Full text of "Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften"

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Ostwald's

Klassiker der
exakten

Wissenschaf

OSTWiLD'S KLiSSIKER

DEB

EXAKTEN WISSENSCHAFTEN

z. Z. beranigegeben -von

Prof. emer. Dr. Arthur von Oettingen

Privaidocent in Leipsig.

8. In Leinen gebunden.

j/20. Chr. Hnvgliens, Abhandlung üb. d. Licht. fl678.} Heiausg. TOa

^ E. Lommel. Mit 57 Textflg. (116 S.) M'IM.

» 21. W. Hittorf, Uber d. Wanderungen der Ionen w Uircnd der Kloktro-
lyse. ilöJÜ— 1869.) I. Hälfte. Mit 1 Taf. Uerausg. v. W.Ostwald.
07 8.) uri.60.

» 23. II. Hälfte. Mit 1 Taf. Uerausg. v. W. Ost wald. (142 S.)

uri.50.

Forlittomo auf der dritten Seite de« Umtchlaoe>.

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Die Intensität

der

ERDMAGNETISCHEN KRAFT

auf absolutes Maass zurückgeführt,

von

CARL FRIEDRICH GAUSS.

In der bitzimg der Kirl. Gesellsclinft der Wissenschaften zu
Güttingen am 15. December 1932 vorgelesen.

Herausgegeben
von
E. Dorn.

LEIPZIG

VERLAG VON WILHELM ENGELMANN

1894.

, ~ ^ ^ ^ - ^ ^

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[3]

Die Inteuältät der erdmagnetischen Kraft

auf absolutes Maass zurückgeführt,

Carl Friedrich Gauss.

Zur Tollständigen BestimmnDg der erdmagnetischen Kraft
an einem gegebenen Orte sind drei Elemente erforderlich:
die Abweichung (Declination) oder der Winkel zwischen der
Ebene, worin sie wirkt, nnd der Meridianebene ; die Neigung
(Inclination) der Richtung zur Horizontalebene; endlich drit-
tens die Stärke (Intensität) . Die Declination, welche mit Rtlck-
sieht auf alle Anwendungen in der Sciiifffahrt und Geodäsie
aU das wichtigste Element zu betrachten ist, hat gleich von
Anfang an die Astronoiiicii uiui l'li^siker beschäftigt, die aber
auch der Inclination ihre fortwährende Aufmerksamkeit be-
reits seit einem Jahrhundert geschenkt haben. Das dritte
Element da^regen , die Intensität der erdmagnetischen Kraft,
welches sicherlich ein ebenso würdiger Getreu stand der Wis-
senschaft ist, blieb bis auf die neueio Zeit völlig vernach-
lässigt. Humboldt gebührt unter so vielen anderen auch das
Verdien fit , (h\<^ er wohl zuerst auf diesen Gegenstand sein
Augenmerk ori iclit« t und auf seineu lieisen eine grosse Meuge
von Beobacliiuugeii über die relative Stllrke des Erdmagne-
tismus gesammelt hat, aus denen sich eine fortwährende Zu-
nahme dieser Stärke beim Fortschreiten von dem magne-
tischen Aequator gegen den Pol hin ergeben hat. Sehr viele
Physiker sind in die Fasstapfen jenes grossen Naturforschers
getreten nnd haben bereits eine solche Menge von Bestim-
mungen zusammengetragen y dass der am die Kenntniss des

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Carl Friedrieh Gauss.

Kiclmagnetismus hochverdiente Hansteen neulich bereits den
Versuch einer aligemeincu isod^ uamischeu Karte hat heraus-
geben können.

Die bei allen du Untersuchungen angewandte Methode
besteht in der Beobachtung der Zeit, während welcher eine
und dieselbe Magnetnadel an den verschiedenen Orten die-
selbe Anzahl von [4] Schwingungen ausführt oder der Anzahl
der Schwingungen innerhalb desselben Zeitraumes, und die
Stärke wird dem Quadrate der Anzahl der Schwingungen in
einer gegebenen Zeit proportional gesetzt: auf diese Weise
werden die ganzen Intensitäten nnter dnander verglichen,
wenn eine im Schwerpunkt aufgehängte Inclinationsnadel nm
eine horizontale und senkrecht gegen den magnetischen Me-
ridian gerichtete Axe oscillirt, oder die horizontalen Gompo-
nenten, wenn eine horizontale Nadel nm eine verticale Axe
schwingt. Die letztere Art der Beobachtung führt zu einer
grösseren Genauigkeit und die daraus hervorgehenden Resnl-
tiilc lassen sich iiacli Feststellung der Inclination leicht auf
die ganzen Inteuriitäten beziehen.

Oifeubar hängt die ZuUissigkeit dieses Verfahrens von
der Voraussetzung ab , dass die Vertheilung des freien Mag-
netismus in den Theilcheu der zu dieser Vergleichung ange-
wandten Nadel bei den einzelnen Versuchen unverändert ge-
blieben ist: wenn nämlich die magnetische Kraft der Nadel
im Laufe der Zeit irgend eine Schwächung erlitten hätte, so
würde sie deswegen später langsamer schwingen, und der
Beobachter, der von einer solchen Aendemng keine Kennt-
niss hat, würde der Stärke des Erdmagoetismus für den
späteren Ort einen zn kleinen Werth beilegen. Wenn die
Versuche einen nnr mässigen Zeitraum umfassen und ^e
ans gut gehärtetem Stahl hergestellte und sorgfältig magno-
tisirte Nadel angewandt wird, ist eine beträchtliche Schwä-
chung der Kraft nicht gerade zn befflrchten; ausserdem wird
die Unsicherheit noch vermindert werden, wenn mehrere Na-
deln zur Ver<j;leichung herangezogen werden; endlich wird
man dieser Annahme ein .srrösseres Vertrauen schenken, wenn
man nach Zurückkunft au den ersten Ort lindet, dass sicli
die Schwingungsdauer der Nadel nicht geändert hat. Aber
welche Vorslchtsmaassregeln auch angewandt werden mögen,
eine laugsame tjcliwachung der Kraft der Nadel wird kaum
vermieden und daher wird eine solche üebereinstimmung nach
längerer Abwesenheit selten erwartet werden können. Deshalb

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Die Intensität der erdmagnetiscben Kraft.

wild man bei der Vergleichun^? der Intensitäten für weit aus-
einaDder gelegene Orte der Erde eine so grosse Genauigkeit,
wie wir sie wünschen müssen, nicht erreichen können.

Uebrigens fällt dieser Nachtheil der Methode weniger
ins Gewicht, so lange es sich nur um die Vergleiehiing von
gleichzeitigen oder solchen Intensitäten handelt, welclic nicht
weit von einander entfernten Zeiten entsprechen. Aber da
die Erfahrung gelehrt hat, dass sowohl die Deelination als
auch die Inclination an einem gegebenen Orte fortwährend
Verändemngen erleiden^ welche nach Tielen Jahren sehr
gross werden, so kann es nicht zweifelhaft sein, dass auch
die Intensität des Erdmagnetismus ähnlichen gleichsam säen-
laren Verändemngen unterworfen ist. Offenbar verliert, so-
bald es sich nm [5] diese Frage handelt, die genannte Me-
thode alle Brauchbarkeit. Und doch wäre es fttr den Fort-
schritt der Naturwissenschaft ausserordentlich zu wünschen,
dass diese höchst wichtige Frage vollständig erledigt werde,
was sicherlich nicht geschehen kann , wenn nicht an Stelle
jener rein vergleichenden Methode eine andere gesetzt wird,
welche von den zufalligen Ungleichheiten der Nadeln unab-
hängig ist und die Intensität des Ki\liiiaguetismus auf fest-
stehende Einheiten und unabhängige Maasse zurückführt.

Es ist uicht schwer, die theoretischen Grundsätze anzu-
geben , auf welche sich eine solche schon längst gewünschte
Methüde stützen muss. l >if» Aiizniil der Schwingungen, welche
eine Nadel in einer gegebenen Zeit ausführt, hänsrt sowohl
von der Intensität des Erdmagnetismus, als auch von der
Beschaftenheit der Nadel , nämlich von dem statischen Mo-
mente der in jener enthaltenen Elemente des freien Magne-
tismus und von ihrem Trägheitsmomente ab. Da dieses
Trägheitsmoment ohne Schwierigkeit ermittelt werden kann,
so giebt offenbar die Beobachtung der Schwingungen uns das
Produkt aus der Intensität des Erdmagnetismus in das sta-
tische Moment des Magnetismus der Nadel an die Hand:
aber diese zwei Grössen können nicht getrennt werden, wenn
nicht Beobachtungen einer anderen Art hinzugezogen werden,
welche eine hiervon yerschiedene Beziehung derselben liefern«
Diesen Zweck erreicht man, wenn man noch eine zweite
Nadel zu Hälfe nimmt und dieselbe der Einwirkung des
Erdmagnetismus und der ersten Nadel unterwirft, nm das
Yerhältniss dieser beiden Kräfte unter einander zu ermitteln.
Jede der beiden Wirkungen wird zwar von der Vertheilung

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Carl Friedrich Gauss.

des fitioii ArMgnetismus in der zweiten Kadei abhängen: aber
die zwt'itf' ausserdem noch von der Beschaffenheit der ersten
Nadel, drr Entfernung der Mittelpunkte, der Lage der ihre
Mittelpunkte verbindenden Geraden gegen die magnetischen
Axen der beiden Nadeln, endlich von dem Gesetze der mag-
netischen Anziehung und Abstossung. Tobias Mayer hatte als
erster bereits die Yermuthnng aufgestellt, dass dieses Gesetz
mit dem Gesetz der Gravitation insofern übereinstimme, als
anch jene Wirkungen im Verhältniss des Quadrats der Ent-
fernungen abnehmen: die Versuche von Coulomb und Han-
sieen haben dieser Yermuthung grosse Wahrscheinlichkeit ver-
schafit und die neuesten Yersuche erheben sie Uber jeden
Zweifel. Aber es ist wohl zu beachten» dass dieses Gesetz
sich nur auf die einzelnen Elemente des freien Magnetismus
bezieht: die Gesammtwirkung eines magnetischen Körpers
wird sich ganz anders verhalten und wird bei sehr grossen
Entfernungen, wie sich aus eben jenem Gesetze ableiten Iftsst,
sehr nahe dem umgekehrten Verhältniss der Guben der Ent-
fernungen proportional sein, so dass die Wirkung der Nadel
mit dem Gubus der Entfernung mnltiplicirt sich bei immer
wachsender Entfernung: unter sonst gleiclien Umständen einer
bestimmten Grenze nähert. [6] Dieser Grenzwerth wird, so-
bald eine bestiumife Länge als Einheit angenommen ist und
die KntfernuDgen durch Zahlen ausgedrückt werden, mit der
Wirkung der Erdkraft von gleicher Art und mit ihr ver-
gleichbar sein.

Durch eine zweckmässige Einriclitung und Behandlung
der Versuche lässt sich der Grenzwerth dieses Verliälfiij>ses
bestimmen. Da derselbe nur das statische Moment df s Mag-
netismus der ersten Nadel enthält, so wird man nunmehr den
Quotienten dieses Momentes durch die Intensität der Erdkraft
erhalten ; vergleicht man nun diesen mit dem schon vorher
ermittelten Produkte dieser Grössen» so wird er dazu die-
nen , dieses statische Moment zu eliminiren , und wird den
Werth der Intensität des Erdmagnetismus liefern.

Was die Art und Weise betriflft, die Wirkungen des
Erdmagnetismus und der ersten Nadel auf die zweite Kadel
dem Versuch zu unterwerfen, so steht ein zweifacher Weg
offen, da man die zweite Nadel entweder im Zustande der
Bewegung oder im Znstande des Gleichgewichts beobachten
kann. Die erstere Art läuft darauf hinaus, die Schwingungen
dieser Nadel zu beobachten, während die Wirkung des Erd-

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Die Intensität der erdmagnetisclien Kraft.

m agnetismus verbimden wird mit der Wirkung der ersten
Nadel. Diese muss in geeigneter EntfernüDg derart ange-
bracht Sem, dass ihre Axe in dem durch den Mittelpunkt der
schwingenden Kadel gehenden magnetischen Meridian liegt:
dadnich werden die Schwingungen entweder beschleunigt oder
verzögert) je nachdem ungleichnamige oder gleichnamige Pole
einander zugekehrt sind, und die Yergleichnng entweder der
Schwingungszeiten fflr jede der beiden Lagen der ersten Ka-
del unter einander oder der Sehwingungszeit einer der beiden
Lagen mit der Schwingungszeit, die (nach Entfernung der
ersten 2sadel) unter der alleinigen Wirkung des Erdmagnetis-
mus stattfindet, wird das Verhältniss dieser Kraft zui Wir-
kung der ersten Kadel kennen lehren. Bei der zweiten Art
legt man die erste Nadel so , daiiS die Richtung ihrer Kraft,
welclif^ sie am Ort der zweiten frei aufgehänfrtcn Nadel aus-
übt, einen Winkel (z. 1>. einen rechten] mit dem magnetischen
Meridian bildet; hierdurch wird diese selbst ans dem mag-
netischen Meridian abgelenkt, und aus der Grösse der Ab-
lenkung kann man das Verhältniss zwischen der erdmagne-
tischen Kraft und der Einwirkung der ersten Nadel ableiten.

Uebrigens stimmt die erste Art im wesentlichen mit der-
jenigen fiberein I weiche Poisson schon vor einigen Jahren
vorgeschlagen hat. Aber die nach dieser Vorschrift von eini-
gen Physikern angestellten Versuche sind, wenigstens soweit
sie mir bekannt geworden, entweder völlig missglückt, oder
können höchstens als unvollkommene Annäherungen betrachtet
werden.

Die eigentliche Schwierigkeit liegt darin , dass aus den
in massigen Entfernungen beobachteten Einwirkuiii:en der
Nadel ein Grenzwerth berechnet werden muss, der sich auf
eine gewissermaassen unbegrenzt grosse Entfernung bezieht,
und dass die zn diesem Zwcckr iiothwendigi n Eliminationen
[71 um so mehr von den kleinsten Beobaclitungsfehleru ge-
trui>t, jn <f>%AV völlig nnbrjuiebbar gemacht werden, je mehr
Unbekannte, die von der besonderen Beschaftenheit der Nadel
abhängen, zu eliminiren sind: auf eine kleine Anzahl von
Unbekannten kann aber die Berechnung nur dann gebracht
werden, wrnn die Einwirkungen in Entfernungen geschehen,
welche im Verhältniss zu der Länge der Nadeln ziemlich
gross sind und deshalb selbst sehr klein werden. Aber um
so kleine Einwirkungen genau zu messen, dazu reichen die
bis jetzt angewandten praktischen Htllfsmittel ni<^t hin.

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Carl i'riediicli Gauss.

Ich erkannte , dass ich meine Bemühungen vor allem
nn (lifi Auffindung: nener Hülfömittel zu wenden hatte, lun
die Scliwlngungszeiten , wie auch die Richtunfren der Nndelii
mit weit grösserer Genauigkeit als seither beobachten und
messen zu können. Die zu diesem Zwecke unternommenen
und durch mehrere Monate fortgesetzten Arbeiten, bei wel-
chen ich von Weber vielfach unterstützt worden bin, haben
derart znm gewünschten Ziel geftihrt, dass sie die Erwartung
nicht nnr nicht getäuscht, sondern weit übertrofifen haben,
und dass nichts mehr zu wünschen bleibt, um die Genauig-
keit der Yersnche der Schärfe der astronomischen Beobach-
tungen gleich zu machen, als ein gegen die Einwirkung von
nahem Bisen und Luftzag Tellig geschätztes Local. Es stehen
zwei Apparate zu Gebote, die sich durch ihre Einfachheit
nicht minder als durch die Genauigkeit auszeichnen, welche
sie gewähren. Die Beschreibung mnss ich mir allerdings fOr
eine andere Gelegenheit vorbehalten, während ich die zur
Bestimmung der Intensität des Erdmagnetismus bis jetzt in
unserer Sternwarte ausgeftthrten Versuche den Physikern in
der vorliegenden Abhandlung übergebe.

[8] 1.

Zur Erklärung der magnetisehcu Erscheinungen nehmen
wir zwei magnetische Flüssigkeiten an : die eine nennen wir
die nördliche, die andere die südliche. Wir setzen voraus,
dass die Elemente der einen Flüssigkeit die der anderen an-
ziehen, dass dagee-en je zwei Elemente derselben Flüssigkeit
sich gegenseitig abstu^sen, und dass sich jede der beiden Wir-
kungen im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Ent-
fernung ändert. Es wird sich unten zeigen , dass die Rich-
tigkeit dieses Gesetzes durch unsere Beobachtungen selbst
bestätigt wird.

Diese Flüssigkeiten kommen nicht für sich vor, sondern
nur verbunden mit den wägbaren Theilchen solcher Edrper»
welche den Magnetismus annehmen, und die Wirkungen jener
äussern sich darin ^ dass sie die Kürper entweder in Bewe-
gung setzen oder dass sie die Bewegung, welche andere auf
diese Körper wirkende Kräfte, z. B. die Schwerkraft,- her-
vorrufen würden, hindern oder verändern.

Daher wird die Wirkung einer gegebenen
Menge von magnetischer Flflssigkeit auf eine

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Die Intensität der erdmagnetischen Kraft.

gegebene Menge entweder derselben oder der an-
deren Fltlssigkeit in einer gegebenen Entfernung
Tergleichbar sein mit einer gegebenen bewegen-
den Kraft, d. b. mit der Wirkung einer gegebenen
beschleunigenden Kraft inif eine gegebene Masse,
und da die magnetiscben Flüssigkeiten selbst nur durch die
Wirkungen, die sie hervorbringen, erkennbar sind, so müssen
gerade diese zum Maasse jener dienen.

Damit wir jedctcli dieses Maass auf bestimmte Begriffe
zurückführen können, müssen vor allem für drei Grösaenarten
die Einheiten festgesetzt werden, nämlich die Einheit der
Entfernungen, die Einheit der wägbaren Massen und die
Einheit der beschleniiigenden Kräfte. Für die dritte kann
die Schwerkraft an dem Beobachtungsorte angenommen wer-
den : wenn aber dies nicht zusagt, so muss ausserdem die
Einh* If der Zeit hinzutreten, und für uns wird diejenige be-
schleunigende Kraft = 1 sein, welche in der Zeiteinheit eine
Aenderiing der Geschwindigkeit des Körpers in der Riclitung
seiner Bewegung hervorbringt, die der Einheit gleichkommt.

Demgemüss wird die Einheit der Menge von nördlicher
Flüssigkeit diejenige sein, deren abstossende Wirkung auf
eine andere ihr gleiche und in der Einheit der Entfernung
befindliche Menge der bewegenden Kraft =1 ist, d. h.
der Wirkung einer beschleunigenden Eraft = 1 auf eine
Masse = 1 ; dasselbe [9] wird von der Ebheit der Menge
von südlicher Flüssigkeit gelten : bei dieser Bestimmung muss
offenbar sowohl die wirkende Flüssigkeit, als auch die der
Wirkung unterliegende in physischen Punkten vereinigt ge-
dacht werden. IJeberdies aber muss mau anuehmcn, dass die
Anziehung zwischen gegebenen Mengen von verschiedenartigen
Flüssigkeiten in gegebener Entfernung gleich sei der Ab-
stossung zwischen den bezüglichen gleichen Mengen von gleich-
artigen Flüssigkeiten. Daher wird die Wiikiiug einer Menge
m von nordmngnetipcher Flüssigkeit auf eine Menge w' der-
selben Flüssigkeit in der Entfernung r (wobei jede der beiden
Flüssigkeiten als in einem Funkte vereinigt vorausgesetzt

der ersteren gegen die zweite Flüssigkeit wirkt, und äugen-

oder sie kommt einer bewe

gleich, welche in der Richtung von

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Carl rieürich Gauss.

Hcheinlich gilt diese Formel allgemein, wenn, was wir von
jetzt ab immer festhalten wollen, eine Menge von südlicher
Fltlssigkeit als negativ angesehen wird, nnd ein negativer

Werth der Kraft Anziehung andeuten soll.

r T

Wcüii daher in einem physischen Punkte gleiche Men-
gen von nördlicher und sikllicber Flüssigkeit sich gleichzeitig
hefuidcn, so wird davon tiberhaiipi keine Wirkung entstehen,
wenn aber ungleiche iMengeu, so wird nnr der üeberschnss
der einen, welchen wir freien Magnetismus (positiven oder
negativen) nennen wollen, in Betracht kommen.

Zu diesen grundlegenden Voraussetzungen müssen wir
noch eine andere hinzufügen, welche von der Erfahrung
Uberall bestätigt wird , dass nämlich jeder Körper , in wel-
chem magnetische Flüssigkeiten vorhanden sind, immer
eine gleiche Menge von jeder der beiden enthält. Ja die
ErfabniDg lehrt sogar, dass diese Annahme aneh anf die
kleinsten Theilchen eines solchen Körpers anszndehnen ist,
welche noch dnreh unsere Sinne unterschieden werden kön-
nen. Aber da nach dem, was wir am Ende des vorigen
Artikels hervorgehoben haben , eine Wirkung nur insoweit
vorhanden sein kann, als irgend eine Trennung der Flüssig-
keiten stattfindet, so müssen wir nothwcndig annelimen, dass
diese durch oO kleine Zwischenräume geschieht, dass sie un-
seren Messungen unzugänglich sind.

Ein magnctisirbarer Körper muss daher aufgefasst wer-
den als die Vereinigung von unzähligen Partikelchen , von
denen ein jedes eine gewisse IMenge von nördlicher magne-
tischer Flüssigkeit nnd eine eben so grosse von sudlicher
enthält , und zwar so , dass sie entweder gleichmässig unter
einander vermischt sind (der Magnetismus verborgen ist) oder
eine geringere oder grössere Trennung erlitten haben (der
Magnetismus entwickelt ist), eine Trennung jedoch, welche
niemals in ein Uebcrfiiessen der Flüssigkeit von einem Par-
tikelchen auf ein anderes übergehen kann* Es macht keinen
Unterschied, ob man annimmt, dass eine grössere Trennung
von einer grösseren Menge der frei werdenden Flüssigkeiten
herrührt oder von einem grösseren zwischen ihnen gelegenen
Zwischenraum: offenbar aber muss ausser der Grösse der

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Die InteDsitSt der erdmagnetischen Kraft.

Tionniing gleichzcitie: dereu Riciiiuug in Betraclit kommen,
denn Je nachdem diese in den verschiedenm Tlicilclien des
Körpers übereinstimmt oder nicht, wird eine grössere oder
geringere Gesammtwirkung rttcksichtlich der Punkte ausser-
halb des Körpers entstehen können.

Wie auch immer aber die Yertheilung des freien Mag-
netismus innerhalb des Körpers sich verhalten mag, stets
kann man an deren Stelle, infolge eines allgemeinen Theo-
rems, nach einem bestimmten Gesetze eine andere Yertheilung
auf der Oberfläche des Körpers allein einsetzen, welche nach
aussen hin voUst&Ddig dieselben Kräfte ausübt wie jene, so
dass ein irgendwo ausserhalb gelegenes Element Ton magne-
tischer FlUssigkeit genau dieselbe Anziehung oder Abstossung
von der wirklichen "Yertheilung des Magnetismus innerhalb
des Körpers erfährt, wie von der auf der Oberfläche dessel-
ben gedachten*). Dieselbe Fiction kann man auf zwei Kör-
per ausdehnen, welche nach Maassgabe des in ihnen ent-
wickelten freien Magnetismus auf einander wirken, so dass für
jeden von beiden die auf der Oberfläche gedachte Vertheüung
an die 8t( IU3 der wirklichen inneren treten kann. Auf diese
Weise können wir endlich der gewöhnlichen ISprechweise,
welche z. B. dem einen Ei^de einer Magnetnadel ausschliesslich
Kordmagnetismns, dem anderen Stidmngnetismus zuschreibt,
den wahren 8inn unterlegen, da offenbar diese Redewendung
mit dem oben ansgesprochenen Grundsatz, den andere Er-
scheinungen unbedingt fordern, nicht im Einklang steht.
Aber es mag hinreichen, dies hier nebenbei bemerkt zu
haben; Aber den Lehrsatz selbst werden wir, da er ffir den
Torliegenden Zweck nicht nothwendig ist, bei einer anderen
Gelegenheit ausführlicher uns auidassen.

Der magnetische Zustand eines Körpers besteht in
dem Verhältniss der Yertheilung des freien Magnetismus in
den einzelnen Theilchen desselben. Hinsichtlich der Verän-
derlichkeit dieses Zustandet) nehmen wir einen wesentlichen
Unterschied zwischen den verschiedenen magnetisirbaren Kör-
pern wahr. [Ii] 13ei einigeUi z. B. bei weichem Eisen, ändert

*) Vgl. Gauss, Allgemeine Lehrsätze u. s. w. Art. 36. Werke
Bd. V. S. 240 (auch Ostwald's Klassiker, No. 2, S. 49}.

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Carl Friedrieb Gauss.

sich jener Zustand infolge der geringsten Kraft sogleich, und
wenn diese Kraft aufhört, kehrt der frühere Zustand zurück :
dagegen bei audereii , zumal bei gehärtetem Stahl, muss die
Kraft eine gewisse Stärke erreicht haben, bevor sie eine
wahinehnibare Aenderung des magnetischen Zustandes her-
vorrufen kann, und wenn die Kraft aufhört, so verbleibt ent-
weder der Körper in dem erlangten Zustand oder er kehrt
wenigstens nicht völlig in den früheren znrüek. In den
Körpern der ersteren Art ordnen sich daher die magnetischen
Molekel so an, dass zwischen den magnetischen Kräften,
welche theils von den Kiiriiern selbst, theils von äusseren
Ursachen herrühren, vollkommenes Gleichgewicht besteht, oder
es unterscheidet sich wenigstens der Zustand kaum merklicli
von dem eben beschriebenen. Bei den Körpern der zweiten
Art dagegen kann der magnetische Zustand auch ohne voll-
kommenes Gleichgewicht zwischen jenen Kräften daaernd
sein, wofern nur stärkere äussere Kräfte ferngehalten werden.
Wenn aneh die Ursache dieser Brscheinnng nnbekannt ist,
so kann man sich dieselbe doch so vorstellen, als ob die
wägbaren Theile eines Körpers der zweiten Art der Bewe-
gung der mit ihnen verbundenen magnetischen Flfisaigkeiten
ein der Beibang ähnliches Hinderniss entgegensetzen, ein
Widerstand, der in weichem Eisen entweder gar nicht vor-
handen oder nnr sehr gering ist.

In der theoretischen üntersnchnng erfordern diese beiden
Fälle eine vollständig verschiedene Behandlung; aber in der
gegenwärtigen Abliandlung wird nnr von den Körpern der
zweiten Art die Rede sein: bei den Versnchen, über welche
wir sprechen wollen, wird die ünveränderlichkeit des Zu-
standes in den einzelnen Körpern eine Grundvoraussetzung
sein, und man muss sich daher sorg:fal{iL;' hiiten, während der
Versuche andere Kiirper, welche diesen Zustund ändern könn-
ten, allzu nahe heranzubringen.

Jedoch ist eine gewisse Ursache der Aenderung vorhan-
den, der auch die Körper der zweiten Art unterworfen sind,
nämlich die Wärme. Die Erfahrnnr^ lehrt unzweifelhaft, dass
der magnetische Zustand eines Körpers sich mit seiner Tem-
peratur ändert, jedoch so, dass, wenn der Körper nicht üher-
niiissig erwfirmt gewesen ist, mit der früheren Temperatur
auch der frühere magnetische Znstand zurückkehrt. Diese
Abliiingigkeit ist durch geeignete Versuche zu bestimmen, und
wenn zn einem Versuch gehörige Beobachtungen bei ver-

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Die Intensität der erdmagnetischen Kraft

schiedenen Temperaturen vorgenommen worden sind, so wer-
den sie vor allem auf eine und dieselbe Tempeiutur zurück-
zuführen sein.

[12] 4.

Uuabliäugig von den magnetischen Kräften, welche wir
einzelne hinreichend nahe K5rper auf einander austtben sehen,
wirkt eine andere Kraft auf die maguetischen Flüsöiirkeiten,
die wir, da sie überall auf der Krde sich oti'eiibart, der Erd-
kugel selbst zuschreiben und daher Erdmagnutismns nennen.
Auf eine doppelte Weise äussert sic)i diese Kraft : Körper
der z^^eiten Art, bei denen der Magnetismus erregt ist, wer-
den, weun sie im Schwerpunkt unterstützt sind, nach einer
bestimmten Richtung gedreht: in den Körpern der ersteren
Art dagegen werden die magnetischen Flüssigkeiten durch
jene Kraft von selbst geschieden, eine Scheidung, welche
sehr bemerkbar gemacht werden kann, wenn man Körper
von zweckmässiger Gestalt wählt und in zweckmässiger Lage
aufstellt Jede der beiden Erscheinungen wird durch die
Auffassung erklärt, dass jene Kraft die nordmagnetische Fifls-
sigkeit an jedem beliebigen Ort nach einer bestimmten Rich-
tung bintreibt, die sttdmagnetische aber mit gleicher Stärke
nach der entgegengesetzten. Die Richtung der ersteren wird
immer verstanden, wenn wir von der Ridhtung des Erdmag-
netismus reden; sie wird daher dnreh die Neigung zur Hori-
zontalebene wie durch die Abweichung der Yerticalebene, in
welcher sie wirkt, von der Meridianebene bestimmt: jene
heisst magnetische Meridianebene. Die Intensität des Erd-
magnetismus aber ist durch die bewegende Kraft zu messen,
welche er auf die Einheit der freien magnetischen Flüssigkeit
ausübt.

Diese Kiaft ist nicht nur an verschiedenen Orten der
Erde verschieden, sondern auch an demselben Orte veränder-
lich, sowohl im Laufe der Jahrhunderte und Jahre, als auch
im Laufe der Jahreszeiten und der Tagesstunden. Hinsicht-
lich der Richtung ist zwar diese Vernndprlicbkeit lauge be-
kannt gewesen; aber hinsichtlich der Intensität hat sie bis
jetzt nur im Laufe der Stunden eiues Taiies !)eobachtet wer-
den kfinnen, da wir keine llülfsmittel hatten, die sich für
längere Zeiträume eigneten. Diesem Mangel wird in Zukunft
die Zuriickführung der Intensität auf absolutes Maass Ab-
hülfe schaffen.

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Carl Friedrick Qanss.

Um die Wirkung des ErdmagBetismus auf magaetisehe
Körper der zweiten Art (an solche hat man von jetzt ab
immer zu denken) der Berechnung zn unterwerfen, fasse man
einen solchen Körper als in unendlich kleine llieile getheilt
auf; es se! dm das Element des freien Magnetismus in einem
Theilchen , dessen Coordinaten in Bezuf? auf drei senkrecht
zn eiuiiuder stellende, im Körper fe^tu I'^bcücu durch y, z
[13! bezeichnet werden mögen: die Elemente der südlichen
Flüssigkeit nehmen wir als negativ an. Alsdann ist zunächst
klar, dass das tlber den ganzen Körper (ja sogar über jeden

messbaren Tlieil des Körpers) genommene Integral ,/ dm — 0

sei. Wir wollen ferner jxdm s= X, jydm = Y und fzdm
= Z nenn^, welche Grössen die Momente des ^ien Mag-
netismna in Bezug auf die drei Grundehenen oder in Bezug
auf die senkrecht zu ihnen stehenden Axen heissen mögen.
Da unter der Voraussetzung, dass a eine beliebige constante

Grösse bezeichnet, f [x — al dm = X \vm\, so erhellt, dass
das Moment in Ikzu;^ ;iuf eine gept bcjic Axe nur von deren
Richtung, nicht aber vnu ihrem Anl'ang abhängt. Wenn wir
durch den Coordinatenanfang eine vierte Axe ziehen, welche
mit den ersten die Winkel A, B, C bildet, so wird das
Moment des Elements dm in Bezug auf diese Axe = (.r cos A
-|- V cos JJ -\- z cos U; dm sein und ferner das Moment des
freien Magnetismus im ganzen Körper

= XcoaA + Yto&B + ZcQ»C:= V.
Setzt man

y(XX+ YY+ZZ) = M und

X = Meü&a; Y= Meos ß\ Z s=z Meo»
und zieht man eine ftlnfte Axe, welche mit den drei ersten
die Winkel ßj y und mit der vierten den Winkel m bil-
det, so wird, da infolge dieser Festsetzungen cos (o = cob A
cos a -\- cos B cos ß ^ cos C cos y ist, V= M cos (o sein.
Diese fünfte Axe ucuucii wir einfach die magnetische
Axe des Körpers, und von der Ilichtung derselben setzen
wir voraus, dass sie zum positiven Werth der Wurzel

V (X Y -h FF + ZZ] gehört. AVenn die vierte Axe mit
dieser magnetischen Axe zusammenfällt, so wird das Moment
V= M, welches offenbar unter allen Momenten das grösste
ist: das Moment in Bezug auf eine beliebige andere Axe

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Die Intensitttt der erdmagiietisoben Kraft

wird gefanden, indem man dieses grosste Moment (welches,
so oft eine Zweideutigkeit nielit zu fttrehten ist, einfach das
Moment des Ma^etismas genannt werden kann) mit dem Co-
• sinns des Winkels zwischen dieser und der magnetischen

Axe mnitiplicirt. Das Moment in Bezog anf eine beliebige

scnkreclil .luf der magnetischen stehende Axe wird = 0,
ncg.itiv aber in Bezu^^' auf jode Axe, welche mit der mag-
netischen Axe einen stumpfen Winkel bildet.

Die magnetischjö Axe ist daher keine bestimmte Gerade,
da sie durch jeden beliebigen Punkt gelegt werden kann,
öüudern nur eine bestimmte Richtung, mit andern Worten, es
j^iebt unbegrenzt viele, unter einander parallele magnetische
Axen. Wenn wir aus diesen irgend eine nach Belieben aus-
wählen und ihr eine bestimmte Länge zuschreiben, so werden
die Enden derselben Pole genannt, der eine der sildliche, von
dem auS; der andere der nördliche, nach woiciiem hin die
Kichtang der Axe geht.

[U] 6.1)

Wenn auf die einzelnen Theilchen der magnetischen
Flüssigkeiten eine Kraft von constanter Intensität und Kich-
tung wirkt, so lässt sich die daraus hervorgehende Gesammt-
kraft auf den Körper leicht aus den statischen Grundsätzen
ableiten, da bei den hier in Betracht kommenden Körpern
jene Theilchen ihre flüssige Beschaffenheit gewissermaassen
verloren haben nnd mit dem wägbaren Körper eine feste
Masse bilden. £& möge auf ein beliebiges magnetisches Theil-
chen dm die bewegende Kraft = ^ dm nach einer Richtung
D wirken (wo ftir die Molekel der südlichen Flttssigkeit das
negative Zeichen an sich schon die entgegengesetzte Richtnng
andentet) ; es seien A nnd B zwei in der Richtnng der
magnetischen Axe liegende Pnnkte des Körpers nnd deren
Entfernung =r, positiv genommen, wenn die magnetische
Axe von A nach B hin gerichtet ist: alsdann sieht man
leicht ein, dass, wenn zu diesen Kräften zwei nene hinzn-

JP JfcT

gefttgt werden , jede = , von denen die eine auf A

nach der Richtung D, die andere auf B nach der entgegen-
gesetzten Richtung wirkt, zwischen all diesen Kräften Gleich-

1) S* Anm. 1.

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16 Carl Friedrioh Gauss.

gewicht sein wird. Deswegen werden die ersteren Erftfte

zwei Kräften s=s ^ — gleichwertliig sein, von denen die eine

auf B nach der Richtung i>, die andere auf A nach der *
entgegengesetzten Richtung wirkt, und offenbar können diese
beiden Kräfte nicht in eine einzige vereinigt werden.

Wenn ausser der Kraft P eine andere ähnliche P' nach
der Bichtang 2>' auf die magnetischen Flüssigkeiten des
Körpers wirkt, so können an deren Steile wiederum zwei
andere gesetzt werden, die entweder auf dieselben Punkte
A und B oder allgemeiner auf andere Punkte A' und
wirken, wofern nur A' B' ebenfalls eine magnetische Axe
ist» und zwar mflssen, wenn man den Abstand A' B' = r'

P' M

macht, diese Kräfte = — ; — sein, und auf B' nach der

Richtung ])\ auf A' nach der entgegengesetzten wirken.
Dasselbe gilt von mehreren.

Der erdmagnetischen Kraft kann man innerhalb eines so
kleinen Raumes, wie ihn der den Versuclien zu unterwerfende
Körper einnimmt . sicher überall eine constante , wenn auch
mit der Zeit veränderliche Intensität und liichtung zuschrei-
ben, daher kann man das, was wir soeben gesagt haben,
auf sie anwenden. Aber es kann von Yortheil sein, gleich
von Anfang an dieselbe in zwei Kräfte zu zerlegen, in eine
horizontale = T und in eine verticale = 2", die in unseren
Gegenden nach unten gerichtet ist. [15] Da man für den
Fall, dass man für die letztere zwei andere auf die Punkte
A' und B' wirkende einsetzen will, den Punkt wie auch
den Abstand A' B' ^ r' nach Belieben annehmen darf, so
wollen wir fttr A' den Schwerpunkt wählen and, indem wir
das Gewicht des Körpers, d. i. die bewegende Kraft, der

Schwere auf seine Masse mit p bezeichnen, =: r' setzen.

Hierdurch wird die Wirkung der Krall T' aufgelöst in eine
Kraft = /; auf A' nach oben und in eine andere uleich-
grosse auf B' nach unten gerichtet, und da ferner die er&lore
üfl'enbar durch die Schwerkraft selbst aufgehoben wird , so
wird die Wirkung der Verticalcnmixnionte einfach zurückge-
führt auf die Verlegung des SchvveriJiniktes von A' nach B' .
Uebrigens ist klar, d;i>s für diejenigen Gegenden, wo die
erdmagnetische Kraft einen spitzen Winkel mit der Verticalen

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Die Intensität der erdmagnetischen Kraft.

bildet, oder, anders ausgedrückt, wo ihr verticalcr Tlieil das
magnetische Nord-Fluidum nach oben treibt, eine ähnliche
Verlegung des Schwerpunkts auf der magnetischen Axe nach
dem Südpol hin stattfindet.

Bei dieser Auffassungsweise leuchtet von selbst ein, dasB,
was immer für Versuche mit einer Magnetnadel in einem ein-
zigen magnetischen Zustande gemacht werden mOgen, ans
diesen allein die Inclination nicht abgeleitet werden kann,
sondern dass die Lage des wirklichen Schwerpunktes anders-
woher schon bekannt sein mnss. Diese Lage pflegt bestimmt
zn werden, bevor die Nadel magnetisirt wird: aber diese Art
ist nicht sicher genug, da meistens eine Stahlnadel schon
während ihrer Herstellung einen wenn auch schwachen Mag-
netismus annimmt. Es ist daher für die Bestimmung der
Inclination nothwendig, dass durch eine sweckmässige Aen-
derung des magnetischen Zustandes der Nadel eine andere Ver-
legung des Schwerpunktes hervorgerufen werde. Damit diese
von der ersteren möglichst verschieden werde, wird es noth-
wendig sein , die Pole umzukehren , wothircli eine doppelte
Verlegung erhalten wird. Uebrigens kann die Verlegung des
Schwerpunktes selbst bei Nadeln, welche die geeignetste Form
haben und mit Magnetismus gesättigt sind, eine gewisse
Grenze nicht überschreiten, die (für eine einfache Verschie-
bung) in unseren Gegenden ungefähr 0,4 mm beträgt, und in
Gegendeu, wo die vertieale Kraft am i:r()ssicii ist unter
0,6 mm bleibt; daraus ersiebt man gleichzeitig, eine wie
grosse mechanische Feinheit bei den Nadeln erfordert wird,
die zur Bestimmung der Inclination dienen sollen.

7.2)

Wenn irgend ein Punkt C eines magnetischen Körpers
als fest angenommen wird, so ist die nothwendige und hin-
reichende Bedingung für das Gleichgewicht, dass eine durch
0, den Schwerpunkt und [16] die magnetische Axe gelegte
Ebene mit dem magnetischen Meridian zusammenf&Ut und
dass ausserdem die Momente, mit denen die erdmagnetische
Ejraft und die Schwerkraft jene Ebene um den Punkt C zu
drehen suchen, sich aufheben: die zweite Bedingung Ulufl;
darauf hinaus, dass, wenn T den horizontalen Theil der
erdmagnetischen Kraft und i die Neigung der Hagnetaxe

Ortwald*» KlMsiker. &8. 2

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Carl Friedrich Gauss.

gegen die Horizontalebene bezeichnet , TM sin i gleich sei
dem Produeto aus dem Gewichte des Körpers in die Entfer-
nung des verschobenen Schwerpunkts B' von der durch C
gezogenen YerticaUinie : ofTpiibar miiss diese Entfernung auf
der südlichen oder nördlichen Seite liegen, je nachdem • eine
Elevation oder Depresdon ist, und fflr t o liegt B' in
dieser YerticaUinie selbst. Wenn der Körper um diese Ver-
ticaliinie schon so bewegt worden ist, dass die magnetische
Axe in die Vertiealebene gelangt ist, deren magnetisches
Asimuth, d. h. deren Winkel mit dem nördlichen Theil des
magnetischen Meridians (nach BeUeben nach Osten oder nach
Westen als positiv genommen) s k ist , so wird der Erd-
magnetismus auf den um die Verticidaze drehbaren Körper
eine Kraft austlben, welche den Winkel u zu yermindem
strebt und deren Moment = TM cos i sin ii sein wird , und
der Körper wird um diese Axe Schwingungen ausführen,
deren Dauer nach bekannten Methoden berechnet werden
kann. Wenn man nämlich durch K das Trägheitsmoment des
Körpers in Bezug auf die Schwingungsaxe bezeichnet (d. h.
die Summe der wägbaren Molekeln multiplicirt mit dem
Quadrat der Abstände von der Axe) und wie üblich durch rr
den halben Kreisumfang für den Radius =1, so wird die
Dauer einer unendlich kleinen Schwingung

sein, falls nämlich den Grössen T und M als Einheit der
beschleunigenden Kräfte diejenige zu Grunde liegt, welche
in der Einheit der Zeit die Geschwindigkeit s= 1 erzeugt:
die Zurflcki^hrnng endlicher Schwingungen auf unendlich
kleine wird auf ähnliche Weise wie für die Schwingungen
des Pendels bereclmet werden können. Wenn daher die
Dauer einer unendlich kleinen Schwingung:: aus dci Beob-
achtung = t gefunden worden ist, so werden wir die Glei-

TT V

chung haben : TM = • / . , und wenn ausserdem, was

t t cos l

wir von jetzt ab immer voraussetzen, der Körper so aufge-
hängt ist, dass die Magnetaxe horizontal ist:

Wollte man lieber die Schwerkraft als Einheit der beschleu-
nigenden Kräfte annehmen, so muss man jenen Werth dnreh

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Die IntensitKt der erdmagnettsolieii Kraft.

CTcl dividiren, wenn / die Lftnge [17] des einfaehen Se-

undenpendels bezeichnet» so dass man allgemein haben würde :

K K
TM— —j r oder für unseren Fall TM «= — ,

ttl co&t ttl

8.3)

Wenn derartige Versuche an Magneiuadeln angestellt
werden, welche an einem tsenkrecliten Faden aufgehängt
sind, so wird die Rückwirkiiii^j; , welche die Torsion ausübt,
bei feineren Versuilien nicht vernachlässigt werden dürfeii.
"Wir wollen hei einem derartigen Faden zwei horizontale
iJurcbmesser unterscheiden, den einen J) am unteren Ende,
wo die Nadel angeknüpft ist, parallel der magnetischen Axe
der Nadel, den anderen E am oberen Ende, wo der Faden
befestigt ist, und zwar sei E mit D parallel im nngedrillten
Znstande des Fadens. Wir wollen annehmen, dass mit dem
magnetischen Meridian E den Winkel die Magnetaxe oder
D dagegen den Winkel u bilde, dann wird naeh der Er-
fahrung die Torsionskraft wenigstens annähernd dem Winkel
V — u proportional sein: wir werden daher das Moment, wo-
mit diese Kraft den Winkel u dem Winkel v gleich zn machen
sncht, = (ü — u)B setzen. Da nun das Moment der erd-
magnetischen Kraft, welches den Winkel u zn Termindem
strebt, = TM sin u ist, so ist die Bedingung für das Gleich-
gewicht in der Gleichung enthalten: [v — u)0 = 2\M u,
welche um so mehr reelle Lösungen zulassen wird, je kleiner
0 im Vergleich mit TM ist: so lauge es sich aber hier nur
um kleine Werthe von n handelt, kann man sicher statt die-
ser Gleichung die iglgende annehmen: {v — u)Q.= TMu

oder — = + 1 . Bei unseren Apparaten ist das obere

Ende des Fadens an einem beweglichen Arm befestigt, wel-
cher einen Zeiger trügt, der auf der Peripherie eines in
Grade eingetheilten Kreises spielt. Wenn daher auch der
CoUimationsfehler (d. i. der Theilstrich, welchem der Werth
0 = 0 entspricht) noch nicht hinlänglich genau bekannt ist,
80 giebt dennoch dieser Zeiger den Unterschied je zweier
Werthe von v an: ebenso liefert ein anderer Theil des
Apparates den Unterschied zwischen den Wertheu von Uy

2»

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jn^ii . ii: : ir U^L'ttr Aez-i^^rnLr irr z:Aj!i'r:Lf*;ii-a. De^^Iraa-
hr.^x.t.iL' 18 rz ^^^tS. ti* -r:!iLi -rrrri.'k: Triri mit

r» 2s xeii^eA, e*n^ w5ft graae F^izJieis derartig 6<ä4>b-
aehumfWi y.iifii, fttrtn "»ir em B«i5r:^I it3 4m. Tage-

der ^ ^v. iriJi^^Biliekier. folgende DeclimmeB ■ «ad Winkel
beobaebtet:

Erste Xade: Zve:te 3
Ver* 4Cfte Zeir

I Vm -i' IC< 5" ■ -r '> - 12,1"

E« lisd dabei- die DectiBatiottea der erste» Xadel, be-
zogen aaf dem Staad der ersten Beobaehtim^, fol^^eade:

I u = 4' 19.5" c = 3u^>*
II — <j o 14. S 240
lü — 0 3 47,2 IS»

r.v

Hieran» geht als Werth des Bruches -g- aus der Ver-

hiadmng der Beobachtangen

I und U ... . SSL7

II üni III ... . ^91,5

i und Iii ... • SS6,6 hervor.

; i»eid<; XheüuiigeB wachsen vou links nach rtciiiö.

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Die Intensität der erdmagnetischeu Exaft.

Die täglichen AenderongeiL der magnetischen Declination
werden durch die Torsion im Yerhältniss der filsheit za

— r-r vermindert , wobei —pr- = n gesetzt ist, welche Aen-
n + X 0 ** '

deruDg, wenn wir Fäden von so geringer Torsion gebrau-
chen, wie sie das vorhergehende Beispiel zei^t, als unmerk-
lich bjotrachtet werden kann. Was aber die Dauer der (un-
endlich kleinen) Schwingungen anbelangt» so kann aus den
dynamischen Frincipien leicht geschlossen werden, dass diese

im [191 Yerhältniss der Einheit zu 1/ — ^ - - durch die Tor-

sion Termindert wird. Eigentlich bezieht sich dies auf den

Fall, wo f> =ss 0 ist. Die Formein würden aber allgemein

. . TM cos ^ , ^ .

gelten, wenn wir g = 7i setzen wurden, wobei wir

durch den Werth von u bezeichnen, der dem Gleichge-
wicht entspricht: aber der Unterschied wird sicherlich un-
merklich sein.

Der Coefficicnt G hängt wesentlicli von der Länge, der
Dicke und dem ^?ioff des Fadens ab, ausserdoTn bei Metall-
fäden etwas von der Temperatur, bei Seidetifädeii von der
Feuchtigkeit der Luft: dagegen scheint er bei jeuen
leicht auch bei diesen, wenn sie cinfarh sind) durchaus
nicht von dem Üewiclit abzuhängen, womit s'ie belastet w^er-
den. Anders verhält sich aber die Sache bei mehrfachen
Seidenfäden, wie man sie zum Tragen von schwereren Nadeln
anwenden muss: bei diesen wächst & mit dem angehängten
Gewichte, jedoch bleibt es weit kloinrr als der Werth von
0 für einen Metallfaden von ebenderselben Länge und Trag-
kraft. So ist z. B. durch eine ganz ähnliche Methode wie
die im vorhergehenden Artikel entwickelte (aber bei einem
anderen Faden und einer anderen Nadel) der Werth von
n= 597,4 gefunden worden, während der Faden eine Nadel
mit der gewöhnlichen Znrflstnng allein trug, wo das gesammte
Gewicht 496^2 g war; dagegen ^424,8, als das Gewicht bis
zu 710»8 g vermehrt worden war, oder es war im ersten Falle
Q = 0,0016740 TM, im zweiten Falle 0 = 0,0023542 TM.
Der Faden, dessen Länge 800 mm betr&gt, ist aus 32 ein-

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ijA^r tz2jstm §*> re»>Tvi*4: äb»!, »i*** sli* äi»e gleiche
S^«am3«a^ tii^A^^ rrbri^^a* Ifj wikr^ebiialidi, dass der
WcTth T^a ^ *ü ^ii«5^as oc'fti^iai^rB Tktll eim^n dem
GeiricLtrr prop^jiiioitalta Tteile bes^i. »d Cüä der con-
nuite TLcfl ^leicii vird der SoEiSfe der Wexili^ rm. €ß fftr
dii^ einxebien einÜKLeB Fäd». Bei dieser HTpc<bw die
ioek Versitdbe kis jcszs moch nk^ hniÜBgfick ie^rtndet
ist, wzri eonst^DtcT Wenk fibr dj^ a^gcM^me Bci^iel
= 0,0'»löl2 TM gefiiflirn nd d^er ils Wenh tm
^ fSr eines tlBizthem ¥uitm = •>.'>0i>«j'>5t'i ZJL Unter
Zohflff ihf de» b^d zn «wkelBdcB Wotkes t«« TJtf
wird au dieter 20* ^iK^thm kfccfcset. da» die Rick-
wftkamg caes enäaeVeft FndcB». der «m Bega gieick
den Ba&s (57^ IS' scdidtt itf . dv Sckrae ciM Mail-
gnmmM gleiekkont^ wdckcs mm{ enea HcMani yim da-
Ldage TOB mmgMka * mm drtekt.

10. *

Wen der ec h w ia geade K0iper eae em£Mke Sadd von
legelaiaiger Gestalt «ad hoaMgeaer Xaaae ist, so kan das
TiiglieitBBMMBt JT dank bekaaate MeAodea kexecka^ ver-
dea* Weaa x. B. der KOrper eia re^traU^es Parallel-
^ipedoa ist^ dessea Seitea a, 5, e, dcaaea DitStigkeit = d
aad dessea Masse q dakcr = abed ist. so wird das Tri^-
kettSBMnaeat ia Besag aof eiae darek dea Mittelpaakt gekeade
aad der Seite c paiallele Axe = aa -r- bb]q aeia: und
da kei Ma^etnadela Yoa soldier Gestalt die Seite . welcher
die Ma^etaxe parallel ist. Dämlich a, weit grösser an Länge
zu stiü püt^i ala 3o wird für rohere Ver^uoi.e ausser-
dem genügen, K=-^>A<d'i zu setzen. ALcr Lei feineren
Ver!?üchen würden wir auch ^i;iDn. wenn eine einfache Nadel
zur Anwenden^ kommt, kaum dits bequeme Annahme einer
voUkomrrjen Lomoeenen Ma^se und einer vollkommen retrc-l-
mfef^fen Geatali zulassen dürfen, und lür unsere Versuche,
wo nicht eine einlache Nadel, sondern eine mit verwickel-
terer ZurtUtiuig verbundene Nadel schwingt, i^t es iiberhjiapt

Genau geDMiuraen sind diese Fäden nieht wirklich einfach,
em nur solebe, welehe ron den Kanflentea als tmgesponnene
nft werden.

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Die Intensität der erdmagnetischen Kraft. 23

unmöglich, die Sache durch eine solche KechnuiiH* zu ermit-
teln, und es war vielmehr ein audtiies Verfahren zur genauen
Bestimmung des Momentes K aufzusuchen.

Mit der Nadel wurde ein hölzerner Querstab verbunden,
an welchem zwei gleiche Gewichte hingen , die vermittelst
sehr feiner Spitzen auf die Punkte A und B des Stabes
drtickten: diese Punkte befanden sich auf einer horizfii!!;iien
Geraden, in derselben Verticalebene wie die Aufhängungsaxe
und waren von dieser beiderseits gleichweit entfernt. Be-
zeichnet man die Masse eines jeden der beiden Gewichte
durch p und die Entfernung A B durch 2 r . so wird durch
Hinzukommen dieses Apparates das Moment K um die Grösse
C + 2prr vermehrt werden, wo C die Summe des Moments
des Stabes in Bezug auf die Aafhängnngsaxe und der Mo-
mente der Gewichte in Bezug auf die verticalen durch die
Spitzen und die Schwerpunkte gehenden Axen ist. Wenn
dalier die Schwingungen der unbelasteten und in zwei ver-
schiedenen Entfernungen belasteten Nadel, nämlich fUr
r = r' und r = r", beobachtet und die Schwingungsdauern
(nachdem sie auf unendlich kleine Amplitnden zurttekgeffihrt
und von der Wirkung der Torsion befreit sind) bzw. z=s f
gefunden worden sind, so werden sich aus der Verbindung
der Gleichungen:

[21] T3Iit =7C7tK

TMt' t' == >t jC ( 7t ^- O 4- 2 /) r r)
TMf t" = ;t jc [K 4- C + 2 r" r")

die drei Unbekannten T K und C bestimmen lassen. Eine
noch grössere Genauigkeit werden wir erreichen, wenn wir
fttr mehrere Werthe von r, nämlich r = r', r", r"' u. s. w.,
die zugehörigen Schwingungsdauern t\ t'\ f u. s. w. beob-
achten und nach der Methode der kleinsten Quadrate die
zwei Unbekannten x und y so bestimmen, dass möglichst
genan den Gleichungen genligt wird:

r r + y

' 11/ m T

r r -\r 1/

X u. s. w.

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Carl Friedrieh Gaues.

Daduvcli werden wir Dämlich erhalten;

TM = lititpx

Bezüglich dieser Methode ist das Folgende zu bemerken :

I. Wenn eine nicht allziiglatte Nadel angewandt wird,
reicht es hin . den IJolzstab einlach auf dieselbe aufzulegen.
Wenn aber die Oberfläche sehr glatt ist, so dass die Ueibun
ein Gleiten des Stabes nicht bindern kann, ist es noth wen-
dig, damit der ganze Apparat wie ein einziger fester Körper
sich bewege , den Stab mit dem übrigen Apparat fester zu
verbinden. In beiden Fällen ist aber dafür Sorge zu traeen,
dass die Punkte A und B hinreichend genau in einer kuri-
zontalen Geraden sich briinden.

II. Da die Gesammtheit solcher Versiu'lie einige Stunden
erfordert, darf die A^eränderlichkeit des Krdniagnetis^mus in-
nerhalb dieses Zeitraums, wenigstens wenn die grösste Ge-
nauigkeit gewünscht wird, nicht vernachlässigt werden. Bevor
daher die Elinunation Torgenommen wird, ma&s man die beob-
achteten Zeiten auf einen constanten Werth von T, z.B. auf
den mittleren Werth znrückführen , welcher dem ersten Ver-
suche entspricht. Za diesem Zwecke sind gleichzeitige Beob-
achtungen an einer anderen Nadel (ebenso wie im Artikel 8}
nothwendig; wenn diese als Dauer einer Schwingung ftir
die mittleren Zeiten der einzelnen Yersache bzw. ergeben
haben = u\ u*\ ti" [22] n. s. w., so sind zur Berechnnng
anstatt der beobachteten Werthe t\ i\ f n. s. w. bzw.

ut* uf uf
folgende anzuwenden; — n ^-r> — m- s. w.

nun

III. Eine ähnliclie Bemerkung ^ilt bezüglich der Ver-
äuderliclikcit von J/, die von der Veränderung der Tempe-
ratur, wenn diese wälinuid der Verjiucbe ötattgetuiidcn, lier-
rührt. Aber es ist klar, dass die soeben besclniebene
Zurückfiibrung schon an und für sich diese Verliesserung eiii-
schliesst. wenn jede der beiden Nadeln der .uleieJiuü Tempe-
ratnriinderuug unterworfen gewesen ist, und auf gleiche Weise
von in er solcben Aeuderunic beeinflusst wird.

IV. Wenn es sich nur um die Ermittelung- des Wertlips
von TM handelt, ist offenbar der erste Versuch iiberdiij^si^-.
Jedoch wird es nützlich sein, den mit einer belasteten Nadel
angestellten Versuchen einen anderen mit einer unbelasteten
Nadel anzoschliessen, damit zugleich der Werth von K daraus

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Die Intensität der erd magnetischen Kraft 25

hervorgehe, so dass dieser Versucben zu Grunde gelegt wer-
den kann, die zu einer anderen Zeit mit derf^elbeu Nadel
angestellt werden, da offenbar dieser Werth unveränderlich
bleibt, auch wenn T nnd M im Laufe der Zeit eine Verän-
deruDg erleiden.

11.

Zur besseren Erläuterung dieser Methode fügen wir aus
der grossen Menge der Anwendungen ein Beispiel hier an.
Die am 11. September 1832 angestellten Versuche haben fol-
gende Tabelle ergeben;

Versuche

Gleichzeitige Schwingungen
der ersten Nadel | der zweiten Nadel

Belastung

eine Schwingung

r = 180»m

24,63956"

17,32191"

ras 130

20,77576

17.32051

ITI

r = 80

17,66798

17,3165a

r= 30

15,80310

17.30529

ohne Belastung

15.22990

17,31107

Die Zeiten sind an einer Uhr beobachtet worden, welche
tftglich 14,24'^ mittlere Zeit znrttclcblieb, jedes der beiden
Gewichte betmg 103,2572 g; die Entfernungen r in mm
sind mit milcroskopiseher Genauigkeit bestimmt worden; [23]
die Dauer einer Schwingung, die zum mindesten aus 100
Schwingungen (bei dem fünften Versuche sogar aus G77 fttr
die erste Nadel; eiOiilU-li wurden, hat bereits die Zurück-
luliiung auf unendlich kleine Bogen erhalten: übrigens sind
diese Zurückführungeu wegen der sehr kleinen Amplitude der
Schwingungen*), die mau an unseren Apparaten unbescliadet
der grössten Gennuiirkeit anwenden kann, unmerklich. Wir
wollen diese Schwiugungazeiten zurückffihren , zuerst auf den
•mittleren Werth von TM^ der während des fünften Versuchs
stattgefunden hat, unter Anwendung' der Vorschriften des
voransteli'^nden Artikels Nr. II; dann auf die Werthe, welche
ohne Torsion sich ergeben hätten , durch Multiplication mit

*) So ist die Amplitude der Schwingungen beim ersten Ver-
suche aulaugs 0" 37' 26", am Schiusa 0** 28' 34" gewesen; beim fünf-
ten Versuch anfangs no' 21", nach 177 Schwingungen 0*» 45' 35",
nach 677 Schwingungen 0''6'44^

Digitizeci by^oo^lc

Carl Friedrioii Gauss.

, wo n bei den yier ersten Versuchen = 424,$.

hiüm t'Uoften Veri»uch =: 597,4 ist (vergl. Art. 9) ; endUc!:

ttui tiio mittlüi'ü ÖouiiüiizüiL durch Multiuiication mit ■

^ 86 385,76

hierdttrch erhalten wir:

i 21 ,(;r>7 1 7" = t' für r' = 180™"

II 20,7'.)22S " = /" fnr = 130"""

III 17,(>StU0" = r für r" = 80"""

IV l f), 82l)r>8" = t"" für r"" = 30'""

Y 15,24515" ^ t für die unbelastete Nadel.

Wenn wir für die Einheiten der Zeit, der Entfern img und
clor MasHti dio öociindo, das Millimeter uud das Miili^riinim
umicliiiicn , so dass /> = 103 2.') 7, 2 ist, leiten wir aus der
Vurbindunj^ des ersten VorsucLd mit dem vierten ab:

rJI/= 179 641 070; ^^4- (7 = 4 374 976 ODO

und dann aus dem fünften Versuclie

if= 4 230 282 000 und ebenso 6'= 144 694 000.

Wenn man aber alle Yersnohe znr Berechnung heran-
ifiiehen will, so wird die Methode der kleinsten Quadrate am

bequemsten auf folgende Weise angewandt. Wir gehen von
den Näherungswerthen der Unbekannten x und y aus, die
aus der Vorhindun^- des ersten und vierten Versuchs kervor-
j^ehen , und indem wir die noch hinzuzufügenden Verbesse-
gcii durch ^ und bezeichnen, setzen wir:

[24] 88,13640 + g

y = 21184,85 + iy.

Hierdurch ergeben sich als berechnete Werthe der Zeiten f,
fj f\ i*** durch belcannte Methoden :

t' = 24,05717 — 0,l3Db8 J + 0,00023008
i' = 20,78731 — 0,11793 ^ -\- 0,00027291 i]
f* = 17,69121 — 0,10036 + 0,00032067 j]
f" = 15.82958 — 0,08980 | + 0,00035838

deren Vergleichung mit den beobachteten Werthen, nach der

Methode der kleinsten Quadrate behandelt, die Resultate
liefert:

I = _ 0,03230; -= — 12,38
a: == 88,10416; y = 21172,47.

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Die Intensität der erdmagnetischen Kraft. 27

mieraus ^elit endlich hervor

TM= 179 575 250, K+ (7= 4372 119000,
und d&nn mit Hinzuziehung des ersten Versuchs :
jr= 4228732400, 0= 143 686600.
Ich lasse noch eine Yergleichnng der Zeiten, die ans den
verbesserten Werthen der OrOssen x, y berechnet sind, mit
den beobachteten folgen.

Yersnehe

Berechnete Zeit

Beobachtete Zeit

Unterschied

24,65884"

24,65717"

+ 0,00167"

20.75774

20,79228

— 0,00454

III

17,Ü9046

17,68610

+ 0,00436

15,82805

15,82958

— 0,00153

Die Länge des einfachen Secundenpeudels in Göttingen
setzen wir = 001. 12G mm, dalier Tvird die Schwere, durch
diejenige Einheit der beschleuniminlcTi Kräfte gemessen, wel-
che den vorangehenden Berechnungen zu Grunde liegt.
= 9811,03; wenn wir daher lieber die Schwerkraft selbst
als Einheit nehmen wollen^ so wird TM= 18302,29: diese
Zahl drückt die Menge von Milligrammen aus, deren Druck
nnter dem Einflnss der Schwerkraft auf einen Hebel von der
Länge eines Millimeters der Kraft gleichkommt, mit welcher
der Erdmagnetismus jene Nadel nm die verticale Axe zu
drehen sncht.

[25] 12.

Nachdem vir die Bestimmung des Productes der hori-
zontalen Componente T der erdmagnetischen Kraft in das
magnetische Moment itf der gegebenen Nadel erledigt haben,
gehen wir zum zweiten Theil der üntersnchnng Aber, näm^

lieh zur Bestimmung des Quotienten Hiezu werden wir

gelangen ilurch Vergleichuug der Wirkung dieser Nadel auf
eine audere oN'iidel mit der Wirkung des Erdmagnetismus auf
ebeüdieselbe, und zwar wird diese , wie bereits in der Ein-
leitung auseinandergesetzt worden ist, entweder im Zustande
der Bewe;[,niug oder im Zustande des Gleicligewichts beobachtet
werden ; jede der tuMdMii Methoden haben wir häutig ver-
sucht: aber da die letztere aus mehreren Gründen der ersteren

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Carl Friedrieh Gehm.

weit vorzuziehen ist, so werden wir an dieser Stelle die Unter-
sUcliuiiiT auf jene beschränken, zumal da die erstere aiü ähn-
liche Weise und ohne Schwierigkeit beitaudelt werden kauu.

13.

Die Bedingungen des Gleichgewichts eines beweglichen
Ki^rpers, auf den beliebige Kräfte wirken, können durch da»
Princip der yirtneUen Yerrttcknngen leicht in eine einzige
Formel zusammengezogen werden : es mnss nämlich die
•Somme der Prodncte einer jeden Kraft multiplicirt in die
Projection einer unendlich kleinen Verrfif^^xung ihres An-
griffspunktes auf die Kraftrichtiing so beschaffen sein, dass
sie für keine virtuelle, d. h* mit den Bedingungen verträg-
liehe Bewegung einen positiven Werth erlangen kann, so
dass» wenn die virtttellen Bewegungen sftmmttieh nach ent-
gegengesetzten Bichtungen möglich sind, jenes Aggregat,
welches wir mit dQ bezeichnen wollen, ftlr jede vittaelle
Bewegung =s 0 ist.

Der bewegliche Körper, den wir hier betrachten, ist die
Magnetnadel, die in einem Punkt G an einem drehbaren,
oben festen Faden angeknüpft ist. Dieser Faden hindert nur,
dass die Entfernung des Punktes G von dem festen Ende des
Fadens grösser werden kann als die Länge des Fadens, so
dass aiicli hier wie in dem Falle eines vollkommen freien
Körpers die Lage des Körpers im lüiuiiie von sechs Verän-
derlichen und ferner das Gleichgewicht desselben von sechs
Bedingungen abhängt. Da aber hier die Lösung des Problems

nur zur Bestimmung des Bruches dienen soll, reicht die

Betrachtung derjenigen virtuellen Bewegung hin , welche in
der Drehung um die verticale, durch G [26] hindurchgehende
Axe besteht, und offenbar wird man eine solche Axe als fest
und nur den Winkel zwischen der verticalen Ebene, worin
die magnetische Axe sich belindet , und der magnetischen
Meridianebene als veränderlich betrachten können. Diesen
Winkel wollen wir auf der nördlichen Seite des Meridians
nach Osten zählen und durch u bezeichnen.

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Die IntensitUt der erdmagnetiBohen Kraft. 29

14.

Wir wollen uns das Volumen der beweglichen Magnet-
nadel in unendlich kleine Elemente getheilt denken, und es
mögen die Ooordinaten eines beliebigen Elements y, z,
sowie e das in demselben enthaltene Element des freien Mag-
netismus sein. Den Anfang der Ooordinaten legen wir in den
willkürlichen, innerhalb der Nadel liegenden Pankt h anf
der verticalen» dnreh G Üindorchgehenden Geraden ; die Axen
der Ooordinaten x nnd y sollen horizontal sein, jene in dem
magnetischen Meridian naeh Norden, diese naoh Osten gerich-
tet, die Goordinate z zfthlen wir nach oben. Dann bringt
die Wirkung des Erdmagnetismus auf das Element e den
Theil Tedx von dQ herror.

Anf fthnliehe Weise werde das Volumen der zweiten festen
Nadel in unendlich kleine Elemente getheilt nnd es mögen
irgend einem Element die Ooordinaten X, Y, Z, und die
Menge E des freien Magnetismus cutsprechen ; endlich sei

=yf X — xf + {Y— -j- — z)'\ Unter dieser Fest-
setzung liefert die Wirkung des Elements M auf das Element

e de» Beitrag zu der Summe rfß, wenn sie der Po-

tenz der Entfernung r umgekehrt proportional angenom-
men wird. Bezeichnet man doroh N den Werth von
welcher dem ungedrillten Zustande des Fadens entspricht, so
wird das Moment der Torsionskraft des Fadens dureh G(N — t^)
ausgedrtlekt werden können: diese Kraft kann so aufgefasst
werden, als wenn 'auf jedes Ende eines durch G gelegten
horizontalen Durchmessers des Fadens die Tangentialkraft

= — TT — - wirkte, wobei D diesen Durchmesser bezeichnet,

nnd man ersieht daraus leicht, dass hiervon als Theil der
Sumiijo d£l hervorgeht: ß(N — u)du.

Die Schwere der Theiickcn der !Nadel trägt offenbar zur
Summe dQ nichts bei, da w allein veränderlich ist: deswegen
haben wir die Gleichung:

dn = :^Tedx + 2^^^+ e{N^u)du,

\27] wobei die Sumraation in dem ersten Gliede sich auf alle
Elemente e, im zweiten auf alle Verbindungen der einzelnen e

Oigitized

Carl Friedrich Oauss«

mit den einzelnen is' bezieht. Es ist daher klar, dass die
Bedingung des stabilen GleichgewicLts darin bestebt, dass

ein Maxinmm werde.

15.

Unserem Zweck entspricht es, die Versuche immer so
einzurichten, dass die Magnetaxe einer jeden der beiden
Nadeln horizontal ist und daas beide Nadeln sich ungefähr
in derselben Höhe befinden: wir wollen daher die weiteren
Bechnnngen auf diese Voraussetaungen beachränken.

Wir wollen die Ooordinaten der Punkte der ersten Nadel
auf feste Axen in dieser beziehen, welche sich auch noch im
Punkte h schneiden, und zwar liege die erste Aze in der
ßichtuDg der magnetischen Aze, die zweite horizontal nnd
zur Rechten der ersten, die dritte vertical nnd nach oben ge-
richtet; die Ooordinaten des Elements e in Bezag auf diese
Azen seien a, c. Ebenso seien Ay B, C die Ooordinaten
des Elements JB in Bezug auf ähnliche feste Axen in der
zweiten Nadel, die sich in einem Punkte H dieser Nadel
schneiden: diesen Punkt wählen wir nahe bei der Mitte der
Nadel und in derselben Höhe mit dem Punkte h.

Die Lage des Punktes II würde zwar am bequemsten
durch die Entfernuno: vi an Punkte k und die lüchtuag der
sie verbindenden Geraden bestimmt , wenn es sich nur una
einen Versuch handelte: da aber für unsern Zweck immer
mehrere Versuche erforderlich sind^ die sich auf verschiedene
Lagen des Punktes II beziehen, welche zwar sämmtlich in
derselben Geraden , jedoch nicht nothwendig in einer durch
den Punkt k gehenden Geraden lie^^en, so ist es besser, die
Zeichen gleicli von Anfang an so eiiizii richten, dass das System
dt^artiger Versuche von p'mev einzigen TTnhoknunfen abhängt.
Wir wollen daher den Punkt JI auf ein^ n willkürlichen Punkt
h' in derselben Horizontalebene beziehen , der nahe bei h
liegt und dessen Ooordinaten a, ß, 0 seien, und wollen die
Entfernung h' H =^ M und den Winkel der Geraden hf H
mit dem magnetischen Meridian = xp setzen. Wenn wir nun
noch den Winkel der magnetischen Axe der zweiten Nadel
mit dem magnetischen Meridian durch U bezeichnen, so wer-
den wir haben:

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Die iDteneität der erdmagnetischon Krait. 31

J8] X — a cos u — 5 sin w

y = aim.u h cos u
z = c

X s= « + Ä cos 1/; + -4 cos U — B sin U
y = + Bin V/ + -4 sin i7 + cos V

So ist alles zur Entwickelang der Summe Si und des
Bruches der fflr die Gieichgewiciitelage verschwinden

mnss, vorbereitet.

16.

Zunächst wird 2Tex = T xmu^ae T mu^be
= m T cos Uy wenn wir das Moment des freien Magnetismus
der ersten Nadel 2ae durch m bezeichnen, da ja 2be ^ 0

ist: der Tbeil von , der ans dem ersten Gliede von

(tu

hervorgellt, wird sein = — m.T sin w.
Wenn man der Kürze wegen setzt:

k = a \}) + ß + A {ip—U)+B sin [tp — U)

— a cos — u) — b sin {np — u)

l = [a &in ip — ß Gos ijj A am [ijj — U) — B cos [ip — 6 )
— a sin {ip — n) — b cos [ip — w]]^ + (C — c)'^,

so wird rr = (Ä + ä)2 -J- / sein.

Da bei verwerthbaren Versuchen B viel grosser sein

mnss, als die Dimensionen jeder der beiden Nadeln, so lässt

sich die Grösse -p^^ in die schnell convergente Beihe ent-
wickeln :

— ü («^ — n)k^ — i Inn — l) */) jR-(«+ 2) _|_ u.

deren Gesetz, wenn es der Mühe werth wäre, leicht ange-
geben werden könnte. Die einzelnen Glieder der Summe
eE

2 weiche nach Einsetzung der Werthe der Grössen k und

/ hervorgeheu, weiden einen Factor enthalten von der Form:

2€£la^bf*c''A^'Bf''C^;

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32 Carl Friedrich Gansi.

[29] derselbe ist dem Prodncte aus den Factoren ^ea^hf^'^c^'
und SEA^'Bf^'C^' gleich, die von dem luagnetischen Zustande
der ersten und zweiten Nadel bezüglich abhängen. Was wir
mit Rüclisicht hierauf festsetzen dürfen, beacliräakt sich auf
die Gleichungen:

2e = 0, 2ea = m, 2eb = 0, 2ec = 0,

wo wir durch M das magnetische Moment des freien Mag-
netismus der zweiten Nadel bezeichnen. In dem besonderen
Falle, dass die Gestalt der ersteren Nadel (der beweglicheD)
nnd der Vcrtheilung des Magnetismus in der Lfingsiichtnng
symmetrisch ist, so dass sich immer zwei Elemente entspre-
chen, für welche a und e entgegengesetzte Werthe, b nnd e
gleiche haben, wird, sobald der Mittelpunkt mit dem Punkte
h zusammenfällt, immer Sea^bf^c^ t= 0 für einen geraden
Werth der Zahl l fi + v sein , und ähnliches gilt von
der zweiten Nadel, wenn die Gestalt nnd die Vertheilung des
Magnetismus in Beziehung auf den Punkt H symmetrisch ist.

Im Allgemeinen werden daher in der Summe ^ ■ - die

Coefficicnten der Potenzen J?— und verschwinden;
in dem besonderen Falle, wo jede der beiden Nadeln sym-
metrisch gestaltet und symmetrisch magiietisirt ist, sowie
gleichzeitig der Mittelpunkt der ersteren, h und Ji , zusam-
menfallen und ebenso der Mittelpunkt der letzteren und II
werden auch die Coefficienten der Potenzen in+i) (h + 4)
7j>-(n + o) ^ g ^ verschwinden; so oft jene Bedingungen
sehr annähernd stattfinden, müssen sie wenigstens sehr klein
werden. Das Hauptglied, weiches aus der Entwickelung des

zweiten Theils von ß, nämlich von — S -^-5 — her-

(/* — 1 j r *** ')

vorgeht, wird sein:

= m MR-^" + Ii (»cos - £0 cos (i//-m) - si n ( (/; - t/J sin {tfß-'u) ) .

Hieraus folgt, dass der Theil von welcher der Ein-
wirkung der zweiten Nadel entspricht, durch folgende Reihe
gedrttekt werden kann :

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Die InteDsltät der erdmagnetischen Kraft. 33

^orin die Coeffieienten rationale Functionen der Cosinns nnd
Sinus der Winkel tp, ü nnd der GrOasen a, ß sind nnd
O.'berdies constante Grössen enthalten, die von dem magneti-
sclien Zustande der Nadeln abhäuten; nnd zwar wird sein:

mM{n cos {ip — ü) sin {tp — u) + sin (<// — ü) cos (ip — «)).

Die ToUst&ndige Entwickelnng der folgenden Coeffieienten

y f ^ ^- ^* unseren Zweck nicht nöthig ; es ge-

nügt, zu bemerken, dass

[30] 1) im Falle der vollkommenen Symmetrie die soeben
^angedeuteten Coeffieienten/*', f"' u. s. w. verschwinden;

2) wenn die übrigen Grössen unverändert bleiben und
1^ um zwei Kechte vermehrt wird (oder was dasselbe ist, wenn
die Entfernung II auf derselben, rtlckwärts verlängerten Ge-
raden auf der anderen Seite des Punktes Ii genommen wird) ,
die Coeffieienten /, f"" u. s. w. ihre Werthe beibehalten,
dagegen /"^ u. s. w. entgegengesetzte Werthe anneh-

men, oder dass die Keihe tibergeht in

dies wird leicht daraus geschlossen, dass durch jene Aen-
dernng von hm—k ftbergeht, / aber nicht geftndert wird.

17.*)

Die Bedingung^ dass die bewegliche Nadel durch das
Znsanunenwirken der Kräfte nicht nm die Terticale Axe ge-
dreht werde, wird daher in der folgenden Gleichung zusam-

mengefasst :

0 = — mTsin u + "(«-*- 2) 4,^"ii-(n+3)

+ U. S. W. 0 [lil j\ ).

Da leicht bewirkt werden kann, dass der Werth von iV, wenn
nicht = 0, doch wenigstens sehr klein ist, und auch u für
die Versnobe, um welche es sich hier handelt, innerhalb enger
Grenzen bleibt, so wird man für das Glied 0 (« — iV), ohne
einen merklichen Fehler befürchten zu müssen, 0 sin [u — iV)

einsetzen können, um so mehr, als ein sehr kleiner

m 1

Biucli ist. Es möge der Werth von u sein, der dem

Ostwald^tf Klassiker* ö3. 2t

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34 Carl Friedrieh Gauss.

Gleichgewicht, der ersten Nadel in Abwesenheit der zweiten
entspricht, oder es sei

m r sin M° + 0 sin (w^ — N] = 0;

hieraus folgt leicht

7/1 T ä'm u -\- 0 sin {u — N)

= {mT cos w° + G cos (w" — iVj) sin (w — u""),

wo man an die Stelle des ersten Factors nnbedenklich m T -f* ^
annehmen kann. So wird unsere Gleichung:

(mr+ 0) sin {ti — n"")

Wenn wir das Glied /*7?'-(" + ^) allein beibehalten , liegt die
Losung auf der Hand» wir haben nämlich

ig {u — =
m3/(/icos {ip—U) &m{tp-u'^i -{-sin cos (*//

wT+0+wiW(»co8(^-t/')cos(<^-w*^-sin(i^-6'}sin(</^-«^])i<;~(«+»^

wo wir im 2senuer den Theü, der den Factor i^— (**+^) enthält,
mit ebendemselben Kechle unierdrücken oder setzen können:

[31] %(«-«^ =

-^^j. (« cos ( V— U) sin ( V»— »°) + sin (V»— U)<m(tfi—u°) )Ä -(«+"

Wenn wir aber die weiteren Glieder berttcksichtigen wollen,
so ist klar, dass tff [u — t^] in eine Reihe folgender Gestalt
entwickelt werden kann:

worin, wie eine leichte Ueberlegnng lehrt, die Coefficienten
F, F\ F" u. s. w. bis zum Ooefiacienten der Potenz
einschliesslich bezttglioh ans

/ f r '

durch Aenderunjs: von w in entstehen ; vom folgenden Gliede

ab werden aber neue Tbeile liinzutreten, die wir jedoch für
unseren Zweck nieht genaner zn verfolgen braiielien. Uebri-
^ens kanu augeuscheinlich ii — w° in eine lleihe von einer

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Die Intensität der erdmagnetischen Kraft.

älmlicheD Form entwickelt werden , die bis 2ur Potenz M—i^*^-^^)
mit der Reihe für [ti — zusammenfällt

18.*)

Es ist nunmehr klar, dass, wenn die zweite Nadel in
verschiedenen Punkten derselben Geraden aufgestellt wird, so
dass ifj und U ihren Werth behalten, während R allein sich

iindert, und die Ablenkungen der beweglichen Nadel von der
OlL'ichgewichtslage, wobei die zweite Nadel entfernt ist. näm-
lich die Winkel u — beobachtet werden, hieraus die
Wevthe der Coefficieuten F, 1\ i^" u. s. w., so viele noch
bemerkbar sind, durch Elimination ermittelt werden können;
hierdurch werden wir die Gleichung erluUteu:

worin der Werth der Grösse 7=— auf die Art und Weise ge-

1 m

fnnden werden kann, welche wir im Artikel 8 gelehrt haben.
Aber fttr eine bequemere Ansfflhrung wird es von Nutzen
sein^ das Folgende zu beachten:

I. An Stelle der Vergleichung von u mit verdient es
den Vorzug, je zwei entgegengesetzte Ablenkungen mit ein-
ander zu vergleichen , durch Umkehr der Lage der zweiten
Kadel, so nämlich, dass M und yj unverändert bleiben und
der Winkel U um zwei Rechte vermehrt wird. Sind die
Werthe von welche diesen Stellungen entsprechen, durch
tt' und t/' bezeichnet, so mtlsste im Falle der voUkommenen
Symmetrie genau t/' =3 — u' sein , wenn zugleich t«^ =s 0
wäre. Aber es ist ttberflilssig, [82] diese Bedingungen ängst-
lich innezuhalten, da klar ist, dass u' und u" durch ähnliche
Reihen bestimmt werden, worin die ersten Glieder genau ent-
gegengesetzte Werthe haben , und ferner auch ^ [u' — u"] ,
ebenso tg^(w' — u") durch eine ähnliche Reihe, worin der
Coefficient des ersten Gliedes genau = F ist.

IT. Noch besser wird es sein, stets je vier Versuche zu
verbinden, nachdem auch der Wiuivel tf' um zwei Hechte ver-
ändert oder der Abstand 71 auf der anderen Seite genommen
worden ist. Wenn den beiden letzteren Versuchen die Werthe

S. Auin. 5, lächluss.

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Carl Friedrieh Gauss.

ti" und entsprechen, so wird «iieh die Differens — ^"')
doreh eine fthnliehe Reihe mnsgedrfickt werden, deren erstes
Glied ebenfalls einen Coeffidenten = F haben wird. Es ist
SU beaebten (was aas dem Yorbergebenden leicht gefolgert
wird), dsss, wenn n eine ungerade Zahl wSre, die Goefficien-
ten JF^, F^ n. s. w. bis ins ünendliebe in jeder Reihe
f9x vi — und fi" — genan gleich, nnd die Coeffieienten
F\ F"', F^ n. 8. w. bis ins Ünendliebe genan entgegen-
gesetzt sein wfirden, nnd ebenso fOr t/' — nnd ti'^ — tP,
90 dass in der Reihe flr i/ — -\'ff — tT' die abwech-
selnden Glieder verschwinden würden. Aber im Falle der
Wirklichkeit, wo w = 2, ist. um allgemein zu redeu , eine
solche Beziehung zwischen den Reihen für u' — ti*^ und
t^' — w'^ strenge nicht vorhanden , da schon für die Potenz
nicht genau entoregengesetzte Coeffieienten sich ergeben;
jedoch kann gezeigt vserden, dass auch für dieses Glied eine
vollständige Aufhebung in der Verbiudnne u — u" -\- n'" — u "'
eintritt, so dass tg^fw' — u" -f- — die Form liat :

LR-' -H l^M-^ + L'R-^' + u. s. w.
oder allgemeiner, wenn wir einstweilen den Werth von n
nocb unbestimmt lassen, die folgende Form:

XJ8-<»+*) + Ir'i2-(»* + 3>+ + n. s. w.,

worin Z = J? ist.

III. Es wird dienlich sein, die Winkel ip und U so zu
wählen, dass kleine Fehler, die beim Messen derselben be-
gan^.aMi worden sind , den Werth von F nicht merklich ver-
ändern. Zu diesem Zweck muss der Werth von U für einen
gegebenen W^ertli von so angenommen werden, dass F ein
Mazimom wird, es muss nämlicli:

ctg(^— CT) ^«tg (^ — t^)
sein. Dann wird

F^ ± Z"^ Bin [}p — i**^)^ + cos — u^j 2).

m 1 -\- yj

[38] Der Winkel \p ist aber so zu wählen, dass dieser Werth
von i^' entweder ein Maximum oder ein Minimum werde : Jenes
geschieht l'ttr \p — = ÜO" oder 270", in welchen F&Uen

± ist, dieses für — = 0 oder 180° wo

, fn3f , .
. Ä ±: — ist.

\ niT

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Die Intensität der erdmagnetisohen Kraft.

19.

EiS stehen daher zwei Methoden zur Yerffigung, die fflr
l\e Ansftthrung am meisten sieh eignen. Die Elemente der-
selben soll das folgende Schema zeigen.

Erste Methode.

Von der zweiten Nadel liegt sowohl der Mittelpunkt als
uiich die Axe in der zum magnetischen Meridian*) senkrech-
ten Geraden.

Ablenkung

Lage der Nadel

Mittelpunkt
nach

Nordpol
nach

w = u

Osten

» 90

U= 270

Osten

Westen

s 270

Westen

Osten

U = tl""

»270

Westen

Zweite Methode.

Von der zweiten Nadel liegt der Mittelpunkt im magne-
tisehen Meridian.

Ablenkung

Lage der Nadel

Mittelpuukt
nach

Nordpol
nach

SS 0"

U = 270"

Norden

Westen

II «= u"

= 0

U= 270

Norden

Osten

u = u'"

= 180

^7= 90

Sfiden

Westen

u ^ u""

= 180

bUdeu

Osten

[34] Wenn man dann | (w' — «" + — «"") = t> und
tg ü = 4- + r7t'-e»+5) + u. 8. w,

setzt, so wird für die erste Metbode

_ n?n M

fflr die zweite

m M

sein<

*) Genauer, zu der \'orticalebene, welcher dor Werth ti = t***
entspricht, d. h. in welciier die Magnetaxe sich im (Ücicligewicht
befindet, wenn die zweite Nadel nicht da ist. üebrigeus kann in
der Praxis die Differenz sowohl wegen der Kleinheit, als auch ge-
rudo wegen des Verhältnisses , wovon wir im vorhergehenden Ar-
tikel III ausgegangen sind, sieher vemtfohlässigt werden.

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Carl Friedrich Gauss.

20.

Aus der Theorie der £limiDation wird leicht geachlosseiiy
dass die Hecbnnng wegen der unTermeidtichen Beobachtangs-
fehler um so vogenaiier ist, je mehr Coeffieienten man dareh
die Elimination bestimmen mass. Deswegen Ist die im Ar-
tikel 18, II Torgesehriebene Methode sehr zu schätzen, weil
sie die Coeffieienten Ä-t^+^J» nnterdrttckt. Im

Falle der vollkommenen Symmetrie würden zwar diese Coef-
fieienten sehen von selbst heransfallen, aber es wäre zu un-
sicher, sich daranf za verlassen. Uebrigens würde eine kleine
Abweichang von der Symmetrie bei weitem von geringerem
Einfiass sein bei der ersten Methode, als bei der zweiten,
und wenn man bei jener wenigstens dafür sorgt, dass der
Punkt //, von dem aus die Entfernuugeu gemest^eu werden,
hinreichend genau in dem durcli den Punkt h gehenden mag-
netischen Meridian liegt, wird sich kaum ein merklicher Un-
terschied zwischen m' — u und d" — zeigen. Aber das
verhält sich anders hei der zweiten Methode, zumal wenn der
Apparat eine excentrische Aufhängung erfordert. Durch diese
Metliüde wird man, so oft der Raum keine liecdniolitungen
von beiden Seiten gestattet, immer eine weit geringere Ge-
nauigkeit erreichen. Ausserdem ist die erste Methode auch
deswegen besonders vorzuzielien , weil sie einen doppelt so
grossen Wertli von L ergiebt als die zweite, da im Falle der
Wirklichkeit w = 2 ist. Wenn man übrigens bei der zweiten
Art das von ^"(»* + ^) abhängende Glied im Falle der excen-
trischen Aufhängung so viel wie möglich fortschaffen will,
so ist der Punkt //' so zu wählen , dass der Mittelpunkt der
Nadel (für «= iP] in der Mitte zwischen h und h' liegt:
die Keclinnng jedoch, welche dies gelehrt hat, mnss ich der
Kürze halber hier nnterdrücken.

21.

Bei den vorstehenden Reehnnngen haben wir den Ex-
ponenten n unbestimmt gelassen: an den Tagen vom 24. — 28.
Juni 1832 haben wir swei Reihen von Tersnchen ausgeftthrt,
[35] unter Ausdehnung auf so grosse Entfernungen, als der
Raum gestattete, durch welche aufs Einleuchtendste sich zeigen
wird, welchen Werth die Natur fordert. Bei der ersten
Reihe wiurde die zweite Nadel (nach der ersten Methode des

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Die Intensität der ürdiiiaguctisclieu Kraft.

i Ikols 10^ auf einer senkrecht zu dem mao:iietiscLeu Me-
ciiiiu stellenden Geraden, bei der zweiten ileilie der Mittel-
vixikt der Nadel im Meridian selbst angebracht. Hier ist
itxe Uebei'sicht dieser Versuche, wobei die Entfernungen M
□i Theilen des Meters ausgedrückt und die Werthe des Win-
i&\s \{u' — u" + u'" — u") für die erste Reihe durch v,
'iX-r die zweite durch v' bezeichnet sind.

1,1'"

57'

24,8"

1.2

40,5

1.3

13'

51,2"

19,3
58,9

1.4

^,6

1.5

10,1

14.3

1.6

7,6

12,2

9,9

57,9

1,8

52,5

59,5

1.9

21,8

9,2

2.0

16,2

1,6

2,1

4,6

24,7

2,5

51,9

:?r..i

3,0

0,7

33,7

3,5

56,9

28,9

4,0

35,9

22,2

Diese Zahlen zeigen schon bei oberflächlichem Anblick,
dass ftlr grössere Werthe sowohl die Zahlen der zweiten Keihe
annähernd doppelt so gross sind als die Zahlen der dritten,
sowie auch dass die Zahlen einer jeden Beihe annähernd im
umgekehrten Verhältniss des Cubus der Entfernungen stehen,
so dass bezüglich der Bichtigkeit des Werthes n = 2 kein
Zweifel bleiben kann. Um dieses Gesetz noch mehr bei den
einzelnen Versuchen zu bestätigen, haben wir sämmtliche Zah-
len nach der Methode der kleinsten Quadrate behandelt,
wüiiiiis die folgenden Werthe der Coefficienten hervorgegan-
gen sind:

tg t? = 0,086870 E-^ — 0,002185

ig t?' == 0,043435 22-3 + 0,002449

[36] Kachstehende Uebersicht zeigt die Vergleichung der
nacb diesen Formeln berechneten Werthe mit den beobach-
teten.

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40 Carl Friedrich Gauss.

Berechnete Werthe. .

Unterschied

1<*

57' 22,0"

4- 2,8"

1,2

29 46,5

— 6,0

1,3 1

2°

50 4"

4- 0,8"

10 13,3

4- 6,0

1,4

24 1

4- 4,5

55 58,7

4-0,2

1,5

28,7

- 9,6

45 20,9

— 6,6

1.6

10,9

— 3,3

37 15,4

-3,2

1,7

14,9

- 5,0

30 59,1

-1,2

1,8

48,3

4- 4,2

26 2,9

-3,4

1,9

14,0

4- 7,8

22 6,6

4- 2,6

2,0

5,6

4- 10,6

18 55,7

4- 5,9

2,1

3,7

4- 0,9

16 19,8

4-4,9

2,5

2,1

— 10,2

9 38,6

-2,5

3,0

1,8

— 1.1

5 33,9

^0,2

3,5

57,1

— 0,2

3 29,8

— 1.0

4,0 i

39,6

- 3,7 il ü

2 20,5 1 -h 1,7

22.

Die vorstehendeii Versnobe sind hauptsächlich in der
Absicht unternommen worden, das Gesetz der magnetischeii
Wirkung gegen jeden Zweifel sicher zu stellen, ferner um zn
prüfen, wie viele Glieder der Reihe zu berflcksichtigen sind
und welche Genauigkeit die Versuche zulassen. Sie haben ge-
lehrt, dass, Venn wir die Entfernungen nicht kleiner neh-
men als das Vierfache der Länge der Nadeln, zwei Glieder
hinreichen*). Uebrlgens dttrfen die Unterschiede, welche die
Berechnung ergeben hat, keineswegs bloss fflr Beobachtttngs-
fehler [37] gehalten werden: denn mehrere Vorsichtsmaass-
regeln, von deren Anwendung man eine grössere Üeberein-
Stimmung erwarten darf, waren damals noch nicht vorbereitet.
Hierher sind die Verbesserungen wegen der stttndlichen Ver-
änderlichkeit der Intensität des Erdmagnetismus zu zählen,
auf welche man Rücksicht nehmen muss unter Anwendung
einer anderen Veigleichsnadel, micli der Methode, über welche
wir im Artikel 10, II gesprochen haben. Damit man jedoch
den Werth des Erdmagnetismus kennen lerne, soweit er sich

*) Die Länge der bei diesen Versuchen angewandten Nadeln
beträgt iingcfjihr 0.3 f"; wenn wir das Glied 72 — 7 bei der Rech-
mws; iu)r}i zu berücksichtigen versucht hätten, wäre die Geuauig-
' keit eher vermindert als vermehrt worden.

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Die Intensität dex^erdmagnetlBchon Kraft. 41

IS diesen Versuchen ableiten lässt, fügen wir eine Zusam-
eu&teiiuDg der übrigen hierher gehdiig^n Versuehe hinzu.

Der Werth des Bruches 7=— für die' er^de Nadel und

en Faden, an welchem sie hing, ist nach der intS4^^^

»eachriebeuen Metbode = ^ ermittelt worden. n;^.

251,96

Hieraus ergiebt sich daher:

Y= 0,0436074.

Dieser Zahl liegt das Meter als l.ängeneinheit zu Grunde.
Wenn wir als Einheit lieber das Millimeter nehmen , so ist
diese Zahl mit dem Cubus von 1000 zu multiplicireu; so dass

Y = 43607400.

Für die zweite Nadel ergab sich durch Versuche, die

um 2S. Juni angestellt wurden und denen glichen, die wir
für eine andere Nadel im Ai tikel 1 1 beschrieben haben,
während Millimeter, Milligramm und die Secunde der mitt-
leren Sonnenzeit als Einheiten genommen wurden,

TM= 135 457 900,

nnd hieraas, durch Elimination der Grösse jlf,

T= 1,7625.

23.

Wenn Versuche zn dem Zwecke angestellt werden, den
absoluten Werth T des Erdmagnetismus zu bestimmen» ist es
Yon grosser Bedeutung, dafür zu sorgen, dass die Gesammt-
heit dieser Versuche innerhalb nicht allzulanger Zeit erledigt
werde, damit keine merkliehe Aenderung des magnetischen
Zustandes der hierzu verwandten Nadeln zn befürchten ist.
Es wird sich daher empfehlen, bei der Heobachtung der Ab-
lenkungen der beweglichen Nadel das erste Verfahren [38]
des Artikel 20 allein anzuwenden, nachdem nur zwei ver-
schiedene Abstände passend ausgewählt sind, vorausgesetzt
dass zwei Glieder der Keihe hinreichen. Wir wählen aus
mehreren Anwendungen dieser Methode hier eine als Beispiel
aus and zwar diejenige^ auf weiche die peinlichste Sorgfalt

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Carl Friedrich Gauss*

verwandt worden ist, indem die Abstände mit mikroskupisclier
Genauijrkeit gemessen wurden.

Die Vf rsuciie sind am 18. September 1832 an zwei Ap-
paraten augcätellt worden, welche wir durch die Buchstaben
A und By und zwar mit drei Nadeln, die wir durch tlie
Zahlen 1, 2, ^ bezeichnen wollen. Die Nadeln 1 und 2 sitkI
dieselben, welche im Artikel 11 erste und zweite genannt
wurden. Die Versuche scheiden sich in zwei Abtheilungeo.

Zuerst wurden die gleichzeitigen Schwingungen der Na-
del l im Apparat A and der Nadel 2 im Apparat B beob>
achtet. Als Dauer einer Schwingnng, auf unendlich kleine
Amplituden zurflckgefuhrt, ging hervor

fUr die Nadel i . . 15,22450"
&tt die Nadel 2 . . 17,29995 ,
jene aus 305, diese ans 264 Schwingungen gefolgert.

Dann wurde die Nadel 3 im Apparat A aufgehängt, die
Nadel 1 aber in der senkrecht auf dem magnetischen Meri-
dian stehenden Geraden östlich wie auch westlich und beider-
seits ;uif doppelte Weise angebracht und die Ablenkung- der
Nadel o für die einzelnen Lagen der Nadel 1 beobachtet.
Diese Versuche, die in zwei verschiedenen Abständen R wie-
derholt wurden, ergaben die folgenden Werthe des Winkels
dessen Bedeutung die gleiche wie in den Artikeln 19 u. 21 ist:
ii* = 1,2"» V = 42' 10.1"

Ii' = 1,6 ü' = l 84 19,3.

Auch während dieser Versuche wurden die Schwingungen
der Nadel 2 im Apparat B beobachtet. Der mittleren Zeit
entspricht der aus 414 Schwingungen berechnete Werth der
Schwingungsdauer fflr unendlich kleine Bogen = 17,29484.

Die Zeiten wurden an einer ühr beobaclitet, deren täg-
liches Zurückbleiben 14,24" betrug. Wenn M und m die
Momente des freien Magnetismus für die Nadel 1 und 3 be-
zeichnen und Q die Torsionsconstante des Fadens jm Apparat
At während er die Nadel 1 oder 3 trug (das Gewicht der-
selben ist fast dasselbe), so haben wir :

[39] ^ 1

T3I'~ 597,4'

wie im Artikel 11

e 1

Tm ~~ 721,0 *
weil die Nadel 3 stärker magnetisch war als die Nadel 1.

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Die Intensität der erdmagiietificheD Kraft.

Das Trägheitsmoment der Nadel 1 war schon durch
frühere Versuche bekannt siehe Artiiiel 11], welche ergeben
hatten: 1228732400, wobei das Millimeter und das

Milligramm als Einheiten genommen sind.

Die Aendernng des Thermometers in beiden Sälen, wo
die Apparate aufgestellt sind, wiüirend der ganzen Versuchs-
zeit war so gering, dass es ttberflfissig ist, darauf Kückslcht
zu nehmen.

Wir wollen nunmehr zur Berechnung dieser Versuche
übergehen , um daraus die Intensität T des Erdmagnetismus
abzuleiten. Die Ungleichheit der Schwingungen der Nadel 2
deutet auf eine geringe Aendernng dieser Intensität: damit
daher von einem bestimmten Werthe die Rede sein kann,
werden wir die beobachtete Dauer der Schwingungen der ersten
Kadel auf den mittleren Zustand des Erdmagnetismus wälirend
des zweiten Theils der Beobachtungen zuiückführen. Eine
andere Zurückftihrnno; erfordert diese Dauer noch wegen des
Zuiilekblcibens der Uhr und eine dritte wegen der Torsion
des Fadens. Auf diese Weise geht als reducirto Dauer einer
Schwingung hervor:

= 15.22450 X ■ ^^'^ ■

' 17,2«)!)li5 bG3&5,76 ^ 597,4

= 15,23500" = t.
Hieraus ioigt der Werth des Productes

TM = = 1 79 770 600.

Der geringe Unterschied zwischen diesem Werth und dem-
jenigen, welchen wir oben Artikel 11 am 11. September ge-
funden haben, ist der Aenderung des Erdmagnetismus und
auch deijenigen des magnetischen Zustandes der Nadel zu-
zuschreiben.

Aus den beobachteten Ablenkungen erhalten wir:

M M' -RR 113056200,

wenn wir das Millimeter zur Eiuheit nehmen, und daraus

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Carl Friedrich Gauss.

Die Vergleicliung dieser Zahl mit dem Werthe von TM
erglebt endlich

als Werth der Intensität der horizoiitalcu crdmagiietioclieu
Kraii am iS. Süptember um 5 Uhr.

Die vorstehenden Versuche sind auf der Sternwarte ge-
macht worden, wobei der Platz fttr die Apparate derartig
ausgesucht worden war, dass Eisen von der Nachbarschaft
so Yiel wie möglich ferngehalten wurde . Nichts desto weniger
kann nicht bezweifelt werden, dass die Bisenmassen, welehe
in den Wänden, den Fenstern und Thüren des Gebäudes
reieUich zerstreut yorhanden sind, ja sogar aueh die eisernen
Bestandtheile der grosseren astronomischen Instrumente, in
denen durch die erdmagnetisohe Kraft Magnetismus erregt
wird, eine keineswegs unmerkliche Wirkung auf die aufge-
hängten Nadeln ausflben. Die daraus entstehenden Kräfte
ändern nicht nnr die Richtung, sondern auch die Intensität
des Erdmagnetismus um einen kleinen Betrag, und unsere
Versuche ergeben nicht den reinen Werth der Intensität des
Erdmagnetismus, sondern den für den Ort des Apparats A
modilichttiii Werth. Diese JModification muss, so lange die
Eisenmasseu un ihrem Orte bleiben und die Elemente des Erd-
magnetismus selbst (nämlich die Intensität und die Richtung)
sich nicht sehr erheblich ändern, merklich eonstant bleiben,
welche Grösse ihr aber zuk tiumt, ist zwar bis jetzt unbe-
kannt, jedoch mochte ich kaum glauben, dass dirsclbe tilMi
ein oder zwei Hunderttheile des Gesammtwerthes hinausgeht.
Uebrij2;ens dürfte es nicht schwierig sein, die Grösse wenig-
stens aniiiiliernd durch Versuche zu bestimmen, nämlich durch
Beobaclituüg der gleichzeitigen Schwingungen zweier Nadeln,
von denen die eine am gewöhnlichen lieobachtungsort , die
andere unterdessen in ziemlich grosser Entfernung von dem
Gebäude und anderen störenden Eisenmassen aufzuhängen sein
würde und welche dann ihre Plätze vertauschen mflssten.
Aber bis jetzt war es nicht möglich, diese Versuche auszu-
führen. Die sicherste Abhülfe aber dürfte ein besonderes
Gebäude schaffen, welches für magnetische Beobachtungen
bestimmt ist und in Folge königlicher Hold bald errichtet

1,782088

24.

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Die Intensität der erdmagnetischen Kraft. 45

werden wird , von dessen Bau das Eiücu überliaupt ausge-
schlossen weiden soll.

25.

Ausser den raitgetheilten Versuchen haben wir noch viele
iinderc ähnliclie ausgeführt, wenn auch früher mit geringerer
Sorgfalt. Es wird jedoch von Interesse sein , die Resultate
[41] hier in eine Tabelle zu bringen, wobei aber diejenigen
tibergangen werden, welche vor AufsteUung der feineren Ap-
parate durch andere, rohere Hülfsmittel an Nadeln von den
verscliiedensten Dimensionen sich ergeben haben, obgleich alle
wenigstens eint' Annäherung an die Wirklichkeit gewährt
Laben. Durch wiederholte Versuche haben sich nach einan-
der folgende Werthe von T ergeben:

Zahl

Zeit 1832

Mai 21

1,7820

Mai 24

1,7694

III

Juni 4

1,7713

Juni 24—28

1,7625

Jnli 23, 24

1,7826

Juli 25, 26

1,7845

VIT

September 9

1,7764

VlU

Sei)tem1icr Ib

1,7821

September 27

1,7965
1,7860

October 15

Die Versuche V — IX sind sämmtlich an demselben Orte
angestellt worden, dagegen I — IV ;m verscliiedenen Orten;
der Versuch X ist eigentlich ein geiuibchler, da die Ablen-
kungen zwar am gewöhnlichen Ort beobachtet worden sind,
die Schwingungen dagegen an einem anderen. Auf die Ver-
suche VIT und VIII ist eine fast gleiche Sorgfalt verwandt
worden, tiaLi tren auf die Versuche IV, V, VI und X eine
etwas geringere, und auf die Versuche I — III eine bei weitem
geringere. Bei den Versuchen 1 — VIII sind zwar verschie-
dene Nadein angewandt worden , doch hatten dieselben das-
selbe Gewicht und dieselbe Länge (das Gewicht war zwischen
400 g und 440 g): dagegen diente für den Versuch X eine
Nadel, deren Gewicht 1062 g und deren Länge 4 85 mm be-
trug. Der Versuch IX ist nur unternommen worden, um zu
aeben, welehen Grad der Genauigkeit man durch eine sehr

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4»

Carl Friedrich Ganss.

ISuiiel erreichen kann. Da6 (lewicht der angewiiniii':
Njid<»l hi^tnijr nur 58 «r. Ubiiiirens war aht-r die Sorgfalt nie:

kein Zwriivt. das?* die Feiuiicit der Beobaebtungeu aicrkli J
vornielut werden wird, wenn noch schwerere Nadeln ben^r'
werden, //. Ü. solche, deren Gewicht bis zu. 2000 Mi<
3000 g steigt.

Wenn die InteositAt T der erdmagnetischen Kraft dum
eine Zahl A; ansgedrflckt wird, so liegt dieser eine gewiiH
ICinheit T sn Grande, nAmlich eine mit jener gleiclurtt;
Kraft, deren Zosammenhang mit den anderen nnmiftelbar gt-
gebenen Einheiten im Vorhergehenden zwar enthalten ist
Jedoch in einer etwas verwickelteren Weise: es wird dabcr
der Mfihe werth sein» diesen Zusammenhang hier von neiie&l
vorzufdbren, um mit elementarer Klarheit zn zeij^en, welclr
Aenderung die Zahl /c erleidet , wenn wir auötatt von
GrniHleiuheiten von anderen ausgehen.

Zur Festsetzung der Jliuheit V muss man von dt:
Kinheit de« freien Magnet Isiniis 31*) und der AhstandisciuLc:
/*' ausgehen , und wir setzen V gleich der von 31 in deß.
Abötnnde J\* nw^'^viihtiu Kraft.

Als Einlieil .1/ haben wir diejenige Menge der magur
tischen FlUsäigkcit angenommen, welche auf eine gleich grosse,
in dem Abstände Ii befindliche Menge 3£ eine bewegende
Kraft (oder wenn man lieber will, einen Druck) hervorbringt,
welche gleich derjenigen ir ist, die als Kinheit gilt, d.h.
gleich der Kraft, welche die als Binheit angenommene be-
schleunigende Kraft A auf die als Einheit angenommene
Masse P ausflbt.

Zur Festsetzung der Einheit A steht ein doppelter W^
offen: A kann nämlich entweder von einer Ähnlichen unmit-
telbar gegebenen Kraft entlehnt werden, z. B. von der Schwer-
kraft am Beobaclitungsorte, oder von der Wirkung von
welche sich in der Bewegung von Körpern äussert. Bei JiT
letzteren Art, der wir hei unseren IJereclmuugeu gefolgt sind,
sind zwei neue Einheiten erforderlich, nämlich die Zeiteinheit

*j Es wird wohl kaum nOthIg sein, daran zu erianem, diss
die den Buchstaben fHiher gegebene Bedeutung hier aufbOit.

[42J

26.

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Die iBtenaität der erdmagnetiachen Kraft.

und die GesobvindigkeitseiBbeit so das» als Einheit die-
tnige beschleunigende Kraft angenommen wird, welche, wenn
e die Zeit S hindnrch wirkt, die Geschwindigkeit C her-
orbringt; endlieh wird für letztere diejenige Geschwindigkeit

iis:enoinincn, welche der gleicliförmigeu Bewegung durch den
taum Ii in der Zeit S entspricht.

So ist klar, dass die Einheit V vuu drei Einheiten, ent-
veder H, P, A oder Ii, P, ^ abhängt.

Nehmen wir nuumelir an, dass an Stelle der Einheiten
P^, 31, TV, Aj Py C\ S andere angenommen würden :

V, R\ 3/', W\ A\ P\ C , S', die in ähnlicher Weise
mit einander zusammenhängen wie die früheren, und daas
beim Gebrauche des Maa^^ses V der Erdmagnetismus durch
die Zahl k' ausgedrückt werde, so ist zu untersuchen, wie
sieh diese zu k verhält.
[43] Wenn man setzt:

mM'

uA'

pP'

so werden o, r, m, ic, c, s absolute Zahicu sein und

kV = k'V' oder = k%
m

rr'

m m

= fo = pa^

• s
r

e =

Aus der Verbindung dieser Gleichungen erhalten wir:

n. =

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48 Carl Friedrich Guuba.

So lange wir den Weg beibehalten, den wir bei unseren
Beobachtungen verfolgt haben, müssen wir die erste Formel
gebrauchen; wenn wir z. B. an Stelle des Millimeters und
des Milligramms das Meter und das Gramm als Einheiten an-

nehmen, so wird r = YÖÖÖ' ^ ^ T^Ö' k' k sein ,
wenn die Pariser Linie nnd das Berliner Pfund, so werden
wir haben: r - ^^^^

h' = 0,002196161 k,

woher z. B. die Versuche VIII den Werth 2'= 0,0039131
ergeben.

[44] Wenn man lieber (l<Mn anderen Wege folgen will
und die Schwerkraft zur Einheit der beschlpiinigenden Kräfte
annimmt, so wird man für die Göttinger Btern warte
1

a = setzen ; dann sind, falls wir das Millimeter und

981 1 ,00

das Milligramm babehalten, die Zahlen k mit 0,01009554
zn mnltiplieiren und die Aenderungen jener Einheiten nach
der Formel II zu behandeln.

27,

Die Intensität der horizontalen erdmaj2:netischen Kraft T
ist mit der Seeante der Inclination zu mnltiplieiren , um die
ganze Intensität zu ergeben. Dass die Inclination zu Göttin-
gen veränderlich ist und in gegenwärtiger Zeit eine Vermin-
derung erleidet, haben die Beobachtungen von Humboldt
gezeigt, der im Monat December 1805 den Werth von G9^ 29'
gefunden hat, im Monat September 1S2G aber 6S° 29' 26".
Ebenso habe ich am 23. Juni 1832 mit Hülfe desselben In-
clinatoriums, welches einst der s. Mayer benutzte» 68^ 22' 52"
gefunden , was eine Verzögerung der Abnahme anzudeaten
scheint, jedoch mdchte ich dieser Beobachtung weniger Ver-
trauen schenken, nicht nur wegen der ünvoUkommen^eit des
Instruments, sondern auch wegen des Umstandes, dass die
im Obsenraforium angestellte Beobachtung nicht hinlänglich
genug vor der Störung von Eisenmassen gesichert ist. IJebri-
gens wird auch diesem Elemente grossere Sorg£sU in Zu-
kunft zugewandt werden.

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Die Intensität der erdmagnetischen Kraft. 49

28.

In dieser Abhandlung sind vir der allgemein angenom-
menen Erklsrangsweise der magnotisehen Ersehannngen ge-
folgt, nicht nnr deswegen, weil sie vollständig gentigt, sondern
auch , weil sie in weit einfacheren Rechnungen fortschreitet
als die andere Auffassung, welche dcu Magnetismus galvano-
electrischen Kreisen um die Theilchen des magnetischen Kör-
pers zuschreibt; es war unsere Absicht, diese Auffassung,
die sich allerdings n mehrfacher Hinsicht empfiehlt, weder
zu bekräftigen noch zurüciizuweisen , denn dies wäre unan-
gebracht gewesen, da das Gesetz der gegenseitigen Wirkung
zwischen den Elementen solcher Kreise noch nicht hinlänglich
erforscht zu sein scheint. Welche Auffassung aber auch
künftig- für die magnetischen und eiectroinai^^notischen Er-
scheinungen angenommen wird: bezüglich der ersteren muss
sie tiberall zu demselben Ergebniss wie die gewöhnliche Theorie
führen, und was auf Grund dieser in der vorliegenden Ab-
handlung entwickelt ist, wird nnr in der Form, nicht aber
im Wesen verändert werden können.

Die Abhauduiig: »Intensitas vis magneticae terrestris ad
mensuram absolutam revocata«, ist von Gauss gelesen in der
Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften am 15. December
1832 und im 8 Bande der Abhandlungen dieser Gesellschaft,
Seite 3 bis 44, gedruckt.

Die Uebersetzung ist von II( nn Oberlehrer Dr. Kiel in
Bonn besorgt und von dem Herausgeber durchgesehen worden.

OstwAld's Klaanikar. SS^

Aüuierkaiigeii.

Die Abhandlung von OausSy deren Uebersetznng vor*
stellend abgedmckt ist, hat ans mehrfachen Grttnden eine
ausserordentliche Bedentang für die Physik erlangt: durch
das neue Princip der Messung physikalischer ChrOssen (das
sog. absolnte Maasssystem ] , dnrch die mit Hfilfe desselben
gewonnene Möglichkeit, die Intensität des Erdmagnetismas jeder-
zeit in einem unveränderlichen Ma«nsse zu bestimmen, endlich
durcli neue Beobachtungsmethoden von einer bis daliin unerreich-
ten Schärfe.

In der analytischen Mechanik war es schon lange üblich,
aus den Grundeinheiten für Länge, Masse und Zeit (bei
Gauss mm, mg, sec; nach den Beschlü>>en des Pariser Co n-
gresses ISSl jetzt r???, ^, ser) die Kiniieiten für die übrigen
mechanischen Grössen abzuleiten. Als Einheit der Geschwin-
digkeit gilt diejenige, bei welcher die Längeneiutiiit in der
ZLltfiiihi it zurückgelegt wird; die Eiiilieit der Beschleunigung
findet dann statt, wenn die Ooscliwiudigkeit in der Zeit l
um die eben definirto Gescliwindij^lveitseinhoit wächst; die
Einheit der bewegenden Kraft ist diejenige, welche der Masse 1
die Beschleunignng 1 ertheilt.

Gauss*^) erweiterte dies Verfahren über das Gebiet der
reinen Mechanik hinaus: gestützt auf das Coulomh^sche Ge-
setz der Wechselwirkung zweier Magnetpole definirte er als
Einheit des Magnetiamns diejenige Menge Kordmagnetismns,
welche auf eine ihr gleiche in der Einheit der Entfemnng
hefindliche die abaolnt gemessene Kraft 1 ansttbt, und setzte

1) Eine zusammenhängende DarBtellnng des ahsolnten tfaass-
s^stciiis 8. 2. B. bei F, Kohirmtaeh, Leitfaden der prakttschen Pby<
Bik, Anhang.

2) S. Art. 26.

• V * » •

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AmnerkuDgen.

xls Einheit der magnetischen Intensität 'der Stärke eines
l^&gnetfeldes) diejenige fest» welche auf den Einheitspol mit
äer Kraft 1 wirkt.

Es hat Gauss ^] seihst darauf hingewiesen, dass i^es
Iceine Schwierigkeiten haben würde, anch galvanische Mes-
sxmgeB auf absolate Maasse zurückzuführen«, und sein Freund
und Mitarbeiter Wühehn Weber ^) hat dann diese Aufgabe
tbatsächlich geK^st, indem er das absolute eleotromagnetische
MaasBSTstem aufstellte.

Man pflegt gegenwärtig den abgeleiteten Einheiten ge-
wisse »Dimensionen« In Bezug auf die Grundeinheiten beisu-
legen, z. B. wenn 1^ m, t die Grundeinheiten andeuten, als
Uimension einer Geschwindigkeit lt~^^ und iihnlicli für einen
Magnetpol wiV^ ^-i^ fflr ein Magnetfeld ^-1 an-

zusetzen 3). Der Anfänger ist vor dem Missversländniss zu
warnen , die Dimensionen als die wahre Bedeutun«r der be-
treffenden Grössen ansehen und etwa einen Magnetpol mit
' P'i' 771^1- t~'^ als gl eic hwe rthi g betrachten zu wollen. Gauss
hat zu diesem Missvcrstäudniss keine Veranlassung gegeben,
vielmehr den wahren Sinn dessen, was man heute Dimensio-
nen nennt, klar dargelegt und ausgeführt, dass dieselben ledig-
lich für den Uebergang von einem System der Grundeinheiten
zu einem andern Bedeutung besitzen. Führt man nämlich
;; an Stelle von t neue Einheiten m\ t' ein, welche

mit den alten in der Beziehung stehen If, fim',
^ t ^ Tff w> iBi z. B, diejenige Zahl, welche die Horizontal-
] Intensität im System t ausdrückt, mit Z'^V* fiV* zu
multiplieiren, um die Zahl zu finden, welche dieselbe Grösse
^ im neuen System darstellt. So ist gegenwärtig im mittleren
Deutschland die Horizontalintensität in den Gaussischen Ein-
heiten mm, niy , sec etwa 1,9; will mau zum c7n, r/, sec^
System ubergehen, so hat man, da 1mm = 0,1 cm, l mg =
0,001 g, zu multipliciren mit 0,1-^2 . 0,00lV2== 0,1, wo-
dm*ch man 0,19 orhfilt.

Dass die Dimensionen der Givisseu im absoluten Maass-
' System nicht die wahre Bedeutung derselben angeben und

etwa alle physikalischen Grössen durch Länge, Masse und

1) Gött. gol. Anz. 24. Dec. 1S32. flams, Werke V, 301.
^ 2) W. Weher, Werke Bd. III, S. 0, 2TÜ. 320. 591.

3) Vgl. GausSf Art. 2(i. Die Lehre von den »Dimensioueu« ist
soent von Fourier fQr das Gebiet der WSrme entwickelt worden.
S. Fwrier, Thtote analytique de la cbaleur. § 159-^162. 1822.

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52 Anmerkttngen.

Zeit ausdrücken lehren, geht schon daraus unzweifelhaft her-
vor, dass es zwei') absolute electrische Maasssysteme giebt,
in welchen dieselben Grössen ganz verschiedene Dimensionen
besitzen .

Die Werthschätzunia: der absoluten Maasssysteme hat im
Laufe der Zeit mannigfache Wandlungen durchgemacht; nach
einer Periode der reberschätznnp: scheint man jetzt in den
entgegengesetzten Dehler zu verfallen.

Znnächst sichert die Anwendung der absoluten Maasse
— was ftir das Gebiet des Magnetismus spater noch ein-
gehender erörtert werden soll — eine Vorgleichbarkeit
der Messungen, welche zu verschiedenen Zeiten an verschie-
denen Orten angestellt sind. Ferner nimmt der Anadruck
vieler Naturgesetze eine besonders einfache Form an, indem
gewisse Factoren = 1 werden (z. B. wird die Kraft zwischen
zwei Magnetpolen und fi^ in der Entfernung r gleich

^^^^) und insbesondere wird die Einheit der »Energie« für

das Gebiet der Electricitftt nnd des Magnetisrnns ftberein-
stimmend mit der Einheit der mechanischen Energie.

Diese YorzUge haben znr Folge gehabt, dass, als im

letzten Jahrzehnt die Electrotechnik sich mächtig entwickelte^

ihre Vertreter einmttthig ein auf die absoluten electromague-
tischen Maasse gegründetes System von Einheiten annahmen.

Einen sehr beachtenswerthen Versuch zur Umbildung und
Weiterentwickelung des absoluten Maasssystems hat neuer-
dings IV. OsiwalcP) unternommen. Seine positiven Vor-
schläge kommen im Wesentlichen darauf hinaus, zunächst für
sämm fliehe Gebiete als gemeinsame Grundeinheiten die der
Länge, Zeit nnd En ergie (an Stelle der nur eine beschränkte
Bedeutung besitzenden Masse) einzuführen.

Für die Mechanik geuilgeTi diese Einheiten; flir jedes
andere Gebiet — Electricität, Magnetismus, Wärme, strahlende
Energie, Chemie — muss dann noch eine vierte, dem je-
weiligen Gebiet speciell angehörige Einheit festgesetzt werden.

Man übersieht, dass hierdurch die Anwendung absoluter
Maasse auch für die Erscheinungen der Wärme, der strah-
lenden Energie nnd der chemischen Kräfte ermöglicht wird.

1) Oder sogar vier. Vgl. S^Hz, Wied. Ann. 24, S. 114. 1885.

2) W. Ostwald, Studien zur Energetik, Ber. d. Sächs. Ges. d.
Wissenschaften. 1891. S. 211, und 1892, S. 211.

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Anmerkangen. 53

— was auf dem von Gauss und Weber angebahnten Woge
nicht gelungen war.

Fflr den Magnetisrnns ergiebt sieh hiebei aber dne eigen-
thflmliehe Schwierigkeit.

Augenscheinlich muss die vierte Osttcald^&ahe Einheit,
wenn sie praktisch brauchbar sein soll, entweder sich unver- ,
ändert aufbewahren lassen (wie das Origiiiulmcterj oder sicher
reproducirbar sein (wie die Siemens^BcihQ Widerstandseinkeit) .

Es giebt aber weder einen unveränderlichen Magnet, noch
auch einen Ort von unveränderlicher Intensität des Erdmag-
netismus , sodass der Ostwald'scho Vorschlag unausführbar
wird, wenn man sich auf den Magnetismus allein beschrän-
ken will.

Unter Hinzuzielning der Electricität wird die Aufgabe
lösbar: nach Feststellung der electriscben Maasse ^' hätte man
als Einheit des magnetischen Momentes (des »Stabmagnetis-
musa) dasjenige anzusetzen, welches in grosser Entfernung
gleiche Wirkung ausübt, wie ein die Flächeneinheit nmflies-
ßender Strom der Stärke 1.

Um die Bedeutnng der Gauss'ächQU Arbeit für unsere
Kenntniss des Erdmagnetismus, insbesondere seiner Intensität,
gebührend zu würdigen, mnss man sich den Zustand dieses *
Zweiges der Wissenschaft vor ihrem Erscheinen vergegen-
wärtigen^). Vor Gauss konnte man (durch Beobachtung der
Schwingungen einer Magnetnadel und zwar meist einer In-
clinationsnadel) eine ziemlich rohe Vergieichnng der an einem
Orte Torhandenen Intensität mit der an einem Normalorte
erhalten ; die in längeren Zeiträumen Torgehenden Aenderun-
gen derselben entzogen sich yoUständig der Wahrnehmung.
Gauss lehrte die Intensität nach einem unveränderlichen
Haasse jederzeit bestimmen; er bezeichnet dieses als »abso-
lut« im Gegensatz zu den früheren relativen Messungen.
Er begnügte sich nicht damit, seine Methode in Göttingen
anzuwenden, sondern gründete den weitverzweigten magneti-
schen Verein, de^^s* ii werthvolle Beobachtungen er im Verein
mit IF. Weber hurausgegeben hat^).

1) Diese ist in verschiedener Weise ausführbar.

2) Man sehe die £üileituii<i: von Gauss selbst. Die dort an-
geführten Beobachtungen von Iln nholdt findet man Gilbert's Ann.
Bd. 7. S. 329. 1801, und Bd. 2ü. ö. 257. 1805; die von ^Sabine l*ogg.
Ann. Bd. 6. S. 88. 1826.

3) Besultate aus den Beobachtungen des magnet. Vereins
1836—1841.

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Anmerkiuigea.

Gatiss bezieht sich auf eine Arbeit von Poisson ^) ; in-
dessen würde man fehlg-ehen , wenn raan diesen als Erfinder
des absoluten Maab:?systems ansehen wollte. Poisson zeig-t,
dass, wenn die Einheit des Magnetismus auf eine gleiche in
der Einheit der Entfernung die Kraft f ausübt, die Intensität
des Erdmagnetismus sich mit Hülfe von f ausdrücken lässt.
Das Mittel hiezu bietet die Beobacbtun*? der Schwinpingen
von zwei Magnetnadeln unter dem Einüuss des Erdmaguetis-
mus allein und jeder Nadel unter dem Zusammenwirken der
anderen und dps Erdmagnetismus.

Man beachte, dass Poissofi die Einheit des Mag'ne-
tismus willkürlich lässt, w^ährend der Kern des Gauss-
sehen absoluten Maasssystems gerade darin liegt, dieselbe aas
der Kraftwirkung zu bestimmen.

Bei der Ausarbeitnog der Beobachtangamethoden-) —
welche übrigens in der TOrliegenden Abhandlung nicht be-
schrieben sind — kam Gauss seine Eigenschaft als prak-
tischer Astronom zu statten. Die von Gatus^) erfundene
nnd bei erdmagnetischen Messungen zuerst erprobte Winkel-
messnng mit Femrohr, Spiegel nnd Scala, sowie seine Vor-
schriften znr Bestimmung der Schwingnngsdaner eines Magnets
und zur empirischen Ermittelang eines Trägheitsmomentes
u. 8. w. kdnnen als die Grundlagen eines grossen Theils der
modernen Beobaehtungskunst betrachtet werden.

Zu Artikel 6.

1) Fftr den Anfänger werden einige Erläuterungen nicht
ttberflüssig sein.

Die magnetische Kraft besitze fDr die in Betracht kom-
menden Theile des Raumes constante Richtung und Inien^tät

(»das Magnetfeld sei homogen«).

Es werde ein im iiaumu festes Coordinateusystem xi/z
ein }s^e führt; die uut die Einheit des Maguetismus jgl.Art.'iO)
wirkende Kraft ^ habe die Componeuten X, Y, Z*), so

1) Poisson, Solution d'un probleme relatif au magn^tisme ter-
restie. Connaissance des temps. 1828. p. 322.

2) Vgl. Resultate aus den Beobachtungen des magnetiscben
Vereins, losbes. 1836. S. 13.

3) nnd unabhängig von Poggendorff.

4) Die Bezeichnung entspricht nicht der von Gauss, welche
steh fUr Anwendung rechtwinkliger Ooordinaten nicht eignet

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AnmerkuDgen.

werden die ComponeiiteTi der tiansiatorisciien Wirkung auf
ein magnetisches Theiichen fi sein

fiX, /tty, fiZ,

demnaeh fülr den ganzen Magnet

Da aber X, Y, Z constant sind und 3u verschwindet, so
werden diese Grössen — 0 . und in einem homojrenen Felde
wird imf einen Magnet keine translatorische Kraft ausgeübt.
Es kann also nur ein Drehungsmoment vorhanden sein.

Sind Xf y, z die Coordinaten von (i, so ergiebt sich als
Drehnngsmoment um die x^Axe

ÜRa. = 5(y • — « . ^ y) = ZSfiy — YSfiz.

Wenn gesetzt wird

2mx =s= er, 2my = 2mz =

so wird

= ßZ — yY und ähnlich

^ISi^ = aY—ßX.

Die Grössen a, y sind die Momente des Magnets nach
den Axen .r, z.

Bezeichnet M das Hauptmoment des Magnetes, und wird
dadurch zugleich die im Magnet feste Richtung der magne-
tischen Axe angedeutet, so ist (vgl. Art. 5)

a = JJf cos [M^x), ß = M cos {M,y)t y = M cos \M,z),

Damit — bei Abwesenheit anderer Kräfte — der Magnet im
homogenen Felde sich im Gleichgewicht befinde, mnss sein

woraus sofort folgt

a : : -/== X : F: d. h.
cos(-3i,a:);cos(if,y);co8(jlf,Ä;)=cos (ip,.c) : cos(§,i/; cos : (§,2).

Es mnss also die magnetische Axe in die Richtung des
Magnetfeldes fallen.

Ist diese Bedingung nicht erfQllt, so ergiebt sich ein
resultirendes Drehnngsmoment

V{ßZ — y Y)'^ 4- (;/X — aZy^ ■\-[uY— ßX^^

= sin (Ji,»p)
um eine Axe, deren Richtungscosinus sich verhalten wie
ßZ—yY\yX—aZ.aY—ßyL

Digitizeü by Liüo^lc

56 Anmerkttngeii.

Diese Axe steht also senkrecht auf den Hiehtongen von
M und ^.

Da im vorliegenden Fall die translatorische Kraft ver-
schwindet, so ist nach einem bekannten Satz dies Drehungs-
moment um alle parallelen Axen gleich.

Die weiteren Erörterungen des Art. 6 werden leicht ver-
ständlich, wenn man das Drehungsmoment durch zwei Bacli

^ and entgegengesetzt gerichtete Kräfte ersetzt, deren

Angriffspunkte an den Enden einer mit der magnetischen Axe
parallelen Linie von der Länge r liegen.

Zu Artikel 7.

2) Der Magnet sei nunmehr um einen Punkt C drehbar,
das homogene Magnetfeld sei das der Erde, und es werde
auch die Wirkung der Schwere auf die Masse des Magnets
berttcksichtigt.

Wir verlegen den Anfangspunkt unseres Coordinaten-
sy Sterns nach C, zählen x horizontal im magnetischen Meri-
dian nach Nord, y senkrecht dazu nach Ost, z vertical nach
oben, und haben, wenn wir die Masse m des Magnets in
seinem Schwerpunkt x^, y^, concentrirt denken, durch Null*
setzen der Drehungsmomente um die Coordinatenaxen

ßZ — mg = 0

yX-r-aZ-{-xi ing — 0

— /?X =0.

g bedeutet die Beschleunigung d^ Schwere; ^e Componente
Y ist für das gewählte Goordinatensystem = 0.

Ans der letzten Gleichung folgt ß = 0, d. h. die mag-
ne tische Axe muss auf y senkrecht stehen, also im magneti-
schen Meridian liegen. Mit Rücksicht auf ;i = 0 ergiebt die
erste Gleichung y/j = 0, d. h. der Schwerpunkt des Magnets
muss sich in der durch C gelegten magnetischen Meridian-
ebene befinden.

Um endlich auch die zweite Gleichung zu deuten, beach-
ten wir, dass, wenn ^ die ganze Intensität, i die Inclination
bezeichnet :

X == ^ C0& ij Z = — ^ äin i

und

of = Jf cos ^, y — — M &in &

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Anmerkungen. 57

wird, wo ^ die Neigung der magaetifichen Axe gegen die
Horizontale ist.

Sei ferner S der Schwerpunkt, GS=s8j und a der
Winkel zwischen CS and der ^-Aze, so geht die zweite
Gleichung üher in

— sin {d- — ♦) + m<7 5 cos (J = 0,

d. h. das Drehnngsmoment des Elrdmagnetismns und der
Schwerkraft um die y- Axe müssen sich aufheben.

Die reränderte Form, welche Gauss dieser Bedingung
ertheilt, ergiebt sich so:

Die Wirkung der Yertioalcomponentc des Erdmagnetis-
mus ersetzt Gauss (vgl.. Art. 6) durch eine Verlegung des
Schwerpunkts in der Richtung der magnetischen Axe, welche
in unserer Bezeichnung ist

, sin i

Mit Einführung von r' nimmt die zweite Gleichung die
Form an:

— MX sin ^ + mg[r' cos ^ + = 0,

r' cos ^ + Xi ist aber der Abstand des verlegten Schwer-
punktes von der durch C gelegten Yerticalen (der ;i;--Aze).
und MX sin ^ ist die von Gauss mit Jf Tsiu i bezeichnete
Grösse.

Es mdge nun der Magnet Schwingungen um die

Verticale z ausführen.

Ist die durcli die iniLL;iietisclie Axe gelegte Verticjalebene
aus dem magnetischen Meridiau um einen Winkel u heraus-
gedreht, so wird

= Jlf cos ^ sin u,

woher , wenn K das Trägheitsmoment bedeutet , die Bewe-
gungsgleichung wird

— — MX cos ü sin u.

Die auf unendlich kiume Amplituden reducirte Schwiiiguugs-
daucr sei t, dann ist bekanntlich

MX = -f^^

COS ^

Digitized

58 Anmerkungen.

oder in der Bezeichnung von Gauss

COS i

Zvi Artikel 8.

3) Gegenwärtig ist es üblich, die Grösse Q)iTM ~ -als

»Tor.sionsverhältniss« zu bezeichnen.

Die Begründung des Verfahrens zur Bestimmung von n
ist leicht.

Der Einfluss der Torsion auf die Schwingungsdauer er-
giebt sich folgendermaassen. Indem man die Differenz der
Gleichungen für Kuhe und Bewegung

0 = — TjT/sin li" + Ö — w«*),
K-^ = — r3/8in M + 0(t> — u]
bildet, folgt (da constant ist) :

K = —TM (sin u — sin — G{u —

Nun ist

sin u — sin = sin [u — w°) cos u° — sin u^[\ — cos (w — w° ]

l — tg tg — - — I.

Bei nur halbwegs sorgfältiger Ausführung der Versuche
unterscheidet sich cos w"| 1 — tg ti^ tg — - — nicht merk-
lich von 1 ; indem man noch 0[u — ii^) durch Q sin [u — uP]
ersetzt, kommt :

K - ' = — [TM + 0) sin [u — w°)

dt''

= — TM ('-^-^) sin [u — u%
woraus sofort hervorgeht, dass durch die Torsion die Schwin-
gungsdauer für oo kleine Amplituden im Verhältniss 1 : 1/ — ^ —
verkleinert wird.

Digitizc )Ogli

ABmerkuDgea.

Zu Aitikol 10.

4} Die Yon Gauss gewählte Art der Anbringung der
Gewichte giebt za Bedenken YeranlasBung , da dieselben bei

den Schwingungen eine drehende Bewegung um die Spitzen
ausführen können , wodurch je nach Umständen die Schwin-
gungen beschleunigt oder verlau^öamt werden können. Besser
w üre schon eine Aufhängung an Schneiden statt an Spitzen ;
gegenwärtig benutzt man nach Vorgang von W. Weber
meistens durchbobrto Cyliuder, welche auf verticale Stifte am
Magnetträger aufgesteckt werden, so dass eine relative Be-
wegung ausgeschlossen ist*).

Auf eine weitere nicht unwesentliche Correctiou hat zu-
erst Fechner'^] hingewiesen. Der Hanptmagnet liegt nämlich
bei den Schwingungsbeobachtungen mit seiner Längsrichtung
nahe im magnetischen Meridian, bei den Ablenknngsbeobach-
tnngen senkrecht zn demselben. In der ersteren Lage er-
fährt sein Moment dnrch die magnetisirende Kraft der Hori-
zontalintensitöt eine VerstSrknng, welche sofort verschwindet,
wenn der Magnet senkrecht znm magnetischen Meridian ge-
stellt wird. W, Weber ^) hat ein Verfahren angegeben, nm
diese Rednetion zu ermitteln und in Rechnung zu ziehen.

Da die Temp eratur coefficienten des magneti-
schen Momentes auch iür gute Magnete niclit unbedeutende
Verschiedenheiten aufweisen (0,001 — 0,00013 für 1 Grad Cel-
sius), wird raan zur Erreichung der grössten Genauigkeit den
Temperaturcoefficienten des Hauptmagnets bestimmen und die
Variationen der Horizontalcomponente aus den Schwingunoeu
eines zweiten Magnets mit ebenfalls bekanntem '1 * rnperatur-
coefficienten oder aus den Angaben eines besonderen »Vario-
meters für die Horizontaliutensität« ableiten. Solche inten-
sitätsvariometer hat zuerst Gauss selb0t construirt^); für den
Gebrauch handlicher sind die Instrumente von F*Kohlrauseh^),

1) S. auch Dorn, Wied. Ann. 17. S. <bb. 1882, Kreichgauer,
Wied. Ann. 25. S. 273. 1885.

2) Feehner, Pogg. Ann. 55. S. 189. 1842.

3) W, Webei-, Werke, Bd. iL S. 336. (Abh. der Gött. Ges. d.
AViBs. Bd. 6. 1855 Vijl. ferner Dom, Wied. Ann. 17, S. 776. 1882;
ebenda 35, S. 2To u. 275. 1888.

1) Gauss, Ivusiiltate aus den Beobachtungen des magnetiäciien
Vuruius im Jahre 1837, ö. 1.

5) F, Kohlrameh, Wied. Ann. 19. S. 132. 1883.

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AnmerknngeiL

Eine scliarfc Metliode zur Bestimmung des Tcmperatur-
coefficienten des mii^iietiächeu Moments liat W. Weher ^]
gegeben.

Zu Artikel 17 und 18.

5) In der Theorie der Ablenknngsbeobachtnngen werden
die Entwickelnngen des Art. 16 anek einem Anfänger keine

erheblichen Schwierigkeiten machen; folgende Andeutimgeu

mögeu das Vcrstäudiiiss des Art. 17 erleichtern.
Wegen der Gleichung

»•rsintt^+ Ö sin(i^ — iV)= 0

hat mau

mT mku -{^ ÄTL (u — iV) —
m T(^m tt — sin «^) + 0 [sin (« — iV) — sin (m*^ — N)],

Setzt man hierin

sint« — sint*° = sin [u — tP) eos — sin [1 — cos [u — tt°) J,

vemaclilässigt den zweiten Theil und transfoimirt die andere
Sinnsdifierenz entspreehend, so erhält man

[m T cos + 0 cos iu'' — N]] sin [u — t^).—

Die Form der Beihe für tg(u — u") ergiebt sich so.

Zunächst beachte man, dass /, /" • • • keine Ton
cos (]// — u) nnd sin(i/; — u) freien Glieder enthalten. Id
der Gleichung

fahre man ein

sin ( I// — w) = sin (i// cos (u — — cos — sin (« — tf\
cos(^ — «) =eoa{ip — w°)cos {u — u^)-{-ün{ip — if)ain[u — f^),

so erscheinen bei der Entwickcliing /, y, f" . . . zunächst
dieselben Functionen von (statt von u) in eine Potenz von
cos (u — u^) mnltiplicirt , sodann Terme mit sin {u — tf,
u. s. f.

1 11'. Weher t Resultate aus den Beobachtungen des magne-
tischen Vereins im Jahre 1837. S. 38. (Werke Bd. II. S. 58.)

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Anmerkungen. 61

Da nun sinf« — ti®) von der Grössenordnung
ist und cos(w — w°) nur um Terrae der Ordnung i^~(2n+2)
von 1 sieh unterscheidet, so wird man, wenn noeh der Kflrse
wegen

f [;2C08(V^ — U] ain(i/; — u°)+s,m{tlß — ?7)cos(i^— M°j]co8(M — u^)\
\ — [fi cos (r/; — U) cos {ip — f^) — sin (tff—U) sin {\p — w®)] sin [u — w*') j
= mM {C cos(w — w°j — S sin (w — tt^)}
gesetzt wird, haben:

{mT+ Q) sin [u —
= mJf { Ccos{« — u'^ — S 8in{« — t*^)} Ä-('*+i>

WO <Z> die weiteren Terme znsammenfasst , welche nicht
mehr so einfach gebildet sind und der Index 0 die SubsM-
tution von tP statt u andeutet.

Man schaffe nun das Glied mit S sin (w — vP) auf die
linke Seite, dividire mit

{(mT+ 9) +mMSM-^*' + ^^}coB{U'^tP)

nnd entwickele nach Potenzen von M,

Man erhftlt dann unter Berttcksichtigung der oben über
cos {u — gemachten Bemerkung

tg (ti — w«J ^
mMC ^ iZ-(H+2) + .,.

indem mit die weiteren Glieder angedeutet werden.

Diese Formel enthält zunächst das Resultat von Gauss
f4r tg (ti — tP) und führt einfach zu den Entwickelungen des
Art. 18.

Da arctg a » a — + • • • 1 so unterscheidet sich
eine für u — abzuleitende Reihe von der vorigen erst nm
Terme der Ordnung — (3» + 3).

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62 Anmerkungen.

Aendert man den Winkel um tt, so wechseln
.. . ihr Zeichen, während *S' und C denselben Werth be-
halten. Aus den Mittelwerthen ^(u' + u"') und ^(e<" 4- ti'")
fallen als » f\ . . . heraus.

Vei niplirt man andererseits U um 7t , m gehen S und
C in ihr Gegentheii über. Im Falle der Natur (w = 2) wer-
den also in der Combination \(u' — v" -j- — u") die
Terme mit R'~^ und 7?~** sich herausheben und demnach
auch tg \ [u' — n" + — u") die von Gauss angegebene
Form haben ^) :

iz\ [u' — ^ + — = ^_

1) Vgl. auch Rieeke, Pogg. Ann. 149. S. 62. 1873, und Wied.
Ann. S. 299. 1879.

Halle a. S., 22. Sept. 1893.

Dornu

Drack toü BreUkopf tt H&rtal in Leipzig.

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)l)

/iisr

LANE MEDICAL LIBRARY

To avoid fine, th» book sliould be returned on
or bef ore the date last stampf below.

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Nr. QA. GhlileO Gftlildif Unterredunß;en u. matbem. Domonstrationon über
2 Tieiie Wissengzweige etr. 3. u. 4. Tag mit 90 Fi- Im Text.

Ans dem Italien, u. Latein, iibera. u. berausg. von A. toji Qettiu-

gen. 141 S.) JK2.—.

(1038.^ Aiih mg zum 3. u. 4. Tag, B. n. 6. Tag, mit 23 Fig.

2ö.

im Text. Aus dem Italien, u. Latein, übers, u. heraueg. von A. Yon
Oetting^en. (66 S.) url.20.

» 31 . Lamberts Pbotometiie. (PbotooMtrit dve de momim et grtdibns
lumioit, eolorum et umbrM]« (1760.) Deotscb berausg. t. £. An-
ding. Erstes Heft: Tbeil I und II. Mit 3Ö Fig. Im Text.

(136 S.) J(%- .

i% Heft 11 il III, IV und V. Mit 32

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Mit

40.

AUIH Gauss, K.F.

S®^^-^--^-'-"^'^"-'' ^''t- der erd^

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