Juli  30-0 

-  0-625 

Aug.  SrO 

-  0  263 

Septl80 

-  0O45 

Oct.  28  0 

+  0006 

Dec.  7-0 

—  0092 

-  0-297 

IT 


dt 


-  4'21"-y90 

-  3  25*925 

-  2  43  368 

-  2  10157 

-  1  43  569 

-  1  21-919 
1  4  066 

-  0  49-291 

-  37111 
-271 76 

-  19  216 

-  13  001 

-  8-305 

-  4-895 

-  2-545 

-  1030 

-  0147 
+  0285 
+  0-415 
+  0-362 
+  0218 
+  0051 

-  0  098 

-  O-205 


+  68' 31"  089 
+  62  8  939 
+  55  29  010 
+  48  46-978 
+  42  14  076 
+  35  58  481 
+  30  6-422 
+  24  43- 159 
+  19  52-480 
j+  15  36  844 
+  1 1  57-393 
+  8  53-885 
+  6  24  729 
+  4  27  183 
+  2  57-679 
+  1  52- 119 
+  1  6-224 
+  0  35  835 
+  57- 128 
+  6-744 
+  1-855 
+  0182 

—  0011 
+  0059 

-  0-370 


6' 22"- 150 
6  39-929 

-  6  41-841 
6  32-902 

-  6  15-595 

-  5  52  059 

-  5  23-263 

-  4  50-679 

-  4  15-636 

-  3  39-451 

-  3  3-508 
2  29  156 
1  57  546 
1  29-504 

-  1  5-560 

-  0  45-895 

-  30-389 

-  18-707 

-  10-384 

-  4-889 

-  1-673 

-  0193 
+  0070 

-  0-429 


+  16'4"*167 
+  16  46-007 
+  16  41-687 
+  16    3  785 
+  15  2-209 
+  13  44-589 
+  12  17122 
+  10  44  884 
+  9  12-027 
+  7  41-921 
+  6  17-226 
+  4  59-938 
+  3  51-428 
+  2  52-488 
+  2  3-388 
+  1  23-935 
+  0  53-562 
+  31-391 
+  16-309 
+  7032 
+  2168 
+  0-278 

-  0  029 
+  0-012 

-  0-577 

-  2-474 


+  41"-840 
-4-320 

-  37-880 

-  61-576 

-  77-620 

-  87-467 

-  92-238 

-  92-857 

-  90106 

-  84-695 

-  77-288 

-  68-510 

-  58-940 
-49- 100 

-  39-453 

-  30  373 

-  22171 
- 15  082 

-9-277 

-  4-864 

-  1-890 

-  0-307 
+0041 
-0-589 
- 1-897 


1887  Juni 

10 

Juli 

110 

Aug. 

20-0 

Sept. 

290 

Nov. 

8*0 

1887  Dec. 

18  0 

1S88  Jan. 

270 

März 

7-0 

April 

16-0 

Mai 

260 

Juli 

50 

Aug. 

140 

Sept. 

230 

Nov. 

2*0 

1888  Dec 

120 

1889  Jan. 

210 

Marx 

20 

April 

11-0 

21-0 

Juli 

300 

Aug. 

90 

Sept 

180 

Oct 

28*0 

Dec. 

70 

+  79'14"*712 
+  66  29-308 
+  55  33*997 
+  46  7-449 
+  37  55  116 
+  30  47  017 
+  24  36  167 
+  19  17-508 
+  14  47-045 
+  11  1-209 
+  7  56-513 
+  5  29-281 
+  8  85-461 
+  2  10-691 
+  1  10-441 
+  0  30167 
+  5-487 

—  7-555 

—  12-459 

—  12141 
-8-908 

-  4-464 
+  0  041 
+  3-893 
+  6-678 


dt 

l2'45"-404 
10  55-311 

-  9  26-548 

-  8  12-333 
-7  8*099 

-  6  10  850 

-  5  18-659 

-  4  50-463 

-  8  45*836 
-3  4-696 

-  2  27-232 

-  1  53-820 

-  1  24-770 

-  I  0-250 

-  0  40-287 

-  24-670 

-  18042 
-  4-904 
+  0S18 
+  8*238 
+  4-444 
+  4-505 
+  3-852 
+  2-785 


+  14'  30"-725 
+  8  51*350 
+  4  9-523 
+  0  20-868 

-  2  89-841 

-  4  56-814 
-6  82  112 

-  731191 

-  7  57-687 

-  7  56-290 

-  7  32  198 

-  6  50-954 

-  5  58  188 

-  4  59-327 

-  3  59-311 

-  3  2-278 

-  2  11*436 

-  1  28-960 

-  0  55-905 
-32181 
—  16-550 

-  6*753 
+  0018 
+  6-848 
+  13*922 


d&x 
dt 

-  5'39"-875 

—  4  41*827 

—  3  48*655 

—  8  0-709 
-2  16-478 

-  1  35-798 

-  0  59-C79 
-  26*496 

+  1*397 
+  24092 
+  41244 
+  52-766 
+  58  861 
+  60  016 
+  57038 
+  50-837 
+  42-476 
+  33055 
+  23-724 
+  15-631 
+  9-797 
+  6-771 
+  6-330 
+  7-574 


+  54'  40"-070 
+  43  21-637 
+  34  33-348 
+  27  37*  164 
+  22  6-667 
+  17  48  164 
+  14  12-694 
+  11  24-521 
+  9  10-275 
+  7  22-758 
+  5  56*406 
f   +4  46-547 
+  3  49*376 
+  3  1-901 
+  2  21-918 
+  1  47-800 
+  1  18-612 
+  0  53-892 
+  33*576 
+  17-867 
+  7036 
+  1168 
—  0152 
+  2- 193 
+  6-987 


^9 

dt 

ll'l8"-483 

-  8  48-289 

-  6  56*184 

-  5  30*497 

-  4  23  503 

-  8  30-470 

-  2  48  173 

-  2  14-246 

-  I  47-517 

-  1  26-852 

-  1  9-859 

-  0  57  171 

—  47-475 
-.89-988 

—  34- 118 

—  29188 

—  24-720 

—  20*316 

—  15-709 

—  10*831 

—  5*878 

-  1-310 
+  2-345 
+  4*794 


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366 


Mechanik  des  Himmels.  31.  32. 


Da  die  erhaltenen  Elemente,  wie  bereits  wiederholt  erwähnt,  Mir  jeden  Zeit- 
moment  osculiren,  so  sind  die  Resultate  mit  den  beiden  andern  Stömngsmethoden 
unmittelbar  vergleichbar.  Berechnet  man  nun  aus  der  Integraltafel  pag.  365  die 
Werthe  der  Integrale  für  1887  Juni  1*0,  so  erhält  man  die  in  der  dritten 
Columne  eingetragenen  osculirenden  Elemente,  denen  behufs  Vergleichung  die 
früher  durch  die  Berechnung  der  Störungen  in.  rechtwinkligen  und  polaren 
Coordinalen  erhaltenen  osculirenden  Elemente  beigesetzt  sind: 

Epoche  und  Osculation  1887  Jur"  1*0 


Rechtwinklige  Coordinaten 
244°  16'  44"  05 

Polarcoordinaten 

Elemcntenstönmgen 
244°  16'44"-97 

244°  16'  43"-67 

24*  SO  13-26 

242  30  12-74 

242  30  13*84 

m 

342  42   4  23 

342  42   4  65 

342  42  4*48 

19    4  26-56 

19    4  26-28 

19    4  26  65 

1  46  30  79 

1  46  30-93 

1  46  31  13 

• 

/ 

6  21  22  73 

6  21  22  55 

6  21  22-60 

? 

28  53  51-86 

28  53  51-91 

28  53  51-95 

502'"  1597 

502"- 1608 

502""  1627 

legp 

04506064 

04506052 

04506038 

loga 

0-5661 10' 

0-5661092 

05661081 

b.  Berechnung  der  allgemeinen  Störungen. 

82.  Vorbemerkungen.  Die  Entwickelung  der  Störungen  in  analytischen 
Ausdrücken  erweisen  sich  für  die  rechtwinkligen  Coordinaten  aus  mancherlei 
Gründen  als  unzweckmässig.  Während  der  Radiusvector  wenigstens  für  elliptische 
Bahnen  nur  innerhalb  enger  Grenzen  veränderlich  ist,  und  die  wahre  Länge  von 
einer  der  Zeit  periodischen  Function  nur  mässig  abweicht,  die  Elemente  selbst 
aber,  von  den  secularen  und  periodischen  Störungen  abgesehen,  Constante  sind, 
sind  die  rechtwinkligen  Coordinaten  an  und  für  sich  periodische  Functionen 
von  starker  Veränderlichkeit,  da  sowohl  x  als  auch  y  bei  jedem  Umlaufe  alle 
Werthe  zwischen  —  r  und  -t-  r  durchlaufen,  und  nur  die  dritte  Coordinate  {%) 
für  den  Fall,  wo  die  Bahnebene  nahe  der  Fundamentalebene  bleibt,  zwischen 
massigen  Grenzen  eingeschlossen  ist.  Hierzu  kommt,  dass  die  Berücksichtigung 
kleiner  Lageänderungen  der  Fundamentalebene  (bewegliche  Ekliptik)  in  recht- 
winkligen Coordinaten  wesentlich  complicirter  ist,  als  bei  polaren  Coordinaten. 
Mannigfache  Versuche,  Störungen  in  rechtwinkligen  Coordinaten  zu  ermitteln, 
welche  schon  bis  auf  Euler  zurückzuführen  sind,  und  bei  denen  die  Ent- 
wickelungen  meist  durch  Einführung  von  rechtwinkligen  Coordinaten,  bezogen 
auf  ein  bewegliches  Axensystem  vereinfacht  werden,  erlangen  in  ihrem  weiteren 
Verlaufe  stets  den  Charakter  der  Methode  der  Störungen  in  Polarcoordinaten. 
Endlich  ist,  wenigstens  für  die  Sonne  und  den  Mond,  die  Vergleichung  der 
Polarcoordinaten  mit  den  Beobachtungen  einfacher,  indem  die  Längen  und 
Breiten  direkt  vergleichbar  sind,  während  dieselben  aus  den  rechtwinkligen 
Coordinaten  erst  abgeleitet  werden  müssen. 

Wenn  auch  in  dieser  Richtung  die  Methode  der  Störungsrechnung  in  polaren 
Coordinaten  als  die  zweckmässigste  erscheint,  so  bietet  andererseits  auch  die 
Methode  der  Variation  der  Elemente  nicht  unbedeutende  Vortheile.  Zunächst 
hat  man  es  hier  nur  mit  Differentialgleichungen  erster  Ordnung  zu  thun,  während 
die  Bestimmung  der  Polarcoordinaten  an  die  Auflösung  von  Differentialgleichungen 
zweiter  Ordnung  gebunden  ist.  Von  besonderer  Wichtigkeit  aber  ist  es,  dass 
sich  aus  der  Form  der  Differentialgleichungen  selbst  einige  allgemeine,  für  die 
Erkenntniss  des  Weltsystems  wichtige  Relationen  ableiten  lassen,  welche  die 


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Mechanik  des  Himmels.  33.  33.  367 

secularen  Störungen  betreffen,  und  die  Berücksichtigung  dieser  secularen  Glieder 
selbst  sich  relativ  einfach  gestaltet.  Viele  Theoretiker  zogen  es  daher  vor,  die 
Elementenstörungen  zu  ermitteln,  die  Secularglieder  dadurch  zu  berücksichtigen, 
dass  man  sie  mit  den  Elementen  vereinigt,  so  dass  man  den  weiteren 
Rechnungen  mit  der  Zeit  langsam  veränderliche  Elemente  zu  Grunde  legt,  und 
aus  den  periodischen  Störungen  für  die  Elemente  die  periodischen  Störungen 
in  den  Polarcoordinaten  ableitet  Man  hat,  wenn  M  ■=  L  —  x  die  mittlere 
Anomalie,  L  die  mittlere  Länge,  ir  die  Länge  des  Perihels  ist,  und  Ex,  Et,  .  . 
Ex\  E9'  .  .  .  Functionen  der  Excentricität  sind: 

r  =  a[l  4-  Excos{L  -  ir)  4-  Eteos1(L  -  ir)  4-  Etcos  3(Z  —  ir)  4-  .  .  •  J 
/  =  Z  4-  E^sin  (Z  -  ir)  4-  EJsin  2(Z  -  ir)  4-  EJ  sin  3(Z  -«)+...  . 
Sind  daher  die  Störungen  der  Elemente  «tf,  6e,  «ir,  «Z,  so  wird 

6r=6a[\+ElC0s(L  —  K)+  . . .  ]+a cos(L  —  -^j v<v2(Z  — ir)4-  . .  .  Ue 

—  a[Exsin(L  —  ir)  4-  2E9sin2(L  —  ir)  4-  .  .  .  ](«Z  —  «*) 

M  =  j^-  sin  (Z  —  ir)  -»-  ^  **  2(Z  -  ir)  4-  .  .  .  ]      4-  «Z  4- 

4-  [ZV  <w(Z  —  ir)  4-  Ei  cos  2(Z  —  ir)  .  .  .  ](*Z  —  «ir). 

Dieser  Vorgang  hat  jedoch  den  Nachtheil,  dass  man  die  beträchtlich 
grösseren  Elementenstörungen  zu  bestimmen  hat,  welche  sich  bei  der  Substitution 
in  die  Formeln  für  die  Störungen  der  Coordinaten  theilweise  vereinigen  und 
wegheben.  Ueberdiess  sind  die  Formeln  nicht  mehr  strenge,  wenn  die  Störungen 
der  Elemente  zu  gross  werden;  die  dann  erforderliche  Berücksichtigung  der 
zweiten  Potenzen  von  Sa,  6e,  «Z,  «ir  macht  aber  in  diesem  Falle  die  Rechnung 
ziemlich  beschwerlich. 

Aus  diesen  Gründen  entwickelte  sich  das  Bestreben,  die  periodischen 
Störungen  der  Polarcoordinaten  mit  möglichster  Berücksichtigung  der  secularen 
Störungen  der  Elemente  gleichzeitig  zu  bestimmen,  wobei  jedoch  zu  beachten 
ist,  dass  der  Beobachtung  nur  so  viel  Daten  entnommen  werden,  als  die  Zahl 
der  durch  die  Differentialgleichungen  bestimmten  Integrationsconstanten  er- 
fordert. 

83.  Entwickelung  der  störenden  Kräfte.  Während  für  die  Ent- 
wickelung  der  störenden  Krälte  für  die  numerische  Rechnung  (spezielle  Störungen) 
direkt  die  Werthe  X,  Y,  Z,  P,  Q,  ermittelt  werden,  erweist  es  sich  bei  der 
Ableitung  allgemeiner  Störungen  vortheilhaft,  die  Störungsfunction  zu  entwickeln 
und  die  störenden  Kräfte  durch  die  Differentiation  derselben  zu  erhalten.  Nun 
ist  die  Störungsfunction  ü  der  in  9  (7)  mit  Qt  bezeichnete  Theil,  also,  da 

m  =  - 

ist: 

+ +  (0 

L  ro»  r»  J 

Setzt  man  hier  x  «  r  cos  v,  y  =  r  sin  v,  was  darauf  hinauskömmt,  die  Jf-axe 

in  die  Richtung  des  Pericentrums  des  gestörten  Himmelskörpers  zu  legen,  so 


B  -  X*.  „.  [±  -  r(».™"  +  v.»»')-H».j  .  (J  a) 

Hierbei  ist: 

r,»  =  *,»  4-  V      *,*  —  r,>  4-  *,'»  (2) 

—  (*.  —  ■*) *  ■+■  Cr.  -  y) *  +  (*.  —  *)*  =  r»  4-  r,*  4-  *»  4- 9  -  2  (xxx  4- yyK  4-  *  *,). 


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Mechanik  des  Himmels.  33. 


xxx  +  yy\  +  **t  ist  darstellbar  durch  den  Cosinus  des  Winkels  T  zwischen  den 
beiden  Radienvectoren  r  und  r,.  In  allen  Fällen,  wo  nicht  auf  die  ursprünglichen 
Differentialgleichungen  der  Bewegung  (A)  (pag.  292)  in  rechtwinkligen  Coordinaten 
zurückgegriffen  wird,  werden  die  Differentiationen  nach  x,  y  durch  diejenigen  nach 
den  polaren  Coordinaten  oder  den  Elementen  ersetzt;  hingegen  wird  häufig  die 
dritte  Differentialgleichung,  nach  z,  beibehalten,  da  *  selbst  als  Störung  aufgefasst 
werden  kann,  wenn  man  die  ungestörte  Bahnebene  als  Fundamentalebene 
wählt  Da  dann  Differentiationen  nach  *  auftreten,  so  muss  z  explicite  bei- 
behalten werden.  Aus  diesem  Grunde  wurde  auch  r  an  Stelle  von  r  eingeführt 
Da  aber: 

xxt  ■+■  yyK  -h  *zt  =  rr,  cos  T  —  C0  (3) 
ist,  wobei  C0  eine  noch  zu  bestimmende  Grösse  ist,  so  wird 

ro*  =  r»  +  r,«  -  2rr,<w  r  +     +  *,»»  -1-  2C0-  (4) 
Hierin  tritt  zunächst  der  Ausdruck 

r0l»  =  r*  -h  r,4  —  2rr,rox  r 
auf;  in  diesem  kann  man  schreiben: 

r0l»  -=  (r»  +  n»;  [l-p^rj^r]. 

Setzt  man  daher 

r'H-r.»  =  a>;  jT^iT-«- 

so  würde 

Die  Entwickelung  dieses  Ausdruckes  hat  keine  Schwierigkeiten  und  könnte 
nach  dem  in  16  eingeschlagenen  Wege  durchgeführt  werden.  Allein  es  ist  zu 
beachten,  dass  r  und  r,  nicht  constant  sind;  ist: 

r  =  «(l+  o);        r,  =  at(l  +  ot), 
wobei  a,  a%  die  Halbaxen  sind,  so  werden  9,  o,  von  den  Excentricitäten  der 
Bahn  und  von  den  mittleren  Anomalien  abhängen,  überdiess  aber,  da  für  r,  r 
die  gestörten  Werthe  zu  setzen  sind,  bei  der  Berücksichtigung  der  Störungen 
höherer  Ordnung  der  Massen,  die  Störungen  enthalten.    Dann  wird: 

2a<art(l  +  »)(1  +  >,) 
a»(l  •+■  *)»  +         -+-  »,)>  ~~ 

-S^M?  <'  +  '  +  «■  ■'■««>['■'-»  "  +  +  +  J  " 
Die  angeführte  Formel  wird  daher  nur  dann  vortheilhaft,  wenn  man  die 
Störungen  nur  mit  Rücksicht  auf  die  ersten  Potenzen  der  Massen  berechnen 
will  (a,  a,  von  den  Störungen  unabhängig)  und  überdiess  die  höheren  Potenzen 
der  Excentricität  vernachlässigt.  Thatsächlich  tritt  diese  Entwickelung  nur  in 
den  ersten  Arbeiten  und  auch  da  nur  in  vereinzelten  Fällen  auf,  und  man  zog 

alsbald  vor,  Entwickelungen  nach  Potenzen  des  Verhältnisses  —  oder  —  vorzu- 

i\  r 

"nehmen,  je  nachdem  r,  ^  r  ist. 

1)  Sei  r<r„  d.  h.  der  gestörte  Planet  ein  innerer.    Dann  wird: 

»V  Ä  r'il  -2awr  +  a»];        a      -J-  •  (5a) 

2)  Sei  r  >  r,.  d.  h.  der  gestörte  Planet  ein  äusserer.    Dann  wird: 

r„'«r»[l-8awr  +  a«];        a  =  ^-  (5b) 


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Mechanik  des  Himmel«.  J58.  369 

Es  ist  für  beide  Fälle 

~  r»  -1-  r.»  "M  +  a»' 
daher,  wenn  a  =*  1  —  ß  gesetzt  wird: 

°~4fi2-2ßH-ß>      1  — ßH-iß»""1  l-ß+iß« 

,_.  =  ?[,__iL_], 

folglich,  da  ß  <  1  ist,  stets  8  —  a  positiv,  also  8  >  <x. 

Die  Entwickelung  nach  a  hat  also  scheinbar  den  Vortheil  der  stärkeren 
Convergenz1).    Da  r0l'  =         —  8  cos  T),  so  wird,  wenn  8  =  */«?  gesetzt  wird: 

r0"  e9Ä»[l  —  sin  f  cos  rj»  •=  b*cos\y[\  —  tang  \  <p<r'l']$[l  —  tang\ye-W$ 

=  2  V^cosiV, 

wobei 

Nun  ist  aber  gemäss  der  Definition  von  <p: 

r*  -  r,»        .        r.»  -  r» 
=  r»  +  r.'      oder  "r^Tr?' 
jenachdem  r  >  n  oder  rt>  r  ist;  demnach  folgt 

r '  r' 

tang*  *¥  =  -pr  oder 

Setzt  man  daher 

—  =  «   oder   —  =  a, 
»4  r 

so  wird 

*f-(-iyr-(y)a^[-|,    -  |  -4-  1,    i  +  l,    «']       r  >  r, 

|f  -  (-  lyr."  (?)        [-  | ,   -  \+  i,    i  +  1.    «■]       r,  >  r 

übereinstimmend  mit  16  (10). 

Es  giebt  allerdings  einen  Fall,  in  welchem  die  Entwickelung  nach  a  un- 
thunlich  wird;  wenn  nämlich  r  und  r,  sehr  nahe  gleich  sind,  oder  wie  dieses 
bei  Kometenbahnen  der  Fall  ist,  die  eine  Excentricität  so  gross,  dass  r  in  dem 
einen  Theile  der  Bahn  kleiner,  im  andern  grösser  wird,  so  wird  die  Entwickelung 
nach  a  in  dem  einen  Theile  der  Bahn  nach  der  ersten,  in  dem  anderen  Theile 
nach  der  zweiten  Zerlegung  vorgenommen  werden  müssen.  Eine  solche 
Theilung  der  Bahn  ist  bei  den  Kometen  allerdings  mit  Vortheilen  verbunden, 
wird  jedoch  nicht  immer  anwendbar;  da  aber  (r  —  r,)*  stets  positiv  ist,  so  ist 

r»  -1-  r,s  >  2rr,   daher  8<1, 
und  nur  in  einzelnen  Punkten,  für  r  ■=  r,  wird  8  =  1  werden.  Wenn  aber  auch 
in    den   meisten  Fällen   die  Entwickelungen   in  Folge   der  Continuität  für 
r  =  r,  gültig  bleiben,  wenn  sie  für  unendlich  benachbarte  Werthe  gültig  sind, 
so  werden  sich,  und  dies  ist  bei  der  Berechnung  der  Störungen  der  kleinen 


*)  Würde  die  Entwickelung  z.  B.  nach  Potenten  von  \  8  d.  i.  Potenten  von  (prqpy-j) 
chreiten,  so  würde  die  Convergenz  dieser  Entwickelung  im  Gegentheil  stärker  sein,  da  wie 
leicht  findet  a  —  |  =  4  (l  -  2ß  +  +  jpi)  also  *  >  ist 


IL 


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37° 


Mechanik  de«  Himmel«.  33.  34. 


Planeten  untereinander  oder  bei  der  Berechnung  der  allgemeinen  Störys- 
eines  Kometen  wichtig,  der  numerischen  Anwendung  ganz  bedeutende  Schwir: 
keiten  entgegenstellen. 

84.  Kleine  Neigungen  und  Excentricitäten.    Für   die  Entvicker-: 
von  cos  T  ist  erforderlich,  dass  die  Coordinaten  x,  y,  s,  xx,  y»  sx  aaf  disic:« 
Coordinatensystem  bezogen  werden.    Im  gegebenen  Falle  war  das  Axensv>:tr 
so  gelegt,  dass  die  XAxe  in  die  Richtung  des  Pericentrums  und  die  AT-Ebe: 
in  die  Bahnebene  des  gestörten  Himmelskörpers  fallen.    Auf  die  Kugel  pr 
cirt,  wird  die  Richtung  der  X-Axe  in  Fl  (Fig.  272)  treffen,  die  X  K  Ebene  m  ce: 
Kreise  ftll  schneiden.    In  den  Formeln  2.  1,  welche  jetzt  auf  die  r. 
zuwenden  sind,  bedeuten  dann  jr/ s=  r, cosv%,  yx  =  r, sinvx  die  rechrwmklirr 
Coordinaten,  bezogen  auf  ein  Axensystem,  dessen  JT  Axe  in  die  RichUw  dt 
Pericentrums  des  störenden  Körpers  fällt  (Schnittpunkt  auf  der  Kugel  in  D 
Es  wird  also  in  den  Formeln  2.  21:  HK  =  0  —  <u  an  Stelle  von  Q,  und 
Wj  —  <&,   an  Stelle  von  «•»,  endlich  /  an  Stelle  von  i  zu  setzen  sein.  Es 
jedoch  Kürze  halber  von  nun  an  nur  ein  störender  Körper  betrachtet  verde 
und  die  auf  ihn  bezüglichen  Grössen  durch  obere  Accente  unterschieden  weröc 
also  r\  v',  k'  an  Stelle  von  r,  t\  *t  u.  s.  w.  *).    Dann  wird: 

xx  =  r'  [cos  (O  —  fa)  cos  {v'  4-  o>'  —       —  sin  (<t>  —  u>)  sin  (v'  ■+■  »'  —  W)c9ti 

sin  (<D  —  «)  sin  I •  s' 

yx  -,^[«»(0  -  u>)cos(v'  -+-»'  —  O')  +<w(<&  -  <*)«'«(*'  -»-«/_  V):<nl 

—  cos  (<D  -  to)  sinl'X'  ['. 
*,  -  r'«*l(tr'  -»-«»'-  4>')j/>i/-r- 

folglich") 

TTi  ■+*  ««!  —  rr'[*<w  (O  —  »  —  »)  w  (p'  -»-">'  —  O') 

—  «'« (O  —  f>  —  «>)  «'«  (v'  -h  w'  —  O')  cos  J]  +  T  sin  (Q  —  v  —  *»)sin  I  i  i 

-h  r1  sin  (r/  -h  tu'  —  $»)  */«  /s  -+-  ss'  <w  / 

Ersetzt  man  in  dem  zweiten  Gliede  des  ersten  Klammerausdruckes  «■ 
durch  1  —  2sin*\I,  und  setzt 

so  ist  die  in  SS.  3  mit  C0  bezeichnete  Grösse 

—  C0  Ä  —  2rr' jm  (tr  -+-  it0)  //« -+-  k0')  —  r  im  (n  -+-  it0)  j«j  /x* 

H-  r'  sin  (v'  -+-  tc0')  /*'«  f.z-hiz'  cos  I 
xxx  +  yyx  +  ssx  =  rr*  cos  (v  •+-  k0  —  v'  —  tc0')  —  C0. 

Handelt  es  sich  nur  um  die  Störungen  durch  einen  Himmelskörper.  - 
wird  man  alle  Längen  von  dem  Schnittpunkte  K  der  beiden  Bahnen  (Fig. 
zählen  können.  Dann  ist  ir0  die  Länge  des  Perihels  des  gestörten  Hinutf  - 
körpers  von  K  aus  (gezählt  in  der  Richtung  der  Bewegung,  also  in  Fi$  T 
FIK  =  360°  —  ic0)  und  «0'  der  Abstand  des  Perihels  des  störenden  Körpers  t  • 
K  ;  daher  sind  v  -+■  ic0,  p'  +  k,1  die  wahren  Längen  der  beiden  Körper  vor.  i 
aus.  Bei  mehreren  störenden  Körpern  muss  selbstverständlich  ein  andt~ 
Anfangspunkt  gewählt  weiden,  da  nicht  alle  Bahnen  dieselbe  Schnief 
haben. 


')  Die  rechtwinkligen  Coordinaten  bezogen  auf  die  Bahnebene  des  gestörten  K?rp^ 
sind  dabei  Jtlyl  'i  da  x'  y'  s'  für  die  auf  das  Pericentrum  und  die  Ebene  der  eigenes  B«^ 
(des  störenden  Körpers)  bezügliche  Grössen  vorbehalten  sind. 

*)  Derselbe  Ausdruck  entsteht  natürlich,  von  welchem  Axensystem  immer  man  ausge- 


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Mechanik  des  Himmels.  34.  371 

Der  grösseren  Allgemeinheit  wegen  wurden  hier  die  auf  der  Bahnebene 
senkrechten  Coordinaten  *,  «'  beibehalten.  Bestimmt  man  Neigung  und  Knoten- 
linie derart,  dass  die  momentane  Bahnebene  stets  durch  den  gegebenen  Ort 
geht  (z.  B.  bei  osculirenden  Bahnen),  so  wird  *  =  *'  «=  0;  C0  reducirt  sich  auf 
das  erste  Glied,  und  es  ist  r  =  r,  r'  =»  r\  Unter  der  hier  gemachten  Annahme, 
dass  die  Neigungen  klein  sind,  welcher  Fall  bei  den  Planeten  und  Satelliten 
(mit  Ausnahme  der  durch  die  Sonne  bewirkten  Störungen  der  Uranus-  und 
Neptunstrabanten)  eintrifft,  wird  man  Co  als  cine  Grösse  von  der  zweiten  Ordnung 
der  Neigungen  (von  der  Ordnung  des  Quadrates  von  /)  ansehen  können;  es 
wird  daher,  wenn  man  C  =  2C0  -+-*'-+-  *'*  setzt:) 

r0»  ■=  r»  -+-  r'f  —  2rr'  cos  (r  +  n0-t/  -  O  +  C 
C  =      4rri  sin*  \I sin  (v  -+-  *0)  sin  (»'  -+-  it9')  •+-  2r  sin  (v  4-  n0)  sin  fz'  (5) 
—  2r'  sin  {v>  -+-  ic0')  sin  Iz  —  2**'  cos  I     z*  -+■  z'* 

Da 

r  =  a(l  +  «)        r'  — a'O  +«") 


(6) 

ist,  wo  Air  kleine  Excentricitäten  9,  a',  v,  v'  massige  Grössen  sind,  so  kann  man 


v  =  AI   -+-  v         v'  =  AT  +v 


r0\  -       +  G 

Et  =  ai  +  a'i  _  2aa'  <w  ( M -+-  * 0  -  i/*  -  ic0').  K  ) 

Da 

;m  (v  -h  it0  —  v'  —  it0')  =>  cos  (Af  +  ic0  —  AT  —  k0')     (v  —  v') 
-  stn  (Af+«9-Af-  *0') (v  -  v') 

ist,  so  wird 

G  =  o»(2*  4-  a»)  -+-  a,»(2a'  -I-  a*>)  -+-  laa'  cos(Af  +  i:Q  -  AT  —  *0') 

[i(v  -  v')'  -  ^(v  -  v')*  4-  ] 

—  2aa'  cos  (Af  +  r.Q  —  AT  —  k0')(<j      9'  -4-  <»»') 

[l-i(v-v?  +  ^(v-v')*.  .  .] 
-+-  2aa'  ji»  (J/  +  it0  —  AT  —  «0')(1  -4-  <x)(l  -+-  <j') 
[(v  -  V)  -  i(v  -  v')«  ]  +  C- 

«£"  stellt,  wie  man  sieht,  die  Entfernung  des  störenden  und  gestörten 
Himmelskörpers  dar,  wenn  man  annimmt,  dass  sich  beide  mit  gleichförmiger 
Geschwindigkeit  in  zwei  in  derselben  Ebene  befindlichen  concentrischen  Kreisen 
bewegen.    Nach  (7)  ist  dann: 

J_      ±f        G\-t     1  6       1  •  3  <?* 

r0l  Ä  E\  1  +  E*)    -E  —  iEt  +  Z-AE*"'    '-  w 

Diese  Form  der  Entwickelung,  scheinbar  die  einfachste,  wird  wenig  über- 
sichtlich; man  erhält  eine  übersichtlichere  Entwickelung  auf  die  folgende  Art: 
Man  hat  offenbar 

Vi-p'  +  i   W("»n   p'  —  r»  •+-  r'*  —  2rr'  cos  (v  -h  it0  —  f1  —  ««')»  (9) 
folglich  unter  der  Voraussetzung  kleiner  £: 

C2 


'■oi       P\        PV    "  P      *  p»"H2-4  p' 


(10) 


Hierdurch  sind  zunächst  die  Glieder,  die  von  der  Neigung  und  der  Breite 
abhängen,  insoweit  sie  nicht  in  ic0,  ir0'  enthalten  sind,  abgetrennt  Zur  Ent- 
wickelung von      kann  man  aber  die  TAVLOR'sche  Reihe  benutzen,  indem  man 

ja,  a'9',  v,  v'  als  Incremente  der  Grössen  a,  a\  Ai,  AT  ansieht.    Es  wird  dann: 

»4* 


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37»  Mechanik  de«  Himmels.  34.  35. 

£  -  ( ?)  S  r.  -  ° + ,+ 

wo  Kürze  halber  <?  =  J/         —       —  rc0'  gesetzt  ist.    Es  ist  aber 

(p")0=  £*''       da  (p")0Ä  Ta  {e^)  ' 
da  in  dem  Ausdrucke  für  E  überall  a  auftritt,  wo  in  dem  Ausdrucke  ttir  i 
Werth  a(l      a)  vorkommt.    Man  hat  daher,  wenn 

entwickelt  ist,  sodass  die  Coefficienten  ß}%)  nur  von  den  a,  a'  abhängig  sind 

—  (v  —  v') j>j x */« x (> + i <i * q'Z-i  gj«  cosxQ+aa  q v'jj -fäda1  C0SXQ+- 

Da  ftlr  *  «=  1,  2,  .  .  .  die  Faktoren  C  C   auftreten,  so  wird  man> 

bei  diesen  Ausdrücken  auf  die  Mitnahme  einer  geringeren  Anzahl  von  Glieder, 
beschränken,  während  für  s  =  0  eine  weitergehende  Entwickelung  nöthig  ist 

35.  Entwickelung  der  negativen   ungeraden  Potenzen  vot  £ 

Diese  Entwickelung  ist  gemäss  8t.  (5)  an  die  Entwickelung  der  Potenz«  ce 

Ausdruckes  _ 

=  \  —  2a  cos  Q  ■+■  ot* 

a  a' 
a  =  ^-    oder    a  =  — ,  a  <  1 

gebunden.  Die  direkte  Lösung  dieser  Aufgabe  ist  bereits  durch  die  Formt' 
15  (9),  (10)  gegeben.  Da  es  sich  nur  um  die  negativen  ungeraden  Potcrjc 
handelt,  so  sei  «  =  —  2j  —  1 

=  /f°>+  II*1*  cos  Q  -t-  IP^cos  2  Q      IP^cos  3  Q  -t-  .  .    •  *• 
/2j-t-l  2x  +  3\  2j  +  3  2j  +  5\  , 

+   i-j  l~2  «  6-J«  + 

Die  Restimmung  aller  Coefficienten  durch  diese  Reihen  würde  rieoK 
weitläufig,  und  es  ist  daher  zweckmässiger  nur  einzelne  (im  Allgemeinen  ff: 
und  hin  und  wieder  einen  zur  Probe)  direkt  zu  rechnen  und  aus  diesen  ei 

anderen  abzuleiten l).    Setzt  man  K^~K)—  K™,    so  kann  man  schreiben1) 

l)  S.  Laplacb,  »Mecanique  Celeste  1.  Bd.«,  Leverrikr,  »Ann.  der  Pariser  Sternwarte,  II-B'  ■ 
Hansen,  »Entwickelung  der  negativen  ungeraden  Potenten  u.  s.  w.t  Die  recurrente  Entwich 
der  P  wurde  zuerst  von  Lagrange  und  Laplace  gewählt,  wahrend  Eulrr  noch  beinv-- 
Schwier  igkeiten  bei  der  Bestimmung  dieser  Coefficienten  für  die  wechselseitigen  Störung"  '  "■ 
4  und  tj  oder  $>  und  $  fand.   

*)  Die  Basis  der  natürlichen  Logarithmen  gleich  e,  und  die  imaginäre  Einheit  )-> 
gcscUL 


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Mechanik  des  Himmelt.  35.  373 

vobei  die  Summe  nach  x  von  —  <x>  bis  •+■  <*>  zu  nehmen  ist.  Differenzirt  man 
liesen  Ausdruck,  so  folgt: 

ind  da  nach  (1): 
st,  so  wird 

X  X 

J«<x(eiW-  e-iQ)2^)ei^=  -(1  -«e««)(i  -  ae-'Q)  Jx/T^e»»«. 

X 

Führt  man  hier  die  Multiplikationen  aus  und  beachtet,  dass  diese  Be- 
engungen für  jeden  Werth  von  Q  identisch  erfüllt  sein  müssen,  *o  erhält  man 
ür  die  Coefficienten  die  Bedingungen: 

n -  K^)  =  -  2 xif.w  (6) 

md  ebenso1) 

ra  lA'i*-1J  -  A'„(l+1))=-(1  -h«»)2xAT(1w  +  a[(2x  2)/C^l}  (2x  -  2)<*",;] 
>der 

(1  -{-  a')2xA„(,°  =  a[(«      2x  +  2)A'„(1+1)  -  («  -  2x  +  2)^*-"]  .  (C) 

Um  hieraus  eine  Recursionsformel  zu  erhalten,  werde  A„(*'H,  gesucht;  et 

olgt: 

\        ajn  +  2x  -f-  2  «-*-2x-«-2 

Sind  daher  für  ein  gegebenes  «  zwei  der  Coefficienten  K  beturnmi,  ko  kaut- 
nan  nach  (7)  die  übrigen  finden,  und  dann  nach  fU,  die  Coeft'-ienicu  f-r 
ibrigen  Potenzen.  Da  «  «  —  (2 x  H-  1),  so  würde  man  nach  '.0,  die  C-verLoerrtex 
ler  negativen  2/  -t-  1,  Potenz  aus  denjenigen  der  '2/  3^,  Cie>e  avt  Orr.;*n»jf ex 
ler  (2*  -+-  5y  u.  s.  w.  erhalten.  Je  grösser  /  hl,  devV..  fcch»2/_-'»er  cvtrverF««: 
ind  aber  die  Reihen  '3;  und  es  wird  »ich  daher  t:::./*-^,  l'j.^k^  tiit 
Zocfncienten  A'K*;,  aus  den  Coeificicnten  AV*'  zu  er a. .  Oirj'.:ut.£  ir 
Iah  er  noch  um  formen. 

In   G-eichurz   '7    trtt  der  Kenner  *  avf    ber   n.i^  ;;et;  WVriii«,  w 
z.  B.    f-r  die  »ech>e'.se-!*.:£en  S'-orun^en  cer  Fr^e  vr*c  Veuut,  t»ocr  oe*  ju^ivef 
:nd  Sat-ix,,   bei   »-eichen   Oie  fcerec:  r.-.r.g  der  f  vraie:f         a«  mjy,-iu«i^^f 
*:rd.    karr.   h:era-*  keine  Sc:  «->r!; r«r.t  eT.-.i.-.e-MA.    he.  f.en&x   W  .-'.nea  »  vi  * 
«■erden  c  e>e  F -rtteir.  aber  tr^zweccxtfri.*,   f  ür  it«eir»e  W'er:?<t        u  un*  <.\>e-v 


: 


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374  Mechanik  dea  Himmels.  35. 

Gauss1)  ein  Verfahren  angegeben,  um  diese  Schwierigkeit  zu  beheben.  Ser 
man  für  diesen  Fall: 

so  geht  die  Gleichung  (7)  über  in: 

at  a  a  .    t)  2x   w     «-2x4-  2 

woraus  nunmehr 

*  v  '« — 2x  4- 2  "  n—  2x  4- 2  " 

folgt.    Rechnet  man  daher  für  zwei  gewisse  Werthe  von  x  die  Werthe  voc 

kj^  und  nach  (9)  die  sämmtlichen  vorhergehenden  bis  so  erb-: 

man  dann  nach  (8)  K^x).   Noch  bequemer  wird  das  folgende  Verfahren.  Setzt 

kf~l)  l  4-  «»         (K)  *«(,)  1  -4-  q» 

T^T  -  -  2x  »  _  2X  4-  2  T"  '        ^pü  2(X  +  ,)Ä  _  2xT-S  ' 

so  wird 

14-*'         /\  ,  i  »4-2x4-2,  f._i_u 

4-  2x(2x  -4-  2)  (l,t.Vr  (T-W  ~  1)7-(^1)  =  a'(*  +  2x  +  2)' 

demnach 

,<«)_.        («  ~  2x)(«  4  2x  4-  2)  /     *     y  1 

4x(x  4-  1)  \l  4-  *V  7j«+i> ' 

Für  7„w  ergiebt  sich  demnach  der  Kettenbruch 
(«4-  2x  4-  2)(«  _  -  2x)  /    a  y 
-fr)     .  .        "4x(x4-  l)  Vl4-a7V 

(«H-2x-h4)(>i-2x-2)  /    «  y 
4(x4-  l)(x4-2)  Vl4-aV 

(«H-2x4-6)(w  — 2x~4)  /    «  y 
i  +         4(x4-2)(x4-3)  Il4-«»J 
1  4^  •  •  •  • 

Da  übrigens 

(     \\n  nnn^n~^  C«-2x4-2)    /    n         n  \ 

ist,  wenn  F  (a,  ß,  7,  x)  die  hypergeometrische  Reihe  ist,  so  wird 

woraus  der  Kettenbruch  folgt  (Gauss,  Ges.  Werke,  III.  Band,  pag.  134): 

1        1  4-  et» 


.00      ^  _  jg., 


P£j«»   (12») 

!  _  ß*'  


1  —  ...  . 

BM_  «(«      2)  pW_  («-2x)(«4-2x4-2) 

Pl'"  4x(x4-l)  4(x  4-  l)(x  4- 2) 

w  (n  -  2)(n  4-  4)  w  («  -  2x  -  2X»  t-  2x  4-  4) 

P8-"  4(x  4- 2)(x  4- 3)  P*"_  "       4(x  4- 3)(x  4-4) 

rW_  (»  ~  4)(»  4-  6)  w  (n-2x-4)(i»4-2x4-6) 

P5--  ™  4(x  4-  4)(x  4-5)  P* " "  4(x  4-  5)(x  4-  6) 


•)  Für  n  =  —  1 ;  Brief  an  Bkssel  vom  3.  September  1805.    VergL  auch  Haksek  L  < 
und  Lisssr,  Störungen  der  Metis. 

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Mechanik  des  Himmels.  85. 


37S 


Hat  man  ^  nach  (12)  berechnet,  so  erhält  man  t„(ä-1\  %  nach  (11); 
la  nun 

Aj0  *j*  »~2x  +  2  /    a    \  J_ 

Ä-i*-"      "  *.(-«  "  2x  ll-r-a»j7W 

st,  so  erhält  man  die  sämmtlichen  AT«(*)  sobald  einer  der  Coefficienten  bekannt 
st.  Formel  (13)  hat  dabei  den  Vortheil,  dass  man  AT««»,  AT«**)  ...  aus  AT«^ 
srhält. 

Mit  Rücksicht  auf  (5)  genügt  es  die  Coefficienten  für  ein  einziges  n  zu  er- 
mitteln; man  könnte  s=  1  wählen;  die  Reihen  werden  aber  convergenter  für 
r  =  0;  allein  noch  zweckmässiger  wird  es  s  =  —  1  zu  wählen,  d.  h.  /  zo  ent- 
wickeln; lässt  man  für  diesen  Fall  die  Indices  weg,  d.  h.  bezeichnen  die  Grössen 
T0O,  ßxW,  />W  die  Werthe  7+1»,  ßx,+iw  /Li«(«  =      1,  *  =  —  1),  so  wird: 

7(x)  8(x)g»  P«  -     *x(x-Hl)  Pl  ""     *(*+ +  J; 

.    ß^q«        Bw-  .  1  L'J         «<*>_  ,  x  (2»-MX2x  +  5) 

1  "  l'ir—       P.  -  +  *  (x  +  2)(x  +  3)     P* +  *  (x  +  3)(x  +  4) 
P'      +  i(*+4)(x  +  5)     Pi      +  *  (*  +  ö)(x-f6} 


1  — 


^-1)=  ,  _  C2x  +  l)(2x-3)  (__E_Y± 
T  4x(x-l)  Vl+«V7W 

und  man  erhält  die  sämmtlichen  x5  für  j  =  —  1  mit  gleicher  Si^iätä  z-t.  ::r 
sehr  kleine  Werthe  von  a;  es  ist  zu  bemerken,  dass  diese  Fottät  trr--^ 
Werthe  von  st  (immer  a  •<  1)  mit  Leichtigkeit  verwendet  w~kä  x. .:.tt-  *»nti 
nur  für  die  Bestimmung  von        der  Werth  von  x  genüperü  x"r^       — -  •r-  ~ 
Schreibt  man  in  (5)  n  ■+-  2  für  «  und  setzt  AV*~J  au:  ~  -et. 

-  2xat.%- (. + !).[*■.<-»-  (.  +i) £  - fr^-;  y.-- 

Sucht  man  aus  (7)  Ar„(*_1)  und  substituir.  r 
für  «  geschrieben  wird),  so  wird  nach  emer  <r:r=: 

«  +  2  ~  ß  ~  ^ 


oder  indem  man  x  —  1  für  x  setzt: 

_  —    .r  " 

~   * 


«  —  2  x  -h  4  „  u 


Aus  den  Gleichungen  :4t  - 
man  erhält  ohne  Mühe 


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376  Mechanik  des  Himmels.  35. 

(1  -  ..)•  AT.«  =  ^2^f-2  (I  +  .^AT«,  +  ^f-^  •  S.A-iii» 

(.  -  ..).*(•-.»  _  i±2i±»    a'.%  +  ^£f«  {,  + 

und  hieraus 

Geht  man  auf  die  />,  über,  so  wird 

zu  setzen  sein,  und  es  wird 

(I  +  «»)  8  x  Z*'  =  >  [(8  *  +  3x  -  1)  /»<->>  -  (2i  -  2«  -  1)  ^•+'>;  ,1 

irh[»«+*'-«ö^^r°H».-i.+»(-|^^] 

y.  (•  -  0  +  />/»  =  (-2f_1)',_<l)t  [(8  <  +  2  s  -  3)^r"  -  (8  «  -  8  s  +  1  )/» «] 

/.(.-»_  /.;.)=_|_!__1(2<+2j_3)7,/,r,,+(2l_2j+0^  ilIb 

Hieraus  folgt  für  j  =  0: 

i  (in* 

und  f  ir  j  =  1 : 

/>,<«-»- AW-^,W-'>+^»)--(-^iI(J«-»V*-l)-(»«+1V*:l"' 

folglich 


/,iM=_(2x-!)(y1)^) 


(mb; 


Nachdem  die  Werthe  />(«)  nach  I  berechnet  sind,  erhält  man  aus  (Uli' 
und  (III  b)  die  Werthe  für  s  =  0  und  1  (die  negative  erste  und  dritte  Potenz),  unc 
aus  (IIa,  IIb)  die  übrigen  Coefficienten.  Für  grosse  Werthe  von  <z  werden  hier 
die  Coefficienten  wegen  des  Nenners  (1  —  <x»)»  bedeutend  vergrößert;  dieses 
ist  aber  in  der  Natur  der  Sache  gelegen,  da,  wie  die  Reihen  (3)  zeigen,  die 
/»,(*)  für  grosse  Werthe  von  a  rasch  zunehmen,  und  ihrer  geringeren  Convergeni 
wegen  ebenfalls  mit  Vortheil  durch  die  Formeln  II  ersetzt  werden.  Aus  (14»\ 
(14  b)  erhält  man  noch  die  im  folgenden  benutzten  Beziehungen: 

(1  -f-  a«)  -P0(«-«  -  2a  J>0to  =  -  (2x  -  3)  /^-D 
(l4-a»)y0W-2a/>0(*-D=  -+-(2x-+-  1)/»W 

und 


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Mechanik  des  Himmels.  35.  36.  377 

/>„(.-!)=  -  (2x  -  3)  (fr1^,  +  d«  +  0  (l  _?*.). 

A<"  --»»-  3)  jj^iijs  +  (1«  +  .)  fjL^j  /««) 

36.  Differentialquotienten  der  K  und  Differenzirt  man  die  Reihe 
86.  4  nach  <x,  so  folgt: 

dp  <rr*d/Ctx) 

X 

und  da 


ist,  so  wird 


demnach 


p^  =  -  cosQ  +  *  =  —  *(eiQ  +  e-iQ)4-  a 
\n  [e«Q  +  e  - »Q  -  2a]^         e-Q  =  J]-^-  e«*«*. 


da 

2*+i 

0a    =  2 


Es  erscheint  manchmal  praktisch,  auch  hier  an  Stelle  der  T^+i  die  selbst 

einzuführen,  da  sonst  bei  den  höheren  DifTerentialquotienten    ^  *    die  Werthe 

von  J3  bis  zu  Pt+k  nothwendig  wären,  deren  Bestimmung  überflüssig  ist.  Mit 
Rücksicht  auf  85.  (15)  wird  aber: 

il-^Kt^K^)^—  -««AT«  +  n--^{\  +  «■)*.<"-»  + 

n  ft 

'       +  *  +  2;  +  2  (1  +  a')K<rn+  ^~  2-AT.'", 

olglich 

—  i»  (1  -  <*»)> ATixtl))  =  -  4(1  +  «»)  [(«  —  2x  H-  2)A'i*-1>  h- 

+  (»  +  2x  +  2)  -  ZanK™. 

Da  sich  die  zweite  Gleichung  (15)  auch  schreiben  lässt: 

;o  wird,  indem  man  aus  dieser  Gleichung,  und  der  ersten  85.  (15)  das  arith- 
netische  Mittel  nimmt: 

, a ( 1  —  a»)>  Ä'il,,=  a«(«+  2x+  2)Äw("+ü-h  a»(«  -  2x-h2)  AT^-^-r-  »«(1  -H a9)  A'„(x), 
lern  nach 

«(l-a^'KiVi^-l^V-Ui  -«»)[(*  -2*+2)A'j"-,)-H 

(*  4-  2x  +  2)ÄW(,,+I)]  -  «a(l  -  a»)  A'ix), 

blgüch 

g>rjK)  _J__  f«-2xH-2  «+-  2*  +  2     (x+1)     ÄaA-(x)]  . 

=  -i  2         Ä"  2  "  J 


da 


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378  Mechanik  des  Himmel».  36. 

Diese  Gleichung  kann  man  in  zwei  verschiedenen  Formen  schreiben,  «- 
nachdem  man  K?]  und  K<*+1)  oder  A'™  und  K^~x)  einführen  will  ;  es  wird  är 

a(l  -  a»)  =  -(«  +  2x+  2)a ATj^V  [x  -H  (x  -  «)a»]Ar,(,,)= 

«=-(*-  2x  +  2)aA;(l,-l)  _  [*  4-  (x  +  »)  a»l  AT.wf 

folglich  wird: 
0  /»(*) 

(1  -  a«)  =  (*  4-  x  -  *)/>,<*  ' «  +  (,  -  *  _  ^)  7>,<*+l>  4-  (2*  4-  \)*P*  - 

a(l  -  «■)  -y-  =  (2*  -  2x  -  l)a/>,(*+,)4-  [*  +  (2/  +  x  +  l)a»] 

a(l  -  «»)  =  (2x  +  2x-  Oa/»*-1*  -  [»  -  (2s  -  x  4-  IJa»]/**. 

Aus  Formel  (1)  erhält  man  durch  nochmalige  Differentiation: 


a<*> 

Setzt  man  hier  für  die  DitTerentialquotienten  rechts  die  aus  (l)  durch  Yr- 
tauschung  von  s  mit  s  -\-  1  und  von  x  mit  x,  x  —  1,  x  -}-  1  folgenden  Werthe  ez. 
so  erhält  man: 


Wendet  man  hierauf  die  Formeln  (IIa)  an,  indem  man  auf  den  ersten  Tie. 
die  zweite  Gleichung  und  auf  den  zweiten  Theil 

die  erste  Gleichung  anwendet,  so  erhält  man  nach  entsprechender  Reductrön 

+  (2i  -  2x  -  1)(1  +  a»)/Ät»+  (2x  +  *)4a/JJ{-|J  + 
+  [2(2*  +  3)[(1  +  «»)  -  8a'  +  2a»(l  +  a»)]  -  4(1  -  **)*\/>£A 

und  wenn  man  die  Ausdrücke  /?Jt2)  und  P%_\2)  durch  />/*t1).  Z*^, 
ausdrückt  und  wieder  reducirt  den  eleganten  Ausdruck 

T§-  "  ^"!r  k"  -  »/ÄTl,+4C  +  D«^a-  («  +  D^iH-  W 

Dieser  Ausdruck  giebt,  wenn  man  noch  in  derselben  Weise  die  Ps  einfuhr. 

~aT*-  =  2T(F^        +  **  -  DK«  -  D  +  («  +  *'  +  8)«»]  /*-»+ 
4-  (2x  -  2*  +  1)  [(x  +  1)  4-  (x  -  4i  -  3)a«]/^*+1)  +  (; 
4-  4a  0(2*  -hl)  -  2x»  4-  (s  4-  1)(2*  4-  1)  a*]/*°|, 
welche  Gleichung  auch  durch  Differentiation  von  (2)  erhalten  wird. 

Um  endlich  die  Coeffkienten  B^n)  in  35  (11)  und  ihre  DifTerentialqi 
zu  erhalten,  hat  man  zu  beachten,  dass 


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Mechanik  des  Himmeln.  36.  S7. 


379 


der 


daher    Btw  = 


1 


1 


st 


~£l7+i  88  äsT+I  ^ä7+T »     a  =  fl     daher    B™  —  <ß*+i 
wo  der  Deutlichkeit  halber,  das  Argument  bei  Z*/**  beigefügt  ist.    Für  die 


(6) 


>ifYerentialquotienten  hat  man: 

dB™ 


1)  für  a  =  : 


1 


2s  +  \)P™- 


a  ^1 


(8) 


2)  für  *  =  -:  -g 


dB™ 


dP™ 


(») 


vomit  alle  für  die  Entwicklung  von  p-0**+D  in  85  (12)  nöthigen  Grössen  be- 
echnet  werden  können. 

Die  zur  Rechnung  zu  verwendenden  Constanten  sind: 

(2*+  1)(2*  — 3) 


log  (})'«=  9-3979400 
hg  (£i)'=  8  1938200 
^(rH)'-  7  5917600 
/<tf(^|)'=  7-1835200 
/^(f^To)'=  6'873716l 
%  (f^)'=  6  6238386 
^(r^S)'-  6  4143680 
%  (FS)'"  6  2340148 
(I^Ü)a—  6  0756522 
log  (F£D'~  5  9344900 

/^p  (1(0=  7*8336686 
log  pao)=  7-9037854 
A^p  (10)  =  8-3979400 
ß(io)_  8-6165836 
%p  ao)=  8-7504046 


log 


1 
2 
3 
4 

5 
6 
7 
8 
9 
10 


4x(*  -  1) 

9-7958800 
9-9420081 
9-9719713 
9-9834007 
9-9890046 
9-9921747 
9-9941443 
9-9954524 
99963657 


log 


2*  —  3 


2« 

9,6989700 
9-3979400 
96989700 
9-795fc«0> 

9-S75IK:,: 


Aypuo;  = 
logt        •  ~  ** - -» 


37.  Entwickelung  der  Störungsfunc:  m  "j-  "  -^rr.-r-  ;  •  ;  *  i. 

Jieht   man    zunächst  von  den  Excentridtam  ~-  :z^=^t^zrrsrz  i..     .-  : 
rächtet  nur  Störungen  erster  Ordnung,  *z.  m  =. :   :-  ~-  W 

luf  das  erste  Glied    reduciren,  die  ErrrwiraL-*^:  A-    _  -u.  -r- 

■  es  O  nöthig  und  in  dieser  wird  nur  de  ssr 
vird  daher 


1_ 
'01 


B™  -+-  2^»w  ö  +  i  i  - 


der 


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vSo  Mechanik  de*  Himmels.  37 

Ist  a  klein,  so  zeigen  die  Formeln  86  (3),  dass  dem  Wesen  nach  Pt  = 

PJV  =  1  i,    BJO)  =        und   da  auch  -,  ■  ==  \  -+-  Glieder  von  der  0-:*., 

a  r  a 

der  Excentricität,  so  werden  die  Hauptglieder  in  ß  wegfallen ;   für  sehr  t : 
Werthe  von  a  (Störungen  der  Satelliten  durch  die  Sonne)  wird  es  daher  anset.- 
ß  in  anderer  Weise  zu  entwickeln. 

Beschränkt  man  sich  auf  die  zweiten  Potenzen  der  Neigungen  und 
tricitäten,  so  wird,  weil  C  von  der  zweiten  Ordnung  ist: 

-L-I-l4 

P      *  »    ca  ,    oa  * 

X  tf  X  X 

P  X 

Hierzu  ist  noch  zu  bemerken,  dass  für  aa,  a'a,  v  —  v'  in  der  ersten  2t  J 
von  (2)  die  zweiten  Potenzen  der  Excentricitäten,  in  der  zweiten  und  dnrx 
Zeile  nur  die  ersten  Potenzen  beizubehalten  sind ;  in  (3)  genügt  es  wegen  et 
Faktors  C  die  von  der  Excentricität  freien  Glieder  mitzunehmen1).  Mit  Ber.a 
sichtigung  von  88  (4)  wird: 

und  da 

r'       /r'\»  1       JT       flTLjT,     iiü      !*J>  1 
r'J  ~~  Vr'J  r'a  ~  r'a  L  ~*~  ~  r*»  [J     *  r'*      2-4  r'*  '  *  J 

ist,  so  wird 
ß  =  ß'  H-  ß". 

Der  erste  Theil  von  ß  ist  hierbei  von  *  unabhängig;  es  ist  also 

aß  gß" 

a«  ~~  dz  - 

Von  den  Ausdrücken,  welche  hier  auftreten,  lassen  sich  alle  mittels  de- 
Beziehungen 


auf 


')  Man  sieht  leicht,  wie  bei  Berücksichtigung  deT  höheren  Potenzen  der  Excentricität  wd 
Neigungen  die  Formeln  an  Umfang  zunehmen. 


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i 

1 


Mechanik  des  Himmel«.  37.  381 


■+■00       -t-  «C 

-4-  00       +~  (6) 

*-*-»sinmv  = 

ergl.  15  (1)  und  (18)]  zurückfuhren.    Für  die  zunächst  nöthigen  Faktoren 

co  s  {v  -+-  H)      sin  {v  -f-  H) 

cos(v+H),    sin(v+N),    rcos{v+H),    rsM(v+ff),    -  ^  ,   ^ — - 

sscn  sich  die  Formeln  verhältnissmässig  einfach  ableiten*).  Sei: 
r  =  a(l  -  ^l^cosiM)  cos  v  =  \lCxcos  1 M 

v  =  M+\l*xsiniM        k1)         sinv  =  \*SxsimM  KJ 

r  «* 

-  cos  v  =  \lc,  cos  lAf  -j  cosv  =  ±2  7,  cos  iM 

-  sin  v  =  $  2 st  sin  1 M  -^sinv  =  \1  <x,  sin \M 

obei  t  alle  Werthe  von  —  00  bis  -+-  00  annimmt,  und 

p_ ,  =  p,  C-l=Ci  c~i=  ck  7-1  =  7t 

<x_  ,■=  —  «»      S-t=  —  Sx      *_,=  —  s,      <*_,=  —  », 

;t.     DifTerenzirt  man  (8),  so  folgt  mit  Rücksicht  auf  14.  (11): 

sin  v  — v- r— —  =  $2  iC,      1  il/;       <w  »  — ^ — -  =  {ItSt  cos  1 M, 

aher  durch  Vergleichung  mit  (10): 

7»/T^7*  =  iS,;        <Jt  /T^T»  =  1 C 

DifTerenzirt  man  (9),  so  folgt: 

f      r  x^esinv  \  a*Y\  —  c*  _  „•„,!# 

\     a  a    a(l  —  <r*)/  r> 

(r  sin  v  r*  *  */«  7'  \  « *  V^l  —  *9  ,  v  1/. 

iaher  nach  entsprechender  Reduction  der  linken  Seiten: 

—  sin  v         ,    cos  v  -+-  e 

,  und      ,       -= ; 

yi  -     .  /r^* 

Diglich  durch  Vergleichung  mit  (8): 

S,  =  |/1  —        ;       C,  —  y"l  — 

nit  Ausschluss  von  1  =  0,  wofür  sich  C0  —  —  2*  ergiebt;  es  wird  daher 

C0  =  -  -  2<-  C,  =  i>/l  —  e%St  7o  =  °  r»sss*,A  ^ 
50  =0  5,  =  i}/T— a0  «=  0       er,  =  1»  J, 

md  es  handelt  sich  noch  um  die  Bestimmung  von  j„  cx,  pM  at.    Da  aber 

—  cosv  =  cos E  -  c 
a 

—  sin  v  =  \/\  -  c~*sinE 
a  T 

r  =  0(1  —  ecosE) 

v  =  E  <xxsin\E  =  M -h  e  sin  E  -t-  22  -«^«ri.^ 


»)  S.  Bkssel,  Ges.  Werke  I.  Bd.,  pag.  93. 


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382  Mechanik  des  Himmel*.  S7. 

ist,  so  wird 

x,  -  yT^T»  5,(1-        «,  =  eSS»  h-  I  y  •>  5,^. 
Die  Ausführung  der  Operationen  liefert: 

'0  —  -  3'  J0  =  0 

Po  <*  «o  =  0 

Pi  =  <  ~  f'3  +  I§3<*  «1  "      -  ^>  -4-  £  «• 

p.=ü<s  «5=^<6 

und,  bis  auf  die  Quadrate  der  Excentricität  inclusive: 

C0  2e         SQ  =  Ö  7c  =  0  «0  =  0 

S,-f<>  T.-f'"  *3=£<' 

Zwei  Reihen 

acos  b  =  \3>tx  cos  iß,    a  xi«  £  «  i^T»'  x/«  tß,    1 «  —  «> .  .  .  .  -+-  00 

in  denen  7-,  «■  7u  7-/  =  —  7»',  kann  man  auch  schreiben 

a  <r<?x  b  =  ^2(7,  -+-  7/)  rox  tß;       asinb  =  ±2^     7,')  xi»  iß, 

da  sich  in  dem  ersten  Ausdrucke  7,'  in  dem  zweiten  Ausdrucke  7,  fäf  ^pcW 
positive  und  negative  Werthe  von  t  weghebt.    Hieraus  erhält  man  sofort: 
acos{b  +  H)  =  12(Tl  +  V)"x(tß  +  H)\  a  sin  {b  +  H)  =  \1^K  -f-  7/)x«i(tß  +  ^ 

Es  wird  daher: 

cos'Kv+If)  =  \l(CK-¥SK)cos{xM+H)\     sin{v  +  H)=\2(Cx+Sx)sin{iM+B 
^c0s{v+H)  —  \1{c%+s^cos(kM+H)\  ^sin(v+H)=\l(ei+sx)sin{iM+&>"{ 

^w(»-l-Z0-=^2(7,H-al)^(iAr-4-Ä');  a^sin(v+If)-s  ll(it+ot)sin(iM+Fr 

Setzt  man  nun  die  auf  die  Bahnebene  senkrechten  Coordinaten  s,  t\  «hfr 
bisher  wegen  späterer  Entwicklungen  beibehalten  wurden,  gleich  Null,  so 

i«0,   i'-ö,    r*r,  r1«/ 
C  -  2C0  —  4rr'  sin\I*sin(v  +  ic0)  sin  {v'  +  k0*).  '" 


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Mechanik  des  Himmels.  37.  38. 


383 


Man  findet  nun  leicht 


t     tcos(v  +  *0-v'-*0')    r_    ,    .  w  .cosjv' +  iz0')  smp-Hc%') 

1=   *=TCOS(V  -+-  1C0)  jjj  \-rstn{v  +  n0)  pj 


a 


1=  ^  2*(<rt  -+-  sx)-l(i\  +  Jx)eos{iAf-  \M'  +  i0-  ir0')  (16) 

II=rr'««(t;+7t0)j/»(^-+-7r0,)=ifla'2  Vh-^(A+A)[<™(i^/--  XA/'+*0-is0') 

-  f*s{iM  +  XJ/'  -+-  w0  -+-  *,')] 

III  =  ^«<tH-tt0)*/«(t'4-O=4^2K''+^ 

-  ^(tJ/-h  XM'  H-  w0  -H  *„')]  (18) 

ü'  =  2*»m'(     -  i)  ;     ß"  =  -  2*/»'  */(~*  -  Hl) 

Berücksichtigt  man  nur  die  zweiten  Potenzen  der  Excentricitäten  und  Nei- 
gungen, so  wird  man  sich  in  II,  III  auf  die  von  denselben  freien  Glieder  zu 
beschränken  haben,  und  es  wird 

II  =  1  aa'[cos  (Af- Af'  4-  *0  -  V)  —  cos  {Af  -t-  Af  -H  it0  -h  *„')] 

III  =  i  [rttf(Af  —  F  +  K0  -  1C0')  —  rt7*(vV  -(-  3/'  -H  7T0  -h  7T0')]. 

Die  Berücksichtigung  des  Gliedes  I  in  dem  Ausdrucke  für  ö'  kann  in  ein- 
facherer Weise  geschehen.  Entwickelt  man  hier  nach  der  TAYLOR'schen  Reihe, 
indem  man  für  r,  r',  v,  v'  die  Ausdrücke  84  (6)  einsetzt,  so  wird: 

Is=s£*£0S<2~haaWZ (^) cos  V-*-"'*'^ (^) cos Q -1? sinQ+  - 

Vergleicht  man  dieses  mit  der  Entwickelung  (2)  für  1  :  p,  so  sieht  man,  dass 
sich  der  Ausdruck  für  I  mit  den  Gliedern  von  (2)  für  x  «=  1  vereinigen  lässt, 

wenn  man  BjV  —  -^r§  an  Stelle  von  B^  setzt.    Es  wird  daher  wenn 

BM  -  2?W  für  x  =  0,  2,  3  

ist: 

_  cßW  dßM  — 

ß'«.  2 B^cosxQ+a« 2  -^J-  cos*Q  +  a'  a' 2         cos* £-(v - v')2x B i^sinx Q.  (20) 

Dabei  ist: 

<x=  —\lWosiM=\e*—ec0sM-\e*cos%M   0'=  +  \e'*  —  e'eosAf'  —  \e'*cos%Af' 
v     +  lIatsirnM  =  2e  sinM  +  }e*  sin  2M     v'  =  +  2e'  sin  Af'  -h  \  e'*  sin  2  jV' 
a*=  -4-  if»«f2Ä  a'»  =  ■+-        -h  \t'cos2AT 

a<j'  =  H-  V'  w      —  ^')  -+-  J  (^  H-  M*)  (21) 

o(v  —  v')  =  —         2 Af  +  ee'sin(Af-)-  Af1)  —  et'sin(Af  —  Af') 
a'(y  _  v')  =  +  e'i  sin  IM'  —  tt!  sin{M  +  Af)  -  ec'sin(Af  —  AI') 
(v—v')**=2(e*+e'')-4te'cos(Af—Af')+4ee'<:os(Af+Af')—2e*cos2Af-  2e'*cos2Af. 

38.  Variation  der  Elemente.  Wenn  auch  die  wirklichen  Substitutionen 
bei  Berücksichtigung  der  höheren  Potenzen  der  Excentricität  und  Störungen  auf 
sehr  ausgedehnte  numerische  Operationen  führen,  so  wird  es  doch  nicht  schwer, 
ganz  allgemein  ein  Bild  über  die  Form  der  Reihen  zu  erhalten.  In  den 
Ausdrücken  37  (20)  sind  a,  o'  und  sammtliche  Potenzen  derselben,  sowie 
die  geraden  Potenzen  (v  —  v')2*  Cosinusreihen,  die  ungeraden  Potenzen 
(v_v'p-n  Sinusieihen;  da  aber  die  geraden  Potenzen  von  (v  —  v')  jn  den 


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384  Mechanik  de«  Himmel».  38. 


I 


Ausdrücken  S4  (12)  mit  den  Differentialquotienten  gerader  Ordnung  von  uii't 
also  wieder  mit  Cosinus  multiplirirt  erscheinen,  die  ungeraden  Potenati  n 
Differentialquotienten   ungerader  Ordnung  also  mit  sin  xQ,    so  werden  t? 
sämmtlichen  Reihen  in  p-2*-l   durchweg  Cosinusreihen l).    Es  wird  dabei  i 
eine  Cosinusreihe,  also 

ö  -  IKa  cos  (iM-  kAf'  I\x). 
wobei  die  Coelficienten  K  Functionen  von  a,  e,     die  Winkel  I\x  Functionen 
Mq,  o»,  ft  sind.  Für  die  Variation  der  Elemente  gelten  nun  die  Formeln  18  i 
Da  M  =  M0  +  [nt  ist,  so  wird 

dü       dü       1  dp 
cWt  ~  dM~  p  Tt ' 

Dabei  ist  aber  zu  beachten,  dass  bei  dieser  Differentiation  nach  /,  d** 
nur  insolern  als  Variable  anzusehen  ist,  als  es  mit  u.  verknüpft  ist'),  und  es  s 
da        ^  aa 
dt""*'  (fM~0 
da  1  cQ 

dt~  +  a'\tyr=t*sin ~i  di 

di  1  dä  cos  i  dQ 

dt^~  fli^i  _  e*s~in~i  dä      <,*  ^yi  -  <*sin~~i  ^ 

d*>         yi  1       dü  cosi  dü 

dt      ~*~     a^e     de  _     sin  i  di 

rfAJ/o        2         ;  -  aa 


<//  «fi  aa       a*pe  de 

Hierzu  ist  noch  zu  bemerken,  dass  bei  der  Differentiation  nach  a  auch  i 

als  veränderlich  anzusehen  ist;  es  ist  daher,  wenn  der  Differentialquote: 

nach  dem  explicite  vorkommenden  a  ist, 

da     /aa\       m7  öq 

da  "  \aaj       »  a  dAf0* 

wobei  aber  das  zweite  Glied  dem  Ausdrucke  m  lt  entspricht, 

daher  weggelassen  werden  muss,  wenn  man  die  Form  zu  Grunde  legt 

dK        3  aa 
M  =  M,  +  AM„  +   Ttm-. 

Dann  ist  in  (2)  der  Differentialquotient  nach  a  nur  nach  dem  eapl«<i:i 
vorkommenden  a  zu  nehmen. 


•)  Man  hat  dabei  nur  tu  beachten,  dass  sich  die  Produkte  cos  A  cos  B  und  si*A*> 
durch  Cosinus,   die  Produkte  sin  A  cos  B  durch  Sinus  ausdrücken.    Die  vorliegend« 
legungen  gelten  indessen  nur  filr  die  Störungen  erster  Ordnung. 

*)  Man  pflegt  dieses  dadurch  anzudeuten,  dass  man  </*ß  an  Stelle  von  dü  «w  f 
ist  also: 

aa     i  ä'Q 

^- —  =  —  —jj  ,     daher   d'ti  =  —  liA\xsm[tAf—  XM'  +  lx\)de, 

folglich : 

fd'Qdt      +  1  —^-j  X%uos(iAf—  \M'  ■+-  Tu). 


„  l 


Mechanik  des  H:ni:c*ls.  58 


3»5 


Diese  Formeln  lassen  sich  noch  für  die  Anwendung  bequemer  umformen, 
hrt  man  zunächst  -  an  Stelle  von  »  ein,  so  wird1; 

d-z      dro      gß       r2  £ö      /a2\      ^2  <rr      /rfi\  rQ 

dt~dt+  dl'9      f«"«1      cß  "  VftJ  ^  ?=  ?ft  ~  UßJ  +  ^' 
>r>ei  wie  früher  der  eingeklammerte  Differentialquotient  nach  der  explicite  vor- 
»mmenden  Variablen  zu  nehmen  ist   Führt  man  weiter  an  Stelle  der  mittleren 
nomalie  die  mittlere  Länge  Z0  für  die  Epoche  ein,  so  wird: 


äL0 
dt 


d.\f, 
dt 


\  dr.  Cd  /*ö\ 
'       dt'  C  AfQ      cLa  '  C-~\ct:) 


cQ  dLt 


cLa  d- 


IL. 

Setzt  man  diese  Werthe  in  (2)  und  ^2a)  ein,  und  lasst  dann  die  Klammern 
ti  den  Dififerentialquotienten  nach  ß  und  r.  weg,  da  ä  nach  der  Substitution 
s  Function  von  ß,  t.,  Z#  erscheint,  so  wird 

da  2  Cü 

dt 


<[i_  =  _  1  cQ_  tong\i  /rfi  rQ  \ 
<//  —      a *  ^  <w  ?  j/«  /  ffi          «*<w  ?  \fs  cZ0) 

de             cos  ?     £Q      roj  y  /j/t/  c  °- 

dt  ~~~  a*y-stn<i  Cn             a^ji  £Z# 
rfß                1  £ß 
dt  ~~      a*  ;a  <w  7  //'«  /  rx 

dt  ~~      a%  p  sin  ^  ce  cos  ^  Ci 

d\L0           2  f2      cos  f  tang  \  9  rfi  /<2«f  }  x  cö 


(3) 


dt 


TS 


ce  a*y-ccs^  ci 
L  =  Z0  +  AZ0  -+-  C 


Da  die  Dinerentialquoü'enten  von  ß  nach  Z0,  ß,  r  Sinusreihen  geben,  die 
Mfferentiation  nach  a,  e,  i  jedoch  Cosinusreihen,  so  sieht  man,  dass  die 
>ifferentia!quotienten  der  Elemente  a,  e,  i  rein  periodische  Functionen 
•  hne  constanies  Anfangsglied  sind,  die  DirTerenüalquotienten  von  ß,  », 
l0  jedoch  constante  Anfangsglieder  haben.  Setzt  man  ö  in  der  Form  (1)  vor- 
lus,  so  erhalt  man  für  die  Elemente  Ex,  £t  der  beiden  Gruppen: 
l  F  dF 

•jf  -  2  AT.-/««  (••-'/-  >.\r  +  rf)  =  A-0-  IKtx'eosdM — kM1  -hT"),  (4) 

vobei  K0  das  constante  Anfangsglied  für  t,  a  und  P'  gleich  Kuli  ist.  Würde 
nan  hier  P,  V  als  Constante  betrachten,  so  würde 

£l-£1'«)*iT04,i«r7+?l;  ^,=^,'0)-t-(A'0-hA'00"^ir";/4-r  (4a) 
•renn  mit  f>lf  periodische  Functionen  (Sinus-  oder  Cosinusreihen)  bezeichnet 
weiden.  Die  Integrarionsconstanten  £x*p  £,*>  sind  die  Werthe  der  Elemente 
für  /  =  0.  rlier  treten  daher  in  beiden  Elementengruppen  Glieder  auf,  die  mit 
der  Zeit  unbeschränkt  wachsen,  sogen,  seeuiare  Glieder.  Dieses  Resultat  kann 
aber  nur  für  sehr  beschränkte  Zeiträume  als  richtig  angesehen  werden,  für  Zeit- 
räume innerhaib  deren  P,  P'  thatsächiieh  als  constant  betrachtet  werden 
können.  Nimmt  man  auf  die  Veränderlichkeit  dieser  Winkel  Rücksicht, 
und  ist 


Mia  La:  ß 


=/'«,,  £,  =  /"  ~  —  ß.  ß)  -  A  (-  ß>- 
n. 


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386  Mechanik  des  Himmels.  88. 

dT'        ,  dV 

dt  dt  7  ' 

so  wird 

Ex  =  £W  -  2  t|A_^,^7,      (i AT-  XiT  -t-  f); 

Es  treten  daher  nur  in  den  Elementen  der  zweiten  Gruppen  seculare  Glieder 
auf.  Diese  Bedingung  ist  aber  erforderlich,  wenn  das  System  der  betrachteten 
Weltkörper  ein  stabiles  sein  soll;  denn  würden  in  den  Elementen  der  ersten 
Gruppe  auch  seculare  Glieder  auftreten,  so  würden  die  grossen  Axen,  Excentri- 
citäten  und  Neigungen  unbeschränkt  wachsen  oder  abnehmen  können;  es  würden 
z.  B.  auch  die  grossen  Axen  Null  werden  können,  d.  h.  einer  der  Himmels- 
körper sich  mit  dem  Centraikörper  vereinigen.  A,  it  und  Z0  können  hingegen 
auch  Störungen  von  «-360°  erlangen,  was  den  secularen  Drehungen  der 
Apsiden  und  Knoten  und  einer  geänderten  mittleren  Bewegung  entspricht. 

Es  treten  jedoch  Glieder  mit  kleinen  Integrationsdivisoren  auf,  und  zwar 
filr  i  =r  X  =  0  die  Nenner  7',  7"  und  weiter,  wenn  tf*  —  Xja'  einen  sehr  kleinen 
Werth  erhält,  d.  h.  wenn  das  Verhältniss  der  mittleren  Bewegungen  sehr  nahe 
commensurabel  ist  (vergl  46).  In  dieser  Richtung  jedoch  unterscheidet  sich 
die  Differentialgleichung  für  a  von  derjenigen  für  e  und  i.  Glieder  langer  Periode l) 
von  der  Form 

K„ 


tcsV 


können  nämlich  wohl  in  e  und  /  erscheinen,  da  P  die  Elemente  ft,  tc  enthält, 
und  das  Glied  K00 

cos  ^ 00  aus  (1)  De'  der  Differentiation  nach  ß,  it  nicht  ver- 
schwindet. Hingegen  tritt  L0  nur  in  Verbindung  mit  M  auf;  es  wird  daher  T00 
kein  Z0  enthalten,  das  erwähnte  Glied  bei  der  Differentiation  nach  L0  ver- 
schwinden. Daraus  folgt,  dass  in  den  grossen  Axen  weder  seculare  Gliede r 
noch  langperiodische  mit  dem  Nenner  7'  auftreten.  Damit  ist  aber 
noch  nicht  ausgeschlossen,  dass  langperiodische  Glieder  mit  dem  Nenner  ift  —  Xjx' 
vorkommen;  solche  werden  in  der  That  erscheinen,  und  insbesondere  in  C.  wo 
das  Quadrat  dieses  Nenners  auftritt,  besonders  merklich  werden. 

Um  in  den  Ausdrücken  für  e  und  1  auch  die  erwähnten  langperiodischen 
Glieder  mit  dem  Nenner  7'  zu  berücksichtigen,  und  gleichzeitig  die  Secular- 
störungen  von  ß,  tc  zu  erhalten,  führt  man  wieder  die  in  20  gewählten  Functionen 
3,  H,  G,  V  ein.   Es  ist 

aa      .  .  .  .  .    aß     ao     .    w  bq 

30  .  .     dQ  2Q       dQ  dü        .     cQ  (6) 

und  da  nach  den  Differentialformeln  für  S,  H,  0,  V  aus  20: 


')  Wegen  der  langsamen  Veränderlichkeit  von  P.  Die  Periode  von  P  ist  7  = 
(360° -60 -60): 7',  wenn  7'  in  Secunden  ausgedruckt  wird;  ist  7'  die  Bewegung  des  Argumentes 
in  einem  Tage,  so  wird  T  in  Tagen  erhalten. 


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Mechanik  des  Himmels.  88.  89.  387 

da  cos i sin  &    dQ      lang \i  cos  i  sin  ^  (dQ       dQ  \        cosSl  dQ 

dt  a%  pcosvsini  d&  '         a^pcos*      \diz      d L0)  ~*~  a^pcos*  ~bl 

dR  cosicos&    dQ      tang\icosicos&  fdQ       dQ_\        sin&  dQ 

dt  ™  —  a?y.cos9sini  d&  o*pcos*      \dxi     dL0)  ' '  a*\t.cos9  Ti 

d<t>  cos y sin k  dQ     cosvsinntang^v  dQ      cosvcosiz  dQ     tang\isin*cosr.  dQ 

dt"  a*p.sinif  dn~~         a'u,          ^Z0"*"     <z*{i     de~*~      a*pcos9  T~i 

d*V  cosvcosn  dQ     cosycosttangfa  dQ      cos 9 sinn  dQ     tang^isinysinn  dQ 

dt  a*\i.siny  'dn~         a8jt          dL0~~              ~cre"~      d*y.cos9  di 

ist,  so  wird 

</S  cos  i     dQ     tang\i cos  i sin  ß  dQ 

dt  a*  (&  m  9  3H  a*  p  roj  f  3Z0 

tangli cos  i sin  9  sin    I       c&  dQ\ 

a*\kCOS9  \        tf<P  dVJ 

dR  cosi     dQ  _  tang\i  cos  i  cos  &  dQ 

dt      ~  ~  a*  p.  cos  f  dE  a9\icos9  dL0  ~ 

tang  k  i  cos  i  sin  9  cos  &  f       dQ  dQ\ 
 — *  I  cos  *  öä  —       *  3«f  I 

^/<D  00      cos  9  sinn  fang  $  9  dQ 

~dt=~t~  ~a*]i  ^  Ä        ^  ~f" 

tanglicos  i  sin*  cosn  (  .      2ü  dQ\ 
H  «  1  I  stn  &  -=-  ■+■  cos  &  jtj  ) 

ftmp  #Q      <w  y  f<?j   tang\9  dQ 
dt—~a*v.dQ~  aSfi  0ZO  ~~ 

tang\i  cos  i sin  9  sin    /  .  dQ\ 

 ('mȊi  +<w  a?s)- 

39.  Secularglieder  der  Störungsfunction.  Trennt  man  von  fl  jene 
Glieder  ab,  welche  weder  die  mittlere  Anomalie  des  störenden,  noch  des  ge- 
störten Planeten  enthalten,  so  erhält  man  die  secularen,  bezw.  langperiodischen 
Glieder.  Würde  man  die  Gleichungen  38  (3)  durch  einfache  Quadraturen  in- 
tegriren,  so  würde  man  Integrale  der  Form  (5)  erhalten.  Da  aber,  wie  erwähnt, 
die  Elemente  der  Gruppe  Et  in  T"  enthalten  sind,  so  werden  die  Gleichungen 
(3)  die  Form  von  Differentialgleichungen  erster  Ordnung  annehmen,  in  denen 
nebst  den  Differentialquotienten  auch  die  Variabein  selbst  als  Argumente  trigo- 
nometrischer Functionen  auftreten.  Gerade  für  diesen  Fall  empfiehlt  sich  dann 
die  Form  (7),  indem  dadurch  die  Differentialgleichungen  linear  werden.  Ent- 
wickelt man  Q  und  behält  nur  die  von  M,  M'  freien  Glieder,  so  erhält  man1): 


(7) 


•)  Da  Q  nur  M—Af'  enthält,  0,  <j\  v,  v\  aber  nur  entweder  Af  oder  Af,  so  wird  beim 
Auflösen  deT  Produkte  der  sin  und  cos  in  die  Summen  und  Dinerenzen  derselben  nicht 
AI  und  AI'  gleichzeitig  wegfallen  können,  weshalb  in  Q  nur  die  constanten  Theile  von  <J,  «\ 
v  —  v*  und  der  bei  denselben  auftretenden  Faktoren  zu  berücksichtigen  sind;  dasselbe  gilt  von 
aa,  «'».  In  den  Produkten,  in  denen  ao\  o(v  —  v*),  o'(v  —  v'),  (v  —  v')»  als  Faktoren  auf- 
treten, wird  man  alle  jene  Ausdrucke  dieser  Ineremente  zu  berücksichtigen  haben,  welche  das 
Argument  AI —  AI'  haben;  so  wird  aus  den  von  ao'  abhängigen  Ausdrücken  \ee'  cos  (Af  —  Af') 

«"  (M~  M'  +  *o  ~  O  d*»  G,ied  +  i"'  ^ada'  COS  ("°  ~~  *o)  entStehen<  Der 
Faktor  2  bei  dem  mit  et'  cos  (ic0  —  it0')  multiplicirten  Gliede  rührt  daher,  dass  für  x  =  +  1 
und  x  =  —  1  gleiche  Glieder  entstehen.    An  SteUc  von  B0W  wäre  nach  87  (19)  eigenüich 

£(0  zu  setzen;  man  Uberzeugt  sich  aber  leicht,  dass  die  von  dem  Zusatzgliede  -^  her- 
rührenden Theüe  in  Cl  verschwinden. 


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388  Mechanik  de«  Himmel».  39. 

1  dÄ(°>  dB(0)  8*  B<<i)  WB'% 


Setzt  man  daher 


(*o  -  * ,) 


a^<°>         dB&         a»#<°>  giAW 
a^w       a^w  ?*b^ 

so  wird 

Q  =  2*»*i'[C h-  2C, <w (*0  —  «0»)  - 

Aus  17  (6  a)  erhält  man,  wenn  man  die  beiden  ersten  Gleichungen  qo*k* 
und  addirt: 

Uin*  i/=  4  rm»  *(ß'  -  ß)  sin*  \(i  4-  «')  +  4  cos*  *(ß'  -  ß)  sin*  W  -  i) 

=  [1  -  <™(ß'  -  tt)][l  H"  0]     [i  +»*(ft'  -  ft)][i  -«tf-* 

■s  2  [1  —  w  i'  rox  «  —  «m /'  sin  i  cos  (ß'  —  ß)]. 
Sim*}/—  1  —  (1  —  ftr**»}*  —  S«ms^i'  -+-  lsin*\isin*\i,)--sinisini* cos^-v 
%sin*\J=%sin*\i  +  %sin*\i—  4  *m»  \i sin* \V  —  sin  i sin  V  cos  (ß' - ß)  1 
2 sin*\j*=  2  sin*  \i (1  —  jm»»  4*)  -4-  2       i#'  (1  —  sin*  ±i') 

—  4  sin*  \isin*  \V  4-  2 sin1  \i  4-  2 ;w4       —  x»i ««»  *'  cos (ß1  -  & 
4,w»» \J=  sin*  i  4-  «*>  /'  —  2  «» i  sin  V  cos  (ß'  —  ß)  4-  4        }  i  -  x«*  Ji")1. 

folglich  mit  Vernachlässigung  der  Grössen  vierter  Ordnung: 

4  sin*  \J=  sin*  i  4-  sin*  V  —  2  sin  isin  i'  cos  (ß'  —  ß).  4 

Für  das  weitere  ist  nun  zu  beachten,  dass  ir0,  ir0'  die  Längen  der  Peribet 
gezählt  vom  Knotenpunkte  K  (Fig.  272)  der  Bahnebene  des  störenden  auf 
Bahnebene  des  gestörten  Himmelskörpers  ist1),  während  ir,  ic'  die  Längen 
Perihele,  gezählt  von  den  Knotenpunkten  der  beiden  Bahnebenen  auf 
Fundamentalebene  sind.   Es  ist  also: 

it  _  ic0  -4-  O  -J-  ß;      *'  «=  ic0'  -4-  O'  -4-  ß' 
t:9  — Wo'  — k  — ic' —  A   wenn   A  =  (<D  —  <D')  —  (ß'  —  ß) 

ist   Aus  den  Formeln  17  (6  a)  folgt  durch  Multiplication  der  beiden  letrtes 

cos*  II  sin  (Q  -  V)  =  sin  (ß'  -  ß)  cos \(i'  4-  i)  cos  }(''  -  0 

=  sin  (ß'  -  ß)(<w»  \icos*  \V  -  sin*  \isin*  *0 
=     (ß'  -  ß)(l  -  sin*  *i  -  K). 

daher 

«»(ß^ß)  1  —  xm»  ^7 

—  4>')  —  1  —  «»»  |i  —        »  i' ' 

Setzt  man  sin  \  i  «  0,  «Vi  ^  i'  —  0',  so  wird  nach  (3) 

sin*  i  /  «  e»  h-  e'»  -  26>e'»  —  288'  /T^e»"  >/i  —  e'»w(ft'  -  ä). 

daher 


*)  s«  P»8-  37°  Ueber  die  Einführung  der  Secularänderung  de«  Punktes  K  s.  Haui» 
die  Argumente  des  Problems  der  n  Körper«.    Astr.  Nachr.  No.  2869. 


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Mechanik  des  Himmels.  39.  3«9 

i/»(<E  -  V)  =  1  —  e«  —  e"  

ft)    i  _  e*  -  ef»  +  2ee'[ee'-+->/i  —  8  V*  -  8,|^(ft#  — ft)] 
«» (0  -  0)' )  -    (ft-  ft) = ***  4  [(•—*')— (ft' —  ft)]  <w  i  [(^ — *&')  ■+•  (ft ' —  ft)] — 

=  sin  +  (ft'  —  ft)] 

=  _       aee'cee'  +yi  --  8*  Vi  -  e"w(#--  ft)]        jm   , _ 

folglich 

A  -  8,  sin  (ft'  -  ft)  H-  6,  sin  2(ft'  -  ß)  +  8,  im  S(ft'  -  ft)  -h  

wobei  8,  Functionen  von  0,  8'  mindestens  von  der  zweiten  Ordnung  sind,  sodass 
man  hier  innerhalb  der  gesteckten  Genauigkeitsgrenzen  ic0  —  ic0'  *  —  ic'  setzen 
kann.    Man  hat  dann: 

—  ^«'^(«[«ä1  i  +  ««*  /'  —  2sinicos&-sintycosQ>f  —  %  sin  i  sin  ft-xwi'fwift']) 
oder  in  den  B,  H,  0,  V  ausgedrückt: 

-  ^^(»p»  +  H»  4-  2"  -h  H'8  -  2(33'  4-  HH')]).  Kn 

In  C  sind  noch  die  Excentricitäten  enthalten.   Man  erhält  für  s  ■»  0  aus 

a 

den  Formeln  36  (8)  und  (9)  für  a  =■  -r : 

du       \         da.  a 
^  =  ^'       ^  ==~~ 

=  1*4*'         da1  a'*  V  0  / 

a^<°)     1  ^»^w 

~~ T~     V*    da    >         da'   ~     «"  \  0   +  *    da  ) 

a»^a>      _2^  _a_  d*JPju 

dada'  a'*    da        a1»    du*  ' 

Setzt  man  daher 

a"^-+*a8  a-^-+*a  (8) 

so  wird 

Für  «  =—  erhält  man  auf  dieselbe  Weise: 

+ +         .^-^.«-^r.  ••^.»-^'S».  (9b) 


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390  Mechanik  des  Himmels.  89.  40. 

Man  erhält  leicht  aus  36  (2),  (3): 

A  Pi°)  d 
a(l  _  a»)  *£-  =  _  «/>(»  +  |VW        a(l  -  «•)  =  a/>W  -  /? 

v» />(o)  dPl°)  dP^l)  dPw 

[<//>(«>        </*i>(°>l  dPw  dP$l) 

[.{  />(<>)  yt  />(«)i 

o  -  »-^—o  — =  '.«--« 

«^  +  i«,f-^r  =-«,^oa)+i«(»-»-«,)A(0)=-+-ia/,(e)-  tWJ 

Substitute  man  diese  Werthe  in  (8),  (9  a),  (9b),  so  erhält  man  für  bei& 
Fälle  («  =  a  :  o*  oder  a' :  a): 

.  aa'£<P)  +  2(a»  -4-  a'')£M      _ ,     mtW.  „ 

-h  I  fc» -«•!)«■ —       +  VV»)  -+-  -Jl 

wenn  £(°>,  £(0  die  den  P(°),  PW  entsprechenden  Ausdrücke  B%  BÜ}  bedeute 
40.  Secularstörungen  in  e,  i,  ft,  it.  Da  bei  den  Differennalquodente 
von  Q  nach  Z0  keine  Secularglieder  auftreten,  und  die  letzten  Ausdrücke  " 
38  (7)  mit  tang  \i  tangy  multiplicirt  sind,  also  von  der  dritten  Ordnungen 
kleinen  Parameter,  welche  bereits  in  39  (1)  vernachlässigt  wurden,  so  müse* 
dieselben  consequenterweise  auch  in  den  Differentialgleichungen  weggehst* 
werden,  und  aus  denselben  Gründen  müssen  die  Coefficienten  cosf,  cosi- 
gesetzt  werden1),  wodurch  die  Gleichungen  die  Form  annehmen: 
dE  1    dü  d®  1  dti 

~dl     h  «v  an  17  —  "■"  *v 

dt  ~~      a>  08  <r7  aV  2* 

Da  in  dem  Ausdrucke  für  Q  die  Variabein  S,  H  einerseits  und  & 
Variabein  <t>,  V  andererseits  getrennt  sind,  so  werden  in  den  Differenz 
gleichungen  (1)  nur  die  ersten  beiden,  in  (2)  nur  die  letzten  beiden  auftrete-, 
und  es  ist  daher  möglich,  die  beiden  Gruppen  zu  trennen1).    Setzt  man 

A>m'    aa'Bff  k>m'  aa' B}?+%a>+a")Bfr      f  ,  • 

-  *  lijT  (Ö^TTi?  -  (0l)'    +  *  ^1   (?— ?»)»  Ä  [01]' 

wobei  der  Index  Ol  bei  den  B  andeutet,  dass  es  die  Entwickelungscoefficienti- 
der  Entfernung  der  beiden  Körper  0,  1  sind,  dann  wird  für  die  Störung  du:c 
einen  zweiten  Himmelskörper 


l)  Bei  Berücksichtigung  der  höheren  Potenzen  der  kleinen  Parameter  werden  die  l«tr 
suchungen  daher  wesentlich  complicirter. 

*)  Die  Differentialgleichungen  haben  die  canonischc  Form. 


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e 


Mechanik  des  Himmels.  40. 


391 


k*m"    aa"BW>  i' m''  aa" £<y+2(a*+o"*)BM 

■^F^  =  (M);  fr'-O»   —  °t02]  (Sa) 

.  s.  w.    Es  wird  daher,  abgesehen  von  dem  conslanten  Theile,  der  hier  bei 
Differentiation  verschwindet: 

^-  Q  —  ij  2(01)[4>a  +  >F»+  O'«  -+-  V>]  4-  Z[01](4><I>'  4-  VV)  - 

"  H        -  J  2(01)[S*  +  H'  +  3'»  4-  H'*  -  2(33'  4-  HH')],  (4) 

obei  die  Summe  sich  auf  die  verschiedenen  störenden  Körper  bezieht  Hieraus 
rhält  man: 


~  —  h-  ((01)  4-  (02)  H-  (03)  . .  .  .  |V  +  [01]  V  4-  [02]V"4-  [03]<T"  .... 
^  =  -  {(01)  4-  (02)  4-  (03)  ....)<&-  [01]  V  -  [02]  <D"  -  [03]  O'"  


(6) 


^  =  -  ((Ol)  4-  (02)  4-  (03)  .  .  .  .  |H  4-  (01)H'4-  (02)H"4-  (03)H"'  .... 

i?  =  4-  ((Ol)  4-  (02)  4-  (03)  )a  -  (Ol)E'-  (02)3"  -  (03)3'"  .... 

r<D 

it 

'1 
dt 

Sieht  man  in  diesen  Gleichungen  H'  H"  .  .  .  3'  3"  .  .  .  <D"  .  .  . 
VW...  als  bekannt  an,  so  erhält  man  je  ein  System  von  zwei  simultanen 
inearen  Differentialgleichungen,  dessen  Integration  weiter  keine  Schwierigkeiten 
bereitet1).  Sieht  man  H'  H"  .  .  .  .  aber  selbst  als  unbekannte  Functionen  an, 
>o  werden  für  sie  ähnliche  Differentialgleichungen  bestehen.  Wenn  man  die 
inalogen  Grössen  für  die  Störungen  des  Planeten  m'  durch  die  Planeten 
w,  m"  .  .  .  mit  (10),  (12)  .  .  .  bezeichnet,  z.  B.: 

u.  s.  w.  und  wenn  man  Kürze  halber 

(01)  4-  (02)  -t-  (03)  4-  .  .  .  -  [0] 

(10)  4-  (12)  4-  (13)  4-  .  .  .  -  [1]  V> 


setzt,  dann  ist: 

jg  J  TT 

-£i  =-[0]H4-(01)H'4-(02)H"4-  ....  -jj-  =  4- [0] E  —(01) Sr—  (02) 3"—  .  . . 
^  =  -[l]H'4-(10)H4-(12)H"-h....         =4-[l]E'-(10)H-(12)2"-  .  .  .  (8) 


dz" 

dt 

=  -[2]H"4-(20)H4-(21)H'4- .  . . . 

dt 

-4- [2]  3" 

-(20)3- 

-(21)'3-  .  . 

dQ 
dt 

=  4-[0]V-t-[01]V'4-[02JV"4-  . . . 

dV 

dt 

 [0]w- 

-[01]*'- 

-[02]<&"- . . . 

dV 
dt 

=  4-[l]V'4-[10]V+[12]¥",4-  ■ 

dV 

dt 

=  -[!]*>•- 

-[10]<t>- 

-[12]4>"— . . . 

')  Vergl.  S.  Newcomb,  »On  the  Secular  Variation*  and  Mutual  Relation»  of  the  orbits  of 
the  Asteroids«,  wo  im  ersten  Theile  die  Secularstörungen  für  die  Elemente  von  25  der  ersten 
Asteroiden  aus  den  bekannten  Secularbewegungen  der  Elemente  der  störenden  Planeten  (mit 
Ausschluss  von  Mercur)  berechnet  sind. 


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39* 


Mechanik  de»  Himmels.  40. 


Die  Differentialgleichungen  (8)  unterscheiden  sich  von  denjenigen  {>',  t* 
unwesentlich;  es  genügt  daher,  die  letzteren  zu  integriren,  da  sich  dielntejni: 
von  (8)  in  derselben  Weise  ergeben.  Dem  System  (9)  kann  genügt  werde 
wenn  man  setzt: 

<t>  =  /sin  ($t  -h  F) ;    <D'  =  /'  sin  (yt  ■+-  F) ;    <&"  =  /"  sin  (?/  +  F)  , 
W^/cos  (V  -4-  F) ;    V  =*/'  cos  (?/  -4-  F)\    W"  =  /"  cos  (?/  +  f] 

wobei  9,  /,  /',  /"  .  .  .  Constante  sind.  Differenzirt  man  diese  Aasdrid 
und  substituirt  in  (9),  so  erhält  man  für  die  Bestimmung  dieser  Constanteao 
Gleichungen: 

(?  -  [0])/-  [Ol]/'  -  [02]/"  .  .  .  .  =  0 

-  [10]/  [1])/'  -  [12]/"  =0  (Ui 

_[20]/-[21]/'-h(?-[2])/"  =  0 


Dieses  ist  ein  lineares  homogenes  Gleichungssystem,  in  /,  /',/"• 
welches  nur  dann  lösbar  ist,  wenn  die  Determinante  der  Coemcienten  w- 
schwindet.    Es  muss  also 


[0]-?,      [Ol],      [02],  .  .  . 

[10],  [1]-?,  [12]  

[20],     [21],  [2]-?,  .  .  . 


=  0 


sein.  Sind  «  Körper,  so  werden  n  Gleichungen  (11)  sein,  daher  wird  et 
Gleichung  (12)  vom  n  ten  Grade  sein.  Ist  <p  hiernach  bestimmt,  so  werte 
sich  aus  den  Gleichungen  (11)  für  jeden  der  n  Werthe  von  9  die  Verbalm» 
der  Unbekannten  bestimmen.    Seien  die  Lösungen  der  Gleichung  (12): 

?i  T>  ?»  ?*» 

so  findet  man  aus  (11)  die  zugehörigen  Werthe  von 

$).-'•■■  (9.-<.---<9.-<*  (7).-" 


Allgemein  werden  die  Lösungen 


I  f  r 


9*>  »  £*■ 

ein  System  von  particulären  Lösungen  der  Gleichungen  (9)  repräsennren,  :: 
denen  noch  zwei  willkürliche  Constanten  /„,  FK  gehören.    Es  wird  daher 
0  «/j      (?l  /  +  ^)  -h/,  fi«  (<p,/  -4-       -4-  .  .  . 


«/  =fx  cos  {yxt  -t-  ^)  -4-/a  ^i(?J/  +  ^)  +  .  .  . 
«r,,-^i"/.w(?i'  +  ^i)+ft,'/.w(T./-r-^,)  +  .  •  • 


das  System  der  vollständigen  Integrale,  in  dem  2«  Integrationsconstanteri/,/» 
/„,  Fx  F%  .  .  .  Fn  enthalten  sind.    In  ganz  ähnlicher  Weise  erhält  man  die  In- 
tegrale von  (8)  durch  die  Auflösung  der  Gleichungen: 


5+[0],    -(Ol),  -(02) 

-(10),   5  +  -(12)  

-  (20),    -  (21),    5  -4-  [2]  


(12) 


Mechanik  des  Himmels.  40.  41.  393 

(Ha) 


G  1-  CO])  -  (01)/  -  (02)/' -.  .  .  =  0 
-  (10)  -+-($4-  [1])/  -  (12)/'  -  .  .  .  -  0 


n  der  Form: 


S  =     sin{Ztt  4-  Kx)  4-  *t  sin  tf,/  4-  K%)  4-  .  .  .  . 
2'=  kx  l  '  sin  (5t  /  4-  ATt)  H-  ,/  4-  AT,)  4-  

H  =  *t  Au(Et/+ ATJ4- *t  <w($,/4-  AT,)  4-  ....  (13a) 

H,-i1/1,m(5l/  +  /:1)  +  vVw(^  +  A:1)  +  .  .  .  . 


nit  den  2«  Integrationsconstanten  £p       .  .  .  £„,  AT,,  AT,,  .  .  .  Km. 

41.  Stabilität  der  Bewegungen.  Um  hieraus  die  Werthe  für  e,  i,  -k,  ß 
:u  erhalten,  hat  man  zu  beachten,  dass 

sin*  «  =  B>+H>  ,1  =  4>a  -h  <ys 

/ÄÄP  n  _  2            (1)  *  (2) 

st.  Sind  die  Werthe  von  e,  i,  ß,  n  für  sämmtliche  Himmelskörper  für  eine 
gewisse  Zeit  gegeben,  so  erhält  man  hieraus  die  zugehörigen  Werthe  von  8,  H, 
I»,  W  und  daraus  die  Constanten/,  F,  k,  K.   Aus  (2)  folgt: 

'»  =/i'  +/9*  -+-.     .  +  Vi/t  «*[C?i  -?»)'+  (^1  -  *t]  t-  •  •  • 
folglich 

-%  <  (/1  +  /,  +/s  +  •  •  0»    nnrf  phMWrt       /  <(*,+*,  +  *,  +  . . 
-'a <(^ir/i  +*V/s  +  ...)•  < CVi' -+- **v  +  • .  .)*. 

Diese  Gleichungen  zeigen,  dass  die  Excentricitäten  und  Neigungen  trotz  der 
nach  38  (5)  auftretenden  kleinen  Integrationsdivisoren  7'  stets  nur  zwischen  ge- 
wissen, durch  die  zu  irgend  einer  Zeit  gegebene  Configuration  bestimmten 
Grenzen  bleiben.  Dieser  für  die  Stabilität  des  Weltsystemes  wichtige  Satz  lässt 
sich  noch  auf  eine  andere  Art  ableiten,  welche  gleichzeitig  die  Beziehungen  im 
ganzen  Systeme  näher  beleuchtet.    Man  erhält  nach  40  (8): 

3        +  H  ^jf  =  -  (01)(SH'  -  HS')  -  (02)(HH"  -  HS")  .... 

S'        4-  H'  »~  =.  -  (10)(3'H  -  H'3)  -  (20)(S*H"  -  H'S")  ....  (3) 

3"  ^  4-  H"  ^j-  =  -  (20)(S"H  —  H"S)  -  (21)(3"H'  -  H"E')  .... 

und  ähnliche  Gleichungen  für  <&,  V,  in  denen  (01),  (02)  .  .  .  durch  [01J 
[02]  .  .  .  ersetzt  sind.    Es  ist  aber  nach  40  (3),  (3a),  (3b)  allgemein: 

«,<*,V.(ix)  —  «««xWxi) 

tolglich 

Imrffr  1 3,  -jj  4-  Ht         wm  0;       Imrf^  l0>t  -^  +  ^         =  0. 
Da  nun 

fJkÄ^;    tf'*  =  *oV*  (5) 

ist,  so  erhält  man,  wenn  man  den  gemeinschaftlichen  Faktor  \k$  weglässt  und 
integrirt: 


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394 


Mechanik  des  Himmels.  41. 


Im,  ]/öT(S,8  H-  H,*)  =  Const.         Im.y/a,  (4\>  -+-  <P,f)  —  Const., 

daher 

m  Yäsin*  i  -f-  m'  y/ä'  stn*  i'  +  m^^sin*  /"...=  <v 

wobei  c,  cx  Integrationsconstante  sind,  welche  sich  durch  die  Werthe  der  be- 
treffenden Summen  zu  einer  gegebenen  Zeit  bestimmen.   Gemäss  (5)  sind  fi  und 

|/a   gleichbezeichnet;  setzt  man  daher  jx  für  rechtläufige  Bewegungen  positiv 

voraus,  so  ist  y^z,  |/fl'  ...  in  (6)  ebenfalls  positiv  zu  nehmen;  da  die  Massen, 
die  Quadrate  der  Excentricitäten  und  die  Sinus  der  Neigungen  an  und  für  sich 
positiv  sind,  so  werden  in  einem  Systeme  von  rechtläufig  sich  be- 
wegenden Himmelskörpern,  deren  Excentricitäten  und  Neigungen 
in  einem  gegebenen  Momente  sehr  kleine  Grössen  sind,  die  Werthe 
dieser  Grössen  stets  sehr  klein  bleiben,  und  überhaupt  nicht  grösser 
werden  können  als 

welche  Werthe  aber  nur  dann  erreicht  werden  könnten,  wenn  die  Neigungen, 
bezw.  Excentricitäten  aller  anderen  Körper  verschwinden  würden. 

Diese  Schlussfolgerung  ist  nicht  mehr  gestattet,  wenn  eine  der  Massen  sehr 
klein  wäre;  für  die  Veränderung  der  Bahnen  der  anderen  Himmelskörper  würde 

dies  allerdings  keine  weitere  Folge  haben,  da  das  betretende  Glied:  miy/axti* 

bezw.  m\Ya\  sin*  i\  wegen  des  Faktors  m\  sehr  klein  wird.  Für  die  Masse  »u 
selbst  werden  aber  o.»  h.  bei  constanten  c,  cx  sehr  bedeutende  Veränderungen 
erfahren  können,  ohne  dass  dadurch  die  Stabilität  der  Übrigen  Bahnen  gefährdet 
würde.  So  hat  z.  B.  der  Lexell'scI.c  Komet  von  1770  durch  die  Störungen  des 
Jupiter  so  bedeutende  Veränderungen  erfahren,  dass  er  bei  der  ersten  An- 
näherung aus  einer  nahe  parabolischen  Bahn  in  eine  Ellipse  von  etwa  b\  Jahre 
Umlaufszeit  gebracht  wurde;  bei  der  zweiten  Annäherung  wurde  er  wieder  aus 
dieser  Bahn  in  eine  nahe  parabolische  gedrängt,  ohne  dass  diese  gewaltigen 
Störungen  in  e  und  a  von  irgend  einer  Rückwirkung  auf  die  übrigen  Körper 
des  Sonnensystems  begleitet  gewesen  wären,  woraus  umgekehrt  geschlossen  werden 
kann,  dass  die  Masse  tn\  ausserordentlich  klein  sein  musste. 

Für  die  Veränderung  von  &  erhält  man  (für  ir  gelten  genau  dieselben 
Schlüsse): 

kx  sin  ($ t  /  -h  A", ) -t-  &9sin(jtt-t-  Kt)  -t-  

-  fiieos$li  +  xi)  +  &i„s(Ltt  +  xt)+  ' 

Sei  in  dieser  Formel  kx  der  grösste  der  Coefficienten  und 

*!>*«  +  *,+  ....  (8) 

so  kann  man  schreiben: 

z*™[«i-G0'+v*i-*i)]  +  

*v(ft  -  5,  /  -  Kt)  x—  .  (9) 

1  H-  -  *  coslQi,  -  5,)/  -+■  (AT,  -  Kx)]  -t-  .  .  .  . 
K\ 

Gemäss  der  über  kx  gemachten  Annahme  wird  die  Summe  der  veränder- 
lichen Glieder  im  Nenner  nie  grösser  werden  als  1,  der  Nenner  kann  daher 
nie  Null  werden,  der  Zähler  bleibt  eine  endliche,  periodische  Grösse,  folglich 
wird  &  —  \xt  —  Kx  stets  nur  um  den  mittleren  Werth  Null  oscilliren;  es  wird: 


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Mechanik  des  Himmels.  41. 


395 


wobei  h  mässige  Coefficienten  sind.  Es  bedeutet  demnach  Kx  den  Werth  von 
ß  für  /=0,  die  Veränderung  von  ß  in  der  Zeiteinheit;  in  diesem  Falle 
drückt  sich  daher  die  Secularbewegung  des  Knotens  sehr  einfach  aus.  Wenn 
aber  die  Bedingung  (8)  nicht  erfüllt  ist,  so  wird  sich  die  Secularbewegung 
nicht  so  einfach  ausdrücken.  Thatsächlich  wurde  lange  Zeit  angenommen,  dass 
in  diesem  Falle  eine  Secularbewegung  von  ß  nicht  stattfindet,  und  erst  Gyldän1) 
wies  nach,  dass  auch  hier  eine  langsame  Secularbewegung  stattfindet. 

Die  Integrale  40  (13),  (13a)  ändern  ihre  Form,  wenn  die  Gleichungen  (12), 
(12a)  gleiche  oder  imaginäre  Wurzeln  haben.  Würden  gleiche  Wurzeln  auf- 
treten, so  werden  die  denselben  entsprechenden,  particularen  Lösungen  zusammen- 
fallen; das  allgemeine  IntegTal  enthält  dann  aber  der  Zeit  proportionale  Glieder. 
Das  Auftreten  von  imaginären  Wurzeln  hingegen  würde  ExponcntialgTössen 
einführen.  In  beiden  Fällen  würden  e  und  sin  i  mit  der  Zeit  anwachsen,  und  die 
Stabilität  des  Systemes  gefährdet  werden.  Der  Schluss  aus  der  Unmöglichkeit 
eines  derartigen  nicht  stabilen  Weltsystemes  aus  den  Gleichungen  (6)  auf  die 
Unmöglichkeit  von  gleichen  oder  imaginären  Wurzeln,  welches  den  älteren  Be- 
weisen hierfür  zu  Grunde  liegt,  ist  keinesfalls  einwurfsfrei.  Es  lässt  sich  aber 
strenge  beweisen,  dass  Determinanten  der  Form  (12)  lauter  reelle  verschiedene 
Wurzeln  haben*). 

Die  numerischen  Rechnungen  wurden  schon  von  Lagrange  und  Laplace, 
später  für  die  damals  bekannten  sieben  Planeten  im  II.  Bde.  der  Annalen  der 
Pariser  Sternwarte  von  Leverrier  und  1873  für  alle  acht  Planeten  (einschliesslich 
des  Neptun)  von  Stockwell  durchgeführt. 

Eine  von  der  behandelten  grundsätzlich  verschiedene  Methode  für  die  Be- 
rechnung der  Secularstörungen  hat  Gauss  in  Vorschlag  gebracht.  Betrachtet  man 
den  Ausdruck  39  (7),  d.  i.  den  Theil  der  Störungsfunction,  von  welchem 
die  Secularveränderungen  abhängen,  so  sieht  man,  dass  derselbe  von  der  gegen- 
seitigen Lage  der  Himmelskörper  völlig  unabhängig  ist,  und  nur  von  der  Lage 
und  Form  der  Bahnen  abhängt.  Die  Aenderungen  dieser  Bahnen  werden  dem- 
nach dieselben  sein,  wie  jene,  welche  zwei  mit  Masse  belegte  Ringe  durch  ihre 
gegenseitige  Attraction  in  ihren  gegenseitigen  Lagen  hervorbringen.  Auf  die 
Bewegung  der  Himmelskörper  muss  dabei  insofern  Rücksicht  genommen  werden, 
dass  man  die  Ringe  nicht  homogen  annehmen  darf,  da  die  Wirkung  in  dem- 
jenigen T heile  der  Ringe  offenbar  stärker  sein  wird,  in  welchem  der  Körper 
länger  verweilt.  Das  Maass  für  die  Zeit,  welche  ein  Himmelskörper  braucht, 
um  eine  gewisse  Strecke  in  seiner  Bahn  (in  dem  Ringe)  zu  durchlaufen,  ist  aber 
die  Fläche  des  von  dem  Radiusvector  Uberstrichenen  Sectors;  es  wird  dem- 
nach die  Masse  des  Ringelementes  proportional  der  Fläche  dieses  Sectors  zu 
setzen  sein8). 

*)  Traites  des  orbites  absolues,  Bd.  I,  pag.  114— 123.  . 

')  FUr  n  =  3  ist  dies  die  Gleichung,  durch  welche  die  Richtung  der  drei  Hauptaxen  der 
Flächen  zweiter  Ordnung  mit  Mittelpunkt,  die  Richtung  der  drei  Hauptträgheitsaxen,  die  Richtung 
der  Hauptaxen  der  Elasdcitttt  etc.  gegeben  sind.  Den  Beweis  für  den  Satz  hat  für  eine  Deter- 
minante dritten  Grades  zuerst  Lagrangk  in  den  »Memoiren  der  Berliner  Academie  der  Wissen- 
schaften für  1773«  (Werke,  Bd.  III,  pag.  606)  zur  Bestimmung  der  Hauptträgheitsaxen  gegeben. 
Den  allgemeinen  Beweis  für  eine  Gleichung  »ten  Grades  gaben  Caüchv  (Exercices  des  Matbematiques 
Bd.  IV)  und  Jacobi  (Creixk's  Journal,  Bd.  XU,  Ges.  Werke  Bd.  III,  pag.  207). 

*)  S.  Gauss:  Determinatio  attractionis,  quam  in  punctum  quodvis  positionis  datae  exer- 
ceret  planeta,  si  ejus  massa  per  totam  orbitam  ratione  temporis  quo  singulae  partes  describuntur 
uniformiter  esset  dispertita.    (Werke  III.  Bd.,  pag.  331). 


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396 


Mechanik  des  Himmels.  41.  48. 


Eine  besondere  Erscheinung  bietet  in  Hinsicht  der  Secularbewegung  der 
Elemente  der  Mercur  dar.  Leverrier  bemerkte  1859 l),  dass  die  Secularbewegung 
des  Mercurperihels,  wie  sie  sich  aus  den  Beobachtungen  crgiebt,  um  nahe  43" 
im  Jahrhundert  gTösser  ist,  als  der  theoretisch  bestimmte  Werth.  Wollte  man 
die  Differenz  durch  eine  unrichtige  Annahme  der  Massen  der  störenden  Planeten 
erklären,  so  könnte  dieses  nur  durch  eine  Aenderung  der  Venusmasse  geschehen, 
weil,  da  die  Venus  keinen  Satelliten  hat,  ihre  Masse  nur  durch  die  Störungen 
bestimmt  werden  kann,  welche  sie  auf  andere  Himmelskörper  ausübt  Die  aus 
der  Secularbewegung  des  Mercurperihels  folgende  Venusmasse  würde  aber  um 
nahe  den  zehnten  Theil  ihres  Werthes  von  demjenigen  abweichen,  welcher  sich 
aus  den  durch  die  Beobachtungen  ziemlich  genau  bekannten  Störungen  in  der 
Lage  der  Ekliptik  ergeben.  Leverrier  vermutete  die  Ursache  in  dem  Vorhanden« 
sein  eines  innerhalb  des  Mercur  gelegenen  »intramercuriellenc  Planeten,  der 
später  den  Namen  Vulcan  erhielt,  für  welchen  aber  die  Nachforschungen  bisher 
zu  keinem  Ergebnisse  geführt  haben1). 

Bauschinger8)  berechnete  die  Störungen  nach  der  Methode,  welche  Hanskn 
für  die  kleinen  Planeten  angewendet  hat,  kommt  aber  ebenfalls  zu  dem  Resul- 
tate, dass  der  rechnerisch  bestimmte  Werth  der  Secularbewegung  des  Mercur- 
perihels mit  dem  beobachteten  nicht  übereinstimmt;  allein  er  gelangt  zu  dem 
Schlüsse,  dass  nach  der  Uebereinstimmung  der  Resultate  es  nicht  ausgeschlossen 
ist,  dass  der  Mangel  in  den  Methoden  der  Störungsrechnung  liegt,  und  dass 
»die  vorhandenen  Störungstheorieen  ein  empirisches  Glied  erfordern«. 

Harzer4)  findet,  dass  sich  die  Bewegung  des  Mercurperihels  erklären  liesse, 
wenn  man  die  Sonnencorona  als  flache  Scheibe  von  der  Dicke  eines  Sonnen- 
durchmessers bis  auf  etwa  4  Sonnendurchmesser  im  Aequator  der  Sonne  aus- 
gedehnt annimmt,  und  deren  Dichte  etwa  &  der  Dichte  des  Wasserstoffes  an- 
nimmt 

42.  Secularstörung  der  mittleren  Länge.  Für  die  Secularstörung  in 
der  mittleren  Länge  Z0  hat  man  nach  38  (3),  wenn  cosy,  cos  gleich  1  ge- 
setzt werden: 

dbL0  2_  dQ      sinjdü      sin±  £ß 

dt    s      apda*  *V  3«+  «V  0«' 
Nun  ist,  wenn  man  den  in  40  (4)  weggelassenen,  constanten  Theil  der  von 
dem  betrachteten  störenden  Körper  herrührenden  Störungsfunktion  mit  '0l|  be- 
zeichnet. 

Ö      2  (Ol)  -f-  \  (01)(*>  ■+■  e'*)  +  [Q\]ee'cos  (rc  —  ir')  —  \  (0l)[sin*  i  ■+■  sin*  i'  — 

—  2  sin  i  sin  i'  cos  (ft  —  ft')]. 

Die  Coefficienten  {Ol},  (01),  [01]  sind  Funktionen  von  a;  sei 

-2a^{0l)  =  (0l)';   -  2a  ya  (01)  =  (01)';   -  2a  A  [01]  =  [01]', 
so  wird 

so 

—  2a  |^  «  2  [{Ol}'  -+-  i(01)'(*»  -+-  <r'a)  -+■  [01]'*v'w(k  —  ir')  — 
-  *  (01)' [sin*  i  +  sin*  V  -  2  sin  isin  V cos(Q>  —  ft')]] 

')  Comptes  rendus  Bd.  49,  pag.  3S1. 

')  VergL  den  Artikel  »Planeten«. 

*)  Astxon.  Nachrichten,  Bd.  109,  No.  2594. 

4)  Astronomische  Nachrichten  Bd.  127,  No.  3030. 


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Mechanik  des  Himmels.  42.  397 
e  |?  -  2[(01)<«  +  [O\)ee'cos(*  -  «•)] 

sini^j  =  1  [(Ol)       *  —  (Ol)  ;m  1  f«i  f"ttj(A  —  ft')]« 

Substitute  man  hier  an  Stelle  von  e,  e\  ir,  *',  1, 1",  ft,  &'  wieder  V,  S,  H, 
so  erhält  man 

^Ä-  ~  ^-L  2  [(Ol)'  ■+■  a(S«  -+-  H»)  h-  a'(B'»  +  H")  +  B(SB'  +  HH'j 

-+-  7(0»  -+-  v»)  -4-  t'^''  +  v»)  +  a(W  h-  VT)] .  (2) 

Während  daher  die  Differentialquotienten  von  3,  H,  <I>,  u/  von  der  ersten 
Ordnung  in  den  kleinen  Parametern  sind,  ist  der  Diflerentialquotient  der  mittleren 
Länge  von  der  zweiten  Ordnung  dieser  Grössen.  Mit  Vernachlässigung  derselben 
wttrde  sich  ergeben 

^•  =  ^[|01)'  +  W  +  ...]  =  X  (3) 

und  da  [Ol]',  [02]'  ...  nur  von  den  grossen  Axen  abhängen,  diese  aber  secularen 
Störungen  nicht  unterworfen  sind,  so  würde  X  constant  sein;  die  mittlere  Länge 
würde  nur  der  Zeit  proportionale  Glieder  enthalten,  welche  sich  in  der 
mittleren  Länge  L  mit  dem  der  Zeit  proportionalen  Gliede  |i/  verbinden. 
Da  nun 

ist,  so  wird 

L  «  Z0  -r-  Z00  +  (»1  +  X)/-  Z00  -+-  (|i)/f  (4) 

wenn 

(|i)  =  |i  +  X  (5) 

ist  Aus  der  Beobachtung  folgt  aber  nicht  der  Werth  1*  (ungestörte  mittlere 
Bewegung),  sondern  der  Werth  die  Beziehung  j*.  =  /*0a_t  ist  aber  für  den 
ungestörten  Werth  von  y.  gültig.  Bestimmt  man  daher  einen  Werth  (a)  nach  der 


so  wird  der  aus  dem  beobachteten  Werthe  (n)  gefolgerte  Werth  von  («)  nicht 
die  grosse  Axe  sein.  Man  erhält  den  wahren  Werth  der  grossen  Axe  a  aus 
der  Gleichung  m 

«-«(1+7)* 


Es  ist  z.  B.  für  die  Erde  in  einem  julianischen  Jahre  |i  =  1295977"-443; 
X  =  +  2"o07.  Hiermit  folgte,  ohne  Rücksicht  auf  X  in  §  12,  mit  der  fest  be- 
haltenen Gxuss'schen  Constanten: 

(«)  =  1  -  0-0000000228 

und  da 

1  +  |  \  =  0-0000012896, 

so  folgt  daraus,  dass  die  Gxuss'sche  Constante,  wenn  man  die  mittlere  Länge 
der  Erde  von  den  Störungen  befreien  würde,  einer  Längeneinheit  entspricht,  in 
welcher  die  Erdbahnhalbaxe  gleich  ist  1  0000012668. 


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398  Mechanik  des  Himmels.  48.  48. 

Berücksichtigt  man  nun  aber  auch  die  Quadrate  der  Excentricitäten  und 
Neigungen,  betrachtet  diese  aber  als  constant,  so  wird,  wie  man  sofort  sieht, 
die  Form  der  Differentialgleichung  dieselbe,  nur  werden  X  und  die  von  den  Excen- 
tricitäten und  Parametern  abhängenden  Glieder  geändert.  Anders  aber  wird  die 
Sache,  wenn  man  auf  die  Secularstörungen  von  8,  H  .  .  .  .  Rücksicht  nimmt. 
Für  die  langperiodischen  Glieder  40  (13),  (13a)  kann  man  in  kurzen  Zeiträumen 
eine  Entwickelung  nach  der  Zeit  setzen: 

3  =  50  +  \*  +  •  •  <       H  =  t)0  -+■  tj/  -+■  .  .  . 
und  ähnlich  für  S\  H',  B"  .  .  .  ;  hieraus  leitet  man  ab 

E*  +  H8  =  t)0*  4-  iit  h-  .  .  . 

dL*      „  , 

—jj-  =  X  +  v-'t  +  .  .  .  . 

Z  =  Z:oo  -t-  (fx)/  -H  4  K*/»  H-  .  .  . 

Das  Glied \pt*  giebt  die  im  I.  Bde.,  pag.  119,  angedeutete  Secularacceleration. 
Lagrangf.  hatte  auf  dieselbe  zuerst  aufmerksam  gemacht;  die  numerischen 
Rechnungen  gaben  ihm  aber  für  die  Planeten  verschwindende  Beträge,  weshalb 
er  die  Anwendung  auf  den  Mond  nicht  verfolgte.  Dies  that  zuerst  Laplack 
(vergl.  §  60). 

43.  Periodische  Störungen.  Glieder  langer  Periode.  Führt  man 
die  in  37  angezeigten  Operationen  durch,  so  ergiebt  sich  für  Q  die  Entwickelung 
38  (1)  und  die  Störungen  können  durch  Formeln  (2),  (2a)  oder  (3),  (6)  bestimmt 
werden.    Da  in  38  (1)  V  von  den  u>,  &  abhängt,  so  wird: 

Q  =  2KxXcos(iM-  \AT  H-  au  +  ßo>'  +  7ft  -f-  «ft')  (1) 

oder,  wenn  man  Kürze  halber 

Ax«j»T*  =  D  =  i(M0  -h  ?.t)  -  \(M0'  +  v-'f)  +  »«.  +  Bo>'  +  T&  +  8&'  (2) 

setzt,  wo  1,  X,  a,  ß,  7,  S  ganze  Zahlen  bedeuten: 

Q  =  2Aa<wZ>.  (la) 

Führt  man  an  Stelle  der  Differentialquotienten  von  KK\  die  Symbole 

^-^t»;  d-£  =  «V  (3) 

ein,  so  wird  aus  38  (2): 


$  =  —  —  liKasinD 
dt  a\L 


d&  1 


-.IK^cosD 


dbM0 


dt  a* >  cos  9  sin  i 

^jz  —  ■+-  -5  ~  2(-r  —  a  cos  i)Kx\sin  D 

dt         a*pcos<tstnt    Vl  ' 

=  _  1  2^-)  +  t  «£*  gg)  c„  D, 


(4) 


Die  Integration  dieser  Gleichungen  bietet  keine  Schwierigkeiten.  Sieht  man 
die  Elemente  als  constant  an,  so  wird  man  die  periodischen  Glieder  durch 
Quadraturen  erhalten.    Werden  die  Resultate  der  ersten  Näherung  substituirt, 


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Mechanik  des  Himmels.  48. 


399 


Afl  =  -f-  —  2  1  ,  t     K%\cos  D\     a  =  a0  +  A«. 


so  treten  neue  periodische  Glieder  hinzu  u.  s.  w.  Es  ist  jedoch  vortheilhaft, 
schon  in  der  ersten  Näherung  die  secularen  Glieder  in  o»  und  ß  zu  berück- 
sichtigen, wie  dies  Poisson  that.    Sei  daher 

tü  =  to0  -f-  eoj/;     &  =  &0     a,  /, 

so  wird 

D  =  Z>0     (t,.  -  Xu'  -+-  •)/ 

Z>0  =  iJ/„  —  XM0'  -+-  ou>0  -+-  ßai0'  4-  7&0      8ß0'  (5) 
t  =  atd,  +  ßo>i'H-  T&i  +  •ft|' 
und  man  erhält  z.  B.: 

_2^ 

ö  fi  *  t  f*  —       H-  • 

Ebenso  Ai,  de  .  .  .  und  *  =  #0  -4-  A/,  *  =  e0  ■+■  Ar  .  .  .,  wobei  a0,  i0,  e0  .  .  . 
die  ungestörten  Elemente  sind.  Die  Glieder  für  i  =  X  =  0  sind  dabei  auszu- 
schliessen,  da  dieselben  bei  der  Berechnung  der  secularen  Störungen  bereits 
berücksichtigt  wurden.  Hingegen  erfordern  jene  Glieder  eine  besondere  Auf- 
merksamkeit, bei  denen  ifi  —  Xp'  eine  sehr  kleine  Grösse  ist,  und  zwar  besonders 
in  dem  Ausdrucke  für  C,  bei  welchem  eine  doppelte  Integration  auszuführen 
ist    Es  ist  nämlich: 

+  i(t|t_x;.  +  .y/«z>.  (6) 

Nach  15  (19)  ist  /xx  von  der  X  ten  Ordnung  nach  x,  wenn  man  die 
niedrigsten  auftretenden  Potenzen  als  die  Ordnung  des  Ausdruckes  nach  den 
kleinen  Parametern  bezeichnet;  daher  ist  /,-*  von  der  Xten  Ordnung  nach  e, 

die  S}m\  C{m)  von  der  (t  —  m)  ten  Ordnung ;  die  in  87  auftretenden  Coefficienten 
pu  a,  sind  nach  87  (12)  von  der  t  ten  Ordnung  (mit  Ausnahme  von  p0,  welches 
von  der  zweiten  Ordnung  ist,  und  a0,  welches  verschwindet;.  Um  über  die 
Ordnung  der  Coefficienten  der  Potenzen  von  <j  und  v  zu  entscheiden,  kann  man 
schreiben 

o*  =  Ip^cos  %M\     v«  =  2««««  i M. 
Da  nun  <r*+i  =  <x«<r  ist,  so  wird  das  Glied  mit  <wiAf  den  Coefficienten  haben: 

p."+,)= p.p.(,)  +  p,  Wä  +  p,(:\)  +  ?,  b& + pä)  .... 

Es  ist  aber  p[l)  =  p,,  daher  pf2)  im  Allgemeinen  ebenfalls  von  der  i  ten 
Ordnung  und  ebenso  p,(S),  p[4)  ....  Dies  gilt  jedoch  nur  für  t  >  e,  denn  da  a 
den  Faktor  e  enthält,  so  wird  o*  von  der  Ordnung  e  sein  und  für  i  <  e  werden 
alle  Coefficienten  von  der  «ten  Ordnung.    Dasselbe  gilt  von  v;  es  wird  daher 

pS°,  at(,)  von  der  Ordnung  i,  wenn  i  >  e;  und  von  der  Ordnung  e  für  i  <  ». 

In  den  Produkten  <j,°1,i>  v'v/'  werden  die  Produkte  Pl(,)pf  '\os  (iM  ±  \M')\ 
vi**  <es  (x  M  ±.  X  AT)  auftreten,  in  denen  die  Coefficienten  bezw.  von  den 
Ordnungen  t,  X  oder  mindestens  e,  e'  sind.  Eben  dasselbe  gilt  von  den  Aus- 
drücken (v  —  v')«,  woraus  sofort  folgt,  dass  in  den  Ausdrücken  87  (2)  oder  all- 
gemeiner in  dem  Ausdrucke  84  (12)  die  Produkte  der  auftretenden  Grössen 

Acos{iM±. \M')-BcosxQ  (7) 
von  der  Ordnung  i  in  e  und  X  in  e'  sind.  Die  Bedingung,  dass  sie  mindestens 
von  der  Ordnung  e  seien,  entfällt  hier,  da  sie  in  den  Gliedern  erster  Ordnung 
der  TAYLOR'schen  Entwickelung  von  der  ersten  Ordnung  sind,  und  auch  die 


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400  Mechanik  des  Himmels.  48. 

Ausnahme  für  i  <=  0,  X  «=  0  entfällt,  da  in  der  Summe  die  Glieder  nullter 
Ordnung  1B,*cosxQ  vorkommen.    Löst  man  in  (7)  die  Produkte  auf,  so  folgt: 

Ccos (iM±  \M'  +x0  +  Ccos(tM±  XAT  —  xQ), 

daher 

für  die  oberen  Zeichen:      Ccos  [(t  ■+■  x)M  -4-  (X  —  x)M*     xit0  —  xit0'] 

-I-  Ccos  [(i  —  *)M-h  (X  4-  x)M'  —  «ic0  -+-  xi0'] 
für  die  unteren  Zeichen:     Ccos  [(t  4-  *)M  —  (X  -+-  *)AT  -+-  xit0  —  xic0'] 

-+-  Ccos  [(t  —  x)M—  (X  —  x)AT  —  xic0  4-  xic0']. 

In  dem  Ausdrucke  für  p-**-i  ist  daher  der  Coefficient  eines 
Gliedes      (aAf+  $M'  4-  7*0  4-  8ir0')  in  c  von  der  Ordnung  [a  —  7],  in 
von  der  Ordnung  [ß  —  6]  wenn  mit  [A]  der  absolute  Betrag  von  A  bezeichnet  wird. 

In  dem  Ausdrucke  für  0  treten  zu  p~*  noch  die  mit  I  bezeichneten  Glieder, 
welche  sich  aber  mit  den  obigen  für  x  =  1  vereinigen. 

Die  Glieder  in  I,  II  und  III,  welche  von  cos(\M —  \M'  +  n0  —  ir0')  ab- 
hängen, sind  nach  87  (16),  (17)  und  (18)  für  positive  1  und  X  von  der  (t —  l)ten 
bezw.  (X — l)ten  Ordnung,  für  negative  1,  X  von  der  Ordnung  1  4-  1,  bezw. 
X  4-  1  in  e,  e']  da  im  ersten  Falle  [et  —  7]  =  1  —  1 ;  [ß  —  8]  =  X  —  1;  im  zweiten 
[a  —  T]  =  1  +  l,  [ß  _  8]  =  X  4-  1  ist,  so  gilt  der  obige  Satz  auch  für  den  von 
den  Neigungen  abhängigen  Theil  von  Q. 

Genau  dasselbe  gilt  von  den  Ausdrücken  II,  ü»,  .  .  .  daher  auch  von 
den  Ausdrücken  II  ■  p— 8;  II'  p— 5  .  .  .  Diese  sind  noch  zu  multipliciren  mit 
sin*  4/,  sin*  \J  .  .  .  ,  welche  nach  89  (4)  nach  Potenzen  von  sin9  \i,  sin*  \  f 
entwickelt  werden  können,  und  es  wird 

x/«2«^/  =  y0W  +/,<•> f«(ft  -  ft')  +/4W«i2(ö  —  ft')  H-  •  •  •  • 
wo  wieder  J$  nach  derselben  Schlussweise  von  der  Ordnung  2  X  ist,  für  X  >  t ; 
und  von  der  Ordnung  2«  für  X  <  «.   In  derselben  Weise  schliessend,  gelangt 
man  zu  dem  Resultate,  dass  der  Coefficient  C  in  dem  Ausdrucke 

Ccos  [aM+  $Af  4-  7*0  -r-  8ic0'  -4-  t(ft  —  ft')] 
von  der  Ordnung  [a  —  7]  in  e,  von  der  Ordnung  [ß  —  8]  in  c'  und  von  der 
Ordnung  2»  in  den  Neigungen  ist,  wobei  aber  7  +  8  =  0  ist. 

Man  kann  diese  Beziehungen  in  etwas  einfacherer  Form  aussprechen.  Führt 
man  statt  der  mittleren  Anomalie  die  mittlere  Länge  ein,  so  dass  M  =  y.t 
4-  MQ     ja/  4-  Z0  —  n  ist,  so  wird  das  Argument 

A  =  aM+  $M'  4-  7*0  ■+■  **o'  H-  «(ft  —  ft')  =  «K'  4-  ßn'/  4-  aZ0  4-  ßZ0' 
—  otic  —  ß*'  4-  7(*o  —  *o')  -+■  «(ft  —  ft')- 
Da  aber  ic0  —  ir0'  «o  *  —  ic'  4-  A  ist,  so  wird  A  =  D  4-  A,  wenn 
D  _  ap./  4-  ß(i'/  4-  oZ0  4-  ßZ0'  -  (ot  —  i)K  -  (ß  4-  7)*'  +  «(ft  —  ft'). 
ist,  und  A  die  auf  pag.  389  angegebene  Bedeutung  hat;  weiter  ist 

cos         cos  sin  . 

>inA  =  ti«0'"^«*0""^ 

Führt  man  hier  für  sin  A,  cos  A  die  Reihen  ein,  löst  die  Produkte  der  goniu- 
metrischen  Functionen  in  Summen  auf,  so  verbinden  sich  die  Vielfachen  vot 
A  —  ft'  mit  den  bereits  vorhandenen,  und  die  Argumente  werden  daher  dir 
allgemeine  Form  haben 

D  =*  ctp/  4-  ßn'/  4-  ctZ0  4-  ßZ0'  4-  7'*  +  *'«'  +  «ft  +  Cft',  (8) 
wobei,  wie  man  sofort  sieht,  die  Beziehung  besteht: 

<x  4-  ß  4-  7'  4-  8'  4-  e  4-  C  =  0.  (9) 


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Mechanik  de«  Himmel*.  44. 


4°> 


44.  Beispiel:  Für  den  Jupiter1)  ist  p  =  299"*12886;  für  den  Saturn 
ft'  =  120"-4M65,  daher  5|*'  —  2f*  =  4"01653,  als  tägliche  Bewegung  des  Ar- 
gumentes bM'  —  2M]  die  Periode  ist  daher  883*4  julianische  Jahre,  die  Dif- 
ferenz (5ja'  —  2v)arc  1"  =  0-000019473.  Die  Glieder  niedrigster  Ordnung  in 
den  Excentricitäten  mit  dem  Argumente  bM1  —  2M  entstehen,  wenn  in  den 
Entwickelungen  von  p-2*-i  die  Glieder  mit  den  Argumenten  2Q,  SQ,  AQ,  bQ 
bezw.  mit  denjenigen  Gliedern  multiplicirt  werden,  deren  Argumente  3Af, 
2M'  -h  M,  M1  +  2M,  3  AT  sind.  Die  Glieder  mit  dem  Argumente  bAf  —  2M 
-+-  t(tt0  —  k0')  haben  daher  den  Faktor  *h-2  f\+5  und  sind,  wenn  man  nur  bis 
zu  Gliedern  6.  Ordnung  der  Excentricitäten  geht,  zu  vernachlässigen.  Dasselbe 
gilt  von  den  Gliedern  mit  dem  Argumente  bAf  —  2M,  welche  e7J*  als  Faktor 
enthalten,  und  von  den  Gliedern,  deren  Argumente  bAf'  —  2M —  (t  6)(it0  —  *„') 
sind,  da  diese  den  Faktor  *»+Vh-i  enthalten.  Man  hat  daher  nur  die  Glieder 
zu  berücksichtigen: 

Ae'*  cos  [bAf  —  2M  —  2(ir0  —  it0')]  Pe'U  cos[bM*  —  2M  —  (ir0  —  ir/)J 

BS'c  cos  \bM'  —  2M  —  3(rc0  —  ic0';J  Qc'c*  cos  [bM'  —  2M—  6(*0  -  k0')] 

Ct'e*  cos  [bM'  -2M-  4(k0  -  *0')] 
De*  cos  [bAf  -2M  -  5(ic0  -  ic0')]. 

Bleibt  man  bei  den  Gliedern  dritter  Ordnung  stehen,  so  sind  nur  die  Coef- 
ficienten  A,  B,  C,  D  zu  berechnen. 

Das  Glied  mit  dem  Coefficienten  A  entsteht  offenbar  aus  dem  Produkte 
cos3M'cos2Q  und  sin  'SM'  sin  2 Q.  Zu  betrachten  sind  daher  die  folgenden 
Verbindungen,  bei  denen  die  durch  die  Auflösung  der  Produkte  entstandenen 
Glieder,  die  nicht  das  Argument  A  =  bM'  —  2M  —  2(it0 — ic0')  enthalten, 
durch  *  bezeichnet  sind. 

v«»  SB{3)  d&V  dB®* 

a      -P-  cos2Q  =  -\  «'*'*">*  SM'  Ufr-  cos2Q  =  -  &e'*a'  ^fV  cos  A  +* 
da         ^  8  ca  ^  16  da 

v'  ■  2  Bf  sin  2  Q  =  -h  ||  c'*  sin  3  Af  •  2B%hin  2  Q  =  -h  #  c'*  Bf  cos  A  +• 
°"  ^2 Q-  +  ia'>c'*cosZM'^  cos2Q  =  +lc'>a'*-£%- cosA  +  • 

d*  B™  a»  B{2)  3«  Bm 

K'9"  ~d^cos2Q  =  -^a'^'>cos3M'~^-cos2Q^-^c'ia'*-^-cosA^-* 

—  \a'*  «'» (v  —  v')  •  2    da,\   sin  2  Q  =  +  a' V 3  sin  M cos  2M'  sin  2Q  = 

d*  B&>  , 
^■^\e'*a'*-^-cosA  +  * 

d  B<®  d  B&) 

-  jaV(v  _  v')3  -4  -^r  cos2Q  =  -  4a'c'*cos  Mfcos  2  M'         cos2Q  = 

dB™ 

=  -c'*a'  -jj±cosA+* 
•+■  i(v  -  v')s  •  8£?>«*  2  <2  =  -  J  c'*  Bf  sin  3  jW'x/»  2  £  =  -  i  w  ^  -I-  •. 

Die  Summe  der  hier  angesetzten  Coefficienten  giebt  den  Coefficienten  A\ 
in  ähnlicher  Weise  sind  B,  C,  D  zu  entwickeln.  Für  die  von  der  Neigung  ab- 
hängigen Glieder  sind  in  dem  Ausdrucke  II«p-8  nur  die  Glieder  erster  Potenz 
der  Excentricität  beizubehalten;  daher  hat  man  für  t,  \  die  Werthe  0,  1,  2  zu 
setzen.  Beachtet  man,  dass  cx  —  j,  um  zwei  Ordnungen  höher  ist,  als  c%  -+•  s 
so  findet  man,  dass  aus  dem  Gliede  nullter  Ordnung  in  p-8  und  den  Gliedern 

')  Di«  Daten  aus  dem  »Berliner  astronomischen  Jahrbucht  für  1899. 

II.  26 

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402  Mechanik  des  Himmels.  44.  45. 

erster  Ordnung  in  II  kein  Glied  dieser  Gattung  entsteht.  Die  Glieder  nullter 
Ordnung  in  (I  entstehen  für  i  =  X*=  1,  und  man  sieht  sofort,  dasssie  mit  den  Gliedern 
erster  Ordnung  von  aa,  a'a'  und  v  —  v'  die  Argumente  Af,  Af,  2Af'  ±:  Af, 
Af  de  KIM  geben,  aus  welchen  das  gesuchte  Argument  5Af  —  2Af  nur  für  x  =  3 
in  Verbindung  mit  2  Af  -+-  AI  und  x  =  4  mit  Af'  ■+-  2Af  ensteht.  Man  findet 
für  den  ersten  Fall  die  beiden  Glieder: 
dB&) 

—  a'e  ~~-  eosSQ  •  %  aa' cos  (2Af  +  Af  -+-  x0'  -+-  x0)  und 


woraus 
aa 


ca 

2  e'  •  3  B^sin  3  Q  >  \  aa  sintfAf  +  Af  +  n0'  +  v0), 


V  (i^(,3)-  K  (sin*i  +  sin*i')cos{bAr-  2^-H  4x0' -  2*0) 

-  «aY      J5f»>  -  Ja»  -^-J  j/«/i/>;/'[^(5^'-2i»/-r-4tr0'  — 2«0-hft'-a) 

-+-  cos{bAf  -  2Af+4r.u'  -  2ir0  -  ft»  4-  ft)] 
entsteht.    Solitc  man  bei  diesen  Entwicklungen  auch  die  Glieder  5  ter  Ordnung 
berücksichtigen,   so   müsste  in  den  Gliedern  dritter  Ordnung  x0  —  ir0'  durch 
x  —  tt0  -+-  A  ersetzt  werden. 

46.  Argumente  langer  Periode  in  den  Planetenbewegungen. 
Aehnliche  Glieder  treten  bei  der  Entwicklung  der  Störungen  aller  Planeten  auf. 

Man  kann  die  betreffenden  Glieder  finden,  indem  man      in  einen  Kettenbruch 

V- 

entwickelt,  und  dessen  Näherungswerte  sucht.  Sei 


— =  <x  -f 


T  +  •  ■ 

und  die  aufeinanderfolgenden  Näherungswerthe  und  eingeschalteten  Werthe 


t      t'  t" 


x '  x'  *  x"  •  •  •  ' 

so  werden  die  Ausdrücke  ui  —  Xf*';       —  XV;  *'V  —  *'V>  welche  als  Integrations- 
divisoren auftreten,  kleine  Werthe  erlangen,  aber  nach  dem  Gesagten  mit  immer 
höheren  Potenzen   der  Excentricitäten  und  Neigungen  multiplicirt  sein.  Die 
mittleren  täglichen  siderischen  Bewegungen1)  der  grossen  Planeten  sind: 
Für  Mercur  .    14732"41967  Jupiter.  299"-12836 

Venus  .      5767  66982  Saturn  .    120  45465 

Erde    .     3548  19286  Uranus.  4223079 

Mars    .      1886-51831  Neptun.  21*53302. 

Damit  erhält  man  für  die  folgenden  Combinationen  (die  mittlere  Länge  des 
Planeten  durch  sein  Zeichen  ausgedrückt): 

Störungen  zwischen  Argument       tägliche  Veränderung  des  Arg.  Periode 

1.  Mercur- Venus   ...    2  $  -   5  ?  626"  490  5  67  Jahre 

2.  Venus-Erde  ....    5  $  —    3  $  437  955  81  Jahre 

3.  „       „     .    ...    5  $  —    8  £  452  806  7'8  Jahre 

4.  „       „     ....    8?  -13$  14-8514  240  Jahre 

5.  Erde-Mars    ....    2  ^  —      $  224  844  16  Jahre 

6.  ,  8£  —  15  c?  87-7682  40  Jahre 

■  ~ 

»)  \x  niuvä  wegen  des  Wcrthcs  von  t  flir  die  Einheit  des  mittleren  Sonnentages  aus- 
gedruckt werden. 


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Mechanik  de»  Himmels.  45. 


403 


Störungen  zwischen 
7.  Venus-Mars  . 


$  —  3  &  1081 15 
5$  —  24  401653 
3&  —     t)  623772 

4  -  7<T  351283 
2W—  *  0-83525 
2  b  —  1 1  y  4  04608 


Argument      tägliche  Veränderung  des  Arg. 


33  Jahre 
883  Jahre 
569  Jahre 
1010  Jahre 
4250  Jahre 
877  Jahre 


Periode 


8.  Jupiter-Saturn  . 


9.  Saturn-Uranus  . 

10.  Jupiter-Uranus  . 

11.  Uranus-Neptun 

12.  Saturn-Neptun 


Zwischen  den  mittleren  Bewegungen  der  äusseren  und  inneren  Planeten  be- 
stehen keine  genäherten  Beziehungen  dieser  Art,  denn  die  mittleren  Bewegungen 
sind  zu  verschieden.  Doch  ist  z.  B.  <f  —  6  4  =  91"'748,  woraus  ein  Glied  mit 
ca.  39 jähriger  Periode  entsteht. 

Die  Störungen  sind  selbstverständlich  wechselseitig;  berücksichtigt  man  von 
der  Störungsfunction  nur  jene  Theile,  welche  sich  auf  die  Masse  m'  beziehen, 
so  ist: 


Umgekehrt  wird  die  Störung,  welche  die  Masse  m'  durch  m  erfährt,  bestimmt 
durch  die  Störungsfunction 


woraus  folgt,  dass  in  beiden  Entwickelungen  dieselben  Argumente,  also  auch 
dieselben  Glieder  langer  Periode  auftreten. 

Die  Dauer  der  Periode  Pl)  giebt  ein  Maass  für  die  Kleinheit  des  Divisors; 
die  Differenz  t  —  X  die  Ordnung  des  Coefficienten.  Bezeichnet  man  die  kleinen 
Parameter,  welche  als  Grössen  erster  Ordnung  aufgefasst  werden  können,  all- 
gemein mit  p,  so  wird  man  als  ungefähren  Maassstab  für  die  Beurtheilung  der 
Grösse  des  Coefficienten  in  den  Integralen  von  48  (4)  den  Ausdruck  Pf-*m 
ansehen  können,  während  dieser  Coefficient  in  C  von  der  Ordnung  P*p-Xm 
wird.  Numerisch  allerdings  werden  die  Ausdrücke  noch  sehr  verschieden  sein 
können,  da  die  numerischen  Werthe  der  Parameter  p  von  einander  sehr  ab- 
weichen. So  ist  die  Excentricität  des  Mercur  das  30  fache  derjenigen  der  Venus- 
bahn, diejenige  der  Marsbahn  nahe  das  6  fache  derjenigen  der  Erdbahn  u.  s.  w. 

Von  den  angeführten  Ungleichheiten  sind  einige  besonders  wichtig.  So  die 
4te,  5te  und  7te,  die  letzten  beiden  sind  von  der  ersten  Ordnung  der  Excen- 
tricität. Die  letzten  fünf  werden  bedeutend  wegen  der  relativen  Nähe  der  stören- 
den Massen  gegenüber  der  Entfernung  des  Centraikörpers.  Die  8te  und  Ute 
haben  eine  historische  Bedeutung.  Die  von  dem  Argumente  5$  —  24  abhängige 
Ungleichheit  in  der  Bewegung  der  beiden  Himmelskörper  hat  wegen  der  sehr 
langen  Periode  innerhalb  des  Zeitraumes  von  mehreren  Decennien  einen  secularen 
Charakter;  sie  ist  die  von  Halley  angegebene  Secularbeschleunigung  des  t>  und 
Secularverzögerung  des  4  (s.  I.  Bd.,  pag.  119).  Die  von  dem  Argumente  2¥  —  <£ 
abhängige  Ungleichheit  bewirkt  in  der  Bewegung  des  Uranus  Störungen,  die  sehr 
bedeutend  sind.  Allerdings  ist  hier  die  Periode  so  gross,  dass  innerhalb  kurzer 
Zeiträume  die  Veränderlichkeit  des  Gliedes  nicht  merklich  wird;  hier  aber  werden 
die  von  den  doppelten  und  dreifachen  Argumenten  abhängigen  Glieder  noch 


)  Für  ein  Argument  tAf  —  \M\   dessen  tägliche  Veränderung  cp.  —  Au.'  ist,  wird  die 


Periode 


3(i0° 


7  Tage  oder,  da  u.  und  u.'  in  Secunden  ausgedrückt  werden, 


360° X  60  X  60 


Jahre. 


26* 


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404  Mechanik  des  Himmels.  45.  46. 

maassgebend,  da  die  Integrationsdivisoren  noch  immer  sehr  klein  sind,  und  die 
Glieder  von  der  Ordnung  der  zweiten  bezw.  dritten  Potenzen  der  Parameter 
sind.  50  Jahre  nach  der  Entdeckung  des  Uranus  konnte,  da  die  Theorie  der 
Störungen  bereits  über  die  Wechselwirkungen  der  Planeten  ein  ausreichendes 
Bild  gegeben  hatte,  ein  Zweifel  darüber  nicht  mehr  bestehen,  dass  die  grossen 
Abweichungen,  welche  die  beobachteten  Oerter  des  Uranus  gegenüber  den  be- 
rechneten ergaben,  einem  störenden  Körper  zugeschrieben  werden  müssten. 
Die  analytische  Verfolgung  dieser  Annahme  führte  zur  Entdeckung  des  Neptun 

46.  Bemerkungen  über  die  Störungen  zweiter  Potenz  der  Massen. 
Substituirt  man  in  die  StÖrungsfunction  an  Stelle  der  Elemente  ihre  gestörten 
Werthe,  so  wird  man  nebst  den  Verbesserungen  der  in  der  ersten  Näherung 
aufgetretenen  Glieder  noch  andere  erhalten,  von  denen  einige  beträchtlich  werden 
können.  Da  man  jetzt  in  der  StÖrungsfunction  die  Störungen  zu  berücksichtigen 
hat,  welche  von  allen  störenden  Körpern  herrühren,  so  treten  in  dieselben  Glieder 
mit  den  Argumenten  i' M  -  k'M';  ^M-\"Af'\  i'"  M  —  X.'"  M'"  .  .  ,  welche 
mit  den  von  den  Argumenten  M  und  M\  M  und  Af"  .  .  .  abhängigen  Glieder 
multiplicirt  werden.  Es  treten  daher  nunmehr  Combinationen  der  Form 
aM -h  $M' -h  tM"  auf.  Auch  diese  können  für  gewisse  Werthe  der  ganzen 
Zahlen  a,  ß,  7  numerisch  sehr  kleine  Integrationsdivisoren  erhalten,  wenn 
ap-t-  ßf*'  -+-  ff*"  nahe  Null  ist.  Beschränkt  man  sich  dabei  auf  die  Glieder 
niedrigster  Ordnung  der  Parameter,  so  findet  man  für  derartige  Argumente  z.  B. : 
$  —  2  £  —  4  cf  (Periode  39  Jahre),  4  —  t>  -  4*  (360  Jahre),  4^  +  3!  —  22* 
(350  Jahre),  2fi  +  3W  -  2*  (560  Jahre),  21  4-  2<T  -  fc  (520  Jahre),  £  -I-  4  V  —  d 
(440  Jahre)  u.  s.  w.  Die  Integrationsdivisoren  werden  aber  vielfach  modificirt 
durch  das  Auftreten  der  Secularglieder  in  der  Bewegung  von  Knoten  und  Perihel; 
sie  werden  dann 

'  A  =  Of*  H-  ßji.'  H-  7lx"  +  ot' 7C|  +  ß'*/  +  ß>,"  +  «"ft,  H-  ß"ft,'  4-  7"ft,". 

Bei  den  Störungen,  die  von  der  dritten  Potenz  der  Masse  abhängen,  werden, 
wie  man  sofort  sieht,  noch  die  von  dem  vierten  Planeten  abhängigen  Grössen 

it'",  hinzutreten.  Bei  gegebenen  Werthen  der  \l,  f*',  n"  .  .  .  ie,\  ir,"  .  .  . 
wird  man  aber  immer  ganzzahlige,  positive  oder  negative  Werthe  der  Coefncienten 
ot,  ß,  Yi  «'  •  •  .  finden,  welche  dem  Integrationsdivisor  A  einen  sehr  kleinen 
Werth  erlheilen,  und  je  grösser  die  Anzahl  der  verfügbaren  Daten,  d.  h.  je 
grösser  die  Zahl  der  betrachteten  Argumente,  desto  leichter  wird  es,  dem  Nenner 
A  einen  immer  kleineren  Werth  zu  geben. 

Sei  ein  Argument  A  =  aAf  +  $Af  ■+-  tM"  H-  .  .  .  +  a'rc  -f-  ßV  4-  .  . 
derart,  dass  die  tägliche  Bewegung  gleich  Null  würde,  also 

dA 

dt  =      4-  ßf*'  4-  7f*"  4-  ...  -I-  a'Tr,  +  ß'*/  4-  .  .  .  =  0 

und  Ö  =  C  cos  A.  Bildet  man  hier  die  Ableitungen  nach  den  einzelnen  Ver- 
änderungen, so  wird  für  irgend  ein  Element: 

dE      ~,cost       n    da  2     _  .  . 

-77  =  C    .   A    z.B.    -j-  =  aCstnA. 

dt  stn  dt  au. 

Da  aber  —jy  =  0  ist.  so  ist  A  constant,  und  es  wird  die  aus  diesem  Gliede 

entstehende  Störung  des  Elementes 

<>£=  C'tC0S  A\        «a=  -  f—  *CsinA\t, 
stn  \ap  )  ' 


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Mechanik  des  Himmels.  46.  4  t. 


405 


daher  ein  thatsächlich  seculares  Glied.  Die  Werthe  der  Coefficienten  und  Ar- 
gumente sind  aber  von  den  angenommenen  Elementen  abhängig,  daher  können 
kleine  Aenderungen  in  den  mittleren  Bewegungen  die  Form  der  Glieder  ver- 
ändern: aus  langperiodischen  Gliedern  werden  seculare  und  umgekehrt.  Mit 
den  Aenderungen  der  mittleren  Bewegungen  sind  aber  correspondirende  Aen- 
derungen der  grossen  Axen  verbunden,  und  in  dem  Maasse  als,  den  Aenderungen 

dA 

von  ja,  {/  .  .  .  entsprechend,  ^-  stetig  kleiner  wird,  wird  notwendigerweise 

dA 

auch  der  Coefficient  C  stetig  abnehmen,  und  für        =  0  wird  endlich  der 

Coefficient  des  Integrales  in  der  Form  $  auftreten;  durch  eine  zweckentsprechende 
Integrationsmethode  könnten  daher  diese  secularen  Glieder  zum  Verschwinden 
gebracht  werden. 

Für  die  grossen  Planeten  sind  die  mittleren  Bewegungen  derartige,  dass  die 
von  den  ersten  Potenzen  der  störenden  Massen  abhängigen  Glieder  solche 
Complicationen  nicht  herbeiführen,  obzwar  die  mittleren  Bewegungen  des  Neptun 
und  selbst  des  Uranus  noch  beträchtlichen  Unsicherheiten  unterliegen.  Wesentlich 
anders  ist  es  jedoch  bei  den  kleinen  Planeten;  die  mittleren  Bewegungen  der- 
selben schwanken  zwischen  403"  (Planet  279)  und  1175"  (330)  und  es  treten 
vielfach  nahe  commensurable  Verhältnisse  mit  der  mittleren  Bewegung  h'  des 
nahen  und  mächtigen  Jupiter  auf.    So  z.  B. 

für  (279):    3h  —  4h'  =  13"04         für  (188):    2h  —  5h'  =  2"00 
„  (153):    2h  —  3h»  =  2-88  „  (266):    2h  —  5h'  =  15-24 

„  (190):    2h  —  3h'  =   7  38.  u.  s.  w. 

Hierzu  kommt  noch,  dass  die  kleinen  Planeten  sehr  beträchtliche  Excen- 
tricitäten  und  Neigungen  haben  und  daher  die  Störungscoefficienten  ziemlich 
bedeutend  werden,  ein  Umstand,  der  sich  übrigens  auch  bei  allen  anderen  Inte- 
grationsmethoden  fühlbar  mächt. 

Eine  besondere  Wichtigkeit  erlangt  der  Fall  eines  constanten  Argumentes 
auch  für  die  Theorie  der  Jupitersatelliten.  Bezeichnet  man  die  mittleren  Be- 
wegungen der  fünf  Satelliten  der  Reihe  nach  mit  ja'  ja"  ja'"  ja""  h(5)  so  gelten  für  die 
drei  mittleren  die  folgenden  Beziehungen: 

_  2,a"'  und  ja'"  -  2h""  sind  äusserst  kleine  Werthe, 

die  Differenz  (ja"  -  2h'")  -  G»"'  —  2h"")  =  ja"  -  3h"'  +  2h""  =  0  ist  völlig 
strenge  Null.  Souillart,  der  für  die  Satelliten  die  Störungen  der  Elemente  be« 
stimmt'),  berücksichtigt  hierbei  auch  sofort  die  secularen  Variationen  der  Elemente 
iv,  wodurch  die  Schwierigkeit  umgangen  wird,  und  die  Methode  sich  mit 
der  von  Laplace  angewandten  Berechnung  der  Störungen  in  polaren  Coordinaten 
(s.  No.  57)  deckt'). 

47.  Störungen  in  polaren  Coordinaten.  So  verschieden  die  Integrations- 
methoden hier,  je  nach  der  Wahl  der  Variabein  sind,  so  liegt  allen  das  gemein- 
schaftliche Princip  zu  Grunde,  die  auch  hier  auftretenden  secularen  Glieder  auf 
die  eine  Coordinate,  welche  der  Natur  der  Sache  nach  ein  der  Zeit  proportionales 


>)  Aus  den  ersten  330;  für  (132)  ist  Ubcrdicss  ja'  —  3h  =  6"'30,  der  Excentricitäts- 
winkel  nahe  20°;  der  Planet  ist  aber  nur  in  einer  Opposition  beobachtet  und  später  nicht 
wieder  gesehen  worden. 

*)  Memoire  of  the  Royal  Society,  Bd.  45. 

a)  1.  c.   pag.  14  und  30. 


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406 


Mechanik  des  Himmels.  47. 


Glied  enthalten  muss,  die  Länge,  zu  beschränken,  d.  h.  die  durch  die  Integration 
auftretenden  secularen  Glieder  im  Radiusvector  und  in  der  Breite  zu  eliminiren. 

Die  älteste  Form  der  Differentialgleichungen,  welche  der  Störungsrechnung  zu 
Grunde  gelegt  wurde,  ist(Z?)(pag.  295);  indem  der  reciproke  Werth  des  Radiusvectors 
in  der  ungestörten  Bewegung  sich  in  einfacher  Weise  durch  die  wahre  Anomalie 
darstellt,  war  es  natürlich,  auch  für  die  gestörte  Bewegung  nicht  den  Radius- 
vektor selbst,  sondern  seinen  recipröken  Werth  als  zu  bestimmende  Variable 
einzuführen.  Während  Clairaut  an  Stelle  der  dritten  Differentialgleichung  (D), 
welche  die  Breite  bestimmt,  die  Variationen  von  Knoten  und  Neigung  ermittelt, 
benützt  er  zur  Bestimmung  des  Radiusvector  und  der  Zeit  die  beiden  ersten 
Gleichungen  (Zty.  Clairaut  integrirt  dieselbe  in  folgender  Weise:  Durch  Multi- 
plikation mit  cosl  wird  die  linke  Seite  ein  vollständiges  Differential;  man  er- 
hält daher  durch  Integration 

du  r ......      „  ...  1 


cos 


/+  usinl  r=J  U'cos  ldl  +  Cx ;        U'  =  v^-p  U. 


dl  "J    r    J"'  •  —  J  v      *  —  ^  wi  •  V*u* 

Wird  diese  Gleichung  mit  sec* l  dl  multiplicirt,  so  wird  die  linke  Seite  wieder 
ein  vollständiges  Differential,  und  giebt  intergrirt: 

~~~t  =  f  -^-7  /  (/'  cos  ldl+C.  f  -^i-p  H-  C,. 
cos  l      /  cos*  l  J  1  /  cos*  l  2 

Durch  partielle  Integration  des  ersten  Gliedes  folgt 

f  7^1  f u' cosldi  =  tang  1  j  u'cos  ldl  ~  f tang  lu*cosläl> 

daher 

u  =  sin  ljU'  cos  ldl  —  cos  l  f  C/'sm  ldl     C,  sin  l  +  C^cos  l. 
Sind  zx,  z%  zwei  particuläre  Integrale  der  Differentialgleichung 

d*y 

für  Y  =  0,  so  kann  das  allgemeine  Integral  für  jede  beliebige  Function  Y  nach 
der  Methode  der  Variation  der  Constanten  erhalten  werden.    Es  ist: 


/%         Yz«dt  f  Yzxdt  

dz,  dz±  +  Z*j~ds~i  d~z~x 

*»  dt  ~*1  dt      JZl~d7  ~'*~dT 


-4-  Cxzx  -+-  C,*„  (2a) 


wobei  C,  C,  Constante  sind.  Zwei  particuläre  Integrale  der  reducirten  Differential- 
gleichung (1)  (für  K=  0)  sind  aber,  wenn  N  constant  ist: 

zx  =  sin  Nt\    z3  =  cos  Nt\ 
Das  allgemeine  Integral  der  Gleichung  (1)  wird  daher 

y  =  CxsinNt+C%cosNt  +  S!^f,YcosNtdt-C^^j  YstnNtdt.  (2b) 

Zerlegt  man  U'  in  C/0  ■+■  Q,  wobei  UQ  die  Attraction  des  Centraikörpers, 
Q  die  störende  Kraft  darstellt,  so  wird  für  Q  =  0  die  elliptische  Bewegung  resul- 
tiren,  also 

1       _    ,  ,      _  l  —  ccosv 

u0  =  -  +  Cxstnl     Ct cos l  =  

P  P 

Es  ist  daher 

u  —  1  yoSV  ^_  ^     wobei    A  =  sin  l fü  cos  ldl  —  coslfü  sin  ldl 

(vergl.  I.  Band,  pag.  124). 


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Mechanik  des  Himmels.  47.  407 

Man  kann  die  Differentialgleichung  für  die  Störungen  des  Radiusvectors 
selbst  auf  eine  ähnliche  Form  bringen.    Das  Integral  der  lebendigen  Kraft 
ä  U  +  h  wird  in  Polnrcoordinaten  für  einen  einzelnen  Himmelskörper 

U  +  //  =  m  j{Xdx      Ydy  H-  Zdt)  ^  m  j{^rdr +Tldl +Yb  J*) 
die  Form  annehmen1) 

wobei  mit  tfÜ  das  totale  Differential  der  StÖrungsfunction  in  Bezug  auf  sämmt- 
liche  Coordinaten  des  gestörten  Himmelskörpers  (die  Coordinaten  der  störenden 
Körper  dabei  als  constant  angesehen)  bezeichnet  wird.  Multiplicirt  man  nun 
die  erste  Gleichung  (C)  (pag.  293)  mit  r  und  addirt  dazu  die  Gleichung  (3),  so 
erhält  man 

Setzt  man  y  +  Q  an  Stelle  von  Q  indem  die  Wirkung  des  Centraikörpers 
für  sich  betrachtet  wird,  so  geht  diese  Gleichung  Über  in 

Ist  r0  der  elliptische  Werth  (ohne  Rücksicht  auf  Störungen),  so  ist: 

d*(r  *\      k  8 

Sei  nun  r  =  r0  -H  5r,  so  wird  r*  —  r08  =  (2r  —  ör)8r  =  2r8r  —  (ir)s 
daher 

Wenn  die  von  den  zweiten  und  höheren  Potenzen  von  $r  abhängigen  Glieder 
in  erster  Näheiung  vernachlässigt  werden,  so  wird 

Diese  Gleichung  geht  aus  (4  a)  hervor,  wenn  man  die  rechte  Seite  in  (4) 
als  das  aus  der  Variation  von  (4a)  entstehende  Zusatzglied  ansieht. 

Für  die  Bestimmung  der  Störungen  in  Länge  und  Breite  dienen  die  zweite  und 
dritte  Formel  (C).  Mit  Hilfe  des  Integrales  der  lebendigen  Kraft  lässt  sich  jedoch 
ein  Differentialquotient  eliminiren.  Führt  man  zunächst  an  Stelle  der  Länge  /  den 
wahren,  vom  Radiusvector  beschriebenen  Winkel  L  (die  wahre  Länge  in  der 
osculirenden  Bahn)  ein,  so  ist: 

d/*  cosö*  +  dö*  =  dL*.  (C) 

Die  Gleichung  für  die  lebendige  Kraft  wird  dann,  wenn  an  Stelle  von  ü 
k  * 

wieder  ~  -+-  fi  gesetzt  wird: 


')  Man   erhält  diese  Gleichung  auch,   wenn   man  die  drei  Differentialgleichungen  C  der 


Reihe  nach  mit  ~  ,         ^  multiplicirt  und  integrirt. 
dt     dt  dt 


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408  Mechanik  des  Himmels.  47. 

Subtiahirt  man  von  dieser  Gleichung  die  Gleichung  (4)  und  beachtet,  da— 

(äry  d'(r')  d*r 
\dt )  ~~  *    dt*     "      r  dt* 

ist,  so  erhalt  man 

f  {dLy        d'r       k*  dü 
Für  die  ungestörte  Bewegung  ist  wieder 

r*\dt)      r*  dt*       r9  -  ° 

Subtrahirt  man  die  beiden  Gleichungen  und  vernachlässigt  Grössen  zweite: 
Ordnung  der  Störungen,  so  kann  man  das  Resultat  einfach  durch  Variation  der 
linken  Seite  von  (7)  erhalten,  und  findet: 

Ä  .  </Z  dhL  (dL\\        „    d*r         dHr      k*rbr  £fi 

*r*-dt-dT+*r[m)  *r-*rin*  -r-di*-  +  —r*-  =  -ru 

Substituirt  man  hier  für  r6>  seinen  Ausdruck  aus  (5),  so  folgt: 

Mit  Vernachlässigungen  der  zweiten  Potenzen  der  Störungen  ist  aber  r'ii 
in  dem  Cogfficienten  von  </3Z  gleich  seinem  Werthe  in  der  ungestörten  Be- 
wegung, also  gleich  *0ya(l  —  e*).  Vernachlässigt  man  dann  ebenso  rechts  du 
Product  von  tr  in  die  störenden  Kräfte,  so  folgt  durch  Integration1): 


Die  dritte  zu  verwendende  Differentialgleichung  wird : 

d*z       k*z  dü 


1.5, 


^  r«  _  a« 

Die  Gleichungen  (5),  (8),  (9)  (mit  Benützung  der  Beziehung  s  =  r;)  sind  die 
von  Laplace  für  die  Theorie  der  grossen  Planeten  verwendeten  Differential- 
gleichungen. Die  Gleichungen  (5)  und  (9)  integriren  sich  unmittelbar  nach  (U 
(2);  in  der  Gleichung  (8)  treten  nebst  der  bereits  bekannten  Grösse  6V  und  ihrec 
ersten  Differentialquotienten  nur  Quadraturen  auf.  Aus  dem  Werthe  Z  lässt  sich 
/  leicht  ermitteln;  es  ist  nach  (6): 


daher 


J!l-  _  4£t  f_*_V 


nicht  unmittelbar  integrabler  Form. 

for  die  ersten  beiden  Glieder  die  erste,  fUr  die  beiden  lettten  Glieder  die  zweite  Form. 


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Mechanik  de*  Himmels.  47.  18-  409 

Nimmt  man  als  Fundamentalebcne  die  ungestörte  Bahnebene,  s»o  ist  /  =  L 
zu  setzen. 

Um  hiernach  die  Störungen  zu  berechnen,  braucht  man  die  Ausdrücke 

— ,  —  und  £Til. 
dr  dz 

Was  zunächst  die  letztere  Grösse  anbetrifft,  so  hat  man  offenbar 

rf'a  =  "Ä'";  <lla> 

denn  entwickelt  man  alle  Variabein  nach  cos  und  sin  der  Vielfachen  der  mittleren 
Anomalien,  so  werden  nur  diese  nach  der  Zeit  veränderlich  sein,  das  totale  Diffe- 
rential nach  allen  Veränderlichen  des  gestörten  Himmelskörpers  wird  daher 
gleich  dem  totalen  Differentiale  nach  der  mittleren  Anomalie.  Zur  Bildung 
dQ 

des  Ausdruckes  r—   hätte  man  in  dem  Ausdrucke  für  il  vor  der  Einführung 
dr  0 

der  mittleren  Anomalie  zu  differenziren.    Da  aber  r  =  <j(l  -+■  7)  ist,  und  a 

nur  durch  diesen  Werth,  nicht  aber  durch  andere  Variable  eingeführt  wird, 

so  wird 

£42  da      dii  J_ 

dr~  da  dr  ~  d  a  l+a' 

folglich 

dQ  dä 

rTr  =  ada  db) 

welche  Operation  auch  auf  den  entwickelten  Ausdruck  von  42  angewendet 
werden  kann. 

48.  Beispiel:  Es  sollen  nun  hier  beispielsweise  die  Ausdrücke  bis  ein- 
schliesslich den  ersten  Ordnungen  der  Excentricitäten  und  Neigungen  ent- 
wickelt werden.  In  der  Zerlegung  87  (4)  ist  42"  von  der  zweiten  Ordnung  der 
Neigungen;  für  die  Differentiation  nach  x  müssen  diese  Glieder  mitgenommen 
werden,  weil  sie  sich  durch  die  Differentiation  um  eine  Einheit  erniedrigen; 
hingegen  können  sie  bei  der  Differentiation  nach  r  weggelassen  werden.  Man 
hat  daher  für  die  hier  festgesetzte  Näherung: 

du     du_       da  air 

dr  -   Cr  '        dz  _   dz  '  {{) 
Für  die  Entwickelung  von  42'  kann  der  bereits  berechnete  Ausdruck  87  (20) 
verwendet  werden;  mit  den  Ausdrücken  87  (21)  wird  für  den  vorliegenden  Fall: 

Q  =  M-  M' + 

ü'  =  1k*  m'  {lB<x)cos  xQ  —  ae  cos  Afl  cos  xQ 

dßM  _  \  W 

-  a'e'cosAfl-^-  cosxQ  —  (2esin  M  —  2c'  sin  M')2xß™sin  xQ\- 

In  den  in  87  entwickelten  Ausdrücken  für  42"  erhalten  C,  C0  die  Ausdrücke 
34  (3),  (5);  da  p,  r'  von  *  unabhängig  sind,  so  wird  nach  87  (4): 

und  indem  man  in  C  *0  die  von  z  unabhängigen  Glieder  weglässt: 

(C0)  =  —  r'z  sin  (v'  +  k0')  sin  J  —  zz'cosJ  ,...„. 
(0   «=  —  2r'z  sin  (»'  ■+■  -„')  sin  J  -  2*«'  cos  J  -+-  *». 


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4io  Mechanik  des  Himmels.  4*. 

Da  übrigens  z'  von  der  Ordnung  der  Störungen  des  störenden  Himme. 
körpers  ist,  so  wird  man  *'  =  0  setzen  können,  und  hat: 

cü" 
dz 


|r' ■+•  *V)  sinj-h  z  _  sin(v'  +  it0'  sinj\ 


Hier  sind  noch  die  von  dtr  Excentricität  abhängigen  Glieder  wegzclassc: 
und  es  wird 

cii  i  1  1 

Schreibt  man  Kürze  halber  r0  —  7t0'  =  x,  so  wird  Q  =  Af  —  Af'  +  /,  ur. 

ti'  «  2*»w'  |22f<"W{x,l/-  xiV'H-  x/)  -  ±**2  -4-  l)Af—xAT  +i/ 

H-  —  xil/'  -4-  xx)]] 

—  la'e'l  -jjr  [cos  [xM-(x+  \)Af'  -4-  x/J     <w  [xAf  —  (x  —  l)i»T  +  17J 

—  ^x^W[^[(x  _  |)J/-  xAf  H-  xx]  -  <™[(x  0^-  X/J1 
H-  /2x^»)[w  [xA/-(x+  1)  J/1  -4-  xyj  —  cos  [xAf—  (x  —  -t-  xyj). 

Führt  man  hier,  da  die  Summen  von  —  oo  bis  +  »  iu  nehmen  sind,  i." 
den  Gliedern,  in  denen  x  —  1  vorkommt,  den  Summationsindex  x  =  —  t  «■ 
so  folgt  daraus,  da  dann  x'  ebenfalls  von  —  oo  bis  -4-  oo  geht,  und  2?,' 
=  JJ-">  ist: 

ö'  =  2k*  m'  [lBMcos{xAf-xAi'+  xy)- ac2^£-cos[(x  +  \)M  —  xAf+  »zi 

-  a'e'2^^-  cos[xAf-{x  -4-  l)J/'-4-  xyj  +  2*2x£0<*W[(x  -h  xAT+^ 

-f-  2^'2x^0(*W  [xAf  — (x  -4-  1)^/'  -4-  xyj} 

ö»  =  2*» «'  (2 B™  cos{xM  —  xM'  +  xy) 

-4-  2-r'2(xi?(*)  -  *a'  cos  [*Af  -  (x  +  1)  JT  -4-  xyj). 

.  ri 

Um  den  Vorgang  zu  zeigen,  nach  welchem  der  Ausdruck  Jd'ü+r 

gebildet  wird,  soll  dieses  Beispiel  weiter  entwickelt  werden1).  Bei  der  DifTerentiit  * 
nach  Af0  werden  alle  Werthe  verschwinden,  welche  von  Af  unabhängig  s*:. 
scheidet  man  diese  Glieder  aus,  und  transformirt  zu  diesem  Zwecke  ds* 
Summationsindex  so,  dass  überall  x Af  auftritt,  wodurch  man  in  allen  Summe: 
das  Glied  für  x  =  0  absondern  kann,  so  wird: 

ö'  -  2k*  m'  l£W  -  2  e  \B^^\^r)  «»       -  y)- c' a'  cos  JT 

+IßMcos{xAf  xM'^y)+2cl{(*  -  \)B^)-\a—f-a— \cos[*Af-(*- l)AT*^'] 
H-  2<?'2  (xJW- \a'  ^jjjjty  cos[xAf-(x  -4-  \)Af'  -4-  xX)| 
l)  Vergl.  auch  Mecanique  Celeste  ,  Bd.  I,  2.  Buch,  6.  Cap. 


oder 


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Mechanik  de«  Himmels.  4P.  41 1 

-  ^  d'Q'  =  Ik^m'^xB^s.n  (xAf  -  *Af  4-  xX)  (4) 
4-  2^2x  ((x  -  l)i?t«-M-  4a  ^S*  —  )       [xJ/-  (x  -  1)J/'  +  (x  -  l)yj 
4-  2^'2x(x^"i-  ia'  sin[xM-{*  4-  \)M'  +  xyjj 

/**2'  =  *C4-  S^'m'js  ^  _  *  +  y,  2?<«W(xJ/  -  xJ/'  4-  xX)         (4  a) 
^^^^(x-l^^T^'^"1^  ^-ia^-)^[x^-(x-l)^-H(x-l)x] 

—  e'aa'  cos  Af  4-  2a  ~°—  <w  (xj*/  —  x  J/1  -l-  xy) 

4-2,2((x-l)« 

x«  -gj-  -  i  **'  J^y^M-  (x  4-  l)J/>  4-  xX)J 

+2,2  [((.-  !)*<«-»-,«  .  ( 

LV  '        <*a    y  x|t_(x-l>'+(x_l)z' 

[(x^>_ 8*n  — ,  ^ ,  — ,  + 

[\     0        1       0«'  /  xjx  —  (x  4-  1>'  4-  x^ 

Der  Ausdruck  (5)  ist  nun  in  die  Gleichung  47  (5)  eiix 
liat  man  für  den  Coefficienten  von  (r8r)  eine  Constantc 
man  dementsprechend  in  erster  Näherung  r0  =  a,  so 


4- 


Die  particulären  Integrale  werden 

ij  =  i/>;  ul/  =  j/ä  J/;    z9  =       »J" -«  _j£ 

In  den  beiden  Gliedern  C,.^  4-  C2xs  ertdEfc  nt  tänc  De  kh 
Potenz  der  Excentricität  abhängigen  Glieder  der  «tlixmsds:  irt-w^mtf. 
man  diese  als  gegeben,  so  reducirt  sich  <Se  CStscrunjc  fiT  5iJ  air 


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4io  Mechanik  des  Himmel*.  4*. 

Da  übrigens  z'  von  der  Ordnung  der  Störungen  des  störenden  Himmel 
körpers  ist,  .so  wird  man  *'  ■=  0  setzen  können,  und  hat: 

eil"  ,  \r'sin(v'  -+■  r0')  sinj  -\-  z      sin(v'  -h  it0'  >sht/\  . 

-  ~*  m  |  p  r,,  j 

Hier  sind  noch  die  von  der  Excentricität  abhängigen  Glieder  wegzulasse: 
und  es  wird 

CÜ  i  I  I 

=lk*m' sinJU' sin(M'  +  KQ')lBWcosxQ—      J/'«(J/'  +  Op-  s- y-  ^ 

Schreibt  man  Kürze  halber  r0  —  *0'  =      so  wird  Q  —  Af  —  Af'  /, 

ör  =  2k*  m  \2B^cos(xA/- xAf'+  xX)  -  \oe2  d-^[cos[(x  -h  l)Af—  xAf  r./; 

■+-         —        —  xM'  h-  xx)]] 

—  la'e'l  [cos  [xAf-(x  -f-  xyj  -+-  <w  [xjV  —  (x  —  1)3/'  -f-  x7J 

-  elxBj^[cos[(x  -  \)Af-xAT  +  xy]  _  +  xM'  -t-  xyj] 
H-  /2x^0C)[^[x^/_  (x  -+-  \)AT  +  xx]  -  <w[xJ/-(x  -  l)ifcT  -t-  xyJJ. 

Führt  man  hier,  da  die  Summen  von  —  oo  bis  +  »  zu  nehmen  sind,  r 
den  Gliedern,  in  denen  x  —  1  vorkommt,  den  Summationsindex  x  =  —  x'  ca. 
so  folgt  daraus,  da  dann  x'  ebenfalls  von  —  oo  bis  -f-  oo  geht,  und  2f/ 
=  Ml'**  ist: 

ö'  =  lk*m'  {lßMtos(xAf-xM'+  xX)-  ael^-cos[(x  +  \)Af  —  xAT  +  v] 

-  a'c'2^-cos[xAf-{x  +  l)M'+xy}+1elxBWcos[{x+  \)M~xAf+*i 

■+■  2c'2xB^cos[xM-(x  +  \)Af  -h  xyj( 

oder 

ß'  =  2*»  m'  \l  BW  cos  (xM  —  xM'  +  xy) 
4-  2tl(xßW-±a?^}  cos[(x  +  \)M-xM'  xyj 

xirW  -  \a'  ^fyj  cos  [xM  -  (*  +  1)  J/'  +  xyj|. 

Um  den  Vorgang  tu  zeigen,  nach  welchem  der  Ausdruck  fd'Q+rr 

gebildet  wird,  soll  dieses  Beispiel  weiter  entwickelt  werden1).  Bei  der  Differential  ~ 
nach  Af0  werden  alle  Werthe  verschwinden,  welche  von  Af  unabhängig 
scheidet  man   diese  Glieder  aus,   und   transformirt  zu  diesem    Zwecke  de: 
Summalionsindex  so,  dass  überall  xAf  auftritt,  wodurch  man  in  allen  Summ« 
das  Glied  für  x  =  0  absondern  kann,  so  wird: 

-  2  c  \£U)+iaZj*-)  cos  {AT  -  /)-  <V  cos  Af 

(x  -  l )B^-\ a— f-—  \cos\x Af-(x  -  i)if+(t - 1  , 

-+-  2c'2  (x^<*>- \a'  ^^-^cos[xAf-  (x  +  l)Af  +  x/)| 

l)  Vergl.  auch  Mecanique  Celeste  ,  Bd.  I,  2.  Buch,  6.  Cap. 


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Mechanik  de«  Himmels.  48.  411 


2f'Z  [xa 


-  1  d'W  =  Ik^m'ilxB^s.n  (xM  -  xM}  4-  x/)  (4) 

(x  -  i)#<"-«>-     — ]  «*  [*^-  C*  ~  1)^'  +  (*  -  OxJ 

4-  2<r'2x(x^<*>-  \a'  -j^rj  sin[xM  —  (x+  I }M'  4-  xyjl 

r  _i  _  Zi>my-?Z- -,(3*         +  <o,  (AT  -  X)  - 

-         V^-f          4-  2a  cos  (xAf-  xAf  4-  xy) 

(_ , ).  «J-  i  t-fc- )r«[* AT- («- !)*•+(«-  1 W 

«        \(  ,    ,  2xa 

"     -     ^JJ  «•  t* M  -  <"  +  »  ^'  +  «xij  • 

Der  Ausdruck  (5)  ist  nun  in  die  Gleichung  47  (5)  einzusetzen;  dabei  aber 
hat  man  für  den  Coefficienten  von  (rhr)  eine  (konstante  anzunehmen, 
man  dementsprechend  in  erster  Näherung  r0  =  a,  so  folgt: 

Die  particulären  Integrale  werden 

*j  =  j/«  jx/  —  */«  J/;    z%  =        ja  /  =  <W  Af. 

In  den  beiden  Gliedern  C,*,  4-  Caa2  erhält  man  daher  die  von  der  erste« 
Potenz  der  Excentricität  abhängigen  Glieder  der  elliptischen  Bewegung.  BetracVktet. 
man  diese  als  gegeben,  so  reducirt  sich  die  Gleichung  47  (2  b)  auf: 

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412 


Mechanik  des  Himmels.  48.  49. 


Die  Ausführung  der  Integration  ist  nach  den  Bemerkungen  auf  pag.  124  des 
I.  Bandes  ohne  weiteres  klar.  Integrationsvariable  ist  an  Stelle  von  /  die  Zeit  /. 
Die  Störungsfunction  setzt  sich  aus  Gliedern  zusammen,  bei  denen  sich  unter  den 
Argumenten  der  trigonometrischen  Functionen  auch  der  Werth  m  =  1  vorfindet; 
damit  ist  aber  das  Auftreten  von  Seculargliedern  der  Form  tsinqt  verbunden.  Diese 
können  aber  vernachlässigt  werden,  wenn  man  die  Secularvariationen  der  Elemente 

auf.    Diese  giebt  in  (r6>)  ein  Glied 


H  V  oa  ) 


welches  sich  mit  dem  constanten  Gliede  a  des  Radiusvectors  verbinden  würde. 
Ist  aber  a  die  thatsächliche  mittlere  Entfernung  des  Himmelskörpers,  so  können 
constante  Zusatzglieder  nicht  mehr  auftreten,  und  die  Integrationsconstante  C 
wird  so  zu  bestimmen,  dass  das  letzterwähnte  Glied  verschwindet;  d.  h.  es  wird: 

C=  -  2k*m'a^f*-. 

Substituirt  man  dann  den  erhaltenen  Werth  für  ö>  und  die  Werthe  (4  a), 
(4  b)  in  47  (8),  so  folgt  8Z.  Zu  bemerken  ist,  dass  aus  den  constanten  Theilen 
der  Entwickelungen  der  Zeit  proportionale  Glieder  entstehen.     Ist  C"  der 

— .  T-  von  +  -  e.*0— L^. 

tion  der  letzten  beiden  Glieder  von  (8)  entsteht,  so  wird  in  iL  ein  Glied 

kvW^Äc  +  c"  -  (* c + ™'m'a  ^)  ] 

auftreten.  Die  Constante  C'  +  C"  verbindet  sich  mit  der  Constante  Z0  der  Epoche, 
und  das  von  /  abhängige  Glied  wird  durch  Einiührung  des  Werthes  von  C: 


(1  .  d£W\ 
 T-—^=  26*m'a  -a-°-  )  /. 


Der  hier  auftretende  Coeffkient  von  /  ist  die  in  42  mit  X  bezeichnete  Grösse. 

49.  Die  canonische  Differentialgleichung.  Setzt  man  voraus,  dass 
in  der  Differentialgleichung 

4tt  +  fV)y  =  •(/.  y)>  CO 

welche  in  dieser  Form  in  der  Störungstheorie  immer  wieder  auftritt  und  daher 
als  canonische  Differentialgleichung  der  Störungstheorie1)  bezeichnet  werden 
kann,  $(/,  y)  sehr  klein  ist,  etwa  von  der  Ordnung  der  störenden  Masse,  und  <p  (/) 
sich  von  einer  Constante  nur  um  ebensolche  Glieder  unterscheidet,  so  dass 

?(0  =  P  +  <K0 

ist,  so  kann  das  Glied  <|»(/)*.y  mit  <D(/,  y)  vereinigt  werden,  und  die  Gleichung 
geht  über  in 

welche  mit  47  (1)  zusammenfällt.  Denkt  man  sich  P  in  eine  Reihe  von  tri- 
gonometrischen Functionen  entwickelt,  so  dass 


')  Eine  Verwechselung  mit  der  von  Jacobi  eingeführten  » canonischen  Form  der  Differential- 
gleichungen der  Bewegung«  kann  aus  dieser  Bezeichnung  nicht  entstehen. 


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Mechanik  des  Himmels.  49.  413 

/>  =  Ii,  cos  (x,/  4-  Kx)  4-  lk:  sin  (x//  4-  AT,')  (3) 
ist,  wo  in  der  Rntwickelung  entweder  Sinus  oder  Cosinus  auftreten  können, 
oder  auch  beide  Functionen  mit  denselben  oder  auch  verschiedenen  Argumenten, 
so  erhält  man,  durch  Substitution  dieser  Glieder  in  47  (2  b)  die  entsprechenden 
Zusatzglieder,  wenniVs=y^  gesetzt  wird.  Noch  einfacher  erhält  man  dieselben, 
wenn  man  das  Integral  sofort  in  der  Form  voraussetzt: 

y  =  hx  sin  Yp*  +  h^cos  Ypt  4-  ll.cos  (x,/  4-  AT,)  4-  2/,' sin  (x//  4-  A*u)  (4) 

wo  jedem  Gliede  der  Reihe  (3)  ein  Glied  in  dem  Integral  (4)  entspricht.  Sub- 
stituirt  man  (4)  und  (3)  in  (2)  so  erhält  man  leicht: 

'■=,-V'    v-T-a*-  (° 

Enthält  P  ein  constantes  Glied  *0,  so  wird  auch  y  ein  solches  /0  erhalten, 
und  es  wird 


Durch  die  Integration  entstehen  daher  die  bereits  im  I.  Bande  pag.  127  er- 
wähnten secwlaren  Glieder,  wenn  eines  der  x  oder  x'  gleich  Yfl  'st»  ur-d  lang- 
periodische  Glieder,  wenn  diese  Gleichheit  sehr  nahe  stattfindet. 

Für  den  Fall  nun,  dass  die  Grösse  /'Glieder  mit  dem  Argumente  (}///4-  AT) 
enthält,  wird  die  Integration  in  dieser  Form  unmöglich,  und  es  wird  die  Aufgabe 
entstehen,  die  Integration  s>o  vorzunehmen,  dass  seculare  Glieder  nicht  auftreten. 

Der  erste  Versuch  in  dieser  Richtung  rührt  von  d'Alembert  her1).  Im 
wesentlichen  kommt  seine  Methode  darauf  hinaus,  die  Differentialgleichung 

"  *o  +  Xxy  4-  Xvy>  4-  .  .  •  (5) 

unter  der  Voraussetzung,  dass  X0  X%  Xi  .  .  .  Constante  sind,  durch  ein  Integral 
von  der  Form 

y  =  a9  4-  ax  cos  (kv  4-  A)  4-  <*,  cos  2(Xz>  4-  A)  4-  .  .  .  (5a) 
zu  integriren.  Führt  man  diesen  Ausdruck  in  die  Differentialgleichung  ein,  so 
bleiben  ax  und  X  unbestimmt,  was  in  der  Natur  der  Sache  gelegen  ist,  da  dieses 
die  beiden  Integrationsconstanten  der  Differentialgleichung  zweiter  Ordnung  sind, 
während  sich  für  die  übrigen  Constanten  die  Werthe  ergeben2): 

a0  =  X0  +±X3a*  4-  .  .  .  -+■  X0Xl  4-         Xt  4-  SX^XJa*  4-  .  .  . 
*,=  -  \X9af  4-  .  .  +  i*0*i>«.,+  •  •  •  (5b) 


X  =  1  —  $XX  —  |A>«  -  ...  -  XtXt-iXf-iAXtXt+ÜXtW  •  • 

Ein  Mangel,  welcher  dieser  Methode  anhaftet,  ist,  dass  die  X  als  Constante 
vorausgesetzt  werden.  Dass  die  Form  des  Integrals  als  bekannt  vorausgesetzt 
wird,  ist  nicht  so  wesentlich,  da  es  naheliegend  ist,  dieselbe  anzunehmen,  indem 
sie  den  analytischen  Ausdruck  für  die  Bewegung  der  Apsiden  enthält  (vergl. 
den  I.  Band,  pag.  ia8). 

T.  Maver8)  bringt  die  Differentialgleichung  auf  die  Form  (5),  wobei 

X  „  2P         P%  l'  Y  . 

')  Memoiren  der  Pariser  Akademie  für  1745,  pag  383. 

*;  Vergl.  auch  O.  Backlund  in  den  AstTon.  Nachrichten,  No.  Z46o. 

3)  »Theoria  lunae  juxta  systema  Newtoniamm«,  Londini  1767  (pag.  17). 


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4 «4  Mechanik  des  Himmels.  49. 

ist,  und  X,  Y  störende  Kräfte  sind,  und  integrirt  die  Gleichung  nach  der  Methode 
der  unbestimmten  Coefficienten. 

Von  wesentlicher  Bedeutung  waren  die  Arbeiten  von  Lagrangr  und  Laplace- 
Lagrange x)  schreibt  die  Differentialgleichung  in  der  Form 

~f  4-  K'y  4-  L  +  *My*  4-  «'iV>3  -+-  .  .  .  =  0,  (5) 

wobei  aJ/eine  Function  der  ersten  Ordnung  der  störenden  Massen,  a» N  von  der 
zweiten  Ordnung  u.  s.  w.  ist.  Setzt  man  zunächst  Af*=0,  N  —  0,  L  constant, 
so  wird  das  Integral 

/  r  Z 

y  =  J  cos  Kv  4-  j£  sin  K  v  4-  ^  {cos  Kv  —  1)  (5a) 

wo  /,  i>  die  Integrationsconstanten  sind.    Setzt  man  der  Einfachheit  wegen 
/  Z 

^  =  0,  -g  4-       =  F  und  substituirt,  so  erhält  man: 

-,"3  +A»;+Z+aJ/  y  2aM-£r  cos/Cv-\  ^—  cos2Kv+.  .  .  (6) 

Das  Integral  dieser  Gleichung  würde  aber,  auf  dem  gewöhnlichen  Wege  integrirt 
Glieder  von  der  Form  t  sin  Kt  ergeben.    In  (5)  würde  nämlich  jedes  Glied 
a  cos^Kt  4-  Ä)  ein  Glied  mit  dem  Nenner  Ä"*  —      geben;  um  diese  Glieder  zum 
Verschwinden  zu  bringen,  verfahrt  Lagrange  auf  folgende  Weise:  Multiplicirt 
dy 

man  (5)  mit  -j-  =  x  und  integrirt,  so  folgt: 

x*  4-  A'V*  4-  2  Ly  4-  //  -4-  2  —^-y*  +     A     y*  +  .  .  .  (7) 

und  aus  dieser  Gleichung  erhält  man,  wenn  man  nun  die  von  M,  N  abhängigen 
Glieder  vernachlässigt: 

y  ~        [-  L  ±  YL*-K*H—  K*x*\ 

Verwendet  man  diesen  Weilh  für  die  Bestimmung  der  von  y*  .  .  .  ab- 
hängigen Glieder  in  (7),  so  folgt  hieraus,  da  dabei  kein  unendlich  anwachsendes 
Glied  entsteht,  dass  y  stets  endlich  bleibt.   Setzt  man  nun: 

y  =/  4-  X  4-  au.  4-  a»v, 
wo  X,  y.,  v  unbestimmte  Constanten  sind,  so  geht  die  Gleichung  (5)  über  in: 

t-  &*/  +  A  +  *[B+  M/*)  4-  a»(C  4-  3jVX/»  4-  N?*)  4-  .  .  =  0,  (8) 

wo 

R*  -  A'a  4-  2otil/X  4-  a*(2J/n  4- 
A=  Z  4-  A'»X 

C-A'»v  +  24/uX  -+-  /VX» 
ist.    Integrirt  man  (8)  nach  der  früheren  Methode,  so  wird  in  erster  Näherung 

/'  A 
y'  =     cos  Rv  4-  ^  (cos  Rv  —  1). 

Setzt  man  dieses  Glied  in  (8)  ein,  so  entsteht  ein  Glied  mit  cos  R  v,  dessen 
Coefficient 


A  ff  A\ 


')  »Solutions  de  diflerents  problemes  de  calcul  integrale«;  Miscell.  Taurincnsia  III  1762/5; 
Oeuvres  I,  pag.  469. 


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Mechanik  de*  Himmels.  49.  50. 


415 


ist.  Dieses  Glied,  welches  wieder  seculare  Glieder  geben  würde,  kann  zum 
Verschwinden  gebracht  werden,  wenn  A  —  0  gesetzt  wird.    Dann  wird 

und  hierdurch  ist  man  im  Stande,  die  secularen  Glieder  zu  vermeiden. 

Complicirter  wird  die  Aufgabe,  wenn  die  Functionen  M,  N  veränderlich 
sind.    I.agrange  erhält  dann  die  Differentialgleichung 

j£  +  A" V  +  «  {^y cosHv  +  ^  ^  sin Hv^  -  T,  (9) 

welche  er  durch  Einführung  der  Functionen: 

y  cos  Hv  —  u         y  cos  2 Hv  =  w 
y  sin  H  v  =  U        y  sin  2  Hv  =  IV 

auf  ein  System  von  fünf  simultanen  Differentialgleichungen  in  y,  u,  w,  £/,  W 
zurückführt. 

I.aplace  leitet  zur  Elimination  der  Secularglieder  zwei  Methoden  ab;  die 
eine  besteht  im  Wesentlichen  in  Folgendem: 

Erscheint  das  Integral  einer  Differentialgleichung  (1)  in  der  Form 

y  =  X+tY+t*Z, 
wobei  X,  Y,  Z  .  .  ,  periodische  Functionen  von  /  und  von  gewissen  constanten 
Parametern  sind,  so  werden  sich  die  ausserhalb  der  trigonometrischen  Functionen 
vorkommenden  Coefficienten  /,  /5  .  .  .  zum  Verschwinden  bringen  lassen,  wenn 
man  die  in  den  Functionen  X,  K,  Z  enthaltenen  Parameter  nicht  mehr  constant, 
sondern  veränderlich  ansieU;  führt  man  für  die  betreffenden  Parameter,  welche 
nichts  anderes  sind,  als  die  elliptischen  Elemente,  die  Grössen  S,  H  .  .  .  ein, 
so  erhält  man  für  die  Bestimmung  derselben  gerade  die  Diöerentialgleichungen 
40  (8),  (9),  welche  die  Secularveränderung  der  Elemente  bestimmen.  Daraus 
folgt,  dass  man  die  Secularglieder  im  Radiusvector  und  in  der  Breite  einfach 
weglassen  kann,  wenn  man  nicht  feste  Elemente  zu  Grunde  legt,  sondern  die 
Polarcoordinaten  auf  die  um  die  Secularvariationen  corrigirten  Elemente  bezieht. 
In  den  durch  die  Differentinlgleirhungen  47  (5)  und  (9)  gegebenen  Ausdrücken 
sind  d.inn  nur  die  periodischen  Störungen  beizubehalten.  In  Gleichung  47  (8) 
treten  in  8r  auch  nur  die  periodischen  Glieder  ein;  für  die  durch  die  beiden 
Integrale  auftretenden  Secularglieder  gilt  das  in  42  Gesagte. 

Nach  der  zweiten  Methode  werden  die  Elemente  als  constant  vorausgesetzt, 
und  die  Secularänderungen  von  Knoten  und  Pericentrum  direkt  durch  die 
Integration  der  Störungsgleichungen  für  Radiusvector  und  Breite  erhalten.  Die 
Auseinandersetzung  dieser  Methode  s.  u.  No.  59. 

Die  Wegschaffung  der  Glieder  gelingt  auf  diese  Weise  nicht  vollständig. 
Bei  Berücksichtigung  der  höheren  Potenzen  der  Massen  erscheint  zunächst  wieder 
die  Zeit  als  Coefficient  der  periodischen  Glieder  \at  cos  (a/  -f-  X)],  später  auch  in 
nur  secularen  Gliedern  \at\.  Erfolgreicher  waren  in  dieser  Beziehung  die  Be- 
strebungen der  neueren  Zeit,  über  welche  später  in  den  §§  71  ff.  gesprochen  wird. 

50.  Ideale  Coordinaten,  Hansen's  Methode  der  Störungsrechnung. 
So  einfach  wie  die  vorliegenden  Entwickelungen  werden  nun  dieselben  bei  der 
Mitnahme  der  höheren  Potenzen  der  Excentriritälen  nicht.  Wesentlich  complicirter 
gestaltet  sich  die  Durchführung  aber,  wenn  man  auch  die  höheren  Potenzen  der 
Massen  berücksichtigt.  Zunächst  dürfen  dann  in  47  (4)  die  von  (8f)8  abhängigen 
Glieder  nicht  vernachlässigt  werden,  und  ebenso  würden  in  47  (8)  rechts  Glieder 
auftreten,  welche  die  zweiten  Potenzen  der  Störungen  explicile  enthalten.  Deshalb 


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Mechanik  des  Himmels.  50. 


hatte  auch  schon  Laplace  für  seine  Mondtheorie  die  Differentialgleichungen  {D, 
gewählt1).  Die  Berücksichtigung  der  höheren  Potenzen  der  Excentricitäten  üdg 
Neigungen  wird  aber  eine  Notwendigkeit  bei  den  kleinen  Planeten,  dem 
Excentricitäten  und  Neigungen  wesentlich  grösser  sind,  sehr  oft  beträchtlicher  a-i 
diejenigen  der  Mercursbahn;  eine  K.xcentricität  über  19°  haben*):  (33)  mh 
<p  =  19°  40'  2  ;  (164)  mit  <p  =  20°  17  -9;  (183)  mit  9  =  20°  18'  2  und  (324;  tri: 
=  1 9 0  4 1  '"5;  die  grössten  Neigungen  finden  sich  bei  (2)  mit  *  =  34s4)'$: 
(31)  mit  /  =  26°28'1  und  (183)  mit  /  =  26°26'0 

Schon  bei  den  erstentdeckten  Planeten  machte  sich  dies  bei  der  Be- 
rechnung der  Störungen  als  Uebelstand  fühlbar.  Für  die  Planeten  (2)  und  (ä 
sind  die  Excentricitätswinkel  <p  =  13°  4\'ü,  bezw.  14°  43'  6,  die  Neigung 
/=34°41'  8.  bezw.  13°  19.  Da  überdies  die  grosse  Nähe  des  Jupiter  der 
Einfluss  der  störenden  Kräfte  bedeutend  vermehrt,  so  bietet  die  Bestimmung  der 
Störungen  der  kleinen  Planeten  nicht  unbedeutende  Schwierigkeiten. 

P.  A.  Hansen  hatte  nun,  um  dieselben  zu  heben,  bei  seiner  Berechnung  de: 
absoluten  Störungen  eine  von  der  früheren  prinzipiell  verschiedene  Methode  ar- 
gewendet.  Die  Unterschiede  bestehen:  1)  in  der  Einführung  der  >idealet 
Coordinaten «  ,  2)  den  Entwickelungen  nach  der  excentnschen  Anomalie  and 
3)  der  numerischen  Integration  und  Multiplikation. 

Unter  idealen  Coordinaten  vergeht  Hansen3)  solche,  welche  die  Eigen 
schaft  haben,  dass  nicht  nur  sie  selbst,  sondern  auch  ihre  ersten  Differentül- 
quotienten  nach  der  Zeit  in  der  gestörten  Bewegung  dieselbe  Form  haben,  trie 
in  der  ungestörten  Bewegung.  Sie  verhalten  sich  demnach  zu  irgend  welcher, 
anderen  Coordinaten,  wie  osculirende  Elemente  zu  beliebigen  anderen  Elemente- 
Sei  in  der  ungestörten  Bewegung  irgend  eine  Coordinate  (rechtwinkelige  oder 
polare)  u,  und  sei  dieselbe  als  Function  der  Zeit  und  der  constanten  Elemente: 

du 

u  =  F[ß,  aQ,  c0,  «>„,  &0.  i0,  A/M) ;      jj  =/(/,  a0,  e0,  <o0,  £0,  r0,  J/W), 

so  wird  in  der  gestölten  Bewegung  ebenfalls: 

dU 

U  -  F(t,  a,  e,  <«,  &.  /,  M0)\      d~  =  /(/,  a,  e,  o>,  ß,  /,  Af0) 

sein,  wenn  man  einzelne  oder  alle  Elemente  nunmehr  veränderlich  annimmt 
Hieraus  folgt,  dass,  sofern  man  es  nur  mit  ersten  Differentialquotienten  zu  tr.on 
hat,  d.  h.  mit  Entwickelungen  von  ersten  Differentialquotienten,  oder  mit  detr 
Uebergange  von  diesen  auf  ihre  Integrale,  in  den  Ausdrücken  für  die  idealer 
Coordinaten  die  Elemente  als  constant  angesehen  werden  können,  und  dw 
Infinitcsimalopcrationen  nur  in  Rücksicht  auf  die  explicite  vorhandene  Zeit 
vorzunehmen  sind.  Um  diesen  Vorgang  besonders  zu  charakterisiren,  fuhrt 
Hansen  für  die  ausserhalb  der  Elemente  vorhandene  Zeit  einen  andern 
Buchstaben  t  an  Stelle  von  /  ein,  und  unterscheidet  die  hierdurch  ent- 
stehenden Ausdrücke  von  den  mit  den  veränderlichen  Elementen  zu  berechnen 
den  durch  besondere  Typen.    Es  möge  die  zu  U  gehörige  Coordinate,  wenn  in 


>)  S.  hierüber  §  66-  Ausführliche  Entwickelungen  der  Störangsfunction  finden  sich  t.  E- 
in  I'ont£coulant,  Theorie  nnalytique  du  Systeme  du  monde,  Bd.  3,  4;  in  den  Annahm  £c 
Pariser  Sternwarte  von  Lp.  Vkrrif.r  ;  in  den  Astronomical  Papers   III  Bd.  von  Nkwcomb  u.  s.  » 

*)  Vergl.  hierfür  den  Artikel  .Planeten«. 

8)  Hansen,  Auseinandersetzung  einer  iwcckmüssigen  Methode  die  absoluten  Störunge: 
der  kleinen  Planeten  zu  berechnen  Abhandl.  der  königl.  sächs.  Gesellach.  der  Wissenschaft« 
Bd.  5,  3.  7;  A.  N.  No.  166,  244,  425,  799,  882. 


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Mechanik  des  Himmels.  50. 


4»7 


derselben  die  Elemente  als  Consta  rite,  und  nur  /  als  Veränderliche  angesehen 
wird,  also  t  an  Stelle  von  /  gesetzt  wird,  mit  £/"  bezeichnet  werden.  Soll  dann 
nach  den  vorzunehmenden  Differentiationen  wieder  /  an  Stelle  von  t  restituirt 
werden,  so  wird  dieses  dadurch  angedeutet,  dass  der  betreffende  Ausdruck  Uber- 
strichen wird;  es  bedeutet  daher 

dJT  rdUy 

—  I^LJt,  (b) 

dass  in  dem  Werthe  von  U  die  Elemente  als  constant  anzusehen  sind,  d.  h.  x 
an  Stelle  von  /  zu  setzen  ist,  dann  nach  t  zu  diflerenziren  ist,  worauf  bei  (a) 
nach  vollzogener  Differentiation  wieder  t  durch  /  zu  ersetzen  ist.  Bei  (b)  ist 
noch  nach  /  zu  integriren,  und  nach  der  Integration  /  für  t  zu  setzen.  Schreibt 
dU 

man        »  so  wärc  das  Resultat  dasselbe,  wie  bei  (a)t  aber  es  wäre  nach  /  total 

zu  differenziren,  d.  h.  es  wären  auch  die  Elemente  als  veränderlich  anzusehen. 
Wenn  aber  U  eine  ideale  Coordinate  ist,  so  werden  nach  der  Differentiation 
die  von  der  Veränderlichkeit  der  Elemente  herrührenden  Glieder  von  selbst 
wegfallen,  welche  bei  der  Differentiation  nach  t  gar  nicht  entwickelt  zu  werden 
brauchen. 

Ist  weiter  L  irgend  eine  Function  von  idealen  Coordinaten,  oder  osculirenden 
Elementen,  so  wird  zufolge  der  angeführten  Eigenschaft  derselben  auch  der  erste 
Differential quotient  von  L  im  Resultate  identisch,  ob  man  auf  die  Veränderlich- 
keit der  Elemente  Rücksicht  nimmt  oder  nicht.  Man  kann  daher  auch  derartige 
Functionen  als  ideale  Coordinaten  im  weiteren  Sinne  bezeichnen1). 

Sind  nun  x,  y,  z  ideale  Coordinaten,  so  werden  in  den  Transformations- 
formeln 2  (1),  x'  y  z'  ebenfalls  ideale  Coordinaten  sein,  wenn 

d'i\  ^T* 

x  sf  +  > -37  +  "sf -° 

ist.  Substituirt  man  in  diesen  Gleichungen  die  Ausdrücke  2  (1),  so  erhält  man 
mit  Rücksicht  auf  2  (13),  wenn  hier  X,  jt,  v  an  Stelle  der  bereits  in  anderer  Be- 
deutung verwendeten  Zeichen      q,  r  gesetzt  werden: 

vy'  —  ja*'  =  0;       Xz'  —  vjc'  =  0;       fiJC*  —  Xy'  =  0.  (2) 
Da  die  Gleichungen  (1)  immer  erfüllbar  sind,  weil  vermöge  der  Gleichungen 
2  (14)  die  Determinante  der  Coeffkienten 

dat  d$9  dtt 
2=C  dt    dt  dt 

verschwindet,  so  wird  es  unendlich  viele  Systeme  idealer  Coordinaten  geben; 
setzt  man  noch  fest,  dass  z'  =  0  sein  soll,  d.  h.,  dass  die  ^'K'-Ebene  stets  durch 
den  gestörten  Radiusvector  gehen  soll,  so  folgt  aus  (2):  v  =  0,  d.  h. 

ßi  77  +  ßs  ~dt+t*  ~dt      0  "dt  H"a»  Ii  ^  8  dt      U  w 

Die  beiden  ersten  Gleichungen  2  (11)  geben 

dn  da9         <**i_ft       a  .0  ^H-ß  ^-0,  (3a) 

**~di +**~dt  +**~dt     0     Vi-dT dt  dt 


')  1.  c,  Band  VI,  pag.  96. 

Vaum-tver,  Astronomie.    IT.  27 


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418  Mechanik  des  Himmels.  50.  51. 

daher  nach  bekannten  Sätzen  der  Determinantentheorie  aus  (3)  und  (3aV 

und  ebenso  fiir  die  Differentialquotienten  der  ß;  somit  nach  2  (8),  (9)  und  (10) 

</«,    da3    da3      d$x    d$t    d^   t 

~dt  'IT  '~d7  ~"d7  '  dt  '  dt  -Ti.7i.7i. 

folglich  nach  2  (12),  (13): 

Aus  den  Gleichungen  2  (1)  folgt  durch  zweimalige  Differentiation  für  *'  —  0 
wegen  der  Bedingung,  dass  x,y,  t  ideale  Coordinaten  seien: 

^/■""»"^""•"P'  i//*~ai  </7»  ~*"P>        +  <//    <//       <r7  dt 

ebenso  für  y,  z,  und  daraus: 

d*x         d*y         d*z  dx'      s  dy' 

^It+^lt+Ulf-  -»-dt  +  X  TT 
Die  Differentialgleichungen  12  (1)  geben  daher 

dx>       ^  dy'         ,xm        s  *,  n  *'       a°  ,*\ 

-*-dt  +x-dt~  ~{M+  m)/{r)  7~!7>-  (5) 

Verbindet  man  hiermit  die  dritte  Gleichung  (2): 

—  px'  -4-  X/  =  0, 


so  erhält  man 


Da  nun 


,    dy  fdxl  r- 

x  dt  ~y  dt  =*°yr 


ist  (#'  y  sind  ideale  Coordinaten,  stehen  daher  mit  osculirenden  Elementen  in 
derselben  Beziehung  wie  in  der  ungestörten  Bewegung)  so  wird,  wenn  für  X,  jj.  ihre 
Werthe  aus  (4)  substituirt  werden: 

d*  yy'    dü    dfc_       nx'  da 

dt'-Jk0ypJi"  dt-  +  &0yp  d*>'  {() 

Zwischen  den  in  den  Gleichungen  2  (21)  auftretenden  Winkeln  tu,  ß,  i, 
welche  im  allgemeinen  von  einander  unabhängig  sind,  wird  aber  hier  gemäss 
den  Beziehungen  (3)  eine  Beziehung  bestehen.  Der  Werth  von  u>  werde  in 
diesem  Falle  mit  —  a  bezeichnet;  setzt  man  die  Werthe  2  (22)  in  die  Gleichung  (3) 
ein,  so  erhält  man 

d&  da 

ü  =  (ß,a1-ß1a,)^7-^?- 

d*      da  .da 

Tt=^-dt=C0Sl-dt'  (8) 

Unter  der  hier  gemachten  Voraussetzung  fällt  daher  die  .Af'-Axe  nicht  in 
die  Richtung  des  Perihels.  (?  bedeutet  daher  nicht  den  Abstand  des  Perihels 
vom  Knoten.) 

51.  Differentialgleichungen  für  Länge  und  Radiusvector.  In  der 
Ausführung  geht  Hansen  von  den  in  26  abgeleiteten  Differentialgleichungen 
aus,  welche  jedoch  gegenüber  der  ihnen  von  Hansen  ursprünglich  gegebenen 
Form  für  die  allgemeinen  Störungen  etwas  modificirt  sind.    Mit  den  idealen 


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Mechanik  des  Himmels.  51. 


419 


Coordinaten  r,  v,  welche  sich  aus  den  osculirenden  Elementen  a,  e,  .  .  .  nach 
den  Formeln 

M  =  M0  +  y.t  ~  E  —  e  sin  E  +  * 

r  cos  v  =»  a{cos  E  —  e)  ^_ 

r  sin  v  —  a  cos  ?  sin  E  "  (1) 

ergeben,  stellt  Hansen  die  Formeln 

Af  -        +  &MQ  4-  ,x0/  =     _  /0jm  r  =  r0(l  +  v) 

r0**r  V=*  a0(cos£'  —  <©}  /—  Kh-  *0  (2) 

r0  x«»  T  —  «0  *  w  «p0  fw  E'  u.0  ~ 

zusammen,  in  denen  a0,  *0  .  .  .  constante  Elemente  sind.  Vergleicht  man  diese 
Formeln  mit  26  (IV),  so  sieht  man,  dass  die  dort  in  zwei  Theile  zerfällte  Störung 
in  V  und  N  hier  zusammengezogen  erscheint1),  da  N  den  constanten  Werth  u0 
hat.    Man  hat  daher  dN\  dt  =  0  und 

wobei  hier  p0  an  Stelle  von  p  gesetzt  ist,  weil  die  in  86  (5)  eingeführte  Grösse  p 
eine  Integrationsennstante  bezeichnet  und  der  Index  >0c  dort  nur  wegblieb,  weil 
die  Elemente  daselbst  Überhaupt  nicht  veränderlich  waren.  Substituirt  man  hier 
für  dV:dt  den  auf  pag.  346  erhaltenen  Werth,  so  folgt: 

*.YF.  t$  (>  +  ^f)  -  *.VF.  +  fQ". 

daher,  wenn  v  eingeführt  und  die  corrigirte  (gestörte)  Zeit  /  -l-  A/  —  ^gesetzt  wird: 
dT     %      dbt  \      (  1      -  \ 


<*7  (1  '  +  v)> 

Die  DifTerentialgleirhung  für  v  wird  aus  26  (12)  erhalten;  es  ist 


(3) 


(4) 


Dann  ist  bAf0  =  jx0A/  und  die  Coordinaten  des  Himmelskörpers  werden 
aus  (2)  erhalten. 

Um  diese  Gleichungen  in  für  die  Praxis  verwendbarer  Form  zu  bringen, 
werden  die  Grössen  v  und  T  durch  osculirende  Elemente  ausgedrückt,  in  welcher 
Form  sie  dann  als  ideale  Coordinaten  behandelt  werden  können.  Aus  (1)  und 
(2)  erhält  man  zunächst  durch  Vergleichung  /  =«=  1/  -t-    =  *0; 

a      l  +  ecosv   r0a  r0  „  .         .   __  .  .  v, 

7  =    cos*9      7t%  =  a0cos>9  [l  +eC0S  VC0S^  -  *o)  +  esin  ysm(*  ~ 

und  da 

Tf9=cos^9-^e.cosV 


')  Diese»  ist  jedoch  nur  ein  rein  formaler  Unterschied;  dem  Wesen  nach  ist  die  Methode 
dieselbe:  die  Berechnung  der  Störung  der  mittleren  Anomalie. 

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420  Mechanik  des  Himmels.  51. 

An  Stelle  von  a,  et  n  werden  nun  drei  Funktionen  \,  tj,  y  derselben  einge- 
führt durch  die  Beziehungen: 

t*  =  f*o(l  +  X)        (ß)             e  sin^  —  ro)  =  {7) 

e  cos(k  —  ic0)  =  £  f  f  *90  s'n  To- 

Quadrirt  und  addirt  man  die  beiden  Gleichungen  (7)  und  zieht  von  der 
Einheit  ab,  so  wird 

cos*  <f  =  [1  —  2 isin  ?0  —  (V  4-  n*)       ?©]  '<"2  ?o  (&) 
während  die  Gleichung  (5) 

wird.  Bestimmt  man  hieraus  1  4-  v,  setzt  für  a,  a0  ihre  Ausdrücke  durch  HS  f*0 
ein,  so  wird  mit  Rücksicht  auf  (6)  und  (8): 

,  +  ,  _  _!_-««<.». -«»-H«)«»»»  {10) 

Weiter  ist,  wenn  ir  ein  osculirendes  Element,  daher  /eine  ideale  Coordinate  ist: 
d[  _dv      dV  dv         dv  o» 
dt~  dt  ~  dt'*  dt  ~  *  äM~  *  x*  C0S* 


somit 


dV      dV  dAf      a0*  dMl         jr0»  </;T 

,//  ~  dM'  ~dT  =  7f  co"*»  -dT  =  *°T0> <os^~di' 

dT      fi    <j»  r,,*  cosy 
~dt  ~~       a~*  ~r*  cos^  ' 


OD 


r0a 


Führt  man  hier  für  -— -  seinen  Werth  aus  (9)  und  für  —  seinen  Werth 

aus  (8)  ein,  so  folgt: 

dT  f1         ^^^+1^  *Y 

--■  «fl  4-v}  ^  ^  0         /  02) 

<r7  U+7J[l-2^m?0-(^+V^>?o]*" 

Die  Formeln  werden  etwas  einfacher,  wenn  man  an  Stelle  von  x  das 
Verhältniss  der  Parameter 

i  -  •*         •  (7i) 

einführt.    Dann  wird  aus  Gleichung  (11): 

dT  =  l/iL  r<?  »      .  rt/  o 

r  a0  <w?0  r2  ~  ^  4-  v)>  '    <//■  ~  (1  4-  v)8  u^ 
und  aus  Gleichung  (9): 

-Ü--A 
1  4-  v 


=  1  4-  6  —  <w  ^4-  tj  ^  «'«  K 


Die  Gleichungen  (13)  und  (14)  bestimmen  gemeinschaftlich  die  Werthe  von 

d  T 

-jj   und  v  durch  die  Grössen  £,  tj,  ft.     Man  kann  an  Stelle  einer  dieser 

Gleichungen  auch  eine  beliebige  Combination  derselben  setzen.    Nun  ist 

dT 


iT  _     2ft  1  +2v       2Ä         T  v»  ] 

dt  ~  1  +  v         (1  4-  v)*        Ö       9  [        0  +  v)*  J 

idmck 

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Der  Ausdruck 
IV 


Mechanik  des  Himmels.  51.  421 
erhält,  da  d  sehr  nahe  die  Einheit  ist,  stets  kleine  Werthe,  und  man  erhält: 

♦•(^"-«'«■•(rh)*  c.o 

Da  T  und  v  den  Charakter  idealer  Coordinaten  haben,  so  erhält  man  aus 
(13)  und  (16): 

dT  d  dT 


dx        (1  H-  V)»  '  </t 
und  durch  Differentiation  nach  x 

</»7"  d*_ 
dx*  dx 

dH  1  -h  v 

~dx 

d*T      dir  dT  2v       dj_      dJT_       d  2v'd  ^ 

<rv      ar  </t     *  (i    v)»     ~  dr  (i  +  v,)«~t"(i  +  v')a  </x  • 

folglich 

"  </x    *  (1  -+■  V)'  -  (1+  V)»  +   (l-f-  V)»  </t 

</T  »  cT  '       dt  *  dT  '  U  ' 

während  A/  durch  die  Differentialgleichung  (16)  bestimmt  ist.  Durch  Integration 
folgt  demnach: 

•-<-*/5£":  ^-./['^»(li-v)']"-  (,7> 

Mit  Rücksicht  auf  die  ersten  Potenzen  der  störenden  Massen  ergiebt  sich 
hieraus:  . 

*  -  <  -  bM-^/WJdt,  (17a) 

wo  in  JVq  Störungen  nicht  berücksichtigt  sind.  Um  hieraus  die  Störungen  mit 
Rücksicht  auf  die  zweiten  Potenzen  der  Massen  zu  erhalten,  hat  man  zu 
beachten,  dass 

ist,  und  daher 

v  =  c 


(17b) 


Hier  sind  daher  die  Störungen  v  und  A3/  auf  drei  Functionen  *).  &  der 
osculirenden  Elemente  zurückgeführt.  In  der  Function  IV0*  sind  für  diese  auch 
nur  die  Störungen  erster  Ordnung  zu  berücksichtigen,  welche  selbst  von  den 
störenden  Kräften  abhängig  sind.  Um  diese  einzuführen,  kann  auf  zwei  Arten 
vorgegangen  werden.  Ersetzt  man  i,  tj  durch  ihre  Ausdrücke  (7),  so  wird1), 
da  nach  (1)  und  (2): 

*"  +  7r0-*  =  »4-r  -  Vist: 

•)  Hansen,  Abh.  der  königl.  sächs.  Gesellsch.  der  Wissenschaften,  Bd.  5,  pag.  100.  Bei 
Hansen  ist  -~  für  »  gesetzt. 


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422  Mechanik  des  Himmels.  51. 


2      Q  2  ryfw  V  .  x        ,      sin  V  \ 


;r         2r°         2r.WM(*  +  r-  K) 

Um  die  störenden  Kräfte  einzuführen,  muss  nach  /  differenzirt,  und  tu 
Zwecke  zunächst  e  cos  v,  e  sin  v  nach  1?  durch  die  Difterentialquotienten  von  r 
und  r  ersetzt  werden.    Es  wird: 

Hier  sind  P\  r0'  nur  von  t  abhängig,  daher  als  constant  anzusehen,  tmd 
nur  r,  vf  V  nebst  8  veränderlich.  Da 


ist,  so  wird: 

-JT  Ä  77  1  "   *    ~  n]  di  \ » J  "  dl 


(18) 


-^[_1^_K)1j--r(-)')+^-K,( 


r  dt*    2  dtit\ 


dir     2r0'  \cos{r-V)    \-cos{ir-V)     1   180     2r0'  aö 

Würde  hier  vor  der  Integration  /  =  x  gesetzt,  so  erhielte  man  sofort  V  =  f . 
r0'  =  r0,  und  da  in  Jf0 :  r„  «  nu  setzen  ist,  so  würde1) 

^=^^:  ^ ■  ^' "     ^ *• 

Setzt  man  diese  Werthe  in  (17a),  (17  b)  ein,  so  verfallt  man  auf  die  Ausgangs- 
gleichungen. In  manchen  Fällen,  wo  es  sich  nur  um  die  Entwicklung  einzelner 
Glieder  handelt,  hat  Hansen  dieses  Verfahren  auch  thatsächlich  gewählt*).    Im  all- 

dW" 

gemeinen  aber  wird     ,      erst  nach  (19)  entwickelt,  sodann  nach  /  integrin, 

und  nach  der  Integration  t  /  gesetzt8).  Die  Ursache  ist  im  wesentlichen  die, 
dass  hierdurch  die  Reihenentwickelungen  selbst  bei  grosseren  Excentricitäten 
convergenter  werden4). 

In  der  dritten  Abhandlung6)  wird  eine  zweite  Entwickelung  von  fVQ  vor- 
genommen, welche  auf  die  Störungen  der  Elemente  führt.  Aus  dem  Ausdrucke 
(15)  erhält  man 


W-f---l- 


%  t  +  §1  (r£~F+  4<o)  +  h  Ä  sin  V 


*)  I.  c,  pag.  ioi. 

*)  x.  6.  Bd.  6,  pag.  45. 

*)  Vergl.  1.  c,  Bd.  6,  pag.  63,  76,  126,  146;  Bd.  7,  pag.  104  u.  t.  w. 
*)  L  c.  Bd.  5,  pag.  89. 
»)  Bd.  7,  pag.  87. 


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Mechanik  de«  Himmels.  51.  5!.  423 
W«=  X  +  Y  (j£  cos  V+  \e^  +  V  ^  f/«  T  (20) 
X  -  |  -  •  -  1  -  ^  5  - 1  (|  -  l)-3  *„)-  r.] 

2  2  <*°a> 

Berücksichtigt  man  zunächst  nur  Störungen  erster  Ordnung1),  so  wird  W9 
an  Stelle  von  W  zu  setzen  sein,  dann  wird  aber,  wenn  mit  6  die  Störungen 
erster  Ordnung  bezeichnet  werden: 

*-'-4(*);  •-»-«» 

*  tttf(ic  —  rc0)  —  *0  =  6"*;    *  sin(n  —  ic0)  =  ^8*. 

Es  ist  aber 

dp  da  de 

_  d7  =  ""'*d7-*a'dl'> 

p   1_  /    ,    da  dj\_       1      cosy  da    _}__\/~a  de 

und  demnach,  da  für  die  Störungen  erster  Ordnung  in  den  Coefficienten 

zu  setzen  ist: 

db      t  J_  da         e0  d_  /JA         J_  ^? 

dt  ~  *  a9  dt  ~  cos^0  dt  >  dt  Uj  ~~  &' 

daher  durch  Integration: 

»V  =  -  I  8  —  h-  2  r  +  h)  +  2  ~  «'«  ^.  (81) 

52.  Entwickelung  der  Störungen  in  Breite.   Die  Gleichungen  17  (5) 

cos  ß  sin  (X  —  ft)  =      '  sin  (/  —  <r) 

<w  ß  cos  (X  —  ß)  =*  <w  (/  -  a)  (1) 

J/H  ß  =a  XI«  |  f /'«  (/   3) 

geben  die  heliocentrischen  Coordinaten  X,  ß,  mit  den  gestörten  Werthen  der 
Elemente  u>,  1,  ß  und  dem  gestörten  Werthe  von  v,  wobei  zu  beachten  ist,  dass 
die  Länge  in  der  Bahn  /  von  demselben  Anfangspunkte  wie  a  gezählt  wird,  also 
von  dem  durch  (50)  (8)  fixirten  Punkte.  Es  handelt  sich  jedoch  darum,  die 
Störungen  der  Breite  direkt  zu  finden;  dabei  können  auch  zweckmässig  gleich 
die  beiden  ersten  Formeln  (1)  so  umgeformt  werden,  dass  sie  aus  Hauptgliedern, 
von  den  ungestörten  Elementen  und  kleinen,  von  den  Störungen  abhängigen 
Zusatzgliedern  bestehen.    Schreibt  man  daher  an  Stelle  von  (1): 


')  Berücksichtigt  man  in  X,  T,  V  auch  die  zweiten  Potenzen  der  Störungen,  to  kann 
man  dann  sofort  die  Formeln  (17)  verwenden  (vergl.  1.  c.  Bd.  7,  pag.  95-97) :  doch  wird  hiervon 
kein  Gebrauch  gemacht,  in  pag.  98  wird  auf  die  Formeln  (17b)  fUr  die  iweiten  Potenten  der 
Störungen  zurückgegangen. 


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424  Mechanik  des  Himmels.  5J. 

cos  ß  sin  (X  —  ß0      T)  =  cos  i0  sin  (/  -  A0)  —  sAcos  a> 

<w ? im  (X  —  ft0  —  r)  —  r«?x (/  —  &0)  +  ^xmü>  (5; 

so  sind  die  Grössen  ß0,  T,  i0,  A,  w,  x  so  zu  bestimmen,  dass  die  von  s  ab- 
hängigen Zusatzglieder  kleine  Grössen  sind.  Da  zur  Bestimmung  von  6  Un- 
bekannten drei  Gleichungen  bestehen,  so  können  ooch  drei  Bedingungen  erfüL 
werden.  Bezeichnet  wieder  e  die  Basis  der  natürlichen  Logarithmen,  i  die  imaginäre 
Einheit,  so  wird,  wenn  Kürze  halber  X  —  ß0  —  T  =  tt)  gesetzt  wird: 

cos  ß(e+".—  <-'">)  =  cos  i0(e+W-Qo>—  e-«('-Q.>)  —  iX/<(r+'«»-h  r-'-) 
wP(e+«'i+        =  (e^C-ftoJ-h  e-^-Qo))_  if^(e-H-—  €-'•). 

Diese  Gleichungen  geben,  addirt 

cos  ße+'^s»       J/0  e'C-ß©)-*-       }  /0  e-  »C-ßo)_  ij^e»«.  (3a1 

Die  Gleichung,  die  durch  Subtraction  entsteht,  braucht  nicht  angeschrieben 
zu  werden,  da  sie  durch  die  Vertauschung  von  -H  i  mit  —  i  entsteht  Acs 
Gleichung  (1)  folgt  in  derselben  Weise: 

wP(e+,^-Ö)-  e-'^-fl))=  wi(e+i ('-•))—  e -•<'-•>) 
<wß(e+ift-ß>-h  e-W-ß))»  e+'C-«)-!-  e-W-«) 
f<ttße+'(*-ß)  =  w*|ic«'-«)-f-       We_i  ('-•>, 

daher 

rMpe^eiCßo-a+O«  e-^-ßoJ^lieK'-ßo)-*-  e+«' -&#>***>  i*;-K'-ß«).  (3tf 

Die  Vergleichung  der  dritten  Gleichung  (1)  mit  der  dritten  Gleichung  (2' 
liefert: 

s  =  sin  isin{l  —  a)  —  sin  i0  sin  (/  —  ft0) 
Iis  =  sin  i(e-H('— )-  e-iC/-t))  _  ,/«  /0(r*C'-ß«)-  e-«'-ßo>) 
=  ;m  /(e-i(ßo-»)e+i('-ßo)  —  e-i(ao-»)e-i(/-ßo))  —  sin  /0(e-H<'-ßo)  —  e-iC'-Q.)). 
Führt  man  den  Werth  von  is  in  (3a)  ein,  setzt 

c-"»=*y;    e-i<ßo-°)  =  a;  e-^-Kßo-ß+r)= 

so  wird 

_y  <w  ß  e* i  s=  .y  r^x'  \ i0  e+' ('  -ßo >     ^       | *0  e-i (;-ßo) 
—  M  ^sin  i      e-H('-ßo>  —  ae-K/-Qo)^-      /0(e-H</-ß0)  —  e-i(/-ß„))J 

.v<wßeiT)  =  -  cos9  \i  e+'f'-ßo)-»-      sin* \i  e-W-Qo).  (5> 

An  Stelle  von  1\  &0,  tu  treten  hier  y,  a,  x\  s  ist  eliminiert;  die  Unbekannte 
tj  tritt  an  Stelle  der  heliocentrischen  Länge  X. 

Als  nächste  Bedingung  kann  nun  die  Forderung  gestellt  werden,  dass  die 
Ausdrücke  für  x  und  y  von  /  unabhängig  seien;  dann  werden  in  der  Differenz 
der  beiden  Gleichungen  (5)  die  Cocfficienten  von  e+i^~ßo)  und  e_ ß«)  fär 
sich  gleich  Null  zu  setzen  sein,  wodurch  man  erhält: 

yces*\i9  -  \  ^  sin  i  -+-  \  A  sin  *0  -  |  cos*\ i  =  0 

y  sin*  \i0  +  \  Aa  sin  i  —  \A  sin  iQ  —  xa  sin*  \ i  =  0.  ^ 

A  A 

Hiermit  erhält  man  für  die  Verhältnisse  —  und  —  la  und  *„  bleiben  dabei 

x  y 

beliebig) : 

y(a* sin*  \i  cos*\iQ  —  cos* \i  sin* \iQ)~  \  A[asini  —  stni0(a* sin*  }  *'-+-  cos*\ij\  =  0 
x{a*sin*\i  cos*\i0  —  cos* \isin* \i0)-\-\A{a  sin  i0 — sini(a*cos*^i0-\-sin*^i0)]  =ü 
Diese  beiden  Gleichungen  sind  durch  a  sin\i  cos \iQ — cos\istn\iQ  theilbar; 
dividirt  man  durch  diesen  gemeinschaftlichen  Faktor,  so  folgt: 


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Mechanik  des  Himmels.  52.  425 

A  acos\  i0sin\i  ■+■  sin\i0cos\i  A  acos\  f'0  wi  j  f -f-  sin  \  i0  cos  \  i 
y  ~  cos\i^cos\i—asin\iiisin\iy    *  ~~*  acos\i^cos\i —sln\i^sin\i 

x      acos\  i0  cos  \  i —  sin  \  i0  sin  J  /  ^  a' 

y      cos  \  i0  cos  \i  —  a  sin\ i0sin  \  i 

Durch  Vertauschung  von  +  i  mit  —  i  entstehen  zwei  den  Gleichungen  (6) 
analoge,  in  denen  an  Stelle  von  x,y,  a  ihre  reeiproken  Werthe  stehen.  Man  er- 
hält daher  aus  diesen: 

^       cos \iüsin\i+asin\iQCOs\i        ^        cos \i9sin\i  -f-  asin\i9cos\i 
y  ~~  acos\i^cos\i — sin±i0sin±i'         4    ~  cos\i0cos\i — asin\i0sin]i 

y       cos\ i0 cos \i  —  asm \i0sin  \i 


a  cos  J  i0  cos  ±i  —  sin  4  f  0  sin  4  i 
—  =s  —  2istn  tu  ! 

y 

sin  i  sin  (g  —  fi0) 


und  da  y  •¥     =  2cosn,y —     =*  —  %isinm  ist,  und  ähnlich  für  x,  so  wird: 


-(4  sin  u> 

x 

^  ^         sin  i0  cos  i  +  cos  iQ  sin  i  cos  (g  —  ß0) 

x 

^  (ft  _  ft9  _  p  -  ("' ' +  ™  ^\sin  (g  ~  w 

cos  (a  —  ft0  —  T)  =     +      '      '0)  w  (g  —  ft0)  —  ff»  1  sin  i0 

x  =  1  +  cos  i  cos  i0  —  sin  i  sin  i0  cos  (g  —  &0), 

'0»  ßo  sind  dabei  keinen  weiteren  Bedingungen  unterworfen.  Wählt  man  für 
ß0  eine  Constante,  die  sich  von  nur  wenig  entfernt,  so  werden  A,  u>  und  s 
kleine  Grössen;  für  f  erhält  man 

s  =  sin  isin  (/  —  ft0)  ;w  (ft0  —  g)  -»-  ff«  1  <w  (/  —  ft0)  ff»  (ft0  —  g) 

—  sin  i0  sin  (/  —  ß0). 

Setzt  man  daher 

sinisin(*-  a0)=f> 
sin  icos  (0  —  ß0)  —  jm  i0  =  q,  (9a) 

so  wird 

f  =  qsin{l  —  ft0)  —pcos{l  —  ß0)  (9b) 
und  die  Gleichungen  (2)  werden  dann: 

cos  ß  rf«  (X  —  ft0  —  T)  =      f0  ff»  (/  —  ß0)  -  f  ^»^  /0  -f-  7^7^) 

wpwf(X  ~Äo  -  O  =  «»(/-  fto)  +  ^  (10) 

sin  ß  =  ff«  f0  sin  (/  —  ß0)  +  s. 
sp  so 

Die  Zusatzglieder  —  ,   werden,  wenn  s,  p,  q  als  kleine  Grössen  erster 

x      x  COS  t  q 

Ordnung  angesehen  werden,  von  der  zweiten  Ordnung.    Da  aus  Gleichung  (8): 

sin  (g  —  ft0)  —  sin  (ft  —  ft0  —  T)  = 
[(1  —  cos  i)  (1  —  cos  f0)  —  sin  isin  i0  cos  (g  —  &0)]  ff«  (g  —  &0) 

x 

folgt,  so  wird  auch  T  von  derselben  Ordnung  wie  q,  s;  p  wird  numerisch 
noch  kleiner.  Führt  man  an  Stelle  von  s  eine  neue  Variable  u  durch  die 
Beziehung 

u  «■  —  s 


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426  Mechanik  des  Himmel*  52.  53. 

ein,  so  wird 

Es  wird  daher,  wenn  man  x  an  Stelle  von  /  einführt,  und  den  dadurch  er- 
stehenden Werth  mit  u  bezeichnet: 

-  £fsm{r  +  ic0  -  ft0)  -  T-fpcos{r  +  «§  -  ß0) 


(iu 


i  -  ^Ä<r  +  «• "  ^  "  +  »•  - 

Es  ist  aber: 

/>  =  -         ßo  ~  ß» ß«  ^  7  s  +  ßs  —  ßo  —  *»  ;t 

demnach  mit  Rücksicht  auf  50  (7): 

und  da  y  =  r  im  /;  *'  *=  r  /  ist  (gezählt  von  der  nach  «0  (8)  defitnus 
Jf'-Axe),  so  wird: 

dp     ri»(/-flt)      ?a,        /f     r^j(/-ft0)  aa 


r  r0%  cos  i  dä 

77  ~  "o*oYP 


63.  En t Wickelung  der  Stör ungsfunetion  für  grosse  Exce n tri ci titr- 
und Neigungen.  Die  Entwickelungen  haben  im  Wesen  den  Zweck,  die  es; 
stehenden  Reihen  convergenter  zu  machen.  Nebst  der  Wahl  der  CoordiiuKi 
für  die  Differentialgleichungen  und  die  Integrationsmethode  selbst  ist  hienu  a> 
erster  Linie  maassgebend  die  Entwickelung  der  Störungsfunction,  für  wekb: 
Hansen  die  Entwickelung  nach  der  excentrischen  Anomalie  *)  und  wie  beren 
erwähnt,  ein  mechanisches  Integralions-  und  Multiplikationsverfahren  zur  Er- 
leichterung der  Rechnung*)  vorschlägt. 

Für  die  Entwickelung  von        ist  zunächst: 


(*)■-   er-  - 


r  r 

-2-^a[«i(p  +  k0)  cos  (v'  +  u0')  +  sin  (v  -h  it0)  sin  (rV  -+-  *0')  cos  /) 

a' 

a  =  —  . 
a 

Setzt  man 

cos  J  sin  ic0'  =  k  sin  K  sin  *0'  =     sin  Kx 

cos  tc0'  =  kcos  K        cos  J cos  it0'  =  kx  cos  Kx 

und  substituirt  für  r,  r'  ihre  Ausdrücke  durch  die  excentrische  Anomalie,  so  virc 

=  7o  -  Ii"**'  -  P,  sin  £'  +  ß,^  E'\  (3 

wobei3) 

•)  Dieses  ist  nn  sich  klar,  da  der  Coefficient  von  sin  E,  cos  E  als  Function  von  e  nur  <!-* 
Hälfte  des  Coefficicnten  von  stnv,  cosv  ist. 

*)  Vergl.  auch  Hansen:  Untersuchungen  Uber  die  gegenseitigen  Störungen  des  Jop» 
und  Saturn,  Berlin  1831. 

')  Ucber  die  ftlr  die  Praxis  vortheilhafteste  Form  *ur  Berechnung  der  Coefficienten  f9,  fv  is 
s.  Abh.  der  konigl.  s&chs.  Gesellsch.  der  Wissenschaften,  Bd.      pag.  139. 


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Mechanik  de*  Himmels.  53  427 

70™  1  -1-  a*  —  1e  cos  £  •+■  c*  cos9  E  —  2a  * c'k  cos  (rc0  —  AT) 

-I-  2a  (tc0  —  K)  cos  E  —  2a        9  •  k  sin  (k0  —  AT)  sin  £ 

7 ,  =  2 a V—  2a*i^J  (tc0— AT ) -J- 2 a^rtw  (tc0  -  A' )  <vj  .£  —  2  a  w^««(i:0  -  Ä") sin  E 
?i  =  —  Saf^if'i,  «»(i?o  ~        "+■  —  Kx)  sin  E 

+  2*cos  f'  kx  sin  (t.0  —  Kx)cos  E 

ßf— 

Hierin  ist  7Ä  nahe  1;  7P  pt  sind  von  der  ersten,  ß,  von  der  zweiten 
Ordnung  der  Excentricitäten.  Der  Ausdruck  (3)  kann  stets  in  zwei  lineare 
Faktoren  mit  reellen  Coefficienten  zerlegt  werden,  so  dass 

(^ir)' Ä  ^  "  q  C0S  {£'  ~  Q)][l  ~  '»  C0S      +  Q)l  ^ 
Multiplicirt  man,  und  vergleicht  mit  (3),  so  folgen  die  Gleichungen: 

7o  =  C—  9 9isin*  Q        Pi  =  f?i 
7i-(*  +  *|C)<«G  Pi-(f-fiO*»C. 
aus  denen  die  Unbekannten  q,  qx,  Q,  C  zu  bestimmen  sind,    q,  qx  sind  von 
der  ersten  Ordnung  der  Excentricitäten,  C  von  der  nullten  Ordnung.    Setzt  man 

q  sin  Q      ß,  ■+■  %  qx  C sin  Q  «=  % 

q  cos  Q  ■»  7,  —  i)      (6)         so  wird         qx  Ccos  Q  =  tj  (7) 
C  =  To     ^  qqxSin'Q-Z 

und  man  hat  die  Unbekannten  £,  tj,  C,       zu  bestimmen,    £,  tj  sind  von  der 

ersten  Ordnung,  C  von  der  zweiten  Ordnung.    Es  wird 

(ß,  +  5)5  =  C(70H-:)  P,  +6  7i-tj 

(7,  -l)l=(ß»-0(70H-0  5  tj     *  W 

Setzt  man  "-s —  =  d,  so  wird  auch  —  3         und  daraus: 

*  =  r=r;   ^ =  dHhi;   P>-hi  =  ^&rrf;   7,-T  =  7ir^n.  es) 

Demnach  werden  die  Gleichungen  (8): 

Um  aus  diesen  Gleichungen  &  und  C  zu  bestimmen,  erhält  man  successive: 

iL  lb~  'V  & !  _  ßi  l/EzJ 

ßfi  V»  h-  U  ~~    c   '  1  ~  7."  '  c 

a     7i  l/C -h  ß,  |/ß,  -  C 


7,    -  ß,  yp|  -  c  7i  i/c  —  ßt     - : 


(ii) 


»       7»tc-pi>(P,-o.        »  7,«: -P,' (?,-:) 

4ß>(ß,-C)    '      (»+d»-  4Tl>; 

t*c  -  p,«(pf  -  0  -  4(?,  -  o:(To  -h  0 

+  (7o  -  ß,K' +  KP!*  +  7,1  -  4ToP.)C-iP1»P.-0  (12) 
Diese  Gleichung  hat,  da  sie  ungraden  Grades,  und  das  letzte  Glied  negativ 
ist,  nothwendig  eine  reelle  Wurzel1);  da  C  eine  sehr  kleine  Grösse  ist,  so  kann 
sie  durch  Näherungen  bestimmt  werden;  ein  erster  Näherungswerth  wäre  (mit 
Vernachlässigung  von  C*»  C*): 


»)  Die  beiden  andern  Wurzeln  sind  ebenfalls  reell;  es  entsprechen  ihnen  aber  imaginäre 
Werthe  von  5,  tj;  1.  c.  Bd.  5.  pag.  143. 


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428  Mechanik  des  Himmels.  53. 

r  Pj  o 

'  -        +  •,  1  _  iv  3„  ^1' 
r 1     ■    Ii         *  10  r2 

da  aber,  wie  erwähnt,  C  von  der  zweiten  Ordnung  der  Excentricitäten  ist,  so 
sind  in  (12)  nur  C3  und  p2C2  von  der  sechsten  Ordnung,  die  übrigen  Glieder 
(vierter  Ordnung)  geben  die  Gleichung 

T.C  +  KV  +  Tis  -  47.P,)C  -  ißt»?,  =  0  (12a) 

deren  Lösungen 


C  =  -  J 


rV  +  Ti'-iT.P,  ±  lA  (ß.'-r-  7^-  470 ß,)»  ,  ^,'ß, 
7o  '  7o*  To 


sind;  für  das  untere  Zeichen  wird  £  negativ,  daher  ft,  folglich  auch  5»  imaginär; 
es  ist  daher 

C  =        rv'(P?'  +  7i,-470Pi)t+  16ß,»P,7,  "  (ß,f  +  7t»  -  47t  P,)].  (13) 

Dann  erhält  man  0  nach  (11);  i,  tj  nach  (9);  q,  Q,  C  nach  (6)  und  qx 
nach  einer  der  Formeln  (7).  Ist  die  Excentricität  des  gestörten  Planeten  wesent- 
lich grösser '),  so  wird  man  an  Stelle  von  (13) 

setzen  können.    Aus  (7)  folgt  dann: 

Gor)""  [c-f«»^-«  -  f  i  ^  (ä' +  er* . 

Jeder  dieser  Faktoren  kann  ohne  Schwierigkeiten  nach  der  in  15  angegebenen 
Methode  in  einer  nach  cos  der  Vielfachen  von  (£'  Q)  fortlaufenden  Reihe 
entwickelt  werden,  wobei  fiir  die  Bestimmung  der  Coefficienten  ein  dem  in  Sä 
angegebenen  ähnlicher  Algorithmus  auftritt.  Sei 

so  ist  noch  zu  beachten,  dass  die  Coefficienten  C,  q,  q}  demnach  auch  nW,  a}"' 
.  .  .  P^,  pW  .  .  .  und  Q  Functionen  von  E  sind.  Sei  Ex  ein  bestimmter  Werth 
von  E,  für  welchen  sich  nach  (3a)  die  zugehörigen  Werthe  von  70,  7lt  p,,  p,,  daher 
auch  ganz   bestimmte  Werthe  Cx,  qXt  Qx,  qiX  ergeben,  denen   die  Werthe 

*ox>  aix  ■  -  •  ■  Po?»  ?/?  ■  •  •  entsprechen,  so  muss 

^«W-  «o(?-*-  2 2 «,(;V«c (2«)  =  2 2 n^cos^E'-  EJ -  i(Q* - Ä)) 

=  a0(;;)+2Z«/;W(&-^)rtwi(£'-^ 

Setzt  man  die  einem  gegebenen  Werthe  von  Ex  zugehörigen,  leicht  zu 
berechnenden  Werthe 

so  wird 

^x")=^)-+-  251(;«f)^(J£'-       -4-  2S}"%'c)cos2(E' -£,)+•  •  • 

+  25,(r 15 (£»  -  Ä)  4-  2-S£">  sin  2(£'  -  ^)  +  .  .  .  (16) 


')  Hansen  berücksichtigt  nur  den  Fall  grosser  ExcentncitKten,  wo  ß,,  7i 
Kß,  Uberwiegen  und  erhalt  dann  die  Formel  (!3a). 


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Mechanik  des  Himmels.  .r>3.  54. 


429 


Aus  den  Coefficienten  (15)  kann  man  aber  die  Coefficienten  der  allgemeinen 
Entwicklungen 

A(»)=  S*m>  +  25/"-')  cos(E'  —  E)  •+■  2£,("  ^  cos  2(E'  -  E)  -+-  .  .  .  . 

+  251("-',ji«(£,-£)+25,'«  ')««2(£'-  £)  +  ....    C  } 

nach  bekannten  Methoden  leicht  finden,  wenn  man  die  Werthe  d  er  iSix  auf  eine 
Reihe  über  den  ganzen  Kreis  äquidistant  vertheilter  Werthe  von  £„  bestimmt1). 

Hat  man  auf  diese  Weise  die  Reihen  für  AM,  in  der  Form  (17)  mit 

numerischen  Coefficienten  dargestellt,  so  werden  dieselben  weiter  numerisch 
multiplicirt,  wodurch  man 

(ry)"=  ^{H'c)cos(iE-  i'E')  +  ll{ii's)sin(iE  -  i' £') 

erhält.  In  diesen  Reihen  wird  an  Stelle  der  excentrischen  Anomalie  E'  des 
störenden  Planeten  dessen  mittlere  Anomalie  AP  eingeführt*),  was  in  der  mehr- 
fach erörterten  Weise  geschieht,  wodurch  die  Reihen  die  Form  annehmen: 

f-^-V=  llilii^ücosiiE-i'M')  ■+-  lldii's])  sin  (iE  —  i'  Af'). 

Oer  zweite  Theil  der  Störungsfunctiun  kann  auf  dieselbe  Form  gebracht 
werden.    Wird  endlich  in  der  Summe 

M'=Af0'+p.'t=  M0'+  *  (AI- Af0)  =  AfQ'  -    A/0  +  —  (E—  e  sin  E) 

substituirt,  so  erhält  man  die  Störungfunction  in  der  Form: 

a  =  ll[H'c]  cos  {(/  -     £)  E  -  i'|V0'  -  £  Af0)} 

+  ll[ii's)  sin  {(/  -  /'       E  _  ,(j/0'  -  £m< 

wo  is  die  einzige  Variable  ist. 

Durch  die  Einführung  der  Grössen  k,  kit  K,  KK  (Formeln  2)  und  die  nu- 
merische Bestimmung  der  Grössen  f0,  v , ,  3 j ,  ß2  nebst  den  davon  abhangigen  qx,  Q, 
C  sind  die  für  grosse  Excentricitäten  und  Neigungen  schwach  convergenten  Ent- 
wickelungen  umgangen.  Analytische  Entwickelungen  für  diesen  Fall  hat  zuerst 
\.z  Verrier  (Annalen  der  Pariser  Sternwarte  I.  Bd.)  vorgeschlagen,  die  später 
mehrfach  von  anderen  weiter  ausgeführt  wurden. 

64.  Osculirende  Elemente;  mittlere  Elemente.  Die  vollständige 
Ausführung  der  hier  angedeuteten  Principien  würde  an  dieser  Stelle  viel  zu  weit 
führen,  und  muss  auf  die  hier  gegebenen  Erörterungen  beschränkt  bleiben. 
Allein  bezüglich  der  Integration  sind  noch  einige  sehr  wichtige  Bemerkungen 
nöthig. 

Die  Elemente,  wie  sie  für  die  Störungen  der  Hauptplaneten  in  Anwendung 
kommen,  wurden  durch  Vergleichung  der  Beobachtungen  mehrerer  Jahrhunderte 
erhalten,  und  repräsentiren  mittlere  Werthe  derselben.  Bei  den  kleinen  Planeten 
werden  aus  den  Beobachtungen  einer  einzigen  Opposition  (einer  Erscheinung) 
bereits  Elemente  abgeleitet,  welche  dann  eine  Bahn  darstellen,  die  sich  den 
gegebenen  Beobachtungen  am  Besten  anschmiegt,  d.  h.  eine  osculirende  Bahn. 
Da  die  verschiedenen  osculirenden  Bahnen  nur  um  die  Störungen  von  einander 

')  Vgl.  den  Artikel  »Mechanische  Quadratur,  II«;  Hansen,  1.  c,  pag.  159. 

*)  Für  den  störenden  Planeten  wird  hierdurch  die  Convergcm  nicht  wesentlich  verändert, 
da  die  Excentricitäten  der  störenden  Körper  klein  sind.  Beim  Uebergangc  von  M'  auf  E  wird 
die  Convergem  nicht  schwächer,  condern  eher  etwas  erhöht. 


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43° 


Mechanik  des  Himmels.  54. 


verschieden  sein  können,  so  wird  man  bei  der  Berechnung  der  Störungen  mit 
verschiedenen  Elementensystemen  Fehler  begehen,  die  von  der  zweiten  Ordnung 
der  störenden  Massen  sind,  welche  sich  aber  bei  genügend  weit  getriebener 
Annäherung  ausgleichen  müssen,  da  ja  die  Störungen,  welche  Elemente  immer 
für  die  Bewegung  derselben  zu  Grunde  gelegt  werden,  durch  die  gegenseitige 
Lage  der  Himmelskörper  eindeutig  bestimmt  sind.  Ein  Unterschied  kann  nur 
in  den  Werthen  der  Integrationsconstanten  liegen. 

Diese  sind  stets  sechs  an  Zahl.  Sie  sind  entweder  selbst  Incremente  (Ver- 
besserungen) der  zu  Grunde  gelegten  Elemente,  oder  sie  sind  Functionen  dieser 
Incremente.  Bestimmt  man  die  Integrationsconstanten  so,  dass  die  Störungen 
für  eine  gewisse  Epoche  verschwinden,  so  werden  die  aus  denselben  sich  er- 
gehenden Elemente  für  diese  Epoche  osculiren.  Natürlich  werden  die  osculiren- 
den  Elemente  successiv  erhalten,  denn  jede  weitere  Näherung  bringt  Correctionen 
der  Elemente,  welche  bezw.  von  der  ersten,  zweiten,  dritten  .  .  .  Potenz  der 
störenden  Massen  sind. 

An  Stelle  der  osculirenden  Elemente,  welche  sich  der  Definition  nach  nur 
für  eine  gewisse  Epoche  der  Bewegung  möglichst  nahe  anschliessen,  wird  es 
besser  mittlere  Elemente  einzuführen,  welche  dahin  definirt  werden, 
dass  sie  zwischen  den  überhaupt  möglichen  Grenzen  der  osculiren- 
den Elemente  in  der  Mitte  liegen.  Für  diese  werden  daher  die  Störungen 
zu  beiden  Seiten  gleichmäs&ig,  daher,  absolut  genommen,  kleiner,  als  unter 
Zugrundelegung  irgend  welcher  osculirender  Elemente:  Daraus  folgt,  dass  in 
den  Ausdrücken  für  die  Störungen  jene  Glieder,  welche  die  grössten  perindischen 
Störungen  erzeugen,  für  mittlere  Elemente  verschwinden  müssen.  Nun  bilden 
die  Störungen  Reihen,  in  denen  die  von  cos  E,  sin  E,  cosSE,  sin%£  .  .  .  ab- 
hängigen Glieder  immer  kleinere  Coefficienten  erhalten;  die  grössten  Coefficienten 
erhalten  in  den  Ausdrücken  für  v  und  u  diejenigen  Glieder,  die  von  sin  E  und  cosE 
abhängen;  setzt  man  deren  Coefficienten  gleich  Null,  so  werden  die  absoluten 
Beträge  der  Störungen  nunmehr  den  Maximalwerth  der  Coefficienten  der  nächsten 
Glieder  erreichep,  daher  die  gestellte  Bedingung  für  die  mittleren  Elemente  er- 
füllt1). Damit  sind  dann  die  mittleren  Werthe  für  ft,  /,  e,  <o,  festgelegt,  wobei 
aber  noch  zu  erwähnen  ist,  dass  der  analytische  Ausdruck  dieser  mittleren 
Elemente  noch  seculare  Glieder  enthält,  also  ß  =  ß0  -r-  ft'/  u.  s.  w.  und  daher 
irgend  ein  System  numerischer  Werthe  derselben  sich  auf  eine  gewisse  Epoche  bezieht. 

Der  mittlere  Werth  der  mittleren  Bewegung  u.  ist  selbstverständlich  derjenige, 
Lei  welchem  in  den  Störungen  der  Länge  keine  von  der  Zeit  abhängigen  Glieder 
auftreten.  Er  ist  also  u.  -f-  X  =  (u.)  (Vcrgl.  No.  4*)  und  stimmt  mit  dem  aus  den 
Beobachtungen  sehr  langer  Zeiträume  erhaltenen  wahren  Werthe  der  mittleren 
Bewegung  überein.  Hierzu  tritt  dann  noch  in  der  mittleren  Länge  ein  dem 
Quadrate  der  Zeit  proportionales  Glied,  die  Secularänderung  der  mittleren  Länge»). 

')  Bd.  6,  pag.  90.  Eigentlich  ist  die  Aufgabe  ein  Problem  des  Maximum*  und  Minimums; 
denn  es  kann  ganz  wohl  vorkommen,  dass  die  Störungen  noch  geringer  werden,  wenn  die 
Coefficienten  von  sin  E,  tos  E  in  den  beiden  Ausdrucken  für  v  und  w  sehr  kleine,  aber  endliche, 
nicht  verschwindende  Werthe  erreichen.  Die  Bestimmung  dieses  Minimums  wäre  eine  etwas 
complicirterc,  dabei  aber  im  Grunde  unnöthige  Aufgabe;  die  HANSEN'sche  Methode  läuft  auf  die 
Definition  hinaus  :  Mittlere  Elemente  sind  jene,  in  welchen  die  auftretenden  Störungen  von  der 
zweiten  Ordnung  der  kleinen  Parameter  werden. 

*)  Hansen,  Bd.  6,  pag.  122:  Ueber  die  Verwandlung  der  von  osculirenden  Elementen  ab- 
hängigen Störungen  in  solche,  die  von  mittleren  Elementen  abhängen,  vergL  HANSEN,  Bd.  7, 
308. 


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Mechanik  de«  Himmels.  65. 


431 


55.  Proportionalcoordinaten.  OppoLZER'schc  Methode.  Beachtet  man 
den  in  26  abgeleiteten  Ausdruck: 

so  lassen  sich  die  Formeln  22  (3) 

rf/T  +  *o  ri  "= -*»    <//»  +  0  r*  ~    '  0  r1  ^  ; 

schreiben,  wobei 

*  =  (2) 

ist.  Es  mögen  nun  die  Coordinaten  x,  y  in  andere  x,  y  und  eine  Störung  T, 
welche  als  ein  Proportionalitätsfaktor  desselben  äuftritt,  derart  zerlegt  werden, 
da3s  vorerst  Uber  x,  y  und  Uber  T  nur  die  eine  Annahme  gemacht  wird,  dass 

x  =  xT;    y  =  y  .  r,    daher   r=r-T  (3) 

sei.  Weiter  wird  an  Stelle  der  Zeit  /  eine  andere  Variable  C  eingeführt,  welche 
durch  die  Beziehung  definirt  ist. 

di    n         dt  u 

dt  =  u  oder  <T: =  ~n  •  (*) 

wobei  U  ebenfalls  eine  vorläufig  noch  willkürlich  gelassene  Function  ist.  Aus 
(3)  folgt: 

dx         dT      U  dx  ... 

V£  =  X  Vi  +  V  Vi  (ö) 

und  durch  nochmalige  Differentiation  und  entsprechende  Reduction 


r  —  _  -  ~r  r 

dp     x  dp  '  U 


dUldx  _  x  dT\         d*x  dt 

Vi  \  d:  ~  x  di)~    dt*  d: 
d*y    -  d*r    r  <w(dy    y  d*y  dt 

dp  ~ y  dp  ~~  u  de  [di    f  Vi)  -  u dt*  di' 


(6) 


Aus  diesen  Gleichungen  erhält  man  durch  Multiplication  mit  — y  und  x, 
bezw.  mit  -f-  x  und  -\- y  und  Addition 

-  d*y  _  -  d*x_  1  d(/(-dy  -  dx\  dlx\ä± 
*  dP     y  dp  ~  V  dl  \*  Vi  ~  y  dl)  ~~  L  \x  dt*  ~yVt*)  dl 

-  d*x      -  d*y       1  dU(-dl     -  dy\  _  r *  (d*V      ]  dUdV\  (7) 

x  dp  +  y  dp     ü  di  \x  di +  y  di)    r  \dp  '  ~u  di  di ) 

U>  /    d*x  d*y\ 

-  r«  \x  dt%  -ry  dt*) 

Es  ist  aber  nach  (1): 
x  VT'  +y  VF*  =  x  {X  ~  *•*       +y  (y-  *°  7*)=xX+yY-  ^  — rl" 


(8) 


~  r      r  ' 

wobei  die  Bedeutung  der  störenden  Kräfte  Q,  P  aus  26  leicht  ersichtlich  ist. 

Bisher  war  zwischen  den  Grössen  x,  y,  l  nur  eine  einzige  Beziehung  fest- 
gesetzt, nämlich:  x:y  *=  x:y\  denn  in  der  Differentialgleichung  für  l  liegt  keine 


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43* 


Mechanik  des  Himmel*.  55. 


Beschränkung,  da  dieselbe  durch  die  Wahl  der  noch  unbestimmten  Function  U 
unter  allen  Umständen  erfüllt  werden  kann.    Es  soll  nunmehr  angenommen 
werden1),  dass  x  =  x0,  y  =  yQ  die  ungestörten  Coordinaten  für  die  ungestörte 
Zeit  C  seien,  so  dass 

dP  +    r*   _  ü 

ist.  Hiermit  erscheinen  die  noch  erforderlichen  zwei  Bedingungen  festgelegt, 
daher  werden  r  und  U  bestimmt  sein.    Man  hat  zunächst: 

dy0         äx0  /— 

d*y0  d'x0 
*°  df  ~y°  ~dp~  ~~  ' 
folglich  entsteht  aus  (7)  mit  Rücksicht  auf  (8): 

»    i~  1  dU      TT„  dt 

oder 

1  </c7 

und  mtegnrt: 

Da  ohne  Rücksicht  auf  Störungen  dt  =  <r*C  sein  müsste,  so  wird  C—  1. 
Setzt  man  daher  das  Integral 


so  wird 


->wrJQdt=l> 


(i) 


Wird  nunmehr  r  =  1  +  7  gesetzt,  so  wird 

57 -0  +T)f(l  +1).  (10a) 
Dann  folgt  aus  den  Gleichungen  (6),  wenn  man  tür  den  Augenblick 

*°    ~~ T  "5f  ~~  * 

setzt: 

1  rftV 

wobei 

V        J       ~  ~rfT  ~  ÖT1)5"  *  (,u) 

Das  Integral  der  linearen  Differentialgleichung  (11)  wird  nach  bek  annten 
Methoden9): 

')  Eine  andere  Annahme  s.  No.  72. 

*)  In  der  ersten  Abhandlung:  «Ermittelung  der  Störungswerthe  in  den  Coordinaten  durch 
Variation  entsprechend  gewählter  Constanten »,  Denkschriften  der  kaiserl.  Akademie  der  Wissen- 
schaften in  Wien,  Bd.  46,  psg.  49,  wird  die  Integration  ohne  Uebergang  auf  diese  lineare 
Differentialgleichung  vorgenommen.  Dadurch  werden  in  den  Formeln  (48),  L  c.  pag.  53  die 
Differentialquotienten  der  Ausdrücke  II,  III  von  a,  also  von  den  Integralen  II,  III  selbst  ab- 

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Mechanik  des  Himmels.  55. 


433 


und  da  für  R  «=  0  auch  q  —  0  werden  muss,  demnach  C«=  0  ist: 

dj         dx±         1  f 

Es  ist  aber  entsprechend  transformirt: 

ÄBS*  (i  +  i)»      </cwcv  i  +  i    *c  / 


Setzt  man  daher 


so  wird 


dj       dx±  Dl  21  +  I»  dx0 

*°  rfC     7  dl  "     1  +  I  *°  "°  +  (1  +  I)» 

</C  "~7  dt  1  +  I  *•  yp0  ^(1  +  I)1  dl 


(12) 


Würde  aus  diesen  Gleichungen  ^  bestimmt  werden,  so  erhielte  man  durch 

eine  nochmalige  Integration  7;  der  erhaltene  Werth  muss  aber  die  beiden 
Gleichungen  (12)  identisch  erfüllen,  und  daher  mit  dem  aus  denselben  durch 
d-r 

Elimination  von  erhaltenen  Werthe  identisch  sein.  Multiplicirt  man  daher 
diese  Gleichungen  mit  y9  bezw.  —  x0  und  addirt,  so  erhält  man  sofort: 

7=s_  21  +  1»  n.0-iny0 

oder  wenn 

Uxo  -  hi>0  =  s  (in) 

gesetzt  wird: 

Setzt  man  die  Werthe  aus  (12)  in  (5)  ein  und  berücksichtigt  (3)  und  (10), 
so  folgt:  d  ^ 

Aus  der  Gleichung  (10)  kann  man  nun  die  zu  einer  gewissen  Zeit  gehörige 
Störung  der  mittleren  Anomalie  erhalten;  es  wird 


hängig.  Diese  Formeln  werden  daher  eigentlich  simultane  Differentialgleichungen  erster  Ordnung, 
und  da  die  Coöfficienten  von  derselben  Ordnung  sind,  wie  die  von  II  und  III  unabhängigen 
Glieder  (w  und  s  sind  nahe  !),  so  werden  die  Quadraturen  im  allgemeinen  die  angestrebte 
Genauigkeitsgrente  nicht  su  erreichen  gestatten.  Die  Ableitung  in  der  zweiten  Abhandlung 
•Entwurf  einer  Mondtheorie«,  Denkschriften,  Bd.  51,  ist  hiervon  befreit,  da  die  Gleichung  (17) 
pag.  88  als  Integral  der  linearen  Differentialgleichung  (15)  pag.  87  auf  diesen  Umstand  ent- 
sprechend Rücksicht  nimmt.  Die  schliesslich  auftretenden  linearen  Differentialgleichungen  (16), 
(17)  sind  mit  Rücksicht  auf  die  in  denselben  auftretenden  Cofcfficieoten  anderer  Natur,  indem  für 
specielle  Störungen  die  rechts  auftretenden,  von  den  Integralen  selbst  abhängigen  Glieder  aus 


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434  Mechanik  des  Himmels,  bb. 

dök. 


dt 

daher  mit  Berücksichtigung  von  (14): 

dAf0         [      1  23  3'  ] 

dt  -  *  1(1  +  I)'  +  (1  +  I)1  +  (1-hDJ  *  (Vj 

Die  Gleichungen  I,  II,  III,  IV,  V  bestimmen  die  gestörte  Bewegung  in 

dxQ  dyQ 

Länge.    Die  in  diesen  Formeln  auftretenden  Grössen  — ,         werden  aus  der. 

Formeln  in  No.  17  für  die  ungestörte  Bewegung  ermittelt  Für  die  Bestimmung 
der  Störung  in  *  erhält  man  aus  (1): 


dt  dx 


(15) 


dt      '  dt 


Setzt  man  daher 


«oÄ*(l+Tr)>  (3  a 

wobei  zu  beachten  ist,  dass  *0  kein  der  ungestörten  Bewegung  angehöriger 
Werth  ist1),  und 


so  wird 

d*         dy      .    r—  dz         dx  r— 

yTt  "*  Tt  =*oV/o-iv;     *Tt  ~%  dt=k°*Po-v 

und  daraus  durch  Multiplication  mit  —  x,  bezw.  +  y  und  Addition,  da  mit 
Rücksicht  auf  (8)  und  (I): 

dv         dx  , — 

xdi  -ydi^v  +  WoYFo 

ist '. 

(1  -f- 1)  *  =  W  '  y  —  IV  •  x, 

folglich 

*o  -         l      I        '     *       1  +  7  (VÜ) 

In  den  störenden  Kräften  Jf,  K  treten  die  gestörten  Coordinaten  y  aut 
Setzt  man  für  diese  die  aus  (3)  folgenden  Werthe,  so  sieht  man,  dass  in  den 
drei  Integralen  I,  II,  III  [Formeln  (I)  und  (II)]  die  Ausdrücke  1  ■+■  I  und  1  -+-  7  in 
verschiedenen  positiven  und  negativen  Potenzen  auftreten.  Sieht  man  I  und  7 
als  Grössen  erster  Ordnung  von  den  störenden  Massen  an,  so  werden  sich  die 
rechten  Seiten  in  (I)  und  (II)  nach  steigenden  Potenzen  von  I  und  7,  und  da 
letztere  Grösse  von  den  Integralen  I,  II,  III  selbst  abhängt,  nach  steigendes 
Potenzen  dieser  drei  Grössen  entwickeln  lassen.  Man  erhält,  wenn  man  sich 
auf  die  ersten  Potenzen  beschränkt: 

dl 

Tt  =  a01  +  auI  +  <xSfJJ  +  aaiIII 
dU 

-j-t  -  aoi  4-  al§l  +  «„II  +  0„III  (16) 

—  «os  +  flMi+fl„n-hanm. 


')  *0  wird  erst  nach  den  Formeln  (VII)  bestimmt,  sobald  fllr  die  Integrale  IV,  V,  entc 
Näherungen  bekannt  sind,  in  denen  1.  B.  tuersl  x„  =  0  angenommen  werden 


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det  Himmel».  55.  435 

Ebenso  folgt  dann,  wenn  I,  II,  m  bereits  ermittelt  sind: 

dIV 

dV  O7) 

-^-«a0$4-a45IV+a5§V. 

Zur  Integration  dieser  Gleichungen  durch  successive  Näherungen  schlägt 
v.  Oppolzer  den  folgenden  Weg  ein.  Da 


"•--37/'*+ 37 


ist,  so  können  die  Gleichungen  (16)  und  (17)  in  folgender  Weise  geschrieben 
werden: 

dl  dl  f      .       dU  f  diu.  . 

+  Tt  iff'itrt  +  nf'iirt  +  mf'iiM  (i7a) 

und  ebenso  für  die  vier  übrigen.    Setzt  man  nun: 

«1  -  <i  -  JiJ*\xdt-  in-fa*id'-  ^IaMdt\dt 

n         dl  r     J.     dU  r     J      dni  c     J  1 , 
»%  —  <»  +7  f*oj  -  JtJ*\*dt-  -dt)a%idt-  -jtSa%\dt\dt 

«3  =  <3  +/K3  ~  dtJa"dt-  Ii  -~dtiaiMdt  (18) 

n  ^IV  ,      _       dV  ,     J ,  J 

n4  «  <4  +  /{a04  -  -dfJa^dt-  -j/Jandnd/ 

r,  dIV  ,  d\  r  1 

»*m*'%+JPn--2jrJ*4*d'-'  -ätJai*dt\dt' 
so  erhält  man  durch  Integration  von  (17a): 

1  =  »1  +  i/«n  "  +        *  +  ni/asl  <// 

H  —  »s  -f  l  fal9di  +  1lfai%dt+mfa%idt  (19a) 
lU  =  »,  +  lfaildt+Ufa%ldt  +  Ulfa3id/ 
IV  «  n4  +  IVja^dt+Vfa^dt 
V  «  »,  +  IV/a46<r7  +  \f*„it. 

Beschränkt  man  sich  in  den  Gleichungen  (18)  zunächst  auf  die  ersten 
Glieder,  so  werden  die  «,  bekannte  Grössen;  damit  kann  man  dann  die 
Gleichungen  (19a),  (19b)  auflösen,  und  erhält  die  Integrale  I,  II  ...  .  als 
Grössen  von  der  Ordnung  der  Substituirt  man  die  resultirenden  Werthe  in 
(18),  so  würden  daraus  Zusatzglieder  entstehen,  die  aber  von  der  zweiten  Ordnung 
der  a,  k  sind,  so  dass  hierdurch  eine  Lösung  durch  successive  Näherungen  ge- 
geben ist.  Würde  man  in  (16),  (17)  die  Produkte  von  I,  II  .  .  in  die  «,«  sofort 

vernachlässigt  haben,  so  erhielte  man  die  Lösungen  I  **  nx,  II  =  *,  

In  der  Form  (18),  (19)  erscheint  bereits  bei  der  ersten  Integration  eine  grössere 
Annäherung  erreicht. 

Die  in  den  Entwickelungen  der  Coefftcienten  a,k  auftretenden  Constanten 
geben  Anlass  zum  Entstehen  von  der  Zeit  proportionalen  Gliedern,  u.  z.  gemäss 
dei  Form  der  Coefftcienten  in  den  Ausdrücken  für      und  «&.    Da  jedoch  bei 

a8» 


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Mechanik  dei  Himmel».  55.  56. 


der  Entwickelung  auch  -jj  ,  ~  erscheinen,  so  kann  man  diese  so  bestimmen, 

dass  auch  in  den  Integralen  II  und  V  die  der  Zeit  proportionalen  Glieder  ver- 
schwinden, wodurch  sich  aus  der  Entwickelung  selbst  die  Bewegungen  des 
Knotens  und  des  Perigäums  bestimmen  lassen. 

56.  Theorie  der  Bewegung  der  Satelliten.  Entwickelung  der 
Störungsfunction.  Es  war  schon  in  No.  87  bemerkt  worden,  dass  die  Ent- 
wickelungen  für  die  Satelliten  sich  dadurch  von  denjenigen  für  die  Planeten 
unterscheiden,  dass  das  Verhälrniss  der  mittleren  Entfernungen  a  bei  denselben 
eine  sehr  kleine  Grösse  ist.  Es  genügt  dann  zumeist,  die  erste  Potenz  dieses 
Verhältnisses  beizubehalten,  die  von  diesem  abhängigen  Glieder  jedoch  ab- 
zutrennen, und  speziell  zu  berechnen.  Wegen  des  von  dem  Verhältniss  der 
Parallaxen  bei  diesen  auftretenden  Faktors  werden  diese  Glieder  mit  dem  Namen 
der  parallaktischen  Glieder  belegt.  Sie  erlangen  auch  insofern  eine  besondere 
Bedeutung,  als  sie  zur  Bestimmung  des  Verhältnisses  a  dienen  können,  wenn 
der  Coefficient  der  aus  denselben  resultirenden  Störung  durch  Beobachtungen 
mit  genügender  Genauigkeit  bestimmt  werden  kann,  wie  dieses  z.  B.  für  den 
Erdmond  der  Fall  ist  (vergl.  No.  63). 

Es  ist  nicht  schwer,  diese  Trennung  der  Glieder  in  den  Ausdrücken  flirüfN 
selbst  durchzuführen,  doch  wird  es  einfacher,  die  Störungsfunction  für  diesen 
Fall  direkt  zu  entwickeln.  Die  Ableitungen  gelten  ebenso  gut  für  die  übrigen 
Satelliten  wie  für  den  Mond,  müssen  aber  für  diesen  weitaus  genauer  sein, 
sowohl  wegen  seiner  grossen  Nähe  zur  Erde,  in  Folge  deren  die  Beobachtungen 
viel  mehr  Unregelmässigkeiten  zu  constatiren  gestatten,  als  auch  andererseits, 
weil  bei  den  anderen  Satelliten  die  wechselseitigen  Störungen  zumeist  überwiegen ; 
es  sollen  daher  die  Darlegungen  mit  Beziehung  auf  den  Erdmond  erfolgen. 

Bezeichnet  man  Kürze  halber  die  Entfernung  r0l  A  (indem  zunächst  nur 
auf  die  Störung  durch  die  Sonne  Rücksicht  genommen  wird),  so  wird: 

wobei  M  die  Sonnenmasse  bezogen  auf  die  Erdmasse  als  Einheit,  und 

A«  e  r»  +  r  >  -  %rf>B\       H  =  **'  +      +  **' .  (2) 

ist.  Hieraus  folgt  bis  einschliesslich  der  dritten  Potenz  des  Verhältnisses  der 
Entfernungen : 

daher 

ü^k^M]^-\^{l-  3  J5T»)  -  \  -£(3//-  5Ä»)1  • 

Bei  den  Differentiationen  von  ß  nach  den  Coordinaten  des  Mondes  (r,  u, 
s,  l  u.  s.  w.)  wird  das  erste  Glied  verschwinden,  so  dass  es  sofort  weggelassen 

werden  kann.  (Die  Störungen  des  Mondes,  welche  in  p  vorkommen,  geben 
nach  der  Bemerkung  in  10  keinen  Betrag.)   Es  wird  daher: 

ö  =  \k% M pn  I  (SU*  -  1)  +     {bH*  -  ZJT)\  •  (3) 


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Mechanik  des  Himmels.  56.  437 

Es  sollen  beispielsweise  kurz  die  Hauptglieder  durch  Integration  der 
Differentialgleichung  in  No.  47  ermittelt  werden1).   Hierzu  ist  jedoch  zu  be- 

BQ 

merken,  dass  in  diesem  Falle  die  für      in  48  angeführte  Vereinfachung  nicht 

gestattet  ist,  wenn,  wie  dies  für  die  Satelliten  gewöhnlich  geschieht,  nicht  die 
Bahn  des  gestörten  Himmelskörpers  (des  Satelliten)  sondern  die  Bahn  des  Haupt- 
planeten (die  Ekliptik)  als  Fundamentalebene  gewählt  wird»). 

l)  Auf  Vollständigkeit  kann  selbst  bei  den  Hauptgliedern  nicht  gesehen  werden.  Sollten 
auch  nur  diese  völlig  richtig  entwickelt  werden,  so  müssten  auch  «weite  und  dritte  Potenzen 
der  Excentricitäten  und  die  höheren  Potenzen  der  Massen  berücksichtigt  werden.  Hier  soll 
jedoch  nur  der  Weg  angedeutet  werden,  auf  welchem  die  Integration  vorgenommen  wird,  um 
qualitativ  die  Resultate  Ubersehen  zu  können. 

*)  Um  die  Entwicklung  der  Störungsfunction  noch  an  einem  zweiten  Beispiele  zu  zeigen, 

mögen  die  Entwickelungen  von  Laplack  kurz  erwähnt  werden.    Laflack  geht  von  den 

Differentialgleichungen  10D  aus.    Daher  muss  Q  durch  «,  /,  Z  ausgedrückt  werden.    Es  ist 

aber  (Vergl.  No.  10):   

=  V\+s*  =  cosL  =  sinl         ^  ^  x_ 

V         '  X  U      '         ^  M      '  '  u' 

Z  die  Länge  des  Mondes,  gezählt  in  der  Ekliptik,  ist.    Für  die  Sonne  wird  ebenso: 


«1  «1  *1  «1 

H^  cos{L  —  Z,)  +  ssx  «», 


oder  da  »,  =  0  gesetzt  werden  kann: 

V\  -f />  1 

gjyi     ZH  _  ~  A)  4-  \coS*{L  -  Z,)  -  Zs*cos{L-Lx) 

(l +,,))/,+,» 

ß^^At^^j  [1  +  3«/2(Z-Z,)-  2/']  + 
-f  \k*M*£  [5 <"3(Z  -  Z,)  +  Zcos{L  -  Z,) -  UsUct{L  -  Z,)] 


1 


§j)  -  -  \k*M?±  [1  +  3«"2(Z  -  Z,)  -  2/»]  - 

—  fMÄ^  [8wi(£  -  Z,)  4-  3f«(Z  -  ZJ  —  12/»<w(Z  —  Z,)] 

^  -  -       M*£  is  -  **'  •  8,         -  Z.) 

-  #*>if  2it  [5/»/S(Z  -  Z,)+  11^,(Z  -  ZJ-i^Z  -  Z,)]  -  ^  ff 
-  -  **' Af^  [1  +  8«rS(Z  -  Z,)]  - 

«*  du  dü 

r 

Diese  Ausdrucke  sind  noch  innerhalb  der  ersten  beiden  Potenzen  von  —  strenge.    Für  das 
dt  du 

weitere  braucht  man  —  und  — .    Für  die  Berechnung  der  Störungen  von  der  ersten  Potent 

a JL  d  L 


der  Masse  werden  für  t  und  u  die  elliptischen  Werthe  substituirt;  für  diese  ist 


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438 


Mechanik  de»  Himmel«.  56. 


Legt  man  der  Einfachheit  halber  die  X-Axe  in  die  Richtung  der  Knotenlinie 
der  Mondbahn  und  ist  u>t  der  Abstand  des  Sonnenperigeums  von  diesem 
Knoten,  so  werden  die  Sonnencoordinaten 

x'  =  r'  cos  (»j  -+■  ?');  /  *=     sin  (ml  +         z'  =  0 

und  die  Coordinaten  des  Mondes: 

x  ■=»  r  cos  (»  -t-  r);  >  «=  r  jro  (o>  h-  fl)  tw  /;   *  =  r  sin  (w  -4-  r)  *»*  /, 

demnach 

H  =  <w  (v  -+-  <u)  <w  (»'  -f-  <o,)  -f-  «Vi  (w  -+-  u>)  j;Vi  (v'  -+-  t»l)  *m  /' 
=  cos (v  -+-  o>  —  v'  —  (Dt)  —  2««  (v  -+-  to)  j«i  (p*  -h  cd,)  «w*  }  i*. 

Behält  man  vorläufig  die  zweiten  Potenzen  der  kleinen  Parameter  (Excen- 
tricität  und  Neigungen)  bei,  so  wird,  wenn  die  mittleren  Anomalien  der  Sonne 
und  des  Mondes  mit  0,  £  bezeichnet  werden,  und  man  Kürze  halber  sin\i  =  f 
setzt: 

r»  =  a>(l  +  \c*  —  1c cos  C  —  \e*cos1  £) 
r»  =  «>(1  —  Sc  cos  ([) 

ITT  =  A  (1  +  W  +  3«,^0  +  }V«f20) 
i 

—  =  —  [1+^»  +  \ct*  —  2*<w  C  +       cos®  —  \c*cos%t  +  |*,aw20 

—  3*<f,  «*(0  +  1)  —  3**t  f«(0  —  C)] 

-Ff  =  ^  (1  -  3«w  C  +  0) 


™«[  +  u>)  - 


cos  i  ]/\  +  to»f»  i       (Z  -  A) 
«»(Z-ß) 


J^l  +  äiV»ij»»>  (Z-ß)' 
demnach 

«mu«>j(Z  —  &)cosi+  tinwsin(L  —  &)      w (Z  —  7t)  —  8  Jtw»  }/ <w co cot(L  —  ß) 
wiKr+  to«rJ  f^«(Z^ft)  «xi  Kl  +  to*gUsm*{L-  &) 

Die  weitere  Entwickelung  ist  nunmehr  ohne  weiteres  klar.  Laplace  fuhrt  nun  aber  die 
Ableitung  in  der  Art,  dass  sofort  in  der  ersten  Näherung  jene  Rechnungen  vorgenommen 
werden,  welche  die  folgenden  Näherungen  mit  tu  erledigen  gestatten.  Zu  diesem  Zwecke  werden 
nicht  die  elliptischen  Werthe,  sondern  die  wahren  Werthe  u0  -+-  8«,  r0  -t-  8/  substituirt,  wo 
m0,  s0  die  elliptischen  Werthe,  i«,  oj  die  noch  unbekannten  Störungswerthe  in  der  Form  von 
trigonometrischen  Reihen  mit  unbestimmten  Coefficienten  A,  B  in  die  Störungsfunction  sub- 
stituirt werden.    Diese  treten  dann  in  den  störenden  Kräften,  also  multipUcirt  mit  dem  kleinen 

Faktor  p»  —  auf,  und  gehen  in  die  analytischen  Ausdrücke  für  die  Coefficienten  selbst 
Uber,  welche  die  Form  erhalten: 

Af=A<f)  +  ov.*AK  +  a'^Ax+  .  .  .  -+•  £p*  B9  •+-  0'p*  2?t  -f-  .  . 
B?  =  ß(°)  +  ,p«  AK'+  «/pW-f-  </'p»^'-f-  .  . 

Die  erste  Näherung  ist  Ap  =  Ap(o);  ßp  r=  ^p(o);  werden  diese  Werthe  in  die  folgenden 
Ausdrucke  substituirt,  so  erhält  man  bessere  Werthe  u.  s.  w.  Da  p*  sehr  klein  ist,  so  wird 
die  Rechnung  im  allgemeinen  convergent 


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Mechanik  des  Himmels.  56.  439 

p=C+2n«i(+f  e*sin  2  C 
sinv  =  sin  C(l  —  2*»««»  £)  +  cos  <l(2esin  C  +  £*»«»2  Q 
i»  »  «=  4-  (1  —  e*)  sin  £  4-  e  sin  2  ([  4-  £  *>x/«  C  +  f*' «'«  3  £ 
cosv  =  —  *  4-  (1  —  (+««2(  4-  f        3  (C 

sin  (v  4- «»)  =  (1  —  *»)  xmi  (C  4-  u>)  —  e  sin  w  4-  e  sin  (2  £  4-  <u)  4-       sin  (C  —  «9) 

4-  |     «»  (3  £  4-  ») 

COS  (V  4-  «)  =  (1  —  f *)  W  (C+«d)-^W»  +  *  COS  (2  C  4-  U))  —         <W  (C  —  ui) 

4-  f     cos  (3  C  4-  to) 
COS  (V  4-  m  —  v'  —  un)  =  rttf  (C  4-  a»  —  0  —  u^)  —      tw  (C  4-  o)  —  to,) 
4-  ^1w(([  +  a)-20-u)1)-«w(ü)-0-ü)1)+aw(2  £  4-»  —  0  —  ü>,)-r-/>' 
If^  C0S(1  4-  to  —  0  —  a>i)  —  <Tj  ^  (([  4-  «0  —  »i)  4-  *,<w(£4-  «o  —  2  0—  ci>,) 
—  c  cos(m  —  0  —  cu,)  4-  **?f(2(£  4-  u>  —  0  —  oij)  4- 
.P  —  2fw»(f»  4-  w)sin(v'  4-  »i)«»*^ 
=  —  (e%  4-  4-  u)  —  0  —  «,) 

—  |  ex* cos((£  4-  »  4-  0  —  toj)  4-  $     cos  (£  4-  o>  —  80  —  o^) 

—  |*»<w(C  -»  +  9  +  «>|)  +  \e*cos  (3  £  4-  o»  —  0  — 

4-  («>  —  »j)  —       <w(2Q  4-  o>,  —  «")  —  (2  £  4-  o>  —  o)t) 

4-  eex  cos  (2  C  4-  «>  —  20  —  o>,) 

—  sm*\i  [cos(<t  4-  ©  —  0  —  »,)  —  cos  (£  4-  u»  4-  0  4-  «»,)]. 

Die  Anzahl  der  Glieder,  die  von  der  zweiten  Potenz  der  Excentricität  ab- 
hängen, wächst  nun  ziemlich  rasch  an,  und  sollen  deshalb  weiterhin  nur  die 
ersten  Potenzen  berücksichtigt  werden,  wobei  allerdings  die  Neigung  herausfällt. 
Dann  wird: 

\(SH*—  1)=  $4-f  <w2(C  4-«o  —  0  —  u>,)— cos(2  £  4-  2u>  —  0  —  2u>1)4- 

4-  |  ex  <w(2  (  +2«i-  30  —  2w1  — 
—  |*<w(£  4-2«)  —  20—  2o>l)4- f  *<w(3£  4- 2u>  — 20  — 2o>,) 

1 

—  \ecos(<l  4-2o»  —  20—  2u>1)4- |*<w(3  £  4-  2  u>  —  20—  2u>j)  — 

—  \ecos(<l  4-2*>  —  20—  2o»j)—  \ecos(%  £  4-  2m  —  20  —  2a»,)]  — 

—  |'i<w(2£  4-2«)  —  0— 2u>,)  4-  \excos{$  £  4-  2o>—  30  —  2u»,)  4- 
4-f*,<w(2£  4-2u>  —  0  —  2»,)  +  |*,w(2{  4-2u»— 30-  2u>,) 

i^(5Ä»- 8Ä)-^It^(C  4-«-0-«o1)4-t<«8(£  4-o»-0-u,1)] 
demnach 

0  «  ^  Ii  -i«w(*  +  IV«0t  +  icosm  4-  «d  —  0  —  to^f  — 

1 

—  f  '"v(£4-2u>— 20—  2u>,)*4-J*<-«(3£  4-2u>  — 20  — 2o),4- 
+?'iw(2C  4-2» — 30— 2«^)— £*,rtv(2  £4-2« —  0  — 2o»l4-  (4) 

+  7"  (!""(£  +«-0-"i)*  +  iw8((  4-u,-0-cuI)]}. 
1 

a 

Das  Verhältniss  —  ist  für  den  Erdmond  nahe  jfo;  für  den  äussersten 
tfi 

Jupitersmond,  ebenso  wie  für  den  äussersten  Saturnsmond  etwa  ebenso  gross, 
für  die  übrigen  Satelliten  dieser  Planeten,  sowie  auch  für  die  Satelliten  der 
anderen  Planete  n  noch  wesentlich  kleiner.  Eine  Berücksichtigung  derselben  wird 
daher  nur  für  den  Erdmond  nöthig.  Es  mag  jedoch  gleich  bemerkt  werden, 
dass  das  constante  Glied  in  Q 

C  *=  i  (1  4-  \e*  4-  \e?  —  67»  4-  Glieder  4.  Ordnung)  (5) 


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44° 


Mechanik  de*  Himmel«.  57. 


57.  Integration  der  Differentialgleichung  für  die  Länge  und  den 
Radiusvector.  Bei  der  Integration  der  Gleichung  47  (5)  treten  nun  gemäss 
49  (4)  Nenner  /  —  x*  auf,  wenn  p  den  constanten  Coefficienten  von  (ro>)  be- 

zeichnet.  Dieser  ist  nahe  gleich  =  Z'*,  wenn  Z'  die  mittlere  siderische  Be- 
wegung des  Mondes  ist  Glieder  mit  kleinen  Nennern  treten  daher  auf,  wenn  x 
sehr  nahe  dt  Z'  ist.  Wäre  x  =  Z\  so  würden  hieraus  seculare  Glieder  entstehen ; 
indem  aber  auch  &  und  cd  veränderlich  gewählt  wird,  kann  dieser  Nachtheil  be- 
hoben werden.  Kleine  Nenner  treten  nur  auf  bei  den  mit  *  bezeichneten  Gliedern; 
das  erste  würde  sich  mit  der  Mittelpunktsgleichung  verbinden,  das  zweite  giebt 
die  Evection  das  dritte  die  parallactische  Ungleichheit.  Ungleichheiten  dieser  Art 
treten  im  Radiusvector  auf,  und  gehen  nach  47  (8)  in  die  Länge  über.  In  dieser 
tritt  ausserdem  noch  ein  Integral  auf,  welches  kleine  Nenner  erhält,  wenn  x  selbst 
eine  kleine  Grösse  ist;  dies  ist  der  Fall  bei  dem  mit  f  bezeichneten  Gliede, 
welches  die  jährliche  Gleichung  giebt.  Daraus  ersieht  man,  dass  die  jährliche 
Gleichung  nur  in  dem  Ausdrucke  für  die  Länge,  nicht  aber  in  demjenigen  für 
den  Radiusvector  bedeutend  erscheint l).  Eine  ganz  exceptionelle  Stellung  nimmt 
das  mit  *f  bezeichnete  Glied  ein,  da  es  keinen  kleinen  Integrationsdivisor  er- 
hält, der  Coefficient  ist  aber  von  der  nullten  Ordnung;  aus  ihm  entsteht  die 
Variation. 

Beschränkt  man  sich  auf  die  angeführten  Glieder,  nebst  den  Constanten, 
und  führt  statt  der  mittleren  Anomalien  die  mittleren  Längen  Z,  Lx  ein,  da  der 
bisher  festgehaltene  Anfangspunkt  (der  Knoten)  nicht  fest  ist,  so  wird: 

r 

Q  =  k^M—j  \C+icos%(L—  Zt)  —  \tcos(L—  x)  —  \eeos(L—  2ZX  -4-x)-t- 

-4-  \ex  cos{Lx  -  xj  4-  ^— J \cos{L  -  Zt)J  . 

Hieraus  folgt,  wenn  man  für  die  Gleichung  47  (5)  das  Glied  \cxcos{Lx — x,) 
noch  weglässt,  und  die  Differentialquotienten  von  Z,  Z,,x,  x4  mit  Z',  Z1',  x',  xt' 
bezeichnet: 


(2) 


a3  r  Z'  Z' 

2 yV  2  =  Jk' |C\  -f- 1 £,  _  L  ,  cos  2  (Z  —  Z,)  —  *  £,  _  ^  cos(L  —  x) 

-  *  «  Z>_2Z1'-)-x'  C0*L  -  2Z»  +  *>  +  {t)  *  Z'  -  L\  C0S  <Z  -  Z»}]  * 

a»  a* 

Wird  der  Coefficient  von  — y  in  Q  mit  A x,  der  Coefficient  von  —  mit  A9 

1  ax 

bezeichnet,  so  ist 


a%   a% 


*  =  k*M—tAx  +  k*M—KA» 
und  es  wird 

dQ  dQ  a?  a% 

Hiermit  erhält  man 

r  |£  4-  2/d'Qx  =  k*  M  ^  2  kcos{xt  4-  K),  (4) 

wobei 


i)  Das  Doppelintegral  kann  diese  kleinen  Glieder  nicht  erhalten,  da  jene  Glieder,  in  denen 
Z  nicht  im  Argumente  enthalten  ist,  in  <fü  verschwinden.  Bei  der  LAPLACE'schen  Methode 
ist  dieses  nicht  so  unmittelbar  ersichtlich. 


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Mechanik  de*  Himmelt.  57. 

2k  cos  (*/  -h  K)  =  Cj  -f-  2C  +  L'  tz  ')  "*2(Z  -  Z,)  - 

- '  0  +  z^r?)     <z  -*>-*'(*  +  Z'-aZ^+n') '"(Z  ~  2Zi + *>  <*) 

-h(ä»(*+zr=!zr)w(Z"Zii) 

ind  die  Differentialgleichung  wird 

-^ji^  +  ^W-i'AfjiSioW  +  JC).  (6) 
Es  ist  aber,  da  die  Sonnenmasse  in  Einheilen  der  Erdmasse  ausgedruckt  ist 


wenn  p  das  Verhältniss  der  mittleren  siderischen  Bewegung  der  Sonne  zu  der- 
jenigen des  Mondes  ist.  Für  die  Coefficienten  von  (r6>)  kann  man  in  erster 
Näherung  k*a-*  =  L*  setzen,  indem  das  Produkt  der  in  r0  von  der  Excen- 
iricität  abhängigen  Glieder  mit  den  Störungen  in  der  ersten  Näherung  vernachl- 
ässigt, in  zweiter  Näherung  rechts  berücksichtigt  werden  kann.  Dann  wird 
die  Gleichung 

-t~  L'\r*r)  -  —  *>lk  ccs{xt  +  K).  (8) 

Die  Integration  liefert  daher,  wenn  man  durch  dividirt,  und  mit  dem 
rechts  auftretenden  Faktor  A*a~*  =  Z'*  Glied  für  Glied  multiplicirt,  wodurch 
nur  Verhältnisse  von  mittleren  Bewegungen  auftreten1): 

(l)  6  (^)  Ä     sin  Vt  +  h*  cos  Vt  + 

[(2Z'  Z  ')Z'* 
fi  +  »g  -  I  (Z,_  z/)(5l'-  4Z,')(»Z'-  4Z,')  "'2<Z  ~  Z»>  ~ 
*Z'»  *Z'>  (9) 

-  «'(ZW)     (Z  -  w) -  * pZ.WKZ'-aZ.W)  ™<Z  -  2Z,  +  «) -h 

/q^  .        Z'»(5Z'  —  3Z,')  1 

V« J 1  (Z'-z1')z1'(2Z'-z7) w (Z  -  zi)J  • 

Multiplicirt  man  diesen  Ausdruck  mit 

^=l+ff«(  =  1  4-        (Z  —  ic), 

so  erhält  man  die  von  der  ersten  Potenz  der  störenden  Massen  abhängige 
Störung  6>  bis  einschliesslich  Grössen  von  der  ersten  Ordnung  der  Excentrici- 
täten. 

Die  bisher  willkürlich  gelassene  Integrationsconstante  Cp  welche  durch  die 
Integration  von  <fö  eintrat,  kann  so  bestimmt  werden,  dass  zu  ir  kein  const&ntes 


>)  Es  ist  z.  B.  der  CoeTficient  der  Evection: 
,    Z"(*  1  Z'—  2Z/4-«')  Z"(2Z'-  2Z,'-fft') 


Z'»[Z"-(Z'-2Z/4-ir')»]  *  (Z'-2ZJ'+rr')(Z'-f Z'-2Z1'4-7t')(Z'-Z'4-2Zl'— it1)  1 
Eigentlich  wäre  recht,  _&  =  °J  4-  ^  =  1+^  ™ 

v"=^|-  ist;  doch  kann  in  der  hier  beibehaltenen  Näherung  v"  vernachlässigt  werden. 


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443  Mechanik  des  Himmels.  57. 

Glied  hinzutritt;  hiermit  würde  C,  =  —  2  C  folgen.  Doch  wird  eine  andere 
Bestimmung  zweckmässiger,  weshalb  die  Constante  vorläufig  noch  beibehalten 
werden  soll. 

Die  Integrationsconstanten  hx,  hit  welche  aus  den  Beobachtungen  zu  be- 
stimmen wären,  können  gleich  Null  gesetzt  werden.    Ist  nämlich 
h ,  =  h  sin  (Z0  —  ff);    /*a  =  hQ  cos  (Z0  —  ff), 

so  würde 

hx  sin  L'i-h  /t,  cos  Lt  =  k  cos  (Z0  +  L't—  ff)  =  h  cos  (Z  —  ff), 
d.  h.  h,  H  sind  mit  —  e,  it  zu  identificiren. 

Entwickelt  man  nun  die  einzelnen  Glieder  in  47  (8)  und  schreibt  für  den 
Coefficienten 

1  a-/ä       1  1_  

so  erhält  man  mit  Vernachlässigung  von  e*  : 

eL'  eL 
H-|2Z        n,sin(L  -2Z,  -+-  n)  +       sin(L  -  n)  -  (10a) 


(a\     Z'(5Z'-3Z,')  1 

-  \TJ  *  z1'(2Z'-z1')  "<L  -  L^ \ 


dr 

Da  -jj  von  der  ersten  Ordnung  der  Excentncitäten  ist,  so  wird  innerhalb 
der  hier  gesteckten  Grenzen  das  erste  Glied  keinen  Beitrag  liefern;  aus  dem 
dritten  Gliede  entsteht,  wenn  wieder  die  mit  e  oder  fö\  multiplicirten  Glieder 
ohne  kleine  Integrationsdivisoren  vernachlässigt  werden: 

-  oTL'W*  =  -  ^8[Co  Z'di+  *  ^  2(Z  "  L,)\  (1°b) 

Endlich  entsteht  aus  dem  letzten  Gliede 

-  Jrfr  Yr dt -  - 2^      2/CZV/  +  *  zÄ7  "Ä  2<z  -  z.) 

+  1^,^,-«,)]-  (10c) 

Vereinigt  man  die  Ausdrücke  von  (10a),  (10b),  (10c),  so  erhält  man  für  die 
Störung  in  Länge: 

6Z  =  u»  -(4C0-h2C,)  -j{\Cx  -H  4  C)Z' <//-+- 

r       (2Z'  — z,')Z'  z'»  z'  ] 

+  L6(5Z'-4Z1';(3Z'-4Z1')~*(Z'-Z1')'  ~*(Z'-Z1')J,m2(Z_Z>)"+" 

Z'  eL  e  L  ^  ^ 

-f-  2f-^rf/«(Z-iO+92Z  ,_gt  fi»(Z— 2Z1-nt)~3z  ,^    ,  sin{Lx—*x)  — 

(a\%  Z'(5Z'-3Z,')  \ 

-  uj  *  z/(2Z'-ztv  "*(z  -  z,)j 

Damit  wird  nun  die  wahre  Mondlänge 
X  =  Z0  -+-  Z'/  -f-  Mittelpunktsgleichung  -f-  8Z 

=  [Z0  -  (J  C0  +  2  C,)  -»-  Z'  [1  -  (\  Cx  -4-  4  C)]  /  +  2«m  (Z  -  rc)  -+■  period.  Glied, 
wo  das  Hauptglied  der  Mittelpunktsgleichung  besonders  angeschrieben  ist.  Be- 
stimmt man  nun  die  mittlere  Länge  Z0  und  die  mittlere  tägliche  siderische 

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57.  443 

Bewegung  Z'  aus  Beobachtungen,  so  werden  diese  die  wahren,  bereits  um  die 
Störungen  corrigirten  Werthe  sein,  daher  wird  man 

|<70-r-2Cs  =  0,  |Cl-+-4C-=0 
:u  setzen  haben1)  oder  Cx  =  —  \C,  damit  wird  die  Constante  im  Radiusvector 

Cx  +  2C=-*. 

Ein  weiteres,  aus  den  Beobachtungen  zu  bestimmendes  Element  ist  die 
«Ixcentricität.  Diese  kann  aus  dem  grössten  GJiede  der  Mittelpunktsgleichung 
2  e  sin  (Z  —  ic)  ermittelt  werden.  Dabei  ist  aber  vorausgesetzt,  dass  der  Coefficient 
dieses  Gliedes  eben  2e  ist;  dann  aber  darf  in  kein  Glied  mit  diesem  Ar- 
gumente auftreten.  Dieses  ist  nun  nicht  der  Fall,  im  Gegentheil  ist  hier  ein 
(Jlied  mit  sehr  kleinem  Integrationsdivisor  it'  enthalten,  welches  aus  dem  Glied 
—  \e  cos  (Z  —  it)  in  fi  entstanden  ist.  Dass  dieses  Glied  aber  zum  Verschwinden 
gebracht  werden  kann,  wird  in  No.  59  gezeigt.    Dann  wird: 


fr         (2Z'  Z  ')Z'  Z'*  Z'  1 

3  Z  *.  H-a  |  [6  (bL,_4Li  ^zr-AL,;)  ~  *  iL-  Zt ')»  ~  ^Z'-Z/jJ^  2(Z_Z ' 


) 


««(Z  -  2Z,  + «)-  27^7  sin^  ~ 02) 


(a\     Z'(5Z'-8Zt')  \ 


Man  pflegt  für  den  Mond  nicht  die  Entfernung,  sondern  seine  Aequatoreal- 
Horizontalparallaxe  anzugeben.  Ist  dieselbe  p,  so  wird,  wenn  p  der  Aequatoreal- 
halbmesser  der  Erde  ist 

p 

SM  p  —   , 

wenn  man  unter  r0  den  elliptischen  Theil  des  Radiusvectors  versteht  und  die 
Störungen  6V  abtrennt.    Dann  wird: 

*>-r^h;-f  (>-£)• 

r0  +  «''  ro/ 
Berücksichtigt  man  nur  die  ersten  Potenzen  der  Excentricitäten  und  Massen, 

so  wird  r-  5rn 

sinp  =  £   1  +  ^  w  (Z  —  ic)  —  —  I  • 

8r  1 

Nun  ist  —      —j(r0&r)',  es  wird  daher  der  Ausdruck  (9)  mit  1  -+-  2*  r«f  (Z— it) 

zu  multipliciren  sein,  wobei  aber  die  mit  e  multiplicirten  Glieder  ohne  kleine 
Integrationsdivisoren  in  der  hier  beibehaltenen  Näherung  wegzulassen  sind. 
Weiter  wird  man  die  Integrationsconstanten  At,  //,  und  ebenso  wie  in  8Z  auch 
das  zweite  periodische  Glied,  welches  von  dem  Ausdrucke  —  \ecos(L  —  ic)  der 
Störungsfunction  herrührt,  weglassen,  und  dann  gemäss  der  Bestimmung  der 
Integrationsconstanten  Cx :  Cx  -f-  2  C=  —  \  setzen.  Zieht  man  dann  die  sämmtlichen 
constanten  (nicht  periodischen)  Theile  der  Entwickelung  zusammen,  so  wird  das 

Produkt  derselben  in  -  ebenfalls  eine  Constante,  der  Sinus  der  mittleren 

a 

Aequatoreal-Horizontalparallaxe  p0  des  Mondes;  für  diese  ist  also: 

^(1+1^+  )  =  si"P*  (13) 

und  dann  wird") 

•)  Würde  die  Constante  so  bestimmt  worden  sein,  dass  zu  8r  kein  constaotes  Glied  hinzu- 
tritt, so  würde  eine  Störung  in  der  mittleren  Bewegung  Übrig  bleiben. 

>)  Selbstverständlich  sind  die  Coefficienten  der  periodischen  Theile  durch  den  gemein- 
schaftlichen Faktor  su  dividiren.    Für  die  vorliegende  Näherung  kann  dies  unterbleiben. 


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444 


Mechanik  de«  Himmel».  57.  58. 


IT  (2L'  —  L  ')£'* 

l+««C£-*)+l',|i  (/■-Z,')(5/.'-4zVx3^'-«^i,)",2(Z~Z') 

+*(si1--O(*'-s*,'-«-«')<",(*~'z'  +  '0~  (W) 

-    » m-iw-w  <"<z  ~ L'  >] 1  • 

Der  Werth  von  />0  l)  ist  aus  Beobachtungen  zu  bestimmen,  und  er  ist  nach 
Hansen: 

-  3422"-7. 

58.  Integration  der  Differentialgleichung  für  die  Breite.  Für 
die  Störungen  in  Breite  hat  man  die  Differentialgleichung 

d*z     kZz  dü 

dt'  +  r*       dz  w 

Es  wird  jedoch  geocentrisch  nicht  x,  sondern  die  Mondbreite  beobachtet. 
Ist  wieder  die  Tangente  derselben  gleich  s,  so  wird 

rs 

Es  sollen  nunmehr,  da  nur  Glieder  erster  Ordnung  der  kleinen  Parameter 
berücksichtigt  werden,  Kürze  halber  sofort  die  Glieder  zweiter  Ordnung  weg- 
gelassen werden,  da  der  Gang  für  die  Berücksichtigung  derselben  aus  dem  früheren 
ausreichend  klar  sein  wird.    Setzt  man  also 

*  =  rs, 

so  wird: 

d's      %(Tr(h      s_  d*_r  l  £Q 

dt*  ~*~  r  dt  dt  ~*~  r  dt*  ~*~   r»  ™  r  dt'  (' 

Nennt  man  j0  den  ungestörten  Werth  von  s,  also 

s0  um  sin  isin(v  -+-  o»),  ~  sin  ' cos  (v  ~*~  °0  (~J7  "+"  » 

so  sind  s0  und  ds0  von  der  Ordnung  der  Neigung,  also  als  Grössen  erster 
Ordnung  anzusehen.   Für  s0  ist  aber 

d*s0       2    dr0  ds0      s0  d' r0      k*  s0 

~Ji*  ^  7^  ~dT  Ii  ^  VQ  ~dT*~  ~*~  ~7/~  (2b) 
Subtrahirt  man  die  beiden  Gleichungen  (2  a)  und  (2  b),  so  folgt 
d'ts      (2  dr      2_  dZo\  2  drQ  (ds      ds0\      (s_      s±\  d*r 

dt'  +\r  dt~  r0  dt)  dt  +  r0   dt  [dt  "   dt)  +  \r  "  rj  dt'  + 

So  (d>r      d>r0\  (s       *.\       Idfk  ™ 

+  r0  \dt*  -  dt*)+  *•  \r*  "  r0')  "  r  dz' 
Setzt  man  hier  s  =  s0     6s,  r  =  r0  +  6>  ein,  so  erhält  man  in  der  an- 
gegebenen Näherung*) 


•)  Es  muss  hervorgehoben  werden,  dass  in  den  Lehrbüchern  der  sphärischen  Astronomie 

die  mittlere  Aequatoreal-Horirontalpmrallaxe  des  Mondes  durch  =  -  definirt  wird.  Selbst» 

verständlich  ist  diese  vereinfachende  Voraussetzung,  welche  für  die  weiteren  Entwickelungcn 
immerhin  gemacht  werden  kann,  nur  richtig,  wenn  die  Mondbahn  als  kreisförmig  vorausgesetzt 
wird,  d.  h.  sowohl  auf  ExcentricitMt  als  Störungen  nicht  Rücksicht  genommen  wird. 

*)  Wobei  jedoch  noch  aus  den  rechts  mit  8 s  multiplicirten  Gliedern  die  constanten  TheUe 
tu  dem  Coüfficienten  Z'»  gezogen  werden  müssen;  vergl.  No.  #0. 


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Mechanik  des  Himmels.  58. 


445 


_,.  ,  2  ds0  dir 

aus  dem  zweiten  Ghede    h  77  ~rr\ 

r  dt  dt 

das  dritte  und  vierte  Glied  sind  zu  vernachlässigen, 

der  fünfte  Ausdruck  ist   —  , 

r9  dt% 

der  sechste  Ausdruck  _  3*o*o  $r  • 

auf  der  rechten  Seite  kann  man  r0  für  r  schreiben,  und  erhält  daher 

+  *  «*-  r#  a,  -  r0  \  dt*        r0»  8'0J      '0  "    *         (  } 
Es  ist  nun  zunächst:1) 

1  dQ  k>M  z  k*Af[t      n  r    \    .  .  .  , 


=  —  Z'V*"«  isin{L  —  &). 

Weiter  ist  zu  beachten,  dass  bei  der  Integration  wieder  die  Nenner  Z'*  —  x* 
hervortreten,  welche  nur  merklich  werden,  wenn  das  Argument  des  betrachteten 
Gliedes  der  rechten  Seite  Z  mit  dem  Coefficienten  1  enthält. 

Berücksichtigt  man,  dass  die  Hauptglieder  in  Ir  und  seinen  Differential- 
quotienten Z  enthalten,  diese  aber  mit  s0  =  sin  isin(L —  ß)  multiplicirt  kein 
derartiges  Argument  geben,  so  können  diese  Glieder  ebenfalls  wegbleiben;  nur 
die  Variation  liefert  einen  Beitrag,  indem  das  Produkt  der  trigonometrischen 
Functionen,  deren  Argument  (Z  —  ist,  nebst  deren  Ableitungen,  mit  dem 
sin  2(Z  —  Z,)  in  dem  resultirenden  Argumente  Z  mit  dem  Coefficienten  1  erhält. 
Bezeichnet  man  für  den  Augenblick  Kürze  halber  den  Coefficienten  der  Variation 


-Ii"'"  (j+znry 


0, 


(3Z'  —  4Z1')(5Z'  —  4Z/) 
so  wird 

ir  =  at)cos2(L  —  Lx) 
1  dir  _        .  _  .     1  dHr        Atr.     r  tS9 

ä~dt=- V- A> «•  2(Z -  z,);  -  77^=-  W-  A  )•» 2(Z - z,) 

die  drei  letzten  Ausdrücke  geben  daher  den  Beitrag 

—  sinisin{L  —  4(Z'  —  Zt')'D  w3(Z  —  Z,)  —  3Z'»ü  <w  2(Z  —  Z,)] 

-I-  4  *  m  #  <w  (Z  -  ft)  (Z'  -  ß')  (Z'  -  Z, ')  t> ««  2  (Z  -  Z , ). 


l)  Es  dum  natürlich  dasselbe  Resultat  aus  56  (3)  hervorgehen;  nur  ist  zu  beachten,  dass 
H  ebenfalls  von  s  abhängig  ist   Es  wird 

_  +  *•  *  £  £  [<szr> -  l)  +  f  £  <5*«  -  3/o]  + 

und  da  für  »'«=0  deT  nach  dem  explicite  vorkommenden  f  genommene  Differentialquotient: 
null  ist,  und 


dN=  _  £  3r  =  j» 
ist,  so  wird  ^  '    d*  r 


*j  -  +  A»  A/  JL  [(3//»  -  1)  + 1  j,  (5* « -  3/0  -  8/r»  -  *  £  (15/r»  -  Biso] . 


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44^  Mechanik  des  Himmelt.  68.  59. 

Löst  man  hier  die  Produkte  auf,  und  berücksichtigt  nur  diejenigen  Glieder, 
welche  im  Argumente  Z  mit  dem  Faktor  1  enthalten,  so  erhält  man: 

[-  2(Z'  -  Z,')*  -  |  Z'*  +  2(Z'  -  &')(£'  -  Zt')]ö  sin  isin(L  -  2Zt  +  ft) 

daher,  wenn  man  in  dem  Ausdrucke 

Z't 

IJ  —  Lx%wmV  +  L* 

seut, 

+  \  t*»Z'»(2Z'  -  Z1')(3  L'-Lt'  +  4ft')   .  .  ...  0_ 
 (3Z>_4A.)\5r_4z;.)  «.««.(X  -  2Z,  -f-  ft). 

Die  Differentialgleichung  wird  daher: 

H-  Z'flf  =»  —  L'*u*sinisin{L  —  ß)  + 

(3  a) 


.  ,,a  f  .   ,(2Z'-  Z^^-Z^^ft')  .  a_  ft. 

und  daraus 

*s  =  -  (lz^ft')ft' "'*'"ä(Z - ß)  + 

Z'V(2Z'-  Z^XaZ'-  Z/  +  4jV)  rr    vr  W 

+  *(2Z'-2Z/4-ft,X2Z/-ßO(^Z'^4Z1'X3Z'-4Z1')WÄ"W(Z~2Z'1"Hft;- 

59.  Elementare  Glieder;   Secularbewegungen  von  Knoten  und 
Perigeum.   In  den  Gleichungen  57  (9),  (11)  und  58  (4)  treten  zweierlei  stark  ver- 
größerte Glieder  auf;  in  den  einen  wird  die  Vergrösserung  durch  den  Faktor 
Z'  1 

y-r  =  -  bewirkt,  so  dass  die  resultirenden  Coefficienten  nur  mehr  von  der 

Ordnung  ji,  d.  h.  der  Quadratwurzel  aus  der  störenden  Masse,  sind;  ausserdem 

aber  eine  zweite  Gruppe  von  Gliedern,  welche  im  Nenner  ft'  und  *'  haben. 

Z'    L  1 
Die  Verhältnisse  — , ,       sind  aber  von  der  Ordnung       ,  so  dass  in  diesen 

Gliedern  der  Faktor  ja*  ganz  verschwindet,  die  Coetficienten  von  der  nullten 
Ordnung  der  störenden  Massen  sind.  Sie  verlieren  den  Charakter  der  Störungen, 
und  werden  mit  Gliedern  der  ungestörten  Bewegung  vergleichbar.  Diese  Glieder 
erhielten  von  GYLDfeN  den  Namen  elementäre  Glieder.  Es  können  aber  im 
weiteren  Verlaufe  auch  Glieder  auftreten,  in  denen  nicht  nur  der  Faktor  jj.»  im 
Zähler  verschwindet,  sondern  wo  noch  überdiess  die  störenden  Massen  in  den 
Nenner  treten:  es  entstehen  hyperelementäre  Glieder.  Es  ist  sofort 
klar,  dass  eine  derartige  Entwickelung  unbrauchbar  ist,  indem  man  es  nicht 
mehr  mit  Näherungen  zu  thun  hat,  sondern  die  Reihen  divergent  werden. 

Diese  Glieder  haben  aber  die  Eigenschaft,  dass  sie  aus  denjenigen  Gliedern 
der  störenden  Kräfte  entstehen,  die  ausser  Z  noch  ß  oder  n,  aber  kein  anderes 
Argument  enthalten;  denn  nur  dann  kann  (Z'*  —  x1)  =  (Z'  —  x)  (Z'  x) 
den  Faktor  oder  it'  erhalten.  Wenn  man  daher  in  den  störenden  Kräften 
diese  Glieder  zum  Verschwinden  bringen  könnte,  so  würden  eben  auch  die 
Glieder  nicht  auftreten.  Hierzu  giebt  es  aber  ein  Mittel,  welches  nicht  nur  zu 
diesem  Zwecke  tauglich,  sondern  für  eine  streng  richtige  Lösung  unbedingt  er- 
forderlich ist. 

Die  Auflösung  der  canonischen  Differentialgleichung  ohne  letztem  Gliede 
war,  da  hier  y£"  «=  Z'  ist: 

hsin  (Z'Z  -+-  IT)  =  hsin  (Z  +  H), 


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Mechanik  de«  Himmels.  59.  447 

wo  h  und  H  die  Integrationsconstanten  sind.  Für  r  wird  h  —  —  e,  //=  90°  —  ; 
der  aus  der  Beobachtung  zu  bestimmende  Theil  — ecos{L  —  für  s  ist 
h  =  ;m  /,  H  =  —  ß,  das  betreffende  Glied  «'« *  sin  (Z  —  ft). 

Diese  Lösung  setzt  voraus,  dass  &  und  ic  constant  sind;  es  wäre  dann 
nicht  gestattet,  bei  der  Integration  der  canonischen  Differentialgleichung  mit 
letztem  Gliede  diese  Grössen  als  veränderlich  anzusehen.  Die  Folge  davon 
wäre  aber,  dass  nunmehr  jene  Glieder,  welche  dieselben  Argumente  enthalten, 
und  welche  zur  Entstehung  der  elcmentären  Glieder  Veranlassung  geben,  die 
Nenner  oo  erhalten  würden.  Die  Lösung  der  canonischen  Differentialgleichung 
in  der  bisher  benutzten  Form  setzt  also  geradezu  voraus,  dass  in  dem  letzten 
Gliede  kein  Ausdruck  mit  dem  Argumente  (Z7  K)  vorkommt.  Wenn  solche 
Glieder  auftreten,  so  muss  die  Integrationsmethode  geändert  werden;  dies  ge- 
schieht eben  durch  die  Annahme  eines  veränderlichen  H. 

Es  wird  in  der  canonischen  Differentialgleichung  sofort  jenes  Glied  mit  dem 
kritischen  Argumente  berücksichtigt.  Dann  wird  dieselbe,  wenn  sofort  L  für 
Yf  geschrieben  wird: 

d-^  +  L'*y=fsin{L't  +  H)  (1) 
und  das  Integral  in  der  Form 

y  =  hsin(Z'f  +  H),  (2) 
wobei  jetzt  H,  und  der  grösseren  Allgemeinheit  wegen,  sogleich  auch  h  als  ver- 
änderlich angenommen  werden.  Lässt  sich  die  Gleichung  (1)  durch  den  Aus- 
druck (2)  unter  dieser  Annahme  befriedigen,  so  wird,  wie  man  sofort  sieht,  die 
Integration  der  Gleichung  mit  letztem  Gliede  zu  denselben  Resultaten  führen, 
wie  früher,  wobei  aber  die  in  den  Argumenten  K  auftretenden  Grössen  H  eben- 
falls als  veränderlich  angesehen  werden,  d.  h.  wo  in  den  Werthen  der  (x/  ■+-  AT)  in 
xt  die  sämmtlichen  veränderlichen  Theile  eingezogen  sind,  wie  dieses  in 
No.  49  geschah.  Nur  in  diesem  Falle  werden  daher  die  in  49  erhaltenen  Resul- 
tate theoretisch  richtig. 
Aus  (2)  folgt: 

£  =  hL'cos(L't  +  H)  +~  sin{L' t  +  H)  +  h  cos  (L't  +  //)^ 

^  =  —  AL'*sin(L't+Il)+2  ^Z'<w(Z' /-+-//)-  1h£ sin^Ut+H)^ + 

d*  h  ,  ,  w,  dh      , _,       „~dH      ^  ^ 

+        sm(L't  +Ä)+2^  fUL'i+m-ä  ~ 

(dH\  7  d%  H 

£)  +hcos(L't+H)-^. 

Setzt  man  dies  in  (1)  ein,  so  folgt: 

|"_  AZ'»-  2AZ'  ^-h  ~£  ~h{^j)+  hL"\  sin  W  "+~  H)  "+" 

+  [2  ITt  r+  +  cos  V  +     =fsin  <zv  + 

woraus  sofort  zu  ersehen  ist,  dass  in  der  Lösung  (2)  für  H  derjenige  Werth 
genommen  werden  muss,  der  in  dem  kritischen  Glied  von  (1)  enthalten  ist,  und 
weiters,  dass 

i  (dHV     o  L  r,  dH  d%h 

,  d*H        dh  dH     Ä  dh  r,  (4) 
+  *  dt'«**«1'-* 


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44»  Mechanik  des  Himmels.  59. 

gesetzt  werden  muss.  Wird  nun  zunächst  angenommen,  dass  h  constant  ist,  so 
werden  daraus  die  Gleichungen  folgen: 


*  -77T  —  0.  (5) 


Die  zweite  Gleichung  giebt: 

H=  ffa  -f-  Hx  t, 
wo  JJ0  und  Hx  constant  sind,  und  dieses  in  die  erste  substituirt: 

H?  -+-  1L'HX  =  -  ^ 


(6) 


wo  das  obere  Zeichen  zu  nehmen  ist,  wenn  die  Veränderlichkeit  von  H  als  klein 
vorausgesetzt  wird.    Es  würde  daher 

»>  ~  L'  (V1  ~  ÄZ1*  - ')  <7> 

oder  wenn  /  gegenüber  hV%  nur  klein  ist: 
In  dem  vorliegenden  Falle  ist: 

1)  Für  die  Gleichung  57  (8)  mit  der  Beziehung  (7  a),  da 

ist: 

/(  =  —  3<,  ^=90°-«;  /=  — +  j^"?) 

Hier  tritt  allerdings  rechts  noch  ^r""*'  auf;  vernachlässigt  man  es  gegen- 
über Z',  so  wird 

£  =  +  n«r.  (8.) 

2)  Für  die  Gleichung  58  (3a)  ist: 

A  «  */* i,  #  =»  —  ß,  /  =  -  Z' V«« ' 

^--*Zy».  (8b) 

Die  Bedingung  des  Verschwindens  der  elementären  Glieder  giebt  also  sofort 
eine  Bestimmung  für  die  Bewegung  der  Knoten  und  Apsiden. 

Die  in  No.  57  und  58  erhaltenen  Ausdrücke  geben  die  Störungen,  die  von  der 
ersten  Potenz  der  Masse  herrühren.  Setzt  man  diese  in  die  rechte  Seite  der 
Störungsfunction,  so  werden  neue  Ausdrücke  entstehen,  die  aber,  da  0  den  Faktor 
fi1  hat,  mit  ja4  multiplicirt  auftreten.  Bei  der  Berücksichtigung  der  dritten  Potenz 
der  störenden  Massen  tritt  noch  ji«  hinzu,  so  dass  also  eine  nach  Potenzen  von 
fi>  (d.  i.  der  störenden  Masse)  geordnete  Reihe  erhalten  wird;  da  ja*  nahe  TTir 
ist,  so  werden  die  aufeinanderfolgenden  Näherungen  als  convergent  angesehen 
werden  können,  insolange  nicht  durch  das  Auftreten  von  kleinen  Integrations- 


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Mechanik  des  Himmels   59.  60. 


divisoren  diese  Convergenz  gestört  wird,  eine  Erscheinung,  die  nun  aber  nicht 
zu  vermeiden  ist.  Die  Entwickelungen  können  vollständig  numerisch,  oder 
analytisch  geordnet  nach  Potenzen  der  kleinen  Parameter  oder  geordnet  nach 
Potenzen  von  u,'  durchgeführt  werden.  Dem  Wesen  nach  ist  dieses  die  Methode 
von  Laplace,  welche  auch  mit  mehr  oder  weniger  bedeutenden  Modifikationen 
von  Plana  und  Damoiseaux  verwendet  wurde.  Völlig  consequent  hat  z.  B. 
Pontecoulant  die  Entwickelungen  nach  Potenzen  von  ji*  vorgenommen,  dabei 
aber  auch  die  Nenner,  welche  U  —  iLJ  =  Z'(l  —  *»  enthalten,  nach  steigen- 
den Potenzen  von  p  aufgelöst  (wodurch  auch  ungerade  Potenzen  auftreten),  ein 
Vorgang,  der  jedoch  vom  Standpunkte  der  Convergenz  der  Reihen  als  nicht  zu- 
lässig erklärt  werden  muss. 

60.  Secularacceleration.  In  Gleichung  67  (11)  für  die  mittlere  Länge  trat 
das  Integral  auf: 

—  +  *C)L'dt, 

in  welchem  die  Integrationsconstante  Cx  so  bestimmt  wurde,  dass  L'  die  aus 
den  Beobachtungen  folgende  mittlere  Bewegung  repräsentire,  d.  h.  dass  dieses 
Integral  verschwinde.  Die  Grösse  C  ist  aber  nicht  völlig  constant;  sie  ist  nach 
56  (5),  abgesehen  von  Gliedern  4.  Ordnung: 

C-i(l  +  i*«  +  W-67«)  (1) 
und  da  die  Exccntricität  der  Erdbahn  nicht  constant  ist,  sondern  einer  secularen 
Veränderung  unterliegt,  so  wird  C  als  variabel  angesehen  werden  müssen.  Setzt 
man,  da  die  Excentricität  der  Erdbahn  abnimmt: 

=  e*  =  ,x(o)»  —  2^(0^,'/,  (2) 

so  kann  Cx  als  Integrationsconstante  nur  so  bestimmt  werden,  dass  der  constante 
Theil  der  unter  dem  Integral  befindlichen  Summe  verschwindet;  der  von  /  ab- 
hängige jedoch  muss  stehen  bleiben,  so  dass  dieses  Integral  in 

+  ipl%tj&eJtVit=  +|<rt<°)*1'ZV/»  (3) 

übergeht.  Dieses  Glied  ist  zum  Ausdruck  57  (12)  hinzuzulegen,  es  giebt  die 
Secularacceleration  des  Mondes. 

Der  Coefficient  /  in  Gleichung  59  (1)  ist  aber  ebenfalls  von  e{  abhängig. 
Schreibt  man: 

so  werden  jetzt  die  Gleichungen  69  (4): 

,  d*H     ^dk  dH     „  dh  „,     „  <5' 

*  irr+^dl  -d7  +  2dl/-~° 

und  man  sieht,  dass  die  Gleichungen  59  (5)  wegen  der  Veränderlichkeit  von  / 
nicht  erfüllt  werden  können.  Daraus  folgt,  dass  auch  h  veränderlich  angenommen 
werden  muss. 

Die  zweite  Gleichung  (5)  lässt  sich  schreiben: 

d*H  dh 
dt*  2  dt 

-—dH+-r  =  0'* 
L+nt 

deren  Integration  liefert 

bg^V  +         +  *  log  h  =  hg  c*L'  (6) 


Valbntimx,  A»troM»ie.   II.  39 

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45«  Mechanik  Hcs  HimineJ».  60. 


dH'  CT) 


wo  €  die  Integrationsconstante  ist.    Hieraus  ersieht  man,  dass  die  Verfnderlkn- 

d  H 

keit  von  h  jedenfalls  eine  sehr  geringe  ist,  da  ~jj  gegenüber  £'  sehr  klein  ia; 
man  kann  demnach  auch 

*-'('-*i£)-'-*rT?  <8> 

setzen.    Sieht  man  daher  in  der  ersten  Gleichung  (5)  von  dem  aweiten  Dtfferen- 
tialquotienten  von  h  ab,  so  folgt: 

oder,  wenn  der  Nenner  entwickelt  wird: 

dH        1    (dH\%  l  ... 

Eine  Näherung  wird,  wie  unmittelbar  ersichtlich,  und  auch  aus  59  (4)  folgt: 
als  genaueren  Werth  erhält  man: 

'•Tt  -  -  57T     +        +  sITTT*  </<  t9' 

oder,  wenn  man  die  dritten  Potenren  von  /  vernachlässigt,  und  /,»»«(•)•  — 
S  <(•)*,'/  einsetzt: 

Tr--l57T/«+5sT/*''J 

=  -2^(/.^'i0")  +  ^/''o  , 

H  =  fit  —  ^j,  (/,  +/,  af»')  '  +  »  '-^/»"-  W 

Es  werden  daher  auch  det  Knoten  und  das  Perigeum  der  Mondbahn  ein« 
Secularvariation  unterliegen,  überdies  aber  auch  h  veränderlich  sein.  Der  Wertf 
von  h  wird  nämlich: 

4 ^[--ip  </,.,./,,,•)] 

- <  +  nr>  u, +  /•<.'")-  *  -  V:  /»* 

Schreibt  man  daher 

H~Ht  + H't+ H"t*\    h*=hQ  +  h't,  (Ha) 
so  wird  }  ( 

*t-'  +  4ri(/.+/i'P)i);  ^-i-^/*- 

Damit  wird  noch 

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Mechanik  des  Himmels.  60.  61. 


45» 


welcher  Werth  in  (IIa),  (IIb)  einzusetzen  wäre;  doch  wird  für  die  vorliegende 
Näherung  ausreichend 

t  —  h-     TV  — 

wodurch  die  Resultate  für  die  Bewegung  von  A  und  it  mit  den  in  59  (Sa),  (8b) 
erlangten  identisch  werden.    Um  die  Secularvariationen  zu  erhalten  sei: 

1)  Der  Coefficient  von  cos(L  —  xt)  in  57  (5): 

so  wird  in  erster  Näherung  px  =  1  und  weiter  (vergl.  pag.  448  den  Werth  von/): 
demnach  der  Coefficient  von  /'in  dem  Ausdrucke  für  *: 

2)  Sei  der  Coefficient  von  sin(Z  —  ß)  in  58  (3  a):  —  Z'V     »(/t  +  fi«A 
so  wird  in  erster  Näherung  ebenfalls  l,  =  1  sein,  und 

/3  =  —  Z'>  fi»  JMf  1  Ä0  =  Jl«  * 

demnach  der  Coefficient  von  /*  in  ß 

-  B"  =  *  ^  =  +  ZVf  r  Old> 

Vergleicht  man  die  Coöfficienten  von  /*  in  den  Ausdrücken  (6),  (11c),  (lld), 
so  findet  sich 

*  ~äpT  •i^T-i-rf7r  =  -H3:-2fl:-r-^. 

61.  Andere  Formen  der  Entwickelung.  Delaunay,  Airv,  Hansen. 
Obgleich  die  Entwickelung  der  periodischen  Störungen  nach  diesen  Principien 
an  und  für  sich  keine  analytischen  Schwierigkeiten  darbietet,  so  erfordert  die- 
selbe praktisch  eine  sehr  grosse  Aufmerksamkeit,  damit  nicht  ein  oder  das  andere 
merkliche  Glied  übergangen  werde.  Thatsächlich  sind  die  bei  den  Untersuchungen 
verschiedener  Forscher  auftretenden  Unterschiede  in  den  Coefficienten  einzelner 
Glieder  dem  Umstände  zuzuschreiben,  dass  bei  der  Berechnung  derselben  einzelne 
Combinationen  von  Gliedern,  deren  Produkte  zu  einem  gegebenen  Argumente 
gehören  und  merkliche  Resultate  geben,  übersehen,  oder  als  unmerklich  Ubergangen 
wurden.  Um  diesem  Uebelstande  vorzubeugen,  hatte  Dei-aukay  die  Entwickelungen 
nach  der  folgenden  Methode  durchgefürt:  Bei  der  Integration  der  Differential- 
gleichungen wird  von  der  Störungsfunction  zunächst  nur  ein  einziges  Glied  berück- 
sichtigt; dann  lässt  sich  die  Differentialgleichung  in  einfacher  Weise  integriren,  und 
man  erhält,  ohne  eine  specielle  Annahme  über  die  Form  des  Integrals  zu  machen, 
dieselbe  durch  die  Entwickelung  der  Störungsfunction  direct  bestimmt.  Reducirt 
man  in  erster  Näherung  die  Störungsfunction  auf  die  Anziehung  des  Central- 
körpers,  so  erhält  man  die  ungestörte  Bewegung  mit  den  sechs  Elementen  als 
Integrationsconstanten.  Man  kann  nun,  nach  der  Methode  der  Variation  der 
Constanten,  diese  als  variabel  betrachtend,  die  ganze  Störungsfunction  oder  einen 
Theil  derselben  berücksichtigen ;  im  letzteren  Falle,  wenn  an  Stelle  der  Störungs- 
function ö  ein  Hauptglied  ö'  berücksichtigt   wird,  erhält  man  die  Elemente  in 

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452  Mechanik  des  Himmels.  61. 

der  Form  £0  +  £',  wo  £'  von  dem  Gliede  9'  in  der  Störungsfunction  herrührt. 
Substituirt  man  an  Stelle  der  Elemente  ihre  Werthe  £0  +  £'  in  die  Störungs- 
function, so  wird  diese  geändert,  denn  das  berücksichtigte  Glied  wird,  der  Be- 
stimmung von  £'  gemäss  verschwinden,  während  die  übrigen,  noch  nicht  be- 
rücksichtigten Glieder  in  Folge  der  Correction  £'  geänderte  Werthe  erhalten. 
Sei  die  neue  Entwickelung  ö,,  so  wird  man  die  Integrationsconstanten  der  letzten 
Integration,  welche  wieder  mit  £0  bezeichnet  werden  können,  neuerdings  als 
variabel  ansehen,  und  so  bestimmen,  dass  ein  weiteres  Glied  ß"  von  fit,  etwa 
das  Hauptglied  dieser  Entwickelung,  berücksichtigt  wird.  Dadurch  werden 
Störungen  £"  auftreten,  so  dass  die  Elemente  £0  -+-  £'  -j-  £"  sein  werden. 
Substituirt  man  diese  Werthe  in  öp  so  wird  der  Bestimmung  von  £"  gemäss 
das  berücksichtigte  Hauptglied  verschwinden,  und  ö,  durch  die  geänderte  Ent- 
wickelung Q9  ersetzt,  mit  welcher  in  derselben  Weise  zu  verfahren  ist.  Auf 
diese  Weise  werden  nach  und  nach  alle  Glieder  der  Störungsfunction  berück- 
sichtigt, und  wenn  man  dafür  sorgt,  dass  immer  die  Hauptglieder  mitgenommen 
werden,  so  werden  die  aufeinanderfolgenden  Correctionen  £',  £",  £"'  .  .  . 
und  daher  auch  die  in  ß1(  ö2,  ö,  auftretenden  Zusatzglieder  im  allgemeinen 
immer  kleiner. 

Auf  die  weitere  Austührung  der  Methode  kann  hier  nicht  eingegangen 
werden1);  die  Methode  ist,  uenn  auch  nicht  schwierig,  so  doch  mit  bedeutenden 
Weitläufigkeiten  verbunden,  die  übrigens  nach  Maassgabe  der  zu  berück- 
sichtigenden Glieder,  gerade  so,  wie  bei  anderen  Methoden,  unverhältnissmässig 
anwachsen.  Es  ist  allerdings  möglich  gewisse  Gruppen  von  Argumenten  zu- 
sammenzufassen, ohne  dass  dadurch  die  Integration  erschwert  wird,  und  dadurch 
das  Verfahren  wesentlich  abzukürzen;  nichtsdestoweniger  musste  Dri.aunay  bei 
den  späteren  Operationen,  wo  die  kleineren  Glieder  in  sehr  grosser  Zahl  auf- 
traten, gewisse  Vereinfachungen  vornehmen,  und  trotz  des  ganz  ausserordent- 
lichen Aufwandes  von  Arbeit  kann  man  schliesslich  praktisch  nicht  constatiren, 
ob  die  vernachlässigten  Glieder  nicht  thatsächlich  merkliche  Werthe  erreichen. 
Um  hierüber  Gewissheit  zu  erlangen,  müsste  entweder  die  DELAUNAY'sche  Methode 
auf  die  von  ihm  vernachlässigten  Glieder  erweitert  werden,  d.  h.  die  Grenzen 
für  die  zulässigen  Vernachlässigungen  müssten  wesentlich  weiter  gesteckt  werden, 
oder  aber  die  erhaltenen  Coefficienten  müssten  in  anderer  Weise  derart  corrigirt 
werden,  dass  sie  den  Differentialgleichungen  der  Bewegung  genügen.  Der  erste re 
Weg  würde  unzweifelhaft  neuerdings  eine  grosse  Zahl  merklicher  Glieder  mit 
Argumenten  ergeben,  welche  Df.launay  selbstverständlich  nicht  mehr  erhielt; 
die  letztere  Methode  könnte  nur  die  Correctionen  der  Coefncienten  derjenigen 
Glieder  liefern,  welche  von  Delaunay  gefunden  wurden.  Bei  der  Durchführung 
dieser  Arbeit  entschloss  sich  Airy  (»Numerical  Lunar  Theory«)  für  den  zweiten 
Weg,  welcher,  obzwar  selbst  noch  sehr  umfangreich  und  mühsam,  dennoch 
der  kürzere  schien.  Airy  ging  von  den  Differentialgleichungen  10  (C)  (in  einer 
unwesentlich  geänderten  Form),  aus.  Zu  den  aus  der  DELAUNAY'schen  Theorie 
folgenden  gestörten  Werthen  der  polaren  Coordinaten  werden  die  Coefticienten 
je  mit  einer  unbekannten,  zu  suchenden  Correction  versehen,  so  dass  an  Stelle 
des  Gliedes  a  sin  Arg  oder  a' •  cos  Arg  ein  Glied  {a  +  A«)  sin  Arg  bezw. 
(<*'  4-  ka')  (os  Arg  angenommen  wird.    Diese  Werthe  werden  in  die  störenden 

')  Für  —  ,  -j^-  erhält  er  dieselben,  nach  (a  geordneten  Reihen,  wie  sie  in  No.  CS  an- 
gegeben sind. 


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Mechanik  des  Himmels,  fit- 


453 


Kräfte  eingeführt,  und  die  Reihen  numerisch  multiplicirt.  Weiter  werden  die 
in  den  Differentialgleichungen  auftretenden  Combinationen  der  Differential- 
quotienten aus  den  für  die  polaren  Coordinaten  gegebenen  Reihen  abgeleitet, 
und  durch  Gleichsetzung  der  bezüglichen  Werthe  lineare  Gleichungen  zur  Be- 
stimmung der  unbekannten  Correctionen  abgeleitet. 

Ohne  in  grössere  Details  einzutreten,  muss  doch  in  Kürze  eines  sehr  verdienst- 
vollen Versuches  von  Weiler  Erwähnung  geschehen,  die  Störungen  durch  die 
Integration  der  geschlossenen  Ausdrücke  für  die  störenden  Kräfte  (ohne  Reihen- 
entwickelungen) zu  erhalten.  An  Stelle  derselben  tritt  dabei  eine  Reihe  von 
partiellen  Integrationen,  welche  so  angeordnet  werden,  dass  der  zu  integrirende 
Theil  der  partiellen  Integration  gegenüber  den  bereits  integrirten  von  höherer 
Ordnung  der  Kleinheit  wird,  indem  die  kleinen  Parameter  als  Faktoren  auftreten1). 

Auch  muss  hier  einer  sehr  interessanten  Arbeit  von  Bohlin  (Astron.  Nachr. 
No.  2882)  Erwähnung  geschehen,  der  die  Schwierigkeit  der  auftretenden  kleinen 
Integrationsdivisoren  durch  Zurückführung  der  Differentialgleichungen  auf  partielle 
zu  umgehen  sucht.    An  Stelle  der  Differentialgleichung 

tritt  die  partielle  Differentialgleichung 

wo  Kürze  halber  «  =  n't  gesetzt  ist.    Ist  das  Integral  dieser  Gleichung 

y=  -  *  G0C  H-  iGY«,  +  lGf1sm  (iC  -  7«»).  (3) 
so  erhält  man  zwei  Integrale  von  (1): 

-} >  «  -  \G„  -  HGncos  (iC  -  7«) 

f4) 

-t^«+*(i^:  +  ')-  +  »lg1-«-^-«- 

Das  Integral  von  (2)  kann  aber  durch  das  Eintreten  von  willkürlichen 
Functionen  so  bestimmt  werden,  dass  kleine  Integrationsdivisoren  nicht  auftreten. 
Hingegen  tritt  an  deren  Stelle  eine  Reihe  von  partiellen  Differentiationen  nach  C» 
bei  welchen  stets  ganzzahlige  Coefficienten  als  Faktoren  aultreten,  so  dass  es 
aus  diesem  Grunde  jedenfalls  »verfrüht  wäre  zu  behaupten,  dass  die  erhaltenen 
Reihen  convergent  sindc*). 

Ueber  die  Hansem 'sehe  Methode  genügt  es  hier  auf  das  in  No.  51  und  52  gesagte 
hinzuweisen.  In  der  Methode  völlig  identisch,  tritt  ein  Unterschied  nur  dadurch 
auf,  dass  auf  die  Bewegung  des  Perigeums  des  Mondes  schon  in  den  Differential- 
gleichungen Rücksicht  genommen  wird.  Es  wäre  in  51  (2) :  /  =  V-¥  r0  -+-  Tt'  / 
zu  setzen,  wodurch  in  den  Differentialquotienten  von  r,'  abhängige  Zusatzglieder 
auftreten.  Die  Störungsfunction  wird  für  den  Mond  nach  den  Cosinus  der  mittleren 
Anomalien  vorgenommen,  da  hier  mit  Rücksicht  auf  die  kleinen  Excentriciläten 


>)  Vergl.  u.  a.  a.  »Astr.  Nachr.  2515/6,  276a  und  3307«.  In  der  Praxis  werden  jedoch 
die  Resultate  so  verwickelt  (vergl.  Astr.  Nachr.  No.  261 1),  dass  sich  ihre  Anwendung  kaum 
als  fruchtbringend  erweist ;  ob  die  Ursache  davon  lediglich  die  von  Weiler  angegebene,  in  der 
Wahl  der  beiden  wahren  Anomalien  als  Argumente  gelegene  ist ,  bleibt  nach  den  späteren 
Untersuchungen  Weiler's  immerhin  fraglich.  Ueberdies  ist  sowohl  theoretisch  wie  praktisch 
keineswegs  der  Beweis  erbracht,  dass  die  Entwickelungen  convergent  sind. 

»)  1.  c.  pag.  24. 


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454 


Mechanik  des  Himmels.  61.  62. 


«ich  einfachere  Entwickelungen  ergeben;  endlich  ist  zu  erwähnen,  dass  Hansen 
die  Auflösung  der  Integrationsdivisoren  in  Reihen,  die  nach  steigenden  Potenzen 
von  p.  fortschreiten,  als  eine  der  Hauptursachen  der  mangelhaften  Convergenz 
der  Resultate,  unterlägst. 

62.  Die  Secularacceleration  des  Mondes.  Für  den  numerischen  Werth 
der  Secularacceleration  des  Mondes  hatte  Laplace  10"  angegeben1).  Dieser 
Werth  wurde  auch  von  Plana  und  Damoiseaux  bestätigt  gefunden.  Airy  fand 
anfangs  denselben  Werth;  bei  seinen  späteren  Untersuchungen  den  beträchtlich 
grösseren  von  12".  Die  von  Hansen  gefundenen  Werthe  weichen  von  einander 
um  ca.  1"  ab  und  bewegen  sich  zwischen  11"  5  und  12"5. 

Der  Coefficient  des  Integrales  fe^e^tL'dt  ist  nach  Formel  60  (3)  3  ft*. 
Dieses  ist  natürlich  nur  ein  erster  Näherungswerth,  das  Anfangsglied  einer  Reihe, 
welche  nach  Potenzen  von  jx  fortschreitet.  Nach  den  Entwickelungen  von  Plana 
und  Damoiseaux  ergab  sich  der  Coefficient 

ein  Werth,  welcher  auch  von  Hansen  nach  seiner  Methode  bestätigt  wurde. 
Derselbe  ergab  sich  jedoch  in  Folge  eines  Fehlers  in  der  analytischen  Ent- 
wiclcelung,  den  zuerst  (1853)  Adams1)  corrigirte.  Die  von  Plana,  Damoiseaux 
und  Hansen  gemachten  Vernachlässigungen  lassen  sich  nach  Adams  dahin 
präcisiren,  dass  der  Einfluss  der  Veränderlichkeit  der  Excentricität  der  Erdbahn 
auf  die  Tangenlialbewegung,  also  auf  die  Flächengeschwindigkeit,  nicht  berück- 
sichtigt erscheint,  und  nur  die  in  Folge  der  veränderlichen  Excentricität  der 
Erdbahn  auftretende  Variation  der  störenden  Kraft  in  der  Richtung  des  Radius- 
vector  in  Rechnung  gezogen  wurde.  Unter  Berücksichtigung  sämrotlicher  Einflüsse 
erhielt  Adams 

Der  Unterschied  beträgt  in  dem  Coefficienten  von  f*  mit  den  numerischen 
Werthen  von  *,<•>,  ex\  L'  und  jj.  :  — 1"-668). 

Plana  und  Damoiseaux  erklärten  jedoch  die  Methode  von  Adams  für  in- 
correkt,  und  als  Delaunay  im  Jahre  1859  in  der  Pariser  Academie  der  Wissen- 
schaften die  von  ihm  auf  einem  ganz  anderen  Wege  erhaltenen  mit  den  Adams- 
schen  übereinstimmenden  Resultate  mittheilte,  war  es  in  erster  Linie  PontEcoulant, 


*)  Die  numerischen  Werthe  der  Störungscoüfficienten  sowie  der  Secularacceleration  des 
Mondes,  seines  Knotens  und  Pcrigeums  können  aus  den  Formeln  in  No.  68  und  60  keineswegs 
erhalten  werden.  Die  daselbst  vorgenommenen  Vernachlässigungen  sind  viel  xu  erheblich,  als 
dass  die  Resultate  der  numerischen  Rechnung  auch  nur  einigermaassen  auf  Richtigkeit  Anspruch 
erheben  könnten.  Schon  die  Mitnahme  der  zweiten  Potenzen  der  Excentrici  täten,  um  so  mehr 
aber  die  Berücksichtigung  der  zweiten  Potenzen  der  Massen  wUrde  die  Coefficienten  wesent- 
lich verändern.  Es  muss  besonders  hervorgehoben  werden,  dass  hierbei  die  analytischen 
Operationen  nur  zur  Andeutung  des  Weges  dienen,  denn  ohne  diese  Darlegung  würde  das 
Auftreten  von  clementären  Gliedern,  das  Wegschaffen  derselben,  die  Bestimmung  der  Veränderungen 
in  den  Apsiden  und  Knoten  aus  den  Differentialgleichungen  für  die  polaren  Coordinaten  wohl 
kaum  verständlich  gewesen  sein.  Andererseits  aber  fallt  die  vollständige  Theorie  der  Mond- 
bewegung nicht  in  den  Rahmen  dieses  Werkes  Wenn  an  anderen  Stellen  auch  numerische 
Beispiele  gegeben  sind,  so  ist  dieses  immer  nur  dort,  wo  die  zulässigen  Vernachlässigungen 
u.  f.  w.  nicht  Uberschritten  sind.  Da  dieses  beim  Monde  für  die  Ableitung  der  numerischen 
Werthe  nicht  als  zutrefiend  gelten  kann,  so  wurde  auch  von  den  numerischeu  Substitutionen  hier 
Abstand  genommen. 

')  Philosophical  Transactions,  Band  143,  pag.  397. 

*)  L  c.  pag.  405. 


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Mechanik  des  Himmelt.  <V>.  455 

welcher  für  die  Richtigkeit  der  Alteren  Werthe  eintrat.    Adams  hatte  inzwischen 
seine  Untersuchungen  fortgesetzt  und  für  A  den  Werth  erhalten1). 

wo  e  die  Excentricität  und  7  die  Tangente  der  Neigung  der  Mondbahn  gegen 
die  Ekliptik  bedeuten.  Numerisch  entwickelt  gab  dieser  Werth  für  den  Coeffi- 
cienten  der  Secularacceleration  6"78,  also  fast  die  Hälfte  des  älteren  Werthes. 

Die  ausgedehntesten  Untersuchungen  hatte  aber  Delaunay  nach  seiner 
Methode  vorgenommen,  welche  ihm  den  folgenden  Werth  ergaben*}. 

^-  (3  -  t  t»+ £  <* + ?  <v+  5  74  -  h'<'-  ff     +  i«4  +  ff  <•  + 

-H  (St'  +  16^,-1i^T4-^  7*     +  277>        *f    -+-  676 1*  t{)  u.« 

,3771       50738  v2       1H0768  .1    ,    36109  ,«  ,  99729  „A    ,   6448319  „g.t  ,    1871465  ..i 

—  ("ST  —  liT  7*  5ÜT  '  "*~  TT  '»      IÖ24  7  +  1<Hr  7'*"+  "SÜT*  **J  *4 

_  _  ™*H  7f  _  6247^7   ,       722558    , ,  5 

  ^806865  _  9Z?15n5  7>  _  3577^5389^^«         570»47  ^,   »137626417 

_i_  f/15  _  3625    ,       2635    ,  v   .       2475    ,  _  863*418  4j 

^  IV  8         138  7    t"  lag  e  )r    ^    82  4096        J  *  t 

1 

Für  die  Coefficienten  des  obigen  Integrales  in  den  Ausdrücken  für  die 
Secularbewegung  des  Perigäums  (£)  und  des  Knotens  (C)  erhielt  Delaunay') 

*  -  -  (1  - 1 7'  - !  + ¥  <i' + S  7*  +  f  7^-  - 

c  -G  -fr" + +  r'i'  +  §  v4  +  gT»«f-g<  V  -  (ü  -St" -ff«'+  91^)ü» 

_  /»7»  _  TOM    ,  »\  4  _  74277     5  _  1854U991    «       875    ,  £*_ . 

U28       W  7         64   ff  /r         512  r  2457T^  r    +  «I1    fl  1 

1 

Die  Ausdrücke,  welche  Plana  und  Damoiseaux  hierfür  erhielten,  waren  von 
diesen  nicht  sehr  verschieden;  Plana  erhielt  die  Glieder  mit  p',  u.'**,  u.'^*, 
u*  i',  i*',  u.'**,  ji'^i1»  1*57*  u*  z*  nJ't  denselben  numerischen  Coefficienten,  ausser 
diesen  noch  die  Glieder 

•     n.         61755    4       18U049  „  j 
m   [28   SU"  J* 

Der  Einöuss  der  Veränderlichkeit  der  Flächengeschwindigkeit  auf  die  Secular- 
bewegung des  Knotens  und  des  Perigeums  ist  also  wesentlich  geringer  als  auf 
die  Secularbewegung  in  Länge. 

Schon  im  Jahre  1853  hatte  aber  Airv*)  und  1860  Hansen*)  gezeigt,  dass  die 
historischen  Finsternisse  (die  Finsternis  des  Thales  im  Jahre  —  584,  des  Xerxes 
—  480,  des  Ennius  —  399,  des  Agathokles  —  309,  endlich  die  Finsterniss  von 
Stiklastad  1030)  mit  einer  Verkleinerung  der  Secularacceleration 
nicht  dargestellt  werden,  und  eher  eine  Vergrösserung  derselben 


•)  Compt  rend.  Bd.  48,  pag.  247  und  887. 

>)  Compt.  rend.  Bd.  48,  pag.  817. 

*)  Compt.  rend.  Bd.  49,  pag.  309. 

*)  Philotophical  Transactions  Bd.  143,  pag.  179. 

»)  Compt  rend.  Bd.  50,  pag.  455. 


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456 


Mechanik  des  Hiramrh.  6J. 


erfordern.  Dieses  bestimmte  auch  Leverrier  zu  der  Meinung,  dass  die 
Rechnungen  von  Adams  und  Delaunay  fehlerhaft  sein  müssten ;  der  Streit  wurde 
in  der  französischen  Academie  —  oft  sehr  persönlich  —  geführt.  Hansen  blieb 
lange  bei  seinen  theoretisch  gefundenen  Resultaten  stehen,  gab  aber  später  die 
Richtigkeit  der  AüAMs'schen  und  DELAUNAv'schen  Resultate  zu,  wobei  er  aber 
praktisch  den  grösseren,  empirischen  Werth  beibehalten  zu  müssen  glaubte,  durch 
welchen  die  historischen  Finsternisse  dargestellt  werden,  und  Delaunay  vertrat 
schon  damals  die  Ansicht,  dass  die  Abweichung  der  auf  theoretischem  Wege 
erhaltenen  von  dem  aus  den  Beobachtungen  gefolgerten  Werthe  irgend  einer  bis 
dahin  noch  nicht  erörterten  Ursache  zuzuschreiben  wäre. 

Im  Jahre  1865  glaubte  er  diese  Ursache,  oder  wenigstens  eine  dieser  Ursachen 
in  der  Wirkung  der  Ebbe  und  Fluth  gefunden  zu  haben1).  Die  Wirkung  lässt  sich 
kurz  folgendermaasen  erörtern :  Der  Mond  wird  an  der  ihm  zugewendeten  und  ab- 
gewendeten Seite  in  der  Richtung  des  Radiusvectors  des  Mondes  eine  Anschwellung 
der  Erde  erzeugen;  diese  wird  sich  aber  im  Sinne  der  täglichen  Drehung  weiter- 
bewegen. Wenn  sie  stabil  bliebe,  so  würde  sie  an  der  dem  Monde  zugewendeten  Seite 
vom  Monde  stärker  angezogen  als  der  Erdmittelpunkt,  an  der  abgewendeten  Seite 
schwächer,  so  dass  ein  Drehpaar  entstehen  müsste,  welches  immer  eine  Drehung  der 
Erde  gegen  den  Mond  zu,  also  entgegengesetzt  der  täglichen  Bewegung  erzeugen 
würde;  dadurch  müsste  die  Drehung  der  Erde  verlangsamt,  der  Tag  etwas  länger 
werden;  in  diesem  nach  und  nach  immer  länger  werdenden  Tage  würde  der  Mond 
immer  grössere  Strecken  beschreiben,  so  dass  also,  reducirt  auf  die  als  Einheit 
angenommene  Tageslänge,  der  Mond  sich  immer  schneller  zu  bewegen  scheinen 
muss.  Diese  Anschwellung  ist  nun  allerdings  nicht  stabil,  sondern  wird  vom 
Monde  in  der  Richtung  des  Radiusvectors  stets  neu  erzeugt;  aber  da  sie  in 
Folge  der  stetigen  Zusammenwirkung  der  Mondanziehung  und  Erdrotation  immer 
etwas  in  der  Richtung  der  Erdrotation  vorgeschoben  ist,  so  wird  an  der  Art  der 
Wirkung  nichts  geändert,  nur  wird  die  Grösse  derselben  wesentlich  vermindert. 
Bald  darauf  hatte  Bertrand  »)  bemerkt,  dass  diese  Anschwellung  auch  eine 
Reaction  auf  den  Mond,  eine  Anziehung  auf  denselben  und  darauf  erfolgende 
Verringerung  seiner  Bewegung  erzeugt,  wodurch  aber  nur  der  numerische  Werth 
etwas  reducirt  wird. 

Eine  andere  Ursache,  welche  eine  Acceleration  in  der  Bewegung  erzeugen 
kann,  wurde  1884  von  v.  Oppolzer  in  dem  Niederschlagen  von  kosmischem 
Staub  auf  die  Erde  angegeben*).  Die  Wirkung  derselben  ist  eine  dreifache: 
1)  Durch  Vergrösserung  der  Massen  der  Erde  und  des  Mondes  wird  die  Be- 
wegung beschleunigt.  Ist: 


M  ^=  Mq  ~f-  AT  t\      tn  ==  Wq  -f-  iti  /, 
k*  (M+  m) 

so  wird  zur  anziehenden  Kraft  5         die  störende  Kraft  in  der  Richtung 


des  Radiusvectors  HQ  =  j  /  hinzutreten,  welche  in  der  mittleren 


Län.ge  eine  Störung  erzeugt,  die  durch  die  Differentialgleichung 

dbLx      2k(M'  +  m') 
dt    -  a\  ' 


bestimmt  ist,  so  dass 


')  Compt  rend.  Bd.  61,  pag.  1023. 
*)  Compt  rend.  Bd.  62,  pag.  162. 
s)  Aatroo.  Nachr.  Bd.  108,  pag.  67. 


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Mechanik  des  Himmels.  62.  457 

wird1).  2)  Durch  den  Massenzuwachs  der  Erde  wird  die  Rotationsgeschwindig- 
keit derselben  vermindert.  Nach  dem  Princip  der  Flächen  muss  nämlich  das 
Produkt  der  Masse  in  die  Rotationsgeschwindigkeit  constant  sein,  wobei  aber 
für  die  Masse,  da  man  es  mit  einem  rotirenden  Körper  zu  thun  hat,  die  diesen 
in  der  Entfernung  1  von  der  Rotationsaxe  ersetzende  Masse,  also  das  Massen- 
moment Ä*  gesetzt  werden  muss;  es  ist  also: 

K  <i>  =  const; 

demnach 

dm  =  —  ^  dK. 

Für  die  Kugel  ist  das  Massenmoment  K =  ^  tr  pr'  8,  daher  dK  =  $  n  p4  & ,  dp, 
wenn  Ä  die  Dichte  der  Erde,  8X  die  Dichte  der  abgesetzten  kosmischen  Massen 
und  p  der  Erdradius  ist.  Lagert  sich  im  Jahrhundert  eine  Schicht  von  der  Höhe 
h  ab,  und  nimmt  man  die  Dichte  des  kosmischen  Staubes  gleich  derjenigen  der 
Erde,  so  wird  in  /  Jahrhunderten  eine  Schicht  von  der  Höhe  ht  angesetzt,  demnach 
ist  dp  =  ht  dt 

du  =  -b^to>0dt,       A  «o  =  -  |£«t/». 

Dieser  Verminderung  der  Rotationsgeschwindigkeit  entspricht  eine  Ver- 

längerung  des  Tages  um           und  in  dieser  Zeit  legt  der  Mond  in  seiner  Bahn 

Ja) 

das  Stück  Z'  zurück,  so  dass  die  hieraus  folgende  scheinbare  Beschleunigung 
seiner  Bewegung 

AZ,  =  -i-$£z'/* 

ist.  Endlich  wird  3)  durch  den  Widerstand,  welchen  der  Mond  in  einem  wider- 
stehenden Mittel  findet,  ebenfalls  ein  Secularglied  von  der  Form  AZ3  =  ot/* 
entstehen;  die  Gesammtbeschleunigung  wird  daher 


Durch  die  Substitution  der  numerischen  Werthe  erhielt  v.  Oppolzer 

AZ  =  +  1"-81/*/*, 

wobei  h  in  Millimetern,  /  in  Einheiten  des  Jahrhunderts  auszudrücken  ist.  Es 
genügt  daher,  um  den  Unterschied  zwischen  dem  beobachteten  und  theoretisch 
bestimmten  Werthe  zu  erklären 

h  =  2-8  mm  im  Jahrhundert 

anzunehmen. 

Der  hiergegen  gemachte  Einwurf,  dass  das  hierfür  erforderliche  Quantum 
kosmischen  Staubes  viel  grösser  wäre,  als  das  wirklich  beobachtete,  ist  ungerecht- 
fertigt; denn  die  beobachtete  Niederschlagsmenge  ist  durchaus  nicht  zu  ver- 
wechseln mit  der  thatsächlich  erfolgten;  zu  den  beobachteten  gesellt  sich  noch 
jener  Massenzuwachs,  welcher  durch  die  in  der  Luft  stattfindenden  Verbrennungen 
von  Meteoren  u.  s.  w.  in  nicht  controllirbaren  Mengen  erfolgt,  und  die  weitaus 
grösser  als  die  beobachteten  sind. 


')  Eine  genauere  Untersuchung  dieses  Theiles  der  Störung  gab  Gyld£n  in  den  rftstron. 
Nacbr  «  Bd.  109,  pag.  1. 


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45« 


Mechanik  des  Himmels.  6?.  OS. 


Auch  bei  der  Bestimmung  der  numerischen  Werthe  der  von  Delaunay  an- 
gegebenen Wirkung  muss  man  gewisse  Voraussetzungen  über  das  Gesetz  der 
Dichte  in  der  Erde  machen;  überdies  ist  hier  nicht  zu  übersehen,  dass  durch 
die  Querlagerung  der  Continente  die  Wirkung  der  Anschwellung  wesentlich  ge- 
ändert wird,  und  sich  der  strengen  Rechnung  beinahe  ganz  entzieht.  Ueber- 
haupt  ist  man  bei  derartigen  numerischen  Rechnungen  immer  auf  gewisse 
Hypothesen  oder  vereinfachende  Suppositionen,  welche  an  Stelle  der  strengen 
Gesetze  treten,  angewiesen,  und  es  ist  ganz  wohl  denkbar,  dass  nicht  eine  dieser 
Ursachen  allein,  sondern  mehrere  zusammengenommen  wirken,  um  einen  gewissen 
Effekt  zu  erzielen. 

Secularanderungen  in  den  Elementen  müssen  auch  entstehen,  wenn  die 
Schwerkraft  sich  nicht  momentan  fortpflanzt.  Diesen  Umstand  hat  schon  Laplace 
in  Rechnung  gezogen  unter  der  Voraussetzung,  dass  die  Schwerkraft  sich  durch 
ein  Fluidum  (Fluide  gravifique)  fortpflanzt;  neuerlich  wurde  diese  Frage  von 
einem  anderen  Standpunkte  aus  von  Lehmann-Filmes1)  erörtert.  Lehmann- Filhes 
kommt  zum  Resultate,  dass  die  Störungen  um  so  bedeutender  sind,  je  grösser 
die  mittlere  tägliche  Bewegung  und  die  Excentricität  sind;  unter  den  Planeten 
wird  daher  die  Wirkung  am  bedeutendsten  beim  Mercur  hervortreten ;  allein  die 
bei  diesem  beobachtete  anomale  Bewegung  des  Perihels  lässt  sich  nach  Lehmann- 
Filhes  nicht  durch  diese  Ursache  erklären. 

63.  Bestimmung  der  Ungleichheiten  aus  Beobachtungen; 
parallact  ische  Ungleichheit;  die  Wirkung  der  Abplattung  des 
Centraikörpers.  Von  den  periodischen  Gliedern  hat,  wie  bereits  erwähnt,  das 

a 

Hatiptglied  der  mit  dem  Coefficienten  —  behafteten  Reihe  eine  wichtige  theoretische 

a\ 

Bedeutung.   Dieselbe  ist  [vergl.  57  (12)]; 

-  -  Fsin  (Z  -  Lx). 
at 

Aus  einer  grossen  Reihe  von  Beobachtungen  lässt  sich  aber  der  Coefficient  N 
der  Längenstörung  Nsin(L  —  Z,)  ermitteln.  Es  wird  hier  nicht  unnöthig  über 
die  Bestimmung  der  Coefficienten  aus  den  Beobachtungen  einiges  zu  erwähnen. 
Angenommen,  man  habe  auf  irgend  eine  Weise  gefunden,  dass  sich  eine  zu 
beobachtende  Grösse  in  der  Form 

X  =  a'  sin  (a'  /  +  Ä)  +  a"  sin  (a"  /  +  A")  +  a'"  sin  («'"  /  +  A'")  +  ....— 

_  X1  +  X'  +  X'"  +  

darstellen  lasse.  Inductiv  gelangt  man  zu  dieser  Erkenntniss  dadurch,  dass  man 
zunächst  die  Periodicität  der  Erscheinung  X  erkennt,  damit  die  Dauer  ihrer 
Periode  und  die  Bewegung  ot'  des  Argumentes  in  der  Zeiteinheit,  aus  der 
Amplitude  derselben  den  Coefficienten  a'  und  aus  dem  Werthe  zu  einer  gewissen 
Epoche  den  Werth  von  A'  ermittelt.  Ueberwiegt  das  eine  Glied,  so  wird  man 
unschwer  den  analytischen  Ausdruck  X '  oder  eine  dasselbe  repräsentirende  Formel 
(Epicykel)  finden.  Bildet  man  X  —  X',  so  ergiebt  sich-  ein  regelmässiger  Verlauf 
des  Restes,  aus  dem  man  neuerlich  einen  periodischen  Theil  X"  ausscheiden  kann 
u.  s.  w.  Dieser  Weg  bei  der  empirischen  Bestimmung  der  Ungleichheiten  wurde 
ursprünglich  verfolgt  (vergl.  hierüber  die  tallgemeine  Einleitung  in  die  Astro- 
nomie«, pag.  io,  26,  36,  59,  68,  89,  119).  Ist  jedoch  die  Form  der  Entwickelung 
(die  Argumente)  durch  theoretische  Untersuchungen  bekannt,  und  es  handelt 

')  Astron  Nachr.  Bd.  no,  No.  2630. 


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Mechanik  des  Himmels.  «3. 


459 


sich  nur  am  die  empirische  Bestimmung  der  Constanten  a\  A\  a",  A"  ....  so 
können  diese  aus  einer  grossen  Zahl  von  Beobachtungen  durch  lineare  Gleichungen 
ermittelt  werden.    Schreibt  man 

X  =  a'  cosA'  sin  a'  t  +  a'  sin  Ä  cos  «'  /  4-  a"  cos  A"  sin  «"/  +  a"  sin  A"  cos  a"  /  4-  .  .  . 

so  giebt  jede  Beobachtung  eine  lineare  Gleichung  in  den  Unbekannten  a'  cos  A', 

a'sinA',  a"cosA",  a"  sin  A"  Sind  mehr  Beobachtungeu  als  Unbekannte 

so  werden  die  letzteren  so  bestimmt,  dass  sich  die  Reihe  den  Beobachtungen 
möglichst  anschliesst  (nach  der  Methode  der  kleinsten  Quadrate).  In  Folge  der 
unvermeidlichen  Beobachtungsfehler  werden  in  der  Differenz 

X  —  (X'  4-  X"  4-  X'"  +  .  .  .) 
bei  Berücksichtigung  aller  mitgenommenen  Glieder  noch  gewisse  Fehler  übrig 
bleiben.  Zeigen  dieselben  einen  unregelmässigen  Gang,  so  werden  sie  thatsächlich 
den  unvermeidlichen  Beobachtungsfehlern  entsprungen  sein;  zeigt  sich  hingegen 
ein  gesetzmässiges  Verhalten  (einseitiges  Ansteigen  oder  periodisches  Ansteigen 
und  Fallen),  so  wird  man  daraus  schliessen  können,  dass  die  angenommene 
Reihe  unvollständig  war  und  durch  HinzufUgung  eines  weiteren  Gliedes 
X(*>)  =  a<«">  cos  (a("0  /  4-  A^)  eine  bessere  Uebereinstimmung  erzielt  werden  kann. 
Auf  diese  Weise  hat  Bürg  in  der  Längenbewegung  des  Mondes  ein  Glied  mit 
einer  Periode  von  nahe  180  Jahren  gefunden,  dessen  Coefficienten  er  zu  13"*8  angiebt. 
Burckhard  fand  dieselbe  Ungleichheit  und  den  CoeTficienten  derselben  12"*5 
(Laplace  hat  für  das  Argument  (ic  4- —  3  iCj)  angegeben;  die  theoretischen 
Untersuchungen  zeigten  aber,  dass  der  Coefficient  dieses  Gliedes  völlig  unmerk- 
lich sei)  u.  s.  w. 

Bestimmt  man  nun  auf  diese^ Weise  den  Coefficienten  des  Gliedes  Nsin[L  — Lx) 
aus  Beobachtungen,  so  erhält  man  126"  (die  älteren  Bestimmungen  gaben  122"; 
nach  Hansen  ist  jedoch  der  Coefficient  grösser).  Hieraus  kann  man  dann,  da  F 
aus  der  Theorie  bekannt  ist 

a_  N 
a,  -  F 

finden.  Nimmt  man  die  Mondparallaxe  als  bekannt  an,  so  ergiebt  sich  hieraus 
dann  die  Sonnenparallaxe. 

Da  der  in  dieser  Weise  entstehende  Fehler  in  7t®  nur  etwa  den  140.  Theil 
des  Fehlers  von  N  beträgt,  so  wird  ein  Fehler  von  1 "  in  der  Bestimmung  von  N 
nur  etwa  0"'007  von  w©  erzeugen,  vorausgesetzt,  dass  F  hinreichend  genau  be- 

a  1 

stimmt  ist.    Hansen  findet  —  =  ^7  ,  ic©  =  8"  916. 

ax  384 

Bei  der  Untersuchung  der  Bewegung  des  Erdmondes  sind  die  Störungen 
durch  die  Planeten  keineswegs  zu  vernachlässigen.  Diese  Wirkung  äussert  sich 
dabei  in  doppelter  Weise.  Einmal  direkt  durch  die  verschiedene  Attraction  auf 
die  Erde  und  den  sie  begleitenden  Mond.  Nachdem  zu  wiederholten  Malen  der 
Ausdruck  für  die  Störungsfunction  angesetzt  wurde,  erscheint  es  überflüssig, 
nochmals  hierauf  zurückzukommen;  ist  die  Störungsfunction  entwickelt,  so  wird 
jedes  Glied  derselben  genau  so  behandelt,  wie  die  Glieder,  die  von  der  Attraction 
der  Sonne  herrühren.  Nebst  dieser  direkten  Einwirkung  wird  aber  noch  eine 
indirekte  zu  berücksichtigen  sein,  welche  an  Einfluss  der  ersteren  nicht  nachsteht, 
nämlich  die  störende  Wirkung  der  Planeten  auf  die  Bewegung  der  Erde  um 
die  Sonne.  Diese  verändert,  insofern  sie  den  Radiusvector  und  die  wahre 
Länge  der  Erde  beeinflusst,  die  Lage  des  grössten  der  störenden  Körper, 
der  Sonne  gegen  den  Mond;   man  trägt  diesem  Umstände  dadurch  Rechnung, 


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46o 


Mechanik  des  Himmel«.  fi3.  64. 


dass  man  in  die  störenden  Kräfte  die  gestörten  Coordinaten  der  Erde  bezw. 
Sonne  einführt,  oder  indem  man  die  aus  den  planetarischen  Störungen  der 
Erdbewegung  herrührenden  Zusatzglieder  in  der  Störungsfunction  sucht. 

Endlich  ist  noch  hervorzuheben,  dass  die  Secularveränderung  der  Ekliptik 
auf  die  Lage  der  Mondbahn  nicht  ohne  Einfluss  bleibt.  Laplace  fand,  dass  die 
Ekliptik  in  ihrer  Secularbewegung  die  Mondbahn  nach  sich  zieht,  d.  h.  dass  die 
mittlere  Schiefe  der  Mondbahn  gegen  die  mittlere  Ekliptik  constant  bleibt,  ein 
Satz,  den  Hansen  dahin  rectificirte,  dass  die  Mondbahn  gegen  diejenige  Ekliptik, 
welche  drei  Jahre  vorher  stattfand,  eine  constante  Lage  behält. 

Eine  letzte  Gruppe  von  Störungen  entsteht  aus  der  Abweichung  der  Erde 
von  der  Kugelgestalt.  Bisher  wurden  nämlich  die  Himmelskörper  als  Massen- 
punkte angesehen;  die  Resultate  bleiben  unverändert,  wenn  die  Körper  die 
Kugelform  besitzen,  oder  der  angezogene  Körper  sich  beständig  in  der  Aequator- 
ebene  des  abgeplatteten  Centraikörpers  bewegen  würde.  Es  folgt  dieses  un- 
mittelbar aus  dem  Ausdrucke  des  Potentials  eines  abgeplatteten  Rotations - 
sphäorides  auf  einen  äusseren  Punkt.    Derselbe  ist  [vergl.  No.  87  (16)]: 

wo  r  der  Radiusvector  des  Mondes,  p  der  Erdhalbmesser,  a  die  Abplattung  der 
Erde,  b  das  Verhältniss  der  Centrifugalkraft  zur  Schwerkraft  am  Aequator,  6"  die 
Deklination  des  Mondes  (90°  —  9  nach  der  Bezeichnung  von  No.  87)  ist1).  Der 
erste  Ausdruck  giebt  die  Wirkung  der  Erde,  diese  als  Kugel  vorausgesetzt;  als 
Störungsfunction  ist  hier  nur  fi  zu  berücksichtigen. 

Bezeichnet  man  mit  X  die  wahre  Länge  des  Mondes,  mit  ß  seine  Breite,  so 
ist,  wenn  •  die  Schiefe  der  Ekliptik  ist: 

sin  &  «  sin  X  sin  t  cos  ß  +  cos  t  sin  ß, 
oder  wenn  lang ß  =  s  gesetzt  wird: 

sin  t  sin  X  +  s  cos  e 
sin  o  —    

y\  + 

wofür  ausreichend  genau 

sin  8  =  yi  —  s*  sin  t  sin  X  -f-  s  cos  c 

gesetzt  werden  kann.  Wird  dieser  Ausdruck  in  fi  substituirt,  und  dann  für 
r,  X,  s  ihre  Werthe  durch  die  mittlere  Anomalie  gesetzt,  so  erhält  man  ß  in  der 
für  die  Berechnung  nöthigen  Reihenform  und  kann  nach  irgend  einer  Methode 
die  Integration  vornehmen. 

W.  Die  Coordinaten  der  Satelliten  in  Bezug  auf  die  Haupt- 
planeten. Bevor  einige,  die  Störungen  der  Satelliten  betreffende  Untersuchungen 
erwähnt  werden,  ist  in  Kürze  die  Art  und  Weise  darzulegen,  in  welcher  die 
Beobachtungen  der  Satelliten  auf  das  Centrum  der  Hauptplaneten  bezogen  werden. 

Sei  £  Fig.  273  die  Erde,  H  ein  Himmelskörper,  und  /'ein  Punkt  in  der  Nähe 
desselben;  EH  die  Visur  von  der  Erde  nach  dem  Centrum  des  Körpers  H, 
EP  die  Visur  nach  dem  Punkte  P\  geocentrisch  werden  die  Oerter  von  zwei 
einander  nahe  liegenden  Objecten  festgelegt  durch  ihre  Distanz  und  ihren 
Positionswinkel;  denkt  man  sich  um  den  Erdmittelpunkt  eine  Kugel  gelegt,  und 
sei  MQ  N0  der  Schnitt  derselben  mit  der  Aequatorebene  (oder  einer  anderen 

')  Auf  die  Glieder,  welche  von  einer  eventuellen  Verschiedenheit  der  beiden  ErdhUften 
herrühren,  kann  hier  nicht  eingegangen  werden;  rs  darf  übrigens  nicht  unerwähnt"  bleib««, 
dass  nus  der  Abweichung  des  Mondes  von  der  Kugelgestalt,  welche  durch  die 
der  Libration  ausser  Zweifel  gesetzt  ist,  Zusntiglieder  derselben  Art  entstehen. 


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Mechanik  de«  Himmels.  64. 


Fundamentalebene,  z.  B.  der  Ekliptik)  also  der  grösste  Kreis  an  der  Himmels- 
kugel, welcher  den  Aequator  repräsentirt,  A9  der  Pol  dieser  Fundamentalebene, 
endlich  O0,  P0  die  Funkte,  in  denen  die  beiden  Visuren  EH,  EP  die  Himmels* 
kugel  treffen.  A0  09  ist  dann  der  Deklinationskreis  von  O0  welcher  den  Aequa- 
tor in  9  trifft,  A0P0  der  Deklinatinskreis  von  P9,  so  dass  09P9  =  <  HEP=s 


die  Distanz  der  beiden  Punkte,  A0  O0  P0  der  Positionswinkel  des  Punktes  P0  be- 
zogen auf  den  Punkt  O0  ist.  Dieser  wird  von  dem  nördlichen  Theile  des  De- 
klinationskreises nach  links  (also  für  im  Süden  gelegene  Punkte  Uber  Ost) 
gezählt;  sind  a,  6  Rectascension  und  Deklination  (oder  Länge  und  Breite)  des 
Punktes  ff,  also  wenn  EV  die  Richtung  nach  dem  Frühlingspunkte  ist: 
V  Eo  =  a;  o  E09  =  Ä;  a\  8'  die  Coordinaten  des  Punktes  P,  so  hat  man  aus 
dem  Dreieck  AO0P0: 


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4*2 


Mechanik  He«  Himmels.  64. 


cos  s  =  sin  8  sin    +  cos  i  cos  V  cos  (*'  —  «) 
sin  s  sin  p  =  cos  8'  sm  (a  —  a)  (1) 
sin  scosp  ==  cos  8  sin  8'  —  sin  8  cos  8'  «w  (a'  —  a). 

Um  Punkte  und  Ebenen  in  Bezug  auf  den  Mittelpunkt  H  eines  Himmels- 
körpers, also  siderocentrisch  (heliocentrisch,  selenocentriscb,  jovicentrisch,  krono- 
centrisch,  areocentrisch  u.  s.  w.)  festzulegen,  denkt  man  sich  durch  H  eine  zur 
Grundebene  M0  N0  parallele  Ebene  MN  gelegt,  welche  eine  um  H  beschriebene 
Kugel  in  dem  grössten  Kreise  MN  schneidet.  Die  durch  H  zu  ET  parallele 
Gerade  H(T)  ist  dann  die  siderocentrische  Richtung  nach  dem  Frühlingspunkte, 
HA  die  Richtung  nach  dem  Pole  der  Fundamentalebene,  Aq  der  siderocen- 
trische Deklinationskreis  (oder  Breitenkreis)  des  Punktes  P,  (T)  Hq  —  a  und 
qHP  —  d  die  siderocentrische  Rectascension  und  Deklination  (oder  Länge  und 
Breite). 

Eine  durch  H  gelegte  Ebene  (Bahnebene  eines  Satelliten,  Mond-  oder  Sonnen- 
äquator u.  s.  w.)  schneide  die  Himmelskugel  in  dem  grössten  Kreise  (X')  N, 
welcher  die  Fundamentalebene  in  treffe,  so  ist  &  der  aufsteigende  Knoten1) 
dieser  Ebene,  (T)  fiSl  =  £1  die  Länge  des  autsteigenden  Knotens,  (demnach 
SlHq  —  a  —  ft),  (X')Slq  =  i  die  Neigung  der  Ebene.  Ist  B  der  Pol  der  Ebene 
(X')N,  so  wird  auch  AB  =  /  sein  und  der  grösste  Kreis  BAba  trifft  die  beiden 
Ebenen  (AT')jV  und  MN  in  zwei  Punkten  b,  a,  welche  von  &  um  90°  abstehen, 
so  dass 

&b=*&a  =  90° 

ist.  Ist  z.  B.  (X')N'  der  Sonnenäquator,  so  ist  &  die  Länge  des  aufsteigenden 
Knotens  des  Sonnenäquators  auf  der  Fundamentalebene,  und  ist  P  ein  Punkt  auf 
der  Sonnenoberfläche,  so  ist  PJD'  =  b  die  heliographische  Breite,  D&  —  U  die 
heliographische  Länge  des  Punktes ,  gezählt  vom  aufsteigenden  Knoten  des 
Sonnenäquators  auf  der  Fundamentalebene.  Ist  (X')N'  der  Mondäquator,  so 
sind  U,  b  stenographische  Länge  und  Breite,  erstere  ebenfalls  vom  Knoten 
des  Mondäquators  auf  dem  Erdäquator  gezählt;  ist  (X')N  die  Bahnebene  eines 
Satelliten,  so  ist,  wenn  D'  der  Ort  des  Satelliten  in  seiner  Bahn  ist,  U  das 
Argument  der  Breite,  bezogen  auf  die  gewählte  Fundamentalebene.  Da  man  in 
letzterem  Falle  nur  b  =  0  zu  setzen  hat,  so  soll  sofort  der  allgemeine  Fall  be- 
handelt werden,  aus  den  gegebenen  Werthen  von  U,  b,  die  geocentrische 
Distanz  und  den  Positionswinkel  s,  p  zu  bestimmen. 

In  dem  Dreiecke  AB  P  sind  die  Seiten 

AB  =  /;      AP=  90°  -  d\      BP=  90°  -  b 

und  die  Winkel 

ABP=arcbD'*=90°-  U\ 
BAP=  180°  -  aAq  =  180°-a?=  180°  -  [90°- (a  -  ft)]     90°  4-  (a  -  ß). 

Man  hat  daher 

sin  d  =  sin  b  cos  i  -+-  cos  b  sin  i  sin  U 
cos  dcos  {a  —  ß)  =  cos  b  cos  U  (2) 
cos  d  sin  [a  —  ß)  =  —  sin  bsini-h  cos  b  cos  i  sin  ü. 

Bezieht  man  nun  alle  Punkte  auf  ein  rechtwinkliges  Axensystem,  dessen 
A"-Axe  ET,  dessen  K-Axe  senkrecht  dazu  in  der  Fundamentalebene  in  der 
Richtung  der  Bewegung  liegt,  und  dessen  Z-Axe  EA0  ist,  und  ist  Elf  =  p, 
EP=  p,'  HP  =  r,  so  werden 

»)  Die  Bewegungsrichtung  ist  in  der  Figur  durch  Pfeile  ausgedrückt. 


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Mechanik  des  Himmels.  64. 


463 


die  rechtwinkligen  Coordiiurten  von  ZT:  p  cos  6  cos  a;   p  cos  &  sin*.;  p*m8 
„  H  11         „    ^  p'w  Neos «';  pV«  8'*m p'xm  8' 

Die  rechtwinkligen  Coordinaten  von  P,  bezogen  auf  das  durch  H  parallel 
gelegte  Axensystem,  sind: 

r  cos  d  cosa  )       rcosdsina]  r  sin  d; 

demnach  wird: 

p'  cos  8r  cos  «'  =  p  cos  8  cos  o  4-  r  cos  d  cos  a 
p'  cos  8'  ;Ma'spwiJMi  +  r  cos  d  sin  a  (3) 
p'  sin  8'  =  p  jm  6  +  r  jm  <r*. 

Multiplicirt  man  hier  die  erste  Gleichung  mit  cos  a,  die  zweite  mit  sin  a 
und  addirt,  dann  die  erste  mit  —  a,  die  zweite  mit  cos  a  und  addirt  wieder, 
so  erhält  man: 

p'  cos  8'  cos  («'  —  *)  =  pcost  +  rcosd  cos  (a  —  o) 

p'  <w  8' *m (a'  -  <x)  =  r  (a  -  «).  (3a) 

Multiplicirt  man  jetzt  die  Gleichungen  (1)  mit  p'  und  substituirt  die  Aus- 
drücke (3)  und  (3a),  so  erhält  man: 

p1 cos  s  =  p  ■+-  r  sin  dsin  8  +  r  cos  d  cos  8  cos{a  —  «) 
p'  sin  s  sin  p=*  rcosd  sin  (a  —  a)  (4) 
p'  sin  scosp  =  r  sin  d  cos  6  —  r  cos  d  sin  8  cos  (a  —  a). 

Für  den  speciellen  Fall,  dass  man  es  mit  der  Bewegung  eines  Satelliten 
zu  thun  hat,  ist  b     0;  dann  wird: 

sin  d  =s  sin  t  sin  U 
cos  dcos  (a  —  ft)  =  cos  U 
cos  dsin  (a  —  ft)  =  cos  i  sin  U 

und  daraus  durch  Multiplikation  mit  cos  (a  —  A)  und  sin  (a  —  A): 

cos  dcos  («  — -  a)  =  cos  (/cos  (a  —  A)  +  *m  Usin  (o  —  A)  <w  i 
cos  dsin  (a  —  a)  =  —  cos  Usin  («  —  A)  +  *m  £/ifM  (a  —  A)  cos  i, 

demnach 

p'      jap+r  j/Vi  8  im  1  sin  U  -+- 

+  r  m  8  [w         (et  —  A)  +  jm  £/ *m  (a  —  A)  <w  1] 
p';wn/«/=-r  fVw        (a  —  A)  —  sin  Ueos  (et  —  A)      i]  (5) 
p'xm  i  cos  p  —  +  r      8  «'»  /  «*»  6/  — 

—  r  sin  6[cos  U cos  (a  —  A)  +  «'«  # «'»  (a  —  A)  <w  i], 

womft  die  Aufgabe  gelöst  ist,  s  und  /  durch  die  Elemente  A,  /'  und  die  von 
den  übrigen  Elementen  abhängige  Grössen  r,  U  nebst  den  aus  den  Ephemeriden 
bekannten,  oder  aus  den  Elementen  der  Hauptplaneten  leicht  zu  berechnenden 
geocentrischen  Coordinaten  ot,  8  auszudrücken.    Man  hat 

C/=v  +  <*>z=v-{--r  —  A, 

wobei  v   die  wahre  Anomalie,   und   "  der  Abstand  des  Pericentrums  vom 
Knoten,  ir  die  Länge  des  Pericentrums  ist 

Sind  die  Elemente  noch  verbesserungsbedürftig,    so  erhält  man  durch 
Differentiation  von  (5)  drei  Gleichungen  von  der  Form: 

/Ap'  +  g  Af  «f  h  Lp  —  A  A  A  +  B  A  j '  +  CAit  +  D  A  a  +  EL  e  +  /"A  71 

Aus  diesen  Gleichungen  kann  man  A  p',  A  s,  A/  bestimmen,  von  denen  man 
da  man  A  p'  weder  kennt,  noch  braucht,  nur  die  beiden  Gleichungen 

Ai  —  Ä  Aft  +  B'  M  +  CA«  +  Z?'Aa  +  ^'A^  +  FL  T 
Up  =  >f"A  A  +  *"A  /  +  C"A  k  +  ZJ"A  «  +  ^"A  ^  +  /""A  r 

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Mechanik  des  Himmels.  64.  6*». 


beibehält;  jede  beobachtete  Distanz  und  jeder  beobachtete  Positionswinkel 
giebt  einen  Werth  von  Ax  und  A/S  daher  eine  Gleichung  zwischen  den  sechs 
Elementencorrektionen  A&,  A  /',  Ar,  A  a,  A^,  AT*,  welche  hiernach  aus  den 
beobachteten  Distanzen  und  Positionswinkeln  zu  bestimmen  sind.  Die  Be- 
stimmung der  Coefficienten  A\  B,  ,  .  .  A"  .  .  .  ist  eine  einfache  Aufgabe  der 
Differentiation  und  Elimination  und  kann  hier  übergangen  werden. 

65.  Anomale  Bewegung  des  Pericentrums:  die  Bewegung  des 
siebenten  Saturnsatelliten.  Für  die  Entwickelung  der  Secularstörungen  müssen 
von  der  Störungsfunction  jene  Glieder  beibehalten  werden,  welche  von  den  mittleren 
Anomalien  des  störenden  und  gestörten  Körpers  unabhängig  sind;  werden  hierbei 
die  absolut  constanten  Glieder  von  denjenigen  getrennt,  welche  die  Elemente 
enthalten,  deren  Secularstörungen  eben  bestimmt  werden  sollen,  so  erhält  man 
für  diese  simultane  Differentialgleichungen,  deren  Integration  zur  Kenntniss  der 
gesuchten  Störungen  führt.  Hieraus  folgt  unmittelbar,  dass,  wenn  in  der  Störungs- 
function selbst  durch  irgend  einen  Umstand  einzelne  Glieder,  welche  sonst  zu 
den  periodischen  gehören,  denselben  Charakter  erhalten,  diese  Glieder  bei  der 
Bestimmung  der  Secularstörungen  mit  zu  berücksichtigen  sein  werden.  Ein  solcher 
Umstand  tritt  aber  ein,  wenn  in  der  Entwickelung  der  Störungsfunction  einmal  in 
einem  Gliede  <xAf+  ßj*/'-+-  7    -f  ew  4-  ;«>'  die  mittleren  Bewegungen  derart 

«und,  dass  a  M+  ß  M'  oder  a  M  +  ß  Af'  4-  einem  oder  mehreren  anderen  Summan- 
den nahe  Null,  also  das  Argument  nahe  constant  wird.  Sobald  diese  Glieder  von 
höherer  Ordnung  der  Excentricität  werden,  wie  dieses  bei  der  Bewegung  der 
Hauptplaneten  der  Fall  ist,  werden  dieselben  allerdings  für  die  Berechnung  der 
Secularstörungen  gegenüber  den  Hauptgliedern  der  Entwickelung,  in  40  unmerk- 
lich und  nur  durch  das  Auftreten  kleiner  Integrationsdivisoren  in  den  bereits 
betrachteten  Gliedern  langer  Periode  zu  berücksichtigen.  Anders  aber  ist  es, 
wenn  die  Glieder  von  der  ersten  Ordnung  der  Excentricität,  also  prädominirend 
werden.  Ein  auffallendes  Beispiel  dieser  Art  bietet  sich  unter  den  Satelliten 
des  Saturn.  Die  acht  Saturnsatelliten  bilden  drei  durch  weite  Zwischenräume 
getrennte  Ringe;  zum  innern  gehören  fünf  Satelliten,  deren  äusserst  er  95  Saturns- 
halbmesser entfernt  ist;  nach  einem  beträchtlichen  Zwischenraum  folgen  dann 
die  beiden:  Titan  und  Hyperion  in  den  Entfernungen  von  22  und  26*8  Saturns- 
halbmessern und  abermals  durch  einen  weiten  Zwischenraum  getrennt  der  achte: 
Japetus  in  64  Saturnshalbmessern  Entfernung.  Besonders  merklich  werden  daher 
die  Störungen,  die  der  siebente  Satellit  durch  den  sechsten,  Titan  erfährt,  um  so 
mehr,  als  dieser  der  hellste  und  daher  wahrscheinlich  grösste  ist.  Die  mittleren 
Bewegungen  sind:') 

für  Titan:  ^  —  22°57700 
für  Hyperion:  f*  =  160,91988, 

so  dass  4|i  —  3p.|  «  —  0°0515  täglich,  oder  — 18°  8  jährlich  beträgt.  Berück- 
sieht  man  nur  die  ersten  Potenzen  der  kleinen  Parameter,  was  hier  völlig  aus- 
reicht, so  hat  man  in  der  Störungsfunction  Ö  den  von  der  Neigung  abhängigen 
Theil  gleich  Null  zu  setzen,  und  aus  37  (20)  nur  die  mit  e,  ex,  multiplicirten 
Glieder  beizubehalten,  welche  das  Argument  4  M  —  3  Mx  enthalten.  Nebst  den 
in  80  (21  eingeführten  Gliedern  entstehen  noch,  wenn  wieder  der  Kürze  halber 

Q  =  M—  TT  —  TT  j 

gesetzt  wird: 

')  Die  folgenden  Ableitungen  sind  den  Untersuchungen  von  Nbwcomb  »Od  the  rootion 
of  Hyperion.    A  new  case  in  Celestical  Mechanics«  entnommen. 


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( 


(I) 


(2) 


Mechanik  He*  Himmels.  65.  465 

aus  dem  zweiten  Gliede:       aal  cosxQ: 

dBP  dB?) 

—  aecosM-^-  cos  3  Q  =  —  \  ae         cos  (AM  —  SMX  4-  3*  -  3r,) 

aus  dem  dritten  Gliede:       <*i*|2  cosxQ: 

—  axexcos  Mx  cos  IQ  =  —  i<*i'i  cos  (AM  —  33/,  +4k-  4k,) 

aus  dem  vierten  Gliede:       —  (^  —  ^x)2%B(*)sin%Q\ 

-  2c sin  M-  ZB^sin  3  Q  =      3*-tff>«v(4J/  —        H-  3  k  —  3«,) 
H-  2^  sin  Mx  •  4^<4>««  4  Q  —  —  4<-12?<4W  (4     —  3i»/,  H-  4k  -  4k,). 

Diese  Glieder  sind  zu  verdoppeln,  da  dieselben  Wert  he  für  positive  und 
negative  x  entstehen.    Berücksichtigt  man,  dass  M+  k  =  L, 

V  =  AM  —  3  j*/,  +  3  k  —  3wl  =  4Z  —  3  Zt  —  k 
Vx  =  AM  —  3  Mx  +  4  k  —  4  k,  =  AL  —  3Z,  -  k, 

ist,  so  folgt: 

ö  -  [c  +C0e*  +  2Cleel  cos  (k  -  «,) 

+  2;C,  2     C8  rox  Vx  j 

wobei  die  Constante  C  von  No.  35  in  einen  von  e  unabhängigen  und  einen  mit  c* 
multiplicirten  Theil  zerlegt  und  der  Coefficicnt  Cx  ebenfalls  durch  Cx  \a  ersetzt  ist. 
Dabei  ist,  gemäss  39  (9b)  mit  Vernachlässigung  des  von  ex%  abhängigen  Gliedes: 

C  =  /*•>+*  «,«*.;     C,  =  i*a;  C.-t/«»-**, 
und  nach  36  (9): 

Es  wird  daher  weil  a  =  0  825  ist 
C0=  + 2*266;    C'=-h  1-304;    C,  =  -  2-078;    Ct=4-r636;    C3  =  — 1-415. 
Da  dieser  Theil  der  Störungsfunction  von  *  und  &  unabhängig  ist,  so  wird 

3-T,  ^  verschwinden,  demnach 

— ^  =  0        =  0 

oder  ß  =  &0,  *  =  'o  constant.  Für  die  übrigen  Elemente  folgt,  wenn  man  im 
Resultate  die  Glieder  zweiter  Ordnung  weglässt: 

du.  3    3Q  i>M 

^/=s-^^0  =  -H3-^i  (»«-V«  K  +  8,,  C3«r«  K,) 

-77  =  s  r —  —  ==-+-        -   (C  t  c m  stn  Ck  —  k«  )  —  C*stn  V) 

du  cosf     dü  2k*mx  ir,    .    _  .  1 


d&L9_  ?? 
dt  ~    '  a\t.  da'         a\i    \  da  ca 

oder  da       =  ja*  ist: 


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466  Mechanik  des  Himmels.  65. 

^  =  4-  mxv*{*icCtsin  V  +  $\rxC%sin  Vx) 
dJ-t  =  -  mx^C,sin  V) 

~*  =  +  mx  |i  (ac0  +  2C,  ^  tf^-h  ^2  <w  ^ 

und  man  findet  leicht 

-  +  «[»/«+ -Pf- 

und  numerisch 


ac  ac,  ac, 

"       =  +  1,194 ;     a  cl  =  -  ^  "3T  =  +  9  099- 

Mit  den  Excentricitäten  ^  =  0-1000  (für  Hyperion);  cx  =  0  0287  (für  Titan)  wiri 


dt 

iL 
dl 

dj: 
dt 
d±L, 


=  mx     (+  3  927  sin  V—  0  975  sin  Vx) 
=  *iiFl(-  3-273  F) 

«=  »1^(4-531  —  \-mcos{Tz  —       4-  32-728  cos  V) 


~dl»  =  mlfx(-h  0-219  + 4-220      V —  1-207«» 

Die  jährlichen  Bewegungen  der  Argumente  V,  Vx,  sind  nun 
^  =  4^-31*!—*'  =  -  (18°8  +  *') 
Vx'=  4  Y-  -  3  ^  -  <=  -  (18*8  + 
In  Folge  der  Kleinheit  von  4f*  —  3t*!  ist  dessen  Werth  mit  den  Bewegung: 
der  Perisaturnien  vergleichbar.    Da  it1'  =  4-  0°'5  jährlich  ist,  so   wird  in  de: 
Bewegung  des  Perisaturniums  des  Titan  ein  langperiodisches  Glied  der  Periode 
von  (4  p.  —  3|x,)  auftreten.    Bei  der  Bewegung  des  Hyperion  ergiebt  sich  r^' 
aber  die  anomale  Erscheinung  einer  retrograden  Bewegung  des  PerisaturaiiiEi 
in  dem  Betrage  von  «'  =  —  20o,3  jährlich,  so  dass 

4fx  —  3^,— tc'=  +  l°-5 
jährlich  wird,  wodurch  ein  Glied  mit  der  Periode  von  240  Jahren  entste -r 
würde,  so  dass  wegen  des  grossen  Coefficienten  von  cos  f  sich  umgekehrt  wiec^ 
die  retrograde  Bewegung  als  zeitweilig  ergeben  würde.  Wenn  jedoch  «'  ^- 
um  wenige  zehntel  Grade  geändert  wird,  so  wird  die  Periode  ebenso  wie  6'~ 
Coefficient  noch  bedeutend  vergrössert,  und  wenn  r' =  —  18°  8  wäre,  so  w.r: 
4M  —  SM'  —  7t  constant,  und  es  wird  von  dem  Werthe,  den  dieser  Ausdrucl  -■■ 
irgend  einer  Zeit  (also  stets)  annimmt,  abhängen,  wie  gross  der  negative  Ot 
dr. 

cient  in  -77  ist.    Andererseits  ist  zu  untersuchen,  ob  die  Constanz  von  V  i<- 
dt 

wirklichen  Zustande  entspricht. 

Durch  zweimalige  Differentiation  erhält  man: 
dV       dL        dV     dr,  dM     d*  d^r 

dt  =  4  di  ~  3  dt      dt  =  4'x  —  ^^1  IT      dl  ~  ~jr 

d*V        dp         dv-'         (PJiL      d**  d*bJ± 

dl*  9=4  dl  ~  3  dt  ~  4   <//'»  ~~  dt*  ~  3   dt*  ' 


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Mechanik  de«  Himmels.  65. 


467 


Hier  wären  nun  in  aller  Strenge  die  Störungen  des  Titan  auch  zu  berück- 
sichtigen; da  aber  Titan,  wie  schon  erwähnt,  der  grösste  der  Trabanten  ist,  so 
werden  die  von  Hyperion  in  seiner  Bewegung  bewirkten  Störungen  viel  schwächer; 
vernachlässigt  man  dieselben  und  berücksichtigt  nur  die  von  den  Argumenten 
Kund  Vx  abhängigen  Glieder,  so  wird: 

da 

4  ^  =  «j  15-71  sin  V—  3-90«*  Vx) 

-  4        -  w»  1* (+ 1688 sin v'dl- 483 sitt v* d-Jt) 


d*it  (  dV\ 


xV>[\bl\sin  V-  390««  Vx  —  483  sinPx  ^  4-  4961  sinV~^j  (6) 


sodass 
d*V 

dt*  ~ 

dV 

ist.  Jedenfalls  ist  -j^  wegen  der  zwischen     (*1  und  k'  stattfindenden  Beziehung  eine 

sehr  kleine  Grösse,  und  kann  weggelassen  werden.  Leitet  man  in  derselben  Weise 
eine  Differentialgleichung  für  Vx  ab,  so  folgt,  wieder  mit  Vernachlässigung  von  d  V: 

^±  =  m  ^  (l5-7i  sin  V-  3  90  sin  Vx  +  6  0  sin  Vx  .  (6a) 

Nun  ist  zwar  dVx  nicht  Null,  da  4f*  —  3p,  —  nx  von  Null  verschieden  ist; 
doch  wird  sein  Werth  so  klein,  dass  die  damit  multiplicirten  Glieder  vernach- 
lässigt werden  können;  durch  Vergleichung  der  Gleichungen  (6;  und  (6a)  erhält 
Nf.wcomb  dann  die  Beziehung1) 

15  71  sin  V—  3  90 sin  Vx  =  0;       sin  Vx  =  0  249  sin  V 

V=  180°-  14°-2  sin  Vx  (7) 
cos  V=  —  0  985  —  0  015  cos  2  Vx, 
oder  wenn  Vx  —  V=  ff  —  r>x  berücksichtigt  wird: 

cos  V=  —  0-985-0  015  cos  2  [(*  —  Ä1)  +  F]. 
Hier  kann  man  wegen  der  Kleinheit  des  Coefficienten  den  Näherungswerth 
K=  180°  setzen,  und  erhält  mit  diesen  Werthen 

dr, 

^  =  «,1»[-  27-71  —  119  cos  (ff  —  -rx)  —  0-49  cos  2  (it  —  nj]. 

Der  seculare  Theil  der  Bewegung  des  Perisaturniums  wäre  daher 

ic  =  *0  —  27-71  jwlfx.  (3) 

Da  nach  (7)  V  nur  einer  Libration  unterliegt,  so  müssten  4  —  3fAj  und 
tt'  einander  gleich  sein;  nimmt  man  für  beide  Werthe  das  Mittel  19°'3,  so  wird 
für  die  Masse  des  Titan  hieraus  folgen 


')  Die  Coefficienten  sind  bei  Nkwcomb  etwas  anders.  Es  ist  jedoch  zu  bemerken,  dass 
die  Libration  —  14°'2  sin  V  nicht  durch  Integration  entstanden  ist  und  daher  weder  mit  der 
physischen  noch  mit  der  sogenannten  willkürlichen  Libration  vergleichbar  ist;  die  letztere  wäre 

 .__  360° 

hsinty ^I5*64w,fx/-f- //)  und  hätte  daher  die  Periode  also  mit  der  Masse  mx 

K  15*71  /«, 

gleich  1-4  Jahre,  während  die  Periode  des  von  Newcomb  berücksichtigten  Gliedes  18  6  Jahre  ist. 
Für  die  seculare  Bewegung  des  Perisaturniums  ist  dies  übrigens  belanglos,  da  dieselbe  von  der 
Libration  unabhängig  ist.  Vergl.  übrigens  auch  die  ähnlichen  Entwickelungcn  fUr  die  beiden 
Systeme  :  Mimas  -  Thetis  und  Enceladus— Dione  von  H.  Struve  in  den  Astron.  Nachr.  No.  2983/4. 

30» 

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468  Mechanik  des  Himmels.  Ctb.  66. 

my  •  27-7J  v-  =  19°'3, 

wenn  }>  die  mittlere  Bewegung  des  Hyperion  in  einem  Jahre  ist,  und  es  wird 

 193   J_ 

0  277  Ix  36525      16  91988  ~  8800" 

66.  Die  Bewegung  der  Jupitersatelliten.  Die  zwischen  den  mittleren 
Bewegungen  der  drei  mittleren1)  Jupitersatelliten  bestehende  Beziehung  erfordert 
es,  dass  für  diese  auch  die  Störungen  von  den  zweiten  Potenzen  der  Massen 
berücksichtigt  werden,  indem  erst  bei  diesen  Argumente  mit  den  mittleren 
Bewegungen  dreier  Körper  auftreten  (vergl.  No.  46). 

Störungen  mit  dem  Argumente 

werden  erscheinen,  wenn  man  in  die  Störungsfunction  die  Störungen  erster 
Ordnung  substituirt,  wobei  man  je  nach  dem  Grade  der  zu  erreichenden  Genauig- 
keit die  Auswahl  unter  den  zu  berücksichtigenden  Gliedern  treffen  wird.  In 
erster  Linie  werden  natürlich  jene  Störungsglieder  erster  Ordnung  zu  berück- 
sichtigen sein,  welche  in  Folge  kleiner  Integrationsdivisoren  selbst  bedeutend 
geworden  sind;  diese  sind  jene,  welche  die  Nenner  u,,  —  2u.,  oder  jxs  —  2\l4 
erlangen.  Berücksichtigt  man  von  der  Störungsfunction  37  (20)  nur  die  von  den 
Exccntricitäten  unabhängigen  Glieder,  so  wird 

ü'      It'miiBW  ■+-  IB^cos  x(M  -  AfK  4-  /)] 

+  rT;  =  c  + 

und  es  sind  nun  zunächst  die  Hauptglieder  in  den  Störungen  erster  Ordnung  zu 
suchen,  welche  durch  kleine  Integrationsdivisoren  beträchtlich  werden.  Integrirt 
man  zunächst  die  Gleichung  47  (5)  als  canonische  Differentialgleichung,  so  wird 
in  dem  Integral  nach  49  (4)  aus  jedem  Gliede  der  Entwicklung  (1)  ein  Glied 
mit  demselben  Argumente  entstehen.    Der  Coefficient  von  (r$r)  muss  dabei 

constant  angenommen   werden;   er  wird  ~3  ,  oder  wenn  aus  der  Entwicklung 

der  rechten  Seite  eine  Summe  von  Gliedern  2ftv(r6>)  entstehen  sollte'),  die 
Form  annehmen: 

+  <r3r>  =  ^  ('  +  j)  W  =  M»('8r). 

Es  wird  daher,  wenn  man  von  den  Integrationsconstanten  absieht,  welche 
die  elliptische  Bewegung  darstellen,  die  aus  (1)  entstehenden  Zusatzglieder  für 
einen  der  störenden  Körper: 


cB{*>  2|* 


-  _  V)^=1P  -r-  xy>  (2) 


')  Der  fünfte,  zulctit  entdeckte  ist  der  innerste,  und  mUsste  in  der  Rethenfolge  derselben 
als  der  erste  'oeieichnet  werden.  Es  mögen  daher  die  drei  Übrigen  als  der  tweite,  dritte  und 
vierte  und  der  ilusscrstc  als  der  fünfte  beieichnet  werden.  Der  erste  und  fünfte  Satellit  sind, 
nach  ihren  Umlnufsieiten  von  dem  Systeme  der  drei  mittleren  auszuscbliessen. 

')  Der  Coefficient  dieser  Glieder  C  wird  sehr  klein  sein,  und  ist  in  die  Form  2|xv  gesetzt, 
sodass  also  v  der  Quotient  dieses  Coefficicnten  C  durch  2(x  ist. 


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Mechanik  des  Himmels.  6ß.  4<>9 

Der  Nenner  (xu.  —  xu,'  —  M)(xp.  —  ■+■  M)  wird  sehr  klein,  wenn  einer 
der  Faktoren  sehr  klein  wird.    Es  ist  aber 

M  =  ^(1  H-7)i==fA(1H"^)  =  fA  +  v' 

demnach  der  Nenner 

-  [v  —  (x  -  l)fi  +  xu.']  [v4-(x+l)|i-  x|i'], 
woraus  man  die  kleinen  Divisoren  für  die  verschiedenen  Satelliten  erhalten 
wird.  Es  ist  nun  auch  ersichtlich,  warum  der  Ausdruck  v  berücksichtigt  wird1), 
durch  seine  Vernachlässigung  kann  nämlich  der  kleine  Integrationsdivisor  wesent- 
lich alterirt  werden.  Bei  denjenigen  Divisoren,  welche  selbst  nicht  klein  werden, 
kann  derselbe  natürlich  weggelassen  werden.    Man  erhält  kleine  Divisoren: 

a)  für  den  zweiten  Satelliten  bei  der  Störung  durch  den  dritten  *»,,  wenn 
x  =  2  ist;  der  erste  Faktor  wird  jx,  —  2u.3  —  v2,  der  zweite  3u.a  —  2p.,  4-  v, 
oder  wenn  v,  und  u.s  —  2u.s  gleich  Null  gesetzt  werden,  einfach  2u.a.  Die 
Störung  wird  daher,  wenn  man  die  Bewegung  der  Perijovien  vernachlässigt: 

8  *   dat        Pi  —  ja,     *  s» 

wobei  der  Index  0  bei  B  weggelassen  wird,  da  nur  2?0<x>  vorkommt,  und  statt 
dessen  der  Doppelindex  23  gesetzt  ist,  welcher  auf  die  Störung  des  zweiten 


')  Um  den  Werth  von  v  zu  erhalten,  hat  man  in  il'  jene  Glieder,  welche  (rir)  enthalten, 
mit  dem  zweiten  Glicde  der  linken  Seite  der  Differentialgleichung  47  (Ä)  zu  vereinigen.  Die 
Berücksichtigung  dieser  Glieder  ist  nicht  schwer.  Es  war  r  =  a(\  ■+•  a)  gesetzt  worden  (84,  6). 
Versteht  man  nun  unter  as  nicht  die  von  der  Exccntricität  abhängigen  Glieder,  sondern  die 
Störung,  so  wird  in  87  (20)  8r  an  Stelle  von  ai  zu  setzen  sein;  der  hieraus  entstehende  Aus- 

dsr 

druck  in  2/</'Ö'  -f-  r         wird  dann 


und  weiter: 


Differentialgleichung : 


Bezeichnet  man  den  constanten  Theil  von  hr  mit  A,   so  wird  damit  das  zweite  Glied  der 

a1  l  <r  ^      2      \      Ca     1         3«a  7J 

Hierzu  sind  noch  zwei  Glieder  tu  setzen:  das  eine,  von  der  Einwirkung  der  Sonne  her- 
rührend, entsteht  aus  der  Störungsfunction  Ü  in  66  (8),  wenn  man  hier  ebenfalls  r  -f- 6r  an 
Stelle  von  r  setzt;  der  zweite  von  der  Ellipticität  des  Jupiter  abhängige  Theil  wird  aus  dem 
Ausdrucke  für  S  in  68  erhalten.  A  ist  dabei  vorerst  unbekannt,  und  wird  nach  der  Be- 
stimmung von  rlr  (Durchfuhrung  der  ersten  Näherung)  als  der  constante  Theil  der  Störung 
angesetzt.    Es  wird  dann,  alles  zusammengefaßt 


und  daraus 


wobei  sich  das  Summenzeichen  auf  die  Wirkung  aller  andern  Satelliten  auf  den  betrachteten 
bezieht.    Vcrgl.  LAI'LACE,  Mec.  Celeste,  IV.  Bd.,  pag.  15. 


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47°  Mechanik  de»  Himmels.  66. 

Satelliten  duich  den  dritten  hindeutet.  Die  hieraus  resultirende  Störung  in  Länge 
erhält  man  aus  47  (8);  in  den  beiden  letzten  Gliedern,  welche  nur  Quadraturen 
enthalten,  können  die  kleinen  Integrationsdivisoren  nicht  auftreten;  mit  Ver- 
nachlässigung der  Excentricität  wird  weiter  dr  =  0,  und 

1  _  «,i  _  1 

*oYatVl—'i      k»a*       ****  ' 

demnach 

<sz>>  =  i^i  -  v,  -  —  w^, -V,      ""^  -»*.+»«.-»«,>• 

Setzt  man  hier  noch  in  den  nicht  kleinen  Coefficienten  ji,  =  2f*„  so  wird 

(«Z)t  =  -  -  ■  ^l^—  ««(2^/8  -  2M3  h-  2 tc j  -  2«,).  (3b) 

Bei  den  Störungen  des  zweiten  Satelliten  durch  den  vierten  treten  keine 
kleinen  Divisoren  auf. 

b)  Beim  dritten  Satelliten  wird  für  die  Störung  durch  die  Einwirkung  des 
zweiten  der  Nenner  klein  für  %  =  1;  der  Nenner  wird: 

(v-i  +  v»)(f*s  —  2I*j  —  vs). 
folglich  wenn  2ja3  an  Stelle  von  u.,  4-  v3  gesetzt  wird 

(-^r  -  +         v.) <*»  -  *»  + «» -  '»>  <4a> 

tfa,        fx8  —  (ia    8  *» 

(aZ)s' =  ~  1^-2^-v,  5in  ^  -*.+«t-  *»>•  (*b) 
Für  die  Einwirkung  des  vierten  Satelliten  tritt  ein  kleiner  Nenner  auf  für 
%  =  2;  er  wird  fti3  —  2ja4  —  v3)(3[as  -  2ji4).    Demnach  die  Störungen: 

(r-lf  -  +  2^-^$^)  -     - 2"<  + 2*.  -  2*<>  <5»> 

^. .  _ "2  _  ^  .,^5 

da3  —  f*4 


(5Z)3"  =  -  -a  ^g*^8'      sm{%Mt  -  2Af<  ■+■  2*a  -  2ir4). 


(5  b) 


In  Folge  der  Beziehung 

Zs  —  3Z3  +  2Z4  =  180° 

ist  nun  aber 

2^/3  -  2;l/4  +  2ic3  —  2it4  =  180°  -f-  {M.,  -  Mt  4-  *4  —  ir3), 

und  da  auch  |i3  —  2jj.4  =  (i,  —  2ja3  ist,  so  lassen  sich  die  Wirkungen  des  zweiten 
und  vierten  vereinigen,  und  es  folgt: 

a|    -  +   2(|*t  -  2|x3  — (    *  ~     1       8 "    ,}  (  } 

(ÖZ)> _  _  ^^A^a^I  sin{Mi  _  M%  +  ,f  _  (6b) 

c)  Für  den  vierten  Satelliten  ist  nur  die  Wirkung  des  dritten  zu  berück- 
sichtigen, da  der  zweite  kein  Glied  mit  kleinem  Integrationsdivisor  liefert.  Ein 
kleiner  Divisor  entsteht  aus  der  Wirkung  des  dritten  für  %  =  1;  er  wird 

—  G*j  +  v4)(2jx4  —  ja»  +  v4) 

und  die  Störung: 


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Mechanik  des  Himmels.  66. 


471 


rf4  -  _     m  +  „30, 
efa4       fi,—  «.4    «  «» 

Bei  der  Bestimmung  der  Störungen,  welche  von  der  zweiten  Potenz  dej 
Masse  abhängig  sind,  wird  es  ausreichen,  von  allen  Störungsgliedern  der  ersten 
Potenz,  deren  Bestimmung  im  wesentlichen  keine  Schwierigkeiten  hat,  die  in  den 
Formeln  (3),  (6),  (7)  gefundenen  zu  berücksichtigen.  Auch  von  diesen  werden 
aber  einige  auszuschliessen  sein;  zunächst  jene,  bei  deren  der  kleine  Nenner 
fi.j  —  2|Xj  oder  p.^  —  2p.4  nicht  neuerdings  auftritt;  aber  selbst  jene  Glieder, 
bei  denen  dieser  Nenner  heraustritt,  werden  klein  gegenüber  denjenigen,  bei 
denen  die  zweite  Potenz  von  (p.,  —  3p.s  —  2p4)  erscheinen  würde.  Es  sind  also 
zunächst  diese  zu  untersuchen1). 

Die  zweite  Potenz  des  erwähnten  Nenners  tritt  in  dem  Doppelintegral 

in  Formel  47  (8)  auf,  wenn  Argumente 

V=  Af9  —  SM3  +  2Af4  4-  ir,  —  3ks  4-  2r4  =  Z,  —  3Z,  +  2Z4 

vorkommen.  Substituirt  man  r  +  3r  an  Stelle  von  r  in  Q,  so  tritt  aa  +  6r  an 
Stelle  von  aa  und  wenn  man,  was  für  diese  Zwecke  ausreicht,  die  Glieder,  die 
von  der  Excentricität  abhängen,  weglässt,  um  nur  die  grössten  Störungsglieder 
zu  erhalten,  so  tritt  einfach  3r  an  Stelle  von  aa,  ebenso  oV  an  Stelle  von  ax<j', 

HZ  an  Stelle  von  v,  6L'  an  Stelle  von  v\    Da  dies  ebensowohl  in  -  in  37  (2), 

P 

als  auch  in  dem  zweiten  Theile  von  ß'  in  37  (4)  geschieht,  so  sind  wieder  an 
Stelle  von  2?0W  die  2?0to  zu  setzen,  und  es  werden  die  hieraus  entstehenden 
Zusatzglieder  aus  37  (20): 

Pm'Url-^  cosxQ,  +  5V2  cosxQ,  -  (8Z  -  U^lxB^sin  xQ,\  • 

Die  Störungen  des  zweiten  Satelliten  brauchen  nicht  berücksichtigt  zu  werden; 
in  die  Störungsfunction  für  die  gegenseitigen  Störungen  des  zweiten  und  dritten 
Satelliten  substituirt,  entsteht 


')  Bei  der  Entwickelung  aller  Störungsglicdcr  erhält  man  dieselben  nebst  vielen  anderen; 
aber  die  Theorie  der  Satelliten  wird  durch  den  Umstand  in  etwas  vereinfacht,  dass  man  sich  in  allen 
Fällen  auf  die  Berechnung  der  Hauptglieder  beschränken  kann,  weil  die  Unregelmässigkeiten  der 
j  ovicentrischen  Bewegungen  von  der  Erde  aus  betrachtet,  so  stark  verringert  werden,  dass  die 
kleinen  Unregelmässigkeiten  sich  der  Beobachtung  Überhaupt  entriehen.  Dadurch  entfallen  auch 
ftlr  die  Jupitcrsatelliten  viele  Schwierigkeiten,  welche  in  der  Theorie  des  Erdmondes  aufboten; 
umgekehrt  treten  bei  diesem  die  Complicationcn  nicht  auf,  welche  aus  der  Wechselwirkung  mehrerer 
Satelliten  nothwendig  entstehen.  Evection.  Variation,  jährliche  Gleichung  (mit  der  Periode  der 
Umlaufsscit  des  Jupiter)  und  parallactischc  Gleichung  treten  bei  den  Jupitersatellitcn  wohl  auch 
auf,  ihr  Einrluss  verschwindet  aber  gegenüber  demjenigen  der  wechselseitigen  Störungen. 


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472  Mechanik  des  Himmels.  66. 

sodass  MA  gar  nicht  eintritt,  und  für  die  gegenseitigen  Störungen  des  zweites 
und  vierten  bezw.  dritten  und  vierten,  bleibt  Überall  2 M3  bezw.  ÜM9  stehen, 
sodass  ein  Argument  V  nicht  entstehen  kann.  Aus  denselben  Gründen  sind, 
wie  man  auf  dieselbe  Weise  findet,  die  Störungen  des  vierten  Satelliten  nick 
weiter  zu  berücksichtigen.  Es  ist  demnach  für  die  Störungsglieder  zweiter 
Ordnung,  die  von  V  abhängen 

(«r)t  =  0,    («r)4  =  0,    (3Z),  =  0,    (8Z)4  =  0 

zu  setzen,  und  nur  die  Störungen  (8r)s,  ($Z)S  zu  betrachten.  In  diesen  aber 
müssen  die  beiden  Theile  getrennt  behandelt  werden1),  der  erste  Theil  mit  dem 
Argumente  (Z,  —  Z3)  giebt  nur  durch  Combination  mit  dem  Argumente 
2(Za  —  Z4)  das  Argument  V\  der  zweite  mit  dem  Argumente  (2Zt  —  2Z4)  nur 
durch  Combination  mit  dem  Argumente  (Z,  —  Z,);  der  erste  Theil  ist  daher 
nur  in  der  Störungsfunction  des  dritten  und  vierten,  bei  ihren  gegenseitiges 
Störungen,  der  zweite  Theil  nur  in  der  Störungsfunction  des  zweiten  und  dritten 
zu  berücksichtigen. 

a)  Für  den  zweiten  Satelliten  wird  das  zu  berücksichtigende  Glied  der 
Störungsfunction: 

Hier  ist  nun  aber  die  am  Schlüsse  von  10  gemachte  Bemerkung  zu  berflek 
sichtigen,  dass  man  bei  den  vorzunehmenden  Differentiationen  die  Störungen 
als  constant  anzusehen  hat.  Man  erhält  daher,  bei  der  Differentiation  nach .', 
insofern  es  von  den  Coordinaten  des  zweiten  Satelliten  abhängt,  d.  h.  nach  a,*. 
und  nachherigem  Einsetzen  der  Störungen: 

-h  As*  3ft>  sin  (2Z,  -  2Z4)  cos  (Z,  -  Z,)]; 
entwickelt  man  hier,  und  behält  nur  das  Argument  V,  so  folgt 


oder 


Ii  a ,  -  i  *ßl  sin  V 

Berücksichtigt  man,  dass 


und  sehr  nahe      =  £u.,,  u.s  —  2n4  =  j*s  —  2p.»  -ist,  so  wird 

S9  =  —      8  "^p  -4-  2a,  (Si 


•)  Die  Zusammenziehung  der  Argumente  ist  nur  numerisch  gestattet,  nicht  aber  für  «» 
lytischc  Untersuchungen;  hingegen  können  jene  Argumente  für  die  numerische  SummaM- 
nuch  vor  der  Integration  zusammengefasst  werden,  da  nicht  nur  die  Betichung  für  die  Arg? 
mente  seihst,  sondern  auch  die  analoge  für  die  Aendcrungen  derselben  bestehen. 


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demnach 


Mechanik  des  Himmels.  66.  473 

b)  Für  den  dritten  Satelliten  hat  man  als  Theil  der  Störungsfunction : 

r     $B{i)  1 

k*m%Y*rJ'  öff  C05^  -  Z»)  -  ^^r^]sin{L,-  Z,)J 

[d  1 
{*r>y  ~dt; cos  2(£>  -  z«>  -  (*LJ-  2^Wä  2<z»  -  Z«>J  • 

daher  durch  Differentiation  nach  1*3'  und  Einsetzen  der  Störungswerthe: 

t"  **a  "  zt) -  2Z4)  4- 

4-  (Z,  -  Z,) (2Z3  -  2Z4)] 

+    '«4  ^=i^7~^  [-  i  «.  2(Z,  -  Z4)     (Z,  -  Z,)  + 

■+■  2Ä,«w2(Z,  -  Z4)«/i(Z8  -  Z,j], 

M Z,  =  rfa^C,  /Ä  ^      f  ^-,«4^ 

*  !*s—  2n4  —  v,  *f*,— 2|i,  — v,  w 

6",  =  -  a$  <£i  +  2a3  Bgi;  G>>  «.  -  «/  ^  -  4a,  dB®.         (9  a) 

c)  Für  den  vierten  Satalliten  hat  man  als  Theil  der  Störungsfunction: 

^<™2(Z4-  Z,)  +  («Z,)'.2^?>2(Z4-Z,)J  , 
also  durch  Differentiation  nach  p4/  und  nachheriger  Substitution  der  Störungen 

-  VBftsin  (Z,  —  Z,)  <w  2(Z4  —  Z,)] 

<//»  i*,  —  2(as  —  v, 

^  =  -a,«4^-4a42??>.  (10a) 

Die  Coefficienten  in  diesen  Gleichungen  lassen  sich  noch  wesentlich  ver- 
einfachen. Es  sind  nämlich  B^\  und  B$  Entwickelungscoefficienten  von  r"1 
und  r",1,  also  identisch;  weiter  ist 

*iV  =  *W-^;  5<¥  =  *<¥-^ 

Führt  man  hier  die  angezeigten  Differentiationen  aus,  so  folgt 


Es  ist  aber 


mit  Rücksicht  auf  die  Beziehung  zwischen  f*,  und  (*,.  Berücksichtigt  man  diese 
Beziehungen  auch  bei  den  Coelficienten  At  so  erhält  man 


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474 


Mechanik  des  Himmels.  66. 


dB®}  m  G,'  =  At'  UU 

4      "s  ' 

Führt  man  überdiess,  um  die  Ausdrücke  vergleichen  zu  können,  überall  j*, 
und  im  Nenner  die  Differenz  f*a  —  2fi3  ein,  so  erhält  man: 

i/ni?  v.*mimAAi'Ai  as   .  v 

dt*  {X,  —  2f*,  —  V,  ö, 

Nun  ist  f  =  -j-  =  |x,  —  3[x3  +  2{x4  äusserst  klein;  die  doppelte  Integration 

der  Ausdrücke  (12)  würde  daher,  wie  schon  bemerkt,  durch  das  Auftreten  des 
Quadrates  dieses  Nenners  nebst  dem  bereits  vorhandenen  kleinen  Nenner 
((i,  —  2(x3  —  v4)  ausserordentlich  vergrössert,  und  diese  Störungswerthe  werden 
gegenüber  den  andern  weitaus  überwiegen.    Setzt  man  nun 

Z,=  8Z,       /=2,  3,  4, 

wo  Z,<°)  der  der  Zeit  proportionale  Werth  der  mittleren  Länge,  und  3  Z,  die  aus 
(12)  folgenden  Störungswerthe  sind,  so  wird 

d*L,  _  dHLj 
dt*  -  dt* 

und  damit  aus  (12): 


^'Z4  =  _  3  w,w,»»4  y-jA^A^  (4a,  9as  at\ 
dt*  t      «,      f^j-^j-v,  V«/,      «,  «J 


Setzt  man  die  Constante 

+  s  tn^mxmK    y.*  A^A^    /4aa  .  9?a  ^ 

so  wird 

-jji^-ksmV.  (13) 
Multiplicirt  man  mit  -^j  und  integrirt,  so  folgt 


+  2*<w  T=  c  -  Ak sin*  \  V, 


wenn  mit  c'  oder  c'  -\-  1k  *=  c  die  Integrationsconstante  bezeichnet  wird.  Es 
folgt  daher 

1)  Ist  <:  >  4*  (oder  >  Mk),  so  wird  der  Nenner  stets  reell  bleiben,  Kwird 
mit  wachsendem  /  ebenfalls  beständig  wachsen  (oder  abnehmen,  je  nachdem  das 
Radical  mit  positivem  oder  negativem  Zeichen  genommen  wird);  der  Ausdruck 
Z,  —  3Za  +  2Z4  wird  im  Laufe  der  Zeiten  den  ganzen  Umkreis  durchlaufen; 
dieses  entspricht  nicht  den  Beobachtungen. 


Mechanik  des  Himmel».  66.  475 

2)  Wenn  c  <  \.k  (oder  c'  <  2&)  ist,  so  wird  der  Nenner  innerhalb  gewisser 
Grenzen  imaginär  werden;  ist  &  positiv,  so  muss  c  ebenfalls  positiv  sein,  da 
sonst  das  Radical  beständig  imaginär  wäre;  setzt  man  dann 

42  - sm  E' 

so  wird 

dV 

dt  =  --^  (14  a) 

und  es  muss 

—  e  <  4  V<  -+-  e 

bleiben,  d.  h.  P  schwankt  um  den  Nullwerth  zwischen  den  Grenzen  ±  2  t. 

3)  Wenn  k  negativ  =  —  kx  ist,  so  wird 

dV 


dt  = 


±  yT+  tkxsin*±V' 


Wäre  c  positiv,  so  würde  das  Radical  stets  reell,  und  wie  im  ersten  Falle 
V  durch  den  ganzen  Umkreis  im  positiven  oder  negativen  Sinne  wachsend; 
dieser  Fall  ist  wieder  auszuschliessen ;  es  muss  daher  auch  c  negativ  sein  =  —  <"lf 
das  Integral  wird: 

dt  —  y  =  , 

±  Ylkx  sin*  \V  -cx 

und  es  muss  numerisch  cx  <  Akx  sein  (welche  Bedingung  identisch  ist  mit  c  >  4k), 
da  sonst  das  Integral  stets  imaginär  wäre;  daher  kann  man 

4^  =*m'e' 

setzen,  and  es  wird 

-  - —f.  v.         '  (ub) 

r     1  '      SM*  6, 

Hier  muss  nun  sin  \VX>  sin  tx  bleiben,  d.  h. 

8i  <±V<  180°-  zx, 
d.  h.  F  schwankt  um  180°  herum  zwischen  den  Grenzen  -f-  2 ex  und  360°  —  2tx. 

Da  nach  den  Beobachtungen  P  sehr  nahe  180°  ist,  so  wird  Tür  die  Jupiter- 
satelliten der  letzte  Fall  stattfinden;  es  ist  eine  Schwankung,  eine  Libration 
um  180°  herum.  Die  Grösse  derselben  hängt  von  cx  und  kx  ab.  kx  ist  eine 
gegebene  Grösse;  die  Integrationsconstante  cx  wird  daher  bestimmt  werden 
können,  sobald  die  Amplitude  der  Libration  bekannt  ist.  Bisher  ist  eine  solche 
noch  nicht  constatirt  worden,  woraus  folgt,  dass  die  Constante  cx  gegenüber  4  kx 
jedenfalls  eine  kleine  Grösse  ist.  Da  übrigens  k  —  —  kx  negativ  sein  muss,  so 
folgt  daraus,  dass  der  Coefficient 

(       A*As  \ 

Vi  -  2|i,  -  v ; 

nothwendig  negativ  sein  muss. 

dV  ,  «. 

Die  nächste  Folge  ist,  dass  jedenfalls  nur  eine  periodische  Function 

ohne  constantem  Anfangsglied  ist,  demnach  V  für  die  Integration  der 
Gleichungen  (12)  als  constant  anzusehen  ist,  sodass  durch  die  Integration  keine 
Vergrösserung  der  Coefficienten  eintritt.    Wäre  aber  V  von  180°  nur  um  eir^n 


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476 


Mechanik  des  Himmels.  66.  67. 


sehr  geringen  Retrag  verschieden,  so  würde  hierdurch  eine  Secularbewegcn; 
der  mittleren  langen  der  drei  Satelliten  auftreten,  und  zwar  beim  zweiten  und 
vierten  eine  Secularbeschleunigung,  beim  dritten  eine  Secularverzögerung,  jedoch 
so,  dass  auch  diese  in  derjenigen  Beziehung  stehen,  dass  V  constant  bleibt,  urvi 
nur  dann  wenn  V=  0  oder  180'  ist,  wird  eine  solche  nicht  stattfinden. 
Das  Verhältniss  dieser  Secularbeschleunigungen  wäre: 

—  3<r , :  -•-  \  at :  —  £  a4  =  —  8af :      6a3 :  —  aA 
oder  mit  den  numerischen  Werthen  sehr  nahe 

—  45588:  +  54399:  —  14462  =  —  3152:  -h  3761:  —  1. 
Seculargleichungen  dieser  Art  treten  nicht  auf;    hingegen  ist  es  nicht  auf- 
geschlossen, dass  V  einer  periodischen  Ungleichheit  unterliegt;  diese  ist  genns 
den  Beobachtungen  jedenfalls  sehr  klein;   setzt  man  aber  demgemäss   V  sehr 
nahe  180°  voraus,  so  kann  die  Gleichung  auch  geschrieben  werden: 

<f*  V 

—  =  -^(180°+  V), 

deren  Integral 

V=  180°  H-  asin(Y*t+  A)  {IS: 

ist,  wobei  a  und  A  die  Integrationsconstanten  sind.  Der  wahre  Werth  von  I 
wird  daher  einer  Schwankung  mit  der  Amplitude  2  a  um  180°  herum  unterliegen, 
d.  h.  i  entspricht  dem  in  (14)  auftretenden  Werthe  Setzt  man  den  Werth 
(16)  in  (12)  ein,  so  folgt,  da  a  sehr  klein  ist: 

"dt*     =  +  m'l  a>*Stn  (V^<  +  A) 
</'  5Z,  3*0  .   ,  rr* 

=  +  \  —  ai  «  sitt  {y  ~k  t  +  A) 
mi 

deren  Integrale,  da 


ist: 


*0 

1 

k  - 

4^  +  9* 

m, 

+  9  -*  H  

mt 

4^ 

+  9—4-  — 

«4 

'4 


6Z3  =  -t-  ■  -   a.  stn  (yT /  +  Ä)  (Ii 


4    9  +  9   1  +  * 

sind.  Die  Periode  dieser  Libration  ist  nahe  2270  Tage  oder  etwas  mehr  ab 
6  Jahre. 

67.  Die  Störungen  in  der  Bewegung  der  Kometen.  Für  die  Be^ 
rechnung  der  Störungen  der  nicht  periodischen  Kometen  erscheint  es,  wie 


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Mechanik  des  Himmels.  67. 


477 


in  38  erwähnt  wurde,  am  geeignetsten,  sich  auf  die  Berechnung  der  speciellen 
Störungen  zu  beschränken,  und  dabei  die  Methode  der  Berechnung  derselben 
in  rechtwinkligen  oder  in  polaren  Coordinaten  zu  verwenden.  Für  die  Störungen 
von  periodischen  Kometen  wird  es  sich  jedoch  empfehlen,  nicht  die  Zeit,  sondern 
die  excentrische  Anomalie  als  Unbekannte  zu  wählen,  da  dann  einerseits  eine 
gleichmässigerc  Eintheilung  der  Bahn  stattfindet,  und  andererseits  eine  Reihe  von 
Coefncienten  für  jeden  Umlauf  des  Kometen  wieder  verwendet  werden  können. 
Dieser  Vorgang  soll  hier  für  die  Berechnung  der  Störungen  in  den  Elementen 
durchgeführt  werden1).    Es  ist,  wenn  Nirgend  eine  Function  bedeutet: 

dF     dF  di  dl  rVä 

und 


d£      dt  JE  d£       k0  ' 

Leitet  man  in  dieser  Weise  die  Diflerentialquotienten  der  Elemente  nach  der 
excenlrischen  Anomalie  E  ab,  und  setzt 

P  (1  7W 


(2) 


so  wird  aus  den  Formeln  19  (II): 

=  [2a'ersi*v{P)  +  2aV  ((?)]/ 

de 

j£=[pr  "tt  v  (P)  -+-  p  r  {cosE  +  cos  v)  {Q)]f 

d&      r*  sin  (v  •+-  o)  ,  v  w 
dE***  sini 
di       r*cos  (v  +  <o) ,  Vt  ^ 
d£~         sini  WJ 

(^Zrf)  =  ^r  ^  COt  Veosv  ~  %r(os<?){P)  —  r  cot  <p  sin  v  {p  ■+■  r)  (Q)]/ 

mir  rtm<« 

/=  «,  sec  9  (2a) 
Um  nach  diesen  Formeln")  die  speziellen  Störungen  eines  Kometen  zu  be- 


')  Nach  v.  Oppolzer:  Sitxungsberichtc  der  k.  Acad.  der  Wissenschaften  in  Wien  1870, 
Bd.  5a,  pag.  661. 

')  An  Stelle  der  Störung  in  a  kann  auch  gesetzt  werden: 

%-*>rHQ)/i      oder      ^=  f-  ^  ,r  sin  v  (/>)  -  «2)1/ 


Da  die  Hauptstörung  in  die  Nähe  des  Perihels  fällt,  so  wird  man  auch  manchmal  mit 
Vortheil  die  Eintheilung  nach  der  wahren  Anomalie  wählen  können.  Dadurch  wird  von  selbst 
eine  Eintheilung  in  relativ  engen  Intervallen  wahrend  der  Zeit  des  Perihels  und  in  immer 
grösseren  Intervallen  bei  der  Entfernung  vom  l'erihel  eintreten.  Da 

dF      CF    dE  .        JE      rV\  —  7* 

Cv       dE     dv  dv  p 

ist,  so  bleiben  die  Formeln  genau  dieselben,  nur  ist  an  Stelle  von  w,  secy  der  Faktor 

/,  =  m 

su  setzen,  wo  aber  für  die  Berechnung  der  Faktor  r  von  dem  constanten  Theile  abzutrennen 

/ 

und  mit  den  Coefncienten  in  (2)  zu  vereinigen  ist. 


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478  Mechanik  des  Himmels.  67. 

rechnen,  theilt  man  den  Umkreis  in  n  Theile;  dann  werden  für  jedes  Intervall 
r,  v,  E  dieselben  Werthe  haben,  es  werden  daher  die  Coefficienten  der  stören- 
den Kräfte   für    alle  Umläufe    dieselben   bleiben;    an  Stelle  von  dE  tritt 

360° 

A£  =  — —  und  drückt  man  h£  in  Bogensecunden  aus,  so  erhält  man  die 

Elementenstörungen  ebenfalls  in  Bogensecunden.  Von  den  störenden  Kräften 
ist  die  störende  Masse  abgetrennt,  indem  dieselbe  in  den  Coefficienten 
mx  secybE  gezogen  wird,  welcher  in  allen  Formeln  auftritt.    Es  wird  daher: 

(o=y(pT-^)  (9) 

ia  und  he  sind,  da  sie  nicht  in  Bogensecunden  gegeben  werden,  mit  arcV 
zu  multipliciren.  Will  man  die  Aenderung  des  Excentricitätswinkels  <p  an  Stelle 
derjenigen  von  e,  so  wird 

d<p  1     de  Ä  1 

j\  =    ,.;      6©  =  8e. 

dt      cos  y  dt'         T      cos <p 

Zu  berücksichtigen  ist  dabei  noch,  dass  man  die  Coordinaten  x',  y\  *'  des 
störenden  Himmelskörpers  für  jene  Zeitmomente  nimmt,  welche  den  einzelnen 
Intervallen  von  E  entsprechen. 

Für  die  Entwicklung  von  allgemeinen  Störungen  wird  hierzu  in  die  Aus- 
drücke für  die  heliocentrischen  Coordinaten  des  störenden  Himmelskörpers  die 
mittlere  Anomalie  p.'/  oder  die  Zeit  durch  die  excentrische  Anomalie  des  Kometen 
zu  ersetzen  sein,  wozu  am  bequemsten  der  von  Hansen  eingeschlagene  Weg 
(vergl.  No.  53)  gewählt  werden  kann. 

Die  Störungen  der  Kometen,  welche  sich  in  parabolischen  Bahnen  bewegen, 
oder  innerhalb  elliptischer  Bahnen  mit  sehr  grossen  Halbaxen,  werden  nur  inner- 
halb des  Bereiches  des  Sonnensystems  von  Bedeutung;  in  sehr  grossen  Entfernungen 
wird  die  Bahn  als  eine  Ellipse  angesehen  werden  können,  deren  Brennpunkt  der 
gemeinsame  Schwerpunkt  der  sämmtlichen  anziehenden  Massen  ist.  Berechnet  man 
die  Störungen  eines  Kometen  für  sehr  grosse  Entfernungen  von  der  Sonne  und 
vom  störenden  Himmelskörper,  so  hat  man  in  der  Entwickelung  der  störenden 
Kräfte  (vergl.  No.  23): 

x,  -  i-,  fö*  -  ^) ;  vt  -      ('0  -  *)  ,  z,  =      fe*  -  ^) 

r0i=  V(xx  ~  Oi  ->)9  +  *)*  =  Yr*  +  r?  -  %xxx  +yji  +  "t) 

r  gegenüber  rx  sehr  gross  zu  nehmen.    Da  nun 

ist,  so  werden  die  Differentialgleichungen  der  Bewegung  unter  Vernachlässigung 
der  Kometenmasse,  wenn  man  mit  x,  y,  z  die  ungestörten  Coordinaten,  und  mit 
x  +  S,  y  ■+■  »j,  *  +  C  die  gestörten  Coordinaten,  mit  r  +  8r  die  gestörte  Entfernung 
bezeichnet: 

d9(x+i)  fft     x.  —  x      ,%     x  |     oto    x.  —  x, 


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Mechanik  de«  Himmels.  67.  68. 


479 


wobei  in  den  störenden  Kräften  die  ungestörten  Coordinaten  verwendet  wurden, 
weil  auf  Störungen  zweiter  Potenz  der  Massen  nicht  Rücksicht  genommen  wird. 
Vernachlässigt  man  in  dem  letzten  Ausdrucke,  welcher  r5  im  Nenner  hat,  die 
Quadrate  der  Coordinaten  des  störenden  Himmelskörpers,  und  berücksichtigt, 
dass 

dKx  k*x 
r5r  =       4-.V »]  4-  *C 

ist,  so  folgt 

d'l      **t      3^.r(^6  -¥yr[  4-  *0  x  —  *,      ;9  xx 

-t-  3^*mj      (x 4-  jrjr,  +  u,)=sü 

und  zwei  ähnliche  Gleichungen  für  tj  und  C-  Diesen  Gleichungen  wird  genügt 
durch 

;  =  \fit\  x  4-  *t\Xt 

tj  =  \mxy  4-  mxyx  (4) 
C  —       i  +  w, 

68.  Bewegung  der  Kometen  bei  grosser  Annäherung  an  einen 
Planeten.  Wesentlich  complicirter  werden  die  Verhältnisse  bei  grosser  An- 
näherung eines  Kometen  an  einen  Planeten.  Es  war  schon  früher  (vergl.  den 
Artikel  »Kometen  und  Meteore«)  der  bedeutenden  Störungen  gedacht  worden, 
welche  die  Kometen  erfahren,  wenn  sie  in  die  Nähe  eines  grösseren  Planeten 
gelangen.  Kommt  der  Komet  in  so  grosse  Nähe  der  Planeten,  dass  die  ur- 
sprünglich als  störende  Kraft  des  Planeten  angesehene  Wirkung  derselben  grösser 
wird,  als  die  direkte  Kraft  der  Sonne  auf  den  Kometen,  so  wird  man,  gerade  so, 
wie  man  bei  den  Nebenplaneten  die  Sonne  als  störenden  Körper  ansieht,  auch 
hier  den  Planeten  als  Centraikörper,  und  die  Sonne  als  störenden  Körper  an- 
zusehen haben.  Geht  man  von  den  Differentialgleichungen  der  Bewegung  in 
rechtwinkligen  Coordinaten  aus,  so  hat  man,  wenn  Kürze  halber  wieder  p  für 
rox  geschrieben  wird,  für  den  Kometen 

—  + m)^  LLJ  4-  k*mx  ^  =  0,  (5a) 

und  für  den  Planeten,  für  welchen  beispielsweise  Jupiter  gesetzt  werden  kann: 
**xi  ,w         x  «*i       k*m(x  —  xx)  x 

Für  den  Uebergang  auf  die  jovicentrische  Bewegung  müssen  nun  die  jovi- 
centrischen  Coordinaten  der  Sonne  und  des  Kometen  eingeführt  werden.  Die 
ersteren  sind  xx  =  —  xx ;  yx  =  — yx\  zx  =  —  sx;  der  jovicentrische  Radius- 
vector  der  Sonne  ist  rx ;  die  jovicentrischen  Coordinaten  des  Kometen  sind 
x  —  xx  =  x' ;  y  — y.  =y-t  z  —  *,=*';  der  jovicentrische  Radiusvector  des 
ICometen  daher  p  und  ferner  r  die  Entfernung  des  Kometen  von  dem  störenden 
Himmelskörper,  der  Sonne.  Durch  Subtraktion  der  Gleichungen  (5a),  (5b) 
folgt  aber 

d"*x       i*(m-hm.)x'  x  xx 

oder  wenn  hier  x  =  .r,  4-  x'  =  x  —  xx   gesetzt  wird: 


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480  Mechanik  de*  Himmels.  68. 

welche  Differentialgleichungen  man  auch  unmittelbar  hätte  aufstellen  können, 

indem  sie  aus  den  Gleichungen  (5  a),  (5  b)  mutatis  mutandis  hervorgehen. 

Nach  (5  a)  ist  nun  aber  das  Verhältniss  der  Wirkung  der  Sonne  zur  störenden 
Wirkung  des  Jupiter 

k\M  +  m)x  x 

r*                     Af-hm  r> 


y  ~-  

 !___.«_  ^J^-! 


x—xx  xx 


P' 


und  nach  (C)  das  Verhältniss  der  Wirkung  des  Jupiter  zur  störenden  Wirkung 
der  Sonne: 

k"1  (w,  -+-  m)  (x  —  -Vj)  x  —  xx 

y    =  P3   =  Mj-hf»  P'  . 

Je  nachdem  f,  >  Ft  oder  K2  >  ist,  wird  man  die  Differentialgleichungen 
{5a)  oder  diejenigen  (6)  verwcndeu.  Der  Uebergang  von  der  heliocentrischen 
Bewegung  auf  die  jovicentrische  wird  vorzunehmen  sein,  wenn  Vt  >  Vx  wird, 
und  die  Grenze  hierfür  wird  gegeben  durch  Vx  =  V%t  d.  h.  durch 


M  •+-  m  x  f  x  xx\  mx+m  x — xx  fx  —  xx  xx\ 
~mx     7»  \7>  ~~  r/J  ~  ~~M"~    "pT     \  +  7*) 


(7) 


Für  den  einfachsten  Fall,  dass  die  drei  Körper  in  gerader  Linie  sind,  wird 
x  =  r;  xx  —  r, ;  xx  —  .r  =  p  =  rx  -  r;  demnach  wenn  die  Kometenmasse  m 
vernachlässigt  wird: 


oder 


r*  (rt  -  r)« 

Man  kann  aber  wegen  der  grossen  Annäherung  des  Kometen  an  den 
Planeten  genügend  genau  r,  +  r  =  2t,  2rrx  —  r*  =  rJ  setzen,  und  dann  wird 


24/»  r^r^=m* 


mithin 


(8) 


Diesen  Werth  bezeichnet  man  nach  Laplace  als  die  Wirkungssphäre  des 
Planeten. 

Für  Jupiter  ist       «■  TJ^7,  demnach  rt  —  r  =  0  0539  r; 

für  Saturn  ist  j~  =  und  damit  rx  —  r  =  0  0332  r. 

Im  Ausdrucke  (6)  kommen  die  jovicentrischen  Coordinaten  des  Kometen 
vor ;  dieselben  für  jeden  einzelnen  Zeitmoment  aus  den  heliocentrischen  Coordi- 
naten nach  den  Formeln  x'  —  x — xx  u.  s.  w.  abzuleiten,  wäre  sehr  unpraktisch, 
da  sie  zur  Zeit  der  grossen  Annäherung  sich  als  Differenzen  sehr  nahe  gleicher 
Grössen  ergeben  würden.  Es  wird  in  diesem  Falle  am  besten,  jovicentrische 
Kiemente  des  Kometen  zu  berechnen.  Ist  für  einen  gegebenen  Moment  die 
Gleichung  (8)  nahe  erfüllt,  so  berechnet  man  für  diesen  Moment  die 


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Mechanik  des  Himmels.  fi&. 


481 


trischen  Coordinaten  und  Geschwindigkeiten  des  Jupiter  und  des  Kometen  nach 
17  (3)  und  (12)  und  hierauf  die  jovicentrischen  Coordinaten  und  Geschwindig- 
keiten des  Kometen  für  diesen  Moment  nach 

x'=x-xl;  y=y-yi;    z'  =  z-zl 
dx'      dx      dxA  äy_      dy      dyt  dz'       dz  dzt 

dt  ~~  dt  ~  dt  *  dt  ~  dt  ~  ~di  ;  dt  ~  dl  ~  ~dt  ' 
Man  erhält  dann  sofort  die  für  den  betrachteten  Moment  osculirende  jovi- 
centrische  Bahn  nach  den  Formeln  17  (13)  und  den  Formeln  25  (2)  bis  (6); 
wenn  die  jovicentrische  Bahn  nicht  als  Ellipse  anzusehen  ist,  so  erhält  man  die 
Zeit  des  Durchgangs  durch  das  Perijovium,  indem  man  die  Zwischenzeit  sucht, 
welche  der  Komet  braucht,  um  die  wahre  Anomalie  vt  wie  sie  sich  durch  25  (3) 
ergab,  zu  durchlaufen,  also  nach 

yt?~ (/ ~  o) ~ tang*v  +  *****  **• 

Zu  bemerken  ist  hierzu  nur,  dass  sich  die  Bahnelemente  auf  eine 
Fundamentalebene  beziehen,  welche  durch  den  Jupitermittelpunkt  parallel  zur 
ursprünglichen  Fundamentalebene  gelegt  ist.  Waren  also  heliocentrische  Coor- 
dinaten und  Geschwindigkeiten  ursprünglich  auf  die  Ekliptik  bezogen,  so  erhält 
man  die  jovicentrische  Bahn  bezogen  auf  eine  durch  den  Jupiter  parallel  zur 
Ekliptik  bezogene  Fundamentalebene,  also  auf  eine  jovicentrische  Ekliptik,  und 
der  Anfangspunkt  der  Längen  ist  eine  durch  den  Jupiter  parallel  zur  Richtung 
nach  dem  Frühlingspunkte  gelegte  Linie,  also  das  jovicentrische  Aequinoktium. 
Es  sind  also  jovicentrische  Elemente,  bezogen  auf  die  Ekliptik  und  das  Aequi- 
noctium  einer  gegebenen  Epoche. 

Hat  man  hieiauf  die  Störungen  der  Sonne  in  irgend  einer  Weise  z.  B.  nach 
der  Methode  der  speciellen  Störungen  in  rechtwinkeligen  Coordinaten,  welche 
sich  hiefür  am  meisten  empfiehlt,  gerechnet,  bis  der  Komet  aus  der  Wirkungs- 
sphäre, d.  h.  aus  der  Sphäre  innerhalb  welcher  die  Wirkung  des  Jupiter  stärker 
ist,  als  diejenige  der  Sonne  heraustritt,  so  wird  für  diesen  Punkt  neuerdings  die 
Gleichung  (h)  erfüllt  sein,  und  dann  wird  man  mit  den  gestörten  jovicentrischen 
Coordinaten  und  Geschwindigkeiten,  welche  direkt  durch  die  Störungsrechnung  in 
rechtwinkligen  Coordinaten  gegeben  sind,  oder  welche  aus  den  osculirenden  Ele- 
menten für  diesen  Moment  abgeleitet  werden,  und  mit  den  zugehörigen  heliocentri- 
schen  Coordinaten  und  Geschwindigkeiten  des  Jupiter  neuerdings  die  heliocentrischen 
Coordinaten  und  Geschwindigkeiten  des  Kometen  berechnen  nach  den  Formeln 

,  dx       dx'  dxt 

x  -x  +  _  =  —  +  —;... 

Mittels  dieser  heliocentrischen  Werthe  werden  neue  osculirende  heliocen- 
trische Elemente  des  Kometen  abgeleitet,  mit  denen  die  Störungsrechnung  fort- 
gesetzt werden  kann. 

Beispiel:  Für  den  Kometen  1889  V  wurde  die  Störungsrechnung  bis 
1886  Oct.  4  fortgeführt  (vergl.  pag.  359).  Für  1886  Oct.  8  erhält  man  nun  die 
osculirenden  Elemente: 


Ekliptik  und 
mittleres  Aequinoct.  1890  0 


M0 

210° 

57'  14"06 

2 

46  44-92 

a 

18 

55  14-39 

i 

7 

45  15-49 

9 

32 

36  33-56 

V- 

527" 
H. 

7210 

3« 

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48a  Mechanik  de*  Himmels.  68. 

und  aus  diesen  die  heliocentrischen  Coordinaten  und  Geschwindigkeiten  des 
Kometen: 

x  =  —  5-203720;        y  =  -  1  297 106;        z  =  >  0  062683 
^  =      0-018484 ;      ^  =  -  0  037054;      ~  =  -  0  005589. 

Stellt  man  hiermit  die  heliocentrischen  Coordinaten  und  Geschwindigkeiten 
des  Jupiter  zusammen,  so  erhält  man  die  jovicentrischen  Coordinaten  und  Ge- 
schwindigkeiten des  Kometen 

x'=  +  0031869;        y'  =  +  0  233758;        *'  =  —  0*061127 
=  ■+■  0002174;  0018069;       ™  -  -  0  005426, 

und  hiermit  die  jovicentrischen  Elemente  (Hyperbel): 

Zeit  des  Perijoviums:  T=  1886  Juli  19  9904. 

*  «=  282°  50'  2"-2 
ß  =  256  16  19-5 


/=   68     8  48  * 


Mittlere  Ekliptik  ^<  =  <>-004ül3 
T  „  a  =  8.930000 

u.Aequmoct.  1890  0.  _  e<M8M6. 


—  611  35 

-  175-26 

-+-  14-44, 

Mit  dem  Werthe  für  Jupiter  (vergl.  pag.  303):  log  k  6  725426  und  das 
Intervall  w  «=  8  Tage  wird  mit  der  Sonnenmasse  M®  =  1047-879 

fogiwWM®  10*  =  4277343. 
Hiermit  ethält  man  z.  B.  für  Üctober  4  als  störende  Kräfte: 

Xx  =  k*AhJ^~-  =  h-  638-34; 

Yl  =  PM^JLZiL  =  +  ,56.57; 

Zx  =  k*  M@  -»-^fi  =  -    802 ; 

daher  die  störenden  Kräfte 

A®  =  -+■  26  99;       K©  =  -  18  69;      Z®  =  -1-  6-42. 

Diese  kurzen  Andeutungen  werden  mit  Rücksicht  auf  die  früheren  ausführ- 
licheren Beispiele  genügen,  um  das  Verfahren  auch  numerisch  anzudeuten  Auf 
einige  andere,  die  Berechnung  erleichternde  Details  kann  an  dieser  Stelle  nicht 
eingegangen  werden. 

Rühren  starke  Aenderungen  der  Elemente  eines  Kometen  von  der  Attraction 
eines  Planeten  her,  in  dessen  Nähe  derselbe  kam,  so  muss  zwischen  den  beiden 
verschiedenen  Elementensystemen  eine  Beziehung  bestehen,  welche  zuerst  von 
Tisserand  angegeben  wurde.  Im  folgenden  soll  die  sehr  elegante  Ableitung 
dieser  Beziehung  mitgetleilt  werden,  welche  von  Seeliger  in  den  A.  N.  No.  2965 

gegeben  wurde.    Multiplicirt  man  die  drei  Gleichungen  (5a)  mit  2^,  2^-. 

dt  fdx\*     (dy\*     ( dt\* 

2^,  und  integrirt,  so  folgt,  da  (^1  -+-  1^1  -+-  I  -jA  =  v*t  die  Geschwindig- 
keit des  Kometen  ist,  wenn  die  Integrationsconstante  mit  c  bezeichnet  wird: 
<ik\M-¥m)     aL9     fdtl  dx     ,  dy 

=  '  +  — ~ — -  +  **%»xj  fi  [(*t         +  <* -y)  ft  + 

^  d*\       o;v       f  dt  T      dx  Jy  d*\ 

+  <*>  -s)a7\-  2*'m>  J  TT  [*«  Tt  +  dt 


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Mechanik  des  Himmel«.  68.  483 

Da  nun 

,  dx  d(x.  —  x)  v  dx. 

(*i  -  *)  -4t  =  -  (*i  -  *)      rf/      +  <*i  -  *> 

und 

<-.-*>  ^  -  er ,  -  y)  +  (.,-.)  -  >  £ 

ist,  so  wird 


(9) 


Während  der  Zeit,  während  welcher  der  Komet  in  der  Nähe  des  störenden 
Planeten  weilt,  kann  man  dessen  Bahn  als  kreisförmig  und  mit  gleichförmiger 

d  v 

Geschwindigkeit  durchlaufen  ansehen1),  also  rx  und  -jj  =  ji,  constant  ansehen, 

und  dann  hat  man,  wenn  man  noch  die  Bahnebene  des  störenden  Planeten  als 

äs. 

Fundamentalebene,  also  sx  =  0  annimmt: 

dx,  dvx 
xx  =  rxcosvx\     -jj  =-rxsmvx-df  =  -  ?.xyx 

dyx  dvx 
yx=rxstnvx\     -^f  =  4-  rx  cos  vx       —  -¥  p.xxx, 

demnach 

Multiplicirt  man  aber  die  Gleichungen  (5a)  (für  x  und y)  mit  —  y.  -+-  x,  und 
addirt,  so  erhält  man  nach  der  Integration 

k%m4         {xyi  ~~ Xiy)dt  =  {xdi-ydi)  =  *Vm^»Ypco"> 

wenn  die  Integrationsconstante  weggelassen  wird,  welche  sich  nach  der  Sub- 
stitution mit  c  vereinigt.    Die  Gleichung  für  v*  wird  daher 

2k*(M+  m)      243m,   r  k*mx 


v%  —  c  ■+- 
Es  ist  aber 


mpxYp  cos  i  ■+-  (p*  —  r*). 


demnach 


--*•(*+-)  (7-5). 

0  =  c  +  !*M±4  +  «ÜS  +  u  YW^m^  T/p«»  i  +  -  r«). 

dp  rt 

Da  die  mittlere  Bewegung  des  störenden  Körpers  allgemein: 


•l1 


')  Diese  Voraussetzung,  welche  bei  der  Ableitung  des  Satzes  wesentlich  ist,  ist  durchaus 
nicht  unanfechtbar,  im  Gegentheil  wird  die  Bewegung  meist  viel  eher  geradlinig  (hyperbolisch 
mit  sehr  kleiner  Distanz  des  Pericentrums)  sein. 


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484  Mechanik  des  Himmels.  68.  89. 

ist,  die  Geschwindigkeiten  in  den  verschiedenen  Theilen  der  Bahn  aber  sich 
verkehrt  wie  die  Quadrate  der  Entfernung  verhalten,  so  wird 

Px'.fai)  -  l*.  =  r*  ' 

Dividirt  man  daher  die  letzte  Gleichung  durch  k*(M  +  m)  und  bezeichnet 
die  selbst  willkürliche  Constante  . , . ./  ,  r  wieder  mit  e  und  setzt: 


m 


VE 
y  m 


Af+m~  m°]        V  M+m    r*  ~ 
so  wird 

0  =  c  +  l  +  ^-h  Z^ypcosi+  ^§  (p»  -  r»).  (10a) 
a        p  r, 

Betrachtet  man  nun  einen  Kometen  an  zwei  verschiedenen  Orten  seiner 
Bahn,  in  denen  er  dieselbe  Entfernung  von  dem  störenden  Planeten  hat,  das 
eine  Mal  also  in  seiner  Bahn  vor  der  Annäherung  an  den  Planeten,  das  zweite 
Mal  nach  der  grossen  Störung,  so  werden  die  Elemente  a,  p,  i  sich  in  a\  p\  i' 
verwandelt  haben;  die  heliocentrische  Entfernung  des  Kometen  wird  im  ersten 
Falle  r,  im  zweiten  r'  sein,  und  es  gilt  demnach  vor  der  grossen  Störung  die 
Gleichung  (10a)  und  nach  derselben  die  Gleichung: 

0  =  <  +  ^  +         +       V¥«*  '"  +  ^  (P*  -  (10b) 

wobei  während  der  Dauer  der  Störung  r  constant  angesehen  wurde.  Aus  den 
Gleichungen  (10a),  (10b)  folgt  durch  Subtraction: 

\  -  X      2|*0  ipcosi  -  l^yj'cosi'  ■+■  ^|  (r'*  -  r»)  =  0. 

Vernachlässigt  man  das  mit  der  Masse  des  störenden  Planeten  multiplicirte 
Glied,  so  folgt  daraus  der  TissäRAND'sche  Satz: 

]-  -+-  2|x0  '  =  i     2n0  y?wi'  =  /T.  (1 1) 

1 

Die  Constanz  der  Verbindung  -  +  2ja0}/^  cos  i  zwischen  grosser  Axe,  Exccn- 

tricität  und  Neigung  bildet  daher  ein  Kriterium  dafür,  ob  die  Aenderung  der  Bahn 
eines  Kometen  durch  die  Annäherung  desselben  an  einen  Planeten  stattgefunden 
hat,  oder  nicht.  Zunächst  gilt  diese  Formel  allerdings  ihrer  Ableitung  nach  nur 
für  jene  Punkte  der  Bahn,  in  welchen  der  Komet  gleich  weit  von  dem  störenden 
Planeten  entfernt  ist,  und  für  die  Bahnebene  des  störenden  Planeten  als 
Fundamentalebene;  da  aber  die  Bahnelemente,  abgesehen  von  der  grossen 
Störung  keine  durchgreifenden  Aenderungen  erfahren,  und  die  Bahnneigungen 
der  störenden  Planeten  sehr  klein  sind,  so  kann  man  dieselben  für  beide  Theile 
der  Bahn  vor  und  nach  der  grossen  Störung  als  constant  betrachten,  und  diese 
Gleichung  gilt  dann  für  Elementensysteme  vor  und  nach  dieser  Störung. 

Dass  die  Bedeutung  dieser  Gleichung  stark  überschätzt  wurde,  wurde  bereits 
in  dem  Artikel  »Kometen  und  Meteore«  hervorgehoben. 

69.  Anomale  Bewegungserscheinungen  bei  Kometen.  Berücksichtigt 
man  bei  der  Untersuchung  der  Bewegung  des  Kometen  die  Störungen,  so  weit 
sie  durch  die  Einwirkung  der  Planeten  entstehen,  so  läi-st  sich  wohl  für  kleine 
Zeiträume,   also  bei  den  nicht  periodischen  Kometen,  dann   während  einiger 


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Mechanik  des  Himmels.  69. 


485 


weniger  Umläufe  eines  periodischen  Kometen  eine  hinreichende  Uebereinstimmung 
zwischen  der  Theorie  und  den  Beobachtungen  erzielen.  Hingegen  ergab  sich 
zunächst  bei  dem  von  Pons  entdeckten,  von  Encke  untersuchten  und  nach  ihm 
benannten  Kometen  mit  etwa  3^  Jahren  Umlaufszeit,  wie  schon  im  I.  Bande 
pag.  160  erwähnt  wurde,  aus  der  Uiscussion  einer  grossen  Anzahl  von  Umläufen, 
dass  sich  die  Umlaufszeit  stetig  verkürze:  Encke  zog  daraus  den  Schluss,  dass 
die  Bewegung  in  einem  widerstehenden  Mittel  stattfinde. 

Um  zunächst  zu  untersuchen,  ob  nicht  eine  Störung  anderer  Art  die  Ursache 
dieser  Erscheinung  sein  könne,  möge  angenommen  werden,  dass  irgend  eine 
unbekannte  störende  Wirkung  in  der  Richtung  des  Radiusvectors  wirke ;  dann 
erhält  man,  da  in  den  Formeln  67  (2)  (Q)  »0  zu  setzen  ist: 

du.  'ik        .  Pr     .  ,w*, 

£  y;<"—Wi--    Tv  =  7k"n"W>-  <•> 

Daraus  folgt,  wenn  man  das  Integral 

Jrsinv{F)fxdv=J  (3) 
0 

setzt,  für  die  Aenderungen  der  mittleren  Bewegung  und  des  Excentricitätswjnkels 
von  der  Zeit  des  Periheldurchganges  bis  zur  Anomalie  v : 

><**/■<    8<p=^/-  m 

demnach  für  das  Verhältniss  V  dieser  Aenderungen: 

Für  den  ENCKE'schen  Kometen  ist  loga  =  0  346,  9  =»57°  48',  demnach 
K  =  -  (V0248. 

I^egt  man  die  von  v.  Asten  für  einen  vollen  Umlauf  gefundenen  Zahlen 

8*  =  +  0"  1044;    «<p  =  -3"'68 

zu  Grunde,  so  wird 

5  -  - o  m*- 

Eine  selbst  vollkommene  Uebereinstimmung  dieses  Verhältnisses,  mit  dem  aus 
den  Beobachtungen  folgenden  Werthe  ist  jedoch  noch  nicht  ausreichend,  um  das 
Vorhandensein  von  Kräften  dieser  Art  als  erwiesen  zu  betrachten.  Nächstdem  kommt 
es  ja  auf  die  absoluten  Beträge  der  Störungen  selbst  an.   Nimmt  man  an,  daas  z.  B. 

ist,  so  wird,  wenn  der  constante  Faktor  mx  mit  IV  vereinigt  wird: 

J--Wj  rjsin  v  ■  ±  Jv  ?j  ,  äv. 


Es  ist  aber 


demnach 


und  damit 


dr  k0 

k*  v 

/=  —         w5 e*sin*+* v dv 
P~T~  0 

=  +  ~tffy+*    cos  *J  '*-rt  vJv' 


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486  Mechanik  des  Himmels.  69. 

Ist  nun  n  gerade,  so  wird  das  Integral  über  einen  vollen  Umlauf  verschwinden, 
demnach  Äji  =  0  sein;  ist  n  ungerade,  so  wird 

Weiter  wird 

d«         rp  W  (dr\*  r 

Tv  =  +  ~;C05VT*\Tt)'-p 

=  iyf)  We*-x5sinnvcoivdv>  <6b) 

daher  das  Integral  Uber  einen  vollen  Umkreis  genommen  für  jedes  beliebige  ■ 
gleich  Null.  Daraus  folgt  demnach,  dass  ein  in  Form  des  WEBBR'schen  Gesetzes 
modificirtes  Attractionsgesetz  wohl  geeignet  wäre,  eine  Beschleunigung  der  mitt- 
leren Bewegungen  ru  erklären,  dass  jedoch  das  WsBER'sche  Gesetz  selbst  solche 
Störungen  nicht  zu  erklären  vermag,  da  in  demselben  *  =  2  ist.  Für  *  =  1 
würde  folgen: 

öu  =>  — = — 54 —  IV. 
r       a%  cos3  y 

W  kann  dabei  als  eine  absolute  Constante  angesehen  werden,  indem  die 
Abhängigkeit  der  Kraft  P  von  dem  verkehrten  Quadrate  der  Entfernung  bereits 
durch  den  Nenner  r*  ausgedrückt  erscheint.  Das  Attractionsgesetz  wird  dann 
gegeben  durch  die  Formel1): 

Nimmt  man  hier  W  als  absolute  Constante  an,  so  wäre  für  zwei  verschiedene 
Himmelskörper 

fr8'"»  af'L 

Das  Auftreten  des  Faktors  e%  bei  8  p  ist  nicht  ausreichend,  um  die  Erscheinung 
zu  erklären,  dass  bei  den  Planeten  eine  Secularbeschleunigung  nicht  stattfindet; 
insbesondere  aber  ist  hervorzuheben,  dass  Kräfte  dieser  Art  nach  (6bj  nicht 
geeignet  sind,  die  anomale  Bewegung  des  Mercurperihels  zu  erklären. 

Es  sollen  noch  in  Kürze  wenigstens  die  Resultate  angeführt  werden,  welche 
man  erhält,  wenn  W  nicht  constant,  sondern  mit  r  veränderlich  angenommen 
wird.    Man  kann  dann  annehmen,  dass 

ist,  wo  nunmehr  W  wieder  als  constant  angenommen  werden  kann.  Man  er- 
hält dann,  wenn  |~J  die  grösste  in  ^  enthaltene  ganze  Zahl  ist: 

a)  für  gerade  n: 
k»  W\ 

81c  = 


 AH  I  n  1  ^  (w-2)(m~3).  ...(m  —  2|i)  1  /<»  l 

{^py^im-A  \2/^j  («  -h2)(»  +  4)....(«  +  2fiJ         1)1  \1) 


*)  Vcrgl.  v.  Oppolzer,  Astr.  Nachr.  No.  23 19. 


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Mechanik  de*  Himmel*.  69.  70. 


4«? 


b)  Für  ungerade  n: 


3/J-+Wfr(|y+,.2it 


cos  y 


1(w-2)(»i— 3)-...(w-2n— 1)  1 


(«-r-3)(«-r-5)....(«-r-2u.-l-l)  |a I 


8*=  0. 


Diese  Resultate  zeigen  daher  die  Unvereinbarkeit  der  Annahme  dieser 
Attractionsgesetze  mit  den  Bewegungserscheinungen  der  Himmelskörper. 

Die  Untersuchung  der  Wirkung  von  Kräften,  die  in  der  Richtung  senkrecht 
zum  Radiusvector  stehen,  hat  praktisch  keine  Bedeutung,  da  keinerlei  Grund  für 
die  Annahme  von  solchen  vorliegt. 

70.  Bewegungswiderstände.  Die  unter  dem  geringen  äusseren  Drucke 
stattfindenden  Gasausströmungen  und  Verdunstungen  von  Flüssigkeiten,  theils  von 
den  festen  und  flüssigen  Bestandtheilen,  theils  von  den  Gashüllen  der  Himmels- 
körper müssen  nothwendig  zur  Folge  haben,  dass  der  Weltraum  mit  einem  wenn 
auch  äusserst  feinen  Fluidum  erfüllt  ist.  Dieses  Fluidum  hat  man  sich  dann 
als  einen  gas-  oder  dampfförmigen  Körper  von  äusserst  geringer  Dichte  zu 
denken1),  der  sich  in  der  Nähe  der  Himmelskörper  zu  Atmosphären  ballt,  oder 
eigentlich  die  in  den  Weltraum  sich  erstreckende  und  mehr  und  mehr  verdünnende 
Atmosphäre  ist.  Wie  die  Atmosphäre  selbst  kann  dann  dieses  Medium  um  die 
Weltkörper  kreisen,  aber  in  immer  g.össeren  Entfernungen  nach  Massgabe  des- 
selben immer  langsamer,  sodass  jene  Himmelskörper,  welche  immer  in  nahe 
derselben  Entfernung  bleiben  (Bahnen  von  kleinen  Excentricitäten  beschreiben) 
in  ihren  Bewegungen  nicht  wesentlich  gehindert  werden;  hingegen  solche,  deren 
Entfernungen  stark  variiren  (welche  stark  excentrische  Bahnen  beschreiben) 
merkliche  Störungen  erfahren  können,  und  zwar  um  so  stärker,  je  dichter  das 
Medium  ist. 

Es  finden  sich  aber  im  Welträume  nebst  den  grossen  planetarischen  Massen  eine 
sehr  grosse  Zahl  von  sehr  kleinen  Körperchen,  welche  als  Meteorschwärme  regel- 
mässige Bahnen  beschreiben,  und  zwar  entweder  im  Bereiche  eines  Sonnensystems 
diesem  zugehörig,  oder  als  stellare  Schwärme,  sich  in  parabolischen  oder  hyper- 
bolischen Bahnen  im  Welträume  bewegend.  Hierzu  kommen  vereinzelte  Meteor- 
massen, die  sich  als  Meteorite,  Feuerkugeln  u.  s.  w.  offenbaren,  so  dass  man  die 
Annahme  wenigstens  nicht  ganz  von  der  Hand  weisen  darf,  dass  der  Weltraum 
von  derartigen  discreten,  relativ  kleinen,  aber  festen  Körperchen  erfüllt  ist. 
Diese  Massen  werden,  wenn  sie  in  die  Attractionssphäre  einer  relativ  grossen 
Masse  (eines  Fixsternes  oder  einer  Planetenmasse)  gelangen,  von  dieser  angezogen 
sich  dieser  nähern,  oder  um  dieselbe  mit  der  dieser  Entfernung  eigenthümlichen 
Geschwindigkeit  kreisen;  so  werden  um  die  grossen  Massen  Anhäufungen,  Ver- 
dichtungen von  Massenpartikelchen  stattfinden. 

Wenn  auch  die  Verfolgung  der  Bewegungen  dieser  Massen,  sofem  es  sich 
um  die  einzelnen  derselben  handelt,  ganz  bedeutende  Schwierigkeiten  darbieten 
würde,  so  ist  es  nicht  schwer,  sich  ein  Bild  von  ihrer  Wirkung  im  ganzen  zu 
machen  —  genau  so,  wie  man  in  der  kinetischen  Gastheorie  die  Bewegung  der 
Gasmoleküle  nicht  ins  einzelne  verfolgen,  hingegen  ein  Bild  der  Gesammt- 
wirkung  erhalten  kann.  Es  ist  dann  aber  auch  zum  mindesten  denkbar,  dass 
die  Wirkung  derartiger  kosmischer  Massen  in  ihrer  Totalität  auf  die  Bewegung 

')  Indessen  bleibt  dasselbe  ein  ponderabler  Stoß*  und  darf  mit  dem  hypothetischen  Wclt- 
äther,   der  ah  Träger  der  Licht-  und  Wärmewellen  gedacht  wird,   nicht  verwechselt  werden. 


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4»8 


Mechanik  des  Himmels.  70. 


der  zu  untersuchenden  Himmelskörper  als  qualitativ  gleichartig  mit  der  Ein- 
wirkung von  Gasmassen  auf  terrestrische  Objekte  sei,  und  sich  mit  derjenigen 
eines  wirklich  gasförmigen  Mediums  confundirt.  Dass  hierbei  ein  quantitativer 
Unterschied  stattfinden  kann,  ist  selbstverständlich;  doch  wird  dadurch  nur  das 
ohnehin  unbekannte  Gesetz  der  Dichten  und  des  Widerstandes  alterirt. 

Es  möge  zunächst  Uber  die  Dichte  p  dieses  Mediums,  ob  es  nun  in  der  Form  einer 
Gasmasse  allein,  oder  von  kosmischen,  ihrer  Grösse  nach  mit  kleinen l)  terrestrischen 
Objekten  vergleichbaren  Körperchen  gedacht  werde,  nur  die  eine  sehr  wahrschein- 
liche Annahme  gemacht  werden,  dass  sie  eine  Function  der  Entfernung  vom 
anziehenden  Körper  sei.  Die  Wirkung  dieses  Mediums  wird  man  nach  dem 
gewöhnlichen  Widerstandsgesetze  in  der  Richtung  der  Tangente,  entgegengesetzt 
der  Bewegungsrichtung  annehmen  können.  Ueber  die  Abhängigkeit  des  Wider- 
standes von  der  Dichte  und  Geschwindigkeit  soll  jedoch  vorerst  nur  die,  eben- 
falls sehr  natürliche  Annahme  gemacht  werden,  dass  der  Widerstand  in  der  Nähe 
der  Sonne  am  stärksten  ist,  nach  Massgabe  der  Entfernung  aber  nach  einem  vor- 
läufig ebenfalls  nicht  näher  zu  bestimmenden  Gesetze  abnimmt.  Bezeichnet  man 
den  Widerstand  mit  —      IV,  so  werden  seine  Componenten 

x~-klwTr   Y=-k*lvTs<  z  =  -k*w^.  (i) 

Wählt  man  als  Fundamentalebene  die  Bahn  des  gestörten  Himmelskörpers, 

dt  .  „ 

so  werden  m  und       sehr  klein,  und  Z  kann  gleich  Null  gesetzt  werden.  Geht 

man  auf  polare  Coordinaten  über,  so  wird: 

x  =  rcosl,  y  =  r  «« l- 

Wenn  man  nur  Störungen  erster  Ordnung  berücksichtigt,  d.  h.  in  den  störenden 
Kräften  die  Elemente  als  constant  ansieht,  so  wird  sich  ergeben : 

-f.  =  —  sin  l  4=  0  -t-  €  cos  v)  +  cos  1 "4=  e  sin  v 
dt  Yp  yp 

-77  «=  H-  cos  l  —p=  1  +<  cos  v)  H-  stn  l—ß=.  estnv 

dt  yp  yp 

dx  .  ,  1  -f-  ccosv  tsinv 
Ts   *         +  C0SI—R- 

dy  1  -+-  ccosv  .  esinv 
-f-  =  -h  cos  l  —  „  h  sin  l 


und  damit: 


(2) 


wobei 


ds  R  ^  &  > 

R  =  |/l  ■+■  2  c  cos  v  ■+•  C*  (3a) 


gesetzt  ist.    Durch  Einführung  der  excentrischen  Anomalie  erhält  man 


X  =  VT=<>V  x_ec0lE-  (3b) 


')  Schon  die  Bezeichnung  «klein«  ist  eine  relative,  und  man  braucht  nicht  allzu  minimale 
Objekte  zu  wählen,  um  das  Verhältniss  derselben  zur  Sonnenmasse  als  Grösse  derselben  Ordnung 
zu  erkennen  mit  derjenigen  von  Gasmolektllen  zu  «kleinen«  terrestrischen  Objecten. 


Googl 


Mechanik  de«  Himmels.  70.  489 


Setzt  man  die  Werthe  (2)  in  (I)  ein,  so  folgt 

k*  IV 

X  =  ^—  [e  cos  Istnv  —  sin  /(l  -f-  e  cos  v)] 

k*  W 

Y  =  —  [e  sin /sin  v  -t-  cos  /(l  -H  <r  cos  v)\. 

Hiermit  folgt  nach  19  (8)  (in  welcher  Formel  jedoch  v  durch  /  zu  ersetzen  ist) : 

P=  estnv        Q  =  (1  -f-  ecosv). 

Vergleicht  man  diese  Werthe  mit  den  in  67  (2)  auftretenden,  so  folgt,  dass  man 

(P)  =  e  sin  v,    (Q)  =  I  -+-  e  cos  v  (4) 

IV 

und  an  Stelle   von  mx    den   Faktor   —       einzuführen  hat;  es  wird  daher 
IVsecv 

/  ™=  —  — ^  und  man  erhält  für  die  Variation  der  Elemente 

da  da 

ä£  =■  -f-  2a«/(l  -4-  ecos  £)/  JE  =  0 

^=-3yJt0cosf(l+ecos£)/     ^  =  0 

2,»™i?./  -  ^/«^(l  -  e*cosE)f 

||  =  +  <ipacotangvsinE'f        {^Te)  =  -3/>r/(l  +  e  cos  £)fd£. 

Hieraus  folgt  zunächst  ß  =  ß0  und  i  =  *0  constant;  die  Lage  der  Bahn- 
ebene wird  daher  durch  den  Widerstand  eines  Mediums  nicht  geändert,  was  ja 
an  und  für  sich  klar  ist,  da  der  Widerstand  in  der  Bahnebene  selbst  wirkt. 
Führt  man  als  unabhängige  Veränderliche  v  ein,  so  wird 

de  W         dv  p 

=  -Zr*(t+cosv)  ,  *  (6) 


dit  n  ,  «»f  fT  <r>  ~~  r/ö* 


Sei  nun 


jr*WRdv=J{v),    jr'-jjdv^J^v).  (7) 

so  wird 


folglich 

hc  Yäp      1  —  e*  Yäp  J\  (p) 

—  TI7       T~  3*  /(";  ' 

daher  das  Verhältniss  V 

„     8fi  3*  1  3*   .  1 

Y  J(v)  J(V) 
Nimmt  man  die  Integrale /,/,  von  0  bis  360°,  so  erhält  man  die  Veränderungen 
während  eines  vollen  Umlaufs  des  Kometen.   Je  näher  c  an  die  Ein- 


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490  Mechanik  des  Himmels.  70. 

heit  kommt,  desto  mehr  wird  sich  der  Werth  von  w»?4fr  der  Null  nähern, 

J  W 

34 

desto  näher  kommt  daher  das  Verliältniss  V  dem  Ausdrucke  \  sin  9  cos* 

P* 

wird  daher  von  dem  Gesetze  des  Widerstandes  völlig  unabhängig.  Im  All- 
gemeinen aber  wird  V  von  dem  Verhältniss  der  beiden  Integrale  /(f),  Jx  (v) 
welche  Functionen  des  Widerstandes  sind,  abhängig  sein,  und  der  numerische 
Werth  dieses  Verhältnisses  wird  eine  Entscheidung  darüber  gestatten,  in  wieweit 
sich  aus  den  beobachteten  Veränderungen  der  Excentricität  und  mittleren 

Bewegung  auch  ein  Widerstandsgesetz  folgern  lässt.    Der  Coefßcient  —      tang  «p 

ist  übrigens  völlig  identisch  mit  dem  in  69  (4)  unter  ganz  anderen  Voraus- 
setzungen erhaltenen;  die  Uebereinstimmung  dieses  Verhältnisses  mit  den  Be- 
obachtungen kann  daher  noch  kein  Kriterium  für  die  Richtigkeit  der  einen 
oder  anderen  Hypothese  bilden.  Dass  der  aus  den  Beobachtungen  folgende 
Werth  von  V  mit  dem  ersten,  von  dem  Widerstandsgesetze  unabhängigen  Faktor 
übereinstimmt,  könnte  allerdings  zu  dem  Schlüsse  führen,  dass,  wenn  die  anomalen 
Bewegungserscheinungen  Folge  eines  Widerstand  leistenden  Mediums  wären, 

das  Widerstandsgesetz  ein  solches  sein  müsste,  bei  welchem  das  Verhältniss 

jedenfalls  sehr  klein  ist1).  Immerhin  wird  es  nöthig,  die  absoluten  Werthe  der 
Störungen  zu  bestimmen.  Dabei  wird  es  jedoch  etwas  bequemer  die  excentrische 
Anomalie  als  Integrationsvariable  beizubehalten,  wobei  der  Fall  e  =  1  von  der 
Betrachtung  ausgeschlossen  werden  kann.    Es  wird 


IVucj  W 
f  R     ~      \-t*  Vi 


—  e  cos  £ 


ecos  E 

Nimmt  man  an,  dass  das  Widerstandsgesetz  analog  dem  auf  der  Erde 
beobachteten  der  Dichte  und  dem  Quadrate  der  Geschwindigkeit  direkt  propor- 
tional sei,  so  wird 

w- *  (»)'  W 

wo  der  Proportionalitätsfaktor  in  p  hineingezogen  werden  kann.  Laplace  setzt  nun 

W 

pr*      =  &£pr*R  =  A  -+-  e B  cos  v  •+■  e*Ccos2v  ■+■  .  .  .  . 
Dann  wird 

pr*  WR  =  A  +  eßcos  v  4-  e*  Ccos  2v  )  (1  + 

=  [A(l  4-  c*)  4-  ße*]  4-  periodische  Glieder 
W  1 

; s  (e  4-  cos  v)      =  —  (Ae  4-  \Be)  4-  periodische  Glieder 

und  damit 

-n  =  ji     + +  *«*] 

de  2 


>)  OPPOLZKR  settt  in  den  Astr.  Nachrichten  No.  2319  für  den  Faktor  1  4-  ttosE  im  Aus- 
drucke für  den  Wert  2,  wodurch  dann  die  WillkUrlichkeit  des  WidcrstandsgcseUe»,  aUerdings 
nicht  ganr  strenge,  gefolgert  wird. 


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Mechanik  des  Himmels.  70.  491 

Diese  beiden  Gleichungen  enthalten  a  und  e  nicht  getrennt;  Laplace  leitet 
daraus  eine  Gleichung  zwischen  a  und  e  ab;  man  findet  leicht  durch  Division 

(2/f  -h  B)e{\  —  **) 
do~  1a[A+{A  +  B)e*)\ 

Hieraus  erhält  man  zunächst  eine  Functionalbeziehung  zwischen  a  und  e\ 
drückt  sich  z.  B.  a  durch  e  aus,  und  substituirt  man  den  Ausdruck  für  a  in 

de  a  A  . 

die  Gleichung  für  so  erhält  man  dann  e  und  damit  auch  a  durch  v  aus- 
gedrückt. Die  Gleichung  ist  Übrigens  leichter  zu  behandeln,  als  es  auf  den 
ersten  Blick  erscheint;  es  lassen  sich  nämlich  die  Variabein  trennen,  und  man 
erhält 

2[A+(A  +  B)e*]         (2A  -h  B)da 
,(1      et)        ae~  a 

oder 

(2A      2A  +  B      2A  +  £\;  A  „.da 

woraus  durch  Integration 

1A 

1  2A+B 

ea-T=T'e 

folgt;  c  bestimmt  sich  aus  zusammengehörigen  Werthen  a0,  e0\  es  ist 


2A 

1  'iA+B 


—  e 


Hiermit  wird 


P 


0 


0 


demnach 


Tv  =  -cVA+B)c 


e 


2A 


+*de  ==  -  e&A  -+-  B)dv. 


Durch  Integration  folgt: 


.  B 

1  2A+B 

e 


B     =  'o(2^  -+•  B)  -  e$A  +  B)v, 


1A-+B 


wenn  die  Integrationsconstante  mit  c0(2A  ■+>  B)  bezeichnet  wird.  Hieraus  folgt 
endlich 

2A 
1  2A+B 

YÄe  -<.-<* 

2A+B 

e  =»  2A(c0  —  cv)  3A  . 

c0  bestimmt  sich  aus  dem  Werthe  e0  für  eine  gegebene  Zeit.    Für  die  Parabel 

ist  eQ  «  1,  demnach  fsO,<  constant,  wie  auch  aus  dem  Werthe  für  ^  folgt; 

dann  wird  auch  a  constant,  d.  h.  eine  Parabel  würde  bei  dem  Vorhandensein 
eines  widerstehenden  Mittels  ihren  Charakter  nicht  ändern.  Die  Ableitung 
ist  aber  durchaus  nicht  einwurfsfrei,  sie  setzt  nämlich  die  Entwicklung  \n  einer 
nach  cos  der  Vielfachen  der  mittleren  Anomalien  fortschreitenden  Reihe  voraus. 


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49a  Mechanik  de«  Himmels.  70. 

Die  Coefficienten  A,  B,  C  können  natürlich  erst  bestimmt  werden, 
p  —  f{r)  bekannt  ist,  d.  h.  die  Abhängigkeit  des  Widerstandes  oder  der  Dichte 
des  Mittels  von  der  Entfernung  vom  Centraikörper. 

Dass  c  nicht  sehr  gross  werden  kann,  selbst  wenn  B  negativ  wäre,  kiaa 
auf  folgende  Art  gezeigt  werden.    Man  hat 

für  r  =  0:     {p^)  — +         Ce*+  .. .)  {-j^j^^  [A+&  A  +B)t+  ..  / 

für  *-180°:^^j  ={A-Be  +  Ce*+...)[l^y=-p[A—(2A  +  B)e+..:: 

Da  nun  die  Dichte  des  Mittels  sowohl  als  auch  die  Geschwindigkeit  des 
Himmelskörpers  in  grösserer  Entfernung  von  der  Sonne  geringer  sein  muss,  so  vird 

('?)>(>?). 

sein  müssen;  daraus  folgt,  dass  für  den  Fall  einer  convergenten  Entwickelung,  wie 
man  dieselbe  ja  voraussetzen  muss,  2A  +  B  dasselbe  Zeichen  haben  wird  wie  A. 
2A 

also    ^A      B  jedenfalls  positiv  sein  muss. 

Führt  man  die  excentrische  Anomalie  ein,  so  hat  man 

(k       V         k *  k » 

_  _  +  8  L_  V       „  |/L____ 
de  o^7  9         v  l/1  ~*~  e  cos  E 


demnach 


^*           ^  ,  o      .                -  1  / 1  +  e  cos  E 
£   

E 


8 7t  =  —  2  V  a  <r*Ai»^  9  /  p  sin  El/1  +  e  cos  E  j£ 

J  '  1  —  e  cos  E 

'i 

Nimmt  man  für  p  die  Beziehung 

=  Po  _  Po   

P      r"      o*  (1  —  e  cos  E)*  ' 

so  werden  für  ganzzahlige  n  die  Integrale  elliptische  Integrale  werden;  die 
Werthe  6\l,  89,  ön  lassen  sich  dann  durch  vollständige  elliptische  Integrale  so- 
geben1), welche  Tafeln  entnommen  werden  können.  Man  erhält  für  des 
ENCKE'schen  Kometen: 


•)  Vergl.  Pontäcoulant,  »Theorie  analytique  du  Systeme  du  monde«,  II.  Bd.,  pag.  28$.  (Di« 
daselbst  gegebenen  FouaiBR'schen  Reihen  sind  jedoch  nur  bedingt  richtig.)  Ferner  die  Ea: 
Wickelungen  von  Backlund  in  den  »Astronom.  Nachrichten«  Bd.  101,  No.  9414. 


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Mechanik  det  Himmels..  70.  71. 


493 


für  n  =  0:    6>  —  ■+■  04102  p0    6>  =  —  971 16  p0        =  —  004224 
für«  — 2:  -H  14517  p0  —  51*4267  p0  —  002823. 

Diese  beiden  Zahlen  zeigen  thatsächlich  eine  Abhängigkeit  des  Verhältnisses 
V  vom  Widerstandsgesetze;  mit  dem  aus  den  Beobachtungen  gefolgerten  Werthe 
0  0284  stimmt  der  zweite  Werth  sehr  gut  Uberein,  und  könnte  man  hiernach  das 
Widerstandsgesetz  ausdrücken  durch 

wobei  sich,  die  Constante  p0  in  Bogensecunden  ausgedrückt 

'•=-RST7  =  0071915 

ergiebt    Das  Verhältniss  derselben  zur  Sonnenanziehung  wird 

sehr  nahe  der  ENCKE'sche  Werth. 

7L  Absolute  Bahnen;  intermediäre  Bahn en.  GvLDEN'sche  Methode. 
Unter  Zugrundelegung  der  KEPLERschen  Ellipsen  werden  für  die  Störungen  der 
Himmelskörper  Reihen  erhalten,  deren  Convergenz  nicht  nur  nicht  nachgewiesen 
ist,  sondern  in  welchen  bei  Berücksichtigung  der  höheren  Potenzen  der  Massen 
jedenfalls  die  Zeit  ausserhalb  der  trigonometrischen  Functionen  erscheint.  Der- 
artige Lösungen  können  natürlich  nur  für  beschränkte,  wenn  auch  relativ  sehr 
lange  Zeiträume  als  gültig  angenommen,  jedoch  keinesfalls  als  wirklich  correcte 
Entwickelungen  einer  absolut  richtigen  Lösung  angesehen  werden.  Unter 
einer  »absoluten«  Lösung  versteht  nun  Gylden1)  eine  solche,  welche, 
sei  es  durch  streng  geschlossene  Integration  der  Differentialgleichungen, 
oder  auf  dem  Wege  der  successiven  Näherungen  erhalten,  geschlossene  Aus- 
drücke oder  Reihen  für  die  Coordinaten  der  Himmelskörper  giebt,  welche 
auf  unbeschränkte  Zeiträume  gültig  sind,  d.  h.  bei  denen  die  Zeit  nur  in 
den  Ausdrücken  für  die  den  ganzen  Umkreis  durchlaufenden  Coordinaten 
(Länge,  Knoten  und  Perihel)  sonst  aber  nicht  ausserhalb"  der  periodischen 
Functionen  auttreten  darf,  und  bei  denen  die  in  jeder  Näherung  eventuell  auf- 
tretenden Reihen  an  sich  selbst,  aber  auch  die  aufeinanderfolgenden  Näheningen 
convergent  sind.  Von  der  Voraussetzung  ausgehend,  dass  es  nur  eine  einzige 
absolute  Lösung  geben  kann,  nämlich  die  sich  in  der  Natur  darbietende,  in  der 
mathematischen  Analyse  in  verschiedene  Formen  gekleidete,  kann  dann  ge- 
schlossen werden,  dass  das  Resultat  der  buccessiven  Näherungen,  wenn  diese 
den  zuletzt  erwähnten  Bedingungen  genügen,  mit  dem  Resultate  der  Entwickelung 
der  auf  strengem  Wege  erhaltenen  geschlossenen  Integralformen  identisch  sein 
müsse.  Dass  die  sämmtlichen.  im  früheren  erwähnten  Methoden  absolute  Lösungen 
in  dem  angeführten  Sinne  nicht  geben,  ist  klar.  Will  man  zu  einer  solchen 
gelangen,  so  muss  man  von  vornherein  die  Rechnung  so  anlegen,  dass  bereits 
in  der  ersten  Näherung  jene  Glieder  gewonnen  werden,  welche,  als  zweite 
Näherung  angesehen,  viel  zu  gross  sind,  um  die  Methode  als  convergent  er- 
scheinen zu  lassen.  Es  gilt  dies  ebensowohl  für  die  Mondbewegung  als  für  die 
Planetenbewegung;  aber  in  erster  Linie  ist  hierbei  an  die  Entwickelungen  für 


')  Astron.  Nachrichten  2453,  Acta  mathematica  Bd.  I:  «Eine  Näherungsmethode  im  Problem 
der  drei  Körper«;  Traite  des  orbite»  absolues. 


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494 


Mechanik  des  Himmels.  71. 


den  Mond  zu  denken,  da  bei  den  Planeten  die  störende  Wirkung  der  übrigen 
Himmelskörper  gegenüber  der  Anziehung  des  Centraikörpers  bedeutend  zurücktritt 
Erfahi ungsgemäss  erscheint  dies  auch  dadurch  ersichtlich,  dass  die  Bahn  des 
Mondes  sich  schon  in  sehr  kurzen  Zeiträumen,  ja  selbst  während  eines  Umlaufs 
so  sehr  von  der  Ellipse  entfernt,  dass  sie  kaum  als  solche  bezeichnet  werden 
kann,  während  bei  den  Planeten  selbst  wähtend  einer  sehr  grossen  Anzahl  von 
Umläufen  eine  Abweichung  nicht  allzu  merklich  hervortritt 

Soll  schon  in  erster  Näherung  ein  analytischer  Ausdruck  gewonnen  werden, 
welcher  die  wahre  Bahn  des  Mondes  einigermassen  genau  repräsentirt,  so  wird  es 
durchaus  nicht  ausreichen,  nur  die  Attraction  des  Centraikörpers,  der  Erde,  zu 
berücksichtigen.  Es  erscheint  notwendig,  von  vornherein  das  Dreikörperproblem 
als  solches  anzuwenden,  d.  h.  die  Bewegung  des  Mondes  unter  der  Einwirkung 
der  Erde  und  der  Sonne  zu  untersuchen.  Da  es  nun  aber  nicht  gelingt,  die 
wahre  Bahn,  d.  h.  eine  streng  absolute  Lösung  zu  finden,  so  muss  man  wenigstens 
zunächst  eine  solche  Bahn  suchen,  von  welcher  sich  die  wahre  Bahn  nur  um 
geringe  Störungsbeträge  unterscheidet.  Diese  Bahn  nennt  Gyld£n  eine  ainter- 
mediäre« Bahn1).  Sie  wird  erhalten,  wenn  man  von  der  Kräftefunction,  welche 
die  Wirkung  beider  attrahirender  Körper  berücksichtigt,  und  die  dem  gemäss 
hier  nicht  in  ihrer  Totalität  als  Störungsfunction  betrachtet  wird,  diejenigen 
Glieder  abtrennt,  die  von  der  niedrigsten  Ordnung  derjenigen  Grössen  sind, 
welche  die  Abweichung  der  Bahn  von  der  Kreisform  darstellen,  und,  die  Summe 
der  übrigen  Glieder  als  Störungsfunction  betrachtend,  die  Untersuchung  der  Ein- 
wirkung dieser  auf  die  Gestaltung  der  wahren  Bahn,  einer  zweiten  Näherung 
vorbehält.  Welche  Glieder  in  erster  Näherung  zu  behalten  sind,  zeigt  die  ana- 
lytische Untersuchung  selbst 

Die  Stabilität  der  Bahnen  erfordert,  dass  sie  sich  zwischen  endlichen,  nicht 
verschwindenden  Grenzen  bewegen.  Liegt  daher  die  Bahn  nicht  vollständig  in 
einer  Ebene,  welches  der  allgemeinere  und  auch  thatsächlich  in  der  Natur  vor- 
kommende Fall  ist,  so  wird  dieselbe  ganz  in  dem  Zwischenräume  zwischen  zwei 
homocentrischen  Hohlkugeln  liegen,  und  wird  bei  jedem  Umlaufe  sowohl  die 
äussere  als  auch  die  innere  Kugel  erreichen  können,  oder  auch  nicht  Im 
letzteren  Falle  kann  man  aber  annehmen,  dass  die  von  dem  Himmelskörper 
beschriebene  Curve  thatsächlich  bei  jedem  Umlaufe  zwei  Kugeln,  eine  äussere 
und  eine  innere,  jede  mindestens  einmal  berührt,  sonst  aber  beständig  innerhalb 
des  zwischen  beiden  liegenden  Zwischenraumes  fällt,  dass  aber  die  Distanz  dieser 
Kugeln  von  einem  Umlaufe  zum  andern  variirt.  Derartige  Curven  nennt  Gyld£n 
periplegmatische  Curven,  den  Abstand  der  beiden  Grenzkugeln  das  Diastema, 
und  es  werden  daher  periplegmatische  Curven  mit  constantem  und  veränder- 
lichem Diastema  unterschieden. 

Die  periplegmatischen  Curven  werden  als  Raumcurven  über  irgend  einer 
angenommenen  Fundamentalebene  verschiedene  Höhen  erreichen;  nimmt  man 
als  Fundamentalebene  eine  Ebene,  über  welche  sich  der  Himmelskörper  ziem- 
lich gleichmässig  zu  beiden  Seiten  entfernt,  so  wird  die  Gesa m mibe wegung  des 
Körpers  in  der  zu  dieser  Ebene  senkrechten  Richtung,  d.  h.  der  Abstand  zweier 
paralleler  Ebenen,  zwischen  welchen  sich  der  Körper  beständig  bewegt,  ohne 
sich  jemals  über  die  durch  dieselben  gesetzten  Grenzen  hinaus  zu  entfernen, 


')  »Undersökningar  af  Theorien  for  himlakroppamas  rörelser*.  Abhandlungen  der  k.  schwedi- 
schen Academie  der  Wissenschaften  Bd.  6  und  7.  Ferner  A.  N.  No.  2383  und  »Die  intermediäre 
Bahn  des  Mondes«,  Acta  mathematica,  Bd.  7. 


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Mechanik  des  Himmel».  71.  72. 


495 


das  Anastema  genannt.  Das  Argument,  welches  den  Radiusvector  bestimmt, 
d.  i.  der  Winkel,  welchen  dieser  Radiusvector  von  einer  festen  Richtung  aus 
gezählt,  beschreibt,  und  von  welchem  eben  die  Grösse  desselben  abhängt,  heisst 
das  diastematische  Argument;  das  Argument,  welches  die  Höhen  (Ent- 
fernungen von  der  Fundamentalebene)  bestimmt,  heisst  das  anastematische 
Argument.  Das  erste re  entspricht  der  Länge  oder  wahren  Anomalie  in  der 
elliptischen  Bewegung;  das  zweite  dem  Argument  der  Breite. 

72.  Aufstellung  der  Differentialgleichungen.  Seien  r,  / die  Projection 
des  Radiusvector  und  das  diastematische  Argument,  x,  y  die  rechtwinkligen 
Coordinaten  in  der  Fundamentalebene  X-Y,  so  wird 

x     r  cos  I,  y  —  r  stn  /.  (1) 
Bestimmt  man  die  Cordinaten  x,  y  so,  dass 

x     xY,J*=y  T,  daher  auch  r  =  r  T  (2) 
x  =  r«j/jsr  sinl  (1  a) 

ist,  so  wird  zunächst,  da 

tangl  =  y-,  tang~l  =  —  ist,  7=/ 

x  xx 

sehn.    Führt  man  hier  noch  die  reducirte  Zeit  C  durch  die  Gleichung 

dt  -  SL  (3) 

ein  so  ergeben  sich  hier  vorerst  dieselben  Gleichungen  die  in  No.  65  auftreten, 
wenn  C,    T,  U  wieder  als  unbestimmte  Functionen  betrachtet  werden.  Die 
Gleichungen  W  (7)  werden  unter  Einführung  der  Polarcoordinaten  (la),  wobei  aber 
statt  /  sofort  /  geschrieben  wird: 


(4) 


ä_       dT\       \_dJJ_  V* 
</C  \    dU)      U  dü  ' r    dt  -  P  Q 

Lr  <*c>     \dt)  \~  u  da ' r  di~  r  L ^c*  ~  u  dt  dir  r*      r  r  ' 

wo  nach  M  (8): 

P-£  +  (xX+yYy,    Q  =  (xY-yX)  (5) 

ist.    Es  soll  nun  weiter  /  in  zwei  Theile  L  und  •/  zerlegt  werden,  sodass 

l=L  +  X  (6) 
ist,  und  L  so  bestimmt  werden,  dass 

f'^  =  *„y?  (') 

wird,  wobei,  wie  man  leicht  sieht,  /  eine  dem  Parameter  der  elliptischen  Be- 
wegung analoge  Bedeutung  hat,  vorerst  jedoch  nicht  als  constant,  sondern  al> 
veränderlich  angesehen  werden  soll. 

Die  erste  Gleichung  (4)  lässt  sich  nun  schreiben: 


dx\ux  r* 


demnach: 

oder  ^  ^ 


49* 


Mechanik  de*  Himmels.  7«. 


wobei  C  die  IntegrationsconsUnte  ist,  die,  wie  man  sofort  sieht,  i$Yft 
ist.  Da 


ist,  so  wird 
oder  wegen 


dt     r  dL   dl  dL 


Um  die  zweite  Gleichung  (4)  in  derselben  Weise  zu  transformiren,  ist: 

dT  k^Vp         dr      dr_  ^0V7 
d:  ~  dL     r»    *       </C  "  dL  '  F» 
^!r-*oV^_£  V    <rT  <r> 

rf»  ~  V    </Z*  _  2   r»   dZdZ~*~*  r*    dL  dL 
d±r__*l£dTr      -kjpidly       kf  dp^ 
dt*  ~  r*    dZ*  "  *  F»  4   F*~  ^  </Z 

folglich 

*«.V         2       /  </Fy     v      </>     /      dr  y  v/ 
"TT  ^Z*  -  rr    >  \7z  j  +  *  TT     TT  -  \l  +  7z_J  -pr  - 

F>  <*Z  '  UdL~  t  [t*  dZ*  " '*  r*  <*"z</z 
+  *  F«  ^z  ärz  ~  r*  ^z  '  l/7z\^  T*       r   t  ' 

In  d;eser  Formel  sind  noch  zwei  Functionen  willkürlich;  zunächst  folgt  aus  S 
dass,  wie  immer  man  auch  V  in  der  intermediären  Bahn  wählt,  T  hiemaci 
so  bestimmt  werden  kann,  dass  die  Gleichung  (4)  befriedigt  wird.  Nimmt  mir. 
nun  noch  für  U  und  p  beliebige  Functionen,  so  folgt  aus  (8)  y,  und  aus  (7)  \ 
(als  Function  von  Z,  welches  überall  als  unabhängige  Variable  auftritt)  aus  (3j  t 
und  aus  (6)  /.  Wählt  man  hingegen  ^  beliebig,  was  darauf  hinauskommt,  in  :,6 
eine  ganz  bestimmte  Zerlegung  vorzunehmen,  so  wird  durch  (8)  U  bestimtr'- 
Hierfür  erhält  man  durch  Differentiation: 

L  /-d*7      ,/\     d'/\  *o  dP     dU  *oVH1H_^z)         v  ^  F» 

k^T£+*V  +  Ä)y;dZ=dz  hr  L  +  u'T*QJtf 

oder 

dL*  +  y+  dL)\ipdz-  u  dz)  -  r«  v/  ( 

Diese  Formeln  sind  noch  für  jede  beliebige  Annahme  über  r  gültig;  ind«t 
man  für  r  den  elliptischen  Radiusvector  wählen  würde,  erhielte  man  eine  speciel'e 
Integrationsmethode,  unter  Zugrundelegung  der  elliptischen  Bewegung  als  erster 
Näherung.    Dann  wäre  in  der  Formel 

<=Th  _ 

p  constant  und  p  =  e  cos  v  zu  setzen.    Wird  nun  r  in  derselben  Form 
gesetzt,  dabei  aber  p  als  veränderlich  angesehen,  und  auch  über  p  vorläufig 
weitere  Annahme  gemacht,  so  erhält  man  aus  (11) 


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Mechanik  des  Himmels.  72. 


497 


dx  1       dp  p  dp 

äz-\-h9dz     (i  +  P)»  dz  (m 

J*r         1     d*p  2       dp  dp         1p     ( dp\*         p  d'9 

dL*  "1+p  (1  -h  p)>  dL  dL  +  (1  +  p)3V^/      0  +  P)'  </za' 

Set2t  man  diese  Werthe  in  (9)  ein,  so  erhält  man  nach  einiger  Reduction: 

i/Z>  +  M  +  p  dLdL     *  p\dLj  ~  \-+  9  dL*~~  U  dL\dL  \-hpdL) 

(y      ±A\  ,  i  *T  dp  rfT  afp  _  1  dU  dT\ 

~~  V      ^Zj  ^~  r|^Z»  ~  *  p  dL  dl^  l  +  p  dLdL     U  dL  dL\~  KXA) 

£1    p*    f.    £1  p 
-  r»  (i  +  p)»*j~"  r  i  +  p" 

Da  hier  noch  drei  willkürliche  Functionen:  p,  x  uno<  ^  0(^er  /  zur  Ver 
ftigung  stehen,  so  wird  man  durch  passende  Zerfällung  an  Stelle  der  zweiten 
Gleichung  (4)  mehrere  erhalten  können,  welche  die  Bewegung  bestimmen  werden. 
Von  der  Art  der  Zerfällung  wird  es  abhängen,  die  elementaren  Glieder  des 
Radius vectors  sämmtlich  in  p  zu  vereinigen,  so  dass  in  T  keine  Glieder 
dieser  Art  mehr  auftreten.  Ist  dann  p  =  rj<w[(l  —  c)  v  —  «],  so  ist  tj  der 
Hauptsache  nach  das  Diastema,  und  die  Bahn  ist  so  zu  bestimmen,  dass  die 
Werthe  p  und  p  die  einzigen  sind,  welche  nicht  mit  störenden  Massen  multiplicirt 
auftreten  (von  der  nnllten  Ordnung  der  störenden  Massen  sind). 

Ehe  nun  an  die  Fortsetzung  der  GvLDEN'schen  Untersuchungen  geschritten 
wird,  soll  eine  Modifikation  derselben  kurz  erwähnt  werden,  welche  von  Harzer 
gewählt  wurde.  Dieser  setzt  y ;  «*  0  und  /  =  C,  wodurch  zwei  der  zu  wählenden 
Functionen  bestimmt  sind,  so  dass  nur  mehr  eine  Bedingung  freisteht.  Zunächst 
folgt  dann  /  =  Z  und  aus  (10): 

2p  dl  ~  Ü  dl  -  r»  \kfp)' 
Da  überdiess  /  =  C  vorausgesetzt  ist,  so  wird  nach  (3): 

C/=  r». 

Setzt  man  nun 

F==_TTV 

sodass 


dl  i  1  d 

Ji  « 


V 


*  n  +  v)VTVv  v  dt*)       (i  -h  v)»  VTT"v  U  J 


»)Vl+v  \dt')  TR(l-r-v)8l/l 
5 


U  dl~~  T  dl  *  1      v  dl 

wird,  so  wird  die  Gleichung  zur  Bestimmung  von  v: 

,      1      dv       1  dp  _     J_  /(?r»\ 

"^"v  Iva/ 


oder  da 

ist: 


1  +  v  dl  ^  2p  dl  yj 

yi  h-  v 

</v      1+v  dp  (Qrn 

di  +  —  dl  -  -  Wfi)  04 

II.  3» 

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■)oS  Mechanik  des  Himmels.  72. 

Weiter  folgt  aus  (13),  wenn  v  an  Stelle  von  T  substituirt  und  entsprechend 
reducirt  wird: 

d>p      ,     J_  dp  dj_  1  (dp\  p  . 

dl*       *  1  -f-  p  dl  dl  ~~ '  *  p  \dl)  1  -f-  p  dl*       ?  ^ 

f,    P    d*n     ,      p  (<t_A'    .   J_   L_   !_ 

[*  1  -4-  v  dl*      "(l+v)»\rf/J+*  l+vrf/rf/J"l+v*,»        1  +  > 

1  +  p 

Multiplicirt  man  hier  mit  — -~  und  reducirt,  so  erhält  man: 

|*  i  ■+■  v      ™  (i  +  v)»        *  zu  ■+■  *)  " 

Die  Gleichungen  (14)  und  (15)  sind  die  Fundamentalgleichungen  von 
Harzer1).  Die  Gleichung  (14)  dient  zur  Bestimmung  von  v.  In  Gleichung  (15} 
kommen  noch  p,  v,  p  vor,  und  man  kann  nun  noch  eine  Bedingung  feststellen, 
wodurch  erst  die  Lösung  völlig  bestimmt  wird.  Es  wird  die  Gleichung  (15} 
in  zwei  andere  zerfällt,  von  denen  die  eine 

^S  +  d-O'p«*  (15a) 


zur  Bestimmung  von  p  dient,  während  die  übrigen  Glieder  vereinigt,  eine 
zur  Bestimmung  von  p  geben.  X  wird  dabei  so  angenommen  und  die 
Kräfte  ausgeschieden,  dass  durch  die  Integration  von  (15  a)  die  säm rötlichen 
elementaren  Glieder  in  p  vereinigt  auftreten9).  Seien  in  (15a)  diejenigen  Glieder, 
welche  zur  Entstehung  von  elementaren  Gliedern  führen: 

X=  -  x'  cos  [(1  -  9')l-Ä)  -  x"cos[{\  -  *")l- A"]-.  .  . 

wobei  a',  o"  .  .  .  ebenso  wie  c  von  der  Ordnung  der  störenden  Massen  sind,  so 
wird  das  Integral  von  (15a): 


x' 


P  =  x  cos[(l  -  c)/  -  B]  4-  8(c,0[|_i(c4.0]  cos  [(1  -  o')l  -  k') 


x" 


wo  x  und  B  die  Integrationsconstanten  sind.    Setzt  man: 

x 


(16} 


y\cos  (k      B)  =»  x  -t-  2(c_(y,)[1_i(c4.g,))  cos  [(«'      ff)  /  -f-  A'      B]  +- 

+  i(t,0[i-i(t  +  0]wr"t?/+A""lfl+,,t 

,  sin  (k  -  B)  =  +  ---^^^  *  [C  -  ff)  /  +  A'  -BJ  + 


ri«  [(•"  -  c)  / A"  -  B]  -+-... 


-2(ff-0[l-Mc-r-0] 
so  folgt: 

P  =  t)<w[(1  —«)/- 4  (18 
Bei  der  Zerfällung  der  Gleichung  (15)  wurde  dabei  eine  Grösse  c  eingeführt 
welche  dann  in  dem  Integral  (16)  oder  (18)  erscheint.    Die  Bestimmung  des 


')  »Untersuchungen  Uber  einen  speciellen  Fall  des  Problems  der  drei  Körper«;  Memoiren  der 
Acadcmie  der  Wissenschaften  in  St.  Petersburg,  Bd.  34,  No.  12,  pag.  24. 

*)  1.  c,  pag.  48.    Nach  Gyldän.    Vergl.  »Traite  des  orbites  absolues«,  pag.  12a. 


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Mechanik  des  Himmels.  72.  73. 


499 


Werthes  von  c,  welche  allerdings  auch  nur  successiv  erfolgen  kann,  und  zwar 
nach  Maassgabe  der  auf  der  rechten  Seite  von  (15)  immer  neu  eintretenden 
Glieder  Jkp,  mit  constanten  Coefficienten  k,  ermöglicht  eben  die  Vereinigung  der 
elementaren  Glieder  in  p.  An  Stelle  der  Integrationsconstanten  x,  B  treten  hier 
die  durch  die  elementaren  Glieder  veränderten,  nicht  mehr  constanten  Grössen 
ij,  it\  die  durch  (17)  definirte  Grösse  tj  ist  das  veränderliche  Diastema.  Er* 
wähnt  mag  noch  werden,  dass  die  Differentialquotieriten  von  ij,  *r  nach  /  von  der 
Ordnung  der  störenden  Massen  sind,  d.  h.  den  Charakter  der  elementaren  Glieder 
verloren  haben,  da  die  Faktoren  a1  —  c,  o"  —  c  heraustreten. 

73.  Zerfällung  der  Bewegungsgleichungen  in  Differential» 
gleichungen  für  die  intermediäre  Bahn  und  die  Störungsgleichungen. 
Die  in  den  Differentialgleichungen  72  (3),  (10)  und  (13)  auftretenden  Functionen 
r  und  U  sind  nahe  der  Einheit  gleich.   Setzt  man  also 

r  =»  I  -h*T,  U  ■=  \  -*t-  IT , 

so  wird: 

dV      dj  d*V  d*i 

dt  ~  dt  '*  dt*  —  dt* ' 

Doch  führt  Gyld£n  an  Stelle  der  Grösse  t  eine  Grösse  l  ein1),  die  mit  7 
durch  die  Gleichung  verbunden  ist: 

(2) 


Es  wird  dann 
folglich 


1  h-  r  £  ~    1  -+-  p  +  pl 


dV_  p  dl  j  dl  _  p\  dp_ 
dL       1  +  p  dL      1  +  p  dL      (l  -t-  p)»  dL 

d*T         p      d*\  2      dp  dl        _2p_    dp  d\  2}       dp  dp 

dL*  ~~  1  -4-  p  dL*  +  1  -4-  p  dL  dL     (1  +  p)»  dL  dl      (1  -+-  P)»  dL  dL  + 

+  1  +  p  </Z»  +  (1  +  p)'  \dl)       (1  -h  p)'  dL* ' 
Werden  diese  Werthe  in  72  (13)  substituirt,  und  berücksichtigt,  dass 

r(i-+-P)=  1  +  0) 
T(i  +  p)  '  i  +  P+/r  r 

ist,  so  erhält  man  nach  einiger  Reduction: 

d*_p  }_*Pl?^t±±9(*P\%  l-+-p£V  1  </&  /1-f-p  dp  dp\ 
dL*     *pdLdL+*  p*   \dLj~    p     dL*  + U  dLl\  p    dL  dL) 

'  UZ>  +  *  p  dL  dL~  U  dL  dL}-~    T    1  +  p  *  *      u  • 


*)  Traite  des  orbites  absolues,  pag.  517;    Acta  mathematica,  Bd.  7,  pag.  134.    i/  kann 
xunachst  Kürze  halber  beibehalten  werden. 

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5<x>  Mcchnnik  des  Himmels.  73. 

Nun  ist 

1  dJL  r  (L±l  *P  dJ\  1  ±?  U  Ü.  ^  il\ 
U  dL  l\    p     dl     dL)      U  dl  V  dL      1  +  p  dZ) 

1  iH  (l  ~*~  P  ^  ^ 
~"  <7  </Z  V    P     dL"  dL) 

r(l+p)\1+rflj^*  [dl)  J^dU  +  ÜdLl\  p   dL    dL)  = 

(       d/V        p  (dp\*     P   d*p       l   dV  9   d£      1  dC/dp 
-?V  +  dL)  +il       \dL)  ~  p  ~dD  +  Ü  TZ  p  dL~  U  dL  dL~*~ 

Trennt  man  daher  in  Gleichung  (4)  die  nur  vom  p  abhängigen  Glieder  von 
den  mit  $  und  U  behafteten  ab,  so  erhält  man: 

£  - [('  -  * -(£)'- 7  Ä] r-'^  « 

(L±<?P     }dH\dl    (       d%\\     1  dU  lit     \  dV  \  dp 
dL*  +y  p  dL~  UdL  )dl.+  y  +  dL)  dL  '  p  dL+  U  d  L  p*  dL9~ 

-  W  1  W    I         \  *u  \  dp     \(     dx\n  (6; 

-  ~  |*p  W/  ~  />s  *za  +  6/ /z  7>  5z  +  /  V  +7l)  J +  ^  ~ Wt 

wobei  «/  eine  vorläufig  willkürliche  Function  sein  kann,  und 

— +  0,  (7) 

ist.    Setzt  man  weiter  in  72  (3): 

/=C+7;  (8) 


so  wird: 


oder 


dT 
dL 


(9) 


Durch  Zerfällung  der  Gleichung  (4)  in  zwei  andere  ist  für  die  bisher  will- 
kürlich gebliebenen  Functionen  die  erste  Verfügung  getroffen,  indem  die  Be- 
stimmung von  p  diejenige  von  \  (d.  i.  V)  nach  sich  zieht  oder  umgekehrt.  Eine 
analoge  Zerfällung  kann  man  mit  Gleichung  72  (10)  vornehmen.  Sei 

C/3  QxT  U*  Qp 

n  V)=  (i  +  p  +  /(j»  kf  =  w~  Qo  +  Ql'  (7a) 

so  wird  man  setzen  können: 

d'y 

JTi-Qo  (10) 

und  dann  erhält  man  für  die  Bestimmung  von  p  oder  U die  Differentialgleichung1): 

J  (iL  1  dU  <?i  nn 
2p  dL      (/  dL  ~         dx'  uu 

1  </Z 

Die  Art  der  Zerlegung  in  (7)  und  (7*)  wird  erst  im  Laufe  der  Integration 
durch  die  bei  denselben  zu  erfüllenden  Bedingungen  näher  präcisirt  werden 

l)  Der  Cocfficient  von  ^|  in  Gleichung  (6)  ist  die  hier  in  (II)  auftretende  GrtJsse. 


Mechanik  des  Himmels.  73-  74.  501 

können.  Endlich  tritt  noch  die  Gleichung  72  (7)  hinzu,  welche  in  die  Form 
gesetzt  werden  kann: 

*  _    ,,«> 

</Z~*0(l+p)'" 

Es  erübrigt  noch  eine  Gleichung  für  die  Bewegung  in  Breite  abzuleiten. 
Setzt  man  in  der  dritten  Fundamentalgleichuug  9  (A): 

*  =  rj,  (13) 


so  wird 
Nun  ist 


d*i         dr  d\  d*r_ 
r  dt*~*~2  dt  dt  + 3  dt*  ö  Z 

dl       dl   kQYp  r» 
dt  -  dL     7s       U  ' 


(H) 


<r7*  ~  ^/Z»  +  2p  dL  dL~  i  dL  dL*  Y  dL  dL     U  dL  dL)    r*    Ü*  ' 
Hiermit  folgt,  da  [vergl.  No.  26  (1)]: 

dr      fi_  dr_       r_  dT_\    k^Yp  _P 

dt  ~~  \  r  dL    n  dL)'  t»  # 

dt*  -  \dt)   r,  (1  +  ,,)# +  ^ 

ist  nach  einigen  leichten  Reductionen: 

</Z*  +  [2/  <*"Z  </Z  J  dL      V  3  ~~ 

-  V/n  |\<n-a')*      r  r  +  r  J' 

Die  Gleichungen  (10),  (5),  (12);  (11),  (6),  (9),  (14)  sind  jetzt  die  zu  inte- 
grirenden  Differentialgleichungen  wobei  (5),  (6),  (14)  canonische  Differential 
gleichungen  sind.  Für  die  intermediäre  Bahn  erhält  man  aus  Gleichung 
(10):  x;  hierauf  aus  (5):  p,  sobald  über  p  eine  Annahme  gemacht  ist1),  und 
damit  den  intermediären  Radiusvector ;  (12)  bestimmt  sodann  die  zur  gegebenen 
intermediären  Länge  Z  gehörige  reducirte  Zeit  C  Ist  die  intermediäre  Bahn  be- 
kannt, so  erhält  man  dann  aus  (11)  den  Werth  von  U\  aus  (6)  die  Störung  des 
intermediären  Radiusvectors,  aus  (9)  die  Störung  der  reducirten  Zeit,  endlich 
aus  (14)  die  Störung  in  Breite.  Die  Form  der  intermediären  Bahn  wird  nun 
wesentlich  von  der  Art  der  Zerlegung  der  anziehenden  Kräfte  {P0  und  Pl ;  Q0 
und  Qt)  abhängig  sein.  Je  mehr  von  den  bedeutendsten  Gliedern  der  Kräfte- 
funetion  benützt  werden  können,  desto  näher  wird  sich  die  Lösung  der  Wahr- 
heit anschmiegen. 

74.  Die  Differentialgleichungen  für  die  intermediäre  Bahn  des 
Mondes.  Sieht  man  p  als  constant  an,  so  werden  die  Differentialgleichungen 
zur  Bestimmung  der  intermediären  Bahn: 


')  Statt  dessen  können  auch  gewisse  zu  erfüllende  Bedingungen  vorgeschrieben  werden. 
Eine  solche  ist  durch  die  Bedingungen  (7)  und  (7  a)  theilweise  fixirt.  Die  Störung  7* 
der  Zeit  erfordert  noch  für  eine  absolute  Lösung  eine  geeignete  Transformation.  Weiter 
wird  man  für  }  ebenfalls  eine  Zerfällung  vornehmen  können,  ahnlich  derjenigen  für  p,  doch 
tnuss  selbstverständlich    an  dieser  Stelle  von  zu  weitgehenden  Ausfuhrungen  abgesehen  werden. 


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5<>2  Mechanik  des  Himmels.  74. 


dL* 

dL  -*§(1  +p)»»  V/ 

wobei  (?0  und  /*„  diejenigen  Theile  der  störenden  Kräfte  sind,  welche  eben 
berücksichtigt  werden  sollen,  d.  h.  die  Hauptglieder  in  den  Entwicklungen : 


<?„- 


0  *.»/.  „ 


I     r  i  +  ,tt  +  vl 

Zunächst  sind  demnach  P  und  Q  zu  ermitteln.    Es  ist  nach  72  (5) : 
J>=^1  +  (xX-hyY)\    Q  =  (xY-yX) 


und  da  es  sich  hier  zunächst  um  die  Bestimmung  derjenigen  Theile  der  stören- 
den Kräfte  handelt,  welche  die  intermediäre  Bahn  ergeben,  so  können  alle  Aas- 
drücke weggelassen  werden,  die  nur  zur  Entstehung  sehr  kleiner  Glieder  Veran- 
lassung  geben  können.  Es  können  also  vor  allem  die  in  s'  [No.  56  (2)]  multi- 
plicirten  Glieder  in  den  Kräften  X,  Y  weggelassen  werden;  sodann  ist  nach 
23  (1),  wenn  man  sich  auf  die  Wirkung  dreier  Körper  beschränkt,  die  Sonnen- 
masse  gleich  M  setzt,  und  Kürze  halber  die  Entfernung  des  Mondes  von  der 
Sonne  r0l  =  A  setzt: 

xXx  +  yYt  =  +  yy')       -  ^)  -  jj] 

xYt -yXx  =  k>Af[(xy'  - yx')        -  ~)j  • 
Nach  56  (1)  und  (2)  ist: 

daher,  wenn  von  den  parallaktischen  Gliedern  abgesehen  wird: 

Führt  man  an  Stelle  von  r  die  Grössen  r  und  *  ein,  und  analog  für  die 
Sonne,  also: 

r»  =  r»-H*»;    r'»  =  r'»  +  *'» 

und  sieht  dann  von  den  Neigungen  der  Bahnen  ab,  indem  zunächst  die  Breiten- 
bewegungen nicht  weiter  in  Betracht  gezogen  werden,  so  ist 

_L  „  _L  _  *  _L  **'  +  yy 

A*  ~  r'»  ~  6  r*       rr'  ' 

Da  weiter 

xx  +yy'  =  -+-  rx'  cos{l  —  /,);    xy'  —  yx1  =  —  rr'x/*(/  —  ix) 
ist,  so  wird 


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Mechanik  des  Himmels.  74.  503 

XXX  +y  Yx  =  k* M**i  [3  cos*  (/-  /,)  -  1]; 

x  Yx  -  yXx  =  -  k*  M^i  3  «»  (/  -  /j)  /,), 


demnach: 


r» 


r» 


ö  =  -^iVpTi««2(/-/,), 

wobei  £0*  =  £8(1  «+•  m)  ist,  wenn  die  Erdmasse  gleich  1  gesetzt  ist,  und  m  die 
Mondmasse  bedeutet.    Setzt  man  hier 

 I  /         .    r.  ~r'   Px 


1  1  +  rT      I  +  Pi+ZiS.' 

berücksichtigt  bei  den  für  die  intermediäre  Bahn  zu  verwendenden  Kräften  nur 
die  von  %  unabhängigen  Glieder  und  führt  statt  der  wahren  Längen  /,  lx  die 
intermediären  Längen  Z,  Lx  ein,  so  wird: 

«?.>  =  -  (£)'r£ü        •  *«"    -  A  +  x  -  x.) 
<'•>  "  -  {ff  TTH.  JTTW' Ci  + 1  ""2(/  "  z' + ' "  *»• 

Hieraus  lassen  sich  dann  die  störenden  Kräfte  leicht  finden;  wenn  man 
die  vollständigen  Entwicklungen  der  Ausdrücke  S,  W,  [73  (7)  und  (7  a)]  vor- 
nimmt (in  denen  allerdings  die  noch  unbekannten  Störungen  \t  T,  3  und  even- 
tuell ein  zu  p  tretender  veränderlicher  Factor  eintreten),  so  wird  dann»): 

<2,  =  W-QQ-     Px  =  ?-L£o.  (5) 

Aus  (3)  folgt 

Sei  der  Radius  der  äusseren  Grenzkugel  a(l  ■+-  t),  derjenige  der  inneren 
a  (1  — e),  so  ist  lae  der  Normalabstand  der  beiden  Kugeln,  zwischen  denen 
sich  die  periplegmatische  Curve  bewegt;  a  ist  das  arithmetische  Mittel  aus 
den  beiden  Halbmessern;  a  (1  -+-  e)  ist  der  grösste  Werth,  den  der  Radiusvector 
erreichen  wird,  a  (1  —  e)  der  kleinste.    Setzt  man 

/  =  a  (1  -  &)  (6) 
so  wird  in  der  intermediären  Bahn  (d.  h.  abgesehen  von  Störungen): 

der  Minimal werth:        r0  =  ^  =       —  e)\ 

der  Maximal  werth  :        r.  =  gf 1  ~~  ^  =  a{)  -h  e), 

1  4-  pj 

folglich 

e  —  ö  e  d 

p«  =  +  7^7;  P»  =  -rT7' 

p  ist  nun  aber  eine  periodische  Function,  in  welcher  crfahrungsgemäss  ein 
Hauptglied  überwiegt,    so  dass  der  Hauptsache  nach,  p  nahe  gleiche  positive 

')  Hierin   sind    natürlich  für  P0  und  Q0  nicht  die  für  die  erste  Integration  noch  nicht  zu 
verwendenden  Ausdrücke  (4  a),  sondern  die  aus  (4  b)  pag.  504  folgenden,  eventuell  noch  weiter 
educirten,  einzusetzen. 


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Mechanik  des  Himmels.  74. 


und  negative  Werthe  erreichen  kann.  Hieraus  folgt,  dass  d  von  höherer  Ordnung 
der  Kleinheit  sein  wird,  wie  e.  Bei  veränderlichen  Diastemen  wird  nun  aller- 
dings 8  nicht  constant  sein, -man  kann  aber  immerhin  in  dem  Ausdrucke 

dL  _  *0(l  +p)» 

K      ai(l  -  b)i 

8  so  bestimmen,  dass  die  Entwickelung 

(1  +  P)f 


(!-»)! 


=  1  h-  periodische  Glieder  (6  a) 


besteht,  d.  h.  dass  der  constante  Theil  dieser  Entwickelung  gleich  1  wird. 
Dann  wird 

k 

L  =  L  <°>  h — §  C  — *—  periodische  Glieder 
oder,  wenn  man   

_  z.  p, 

setzt, 

Z  =  Zl°)  +  Z'J+  periodische  Glieder. 

Z'  hat  daher  die  Bedeutung  der  mittleren  siderischen  Bewegung  in  der  Zeit- 
einheit.   Ebenso  hat  man  für  die  Sonne: 

Zt  =  Z{°>  -rZ.'U  periodische  Glieder, 

wobei  Z,'  die  mittlere  siderische  Bewegung  der  Sonne  ist.  Wird  für  das  Ver- 
haltniss  der  mittleren  siderischen  Bewegung: 

-  H  (7  a) 

gesetzt  [vergl.  No.  57  (7)].  so  wird: 

Z,  =  Z,(")  -+-  jiZ'C  -+-  period.  Glieder  =  £,«>)  4-  fx(Z  —  ZW)  +  period.  Glieder, 

daher  abgesehen  von  den  periodischen  Gliedern: 

Z  -  Z,  =  (1  -  y.)  L  -  LtW  +  jxZW. 

Setzt  man  jetzt: 

1  —  (x  =  X,    Z,(°)  —  fiiZW  =  A  (8) 

und  vernachlässigt  für  die  Sonne  die  Abweichung  der  intermediären  Länge  von 
der  wahren,  setzt  also  Xi  =  0,  so  wird: 

sin  2(Z  —  Z»  -l-  -/  -  x,)  =      2(XZ  -f-  X  -  A); 
<w  2(Z  —  Z,  -i-  y  —  Xi)  =  cos  2(XZ  H-  x  —  A). 
Weiter  hat  man,  wenn  man  in  den  Coefficienten  von  (4  a)  an  Stelle  von  p, 
/>,  deren  constante  Theile  einführt: 


und  wenn  man  nur  Glieder  der  ersten  Potenz  von  p,  pt  berücksichtigt: 

Qo  =  -  Jn'O  +  3 Pi  —  4p)  sin  2 (XZ  -t-  x  —  A) 
A  =  -  in'U      3Pl  -  3p)[l  -+-  Scos  2(XZ  h-  /  -  A)]f  (4 
und  die  zu  integrirenden  Differentialgleichungen  werden,  wenn  noch  Kürze  halber 

Iii»  =  Ii,  (8a) 

gesetzt,  und  in  der  Gleichung   für  p  die  in  f>0   mit  dem  Faktor  p  behafteten 
Glieder  mit  den  übrigen  links  vereinigt  werden: 

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Mechanik  des  Himmels.  74.  75.  505 
Yl%  =  ~  l*i  0  -+-  3Pl-4p)««2(XZ  +  x  -  A) 

^7      [l  -  ^  -  Sil,  w2(XZ  +  )(-A)-,2^+  (zi)']'  <8) 

=  —  i^i  —  H1P1  -  p.,<w2(XZ  -+-  x-  A)  -  3p.lPl<w2(XZ     /  —  A). 
Hierin  ist  noch  x  enthalten;  vernachlässigt  man  dies  in  der  ersten  Gleichung 
rechts,  so  erhält  man  eine  erste  Näherung: 

ZZ  =  +  2X  C0S  2<XZ  ~  A);  *  ~  +  4X*  Sin  2(XZ  ~  A)"  (9> 
und  setzt  man  dies  in  die  zweite  Gleichung  (8)  ein,  und  vernachlässigt  ebenso 
wie  in  (9)  die  zweite  Potenz  von  jij,  welches  die  störende  Masse  repräsentirt, 
und  die  Produkte  von  ft,  in  die  kleine  Grösse  p,  und  in  das  Quadrat  von  p1), 
so  erhält  man: 

f*i  — 3hj*«2(XZ  — A)  + yf**2(XZ  -A^jp=— — ftl^2(XZ—  ) 
Setzt  man  daher  noch: 

*  (S  ~  l)  -      ■  (10a) 
W=  —\y-\  —  JM<w2(XZ  —  A), 
so  wird  die  Differentialgleichung 

£g  +  [1  -  ^  -     «x2(XZ  -  A)]P  =  IV.  (10) 

75.  Die  in  termediäreBahn  des  Mondes.  Integration  der  Differential- 
gleichungen.  Um  die  Gleichung  (10)  der  vorigen  Nummer  zu  integriren,  wird 

XZ  -  A  =  £gx  -  90°  (1) 

gesetzt,  wobei  K  ein  vollständiges  elliptisches  Integral  erster  Gattung  ist2),  dessen 
Modul  x  erst  bestimmt  werden  soll.    Dann  erhält  man  die  Differentialgleichung : 


')  Das  Produkt  f*,p  muss  beibehalten  werden,  da  hiervon  der  Coefncient  von  p  in  der 
zweiten  Gleichung  (8)  abhängt.  Es  lässt  sich  auch  fUr  die  intermediäre  Bahn  selbstverständlich 
die  Näherung  fUr  p  und  auch  für  /  weiter  führen ;  doch  kann  auf  diese  vollständige  Berechnung 
hier  nicht  eingegangen  werden.  Vcrgl.  hierzu  Gylden,  »Die  intermediäre  Bahn  des  Mondes«, 
Acta  mathematica,  Bd.  7,  pag.  140-  145.  Es  mag  hier  nur  erwähnt  werden,  dass  die  genauere 
Berücksichtigung  von  x  ""f  eine  Gleichung  fuhrt,  welche  durch  die  Substitution 

p  =  E  yi~+ncos  (XZ  —  A) 
auf  eine  der  Gleichung  (10)  völlig  gleich  gebaute  Differentialgleichung  führt,  bei  welcher  nur 
die  Coefficienten  um  Grössen  zweiter  Ordnung  in  p^  geändert  werden. 

*)  Die  Einführung  der  elliptischen  Functionen  in  die  Theorie  der  Bewegung  der  Himmels- 
körper hat  sich  als  äusserst  fruchtbringend  erwiesen.  Zwar  kann  man  ohne  dieselben  ebenfalls 
Entwicklungen  erhalten,  welche  von  den  Mängeln  der  früheren  Methoden  frei  sind,  wie  dies 
z.  B.  bei  den  Entwicklungen  von  Lindstedt  (Astron.  Nachr.  No.  2462,  2482,  2503.  2557), 
Hill  (American  Journal  of  Mathcmatics,  Bd.  I),  Harzer  (Astron.  Nachr.  No.  2826  und  2850) 
u.  a.  der  Fall  ist,  'doch  hat  die  Einführung  der  elliptischen  Functionen  den  Vorzug,  dass  man, 
wie  t.  B.  in  dem  Integrale  (10)  eine  grössere  Anzahl  von  Gliedern  vereinigt,  diese  Uberhaupt 
in  anderer,  und  wie  es  scheint  condensirterer  Form  geordnet  erhält,  und  Uberhaupt  in  vielen 
Fällen  zum  mindesten  eine  grössere  Convergcnz  erreicht  Vergl.  hierfür  das  sehr  instruetive 
Beispiel,  welches  Gylden  aus  der  Bewegung  der  Pallas  in  den  Astron.  Nachrichten  No.  2886  giebt 

Sehr  bemerkenswert!!  sind  auch  die  Entwickelungen  von  Hill  in  «Acta  mathematica«  Bd.  8, 
pay.  1,  welcher  ohne  Einführung  der  elliptischen  Functionen  die  Bewegung  des  Mondperigeums 
bis  auf  den  13.  Theil  richtig  erhält. 


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$o6  Mechanik  des  Himmel».  75. 


SS?  +  (t)  ['-"'  +  "i*"»!* *]»  =  (tt)  ^ 

Nun  hat  man  die  Entwickelung 


(2) 


/XÄ'Y  ?  TT  2?» 

V 2«  /  cos^amx  =  -  D  +  Y-q*  C°S  22K*      \  —  q*  "'^K*  ~* 


wobei 


D-l(      qt        -i.  -L.  +  ^ 


(3  a) 


(3  b) 


x»  +  x'*  =  1 

ist.    Hieraus  folgt: 


it  1  -  q*  l/xÄ'Y  2tf9  ic  1 

"•'Bf*  =  -f-jCW  +       (T=7) «"*«*-■••}■ 

Substituirt  man  dies  in  die  Differentialgleichung  (2)  und  berücksichtigt,  dass 

cos  2  am  x  =  1  —  2  jw*  a/«  # 

ist,  so  folgt: 

fr xt  [>  -    +     (-7^)       (i  -  ****** x)  +  — x>J  P= 


*» 

=  —  IV 

oJer: 

dx* 


-rJüli- 2«-' «- *+  — Tim*    "=  irr? 

Der  Modul  x  soll  nun  zunächst  so  bestimmt  werden,  dass  der  Coefncient 
von  2sin*amx  gleich  x»  wird,  d.  h.  dass 

1  —  q*  x» 

wird.    Setzt  man  noch1): 


1    _  /T» 


1  —  n1 

4 Arn»  (1~^)H~ — ^ — 4äTx»  D^  1  ~  ******  (6) 

so  geht  die  Differentialgleichung  über  in: 

■j^  —  [2x*  sin*  amx  —  1  —  x*  -l-  x*sin*  am  im)  p  « 


*)  Das  Imaginäre  muss  hier  eingeführt  werden,  weil  die  linke  Seite  der  Gleichung  (6; 
grösser  als  1  ist;  wurde  man  aber  1  4-  x»  sin*  am  tu  setzen,  so  würde  die  Form  der  Gleichung 
(7)  geändert.    Das  Imaginäre  fällt  schliesslich  heraus,  da  ja  tmam{im,  x)  =  itamgati  (w,  x')  ist. 


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Mechanik  des  Himmels.  75.  507 

Das  Integral  dieser  Differentialgleichung  ohne  letztem  Gliede  ist  nach  Hkrmite: 

P  =  Ci      8(0:)      '  ^'+C,-^r^,+  ^',  (8) 
wobei  in  der  JxcoBi'schen  Bezeichnungsweise 

^(*)  =  »i(ä^);      9    =  (2^) 

ist.   Um  für  x  wieder  die  Länge  L  einzuführen,  sei 

V{im)  * 

dann  wird 

ö^x  =  i.{\L-A  +  90°).  (9a) 
Setzt  man  dies  ein,  so  wird: 

e(x)p  =  Cx  JI(x+i»)<-'*«L-A+*f>)+  C%H{x  -  /.)f+"ft^A+W)( 
oder  wenn  man  an  Stelle  der  Constanten  C,,  C,  zwei  andere  c\  C  durch 

einfuhrt,  wodurch  der  in  der  letzten  Formel  auftretende  Winkel  von  90°  in  die 
Constante  C  eingezogen  erscheint: 

9  (x)p  =  f'jiV (*  +  i.),-"^-*)-"^     (*  -  im)e+*'*L  A)"  ,cl 

=.  ^[#(jc  -t-  im)  -hff(x-  /»)]  w  [v(XZ  -  A)  -  C]  -  (10) 
-  ic'  [J/(x  H-  /«))  -  H{x  -  i »)]      [v(XZ  —  A)  —  C']. 

In  den  Ausdrücken  JI(x  +  in)  +  Jf(x—i to)  und  1  [Zf (*-H»to)  —  ff(x  —  i»)\ 
ist  das  Imaginäre  verschwunden.  Der  Modul  der  hier  auftretenden  elliptischen 
Integrale  und  Funktionen  ist  bestimmt  durch  die  Gleichung  (5);  aus  dieser  folgt: 

9  V-% 

1  —  q*  ~  16  X» 

Hiermit  erhält  man  nach  den  Formeln  für  die  elliptischen  Functionen: 
(S.  z.  B.  Jacobi,  »Fundamenta  nova  theoriae  funetionum  ellipticarum«,  Werke, 
Bd.  I,  pag.  159): 

\q            4q*              4?»  4?« 
/^x  =  logl  Vi  -  YT~f  +  2(1  +       "  3(1 -h?>)  +  4(1  +  ?«)  "  

[q*  q«  qi°  1 

(1  _         +  (l  _ V)»      (I  -     •)■  +  •  •  •  •  J 

*  /x  *  [(!-„)+  (^)  *]  "  1  j 

oder  die  noch  stärker  convergente  Reihe 

19  9*  9*  \ 

+  3(1  -  ?<)  +  5(1  -  f«)  +  1  •  } 
x»  =  1  -  x'». 

Aus  der  letzten  Formel  (12)  folgt 

a  =  ±.  ix  itang  am  (m.  x')  =  q:  x  fang  am  (<o,  x'). 


(12a) 


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508  Mechanik  des  Himmels.  7,'«. 

Eine  nach  Potenzen  von  <»  fortschreitende  Reihe,  welche  gestattet,  aus  j 

sofort  7fiv^v  zu  ermitteln,  erhält  man  durch  die  WEiERSTRASS'schen  ^/-Functionen; 
tt(«u>) 

doch  sind  diese  Reihen,  da  sie  nicht  nach  Potenzen  von  q  fortschreiten,  für 
grössere  Werthe  von  x  nur  schwach  convergent,  und  ist  daher  eine  indirekte 
Lösung  vorzuziehen.    Es  ist 

q'  =  e~*l?  (3c) 


der  zu  x'  =  —  x*  gehörige  q-  Werth,  und  daher,  wenn  man  BitiCG'sche 
Logarithmen  versteht: 

hgq  •  togq1  =  **M*  =  1  86 15229   {log  =  0  2698683,7) 
2Ä"  W     ^    4*'«  4f  4q'* 

womit  man  zur  Probe  nach  der  Gleichung  (3c)  den  Werth  von  wiederfinden 
muss.    Dann  wird: 


•k'i         nto         4q'*      .  itco         4tfu       .  _ 
tangami»,  x  )  =  ^ang  ^  -  y^r^i  «"»  X7  +  2 


rcco 

A'7 


1  + 

demnach 

ico*      2Ä"  ,      „         4/«      .  iro»         4?'*      .  ft  ito» 

*°ng  2^r  =  —  x/a^am(«,,  x)  +  y^y*      ^  -  j^ji  ««2-^4-... 

oder1) 


Hier  tritt  noch  rechts  -gr  auf;  da  aber  hierbei  die  Coefncienten  q'*,  q'*  .  .  . 

vorkommen,  so  ist  dieselbe  leicht  durch  Näherungen  zu  lösen;  um  sofort  einen 
provisorischen  Werth  zu  erhalten,  welcher  in  die  rechte  Seite  substituirt,  einen 

H  Ol 

genügend  genäherten  Werth  von  lang         giebt,  sei 

fto>  2Ä"  4q'* 

tang—£,=t,      —  or=n,        ,      y.a  =  «;  (13a) 

dann  kann  man  mit  Vernachlässigung  von  schreiben: 
<  =  «  +  2a  — — 5  =  n  -+-  2a 


l^,a  ~     ^       i  +  „5+40«» 

und  daraus 

*  =  tang  2K'  =  2a      ~  '  03b) 

1  l+(l+4a>» 


gesetzte  Zeichen,  so  wird  auch  —  das  entgegengesetzte  Zeichen  erhalten  (Qberdiess  treten  noch 


T.W 


l)  Man  braucht  hier  nur  ein  Zeichen  zu  berücksichtigen;  nimmt  man  für  o  das  entgegen- 

ittti 

7r 

zwei  Werthe  von  ~t  auf,  die  um  180°  grösser  sind,  welche  aber  in  sm  und  tang  wieder  mit 

den  beiden  früheren  identisch  werden).  Es  würde  dann  auch  v  das  entgegengesetzte  Zeichen 
erhalten,  und  damit  gehen  die  beiden  Glieder  in  (16)  in  einander  Uber,  wenn  man  nur  auch 
bei  der  Integrationsconstanlcn  C  das  Zeichen  ändert. 


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Mechanik  des  Himmel*.  7'«.  509 


Ist         bestimmt,  so  kann  sofort 

ß  04) 
berechnet  werden.    Wenn  man  dann  weiter  die  Formel 

wl/2^*'  (l-2^^2«'ic-H^)(l-2^>^2wK-K^)(l-2^8^2tt>T;-4-y»0)... 
»•(»)- K    ic   •     "  -(T-^)i(|--^)»(l-^)».  ... 

/o» 

loganthmisch  differenziit,  und  -j^.  für  w  setzt,  so  folgt: 

e'(>q>)  1  ^'(fl) 

6(1«)  ~~  2K      (i<o\  1=8 

=  2*       '>*(  2?  ,  2?»  1 

;r-v>  j  Wl  /  —  —    H  :  -r  •  •  •  •  >  • 

1 1  —  2qC0S  -TT-       ^*       1  —  — jp-  4-  ) 


K 

Nun  ist 


8*  (*u>) 


stn 

demnach 


-  1W1  QM  2?  .  2^  +  2*a  1 
— *  Mir  %x_q^^{x_q%^_^ 

v=2(ß"  f)I  /"TS"*'  T-^  7~T>~\ ' '  i (,5) 

v    p'l(i-?ß)(i-()  ^-^»^-fJ  ' 

In  den  Ausdrücken  (10)  ist  nun  /,  allerdings  nur  scheinbar  enthalten;  um  es 
aber  thatsächlich  zu  eliminiren,  und  für  die  Berechnung  brauchbare  Formeln 
zu  erhalten,  muss  (10)  weiter  entwickelt  werden.    Es  ist  aber: 

H(x)  =  ft,  (™)  =  2  {glsin  ^  x  -  <?lsinZ  ^ x     g* sin  5  ^  *  —  .  .  .  .  ) , 


daher 

//(*  4-  /tu)  =  2j(-  IV»/   *     «*(2*  +  1)  ^  (*  +  /*)  = 

n— ü 

=  i)-^(?2^),[^<2--»-|)Tk-(*+'w)-  <.-'(2«+l)j^.U+"»)] 

und  ebenso  für  .#(,*  —  /u>),  demnach 

H{x  -4-  *o>)  -1-        —  <«*)  = 

=  2(~  l)-/^,[^-+1)^"+r-H',-+1>2X'-]x/«(2«  +  1)(90°  H-  XZ  -  A) 

i[#(.x  -l-  i'u»)  —         —  xu>)]  = 

—  X(-  \)*q^}\e-**+x^™-  t+®*^Tk"\os{%n  +  1)(90°  +  XL  -  A). 

Setzt  man  dies  in  (10)  ein,  und  berücksichtigt,  das? 

xm[(2*  +  1)90°  +  A]  =  (-  Ifeosk 

ist,  so  wird  endlich 


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5'©  Mechanik  des  Himmels.  75. 

9f»  •  f  =  c'Jjt  {^Xc-V"+»A'mcos[{<2n  -h  I  -  v)(XZ  -  A)  +  C]  -h  (lfi) 

-+-  <r+<2"+1^°W  [(2«  +l+v)(U-A)  -  C]]  • 

Diese  Reihe  ist,  da  sie  nach  den  Potenzen  von  q  geordnet  ist,  stark  con- 
vergent;  die  beiden  Hauptglieder  entstehen  für  n  =  0,  sie  sind: 

[j/|w{(l-vXl-|0£-(l-v)^^ 

Je  nachdem  nun  ß  oder  \  grösser  als  1  ist,  wird  nach  (15)  v  positiv  oder 

P 

negativ:  es  sei  *  positiv,  wozu  es  gentigt  o  =  —  ixsinamiv»  zu  setzen1);  dann 
ist  der  Coefficient  des  zweiten  Gliedes  grösser.    Setzt  man 

(1  H-  v)(l  -  ji)  =  1  -c  (17a) 

und  führt,  slatt  der  Constante  C  die  Constante  C=(l  +  v)A  +  C"  ein,  so 
werden,  da 

tr. 

6(*)  =  1  —  2? cos  j£  x  4-  .  .  . 

ist,  mit  Vernachlässigung  der  höheren  Potenzen  von  q  die  Anfangsglieder  der 
Entwicklung: 

P  =  c0  cos  ((1  —  C)Z-  C]  h-  cx  cos  [[2(1  —  fi)  —  (1  —  e)U  -  2(1  -  v)A  H-  C].  (17) 

Das  erste  Glied  ist  das  Hauptglied  der  Mittelpunklsgleichung,  das  zweite 
die  Evection.  '  Sieht  man  c0,  C  an  Stelle  von  c\  C  als  Integrationsconstante 
an,  so  haben  dieselben  die  Bedeutung  der  Excentricität  und  Länge  des  Perigeums 
für  eine  gegebene  Epoche.  cZ  ist  die  Bewegung  des  Perigeums  und  es  folgt 
aus  (17): 

<  =  u.- v(l -u.).  (17b) 

Die  Bestimmung  von  v  erhält  hierdurch  eine  besondere  Bedeutung.  Endlich 
ist  noch  zu  bemerken,  dass  c0  =  cx  ß  ist.    GvLDfeN  nimmt'): 

hg  n  =  7-235002,    log  «'  =  6-11 2594, 

damit  folgt 

log  p.  «  8  877592. 

Die  wegen  Glieder  höherer  Ordnung  corrigirten  Coefficienten  der  Gleichung 
(1)  werden: 

log^  =  7  915348,    logv-t  =  9  010769. 

Damit  wird: 

logq  =  7874753,    logq'  =  9- 124091 

SA'  2A" 
'  log%  =  9-526562,      log  =  0012923,       log  =  0205397 

TC  1t 

=  28°  54'4"-9  =  0504424,        log  ~K  =  9895270 

logy^=  0-34 1 236,  log*  =  8-855730 

c  =  H-  0  0091 15;  cx  =  0-2077  c0. 


'}  Man  braucht  darauf  nicht  weiter  Rücksicht  zu  nelmen;  indem  0  sich  durch  den  Werth 
der  Quadratwurzel  in  (12)  bestimmt,  und  diese  Wahl  von  <J  bereits  in  (13)  berücksichtigt  ist; 
vergl.  die  Anmerkung  auf  pag.  508. 

*)  Die  Formeln  von  Gyi.d£n  sind  etwas  anders,  führen  aber  tu  demselben!  Resultate. 


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Mechanik  de«  Himmels.  75.  511 

Hat  man  in  dieser  Weise  das  Integral  der  reducirten  Gleichung,  so  erhält 
man  für  das  Integral  der  completen  Differentialgleichung  (1)  die  Zusatzglieder 

Ap  =  -  i/Fx  (x)/Fi(x)  WdL  +  i/Ft  (x)/Fx  (*)  WdL,  (18) 
wo  /  ein  constanter,  reeller  Coefficient  ist,  und 

die  beiden  particulären  Integrale  der  Gleichung  ohne  letztes  Glied  sind.  Für 
die  Entwickelung  der  Hauptglieder  kann  wieder  0  (x)  =  1  gesetzt  werden,  und 
es  wird: 

2sFx  (x)  =  V7(<Ä(jr+,0,)-  <r-'^i-A+90°) 

«=  V7(<f-/('"1)(X^~A+90O)~^  —  ,-''<*+U&*-A+**>+J]fy 

und  in  derselben  Weise  2/^,(4:),  indem  nur  — u>  und  —  v  an  Stelle  von  •+■  u>, 
-t-  v  gesetzt  wird.    Ist  nun  ein  Glied  von  IV: 

(lV)t  =»  2g  cos  (7Z  -+-  T)  =  g  [^+r>4-  «-'(TZ-+n]f  (19) 

so  wird 

fFx(x)(PV)xdL  - 

(^_/[(v_l)X_T]/.+  1(,   l)(A-90")+«r- Jf.     ^-/((v+t)X-T]/.+/(v-4-l)(A-90«»)+,T-»- J^. 


2[(v  —  1)A  —  7j  2[(v+l)X-T] 

[(v -1)X+t J£+  /  (v-l)(A  -90°)  -  »T  -  e- 1  [{y-¥\)\+i\L+i  (v-f-lXA- 90°)  -  / 


7]        "  J 


2[(v-1)X-h7]  2[(v  +  l)X 

und  ebenso  für  fFt(x)  (lV)xdL.  Vernachlässigt  man  im  Nenner  die  kleine 
Grösse  v  gegenüber  der  Einheit,  was  immer  gestattet  ist,  wenn  7  nicht  nahe 
gleich  X  ist,  so  werden  die  Nenner  bezw.  —  2(X  H-  7)  und  -4-  2(X  —  7),  und 
man  erhält  durch  die  in  (18)  angezeigte  Multiplikation  und  eine  leichte  Reduction 

oder 

^p  =  -fgyq{<K-t  k)y% — -zi<*s(i£  +  T)-  (20) 

a  7 

Berücksichtigt  man  nur  die  beiden  Glieder  von  IV,  die  in  (10  a)  der  vorigen 
Nummer  angegeben  sind,  so  wird: 

für  das  erste  Glied :  7  =  0,  T  =  0,  g  =  — 

zweite  Glied:  7  =  2X,  T  =  -  2A;  g  =  —  ||»lf 

demnach 

ap  =  +yVf  (»  -  ^) {fi  -  -  ri*  -  ia)}.  (-2.) 

Das  variable  Glied  dieses  Ausdruckes  ist  die  Variation.  Die  intermediäre 
Länge  ist  eigentlich  Z;  doch  kann  schon  in  der  ersten  Näherung  (in  der  inter- 
mediären Bahn)  die  Correction  7  aus  74  (9)  berücksichtigt  und  (Z  -+-  y)  für  die 
Länge  des  Mondes  benutzt  werden.  Es  ist  übrigens  nicht  schwer,  schon  in 
dieser  Näherung  weitere  Glieder  zu  entwickeln,  wodurch  jedoch  schon  der  üeber- 
gang  auf  die  wahre  Bahn  stattfindet1). 

•)  Vergl.  Acta  mathematica,  Bd.  7,  pag.  160. 

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512  Mechanik  des  Himmels.  7r>.  "<6. 

Zunächst  ist  noch  die  Gleichung  74  (3)  zu  integriren,  welche  die  Beziehung 
zwischen  der  intermediären  Länge  und  der  reducirten  Zeit  giebt.  Beschränkt 
man  sich  hier  ebenlalls  auf  die  ersten  Potenzen  von  p,  so  wird 

P* 

oder  mit  Rücksicht  auf  74  (7): 

Z0  +  Z'C=  L-2f9dL, 

demnach  mit  Berücksichtigung  der  Hauptglieder  in  (17)  und  (21): 
Z0  +L'r  =  l-  ^^sin  [(1  -  <)Z  -  C)  - 


2(1 


yt)  -(I  _7)^l[2(l  -  n)  -  (1  -  c)]Z  -  2(1  -  v)A  -h  C)  -  (22) 


wobei  das  Z  proportionale  Glied  /V?^ß  —       •  jjj  Z  mit  dem  Gliede  Z 


ver- 


(»-» 


einigt,  und  durch  den  Coefficienten 

1  6  X 

dividirt  wurde.  Man  hat  dann  unter  dem  Coefficienten  V  wieder  die  wirkliche, 
aus  der  Beobachtung  bestimmte,  mit  den  Störungen  behaftete  mittlere  Bewegung 
zu  denken  ')•  Das  Verhältniss  der  Coefficienten  der  Mittelpunktsgleichung  und 
Evection  wird 

i  '  -»I* +  «,  0-874  fr -m 
cx       1  -  c  cx 

während  das  wirkliche  Verhältniss  4*93  ist. 

76.  Entwickelung  der  störenden  Kräfte.  Die  störenden  Kräfte  sind 
Functionen  des  Radiusvectors  und  der  wahren  Länge,  welche  als  Functionen 
einer.  Variabein  darzustellen  sind  Zieht  man  dabei  für  den  Radiusvector  die 
sämmtlichen  elementaren  Glieder  zusammen  und  berücksichtigt  die  übrigen,  nicht 
elementaren  Glieder  durch  die  Störung  £,  so  wird  man 

/  =  p  =  i)«w[(l-c)Z-i:]  (i; 

wählen  können.  Treten  in  p  eine  Reihe  von  elementären  Gliedern  mit  ver- 
schiedenen Argumenten  auf,  so  werden  dieselben  zu  einem  einzigen  vereinigt, 
sodass  dann  t;  und  v.  veränderlich  sind*).  Die  dabei  über  p  gemachte  Annahme 
giebt  dann  in  Gleichung  73  (11)  eingesetzt,  eine  Bestimmung  der  Function  V. 

1  dp 

Es  ist  zu  bemerken,  dass  -  -£=  %  ebenso  wie  Q.  von  der  zweiten  oder  höheren 

p  dL  >C1 

Ordnung  der  Massen  sind,  sodass  U  =  1  -f-  c7'  sich  nur  um  Grössen  zweiter 

Ordnung  der  störenden  Massen  von  der  Einheit  unterscheidet.    Dann  wird: 

öS  (1  —  7i»^ 

dt  =  -  Li  ZU   dL  (2) 

k0  [1  +  _<)Z-i-)]» 
eine  Gleichung,  welche,  wenn 

(1  -  c)Z  -  ic  =  v  (3) 
gesetzt  wird,  in  die  folgende  übergeht: 


')  Vergl.  No.  42. 

»)  Vcrgl.  die  Formeln  (16),  (17),  (18)  in  No.  72. 


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Mechanik  de*  Himmels.  76.  $13 

welche  mit  derjenigen  in  der  elliptischen  Bewegung,  bis  auf  die  Veränderlichkeit 
von  i)  und  k  übereinstimmt.  Durch  diese  Veränderlichkeit  wird  jedoch  die  Integration 
etwas  erschwert.    GvLDfeN  führt  einen  Hilfswinkel  E  durch  die  Beziehungen 

cos  v  -+-  ij  cosE  —  75 

'"E=  1 +  ,»'«-  -  1- 

1  -t-  T)  f'*  f    1  —  1 

ein,  wonach 

7=  a(l  —  i^cosE)  (8) 

wird.    Aus  (6)  folgt: 

COS  E  —  COS  V  -+•  TJ  COS  V  COS  E  —  T)  =  0 

und  daraus  durch  Differentiation: 

—  (1  -+-  tj  cos  v)  sin  EdE  -+-  (1  —  tj  cos  E)  sin  vdv  —  (1  — -  cos  v  cos  E)dr[  0. 
Da  aber  nach  (3): 

dv  *=  (1  -  c)</Z  -  </«  (9) 

ist,  so  wird 

(1  —  r\cosE)sinv  [(1  —  c)</Z  —  dit)  —  (\  +  ncosv)sinEdE  —  (1  —  cosvcosE)di\  =  0, 
folglich 

/t       ...       ,        1  -+-  r^cosv  sinE  1  —  cosvcosE 

(1  —  c)^Z  =  di:  -\-  J  -=  — —  </2i  -+-  =r.— —  dt[  = 

v        '  1  —  Tjttwis  (1  —  r\cosE)sinv  ' 

l/l  —  tj*  sinE  , 

=  du  -+-   —äE  -+-    .   —  </tj, 

1  —  r^cosE         yl  —  tj'(1  —  i\cosE) 

und  damit  aus  (4)  nach  einiger  Reduction 

n/t      vj,    „           r-wr     smE{\  —  r\cos£)  ,      (1  —  r^cosE)*, 
Z'(l  —  c)^C  —(1  —  i\cosE)dE  — —  ^       7  </tj  4-     ^  </tc,  (10) 

daher  durch  Integration: 

(1  -«)Z,C-*  +  -ff-ij*mÄ+(l-«)jr,  (11) 

.  wobei 

(I  _t)jr.y>*^g-2y-i')  +jf[('  ^jgy  _  ,],„.  C1SJ 

Setzt  man 

(1  -  c)(^C  -  X)  -  «  -  (13) 

so  wird 

M~  E  —  y\sin  E.  (14) 

Die  Beziehungen  zwischen  (7)  oder  (8)  und  (14)  zeigen,  dass  zwischen  v 
und  Af  dieselben  Beziehungen  bestehen,  wie  in  der  elliptischen  Bewegung 
(vergl.  No.  14),  mit  dem  Unterschiede,  dass  an  Stelle  der  constanten  Excentri- 
cität  das  veränderliche  Diastema  tj  getreten  ist.  Der  Werth  von  M  ist  jedoch 
hier  von  der  mittleren  Anomalie  (1  —  c)Z'C  —  *  um  den  Betrag  (1  —  c)A"  ver- 
schieden. Die  Berechnung  von  M  aus  Gleichung  (13)  erfordert  bereits  die 
Kenntniss  von  X;  Gleichung  (12)  zeigt  aber,  dass  X  von  der  Ordnung  fdr\  und 
fadn,  d.  i.   von  der  Ordnung  der  Veränderlichkeit  des  Diastemas  ist;  hieraus 

XL  33 

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5-4 


Mechanik  de»  Himmel».  76.  77. 


folgt,  dass  sich  die  an  (1  —  c)Z'C  —  *  anzubringende  Correction  in  eine  rasch 
convergente  Reihe  entwickeln  lassen  wird. 

Hiernach  werden  auch  die  weiteren  Entwickelungen  für  die  positiven  und 
negativen  Potenzen  des  Radiusvectors  der  gegenseitigen  Entfernung  A  u.  s.  w. 
der  Hauptsache  nach  mit  dem  bei  den  früheren  Integrationsmethoden  an- 
gegebenen Vorgange  identisch,  obwohl  sich  auch  bei  diesen  Entwickelungen 
verschiedene  Formen  angeben  lassen,  die  mehr  oder  weniger  von  einander  ab- 
weichen (vergl.  die  »Allgem.  Einleitung  in  die  Astronomie^  pag.  158).  Diese 
Differenzen  sind  jedoch  nicht  durch  die  Methode  der  Integration  der  Differential' 
gleichungen  bedingt;  auf  diese  Abweichungen  braucht  nach  den  bereits  durch- 
geführten Beispielen  von  No.  37,  44,  48,  58,  56,  65  und  66  nicht  näher  eingegangen 
zu  werden. 

77.  Die  Störungen.  Hat  man  eine  erste  Näherung  für  p,  C  durch  die 
intermediäre  Bahn  erhalten,  so  geben  die  Gleichungen  78  (6),  (9),  (11),  (14)  die 
Störungen.  Würde  man  die  in  78  vorgenommene  Zerlegung  der  Kräfte  in  der 
in  74  (4  b)  angezeigten  Form  als  definitiv  betrachten,  und  die  gesammten  übrigen 
Theile  Pv  Qx  nach  74  (5)  zur  Ermittelung  der  Störungen  verwenden,  so  würden 
gerade  so  wie  in  den  früheren  Methoden  im  Laufe  der  Entwickelungen  seculare 
oder  elementäre  Glieder  entstehen.  Diese  Zerfällung  darf  daher  nicht  als 
definitiv  angesehen  werden.  Treten  im  Laufe  der  Entwickelungen  in  den 
störenden  Kräften  (also  vor  den  vorzunehmenden  Integrationen)  Glieder  derselben 
Form  wie  in  74  (4b)  auf,  so  können  diese  von  Px,  Qx  abgetrennt,  und,  wenngleich 
von  höherer  Ordnung  der  Kleinheit,  doch  mit  P9,  Q0  vereinigt  werden;  es  sind 
dies  die  in  73  (5),  (6)  mit  w,  bezw.  pw  bezeichneten,  dort  noch  willkürlich 
gelassenen  Functionen.  Hieraus  folgt,  dass  in  der  gestörten  Bahn  der  durch 
p  bestimmte  intermediäre  Radiusvector  nicht  ungeändert  bleibt,  sondern  dass 
die  Störung  in  zwei  Theile  zerfällt  erscheint,  von  denen  der  eine  sich  un- 
mittelbar mit  p  verbindet,  der  andere  E  dabei  so  bestimmt  wird,  dass  er  von 
elementären  Gliedern  frei  ist.  Bei  dieser  Zerfällung  wird  nun  gleichzeitig  die 
bei  der  Bestimmung  von  p  auftretende  Grösse  c  in  jeder  Näherung  so  be- 
stimmt werden  können,  dass  eben  elementäre  Glieder  in  p  nicht  auftreten.  Es 
wird  daher  der  bei  der  Bestimmung  der  intermediären  Bahn  gefundene  erste 
Näherungswerth  von  c  in  jeder  folgenden  Näherung  neu  bestimmt  bezw.  corrigirt 

Es  sind  nun  zweierlei  elementäre  Glieder  zu  unterscheiden.  In  Gleichung 
73  (10)  würden  elementäre  Glieder  durch  die  doppelte  Integration  aus  Em* 
wickelungsgliedem  entstehen,  welche  die  Form  haben 

a  cos  [aL  —  A]  und  asin\p  L  —  A\  (1) 
wo  a  von  der  Ordnung  der  störenden  Kräfte  ist.  Die  Integration  der  Gleichungen 
(5),  (6)  hingegen  liefert,  wie  aus  75  (20)  hervorgeht,  elementäre  Glieder  aus  jenen 
Entwickelungsgliedern,  in  denen  7  nahe  gleich  X,  also  von  der  Form  (1  —  o)L 
ist,  d.  h.  wenn  in  den  störenden  Kräften  Glieder  von  der  Form 

b  cos  [(1  —  o)Z  —  B]  oder  b  sin  [(1  —  9)  L  —  B]  (2) 
vorkommen.  Gyld£n  nennt  diese  Glieder  bezw.  >Glieder  vom  Typus  (A)  und 
vom  Typus  (£)*.    Die  Gleichung  78  (6)  kann  nun  auch  geschrieben  werden 


wo^das  zweite  Glied,  da  es  — ~r~  Tf  ist»  als  von  höherer  Ordnung  der 


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Mechanik  de«  Himmelt.  77. 


5«5 


störenden  Kräfte  nach  rechts  geschafft  werden  kann.  Die  Gleichung  hat  dann 
denselben  Charakter  wie  78  (5),  nur  dass  die  störenden  Kräfte  von  höherer 
Ordnung  sind.  Damit  dann  in  i  keine  elementaren  Glieder  auftreten,  genügt  es, 
die  Zerfäll ung  von  S  so  vorzunehmen,  dass  Px  keine  Glieder  vom  Typus  (27) 
enthält,  diese  daher  in  der  Summe  w  zu  vereinigen,  von  Px  wegzunehmen,  und 
dafür  pw  in  (5)  zuzulegen,  und  die  entsprechende  Correction  zu  suchen.  Da 
nun  bei  jeder  folgenden  Näherung  die  Glieder  von  Px  um  eine  Ordnung  höher 
in  den  störenden  Massen  sind,  ebenso  auch  die  Glieder  in  P0,  so  wird  für  die 
Störung  in  l  eine  convergente  Entwicklung  erhalten,  ebenso  wie  für  die  ele- 
mentären  Glieder  für  sich  betrachtet,  so  dass  auch  die  Bestimmung  von  c  durch 
ein  convergentes  Näherungsverfahren  bestimmt  erscheint.  Die  Integration  der 
Gleichungen  73  (5),  (6)  bietet  hiernach  weiter  keine  Schwierigkeiten. 

Schwierigkeiten  anderer  Natur  treten  aber  bei  der  Integration  der  Störungs- 
gleichung 78  (10)  und  der  entsprechend  transformirten  Gleichung  für  Tauf.  Die 
Integration  der  Gleichung  für  x  gab  in  74  (9)  auf  leichte  Art  einen  genäherten 
Werth  für  x;  all*in  die  Unbekannte  x  tritt  in  den  Argumenten  selbst  auf,  und 
allgemein  werden  die  beiden  zu  betrachtenden  Differentialgleichungen  die  Form 
haben  i): 

_  2  -  o,jiVi(o,x  H-  AKL  -f-  AtW),  (4) 

wo  die  in  den  Argumenten  auftretenden  Functionen  AXL  4-  Ax(°)  bekannte 
Functionen  von  Z  sind,  o»  aw  Au  AS°)  sind  dabei  Constante;  a,  kann  stets  als 
positiv  vorausgesetzt  werden,  da  es  im  entgegengesetzten  Falle  genügt,  das 
Zeichen  des  Argumentes  und  des  Gliedes  zu  ändern,  um  a,  positiv  zu  erhalten; 
<*i  kann  ebenfalls  als  positiv  und  das  Zeichen  aller  Glieder  als  negativ  voraus- 
gesetzt werden,  da  im  entgegengesetzten  Falle  durch  die  Vermehrung  des  Ar- 
gumentes um  180°  diese  Form  resultirt. 

Die  Glieder  der  Entwickelung  können  nun  vier  verschiedene  Formen  erhalten; 
es  können  a,  und  At  entweder  von  der  nullten  Ordnung  in  den  störenden  Massen 
oder  auch  von  der  Ordnung  der  störenden  Massen  sein  (dt,  ist  immer  von  der  Ordnung 
der  störenden  Massen).  Im  ersten  Falle  mögen  sie  mit  a,  ß,  .  .  .  A,  B  .  .  . 
im  letzteren  Falle  mit  p,  a  .  .  .  P,  2  bezeichnet  werden.  (Die  Grösse  der  Con- 
stanten AS*)  ist  dabei  gleichgültig).  Es  wird  dann  x  **ei  Theile  x'»  x" 
zerlegt,  so  dass 

X-X  +  X  (5) 
ist,  und  die  beiden  Theile  so  bestimmt,  dass 

=  2  —  a  sin(*x  +       +  «»(px  4-  BL  4-  2?0)  —  w  (5a) 

jg-  -  2  -/x«(aX  +  PZ     P0)  +  2  —gsm  (»x  +  2 L  +  20)  +  w  (5b) 

ist,  wo  in  der  ersten  Gleichung  alle  jene  Glieder  vereinigt  sind,  in  denen  die  in 
den  Argumenten  enthaltenen  bekannten  Functionen  von  der  nullten  Ordnung, 
in  der  zweiten  Gleichung,  wo  ihre  Coefficienten  von  der  ersten  Ordnung  der 
störenden  Massen  sind,  und  w  vorläufig  ganz  willkürlich,  etwa  gleich  Null  gesetzt 
werden  kann. 

Da  die  Coefficienten  a,  b,  /,  g  von  der  Ordnung  der  störenden  Massen  sind, 
so  wird  x»  sofern  es  möglich  ist,  die  kleinen  Integrationsdivisoren  von  der 


»)  Et  itt  dieses  auch  die  Differentialgleichung,  welche  bei  den  früher  erwähnten  Integraric 
methoden  für  die  Länge  auftreten.    Vergl.  19  (15)  und  ferner  das  Doppelintcgral  in  47  (8). 

33  # 

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5* 


Mechanik  des  Himmels.  77. 


Ordnung  der  störenden  Massen  zu  vermeiden,  ebenfalls  klein  sein; 
man  dieses  vorerst  an,  so  wird  *y,  von  der  ersten,  px  und  ax  von  der 
Ordnung  der  störenden  Massen  sein,  und  es  Hesse  sich  entwickeln: 

sin  (aX  +  AL  +  A9)  =  sin  (AL  H-  A9)  +  a(x'  ■+•  x")  cos  (AL  -+■  — 

-  i  *'  (x'  ■+■  x")f     (^  +  ^,)+...  (6) 
sin  (px  +       +  B0)  =  im  (^Z  +  B0)  +  p(x'  H-  x")  cos  (BL  +  *0)  -  .  .  . 

Integrirt  man  nun  die  Gleichung  (5  a),  so  folgt  mit  Vernachlässigung  der  in 
(6)  rechts  mit  (x'  -t-  x")  multiplicirten  Glieder: 

X  -  2  (,4Z  n-  2  ~  //« (*Z  ■+■  *0).  (6a) 

Substituirt  man  diesen  Werth  rechts  in  (6),  so  entstehen  nebst  den  noch 
unbekannten  Gliedern,  welche  von  x"  herrühren,  Argumente,  in  denen  2A,L, 
%ByLt  (A%  :fc  B*)  Z,  (A%  ±  A%)  Z,  (Bx  ±  B%)  L  vorkommen.  Sofern  die  A  und 
B  untereinander  so  weit  verschieden  sind,  dass  ihre  Summe  oder  Differenz  nicht 
von  der  Ordnung  der  störenden  Masse  ist,  werden  die  Glieder  wieder  den  Typus 
der  rechts  in  (5a)  enthaltenen  Glieder  haben,  und  die  nächste  Näherung  wird 
von  der  zweiten  Ordnung  der  störenden  Massen,  u.  s.  w.  Treten  aber  Glieder 
auf,  in  denen  eine  Summe  oder  Differenz  der  A  oder  B  von  der  Ordnung  der 
störenden  Massen  wird,  so  kann  dieses  Glied  von  der  ersten  Gleichung  in  Abzug 
gebracht  (es  wird  die  Function  w)  und  zur  zweiten  Gleichung  hinzugelegt,  also 
aus  der  ersten  Gleichung  in  die  zweite  geschafft  werden.  Treten  hingegen 
irgendwo  in  x'  oder  x"  selbst  Glieder  vom  Typus  (B)  auf,  so  werden  diese,  in 
(6)  eingesetzt,  nur  wieder  Glieder  geben,  welche  der  Form  nach  denen  in  (5  a) 
gleichen,  und  in  dieser  weiter  behandelt  werden  können.  Diese  Gleichung 
bietet  daher  weiter  keine  Schwierigkeiten. 

Die  Glieder  der  rechten  Seite  in  (5  b)  können  jedoch  nicht  auf  diese  Weise 
behandelt  werden.  Setzt  man  voraus,  dass  x"  mindestens  von  der  ersten  Ordnung 
der  störenden  Massen  ist,  so  werden  die  rechten  Seiten  in  (5  b),  wenn  keine 
kleinen  Integrationsdivisoren  auftreten,  von  der  zweiten  Ordnung  der  störenden 
Massen;  lässt  man  aber  jetzt  die  Produkte  von  x.  »X  gegenüber  den  bekannten 
Functionen  weg,  und  integrirt  auf  gewöhnlichem  Wege,  so  treten  die  Quadrate 
der  kleinen  Zahlen  P,  2  in  den  Nenner,  es  entsteht  also  hier  ein  Ausdruck, 
der  nicht,  wie  vorausgesetzt  wurde,  mindestens  von  der  ersten  Ordnung  der 
störenden  Masse  ist,  sondern  es  werden  im  Gegentheil  noch  die  ersten  Potenzen 
der  störenden  Massen  im  Nenner  bleiben,  d.  h.  in  x"  treten  elementare  Glieder 
vom  Typus  (A)  auf;  dann  aber  dürfte  man  x  in  den  Klammern  nicht  vernach- 
lässigen: die  Integrationsmethode  ist  fehlerhaft. 

Zerlegt  man  x"  in  mehrere  Theile  Xi»  X|i  Xi  •  •  •  •  Xi'»  X»'  •  •  •  •  so  dass 
X"  —  Xi  +  X»  +  •  •  ■  +  Xi'  +  Xt'  +  •  •  • 
sei,  und  setzt  den  Differentialquotienten  jedes  Theiles  einem  Gliede  rechts  in 
(5b)  gleich,  so  erhält  man  die  Differentialgleichungen: 

^  =-  -/sin  («Xl  *+■  PZ  -+-  P0)  -  Xx 

£*j  »  -/'sin  (a'x,  +  P'Z  +  P0»)  -  X,  (7a) 

yjk'  =  -  g'sin  f>'X|'  +       +  20)  -  X,\  (7b) 


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Mechanik  des  Himmels.  77.  517 

wobei  in  den  Argumenten  der  einzelnen  Differentialgleichungen  rechts  an  Stelle 
von  x  nur  derjenige  Theil  von  x  gesetzt  ist,  dessen  zweiter  Differentialquotient 
links  auftritt,  während  die  innerhalb  des  Argumentes  weggelassenen  Theile  zur 
Entstehung  von  Zusatzgliedern  Veranlassung  geben,  die  in  Xx,  Xt  .  .  .  Xx\  X%'  .  .  . 
zusammengefaßt  sind1).  Die  Gleichungen  (7a),  (7  b)  haben  alle  dieselbe  Form, 
und  es  genügt  eine  derselben  zu  behandeln.  Sei  z.  B.  in  der  ersten 
Gleichung  (7  b) 

so  kann  diese  Zerlegung  so  vorgenommen  werden,  dass  u  gegenüber  <|»  sehr  klein 
sei,  so  dass  man  nach  Potenzen  von  u  entwickeln  kann;  dann  wird: 

d*ü  d*u 

df*      dL*  ==s~^  sinW  -+-  20)  —  g cos  («kJ»  -l-  IL  +  l9)au  ■+• 

+  +  2Z+  20)»»«»  +  .  .  .  .  —  Xx' 

und  diese  Gleichung  kann  in  die  folgenden  beiden  zerfällt  werden: 

d^  =  -gsm(a^  +  lL  +  l0)  (8a) 
d*u 

*»  — gcos(pty+1L  H-20)' -f-^w«(a<J»-l- 2 Z-f-20) »*»*-+-  —  Xx'.  (8b) 

Setzt  man  in  der  Gleichung  (8a): 

+  IL  -t-  19  =-  «7,  (9) 

so  geht  dieselbe  über  in 

d*P 

aus  welcher  man  durch  Multiplication  mit  ^  und  Integration  das  erste  Integral : 


und  daraus 


erhält  Setzt  man  nun 
so  wird 


folglich 

iV  =  a»l^(Z-Z0);    V  =  2a«^(Z-Z0).  (11) 

Zu  Gleichung  (10)  ist  zu  bemerken,  dass,  da  a  und  g  positiv  vorausgesetzt 
werden  konnten,  x  reell  sein  wird,  wenn  auch  für  die  Integrationsconstante  C 
ein  positiver  Werth  gewählt  wird.  Diese,  sowie  die  zweite  Integrationsconstante 
Z0  lassen  sich  in  folgender  Weise  bestimmen,  bezw.  durch  die  Constanten  der 
Differentialgleichung  ersetzen:  für  amx  hat  man  die  Entwicklung: 


l)  Um  die  Berechtigung  dieser  Zerlegung,  bezw.  der  Vernachlässigang  ron  Xx,  X%t  Xx, .  . 
einzusehen,  sind  ausgedehntere  Untersuchungen  Uber  die  Convergent  der  Reihen  erforderlich; 
man  ▼crgl.  hiersu  Gyldän  in  den  »Acta  mathematicat  Bd.  9,  pag.  19a  und  211. 


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5 1 8  Mechanik  des  Himmels.  77. 

*x         2q       ,   ic  2q*       .  _  w  2q*       .  _  « 

wo  x,     AT  die  frühere  Bedeutung  haben.    Man  erhält  daher: 

Vergleicht  man  diesen  Werth  mit  dem  in  (9)  angenommenen,  so  folgt: 
IL  +  20  =  |        (X  _  Zo) 


folglich 


a  [l-r-?* 


¥  xm  (2  L  +  20)  4-  2(1^4)  "*«  2(2X  +  20)  + 

-*-3(iCg«)  ™3(2Z-r-20)-t-  1. 

Die  erste  Gleichung  (12)  giebt  eine  Bestimmung  für  den  Modul  x.  Substituirt 
man  die  Reihe  für  /C*x*,  so  folgt: 

In  den  Gleichungen  (7  a)  tritt  a  an  Stelle  von  ©;  für  diese  wird  daher 
von  der  Ordnung  aq,  also  da  q  stets  kleiner  als  a  ist1),  mindestens  von  der 
ersten  Ordnung  der  störenden  Masse.  Für  die  Gleichungen  (7b)  ist  der  Nenner 
<x  aber  ebenfalls  von  der  Ordnung  der  störenden  Massen,  q  bestimmt  sich  aus 
Gleichung  (14),  und  es  wird  von  dem  numerischen  Werthe  von  X  abhängen, 
welchen  Werth  q  annimmt.  Jedenfalls  lässt  sich  q  zwischen  0  und  1  bestimmen. 
Ist  a  sehr  klein  gegenüber  2,  so  wird  q  von  der  Ordnung  von  o,  daher  »j>  von 
der  Ordnung  von  2,  also  von  der  Ordnung  der  störenden  Massen;  ist  umgekehrt 

2  sehr  klein  gegenüber  q,  so  wird  g  nahe  1  und  4»  von  der  Ordnung  von  — 

daher  wieder  von  der  Ordnung  der  störenden  Massen.  Für  mässige  Werthe  von 
X  lässt  sich  die  Reihe  (14)  umkehren,  und  es  wird: 

?  =  H*,-i*Ä+T¥s*10-3¥!^,4+  )•  (Ha) 

Diese  Reihe  kann  noch  bis  X  =  1  benutzt  werden,  und  zeigt,  dass  wenn 
o,  2  und  f  von  derselben  Ordnung  und  auch  numerisch  in  jener  Beziehung 
stehen,  dass  X  sehr  nahe  1  ist,  q  nahe  1  bleibt,  und  von  der  nullten  Potenz 
der  störenden  Massen  wird.  Für  diesen  ganz  speziellen  Fall  kann  es  daher 
thatsächlich  eintreten,  dass  auch  in  dieser  Form  der  Entwickelung  elementare 
Glieder  nicht  zu  vermeiden  sind. 


')  Zwischen  q  und  q'  besteht  die  Gleichung  75  (12b),  es  wird  q  =  /  für  ?=>  0*0432; 
wenn  q  ^  0  0482,  so  wird  q  <  0  0432.  Wenn  q  >  0  5421.  so  wird  q'  <  0  0000001  and 
wenn  q  >  0*6510,  so  wird  q'  <  0*100(  CCCC01 ;  dann  wird  0,  x  1;  A*'=  Jir,  A'=oo  ; 
für  q  >  0  5421  muss  aber  X  >  2  564.  Wenn  daher  X  >  1,  so  wird  q  rasch  anwachsen,  ebenso 
wie  bei  Werthen  von  X  <  1,  q  rasch  abnehmen  wird. 


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Mechanik  des  Himmels.  77.  78. 


519 


Ist  4>  benimmt,  so  giebt  die  zweite  Gleichung  (8b)  die  Zusatzglieder  u. 
Hier  kann  u*  vernachlässigt  werden,  and  man  erhält  die  Gleichung 

Setzt  man  in  derselben: 

V7e  K 
^(Z-Z0)-^(JZ  +  20)-e, 

so  geht  sie  über  in 

d*u  x* 

4-  x*cos  1am\ -  u  =  —  -jj^  Xx\  (15) 

Ihr  Integral  wird1) 

+  Tarnt  fX »'Atf*^»  <16) 

wo  E  das  vollständige  elliptische  Integral  zweiter  Gattung  ist.  Die  Discussion 
dieser  Gleichung  kann  hier  nicht  vorgenommen  werden,  und  möge  nur  das 
Resultat  derselben  mit  den  eigenen  Worten  Gyldän's»)  wiedergegeben  werden: 
>Mais  le  resultat  auquel  on  est  parvenu  de  la  sorte,  doit-on  le  conside*rer 
comme  une  vraie  approximation,  c'est  ä  dire  comme  une  approximation  par 
laquelle  on  n'aura  pas  de  developpement  divergent?  En  ge"n<ral  ce  n'est  pas 
ainsi.  En  effet,  si  l'on  revient  ä  l'e*quation  complete,  et  qu'on  y  suppose  toujours 
la  fonction  X  consistant  en  un  seul  terrae,  on  verra  nattre  des  developpements 
qui  procedent  suivant  les  puissances  d'une  fraction  dont  le  numdrateur  est  une 
quantite*  du  quatrieme  ordre,  et  le  de*nominateur  le  carre*  du  coefficient  a.  Ce 
developpement  peut  £tre  convergent,  il  est  vrai;  mais  dans  le  cas  des  termes 
gllmentaires,  oü  0  est  une  tres  petite  quantite*  de  l'ordre  des  masses  troublantes, 
il  peut  facilement  6tre  divergente 

78.  Convergenz  der  Entwickelungen.  Sind  durch  die  im  vorhergehen- 
den erwähnten  Untersuchungen  auch  die  Hauptschwierigkeiten  bei  der  Integration 
der  canonischen  Differentialgleichung  beseitigt,  so  bleiben  nichtsdestoweniger 
noch  andere,  nicht  beseitigte.  Nebst  den  elementären  Gliedern,  welche  von 
der  secularen  Veränderlichkeit  der  Elemente  herrühren,  und  welche  sich  durch 
die  Bestimmung  dieser  secularen  Aenderungen  selbst  eliminiren  lassen,  treten 
noch  Glieder  mit  kleinen  Integrationsdivisoren  auf,  wenn  bei  der  Entwickelung 
der  störenden  Kräfte  in  den  Argumenten  kleine  Coöfficienten  der  Variabein  in 
Folge  der  nahen  Commensurabilität  der  mittleren  Bewegungen  entstehen.  Diese 
sind  unter  den  hier  betrachteten  elementären  Gliedern  nicht  enthalten,  geben 
aber  Anlass  zur  Entstehung  von  Gliedern  mit  grossen  Coöfficienten  und  langer 
Periode8).  Hierdurch  haben  sie  auf  die  Ausdrücke  für  die  Coordinaten  des  ge- 
störten Himmelskörpers  dieselbe  Wirkung,  wie  die  elementären  Glieder,  und 
können  als  secundär-elementäre  Glieder  bezeichnet  werden4).  In  allen  Fällen 
müssen  die  in  den  auftretenden  Divisoren  zu  verwendenden  Werthe  der  mittleren 
Bewegungen  (sowohl  des  gestörten  und  störenden  Himmelskörper,  als  auch  ihrer 
Elemente)  die  wahren  Werthe  sein.  Wenn  diese  nicht  bekannt  sind,  und  man 

»)  Vergl.  »Traite  des  orbites  absotoes«,  pag.  568.  »Acta  Matheraatica«,  Bd.  9,  pag.  237. 
*)  ibid.,  pag.  570. 

3)  Vergl.  hierfür  die  bereits  erwähnte  Abhandlung  von  Harzer:  »Ueber  einen  speciellen 
Fall  des  Problems  deT  drei  Körper«. 

*)  Von  GylkXn  «charakteristische  Glieder«  genannt. 


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520  Mechanik  des  Himmels.  78. 

irgend  ein  System  genäherter  mittlerer  Bewegungen  (aus  der  Theorie  bestimmter 
Bewegungen  der  Elemente  oder  osculirende  mittlere  siderische  Bewegungen)  ver- 
wendet, so  werden  schon  hierdurch  die  Coefficienten  ganz  bedeutend  alterirt. 
Im  Falle,  dass  man  es  mit  secundär-elementären  Gliedern  zu  thun  hat,  kann  es 
vorkommen,  dass  gewisse  osculirende  Elemente  eine  vollständige  Commen- 
surabilität  zwischen  den  mittleren  Bewegungen  andeuten1),  welche  thatsächlich 
nicht  stattfindet.  Verwendet  man  aber  statt  des  wahren  Divisors1)  (diviseur  effectif) 
irgend  einen  bekannten  genäherten  Werth  desselben  (diviseur  liniair),  so  wird 
dies  eine  Darstellung  geben,  in  welcher  die  aufeinanderfolgenden  Näherungen 
eigentlich  nach  Potenzen  des  Verhältnisses 

wahrer  Divisor  —  genäherter  Divisor 
genäherter  Divisor 

entwickelt  sind,  sodass,  wenn  dieses  Verhältniss  nicht  genügend  klein  ist,  neuer- 
dings schwach  convergente  Reihen  auftreten.  Auch  diese  Schwierigkeit  wird 
durch  die  letzterwähnte  Methode  nicht  vollständig  beseitigt.  Gvld£n  nennt  die 
dadurch  auftretenden  Glieder  kritische  (termes  critiques),  und  bemerkt:  >Dans 
le  cas  des  termes  critiques  on  est  obligtf  de  refaire  plusieurs  fois,  les  approxi- 
mations  des  le  debut,  mais  on  pourra  aussi  mettre  k  profit  des  mdthodes  de 
tätonnement  conduisant  plus  promptement  au  but8).e  Man  ist  demnach  wieder 
vor  die  Frage  gestellt,  ob  man  es  mit  thatsächlich  convergenten  Entwicklungen 
zu  thun  hat 

Zunächst  ist  hervorzuheben,  dass  eine  strenge  Definition  der  Convergenz 
nirgends  festgestellt  erscheint,  so  dass  der  Ausspruch  von  PoiNCÄnfc,  dass  sich 
die  Astronomen  bei  ihren  Entwicklungen  vom  Instinkt  leiten  lassen,  beinahe 
gerechtfertigt  erscheint.  Sodann  aber  ist,  wie  Poincarä  treffend  bemerkt,  wohl 
zu  unterscheiden  zwischen  der  Convergenz  einer  Reihe  im  Sinne  der  Mathematiker 
und  Convergenz  im  Sinne  des  praktischen  Rechnens.  Die  erste,  am  passendsten 
und  kürzesten  als  »theoretische  Convergenzc  bezeichnet,  fordert,  dass  die  Glieder 
einer  Reihe  von  einem  gewissen  angefangen,  beständig  abnehmen  (wenn  sie 
auch  anfänglich  bis  zu  einem  gewissen  Punkte  ab-  oder  auch  zunehmen)  und 
dass  die  Summe  derselben,  bis  ins  unendliche  genommen,  einen  festen  be- 
stimmten endlichen  Werth  hat.  Die  zweite,  im  Gegensatz  zur  ersten  als  »prak- 
tische Convergenzc  zu  bezeichnen,  erfordert,  dass  die  Glieder  von  dem  ersten 
an,  wenigstens  bis  zu  einem  gewissen  hin,  beständig  abnehmen,  und  die  Summe 
dieser  Glieder  die  gegebene  Function  bis  auf  einen  kleinen,  als  praktisch 
zulässig  erklärten  Fehler,  darstellt.  In  diesem  Sinne  sind  demnach  die  zuerst 
von  Stirling  betrachteten  semiconvergenten  Reihen,  als  »praktisch  convergente 
zu  bezeichnen.   In  dieser  Weise  ist  z.  B.  die  Reihe 

H 

wo  A  eine  sehr  grosse  Zahl,  z.  B.  1000  oder  auch  noch  mehr,  ist,  »theoretisch 
convergente,  nicht  aber  »praktisch  convergente;  und  umgekehrt  die  Reihe 

»theoretisch  divergente,  hingegen  »praktisch  convergente.    Während  eine  theo- 


l)  Ein  Fall,  den  man  als  Libration  bezeichnet. 

■)  Ueber  die  Berechnung  de»  wahren  Wcrthes  des  Divisors  aus  dem  genäherten;  vergl. 
Gyld&n  in  »Acta  Mathematicat  Bd.  9,  pag.  201  ff. 
s)  Traite  des  orbites  absolues,  pag.  564- 


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Mechanik  des  Himmelt.  78.  521 

retisch  convergcnte  Reihe  thatsächlich  gemäss  den  der  Definition  entsprungenen 
Criterien  der  Convergenz  einen  endlichen,  fest  bestimmten  Werth  hat,  wird  dieses 
für  den  Fall  der  praktischen  Convergenz  durchaus  nicht  der  Fall  sein  müssen; 
die  Summe  der  Reihe  (b)  ist  thatsächlich  unendlich,  und  wird  nur  dann  als  eine 
praktisch  verwendbare  zu  bezeichnen  sein,  wenn  ausdrücklich  bekannt  ist,  dass 
die  Summe  der  ersten  Glieder  als  die  zu  berechnende  Function  zu  be- 
trachten ist. 

In  Folge  dessen  bleibt  der  Begriff  der  praktischen  Convergenz  ein  wissen- 
schaftlich nicht  genügend  präcisirter,  weshalb  es  nach  dem  Vorschlage  Pom- 
CARß's  vorzuziehen  ist,  den  Ausdruck  Convergenz  stets  im  analytischen  Sinne 
zu  verstehen;  dann  aber  ist  es  nöthig,  den  allgemein  üblichen,  aber  nicht  ge- 
nügend präcisirten  Ausdruck  der  praktischen  Convergenz  durch  andere,  analy- 
tisch definirbare  zu  ersetzen.  Als  solche  werden  von  PowcARfe1)  die  »asymp- 
totische Gleichheit!  (egalitö  asymptotique)  und  die  »formelle  Begfriedigung  der 
Differentialgleichungenc  (satisfaire  formellement  aux  dquations  diffdrentielles)  in 
Vorschlag  gebracht 

Betrachtet  man  in  dem  Ausdrucke 

/o  H-/i*  +Am*  ■+■••••  (1) 
in  welchem  die  Coetficienten  /0,  ...  Functionen  von  einer  Veränderlichen 
x  oder  auch  von  x  und  m  sind,  die  ^  +  1  ersten  Glieder 

<p/C*,  m)  =/0  H-/,«  -H/,«*  4-  .  .  .  .  (2) 
und  sei  die  Function  f(x,  m)  derart  beschaffen,  dass 

lim  =  0,       für  lim  m  =-  0  (3) 

ist,  so  wird  für  verschwindende  m  die  Function  y(x,  m)  offenbar  durch  die 
Reihe  (1)  dargestellt,  welches  dadurch  angezeigt  wird,  dass  man  schreibt: 

9{x,  m)  —/0  -t-A«  -1-  .  .  .  .  (4) 

Diese  Darstellung  wird  als  eine  »asymptotische  Gleichheit  c  bezeichnet. 
Hat  man  eine  zweite  asymptotische  Gleichheit: 

<|/(*,  m)  —      +  gxm  4-£-,m»  4-  .  . 

so  wird  gemäss  der  Definition  (3): 


demnach 
oder 


Um  -  0, 

lim  -~t  =*=  Um  *  ~^  =  0 


mf 
daher 

T  4-  4,  m»  (/0  +  g0)  4-  (/,  4-  gx)m  4-  (/,  +g,)m*  4-  .  .  .  (5) 
Aus  (3)  folgt 

wenn  t  eine  mit  m  verschwindende  Grösse  bezeichnet;  ebenso  wird 
demnach 

wenn  r  die  kleinere  der  beiden  Zahlen  p,  q  ist,  folglich  ist 

>)  Lea  mlthodes  nouvelles  de  U  mecanique  Celeste,  II.  Bd.,  pag.  5  und  8. 


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JSS 

und  ebenso  wird 
folglich 


Mechanik  de«  Himmels.  78. 
+  ~fr  +    fr(fr <r>  ' 


—  (/o  +  /i w  +/j>"8  -1-  )  (*©-         *  -+-  ^»  w*  ■+"  ) 

^  _/o +         +   (6) 

Asymptotische  Gleichheiten  könne»  daher  addirt,  subtrahirt,  multiplicirt,  di- 
vidirt  werden  wie  gewöhnliche  Gleichungen.  In  den  Störungsausdrücken  treten 
immer  derartige  Reihen  auf,  in  denen  m  die  Bedeutung  einer  störenden  Masse 
hat:  die  analytischen  Ausdrücke  werden  streng  richtig,  wenn  die  störenden 
Massen  verschwinden,  und  die  nach  Potenzen  der  Massen  entwickelten  Aus- 
drücke können  daher  als  Entwickelungen  gewisser  unbekannter  Functionen  be- 
trachtet werden,  welchen  sie  asymptotisch  gleichen. 

Betrachtet  man  das  System  von  n  linearen  Differentialgleichungen 

^-X,  =  0,      »=  1,  2.  .  .  (7) 

wo  X,  eindeutige  Functionen  von  /,  xv  x9  .  .  .  xm  und  einem  Parameter  m 
sind1),  deren  Lösungen  x, ■  =  8,(/)  seien;  lassen  sich  n  Reihen 

S,  =/,, o  -»-/»,      -^-/,.2»»,  -+-  •  •  .  (8) 
Uber  deren  Convcrgenz  oder  Divergenz  keinerlei  beschränkende  Annahmen  ge- 

dxi 

macht  werden,  derart  finden,  dass  die  Differenz  -jj  —  X,  durch  m*  theilbar 
wird,  wenn 

W  =/,o  +  •  •  •  A/"»>  (8a) 

an  Stelle  der  x,  substituirt  werden,  d.  h.  also,  dass 


ist,  so  wird  das  System  der  S,  als  eine  »formelle  Lösung  des  Systems  der 
Differentialgleichungen  (7)<  angesehen,  und  dann  ist') 

0,(/,  m)  mm  S„  (9) 

d.  h.  die  Reihen  sind  asymptotische  Darstellungen  der  strengen  Lösungen  der 
Differentialgleichungen  (7). 

In  den  Störungsrechnungen  treten  die  störenden  Massen  als  kleine  Parameter 
m  auf.  Gelingt  es  daher,  für  die  Differentialgleichungen  Integrale  anzugeben, 
welche  in  der  (p  +  l)ten  Näherung  sämmtliche  Glieder  berücksichtigen,  die 
von  der  /ten  Ordnung  der  störenden  Massen  sind,  wozu  also  gehört,  dass  die 
elementaren  Glieder,  bei  denen  die  störenden  Massen  im  Nenner  auftreten,  eben* 
falls  entsprechende  Berücksichtigung  finden,  so  werden  die  erhaltenen  Lösungen 


')  Dieses  System  von  linearen  Differentialgleichungen  enthält  die  allgemeinste  Form,  denn 
die  Differentialgleichungen  höherer  Ordnung  lassen  sich  durch  die  Substitution 

dx%  dyx 

17  ->«•         17"'- (ä) 

auf  die  lineare  Form  bringen,  indem  die  durch  die  Substitution  entstandenen  Gleichungen  mit 
den  Gleichungen  (7)  ein  lineares  System  der  gegebenen  Form  liefern. 

')  Eine  Ausnahme  findet  nur  statt  in  den  singulftren  Punkten  der  Funktionen  X,- . 


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Mechanik  des  Himmel».  78.  79. 


formelle  Lösungen  der  Differentialgleichungen  im  Sinne  Pomcar£'s  sein,  und 
sich  mit  verschwindender  Masse  asymptotisch  den  wahren  Lösungen  nähern. 
Ueber  die  Convergenz  des  Coefficienten  in  den  Reihen  (8)  ist,  wie  er- 
wähnt, keinerlei  Annahme  nöthig,  womit  erwiesen  erscheint,  dass  der  in  der 
astronomischen  Praxis  gebräuchliche  Vorgang,  Entwickelungen 
nach  Potenzen  der  störenden  Massen,  ohne  Rücksicht  auf  die  prak- 
tische Convergenz  der  in  den  aufeinanderfolgenden  Näherungen 
auftretenden  numerischen  Störungswerthe  vorzunehmen,  als  gerecht- 
fertigt angesehen  werden  kann.  Der  Satz  erleidet  auch  für  die  Berechnung 
der  Störungen  der  Satelliten  keine  Ausnahme,  da  dann  p.*  [(vergl.  6?  (7)  und 
74  (7  a)]  als  kleiner  Parameter  m  aufzufassen  ist.  Für  die  secundär  elementaren 
Glieder   werden   die  Reihen  der  ,/,,*  dadurch  divergent,   dass  die  Nenner 

i  —       =  v  sehr  klein  werden;  sei  dann  —  =  et  eine  endliche  Grösse,  und 

tritt  in  fik  ein  Glied  —  ff\  auf,  so  wird  das  hieraus  entstehende  Glied  ge- 
schrieben werden  können: 

und  es  kann  demnach  als  zu  den  Störungen  der  (p  —  l)ten  Ordnung  der 
störenden  Massen  gehörig  angesehen  werden,  woraus  folgt,  dass  der  Satz  auch 
für  secundär  elementare  Glieder  gültig  bleibt. 


II.  Abschnitt.   Die  Rotationsbewegung. 

79.  Das  Potential.  Bei  der  Untersuchung  der  Rotationsbewegung  der 
Himmelskörper  spielt  die  Figur  derselben  eine  wesentliche  Rolle,  indem  gerade 
die  wichtigsten  zu  Tage  tretenden  Erscheinungen  eben  durch  diese  bedingt 
sind.  Andererseits  aber  wird  die  Figur  eines  Gestirnes  durch  seine  Rotation 
mit  bestimmt;  beide  stehen  daher  in  einer  Wechselbeziehung,  welche  es  er- 
fordert, das  wichtigste  über  die  Figur  der  Himmelskörper  den  Auseinander- 
setzungen über  die  Rotationsbewegung  voranzuschicken. 

Bei  diesen  Untersuchungen  spielt  die  in  No.  3  eingeführte  Function 

£/=  (1) 

wo  u  die  gegenseitige  Entfernung  der  Massenpunkte  bedeutet,  eine  wichtige 
Rolle.  Handelt  es  sich  um  die  Wirkung  eines  aus  Massenpunkten  tn,  tn ,  tn'  .  .  . 
bestehenden  Massencomplexes  M  —  »  +  m'  -+•  tn"  -+-  .  .  .  auf  den  Massenpunkt 
mx,  so  kann  an  Stelle  von  (1)  gesetzt  werden: 

U^Pm,!^.  (la) 

Nach  der  atomistischen  Hypothese  bestehen  die  Massen  aus  discreten  Massen- 
theilchen  (Molekülen),  die  durch  relativ  sehr  grosse  Zwischenräume  (Poren)  ge- 
trennt sind,  und  es  ist  nicht  nur  gelungen,  unter  dieser  Annahme  die  Entfernung 
der  Moleküle,  sondern  auch  die  Giösse  dieser  selbst  annähernd  zu  ermitteln. 
Für  die  analytischen  Operationen  der  Mechanik,  welche  sich  nicht  auf  die 
Molekularbewegungen  oder  Molekularveränderungen  (Molekularphysik  oder  Che* 
mie)  erstrecken,  ersetzt  man  diese  Hypothese  mit  gleichem  Vortheil  durch  die 
philosophisch  gleich  berechtigte  einer  continuirlichen  Erfüllung  des  Raumes  und 
nimmt  die  in  einem  gegebenen  Volumen  eingeschlossene  Masse  proportional 
diesem  Volumen  und  einem  constanten  oder  veränderlichen  Faktor  8,  welcher 

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5*4 


Mechanik  de«  Himmels.  79. 


die  Dichte  genannt  wird.  Es  wird  dann  die  in  einem  Volumelemente  dv 
geschlossene  Masse  tdv,  und  die  Summirung  über  die  sämmüichen  discreten 
Massenpunkte  des  Complexes  M  geht  Uber  in  eine  Integration  Uber  die  sännst- 
liehen  Volumelemente.  Ist  für  ein  Massenelement  des  betrachteten  Complexes 
u  die  Entfernung  von  dem  angezogenen  Punkte,  so  wird  der  in  U  auftretende 
Faktor  von  mx : 


ausgedehnt  Uber  das  ganze  Volumen  v.  Diesen  Ausdruck  nennt  man  das  Po- 
tential der  Masse  M  auf  den  von  der  Masseneinheit  erfüllt  gedachten  Punkt  ml . 
Zerlegt  man  den  Massencomplex  Af,  welcher  Kürze  halber  stets  als  Körper  M 
bezeichnet  wird,  durch  irgend  eine  krumme  Fläche  in  die  beiden  Körper  ^V, 
und  M%,  so  dass 

M  =  Afl  +  Aft,    v  =  vx  -h  vv 

ist,  so  kann  das  Integral  (2)  ebenfalls  in  zwei  Theile  Uber  die  beiden  Volumtsi 
ausgedehnt  werden,  so  dass 

.  /«  dv  /a  dv 

y=  Vx      *V,       k,=^J— ;       y9  =  i*j—.  (3) 

<*i)  <»,) 
ist.    Legt  man  ein  rechtwinkliges  Coordinatensystem  zu  Grunde,  und  seien  E. 
ij,  C  die  Coordinaten  des  Punktes  ml ;  x,  y,  s  die  (veränderlichen)  Coordinaten 
des  Massenelementes  dv,  so  wird 

u*  =  (x-ty  +  (y-      -+-  (5  -  0» 

hdxdy  dz 


■///- 


Das  Potential  tritt  als  Function  der  Coordinaten  \,  ij,  C  auf,  und  kann  daher 
geschrieben  werden: 

*  -  v%  *  c). 

Durch  Differentiation  desselben  nach  diesen  drei  Grössen  erhält  man  die 
Kräfte  in  den  Richtungen  der  drei  Coordinatenaxen: 

Die  Kraft  in  irgend  einer  beliebigen  Richtung  v,  welche  durch  die  Richtungs- 
cosinus et,  ß,  7  gegen  die  drei  Axen  bestimmt  ist,  wird 

Ist  aber  v  in  die  Function  V  eingeführt,  so  erhält  man  die  Kraft  durch 
Differentiation  nach  v  selbst: 

'-ff-  <«* 

In  derselben  Weise,  wie  sich  [nach  (3)]  das  Potential  einer  Masse  zerlegen 
iässt,  wird  auch  das  Potential  verschiedener  Massen  gleich  der  Summe  der  P> 
tentiale  der  einzelnen  Massen.  Befinden  sich  unter  diesen  einzelne 
punkte,  so  ist  das  Potential  eines  jeden  derselben  gleich  der  in  diesem 
punkte  gedachten  Masse  m,  dividirt  durch  die  Entfernung  «  desselben  von  der 
Masse  «,  und  es  wird  das  Gesammtpotential  der  Massen  M\  M",  M1"  .  .  . 
m\  in",  wr"  .  .  ,  auf  mx : 


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Mechanik  des  Himmels.  79. 


5^5 


k«=  v -+-  v" +  vw ....+  r+  r' -f-     + . . . . 

Da  ,    ^     die  von  den  verschiedenen  Massencomplexen  und  Punkten 

auf  die  Masseneinheit  in  iw,  ausgeübten  Kräfte  in  der  Richtung  v  sind,  diese 

d  V 

aber  unmittelbar  summirbar  sind,  so  folgt,  dass  ^  die  von  den  sämmtlichen 

wirkenden  Massen  auf  die  in  *s,  befindliche  Masseneinheit  ausgeübte  Gesammt- 
kraft  in  der  Richtung  v  darstellt 
Der  Ausdruck 

K=  V(l  r,,  0  =  C, 

wo  C  eine  Constante  ist,  stellt  bei  veiänderlichem  »),  C  eine  Fläche  dar,  welche 
die  Eigenschaft  hat,  dass  das  Potential  der  sämmtlichen  wirkenden  Massen  auf 
die  einzelnen  Punkte  ij,  C  überall  denselben  Werth  hat.  Solche  Flächen  nennt 
man  äquipotentielle  Flächen  oder  aus  einem  sofort  ersichtlichen  Grunde 
Niveau  flächen.  Zwei  Niveauflächen  können  sich  nicht  schneiden.  Für  eine 
gewisse  Niveaufläche  hat  nämlich  die  Constante  C  in  ihrer  ganzen  Ausdehnung 
denselben  Werth;  verschiedene  Niveauflächen  entsprechen  verschiedenen  Con- 
stanten C,  C.  Würde  es  einen  Punkt  £lf  rj,,  Cj  geben,  in  denen  sich  diese  beiden 
Niveauflächen  schneiden,  so  müsste  i),,  C,)  =  C,  V{llt  tj,,  d)  —  C,  daher 

C  =  C  sein,  was  der  Voraussetzung  widerspricht. 

Legt  man  ein  Coordinatensystem  in  einen  Punkt  i,  »j,  C  einer  Niveaufläche, 
so  dass  die  jcv-Ebene  in  die  Tangentialebene,  und  die  s-Axe  daher  in  die  Nor- 
male  der  Niveaufläche  fallen,  so  wird  man  bei  dem  Uebergange  von  einem 
Punkte  i,  t),  C  zu  einem  benachbaiten  £  -+-  dl,  rt  ■+■  d^,  C  in  der  Niveaufläche 
selbst  bleiben,  da  man  sich  längs  zweier  aufeinander  senkrecht  stehender  Tan- 
genten der  Fläche  bewegt;  da  für  diese  Punkte  der  Werth  des  Potentials  der- 
selbe ist,  so  wird 

wo  g  die  Kraft  in  der  Richtung  der  Flächennormale  ist,  hier  also  gleich  der 
Gesammtkraft,  welche  auf  den  Punkt  mx  wirkt.  Denkt  man  sich  z.  B.  eine 
Flüssigkeitsmasse,  auf  welche  verschiedene  Kräfte  wirken,  so  wird  ihre  Ober- 
fläche unter  deren  Einwirkung  eine  gewisse  Form  annehmen,  welche  aber  derart 
sein  muss,  dass  die  Gesammtkraft  senkrecht  zur  Oberfläche  wirkt:  die  Ober- 
fläche wird  demnach  eine  äquipotentielle  Fläche  (daher  der  Name  Niveaufläche) 
und  wird  dadurch  erhalten,  dass  man  das  Potential  der  sämmtlichen  wirkenden 
Kräfte  auf  einen  Punkt  der  Fltissigkeitsmasse  sucht,  und  dieses  Potential  gleich 
C  (constant)  setzt.  Besteht  die  Flüssigkeitsmasse  aus  Flüssigkeiten  verschiedener 
Dichte,  so  wird  jede  Trennungsfläche  ebenfalls  eine  Niveaufläche  sein,  und 
dasselbe  gilt  von  den  Schichten  einer  nicht  homogenen  Flüssigkeit  von  conti- 
nuirlich  veränderlicher  Dichte.  Der  Werth  der  Constanten  C  wird  aber  für  die 
verschiedenen  Niveauflächen  verschieden  sein,  und  kann  aus  der  Gesammtmasse 
oder  dem  Gesammtvolumen  der  innerhalb  dieser  Niveaufläche  befindlichen 
Flüssigkeit  ermittelt  werden. 

Unter  den  Massencomplexen  von  geometrisch  bestimmbarer  Gestalt  sind  für 
die  Zwecke  der  Mechanik  des  Himmels  besonders  hervorzuheben  die  Kugel  und 
das 


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5*6 


Mechanik  des  Himmels.  80. 


80.  Das  Potential  einer  Kugel.  Sei  zunächst  für  die  Kugel  die  Ent- 
fernung des  angezogenen  Massenpunktes  mx  von  dem  Mittelpunkte  der  Kugel  O 
(Fig.  274)  £.  Wählt  man  die  Linie  Oml  als  x-Axe  und  bestimmt  die  Lage 
irgend  eines  Punktes  in  Räume  durch  die  Polarcoordinaten:  die  Entfernung  r 


1  ° 

(A.274.) 

von  O,  den  Winkel  0,  welchen  r  mit  der  *-Axe  einschliesst,  und  den  Winkel 
welchen  die  Ebene  r\  mit  der  jry-Ebene  einschliesst,  so  wird: 

x  =  r  cos  8 
y  =  r  sin  8  cos  » 
»  =  r  sin  8  sin  » 
dm  =  hr*  sin  8*8  dvdr 
«>  =  r>  -+-     -  2rfc  8, 

demnach 

Uin*d%d*dr 

»  0) 


■///— 


wo  Kürze  halber  8  statt  gesetzt  ist.  Integrirt  man  hier  zunächst  nach  ta  von 
0  bis  2ic,  so  wird  dabei  8  und  u  constant  bleiben,  und  es  wird 

„     «  (  (6r*sin%dQdr 

Integrirt  man  nach  8  und  lässt  dabei  r  constant,  d.  h.  integrirt  man  nach 
einer  Kugelschale  vom  Halbmesser  r,  so  ist 

u  du  =  +  r  5  sin  8  äd ;       sin  8*8  =-  ^ , 

folglich 


-  -// 


trdrdu 


Nach  «  ist  dabei  zu  integriren  von  demjenigen  Werthe  von  u,  welcher  8  «=  0 
entspricht,  bis  zu  dem  0  =  w  entsprechenden  Werthe.  Hierbei  ist  nun  zu  unter- 
scheiden, ob  wt  ausserhalb  oder  innerhalb  der  Kugelschale  liegt 


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Mechanik  des  Himmels.  80. 


5*7 


1)  Für  einen  äusseren  Punkt  im,  werden  die  beiden  Grenzen:  *0=  l  —  r, 
ux  wm  5  -f-  r,  daher 

K  =  ««/^      +  0  -  (5  -  r)]  =  y/sr^r. 

2)  Für  einen  inneren  Punkt  [mt]  werden  die  beiden  Grenzen:  [u]9  — ■  r  —  £, 
=»  r  +  i,  demnach 

Vi  —  2*y*-^~  [(r  +  5)  -  (r  -  5)]  -  4«/kr/r. 


Dabei  wurde  aber  vorausgesetzt,  dass  S  von  «  und  9  unabhängig  ist,  d.  h. 
in  der  ganzen  Kugelschale  vom  Halbmesser  r  constant,  eine  Annahme,  welche 
bei  den  Himmelskörpern  als  die  wahrscheinlichste  gelten  kann.  Für  verschiedene 
Schalen  wird  aber  die  Dichte  verschieden  und  als  Function  von  r  aufgefasst 
werden  können,  so  dass 

a_f(r) 

ist.  Bei  dem  Uebergange  auf  die  Wirkung  der  ganzen  Kugel  vom  Halbmesser  a 
wird  aber  wohl  der  Punkt  ml  ein  äusserer  sein,  nicht  aber  [m,]  für  alle  Schichten 
ein  innerer.    Man  hat  daher: 

1)  Für  den  äusseren  Punkt  *»,: 

K-  ^  ff  (r)r*  dr^~,  wenn  M  =-  4*  ff(r)r*dr  (2) 
*  e  *  o 

ist.  M  ist,  wie  man  sieht,  die  Masse  der  Kugel;  die  Anziehung  in  der  Richtung  \ 
(d.  h.  die  Totalanziehung)  wird: 

wo  die  Constante  (wie  im  Folgenden  stets)  in  die  Masse  einbezogen  ist. 
Die  Wirkung  einer  Kugel  auf  einen  äusseren  Punkt  ist  daher  dieselbe,  als  wenn 
die  Gesammtmasse  in  ihrem  Mittelpunkte  vereinigt  wäre,  wodurch  sich  die  bisher 
festgehaltene  Betrachtung  der  Himmelskörper  als  Massenpunkte  rechtfertigt. 

2)  Für  einen  Punkt  [mx]  im  Innern  der  Kugel  muss  man  die  Gesammtmasse 
in  zwei  Theile  theilen;  für  alle  Schalen,  für  welche  der  Halbmesser  kleiner  als 
E  ist,  ist  der  Punkt  ein  äusserer,  für  die  übrigen  Schalen,  vom  Halbmesser  € 
bis  a  ist  er  ein  innerer;  es  wird  daher 

4      i  • 
V-  -j  /?(r)rVr  +  4*J9(r)rdr. 

Sei  nun 

JlWdr        (5);     Jf(r)rdr  =/,(5),  (4) 

so  wird: 


V-  4*4^  +  4«[/1t»  -/,(*)]  =  4it  -  /,  (*)]  +  4*/l(„). 


(5) 


Für  %  ■=  a  gehen  die  Ausdrücke  (2)  und  (5)  in  einander  über.  Aus  (5)  folgt 
für  die  Grösse  der  Anziehung: 

lf  =  -  1?A  (0  4-  y  e>  f  ß)  -  4*59(5)  =  ~  (5). 
Nun  ist  4ic/|(Q  =      die  Masse  der  Kugel  vom  Halbmesser  i  also 

äf  =  -p--  (6) 


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528 


Mechanik  des  Himmel».  80.  81. 


Da  die  Masse,  abgesehen  von  den  Dichtenänderungen,  proportional  i*  ist, 
so  folgt  daraus  die  Anziehung  proportional  der  Entfernung  vom  Mittelpunkte. 
Setzt  man  voraus,  dass  sich  die  Function  <p  (E)  in  eine  nach  Potenzen  von  £ 
fortschreitende  Reihe  entwickeln  lässt,  dass  also1) 


(7) 

.•] 

(8) 


(9) 


ist,  so  wird 

/i(e)  =  i^3+Ke«-f-i*"5»+  •  •  • 
/,(&)  =  *ae*-t-  i«'6«H-  i«"e4+ . . . 

V=  -  2n[^e»  +  in*  -+-  W'l*  H-  .  .  .]  -4-  4*ft«as  +  K«f  + 

Ist  die  Kugel  homogen,  so  sind  8'  =  8"  =  .  .  .  •  «  0  und  es  wird 
V~  2*8a«  -  f  *  8fc»;      ~  =  -  f  *«i 

81.  Das   Potential  eines  Ellipsoides  auf  einen  inneren  Punkt 

Legt  man  den  Ursprung  des  Axensystems  in  den  angezogenen  Punkt  fjwj,  so 

wird  das  Volumelement  ,         .  .  . 

dv  =  u*dodu, 

wenn  do  der  von  den  Radienvectoren  der  Begrenzung  des  Flächenelementes 
eingeschlossene  Winkel  (das  Flächenelement  der  Einheitskugel)  ist,  und  u  die 
stets  positiv  zu  nehmende  Entfernung  des  anziehenden  Massenpunktes  von  [m^ 
ist.   Dann  wird:  y  =  ffftu{lu  äo  =  (,) 


(A.  '275 ) 

Die  Integrationsgrenzen  für  u  sind  von  0  bis  zu  demjenigen  Werthe  von  u, 
welcher  der  Oberfläche  des  anziehenden  Ellipso'ids  entspricht.  Um  diesen  Werth 
zu  erhalten,  seien  x,  y,  t  die  Coordinaten  eines  Punktes,  bezogen  auf  ein  Axen- 
system,  dessen  Ursprung  im  Mittelpunkte  O  (Fig.  275)  des  Ellipsofds  ist,  und 


*)  Bei  nach  dem  Innern  zunehmender  Dichte  wird  natürlich  V  negativ;  negative 
\  können  nicht  auftreten,  da  sonst  die  Dichte  für  \  =  0  unendlich 


> 


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Mechanik  des  Himmel».  81. 


529 


für  welches  die  Richtungen  der  Axen  mit  den  Richtungen  der  Ellipsoidaxen 
zusammenfallen;  £,  tj,  C  die  Coordinaten  von  [mt]\  X,  fi,  v  die  Winkel,  welche 
die  Strecke  u  mit  den  Coordinatenaxen  einschliesst,  so  wird: 

x  =  %  ■+■  u  cos  X 

y  =  t)  -+-  u  cos  fi  (2) 

2  «=  C  +  U  COS  V 

und  für  einen  Punkt  des  Ellipsoides  muss 

x*       y*  *' 


p  +  ?  -  1  (3) 

sein,  wenn  a,  die  drei  Hauptaxen  des  Ellipsoides  sind.  Substituirt  man  (2) 
in  (3),  so  erhält  man  für  u  die  Gleichung: 

*tt*H-2*«  =  /,  (4) 

wenn 

cos*\       cos*p.  cos%v 


h  = 


a>~~  ^     ^    ^  ~7T 


ßwX      y«|t      C^iv  . 

'      1      a»      o*  c* 
ist.    Für  einen  Punkt  S,  »),  C  im  Innern  des  Ellipsoides  ist  /  positiv;  und  da  k* 
und  h  ebenfalls  wesentlich  positiv  sind,  so  wird  in  dem  Ausdrucke 

k  hl 
U  =  -~h*—h  ' 

welcher  stets  positiv  zu  nehmen  ist,  das  obere  Zeichen  beizubehalten  sein,  daher 


«  =  \   (6) 

und  das  Zeichen  der  Quadratwurzel  positiv.    Die  Winkel  X,  ja,  v  sind  von  ein 
ander  nicht  unabhängig,  und  lasstn  sich  durch  zwei  andere  6, «"  ersetzen,  welche, 
bezogen  auf  das  Axensystem,  dessen  Ursprung  in  [w,J  liegt,  dieselbe  Bedeutung 
haben,   wie  die  in  Fig.  274  auf  das  durch  O  gehende  Axensystem  bezogenen 
Winkel;  dann  ist 

cos  X  «=  cos  0;         cos  u.  =  sin  %cos**\         cos  v  =  sin  %  sin  tu  (7) 

do  =  sinSd*d*  (8) 

und  die  Integrationsgrenzen  sind: 

für  0  :  0  und  7t;  für  u>:  0  und  2it. 

Substituirt  man  den  Werth 

.     2h*+hl     „  k 


~  -      A,      -  2  -h  Y*>  +  hl  (6a) 

in  den  Ausdtuck  (l),  so  erhält  man  eine  Reihe  von  Integralen,  deren  Ausführung 
durch  die  folgenden  Sätze  theilweise  umgangen  werden  kann.  Es  sei  in  dem 
Integrale 

A=ffF{%,*)do.  (9) 
0  0 

a)         7t  H-  o»)  =  —  «>),  so  wird 

2  ff  ic  n  Jt  2it 

A  wm  f  fFl$,  a»)  sin  ddQdta^  fsin  0  dB  [./>"(«.  «>}  ^«1  ■+-  //  (6,  u>)  dio]  . 

0   0  0  0  n 

34 

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530  Mechanik  des  Himmels.  81. 

Setzt  man  im  zweiten  Integrale  w  =  3  +  i»,  und  lässt  zum  Schlüsse  den 
Index  1  wieder  weg,  da  die  Bezeichnung  der  Integrationsvariabein  willkürlich 
ist,  so  folgt: 

r.  t.  fc 

A  =  jsin  0  d%  [//\0,  u>)  dm  -  J>  (0,  «0  dto]  ,  d.  h.  A  =  0.  (9a) 
00  0 

b)  Ks  sei  J*{Q,  t:  ±  «>>  =  -^(0,  *")•  Zerlegt  man  das  Integral  nach  o»  in  zwei 
andere  /.wischen  den  Grenzen  0  und  it  und  zwischen  r  und  2rc  und  substituirt 
in  dem  zweiten  «1  =  jt  -f  m,,  so  wird: 

.4  =  2 /j/'/i  e  d$  jF(%t  a>)  //u>. 

Zerlegt  man  nunmehr  das  Integr.il  nach  u>  neuerdings  in  zwei  andere  zwischen 
0  und  \t,  und  zwischen  \t:  und  r>  und  substituirt  im  zweiten  o>  =  tc  —  «»,,  so 
erhält  man 

^  =  4/w«  e  ^e/l^e,  01)  </o>.  Ob; 
0  0 

c)  Sei  ^"(0,  r  +  ü>)=  A(0,  0.);  /"(0,  it  —  oi)  =  —  /"(6,  o>),  so  erhält  man 
in  derselben  Weise 

A  =  0.  (9c) 

d)  Sei         —  0,  cu)  =  /\0,  ü>),  so  wird  man  in  der  Zerlegung 

A  =  jdu  0»)      0  are  -1-  //■  (6,  o>)  sin  0  </0] 

00  - 

in  das  zweite  Integral  0  =  ^—0,  substituiren,  und  erhält: 

^  =  2fdu>jf(Q,  <o)  jm  0  </0.  (9d) 


c)  Sei  />  -  0,  to)  =  /  (0,  01);  / ^0,  r  ±  «u)  =  /\0,  01),  so  folgt  durch 
Conibination  von  b)  und  d): 


x  r 


A  *=  8/  /^(0,  u>)sinQdQd<».  (9e; 
0  0 

/)  Sei  /'(tc  —  0,  r  +  tu)  =  -  Fiß,  «>);  zerlegt  man  das  Integral  nach  «  ir 
zwei  andere  zwischen  den  Grenzen  0  und  tt  und  /wichen  r  und  2t:,  und  sub- 
stituirt im  zweiten  0  =  r  —  0,,  m  =  it      <op  so  folgt 

A  =  0.  (9f; 

Wendet  man  nun  auf  k-,  hl  die  Substitution  (f)  an,  so  bleiben  ihre  Werthe 
ungeandert;  da  aber  k  eine  Function  ist,  welche  der  Bedingung/)  genügt,  so 
2*  . 

ist  auch  —p  +  ///  eine  solche  Function,  so  dass  dieser  Theil  des  Integrals 
ju*do  verschwindet.    Es  bleibt  daher,  die  Dichte  als  constant  vorausgesetzt: 

Hier  ist  weiter: 

V  r2  Cs  25t  25C  2tC 

=  ^icosil-}-  ^  cos'\l-\  j\c°s*  v"+  ^j-j j  w (t+  k«v  +  ^|  wju <w >. 

cos),  cos  \l  und  cos  X  cos  ^  genügen  der  Substitution  a);  cos  ji  cos  v  der  Sub- 
stitution c);  //»  bleibt  hierbei  unverändert,  so  dass  die  Integrale  der  drei  letzten 
Glieder  verschwinden,  und  man  erhält: 


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Mechanik  des  Himmel*.  8t.  531 

r=sJLL  +  >-gM+*?#+slK.  (io) 

wobei 

6  =  0....«;        »  =  0  ....  2* 
ist.  Hier  genügen  die  zu  integrirenden  Functionen  sammtlich  der  Bedingung  e), 
so  dass: 

"ffa  "-fßfr«  -=//^  <-) 

0        0  0        0  0        0  0  0 

Ä  =  -«l--*- — ^ —  + — ^  = 

Setzt  man  daher 
so  wird 


(13a) 


K=*4f/tsin9je.  (Ha) 

0 

Aus  (13a)  erhält  man: 

* 

'db^-J       W~  cb~b*J     //»    ^  '        ccx- e*J  /;» 

0  0  o 


demnach 
L 


=  4a»  fsM9d%$£±  ;  J/=  Ab*  fsi*%J*-£  ;  iV-  4r»  f sm*J*?£- .  (14b) 
o^  o*7 

Nun  ist 

t:        a /,  ii       gwg,      «   _itn_'_z_ . 

2«  ~      4^1Ciy^TC1'  V   1   ca        1  2a:<      BxCxyfBxCx  * 

demnach1) 


')  Nach  (10  a)  oder  (11)  ist 

Z       M      N  djx   ,  ^  £2i  4-  ^  £Zi  _  9V 

^  +  ^  +  7^  =  2A>   d»hw*-^-  +      ?A  ?r  " 

welche  Gleichung  als  Probegleichung  dienen  kann. 

34* 


532  Mechanik  des  Himmel«.  81. 


und 


it  * 

*-*V^:!  X=äy-^rk+d  (UC) 

J  _5  


J/=  2tt  /   -.-   -  ;   iV=  2t:  I  — y-r^- 

o7  BrfBxCx  J  CtYBxCt 

Nun  ist 

r-*.K-  «'  (*-  -V  z)  -  *?      i  *)  -  £      Js    .  « 

daher 

Durch  die  Substitution 

a 

cos  e  =  .  

-f-  / 

erhält  man 


erhält  man 
demnach,  wenn 

gesetzt  wird: 
Setzt  man: 

JU^/C-^M^rf       d'  (20.) 


so  wird1) 

•)  Es  ist  //  +  M'  +  N'  =  K. 


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Mechanik  des  Himmels.  81.  533 

"  '  '  (21) 

In  diesen  Formeln  spielt  die  x-Axe  insofern  eine  besondere  Rolle,  als  der 
Winkel  8  auf  sie  bezogen  ist.  Es  ist  sofort  klar,  dass  man  ähnliche  Formeln 
erhalten  würde,  wenn  man  von  der  y-  oder  z-Axt  ausgehen  würde.    Sei  dann : 

cos*  *      sin*  8  cos*  8      stn*  8 

~~b*~~  +    a*    ~~    *  c*     +    a*    ~  8 

cos*  9      sin**  cos**  .   sin**      n  (I2b) 


<:»  '  c*  b* 


(13b) 


so  wird 


?  5 

C%cos*»  +  Aisin*Z]    J*  =J 

o  o 

,,     o    fsin*d*         „     n  fsin*d* 
K  =  1k\  —  ;      A  =  2*  /   • 

Die  Identität  dieser  Integrale  mit  dem  früheren  folgt  sofort  durch  die 
Substitution: 

b  c 

cos  8  =       —   ;  <w  8  =    .-- — -  , 
yb*  -+- 1  y  c*  ■+•  t 

indem  für  K  sofort  die  Form  (19)  resultirt.  Die  drei  anderen  Integrale  erhält 
man  in  den  Formen: 

^hr^V  "•-'fi\>—LT—J-i] 


(20  b) 


(20  c) 


sodass  man  einfach  schreiben  kann1) 

.^(.-^      .-M'^)  .•>?(.+/,) 


')  Hieraus  folgt  dann  die  für  beliebige  Werthe  von  a,  6,  c  gültige  Identität: 


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534 


Mechanik  des  Himmels.  81. 


Durch  die  Substitution 


erhält  man,  wenn 

a 

gesetzt  wird: 


x»  =  — -r-,   x'»  -,— ;    H  =  i/(1 -x»d»)(l -x'»d»)  (23) 


h  ; 


0  0 


Setzt  man 


>  ~         J(l-x»»»)H;        r»         a»  J  (l-x'»d')H* 

0  0 


(24) 


so  wird 


H- 


=  /,  (25) 


J  (1  -x»ö*)H  ~  x  cx;       J  (l-x'»8»)H  -  x'  dx' 

0  0 

so  dass  sich  die  drei  Attractionen  auf  ein  einziges  Integral  zurückführen  lassen1). 
Für  6  =  7j  =  C  =  0  geht  V  in  Ä  •  K  über;  dieses  ist  demnach  das  Potential  des 
Eilipsoides  auf  einen  im  Mittelpunkte  desselben  gelegenen  Punkt. 

Kür  ein  EUipsoid,  dessen  Halbaxen  a\  b\  c'  dasselbe  Verhältniss  haben,  so  dass 

a' :  b' :  c'  =  a  :  b  :  c 

ist,  werden  x  und  x  dieselben  Werthe  erhalten,  daher  sind  nach  (21)  und  (25a) 
die  Attractionen  auf  einen  inneren  Punkt  dieselben.  Denkt  man  sich  nun  ein  con- 
centrisches  EUipsoid,  dessen  Axen  a',  b' ,  c'  kleiner  sind  als  a,  b,  c,  so  wird  die 
Attraction  des  inneren,  kleineren  Ellipsoi'des  dieselbe  sein,  wie  die  des  äusseren, 
grossen,  folglich  die  Attraction  der  zwischen  beiden  befindlichen  Schale  gleich 
Null.  Eine  von  zwei  concentrischen  ähnlichen  Ellipsoiden  begrenzte  Schale  übt 
demnach  auf  einen  in  ihrem  Hohlräume  befindlichen  Punkt  keine  Anziehung 
aus2).  Man  kann  daher  die  Attraction  eines  beliebigen  Ellipsoides  auf  einen 
inneren  Punkt  durch  die  Attraction  desjenigen  concentrischen  ähnlichen  Ellip- 
soides ersetzen,  welches  durch  den  angezogenen  Punkt  [mj  geht;  für  dieses  ist 
dann  der  angezogene  Punkt  auch  bereits  als  äusserer  an  der  Oberfläche  desselben 
liegender  anzusehen;  es  ist 

\%         T)a  C* 

a*      b*      c*  ~~  1 

und  die  Formeln  (20),  (24),  (25)  gelten  daher  auch  für  diesen  Fall;  für  das 
Potential  kann  auch  sofort  in  (10):  /=0  gesetzt  werden8). 


)  Wollte  man  ftir  alle  drei  Attractionen  symmetrische  Formen,  so  würden  überdies  die  Ver- 


1,1  _  «j» 

hältnisse  — — —  u.  s.  vr.  eintreten. 

Nicht  derselbe  gilt  von  dem  Potentiale.    Dieses  wird,  wenn 

a'       b'  e' 

ist: 


V  =  &(A' —  A")  sse  %\nbc 


3)  Doch  dürfen  die  Kräfte  nicht  aus  dieser  vereinfachten  Form  V  abgeleitet  werden,  da 

die  Bedingung  /  —  0  erst  nach  der  Differentiation  eingeführt  werden  darf. 


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Mechanik  tles  Himmels.  H'2.  53S 

82.  Potential  eines  Ellipsoides  auf  einen  äusseren  Punkt.  Für 
den  äusseren  Punkt  ist  /  negativ;  damit  fallen  die  aus  (6)  und  (da)  in  81  sich 
ergebenden  Vereinfachungen  weg.  Doch  lässt  sich  die  Berechnung  der  Anziehung 
auf  einen  äusseren  Punkt  mittels  des  Theorems  von  Jvcry  auf  den  vorigen 
Fall  zurückführen. 

Die  Componenten  der  Anziehung  des  Ellipsoides  £  (Fig.  275)  auf  den 
Punkt  mx,  dessen  Coordinaten  mit  tj,,  \x  bezeichnet  werden  mögen,  sind 
gegeben  durch: 

1 


dx  (1) 


und  ähnlich  für  Y,  Z,  wobei  die  Gr  enzwerthe  u',  u"  diejenigen  Werth e  von  u 
sind,  welche  sich  auf  die  Durchgangspunkte  der  durch  das  Element  dm  parallel 
zur  X-Axe  gezogenen  Geraden  Ä  A"  mit  dem  Eliipsoide1)  beziehen.   Es  ist  daher: 


(2) 


das  Integral  ausgedehnt  über  alle  Grenzpunkte  Ä,  A",  d.  h.  über  die  ganze 
Oberfläche  des  Ellipsoides  E. 

Ordnet  man  jedem  Punkte  des  Ellipsoides  £  einen  anderen  xl,}i,zi  zu,  so 
daes  mit  den  Constanten  ax,  b ,,  : 

ist,  so  wird  da 

ir  +     +  >v  -  '       »»ch   ^  +  *  +  ^  =  i  «) 

sein,  d.  h.  die  zugeordneten  Punkte  bilden  ebenfalls  ein  Ellipsoid.  Wählt  man 
die  Axen  so,  dass 

»i  Tn  *i 


ist,  so  geht  dieses  zweite  Ellipsoid  Ex  durch  den  Punkt  w,.  Die  den  Punkten 
A\  A"  entsprechenden  Punkte  seien  Ax\  A{",  und  umgekehrt  möge  dem  Punkte 
mx  ein  Punkt  m0  entsprechen,  dessen  Coordinaten  r,,  £  bestimmt  sind  durch 
die  Beziehungen 

it  =  ~  i     =  ^    Ci  =  r-!  c  oder  \  =  ~ix,  T,  =  A     c  —  ~  :,, 

welcher  für  das  Ellipsoid  Ex  ein  innerer  Punkt  ist.  Die  Anziehung  des  Ellip- 
soides £x  auf  m0  ist  daher  nach  früherem  bekannt;  sie  lässt  sich  schreiben: 


X^f  f  f^^J'i  (*,  -E)  juyxdzxjj 


"l  1 


Angenommen  nun,  es  lasse  sich  das  Ellipsoid  A",       :'c  ,tn: 
zwei  beliebige  Punktepaare  /"(jc>V).        (■*"/'*")  ,K  * 
entsprechenden  P,'  «,'),  />,"  (.v/'j, ")  .ho 


')  Die  Integration  für  die  vV-Cotnponcnnn  ist  \.i  n ■>•  h  , 


11. . 


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536  Mechanik  des  Himmels.  82. 

fernungen  P Px"  =  P'PX'  sind,  so  wird  auch  Ax A"  «  A'At"  u.  s.  w.,  also 
auch  Ämx  =  Ax'm0;  A"ml  =  Ax"m0,  d.  h.  ux"  =  u";        =  u',  demnach 

r-ff *,  y,  -  i) ^) 

yi         ^Lil  y 

A  _   bc  A' 

daher 

b  c    ,,,  a  ^  _       a  b 

X  =  -k — X'  ;       Y  =  Y  \  Z  =  — j-  Z\ 

bxcx  axcx  axbx 

d.  h.  die  Anziehung  des  Ellipsoides  £  auf  den  Punkt  mx  lässt  sich  aus  den  An- 
ziehungen des  correspondirenden  Ellipsoides  Ex   auf  den  entsprechenden,  für 
dieses  EUipsoid  inneren  Punkt  m0  direkt  ableiten. 
Es  ist  aber 

I  =  P'PX"  =  (*»  -  xx -+■  (/ -yx"Y  -+■  (*'  -  *,")*  = 

ii  =  p"px'  =    -  xxy  4-  (y        -+-  (*"  -  zxy  = 

Führt  man  hier  für  die  Coordinaten  der  Punkte  Px,  Px"  die  Beziehungen 
(3)  ein,  und  setzt 

a*  =  a*  +  ix',  = />*  +  e8;       f»  =  ^4-e„ 

so  folgt 

i «  _j_  y->  4.  2'«  4-  y»  +  y»  4. -  2  ^  y*"  ■+■  ^  yy  -+-  ^  *v»)  + 
n=  *»»  +  y»  4-  *•*  -i-  y»  +y«  -+-  2">  -  2  ^  x'x"  4-  ^  yy"+  -1  *v)  -+- 

Damit  also  I  =  II  werde,  muss 

/y »      y" s       ys  \  y 2  ,"i 

8>  ("^  +  V  +  7^1  +(£«-si)TT  +  (••-•!)  TT - 

(x'i      ya      ,'a\  y»  Ä»t 

=  e»  4»       c*)     (e*  ~  6l)  7»~     (e»  -  «i)  TT* 

Da  aber  die  beiden  Punkte  (x'y'z'),  (x"y"*")  Punkte  des  Ellipsoides  £  sind, 
so  sind  die  auf  beiden  Seiten  mit  e,  multiplicirten  Ausdrücke  gleich  1,  und  die 
letzte  Gleichung  reducirt  sich  auf 

/«"2  _  ya\  /,»•!  _  ,»>\ 

(•>  -  «i)  (7  J  +  («.  "  «,)  (  j  -  0. 

Diese  Gleichung  kann  für  beliebige  Punkte  nur  erfüllt  sein,  wenn  e,  =  «,=  *, 
ist.    Dann  ist,  wenn  der  Index  bei  e  weggelassen  wird: 

a»=a»+e;        £»=£i+e;         ,»=,»4.«  (7) 

d.  h.  das  EUipsoid  Ex  ist  dem  Ellipsoide  E  homofocal.  Durch  den  Punkt  mx 
giebt  es  nur  ein  zu  E  homofocales  EUipsoid,  für  welches  sich  der  Werth  von 
>  aus  Gleichung  (5),  d.  i.  aus 

tf'  +  i      b*  +  t  +  1  ^> 


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Mechanik  des  Himmels.  8'2. 


537 


bestimmt1).  Dann  erhält  man  die  Anziehungen  JT,  Y,  Z  nach  den  Formeln 
81  (21),  (22)  oder  (25),  wobei  jedoch  überall  *»-+-  »,  b*-+  »,  ,  an  Stelle 
von  a»,  £»,  c'  und  5,  t),  C  an  Stelle  von  C,  zu  setzen  ist.    Es  wird  also 

AT'=  -  2«U /  dt   = 

^*.+oi/(.+Py(.+Ji^)(.+^) 

=  -  2«  - 5,«^»  + « .^J  (a,  +  t  +  /)|/(^=  Typ^y^rTpTsTr) ' 

Setzt  man  hier  *-*-/=/,,  so  transformirt  sich  dieser  Ausdruck  in 

so 

dt 


AT     —  285, 


Kdbc  /  

,7  («*  +  ') 


285, 


6Etff  T  dt 


Man  erhält  daher  das  Potential  und  die  Anziehungen  eines  Ellipsoldes, 
dessen  Axen  a,  b,  c  sind,  auf  einen  äusseren  Punkt  (£|f  t^,  C,)  ebenfalls  nach 
den  Formeln 


wobei  nun 


/  7' 


z'-/r-V!  jr-/r-V!  '-/r-V 

.n--^)^ 


(10) 


und  der  Werth  von  i  aus  der  Gleichung  (8)  zu  ermitteln  ist.  Rückt  der  Punkt 
an  die  Oberfläche  des  Ellipsoldes  heran,  so  wird  t  —  0,  und  die  Formeln  gehen 
in  die  früheren  über.    Setzt  man  wieder 

so  folgt 

aa  -  tf9  _  ct 

c>  =  »      » '  =     ~»     >  H 


X1 


,     H  =  >/(i  -  *»d>;  (i  -~~*'m,t. 


m 

m  m 

*L=*J£1  fa1V<™      .        IT      Iber  Jb 

 *•      «■  J  0  -  *'  »»jH ■     TT  =  "5FjJ  (T^7Fb-.7ff  • 

»)  Da  i»,  ein  äusserer  Punkt  i«,  daher  a„  grosser  ala  «  4   ,  « B  fl^- 

muss  «   positiv  Mi„.    Für  .  i*t  daher  di«  y^Ust  Wur.el  d«  GfcicLur.g  ^  »  w..M- 


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538  Mechanik  des  Himmels.  82 

Für  das  Rotationsellipsoid  sei  b  =  c,  x2  =  x'2,  H  =  1  —  x2  ft2.  Für  das 
abgeplattete  Rotationsellipsoid  wird  a  <  b,  daher  x2  negativ1);  sei  also 

b*  —  a* 

so  wird 

AMrfd  0  1 

J  "in  2X^  Är""^ xd- 

Ersetzt  man  noch  d  durch  X»  =  /,  so  wird  für  die  beiden  Grenzen  0 
Xa 

und  -—  —  zu  nehmen  sein;  daher,  weil  sämmtliche  Integrale  für  die  untere 

ya2  -+■  t 

Grenze  verschwinden: 

2£2ic  V  2£2tc 

K  =  — arrtuy  /;    ^  =         (/  -  ö^A?«^  /) 


Af     N'      b*r>  (  ,         /    \  Xa  y*2-aJ 


(12) 


}/a2      t  |/aJ 

Sind  die  Coordinaten  des  angezogenen  Punktes  in  dem  Meridianschnitte, 
welcher  durch  diesen  Punkt  geht,      p,,  so  wird  s  die  Lösung  der  Gleichung 

a2      e       b%  -+-  c 

für  einen  inneren  Punkt  und  für  einen  Punkt  auf  der  Oberfläche  selbst  wird 
/=  X. 

Wesentlich  schwieriger  wird  die  Behandlung  des  Problems,  wenn  die  Dichte 
nicht  als  constant  angesehen  werden  kann.  Das  Gesetz  der  Dichte  wird  dann 
durch  eine  Function  des  Ortes 

6  =  F(x,  y,  s) 

gegeben  sein  müssen,  und  die  Integrationen  werden  dann  in  den  meisten  Fällen 
unausführbar.  Eine  verhältnissmässig  einfache  Lösung  kann  man  für  den  Fall 
erhalten,  dass  die  Massen  in  concentrischen  homofocalen  Schalen  gleicher  Dichtig- 
keit angeordnet  sind.  Sei  für  eine  Schale  die  innere  Begrenzung  ein  Ellipsoid 
mit  den  Hauptaxen  a,  b,  c,  die  äussere  ein  solches  mit  den  Hauptaxen  y'a*  -t-  a, 
yb*  ■+-  a,  yV2  -+-  o,  so  ergeben  sich  die  beiden  zugehörigen  Werthe  von  e  aus 
den  beiden  Gleichungen: 

V  1,' 


und 


f>  „S  M 


a2-+-  «  +  £       b*  4-  a  -+-  «'      f'  +  a+e' 
woraus  sofort  folgt 

«'  =  e  -  a.  (13) 

Potential  und  Attraction  der  Schale  erhält  man,  wenn  man  von  dem  für  das 
äussere  Ellipsoid  geltenden  Werthe  die  auf  das  innere  Ellipsoid  bezüglichen  ab- 
zieht; für  das  innere  gelten  die  Formeln  (J 1);  für  das  äussere  ist  überall  j/a2  a, 
tfb*  -+-  a,  yV2  -+-  a,  e  —  a  an  Stelle  von  a,  b,  c,  e  zu  setzen.  Daher  wird,  wenn 
man  sich  auf  das  abgeplattete  Rotationsellipsoid  beschränkt:  /  =  /,  daher: 


')  Ist  a  >  6,  das  Ellipsoid  ein  überhöhtes,  so  wird  x  positiv,  and  die  Integrale  drücken 

sich  durch  Logarithmen  au«. 


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Mechanik  d«  Himmels.  32.  83.  539 


daher 

2*Z>  .       Z„'        Z/  2*Z> 

m:    w     n:        _     %D     /  1  \ 

b*+*  "  b*  =c*  +  a      c*  "  y^i  _  a*y  \arCtangI  -  1  +  /*) 

D  —  Ya*  +~a(£»  -ha)  —  ab*. 

Nimmt  man  die  Schichtung  continuirlich,  so  dass  die  Dicke  der  Schichten 
nur  unendlich  klein  ist,  so  wird  a  als  unendlich  kleine  Grösse  zu  betrachten  sein, 
und  dann  wird 

D  =  (ab*  +  aa  +  \*        -  ab*  =  (a  +  ^  a 

oder  da  a  der  Zuwachs  von  a»  beim  Uebergange  von  einer  Schichte  zur  nächst- 
liegenden äusseren  ist: 

a*  +  lb* 

D  =        *     d(a')  =  (2a»  4-  b')da. 

Da  b*  —  a»  =  k*  der  lineare  Abstand  der  Brennpunkte  der  Mertdianellipse 
vom  Mittelpunkte  ist,  daher  für  confocale  Ellipsoide  constant,  so  wird  man,  k  an 
Stelle  von  b  einführend: 

D  =  (3a»  -+-  k*)da 

d(8K)  =         aretang /-(3a»  ■+■  k*)da 
erhalten,  und  es  wird: 

dX  =  -         *  •  (3a»  -+-  *')(/  -  aretang  l)da 

*Y=-  ^jr1  *  *f)  (aretang/-  aa 


a-Z=-4 


^  8  (3  a»  +  *»)  (arr/a/^/  -  a*a. 


Da  /  =  wegen  «»  +  1  =     +  1  +  t1  für  alle  Schichten  constant 


ya 


1 


e 


ist,  so  werden  die  Coöfficienten 

(/  -  aretang/)  =  Z„  p  (ar<rA«tf  /  -  ^-^771)  =  A  (14) 
ebenfalls  constant,  und  man  erhält  daher  die  Totalanziehungen 

X=-Lx  %xß  •  (3a»  +  k*)da 

K-  -  ZjTj./d  •  (3a*  -»-  k*)da  (15) 
«0 

Z  =  -  Z,  C/V  •  (3a»  +  *»)a*a, 

wobei  nunmehr  vorausgesetzt  ist,  dass  8  als  Function  von  a  gegeben  ist 

83.  Potential  eines  M assencomplexes  auf  einen  sehr  entfernten 
Punkt.  Sind  die  Dimensionen  der  anziehendun  Masse  nur  klein  gegenüber  der 
Entfernung  des  angezogenen  Punktes,  so  kann  man  selbst  für  unregelmässige 


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540  Mechanik  des  Himmels.  R3. 

Formen  der  anziehenden  Massen  leicht  Reihenentwickelungen  ableiten,  welche 
um  so  rascher  convergiren,  je  weiter  der  angezogene  Punkt  sich  befindet.  Legt 
man  den  Coordinatenanfang  in  einen  vorläufig  beliebig  gelassenen  Punkt  der 
anziehenden  Masse,  seien  x,  y,  z  die  Coordinaten  und  r  der  Radiusvector  des 
Massenelementes;  tj,  C  die  Coordinaten  und  p  der  Radiusvector  des  angezogenen 
Punktes,  so  ist 

«»  =  (x  -  6)«  +  (J  -  i)f  -h(z  -  0»  =  r»  +  p»  -  2(xi  -f- _y t]  -t- 

1  _ 

Ist  p  sehr  gross  gegenüber  r,  so  kann  man  -  nach  Potenzen  von  - 

u  p 

entwickeln;  es  wird 

wHf)'-2(*^+'T 

demnach 

AS  A2t  A3  _  ijr 

-  2pX  +■  *  p^l/(*5  H-^tj  +  zQ'dm.  (l) 

/</w  =  ^/  ist  die  Gesammtmasse.  Legt  man  das  Coordinatensystem  so,  dass 
der  Ursprung  in  den  Schwerpunkt  der  anziehenden  Masse  fallt,  so  werden  die 
Integrale 

[xdm  =  0,  f ydm  =  0,     /  tdm  =  0 

und  es  wird 

"^"^  (2) 

Die  Glieder  erster  Ordnung  sind  verschwunden.  Ist  die  Entfernung  p  so 
gross,  dass  man  die  Glieder  zweiter  Ordnung  vernachlässigen  kann,  so  wird 

p 

d.  Ii.  das  Potential  wird  dasselbe,  als  wenn  die  Gesammtmasse  im  Schwerpunkt 
der  anziehenden  Masse  vereinigt  gedacht  wird. 

Wenn  man  die  Richtungen  der  Coordinatenaxen  mit  den  drei  Hauptträgheits- 
axen  zusammenfallen  lässt,  so  wird 

Jxydm  =  0,   f xzdm  =  0,  f yzdm  =  0  (3) 

und  die  Trägheitsmomente,  bezogen  auf  die  drei  Hauptträgheitsaxen  werden : 

Um  die  X-Axe:    A*=  f  (y*  -+-  *%)dm 

um  die  K-Axe:  B  =f(x*  4-  z%)dm  (4) 
um  die  Z-Axe:    C=/(**  + y*)dm. 

Hieraus  folgt: 

Jx*  dm  =  J(5+C  —  A) 
\(A  +  B+C)=fr*dm  J "y> dm  =  \{A  4-  C - B)  (4a) 

fz*dm  =  \(A  +  B-  C). 


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Mechanik  «les  Himmel«.  83.  84.  541 
Führt  man  die  Werthe  aus  (3)  und  (4)  in  (2)  ein,  so  folgt: 

r-*?-$r<A  +  M  +  c>  + 

■+■  j  ~i  ■+•  C  —  A)  •+■  W  +C-5)+  p(A  +  B-C)] 

oder  reducirt: 

Sind  die  Winkel,  welcl.e  die  Verbindungslinie  des  Schwerpunktes  und  des 
angezogenen  Punktes  mit  den  drei  Hauptträgheitsaxen  bildet  a,  ß,  7,  so  wird 
i  =  p  cos  a,  ij  =  p  cos  ß,  C  =  p  cos  7,  demnach 

K=  —  +  \  \(A  +  ^  -+-  C)  —  3(/4*w*  oi  -+-  2? ß  ■+■  Cw»i)|  (5a) 
oder  auch 

T  =          •+•  ^  — j  {(/i  ~t  £  -h  C)  —  3 [{A  —  C)cos>*  +  (B  -  C)<w»ß+C]|  = 

=  —  +  *  ^  ((/*  -  O  (1   -  3       «)  +  (2?  -  C)  (1  -  3  cos>  ß)) 

Durch  Differentiation  von  f  nach  5,  tj.  C  [Ausdruck  (5)]  erhält  man  die 
Kraftcomponenten : 

c  - 1  +  iap ^  +  *  +  C)  -      'AV  +    +  Cl'> 

Kür  Rotationskörper  sind  zwei  von  den  drei  Hauptträgheitsmomenten  einander 
gleich;  sei  C  das  Trägheitsmoment  um  die  Rotationsaxe,  so  wird  A  —  B  sein, 
und  dann  erhält  man  nach  einiger  Reduction: 

Für  ein  homogenes  Rotationsellipsoid,  dessen  Pclaraxc  c,  dessen  Aequatoreal- 
halbmesser  a  ist,  wird 


Ist  daher  e  die  Excentrintät  der  Meridianellipse,  also  <i'<r'«=(<i»—  c*),  so  wird: 

y__  _ 
P 


^l  +  A,)(1_3fW»7)^'].  (7  a) 


a  —  c 


Bezeichnet  man  mit  t  die  Abplattung  t  =  — - —  ,  so  wird 


(a  -c)(a  +  c)       t(a  +  c) 
a*  ~       a  ' 


demnach  für  sehr  kleine  Abplattungen  <r*  =  2  c  und 

V==^r[l  +      8     (7)']-  <7b> 

84.  Die  LAPLACF.-PoissoN'sche  Gleichung.  Bildet  man  die  zweiten 
DifTerentialquotienten  des  Potentials  nach  den  drei  Coordinaten,  so  hat  man, 
wenn  man  sich  zunächst  auf  eine  Masse  beschränkt  (für  mehrere  Massencomplexe 


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542 


Mechanik  de*  Himmds.  84. 


hat  man  die  Summen  der  für  die  einzelnen  Massen  gültigen  Ausdrücke  zu 
bilden): 


Es  ist  aber 

l  (l\           1  du     x-J         d'  (\\  ±      3  (x  -  g)* 

di\u)  «»    ;       W\u)  «»"•"  «* 

Führt  man  nun  für  eine  beliebige  Function  F  die  Bezeichnung  ein 


(1) 


c*  F      d*  F      d*  F 

so  wird 


Es  ist  aber 


*y-f ff 


demnach 


A  (^)  ^  +      [(x  -  {)•  +  (jr  -  n)«  +  (.  -  o»] 


AK=0  (4) 

die  LAPLACE'sche  Gleichung.  Es  ist  jedoch  nicht  zu  übersehen,  dass  hierbei 
vorausgesetzt  wurde,  dass  kein  Element  des  Integrals  unendlich  wird,  d.  h.  dass 
nirgend  u  0  wiid.  Die  Beziehung  (4)  gilt  daher  nur  für  den  Fall,  dass  der 
angezogene  Punkt  ein  äusserer  ist,  d.h. nicht  selbst  der  anziehenden  Masse  angehört 
Für  einen  inneren  Punkt,  d.  i.  für  einen  solchen,  der  innerhalb  der  anziehenden 
Masse  liegt,  würde  für  einzelne  Elemente  des  Integrals  u  =  0,  und  es  ist  zu 
untersuchen,  ob  die  Gleichung  (4)  auch  für  diesen  Fall  noch  gültig  bleibt,  oder 
was  an  ihre  Stelle  tritt 

In  der  Form  79  (2  a)  ist  aber  nicht  einmal  ersichtlich,  dass  das  Potential 
und  seine  Diflerentialquotienten  endliche,  bestimmte  Weilhe  haben,  da  schon  in 
dem  Potential  ein  Element  des  Integrales  unendlich  wird;  legt  man  aber  wieder 
ein  Polarcoordinatensystem  zu  Grunde,  dessen  Ursprung  im  angezogenen  Punk: 
ist,  so  wird 

y _ j jj «. sin e =jjjs  u s.h 9 rfe Ja iu 

Für  das  Potential  selbst  wird  also  die  zu  integrirende  Function  auch  für 
innere  Punkte  nicht  unendlich,  sondern  für  u  *=  0,  Null;  das  Potential  hat  dah*r 
einen  endlichen,  bestimmten  Werth.  Der  erste  Differentialquotient  des  Potentials 
wird,  wenn  man  unter  dem  Integralzeichen  differenzirt: 

dV  f  f  TS  •  {x  —  \)dv 


vi--fff— 

-  -HS 


6  .  sin  0  cos  0  </0  dm  du  (6) 

demnach  die  zu  integrirende  Function  wieder  für  keinen  Punkt  (auch  nicht  rur 
den  angezogenen  Punkt)  unendlich;  es  behalten  demnach  auch  die  ersten 
Diflerentialquotienten,  d.  h.  die  Darstellungen  der  Kräfte  in  dieser  Form,  ihre 
Gültigkeit.    Der  zweite  Differentialquotient  wird  nach  (1)  und  (2): 

V         f  C  pt  >sinQd*.d«>du  /t  ,a> 

-*v--JJJ—ii  (1"  we> 


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Mechanik  de*  Himmel«.  M. 


545 


Die  zu  integrirende  Function  wird  für  u  =  0  unendlich.  Nichts  des'o 
weniger  wird  aber  das  Integral  selbst  nicht  unendlich.  Um  dies  zu  zeigen,  und 
gleichzeitig  seinen  Werth  auszumhteln,  werde  das  Potential  nach  Tt  (3^  in  zwei 
Theile  zerlegt,  indem  man  um  den  Massenpunkt  ein  gewisses  Volumen  r,  so 
ausschliesst,  dass  für  da.s  übrige  Volumen  r,  der  Punkt  mt  ein  au>serer  wird; 
es  wird  daher  AP,  =0,  und  demnach 

A  F=  ^V1. 

Wählt  man  für  das  Volumen  vt  ein  solches,  für  welches  sich  Vt  leicht 
auswerthen  lässt,  so  können  die  zweiten  Diflerentialquotienten  aus  dem  berechneten 
Werthe  von  gebildet  werden;  für  r,  soll  nun  eine  um  mx  concentrische 
Kugel  K  vom  Halbmesser  a  genommen  w  erden.  Setzt  man  die  Dichte  derselben 
constant  gleich  l  voraus1),  so  wird  das  Potential  auf  einen  Punkt  im  inneren 
derselben  im  Abstände  p  vom  Mittelpunkte  nach  80  (9): 

und  es  wird: 

=_  |K«__APJ      daher     Ar,  =  -}*8.A(p'). 


Nun  ist 
folglich 


p>  =  gt  +  c». 


demnach  A(p3)  =  G  unabhängig  von  p,  daher  A  V%  —  —  4xt3.    Folglich  wird 

AK=-4tc«.  (7) 

Dabei  ist  6  die  Dichte  der  (unendlich)  kleinen  Kugel  um  m,,  d.  h.  die 
Dichte  in  diesem  Punkte  seil  st.  D;e  Gleichung  (7),  welche  von  Poisson  ge- 
funden wurde,  ist  eine  Erweiterung  der  Gleichung  (4).  enthalt  aber  diese  als 
speziellen  Fall,  denn  lür  Punkte,  welche  dem  Massencomplcxe  nicht  angehören, 
ist  5  =  0. 

Führt  man  die  Polarcoord  unten  r,  B    w  ein*),  so  geht  die  Gleichung  (7) 
über  in 

oder  wenn  p  =  fw  e  gesetzt  wird: 


^      *a  ir  V) 

+  r-frVJ~-4nt.  (9) 


')  Bei  nicht  comtanlcr  Dichte  wird  man  dieselbe  nicht  als  conccntrisch  geschichtet  ansehen 
können,  sondern  die  Schichten  werden  die  kleine  Kugel  in  nahe  parallelen  Nivcnullnchen  durch- 
setzen ;  die  Resultate  bleiben  jedoch  auch  in  diesen»  Falle  dieselbe n,  wie  schon  dnrnut  hervor- 
gebt, dass  nian  die  Kugel  ,mn.ci  <o  k.e;n  viiMm  k:.M>  <'nss  innethnlb  dciselbcn  die  Dichte  nU 
constant  betrachtet  werden  kann,  l  ür  stnrge  I'.t  weise  s.  nusftihrlu  he  1  .chihUt  her  der  i'ntcntinl- 
theoric  r.  ß.  NtUMANN,  »Vorlesungen  Uber  das  i'ntcntial«. 

n    .     .     C  l        C  l  '(  r       (  l  <  H       (Inn  ii  r  <  H  »in  H 

3    Ls  ist  —    —  —    t~   -t-  —  .x  -     -+  —     -       in  <1  <la    .      *     <e.\  H,         <•    -  — -  , 
(J        C  r  c  J»       COtJ        f  «i  (  j  f  j  t<  r 


—  r=r  0  ist,  so  wird    .       —  <o»  B  -  u.  s.  w. 

C  x  C  x  Cr  t  c» 


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544 


Mechanik  des  Himmels.  84-  85. 


Da  die  Gleichung   (4)   für  das  Potential  aus  der  analogen  Gleichung 

A  0j\  =  0  hervorg»ng»  so  wird  auch  ^  den  Gleichungen  (8)  und  (9)  (für  «  =  0) 
genügen.    Es  ist  aber 

u*  =  r»  -+-  p>  —  1r?cos-\  (10) 

cos  7  =  }*^o      Yl  —  V*Y[  —  Po  cos  («»  -  «»©). 
wo  9,  «>,  \i  sich  in  der  früheren  Bedeutung  auf  das  Massenelement  dm,  90,  w0,  \l0 
in  derselben  Bedeutung  auf  den  angezogenen  Punkt  ml  beziehen.  Da  nun  nach 
P  r 

Potenzen  von  —  oder  —  entwickelt  die  Coefficienten  der  einzelnen  Potenzen 
r  P 

Functionen  von  cos-\  sein  werden,  so  wird 


I  =  i  +  W(„JT)i  +  /W(„,l)e;+....p<r 


(ii) 


•     •    •  • 


i  -  I  +  FW  (cos  T)  ~ 
und  es  wird 

/»<•>  (cos  i)  =  1 ;      JKD  (cos  t)  «=  <w  r,       Z3»)  (w  7)  —  |       t  —  }  .  .  .  (IIa) 

Substituirt  man  (10)  an  Stelle  von  V  in  die  Gleichung  (9)  und  setzt  die 

p         f  ... 
Coefficienten  der  einzelnen  Potenzen  von  ^  oder  —  gleich  Null,  da  die  Gleichung 

identisch  für  jedes  p  und  r  bestehen  muss,  so  folgt 

Die  aus  der  Entwickelung  von  -  hervorgehenden  speciellen  Functionen  PW, 

welche  den  Gleichungen  (12)  genügen,  heissen  Kugelfunctionen;  sie  sind  ganze, 
rationale  Functionen  von  ja,  Y\  —  ji*  <o  und  |/l  —  |i*  «o.  Eine  allgemeine 
Kugelfunction  KW  ist  jede  solche  ganze  rationale  Function  von  ja,  "/l  —  y.*  w  «•>, 
y'l  —  ji'  j/«  «o,  welche  der  Gleichung  (12)  genügt  Für  das  folgende  genügt  der 
Satz,  dass  die  Entwickelung  einer  Function /(jt,  u>)  nach  allgemeinen  Kugelfunctionen 
in  der  Form 

oo 

/(rS»)-g  yWft»,«)  d3a) 
möglich  ist,  wenn  die  Coefficienten 

KM  (,1,  oi)  =  /     /       /(n,  «>)  ^  ^  (13b) 

sind»). 

86.  Attraction  von  Sphäroiden.  Unter  Sphäroiden  versteht  man  nach 
I, aplack  Körper,  welche  von  der  Kugelgestalt  nur  wenig  abweichen.  Ist  p  der 
Halbmesser  der  Kugel,  der  selbst  vorläufig  ganz  beliebig  sein  kann  (die  Kugel 
kann  ganz  innerhalb  oder  ganz  ausserhalb  der  gegebenen  Begrenzungsfläche 
liegen,  oder  auch  diese  schneiden),  so  wird  der  Radiusvector  der  Begrenzungs* 
fläche  in  irgend  einer  Richtung,  8,  u>  dargestellt  werden  können  in  der  Form 

r=p(\+*y).  (1) 

wobei 

y  =  KW  +yiD+yO)  +  ...  (la) 

l'ebcr  die  allgemeinen  Eigenschaften  vergl.  «las  Lehrbuch  von  NlUMANN,  t'ie  »Mccanique 
cekste«  von  Lapi-Ack  u.  a. 


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Mechanik  de  =  Himmels.  85. 


545 


eine  Function  von  p,  8,  u>  ist,  deren  hier  vorgenommene  Zerlegung  in  die  Summe 
mehrerer  anderer  vorerst  noch  willkürlich  ist,  und  wo  a  eine  kleine  Grösse  ist, 
deren  Quadrate  und  höhere  Potenzen  vernachlässigt  werden  können,  wenn,  wie 
hierbei  vorausgesetzt  wird,  die  Abweichungen  des  Sphäroides  von  der  Kugelform 
nur  sehr  klein  sind. 

Substituirt  man  nun  für  -  die  Reihe  84  (11)  in  den  Ausdruck  für  das  Poten- 
tial, so  erhält  man: 

a)  für  einen  äusseren  Punkt: 

k*  M 
P 


(2) 


VH  =jfß-  sin*  d%  d*  JK»)  r«+2  dr  =  j^fdL  dy.  fiJ*»)  r»+*  dt.  (2a) 

-1  o 

Nimmt  man  an,  dass  die  Dichte  8  nach  Schichten  constant  ist,  welche  durch 
sphäroidische  Begrenzungsflächen  von  der  Forn.  (1)  getrennt  sind,  und  seien  die 
äussersten  Begrenzungsflächen1;  gegeben  durch  die  Gleichung 

f0  =  *oO  -f  a>o);       r\  =  «i0  ■+-  «Vi).  (3) 
so  wird,  wenn  man  zuerst  nach  r  integrirt,  also  e  und  u>  als  constant  ansieht: 

dr  =  Tpd* 

sein.  Die  Integration  nach  r  ist  aber  von  dem  kleinsten  Werthe  p  =  a0  (innere 
Oberfläche)  bis  zum  grössten  Werthe  p  =  a,  (äussere  Oberfläche)  vorzunehmen, 
d.  h.  es  wird: 

-Hl      2r.  oi 

K.-J  Jd«d»j-—^wJdp. 

—  1  0  "O 

8  ist  nun  eine  blosse  Function  von  p,  P(")  hingegen  eine  blosse  Function 
von  o»,  6;  man  kann  demnach  auch  schreiben: 

«l  +1  2« 

K  =  «Tl/ l'dp  fpf  f&n)rn+*d«äV"  W 

Lässt  sich  r*+8  in  eine  Reihe  von  Kügelfunctionen 

=  yß  +  r«)  h-  yß  +  .  .  . 
entwickeln,  so  wird  nach  84  (13): 

y"  =  («  -+■  3)(2«  ^T)fl(8  'dp  ~Tf  ■  (o) 
Um  die  Gleichung  (4)  anwenden  zu  können,  muss  r  nach  Kügelfunctionen 
entwickelt  sein.     Sind   daher   FW    Kügelfunctionen,   d.   h.  genügen  sie  der 
Differentialgleichung  84  (12),  so  wird2) 

r-+3  =  />»+»(  1  -4-  o(«  -+-  3)  (F<°)  -r-  KU)  +  K(2>  +  .  .  )| 
K<°>  =  ^»+3  +  („  +  3)a/>-+3  FW;  =  («  +  3)a/>*+3  F<«>, 

daher 


')  Für  a0  =  0  geht  die  Schale  in  einen  Körper  ohne  Hohlraum  Uber. 

*)  Zu  den  allgemeinen  Kügelfunctionen  treten  noch  gewisse  Coefficientcn  auf,  die  hier 
Functionen  von  /  sind,  so  dass  die  Form  der  Bcgrenzungsflächc  von  Schichte  ru  Schichte 
wechselt 

"•  35 

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546  Mechanik  des  Himmels.  85. 


K«=4il/W4[/,(1  +  3ay(0))] 


K0  ist  nichts  anderes,  als  die  Masse  des  Sphäroides;  denn  es  ist 
M=Jf Jtr>  sin  *d*d<*dr  =J    j  j «<r>  dm       (r*)dp  = 


0      -t  «o 


l-dpYp  [/"(H-3aK(°))]. 

»0 

Wählt  man  daher  für  jedes  einzelne  Sphäroid  den  Halbmesser  p  der  Kugel 
so,  dass  diese  (mit  der  der  zugehörigen  Schicht  eigenthümlichen  Dichte)  an 
Masse  gleich  der  Masse  des  Sphäroides  wird,  so  wird  YM  =  0  zu  setzen  sein, 
und  zwar  für  jede  Schicht. 

Der  Werth  von  Verlangt  in  einem  speciellen  Falle  eine  weitere  Vereinfachung; 
setzt  man  in  (4)  für  Vx  den  Werth  /*»)  ein,  so  wird 

Vx=ffj  /W.  «  •  d^d*  •  r*dr 

=  SJfdm  l>Ho  +    w»oyi  -  \>f  ■+■  2  *i"»oVl  -fro'] 
=  \t.0fxdm  +  yi  —  ft09 o>J  vj'ydm  -+-  "|/ 1  —  ja0j ««J" *</**. 

Fallen  daher  die  Mittelpunkte  sämmtlicher  Kugeln  in  den  Schwerpunkt  der 
ganzen  Masse,  so  wird       gleich  Null  zu  setzen  sein. 

b)  Ein  im  Innern  der  Masse  gelegener  Punkt  wird  auf  irgend  einer  der 
Grenzflächen  liegen,  für  welche  der  Kugelhalbmesser  a  sein  mag.  Für  alle 
Schichten,  für  welche  p>  a  ist,  wird  der  Punkt  ein  innerer,  für  alle  anderen 
ein  äusserer  sein.    Für  die  ersteren  wird: 

V~VQ  +  lpyM  (7) 

Sei  —%  =  y(« ,  +  y(*}m)  +  so  wird 

<ti  -4-1     2k  «1 

y*  =  -J»-=2JfiTpJ  JJW-  =  -2^TTj^2^a7y(-") 
*  —  1    0  <* 

Nun  ist 

^2  =         l1  ~  (»  -  2)  «  (y(0)  +        +  ■  '  •>! 

also 


demnach 


3  4ita     /**'     3  F<«> 


(8) 


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Mechanik  des  Himmels.  8.1).  86. 


547 


Die  Ableitung  wird  unrichtig  für  n  =  2;  für  diesen  Fall  wird  aber 

K,  —  J  j  JtJuJu        iL  =ji  dp         j dy.  duPW  log  r. 
Da  aber 

logr  =  logp  +  <z  (K«>)  -|-  K<»  +-...) 

ist,  so  wird 

im  Resultate  identisch  mit  dem  aus  (8)  folgenden  Werthe.  Das  Gesammtpotential 
wird  daher  für  diesen  Fall,  indem  nach  der  Integration  in  den  von  et  freien 
Gliedern  p  =  r  =  a  (1  +  a  y)  zu  setzen  ist: 


«0  "=1  «0 

/c  ( <>*)  ST*     a»       C  3  KW 

86.  Figur  einer  flüssigen  rotirenden  Masse.  Da  die  äussere  Begrenzung 
eine  Niveaufläche  sein  muss,  so  wird  man  dieselbe  erhalten,  wenn  man  das 
Potential  aller  wirkenden  Kräfte  auf  irgend  einen  Punkt  der  Oberfläche  selbst, 
gleich  einer  Constanten  setzt.  Um  aber  das  Potential  zu  bestimmen,  muss  auch 
die  Attraction  der  rotirenden  Masse  auf  einen  Punkt  ihrer  Oberfläche  schon  be- 
kannt sein,  da  diese  nicht  nur  nicht  vernachlässigt  werden  kann,  sondern  sogar 
überwiegt.  Um  diese  zu  kennen,  muss  bereits  die  Form  der  Masse,  ihre  Dichle- 
anordnung  u.  s.  w.  bekannt  sein.  Eine  direkte  Lösung  der  Aufgabe  ist  daher 
nicht  möglich.  Nachdem  aber  erfahrungsgemäss  die  Gleichgewichtsfigur 
einer  von  keinen  Kräften  afficirten  Masse  eine  Kugel,  diejenige  einer  rotirenden 
Masse  ein  Umdrehungsellipsoid  ist,  so  wird  es  natürlich,  zunächst  die  Annahme,  dass 
die  Gleichgewichtsfigur  ein  dreiaxiges  Ellipsoid  sei,  der  Untersuchung  zu  unter- 
ziehen. 

Ist  die  Rotationsgeschwindigkeit  der  Masse  w,  so  ist  das  Potential  der 
Fliehkraft,  wenn  die  «A'-Axe  als  Rotationsaxe  angenommen  wird1):  \w*(?}  £*)• 
Fügt  man  dieses  Potential  zu  demjenigen  des  Ellipsoides  auf  einen  Punkt  seiner 
Oberfläche  No.  81  (21)  hinzu,  so  erhält  man  als  Gleichgewichtsfigur: 

8  •  V  ^  H-  (8  •  Af'  -  *«/»  6')p  -+-  («  •  N'  -        t*)  ^  =  6K  -  const.  (1) 

')  Bei  der  Drehung  um  die  A'-Axe  wird  für  jeden  Punkt  6  (Fig.  274)  unveränderlich,  die 

</tu 

Veränderung  von  tu  in  der  Zetteinheit  in  gegeben  durch  die  Winkelgeschwindigkeit  —  =  w. 
Unter  Voraussetzung  einer  Constanten  Winkelgeschwindigkeit        —  0^  ist  daher 

7/-°  "77  =  ° 

dy                                                               </*  y  d*  m 

-f  =  —  r  sin  H  sin  uj  —  =  —  t  w         — am  -  w  —  —  —  yw1 

dt  dt                         dt  dt 

du  .   .        dta  d*  x  dy  , 

-  =  +  r  st»  %cosm  -  -  +  y  „        —  -  =  w  ^  =  -  ,  »». 

Diese  drei  Beschleunigungen  mit  entgegengesetzten  Zeichen  lassen  sich  als  die  Componenten 
einer  Kraft,  der  sogenannten  Fliehkraft  auffassen,  deren  Potential  daher         (y*  -+  s5)  ist 

35* 

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548  Mechanik  dc<  Himmels.  8  . 

wobei  sich  die  Constante  aus  der  Gesammtmasse  bestimmt.  Diese  Gleichung  soll 
mit  der  Gleichung  des  Ellipsoides 

~i  +  b%  +  C3  =  1 

identisch  werden,  folglich  muss 

3  •  L  =  8-  AT—  \w*b*  =  8-  N1  —  \w*  c*  (3) 
sein.    Führt  man  hier  für  L\  M\  N'  ihre  Werthe  ein,  so  erhält  man 

i  «•  >>  -     ^—  (51  nrx^  -  v  • 

oder  da  fi>  =  a»  (1  +  X»);  <:»  =  «*  (1  +  X'*)  ist: 

,     ,      2**ir_     X»     f;i  -  V)b'Jb 

*w  =     a nrx'J  iT(i  +  x>d>)  : 

0 

*w  ~    a*    8*  1  +  X''J   H(l  +  X'»d»)  ' 

0 

demnach  durch  Gleichsetzung  der  beiden  Werthe 

2J(it8  f\\  -  »»)ft»rfd  r  XJ  X^  1 

«»  J  H  L(l  -+-  X«)(l  -+-  X'ft»)  ~  (1  +  X'»)  (1  +  X'»d»)J  Ä  0 


(4) 


oder 

24 


j<-k8(x*  -  x'»)   Ai  -  a»)(i  —  xn'>d*)dva 
ri4-»»)(i  +  x'»)J  h>  ~_0-  (5) 


0 

Diese  Gleichung  wird  befriedigt  durch  X  =  X',  b  =  c,  also  durch  ein  Um 
drehungsellipsoid.    Für  dieses  folgt  dann  aus  (4): 

tl  — 

(1  -+-  X»d»)> 

oder  integrirt1) 


™>  fl 
4*8X»  ~J 


V(X)  «  ^  X  -  £  =  V  (_  X...  (7) 


2*8 

wobei 

3  +  X»       .  •  ^  4jr 

(2i  +  1)(2#-»-  3) 

in/,,       9  4-  7X»        9 -4- X>  X»  -+-9 

*  W  =  x»(i+x»)  -  — -c  arctan*x  = 

wenn 

=  (X»  +  i7(X7f  +  9)  ~  arCtan*  X  <8> 
ist.    Hieraus  folgt  durch  einfache  Differentiation: 


')  Für  ein  Überhöhtes  Ellipsoid  würde  man  durch  Entwicklung  des  Logarithmus  die  Formel 
erhalten : 

oo 


_      _  V  4»  „ 


welche  Formel  aus  der  vorigen  für  X»  —  -  x>  hervorgeht.  Da  sonach  »»  negativ  würde,  so 
giebt  es  kein  reelles  w,  für  welches  diese  Gleichung  befriedigt  werden  kann;  das  überhöhte 
Ellipsoid  kann  demnach  keine  Glcichgewichtsfigur  sein. 

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Mechanik  des  Himmels.  8fi. 


540 


♦X»  =  -  (,  '\.^.^t),  ■  W 

Es  ist,  wie  aus  der  entwickelten  Form  (7)  hervorgeht:  V  (0)  =  0  und  W  (oo)  =  0. 
Da  nur  positive  Werthe  von  X  in  Betracht  zu  ziehen  sind,  so  wird  die  Gleichung 
(6)  für  eine  gegebene  Geschwindigkeit  w  reelle  Lösungen  in  gerader  Zahl 
haben,  wenn  W  (X)  positiv  ist.  Das  Maximum  von  V  (X)  ergiebt  sich  aus  der 
Gleichung  V'(X)  =  0,  also  <t>(X)  =  0.  Ist  eine  Lösung  dieser  Gleichung  X0  und 
der  zugehörige  <F- Werth  V(X0),  so  wird  die  Gleichung  (6)  keine  Lösung  haben, 
wenn  w*  >  2tt8  •  V(X0);  sie  hat  zwei  Lösungen,  wenn  <  2x$V(X0),  und 
dann  ist  die  eine  Lösung  zwischen  0  und  X0,  die  zweite  zwischen  X0  und  oo. 
Die  Gleichung  könnte  aber  mehr  als  zwei  reelle  Lösungen  haben,  wenn  die 
Gleichung  <D(X)  =  0  mehr  als  eine  positive  Wurzel  hat.  Da  aber  Q'(X)  «=  0  wird, 
für  X  =  ±  }/3,  so  wird  <D(X)  (da  der  negative  Werth  von  X  nicht  zu  berück- 
sichtigen ist)  ein  Maximum  für  X  =  ■+■  Yü  und  dieses  Maximum  wird 
=  |/3  -  arctgYl  =»  00353.  Da  aber  4>(0)  =  0,  <&(<*>)  =  —  Jit  ist, 
so  kann  es  nur  mehr  einen  positiven  Werth  von  X  geben,  für  welchen  <D(X) 
verschwindet,  und  dieser  liegt  zwischen  |/3  und  oo.  Dieser  Nullwerth  von 
<t>(X)  ist 

'  X0  -=  25293,    V(X0)  =  022467.  (10) 

Wenn  daher  u>%  >  1*41168  oder  w  >  11881  "j/T  ist,  so  ist  die  Rotation 
so  schnell,  dass  sich  eine  Gleichgewichtsfigur  nicht  bilden  kann1).  Wenn 
w  <  1*1881  "j/T  ist,  so  giebt  es  zwei  Gleichgewichtsfiguren,  für  die  eine  ist  Xj  <  X0, 
für  die  zweite  X,  >  X0;  die  zweite  entspricht  daher  einem  sehr  stark  abgeplatteten 
Rotationsellipsoide.  Von  diesen  beiden  hat  aber  jedes  ein  anderes  Rotations- 
moment. Da  sich  dasselbe  aber  vermöge  des  Satzes  von  der  Erhaltung  der 
Flächen  nicht  ändern  kann,  so  wird  durch  den  Anfangszustand,  welcher  das 
Rotationsmoment  der  gegebenen  Masse  bestimmt,  auch  die  Form  des  Rotations- 
ellipsoides  mitbestimmt.  Ist  *x  das  durch  den  Anfangszustand  gegebene,  con- 
stante  Rotationsmoment,  9JI  das  Massenmoment,  so  ist 

{x  =  %R-w 

und  da 

ÜJ}  =  \Mb*  =\Ma*{\  -+-X») 
und   

^=*xoa*(l  +  ^),    daher   a  =  ^^L^ 

ist,  so  wird   

a/8       25  -x»  J_      _25_      -x8       -\/M{\  -h  X») 

2*8  =  *  M*a*{\  -+-  X')»  '  2x3  *"  6M*  (1      X»)  V  SM 

oder 

:i 
SM 

q  ist  durch  den  Anfangszustand  -x  und  die  gegebene  Masse  M  völlig  be- 
stimmt, und  man  hat  daher  X  aus  der  Gleichung  zu  ermitteln: 

A-(X)  =  (1  =  f  (11) 


.       .ta    w'  >*'  i'/4x, 


Nun  ist 


wenn 


X{\)  =  1(1  +  X»)"i  [ar^X-f-  9(3^42— ^.(X)] 


•)  Wobei  sich  jedoch  durch  die  Verlangsamuug  der  Rotation  die  Bedingung  für  eine 
Gleichgewichttfigur  ergeben  kann. 


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5$o  Mechanik  des  Himmels.  86. 

(3  X»)X 
z(X)  ^  3  -t-  2X»  —  arct9n^x 

ist.    Hieraus  folgt  noch 


(1  4-  X')(3  -+-  2X»)» 

Da  /'(X)  stets  positiv  ist,  so  wird  y(k)  beständig  wachsen;  nun  ist*/(0)  =  0. 
x(oo)  =  «x,  daher  das  Wachsen  zwischen  0  und  oo,  also  /(X)  ebenfalls  bestandig 
positiv.  Demnach  wird  auch  X'(\)  stets  positiv  sein,  X{\)  beständig  wachsen, 
und  da  X(0)  «=  0,  X(ro)  =  oo  ist,  so  kann  bei  dem  beständigen  Wachsen  X(l) 
nur  einmal  den  Werth  q  erlangen. 

Für  w  =  1*1881  y$  fallen  die  beiden  Wurzeln  zusammen;  es  wird  X,  =X,  =  Ji 
je  näher  w  der  Grenze  11881j/8  rückt,  desto  näher  werden  die  beiden  Lösungen 
X,,  Xt  zu  X0.  Für  sehr  kleine  Werthe  von  w  hingegen  werden  die  Werthe 
beständig  verschieden  und  für  sehr  kleine  Werthe  von  w  wird  Xt  sehr  klein,  X, 
sehr  gross. 

Für  einen  Punkt  des  Aequators  wird  5  =  0,  ij  =  b,  C  —  0;  daher  die  An- 
ziehungskraft, d.  i.  die  Schwere  am  Aequator 


=  -  2«         [aretang  X  -  --^  =  -  2Sa-c  [(1  -h  X-)  arctangX-  l 

G  =  —  48-ca|/l  H- X»(^  —  ^  X»  -+-  ~j  X4  ....  ).  (12) 
Die  Fliehkraft  ist  w*b,  demnach  das  Verhältniss  der  Fliehkraft  zur  Schwerkraft 

w*b  <F(X) 


und  daraus 

Die  Abplattung 

folgt  hieraus: 


b~    G    -2(i-1VX».  .  .) 
b  —  a 

yT^Tx-  * 

a  =  $b.  (h; 

Ist  T  die  Rotationsdauer  der  Erde,  so  wird 

2*. 
w  =  —j,  > 

wenn  weiter  /  die  Länge  des  Secundenpendels  am  Aequator  ist,  so  ist 
demnach 

K**b  Ab 

b  = 


Nimmt  man  T  =  861G4'  mittlere  Zeit,  £  =  6378249"« ,  /  =  0"*991O2,  so 
würde  a  =  ^  folgen;  da  jedoch  a  =  ist,  so  folgt,  dass  die  bei  dieser  Ab- 
leitung gemachte  Voraussetzung  der  Homogenität  der  Erde  nicht  zutrifft 

Mit  dem  zu  w  und  G,  d.  i.  zu  7  und  /  gehörigen  Werthe  a  =  folgt 
X»  =  0  008669  und  damit 

V(X)  =  0  0O22U45. 


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Mechanik  des  Himmels.  86.  551 

Für  zwei  verschiedene  Himmelskörper  ist 

2r  2it 

daher 

Drückt  man  die  Rotationsdauer  eines  Himmelskörpers  in  Sterntagen  (T  =  1 
für  die  Erde),  die  Dichte  derselben  in  Einheiten  der  Dichte  der  Erde  (5  =  1) 
aus,  so  wird 

O0022945 


Beispielsweise  wird 


7  8  X"  a 

für  die  Sonne  .    .    25'  4*      0  25      0*000054       1  :  36800 

für  den  Jupiter .    .     9*  56-      0  24      0  20925        1  : 9  56 

für  den  Saturn     .    10*14-      012      0  39439        1:5  07. 

Da  aber  die  beobachteten  Abplattungen  für  den  Jupiter  ^  für  Saturn  |  sind 
so  zeigt  dies,  dass  auch  diese  Körper  nicht  homogen  sind. 

Die  Gleichung  (5)  wird  ausser  für  X  =  X'  noch  befriedigt,  wenn  X  von  X 
verschieden  ist,  aber  der  zweite  Faktor  verschwindet,  nämlich 

-d»)(i-xn'«a»)d»</d 

H' 

0" 

Diese  Bedingung  giebt  ein  sehr  gestrecktes,  dreiaxiges  Ellipsoid,  eine  Figur, 
welche  in  der  Natur  nicht  auftritt,  welche  daher  hier  nicht  weiter  in  Betracht 
kommt1). 

Hiermit  waren  drei  Gleichgewichtsfiguren  gegeben,  welche  theoretisch  eine 
rotirende  flüssige  Masse  annehmen  könnte,  ein  sehr  wenig  abgeplattetes  Rotations- 
ellipsoid, ein  sehr  stark  abgeplattetes  Rotationsellipsoid  und  ein  dreiaxiges,  das 
»Jacobi 'sehe  Ellipsoid«. 

H.  Poincar£  fasst  das  Problem  in  seiner  wichtigen  Abhandlung  »Sur  l'öqui- 
libre  d'une  masse  fluide  animöe  d  un  mouvement  de  rotation«  (Acta  mathematica, 
Bd.  7,  pag.  259)  von  einem  anderen  Gesichtspunkte  aus  auf.  Er  findet,  dass  es 
unendlich  viele  Gleichgewichtsfiguren  giebt,  die  aber  nicht  alle  stabil  sind; 
damit  die  Gleichgewichtsfigur  stabil  sei,  müssen  gewisse  Bedingungen  erfüllt  sein, 
welche  sich  analytisch  dadurch  ausdrücken,  dass  die  Zeichen  der  Coefficienten 
gewisser  quadratischen  Formen,  von  Poincar£  Stabiii  tätscoef ficienten  ge- 
nannt, negativ  sein  müssen.  Verschwinden  einzelne  dieser  Coefficier.ten,  so  ge- 
hört die  Gleichgewichthfigur  zwei  verschiedenen  Reihen  an,  und  wird  »forme  de 
bifurcation«  genannt,  wenn  die  unendlich  benachbarten  Formen  reell  sind;  sind 
aber  die  benachbarten  Gleichgewichtsformen  imaginär,  so  wird  diese  Gleich 
gewichtsform  »forme  limitec  genannt  (1.  c,  pag.  270). 

So  werden  beispielsweise  für  eine  flüssige  rotirende  Masse  alle  abgeplatteten 
Rotationsellipsoide  Gleichgewichtsfiguren  sein;  und  ebenso  giebt  es  eine  unend- 
liche Anzahl  dreiaxiger  Ellipsoide,  welche  sämmtlich  Gleichgewichtsfiguren  sind; 
sie  gemessen  aber  nicht  die  Eigenschaft  der  Stabilität.  In  der  That  wird  für 
eine  gegebene  Geschwindigkeit  der  Uebergang  der  Flüssigkeit  aus  der  Kugel- 


»)  Auf  diese  Lösung  hat  ruerst  Jacobi  in  Pooc.  Ann.,  Bd.  33.  aufmerksam  gemacht. 
Vergl.  auch  LlOUVllUt's  Journal,  Bd.  16,  pag.  241.  Dass  es  noch  andere  Gleichgewichtsfiguren 
giebt,  hat  zuerst  Thomson  ausgesprochen,  und  später  PoiNCAKi  bewiesen. 


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551  Mechanik  des  Himmels.  86.  87. 

form  in  die  ellipsoidische  Form  durch  Ellipsoide  aller  möglichen  Abplattungen 
hindurchgehen,  die  sämmtlich  Gleichgewichtsfiguren  sind,  aber  keine  Stabilität 
besitzen,  bi.;  ein  Ellipsoid  erreicht  ist,  für  welches  die  Bedingung  erfüllt  ist,  dass 
die  StabilitäLscoefficienten  der  zugehörigen  quadratischen  Form  sämmtlich  negativ 
werden;  allein  ausser  den  angegebenen  drei  Ellipsoiden1)  giebt  es  noch  andere 
Gleichgewiclitsformen,  die  ebenfalls  Stabilität  besitzen,  Rotationskörper,  die  aber 
nicht  symmetrisch  nach  drei  Ebenen  sind;  eine  solche  stabile  Gleichgewichtsfigur 
von  birnenförmiger  Gestalt  wird  pag.  347  beschrieben. 

87.  Gleichgewicht  von  sphäroidisch  gesch  ichteten  Körpern  unter 
Berücksichtigung  äusserer  Kräfte;  die  Oberflächenform.  Das  Poten- 
tial der  Anziehung  eines  äusseren  Punktes  m,  (Fig.  275),  dessen  Coordinaten 

tj,  ,     sind,  auf  ein  Massenelement  des  Sphäroides  ist         Von  den  Componenten 

der  Anziehung  sind  aber  die  Componenten  der  Anziehung  auf  den  Schwerpunkt 
abzuziehen,  da  es  sich  um  die  relative  Verschiebung  der  Massenpunkte  gegen- 
über einem  als  fest  angenommenen  Punkte  (dem  Schwerpunkte  des  Systems  E) 
handelt.    Das  Potential  dieser  Anziehung  ist»): 

71 IT  (**.-♦- jij.  +  jrC,). 
Pi  Pi 

daher  das  Potential  der  Anziehung  für  den  Punkt  «, : 

V  =  —  \  (x  cos  e,  ■+-  y  sin  e,  cos  ui,  -I-  *  sin  e,  sin 

u\       Pi  Pi 
tn «       171  *      tn  1  f 

=  —  L  ,  cos  Ti  ■ 

*i       Pi        Pi*  11 

Da  nun 

T  =        0*  FW^S^  +  7^  ^(^Vi)  ■+*  

.    "\      Pi     Pi  Pi 

ist,  so  wird 

r = ».  £  {*?>+ ;l  v>+  )■  « 

Das  Potential  der  Fliehkraft  J  w* {y%  -h  z%)  wird,  nach  Kugelfunctionen 
geordnet: 

r0  =  i«/V»-i«/»r'(,x»-|),  (3) 
wo  die  beiden  Theile  Kugelfunctionen  nullter,  bezw.  zweiter  Ordnung  sind. 
Sind  mehrere  anziehende  Körper  mx,  ///j,  ///3  .  .  .  ,  so  wird  sich  das  Gesammt- 
potential  der  äusseren  Kräfte  zusammensetzen  aus  den  gleichartigen  Bestand- 
teilen V* ,  V"  .  .  .  .  und  dem  Potential  VQ  und  es  wird: 

y      y»  +  y>"  +  .  .  .  h_  yQ  =  ur?\Zm  H-  Z(-'>  +  rZW  •+■  r'ZW  +...].  (4) 

aZ«  =  -  i  W»fji»  -  J)  H-  1  £  Pjfi  (4a) 

P' 

aZ(3)=  2  ^' >,<»>. 
P'4 


')  Hierzu  muss  jedoch  bemerkt  werden,  dass  die  wenig  abgeplattete  Form  seculare  Stabi- 
lität besitzt,  die  stark  abgeplattete  jedoch  nicht;  hierüber  vergl.  1.  c  ,  pag.  373. 

*)  Die  Constantc  — x-  ist  hinzuzufügen,  da  das  Potential  für  den  Schwerpunkt  selbst  ver- 
schwinden muss.  ^' 

3)  Per  Faktor  a  wird  hinzugefügt,  weil  diese  Theile  des  Potentiales  gegenüber  dem  Haupt- 
theile,  welcher  das  Potential  des  Sphäroides  selbst  darstellt,  sehr  klein  sind. 


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Mechanik  des  Himmels.  87. 


553 


Fügt  man  hier  noch  das  Potential  des  Sphäroides  85  (2)  und  (6)  auf  einen 
Punkt  der  Oberfläche  (r,  statt  p;  hinzu,  und  setzt  die  Summe  gleich  einer 
Constanten,  so  wird 

arja  (ZW  -+-  ZW  -l-  rt  ZW  +  ....)==  const 

rl  zu  bestimmen  gestatten.  Ist  die  zu  bestimmende  Gleichgewichtsfigur  der 
äusseren  Oberfläche  gegeben  durch 

rx  =  ax[\  Ff-h  ...)],  (6) 

so  erhält  man,  wenn  dieser  Werth  eingeführt  und  nur  die  erste  Potenz  von  a 
berücksichtigt  wird: 

'=*  '  «o  (5a) 

-+-  aa  »ZW  -+-  aaj»  Z(2)  +  *a*Z®)  C. 

Hieraus  folgt,  indem  die  Kugelfunctionen  der  einzelnen  Ordnungen  für  sich 
zusammengefasst  werden : 

—  +-  aa.9Z(°)  =  •ro/irf 

£yu)  =  o  (7) 


Ol 


Die  erste  Gleichung  bestimmt  die  übrigens  weiter  nicht  benöthigte  Constante 
C  aus  der  Gesammtmasse.  Aus  der  zweiten  Gleichung  folgt  =  0,  was  selbst- 
verständlich ist,  da  der  Schwerpunkt  der  Masse  zum  Ursprung  gewählt  worden 
war.    Die  dritte  Gleichung  giebt: 

«0 

Die  Gleichungen  (6)  und  (8)  bestimmen  die  Oberfläche  des  Sphäroides. 

Aua  (5)  erhält  man  für  die  Kraftcomponente  in  der  Richtung  des  Radius- 
vectors  rx  : 

d  V        M  ,  -hl      r'1  d 

*=2  «o  (9) 

4-  ar,  (2Z<0)  -+-  2Z(2)  -f-  3r,ZW  -+-  4rt*Z(4)  -+-  .  .  ). 

Da  die  Abweichungen  von  der  Kugelgestalt  nur  als  äusserst  gering  an- 
gesehen werden,  so  wird  der  Radiusvector  mit  der  Normalen  nur  einen  sehr 
kleinen  Winkel  einschliessen,  dessen  Cosinus  man  gleich  der  Einheit  setzen 
kann,  so  dass  der  Ausdruck  (9)  als  die  Kraft  in  der  Richtung  der  Normalen, 
also  als  die  Schwerkraft  g  in  dem  Punkte  xt  y,  z  angesehen  werden  kann.  Er- 
setzt man  hier  wieder  rx  durch  seinen  Ausdruck  (6),  so  folgt  mit  Rücksicht  auf 
die  Gleichung  (8): 


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554 


Mechanik  des  Himmels.  87. 


g  =  +  ~  [l  _  2a(KlW  •+■  K/'>  +...)]-  2ota,  ZW  -+- 


Für  ein  Rotationsellipsoid,  dessen  Halbaxen  m,  n  sind,  wird 

^1   y* +  *n 

m*  +      «»      _  1 

und  daraus 


r?  = 


1         I  -r-X«rtV»e' 

oder  mit  Vernachlässigung  von  X* 

r,  =  m[l      $  X'  —  *  X*  (<wf  6  —  $)] 

ar1(2)  =  -iX'(^e-i), 

demnach 


Nun  ist  mit  Vernachlässigung  von  X4 :  £  X8  =  a  die  Abplattung 


%a\  (.  \ 


(12 


M  g 

folglich  weil  —-^  selbst  von  der  Ordnung  von  X*  ist: 

w*a?  _  w%ax      wi6iy\  -t-X*  _ 

wobei  X?  wieder  zu  vernachlässigen  ist.  Man  erhält  daher  innerhalb  derselben 
Genauigkeitsgrenze: 

Die  von  der  Anziehung  der  übrigen  Himmelskörper  herrührenden  Glieder 
G  sind  praktisch  von  viel  niedrigerer  Ordnung  wie  X*,  und  können  in  dieser 
Näherung  unbedenklich  vernachlässigt  werden.  Ist  dann  g0  die  Schwere  am 
Aequator,  ^90  die  Schwere  an  den  Polen,  so  wird 

*o  =  ^[l-fb-K*t>-a)] 

*.o~  +  -a)] 

1  M 


£«0  £ü 


=  5  b  -  a.  (1*  ■ 

Ä0 


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Mechanik  des  Himmels.  87.  88.  555 

Die  Gleichung  (14)  giebt  eine  Beziehung  zwischen  der  Abplattung,  dem 
Verhältnis  der  Centrifugalkraft  zur  Schwerkraft  am  Aequator  und  dem  Verhält- 
niss  der  Schwerezunahme  vom  Aequator  zum  Pol  zur  Schwere  selbst.  Diese 
Beziehung  heisst  das  CLAiRAUT'sche  Theorem.  Sie  ist  wie  sofort  zu  sehen, 
unabhängig  von  der  Dichtenlagerung  im  Innern  der  Erde. 

Mit  Hilfe  der  Gleichung  (8)  kann  man  einfach  das  Potential  eines  sphäroi- 
dischen  Körpers  auf  einen  äusseren  Punkt  aus  seiner  äusseren  Gestalt,  ohne 
Kenntniss  der  inneren  Schichtung  ableiten.    Es  ist  nach  85  (2)  und  (6): 

<*»  «1 
M     "V  l    1      4*<x   /  .  ,     d  , 

Setzt  man  hier  für  das  Integral  seinen  Werth  aus  (8),  so  folgt 

V=  ^  +  [%k*M  Y^p  —  aa'^Z^}.  (15) 

Vernachlässigt  man  für  die  Bestimmung  der  Oberflächenform  des  Sphäroides 
die  Wirkung  der  äusseren  Kräfte  und  nimmt  nur  auf  die  Rotation  Rücksicht, 
so  wird 

aZffl  =  —  \  wV»  -  i),       Z®  =  ZW  =  .  .  .  =  0 
zu  setzen  sein.    Nun  kann  man  J^U)  =  0  setzen,  wenn  man  den  Ursprung  in 
den  Schweipunkt  des  Körpers  verlegt;  nimmt  man  weiter  an,  dass  man  es  mit 
einem  Rotationssphäroide  zu  thun  hat,  so  wird 

a  yp>  =  -  aGi>  -  1),    K<3>  -  y<«  .  .  .  -  0 
und  die  Gleichung  (15)  geht  Uber  in 

[-.<►■-«■►£■*••<►•-*>] 

oder  mit  Rücksicht  auf  (12): 

V--*+-J^<3k*-*W-\\  ("«) 

88.  Gleichgewicht  von  sphäroidisch  geschichteten  Körpern. 
Innere  Lagerung.  Für  einen  Punkt  im  Innern  erhält  man,  wenn  man  das 
Potential  der  äusseren  Kräfte  und  der  Fliehkraft  zu  dem  Potential  85  (9)  hinzulügt: 


+  *a*(Z<f»  -+-  ZW  -+-  oZW  -4-  .  .  .  ) 
Hierdurch  erhält  man 


£  (.  -  .  ym> f .       ät  +  dp  +  *a>zm  =  c 

*  a 


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55* 


Mechanik  de?  Himmels.  R8. 


Die  erste  Gleichung  giebt  eine  Beziehung  zwischen  a,  K(o)  und  C;  es  kann 
daher  wieder  a  so  gewählt  werden,  dass  K(©)  =  0  ist.  Die  zweite  Gleichung 
liefert  eine  Bestimmung  für  »)  (für  Y(V  ergiebt  sich  eine  ganz  ähnliche 
Gleichung,  wo  nur  ZU)  =  0  ist).    Setzt  man 


4* 


2« 

so  wird  diese  Gleichung 


~  (2^T)J    ^  dp  \p^)  +  (2TTT)  -  a 

«  0 

Dividirt  man  durch  an  und  differenzirt  nach  a,  so  erhält  man,  da  Z'  von  a 
unabhängig  ist,  nach  einiger  Reduction: 


(«  4-  l)YM  1  8Y( 


wo  Kürze  halber 


A « +-2  a"+i  da 

-o 


P=Stp*dp,  ä-f=*-a* 


da 

gesetzt  ist.  In  dem  letzten  Ausdrucke  ist  noch  KM  unter  dem  Integralzeichen; 
multiplicirt  man  daher  mit  «2«  +  2  und  differenzirt  neuerdings,  so  folgt 


d*  KW         8a»  d  KW      ft  °°  V  28a»  / 

^  ^  -f-  2    rr  -w—  ■+■  2  b  '- 


>     da    —  /•  KW=0- 

Durch  die  Integration  treten  zwei  willkürliche  Functionen  von  e  und  u>  ein; 
die  eine  bestimmt  sich  aus  der  Function  Z'W,  die  zweite  dadurch,  dass  die 
KW  für  eine  gewisse  Niveaufläche  (Oberfläche  eines  testen  Kernes)  bestimmt 
sind.  Ist  jedoch  kein  fester  Kern  vorhanden,  so  scheint  es,  als  ob  dadurch  eine 
Unbestimmtheit  entstehen  würde.  Zunächst  ist  dann  zu  beachten,  dass  ein  leerer 
Hohlraum,  wie  er  innerhalb  eines  festen  Körpers  wohl  denkbar  ist,  in  Folge  des 
Druckes  der  äusseren  Massen,  nicht  entstehen  kann.  Es  wird  daher  a0  =  0  zu 
setzen  sein.  Weiter  ist  zu  beachten,  dass  in  Gleichung  (3)  die  KW  Kugel- 
funetionen  sind,  die  auch  von  a  abhängig  sind  (von  Schichte  zu  Schichte  Yariiren). 
Da  aber  nur  partielle  Difleretitialquotienten  nach  a  vorkommen,  so  wird  der 
Differentialgleichung  genügt,  wenn  man  setzt: 

KW  =  /,w  a»,  (4) 

wo  A»  Kugelfunctionen  sind,  die  von  a  unabhängig  sind,  und  M»)  nur  von  a 
abhängt.    Dann  wird 

IST  +  2  -jr  -jj  +         -  '<(«  +  DJ      =  o.  (5, 

Für  eine  homogene  Masse  ist1)  P<=$6a*.    Nun  ist  6  die  Dichte,  welche 


x)  Der  LAPLACK'schc  Beweis,  in  dem  neueren  »Traite  de  mecanique  Celeste«  von  TB«*- 
kanu  fast  unverändert  reproducirt,  ist,  wie  man  leicht  sieht,  unrichtig.  Laplack  wird  *af 
die  Gleichung  geführt;  g  y  ^ 


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Mechanik  des  Himmels.  8^.  557 

an   der  äussersten  betrachteten  Niveauschicht  von  dem  Parameter  a  stattfindet. 

Da  in  allen  Fällen  durch  den  äusseren  Druck  eine  Dichtezunahme  gegen  das 

Innere  zu  stattfinden  wird,  und  erfahrungsgemäss  auch  stattfindet,  so  wird 

Sa3 


Sei  also 


3a> 

5-5=1-  F{a),  (6) 


so  wird 

+  -  [1  -  F{a))  —  +  [6|1  -         -  «(«  +  1)]  ^  -  0.  (7) 

Es  wird  nun        in  der  Form  vorausgesetzt: 

4<«)=  i)wa'-f-  -t-  (8) 
wobei  t)„,  «w'  .  .  .  s,  s'  .  .  .  von  a  unabhängige  Unbekannte  sind.  Dann  geht  die 
Gleichung  (7)  über  in: 

(s      n  -+-  3)(j  —  «  -I-  +  (s'  +  «  H-  3)(i'  —  «  H-  2)l„V'-*  -h  .  .  . 

=  6/"(a)[(x  -»-  l^a'  -2  +  (/  +  i)i,.'«*'-a  +....].  ('a} 


Er  setzt  nun  8  in  der  Form  voraus:  8  =  a  —  ß/>*  +  y/>*  -f-  .  .  .  ,  wo  ß  negativ  ange- 
ist,   um  dem  Umstände  Rechnung  tu  tragen,   dass  gegen  das  Innere  zu  eine  Zu- 
nahme der  Dichte  stattfinden  muss.    Für  positive  x,   X,   .  .  wird  nun  die  niedrigste  im  Nenner 

auftretende  Potent  von  a  die  sechste,  daher  würde  ?  \  ^  für  a  —  0  unendlich,  wenn  nicht 

du 

<•  =  0  ist.    Hieraus  schliesst  La  plack,  dass  — ■=  =-0,    V  =c,   constant,  also,  da  es  für 

Ca 

eine  gegebene  Fläche  (die  Oberfläche  des  Kernes)  gleich  Null  ist,  wenn  man  den  Schwerpunkt 
als  Ursprung  wählt,  dass  K'd)  für  sämmtliche  Schichten  Null  ist,  d.  h.,  dass  die  Schwerpunkte 
sämmtlicher  Schichten  zusammenfallen.  Zunächst  kann  nun  aber  8  dennoch  eine  gebrochene 
Function  sein,  wenn  nur  die  Unendlichkeitspunktc  ausserhalb  der  Integrationsgrenzen  0  und  ay 
fallen,  da  für  die  Rechnung  nur  der  Verlauf  der  Dichte  innerhalb  der  Integrationsgrenzen 
(des  mit  Masse  gefüllten  Raumes)  von  Belang  ist.  In  dem  Tunkte  /  —  0  selbst  wäre  ausser- 
dem eine  Ausnahme  zulässig.  Wäre  in  der  That  der  Nullpunkt  ein  Unstetigkeitspunkt  zweiter 
Ordnung,  also 

so  wäre 

/«/«  dp  =  \  a«>  -t-  \  ßa»  +  To,  (T) 
o 

also  endlich.  Eine  nicht  homogene  Kugel,  deren  Dichte  nach  dem  Innern  zu  nach  dem  Gesetze 
(ß)  zunehmen  würde,  würde  daher  allerdings  im  Mittelpunkte  selbst  eine  unendliche  Dichte 
haben,  aber  in  einem  unendlich  kleinen  Volumelement,  die  Masse  dieser  Kugel  (das  mit  4« 
multiplicirte  Integral  7)  wäre  thatsächlich  endlich.  In  (a)  tritt  nun  das  Quadrat  des  Integrals 
(7)  auf;  wenn  daher  nicht  a,  ß  Null  wären,  so  wird  der  Nenner  mindestens  a*  entkalten,  dem- 

,  dvto 

nach  — ^—  unendlich  werden.    Ist  aber  et  =  ß  =  0,  also 

»  =  TZ"8.  (ß') 

=  (8) 

ca. 

wobei  die  IntegTationsconstante  — ^  ist,   da  für  a  =  a,  :  F'(D  verschwindet.    Dann  würde  abcT 

K'fl)  nicht  für  alle  Schichten  verschwinden,  d.  h.  die  Schwerpunkte  der  Schichten  fielen  nicht 
mit  dem  Schwerpunkte  der  ganzen  Masse  zusammen.  In  diesem  Falle  würde  nun  aber  der  Un- 
stetigkeitspunkt />  =  0  innerhalb  des  Bei ciches  innerhalb  dessen  die  Schwerpunkte  der  sämmt- 
lichen  Schichten  liegen  unbestimmt.  Den  Mangel  dieses  Beweises  hat  zuerst  Resal  erkannt, 
und  statt  desselben  den  im  Text  angeführten  gegeben. 


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558 


Mechanik  des  Himmel».  88. 


Denkt  man  sich  nun  F  (a)  in  derselben  Weise  entwickelt,  wie  AW,  so  wird 
man  durch  Vergleiche  der  gleichhohen  Potenzen  in  (7  a)  Beziehungen  zwischen 
den  Exponenten  s  in  M-)  und  denjenigen  in  F  («)  ableiten  können.  In  F  [a) 
kann  aber  eine  Constante  nicht  auftreten,  da  F  (0)  =  0  ist.  Da  weiters  von 
den  Exponenten  s,  s'  .  .  .  alle  wesentlich  positiv  sein  müssen,  weil  sonst 
also  Kl")  unendlich  würde,  so  kann,  wenn  man  von  x  ausgeht,  weder  s  4-  1 
noch  j  +  «  +  3  verschwinden;  es  wird  daher  s  —  n  4-  2  =  0, 

s  =  n  —  2,    M*)  =  r\ma*  2  +  t)„V  4-  .  . 

Für  n  =  1  würde 

Mt)  =  5l  t     yu>  =  AT<t), 

demnach  K<D  für  a  =  0  unendlich.  Es  muss  daher  rl{  =  0,  demnach  Kl»  =  0 
sein:    die   Schwerpunkte   sämmtlicher  Schichten   fallen  zusammen. 

dh'") 

Für  n  >  2  haben  /il">  und  die  Eigenschaft  vom  Mittelpunkte  aus  beständig 

d  '  M* 

positiv  und  wachsend  zu  sein.    So  lange  dieses  der  Fall  ist,  muss  auch  ^ 
positiv  sein;  in  der  Gleichung 

ist  aber  für  n  >  2  :  «(«  -+-  I)  >  6,  daher  a  fortiori  >  6[1  —  F(a)],  demnach 

dMm) 

der  Coefficient  von  M")  und  ebenso  der  von  stets  positiv.    Wenn  nun 

rf//(") 

und  für  irgend  einen  Werth  von  a  noch  positiv  sind,  so  kann  M«)  nur 

dM*) 

dann  anfangen  abzunehmen,  wenn  •— jj-  zuerst  null  und  dann  negativ  wird,  also 

dhW 

selbst  abnimmt ,   während  negativen  Werthen  von  —j^  nothwendig  positive 

d*M")  dM") 
Werthe  von  — ^-g>     entsprechen,  für  welche  aber  wachsen  sollte.  Es 

dM") 

werden  daher  M»)  und  -j-  ,  wenn  sie  für  irgend  einen  Werth  von  a  positiv 

sind,  beständig  wachsen. 

Sei  nun  F(a)  nach  steigenden  positiven  Potenzen  von  a  entwickelt1): 

GF(a)  =  aax  4-  jV'h-  .  .  .  .  ,  (9) 

so  wird 

4-  *  4-  3)0'  -  «  4-  2)tj„V-  2  4-  0"  4-  «  4-  3)0"  —  »  4-  2)^*V"-a  4-  .  .  . 
=  a(x  4-  1)1*^+'-*  4-  a(x'  -+-  1)1»' a*+''-*  4-  a(x"  4-  l)^"«^'"-3  4- 
4-  ot'O  4-  l)i)„«*'+*-2  4-  a'(x'  4-  1)  Ii' 4-  a"(j"4-  l)^'-*-*"-*  4-  -  .  • 

und  hieraus  zunächst: 

»  ,  Ä  a  (»  —  1) 

I^  +  1  =  U"-2i    ^  °  X(X  4-2*4-1) 

Der  Werth  von  j"  wird  bedingt  durch  den  Werth  von  X';  die  Entwickeln* 
von  AM  ebenso  wie  von  F(a)   ist  nach  steigenden  Potenzen 
Jenachdem  daher 

X  4-  s'  -  2  J  X'  h-  ,  _  2,    d.  h.    V  %  2X, 


•)  Hier  dürfen  negative  Potenzen  nicht  auftreten,  d*  F  («)  ftir  a  «=  0 

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Mechanik  den  Himmels.  88.  559 

ist,  wird  s"  -  2  gleich  X  +  ;'-2  oder  X«  +  s  -  2,  d.  h.  s"  gleich  2*  +  »  -  2 
oder  X'     n  —  2.    Ist1)  X'  =  2X,  so  wird 

s"=  2X  h-  n  —  2; 

(«  _  J)(X  j+l»  —  U«!       _  (»  -  1)<  . 

^  =  1~."2X'»(X"-|-  2«"-h  1)(2X  +  2«  +  1)  T)"       2X  (2X  +  2»+l)  " 
In  derselben  Weise  X'"  —  3X  annehmend,  folgt  s'"  =  3ä  +  «-2u.  s.w.  Die 
Constante  n«  tritt  überall  als  Faktor  auf,  und  kann  daher  gleich  1  gesetzt  werden, 
indem  sie  mit  den  Constanten  von  XM  vereinigt  gedacht  wird,  und  es  wird: 


in  -  1)  /«\. 

i,  nn  =  (x  +  2«+  i) 

/.v       (?_r  IL 

^Xj       (2 X  •+-  2//  -4-  1)  \2>7 


1  -2(X  -+-  2»  4-  1)(2X  +2«  H-  1)  +  "in  -t-  D  (l0) 

,„  («-  l)(X-t-«-  1)  (2X4-  n-  1)   /«y  + 

^        1  •  2  •  3  (X  4-  2»  -+-  1)  (2X  4-  2«  -+-  1K3X"      2»  H-  1)  \X/ 

t>  —  1)      f  (2 X  h-  «  —  1 )     (2X4-2*  —  2)1 /«U  «'\        ("  ~l)_/«"\ 
3(3X4-2«-7)[(2TT2«H-  I)  +  (X+2«  +  l)JU7v*V     (3X-r-2»-HA3Xj  ' 
Kann  man  o',  ot"  ...  in  der  Entwickelung  von  f\o)  vernachlässigen,  so  wird: 

+  (n-Dcx-f-n-D  /«ya2,  1 

i -2 (x  4-  2»  4- 1) (2x  -h  2«  -i-  n  yx;  j 

Im  Allgemeinen  wird  es  genügen,  bei  der  Atiraction  sehr  entfernter  Körper 

sich  auf  das  erste  Glied  ^  PiW  zu  beschränken.    Dann  wird 

P« 

Z<»>  =  ZW  =  ....=  0. 
Lässt  man  diese  Glieder  in  der  zweiten  Gleichung  (1)  weg,  und  ersetzt  W 
durch  M")  A»,  so  folgt  für  n  >  3: 

-  *■>  *C>  f  ,  ?£  dp  +  (2a+31)g.  /  «  £  (*«•  *•>  *'">)  *  + 

0  » 

—  0, 


t   C  d 

T  J   **P  TP 

a 

wobei  XW,  da  es  von  /  unabhängig  ist  (blos  «  und  <■>  enthält)  auch  vor  das 
Integral  gesetzt  werden  kann.  Wendet  man  diese  Gleichung  auf  die  Oberfläche 
selbst  an  (a  =  ax),  so  verschwindet  das  letzte  Integral,  und  es  wird,  wenn  Zr» 
den  Werth  von  AM  für  die  Obei fläche  bedeutet: 

^(2«  4-  l)a?ffi")ßdp*-  $f*l-p  (/>-^w)^/J  *M=  0. 
Durch  theilweise  Integration  der  beiden  Integrale  folgt: 
\(2n  +  V*?&w(*a*--fi'f~Jfl  -  ${a;+*W»)t> -f p>+*M*)^<i/>^X<«)=0 

^  o  o 

oder,  entsprechend  reducirt: 


•)  Da  da»  Anfangsglied  der  Reihe  für  1  —  F  (o)  die  Einheit  ist,  so  wird  der  allgemeinste 
Fall  der  Entwickelung  X'  =  »X,  wobei  n  eine  ganze  Zahl  ist;  dabei  kann  X  ganz  oder  ge- 
hrochen sein;  vergl.  t.  B.  König<hkrger  »Vorlesungen  Uber  die  Theorie  der  elliptischen 
Functionen«,  I.  Theil,  pag.  109  und  137. 


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560  Mechanik  des  Himmel».  88. 

^2 («  -  1)//MS-  j "j^y.(2 n  -+-  l)i^(-)  -  (f-)"^*"*}  ^  =  a 

8  und  ^(">  sind  stets  positiv,  negativ,  weil  die  Dichte  mit  wachsendem 
p  abnimmt,  und  //W  <  /fM,  weil  *<•»)  eine  nach  aussen  beständig  wachsende 
Function  ist.    Da  weiter  —  <  1  ist,  so  wird: 

"  K)> (ff 

//(-)  >  >|W 
2»  4-  1  >  3    für    «  >  2, 

daher  der  Klammerausdruck  unter  dem  Integral  positiv  und  da  -jr  negativ 

ist,  so  wird  der  Faktor  von  (")  Air  n  >  2  aus  zwei  positiven  Gliedern  bestehen, 
und  kann  daher  nicht  verschwinden.  Mit  verschwindendem  Z(*>  muss  also  auch 
X(»)  =  0  sein,  und  der  Radiusvector  irgend  einer  Schicht  wird  von  der  Form 

r  ~  PO  "+"  «KW).  (12) 

Zur  Bestimmung  von  KW  hat  man,  wenn  man  wieder  KW«-AWJf<»)  set2t: 

*(2)^_      I*  a/>*  ^  +  J.y  g  _J_  (^6  A(a))^  +  \o*ft  dpd-Yf\  "+*      ZW  =  0. 


Für  die  Oberfläche  ergiebt  sich  hieraus 

~~ir~  a  ZV) 
4rc 


oilcr 


«ZW 


4  IT  «1 

«A?>=_  <L__   (13) 


l  )*—p—äP 


0  a  *  r 
0 

Sieht  man  von  der  Attraction  der  entfernten  Weltkörper  ganz  ab,  so  wird 

aZW  =  -  Jtt/'Oi»  -  i). 

Setzt  man  dann 

a*  b 

 -b;    *  ^  ,  (14) 


2  y  dP 

2J7W 


5a»  -» 


so  wird 


r,  =  a,  [1  -Ha       -  *«/*(,i»  -  \)tm\. 


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Mechanik  des  Himmels.  88.  89. 


56l 


Die  Unbestimmtheit  von  J*°>  gestattet  noch 

zu  setzen1)  und  dann  wird 

rx  =  ax  (1  -  kH<®w*(v.*  —  1)]  (15) 

Dabei  ist 


z/21      .  1  1X  (*aXY 


•  •  •  1 


daher  für  sehr  kleine  Werthe  von  a  [Formel  (9)]  gleich  1  zu  setzen.  Die  hier- 
durch bestimmte  Figur  wird  manchmal  vorzugsweise  als  >Rotationssphäroid> 
bezeichnet.  Ihr  Meridianschnitt  ist  eine  der  Ellipse  ähnliche  Figur  mit  den 
beiden  Halbaxen  ^(1  -+-  kH&)w*)  und  av    Die  Abplattung  ist  daher 


« _      2     r        1    (16) 

1      5a*  HW        /H  . 

jhp*  dp 

0 

wobei  bw*  die  früher  mit  b  bezeichnete  Grösse  ist.  Für  constante  Dichten 
folgt  hieraus  a  =•  $b  (übereinstimmend  mit  dem  Resultate  86  (14).  Da  sich 
zeigen  lässt,  dass  das  zweite  Glied  des  Nenners  nicht  negativ  werden  kann,  und 
nicht  grösser  als  für  constante  8,  so  sind 

a  =  $b   und   a  —  f  b 
die  Grenzen  zwischen  denen  a  jedenfalls  enthalten  sein  muss. 

89.  Figur  der  Satelliten.  Bei  den  Satelliten  ist  die  Anziehung  der 
Hauptplaneten  nicht  zu  vernachlässigen;  es  ist  dann 

+  JT  [Uv-1  -  VW         +  B^yrr^J^YT^VJcos  (•  -  «,)  + 
+  10  -  |if)(l  -  V.S)C0S2(»  -  «,))• 

«>,,  und  e,  oder  ja,  bestimmen  dabei  die  Lage  des  anziehenden  Punktes. 
Für  die  in  der  Natur  vorkommenden  Fälle  kann  man  sich  auf  zwei  Annahmen 
beschränken. 

a)  Im  allgemeinen  befindet  sich  der  Satellit  nahe  im  Aequator  des  Haupt- 
planeten; es  ist  also  6,  =  90°,  jij  —  0,  folglich 

a  ZW  =      \  W*W  -  \)  -  f  j±  (u>  -  i)  +  f  ^  (1  -  n»)  «;2(«.  -  «»,). 

Führt  man  wieder  die  früheren  Grössen  b,  k  ein,  so  wird 

-  -  k  (w*  +|^)  (u>  -  i)  -  k  •         fr*  -  -  «»,)  (2) 

und  wenn  man  über  die  Constante  F<0>  so  verfügt,  dass 

.*p-i*(--$=i)j- 

ist,  so  wird 


')  Wenn  K1(o)  =  0  wäre,  so  wäre  al  der  Halbmesser  der  Kugel  gleichen  Inhaltes.  Bei 
der  hier  getroffenen  Wahl  von  K,(o)  wird,  wie  aus  Formel  (15)  hervorgeht,  ax  der  Halbmesser 
der  eingeschriebenen  Kugel. 

36 

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Mechanik  des  Himmels.  89. 


rx  -  ax  \\  -  kW»  [w*  +  Cf**  —  1)  —  •  $  ^      -  1)  w  2(«  — 

oder 

r,  -     [l  -  *//<»>{(«»•  +  +  t(.  _  .,)}      _  ,)]  .  (3) 

Hieraus  erhält  man:  Air  die  Rotationsaxe:  6  =  0,  |x  =  1  die  Länge  a,;  für 
den  Aequatorradius  in  der  Richtung  zum  anziehenden  Hauptplaneten:  ©  =  90°, 
ji  «=r  0,  «•>  —  u>,  =  0  oder  180°: 

für  den  Aequatorradius  in  der  dazu  senkrechten  Richtung:  6  =  90°,  jt  =  0, 
~  —      =  90°  oder  270°: 

1  +  kHWw*. 

Die  Figur  des  Himmelskörpers  wird  daher  die  eines  dreiaxigen  Ellipsoides, 
dessen  längste  Axe  gegen  den  Hauptplaneten  zu  gerichtet  ist.    Die  Abplattung 

3  ttt 

der  Aequatorellipse  wird  — i-tlfW,  diejenige  der  Meridianellipse  in  der  zur 

Pi 

Verbindungslinie  des  Satelliten  und  Hauptplaneten  senkrechten  Richtung  AffW  wi ; 
das  Verhältniss  dieser  Abplattungen  ist  daher 

Nun  ist 

w,  1 

wenn  T  die  Umlaufszeit  des  Satelliten  um  seinen  Hauptplaneten  ist,  und 

2* 
tu  =  — . 
/  ' 

wenn  /  die  Rotationszeit  des  Satelliten  ist;  das  Verhältniss  der  Abplattungen 
wird  daher 

TT  {t)  * 

Für  den  Erdmond  ist  /  =  7\  daher  die  Abplattung  der  Aequatorellipse  etwa 
■fa  derjenigen  der  Meridianellipse  und  zwar  bleibend,  in  der  Art,  dass  die  grösste 
Axe  des  Mondkörpers  stets  gegen  die  Erde  zu  gerichtet  ist.  Für  die  Haupt- 
planeten gelten  natürlich  dieselben  Formeln.  Für  die  Erde  ist  z.  ß.  T=  365*254 
demnach  die  Abplattung  der  Aequatorellipse 

9      _   i_ 

40(365-25)3  —  ITTSXO 

derjenigen  der  Meridianellipse  also  verschwindend.  Ueberdiess  wäre  diese  Ab- 
plattung stets  gegen  die  Sonne  zu  gerichtet  (in  der  Richtung  a>  —  cot  =  0;, 
würde  also  eine  veränderliche  Gestalt  des  Erdkörpers  eine  (allerdings  ganz  un- 
merkliche) Fluthbewegung  mit  täglicher  Periode  erzeugen. 

b)  Wesentlich  schwieriger  gestalten  sich  die  Untersuchungen  über  die  Gestalt 
des  Saturnringes,  die  auch  an  dieser  Stelle  zu  erwähnen  sind.  Die  erste  Theorie 
derselben  rührt  von  Laplace  her.  Er  nimmt  ihn  als  aus  einer  grösseren 
Anzahl  von  Ringen  bestehend  an,  von  denen  jeder  durch  die  Rotation  einer 
sehr  gestreckten  Ellipse  um  eine  ausserhalb  derselben  parallel  zu  ihrer  kleinen 
Axe  liegenden  Geraden  entsteht  (elliptischer  Wulstring).  In  der  That  giebt  dies 
eine  Gleichgewichtsfigur;  doch  hat  schon  Laplace  erkannt,  dass  diese  sowie 
jede  reguläre  Figur  des  Saturnringes  nur  eine  labile  Gleichgewichtsfigur  sein 
kann.    Die  geringste  äussere  Kraft,  und  deren  sind  ja  schon  durch  die  Attracdon 


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Mechanik  des  Himmels.  89.  90. 


der  Himmelskörper  thatsächlich  vorhanden,  müsste  bewirken,  dass  der  Ringmittel- 
punkt sich  von  dem  Saturnsmittclpunkt  entfernt,  so  dass  der  Ring  sich  schliess- 
lich mit  dem  Saturn  vereinigen  müsste.  Dieses  gilt  sowohl,  wenn  der  Ring 
einfach,  als  auch,  wenn  er  aus  zwei  oder  mehreren  derartigen  stark  ab- 
geplatteten ringförmigen  Körpern  besteht.  S.  v.  Kowai  ewsky  nahm  die  Frage 
so  auf,  dass  sie  den  Querschnitt  des  Ringes  in  einer  durch  den  Saturnsmittel- 
punkt gehenden  Ebene  so  zu  bestimmen  suchte,  dass  stabiles  Gleichgewicht 
bestehe.  Diese,  sowie  die  Untersuchungen  Maxwell's  über  einen  continuirlich 
mit  Masse  belegten  Ring  führten  jedoch  zu  keinem  befriedigenden  Resultate, 
weshalb  sich  Maxwell  zu  der  Annahme  veranlasst  fand,  dass  der  Ring  aus 
discreten  Massentheilchen  bestehe,  die  sich  wie  eine  grosse  Reihe  von  Satelliten 
um  den  Saturn  bewegen,  eine  Annahme,  die  u.  a.  auch  darin  eine  Stütze 
findet,  dass  in  ähnlicher  Weise  die  kleinen  Planeten  einen  ringförmigen 
Gürtel  dieser  Constitution  um  die  Sonne  zu  bilden  scheinen.  Die  Untersuchung 
der  Bewegung  discreter  Massen  bietet  aber  selbstverständlich  besondere 
Schwierigkeiten  durch  den  Umstand  dar,  dass  man  über  die  Anordnung 
der  Massen  keine  auch  nur  durch  die  geringste  Erfahrungstatsache  gestützte 
Hypothese  machen  kann.  Erleichtert  werden  allerdings  die  analytischen  Ope- 
rationen durch  den  Umstand,  dass  es  sich  nicht  um  die  Bewegung  der  einzelnen 
Satelliten  handelt,  sondern  um  den  GcsammtefTekt,  den  die  jeweilige  Anordnung 
der  Massen  in  ihren  Bahnen  als  Ring  übt.  Insofern  ist  es  möglich,  aber  durch- 
aus nicht  erwiesen,  dass  vereinfachende  Annahmen,  welche  die  Behandlung 
wesentlich  erleichtern,  zu  richtigen  Resultaten  führen1).  Annahmen  dieser  Art, 
zu  denen  Maxwell  seine  Zuflucht  nimmt,  sind:  Gleichheit  der  Massen  der 
einzelnen  Partikelchen,  speciclle,  regelmässige  Anordnung  derselben  tür  den 
Anfangszustand  u.  s.  w.  Aber  selbst  unter  diesen  Voraussetzungen  unterliegt 
die  Untersuchung  noch  bedeutenden  Schwierigkeiten. 

Dass  der  Ring  nicht  aus  einer  zusammenhängenden,  mit  durchaus  derselben 
Geschwindigkeit  rotirenden  Masse  besteht,  wurde  erst  neuerdings  von  Keeler 
auf  spectroskopischem  Wege  nachgewiesen1),  indem  es  ihm  gelang,  bei  den  ver- 
schiedenen Punkten  des  Ringes  versdiedene  Rotationsgeschwindigkeiten  nach- 
zuweisen, woraus  allerdings  noch  nicht  gefolgert  werden  darf,  dass  der  Ring  aus 
getrennten  Körpern  besteht,  wohl  aber,  dass  er  mindestens  aus  mehreren  in- 
einander liegenden,  selbstständig  von  einander  rotirenden  Ringen  besteht3). 

90.  Die  Differentialgleichungen  der  Rotationsbewegung.  Handelt 
es  sich  um  die  Bewegung  eines  Massencomplexes,  so  wird  nebst  der  Translations- 
bewegung seines  Schwerpunktes  auch  noch  seine  Rotationsbewegung  zu  unter- 
suchen sein.  Die  hierfür  geltenden  Differentialgleichungen  sind  in  rechtwinkeligen 
Coordinaten: 

lm{*  ~df*-x  ~df>)  =  1('x-  xz)- 

Die  Anzahl  der  veränderlichen  Coordinaten  x,  y,  x  ist  hier  gleich  dreimal 
der  Anzahl  der  beweglichen  Punkte,  also  für  eine  continuirliche  Masse  unendlich 

')  VergL  auch  den  Artikel  »Planeten«. 
*)  Astrophys.  Journal,  I.  Bd ,  pag.  416. 

*)  Vergl.  Sekligkr,  «Astron.  Nachrichten«,  Bd.  138,  pag.  99. 

3°' 

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564 


Mechanik  de«  Himmels.  90. 


gross.  Zwischen  denselben  bestehen  aber,  wenn  es  sich  um  die  Rotation  von 
starren  Körpern  handelt,  gewisse  Beziehungen,  so  dass  im  Ganzen  doch  nur 
eine  endliche  Anzahl  von  von  einander  ganz  unabhängig  Veränderlichen  bleibt. 
Um  auf  diese  überzugehen,  wird  es  am  besten,  ein  in  dem  Körper  festes  Axen- 
system  zu  wählen,  den  Körper  auf  dieses  zu  beziehen,  und  die  Bewegung  des 
Axensystems  zu  untersuchen;  hiermit  ist  auch  die  Zahl1)  der  unter  allen  Fällen 
notwendigen  und  hinreichenden  von  einander  völlig  unabhängigen  Veränderlichen 
bestimmt. 

Der  Uebergang  auf  dieses  Axensystem  wird  durch  die  Formeln  2  (1)  ge- 
leistet, in  denen  daher  die  Coordinaten  x,  y\  »'  als  constant  anzusehen  und 
nur  die  Richtungscosinus  o,,  ß,,  7,,  as,  .  .  .  7,  veränderlich  sind.  Man  hat  daher 

dt*  ~~      dt*  ^y  dt*  ^  dt* 

d*x    d*y    <P  z 

und  ebenso  für  y,  s.    Führt  man  die  Werthe  für  *,  y,  s,        ,  -j^  ,  -j^  in  (1) 

ein,  und  berücksichtigt,  dass  die  Transformation  der  Kraftcomponenten  in  der- 
selben Weise  vorgenommen  wird,  wie  diejenige  der  Coordinaten,  dass  also, 
wenn  X\  V  Z  die  Componenten  der  auf  den  Punkt  x,  y,  z  wirkenden  Kraft, 
bezogen  auf  die  im  Körper  festen  Axen  sind: 

x  =  *xx'+  p,r  4-  txz' 

ist,  so  folgt 

im  {(«,*•  +  f,y  +  7,  o  (*■      +y  ^  +  ^)  - 
-s|(«1*'+p1y+1li')(«,jf,+p>y,+1,r)-(«1y+?,y+T,«x«1jri+p1K-(.Tl2-)! 

und  ebenso  aus  den  beiden  andern.  Hierin  bezieht  sich  die  Summation  auf  die 
Coordinaten  x\  y',  z'  und  auf  die  Kräfte  X,  Y\  Z\  während  die  Richtungscosinus 
*i»  ßi»  •  •  •  7j  Mr  Punkte  dieselben  sind.  Diese,  sowie  ihre  DirTerential- 
quotienten  können  daher  bei  der  Summation  vor  das  Summenzeichen  gesetzt 
werden.  Löst  man  daher  die  Klammern  unter  dorn  X  auf,  so  erhält  man  links 
Ausdtticke  mit  den  Coefficien!en  Zmx'*,  2my'*,  2mz'*,  Smx'y',  Smy'z',  *2mx's'. 
Ueber  die  Lage  des  neuen  Axensystcmes  war  bisher  keine  weitere  Verfügung  getroffen 
worden,  als  die,  dass  es  in  dem  Körper  fest  sei.  Wählt  man  es  nunmehr  so,  dass 
die  drei  Coordinatenaxen  mit  den  Hauptträgheitsaxen  zusammenfallen,  so  werden 
die  drei  letzten  Summen  verschwinden.  Löst  man  auch  die  rechts  stehenden  Aus- 
drücke auf,  und  berücksichtigt  die  Gleichungen  2  (8),  (9),  (10),  so  erhält  man 

V  »  ~d!*~  ~  *3  ~di*j  y*        ~~  3  ~Tfi)  y 

+{1*1$ r»  ^)^***-«.2C7,^-«,n+P.2(«'jr-^)+7.2(*,y,-yjr). 

V  1       ~~  *  ~dfl)  lmx  +  yi  "dir  -  Pt  dt%  )  lmy  +- 

»)  Der  »Grad  der  Freiheit«. 


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Mechanik  des  Himmels.  90.  56s 

Multiplicirt  man  diese  Gleichungen  mit  ap  as,  <x,  und  addirt,  sodann  mit 
ßi»  ßa»  ßs»  endlich  mit  7,,  7j,  7j,  führt  die  Trägheitsmomente  A,  B,  C  nach 
83  (4)  und  (4a)  ein,  und  berücksichtigt  die  Gleichungen  2  (18)  und  2  (5)  bis  (10), 
so  erhält  man  die  EuLER'sche  Differentialgleichung  für  die  Rotationsbewegung. 

A  ^  -+-  (C  -  B)  qr  =  «  =  2  (y'Z'  —  Y') 

B^+(A-C)pr=m    (2)  Wl=Z(z'X'  -x'Z')  (3) 

C  Tt  "**  (^  ~  A)  pq  Ä  91  «  -  2  («*     -y  JT). 

Die  Componenten  der  Geschwindigkeit  der  Bewegung  für  irgend  einen 

dx    dy  dz 

Punkt  sind  gegeben  durch  die  Ausdrücke  ~j}  *  ~}t  *         Wenn  einzelne  Punkte 

des  Massencomplexes  sich  in  Ruhe  befinden  sollen,  so  müssen  für  diese  die  drei 
Geschwindigkeitscomponenten  Null  werden.    Nach  2  (1)  wird  dann  aber: 

dx       .  da.       ,  </ß.        .  d-\x 

~dt~     ~dt  ~*~  y  ~dT         ~rf7  W 

dt     *  dt  *y    dt  +      <//  u* 

Da  man  zur  Bestimmung  der  Coordinaten  y,  *'  der  in  Ruhe  befindlichen 
Punkte  nicht  mehr  als  drei  Gleichungen  hat,  so  wird  die  Lösung  der  Aufgabe 
möglich,  d.  h.  es  giebt  stets  solche  Punkte.  Multiplicirt  man  die  Gleichungen 
(4)  mit  04,  a8,  cc„  dann  mit  ßp  ßa,  ß,,  endlich  mit  7,,  fit  7,,  so  erhält  man  an 
ihrer  Stelle  die  folgenden 

qz'  —  ry'  =  0;    rx'  —  pz'  =  0;    p/  —  qx'  =  0, 

von  denen  aber  jede  die  Folge  der  beiden  anderen  ist,  so  dass  sie  nur  zwei 
unabhängige  Gleichungen 

*-  =  >-  -  '-  (4a) 
p       q  r 

darstellen.  Es  wird  mithin  nicht  einzelne  Punkte  der  angegebenen  Eigenschaft 
geben,  sondern  sämmtliche  Punkte  einer  Geraden  G,  welche  durch  die  Gleichungen 
(4a)  bestimmt  ist,  befinden  sich  zur  Zeit  /  in  Ruhe;  die  Bewegung  tritt  als 
eine  Drehung  um  diese  Gerade  auf,  und  man  nennt  diese,  da  sie  mit  /,  q,  r 
also  mit  der  Zeit  veränderlich  ist,  die  momentane  oder  instantane  Rotation s- 
axe.  Ihre  Schnittpunkte  mit  der  Körperoberfläche  bezeichnet  man  als  Pole 
(für  die  Erde:  Erdpole  und  zwar  Nordpol  und  Südpol). 

Die  Richtung  der  Rotationsaxe  ist  bestimmt  durch  ihre  Richtungscosinus 
gegen  die  Hauptträgheitsaxen: 

\'  =  cosGx'  =  —  ^  _  ;         \J  =  cosGy  =  -    .  l  -- — ; 

X»'  =  COS  Gz'  =  —r-r-'-    -  —  • 

Vp*  ■+-  9*  ■+■ r3 

Da 

cos  Gx  =  cos  Gx  cos  xx'  •+■  cos  Gy'  cos  xy'  ■+■  cos  Gz'  cos  xz' 

ist,  so  werden  die  Richtungscosinus  der  instantanen  Rotationsaxe  gegen  das  im 
Räume  feste  Axensystem  der  x,  y,  z: 


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566 


Mechanik  des  Himmels.  90.  91. 


1  V>»  •+-  g''  -+■  r%  J        Vp*  +?'  +  r' 

3  V>*  4-       H-  r» 

Um  die  Rotationsgeschwtndigkeit  um  die  Axe  zu  bestimmen,  genügt  es  irgend 
einen  beliebigen  Punkt  zu  betrachten,  da  ja  die  sämmtlichen  Punkte  des  Körpers 
in  starrer  Verbindung  sind,  und  daher  jederzeit  dieselbe  Rotationsgeschwindig- 
keit haben  müssen.  Nimmt  man  als  solchen  einen  Punkt  der  *'-Axe,  dessen 
Coordinaten  daher  x'  —  0,  y'  «=  0,  z'  sind,  so  wird  die  absolute  Geschwindigkeit 
im  Räume  gegeben  durch 


mit  der  Bezeichnung  2  (16).  Der  Abstand  des  betrachteten  Punktes  von  der 
Rotationsaxe  ist  aber   

d=z  sin  (Gz1)  =  *»  y\  -  (tos Gz')*  =  *'  *L=-.  . 

Daher  mit  Rücksicht  auf  2  (20) 

ä-*  ,  ^  =. 

YP*  -h  q%  ■+■  r» 
Daraus  folgt  nun  die  Winkelgeschwindigkeit  w  =  v  :  d,  also 

w  =  Yp*  i^  +  r1  (7) 

und  nach  (5)  sind  dann  p,  g,  r  die  Componenten  der  Winkelgeschwindigkeit, 
d.  h.  die  Rotationsgeschwindigkeiten  um  die  drei  Axen  x',  y\  z\  und  die  Zähler 
in  (6)  die  Rotationsgeschwindigkeiten  um  die  drei  im  Räume  feststehenden 
Axen  x,  y,  z. 

91.  Die  Bewegung  des  Körpers  im  Räume.  Die  Bestimmung  der 
g,  r  aus  den  Differentialgleichungen  90  (2)  giebt  die  Lage  der  Rotationsaxe 
gegenüber  den  Hauptträgheitsaxen  im  Körper  selbst  [Gleichungen  90  (5)J.  nicht 
aber  die  Lage  dieser  Rotationsaxe  oder  des  Körpers  im  Räume.  Zu  diesem 
Zwecke  ist  noch  die  Kenntniss  der  Grössen  alt  a8,  .  .  .  73  nöthig.  Hierzu  ge- 
langt man  durch  die  Integration  der  Gleichungen  2  (14),  sobald  die  darin  auf- 
tretenden Grössen  p,  q,  r  bekannt  sind1).  Man  kennt  dann  die  Lage  des  Körpers 
in  jedem  Augenblicke,  indem  man  die  Lage  der  drei  Hauptträgheitsaxen  kennt. 
Von  diesen  9  sind  aber  nur  3  von  einander  unabhängig.  Gegen  die  im  Räume 
festen  Axen  der  x,  y,  z  wird  diese  Bestimmung  aber  auch  festgelegt  sein  durch  die 
Kenntniss  des  Bogens  XX  =  a,  (Fig.  271,  pag.  283)  und  des  Winkels  X'XY^lx\ 
und  den  Bogen  XV  =  ßj  oder  XZ'  =  Yr  Führt  man  der  grösseren  Symmetrie 
wegen  noch  die  Winkel  Y'XV^^,  Z'XY  =  /i  ein,  so  bestehen  zwischen 
diesen  sechs  Grössen  ebenlalls  drei  Beziehungen.  Die  eine  derselben  ist  die 
erste  der  Gleichungen  2  (5);  die  beiden  anderen  erhält  man  aus  zweien  der  drei 
rechtseitigen  Dreiecke  XX  Y\  XX  Z\  X  Y  Z' ;  sie  sind: 


')  Diese  neun  Cosinus  lassen  sich  direkt  durch  Theta-Functionen ^ausdrücken.    Vergl.  Jacobi 
Ges.  Werke,  11.  Bd.,  pag.  306. 


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Mechanik  des  Himmels.  91. 


567 


Zur  Bestimmung  des  Winkels  /,  hat  man  zunächst  im  Dreiecke  XX'  Y, 
wenn  der  Winkel  XX'  Y  mit  C  bezeichnet  wird: 


cosC  =  — _ 


sin 

demnach 


yT^i'         '  yT- 

Differenzirt  man  die  zweite  Gleichung  (1),  so  folgt 


-  (.  -  .,-)/rr-.>/,  ^  =     ^  -  .,  (.,  ^  +  «,  . 


daher  mit  Rücksicht  auf  die  erste  Gleichung  (1): 

0  "  a» }  <//  ~      rf/  ~ 


Substituirt  man  hier  die  Gleichungen  2  (14),  so  wird  mit  Rücksicht  auf  2  (8): 

0  -  *,')  ^  =  7i  '  +  M- 
Die  sechs  Gleichungen1) 

^7  =  ßi  '  -  7i  *  0  -  «i8)  ^  =  7i  '  +  ßi  9 

-  T,  ^  -  «1  r        (2)  (l-ß/)^-«i/  +  7i''  (3) 

^  =  «1  ?  -  ßi  '  0  -  7«        =  ßi  ?  ■+■  «1  r 

bestimmen  die  Lage  des  Körpers  (der  drei  Hauptträgheitsaxen)  im  Räume. 

Da  jedoch  nur  drei  Winkel  hierzu  ausreichend  sind,  so  wird  es  wieder  am 
passendsten,  von  den  Substitutionen  2  (21)  Gebrauch  zu  machen,  wobei  jedoch 
eine  kleine  Aenderung  angezeigt  erscheint.  Als  Fundamentalebene,  auf  welche 
alle  anderen  Ebenen  bezogen  werden,  wählt  man  hier,  so  wie  früher,  eine  feste 
Ekliptik.  Es  stelle  daher  in  Fig.  271  die  X  K-Ebene  eine  feste  Ekliptik  dar,  und 
die  X  K-Ebene  die  zur  Hauptträgheitsaxe  des  grössten  Momentes  senkrechte  Ebene, 
also  den  Trägheitsäquator3).  Consequenterweise  würde  dann  ft  der  aufsteigende 
Knoten  des  Trägheitsäquators  auf  der  Ekliptik  sein,  da  die  Rotationsrichtung 
von  X  gegen  Y'  zu  stattfindet,  und  i  wäre  die  Neigung  des  Trägheitsäquators 
gegen  die  Ekliptik,  also  die  »Schiefe  des  Aequatorsc.  Man  spricht  jedoch  von 
einer  »Schiefe  der  Ekliptik  <,  gemessen  am  aufsteigenden  Knoten  der  Ekliptik 
am  Aequator,  gezählt  in  der  Bewegungsrichtung.  Wenn  dann  die  Figur  und  die 
Formeln  diesem  Gebrauche  entsprechen,  so  wird,  wenn  ß,  den  Frühlingspunkt 
darstellt,  die  Lage  der  X  K-Ebene  &A  und  in  den  Formeln  *  =  —  e'  zu  setzen 
sein.    Ist  nunmehr  (X)  eine  in  der  Ebene  des  Trägheitsäquators  des  Körpers 


l)  Diese  Gleichungen  wurden  von  Euler  seinen  Arbeiten  ru  Grunde  gelegt.  Vergl. 
»Memoires  de  I'academie  de  Berlin«  für  1758,  pag.  171  und  für  1759,  pag.  279. 

*)  Diese  Bezeichnung  wird  gerechtfertigt  durch  die  Nothwendigkcit  der  Unterscheidung 
von  dem  Himmelsäquator,  der  senkrecht  steht  auf  der  Rotationsaxe;  er  ist  identisch  mit  dem 
geographischen  Aequator. 


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568  Mechanik  de»  Himmels.  91.  92. 

feste  Richtung  (eine  der  Hauptträgheitsaxen) ,  so  wird  die  Bewegung  von  (A"J 
nahe  der  Rotation  der  Erde  (wenn  vorerst  auf  die  Rotationserscheinungen  bei 
dieser  Rücksicht  genommen  wird)  entsprechen.  Unter  der  Annahme,  dass  die 
Erde  ein  Rotationsellipsoid  sei,  wird  man  für  (A1)  jede  beliebige  Richtung  in 
der  Aequatorebene  wählen  können;  nimmt  man  hierfür  die  Richtung  des 
Meridians  eines  gewissen  Ortes,  so  wird  <p  der  Stundenwinkel  des  Frtihlings- 
punktes,  also  sehr  nahe  die  Sternzeit  des  angenommenen  Meridians  (Normal- 
meridian). Setzt  man  daher  hier  ty',  <p,  —  «'  an  Stelle  von  «,  /,  so  erhält 
man  an  Stelle  von  2  (21): 

av  =  -+-  cos  ty'cos  <f  —  sin  ty'sin  9  cos  e'  =  -+-  sin  ty'cos  9  -+-  cos  ty'sin  9  cos  *' 
ß ,  =  —  cos  <J»' sin  9  —  sin  ty'cosfcosz'  ß ,  =  —  sin  ty'  sin  9  4-  cos  <[»'  cos  9  cos  «' 
Y,  =  —  sin  ty'sin  t'  7,  =  H-  cos  ty'sin  «' 

o,  =  —  sin  9  sin  e'  *  ' 

ß,  =  —  w  9  e' 

TS  =  4-  <Wt' 
und  damit  an  Stelle  von  2  (24) 

.    ,  dV  dt' 
P  =  —  smtfsm  t  '-jj  —  cos  9  -jj 

dV  dt' 


und  hieraus  durch  passende  Verbindung 

dV 

sin  t'-jj-^—psinf  —  o  cos  9 


^--/Wf  +  ^f  (6) 

, 

=  r  +  ««f  cotang  t'  •  p  -h  cos<?  cotang  t'  q. 

Die  vollständige  Auflösung  der  Aufgabe  erfordert  die  Auflösung  der  Gleichungen 

90  (2)  und  91  (6). 

92.  Die  Bewegung  der  Rotationsaxe  im  Räume.  In  vielen  Fällen 
ist  es  nicht  nur  wtinschenswerth,  sondern  sogar  erforderlich,  die  Bewegungen 
der  Rotationsaxe  im  Räume  selbst  zu  kennen.  Hierzu  kann  man  die  Gleichungen 

91  (6)  benutzen.  Der  Trägheitsäquator,  wie  er  in  91  eingeführt  ist,  steht  senk- 
recht auf  der  Axe  des  grössten  Trägheitsmomentes,  kurz  Trägheitsaxe  genannt. 
Fällt  die  Rotationsaxe  in  diese  Axe  hinein,  so  fallen  Trägheitspole  und  Rotations- 
pole, Trägheitsäquator  und  Rotationsäquator  zusammen;  fällt  aber  die  Rotations- 
axe nicht  in  die  Trägheitsaxe,  so  wird  die  letztere  durch  die  Richtungscosinus 
Tu  7>t  7ji  die  erstere  aber  durch  die  Richtungscosinus  X,,  X8,  X,  bestimmt  sein. 

Die  Rotationsaxe  bestimmt  an  der  Himmelskugel  die  Himmelspole  und 
damit  den  Himmelsäquator,  d.  i.  denjenigen  grössten  Kreis,  auf  welchen  die 
Rectascensionen  und  Deklinationen  der  Gestirne  bezogen  werden.  Ist  also  die 
Lage  des  Himmelsäquators  gegen  die  feste  Ekliptik  bestimmt  durch  die  den 
früheren  analogen  Grössen  9,  %,  so  wird: 

Xj  =  —  sin  9  sin  t,    X,  =  4-  cos  9  sin  t,    X,  =  cos  t.  (1) 

Nach  90  (6)  und  (7)  ist  aber 

wKx  =       +  ßi?  +  1\r\     wX,  =  «1/  +  ß,?  -+-  Tj'*.    «^a  =  *iP  +  ßi*  H-  TS- 


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Mechanik  des  Himmels.  92.  569 

Differcnzirt  man  diese  Gleichungen  und  berücksichtigt  die  Beziehungen  2 
(19),  so  entsteht: 

dt        a>  dt  +  Pl  dt  +  T»  dt 
d{w\t)  dp  dq  dr 

~  dT  -"'dt+V'dt+^dt 

f&h)  _  H    äp  dq  dr 

~dt~  -  "»  dt  +     dt  +1*dt' 

oder  wenn  für  Xt,      X,  die  Werthe  (1)  gesetzt  werden: 

dw  db  dt         dp         dq  dr 

dw  dü  dt         dp         dq  dr 

+  cos^smt^-wsin^sint^  +  wcos^costj^^-Jj-^^-jt^^Tt  (2) 

dw  .dt  dp         dq  dr 

-¥C0SxTt-W5tntJt=**dt+**Tt+^Tt 

dw   dty  dt 
und  wenn  man  hieraus       ,  -~  ,  ^  bestimmt: 

dw      ,  .    dp      ,  .    dq      ,  .  dr 

</t       .  .    <//       .  ,    dq  dr 
wJt  =  W»  ^/      (e)*  *7  +  Wi 

wo  die  Coefficienten         (w),  ....  (e),  die  folgende  Bedeutung  haben: 

(«0t  —  —  4>  ««  « +  «|  w  4* f'*  <w  6 

=  —  ßj  ;m  4»  j/»  s  4-  ß,  <w  4»  ;öi  e  4-  ß,  im  e 
(«/),  «=  —  7,  «'«  4»  sin  e4-7,      4» «*  •  +  T»  cos  s 

(40i  ==  —  (a,  rttf  4<  4-  et,  ma  |)  =  —  «i  sin  <jiwe+  a,  <w  tycost  —  o,  «»  e 

(♦)»-  —  (ßi  4*  ß»  sin  4*)  (e),  =  —  ßx  «Vi  cos  t  +  ß,  <:oj  ^  <w  s  -  ß,  sin  s 
(40»  =  —  (7i         +  7>      40  =  —  Ti       4*  f  •  H-  7>  w  ♦»«-Ii  sin  t 

Setzt  man  hier  für  a,  a,  .  •  •  7S  die  Werthe  91  (4)  ein,  so  folgt: 

{w)l  =  4-  cos  <p  i/«  e  «Vi  (<J/  —  40  4-  [jwi  e  <w  «'  <w  (4»'  —  40  —  «*  «'  cos  e]  **»  y 
(w)%  =  —  jx«  7  sin  e  j/*«  (4»'  —  40  -+■  e  *w  e'  <w  (4*'  —  40  —  WÄ  e'  ^  *]  cos  ? 
(«Os  0  4-  JiVi  8  sin  s'  <w  (<J»'  —  40  4-  <W  e  rtw  e' 

(«J»),  =  —  cos  v  cos  (4/  —  |)  4-  sin  <p  f<?5  8'  xi»  (|'  —  |) 
(4») ,  =  4-  sin  <p  »j  (4/  —  4»)      »*  T      «' JIÄ  (4»'  —  ♦)  (4) 
"  -*■  "*    sin      —  4») 

(Ol  ~  ■+■  cos  <p  »f  e  «'»  (4»'  —  |)  4-  [cos  e  <w  e'  cos  (ty'  —  4»)  4-  sin  t'  sin  i]  sin  <p 
(e),  =  —  sin  9  cos  e  «V»  (4*'  —  <j»)  4-  [cos  e  cos  t'  cos  (4*'  —  4»)  4-  sin  t'  sin  e]  cos  <p 
(e),  =  4-  cos  8      s'  cos  (4/  —  4*)  —  sin  t  cos  t'. 

Substituirt  man  nun  in  (3)  für  die  Differentialquotienten  der  p,  q,  r  ihre 
Werthe  aus  90  (2)  und  setzt: 


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57o 


Mechanik  des  Himmel».  92.  93. 


/   x    *        /   x    W       ,  x  91 

("').  ^  +  («/),  £  -4-  (W),  £  & 

,,x    *         /,x     TO        /.x     «  ,„ 

^  +  (+)•  j  +  (40i  c=W 
Wi  ^  t-  («;•  »-  H-  (Oa  c  =  E 

(5) 


(*0i 

C—B 
A     qr  +  («/), 

A-C 
ß    Pr  ~*~  («Ol 

IV 

£•  ß 

A     1'  +  (40s 

c  P*- 

V 

(0, 

ß  Pr  +  («)l 

B—A 

c  **- 

E' 

so  wird 

^=  fT-  ff" 

^  V,  E  drücken  sich  durch  die  wirkenden  Kräfte  aus;  IV,  <T,  E'  sind 
von  p,  q,  r  selbst  abhängig,  welche  aus  den  Formeln  91  (5)  benutzt  werden 
können.  Diese  Glieder  sind  jedoch  wegen  der  Faktoren  (C  —  B),  (A  —  C), 
(ß  —  A)  sehr  klein,  und  können  in  den  Air  die  Praxis  wichtigen  Fällen,  wie  in 
No.  96  gezeigt  wird,  auch  ganz  übergangen  werden. 

93.  Integration  der  Differentialgleichungen  für  den  Fall,  dass 
keine  äusseren  Kräfte  wirken.  In  diesem  Falle  werden  die  zu  integrirenden 
Differentialgleichungen  der  Bewegung: 

A^  +  (C- B)gr  =  0 

B^  +  (A-C)fir  =  0  (1) 

C—  +  {B-A)pq  =  0. 

Multiplicirt  man  die  erste  Gleichung  mit  p,  die  zweite  mit  q,  die  dritte  mit 
r,  addirt  und  integrirt,  so  folgt 

Ap*  H-  Bq*  +  Cr*  =  A\  (2) 
wobei  k*  die  Integrationsconstante  ist.  Multiplicirt  man  hingegen  mit  Ap,  Bq, 
Cr,  addirt  und  integrirt,  so  erhält  man  mit  der  Integrationsconstante  A* 

A*p*  H-  B*q*  -h  CV»  =  HK  (3) 

Aus  (2)  und  (3)  kann  man  p,  q  als  Functionen  von  r  bestimmen;  es  wird 

(/*»-**»)-■■  C(C-2?)ry  (A*-A*>)  -  C(C-A)r> 

p  A(A  —  B)  '   *  ~  Biß  —  A)  '  W 

Werden  diese  Werthe  in  die  dritte  Gleichung  substituirt,  so  erhält  man 

=  y>*>  —  Bk*  -  C{C-B)r*Yh*  -  Ak*  -  C(C  -         '  (a} 


Die  vollständige  Integration  lässt  sich  demnach  durch  elliptische 
leisten.    Ist  r  als  Function  von  /  durch  die  Integration  von  (5)  bestimmt,  so 
geben  die  Gleichungen  (4)  p  und  q. 


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Mechanik  des  Himmels.  93.  57 1 

Sind  /,  q,  r  veränderlich,  so  folgt  aus  90  (5),  dass  die  Rotationsaxe  im 
Körper  selbst  ihre  Lage  ändert.  Dann  werden  die  Pole  auf  der  Oberfläche 
der  Erde  nicht  fest  sein;  man  kann  nur  von  instantanen  Polen  sprechen. 

Sind  q,  r  als  Functionen  der  Zeit  gegeben,  so  bestimmen  die  Gleichungen 
90  (6)  in  Verbindung  mit  der  Gleichung  der  Oberfläche  (bezogen  auf  das  feste 
Axensystem :  das  System  der  Hauptträgheitsaxen)  den  Ort  der  Pole  als  Functionen 
der  Zeit. 

dp         dq  dr 
Sollen  p,  q,  r  constant  sein,  so  muss  ^  =  0,  -g-  —  0,       —  0  sein ,  und  die 

Gleichungen  reduciren  sich  auf  ihre  zweiten  Glieder.  Sie  können  dann  nur  er- 
füllt sein,  wenn  zwei  der  drei  Grössen  /,  q,  r  verschwinden.  Sei  also  0 
r  «=  n  constant1).  In  diesem  Falle  fällt  also  die  Rotationsaxe  mit  einer  der 
Hauptträgheitsaxen  zusammen,  und  es  ist  dies  auch  der  einzige  Fall,  in  welchem 
sich  die  Lage  der  Rotationsaxe  im  Körper  nicht  ändert.  Der  Werth  n  ist  die 
Rotationsgeschwindigkeit  um  die  Hauptträgheitsaxe. 

Treten  störende  Kräfte  hinzu,  so  dass  die  rechten  Seiten  in  (1)  nicht  mehr 
Null  sind,  sondern  Functionen  der  Zeit,  so  wird  den  Gleichungen  nur  durch 
veränderliche  Werthe  von  p,  q,  r  genügt  werden  können.  Bei  den  in  der  Natur 
vorkommenden  Fällen  wird  jedoch  die  Rotationsaxe  stets  sehr  nahe  mit  einer 
der  Hauptträgheitsaxen  zusammenfallen;  denn  durch  die  Rotation  selbst  werden, 
wie  aus  den  No.  86  bis  88  hetvorgeht,  die  Himmelskörper  jene  Formen  an- 
nehmen (abgeplattete  Sphäroide),  deren  eine  Hauptträgheitsaxe  in  die  Rotations- 
axe fällt.  Wenn  nun  dieses  Zusammenfallen  nicht  auf  die  Dauer  zu  erhalten 
ist,  so  wird,  wenigstens  im  Anfange  der  Bewegung,  ob  auch  bleibend,  muss  erst 
die  Untersuchung  zeigen,  dieses  Zusammenfallen  genähert  stattrinden,  und  dann 
wird  z.  B.  p,  q,  sehr  klein  sein. 

Aus  den  Gleichungen  (2),  (3)  folgt  aber  durch  Elimination  von  r: 
A(A  -  Qp>  -t-  B(B  -  C)q*  Ck*  =  D. 

Sind  nun  für  einen  gegebenen  Augenblick  /,  q  sehr  kleine  Grössen,  so 
wird  auch  die  Constante  D  einen  dem  entsprechend  kleinen  Werth  haben, 
woraus  folgt,  dass,  da  die  Coefficienten  A  (A  —  C),  B(B  —  C)  Constante  sind, 
p  und  q  stets  kleine  Werthe  behalten. 

Da  überdiess  nach  früherem  auch  B  sehr  nahe  gleich  A  sein  wird,  indem  die 
Figuren  der  Himmelskörper  unter  dem  Einfluss  der  Rotation  zum  mindesten 
nicht  sehr  verschieden  von  Rotationskörpern  sein  werden,  so  kann  man  das 
Produkt  (B  —  A)pq  in  der  dritten  Gleichung  vernachlässigen,  und  sie  wird 
einfach 

_  dr 

C  dt  =  °'       r  =  "  ^ ) 

constant;  nunmehr  allerdings  nur  genähert,  da  die  absolute  Co n stanz  sofort 
auch  q  constant  ergeben  jmüsste.  Die  beiden  andern  Gleichungen  werden 
dann: 

A^  +  {C-B)nq  =  Q 

dq  '  (7) 


*)  Dann  wird  k*  =  C'1»',  i*  =  Cn*,  und  es  werden  die  Gleichungen   (4)  identisch 
erfüllt  sein. 


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(9) 


57*  Mechanik  des  Himmels.  98. 

Diesen  simultanen  linearen  Differentialgleichungen  wird  genügt  durch 

p  —  h  sin  (mt  +  H) 

q  =  Vcos(mt  +  H)  w 

wobei  A,  m,  H  Constante  sind.  Substituirt  man  diese  Werthe  in  die  Gleichung  (7) 
so  folgt: 

mAh  4-  (C—  B)  fi'n  =  0 
mBfi'  +  (C-  A)/in  =  0 

und  hieraus 

Ji'  mA  (C—  A)n         (mY _  (C  ~  A)  (C  ~ 

h  (C-B)n  mB      '        \  n)  ~~  AB 

„yZzzgEE^    *__y*ytt,  (8a) 

Da  eine  der  beiden  Constanten  h,  IC  willkürlich  bleibt,  so  kann  man 

A'=  -  YA  }/C^-~Ä  g  n ;      /*  =  -+-  ^~B\/C—  B  gn 
setzen,  und  dann  wird 

p  =  +  YBYC^S gn ,/„  (V{C-A)A^-B)  + 

,  =  -  VÄVc^A.nco,  (/Ef3  mt  +  jry 

Mit  diesen  Werthen  würde  die  dritte  Gleichung: 

£  -  »  ^  VWlC-AKC-B)  SM  2  „,  +  0 

,  =  [1  +  ^(^_^.„J2(|/Q^B/  +  Ä)]„.  (10) 

Sind  2?  und  A  genau  gleich,  wo  dann  das  Trägheitsmoment  für  irgend 
eine  in  der  Aequatorebene  liegende  Axe  ebenso  gross  ist,  so  wird,  wenn  keine 
äusseren  störenden  Kräfte  wirken,  in  aller  Strenge  r  =  n  constant    Dann  wird 

— ~2  -  nt+  H\ 

(C-A  \ 
q  =  —  gncos  I — -j-  nt  +  H\. 

Es  wird  daher  die  Rotationsaxe  um  die  Trägheitsaxe  des  grössten  Moment« 
(die  Erdaxe)  einen  Kegel  beschreiben,  dessen  OefTnungswinkel  13  und  Umlaufs- 
zeit (Periode)  t  bestimmt  sind  durch 

\n*  H-  g*  C  —  A  ^ 

Ist  /  die  Rotationsdauer  des  Körpers  um  seine  Axe,  so  ist 

2k  A 

C  —  A 

Für  die  Erde  ist1)  — ^ —  —  0  003272,  und  damit  wird,  da  /  =  1  Tag  ist, 
t  =  304  8  Tage. 

Bei  der  Kleinheit  von  tj  kann  man  g*  gegen  die  Einheit  vernachlässigen, 
und  dann  wird 

  ri=£- 

»)  Vergl.  No.  »8. 


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Mechanik  des  Himmels.  93.  94. 


573 


g  ist  demnach  die  Grösse  des  OefTnungswinkels  und  muss  als  Integrations- 
constante  aus  den  Beobachtungen  ermittelt  werden.  C.  A.  F.  Peters  fand  diesen 
Winkel  0"  079;  t  =  303^87;  Nyr£n *)  g  =  0"-04,  H=  223°8  und  m  —  428  55, 
wenn  für  /  als  Einheit  das  tropische  Jahr  und  als  Anfangspunkt  der  Zählung 
das  Jahr  1850  0  für  den  Meridian  von  Pulkowa  gewählt  wird.  Downing  erhält 
durch  Discussion  lOjähriger  Beobachtungen  des  Polarsternes  in  Greenwich  0"*075 
so  dass  man  für  Jt  jedenfalls  einen  reellen,  wenn  auch  sehr  kleinen  Werth  an- 
zunehmen genöthigt  ist.  Nimmt  man  g  =  0"06,  so  wird  die  hieraus  resultirende 
Polhöhenänderung 

+  0"06*/>[224°  +  X  +  428°55(/-  1850)],  (II) 
wenn  X  die  westliche  Länge  des  betrachteten  Ortes  von  Pulkowa  ist,  und  /  in  Ein- 
heiten des  tropischen  Jahres  auszudrücken  ist.  Die  Gleichungen  91  (6)  werden  damit: 

dtf 

sin  t'  -j-  =  +■  gneos  {mt  +  ip  +  //) 

-j~  =  —  gnsin  {mt     «p  -+-  B). 

Hiermit  wird,  wenn  man  in  dem  ersten  Ausdrucke  e'  als  constant  ansieht, 
und  berücksichtigt,  dass  gemäss  der  dritten  Gleichung  91  (6):  9  «-  90  •¥  nt  zu 
setzen  ist: 

sin  «'  •  9'  =  +  g  sin  [{m  +  n)t  -+-  H  H-  ?0] 

„  (13) 

*'  =  +  8  m^Tn  C0S  [{m  +  n)  '  +  H  +  9o1 
9',  c'  bestimmen  sehr  nahe  die  Lage  des  Frühlingspunktes  und  die  Neigung 
des  Aequators  gegen  eine  feste  Ekliptik.    Man  sieht  aus  den  Ausdrücken  (13), 
dass  aus  den  Aenderungen  der  Poihöhe  in  diesen  nur  periodische  Glieder  ent- 
stehen, deren  Periode 

2«  2k  2k  A  A 


CR- 


n  C~C*' 


n  A 

daher  etwas  kleiner  als  ein  Tag  ist.    Da  der  Faktor  —  =  ~  nahe  der  Ein- 

ttx  — \-  n  C 

heit  ist,  so  wird  die  Amplitude  der  Schwingung  in  9'  gleich  g  cosec  e'  =  0"-15, 
in  «'  gleich  g  =  0"'06.  In  Folge  der  raschen  Veränderlichkeit  derselben  kann 
jedoch  von  diesen  Gliedern  in  den  meisten  Fällen  abgesehen  werden. 

Um  nun  noch  die  Ungleichheiten  in  9  zu  bestimmen,  die  aus  der  Grösse 
des  OetTnungswinkels  *)  resultiren,  hat  man 
dm  d<l' 

dt=  n  ~  £os  e'  ~Jt  =  «  —  cotang  t'.gn  cos  {mt  h-  9  -j-  // ; 

und  wenn  hier  rechts  für  9  wieder  die  erste  Näherung  9  =  «/ gesetzt  und 
integrirt  wieder: 

9  =  9o  +  nt  -  g  m-z^t  cotang t'  sin  \{m  +  n)  /  4-  ?0  +  H)  (J3a) 

9  =1  90      nt  —  0"- 14  sin  \{m  4-  n)  t  4-  90  4-  II). 
94.  Die  störenden  Kräfte.    Sind  die  wirkenden  Kräfte  Anziehungen  von 
Massenpunkten  und  betrachtet  man  zunächst  einen  derselben,  dessen  Masse  Mx, 
dessen  Coordinaten      V,  C  seien,  so  wird 

')  Bestimmung  der  Nutation  der  Erda«,  Memoiren  der  Petersburger  Academie  der  Wissen- 
1,  Bd.  19,  No.  2. 


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574 


Mechanik  de»  Himmels.  91. 


x'-»"if£v-*r,   r-VM^M-/);  Z-»MXJ£<Z-*) 

«*  =  (P  -  xy  4-    -/)»  +  cc  —  *')». 

Hiermit  werden  die  Drehungsmomente: 

« =       £  (/c  -  *'  V)  «=  »Mxf £  <yc  -  *'v  -h  vc  -vo 
-  c-vjfif  —  cy  -  V)  -  v-  »Mxf  ~  (« o 

und  ebenso  flir  3R,  91.    Führt  man  hier  weiter  das  Potential 
ein,  so  wird 

11"«=  -+-  k*Mx         (*'  -      u.  s.  w. 


(1) 


daher 

d  V        d  V 
=  (2) 

Die  Integralion  in  (1)  bezieht  sich  auf  den  ganzen  Körper,  d.  h.  auf  die 
Coordinaten  x\  y',  «'  desselben.  In  dem  Potential  V  treten  aber  dann  noch 
die  veränderlichen  Winkel  et,,  ß,,  -\x  .  .  .  7,  auf,  da  die  Coordinaten  V,  V,  C 
des  anziehenden  Körpers,  bezogen  auf  das  in  dem  Körper  festen,  mit  diesem 
veränderlichen  Axensystem  variabel  sind.  Statt  dieser  wird  es  besser,  die  drei 
unabhängigen  Winkel  9,  ty,  t  einzuführen,  und  auch  die  Differentialquotienten 
nach  den  rechtwinkligen  Coordinaten  durch  diejenigen  nach  diesen  drei  Winkeln 
zu  ersetzen.    Zu  diesem  Zwecke  hat  man  zunächst  nach  2  (1): 

V  =  M  +  M  +  ß.C  (3) 

Hieraus  folgt  durch  Differentiation  unter  Berücksichtigung  der  Beziehungen 
9t(4):  *  ?  B 


dt' 


daher 


—  7, f  &  4-  7i  w  f  T<  —      «'C  =  +  J^p  7i  ^      7^7  72  Ti  —  «*  «'5 
-^r  C  -  -4^  7»  C  -  «•  «'C  =  4*3  C  sin  <p ß»  -4-      f  V, 


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Mechanik  des  Himmels.  94. 


575 


Hiermit  wird: 

iü  ?Z  iL  IL  aV  i£  iL 
a*/"  ar  af  +  av  af    ac  af 

r  f^zv    ,dv\    Q  tt,dv    „an      ( ,dv  vdv\ 

a  ^    ( a  k      a  k 

j7>  =  »» ?  ^  ac  - 5  av J +  w » V11  ac  - c  ?v  J  • 

Hier  treten  die  Momente  V,  9R,  9t,  direkt  als  Faktoren  ein,  es  wird: 
a  P 

■j^  =  —  j/Vi  ?  j/Vi  t'  \»  -  w  f  sin  c'ÜJl  4-  w  «'W 

ar 

1^  =  +  * 
a  r        .  ^ 


demnach 


a  V      sin  9  dV      sin  9  cos  t*  dV 


^  d  v    cos  9  a  v    cos  9  cos «'  a  P 

9ft  =  4-  .»»  9  -q—  -ä~n  4-   * — ;  5-  (5) 

Sind  mehrere  anziehende  Körper,  so  werden  die  Momente  *f,  *Dt,  91  aus 
einer  Summe  von  Ausdrücken  derselben  Art  bestehen,  und  man  wird  die  Aus- 
drücke (/>)  unmittelbar  verwenden  können,  wenn  man 

V=  l*>M,f  ~  (6) 

setzt»). 

Die  Dimensionen  der  anziehenden  Massen  sind  gegenüber  den  Entfernungen 
derselben  stets  so  klein,  dass  das  Potential  V  nach  fallenden  Potenzen  der  Ent- 
fernung p  nach  No.  88  entwickelt  werden  kann.  Ist 

p>  -  V  4-  i)'  4-  C»  =  61»  4-  V»  4-  C*. 

so  wird  nach  83  (5): 

Die  nur  von  p  abhängigen  Ausdrücke  verschwinden  in  den  Ausdrücken  (2), 

weil 


')  In  (3)  ist  diese«  nicht  möglich,  da       ij\  C  von  dein  Orte  des  anziehenden  Körpers 
abhängen. 


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576 


Mechanik  des  Himmels.  94. 


r>  h.  _  „.  h.  =  ei  _?£      r«       -  »»  iL  _  e.  iL  «  o 

ist,  und  können  daher  in  dem  Potentiale  (7)  ganz  weggelassen  werden.  Aus 
(5)  ist  dies  übrigens  sofort  ersichtlich,  da  sie  von  9,  e,  unabhängig  sind.  Es 
wird  daher,  indem  nur  die  nicht  verschwindenden  Theile  beibehalten  werden 
und  dies  durch  Einschliessen  in  eckige  Klammern  angedeutet  wird: 

folglich  aus  (2): 


1'  = 

P& 

(2?- 

OC'V 

ÜR  = 

P5 

{c- 

91  = 

P5 

(8) 


wo      V»  C  durch  (3)  zu  ersetzen  sind. 

Der  hier  auftretende  Coefficient      ^a  1   kann  anders  ausgedrückt  werden. 

Man  hat  für  die  Anziehung  der  Sonne  nach  12  (10),  wenn  mit  0'  die  mittlere 
siderische  Bewegung  der  Sonne  bezeichnet  wird: 

folglich,  wenn 
gesetzt  wird: 

Wählt  man  als  Einheit  den  mittleren  Sonnentag,  so  ist  k*  die  GAUss'sche 
Constante,  und  0'  die  mittlere  tägliche  siderische  Bewegung  der  Erde;  wählt 
man  als  Einheit  /  Tage  (z.  B.  das  julianische  Jahr),  so  hat  man  (kf)  für  k  zu 
setzen,  und  dann  wird  u  die  mittlere  siderische  Bewegung  in  /  Tagen  (bezw.  im 
julianischen  Jahre). 

Für  den  Mond  ist  ebenso 


wenn  unter  D  die  mittlere  siderische  Bewegung  des  Mondes  verstanden  wird 
Folglich,  wenn 

Mt  _  .., 
Mi 


(10) 


gesetzt  wird: 
Da  nun 


-57- -7  +  7'  (10.) 
A*M'       k*M*  1 


p3  a 


'  (ff 


ist,  so  wird,  wenn  man  für  den  ersten  Coefficienten  seinen  Werth  durch  die 
mittlere  Bewegung  ersetzt,  p  in  Einheiten  der  mittleren  Entfernung  des  anziehenden 
Körpers  von  der  Erde  zu  setzen  sein. 


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Mechanik  des  Himmels.  94.  95. 


577 


Wie  schon  in  No.  93  ausgeführt  ist,  wird  die  Rotationsaxe  in  der  Natur  stets 
nahe  der  Hauptträgheitsaxe  fallen.  Dadurch  tritt  eine  Gruppirung  der  Differential- 
gleichungen ein,  welche  die  Integration  wesentlich  erleichtert.  Es  werden  näm- 
lich /,  q  stets  sehr  kleine  Grössen,  und  da  gleichzeitig  A  und  B  nahe  gleich 
werden,  so  kann  wieder  das  Produkt  (B  —  Ä)pq  vernachlässigt  werden,  Über- 
dies wird,  da  r  der  Hauptsache  nach  die  Rotationsgeschwindigkeit  um  die 
Rotationsaxe  selbst  darstellt,  der  constante  Theil  n  die  Ungleichheiten,  deren 
Summe  mit  r'  bezeichnet  werden  möge,  weitaus  überwiegen,  und  es  wird: 

dr'  91 

Diese  Gleichung  führt  zur  Kenntniss  von  r  unabhängig  von  den  beiden 
anderen.  Die  beiden  anderen  Gleichungen  90  (2)  werden  jetzt  simultane  lineare 
Differentialgleichungen  in  p  und  q.  Zwar  tritt  auch  r  auf;  aber  hier  kann  für 
r  stets  der  constante  Theil  n  mit  Vernachlässigung  von  r'  substituirt  werden, 
da  die  Produkte  (C  —  B)qr\  (C—  A)pr'  unbedingt  vernachlässigt  werden  können. 
Diese  Gleichungen  werden  daher1): 


dp      (C-B  \  8 

dq  (C-A  \  2R 
'dt  ~  \-~B~  n¥  =  -B 


Dieselbe  Trennung  der  Variabein  tritt  nun  in  91  (6)  auf.  Die  dritte  Gleichung 
kann  geschrieben  werden: 

d?  .  dV  ,m  v 

oder 

dm 

—  =  n  -f-  r'  -+-  cotang  e'  {p  sin  <p  H-  q  cos  <j),  (HIb) 
dti 

wobei  die  Ungleichheiten  r'  und  -jj  gegenüber  n  nur  äusserst  klein  sind.  Sie 

dient  zur  Bestimmung  der  Ungleichheiten  in  der  Rotationsbewegung.  Die  zweite 
Gruppe  der  Gleichungen 

dV 

sin  «'  -TT-  =  —  psiny  —  q  cos  <p 

-jj  =  -pcos9  +  qstn9 

bestimmt  die  Lage  (Knoten  und  Neigung)  des  Trägheitsäquators. 

Bei  der  Integration  sind  nun  zwei  Fälle  zu  unterscheiden.  Bei  dem  ersten 
werden  B  und  A  einander  gleich  sein  und  die  Rotationszeit  ist  von  der  Um- 
laufszeit des  störenden  Körpers  wesentlich  verschieden.  Beim  zweiten  ist  die 
Rotationsdauer  gleich  der  Umlaufszeit  des  störenden  Körpers;  der  Unterschied 
zwischen  den  Hauptträgheitsmomenten  B  und  A  ist  nicht  zu  vernachlässigen. 
Der  erste  Fall  tritt  bei  der  Rotation  der  Erde  ein  (Präcession  und  Nutation)! 
der  zweite  Fall  beim  Monde  (Libration). 

95.  Die  Bewegung  des  Erdkörpers.  Setzt  man  2?  =  «4,  so  wird  9t  =  0, 
und  rf  =  0,  da  die  Constante  bereits  in  n  berücksichtigt  ist,  d.  h.  es  wird 

  r  =  n.  (1) 


')  Von  dieser  Trennung  der  Variabein  wurde  bereits  in  No.  98  Gebrauch  gemacht. 

II.  37 


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578  Mechanik  des  Himmels.  95. 

Die  Ausdrücke  92  (5)  erhalten  ebenfalls  eine  wesentliche  Vereinfachung. 
Man  kann  nämlich  an  Stelle  von  V  auch  \V\  schreiben,  so  dass,  in  derselben 
Bedeutung  wie  früher: 

[V]  =  -  W  +  Cr>'*     CZ*  -h(A- Ql'>  +(B- C)  ,'•] 

~  +  3-TjT-  KC  -  4     +  <C  "  *>  W 
daher  für  diesen  Fall 

[v\  =  +  z~y^  (c-A)  (r»   v»)  =  +  i^  <c -  ^)  - 

in^-^J^V-A)!?'.  (2) 
ist.    Führt  man  hier  die  mittleren  Bewegungen  ein,  so  wird 

wo  p®  in  Einheiten  der  Erdbahnhalbaxe,  pt  in  Einheiten  der  Halbaxe  der  Mond- 
bahn auszudrücken  ist. 

Da  nun  ^-  =  0  ist,  so  wird  -j-  =  0,  folglich  91  =  0  übereinstimmend  mit 
dem  früheren  Resultate,  und  weiter 

dV     sin?  dV 

Die  Differentialgleichungen  II  bilden  ein  System,  dessen  Integrale,  wenn  die 
rechten  Seiten  Null  gesetzt  werden: 


(2  a) 


(C-A   \  (C  —  A\, 

p  =  \eos  I — —  n  I  /  -+-  t,  stn  I — —  n  I  / 

t  .  (C  -  A    \  (C  -  A  \ 

q  =  \  stn  I — —  n\t—^cos  I — —  n  \  t 


(4) 


sind,  welche  aus  93  (9  a)  hervorgehen,  wenn  an  Stelle  der  beiden  Constanten 
k,  H  die  beiden  Constanten     »)  durch  die  Beziehungen 

g  n  sin  H*=\  \  gncosH**^ 

eingeführt  werden.  Da  die  Gleichungen  II  linear  sind,  so  kann  man  die 
Methode  der  Variation  der  Constanten  anwenden;  die  Werthe  (4)  werden  eben- 
falls als  Integrale  der  vollständigen  Gleichungen  angesehen,  wobei  aber  »j 
nicht  mehr  constant,  sondern  variabel  sind.    DifTerenzirt  man  die  Gleichungen 

(4)  unter  dieser  Voraussetzung,  so  folgt,  wenn  wieder  Kürze  halber  — ^ — » «=  m 

beibehalten  wird: 

<fp  _      C-A  di  du 

-  =  -j-  nq  +  cosmt-jt  +  stnmtTt 

dq  C-A  .        d\  du  W 

~it =  — a —  nf  **" sm    ~dl  ~~ cos    dl ' 


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und  daraus 


Mechanik  des  Himmels.  95.  579 

Substituirt  man  (4)  und  (5)  in  II,  so  folgt: 

dl  dn  2 

cos  mt  jt  -+-  sm  mt  ^  =  ^ 

d\         r/t)  m 

stn  mt  dt  —  C°S  m   ~dt=  A 

d\      1  ™  . 

dt~  Ä  (    °S  mt  ~l~  stnmt) 

daher  mit  den  Werthen  für  ?  und  5JI  aus  (3): 

d\       1  T         ,  v  d  v       ■  ,  x    \  dV\ 

dl  =  A[-  ?)       -  sm  (mt+  9)  — . 

«1      1  f      .  ,  „       N  *  ^         ,   ,       N    1     d V\ 


(6) 


(7) 


Bei  der  Integration  dieser  Gleichungen  wird  für  die  Integra tionsconstante 
l0  =  ^  n  sin  H\  rio  =  ^«  ^öj  //  zu  setzen  sein. 

Die  Integration  der  Gleichung  (lila)  giebt  sodann: 

<p  =  9o  4-  «/  —  j  cos  t'  -J-  dt,  (8) 

wobei  zur  Bestimmung  des  letzten  Gliedes  bereits  die  Kenntniss  von  -jj 
vorausgesetzt  ist    Aus  den  Gleichungen  (IV)  folgt  aber: 


0) 


und  hier  ist 


dti 

sin  t        =  —  l  sin{mi  -+-  9)      tj  cos(mt  -+-  9) 
dt' 

—  =  -  £  cos(mt  -4-  9)  —  Tj  ««(w/  -+-  9) 

C  — /I  ,  </<!/ 

(»/  -4-  9)  =     ^    «/-+-  90  -+-«/  —  j      1'  <// 

mt  -t-  9  =  ^  «/  -+-  90  —  y  r«  e'        <//.  (10) 

Nachdem   l,  ij  durch  Integration  von  (7)  erhalten  sind,  kann  man  aus  (9) 

dV  C 
-j-  bestimmen,  indem  in  erster  Näherung  für  mt-hy  sein  Werth  ^»f-t-90  sub- 
stituirt wird.  Sodann  erhält  man  aus  (8)  einen  besseren  Werth  für  mt  -+-  9  und 
hiermit  aus  (9)  die  Acnderungen  von  9'  u"d  e'.  Man  kann  jedoch  die  Werthe 
von  l,  J)  aus  (9)  wegschaffen.  Differtnzirt  man  diese  Gleichungen  und  setzt  Kürze 
halber: 

d?    c  ,dy 
m  +  dt  =  An-C0St  dt  =m> 

so  folgt 

d  (        dü'\  dt'  dl  d~n 

dt\smt>~di)  =-+""'  ~Tt  *)  +  9)  -ji 


dü'  dl  df\ 

'sin  «'       —  cos  (mt  -f-  9)  ^/  —  f/";/  (mt  •+■  9)  ^ 


37* 

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580  Mechnnik  des  Himmels.  95. 

Substituirt  man  hier  die  Werthe  aus  (6)  oder  (7)  und  bestimmt  die  ersten 
Glieder  rechts,  so  ergiebt  sich 


oder 


,  dt'       d  f  .    ,  dy\       1       .  m 

m  -dl -dt  (""  e  -Ii )  +  A (l  sm  *  +  m  cos  *> 
,  .    ,  rff  d  (dt'  \       1  ■»  .  » 

ts,n  1  -d7  =  -dt\in)  +  i4  <- 8  ™*  + 

,  d*       d  /  .  ,  dy\       1    a  v 
m  Ii  =  +  Jt\smt  Ii)  ~  AsTi*  Ty 

m>sin>W-    lt±L\+  1  IL 

m  sm  g  -jj  -  -  dt  y-j;] 


(IIa) 


(Hb) 


Bei  der  Integration  würden  die  ersten  Glieder  rechts  ohne  Integralzeichen 
auftreten;  während  also  die  Gleichungen  (9)  Integrale  über  £,  rt,  d.  i.  doppelte 
Quadraturen  enthalten,  werden  in  (IIa)  oder  (IIb)  einfache  Quadraturen  er- 
halten. Es  tritt  aber  noch  ///',  und  in  der  zweiten  Gleichung  sin  1'  als  Nenner 
auf.  Es  sind  aber,  wenn  man  für  m'  seinen  Werth  einführt,  die  linken  Seiten 
von  (IIb) 

C    df  dV  d%'        C      .    ,  dV  ,dV.    ,  dV 

A  nTt  *  C0S  6  Iii  ~di  >      A  n  Stn    ~dt      C0S  '  Ii  "n  '  ~di  > 
schafft  man  die  zweiten  Glieder,  welche  von  der  zweiten  Ordnung  sind,  nach 

rechts,  und  multiplicirt  mit       ,  so  folgt : 


<w     a  dt.    dy\        1  iy_ 

dt  ~~  Cn  dt  X"lt   dt)~  Cnsint'  dy 

(dt\     1  a      t  .  i  (dyy 

U  j  +  r«  Tv  +c»-C05t  smt  \Hi) 


1       ZV       A         dU  dt' 
Cn  dt  dt 

d6'  A    d  fdt'\        1     ZV       A  /v.m\» 

si"''di  =  -r»  Jtl-  ^  ^  — 

Um  die  zweite  Gleichung  zu  integriren,  muss  noch  durch  sin  t'  dividirt 
werden;  da  aber 


in  t'  dt  \di)  ~  dt  \sin  f  dt  )  +  sin*  t'\dt  ) 

d*¥  A    d  (   1  d£\ 

di  ~  ~~  Cn  dt  \stnt'  dt ) 


stn 

ist,  so  wird 

j   rv_ 


A 

cos  * 


^  Cn 

Durch  Integration  der  ersten  Gleichung  (12)  und  der  Gleichung  (12a)  wird 
endlich  erhalten: 

.      1    C    1     W  .t       A     .    ,  d$       AT       ,dy  dt'  . 
£==eo  -Cijsin,'  TVd'+Ci;smg  -di  +  'Cn-J  C°*  *  Hi  Tt  dt 

(13) 

.     ,    1  r  1  dv.    a   \  dt'    a  r    ifdvy     i  (df\n  ; 

*=*°  +Cn J  7in*'Ud'-Cnsl^di  +  Cn J  C0St  [[d7)  ~iinTv\di)  J"' 

7m  den  einfachen  Integralen,  welche  in  den  beiden  ersten  auf  t0  und  <J/0 
folgenden  Gliedern  enthalten  sind,  treten  hier  noch  Doppelintegrale  auf,  welche 
allerdings  von  der  zweiten  Ordnung,  aber,  wie  eine  genaue  Untersuchung  zeigt, 
nicht  ganz  unmerklich  sind1),  sondern  bis  etwa  0"01  ansteigen,  daher  für  den 
Fall,  dass  die  äusserste  Genauigkeit  gefordert  wird,  noch  zu  berücksichtigen  wären. 


')  Vergl.  Orroi.ZKR,   Lehrbuch  zur  Bahnbestimmung  von  Planeten  und  Kometen,   I.  Theil, 
2.  Aufl.,  pag  153. 


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Mechanik  des  Himmels.  96. 


58l 


»6.  Die  Bewegungen  der  Rotationsaxe  der  Erde.  Führt  man  in  die 
Formeln  von  No.  92  die  Bedingung  A  —  B,  r  =  //,  "){  =  0  ein,  so  werden  die- 
selben: 

A  W=  4-  («0,TO  \V%  =  [(wM  -  (»),/>]  n 

AW  =  (*),  i>  4-  (+), SR    (1)         V  -  -  (+),  /]  »  (2) 


=  (.),  e  H-  («),  3H  E'  «=  [(.),  ?  -  (e),  p] 


C  —  A 


n 


A 

Führt  man  für  %       die  Ausdrücke  94  (5)  ein,  so  erhält  man  aus  (1): 

dV  1     d  v 

A1V=  sin  «  sinW  —  |)  ^  _  [sin  t  cos  t'cos  (f  —  <J,)  —  sin  t'cos  ,]  ^  ^ 

^ V  =      (+•  «'""  (+'  -  I)  ^  (3) 

£  K  1     0  K 

=  —      t *m      —      ^  —  [cos  t  cos  t'cos  (<> '  -     4-  sin  e* t]  ^  v-^,  • 

Führt  man  in  (2)  an  Stelle  von  /,  q  ihre  Ausdrücke  durch  91  (5)  ein,  so  folgt: 

1d  '  </«'  'I C  A 

-\-[sin  t  cos  t'cos(<if  —  <|#)—  sin  t'  cos  t)       —  j/'«  e  <{-)i/7/  e'  -Jj  >-  » 

4-  wi';»^-*)  -57  -4- *)««•' —4—  "  (4) 

(  </Y  d<lt'\C—  A 

E'  =  <4-[>w  «  »i        («{*'— f///        t]       -rw  e  sinft'—tysin  e'      >  — ^—  //. 

Die  Ausdrücke  (3)  enthalten  bereits  die  in  den  Differentialgleichungen  92 
(6)  nöthigen  drehenden  Kräfte,  ausgedrückt  durch  die  Differentialquotienten  des 

dt! 

Potentiales  ;  die  Ausdrücke  (4)  hingegen  durch  sin  t       und  ^- .   Diese  letzteren 

können  auch  durch  93  (12)  ausgedrückt  werden.  Die  sämmtlichen  Ausdrücke 
enthalten  überdiess  bereits  die  Werthe  t  und  selbst,  welche  erst  durch  Inte- 
gration der  Gleichungen  92  (6)  bekannt  werden.  Wenn  der  Oeftnungswinkel  *j 
beträchtlich  wäre,  so  würden  <J/  —  <{*  unc*  e'  ~~  E  auch  merkliche  Werthe  er- 
langen. Setzt  man  sie  dann  in  erster  Näherung  gleich  Null,  so  können  bei 
einer  wiederholten  Rechnung  die  bereits  erhaltenen  Werthe  von  <J>,  e  eingeführt 
werden.  Man  kann  daher  die  Ausdrücke  (3)  und  (4)  so  zerfallen,  dass  ein 
Theil  von  (ty'  —  <j>),  (e'  —  e)  unabhängig  wird,  und  der  andere  eine  kleine,  von 
diesen  Grössen  abhängige  Correction  darstellt.    Setzt  man  also 

W  =  IV0  4-  A W  ;    W  =  V0  4-  AT  ;    E  =  E0  4-  AE 
IV  =        4-  A IV;   V  =  W0'  4-  A4  ';    E'  =  E0'  4-  AE' 
und  lässt  bei  den  mit  (C  —  A)  multiplicirten  Ausdrücken  die  Grössen  von  der 
zweiten  Ordnung  von  <|/  —  «|>,  1  —  t  weg,  unJ  berücksichtigt,  dass 

— —  =  — — \  :-=—»  sm{t  —  t)4-  i    .  .  ,  sin*  (e  —  e) 

sin  t      sin  t       sin*  t       v        /     a  sin   e         v  y 

ist,  so  erhält  man 

^^0  =  0  /Fti'  =  0 


und 


 L  -  +  rf/  ^ 


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582  Mechanik  des  Himmels.  96. 

AW-  +  shi.sia(V-Vj7+»«V-')^.  f£  +i  tost' sin'  M'-Qjf 
jiwt  j/«8  e'  L    VT      T/ <?<j/  d«J  1  sint   Ct  ._. 

ar  1    d  v 

AM=-costsinW-y)-^r  +  <l[sin*  \(t'-t)^cosU'sin*  iCf-*)]-^ 

dy\  C-A 


d!  \  A 
4 


A      =  j-  sin(,'  -  «)  jf  -  sin  t'sin      -  4.)  sin  t' 
AUT'  [  dt*  dV \C—j 

AE'  =  |-  cos  t'      (4/'  -  4») ««  e'  -^J 


(8> 

( '  -  ,1 


Die  Ausdrücke  würden,  selbst  wenn  tj  bis  zu  einem  Grad  gehen  würde, 
vollständig  ausreichen.  Berücksichtigt  man  zunächst  die  von  <|»'  —  <J>,  *'  —  s  un- 
abhängigen Glieder,  so  wird 

TT  -  0.  W 


daher  w  constant,  also  w  =  n\  dann  wird: 


dty  1    _1_  dV_      C—A_  d^ 

dt  =  +  A~n  W  77  ~  ~A~  dt 

dt_         J  1_  dV_     C-A  de_ 

dt  =  ~  An  sin  £'  dV         A     dt  ' 


(10) 


Setzt  man  hier  die  Ausdrücke  95  (12)  ein,  so  folgt: 

dj>         l  1_  ZV_     C  —  A   d(dj\      C—A    d  V     C—A     gl  ( <*V  \a 

dt  ~  +  An  sint'  dt'  "•"  Ctism't'  dt\dt )  ~  ACnsint'  dt'  '      Cn  C05t  \  dt  ) 
dt_  1     1     dV    C-A  dt  .    tdJl\      C—A    dV    C—A  td^dt' 

di**~ Ansint'dV~    Cn~dt\SMt  dt  J  +  ACnsint'  0f~     Cn   C°S  *   dt  dt 

daher  in  ähnlicher  Weise  reducirt,  wie  in  95: 

d±  1     1    C  V    C-A  dt  1    dt'\     C  —  A       ,/WV_  J_  /^Vl 

dt  —~*~Cn  sin  t'  et' +  Cn  dt\sin  f  dt )  Cn  C*St\\dt)  sin*  t\dt)  J 
dt  1      1     dV     C  —  A  d  f  .     d<y\      C  —  A        dty  dt' 

dt  Cn  sin-*  dj'  ~  -CT  dt  \"ntli)  ~  -CT  eo%%  Tt  dt  <U> 

oder  integrirt: 

1    C  1     dV j*      C—A    1  dt' 
+  =  *<>  +  C«J  J*7'  ä?      +  ~Cn~  li^'Tt  ~ 


Cn 


e°  ~  CnJ  sint'  ~ 

i  f    tdy  dt' 

-yo5*-di-dtdL 


c—a  .  dy 

-Cn~SMl '  dl~ 


(12) 


C-A 


Vergleicht  man  diese  Ausdrücke  mit  den  Ausdrücken  (13)  der  vorigen  No. 
so  findet  man,  dass  die  ersten  Glieder  in  beiden  identisch  sind,  die  zweiten  und 

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Mechanik  des  Himmels.  96. 


dritten  Glieder  in  <|*  und  t  aber  mit  dem  Coefficient  — ^ —  multiplicirt,  also 

wesentlich  verkleinert  erscheinen.  Während  also  bei  der  Bestimmung  der  Lage 
des  Körpers  selbst  (seiner  Trägheitsaxe)  die  dritten  Ausdrücke  immerhin 
noch  in  gewissen  Fällen  zu  berücksichtigen  sind,  werden  dieselben,  wenn  man 
•die  Bewegung  der  Rotationsaxe  untersucht,  völlig  belanglos,  da  sie  noch 
nicht  0"  00003  erreichen.  Was  die  zweiten  Glieder  in  den  Ausdrücken  (12) 
anbetrifft,  so  wird,  wenn  man  sie  in  erster  Näherung  vernachlässigt,  und  mit 
den  erhaltenen  Wcrthen  von  <|»\  e'  berechnet,  ihr  Werth  in  t:0"0003,  in  «b:0"000G 

nicht  Ubersteigen;  sie  sind  daher  ebenfalls  wegen  des  Faktors  — gr—  ver- 
schwindend.   Man  hat  daher 


tamto-  CnJ  sin  t'  ät' 


(13) 


Es  ist  noch  nöthig  den  Antheil  zu  bestimmen,  welchen  die  Zusatzglieder 
(7)  und  (8)  erzeugen.  Bestimmt  man  aus  9B  (13)  und  96  (12)  die  Werthe  von 
<|/  —  <J>,  t  —  »,  so  findet  man: 


1         dV      1  C       dV  dt1 


(14) 


Nun  ist 


tangtf  —  —  ^  ;       tätigt  =  -  ^  ;       <w  •  —  X,;    w    =  7, 
und  nach  90  (6): 

folglich 

Hieraus  folgt,  dass  e'  —  e  stets  von  der  Ordnung  von  p,  q  und  4»'  —  <!*  von 

der  Ordnung  -i^-.  ,  -fX-r  ist,  daher  nach  91  (5) :  t'  —  «  von  der  Ordnung  von 

dti    d%  </<!>'       1  <*Y 

sin  e'       ,        und  ty'  —  ty  von  der  Ordnung      ,  ^— r      .  Dasselbe  gilt  daher 

von  4»0'  —  <|»0,  s0'  —  a0.  Die  Ausdrücke  (14)  treten  aber  in  (7),  (8)  noch  mul- 
tiplicirt mit  den  störenden  Kräften  selbst  auf;  die  Ergänzungsglieder  (7),  (8) 
sind  daher  mindestens  von  der  zweiten  Ordnung  dieser,  und  können  ebenfalls 
unbedenklich  Ubergangen  werden.  Man  wird  daher  für  die  Bewegung  der  Erd- 
axe  durch  die  Integration  der  Gleichungen  (13)  die  vollständigen  Ausdrücke  er- 
halten1). 

J)  Doch  können  immerhin  kleine  Zusattglieder  zu  den  secularen  Veränderungen  (Präcession) 
Berücksichtigung  verdienen ;  es  würde  aber  die  Ableitung  derselben  an  dieser  Stelle  viel  tu  weit 
fllhren. 


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584  Mechanik  des  Himmels.  97. 

97.  Präcession  und  Nutation.  Die  Entwicklung  der  Ausdrücke  für  4/ 
und  e'  erfordert  nun  zunächst  die  Kenntniss  des  Werthes  von  P  und  seiner 
Differentialquotienten  nach  e'  und  <(/.    Nach  95  (2)  ist 

dt'  P»    (C  ^ca." 

wobei 

C  =  7i  *  ■+•  7>  1  ■+•  7>C  =  —  x/«  f  xm «'S  H-  <w  f  xm «'  ij  4-  cos  «'C  (2) 
ist.  Sind  nun  X0,  ß0  die  geocentrische  Länge  und  Breite,  p  die  geocentrische 
Distanz  des  anziehenden  Punktes,  bezogen  auf  die  feste  Ekliptik  X Y  (Fig.  271), 
so  wird 

%  =»  pcos  ß0  sin  X0 

tj  =  p  cos  ß0  sin  X0  (3) 
C  =  pxmß0. 

Wird  noch  für  den  Faktor — g-1  die  mittlere  Bewegung  eingeführt,  so  wird 
zunächst  für  die  Wirkung  des  Mondes: 
1      dV  3/'*  C—A 

X  ( —  f/»  <|*' ft>x  e'  <w  B0  cos  X0  -+-  <w  ^'  cos  t'  cos  ß0  xm  X0  —  xm  c'  xm  ß0) 
1      dV  3Z'a    C—  A 

n~Cslh~7'  c~f  =  ~  (1+*V  (-w'»+,^?o^o+^'^o"^o+^Ä,V«'*'»?o)>< 

X  (—  cos  ty'sin  t'cos  ß0  <w  X0  —  sin  |' «'»  t'cos  ß0  «'»  X0) 

oder 

1      dV  3Z1»    C  — 

Ä  J?  =-(l+vV  -Tc~  ["'  V°sin  ^  -      +  <WÄWV1' x 

X  [<w  e1  cos  ß0  xm  (X0  —  <|»')  —  xm  e'      ß0]  ^ 

^4?  f£ = +  (T^V  ßo  sin  (X°  ~  *°  *' ßo]  x 

X  [xm  e'  <w  ß0  «.vx  (X0  —  ip% 

wobei  man  zu  beachten  hat,  dass  man  als  Einheit  für  p  die  mittlere  Entfernung 
des  anziehenden  Körpers  zu  wählen  hat,  und  v'  durch  die  Gleichung  94  (10) 
bestimmt  wird. 

Die  Coordinaten  ß0,  X0  des  anziehenden  Körpers  beziehen  sich  auf  eine 
feste  Ekliptik.  Die  wahre  Ekliptik  ist  aber  in  Folge  der  Anziehung  der  Erde 
durch  die  Planeten  etwas  veränderlich;  ihre  instantane  Lage  ist  durch  die 
Theorie  der  Bewegung  der  Erde  gegeben.  In  der  astronomischen  Praxis  nun 
bedarf  man  die  Coordinaten  ß,  X,  bezogen  auf  die  instantane,  wahre  Ekliptik, 
auf  welche  dieselbe  daher  auch  in  den  astronomischen  Tafeln  bezogen  werden. 
Die  Werthe  von  ß0,  X0  sind  demnach  nicht  direkt  gegeben,  und  müssen  aus  den 
durch  die  Störungstheorie  gegebenen  Werthen  ß,  X  abgeleitet  werden.  Die  Lage 
der  wahren  Ekliptik  ist  bestimmt  durch  die  Iünge  VqE  =  II  ihres  aufsteigenden 
Knotens  in  der  festen  Ekliptik,  gezählt  von  dem  festen  Frühlingspunkte  y*0 
(Fig.  276)  und  ihre  Neigung  1t  gegen  diese.  Ist  dann  A0A0'  der  Aequator  für 
eine  gegebene  Epoche,  AXAX*  der  Aequator  für  eine  andere  Zeit,  so  ist  V0B, 
gezählt  in  der  Bewegungsrichtung  (also  über  jf)  der  bisher  mit  <J>'  bezeichnete 
Winkel  (X&  in  Fig.  271)    Hier  ist  aber  <|»  an  Stelle  von  f  zu  setzen,  weil 


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Mechanik  des  Himmels.  97. 


5«5 


AA'  den  Rotationsäquator  und  nicht  den  Trägheitsäquator  bezeichnet.  Daher  ist 
der  kleine  Bogen  V0J9  =  360°  —  <{,  oder  —  <|*.  Winkel  EBAX  ist  der  Winkel  e. 
Für  it  und  II  ergiebt  die  Theorie  der  Störungen  der  Erdbahn,  wenn  man  nur 
die  secularen  Glieder  berücksichtigt: 


wo  nach  I.everrier 

px  =  h-  5»-84  /9  =  -+-  0"  196 
qx  =  -  47-59         q%  =      0  057 


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586 


Mechanik  des  Himmels.  97. 


ist,  wenn  /  in  Einheiten  des  julianischen  Jahrhunderts  gerechnet  wird1).  _In 
Folge  dieser  Bewegung  der  Ekliptik  rückt  der  wahre  Frühlingspunkt  nach  fVsl ; 
die  Strecke  =  a  bezeichnet  man,  obzwar  sie  eine  Folge  der  fortschreitenden 
Bewegung  ist,  wegen  ihres  Einflusses  auf  die  Präcessionserscheinungen,  also 
eigentlich  mit  Unrecht  »Präcession  durch  die  Planeten«1).  Bezeichnet  man  noch 
Ey>1  mit  b,  so  hat  man  mit  den  weiteren  aus  der  Figur  ersichtlichen  Bezeich- 
nungen aus  dem  Dreiecke  SP0Pl,  in  welchem  P0  und  Px  die  Pole  der  festen 
und  instantanen  Ekliptik  sind8) 

sin  ß0  =  sin  ß  <w  rr  —  cos  ß  sin  it  sin  (b  —  X) 
cos  ß0  sin  (II  —  X0)  =  sin  ß  sin  it  4-  cos$  cos  it  sin  {b  —  X) 
cos  ß0  cos  (II  —  X0)  =  cos  ß  cos  (b  —  X). 

Multiplicirt  man  die  zweite  Gleichung  mit  -+-  sin  (II  —  ty'),  die  dritte  mit 
4-  cos  (fl  —  ty')  und  addirt;  sodann  die  zweite  mit  —  cos  (II  —  <J»'),  die  dritte 
mit  4-  sin  (II  —  40  und  addirt  wieder,  so  erhält  man : 

cos  ß0  cos  (X„  —  <!*'/  —  "+-  sin  ß  sin  it  sin  (II  —  t|>')  4- 
4-  cos  ß  [cos  (b  —  X)  cos  (II  —  <]<')  4-  sin  (b  —  X)  sin  (H  —  4»')  cos  it] 

cos  ß0  sin  (X0  —  4*')  =  —  s*n  ß  w* 51  ^  C  —  4'')  4-  (5) 
4-  <w  ß  [cos  (b  —  X)  x/'«  (II  —  4»')  —  xm  {b  —  X)  w  (II  —  4*')  <w  n] 

xr«  ß0  =  -f-  xx»  ß  <w  rc  —  r<?x  ß  sin  ir  xx'w  (£  —  X), 

wodurch  die  erforderliche  Zurückführung  geleistet  ist.  In  diesen  Formeln  tritt 
aber  noch  die  Grösse  b  auf;  diese  ist  bestimmt  durch  die  Seite  II  —  4.  und 
die  anliegenden  Winkel  ir  und  1  in  dem  Dreiecke  EBTX\  es  ist  dabei: 

fang*  (H«)=  tang\ (11  -  *); 

tang\{b  -  a)  =  -  40 

und  hieraus  durch  Reihenentwickelung*) 

±(b  +  a)=Hn  —  ty  +  tang±ttanglnsin(J\  —  ty)-htang*  ^ifang*  $Ksin2(\\  —  ty-h  .  . . 
llb  —  a)=i(U-^)-co^ng^t/ang\T:sin(n-^co/an^\t/an^lr:sin2(l\—^)^  . . . 

1 4-  COS^ C 

b  =  (fl  — ty)  — 2  cotangttang\i:sin(l'\  —  ty+ 2      .  1 1   Awy»|ftxxx»2(ll— 4>)4-  .  .  - 
<x  =  2^<r « fang  \  ic  xx«  (II  —  <|/)  —  4  -r-j-  /<x»^>  £  it  xxxx  2  (II  —  4»)  4-  . .  . 

Hier  tritt  noch  die  Grösse  c  auf,  welche  erst  zu  bestimmen  ist;  setzt  man 
daher  «  =  «0  4  A«,  wo  s0  eine  Constante,  die  Schiefe  der  Ekliptik  für  die 
Epoche  ist,    so  werden  hierin  die  noch  unbekannten  kleinen  Grössen  4»  und  A« 


»)  Vergl.  v.  Oppoizer  1.  c,  pag.  124.  Die  folgende  Ableitung  sowie  die  numerischen 
Werthe  sind  der  Hauptsache  nach  diesem  Werke  entnommen.  Wählt  man  das  julianische  Jahr 
als  Einheit,  so  sind  durch  100;  /,,       durch  10000  zu  dividiren. 

3)  Es  wäre  consequtnter,  die  Strecke  a  auf  dem  festen  Aequator  zu  zählen,  da  auch  der 
Bogen  fl  von  dem  festen  Frühlingspunkt  gezählt  wird.  Bemerkt  mag  schon  hier  werden, 
dass  der  Werth  von  II  beständig  abnimmt  (vergl.  den  Artikel  »Präcession«). 

J)  Es  ist  zu  erwähnen,  dass  180°  —  II  und  demnach  auch  180°—*  massige  Winkel 
sind,  weshalb  man  meist  auch  180°  —  b  =  ö'  in  die  Rechnung  einführt. 

*)  Nach  den  Formeln  : 

n  -  1 

tangy  =  ntangx,       m  =  — - — - 

y  «=  x  ■+-  m  sin  2  x  4  \  m-  sin  4  x  4  \  m*sin  6x4-.-. 


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Mechanik  des  Himmels.  97.  587 


A  cos  t        cos  t0       1  -+-  cos^t*  , 

Ae  -r-r-  =     .     "  -  0  A  t 


vorhanden  sein.  Nun  ist  bis  einschliesslich  Grössen  zweiter  Ordnung  richtig: 
tang\*  =  £  Az/*^  jr  und 

1  1  cos  tQ  .  cos  1 

— —  =    .     ■  r  .  -  Ae  -— - 

1               1  -+-  cos't  w  e0  , 

cotang  t  =  cotang  t0  — —  Ae  — — r-5  =  —  *  —  4  -r-™  A  e. 

Entwickelt  man  dann  noch  sin  (II  —  4»),  j/'//2(H  —  40  un<*  set2t  ^r  rt»»^*  j/«Ilf 
tangtcosli  ihre  Werthe  (4).  so  erhält  man: 

a = /  +  r  *-  -  -?v-  /1 J  -  ^  /.  •  A.  / 

«»«0        L*'wto      ««'«o         J         «««0  stn*t0ri 
b  =  n  -  4*  -  cotangt0px  t  -  ^cotang  t9pt  -  \  '  "V^  '°  /,  (7) 

-f-  ^/aiV«0^1+./+  Ae-/. 

Man  erhält  weiter,  indem  man  innerhalb  der  hier  beizubehaltenden  Genauig- 
keitsgrenzen <J>'  mit  <\i  identificiri,  und  die  zweiten  Potenzen  der  Zeit  weglässt1) 

sinKsin(U  — ty)  =  tangn  sinU  costy  — tangn  cosW  sinty=px  /;  sinn  cos  (U —  40  —  9\* 
cos  (b  —  X)  cos  (II  —  «|»)  ■+■  sin  {b  —  X)  sin  (II  —  4»)  cos  n  = 

=         -(H  —  I)-  X]  +  [cos  [b  +  (II  —  4,)  -  X]  —         -(II  _  4,)  -  X]jiw»iir 

=  <w  x  <™  o  —  (Ii  -  40]  +  j/«  x  sin  [b  —  rn  —  +)] 

=      X  —  sin  X  <-*/<wa^  «0  /,  /  H-  ««  X  ro/a»^  e0  ^ ,  •  <|»  -  f -+- sin  X   •  ,    At  •  / 


<w  (b  —  X)     (n  —  <|0  —  «« (£  —  X)  cos  (II  -  <J0  <w  ic  =* 

=  sin  \  -h  cosX  cotang  t0  px  t  —  cos  X  cotang  t0fxty  •  t  —  cos  \      —  A<  •  / 
sin  n  sin  (b  —  X)  =  cos\  •  pxt  —  sin  X  •  qxt, 

demnach 

cos  ß0  cos  (X0  —  «J»1)  =  -t-  sin  $pxt  -+-  w  ß[<w  X  —  «'«  X  cotang  t0px  t]  -+- 

-+-      ß  jii«  X  ^/a«^  *0  ^1         sin  *  si^t\  A«/| 
cos  ß0««  (X0  —  <|»')  =  —  */«  ß?,  /  -l-  cos  $[sin  \  +  cosl  cotang  t0pxt]  — 

—  cos  ß  |<w  X  <-^a«^  •„  ^,  4»/  -+-  f<7j  X  sj£tt  A«/| 

oder 

rof  ß0  cos  (X0  —  4»')  =  cos  $cos\  ■+■  [sin  ß/j  X  cotang  «0/,]Z 

-+-      X  w  (J  ^<?Ä7^f  e0     4»'  4-      X      ß  t~  ^% '  * 

cos  ß0  j/«  (X0  —  4»')  =  cos  ß  sin  X  —  [«'«  ß?,  —  cos  ß  X  cotang  e0p , ]  /  —  (8) 
—  r<?f  X  cos  ß  cotang t0oxtyt  —  cos  \  cos  $  A«  •  / 

sin  ß0  =      ß  —  [cos  ß  cosXpx  —  cos  ß  Xf  J/. 


')  Die  Glieder  mit  den  Produkten  von  px,  ql  und  A(,  41  tur  «wei'en  Ordnung  werden 
vorerst  noch  beibehalten,  um  den  Einfluss  von  <j/,  Ac  zu  Ubersehen;  für  die  zweite  Potent  von 
/  vergl.  Otpolzer,  L  c.  pag.  163  ff. 

Man  erhalt  überdies«  für  die  wahre  Schiefe  der  Ekliptik  i, : 

1  stnb 

und  hieraus  nach  einigen  leichten  Reductionen  (vergl.  v.  OrroLZER,  1.  c,  pag.  161): 


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588  Mechanik  des  Himmels.  97.  93. 

Es  ist  hieraus  ersichtlich,  dass,  wenn  man  nur  die  Glieder  erster  Ordnung 
berücksichtigt,  und  Ae  in  diesen  Ausdrücken  nicht  vorkommen.  Ae  tritt 
allerdings  noch  in  den  Ausdrücken  (4)  auf,  wenn  t1  durch  t  4-  Ae  ersetzt  wird; 
es  wäre  dann: 

«Vi  e'  =  sin  c0  4-  cos  «0Ae;      cos e'  =*  cos  i0  —  «Vi  «0A«; 
cotang  t*  «=  cotang  e0  —  cosec*  t0  Ai. 

A  e  ist  aber,  wie  die  Durchführung  der  ersten  Näherung  zeigt,  von  der  zweiten 
Ordnung  gegen  <J»I  ein  seculares  Glied,  welches  von  der  ersten  Potenz  der  Zeit 
abhängt,  tritt  in  Ae  überhaupt  nicht  auf,  so  dass  in  der  ersten  Näherung  hier  «' 
mit  t0  identificirt  werden  kann.    Dann  wird  bis  auf  Grössen  erster  Ordnung: 

cos  ß0  sin  (X0  —  <J/')  4-  cotang  e'  «Vi  ß0  =  cos  ß  sin  X  4-  cotang  «0  «Vi  ß  4- 

4-  (cos  ß  «Vi  X  cotang  e0  —  sin  ß)  q  x  t 
cos  t'cos  ß0«Vi  (X0  —  <J>')  —  «Vi  e'«Vi  ß0  =  cos  ß  «Vi  X  cos  e0  —  «Vi  ß  «Vi  t0  — 

—  (cos  ß  «Vi  X  «Vi  «0  -t-  «Vi  ß  cos  e0)^1  /  -+-  cos  ß  cos  X  cosee  t0px  t  *  ' 

«Vi  e'  r<?*  ß0  cos  (X0  —      «=  cos  ß  <w  X  «Vi  t0  4-  («Vi  e0  «V»  ß  —  cos  ß  «Vi  X  tw  c0)/1  /. 

Multiplicirt  man  diese  Ausdrücke  in  der  in  (4)  angegebenen  Weise,  so 
erhält  man  endlich: 

(    1    1Z\  = 

\nCsint'  dt')l 

=  {+  «**  P"'«2  *  ""«o  +  <™ß  "* P       7^  -       P<™  «oj 

3Z'»    C—A\(    Qn  .  ^cos%t0       .  n     „  .  ,  .  .A  rttf  2e0\  # 

4-         ß«V;  X  <w  X        e0  -»-  sin  ß  <w  ß  cos  X  /  j  J  / 

(»C«Vie'  ^),=t= 

3Z'»    C— ^,        ......  , 

=  -+-  .   -     ,:   ,  ^r-j-H  CW!  ß  Sin  )  COS  X  ««  e0  -+-  SM  ß  <W  ß  COS  X  <VJ  e0J  4- 

\  l  ~~T~  V  )  p        /I  U 

3Z'a     C  f 

4-  ^  -t-v')p8    wC  P5,'ff  *  f<?,r  *  ^  eo  —  sm  P  ^  P  cos  *  s'n  eo)}y*i  ~~ 

—  ^«Vi  ß  cos  ß  sin  X  -J^-5  4-  *w  8  ß««f  \cos  e0  —  «Vi*  ß cos  e0^  />,  J  t. 

Für  die  Wirkung  der  Sonne  ist  ß  =  0  zu  setzen,  und  es  wird: 

[  1  *n  _ 
\nCsin*'  dt')~ 

30"  CWj  /  .       <w2e0  .  .  \  1 

/    i  an" 

\»C«Vie'  dVJ~ 

30"     C  —  A.  , 
=  (14-  v)Pi8    „c  \sin  X* 'w    sm  '«  "•"  (w*  Xi eos    w  'o^i  —  w** xi  fM  «o^i)^!- 

98.  Numerische  Werthe.  Für  ß,  X  sind  die  geocentrischen,  auf  das  wahre 
Aequinoctium  bezogenen  Coordinaten  des  Mondes,  für  Xj  die  geocentrische, 
wahre  Länge  der  Sonne  zu  setzen;  von  der  Wirkung  der  Planeten  kann  man 
absehen.  Ist  (£  die  mittlere  Anomalie  des  Mondes,  0  diejenige  der  Sonne,  ft 
die  Länge  des  aufsteigenden  Mondknotens,   cd  der  Abstand  des  Mondperigeums 


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Mechanik  des  Himmels.  98. 


589 


von  dem  aufsteigenden  Mondknoten,  u,  der  Abstand  des  Sonnenperigeums  von 
demselben,  so  wird,  wenn  nur  die  Hauptglieder  berücksichtigt  werden: 

U(+«»+fl  +  60  17'-3  sin  l  4-  1°  16'-5  sin  (C  —  20  4-  2a»  —  2^)  4- 
-I-  39'-5jw(2(£  —  20  4-  2a>  —  2a»,)  —  IV-2  sinQ 
sin  \  =  4-  0-9968  w»  ( ([  4- a»  -(-  ß)  —  0  0550  sin  (a>  4-  ft)  4-  0  0546  j/'«  (2  (£  4-  a»  4-  ft)  — 

—  0  0114  sin  (20—  a>  4-  2a»,  4-  ft)  4-  0  0108  sin  (2  (£  —20-»-  3a>  —  2u>,  4-  ft) 
^;  Ä  =  +  0  9968  cos ( ([  -+-  a»  -+-  ft)  —  0  0550  cos  (a»  4-  ß)  -1-  0*0546  <w(2  £  4-  a»  4-  ft)  — 

—  0  01 14  cos  (20-u  +  2a»j  -4-  ß)  4-  0  0108  w  (2  £  —  20  -+-  3a»  —  2a»,  4-  ft) 
j/«  ß  =  4-  0  0894      (£  -+-  a»)  —  0  0048  «'»  u»  4-  0  0049  ;m  (2  £  +»)  + 

4-  0  0030  sin  (£  —  20  4-  a»  —  20»^ 
<w  ?  =  4-  0-9980  4-  0  0020  cos  (2  £  4-  2  a») 
p"3=  1  0047  4-  0  1 644  <w  £  —0  01 34  cos  2  £  -f-0'0315  <w(£  —  204-2 a»-  2 a>,)4- 

4-  0-0266  <™  (2  £  —  20  4-  2a»  —  2a»,) 
X,=04-a»14-ft4-  1°  55'*6  sin  0 
Pl-s„  1-0001— 00 168  <w0. 

Der  Werth  von  e0  ist  für  1850  0: 

*o=  23°27'31"-8,       »o  =  0*3981,  cos  «0  =  0-9173,  =  17158 

log  sin  t0  =  9  59998;  log  cos  t0  =  9  96253;  log  =  0'23447. 

Bei  der  Integration  der  Ausdrücke  96  (13)  treten  in  den  periodischen  Gliedern 
gewisse  Integrationsdivisoren  auf.  Haben  die  Ausdrücke  Z',  £',  0',  o»',  u»^,  ft' 
die  bisher  gewählte  Bedeutung,  so  wird  z.  B.  £  =»=  £0  4-  £'/  u.  s.  w.,  folglich 


cos  Stcn05  (H+P0  +  K«  +  K  +  «Ä) 

^  •  (*£  4-004-Tu>4-3«i,  4-  t&)dt=  ±  — —  .  ;  — — - 

sm\  ^  1  1       co/  o(['  4-  ß0'  4-  70»'  4-  öo>,'  4-  «ft 

Ks  bleibt  dabei  ganz  gleichgültig,  welche  Zeiteinheit  man  wählt;  da  nämlich 

Z'  *    0  * 

in  dem  Coefficienten  der  gemeinschaftliche  Faktor  — ,  auftritt,  so  wird 

Z'  0' 

— ,  —  eine  Verhällnisszahl  sein,  und  der  zweite  Faktor  Z',  0'  im  Zähler  mit 
n  n 

den  Ausdrücken  a£»  4-  B0'  4-  fu»'  4-  8«>,'  4-  «ft'  wird  wieder  nur  Verhältniss- 
zahlen geben;  zum  constanten  Gliede  der  Entwicklung  tritt  der  Faktor  Dt 
bezw.  0'/;  es  werden  sich  daher  /  und  Z',  0'  auf  dieselbe  Zeiteinheit  beziehen. 
Die  periodischen  Glieder  wird  man  aber  noch  durch  arc  1"  zu  dividiren  haben, 
um  die  Coefficienten  in  Bogensecunden  zu  erhalten.  Es  seien  also  ©',  £\  "»'» 
mi\  ft'  die  mit  arc  1"  muhiplicirten  mittleren  Bewegungen  in  einem  Jahre,  so 
wird  auch  n  die  mit  arc  1"  multiplicirte  Rotationsgrösse  der  Erde  in  einem 
Jahre  sein;  da  die  Rotation  in  einem  Sterntage  360°  ist,  so  wird  in  einem 
julianischen  Jahre  die  Drehung 

36525  1296000-/, 

wenn  /  das  Verhältnis  des  mittleren  Sonnentages  zum  Sterntage,  also  log  /  = 
00011874  ist.    Hiermit  wird: 

Z'  =  4-  83-997 1         oi«  =  4-  1  04776 

£'  =  +  83-2869       0»,'  =  4- 0-33786  (1) 
0'  =  4-  6  2830        ft'  =  -  0-33757 
n  =  4-  2301-218. 


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S90  Mechanik  des  Himmels.  98. 

Für  den  gemeinsamen  Faktor  vor  der  Klammer  sind  die  in  Bogensecunden 
ausgedrückten  mittleren  Bewegungen  in  derselben  Zeit1): 

(£')"  =  17325610";        (0')"  «=  1295977",  (2) 
womit  die  Coefficienten  sofort  in  Bogensecunden  erhalten  werden. 

Unter  den  Integrationsdivisoren  können  einzelne  für  specielle  Werthe  der 
a,  ß  .  .  .  kleine  Werthe  erreichen;  dann  werden  die  bezüglichen  Glieder  besonders 
vergrössert,  und  speciell  zu  berücksichtigen.  Dies  wird  der  Fall  sein,  wenn  im 
Nenner  einer  der  drei  rechts  stehenden  Divisoren  für  sich  allein  auftritt. 

Betrachtet  man  nun  in  den  Ausdrücken  97  (10)  und  (11)  die  von  /  unab- 
hängigen Glieder,  so  ist  <w*ß  nahe  constant,  genähert  0  998,  sin*  ß  sehr  klein, 
das  Hauptglied  wird  '  (0  0894)»  sin*  (£  4-u>),  daher  in  sin*$cost0: 

0-0018  [1  —  cos  2  (C 

Dieses  Glied  wird  bei  der  Integration  nicht  vergrössert.  In  den  Ausdrücken 
sin*  X  und  sin^cos  X  erhalten  die  grössten  Glieder,  abgesehen  von  dem  in  sin*  l 
enthaltenen  constanten  Gliede  das  Argument  2((£  -4-  ">  4-  &),  welches  durch  die 
Integration  ebenfalls  nicht  vergrössert  wird.  Hingegen  entsteht  in  den  Aus- 
drücken sinfisin^  durch  Multiplikation  der  beiden  grössten  Glieder  ein  Ausdruck 
mit  dem  Argument  Ditses  wird  bei  der  Integration  wesentlich  vergrössert, 
und  giebt  sowohl  in  als  in  e  die  grössten  periodischen  Glieder.  Die  Ent- 
wickelung  selbst  giebt,  wenn  man  nur  die  grössten  Glieder  ansetzt'): 

d^  1  oV_ 

dt  ~  n  Csin  V  dt'  " 

3Z,J  (C  A\  i 

=  —  (  —C~J  |4-  0  4553-  0  4532  cos  (2C      2/0  4-2  ft)  4-  0  07699  cos 

4-  0075 1  cos  C  4-00 1 44cos(  1  -  204- 2<o—  2tu4  )-+-0  0 1 22  cos(2 £  —  204-2o>— 2u>,  )4- 
4-00128<w(([4-2u>4-2ß;— 0  086Srw(3£  4-2o>4-2ß)— 0  0115^(4<I -f-2o)-f-2ß)— 
-OO165^(3C-20  +  4a.-2ü,1-h2ft)-OO139<rw(4C-20-+-4«>-2o>1-h2ft)— 

-  00761  ^j(2C  +2«H-ft)— 00145<w(3([  4-2<"4-&)4-O-OO21<w(204-2u>,  4-ß)J— 

-  (^^)  {+  0  4588  -  0  4584  <w(20  +  2«»,  +  2ß)  + 

4-  0  0231  cosQ-  0-0269 <w(30  +  2«»,  +  2ß)+  0  0038  cos  (0  +  2«,  +  2ß)J  (3) 

^>  =~  ^c4iT'         -        (^C^f-1- 0  1 966^(2  (T  -H2-H-2Ä)- 0  04 1 1 6,/«ft- 

— 0*  0065f />/(  <£  -h 2  «"-f-2ß) -H 0  03 7 7  j/w ( 3  C  H- 2»«-l- 2ft ) -H 0  004 9* /»(4  C  -»- 2  «>-l- 2ß>) -I- 
4- 0-007 1  sin  (3 1 -204-4"—  2u> ,  -|-2ß)4-000  59  sin  (4  <£  -20+4  «>-  2  "» ,  4-2  A)-r- 

4-  0  0407  sin  (2  C      2o>  4-  ß)J  - 

-  (^-)j+0  1989*m(2G+2^ 

l)  Es  ist  auch  für  die  Sonne  ein  Unterschied  zwischen  der  siderischen  und  anomalistischen 
Bewegung  tu  machen;  (0')"  'st  die  siderischc,  0'  die  anomalistische  Bewegung;  deT  Unter- 
schied ist  jedoch  für  die  Sonne  sehr  gering  (0-C0029). 

*)  Hierin   ist  der  constante  Theil  des  ersten  Gliedes  in  ( ^7  J  i ;  4-  0'4590,  des  dritten 

Gliedes  —  0  0037.    In  beiden  Ausdrucken  entstehen   die  Glieder  mit  0&  oder  2ft  aus 
ersten  Gliede,  diejenigen  mit  1&  aus  dem  zweiten  Gliede. 


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Mechanik  de»  Himmels.  98.  59* 

Hieraus  ist  zunächst  zu  ersehen,  dass  in  «j»  ein  seculares  Glied  auftritt,  da 
die  Entwicklung  mit  einer  Constante  beginnt.  Diesen,  mit  der  Zeit  /  beständig 
wachsenden  Theil  nennt  man  die  Präcession;  die  periodischen  Glieder  die 
Nutati on  in  Länge.  In  *  tritt  in  dieser  Näherung  ein  seculares  Glied  nicht 
auf,  sondern  nur  periodische  Glieder:  die  Nutation  in  Schiefe1). 

Da  in  den  Ausdrücken  für  sin  X  und  cos  X  die  Coefficienten  derjenigen 
Glieder,  welche  dasselbe  Argument  haben,  dieselben  sind,  und  nur  sin  und  cos 
miteinander  vertauscht  erscheinen,  so  werden  die  Glieder  der  beiden  Produkte 
cos  6  sin  ß  sin  X  und  cos  ß  sin  ß  cos  X  dieselbe  Eigenschaft  besitzen ;  die  Glieder  mit 
cos  ft,  bezw.  sin  ft,  welche  aus  diesen  Produkten  hervorgehen,  müssen  daher 
auch  denselben  Faktor  haben;  er  ist  004487.    Das  zugehörige  Glied 

dty  .  3Z'>  C—  A  nniia„  cos  2«0 

in  -f.  ist  -  r—r  0*04487   7 — *  cos 

dt  1+V     »C  stn  »0 

dt         3Z**    C-A  nnitQn  .  ft 

in  dl  ''       i  +  v'     nC    '  0  04487  C0S  ■•  sm 

Hieraus  erhält  man  durch  Integration  die  von  der  Bewegung  der  Knoten 
abhängigen  Glieder:  (ty)sin£l,  bezw.:  (t)  cos  &  und  zwar  ist: 

3Z"   C—A  004487  cos  2 ta     /%  3/'*   (C—^)  004487 

<♦)  TT7>-nT-  -ft~  ^70  i  «  -  +  7^7.   V 

Es  ist  folglich 

(4»)  2cos2t( 


(«)  j/«  2«0 


=  -  2  cotang^tQ  =  -  18704.  (4) 


d&  dt 

Integnrt  man  die  beiden  Gleichungen  für  ^-j  und  ^ ,  so  folgt*)  zunächst 
für  die  Hauptglieder: 

+=*o-7^^-4"!7888351'''-395^^ 

-  TZT  ^-7^  %  |594590"/  -  47276"««  ^20  -+-  2»j  +  2ft)j 

3      C-AD  W 
t  =  •,-—-  — c~  —  {-  21 12499"f«ft- 20277" w(2<[  -t-2*  +  2ft)) 

-  rqr;  ^7=^  X  l~  20583"  «v(2©  +  2«»!  +  2ft)|. 

C  —  A 

In  diesen  Ausdrücken  ist  jedoch  ein  Coefficient  — ^ — ,  der  in  Anbetracht 

der  unbekannten  Dichtevertheilung  in  der  Erde  als  völlig  unbekannt  angesehen 
werden  muss;  und  ferner  eine  nicht  genügend  bekannte  Grösse  v\  welche  das 
Verhältniss  der  Erdmasse  zur  Mondmatse  darstellt.   (1  -+-  v  kann  dabei  gleich  der 

Einheit  gesetzt  werden,  da  es  von  der  Einheit  nur  um  verschieden  ist. 

Der  erstere  Coefficient  lässt  sich,  wenn  man  gewisse  Daten  der  Beobachtung 
entnimmt,  direkt  ziemlich  sicher  bestimmen,  und  auch  v',  wiewohl  mit  bedeutend 
grösserer  Unsicherheit.  Diese,  der  Beobachtung  zu  entnehmenden  Daten,  sind 
daher  zwei  (abgesehen  von  den  Constanten  <|/08),  e0,  welche  für  den  vorliegenden 


')  In  der  xweiten  Näherung  tritt  ein  von      abhängiges  Glied  hinxu 

')  Es  entsteht  i.  B.  aus  dem  Gliede  +  0  07699  tos  &  das  IntegTal  +  0  07699 

n.  s.  w.  Die  constanten  Anfang'glicdcr  geben  die  Integrale  -r-0*4568(Z.')"/  und  -MM588(Q')"/. 

J)  <|>0  kann  gleich  Null  gesetzt  werden,  da  die  Wahl  des  Anfangspunktes  der  Zählung 
fttr  /  beliebig  ist 


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592  Mechanik  des  Himmels.  98. 

Zweck  nicht  verwendet  werden  können):  die  Constante  der  allgemeinen 
Präcession  und  die  Constante  der  Nutation;  erstere  ist  das  jährliche 
Zurückweichen  des  Fitihlingspunktes,  letztere  der  Coefficient  von  cos  &  bei  der 
Nutation  in  Schiefe;  der  Coefficient  von  sin  bei  der  Nutation  in  Länge  ist 
mit  diesem  durch  die  Relation  (4)  verbunden.  Nimmt  man  für  letztere  nach 
Nyren: 

(0  =  9"2365, 

für  erstere  nach  Bessel  für  1850: 

/  =  50"  23572, 
so  folgt  zunächst  aus  dem  Werthe  von  t: 

+  rr-,  --2112499"  =  9"2365 

1  +  v'      C  n 

und  damit1) 

C~CA  =  000011979.  (6) 

Berechnet  man  hiermit  die  durch  den  Mond  bewirkte  Präcession,  so  wird 
der  Coefficient  derselben: 

3     C  —  A  V 

-  •  7888351  =»  —  34"  4851. 


1  -h  v'      C  n 

Die  Grösse  der  Zurückweichung  des  Frühlingspunktes  wird  aber  gegeben 
durch  die  Strecke  Cyx  =  £  —  11  =  /,  wenn  X^E=CE  ist.  Es  ist  aber  nach 
97  (7)  abgesehen  von  Gliedern  höherer  Ordnung: 

/=<*  —     =  —    —  cotang  «0  •  / 1  / 

oder 

<{,  =  —  /—  cotang  «o/j  /  =  —  50"-3703. 

Hieraus  folgt  für  den  durch  die  Sonne  bewirkten  Theil  der  Präcession  der 
Coefficient: 

3     C  —  A  0' 


1+  v      C  n 
und  hieraus 


594590"  =  -  (50"-3703  -  34"4851)  =  -  15"8852 

Y^n  =  0  0097851  •  (7) 

Da  v  als  verschwindend  angesehen  werden  kann,  so  folgt  hieraus 

^=r^  =  00032612    und  ^^  =  0  0032719  (8) 
und  hiermit  aus  (6) 

,  00097836 
1  +  v  888  000011979  =  8l'68' 

folglich  v'  =  80-68,  die  Mondmasse  der  Erdmasse.    Diese  Werthe  geben 

für  die  Coefficienten: 

3Z'a  C  —  A  1 

 jt-  -±-{ ,  =  75"753,   log:  1879400 

n         C      1  -H  v 

3'T)'a  C-A  1 

-,  =  34"623,    Zog:  1  539370. 


1+v' 


»)  Derselbe  Werth  miisste  natürlich  in  Folge  der  Relation  (4)  aus  dem  Coefficienten  too 
sin  &  in  folgen. 


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Mechanik  des  Himmels.  98-  99. 


593 


Multiplicirt  man  die  Reihen  (3)  mit  diesen  Coefficienten  und  integrirt  unter 
Berücksichtigung  der  in  (1)  angegebenen  Aenderungen  der  Elemente,  so  ergiebt 
sich  schliesslich1)  (/  in  Einheiten  des  julianischen  Jahres): 

<|>  =  50*'-3703  /  —  (V'.OOO  10888  /* 

-  17,(-274  ««ft  ■+■  0"  209  x/«2ß  4-  0"'068x/«  C  -I-  0"  01 1  sin  (£  4-  2ü»  +  2ft)  4- 

4-0"015xm(C  -20  4- 2« -2«»,) 

-  0"204sin  (2  <£  4-  2"  4-  2&)  -  0"026  sin  (3  C  +  2»  +  3ft)- 

—  0"034  sin  (2  <L  4-  2  tu  4-  ft)  4-  0"  012      C2  0  4-  2  «*>,  4-  ft) 
4-  O"127xm0-  1"  263««(20  +2»,  +  2ß)-  0"  049  sin  (30  4-  2«»!  4-2  ft)  4- 
4-  0"'021      (0+2«.,  +  2fl) 
«  =  c0  4-  0"  000007 13/» 
4-  9"  236  cos  ß  —  0"-090  <w  2  ß  4-  0"089  cos  (2  £  4-  2  <■>  4-  2  ß)  4- 

4-  0"01 1  cos  (3  C  4-  2  o>  4-  2  ft)  4-  0".018  <w  (2  C  4-  2  «>  4-  ft) 
-r-  0"-648  «j(20+2»,  +  2ß)  +  0"021  w;(30  +  2«.,  +  2ß). 
Hierbei   bedeutet    die  erste  Zeile  die  lunisolare  Präcession  (Mond-  und 
Sonnenwirkung  vereinigt),  die  zweite  und  dritte  Gruppe  in  <|*,  und  die  zweite  Gruppe 
in  c  die  Mondnutation,  die  letzte  Gruppe  die  Sonnennutation2). 

»9.  Aenderungen  der  Hauptträgheitsaxen.  Die  bisherigen  Ab. 
leitungen  setzen  voraus,  dass  die  Hauptträgheitsaxen  in  dem  Körper  unveränder- 
lich wären.  Bei  absolut  starren  Körpern  ist  diese  Annahme  allerdingszutreffend; 
aber  die  Erde  ist  nicht  als  absolut  &tarr  anzusehen.  Die  auf  derselben  statt- 
findenden stetigen  Veränderungen,  sowie  grosse  Katastrophen  bewirken  Massen- 
verschiebungen, in  deren  Gefolge  nothwendig  eine  geänderte  Massenlagerung 
Platz  greift,  die  mit  Verschiebungen  der  Hauptträgheitsaxen  verbunden  ist. 

Seien  für  ein  rechtwinkliges  Axensystem,  welches  durch  den  Schwerpunkt 
eines  gegebenen  Körpers  sonst  ganz  beliebig  gelegt  ist,  die  auf  die  sämmtlichen 
Massenelemente  ausgedehnten  Summen 

A=  f(y>  +  z*)dm         D  =  Jyzdm 

B  =  J(x*  •+-  z*)dm  £  =  fxzdm  (1) 

C  =  j (x*  4-  y*)dm         F  =  jxydm 
berechnet  ;  dann  wird  das  Trägheitsmoment  für  eine  durch  den  Schwerpunkt, 
d.  i.  den  Coordinatenursprung  gehende  Rotationsaxe  G,  welche  mit  den  drei 
Coordinatenaxen  die  Winkel  et,  ß,  7  einschliesst: 

7-^fW»o4  £cos'$-+-  Ccos*i—  1Vcos$cosi  —  2£cosacosf  —  1Fcos*cos$.  (2) 
Trägt  man  auf  der  Rotationsaxe  vom  Schwerpunkt  aus  Strecken  auf,  welche 
dem  reeiproken  Werthe  der  Quadratwurzel  aus  dem  zu  dieser  Axe  gehörigen 
Trägheitsmomente  gleich  sind,  so  wird  auf  der  Rotationsaxe  ein  Punkt  be- 
stimmt, dessen  Coordinaten 

*~yT'        71  ~  y/f'  VT  {  ) 

sind.  Die  Gesammtheit  aller  dieser  Punkte  bestimmt  ein  dreiaxiges  Ellipsoid, 
dessen  Gleichung 

  AV  4-  Br?  +  CC»  -  2Z>rt-  2£tt-  2^1)  -  1  (4) 

')  Das  Resultat  ist  dasjenige  der  zweiten  Näherung  (wobei  auch  die  Glieder  mit  /3  auf- 
genommen sind)  aus  Oppolzkr,  1.  c,  pag.  183,  wobei  aber  alle  Glieder,  die  kleiner  als  0"Ol 
sind,  weggelassen  wurden. 

•)  Uebcr  die  Anordnung  der  Formeln  zur  Reduction  der  Beobachtungen,  s.  die  Artikel 
•  Präcession«,  »Nutation«  und  »Ort«. 

II.  38 


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594 


Mechanik  He«.  Himmels.  99. 


ist.  Der  Raditisvector  eines  Punktes  dieses  Ellipsoides  bestimmt  das  Trägheits- 
moment um  die  in  der  Richtung  dieses  Radiusvectors  gezogene  Rotationsaxe. 
Die  drei  Hauptaxen  des  Ellipsoides  bestimmen  demnach  die  Haup'.trägheitsaxen. 
Wird  daher  das  Axensystem  in  diese  hineingelegt,  so  wird  für  dieses  specielle 
Axensystem  D  =  0,  E  =  0,  F  =  0  und 

T=  Acos*  a  +  B cos*  ß  +  Ccos*  7.  (5) 

Die  Grössen  A,  B,  C  sind  die  Hauptträgheitsmomente  selbst. 

Es  möge  nun  in  einem  Punkte,  dessen  Coordinaten  x0,  y0,  z0  sind,  eine 
Masse  m  hinzugefügt  werden,  und  sei 

//  =  m(x0*  +  *0») 
k  =m(xf  +  y0*) 

so  werden  die  Ausdrücke  (1)  in  (A  -t- g). 
Aber  es  werden  die  drei  ersten  Summen  nicht  mehr  die  Hauptträgheitsmoroente 
darstellen,  indem  nunmehr,  bezogen  auf  das  System  der  ursprünglichen  Haupt- 
trägheitsaxen  die  Gleichung  (5)  in 

Tx  =  {A     g)  cos*  a  +  (B  +  h)  cos*  ß     (C     k)  cos*  7  — 
—  2  d  cos  ß  cos  7  —  2  e  cos  <x  cos  7  —  2/ cos  a  *w  ß 

übergeht.    Die  neuen  Hauptträgheitsmomente  ergeben  sich  als  die  Lösungen 
js  der  Gleichung  dritten  Grades 


(6} 


</  =•  myQz0 
c  ™  ;w.v0z0 

/=  f»x0y0, 

(B  -+-  >*,\  (C  +  k),  d,  c,  /  übergehen. 


s-(A  +  g)         J  c 
f         s-(B  +  /i)  d 


und  die  Richtungswinkel  X,  [i,  v  der  zu  einer  der  Lösungen  s  gehörigen  Haupt- 
trägheitsaxe  sind  bestimmt  durch  die  Gleichungen: 

cos  Ucos^.cos^  d{s  _  A  l_  ^  _(/:  r{s  _  B!_  k)_ä/  :  /{s^c\k)_de  ■  (9) 

Es  soll  nun  vorausgesetzt  werden,  dass  die  hinzugefügte  Masse  m  einen  sehr 
kleinen  Bruchtheil  der  ganzen  Masse  betragen  möge.  Dann  wird  die  eine 
Wurzel  sx  sehr  nahe  A  •¥  g,  die  zweite  s9  sehr  nahe  B  +  //,  die  dritte  st  sehr 
nahe  C-f  k  sein;  sei  also 

St*=  B  +  h  +  xt\      s%  =  C  +  k  +  x%  (10) 

und  setzt  man 

{A+g)-(B  +  h)=%„    [C+k)-{A+g)  =  Syx    (2?  +  4)_(C+*)  =  ds, 
(*  +  *)-M  +  *)«»„    ^+f)_(C+*;-d1$    (CH-*)-(2?+/4)  =  a„(ll) 


so  ergeben  sich  die  Correctionen  x  aus  den  Gleichungen: 


0JS  =  —  8 


32 


•r, 


=  0; 


oder  entwickelt: 

*.,+  ^»ii  +  »,,)  +  *.[».»»,.-(^+^Vä)]-(',^i+/,»i.-2^/)-0 
^^^|f^11+ftn)  +  .r2^ftnl»53-(rf^^>+/^)]-(^S1+/»»lr2^/)=0  (12) 


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Mechanik  des  Himmels.  99. 


595 


Jede  dieser  Gleichungen  hat  drei  Wurzeln;  von  diesen  ist  jedoch  nur  jene 
zu  ermitteln,  welche  der  Verschiebung  der  betreffenden  Hauptträgheitsaxe  ent- 
spricht, d.  h.  die  numerisch  kleinste.    Dann  ist 

cos  X ,  :  cos  „ ,  :  cos  v ,  =  j^-^ :  -^_L__  .  f  ^ +\x)  ä( 

cos  X,  :  cos  ^  :  cos  v,  =  d^x  +  x%)_e/ '  J^ZTJ/  7(dtg +  0 3) 

1   1  .  1 

cos  X.  :  cos  u.  :  cos  v.  *=  ,  rft  r  v :  — jk  ;  %  t> :  j-  t,  • 

Es  sind  nun  drei  Fälle  zu  unterscheiden: 

1)  Die  d  und  die  d,  e,  /  sind  von  derselben  Ordnung;  in  diesem  Falle 
werden  auch  die  *  von  derselben  Ordnung  sein,  und  es  werden  totale  Ver- 
änderungen der  Hauptträgheitsaxen  auftreten. 

Die  Massenmomente  eines  dreiaxigen  Ellipsoides  mit  den  drei  Axen  a.  b,  c 
sind  aber  bei  den  Drehungen: 

um  die  a-Axe:  A  —  \M{p*  +  c%) 
um  die  A-Axe:  B  =  \M{c*  -+-  a*) 
um  die  *-Axe:    C=  \M{a*  -+-  b*). 

Es  wird  daher 

B  -  A  =  \M{a*  —  b*);      C—  B  =  \M{b*  -  c*)\      C—  A  =  \M(a*  -  <-'). 

Sind  die  d,  e,  /  von  derselben  Ordnung  wie  die  8,  so  muss  der  Maximal- 
werth derselben  \ma*  mit  diesen  Grössen  vergleichbar  werden.  Für  die  Rotation 
der  Erde  sind  nun  allerdings  zwei  der  drei  Massenmomente  einander  gleich;  sei 
a  =  b,  so  wird  das  Verhältniss 

d  ±ma*  m  1 

Sollen  nun  d  und  8  einander  gleich  werden,  so  muss  mit  dem  für  die  Erde 
gültigen  Werthe  log  — ~ —  =  7  824410:  m  =  ;Tir;  M  sein.    Der  Inhalt  der  Erde 

ist  aber  gleich  demjenigen  einer  Kugel  von  6370  Kilometern  Halbmesser.  Für 
eine  quadratische  Platte  von  500  Kilometern  Seitenlänge  und  5  Kilometern  Dicke 
von  derselben  Dichte  wie  die  Erde  wird      —  man  wird  daher  die 

Massenmomente  der  hinzugefügten  Massen  als  Grössen  zweiter  Ordnung  anzu- 
sehen haben. 

2)  Die  8  sind  von  der  ersten  Ordnung,  die  g,  h,  k,  d,  c,  /  von  der  zweiten 
Ordnung.  Bei  dem  dreiaxigen  Ellipsoide  wird  dies  für  alle  drei  Gleichungen 
gelten,  für  ein  Rotationsellipsoid  tür  eine  derselben,  z.  B.  für  die  dritte,  wenn  die 
Rotationsaxe  nahe  der  C-Axe  liegt. 

Die  Annahme,  dass  xx  von  der  ersten  Ordnung  wäre,  lührt,  indem  nur  die 
Glieder  niedrigster  Ordnung  beibehalten  werden,  zur  Gleichung 

+  bti)(x»  ■+■  öaa)  =  0. 
Die  kleinste  Wurzel  xt  =  0  entspricht  nicht  der  Annahme,  dass  x3  von 
der  ersten  Ordnung  wäre.  Sei  at,  von  der  zweiten  Ordnung.  Es  ist  nur  ein 
Glied  #jÖai 6jj  von  der  vierten  Ordnung  (die  übrigen  von  höheren);  diese  gleich 
Null  gesetzt  giebt  die  der  Annahme  nicht  entsprechende  Lösung  xs  —  0.  Sei 
also  xt  von  der  dritten  Ordnung,  so  erhält  man  die  Gleichung: 

38* 


596  Mechanik  des  Himmels.  99. 

also: 

*'  •„•„      '       **-»„  +  »„  (M) 

Die  Annahme,  dass  x  von  der  (3  -f-  »)ten  Ordnung  ist,  giebt  als  niedrigstes 
von  x  abhängiges  Glied  ein  solches  der  (5  «+*  «)ten  Ordnung  und  als  niedrigstes 
von  x  freies  Glied,  ein  solches  von  der  5ten  Ordnung,  welche  nur  für  n  =  0 
gleich  werden  können.  Mit  (14)  folgt  aus  (13),  wenn  man  Überall  die  Glieder 
höherer  Ordnung  gegen  diejenigen  niedrigerer  Ordnung  vernachlässigt: 

III  e  d  t 

cos  X. :  cos  u. :  cos  v,  «=  -75 —  :  -5 —  :  — 7-  =  —  ^ —  :  —  ^ —  :  ■  • 

Es  wird  darnach  mit  Vernachlässigung  von  Gliedern  höherer  Ordnung: 

e  d 

cos  X„  =  —  k —  ;       cos  j*.  =  —  ä —  J      cos  v,  =  1. 

»11  °jj 

v,  ist  der  Winkel  der  neuen  (geänderten)  C-Axe  gegen  die  ursprüngliche 
Q-Axe1).  Nennt  man  die  Länge  der  Ebene  CCQ  gegen  die  A"£-Ebene  rj, 
so  wird 

c 

cos  X,  =  stn  v3      t),  =  —  ^ — 

"  (») 

cos  fi,  =  ««  v,  sin  t),  =  —  ä —  • 

Die  Resultate  bleiben  dieselben,  wenn  man  annimmt,  dass  die  d,  e,  f  von 
höherer  Ordnung  als  der  zweiten  sind.    Sei  diese  Ordnung  p.  >  3   und  die 
sämmtlichen  b  von  der  ersten  Ordnung,  so  wird  die  Ordnung  der  einzelnen 
Glieder  in  der  dritten  Gleichung  (12),  wenn  man  voraussetzt,  dass  die  Lösung 
von  der  Ordnung  X  ist: 

3X,    2XH-  1,    X-+-  2,    2fi-h  1. 

Für  X  =  1,  ja  >  1  giebt  dies  den  bereits  erwähnten  auszuschliessenden  Fall; 
für  X  >  1  wird  nur  das  dritte  mit  dem  vierten  Gliede  vergleichbar,  und  man 
erhält:  X  =  2ja  —  1;  das  Resultat  ist  identisch  mit  (14). 

3)  Es  sei  ein  ft  von  höherer  Ordnung,  z.  B.  von  der  Ordnung  x*).  Hier 
sind  eine  grosse  Anzahl  Fälle  zu  unterscheiden,  je  nachdem  x  <  jj.  und  je  nach- 
dem die  d,  e,  /  sämmtlich  von  derselben  Ordnung  sind,  oder  nicht.  Hier  soll 
nur  derjenige  Fall  erörtert  werden,  der  neben  dem  früheren,  dem  den  Gleichungen 
(12)  entsprechenden,  in  der  Natur  vorkommt.  Es  sei  A  =  B\  dann  wird  mit 
Vernachlässigung  von  Gliedern  höherer  Ordnung 

•„-_.„-,_,....(,,_,„  w 

Da  von  den  Aequatorradien  keiner  ausgezeichnet  ist,  so  kann  die  Jf-Axe  so  ge- 
legt werden,  dass  die  in  der  Breite  9  aufgelegte  Masse  die  Länge  45°  hat,  dann  wird 

*0  =  y<>  =  p cos  ?  Vk I  «0  =  P  sin  ? 

»,,  =  0,    d=  c  =  wp'  sin  y  cos  /  =  \  «pJ  cos*  9. 

Die  ersten  beiden  Gleichungen  (12)  werden  jetzt  (die  dritte  Gleichung  wird 
gegen  den  Fall  2)  nicht  geändert): 


•)  Daher  darf  >ossl  nicht  gleich  —  1  gesetzt  werden. 

*)  Zwei  %  können  wegen  der  letzten  Relation  (11)  nicht  von  höherer  Ordnung  sein. 


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Mechanik  des  Himmels.  99. 


597 


x*  -+-  x{blt  —      -j-    -»-/»)  -/»e^  =  o 

x,»  —  xt(d*  -+-  e*  +  /*)  —  /*&,,  «=  0. 

Diesen  Gleichungen  wird  nur  durch  *,  und  x9  von  der  zweiten  Ordnung 
genügt;  man  erhält: 

*,  =  ±/;  ^,  =  if/.  (17) 
wobei  Correspondenz  der  Zeichen  stattfindet,  nicht  aber  eine  beliebige  Combi- 
nation  gewählt  werden  darf.  Man  überzeugt  sich  hiervon,  wenn  man  z.  B.  den 
Fall  betrachtet,  wo  d,„  so  wie  /,  g,  h  von  der  u.ten  Ordnung  wären;  dann 
werden  die  beizubehaltenden  Glieder 

x?  +  %liXl  ~p\  *,»  •+*  e,,*,  =/> 

und  hieraus: 

Ist  nun  f>18  positiv,  so  wird,  da  man  die  kleinere  Wurzel  zu  wählen  hat: 


x% 


ist  da,  negativ,  so  wird  ebenso: 

*i  =  -  (VHA  +P-  k ,);    *,  =  +  (VP^T*"-  •■!>• 

Für  dlf  =  d, ,  =  0  folgen  hieraus  die  Gleichungen  (17).  Die  ersten  beiden 
der  Gleichungen  (13)  werden  hier,  wenn  man  die  oberen  Zeichen  beibehält: 

cos  X,  :  cos  u, :  cos  v,  =  _  {J\  f)/ :  _  {ä\  e)f :  yfc  , 


daher 


cos  X,  «  +  yf; 


cosy.x  Y\\     cos  v,  =  -  ^ 


COS  V, 


^X,=  -hi/f;     cos  u-,  =  -+-  VT; 

jxs  =  —    —  ;  cos  v,  =  -+-  1. 


vT'"' 


31 


(18) 


X,  =  —  ; 


3  1 


'ai 


Hieraus  folgt,  dass  die  neuen  Hauptträgheitsaxen  der  A  und  B  gegen  die 
ursprünglichen  gleich  geneigt  sind,  d.  h.  dass  sie  die  Länge  45°  haben,  also  in 
die  Richtung  der  hinzugefügten  Masse  und  senkrecht  zu  dieser  Richtung  fallen, 
was  eigentlich  a  priori  klar  ist.  Sind  die  Neigungen  dieser  beiden  Axen  gegen 
die  ursprüngliche  Aequatorebene  4»lf  so  wird 
♦  i-W-vj;    I,  =  iK)0  -  v„ 

daher 


r¥  »,i  '  <"T,'Tr,'»,l 

also  mit  Rücksicht  auf  die  Werthe  der  <r*  und  * 


my* cos  ystn  9 


Dies  ist  aber  (nach  den  Zeichen  von  cos  X,, 
w  |At)  derjenige  Theil  der  Axe,  welcher  mit  den  ^e 
ursprünglichen  Axen  die  Winkel  45°  einschliesst. 
Sie  wird  daher  an  dieser  Seite  gegen  den  zu- 
gefügten Massenpunkt  hin  gehoben,  d.  h.  nach  A  (Fig.  277)  gerückt,"  so  dass 
aA  —  4»>  ist.  Dass  die  neue  C-Axe  in  die  Richtung  AC0  von  C0  weggerückt 
erscheint,  und  zwar  um  den  Bogen  <}<,,  folgt  auch  aus  den  Formeln  (15). 
Hiernach  ist  nämlich  für  den  vorliegenden  Fall: 


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598  Mechanik  des  Himmels.  99. 

rr  mo*  cos  9  sin  9 
""v!wla  =  —  Vi   ä  

,    81  •  (19) 
rr  mp  2  cos  ystny 

stn  vs  j«»7)j  =  —  \\         ft  T  1 , 

"3  1 

demnach  tangr\t  =  1;  tjs  =  225°,  wenn  man  j/'«vs  positiv  nimmt;  die  neue 
C-Axe  Hegt  also  in  dem  Meridiane  aC0  über  C0  hinaus;  der  Bogen  CC0  =  v, 
folgt  dann  aus 

,MV»-    <w225°    _         d„         '  v»-*» 

Die  Werthe  jc1p  jc,,  jcs  gestatten  auch  die  Grösse  der  neuen  Hauptträgheits- 
momente  zu  finden.    Sie  sind  bezw.:  A  -\-  g     xx,  B  ■+■  h  -+-       C  -+-  £  -4-  xs  \ 

d'  . 

demnach,  da  x,  =  2  q —  ist: 

"3 1 

-4  -hg+f,    B  +  h—f,    C-h  A-hZ  -qZTa 

oder 

Ä  —  A  -t-  ^  «p*        9  -+-  2       9)  -H  4  '"P*       t  =  ^  +  fflp2 

B'  =  B  -+-  l  /wpa        9+2  ««*  ?)  —  i  m?*cos*  <p  =  2?  -f-  «p'j/«*  9  (20) 

C'=C  +  otP»<w»?h  K  C—   • 

Hiermit  wird  die  Aenderung  von  C  —  <4 : 

4(C-  A)  =  (C  -      -  IC-  A)  -  **?fjf*  _  mt,sin,  f. 

Das  Maximum  der  Verschiebung  findet  statt  für  9  =  45°;  die  Verschiebung 
von  C  beträgt  dann 

i  WP>  5  ^  T  P  V         1  /jP_V 

Hierfür  beträgt  die  Aenderung  von  C  —  A: 

w  -  *>  -  c~4  -   -  ■  J(r.  - -  w 

oder 


c 


Dabei  wird  die  Entfernung  p  in  Einheiten  des  Erdhalbmessers  ausgedrückt; 
dann  wird  der  Faktor  N: 

Drückt  man  die  Massen  durch  ihr  Volumen  in  Kubikkilometern  und  ihre 
Dichten  in  Einheiten  der  mittleren  Dichte  der  Erde  aus,  so  wird 

log  N=  0-5389648-10;    hg  —^zrr  =  5-8533899—10. 

atc  1 


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Mechanik  des  Himmels.  99. 


599 


d  9t  —  mpa  sin  ff  cos  ff  sin  X 
e  =  —  01p'  ««  ff  cos  ff  cos  X 


Die  Hinzufügung  der  Masse  eines  Meteors  von  10  im  Durchmesser  in 
45°  Breite  würde  danach  eine  Verschiebung  von  0"  30l)  und  eine  Veränderung 
A)  =  -  O  O0OOOO2877 (//  -  C)  bewirken. 

Eine  Massenverschiebung  kommt  dem  Entfernen  einer  gegebenen  Masse 
und  dem  Hinzufügen  derselben  an  einer  anderen  Stelle  gleich.  Wird  die  Masse 
in  dem  Punkte  weggenommen,  dessen  geographische  Coordinaten  (bezogen  auf 
das  ursprüngliche  Axensystem)  p,  <f,  X,  sind,  so  wird: 

x0  =  p  cos  ff  cos  X 
y0  =  p  cos  ff  sin  X 

z0  =  9SWff 

daher,  wenn  man  die  eine  Axe  in  die  Richtung  desjenigen  Meridians  legt,  in 
welchem  sich  die  entfernte  Masse  befindet:  X  =  0,  tjs  =  0;  die  Verschiebung 
findet  gegen  den  Ort  hin  statt,  wo  die  Masse  entfernt  wurde,  um  das  Stück 
C0Cj  =  v8,  so  dass: 

mp'J  sin  y  cosj 

un  v> =  — c^~Ä — 

Legt  man  nun  die  Masse  m  in 
einem  Punkt  m'  nieder,  dessen  Länge 
mCQm'  =Z  (Fig.  278)  ist,  so  wird 
der  neue  Trägheitspol  C,  sein,  und 
es  ist 

f  tn  p' '  sin  ff'  cos  ff' 

stn  v3  =  £(c~JTÄ) ' 

Die  stattgefundene  Polverschie- 
bung ist  nun  C0  C%  =  u  in  der 
Richtung,  welche  durch  den  Winkel  w 
gegen  den  Ort  m  oder  durch  w  -\-  L 
gegen  m'  bestimmt  wird.  Man  sieht 
sofort,  dass  die  Verschiebung  des  Pols 
in  der  entgegengesetzten  Richtung 
stattfindet,  als  die  Verschiebung  der 
Masse  m.  Finden  diese  Verschiebungen 
nicht  allzunahe  dem  Pole  statt,  so 
wird  man  m'C\m  =  L'  mit  m'C0m  =  L 
identificiren  und  A(C  —  A)  vernach- 
lässigen können  und  erhält  dann  aus  dem  Dreiecke  C0C,Ct,  wenn  dasselbe  als 
ebenes  aufgelöst  wird: 

u  sin  w  —  v,'  sin  L 

u  cos  w  =  v s  —  vs'  cos  Z, 

daher 

m p'*  sin  tf'  cos  9' 
ustnw  =   ~  j        stn  L 

.    ,       ,  (21) 
tn  o*  sin  »  cos  9      m  p' 2  sin  •  cos  ff'  _ 

w  ist  hierbei  im  entgegengesetzten  Sinne  von  L  zu  zählen, 
a.  Findet  eine  Verschiebung  im  Radiusvector  (Hebung  oder  Senkung)  statt, 
so  wird  L  «=  0,  9  =  folglich 


(A  27H) 


>)  Um  die  hieraus  folgende  lineare  Verschiebung  tu 
nahe  80  Meter  entspricht. 


erhalten,  hat  man  iu  beachten,  dass 


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Mechanik  des  Himmels.  99.  100. 


u  sin  w  =  0 

(cW). 

Ist  p'  grösser  oder  kleiner  als  p,  so  wird  w  =  180°  oder  0;  bei  der  Er- 
hebung einer  Masse  wird  sich  daher  der  Trägheitspol  in  dem  Meridiane  des 
Ausbruchs  von  der  Ausbruchstelle  entfernen;  bei  einem  Einstürze  wird  sich  der 
Trägheitspol  nähern.  Die  Hebung  oder  Senkung  einer  prismatischen  Masse  von 
100  Kilometern  Länge,  100  Kilometern  Breite  und  1  Kilometer  Dicke  in  der 
Breite  von  45°  um  5  Kilometer  wird  eine  Verschiebung  der  Trägheitsaxe  um 
0"  0011  zur  Folge  haben. 

b)  Findet  eine  Verschiebung  auf  der  Oberfläche  selbst  statt,  so  kann  p  =  p' 
gesetzt  werden;  dann  wird 

u  sin  w  =  mN  sin  2  9'  sin  L 

ucosw  =  mN(sin  2q>  —  sin  2? '  cos  L). 

Für  eine  Verschiebung  in  der  Richtung  des  Meridians  wird  L  =  0, 

u  sin  w  wm  0 

ucosw  =  mN(sin1y  —  sin  2?'), 

und  es  wird  die  Richtung  der  Verschiebung  von  dem  Zeichen  der  Differenz 
sin2y  —  sinly'  abhängen.  Wird  die  Masse  von  100  Kilometern  Länge  und 
Breite  und  1  Kilometer  Dicke  vom  Aequator  zu  45°  Breite  transportirt,  so  wird 
w  =  180°,  daher  der  Pol  im  selben  Sinne  verschoben,  und  zwar  um  den  Betrag 
von  0"  714;  die  Verschiebung  derselben  Masse  von  45°  Breite  zum  Pol  ergäbe 
eine  Verschiebung  im  entgegengesetzten  Sinne  (der  Masse  entgegen)  um  den- 
selben Betrag. 

c)  Findet  eine  Verschiebung  auf  dem  Parallelkreise  statt,  so  wird  ?  =  ? 
daher 

u  sin  w  =»  mN  sin  2<p  sin  L  =  ZmNsin  2?  sin \Lcos\L 

ucosw  —  mN  sin  2qp(l  —  cos  L)  =  ImNsin  2<p  sin  \L  sin\L, 

daher  wird  w  =  90°  —  \L,  u  =  2mNsin2y  sin \L.  Für  die  Transposition 
der  obigen  Masse  in  der  Breite  45°  um  die  Länge  L  wird  daher  u  =  1"427  sin  \L. 
Die  Bewegung  findet  in  einer  Curve  C0C,C,  statt.  Für  L  =  0  ist  w  =  90°,  die 
Bewegungsrichtung  senkrecht  zu  C0m,  und  u  =  0.  Für  L  =  90°  wird  w  =  45°, 
u  =  1"  009.  Für  L  =  180°  wird  w  =  0,  u  =  1"  427.  Bei  einer  weiteren  Be- 
wegung der  Masse  von  m,  in  demselben  Sinn,  über  die  zweite  Hemisphäre  nach 
m  wird  der  Bogen  C1  C  C0  beschrieben,  wie  man  leicht  findet,  wenn  man  nun- 
mehr C,  als  den  Ausgangspunkt  des  Trägheitspoles  ansieht.  Die  hierdurch  be- 
schriebene Curve  ergiebt  sich  leicht,  wenn  man  usiniv  *=y,  ucosw  x  setzt, 
und  L  eliminirt;  es  folgt: 

Die  beschriebene  Curve  ist  ein  Kreis  mit  dem  Halbmesser  mNsin  2?. 

100.  Einfluss  auf  die  Rotation saxe.  Stetige  Veränderungen  derC-Axe, 
zu  denen  die  zuletzt  angegebenen  gehören,  treten  ein,  wenn  z.  B.  eine  Wasser- 
masse in  beständiger  Rotation  um  die  Erde  begriffen  ist  Dieses  findet  nun 
allerdings  bei  der  Ebbe  und  Fluth  statt,  wo  sich  eine  Fluthwelle  von  mehreren 
Metern  Höhe  in  nahe  25  Stunden  um  die  Erde  bewegen  würde,  wenn  die  ganze 
Erde  mit  Wasser  bedeckt  wäre.    Man  sieht  aber  leicht,  dass  die  diametral 


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Mechanik  de«  Himmels.  100. 


60 1 


gegenüberstehenden  Wellen  ihre  Wirkung  vernichten.  Die  Fluthwelle  auf  der 
Seite  von  m  bewirkt  bei  der  Bewegung  derselben  gegen  m'  hin  eine  Bewegung 
von  C0  in  der  Tangente  an  C0  gegen  C,  hin;  die  Welle  auf  der  Seite  von  mi 
bei  der  Bewegung  der  Welle  im  selben  Sinne  eine  Bewegung  von  C0  in  der 
Richtung  von  C0  gegen  C  hin.  Sind  nun  die  beiden  Fluthwellen  völlig  symme- 
trisch, so  müssen  sich  die  Wirkungen  aufheben.  Bei  der  ungleichen  Vertheilung 
der  Wassermassen  wird  nur  die  Differenz  det  so  bewegten  Massen  in  Rechnung 
zu  ziehen  sein;  in  diesem  Falle  wird  aber  die  durch  den  Widerstand  des 
gegenüberstehenden  Festlandes  erzeugte  Rückströmung  der  Wassermassen  eine 
der  früheren  entgegengesetzte,  diese  aufhebende  Bewegung  des  C-Poles  er- 
zeugen l). 

Dasselbe  gilt  von  den  Bewegungen  der  zur  Erde  gehörigen  Luftmassen. 

Nicht  unbeträchtliche  Wasser-  und  Schlammmassen  werden  durch  die  Flüsse 
befördert.  Die  grössten  Flüsse  in  mittleren  Breiten  haben  allerdings  einen  öst- 
lichen Lauf)  und  dürfte  wohl  ein  Ueberschuss  für  die  Ueberführung  von  Massen 
in  dieser  Richtung  verbleiben.  Bei  einer  durchschnittlichen  Tiefe  von  25  Metern 
würde  aber,  da  die  Dichte  des  Wassers  nur  den  fünften  Theil  der  mittleren 
Dichte  der  Erde  beträgt,  ein  Wasserareal  von  1000000  Quadratkilometern  nur 
eine  Verschiebung  der  C-Axe  um  0"*07  bewirken.  Doch  beträgt  der  Ueber- 
schuss der  in  derselben  Richtung  geführten  Wassermassen  nur  einen  sehr 
geringen  Bruchtheil  dieses  Areals,  um  so  mehr,  als  auch  hier  die  bewegten 
Wassermassen,  die  um  180°  von  einander  abstehen,  ihre  Wirkung  vernichten. 

Eine  andere  mögliche  Ursache,  die  fortgesetzte  Vereisung  im  Winter  und 
das  Abschmelzen  des  Eises  im  Sommer,  kann  jedenfalls  periodische  Ver- 
änderungen hervorbringen.  Diese  Vereisung  und  nachträgliche  Abschmelzung 
findet  vorzugsweise  in  mittleren  Breiten  statt,  und  zwar  auf  der  nördlichen  Halb- 
kugel durch  das  Ueberwiegen  des  Festlandes  in  Asien  nicht  gleichmässig  um 
den  Pol  vertheilt ').  Die  fortgesetzte  Massenablagerung  in  Asien  würde  den  nächst- 


•)  Eine  genauere  Untersuchung  dieser  Verhältnisse  mtlsste  von  der  Voraussetzung  ausgehen, 
dass  die  Erde  kein  starrer  Körper  ist,  sondern,  wie  dies  der  Natur  der  Sache  entspricht,  aus 
einem  festen  Kerne  besteht,  der  von  einer  Schicht  veränderlicher  Massen  (Wasser  und  Luft) 
umgeben  ist.  Es  ist  jedoch  durchaus  nicht  ausgeschlossen,  dass  neben  diesen  sichtbar  veränder- 
lichen Theilen  noch  andere  im  Innern  der  Erde  vorhanden  sind,  welche  stetigen  oder  auch 
plötzlichen  Lageänderungen  unterworfen  sind.  Entzieht  sich  schon  die  Beurtheilung  des  Ver- 
hältnisses der  sichtbar  veränderlichen  Theile  zur  ganzen  Masse  unserer  Berechnung,  selbst 
unserer  Schätzung,  so  ist  dieses  noch  viel  mehr  mit  dem  letzteren  Theile  der  Fall,  und  kann 
nur  eine  unter  diesen  Voraussetzungen  durchgeführte  Theorie  durch  Vergleichen  derselben  mit 
den  Resultaten  einen  Schluss  auf  die  Masse  des  veränderlichen  Theiles  ziehen  lassen.  Unter- 
suchungen dieser  Art  seteen  aber  eine  durchgebildete  Theorie  der  Ebbe  und  Fluth  voraus. 
Doch  sind  bisher  nur  vereinzelte  Versuche  dieser  Art  zu  nennen.  Die  letzte,  noch  jetzt  adop- 
tirte  Theorie  der  Ebbe  und  Fluth  rührt  von  Laplace  her;  sie  ist  aber  kaum  als  abgeschlossen 
zu  erklären,  und  könnte  ihre  Berücksichtigung  auf  die  Rotationserscheinungen  schon  aus  diesem 
Grunde  gegenstandslos  sein.  Ueber  den  Einfluss  der  veränderlichen  Oberflächenschicht  auf  die 
Erscheinungen  der  Rotation  vergl.  u.  a.  Daäwin  in  den  Philos.  transact.  für  1879,  und  Gyldbn, 
Astron.  Nachrichten,  No.  2226  und  3157. 

•)  Die  Ueberführung  in  der  dazu  senkrechten  Richtung  hat,  wie  aus  dem  früheren  erhellt, 
einen  viel  geringeren  Einfluss;  übrigens  ist  dieser  nördliche  und  südliche  Lauf  ziemlich  gleich- 
mässig vertheilt. 

*)  Auf  der  südlichen  Halbkugel  ist  die  wirksame  Ablagerung  eine  viel  geringere,  da  Süd- 
amerika und  Afrika  nicht  zu  so  hohen  Breiten  reichen,  und  die  fortgesetzte  Eisablagerung  am 
Ocean  ziemlich  gleichmässig  um  die  Pole  herum  stattfindet. 


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602  Mechanik  de*  Himmels.  100. 

gelegenen  Pol  C0  von  m  wegbewegen:  die  Massenablagerung  im  Antipoden- 
punkte (ot)  von  m  würde  den  zunächst  gelegenen  zweiten  Pol  (C0)  ebenfalls  in 
der  Richtung  (m)(C0)  von  (w)  wegbewegen,  also  die  Axe  im  selben  Sinne  drehen. 
Hingegen  würde  die  Eisablagerung  in  einem  um  180°  in  Länge  verschiedenen 
Punkte  auf  derselben  Halbkugel  die  Wirkung  schwächen.  Der  Mittelp-nkt  der 
Ablagerung  auf  der  südlichen  Hemisphäre  (zwischen  Afrika  und  Südamerika 
fallend)  fällt  nun  aber  keineswegs  in  den  Antipodenpunkt  der  viel  stärkeren 
Ablagerung  auf  der  nördlichen  Hemisphäre,  so  dass  sich  die  Wirkungen  eher 
schwächen  als  verstärken.  Beim  Abschmelzen  des  Eises  wird  der  Pol  sich 
wieder  C0  nähern,  demnach  im  Laufe  eines  Jahres  eine  pendelartige  Schwingung 
in  einer  geraden  Linie  (grössten  Kreise)  ausführen.  Nimmt  man  ."n,  dass  sich 
im  Laufe  eines  Winters  nach  und  nach  eine  Krusie  bis  zur  Höhe  von  durch- 
schnittlich 30  cm  ablagert,  so  wird  sich,  mit  der  Dichte  des  Eises  gleich  £  der 
Dichte  der  Erde,  ein  Areal  von  25000000  Quadratkilometern  bedecken  müssen, 
um  eine  Verschiebung  von  0"1  zu  bewirken,  wenn  die  Wirkung  in  allen  Breiten 
gleich  vorausgesetzt  wird.  Mit  Rücksicht  auf  die  schwächere  Wirkung  in 
grösseren  Breiten  müsste  das  Areal  noch  ganz  bedeutend  grösser  sein;  nimmt 
man  den  Mittelpunkt  der  Eisablagerung  in  60°  nördlicher  Breite  (er  ist  eher 
etwas  nördlicher,  dabei  100°  östlich  von  Greenwich),  so  würde  der  Ueberschuss 

jl  des  wirksamen  Areals  in  Asien  gegenüber 

dem  in  Amerika  und  dem  auf  der  südlichen 
*.^>yJl  Halbkugel  etwa  30000000  Quadratkilometer 
/  :     /      betragen  müssen.   Auch  hier  ist  dieser  Ueber 
/    :  /         schuss  gewiss  nur  ein  kleiner  Bruchtheil;  die 
/     /  Verschiebung  der  Hauptträgheitsmomente  be- 

/    /:  trägt   daher  nur  wenige   Hunderttheile  der 

/  /  Bogensecunde  —  vielleicht  nicht  einmal  ein 

A,y  Hundertel  Bogensecunde. 

//  Um  den  Einfluss  zu  bestimmen,  welchen 

Sa  x"   eine  Veränderung  in  der  Lage  der  Haupt- 

^,^^"^\y  trägheitsaxen  auf   die  Lage  der  instantanen 

f$r~-  — ^  '   Rotationsaxe  ausübt,  sei  C0  (Fig.  279)  ein 

{A  m)  beliebiger  fester  Punkt  der  Erdoberfläche  (etwa 

eine  mittlere  Lage  des  Trägheitspoles)  C  der 
ir.stantane  Trägheitspol  und  R  der  Rotationspol.  Der  letztere  wird,  wenn  er  mit 
dem  Trägheitspol  nicht  zusammenfällt,  um  diesen  einen  Kreis  mit  dem  Halb- 
messer r  zu  beschreiben  suchen1);  in  dem  unendlich  kleinen  Zeittheilchen  dt 
wird  daher  der  Kreisbogen 

RR!  =  rda  =  rmdt 
beschrieben,  wenn  m  (vergl.  No.  93)  die  Geschwindigkeit  im  EuLER'schen  Cyklus 
ist.    Seien  x,  y,  die  Coordinaten  des  Punktes  C  in  Bezug  auf  ein  festes  Axen- 
system;  S,  tj  die  Coordinaten  von  R  in  Bezug  auf  dasselbe  Axensystem,  so  wird 
mit  den  in  Fig.  278  gewählten  Bezeichnungen 

di  =r  -  RR' sin  a  =  —  rmdt^^-  =  -  (t)  —  y)mdt 

\  —  x 

dri  RR' cosa  =  -+-  rmdt   =  -+-  ($  —  x)mdt. 


')  Man  kann  die  Punkte  als  Projcctioncn  der  bezüglichen  Punkte  der  Erdoberfläche  auf 
die  Tangentialebene  in  C0  ansehen,  oder  auch  wegen  der  Kleinheit  der  Entfernungen  als  die 
Punkte  auf  der  Kugelobcrfläche  selbst. 


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Mechanik  de«  Himmels.  '00  603 


Die  Differentialgleichungen  der  Bewegung  werden  daher: 

dl 

jj  -+-  tjot  =  -+-  ym 


yj  —  Im  =  —  xm. 


Sei  die  Bewegung  des  Punktes  C  bestimmt  durch  die  Ausdrücke: 

x  =  4-  Ax) 

y  =  lbxcos{iaxt  ■+-  Ax\ 


(2) 


so  sind  die  rechten  Seiten  der  Gleichungen  (1)  bekannte  Functionen  der  Zeit 
und  die  beiden  Gleichungen  werden  ein  System  von  linearen,  simultanen 
Gleichungen,  deren  Integrale,  wenn  die  rechten  Seiten  gleich  Null  gesetzt  werden, 
die  Form  haben: 

l  =  —  h  sin  (u,/  +  H) 

7)  =  -t-  ti  COS  (u./  //). 

Differenzirt  man  diese  Ausdrücke  und  setzt  in  die  linken  Seiten  von  (1) 
ein,  so  folgt  u.  =  m,  h  =  h'\  die  Integrale  der  vollständigen  Gleichungen  (1) 
werden  sodann: 

i  —  —  /i  sin(mt  ■+■  H)  -+■  2/xsin  (w,/  -+-  Ax) 

tj  =  -+-  h  cos{mt  -f  H)  ■+-  lgxcos  («,/     Ax),  ^ 

wobei  jedem  Argumente  in  (2)  ein  Glied  mit  demselben  Argumente  in  (3) 
entspricht.  Differenzirt  man  diesen  Ausdruck  und  setzt  in  (1)  ein,  so  erhält 
man  die  beiden  Gleichungen 

/»i  +^,«  =  bxm\  gx<ax  -¥fxm  =  axm 

und  daraus: 

bx  «u,  —  a%  tn  a,  u>,  —  bxtn 

/<  =  "           m  ' J  S>  =  m  V~^T-  W 

Die  ersten  Glieder  in  tj  stellen  die  Bewegung  im  Kfi.Rk'schen  Cyclus  dar; 
die  einzelnen  Glieder  der  Summe,  die  aus  der  Verschiebung  von  C  resultirende 
Bewegung  von  K.  Da  im  Nenner  der  Coefficienten  /„  gx  die  Differenz  <o>  —  m% 
auftritt,  so  können,  wenn  dieser  Divisor  klein  ist,  die  Coefficienten  in  (3)  wesent- 
lich vergrössert  erscheinen.  Da  m  die  Bewegung  im  EuLER'schen  Cyclus  darstellt, 
so  werden  merkliche  Glieder  nur  dann  entstehen,  wenn  auch  u>  genähert  eine 
zehnmonatliclie  Periode  hat.    Für  eine  jährliche  Periode  würde 


m  305 
tri  ~~  365 


0836,  I  -  0302 


der  Vergrösserungsfaktor  3*315. 

a)  Beschreibt  der  Punkt  C  eine  gerade  Linie  im  Laufe  eines  Jahres,  wie 
dies  bei  der  Vereisung  und  Abschmelzung  der  Fall  wäre,  so  wird 

x  =  a  sin  (o>/      A);       y  =  0. 

Dann  ist 


a  — 

a  m 


1  » 


■-(:)"  "-er 

daher 

5  -=  —  h  sin  {mt  ■+■  H)  -+-  3*31  a  sin  (w/  -+-  A) 
+         {mt  -+-  H)  —  277  a  cos  («»/  -+-  A). 


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604 


Mechanik  des  Himmels.  100.  101. 


b)  Beschreibt  der  Punkt  C  einen  Kreis,  so  wird 

x  =  a  sin  (<u/  -f-  A)\      y  =  a  cos  (•/  A) 
.  am 
J=8-  w  -f-  w  ' 

daher,  wenn  die  Periode  von  u>  ein  Jahr  ist:  /  =  g  =  0  5448a;  die  Coefficienten 
erscheinen  auf  die  Hälfte  reducirt. 

c)  Ist  x  =  <z  sin  (»/  -f-  A),  y  —  —  a  cos  (<ot  A),  so  wird  die  Bewegung 
wieder  kreisförmig,  aber  der  EuLER'schen  Bewegung  entgegengesetzt,  dann  wird 


also  wenn  o>  wieder  eine  jährliche  Periodicität  hat,  /  =  — -  g  =  6  08  a.  Kreis- 
förmige Bewegungen  der  C-Axe  entgegengesetzt  der  EuLER'schen  Bewegung  sind 
jedoch  schwer  anzunehmen.  Nimmt  man  als  Amplitude  der  Bewegung  der 
C-Axe  bei  ihrer  Bewegung  in  gerader  Linie  2a  =  0"15l),  so  würde  die  Rotations- 
axe  eine  schwach  gestieckte  Ellipse  beschreiben,  deren  Axen  0"*25  und  0' -21 
wären,  wodurch  Polhöhenschwankungen  mit  der  Amplitude  0"'5  erklärt  würden, 
wie  sie  durch  die  Beobachtungen  der  letzten  Jahre  constatirt  wurden.  Doch  ist 
nach  dem  früher  gesagten  die  Amplitude  der  Schwankung  der  C-Axe  mit  0"15 
jedenfalls  viel  zu  hoch  gegriffen.  Ueberdiess  muss  bemerkt  werden,  dass  neuer* 
dings  Chandler  die  Polhöhenschwankungen  in  eine  solche  mit  jährlicher  Periode 
und  eine  mit  der  Periode  von  430  Tagen  zerlegt  hat;  für  diese  wird  aber  der 
Vergrösserungsfaktor  nur  2;  man  müsste  daher  für  eine  Polhöhenschwankung  von 
0"*o  eine  Amplitude  der  geradlinigen  Bewegung  der  C-Axe  um  0"  25  annehmen»). 

101.  Die  Libration  des  Mondes.  Als  Ausgangspunkt  für  die  Unter- 
suchung der  Drehung  des  Mondes  dienen  die  Formeln  I,  II,  lila,  IV  in  No.  »4. 
in  denen  die  Drehungsmomente  2,  9Jt,  »Jl  durch  94  (8)  bestimmt  sind.  Zu  be- 
achten ist  hierbei,  dass  der  Mittelpunkt  des  festen  und  beweglichen  Coordinaten- 


(A.  280.) 

Systems  im  Mondmittelpunkte  liegen.  Sei  also  selenocentrisch  ££'  (Fig.  280)  die 
Ekliptik,  BB'  die  Mondbahn  und  AÄ  der  Mondäquator.  Die  Neigungen  dieser 


•)  Man  findet  sehr  häufig,  wiewohl  fälschlich,  0"'075  als  ganze  Amplitude  angegeben. 
*)  lieber  den  Einfluss  von  Refractionsanomalien  auf  die  Bestimmung  der  Polhöhe,  vergi. 
des  Verfassers  Bemerkungen  in  den  Astronom.  Nachrichten  No.  3021. 


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Mechanik  des  Himmels.  101. 


grössten  Kreise  am  Himmel  sind  natürlich  selenocentrisch  dieselben  wie  geo- 
centrisch,  da  sie  ja  durch  die  gegenseitige  Lage  der  bertiglichen  Ebenen  be- 
stimmt sind.  Die  Neigung  der  Mondbahn  gegen  die  Ekliptik  sei  *,  diejenige 
des  Mondäquators  gegen  die  Ekliptik  sei  r\.  Geocentrisch  ist  nun  die  l  äge  des 
aufsteigenden  Knotens  der  Mondbahn  auf  der  Ekliptik  durch  seine  Länge  ß,  be- 
stimmt; denkt  man  sich  durch  den  Mondmittelpunkt  eine  Parallele  zur  Schnitt- 
linie der  Ekliptik  und  des  Erdäquators,  d.  h.  zur  Richtung  von  der  Erde  zum 
Frühlingspunkt  gezogen,  so  wird  diese  an  der  Himmelskugel  denselben  Punkt 
V  treffen.  Dieser,  obzwar  für  den  Mond  selbst  ohne  Bedeutung,  wird  jedoch 
auch  für  die  selenocentrische  Ekliptik  ££'  als  Anfangspunkt  gewählt,  weil  sich 
hierdurch  die  selenocentrischen  Coordinaten  der  Erde,  welche  hier  den  an- 
ziehenden Körper  darstellt,  einfach  durch  die  aus  der  Theorie  der  Bewegung 
des  Mondes  um  die  Erde  bekannten  geocentrischen  Coordinaten  des  Mondes 
darstellen  lassen.  Die  selenocentrische  Richtung  nach  dem  terrestrischen 
Aequinoctium  sei  also  gegeben  durch  den  Punkt  V;  dann  ist  der  Bogen 
Tß  =  ft  die  Länge  des  aufsteigenden  Mondknotens  auf  der  Ekliptik.  Derjenige 
Punkt,  welcher  für  den  Mond  die  Stelle  des  Frühlingspunktes  vertritt,  ist  der 
Schnittpunkt  C  des  Mondäquators  mit  der  Mondbahn.  Statt  desselben  wird  aber 
der  Schnittpunkt  F  des  Mundäquators  mit  der  Ekliptik  eingeführt1);  seine  Lage 
ist  bestimmt  durch  die  Länge  desselben  auf  der  Ekliptik,  gezählt  ebenfalls  in 
der  Ekliptik  von  V  aus;  sie  sei  y  F  =  w,  d.  h.  der  Bogen  F  =  w. 
Sobald  w,  i,  tj  bekannt  sind,  ist  die  Lage  von  C  ebenfalls  bestimmt  und  man 
kann  die  selenocentrischen  Richtungen  auf  das  Fundamentalsystem  der  AÄ 
oder  BBk  beziehen,  wenn  man  analoge  Grössen,  wie  die  für  die  Erde  üblichen 
einführt. 

Seien  nun  die  aus  der  Theorie  der  Mondbewegung  bekannten  geocentrischen 
Coordinaten  des  Mondes,  bezogen  auf  eine  feste  Ekliptik:  ),  ß,  und  die  Ent- 
fernung des  Mondes  von  der  Erde  p,  so  sind  die  selenocentrischen  Coordinaten 
der  Erde  X0  =  180°  -+-  X  und  —  ß,  da  die  Richtung  von  der  Erde  zum  Monde  und 
diejenige  vom  Monde  zur  Erde  die  Himmelskugel  in  zwei  diametral  entgegen- 
gesetzten Punkten  treffen.  Selenocentrisch  wird  daher  die  Erde  nicht  :n  der 
selenocentrischen  Ekliptik  stehen;  diese  verschiebt  sich  eben  mit  dem  Mond 
parallel  zu  sich  selbst  über  oder  unter  die  wahre  Ekliptik,  trifft  aber  die 
Himmelskugel  immer  in  demselben  grössten  Kreise.  Hingegen  fällt  die  Richtung 
nach  der  Erde  bald  über  bald  unter  diese  Ebene.  Die  Breite  des  Mondes  ist 
bestimmt  durch 

fang  ß  =  tang  i  sin  (X  —  ft), 

die  Breite  der  Erde  durch 

fang  ( —  ß)  =  —  fang  isin  (X  —  Sl)  =  tang  i  sin  (X0  —  ft). 

Die  rechtwinkligen  Coordinaten  der  Erde,  bezogen  auf  ein  festes  Axen- 
system,  dessen  X-Axc  nach  V  gerichtet  ist,  und  dessen  A'F-Ebene  in  die  Ekliptik 
fällt,  sind  daher: 

(&)  -=  p  cos  ß  cos  X0 ;        (ij)  =  p  cos  ß  sin  X0 ; 
(C)  =  —  (p  sin  ß  +  p  AC)  =  p  cos  ß  tang  i  sin  (X0  —  ft)  —  p  AC, 

wobei  pAC  die  Störung  in  der  Breite  des  Mondes  bedeutet,  und  berücksichtigt 
werden  muss,  wenn  man  für  ft,  /  mittlere  Elemente  setzt;  in  %,  tj  wird  der  Ein- 
fluss  derselben  wegen  der  Kleinheit  von  /  belanglos.    Hieraus  erhält  man  die 

')  Nach  den  CASSiNi'schcn  Gesetzen  fallen  übrigens  ft,  C,  F  zusamnu-n,  was  hier  vorerst 
natürlich  noch  nicht  angenommen  werden  kann. 


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6o6 


Mechanik  des  Himmels.  101.  102. 


auf  das  bewegliche  Axensystem  der  X',  V,  Z'  bezogenen  Coordinaten  tj',  C 
ans  »4  (3J  und  91  (4),  wo  ß  4-  w  an  Steile  von  9'  zu  setzen  ist.  Für  den  Mond 
ist  aber  z  der  nach  Fig.  2^0  mit  rj  bezeichnete  Winkel  etwa  vernachlässigt 
man  daher  die  Quadrate  von  rJt  so  kann  man  cos —  1,  j/«Tj  =  t)  setzen  und 
erhält  dann: 

5r  4-  cos  (9  4-  ß  4-  7/')  iX)  4-  sin  (9  4-  ft  4-  ff)  (tj)  —  tj  */«  9  •  (0 
V  =  —  (?  +  ß  +  w}  (5)  +  f w  (9  +  ft  +  w)  (tj)  —  7)  <w  9  •  (C) 
C  =  —  rj  w«  (ß  -(-  7i>}  1 t:  4-  tj  COS  {&  4-  W')  (tj)  4-  C). 

/  ist  für  den  Mond  etwa  6°;  vernachlässigt  man  daher  auch  die  zweiten 
Potenzen  von  /  und  das  Produkt  /'tj,  so  wird 

6'  =  4-  p  cos  $cos  (9  4-  &  4-  w  —  X0) 

tj'  =  —  p  <w  ß  */«  (9  4-  4-  7<'  —  X0)  (2) 
C  =  —  p  tj  cos  '*>  sin  (ft  4-  w  —  X0)  4-  p  /  «'«  (X0  —  ft)  —  pA(. 

Diese  Werthe  sind  in  die  Ausdrücke  04  (8)  zu  substituiren,  und  geben,  mit 
Vernachlässigung  des  Quadrates  der  Mondbreite,  wenn  man  Kürze  halber 

C-B  C-A      0  B-A  ,9. 

~ 4  "  =  a;        ~^-  =  ?'        -C-  =  1f  (3) 
X0  -  (w  4-  ft)  =  *  (4) 

setzt,  so  dass  i>  die  von  F  aus  gezählte  selenocentrische  Länge  der  Erde  ist: 

1'  3  k*  M 

A  —  4  a  [tj  j/«  (v  —  9)  .r/'/j  z;  4- 1      (r;  —  9)  sin  (v  4-  w)  —  (f  —  9)] 

30R         3^8  ^/ 

2?  ~  ^r"  ß  Li  w  (*' —  ?) f+'  ^  (f  —  9)  w»  (f  +  »)-  ^  cos  (v  —  9)]  (5) 

Die  Differentialgleichungen  werden,  wenn  in  III  wieder  tj*  vernachlässigt  wird: 

r  =  „  +  r        —  =  -  (6) 

_  =_  „  +  r  d-   (8) 

<^(ft  4-  w) 
sm  rj         ,         =  —  p  siny  —  q  cos  9 

*|  (9) 

^  =  -PCO***  4-  9. 

102.  DieLibration  in  Länge.  Die  wahre  Länge  des  Mondes  X  setzt  sich 
zusammen  aus  seiner  mittleren  Länge  Z  und  den  Ungleichheiten  lk,sin(x,t Kt), 
welche  sowohl  die  Mittelpunktsgleichung  als  auch  die  Störungen  umfassen;  es 
wird  daher: 

X  =  Z  4-  lktsin{%it  4-  K,)  (1) 
und  die  selenocentrische  Länge  der  Erde 

X„  =  180°  4-  Z  4-  lktsin{x,t  4-  K,),  (2) 
wo  180°  4-  Z  die  mittlere  selenocentrische  Länge  der  Erde  darstellt.  Die  von 
F  aus  gezählte  selenocentrische  Länge  der  Erde  ist  nach  101  (4): 

v  =  X0  -  (w  4-  ft)  =  180°  4-  Z  -  (w  4-  ft)  4-  lk,sin(xit  4-  K,).  (3) 


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Mechanik  de  Himmels.  10*. 


607 


Man  hat  für  Q  die  mittlere  Länge  des  Mondknotens  zu  wählen,  wenn  unter 
B B'  die  mittlere  Bahr.ebtne  des  Mondes  verstanden  wird  und  die  Störungen 
sich  auf  diese  beziehen.  Dann  ist  auch  w  der  Abstand  des  Punktes  F  vom 
mittleren  Mondknoten,  und  die  Grössen 

dL  dß 
"dt  ~  L  '  dt  ~  ß 
sind  constant.  Den  Winkel  9  kann  man  in  zwei  andere  zerlegen,  von  denen  der 
eine  durch  den  Punkt  D'  benimmt  ist,  wenn  h  D  =  FD'  und  X  D  die  mittlere 
Länge  der  Erde  ist,  und  der  zweite  u  ^  D'{X')  von  diesem  Punkte  D'  aus  ge- 
rechnet wird.  (/>'  lallt  dal  er  nahe  in  die  Richtung  des  mittleren  Erdortes.) 
Es  ist  aber  FD  =-  180°  +  Z  -  (ft  +  w),  demnach 

<p  -  180°  -4-  L  —  {w      &)  -+-  u  (4) 
v  _  ^  —  2  k,  sin  (x,/      A',)  —  u  (5) 
und  die  Differentialg'eichung  101  (6)  geht  über  in 
dr  k*  M 

"dt  =      3  Tp»  7  un  * +  K>)  -  "\-  W 
Die  zweimalige  Differentiation  von  (4)  liefert: 

df  du      du<  d*y      d*  u  d'ifw 

d7  ~  dt       <77 '        ~dT*  =  ~df*  ~  ~dt* 

und  die  Differentiationen  von  101  (S): 

dr^      d*9  d*w 
dt  ~  dt*  dt* 

oder  mit  Berücksichtigung  der  zuletzt  erhaltenen  Gleichung  und  der  Gleichung  (6): 

d*u  'ik* M     .  n(V1    .  , 

~dt*  =   1  stn  2  [**'sw(x>'  •+■  A')  — 

Da  M  die  Masse  der  Erde  ist,  so  wird  der  Coefficient 
SkJAf  _  3*»(J/fc  -+-  iV(J  ta\i  M% 
2p3    ~~  2tf:!  VpJ  Af±  +  Mi' 

Wird  daher 

gesetzt,  sodass  v"  =  — ,  ist,  wenn  v'  die  in  94  angegebene  Bedeutung  hat,  und  drückt 
man  p  in  Einheiten  der  mittleren  Entfernung  des  Mondes  von  der  Erde  aus,  so  wird 

Vernachlässigt  man  hier  zunächst  die  Ungleichheiten  der  Mondbewegung, 
also  auch  die  Abweichung  von  der  Kreisbahn,  setzt  daher  in  erster  Näherung 
p  =  1,  so  wird  die  zu  integrirende  Gleichung: 

^  =~  i  Y^~rnsin2u.  (8) 

du 

Multiplicirt  man  diese  Gleichung  mit  2  -jj  dt  und  integrirt,  so  erhält  man 
ein  erstes  Integral 


GS"-' 


i  f^Ty*  7  <w  2»  =  *  —  3  — -T,  7      «  =  c  —  * *» 


3Z'* 

wenn  r.  7  —  *  jjesetzt  wird.    Daher  wird 

1  -f-  v 


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6o3 


Mechanik  des  Himmels.  102. 


du 

dt=   —  ■ 

zh  y  c  —  x  sin1  u 

Hieraus  folgt  nun,  dass  u  beständig  wächst,  wenn  x  entweder  negativ  ist, 
oder  positiv  und  kleiner  als  <-').  Da  aber  der  Mond  uns  stets  dieselbe  Seite  zu- 
wendet, so  kann  dieses  nicht  der  Fall  der  Natur  sein.  Es  muss  also  x  >  c 
sein,  in  welchem  Falle  eine  oscilliiende  Bewegung  stattfindet  (vergl.  auch  No.  66) 
und  zwar  um  u  =  0  oder  180c ;  die  Beobachtungen  zeigen  das  erstere,  womit 
also  zunächst  dargeihan  ist,  dass  in  (4)  der  Winkel  u,  welcher  die  Abweichung 
der  selenocentrischen  Richtung  nach  D  (gegen  die  Erde)  von  derjenigen  gegen 
(X')  (die  Hauptträgheitsaxe)  darstellt,  nur  um  periodisch  wachsende  und  ab- 
nehmende Beträge  variiren  kann.  Für  diesen  Fall  lässt  sich  die  Integration  ohne 
Zurückführung  auf  elliptische  Functionen  durchführen.  Da  überdiess  in  (7)  auch 
die  Ungleichheiten  der  Mondbewegung  nur  sehr  klein  sind,  so  kann  in  dieser 
Gleichung  statt  des  Nenners  p  die  Einheit  und  statt  des  sin  der  Bogen  gesetzt 
werden  und  man  erhält 

jiu       3X'»  3Z'9 

Das  Integral  dieser  Differentialgleichung,  wenn  die  rechte  Seite  Null  ist,  ist 
u  =  asin{m/-t-  A),  wobei  a,  A  Constante  sind,  dann  folgt 

m  =    .  Z  .  1/37. 

Hieraus  folgt,  dass  7  positiv,  d.  h.  B  >  A  sein  muss.  A  ist  aber  das 
Trägheitsmoment  um  die  X  Axe,  d.  h.  um  die  gegen  die  Erde  zu  gerichtete 
Hauptträgheitsaxe;  diese  ist  daher  Axe  des  kleinsten  Trägheitsmomentes.  Setzt 
man  jetzt  wieder  das  Integral  der  vollständigen  Differentialgleichung  (9)  in  der 
Form  voraus 


=  a  sin  (     L       i%  7  •  /  +  a\  +  I/,sin  (x,/  +  K,), 

\y  1  +  v  / 


(10) 


wobei  jedem  Gliede  der  rechten  Seite  in  (9)  ein  Zusatzglied  in  (10)  entspricht, 
so  folgt  in  der  bereits  wiederholt  erörterten  Weise 

_3Z'_3 

1  _i_  y'«  1*' 

 .  (10a) 


3Z'» 


77  7  — X«a 


1  4-  / 

Der  vollständige  Ausdruck  von  u  wird  daher 


3Z'«  L 


a  stn 


(V  \     VI     1  -+-  v" 

l+v"7  *' 

Der  erste  Theil  enthält  die  beiden  willkürlichen  Integrationsconstanten  a,  A\ 
er  wird  aus  diesem  Grunde  auch  die  >willkürliche  Librationt  genannt;  der 
zweite  Theil  hingegen  ist  eine  nothwendige  Folge  der  ungleichmäßigen 


*)  Da  7  je  nach  der  Wahl  drr  Hauptträghcitsaxen  ftir  diesen  Fall  positiv  oder  negativ 
gewählt  werden  kann,  so  wird  hierdurch  das  Integral  scheinbar  geändert;  da  aber  gleichzeitig 
die  Grenzen  und  der  Modul  geändert  werden,  so  kann  daraus  nicht  geschlossen  werden,  dass 
der  RotationszuMand  instabil  wäre.  Doch  gehören  die  weiteren  Ausführungen  in  die  Theorie 
der  Transformation  der  elliptischen  Functionen. 


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Mechanik  des  Himmels.  102.  108. 


609 


des  Mondes,  die  sogen.  >nothwendige  Libration«;  beide  zusammen  bewirken 
Schwankungen  der  Hauptträgheitsaxe  des  kleinsten  Moments  um  den  gegen  die 
Erde  zu  gerichteten  selenocentrischen  Strahl:  sie  bilden  die  physische  Libration 
des  Mondes  in  Länge1). 

Der  Coefficient  des  dem  Argumente  x,7  -f-  A",  entsprechenden  Gliedes  der 
nothwendigen  Libration  kann  geschrieben  werden 

*, 

7'  • 


1 


\L)  3T 


Er  kann  beträchtlich  werden,  wenn  k,  selbst  sehr  gross  wird,  oder  wenn 
der  Nenner  sehr  klein  ist;  dieses  letztere  wird  der  Fall,  wenn  x,  sehr  nahe 
L  _ 

_!_  ^'  ^*  ^r  ^ene  Argumente,  welche  mit  dem  Argumente  der  will- 

kürlichen Libration  nahe  dieselbe  Periode  haben.  Diese  ist,  wenn  v"  =  ^  ge- 
setzt wird: 

360°   jj        360-60-60"   Ti      15  874  0-043457  _  . 

t  =   7=  l/l  -+-v"  =   ;r— :i/+v'  = — Tage  =  -==—  Jahre. 

ZV37  47435V3VT  V7  YT 

7  ist  nun  nahe  0000346  demnach  t  =  2  336  Jahre  mit  dem  Werthe 
x  =  1518"'8.  Je  naher  die  tägliche  Bewegung  des  Argumentes  diesem  Werthe 
kommt,  desto  stärker  wird  der  Coefficient  durch  die  Integration  vergrössert. 
Von  den  Störungsgliedern  des  Mondes  werden  daher  nur  zu  berücksichtigen 
sein:  diejenigen  mit  grosseren  Coelfkienten ,  die  Mittelpunktsgleichung  und 
Evection  und  dasjenige  Glied,  dessen  Periode  der  obigen  am  nächsten  kommt, 
die  jährliche  Gleichung.    Mit  Z'  =  47435"  ist 

für  die  Mittelpunktsgleichung    kx  =  -|-  22643",    x,  =  47034",    /,  «  -  23"6 
„    .,   Evection  *a  =  +   4467",    x,  =  40739",    /,  =  -  6"2 

„  „  jährliche  Gleichung  *s  =  -  657",  x,  =  3548",  /,  =  ■+■  147"'4, 
somit 

«  =  a««f-7z£^|/3l/H-^-23"-6  sin  <C  -6"2  sin(l  +2»— 20— «»^H- 

+  147"  4  sin  0.  V  ' 

Die  Grössen  a,  A  müssen  als  Integrationsconstanten  aus  den  Beobachtungen 
bestimmt  werden.  Die  neuesten  Untersuchungen  dieser  Art  rühren  von  J.  Franz 
her;  sie  ergeben  das  Resultat,  dass  diese  physische  Libration,  wenn  nicht  ganz 
verschwindend,  so  doch  für  die  heutigen  Mittel  der  messenden  Astronomie  nicht 
angebbar  ist*). 

103.  Die  Libration  in  Knoten  und  Neigung.  Wäre  das  zweite 
CASStNi'sche  Gesetz  strenge,  so  würde  w  gleich  Null  sein;  nimmt  man  an,  dass 
dieses  Gesetz  als  Näherung  anzusehen  sei,  so  wird  w  jedenfalls  sehr  klein  sein. 
Setzt  man  nach  Lagrange 

sin  ?)  sin  y  =  s;        sin  tj  cos  <?  =  s',  (1) 

so  wird 

äs  di\  dtp        ds'  dt\  do 

j^cos^stnyjj  +  stnricosiYr       77  =  C0S  *  C0S  *  dt  ~  smilsm*Tr 

daher  mit  Rücksicht  auf  101  (8)  und  (9) 


')  Hierzu  tritt  noch  die  optische  Libration,  vergl.  den  I.  Band,  pag.  120. 
J)  J.  Franz  :  »Die  Constanten  der  physischen  Libration  des  Mondest ;  Astronomische  Beob- 
achtungen an  der  k.  Universitätssternwarte  in  Königsberg,  Bd.  38,  pag.  27. 

VAtWTWM,  Artrooomi«.   H.  39 

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s 

ds* 

=  +  77 

d's' 

ds 

dt* 

=  dt 

ds  ds* 

s,  s't 

dt'  dl  ' 

610  Mechanik  de«  Himmels.  108. 

ds 

5=2  cos  tj  sin  9  ( —  /  cos  9  -4-  q  sin  9)  -4-  cos  9  sinr\  (n  -+-  r  )  -+-  «V9         y q  cos  9) 

=  ij  *w  9  ( —  />  cosy  +  q  sin  9)  —  j#»  9  j/«  t)(«  +  r")  —  sin  y(p  siny-\-  q  cos  9) 
oder 

ds 

•jj  =  ■+■     («  ■+-  r')  -+-  /  j/ä  9  ^  9  f  1  —  r<?j  tj)  -h  ^  (rtw*  9  -+■  «»*  9  <w  tj) 
ds' 

-j-t  =  —  s  («  -4-  r')  —  ^  «»  9  r<?j  9(1  —  cos  tj)  —  /  (sin*  9  -+-  <w*  9  cos  tj). 
Vernachlässigt  man  hier  die  Grössen  dritter  Ordnung  prp,  qrf,  so  wird 

-  =  +  ,'(„  +  /)  +  ? 

—  («  +  ,•)-/. 

Um  hieraus  /  und  q  zu  eleminiren,  wird  nochmals  differenzirt;  dann  wird: 

„       .  dr'  dq 

dr'  dp 

du 

Da  die  Grössen  s,  s',  -j- ,        von  der  Ordnung  von  sin  tj,  -^j  sind,  so  kann 

man  in  denjenigen  Ausdrücken,  welche  diese  Faktoren  enthalten,  r'  vernachlässigen. 

dp  dq 

Ersetzt  man  dann  ^,  durch  ihre  Werthe  aus  101  (7)  und  drückt  die  hier- 
durch wieder  eingeführten  Grössen  p  und  q  nach  (2)  durch  s,  s'  aus,  so  folgt: 

^  =  +  -^(«+-r'-ß„)  + _ß„x  („  +  ,•')  + 

=  -  7>  («  +  r a»)  -  s  17  -  a»i  f>  +  r')  -  . 

Vernachlässigt  man  hier  die  mit  ßj,  ax'  in  die  sehr  kleine  periodische 
Störung  r'  multiplicirten  Gliedern,  so  erhält  man 

d*s      A  +  £-  C    ds'         ds'       ,  dr'     o  _        ,  SOI 
 ^  "  ~dt         ~dt      ?"  S  =  +  Ü 

d*s'      A  +  B  -  C   ds'         ds         dr'         .  .  8 
dW  +  A          ndi+r  dl  +S-dt+*n*S  =  -Ä- 

Reschränkt  man  sich  auf  die  Grössen  zweiter  Ordnung,  so  wird: 

2  3L'* 

—  Ä  =  —  p3(!  +  v»)  «fo'»  ~  9) «»  (»  +  «0  +  '  0  —  ?;      (f  +  «0  -  AC(r  —  9}], 

wobei  gleich  v  -+-  iv  beibehalten  ist,  weil  sich  diese  Summe  nach  102  (3)  durch 
bekannte  Grössen  au  sdrücken  lässt.    Thut  man  dies,  und  berücksichtigt,  dass 

=  1  +  Be  cos  Ci 

ist,  so  wird,  mit  Ausschluss  der  Grössen  dritter  Ordnung,  wenn  tj,  i,  e,  und  die 
Coefficienten  k  als  Grössen  erster  Ordnung  angesehen  werden: 


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Mechanik  des  Himmels.  103. 


611 


-  ^  =  +  yq^r,  «  (ti  +  /)  [w«  (L  -  0)2*  sin  (x,/  +  K,)  -  u  sin  (Z  -  A)  + 

+  ^.2i.-*i»  («.-/  +  /:.■)-.  ^] 

501  3Z'2 

-h  ^  =  —  -  _p • -„  ?  [tj  ji»  r  -f  <  sin  (v  +  «;)  —  Ä£  <w  (i>  -  ?)]  [1  +  3*  <w  <£] 
3  /'a 

=  +  ,  qT7<  P  h  "*  I     -  ß)  +  2  *,  i/»  (x,  /  +  A', )  -     +  / [(Z  -  Ä)  + 
+  2  kisin  (x,  /  +  A',-)]  +  AC]  (1  +  3*r«  1) 

oder1) 

+  ~ =  +  f+  V<  P  [Ol  +  i)si*{L  -  ß)  +  (r)  +         «»(x,/  +  A,>i(Z  -  ft)  - 
—  V      (Z  -  ft)  +  AC  +  (r)  +  I)  3^«  £  sin  (Z  -  ft)  +  AC  •  3<  <w  £]. 

Schreibt  man  die  nicht  mit  n  multiplicirten  Glieder,  welche  -j-j ,  -^-ent- 
halten und  die  nicht  mit  «»  multiplicirten  Glieder,  welche  s,  s'  enthalten,  in  welchen 
übrigens  die  periodischen  Functionen  r'  und  -jj  als  Faktoren  auftreten,  nach 
rechts,  so  werden  die  beiden  Gleichungen  (3)  in  die  folgenden  übergehen: 

Diese  Gleichungen  werden,  wenn  man  die  rechten  Seiten  Null  setzt,  befriedigt 
durch  die  Annahme 

s  «r  //  sin  {tut  -\r  Hy.         s'  =  h'  cos  {mt  +  H). 

Substituirt  man  diese  Werthe  in  die  reducirten  Gleichungen  (4),  so  wird 
man  auf  die  Gleichungen 

(zw2  —  ß»2)  h  =  (1  —  ß)  nmh< 
(Wf  _  a„*)  /,«=  (i  _  a)  nmh 

geführt,  welche  für  m  die  Gleichung 

(w2  -  3»*)  («»  -  a»»)  =  (1  -  ß)  (1  -  o)  w2  »» 

oder  entwickelt 

m4  -  (]  +  aß)  tn 2  »2  -f  aß  »4  =  0 
giebt.    Die  Wurzeln  dieser  Gleichung  sind') 

Wj  =  «;  mi=ya$n, 

und  da 


')  Lagrangk  schreibt  statt  <les  ersten  Gliedes  in  — 
3Z'»     n  3/."  „ 

Der  eiste  Theil  ist  mit  Vernachlässigung  von  v":  —  SZ/'ßj,  und  da  die  Rotationsdauer 
des  Mondes  sehr  nahe  gleich  seiner  Umlaufszcit  um  die  Erde  also  L'  =  n  ist,  so  vereinigt 
sich  dieses  Glied  mit  dem  in  (3)  links  stehenden  »»ßx  tu  4«*  ßj.  Die  linke  Seite  der  ersten 
Gleichung  (3)  unterscheidet  sich  daher  von  der  zweiten  durch  den  Faktor  4  des  lettten 
Gliedes.  Die  dadurch  entstehenden  Unterschiede  in  den  Resultaten  sind  jedoch  nur  unwesent- 
lich; Übrigens  finden  dadurch  die  Glieder  erster  Ordnung  in  3)?  nur  theilweise  Berücksichtigung. 

2)  Man  braucht  nur  die  positiven  Lösungen  zu  berücksichtigen;  mit  den  negativen  Werthen 
*olgt  h:h'  entgegengesetzt  bezeichnet,  daher  (wenn  auch  das  Zeichen  der  Constante  H  geändert 
wird)  dieselbe  Lösung. 

39* 


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6 12  Mechanik  des  Himmels.  103. 


h_      (1  -  ß)  mn        m'  —  an*      (A\  M\  1  -  ß -i/a 

h'  **  m»-ß»>   -  (1  -  a)  mn'   Mi       '       W,"      1-a"  ß 


>*' 

ist,  so  sind  die  zusammengehörigen  Werthe: 

1 .  —  ft  t  h  —  A'  — 

2.  m,  =  H  «=  yäci  —  ß)  ht\      hl  =  -  >/ß (1  —  o)  hv 

Damit  nun  die  Integrale  thatsächlich  in  trigonometrischer  Form  und  nicht 
als  Exponentialfunctionen  auftreten,  müssen  a,  ß  positiv  sein,  d.  h.  es  muss 
C>  B,  C>  A,  also  die  Rotationsaxe  die  Trägheitsaxe  des  grössten  Mo- 
mentes sein. 

Die  Werthe  1)  und  2)  bilden  particuläre  Lösungen,  deren  Summe  in  Folge 
der  Willkürlichkeit  von  hx  und  und  der  zugehörigen  Hx,  Ht,  das  vollständige 
Integral  der  reducirten  Gleichungen  (4)  sind.    Sei  nun1): 

3Z'» 

so  wird  man  für  das  Integral  der  vollständigen  Gleichungen  (4)  setzen  können') 

s  =  hx  sin(nt  +  Bx)  ■+-  y«(l  —  ß)//,ww(yöß»/  -+-  Ht)  ■+-  2/i«'»(x'  ■+■  ^) 

.—  , —  (6) 

kxcos{nt+  Hx)  -  ]/ß(l  -  o)/4a^j(i/oß»/  -+-        +  1/ x' costy  +  F) 

mit  den  Bedingungen: 

-/»  X*  +  0  -  ß)«/i'X  +  ?«Vi 
-A'x»  +  0  -  «W,X  +  ««Vi1  = 

Hieraus  folgt: 

A  =  ^[ß(«»'  -  x»)/'  -  «(i  -  ß)*x/] 

//-=  ^[«(P**  -  X1)/-  ßO  -  <0«X/']  (?) 

JV  =  (ß«»  -  xi)(««t  -  xt)_  (1  -  «)(l  _  ß)«ay»  =  (aß«»  -  x»)(«»  -  x')- 
Nach  102  (4)  ist  nun     =  180°  +  (Z  —  ft  h-  «  —  daher 
sin  türm  —  sin(Z  —  &  +  u—  <p)=  —  sin{L  —  &-\-u)eosy-\-cos{L  —  ft-r-»)x//r? 
w«»  =  —  rttf(Z  —  ft  ■+-  w—  <p)  =  —  cos(L  —  ft  H-»)^?  —  j«i(Z— ft-+- 

ji«  t)      «'  =  —  ji«  (Z  —  ft  -f-       -4-  <w  (Z  —  ft  -+-  u) s 

sin  T)  cosw  =  —  <w  {L  —  ft  h-  «)  j'  —  j/«  (Z  —  ft  4-  u)s.  (  ' 

Vernachlässigt  man  hier  wegen  der  kleinen  Faktoren  s,  s'  die  sehr  kleine 
Grösse  u,  führt  für  s,  s'  ihre  Werthe  (6)  ein,  und  schreibt  zu  diesem  Zwecke 


')  Ei  ist  nicht  schwer,  diese  Form  herzustellen,  wenn  die  Produkte  der  trigonometrischen 
Functionen  in  Summen  aufgelöst,  und  Coefficienten  von  lehlenden  Gliedern  Null  gesetzt  werden. 
Vergl.  die  Coefficienten  in  104  (I). 

»)  Franz  findet  die  Glieder  mit  dem  Argumente  J/ot  ß  n  t  -f  Ht  in  /  und  q  [veTgl.  seine 
Formeln  (16)]  und  lässt  sie,  da  sie  im  Laufe  kürzerer  ZeirrSume  nahe  constant  sind,  weg. 
Da  jedoch  Übe»  ihre  Grösse  erst  aus  den  Ausdrucken  für  t),  w  ein  Schluss  möglich  wäre,  so 
mttssten  diese  Ausdrucke,  wenigstens  als  Constantc,  auch  bei  der  Integration  seiner  Gleichungen 
(20)  noch  berücksichtigt  werden,  was  Franz,  der  von  der  Kleinheit  der  Libration  sofort  aus- 
geht, unterlasst. 


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Mechanik  des  Himmels.  108.  104.  613 

i(yT-V^)Ci  +  y^)  =.  *-     \(JX  +/x>) 

daher  *  ^  +  ^  ~  ^  =  ß'       *  (/l  ~A<)  ä/,<> 

^^(«^Z^^^ßOV'«^^  (6  . 

i  •=  A  t  <w  (•/+  ZfJ  +  («•-  ß'M  1  ^(|/oTß  » /-r  H%) + 2  (/,-/,')  m  (x /  + 

so  wird: 

sinr^sin  w  =  +  At  jm(*/  +  //,  —  Z  4-  ft)4-  a'At«'«(^ap*/  +  Zf,  —  Z  4-  + 

*«i  tj      a/  =  —  Ag  <w(»/  4  Bx  —  L  +  ft)  —       cosl^^nt  +  H%-  L  4ft)4-  (  ' 

+ß'>4,^(y^ß«/+^,+Z-ft)-2/,^Z-ft-x'-^+V,VK^-ft+X^)- 

104.  Numerische  Werthe.  Für  das  weitere  ist  es  nun  nöthig,  die 
einzelnen  Argumente  f  t  -h  F  zu  betrachten.  Die  Coefficienten  fx,fx  enthalten 
den  Integrationsdivisor  (aß«"  —  X*)(Ä*  —  X*)*  t)ieser  kann  nur  Null  werden 
für  x  B  V%$n  °der  für  x  =  »•  *  ist  sehr  nahe  gleich  Z',  da  die  Rotationszeit 
des  Mondes  gleich  seiner  Umlaufszeit  um  die  Erde  ist;  es  sind  also  zunächst 
Argumente  zu  berücksichtigen,  für  welche  x  nahe  gleich  L'  ist,  also  in  erster 
Linie  in  (1)  das  Argument  £  ■+■  «>.  Ferner  wären  Argumente  yt  ■+>  F  zu  be- 
rücksichtigen, wenn  x  sehr  nahe  /aßZ'  ist»  solche  Argumente  kommen  aber 
nicht  vor;  ihre  Periode  wäre 

360°       3G0  -60  -60  ,n  360  60-60 

— —t~  =    Tage    =  -7=  Jahre. 

}/aßZ»      >/aß-  47435  y^ß  •  47435  •  365  25 

Daa  =  0  000272,  ß  =  0  000618  ist,  so  wird  x  ■»  182*4  Jahre. 

Die  Libration  in  Länge  u,  deren  Coefficienten  nur  sehr  klein  sind,  ebenso 
wie  die  in  (tj  -+-  /)  inultiplicirten  Produkte  der  Längen-  und  Breitenungleichheiten 
[  A  C  2 ki  sin  (%i t  -+■  K,)\  und  das  Produkt  tjw  können  folglich  vernachlässigt  (oder 
eventuell,  wenn  nöthig  in  einer  zweiten  Näherung  berücksichtigt)  werden,  und 
man  erhält,  wenn  für  2  (x,/ +  A',)  nur  die  Mittelpunktsgleichung  2*  sin 
für  AC  die  Breitenstörung  -+■  21  "'75  sin  <u  =  k0sinta  gesetzt  wird: 

—  -4  —  +  ^«Ol .+  0 •  2<r  */'«  (£  «» (Z  —  ft) 

=  +  ^ß[(*0  +  0  *  sin  (L  —  ft)  4-  (l  4  0  •  2^  «»  £  <w  (Z  —  ft)  4-  *0*m  w  4- 

-f  (tj  4"  0  •  3*  rttf  (C  j/«  (Z  —  ft)  +  £0  jm  tu  •  3  e  cos  (£ ]. 

Führt  man  hier  die  Produkte  der  trigonometrischen  Functionen  in  Summen 
Uber,  vernachlässigt  die  Produkte  von  r'  in  s  und  s'  und  ihre  Diflerentialquotien- 
ten,  und  überdies  wegen  der  Kleinheit  von  k9  auch  das  Produkt  Sek0,  so  erhält 
man  für  die  Ausdrücke  in  103  (6): 

Das  Argument    yt-\-F=  u>  2(£4-«o      (I  4  <» 

mit  den  Co*lBcien..n:'  (  ^     +      + Z'^,+l\      i  ■  0) 

Drückt  man  die  Coefficienten  /8'  direkt  durch  /,  /'  aus,  so  ergiebt  sich 
nach  einigen  leichten  Reductionen: 

f      l_  (x-ß«)a/4-(X-«^ß/' 

7>      2       (x»  -  aß«*)(*  -  x)  ,^ 

/  .  _  C  (X  +  ß«)«/-fr +  «»)?/'  W 
'*       2        (Xt  -a?*»)(*  4-  X) 


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614 


Mechanik  de«  Himmel*.  104. 


Mit  den  Constanten 

a  =  00002717  r,  =  1°  31'  22"  =   5482"  ,  -  o-OUÄ« 

ß  =  0  0006175  /'  =  5°   8'  44"  =  18.V24"  ~  ™"  ~  "  U04BÖ 

erhält  man  für  den  Ausdruck  108  (10),  daZ-ft=([+»  ist,  die  folgenden 
Argumente  mit  den  daruntergesetzten  Coeffkienten  *) : 

Argument:  Z  —  &  —  yt  —  F  =       £  —  ((  0 

Coöfficient:  =  -  90"  46       +  1"'25  5440"7 

Argument:  L  —  -f  ft  +  *  =  {  +  2u»  3  (£  +  2«>  2(£  +  «>) 
Coefficient:  +      =  —  6"30       -  0"ü9     —  10"-92. 

In  den  Formeln  108  (10)  ist  überdiess  nt  -+-  Hx  =  Z7  -h  //,  =  L  +  C\  das 
erste  und  zweite  Glied  mit  dem  Argumente  ±  (£  lassen  sich  zusammen- 
ziehen und  man  erhält,  wenn  man  die  Glieder  weglässt,  deren  Coefficienten 
kleiner  als  1"  sind,  und  sin  tj  mit  tj  vertauscht: 

t)  sin  w  =  E  =  +  hx  sin  (ß,  +  C)  +  a'//8  sintftfnt  —  L  +  ß  +  /r^)  -V 

+  yh%sin(^nt+L-&+H%)-Vl"sinil-\V<sin^l^ 

riCosw  =  E'  =  -  /i,<w(ft  +  O  -  *'n9eostf*$nt  —  L  +  ft  + /ft)  + 

+  ß,yiJ^0/o^«/  +  ^-A+Zya)  +  5440"-7-89"^C  -11"^j2(C+«>)- 

_  6"<w((£  +  2««). 

Der  Coefficient  —  /„,  welcher  aus  dem  Argumente  F=m  +  ([  in  V  und 
3JI  hervorgeht,  giebt  hier  in  y^cosw  die  Constante 

E0  =  5440"7. 

Nun  erhält  man  aus  (3) 

tonst» i» +  (4) 

Die  Beobachtungen  zeigen,  dass  u>  ein  kleiner  Bogen  ist,  und  tj  nur  massigen 
Schwankungen  unterliegt;  hieraus  folgt,  dass  die  Summe  aller  periodischen 
Glieder  in  den  Gleichungen  (3)  immer  viel  kleiner  bleiben  muss  als  die  Con- 
stante E0.    Man  erhält  aber: 

E*  +  E»=  (5440-7)»  -f(90)*  +  (11)«+  .  .  +  h*  +  («'//,)»  +  (?'//,)'  +  .  .  -f- 
-f  periodische  Glieder 

-(5440-7)»  (l  +  J 

(qn'-U  1 1 » -4-  \ 
1  +i  ^44o-7»~~j  =5440"7xl-0001395  =  5441"-8.  (5) 

Wären  die  angewandten  Elemente  vollkommen  richtig,  und  hx  =  A2  =  0,  so 
müsste  der  resultirende  Werth  von  t)  identisch  sein  mit  dem  Ausgangswerthe. 
Der  Unterschied  vertheilt  sich  nun  aber  auf  Fehler  der  angenommenen  Constanten 
sini,  a,  ß,  v"  u.  s.  w.,  und  auf  die  unbekannten  Constanten  der  willkürlichen 


l)  Es  ist  i.  B.  für  das  Argument  (£  -}-  u> : 

2  (x»-^3«»)(«--  X)'  yj        "ä"  (x' -  +  x)  * 


und  es  ist: 

x  =  4.  84-3347  %(»  -  Z)  «=  9*528402  /^(X  -  «*)ß/'  =  3-096845 

n  =  +  83-9971  Ätf-fx1  -  a3«J)  =  8852012  %±?=  4  019222 

an  =       0  0228  %(«  -f-  x)  =  2  22GI66  %(x  4-  et«)?/  =  3  097080 

?»  =  -T-  00519  =  4-380820  logf%  =  3,735653 

-»  +  0  0012  A»*/,' =  1-038124. 


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Mechanik  des  Himmels.  104.  105. 


Libration  in  Knoten  und  Neigung.  Die  nothwendige  Libration  ist,  wie  man 
sieht,  auch  in  Knoten  und  Neigung  sehr  klein;  sie  überschreitet  selenocentrisch 
nicht  1 Die  Gleichungen  (4)  zeigen  aber,  dass  auch  die  Constanten  hx, 
a'A4,  ßM,  der  willkürlichen  Libration  sehr  klein  sein  müssen  und  weiter,  dass 
sehr  kleinen  Werthen  von  w  auch  sehr  kleine  Schwankungen  in  t)  entsprechen 
werden  und  umgekehrt,  d.  h.  dass  das  nahe  Zusammenfallen  der  Knoten  der 
Mondbahn  und  des  Mondäquators  auf  der  Ekliptik  und  die  nahe  Constanz  der 
Neigung  des  Mondäquators  auf  der  Ekliptik  mit  einander  untrennbar  verbunden 
sind. 

Nimmt  man  an,  dass  hx  =  hi  =  0  wäre,  und  dass  ebenso  in  dem  Aus- 
drucke für  u  die  willkürliche  Libration  verschwindet,  also  a  =  0  wäre,  so  Hesse 
sich  aus  den  Coefficienten  /,  der  Werth  von  7  und  aus  der  Beobachtung  des 
Werthes  von  ij0  der  Werth  von  ß  bestimmen.  Nimmt  man  für  den  Coefficienten 
von  t)  in  (5):  10001395,  so  wäre 

5482"  =  -  10001395/,  =  1  0001395  f  ^-=^__  ß. 

Für  das  Argument  -//  -f-  F  =  £  +-  u>  ist  y  =  <i  '+»'=  L%  —  ft'  und 
/'  =  i  +  t)  =  24006".    Es  wird  demnach 

2(1  -h  v")  5482        fl'       x'-'ß«'  (R, 
pe=      3Z'>      2400G  1O001395    x  ~        '  W 
Rechnet  man  den  letzten  Coefficienten  mit  einem  genäherten  Werthe  von 
ot,  so  erhält  man  ß.    Sind  B  und  7  bekannt,  so  erhält  man  aus  der  Relation 

7      1  —  aß 

also  ausreichend  genau 

a  =  ß  -  T  (7) 

den  Werth  von  o. 

Die  vollständige  Gleichheit  der  Rotationszeit  des  Mondes  mit  seiner  Um- 
laufszeit um  die  Erde  wäre  eine  Erscheinung,  die  an  und  für  sich  zu  den 
grössten  Merkwürdigkeiten  der  Natur  gehören  würde.  Sobald  aber  die  Libration 
hinzutritt,  verliert  die  Erscheinung  ihre  Auffälligkeit,  und  erscheint  ganz  natür- 
lich. Das  erklärende  Element  ist  hierbei  die  willkürliche  Libration,  durch  welche 
der  Mond  um  seine  Ruhelage,  als  welche  diejenige  angesehen  werden  muss, 
wenn  die  Trägheitsaxe  des  kleinsten  Momentes  gegen  die  Erde  gerichtet  ist, 
pendelartige  Schwingungen  macht.  Diese  ist  allerdings  durch  die  Beobachtungen 
als  äusserst  klein  constatirt  worden.  Doch  ist  es  nicht  ausgeschlossen,  dass, 
wenn  die  Himmelskörper  sich  in  einem  sehr  dünnen  Medium  bewegen,  dieses 
indem  es  gerade  die  pendelartigen  Schwingungen  viel  stärker  beeinflusst,  als 
die  Translationsbewegung,  eine  ursprünglich  vielleicht  sehr  grosse  Libration  im 
Laufe  der  Zeiten  vernichtet  hat,  ja  sogar,  dass  eine  ursprüngliche  Rotation  durch 
fortwährende  Verlangsamung  in  einem  Medium  schliesslich  in  eine  Libration 
tiberging;  eine  Ansicht,  die  bereits  von  d'Alembert  ausgesprochen,  seither  jedoch 
in  Vergessenheit  gerathen  und  nicht  wieder  aufgenommen  worden  ist. 

105.  Berechnung  der  geocentrischen  Coordinaten  eines  Mond- 
kraters. Man  hat  [vergl.  N.  64  (2)]  zunächst  aus  den  selenographischen  Coordinaten 
b,  U  in  Verbindung  mit  den  Elementen  *',  bezogen  auf  den  Aequator 
die  Grössen  d  und  a  zu  berechnen: 

sin  d  =  sin  b  cos  i'  •+■  cos  b  sin  i'  sin  U 
cos  d  cos  (a  —       =  cos  b  cos  U  (1) 
cos  d  sin  (a  —       =  —  sin  b  sin  i'  +  cos  b  cos  i'  sin  U 


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6i6 


Mechanik  des  Himmels.  105. 


and  sodann  die  Formeln  64  (4)  in  diesen  haben  aber  die  Coefficienten  von 
r  eine  einfache  geometrische  Bedeutung.  Ist  A  der  selenocentrische  Winkel 
zwischen  dem  beobachteten  Mondkrater  und  dem  selenocentrischen  Erdorte,  also 
zwischen  den  Richtungen  HP  und  HE  (Fig.  273),  so  hat  man,  wenn  et,  3 
die  geocentrischen  Coordinaten  des  Mondmittelpunktes,  daher  180°  -Ha,  —  8  die 
selenocentrischen  Coordinaten  des  Erdmittelpunktes  sind,  in  dem  Dreiecke  APO: 

die  Seiten:    AP  =  90°  —  d,    PO  =  A,    AO  =  90°  -»-  8 

und  die  den  beiden  ersten  Seiten  gegenüberliegenden  Winkel  PO  A  und  OAP. 
Dabei  ist  POA  der  Winkel  zwischen  der  durch  EH  auf  den  Aequator  senk- 
rechten Ebene  AHOEA  und  der  Ebene  PHOE,  also  identisch  mit  dem 
Winkel  P0O0A0  =  p  (selenocentrisch  in  entgegengesetztem  Sinne  gezählt  wie 
geocentrisch) ;  der  zweite  Winkel  ist  PAO  =  aremq  =  180°  <x  —  a  =  180° 
—  (a  —  a),  demnach 

cos  A  =  —  sin  dsin  8  —  cos  d  cos  8  cos  (a  —  a) 
sin  A  sin  p  =  -+-  cos  d  sin  (a  —  a)  (2) 
sin  bcos  p  =  ■+-  sin  dcos  6  —  cos  d  sin  8  cos  (a  —  a). 

Setzt  man  dieses  in  die  Formeln  64  (4)  ein,  so  werden  die  beiden  letzten 
identisch,  und  aus  den  drei  Gleichungen  erhält  man 

p'  cos  s  =  p  —  r  cos  A 

p1  sin  s  =  r  sin  A,  *  J 

welche  Gleichungen  übrigens  unmittelbar  aus  dem  ebenenen  Dreiecke  HPE 
hervorgehen,  in  welchem  die  Seiten  HP*=  r,  HE  =  p,  EP=  p'  und  die  Winkel 
PHE  =  A,  PEH*=  s  sind.    Setzt  man  nun 

r       .  , 
—  8=  sin  h, 

P 

so  ist  h  der  scheinbare  Mondhalbmesser,  und  dann  wird 

sin  h  sin  A 

Will  man  statt  Positionswinkel  und  Distanzen  die  Rectascensions-  und 
Deklinationsdifferenz  haben,  so  kann  man  einfach  die  Formeln  64  (3a)  und  die 
dritte  Formel  64  (3): 

p'  cos  6'  cos  (a*  —  a)  =  p  cos  8  -h  r  cos  d  cos  (a  —  a) 
p'  cos  6'  sin  (a'  —  a)  =  r  cos  d  sin  (a  —  a) 
p'  sin  8'  —  p  sin  8  +  r  sin  d 

verwenden.  Hierbei  ist  jedoch  nur  die  zweite  praktisch,  welche  sofort  <x'  —  et 
giebt,  welche  Differenz  von  der  Ordnung  ^,  =  ~sinA  ist,  wobei  man  den  Faktor 

P  ... 

^7  t=i  1  setzen  kann.    Die  dritte  Formel  giebt  aber  8'  —  8  nicht  direkt,  sondern 

es  tritt  noch  die  Differenz  p'  —  p  auf,  indem  die  Gleichung: 

p1  (sin  8'  —  sin  8)  -H  (p'  —  p)  sin  8  =  r  sin  d 

geschrieben  werden  kann.  Quadrirt  und  addirt  man  aber  die  ersten  beiden 
Gleichungen,  erhebt  zur  —  Jten  Potenz  und  behält  nur  die  erste  Potenz  von 
f 

—  bei,  so  erhält  man 


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demnach 


Mechanik  des  Himmels.  105.  617 

1  1      T  .    ,  cosd       ,  1 

— -  -   jT.  =  ^   1  —  sink   ^  cos  (a  —  a)\ 

p'  cos  6'      p  cos  8  [  cos  'j      v  yJ 

p'  sin  8'  =  p  j/'«  8  j^l  -\-  sin  h  ^* 

,T        .    .sind       .    ,  cosd      ,  I  .      sin  A   .  A 

tang  8'  =  ta/r^  8  1  4.  stn  h  jr—^  —  sin  h        cos  (a  —  a)  =  iang  6  +  smkcosp 

und  damit: 

(8'  —  8)  =  j/«  s  cos  p. 

Einfacher  erhält  man  diese  Formeln  aus  der  Betrachtung  des  Dreiecks 
A0O0F0  (Fig.  273);  man  hat  in  diesem: 

sin  8'  =  cos  s  sin  8  ■+■  sin  s  cos  8  cos  p 
cos  8'  sin  (ot'  —  a)  =  sin  s  sin  p 
cos  8'  cos  (a'  —  o)  =  cos  s  cos  8  —  sin  s  sin  8  cos  p, 

daher  mit  Rücksicht  auf  die  Kleinheit  von  s  hinreichend  genau 

a'  —  a  =  s  sin p  sec  8' 

3'  —  8  =  s  cos  p.  (5) 

Hier  handelt  es  sich  noch  um  die  Bestimmung  von  $',  &1,  U.  Vergleicht 
man  die  Fig.  273  mit  Fig.  279,  so  sieht  man,  dass  U  die  um  180°  ver- 
grösserte  Entfernung  AD*  ist,  weil  in  Fig.  279  A  der  niedersteigende  Knoten 
des  Mondäquators  auf  dem  Erdäquator  ist.  Bezeichnet  man  daher  den  Ab- 
stand FA  mit  <I>.  und  ist  (in  beiden  Figuren  gleich  bezeichnet)  (X')D'  =  /,  so 
wie  bei  den  terrestrischen  Längen  positiv  vom  ersten  Mondmeridian  in  der 
Richtung  der  Drehung,  also  geocentrisch  vom  Mondmittelpunkte  nach  rechts 
(von  Süden  gegen  Westen;  in  der  Figur  ist  daher  (X')D'  =  —  /),  so  ist 

U  —  AD'  =  9  +  /  -t-  <t>. 

In  dem  Dreiecke  AT F  ist  nun  AT  =  180°  ■+-  ft';  VF=     -+-  w  (wobei 
der  aufsteigende  Knoten  der  Mondbahn  auf  der  Ekliptik  ist),  AF=Q>\ 
und  die  Winkel  AFX  =  t).  XAF=  180°  —     ATF  =  z  (die  Schiefe  der  Ekliptik); 
man  hat  daher: 

cos  }  i'  cos  >  (<D  +  ftO  =  +  sin  \  (fl  +  w)  cos  1  («  -  ij) 
cos  l  i'  sin  \  (0)  -f  &')  =  —  cos  £  (&  -r  «')  cos  \  (s  -|-  »j) 

.}  /'  w  i  (<I>  -       =  —  sin  l  (&  +  w/)  jm  £  (e  —  r,)  (6) 
f/«  i  / '  «'/i  J  (0  —  ß')  =  +  w  i  (ft  -f  w)  «»  i  (e  -+-  rj) 

U  =  180°  +^-(Ä  +  »)  +  *  +  /+^.  (7) 
Wurde  man  in  den  Formeln  (5)  und  (6)  für  irj  den  mittleren  Werth  der 
Neigung  des  Mondäquators  auf  der  Ekliptik,  und  u  =  w  =  0  setzen,  so  würde 
man  die  physische  Libration  vernachlässigen1);  und  wenn  man  in  den  Formeln 
(3)  bis  (6)  für  a  die  mittlere  geocentrische  Länge  des  Mondes  L,  und  8  =  0 
setzen  würde,  so  würde  man  die  optische  Libration  in  Länge  und  Breite  weg- 
lassen.   Die  Berücksichtigung  von  tj,  w,  u  in  den  Formeln  (1),  (2)  nach  den 


')  Für  die  Sonne  ist  w  =  u  =  0,  tj  constant ;  ß  constant  gleich  der  Länge  des  absteigen- 
den Knotens  des  Sonnenäquators  auf  der  Ekliptik,  demnach  auch  i1,  ft',  <l>  constant;  und  es  ist 

U  =  L0'  +  X/  +  /;    /V  =  /-o  +  180°  4-  *, 
wenn  /,0  die  Länge  des  ersten  Meridians  gezählt  vom  aufsteigenden  Knoten  des  Sonnenäquators 
auf  der  Ekliptik,  daher  L0'  die  Länge  des  ersten  Meridians  gezählt  vom  aufsteigenden  Knoten 
des  Sonnenäquators  auf  dem  Erdäquator  und  X  die  Rotation  der  Sonne  in  der  Zeiteinheit  ist. 


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6i8 


Mechanische  Quadratur. 


Formeln  102  (12)  und  104  (3)  giebt  den  Einfluss  der  physischen  Libration,  und 
die  Berücksichtigung  der  wahren  Coordinaten  des  Mondes  in  den  Formeln  (i) 
und  (2)  giebt  den  Einfluss  der  optischen  Libration. 

Für  den  dem  scheinbaren  Mondmittelpunkte  naheliegenden  Krater,  Moestinc 
A  hat  man  nach  J.  Franz: 

/=_5°10'  19";  *«=3°11'24*', 
wobei  als  erster  Meridian  der  Meridian  des  kleinsten  Hauptträgheitsmomentes 
gewählt  ist.  N.  Herz. 

Mechanische  Quadratur.  I.  Die  Aufgabe  der  mechanischen  Qua- 
dratur ist,  aus  den  numerisch  gegebenen  Werthen  einer  Function  für  eine  Reihe 
von  Werthen  des  Argumentes,  die  Integrale  der  Function  zwischen  gegebenen 
Grenzen  zu  bestimmen.  Strenge  genommen  würden  daher  auch  die  verschiedenen 
Methoden  der  näherungsweisen  Integration  hierher  gehören:  Mittelwerthsatz, 
SiMPSON'sche  Regel,  geometrische  Quadraturen  mit  den  verschiedenen  Formen  der 
Integratoren  (Verzeichnen  von  Curven  nach  den  gegebenen  Functional werthen  und 
Bestimmung  des  Flächeninhaltes  durch  Planimeter),  endlich  die  von  Humboldt 
in  sehr  treffender  Weise  bezeichnete  Methode  der  Integration  mit  der  Scheere< 
(Verzeichnen  von  Curven  auf  dickem  Carton,  Ausschneiden  derselben  und  Be- 
stimmen der  Fläche  nach  dem  Gewichte).  In  der  praktischen  Anwendung  in 
der  Astronomie  wird  jedoch  nur  eine  Methode  verwendet,  welche  an  Genauig- 
keit alle  diese  angeführten  Methoden  weit  übertrifft,  aber  an  gewisse  spezielle, 
übrigens  leicht  zu  erfüllende  Bedingungen  geknüpft  ist:  aus  gegebenen  äqui- 
distanten  Functionalwerthen  die  Integrale  von  ganz  bestimmten  unteren 
Grenzen  an  zu  ermitteln.  Diese  Methode,  namentlich  seit  Encke's  Darlegungen 
in  den  »Berliner  Astronomischen  Jahrbüchern«  für  1837  und  1838  besonders 
handsam  gemacht,  von  v.  Oppolzer  in  seinem  »Lehrbuch  zur  Bahnbestimmung 
von  Planeten  und  Kometenc  II.  Bd.  weiter  ausgeführt,  und  durch  ausgedehnte 
Tafeln  für  den  praktischen  Gebrauch  zweckmässig  eingerichtet,  soll  im  Folgen- 
den allein  auseinandergesetzt  werden.  Wegen  der  Einrichtung  der  Tafeln  wird 
es  dabei  zweckmässig,  auch  diejenigen  für  die  mechanische  Differentiation  in 
Kürze  zu  behandeln. 

In  dem  Artikel  »Interpolation«  wurden  die  beiden  Formeln  abgeleitet1): 

/(«+««)=/(*)+ };*'/"{*)+  iMn'-l '}/'»  +  i «»(«»- 1  *)/"»+-  •  •  • 
/(a+  (n  -f-        =/(a  +     +  »/'     +         i  (*»  ~  (*)')/"  (*  +  1)  + 

welche  folgendermaassen  geschrieben  werden  sollen: 

/(a+ «..)«/(«) +  ^(1^)4^  ...  (1) 

/<«+(«+*)«)«/(«+i)+^,(^  (2) 
in  welchen 

Nx(n)  =  n  M  («)  =  « 

N^{n)  =  l  *•  M%(n)  =  *  [*»  -  (*)*] 

Nt(n)  =>«(«'-  1 «)  MM  =  ±  n  [«»  -  fl)»]  (3) 

=  i  *'(«9  -  1 » )  M4(m)  =  i  («>  -  (*)>][«»  -  (|)«] 

^•(«)  =  5t  «(«*-  l,)(*,-2»)  MM  =  ±  »[*'  -  (*)»][!.»  -  (I)»] 


')  Dieses  Handwörterbuch,  II.  Bd.,  Formel  5.  pag  43  und  die  erste  Formel  auf  pag.  47. 


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Mec1  ar.:*che  Quadratur  6lQ 

wobei   man   sich  zu  erinr.ern  har,  das>  /  a),  f\a  -+-  J\  /"v<r),  4-  \)  die 

durch  PifTerenzerl-1  di:r  k  er1  alrenen  Wcrthe  des  Schemas  auf  pag.  4»  sind, 
während  /  a       \]  =  ;  [/  a,  +  /  j  ^  I  ,/'  ^  =  -  + 

u.  s.  w.  arithmetrsche  Mr.rcl  der  im  Schema  enthaltenen  Werthe  darstellen. 

Zu  beachten  is!,  da>s,  wie  die  Abführung  der  Multiplikation  in  ^  lehrt, 
die  A7  («)  und  J/  '1)  sammtlich  Functionen  von  «  sind,  u.  t.  diejenigen  mit 
geradem  Index  ganze  Functionen  von  n*,  diejenigen  mit  ungeradem  Index 
ganze  Functionen  von  «5,  multipücirt  mit  n,  also 

JV-2x[ft)  =  Xj.t      ai.i**      i».»«4  -4-  ....  -t-  a,.,*5* 
Ai.+u«)  =  Si.Tfl5  -r  >.\,»4  ■+-  .  .  •  -  ■+■  ^ 

M-2x\n)  ~  >m      s'1.*"5      a'2.1»*  -f-  ....  -4-  a'»,**3*  v* 
M-t*+\Kn)-=  n  y„.i  -1-  j'i.««'  -1-  —  •  ■  .  .  -f-  i'm. 

Ertheilt  man  nun  dem  Argument  x  =  a  -h  «<•»  ein  Increment  >»  =  i.v.  >o 
/(.v  4-        =  /[a  ■+■  «tu  •+■  v»)  =  I.W,«      v>/v» \j\ 

folglich 

<//<a)     /(.v  1-  dx)-/\x)         A\(n  +  v)  -  .Vtvcx 

— 7 —  =   7  =  2  / 

</a:  </-t  >«»  J  v 

=  »  2  -7." -™ 

und  ebenso  für  die  zweite  Formel  und  für  die  zweiten  OirTercntiaUpionenten. 
Nun  hat  man  aber  zu  beachten,  dass  gemäss  den  Formeln  x3a)  die  Pirtcrcntub 
quotienten  der  A«(«)  wkder  genau  dieselbe  Form  haben,  nämlich 

dN»x(n) 

— -j-  —  =  «[2«i,x  -r-  4*2.«"*  4-  ....  -t-  2xcu., 


dn 


fax  +  3fr.x«*  +....+  (2x  +  O?..*«3* 


■              =  2(Zl*      4-3«2««*  -+-....  4-  2x(2x  —  l)a,.t»**-* 
^-^T1—  =  «[3  ♦  2?Ux  -r-  +  (3*4-  l)2xtV  «-*«-->] 

und  ebenso  für  die  Afx(n).    Setzt  man  daher 

dN>x(n)  dN-2x+\{n) 

~dn "  =  *A  2*(");      _,7»—  =  A 

T=^)>  -^,Cw)=^"-.(.) 

</'^2x(*)  ,  v  </»  J/*,+  i(«) 

wo  also  z.  B.  A,»  =  1;  ytf.»  =  1;  Aa'(>)  —  1;  -  1;  A,"(«)  -  0; 

Mx"{n)  =  0;  A7'(«)  =  l;  =  1  »st,  so  wird 

10        =  /' (a)  +  *V  (»)/'"  (<0  +  AV(»)/(«(«0 

*[/"(")  +      '(»)/( «(«1)  -f  .  .  .  (  rt) 

<0*  =/"('z)  +  ^"  +  ^,/'(,;)/^((,)  +  .  .  .] 

+  «[/"(^  "t-  ^Va" («)/(*)(,!)   r-  .  .  .  ]  (Utt) 


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620 


Mechanische  Quadratur. 


=  /'  (a  4-  i)  4-  MJWfa  +     +  ii/5'(«)/l5)("  ■+■  i)  +  •  ■  • 
+  «[/"(«  +  *)  -♦-  AfA' (*)/'"<*  ■+■  0  4-  .  .  .  ] 


(Ib) 


dx*  - 


/"(a  4-  i)  +  M4"(m}/W(a  4-  *)  4-  Jf6"(«)/(6,(*  4-  *)  4-  .  .  . 

4-  «[/">  4-  |)  4-  J/S»/<5H*  4-  *)+...  J 
*  =  a  4-  («  4-  i)u>. 


(IIb) 


Die  Ausführung  der  Differentiationen  bietet  numerisch  keine  Schwierigkeiten, 
sobald  die  Reihen  (3a)  durch  die  Ausführung  der  in  (3)  angezeigten  Multipli- 
kationen erhalten  sind.  Man  findet  so  z.  B.  die  bereits  auf  anderem  Wege  auf 
pag.  46  erhaltenen  Formeln  (8a).  In  extenso  sind  diese  Reihen  abgeleitet  in 
v.  Oppolzer's  >Lelirbuch  zur  Bahnbestimmung  von  Planeten  und  Kometenc, 
II.  Bd.,  pag.  17,  18  und  19,  wo  die  Coefficienten  o»,x,  ß».*,  ß'»^  durch  die 
Combinationssummen  der  Quadrate  der  natürlichen  Zahlen  (wie  dies  unmittelbar 
aus  dem  Anblick  der  Formeln  (3)  hervorgeht)  dargestellt  sind.  Für  die  Praxis 
wird  es  bequem,  für  diese  Functionen  Tafeln  zu  haben.  Bedient  man  sich  dabei 
der  Formeln  (Ia)  und  (IIa),  wenn  das  Argument  zwischen  a  ±.  ^cu,  hingegen 
der  Formeln  (Ib)  und  (IIb),  wenn  das  Argument  zwischen  «4-  ^o>  =fc  J.«,  liegt, 
so  wird  man  das  Argument  der  Tafeln  nicht  über  n  =  dt  \  auszudehnen  brauchen. 
Für  die  Anwendung  hat  man  dabei  zu  merken,  dass  man  die  Differentialquotienten 
der  Function  für  Argumente,  die  in  der  Nähe  der  in  dem  Schema  pag.  42  ein- 
getragenen Functionalwerthe  liegen  (um  {  Intervall  abstehen)  nach  den  Formeln 
(Ia)  und  (IIa)  zu  berechnen  hat,  wobei  die  in  der  betreffenden  Zeile  stehenden 
Functionalwerthe  und  geraden  Difterenzwerthe,  sowie  die  zu  dieser  Zeile  ge- 
hörigen arithmetischen  Mittel  der  ungeraden  Differenzwerthe  zu  benutzen  sind, 
und  dass  man  die  Differentialquotienten  der  Function  für  diejenigen  Argumente, 
welche  näher  der  Mitte  des  Intervalles  liegen,  nach  (Ib)  und  (IIb)  zu  berechnen 
hat,  wobei  die  dieser  Intervallmitte  entsprechenden  arithmetischen  Mittel  der 
Function  und  der  geraden  Differenzwerthe  und  die  zugehörigen  ungeraden 
Differenzwerthe  verwendet  werden.  Eine  Tafel  der  N-  und  M- Functionen  findet 
sich  auf  pag.  632  *).  Für  n  =  0  erhält  man  die  Differentialquotienten  der 
Function  für  ein  volles  Argument  bezw.  für  die  Mitte  zweier  Argumente;  da  die 
mit  n  multiplicirten  Reihen  verschwinden ,  und  die  jV2*+i  {»),  M'%x^.\  (*), 
N"2*{n),  M''2x(n)  sich  auf  ihre  Anfangsglieder  reduciren,  so  findet  man  bis 
einschliesslich  der  zehnten  Differenzen  die  Reihen 


-  =/'(*  +  *)"  h)  +  &/<»(«  +  4)- ^/^C*  + 


Zur  Bestimmung  der  Integrale  hat  man  die  Formel  (1)  mit  dx  =  d(a  4-  na>) 
=  mdn    zu    multipliciren   und   zu   integriren,    und  ebenso  die   Formel  (2) 


l)  Abgekürzt  aus  V.  Oppolzür's  Tafeln,  1.  c,  png.  515  bis  545. 


(III) 


dia+tf 


/>  +  *)  ~  £/<«>(«  +  i)+ s5/(«>(«  +  i)  - 
"  3^8)(«  +  V  +  S/"0)(^  4-  i)  .  .  .  . 


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Mechanische  Quadratur  621 

mit  dy  =  d  [a  -+>  (»-+-  4)10]  =  toän1).  Man  erhält  durch  unbestimmte  Inte- 
gration: 

l  f/{x)dx=Ax  +  n/ia)+fifi)  j A',  (n)dn  +  /» J A,(«y«  +  .  .  .  (6) 

I  f/Wy-Bx  +  nf{a  +  Y.+/\a+\)  j  f  Mt(»)dn+...{7) 

Integrirt  man  nun  zunächst  in  (G)  zwischen  den  Grenzen  a  -+-  «to  =  £  und 
t  -f-  cd,  und  in  (7)  zwischen  den  Grenzen  a  +  $w  H-  »«»  «=  t;  und  tj  -H  «*»,  d.  h. 
durch  ein  ganzes  Intervall,  also  rechts  zwischen  den  Grenzen  n  und  »  1, 
so  folgt 

E+u»  »+1  n+\  «-»-1 

i f/ix)dx-/{a)+/\a)  j  Nx{n]dn+fXa)  j  N9{n)dn+r\a)  j  Nt(n)dn+..  (6a) 

l  n  m  h 

*)-*-<*  «-Vi  #,-»-1 

i f/Wj-A'  +  V+A'+k) f  Afx{H)dm+/"(a^\) j M0(»)d»+.  .  .  .  (7a) 

Will  man  nun  für  ein  zvuiies  Ir.teivall  integTiien,  so  erhalt  man  durch  die 
Substitution  x  =  x  -f-  tu,  dx  =  dx'  und  y  =  /  -+-  tu,  </y  =  *//: 

5+2 1»  E-t-io  „+1 

lf/(x)äx-*-- ~)dx'~/{a+  !)+-/>  +  \){Nx{n)dn+  .  .  . 

£ //(>)<*>  =  i J/f/  H-  tu).//  =/(a  +  I)  +  \)f  Mx(n)dn  4-  .  .  . 

demnach,  wenn  Kürze  halber  das  Aigument  ti  in  den  Functionen  N  und  M 
weggelassen  wird: 

e+ai  «+1  w-»-l 

i y/w^  =/(«)  +/»  y  a,  ^  +/"(a) y   + . . . . 

k  n  n 

l  J/(x)dx  =/(a  +  ))+/'(«  4-  1) j  Nxdn  +  />  +\)f  N%dn  +  .... 

E-*-3m  «+l  «-f-1 

^ ff{*)äx  =/{a  +  2)-f-/>  +  2)J Nxdn  +/"{a  +2)f Ntdn  H-  ....  (8) 


5+'«  »-ei  «+i 

^ jf(x)dx=/(a+i-\)+J'(a+i-\)  j A\dn+/"(a-i-i-l)  J  N^dn-*-... 


6 +d-D«. 
und  ebenso 


')  Die  Bezeichnung  der  Ynruiheln  :<-t  natürlich  gleichgültig,  und  Ut  nur  der  Kürze  und 
Deutlichkeit  halber  in  einem  Falle  .«,  im  andern  y  gesetzt;  das  bestimmte  Integral  ist  natürlich 
nur  eine  Function  der  Grenzen. 


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622  Mechanische  Quadratur. 

l  f/(y)äy-A*+ $+/'(*+ V  f  ^  </«-+-/"("  +  *)  J +  .  •  •  ■ 

rt  n  n 

Tj-fui  M  « 


VK/-I)ui  »  « 

Addirt  man  die  Ausdrücke  in  (8),  sowie  die  in  (9),  so  erhält  man  für  die 
Integrale  durch  i  ganze  Intervalle: 

te=/(a)+/(«+])+/(a  +  2)  +  .  .  ./(*  +  /-  1)  + 


+1 


+  [/•(«)+/'(«+  1) +/'(*  + 2)  +  •  •  •/'(*  +  '- O]/^"  00) 
+  [/"W+A  +  0+/>  +  2)+  •  •  •/>  +  i-\)\SN*d* 


«4-1 


Setzt  man  nun  das  auf  pag.  42  gegebene  Schema  auch  nach  links  fort,  d.  h. 
bildet  man  von  einem  vorläufig  beliebig  anzunehmenden  VVerthe  die  »erste  su  m- 
mine  Reihe«  und  ebenso  (für  die  zweiten  Integrale)  die  »zweite  summirte  Reihe  * 
so  erhält  man  die  folgende  Uebersicht: 

summ.rtc  Reihe  Haupifunction  Differenz 

a-3o,       !/(*-  3) 

a  +  2u>      11/0+2)  /^+2)    /Ctf  +  *> 

<i+3u>      11/(^+3)      S(a  +  V 

wobei  also 

!/(*  H-4)-  '/("  -  *)=/(<>) 
!/(«  +  $)  -  i/(*+  *)=/(*  +  1) 

'/(«  +  !)-  !/(«  +  *)=/("  +  2)  (121 


1/  („  +  /  _  J)  _  I/(fl  +,  _$)  =  /(*  H-  /  -  1). 

ist.  Pabei  bleibt  zunächst  ein  Anf.-  ngjwerth,  z.  B.  |/(tf  —  \)  beliebig,  und  man 
kann  nach  Maassgabe  der  Umstände  darüber  noch  weiter  verfügen. 


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Mechanische  Quadratur.  623 

Durch  Addition  von  (12)  folgt 
f{a)+/(a  +l)+/(a  +  2)+  +  /(«  -+-  t :-  1)  =  »/(«  -f-  i  -  ±)  -  »/(«  -  *)• 

Ebenso  erhält  man  aus  den  bezüglichen  Formeln  auf  pag.  41: 
/"(«)  +  1)  +/>  +  2)  +  .  .  ./>  -f-  1  -  1)  =/'(*  +  i  -  i)  -/'(<*  -  \) 

u.  s.  w.,  welche  Summen  aber  gerade  in  der  ersten,  dritten,  ftinften  .  .  .  Zeile 
der  Formel  (10)  enthalten  sind.  Die  zweite,  vierte,  sechste  .  .  .  Zeile  aber  ver- 
schwindet, wenn  man  n  —  —  \  setzt;  denn  da  die  Nix+\{n)  ungerade  Functionen 
sind,  so  ist 

J  tfU+i(n)  dn  =  0 

und  man  findet: 

-  i-  -* 

-r 

Führt  man  tlir  die  bestimmten  Integrale  der  N,  welche  sich  numerisch 
leicht  ausrechnen  lassen,  kurze  Bezeichnungen  ein,  so  dass 

/  JV,  f»  in  =  />,'=  -t-  I  /  iV6  t»  <fe  =  /»,»  -  -4-  ^ 

-r  -r 
-r 

/"2x  1=  y  Ni%{n)dn  =  2  J/h%i*)d*  =  2  y  N2x{n)dn 

ist,  so  wird 

]jf{x)dx-  V(<*  +  /-*)+  /,,7!  4)  +  A '/"'(« -»#  -  4)  +  .  .  . 


-  [VC«  -  4)  +  /».'/'(a  -  4)  +  -*)+...]•  (18) 

Hier  ist  die  erste  Zeile  von  Fall  zu  Fall  zu  berechnen,  während  die  zweite 
Zeile  eine  von  jedem  so  berechneten  Integral  abzuziehende  Constante  ist.  Die 
Berechnung  wird  vereinfacht,  wenn  man  diese  Constante,  welche  je  nach  der 
Wahl  von  \f(a  —  ^)  verschieden  ausfällt,  zum  Verschwinden  bringt.  Wählt 
man  daher  für  die  Bestimmung  des  Integrales  von  der  unteren  Grenze 
x0  =  a  —  \  u>  angefangen : 

Yia-\)  =  -  y\a  -  \)  +  jgö/'"(«  -  \)  -  sSSö/Wf«  -  i)  ...  (IV:«  -  J) 
so  wird  das  Integral 


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624  Mechanische  Quadratur. 

«+{>  - 

,o  f/W  dx  =  i/(a  +  #-*)  +  i./'  («  +  *  -     -  ^/'"     +  + 

+  9^o/(5)  (*  +    "  *>  •  •  •  (V:'-«>. 

Es  ist  zu  beachten,  dass  in  der  ersten  Zeile  von  (13)  als  Argument  die  obere 
Grenze,  in  der  zweiten  Zeile  die  untere  Grenze  des  Integrales  auftritt;  man 
pflegt  dieses,  wiewohl  nicht  ganz  correct,  so  auszudrücken,  dass  man  sagt,  die 
erste  Zeile  ist  der  Werth  des  Integrales  für  die  obere  Grenze,  die  zweite  Zeile 
der  Werth  des  Integrales  für  die  liniere  Grenze,  und  bezeichnet  dann  die  Be- 
dingung (IV:  a  —  dadurch,  dass  man  sagt,  \f  (a  —  wird  so  gewählt,  dass 
das  Integral  für  die  untere  Grenze  verschwindet1). 

In  (II)  verschwinden  die  zweite,  vierte,  sechste  Zeile  ebenfalls  und  die 
Summen  in  der  ersten,  dritten,  fünften  Zeile  lassen  sich  auch  wieder  zusammen- 
ziehen.   Es  ist  nämlich 

/(«  h-     =  *  \/{a  +  ])  -t-/(a)]  =  i  1/(1»  +  $)  -  *  V(a  -  *) 


demnach 

/(«  +  *)+/(«  +  *)  +  ■.•  +       +  /  -  J)  =  *[■/(«  +  /+})+  I/O  +  /  -  i)j  - 

-  J  I/O  +  i)  +  »/(*  -  i)] 
=  »/(a+  1)  -  !/(<*), 

wobei  wieder  die  arithmetischen  Mittel  der  ersten  summirten  Reihe  eingeführt 
sind.    Setzt  man  daher  analog  dem  früheren 

-h  -i 

Ja/,  («)     =  <23'  =  +  &     /Afg  («)     -  <?/  -  +  gm 

-h  -1 


+4  i  o 

=  fAfu  (»)*'»  =  2  [Ulx{n)än  =  2  fAf2* 

so  wird 

S  //0')  <y  =  «/(*  +  0  +  £>,'/'  («  +  0  +  <?,'/'"  (*-*-/)+... 

/  (14) 

-  [V  («0  +  Öi'/'  C<0  +  G»'/'"  («)+..  •]• 

Die  Berechnung  wird  am  einfachsten,  wenn  man  die  zweite  Zeile  zum  Ver- 
schwinden bringt.    Dazu  ist 

!/»  =  -  CV/»  -  QiT  («)  

Man  hat  aber  nicht  das  arithmetische  Mittel  '/(<*),  sondern  1/ (<z  =b  als 
Constante  zu  bestimmen;  da  aber 


')  Tl'.ntsäclilich  it-ijjt  Formel  (13),  dass  das  Integral,  wie  immer  auch  ]/*(«  —  \)  gewählt 
wird,  fl  r  rlie  untere  Grenze  vi rscli windet,  wenn  nur  die  additive  Constante,  welche  durch  die 
»weite  Zeile  ausgedrückt  ist,  entsprechend  berücksichtigt  wird. 


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Mechanische  Quadratur.  625 

I/C«)-iI/(-  +  i)-r-iI/(«-i) 

ist,  so  folgt  l/M-*y<- +  *)-*'/<—*> 

i/(a  +  1)  =         +  i/(a  -  *)  -  l/(a)  -  (15) 

demnach  zur  Constantenbestimmung  für  die  Berechnung  des  Integrales 
von  der  unteren  Grenze  a  angefangen  eine  der  beiden  Formeln: 

+  *)  -  +  */(«)  -f-  g/'  («)  -  £0/"'  („)  +  &/W  («)... 

i/(a  -  *)  =  -  */(«)  -+-  >/'  (a)  -     /»'  («)  +  ^/W  (a)  .  .  .  / 
und  dann  wird  der  Werth  des  Integrales,  wenn  jetzt  wieder  x  als  Integrations- 
variable gesetzt  wird 


'0 


Aus  Gleichung  (6)  erhält  man  durch  Integration  zwischen  den  Grenzen 
a  —  |u>  und  0,  d.  h.  rechts  zwischen  den  Grenzen  n  «=  —  \  und  0: 
*  00 
I  //(*)*■*  -  */(•)  +/'«  f  ^  r»'«  +  /'•(«)  f  Nt  {n)dn  +  ... 

oder 

-i  -i  (16) 

+  J/y/M)(a)  +  .  .  . 

Subtrahirt  man  diese  Gleichung  von  (13),  so  folgt: 

±  + 1 -  D+ + 1  - 1) + /,•/'■(«  +      +  •  •  • 

-  [V(a  -*)-+-  />,'/'(*  />,'/•>  -  1)  +  •  •  • 

+  (»)</»  H-/M,(«)/V,  (»)</«  +  .  .  .]. 

Mit   Rücksicht   auf  (15)   reducirt   sich   der  Ausdruck   in   der  eckigen 
Klammer  auf: 

V(«)  +  ^1'/,(a)H-^i^'"C«)-r-.  •  •  H-/f,(0)/Vl(«)</«4-/M'(a)/5v', +  .  .  . 

Es  ist  aber 

2N,(n)  +  Nx  («)==£(*  +  1)« 

2iV4  (»)  +  JVt(«)  =  ~  («  -f-  2)(»  -+-  1 )»(«  -  1) 

2 JV*6  (») ■+■      («)  =  £  («  -f-  3H«  -t-  2)(«  +  !)»(«-  1)(»  —  2). 
Durch  die  Substitution  n  =  nx  —  {  erhält  man  allgemein  2Arjjx(«)  Nix-ii») 
s=i  %M2x(.ni)'t  demnach,  da  den  Grenzen  —  £  und  0  ftlr  n  die  Grenzen  0  und 
-+-  \  filr  «,  entsprechen,  die  Coöfficienten  von  f  (<*),/'"(<*)  nichts  anderes  als 
Oi'.  <2s'>  folg«ch 

~  //(*)<**  =  V(a      *  -  i)  H-  /»,»/'(«  +  1  -  |)  -4-  />,■/"•(«  +  #  -  *)  +  •  •  • 

-  -[vw+ö^W  +  crw  ]• 

Valsmts»»,  Astronomie.   II.  40 

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626 


Mechanische  Quadratur. 


Hieraus  folgt,  dass  das  Integral  zwischen  den  Grenzen  a  und  «-+-(/—$)• 
durch  dieselbe  Formel  (V:  /*  —  ^)  bestimmt  ist,  wenn  die  zweite  Zeile  wegfällt, 
d.  h.  die  Anfangsconstante  der  ersten  summirten  Reihe  nach  (TV:  a)  bestimmt 
wird. 

Die  Gleichung  (14)  kann  geschrieben  werden: 

ix  mm  \f{a  +  I)  +      '/>  4-  f )  -+-  £,'/'"(«  +  0  +  .  •  • 


-  [V<«0  +/' W/ö ^  •+*  4-/'"(a)/(°2 A4  +  Ar,),/«  +  .  .  .  J 

Addirt  man  zu  dieser  Gleichung  die  Gleichung  (16),  so  folgt 


•   •   •  • 


-  4/(«)  -  -...]. 

Der  Ausdruck  in  den  Klammern  wird  gleich 

>/(«)  -  \m + av'w  -  */»]  +        -  */»  wi . 

und  es  wird  daher  mit  Rücksicht  auf  (15): 


-  Px'flfi  —  i)  "+*  -*)+...]. 

woraus  folgt,  dass  das  Integral  zwischen  den  Grenzen  a  —  \  to  und  «  + 
durch  die  Formel  (V:  i)  bestimmt  ist,  wenn  die  Constante  der  ersten  Summen- 
reihe durch  (IV:  a  —  ±)  bestimmt  wird. 

Um  die  IntegTale  für  beliebige  obere  Grenzen  zu  erhalten,  genügt  es  die 
Integrale  zwischen  (a  i«)  und  a  ■+-  (i  -+-  «)»,  bezw.  zwischen  «-»-(«  —  $)• 
und  fl  +  (j-J  +  8)(.)  zu  den  Integralen  (V:  *'),  (V:  *  —  $)  zu  addiren,  wobei 
man  sich  wieder  auf  Werthe  von  n  zwischen  ±  J  beschränken  kann. 

Schreibt  man  die  Formeln  (6)  und  (7)  für  x  «  a  -f-  (<  -+-»)«»  bezw. 
^  =  a  +  (i  —  ^  +2")°  an»  was  darauf  hinauskommt,  überall  a  -+-  iu>  an  Stelle 
von  a  zu  setzen,  und  integrirt  dann  nach  n  zwischen  0  und  n,  so  erhält  man 


-  [f(x)dx*-nf(a+i)  +  f'(a  +  t)  f  Nx{n)dn+f'(fi+i)  f  N%(n)dn  +  .. .  (17) 

-•K'-iX7  _  o*7  (18) 

+/>  +  i-k)f M%{n)dn  +  .  .  . 

Durch  Addition  von  (17)  zu  (V:  »)  und  (18)  zu  (V:  *  —  $)  erhält  man, 
wenn  man  für  die  untere  Grenze  xQ  gleich  a  oder  a  —  \ »  die  Constantenbe- 
stimmung  gemäss  (IV:  <z)  bezw.  (TV:  <z —  £),  so  bestimmt,  dass  die  Integrale 
stets  in  den  Formen  (V:  /)  bezw.  (V:  /'  —  ^)  ausgedrückt  erscheinen: 

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Mechanische  Quadratur.  627 

«•4-1CB-4-«  ui 

+  (<2>'  +fNMd»)f"Xa  f  ,)  +  (ßr,  {n)dn)/M(a  +  0 

«+(«-  nm 


•»0 


+  (/»,'  («)</«)/'"(*  +  *  -  i)  +  (/V4  («y»)/«>(a  +  *  -  i) 


t      *       «  • 


Berücksichtigt  man  nun  die  Formeln  (3;,  so  wird  man  sofort  sehen,  dass 
die  Integrale  der  Functionen  N^n),  N±  («)...  .  den  gemeinschaftlichen  Faktor 
»'  haben,  dass  hingegen  die  Integrale  von  M9(m),  ü/4(«)  ....  den  gemein- 
schaftlichen Faktor  n  enthalten,  und  kann  daher  setzen: 

Qx  +Ai  {*)**  -  Öt'(«)     /V,  («)    =  ««O) 

  °    (19) 

Px*  +fMx  (n)dn  =  ^'(ä)       ^/if,  {n)dn  «  •  /,•(*) 

Dabei  sind  die  <?«'(«)  untl  P%{*)  sämmtlich  Functionen  von  «*,  und  man 
erhält,  da  <V(»)  constant  gleich  \  ist: 

+  »» [*/"(*  +  0  +  <2« W(4>(«  +  0  +  •  -  •  ]  (VI:  0 

«+(1— 

1 fA*)**^i*+i-i)+fA*VX*+i-i)+*M  W"(*+'-  *)+.... 

+»[/(ö4-/-i)+/,s'(»y''(a+i-i)-f-/'4'(«yw)(a+/-i)H-. .  ..].(VI:,~*) 

Durch  Ausführung  der  Integrationen  lassen  sich  die  Reihen  für  die  Q%'(n) 
und  Jx'(n)  ermitteln;  es  wird  z.  B.1) 


<2i'(»)  =  - *  +         <2,'(«)  -  ^a/fi  «*  *»  -  A  u 


s.  w. 


0 

Für  die  Praxis  wird  es  wieder  am  bequemsten,  Tafeln  dieser  Functionen  zu 
haben,  welche  in  Folgendem  auszugsweise  aus  den  v.  OppoLZER'schen  (1-  c  » 
pag.  546—564)  unter  Berücksichtigung  aller  DifTerenzreihen  bis  einschliesslich 
zur  siebenten  mitgetheilt  sii 


')  Uebcr  eine  andere  Form  deT  Darstellung,  s.  v.  Oppolzkr,  1.  c,  pag.  40  und  42. 

40» 

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628 


Mechanische  Quadratur. 


Betrachtet  man  in  VI  das  Integral  als  eine  Function  der  oberen  Grenze, 
so  kann  man  neuerdings  integriren.  In  diesem  zweiten  Integrale  erlangen 
zwischen  den  bezüglichen  Integrationsgrenzen  die  einzelnen  Functionswerthe  die 
durch  die  obere  Grenze  des  ersten  Integrales  bestimmten  Werthe;  es  wird  dem- 
nach die  obere  Grenze  für  die  zweite  Integration  derjenigen  für  die  erste  iden» 
tisch  sein;  und  für  das  Verschwinden  des  Integrales  für  die  untere  Grenze  wird 
erforderlich,  dass  auch  die  unteren  Grenzen  zusammenfallen. 

Bezeichnet  man  das  Integral  in  VI  mit  /  (x),  so  folgt  durch  Multiplikation 
mit  dx  =  ndia  und  Integration,  wenn  zunächst  wieder  nur  innerhalb  eines  Inter- 
valles  integrirt  wird,  wofür  i  =  0  bezw.  1  angenommen  werden  darf: 

l Jj<x)dx-A%  +  V(fi)fdn  +/'(o)fQl'(n)dn  +/"'  M/fc,'  (») '*  +  •  •  •  (M) 
+  f{a)fn  dn  +/»  (a)fn*  Q9'(m)  dn  +  YW  (a)fn*  Q4'(n)  dn  +  ... 

+Aa+Vjndn+f'Xa+l)fnP,\n)dn+/M{a+±fo^  . . . 

wobei  zu  beachten  ist,  dass  die  sämmtlichen  Px'(n)  und  (?«'(«)  gerade  Functionen 
von  n  sind.  Integrirt  man  zunächst  (20)  zwischen  den  Grenzen  E  und  \  -+-  <o 
und  (21)  zwischen  den  Grenzen  tj  und  tj  -t-  «>,  nimmt  also  die  Integrale  rechter 
Hand  zwischen  n  und  n  1,  sodann  zwischen  den  Grenzen  \  -+- «»  und  \  -+-  2«», 
bezw.  tj  -+-  w  und  rj  2<»>,  wobei  wieder,  genau  wie  auf  pag.  621  die  Function 
unter  dem  Integralzeichen  durch  die  Substitution  x  =  x  -\-  «>  in  f(x  ■+■  u»)  über- 
geführt wird,  und  die  Grenzen  der  Integrale  rechts  sämmtlich  n  und  »-hl 
werden,  und  addirt,  so  folgt 

i+  im  »4-1 

£  fx*)dx  =  [tf{a)+V(a+l)+y(a  +  1)+....+y(a+i-l)]  f  dn 

-+-  [/'(«)  +  ''(«  +D  +       +  2)+....  -+-/'(«  H-  '  -  1)] f  QxX»)d* 

•    •    •  • 

+  ['(«)  +  /(«  +  1) +/(«  4- 2)  4-  .  +f(a  +  i-l)lJndH 

m 

H-  [    (a)  4-  /  "(*  +  1 )  +  /■»(«  +  2)+....+/"(«+i-l)]j'<i>e,' 

"T^  .... 

^ jj{x)dx=  [i/(a+  i)  +        +     +         +  V(«  4-  /-  *)] J  </* 

+  [/'(«  +  *)  +    («     1)  +  .  .  .  .  4-  /"'(«  +  '  -  W J  /\»'« 


«-Hl 


H- 


•  .  • 


4-  [/(«  4-  J)  4-Vf>  +  f)  +  ....  +  /(a  +  /-*)] J  ndn 

*  n+l 

■+-[/"(«  +  *)  4-  f"(a  4-  *)  +  ....  4-  /"(«  4-  1  -  i)] J «/»,'(*)  * 


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Mechanische  Quadratur.  629 

Intcgrirt  man  nach  n  von  —  \  bis  4-4»  so  fallen  die  Integrale  der  ungeraden 
Functionen  nlQ2x'{n)  und  weg,  und  es  bleibt 

«+('-})«» 

l  f/(x)  dx  =  W{a)  +  /(„  4-  1)  4-       .  +l/(a  +  ;-l)]  + 

-1-  L/'OO  +/'(«  +  +        1)]  /  Qx(n)dn 

-i 

+  [/'"(«)  +  /'>  4-  1)  -4-  ...  +  /'>  +  i  -  l)j J  Q%'  (*)*•+... 


-4 


+  [/'(«  +  «  +  +..  .  +/'(<»  +  •  -  «]  /       (»)  rf» 

-r 

•+■  [/m,(« + + /'"(« + 1) + . . .  +/'"(« -r-  «•  -  i)i  y   **  + ... 

 1 

Führt  man  hier  die  zweiten  Summen  ein,  so  hat  man 

if{a)  =  4  */(«  +  $  +  *  i/t>  -  4)  -  4        +  1)  -  4  'VC«  ~  1) 
V(a  +  1)  =  J  n/(fl  4-  2)  -  4  iV(a) 

V(a  4-  /'  _  1)  =  4  «/(a  ■+■  i)  —  4  n/(<*  -f-  *  —  2) 
H-  4)  =  +1)-  U/-(fl) 

V(a  4-  4)  =  *V(a  4-  2)  -  «/(a  4-1)  l-  ' 


.  .      ,  V(a  +  1- 4)  =  u/(a  +  0  -  n/(«  +    -  1) 

iolghch 

V(<*)+  • . . 4-I/(a4-/-l)=-l  11/(04-1  >4  n^H-'- l)-4,n/(")-4 1) 

=  11/(0  4-  /  -  4)  —  »/(<*  -  4) 
!/>  +  4)  +  V(fl  -t-  4)  4-  ...  4-  V(a  4-  /-  4)  =  "/(a  4-  /)  -  ^f(a), 
und  da  sich  die  ersten,  dritten,  fünften  Differenzen  in  derselben  Weise  durch  die 
Functionalwerthe  selbst,  die  zweiten,  vierten  Differenzen  ausdrücken: 
•+d--4>-  +4  +4 

-  ("'(«  -t)  +  a«  -  i)J  Qi  «'«  +  f"(«        Qt'W*  +  ■  •  •] 

"l       -1         ~*  (22) 

i  f  /(x)dx  =  W(a  +  i)  +/(*  +  ')  f  J3l\n)dn+/"(a+i) J  P>'(n)dn+  .  .  . 

-4  ,  -4 

-  (n/(<»)  +  '(«)  /  /VW«  +  '"(«)  /  /VW«"»  +••  •]■ 

-r  -r 


8*7  „    (VII:  a-*) 


630  Mechanische  Quadratur. 

Die  bestimmten  Integrale  der  Q  und  P  sind  Constanten,  deren  Berechnung 
keinen  Schwierigkeiten  unterliegt;  führt  man  diese  Integrationen  aus,  und  setzt 
wieder  Kürte  halber 

jQi  («)  dn  =  P*--±         JPX'  («)  dn  =  e0>  -  -t-  ä 

(«)  +  &  $  f»  dn  =  Q*  =  -&  (23) 

^/<V  0»)     -      -  -  iH*  '  («)     ~  G*'  «  +  ÄS» 

und  bestimmt  wieder  die  sonst  willkürlichen  Antangsconstanten  für  die  zweite 
Summenreihe,  so  dass  die  zu  dem  Integrale  hinzuzufügende  Constante  (die 
zweite  Zeile)  verschwindet,  so  wird  wegen 

n/(«  -  i)  - 1  u/(«)  +  * "/(« - 1);  * v(«  -  *)  -  i "/(*)  -  i n/(*  - 1% 

also 

u/(«)  -  n/(Ä.|)  +  j  i/(a  -  *) ;   n/(,  _  i) «  n/(a  _  ^  _  *       _  *), 
ür  die  untere  Grenze  a  — 

*/(*)- +*'/(«-*)+  &/(«  "  *)-  &/"(«-*)+  ü£k/(4)(«-i)  •  •  • 

und  für  die  untere  Grenze  a: 

n/(«)  «  -  +  sSc/"  (*)  ~  «^ö/(4)(«)  •  •  •  (VII:  a) 

und  dann  werden  die  Integrale: 
.+(.-*). 

Auch  hier  dienen  die  Formeln  VII  zur  Bestimmung  der  Anfangsconstanten 
der  zweiten  summirten  Reihe  unabhängig  von  der  oberen  Grenze  und  nur  ab- 
hängig von  der  unteren  Grenze,  wenn  die  zum  Integrale  hinzuzufügende  Con- 
stante gleich  Null  werden  soll.  (Vergl.  pag.  625,  doch  ist  die  Ableitung  hier 
etwas  weitläufiger). 

Um  auch  für  beliebige  obere  Grenzen  das  Integral  zn  erhalten,  hat  man 
aus  (21)  für  das  Intervall  a  +  *  —  \,   wobei  die  Integrationsgrenzen  links 
*  +  ('  —  i)w  und  «-*-(«  —  i  +  *)«»»  also  rechts  n  «=■  0  und  n  sind: 
j  •+<'-*+»)» 

"  l/Wx-Ma  +  i-t)  /  dn+f(a  +  i-i)  f Px>{n)dn  + 

n 


Digitize 


Mechanische  Quadratur.  63 1 

und  ebenso  aus  (20)  in  dem  Intervalle  a  4-  i,  wobei  die  Integrationsgrenzen  links 
a  -h  im  und  a  4-  (/  4-  »)»  und  rechts  wieder  n  —  0  und  n  sind: 

J(x)Jx=l/(a+i)  f dn+/'(a+i) J Q t'(n)dn+/»\a+i)  f  Q,\n)dn+... 

%J  o*7  0  (25) 

+  Oj«^*  +/"(« +  i)J**%Qt(*)**  +  •  •  • 
Addirt  man  die  Formel  (24)  zur  Formet  (VJJI:  1  —  i)  und  ebenso  (25)  zu 

(VIII:  /')  und  berücksichtigt,  dass  die  Integrale  J  J"u+i(»)dn,  J  Q'u+i(*)dn 
den  Faktor  *  erhalten,  so  lolgt: 

«-K'-i -♦-)<» 
^  /*  f/(*y*«HA*H-W)+^ 

*'    J  4-  P<\n)fH){a  4-  /  -  *)  4-   (IX:  i  —  D 

+  «P/(a4-i  -  i)-h  A»(«y  («  +  '  -  *)  +  Pt'(»V"'(*  H-  **  -     +  . . .] 

^ / //(*>'*  =  u/(fl  +  0  +  Co*  («)/(*  +  0    C.W'C*  +  0  + 

+  e4*(*)/(4)(«  +  o  +  -  •  ■  (DC:/) 

4-  «[!/(«  4-  i)  4-  <?!« («)/'(«  +  <)  +  Ci"  (»)/"'(«  +  0  ■+■ .  •  •  i 

wobei 

i>0>  («)  =-       +fn  dn  (*)  «       +  p  <*» 

/?  (»)  =  /?  +JnPJ{n)dn  Qf(n)  -  £,»  +fn>Qt'{n)dn 

0»)  -       +  fnfi'Wn         Q?  (n)  =  £4»  ^-f/*»  £4 

«/>/(«)  =fp,\n)dn         nQ?  (n) 


•       •       •  • 


ist.  Die  ^'(ä)»  ö*'(»)  smd  Functionen  von  »*,  deren  Berechnung  keine 
Schwierigkeiten  hat;  beispielsweise  ist  @0'(«)  =  (?0*  "+"  \n*>  Q\(n)esa  Qi  ■+*  1**1 
Q*(n)  «  ■+■  A»4;  •  •  •  -fVOO  =  ■+■  iÄ*  u-  8-  w-  Für  dic  praktische 
Anwendung  wird  es  wieder  am  bequemsten  Tafeln  zu  geben,  bei  denen  man 
sich  auf  die  Werthe  von  n  zwischen  ±  \  beschränken  kann;  im  Folgenden 
sind  auch  hierfür  auszugsweise  die  v.  Oppolzer' sehen  Tafeln  (1.  c,  pag.  565  bis 
586)  mitgetheilt. 


igitized  by  Google 


632 


Mechanische  Quadratur. 


±  n 


000 
0-01 
002 
0-03 
004 
0*06 
0-06 
0-07 
0*08 
0-09 
010 
011 
012 
019 
014 
0-15 
016 
017 
018 
019 
0-20 
021 
0-22 
0-28 
0-24 
025 


3*22185 
9-.22172 
9.22133 
9,28067 
9,21976 
9,21858 
9.21713 
9.21542 
9.21343 
9,21116 
9-2ü8£2 
9-20579 
9.20267 
9,19925 
9.19553 
9,19150 
9-18714 
9,18246 
9-17744 
9.17207 
9,16633 
9.16022 
SU5371 
9-14680 
9»  13946 


L2 
33 
66 
91 
IIS 
145 
111 
199 
227 
254 
283 
812 
842 
372 
403 
436 
468 
502 
537 

m 

611 
651 
691 
784 

779 


*rAV(*) 


±» 

0-00 

8-61978 

I 

51 

0-01 

8.61927 

151 

0*02 

8.61770 

263 

003 

S.61507 

310 

0*04 

8.61137 

48J 

0-05 

8.60656 

595 

0-06 

8.60061 

714 

007 

8.59347 

839 

0'08 

8.58508 

970 

0-09 

8.57538 

Uli 

010 

8.56427 

1262 

011 

8.55165 

1425 

012 

8.53740 

1604 

013 

8.52136 

1802 

014 

8,50334 

2028 

015 

8,48311 

2271 

016 

8-46040 

2557 

017 

8.43483 

2886 

0*18 

8.40597 

3275 

019 

8.37322 

3743 

0-20 

8.33579 

4317 

0-21 

8*29262 

5041 

0-22 

8,24221 

5989 

0-23 

8.18232 

7285 

0-24 

8.10947 

9174 

0-25  | 

8.01773 

85229 
8-5227 
85222 
8*5214 
85208 
8-5188 
8-5170 
8-5148 
8-5124 
85095 
8-5063 
8-5028 
84989 
84946 
8-4899 
8-4849 
8-4794 
84736 
84673 
84605 
84533 
8-4456 
8-4374 
8-4287 
8  4195 
8-4097 


2 
5 
fi 
LI 
15 
LB 
22 

24 

25 
82 
35 
39 
48 
41 
50 
55 
58 
63 
68 
72 
II 
82 
87 
22 
98 


7-6709 
7  6704 
7-6686 
7-6657 
7-6616 
76562 
7-6496 
7-6417 
7-6324 
7-6216 
7-6092 
75952 
76793 
7-5615 
7-5414 
7  5188 
7-4934 
7-4648 
7-4324 
7-8954 
7-3530 
7-8037 
7-2455 
71755 
7  0884 
6-9750 


5 

is 

29 
41 
54 
66 
19 
93 
108 
121 
140 
159 
118 
201 
226 
254 
286 
824 
370 
424 
493 
582 
700 
871 
1134 


7.8539 
7„8537 
7.8532 
7.8523 
7.8510 
7.8494 
7.8475 
7 »8451 
7.8424 
7.8393 
7.8358 
7.8320 
7,6277 
7.8231 
7.8180 
7.8125 
7,8065 
7.8001 
7.7933 
7.7859 
7.7780 
7,7696 
7.7607 
7.7512 
7.7410 
7,7303 


2 
5 
9 

L3 
16 
L9 
24 
27 
31 
35 
38 
43 
46 
51 
55 

64 

68 
74 
79 
84 
b9 
95 
102 

m 


\  6y*v VC»)     H  4yAV(«) 


8,9208 
8.9207 
8.9205 
8.9200 
8*9194 
8.9186 
8.9177 
8.9165 
8.9152 
8.9137 
8.9120 
8.9102 
8.9081 
8.9059 
8.9035 
8.9008 
8.8980 
8,8950 
8.8917 
8„S883 
8.8840 
8,8807 
8.8766 
8*8123 
8.8677 
8.8628 


1 

2 

5- 

G 

S 
9 
12 
18 
15 
U 
15 
21 
22 
24 
21 
28 
30 
38 
34 
81 
39 
41 
43 

4£ 
49 


80458 
8-C456 
8  0458 
80448 
S  0440 
8C480 
8-0418 

8-0404 
8  0388 
80369 
80848 
80325 
80299 
8-0271 
8Q241 
8-0208 
80173 
8-0135 
8-0094 

8-0051 
8-0006 
7-9957 
7  9906 
7-9852 
7-9795 
7-9735 


2 
3 

5 
8 
Iii 
12 
14 
16 
39 

21 
23 
26 
28 

au 

83 
35 
38 
41 
48 
45 
49 
81 
54 
51 
60 


6.844 
6.843 
6.841 
6.838 
6.834 
5*828 
6,321 
6.813 
6.804 
6.792 
6.780 
6*765 
6„749 
6-730 
6.709 
6.686 
6.659 
g*63Q 
6*596 
6.557 
6,513 
6,461 
Ii. 400 
6,326 
6*233 

6*110 


1 

2 
3 
4 

G 
1 

a 

11 

12 
12 
15 
16 
19 
21 

21 

29 
34 
89 
44 
52 
61 
74 
93 
123 


9.31876 
9-31872 
9.31862 
9.81845 
9.31826 
9.31789 
9-31751 
9 .81 705 
9.31653 
9.31593 
9*31521 
9*81458 
9.31373 
9.31285 
9.31189 
9.31087 
9.30977 
9,3Q86Q 
9.30735 
9.30603 
9.30463 
9.30316 
9*80161 
9„29998 
9, ,29827 
9*29MS 


4 

10 
II 
25 
81 
38 
46 
5J 
60 
66 
74 
80 
88 
96 
102 
110 
III 
125 
132 
140 
III 
151 
163 
Hl 
179 


8-6529 

8-6528 

8-6527 

8-6525 

8-6521 

8-6517 

8-6512 

8-6506 

86499 

8-6491 

8-6482 

8-6472 

8-6461 

8-6449 

86436 

8-6422 

8  6407 

8-6392 

8-6875 

8-6857 

86338 

8  6318 

8-6297 

86275 

8-6252 

8  6228 


1 

1 
2 
4 
4 

5 

fi 
1 
8 
2 

lü 
U 
11 
13 
14 
Ii 
15 
II 
18 
19 
20 
Ii 
22 
28 
24 


Mechanische  Quadratur 


633 


8,92082 
8,92056 
8,91977 
8,91847 
8,91663 
8,91425 
8,91133 
8.90786 
8,90381 

a*aaäia 

$„89395 
8,88809 
8,88157 
8,87438 
8,86648 
8»85783 
8aM832 
8,83811 
8,82694 
8,81480 
8,80163 
8.78734 
8.77183 
8,75498 
8,73666 
8,71670 


2ü 
12 
180 
184 
238 
292 
847 
405 
163 
523 
58G 
652 
719 
790 
865 
944 
1028 
1117 
1214 
1317 
1429 
1551 
1685 
1882 
1996 


8  0458 
80454 
80445 
80428 
80405 
80375 
8  0339 

80295 
60245 
80187 
80121 
8-0047 
7-9965 
7-9874 
79774 
7-9665 
79545 
7-9414 
7-9271 
7-9115 
7-8946 
7-8761 
7-8558 
7-8337 
7  8095 
7-7829 


i 

9. 

II 
23 
30 
36 
41 
50 
53 
66 
II 
82 
91 
ICO 

im 

L22 
L3J 
143 
156 
169 
155 
203 
221 
242 

■2  t;  6 


9.39794 
9.39791 
9,39782 
9,39768 
9,39748 
9.39722 
9.89690 
9.39652 
9*39608 
9*39559 
9.39503 
9,39442 
9.39375 
9,39302 

9*39223 
9.39 13B 
9 «39046 
9,38949 
9*38846 
9.38736 
9,38620 
9,38498 
9-38370 
9.38235 
9.38093 
9.37946 


3 
2 
Ii 

20 

26 
32 
38 

44 
43 
56 

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38 
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42 


634 


Mechanische  Quadratur. 


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Mechanische  Quadratur. 


635 


W(«)^V(*) 


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7.6198 
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7.6128 


7.6113 
7.6095 
7.6075 


7-G051 
7.6025 


• 

0 
0 
0 
0 

1 

0 

I 

1 
1 

2 
3 
4 
4 
5 
7 
8 
9 
11 
13 
15 
18 
'20 
24 
-26 


6-710 
6-710 
6-710 
6-710 
6-710 
6-710 
6-710 
6  710 
6-710 
6-710 
6-709 
6709 
6-709 
6-709 
6709 
6708 
6-708 
6-707 
6-707 
6-706 
6-705 
6-704 
6-703 
6-702 
6  700 
6-698 


5.901 
5*901 
5.901 

5.901 

5-901 

5-901 

5  .901 

5.901 

5.901 

5.901 

5.901 

5-901 

5.901 

5*9GQ 

iVJCQ 

5*900 

5«B99 

5*829 

5*899. 
5*898 
5*891 
5*896 
5,895 
5.894 
5*893 
5.891 


*r  <?,»(•)  \H 


8. 92082 


8.92073 
8.92047 


8*92001 
8*91913 
8.918<U 


8.91768 
8.91654 
8*91522 


8*91313 
8.91204 
8.91018 


8.908  L3 
8.90589 
8.90345 


8 .90082 
8.89799 
8.89496 


8-89172 


8.888-27 


8.88461 
8.88072 
8*81660 


8.87225 
8-86766 
8-86283 


Ü 
26 
43. 
fil 
711 
96 
LL4 


L32 


L42 


205 
2Ü| 
244 
2fiä| 
283 
SOS 
324 
345 
366 
382 

m 

435 
459 


483 


>  8-1841 
81840 
8- 1837 
81 833 
8- 1828 
81821 
81812 
8-180-2 
8- 1790 
8- 1776 
81761 
8- 1744 
8-1726 
8- 1706 
8- 1684 
81660 
8- 1635 
81608 
81580 
8- 1549 
81517 
8- 1483 
81447 
814C9 
8- 1369 
8- 1327 


H  <?»»( 


1 
3 
4 
5 
7 
9 
10 
12 

15] 
17 
16 
20 
2? 
24 
25 
27 
28 
31 
32 
34 
30 
38 
40 
42 


7.4994 


7.4993 
7.4991 
7.4987 


7.4982 
7-4975 
7.4967 


7.4937 
7.4945 
7*4932 


7-4917 
7.4901 
I*4ft83 


7.4861 
7-484S 
7-4820 


1*4196 
2«4J7i) 
7.1743 


7.4713 
2*4682 
7.1650 


7.4615 
7.4579 


7.1541 
7-4501 


1 

2 
4 

5 

7 

8 
LO 
12 
13 
15 
16 
18 

19 
91 
23 
24 
26 
22 

so' 

31 
32 
35 
36 
38 
40 


logPj{n) 


636  Mechanische  Quadratur. 

* 

Beispiele.  Für  die  Berechnung  der  Störungen  ist  die  untere  Grenze  der 
Integrale  stets  die  Osculationsepoche.  Wird  diese  zwischen  zwei  Störungsdaten 
gelegt  (in  dem  hier  gewählten  Beispiele  für  den  Kometen  1889 V  für  1889  October 
8*0),  so  sind  für  die  Bestimmung  der  Constanten  der  ersten  und  zweiten  sum- 
mirlen  Reihen  die  Formeln  (IV :  a  —     und  (VII :  a  —  \)  zu  verwenden.  Für 

die  erste  summirte  Reihe  ist  beispielsweise  für  —~  (bei  den  Elementenstörungen 
pag.  365)  als  Hauptfunction : 

f'{a  —  i)  =  4-  3  655  —  —  \)  =  —  01523 

/'>  -  *)  =  -  0  293  4-  sSo/'"^  -*)  =  -  0-0009 

f{S)(a  -  *)  =  4-  0-430  (extrapolirt)      -  -  i)  =  -  Q-Q001 

demnach    i/(a  —  ^)  =  —  0  1 533. 

Da  durch  ein  Versehen  (indem  der  zweite  Ausdruck  —  0*00009  angenommen 
wurde)  l/(a  —  $)  =  —  0-152  angesetzt  wurde,  so  wäre  zu  jedem  Integrale  die 
Constante  —  0"'001  hinzuzufügen. 

Für  die  Anfangsconstante  der  zweiten  summirten  Reihe  für  die  Störungen 
in  den  x  (rechtwinklige  Coordinaten,  pag.  341),  wird 

i/(a  -*)  =  -  0-03  4-  W(a  -     =  -  0  015 

f{a         =  -  5  945  4-  ^/(«  -4)  =  -  0-248 

'"(«-*)  =  -  0-805       -  (a  -  *)  =  -t-  0  007 

demnach    "/(a)  «=  —  0'256 

Als  Beispiel  für  die  Berechnung  der  Integrale  sollen  das  erste  und  zweite 

</Ati  dM 
Integral  von         und  das  erste  Integral  von  —^y~  (Elementenstörungen,  pag.  365) 

für  die  neue  Osculationsepoche  1887  Juni  10  bestimmt  werden.  Da  diese  auf 
ein  Störungsdalum  fällt,  so  hat  man  die  Formeln  (Vi)  und  (Villi)  anzuwenden. 
Es  ist 

für  AZ,  für  40Ajt 

if(a  +  i)  4-     72'52"01  4-  18"  760 

-A/'(«  +  0  ~  1046  —  1*176 

+  ^/",(a+()  4-  0-16   4-  0001 

demnach  AZX  =  4-  1°  12'  41"-71    40A,*  =  4-  17"-585 

Aft  =  4-  0"-43962 

Für  das  zweite  Integral  von  Af*.  ist 

l'/O  4~  i)  4-  16'  46"'007 

4-Vy^H-i)       =-  3-847 
—  ±/"(a  4-  i)       =•=  -4-  0  012 

demnach  AZ,  =  4-  16'  42"'172 

Bildet  man  AZ14-AZ,=  4-r29'  23"-88,  so  erhält  man  die  Störung  in 
der  mittleren  Länge  für  die  neue  Osculationsepoche.    Als  Beispiel  tür  Integrale 

it'Z 

bei  beliebigen  oberen  Grenzen  sollen  das  erste  und  zweite  Integral  von 

(Störungen  des  Kometen  1889  V  in  Polarcoordinaten,  pag.  355)  für  1887  Febr. 
7  0  und  Febr.  13  0  gerechnet  werden.  Das  erste  Datum  liegt  näher  einem 
Störungsdatum  selbst,  das  zweite  dem  Mittel  zweier  Störungsdaten;  im  ersten 
Falle  werden  daher  die  Formeln  (VI:  i)  und  (DC:  i),  im  zweiten  die  Formeln 
(VI:  i —  \)  und  (DC:  /' —  £)  zur  Anwendung  kommen.  Es  ist: 
für  Febr.  7  0  :  n  =  4-  A  =  4-  015;  iogn*  =  7-52827 


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Mechanische  Quadratur. 


637 


logf{a  4-  /)  =  2-78692 
<V(?o2(*)  =  8*97581 


—  /°gQi'(n)  =  8»  1368 

Aff/"(<j  4-  *  )  =  1  -9805      Äff fW  (a  4-  /)  =  1  -3709 
l°S  Qi  (")  —  ?«6 176  %  C??  (»)  —  6-708 


ÄffÖi'to  —  8,85783  %(?3'(")=  8  1279  Ar/  =  7-445 

Äff/'C«  +  0  —  2*3 1 967      Äff/'  '(a  4-  /')  =  1  «7 1 1 3     Äff /&\a  4- 1)  =  0„903 
£Y(«)  =  8.90082         %  Q*(n)  =  81660  Äff  @  »(»)  =  7.482 


Äff  2t 


Qf  (»)/'(*  +  *) 

Qi  (*)/•»{* +o 

2, 


-4- 

■ 

15-937 

2581  035 

0-322 

nf(a-h  i) 

-f- 

91-837 

+ 

15615 

4- 

15048 

1  1 9354 

0-691 

+ 

0022 

«32, 

+ 

0053 

dt 

2474-77 

2581  035 

"/(«  +  0 

+ 

11423-660 

■+■ 

16-615 

<2oW(«  +  0 

4- 

57-907 

0-754 

QlWui*  +  i) 

0-396 

-T- 

0024 

0012 

2565- 15 

n13 

384-772 

für  Febr. 


*  =  4- 


11096-41 

13  0  ist  n  =  —  =  —  0-20 

—  Äff  /», '(»)  =  9.073 1 1  log  Pk  \n)  mm  8*3436 

logf(a-¥i—\)  =  2  72573  Aff/"(a4-/-$)  =  1  87952  Aff/<^<M-/—  -J)—  1'3008 

logP<P\n)  =  8.33579  Äff  Pf{n)=  7  8076  %     W  («)  =  7„  1 588 

•V^V  (»)=  8-79005  Äff  Pi'(n)  =  7.5703  Äff  Ph'(n)=  6  667 

%/r'(«  +  i-i)=  2.20672  Aff/"'(Ä+/— i)—  1.5987  Aff/(5)(a4-«'-£)= 0.845 

Äff          =  8-  68425  log      (n)  =  7.5073  Äff  Pf  (n)  mm  6  6 1 2 

/»4'(»)/<4>(«  +  /-  |) 

V 


4-  531-770 
—  0897 
4-  0-441 
4-  531-314 


>/'(<!  4-  - 

■—*)-- 

2274-910 

9-926 

(«)/'"(«  4-1 

0148 

iV(«0/P>(«-t>J 

0  003 

«2,  =  — 

106-263 

/>/(«)  ^)(a+/-i) 

2, 


—2274-910 

—  7-780 
+  0-128 

—  0  003 
-2282-565 


n/(a 
Aa  («)/"(« 


dz 

—  =  _  2390-95 

—  4)  =  4- 10286-205 

—  |)  «  —  11-522 
_     =  4-  0-487 

—  i)  =  —  0029 
«2,  =  -t-  456-513 

,  =  +10781*65. 


II.  Bekanntlich  lässt  sich  jede  periodische  Function  f(x)  in  eine  Fourier- 
sehe  Reihe 

f{x)  mm  ^  A0  4-  Ax  cos  x  4-  A%  cos  Ix      Aicos^x      .  .  . 

4-  /?t  j/'«  x  4-  -ff9      2 « -4-  3  .v  4-  ^ 


entwickeln,  deren  Coefficienten  durch  bestimmte  Integrale 

2  r 

Bn  =  —  J  f(x)  sin  nxdx 


2  C 

=  —  I  f(x)  cos  nxdx] 

V 


638 


Mcchaninche  Quadratur. 


gegeben  sind.  In  vielen  Fällen  werden  einzelne  Werthe  der  Function  f  (x)  ge- 
geben sein,  oder  es  wird  leicht  sein,  sich  solche  zu  verschaffen,  so  dass  sie  aus- 
reichen, die  CotSfficienten  Am,  Bm  zu  ermitteln.  In  diesem  Falle  wird  daher  der 
analytisch  durch  bestimmte  Integrale  gegebene  Ausdruck  derselben  auf  numerischem 
Wege  ermittelt,  weshalb  Hansen  diese  Methode  ebenfalls  als  die  Methode  der 
Bestimmung  der  Coäfficienten  von  Reihen  durch  mechanische 
Quadratur  bezeichnete. 

Auch  hier  wird  man  sich  auf  den  Fall  beschränken  können,  dass  die  Argu- 
mente, fllr  welche  die  Function  als  gegeben  angesehen  wird,  eine  äquidistante 
Reihe  bilden,  und  zwar  derart,  dass  das  Intervall  ein  aliquoter  Theil  des  Kreis* 
umfanges  sei.  In  diesem  Falle  aber  wird  man  zur  Bestimmung  der  Integrale 
nicht  nöthig  haben,  auf  die  im  vorigen  Abschnitte  gegebenen  Methoden  zurück- 
zugreifen, indem  ein  einfacherer  Weg  zum  Ziele  führt. 

Betrachtet  man  zunächst  die  beiden  Summen: 

r«  =»  1  +  a  cosQ  -+-  o*  cos  2  Q  -t-  .  .  .  .  -+■  a— -  cos  (n  —  \)Q 
2m  =  usinQ  -4-  atsinlQ  -f-  .  .  .  .  -f-  a— •      («  —  1)  Q.  ™ 
Multiplicirt  man  behufs  Bestimmung  der  Werthe  derselben  die  zweite  mit 
i  -ss  y —  1  und  addirt  sie  zur  ersten;  so  folgt: 

1  —  a*  e**Q 

r„H-*L,=  1  +a^> +  .  .  .  +«— 1*<— IM«  \_a\iQ 

1  —  g"  cosnQ  —  ia"  sin  n  Q 
1  — -  neos  Q  —  iasin  Q 
Durch  Trennung  des  reellen  vom  imaginären  tolgt  hieraus1): 

1  —  q  cos  Q  —  et"  cos  n  Q  +        cos  (n  —  \)Q 
lmK=  l  —  2acosQ  +  a* 

a  sin  Q  —  *»  sin  nQ  +  a"+l  sin  (n  —  1)  Q 
lm~  1  -%icosQ  +  ** 

Für  et  =  1  erhält  man  nach  einer  leichten  Reduction: 


F-  =  2^C05rQ  =  Sln~\Q 

^}  sin\nQsin\{n-\)Q 


(3) 


Setzt  man  2Q  an  Stelle  von  Q  und  beachtet  die  Ausdrücke  für  smVrQ, 
cosZrQ,  so  folgt  aus  (3): 


1  .  Ä  Ä  sinnQsin  (n  —  1)  Q 
SmrQc«rQ  =  \  — 


n  —  1 

s 

^l                n  ,  sinnQcosjn  —  \)Q 

i«^rö-2   sTTQ  


»)  Für  »-=  oo   erhält  man  unter  der  Voraussetzung  —  1<  «  < -f-  1,  wenn  p,  q  durch 
die  Gleichungen 

psinq  =  asm  Q;       p  cos  q  «  1  —  neos  Q 
bestimmt  sind  (vergl.  den  Artikel  »Mechanik  des  Himmelst,  pag.  308): 

p  p 


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Mechanische  Quadratur.  639 

Setzt  man  Q  =       ,  so  wird 

sin  \nQ      sin  jiit  sinnQ      sin  2)iit 

"« i  C        •        '  "^«"^  ~~   •  ' 

sin  —  sin   

n  n 

Diese  Ausdrücke  verschwinden  im  allgemeinen,  wenn  u>  eine  ganze  Zahl 
ist;  sie  werden  aber  gleich  n,  wenn  u,  ein  Vielfaches  von  n,  also  ji  =  in  ist; 
dann  giebt  die  erste  Formel  (3)  sowie  die  zweite  Formel  (4)  n,  die  drei 
übrigen  geben  Null.    Der  zweite  Ausdruck  giebt  übrigens  ebenfalls  n,  wenn  n 

eine  gerade  Zahl,  und  ft  =  i-  (1  ungerade;  für  gerade  /  reducirt  es  sich  auf 

den  ersten  Ausnahmefall);  dann  giebt  die  zweite  Formel  (4)  n,  die  übrigen  vier 
Null.  In  diesen  Fällen  sind  übrigens  die  linken  Seiten  direkt  die  Summen  von 
lauter  Einheiten  oder  Nullen.    Es  ist  daher 

Wenn  f*  eine  ganze  Zahl  und  Wenn  p  eine  gante  Zahl  und  kein  Vielfaches  von  n  ist, 

kein  Vielfaches  von  n  ist  und  fUr  gerade  n,  wenn  |x  kein  Vielfaches  von  ist: 

-1     in«    ft  V1-, 

-J—  =  0  2.x/«* r  -J—  «= 


& 


sinr  -jj-  =  0  2jf",*r   „    =  i*  (6) 


Für  n  =  1«  wird 


»-1  „ 


g,„r^  =  <);     2^^_o.  (5.) 


Für  ft  aa  in  und  für  fx  =  i  ^  («  eine  gerade  Zahl)  wird 

2fiir  2|xk 
j/»  r  -J—  f<v  r  -£—  —  0 

Da  nun 

2tiic         2v7t      ,         2(u  —  v)tt      .  2(ix-t-v)k 

cos  r  -J—  cot  r        =  l  cos  r  —  —  4-  leotr   

n  n       2  n  T  n 


(6a) 


2(fi- 

v)tt 

n 

20*  - 

n 

2(1*- 

2jirc    .     2vit      ,        2(u,—  v)it      ,  2(ftH-v)it 

sm  r  — —  xm  r  i  cos  r  — —  *  cos  r   — 

«  n       a  w  5  « 


ist,  so  erhält  man  die  Resultate  in  den  Columnen: 

I),  wenn  jx  von  v  verschieden ,  und  weder  ft  —  v  noch  p  +  v  ein  Vielfaches 
von  n  ist 

II),  wenn  jx  von  v  verschieden ,  und  entweder  ji  —  v  oder  jx  -f  v  ein  Viel- 
faches von  »,  also 

p  «=  1»  ±  v 

HI)  Wenn  fx  und  v  gleich  und  keine  Vielfachen  von  n  sind 
IV)  Wenn  fx  und  v  gleich  oder  auch  verschieden,  und  beide  Vielfache  von  n  sind: 


640 


Mechanische  Quadratur. 


«-I 

H  — 


sin  r 


2jxit 
n 

n 
2ftic 


2v* 

cos  r  = 

n 

I 

0 

IT 

in 

\n 

IV 
n 

2vrc 

sin  r  = 

n 

0 

k" 

0 

2vir 

cos  r  = 

n 

0 

° 

0 

0 

(7) 


«-1 

Sind  jetzt  die  Werthe  von  /  (x)  für  n  Argumente  *  bekannt,  so  erhält  man 
aus  den  Gleichungen  (1)  n  Gleichungen,  aus  denen  sich  n  Coefficienten  be- 
stimmen lassen,  und  zwar  als  Functionen  der  übrigen.  Die  Auflösung  dieser 
Gleichungen  wird  sehr  einfach,  wenn  die  Werthe  des  Argumentes  gleichmässig 

über  die  Peripherie  vertheilt  sind.    Seien  für  x  =  0,  —  ,  2  —...(«_  1)  — 

fi         n  tt 

die  Functions  wert  he: 

/<w-Jf..  /(£)-*••  /(2 V)-*«-  •  <>(«'£)-* •  •  ✓((—«£)-*. -'• <8) 

so  ist  ganz  allgemein: 

2i?  2ic  2ic 

Xr-=±A0+  Alcosr  —  +  A%cos1r  —  +  AtcosZr  —  + 

4-  i?i r  —  +  B%  sin  2r  2*  +  Bz  sin  3r  —  + 
i  W  AI 

Multiplicirt  man  diese  Gleichungen  mit 

2it    .  2ic 
cosrv—    bezw.  mit    jmrv— , 

so  wird  der  Coefficient  von 

2*  2ic 
w,» :  r<w  jir  —  o?j  vr  — 
n  n 


(9) 


.  .  .  . 


D  2*  2ic 

^ :  «« ji.r  —  <w  vr  — 


2_rc 
n 
2tc 


*w  {ir  —  sin  vr  — 

r*  r* 


2r 
2* 


j/«  ur  —  ;w  vr 
n    «  n 


Es  genügt  offenbar  für  v  alle  Werthe  zwischen  0  und  n  —  1  zu  setzen, 
denn  für  v  =  in  +  v*  wird 


2ic 


2« 


8« 

j/«rv  — 


;w  rv' 


2ic 


w  rv  —  «3  cos  rv' 

n  n  '  n  n 

Addirt  man  die  sämmtlichen  mit  den  erwähnten  Faktoren  multiplicirten 
Gleichungen  (9),  so  erhält  man  mit  Berücksichtigung  von  (7),  da  v  der  letzten 
Bemerkung  zu  Folge  kein  Vielfaches  von  n  ist: 

^Xrcos  rv  ~  .  ~  (A,  +  A„^  +  AH+H  +  AiH-*  +  A%n+*  +  .  .  . ) 

2tc   l  (10a) 

^Xrsinr*  ^  =  B—,  +        -  B2„-,+  £2*-h-  .  .  .  )• 


Und  für  v  r=  0  folgt: 


(10b) 


Ist  n  eine  gerade  Zahl,  und  v  =  ,  so  tritt  At*  in  der  ersten  Formel  (10a) 
zweimal  auf,  nämlich  mit  A(x~\)„+„  und  Aim-*  und  es  wird  demnach 

2  Xrcos  rrt  =  n(A*  +       +       +  .  .  .  ),  (10c) 
während  sich  für  die  zweite  Zeile  in  (10a)  Null  ergiebt. 


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Mechanische  Quadratur. 


Die  n  Functionswerthe  liefern  demnach  die  Coefficienten 

AQt  At  .  .  .  A*\       Bx,  B%  .  .  .  B*_x    für  gerade  n 


i0>  nx  ...  An~\  ;   Bv  B%  .  .  .  B*-i    für  ungerade  » 


als  Functionen  der  übrigen.  Sind  aber  die  Reihen  hinreichend  convergent,  so 
dass  man  die  höheren  Coefficienten  vernachlässigen  kann,  so  wird  man  die 
linken  Seiten  als  die  Ausdrücke  der  gesuchten  Coefficienten  selbst  ansehen 
können,  wobei  aber  A*,  Bv  um  die  Beträge  AH—,  -+-  .  .  .  ,  Bn~,  fehler- 
haft sind,  woraus  folgt,  dass  die  Coefficienten  um  so  genauer  erhalten  werden, 
je  grösser  n  gewählt  wird,  dass  aber  unter  allen  Umständen  die  späteren  Coeffi- 
cienten immer  ungenauer  werden.    Mit  dieser  Beschränkung  hat  man: 

H-l  r,  -i 


1 


Xr  sin  rv 


2k 


(H) 


Man  wird  stets  n  als  gerade  Zahl  ansehen  können;  überdies  von  der  Forin 
4  m,  da  man  hierbei  in  jedem  Quadrate  gleich  viele  Theile  hat,  wodurch  die 
Formeln  für  die  Anwendung  etwas  bequemer  werden.  Berücksichtigt  man  zu- 
nächst jeden  Quadranten  für  sich,  so  wird: 

in  dem  Quadranten         r  =  0  m  —  1 

für 


der  Coefficient  von  Xr 
daher  für  gerade  v 

und  für  ungerade  v 

in  dem  Quadranten 
für 

der  Coefficient  von  Xr 
daher  für  gerade  v 

und  für  ungerade  v 


cos 
sin 
cos 
sin 

cos 
sin 


(rV2^) 


.  .  .  2m  -  1 
m  -f-  r' 


cos 
sin 


v      '  stn 
v -l 


r  =  2  ffi  3m 

r  =  2w  +  r" 

"?( 

stn 

sin 


.  I  vti  +  r 
tn  \ 


j/«  \  2m/ 


L'(v|  +  r'v2^) 

:r;;4',v,(^) 

-f-  (—  1)  2  V  7 

r  =  3m  ....  4m  —  1 
r  =  3m  +  r'" 

_(-,)HJ,„v  y««J 


Es  folgt  daher  für  die  Eintheilung  des  Umkreises  in  4m  Theile: 
für  gerade  v: 

m-l 


r=0 
w -1 

^2*»  nur  mit  dem  halben  Betrage  zu  nehmen; 

II.  41 


(12a) 


TT 

m 


642 

flir  ungerade  v: 


Mechanische  Quadratur. 


(12b) 

1  v'i  r  ic         »-^1  ic  l 

B'"  9^  X  ■  1  (Xr—Xim  +  r)sinrv  ^  +(—  1)  2  (Xm+r— XSm+r)c*sr*^. 

Setzt  man  daher  für  die  Summe  und  Differenz  der  Functionswerthe,  deren 
Argumente  um  180°  verschieden  sind: 

Xr  +  X^+r  =  (r)  =/(r^]  +/(*  +  r  ^) 

ein,  so  wird: 


(13) 


für  gerade  v  • 


2« 


(Ha) 


r-l 


für  ungerade  v 


^  =  i^^K-  wo  +  <-  o-^o«  +  ol 

f!   -  1 


4* 

«-1 


2m{ 


(14b) 


Ist  eine  Function  F{x,  y)  durch  ihre  analytischen  Ausdrücke  oder  eine 
Reihe  von  Functionswerthen  gegeben,  so  wird  diese,  in  eine  FouRiER'sche  Reihe 
entwickelt: 

y) = 2  ^  *cos  (i*  + %y)   ^    (i*  +  %yft  w 


(16) 


sein,  wobei  die  Coefficienten  durch  FouRiER'sche  Doppelintegrale  ausgedrückt 
werden.  In  vielen  Fällen,  ist  es  aber  möglich,  zunächst  eine  analytische 
Entwickelung  nach  einer  Variabein  einzuführen.    Sei  also 

^(x>y)  =  Z0  +  Zx  co*y  •+■  Ztcos  2y  4-  Zteos  3y  4-  .  .  . 

4-  Zxsiny  4-  Zt,sin  2y  4-  Zs'sin  Zy  4-  .  .  . 

gefunden,  so  werden  Z0,  Z,,  Z,  .  .  .  Z,',  Z,'  .  .  .  Functionen  von  *  sein,  deren 
analytische  Form 

£.=/t(*);  £'—/.'(*) 

bekannt  ist.  Auf  diese  lassen  sich  daher  die  Methoden  der  mechanischen 
Quadraturen  anwenden,  und  man  erhält  durch  dieselbe: 

Z,  =  \       4-  A®  cos  x  4-        cw2x+.  .  .        sin  x  4-  Bp  sin 'ix  4-  . 


Z{~  \  C«  4-  C/'^w  *  -t-       w2jc+.  .  .  D^sinx  4-  2*  4-  .  .  . 


(17) 


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Mechanische  Quadratur. 


643 


Setzt  man  diese  Reihen  in  (16)  ein1),  und  mulüpHcirt  mit  cos  iy,  siniy  aus, 
so  erhält  man  die  gesuchte  Form  (15).  Auf  diese  Lösung  lässt  sich  leicht  der 
Fall  reduciren,  dass  die  Entwickelung  von  F{x,  y)  die  Form  hat: 

F{x,y)r=  X0  +  Xxcos(y  -  X)  +  Xtcos  2(y  -  X)  +  X>cos  3(y  -  X)  +  .  .  . 

-f-  Xx'sin(y  -  X)+  X,'sin2(y  -  X)+  X^sin  3(y  —  X)  •+■ .  .  . 

wobei  X,  X0,  Xx,  X%  .  .  .  Xx',  X,' .  .  .  Functionen  von  x  sind.,  deren  analytischer 
Ausdruck  bekannt  ist.    Es  lässt  sich  nämlich  schreiben: 

F(x,y)=  XQ+(XxcosX- Xx  'sin  X)cosy  +(Xicos2X-X^'sin2X)cos2y  +  ... 

-\-{XxsinX+Xi'  cos  X  )siny  -t-  (X,  sin  2X+  Xv'cos2  X)sin  2y  + ., 

wodurch  wieder  die  Form  (16)  hergestellt  ist.  N.  Herz. 


')  Diese  Methode  verwendet  Hansen  i.  B..  indem  die  unendlichen  Reihen  nach  den 
mittleren  Anomalien  des  störenden  Himmelskörpers  analytisch  entwickelt  werden,  wogegen  er  für 
die  Coefficientcn,  welche  Functionen  der  Anomalie  des  gestörten  Körpers  sind,  die  mechanische 
Quadratur  anwendet.    Vergl.  den  Artikel  »Mechanik  des  Himmels«,  No.  58. 


Berichtigungen. 


a)  Zum  ersten  Band. 


Paß- 

43. 

Zeile 

10  v.  0.  statt 

»OD*  lies  »O'D: 

1 1 

57. 

t% 

6  v.  u.  nach 

»Februar«  ist  einzuschalten  » 1473«. 

l> 

63. 

11 

16  v.  0.  statt 

*CCxM  =  y  lies  »C,  CM  =  y*. 

1» 

65. 

11 

20  v.  0.  und 

12  v.  u.  statt  »—  Ä0*  lies  .+  A*0«. 

II 

82, 

1» 

19  v.  u.  statt 

»  -  ^il  sin  Mx  cos  (Ml  +  Tt).  lies  •  +  ^  sin  M,  cos  (Mt  +  n): 

II 

114. 

" 

17  v.  u.  ist  der  Doppelpunkt  vor  ja  zu  streichen  und  nach  ^  ein  Komma  zu 

setzen. 

I» 

«54. 

II 

17  v.  u.  statt 

»w/j«  lies  »wij«. 

II 

164. 

II 

12  v.  u.  statt 

» log  cos  A*  lies  »log JA*. 

1» 

167, 

1  1 

2  u.  3  v.  u. 

fehlt  dreimal  »8«. 

II 

168, 

II 

8  v.  0.  statt 

»u.«  lies  » —  fi«. 

II 

170, 

II 

18  v.  0.  statt 

»u-00187«  lies  »0001187«. 

•  1 

174. 

II 

17  v.  u.  statt 

»—  — «  lies  «=  — «. 

II 

1  < 

>l 

6  v.  u.  statt 

»—  *«  lies  »+  *«. 

II 

11 

II 

5  v.  u.  statt 

»-f-  i'*  lies  » —  £«. 

II 

182, 

II 

16  v.  0.  statt 

*PXZQ*  lies  >I\QZ*. 

•> 

M 

Ii 

18  v.  0.  statt 

»/>ll0*  lies  » />,(>,•. 

II 

II 

•1 

14  v.  u.  fehlt 

»=«. 

" 

»83, 

11 

13  V.  u.  statt 

»/*«  lies  »/*,«. 

II 

184, 

11 

16  v.  0.  statt 

»y«  lies  »90°  —  <p«. 

II 

ii 

17  v.  0.  statt 

des  zweiten  »/«  lies  »/l«. 

II 

I85, 

•  1 

21  v.  u.  statt 

»8«  lies  »8«. 

1> 

II 

" 

20  v.  u.  statt 

»  +  fcost*  lies  » —  fcost*. 

1 1 

»1 

1 1 

IS  v.  u.  statt 

»4- / «  lies  »  —  / *. 

M 

196, 

it 

4  v.  u.  statt 

»a«  lies  »a0«. 

•  1 

»97. 

11 

3  v.  0.  statt 

»sinl*  lies  »//»£«. 

■  f 

«99. 

Ii 

7  v.  0.  statt  des  zweiten  »v.«  lies  »vs«. 

»1 

»1 

11 

19  v.  0.  statt 

*a*  lies  »«„«. 

1  ' 

208, 

Ii 

10  v.  0.  statt 

»logf>*  lies  »log  fang  p*. 

■• 

11 

19  v.  u.  statt 

»6«  lies  »7«. 

•• 

Iii: 

11 

2  v.  u.  statt 

»««  lies  »nx*. 

•1 

489. 

i' 

6  u.  7  v.  0. 

statt  »/angf  lies  »cotcwgy*. 

507. 

1» 

10  v.  0.  statt 

»j*«  lies  »j,*«. 

41' 


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644  Berichtigungen. 

pag.  511,  Zeile  lo  v.  u.  statt  lies  »pA«. 

„    514,     „      6  v.  0.  statt  »(.ff,  -f-  ^j)'«  lies  »(A*,  ■+-  ff,)»«. 

„    515,     „     13  v.  o.  statt  »gsin*y  lies  »g*  JM»*^p«. 

„    520,     „     12  v.  u.  statt  »1«  lies  »0». 

„    521,     „     12  v.  u.  statt  »««(,  -f-^,)«  lies  »«»(«, -f- 

522,     ,,     Ii  v.  o.  statt  »sin'  lies  »cos*. 

539,     „     11  v.  o.  statt  »(I)  -  (II),  lies  »(I)  —  (III).. 

„       „     12  v.  o.  statt  »y«  lies  »togf. 

545,     ,,      3  u.  4  v  o.  statt  »G*  lies  •  (>«. 

550,  „      3  v.  o.  statt  .7-9459961«  lies  »7-9544961«. 

551,  „     17  v.  o.  statt  »93950738«  lies  »0395O738«. 

552,  „     18  u.  20  v.  u.  statt  »/"  und  / '«  lies  »Zog/"  und  lo^y'*. 

556,  ,,     14  v.  u.  statt  »«7j'|i,«  lies  »sintyt*. 

557,  ..      3  v.  o.  statt  »9  42434 1«  lies  »9*824341«. 

558,  „     16  v.  o.  statt  »0-236616«  lies  »0232616«. 

561,  „      5  v.  u.  statt  »226°«  lies  »326°«. 

562,  „      8  v.  o.  statt  »C«  lies  »5«. 
„       „     14  v.  u.  statt  »/«  lies  »/,«. 

566,  „      6  v.  o.  statt  »6  893817«  lies  »6  894817«. 
„11  v.  o.  statt  «0-281082«  lies  »0'271032«. 

3  *  4  v  v 

567,  „      4  v.  o.  statt  »+  j-^  co.'ang*  -  «  lies  »—  leotang*  -  «. 

619.     „     15  v.  u.  statt  »2099«  lies  »1999«. 

663,     „     22  v.  u.  statt  »F*  lies  »/V 

21  v.  u.  statt  »90°  —  ««  lies  »90°  4-  ««. 

14  v.  u.  statt  »sin  t  sin  b»  lies  »—  sin  t  sin  b*. 

6  v.  u.  statt  »cos  A"  tos  c  sin  «•  lies  »cos  N'  cos  8  sin  a«. 

668,     „     16  v.  o.  statt  »fr5«  lies  »659«. 

„       ,,     In  dem  Beispiel  fehlt  die  Angabc  <p  =  49°  0'  30". 

681,  „      1  v.  u.  statt  »(8)  und  (9)»  lies  »(9)  und  (10)«. 

682,  „      4  v.  o.  statt  »—  iCfw2ft«  lies  »+«C«"2ft«. 
6  v.  o.  statt  »-f-2Äfw2ft«  lies  »—  2irw2ft«. 

683,  „      5  v.  o.  statt  »(15)«  lies  »(14)«. 

1   e     ..  1 


•  > 

•  « 


697,     „     14  v.  u.  statt  » —  — ■ «  lies  »  —  —  « 

2  r  2  r* 


>- 


..    729.     i.      9  v.  u.  statt  des  tweiten  »/ «  lies  »/,«. 

1.    735'     •»     '5  u-  16  T-  °-  staW  »Brechungscoefficienten«  lies  »Ausdehnungscoefncientcn«. 
„    744,  in  der  Figur  (220)  ist  Q  und  (?,  verwechselt. 

b)  Zum  zweiten  Band. 

pag.   23,  Zeile    4  v.  o.  statt  »Neubaven«  lies  »Newhaven«. 

49,  Zeile  12  v.  u.  fehlt  hinter  »Haar«  die  Schlussklamrucr. 
51,     ,,      6  v.  u.  statt  »denen«  lies  »dem«. 

67,     „      6  v.  o.  statt  »a«  lies  »  — « 

a 

72,     ,,      6  v.  u.  statt  »wurden«  lies  »wurde«. 
89,     „     11  v.  o.  ist  »sich«  tu  streichen. 
,.       „     14  v.  o.  statt  »auftreten«  lies  »bewirkt«. 
„      „     21  v.  o.  statt  »in  anderen«  lies  »andere«. 
92,  in  der  Anmerkung  statt  »Astsronomical«  lies  »Astronomical«. 
283,  statt  »Figur  272«  lies  »Figur  271«. 
304,  Zeile  12  v.  u.  statt  »beobachten«  lies  »beachten«. 

3 '9»    i«      7  V-  u< 

statt  »X,  V,  Z«  lies  »A'p  K„  Z.: 

350,  ,,      4  v.  u.  ist  —jj-  =  — j  /  (?<**'  hinzuzusetzen. 

351,  letzte  Zeile  statt  »dienen«  lies  »erhalten  wurden«. 
383,  fehlt  in  Formel  (20)  bei        rechts  der  Faktor 

439,  Zeile  17  v.  u.  die  eckige  Klammer  ]  am  Schluss  der  Zeile  ist  von  hier  an  den  Schluss 
der  15.  Zeile  v.  u.  zu  setzen. 


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4 


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