Theorie der Bewegung der Himmelskörper welche in Kegelschnitten die Sonne umlaufen, übertr. von C. Haase

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THEOEIA

MOTUS COKfOllUM
GOELESTIÜM

nr

8ECTI0NIBUS OONICIS 80LEM AMBIfiNTIUM

OillOLO FIODEBIOO GAUSa

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THEORIE

DBB

BEWEGUNG DER HIMMELSKÖm

IN KEGELSCHNITTEN DIE SONN£ UMLAUFEN.

cm FfilEDRIGH GAÜSSi

IM DEIJT8CHB UBBKTIUOSH

GA£L HAA8E

inr umsM AtmAvass,

sowie mit cinrr photographis^hcD Abbilduni; der tod St. Majfulut livm Könige Gn>rg V. von llannoTcr gnti/tctcB
Q«iiH-UcdHU«, OBW AbbiUmg dm Oaast'ichcn QslMinalisiuM in Brauaachnaig «iid d«m FmhbU« d«r

HANNOVEB.
CARL MBYBK.

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Urack IM Willi. Hl »luicbBCIdtr Iii lljutimcr.

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Vorwort des üebersetzers.

im An&age ohmtm Jafarhundeiti ron Qsns* in der: „neoria motns
eorponun «Mimtini'' filr dio Rechaungea ^ theoriadten Attronomie gefebeneti
Vorschriften gelten noch jetit, totikt alt fimfiig Jahre naeh dem ESndwiaiea der-
selben, «1« Horm.

Dies Werk, tod dem es festsieht, dam es Gaaaa anprunglich in deutscher
Spntelie geechrieben hat, iet seit bagerer Zeit im BneUiandel vergtUbn, und aelM beim
Antiquar kostbar und schon.

Kr»t nach länger aU 20 Jahren ist eine neue Ausgabe desselben als letzter Theii
der (iauss'schen Uesatumtwcrke zu erwarten, deren Herausgabe von der KöuiglicfaeD
Geselbehaft iet WiMenaofaafkeo zu Ctöttingea Tennstaltet iet Aber aneb dann wird
damelbe wiederum in lateinischer Öpniche erscheinen.

Das Studium des I^atcinischen xsird jetzt vielleicht weniger allgemein ao gründlich
betrieben, wie ehedem. Dagegen hat entschieden die Zahl derer, die mit den esacten
Wwenichaften eich beechiftigan, gas^a ^her in eifreolicher Weise eich gemehrt and
auch die deutsche Spra4^ wird geganwiirtig im Auslände allgnincincr und eifriger erlernt.

Aber nicht nur filr den Astronomen und Physiker hat die Uauss'sehc Arbeit
ein Interesse, sondern schon wegen der darin vorkouioienden Theorie der Wahrschein-
liehkeitsrechnong ist ibr eine weit grtteaera AttraetionMphMre gesichert

Eine deutsche Uebersetzung des klassischen Werkes wird daher anter diesen
VerhUltnisBcn mindestens ebenso gerechtfertigt eificliLitien, als die vor einigen Jahren in
Nordamerika hcrausgekomntcne englische Uebertrugung, sowie die Uebersetzungen in die
mssiecbe and frnnsOsische Sprache.

Ks sind in der gegeowArtigen deutschen IJehorsetzung die Gauss 'sehen Be-
ziii litmn^^'pn nnc! Symbole in aller Strenge brilfrlialten, und es ist stets so viel als
möglich Alles wörtlich übertragen. Daneben i^l aut Erziclung von Correctbeit in Zahlen
and Formeln die grSssta Soi;gfalt verwendet Dan dem Originale bcigetiigte Druckfehler^
verzeichnisss enthält nur sehr wenige desfallsige Angaben. Aber auch Dasjenige, wes
sp.'üor liierühcr in „v. Zach'» Mnnntlichir Otirrfspondcnz", j.owic in ^fidnid's Astrono-
mical Journai" und in anderen tschritten verötfcntlicht ist, kann weder Anspruch auf
Vollatilndtgkeit machen, noeh iet es eelbet in aJte» Punkten correet

VI

EÜB VeneiehuiM derjraigen Drnokfebler das lAteinisoheci Originda^ weldi« in
letzterem niofat bereite angegeben «ind und welche bei der ^i'i;etimirtigcn Uebenetzung

Ben'icksichtigung pffiiirlcn hüben, ist aus ilcin duppeltcn nrundL' beigefügt, weil zunrichst
die Ueber«etzung eines m kla.s»i8chcn Werke« unsere* Kracluens die Verpflichtung hat,
«niufbhren, wo sie vmo Originale abireicht und weil nmn ferner gUubte, den Beritaern
jener Aasgabe dadurch hin und wieder einen I>ien.it zu erweisen.

Uni das Auffinden der zalilieiclion «nicht nach Artikilii, sriiiderii iiuoh der Seiten-
zahl gegebenen) Citate «tut der ^Thcoria uiotu»" zu erleichtern, die in anderen astDuiomi-
ftchcn und mathematiachen Werken kiek befinden» aind die Seitonaablen des Originula
am Bande der Ueberaetsung hinaugeftlgt.

In einem Anhange t«ii)d zanitdMt diejenigen Abhandlungen von Gauss zu-
Baramengestcllt, auf die er in den» Hauptwerke aU bereit* finihcr von ihm vr rüffentli* !ite
hinweist; sodauu seine Umgestaltung der Ü Ibers 'sehen Formeln zur Berechnung ticr
paraboliacben Bahn mit den Übrigen bieranf aicb beslebonden RecbnuBgaverscbriften und
eine dem GausHachen XulilMä« entnommene, von KHnkerftics niitgetheilte, Reihen-
entwickelung für daj? Vcrhältniss <lo- iiarnltnÜHt hon Si^cfors zum Dreieck.

Die auwerdem noch hiuzugclugten Tafeln bezwecken im Wesentlichen nur, die
Annehmbarkeit fUr den praetlichen Rechner sa erhöhen.

Es atnd hauptaSehfioh feigende:

1) Die von Gauss empfohlene, an Stelle der Harker'sehcn Tafel zu he-
nntzenrlc P, u rk h ardt'sche Tafel in der Umgestnltnnp, wie solche in dem ersten Bande
der Ännalen der iiaiscriichcn Sternwarte au Porib gegeben i»t.

2) Die Martb'cehen IVifein, nebst Abbandlmig aar Bestimmung der Orta-
OOOrdinatcn in einer Ellipse von starker Excentricität

.*)| Die K i i 11 k e rfii e H Villi- T.ifel für dir Anflnsnng der Larabert'schen
Gleichung und das \ ertiältniss des l>reieeks zum parabolischen Sector, uebst der dazu
gehörenden Abhandlang.

4) Die Enoke'sche Tefel nir Aoflösung der Gleiehnng IV im Artikel 141 der

TheOfja motn<! rnrpnnim coplestiinn.

Die Originale der bcidcD Briefe von Gauss an ächuraacber, wovon Auszüge
zur Anfertigung der Facnmiles der Gausi'schen Handschrift gewählt sind, wurden au
^eaem Zwecke durch die Gate des Herrn Frofeasora C. A. F. Peters in Altona nir
Verfiigong gestellt

Hannover, im April 1865.

D. C.

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*

Inhalt

Mm

VomcU IX— XVI

Entn Bndt« Allgemune Itelationcn unter den Grawon, ianh ««leih« die BemgungCB

der Iliinmelskörper um die Sonne bestimmt «erden.

Krater Abschnitt. Uclationon, die einen einzelnen Ort in der Baba betreffea 1
Zweiter Abtehnitt ReUtionea, die eineii einielneii Ort im Srntme betnflho 65

Dritter Abschnitt Hclationea switcbcn mehren Orten in der Bahn , . , . 100

Vierter Ahsrhnitt. Rclrifionen üwischrn nn-hr.'Ti Orton Im Haimc .... 15S
Zweites Bach. Krfoischung der Bahnen der Ifammelskörper au» geocentriechen Beob-
achtungen.

Erster Abschnitt. Begtimonung der Bahn aus drei vollständigen Beobtcbtttegen IW)
Zweit (1- Aiisclinitt. Bestimmung der Bahn «u vier Beobechtungeii, wovon

nur zwei vollstiindig sind S35

Dritter Abtekattt. BeBÜmmniig einer Bahn, den Beobeehtungen et» viele

man ihrer bat, sich inüglichst genau anschlieasi ........... S&O

Vierter .N hsobnitt. Ueber die Beetinmung der Bebnn mit BBskaiebt anf

Stürungen 21%

Figueatalel.

Dnckmila'TenMdehnas der htdiüicbeB Aeagabe A— F

Tafel I, II, III 1-20

Anbang 31 — 76

FeUer-VeneiehiÜN der deotaehen Uebeneianqg.

Anmerkung. Die am ßandc de« TcxlM ia Slaaunna bcigefGgtcii ZiStra bMuchnen die
BstttBiafalaa ^br latiiiwiolKnt Awigabap 4ia bicr deshalb h iii iiiji ftyl 0111« u dia AaflBBdinK Tan ^ if^fB
iuf TbNiia lutai te aadana Warhaa an «riiMAnn.

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Inhaltsverzdcliiuss des Anhangs.

Schniben des Herrn nofrAth« GaiiM, Dircctom der Oöttingor St<>rnwarto an den Henai-

geber der AatronointMheii Nacbriclit«n. Göttingen 1843, April 1. ..... . 21

T«M ftiw dam eraten Ifaiad« d«r P«mer Annalmi .............. 99

SebreibM da« Hann Martfa, Obscrvntors an der Sternwarte zu Dnrham, an den Banoagaber

der AMronoiniHchen Narliritliten iXi IOT»'i^ nclwt Tafeln 28

Vorschriften, um mu dei geocentriiichen Lttnge und Breite eines llimmelskärpers, dem Orte
MiMt Knotau. dar Neigung dar Bahn, dar Llaf« dar Soana und ihram AtiMaiid«
voo der Krdc abzuleiten: de« Uimmeltkihrpen haHoeentTMcba Lioge in der Babn,
wahren Ali^t.nid Ton dar Sonae aad wahren Abttend van der Erde Von Dr. Gamm

in Oraunschweig 42

Zuaeti TOB Oauai an Art. 90 und 100 der Tlieitria notua eerpomm eoelealiiin .... 46

AvMUg eve t. Zaeb's Monatli^ar Correapondeni, Baad S8 46

Tafel zur Aiif"|i"'?irni^ der I.ain'mrt's.'hrn fllpii-hnn;^ 52

Einige Utimcrkuugen zur Ycreiufucliung der Kccimuug flir dio gcocentrischcn Ürte der

Plaiieten Ton Dr. Q«m in Bmtmeebwg ftS

Aattag aus einer AUwndInng de« Harm ProAMon Klinkerfnee tber Oahnbcetfaanmngan

von I'lanf'tcn uik) '"omcten (aus dem srrhnten Hnnde der Abhandliingi:n der kHiiit,'-
livhen UcaellscbaA der VViuenKbaneo zu Göttingen, pag. 196 hk t.'0;>). HoKiiinmung
einer fiaraboliaehen Bahn am drei Oeobachtungen, von denen eine onvolUtändig ist.

Hit Taftin 59

tJeber den AuKiialiirK'fall einer dop|>cIten BahnbcUimmiing aus denselben drei volUtändigen
Beobachtuiigeu, nebst Tafeln zur Auflösung der Gleichung IV iu Artikel 141 der
nMorla notns corporum coelesUum 69—72

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^e.^ A>M ^Q^^n^*^ ^imU^. i:4^ »m:./^»^

»J^ Mm^Xc' C-'t^'-^^nrvc J^^,f 4^—4 . riv^* <^ ^'.'ttJtf

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Vorrede.

Entdeckung der planetarischen Bewegimgsgesetee fehlten dem
Geiste Kepler'^ die Mittel nicht, um die Elemente der einzelnen I^aneten
aus den Beobnchtiingeii «iliznleiten. Tycho Brahe, von dem die praktische

Astroiioniif xu finor bis daliin nngckaniitcn ITülie filiobi'n Wiir, hatte alle
PlaiiHrn eine Inriu'c Itcihe von Jahren hindureli mit f^rösster Sorgfalt uiul
einer solchen Aii.xliuai Leobaehtet, tlass i'ür Kepler, als eines .solehen Sclmt/AS
wlinliji'sten Erben, nur die Sorge der Auswahl dessen verblieb, was zur
Schaffung einer Vorlage behuf Erreiclnmg jeden Zieles geeignet war. Diese
Arbeit wurde gar sehr dadurch erleichtert, dass die mittleren Bewingen der
Planeten schon lange mit grdsster Schürfe dmivh die lUtesten Beobachtungen
bestinnnt waren.

l)\v Astronomen, wclchr später ;il> Kepler untemahmen, die Plnneten-
baliiicii aut Grund neuerer unii vollkniiimnerer Jieobaehtungen noch <iriiauer
au.szume«ä»eu , wurden dabei dureh die niUnliehen, oder dnreli noeh i;e8sei-e
Hulfsmittel unterstützt. Denn es bandelte sich nicht mehr darum, noch
gKnslich unbekannte Elemente au ermitteln, sondon « brauchten nur die
bekannten um Kleinigkeiten verbessert und in eagere Grenzen dngeschloflsen
SU werden.

Das von dem grossen Newton entdeekte Prineip der allgemeinen
Seliwcrc eniffiiete ein ganz neuea Feld «tid lehrfe. dass (Kusi llu ii Ccsctzcn,
weleiie naeli Kepler's Krfnlirunfr die fünf i'ianeten reijici ti ii , nur mit einer
kleiueu Aenderuug alle liinimel»köri)er nothwcndig gehört lieu nULsscn, wenig- (IV)
Btena die, deren Bewegungen nur von der Kraft der 8onue gelenkt werden. Es
hatte nümlicb, auf das Zeugnisa der Beobaditungen nch verlassend, Kepler
ausgesprochen, dass die Bahn eines jeden Planeten eine Elfipse sei, in der die

X

Vorrede.

FlKchenritume um die, deii ^en Brennpunkt der Ellipse emnehmende Sonne

gleicliformig und zwar so liesclnieljen werden, dass die Quadrate der (Tmlaufs-
zeifon in verschiedenen Ellipsen sieh verhalten wie die Ciibikzahlen der grossen
Hnlliaxdi. I>;i<rcgen zeijfte Newton, durch Autsteiliinir des Prineips der allgc-
nu iiii ii »Scliwere, a priori^ da--«' alle, von der anzii lu tidt ii Kraft der Sonne
regierten Körper iu Kegolschniiten sich bewegen müssen, von (lenen uns die
Planeten zwar nur eine Art, nämlidi die Ellipsen zeigen, während die
Gbrigen Arten, Parabeln und Hyperbeln, für gleich mCglich gehalten werden
mllBsen, falls nur KOrper da sind, die der Kraft der 8onne mit der erforder-
Kelten Geschwindigkeit entgegentieten; dasü die Sonne stet8 den einen Brenn-
punkt des Kegelschnitts einnininit; dass die Fläihen, welche derselbe Körper
in vcrRrliiedenen Zeiten um die Soiuie beschreüit, fliesen Zeiten projiortional
sind, und djis.s endlicli di(^ von verschiedenen Körpern in glciihtn Zeiten um
die Sonne bi;sehriebcncn Flächen sieh wie die C^uudralwurzelu der Ilulb-
parameter der Bahnen verhalte. Dies letztere Gesets, welches bei der
elliptisdien Bewegung identisch mit dem letzten Kepler'sehen Gesetze ist,
erstrcekt sich aiu;h auf die parabolische und lij'jierbolisclie Bewegung, aufweiche
da« Kepler'sche in Ermangelung der Umlaut'szeiten sich nicht rmnoTulcn ]]l<st.
.letzt wnr lii-r Faden L'i'rmi'hn. iiiiicr dcs-scn Leitung es möglieh uiirdt-, in
das voilicr unzugängliche l^ibvrinili der Cometenbewetrungen einzuiliiiiL^cn.
Dies gelang so glücklich, (Ijlss zur Erklärung aller genau beobacliteten
Cometeubeweguugen die einzige Hypotlicse , diuss ihre Baluicu parabulinch
seien, genügt. So hatte das System der allgemeinen Schwere der Analysis
neue und glänzende Trtinnphe bereitet, und die Cometen, die bis dahin unge-
bändigt waren, odi r die, weim sie besiegt schienen, bald ausländisch und
(Vj rebellisch wurden , Hessen sieh den Zügel anlegen, wurden Freuiule aus
Feinden und vrrli>l^-(cii üm'ii Weg in den vnn der Ucclinting vorgezr iclmeten
Bulmen, (U ii^i Ihm t w igcn Ciesetzcn wie tlie l'ianeteu giiiubig gelion lu nd.

>iun entstanden bei der liesitiiimiung der parabollscheu Cometen bahnen
aus den Beobachtnngen weit grossere Schwierigk(;itcn, als hm Bereclmung der
elliptischen Planetenbahnen, hauptsächlich deshalb, wdl £e Ctxneten vermiß
de» kürzeren Zeitraumes ihrer Sichtbarkeit eine Auswahl von zu diesem oder
jenem bequemen Beobachtungen nicht gestatteten, sondern den Geomeler
zwangen, diejenigen Beobachtungen zu benutzen, die der Zufidl dargeboten

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Voivfd#>

XI

hatte, so dam man die besondern, hei den Planeteurcchnunjren angewandten
Methoden kaum jemals gebrauchen konnte. Sdibst der grosse Newton, der
erste Geometer seines JAhrfaanderts, verkannte die Schwierigkrit des Problems
nicht, ging aber doch, wie sich das erwartoi liess, anch au« dieaem Kampfe
siegreich hervor. Viele Geometer nach Newton wendeten ihre Bestrebungen
diesem Probleme, wenn gloicli mit vcrsdiicdonein GlUcke, doch so ni, ^iass
unseren Zeiten wenijf zu wiiiiselien übrig geblieben ist.

Man darf" vor allen Dingen nicht ausser Arlit lassen, dass nnvh Ijoi
diesem IVoblome die Schw in i^keit n-lfickliclier ^^ l ix' dun-b dif Kt iminiss
eines Elementes des Kegelstlinittes vemiindert wird, indem eben durcli \ or-
aussetzung einer parabolische Bahn die grosse At» als unendlich gross
gesetzt wird. Denn alle Parabeln, wenn man von ihrer Lege absieht, unter-
scheiden sich von einander lediglich durch den grösseren oder kleineren
Abstand ihres Schdtela vom Brennpunkte, während die Kegelschnitte, allgemem
betrachtet , eine unendlich ^^n■;^M•l c Verschiedenheit zulassen. Zwar war
kein genügender Crund zu der Annahme vorhanden, weshalb die Laut'linien
der Comctcn mit ab.soluter Genauigkeit parabolisch sein sollten: ja es
war vi»;hnehr uncntllich wenig walirscheinlieh, da.ss die Natur jemals in
eine solche \'üraussetzung eingewilligt habe. Dcimoch aber »timd es fest, dass
die Erscheinung eines Himmelskörpers, der üch in einer Ellipse oder Hyperbel (V'i>
bewegt, deren grosse Axe im Verlültniss zum Parameter ausserordentlidi lang
ist, in der Nähe des Perihels sehr wenig von der Bewegung in einer Parabel
abweichtf die einen gleichen Abstand des Scheitels vom Brennpunkte hat, and
dass dieser Unterschied um so kleiner herauskonnnt , je grös.ser jenes Ver-
hällniss der Axe zum Parameter ist. Da temer die Erfalirung gelehrt hatte,
d.as.s zwisrhcti der beobachteten Bewegung und der für die pantholisclip
iJahn bereelineten l'ewtjruii^ kaum jemals grössert; Untenschieilc iihrig
bleiben, als mit Sicherheit aut die Beobachtungsiehler (die liier gemeiniglich
merklich gi nug sind) geschobem werden k{{mien, so hielten es die Astronomen
für angionessen, bei der Parabel stehen su bldben. Und awar mit Recht, da es
an Httl&mitteln fehlte, ans denen sich mit hinreichend«»^ Sicherheit schliessen
liesB, ob Oberhaupt und wie gross der Unterschied von der Parabel war.
Ausnehmen inuss nmn dabei den bekaimten Halley'schen Conicten, der, als
eine sehr gestreckte Ellipse besclireibeud und in seiner Rückkehr zum Perihele

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XII

Tonede.

melir&eli ,beobftcbtiet) hob ein« peiioduche Umlaufineit ofTenlMiite. Dann aber*
ist, wenn Bolchergestalt die grosse Äxe bekannt wird, die fierechnang der
Ubi'igeii Elemente kaum für aehwieriger zu Imlteii, als eine parabolische

Haliubestinimiinii'. Trh k.niTi zwar nicht mit f^till>( luvt Ip^en libergellen, da-ss
die Astronomen aucii bei t inigen anderen, i r\v;i> län^^l■^■e Zeit hindurch beob-
achteten Cüujeien die Beölinmiung der Ainvi it hung von der Parabel versueht
haben. Aber alle zu don Ende vorgeschlagenen oder angewandten Metlioden
atülzen sidi auf die Voranaaetzung, dam die Abweichung iron der Parabel
nicht betrBehdich ist^ wodurch dann in jenen Veraschen die vorher aehon be-
rechnete Parabel telhat eine genilherte Kennmiss der einzelnen Elemente (mit
Auanahme der gn>».sen Axe oder der hiervon al »hängenden Undaufs^zeit) liefert,
die daim nur dun-h kleine Aenderungetj vti hessert wird. Ausserdem rnnss
man gf.-stehcn, dass i\]\v die liiif;li( lK ii \ cr-^uehe — wenn nifm vielleicht
den Cometen des Jalne« 17*0 ausninnnt — kaum je etwa.s ISit-heres zu
enischdden vermögt li^en.
(TU) Bobald man erkannte, wie die Bewegung des neuen, im Jahre 1781

entdeckten Planeten sich mit 6eF paraboHiidlien Hypothese nicht verdnigen
lasse, begannen die Astronomen, ihr eine Kreisbahn anznpa.«sen: eine Arbeit,
die sich durch eine selir leichte imd einfache Reclnnnig erledigen lässt. Durch
ein glückliches Geschick besiws die Buhn fliesen Pianoten nur eine massige
ExeentrieitUt, und so gaben die unter jcnt-r \'oraussetzung herausgebrachten
Elemente wetiigsten» irgend welche Aunlihcruug, auf welche nachher die Bo-
stinunung der eUiptisehai Elemente «eh stützen lies«. £s traten noch mehre
andere GlQcksfHlle hinzu. Denn die langsame Bew^ung des Planeten und
die gwinge Neigung seiner Bahn gegen die Ebene der Eidiptik vereinfitchlen
nicht nur die Rechnungen ausscrordeTulit 1^ und gestatteten die Benutasnng
besonderer ^letliuden , die auf andere liille niclit anwendbar sind, sondern
zerstreuten /u^deieh die Hesorgniss, dass der, in die Soimenslrahlen eiiij^e tauchte
Planet nachher die Beuiühungen der Aufsncher vereitein wUrde (eine Jicsurg-
niss, die sonst allerdings, besonders weim Überdies sein lieht woiiger lebhaft
gewesen iritre, häUe beunruhigen können). So konnte man dam mit
8ieherhdt eine genauere Bahnbestimmung bis dabin au&chieben, das« aus
häufigeren und entfernteren Beobachtungen diejenigen sieh auBwShIen Hessen,
weiche zu diesem Zwecke besonders ge^gnet ersofaieiwtt.

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Yoixede.

xin

In alleu Fällun daher, wo niaii die Bahn eines Ilmiraelskörpers aus
den Beobachtungen herleiten musste, existirten gewisse, nicht zu Teraditende
Vortheile, welche die Anwendung betonderer Methoden anriethoi oder doch
wenigsteoB erlaubten, und unter diesen Vortheilen war der TorsUglichste der,
daas durch hypolhetiache Annahmen sidi bereits eine genäherte Keontniw
gewimer Elemente erlangen lieae, bevor man die Berechnung der eiUq^lischen
Elemente unternahm.

Nichtsdeetoweniger erscheint es wunderbar genug, dass das aUgoEaeine
Problem:

,Die Bahn eines Himmelskörpers ohne jede hypothetische
Voranssetzung aus Beobachtungen au bestimmen, die keinen (vsi)
grossen Zeitranm umfassen und daber eine Wahl für die
Anwendung besonderer Methoden nicht gestatten,*

hin zum Beginn dieses Jahrhunderts fast gimz vernachlässigt oder wenigstens
von Niemandem mit Strenge und Wtfrde heliandclt i,«t, da es sich mmdc?tcns
den Theoretikern wegen seiner Schwierigkeit und Elcyiinz hätte emptehh-u
köimeu . ^^ eim auch den Praktikern seine höcliste Nützlichkeit uoeli nicht
bekannt gewesen wäre. Es hatte sich aber bei Allen die sicher sohleeht
begründete Mräiung eingebürgert, dass dne solche voUstilndige Bestinmumg
aus einen kürzeren Zeitraum umfiissenden Beobachtungen unmöglich ad,
wilfarend es gegenwärtig bereits ▼Slfig sichBr ist, dass sich die Bahn eines
Himmel8küq)crs aus guten, nur wenige Tage umfassenden Beobachtungen olme
jede hypothetische Voraussetzung schon hinreichend genähert bestimmen lässt.

Irh war auf gewisse Ideen verfallen, die zur Aiiflösimj3f diefie<» grossen
<h(n l)e.sj)i-ii( henen Prolderas beitragen konnten, als ich im Mon;ite September
1801, mit einer ganz verschiedenartigen Arbeit beschäftigt wai*. Nicht selten
iSsst man es in emem solchen Falle, um nicht su sehr von oner angenehmen
Untnaoohung abgezogen an werden, dahin kommen, dass Ideen- Verbindungen,
die bei einer aufmerksamoren Prüfung die reichsten Frttehte hKtten tragen
kitamoi, durch Vernachlässigung untergehen. Vielleieht hStte andi diesen
Ideen das nämliche Schicksal bevorgestanden, wenn sie nicht glücklicher Weise
m eine Zeit geiallen wären, die nicht besser au ihrer Bewahrung und

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XIV

Vomde.

BegUnatiguiig bXMe gewHUt werden k^bmen. Um jene Zeit nümltch ungefähr
flog dM GerOcht toq der am 1. Januar jenes Jahre« auf der Sternwarte an

Falenno gc^rhcliciien Entdeckung eines neuen Planeten (liirdi A1W Mund, und
bald gelangten die seit jener Epoche bis zum 11. Februar von dem aiisge-
zficlmeten Astronomen Pisizzi anfre.«tellten Beobachtungen zur fttttiitliciien
Kunde. Nirgends rindet man siclier in den Annalen der Astronoune eine w)
<1X) wicliiige Gelegenheit, und öie hätte kaum wichtiger ausgedacht werden können,
um die hohe Bedeutung de» iraglkben Problems auf das deuülchate su zeigen,
als bei einer so grossen Probe und der'' dringenden Nothwendigkeit, wo alle
Hoffnung, ein planetamebcs Atom nach Verlauf ungefähr eines Jahres unter
den UnziUdigcn kleinen Sternen des Ilinmiels wieder zu finden, einzig und
allein von der Erkeimtniss einer hinreiciiend frcn'ilierteii i!;ilin abhin«', die

r^ '

lediglich auf jene selir weni^ren Heob.-iehtiniL'cn t;esiiitzt \s( r<li n luiisstr. Hütte
ich je in gelegener W'ci.se eine l'robe ansteilen können, wiw meijtc Ideen für
den praktiffcheu Gebrauch werth waren , als wenn ich sie damals zur ISahn-
bcstimmnng fUr die Geres anwandte, für einen Planeten, der iun^halb jeuer
41 Tage einen geoeentriscben Bogen von nur drei Graden beschrieben hatten
und der nach Ablaut' eines Jahres an eiiu i . weit von dort abgelegenen
Region des Himmels aufgesucht werden musstc? Die erste Anwendiuig dieser
Methode ist iui Monate Oefobcr IHOI gemacht, und die er>te lieitero Naclit.
in welcher der Planet nach Anleitung der darauf! ;ili;j;eleiu (cu /;ililen gesueiit
wurde (Dceember 7. 1801 von Herrn von Zaeii; gab den Flüchtling den Beob-
achtungen wieder. Drei andere neue Pfameten sind seit der Zeit entdeckt,
und haben neue Gele^nhcitcn geboten, die Wirksamkeit and die Allgemeinheit
der Metliode zn prüfen und zn bestätigen.

Gleich nach W'iederaufKndung der Geres wOnjichten meine Astrono«
men, dass ich die l)ei jenen Pechnungen angewandten Metlnulen «>ffi iitiii h be-
kannt machen nuJge. Mehre Hindernisse standen aber entgegen, als ich
schon damals diesen t'reundsehaftlirhen Aufi'ordorungen hätte willfahren kcinnen:
andere Gc4»ehUfic, der Wunsch, die Sache noch etwa» ausführlicher durelizu-
arbdten und vorzüglich die Erwartung, dass sich bei ibrtgei>etster Beschäf«
tigung mit dieser l'ntersuchung verschiedene Theile der Auflösung zur Höhe
grösserer Allgemehiheit, Einlachheit und Eleganz wttrden erheben lassen.
Da mich diese Hoflnung nicht getäuscht hat, so glaube ich nicht, dass ich

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yoimd«.

XV

diestn Verzug zu bereueu bibe. Denn die anfangs angewamlten Methoden*)
haben zu vvicdci'holteu Malen so häutige und so groflse Aenderuugeu erlitten,
da» Bwischen der Art, wie damalB die Geres-Baliii gerechnet ist, und dar in
diesem Werke behandelten Einriehtung kaum die Spur einer Aehnlichkeit (X>
geblieben ist. Obgleich es nun nicht meine Abmdit ist, Uber alle diese
allmählich mehr und mehr vollendeten Untersuch nng-cn eine vollständige
Schildenuig zu schreiben, so habe ich doch bei mehren Gelegenheiten,
namcritlii h wo es sich um e'mc schwieritrere AiifL'alic handelte, geglaubt, die
trüberen Methoden nicht ailentimlbtn tnitt i «li iii kea zu sollen. Ich habe
viebnehr, abgesehen von den Jjösinigen der I l;iu])taut"gabeu, «ehr Vieles, wjw
während einer himeicheud laugen Beschftftiguag mit der Hewegting der
Hiinmelsk&iper in Kegelachnittenf entweder der analytischen Eleganz halber,
oder Torsugsweiee des praktischen Gebrauchs wegen, als Bemerkenswerthes
sich mir darbot, in diesem Werke aufführt 8tets jedoch habe ich den mir
eigenen Sachen oder Methoden eine grüSsere Horgfialt gewidmet, das
kannte aber nur leichthin bertthr^ wo es der Zusammenhang der Sache za
erfordern schien.

D.is r^^aiize Werk ist in zwei Tlieile zerlegt. Im ersten Buche werden
die Kelatimieii unter den irnissen entwickelt, von wcielien die Bewegung der
Himmelskörper um die Sonne nach den Kepler'sch^ Gesctzeu abhängig ist,
und zwar in den zwei eisten Abschnitten diejenigen Relationen, wo nur ein
einziger Ort an und für sich betrachtet wird, im dritten und vierten Absdinitte
aber diejen^en, wo mehre Orte unter sich in Verbindung gebracht werden. *
Letztere beiden Abschnitte enthalten die Auseinandcrsetzun:^ von Methoden,
sowohl der gewöimlich gebräncIiHchcn, als auch vorzüglich einiger anderen,
die. wcuT! ich nicht irre, zum ]/rakti>r!icn Gebrauche weit vorzuziehen sind,
durch welclu' man von den lit kaTuiien Elementen zu den Erscheinungen
Ubergeht. Diese Autgahen entiiulitn vieles sehr Schwierige, was den Weg zu
den umgekehrten Operationen anbahnt. Da inzwischen die Erscheinungen
ans der kttnsdichen und intricaten Verwickelung der Elemente «osammengesetzt

■) In dif;^<r lir/iihung »mpfiehlt aich diu ScinUiim <'.(■-• durch Ton Lindenau in der r. Zach'frchcn
ll4HuUli«lMn Convapondcnz (Uaml iO, 8. 197J pobticiitcn AufMtMt vtw Qan«», 4«r den TiUl führt: aSiuiJPft-
ijfcbc JJiIhmmUki dut KU Batfaniiiuig der Sthnm dar Mdn Mmtii Hnp^luitm ■mtwwdtni lIiltiPdaB.*

Ammtt^amg dt» ütitrMUer*,

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1

XVI V«R«de.

sind, »o muse man dies Gewebe von Grand aus durchblix^ haben, ehe man
mit Hofinung anf Erfolg die Entwimmg der Fsden mid die AuflSfttmg des
<xi) Werks in seine Bestandtfadle unleraehmen kann. Im ersten Boche wesrdea
daher die Iii'^tninientc utkI HiiltHiiiittel /iisainmengebraclit , womit sodann im
sweiten Buclie dies schwierige Oescliäft selbst vollbracht wird. Ein sehr
grosser Theil rh i- Arln it bestellt dann darin, djLss jene ITüHsmittel gehörig
gesaiimiclt, in riiu schickliche Anordnung gebracht und auf das vorgesteckte
Ziel gerichtet wet Jcii.

Die schwierigeren Aufgaben sind grösstentlieils durch passende Beispiele
erlUiitert, die, wo es anging, stets von nicht Hngirten Beobachtungen herge-
nommen smd. 80 wird nicht nur ein grösseres Vertrauen zn der Wirksamkeit
der Methode erweckt, und der Gebrauch klarer vor Augen geführt, sondern
ich liofl'c auch, solchergcst.'dt versiciiert zu sein, da-ss nicht die weniger (ieflbten
von dem Studium die^^cr Dinge abgeschreckt werden, die zweifelsohne den
fruchtbarsten und schönsten Theii der theorischcn Astronomie ausmachen.

Geschrieben zu Göttingen, den 28. März lä09.

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Erstes Buch.

Allgemeine Relationen unter den ( Ii össcn, durch welche die Bewegungen
der Himmebkürper um die Sonne bestimmt werden.

Erster Alisclmitt

Eelatioueu^ üi« eiiieu einzelueü Ort In der Bahn betreffen.

L

Wir wollen (\\c Viov.v^xmrren der Himmelskörper in die.seiii Werke nur
insoweit betrachten, als solche von der Auzieliungskrai't der Sonuc abliängig sind.
An^geaeUoflseD bleiben daher hier aU« secundüren Plmeten, ingleicben die
Btcfnmgen, welche die PrimKren wedueÜBeilig anf ndi auattbeii, sowie auch
aUe rotatorisehen Bewegungen. Die bew^;teii Körper selbst wollen wir ala
mathematisc Iii- Punkte betrachten und vomunetzcn, dass alle Bewegungen nach
Maisg^abe der nachfolgenden Gesetze vor sich gehen, welche daher ala die
Grundlage HÜer Unterstichnnq-en im gegenwiirtiiren Werke anzuselu ii sind.

I. Die Bewegung eincü jeden Hiiiiiiiel>köriHis geschieht beständig in
der nämlichen Ebene, in welcher zugleich der Mittelpunkt desr Sonne liegt.

IL Der von Sem KSrper beaduiebene Linienzog ist ein K^gdsohnitt,
der seinen Brennpunkt im MiUelpnnkte dar Sonne bat

III. Die Bewegung in jenem Liniencoge geht in der Weise vor sidi,
das« die in verschiedenen Zeitabschnitten um die Sonne beschriebenen
FlächenrUume dieasen Zeitabschnitten pi-oportional sind. Drückt man daher
Zeiten und FlUchenrHumc durch Zuklen aus^ so ergiebt jeder Flächenramn,
wenn man ilm duich die Zeit, innerhalb deren er be«clu-iebcn wurde, divädirt,
eben unveründerlieben Quotienten.

1

I

I

2 Ei«t«a Buch. £nter AtwchniU.

IV. FUr die yersdiiedeiien, um die Sonne ndi bew^enden KSepet
stehen die Quadrate dieMr Qaotienteii im maammeiigeaeteteo*) VerhXltiuflse der
den Bahnen entaprecbenden Parameter and der ßarnmen der SonnenmaMe imd

der Massen der bewegten Korper.

Bczrielniot also 2p den Pai-aineter der Balm, in welcher der Körper
einbeizicht ; n die Stutimriig'e dieses KörjKTs (die Masse Sunne - 1 fre^ctzt);
die Flüciie, weiche der Körper in dvv Zeit t lun die 8oniie htscixrcibt;

(9) SO wird Vyjp y(i4.^y ***** Conrtante für alle HimmflUkftrper bilden.

Da es also gleichgültig ist, welchen Hxnunelskttper man zur Bestimmung

dieser eonstanten Zald benutzt, so wollen wir leCxtere am der Bewegung der

Erde ableiten, und dabei deren mittlere Entl'emunj^ von der Sonne zur Distane-
Einheit aniiebnien. Die Kinlu it der Zeit soll stets der initiiere Sonnentag sein.
Bezeicbnet man ferner mit 7i dm Verbältniss der l'eripherie ziun I)nr<litnes8er
des Kreises, so wiid der Flächenraum der ganzen, von der Erde be-
schriebenen Ellipse offenbai- sein = ^ yp^ welcher daher — l g zu setzen ist,
wenn man (ttr t das siderisohe Jahr annimmt, wodurch unsere Constante

= ^ /jX7,V ^vird. Um den numerischen Werth dieser Cuustautc, die wir

im Folgenden mit k beaeicluicn wollen, zu ermitteln, setzen wir nach der
neuestoi Bestimmung das siderisohe Jahr, oder t ^ 365,2563835, die Masse

der Erde oder = q^^iq = 0,0000028192; dadurch wird erhalten:

log 2 IT 0,7981798684

oompl. log t 7,4374021862

oompL log 9,9999998878

log 8,2366814414

0,01720209896

*) Dm in dar lataiBiMhm Han&chrlft gtbrraebte Wwt Jm nlämt Ist tri*" mD bainu: „fai

ratione compouta", cfr. üriefivrrlisfl zwtschc» 0»n!i<! und SchnmAchari B< I, p. ITp WO 4lv Wnto 1b sbMK
fittaf« van G«um aa Seliaiuclier vom 14. Dcccmber Unten :

»Bttn . I . Utta iah Bieli n im§tMm mi Ar di« ämuigt im irfwUelMK MMUMm

danken. In drr dcntarhcn Handicliriri »teht nicbt im umgokebrion, aondern Titos« im
„xBsammcnccBetiton V e r Ii 1 1 tnia«; daa ente Blatt dar latoiniacbwi Han dMhri ft babo ich

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RfllatiMien, die eiaea «iaielBW Ort in der Bahn iMtreffeo.

S

8.

Die so eben erörterten Gesetze, weichen von den durch Kepler ent-
deckten nnr in der Weise ah, dasa sie in einer Form gegeben sind, die eine
Auwendung auf alle Arten toii Kegelschnitten gestattet, und dass dabei der
Mnwirkung des bewegten Körpers auf die Sonne, wovon der Factor ]/{!-{- fi)
abhängt, Rechnung getragen »L Wetm wir diese Q«aetoe als Eracheurang«!!
betrachten, die ans tnutthligen und inuweifellnAea BeolNuhtuDgen ncli
eigebeiii liabenf so lelirt die Geometrie, wdelie Emwirkimg ▼oh der Scnme
ami die um Letxtere bew^ten KjStpet ausgeübt werden muss, um jene
firsclicinungen beständig henrorzubriogeii. Auf diese Weise findet Bich,
(Ih-ss die Einwirkung der Rönne auf die tun sie latifcnden Köi-per gnnz so
ausgeübt wird, als ob eine Anziehunj^skratt, deren iStärke dem (^hiadnite
der Entfernung wccliselseitig proportional wäre, die Körper gegen den Mittel-
punkt der Bonne hintriebe. Gelit mau daher umgekehrt von der An-
neloiie t&aer Bolchen Aimdiunigakraft ak von ^nein Fnncipe auB| bo
hSauäa jene ErBehobuitgen als oodiwendige Folgen danuia abgdeitet werden.
Hier mag eine bloflse Erwldmang der Gesetze genügen, und es wird am ao
weniger erforderlidi B«n, an diesem Orte !)ei iluem Zuaammenhange mit dem
Prind|> der Schwere zu verweilen, da seit dem grossen Newton noch
mehre andere Sclirifl'^teller jene Materie Ix'handelt haben, imd unter diesen
i>iip]acc in seinem vollendeten Werke „Micamque (Meste^ in einer Weise, die (3)
nichts zu wünschen Übrig lässt

DieUntenHK^ungen der Bewegongen der H3mmelBk«r|ier, so weit solche
in Kegelschnitten vor sich gehen, etfordem keineswegs eine vollständige
Theorie dieser Art von Curven, und es wird daher eine einzige allgemeine
Gleiohmig genügen, ans der wir Alles ableiten. £s erscheint deslialb

wvwfagl od mte «Im sieht, ob dank slaen Druck- cnler Schrcibfeblor iareri* itaitt oon-
bIP • •it« gBW t rt Iii, dooh wabt L i t i t i m «b ick gl«ich nicht begreife, wie ca ingcgangw kA.«*

Aaincrkaug des Uebcrietur*.

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4

Erstes Bach. Erstor Abschnitt.

sjichgeinäss , gerade die Gleichung aiiHzturählen, aaf welche wir «Is eine
chnrakteri.'JtisclH« bei Erfbrsclmng^ <!< i- zufnlire des Attractioiingesetzes beschrie-
benen Cni A L' Ih'zul: nehmen. ^\'^ im wir immlieh irgend einen Ort de« Körpers
in seiner Baini bezeiehnen durcli die Abstände x und y von jtwei geraden
Linien, die tu der Ebene der Buhn gezogen sind und im lUittelpuukte der
Sonne d. h. in dem einen der beiden Brennpunkte der Curve vnter rechten
Winkeln sich schneiden; und wenn wir amoerd^ die £ntfenumg eines Kör-
pers von der Sonne (stetH positiv genommen) mit r benennen, 8o haben wir
znnsehen r, a-, y die lineare Gleieliinig r-\-a.v-\-ßy = y; in welcher «, y
beständige rJr("s.sen ausdrfieken, und zwar y eine Grö».se, die ihrer Natur nach
»tet» pcsitiv ist. Indem wir niui dif^ l^ge der geraden Linien, auf welehe die
Abstände X und y sieh beziehen, veriüidern (eine Lage die an und l'iir sieb
gwu willktlilidi ist, wenn ee nur dabei bleibt, da» rieh die liniai unter
rechten Winkeln sohneiden), so wird dadurch offenbar die Fem der Oleidiung
und der Werth von ^ nicht geändert, wtUu-end a und ß immer andere und
wieder andere Wertlie erl.nigen und m<m sieht, dasa jene Lage so bestimmt
werflen kann . dnss ß = 0 wird , « aber wenigstens nicht negativ. —
Schreibt man sijl( liiT|^fcst;iIt für a und y beziehungsweise r und />, so nimmt
obige Gleichung die Gestalt an r-{-&c=^. Die gerade Jiiuie, auf welche in
diesem Falle die AlMlIinde y bezogen wttden, heisst die Apsidenlinie, p
der halbe Parameter, « die Excentricität, und der betrefiiatde Kegel-
Bchnitt wird mit dem Namen Ellipse, Parabel oder Hyperbel beaeicfane^
je naehdeni e kleiner als die Einheit, gleich der Einheit, oder grösser als
die Einheit Ist.

IJebrigens sieht mim leicht, dass die Lage der Apsidenlinie durch die
vorgetragenen Bedingungen vollständig bestinutit ist, den einzigen Fall ausge-
nonunen, wo sowohl et als /? schon an und für sich = 0 wai-en.. In diesem
Falle wird stets auf welche gemden Linien die Abstünde tt und y auch

beeogen werden, ^em daher t eben&lls = 0 ist, so wird die CSur^e
(die dann ein Kros ist) nach tmserer liegriifsbesUmmung dem (jenus der
Ellipsen beizuzählen sein, hat aber das EigeuthUmlidie, dass die Lage der
Apsiden gänzlich willkürlich bleibt, wenn man anders jene Beaeichnung auch
auf diesen Fall anszudelmea belieben sollte.

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Belaäoaen, die «nea einielaen Ort ia der Bahn betreffen.

4.

Ffir den Abstand .r wollen wir jetzt den Winkel v einfuhren, der
z\vi:<(hen dir Apsidenlinie und der •ztr.ulcn Linie (radius vector) enthtdten ist,
die von der 8onne nach dem Orte des Körpers tiihrt, und zwar möge dieser
Winkel von derjenigen Seite da- Apsidenlinie beginnen, wo die AtMtSnde af
p<wittv rind. Auch werde angenommen, daw dieser Winkel nach derjenigen
Gegeaod loa vadue, wdiin die Bewegung des Kdipers gerichtet ist Auf diese

p

Weise wird x = reMV. mä demnach mueie Fomel r= , . , wonras

Mch folgende Schlüsse immittelbar ableiten lassen:

I. Ftir v = 0 wird der Werth de^ radius vector ein iUeiustes, nämlich

P

^^l^fe^ dieso- Punkt heisst das PeriheL

II. Deu entgegengesetzten W'erthen von v enUspiecheu gleiche Werthe
von r; die Apsidenlnaie theilt daher den Kegelschnitt in zwei gleiche Thcile.

III. In der Ellipse wächst von v = 0 an r beständig, bis es den gr(fe8>

ten Werth — ^ Aphei erreicht^ flir welches « = 180^ Nach Passirung

des Aphels nimmt r «af dieselbe Weise wieder ab, wie es früher gewachsen,
war, bis es flii- v = 360" das Perihel von Neuem berührt. Derjenige Theil der

Apsidenliiuc , welclicr an dieser Stelle vom PliUk I und ;in jener vom Apliel

begrenzt wird, heisst die grosse Axe. £s wii'd daher die grosse Halbaxe,

p

welche auch die uaittlcre Entfernung genannt wird, = -y^^^^- l^cr Abstand
dea inmitten der Axe belegenen Punktes (des Mittelpunkts der Ellipse)
vom Brennpunkte ist i ^ ' ^ ^ wobei a die groese Halbaxe beaeichnet.

IV. Dagegen existh-t in der Parabel eigentlk ii kein Aphel, sondern I*
wächst Uber alle (Irenzen hinaui«, je näher f an -f- \Hif oder — - 180* heran-
kommt. Ffir v = -'r'lHO" wird der Werth von r unendlich, was anzeigt,
dass die Curve von der Apäidculiuie in dem, dem Perihele gegenüber liegenden
Theile nicht geschnitten wird. £s kann daher im eigentlichen Sinne hier von

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6

Entw Boeh. Gniw Abaebaitt.

einer gronmi Axe, oder von emem Ifittdpimkte der Gurre nicht die Bede
eein; aber nach der gewöhnlichen ADanier der Asulym wird durch Erweite-
rung der Air die Ellipse erfundenen Fonneln der grossen Axe ein unendlicher
Werth beigelegt, und der Mittelpunkt der Cunre wird in anendlidie Entfernung
vom Brennpunkte gesetzt.

y. In der Hypnbd schlieBsIich wird v in noch engere Orenxea einge-
awüDgt, nüsdich innerhalb t> = — (180* — i>) und + — y^); wo yt

einen Wmkel bezeichnet, demen GorinoB ss— . Denn wHhrend v sich «nnem

e

dieser (Jrenzwerthc näbert, wäclust r in's Unendliche fort; und wenn für tinei
dieser Grenzwertlie »elbst angenommen würde, so würde der Werth von y als
ein unendlicher henuKkommen» was anzeigt, dae» die Hyperbel von einer ge-
raden Idnie, die g^en die Apaidenlinie unter einem Winkel von 180* — ^
oberhalb oder unterhalb genagt ist, ttberall nicht geschnitten wird. Fflr die
solchergestalt ausgeschlossenen Werthe, nämlich von 180" — tp bis zu 180* Vi
mast unsere Formel dem r einen negativen Wei-th an; denn die gerade linie,
die unter einem solchL-n Winkel gegen die Apsidenlinie geneigt ist, scimeidet
(6) selbst zwai- die iJy]Hrl)(] nicht, wenn u'iv jcdoclt rUckwÜrt« verl!iiir;(rt
wird, so triffl; sie das andere 8tück der Hypcrbtl, welches bekiunitli«;lt von
dem ersten Stücke überall getrennt mid gegen denjenigen Bretmpunkt
bin^ welchen £e Sonne evnumnit, convez ist Aber in nnserer Untei^
suchung — wdlcbe) wie schon orwühnt) auf der Vonnissetsang beruhe
dass r positiv genommen werden soll, — ndbmen wir auf dieses awdte StUck
der Hyperbel kdne Bücksicht, worin nur ein solcher Himmelskörper
einherziehen könnte, auf den die Sonne nicht nttractiv, sondeni nach den-
selben Gesetzen repulsiv warken würde. Ini ei<:!;entliclien 8inne des Wort«!
giebt es daher auch in der Hyperbel kt iii Aphel. Als das ^Vnalugon des
Apliels konnte dei-jenige Punkt des abgekehrten Stücks genonomeu wei-den,
welcher auf der Apsidenlinie Hegt und welcher den Werthen 9rsl80',

^ entspricht. Will unm dalier wi« bei der Ellipse den

e— 1

P

Wertii des Ausdrucks -p- ^ - auch hier, wo er negativ sieh ergebt, die halbe
grosse Axe der Hyperbel neimai, so zeigt diese Grösse die Entfernung

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JMläonta, die «in» «iuduMi Ort m d«r Bdu iNtodiin. 7

des bereit« ei-wslbtitcii Pimkies voiu Perihel und zugleich seine Lage an, welche

in der Ellipse die entgegengesetzte Btelle eiimimnit. Ebenso erhält hier — — — —

d. h. der Abstand des mittleren Punktes zwischen diesen beiden Punkten
(Centrums der Hyperbel) vom Brennpunkte einen negativen Werth wegen der
entg^engesetzten Lage.

1^

Der Winkel welcher in der Parabel zwischen den Grenzen — 180"
und -f-180", für die Hyperbel innerhalb — (18U'— und +(180' — iff) ein-
geschlossen ist, bei der Ellipse aber den ganzen Kreis in stets emeutcn Pe-
rioden durchläuft, heittt die wahre Anomalie des bewegten Körpers. Bis-
lang pflegten zmac tagt alle Astronomen die wahre Anranalie in der Ellipae
nicht vom Perihel, «ondon nm Aphel an an sSlilen, g^en die Analogie der
Parabel und der Hyperhel, in denen es kein Aphel gieb^ mid man daher
vom Peiihel anfangen musste. Wir haben indess um so weniger Bedenken
getragen, eine Analo/rie zwischen allc-ii Arten von Ke^^cl schnitten herznstellcn,
da die neusten trauzösischeu Astronomen dazu mit dem Beispiele vorange-
gangen sind.

Lu UcLrigeu ist e« mitimtoi- dienlich, die Form des Ausdrucks r —
^ etwas zu ändern. Vorzüglich merke man sich folgende Formeln:

l+eooev

P

r =

(l-|_e)c08 -J- (1 — ß)8iny V*

In der Parabel hat man daher: r = ' 2e(» ^^* Hyperbel aber

ist folgender AoBdmek besonders bequem:

r s

2 cos J (f 4" VO cos (y — y) *

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8

Erstes Buch. Enter Abschnitt.

(«) Wir wollen jetzt scar Verg^leichimg der ,,Bewegaiig** mit der „Zeit"

aclireiten. Wenn man, wie in Art. 1, den innerhalb der Zeit < um die Sonne
bescbriebenen Fläcbenrauin = setzt, die Kasse des bewegten Körpers m=ft

(die Sonnenmassc =1 gesetzt), so liaben wir: g»^ktyp.y{l~\.fi). Das Diffe-
rential des Fläx-henrntinis aber wird =7 ^voraus hervoi^bt: A'l/p<V(^+^)
= Jfrdv, wob« dies Integral so genommen wird^ das» es fttr <esO Terscbwindet.
Diese Integi-ation iiiu.s.s f(ir die verschiedenen Arten von Kegelsdbnitten auf
verschiedene Wei^c beliandelt werden, we^lialb wir das £inaelne getrennt be-
trachten, 'ind den Anfang mit der Ellipse machen wollen.

Dh /• anfJ V mittelst i'inrs Bruolifs htstiiunit wird, dessen NcTtsifr
•111-= z\v(!i Gliedern bestellt, 80 wollen wir vor allen Dingen diese Unbequciulich-
IvLit durch Einflllirung einer neuen Grösse fiir v beseitigen. Zu diesem Zwecke

setzen wir tang \ v V . , ^ == tang i £y wonach die letzte Formel im vorher-

l-|-e}cosyir 1+« 1 — 6 / 1 — «e ^

gehenden Artikel iiir r giebt

T

r • A ^ dt? ,/ 1— e , . , , pdE
i'cmcr wird . m ~ r~i V~t~. — >uia daher: dv «= —=-773 rJ

hieraus rrdv — ^^^-^ — — (1 — ecoBE)dE imd wenn man integrirt:
VH—ee) (1— ee)* ^ *

Wenn wir daher die Zeit vom Dnichi^angc durch das Pcrihcl an beginnen
law^n, wo y = 0, E=0 und daher auch Comtans = 0, so haben wir, weil

Bei dieser Gleichung muss der Htlllswinkel welcher die excen-
trisobe Anomalie bosst, m Tbeilen des Halbmenon «usfedrtlekt w«rden.
Offenbar aber Ittsst sidi dieser Winkel in Graden ete. beibehallen, wemi man

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BditioaeB, die

cnnlaMi Oit im dar Babn betr«fliHi.

9

nur auch 9tmE und ^ ^ dieselbe Art ansdrUdct; diese Gröteen

werden in Bogenseennden erludten, wenn man sie dnreh die ZnHal 206264,81
mnldplidrt. Der Mult^Heatitm der letsteren OnttaBe bleibt man ttber^

hoben, falls man SOgläck die Grösse k in Secunden dargestellt miwendct,
uiul daher setzen wir au Stelle des frlllu ren Wcrthes k =^ 3548", 18761,
dessen log = 3,5000065746. — Auf diese Weise ausgedruckt Ueisst die Grösse

^^ ■ ^"^^^ die mittlere Anomalie, die daher im Verhältniss der Zeit

wächst und zwar tii^lirh um das Augment ^ ^- i^^^) ^ ^ welches man die

mittlere tägliehe Bewegung (motus medios diumna) nennt. — Die mittlere
Anomalie bezeicbnen wir durch M,

7.

Im Pciihclc sind daher die wahi'e i\jiomalie, die cxccntii'äehc Anomalie
und die mitdere Anomalie =0. — Indem nun yon hieran die wahre Anomalie
wSdtst, so werden aueh die excentrische nnd die nuttlere jedoch so vermehrt,
dasfi die excentrische kleiner bleibt, als die wahre, und die mittlere kleiner als die
exoentrisehe, bis zxmi Aphel, wo alle drei zugleich = 180" werden; von hieran
al>or l)5s zum Perihel die excpntn?;c!tp immer gi-össer nh die wahre, und
die inittlero Aiioinalie grösstr als die cxceulrisclje, bis im reiilii-l alle drei
= 360 werden, oder was auf dasselbe hei-auskouunt, alle wiederum = 0.
Ln Allgcmeinai ist klar, dass, wenn einer wahren Anonttfie v eine exoen-
trisehe E nnd dne mittlere At entapridit, dann einer wahren von 360* — v
eine excentrische von 360* — E und eine mittlere von 360* — M entspriciit. Der
Unterschied zwischen der wahren Anomalie und der mittleren v — M heÄniit die
Gleichung de» Mittelpunkt« (aequatio centri), welche daher vom Pen hei
bis zum Aphel positiv, vom Aphel bis zum Perihcl negativ iift, im I'erihele
nnd Aphclc selbst aber veracliwindct. Du nun also v und M den vollen
Kreis von 0 bis au 360* in der idanliehai durehlanfen, so wird die
Zeit eines einmaligen Umlauft, welche auch die periodische Zeit
(tempns periodicura) beisst, in Tagen ansgedrUokt gefunden, wenn man 360*

AADtt. ««Mite A Bmm a Wi^t 8

10

Eam Buch. £ntet Abidiiutt.

durch die tägliche Bcweguag — ■ •-• * — dividlrt; woraus nun äeht, das» ftir

die verschiedctn^ii, mn die Sonne revolvirendcn Körper die Qoadnite der pe-
riodischen Umlaui'szeiten den Cuben der mittleren Eutferutmgen proportional
sind, in Buweit es erl/uilit ht. deren Maasen, oder vielmehr die Ungleichheit
der Masaeu zu vemacUlä«t»tgcn.

8.

Nun wollen wir die bemerlceiuiwertheBten Belatioiieii Bwiwihien den Ano-
malien und dem nodius vector sammeln, deren Ableitung Niemandem, der nur mittel-
mSflsig in der trigonometrischen Analyse bewandert ist, Schwierigkeiten darbieten
kami. Die Fonneln werden eoneinner, w<>nn man \\\r c flen Winkel einfJihrt.
dessen Sinus — e ist. W ird dieser \\ inkel mit (f bezeieluiet, so hat man:
V (1 — ee) =cos y ; V/ (1 + c) = cos (45"— H) V 2 ; ]/ ( 1 — c) = cos (45" -{- ^ |/ 2 ;

V^=^-ümg(45'-^y)i V{H-e) + V 2 eos ^y» VU+e)-

y (1 — i^^2mi\<f. — Die voTBttgKduten Relationen swiadien p, e, 9,
(8) V, ^ if sind folgende:

I. p « a cos 9»*

II. r = ^pT-5

m. r«a(l— «cosJS)

„ oo8t>4-« j cos — e

IV. eos£^ -TT- — ' — ; oder ooa»== — ^ — jr

1 "T « cos V 1 — C cos A

VI. cos i V/ Kl +««^ = «»i» V iltLv "'^^ * " ^ ^li^ti «
VIL tang^£=tangjt; tang (45"— ^

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Rd«tioiMO, di« liara «tueln«! Ort !■ 4ar Baku b ttcdfen.

11

«mr . r» r 8111 t; COS O» r 8111 1>

VIII. »m Ä ^ — ■

p acoB9

IX. r 008 » « a(co» E^e) = 2 a cos B+\tp-^ 45')co8 46*)

X. 8inj(t) — E)=idü^^mxv\/ — ==aia^<f sin £y

XL nn -f- = cos | ysin y |/ — = cos | r/) sin E y ^
XII. M=^E—eanE.

9.

Verlüngert tum «n, ans iigend ^em Punkte der EUipee auf die
Apeidailime geflUltes Perpendikd rttebriMe, bla es ^en aas dem Mittel«

punkte der Ellipse mit dem Halhmcsser = a beschriebeneii Kr ei» triflft, so
wird die Neigung desjriii^^fii Tlulbniessers, der dem Eins( Impidepuiikte entspricht,
gegen die Apsidenlinie (iihnlicli vprstfinden, wie vorlnii für die walire Anornalie)
der excentrischen Anomnlie g'lcich sein, wie sich olnie ^fiilie aus dvr (i]vic\n\n'^ IX
im vorliergelienden Aitikel ableiten iiisst. Man sieht femer, dass r »in v den

Abebmd einei jeden Foiiktai der ^pee woa. der ApndenKme bezddmet; und
da dieser Abstand nach Gleichnqg VUI «sacos^rin^ist, so wird er seinen
grOsaten Werth bei J?» 90* en^^en, d. h. im Mittelpmikte der Ellipee.

Dieser grState Abstand, der — a cos tp== V^P beisst d« halbe

kleine Axe. Im Iii onnpunkte der Ellipse, d. h. fiir r = 90', wird jener
Abstand oti'enbar oder gleich dem halben Parameter.

10.

IMe Gleidumgen des Art 8 enthalten Alles, was zur Berechnung der

exccntriachen Anmnalie nnd dar mittleren aus der wahren, oder der excentrisohen

und der wahren aus der mittleren erford^lich ist. Um die excentrische aus
der wahren abzuleiten , bedient man sich gewöhnlich der Formel VIT. Ge-
meiniglich, jcflnfl; rnipfieldt 68 sich, zu die-^eni Zwecke die Gleichung X zu
benutzen, b&tiouderä liobald die £zcenä:icität nicht zu gross ist, in welchem

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12

Erstes Buch. JElrster Abschnitt.

Falle E mit grömerer 8c1iHrfe ans X beredinet werden kann, a1» aua VII.
Ausserdem hat man bei AnwendniiL; <li i- Olciclmng X den Lu^urillimns des
Sinus von dt-r in XII {^ebnuiclit wii-d, sofort durch die Gleichung VIII,
welcher bei Anwendung von \'II erst uns den Tafeln genonunen werden
niUsste; wenn daher bei jener Methode der fraglit lu; LogarithujuH gltichfalls
dcu Tafeln cntuouunen wird^ m erlangt mau dadurch eine rrlituug fiir die
Bichtigkeit der Rechnung. Derartige Keclmui^isprüfnngen imd Bestätigungen
flind stete ttberaua sdiätzbari und uns bei denselben Batli» su erbolen, wird
dftlit r Ivei allen in diesem Werke abzuhandelnden Methoden, da wo es bequem
geschehen kaiui, un-seiv eifrige Sorge sein. Zur besser«» firläuterung fttgen
wir ein vollständig berechnefcs Ik-ispicl hin/u:

Gegeben sei f ;uo 55 29" 64, y = 14* 12' 1 " 87, logr =0,330 7640;
Gesucht werden: /?, a, E und M.

log «in y 9,389 7 L' (52

log cos w ü,8iG2677

9,206 0139 woruuiä « oob» = 0,1606993

log{l +«co«v).

.0,064 7197

0,330 7fi40

. 0,395 4837

. 9,9730448

.0,4224389

.9,8782740 «**)

HV^

.0,0323598.5

9,845 Ol li .5n
log sin { <f 9,092 0395

log sin i {v—E) 8,937 . 5 n also \ (t^— ^ = — 4* 58' 22" 94j
tr— £ = — 9* 66' 45 ' 88 i A'= 320" Ö2' 15 ' 62

*} Dar 4«M LvgwilkaiH Mgifllgt« auebstsb « dtolsl m, dtw 4i« ihm MCif itebnte Xiht tlM
miyativs irt.

. j . d by Google

.u».«n. Ol* i> der Bahn betreflcD. 1)

Ferner wird

« „ „^^^ IMmmi Ml lue lüB £ tnA Famil Till.

löge 9,389 7262 ^ ^ ^

log 206 264,8. . . 5,3144261 log — im » 9,8 13 6548 1»

log« in See 4,704 1513 logoofly 9,9866224

log Bin ^ . , . , . . 9,800 0767 n logtaaE 9,800 0767 n

4,5042280« ako e8ini:inSec. = 319 14--8 62 12 U
und M= 829' 44' 27" 66. Bedmimg luuih Fonnd VII für E:

165* 27' 44" 82 log tang |« 9,669 4679 n

4ö*_|.y=87»68'69"066 logtang(45°— 9,8912427

logtag^E 9,550 7006n

mm» 160* 26' T 76 und E^ 820* 62' 16" 62, wie oben.

410)

u.

Die unigekehrte, unter dem Namen des Kepler'echen Problems bo-
rflluttle Att%abe, nttmlidi ans der mitderen Anomalie die wahre und den mdiua
vector SQ finden, konunt weit Idtufiger sor Frage. Die Aatronomen pflegen die
Oleidinng des Kittelpunkles durch eine umendliehe, nach den SinOBsen der Winkel

IT, 2 , SM etc. foTfaehtfeitende ßeibe darzustellen, wobei die einzelnen
Cocffinonton der Sinusse ebenfalls Reiben sind, die nacb den Potenzen
der Exceiitrieitiil in's l'nendJiohc fortlaufen. Ich habe es um so wenijrcr für
notbwendig erachtet, micli bei dieser von mehrera 8chritteteileni eutwiekelteu
Fonnel fUr die Gleichung de» Mittelpunktes hier anfauhalten, weil sie, wenigstens
nach meinem Urthdle, fkir den praktiMhen Gebrauch, namentficb wem die
Exeentricitiit nidbt aehr Idein ist, vidi wei%er geeignet ist, als die indirecte
Methode, welehe icb daher in der Fonn, die mir die bequemste aeheint, etwas
n8her erörtern will.

Die Olciclmng XII, E= Af-\- esin E, die transcendent ist und eine
directe Autlütsuug uicht zulässt, wird durch Versuche nufgelöst, iudeui man
mit einem genäherten Werthe von E beginnt, der durch geeignete, so oft
wiederiidte Me t hoden oorngirt wird, bis er jener Gleichung genau GenUgc
tlin^ d. h. entweder mit aller der Genau^eit, welche die Binustafeln anlassen,
oder dodi mit der, welehe dem Toigesteekten Ziele entqpridit. Wenn nnn

14 Entea Buch. Enter AbMluiU.

jene Goireotioiiea nidit blindlmgB, sondern nach dner sicheren und faestimmtm

Nonn angestellt werden, ao besteht kaum ein wescntlu lR'i l'ntcrsi hied zwischen
einer »olehen indirecten Methode und der Auflösung durch Reihen, wenn nicht
dnriTi, das« bei jener der erste Werth der I nbekanntcn einigemiAiwsen will-
kürlich ist, was eher ftir einen (Jewinn gelten kann, da em schicklich ausge-
wählter ^\'e^th erlaubt, die Verbeisserungeu ausserordentlich zu beschleunigen.
Selsen wir vonnis, dam « genäherter Werth von E sei, und x die jenem
htnsnzuftlgende Qn Secunden ausgedrOcktB) Verbesserung, so dass der Werth
(11) E=t-^X unserer Gleichung genau Genüge thut, Msin berecime esint in
Secunden durch Logarithmen, und bemerke bei ditsn \ ; üihrung zugleich
aus den Tafeln die At nrlcriing von log sin f llir 1 dmch die Variatiiin
von *, sow ie die V eränderung des log c t^iii f titr die Aendening einer Eiiilu it
in der Zahl esin^; diese Veränderungen mögen olmc RUcksiclit aui die Zeichen
iL, sein, wobei es kaum nlithig ist, daran an eixnneni, dass dabd jeder
Logarithmus durch gl«di viele Dedmalstell^ ausgedruckt vorausgesetat wird.
Wenn mm schon t dem wahren Werthe von E bernts ao nahe kommt, dass
man die Verändemmgen des I>ogarithmus des Sinus von e bis an *-\-x,
und die VcrUndcningen des Logaritlunus der Zahl von p sin f bis zu csin(t-f-3^)
als. einförmige tinnchmen kann, so lässt sich offenbar setzen: e ain (i+a;) =

e stn c -| — , wobei das obere Zeichen fiHr den ersten und vierten Qua-

dranteo, das untere^ den zweiten wA dritten gilt — Es sei daher c-|-««»

J[/ -f- e »in (* + x), so wird x ~ ~^~r ('^+ e sin « — «) und der wahie Werth

von od» von «-f-***^+*Mft*i-j|^-^-^ (^f+«sin» — «) wobd die

Zeichen in angegebener Weise bestimmt werden. Uebrigens sieht muu leicht,
dass ohne Rücksicht auf das Zeichen fi : 1= 1 le cos t und daher inuuer fi
grösser als i, woraus geschlossen wird, dass im ersten und leteten Quadrsn-
ten M-{-«tiat swiachen t und «4*^? dass aber ün swäten und dritten

e-\-x zwischen f und M-^ e sin « li^; dne Begel, welche uns der Beaditung

der Zeichen überhebt. Weicht der vorausgesetzte Werth von « noch zu sehr
von der Wahrheit ab, als dass die vorliiii erwälmte Voraussetzung genau
genug sein sollte, so wird man wenigstens durch diese Methode einen viel

. j by Google

Bdatioiieii, di« «fnwi «iue^Mn Ort in d«r Balm iMticflint.

16

laberen Werth finden, mit welchem man die nämliche Operation nodi eimnal
nnd 80 oft ea iMtag sdieint, su wiederholen hat Es ist ohne Weitere«
klar, dasB, wenn der Unterschied des ersten Werthea ftlr « vom wahren, ala

dne Grüs»e der ersten Ordnung «angesehen wird, der Fehler des neuen Werlhe«
zur zweiten Onlnung gehört und durch Wiederholung der Operation zur vierten,
achten etc. ( >rdiniiig henmtergebraelit wird. Desto kleiner Uherdios die Exfon-
triatät ist, desto schneller werden die auccessiven V'^erbesserun^u couvergüreu.

Ein genKherter Werth iUr von welchem man bei der Bedmai^
ansgehflD kann» wird gemdniglidi sat Hand sein, besonders fiüht die Att%ab«

für mehre Werthe von M zu lösen ist, von denen eimge schon absolvirt «ind.
In Ermangelung aller anderen Hülfsmittcl constirt aber wenigstens soviel, dass
zwischen den Circnzen ^f und e liegen niuss (wo r, die in Secunden auB-

gedrtlckte Exceiitiicität Ijczeiclmet und wobei dnä obere Zeichen im ersten und
zweiten (Quadranten, das unteic im dritten und vierten genommen wird). Es
kann daher ftir den Anfangswerth von E entweder oder em Werth anga»
nommra werden, der nach irgend weleher SchStanng vennehrt oder vermindert
ist Kanm braucht erwähnt zu werden, dass die erste Rechraing, sobald man (IS)
von einem wenig genauen Werthe ausgeht, kerne ängstliche Genauigkeit erfordert,
und dass kleinere Logarithmentafeln, z. ß. die von lAlande, vdllig ausreichen.
Ausserdem kimn man zur Bcqnrailiolikcit der Rechnung immer f»olo]ie Werthe
fiir « wählen, deren Sinus aus (Uti I'at'eln selbst olme Interpolation sidi ent-
nehmen lässt, z. B. in Minuten oder in vollen Zehnem der Setuudcu, je
nachdem die augewandten Tafeln in Minuten, oder von zehn zu zehn iisccundcn
fortschreiten, üebrigena kann Jeder leicht diejenigen ModificationeD entwickeln,
wdehe jene Vorschrifien (Ur den Fall erleiden, dass die Winkel in der neuen
Dectmaleintheiiaqg ausgedruckt sind.

IS.

Beispie]: Eh sei die Excentricität dieselbe wie im ßeißpiel zu Art. 10.
il/== 332' 28 54 77. Hier ist daher log « in becunden = 4,704 lö 13 und

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16

£r*te» Bach. Erster Abtcimitt.

deshalb 60600' = U* 3' 20". D« nun hkr Ueiner sem tm als JT, ao
setzen wir sur enten Reclmting « = 326% wofUr man am den Ueineni Taleh

erhält:

log sin t 9J47 56 n, Vciiatewit l'...lt, alw XsO^sit

log e in See . 4,7o4 15

4,451 71 H

hieraus fsine — — 28295 ' — — 7" 5T 35 ' Vertuderong de» Logu-ithmas für ein« Tftfel-

J/-f C8in* -521 J( 20 ^_,545

Difierirt von < am 1° 22 40 4960 ^ fulgUch ^'H t X 4960'

= 1276" = 21' 16". Hiermit wird der verbesserte Werth von 324' 37*20"—
21 if; ;V24*16'4'', mit welchem nun die Keehnung nach grösseren Taieln

wiederiiolt.

log »in t . . .9,766 4112?* k = 29,25

löge 4,7041513

4,4705625 n // = 146

e sin — 29550" 34 = — 8" 12 30 ' 34
M+esiat 324' 16' 24" 4»

Differirt von t am — 20" 43. Moltiplicurt man diese

i 29 25

Difterenz diuch — —--—^ , su ci hiilt umn — 5" 12 und ditlicr ist der

fl l lin, (;)

aufs Neue verbesserte Werth fllr ii'= 324* 16' 24" 43+5 " 12 = 324- 16' 29" 65,
innerhalb O'Ol genau.

(18) Ii.

Zur Bestinuuung der wuliren Anomalie uud des radius veetor aus der
excentrischen Anomalie geben die Gleichungen des Art. 8 mehre Methoden an
die Hand, von denot vir die vorzüglichsten erlaittem wollen.

L Nach der gewöhnlichen Mediode wird p durch die Gleichung VII
und dann r durch die Gleichung II bestimmt Aul' diese ^^'else steht das
Beispiel des vorhergehenden Artikeb, wenn man den iUr p in Art. 10 gege>
benen Werth beibehlUt, so:

. j by Google

Rdttioneii, die «Ben eindneii Ort in der Bahn betrelTen. 17

I E^- 162' 8 14' 75. log e 9,381) 72G2

log tnng \ E 9,508 2198 w log cqh v 9,849 6597

log tnng (45*— ^y) ■ . 9,891 2427 9,2393859

log tangl V 9,616 9771 » c cos v = 0,173 5345

f t» = 157' 80' 41" 50 lüg ;> 0,395 4837

V s= 315 1 23,00 log (1 +e cos t>}.. 0,069 4959

log r 0,3259878

II. Kttnser ist folgende Methode, wenn mehre Orte zu beredmen sind,
fttr welche man die constfiTitrn T, >;_'initliiiu ii ilir (IrÖssen l'^ (i (1 -f-e), 1^<?(1 — «)
nur emmal zu berechnen braucht Aus (Im Gkichungen V und VI erhält man

un J \ ' r = am \ E V «i (1 + e)

cos |t V/r ^- co8|-ffVa(l— e)
wodurch J r und log]/j' sclmell bestimrat werden. Im Allgemeinen wird
allerdmgs — sobald man PsinQ = -4, Pco» Q = B hat — Q dtu-eh die

Formel taug Q « gefundmi, and dann ist himuMih F ==■ oder t =

IKe Entere wmdct man an, wenn sin Q gi-iisser als eo.^ Q ist; die ^^weite,
wenn cosQ griJsser als sin O ist, Oemeiniglich sebllessen die -Aufgaben, bei
welchen in;in zu sfvlrlitii Gleichungen gelun;,^t, fnie dieselben denn in
dicif in W't i kc »ilir liiiulig vorkomuien) die Bedingung in sich, das.s P eine
positive Grösse sein muss, und diuni wird der Zweifel, ob Q innerhalb
0* bis 180*, oder von 180" — 360* zu nehmen ist, von seibat hes^tigt Ohne
da» Vorhandenfldii dner aolchen Bedingung aber bleibt diese Bestimmung
unserem Ermessen ttberlaasen.

In Dnnerem Bnspiele haben wir e = 0,2463162,

logsinf .... 9,4867632 logcos^ 9,9785434»

log VoflHR. . 0,2588598 ]ogVa(l— e). . . 0,150 1020
Hieraas (14)

log sin I vyr. . 9.745 G225 1 woraus log taug ^ r = 9,616 9771 n

log cos^ e'V^»*. . 'M2S (14r)4 «J \v — 157" 30' 41' 50

log coa^ V 9,965 6516 n r = 315 1 23,00

logl/r 0,162 9939

logr 0,3259878

OAOU, TtaMto d. ■•«((. 4. BtaMlUk. 3

. j . ci by Google

18

Erstes DbcIi« Enter Abschnitt.

III. DicjsC'U ilctliudcu lligcii wie eine dritte hinzu, welche heinaho

ebenso Imn, a]s die zweite, dieser aber da, wo die Kttraerste Genauigkeit

verlangt wird, meistens vorzueiehen ist Zuerst wird nSmltch r durch die
Glcichiui','^ III, iiikI sodann v acts X bestimmt. Unser auf diese Weise be-
tiandelteü I3ei«picl atcUt dann so:

lofT e 0,380 72Ö2 loj^ sin 7? 0,766 3366 n

hg coij7i 9,009 4637 log |/ (1— ccos JE}... . 9,951 7744

9,2991809 9,8145622«

e cos ii = 0. 1 90 lö 14 lofr sin j 9,(»92 0395

log rt 0,422 4389 log siji | ( ii') H,0()6 60 1 7 u

log (1— € CO« Kj ... 9,903 5488 l (v— A") ^ — 4" 37 33" 24

logr 0,3259877

v—£ = — 0 15 6 48
o « 315 1 23 02
Zur Frtifung der Bedmang ist die Formel VIII oder XI sehr bequem,
vorzüglich wenn v and r durdi die dritte Methode bestimmt sind. Hier folgt
die Becbnung:

log -^sin £. . . . 9,862 7878 n log stn EV^ 9,8145622 ti

log cos ^ 9,986 5224 log cos | f/^ 9,996 6567

0,849 3102« 0,8112189»
log smv 9,849 3102n log siii } [r + A) 0,811 2189 n

1&

Da die mittlere Anomalie If, wie wir gesehen haben, durch v und q>
vollständig bestimmt wird, nnd ebenso v durch jtf und ^, so ist Uar, das», wenn
alle drei Grössen zugleich als veilinderliche betradttet werden, unter ihren

dift'ercntinlen Aendeningen eine I3edingiing8gleichung Statt finden müsse, deren
Erforschung nicht überflüssig erscheiut. Indem man zuerst die Gleichung VII

im Art. 8 differentiirt, erhült man = — diflferentürt man nun

auch die Gleichung XII, so folgt dM = {l — 0coBjEI)dJI? — txaE coB^d^»
SUminirt man aus diesen Difleren^gleichangen dE^ so restdtirt

R«1«tIoiwii, die «inm cimelneit Ort in der Biba betreffen. 19

(1 ^1/ — ; (i — ( sm h OOS </■ H ^ 1 (1 (f.

sin V \ ^ ' cos 9 / '

oder, falls man für sin und fUr 1 — e co» E ihre Werthe aus den Gleicbiin-

gen VIÜ und Iii substituirt:

ditf= dv

r(r-|-;)).'(im;

oder endlidi, wenn man jedoi Ooefficienten nar durch v und tp «isdrllckt:

, mm COS ip' , (2 4- c COS ü) sin v cos « ' ,
ailf=7f-r Ts aö— — i— , »

ßeti'tachtet man umgekehrt v ak eine Fmiction der Grös*eu M mid y, so ei liäii
die Glaehnug folgende Form:

dw — dJ/H ä aw

oder durch £iufiihrung von E süitt v

. dl. «^^i^^dJ/+-^(2-^co«£-^«e)8m£dy.

16.

Der raclins vertor r wird fliireli ?' inid (/> oder durch J/ und ff nofh
nicht vollständig besthmnt. «nn<l('in hängt (lerselho überdio".* von p ndvv vmi a
ab. Sein Dift'erential besteht daher sxas drei Cfliexiern. Dnreli Ditferentiation

der Gleiehung II im Art. 8 erhält man

dr dp , esinp , cos >; cns r ,

Setst man hier — ^ tang *p^9i i^"^ l^ffierentiAtion der

Gleichung I folgt) und drückt sufolge des vorh^gehenden Artikels Av dureh
AM und Afp auS} so folgt naeh den ndthtgen Rednctionen

^ == + y tang<f slnvd Jf — cus </ cos v d oder

dr SS •^a-f-atang^sinvdif — acos^cosvd^

Uebrlgens Ijcinihen diese, Howie rWc im vorhergehenden Artikel
entwickelten Formeln auf der Annahme, das» <f und oder viel-
mehr dl', dy und (l }f m Theilrn dos Radius dargestellt werden. W ill

mau also die VerUnderun^u der W inkel *f, M in Becunden aus-

8'

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20 Kntta Bach. Kntor Abschnitt.

drucken, so mius man entweder diejenigen Theile der Fonnehi, welche dr,

d(f oder (\ .]f eiitlialten, diinl» L'OGi'O l.S «lividiifii, oiler diejenigen, welche dl",
dp oder de« enthalten, diireli die.>ell)C Zalil niultijdioiren. Es worden daher
die Foi-ineln des vorlicrirfl ftidrn Ariiktls, weiche in dieser Besiebu^g homogen
hiud, einer Aeuderun^ nicht beilürlen.

17.

(16) Wir w(dlcn noch Einige« Uber die Untersuchung der grössten

irittelpiinkt.Hgleieliung liinzuflijxcn. Zuvörderst ist von .seihst klsir,
djuw der Untersehied zwi-;f!>on dff exccntrisehen nnrl niirtliTen Anomalie
ein Grösstes ist Air E — 90 \ wo er gleich e (in (irailen u. s. w. HUi?gedrüektj
ist; der radius vector in diesem Funkte ist s a; woraus v — 90" -f 9^ und
Bo ist die ganze Glenehmig des MittelpirnktB b 9>-f-«i welche jedoch hier
nicht ein Ortintes ist, wdl der Unterschied zwischen v und E noch über y
hanaiifi anwaelisen kann. Di est i Untersehied 'wird ein Orüsstes (Ur d{v — -E) = 0,
oder ilir dv «SS diii^ wo die Exentridtät offenbar als constant ananisdiea ist.

Da im AUgemeinen -^j^ = "S^* erhellt dieser Annahme, dasa in

dem Punkte, wo die Differenz zwischen v und E ein GrOsstes ist, mnv *=tanE
stau mnss; wodurch man ans den Gleichungen VIII und III erhält: r=saot»^i
ecobE — 1 — co.sy, oder cos-ß" — -|-tangj<y. Ebenso wird gefunden: cos»»
— taag4^9>, weelwlb sein wird*): v ^ 90° + arc. sin taug |^ y , £ = 90* —

are. sin fang •^<jp, hierans ferner KaE= — tang-^^*) ~ "^y^i w

die ganze Gleichung des Mittelpunkts m diesem Punkte wird » 2«rcBantiingf 9

•\- 2 mi j (f Y cm (f^ wobei der zweite Theil in Graden etc. ausgedrlu kt i^t. In
demjenigen Funkte (wllieh, wo Ii'' i^'anzc Gltic liunji; des Mittelpunktes cbi
Orössfcs ist, muss dt; = dJI werden und dalicr nacli ^Vrt. 15^ r = a]/oos9>;
iiieraacli wii'd

cos» = j , COSA .(i + y«o,v) ~T+Vcwf.'

*) Auf dicgenigoa Maxiaia, die zwischen dem Aphcl und dem Perihcl liegen, brancbt mm kciue
Bnokalolit m mbnm, d» lif offnliw vm im xmiaAm Ptelhtl nad Afilwl MkgHMn ii«r Ib den

. j by Google

RelotioaeR, die «inen einselnen Ort in der Bebn betreffen.

21

durch welche Fonnd man E mit der ttusaenten Q^uuugkeit bestimmen loom.
Wenn E gefunden ist, wo wird mittelst der Gleichnngen X und XII die Gl^chni^
des lifittelpnnktes

A . sin kwsinEt • w

= 2Ärc8m — '-^ \'ewmE.

y

Bei dem Ausdrodce der grössien Mittelpiiiikt^Idchtmg durdi dne, mich
den Potenaen der Ezcentricdtltt fortschreitende Bdfae, die mehre Schrift-
steller abgehandelt haben, wfll ich mich hier nicht aaffaalten. Als Beispiel
wollen wir einen Oonspectus der drei hier betrachteten Maxima fUr die Jtmo
hinzufilgen, deren Excentricität nach den neuesten Elementen 0,2554996
angenommen ist«

Maximum

E

E—M

a—E

v—M

E—M

v—E

v—M

90* 0* 0"
82 82 9
86 14 40

14* 38' 20" 57
14 80 54 01
14 36 27 39

14* 48' 11" 48
14 55 41 79
14 53 4957

29* 26' 32" 05
29 26 3580
29« 20 16 96

18.

In der Parabel wQrden die excentmche Anomalie, die mittlere Ano- (17)
malie und die mittlere Bewegunjj =0 werden, imd liier kSnnen also diese
Bcgrifisbestiimnungen nicht zur \'t rirli ic Imiig der Bewegnng mit der Zeit
dienen. .Jctloch bedllri'en wii- lj< i (h r i'arabel zur lutegriruiig von rrdt' eincö
Hiilfswiukebi Uberall nicht; «Unu cü wud

- -

und daher: Jrrdy = \jyp{tacn^ \v-\-\xm\^\v^)-\-com,i. Wenn nmn die Zeit

vom Dnrcligange durch da» rerüiel zu ziihlen beginnt, so wii-d die Constante
s 0 und man hat dah^

««.gj, + i..ng^-= *'**^f+''>

dTtrch welche Formel man t aus v und r nns i jibleiten kajin. sobald p und »
bekannt eiud. Statt p pflegt Lei par;ilir)lis( licn Elementen der radius veeior
im Perihele, der = \p ist, angewandt und die Masse Überhaupt vernachlässigt

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22

Erat«» Bneb. Enrtcr Abwhiiitt,

tn werden. Schwerlieli wird es jeinak luüglicli scm, die Masse eines solchen
Körpers, deseen Bahn als Parabel berechnet wird, zu beatimtneti und in
Wahrhdt scheinen die Gameten nadi den nettsten und berten Beobaehtangen
eine so geringe Dichtigkeit und Slasse zu bcsitaen, das« letztere als unmerklich
angesehen und mit i^icherheit vernachlässigt werden kann.

19.

Dir Aufliistinq' drr .\nfp"nhp: aus (Irr ^v.'^!ir<>n Aiioraalie Hie Zcif nh-
zuieiteii und ii'k Ii virlnH-lir dir Autlüsiuiii' des uiiiiiekeiirUni l*ri>liKin>, k;inn
bedeutend duifii tiue lliiltstalol erleiflitcrt wurden, welche iii sehr vielen astro-
nomischen BUchem sich findet; Die bra weitem bequemste aber ist die Bar-
ker*8che Tafel, welche auch dem ausgezeidmeten Werke von Olbers (Abhand-
lung aber die Idcbtcste und bequemste Methode die Bahn eines Cometen zu
berechnen, Weunar 1797) angehängt i^t. Dieselbe enthält für alle wahren
Anomalien von 0 Im 180° von flinf zu fünf ilinutcn den Werth des Ausdruckes
75 tan{j4 ?" -f- 25 tan<^-jr' initer dem Namen mittle i c I^cweg^un g fniotus medius).
^^'ird djdtor die Zeit verlangt, welche der waliirn Anomalie v eutj<|>richf, m
braucht man nur die mit dem Ar-^umenle v aus di r Tafel genommene jiiitilt i-e

Bewegung durch — r- zu dividiren, welche Grösse die mittlere tägliche Be-

wegung (motus medius diumus) heisst; wenn dagegen aus der Zeit die wahre
Anomalie bereclmet werden soll, so mnss man ^e in Tagen ausgedrückte 2^eit

mit mnltiplicircn, um die mittlere Bewegung zu erhalten, womit man die

entsprei lunde Anomalie au.s der lufel nimmt. Im LJebrigen cntsprii ht otfenbar
einem negativen Wcrthe von v dieselbe mittlere Bewegung und Zeit, aber
n^tiv genommen. Die nümliche Tafel dient daher eb^isowohl für n^tiye
als fllr positive Anomalien. Will man statt p lieber den Abstand im Pen«
(18) Ilde jp benutzen, so wird die mittlere Bew<^ng ausgedruckt durch
1/2812^ ^ conslantc Factor *V2812,6 gleich wird: 0,912279061 und

dessen Logarithmus = 9,9601277069. Hat uiau die Anomalie v geftmden,

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lUtttionm, die «iwii «iaseloan Ort in dsr Bibo b«tT«d«n.

23

so wird der radius vector dorcb die schon oben mrähnte Fonuel r = • —
bestimmt/)

Durch IMfferentialaon der Gleichung tang i ^ + i ^"g ^v* — 2 tkp ^ erhält
man, wemi alle Grössen ^ p als Teründerliche behandelt werden,

» . = 2kp-^ dt— 3 tkp-^ i\p, oder dv = ^ at — dp

Wümcht man die ^\ i iin(lt rmi<|en der Anumaliu v in Seeiuiden auszudriieken,
«so inUsseu aueii beide Tlieilc von dv aid' diese W'eise ausgedrückt werden,
d. h. man muss fitr k den im Art. 6 gegebenen Werth 3548" 188 annebnen.
Wenn non Überdies für p eingeführt wird ^p^q, so erhftlt die Formel die
Gestalt

tr rry2q "

wobei die constanten Logarithmen log /c ]/2 =^ 3,7006215724; log3Ay| =
3,8766128315 zur Anwendung kommen.

Femer wird dnrch die Differentiation der Gldchung

r = — ^* . T- erhalten — = + tung \ v d v.

oder wenn umn dv durch dt und dp ausdrückt:

^ _ (A 3^<faing^t , , A. V'/;tiing j « ,

r ~\p ^rrVp ) '^^'^ rr "

Der Coefficient von dp geht, wenn man für t den Werth aus v substituirt, über in

a= -g^rj •1®'" CoeflScient von d/ aber wird = ; lüeraus folgt dr = J cosfdp
-| — — d/ oder, wenn man j fiir J9 eiiiluhrt,

dr as oosvdg-j — ^^'g^" d*
Der hier anxuwendende oonstante Logarithmus ist logA]/4'^ ^»0850664436.

*) Eine zV iSmim Allflnl faUMIIll» BUMrlUmf vi» OWM In Nr- Icr A^r nnmiidltll Mwh-

ricktco tUkt Aakaaf. Aomcrkiuif de« Uabcnciam.

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24

Ente« Buch. Emtu AbachnitC

21.

In der Hyperbel wttrden 9> und £ imaginüre Grü88Pii werden,
und man nmss, um solche zu vcniK-iden, an deren Stelle andere Hülfe-
gr{Jteen eintUhren. Den Winkel, dessen Oosmus « ist, bezeiclmeten

wir schon oben mit V ™*d iandea den radius Yector — 7, n — ^ rr t-\

Die Factoren in dem Nenner dieses BruobeSf ooft^(v — yi) ond cos|(r-f v^),
werd^ einander gleieh, wenn i? = 0 ist} da: xweite verschwindet bei dem
griSssben positiven Werthe von t> der erste aber bei dem grSssten negntiven

Werthe. Setst man daher ^^^ '^^ ss u so wird « » 1 im Perihel: es

wäclist iu iuHnitum, wUbrend *• sich sciuem Grexuwerthe ISO'—tf uUUci't; da-
gegen nimmt es in infimtura ab, wenn v za seuiem anderen Grenzwerthe
— (180* — if) znrttdckehrt; so dass den entgegengesetatten Werthm ftir r die
reciproken Werthe von tc, oder, was dassdbe ist, solche Werthe entsprechen,
deren Logarithmen complcmentürc sind.

Dieser Quotient u kann sehr bequem in der Hyperbel als Uillfsgrösse
angewandt werden; und mit ungefähr gleicher Concinnitiit kann an seiner Stelle

■ € ____ J ^ ^

der Wiiikel fungiren, (Iciisen Tangente = tang^ rV'—_pj- ist, und den wir zur
Verfolg^ung der Aiirdri;Tic niit der Ellipse, durch bezeichnen wollen.

Auf diese \\'i i>-c saiiiim lt man leicht folfrende Relationen zwischen den
Grüsseu ü, r, F, wobei wir a ~ — b »etzcn, so dasä* 6 als positive Gi'cwmh'
herauskommt:

I. 6 = />cotimgV'

I4>«eoso 2ciM|(«^f) co*4(«+f)

III. tiUigi^=tangivV\.^i langlrtajiglV' = "^^T

, . 1 » / _L M 1 -f-CQS f COS« e-f-cosi;

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Rdationen, die einea «iii«ela«n Ort in dw B«bn b«ti«flStii. 25

Wenn man von der Gleichung V auf" ht'idcn Scitou 1 abzieht^ 80 folgt:
VL ,ni^vl/r=.\niFV^:::^^^^Fl/^^ (20)

In almliflier Weine wird, wenn mau anf Ix-idf-n Seiten 1 uddirt:

Dividirt man \1 dm'cli so konunt man zu 111 ztn-itek; die 3lulti-

plication crgiebt:

VIII. rsiu V — p voUiug i^' Uiiig F — 6taiii^ it-tnuy; F

= i 7> potan/^- ip (« — \)= f '-i " ^' ' ^« —
Aus (Jombination der Oknclimi^en Ii uud V leitet aick leicht ab:

IX. r coB« » ^5^) = T Ä (2e— tt—- ^)

Ana DifTerentiation der Fonnel IV folgt (wenn man y als besCKndige

Grösse ansieht) — | (taug J- (f -{- — tang j i'r — v)) dr = ^^^^ dt";

hierana rrdv = -^^ ^^^ du; oderj M]& fiir r der Wmb aus X Bubstituirt wird:

rrd» = M tang t/r ( i- e (1 + -J^^ ) — du

Integiirt mai\ hierauf so, das» das Integral im i'eiilicl vcrst^liwindet,
80 Tttdltirt:

Jrrdt» = ftft lang \p ( e (« -- -^) — log u) ^/ V/;> . 1 / ( 1 -f- «) = M tang V n)

Hier ist der Logaritluiic ein hyperbolis« lu i-; will innn (lalicr 1 j-;^rii itlimcn aus
dem Brigg'fichen Systeme, oder allgemcüi aus einem »Systeme anwenden, de&seu
Modulns B i ist, und die Mwne // (von der wir iunebmeDf daas aie itlr einen

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26

Ente« Buch. Entar Abidmitt.

in der Hyperbel eiuhc r?:iehendeu Körper unbcätiumibiu- sei) vcruachlSssigen,
8o nimmt die Gldchun«,' fo1<^ende Geatalt aa:

... , , HU— 1 , ) kt

(21) oder durch Euitülu ung von F,

Ae lang i«'— log taug (46° + i = ^

Wemk bei der Anwendung Brigg*8che Lognritbmen yoraiugesetet werden, so
haben wir logl* 9,6377843113 und log2it= 7,8733657627, aber man kann
eine ehvas grösisere Genauigkeit erreichen, wenn die hyperbolischen Logai'itlmien
unniittelbrir anfrewniult werden. II\]>(i!Hi!i.-clip Logarithmen dir Taiii^Tiitcn
werdt. li in iiieiiren Tafel -Sannnlungen aitgt;tP 'Hi ii, ■/.. B. in d( r Sc Ins 1 z e schen,
und in noch growcrer Ausdehnung bei „Benjamin Ursiuus, yfosser logarä/i-
mwdhr Canon der Dreiecke, Cöh 1624," wo sie von 10 zu 10 Becuiiden fortr
gehen. Uebngem zeigt die Formel XI, da» den redproken Werthen von «,
oder d^ en^g^engeeetsten Wertben von F und aueh entgegengesetzte Werthe
von t entsprecben, weshalb gleiche Theile der Hyperbd die auf beiden Seiten
gleich weit vom Perihel abstdien, in gleichen Zeiten beschrieben werden. ■

23.

Benutzt nuui, utu die Zeit am der waiu'eu Anomalie zu tiudeii, die
Httl6grösse «, so wird dercni Werth am bequemsten dm%h die Gleichung IV
bestimmt, worauf die Fonnd II sofort ohne neue Bechnong p aus r, oder

r aus /' gicbt. Ist alsdnnn « gefunden, so gicbt Formel XI die Grösse — , ,

welche der inittleren Anorn.'dic in der KUipse analog i.st, und mit N bezeichnet
werde, un<l liieraus ergiebt sieh die seit dem Durchgange durch s l'eriheJ ver-

flosaene Zeit. Da der crstere Tbeil von nämlich — — - durch die
Formel VIII a^-^^j^ wird, so kami die doppelte Berechnung dieser GrtfSse

zur Prüfung der Schärfe dienen, oder es iKsst sich, wenn man dies -vorzieht,
N ohne u in folgmder Weise bestimmen:

A tnnp^ t;» sin cos J (f — t"l

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Roliitiomn, di« eu«n eitiMliwn Oft in it«r Bahn betreffen.

27

Beispiel. Es sei — Hx-2i) oder w ^ Tt" 0" \ >■ ^ 18"51'ü";

lüg r = 0,033 3585. Dann str itt die lieclmung tllr «, /J, 6, Js\ t so;

\oQcm^{v—xp) i),9941706 l

lögoo«! (f 4- V'j 9,946 0577 J

logr 0,0333585

Iog2e 0,4020488

logp 0,8746356

log cotaiig xfi* 0,227 4244

woxans fog» 0.049 1120

« = 1,119 7289
tttt = 1,263 7928

log» 0,6020600

log^ 9,4312985

log sin t; 9,5093258

logA 9,637 7843

Oompl. log gm V 0,2147309

8,793 1395

Enter Theil von 2^= 0,062 1069
log« = 0,049 1129

N 0,0129940

logU 7,8733668 1

ilog6 0,903 0900 J

Die andere Rechnung

log [uu— 1) . . , . (),4()4 4793
Compl. log «...9,9508871

logi 9,6377843

logf« 9,7999888

8,793 1395

log 27" 8,113 7429

Difleieiiz 6,9702758

log* 1,143 4671

t « 13,91448

Soll die fiedmung, mit hyp^rbolinben Logaritlunen geftttut w«rdeii|
RO crapfieUt es ncli, dabei £e durob Gleichong III sa bestunmende Httlf»-
gritee F zn brauchen, und hieraus N dnrch XI zu suchen; der halbe
Parameter w-ird au» dein ratliu» vector, oder wechselsweisc die-fr atin jenem
mittelst Formel VIII berechtiet ; der zweite Theil von kuim aut doppelte
Wciric cnnittelt werden, näniUcli durch die Formel: log liyp tang (45" + ^ F)
oder durch log hj'p cos j (t' — ifi) — log lyp cos { (w + V)- Uebrigen ist e«

klar, daw die Grötte N hier, wo A l ist, im VerhSltaisee von 1 : A, grö^oer

4*

by Gt)ügle

28

Bistet BdcIi. Ectrier AbMlwitt.

hmms kommt, al« bei der AiiwfiKliinp
aut diese Weine bcliaiidclte» Beispiel st

log lang I V 9»531 8179

log t«ng I w 9,220 1009

log lang ii'' 8,7.01 9188

lege oaul 0l88

lug taug ;ui54.'i3fi6

etangF= 0,143 00038

logliyp tang:45^-fi F; =0,1 13 08666

N =0,029 91972

log* 8,2365814 I

flog 6 0,9030900 J

von I^j i^'ir'sclien Logaritiuuen, Uuaer,
•lit dann so:

LF = 3" 13' 58" 12

C, log liyp cos y (f — -tp:

^ 0,013 42266

C. lüg hyp OOS l \,v-\-tpj

= 0,12650930

= 0,11808664

logJ^

log'

ia,91445

35.

(Sd) Zttr AuflKsung der umgekehrten An%abe, ans der Zd,t die wahre

Anomalie und den radius vector m bestunmen — wird znerst aus N = Xkb'^i
durch Gleichung XI die HiilftgrSsse u oder F eninttelt. Die Auntlsting

dieser transeendenten rneirfiung gcsdiieht dtirrli "\'< i.-ik he . wi k lic diin^h
äiiulicliu Kunstgriffe abgekürzt werden können, wie die in All. 1 1 aiiscüiaader-
gesetzten. Wir setzen uns dariilicr binweg, dies näher iioeb zu erklären; denn
es scheint uns uieht der MUlie wertb, diese Vorsclu'iften ebenso Uogstlieh ans-
snf^len, als die ftir die Ellipse, da der Fall der hyperboliseheo Bewegung
in den Hinunelsriinmen vielleicht kaum jemals sich sntrMgt, und da ausserdem
alle Fälle, die vielleiebt eintreten sollten, durch eine andere, weiter unten
auseinanderzusetzende Methode sich erledigen lassen. Nachdem man F oder w
gpftindeii büt, wird daraus fj diireb Fonnel III, und itodann r aus II oder VIII
In siiniiiit ; Ijcqui'inrr wridcn nnfb V und r zugleioli mitteilst der Fonnel \'I
und \ 11 eniiit, und zur Priiluiig der Kcclinimg kaiui man tlie eine oder die
andere der übrigen Fonneln benutzen.

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Rektionen, die eiiien cimelnen Ort io der Bebo beticffen.

29

96.

BeiBpieL Wenn « und b axy wie im vorlicrgolicndcn lieispielc bleiben,
und t = 65,41236 ist, werden gesndit: v and r. Bei Brigg'sclien Loga^
ritlunen liiit man

\ogt 1,815 6598

log iA;6'^....6,y7u 2758

logjy 8,785 9356; 0,061 08514.

Hieraus findet »ich, dass der Glpiolnmg
N'= U tang /> — logt<uig(45''+ {F)Q enUge geleiätet wird durch 25* 24 27" 66 ;
woraus nach Formel III:
log taug ^F,,,. 9,363 0120
log tangi^ .... 9^31 8179

log tang |r 9,8211941 alflo 33*'31'29"89; o = 67'2'Ö9''78.

Darnach hat man femer:
aiogco.i(.+^) 0,2137476 |

log^ 9,9726868 * ^ '

log>- 0,2008541

27.

Wird dir Gleichung I\' so dift'erentiirt, dass », «, ^ augleich als
vetändeiücke behandelt werden, ho kouuut

dw sinv»dt rtang^ ^ , rsinr ,

i>itierentiirt niiui ebenso (Jleiclmng XI, so ergiebt sich unter den
differentialen Veränderungen der Grössen «, t/S ^ folgende Relation:

-r = (T<l+^)-vJ<^^+ ^>«o»»' oder

dUT f , , r sin u ,

-T- = I— du-f -r — dlf

1 6« ' öcoey ^

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30

EntM Buch. Enter Abicbmtt.

und hierai» erludten wir, wenn dtt nuttekt der vorhergehenden O^huig
diminirt wird:

= rr, <l «• h { 1 + ) ; - ' - d V» oder
irr \ ' f / siuy

Wird Gleichung X difierentürt, und alles 6, e, u dabei ab

yerSnderlidi behandelt i aach für d« « ^V' subtttitnirt, und luglmeh dtt

nut Hülfe der zufolge des vorheigehenden Artikels simdien dA^, d«, dv be-
stehenden Gleichtmg eluninirt, so folgt:

d.==^d6+54^d7^
Der Coeffident von d2l^ geht durch Oleiehung VUI VHtt&e m der

" ® A sin ^ '

Coeffident dv aber, wenn man aus Gleiclnmg IV, «{sin^/ — sinr) = &m{\i> — t);

(ainV' + sinfj = 8m(y + rj setzt, wird verandm m: ^-j — a= ? , &o

du&s luHn hat

^ = _d64-i35^d-y+^

In so fem man N als eme Function von b und t betnchtal, wird

AN = ^ d< — f*~y ®^ Substituimng dieses Werthes werden dr und

ebenso ün vorliergelicudcn Artikel tlf, durch d/, d6, d^^ auagedi'Uckt erhalten.
Uebrigens muss das, was schon oben erwHhnt, auch hier wiederholt wecdoti,
(25) nMmlich, dass wenn die Veränderungen der Winkel « und v nicht in Theilen
des Badios, sondern in Secondcn ausgedruckt genommen werden, entweder alle

(jilieili'i, die dr, d^ entlmlten, durch 206264,8 au dividirfln, oder die ttbrigan
durch diese Zahl zu multiplidren sind.

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RdaitioiiM, di« «ÜMa «buelnen Ort to dar Bibn Iwtrdfeii.

31

29.

jDn «fie in der Ellipse angewandten HulfaigirfisBen Mm. der

Hjrporbd imagiirfbpe Werdie erhalten, ao wird es nUtdidi aeSn, dmren Ver>
bindung mit den reellen Grössen, die wir gebrauclit liahcn, m ertbrschcn ; wir
fligen daher die vorzUglichaten Relationen hinzu, und beaeichnen die imaginäre
GrüMe y — 1 mit «.

taBg(45'— = V J = 1 1^ ~| = »tang A

tang r/5 = 1 cotaiig (-Aö" — ^ — ^ taug (45* — | ^

(f. =- 90°+ilog(8iny + icosy; = 90* — »logtaag(45'4-|^y)
tang {i,' = » tang i/-^^^'^
j|j2= ^cotaiig|£+^tang|jfc'=s — footangF oder
naE « »tangF» ^^"^7^^

cotaug E = \ ootang jE~ { lang — oder

tangÄ«««m/^=^^^;;;^

«»^^i^=-^5 iÄ-log(e«iJr+iain£)-log|
E ^ »log» = « log tang (45* + y ^0

M = E — eawiE = tlogw — - =

Die Lo^uritbmen in diesen Furmelu sind ii^'perboüaciie.

30.

Da dbnmtliche, aua den logaritbnuaelien und trigonometriadien Taftdn (26)
geaonuneuen Zahlen dne abaolnte Oenauigkat nicht ztilaaaenf londern bis auf
einen gewisfien Grad nur gcnälicrt sind, «0 kann durch alle mit ihrer Hülfe
angestellten Kechnnngen die Wahrheit nur gentthert bekannt werden. In sehr

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32

Entw Buch. EnrtOT AUachnitt.

vielen Füllei) gcden xmar die gewühnlichen Tafeln^ die bis tnf £e siebeiite Stdie
sicher sind (d.' h. von der Walu'heit niigrad« mehr oder weniger als eine halbe
Einheit der nehenten Dedmalzififer abweidien) eine mehr als fainTdchende Ge-

naniti;kc'it, so (li>< «Ii'' imvenneidliclien Imliiinicr von kdner Bedeutung sin<l.
>«i(lit.s(U'.stonreniger kaini es in NosoiuleiTn Füllen vorkommen, dass die Fehler
tlor 'Jnf'rltt pincn so verstärkti'ii Kiiifln^s aiissrni, 'lass infin ><i<'h von f'mvr sonst
.selir t;ut('ii Metliodo lo.s&jif.a'n und eine •■iikK'ic wälilin inii-s. I)erarti<2^e Fälle
können auch in den bis jetzt juiseinandt ij^ocuita Kci hnungeii imssiren. Ks
wird daher aiu Platze sein, hier einijj^e Untersuchungen Uber den Grad der
Genauigkeit anaiistellen, welchen die gewöhnlichen Tafeln bei diesen Rech-
nongen erlauben. Da aber hier nicht der Ort ist, dieses ftlr den praktischen
fiechner sehr wichtige Argmnent zu erschifpfen, so wollen wir die Untersnehung
so weit fuhren, dass es t"lir unsere Zwecke genügt and dass jeder, dem daran
liegt, sie weit^ ausfeilen und auf andere Operationen ausdehnen kann.

SL

Jeder Logaiithinc, Sinus, Xangeute etc. (oder ItberUaupt jede aus den
Tafeln entnommene irrationale Grösse) ist einem Irrthume unterworfen, der bis
auf eine halbe Einheit der letalen Stelle steigen kann. Wir bezäcfanen diese
Grenze des IrrtlnunH mit to, die dalter in den gewöhnlichen Tafeln
= 0,00000005 wird. Wenn ein Logarittnnns i ti . nicht unmittelbar aus den Tafeln
j^enoinnien werden kaini, »ondeni durch intcrj)olation gt'fnnden werden nin»)?,
.so kann der Irrtlnun aus einem doppelten CJrundp Ttoch etAv.is gWwser werden.
Erstens nämlich pflegt, so oft der l'j-oportionnltheil nicht ein Ganzes (wenn
man (iabei die letzte Stelle ah Einheit ansieht) ist, dafür das nUeiist grössere
oder kleinere Game genommen an werden. Itlan sieht leicht, dass aus diesem
Grunde der Imhum sogar bis aufs Doppelte vermehrt werden kifnne. Auf
diese Vermehrung des Irrthums nehm^ wir aber hier Qberhaapt keine Rücksicht,
da nichts im Wege steht, dem l'ro])ortionaltheile noch die eine oder die andere
Decimalstelle hinzu /uiuLjrT) und es ist ohne Weiteres klar, dass der interpolirte
Logarlthmm, wenn der i'roportionaltheil vollkonimon frenan wäre, keinem nT»".*f*eren
In-thnnip miterwoi-fen fein küTine, als die unniint ll);ii- in di u iafeln .stehenden
Logarithmen, insoweit e.s erlaubt Lst, deren Aeuderungen ak gleicliiurmige zu

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ReUtiMien, die cnMii eiueben Ort in d«r Buhn betnlTeD.

83

betrachten. Die zweite Vennehrnng des LTthiims entsteht daraus, dass eben
letstere VoraoMetsmig nicht in aüer Strenge mhr ist. Aber audi diese Ver«
mehrong vernBchlBsBigen wir, da die Wiricung der sweiten und höheren IHfiterenaen (27)
in nahezu allen Fällen v0n keiner Bedeutung iat (Yoi-z(ig1ich wenn fUr die trigo-
nometrischen Grössen die vortrefflichen Taylor'schen Tafeln angewandt werden),
und mit leiclifrr ^fiilio könnte man diesem Umstände Pa>elniung trjigen, wo
jene Wirkiin/r vitlK iclif erwas grösser sein Rollte. Wir setzen daher tur alle
i""älle den grösstcn unvermeidlichen Irrtlium der latcln = cu, wenn nämlich
das Argument (d. h. die Zahl deren Logarithmns, oder der Winkel dessen
Sinns etc. verlangt wird) vöUig genau isL Ist eher das Aigament sdbst nor
nftherongsweise bekannt, and nimmt man an, dass dessen grfiastmSglidiem
Irrthmiie die logarithmisclic u. s. w. Veränderung ut entspreche (welche dorch
Differentialrechnung sich liestimnicn lüsst), so kann der ^rösste Fehler des aU8
den Tah-Iii Ijerechneten LogMnthnieu bis auf tu -{-vi stci^'en.

Lj ingekehrt ist, wenn mit Hülfe der Tatehi das einem gegebenen
Logarithmus entepreclieude Argument berechnet wird, der grösste Inlhum des-
selben derjenigen Veilbiderung gldch, welche der VerXnderang m im Logar
rithmus dann entq>rioht, wenn letzterer genau gegeben ist, oder welche der
V^Hmlenmg des Logatidnnus w-\-(o entspricht, falls der Logaritluims selbst
Iiis zmn Belaufe von u) fehlerhaft sein kann. Kamu braucht erwähnt zu
werden, dti:<s tu und o' äa^i nSmliohe Vorzeichen erlialten mlissen.

Wemi iiu liK nur innerhalb gewisser Grenzen genaue Grössen addirt
werden, so wird der grösüte Lrtlium der Summe gleich sciu der Summe der
einzelnen grSssten, mit dem nSmlichen Zeichen verseh^ien Irrthltmer; weshalb
denn audi hd der Snbtracti<m von nur geiüihert richtigen Oritasen, der grSsste
Irrdmm in der Differenz gleich der Summe der dnzelnen grüssten Lnr^Umer
Bein wird. Bei der Midtiplication oder Division einer nicht absolut genauen.
Cni.^ge wird der grösste In-thum in denselben Verhältnisse vermehrt oder ver^
mindert, wie die Grösse selbst.

Wur gehen nun zu der Anwendung dieser Gnmdsätze aof die ntttzliehsten
der oben entwickelten Openrtioiien Uber.

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34 Kntes liuch. Unter Abicbnitt.

I. Wenn man bei der elliptiMheti fiewego&g znr fiereebnung der
wahren Anomalie ans der ( x< > iitrischen die Formel VIT I Art. 8 anwendet,

und voraussetzt, flri<« <f nml /. n]> rrvimu gelten, so kann beim log lang (45" —
und beim log taug |A der irnluan vt betrangen werden und mitbin in der
Differenz — log tnug^ r der Irrthuni 2u>; uko \>'ird der grösste, bei Bestimmung

des Winkels v zu hp<r("liende irrtbum sein /^"^i ^ _, ^""l^l?. wobei k
' diogtang^t' 2 a '

den modulus der zu dieser IJereebnung angewandten Logarithmen liedcutet. —

Der Irrtbum daber, dem die walu-e Anomalie t' unterworfen, wird in Hccunden

ausgedrückt — S*"^'"*- 20(1 2(;5' — 0"0712 sinv, wem» Brigg'scbe siebcnNtcllige
(28) Logaritbmen angewendet werden, so daiis man immer iinierbalb 0"07 Uber den
Werth von v gewiss sein k>um; bei Benutxung kleinerer nar iUn&teUiger Tafeln
kann der Irrtbum biü auf 7 12 geben.

II. Wird e 00« £ mit Hülfe von Logarithmen heredmet, lo ist dn
Irrthum möglidi bis zu . demselben Trrthum wird anch die

Ciröasc 1 — c cos oder ~- untenvui fm si in. Bei Bereebnnng des Loga-
ritlunus dieser (i rosse kium mitliiu der irrthum steigen bis auf (l + J)«»,

wo die positiv genommene Grösse ^ / ~ bezeichnet. Bia za derselben

Grenze (1+«^)"' g^^''^ beim logr mögliclic Irrthum, wenn nümlieb der
logfl als genau gegeben angesehen wird. So oft die Kkih ntricitiit klein ist,
so ist die Grösse immer in enge Grenzen eingeschlosHt ii. wi im aber e wenig
von Eins versehieden ist, »o bleibt 1 — ecosE sehr klein, so lange E klein
iat; es kann daber dann d su einem nicht au vemacUlEsngenden Betrage an-
wadisen, weshalb in diesem Falle die Fonnel III des Art 8 weniger gedgnet

sein würde. — Die Grffnse d lägst «ich andi «0 ausdrOcken: =

r

3e(co»ty-j-e) ^ Focmel, die noch klarer zeigt, wann man den Irrthum (l+d)a>
▼emachliisrigen darf.

m. Wendet man die Formel X des Art 8 sur B«recfanung der wahren

Anomalie au» der excciitriächeu an, so ist logy~ dem Irrtliumc (j + i«^)«»

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Belmtioneii, die «iiwo «iiiiehi«ii Ort in d«r Balm 1ietat«IIbn,

36

untei-worien, uad tolglieh logain-J-ysiii^l/ | dem lirtliurae + liitraus

wird der grttete, bei Bcstmunong des Winkels v — £ oder v mögliche Irrtbam

gründen zu: y (7-f-d) taiig'^(v — JS)^ oder in Seeimden «usgedrfidct und mit

Anwendong von siebeiiBtelligeii Logarithmen « (0" 166+0" 024 ^tang^(o — E)*
Bei massiger Excentricitttt werden if und taag|-(o — E) Meine Grössen sein,

we.shnlh diese Methode eine grössere Genauigkeit gestattet, als die unter I

betraclitete, dagegen wird letztere dann vorziizlelien sein, wenn die Excentricität
recht p-ogg Ist ttnd nalie an die Einheit herankommt, wo ff nnä tmg ' K)
recht brtriit litlicliu \\'rrthc' erlangen können. Es läAst daher diirdi unsere
Foiuieln stets leieht entsclieiden, welcher von den beiden Methoden der \ orzug
geblllirt.

IV. Bei Bestimmung der mittleren Anomalie aus der excentiischen
vermittelst der Formel XII im Art. 8 kann der Irrthnm der mit Lc^srillmien

bereeliiieten Grösse e sm i% und deshalb aucli der Anomalie Jl/, bis auf

steigen, und Lst die Grenze dieses Irrtliunis, wenn mau gie in Secunden aus-
gedruckt verlangt, mit 206 266 zu multipliciren. Hieraus schlicijjit man leieht,
dass bei der umgekehrten Aufgabe, wo E am M dureh Vei-suehe bestimmt

Wird, dies h nm die (rrosse ; . -j-iT • ii*J6 265 = .206205 (^9)

selbst datm fehlerhaft s»cin kann, wenn auch der Gleichung E — c&xnE—M
mit aller dtTrch die Tafeln gestattetoti Geiiauigkeit Genüge. geleistet ist.

nie wahre, aus der mittleren bereclmete Anomalie kann also aus zAvei
Gründen ithlerhatt sein (wenn wir nämlieh die mittlere als genau betrachten),
erstens wegen des bei der Boecfanung von v aus E begangenen Irrthnms, dw,
wie wir gesehoi lukben, stets von geringer Bedeutung ist, und zweitens deshalb,
wdl der Werth d» excentrischen Anomalie seihst schon fehlerhaft sein konnte.
Die Einwirkung dieses letateren Grmides wird bntimmt durch das IVoduct

des in E begangenen Irrthums mit welches Froduct wird

_ Z^t^E dj^ 206 265 ' = . 206 265 " 0' 0712

/ dJf ).r \ 1 — et '

bei Anwendung von sieben Stellen. Dieser Irrtbum, der für kleine Werthe

von e stets mäasig bleibt, kann sehr gross werden, sobald e von der Einheit

5

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$6

Erste« Buch. £nter Abacbnitt.

wenig vecsdueden ist, wie die iiaefafoIg«Dde Tafel sagt, die ftlr einige Werthe
von « den grSteien Werth jenes Aaadradcs daestellt.

L

fitiator Irrtliimi

gf«Mt«r trtdiam

e

grtMtar littkcNi

i 0,90

0"42

0,94

0"73

0,98

2 28

0,91

0,48

U,'J.>

U,89

0,99

4,59

0,92

0,54

0,96

1,12

0,999

46,23

0,93

0,62

0,97

1,50

V. In der hyppi-hnliwli^ji Hewcg-nn^f k.iim, wenn v nach Formel III
des Art. 21 aus genau ix kannteni / und if> berci hnet wird, der IrrtLum bis zu
BwiMny 2g^„ g|gjggjj. ^Q^^J^ gg 0^,^^ durch die Formel taug \v = (i7-jJij^^J^
berechnet wird nnd u sowohl ala iff genau bekannt sind, so wird die Qremte

des Lrrthnms um i grttsser werden, nämlich . 206 265" » 0"09 sm«

(bd sieben Stellen).

VI. Wird vennittelst der Foimel XI des Art 22 die Grösse

mit Hülfe Brigg^scber Logarithmen berechnet, nnd gelten e und «, oder
e und F als genau bekannt, so wird der erste Jlieil den» Irrtliurae ^^""^^^^^^
unterworfen sdn, wenn er in der Form fi("~^^H"+ |)^ Irrthume
(90) ÜHüdlÜlf j irenii er in der Form von ^leu — ^ berechnet ist, oder dem

Lrrthame SsivtangF, wenn die Form ketaagF benntst ist, &Ua num dabo
den in log l oder log f X begangnen IrrChnm TemaoUSasigt. Im ersten

Falle kann der Irrthran auch durch 6«a»tangF, im zweiten dnrcb -^—jr

atts^drUckt werden, woruuü uimi sieht, dttön im dritten Falle der Irrthum immer
der kleinste von allen ist, er aber im ersten und zweiten grösser sein wird,
je nachdem t» oder 7 » griJsser oder kleiner als 2, oder je nachdem F grösser
oder kleiner ab 86*52' ist. Der sweite Theil von K wird tiber stets dem
Lrrdram m untoworfen sdn.

VII. Umgekehrt ist klar, dass, wenn u oder F aus durch

Versuehe bestimmt wird, u dem Itrthnme (w ± 5 e 10 taug

oder

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BcIatioiMn, di« eiiWB «insdam Ort in dar Bahn bamffeiu

87

^ca -f« ^^j:) ^ tuiterworfen sein werde^ je luichdiem man das erste Glied in
dem Werths für II entweder in Faetoren oder in Theile zerlcttt
F aber imterliegt dem IcrUiume (c9+dec0tang^ — Die oberen Zdefaen
gdlen naoh dem Ferihele, die unteren vor dem Fteihele. Sttbatitairt man
daber bior ^ fttx ^ oder für so ergiebt sich der Einflass dieses InrÜnuns

auf die Bestimmung von Vy der deshalb sein wii'd:

tfctang» (1 ±5»taiagF) » , t6teiig»(l-f 8«aeei')ii*
AiT Irr *

ftlls die Httlfsgrösae i* angewaidet ist — Kraucht man dagegen F, so mrd
diese Einwirkung

^tllgy(l±3etaiigF)w <u ((1-1 cco8P>* , 3««inr (1 4-ecosr) |

Ärr >. \ iaugf^ t*ng^' j

Der Factor 206 265" iuubs lünzugcfUgt werden, uiu den Irrtbum in Sccundcu
«nssudrtteken. Offenbar kann dfieser Lnrihum nur dann als beta^ehtlich sich
ergeboii wenn der Winkel ip kleb, oder e um dn Wernges grcfaser als 1
ist Hier folgen die grSesten Werthe dieses dritten Auadmeka ftir dnige
Werthe von « bei fi«iutauiig siebenstelliger Deeimalen:

e

grOuter Irrthuin

1,3

0"34

1,2

0,54

1.1

1,31

1,05

3,03

I.Ol

34,41

1,001

1064,65

Diesem, ans ciiHiu inihUmliclien W'crtlie von F odei u entstandenen Irrthunie (31)
muss man noch den in V bestimmten Irnhmi] liinzutUgen, um die ganze Un-
ri^ierheit von v zu erhalten.

Vm. Wenn die Gklchang XI im Art 22 mit Httlfe hyperboliaeber
Logariüunen aufgelftot, und dsibei F ab HU]^;r(jsse gebrandit wird, so findet
man die Wirkmi«: des lif'i dii set Operation in der Bestimmang von v ro(Siglicben
Irrthnms durch eine älmliche Betrachtung

(!-{-< CO« p)'»' 3e»lD<?(l 4-«co»t>ja»
^ taagf* ^ Xtangf»* *

. j . ci by Google

88

Ente« Book. Enter Abtehnitt.

wobri cd' die grämte Unrieherheit in den Tafeln der hTperboIiacfaen Logaridi-
men bezeichnet Der zweite Theil diese» Anednickes ist idmtUBek mit dem

zweitni Thei] des in VII Leliandelten Ausdnidke«) der erste Theil aber ist im
VerhültnLsse von Xta : w kleiner, als der erste in jenem Ausdrucke, d. h. im
Verhältnisse von 1 s^n 23. wenn man flie Ursinus'sche Tafel allenthalhen als
bis zur achten »Stelle sicher oder tu = 0,UOOO 00006 voraussetzen dürfte.

Die oben behaf Bestininrang dar wabren Anomalie ans der Zeit*)
oder umgekehrt ausdnandergesetzten Methoden erlauben daher nicht aUe

WÜnschenswerthe Sdärfe bei dcnfmit^'en Kegelschnitten, deren Excentricitilt
von der Einlicit nur wenig verschieden ist, d. Ii. bei Ellipsen und Hyperbeln,
die di r l'arabcl sehr nahe kommen, und es würden mithin die unvcnneidlicbcn
Irrtliiinii r, die .•^i< Ii stt luani. fc mehr die Bahn 7.nr Aehnlichkcit mit tler Parabel
neigt, zuletzt alle Ciren/fu üherscluxiiteu. Die mehr als sicbeiistelligcu Tafeln
würden dies(»i Iirthnm zwar vemundan, ihn aber nicht aulhebcak mid aneb
nieht verhindmi, dass et nicht allefl Maass dann Überschreite, sobald die
BsAm gar an nahe an die Parabdl herankommt. Ausserdem werden in diesem
Falle die obigen Slethoden recht beschwerlich, weil ein Theil derselben
indirectc, häutig wiederholte \'crsuche erfordert, imd das Widrige dieser
ünbe(|ucmlichkcit wird dun Ii Anwendung grösserer Tafeln nocli vemehrt.

Es wird deshalb sicher iiiclit itherfltisslix Reim, c-ine besondere Metlmde zu
bearbeiten, dureii welche man in .solc hem Falle jene Unsicherheit vermeiden,
imd allein mit IlUlfe der gewöhulicheu Tafeln eine hinreichende Genauigkeit
erlangen kann.

(32) 34.

Die gewöhnliche Methode, durch welche man jenen Unbeqncndichkeiten
eine Abhülfe zu ficha£fen pflegt, stützt «ich auf folgende Grundsätze. Es nköge

*) D> du' Zeit dcD Fartor oder rntliitit , »u wird der b«'i M oder A' began^eu« Irrtiium um

trUMklMr wmtarL jt nSMir « » — oän b =. - ■ ^ «ird.

*^ " 1 — ee et—\

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Bdslioiieni die «iiien etuelnai Ort ia der Belm betraflim.

39

in einer Ellipse oder Hyperbel, deren Excentricität e, halber Parameter p und

daher Abstand im Perihel = — q ist, der Zeit nach dem Perihele <,

die walire Anomalie v entsprechen; es entspreche femer derselben Zeit in der
Parabel (deren halber Parameter = 2q, oder deren Abstand im Terüiel q) die
wahre Anomalie w, und die Masse fi »oll in beiden Fällen entweder veniach-
lääsigt werden oder gleich sein, so hat man offenbar:

wenn die Integrale mit v^O und w 0 bqrinnen, oder

r (l+ e)^dp r 2dtg

J (14-« CO«»)' J {!-}-«»«')'

Wenn man T ^ ^ bezeichneti ao wird das eratere Integral

gelbnden

V(l-Ha).(^+i^' (1— 2«)— f** (2«— 3«e«)+ f ^' (S««-~4a')— etc.)
das zwäte » tang^tcr-f'f tragf w*. Am dieser Gleiehnng iSast sich mit
Hülfe imendjicber Reihen Ideht to ans a xsnA v, oder v aus a und w bestimmen.
Statt a kann man auch, falls man das vorsieh^ 1 — s » y j^» ^ einfttliren.

D« fUr « ^ 0 oder ^ 0» offenbar v « «o wird, ao eriudtoi diese Reihen
folgende Fonn;

w » v+iTy' + rMr" 4- 't' y'" + etc.

wo v\ v\ v" ete. Fnnetifjnen von f : und w", etc. Ftinctionen von tc
sind. Ist d" eine sehr kleine (irösse, so werden diese Reihen seluiell eunvergiren
and wenige Güeder hinreichen, um to aiu> uder v 'aud u) zu bestimmen. Aus
w wird oder u; aus t auf dieselbe, schon oben tlir die parabolische Bewegtmg
erkürte Wdae gründen.

35.

Die analjrtischen Ausdrücke der drei ersten Coefificientcn der zweiten
Reihe w\ w", w" hat Besse 1 entwiekelt, und ztigleieli ftir die numerischen
Werthe der beiden ersten io\ w" eine Tafel hiuzugeftigt, die nach einzelueu

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40

Entea fiuoli. Erster Abechnitt.

Graden des Aigamentes w ooDstniirl ist (von Zach Monad. CorreBpondemt,
▼oK XII, p. 197). PUr isa enten Coefficienten vf gab es adion frtther eine
(as) von Simpson berechnete Tafel, die dem oben erwähnten Werke von Olbers

ntigcl 1:111^:1 ist. Fn sehr vielen Fällen kann durch diese Methode mit Hülfe
der liessel'ijchen Tafel die wahre Anomalie aus der Zeit mit hinreichender
Genanijrkeit hestimnit werden; was noch zu wünschen Übrig bleibt, reducirt
»ich etwa aiit' l'ol^^fiide Mi-niente:

I. Jiei der umgi?kt;hrten Aiitgabe, nümlich bei Bestiuunung der Zeit
aus der wahren Anomalie, miu» man seine Zoflnchl xa einer gleichsam indirecten
Methode nehmen und w ans v durch Versuche ableiten. Um dieser Unbe-
quemlichkeit zu b^;egnen, mttsste die erstere Bahe anf dieselbe Weise be-
handelt werden, wie die zweite, und da man leicht sieht, dass — v dieselbe
Function von v ist, als w von so dass eine Tafel fUr nur mit geänderten
Zeiclion filr ?*' (li( lu n köimto, so würde ntir noch eine Tatol für f" erforderlich
sein, damit je<k' der Ix'idon Aiitgalicii mit ^k-idier Si hiirtV ;.M'ln>t werden könnte.

II. Es können in der iiiat bisweilen Fülle vorkuiumen, wo üwar die
ExcentricitUt von der Einlieit wenig abweicht, .so dass die obigen allgemeinen
Medioden keine hinreidiende Genauigkeit gewähren, wo jedoch diese Abwachung
noch SU stark ist, als dass man die Einwirkung der dritten und höheren
Potenzen von ä bei der besonderen Torhin dargestellten Methode mit Sicherheit
ven)achHissigen dürfte. Namentlieli bei der h\^erbolischen Bewegung sind »olche
Fälle möglich, wo, man mag nun jene Methoden oder diese anwenden, ein
Irrthum von meinen Seeundeii sieh tiirht vermeiden iHssr, wenn man nur die
gewöhnlichen siebenstelligen Tafeln braucht, r^luf^^en nun auch derartijje Fälle
in der Praxis Reiten eintreten, so könnte es doch als ein Mangel ersclieinen,
wenn nicht in allen Fällen die wahre Anomalie innerhalb 0"1 oder wenig-
stens 0*2 sicher sich bestimmen Hesse, fidls nicht grttssere Tafeln benutst
werden, die jedoch bekanntlich ziemlich selten sind. Ich hoflfo daher, man
werde die AnseinanderKctzung einer besonderen Methode nicht (tir g^lnzlich
ttberflUsflig halten , deren ich mich schon lange bedient habe, und die sich
auch in der Hinzieht empfieldt, weil sie keinesweirg auf Kxccntri« Itäten be-
srhrlinkt ist, die nui weni^ von der Kinlieit abweichen, sondern mindestens
in dieser Hinsiclit eine allgemeine Anwendung erlaubt.

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BeUtion«!!, im eineo eioMlnen Oit in der Baltn betraflira.

41

36.

Bevor icli mit AtudnanilenetBiiiig dieser Methode beginne, wird es

angemessen sein, zu bemerken, dnss die rnsioherheit der obigen aUgemeuien
Methoden bei den zur Aebnlichkeit mit der Parabel hinneigeoden Bahnen von

selbst aiiflin'rt, sobald E oder /' zu einer betrüclitliclien Grösse anwachsen,
was zwar erst in (»rossen Entfernungen von der Sonne Statt finflet. Vm dies
zu zeigen, wollen wir den giö.ssteii in der Ellipse luüglielien Inthum, den wir
im Art. 32, IV.

ir

. 20G 265"

fanden, so ausdrlickeu

worans von selbst erheDt, dass der Lrdium atets in ^e Grenaen eingeachlosBen (34>

Ist, sobald E t iiien beträditUcbeo Werth erreicht, oder sobald cos JE? sich von
der Einheit mehr entfernt, wie gross aucli die Exeentcidiät sein mc^. Biea
wird noch dcutlieher duifh die folgende Tafel ersclieinen, in welcher ich den
grössten imiiieriBcheii ^^'l■rth jener Formel fUr einige bestimmte Werthe (mit
sieben Deeimalen) berechnet liabc:

£= 10*

Grösater Irrthmn = 3"04

20

0,76

30

0,34

40

0,19

50

0,12

60

0,08

Auf Uhiiliclic Weise verhält sich <Tiv iSat-Ue in der Hyperbel, w ie «oirleich
klar wird, wenn der in Art. 32, \U gegebene Ausdruck unter die Fora
gebracht wird

M<-eo«i^» •

Bie grössten Werthe dieses Ausdmdces fUr einige bestimmte Weithe von F

zeigt folgende Tafel:

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42

Entes Bach. £i*ter AlMobniU.

u

10°

1,192

0,839

8"66

20

1,428

0,700

1,38

30

1,732

0,/)77

0.47

40

2,144

0,466

0,22

50

2,747

0,364

0,11

60

3,732

0,268

0,06

70

. - ^ - ■

6,671

0,176

0,02

So oft daher oder F über 40 ' oder 50* liinaiiHgeht (ein Fall der jedoch in
wenig von der Parabel verschiedenen Ijahncn niclit Kitht vorkommen wird,
weil die in solclien Baluien eiiil» rzielieiiden lümmeUköi jKr in so grossen
Enticmungcn von der Sonne sieb meistens miserem Hlickt- etiLiciebcn), s<> wiid
kein Grund zur Verlasaung der allgcmciucu 3Iethode vorliegen. L'cbrigeu»
würden «ich in einem Bolchen Falle die im ArL 34 behandelten Beihen xn
laogaam ciniTeigiren. Es kann also keineswegs als dn Mangel der jetat
ainaniodeniiaetEendeii Hetbode gelten, wenn sie vonsu g sw rise «olchem FKllen
angepasst ist, wo E oder F mässige Werthe nicht ttbenehrateo.

87.

(86) Ich nelmie die bei der elliptischen Bew^ung Bwischen der excentrischen

Anomalie und der Zeit bestehende Gleichung

wieder vor, wobei A' in Thcilen des Hadiiis ausgedrilckt sein soll. Den Factor
j/fl-j-fi) will ich von jotzt an v( ni!iHir!i.s.sigen, da, weun je ein Fall eintreten
gollte. wo man seine Ik'iecluiuny in der Gewalt biitte und sokbc der Mühe
Werth »ein sollte, düd Zeiclica / uiclit die Zeit selbst nach dem Perihcle, son-
dern diese Zeit durch /i) inultipKcirt aosdrOcken mttsste.

Ich setze ferner den Abstand im i'erihele = q imd iühi e t\ir E und
ftlr sin E die Grössen E — sin B nnd E — {E — sin £) = sin E ein.

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R«l«tioiieD, die eioen «nzeliien Ort in der Iklui betreffisn.

43

Den Ghrand, weshalb ich Toraugswelw diese Besetclmuiig wSliIe, wird der
anfinerksame Leeer von aelbet aus dem Naofafolgenden entnehmen. Auf diese
Weise ninnnt unsere Gleichuiig folgende Form an:

So lange E al» eine kleine Grösse der ersten OrrlTnnig angeselien ^rirrl, m
wird jiE-{--^m\E — E — -^^ E* E'' — etc. eine Grösse der ersten Ord-
ming sein, dagegen E — sin^ ^^-jA' — js» •^' + 4^0'^^ — etc. eine Grösse der
dritten Ordnung. Setzt mau daher

80 wird AA^E* — jt^* — TtU^ — GrOsse der zweiten Ordnung

und 1 4" 2s*o D * — ^'ön der Einheit lun eine Qr6^ der vierten

Ordnung versdiieden sm. Unsere Gleichung wird daher:

B(2(l-«)^*+A(l + 9.)^^) = kt(~-^)^ [1]

Durch die gewöliiilirlfu tn-^onometrisdieu Tafeln kann man zviHt E -{- ~~ m\ K
mit hiureielicn<.l( 1 ( .».imuigkeit bereclinen, nicht aber E — sin A', sobald E
ein kleiner Winkel ist, und es küimen mithin auf diesem Wege die (t rossen
A und B nicht himn»eh«id genau bestimmt werden. Dieser Sdiwicrigkeit
wOrde aber eine besondere Tafel Abhttlfe schaffen , wdcher man mit dem
Argumente E entweder B oder den log B cntnc linu ii könnic. Die zur Con-
struction einer solchen T.ifel nothwendigcn HUlfsmittcl werden sich jedem
aurli nur niittehnässig in der Analysis Bewanderten leicht darbieten. Mit
lluJte der Gleichung

^5

llMt auch yA und sodann durch Fonnel [IJ t mit aller wUnschensweithcn
Schärfe sich bestimmen.

Hier folgt ein Probestück mer solchen Tafel, welche wmgstens die ^36)
langsame Zunahme des log£ aeigen wird; es wUrde Überflüssig sein, diese
Tafel in gröfeserer Aosddmung au bearbeiten, denn weiter unten wiU ich
Tafeln von einer weit bequemeren Fonn beschreiboi:

6»

44

Entn Bucb. Er«t«r AUMbliiU.

E

log n

A"

log Ji

lüg 5

0*

0,000 0000

26'

0,0000168

— —
60*

0,000 2675

5

00

30

0349

55

3910

10

04

35

0645

60

5626

15

40

1099

20

69

45

1758

88.

Es wii-fl lit Tiiit/I >s sein, das im vorhergehenden Artikel Vot]getragene
durch «.'in lU/ispifl zu <Tl:intrni.

l)ic wahre Auoinalie angcnoiiiineu zu = 100', die Exceiitricität «
0,96764567, ]ogq = 9,7656500. Die Becfanuug für L\ B, A vmd t ist alw>:
log taag-^v 0,076 1865

lo<rv|^ 9,1079927

logtanL'J-/; 9.1 «4 1702. tnitliin } J'J = 8"4119"32 mul K= 17*22'38'G4.

Diesem Wcriiic von E enwpriclit der log = 0,0UU004u; ferner findet
sich in Thcilca des rudius E = 0,303 2928, sin E = 0,298 6G43, und daher
^A-{-,'« «n^'''=0ildU150, dessen log » 9,180 1689 and dalier logA*«
9,1801649. Hiermu wird nnttelst Fwnel [1] des vorliergehenden Artikels
abgeleitet

k\^i^ 2,468 9614 log —'j {~i:r^' 3,760 1038

log^l^ 9,180 1649 log yl^ 7.64U4947

log 43.56386 = 1,639 1263 log 19,98014 = l,3üÖö985

19,98014
63,54400 i

Beliandelt man dasselbe Beispiel nach der gewöhnlichen Methode, so &idet
sieb e sin E in Seeunden » 59610" 79 16* 33' 80" 79 und daher die
mittlere Anomalie =^ 0* 49' 7 " 85 = 2947' 85. Hienins und ans log it ('^ =
1,6664302 wird t abgeleitet = 63,54410. Der Untersdued, der hier nm* der

. j by Google

SelatioMO, dl« •ineo «inMiiMii Ort in d«r Bdio betNffea.

46

Theil eines Tages ist, kann leldit, irenn die Irrädliner eoiupirireo, um (37)
du Drei« oder Vier&cbe grSteer heraoBkananien.

Uebrigens neht man, daas allein mit Hülfe eiiier aolehea Tafel fdt log B

auch die unigekehrte Aufgabe in aller Schärfe sich lö.-^n ]äs«t, wemi man E durch

wiedirholte Versuche be-8tiiuint, so dsuis der dimiu« berechnete AVerth von t
mtt der Voraiiwsetziuig übercinkonunt. Diese Operation würde jedo* h sehr be-
i^chwt'i licii sein, weshalb %vir jetzt zeigen wollen, anf welche Weise man eine
Iliiltstafel ^nel bequemer einrichten, alle vage Versuche überhaupt viTiiu iden
und die ganze Rechnung auf eine durchaus eonciinie imd rasche Zahleudiuiegung
zurückfuhren kann, die nichts zu wUnachen ttbrig lüaat.

89.

Oflenbai- Hesse sich etwa die Hälfte der behuf jener Versuche erforder-
lichen Arbeit sparen, wenn man eine derartig eingerichtete Tafel besässe, das.s
daran t* der log B muuitteibm- mit dem Argumente Ä zu entnelunen wäre.
Daim blieben drei Operationen übrig. Als erste eine indirecte, nämlich die
Bestinunong von Ä so, dass es der Gleichmig [IJ Art. 37 Genüge thut; als
zwdie, die Beatimmmig ven B aus Ä und welche dtreet, entweder aus der

Gleichung E^2B {J^-{-l^A^), oder aus 8ini?=2ii {A^—\A^) geschieht;
als dritte, die Beatinummg von v ans E nuttelat Qleichung VII, Art. 8. Dia
ernte Operation werde ich auf eine raache und von vagen Veraodien freie Be-
reeluuingaveiBe zorflckf Uhren ; die aweite und dritte aber werde ich in eine

einzige zusjmimenzic l>en, indem ich unserer Tafel eine neue Grösse C einfUge,
wodiireh wir E überhaupt nicht nöthig haben, und zugleich ftli- den radiuä
vcetoi eine elegante und bequeme Formel erhalten. Ich werde das Kimselne
in seiner Ordnmig verfolgen.

Zuerst forme ich die Gleichung [IJ so tun, dass mau die Haricer sclie
Tafel zu ihrer Aufldsung benntcen kann. Zu dieaem Zwecke aetse ich:

^^=:tang>v4fl7»"

wcraua man erhalt:

76 tangiw+2« tangf = ^^^^ « 4,

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46

Erstes Buch, Entmr Alweliiutt.

wubei die Constante V <i-ht*> jj^j, |,ezeichnct wt. Wäre daher B be-

kaunt, 80 würde man to sofort aoa der Barker 'sehen Tafel nclmiou kfikmen,

wo sich die wahre Anomalie findet, der die mitüere Bew^|nng entspridit

Aiu w wird A abgeleitet durch die Formd Ä s/ftangf wo die Constante

\ . n niit ß bezeichnet ist. Wenn nnn aneh B erst durch Ä mittelst

(38j uuHcrer llill&tufel bekannt wird, so lässt sich doch wcjjeu seines sehr
kldnen ünterschiedes von der Einheit vorauasdien, dass vf ood A mar
nut einem sehr kleinen Fehler behaftet herauskonunen kttanen, wenn un
Anfange der Divisor B gänzlich vernachlässigt wird. Bestimmt man daher
suerst nur obei-fiik-iilicli w und A und setzt dabei ^ = 1 , ko wird man mit
diesem sjenähet-tcn Wertbe von A au» iinsm-r HtilfstafVl die Grösse fi
Hndeii, mit nt li 1k r lunn «liejselbe Bererbnini^^ i^tikiik t wiederholt. Geiueiuit,'--
lich wird clem so verbefwerlen Werthe von .1 ^miz tlerselbe Werth von B
eut«precheu, der bei der ersten AnnHlierung gefunden war, so dass, — aus-
genonunen in den F&Uen, wo der Werth von E sohoa recht beti^chtlich
war, — eine nene Wiederholung der Operation ttberflttssig erschemt
Anch wird es wohl kaum dn l^enierkung hedlirfen, da.<» falls vielleieht
schon fmfänijlieli ein genUherter W erth von B anderswoher bekannt geworden
ist (was stets i^rs< liirlit, urmi !>ei der Horeehnung von niehrrn, nicht weit von
einandt r eiiltri iitcn Üi tcn, di r eine oder der andere schon seine Krk'digimg
getunden hatj, umn ch v«jrzielien wird, diesen sogleich bei der ersten Annäherung
zn benutzen. Auf solche Weise wud ein geschickter Bedmer sehr Idufig nicht
einmal eine einzige Wiederholung der Beebnmig nötfaig haben. Diese Xnssecst
schnelle Annttbemng habe ich dadurch erlangt, dass B von Eins nur vaax eine
IMfferenz der vierten Ordnung sich entfernt, die überdies mit einem «ehr kleinen
numcnsehen Coeffieicnten maltiplicirt ist. Man sieht, wie jener Vortheil
schon dadurcli vorbereitet ist, diiss wir die Grössen J*J — mn£f ^E-\^j^anJSt
anstatt der (.iros.sen £ und sin E eingeführt lutbeu.

. j . d by Google

ReUtioMn, die eineD einidiiaii Ort ia der Belm betrefltei.

47

40.

Da 7MV dritten Operatkm, nämlich zur Bestammnii^ der wahren Anonuiliei
der Winkel E gelbst nicht erforderlich ist, sondern nor tu^^E oder vielmelir
log lang so hätte jene Operation ndt der swdten hequeni verbiinden werden

können, wenn nneere Tafel unmittelbar den Logarithmus der Grtfsse if^

liefierte, die von ISns um dne Grttose dw sweiten Ordnimg venehiedeii ist.
leh will jedoch lieber unsere Tafel etwas anders emridtfen, um durch eine

kleine Aosdehnnng die Inteipolation doch noch viel bequemer zu erhalten.
Sohrdbt man der Kürze wegen T iUr tang^i?% so wird der ün Art. 37 be-

handdte Werth von ^^Igjjl^^^ leicht umgeformt in

A — r— t r»-f.| — y t* +44 y — etc.

wo das Gesetz der Progression klar ist. Hieraus wird duieh ümkehrtmg der
Reihen abgeleitet:

4= l-i^+H^il^yfi^^ + eiHI-.^' + rtW^^^+etc.

Betet man also » 1 — ~ A-\-C, so wird C eine Grösse der vierten Ordnunj^r (

«ein, durch deren Au&ahioe in unsere Tafel, wir sogleich von A auf v mittelst
der Formel;

5-1-5«

Übergehen können, wobei ich durch y die Constaute V-j^^ bezeicluie. Auf

diese Weige {jewiniien wir zugleich eine sehr bequeme fierechnung fUr den
radius vector. Ks wiid nämlich (Art. 8, VI)

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48

Entea Buch, ^rtar Abtelmitt.

41.

Jetst erübrigt mir noch die ZuHkkftthrtmg der imigekelirtieii Anfgnbe

(nämlich die Bestimmung der Zeit au» der waliren Anomalie) auf eine ra.sehere
Berechnungsart Zu diesem Zwecke will icli der Tafel dne neue Columne ffir T

Linzuf UgeD. £e B^Sgt dahw snent T aus v nuttelst der Formd 1^7 7 ^'

beredmet woMkn; sodann wird aus der Tafel mit dem Äigumente T sowohl Aj
al» log B «ünommen, oder (was genauer, ja nueh bequemer ist) C und log B

imd bierauti A nach der Formel A ="- |T ^y -; auletst wird aus A und B

die Grösse / mittelst der Fonnel [1] Art. 37 bestimmt. Will man uueli hier
die Barker'acbe Tafel zu Hülfe nehmen {waa jedoch bei dieser umgekehrten
Aufgabe die Rechnung weniger erldchtert) so ist es nicht erforderlich^ auf A
Btteksicht zu nehmen, sondern man erhiUt sofort

. taoglv , / 14-6'

taiig i = — 13_ y „^^p^

lind hieraus die Zeit ty wenn man die der wahren Anomalie w in der Bar-

ker'Mlitii Tntiel eutsprccbcndc mittlere liewegung mit ~ muldplicirt

Kinc Tnfel. wie »nlrhe in dem OMjren gcsehildert ist, habe ie!i in einer
HcUicklichen Aiisdcliuiin^'^ (oiiHtruirt und »ie diesem Werke aii!?ef{ifrt Tatel I).
Auf die Ellipse liezieiit sich alleiu der erstere Theil; den zweiton, die hj-per-
bolische Bewegmig lunfiMsenden Tfadl, will ich wdter untcu erklären. Das
Argument der Tafel, welches die Gr&sse A ist, sehreitet durch einselne Tansend-
140) theile von 0 bis 0,800 fort; es folgen log B und (7, welche Grössen man
als in 10 Milliontheilen, oder als zu sieben Decimalen aw^edrttckt an-
sehen muss, denn die ersten Ziffern, die den bezeichnenden ZaliFen vonui-
gclien, sind weggela-ssen. Die vierte (!uliuune endlieli enthäh die Grösse 7'
erst auf fünf, dann auf sechs Stellen berechnet, eine Genauigkeit die vi>ilig

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Kelationen, die einen einielnaa Ort in der Bahn betretfen.

ausreiditf da diese Cölnmne Bin* zu dem Zwecke erforderlicli ist} am die dem

Arguineiite T entsprechenden Wertlie von log B imd C zu erhalten, falls man
nach Anleitung de^ vorlu ii^ eilenden Artikel« t aua v bestimmen will. T);i das
unifTckclirte Problem ^liiiulich die lii^tiirininnL' von v iitkI r {\m t\ srln- vitl
häuliger vorkommt mul überall ohne lliilt'c dii (inissc 7' i^ili';>t \vir(l, so v.u<^_
ich vor, lieber die Grösse A zum Argumente tlcr Tal'cl zu wählen, als 1\ welelies
sonst fast ein ebenso passendes Axgmnent gewesen sein mid selbst die Con-
struction der Tafel noch etwas erleichtert haben würde. Es wird nicht Uber»
Hflssig sdn, zu bemerken, dass alle Zahlen der Tafel weprUnglicL bis auf zehn
Stellen berechnet worden nnd, und dass daher die hier beibehaltenen sieben Stellen
allenthalben volles Zutrauen verdienen, leb kann mieh aber bei der fllr diene
Arbeit bnnTtzten analytischen Methode liier nicht aufhalten, da deren vollstän-
dige Elitwickelung zu sehr von dem abführen würde, \\s\s dies ^\'crk (lai stcllen
soll. Uebrigcuä reicht die der Tafel gegebene Ausdelmung 1 iir alle l' älle voll-
kommen hin, wo es Torihnlhaft ist, die oben anseinaDdergesetete Methode m
befolgen, da man, wie vorhin gezeigt, rieh bequemer Weise der künstlichen
Medioden enthalten kann, wenn A die Grenze von 0,03 tibenchreitet, dem
dann T = 0,392374, oder E = 64*7' eniapricht.

48.

Zur mehren Erlflntcrung der vorlicrgehcnden Untersuchungen wollen
wir ein Beispiel der Tollaliindigen Berechnung Atat wahren Anomalie nnd des

radiuä veetor aus der Zeit liinzufügen, und zu diesem Ende die ZaUen des
Art. 38 wieder votndmien. Wir haben also c=r 0,967 64567; 105^=9.765 6500;
/= 63,544 00, woraus man zuerst die Coustanten ableitet: loga ss 0,3052357;
log /3 = 8,2217364; log y = Ü,0Ü2 8755.

Hiernach ist log = 2,108 3102, dem in der IJ arker'schen Tafel der
^cniihei te \\cv\\\ ?t' = 99" 6' entspricht, woraus >1 — 0,022 923 folgt, nnd aus
linderer Tafel lop ^ = 0,000 0040. Alsn wird da^ verbes-serte Argiuucnt, mit

welchem man in die Hnrker'sche Tatel einzugehen hat = log = 2,1083062,

dem tc 99*6 13 14 ent-spricht. — Dann steht die weitere Bechnung so:

OAUa«, ruati» iL B««««. d. UlaawUk. ?

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50 Erstes Buch. Erster Abschnitt.

(41) logtang-l w*. . . 0,138 6934 logtu^gl w 0,069 2967

\ogß 8,22 1 7364^ log y 0,002 8756

log ^ 8,360 3298 J ronij). l o^ (1— f , . 0,0 04 0143

A n.fi-2L>ni'no8 logtmig.}»- 0,0761865

hieraus log ganz, wie obcu; ^ v = .WO'O'

C= 0,000 0242 V = 100 O'O "

1 — 1 . 1 -H C = 0,981 6838 log 9 9,766 6600

1 + i ^ + C 1,004 6094 2 Comp, lo^^ cos r 0,383 8660

i Wl 9714

Comp, log (1 + 1 + C) . . « . 9,998 0028
logr 0,1394892

Wenn bei die«er Berechnung der Factor />' glLiizUch yermcliläsngt worden
wäre, M> irtlrde die wahre AnomaHe nur mit dem kleinen Lrrthmn 0" 1 (su grow)
behaftet hemuf^ommen aem.

44.

Die hyperbolische Bewe^m^j kann ich um so kUrzer absulviren,
als dieselbe der oben fttr die elliptiacbe Bewc<ruug vorgetragenen Methode gana
analog zu behandeln ist. Die Gleichung zwischen der Zeit t und der Httlüs-
grüsse 1* läsBt sich auf folgende Form bringen:

(e- 1) C"-i} + ii log u) + + ,\ c) (1 („_ -L) _ log a ) =

wo die Logariditnen li}-])crboliBche sind, und j'^ (« — ^) + /'»l<»g" Grösse

der ersten Oxduimg, ^(« — — log« eine Grösse der tUiticn Ordnimg, so-
bald log» als eine kleine Grösse der ersten Ordnung b^iachtet wird. Setat

mim also

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Rebtun«, die aiau «innlii«!! Ort in im Bahn betrefliMi» 51

so wii'd A eine Grösse der zweiten Ordnung sein, B aber von der Einheit
um eine IKffereuB der yierten Ordnang Tenehiedcm. Unaei-e GMchnng erhttit
dann folgende Fom:

B(2 (e-1) ^1+^(1 +9 e) A^) = kt (^)* [2J

welche der Gleicluuief [1] den Art. 37 ganz analog ist. 8etzt mau sodann
ferner = ^\ so wird T von der zweiten Ordnimg «ein, und durch (42)

die Methode der unendlichen Reihen gefunden werden:

— 1J_J. 1J_ ^_ 1* l •'•>'• ,|« i"! * i ( ' fttt

Deshalb wird, wenn man s=l + f>l + (7 netzt, t? eine Grosse der Tierten

Ordnung und J = Endlich folgt für den radiu« vector aus

der Gleichung VII Art. 21 leicht

45.

Der nachtolirt-nflp Theil der er-iteii, dit scm \\'t rki' äuget iigten Taiel bezieht
sieh, wie wir selion ol>eu erinnert haben, auf die hyperbolische Bewegung und
liefert für das Argument A (das beiden Theilen der Tafel gemeinsam iät) den
Logsrithmeu Ton B und die Ghrfisse C auf neben Decimalstellen (wobei die
vorangehende» ^kxn weggelassen sind), die Qrtfsse T aber auf fünf und dann
aof sechs Stellen. Dieser Thcil ist ganz der filihcre bis auf A ~ 0.300

ansgcdelmt, dem ein r= 0,241 207, « = 2,930 oder =0,341, F = ±Ö2' 19'
entspricht. Eine weitei-e Auftdehnung wäre llberflltosig gewesen (Art. 36).

Hier folgt die Anordnung für die Reehnung sowohl zur Restinmiung
der Zeit aus der waiux'n Anomalie als umgekehrt. iJei erstcrcr Aufgabe

wird T durch die Formel T = tang^v* erhalten; aus J'giebt unsere Tafel

7'

52

EratM Btt«h. Entor Abtcknitt.

B und C\ womit .1= \_ l r ■ l^»^'

raus aidlicli vrird tuittelst der
Formel (2) des vorhet^gehenden Artikels t gefunden»

Bei letzterer Aa%abe werden zuerst die L<^;ittil]imen der Conataiiien

2?

—1/
^ 1-fü«

berechnet. Dann wird ^1 ans t ganz in der Weise wie bei der ellipdsciien
Bewegung be»tinunt, nämlieli «o, da«s der mittleren Bewegung in d» Bar-
le er 'echen Tafel die wahre Anomalie tc entspricht und ßtaag-^w* wird;
wobei freilich zurrst ein genäherter Werth für A (unter X eniacldüssigmig oder,
wenn dazu Httlfsmittel vorlianden, unter Schätzung des Fnetors B) berechnet
werden nms-j. Hieraus gicl<t dann unsere Tafel einen genäheiK ii ^^"erth von
y?, mit w'lciieui man die Opcrntion wiederholt. Der «f>!' herir«'-=t.ilt tiii- B «ich
ergebende neue Werth wird kaum jemals eini^r mcrküclien \ eri»e.-iöeruiig be-
dtu-l'en lujd daher keine W iederholung der Keclmung nöthig sein. Nach Ver-
(43) beeseruog des Wertlu von A wird C am der Tafel genommen, wodurch man
dann bat:

Hieraus rieht man, dass unter den Formeln für die elliptiscbe und hyperbolische
Bewcgtmg nur der Untcnchied besteht, dass A nnd T in der hyperbolischen
Bewegung als n^tive Grossen behandelt werden.

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Rdaäoneii» die eines eiueliien Oft ia der Bebn betnffen.

53

4^

Auch die liyperboHscliP Bewegung wollcti wir durcli einige lieispielef
wozu wir die Zaiilen den Artikeln 23 und 26 tuiiiehuien, erliuitem.

I. rjerreben « = 1,261 8820; log q = 0,020 1657; v = 18" öl' 0 '. Ge-
sucht t. Man hat

2 logf tang I «... 8,440 2016

....9,0636367

1

\ogT 7,.503 837ö

0,00319034
logß = 0,000 UOUl
C= 0,0000005

log r 7,503 8375

logl-f C 0,0000002

C.Iog(l— -i?') 0,001 1099

log^ 7,5049476

^«ÄFf4i7— 2,386 6444
logA^ 8,7524788

^^^T^L-^y ^^^^

log^* 6,2574214

log 13,77584
0,13861

1,1391182 log 0,138605

=s 9,1417796

13,91445« t

II. Wenn e und </ wie vorher bleiben, t gegeben iist = 65,4:12 36, und
V und r gemicht werd^, so findet man die Logaritfamen der Constanten

lug« - 9,9758345
log,V = 9,0251649
log y = 9,980 7646.

Ferner ergiebt sich Iog«/= 1,7914943, und so duieh die Barker'sche Tat'cl
der genSheite Werth ftlr w= 70* 81' 44", woraus = 0,052983. Diesem A

t nupricht in unserer Talel log 0.000 ri2()7 ; Uahci log ^ = 1,791 4736 und

der verbeiiäerte Werth von lo s= 70° 3136 Ö6. Im üebrigen steht die Hech«
nung 8o:

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54

Ente« Bach. £nter Abtcbnitt.

(44) 2 logtamg ^ 4v ... 9,698 9398

}ogß 9,0251649

logA 8,721 1017

A = 0,05291911

log B wie vorbor,

C = 0.000 1 252

l^{A-\-C= l,i>42ö(>b5
1^1 A + C = 0,9896294

logtang^w 9,8494699

hgr 9,9807646

■{ C. lofr (1 J^±A-i'C) . 9,990 9602

logtangJ r 9,821 1947

— 33* 31' 30 02
V = n? 3 0,04

log? 0,020 U>67

2 C. log cos i y 0,168 0378

log (1 +T + O 0,018 0796

C. log (1 — 1 .1 + C l ... 0,004 5 7 1 3

logr 0,2008544

Hierfür lütten wir fiüber gefunden (Art. 26) o ^=67* 2'59" 78, logr «=3 0,2008541,
\svm weniger genau ist, indan eigentlich « =s 67*3'0''00 hätte herauflkonunen
infisscn, mit welcliom angenommenen Werthe der Werth ftlr t durch grössere
Tafeln berechnet worden war.

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55

Zweiter Abschnitt

Belftttcneii, die eüMn eiiiielMeii Ort Im Banne Mxtttu,

49.

Ln enten Absclmitte ist über die Bewegung der Himmelskörper in

ihren Uulrnen gehandelt, ohne daae Hücksicht auf die Lage geoomincn wäre»
welclie dieae Balinen ün Kaiime einiichmc». Zur I'otinimirng dieser Lage,
wodurcli man h\ ävn Stand gesetzt ist, die lie/.ii liuii^ dw Ort*- ciiics TlitnntelH-
körpers aul' iiLiiiul u-flchc miderr runkti- des liaumeH anyii^^t licu, wird oii'eubnr
sowolü die La^e der Baiineijene in Beziehung auf iigeud eine bckaiuite
Ebene erfordert (z. B. die Ebene der Erdbahn^ Eeliptik), ala die Lage der
Apsiden in jener Ebene. Da Obigea am sweekmttBsigsten auf aphEriaehe
Trigonometrie aitrttckgeftthrt wird, ao wollen wir una eine, mt beliebigem
Halbn]e,s.scr uni du Sonne als üfittelpunkt beaohriebene Kngeloberfläche denken,
auf der jede durch die Sonne gehende Ebene einen gi-össten Kreis, jede
aus der Sonne gezogene gerade liinie aber eineti l'iinkt zeit Imft. Wenn
Ebenen und gerade Linien niciil ilarcU die Sonne ti^-lh^n iiiiuluieliflihren,
so legen wir Uuien parallel Ebenen und gerade Linien durch die Sonne, und
atellen una vor, daaa die d^ Letzteren auf der KogeloberiSche mtsprechendea
grSwten Kreise wid Punkte auch erster« darstellen; andi Icann man nch ^e
Kugel mit einem sogenannten unendlich grossen ILdbrnesaer beschrieben
denken, auf welcher die parallelen Ebenen und geraden Linien ebaoflo dar-
gestellt wrrdon.

Falk claher die Ehene der Baiui nitlit mit der Ebene drr Kclipük
zuammuen, so schneiden sich die jenen Ebenen entspreelienden grossten
Kreiae (die wir einfach „Bahn" und „Eoliptik" nennen wollen) in zwd
Punkten, welche Knoten heisaen. In dem einen Knoten wird der aus der
Sonne geaebene Körper aus der . atldlichen Gegend durch die Ecliptik in die
ntfrdliche ttbeigehen, in dm anderen ^oten wird er ans letstner in die

56

Erat«« Buch. Zweiter Abscltnitt.

emtere znillckkehTeii. Ersterer heiast der ftufsteigendef letsterer der nieder-

ateigeiidc Knoten. Die hage der Knofcn In di r Ei liptlk bezeichnet man durch
ihren, nach Ordnung rler Zeichen <rezHhheii Abstand von» mittleren fVlIldingn-
Aoquinoxc O.änge). Es sei. in Fi^. 1, Q der aufsteigende Knoten, AQ ß
ein Theii der Eeliptik, CQD ein Theil <ler IJahn; die JJeweguiig der Erde
und des Iliuuuekkürpci-s mögen in der Richtung von A nach B und von C
nach D vor sich gehen, so ist klar, dass der sph^sche Winkel, deaQD mit QB
bildet, Ton 0* bis 180*, aber luerUber nic]it hinaus, anwachaen kann, ohne da» Q
aufhört der aufsteigende Knoten zu »ein. Diesen Winkel nennt man die
Neigung (It r T^ahn ge.u' ' 1 ■ Eeliptik. \^"enn die Lage der I' l ii Vn)ie durch
die Liinjfe ilcs aiit-teirrendi n Knoten« nnd diu'cii die Neiginiir 'It i iSalm lit stinimf
ist, so wird nur noeli der Abstand des i'erihels vom anfst< i^TinK n Knoten ertordvi t.
Diesen Abstnnd zählt man nach der Kichtung rier jM-wcgung, und nuujnt iiui
deshalb negativ oder zwischen 180* und 360' au, wenn das Peribel von der
Eeliptik nach Sttden belegen ist. Man merke sich noch die folgenden Aua-
drOcke: Die libige emes jeden Punktes in dem Kieiae der Bahn, wird von
demjenigen Punkte an gezählt, der vom aufsteigenden Knoten ebensoweit
(46) rüekwiirt*! in der Balm absteht, als das Erlihlings- Aeijuinox von demselben
Punkte rlickwUrt.s in der Eeliptik ab.stcht. Hicrnaoh wird die T.änfre. de»
J'erilicLs die Suiunu- der Länge dvs Knotens und des Abstandcs de*i I'erihels
vom Knoten sein; die wahre Länge des Körpers in der Bahn aber i&t
= der Snmme der wahren Anomalie und der Länge des Perihels. Mittlere
LUnge endlich nennt man die Summe der mittleren Anomalie und der Lifnge
des Perihels. Dieser letztere Ausdruck kann offenbar nur in elliptiscben Balmen
Statt finden*

Um daher den Ort eines Himmelskörper» im Baume für jeden Augen-
blidc angeben m kämen, muss man in der elliptiseben Bahn Folgendes kennen:
L Die mittlere IjHnge ftlr eben bestimmten, an sich willkürlichen

Zeitpunkt, den mau mit ..Epoche" bezeiehnet; mit denjselbcn Namen wird auch
bisweilen diese Länge selbst belegt. Gemeiniglich wäldt man fUr die Epoche
den Anfoag eines Jahres, nämlich den Mittag des ersten Januars in einem

EMatiwen, 4i« «in«» «iiiMliien Ort in Ratini« bctrelTcn. 57

SScbaltjahrt", oder den Mittag des vovhergcUendeu 31. Deccmbcrs im gc-
meboi Jahre.

IT. Die mttdcire Bewegung innerhalb eines gewisaen Zeitraunea, 9. B.
in einem mittleren Sonnentage, oder in 366, 365[-, 36625 Tagen.

IIL Die halbe grosse Axe, die zwar weggelaasen werden kiftinte, wenn
des Körpers Masse entweder bekannt, oder zn vemachl9j»igen ist, indem sie
bereits durch die mittleic Bewegung (Art 7) gegeben ist; der Bequemlichkeit
wegen pflegt Jedoch beides stets anjregeben zu werden.

IV. ExcentiieiiHt. V. Liinge des Perihels. VI. Länge des auf-
steigenden Knotens. Neigung der Balm.

Diese sieben Momente heissen die Elemente der Bewegung de»

Jvörpei-s.

In der Parabel oder Hyperl)el vertritt die Zeil de.s Perilieldurcligange«
die Stelle des ersten Eleniente^s. Anstatt II dient dabfi djus, wa-s in dieser Art
viin Ke<rel.sebnitten dtr inittleii.u tii" liehen 13ewe<nn»<r analoy ist I siehe Art. 19;

in der hyperl)nlis*-ht n lu ut-i^nug die Grüs.«e '/.kb ^ Art. 2H\ In der Hyperbel
kümien die übrigen Eleiuenle cbeuüO beibehalten werden, in der Parabel aber,
WO die grosse Axe unendlich mid die Exc^tridtat <= 1 ist, wird an Stelle des
dritten and vierten £lemente8 nur der Abstand im Perihele aufgeftthrt«

49.

Nach dem gcw«>hnliehen Spiachgebi'auchc wird die Neifrnny der Bahn,
welehc ich von () bis 180 zahle, nnr bis 90" ansgedtilmt, und wenn der
AVinkel der Balm nnt dem Bogen QB (Kig. 1) eineti rechten Winkel über-
schreitet, HO wird der Winkel der Bulm mit dem Bogen QA (der dessen
Gomplement zu 180* ist) als Keigung der Bahn betiUichtet. In einem solchen
Falle moss man dann himsnfUgen, dasa die Bewegung retrograd ist gleich (47)
als wenn in unserer Pigur EQF einen Theil der Bahn darstellt), um ihn vom
andern Falle, wo Ii IV wcgung direct genannt wird, zu unterscheiden. Die
iJinge in der Bahn pÜegt dann so gezählt zu werden, dass sie im autsteigenden
Knoten mit der I.änse dieses Punktes in der Ecliptik übereinkommt, in der
Richtung QF aber abuimnit; der Anfangspunkt, von welchem die Längen gegen

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58

Erstes Buch. Zweiter Abachoitt.

<lio Ordnung der Bewegung in der Btelitung QF gezKblt werden, steht also
ebenju> weit vom Q ab, ak das FrUUliug8-Aef(uinox von deawelben Q in der

Riclitimg QA. r> w inl dosliall) in diesem Falle die Dioge des Perilicls gleich
.«oiti der um den Ai »stand des IV-rihels vom Knot»"fi verminderten Länge des
Knotens. Aut diese W eise wird jeder rier lioiiii ii >[(raeligcbränel>e leielit in
den anderen venvandelt, i< U zielte aher den meini^en desiialb vor, \vcil man
sich dabei Uber die Uutcni^cbcidung der dirccten und rttcklSufigcn Bewegung
biuw^setscn, und in beiden Fällen stets dieselben Fonncbi anwenden kmm, wäh-
rend der gewUtmliehe Gebrauch hUuiig doppelte Beclmiingsvorschriften erfordert.

50.

nie eintaeliste Art, um die Lüge irgend eines l'unktes an der OberflUelie
der liiniiiieiskugel in IJezieliung auf die Eeli|)tik zu be^tiimneu, c*rgiebt sich
durch «einen Abstand von der Ediptik (lireito; und durch den Abstand des
PunkteSf wo die Ecliptik von einem auf sie geföUten Perpendikel geschnitten
wird, vom Aequinox (J.,änge). Die Ih-eite wird von beiden Seiten der Ecliptik
an bis zu 90" gezählt, und wird in der nördlieben Ixegion al.s positiv, in der sUd-
lielu iiids iirMjativ bctraelitef. Ks niö^n ii dalier dem lu"]ti>rrnri-is( !^en ( h tc eines
llinnnelököi jK 1 >. d. b. der Projceti ai einer von der Sonne Ii dem Körper
auf der Himmeiskugcl gezogeneu geraden Linie, diu Länge i. und die Ureite ft
entsprechen. Es sei femer u die Entfernung des heliocentriaehai Orts vom anf-
steigenden Knoten (welche dos Argument der Breite genannt wird), i die
Neigung der Bahn, Q die Länge des au&teigenden Knotens, so hat man
zwiseben », tt. , / Q, welebe Grössen Stlieke eines reeht winkligen sphärischen
Dreiecks sind, folgende Kulaticmen, die, wie man sich leiciit überaengt, ohne
alle EinßebriinkimL'' gelten:

I. tangU — Q) = eosetang«
IL tang/y = lang «sin 1^^^ — ÖJ

III. Bin/9 =■ sintnntt

IV. cos» = coBßcoa(k — Q),

Sind daher / und u gegebene Grössen, so wird daraus l—Q mittelst
der Gloiebung 1 bestinunt, und sodatm ji mittelst II oder III, wenn nUndicIi ß
«cb nicht zu sehr :^90^ nähert; die Formel IV kann aur Prüfung der

I

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RalütloDeD, die eiMn «imalMii Ort im RminM betreffen.

59

Recbnong dknen. Uebr^ens lelireQ die Formeln I nnd jfV^, daas l — Q und u
immer in demselben QuadranteD liegen, so lange t zwischen 0* und 90* liegt;
dagegen gebßren l — Q und -360* — u sa denselben Quadranten ^ sobald t
zwischen 90* und 180* li^, oder wenn nach dctn gewöhnlichen Sprachgo-
braoehe die Bewegung rückläufig Ist. Die Zweidcutiakt it, welclie die Jiestini- (48)
n»ung von k — Q an- fler Tangente nach Fonnel I zurUcklüMt, wird al«o
lüerdurch von selli.st aufgelioben.

Folgende Formeln leitet man leicht ans Combination der vorber-
geheudcu ab:

^^ sin (u — Ä -|- Q) = 2 sin \ V sin u cos [). — Q)

VI. sinf?/ — i'-i-Q) ~ tangY*'^i»/^^"«(^ —

\U. »in (ii — >t 4- — taug ~ i tang ß eos u
Vlil. Q}as2co»i»'sin«oos(i—

IX. 8in(tt+i— (?)^cotftng|isin/}cos(A— Q)

X. mn(«+^ — Q) B cotaiig|4taDg/9cost<«

Der Winkel u— il+Q (wenn % innerhalb 90*), oder w+;i— Q (wenn i Uber 90''),
helsst gameiniglich die Reduction auf die . Ecliptik; er ist nämlicli der
Unterscliied zwischen der hei iocen Irischen Länge X und der Länge in der Bahn,
die nach gewölmliclieni Rjuaclij^t lirixiclie ist: Q + w fnacli (Inn mcinigt'n •
Sobald die Ni'ii^viii^'' dvr Dahn kli iu mltr \v(Tii«r vun 18ü" ver-diicilen ist. so
kann man diese Keduction als eine (jirüs;»e der zweiten Ordnung betraeliten,
und in dieaem Falle ist es vorzuziehen, ß zuerst durch Formel III und dann
X aus yU oder X zu berechnen, wodurch man grössere Sohärfe als mittelst
Formel I erlangen kann.

Wenn man tan Pa'pendikel von dem Orte de« Körpers im Räume,
auf die Ebene der Ecliptik fUUt, so hdsst der Abstand des Einschneidepunktes
▼on der Sonne die curtirte Distanz, fiezetehnet man also letztere mit r',
den radiiis vector aber mit r, so hat man

XI. r' SB rcos/9.

8*

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60

Ent«9 Buch. Zweiter Abwhiutt.

51.

Brillit' eine»* Iki.spicls will ich die in den Artt. IH imrl 14 angefimgcne
IkMecliiiung wozu die Zahlen vom l'inneten Juno geiiommei» waren; weiter
ibrtäctzcu. Wii- laudcu oben: wuhi'e ^Vuuiuulie = 310° 1 23' 02, den
LogaritliinuB des mdiu« vector = 0,3259877; nun «ei t = ld*6'44''10, Abstand
des PeriUels vom Knoten = 24ri0' 20" 57 , ond daher 198* 11' 48 "59;
«ndlicb sei Q = 171' 7' 48" 73. Hieraus erhält man:

;«» Ü,4G3 0573 ln;rgin(i^O} 9,434 8091 n

logeos / M.DSS .'iL' CO lo^r tanpr ?* 9,3(;7 230')

logtang(i — ...:»,4öl 5839 \ogtm};ii 8,8020f»9G»

X—Q = 19ö'47'40'25 ß =— 3*3<4U02

l G 55 28, 98 logcos/? 9,9991289

log; 0,3269877 log cos (A— 0) 9,983 2852 n

logco8/? 9,9991289 9,9824141 n

log r' 0,325 1 166 log cos u 9,982 4 141 n,

(49) Die liec-hnnug nacU den Formeln III und VII Mlirdc m stehen:

Jogsin u 9,445 4714« log fang \i 9,0G0 4259

log sin /■ 9.355 7570 log unjg ,i 8.8O1» (»995 n

logsin/y 8,8012284« logcns^' 9,982 4141?«

=— 3*37'4Ü 02 Jogsin,«— A4- Wj... 7,844 9395

tt— i+0 — 0°24' 3 34
l—Q B 195 47 40,25.

I^>(-ti Helltet man i und ti als veriiudcrliche Grössen, so giebt die Difie-
rcutiation der (Jlcieluuig III im Art. 50:

cotaug ji d = cuUuig i di-j- cotiuig u d «, oder

XIL dß = sinCl— Q) dt+»intcos(il— S?) du.
Ebenso erhltlt man durch Diiferraitiation der Gleichung I:

XUI. d(A— ß) «— tang/ycos(Ä— g)di-i-^du.

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RrtktioiMn, die thum Snieliwa Ort in Ibime Iratieffeii.

61

Sehllfinlidk folgt am IHffBrentiatioii der Oleicliung XI:
dr'=^CMßdr — rüaßdß^ oder

XIV. dr' = CM/Jdr— r8iii/?Bin(i— Q)d«— rMn/?ffln«coB(A--Q)dfi.
In dieser letzten Gleichung muss man entweder die Olieder, welche d/ und du
enthiJtai, mit 206 265" dividiren, oder die übrigen mit dieser Zahl multiplieiren,
wenn man die Aendeningen von i and u als in Sectinden atugedrttckt annimmt

53.

Die I^ige dnes Punktes im Baume wird sehr bequem durch die Ah>
Stande bestimmt, welche er von drei, sich einander unter rechten Winkeln
scfanmdenden Eb^en «annimmt» Wählt man m dner dieser Ebenen die
Ebene der Ecliptik, und bezdchnet mit g den Abstand des HimmelBkörpers
von dieser Ebene, der positiv genominen wird im nördlichen, negativ im
südlichen Theile, so h.it man otTcTilmr z ~ }•' Umgß ~ rm)ß - r»inie\nii. Die
beiden lihrif;:cn Ebenen, welclie ebenlidls als durch die »Suune gelegt gedacht
werden, prujiciren an der Himmelskugel grösste Kreise, welche die Eeliptik
unter rechten Winkeln schneiden, deren Pole daher in der Eeliptik selbst
liegen und 90* von einander abstehen. Denjenigen Pol dner jeden Ebene, auf
dessen Seite die AhatKnde als positive gezählt werden, nenne ich den posi-
tiven Pol. Es mögen mithin N und die Längen der positiven
Pole bczeiclmcn, und die Abstände von den ihnen entsprechenden Ebenmi
sollen beziehungsweise x und y sein. Man liat dann offenbar:

= r' cos (/. — N) — r cos ß eos (A — Q) cos ( jV — Q)-^r cos sin (i — Q) sin [N — 0) (50J
y = r'nin {). — N^} — rcos/isin (k — Q)co6{N — 0} — reoa/9eos(il — ^)mi{N—Q),
Diese Wertke gehen über in

x^reM{y — Q) cos« -fr cos« »in (-ST — 0)sintt
y = rcostoo«(^— 0)8in» — r«m(2i^ — Q)cob««.
Wird folglich der positive Pol der Ebene der x in den au&teigenden
Knoten selbst gestellt, so dasa N^s^Q ist, so hat man übt die Coordinaten

jr, « die sehr einiiiohen Ausdrucke:

y = r cos i »in
z = rsintäinu.

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62

Etstes Buch. Zweiter AbAchnitt,

Wenn ftber diese YonuuNetzimg niclu Statt findet , so kann man doch den

obigtii Fi.nneln ciiif inifxrl";ilir i lienso' bequeme Gestalt durch EinffÜnung von
vier HUlfflgrSttsen a, Ay B go}>en, die so be^^tinunt werden, dam

cos .V^^ — Q\ = asin ^1
co.-i i «in [N— Q I = a cos

coe< cos(2ir — 0) ^ bet»B
(fliehe Art. 14, II). Dann ist offenbar

st=s rafi,m{u-\-A)
y = r6«in(»+ ^
z = rainiMnt».

«

54.

Die in dem Vorangehenden erklärten Relationen der Bewe^;ang zur
Ecliptik bleiben offenbar gans die lüimlichen, wenn an Stelle der Ecliptik
irgend eine andere Ebene fj;esetzt wird, falle nur die Lage der Bahnebene
gegen diese Ebene bekannt ist. Jedoch niiiss man dann die Ausdrücke Länge
und Breite wegl.issen. Ks bietet sich also iWv Aufgabe dar: ^1"« 'ff'' hfknnn-
fen Loge der Bahnebene und einet' dtulerm ntiitn filmte gegen die Ecliptik
die Lage der Bahnehene gegen diese neue Ebene herzukitcn. Es seien
nQ, QQ', nQ' Thdle grSsster Kreise, welche von der Ebene der Ecliptik,
von der Bahnebene und von der neuen Ebene «n der Hinunelekngel projieirt
werden (Fig. 2). Damit die Keigung de.s zweiten Kreises gegen den dritten und
Aer Ort des aufsteigenden Knotens ohne Zweideutigkeit angegeben werden könne,
mnfs im dritten Kreis»- fiiio von zwei Rifbftm«ren misirowülilt wenlen, die
<U rjiiiii»en anah>g ist, welche bei der Ecüpiik die Ordnung dei Zi i( In n ist.
In unserer Eigur soll diese Kicktuug von n mich Q' gehen. Aussta"dem mvm
von baden Halbkugeln, welche der Kreis oQ' von dmander trennt, die
(61) eine als der nördlichen, die andere als der südlichen Ifolbkttgd analog ange-
notiunen werden. Diese Halbkugeln aber sind schon von selbst unterschieden,
in soweit stets dasjenige als jiördlich migeschen Mrird, wa» Jemandem, der in einem
Kreise nach Ordnung der /^eiithen vorsehreitet, zur Hechten liegt (njünlieh auf der
innern Kugelfläche, welche unsei'e Figur vor»telit). In der Figur sind daher

. j by Google

Rid«li«iHm, ^ dum etudaen Ort im Rumt iMtraieo. 63

Q, n, Q' die aut'steigeudeu Kuoteu des zweiten Kidses «if dem cnrten, de»
dritten «nf dem eisten, und des zweiten auf dem dritten; 180* — nQQ^, Qn^y
nQ'Q sind die Neigongeu des zwdten gegen den enten, des dritten gegen
den ersten, des zweiten gegen den dritten. Es hängt mithin iin.sere Angabe
von der Auilö.snng eines fiphärischen Dreiecks ab, wo AOS einer 8eite luid den
anliegenden WiiikeJn das Tebrige gefunden werden muss. leb ülieri^clie liier
die binreiebend bekannten tri"^völinlirlieii \'or.scbrif'ien der spbihisrlien Trigono-
inetrie zur liebandiung diesem lalles, braucbe dngegcii zur gro.sseren Hequeni-
licbkcit eine andere Methode, die aus gewissen Glciebmij^aa, welche vergeblich
in unseren trigonometrisdiBn Btteheru gesacht werden, aligeleitet ist.

Diese Oleichnngen, die wir später häufig benutzen werden, sind die
folgmden, wobei a, 6, c die Seiten nnd B, C die diesen Seiten respeetive
gegentlberstdienden Winkel eines sphiBriachen Dreiecks bezeichnen:

I.

ain^ti — c)
sin ^ a

_ »m^{B—0

u.

cos ^[li — C)

UI.

cos^ —

_ nn\(D-]~C)

cos \ n

coa ^ .1

IV.

cos \{b-\-c)
CM^a

_ cos ^ (Ii -\-C)

Obgleich ich den Beweis dieser Sätze der KUrze halber hi«r Ubergehen muss,
so kann doch ein Jeder deren Wahriiat Idcht bestätigt finden in Dreiecken,
in denen weder die Seiten n ( b die Winkel Uber 180" hinausgehen. Wcim
man die Idee des sphärischen Dreiecks in der grössten Allgemeinheit auf-
losst, so dass weder Seiten noch Winkel dui-eh irgend welelte Cirvmen Ite-
Rchränkt werden (was viele ausgezeidmete Vorlheile gewährt, jcdoeh zmor
einiger I^rräuterimgeu bcdml) so können Falle eiutreteu, wo iu allen
vorhergehenden Gleichnngen das Ziehen gdtndert werden muss: weü aber
die frühem Zeichen offenbar wiederhergestellt werden, sobald dner det Winkel
oder eine der Seiten um 860* vennehrt oder vermindert wird, w> kann man
die oben gebrauehtcn Zeichen stets sieher betbehalten, es mag non aus der
Seite imd den atdiegenden Winkeln, oder aus dem Winkel nnd den aidiegen-
df'ii Siiteii <la.s l'ebrige bestunint werden; denn stets gehen aus miseren Formeln
entweder iUr die gesuchten iStUcke die Werthe Bellst hervor, oder solche, die

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64

Erste» Buch. Zweiter Abschnitt.

von den ivahren am 860* veraclMeden, Urnen also ^etch geltend nnd. Eine

vollstMndigere Erklärui)*^ dieses Gegenstandes will ieli I>i8 /.ii einer andern

rjclegcnlicit aufsparen. I>ass nhcr meine Vorscliriften, die ich iiiif irnc For-
(ä2i nifln sowoid bei L<i=?mfr unserer ,\nt';.Mlic ;ds nudvvn ilv\i'jj:vM]n-\Hn ^'estiltaiit
habe, in allen Fällen eine allgemeine (iüitigkeit be>ii»zen, Jiesse »ieh einst-
weilen mit Hülfe einer strengen luduetion d. h. durch vollständige Aufzälilung
aller FiÜle unschwer erweisen.

55.

Bezeieiinet man wie oben tlie ]>jinge des nnfsteigenden Knotens der l'.alm
in der Eeliplik njit Q, die Neigung mit «; lerner die Jiiinge de« .lutstcigenden
Knotens der neuen Ebene in der Ecliptik mit w, deren Nci-^imir mit den
Abstand des au&tcigcnden Knotens der Balm in dei' neuen Ebene vom auf-
steigenden Knoten der neuen Ebene in der Ecliptik (den Bogen in Fig. 2)
mit Q'; die Neigmig der Balm gegen die neue Ebene mit i'; M-hliesslieh den
Bogen von 0 bis Q' naeli der Kielitung der Beweginig n)it J; — m werden
die Selten unseres spliäri-schen Drciceks Q— «, £?', und die gegenüber-
sfebonden Winkel i\ 180* — *, e. Alan hat also nach deu Foinieln des vor-
hergeiicnden Artikeln:

sin 7 1" sin 7 1 Q' -f ./) — »in -j — «} sin y (?' + *)
«n {i' Qf»^{Q' +^ = co87(Q — tt)8in^(t — «)
oo«i i'mtUV—J) « «in i(0— «)co8 f (t+s)
cos \ cos I — J) = cos|(Q — ») cos 4- (* — ») •

Die beiden ersten Gieielmngen geben j(Q'-\-J) und »in^ /'; die beiden
übrigen j{Q' — .-l) und cosj / ; aus j{Q''\-J) und ^(ö' — entwickeln sich
^ und J\ aus 8in|t" oder cos^-t" (derai Uebereinstsmmung aur Prüfung der
Beefanung dient) ergiebt sich t*. Die Zweideutigkeit, ob f vnd —

zwi.sclien 0 nnd 180", oder zwischen 180" und 360° y.u nehmen ist, wird dndnrdi
gehoben, dfum sowohl siny«" ah eos^ / positiv werden müssen, weil der Natur
der Sache nach »' innerhalb 180' fallen muss.

. j . d by Google

Rel«Uonen, die einen eioselnen Ort im iUuro« l«treA'en.

65

5^

Ein Beis]>tf] zu dvn vnrhfrgcliendt'n A orecliritten. Sei Q— 172''?8 13 7,
?' = 34° 38' 1 1 . SixlaiHi Hti dir luiio Klifiie dem Ae(|uator ]>Mrallcl und daher
n = 180°, der Winkel e i8eliift'c der iv liptik) =^ 'JiV 21 ^),') H , so hat niuu:

g~» = — 7''31'46"3 — «} - — 3"45'53"15

i^'t = 58 5 56,9 = '-iii" 2 58,45

i— e « 11 10 5,3 {(»—') = ö 36 2,65

l<.gsin|(0— ») 8,8173026» hgvo>^^{Q—n) 9,9990618

lognn f (t+<) d,686 2484 logsin ^t— c) 8,988 1405

logooB + c) 9,941 6108 logcoa |((— 0 9,997 9342.

Hienms folt^t

logmni iVm { Q -f- . : . 8,5085510« logcosj Tsin { Q ~ J .. .8,758 9 134 «

logftin-i^/ eosi(Q'^t- /\.. 8,9872023 logcosj / j Q — .i) ..9,99G99G0

woraus }lQ'-f^ = Ö4i'49' 19 Ol woraus H^35ü''^4 f 3i'^3^
logsin {i' 9,Uüy 43fi8 log cos ^i' 9,997 7202.

Wii- erhalten daher = Ö'51'Ö6'44ÖJ »' = H'43'Ö2"89; Ü =038° 30 00 43;
= — 14" 52' 12 42.

T'ebrigens entsprieht der l'unkt n an der Ilinnncl.skngel offiiihar dem
Herb.ftaequinox. Ks wird do^1);ill» der Alinfand des autsteigendeu Knotens
der Balm iiu Ae(|uator vom Frlildings- Aciininux (des^fu gerade Aufsteigung)
= 168*80'60''43.

Znr Erhinterung des Art. 53 will ieh dieses Hcispicl norli weiter tort-
.setzen und die I'^onnebi für die Coordiuaten in Beziehung auf die drei dureh
die Bonne gelegt«» Ebenen entwickeln, deren eine dem Aeqdator {Mrikllel sei,
während die pondven Pole der beiden übrigen Ebenen in der BectascenMon
0" und 90* liegen sollen; die Al^tünde von diesen Ebenen seien leep. «, ar, jf.
Bezeichnet man nun aus^rdem den .Vbstniid dt s heliocentrischen Orta an der
Himmelskugel von den Punkten Q und V' bi ziehungswelse mit n und so ist
n' = u — ^ = tt+ 14° 52' 12"42; nnd 1 ).is)tiiiire, was im Art. 53 mit /. A' O,
u ausgcdrilekt wurde, wird hier sein: i , ItiO — u. So erhält imui aus
den dort gegebenen Formeln:

OA11M, TkMil« 4. Brns. ±. ■■»■«lit 9

66

£r«te» Buch. Zweiter Abacbnitt.

logaamA 9,968 7197 n }ogbmiB 9,563 B058

logoci»^ 9,554638(1« log 6 cos ... . . ^9,959 .55 19»

.lUo A = 24S" r>^'22'\)l also ü =« 15H "5'.'j4' 97

logrt 9,998 7923 log6 9,9920848.

Mail liat daher:

X s« ar8m(tt'+248*5ö'22 97; = ar8ui(« + 2Ü3 '47 35' 39)
r8m(u -1-158 5 54, 97) — b r 8m(»+ 1 72 68 7, 39)

z ersiau' « ersinfu-f 14 52 12,42)

wo logc = Jojj:sin< = 9,3081870.

EiiK .niilcn' Äuflttsang dieseä hier Iu'li;itidchcii ProMem» findet man in
von Zacli, Monatliche Correspoudenz, liaiid iX, B. 38ö.*)

Es kann luidiin der Abstand etnea I&umelskSrpers vcm einer
dnrcL die Bonne gehenden Ebene auf die Form krBm(v-\-K) zurückgeführt
werden, wobei v die wahre Anomalie liczeiehnet, und wo k der Sinus der
Nei;_nm^'- der ]\;ihn gegen diese Ebene, K der Alistand des l'erihels vom aut-
»t< iu('iiii( II Kii in n der Bahn in derselben Ebene ht. Soweit nun die Lage
(ö4) der iJahnebcnc, und der Apsidenlinie in letzterer, ji»>wie die Ljige der
Ebene, auf welclie die Abstände eich beziehen, als constnnt gelten kütmeu,
werden auch k und K oonatant sein» Meist jedoeh wird jene Methode in einem
solchen Falle benatzt werden, wo, wenn auch die Sttfrmigen vemachlüsaigt
werden, welche die erste und »weite Vorau^-ietzung stets etwas aftieiren, wcnig-
ötens die dritte \'oran.s.set7,ung iuj/.ulä.s.sig ist. Letzteres tritt ein, sobald die
Abstände niif tlie Kltme des Aefpiafni"« be7.n;ren werden, nder ;ttif eine den
Acijuatur luiler reeiiieui W inkel in gegebener JiccUk.ceiis.iun ^^chucitlende Ebene.
Denn da die I^ige des Act^uatyrs wegen Praecesfsion der Aequinoctien und
nberher wqgen der Nutation (wenn von seiner wahren, nicht yon seiner mittleren
Lage die Bede ist) verMnderlich ist, so werden In diesem Falle auch k und K
YerKnderungen, allerdinga langsamen, unterworfen sein. Die Bereehnung dieser
Veittndemngen kann ohne Schwierigkeit durch Difierentialformeln bewerkstelligt

*) V«ifL Anluuif 8«ite 68 fo](uuic ÄHtatrlamg dt* (/c6<f«ClMi«

ij,„i^

d by Google

Riel«tioa«B, iSm «tum oinuiiMii Ort im Ranim betreffen.

67

werden; der Kttne wegen mag es tiber luer geiiiigeii, die diflenntiiileii Ver-
änderangea von t, Q', d amrafflhreii, m soweit iolche von den Aenderungea
des Q — n und de» c abhSngen.

d»' = sin « sin Q'd{Q — n) — cos Q' d e

iiST— d(0-«)+^.de

unt ' ' Sin I

Sobald CS sioli übrigen« nur tWuni liandelt, in Hczit-biing auf soldie vor-
ändcrlicbe Elienen njclu'o Orte eines Hinunc]sköri)cr8 zu !>ri r< Imen, die inner-
balb eines nja->im*n Zeitraumes (z. Ii. eines Jahref^) liegen, sii wird es ifenieiniglieli
am Bequemsten sein, die Grössen 0, ö, B, c, C für zwei Epochen, zvviselieii
welche jene Orte fidlen , »1 ermitteln, und ihre VerSnderangen für die
angenmuuenen einzelnen Zeitpunkte daraus mittelst einfacher Interpolaticm
abzuleiten.

58.

Unsere Fonnein für Abstände vou gegebeneu Ebenen entlialten
V und r; mid sobald man vorher diese Gr&ssen aus der Zeit bestinmMb
muss, so .kann dadurch ein Thcil der Operationen noeh Abgekilnt, und die
Arbeit merklieh erleichtert werden. Denn man kann jene Abstände durch eine
sehr einfhelie Formel sofort atis der exeentrisclion Anonialie in der EJlipwe^
oder aus der Hülfsgrüssc F oder u in der Hyperbel berlcitcn, so djiss es der
Jiercohnung der wahren Anomalie inid des radius vector überall uicht bedarf.
Ks wird nämlich verändert der Ausdruck '^»'-f- A')

I. für die Ellipse i^unter Beibeliaitung der Bezeichnungen de»
Artikels 8) in:

aArcoiS9coBir8inJSr-f-al;rinJr(cos£ — e).
Bestimmt man also If l durch folgende Gleichungen:

oibcosii^cOBJ^ = icosL

— eaürsinJt— — *ltamL «b Jl^

so geht dieser Ausdrude Uber in: lm{E'\-L)-\-Xf wo ^ L, A oonstant sein

9*

68

Enies Buch. Zweiter Atwcbnitt.

werdeiii so lange man e al« constant annehmen darf; wenn Letzteres
m«ht angeht» so gilt Uber die Berecltnung jener Aenderungen Daaselbe, waa

im vorhergehenden Artikel bemerkt ist.

Als Beispiel wollen wir die L'mtomiung des im Artikel 56 ttlr x gc-
timdenen Ansdrueks liinzutllgen, wo die Länge des l'eriliels —121* 17' 34 4,
if = 14' la ai 97, lo'^ a 0,442 3790 gesetzt ist. Es wird mithin der Abstand
des Teriliels vom aufsteigenden Ivnoteii in der Ecliptiii == 308'49'20"7 =
u— v; Meiaug iT» 212*36'56"09. Man liat also:

logait 0,441 1713 log^wiL 0,1727600»

logsinüT 9,73 1 ö.S8 7 n lQg/cog,L 0,35S 1154n

logaAcoBf) 0,427 6456 L = 213''25'51"30

logcosJT 9,9264698» log/ = 0,4310627

logA = 9,563 2352
X = -I- 0,3Gj71i29.

II. In der Hyperbel geht die Fonnel ki'tiu{v+K) naeh Art. 21
fiber in: x-^/tümgF-^-PtecaaaF, wenn man dabei setzt: e6itsinJP = A,
bkteaagiffco»K = ftf — bk9mK= v, offenbar kann man aueh diesen Amdmelc

auf die Form bringen Silü*^^ — Wenn an Stelle von F die Hlilft-

prfisse « angewendet ist, so geht der Ausdnick /cr8in(f-|- A') naeh Art. 21
Uber in: c-f'/^'* + ~? ßf Y durch i'oigcnde FormeUi bestimmt werden:

« — A = c^AsinÄ'

ß = }^ y -}-,") = — 2 <?^'^'siiHA'-~i/0

y = 1 (»' — /i) = — A e6^sin(A'-i- V")-

III. In der Parabel, wo die wahre Anomalie ans der Zeit un-
mittelbar abgeleitet wird, bleibt nicbts Anderes Übrig, als fUr den radius vector
seinen Werth zu substituiren. Beseichnet (htnn q den Abstand im Perihel, so

wird d«' Ausdruck kraniv-^-K) =

59.

Die zur Beftimmnng der Abstiindc von, durcl» die 8onne gelegten
Ebeneik geigebenen Vorscliriften lassen sich ofÜBnbar ancb für die Abstünde

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RdiitioiiflB, di« «iien «Judaeii Ort bi Rmine betreffen.

69

der Erde «nwendeD, wob« alier nur die ein&dksten F&Ue vorzukommen
pflegen. — Es seien R der Abstand der Erde von der Sonne, L die
heliooentrische I^i^ der Erde (die von der geooentrischen LSnge der Sonne (M)

180* verschieden ist) und endlich A', Z die Abstände der Erde von drra
Ebenen, die sich in der S'onue tinter reeliten Winkeln sclineiden. Fnll^^ nun

T. (He Klieiie der /> die Eeliptik sellsst ist» und die Länge der Pole
der übrigen Ebenen, von welchen die Abstände A' imd Y sind, resp. mit
N nnd N-\- 90* bezeichnet werden, so ist

X= Äcos(L— 7= SfAjiiL—2r)\ Z = 0,

II. Wenn dkt Ebene der Z dem Aeqnator parallel is^ und die Becl-
ascensionen der Pole der übrigen Ebenen, von welchen die Abstünde X und Y
Bind, re«p. zu 0 und 90 " angenommen werden, so hat man, ytema t die Schiefe
der Jücliptik bezeiclinef:

A'— iicos/y; y = ii'cos sin A ; Z ^ Ji>,']j\fm\L.

Die lleruuflgeber der neuesten Sonnen tafeln, v. Zacii und de Lambre,
haben angefangen, auch anf die Breite der Sonne BUeksicht m nehmen, öne
Grösse, die y<m den Stfilmngen d&r flbrigen Planeten und des Mondes berrtthrt
und kamn due dnzige Secande erreichen kann. Bezeichnet mm B die
hclioeentriache Breite der Erde, welche stets der Br^te der Bonne gleich, ab»
dem Zeichra nach entgegengesetzt ist, so bat man

im Falle I. im Falle &.

A' = Ii iro.s ß COS (L — X) X ■—- R COS ß COS L
Y=£cosBs\u{L — A) Y ~ HcoaBcohiüiuL — RäinBsmt

FUr oosB kann hier immer sicher Eäns, und der Winkel B in Theilen des
Radius ausgedruckt für s'mB gesetzt werden.

Die 80 gefundenen Coordinaten werden auf den Mittelpunkt der Erde
liezoffpn. Wen!» ^, r,, ^ die Abstiitidc eiiKS beliebigen Piiiilctes auf der Erd-
oberfläche von (hei Ebenen sind, die durch den Mittel]itinkt der Erde
gelegt und den durch die 8oiuic gelegten iwuallel sind, so werden die Abstände
jenes Fmdctea vim den durcli die Sonne gehenden Ebenen ofienbar sein

X+ßi Z-hS
und die Wertbe der Coordinaten I, 17, ^ werden in boden flÜlen anf fblgeade
Wdse lacht bestimmt. Es sei ^ der Hallaneaso: der Erdkngd (oder der

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70

Entu Bach. Zwojtw Abtebnitt.

ßiims der nuttlereii HorizonUdpasralUxe der Sonne)» A die Dinge desjenigai

Punktes der Hiinnielskiigel , WO täeh <lie gerade aus dem Centrum der Erde
nach dem 0])ci-iläclienpuukte gezogene linie projidrt} ß deauen Breite, «r Bect-
asoension, d Dedinatioii, so hat man

im Kalle I. | im Falle II.

B — CDS (i COS (?. - — Xj ^ = (» coB ^ooe a

^ = (>.silit1 5=fC08J.
(ö?) ^)ie^^cl• l'unkt der Hinmielskugel entspricht offenbar dem Zenith dea Orta

auf" der Ohertliu lic (wenn nänilii Ii '1ti' Knie als oine Ktif-rl lif traclitet wird),
w(^«ähnlh sciiii' irnaiif Aiitsteigiin^' mit der I 'cclasc i'iisiuii der !Mi»tc do« Himmels,
oder mit der in i{i>gen verwandelten hteiuzeit id»ereiiikommt, .snwie die De-
clination mit der Polhühe. — Falls der MUhe vrcrth wäre, dabei der
sphUroidischen Gestalt der Erde BecLnung zu tragen, so lollwte man fttr 9
die verbeaserte PolhSho und für ^ den wahren Abstand des Ort» vom Nüttel- >
punkte der Erde anwenden, welche naeh bekannten ^^ a ^<•hritten gefanden werden.
.\us c und werden Länge nnd Breite A und fi dureh bekannte, aueh weiter
unten aligehnndehe Regeln hergeleitet. Uebrigens ist klar, das« ?. mit der
Xüugc des Xoiiagetiiiiitu uud i^O" — ^ uiit dessen Höhe Übereinkommen.

60.

Wenn a?, z Abstände dnes fiSramelsktirpei's von drd, in der Bonne

initcr iK Ilten Winkeln sieh sehneidenden Ebenen bezeichnen; A', 1', Z Ab.stände
der Erde (sei es deren Älittelpnnktes oder einej* Punktes auf der Oberfläche)
v(in dcii-i llu ii K!k ncn : so i^t klar, dnss .r — A'. — }\ z — Z die Abstände des
lliinnjelskörperö \ un drei Ebenen htin werden, die jenen jwrallel dureli die Erde
gelegt sind, und dasü diwe Abstände die nämliehc Relation m dem Abstimde
des KSipera von der Erde und za sdnem geocentriscben Orte*) d.h. zur Lage
der geraden Projectionslinie, die von der Erde nach dem Ecirper an der
Hinunelskugel gesogen wird, haben, welche .r, y, z zum Abstände von der
Sonne und sum beliocentrischen Orte bceitsen. Es «ei nun J der Abstand des

*) Im wctUiTu siuiK . (I.nii <ig«ntlick «M dwwT Aimlnnk nf den Fall bcicffii, wo Um fl«(Mb tm
dm Mittelpunkte «Icr Erde getogcn wird.

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RdaCioiieiit.iK« eiiMii «»ualA«ii Ort im Raune bebeffeB.

71

Uimiuclskörpci'H von der Erde. Man stelle sich vur, dass an der Himmels-
Iragel ein Perpendikel Ton dem geooentriachen Orte «uf denjenigen gröMten
Kreis gefüllt sei, welelier der Ebene der Abstünde entspricht, nnd es sei
a dcF Abstand des Perpendikel-Einschnitts vom poeilayen Pole des griissten
Kreises, welcher der „a:* Ebene entspricht; endlich sei b die Länge dieses Per-
pendikels, oder der Abstand des geocentrischen Orts von dem den „z" Distanzen
entsprechenden f^nisston Krei^se; — drmn wird f> <lie "i'eot'entrirtche Breite oder
Declin.ition sein, je naohdcm die Ebene der „c"* Distaii/i ii die F.( lijitik
oder der Aequator ist; dsigegen ist a-f-A' die geoeeutriüche Läng« uder
Rectasccnsion, wenn X im ersten Falle die Länge, im zweiten Falle die
Rectaseension des Pols der Ebene der «df" DIstansen bedeutet. —
libn hat deshalb

ff — J cos 6 sin o
z—'Z=. ^sin6.

Die beiden eistin GleiciuingeTi geben o und Jco»b^ wcldie letztere (stets
positive) Grötöe durch Cumbinatioa mit der dritten Gleichmig 6 mid ^ liefert.

6L (58)

Wir liaben in dem Vorangdiendai eine überaus leichte Methode nur
Bestimmung des geocentrischen Orts eines Himmelskörpers in Besiehung auf

die Ecliptik oder den Ae(}uator gegeben, es mag nun dieser Ort von der
Parallaxe resp. der Nutation be&eit oder hiemit behaltet sein. — Denn, was
die Nutatinn betrifft, so liegt der gfln:?c Vntci-srlned dariji, ob man die mittlere
txivv wahre Lage dt-s Arr]tmfnr.9 wiililt, und (U'shalb ziihlt man die Lnniren
iiii ersten Fnlle vom nn'tilereit Ae<niinox, im zweiten vom wahren, Rowie mau
üi jenem Falle die imitiere, in diesem aber die wahi'C Scliiefe der Ecliptik
brancht. Uebrigens ist von selbst klar, dass, je mehr AbkOrzungen man bei
der Coordinaten-Becechnui^ etnftthrt^ man desto mehr präliminare Operationen
vomehmen musa. Es wird deshalb die VorzUglichkeit der oben nur unmittel«
baren Ableitung der Coordinaten aus der excentrischen Anomalie autgc-
etellten Methode besonders dann sich offenbaren, wenn viele geoeentnsche
Orte zu bestimmen sind. Wenn man di^gegen nnr emea oder recht wenige

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72

£rates Buch. Zweiter Abechnitt.

gcocentrisdie Orte zu bereclmen bat, so wUrde m sich Iceinaiwega der Mtflie
lohnen, die Arbeit der Ikreclinmig m vieler HUlftgrSMen ta antemehmeu. In
einem derartigen Falle n ird es mc\i vielmehr empfehlen, die gewütmlieiic Methode
nicOit zu verbt'vHCii, nacli wclrlicr !ms flcr oxecntrisolien Anomalie die wahre
und der radiiis verfor. hieraus tler !ulio<aiitii-rhr Ort in HUcksirlit ;nif die
Keliptik, liierau.s geocenti'isehe Liiuge und Jireite, und endlieh liet ta.scen.sion
und Declinntioii gefunden werden. Damit hier nichts zu nuuigeln scheine, will
ich die beiden letzteren Operationen noeh kurz erklären.

02.

Ms sfi des Ilinuuelskörjier»* heliocintri^« In* Länge " Hreite = ß; die
geotenlrisebe Liinge = /, Breite =6, Ab.stand von der Somie i', von der
Erde d\ endlich die heltocentrisdie Länge der Erde = Zr, Breite = B,
Äbftland von der Bonne = B. Da wir nun nicht BssO «etzen, so kann man
misere Formeln anch auf den Fall anwenden, wo die heliocentrischen und
geocentrisch^ Orte nicht auf die Keliptik. sondern anf irgend eine andei-e
E))ene bezogen werden; nur lallen dann die Benennungen Länge und Breite
wepr; n«H«frdeni kann mau sogleieh die Paralla.xe l>eriifk«i( htiircii, j*ohald der
heiiocenfrisehe Ort der Kr(\e nieht auf deren Mitteljjunkt, sondeni auf eiueu
Ort an ilu'cr Obci-flächc unmittelbar bezogen wird. Ich setze ferner rcosß = r,
Jeoib 'S J'f BetMB = Bezieht man jetzt den Ort des Himmebkürpers
und der Erde im Baume anf drei Ebenen, deren ^ne die Ecliptik ist, während
die Pole der zweiten und dritten in der LSnge JlT and A*-]-90* lieg^, so ep>
geben sich sofort folgende Gleichungen:

r co«(A— JV)— Jrco*(L— A') = J-oosH—y)
r sm(A— AO — iF'.shi (L—X =^ ./'«in iZ-^AT)
r'tangjf — Ittsmgß ssj'tangb,

(69) wobei der Winkel ganz wiUkfirltch ist. INe erste und zweite Ol^hung
bestimmen zugleich l — N und woraus die dritte b giebt; aus b und
wird 4^ erhalten. Damit die Reehntmg so bequcns wie möglich ausfalle^ be-
stimme ich den willkürlichen Winkel A' auf folgende drei Arten:

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BfllttiooBn, die «inen einwbifln Ort m Raum« belmifen. 73

I. Iiid«in ifir N =i L wtsea, machen wir <^ «in — L) «

-^co3(A — L) — 1 = Qj dairn wird / — X, ^ uud 6 durcli folgende Formeln
gefunden:

p

tangC^— -L) =
^ P Q

tang6= -p .

II. Wenn tnau N— ^ seUt, wird

^«n(A— L) = P, 1 — 7-cos(A— L)=Q

und dann ttt; tai^(^ — X) =

^ P 9

tuagfi p-tang^

taagft = p ^.

in. Wenn N= j (a + Z.), so werden / und J' durch die Gleichungen
gefunden:

y _ ('•' + Ä' )»in^(A— /.) _ it^ — If\cm^(l — L\

und sodann b durch die oben gegebene Gleichung. Der Ix)garithmu£
des Bruches ^ wird bequem berechnet, wenn man = tang^ sets^

wodurch = tang (45° + l) wird. Auf diese Weise ist die Methode III aur

Bestimmung von l noch etwas» kürzer, ak I uud II, iUr die übrigen Operationen

aber Mud diese jener Ttwsnsiehen.

k. 10

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74

£iatei Sneb. Zweiter Afaedbnftt

(60)

63.

Als Bdspid wül ich die im Art. 51 bit snm heliooentriacben Orte
gef^lirtc Bechnang weiter fortsetzen. Es wöge jeneui Orte die heliocentrischc
TJinge der Erde 24M9'49"05 = L entsprechen nnd log Ä — 9,9980979; die
Breite B setze ich = 0. I^Iau hat also Ä— Z. « — 17*24'20'07, logJ? = logÄ,
und daher nach der zweiten Methode:

9,672 9S13

]o{gsin(A —

•L)

logco«(A—

•L)

\osP

logQ

9,740 8421

Hienrns l—

-1.

= — 14'21'6'7ö

9,7546117

8,802 0996»

9,0474879«

6«

6'21'55"07

Iog(l~(^ 9,6526258

1— Q 0,4493926

Q 0,5506075

mithin 2 «352' 34 22 23

log^ 0,0797288

logcQsft 9,997 3144

log// 0,0824189

Nach der dritten Methode hat man am log {T— 9,6729818, C = 25*18' 6''81
and daher

log tang (45° 0,444 1091

log tang — 9 . 1 84 8938 n

logtang{/— — j L).. 9,629 002i)n

23" 3 ir. 79
15 37 39,015

64.

I daraus l —

352*84*22^225.

In Beaehung anf die Aufgabe des Artikeb 62 füge ich noch folgende
Bemerkungen hinzu.

I. Seilt man in der dort emüfanten aweiten OleSohnng N*^ X, ^«
N^ lf 80 crldtlt man:

r

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Relttioneo, die einen einwlnen Ort im Kabbm betreffen.

75

Die erste oder swute Gleiehuii|f dient sur bequemen Bedmangsprttfimg, wenn
die Methode I oder II des Art 62 angewandt ist 8o erhalten wir in
unserem Beispiele:

logflinCl— Ir) . . . 9,4758658n l—L = — 31*46'2e"82

lüg ^- V646117

9,7212536«
]og8in(/— /.) ...9,7212536«

II. Die Sonne luid zwei Punkte in der Kl)cnc der Keliptik, welche (61)
Frojectionen des Himmelskoi peiuiu und dea Erdort» sind, bilden ein ebenes
Dreieck, deasen Seiten J\ r sind und die gcgenttberstehenden Winkel
entweder X— 4 l—X^ 180'— oder L—X^ 180*— Ans
diesem Gmndsatse folgm die in I erwähnten Belationett von seLbst

III. IHe Sonne, der wahre Ort des HinunelBk^rpers im Räume, nnd
dor wahre Ort der Erde bilden ein anderes Dreieck, dessen Seiten r
sind. Werden die letsteren respective gegenüberstellenden "Winkel mit

S, T, 180* — 5—2» bezeichnet, so ist « « ««i^tli. dj«

Ebene dieses Dreiecks projicirt auf der Hiiniuelakugel ciucn grössten Kreiü, in
welchem der heUooentrische Ort der Erde, der heliocentrische Ort des Himmds-
ktfipm und des letateren geoomtrisdier Ort li^;en, mid zwar so, dass der
Abstand des awüten v<nn asten, des dritten vom aweiten, des dritten vom
ersten, naeh derselben Biehtong gesShlt, rei^tectiTe sind 8^ T, 8-\- 71

rV. Entweder aus den bekannte differentialen Vei^derniigen der
8tttdce des ebenen Dreiecks, oder ebenso leicht aus den l'ormdn des Art 62,
knm man folgende Diffnential«Ql^chni^;en herleiten:

r'co8(> — i) , , 8in(>. — , ,
dt = -j. -d*.-] y dr

dJ' — — r«n(;i— Od;i+eo8(;i— ^dr'

d* «^:^Si«^2£ii=iLdi+^^^

wo die Glieder, welche dr, dJ" enthalten, mit 206265 su multipliciren, oder

10*

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76

Erstes Buch. Zwcitor Abschnitt.

die Übrigen hiemit zu dividiron sind, wenn die Aenderungen der Winkel in
Secnnden aiugedrückt werden.

V. IKe tungekehrte Aufgabe, also die Bestimmung des hdiocentiisehen
Orts AUS dem geocentrischen, ist der oben vorgetragenen Aufgabe voUstitadig
analog, wesbalb os ühei-flüssig sein wlinlo, diirübcr noch ein Mt'lires )jeizu-
Itringen. Denn alle Fonncln de.«* Art. (»2 gelten auf Ii für j(-iu' Aiif^-^be, nur
duf»s alle OröK^eii , welche aut" den hcHftrriitrischeTi Ort des Ilimiiu lskörpcrs
dich beziehen, mit denjcuigen Analuycu \ i iLuusi-ht wer<lezi , welche aut den
gcocentriiächeu Bezug haben, mitliin für L, B respeciive Z,-{-lHO , — B gesetzt,
oder, was dassdbe ist, fUr den heliooentrischen Ort der Erde der geooen-
trische der Sonne genommen wird.

66.

Miiii es auch in dem Falle, wo aus gegeheuen J'lleiucntcn nur sehr
wenige geocentrischu Orte büätiinmt werden sullen, iiaiuu der MUiie werth
sdn, alle ol%ai Kuns^iriffe anxnwmden, doreh wddhe man yaa. der ezeen-
trischen Anomalie sogleich lur geocentriachen LXnge mid Breite, und so sur
(62) Beetaseenmon und Declination ttbeigehen kann, weil die bienms lienror^
gehenden Abkürzungen von der Menge der vorher zu berechnenden Hiilf^
grossen absorbirt werden wih'den, — so wird doch stets die Zusamnienzichung
der Rednetion auf die Eeliptik mit der Bereehmmg der geocentrischen
Länge und Breite einen nicht zu verachtenden Vortheil gewähren. Wenn
uiimlich fllr die Ebene der „s" Coordinaten die Eeliptik selbst gewählt wird,
die Pole der Coordinaten-Ebenen » und ij aber in die Lüage Q and SO'-f'C^
gestellt werden, so lassen sich die Coordinaten sehr leicht ohne alle wdtere
Httlfiigrtissen bestimmen. Man hat iriimlich:

X — reosu
y = r cos i sin«
z = rsintHinu

r= i^siii iL— 0)

x~X =

Jco»{l—Q)
Jsm{l—Q)
taug 6.

Tst Ii — 0, 8o i»i IC Ii y Z — 0. Nach diesen Formeln wird unser Beispiel
durch folgende Zahlen absolvirt: <= 213'12 0 ^2.

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BeliUioiMD, die «nett dmdaw Ort im Saume iMtraffen.

77

logr 0,8269877

logcOT« 9,982 4141 n

log.sinu 9,4454714»

logg 0^808 4018 n

logrsintt 9,771 4591 n

log cos« 9,988 5266

loggin»».,, 'l'^f> r> 7 r. 7 1

hgy 9,759 9857 n

\o<rz 9,127 2161n

Daraus iV)I;jt

log,.r — 0,079 590*>«

logCv-I") 8,480 716ön

daraus {l—Q) = 181*26'33"49

log^ 0,0797283

log taug h 9,047 4876 n

logJT 9,9980979

logco«{L—Ö .,9,9226027«

iogsinf/.—Q) .♦9,738 4353 n

log.^ 9,9207006«

logJT 9,7365332«

0

l = 352«84'22''22
& « — 6*21'55''06

6^6*

Am der Länge und IJreite eines Punkti s aii der Himmelskugel werden
dessen gerade Aufsteigung und Abweicliung durcii Autlösung eines splisirischen
Dreiecks bestimmt, welches von jenem Punkte und den Nordpolen der
Eelqptik und des Aequators gebildet iriid« Ist daher « =s Scbiefe der Eeliplak,
^sLünge, 6 SS Breite, a = Bectascennon, ^ » Dedination, so sind die
Seiten des Draecks = «, 90* — 6, 90* — ^. Ftir die der «weiten und dritten
Seite gegentlbci-stelicnden Winkel kann man annelunen: 90'+«, 90" — / (weim
man nämlich die Idee eines sphärischen Dreiecks in giösster ^Ulgemeinheit
auffasst). Den dritten, der Seite r jrefjentiberstelienden Winkel setze ich t63>
90* — Ji^ Man hat daher mittelst der Formeln des Art. 54

Bin (46*— f <>)8in i(ir+a) =^ sm (45»+f Z)«™ (^ö'—

sin (45" — I (V) cos ^ ( «; = cos (45' 4- ^ Ii cos (45" — i (f — 6))
cos (45" — j tf) sin ••- iß—tt) = cü.> i,45 ' + -J- 1) sin (45" — | (e — h))
008(45° — j it) CO» ^i^J'J — a) = sin (,45° -f 4/} 008(45" — -J +

T8

Ent«« Buch. Zweiter AlMchnitt.

Die beUen ersten GleidMingen geben «nd flm(45* — f die beiden

letzten \ {E — «) und cos (45*— ^ . Aiw ^(£4.«) und f (JP — «) erhält man zo-
gleich « und Aus 8ui(45" — oder co8(45* — yc^), deren Uebercinstiminung
zugleich zur Prüfung der Rcciirnnig dient, wird 45* — und liierans «T be-
stimmt. Die Bestimm 11 Ii dw Winkel ^(F-i-rc'^, \^E- -tt) mis iliren Tan-
genten ist deslmlb keiniT Zwt ukutigkcit unu-rworlen, weil sowohl der biuus
ala der Cosinus des Winkel« 45' — positiv herauskummeu iiiu».s.

Die di£fere&tialen Yerfinctttningeii der Oritoeen «, 9 werden ans Sea
Vecilndemmgen von l und b nach bekannten Grundstttaen auf folgende Weise
gefonden:

da = T- - dl 7 do

cos 0 OOS />

dd = cos£cos6d/+sin^di.

67.

Eine andere Dietlinde zur AuHriHmig der im vorhergehenden Artikel be-
bandelteu Autgabe wird dm-di folgende Gleichungen gegeben:

f OS f ^in l = sin * tang b -f- f f t.'Uig n
öiuJ = cos« Min ^+sintcos6sm/
coä 6 cos / = CÜ8 a cos (t.

Man bestimme ciucu Iltilfswinkcl & durch die Gleichung

tani» b .

tangd einatang((-f~'^}*
Znr F^rftfung der Reofanung ISaBt ndi diesen Qleichnngen nodi hinanfttgen:

cos J = oder coeo = — ■ ■ ^ : .

cos a coa & Sin a

Die Zweideutigkeit in der Bestimmmig von « durch die zweite Gleichung wird
dadurch hcsritig-t. dnss vo^n und cos/ dieselben Vorzeichen hidjen müssen.
(64) Diese ^letliode führt weniger rasch zum Ziele, \s(nn ausser « und tt

auch K ermittelt werden soll. — Die bequemste Fonnel zur l^estinunung

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79

a» Tir« 1. 1 » j j • «t »in« OOS P jtinfcoal « . . ,

diese» Winkds wird dann sein eoaE= - = — Inswuenen kann

coa 6 cos 0

durch diese F<nmel E dann mcht mit SdiXrfe bereelmet werden, wenn ^cobE
nor wenig von der Einheit v«raehieden ist; ausserdem bleiht es xweifelfaaft|

ob zwischen 0 oiid 180*, oder zwischen 180* and 360* genommen werden
mnss. Die erstere Unbequemlichkeit iät selten von irgend welelier Bedeutung,
besonders weil zur Bereclinnn«^ der differcntialtTi Verhülhiisso die grösste
JVhUHo de« Werthes von nicht friorilrrllcli ist; der j^^tflaclite Zweifel aber
kann mit Hülfe der Gleichung cos 6 cos d sin -£^= cos« — sin 6 sin J leicht gelöst
werden, wdohe zeigt, dass E zwischen 0 und 180*, oder 180* und 860* ge>
notamen werden mnss, je nachdem cos« grttoser oder kleiner als mihaiiiä
ist. Offenbar bedarf es andi nicht einmal dies» FHIfmig, sobald einer
der beiden Winkel 6, <f die Orcnze von 66*32' nicht überschreitet 5 denn dann
wird sinE stets positiv. Im Uebrigen könnte dieselbe Gleichung in dem schon
oben angedeuteten Falk' zur genaueren Bestinuuang von E gebraucht werden,
wenn es der Muhe werth sein sollte.

68.

Die AoflSsong der umgekehrten Angabe, also die Bcstimmtmg von
L^ge und Breite aus Rectascension imd ] >( ( lination stlltzt sich auf dasselbe sphHr
risthe Dreieck. Dio ohlgon F(»niu]ii wckIch diesem Zwecke angepasst durch ein-
fache Vertauschuiig von 6 mit <), uiid von / mit — a. W^en d&s häufigeu
Gebrauclis will ich auch diese Fonneln hcr-setzcn:

Nach der Methode des Art. 66 hat man

8in(4ö'' — i6jgin4(J?— 0 = cos(45°4-|ß)8in(45* — ^ (« + (f))

«in (45*— 4- 6) cos ^(Ä—/) = 8iii(45'* + i«)cos(45*— ^ [t—^))

oos(45*— ^6)8in = sin (45" + |-a)8in (45* — ^ («— J))

oos(4ö*— |d)eoa|(£+i) = oos(46*+|a)cos(45*— ^ (c+d)>

fiestimmt man di^<^gea wie bei der andern Metbode im Art 67
den Httlfiiwinkel t durch die Gleichung

tiuig, — 00 liat man

Dl

60

ErttM Buch. Znvter Abtebiult.

tang^ s nn/tiiig(^ — «].
(65) Zur Prfffiing der Beehnung dient:

. ConScour* et»(C—i)coisitm«t

008 0 =s — « ^. , ,

cos ( CU8 i Bin t

Zur Besüiuuiiuig vou dienen dann ebenso wiu im vorhergehenden Artikel

die GleichiingeD

aÜKOosa sin« cm(

CO» A = , T

C08 b CO« d

cosftcosJsin E — cos« — sin i sin «J.

Die difterentialen Aenderuugen von l und 6 ergeben sich durch die
Formclu:

— 5sr-^«+-5;r^*^

d6 BS — eosJSTooftiTda+un^d^.

«9.

Als Beispiel wollen wir aus der Rectascensiou 355*43 45 iiO —
der Dcclination — 8''47'25"0 = ^, der Schiefe der Ediptik 23*27'59"26 = «
die Lliage und Breite berechnen. Es ist «ko 45*+i« — 223*5r52"65,
46>— ^(«+^»37*S9'42*S7, 45*— K«—«)) ^ 28*52" IT^ST. Hienuu femer

logco8(45° 4- i «) 9,8650820n logsin (45" +|«) 9,832 6803«

logsin (45'— H* + '^)) • • . 9J«6 0418 log sin (45" — j i> — «J)) . . 9,6838112

Iogco8(45"~H*4-<^))--- 9,898 5222 logeoR(45* — |(*—J)) ..9,942 3572

logsin (45"— -^t; 8in|(A'— /) ... ....9,65 1 1238 w

logsin (45*— |6)co8i(^:—ri 9,775037Sn

daher j (7i— /) = 216'Ö6'6''39; logsin(46'—A6) = 9,8723171

logcoB(45*— |&)ain^(:e?+f) 9,516 4915»

logcoB(45* cos i 0 9,763 6042 n

daher i(£+0 209«30'49"94; logco8(4ö*— 1&) » 9,8239669.

Eswird folgli' li /; = 426''26'55"33, / = — 7''25' 15"45. odd . wa.s auf dasselbe

heranskommt, Js^ = 66*26'55"33 und i = 862''34'44"Ö5. Den Winkel 45*— i 6

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RcUtioneii, die eben einselnea Ort im Riniine betrefTea.

61

«rldÜt nun dnreb den LogarilJimiis des Sünu » 48*10'58"12, aus dem Loga-
riduniia des Gosiniis s 48* 10' SS"!?, aus der Tangente (deren Logaritlunug den
Untencbied jener büdel) ^ 48* lO'öS"!«; hienius b = —6* 21'66"28.

Nach der swdten Methode steht die Eeehnung so: iCC)

logumgJ' 9,1 S'J 3()r,2« 0.1o|xcos^ 0,3r,2 «190

logsm« . H..S71 ! )Ti>2n ]o'j;v<y)i{i: — t) . . . !t,878 H7u;J

loglangs U,ai7 3270 log lang« 8,873 1869 m

t =64"17'6 83 lügtang/ 9,1147762/»

^— « « 40 49 7,57 l — 352'34'44"50

logain^ 9}11 11282«

logtang(g—e) ,.9,9868674

logt»ng6 9,0475106»

6 » —6* 2106 "26

Zur Besdnunung des Winkels E hat man die doppelte Rechnung:

log sin« 9,6001144 log sine i>,GOU 1144

log cos a 9^998 7924 log cos / 9,996 3470

C,logco86 0,002 6859 C.logcos^ 0,0051313

logcoB^ 9,601 5927 logooa E 9,601 5927

«onins j&«66*26'55"35.

70.

Um Alles beisammen zu lialx ii, was zur Bercclinmig der geocentrischen
Orte cribrderlieh ist, muss noch Kiiii^^ts über Parallaxe und Aberration
liinzugefligt werden. Icli luibe zwar bchun oben eine Metbode gegeben,
wonach der von der Parallaxe affieirte, d. h. der einem Punkte auf der Erd-
oberfläche entsprechende Ort, unmittelbar und mit grösster Leichtigkeit au be>
atinmien ist Da aber bei der gewShnliehen, in den Artt 62 and feigenden be-
handelten Methode der geocenfarische Ort auf dea Mittelpunkt da Erde beaogen
au werden pflegt, in welclui n f il'c w von der Parallaxe befreit heisst, so mute
noch eine besondere Methode zur h&stitnmung der Parallaxe, welche der ünter-
achied zwischen beiden Orten ist, hinzttg^Ugt werden*

0Aü88k TiW<R4« 4. »«WCS. d. UUsiMkk. 1 1

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82

Ente« Dach. Zweiter Abtcbnitt.

£fl seien desliiüb die geoccntrische LKnge und Brate eines Ifiin]nebktt;|ien

in Bezug auf den Erdmittelpunkt i und ß, und in IJczug attf irgend Conen
l'unkt an der Erdobei-Häcbe i und b- der Abstimd des Körpers von dem
Erduiittelpunktc = r, von dem Erdobei-flät hriipimkte — J\ e» entspreche end-
li'h an der Hinni)ol-<kii<^el dem Xctiith dieses Pimktes die Lätig-e Z,. die
iiiLitc ß und (kl I lalljuicsiscr der Erde sei — ß. Von sclbüt ist sebou klar,
das« alle Gleicbungcn des Art. 62 anch hier Statt finden; Aber man kann aie
bedeutend abkürzen, da hier jK eine Grösse ausdrilekt, die im Vergleiche mit
r und J ftsi verschwindet, üebrigens werden dieselben Gleichnngen oiffienbar
auch dann gelten, wenn Ä, /, statt der Längen die Recta«censionen, und
ß, 6, B statt der Rreireii die Decllnatlonen berli iitcii. In diesem Falle sind
(67) l — X, h — ß Kcetn^pcnsions- und Declinations- Parall.ixcn. in }rncni aber Limgen-
und Breiten -Parallaxen. Wenn man R als eine Liröüüü der ersten Ordimng
betrachtet, so werden / — b — J — r von derselben Ordnimg sein, und
wenn man die höheren Ordntmgen TemachlS«fiigt , so leitet man aus den
Formeln des Art. 62 leicht ab:

j ^ ^ _ goos-gainft— £)

r C08 (t

n. ^/J = J«£2!ii:^(t«ng/3cos(i-Z,)-tang£)

III. J — rs= — J?cos£8m/9(eotBng/$coB {l — L)+tangB).

Nimmt man den Ilühswinkel 0 dabi i s<), dass — ^J^^^^^^j ^ erlialten

die Gleicliungtii. 11 und III folgende Fonu:

,j , ^ Ii CO« B coa {i. — Z.) ain ()i — O) ltnrxBnn[ß—ö)

11. O—p

TTi ^ J?0(m£oos(A — /:)coi(^— RtmDco&{ß-^9)

III. a — r — a _ — . .

Um in 1 uihI II die Orös-sen a mid b — ß in Seeimden zu erhalten, muss
für U die mittlere, in Öecundcn äusgcdriickte Sunnenparalluxe gesetzt werden;
in III aber ist fUr B dieselbe, mit 206265" dividtrte Parallaie sa nehmen.
Endlich kann man, ofane an Genaui^eit zu rerlierNi, bei den Panülaxen-
Werthai statt r, il, ß auch l, b anwenden, sobald bei der nrngekehrten
Aufgabe aus dem mit der Parallaxe behafteten Orte der von ihr freie Ort
hesdnomt werden soll.

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ReUtioaea, dl«

«iutaibi«!! Ort im Baume betreffen.

SS

Beispiel. Es sei die gerade Aidsteiguug der Sonne für den Mittel-
pnnkt der Erde = 220''46'44''65 = X, die Deelimilion = — 15*49' 43"94 =
der Abstand = 0,9904311 = r. Ferner die in Graden ausgedruckte Stemzeit
für irgend einen Ort anf der ErdobeiflSehe » 78* 20' 38"0 = L, Polhöhe des
Orts = 45° 27 57 0 = J», mittlere SonnenparolUxe = 8 "6 = E. Gesucht wird
der Tcm diesem Orte aus gesehene Sonnoiort und sein Sonaenabstand.

log Ii 0,954 50

logcos^ 9,84593

Clogr 0,00418

aiogcos/9 0,01679

logsia(A— L) 9,786 08

log(/— ;i) 0,58G48

i~l = -\-?>"SG
1 = 220' 4ti 48 '51

log»angi^ 0,007 06

logcosU — L) 9,899 09 n

logtang^ 0,107 97 n

. 127"57 0"

/J—^« — 143* 46' 44"

logÄ ...

loirsiu5

Clogr

G. logsind «*.
logsinQj — &)

,0,934 50
,9,85299
0,00418
.0,10317
.9,77152»

log(6-/3)....
6-/9 «

h = -

log 7; — ,>■}....

logcotang(/3 —

log'*

logl"

.....0,6(i6 36«

'-4"G4
■15"49'48'58

0,666 36 m

^}.. 0,1 35 22
....9,995 82
....4,68567

r—J =^

5,482 97 n

—0,0000304
0,9904615.

^68)

Ii.

Die Alierration der Fixstei-ne. sowie auch derjenige Tlieil der AbciTatioii

der Pl.'UK tLU und ( 'iinu Ti ii. \v( l( li( i allein von der Bewegung der Erde lier-

rülut, cutspringt daraus, weil mit der ganzen Erde das Sehrohr bewegt

wird, während der Lichtstrahl dessen optische Axe durchlKtift. Der beobachtete

Ort des Hiramekkiürpers (welcher ainh der sdidnibare, oder mit der Aberration

afficirte genannt wird) wird bestimmt durch die Lage der optiBchett Axe emes

Fernrohrs, welches so aufgeBtellt ist, dass der von dem Körper ausgegangene

liichtstrald auf seinem W^e beide iiu.sseren Enden dieser Axe berührt; diese

Lage ist aber verscliiedeii von der wahren Lage des Lichtstarahls im Räume. —

11*

*

^ kjui^ .o Google

84

Erstet Bnch. Zweiter Abechnitt.

Wir wollm zwei Zeitmoinente unterachdden, t und t'j wo der liohtstrahl das

TOrdcrc Knde (das Centrum des Objoctivg'lHse«) nnd wo er das hintere
Ende (den Ilronnpiinkt des Ohjeetiv») berührt, r)ie Orte dieser Enden im
Räume sollen l'fir don trsten Zeitpunkt a und b . für den «püteren n und b'
lii'isscii. Dann if<t klar, das.s die p-oradc Linif» o/' die \v;ilire <!ts Strahls

IUI iiiiiiwe ist, dass aber dem schcinbaiea Uitc die gerade Liuic ab oder ab'
(die man als parallel annehmen iaam) entspricht. Aueh Meht nun ohne
Weiteres, daaa der aeheinbare Ort von der LKuge des Rohrs nnabhanyg ist.
Der ünterBchied zwischen der Lage der geraden Linien 6'«^ 6a ist die Abora»
tion, sowie .«olrlu' für die Fixsfenie Statt findet, und die Art ihrer Berechnunjj
will ieh als liekannt übergclien. Für die Irrstenie i«r aber jener Untersehied
noch nicht die vollstHndi^iT Ahrrrnfion, denn der Plaiirt 'ändert in der Zeit,
welche aciii Licliutriild gebrauclil, um auf die Erde lierabzugelaiigeu, setncu
Ort, weshalb die Lage dieses Sti*ahls nicht dem wahren gcocenti'ischen Orte zm*
Zeat der Beobachtung entspridit. Wir wollen annefamen, dass der Liditstnhl,
welcher zur Zeit t das Femrohr trifft, eur Zeit T vom Planeten ausge-
gangen sei; der Ovt d^^ Planeten im Räume sor Zeit T hoII P heisren, sor
Zeit t aber p. Endlieh mU A der Ort des vorangehende Endes der Axe
des fiohrs für den Zeitpunkt T sein. — Nun is^t klar,

1) dass die cforade Linie AF ileii walü Lii Ort des Planeten zur Zeit 'I\

2) die gemde Linie ap den walu-en Ort ziu* Zeit /,

3) die gerade Linie ba oder b'a' den schrinhazen Ort zur Zeit (
oder t' (deren Unterschied als eine unendlich kleine GrOsse betrachtet
werden kann),

4) die gerade Linie b'a denselben sdieinbaroi, von der Abenration der
Fixsterne befreiten Ort

zeigen.

iJic Punkte /*, «, b' lie*ren schon in einer geraden Linie, und die Theile
Pa, ab' werden den Zwisclienzeiten t — T, t' — / proportional sein, wenn die
Bewegung des Lichtes mit gldchfonniger Schndligk^t vor nch geht. Das
Zeit» Intervall ^ — 7* ist wegen der erstaunlichen Geschwtndigkdt des Liehtes
stets sehr klein, und man darf annehmen, dass in dieser Zwischenzeit die
Bewegung der Erde geradlinig und mit gleichförmiger Geschwindigkeit vor
sich geht: also werden auch a, a' in gerader Kichtnng liegen und die Theile

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Bdadoeen, die tiaitn eiualiim Ort bn Kamn« betrefleo.

85

Aa, aa auch den Intervallen / — t' — t proportional «eitj. Hieran.« s('hHe.s.st
man leicht, dsu« die Geraden -4P, 6'«' Pai-allellimeu aiiid, imd daher der erste
Ort iuii dem dritten idcntiscU iüt.

Die Zeit t — T irird das Prodoct de» Abetandes Pa in 493 Zeitseeund«!
•du, innerhalb derer das Liebt Aea nuttleren Abstand der Erde von der
Bonne durchläuft, welchen wir dabei als Einheit annehmen. Bd diesw Be-
rechniuig darf man statt der Distanz Pa auch PA oder p<t annehmen, da der
Unterschied von keiner Hedciifmig- Koiri kann.

Au» diesen (Jrund^ät/.iii tolirtii drei Methoden, den scheinbaren Ort
eines Planeten oder Conieten tilr einen beliebigen Zeitpunivt t zu bestinmieu,
von denen bald die eine, bald dk and«« den Vorzug verdient.

1. Man siehe von dar angenmumenen Zeit die Zeit ab, wddie das
lieht gebraneht, um vom Planeten bis aur Erde au gelangen. So eib&lt man
die rcducirtc Zeit 1\ fflr welche der wahre, nach gcw ölmlirliei Art berechnete
Ort mit dem 8cheinbai*en Orte l'iü" die Zeit / identisch sein wird. Zm* Be-
rechnung der Reduction der Zeit t-^T muss die Entfernung des Planeten von
der Erde bekannt sein. (ieiiHiniglkh werden zu diesem Zweckt- lucjueiae
Hüllsmittel nicht tthlen, z. \j. eine, wenn auch nm- flüchtig gereclmete
Ephemerid^ widrigenfalls es hinreicben wttide, den wahren Abstand fttr die
Zeit t in gewShnlieher Art aber ohne au grosse Sehttrfe durch vorfikifige
Bflchnnng zu bestuumen.

IL Man berechne fttr die angenommene Zeit t den wahren Ort und die
Entfernung, hiemus die Fiedtiction der Zeit t—T und hieratis mit Hülfe der
täglichen Bewegung (in Ltüige und Breite, oder Rectasceusiüu und Decliuatiou}
die Reduction des wahren Orts auf die Zeit T.

III. Man berechne den heliocenttischeu Ort der Erde zwar fttr
die Zeit <, den hdiooentrisdien Ort d« Planeten aber fttr die Zeit T\ sodann
aus Combination derselben «uf gewohnte Weise den geocentiischen Ort des
Planeten, der um die Fixstern- Aben-ation vennelirt (die man auf bekaimte
Weise ableitet oder aus den Tafeln nimmt) den verlangten scheinbaren Ort
lietem wird.

l>ie zweite Metluxle, die p-vvöliiiU<'lt MTififewandt werden })flegt.
empfiehlt »ich vor den iihrigen zwar dadwcii, das» es dabei der doppelten
Rechnung zur fieslumuuiig der EntÜBroong nicht bedarf, leidet aber an der

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86

Erltes Buch. Zweiter Abschnitt.

üiutntrygli<4)1<>-ii , (k.s."4 »nun sl»» Hin- anwenden kniin, wenn meln-e benachbarte
Orte entweder beredmet, odei- aus den Beobachtungen schun bekannt and,
indem man sonst (li>- t'iL^licbr f?t'\vp'/nni^ niilit als geg^obon innrlien kann.
(70) Die rnbequt'Uiliilikilt dir « r tiii iind dritten Metlmdi- wird gänzlich

gehoben, wcuu muhru cinantler üenaelibarte Urte zu berLcliutu &iud. Denn
wenn nur ent fSr ddge der letzteren die AUsinnde Iteknnut geworden sind, ao
kann man »elir bequem und nut hinreicliender SckHrfe aof die nXchfttfol*
genden Abstände durch die gewöhnlichen Hlllfsmittel sehliessen. Wenn
übrigens der Ab.stand bekannt ist, so ist die erste Methode deshalb der dritten
gcnieiniglieh \orziizielien. weil es «iabei tler Fixstern- Aberration nicht bedarf".
Mn<s iiKiii nbcr einer d'ip]n!trii I5creclninng H-iiir Ztifliiclit nehmen, so
eni|)liehk die dritte Methude .sirli dadurch, dass l)ei der zweiten Keeliuung der
Ort der Erde weuigsteiis beibehalten werden kaiui.

Schon von selbst bietet sieh das fOr die uiugekehrte Aufgabe Erfor-
derliche dar, d« h. fttr die Besdmmung des wahren Orts aus dem sdiein-
baren. Nach dar ersten Ifethode behält man nHmlidi den Ort selbst unver*
ändert bei, aber die -Zeit t, welcher der angenonmu nc Ort als .scheinbarer
entspricht, verwandelt mm in die rciluciitc Ziit J\ welcher ilerselbe Ort als
wahrer Ort ent-iprechen wird. — Nach der Mctliwdr II Inliiiit man die Zeit t
bei, caber dem angenommenen Orte lUgt man tlie Hewegtmg in der Zeit t — T
lünzu, als ob man ihn auf eine Zeit t-^{t — T) redncireii wollte. — Nach
der Methode UI betrachtet man den angenommenen, von der Fixstern-
Aberration befreiten Ort als wahren Ort f8r die Zeit 7*, aber dear wahre, der
Zeit t ent.spreeiiende Erdort wird bei!>ehalteu, ai.s ob er zu jener gelii5rte. Die
Nttt/lii likcit der dritten Methode wird im zweiten Huche deutlicher erbellen.

Der VollstUndigkeit hal])er bemerke ich noch, da.ss rler < h t der i^onne
von tler Abenation ^janz so afJicirt wird, wie der Ort eines Planeten. Da
aber sowohl der .Vbstaml von der Erde, als die tägliehe Ijeweguug »elir ualie
ccmstant und, so o-faBlt auch die Aberration ein«i nahe»i bestHndigen und der
mitderen Bewegung der Sonne während 493 2<eitaecunden gleichen Werth,
mithin = 20"2Ö, welche Gr(isse man von da* wahren Lünge abziehen muss,
um die scheinbar« zu erhalten. Der genaue Werth der Aberration steht im
zusmnmengcsetzlen N erliiiltnisse d' S Abstände» und der t'ir^Uehen Bewegimg,
oder, was auf cius heruuakoimut, dieser \\'erüi verhklt äich verkehrt wie der

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Rdatienen, dJe einen eiuetnen Ort im fUume betra&n.

87

Abstand. Es müsste deshalb joner mittlere Werth in der Erdferne um (t 34
vemiindert, in der ErdnHhe aber um ebtii ».u y\r\ venueiut werden, l ebrigens
schliesäcii unsere 8onm'ntnfelu die conetaute AiteiTatiou — 20 *2ö bereit« ein.
Man mau mithhif mn die wahre Läng« zu erlmUeii, zu der XafelUinge 20*25
addiren.

72.

Den Sclilnss dieser Abtlieilung sollen einit^e Aufi^.iben bilden, welckie
bei dei- Bestinnnung der i'laneteu- und Cometen-Bfiluieu Läufig angewandt
werden. Zuerst wolleo wir auf die Parallaxe surtickkommen. Wie der beob-
achtete Ort YOQ ihr befireit wird, lehrt Art. 70. Da eine aolche Reduction auf
den Mittelpunkt der Erde, eine wenigeteos genMherte Kenntnicn des Ahetandea
des Planeten von der Erde vuraiisäetzt , so kann dieselbe nicht vorgenonunen
werden, weiui die Bahn de» beobaehteteu Planeten noch günzlich unbekannt
ist. Aber auch in diesem F.dio k.nm inHn we?iitr>iten^ den-^elhen Zweck erreichen,
um desseiitwiik-u die Kediietion aut (Un Krdinittelpuukt unternommen wird,
deshalb nämlich, weil, da dieser ^litteipunki in der Ebene der Euliptik liegt (71)
(oder doefa angenommen wird, daas er dort Hegej, Iderdureh mehre der Foimeln
eine grtfasere Einfiichhdt und ConcinnitiLt erhalten, als wenn die Beobaohtong
auf einen Paukt aunerhalb der Ebene der EcUptik bezogen würde. In dieser
Beziehung bildet es dalier keinen Unterschied, ob die Ueobachtimg auf den
Mittelpunkt der Erde, oder auf irgend ehien Punkt in der Ebene der Ecliptik
reducirt wird. Es ist klar, da*« wenn zu diesem Zwecke der Punkt des
Einschnitts der Ebene der Eeliptik mit einer «rernden, vom Planeten nach
dem wahren Beobachtiuigsorte gezogenen Lüiii: gcwiihlt wird, die Beobachtung
aelbet keiner weiteren Eeduetion bedarf, da der Planet aus allen Punkten jener
geraden Linie auf gleiche Wdae gesehen*) wird. Deshalb ist es gestattet,
diesen Punkt gleichsjun als tingirteii Beobachtungsort dem wahren Orte ZU
substituiren. Die Lage jenes Punktes wird auf folgende Weise bestimmt

') Wenn dt« änK»crsl« ütoaiuigkcil «rfordviUck leia müu, «o miüata mm diu ^wischciucit, mncrliAlb
tum AuIMAtom mlnu B«»lMMiMaiviartt nMh den Sagirtea (oder nofakfliTt) gilMiK<^ n dar magaoamtMat.

Zeit addin'n oder ilivon mbtrahirFn, wenn es »ich um OtUi bandelt, die mit der AberiatioD behiiflt-t «iod. Aber
dicMr Uncenclüfrd kaon kaaiu ton irgend welctuir Ii«d«uUiug ««iu, woua niebt di« hiüiv Msbr klein iil^

Digitiz

8g

Ente* Buch. Zwaiter AUchoitt.

Es sei die läinge des Himmelsk^irpers ss 2, Breite Abstand ^
alles in Besieliung auf den wahren Ort der BeolMichtung anf der Erdober-

flitche, dassen Zenitb die Länge / und die Breite h enütpreclien. Femer
sei n der Halbmesser der Erde, L die lielif)eentn»che Lünf^e des ^üttelpunkts
der Erde, B — dessen Breite. R — fl(>--i ii Al)stand von der Sonne; cndlieli

sei 11 die liflirirrntn^flie Lilnire des irfni Ortes, R' dessen Abstand von
der Sonne, ^4"'^ (-k.-v> ii AI -tand vom liiiumelsköq^er. Dann erj^ebeii eich
oline Wcitcre-s folgende (ikicimugcti, wobei einen wUlkUrlicbcn Winkel
besdchnet:

R ' cos {L— X) -i- J cos /? cos (A— N) = R cos B cos (L — A' ) -|- ,t co«6 co« — ^
Ä'sm(L'— ^+<>co8/?wd(A— = J?cosB8in(L— A) +a:co866iii(/— ^
dunß = J7sin£+jrsm&.

Setzt man daher
I. (J?sinw0+n-sin()cotai^/9 «9 /f, so wird

n. Ä'co8(L'-~JV0 = i?co»Ä«»(Z.— ^)4-äcob6co8(/--^)— ;*cos(t— iV)
in. S'smiv^N) = Äoos,Bsin(L— il04-««»*»m ('—3?)— /*sin (i— .V)
TV,

Ans den Glöchimgen II und III kann M' und L\ ans IV aber das
Zeitintervall bestimmt werden, was zur Beobochtungsseit hinxusulfi^gen und in
Secunden ^ 493 d sein wird.

Diese Gldiohungen sind genan und allgemein mid sie können auob dann
angewandt werden, wenn statt der Ebene der EclijJiik der Aeqnator gesetzt
wird, nnd L. L'. /.. / rjcctasf en>sionen, B. h Declinatinnen lu dcntcii. Alicr
in (K'in hier \ r u z ui:>^ w eise bebmdelten FmII«'. wo niinilicU der tingirte Ort in
der Ktlijitik belegeu sein niuss, gestattet die Kleinheit der Gröss^T» ß, tt,
L' — L noch einige Abkllrzung der vorhergehenden Formeln. Es kaim näm-
lidi statt x die mittlere Sonnenparallaxe genommen werden, B statt mBy IESb»
(72) statt cosJS und cos(£r' — L), L' — L statt nn(L' — L). Macht man so A*«!*,
so nehmen die obigen Gleichungen folgende Form an:

I. ^ {BB-^jrsmb)coUmgß
IL R' = Ä+Ä co86co»(^— £.)— /icos(i—
jU ^, ^ .TeOT6sio(f— L ) — ftmtjiL — L)

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Ilelationcn, die einen cinzclucu Ort im Ilaumc bctreifen.

89

Eigentlich mUssen liier «war L — L in Theilen des Baditts aiugedrllckt

werden: aber man sieht. xmhh man jene VN'iiikf l in 8eeun<lf'n atisflrückt,

die Cüleicliunncn I mid III oUue Aenderang beibehalten werden können^ fifr
II aber gesetzt werden nnis,s:

X S06265" '

Uebrigens kann in Formel III für den Nenner Ii" ohne merkliehen Irrthmn
Stets B genonunen werden. Die Iloduction der Zeit wird aber beim Ausdrucke

der Winkel in Secunden

T3.

Beispiel: K> >. ! l = 354"44'54', ß - — 4"5f) :^.2\ - ?4'29',
h - 46»53', L = 12 i'8 54 , ß = +0 49, Ii = 0,9988839, .7 = 8'60;
so steht die Kechiiuiii,'- wie folgt:

log Ii 9,999 51 lügjr 0,934 50

logB 9,69020 logsmft 9,86S80

logBB 9,fi8971 logjfotkb,.,, 0,79780

HieFattB log{BJS-^nfmb) 0,83040

logcotang/? ...1,058 78 n

log/t 1,889 18 n

logx 0,934 60 log^ 1,889 18 n

logcosfi...... 9,83473 legi" 4,68557

lüg 1" 4,685 57 logcoa(A— i/) 9,978 86

logco8(^-— L) ..... . 9,990 40 6,553 56 n

5,445 20 N. Z. = — 0,000 367 7

N. Z. = +0,0000279
Hieraus erhält mau B = i?+ 0,000 3856 = 0,999 2695. Ferner int (73)

logjr eos& 0,769 23 log/> 1,889 13 n

]ogsin(/— £} 9,317 94 logmn{k—L) 9,483 71 n

Compl.log jg' 0,00032 Compl. logig' 0,00032

0,087 49 1,37316
N. Z. = + 1 22 Ii. Z. = + 23 61

OAUSa. TbMrti 4. B»wtf. d. UfasaMUk. 1^

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90

Eratea Buch. Zw«itor AWebnitt

Hieraui< erhält iumii L = J. — 22 i>y. Zuletzt hat man

lögfi 1,889 13 n

aiog20626ö 4,68557

log493 2,69285

C.logQonß 0,00165

9.2(;!) L'<)/<, und 4aher die Rednclion der Zeit
= — 0*186 und deshalb von keiner i3edeutnng.

74.

Knie aiKlere Aufgabe: aus dem (/eoccnii'ischeu Orte eines Ilitaindsköi'pers
und der Lag» der Btüm«ben6 degaen heHoeeniruehen Ort m dar Bahn obm-
taten — ist der Torstebenden in so weit verwandt, als «te ebenfalls abldbigig
ist von dem Einsclinitte einer geraden, zwischen der Erde und dem Himmela^
kürper gezogenen Linie mit einer der I^gc nach g^benen Ebene. Die Auf-
l^isnng wird sehr Le(iuein aus den Formeln des Art 65 erhalten, wo die Be*
Zeichnung der Clmraktere folgende war:

L Länge der Erde. J{ ihr Abstand von der Sonne; die Bi'eitc B setze
ich = 0 fda der Fall, wo sie mv])t — 0 ist, anl <lir>t n lilrlit mittelst des
Artikels 72 zurückgeführt werden kann), woraus daiui Jl U\ l = geoeeu-
tritichc LiiiigL des Hinunelskörpcrs, 6 dessen Breite, J mm Abstand von der
Erde, r Abstand von der Sonne, » Argument der Breite, Q Länge des auf-
steigenden Knotens, t Neigung der Bahn.

So hat man die Gleichui^en:
L rcostt — ^cosCX' — Q) « ^cob&cos(^ — Q)
II. '-eostsint» — limx (L — Q) =^ ^cos&sin(f — Q)

III. >'sin/sin?/ = ./sin6.
Multiplieirt man die (.Jleiehiuig I mit m\{L — ßjsini, die Okirliun^' II mit
— eos(/- — Qjsmb, Iii lutt — 8in(L — /;cos6, so wird, nach Addirimg dei-
I'roducte,

L'Of,H 8in(L — Q; siu6 — tduu voni cos^L — Q) nuxb — amu mii&ui{L — l) cosb = 0,
woraus dann

taugu cos i cos (L — Q)rinfr-|- smtnD(Xi— {)oqs& '

^ kjui^ .o Google

Relktionen, die eloen einselnen Ort im Kaunie bctrcA'en.

91

^Iiiltiplic-irt man aber I mit dii(/'— Q), U mit — cob(/— Q), so wird^ nach {14\
Addition der Prodacte^

** ainM4»»tC(M(Z — Q)— OMttthilf — *
Die Zweideudgkeit in Bestimmang von u aus Gleichung IV wird von 0elb«t
durch Gleichung III gehobm, die sdgt, dasa u zwiachen 0 and ISO**, oder

zwischen 180" und SCO" genommen verden mü«5e, je nachdm die Breite b
positiv oder negativ ist. Ist aber A = 0. .so zeigt die Gleiclumg V, dn.ss ti — 0,
o<ler n = 180" gesetzt werden nnia^. je naelidem mi(L — l) and 8in(/ — Q) ver-
iäciiiedene Zeichen liahen, oder die-selben Zeiolien.

Die numerische Bereclmung der Formehi 1\' und V kann auf ver-
schiedene Weise durch Einführung von Htllfswinkel abgekürzt werden. Z. B.

taii-Ar..s !/■,— «) , . , vmÄtMgiL—Q)

setzt man — . , — , = tang-4, so wird umg« = * ? , ;

setrtman e^ Jl - tang^i so wurd tangu^ ^0^b)l„i '

Ganz ebenso erhält die Gleichung Y durch EinfUhmng dnea Httliswinkels,

dessen Taugente » costtaag« oder = **°^T^^ ist, eme oonctnnere Form.

So wie wir die Formel V ans OombmAtioii der Gleichungen I und II er>
.hielten, so gelangen wir durch Gombination der G1d,chungen II und III zu
folgender:

eilt H (COM i — tiiu ( titu {l — Q) ootung^t
mid cbeneo durch Combination der Gleichungen I mul III zu

Iicoa{L — Q )

C08M — sin u ain t cos — ö)cotangf
Beide lassen sich auf f^leit lip Weise wie V durch Einführung von Hülfswinkeln
noch einfacher luat lieu. Aul l(i.-.uii;j;i'n . die aus dem Vorstehenden resultiren,
findet man gesammelt und durch ein Beispiel erläutert m von Zach, iMouat-
liehe ConeqMiidenz, Baiud Y, B. 640*), weshalb idi deren weitere Entwicklung
hier Übergehe. Wenn ausser u und r auch der Abstand J bestimmt werden
soU, so kann dies durch Gleichung III gesdiehen.

*) Itar ToUfüBdig* Abdra^ Omt Utr (Mrln AÜhndlwf tmi Obm* Sirftt mA im Avkuig«,
SdM 41—46. Ämmtritmg du Vebfrtfiztn.

12*

Dig'itized

92

Ente« Bndi. Zweiter AbKbnitt.

75.

£me imücrc Auflu'sang der vorliergelicnden Aufgabe stlitst eich auf den
im Alt. 64 III vorgctrag^cnen Sntz, das« der helioc^tmcbe Ort der Erde, «>wie
der geocetitrische Oit des llhnmelBküipers und dessen heliocentmchcr Ort in

piriPiii lind flfinsfUji-ii gnissti-ii Kreise der Kugel lief^cii. Es seien in Fi<^. 3 jene
Orte l>e/ieliniitrs\veise 7". fr, ff; ferner Q der Ort des aHt'steiLn'nden Knotens;
iliti QH 1 heile der Eeiiptik un<l der Jialm; 0' I' ein mit die Eeliptiic aus ff

herabgela^encH Loth, wo» daher gkicU b ist. Ilicruuä itnd aus dem Bogen
PT = L — l wird der Winkel T und der l{o<,'en TG bestimmt. Dann emd in
dem »phSriachen Dreiecke QHT gegeben der Winkel Q — S ^ Winkel T und
die Sdte QT=L — 0, woraiu die beiden Übrigen Seiten QE^u und TH

abgeleitet werden. Endlich wird BG TO-TH nnä r = ,

. „ A'Bin Til_

76.

1)11 Art. f»2 li;i!vc ieli trez«'i<rt. wie die dift'erentialen Veninderniijrni der
heliui i iiti IM heil Länge und Breite und des curtii-ten Ab-Miides dun Ii die
\'eriinderung tles Arguuicute» der Breite m, der Xeigiuig i und den licidiiu»
vector r au«i>^edrUckt wer^ kitenen, und hemaeh (Art. 64, liabe ich aus
Jenen die Vciünderungen der geocentrischen lünge und Breite ^ b abgeldtet.
Durch Conibination jener Formeln werden daher d^ und db durch du, dt,

dQ, dr ausgcdrliekt erlialten. Es ist aber der Milhc wertU, zu zeigen, wie
man aueh bei dieser Kecbniuig der Rechietion des heliocentriscben Orts auf
die Erliptik Uberboben bleiben kann, ebenso wie ieb im Art. 65 den geoeen-
tiiseben Ort unmittelbar aus dem belioeentriselien i.Jrte in der Babu abgeleitet
habe. Ziu- gi-üssereu \'ereinfacbung der Eunneln, will ieh die Breite der Ei'de
vemaehlSMigeu, da «ie wenigstens bd den Differential -Formeln keinen merk-
lichen EinflusB haben kann. Es dienen also hier folgende Formeln, bei denen
der Klinse wegen to fUr / — Q und, wie oben, ^ für ^0006 geschrieben ist:

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Relationen, die «ijiea einselnen Ort im Räume betreflen. 98

./ cos w — i vosu — Ii cos ( L — Q) — §
J' mio) — rco.s/sinM — Rs'm^L — Q) = t)
tangb = i'shiimiu = ^.

Am Diü'ci'imtiatiun derselben erhält man:

cos V» . i\ J' — J' sin tü . d d
sin u) . (l / -f- OOS m . d w — d

taugt . -i-^5^d6 = de

und hieraiu durch Elimiiiation

3 — rin».d{'l-coeai.dir

d« =ä • ^

6 » ^ .

Warn in diesem Fanndn für I, % 'C ihre Weiihe gehiJIrig aabBlatairt
werden, eo erhfiltmaQ dto nnd Ab durch dr, d«, dQ fniBgedrUdct Dann
irarden, da d2 « dco+dQ i»t, die partieUeD Differentiale von l, b nch so
verhalten:

I. ^ \T7)~ — »matcoew-l-coecoBintteo»» (76)

il. ^ (die j ~ 8ina»ain»+co»ii>c<»uco8«

m« dir) ~ — coswainttsint

(^)=l+#co«(L-Q-cü)=l + |»cc»(L-^)

V. J ^-^y^ = — co«i0cosuNn6 — sinoiantteoetanfr-f-nnttsintcosft

VI. (^,7) ~ oo»w«in«ain6 — anctfcosKoostsint+oosuainscost

Vn. ~ ) ^ Binü»8maBin«sinb+sinuco8«co«6

VIII. (äQ^) ~ »ui6Bin(L — Q — w) = sin&8in(X> — l).

Die Formeln IV und VIII eirseheinen hier bereits In dner (iSit die Bechnung
»ehr bequemen Form. Die Formeln 1, III und V aber k(innen durch nahe»
liegende Snbstitiitionen conciimer redigirt werden, nfimlieh:

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94

Ente» Buch. Zweiter Abecbnitt.

Vdr/ r.i ^ »"J

Eudlioli können auch die übrigen Fonneln II. VI, VII «iuii Ii Einführung ge-
wiiwcr Mult'swinkel noch vert'iut'acht werden, wsä auf folgende Weis« sehr
beijueni <re.«chieht.

^hui bi-stiiiiiiu: tlic IIüHWink«d J/, A'dun h die Furniein UiHirM =

lang — siuttitaug/ = lang -V<osti>sin/. Dann wird zugleich

C<»M* 14-tanpA'- «.-r»*»' 4-«oi»'miic* ,
COS A ' 1 -f- laog -'^ *^'»'' * ■ -r- tttngft*

Die Bejsciiigung der Zwiidt utigkiii Ijei Hf-tiiuiDung v>>ti .V und 'Ä" atu d«&
Tangenten kann nach W'ilikiir nud daher auih m gesciielien, daaa man

nimmt. Sodann gehen die Fonneln II, \J und \ll m folgende ttber:

VI *. = jooftoi sin »00« ») cos (-V— 6) 8in(i^— «) 8in(-V— 6)}
Vif' ( rmM cos i cos (y—

Dif,>c Transformationen werden in Beziehung auf die Formeln II und \ II
Jedem klai* sein. Bezüglich der Formel \l aber scheint eine Erläutcrimg am
Platze. Wenn man nSmilich bei Fonnel VI zuerst fttr t» «etzt: M — {M—u),
80 erhalt man:

("J^) ^ ^^'^ (-^^ — **) '^"^ * — ^ * H~ ' *^ Mcos 6|

— siu {M — Uj jcoäi «* cos ^I/sin 6 -}- »in o cob i t>in .1/ sin 6 — sin /sin 3/ cos6|.

Nim ist

eoswtuu J/ — coj*/*cos<u8in J/-|-*iiu*' co.<u>s.in-V = sintyeos/i'<feJ/-|-siui'cosö>siniV;
weshalb der erstere Theil jenes Ausdruckes übergebt in:
Btnfeoa(.V — u] ^sn\ i cnsw sin ^f am b -j- co!«.1/co.s6{

= aiu « cos (M — u) |coö tu sin .Vtüu 6 -|- eos (u cos .\ eo» 6j=costüäiat eos i^M— u) cos (X~ 6),

Rdaitioaen, iS/a «imn etimelneii Ort hn lUuine betreffinu

95

E^PTiso wird cos iV — cosw^ QmN-\-miui^ coa X = oo^o)c<aM'^taait90Miam.M\
wodurch der zweite Theil des Ansdnicks iiber<:;eht in:

— sin(J/ — u) |cosxVsiii6 — ÄinA^cos^j = »m{M — ü)si3i{N — 6),
Hieraus folirt .«ntbrr der An.sdriiek VI*. —

Der Huit'8\viiili.el ^1/ knnn anc !x zur Tntnsfomintiou der Formel 1 be-
nutzt werden, die nach dessen Einiiiiuung die Gestalt anuiuiuit:

auB datea Vergleichuitg mit Formel I' folgt:

— Rif'mfL — l)miM — r.sin<ü8in(i/ — «);
wonneh dann auch der Foiincl II* die etwas einfachere Form zugetheilt
werden kann:

U". (-ji) = — ^8in(L— OootangCAf— tt).

Um die Fonnel VI' noch mehr zusjunmeuzuziehen , mum man einea
neuen Uültiswinkel einfuhren^ auf doppelte Wei«e geschelnn kann, indem (79)

nuai mbnlieh entweder tugP^ oder tangQ =

wodorch man dann erhält:

. „ . . / «l \ »wnjJf— » )co8 ( iV— P) _ r wn {N-- b) co» ( M—u— Qj

• \dü)~ ^^}nP ~ JsinQ

Uebritjfi ns >ind <lif liiilisLrin-sca ••1/, A, Q nicht rein iietiv, und qh lässt
sich leiclit angeben , wa-» einer jeden an der Himmelskugcl entspricht , so
dass auf diese Weise mehren der vorstehcndeu Gleichmigen nocli eine
elegantere Dantellmig durch Hogen und Winkel an der Kugel gegeben
werden kdkinte. Ich verweile dabei um so weniger, da ne bei der
numoischen Berechnung die oben behandelten Foxmebi nicht ttberfliisaig
machen kfinnen*

77.

Dil» in dem vorangelRuden Artikel Entwickelte enthält hi Verbindung
mit dem, was in den Artikeln 15, 16, 20, 27, 28 t'ilr die einzelnen Arten der
Kegelächuitte gestigt worden, Alles, was tm Berechnung derjenigen difierentialen
VerSnda-ttngen erforderlich ist, die im geoceutriechen Orte durch Veriindeningen

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96

EnitM Budi. Zweiter AUtebiiitt.

der einzelnen Elanente entstellen. Zur beeren £rläuteruug dieser Vor-
Bcbriften wollen wir das in den Arit. 13, 14, fil, 63, 65 cractirte BeicpiiBl
wieder Tomebmen. Zuerst will icb naeb Anldtnng dee vorhei^benden Artikeln
dl und d6 dorcb dr, d», di, dO ausdrucken, wobei die Bedmung so steht:

Idgtangw 6»40113 log«inai 8,40099« log tinig(J^tt) 9,419 32 n

logcoe« 9,988 58 logtangi 9,86728 logcosa? an» . . , 9,355 62 n

logtangJ/ 6.412 60

,V = r28 52
jU—u = 165 17 8

r

loir^in^^^^,... 9,721 25

lugA' 9,99810

Clog^ 9,92027

»gtangA' 7,76822» logUmgi* 0,063 70

N = 179" 3!) 50 '
^V— 6 = 186 1 45
II"

0 Ü.639 62

lopcot(.l/— >' 0.580 68 n

P

= 49" 11' 13'
b—P== 136 50 32
III'

lofrrosw 9,999 86 ?j

loirtiuiji/; 9,047 49 h

C) 9,639 62

aiogr 9,67401

log(^) 9,31863

log( j^) 0,220 30 log(äv) y>^^< «

179)

log^ 9,MlSa7

logr o8(L— ^..9,!'-jn 50
n 9,847 95

vir

logrsinJiCiw« ..9,759 99«
log cos (A^— 6) . . 9,997 59 n

Clog^ 9,91759

C.logcoB^' 0,000 Ol w

log(^5) 9,675 18n

.9,847 93

0,243 57 7?

log«n5coii6 ..9,04212n i„gsi„(j/_„)..9,404 84

aiogr_. ^..^9^674 m i^geos(.\^6 i';9,863oi n

log(^|;) 8,56400 C.logMnP 0,12099

logÜr) 9,63241«

vni

Q 9,639 62

logginftcog5 ..9,042 12 n

%(^) 8,68174«

Die Zusammenstellung dieser Werthc ergiebt
dl ^ +0,205 89dr+l,66073di(^0,11152d<+l,70458dQ
d5 « + 0,036 65 dr— 0,428 95 dti— 0,473 35 dt— 0,048 05 dQ.

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Relation««, die einen einzelnen Ort im Kauine betreffen.

97

Kwan bedaif ea wohl der «ohon hSnfig iriederholtaii Bemerkung, daas entw^er
die Aendemngen d^, d&, du, dt, dQ in Theilen des Badios auKiudrttdwn,
oder die CoefBcieuteii yon dr mit 206265" zu multiplicireii sind, warn erstere
in Secunden venUmden werden.

Bezeichnet man nun die Ukag^ des Perihela (die in unserem
Beispiele »62*18'9"80 i^) mit 17 und die wahre Anomalie mit t>, so ist
die JJbuge in der Bahn = w-f Q = »-f-iT, und flaher du = dv-\-(\IT — dO,
und wenn man diesen AVcrtli in die voranstellenden Formeln suhstituirf, so
erhält man dl und dh durch d?', di', d/7, dQ, di au.sfjf od rückt. Es f'rfibriL''t
daher nur, dr uttd d*; nach Anleitung der Artikel 15 und 16 durcU die
diti'erentiaien Aenderungcii der elliptischen Elemente darzustellen. liei der
folgenden Rechuuug bedeutet das Symbol M nicht wehr uutiercu UUlfswinkel,
BOndem — wie im ersten Abschnitte — die mittlere Anomalie.)

In dem Beispiele des Art. 14 war log-^ = 9,90355 ^^^^C^)''

log — 0,VJ2dO

log cos y 9,98652

log(a'^) 0,179 42

2_ecosJ? 1,80085

ee = 0,060 18

1,74067

log 0,24072

log^ 0,19290

lüg si nJg 9J66 34 n

log(^) 0,199 96«

Hieraus «rhält man

dv = 4- 1,51 154 di/-
di«« —9,473 10 dJ/-

logfl 0,422 44

logtang^J 9,40H20

log sin ü ü,8-i9 31 ?J

6,674 95«

log«.- 0,422 44

]ogco&(p .9.986 52

log cos r 9,849 66

'^'"^ , 0,26862»

■ 1,584 lödif

1,813 93 dy + 0,800 85da

und nach Suhstitution dieser Werth« in die früheren Fonneln folgt:

13

98

Ente* Buch. Zweiter Abiclmitt,

= +M1287dJf^S,005Sld9-f 0,16488 da+ 1,660 73 di7
— 0,111 62 dt+ 0,043 86 dQ
46 ^ —0,665 72 dM+ 0,61 3 31 d y + 0,02925 da— 0,428 95dir

— 0,473 35 (1 1 -f 0,380 90 d 0.
Nimmt man an, dass die Zeit, ■welcher der berciliiietc Ort ent.«pric'ht,
um n Tage von der Epoche eutt'erut ist, und wird die mittlere Liinj^'c
für die Epoche mit X, die tägliche Bewegung mit 7 bezeichnet, »o ist
N-^nJ — 77, uiid daher dM = dN-^-nd"/ — d77. In unserem Beispiele
ist die dem berechneten Orte e&tsprediende Zeit — October 17,416 07 des
Jahm 1804 im Meridiane von Paria. Wemi mithin fttr die Epoche der Begim
des Jahres 1805 gesetzt wird, so ist — 74,58498; die fttr jene Epodiege^
setzte mittlere Länge war = 41" 52'21 "61 und die tägliche Bewegung = 824"7988.
Babstituirt man nun in die eben geftindenen Formelii fttr dM seinen Werth,
»o verlialteii sii h die diircli die allcintg'eii ^\■r■inderlmgpn der Elemente aasge>
drückten ditil-icutitden VerUnderujiircii des jj;e(i( ( ntrischen Ort», wie folget:

dl = 2,41287di\ — 179,96 d7— 0,752 14d/y— 3,005 31 dy-f 0,164 88 da

— 0.111 52d?-fO,043ö6di;>
d6 = — 0,665 72 d -V+ 49,G5 d 7 4- 0,236 77 d /7 + 0,6 13 3 1 d y + 0,029 35 d a

—0,473 35 dl -I- 0,380 90 dO.

(81) Wird des Himmelskörpers Masse entweder vernachlässigt, oder weuig-

stens als heJum&t angesdim, ao rind J und a von sich gegenseitig abhängig,
mid somit kann' man entweder dj oder da ans den Formdn eliminiren»

Da nämlich, nach Art. 6, Ja^ =ky{l-{- ti,, so ist ''^J- = — f in welcher

Formel, wenn d7 in Theilen des Itadins ausf^cddlckt werden soll, man auch
7 ebenso ausdrücken muüj*. Auf diese Weise ist unserem Beispiele

log7 2,916 35

logl" 4,68557

logl 0,176 09

Clog « 9 , 677 56

logj^ 7,3äöö7«,

oder d7 = —0,002 ->G7r,dfl und da = — 440,99d7, und durch Substitution
dieses Werthes in uuseie Formeln ergiebt sich endlich als letzte Form:

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BdiiiSinitti, die rinen einMlnm Ort im Baniii« betraCen.

99

dl = 2,412 87dA' — 252,67*17— 0,752 14d/7—3,Üüö 31 dy

—0,111 52 dt 4- 0,043 85 dO
d> . —0,665 72 diV^-f 36,7 1 + 0,236 77 di7+ 0,613 31 d y
— 0,47835d«+0,380 SOdQ.
Bei Entwiokeliing didaer Foimeln haben wir Toraii^gefletst) dass BSmmtUclie
Aendenmgen d/, d&, dN^ dj^ dA7, d^ d<\ dQ in Theilen des Radios aus-
gedruckt seien; offenbar aber werden wegen der Homogeneiflit aller Tlieile
dieselbeti Funnelii uuch dann gelten, wenn alle jene Aendenmgen in Secuuden
amigedrUckt sind.*)

*) Wegen der bei mliftii Z»hhm det Ali. 77 ror;eaoiniiipni>n Aondeningen wgL dte ABdentni^
im DrackfeUct - VeneichnüM dar Irtdabnhto Anvgabe, M«ie den Ergtntan^band m des AiInomd. Nadiiah-
ti^ fH- lei- Jmmtrkms 4tt UOtn U a m k

IS*

100

Dritter Abschnitt

KelHüouint zwiNi'hvn mehren Orten in der Bahn*

98.

Die verglciL-beiide BetrnclitiiTi':' zweier oder mehrer Orie eine« Himmek-
körpers in i!t r Balm sowohl als im Haiimo, gewUlut eine Bo grosse ^lenge
eleganter Vorlagen, da.-:-? mm <\nmlt leiclit einen gsmzen Hand l'iillcii köimtc
Breill Zweck gelit aber iii< lit d ililu, dies fnKhtl»!ire Arq-mnent zu ei-sehöpten,
soudcm himiiteUcUIicb daliin, iiierau» eiueu imitaiigrcieiieii Appsirat von Hülfs-
mitteln su sdiaffen für Aufldrang der gromeii Angabe der Bestanmin:^ ttnbe-
kRnnta* Bahnen ans den Beobachtungen. Vntßt VemachlSssiguug Deuen, was
hierbei zu finemdai^ sem würde, will ich daher Alles desto sorgfUltiger ent-
wickelUf was auf irgend eine \\'eiKe zu diesem Zwecke f iihren kann. Den Unter-
siiclfimgen selbst will ich einige trigonometrische Betrachtungen vorausschicken,
auf welche ich wegen ihres häufigen (Jf'l)riiti( li.>* öfter zuriickkonnneu tum»:

I. Wenn C irgend weicht: Winkel bezeichnen, so hat man

sin Ä Bin {C — B -f- ■'^ i^in {A — C) -|- sin Csin 'B — ^) = 0
cos^Bin(C— £)+co8£ain(^— C')+coBC7Bin(£— il) = 0.

II. Wenn zwei Grüssen p und P ans Gleichungen bestanunt werden
sollen wie

psin(-fl — F) ^ a
pmiiB—P) =- b,

so geschieht das allgrandn mit Hülfe der Formeln

psin(if— ^)sin {U—P) = i-siu (//— ^1)— osin (H—ß)

wolx i n ein willkfhlii licr Winkel ist. Hieraus leitet man (Art. 14, II) den
Winkel H — P ab und pän{B — A); und hieraus P und p* Gemeiniglich

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RsUtioDen swimImii imluca Orten in der B«bD.

101

ptlegt die Bedingung hinzugoHigt zu seiu, da.<s p eine positive Grösse sein
miiM, wodurch Zwetdentigkeit in Btttimmung des \nnkel8 H — P durcli
seine Tangente «ntsehieden wird. Fehlt aber diese Bedingung, so kaum man
dQe Entscheidung nach Belieben treffen. Zur Bequemlichkeit dar Rechnung
pHcgt man den willkürlichen Winkel H entw eder = A oder =^ B oder
sss^-j{A-\-B) zu setzen. — Im ersten Falle sind die Gleichungen nur Be-
stimmung von F und p folgende:

j>sm(^— P) = a

Im zweiten Falle sind die Gleicliungen gjuiz analog; im dritten aber: (8*)

f..ü.(M+l^-P; - iJ^-A )

Fiiiirt uiau daher den Hiill^wiiikel ^ ein, dessen Tangente ^ } ^ findet
sich JP durch die Fonuel :

lang ( I ^ + f ^— /•) = tang (45" + 1') tang \ (B—A)
und sodann p durch irgend eine der vorhergehenden Formeln, wo

1 /n t ^\ • /ttt9 • <*L , a8in(4ö*4-Ö 68in(45"-f-0

i(6-a) - «»146- +w Kaäi= ^^^^ = ^Vi^-

III. Wenn p und P aus den Gleichungen

Pcm{A — P)=a a
pc<M{B^P)=b

bestimmt werden sollen, so kann Alles unter Nr. II Erklärte sofort Anwendung
finden, falls man nur dort statt A und B allenthalben 90*+A 90*+^ schreibt
Zum bequemeren Gebrauche will ich jedoch die entwickelten Formeln hersetzen.
Die allgemeinen Fonuelu sind:

psin(5— ^)8in(7/— 7'i — iicsf//— ^)-f acos(/7— 5)
p8in(Ä— -<l)coa(//— P) = 6sin iH—A)^aüa{S—B),

Biese gehen daher, fiills H^A gesetst wird, ttber in:

102

EtalM Bueli. Dntt«r AhMbaitt.

. , , acw{B — A) — b

pco»(A — jP) = a.

Für H = B erhalten sie eine ähnliche Fonu. Für Ii = ^(A-^B) aber
werden sie:

SO daaa nach Eiufdlirung des Hiilt'swinkcls c, dessen Tangente = entsteht:

cotRiig(|^4-|JJ— i*) cotang(^-^46")tangi(ß—
(S4) Sollte man übrigens wün-sclieUf die Grö>»e p unmittelbar aus a und 6,

ohne vorgSi^pge Berechnung des Htilfrwinkela P, zu bestimmen^ so bat man
die Formel

;>siii(yi — .1) - l iaa abco&(ß~A))f
sowohl bei gegenwärtiger Aufgabe, als bei II.

Zar ToUMKncUgen fieatuumung einea Kegdachmtta in seiner Ebene mxä
Dreierla erfordert: die Lage des Perihda, die Exoentricillt and der Iialbe
Parameter. Wenn aoldbe aoa gegebenen, von eiminder abhängigen OrStoen
ermitlelt werden sollen, so mUssen m viele Data vorhanden sein, daaa man

drei, von einander tinaltbängige nieichungen bilden kann. — Jeder seiner
Grösse und I-agc nach gej^ebene HadiuA Vector Heiert eine Gleichung, und
es sind deslialb zur Bahiilu stimmung drei, ilirer GröSiie und i-.agc nach gege-
bene Radieu Vectureu erforderlich. Hat man aber nur zwei Radien
Vectoren, ao muas entweder dn Element sebon selbst, oder weni^;8tens irgend
eine andere Grtfsee gegeben sein, um daraus die dritte Glaehung constroiien
in kffinnen. iffierans entstellt eine Ibnnigfidtigkeit von Aufgaben, die wir jetst
der Reihe nfich durchgehen wollen.

Es gellen r, r swM Radien Vectoren sein, die mit einer geraden, in
der Ebene der Balm am der Sonne heliebig gezogenen Linie die Winkel
Nf N' nach Bichtung der Bewegung bilden; t» sei ferner // der Winkel,

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Bshdonaii iwiMbm aMltren Orten in dar Biliii,

108

den mit derselben geraden Linie der ßadiua Vectui im Perihele bildet,
so dass deu Radien Vectoren r, die wahren AnomaHea N—IT^ N* — 17 ent»
iprechen; emdlieh Bei e ^« ExcentridtSt, p der halbe Parameter. — ' Dann
finden die OMchungen Statt:

^ =ae 1 4- eC08(^— 17)

teoB denen, wenn ttberher eine der QrSaten J9, IT gegeben ist, die Übrigen
faealimmt werden kibmen.

8elaen wir zaent voraus, dass der halbe Parameter p ge^^ben «ei, ao
erhellt, daaa die Beatuumung der Gritoaen e tmd i7 ta» den Gleidiaitgen

eco8(-y— /7) = f — l

«coa(i^'--i7)«^— 1

nach Anleitung des Satzes III im vorhergehenden Artikel geadiehen kann. (SS)
Sian bat daher:

tang(i^-i7) -= cotBng(Jy'-.V)- ,^_;»-^._^^

80.

iBt der Winkel /7 gegeben, so werden e und p vemutAekt folgender
Gleichungen bestiuunt:

rr'(c08 (N— /; ) — cos (N'—H))
^ retMlN^n) — /cos(i/'— Ji)
f^-r

Der gemdmame Nenner in dieaco Formeln iKast aieh anf die Fonn: aeo8(^ — /7)
mllekftilircn, so diu^s a und A von IT unabhingig sbüd* Besdelmet dann H
einen wilUciirliohen Winkel, ao wird

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104 Ente» Buch. Dritter Almluilt.

I _(,.sin; A— //) — r sin //))«m i7— /7)
iinii deshalb — acoa{A — //), wemi a und A durch folgende Qleidiiingen be-
ütiuiuit werdeu:

reos iV' — Jl)~ )''con'N' — ff) = «cos .4 — //}
Auf diese Weise wird:

2rr' »in i (N'—If) üa {^N+ ^N'—n)
^ aoo6(i4— H)

e = ü -r

acM(A--JI)'

Diese Foimeln sind beeonden» dann bequem, felis p und e für mdve Wertlie

von n ztt berechnen sind, wälircnd r, r', N" ungeändert bl^ben. Da man

snr Besliinnimig der HQlf$^*i!«sai o und den Winkel ff nach Belieben

>?\ä)i]ni kann, ho m (> \ (m tlieilliaft) = >u setsen, wodurch die
Formeln in folgLiuk- iil>cr<rL>lien:

(r' + r).sin|UV -A) = —asinU—- i-.V—
Ist daher der Winkel ^1 dm-cli die Ciloi<-liun<r:

bestimint, so hat man sofort:

_ coüiA — \X—\N')
cos ^ ( — iVTo"^ I 1 — /7 ) '

r' 4- r

(86) wobei sich die Berechnung de^ Logarithmus der Grösse durch den schon
liHiifig erklärten Kunstgriff abkürzen Utost.

81.

Wenn die ExcentricitUt e gegeben ist, so wiid der Winkel 11 dui'ch
folgende Qleichiuig geftinden:

cos' 1-/7) = - ^i^-^^-i^
nachdem der UUllswinkel A vermittelst der Gleichung

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I

Ralittioiien swiaehen nehfeii Orlen in der Bthn.

105

Umg{A-±N- iN ) = tengi (N'-N)

bestimmt wt* IHe bd Befttimmimg des Winkels Ä — IT durcli sdnen
Coeinos xarQdcbleibende Zwetdeotigkeit ist in der Nntur der Aufgabe be-
gründet, aa dass man letzterer durch zwei versebiedene L{Jsun>ren Genüge
leisten kann, -wobei man «nder-iwoiier entscheiden mns.x, welche lu i/.iilx lialten
und welche zu \ 1 1 w 1 1 tVii i>t. Zu diesem Zwecke vnus» ein wenigstens ge-
uiiUcrter \\ crth von // iiereits bekannt »ein.

Xaclideni fJ gefunden, wird /) entweder durch die Formeln:
p r(l 4-ccoa(jV — f/]) — ;•'(! -{-ccos \N' — 77)), oder diu-eh

8fc

Nehmen wir emUich ;ui, d;L<s drei Rfidien Vectoreii /•. r\ r' ^eut licu
seien, web ho mit einer geraden, nacli Belieben aus der 8onne in der Ebene
der Bahn gezogenen Linie die Winkel N\ N*" bilden. Man bat dauu,
unter Beibehaltung der übrigen Zeichen, folgende Gleichungen:

(I) i=l + eco.s(A— 77)
^ « l+«coe(J/'— J7)

= i_|_f>eosriV"-/7),

woraus fioh 77, e aut meiue verscbicdLiic Arten enuittchi lassen. Will
man zuvurderst die Grösse /) bereibnen, so wenleji die drei Glciciiungen (I)
respective mit 8in{iV" — A''), mit — 8in(A"' — N)^ mit fan{N' — N) midtiplieirt
mid man a^iXlt durch Addition der Prodticte nach dem Batze L Art. 78
^ _ ain (ir-^-N') ^On {N" ^N}-\-nn (N' — N)

Dieser Ausdruck verdient eine näbere Betrachtung. Der Zähler wird (ö7)
offenbar:

« 4«ini(JSr'— Ä^dn {iN''—N)mi\iN'—N),

«Alna, ThMfto A tMMf. 4. aiwMbk. 14

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10«

BntM Baeb. Dritter AVKlniitt.

Hetzt man .so<l.'inn terner

r'r'sinf.V" — N) = n, rr" am X" — X) = n\ rr'm\(N — iV) = tt",

BO »ielit man, «lass i??, -i-;/, die Flildien der Dreiecke sind, resp. zwisclien

dem zweiten und dritten, dem ersten und dritten. <\rm ersten und zweiten
Kadias Vector. Daraus schlie-^^t man leielit, dunü bei «k*r neuen i'onuel

_ 4tin^(N ' — N'i »in ^ (N" N ) H\ n ^{N'—N) .rr t''

der Neuner yk i« U .s«.! der <b>j)jtelten Flürhc des Dreid k-, welches von den
Kndpuukteu der drei Uadieu \ cetorcn gebildet wii-d, d. Ii. welelies zwischen
des HmunelBköqiers drei Orten im Räume enthidten ist. Ftüls jene dm Orte
nur wenig von dnander entfernt dnd, so wird jene FlSdko stets öne
sdir kleine Grösse, und zwar von der dritten Ordnung bleiben, wenn
N' — Iff. If—^X' iiU kleine Cnissen der ersten Ordnung betnichtet werden.
Hieraus geht zuglfirli hervor, dass. fnlls tiiie oflci iiu lm- ilcr (Jrössen r, r',
^\', y\ N" mit, wenn auch nur ^(■iiii;ici[ Frlilt ru In liatut sin<l, hieraus ein
ßclir gruss<'r Irrlhiun bei Erniitteiuug von p eiitsiehen kann. Es Übst tlaher
diese Bcclinuug»mcthude sur Beutiuiuiung der liabn- Dimensionen uieuials
grosse SchSrfe su, wenn nicht die drei hdiooentriscben Orte durch betrilcbt-
liche Zwischenräume von einander entfernt sind.

Sobald Übrigens der halbe Fannoeter p gefunden ist, so werden s und IT
durch Gombination von zw^ irgend wdcher der Gldiehungen (X) vermittelst der
Methode des Art. 79 bestimmt

83.

WiD man die Aunüsung dieser Aufgabe lieber mit liereelmimg des
Winkels II binnen, so dient dazu folgende Methode. Man siehe von der
zweite der Gleichungen (I) die dritte ab, von der eisten die dritte,
von der ersten die «weite, wodurch folg^de drei neue Gleichungen
entstehen:

1

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Bdationen switeben nebmi Ortao in dar Dtbii.

107

J.

r r e

Xndi S;itz IT. Art. 78 gehen irgendweU iie zwei dieser Gleichungen /7 und (88)

\\or,ur-i man durch jede der Gleichungen mich c inid p erliiilt. Wählt
in;iu dit' dritte, im Art. 78, II behandelte Atitlösui)^. .<o ^iibt die Combi-
uation der ersten und dritten Gleichung folgende ReclinimgRart. Nach 13e-
Btimmmig des Httlfewinkeb C dnrcli die Gleiebiiog:

ist

Durch YertBOSchung des Kweitea Ortes mit dem ersten oder dritten erhält man
zwei andere y{ä]ig analoge Aafl(fSiingen. Da bei Anwendung dieser Metbode

die Fonndn fUr etwas verwickelter ansfiallen, so wixd nksn es voraehen,

e nnd p dnrdi die Methode des Art. 80 ans zwei jener Gleidrangen (I) zu er>
mittein. Im Uebrigea muss die Zweideuti^ett bd Beirtimminig von II nuttelA
der Tsngente des Winkels ~N-^^N'-^\N" — II so entschieden werden, daas

e eine positive Grösse wird ; denn es ist klar, dass man fUr e entgegengesetzte
Wertho erhalten muss. wcim für TT genommen werden, die um 180"

verschieden sind. Dagegen ist daü Zeichen von p von dieser Zweideutigkeit
imabhängig, und der \\'erth von p kann nui- d<uui negativ herauskommen,
wenn die drei gegebenen Punkte in dem von der Sonne abgewandten Theile
der Hyperbd H^en, ein Fall, den icb, da er den Gesetzen der Natur zuwider
ist, hier nnberttdonchtigt lasse.

Das, was man bd Anwendung der ersten Methode in Art 78, II etat
nadi mUhsamen Substitutionem ediült, kann im gegaawttrt^en Falle auf folgende
Art bequemer gefunden werden:

14 •

Google

108

EtttM Bu«h. Dritter Alwehaiit.

Mau muItiplicUe vüu den Üleitliuugcn (llj die erste mit cos f (AT" —
die dritte mit cfMj{N' — N) und zidie das zweite Prodact von dem ersten ab.
Dann erbait nuin bei gefaCriger Anwendung des Satzes L Art. 78 [wenn man
niinilich in der zweiten Femal A ^ ^(N' — N), Ä = j^+l^"— /T,
C=\{N — N') setzt] folgende Qleicliung:

-^(-^— j5r)cotang|(xV — A')— i- (±—.yj^otmxis^iN—N)

Diu-di CombinAtion dieser Gleielimig mit der rvreiten der Gleichmigen (II),
lind^ nch II und — imd lewar II mittelst der Formel

Auch bierauü lassen sieh zwei andere ganz analere Formeln durch Ver-
tauschung des «weiten Ortes mit dem ersten oder dritten ableiten.

84.

Da aus zwei, ilncr Grosse uu<I I>n!jo nach gcgehcuen Ra(lien Vectnrcii
und einem Hahneleiiicuie die ganze I$ahn ^u•ll bestinunen lässt. s>> \^ird miin
durch jene Daieu aucli die Zeit cnnitteln küuneu, innerliaJb deren der
Himmelskciiper sich von dem dnen Badius Yeetor sum andern bewc^, wenn
man die Masse des Korpers entweder ▼emachlässigt oder wenigstens als bdiannt
betrachtet: wobei wir bei der ersteren Annahme stehen bleiben wollen, auf
welche die andere leicht sich reduciren lä.sst. Es ist also umgekehrt klar, dass,
wf'un zwei Radien Veetoren iln'er (!r''!-- c iind r.a^^e nach gcgeljcn ^ind und
aiuli zuuileich die Zeit, iniRrli.iH» welcher der Iliuanelskorper den zwischen
iiineu iiegendeu Eauui beschreibt, nvin liicraiis die ganze Balm bestinunen
kann. Jedoch wird diese, su den wichtigsten in der Theorie der Be\\eguug
der SimmelskSrper gehörende Autgabe nicht so Ideht gelöst, da der Aiisdmck
der Zeit durch die Elemente traascendent, und Überdies ttusserst complicirt

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BalatioiMii iwbeliett mekren Orten in 4er Beho.

109

ist. IhL'^v Autgabe ist es mitliin um so mehr wcrtli, auf djis ,s()r;i;ialtigstc
abgehandelt zu werden. Es wird daher holieutlicli dem Ijeser nicht un-
angenelim sein, wenn ich ausser einer weiter unten zu gebenden Auflösungs-
art, die niclita zn wUnschen ttbrig lassen dtfrfie, «uch diejenige der VetgesBen-
htai entrelwe, wdche ich, bevor jene aeh darbot, hftufig angewendet habe.
Es ist stets nUtslieh, die scbwioigeren Probleme auf Terachiedeiien W^;en in
Angrifif zu nehmen, und den guten Weg nicht zu verachten, wttm man
anch den besseren TOraieht. Ich beginne also mit der AuseinandersetEung jraer
firttheren Methode.

85.

Ich will die Synibole r, r', N\ «, // in derselben Bezeichnung
beiliihaltrn. die vorher damif vcrhimden war; den Unterschied .V- .V l)c-
zeiclme ich mit und die Zeit, innerlialb deren der Himmt lsköijtcr sich vom
ersten nach dein späterpn Orte bewegt, mit /. Nun ist klar, diisi, weuu cixi ge-
näherter Werth ii-geud einer der Grössen p, e, II bekannt wiid, auch die
beiden übrigen daran» neb bestinm^ lassen, imd sodann die der Bewegung
vom ersten nach dem aweiten Orte entsprechende Zeit mittdst der im ersten
Absdmitte erklärten Methoden. Wenn diese Z»t mit der angenommenen
Zeit t ilbereinstünmt, so ist dann sc-hon der vorausgesetzte Werth von />, e
oder Ii der wahre Werth, und die ganze Bahn schon gefunden« Ist diese
üebei'cinstinimnng nicht vorlmnden, so wii-d die mit einem anderen, vom ei'Sten
wenig vcrschicdcupn Wertlie wiederholte Hcchntnig zci;^'cn, eine wie i^-msst? Ver-
ändermjg iii dem Werthe der Zeit einer genügen Aeuderiini; in dein W erthe
von e, II entspricht, woraus man durcii einfache Interpuhitiuu einen ver- (UO)
beasoien Wotli ermittdt. Bei der hienmt von Neuem wiederholten Beebnoi^
wird man entweder eine mit der Voraussetsung viSUig abereinstimmende, oder
eine nnr so wenig davon verschiedoie Zmt erhalt^ dass man mit neuen Ver-
besserungen die Uebcreinslimmmig so genau machen kann, als es nur die
logarithmischen und trigonometiiaeben Tafiün sulassen.

Die Au^be wird also darauf aurUckgef Uhrt, dass man sogt, me fUr
den Fall, wo die Bahn noch vollständig unbekannt ist, ein wenigstens genKherler

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110

Entet Bnd. Dritter AbMbnitl.

Werth einer der Grölsmn «, H sich finden läast Ich will jetzt eine
Methode abhandeln, wodincfa der Werth von p mit ae groMer Sdärfe
enmttelt wird^ daas er wenagateos für kleine Werthe Ton J keiner Ver^

bcsseruiig mehr bedm-f, und dass so durch die er«to I n i Tie ganze
Bahn schon mit der Genauigkeit, welclie die gewöhnlichen Tatehi erlaul>en,
bestiTTiint wird. Man wird aln r st liuerlich in einem anderen Falle auf diese
Metbode zu reemriren brauclieii, als vvtrnii massige Weitlio Ijc.^itzt, da die
Bcfitimmung einer noch gainzlich unbekannten Baiui wegen der äusserüt
iutricaten Gompliealion des Flroblenis kaum anders als aus Beobachtungen
untemomm^ werden mag, die nicht zu sehr von einander entfernt sind, oder
vielmdor ans solchen Beobaditnngen, denen keine 01 starke heliocentrische
Bewegung entspricht.

86.

Bezei<duiet man den der wahren AnomaEe v — IT entsprechenden nnhe-
slimmten oder TerSnderlichen Badins Veefaur mit ^, so iat iKe FISche des yon

dem Hünmebktfrper innerhalb der Zeit t beschriebenen Becton — ijip^^dy,

wobei die» Integra] von v = N bis zu v = N' ausgedehnt ist, und somit

kt\/p = J(fQdv (wo k in der Bezeichnung des Art 6 genommen wird).

Durch die von Cotes entwickelten Fonneln ist bereits bekannt, daas, wenn
<f x irgend eine Function von x ausdrückt, man einen beständig mehr genäher-
ten Werth des (zwischen den Grenzen x = u und x = u-\-J genoouueneu)

bt^rak j^x.dx erhält durch die Formdn

^^(yii+3y(tt+4>^+39(tt+|^+y(»+^) etc.

FUr unseren Zweck teioht ea aus, hei den beiden ersten Formeln stehen
SU bleiben.

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RdatioiMK swiidMii »«ImB Orten in d«r Halm. |1X
Vermittelst der ersten Formel liabeii wir bd nnsracr Au%abe J^^dv —

j-^if^-^y^ = wenn man = taug (45* + «»} aetzt. Ein erster gc-

nXlierter Werth fttr Yp irird deehalb wem = j^^^g^ , den ich 3a «etee.

Durch die zweite Formel erhült man genauer (91)

wobei B denjenigen Radius Vector bezeiclinet, welcher der in der Mitte liegenden
Anojnalie j ^ — 77 entspriclif. Wenn man nun p diireh r, R, r\ N-^^J^
nach Anleitung der Foi-mel des Art. 82 auüdriiukt, so fulgt:

p = — j- — Y — , und hinaus

C08 j J _ 1 /" ' 1\ 28in|^ cosf.> 2^&a.\dl*

Ti iVr "^7/ p y(rr'coa2m} p *

tietzt man daher

2»in^ J'V (rr'co82" ) ^ wild S coa^ J \t {>■ t' uondo})

cot« — I $0 /, * \ *

coswil )

woraus man den aweiten genäherten Werth von }/p erhlUt:

wobei ''^"(^~^~~~~~^ — * gesetzt ist. Sclu'eibt uiuii dehhaib .t tür yp, so

wird jr durch die Gldchung {x — a) (1 — e bestimmt, welche, gehörig

entwickelt, bis xnm fünften Grade steigen wUrde. Setst man jr g-l-^, so

dann q ein genäliertcr Werth yon ist, und fi eine selu* kleine GkSsse, deren
Quadrate und höhere Potenzen yemachlüssigt werden kfinnen^ so entsteht aus
dieser Substitution

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112 Entn Bacb. Dritter AlweiiBitt.

BfA unserer Aufgabe haben wir berate eineti genäherten Werth fttr
nümlich = 3 a, der, in die vorangehende Formel fUr q eingeschaltet, den ver-
besserten Werth liefert

Setzt man daher 2iaa^^^' (r^y.<i<r *"* nimmt die Formel folgende

i«2) Ge«tRlt an: .i = — •> '""^ -^"*J'''<""g der Autjgabe nothweu-

digra Operationen sind in nachstehenden fünf Formeln enthalten:
L « tang(45*H-«»)

II.

III V(rr'co92<a} _ »

27 cid cos <u '

man eUvas von der fleiiniiiirkeit dir-n J'i.inu-ln opteni. so liisseu
^i« ii iiocli ciufaclierc Ausdriirk«' i'Mtwiekeln. — W enn man nämlich cosü* und
CU.S 2 to — 1 macht und den W erth vi>n \ }> in eine nach den Potenzen von ^
fortschreitende Reihe entwickelt, so folgt, unter Vemachl&^igimg der vierten
und höheren Poteozen,

Jrr

wo J in Theilen des Radius auszudrücken i^t. 31aclit man deshalb
yp\ 80 erhält man:

VI. p^p'(l-iJJ+Jl^-).

Entvvi« kt'lt mau auf älmliehe W eifie yp in eine imch deji Püteuzen von !<in^
fortücln-eiteudc Keihe und «etat dabei — jj — = yp so entsteht:

BalatioaaB cwfaebm mefarm Orten iit der Bahn.

118

VU. yp^{i^^j^^)yp'; oder

vm.

Die Foimeln VII tmd VUI kounnen mit denen ttberem, welche Ealer in

tt7%tOr{a moiiti plantldrinn et cometarwn" abgelumdelt hat, die Fonuel VI
aber mit der in „Recherchen et calads ntr la vraie Orbke eüqiHqw de la
eomüe de llßS^ p, 80** gegebenen.

87.

Naebfolgende Bdqnele werden den Qebnuich der obigen Vorscbriftoi
erlKatem und es iSsst rieh daraas zugleich der €rnid der Genauigkeit Bcfatttsen.

I. Es sei logr 0,3307640, logr = 0,3222239, J ^ 7* 34' 63*73 m
i«27293''73, 21,933 91 Tage. Hieraus findet sich 38'47''90 and

die weitere Bechnnng steht dann so:

logJ 4,4360629

logrr' 0,662 9379

C.logS* 5,972 8722

C.logf 8,658 8840

C. logcog2ai 0,000 0840

loga 9,7208910

log 2 0,3010300

2 log cos ^ 9,993 0976

2 logcoB 2 w 9,999 8320

C. log(l —3/3) ... . 0,000 8103

2C.logoosco 0,0000420

hgr 0,2998119

y = 1,1)0-1 3982
21/9« 0,0130439.

Dieser Werdi für logp weicht vom wahren kanm um eme Einhrit in der

siebenten Stelle ab. Die Formel Vi giebt in diesem Beispiele log p = 0,3954822,
Formel VII Ucfeit 0,395 4780; ans Fonnel VIU endüch folgt 0,3964754.

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flogr r'cos 2 0». . . . 0,826 4519
2lqgsini^ 7,0389972

log^ 8,869 6662

C.log«« 0,558 2180

ClogeoBO? 0.000 0210

log/? 6,793 8543

ß = 0,0006213757

l + y+21<^ - 3,0074471

log 0,4781980

loga 9,7208910

Clog (14-6/8).... 9,998 6628

logV> 0,197 7418

logj» 0,3964836

114

Erat« Bncb. Dritter Abccluiitt.

II. Eb sei logr = 0,4282792, logr = 0,406208», ^ » 62' 66' ir64,
269,88477 Tage. Thman wird eriialten o»— 1*27' 20'14, loga=9,748 2848,
ß — 0,0458 5216, r = 127} log V> 0,219 8027, ]ogp = 0,489 6064,
ein Werth, der tun 187 Ehalieiten der .siebenten Decimale kleiner als der richtige
Ist. Denn der wahre Werth in diesem Px ispiclt,' ist 0,439 6237; aus Formel VI
findet sich 0,43ö8730; aus VII 0,415 1»S24, ans Vlll 0.4051103. liier sind
die beiden letzten W'erthe von dtjju wahren so »ehr verschieden, das8 sie
nielit einmal die Stelle einer AunUliening vertreten können.

88.

Die AuseiiiAiidefaetaEiing der zweiten Methode wird uns Gelegenheit

zur DhiIi^uiil; liiicr Menge neaer und eleganter Kelaiionen darbieten, und da
dtcMelbcu bei den verseliiedenen Arten der Kegelsciuutte verschiedene Ge-
stalten annehuien, so will ich das JiÜDaelne getrennt von anander behandeln
und mit der Kllip.se be*jinuen.
(94) mögen zweien Orten die wuhi'en Anomalien r, r' eiir.s])ri'rhen

(wobei V die der Zeit nach vorangehende ist), die exceutrischeu .<Vnonialieü
seien E und E'^ die lUidien Vectoren r, r'; fem«* ko. p der halbe Parameter,
e SS an.^ die Excentricitilt, a die halbe grosse Axe, t die Zeit, innerhalb deren
die Bewegung vom eatea mm zwdten Orte vor sieh geht. Endlidi setae ich

v'— v = 2/, v -^v=2F,E'~E^2ff, E'-\-E=2G, acosy = ? - = 6.

Daun werden ans Conibination der Fonneln V und Vi Art. ö leicht folgende
Gldchungen abgelötet:

[1] Äsin^r — sin/, l/rr^

[2] 6siii6? = 8inF. yr/

peoK^ = ((■os^yco.s{y'.{l + c)-|-sin jüsinyt' . (1 — c))^''''', oder

[3j pco.^^ = (cos/-r-c cos F)V^ und ebenso
[4] p cos fr = (cos F-{- e cos /) \ ^ r r .
Aus Combinatiou der Gleichungen [3] und [4] entsteht femer
[5] cos/. yvT = {coag — ecosi G)a
[6] eosi*'. yrr = (cosGf — eco&g)a.

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Udatiouea swiicben mehrea Orten ia der Btfan.

115

Duxdi Formel III Art. 8 exMk man

[7] r' — r « 2 aesmgainG
r'+r a= 2a — 2aeo(»^cos6r sas 2a8in^*4- 2 cos/cos^ j/rr,

(81 a - '+'-*S;fpy^ .

Setst man

1101 a = gtf4-w°i9')c««/|/rf^

tind J/o = -j. V (2 -|- CO« / V »• ) ^ obere, oder untere Zeichen ge-

nommen werden muM, je nachdem ting poeitiT oder n^tiy ist
Die Formel XII Art 8 liefert uns die Qleichimg
-F— ««in Ä — ^-f «Bin E= 2ff—2emngcwG= 2g— 2jr+ 2 «w/nn^

6ab»tituirt man fiir a iu diese Gleichung seiueu Werth aas [lOJ und setzt der
Kurze wegen

flo erhalt man nach den gehörigen Bednetionen

[12] ±m = (/+Hinlif')* + (/+8ini<;')*(l^^':-^),

wo f Ur m das obere oder nntere Zeichen gilt, je nachdem ainj^ positiv oder
nc^dv kt.

Wenn die lifliorenfriscUe Bewegnmg /.wiscluti ISO" utkI 360* vor sich
geht, oder, allgemeiner gesprochen, wenn eo»/ negativ ii^t, so würde die GröHse
m imaginär berauskummcu, falls sie durch Formel [11] bestimmt wii-d, und l
wOrde negativ werden* Um dies zu vermeiden, nehme ich in Lesern Falle
«tatt der Gleidiongen [9] und [11} nachitdiende

lö'

IIB BniM Buch. Dritter Abadmitt

*'(— CO« /)'(rr )'

woratua man statt [10] und [12] folgende erhttit:

\ Hill ^ /

wo das zweitelhattc ZeicUcu ebauso wie vorher cntschicdeD wird.

89.

Er liegt uns jetat ein doppeltes Geschäft ob:

1) nun der ti-an.seendenCen, eine direetc Autlösung nicht znlaBsenden
Gleiehung [12] die unbekannte Grösse g so bequem als ni(%lich

y.n l>f>stininirn :

2) au.s dein gei'undenen Winkel g die Elemente seihst aW.uleitfii.
iBevor wii- Uezu sclireiten, wollen wir euie gewisse Umgestaltung angeben, mit-
telst deren die fierecbumig der HttlftgrSsse l oder L sehneller bewei^telligt
wird, und Überdies mehre später za entirickelnde Pormeln anf eine elegantere
Gestalt «irttck^Uhrt werden.

*

Indem man nämlich den, durch die Formel K-j^ = t8iig(4A*'|-«o)
za bestimmenden Halftwinkel to einfuhrt, wird

(96) ylL^y/, = 24-(tmig(45" + w)— cotaug(45" + <ü)y = 2 + 4tang2t«';
woraus uum erhält:

cw/ ' CO»/ * cos/ cos/

90.

Ich betrachte zncrst den Jjall, wo aus AuflfJsung der Gleiehung [12]

ein nicht au grosser Werth von y »ich ergiebt, so dass man

in eine, nach den Potenzen von sin 7^ ibrtsehreitende Reihe entwickeln kann.
Der Zähler dieses Ausdrucks, den ich mit X iieaeiclme, wird

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R«lationeo iwiMk«ii mehna Oiten ia der Bahn. 117

= x«inT/— yslni/— ete.

Der Nenner aber

» Ssini^*— 128mijr*+ 8aii^^'+ etc.
Dedudb nimmt X die Form an:

| + f8mi<7*4-fT8mi-5r*+ etc.
Um nun das ( Jcsttz der FrogFe&siou der Coetticienteu zu tindcn, dittcicuuiie
ich die Gleichung

Znn^ 2g — sin 2^,

woiraae hervotgeht:

Betzt man terner
80 wird

und daher
mitlim

dX_ 8— 6A:co8g 4— 3A(1 — 2a;j
d« "~ rin^* 29[l—x) ^

(2«— 2<rir)-^ = 4— (3— 6«)X

Hetzt man uko:

i(l4-«x4-/ijr^-f yar' + Ja;'+ etc.),

«0 folgt die GleichimgT

^{az -{-{2ß—a)xx {3y—2ß)x' + (4^ — 3'/)x' + c t.-.) = (ß — 4.a)x
4- ( 8 o — 4 /?) X X 4- (8 — 4 X j -c ^ 4- ( 8 y — 4 1) j * + et c ^
welche identisch sein muss. Hieraus bekouune ich

«-f,/*=f«, = etc.,

wo das Gesets der Progrewion klar ist. Man hst daher

V , , 4.6 ,4.6.8 , 4 .6 . 8. 10 , , 4. 6 , X 10 . 18 4 , .
^= ^ + 375 •»•+3 ;5-7^-'-'+ 3-67779- + 37ö 7 U + CtC.

Diese Beiüe lässt sich in folgenden contiuuu-ten Bruch umfurmeu; (<J7)

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118

Erstes Buch. Dritter Abschnitt.

l — lx_

, 5.8

1.4

11.18'

1 3 6

13. 15 *

9. 12

W.lt

1— »tc

Das Geae^ nach welchem die CSoeffidenten -l« — b!?« ».n

Bchmten, iit Uar, denn Am n** Glied dieser Reihe wird, >vcnn n gerade

. ^ n — 3.« j . ^ w4-2.fi-}-5 ^

ist = Ii — i—r~ii ~i~u^ wenn n luurerade ist = n — — ■ Lfi^ weitere bnt-

2n-\-l.2n-j-d ^ 2n-\- 1 ,2h-\-o

Wickelung diese« Gegenstandes*) würde uns zu weit von unaerem Zwecke ent-
fernen. Setzt mau nun

- ft.8

1— etc. *

80 wird A' = s^— — j.^, und f = a- — f +ü v»

Der Ztfüer dieaca Amdmdca irt dne GrSMe von der nebenten Ordnung, der
Nenner von der dritten und daher i von der vierten, wenn nSmlioh ^ als GrSaae
der ersten, oder x als von der swditein Ordnung betrachtet wird. Hieran«
iilBSt »ich sdiliessen, dass diese Formel zur genauen numerischen Bereclinimg

von f niclit zwockiiijissig ist, sobald g keinen sehr betrUcbtlichm "Winktl aus-
druckt. Dann aber werden zu diesem Zwecke die nacht'olgcudcn Foi-mvln

m

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Ralitionea ziriicli«ii mdireD Orltti ia der Balm.

119

bequem benutzt, die von einander durch die vcrttiuschte Orduimg der
Zähler bd den gebrochenen Coefficienten verschieden sind, und deren entere
«08 diem «ugenoimDenen Werdie für x — t noachwer axh herleiten Ittwt. (Die
Ablätimg der Zwmten seist eimge weniger nahe hegende Umfonttongen vor-
«18, die ieh bei anderer Gdegenhdt erldttren wiU.)

1 — — — <B
" 14S

1 '8

, 108

1— etc.

oder I»

t

»5*

* 86* c;5'

4U

« 18

1 — X

I9i

1— etc.

In der dritten, diesem Werke anirch'hiijtcii Tafel fiiulet man für alle Werthe
von X = 0 bis x ~ 0,3 (naeU cinzcliu ii rausciidtheiien^ die entsprechenden
Wertlie von I in siebenstelligen Decimalen berct-lmet. Diese Tafel zeigt auf
den ersten Blick die Kleinheit von f bei massigen Wertheu fUr g. 7i. B. für
E'^E'^ 10', oder ^ = 5% wo « ■= 0,00196, wird ff — 0,0000002. Es wttrde
ttberflttaaig aein, diese Tstfel noch weiter forizuselzen, da dan Grenxwerthe
9 = 0,3 ein ^«66*26', oder JS*— — 132* 50^ anispricbt Uebrigens soll
die dritte Colnnine der Tafel, welche (ru ji tiigcn Werthe von I, dte den n^;ati-
ven Werdien von x entqwedien, enthält, weiter unten eiklSrt werden.

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120 £r«t«« Buch. Dritter Abschnitt.

91.

Die Gleichung [12], bei welcher in dem hier behandelten Falle offen-
bar das obere Zeichen gilt, erhält durch Einführung der Grösse | fol-
gende Gestalt:

SebEt man nüdiin l/(/+ar) » — , und

f'^l "Y^i^f ^ gehöiigeu Reductionen

Kann diilicr h als eine bekannte Grösse angesehen ^vcrdeii, m> \\-ird darma
y mittelst einer cubischen Gleichung besdnunt und es wird dann sein

m J16] x^-^—l

Wenn nun A auch die noeh unbekannte GrSaw $ m dcli schliewt, so darf

man doch letsstere bei der ersten AnuHberung vemacMIXssij^ und

A annelanen, weil wenigstens in dem hier abgehandelten Falle | Bteta eine sehr
kleine Qrttee lat Hieraus leitet man durch die Gldchnngcn [15] und [16] ^ und
X ab, und aus x erUllt man durch Tafel III das ^, mit dessen Httlfe die
Formel [14] emen verbesserten Werth fUr h liniert, womit die iriederholte

Beclmung verbesserte Werthe flir x und y giebt. GemeinigHch weichen diese
so wenig von den vorhergehenden Werthen ab, dass, wenn I von Neuem aus
der Tafel III genommen wird, es nicht vom ersten Werthe verschieden
ißt. Andernfalls mnm man die liecliniuig abermals wiidLiliolen, bis sie weiter
keine .i\.enderung zu ert'ahreu hat. Sobald die Grösse x gefunden i»t, erlüUt
man ff dnrdi die F<nmel Bin-|-jr' ^ x.

Diese Vorsehriften besiehen sich auf den ersten Fall, wo cos/ positiv

ist. Im andern Falle, wo cos/ negativ, setat man — r) *= -y and

U^*] = i/) wodurch die Gleichung (12'] nach gehöriger

Beduction Übergeht in:

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BaMoMB wm k e ki n —Ii im Oitan n dar Bkha.

121

[16*] ir-

Durch diese cubiache Gleichung kaxm man Y aus IT bwlainmen und darau«
nieder x durch die Gldcbmig

116 •] x^L^^YY'

Bei der entan AnnSbennig wird fttr JST der WerUi genommen. Mit

Air mittelst der Gleichungen [15*] und [lU ] abgeleiteten
Wflrdie wird 1 ans der drittoi Tafel genommen. Hieran» erbMlt man dnrdi
Fonnet [14*] dnen v et b e me rten Werth von mit dem man die ReoLnung in
derselben Weise wiederholt. Endlich wild ans « der Winkel $ in denelben
Weise bestimmt wie im ersten Falle*

Wiewohl die Gleichungen [15] and [16*] in gewissen Fällen iln^'i reelle
Worzeha haben k^innen, m wird ca doch niemals zwcifeUiaü sein, welche man
in itnserer Aufgabe wählen miiss. Dcim da A ofl'enbar eine positive OiTis!?o
ist, so lUs«t i«icb an« der Theorie ckr ( ileichunsreTi leirliT st liÜesaen, dass dii-
Glciehuug [15] eine einzige pogJtivc \\ urzel Lalie, entwider iu l).-t xwei iuiagiiiärt-n

oder nebst awei nej^tiven. Da nun y = y ^/^.^ , nothw Liuli^f eine positive Grijese (100)

sein rouss, so sieht man, dasa hier keine Ungewissheit bleibt. — Was aber die
Glcirlnmg fl5*] betrifft, so bemerke ieh zncr«t. tlass L nothwendig ^öRser als
Ein» ist, wie sich leicht erweisen liwst, weuu die in Art. 89 gegebene (vieicliung

unter die Form L = \ -f- 4- ^f^ ^ gebracht wird. — öetzt man femer

in der Gleiehnng [U*] ¥V{L—x) statt AT, so erhält man F+l — {L—x)2i
and daher r+l>(l_«)jr>| +-i-a?+5i^a:«+S^5iy?sa;'+eto.>f , mid
folglich T'>^« Setzt man also Y = ~ Y\ so ist nothwendig Y' eine
positive Orfiäse, die Gleichung |15*) aber gebt sodann in folgende Uber:
r"4-2}' } -f ri--77')r'+/,— |fl^=0, v.m .kr «ich der Theorie der
Gleichungen leicht sseigen lässt, dass sie mehre positive Wurzeln nicht haben

122

Entes Bueh. Dritter AUohnitt.

kGnne. Daraus geht ticrvorf dass Gletchung [15 *J eine eimige Wunel hut,
die grüfner als \ ist (wenn man wenigstens annimmt, das» die Aufgabe in
der That aufltfsbar sein soll) imd die man unter Verwerfung der Übrigen in
unserer Aufgabe annebmen muss.

93*

Um die Auflösung der Gleichung [16] fttr die in der Phixia am
hitufigstctt vorkommenden Fälle so bequem als möglich m machen, füge ich

im Anhange eine besondere Tafel (Tafel II) hei, welche die, den Wertben
von h = {) \m h = 0,0 tiitspiechenden lingarithmen von yy mit der grössten
Sorjrlult siebenstellig bereehnet lieiert. Djis AigmiifTit /' s^wischen 0 und 0.04
schreitet vor in einze!ni>!i Zelintnusendtlieücn, wnfbncli >\\v zweiten DiftVn'ii/cu
v»>n log yy verschw imltmi gcniaeht ^ind, da«« weiiig.sien.s in diesem i lu ile
der Trttcl die eintacLo Interpolation genügt. Da aber die Tafel, wenn sie
allenthalben von diesa- Ausdebmmg hatte sein solloi, sehr nmftngreicb geworden
sein wtfrde, so musste sie von h =^ 0,04 an bis eum Sclüusse nur dmreh die
einzelnen Tausendtheile fortschreiten. In diesem zweiten Thetle muss daher
Rücksicht auf die swoitun Dit^'erenzen genommen werden, wenn man wemgstens
Irrthilmor von einigen Einheiten in der siebenten Stelle vermeiden will.
Uebrigens sind die kleineren Werthe von h in der Praxis bei Weitem die
liÄutigstcn.

Die Anflosniig der Cjkiciuuigen [15] nud |15*] kann, wenn h die Grenze
der Tutel ül)cisi:ln-eitct, unschwer durch ciiic indirecte ilethode oder durch
andere hinlänglich bekannte Metboden gescheiien. Debrigcns ist noeh m
bemerken, dass ein kleiner Werth von g mit einem negativen Werthe für
co»f nur bei sehr excentrischen Bahnen bestehen kann, wie aus der unten
in Art. 95 zu behandelnden Gleiehtmg [20] hervoigeben wird. (Jene
Gleichung zeigt, dass, wctm eos/ negativ ist, 9 wenigst«» grosser sein müsse,
als 90*— ^r.)

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RvlNtioneii iwiwbm »elirai Ort«« ia der Didin.

123

Die in den Art. 91, 92, 93 erklärte Beliandluiig der Gleichangou j 1 2J
und [12*] stutzt «ich nuf die Vomuasetzung, dass der Winkel ff nielit gar zu
gross ist, wenigstens innerhalb der Grenze 66*25', Uber welche hinaus die
Tafel III nicht ausgedehnt ist So oft diese Voraussetzung keine Statt findet,
so bedürfen jene GU'i<'lmn<fen nicht jtaier Kunstgriflte, sondern sie künncn dann
in unveründerter Gestalt sicher und bequem stets dorcb Vn.'iuclic

aafgelSst werdoi. Sicher nSmlich, weil der Werth des Ansdi-ucks ^^T"^i^^

(wöbet 2g in Theilen des Radius auszudrfickai) fflr grttesere Werthe von ff
mit aller Schärfe dui'ch die trigonometrischen Tafeln sich berechnen lässt,

wa.-< k< ineswegs gcsdu lien kann, so lange ff ein kleiner Winkel ist; l)e(|neni,
weil lieliüeentri.selie Orte, die inii einen 80 grossen Zwiselienrauni von einander
abstellen, >:« Imcrlit Ii früinls zur Hestininmng einer nt»eh gän/.Iicli nnltelcriimtni lijilin
benutzt %vi )<Kii. Mild wti] liei irirrinl rimr Kcnnttiiss der Balm ein -riiiiln i ter
Werth vun v la.st olnie Mühe luitlel^t der (Meiehun^^ [1] oder jö| de.s Alt. HS
.sich ergicbt. Eudlicli wird ans einem genäiicrteii Werthe von <j ciu ver-
besserter, der GIeichun<r (12] oder [12'] mit aller wünschenswerthen Schärfe
genUgender Werth stets durch woiige Versuche gefunden. Falls Übrigens
die beiden angenommenen helioccntrischen Orte mehr als eine ganze Revolution
umfassen, so ninss man bedenken, djiss von der exeentri-i In ii Anomalie ebenso
viele ganze lievolutionen vollendet .sind, so da^s du Winkel E' — ßy v — V
entwoder beide zwisi lum 0 und 3(50' liegen, oder beide /ui-cben Ulmliehen
\ ieltaehen der ganzen l'ei i]>!H'ri(', und dalicr /" nnd 7 entweder zuirleirh inner-
ball) 0 und 180", oder /.uiselieu iihnlielieu X'teilaelien der liallieii reriplierie. —
AVenn es endlich bei cmer noi-h gänzlich imbekannten liaiai selbst ungewiss
sein sollte, ob der Hinunelsköi-per während des Ueb^gunges vom ersten
Radius Vector ziun «weiten nur einen Theil sdnes [Tmlaufs, oder Uber dne
ganze oder mehre Bevolutionen hinans bescbiieboi hStte, so wtbrde unsere
Au%abe niemals mehre ver.'fohiedcne Auflfirangen 2iila.s.sen. Da inzwischen
dieser Fall in der Praxis kaum je eintreten mag, so halte ich mich nicht
weiter bei ihm auf.

IG*

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124 Erstes Uucfa. Untter AlMchnitt.

96.

Ich gehe zu dem zweiten (icschäft (Iber, nämlich zur Bestimmung der
BahnclemcTite aus dem getundenen Winkel g. Die halbe grosse Axe erhält
man hier sugieiclt uu» den Formeln [lOj und [10 *J, statt deren man auch die
folgoideti «nwenden Icatm:

1171 - 2 mm coa/V>r' kk H

(102) Die Iialbc kleine Axe 6 ^ ] tp findet rieh aus Qlddnuig [l]« w«lcbC| mit den
vorhergehenden combinirt, giebt;

(181 P-i-^^-^^-)'.

Jetst wird der zwuchen den beiden Badien Vectoren and dem elliptischen
Bogen enthHltene elliptische Sector = \ f^tVPf das Drneek aber zirischen den-
selben Radien Vectoren und der Chorde = frr «in 2/. Das Verhältnis^ des
Sectors zum Dreieck ist daher wie oder wie Y:l. IVrsc Bemerkung i«t
Äusserst wichtig und erläutert zugleich in schöner Weise die Gleichungen [12]

und [12 *J. Denn hieraus ist klar, das» in der Gldchong [12] die Theile m,

X{l-\-x}\ in der Gleichung [12 aber die Theile M, (1— a-)*, A''/.— x)*
beziehungsweise proportional sind der Sectorflüche (zwischen den liadien
V'^ectoren niid dem elliptischen Bogcn\ dor DreiorkstlUche (zwischen den
Radien \ ectureu und der Cliordc), der Seguicntihtciie (zwischen dem Bogen
und der Chorde), weähtUb offenbar die erste Fläche gleich ist entweder der
Summe oder der IM£Gerenz der beiden übrigen, je nachdem entweder v — v
«wischen 0 und 160% oder zwischen 180* tmd 860* li^ In dem Falle, wo
v' — V gtitBser als 360*, muss dkt ßectoifläche nnd die B^;mentffitehe als eine
solche betiachtet werden, der die Fläche der gtmzen EUipse ebenso oft hinzii-
gefUgt ist, als jene Bewegung ganse Umläule enthält.

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OltaB » d«r Btbn. 125

Da b ~ acoHif ist, so tolgt aus Combinatiuu der Gleicliungen [1],
[10], [10'] ferner;

fl91 coa«> = °"g*^»g/
woraus, wenn man für /, L ihre Werthe aus Art, 89 eiuscbaltet, entsteht:

(9Al ««liM sin/aing

120] CM4> - i-eo»/oo,y+2t«.g8.>"

IKese Formel ist zur genauen Beredmung der Exceatriicifiit) wenn letztere mät>sig
ist, mcht geeignet. Man kann daraus aber Iddit folgende, baesca passendere
ableiten:

der man auch (dnrcli Mnltiplication des Zählers und Nenners mit cos 2 tu ^)
folgende GcsUill geben kiiuu:

1221 tomr'tü' ^ 8in^(/-g)»4-co8^(/-g)»siD2w»
IJ^J tangfV) =- ria|(/+,)*^-co«i(/^,,)««b8-» '

Ans beiden Formdn kaim man dm Winkel nut aller SdiÜrfe bestbinien (wenn (loS)
man will durcli EinftUming von Hlil&winkdn, deren Tangenten g^J^^l^ ,

JiOr+y) flir die erste, oder ta^iCZ+yl '^^'^

Zar Bestunmnng des Winkels G IXsst nch nadisteliende Fonnd branchen,
die von sdbst ans Combinadon der Qldcliungen [6], (7] und der darauf
folgenden (nicht numertrten) sich ergiebt:

aus der, durch Einführung von u>, leicht sieh ableiten lässt:

t^4j tang ür — ^9„.^^(^_^)^^f^^^^,|„2»'cM^*

Die hier nulickbleibende Zweideutigkeit wird mit Hulfe der Gkiehnng [7]
entschieden, weldie lehrt, dass G innerhalb 0 und 160*, oder innerhalb 180*
und 360* genommen werden muss, je nachdem der ZShler in diesen beiden
Formeln positiv oder n^tiy ist.

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126

£ntM Bach. Dritter AtMchnitt.

Combinirt man die Oleicbtuig [3] mit denen, welche aofbrt aus der GleiehuQg II
Art. 8 folgen, nämlich

— T = — Sin / sm t

r r p

1,1 2 , 2e * »

6o rejiultiit duuiun <<linc Weiteres

[26] taug i - 2ca>gVr/-(>^+r)oo«/ ?
aus der, nach EinftlUrung des Winkels «», folgt:

(261 taiuri'' = Bin/Mn8w

Die Zweideutigkeit wird hier elienso wie vorher gehoben. — Nachdem die

Winlctl iiiitl G -rrüiiilen, erhält man r—F — ^'^-\-f, woraus ilie
Lage des Ferihela bekannt wird, und £=G — £' = G+g. Endlich ist

die mittlere Bew^;ung innerhalb der Zdt t = —i- s 2g — 2ecoBCrnnjrt wobei

die Uebcreiustiuuuuiig i>eider Ausdrücke zur Prüfung der litciuiuiig dient; die
Epoche der mittlem Anomalie aber, welche dem zwischen den beid»i Zeit-
annahiDien in der Mitte liegenden Zeitnn^enblicke entspricht, ist 6 — esin<rcofty,
die nach Beliebm auch auf irgend eine andere Zeit übertragen werden kann.
Noch etwas bequemer ist es, die mittleren /Vnonuüien fUr die beiden gegebenen
(104) Zeitpunkte durch die Formeln E — esmE^ E' — «sinf su berechnen und
deren Differena im V^gleiche mit zur IVOfung der Bechnung au benutzen.

96.

Die Gleichungen dos Torbergebenden Artikels besitzen zwar alle wUn-
Bchenswerthe ConeinnitKt, nidhtsdestoweniger aber lassen sich aus ihnen gewisse
andere FoniKlu abld.ten, durch welche die liahnelemente noch ele^iaiitLi- und
bequemer bestiumit werden. Inswischen ist die Entwiekelung dieser Formeln

wenifrer hek.'nitit. Idi minne «its Art. 8 die Iblgendoii r;K'ieliiing-en wieder
vor, die ich der Bequemlichkeit wcgeu durch neue ^i'uuuueru auszeiclmc:

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Rdatiaiiea zwüehm nwbreii Ortea m der Bahn. 127

I. sin ^ f V = ein I £1/(14-6)
IL om^v V-^ = cos f Ey{l — «)

IV. coa { v y-^ = cos I E' — e).

Mulriplieirt man T rlnrclt siu 7(^^-1-^), II durch «»^(F+^f), so erhält man
nach Additiou der l'roductc

eo»i(/+tf)K-5- « aini^«iiii(^-|-^)|/(l + e)+coBi£cofli(i'>j) «),
oder, da 1/(1+«) ^ coef y+aaf 1/(1 — «) = ooftj-y — nn-^^,

Auf ganz älmliche Art wird, wenn man lU diucU 8inj(i^ — IV durch
cosy(i^ — ff) mulriplieirt und die i^rodnrtf addirt,

Zieht matn von dieser Gleichung die Torheigeheude nb, ao entotdbt:

co8|(/+5r)(]/-^ V-^) = 2co8iysin-7sin|(^-Ö),

oder durch Einführung des Hiil&Mriukeis cu

[27] co»i(/+^)t«iig2« - gmf(F— <?)«»i9) «n^l!^^.

Durch ganz Khnliehe Umformungen, deren Entirickelimg ieh dem kundigen (100)
Leeer ttberlane, findet eich

128] "'"^^y = C03I {F-G)co,^<pBm3i'^

[29] ct»Hf—g)uutg2u»=^imUF-^G)dn^VtbxffV^^

Da die ersteo Seiten in dieaen vier Gleichungen bekannte Grttnen «ind, ao
wird ans [27] nnd [28] i{F—€F} und ooBj^^sini^ = P, und aus [29] und

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128

Ente* Uoeb. Üritter AbschuiU.

[30] ebenso -^(F-^G) und sin ^ff siny V-^*' = Q bestimmt. Die Zweideutigkt'lt

bei Ik.stimiimng der Winkel -^{F — G), ^.(FJ^G) wird so entscliieden , dm»
t mid Q dasselbe Zeicben wie m\(j eriiiilit.ii. Aus 1' imd Q >vird sodann

\ if^ und sin^ V^""^ = ^ abgeleitet. Aua Ji läset sich a = ^^J^i *^ P =

.52^1^ bertämBen, wenn man meht lieber dieee QiCtte ledigtieb mr
Prlifung der Rechnung brauchen will. Diese GrtSno mos» dann werden

In dieaem Falle laaaen sich a und p aehr bequem durch folgende Formeln
finden:

b = ■ir^ ^ « > W = OCCNIi«P.

Es können aucli nach Belieben zur i'rüiuntr ilci' Rochnimfr mehre (Ikichiintren
der Art. 88 und 95 zu Hülfe genommen werden, welchen ich noch die tul-
gcnden beifüge:

— ^^g^ — = tangysmusui/ = tang^^tuu/' »my.

Die mittlere Bewegimg endlich und die Epoche der nutderen Anomalie werden
ebenao gefund^, wie im TOrlia:gehenden Artikel.

97.

Zur Erläutenmg der von Art. 88 an auaeinandergeBetotai Metbode wiU
idi die bdden Beispiele des Art. 87 wieder vomehmen, wobei ea kaum n9Üog
odtt wird, m bemerken, daas die biaher mit dem Hulfiminkd c» -verbundene
(106) Beseichnung nicht mit der vcnvechaelt werden darf, in welcher bei den
Art. 86 und 87 daaselbe Zeicben angenommen war.

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L lu dein ersten Beispiele haben wir 3" 47' 26 "865, und femer
log ^ = 9,9914599, log lang (46* + «») = 9,997 864976, c» — 8'27'006,
und daraus nach Art. 89

logein j/' 7,038 9972 logtang2ai' 5,383 •->4-2R

logOQg/.... 9, 9?>9 0488 logCQg/ 9,9ü'J 04^i

7,0ay9484 5,3841940

— log 0,001 096 3480 -= log 0,000 024 221 1
also I « 0,001 120 6691, i + ^ =^ 0,8344589; ferner miä logkt — 9,5766974

ilogkt 9,1535948

Oomp.-| logrr^.... 9,020 5151
Comp.log8oo</* 9,099 7636

logmm 7,27ß n7()5

, logi-j-l 9,921 4(>i'3

7.352 2742.

Kill genäherter Werth von /* ijit daher = 0,002 25047, dem in unserer Tafel II

der logyy =^ U,0U2 1633 entspriclit. Man hat also iog-"^ = 7,271 5132,

oder » 0,001868687, um» mich Fonnel [16J wird « « 0,0007480179.

Es bedürfen mitluii, da S nach Tafel III ttberii«q|»t munerklich ist, die gefiin-
deaen Werthc von h, x keiner VerbeMerang. Jetit TerhIÜt noh die
Rtimnuing der £letnentc so:
logx 6,873 9120

logsin \g 8,436 9560 , = 1' 34 2 0286, \ (/+ g) = 3" 27' 45 46 1 1,

\{f—g) 19' 41" 4039. Hau hat deshalb nach AnHtung der Formeln [27],
[28], [29] und [30]:

log tang 2 (o 7,691 6214n

logoMi (/+^) 9,9992065

log«» i {/-—S) 9f999 9929

log gj n i ( / '^.') . . . . 7 ,690 82 79 «
\o^Pcosi\ {F—G) .... 8,781 0240
\{F~G) = — 4*38'41"54
f(F4-g) =. 319 21 38 , 05
F = 314 42 56,51

SAU««, T^Mil* C B m i » 4. HiuaiaUk.

Comp. Iogcos2«i 0,0000062

]og«ini(/+^) 8,7810188

kgwn i if—g) 7,757 9709

logQ.sinH^'+^?) "•^•'^ 6143»

hygQco^^iF-^cr ....7,757 9761

logi^ = hgiicOA^tp . . S.7S3 4527
logQ ^ logÄ-sin } y .. 7,877 3355

= 7' 6'0"93ö
17

I

130

Eretei Buob. Dritter Abachnitt.

(107)

V tss

310*6ö'29''64

t/ ^

318 30 23,37

G =

324 0 19,51)

E =

320 52 15,53

327 8 23,65

Ooinp.]ognn<r<>" 1,202 \

f 1.9 8(1 5224

^^gP

U,39ö4ei37

3,5500066

0,6336584

2,9163482

4,207 4642.

9> B uMars?

\ogR 8,7857960

Zur i'rBftef 4ir Itecljnung

^ log 2 cos/ 0,150 0394

|log(iH-a:) = log ^. . 8,636 7Ö66
■ 8,7857960

logsiiH/^ 9,389 72C2

Iog206 2(j5 5,314 4251

luge in Hccunden 4,7041513

lojr.sin/i 9.800 0767«

logsiii/i" ü,734 4714/*

logeöiiiA 4,504 2280«

logesinJ?' 4,4386227 a

BtasiE — — 31932''14=s— 8*52'12"14
«sin IT = ^27455,08 — 7 37 35,08.

HienuiB die mittlere Anomalie
für den ersten Ort — 329" 44' 27 "67
für den zweiten Ort = 33 4 45 58 J 3
L'nterscbied = 5 1 31,06.

Die mittlere t;ip^li( hr- Ik-wegnng ist daher — 824"7989, and die mittlere Be-
wegung imierliaib der Zeit < = ISOdl 'O? 5* l'dl"07.

II. Im eweiten Beispiele ist / ^ 81*27' 38''32, w « — 2r50''565,

0,08635669, logmm « 9,3530661, ^"^^ oder der genitherte Werth

von Aa= 0,2451454; diesem entspricht in Tkfel II logy»/ 0,172 2663, wonras

— 0,151G34T7, a- = 0,065 27810, Licnnit aus Tafel III ^ geuuiuiuen

~ 0,000 2531. Unter Anwciulimg dicsics M'ertlies erhUlt man als verbcsaerte

Werthe für A = 0,2460779, 0,1722303, = 0,15164737, « =

0,065 29078 , i = 0,000 2532. Wicderliohc man die Bechnung abermals mit
diesem Werthe von I, der von dem frlllieren nur um eine Einlieit in der
siebeuten Decimale dilferirt, so würden A, logjry, x keine merklicUe Aende*

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1

Rolttkm«! zwischen mdhrai Orten Jn der Bahn. 131

rung erleiden, AvchljalL» der gcftiiulene Werth von x schon der wahri' ist,
und uiau dm au« sofort zur Bestitniniuig der Elein^te ▼orschreSteo kann, wobei
ich mich hier nidit aafhalte, da sich das Ver&hren in nichts von dem vorigen
Beispiele aDterseheidet.

III. Es wüd nicht iindicnlich sein, an« Ii den andern Fall, wo co.s /
negativ ist, mit einem Beispiele za erlRutem.

Es sei r — f = 224" O'O", .»dor / = 112" 0 0', lofrr r=-. 0,139 4802,
lüg/ = 0,397 8794, 206,809 19 Tugc Hieraus Hndet sioh w = -f 4 " 14'4a "7«, (108>
L = 1,8942298, log J/J/« 0,6724333, der erste geuidierte Werth von log ff
= 0,646 7€0S, worauB durch Auflotong der Gleichung [15*] erlialten wird
1,591432 and sodann 0,037037, dem in Tafel III ^««0,0000801
entspricht. Darans entstehen die verbesserten Werthe log Et = 0,646 7931,
y= 1,5915107, 0- = 0,037 2195, ^-= 0,000 0809. Die mit letzterem Werth«
von I wiederholte Keclinung gieht t = 0,037 2213, ein Wertli der, da § nun
unverändert bleibt, keiner Verbesserung weiter l.cdrn-f. Sodann findet sich
•j^ = 11" 7' 25' 40 und daraus ebenso wie im Beispiele I

}, (F— G) = 3 * 3 :r 53"59 log P = log /? cos y 9,9 70 0507

^ :F-\- G) ^ 8 2(j 6,38 log Q = log R sin j y 9,868 0652

F = 11 59 59,97 ^f/> =37"41'34'27

V = — 100 0 0,03 (f - 75 23 8.54

»' = + 123 59 59,97 logii 0,0717096

Q — 4 62 12,79 Zar Prüfung «ler Rechnung

E = — 17 22 38,01 log^^]/— 2eoH/ 0,071 7097.

^ = + 27 7 3,59.

In so excentrisrhen Bahnen 'wird der ^^'inkel (f et^^rls ufenauer aus
Fonncl [19*] bercehnet, welehe in unserem Beispiele ip gicbt = 75° 23' 8 '57;
auch wird die Exeentrioität e mit ^rV,?.>vvf*r Schärfe mittelst der Fonncl
1 — 2sin(45" — If/)', «1« durcli .siuf/) besiinnm ; nneli ilis- w ird ^ — 0,!Mj7 i;4(i;;0.
Durch Fonnel f 1 1 liudet sich Icnicr logi = 0,G57 ÜG 1 1 . diiraius ~ 0,0.'j;> .")9G7,

log« = 1,255 7i'ör>, und der Logaritlinius der l'cribeldiütanz = log-y-^-^- =

]oga(l— e) — log6tang(46'— = 9,7666496.

17«

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182

EntM Badi. 0iitter AliMiuitt.

In 80 Mbr ZOT Aehnliolikeit noA der Farob«t Innncigcnden Balmea
pflegt an Stelle der Epoche der roitlüerak Anomalie die Zeit des Durchganges
duFch das Perihel «ngc^ben za werden* Die Intervalle zwiaehai dieser Zeit
und den, den beiden angenonnnenen Orten entsprechenden Zeiten können aus
den bekannten Elementen durch die im Art. 41 gegebene Methode bestimmt
werden, dei'cn Difterenz oder 8umnic (je nat hdnii dfis Periliel ausserhalb oder
iiiiicrhalli der heidni p'c^'e'ieTiPn Orte liegt) zur PrliflUlg der Ren hniing dient,
da sie mit der Zeit t Ubereiustiumaeu mm«.

Uebrigens waren die Zahlen dieses dritten Beispiels auf die Elemente
in dem Beispiele der Art. 38 und 43 gestützt, und es hatte sogar jenes
lieispiel imseren ersten Ort geliefert. Die unbedeutenden Verschiedenheiten der
hier IicrattP^Tbrnrlitrn Klonu rite rühren lediglich aus der beschränkten Genauig-
keit der lugarithmischeu imd triguuomctriachen Tatein her.

(lOOj <J8.

Die Auflösui^ unserer füi die Ellipse in dem Vorstehenden entwickelten
Aufgabe, lässt i^u-h (nif die l*muLeI und Hyperbel ühf-rtriiLren. indem man die
Parabel als eine Ellipse betrachtet, in wolrlirr n xuid h miendlichc Frössen,
^ = 90", endlich 7t, K\ (j, G — 0 sein wiiidcii: und t lu nso die Hyptilirl als
eine Ellipse in der a negativ, und 6, E\ G, tf iniaginüre Grössen wären.
Ich will jedoch lidb« nneh dieser Voraussetzungen enthalten « und unsere
Aufgabe für beide Arten der K^lsehnitte gesondert behandeln. £Ke grosse
Analogie awiseben allen drei Artoi wird sich so von selbst ofiienbaren.

Bcliiik muu in der Parabel die Synibolc t\ v\ jP, r, /. t in
derselben Bczeiclmung bei, wurin uii' oben genommen sind, so bat man aus
der Theorie der parabolischen Bewcgiiug:

m v^, -cosi(f-/)

[2] V^7 = cosi(i^+/)

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Biolfttfonsn «wndiat nahna Orlen la der Bakm.

138

^ = taiigi(F+/)-taiigi(F-/)+itaiigf (F+/)'-itai«i(i'-^/)'

• = {tangi(i'>/)-tanjrl(f^-/)} . (l -f-tang|(F4-/)Uiiigi(F-/)

+ l (tan^K^+/)-tangH'^-/))'}
2gin/]/rr' 1 2co8/l/rr' , 4»in/^r/l

[»1 *«- iT^r + • •

Feiner ^rird durch Multiplication der Gleiduingen [1] tmd [2] erhalten

und auH Additioit der Quadrate

Hieraxu, nach EUminatlon von ooeJ^,

r«-| 2rr'sin_f*

18 j j» = — q: ^, _ ^> ^, j y ^-p-*

Wenn man dalier dii' (ileichungcn [üj und [9*] de« Art. 88 auch hier annimmt,
die erste iür einen po.siliven, die zweite für einen negativen Wertli von cos J\
SO hat tatm

17 M p„ ein/'l/r/ (110,

nnd nach Eineehaltmig dieser Werdie in die Gleiehung [3] entsteht, unter Bei-
behaltmig der Bymbole m, Jlf in dra* durdi die Oleachangen [11], [11*] des
Art. 88 Üestgestellten Bezeichnung,

[8] m«^*+A/*

[8-] L*+AL*.

Diese Gleichungen kommen mit [12J, [12*] des Art. 88 Uberein, wenn dort
g=^0 gesetzt wird. Hieraus ergiebt sieh, dim, falls zwei heüocentrische Orte,
denen durch eine Parabel genttgt wird, so behandelt werden, als oh die Bahn
eine Ellipse wttre, es aus Anwendung der Vorschriften des Art. 91 n^ldch
icsttliiren muss, dass « = 0; umgekehrt sieht man Ideht, dass, wenn durch

134

Eiate» Blieb. Dritter AbMbnitt.

jene Vonchriftea ar s 0 sich crgiebt, die Bahn statt der Ellipse als Parabel
hcrvorkonmit, da durcli die Gleidiungen (IJ, (16), [17], [19], [20], 6 » «o, a « oo,
tp 3s 90* wird. Die BeBtiinimmg der Elemente erle^gt sich dann sehr Hebt Denn

fiii- p kann iiiüii onfwodor die Gleichung [7| des gejrenwärtlj^en Artikels, oder
die (tleielmn*^ di - Art. '.^'i jHnvetn: ti, (/ny:leieh geht daiaits lici vur, diiss
V, Y in der Parabel diesellien \ eriiiiiini.-ise aiLsdriiekon. wie in iler Klli|»>.e,
vergl. Art. 95.) Für F alter geben die (jleielinugen jlj und \2\ dirses Artikels:

tÄngj/'= I |^_|_| cotang /■= .sin2««cotaug^/, wenn der liill!^\vinkel in

<lerselben Bezeielmnng wie in Art. 89 genoininen wird. IJei dieser (jeiegenheit
bemerke ieb noeb, da.«.<, wenn !ii die Giuicbuug [3] statt p sein Werth aus [6J
gesetzt wird, daraus die bekannte Uleiclmng entsteht:

Auch in der Hyperbel belialte ich die Symbole Pj v, v\ /, F,

r, r', t in dei-selben Be/eielinung bei. für die halbe grome Axe, die hier
negativ ist, achi^ibe ich aber — a; die Excentricität e «etae ich gana wie

im Art. 21 ete. ^-^—^^ Die dort durch tt ausgedruckte HülfsgraBae aetse

ieh für den eisten Ort = , für den zweiten Ort = Cc, woraus man leielit

sebliesst, dass c ininier grösser ist Jil> l.ms. aber f»'f»Mis ]i;niliiis. \ on Ein.s
dcöto weniger vcrsehieden ist, je weniger <lic bei«len angenommenen Orte von
einander entfernt aind. Von den in Art 21 entwickelten Gleidumgen über-
trage ich die wehste und siebente in etwas yetanderter Gestalt hierher.

um

LI]

COS^t) =

12J

sin jV =

13]

CQB|-tr' =

m

sin ^ V =

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Raliitbiicii switehm aaiirm Orten in dn Balm. 135
womu sofort die Folgenden sieh «rgfeben:
[61 ünF=^ia(C^^)V-^

[6] *.m/ = i«(c--L)i/^-J_

[7] eoef = (e(c + 4-)-(C+-l))-^
[8] cos/=(e(C+-i}-(c+4-)).^.
Ferner wird durch die Oleicliung X des Art. 21:

und tueraiis

UO] -il±i- = A.(cr+4)(c+4-)^2.

Die Glöohuug [10] mit [8] combimi-t, giebt:

r'-{-r — (c-j — -)coa/. yrr
[U] .

Setet man daher ganz wie in der Ellipse

je nachdem co3 J" positiv oder negativ, so erhält mau

'-- ^^=17

-8 {L-{-±(ye-V^ y)con/,yrr'

tl2'l «- i

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136

Entac Bach. Dritter Abacboitt.

Die Bereehaimg; der Qiitese l oder L wird hier ebenso wie in der Ellipse ver^
mittekt des Holfswinkels ea «ngestellt. Es wird daher seUiesslich ans der
Gleichung XI des Art. 22 (bei Annahme hyperbolischer Logarithmen)

oder, wenn C mit Hülfe der Gleichung [8] eliiuinirt wird,

In diese Gleichung siibRtituirc ich für a seinen Werth aus [12], [12*], führe
dann das S>'mbol m oder M in derscllxti, ilim durch die Fonruln [11], [11*]
des Art. 88 angewieaeuen Bezeichnung ein, und schreibe endlich der
KUi'ze wegen

, ee ^ 4logc

w— v-f)'-' . ' 1^ — ^-

Dann entstehen die Gleicbongen:

[18] m = {l—z)^ + {l—z)*Z

[18*) Jf=_(Z+*)*+(li+*)^-Z;

welche nnr die duage nnbekanntB Grdsse z enthalten, da offenbar Z dne
Function yon s ist, die durch fi>lgende Fonnel atugedrttdct wird:

2^ (i+2«)Vf«+,ä>-ioe{V(»+«)-hV*)

2(s+i»»*

<113) 100.

Bd Auflösung der Gldehung [13] oder [13*] will ich aaerst den Fall
gesondert betrachten, wo s kdnen grossen Werth erreicht, so dass Z durdi
eine nach den Folenzai von z fortsdirdtende und schnell convergirende Beihe
neh ausdrucken läset; dann wird:

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Rdatioiieii swiMlnn ndir«!! Orten in dm Bdin. 137

und daher der ZsUer von Z s |a^-f-f . . der Nenner aber iviid

SS 2« -{-Sx also Z I — fi!*>* TJm das Gesetz der ProgressIoQ zu
finden, differentüre idi die Gleicluiiig

2(»+a)'z=(l + 2«)l/(»+»)— lag(V(l+«)+l/4
woraus nacb den gehörigen Beductionen folgt:

oder

(2*+2«)4|=4-(3+6«)Z,

M'Oraus durch vin iiliuli( hc« \'ert'ahren wie iin Art. 90 ahgcleitet wird

y 4 4.6, , 4.6.8 _ 4.6.8. 1Q _, , 4.6.8.10.13 .

Man sidit, das» Z gana in dersdben Weise von — z abhängt, wie oben in
der Ellipse X von aSj weshalb, wenn man setst:

auch C ebenso durch — 2, wie obeu S durcli x beatimiut wird, so da^ö
man hat:

t

[U]

85"

2 , 40

1 1 »0

oder

1+eto.

— 2 2
85

IS , 4

2

I 1 ^

143

1-1- ste.

18

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138 Entes Boeb. Dritter AbMhaitt.

Auf di^ Webe sind die Werdie von ^ fllr z = 0 bis 2 » 0,3 dordi die
einzeben TatumdtliMle berechnet, welche £e dritte Spalte der Tafel III
entbiat.*)

(114)

Führt man die Gr&se ^ em, und RCtet Vil—z) » ^ oder yiL-^-z)^^,

sowie

■0 ndunen di« nielchuiigen [13] und [13*] £>lgeiide Form an:

(161

nnfl werden dalier ganz identisch mit denen, zu welchen wir bei der Ellipse
gelangten ([15], [15*] im Art. 91). Hieraus läset '«ich nho, insoweit h oder H
als bekamit angesehen werden kann, y oder Y ableiten, und dann ist

inj ' = '-- ^

(17-] z=f^-L.

Man sieht liieraus, das» alle oben für die Ellipse beschiicbeneu Operationen
ebouo auch für die Hyperbel gelten bia sur Ennittelang der GrOwen y oder
T aus dem genäherten Werthe von h oder H\ sodann aber muss die Orffne

1 o^ej. £, — "Yy"? welche in der Ellipse positiv mid in der Parabel

= 0 werden musste, negativ in der Hyperbel \M:»den. Ihirch dieses Kenn-
zeichen wird daher die Art de» Kegelschnitt» bestimmt. Nach Autündmig von z
g^ebt xasseee Tafel ^ und Mexana erfaSlt man onen verbenerten Woih von h
oder Hf mit dem man die Recbnnng wiederholt, bis Allee genan ttberdnstinunt.

*) Dar ran Gaiibi m Airt. M> vad lOQ g«g«fa«M Znaata findet sieb im Anhango.

AiMurkamg dt» ütbtnitatt*.

Google

Retttiooen «wimImii neliNB Orlen ia der Baha.

m

Nack Eriiiltteliiug des wahren \\'crtlies für z würde man daraus c mittelst der
Formd l+2s+2]/(3'f 22) ablöten ktfnneiif aber es ut Torauaiebeii, aach
SU den nachfolgenden Benutsnngen, den Hlilfswinkel n einzuftthren, wobei n
aus dä* GMchung tang2ft « 2y(2+2«) bestimmt wird; dmu» folgt
e = tang2»+l/(l+tang2n*) = taiig(46*+n).

108. ("6)

Da in der Hyperbel ebenso wie in der I'.llipsc >/ notlnvendier positiv
sein iniiss, so kann die Auflösung der Gleichung [1(>1 auch hier einer Zwei-
deutigkeit nicht untenvorfcii sein. (Es bedarf wohl kaum der Bemerkung, das»
in der Hyperbel ganz wie in der Ell^we mr AuflSwmg dieser Glddiong
die Tafel II angewendet werden kann, so lange h deren Grenzen nieht üb&e-
sohr^tet) In Beziehung auf die Glachnng [16*] aber muss man h^r etwas anders
rechnen, als bei der Ellipse. Aus <U i Tlicorie der Gleichungen läast sich Idcfat
zeigen, dass für einen positiven Werth von n diese Gleichung (wenn sie
ffbprhanpt irfrend eine reelle positive Wtn*zel hat) iicTjcn einer negativen Wurzel
zwei positive hal>fii müs^o, welche entweder beide •^'■leieli sein werden, nanilieh
= — -5^ = 0,2Ü(>01, oder die eine gro^aer, diu andere kleiner als diese
Grenze. (Die QröMe H kann offenbar nur daim negativ wei-dcn, wenn
wSre; einem solchen Werthe von C wOrde aber dn Werth für der grösser
als 2,684 und der daher hei weitem die Grenzen dies^ Methode ttbersehraten
würde, entspredioi). Dass bei nnserer Aufgabe (die auf der Vorausaetzong
bcndit, dass 2 keine beträchtliche Grösse und wenigstens niclit gi'Össer sei
als 0,3, wenn nicht der Gebrauch der dritten Tafel vereitelt werden soll) noth-
wpTidip;^ stets die grössere Wurzel anp-enommen werden mll^sse, werde ich auf
folgende Weise zeig'cn. Wenn in die Gleichung [13*] für .1/ sub»tituirt "wird:
rV/(2:+2), 80 erhält man Y+l = {L-{-z]Z>{l+£)Z, oder

17-^ 1 4 14.6 4.0.8)1 .

^> f — 5-5 «+ 37677 ' ^ — sTöTtTs ^ +

woraa«} man leicht schliesst, dass für so kleine Werthe von wie wir sie hier
voraussetze, Y stets grösser werden mUsse, als 0,20601.

18'

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138

EratM fiocb. Dritter AbscJmitt.

Auf diese Weise sind die Wtrüia von £ für « 0 bis s /
einzelDen TnusendtheDe berechnet, wddie die dritte /
enthiüt.*)

z)Z
llen.

(114)

lOL

Führt man die Grösae C ein, und aetsst '

sowie

[15]

m m

s oder

so nehmen die Gleichungen '

[161

und werden dal'
gelangten ((15'
als lu kami*-

itenden Werth
> und bequem in

aus ähnlichen
etzten. In einem
^ beiläiiHg bekannt
Werth für » sofort

iSt ans der Gleichnng [6]

le r onuel 2 = - ,,

J COti J M

»urthe von z vird durch wenige Ver^

.iiut, welcher der Gleichung [13] oder [13'] völlig
E9 lassen jene Qleidiungen auch in folgernder Form

coaSn * ^ co»2« ' 1 taag2«*

/r_L »m»\t . o/r . ^nn\i \ l^S tan^^ ^45 ^ -uj\

I fcrtii" »«"It Jierge.stiilt, mit lieiseitelasBung von 2, sofort der walu*e Werth
M iicrauiigebraclit werden.

104.

Es erübrigt noch, aus n oder c die Elemente selbst zu bestinuseQ.
jh^ctast man a|/(ee — 1^ — /j, ao giebt die Gleichung [6J des Art. 99

118]

^ kjui^ .o Google

RdatioiieB nriaclieii mehran Ortsn in der Balm.

141

Coinbination dicsier Formel mit [12], [i-*] des Art. 99 wird

itricität o-enau und bequem «ich berrcltiini lässt. Aua /? und
^. miin dui'cli Diviäon a, dui'cli Muitiplication no dam

/ 2mmcosf, yrt' kktt

' ^ yytang2ii* Ayyri' votf* taug 2»»

' _ -^2MMcosf.\/rr' _ kktt

. ^rr^ _ —YYnnf . tang /. |/ri^ _ / Yrr'9ia2f V

..itte und sechste Ausdruck liirp, die üi>crliau|)t mit den Formeln [löj, [18 ']
des Art. 95 ideuiiäcli mnd, zeigen, dass dasjenige, was dort Uber die Be-
seiclmitng der Orölssen Y ges:i<rt ist, auch für die Hyp^bel gilt.

Aas Combination der Gleicliiuigen [6] und [9] des Art. 99 folgt

(r — ^)V-^^,.^.'^' = em\f.{C ^,). FuUrt man daher ip und to ein und

setzt Css ta]ig(4ö'^+^, bo kommt

[20] teiig22^= ^! . (1

Ist Kf» C ifefinuUii. so erhält in.ui daraus die W'crthe der in Art. 21 mit u
bezeiclmctcii tirösse iiir beide Urtc, und es crgiebt sich endiieli luittekt der
Gleichung III, Art. 21:

tansr^y = ,,, . . ,
oder, wenn man für 6^ c die Winkel aV, » eiiü'iilirt:

140

Erstes Buch. Dritter Abtdiuitt.

In der That finde ich hacIi angestellter Kecfauuqgf ämBf wenn (1+«)Z
dicAcr Grenze gleich wird, ; sein mUi^so — 0,79858. Ich bin aber wat davon
entfernt, nnsere Methode auf so grosse Wertke von z aasdehnen m wollen.

m

Falls z einen grösseren, die Grenze der Tafel III liberschrntenden Werdi
erreicht, so lassen sich die Gleicbangoi [13], [IS*] stets sicher und beqnem in

imverätulorter Gestalt durcli A'ersuelit' auflösen, Und zwar atls liltnliclicn
Grllii(U'n, wie die in Art. 94 für die Ellipse auseinandergesetzten. In einem
solchen Falle kfnm mau die Bahnckinente wenigstens als hrtlänfis' lickannt
voraussetzen; dann aher erhält man einen genäherten Werth tiir n sotcirt

durch die iTormel taug 2 n ~^' ^J^iy i welche von selbst aus der Gieichtmg [6]
des Art, 99 folgt Ans n aber bekonunt man z durch die Formel z ss — .> .

= — , imd aus dem genäherten W erthe von z wird <lurcli wt-nitre Ver-

sucht! derjenige Werth hergeleitet, welcher der (ili i( htmo' flB| oder (13*] völlig
genriu (icniigc lei^itet. Es lassen jene (jileiehm^eu auch in folgender Form
sicii <hu'ätcUen:

(116) ««(/ )*+2(/ )^

^^~log h yp t ang(45'+«) l
iiiag'Jti* J

• II • j » — ^.i — ■ — loghvptang(45 4-«i

. , , sin« s i . ,^ , sin« ',5^ cos2(» .t c \ /

.1/= -^-2(2, + --^-^; ^

und kann solchergestalt, mit Beis<»telassnng von s, sofort der wahre Werth
fUr n herausgebracht werden.

104.

Es erttbrigt noch, ans «, n oder c die Elemente selbst zn bestimmen*
Setzt man ct|/(e« — 1) — /9, so giebt die Gleichung [6] des Art. 99

Digrtized by Goog[e

RftUtioneD iwiiditin mehraa Orten in der Bihii. 141

Durch Combimitiou dieser Formel nut [12J, [12 'J des Art. 99 wiid
erhalten:

[19] Viee—1) = taugv; = —J^^-^^

woraus die KxccntrieitUt genau und l)CM|iion» sich berecluien liUst. Aus (1 und
]/(e€ — 1) bekommt mau duruli Diviäion a, durcü Mulüplicatiou jf^ so dass
mau hat:

ü{l—z)coaf,\/rr' 2mmco»/.\/rt^ kkU

tfliig2n* yytangSi? ^ 4yy r/eoe/'tangSn*

_ —2[L-\-z)co9/.\/rr' _ ~2MMcmf. ^ri^ kkit

«a/. tang /.t/rr^ _ yy ein/, taug/, l/r/ _ / ^rt' si n 2 f V

Der driUc luid sechste Aufdruck t ür/i, die überhaupt mit deu Foruiehi [18], [18*]
des :Vrt. 95 ideutiseh sind, z(>igen, dass dasjcuijre, was dort über die Bo-
seichnung der OH^n Y ^vnngt ist, auch fUr die Hyperbel gilt.

Aus ('ombination der Gleichungen [6] und [9] des Art. 99 folgt

{r — ^)V--^.'-- = ßsin/.{C — --(j)' Führt mau daiier xp und w eiu uud

setzt (7= tang(4ö''+^), bo kommt

[201 tai.g2Ä^ = f,J,^-- (117)

J-Jt sr» C gefunden, so erliiih man daraus die ^\ erihe der in Art. 21 mit u
bezeiclmeten Cirösse für beide Orte, und es ergicbt üicli endhch mittelst der
Gleichaug III, Art. 21:

oder, wenn man für C\ e die Wiiikei 2ff n einfuhrt:

^ kjui^ .o Google

142

Erstes Buch. Dritter Abschaitt.

[21] tangi« = ^j tf+,)t,og^y

(221 Ua\{r'-v

COS (aV — w) Uing \ tfi '

Hieran» hestlinmt man die wahren Anomalion c, r', deren mit 2 / verglichener
Unterschied zugleich zur I*rlil'ung der Rechnung dient. Schliesslich leitet man
durch Fonuel XI. Art. 22 leicht ah, das.s das Zeitijihrvall zwkcheu dem
Ferihele bis zu dei dein i r,-ten Orte entsprechenden Zeit sei:

a ' |2 « C08 ( A'-f «1 sin (iV—i»)_ , , taiip(45°-|- A^)l

und eben.so das Zeitintervall vom Ferihele bis zu der dem zweiten Ort» ent-
sprechenden Zeit

= - J.gh7P*.,(46'+20^(«-+.)}.

8etzt man daher die erste Zeit = T — ^ty und deshalb die zweite «= T-\-^t^
Bo erhält mau

p»i r-T{-^^-'«*»«(«'+4

woraus die Zeit des rcrilieldurcligiuige« bekiinnt wird. Endlich hat man die
zur Behlicäsliehen riüt'ung der lleehmmg anwendbare Gleichung

IM.

Zur ErlHutcnni;^ dieser r{«T)!TMni'j;-vtjrschriftcn will ich das 15cis)tiel ans
den beiden in den Artikel 2J, i'i, 25, 26 nsieh denselben iij^ierbolischen
IBlementcn gerechneten Orte vollenden. E« »ei daher v — v = 4S*12'0", oder
(118) /= 24*6'0", logr c= 0,0333586, logf^ 0,2008541, i » 61,49788 Tnge. —

Jßemu findet nch w » 2* 45' 28''47, l = 0,0579 6039, oder der genäherte

Diglized by Google

BdmfioiiHi xwwelMn mebran Orten in der Belm.

14S

Wertli von A=0,06i 4;ni; hieraus, mittelst Tafel II, log^ t/ =: O,0öü 0848,
= 0,0504 7454, 2=0,0074 8085, deiu in Tafel III entspricht ^=0,0000032.

mm

Daraus folgt der Terbeaaerte Werth & = 0,0644 3691 , log^^y» 0,0560846,

» 0,06047456, « 0,00748583, welche Werthe, indem t dadurch nicht

veribidert wird, keiner weiteren VerbeBBermig; bedürfen. Nun stdit die
Eeehnimg der Elemente so:

\ogz 7,874 2399

loj^r Ii 4-2) O,ooa2389

log ^ 8,938 7394

lug 2 0,;501 0300

logtang2n 9,239 7694

2n « 9^51'ir816
« = 4 55 35,908

logan/ 9,6110118

hgVrt^ 0,117 1063

C.logtanggn 0, 760 2306

logß 0,488 3487

logtangy 9,8 8G 28 CS

lojr« 0,602 0619

log^ 0,374 6355

(es iiiüssten sein = 0,002 0600
iukI 0,3746356)

, ,,0,G50 6199

,..0,938 7394

C.]og(/ — z) ....

,..1,296 9275

logtang V

..9,886 2868

V = 37 '34 59 77

(ea mlfaste adn

«87'd5'0')

ClogcosBcv....

..0,002 0156

..9,785 2685

, .9,4621341

=

16' 9' 46 253

N =

8 4 53,127

N—n =

3 9 17,219

N-\-n —

13 0 29,035

logsiu {y~ n) .... 8,740 6274
aiogcoa(^+») • * 0,011 2902

kgcotjy 0,4681829

logtang-^o 9,2201005

|-p =s 9'25'29"97
V = 18 50 59,94
(es mliwte sein = 18"51'0 ")

log sin {N-{- »).... 9,362 8627
G. logco6(.y— n) . . 0,000 6687

logcot|v^ 0,4681829

logtuigitf' 9,821 1943

l-u' « 33" 31' 29 "93
;/ = 67 2 69,86
(es mllsate sein = 67 '3 0")

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144

J-IrttM Buch. Dritter Ab«<;hiiitt.

(119) löge 0,1010184

logimgiir, 9,4G21341

C.logcog2w 0.0 < »r, 4530

G()64

Zahl = 0,37119863

log bjj) taug (4ö ' -|--^ ) ~

0,28591251

Umencliied = 0,08528612

log 8,9308783

flog« 0,9030928

C. Ufr k 1.7()4 4186

iogr 1,598 3897

T = 39,663 38

log« 0,1010184

Iogtiiiig2n 9,239 7G94

C.logcoa2.y 0 ,01 7 5 1 1 2

9,358 3U20
Zahl = 0.2281 9284

loghyptang(45" -j-n) =

0,1728 2621

Unterschied >= 0,05536663

log 8,7432480

I hy^a 0,903 0928

C.]i>gk 1,7 04 4186

log2 0,301 0300

log/ 1.711 7894

t "

" 5l.4rt7^s

E» ist fliilior flpr l'erilicldurcligaiig von der dem ersten Orte ent-
sprechenden Zeit um 13,91444 Tage entfernt, von der dem zweiten Orte eut-
eprechenden Zeit um 65,41232 Tage. Dio geringen Unterscliiede der Her her-
tttUEgebrachten Elemente von denen, nach welchen die angenommenen Orte
berechnet «oien, rühren von der beschrünkten Genauigkeit der TafSdn her.

106.

Bei Ahliaudhuig der vürzUglichsten, fttr (Ue Bew^ong der Himmels-
kör|)er in Kegelschnitten in Betraeht kommenden lulitluncn d:u-f nicht mit
HtiDwliwelg-cn lilM-rtrüngen werden der elegante Aii>iliiick der Zeit durch die
gros.^c Halhuxf, durch die 8uuime r-{-r' und durch <lir>, die hcidcii Orte vi r-
Lindcndc C/horde. Für die Parallel .scheint diese Formel zwar zuerst von
Eni er erfunden zn sein (I^fi«cell. Beroliu. T. VII, p. 20), der solclw jedoch
später Aosser Acht gelassen und auch nicht auf die Ellipse und Hyperbel ausgeddmt
hat. Es irren daher diejenigen, welche diese Formel dem Lambert zuschreiben,
wenn sich diesem Ceometer aneh nicht dsis Verdienst absprechen iSßst, dicsi n
der Vergessenheit anheimgefallenen Ausdruck ^lelbsfändig erforscht und auf die
übrigen Kegelschnitte ausgedehnt zu haben. Obgldch dieser Gegenstand schon

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Itdatioiitii iwiidieii mdiiMi Oitm ia Asr Bahn.

146

von mehren Geoinofcm belianilclt ist, so werden iuit\ncrk.siiiiie I^escr duih die
QAichfolgeudc Ausciiimidcrsetzung nicht für tlbcrHtlssig erkennen. leh beginne
mit der elliptischen Bewegung.

\'or alltn Dingen bemerke ich, dass der nm die Sonne beschriebene
\iniikel 2 / (Art. 88, woraua ich aucH die lihrigen Zeichen entnehme) innerlmlh
360* angenommen werden kann. Denn es ist klar, dasa, wenn dieser Wmkel mn -

360* vermehrt wird, die Zeit um eine KevulutlDu oder — '-^ — = a X 365,25
Tage wächst. Bezeichnet man nun die Chorde mit (», so wird oflienbar (120)

^ (/cos»' — rcoBt>)*+(r'sinv' — rsin»)*,
and daher nach den Gleichmigen VIIT imd IX des Art. 8

ff ff = na (cos K — CDS -\-aa cos (.sin E — .sin Ef

— 4aa8in^'(sin6r'4-co89>'cos6^') = 4aaginy(l — £ecos6^').

Knn ftihrt man einen Hill (Winkel h. in der Art ein, dasa oosA — cco.s6^, und aeCat
(nm alle Zweideutigkeit zu heben) yomu.s, das.s h zwischen 0 und 180* genom-
men werden, und daher sin// eine ]io>iitivo flrfiesc sein niUs.se. Weil al^o atich
<7 zwischen denfollicn Ckii/aji lii'trt denn \\(im 'ly zu 360" oder darüber
hinaus an\väch.<t, würde die i)( \vcginig nm die Sonne eine ganze Re-
vobition oder mehr betragen), so folgt auü der vongeu Gleichung von selbst
2osm^Hiu/t, wenn niSmlich die Chorde als eine positive QrSne angesehen
wird. Da man femer hat r-f-r' « 2o(l — «oofijrcos<?) » — oos^cos4), ao
ist klar, dass, wenn h — g = = < gesetzt wird, entsteht:

[1] r+/— ^ = 2a(l— oosd)» 4asin|d*

[2] r + r'+p = 2<i(l— cosf) = 4a8in jf'.
Endlich liat man kt=sa {^ig — 2eai\\ginjn*J} = a' — 2äinycoii/t}, oder

13] kt = sin«— (d— aincT)).

Mail kann dahw nach den Gleiclmngen [1] und [2] die Winkel J und e ans
^Hh^'? ff "i>d a bestimmen, und deshalb kann auch ans denselben Gräteen,
mittelst der Gleichung [3J, die Zeit t bestimmt werden.

Diese Formel ISsst sich auch folgeodennaaaaen darstellen:

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146

Entoa Buch. Drittar AlMchnitt.

2« — (r-fr')— ♦ 2a — {r-f-y)— ♦

COS '- Sl II -MX- CO.-i

Ja *Jn

— arcco« - -^-ä-^+ftmarec«« ' K

Ja ' 2a J

E-* Mcili! jcdurh lu'i Hei<tiinniuii}^ (li-r W iiik«^1 t aus ihren Oo»iiiu.si*en eine
Z\vei(ii-iitigkeit zurück, die uüLer hctnu-litct ut;nl»Mi nmss. Zwar i.st von selbst,
klar, dass ^ innerhalb — 180* und 4- ISO* liegen uiii»iHi, tsowie t zmschen 0 und
360*. Aber auch m licitse jeder Winkel eine doppelte Bcstinunung, und die
daraus hervoi^eheDde Zeit mithin dne TierfSnche au. Man hat inzwiadicn
aus Clcidmng 5, Art. 88: coBf.yrr=^a(coag — eoah) 2a9m^dtaB.je. Da
nun .«in-^« nothwemlig i'iiu' po.<itive (iroi^^ic wird, so kann daraus ge-
sclilir-ispti wordon, dass r<>.- f und sin-j<T notli\vendi«r da>Helbe Zeiclien führen,
iHiil tla-;. (Lilii r t) innt i haib 0 und 180', oder iniiei ha!!) — 1*^0* und ge-
nuuuiifii werden rnüfsse, je uachdeiu e^ts/ positiv oder negativ wird, d. Ii.
je nadidem die lieliocentiiaehe Bewegung 2/ nmerinlb oder Viber 180*
ist. UebrigenB kt Ickr, das» fUr 2/= 180% ^ nothwendig ^ 0 sdn. muaa.
(121) Aaf dieae iat alao J vollatitndig bfidmmt. — Aber die Bestamnong des

Winkel« f bleibt nothwendig zweideutig, so dass stets für die Zeit zwei
Werthe heraiiskonnnen, von denen sieh, falls solehes nicht anderweit bekannt
wird, mcht entscheiden lä.«Ht. welcher der wahre ist. Den Grund dieser Er-
scliciuuug erkennt man übrigtiiü leicht. Denn Cj* lassen sich bckanntliel» tlurch
zwei gegebene Punkte zwei verschiedene EUipacu bescUreiben, welche beide
in demselben gegebenen Punkte ihren Breimpunkt haben mid zugleich dte-
adbe grosae Halbaxe.^ Offenbar abfar wird die Bew^ung von dem ersten
Orte Bom zweiten in diesen Ellipsen in ungleichen Sleiten ToUendet

107.

Bezeichnet man mit x ifgf'nd einen Bogen zwischen — IbU und -j- 180",
und nut * den Sinus des Bogen. s so ist bekanntlich

*) BeaebTtibt bmh am dm mtan Orte wit tiatm BalbniMHr ta — r Krtb, wd bm dtm

swdten Orte einen B^ms mit dcia ilalbmener 3 o — r', no liegt der n«ita Brawpinkt der EUipM in den fiia.
•ohaittipBilMe dieier Krtin. Weil il«»lialb, otHgcmcin givprochcu, MeU Mrai EiafduriMtjpaakto g(c<b« «wdtB,
M fOrn «Mli'aimi nncliMa» iaU|Mn kamr.

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RelttloMii xwiMhen meliMi Orte» m der Dalin. 147

i = i . i-' + i . + etc.

Ferner wii d
lind deslialb

X-^X « 4(i*' 4- i . i*' +f . ifl*^ + 1 . etc.

lu diese IJeilie suli.shtuire ieh für s successiv i V — — ^ 'ind 41''—^——^-^
ond multiplicire das Resultat mit ; so entstehen respect. die Beihen

Deren Summen Uezeidme ich mit T und U. .Man sidit olme Weiteres, da
28iii^<^ = -^y— y~~y (wobei das obere oder untere Zeichen gilt, je nach-
dem 2/ nmerluüb oder Uber 180* hinaus liegt), dass a^(& — sin^ s +2* (wobei
d;is Zeichen ebenso bestimmt wird). Ant* dieselbe Wdse wird, wenn für « (1*2)
der kleinere, innerhalb 180" belegene Werth genommen wird, entstehen

a^(i — 0(11«) BS U\ nimmt man aber den andon Woih, der das Complement

des enteren zn 860* ist, so wird offenbar a^(t — sine) = a*S60* — ü» Hiarans
erhält man awei Werthe ftlr die Z&t f

und

Betrachtet man die Parabel als eine Ellipse, deren grosse Axe ao-

endlidi gross ist, so geht der im yorhergehenden Artikel für die Zeit

19*

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148 CntM Buch. Dritter Abicliiiitt

gefundene Ausdruck Uber in: ■^{('■+r' + (,)l4-(r+r — Da aber diew

Ableitung der Formel vielleicht einigen Zwdfchi aasg^c>>ctzt crschdnra kctentei
ao will ich eine andere^ von der Ellipse unabhängige entwickeln.

Setzt man der Kürze wegen tang-J-v = 3, taag^t/ = S^, wo wird
r^^pii + &&}, r'= 008» =4^» «»«'-I^''

wnf 1^^» I *iao' = i+a^tf^ ' Hieran« entsteht

r'coip' — reo«» = \pf9» — ^'S-"), r'wnv'—rmiv = ^(ö-'—

und daher ^P = ii>i'(^ — ^^/(^^"(^ 'i"'^/)* leicht, das«

^' — ^ «B , - > ■ dne positive Grösse ist. Setzt man daher

V(l + 4(^' + ''^)') ^ 1« '»^t C = P{^'—^)r, femer wird
man hat deshalb

-r+^-ti^(,+i(*_»))'
J±±i£— (,_i(a'-*)y.

Aus der ersten Qleielmn<r leitet man ohne Weiteres ab

wdl 17 und — 9 positive Grössen sind; ahw da — ^) kleiner odrar

inösRcr ist als ri, je nachdem 15 »? — ~!ß' — k>Y — 14-39^ » - — -r—r

positiv oder negativ, fio mu^ mau aua der zweiten Gleicbiuig oüeubar
schlic&sen:

wo das obere odw untere Zeichen genommen werden mnss, je nachdem der
um die Sonne beschriebene Winkel innerhalb 180* li«^, oder ttber 180*
hinaus geht

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ReUtkMMn MmMan nebna QiCeii ia der Bahn. 149

Aus der Gleichung, welche in Art. 98 der zweiten folgt, hat man

ferner:

woraus von aellwl folgt:

kt= l{(r4-r'4-p)i + (r + r' —

wobei diL-y f)bere oder untere Zeichen gilt, je nachdem 2/ innerhalb oder
Uber 180' hinaus liegt.

109.

}9uiiint man in der Hjperbd die Symbolft €t, C^e m derselben Beoseidi-
ninig wie in Art 99, so hat man am den Gldchungen VIII, IX des Art. 31:

• r'coBt^ — reo«» = — j(e — ^) (C

f^smv— r«n» =|(c— i-)(C+-j7)«V(«ö— 1) und daher

. „(c_±)v(ee(C+|r-4).

Ich setxe votans, da» / eine Qräsae ist, weiche durch die Gleichung

-y- = ^(^4"^) bestinunt wird, imd da letzterer offenbar durch awei einh

ander rec^roke Werthe Genüge geschieht, so adoptire ich davon denjenigen,
der grStoaer als Eäa« iat. Dann wird

Femer wird

r + r' = i« (e(c-f i-) - 4) = ^«((c+i-) (y+ j-} - 4),

und deshalb

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150 Ente« Buch. Dritter AlMohnitt.

ftm^ff mXmQ |* -|-r |^t-m

ScUt maii daher y 4g — ~ "*» ^/ = », so wird uothwendig

(114) — 1/7^ = 2m. Um di« Frage zu entscLdden, ob \/-^ ]/— = +2»

oder — — 2n wird, muss man imtemuchcn, ob y grSMer od«* kleiner ist
«Is e. Aber aus Gldchung 8 de» Art. 99 folgt leicht, daw der erstere Fall
Statt habe, wenn 2/ iniuThalb 180* Hegt, der /weite, sobald 2/ über 180*
biiiBUE^ht. SchliesBlich hat mau aus demselben iVrtikel

— logcy+log-^ « 2 i»|/(l-f-in»«) +211^(1 21og(l/(l+itti»)-hm)

4:21og{v'(l + n«)+«),
wobei dio unteren Zeichen immer den Fall bczielen, wo 2/> 180*. Nim wird
loj,' (1 4-'»"'H"*") leicht m folgende Reihe entwickelt:

. 1 „,» + 1 . «^J«,» - 1 . etc.

Dies erh&lt man von selbst aus:

dlog(Kl +mm) + m) = y

Durmi» ti»Jgt:

2iM|/(H-«n»)— 2k»g(l/(l+»»i»)+»») - 4(^1»*— i . + f •ri'"'~

und eboiso dne ganz Shnliche Fonnel, falls m mit 1» vertaiudit wird. Hieraus
endlich gebt hervor, dass, wenn man setzt:

Tsf¥i-^{'-+»'— + etc.
CT = i(r+r'+|»)*-Js.-^(r4-r'+«.)*+T^.-^(r+r'+(»)*~

rnrn • l'' + + cj + etc.,
sich ergiebt kt = U:^T, welche Ausdrucke mit den in Art 107

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Rdatioiieii iwitefaan molinQ Orten m dvr Bahn.

Ifil

envälmten allentbalbeu Ubereiiikommeu, wenn dort am — a umge-
ändert wird.

Uebrijj;cn3 und diese Rdhen iowohl fOr EDipae aLi Hyperbel zum
praktischen Gebrauche besondera danti bequem, wenn a oder et einen sehr
groaBcn Werth erhalten, d. h. wemt der Kegdschnitt bedeutend sor Aehnlieh-
keit mit der Parabel hinneigt. In die^^iu Falle kcflitite nian sie ftueh zur
Auflüsung des oben behandelten Problems (Art. 85 — 105) anwenden. Weil
aber, naeh meinem Uitheile, sie auch darm nieht einmal die Kürze der vorhin
irezeiL'tcn Auflösung trewilhren, so halte ich mich bei der weiteren Ausein-
andci-setzung dieser Methode nicht auf.

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162

Vierter Absclmitt,

BeUttonn zwlscken mehren Orten Im Kamme.

m.

Die in diesem Abeclmittc zu bctrachteudcu Kelationen sind von dem
Naturell der Bahn unabhäii'^ng und stützen sich lediglieh auf die Vonm»-
setsimg, daas alle Punkte der Bahn in derselben Ebene mit der Sonne liegen.
Wir wollen hier nur die einfachsten dieser Relationen berOhren, und die

COmplicirtO! I II uimI speciellcmi zum /.weiten IJnchc aufsparen.

l.)ie Ijiv^e der Bjilmebene ist durcli zwei Ortß des HiinmelsköYpers im
Eaniiir* Vi'tllic^ he«timmt, 8oJ)ald nur die>:e Orte nicht in derselben geraden Linie
mit der fSonne liegen. Da sie!) nun dn- Ort einen Punkti,< im Räume vor-
züglich auf zwei Arten angehen iUsst, so bieten sich daraus zwei Aufgaben
zur Lctöung dar.

Setsra w zuerst voraus, dasa zwei Orte durch die mit rcsp. l, X',
ßf ß bezdchneten heliocentriselien Längen und Breiten gegeben sden; die
Abstünde von der Sonne gehen nicht in die Reebnung ein. Wenn dann die
Länge des aufsteigenden Knotens mit imd die Neigang der Bahn gegen
die Ecliptik mit » beaeichnet wird, so ist

tang/9 s tang>nn(iL — Q)
tang/3' » tangtsm(l' — Q).

Die Bestimmung der Unbekannten Q und t^mgt wird hier auf die in Art. 78 IL
betrachtete An%abe zurllckgefUhrt. Man bat daher nach Anleitung der ersten
Auflösung

tangisin(i — Q) — tang/^
tangicos(i-ö) = ^^^-^-^^^Z^^-^'^ ,
Zufolge der drittßa Anfl^ung aber findet sidi der Q durch die Glmchung

BaUtfoaea nriaelieii mdireB Orten im Raune.

153

und noch etwas bequeme, wenn die Winkel ßy ^ tuumttellMtr, niclit aber
durch die Logarithmen der Tttngenten gegeben sind. Ziir Bestinunung von i
moaft man jedoch auf eine der Fonneln

rccurriren. Im Ucbrigen ist die Zweideutigkeit bei Bostiiiitnuiig des Winkel»
i — C?, oder ' — Q durch die Tangente so zu ent^rheirlen. (l;i^> tangi

positiv od< r lu'i^afiv wird, je nachdem die auf die Ecliptik proju irU; JJ* wci^ning
eine directe oder rüekltijitige iiit. — Dieüe Ungc\viä»Ueit kami duLer nur dami
gehoben werden, falla es bekannt, von welcher Sdte her der Eimmdaktfiper vom (126)
enten süm zweiten Orte gelangt ist; weim man dies daher nicht wttsste, so
würde es in der That unmtiglich adln, den an&teigenden Knoten vom
niedersteigenden zu untcr»^cheiden.

Nach Aui^ndung der Winkel Q and % werden die Aigomente der Breite
ti, tt' durch die Fonneln

eoki ' ** cos*

ermittelt, die im ersten orlor zweiten Halhzirkel zu nehmen, je n:i(!i<l(>m die
entsprechenden Breitni iiwidlicli imIit siidlicli sind. Diesen Foruielu t"iii.a' ich
noch die toigendcii hinzu, von denen man, falls es beliebt, die eine oder
andere zur Prüfung der Rechnung brauclien kann :

costf = co8/?cos(il — 0), cosw' = eo8/:^co8(A — 0);

Bm(tt +«) OOS i * ^••) = — ^ — sir^ — ^•

m. .

Nehmen wir zweitens an, dass die lieidcn Orte gege]>en seien diu-ch
ihre A)).stäM(lc von drei, in der Sonne unter rechten Winkeln sich schneidenden

UAÜtICS TlMiori* d. Ucwaf. d. tliiDiiieUk. ^

Google

154

EtnrtM Buch. Vierter Abtchnitt.

Ebenen. Bezeidmen wir diese Abftt&ide für den ersten Ort nut Xt ff,
fttr den sweilcn mit x\ y\ z\ und setsen TOFam^ dass die dritte Ebene die

Ediptik selbst sei, das« aber die pu»itiveii Pule der ersten und zweiten Ebene
in der Länge N und 90"+^ lieg«n. Dann wird naoh Art 68, wenn nian
die l>eiden jßadien Vectoren mit r, r' beaseichnet, sein:

X = rco8ttcos(iV — Q)-|-r sin ii8in(J7 — Q)ooBt
y =? rsinttco8(A' — 0}cos« — rooe«sin(jyr— Q)
z =■ rMnttsint

X ~ r'cos«'cos(.V — Q) + r'ginM'8in(-^^ — Q)co»i
y = ?• siii«\os(i\^ — W)oosi — r'coBtt'sun(^ — 0)
z = r'sinu'sini.

Daraus foJgt:

zy — yz = JTsin(tt' — n)s,m{N — Q)8ine
— z.i' == n''.siin«' — u)c()^{N — Q)siut
xy — yx = Hiu(«' — it)cust.

Ans Cambinalaon der ersten mit der zweiten Formel bekommt man N — Q, und
rr't«in^/ — 't)8int. Hieraus and aus der dritten Formel erbSlt man *, und
rr sin(w' — «).

In.soteni der Ort, dem die Coordinaten a^, z entqrechcn, als der

«In y.v'w nacli spätere an^eiioiiinien wird, imi.ss u grösser als u werden. Falls
(1271 , .< (lö<halb (iberher bekannt ist, nb ricr zwischen dem ersten und zweiten Orte
um die Soime beschriebene \\ inkcl kleiner oder grösser ist, als zwi i ici hte,
so müssen rr m\{ii — «)ijint und r/" sin(«' — u) im ersten Falle positive,
iip zweiten negative Gnissen sein. Es iSsst sich daher dann — Q
obne Zweideutigkeit beatinunen, und zugleich aus dem Zeichen der
Grösse oey' — yji entscheiden, ob die Bewegung recht- oder rückläufig ist
Umgekehrt iSsst sich, &l]s die Richtung der Bewegung bekannt ist, Aus dem
Zeiehen der QröBse — j/»' entscheiden, ob «' — u kleiner oder grfisser als
180* genonmien werden nius». Wenn aber sowohl die Richtiing der Bewegung,
als die l'osehaficnheit des mn die Stunie Ite-^cliriebeTK'Ti A^'iukels gänzlich un-
bekannt ist, «o k.inn man oticnbar zwischen dem autsteigenden und nieder-
steigenden Knotün niciit utiterKiehciden.

Google

ReUtkniw fwiidiw adiMii OrtoK im Ratime.

155

Uebrigens sieht mau leicht, dam, sowie cos» der Cosinus der Neigung
der Balmebene gegen die dritte £b«ie ist, so ma.{N — Q)Bin» und cob(^ — Q)niit
rapective die Omuiub da- Neignngen der Babnebene gegen die erste und
swnte Ebene sind; sowie dan rr'nn(t(' — u) die doppdte FUUihe des swiMlieii

den beiden Radien Vectoren eingeschlossenen Dreiecks, und dass endlich
zi/ — X2f — zx\ xy — yx die doppelte Fläche der Projectionen desselben
Dreiecks auf die einzelnen Ebenen ausdrückt.

Sclilicsslii h ktuin offenbar die dritte Ebene statt der Ecliptik auch
jedwede andere EIhiu s(iii, wenn nur alle Grössen, die durch ihre Beziehun-
gen auf die Eeliptik defiuirt sind, ebenso auf diese dritte beliebige Ebene
bezogen weiden.

112.

Es seien x\ y", z die Com dinaten eines dritten Orts, w" dcasen
Argument der Breite, r" der Rndius \ ector. — Pahei sollen die Cifisson
r'r"pinf?/'™?<'). rr'mrxfH- — m), n"'8in(?i' - • welche die doj)pekeu Dreiecks-
fliirlien zwischen dem zweiten und dritten, dem ersten und dritten, dein ersten
und zweiten Radius Vector sind, re«p. mit «, n bezeichnet werden. Man
wird daher für x'\ y\ i ähnlidie Ausdrücke haben, wie die in dem votan-
gehenden Artikel fttr Xy z und y\ i gegebenen, woraus sich mit Hülfe
dea Saütes I, Art 78 leicht folgende Qleichttngen ablöten lassen:

Ea «eien nun die joien drei Orten des Himmekkörpers entsprechenden
geocentrischen Längen o, a, tt und die geooentrischen Breiten /9,
die auf die Ecliptik projicirten Abstände von der £rde dy «f, 9*\ femer die
entsprechenden heliooentrisehen Lfiogw der &de L', 1I\ die Breiten

ßy BSy B\ die ich nicht = 0 setze, sowohl tun auf die Parallaxe Rücksicht

nehmen, als um, falls es beliebt, statt der Ecliptik irgend eine andere Ebene

wähloi zu können. Endlich seien i>, D" die auf die Ecliptik projicirten (i^)

SO*

^ kjui^ .o Google

156

EntM Buch. Vi«rt«r Abtehaitt.

Abstände der Erde von der Sonne. Wenn man t$odann x, z durch B,
D, o, /i, <t aiudrttckt, und in ähnlicher Weia« die auf d^ zweiten and dritten
Ort sich beziehenden Coordinaten, so nehmen die vorangehenden Oleidiungea
folgende Gestalt an:

[1] 0 « n(*eos«+iDco8l-)— «'(<reosa'+l>'cosiH»''(<^«»«''+^'«»^'^

[2] 0 = n((ffnr\rt-{-DmnL) — »'(«f'8in«'-|-/y8in («ysino' -^U' sinL")

Falls liier «, />, Ii und die Hiialofr« ii Or üssen für die beiden übrigen
Urlc ak bekannt angesseUen, und die Gleielmngen mit /i, oder «', oder «'
dividirt werden, so bleiben fünf Unbekannte tibrig, von denen man also zwei
elimimren, oder durch swei beliebige die Übrigen drei bestimmen kann. Anf
diese Weise bahnen jene drei Gleichungen den Weg zu sehr vielen wichtigen
Ableitungen, von denen ich einige der vorsUglichsteu luer entwickdn will.

113.

Um nicht durch die Lttnge der Formeln Überladen zu werden, gebrauche
ich die nachfolgenden Abkürzungen. Zuerst bezeichne ich die GriSüse

tang/J sin (a"^«') + tang/? 6in(«—«")-f («'—«)

mit (0.1. 2). Wenn in jenen Aui^druck t'ilr die einen» jeden geocentrkchen
Orte entsprechende Län^e und Breite, diejeni<;e Länge und Breite snbstitnirt
wird, welche einem jeden der drei heliocentrischen Orte der Erde entspricht,
so werde ich in dem Zeichen (0.1.2) die dem ersteren entsprechende Zahl
mit d< rjenigen römischen Zalil vertauselien, welche dem zweiten entspricht.
t>o z. B. soll das Merkzeichen (0 . 1 . 1) die Grösse

tang/?sin {L — rt} -(- tang/i* 8in(a — V) + tang JS* sin («' — «)

aosdrSdcen, tmd das Merkzeichen (O.G. 2) folgende:

tang /isin («" — V' -\- lang J?.sin (« — «"j 4" tang/3f ' «iu {L — a).

Auf äiinliehe W eise verändere ich djw Merkzeichen, falls in den ersten Ausdnick statt
zweier geocentrischen Lüngen and Breiten irgend zwei heliocentrische der £rde

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lUhtMaiaii unBchon ndmo Orten im lUiiaie.

157

substiiuirt werden. Wenn zwei Lungen und Breiten in denselben Au»diuek
emgehem und nur unter aich yertauscht werden, w> muas nun aucli in dem
Merksdchen die entsprechendea Zahlen vertansohen. Badnrch wird aber der
Werth aelbst nicht Teriiiidert, sondem es wird nur ans dem pontiven ein
nq;atiyer, aus dem negativen ran posidver. So z, B. iirird

(0.1.2) = — (0.2.1) = (1.2.0) = —(1.0. 2) = (2.0. 1)«=— (2.1.0).

Alle ÄO eutjjtelienden Grössen lassen »ich also aiii' folgende neunzehn zmiick- '
fuhren:

(0.1.2), 'O.l.O), (0.1. 1), (0.1. Uj, (O.G. 2), (0.1.2), (0 . Ii . 2j, (129)
(0.1.2;, (1.1.2], (II. 1.2), (O.O.I), lO.O.II), (O.I.II), (1.0. 1),
(l . 0 . II), (1 . 1 . II), (2.0. 1), (2 , 0 . II), (2 . 1 . II), welchen als zwanzigste
hinzutritt (O.I.II).

Uebrigens lässt sich leicht zeigen , diese eüizelnen Ausdrücke,

wenn man sie mit dem Producte aus den di"ci Cosinussen der eingehenden
Breiten multiplicirt, dem sechsfiichen Volum waex Pyramide gleich werden,
deren 8chdtel in der Boime liegt, deren Basis aber das Dreieck ist, welches
von doijenigen drei Punkten der Himmdskngel gebildet wird, die den in
jenen Ansdrock eingehenden Orten entsprechen, wobei der Halbmesser der
Kugel = 1 g^tzt wird. 8o oft daher diese drei Orte in demselben grössten
Kreise Hegen, niuss der Wcrtli des Ausdrucks — 0 werden. Da dies nun bei
den drei lieliocentriselien Oittu rler Enlf imiiitr Siati (iuiltt, wemi man auf
tlie Parallaxen und die durch 6uinnigen eiitöt<iiidcnen Breiten der Erde keine
BUckäicht nimmt, d. h. wenn uum die Erde in die Ebene der Ecliptik selbst
setzt, so wird nnter dieser Voraussetsnng stets (O . I . II) = 0, welche Glachoi^
identisch ist, falls als dritte Ebene die Ecliptik selbst genommen wird* Sobald
ttbiigens sowohl als aU ß* so werden alle jene Ausdrucke, mit
Ansnafame des ersten, viel etiifncher; denn dieselben werden vom zweiten bis
zum zehnten aus je zwei Thnl» susmnmengesetzt sdn, yom elften bis sum
neunzehnten aber ans einem eineigen Gliede bestehen.

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158

Ente« Buch. Vierter AiMcboitt.

m.

Multiplicirt man die Gleichunjj (1| mif sin fr" tan"; /i - — sin L" tan g/?^', die
Gleichung (2J mit cosX/"mnfr/^ ~— ^''>^!f' t;uigii' , die Gleicliung [»JJ mit &ul{L' — a ),
uud addirt die Producte, bo erhalt man:

[4] 0 « i*{(0.2.II)^+(O.2.U)jD} — n' {(1 .2 .II}<r+(I.3.il)Z)^},

und auf ähnliche Weise, oder bequemer durch alleinige Vertauschung der
Orte unter »ich:

lö] 0 « n {(0.1,1) <r-i- (0.1.1) i>} + n"{(2.1.1)«r +(Ü.1.1)IX}

[6] 0 =«'{(i.o.o)<r+(i. 0.0)2)'} — »"{(2.o.o)<r'+(n.o.o)iy|

\\ ' Tui daher das Vorhiiltniss th r (;rn>-en n, ii gegeben Ist, so lässt sicli mit
JlüitV' der ( ilcicliuüg (4j aus f) die (Jros-^e hcstiniuien, oder <)' aus cT, und
80 iii äludlclier Weise aus den ( ilfuliungeu [f»] uud [6j. Aus Combinatiou der
Gleichmi^^eii [A], |51 und [G| eiUiilcht folgende:

r„, (0.2.ii )a-f (0.2.ii»z? (i.o.O)^'4-(i.o.O)zy (2.i.i)

l'J (O.l.ljd-i-l^-^-iJ^ (l.2.U)d.4-(1.2.11)jy^ (2.Ü.Oja'-i-CU.0.ÜJ^

mittelst welcher man aus zwei Abstiinden des Himmelskörpers von der
Erde den dritten bestimmen kann. Es lässt sieh aber aueii zeigen, dass
diese Gleushmig [7] identiacb, und daher zur BeMtimnmng eines Abstandes
auB den ]>eiden Übrigen nnbrauchbar werde, sobald

= yr = 0

und

<i30) tang/9' tangi8"8in(Z — a sin (L — L')

+ taug/S" tong/J »b (£'—«') sin (I. — -L'O ^ 0.
-f-tang/} tang/S* Bin(Z»" — a")sui(li' — L)

Vuu dieser Unzutnigli(;hkeit irei ist folgende Formel, die sich leicht
aus den Gleichungen [1], [2j, [3J herleitet:

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Relationen iwiKhen mehnB Ortm in BmhhAi

169

[8] (0.1. 2)<y«r(>" + (0 .1 .2)D^&'-\-(0.l. 2)/J J J +(0 . 1 . U)ITäö' +

(0 . 1 .ii)Ujy d-{-io . 1 . U)DU'&+io . 1 . 2)Diyd" +
(o.i.ii)Z)zyzr«o.

Multi])li(irt luan (ileicluing [IJ mit sin« tang/^' — sin«" tang/?, die
Gleichung [2\ mit cosa"t£uig/i — cos «'taug/?", die Gleicliuiig [3] mit siu(« — a)
imd addtrt die Producte, so erhttlt man:

19] 0 = »{(0 . 1 . 2) J-H(0 .1.2) Z)}— » (1 . 1 . 2)iX+n (11 , 1 . 2) D'

nnd ebenso

(101 0 = n(0 . 0.2)D—n'{{0 . 1 . 2)^'+(0 .1.2) (0 . H . 2)2r

Ul] 0 = n(0 . 1 . Q) — «' (0 . 1 . rji>' +n' {(0.1. 2) ' + (0 . 1 . U) i>"}.

BGt HtÜfe dieser Gldciun^en lassen sieh ans dem bekannte VerMltnisse
* swischen den Gbossoi n', n" die Absude dy ff^ 9* bestimmen. Dieser

Schluss gilt jedoch nur im Allgemeinen gesprochen und leidet eine Aosnabme,
sobald (0 . 1 . 2) = 0 %vird. Denn es iKsst sich zeigen, dass in diesem Falle
aus den Gleichungen [8], [9], [10] nichts anderes folgt, als die uothwendige
Relation unter den Grössen n, n'\ tmd zwar aus den einzeluMi dreien
die nämliche. Analoge Kinsdiränkungen in Beziehung auf die Gleichungen
[4], [5], [6] werden dem erfahrenen Leser sich von selbst darbieten.

l ehii<xens sind alle diese hier entwickelten Schhi«sf"ol<^eriingeii un-
brauclibar, .sobald die Ebene der Bahn mit der Ecliplik isiiHaiiuiKntäUt; denn
wenn /J, p"y und //, B' alle =0 sind, so ist die Gleichung [3J
identisch, mtd ndlhin «ich «die folgenden.

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160

ZAveites Buch.

Erforschung der Bahnen der Himmelskörper aus geooentrischen

Beobachtungen.

Ei'ster Absclmitt.

Bwtbnninig der Bahn aitR drei TOllstiadigen Beobachtangea«

115.

Zur vollständigen Ile.stimnmng der Bewegung eines Tliiiniielskörpers in
seiner Bahn süid sieben KlfJnenfc ertorderlifli, dereji Znlil sieh aber xm ein
Element verringeni lÖKst, wenn die .Manse de:* Kiirpri^ intwuler bekannt ist. -ider
vernachlässigt wird. Die^wj Liecn;i lU.s.st sieii kauin venueidcn bei Bestirnnmng
einer noch ^mzlidi unbekaiiiiten Bahn, wo man alle zur Ordnung der StOmn-
gen gehörenden OrfüBsen so lange bei Reite lamcn m.m&, hw die MaBsai, von
welchen ne abhängen, anderswoher bekannt geworden sind. Da ich nun hei
der gegenwärtigen l'nter.suchung die Masse des Körpers veniaeblässigc , SO
rcdufirt sieh die Zidd der EI« incTitc »nf sccbn, und es ist daher klar. das?i
zur Besthnmung einer unbekaun(t-ii ilalin ebenso viele von den Eieuienten
abhängige, von sieh selbst aber gegenseitig uuabliiingige Grössen erfordert
werden." Diese GröBsen können kdne andere, als von der Erde ans beob-
achtete Orte des Hinmielekörpers sein, und da die dmeelnen Orte je vw& Daten
liefern^ nMmlicb Länge and Brdte, oder Rectascension und DedinattoOf so ist
es das JEjinfa( b.->te. drei geoocntrisebe Orte anzunehmen, wdche, im Allge»
meinen gesproclien, zin- Bestimmung der sechs unbekannten Elemente ausreiclien.
Dicpf Anf«iabe ht nls die wiehtigstc dieses Werkes zu betrneliten, tind soll
daher mit der höchsten J^orgtalt iu diesem Abschnitte abgehmidelt werden.

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Baatimming der Bahn ma$ drd TotbUliidigMi Beoliaehtuigni.

161

In dem be^ondern Falle aber, wo die Ebene der Bahn mit der Ecliptik
swamtnenfällt, and deshiklb der Natar der Sache niusli alle helloceotrisehen
und geocentruclieii Breatem venehwinden, können die drei vendnrindenden
geoeeniriaclten Breiten nicht weiter als drei von onander unabhltngige Daten

betrachtet werden. £b würde daher dann diese Aufgabe unbestrmint bleibe
nad den dreien gcoceatrischen Orten durcli unendlich viele Bahnen genügt
werden können. In einem solchen Falle müssen mithin nothwendi«^ vier
geoeentrische Längen gegel)en sein, um die vier iiln iucn uiiIk kannten l'lk'mcutc
(mit Ausfall der Neigimg der Bahn und der Länge des Ivni»tons) zu üuden. (132)
Obgleich nun „per principium indisccraibilimn"* nicht zu erwiuten ist, dass
jemals in der Natur der Dinge ein solcher Fall sich zutragen w^de, so ist
doch leicht abzosehen, dass mne Aü%abe} welche beim voUst^digen Zd-
sammenfikllen der Bahn mit der Ecliptik gitnzilieh onbestinunt wird, anch
bei denjenigen Bahnen, die nur sehr wenig gegen die Ecliptik
geneigt sind, wegen der beschränkten Qenanigkeit der Beobachtimgen
beinahe ebenso unbestimmt bleiben müsse, wo selbst die kleinsten Beob-
achtimgsfeliler die Bestinnnung der Unbekannten gjüizlich zu stören vermögen.
Um deshalb auch auf diesen Fall Rüeksieht zu nehmen, wird man eeehs andere
Daten auswählen niUsscn, und ich will daher im zweiten Abschnitte zeigen,
wie sieh die unbekannte Bahn ans vier Beobachtungen bestimmen iKast, von
denen awar swm vollstSodig sind, die beiden übrigen aber unvollsttndig,
tnclem entweder die Breiten oder die Dedinalionen fehlen.

Da endlich alle unsere Beobachtungen wegen der TJnvoUkommenheit

unserer Instrumente und Kinne nur Annäherungen zur Wahrheit sind, so
wii-d eine Bahn, die lediglich auf die sechs absolut nothwendigen Daten sich
stutzt, noch beträchtlichen IrrthUujern unterworfen sein können. Um nun die
letzteren, so weit es angeht, zu verkleinem, und so die grösstmöglichste
Genauigkeit zu eneiehen, giebt es keinen andern Weg, als von den besten
Beobachtungen so vide als möglich zu sammeln, und die Elemente so ansau-
feilen, dass sie nicht allem diesen oder jenen mit unbedingter SchSrfe sich
anschliessen, sondern mit allen so gut als möglich übereinstimmen. Durch
welches Verfahren man nun eine solche Uebereinstiimnung (wenn auch nirgends
ane absolute, aber doch allenthalben eine so nahe als mögliche) nach den

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162

Zweite* Buch. Knter Atitdiuitt.

GrandaStaeii der Wahrachemlicltkeitg-Rechnung erlangen kann'f will ich im
dritten Abscimitte zt'ii:< n.

Auf diese Weise wird sich also die Bcstiinunnig der Bahnen, soweit
sich in ilinen die Hininicl.skiirjXT luif-li dm Ke p ler'selien («esetzen beweirpti,
zu aller wUnsolienswerllien \'<)l]kuii(iiitrilirit erheben. Die letzte AuMt'cilung
lässt sich Ireilirh erst dium untcnieltuicu, weini ujan auch den Stornngcn
Rechnung trägt, mit welcUcn die übrigen Planeten auf die Bewegung ein«
wirken. Diese Becbnungf soweit sie zu unserem Zwecke gehört^ will icli in
dein vierten Abschnitte kürzlich anzeigen.

116.

Bevor man die He^tinmuni;^ eim r liahn ans geoeeiitrisclicu ßeubaclituiigen
unteruiuuut, umü» imux, weim die grOasto Schärfe erfordert wird, gewiüjiti
Beductionen wegen Nutation, PrUcession, Parallaxe und Äbmittton anbringen.
Bei einer melir beUlUifigen Bechnttng kann man diese Kleinigkeiten ver-
nachlässigen.

i)ie Jk'obiiclitungcn der Planeten und Gomoten werden gewijhulich so
ircirebeü. düss sie in »<eli<iiibaren Heetn>4c(nsi<»nen und !)erIrnrini>non nnxir*"-
(133) drüeiit »titd, d. b. i<ie sinil ;nn* die s( li< iiilt;u-e Lage des .\«'i|iiaiors belogen.
Da dicbC Lage wegen der Niuation und l'räeesf^iun vcranderlieh, und daher
für verschiedene Beobachtungen verschieden ist, so muss man vor allen
Dingen an Stelle der veränderlichen Ebene irgend eine fixe Ebene einführen,
zu welchem jiSweckc man entweder den Aeqoator nach seiner mittleren Lage
für irgend eine Epoche, oder die Ecliptik wählen kaim. Die letztere Ebene
l)tiegt genieiniglieh angewendet zu werden, aber auch die erstere El)ene
emptieldt .sieli dureb einige eigentbilndiehe, ni<'lit zn verfichtende Vortlieile.

Fidls didier beliebt, die Ebene des Aetjualurj* zu wählen, so nills.sen
vor Allem die IJcübaebtungi'n von der Nutaiiun beiVeit werden, und sind
solcbe alsdann mit Anbringtmg der Prücession auf irgend eine beliebige
Epoche zn reduciren. Dieses V'er&hren kommt ganz mit demjemgen Uberein,
mittelst dessen man aus dem beobachteten Orte eines Fixsterns dessen mittlere
Position für eine gegebene Epoche ableitet, und dasit^elbe bedarf daher hier
keiner Erklärung. Hat man aber beschlösse, die Ebene der Ecliptik zn

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BMtimnraiig <l«r Balm txm di«i vcJ)tttndig«n Beob«diln»g«n.

163

aduptircn, so erhellt daiaiia dne doppelte 3kIe<;liode. Es köiin^ nämlich ent-
weder aus den fttr Nutation and PrUcession verbesserten Beetascensionen
und Declinaiaonen die L8ngen und Breiten vermöge der mittleren Schiefe
abgeleitet werden, woraus man sodann die bereits auf das mittlere Aeqninox
bezogenen LHugen erhält; oder man kann bequemer aus den che in-
baren l{eeta.s<'ensionen und Decliiiationen, mit Ainvendiuig der seh ein-
baren Srhirfe. die Liinjcn und lireiten bereclinen mid diese sodaun von der
Nutation und Ahernitinu Lief reieii.

Ans den Sonnentateln werden die, den einzelnen Bcoljaoljtungen ent-
qfirecheudeu Erdorte berechnet, die man dann natürlich auf die uiioilichc Ebene
belieben musa, auf welche die Beobachtungen des Himmelskörpers bezogen
sind. Man vemachlüssigt daher die Nutation bd Berechnung der Bonnen-
länge, reducirt aber sodann diese LSnge durch Anbringimg der Präoession
auf eine feste Epoche, nn<] vennelut die Lange um 180*; der Breite der
Sonne, wenn es der Mühe werth ist, sie in Rechnung zu nehmen, giebt man
da« entirpfTonp'piint/tr Zeichen. Auf dic*!c Weise crhäh man die lidioc r'nftis<-he
rrisltiuii <li r I'kIc, nelclie, wenn man den Ae<^[ii!»tor ^nr Orundebene '^rw äidt
hat, unter Anwendung der mittleren J^chiete in iieeta-seension und Declinatiou
verwandelt wird.

Die auf diese Weise aus den Tafeln berechnete Erdpofiilion bezieht Steh

auf den Jlittelpunlct der Erde, der beobaclitete Ort des Himmclskoqwrs

aber auf einen Finikt der K i do licr fi ä che; eine Niehtüberein^tiinmung. der sich

auf dreierlei Weise Abhiille (scliatlcn lä.sst. Man kann nämiicli die 1 !< nl aclitung

entweder auf den Erdmittelpunkt reduciren, d. h. sie von der l'arailaxe l)c-

freicn; oder aber den beliocentriiichen Ort der Erde auf den licubiu.btungsort

reduciren, was sieh dadurch bewirken lässt, daas man an den, aus den Tafeln

berechneten Sonnenort die Paralhixe gehjjrig anbringt; oder endlidi lassen sich

ttuch beide Fositionen auf irgend einen dritten Punkt Ilbertragen, als welchen

man am be<jueinsten den Einsebnittspunkt dc,> ViNioiis-Radiua mit der Ebene

der Eeliptik annimmt: die Heolmclitung selbst bleibt dann unfrciindi rt, und

die Redoction des Erdortes auf diesen Punkt ist im Art. 72 gelehrt. Die (^34)

21*

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164

Zweites Buch. Erster AUftcliuitt.

ente Metbode iHsst «ich nur diinii anwendeni wenn der Abstand des Hirainels-
körpers von der Erde wenigsten« nKbertingswei.se bekannt ist; dann aber iat
sie änsserst bequem xmd he-iotidprs in dem Falle, wenn die Beobaclittm'j!' im
Meridiane angestellt ist, wu nur die Declinatioti allein von der Parallaxe atficiit
wird. Uebrigeus ist es vorzuzieiien, diese lie<iiu:iiijn tiianittelbar an den beob-
achteten Ort ansttbringen, bevor man die Umformungen des 'voriiergehenden
Artikda untemmimt. bt aber der Abstand von der Erde noch gttoxliob aobe-
kannt, so inass man auf die awate oder dritte Methode reoaniren, und swar
auf die zweite, wenn der Aeqiiator als Grundebene angenommen wird, auf
die dritte aber» falls maü alle Positionen auf die EcUptik beziehen wilL

m

Wenn der einer Beobachtung entsprechende Abstand eines Himmelskörpeis
von der Erde schon sehr nahe bekannt ist, so ISsst sich diese Beobachtung

vom Einfln&sc der Aberration auf mehre Arten befreien, die sich auf die
verschiedenen, im Art. 71 bebandelten Methoden stUt/en. Es sei t die wirkliehe
Zeit der Benbnthttnig; tlor Zeitraum, welchen das Liclit <rebraucht, um von
dem lliniiuelskörpiT /.ur Erde zu gelangen, und dt ii mim erhält, wenn man
diu Distanz, mit 4U3 Zeitsecundcu niultiplicirt; / der beobachtete Ort; l' derselbe,
mit Hülfe der geocentrisohen tBgUchen Bewegung auf den Zeitpunkt t-{-&
redncirte Ort; t der Ort 1, aber befreit von demjenigen Theile der Aberration,
welche den Planeten mil den Fizstonen gemeinsam ist; L der wahre, dra-
Zcit t entsprechende Erdort (d. h. der Tafclort um 2()"2ö vennehrt); ^<i^Kflh
'L der wahre, der Zeit t — entsprechende Erdort. Dann ist:

I. / =^ der wahre Ort des Himmelskörpers aus X zur Zdt t — &
gesehen ;

n. f — der wahre Ort des Himmelskörpers aus L gesehen zur Zeit
III. r= der wahre Ort des Körpers aua L gesehen sur Zeit ( — 9.
Bei der Methode I wird daher der beobachtete Ort unverändert beibehalten,

für die wirkliche Zeit aber die fingirte Zeit / — ^ substituirt, imd dabei der
Ort der Erde für diese Hngirte Zeit berechnet. Die Methode II bringt die

Aenderun<j lediglich an die Koobachtuncr an, ei-fordcrt aber ausser dem
Abstände auch noch die tägliche Bewegung. Bei der Methode III erleidet

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BMÜinmang der Bahn ■us drei vollatlndigen Beobachtmigea.

165

die fieobaditimg eme von dem Abstände unabbSngige Verbetterang, fttr die
wirUicbe Zät wird die fingirte / — & substituirt, aber unter Beibehaltung des
der wirklichoi Zeit entsprechenden ErdortcM. Von diesen Methoden ist die

erste die bei weitem bequem-^te, suliald die Entfernung' weuiiTHtens in soweit
Ixikannt ist, fha» die ßeductiun der Zeit mit der ert'orderlichcu Genauigkeit
berechnet werden kann.

Ist aber diese Entfemiuig noch güuzlieh uubekannt, so leidet keine
dieser Metboden eine unmittelbBTe Anwendung; bei der ersten hat ntsn svrar
den geocentrisehen Ort des Hinunelskörpers , aber zu wünschen bleibt noeh
die Zeit und dit Sitlluim '1er Erde, die von der unbekannten Entfernung
abhängig sind; l)ei der zweiten sind zwar letztere gegeben, aber der erstere
fehlt; bei der dritten endlich hat man zwar den geoccntrischen Ort des (^3*)
Hinunelskörpt rs und die Position der Erde, aber die mit jeueu Daten zu ver-
bindende Zeit Iclik.

Was ist daher bd unserer Angabe sn thun, wenn in einem solchen
Falle eine, auch mit Rücksicht auf die Aberration genaue Lösung verlangt
wird? Es ist dann sicherlich das Einfiichste^ die Bahn suerst unter Beiseite-
lassojig der Aberration zu bestimmen, und da diese niemals eine erhebliche
Eitnvirktuig iiu'weni kann, so erhält iiiin daraus die Abstünde wenigstens mit
einer solchen (Jctinuigkeit, dju-is sich nun die Heobachtunc^en inittekt einer der
so eben auseinandergesetzten Methoden von der Abenation betreien lassen,
und man dann die Bestiumiuug der Balm genauer wiederholen kann. Hei
diesar Arbeit verdient nun die dritte Methode vor den Übrigen den Vorzug.
Denn es sind bei der ersten Methode alle die von der Position der Erde
abhängigen Operationen ganz von Frischem wieder zu beginnen. Bna. der
zweiten Methode (welche atisserdenj nur Anwcndtmg leidet, wenn man eine so
grosse Mcnp^e von Beoliachttingen besitzt, dass sirh daraus die tägüdic Be-
wegung ableiten lässt^ imiss man alle iJechnungsupcratiuiicn von Meueiu an-
titcllcu, die von dem geocctUri.sclien Orte des lliiumelskörpers abhängig sind.
Bei der dritten Methode dagegen (wenn nttmitch die erste Beohnung bereits
auf. solche geocentrische Orte gebant war, die von der Fizstem« Aberration
befreit und) können alle vorläufige , von der Position der Erde und dem
geocentrischen Orte des Körpers abhän^n;:i dpcralioncn bei der neuen Rechnung
unver^dert beibehalten werden. Mau kann daher gleich .bei der ersten

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166

Zweit«! Buch. Kreter Absclinitt.

Reclmung die Aberration mit erfassen, wenn die Methode der Bahnbestimroung

80 angetlian ist. (lass nmn damin die Wcrtlu- «Icr Abstände eher erhält, bevor
es erforderli' 1 1 \\iid. die verbessfrlfii Zeiten in die Ret bnun;/ einznfUlu-en. Es
\m dnnn <]rv \ I n rrati' ii wegen keine dojtpelfe l{eebnnnj;f n'Itbitr, wie bei der
weiteren itciuindluuij unserer Autgal>e iiocl» klarer werden wird.

119.

Es würde nicht iBoI>\vie!i<r >eiii, ans <ler m iniserer Aufga1»e zwisehen
den gei^elienen nnd den nnbekannlcn (Jr<!s<in bestebeiuhn Verbindirnji: iln-en
Stand aiil" seehs rileichini;^fn /u rclttiirr ti, nfler noch auf weni'.n're. da die
eine oder die andere der rniiekainiten sieli ganz, bciiuem eiiniiniren liesse.
Weil aber diese VerbliKhai<jf eine »UHserst vei'wickelte ist, ko würtlen die
Gleichungen sich meist Als inti'ACtabelc erweitsen. Eine solche Trennung der
Unbekannten «berf das» schlieaslich eine Gleichting herAUuldtnie, die mir eine
einzige unliekatinte Orösse enibielte, kann, allgemein geaproclien*), fUr on-
miiglich gehalten werden, und es rii.s.st sieh daher um ro weniger die ganze
Auflösung des Problems nur dureh directe 0]n i .itlonrn erledigen.

AIm r ;iiit die Jjösung zweier (JIt ii iiiiii< i n A —0 nnd )' = 0, wobei
nur zwei unbekannte u-, y unterniiwht veriileiben würden, lUbst sieh allerdings
(i3Gj unser Problem zorttckftthrai und «war auf verschiedene Arten. Es ist
nMmlich nicht nothwendig, dass x und y Kwei von den Elanenten sdhst sind,
sondern es können GrSseen sein, die auf ii'gend eine Art mit den Elementen
suBsmmenliMngcn, wenn die letzteren nur nacli AufKndung y*m .c und .?/ sich
becpiem daraus herleiten lassen. Ausserdem isf es otlenbar nicht nötbig, das."*
X, F durch entwickelte Functionen von .r und y dnrgt'-tf !lt werden, sondern
es genUgt, das.s sie mit jenen durch ein System von (»iei< liiingen so verbunden
»ind, dass nwin es in der Gewalt liat, von den gegebenen Wcrthen l'lir t/
SU den entsprechenden Werthen von T zu gelangen.

*) FalU üic Ikobachtungtn ho «inig roc aiaandi^r triitfniit nnd, du« die ZwiwheiueilMi «U uneod'
Sah klnue OrttMcn «wh foliaiidcta Imnii, «« k*iiii «Im wielw Ttnmag allcniing« tob Erfolg «nd 4m
fUM FMUeik Mf <fo AvOtang ciiwr ■lgttr«lKk«ii Olriclnait dn •UbtnMi od«- Mkln OndM Mdoebt «ndM.

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Bocthnmang der Bihn am drei voUstlndigon BeaWbtungea.

167

Da nnn die Nainr dar Aufgabe eine weitere Beduction als auf zwei
QlttchungeQ, in denen swd mit einander vermiBchte Unbekannte enthalten
•ind| nicht gestattet, bo besteht die Hauptsache vorerst in einer schicklichen
Auswahl der Unb^annten und in einer solchen Anordnung der Qleichttn-
gen, dass nicht nur T auf die einfacli.ste Weise von r, i/ abbMng^
erscheinen, sondern dass auch nacli Auffindung dieser W'ertlie daraus die
EJIemente so bequem als müglich hervorgehen. — Aiiderei-seits muss aber
auch in Jietrafht irezojjpn werficii, durch welches Verfahren man die den
Gleichungen Geiiii;^^ leisu ii icn \\\i the der ( iibekannteu durch iiieht zu mllh-
äame Oiierationen enuitit it. ^\\■fm dies nur dureli cdeichsani blinde \'ersuche
zu bewerkstelligen wäre, so würde eine luigeheuere und kaum zu eitragende
Arbeit erforderlich sein, welcher nichts destoweniger die Astronomen sich
hKufig unterzogen haben, welche Cometenbahnen durch eine äogcnanute indirecte
M^hode bestimmt haben. Hierbei wird die Arbeit allerdings dadurch er-
heblich erleichtert, dass bei den orsten Versuchen minder scharfe Rechnung
genOgt, bis man zu genäherten Werthen der Unbekannten gelangt ist Hat
man aber erst eine genäherte Bestimmung, so.lässt die Sache sich stets durch
sichere und rasche Methoden zu Ende iUhren, welche ich hier auseinander^
setsen will, bevor ich weiter gehe.

Den Gleichinigen X — 0, Y — 0 geschieht von selbst ganz vollständig
Genllge, wenn man für .r, ?/ «leren wahre Werdie selbst tcetroiVen hat; sind
aber dafür Wcrthe angenonuncn, die v(m den wahren vi r>i luriica .sind, so
werden und I' dai-aus von Null vei-seliicdeue Wcrthe erhallen, de näher
daher dieselbcu an die wahren herankommen, de^to kleiner müssen auch die
Werthe fQr X und Y herauskommen, und wenn ihre Verscluedenheiten von
den wahren erst sehr klein sind, so darf man yoraiisaetasen, dass die Aende-
rungen in d^ Werthen von X nnd Y sehr nahe der Aenderung in x
proportional sind, wenn y unverändert bleibt, nnd proportional der von
&lls X sidk nicht lindert. Besseichnet man daher die wahren Werthe
von ar, y resp. mit |, so werden die der ^'orauiäaetzung .r = 1+^,
y^ti-{-ft ent^rechenden Werthe von A, Y durch die Form X =i aiL-\-ßfty

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168

Zw«ttM Bvob. Rnter AbiebnHt

yi.-{-(f ft darzustellen sein, so dass man die Coefficienten o, /9, d als
ooDstant aimehtnen kann, bo lange i. und sebr klein bleiben. Hienma Hast
Bich BobliesBOn, dass, wenn fttr drei Syatone von Wertben fttr x, die yon
(137) den waibren nur woiig TerBchieden aind, eine Beatinunung der entaprecbenden
Wertbe von Xy ¥ Statt gefunden bat, man daraua die wahren Wertbe yon
ar, y wcnigstena insoweit ableitoi kchme, als dabd jene YoraoBaefenrng anlSaflig
iat. Wir woUcd setzen, daaa

ftfr x a, y = 6 werde: X = A, T B

und man hat dann

A ^ frfn + -ij), B ^ y(a S)^c\{b —rj)

A" = a {a— I) + (6"— , 5" = y (a"— ^) + J (6"— i^).
Daraus entsteht nach Eliminirung von », y, (T

t oM'-fi " —A"B '\- ^aUA "B— A B"] -f a" ( ARj- A
* ~ A'~~B'' — A''ß'-\-A''B- AB -f Äir — A'B

b(A' B' — A' Bf\ + b' {A' B-AB')^b"{AB — A'B)
A'ff-A»ff4f.A''l^-ABrJ^AS-AB ^

oder in einer zur Kecliuung bctiueuitieu Gestalt:

e_ . (o' — g) [A" B—AB')-\- (a" — a) ^ — i4' .ß)

Offenbar iat ea audi in diesen Fonneln geatattet, die Gröaaen «k, 6, £ mit
a', b\ A\ B, od» mit oT^ b\ Ä'y B' zu vertatiachen.

Der gemeinscbaftJiehe Nenner aller dieser Anadrllcke» den man aooh
unter ^e Fonu (^'— ^)(^-<B}— U"— ii)(jB'~JB) bringen kann, wird

- («*-/Jy){(«'-a)(6"-ö)-K-«)(6'-6)};
wonma man nebt, dasa a", 6, 6', 6" ao genommen werden müasen, daaa

nicht ~y'_Y = ~^>_^j ^vil•d, widi-ij^enfalls diene Methode nicht anwendbar
sein, sondern lUr I und ij gebrochene Wcrthe Uet'eni wUrde, deren Zähler und

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BectlmiiuiDg dar Bahn ms drei volltttndjgea Beobachtangea.

169

Neuner zugleicli verschwänden. Ebenso ist hieraus klar, dass, wenn zufällig
a& — ßjr = 0 wird , denielbe Mangel den Qebrmich der Methode ganz zer-
stören würde, auf welche Weise man auch a, a, a", 6, 6\ b" annehmeD mfichte.
In dnem aolehen Falle mttnte man für die Werthe von X folgende Form
TorauBBeteen ak'^ßft-^t>.l-\-^Xfi'^-3fiftj und eine ähnliche fttr die Werthe
von wo dann die Analyse Methoden an die Hand geben würrle. die der
vorhergehenden analog dnd, am aus den Werthen von Xj i\ die für vier
Systeme der Werthe von x, y geiechnet wären, die wahren Werthe der
U'rzteren '/.n liPsfiiiniiPTr. Auf diese Weise wffrdc ahcr dir Ilerltiinni^ finsserst (188)
beschwer) iell atist'allcii und ausserden» lUsst sich ziiij^cn. dass in tineni solchen
Falle die Bahnbestiiiiumiig die erforderliche Schärte der ^iatur der Sache nad»
nicht zulÜÄst. Da diese l nzutiäglichkeit nicht anders vermieden werden
kann, als wenn man neue, mdir geeignete Beobaehtongen heranmeht, so will
ich bei diesem Gegenstände hier nicht verwdlen.

m.

Sobald man daher fllr die Unbekannten bereits über genäherte Werthe
disponirt, so lassen sich daraus die wahren mit aller nur zu wünschenden
Schärfe durch die so elicn f^rklärtc IVrothodo ableiten. Znerst werden nämlich
die jenen approximirt< n W'ei tlicn '/, /' entsprechenden Werthe von A', Y be-
rechnet. Wenn letztere tlunu nicht von selbst verschwinden, so wird die
Kechnung mit zwei anderen, davon wenig verschiedenen Werthen (ö', 6'; wieder-
holt, und dann mit einem dritten Systeme (a", 6 ), wenn nicht ssufällig schon
beim zweiten und T verschwinden. Dann lassen sich durch die Formeln
des vorhergebenden Artikels die wahren Werthe finden, insofern die Voraus*
setzong, auf welcher jene Formeln beruhen, von der Wahrheit nidit merklich
abweicht. Um sich ü1)er die Sache ein desto besseres Urtheil zu bilden, mag
die Reelmung der Werthe von A', Y nüt jenen verbesserten Werthen wieder-
holt 'werden, und falls diese zeig-t, dass dadurch den Gleieliuniren A' — 0, Y = 0
noch nicht (ieniiije i^e.seliehe, so uiid laan wenigstens sehr viel kh-ineie ^^ erthe
von A und ) <laiaus erhalten, als durch die drei trUheren Ilyjjoiheseii, und
deshalb werden die liieraus abgeleiteten I3ahnelemente weit genauer sein, als die
den ersten Hypothesen entsprechenden. Will man sich hierbei nicht beruhigen,

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170

ZwflHeii Bttcb. Enter Abtchnitt.

80 wird 68 tan gciath^ten leiii, unter Wegkusung derjenigen Hypothese,
welche die grUssten Unteischiede hervorgebracht hatte, die beidra Übrigen mit
einer vierten von Neaem zu verbinden and so nach Anldtung des voran»
gehenden Artikels dn fünftes System der Wertfae von Xj y an bilden. Auf
dieselbe Weise kann man, wo es der Muhe werth erseheint, zu einer
sechsten u. 8. w. Hvptithtwe übergehen, bis dadurch den 'II iihungen XäO,
i^ — 0 so genau Genüge geleistet wird, als es die lo^raritinaiseUen und ti-igono-
metrischen Tatehi gestatten. Sehr selten jedoch wird es niJthig sein, über das
vierte System hinauszugehen, wenn man als erste Hypothesen uicht solche
angeuuuunen hat, die iiocli zu sehr von der Wahrheit abweichen.

122.

Da die bei der zweiten und ilrirtcii Hypothese anzunehmenden Wcrthe
der Unbekaunlen in gewisser Weise HÜlkürlieh sind, wenn sie nur von der
ersten Hypothese nicht gar zu vei-schieden sind , und man ausserdem in
Acht nimmt, dass das Verhältnis« {a — — 6) nicht ztxr Gleichheit mit
(a' — a):(//— 6) hinneigt, so pflegt gemeiniglich gesetzt zu werden: a' = a,
b" — h. Hieraus ei'wSchst ein doppelter Vorthefl; denn es kommen nieht nur
die Formeln für I und 17 noch etwas einfacher heraus, sondern es bleibt auch
ein Theil der ersten Rechnung derselbe bei der zweiten Hypothese und ein
anderer Theil bei der dritten.
(139) giebt aber einen Fall, wo andere Gründe eine Abweichung von dicker

Gewohnheit rathsam machen. Kinunt man nämlleh an, dass A' die Form
X'—x habe, und Y die Form Y' — und dass die Fimctionen A", }" dnrcli
die Natur der Aut'gal)e so angethan seien, dass sie von miissigen. Le i den
W erüiei) von y begangenen P'eidern nur sehr wenig atficirt werden, oder diiss

(4^)» (4r^)» (~dir)» (4[^) ^«««»* Grössen seien, so ist klar,

dass die Unterschiede zwisd^ den Functionswerthen, die dem Systeme x =
y=:ij entsprechen, und zwischen denen, welehe aus xsso, y^b entstehoi,
- auf eine gleichsam höhere Ordnung bezogen werden küimen, als die Differensen

I — «, ?; — nun sind jene Wert he A" = |, F = »j, diese aber
X'f=sa-\-Aj F =6-J--ß, woraus folgt, dass «+-4, b-^B viel genanere

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Baatinnuig d«r Bahn an» drai vdlttlndigeii BeobMhtung«».

171

Werilie tlir x und y »ind, als « und b. Wenn man auf dieselbtu die zweite
Hypothese stützt, 80 geschieht dadunli sfhr lüiutig den (jleichuugen X — 0,
Y—O üchuQ so genau Genüge, daas umn iiiclxt weiter zu gehen braucht-
Andemftüls wird anf dieselbe Weise aus der zweiten Hypothese eine dritte
gebildet, indem man oT a'-\-Ä a+A + Ä, b" =^ 6'+J' =^6+i?+Ä'
aetst, und wenn auch diese noch lucht ab genau genug mdi erwdst, so
wird daraus endlich dne via-te nach Anleitung des Art. 120 «bgeleiteL

188.

In dem Vorhcrcphendon hahe irli voransjresetzt . dass man schon
anderswoher im l't.-itzc ^cniiheiTor Wntlie für die Unbekannten ?/ sich
befindet. Falls imin b( reitäi übor griiäherte lit stiinniungen der ganzen Bahn
gebii tt r (die virllcii bi ans andiit u Beobachtungen durch trUliere Rechnimgen
abgeleitet und nun durch neue Beobachtungen zu verbessern sind), so lässt
sich jen«r Bedingung ohne Schwier^ceit Genüge leisten, welche Bezetchnnng
man auch den Unbekannten biegen mag. Dagegen ist es bei Bestinunung
einer noch ^bizlidli unbekannten Bahn (eme Aufgabe, die sehr schwierig ist)
keineswegs gleichgültig, wdche Unbekannten man anwendet; Ttelmehr mtiagen
letztere dann mit Kunst und in solcher Weise gewählt werden, daas man die
g^enäherten Warthe aus der Natur der Aufgabe selbst schöpfen kann. Dies
g^elingt am besten, ialls die drei, zur Bahnerforschung angewandten Beobach-
tungen keine zu grosse heliocentrische Bewegung des Ilimmclskörpci-s} umfassen.
1 )rrartijre l'tpnhnfdituno'fn sind daher stets zur ersten Hestimnnni;j :ur/)iwenden,
wt iclit' man iiai lilur durch weiter von einander entfcnitt- Beobachtungen nach
IklR'hi'ii verbesäern kaim. Denn man sieht ohne \\'t itrres. dnnA die unver-.
uicidlichen Beobachtungstehler die Rechnung um so melu- »tören, je näher au
einander liegende Beobaclitungeu dazu verwendet werden. Daraus folgt, dass
die Beobachtungen zur ersten Bes^nnmmig nicht blindlings an^;e«rählt werden
dürfen, sondem man nch hüten mtlsse, erstens, dass die Beohaehtungen sieh
nicht SU nahe sind, und dann, dass ne nicht zu wdit von einander entfernt
liegen. Im eisten Falle wird awar die Beredmong von Elem^ten, welche den

Beobachtungen GeaUge losten, sehr rasch beendigt; diesen Elementen selbst wäre (140)

22*

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172

ZweÜM Buch. Enter Abaehnitt.

jeduch wenig zu tnmen, und künnttii dieselben daraus mit Imhlünem so
enorm entstellt herauskommen, dass rie nicht einmal als Annäberuugeu zu
gelten vermiichten. Im sweiten Falle dagegen wUrde man von den künstlichen
Mitteln verlassen werden, welche zur genäherten Bestimmung der Unhekannten
SU benutzen nnd, und man würde daraus nur eine ganz rohe Bestimmung
ableiten können und doch eehr vlt-l mehr Hypothesen hrauehen, oder eine
gänzlich un|roK imte, und doch die langweiligst! n uml wid. nvärtigsten Versuche
nicht vermeiden können. Em erfahrenes Unheil aber über diese ilethoden-
grenzen wird !)es.ser durch hänfifr'' Anwendunp-, als durch Vorsrhritten
crwurlxn. llir iiiitni m iH-handelnden Hei.Hjiii lc weiden zeigen, dass aus
Beobailitungcii der Juuu, die nur 22 Tage \<'\\ rhuuider cntlefrcn sind «ii'l
eine helioeentrisehe Bewegung von 7° 35' mutasijen, die Jileuienie sich
schon mit Tieler Genauigkeit ableiten lassen, und dass wechselsweise unsere
Methode sieh auch mit dem besten Erfolge auf die Ceres-Beobachtungen an-
wenden iHsst, weldie 260 Tage von einander abstehen und eine helioeentrisehe
Bewegung von 62*56' einacfaliessen, some, dass durch Anwendung von vier
HyjMithcsni , oder vielmehr »uece^Hivcn Annäherim^fin , Elemente eriialten
werden, die an& Beste mit den Beobachtungen fibeceinstinunen.

134.

Ich ix^ lie nun üur Autziihlung derjenigen Alethoden über, welche vor-
züglicli zweckina.>isig »ind und »ich auf die voi-augehcndcn V'orscluiiien stützen,
Aenxk hauptsächlichste Momente im ersten Buche aaseinandergesetzt wurden und
die hier nur unserem Zwecke angepasst zu werden brauchen.

Die ^facbste Mediode sdieint die zu sein, wobei f tlr die Abstände
des Himmelskörpers von der Erde in zwei Beobachtungen angenommen werden,
oder vielmehr entweder die Logarithmen die <i r Abstünde, oder die Logaritfamen
der auf die Ecliptik oder den Aequator projicirten Abstände. Hieraus leitet
man vermittelst Art. 64, V die heliocentrischen Orte und die hierzu gehörenden
Abslände von der Sonne ah; dnrntis ferner nach Art. 110 die Ijage der
Bahnebene und die heliocentris( litn l.iin^^cn in eh r Balm, und iiiemus, sowie
aus den Radien Vectoren und den entsprechenden Zeiten durch die in den
Artikeln 85 — 1Ü5 auäi'UhrlicU bclumdelte Aufgabe alle übrigen Elemente,

Digiti^ea by CoOglc

Bestimmung der Bahn aus drei volUtftodigan Beob«cbtaog«Q.

173

wodurch offenbar jene Beobaehtmigen genau dai^gestetlt werden, welche
Warthe man anch dem x und y beigelegt haben w tli de. Wenn nun niittelst
dieser Elemente der geocenirwche Ort zur Zeit der dritten Beol>achtung
berccluier wird, so mma dessen Ueberelnstimmung mit, oder dessen Ab-
weichung von dem beobachteten Orte entscheiden, ob die angenomtncnen
Werthe die wahren sind, oder davon abweichen. Mau gi uinnt daraus eine
doppelte Vergleichung, indem man die eine Differenz (in Länge oder gerader
AuftteiguDg) für -V, und die andere (in Breite oder Dcclination) für Y an-
nimmt Falb daher die Werthe dieser Dtfferenzea Y nicht von aelhst
» Null herauakommen, wo hmen «ich die wahren Werthe von x, y durch die
im Artikel 120 und feig, beschriebene Methode ermitteln. Uebrigens ist
es an and ittr nch gleicl^fllltigf welche woa den drei Beobachtungen msn
hierbei au Aosgangi^punklen wtthlen will. Cemeiniglich empfiehlt es sich jedoi^ U^i)
die erste und letzte zu nehmen, mit Ausnahme eines besonderen Falles,
v<Hi dem ich gleich sprechen will.

Diese ^^ethode ist sehr vielen, später zu i rkliiienden in dem Hetiachtc
vorzuziehen, weil Rio eine selir allgemeine Anwendung gestattet. Ausgcuoinmen
muss dabei der i*"all werden, wo ilie beiden Uussersten Beobachtungen eine
iMkliocentrische Bewegung von 180* oder 360* oder 540* u. s. w. umtUä^n,
denn dann Ibmn die Lage der Bahmebene aus swei heliooentrieehen Orten
nicht bestimmt werden (Art. 110). Ebenso ist es nicht angemessen, die
Mlethode dann ansuwenden, wenn die heliocentiische Bewegmig awisohen den
beiden ttusseraten Beobachtungen nur wenig von 180* oder 360* etc.
verschieden ist, weil man in diesem Falle keine genaue Besthnmung der Lage
der Bahn erhalten kann, oder vielmehr weil dann die kleinsten Veränderungen
in den ang-enomnienen W'erthen der Unbekannten so (»Tosse Veränderunjren in
der Bnliiilage und t'olgeweise auch in den Werthen von A', Y hervorbringen
würden, d;iss diese jenen nicht mehr als proportional aniresehen werden können.
Hier ist aber eine AbUiilte zur Jlujid, indem msui nämlich in einem solchen
Falle nicht yva den beiden änssersten Beobachtungen ausgeht, sondern von
Aet ersten und mitderoa, oder von der mitderen und lotsten, wobei man dann
fOr F die Unterm^de zwischen Rechnung und Beobachtung im dritten
od^ ersten Orte annimmt. Wenn aber sowohl der aweite Ort vom ersten',
als der dritte vom zweiten nahezu um 180 Grade abstehen sollten, so würde

Digiti^ca by Goü^lc

174

, ZwMtM Bnofa. £ntw AfaMhnitt.

auf jene Weise dieier Naehtheü nicht geUobok werden, und cb ist Saarn TOr-
saztehoi, aolclie Beobachtungen, um denen man der Natur der Sache nach
eine genaue BahnbeBtinunung ttbemll nicht ableiten kann, sur Elementenr
berechnung niclit zn verwenden.

Atmerdem empfiehlt diese Methode aicfa noch dadorofa, dasa man darans
ohne Muhe zu scliHtzen vermag, wclclte Veiündmmgiai die Elemente erieiden,
wenn, unter Beibehaltung der beiden Uussersten Orte, der mittlere uni ein
Weniges geändert wird. Auf diese Weise kann man sich also ein l'rtheil
Uber den Grad der Genauigkeit bUdeUf welche man den gefundenen Elementen
beilegen darf.

m.

Durch Anbringung einer leiditm VeiVnden]]^ an die vorige Methode
ISsBt nch daraus eine aweite ableiten. Ganz wie bei der ersten bestimmt
man alle Elemente, indem man von den Abstanden in awei Beobachtungen
auageht. Aua diesen Elementen berechnet man dann aber nicht den geocen-
trischen Ort fHr die dritte Beobachtung, sond«ni führt die Hechnung nur bis
aum heliocentrischen Orte in der Ilalm und leitet dann dmRelben hefiocen-
trischen Ort mittelst der in den Art. 74 und 75 belumdi lt^ n Aufgabe aus
dem beobachteten geocentriechen Orte und der Lage der Bahnebene ab. Diese
l)eidrn liestininiungcn, die unter sich ditteriren (wenn nicht znf^illig die wahren
Werthe von x, y bei der Annahme getroffen sein sollteiij werd< n, uns A' und
Y liefern, wo für X der Uuterscliied der beiden Werthe für die Länge in
der lifdm genommen wird, und fUr Y der Unterschied z\vi.s€heu den beiden
) Werthen für den Radius Vector, oder vielmelir für de.ssen Logaritlmms. Diese
Methode ist den nMmliehen AmtSnden unterworfen, welche ich im vorLer-
gehenden Artikel berührt habe. Man muss ihr aber noch die fernere "Ben
merknng beifügen, dass der heliocaitrische Ort in der Bahn ans dem geocen*
trischen nicht gefunden werden kann, Ms der Ort der Erde in einen der
beiden Knoten der Bahn flült. Dann lUsst sich daher diese Methode nicht
anwenden. Man thut jedoch wohl, dieser Methode auch in dem Falle si<>h
tw enthalten, wenn der Ort der Erde nur wenig von einem Ssx beidem
Knoten absteht, weil die Voraussetzung, dass geringen Aendemngen von

L/igmzed by GoogI<

I

B«attiniiniog dar Bahn «m drei voUttändigeB BcobwIitaDgvn. 175

X, y aucli proporrionale Aonderungen von X, Y entsprechen, dann zu felilsiun
sein wtirdc, und zwar au:» einem ähnlieben Grunde, ^vie der im vorliergehenden
Aitikel angedeutete. Aber aucli liier lässt sich durcli V'ertauscLung des
mitfleren Orts mit dnem der Kiusecen Orte, dem ein mebr ▼on den KDOten
entfernter Erdort entspricht. Abhülfe sdiaffen, wenn nicht snfällig bei allen
drei Beobaditungen die Erde in der HVhe der Knoten uch befunden hat

126.

Die vorhergehende Methode bahnt sofort zu einer dritten den Weg.
Zunächst bestimme man wie vorher aus den Abständen des Himmel sköi-pers von
rJer Erde in den Mussersten Beobachtungen die entsprerlienrlpTi Ijinijeri in der
Ikiui mit den Radien Vecioren. Mit HüJte der Lay;o der Bahuebene, welche
diese litt Imuni;^ liefert, leite mau am der mittlcni Beobachtimg die Länge in
der Bahn imd den Radius Veetor ab. Daiui aber berechne mm» aus diesen
drei licliooentrisüheu Orten die übrigen Elemente vermittelst der in den Art 82
und 83 behandelten Aufgabe, wobei das VerfiUuren nnabhUngig von den Zeiten
der Beobacbtnngea ist. Auf diese Weise werdoi also die drd nutzeren
Anomalien und die tägliche Bewegung bekannt, woraus sieh die Zeitinterralle
Kwiadien der ^ten und »weilen und zwischen der zwditen nnd dritten
Beobachtung berechnen lassen. Deren Untenefaiede von den wahren Intervallen
mnunt man dann für X und Y.

Diese Methode wUrde weniger sweckmässig sdn, &Ub die heliocentrische
Bewegmig nur einen kleinen Bogen umlasst. Denn in einem solchen Falle
hängt (wie ich schon in Art. 82 bcrnt^rkt habe) diese Bahnbestimnimig- von
Grössen der dritten Ordnung ab und lässt daher genügende Schärte niiht zu.
Die* leichtesten Aendcrungen iu den \\ i'rtlu ii von ur, y könnten übt-ig^rosse
^Vciuli rungen in den Elementen und also auch in den Wcrthen von A, Y
erzeugen, und man dttrfte diese nicht als jenen proportional erachten. So oft
aber die drei Orte cme betrttchtlidie heliocentrische Bewegung umfiusen, so
ist der Gebrauch der Methode allerdings v<»n besten Erfolge begleitet, voraus^
gesetst, dass er nicht durch die in den vorangebenden Artikebi dargelegten
Ausnahmen gestört wird, die daher offenbar auch bei dieser Methode m
berücksichtigen sind.

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176

Zweilet Bach. Entar AlMMhaitt.

137.

Hat nun die drei heliocentnadien Orte euf die im vormgehendeii
Artikel beaehriebeue Art ermittelt/ «o kann mm auch in folgender Weise

verfalnen. Mnn Ijestimuie die ttbrtgeii Elemente Tennittelst der Aufgabe in
den Artikeln 85 — 105 zuvörderst aus dein ersrm nnd zweiten Orte mit der
entsprechenden Zwischenzeit, sodann aber auf dieselbe Weise aus dem zweiten
und dritten Orte und der ztigeliori^j^rn Zwischenzeit. Sd wird man für die
einzelnen Elemente zwei Werthe ci halten, au» deren Untersehieden man nach
Belieben zwei fUr A' und Y annelimeii kaim. ]!)ies.e Methode cinptiehlt sich
ausjserordeutlich durch den nii ht zu verachtenden \ orthcil, dass mau bei den
eraten Hypothesen die Ubri<;;en Elemente, abgesehen von dea beiden, welche
man zur Feststellung von A', Y aaswäMt, überhaupt bei Seite lassen kann,
und daaa diese erst dnrch die letzte, anf bemts eorngirte Werthe von x, y
gestutzte Recfannng bestimmt ^rerden, entweder allein aua der ästen Combination,
oder allein aus der zweite, oder, wa^ gemeiniglich vorzuziehen ist, aus
der Combination des ersten Orts mit dein <] ritten Orte. Im Uebrigen gewährt
die Auswahl jener beiden KIcTnente, welche, allgemein ge.sprochen, willkdrlich
ist. eine gi-o».se Mannigfaltigkeit der Atit'lö'snngen. Es können z. I?. griionimen
werden der Logaritlunus des halben Parameters mit dem Loganlhnnis der
grossen Halbaxe, oder ersterer mit der Excentrieitiit, oder der letztctc niic
der ExceutricitUt, oder jnit einem dieser Elemente die Länge des renheis.
Irgend tarn dieser vier Elemente kann auch combinirt werden mit der ezcen-
triacho) Anomalie, die dem mitderen Orte in jeder der bdden Becbnnngen
entspricht, wenn nämlich eine elliptische Bahn sich ergeben sollte, wo dann
die Formeln 27 — 30 des Art. 96 eine sehr rasche fiechnnng gewSbrea. In
bcsondeni Fällen aber bedarf diese Auswahl einer gcwis.sen Vorsicht. 8o z.fi.
würde bei Bahnen, die zur Aebnlicfakeit mit dt r Purabel himuigen, die grosse
Halbaxe n ndcr ihr Logarithmu.s weniger zweckmä^ssig sein, weil deren nn-
mässige \ ariationen den Aendenmgen von a:, y nicht proportional erachtet

werden dttrAen. In diesem Falle wUrde es dienliche sein, aiuzuwHhlen.
Ich halte mich aber bei diesen Vornchtmnaaasregeln um so weniger anf, ab

Digiti^ea by Co

BejitimmuBg der Bahn ans drei voUstündigen Beobaciituiigciu

177

die filnfte, im folgenden Artikel ausdoanderzusctzende Methode vor den
bislang errhterten vier Methoden fast .in allen Fällen die Überwiegendsten
Vorzüge besitzt.

128.

Eä süUcu die drei, auf die nämliche Welse wie iu den Artt. 125, 126 er-
mittelten Badien Vectoren mit r, r\ r" bezeidmet werden; sodann soll die
heliocentrische Wiukelbewe<riui^ in der Bahn vom swdten Kum dritten Orte
mit 2/, vom ersten zum dritten mit 2f^ vom ersten ismn zweiten mit 2 /"
angedentet sein, so das« f=f-\-f ist Es sei femer **'r'*in2/=s »,
rrasL2f'=n. rr v,m2f" ~ n". Endlich seien die Producte der eonsnniten
Grösse k (Aitikel 2) mit den Zwischenzeiten von der zweiten zur dritten lieob-
aehtniijif, von der ersten zur dritten, von der ersten zur zweiten beziehungsweise
.*>, f>\ t> . Man beginne mm mit einer rioppriten Berecbnunj^ der Elemente
(^anz wie im vorhergeluinlcii Artikel! .sowulil aus r, r\ f " und i}\ als uns
r", /", &. In beiden liccluiungen gehe man aber nielu Iti.s zu den
Elementen treibst vor, süudem halte ein, suhuld die Grösse, welche das
Verbältniffi des elliptisclien Seetmia zmn Dreiecke ausdrfickt| and welche oben
(Art 91) mit y oder — T bezeichnet wnrde, gefunden ist. Es sei der Werth
dieser Grösse in der ersten Bechnong 17", in der zweiten 17. Man erhält daher (144)
mittelst der Fonnel [18] des Art 96 für den halben Parameter p den
d<vppelten Werth:

tr n

VP'--;' und 1/P=^.

jSach Art. 82 hat man aber Überher einen dritten Werth

_ 4rr')"8i n/ Bin/'sio/"

welche drei Werthe offenbar identisch sein nUlssten, falls man für y gleich
von Anfang an die wahren Werthe getroffen hätte. Es mllsste deshalb sein

, , „ 4*«''r»'t^«in/«n/'8in/" n'ÖHf

178

ZwMtes Bttcb. Entor AtMchBitt.

Wenn daher diesen Gleicliungeu nicht bereits bei der ersten Rechnung von
■elbflt Genligo geleistet wird, so kann man seteen

Diese Methode leidet eine ebenso allgemeine Anwendung wie die Ewcate,

im Art. 124 g(?gebene. Es ist aber ein grosser GewiTnu «I t^s bei dieser fünften
Methode die ersten Hypothesen eine Entwickelmiu «K r Elemente seibat nicht
erfordern, .sondern man dabei gleichsam auf halbem Wege stehen bleiben kann.
Sobald man ftljnirf"ii> hni diesem Verfahren soweit gelangt ist, dass sich voraus-
sclion Ifi^st , wie eine lu'iie Hypothese von <lcr Walirlicit nicht inei klich ver-
schicdcu üciu wcä<Ic, .-o genügt es, darin die Elemente selbst entweder lediglich
au« r, r', /", &'\ oder aus r', r', J] 9^ oder, was vorzuziehen ist, aus
r, r'\ /', il^' so bestimmen.

129.

Die bis jeiast erläuterten fünf ^fcthoden bahnen sofort den Weg zu
ebrasovielen andern, welche hieli von jenen nur dndux-h unterscheiden, das»
für X und y an Stelle der AbstUnde von der Erde die Neigimg der Bahn
und die I.Hiii:f(> des aufsteigenden Ivnotens genommen werden. Mit diesen
neuen ^leihodcn verhält es sieh so:

1. Es werden aus x und ?y, sowie aus den lieiden ttuj«sersten geoeen-
trischen Orten nach Art. 74, 75 die heliocentrisehen Längen in der Hahn und
die Kadicn Vcctorcn lie-timnit. und hieraus und ans den entsprechenden
Zw iselienzeiten alle iil n ii^eu lOlemeiite; aus letzteren endlieli der geoeentri-elie
Ort zur Zeit der luiiikicn IjcubaeliUmg, dessen Unterschiede mit dem beob-
achteten Orte üi Länge und Breite A' und Y liefern.

Die vier übrigen jNIethodcn kommen darin iihereiii. da^s ans der I.ajje
der BahnebeiK' und den g<'oct ntrlsclien (Jrti ii alle drei lu lioceutri-ehen Längt ii
in der Bahn und die ent-sprechenden liiidien Veetoren bereeluiet werden.
Sodann aber werden

Digiti^ea by Co

Bestimmung der Baho aus drei vollständigen Ueobachtungen. 179

II. die ttbrigim I3aiieiile nur aus den beiden ituBsersten Orten und
den entspredienden Zeiten bestimmt. Naclt diesen Elenieuten werden für die
Zeit der mittleren Beobaelitung die Länge in der Bahn und der liadius Vector
berechnet, und die Verschiedenheiten dieser Or»"ssen von den ziivor dafür ge-
tun«1( iu ii, d. Ii. aus dem geooentriBchea Urtc abgeleiteten Werthen, stellen A'
und > dar.

III. Oder man leitet die übingeu liahndiniensitmen aus allen drei
heliocentriflchen Orten (Art. 82, 83} her, eine Kechnung, wobei man die Zeiten
nieht braaclit Dann bereclinet man die Zwischenzdten, welche in der so
gefundene Bahn zwiscbm der ersten und zweiten Beobachtung, und swiscben
dieser und der drittoi hätten Terstreichen mllasenf und deren Unterschiede mit
den wahren liefern ans A' und Y.

IV. Man l)ereelnie die ttbrigen Elem^te aaf doppdte Weise, n'andich-
flOWoLl ans Combination des ersten Orts mit dem zweit(!n, als aus Conibination
des zweiten mit dem drittcTi, tmter Hinznnflbnic der enfspreeiienden Zeit-
iiitervalle. Dureh Vei Lrle'u liuii^- dieser beiden Eleint iitensysteme unter sieh
kann man aus den Ujucr»;t:hicdcii ii<rend welelie zwei lilr A' und }' nehmen.

V. Oder endlich führe man dieselbe doppelte Keehuung nur bis
zu den Werthen der im Art 91 nnt y bezeichneten Grösse fort, und
nehme dann fOr X und y < die im vorhergehenden Artikel gegebenen
Ausdrücke an.

Um sich dieser vier letzten Methoden mit Sicherhdt au bedienen,
dürfen die Orte der Erde fttr alle drei Beobachtungen den Knoten der Bahn
nicht zu nahe liegen. Dagegen erfordt. it der Gebraueh der ersten Methode
nur, daas diese Bedingung bei den beiden äu.*isersten Beobachtungen iStatt
findet, oder vielmehr (weil man den mittleren Ort an Stelle eines der beiden
änssersten setzen kann), da.ss von den drei lilrdoi'ten nicht mehr als einer in
der Nähe der Knoten liegt.

lao.

' Die aehn, vom Art 124 an erklärten Methoden stützen sich anf die
Voraossetxang, dass man bereita genSberte Werthe fttr die Abstünde des Himmels- .
körpera von der Erde, oder fUr die Lage der Bahnebene bentzt Falls es sicli

23*

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180

Zweite« Ba«h. Erater Abachiiitt.

darum handelt, die Balindiraenaionen, deren genilherte Werthe berdts anders-
woher bekannt geworden sind (zum Beispiel aaa einer früheren, auf andere
Beobachtungen gcsttltztcn Iteclmmig), durch Beobachtungen ssu Terbessernf
die weiter von einander entfernt sind, so stehen einer aolchen Anforderung
offenbar keine Schwierigkeiten im W«^. Hieraus aber ist noch nicht klar,
auf welflie \\'('is(> die er»tc ßi ioclmmi}^ in Angriff zu iicliniOH ist, wo noch
(146) alle Bniuulimeiisioncn gUiizlic Ii iiuliokaiiiit «Ind. Dieser Fall unserer Aufgabe
I«t der I»el weitem \vii !itii;.stf uiul scll\vK•|•i^^sto, wie man üehon ans dem analogen
l'niMemc in »li-r Theorie clrr Coiiifirn alinelinu-n kann, das bekannflii !i >iclii»n
lauste div ( '<{ <>\\wtvr ;>^'<jUiilt mid so viel«' verixeMiche \ «T^üielip In i \ <m .rcrnffti
hat. Im miM II- AutlralK' als riclitiji' «gelost ansehen zu k«iiui< n, iiiii.->.s oJieiiliar
den nacliiVil^rndcn ljidini:iniL'^< n («ciui'fe m-K-istet schi, wliu» anders die Auf-
lü.smig nach der vom Art. IIÜ an erklärten \'orsehrift geschehen soll. Zuerst
mttssen die Grössen y auf solche Weise gewHblt w^den, dass man für «e
genäherte Werthe aus der Natur der Aufgabe selbst erzielen kann, wenigstens
so lange die von den Beobachtungen umschlossene heliocentrisclie Bewegung
des Himmdsktirpcrs nicht zu beträchtlich ist» Zweitens aber wird erfordert,
diiä8 kleine Aendennigcn der Grossen dr, y nicht zu starken Aendcrungon in
den daraus abzuleitenden Grossen entsprechen, 4laniit nicht die hei der Wertb-
annahme jener Crössen etwa hej^an^^nen Fehler verlündem, dass num auch
diese als <;t'nidierte ansehen kann. Endlich drittens verlangt man, das.s die
l\eclinungs()|)erationen, dureh welch»; man vtm d< Ti 'Irö-^en j-, ^ nach und tutch
bis zu A, y vi)r>f |ireitet. nicht gar zn ss t ii limtlig werden.

iJle.se iJttlitigungen gehen ein Liiierium an die Ifand, nach welchem
man sieh üher <lie \'or/,ilglielikeif jeder .\(<thode ein Urlheil Itildiu kann, die
»ich noch sichtlicher aus hUutigeu Anwendungen oiieubarcn wird. Diejt ui^tr
Methode, zu deren Auseinandersetzung ich jetzt übergehe und welche ge-
wissermaassen als der wichtigste Theil dieses Werkes zu betrachten ist, leistet
diesen Bedingungen in einer Weise Genüge, dass nichts mehr zu wttnschen übrig
erscheint Bevor ich jeduch damit bcguinc, dieselbe in der für die Praxis
bequemsten Gestalt zu erklären, will ich einige vorläufige l>etrachtangen v or-
aussehieken, um gleichsam den Zugjujg zu dieser Mctlu>de, der sonst vielleicht
7M dunkel und weniger nahe liegend erscheinen kOnnte, zu beleuchten und ssn
eröfihcn.

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Bestimmung der Bahn aus drei voUständij^on BeobacUtungan.

1«!

\9L

Im Artikel 114 ist gezci<^t, da-^s. wemi flfis Vorhältiiiss zwischen fleii
dort lind im Art. 128 mir 7?', ?/' hezeicluieteu (irösseu bekannt ist, mmi die
Abstünde des Hinimelskni jicr.s von der Erde dureb sehr citifucLe Formeln l)e-

stimmen kann. Wenn daher für Xy y die Quotienten — —r genouunen

würden, so böten sich l"(ir diese Gross« n In dem Falle, wo die holiocentriseli(!
Beu o;j^ng innerhalb der Beobachtungen keine llbennässige ist, sofort die Werthc

-y , dar (wobei die Symbole &" in derselben Bedeutung wie im

Art. 128 Bu nehmen). Hieraus scheint mithin eine nahe liegende AnflSsung
unserer Aufgabe sich zu eröfiuen, falls man aus x und y die beiden Abstände
von der Erde herleitet, und sodann nach Maasegabe einer der fttnf in den
Artt. 124 — 128 gegebenen Methoden verfährt.

In der That wird, wenn man auch die Symbole 17, if in der Be-
deutung des Art. 128 ninmit, und dem analog mit »/ den f>uotienten be/i i( Imet, (147)
welcher aus der Division des zwischen beiden Kadien Veetoren enthaltenen
Scctors durch die z^^-^sehen ebendenselben befindliche Dreiecksiläche entsteht,

iK ö »/ n" ö" »' . , • 1 • 1 ^ j I H

-jj- = -jr . ~ "S^" • "jjS" Bein, und man sieh^ leieht, dass, wenn «, », »

als kleine OrSssen der ersten Ordnung angesehen werden, dann, allgemein
g'esprochen, 17 — 1, 17' — 1, 17" — 1 Grössen der zweiten Ordnung sind, und dass

daher . , als geuithcrte Werthe der Grössen x, y von den wahren nur

um (Jn;-M ii der zweiten Oninung verscliieden sind. Nichts desto weniger
findet sieh bei nUhcrei lJcira»:li(uug der .Sache, dass diese Methode lii)iTliaupl
ungereimt ist, dne Erscheinung, deren Grund ich mit wenig Worten
erklttren will.

Ohne viele Mühe erkennt man, dass die Grösse (0.1. 2), mit welcher
ilie Abstände in den Formeln 9, 10, 11 des Art. 114 multiplicirt sind,
mindestens von der dritten Ordnung wird, wogegen b. B. in der Gleichung
[9] die Grössen (0.1.2), (1.1.2), (II . 1 . 2) von der ersten Ordnung
sind; hieraus folgt aber Hcht, dass ein bei den Werthen der Gröstien

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182

ZwsitM Buch. Eiater Abaebnitt.

^» " begangener Felilor zwi iter Ordnung in den \\ crtlu n der Abstände

einen Fehler vtm der Ordnung Null erzeugen werde. Ks würden deshalb
nach dem gewühnlichen F'pniflimbraurhe die Al>stünde nur daim mit einem
begrenzten Felder herauskouinicn , wenn die Zwissehenzeiten uncnillit h klein
sind, mul mau würde mithin sowohl die.se Ak^tände, al.s die übrigen daraus
abzuleitcudeu Grt«>&eu nicht eiumal für Anniilierungen halten kümicn, und die
Methode wUrde daher mit der ssweiten Bedingung des vonuigehenden Artikel«
im Widerapruche stehen.

ISS.

Setzt mnn der Ktlr/n wegen (0.1.2 =a, (0 . 1 . 2) /)' = — 6,
(O.0.2}i> = +c, (0.11.2 ;£> +rf, so dass die Gleichung [lOJ des

Art. 114 wird aif ^b-^e, — r-h<i.— , ro werden »war die CoeiBdenten <

und d von der ersten Ordnung Bein, es Ittsst mch jedoch Idcht zdgen^ dass die
Differenz e — d zur zweiten Ordnung gehliren raUsse. Hieraua folgt aber, dass

der Werth der OriSse/s ' **** approximirten Voraussetzung

n : n" = i*> : •'>" entsteht, nur mii eiiR Ui Fehler von di r vierten Ordnung behaftet
sei, ja sogrn* nur von der fünften, fjUls die inittlci*c Beobachtung von den
äusseren um gleiche Zwisch^rSnme absteht Denn es wird jener Fehler

_ c0-\-d9" _ cn-f-rff." _ — e)(i>" — i>)

wo der Nenner von der '/wriu n Ordmmg ist, der eine Factor des Zähler«
&ff"(d — ■r'' von vicrtni , der ;iii(lcif 7/' —»;) von der zweiten oder in

jenem Hj»eeiellen ialle vt»n der dritten. Stellt man daher jene (ilcichung in

folgender Gestalt dar: — 6-1- « ""l^* * \(lar, dass der

(148) Fehler der im vorl) ergehenden Artikel vorgetragenen Methode nicht daraus
herrührt, dass die Griksen n" hier den Grö.-^.^en '}" proportional ange-
nonmien sind, sondern daraus, da.s.H man noch Überdies die Grösse ii der
Grösse f^' proportional gesetzt hat. Auf diese Weise ^vivd nämlich an der

Stelle des Factors , der minder genaue Wöth — — 1 eingeführt,

Digiti^ea by Co

dar Bibn «na drai ▼«UaCKiidigeii Beobacbtaio^Mi. Ig^

von welchem der wahre Werth == 1 + 2 ^rf'rr'i^ co» ftstm/' «»f* *™ Gröaae
der zwaten Ordnung v«:acliiedeii ist (Art 128).

188.

Da die Cosinusse der Winkel f \ ebenso wie die Grössen

von (Ur Kitiheit um eine Differenz der zweiten Ordnung verschieden sind,

so sieht man, dass ein Fehler vierter Ordnung begangen wird, wenn statt

""l^" der genäherte Werth 1 eingeführt «rird. Falls daher

anstatt der Gleichung des Art. 114 die folgende angewandt wird:

80 wird sidi in dem Werihe des Abstandes ^ ein Irrdram sweiter Ordnung
ergeben, wenn die äusseren Beobachtongen von den mittleren gleichen Abstand
haben, oder ein Fehler erster Ordnung in den Ubrigm Fällen. Diese neue
Fonn jener Gl^chung ist jedodi zur Bestiuunung yon ^ nidkt gedgnet, weil sie
die noch unbekannten GrtSssen r, r , r" enthält

r r"

Allgemein ge^protäien entfernen sich die Grössen ^r, ^ von der Ein-

rr"

heit um eine DitGerens der ersten Ordnung, und ebenso das Froduct -yp-*

In dem besonderen} schon oft erwähnten Falle nebt man leicht, dass dieses
Product nur um eine IMfferams der Bweitem Ordnung von dar Einheit ver-
schieden sei. Ja, wenn t\\v I>aliufoi-ra der Ellipse nur wenig excentrisch ist, so
daaa die Excentricität als eine Grttese der erstm Ordnung sich betrachten

iMaaty so wOrde die Differenz von -yp- zu dner noch um emoi Grad bibberen

Ortung gehSren kttnnen. Es ist daher klar, dass jener Fehler von derselben

Ordnung wie vorher bleiben werde, wenn in unserer Gleichung statt ~^^fpr

gesetzt wurd -^^t wodurch sie folgende Form erhält:

aö =64- 0+ 2?r}

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184

Zweit«» Buch. Enter Abachnitt,

(ii'j) Auch clic)«e Glekluu)g eutbält zwar noch die unbekannte GrSwe r, welche
«ich aber oflenbar climiniren läwt, da sie nur von 9 und bekannten Grömen
abhUngig ist. Würde die Gleichung alsdann gehörig geordnet, so wäre rie
eine des achten Grades.

134.

Aus dem Vorütehenden ist bereito der (miiikI eisii li(li( Ii. wannii wir in

unserer Methode für a:, y resp. die GrSisuen a= i* und 2(^7^ — ijr* — Q

annehmen wollen. Denn es ist auerst klar, dass, wenn P und Q als bekaont
angesehen werden, sieh daraus 9 mittelst der Gleichung

besliinnien lasse und sodann S und 9' durch die Gleichungen [4] und [6] des
Artikels 114, indem man hat

Zweitens Ist oflenbar, dasn bei der ersten Hypothese l'Ur die Ürüsseu /* und
Q. deren ^enau wahre Wert he —-»Art und — » — n—-" ß" — it • sind,

sofort die genäherten Werthe - und 93" sich darbieten , eine Hypothese,

ans welcher in die Bestiminnng von 9 und mithin auch von ^, 9* Fehler der
ersten Ordnung tibergehen, oder von der zweiten Ordinuig in dem mehrfach
erwähnten ßpecial&lle. Obgleich man dch Übrigens im Allgemeinen auf diese
Schlussfölgerungen fest verlassen darf, so kOnnen sie doch in einem besonden
Falle ihre Beweiskraft verlieren, felis nämlich die Grösse () . 1 . 2\ die im
Allgcroeinen von der dritten Ordnung ist, asufüUig = KuU wird, oder dodi
so klein, das« sie einer höheren Ordnung angehören muss. Dies gesehieht, falls
die geoeentrisf'ho Bewegung an der Elinunelsktigel nalie rm (b ni mittleren Orte
einen EinbirnniiLJ -l'iniki zeigr. Um daher die^f» MriLudr linnii/i ri zu könn(»ii,
ist es selilir.-slicli oiifiihai nothwendig ertuulci li< h , die lii'li(H'cnti i.s<^iie

Bewegung iniuihulb der drei Beobachtungen niLlit zu beträehtlieh sei. Diese
EinsduAnkung aber kann nach d&f Natur der sehr verwickelten Aufgabe

Digiti^ea by CoOglc

B«atinnaiig der Balm «ut dni vollutlndigfliii Beobaehtangem

186

in keiner Weise vcnuicflrn \vi rdeii. und isf nnc]\ iiiclit ttir einen Nachtheil
zu lialii ii, <]a man »Jtets w iiiisclicii uiid, die erste üestinmiinio; der unbekannten
Balm eine» ntnu ii I liiiuiutl.-ikorpers Icildiiin^'-Helist zu liej^'innen. Ausserdem ist
jene Eimcbräukung , wie die unleu gegcLeueu Beispiele zeigen werden, in
siemlioli wdtan 8imie wn ventelieii.

135.

Die vorstebendeik Uttterfucbungeii «md m dem Zwecke angefnbrt,

damit <■! rjrundsatze, worauf sieh meine ifetliode stützt, und gleiehsam ihr
wahrer Nerv de^to kluger durchblickt werden. Die Durehiuhrui^ selbst aber
Avird die Methode in einer ganz versehicdenen Gestalt darstellen, welche ieh
liae!i nehr liäufriren Anwendungen als die bequemste unter vielen .nidern vnn {löO)
mir \ i'i suclitei» i iii|t^c!deii kann. Da bei der HestimmuiiLT einer nnliekamiten
J>aJm auii drei ileobaeljnin;^(ii das ganze Geschäft siili snr.s auf einige
Hypothesen, oder vielmehr »lueessive Annäherungen zurlickf (ihren liisst, so ist es
als ein »ehr grosser Vortheil zu eniehten, wenn es gelingt, die Rechnung derartig
«izQordneo, dass gleich von Anfang an so viele Opemtionen als möglich, die
nicht von P and Q, sondern einzig von der CSombination bekannter GrBBsen
abhängen, von den Hypothesen selbst sich trennen lassen. Man braucht dann
oiBenhar die vorläufigen, allen dnzelnen Hypothesen gemeinsamen OperalioDen
nur einmal ausKufUhren , und die Hypothesen selbst wmien auf so wenig
Operationen wie möglieh reducirt. Auch ist es dabei von giossem Werthe,
wenn man nicht nöthig Imt, bei den einzelnen Hypothesen bis zu den Elementen
selbst vnrzuschreiten, sondern wenn man sich deren lierechnung bis zur letzten
liypotiiese autspnren kann. In licider Huisicht diidie meine Methude, welche
i'cii jetzt auseinanderäctzen will, nichts zu w linseben übrig lassen.

136.

Tor allen Dingen muss man die drd heliocentriseben Orte der Erde
m der Himmelakugel il, A" (Fig. 4) mit den drei entsprechenden geocen-
triBchen Orten des Himmelskörpers jB, ffj SC durch grdiBste Kreise verbinden,
ond sowohl die Lage dieser grössten Kreise in Beziehung auf die Edqptik

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186

Zwttitet Buch. Enter ÄbaehnitL

(wenn man i^bnlich I^Btere zur Qnmdebcne wälüt), als in ihnen die Lage
der Punkte Bj B* berechnen. Ea «eien «, a', «" drei geocentriwbe
liingen des Himmebkörpers, /9, ß" dessen Bretten) ^ V die heUooen-
trischen LKngen der Erde, der«i Brüten = Null gesetzt werden (ArtL 117, 72).
Es seien ferner f\ y" die Neigungen der grSMten Krdse, welche von
A\ A" bezieliun}i:s\veise nach K gezogen sind, gegen die Ecltplik.

üin in Bestimmung dieser Neigungen eine feste Regel zu befolgen, woUen
wir sie beständig in Beziehung auf denjenigen Tlieil der Ecliptik messen,
welcher von den Ptmkten A, J . X nacli der Ordnung der Zeichen belegen
ist, Pf» dass iiire (irösse von 0 Iiis zu iJGÖ ' diu( liirczählt wird, oder, was aui
dassi'lbe herauskommt, im iiiiiilliclicii 'Ihcile von 0 bis 180°, im Hüdlit-iicn
Von 0 bis — 180". Die Bogen AB^ Aß\ Aß, die man aicu zwiseiicn 0
imd 180* setzen kann, bezeichne ich mit 8o hat man fUr die

Bestinunung von die Formeln:

welchen man snr Prttfung der Rechnung hinzuftlgen kann: fsty
(151) sin^ « - , cosJ = co8/^co8(« — l).

fosnY

Zur Brj^tinnnnng von y , «y. y" . rJ" dienen offenbar ganz analn2:r Foi-meln. \ \\i
Wurde gh ic hzeiti^x /i = (>, 0 oder =180°, d. h. befände sieh der l ^',^-

Körper zugleich in der Opposition oder Oonjnnction und in der Koliptik, so ]-\\
wlü'de y unbestimmt bleiben; aber ich setze voraus, da»s dieser Fall bei keiner
der drei Beobachtungen Statt habe.

Wenn statt der Eeliptik der Aeqwrtor als Qnmddt»6De gewSlilt vnrd,
so mOsste man, um die Lage d«r drei grSiraten Kreise in Beziehung auf den.
Aeqiuitor zu bestimmen, ausser den N^gungen noch überher die Bectascensionen
der Einschnitte mit dem Aequator berechne», und auch ansser den Abstitnden
der Pimkte B' von diesen Einschnitten annoch die Abstände der Puxikte

Ä, Ä, Ä' von denselben bestimmen. Da dies von der im Art. 110 behan-
delten Auflebe abhängig ist, so halte ich mich hier bei der Entwickeluug der
Formeln nicht weiter auf.

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BaktinniHiiig im Balm m» drei vollatlodigw Beobaebtuiigu.

187

137.

Daa zweite Geschäft bildet die Bestimmung der relativen Lage jener
drei grStotea Kreise vaitev sich, die von der La^c der gegenseitigen Ein-
schnitte und Ton den Neigungen abhängig ist. Da ich dieses ohne Zwei-
deutigkeit auf klare und allgemeine Begriffs BurQc&safEihi'^ai wUnsche, so dam
man nicht ftlr die einseinen verschiedenen fUlle auf besondere Figuren zu
recurriren braucht, so mn.ss Uh einige voigttngige JMänterungen Toransehicken.
Zuerst muss man nHmlich in jedem arö^^ten Kreise zw^ entgegengesetzte
Riehtungen nntcrsdieidcn , was dadurcli geschieht, das« man die eine als
«■ine Y(»rsc1irettmflc orlrr jiosifive, die andere als eine rnckgängigc oder negative
iHtr.u litt't. Da (Iiis IUI sicii ganz willkfirlicli ist, so will ich, um eine feste
Nurui aufzustellen, stvis die Kichiungcu von A, A'. A" nach Ji, /i" ]iin
als positive betrachten, au /.. Ii. wenn die Einsclmcidung de.-, ersten Kreises mit
dem zweiten durch eine positive Distanz vom Punkte A dargestellt wird, so
ist dies so zn veratehen, dass sie von A gen B hin (wie ü* in nnserer Figur)
20 nehmen sei; wenn sie aber negativ wHre, so mQsste sie von der anderen
S^te von A genommen werden. Sodann aber zweitens, werden auch die
beiden Halbkugeln, in welche jeder grSsste Krtis die ganze Kugd zertheilt,
dorch .schicklic^he Benennungen von einander zu unterscheiden sein. Und zwar
will ifh diejenige Halbkugel die obere nennen, welche dem an dir iiimren
Kug'clfiüche einen griKsten Kreis m vorsclu-eitender Richtimg Durciiwaiideniden
7Air Kt'f Ilten ist: flic ;m<lrr(' flic untere. Die oltore Region wird dalier analog
<eiii (Kn ntirdliclien Halbkugel in Beziehung auf Ecliptik oder Acquator, die
untere der stldlichen.

Hat man dies richtig verstanden, m wird man leicht beide Ein.sehnitte
der ^össten Kreise von einander unterscheiden könncu; in dem einen Em-
•dmitte nKmlicb Iraikt der erste Erek ans der untern Region dra zweiten in (i.52)
die obere, oder, was dasselbe ist, der zweite aus der oberen Region des ersten
m die untere. Bei dem zweiten Einschnitte findet das Gegentbeil Statt.
An und fttr sich ist es freilich ganz gleichgültig, welche Einschnitte wir bei
unaerein Problem auswählen woll«t. Um aber auch hier nach einer unver-

änderliclien Norm zu verfahren, wollen wir stets diejraigen (/>, b\ D " in Fig. 4}

2A*

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188

Zweite» Buch, Ertter Abaehnitt.

anuehmciif wo re.<>p. der dritte Kras JCtT m des zwdten ÄB^ der dritte in
des ersten AB.^ der sweite in des ersten obere B^on ttbei^ht. Die Lage
dieser Emsehnitte wird durch ihre Äbstibide von dm Punktm Ä und X,
A und Jl^ A und Ä bestinunt, urelche wir einfach mit ÄDt Ä' Dy AU^ Ä'
AlTy ÄD* bezeidinen wollen. Sodann werden die g^enseidgen Neigungen
der Kreise dit? Winkel .sein, w i 't lic n >]). in ilicscii Einschnittspiinkten Z>,
D' zwischen denjenigen Tlieilen der sich scliueidenden Kreise entlmlten sind,
die in vnr-rlin'itender Rielitung liegen. — Die-o, sti f.^ innerlialh 0 uiid 180"
zu neluwiidrii Nei<j-unireti !»<vri(lme ieli mit f, t , t . Die Bestimmung dieser
nemi tmlx kannten (irösseii aus den bekannten hängt offenbar von dei-selben
Aufgabe at), diu iui Art. 55 abgeUaudelt iät. Man hat daher tblgctidc
Gleichungen :

[3] sin {(i^\n\\ÄD-^AD) = sin } {/'—/' sin \ ,/ -{-y)
[4] sin I f cos + . l"i>) =• cos ^r — /'jsin ^{y"—'/)
[5] eosjf sin ^ ÄD-^Ä'V) = sin K?'— r)cosA(/"-i-/)
[6] co»i «cosi (.4'D~i4"i)) = co8-|-(r— r)oo8 y').

Aus den Gleichungen [3J und [4J wiid ^{Ä D-^A"D) und sin J f gefiuidenf
die beiden Übrigen geben -^{ÄD — A"D) und eosy«, und so ÄD, JCD und «.
Der Zweifel bei Bestimmung der Bögen \{AD-\-J^D\ \{ÄD—Ä'I>) durch
die Tangenten wird mittels der Bedingung entschieden, dass sin^« und cos|-«
positiv herauskommeti mOsse», und die Uebereinstimmung von 8in-|-s und coa-jc
dioit zur Priitimg der ganzen Keelmung.

Die Bestinmumg der Grössen Ab., Ä'I)\ e\ AJj", Ä D\ i" geschieht
auf *^nviv. Hhnliclie \V'ei*e, und rs wird nicht n«)thig sein, die zu dieser Bcreeh-
nung anzii\vt i(denden aelit Gleiehrmgen iiierUcr zu Ubertragen, daiüe von selbst
uuä den Gleichungen 3 — 6 folgen, wenn

AD'

■ AD

f

r

—i

/

mit

AU

! A'D

r

t

r

— /

*/

mit

AD

1 ÄD'

*"

i'

—i

7

resp. verUmseht werden.

Eine neue Prütung der ganzen Rechnung lässt sich noch aus der ge^^eu-
seitigen Hrintion zwischen den Seiten und den Winkeln des von den l'nTikten
i>, D'i D' gebildeten sphärischen Dreiecke ableiten, woraus mau folgende

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BcBtiinaning dar Balm aot drei v«l]«tlDdigeB Beobaehteitgaii. 189

ganz allgemein geltenden Oleichungen erhHlt, welche Lage auch diese Punkte

inben vaögen:

BiniAD—ÄI/') %in(A'D — Ä'D') ainiÄ' D— AI/ )
«m« «mr mni"

Warn endlich, der Äequator an Stelle der Ecliptik zur Grundebene (153)
gewählt wird, so erleidet die BechDuu^r uwc die Aenderaiig, daas man ftlr die
bdiocentrischen Orte der Erde A, Äj A" diejenigen Pimkte des Aequators
nÜMtitiiiren mofls, wo er von den Kreisen AB, ÄB^ JlB* geschnitten wird.
Ibin mmmt daher fUr ^ l\ f die Rectascenslonen dies» Einachnitte, und fOr
ÄD die I^tana des Punktes D T<»n zweiten Einschnitte n. s. w.

US.

l)as dritte Geschäft ljL>tflit nun darin, da**H inati die beiden Uusjsersteu
geoceiUilficlien Orte des Himnieltiköl pci d. h. die l'uukte B, B' durch einen
grössten Kreis verbiiidt.t, und des letzteren Einiiehniit mit dem grössteu ivieise
ÄB bestimmt. Es sei dieser Einschnitt, und (f — o dessen Abstand vom
Ptmkte Äy sowie «* dessen Länge, ß' die Brdte. Man hat also, wräl B^ iT,
S' in demselben grOssten Kreise liegen, die bekannte Gleichung:

0 = tang/9sin(«" — ee*) — tang/?*sin{a" — «) 4- tang/^"siu(«* — «),
welche, wenn man tang/sin(a' — l) für taug/i* subatitoirt, folgende Gestalt
anninunt:

cos («• — /') jtang ß sin («" — l) — isaagß' sin (« — /')|
— sin («' — /') |tang/V cos («" — l'] + tang / sin («" — o) — tang/T' cos (a — l ')|.

Da nun tang(a* — = cos/' tang (<^ — o , so hat man

X tang(J8in(«" — i') — tang^J"8in(a — /')

tMig^ <f) ' co8/{tang/l'cos{a" — Z'» — tJing(S"cosT«— l'j) + ain r' am(ä'' '— a) '

Hieraus leitet man die iblgeudeu, zur numerischen Rechnung be-
quemeren Gleichimgen ab.

Man setze

[7 I taug/Vsin («" — /') — tang/?"sin(« — l') = *S
[8] umg/ieüs(«' — /') — tang/i"co8(« — /') = 7sin^
[9] 8in(a"— a) = 7co6^

0 =

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190

Zwdtw Bach. Bnter AiNdiiiitti

(Art. 14, II), und e« wird sein:

[10] taüg(cr_o) = ygji^p^.

Die Zw^deatigkeit in Bestimmung des Bogen« 9 — o dareb die Tangente
entsteht daraus, daas die grössten Kreise Äß^ BS* in zwei Funkten sieb

sclint idni. I( Ii lu lirne für 7?' stets den dem Funkte Ff nächsten Einstlmitt,
so dfiss a iinmer zwischen die Grenzen --90" und -|-90" tullt, wodurch jene
Zweideuti":keit i^tlMibeii winl. Oemeinifrlieh wird dann der Werth des Hofens a
(der voll der (Kurvatur der {^eoeentri.solien H(nvc<ruiig abhUn^) eine liinlUnglieh
(154) ni;issiL;( ' Grösse sein, und zwar, allgenu in ge^*proellen , von der zweiten
Ordnung, wenn die Zeitintervalle als (jröiäscn erster Ordnmig ange-
sehen werden.

Welche Jlodificationen hei der IJeclmuni; anzubringen sind, wenn statt
der Ecliptik der iVequator als Grundehenc gewäidt wird, ist aus der Anmerkung
des vorhergehenden Artikels von selbst klar.

Uebrigcns bleibt die Lage des Pimktcs ^* dann offenbar unbestimmt,
wenn die Kreise BB'y Äff ttberlwupt zusammenfallen sollten; diesen Fall,
wo die vier Punkte B, ff, 0" in demselben grössten Kreise liegen wUrdra,
scldiesse ich von unserer Untersnebung aus. Es ist aber auch angeinessM,
bei Aaswahl der Beobachtungen selbst den Fall zu vermeiden, wo die Lage
diest^r vier Punkte nur wenig von einem gro'ssten Krei>:c aiiwcicht, widrigen-
falls die Lage des Punktes Ii', weldie bei den nachtolgenden Operationen von
grr)sser Wifbtis'keir i.«t. durch die kleinste!) HrM,l)a>'litiitigsfelder zu nobr afficirt
wenlfii niid nii lii mit der mlilii^jcn ( M uauigkeit l<e.siininien lassen Avilrde.

EI)en<o w iirdu tK r i'uiikt H' <l;iuü uuUstiiinut M»nl»o?i, weim die Punkte B. Ii
in einen einiiigen zusammen tielenf], in welelien» iwilie die Position de* Kreij*eÄ

BS* unbestimmt bleiben wHrdew leb schfierae deshalb auch diesen Fall aus^
sowie man sich denn auch aus tthnliclien Gründen wie die vorigen derjenigen
Beobachtungen zu enthalten hat, bd welclien der erste und letzte geocentriscbe
Ort in Punkte der Kugel feilen, die sich sehr nahe sind.

\) Oder auch dum, wrim jctztrrr AA «Mgcgtaftirtlt emt}. nbcr \m tlmvm Fall« Ipradie ich nit-ht,
weil uBMi« Jiithod« nieht auf Bcobachtuagai miicdilkut wardca kus, du Matn M gjnmm Zdttaaa
umfuatn.

Digili^ea by Cocx

Baitiininaiig der Balui «u drei Tollatlndigea Beobadutongni.

191

Eb adeii an der Kmimelskiigel Cf die drei lielioceiitriBchen Orte

des Humnelskürpers, welche resp. in den grössten Kreisen Aß^ Ä B\ Ä' It\
und zwar zwischen A and j5, A und A' und ß" Lok ir» ii sein werden
(Art. 64, III); ausserdem werden die Punkte C, C, (J" in demselben grössten
Kreise lieg-cn. niimlicli in demjenigen, welchen die l)Mlnie!)Ciie an der Himmelskugel
projicirt. Ich bezeielmc mit r, r', r" die drei Entfernungen des Himmelskörpers
von der Sonne; mit q, (<, (i" dessen Abstände von der Erde; mit Ä, i?, R'
die drei Abstiinde der Erde von der Soime. Fenier setze ich die Bögen C C",
CC'\ CC resp. = 2/, 2/', 2/ , und rV"sin2/=w, rr"8in2/' =
r»^8m2/" = «''. ^ hal daher/ =/+ /", AC-{-CB= 9, AC'+C'ff^d',
A-Cr+CSr « r und Mdann

ünAC

r

9

~ Jt

^Ä'C

9'

~ IT

und"

•inC" .ß"

ff* ~

9"

Hieraus sieht man, dass, sobald dfe Lage der Punkte C, C\ C bekannt (155)
sein wOrde, sich daraus die Grössen r, r\ r" und (>, c', (>" bestimmen

«"

liessen. Ich will nun zeigen, wie sich erstere aus den Grössen — « P,

2 ( ""j^>" — l)r" « Q ableiten lltast, von denen, wie ich bereits oben erklärt
habe, unsere Mediode ausgeht.

140.

Zuerst benierke ich, dass, wenn N irgend ein Punkt des grössten
Kreises CC C" ist, und man die Abstände der Punkte C, C, C" von dem
Punkte N nach der nämlichen Kichtni^ zählt, welche von C nach C" geht,
so das« allgemein wird:

NC'—J^C'^2f, NC —NC =2/', NC—NC^2/\

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192

Zw«ite« Bacb, £r»t«r Abtctuiitt.

man folgende Gl^chung Iwbe:

0 sin 2y' sin NC— sin 2/' sin NC + sin 2/ " sin .VC" (P.

Nun gehe icli davun aus, dass N im Einschnitte der grösston Kreist'
]iB'Ji'\ C(''C" genommen s(m, gleichsam im aufsteigenden Knoten des
erstcren auf dem zweiten. Ich bezeichne mit (£, (i', (>', D, 2)', 2^" retsp. die
Abstände der Punkte C, C , ^ , i>" von dem gTÖwten Kreim BiT^,

die von einer der beiden Seiten positiv, von der anderen entgegengesetzten
n^tiv za nehmen sind. Damach werden offenbar 8in<S, nnQ', «nC&" rei^,
inroportional sein vatNC^ waNC^ anNCy wodurch die Gleichung (1) folgende
Gestalt erhält:

0 = fiinS/sintt— 8tn2/8)n<S'+8in2 /'sinG",
oder, warn man mit rr'r" multiplicirt,

0 =^ nr sind — n'r'un(i'-|-fl''r"stn(ä'' (IQ.

Femer Lst klar, dass sich verhalte sin (i zu sin 2)' wie der Sinus des Abstandes
des Punktes C vnii B zum Abstände des Punktes U von J5, wobei jeder
Abstand nach derselben Biehtung hin gemesB^ wird. Man bat daher

. f. 8inT'»in( .ö
Bin (A u — 0)

und auf Uhuliche Weise erhält man:

ein D" sin (JB , *

— 8itt(i =

— 8iu(i' = —
— sind"«

sin »in C W «in V" »in C Ii*

»ini/l'/J — Ä'4-o) ' eintA' D —d'~{-9)

»iU{A J>~d i »\n(A .L> — *") *

(1Ö6) Dividirt man daher die Gleichung (II) mit r"«in(i", so entsteht:

rnmCB BinjA" fy — i") . rsinC B' sin (/!" /> — <)' t ,

Wenn man nun liier den Bugen C'B mit z bezeichnet, für r, r', r ihre
Werthc aus dem vorhergehenden Artikel substiUiirt, und der Kürze wegen setzt:
,,,, BwoiitAniJrU^r)

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Bestbminiif der Bilm «ui drri ToUittnd^n Baobaehtaiigeii.

19S

so verhält sich unsere Gleichung wie folgt:

0 = an—hn. +n" (lU).

Der Goefficient h läast .sich auch vermittelst der, leicht ans den eben g%<K
benen Gleichungen abzuleitenden Formel

bereclinen. Zur l'rüfung der liechuung wird es gut sein, beide Formeln [12]
und [13] zu benutzen.

Falls sin(^' //' — d'-\-a) grösser iist als ^\n{Ä D — ff -\-a)^ m wird die
zweite Formel von den unvermeidlichen Tafelfehleni weniger afficirt, als die
ente, and ist daher dieser Torzusidiai, wenn uch eine kleine, hieraiiB eu
«rklSrende Ventehiedenheit in d^ Werthen von h ergeben sollte. Dagegen
verdient die erste Formel mehr Vertrauen, sobald mi{ä[]y — «f-f*") kleiner
ist als wi{ÄD — ^+o). Wom man will, kann man ein schickliches Mittel
zwischen böden Wertiien nehmen.

Zur Frttfung der Rechnung lassen sich auch (Iii* iiuf htV>lgeiiden Formeln
brauchen, deren mcht so schwierige Ableitung ich indess der Kurze wegen
weglasse:

Ä g ' wkif sr

WO ü den Quotienten

fliii (ö — a) CO» \6' — 0)

(Art. 1S8, Gleichung 10} bezeichnet.

UL

Aus P«— und der Gleichung (III) des vorhergehenden iVrtikeb folgt:
(«-f-»")-to4-T- = 5n' ''°<f~ . °I Hieraus ab^ sowie aus

Q 2 ( ""^ /' l)r" und r = "^f "'^ erhält man 1157)

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194

ZweiMe Buch. Euter Abaehnitt.

2A-8in<)- ^ 6^^-^8iu(2— o), oder

Qsmz* (. P-{-\ \ • /- \ • / \

2R^Ü^ = V i' + a 0)—«IlffC08(«— 4

8etzl man der Kttne wegen

[14] o -^Vj- - = f
^ ' JA sin ö Hin 0

uud t'ülu't den IlUllswinkel (o so ein, daas

sino

tangi» —

wird, BO erliäh man die Qleidiung (IV)

cQsinctfuns* = sin(« — co — o),
woraus man die Unbekannte ? beatimmen musa. Zur bequemeren Berechnong
des Winkele «» l&wt sich die vorige Formel fttr tangw «o daratellen:

Pf^ + a)

\,coso / ' \co«o /

Setzt man daher
h

a

w. ei eoao .
[lö] -g -.«rf

[16] -T^

- —l

Cosa

BO bat luau zur liustiiiuiiuiig von co die einfache Fonuel:

^""^ P^d '

Die Berecbnmig der Grössen 6, c, e aus den Fonneln 11' — 16, welche
lediglich von frPL'"oltfnicn CJrössen ahliän^rf, kntiT» innu als das vierte Ocschntr
Letrorhten. Die Grössen 6, c, e selbst liat man nicht nüthig^ sondern nur
ihre Lojjftritlimcn.

L cbrigeiiü giebt es einen besoudern Fall, in welchem obige Vorsclirit'len
einiger AbUnderung bedürfen. Falle nämlich der gröswte Kreis BB' mit A' K
«uammenfftllt und deshalb die Punkte jB* mit iX, so würden 6
unendliche Werihe erlialten. Setzt man in diesem Falle

Digiti^ea by Cc>

BoatiBiaMiiig der B«km ani drei volhtMadign BeolMohtnngen. 195

i^Bip dain {A' J>'-ö'-{-<f) _

■0 bat man statt der Oleicfaung III folgende: 0»«» — " "tjn»" * woraus

mau dieselbe Gleichung IV erhält, wenn man macht

rrsmo

tangw B

P_j-(l_3rcoea)*

Ebenso wird in dein Lcsonderen Falle, wo o — 0. die (tröK.<t' c iniend-
lich und tu = 0, wi.nau-i der Fadul* csiiio in der (ileiclmn^ I\ unbestimmt
zu sein scheint; niciitsdestoweniger ist er in Walulieit bestimmt und sein Werth

= f jyi^ j^r^j|iri)(j>^«i) 1 ^® kleine Aofinerksamkeit lehren wird. In
diesem Falle wird daher maz^ R^ffp^^^'J^^^.

Die Gldehnng IV, welche entwickelt nur aditen Ordnui^ anfirteigeii
wOrde, wird in ihrer ungeKndertoi Form durch VeiBache sehr rasch aiifgeldftt.
Uebrigens zeigt die Theorie der Oleichongen (was weiter zu entwickeln ich

hier jedoch der Ktirze wegen unterlasse', dass diese Gleichmig ent^veder zwei,

oder vier Auflösungen durch reelle Wn thu zulasse. Im ersteren Falle wird der

eine Werth von sinz positiv sein, den anderen negativen muss man verwerfen,

weil nach der Natur der Aufgabe r nicht negativ herauskommen kann. Im

zw(nten Falle wird von den Wertlien für sins entweder einer positiv sein

1111(1 die andern drei negativ — wo es daher nicht zweilelhaft ist, welelien

man annehmen muss — oder man hat drei positive mit einem aegativeii. In

diesem Falle muss man auch von den positiven Wcrthen, wenn «olche da

flnnd, diejenigen rerwerfen, wo z grösser herauskommt als J'i weil vermöge

einer andern wesentUchen Bedingung der Aufgabe ^' nnd deshalb andi

san(<^ — z) eine positive GrKsse atm muss.

So oft die Beobacbtongen um smH^e Z^tuSnme von einander enir

fetnt sind, wird gemeiniglich der letztere Fall Statt haben, dass drei positiTe

Werthe fUr sin« der Gleichung Gentlge tbun* Unter diesen AttfläBaqgea

pBegt ausser der wahren noch eine gefunden xn werden, wo z wenig

26*

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196

Zweite« Buch. Enter Abschiiikt.

Ton ^ Terschieden, bald etwas grSsseTf bald etwas kleiner ist Diese £r-
Bcbeinung ist auf folgrade Wdse zu erklären. Die analytische Behandlang
unserer Aufgabe ist allem auf die Bedingung gesttttat, dass die drei Orte des
Körpers im Baume in geraden Linien liegen müssen, deren Lage durch den
absoluten Ort der Erde und die beobachtete Fositiou be.stiiinnt wird. Schon
nach der Natur der Sache mttssen zwar jene Orte in denjenigen Seiten
(lö9) geraden Linien liegen, woher das Licht auf die Erde herab irt l,nii,'t;
jthrr die analytiselicn tileifhnngen erkennen diese EiTisflirnnktnig nielit an,
und niiltwen alle, mit (K n Keplcr'fichen Oesctzen ültcrcin-tinunende Orts-
svstenie auf gleielic Wri^r iniilii.s.sen, sei c» nun, dii.«>s Ict/Jere von dieser
8eite lier Erde iier in diesen geraden Linien liegen, oder von jeuer Seite
her, oder sei es endlich, dann nie mit der Erde i»elb.st zuäummenfallcn. Auch
dieser letzte Fall würde unserer Aufgabe GenOge leisten, da die Erde selbst
nach Norm jener Gesetze sich bew^. Hieraus sieht man, dass die Glachun-
gen auch diejenige Auflösung begreifen mUssen, in welcher die Punkte C,
C\ CT mit den Punkten zusammenfallen (insoweit man die sehr

kleinen Veränderungen vernachlässigt, welchen die elKptiselieu Erdorte ver-
miß der Störungen und der Parallaxe unterworfen sind). Die fileiehung IV
muss daher stets die Auflü-smig z = S zulaf>sen, wenn für P und Q die den
Erdorten entspreelienden wahren Werthe frcTimiimen werden. Fall^ mithin
jenen rJrös.sen Werthe I riL;« lucssen werdm, dii; von diesen nicht vu l \ er-
sehieden sind (wjis sieii immer annehineu liisst, wenn die Zwihelieiizuiten
nuLssig sind), so nuiss unter den Aunösungen der Gleichung W iiotli-
wendig eine gefunden werden, welche sehi- nahe jui den Werth z ^ 9
herankommt.

Gemeiniglich wird zwar in dem Falle, wo die Gldchnng IV drei Auf-
lösungen durch pontive Werthe fUr z znlHsst) die dritte Lösung (ausser der
wahren und d«r, von wdcher wir eben gesprochen haben) einen W^'th von z
geben, der grösser als S und deshalb anal)rtiBch ebenso möglich, physisch
aber unmöglich ist. Dann kann es dalu r nicht zweifelhaft sein, welchen man
nehmen niuss. Es kann sich aber auch ereignen, d;is.s jene Gleicluuig^ zwei
verschiedene scliie küi Iic Auflösungen zuläs.st, und dann würde sich unserer
Aufgabe dtirr h z\v( i uaiiz verschiedene Balmen Oeniige leisten hassen. Uebrigens
ist in einem solchen Ealle die wahre Bahn von der üihscheu leicht zu uuter-

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Beatimminig dar Balm ma» dr«i voBMUtttiigea BeolaBbtnqgML

197

scheiden, sobald uiir erst audere mehr entfernte BeobacUtuiigen zur Prlitung
hinzugezogen werden können.

143.

Sobald der Winkel z gefunden ist, hat man sofort / durch die Gleichung

r' = ' ^^^^^^ erhält man aus den Gleichungen /* = ^ und (UI)

aV _ jP+a) Ii' Aind'
n 6Bin(s— öji

n" ~ P' H '

Um die Formeln, welche zur Beatiininuiii,'^ dir T>age der Punkte C, C"
aus der Ijige dc«> Pitnktes C dienun, so abzuhandeln, dass ihn* allj^enioiue
Wahrheit auch für diejenigen Fälle sofort einleuchte, welche die; Fig. 4 nicht
zcifft, brmnkc Ith. dass der Sinus des Abstandes des Punktes vom
grö.ssteii Kreise Cß (^positiv geuuumun in der ol>eren luiiion, negativ in
der untern) gleich sei dem Producte von sin« in den »Sinus des Alistandes (160)
des Punktes C von D (nach der voi-sclu-citcudeu Kiclitung gemessuu; und
daher = — »ine'sinC' i/' = — sine"äu\{z-\-A'IJf' — d^. Ebenau wird der Sinus
des Abstandes des Punktes C von demselben grSssten Kreise — sin«' sin Ci)*.
Offenbar aber vwhalten sich dieselben Sinusse wie anCC zu sinCC, oder

n* 11

wie — zu oder wie w V" zu ur. Setzt man daher C"/?' = l'\ ßo

hat luau

V. r"8inr=4^.^8in(«+ül'iJ^'-~<r).

Auf ganz ähnliche Weise erhält man, wenn CD' = ^ gesetzt wird,
VI. rBing = 4r-.4^Bin(2+4'i>-«r)

Vir. r9:xn{'Z-^AI)" — AD) = r }\^^[., ^m{t" ^- Ä' D-^Ä' Dy

Durch Couibination der Gleichungen V und VI mit den folgenden, aus ArL 139

herUbergeseluiebenen :

Vm. r"iatk(^'—Ä'Ü+dr)^R'taxi^

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198 Zv«ite« Bnob. Enter AiMcbnitt.

DL. rmk(^^Aiy+&)=^Ban^)
kmen ach die Orttaaen ^, f" nush Anleitung des Art. 78 danrns 1m-
stimmen. Zur bequemeren Erledigung der Hechnnng bringe ich noch folgende
Formeln bei. Man setze:

fom C08U' i^» — <") „

Die von P und Q noch iiuabliängige liereekuung die^r Grössen oder vielmehr
ihrer Li^aritfamen kann ala das fttnfte und letzte Geschäft bei den
Präliminar- Operationen angesehen werden, und wird daasdbe sogldch bequem
nut der Berechnung Ton b oder mit dem vierten Oeachttfte erledigt^ wo

a = wird. Macht man sodann :

n'r sine

n nn

nV ain*"

(161) «(Jtjt>— 1) = q

X (A p —1) = q ,

SO erh'alt man l, und r aus rsinu = />, rcos^ — 7, und sowie r", aus
r' hin^" = p", r' eos^" = q. Ein Zweifel in Bestinmiung von ^ und kann
hier nicht obwalten, weil r und r" nothwendig als positive QrSssen herauB»
kommen mttssen. Die vollständige Bedmung mittelst der Gleichung VII kann
sur Prttfong dienen.

Es giebt aber swd Fälle, wo man dne andere Methode befolgen xnina.
So oft nämlidi der Funkt D mit B entweder zusammenfällt, od^ auf der
Kugel ihm entgegengesetzt ist, oder so oft vi/)' — (T = 0 oder = 180% so
mll.sscn die Glei('hungcn VI und IX norhwendig identisch sein, imrl es würde
daher x = 50, Kp \ = Q werden iiiul mithin q unbestimmt bieihcn. In
diesem Falle werden zwar ^" und r" auf dieselbe oben gezdgte Art bestimmt,

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BattinuDaqg An Bdm wu drei voIlttlndigaD Bwliaditiiiigen.

199

sodauii aber mus« man Z oiid r aus Coiubination der Gleichung Vli mit VI
oder IX ableiteo. Ich unterlasse es, die aus dem Art. 78 zu ent&ebmenden
Focmeln hier noduniÜB herznsclireiben, tmd bemerke nur, da» in dem Falle^
wo Aiy — 9 zwar nicht » 0 und anch nicht 180*, doch aber tin aehr
kidner Bogen ist, man besser thut, dieselbe Methode ssu befolge, w&l
dann die erstere Methode nicht die nffduge Schürfe scolaasen wOrde. Und
zwar möge man die Combination der Gleichung VIT mit VI oder mit
IX annehmen, je nachdem saniÄiy' — AlX) grösser oder kleiner ist, als
an(An'-d).

Ebenso würde in dem Falle, wo der Ptnikt; D' oder der ilim entgegen-
gesetzte entweder mit 7?" ztisnmmcnfUllt, oder mir wenig davon absteht, die
Bestimmung? der Orösnen i , r" durch die vorhcr^feliende Methode üutweder
unmöghch werden, oder wenig 8iclierheit gcvvähicii. Dami bestimmt man
daher f und r zwar durch jene Älethodc, alsdann aber f und r" aus Com-
bination der Gleichung VII entweder nut V oder mit VIII, jenachdem
maiA"!) — A"!/) gritoaer oder kleiner ut ak an{A''D — d"), Uebrigcns bratieht
man nicht zu borgen, daaa zugleich jy mit den Punkten J}, B' oder den
cntgegeagesetzten Funkten zuaammei^lt, oder nur wenig von ihnen absteht;
denn den Fall, wo B mit B" zusammenfMllt, oder nur aehr wenig davon
absteht, habe ich bereitB oben im Artikel 138 von unserer Untersuchung aus-
geschlosBcn.

144.

Hat man die Bö^en T, t" {^fimdeu, so ist dadurch die Ljij^l- der
Punkte C, C" gegeben, und es lässt sich der Abstand CC" = 2/' aus v, V
und / bestimmen. Es waea », «il^ die Neigungen der grössten Kreise AB^
ATS* zu dem grössten Kreise CC (welche in Fig. 4 resp. die Winkel CCD'
und 180* — CC0 sein werden), so ha^ man {blgmde, ganz denen im Art. 137
(3] — (6) analoge Qleichnngen:

sin /sin ^ nn \ « sin iCC+O d^S)

sin/' OOS \ {u' -\-xi) = cos^i'sinyCf — C")

cos / sin ~ {«" — m) SS Bin ^«'cos-^- (C-f- C")

cos/' COB-f (tt" 1») « e08-|^C C06'^(C — i")*

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200

Zweites Buch. Enter Abeehaitt

Die beiden eeBten gdben iK + u) and sin/', die b^denindem \(vr — »)tiiid
cos/; aus an/ und oos/' hat mmf. Die Winkel i («"+«») und |-(«*"— *)i
welche erst in der letasten Hypothese zur Bestimmung der Lage der Bahnebene
gebrancht werden, kann man in den ersten Hypothesm Im Sd^te lassen.

Auf ganz ähiiHche Werne liesse sich / aas f, CD nud C"D^ sowie / ,
aus f'\ CD" und CD' bestimmen; man wendet aber hierza bequemer die ibl-
genden Formeln an:

sin2/ = rsitt2/'.-;^

sin 2/ = r '8in2/ .

wo man die IjOffarithraen der Grössen — r-, und schon ans der früheren

" n r n r

Rechnunq- vm- sirh hat. Eine neue Priifunq- di i «ganzen Keclinmig endlich wird
dadui't^h gcwuiuieii, iImss 2 /-\-2 f " = '2 J wndcii miiKP; «rollte zutallii? ein Unter-
schied Statt lindt^n, &ü kann er sicherlich von keiner Ik'dtutiing sein, wenn sou&t
alle Operationen so genau als möglich vollzogen sind. Bisweilen kann jedoch,
falls die Rechnung allenünlben mit sieben Decimalen durchgeführt ist, dieser
Irrthum auf einige Zehntheile der Secunde steigen, welchen man, w^n es der
Muhe werth sohdnl, mit Idchter Milbe unter 2/ und 2/" so Tertbeilen kann,
dass die Logarithmen der Sinusse auf gleiche Weise entweder vennehrt oder

vermindert werdra, wodnreh der Gleichung P = -^ ^^^^^^f ~ n"
Schärfe, die die Tat'chi zulassen, genügt sein w ird. Sind / nnd /" wenig' ver-
schieden, 80 reicht es hin, zwischen 2/ und 2/" jenen Unterschied gleich-
mttssig SU vertheileD.

145.

Nachdem man solchcn'gestBlt die Posidonai des Himmelskdrpers in der

Bahn bestimmt hat, muss man eine doppelte Beret Inning der Elemente so v >] ! aus
Combination des zweiten Orts mit dem dritten b«^innen, als aus Combination
des ersten mit dem zweiten, zugleich mit den cntspreclicndeu Zeitintervallen.
Bevor man aber diese Operation unternimmt, bcdlii ten die Zeitintcrvalle noch
einer Verbesserung, wenn man nUmlich beschlossen hat, auf die Aberration

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BMÜainNiiig dm Bahn $m drei vollnUiiidigen Deobachttingeii.

201

nach Maast^gabe der flrittcn Methode im Art. 118 Rücksicht zu nehmen. In
diesem Falle näJulU:h inns>f man «statt der wirklichen Zeiten als fingirte »olche (163)
setzen, welche resp. um 4üü(j, 4Ü4iy', 403^» 8ecunden frllUer sind. Zur Be-
rechnung der Eutferaungen p, p', p" hat man die Formeln:

^ äins ~ So** »

„_ Ii"s\n(A"D ' -~;") __ T^am M'/ y — n
^ ~" »m(i" — ^"l/H-d") »ind"

Hat man Übrigens die Beobachtungen von Anfang an sogleich nach der
ersten oder zweiten Methode des Art. IIS von der .Ahcnatimi lirftpif, ?n nnis.s
die.«e Rechnung \veggfl:i««('Ti werden, und wiirtk' disliulli auch nicht mithig
sein, die Werthe dti Eiitleinurigeu p, p', p" zu ermitieln, als um vielleicht zu
prüfen, ob diejenigen AN'erthe, auf welche mau vorher die Berechnung der
Aberratioii gestützt hatte, genau genug waren. SoUietslieb ist es yon selbst
Uar, dsBS es dieser gamsen Rediniuig «ucli alsdaua nicht bedarf, wenn man
die Aberradon Uberhaupt vemachläflsigen wollte.

U6.

Die Berechnniii,^ der Elemente — welrhp man in dem einen Falle aus
r, 7'", 2/ und der verbesserten Zwischenzeit der zweiten und dritten Beob-
aclitung, deren Product mit der Grösse k Art. I i ich mit l>ezei<-hne: und
im anderen Falle au.s r, r , 2 J" und dem Zeitintervall zwischen der ersten
nnd zweiten Beobachtung, dessen Product mit k sem soll, anstellt

— wird nadi der in den Artilcdn 88 bis 105 g^benen Methode nur
bis zu der dort mit jf beaeichneten Grösse durchgeführt, dmen Wo-th in
der onrtm Combinatbn ich mit % in der zweiten mit if bezeichnen will.
Es wird daher

d »/' ~ ' rr" f, n" eos / cos /' cos /" ^ '

und man sieht, das«, wenn die Werthe der Grö.ssen P und auf welche <lie
ganze Rechnung bis jetzt gebaut war, die wahren sein sollten, F = P, = Q

QAUSS, TbMd« d. B«<r«f. d. Ulttaabk. ^

Digiti^ca by Goü^lc

202

Zwoit« Bncb. Enter Abwluiitt.

benun^ommen rnttase. Umgekehrt bt kidit önzmehen, dass, fidb ^ =
Q* s Q henuukommt, die doppelte El^enlen-Recbnung, wenn me Ton iMdea
Seiten sn Ende gefohrt wird, gsnz gleiclie ZaUen liefern mllne, dnrcli weüclie
alao alle dra Beobachtungen genau dargettellt würden, und so der Aufgabe

vollständig gpnligt würde. Falls aber nicht JP = P, Q = Q wird, so mag
man jP' — P, Q' — Q für und Y nehmen^ wenn man uämlich F und Q fUr
a:, genommen hat. Noch bequemer ist es, logy^— x, \ogQ = y zu setzen,
und ]r)g /^ — /' — X\ logQ' — logQ =^ 1". Aisdaon ist die Rechnung mit
anderen Werthcn von a:, y zu wiederholen.

(164) 147.

Eigendich wthrde ea awar auch hier, ebenso wie in den lehn oben
abgehandelten Methoden, willkürlich adn, welche nene Wertbe man für x,

in der zweiten Hypothese «etxca wollte, wenn solche nur nieht den oben
erklärten allgemeinen Bedingimg-en widersprechen. Da es jedoch offenbar ein
grosser V'ortbHl i.st, fall« man snlort von etwas penaucren W'erthrii ansgehcn
kann, so wüidf es nicht wcijic sein, die zweiten Wei üie gleichsam ants ( Jrratlie-
wolil anziiiR'lmu ii, da es in der Natur der ISaciic liegt, dass, wenn die ersiteu
Wcrtho vun 1', Q nur mit kleinen Fehlem behaftet sind, sich daraus die VVerthe
P', Q' viel genauer darstellen laeaen, wenn anders die beltocentriscbe Bewegung
eine massige war. Ich will deshalb stets P*, Qf als aweite Warthe von P, Q
nehmen, oder logP", log<^' als die sweften Werihe für wenn die ersten
Werthe durch logP, logQ bozacfanet sind.

In dieser aweiten Hjpotbese, wo alle durch die Formeln 1 — 20 dargelegten
FriUinunaT'Operationen anverändert bdzubehalten sind, wird die Rechnung nun
auf ganz ähnliche Weise wiedwbolt. Zuerst wird der Winkd <o, dann werden

Zy r\ — — , , r, r, r", /, /', f" bestimmt. Aus der mehr oder weniger

l>etrachtlichen Differenz zwischen den neuen und aitcu \\ erthcn dieser Grössen
lüBSt sich leicht ermessen, ob « der Mflhe werth ist oder nicht, auch die
Verbesserang der Zdten wegen der Aberration von Kenem au berechnen. Ist
dies nicht der Mifhe werth, so bleiben die Zeitintervalle und deshalb anch

Digiti^ea by CoOglc

Beatinnnag der Bahn «nt de« voUttMadigeu ßeobMlttangen. 203

die Grössen ^ und ^ die nämlichen wie vorher. Schlie^liuU leitet man aus
/> '* ? ) / > ^? **' ™^ Zwischenseiten % rj' und bieratta neue Werthe fUr
P*, <2f ab, die gemeiniglich von den durch die ^te Hyputhese gelieferten
viel weniger veracbieden »ind, als diese selbst von den ersten Werthoi f Qr
Q. Die Bwdten Werthe von X, Y werden daher viel kleiner aem, als
die ersten, und die aweiton Werthe für P\ Q kann iii;ui als dritte Werthe
für P, Q nehmen, und hiermit die Reclmung abermals wiederholen. Sowie
also soleherge.sUilt aus der zweiten Hypothese schon genauere Werllie resultirten
als aus der ersten, so wird m\m solrho aus der dritten nocli geu.iuer erhalten,
als aus der ^sweiten, und mun koimtii (limn die dritten Werthe für P\ Q als
die vierton für P, Q nelnnta, und di-igu-italt die Keciuiung su ot'i wicdti lioltn,
bis man zu einer Hypothese gelangt, in welcher A', }' als verschwindend auge-
nommen werden niüchtcu. Falk aber die dritte Uypothcäe noch nicht als
ansraehend erscheinen sollte, so wird man es vorziehen, die fUr P und Q in
der viert«! Hypothese anzundunenden Werthe nach der in den Artikeln 120,
121 gegebenen Methode aus den drei ersten abzuleiten, wodurch man eine
raachere AnnSherong erhält und es selten nödiig sdn wird, nodi bis zu einer
fttnftea Hypothese zu gehen.

148. (165)

Falls die ims den drei l'>i ol>a( liimigi-n abzuleifenden Elemente noch gänz-
licli nnl)( k;nint »ind (ein Fall, dt ni iiusere iletiiuUc vorzugsweise angepasst ist),
üo kann mau, wie schon bemnkt. bei der ersten Hypothese für P und Q die

approximirteu Werthe — und i*^v^ aunelunen, wo und einstweilen aua

den unverbesserten Zätintervallen abgeleitet wi rdm. Drückt man deren Ver-
hältniss zu den verbesserten Intervallen durch und fC' il aus, so bat
man in dw ersten Hypothese

log/<— log,M" + log>7— logV
Y =^ log// + log,«" — log»/ — \ogri' -\-OomY>.\ogQmJ ■\-(^m:j^.\og(i(isf'
-f- Comp, log cos /" -{- 2 log r' — log r — log r".

Die Logarithmen der Grössen tt" sind im Verpfleich mit den übrigen

Qliedem von keiner Bedeutung; log >2 und logi}', die beide positiv sind,

26*

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204

Zweites Buch. £nter Abichnitt.

beben neb in X dnigennaasBeu gegenseitig auf, vorzQglicb die Zdt^

Intervalle fasi gleicb Bind, woraus dann X einen kleinen, bald poeittTen, bald
negativen Werth erh&It; dagegen erwttcbat in Y ans den negativen Qliedent
logi} und log 17" zwar einige Compensation der positiven Glieder Comp,
log cos /, Comp, log conff Comp, log coa/", aber weniger vollatündig , weil
gemeiniglich die letzteren erheblidi grSsaer sind ak die ersteren, lieber das

Zeiehen von hg-^ laast sich im Allgemeinen nichts bestimmea.

Falls die heliocentrischc Bewegung innerhalb der Beoliaclitimgcn ritie
mässige ist, 80 wird es selten nötliig 8ein, bis zu einer vierten iiyputhcftc zu
gehen; gemeiniglich gicbt die dritte, oft schon die zweite hiuicichcudc Genauig-
keit, ja biswdlen lomn mau schcm bei den ans der erstoi sidi ergebenden
Zahlen stehen bleiben. Es ist daba immer gut, die grü.ssere oder geringere
GeiMuigkeit zu berttcknehtigen, welche die Beobaehtmigen besitzen; denn es
würde eine undankbare Arbeit aein, bei der Rechnung eine hundert- oder
tausendfach grössere Genauigkeit zu erkfinjsteln, ak die Beobachtungen zu-
lassen. Bei diesen Dingen wird aber das L'rtheil durch häutige praktische
Ausübung besser geschärft, ah durch Vorsehiifiten, und die Er&hreinen
worden leicht einige Fertigkeit erlangen, ea richtig au beurtheilen, wo man
stehen bleiben darf.

U9.

Erst in der letzten Hypothese werden die Elemente selbsl gere<dmet,
entweder aas/, r^, r", oder aus/^, r', indon man eine von beiden Rech-
nungen bis 80 Ende durchfuhrt, die man bei den vorigen Hypothesen nur
bis zn ij oder tj" zu verfolgen brauchte. Will man beide Reclmungen dorch-
fUluen, so wird die Uebercinstinunung der resultirenden Zahlen eine neue
(166) Prüfung der ganzen Arbeit liefera. Dennoch eniptichlt es eich, sobald erst
/, f\ f" {^efnnden sind, die Elemente aus der nllriTiitren Combination des
ersten uikI drilU ii ( »i tü abziiK ifrn, nämlich ans /', r und dem Zeitintei-valle,
lind fiidlirli zur <:rös?f'iTn Sidiciiieit der Kec liiiuiig den mittleren Ort in der
Buhn nach den getuudeneu Elcmeuteu abzuleiten.

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BmtlmiBiiiig d«r Bahn mm voUsWodigm BeobMhtugeii.

Auf diese Weise werden also die Dimensionen des Kegelschnitts bekannt,
nSmlicb Exoentiicität, hall» gnwae Axe oder halber Parameter, die Lage
des Poihds im Beaebung auf die heliocentrischen Orte C, C, die mitdere
Bewegong und die mittlere Anomalie für eine wiUkttrlicbe Epocbe (wenn

nibulich die Balui eine elliptische ist), oder die Zeit des Perihel- Durchganges
(falls sie eine Hyperbel ofli r T'aralel ist). Es erübrigt daher nur, die Lage
der heliocentrischen Orte in der Bahn in Beziehung auf den aufsteigenden
Knoten, die Lage dieses Knotens in Beziehung auf den Aeqntiioctialpunkt,
sowe die Neigung der Bahn gegen die Ecliptik (oder den Aequatorj zu be-
stimmen. Dies Alles lässt sieh durch Auflösung eines sphärischen Dreiecks
bewerkstelligen. Es sei W die Lünge des aufeteigendcn Knotens, i die iSeigung
der Bahn, g und g" die Aigunente der Brate in erster nnd dritter Beob-
achtung; endlich l — 0 = A, T — 0 = Ä", Wenn nun in d« vierten figur
Q den aufsteigenden Knoten bezeichnet, ao tmden im Dreiecke QAC die
Seiten idn AI/ — r, ff^ hy and die diesen resp. gegenttberstehenden Winkd
i, 180* — y, «. Man hat daher

sin i»«b-|-(?+A) = sin ^{ÄLf-^-^t^wn iO^+u)

mu^ico»^(g'{-h) = oos^(i4Z>' — t)tan\(f — u)

oos|-t8in'|($P — &) «= sin ^(-^iJ— C)cos-|-(y4-«)
CO« \ »cos I (ff — h) ^ co»^(Aiy — cos 7 (y — «).

Die beiden ereten Gleichnugui geben i{s-\-h) und sin|t", die beiden Übrigen
jiff — h) und coH^t. Ans g wird die Lage des Peribds in Besiehong auf den
anftteigenden Knoten bekannt, aus h die Lage des Knotens in der .Eeliptik.
ScblieMlich wird i bekannt, indem der Sinus und Oosinus sor g^enaeitigen

Prüfung dienen. Ztt demselben Ziele kann mau mit Hülfe des Dreiecks
Q A" C " gelangen, wo man nur in den vorhergebenden Formeln die Buchstaben
g^ h, A, u in g", /*", A", y" u" zu verwtmdeln braucht. Um fUr die

ganze Arbeit noch eine andere Prlifimg^ zn erlan^^ni, wird es nützlich sein,
die lüclinun^ auf beide Weise durchzut'iilii on. Wenn sich daraus kleine
UiUerftchicde in den W'eilhen von t", Q nnd der Llinj^e des Perihek in der
Bahn ergeben sollten, so kann man die miulerea W erthc annehmen. Selten
aber werden diese Unt^schiede bis auf 0"1 oder (f2 steigen, wenn man anders
alle Becfannngen streng mit sieben Decimalen geführt hat

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206

Zweites Buciu Entar Abachnitt.

Sßt mm ttbr^«iw statt der Ecliptik den Äequator bot GnindelMne
gewählt} 80 entsteht hieraus )>« i i!« r Heclmiing keine andere Differenz, a\h San
man »tatt der Punkte ^1, A' die Eioscfanitte des Aequaton mit den gifiBSten
Kreisea Aß, A B' nehmen mius.

m

Ich gehe jetzt zur Erliiuteniug dieser Mciiiudc durch einige ausführliche
Beispiele Uber, die zugleich au& Deutlichste zeigen werden, wie weit ihre
Anweiulbarkeit ausgedehnt ist und wie bequem und lasch ne stets zun enrünsdi-
ten Ziele fuhrt*).

Das erste Beispiel soll der neue Planet Jono liefern, zu welchem
Zwedce ich folgende, in Greenwlch angestellte und von Maske Ijne mir mit-
getheilte Beobachtungen ausgewählt habe.

■■ttlm Zät GNmwioli.

«clieinbarr
AecteicauMA.

MhabiMn aSdUeha
ihmUBitwui

1804 Oct. 5. 10^51- 6*
17. 9 58 10
27. 9 16 41

857* 10' 22" 85
355 43 45, 30
355 11 10, 95

6*40' 8"

8 47 25
10 2 28

Aua den >Somieutafeln findet mau llir die^elhen Zeiten:

_

U«m 4«r Böhm not

Kotetkn.

Ateaad TOB dar

Btaita dar

adMinbwt Sdiiafe dar j

Oct. 5
17
27

192* 28' 53" 72
204 20 21,54
214 16 52,21

+ 15" 43
+ 15, 51
+ 15, 60

0,998 8839
0.995 39G8
0,992 834Ö

— 0"49
+ 0,79
-0, 15

23' 27' öy ' 48 '
50, 26 i

59,06 ,

1

Ich will bei Führung der Reehnung m verfahren, als oh die Balm noch
gSnzIich uttbdeannt wSre. Man kann daher die Orte der Juno von der Parallaxe

*) Es ist nifhl rii htig, ein*" Mfthoje mehr oder w t n i >: ■ r p c n n u , stU eine andere tu npnnrO.
Denn man kann unr Ton degnugen Methode sagen, das« lie die Aufgabe gelöst habe, dun^ iraleha nun i» dam
Staad gHCtat iM, Jadca bvlieMgca Ond der Ocasiif Ik«i» n entickca. Dfci «ine Mathada kam dahw dw uidaaatt •

nur in dem Hrrrailit >!. ti T.nn^ uMui.rin, i!.xs!< d r i !• <■ II' i' Hrivi >1iH Cfnauigkett durch die cilM WhwH VoA wM
niadarer Arbeit, durch die Andere longuuncr und mit gröuercr Mühe erraicht wird.

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BeatimontHg der Bahn mi dni ToOitiiidigan BaobaclitangM. 207

nicht befreien, sondern mma diese auf die Orte der Erde überüageu. Zuerst
ledndie ich daher die beobachteten Orte Tom Aeqnator aaf die Eeliptik unter
Anwendang der scheinbaren Schiefe, woraus hervoi^geht:

1

Juno

ycbciiiSw«-' Breite der
Juno.

Oet 5
17
27

354* 44' 54 27
352 34 44,51
351 34 51,57

—4* 59' 31" 59
—6 21 56,25
—7 17 62, 70

Mit dieser Rechnung verbinde ich sogleich die BestiniTnun;!; der iJSxtgd (168)
iiTid I?reite de» Zenitlis des Beobachtungsortes in den drei Ikobaehtungen.
Wie Rcctasronsioii kommt zwar mit der Rect<-i«cpnsion der Jnno filu-roiii (weil
die Beobachtii Ilgen im Meridiane sclb.st imge&iclk siiid), die Declination ist aber
gleich der Foliiöbe =51° 28' 39". Man erhält so;

Uagt da ZHdfln.

JMte.

Oet. 5

17
27

24' 29'
2a 25
23 1

46" 53
47 24
47 36

Jetzt werden nach Anleitung der Vorschriftoi im Art 72 die fingirten Orte
der Erde in der Ebene der Eeliptik berechnet, an welchen der Hunmela-
htfrper ebenso erwilienien edn wtirde, ab an den wahren C^ten der Beob-
achtungen. Auf diese Weise bekommt man, wenn (Ue mitdere Sonnenparallaxe
«= 8"6 gesetzt wird:

Aeduction der
Lange.

Bcdwtimi dar DutaBi.

Badictioo der
Zrit.

Oet 5
17
27

— 22 ' 39

— 27,21

— 35, 82

+ 0,000 3856
4- 0,ÜÜ0 2329
+ 0,0002086

— 0*19

— 0, 12
—0,12

Die Rednetion der Zeit ist nur deshalb beigefügt, um zu zeigen, daas sie
ttberliaupt onmerklicfa ist.

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208

ZweitM fia«h. Enter AbKhniU.

Endlicli mttssen «He Idingen, sowohl die des Planeten ab die der Erde,
auf das mittlere FrUUtngs-Aeciuinoz fUr irgend eine Epoche, wozu ich den
Axxüjog des Jahres 1805 wähle, redneirt werden. Nach Ein^lmmg der

Nutation mtiss dalier RUch »ocli die Präoession hinzugefügt wei*den, wdche
fUr die drei Beobachtungen resp. ist: 11' 87, 10 23, 8 86, so dass man för
die erste Beobachtung addiren moss: — 3"ö6, fUr die zweite: — 5"28f fUr die
dritte: — 6"74.

Schliesslich sind Längen und Breiten der Jtmn von der Fixsteni-
Abenation zu but'itien. 8o findet mau durch die liekaunitii liegein, dass man
von den Längen resp. abziehen muss: 19"12, 17 U, 14 '82, dajss man aber
zn den Breiten addiren miiss: 0''53, 1''18, 1''75, eine Addition, wodurch die
absoluten Grössen eine Verminderung erleiden, weil die sUdlichfai Breiten als
negative angesehen werden.

15L

Nach gehöriger Aiil)nTi;^nng aller dieser Redoctionen, stehen die wahren

Daten der Aufgabe, wie folgt:
Bt'obarhtungszeiten auf den
l'ai iscr Meridian redneirt . .
Längen der Juno «, a" . . .

Breiten ji, (f'

LKngen der Erde /, i', l"

Log. der Abstitnde

Oct. 5,458 644
354* 44' 31" eo
—4 69 31,06
12 28 27,76
9,9996826

17,421 885
852*34*22" 12
—6 21 55,07

24 19 49,05
9,9980979

27,393077
361'84'd0"01
—7 17 50,95

34 16 9,65
9,9969678

Hieraus geben die Rechnungen nach Art 136 und 137 folgende Zahlen:

/■• r

^'

Die Loß-ai itlimcTi der Öinosse

ÄD, AD\ Alf..
Ä'J), Ä'D. ÄÜ".

Die Logarithm«! der Siniuse .

logsmf «'

log cos ^c'

196° (V 8" 36

18 '-';} ^y.i20
9,4yy 1995

232 6 26,44
241 51 15,22
2 19 34,00
8,6088885

191" 58' 0"33
32 19 24,93
9,728 1105
213 12 29,82
234 27 0,90
7 13 37,70
9,0996915
8,7995259
9,9991357

190' 41' 40" 17
43 11 42,05
9,835 3031
209 43 7,47
221 13 57,87
4 55 46,19
8,9341440

Digiti^ea by Co

BatJanuBg d«r Bdin aot igA TolUttmUfni BeolMchtiingeii. 209

Femer hat man iiiuh Art, 138:

logtaug/? 8,941 24947» logtang/^" ..... 9,107 4080«

logsin («•—/') . . 9,7332391« log8in(ß~n. . . 9,693 6181 n

log(;os(a' — n. . 9,9247904 logco8(g— Q ..9,9393180

Hieraus

log(tang/)co8(«^— T)— tangj9"oo8(«— 0) » log^sm/ 8,578 6513

logBinC«"— «) = logrcoal 8,7423191«

Hieniu t = 145* 32' 57" 78 log T 8,826 0683

i-{-y*^ 337 30 58, U logBm(/4-y') 9,5825441 «

Endlich

]og(tang/?sin(a"— 0— teiig/J"«iii(«— 0) logS. . . 8,203 33l9n

lo gr.sin(<4-/) 8,408 61 24 n

worau.s h)g tang n) 9,7 94 7 195

o = 31 56 11 Sl; also a = 0° 23' 13 " 12.
Nach Artikel 140 wird

A D—d" = 191 16 18 85 logsin. . . 9,2904352w logcos. . . 9,991öG61« Ii7u,

jUj' — ^ = 194 48 30, 62 — . . . 9,407 5427 n — . . . 9,986 3301 «

j^ji^iT = 198 39 33, 17 — . . . 9,5060667«
^9J^o = 200 10 14, 63 — . . . 9,637 6909«

ALT ^9 191 19 8,27 — ...9,2928554«

Aiy—d^-^-a = 189 17 46, 06 — . . . 9,208 2723«.

Daraus folgt

'7 - 9,549 4437, a = +0,3543592

log 6 = 9,861 3533.

Die Formel 13 würde log 6 = 9,8613531 geben, aber ich ziehe mteren Werth
vor, weil umiAD — '^ + o) grösser ist ak ^{ÄJj — «T+o),
Femer wird nach Art. 141

3 log sin 9,178 li252

log 2 0,301 0300

logsigg 7,8295601

7,3092163 und daher löge = 2,690 7847.

logb 9,8613633

logcoaa 9 ,999 990J^

9;86iä632

QAUaa» ThMri* 4. Ummc. *■ UlBMlik. 27

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310

Siweilc« Buelk £fit«r Abtebnitt.

woraus — 0,726 7135, Darmih eihült luaii d = — 1,3625052-

C080 ' ' '

](^e= 8,392 9518n. Irkhliesiüich geben die Formeln des Art. 143:

log» 0,0913894«

logx" 0,5418957«

lojri 0,486 4480«

logr 0,1592362».

168.

Damit dnd die Priiliminar-Becluiutigeu erledigt und ioh gehe zur'
ersten Hypothese über. Der (nnverbesserte) Zeitnuun nnachen der sweiten
und dritten Beobacbtnng betrügt 9,971192 Tage, «wiacbeo der asten und
zweiten 11,963241 Tage. Die Logarithmen dieser Zahlen sind 0,9987471
und 1,0778489, woraus log^ » 9,234 3285, logd^' » 9,3134303. Ich setse
daher mr ersten Hypothese

fl-a log P«: 0,0791018
y»]ogQ = 8,547 7588.

(171) Hieraus wird

1,1997804, P+a= 1,5641896, P+cT«^ —0,1627248;

löge 8,392 9518 n

log(PH-a) 0,1914900

ClogCP+cTi . . . 0,788 5463 n

logtHngw 9,8729881, wonms » 18' 16'6r89, «+* + 18'40'ö"01.

logQ 8,5477588

logc 2,6907847

logsino 9,3612147

logQ^sb» 0,599 7582.

Der Gleicbung Qcaincusins' = sm(z — 13' 40' 5" Ol) lässt sich durch wenige
Versnelu» Gasige thun mit eanem Werthe yim t = 14* 85' 4" 90, wonuu
l<^sins = 9,4010744, logr' = 0,325 1840. Jene Gleichung lüsst ausser dieser
Auflösung noch drd andere cu, nSmlich

Digiti^ca by Goü^lc

Bwtuunnng dw Bahn aus dni voUiUliidigeii lieobachtui^a.

211

32* 2*28"
» = 137 27 69
« = 193 4 13.

Die dritte moss man verwerfen, weil sine dadnreli negativ heraaskommt; die
mreite weil » grtfiMr^wird ab ^; die ente entBpridht der Annäherung an die
Erdbahn, worttber im Art 142 gesprochen ist.
Ferner hal man narh Art. 143:

logÄ^ 9,3648651

log(P+a) 0,1914900

Comp. log8in(2— o) . . 0,3103673

log 0,066 7029

log/* ; 0,079 1018

log-^ 0,5876011

z-\-ÄD — <r = z-\- wr 47' I M = 214"22' 6"41 ; lugshi ^ 9,751 6736«
z-{-ÄJj'—& = 2-1-1«« 54 32, 94 =^ 203 29 37, 84 ; loi^sin 9,6005923«.

Hieraus folgt logy; 9,927 0735«; logp" — 0,022 6459«, und sodann
legi = 0,2930977«; log//' = 0,258 0086«, woraus:

C 203* 17' 31" 22; logr = 0,330 0178
i" ^ 210 10 58, 88; logr' 0,321 2819.

Endlich erhält man vermittelst Art. 144 (172)

|.(«'-f tt) = 205" 18' 10 '53
^(tt"— 1*)=— 3 14 2,02
/ = 3 48 14,66

logain2 / 9,121 8791 log,sm2/ 9,121 8791

logr 0,330 0178 logr' 0,321 2819

Comp. log-^ . . . 9,333 297 1 Comp.log-^ . . . 9,412 3989

log sin 2/ 8,785 1940 logsin2 / 8,8.55 5599

2/ = 3* 29' 46" 03 2/' = 4' 6' 43 "28,

Die Smnme 2/ + 2/" i^t hier von 2f nur um 0" Ol verschieden.

27*

Digiti^ca by Goü^lc

212

Zweite« Buch. Erster Absciioitt.

Um nan die Znten für Aberralaoii »i verbessern, mflasen die Distenzen

9% 9" wich den Formeln des Art 145 berechnet, und mm» sodum mit diesen
I^taiizen die Zeit von 498 ßccunden oder 0,005706 Tagen multiplicirt
werden. Hier die HccLnung:

\ogr 0,33002 logr' 0,32513 logr" 0,32128

logsin{^yr— c) ..0,23fi06 logKiii(tJ'— 2)..9,48384 logsin(^"/J — ;").. 9,61384
Comp.log8in^.... 0,500 SO C. log sin «T.... 0,2 71 89 Comp. log8in<f ' ....0,16464

logp 0,066 88 löge' 0,080 86 löge" 0,099 76

logcoüst. 7,756 33 7.75^:^3 7,756 33

log der Iteduct.... 7,823 21 7,837 19 7,85609

ßedttctiou 0,006 656 0,006 874 0,007119

Der B«obacbtuii^o verb('^vt(' '/.nun IiiUrTille LogArithmeD

I. Oct. 5,451 988 ii-9ß3028 1,0778409

II. 17,415011 '

in. 27,885898 0,9987339.

£b werden mithin die verbesserten Logaritlmien der Grössen &" 9,234 3153
and 9,313 4223. Fingt man jetst die Bestunmong dar Blemente aus /, r , r ",
^ an, so kommt logij « 0,000 2285; ebenso aus r, t^, 9" wird logi}" »
0,0003191. Diese im ersten Buche, Abschnitt III, weitläuftig; erklärte Berech-
nung hercoseta^, will ich tmterhwsen.

EndGch hat man nadh Art 146:

(173) log^" 9,313 4223 2 logr' 0,650 2680

Comp.]og^ 0,765 6847 Comp, logrr'' ..... 9,348 7003

logi? 0,00n 2285 log«^^" 8,547 7376

Comp, log?" 9 .i)^)^> (;809 Comp, log»? V' 9,999 4524

logP' 0,079 0164. Comp, log cos / . . . 0,000 2022

Comp, lo^cos /' . . . 0,000 9579
Comp , logcos/ " ♦ . 0,000 2797
\ogq 8,547 5981.

Aus der ersten Hypothese resultirt daher —0,0000854, Y= — 0,000 1607.

Digiti^ca by Goü^lc

BMtiiDniing 4er Balm m» drai ▼«Uatünii^m BeobMfatoogMi.

213

153.

In sweiter Hypothese lege ich für Pt Q diejenigen Werthe zom
Gnmde, welche in der ersten ffla P', Q gefiinden wereui und setze also

x^logP« 0,0790164
^«logQ» 8^476981.
De die Bechnimg baer gans ebenso wie in erster Hypodiese geführt wird,
so setie ich nur die Haoptmomente her:

CD ,13' 16' 88" 18

fo+a 13 88 61, 26

logQcsinoi 0,598 9389

z 14 33 19, 00

logr' 0,3259918

log

0,867 6193

0,5885029

r 210' 9'24"98

logr 0,3307676

In?" 0,322 2280

^{d -\-u) 205 22 15, 58

tt) _3 14 4, 79

2/ 7 34 53, 32

2/ 3 29 ü, 18

2/' 4 5 63,12

K 203 16 38, 16

Die Reductiou der Zeiten fUr Aberration Ton Neuem zn berechnen
würde nicht der MUhe werth sein, da sie kaum um eine Secnnde von denen
abweichen wlü*den, welclic in erstrr Hvpotliese f^efunden.

Die fernere Rechnung giebt legi? = 0,0002270, logij" = 0,0003173,
worau3 man erhält

\ogP = 0,079 0167 X = + 0,0000003
logQ' = 8,547 6110 r= +0,0000129.

IfieraoB siebt man, an wie vid genraer die sweite Hypothese, als £e

erste ist

154. (174)

Um nidkts acu wUnschcn (ibrig zu lassen, will ich noch die dritte
Hypothese ansetzen, wobei ich wiederum die in zweiter Hypothese gefimdenen
Werthe für i^, Q' als Werthe für Q nehme. Setzt man daher

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214

ZweitM Bttch. Enter Abiebiiitt.

«»«log/» = 0,0790167

3/ «»logQ« 8,547 6110,
80 aind die HanptiiKnnente der Bechnung folgende:

0» 13* 16' 88" 39 1 r 210* 8' 25 "65

oi+o 13 38 51,51 1 logr 0,3307640

logQcsmw 0,598 9542 logr" 0,322 2239 .

z 14 33 19, 50 f (tt +t*) .... 205 22 14, 67

logr 0,325 9878 ! \ n" —u) ... .—3 1 4 4,78

log 2^ 0,6675154 1 'V 7 34 53,73

\ \ 'I f 3 29 0, 39

log-J 0,588 4987 'ij 4 5 53,34

X. 203 IG 38,41 ]

Allg diese Zahlen weicliou von den in /.weiter If \'|)ntli( -e gefundenen
•so wenig ab, dass man sieher annehmen li.inn, dass die dritfe Hypothese
keiner Verhessennij^ weiter bedürfe *X ^lan kann daher jetzt zur 1 ii -tinimung der
EU'Uiente selbst vorsehreiteu aus 2 / , r, /*", «^', welehe hierher al>/.u.schreil)en
ich unterhisse, weil dieselbe schon oben Art. 97 als Bei.-ipiel ausführlieh vor-
getragen ist Es bleibt daher nnr übrig, die Lage der Bahnebene nach An-
leitung des Art. 149 zu berechnen, und die Epoche auf den Anfang des Jahn»
1805 zu übertragen. Diese Berechnung sttttzt sich auf folgende Zahlm:

AU^l^ 9''55'51''41
= 202 18 13,855

i(y_tt) =_6 18 5,495,

woraus man ableitet:

I

^(9 + //) = 196" 43' 14" 62
1^— Aj =_4 37 24,41
\i ^ (\ 33 22, 05.
a7.V| Es wird dali. j // - 20r 20' 39" na imd deshalb Q =- l~h = 17r7'48"73;
lerner ^ = 192 ö 50' 21, und niitliin, da die wahre Anomalie für die erste

■| W.nii ilie Rrchnung rbciiso wie in »or^t« hemifii Hyjtothtwn ru Ende pcfOhrt würdr, »o würde
= 0, und Y =^ 4-O,000(MW3 li«r«wk<nMn«ii; «■ Wtrth, der «1« Tcrwbimidmd uiumImii üt, und k4sai über
di* di*r Ittim DM'nal* «Ma uUrbnid« Ihwcbctbcit Mnmgrlit.

Digiti^ea by CoOglc

BMtiDMintng d«r Bahn aut dfii vollaÜDidigen BeabaofatUDgan.

215

Beobachtung im Art. 97 zu 310 55 29 64 jrefnnden xvar, ist der Abstaud
des Perihels vom aulsteigeudeu Knoten in der liahn —241" 10 20 '57, die
LiDge dea Perihdi = 52' 18'9"30; «ndlieli die :Neigiuig der Bahn = 13*6'44''10.
Will num rar nHmücheii Rechnung lieber vom dritten Orte ansehen, w> iai

XD—'(;, — 24" 18' 35" 25

+ = 196 24 64, 98

iö^— «»") = —5 43 14,81,

woran«:

i(/+A') 211*24'32"45

A") 1148 48,48

\i = 6 33 22,05,

VBod haetam die Lünge dea anfeteigeuden Knotens T— A" = 171* 7' 48" 72,
die L8nge dea Perihela ^ 52'18'9"30, Neigung der Bahn = 13'6'44"10,
gans wie oben»

Der ZeitFBom swiacben der letzten Beobacbtung bia zum Beginn des
Jahres 1805 betrügt 64,614 102 Tage und ihm entspricht eine mittlere heliocen-
triache Bewegung von 53293" 66 « 14* 48^ 13" 66. Hiemach wird die Epoche
der mittlerai Anomalie für den Anfmig des Jahres 1805 und den Pariser
Meridian = 349* 34' 12"38, nnd die Epoche der mittleren Llfnge = 41*52' 21* 68.

156.

Um die Genauigkeit der Kiemente klar zu stellen , will ich au»
ihnen den mittleren Ort berechnen. Für October 17,415011 iindet sich
die mittlere Anomalie = 332" 28' 54" 77, hieraus die wahre 315*1' 23 "02 und
logr' = 0,3259877 (vcrgl. die Beispiele im Art. 18 und 14). > Letztete mOsate
der wahren Anomalie in erster Beobachtung vennehrt um den Winkel 2/"
gleich sein, oder der wahren Anomalie in drittrar Beobachtung vennindwt um
den Winkel 2/, d. h. » 315*t'22''98; der Logarithmus des Radios Vector
aber = 0,325 9878; Unterschiede, die als Null zu erachten rind. Setzt man
die Bereclmung i'lir die mittlere Beobachtung bis amn geocentrischen Orte
fort, so erhält man Zahlen, die von dieser Beobachtung nur um wenige Hun-

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216

Zweite* Buch. Enter Abecbnitt.

dertth^Ie äet Seeunde abweichen (Art. 68); Untersdiiede, die von den unver-
meidlichen Tufelfehlem gleiehaam absorburt werdoi.

Das yoraagehende Beispiel babe ich deshalb mit grtfsster Genam^eit
behandelt, damit man sehe, wie leielit durch unsere Methode eine möglidist
scharfe Auflösung erreicht wird. In der Praxis wird es aber selten nöthig seuBi
diesen Tyj)us mit gleicher Aengstlichkeit nachzuahmen. Gemeiniglich wird es
genltiri n, ;inrnthall)en «eclis Decimalcn finTHiwciuh-ri, inid in misercm Beispiele
wUrde schon die zweite IIy]>othe.se keine geriiiii;cn' und die erste eine völlig
au«reichcnde Genauigkeit geliefert haben. Ich ^lauhe, dass es dem Leser an-
genehm sein werde, eine Verglcichung der au.s dür dritten llypothese abge-
leiteten Elemente mit denen voraelmien zu können, welche die zweite oder
auch die erste Hypothese geliefert haben wOrden. Diese drei Elonenten-
Systeme legt folgendes Schema dar:

An HnwdMM m.

Am Hypothaw II.

Am HtpoOum I.

Epoche d. mittleren Länge

1805

41' 62 21 G8

41 52' 18" 40

42" 12 ;37"83

Mittlere Uigliche Bewegimg

824" 7989

824 "7983

823 " 5025

Perihel

52 18 9, 30

62 18 6, ß6

52 41 9, 81

*P

14 12 1,87

14 11 59, 94

14 24 27, 49

Log. der grossen Halbaze

0,4224389

0,4224392

0,4228944

aufstdgender Knoten

III 7 48, 73

171 7 49, 15

171 5 48,86

Neigmig der Bahn

13 6 44,10

13 6 45,12

18 2 37,50

Durcli Berechnung des heliocentrischen Ortes in der Bahn fllr die
mittlere Beobachtung nach dem zweiten Elementen - Hystemc wird der Fehler
im fiOjTarithmus des Radius Vector = 0, der Fehler der T^iinge in der liahn
— Ü ()3 gefunden. Dieser Ort aber au.s dem Sysu niv iiadi erster Ilypoihcp-e
abgeleitet giebt Irrthuiu im Logarithmus des iiadius Wctor = 0,0000002,
Fehler der .Länge in der Bahn = 1"31. , Durch Fortsetzung der BecUnuug
bis sum geocentrisdien Orte aber findet sich:

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Berturnnnag dar Bahn nm 4r«i volltWadi^n Beobachtungei

217

Aw HypoÜMM IL

Axt» Hypotlicw I. 1

geuceutrische Länge

352* 34 2i' 26

352" 34' 19 "97

Felller

(1.14

2,15 1

geooenti'ische Breite

G 21 äü,UG

G 21 54,47 1

Fehler

0,01

0,60

156.

(177)

Das zweite J.irisjnel will irh von dir l'.illa?? liernelinien. »Icrtn nadi-
ti.]<rt']ide, zu Mailand an;j('st(l]tr CcobaclauiiLicu iih der von ZaciiW-lien
Mouatliclieu Corrcspondenz, Band 14, J^eite 90, ciitkline.

ScbfinlHLr«

1805 Nov.

5. 14" 14"

4'

78" 20' 37 '8

27 "16' 57 "7 südlich !

Dee.

6. 11 51

27

73 8 48,8

32 52 44,3 „

1806 Jan.

15. 8 50

36

67 14 11,1

28 38 8,1 „

An Stelle

der Eeliptik

will

ich hier den

Aeqiiator zur Orunt

wählen, nnd die Rechnung so darchfUliren, als oh die Bahn noeh gänzlich
unbekannt wäre. Zunächst hat man au» den iäonnentatehi für die angesetzten
Zeiten:

läagß der Soiim tcb

nittlmn Aaqmvm.

Abatiad von der

Erd«L

Brrite der
Sonne.

Nov. 5

De/-, n
Jan. 15

22;; 11' 7"G1

2.") 4 2S 42,59
29Ö 5 47,62

0,9904311 '
0,984 6753
0,9838153

+ 0 "59
+ 0,12
— 0,19

1

Die lüngen der Sonne reducire ich unter Anbringung der Priloesaion
von reap. +7"60, +3"36, — 2"11 auf den Aniäng des Jahres 1806 und
brnoge solche dann sut Anwendung der mittleren Scluefe =2d*27'63"6d
und unter geh^^riger Rücksicht auf die Breite, aaf Rectasc^sionen und
DecUnationen. Ich finde so:

MXm, nwrie 4 Bewe» 4. ittMDdik. 38.

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218

Zwdtn BiuA. Entar Abaeluiit«.

B«elM««iuWB der
Booie.

DMBMÜni dar

1 Nov.

5

220" 46' 44' 65

15'49'43"94

südlich

Dec.

G

253 9 23.26

22 33 39,45

ff

1 Jmi.

lö

297 2 51,11

21 8 12,98

n

Diese Posidoncn werden auf den Mittelpankt der Erde bezogen und
mUaflen deslialb dtirck Aiibrin<,'iuijj; der Parallaxe an den Beobaclittmgsort
redncirt werden, da man die Position«»! deü Planeten von der Parallaxe nicbt
befreien kann. Die bei dieser ßecluiung ansuwendenden Beeiascenaioaen des
Zeniths kommen luit den Bectaftcenidonen des Planeten libereiu (weil die
Ik'obaclitnnycn iui Meridiane selbst »ngestellt sind), die Declinatiun ist aber
allentiiaJbeu die Polhölie — 45* 28'. Damit ergeben sich folgende Zahlen;

1 bectMOciiMoii der £rde.

1

ÜMliaatira der Xrde.

l-ngariUiHU dir
Diftüiis T, 4. 8««M.

Nov. 5
Dee. 6
Jan. 15

40* 46' 48 "öl
78 p 23,26
117 2 46,09

15 49' 48 "59 nordlicli
22 33 42,83 ,
21 8 17,29 »

9,9958375
9,9933099
9,9929259

Die beobachteten Orte der Pallas mOssen von der Untation und

der Abenation der Fixsterne befreit werden, uml sind dann mit Anbringung
der IVäeession auf den Anfang des Jahres 1806 au rediicircn. Unter diesen
Titeln niii.s.seu daher folgende Verbesserungen an die Beobachtungen ange-
bracht werden:

BMNAtiu« ni.

ReetmmuSM. \ UcdiBaliaa.

lUetMeeniiDa. | DMÜnftlian.

■•ClMOCWlOII. t

DeeUiMtiaa.

Nutation

Aberration
i'räcession

— 12 "86 — 3 08

— 18,13 ' — 9,89
+ 5,43 -f 0,62

— 13 "68

— 21,51
-r 2,55

— 3 "42

— 1,63

— 0,39

— 13"06

— 15,60 !

- 1,51 1

— 3"75

+ 9,76

— 0,33

Summe

—25,56 1 —12,36

1

— 32,64

—4,66

—30,17 1

+ 5,68

Digiti^ea by CoOglc

BeadnuiMiPig der Bafaa mm dai voUatKwIigen Beobiirbtnngen.

219

liieraiiä gelieii iiaclitolgende i'ü.sitioneu der Palla« liervor, aui welche

die Rechnimg za stOtasen:

Mitthn Ttnm rdt.

DMÜntiMk 1

Nov. 5,574047
36,475035
76,349444

78*20 12"24
73 8 in.lfi
67 13 40,93

—27" 17' 9 05

-.^2 52 48,96 1
— 2ö 38 2,42 1

157.

Zuerst bestimme ioh nun die Lage der grfiwten Kreise, welihe von
den hcliocentris(!lien Orten der Erde nach den gooeentrischen Orten des
Planeten f!^p'/o£rc'ii werden. Die Einschnitte dieser Ku^ise mit dem Acrpiatur,
oder (wenn man das lieber will) ihre autstt iL;t ii(len Knoten sollen die lim li-
staben 91, 91', 91' zugeisrhrieben erhalten, irnd d'w Abstände rlci Pmikte /?, If,
B' von diesen Punkten hezckhiic ich mil J , J . J>t iui gnJ.-heren Theile
der Operationen muss fUr A\ Ä\ nun 91, 91', 91 , und für (f, ä"
mm Jj J" sabstitnirt werden; wo aber A\ Ä\ «T, (f, J" bekubebalten
sind, wid der anfinerkMune Leser auch ohne meine Erinnerung leicht

Ke Rechnung ergiebt (179)

Rectaacension der Punkte

% 91', 91"

233*ö4'57''10

2Ö3» 8'5r01

276*40' 25''87

y, '/, r"

51 17 15,74

90 1 3,19

131 59 58,03

^, ^

215 58 49,27

212 52 48,96

220 9 12,96

9, r

56 26 34,19

55 26 81,79

69 10 57,84

9l'A ^D', 91 Z)'

23 54 52,18

30 18 3,25

29 8 48,32

%'fJ, 91 Zy,

33 3 26,35

31 59 21,14

22 20 6,91

e, «, «

47 1 54,69

89 34 57,17

42 33 41,17

Logarithmen der iäinna

9,8643525

9.f>n9 9885

9,8301910

log »in ' f

817,^971

log cos ^ e

9,8ölÜül4

»8'

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220

Zweites ÜQch, £nter Abachnitt.

hk der Berechnung nach Art. 138 wird für t die Bectascenflion des
Punktes 9' angewandt. 80 findet sich

log rein/ 8,4868286»

log7cos< 9,284 8162 n.

Hiennu 1= 189*2'48"83, log 7«» 9,2902527; femer t+f«» 279*8' 52"02,

logiS 9,011 0566n

log T6m(i+y') . . . 9,284 7950»,
woran» J'—a = 208* 1'55"64 und 0 = 4'fiO'53"S2.

In den Formeln des Art. 140 muds man an 9, sin (^, sin <f' für o, b und
— beibelialten, imd ebenno üi den Funuelu dcü Ait. 142. Behuf dieser
Bechnnngcn hat man dann:

%''iy—J" 171' 50' 8"18 logsin . . . 9,152 8306 ' logoos . . . 9,9955759tt

W—J =17419 13,98 8,9954721' 9,997 8629<i

%"D — J" = 172 54 13,39 9,091 7972

—J'^o^ 175 52 56,49 8,85G 1520

?(/)" — ^ = 173 9 54,05 9.(I7.-.5H44

Ql7> /-f 0=174 18 11,27 a.diiüVJlS.

Hieraus ei-hält man:

In-;/ 0.921 1850, \o<^l (».(181 -JOST n

h,<^y ^ (I.Sl 1 2762, lo<(r= 0,031 9üyi7i

loga - (J.Ki;) 9(t88, a = + 1,2879790

lüg 6 =0,1810404

log^^ = 0,071 1314, woraus log6 = 0,181 0402 wird. Unter

diesen beiden nahezu gleic-hen \\'erthen fOr b nehme ich den mittlem
log 6 = 0,181 0403. 8cliliesslicli entstellt

\ogc = 1,045 0295

d = 4-0,448 9906

löge = 9,210 2894,
womit die praliminuien ikcimungen beendigt sind.

Der Zeitunterschied zwischen der z\^(■^ten und dntt*'ii Beobachtung
beträgt = 39,874409 Tage, zwischen der ersten und zweiten = 30,900 961

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BartiBunang der Bdm am drai ▼oUitladigMi 6«ob«ehtaqgMi.

221

Tage. Eitiaus wird log^ = 9,8362757, logd" = 9,726 ööö3. Ich setze daher
zur ersten Hypothese

«=logP = 9,8892776

y«,,]ogQ» 9,661 8290.
Die HMtpünomente der Redmtuig sind dann:

a,4-o«20*8*46"72

logO^Binco = 0,028 2028.
Hiermit wird der wahre Werth von » » 21* 11' 24''30 und log*^ » 0,3609979.
Die drei Ubrigeii Werthe von c, die der Glächang IV im Art. 141 Genfige
lebtai, werden in diesem Falle:

6a*4ri2''

«a^lOl 12 58
£«199 24*7,

von denen der erste als Anniib^nmg an die Erdbahn anzusehen ist, dessen
Versciiiedcnheit davon aber hier w^cn der zu grossen Zwischenzeit bei weitem
betriichtlirtier ist, als im vwheigehenden Beispiele. Die iemere Rafthunng
ei-giebt tolgcnde ZiüücQ:

f.' 195*12 2 48

^"...r lye ^"t öu,78

logr 0,3647022

logr" 0,3355768

|^(tt''+ti) 266 47 60,47

»)...,— 43 39 6,33

2f 22 82 4(^86

2/ 18 641,17

2/" 9 27 0,05.

Die Differenz zwiachen 2/' und 2/4-2/", welche hier 0"36 boträn;t,
mrd unter 2/ und 2/" 80 vertheiit, das» man setzt 2/— 13* 6' 40' 96,
2/" = 9" 26' 59 90.

Nim uiuss niRn die Zeiten wegen Aberration verbcsBem, wo in den (161)
Formeln des Art. 145 zu si tzen ist

Arj—^=%B—j-\-if—Q; Ä'D'—i" = %"n—d-^d—i".

Man liut daher:

Digiti^ca by Goü^lc

222

ZweitM Bttoh. Erater AtwcbnitU

logr 0,36470 logr. 0,S5094 logf^ 0^57

log8m(il2)'—S) ..9,76462 logsinffr—«). .9,76088 logMn(^"i)'— -O"»»«^20
Comp.log8in*.... 0,079 18 C,logamrf'....0 )^ t U Comp. logwniT.... 0,029 32
logcoDBt. 7,76633 logcoiwt 7,75633 logcoiut ..7,75633

796483 7,94197 7,96342

Iteduct. der Zeit 0,009222 0,008749 0,009192

Dttmit wird erhalten:

CorrigirUi Zeiten. i

Nov. 5,5ß4 852 1
3G,4ÜG286
76,340252

und es werden die verbesserten Logarithmen der Grössen i^, 0'' rcsp. 9,836 27U8
und 9,7266599. Beginnt man daher die Berechuung der Elemente ans r\ r ',
2/, ^, BO tvird logi; 8= 0,0081921; sowie Alis r, v, 2y , kommt
logi}''«0,0017300. DarauBlogP*» 9,890 7512, logQ"» 9,571 2864 und deshalb

X = 4- 0,001 4736, r = -f 0,0094574.

IKe Hanptmomente der zweiten Hypothese, wpbd ach aetie

« = log jP= 9,8907612
y = logg = 9,5712864,

80,901434
89,873966

JkogwitinMn,

1,4899785
1,6006894

dnd folgende:

(182)

«+a 20* 8' 0"87

logQesina» 0,0378071

t 21 12 P,09

logr' O.^nOT 1 10

5 196 IG 59,90

r 196 52 40,63

logr 0,3630642

logr" 0,3369708

a(m"+m} 267 6 10,76

»)....— 43 39 4,00

2/ 22 32 8,69

2/ 13 164,65

2f 9 80 14,38.

Digiti^ca by Goü^lc

PtiHminuDg der Bdu aua dnl voUatModigeii Baobaehtniigni. 228

Die Differenz 0"34 zwischen 2/' und 2/+ 2/" ist
2/= IS"!' 54" 45, 2/"= 9* 30' 14" 24 gesetzt wird.

Wenn nifui es der Mühe werth hält, die Verbesserungen der Zeiten hiemit
von Neuem zu hereciinen, so tindet sich für die erste lieobaclitung 0,009169,
f(ir die rweite 0,008 742, für die dritte 0,009 2'6G. Also sind die verbesserten
Zeilen 2sov. 5,664 905, Nov. 36,466 293, Nov. 7G,340 280. Damit wiid

]og» 9,8362703

log»" 9,7256694

log/; 0,0031790

logif.... 0,001 7413
\ogP' .... 9,8907268
logQ^ ....9,5710593.
Aaf diese Weise folgt also aus zweiter Hypothese

X = —0,0000244, Y = —0,0002271.
Fttr die dritte Hypothese endlich, un der

a;»]ogP=« 9,890 7268
j^«.logQ = 9,571 0593
gesetzt wird, sind die Hauptmoniente der Beohnung:

w + o 20" 8' 1"62

log^csinco 0,037 0857

logr" 0,336 9536

i(tt"4-w) 267" 5'53"09

f (!»"—»♦} —43 39 4,19

2/ 22 32 7,67

2/ 13 157,42

2/ 9 30 10,63

2 21 12 4,60

logr' 0,3507191

5 .195 16 54, üb

r 196 52 44,45

logr 0,3630960

Die DifferoiuE OTSB wiid so vertbeilt, daaa 2/»13M'57"20, 2/ "»9* 80' 10^47*).

Da die Unterschiede aller dieser Zahlen von den hu der «raten
Hypothese gefundenen nur sdur gering rind, so kann man schon sichor an-
nehmen, daas die dritte Hypothese keiner Verbesserung weiter bedarf^ und (iss)

*) I)i«M e«WM groMere, in aUen dr«! UjpotbawB fut gl«icb« Difftrons ist lan gröMten TkciU «Unas
maMlitäntt ium 9 ingdOir tmi Hmdirtlhaa« der Swimd« Urimtr all mIb tlehtifcr WMb ud int LtgtOttmm
<iM «m «hii« Bnhiiln giflMr, «U mim MkSgn Warlh humedradM «w.

Digiti^ca by Google

224

Zwoitm Bwofa. Enter AbMimitt.

daa» midun eine neoe Il^^othese AbeiflüMig ist — Ea kann ^bilb mm die
Bereclmimg der Elemente ans 2/^, t9', r" begomiai werden, und de die-
selbe in den oben, berdts «Mfttbrlich erk]8rten Operationen enthalten ist, aa
will ich micb begnttgen, zur Annehmlichkeit derer, die solche selbstttndig

auszufUliren wUnsclicn, (Vw Elemente herzuÄCtzen:

Kectasccnsion des au&teig( nd* n Knutcnn im Aequator 158 '40' 38 '93

Keigung der Bahn gegen den Aeqiiator 11 42 49,13

Abstand des Porihels von jcn«^ni aiii''~ti'i'j( nden Knoten 323 14 5f;,f>2

mittlere Anomalie für die Epo»'lit; löUij 335 4 13.0ä

mittlere tägliche (sidcri-st he Bewegung 770 2662

<p 14 9 3,91

Logarithmos der gron^soi Halbexe 0,4422438

158.

Die beiden vorigen Beispiele halun mir keine Gclegenhdt geboten, die
Methode des Art. 120 zu benutzen, denn die sueecssiven II\ pothesen eonvergirten
so ra-ieli, dn?5s man «clmn lui der zweiten liätte Hffli'Mi bleiben köimen, mid
dass die dritte kaum im rl<li< It von der Wahrheit ;ili\vi( h. .Mfui wird sieh in
der That diese« Voiilit ils mcu eitVeiicn, und sieh iilxr eine vierte Hypothese
lünwegfietzeu köuncu, tails die helioceuti-ische IJewt'gung eine massige ist, und
die drei Bedien Vectoren niebt an ungleich sind, vorsaglich wenn Überdies
die Zwischratizeiten von dnander nur wenig verschieden. Je mehr aber
di^ Bedingungen der Aufgabe unerfüllt bleiben, desto stärker werden die
sapponirten Werthe fQr Q von den wahren differiren, und desto langsamer
die naclilol Mi nden Werthe zu d^ wahren convergiren. In einem solchen
Falle sind daher die drei ersten Hypothesen so za erledigen, wie e.s die
Ij* iden vorigen Beispiele zeigen (nur mit dem T'nterschiede, dass in dritter
Hypothese nicht die Elemente selb-st, sondeni, ebenso wie in er*it(M- mid zweiter,
die (Jrösseo »j, V, J'\ Q\ -^i ^' bereehnet werden mtii<*en). Dmm ;iliei iiiinint
man nicht ferner mehr die Sehhis-sweiilie von I'\ (/ als neue \\ ertiie für die
Grössen I\ Q in einer vierten H\iiothese, sondern diese werden nach der
Methode des Art. 120 aus Combination der drei ersten Hypothesen ermittelt
Selten wird es dann erforderlich sein, noch zu einer fünften Hypothese nach

Digiti^ea by CoOglc

Bettinnuing dw B«bn «oi di«t vollitliiidigeii BeolMcktttogeo.

225

Vüix hritt des Art. 121 vorzugehen. Auch diese ütecluninffcn will icli jetzt
durch ein Beispiel erläutern, woraus man zugleich darüber Itlar werden wird,
wddie wate Anwendung tkh fttr imsrae Methode crSftbet.

159.

Als drittes Beispiel wäUe ich die nmdifolgenden Ceres^Beobachtungen,
(leren erste von Olbers in Bremen, die zweite von Harding in Gottingen, (164)
die dritte von BeBsel zu Lilienthal aogesteUt i»t.

MiUlare Zeit dei Bcobaebtungaorts.

B«eU«ccnMou.

uürdl. DeeUsation.

22* 21' 25"
30 21 22,3
28 2 45

1805 8ept 5. 13^ 8*54*

1806 Jan 17. 10 58 51
1806 Mai 23. 10 23 53

95' 59' 25"
101 18 40,6
121 56 7

Da die Methoden in den beiden vorigen Beispielen schon reichlich
erlUutert sind, welclie man zur Berllcksiolitii^ainir der Paralhixe xmd Altcnation
dann anwendet, wenn die Abstünde von dtr Erde als noch iränzlich imhckannte
angeschen werden, so üborlielte ich niiih l.iti flicsein thitttii Uti^^jju'le dieser
UberflüBsigen Arbcitsvenuehrung, und entuclimc zu dicsiiii Zwecke die ge-
näherten Abstände aus der Monatlichen Correspondcnz von Zach (Band XI,
S. 284), um die Beobachtungen von Einwirkung der Parallaxe und Aberration
zu befireien. — Die nachfolgende Tafel stellt diese Abstiinde zugleich mit den
daraas abgelöteten fiednctionen dar:

Abstand der CSeres von der Erde

2,899

1,638

2,964

Zeit, die das lieht von dort bis zur

Erde braucht

28*49'

13- 28*

24-21*

^edmärlB Zeit der Beobachtang

12"'45" ö'

10' 46- 28'

9' 59-82*

Sternzdt in Graden

97° 59'

210" 41'

Parallaxe in Bectaacension

+ 1"90

+ 0'22

— 1'97

Parallaxe in Declination

— 2,08

—1,90

— 2,04.

Die Data der Aufgabe, nadi I^efreiung von Parallaxe und Aberration
und nach Rcduction der Zeiten auf Paris» Meridian, verhalten sich dann so:

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226

Zweites Bocb. Erster AbwhiUtt

j

Deeliaatil».

1800 Sept. f).
i 180fi Jan. 17.

12"19'"ir !).V59'2:riO 22''21'27"08
10 15 2 101 18 40,38 30 21 24,20 j

180C Mai 23. 9 33 18 121 5(J 8,97 28 2 47,04 ,

J

Ans diesen Reclaiioeiisionen und Dedinationen sind die LKngen und
Breiten abgeleitet mit Anwendung einer Elcliptilnchiefc von 23* 27' 55" 90,

23* 27' 54" 59, 28* 27' 53" 27. Dann sind die Ii<ii<ren von der Niitation befreit,
welche war resp. -f-17 "31, -|-17"88, -j-18"00 und dann aul' den Anfang des
Jahres 180G reducirt durcli Aubringinig der rraeoession +15 '98, — 2 59,
- — 19 "G8. Endlich sind für die rediicirten Zeiten ans den 'i'afcln die Sf>nnen-
orte ^'enonnnen, wo hei (k-n Landen die Niitation weggehis-sen, <la;^cirt ii die
(Ifti) l'raeee.-^ion ganz wie an die l^ängen der Cere.s angebraeht ist. l)ie i '»reite
der St)nne Ist Uberhaupt vemaelililiisigt.
Rechnung anzuwendende Zahlen:

Zeit 1805 Sept. 5,öi;>;jr)
a, «. a ^ 95" 32 18' 56

-0 59 34,06

•So entätauden fulgeude, bei der

logi?, logJ?*, ]ogi2"

1.39,427 11
99 " 49' 5"87
+7 16 36,80
117 12 43,25
0,0031514 j 9,9929861

I

1 342 54 56,00

265,398 13
118" 5' 28 '85
4-7 38 49,39
241 58 50,71
0,0056974

Die präliminaren Rechnungen der Artt. 136 — 140 geben:

7* 7
d, ff

ÄD, Äjy, AJr

A"iy, Äir

156" 52' 11 '49
18 48 39,81
252 42 19,14
6 26 41,10
170 32 59,08

I 358 55' 28 09
I 112 37 9,66
\ 15 32 41,40
' 138 45 4,60
j 29 18 8,21
tf = 8''ö2'4"0ö

loga 0,1840193«! a » — 1,527 6340
log6 =0,004 0987
logc ^ 2,006 6735
d = 117,508 73
löge =0,8568244

170" 48' 44 79
123 32 52,13
136 2 22,38
358 5 57,00
156 6 25,25

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BMtimmnqg d«r Bthn tm drei Tolbtliid^n Reobudituiigttiu 227

]ogx 0,161 1012
logx's 9,977 0819n
logil »9,9164090»
logi" =5 9,7320127«.

IMe Zwiacbomit zwischen der ersten tind zweiten BeolMichtting »t
= 133,913 75 T^, swischen der zweiten und dritten = 125,971 02. Damit

wird lojr* = 0,3368520, log*" = 0,3624066, hg ^- - 0,0266646,

hvrfh'y — (»,ti98 258G. Die vorziisriichsteu liethmnif^s-Mointiue der drei er^teu
liieraus zu büdeudeu Hypothesen giebt die nachlbigeudc Uebersicht;

II.

III.

0,0265546

0,0256968

0 0256275

0,6982586

0,739 0190

0 748 10.55

7" 15' 13 523 '

7" 14' 47 139

V 14' -15"n71

logQc«inco

1,1546650«

1,1973925«

l,20(ii;;j27n

7 3 59,018

7 2 32,870

7 2 16,900

]oo; r'

0,4114726

0,412 9371

0,4132107

160 10 46,74

160 20 7,82

160 22 9,42 1

r

262 6 1,03

262 12 18,26

262 14 19,49

logr

0,4323934 ! 0,4291773
0,4094712' 0,4071975

0,4284841

logr"

0,4064697

282 55 23,22

262 57 6,83

282 57 31,17

■(«"-«)

273 28 50.95

273 29 15,06

273 29 19,56

2/

62 34 28.40

62 49 56,50

62 53 57,06

2/

31 8 30,03

31 15 59.09

31 18 13,83 '

2/'

31 25 58,43

31 33 57,32

31 35 43.32

log»j

0,0202496

0,020 3158

0.020 3494

logJj"

0,021 1074

0,0212429

0,0212751

logP'

0,0256968

0,0256275

0,0256289

log«?

0,7390190

0,7481055

0,7502337

z

—0,0008578

—0,0000693

+ 0,0000014

r

+0,0407604

+ 0,0090865

+ 0,0021282

Digiti^ca by Goü^lc

228

Zweites Doch. Enter AbMimitt.

BesEeichne ich nan die drei Werthe f Ur X mit A, Ä\ A" und die drei
Werthe fOr 7 mit Bf ff, B'; die ans der Diviflion der QtGeeea ÄB'—JtB,
— AECt Aß — ÄB durch ilire Summe entstandenen Quotienten mit It^
80 dass man li.it k-}-k' ^k' = 1. und ciullidi die Wertüie für log-P* und log Q'
in dritter H/potbese mit .1/ und N (welches die neuen Werthe für x, y sein
würden, wenn man die vierte Hj-püthcse ebenso aus der dritten herleiten
wollte, wie die dritte aus der zweiten abj^eleitet war), so entnimmt man den
Foruiehi des Art. 120 leielit, dass der verbesserte Wertb von x w'wX
= \f-~k(Ä^A"\—k'A\ und der verbesserte Werth für // -^N~k(ß-^Ii' )~ k II .
Durch lieelumug erj^iebt sit li der erste = (>,()2äü;Ull, der zweite = 0,7i>OU143.
Auf diese verbejs^erten Wertlie stütze ich nun die vierte Hypothese^
der^ Hauptmmnente folgende sind:

\ogr' 0,406 2033

|i V 4- «) 262" 57' 38" 78

^{« — «) 273 29 20,73

2/ 62 55 16,64

2/ 31 19 1,49

2/" 31 3615,20

w-\-o 7* 14' 45' 247

hjrQc^mm 1,2094284«»

z 7 2 12,736

logr 0,4132817

^ 160 22 45,38

r 262 15 3,90

logr 0,4282792

(187) . Die zwischen 2/ und 2fA-2f anftanchende Differenz 0"05 vertheile
ich so, dass 2/«» 31*19'r47, 2/^ » 31* 36' 15" 17 gnaebst wird. — Wenn
nun ans den beiden ttusaeraten Orten die Ekmente selbst hergeleitet werden, so
erhält man folgende Zahlen:

Wahre Anomalie für den ersten Ort . . . 289* 7'89"75
Wahre Anomalie fttr den dritten Ort ... 352 2 56,39

Mittlere Anomalii für den ersten Ort . . . 297 41 35,65
Mittlere Anomalie für den dritten Ort. . . 353 15 22,49

Älittlcrc tägliche siderisehe Bewcgtmg 769"(i75r)

Mittlere Anomalie für Anümg 1806 .... 322 35 52,51

Winkel ff ... 4 37 57,78

liOpuitlimus <ler j^rosücn Halbaxe 0,4424661.

Bereehnet man mit diesen Elementen den heliocentrisehen Ort für
die Zeit der mittleren Beobachtung, so iindet sich mittlere Anomalie

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B«attiiiiintiie der Bdm «as drei TotbtladjgBB Baobkohtuigaii.

229

« 326* 19' 25 "72, Logarithmus des Radius Vector 0,4132825, walue iVnumaiic
330* 43' 54" 87. Letaetere mUaste toq der wahren ÄTimnnliK ffjr 6m ersten
Ort abfttehen nm die Difforem; 2/^, oder von der mbren Anomalie fVät dm
dritten Ort tun 2f, nnd miU»te daher werden « 820* 48' 54" 92 und der
Logftrithmiw des Badiue Veetor » 0,4132817. Der Unterschied von O^Oö in der
wahren Anomalie» und von acht Einheiten in dem fraglichen Ix^arithmtis ist
hedcutungslos. Würde man die \icrte Hypothese auf gleiche Weise dureh>
fuhren wie die drei ersten, so käme X^Of Y — — 0>0000l68y woraus die
verbesserten Werthe von x, y wfirden

sc = logP = 0,025 6331 (derselbe wie in vierter Hypothese)
9 i==logQ = 0,7608917.

Wenn auf diese Werthe eine fUnfte Hypothese gebaut würde, so würde die
Auflösimg die Uusserste SchUrfe erlangen, welche die Tafeln nur gewähren;
aber die hieraus hei-vorgcheuden Elemente wUrden kaum merklich von denen
abweichen, welche die vierte Hypothese lieferte.

Um voUstHndige Elemente zu hab«i, erübrigt nur, die Lage der Bafan>
ebene m. berechnen. Kach AnleLtw^ von Art. 149 kommt

an« dem enten Orte tas dem drittt^n Ort«

g 354" 9'44"22 / 57' 5' 0 91

h 261 56 6,94 A" 161 0 1,61

t 10 37 33,02 10 37 33,00

Q 80 58 49.06 80 58 49,10

Distans des Periheb von Q . . 65 2 4,47 65 2 4,52 (188)

Länge des Perihek 146 0 58,53 146 0 58,62.

Im Mittel wird daher » = 10*37' 33"01, 0 = 80*58'49"08, Perihellänge
146*0'58"57. Endlich die mittlere LRnge fttr den Anfang des Jahres 1806
» 108*36'46"08.

160.

Bei Auseinand er seta ui ^ der Methode, welcher die vomngrelienden T rntcr-
Fnchtmgen gewidmet waren, ti-afcn wir auf einige besondere Fälle, wo sie eine
Anwendung nicht leidet, wenigstms nicht in der Gestalt , in welcher sie von

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230

Zweitw Bocb. Errter Atwchnitt.

mir dargelegt ut Wir sahen^ dass dieser Ifangel zuerst dann Statt habe,
wenn einer der drei geocentrischra Orte, entweder mit dem entspreefaend«!
beüiooentnaclien Orte der Erde^ oder mit dram entgegengesetaten Punkte
snaammenfKllt (letzterer Fall kann oiTenbar nur dann eintreten, wenn der
Himmelakfirper zwischen Sonne und Erde durehgeht); zweitens dann,
wenn der er.ste geocentriselic Ort des Himmelskörpers mit dem dritten
zusamnienlullt : diiftens dann, wenn alle ilrei p-fHvcentnsrhen Orte zu-
glcicl) mit dem zweiten keliocentrischeu OrUi der Erde in demüelbeu grötssten
Kreise liegen.

Im ersten Falle wird die Lage irgend eines der grössten Kreise AB,
^1 //, A B unbciitimujt bleiben, -sowie iin zweiten und dritten Falle die Lage
des Punktes .B*. — In diesen Fällen verlieren also die vorigen Methoden,
mittelst derca man, wenn die GrtiSsen P, Q als bekannte angesehen werden,
aas den geocentrischen Orten die heliocentrischen bestimmt, ihre Kraft. Dabei
mache ich jedoch auf einen wesentlichen Unterschied aufinerksam. Im ersten
Falle liegt der Fehler lediglich an der Methode, im zweiten und dritten aber
in der Natur der Aufgabe selbst Im ersten Falle wird man daiier die fragliche
Bestimmung dennoch bewerkstelligen kSnnra, wenn man nur die Metbode in
an<remeRscnor Weise Jindert; im zweiten und drittni nVwr ist sie absolut
unmö'srlif b htkI die helint cTitriseben Orte bleiben dann unbestimmt, leb will
diese lielatioutii mir wiiuLjt'n Worten entAviekeln, aber Alles m ersrjiöpfcn.
wns biermi? ziis;nniii("iili;iii;^t . ist um so weniger nötliig, da in allen diesen
Sj)feialfjillen eine L'"( iiaiu' liahnbestirnmung unmöglieh ist, wo sie von den
kleinsten Beobachtongsteblem enonn aflacat werden würde. Derselbe Mangel ist
anch dann schon fühlbar^ wenn die Beobachtungen zwar nicht völlig, aber
doch recht nahe sidi in ^nem ^eser F^le befinden. Bei der Auswahl der
Beobaehtungen muss man dalier dies berUcksicbtigoi, und Mch sorgfältig
hiitra, nicht einen Ort anzuwenden, wo der Kdrper zugleich in der Nachbar*
Schaft des Knotens tmd der Opposition oder Conjunction ver\\eilt, sowie auch
nicht solehe Beobachtungen, wo der Körper in der letzten Reoba< btung iiabezu
an denselben geocentriseben Ort zurückgekehrt ist, den er bei erster lieoi)-
athunig inne hatte, und PTjdlich niebt solche, wo der grösste Kreis, weleher
vfni dem initflereii lit lioci im iseiieii < h ii- der Erde nach dem mitrlci cn ^eocen-
(18',M triseiien Orte des Himmelskörpers gezogen ist, einen sehr spitzen Winkel mit

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Bestimmung der Babn va» drei vollständigen BeobHclitungen.

231

der mdibmg der geooe&triadMn Bew^ong bilde^ und den eratra und dritten
Ort gleicbsam streiü

161.

Ich im'h!i<' l'iir dtn ersten Fall drei L nteralitlieiluiigen.

I. Wenn der Punkt B mit A oder mit dein en(i;( treiigesetzten Punkte
coincidirt, so ist ä = 0 oder -~ 180' ; «, * und die Punkte D j l) bleiben
nnbeätimmt, di^^ea werden /, '/ \ « und die Punkte D, J9* bestinunt. Der
Punkt C föllt nothwendig mit A eusammen. Durch mudoge Betrachtungen,
wie in Art. 140, leitet man leieht folgende OMchung ab:

_ , iin(»— tf) Rmnif sioU"!)— d") _ „

Es lässt sich daher hierher Alles Übertragen, was in den Artt. 141 und 142
anseinandei^gesetsst ist, Mls man nur assQ setzt, und b mittelst der Gleichung 12

des Art 140 bestimmt Die Grölssen 2, r^, werdoi guis wie oben

berechnet Sobald also « und solchergestalt die Lage des Pmiktes C* bekannt
wird, kann man dem grSssten Erase CC saoe Lage anweisen und dessen Ein*

schnitt mit dem «.a ossten Kreise Ä'B " Huden, d. h. den Punkt C'\ luid somit die
Beigen CC, CC\ CC oder 2 / if, 2/; hieraos endlich erhält man

nr' «n2/_ „ _ _nV sin 2/"
« ■ 8in2/' ' ** "" h" ' sin 2/'"'

II. Atif den Fall, wo der l'iitikr B' mit ^1 uder diu) cnigegenge-
setzten Piuikte zusammenfällt, lä^ät sich jUles eben Gesagte übertragen, wemi
man nar Alles, was auf den ersten Ort sidi bemdit mit dem vertausch was
zam dritten Orte gehiSrt

III* Etwas anders aber man man den Fall behandeln» wo ß ent-
weder mit Ä oder mit dem enlgqiengesetstan Punkte snsammen^Ut Hvse
w'u'd der Punkt C mit Ä zusammenfallea; y, tt e" mid die Punkte
£}, JJ', B* werden unbestimmt bleiben. Dagegen lUsst sich der Einschnitt
dea gpröBSten Kreises BB' mit der £cliptik*) angeben» dessen Länge ^l'-^-x

*) AUgenuiiiur gMproclieii mit denn grüMMn Krcin- A A" ; <lor K&rze halber bul« i«h aber hin' nur
den Pall tatiaabM, «• db JUUptik nw OmiddMni fMüUt faL

Digiti^ca by Goü^lc

232

Innkm Baefa. Et$tet AlMehBitt

gesetzt Mui «olL Dnrch ilmliebe Betraditm^en wie die dei Axt 140 «arliiOt
man die OleichuDg

Bezdcfanet man den Co^denten von n, welclier im Art 140 mit a flber-
dnkoimnt, auch bier mit o, und den Coefficienten yoa n'r' mit /9, bo iSast Mch

f]90| a ancli hier durch die Fmmel oä — ^-T ^ ^l '* bestimmen. Man hat

daher 0 — aH-i- jin r -^n t im: Gleichung, dureh welche man, weiui man m
combinirt mit P = ^, Q = ^(-^^^tül — i)r*, erhält:

woraus sich die Distanz f' abldten lasst, wenn nur ß nicht » 0 ist, in welchem

Falle daraiiH nicht« Anderes folgen würd» . als P = — a. \(c\\n Übrigens
auch ß nicht =^ 0 Ist fwo man fhrm auf den dritten, im nachfolgenden Ai-tikd
zu Ijetraclitenden Fall kommen wiirdi . so wird doch ß stets cuie sehr kleine
Grötuie sein, und deshalb P nur wenig von — a sich unterscheiden müssen.

Hieram ist aber klar, dass die Bestimmung des Coefificienten ^^p^^^ eehr

unnicher wird, und deshalb r' sich nut irgend welcher Genauigkeit nicht ableiten

miwt. Femer hat man — — • j — , — »- = rfg — : woratif, ahn-

lieh wie im Art. 143, leicht lol;_'riKh- Gleichungen entwickelt werden:

. n'r sin/' . /m i/v

II • n'r' Bin y . ^

aus derm Combination mit den Gleichungeii VIII und IX des Art. 143 die
Grössen r, c, r c" sich hestmamen lasKcn. Die Übrigen Bechnungsoperationen
kommen mit den oben beschriebenen ttbereb.

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Beatimmung der Baba aus drei vollständigen Beobachtungen.

233

Im zweiten Falle, in welchem If mit B zii-iammcnfiillt, wird aucli
D' mit flensplben Punkten oder mit dem entgegengesjeteten Punkte zusammeu-
falleu. ivs weidca daher AD' — J und Ä' D' — fV" entweder ~ 0 oder = 180*
sein; wonach man au» den (ileicLungen des Art. 14Ü ableitet;

^r' , ein t' irimS"

n"' ~ Hin*" ' 6\n\z-{-~A JJ —ö'Y

ßum(f»me'' 6m{z-^A'D'' — (f^ =■ P R' s\nd" mxts'm{z AD — tF),

Hieraus ist Mar, dass unabhängig von Q, allda durch P besdmrabar ist

(wenn nieht «ufiülig ÄJf = ÄD oder ^ÄD-\^\^* isti wo nan auf den

dritten Fall kommen wttrde). Hat man aber z gefonden, so wird aadi ¥ be-

kannt, und weiter mit Hülfe derWerthe der Grössen " — , — ,r auch — r und (IM)

■V. Hieraus endlich auch Q ~- 2l^-{-^-. l)r'\ — Offenbar bissen sich

dann also P tind Q nicht als von einander unabhängige Data betrachten^

sondern i^ie ^telleti entweder nur ein cinjdges Datum dar, oder incongruirende
Dat«. Die I.iiL^o <\vr Punkte C, (■" hieiljt in diesem Falle willklirlich, wenn
solche nur in dcni.selbcn gnissten Kreise mit C genonjuicn vvcrck'n.

Im dritten Falle, wo A\ Fi, ß\ ß" in demselben grössten Kreise
liegen, werden D und jy' resp. mit den Punkten B', B oder mit den
eiitgtfgt^ngesetssten zusammenfallen; woraus sieh mittelst CSombination der

- . , ,,,,, IV 1 \ , ^ t'i • i . /> /^sinJsini" RnnU' — 1\

Cjilcichniua'ii \ 11, \ III, lA des Art. 14.1 ermebt 7^-^ — rrr- — = 7-., . .

In diesem Falle ist daher (Kr Werth für P schon durch die Daten des
l'rol)lems selbst geliefert, und es wird desliaib die Lage der Punkte C, C", C"
unbestimmt bleiben.

16a.

Die von Art. 136 an aasenumdergesetate Methode ist 2war vonnigsweise
der etaten Bestimmung dner noch gans unbekannten Bahn angepasst Sie

234

Zweites Buch. Erster AlMchoitt.

kann jedoch mit gleidi glUcklidiem Erfolge ftnch äam. benutst werden, wenn
es Bich um Verbessenuig einer schon sehr nahe bekannten Bahn am drei, von

eliiaii(lrr. so weit man will, alistelicndou ßcobachtangen liandelt. In vlwm
Bolcheu Falle ranss man Indessen Kinige.s ändern. Wenn nämUcb die Üeobadi-
tnngen dne sehr grosae keliocentriaclie Bewegung umfiuaen, w ist es nicht
o"

mehr gestattet, ^ und als genäherte Werthe der Grössen P, Q aa be-
trachten. — Man kann vielmehr dann dafUr viel genauere Werthe aus den
sehr nahe bekannten Elementen ableitcm. Man berechne daher Idchthin ver-
mittelst dieser Elemente die hetiocentrischen Orte in der Bahn fUr die drei

Beobnchtungszeiten, woraus, wenn man die wahren Anomalien mit r, r \ v", die
Radien Vectoren mit r, r\ den halben Parameter mit p beaeiciinet, die
folgenden genäherten Werthe sieh ergehen:

Hierauf baue man dann die erste Hypothese, und durch kleine beliebige Aende-
nmgen die zweite und dritte. Denn es wlirde nicht vortheilhaft sein, iuer
(wie es oben geschehen ist) P' und Q fUr die neuen Werthe anznnelinieu,
indem neb nieht mehr <auuehmen lässt, dass man daraus genauere Werthe

erhalten werde. Purch <\n'<c Heehnnnir lassen nitli alle drei Hypothesen
«ehr bequem zuglcieh ei k <li;4eii, winiiui mau dann die vierte nach Vorschrift
des Art. 120 bildet, l el»rigeiiä liabe ich niehts dagegen, dass, wenn ■Finiaiul
daftir hält, wie die eine oder die andere der in den ,\i'tt. 124 — 12U uus-
einaudergesebiten zehn Methoden in einem solchen Falle, wenn nicht raseher,
doch beinahe ebenso rasch zum Ziele führen werde, er dann davon nach
Belieben Gebrauch mache.

Digiti^ca by Goü^lc

235

Zweiter Abschnitt.

BMtimmtuig d«r Bahn aiu vier Beobachtungen, wuvuu nur zwei TOUständlg sind.

164.

Bereit« im Eingann:e de« zweiten Biiclis (Art. 115) habe ich erklärt,
dass «ich die Benutzung de« im vorhergehenden Absclinitte behandelten
Prohlrm?* auf fliejcnigen Bahnen besrhrnnke. derrn Neigunf; weder verscliwiiirlet,
noeh gar /u kliin ist, und dass man die Bestimmung der wenig ;:rn('igtt n
Bftlmrii nothwendig auf vier Beobaolitunpi'en stützen mHssc. Vii'r vollstiiudigc
iJt'ol'aclitungen aber, da sie mit aeht Gluicliungen iujuivaliren, die Zahl der
Unbekannten inzwischen nur seehs beträgt, wllrdca die Aufgabe zu einer
mehr als beetuomten machen; weshalb man von zwei Beobachtnngen die Breiten
(oder die Declinationen) bei Seite laaaen muas, am den Ubrigen Daten genau
Genüge zu thun. So wt»teht die Aufgabe, wdcher der gegenwärtige AbBcfanitt
gewidmet ist. Die hier gegebene AuflfJaang beschrSnkt sich aber nicht allein
auf die nur wenig gene^ten Bahnen, sondern ttsst sich auch auf solche von
beliebig fftoa^r Neigung mit gleieitem Plrfolge anwenden. Auch hier muss
man, ganz wie im vorigen Abj^hnitte, die FKlle von einander tremien, wo
man bereits im Besitze i^cnälurfer Bahmliinensionen sich lit'fiiidet. und wo
»ich um erBte Be»tiniinung einer noch ganz unbekannten Bahn handelt. Ich
mache mit dem ersten Falle den ^lul'aug.

165.

Die einfachste Merode, um eine schon recht nahe bekannte Bahn den

vier Beobachtungen anzupassen, sehebt folgende. Es seien a;, y die genäherten

EntfeiDungeu des Himmelskörpers von der Erde in den b^den vollständigen

Beobachtungen. Mit HUlfe derselben berechne man die entsprechenden heliocen-

triachen Orte, und hieraus £e Elemente selbst; ans letzteren Elementen sodann

30*

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23e

ZweiU'« Buvii. Zweiter Abschnitt.

die geooentrisehen LftDgen oder Rcctaacemionai fllr die beiden Übrigen Beob«
achtitngen. Stinuncn diese siifällig mit den beobachteten Orten ttberein, «o
bedürfen die Elcniontc keiner weiteren VerbesBeriui^^^ wenn nichts so werdeo

die Differenzen -V, bc/.eirlim t, mid man wiederholt wiederuui zweimal dieselbe
ßeclmung, iiuleiii iiuin die Wertlie von a-, ij ein klein wenig ändert. So
erhält man drei S\>t«'iiie der \\'ertlic für die Grössen y und filr die
Ditterenzen X, Y, woraus man naeli \'orseliril't des Art. 120 verbesserte
Werthe der (J rossen frniitfelr, d<iien die Werihe A' = 0, )' = 0 ent-

»preehen. Mittelst eim r ähiiü«. lau, aui dies vierte System <r< -iiitzt«u Jierecliiunii^
wird nuni diejenigen Elemente erhalten, dui'ch welche alle vier Beobachtungen
gehürig dargestellt werden, llebrigens empfiehlt es sielt, wraui man die Auswahl
in der Gewalt bat, diejenigen vollstUndigen Beobachtungen beiaubehatten, aus
welchen sich die Lage der Bahn mit der grübtten ädiifatfe bestimmen läasi,
(193) also die beiden äussersten Beobachtungen, fidls sie eine heliocentrische Bewe-
gung von 90* oder eine kleinere um&ssen. Sind die Boobaehtungen aber
nieht von gleic^her Gtttc, HO Ifisst man die Breiten oder Dcelinationen der«
jenigen weg, welche man als die weniger genauen im Verdacht hat.

166.

Zur ersten Hes(ill^llUIl^; (hier noch ganz unbekannten [iahn au.s vier
lieobachtnngen niüshi n notliweniliger W eise solche l'ositionen angewandt werden,
die eine nicht zu grosse hclioeeutrLscbe Bewegung undaseen; widrigeu&Ils man
die aur bequemen Bildung der ersten Annäheiimg erfdnrderlichen Httlfemittel
entbehren wUrde. Die sogleich au erörternde Mediode aber erfrrat sich einer
so weiten Ausdehnung, dass sich dazu unbedenklich Beobachtungen benutaen
lassen, die eine heliocentrische Bewegung von 30 oder 40 Qraden umfiueen,
wenn nur die .Vbstände von der Somie nicht gar zu ungleich sind. Falls
man reichliches Material zur Auswahl besitzt, wird man woldthun, die Zeit-
itttervallc zwischen der ersten und zweiten, zweiten und dritten, dritten und
viertt^n H('nl>achtung möglichst ;iku li zn nehmen. Aber auch in dieser H<*-
ziehung braucht man nicht zu iingstiieb zu sein, wie das nachfolgende l'u ispi* 1
zeigen wird, wo die Zwischenzeiten 48, 55, 69 Tage «iud, mid die hcliocen-
triscUu Bewegung über 60 Grude betrügt.

L/igmzed by Goog

Beitiniiiniiig der B«hii an vier Beobaehtungoa, wovon nur swei voÜitXiidig nid. 2d7

Ferner erfordert uu.<fie Aul'losunir. dass du: zweiti' und dritte licob-
achtuug vollständig sind, und mitliin die Breiten oder Declinatiuiieu bei den äusscr-
sten Beobachtungen bei Seite gelassen werden. Ich habe zwar oben bemerkt, wie
es rieh der grlÜBsereQ Genan^kett wcgcu getneiniglich emptiehlt, die Elemente
den beiden ttosaeralen vollstlindigen Beobaehtongen und den in der Mitte
li^enden Lttngen oder BectaBoenaionen ananpaasen. Man wird es jedoch bei
einer ersten Bahnbestinminng nicht bereaen, auf diesen Gewinn Versieht ge-
leistet zu haben, indem eine recht ras<^e Annähennig von viel grösserem Gewicht
ist} und indem jener N'erlust, der Imnptsät hlicb nur die LUnge des Knotens
und die Neigung der Bahn trifft, der aber die Übrigen Elemente Icaum merklich
atiicirt, i»irh narhlicr leioht au>i«'leichert iHsst.

Der KüiZL' WL'i^L-n will ich die Auseinandersetzung der Methode so
anordnen, diiss alle Orte si( h auf die Ecliptik beziehen, und setze i^h doHlialb
voraus, daas vier Längen mit zwei Breiten gegeben seien. Da inzwischen Lei un:seren
Formeln auch Riieksieht aut' die Breite der Erde genonuuen werden soll, so
kuBsen sie sich leicht auf den Fall lib^agen, wo der Aeqnator bot Grand-
ebene genommen wird, warn nur die Beotsscenrionen and DecUnationen an
Stelle der I4tng^ tmd Breiten subslituirt worden.

Uebrigens gilt Alles, was in Beziehung auf Nutation, Ftäoesnon und
Parallaxe, sowie auf Aberration im vorige Abschnitte ' gesagt ist, aach hi^.
Wenn daher nicht genähorte Kntfemungen von der Erde bereits andeiswohor
bekannt sind, so dass sich in l'x ziehung auf Aberration die Methode I des
Art. bnmchen lässt, so lu ti eit man Anfangs die beobachteten Orte nur vi>n
der Fixstern- Aberration, und verbessert die Zeiten erst dann, sobald man im (1-94)
Laute der Rerlmnng iibir eine gcnilherte Bestimmung der Enti'eruungeu
disponirt, wie weiter unten noch deutlicher erhellen wird.

167.

Ich stelle der Auseinandecsetsung der Auflösung emen Index der
▼orsUglichsten Bezeichnungen yoran. E» sollen bedeuten:
/, t die vier Beobacbtongszeiten,

a, a, tt\ a " die vier geticentrischen Lttngen des Himmelskl^rpers,
ßj ß'y ß" dessen Breic^

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Zw«itM Buch. jSweitor Abtduiitt.

r, r\ r", r*" desBen Entfemimgea von der Sosme,
9f ^'i dfiBsen Entfemiiiigeii von der Erde,

r, r die heliooentrisclieii Längen der Erde»

i?", ^" die heliocentrischen Brclkn der Erde,
i?, Ä', /f', die Eiitiernungm iln Erde von der 8onne,
(7*01), {nVl)^ fn 23), (w02\ («13) die doppelten Flächen der Dreiecke,

welche enthalten f^inrl resp. zwii^chen der Sonne sowie de? Hinunelskörpers

erstem und zwoitiin Ortf, zwtitcm und drittem, drittem und viertem, erstem

und drittem, zweitem und viertem,

(13 Ol), (»il2), ('?23) die Quotienten, welche entstehen aus der Division

der Fl2U!faeii |(n01), \{nl1), {{n2Z) durch die FlÄchen der entsprechendcB

Sectoren,

^ "~ («OD ' ^ (n2;^)'

ry ( («01)4- (Ii 12) rti — ( («12) + 0*23) \ „,

^ - V öiög) • - V (»13} '

«, t/, v", v'^ des Himindskörpera LKogen in der Babn von einem
wUlkttrlichen Punkte an gezählt.

Endlich bc/eichne ich für die zwt iti' und dritte Beobachtung die heliooen-
trij^clu-n Orte der Erde an der Himmelskugel mit -4', .1", die geocenti-Lschen
Orte des HimmeUköi-pers mit B ^ B' und dessen heliocentrischen Ort» mit C, C".

Unser erstes Geschäft wird mm ganz wie hei der Aufgabe des vor-
licrgehenden Absclmittn (Art. 136^ in der Bcstimnnnig der Lage der p'rösstcn
Kreise A C'B und Ä'C'B' bestellen, deren Neigungen gegen die Ef lijjtik ich
mit y bezeichne. Mit dieser Rechnung verbindet man zugleich die J3e-
stiinmung der B(^n Ä'B » Ä'Sf «f. Dann kt offenhnr:

^ :^l/(^V + 2^'ircosJ'+J?J?)
r" = y(pV+2p*Ä"cMa"+Ä"Jr'),
oder wenn man setzt: p'+Ji'eoetf ^ (("-j-^eosiT a»"* jZ'sin^sa';
STma^ = a", so ist

(196) r' « + aV)

Digiti^ca by Goü

Bestimmung <ier Bahn «U8 vier Beobachtungen, wovon nur zwei voiUtündig sind. , 239

168.

Combinüt lUHii die Gleirlntnfjen 1 und 2 des Art. 112, so geben sie
mit ^Vii Wendung der Beaeichuung ia gegenwärtiger Untersuchung folgende

Gleichungen:

Ü -= {nl2)Hco»ßsm{l—tt)~{n02){Q'(M!ißsm{a—a)-\-RcosB siaii'—a))
+ {n 0 1) {(f" cos ti" sin {«" — «) + Ä" cos F' sin {/" — «)) ;

0 ^ (»23)((>'co»/8'Mn(«"'— a')+irco8J5'Hii(a'''^iO)--(»13)(<>''co>
+ ir'co8£"sm(«'''— n)+(«12)Jr'co«B'''aii(«'''— n.
Diese GldchungeD gehen nim, wenn man aetet:

-«)

cos .f' sin («' —

B" cos 7/"«iin(o"'

cos f5 »ill(a"'

Jf CO» irsmici'"

-V)

OM<l'nii(cr —

V)

Sr cos B' sin il "

-«)

cos [i" sin (a" -

■«)

J{ cos /Jsin [l —

-«)

cosß" mn{«" —

.«>

cos ff sin («' — ff)

— R' oj&tf' = at"

= r

cosfT sin («"' — «") „

CO« /J' sin ((»"' — «')
nacii geiiöriger lieductiun ülter, in l'olgeiide

^'^ti'+kF

1+ — r

IH T

240

ZveitM Büoh. Zweiter Abschnitt.

(IM) oder wenn man noch ttberher aetst:

— x"— = c'^ Ii' (I + /' ) =- d'
— x' — ri»" — c"; /I "(1 + ^' ; = rf"

in folgende:

1 + ^ —

(j-'x'-fa'rt'j*

II, ^" ±^'^

l + — ^ — i

j- -j-a a

Mit Hülfe dieser lieiden CJ!« it litniMen lasj^en siih x und j atw a', i', c, <f,
Q', a", 6", c", rf", Q" hestininieii. Man wllrde zwar, wenn j' oder x" liieraus
eliniinirt werden sollte, auf eine Gleichung sehr hohen (Jmdes kommen;
dennoch aber würden dnrch indirecte Methoden die \\ ertbe der Unbekannten
x', x" aus jenen Gldchungen bei ungdinderter Gestalt sich hinreichend rasdi
bestinunen lassen. Qemeiniglicb erhSlt man schon genXborte Werthe der
Unbekannten, wenn man zuerst Qf und Q" vernachlässigt} nendicb

. «"+ <r <i" 4- + cT'i^

^ = fzr^d"

-j- <r ( V '+'•"» 4- tri"
* — i^d'd"

Hat man aber nur erst einen genäherten Werth dner der beiden UnhekHiinten,
so Lekommt man die genauen, den Gleichungen streng genügenden Werthe
.sehr Iciclit. E> >v\ n'hnlich 1* ein jrf'ii'üiorlt r Werth von r. dor, wenn er in
Gleii Iiiiiil: ilj Kulwtimirt, gelicn sdII x - - jf ; ebenJK) sollen, wciiu x <" in
die (iieichnng (II) substituirt wird, daiaus x ~ A" herauskommen. Man
wiederhole nun das nämliche \'crfaliren, indem luan für x in (I) einen andern
Werth: + einsetzt, woraus x" sss ^-^i^ hemuskonmieif mag, und dieser
Werth soll in (II) snhstituirt geben: x' = X'-J-iT. Dann wird der ver-

beissertc Werth ttir x scm =5+ ~ — »

besserte Werth fttr = !t-{- ^^^.^^f • Erscheint es der MUbe werth, so
mag man mit dem verbesserten Werthe für x* imd einem andern wenig

Digiti^ea by CoOglc

BesUmmuiig der Baha aiu vier Beobacbtungeo, wovon nnr xwei vollständig aind. 241

ffiäiulti ttii tla^elhL' Verfahren wiederholen, bis man für r' und x" Wertiie
erhält, die den Gleichungen I, II genau GrenUge leisten. Uebrigen» werden
8ell)8t einem ntir m';i^si^ l^owanderten Analysten die Uultamittel zur AbkUr2uiig
der Rechnung nicht fehlen.

3

Bei diesen Operationen lauen sich die irrationalen Grfissen {x'x -{-da')
und (^c'V+aV)^ leicht berechnen durch Einführung der Bögen i", 2^', deren

n' a"

Tangenten re«p. und , . worana wird: (197>

y\x X -|-a a ) « r =

/I."

sm z cos z

Diese Hülfsbögen, welche man zwischen 0 und 180' nehmen nniss, dainit r
tind r" positiv Itt raiiskonimen, sind offenbar mit den IjML:<'n CB^ C" JÜ' identisch,
woraus man sirlit, da.-s aiit' Weise nicht nur v und r", sondern auch die

Lage dt i- Punkte C und 6' bekauut wird.

l)ic>c l'csfinimung der Grössen x\ x" erfordert, divss a, a", b\ b'\ c\
c", d\ </\ hiskannt sind, und zwar erhält man «lic vier ersten durch
die Daten des Problems, die vier folgenden aber hiingcn von P' und P" ab.
Nun lassen die Grüsiseu Py P", Q', Q' sich zwar noch nicht genau bestimmen}
da man aber hat:

111. JT — ^^jjj^

p"_ J^23)
iv. r — ^,„_^, • ^^j^,

V. Ö = i kk {i—i) (f—t) . . (,oi)(, ia)ow|(«'- V) cOB^dT--«) üMiitr-tf)

so hat man als genäherte Wertbe gleich snr ^nd

°^ t'—t ' ' ~ r—t"

auf welolM man die erste Reehnung baut.

Digiti^ca by Goü^lc

242

ZwdtB» Buch. Zwoitsr Abaebaltt.

m

Nach Beendigung der Bereclmung im vorigen Artikel rnuM man vor
Allem den Bogen CC" bestimmen. Dies ge.s('liiolit am bequ^Bten, wenn
man ganz wie im Art. 137 den £insclmitt D der grössten Kreise ÄCB^
A'C'B" und ihre gegem^eitige Neigung t ermittelt. .Man findet sodann ans f,
C !) = £-{. H D und C h — z -\- Ii D, dun Ii die Formeln in Art. 144. nielit
nur C'C" = r"—~v\ sondern auch die W inkel (^m , u"'. unter wclclieu die
grössten Kreise ÄB', A li" den gi-ön.*»!».!! Kreis C'C schneiden.

(lüö) Nach .Vulrindmig des liogeufi v — v erbUit mau t — t? und r Coui-

binatiuu der Uleiehnngen

. , , V r" sin Ii?" — v)

rwa{v — v) = pr

r8m(i?— — 0 « ^, Q —

und ebenso r" nnd v'" — v" nm folgender ( 'ombination :
r am{v — v ) = pr— —

r 9m{v — V +t» — tr) « — Jy, — . - q ^^»

Alle Bolchergestalt gefiindenen Ztdilen wurden genau sein, wenn man gleich
im Anfange von den wahren Werthen f tir P'y P^y Qy Q" htttte aiMgehen können,

wo man dann die I^ige der Baluieliene ebenso wie im Art. 149 entweder aus

ÄC\ u' und oder aus A"C", u" und y" bestimmen würde, nnd die
Bahndimen.sinnen PIlf^\eder aus r', r", /" und v" — v\ oder (was genauer
ist) aus r, r". t, (" iiiid r"'---v. Hei erster Rcrlinung rdier Ubergehe ich alles
Die.«es und strebe vorziigU< ii danuu'h, mein- genälüerte \\ ertiie für die (»rö.s-sen
l'\ P'\ Qy Q' zu erlangen. Diese.s Ziel verfolge ich, wenn ich mittelst der
Jlethode, die von Art. 88 an auseinanderge-^etzt ist,

au.s r. v — r, t — t bestimme: (lyOl)
, r', v"—v\ i'—i „ (i}12)

Digiti^ea by Co

Bettimmiing der Bahn am vier B«olMwhtiiiigeii, wovon nur xwei voUttKodig nod. 243

Diese Grössen, sowie die Wcrthc lllr r, »■', /• , / , co«^(e;' — v) u. s. w. sclialte
ich in die Fonneln III bis VI dn, woraus dann P\ Q, P'\ Q' viel
genanere Werthe als diejenigen resultireni auf welche die erote Hypothese sich
sfUtete. Mit diesen genaueren Werthen bilde man also die zweite Hypothese,
welche, wenn sie ganz auf dieselbe Weise wie die erste durchgeführt wird,
noch genauere Werthe für P", ^ liefern und so zur dritten H3rpotbese

tülircn wird. — Dieses Verfahren wird so lange wiederholt, bis die U'ntlie
für P\ Q\ F'\ ijl' Iceiner Verbeaserui^ mehr zu hedürt'en scheinen, und eine
häufige Uehung wird bald lehren, dies richfiir zu heurtheilen.

\Vp7in flie hellofpntrisrhe Hewefiunj; klein i-t, so wird "■eniemi'xlieh die
erste Hypothese jcni- \\ Ci tlir In rcits genau rri'iuii: * ij^i 'nn : tiills sie alier einen
STösseren Boj^en uiula.^st, miil wenn Überdies die Zu i.M Ltuy-ciUn iiierklicii von
der GleiehLeit abweiehen, so wiid meLrtiich wiederhoher Hypothesen
bedürfen; jedoch erfordmi in einem 'Sokhen Falle die ersten Hypoth«en (199)
keine grosse SSchSrfe der Bechniung. In letzter Hypothese endlieb bestimmt
man die Elemente selbst so, wie bereits gezeigt ist.

, 170.'

In erster Hy|)othese wird man fr^idl von den onverbesserten Zeiten
t\ t\ i" fJebraueh machen müssen, da man die Entferunnf^^en von der Erde
nr)(li niel>t berechnen kann. SdIuiM aber erst genäherte Werthe für die
( irri<s><-'ii J*', t" bekannt .-u lassen sali aiidi jene EntfemniiL^cn iiähe-

ning.svvcl.<i' l)(>t!nnnen. Da alur die Fi>nueln für (» und (> " hier cLwiis ver-
wickelter ausfallen, so empfidilt es sieh, die iJereclmung der Zeiten -Ver-
besserung ins dahin autzuschieben, wo man die Werthe fUr die Entfernungen
genau geinig besitzt, dass keine Wiederholung der Rechnung nöthig ist

Es wird deshalb vortheilhaft sein, dies Verfahren auf diejenigen Werthe
für x\ X zu sttttzoi, zu welchen die vorletzte Hypothese geführt hat, so dass
erst die letzte Hypothese von dem verbesserten Werthe der Zeiten und der
Grössen l*\ F\ Q\ Q' ausgeht ISxet folgen die zu diesem Zwecke zu be>
nutzenden Formeln:
VII. (>' =x — eosd*
VIU. (» V*— ^cos<r

31«

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244

Zweitot Boeh. Zweiter Abwbnitt.

IX. cos/? = — JUvosBi:oä{a — C)-^ ■ . , - {(f'wsßvo^a'~-a)-^Iico&B cos(/'-o}]

— -yi (p"0O8/^^ OOS (a — «) + JS! QOsB' COS (l " — «))

XI. ^"'cos/i^' «= — E co&ß"coii(tt ' — r")-\ , „-(^"co3//'cos(o" — o'}4-

r

Die Fonudn IX — Xil lassen sich ohne Weiteres aus den Gleichungen 1, 2, 3
des Art 112 ableiten, wenn man niir die dort angewandten Bezeichnungen
(SOO) mit den Her gebrauditen gehüng vertauscht Offenbar werden die Fomeh
viel einfacher, wenn B' verschwinden. Aus CombinAtion dar Formeln IX
und X erhalt man 9 und /?, und ebenso «us XI und XII p'" und Veiv
gleicht man die Werüie dieser Breiten mit den beubaehteten (die nicht in die
Beehnuiig eingehen), wenn letztere gegeben f?ind, wird sirli zeigen, mit
Meleheni (Jrade der (Jenaiii^ikeit mnw die üussersten IJreiteii dun Ii die J^lcniente
darstellen kann, welciie den Übrigen sechs Daten angepasst sind.

m.

Ein Btrispiel zur ErlSuterung dieser Untersnchiing will ich von der
Vesta hemeiunen, die unter allen neuerdings entdeckten Planeten die kleinste
Neigung gc^ien die Ediptik besitzt*)

*) IiicwuchcB Mt diese I^etgniig (7" 8'J moch bedeutrad gcnag, um nit Sichtrhril und GenmiKkcii aucli
«ine BtkalMitiwBaiK m drei Brabmlitaag«!! suuImmii. Iii dar Tkst mniiidi« mtm BtmoDto tolehwgeatalt

auü Benbarbtiingcn abgeleitet, die nur 19 Taj^c Tnn «irKin.ter abetandpn, und näbrrn sich tcbcm pilir Icn»'!!, di«
hier «w vier, nn 168 Tage vqu einander enUernUn Biubachtim^ni beitiaiiBt eind (veigL t. Zach MouaUiclie
Conaipasdcn, Baad IS, & SM).

Digiti^ea by CoOglc

Battiniiiiiiig der Balm «m vi«r Bwbaditaiig«!!, wovor nur swoi vollttladig aind. 245

Icli wälile die nachstehenden, zu Bremexi, l'aiLs, l^ilieutlial uiul iMailand,
von Olbers, Bouvard, Bcssel und Orianl angestellten Beobachtungen:

DmHihHw.

1807 März 30. 12" 33" 17*
, Mai 17. 8 16 5
, Juli 11. 10 30 19
« äept. 8. 7 22 16

183"52'40"8
178 3Ü 42,3
189 49 7,7
212 50 3,4

ir54'27" nördl.

11 39 46,8 „
3 9 10,1 >
8 38 17,0 südl.

Für dieselben Zeiten findet man aus den Sonnentatchi :

^ »cheinbarm Atqiuiu

AbüUnd Ton der
Erde.

Breite der
Sonne.

der Ecliptik.

Mär/.

30

9' 21' 59 '5

4-16,8

0,999 6448

+ 023

23'*27'ö0"82

Mai

17

55 56 20,0

+ 16,2

1,0119789

— 0,63

49,83

Juli

11

108 34 53,3

+ 17,3

1,0165795

— 0,46

49,19

1 »Sept.

8

165 8 57,1

+ 16,7

1,006 7421

+ 0,29

49,26

Nun wcrdt-'u ilic beobachteten Planctcnorie, mit Anwenduiii^ der lu in-
baren Schiefe der iü(li|)tik, in Längen und iJrciten verwandih, von der
Nutiitiou und Fixstern -Aberration befreit, und schliesslich durcl» liinwegnahme ^20l)
der Fifioesflicm auf dm An&ng des Jahres 1807 redacirt Dann werden ans
den Sonnenorten, nach Anldtong von Art 72", die fingirten Orte der Erde
abgeleitet (am auf die Parallaxe RUclesicht au nehmen) und die LSngen durch
Hinw^gnabme der Nutation und P^aecesnon auf dieselbe Epoche Übertragen.
Endlieh werden die Zeit^ von Beginn des Jahres gezahlt und auf Pariaer
Meridian reduoirt. So sind folgende Zahlen entstanden:

«'^ ^

89^5162
178* 43* 38*87

ß, /f, /f', /3" 12 27 6,16
/, l\ /', / "■ 189 21 33,71

\og J£,ir,R',R" ! 9,9997990

Hieraus leitet man ab:

137,344502
174' 1' 30*08
10 8 7,80

192,419 &02
187*4ö'42"23

6 47 25,51

235 56 0,63 288 35 20,3t? 345 9 18,69
0,005 ia7 6 1 0,007 17d9i 0,0030626.

251,288102
213'34'15"63
4 20 21,63

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246

Zweites ßuch. Zweiter AtMchaitt

/ = 168*d3'4r34; «T » 62''23'4"88; loga' » 9,9526104
/= 178 5 15,68; «T» 100 45 1,40; loga"« 9,9994839
6'= — 11,009449; «'« — 1,083306; logX «0,0728800; log^' =9,7139702«

b"=— 2,0820a«J; + 0,322006; lo^^A '-- 0,0798512«; logu"^9,8387061

ÄD= 37" ]7':.rT)0; ÄD= 81)' 24' 11"84; « = 9'6'5"48
£fD - 25 f) 13,38; BD = — 11 20' 49 '5G.

^ach Eilcfli^nH)^ (Hf.scT vorläufigen Hüciinungen, nehme ich die erste
Hypothese in Angritf. Aus den Zwischi-nzfiten eigiebt «ich

Ion ^ y.-.t) = 9.'J15 3Gfi6
logÄ-i/ --/■) = 9,;>76r>3ö9
\o^h\r—i'; = 0,0064651

und hierauÄ die ei stf ji genUlierten \\ ertlie

\ogP' = 0,m,l 17; logf l 4- /' } ^. 0.332 G9; log(^' = 9,59087
log/'' = 9,97107; log(l = 0,28081; IügQ= 9,68097

hieraus t'crucr:

c' = —7,683 61 ; logrf = 0,046 66n
+ 2,207 71 ; logt/ ' = 0,12652.

Mit diesen Wertben crgicbt nach dnigen wenigen Versuchen die ittdifblgende
Aaflöüung der Gleichungen I und II:

«'«2,04856; /« 23- 38' 17"; log r = 0,34961
a:"« 1,95745; z"« 27 2 0; logr"« 0,341 94.
Aus »" und e erlÄk man CC « »' = 17* 7' 5"; hieraus t;, r,
17"' — v", **"' mittelst folgender Gleichungen:
(102) logr sin {v'—v) « 9,74942; logr sin {v'—v + 17^ 7' 5") — 0,075 00
log^nC»'"—«;") = 9,847 29 ; logr-'^sinCi''"— 17 7 5) « 0,107 33,
woraus man findet:

p— t? « 14*14'32''; logr ;= 0,358 66
p' W« 18 48 33; logr"'« 0,33887.

Endlich findet sieh

log(»01) = 0,00426, log(« 12) -- 0,005 99, l..g(«23) « 0,007 11,

und liieraiia die verhe.-iserten Wertlie von /' . /' , Q', Q"

iog/^' = 0,059 44, iogQ = 9,603 74
log/' = 9,972 19, log<^'= 9,69581.

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BMtimmoQg der Bibo au vier BeoliMlitmigen, wotoq nur xwei ToUtttndig «ind. 247

Hierauf sttttet man die ssweite Hypothese. Ihre Hauptmom^te «ind

folgende :

c = — 7,678 20; \i)(^d' = (1.046 Taij u

c" = -f- 2,210 61 ; \ogd (i.l -JC 004

X = 2,033 08 ; z = 23' 47' 54 ; log >•' = 0.346 747

a;"= 1,94290; 5"= 27 12 25; logr" = 0,3;ia 373

©' — » 14* 21' Se"; logr « 0,354687
18 60 43; logr"'= 0,334 664
log(A01) ^ 0,004369 ; log(}»12) = 0,006 102; log(»2d) » 0,007 280.
Hieraus erhiüt man die von Neaein yerbesaerten Werthe für P', P", Q'f

log F' = 0,059 426 ; log Q' = 9,604 749
logP"— 9,972 249; logQ"= 9,697 564,
ans welcheo, urenn man zur dritten Hypothese übergeht, folgende Zahlen
resulttren :

c' = — 7,678 15; logt/' = 0,045 729«
c" = + 2,210 76; \or;d"^ 0,126 082
x = 2,032 öö; s = 2.3 41 14 ; logr =: 0,346 653
ä»''« 1,94235; ;^=27 12 49i log r"« 0,339276
C"C" = »"— ©'«17*8'4''
v' — fj « 14» 21' 49"; logr « 0,354522
18 öl 7; logr"« 0,334290
log(n01) -> 0,004 363; log(»12) » 0,006 106; log(923) »= 0,007 290.
Wenn man jetzt nach Anleitung des TOiheigeheDden Artikels die Entfemungen
von der £rde berechnet, so erhält man:

^ = 1,5635; q" ^ 2,1319
lofrpcosfS 0,098 76; lo<^ ^"'co8|3"' = 0.42 8 42 (203)
log(»8in;? = 9,442 52; logp 'sin^ ' = 9,309 05
ß = 12* 26' 40 "; ß'" = 4 " 20 39
logp = 0,10909} log(f" = 0,429 67
Darauä hndet nwui:

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248

Z««itM Bttdi. Zmiter Abadmitt.

VcrbeMmiDg d«r

I

0,007 o35

89,497 827

II

0,008921

135,335581

UI

0,012165

192,407337

IV

0,015346

251,272756

Hieraus erhalt man folgende aberauilB verbeaserte Werthe:

logP* 0,069 415 , log Q' ^ 9,604 782
logP*= 9,972253, \ogQ' ^ 9,697687.

Wenn man endlich auf diese neuen Wcrilie eine vierte Hypothese stützt,
so ergeben sich folgende Zahlen:

e = — 7,G78 116; \ogä = 0,045 723?*

c = + 2,210 773; logci"= 0,126 084

X »2,032473; 23*48' l«"?; logr' » 0,346 638

«"»1,942281; «''»27 12 51,7; logr"» 0,339263

v"_r' = 17* 8' ö"l; ^(»"+1»')= 176»r50"5; i(t»"— u') 4*33'23''6

V —V = 14 21 51,9; logr 0,354503

t^W=«18 61 9,5; logr"» 0,334263.

Diese Zahlen weichen von denen der dritten H^'potfaese so wenig ab, dass
man bereits mit Sicherheit zur Bestinunnng der Elemente selbst Ubergehen
kann. Zuerst ermittelt man die Lage der Balmc;ben& Nach Anleitong
des Art. 149 findet sich aus u und ÄG = ^ — z\ die Neigung der
lialm ^ 7".S 14 "S, Q — 103" 16'37"2, Argument der Breite in zweiter Beob-
achtung = 94" 36' 4' 9, daraus Länge in der Bahn = 197" 52' 42' 1. Eben«)
ans , u" und A'C" = &' — z" die Nei^rnncr de r Bnhn = 7° 8' 14" 8,
103 16 37 5. Argument der Breite in dririrr ÜmlKuhtimg = lir44'9"7,
und daraus Länge in der Bahn = 215" 0 47 2. Daiiinii wird Länge in der
Bahn fUr die erste Beobachtung = 183*30 TjU 2, t iir die vierte Beobachtung
233'51'56''7. Bestimmt man. nun aus T^/, r, /" und v»^ 50'21'6"ö
die Dimensionen der Bahn, so erhalt man:

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Bestimmung der Bahn hus vier Beobachtungen, wovon nur zwei volUtändi«; sind. 249

wahre Anoraalie fttr den ersten Ort

walire Anomalie für den vierten Ort . >

liieiaii.s Länge den Periliels

mittlere Anomalie für den erstfu Ort

mittlere Anomalie für den vierten Ort

mittlere tägliche »ideri«rhc Bewegung

mittlere Anomalie für den Anfang des .Jaincs 1807

mittlere Längu für dieselbe Bpoche

Winkel ^

Logarithmiu der grossen Halbaxe

343 54 50,2
249 57 6,5
302 33 32,6
346 32 25,2

978"7216
278 13 39,1
168 lü 45,6
6 2 58,1

293'33'43"7 («>*)

0,372898

jBerecbnet man naeh dieiten Elementen fttr die verbeBserten 2Seiten t,
f die geocentrischen Orte des Planeten, so stimmen die vier Längen mit a,

ft', «", a"\ und die beiden intennediären Breiten mit /J", /9" bis auf den zehnten
Theil der iSecnnde Uberein. Die äussersten Breiten aber werden 12''26'43"7
und 4' 20' 401, ersterc um 22"4 zu kleni, letztere inn 18"5 zu ;rross. Wenn
man jedoch unter Beibehaltung der übrigen Elemente nur du- Nri^^un^ der
Bahn um 6" vennelirt und die Länge des Knotens um 4 4(1 venuixidert, .so
lassen sich die auf alle ßrcitcu vertheüten Fehler bis auf wenige Secuiiden
herabbringen, und die Längen eiwdieinen mit nur sehr kleinen Fehlem behaftet,
welche nch &8t anf Ntehts redoeiren würden, wenn man ttb^ies die Epoche
der lüage um 2" Termindert.

OAinit ThMri« 4. laiNC. 4. Mi ro

Digiii^ca by Goü^lc

260

Dritter Abschnitt

Bestimiuiuig eiuer liaku, die «Jeu Ueobiichtungcn, so viele man ihrer lut, «lich

mSsliduii senan aiiseUlent.

Wdiii tlif a-stronomisflifii iimbiuhfujigcn und die Clbrigen Zcilileii, auf
wcltlif dit! JJahnberccbuuug sich stUtet, einer absoluten (Jcuauigkcit sieb
erireuten, 8o wtirden auch die Elemente, mag man sie nun aus drei oder
»US vier Beobaehtangen hei'l^tcn, sogleich absolut genau heranskonunen
(wenigstens so lange man voraussetzt, dass die Bew^mg genau nach den
Kepler'schen Gesetzen vor nck geht) und sie könnten datnr durch Hinsu-
nahme anderer und wieder anderer Beobachtungen nur beseitigt, nicht verbessert
werden. Da aber alle unsere MeHuuniren und Beobachtungen uiebts als An-
iiüherungra an die Wahrheit sind, und dasselbe von allen darauf gestützten
Heclinungen gelten muss. so niuss das höchste Ziel aller Uber eoncrete Er-
S(;heinungen angestellter Rechnungen darin gefunden werden, der Wahrheit so
nahe als möglich konnnen. Dies kann aber in keiner anderen Weise
geschehen, als durch eine geeignete Conibination vun nielir I{e()Laelitiin<,rf'n,
als absolut zur Bcstinunmi"; der unbekannten Grössen erforderlich sind. Diese
iVrbeit \vmt sich jedoch erst diuiu unternehmen, wenn man bereits eine
genäherte Kenntniss der Balm besitzt, welche dann so zu verbessern ist, dass
sie allen Beobachtungen so nahe als möglich entspricht. Scheint nun aach
dieser Ausdruck etwas Unbestimmtes zu enthalten, so werde ich doch nntai
die Grondrifctze abhandeln, durqh welche das Problem dner gesetzmSasigen
und methodischen Lösung unterworfim wird.

Die höchste Genauigkeit zu erstreben, kann nur dann dec MOhe werth
erscheinen, wenn gleichsam die letzte Uaud an die l'abtibestimmung zu legen
l^t. So lantfc dfiirctrcn Hoffnnn"- vf'Hianden ist, da.ss bald nette Beo!)aelitnngen
ZU neuen Verbe<>i»eruugen Gelegenheit geben werden, ho empfiehlt es sich, nach

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Bestimnung ein«r Bahn, dia den Baobachtangen, ao viale msn ilim tut, mcU etc. 251

*

Lage der Sache mehr oder weniger von der Uussersten Genauigkeit abzulassen,
wenn solchergestalt die Weitläuttigkeit der Operationen crheblicli vermindert
werden mag. Ich will mich bemühen, beide l'iille zu berücksichtigen.

m.

Es ist ausserurdentiich wichtig, da» die einzelnen geocentriscUen i'o^i-
titHien des Hinundakörpers, anf welche man sich entscLloesen hat, die Bahn-
bestimmong m gründen, ^nicht ans verdncelten Beobachtungen genommen
werden, sondern, wenn es geschehen kann, aus mehren so eombmirtan, das«
die etwa begangenen Irrthümer, so viel es angeht, sich gegenseitig aufbeben.
Man muss nämlich solche Ik^obachtungen , welche um den Zwisehenrauni
weniger Tage von einander abstellen — oder i^elbst, wie es die Sache gerade
mit sieb bringt, xim einen Zwisf luniraum von 15 oder 20 Tagen — bei der (206)
Hereehnung niebt so aiuvciukii , als nb es ebensovieb' versobiedene Pitsitionejj
wären, »nndem es wird vicliiu lir daraus eme einzige i'u.nitiun abgeleitet, welebe
unter allen gleiclisjun die initiiere ist. und welche deshalb eine viel gi'össere
Schärfe znlSsat, als die einzelnen, giitrennt von anander betrachteten Beob-
achtungen. Dies Verfisbren atotst sich anf folgende Gnmdstttise.

Die aua den genäherten Elanenten berechneten geocentrischen Orte
dea Himn^skOrpera m&ssen nor wenig von den wahren Orten verschieden
sein, und die Unterschiede der letzteren und der ersteren müssen nur
sehr langsamen Aendcnmgen unterworfen sein, ^o da.ss man sie innerhalb
des ^^Pl]anfH weniger T-.v^v ualiczii als ronstnnt annebinen kann, oder dass jene
VeräiuifruiiMcn sieb wcnij^'.stcus als dt-ii Zcitm jnoportionalc ansehen bissen.
Wenn dahir die Beobacbtungcn gänzlich tV'hleilrci wären, so wiirilen die den
Zeiten f, /, i', (" u. s. w. entsprechenden Verschiedenheiten unter den beob-
achteten Orten, und unter denen, die aus den Elementen berechnet sind, d. h.
die VeFBcbiedenhmten d^ beobachteten von den berechneten Längen und
Breiten (oder fiectaacenabnen und DecUnationen) entweder merklich gleiche
Gröasen aeua, oder wenigstens gMchflEKrmig und sehr langsam aunebm^de oder
abnehmende. Es mögen z. B. jenen Zdlten die beobachteten Beet-
aaoennonen a, o', a", d" u. s. w. entspreeben, die bereebnetra aber sollen

aetn: «+<^f a'+d', «" + d"f a"-\-9" u s. w.; dann werden die Difieroizen

3»'

Digiti^ca by Goü^lc

252

Zweitw Buch. Dritter AbicbniU.

) <r" u. 8. w. von den wahren Abweicfaungeii der Elemente nur um
so viel verschieden sdn, als die fieobachtiingm ielbet fehlerbaft Bind. Weim
e» daher gestattet ist« jene Abweichungen fUr alle fraglidien Beobachtungea

als constante zu bctradittn, so werden die Grössen 9^ d", d"' o. s. w. eben
so viele verschiedene BestinuiiunLrtn der niiinlielien Orijsse daistellen, fUr deren
verbesserten Werth uian/laher dits arithmetische Mittel unter jenen Bestininuui^j^n
wiihh-n wird, so Ian;i;<' kein (»rund da ist, weshalb man der einen oder der
anderen iJcstinuKunir einen \ t)rzug geben w<)llt('. TjUsst sich aber den ein-
zelnen l'eobju lilungen nieiit derselbe ( jcnmiigkclt-sgiad beimessen. >o wollen
wir aniu liiiu ii, <lass bei den eiu/.ehien der Genauigkeitsgrad re.sp. prupurliuuul
zu sehät/.en sein sollte den Zahlen c, e, e', e'" u. s. w., d. h. die diesen ZaUleu
gegenseitig [importionalcn Irrtfatüner haben bm den Beobadituugeu gleich l^cht
begangen werden können. Dann wird nach den weiter unten abzuhandelnden
Grund^ltüen der mittlere walirscheinlichste Werth nicht mehr das einlache
arithmetisclie Mittel sein, sondern

_W>J - |- e' t J'_4- ey d" -j- e!" e" 6"' 4. «tc

« e -\- c' t -j- e" -j- 1" e" -\- etc.

Hetzt man nmi diesen mittlen^n Werth » -i, m wird man ffir die wahren
lieeta-seensiunen ainiehnien dürfen, re.sp. a-\-d — Jt n-{-<^ — .i, a"-\-d" — J,
(f " ,Y" — lind dann wird es willkflrlifh wein, welche niriti zur Reebnuuj^
beimtzt. Wenn aber entweder die i>eubaeluungsz< iten ein< n zu yro.ssen Ab.«tand
von einander haben, «»dei- wenn man noch kehie liinreii liend genäherte Bahn-
eleniente keimt, so dass es nicht gestattet ist, deren Abweichungen als
constante für alle Bcobaehtuugen anzusehen, m kann lüeruuä offenbar keine
andere DifFerena hervorgehen , als dass man die so gefundene mittlere
Abwdchang nicht sowohl als eine allen Beobachtungen gemeinsame ansehen
(207) darf, als vielmehr als eine auf eine gewisse mittlere Zeit zu beziehende
(welche letztere ebenso aus den einzelnen Zdtmomenten abgeleitet werden
inuss, wie .t/ aas den einzelnen Abweichungen) und daher im allgero^en
auf die Zeit:

_ « < -f t' e' <■ -f e V' f -I- e'" e"' f" -|- oto,

e e -j- c' «' v" -j- e'" -j- elc. *

W ill man daher den Itüf listen Grad von Genauigkeit erstreben, so inui<j< mim
tUr dioielbe Zeit den gcoccutriücUeu Ort aus dun Elementen berechuen, der

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«

Bectiounung einer Hahn, die den UcobAchtuDgcn, so viele inaii ihrer hat, sich etc. 253

dann von dem mittlerem Fehler ä befreit wird, um Position so genau als

möglich hcraiiszubi-ingen. Gemeiniglich jedoch wird es völlig aoMreichen, den
mittleren Fehler auf die der inittlcrcu Zeit nächste Beobachtung zu beziehen.
Wa8 hiei über Kectasronsionen ijesajrt ist, trilt eberiHo für die Declinationen,
oder, wenn man litlicr will, tVir l/;iiiL:c'n uiul ßreilen. E.s ist jedoch stets
einptchlcii.svvcitl), luiuihtelbar die an» den Elementen gerechneten Uecta-scensioncn
und Declinatioueu mit deu beobachteten zu vergleichen. Auf diese Weise liat
man i^mfich nicht nur den Vorthdl eioor rascheren Redmung, vorzüglich bei
Benutzung der Methoden m den Artt* 53 — 60, «ondem es empfidilt sich dies
aueh in dem Betracht noch ttberhw, weil nuui dabei auch die unvoUstiCndigen
Beobachtungen benutzen kann, und weil ansserdem, Alls Alles auf Ungen und
Breiten bezogen würde, zu besorgen stände, dass eine Beobachtung, die in
Beziehung auf llectascaosiou richtig, auf Declination aber Hchle(-ht angestellt
ist (oder umgekehrt) von bt ith r Seite verschlechtert und sn gänzlich lui-
brauclibar wilrdc. Im Uebrigen wird der UenauijrkeitsLü üd , der dem so
gefundenen Nüttel nach den gleich zu erörternden Grundsätzen beizulegen ist,
<;;-lei»'h sein = |.''(et j e c -j"**^ "1-* e 4" etc.), so dass vier oder neun gleich
genaue Beobachtungen erforderlich »lud, weim »ich das Mittel der doppelten
oder dreifiichen Schärle erfreora soll u. s. w.

174.

Wenn die Bahn eines Himmelskörpers nach den Methoden der vorher-
gehenden Abschnitte aus drei oder vncr solchen ge4iccntri.schcn Orten bestimmt ist,
von denen jeder einzelne nach Anleititni^ des vorherfrehenden Artikels atts melu-en
Beobaehtniigen trehildet worden, so wii'd eine sulelie Bahn unter allen diesen
Beobachtungen gieichewün das Milte) halten, und es wud bei den T^titer^jehipden
zwischen deu beobachteten und berecluicten Orten kein Anzeichen eüier Gesetz-
mässigkeit zurückbleiben, welches sich durch Verbesserung der Elemente
beseitigen oder merklich vermmdem liesae. Warn der ganze vorhandene
Vorrath an Beobachtungen kernen za grossen Zeitraum umfiisst, so lässt nch
aaf diese Weise die erwünschteste Uebereinstunmong der Elemente mit sSmmt^
liehen Beobachtongen en-eichen, wenn anders die drei oder vier Normalorte
geschickt ansgewShlt sind. Bei Bestimmung der Bahn von Gometra und

Digiti^ca by Goü^lc

264 /.weite« Hiich. Dritter Abschnitt.

neuen FlaneteOf deren Beobaditiingen ttber ein Jahr noch nielit lunaiicgebeB|
iSittt sich von (liest-iii Üuistnnde geiiie'miglicli m viel Vortheil ziehen, als die
Nator der Sjuhe erlmibt- Falls daher die zu bej^tinimende Bahn im ht fiäi lit-
liohen Winkel pcfreii die Eeliptik geneigt ist, so sttU'/e man nie in der Hegel
(20t:l^ ant' ilici l?ro!j;n'iitiiii;:('ii . welche man so fiitlfinr wie möglich von einander
auswiihlr. Sollte man aber auf diese Weiw zutallig aut einen der oben
(Art. 160 — 162; ansge.schlo.ssenen Fälle gerathen, oder die Neigung der Bahn zu
Uein enchdnen, so ist die Bcstiiumung am vier Positionen vorzuziehen, die
man ebenfiillB so entfernt wie mftglich von dnander ninunt

Sobald aber bmits eine längere, mehre Jalire mniweende Beihe von
Beobacbtungen ▼orhanden, so lassen sich daraus mehre NoNnalorte herleiten,
nnd man würde daher nicht die grämte Genauigkeit erreieheni wenn man
davon zur Bahidie.Htimmmig nur drei oder vier Orte heransnähme und alle
übrigen vernachlässigte. Man wird sieh vielmehr in einem solchen Falle,
wenn die höchste Schürfe eiTcicht werden hoII. die Mühe geben, so viel ansge-
stulitf Posititmen als möglich y.u saimncln uml iiut/.l)iir zu machen. Es werden
daher dann mehr Daten vorhand«'n si 'm, als zui- Hc-tininniiig der Unbekannten
erforderlich sind. iVllc die fraglichen Daten aber werden liTthllmem, wenn
auch nur kleinen, unterworfen sdn, so daas es im AJlgemdnen nnmi^lich ist,
allen ganz vollständig zu genügen. Da nun kein Grund vorliegt, weshalb
man von diesen Daten diese oder jene sechs als absolut genan betrachteu
sollte, sondern man vielmehr nach den Grundsätze der Wahrschemlichkeit
annehmen mnss, dass bei allen unnntersehiedlieh grössere oder kleinere Irrthttnu»r
glei(;h möglich seim, und da, im Allgemeinen gesprochen, kleinere Irrtbtlmer
häutiger begangen werden als grössere, so ist es offenbar, dasw eine solche
Bahn, die '/war sechs Daten vollständig genau cnfspriclit, von den übrigen
aber mehr oder weniger aliweicht, flu- eine mit den (»rundsiitzen der Wahr-
seheinlichkeit.s- Rechnung weniger übcrein.siinmiende zu halten sei,, ak eine
andere, die, während sie auch mit jenen sechs Daten um eine Kleinigkeit dis-
harmonirt, «nie desto bessere Uebereinstimmang mit den ttbrigen Daten gewährt
Die Erforschung einer Bahn, die im strengen Sinne die grösste Wahrschein-
lichkdt für sich hat, wird von der Kenntniss des Gesetzes ablängen, nach
welchem die Wahrscheinlichkeit der wachsenden Fehler abnimmt. Dieses
hängt aber von so viel unbestimmten und sweifelhaHten — aach phynologischen —

Digiti^ea by CoOglc

lieatimroong einer Bahn, die den Beobacbtungeo, no viele man ihrer hat, sich etc. 255

Betrachttmgen ab, die sieh der Bedurang entziehen, dass man das desfallnge
Gesetz wohl kaum je in iigend einem Falle der praktischen Astronomie
gehörig anzugeben yennag. Niditadestoweniger ist die Erforschung des Za-

saniiiH nha!i<res zwischen diesem Gesetze und der wahrscfaeinlichäten Bahn,
welche wir jetet in gröbster Allgemebheit unternehmen wollen, keineswegs
als eine unfruchtbare Speculation za erachten.

Zu diesem Zwedce will ich v<ni unserer besondem Aufgabe zu einer
ganz allgemeinen und bei jeder Anwendung der Rechnung anf Katnr-
Philoflophie hSchst fruchtbaren Untersuchung ttbergehen. £s seien V\
F" u. s. w. Fanetionm der Unbekannten J9, q, * u. s. w., die Anzahl dieser

Functionen, r die ^Vnzafal der Unbekannten, und ich setze yoraus, ilstöä durch
umnittelbarc Beobaclitungen die Wertbe der Functionen gefiuiden seien
V ~ V = Äf\ V" — AI " u. 8. w. .Vllgeinein gesproclien wird daher die
ETitwirkelniiij der Werthe der TTnbelcnrmter» ein unbestimmtes, ein bestimnjtes, (209)
(»der ein mclir als bestimmtes Problem bilden, je iiuehdcm « < = ,"">»'*)•
Hier wird allein von dein letzten Falle die Hede sein, iu welclieui oü'enbar
eine genaue Darätellung bäiniutlicher Beobachtungeu nur daim möglich wäre,
wenn letztere alle absolut fehlwfra wKren. Da das nun aber in der Natur
Dinge nicht Statt £ndet, so wird jedes System y<m Werdien fUr die Un>
bekannten p, « als ml%lioh an halten sein, aus welchem Werthe der

FunetioiMn V—U, V*—M\ JT—M' entstehen, die nicht grSsser sind, als
die Grenzen der Fehler, welche bei jenen Beobachtungen beg:ni;r(>i, werden
konnten. Dies ist jedoch keineswcigs so zu verstehen, aU ob diese ein-
zelnen möglichen Systeme sich eines gleichen Grades dar Wahrscheinlichkeit
erfreuten.

*J Wenn im dritten Falle die Functionen F, V, V" otc lo angtUiiui «w«b, dM ni«n davon
M + 1 — » mihM el> FuutioM dar Sbrigan eaatheD UoBiii m «Ma du PmU« in t>— eaf dlM«

f-*uD<(inm-n ebcnfaUn ein mehr at« bL-stinimtos, in Ilexichung aaf die Qr6ucn p, 7, r, > ttc aber tin unbcstünmlM
■«D, deren Werth« lich anch dann nicht einmal beittmiaai liesaen, veno die Wertbe der Functionen V, V,
V «Icl tieelat genn f*!*^ irib«; dm diain FiU iinhtliaia loh vm dar UMamaha^g wu.

Digiii^ca by Goü^lc

256

Zw«tt« Buch. Dritter Abuhnitt

Ich nehme zuerst an, ditBS raush dem Stande der Dinge bei allen Beob-
achtungen kein Grund vorliegt, die eine fOr minder genau als die andere zu
halten, und dass mithin gleich grone Fehler bei den einzelnen gleich wahr-
acbeinlieh sind. Die irgend einem Irrthume J beizulegende Wahrscheinlichkdt
wird durch eine Function von J ausgedrückt, die ich mit ipJ bezdchnfr
Wenn ina.i nnn auch diese Function niclit gmaii anzngc])en vermag, SO lässt
sich tlut h wenigsfen« das behaupten, das« ihr Wcrtli ein Orösstes sein mtÜsaer
wenn / (I, (lass er ppnielnlglieli ein gleirlu i- sei für cflpiclie entgegenge-
setzte \N ri ilic voll •/. mnl (las>" er endlieii verseiiuinde, wenn t iir .J der grö.sjite
Irrthiini ndtr ein L:r<;>>(ifr Werili aiiüenomwen wird. Eigeiillich ninss dali'^r
tp J zu (In Gattung der dii^eotuiiuiii liehen Fiinetionen gezählt werden, uud
wenn uinn ea sich erlaubt, au ihrer iStatt zum praktischen Gebrauche eine
analytische Function zu subatituiren, so muas diese so angethan sein, da» sie
beiderseits von J ss 0 gldchsam asymptotisch zu Null convergiit, so dasa sie
aber jene Grenze hinaus als wahrhaft verschwindend angesehen werdai kann.
Es wird femer die Wabrscheinliclikdt, dasa der Fehler inneHialb der Grenzen.
J und J-^AJ (weldie um den unendlich kleinen Untencbied AJ von einander
entfernt sind) liege, ausgedrückt durch «jp^.d^; und dalier wird im Allge-
meinen die Wahrscheinitchkeit, dass der Fehler innerhalb D und D' liege,

dargestellt dordi das Integral ^^J.AJ {jsa. der Auadehnung vmi D bis

zu J = D'). Dies Integral vaxi&& von dem grössten negativen Werthe von J
bis zum grSssten positiven Werthe, oder allgemein« vmi J = — oo bis an
J =: -\-oo genommen, nothwendig gleich Eins werden.

Nimmt mau daher an, dass irgend ein bestimmtes Werthsystem für die
Grössen ^, 9, r, s Statt habe, so wird die Wahrscheinlichknt, dasa für V ans
der Beobachtung der Werth M rieh ergeben werde, aDsgedrtickt durch
fp{M — V)y indem man in V fUr py r, t ihre Werdie substituirt; ganz
<910| ebenso werden dnrcfa ^{M* — F), 9>(Jf"-> F) ete. die Wahrsehemliclik^ten
ausgedrückt, dass am den Beobachtungen die Werthe M\ M" etc. für die
Functionen F', F" sich ergeben werden. Da man nun allerdingB alle
Beobachtungen als von einander nnabbängige Begebenheiten betrachten kann,
so drückt das Product

ifiM— y) ' Vi^'— V) . viM — V) etc. = i2

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Be&tinunung einer Bwlin, die den lieobachtungeu, eo viele mau ihrer hat, eich etc. 2Ö7

die Erwartung oder Wahraoheinlichkeit aus, deas alle cUe«e Werthe aus den
Beobachtungen sich zogläch ergeben werden.

m

So wie nun bei Annahme irgend welcher bestimmter Werthe fttr die
Unbekannten jedem Systäne der Functionenwerlhe V*y F" ete. vor
Anstdltuig der Beobachtungen bestimmte Wahrscheinlichkeit zukommt, so wird
ebenso umgekehrt, nachdm man ans d^ Beobachtangen bestimmte Functionen-
wertlic ermittelt hat, sieh eine, nach den einaelnen Systemen der Werthe der
Unbekannten, woraus jene hervortrehen konnten, bestinnute WahrscheinlK hkeit
ergeben: denn ottenbar werden diejenigen Systeme für die wahrseheinlieheren
zu halten sein, bei welchen dnn flaiaiis hervorgehenden Erfolge die grössere
Krwaninig zur Seite steht. Die Selxiitzung dieser Wahrscheinliehkcit stütat
Hich auf du8 nnelitbigende Theorem:

Wim iln»db»e vi^mi emer JSi^ipoCfteM Ht diß Wakru^tm-
Hehkeä irgemi eine» beeämmten Erfolges E gldch h irt, teren» aber bei
Annahme einer anderenf die erelere auncklieuendeH wtd <m und ßir «ieft
jjffetcft toakrsdkeinlie^en Bypoßteee H'f die Wahr^^ei^iMteit deae^en ßrfo^fe»

sss Ä' ist; dann wird, sage ich, fnlfs der Erfolg E in der Thai zwtn Verechem
kommt, die. Wahrscheinlichkeii, daas H die richtige Hypothue gewesen itt^ m
der Wahrscheinlichkeit, das» die richtige Mtffothete H' gevoewn, eich veHuUten
wie k zu h.

Um dies zu beweisen, setze ieh voraus, man habe durch Unterscheidung
aller Umstäude, von welchen es abliängt, ob II oder H' oder eine andere
Hypothese Statt bat, um den £rfolg E oder einen andern hervorzubringen,
ein gewisses System der verscbiedmen FKUe gebildet, welche einzeln an und
fllr sich (d. h. so lange es ongewiss ist, ob der £rfolg E oder em auderer
sich ergeben wird) als gleich wahTseheinliche zu betrachten sind, und man
habe diese Fälle in folgende Weise vortheOt:

OAOtSt TlMri* «. MiNg; i. BlmmUfc. 83

Digiti^ca by Goü^lc

258

Zweites Bach. i>ritter Afa«ehnitt.

dumic durunurr gefunden

w« «U H)-potbeie Statt habcD nnn

1

mit aolcbrn Modilii'ttionrn, <ia«a dariiu :
«1* Erfolg lieh «rgeb«» bois

m
n

m'
n'

m

//
II

H'
H'

von // 1111(1 jr vevscliicclen
von Jl und H' verschieden

E !

von E verschieden i
E 1

von E ventchieden i
E 1

von E venchieden

Dann wird h = — — , H = - ferner war vor Bekanntwerden des Erfol*

Kcs die WaliriSflieinlRlikcit der Hvpothe.se // — - . — r - — ; nacli-

^ - ' »< -\- II -\- hl -j- « -f- Iii -j- H '

d«'!ii (\hor der F.rValp- lM k;iiiiit - ('\\-Hrdt'Ti wolici die Käll«» n, n'. »' ans der
Zalil der .Müijliclikciti'ii ati.s.sclieidcnj, wird (iit- Waiiisihtiniiiiik^-ii. derseÜH'n

U/potliese sein = — Ebenso wird die WalirscUeiniichlceit der

Hypothese vor und nach dem £rfoIge, resp. auszudrucken sein durch:

, , -"^ - . — „ , ' 1— T— sr. Weil daher hei den Hypothesen

m ~f-n-\^ M -f-u -f- III -f- u tn -\-ni -\-m • •

H und H' vor Bekanntwerden dos Kriolges dieselbe WahracLeinliciikeit voraus-
gesetzt ist, so wird w-f « = fli'4-«', woraus die Wahrheit des Theorems von
selbst fol^

Insoweit num nun voraussetzt, dass ansser den Beobachtiiugeu Ks Jf,
V SS V" s IT' etc. keine andere Daten zur Bcsttromung der Unbekannten
vorhanden seien, nnd dass daher vor jenen Beobachtungen alle Systeme der
Werthe dieser Unbekannten gleich wahrsclieinlich gewesen sden, so wird
offenbar die \VaIirs«-heinlichkeit irgend eines nacli ATistellunj,' jener Beobach-
tungen I)C.<titiiiiUoii Sy.stt'iiis doiii /2 proportional sein. Dien i-i zu verstehen,
dju«:s dif Wahrsriieinlicliki'ir , dass die Werllie der Iiibekannten resp.
7,wi-;r!i{>n den nnendlieli nahen (iifnzon // nnd + 7 'i^r' 7 ! ""'1
r • d/', s nnd Ä-{-d.< ele. lie^^en. ausgedrückt sei dtiti-h Äi2d/^<l'/d' il^ rii
wobei A eine constante, von />, 7, i\ s ete. nnabliängige fJrösse ist: nnd zwar wird

oflenbar der Werth des Integrals der »''*" Ordnung J .Cidpdjdrd« . . • .

Digiti^ea by Co

Bfliliinaiuiig mnm B$Sm, dm den OoobiehtoiigeD, m viel« m*n ihrer hat, sich «te. 269

w»)i>ei (iki einzelnen VariaLeln q, i\ cw. in der Auüdeltuuug vou einein
Wertlic — »bis zum Wcrtlic zu nulinien .ninti.

177.

Daraus folgt sclion von selbst, dass das wahrscheinlichste System fttr
die Werthe der Grüiascii j», 9, r, » etc. dasjenige sein werde, in welehcm Si
den grössten Werth erbKlt, und daher aus den v Gleichungen

ermittelt werden nrass. Diese Gleichungen ncitmen, wenn man setzt V — M=v^
^ V'^W = V—M" = etc. und -^"^-^ = yV, folgende Gestalt an:

-dp-*»*«' + -d^V«' -f-etc.=rO

d» , , dt , , , dv" , „

-dT^*'+ dr ^** dr *f'^ -f etc. = 0
dü . , de' , , , dr" , „ , ^

ar ^" d* ^ + ar'^ ^ ^'

Hieraus lüsst sicli al.so vennittelst Elimination eine völlig bestimmte
Auflöstnig des Problems ableiten, sobald nnr erst die Natur der Funetion
(f' bekannt g-ewordcn. Da diese sieb nun a priori nirht definiren lässt,
so l'nigc ich, um die Saclie von einer anderen Seite an'^iiirn'it'cii , .«mf
welcbe, stilJtechwcigend gleiclisam zur ikusi» aiigeuommLiu: !■ inutii/ii sich
eij^cntlich ein allbekanntes Prineip stützt, desscm Vortrett'lieliktit allgemein
anerkannt wird. Denn an Stelle eines Axioms pHegt die Hypothese ange-
nommen 2tt w^en, dai>s, wenn irgend eine GrOsse durch mehre unmittelbare,
nnt^ gleichen Umständen und mit gleicher Sorgfalt angestellte Beobachtungen
bestimmt ist, dann das arithmetische Mittel unter allen beobachteten Werthen
den am meisten wahrschemlichen Werth darstelle und zwar, wenn auch
nitrht mit absoluter Strenge, doeli wenigstens sehr nahe, so dsiss es stets das

Sicherste ist, dabei stehen au bleiben, äetst man also V^^V—V" etc.

33*

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260 Zweites Buch. ÜniWi Abschnitt.

80 wird allgemein sein nitlwen ^'{M — — P)-hv'{^" — p)4- «c. = 0,

wenn für p der Werth (M + jV -\-M" etc.) siibstituirt wird, welche* pointiTe

Giiuzes mm aucii diircli /* juisdrückt .sein ma^. Setzt man daher vorau>i ^^ =
M" = etc. = M — fiN, .so wird alliremoin. d. h. t*Ur jeden ganzen positiven Werth
fUr /*, sem <p'(,K — 1^-^= '1 — u] <f { — A worAiis man leicht steht, dnsu all^emdn

— |— iiiH- (.iii^uuif (irüsse sein miis.se. welche ieh mit k Le/.L-lrhucu will.

Hieraiij^ winl ]n'j-ff .f — '/!■ /./-[- t'onst., oder wenn m;m dir I'risis der hyper-
bolischen J.*ogarithmeu mit e bezeichnet und die CoiisUuite — lugz i^etzt,

Femer sieht man leicht ein, dass k notliwendi^^ negativ sein mliasc, damit X2
in der That ein Grüsdtc« werden könne, weslialb wir setzen — AA; nnd

da vermitteUt des eleganten, gcuent von Laplace*) gefundenen Theorems das

Integral |e~**'^d^/, von J = — <» bis «n J=-{--c^ wird = ^// (wobei

n den halben Kreisumlang tür den ßudiuä = 1 bezeichnet), so wird umere
Fimetiüu werden;

178.

Die so eben ermittelte Function kiinn zwar nicht in aller Strenge die
Wahr.seheinlichkeiten der Felder au^sdr(iekcn ; denn da die mügiichen Fehler
stets in gewisse (^Iron/en eingezwänirr sind, so mü.sstc die Wahrscheinlichkeit
gr(J.s.sercr 1 clder imuier = 0 herauskonnnen , wälu'i^nd unsere Fonnel stet.s
einen begrenzten Werth darstellt. Dennoch aber ist dieser Maugel, an welchem
jede iinalytisehc Function ihrer Xatur nach laboriren miiiss, für jeden pruktisehcn

*) In ZmIi aMoMfliclie CMTCtpondtiu* Band Sl, 8. no äoiwrt Om«it: „Tttam Snl«r Khon du
ISwom gcfundm bat, woraus der trbonr, tod mir Laplace brigclrg^tc Lehrsatz icbr Icicbt itt i wcrd«D

fcwiii M vir telUt iciioa fiQber «in, aU über die Stelle S. 21<t uboB *b|[ednickt ich «oUt« m aber wellt
aniR liw BmlB iclaMi, wril LnplkC« «cnigsUns diu obig« Thcovm doch «rat im du dort gvbtsaeliMii Fta*

Digiti^ea by Co

BcAtimmuDg einer Bahn, die den Beobachtungen, «o viele mau ihrer bat^ sich etc. 261

Gebrauch von keiner ßcdeutnii;^. (ta der Wertlt unserer Function, Bolmld nur

erst //.'/ einen beträclitliehen Werth angenomtnen liat, so rapide ahniinint,
dn«s man ihn sicher mit Null aequivalirend ansehen kann. Ausserdem wird v^i
die Natur der Sache niemals gestatten, die Grenzen der Fehler mit absolater
Strenge hinzu.stellen.

Im llebrigen kami die Gonatante h gleichsam als das Maas» der
Genauigkeit der Beobachtungen angeseben werden. Denn wenn man die
VVabrscbeinlichkeit eines Irrthums J in irgend dnem Systeme von Beobach-
tungen als vecmittelst in eanem anderen Systeme mehr oder

minder genauer lieohachtungen aber als durch ~y'^ ^^^^ ausgedrückt an-
sieht, so wird die Krwnrriitig, wonach bei irgend einer Beoliachtimg aus dem
erutereu Öysteme der l'elilcr imierhalb der Grenzen — «T und -{-d cntlialteii

sein werde, ausgedruckt diuvh das Int^ral ^-y^^*^^^ ('^o" J ^ — ^

bis SU ^ = <^ genommen) und gan« ebenso wird die Erwartung, dass der
Felller iigend einer Beobachtung aus dem zweiten Systeme die Grenzen — ^

und -l-d' nicht ttb^schreite, durch das Integral ^ - y ^ tT^^^^^ä (wo J in

der Ausdehnung von = — bis zu + <^ genommen) bezciclmct. — Pm idu
Integrale werden aber offenbar gleich sein, i>übald = /* () . — W enn daher
2. B. H SS 2A ist, so konnte ebenso leicht in dem ersteren Systeme ein
doppelter Irrthum begangen wwden, als ein einfacher in dem zweiten, in
welchem Falle den Beobachtung^ des zweiten Systems nach dem gewöhnlichen
Sprachgebrauche eine doppelte Genauigkeit beigemessen wird.

Nun will ich entwickeln, was ans diesem Gesetze folgt. Es ist von

selbst klar, dass, damit das Product ß = ä"«"*"«"**^- +•'•'+•'•"+• ein
GrSsstes werde, die Summe w-\-vv ■\-v"v ' qXc. ein Kleinste« werden müsse.

Et wird dalier das tcahrscIieinUdiste System der Wertfie der Unbekannten p, q, r,
« etc. dat^tmi^ «etn, in toddtan die Quadrate der üaterschiede zvDuehen den

Digiti^ca by Goü^lc

262

ZwflitM Buch. Dritter Abtehoitt.

UobadiUtm und berechneten ^mctionenwer^ken F" ete. die kleinäe Summe

gdten^ wenn nümlich bei allen Beobachtung«! denelbe Grad der Genauigkeit
zu präsumiren ist

Dickel* Gruud.s.'itic, welcher bei allen Anwcnduugcu der Mathcuiutik. auf
die Natur- Philosophie ausBerordentiicb hlufig benutzt wird, mum allentfaallieD
an Stelle eines Axioms mit demselben Rechte gelten, mit welchem das aridi-
metische Mittel unter mehren beobachteten Werthen derselben Grösse als der
wahrscheinlichste Werth angenommen wird.

(214) Auf Beubaolitungoii von ungl» i< !u i (ii naiiij,'keit lässt sich die» Pniicip

nun ohne Weiterem ausdehnen. Wenn nUinlich das M;iass der G'euaiii<;kcit der
Beobachtungen, wodurch Fss Af, F'= M*^ F"a= M" etc. gefunden ist, re.spective
ausgedruckt wird mit A, h'y h" etc., d. h. wenn man vx>rau88etst, dass Fehler, die
diesen Griissai gegenseitig proportional, bei den fraglichen Beobachtungen
gleich leicht haben begangen werden können, so ist dies offenbar dasselbe, als
wenn durch Beobaebt<nigen von gleicher Genauigkeit (deren Maass = 1 is^^
die Functionenwerthe hV, hV\ K'V" etc. unmittelbar gefunden wUren ^ hMy
A'iT, h"M' etc.; wcHhalb das wahrsehein liebste Wn tlisystem für die Grössen
Pi Ii ^1 * etc. d.nsjenige sein wird, wo die Summe hhvv-{-hh'vr'-\-}ih'v't"-\-Q\(:.
d. h. ICO die Summe der ()>tnffi'otr thr fitlcrschiedf ztrf.'^rhfff fhti fhot^ärhlich
beobachktfn und dm hercchntti n W' rtlu ii mit doi Zali'< u iHfi^f/'fJiriti. die den
Grad der (Jeuauitjkeit imsxev. iia Kh tii.ttcs wird. Auf (iit >i' \\ eise ist e.s nicht
einmal nüthiy, dass die Functionen 1", V\ 1'" etc. auf houiogene Gros.sen sieb
beziehen, sondern sie können auch heterogene (z. B. Bogen -k^ecuudcn und
Zät-8ecnnden) darstellen, wenn sich nur das Verhältniss der Fehler, die bd
den einzelnen gleich leicht bangen werden konnten, sdiätsen lässt.

m

Das im voran|rehenden Artikel HUFc'maiulergcsetztc Prinri]» ciupfulilt
sich aurb in dem Betracht, da.«- die rninu'ri>( he Ik'stimmung der I iibckaimien
Hut" eine üehr ra.Hclic Berechnung sich zurücktüiucn lüsst, wenn die Functionen
F, V", V" etc. lineare sind. Ich nehme an, ^ sei

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BMtianiiaBg «imt BfthD, die dm BvoliaditDiigen» w tnlta nun ilvar lut» aich cte. 263

V — M = V — — m-\-ap-\-bq-\-cr -r-ds-{- etc.
V — M ' — v ssz — m -\- a'p -f- b'rj -{- c '' + + etc.
V"^M"^ — TO"+a>4-6"g+c"r+rf"*+ete.

etc*

und man setse at;+aV+aV-|- ete. » P

w 4- cV + cV + ete. ^

dtJ-j-<r»'H-<rw"+ etc. = 5

ete.

Dann werden die r Gleichungen des Art 177, aus welchen man die Weitiie
der ünbekannteu bestimmen muss^ offenbar folgende 9,v'm:

p =^ 0, n - (), = 0, 5=0 etc.
wenn ii;iinlit!i die Jk'oliutliumgeu als ifleieh gn( nnfrenommen werden, auf
welchen i'all uiaii die librigen zuriiektühreu kunn, wie im vorhcrgchendeu
Artikel gezeigt isU Es sind daher eben so viele liueüic Gleichungen voiv
hnnden, als Unbekannte su bestimmen «nd, wöraus man deren Werthe durch
gewöhnliche Elimination herleitet.

Wir wollen nmi sehen, ob diese Elimination immer mdgUch ist} oder
ob jemals eine mibestimmte oder sogar immögliche Lüaung sich ergeben kann.
Alis der Theorie der Elimination ist bekannt, da.ss der zweite oder dritte Fall (215)
dann Statt Huden werde, sobald aus den Gk icihungeu P = 0, Q = 0, Ii ~ 0,
«S'=() etc., hei Aushissung von einer, eine (ileicrhung entstehen kann, die entweder
identisch mit der ausirehisscncn ist, oder ihr widcTfJtreitend , oder, was auf
daiiscilve h<M-anskoiniiit. wnni sich eine lineare Function «7* ! -\- '/ R -\- S-{- etc.
.nia;( l)(n lii-^vt, die t-ntwtilcr identisdier Weise = 0 ist, oder wenigstens frei von
aileu LuLckamitea //, 2, r, s etc. ^»ehmen wir daher an, es werde aP-\-
liil-\-yR-\'^S-{- eXv. = X. Von selbst hat man die identische Gleicimug
(f -j- itt\ V -j- {>:' -|- Iii) V -f (f " -{- m ) v" -f etC. ^ pP'\- '/Q + >'R + *'!>'-4- etC.
Nimmt man also an, dass durch die 8ubstitationen p = «x, q = ßx^ r = yx,
$ ^ tfx etc. die Functionen f, v', v" ete. respective flbergehim in: —
— m-}-l'xj — fit"4'jl"« etc., so hat man offenbar die identische Oldchung

(ii-{-n'+rr+ etc.);c«— (iwi+ÄW+rw"+ etc.)«=^ *«,

d. h. es wird Ä/.-f- /. /. -[- ;."Ä" -f- etc. = 0, ie+im-f-AW-j-i"»»"-}- «tc. « 0; dar-
nach wird aber nothwemlig sein mUssen il = 0, il' « 0, ^" = 0 etc. und x ^0.

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264 Zweites Bueh. Dritter AbMhnitt.

Daraus ist klar, dass alle FiinctioneD F, V" etc. so beBchaffen sind, da»
ihre Werthe sich nicht itndeni, wenn die Grifeseii 9, r, 4 etc. Vameb-
ningen oder Verminderungen erldden, die den Zahlen a, /9, d etc. pro-
portional sind. Ich habe aber schon oben erwähnt, daas derartige i^le nicht
lüerher gehören, in wekheu die Bestimmung tler Unbekannten olTenbar »ach
dann niclit ehnuiil möglich ist, wenn auch die wahren Werthe der Func-
tionen y. V, y" etc. gegeben »ein sollten.

( cbrigens kann man aut' die.sen hiev hotrachfefen Fall alle fihrigen,
wo die Funetionen T, V\ V" ete. keine lineäreu sind, leicht rednrircn.
Hezciclinct man nämlich mit .t, /, (j . <; etc. jfcnähcrtc Werthe i iir die
Uubckjuimt:n p. 7, r, .« etc. welche mau leicht ableiten kann, wenn aus u
Cleichuugcn F— 3/, V — M\ V" = W etc. zuerst nur v benutzt werdeuj
und fuhrt man dann an Stelle der Unbekannten andere ein: ;>', 7', r', 9 etc.
und setzt jp = -T+/), 7~;i;+9', r = ^+r', » = a,+»' etc., so werden
offenbar, die Werthe dieser neuen Unbekannten so klein sein, dass man ihre
Quadrate und Producte vcmachlHsdgen kann, wodurch die Gleichungai von
selbst als Itn^e herauskommen. Sollten 8i< h dann bei der ab.^olutcn Rech»
nnng wider Erwarten so grosse Werthe fUr die Unbekannten p', 9', r', d etc.
ergeben, dass man nicht mit voller Sicherheit deren Quadrate und Producte
iiUtte vei-nachlfls.sigen dlirlen, so wird eine Wiederholung des W i taltren.?
(wobei man an Stelle von ;r, 7, p, o etc. die verbesserten Werthe für />, $,
r, s etc. seti&t} eine leichte AbUülie gewähren.

181.

Falls daher nur one Unbekannte j9 da ut, 2u d«m Bestinmrang man
die Functionenwerthe op+n, a'p4-**S ^"p^^ etc. respeetive gefunden hat
(216) « My Jr, etc. und zwar dnrch gldch genaue Beobachtungen, so wird der
wahrscheinlichste Werth fdr p sein

om-f - am -j- n"m" -|- etc. ^

aa -\- a'd a"o"-j- etc. '

wobei man »n, ni', ni" etc. schreibt resp. für M — 7i, M' — ^w', J/" — n" etc.

Um nun den Grad der bei diesem Werthe zn prästimirenden Ocnauig-

keit zu schätzen, so nehme ich an, daas die Waluschcinlichkcit eines Fehlers ^

üigiiized by Google

Beaitmmang einer Baho, die den lieobachtungen, so viele man ihrer hat, sich etc. 266

bei den Beobachtungen ansgedrllckt sein soll durch **^^^ Demnach

wird die NN'ahrseiieinlichkeit, dass der wahre Werth für sei = A-\-^\
proportional sein der Function

wenn für p substitiiirt wird A-^p'. Der Expüiieut dieser Funt tion lä»rti sich
auf die Form bringen — Mi(aa-\-aa -\-a''a'' -\- etc.) (pp — 2pA-\-B), wo B
von p unabhängig iät; es wird deshalb die Function selbst proportional
sein:

0 •

Man siebt daher, daas man dem Wer&e Ä d^dben Grad der Genauigkeit
beimeäsea muas, als wenn er durch eine unmittelbare Beobachtung ge-
funden wäre, deren Graiauigkeit sieh zur Genauigkeit der primitiven JBeolK
achtungen verhielte, wie hy(aa^aa' -^aa" etc.) zu A, oder wie {/(oa-f*
ttV+oV+etc) za 1.

»

Der Untersiicliting^ Uber den Genauigkeits«rrad, der den Werthen der
Unbekannten, talls nieluo voiiianden .sind, bei/uiue.s.sen ist, nuiss eine ge-
nauere Bctraclitung der Fimction w -j- v'v -j- v"v" -j- etc., welche ich durch W
bezeichne, voraufgcsehickt werden.

I. Ich setze j-^^ =y = A4- + + etc., und ^^—^^

= H^; so wird offenbar p'^^P, und, da man bat — ~ ^« *

so ist die Function W von ^ unabhängig. Der Coefficient a = aa-{-aa -j-
a"a" -h etc. ist offenbar stets eine posidve GrSsse.

Ii. Ebenso setze ich -y • « l'-^ifq-^-y r-^-dii-^- etc^ and

W^^f = JT», «.Kl « wird »to ^ = i 'I^'-i - '4 = «-T-i-'

d W"

und - = 0, woraus man sieht, dass die Function W" sowohl von p als
von q unabhSngig ist Dies wttrde nicht Statt find^, wenn ß =^0 werden

aAtlM, TbMito 4. BwMC. d. Bimlik. 34

Digiti^ca by Goüglc

266 Zweite« Uuch. Üritter Abschnitt.

könnte* Aber c» ist klar, dass W aas rf+i}V+wV+ «te. entstehtf weim

man die Grlime p am t*, v\ v" etc. mit Hülfe der Gldchmig p' = 0 elirainirt;
demnach wlnl die SmnuR' dfi- Cot-liirietifoii von <fq in w, vv\ >-"i" otc.
TiMcli jener KliininaiiDii m Ih: diese oiiizeluen ('«x'iiirienten eeltlBt aber sind
Quadrate und können nielit all*- zugleich ver,-.(li\vinden. aus^r in dem oben
aus<i;eseliIo.ssenen Falle, wo die I nbekannten unbestimmt bleiben. Man aieht
daher, da.s.< eine positive (Mö^se sein inuss.

d W"

ni. Hetze ich nun wicdcram | • -gj.- = r' = i"+y"r-|- etc., and

Yr-^yr= W"\ 80 wird r' = Ä— ^p'— J^/, und TT* nnahhängiir sowohl

von p, r]s von 7, als von r. l'el>riyeiis sieh aui älinlielie Weise wie

in 11 ;iei^en, der Coc-l'Hcient y" nothwcudi^ eine positive Grü.Sbe ist.

Man sieht nSmlich leicht, dass y" die Stimme der Coefficienten von rr in tv,
vV, v'V etc. ist, nachdem die Grössen ^ und q mit Httlfe der Gleichungen
2»' aa 0, 9' « 0 aus v', v" etc. elimtnirt 'sind.

IV. Setzt man auf dieselbe Weise \ = / i'" -j- -|- ete.,

\f' " — -i^r, so wird a' = 6' — -^p — y 9^' — ; wo IT" von j», ?,
r, « unabhängig und tf" eine positive Grüsse ist.

V. Wenn ausser /), 7, r, « noch andere Unbekannte da sind, so kann
man auf diese Weise noch weiter vorschreiten, so dass man schliesslich hat:

W = ^pp -r <ii£ '\- r'r -j- ss + etc. -f Coust,

WO alle Ck»e6ficicnten «, iT' etc. positive Grössen sind.

VI. Nun ist die Wahrscheinlichkeit liegend eines Sjstemes bestimmter

Werthe für die Grössen 9, r, « etc. proportional der Function e . Es wird
deshalb, falls der Werth der Grösse p unbestimmt bleibt, die Wahneheinlichkeit
eines Systems bestunmter Werthe für die übrigen proportional sein dem bitcgral

je dp (in der Ausdehnong von p — — oo bis tn p = +<^)t welches naeh

dem Laplaee'schen Theorem wird = A"'«~*Ji*e~**t'«'* tf"" '
diese Wahneheinlichkeit wird daher proportional «ein der Function e " .

Digiti^ea by Gc>

Bestimmung einer Dahn, die den Boobaolitungen, «o viele man ihrer hat, sich etc. 267

Ebenso ist, wenn Überdies q als Unbestimmte behandelt wird, die Wahrschdn-
liehkeit eines Systons bestimmter Werthe fUr r, s etc. proportional dem

Integrale C«"**'*' d^ (vvuq == — «»biszn q = -\-oo genommen), welches wird

/r'/:;'"^i*e~*Hr'"'''+o'"''''"' oder proportional fk-r Functi.m r"**""'.

Auf äluilii lic Weise wfirrli . falls iiucli r als l.'nlicstiniinto In'traclitet wird, die

Wahrscheiiilieiikcit bfötiumiter Wertlie für die Ubiigeu •« vtv. proportioniil

— hh W"*

sein der FuiK-tion e n. s. w. K-ii ncliinc an, daxs die Zahl der l nli«--

kaiiiiten l>is auf vier stci'jen so!!; denn dcrsolhe Soliluss wird j^elteii, sie mag (218)
nun grösser odw kleiner sein. i)cr Hin meisten walirsc-lieinlielie Werth für s

1*"

•wird hier sein = — und die Wahrscheiulicbkeit , dass dieser von dem
wahren um die Differenz o verschieden ist, wird proportional der Function
^—hkv aa woraus 2U .schliessen, dass das Maass der der fragliche Be-
stimmung beizulegenden relativen Genauigkeit ausgedruckt werde durch y^'\
wenn das Maass der den primitive Beobachtungen beizulegenden Genauigkeit
= 1 gesetzt wird.

183.

Durch die Methode des voran<rehcnden Aniliels lässt sich das ]^laa.ss
der Genauigkeit Lecpicm nur für diejenige Uubekamite ausdiUeken, welcher
bei dem Eliminirungs-Gesd^fte der letzte Platz angewiesen ist. Um diese
Unbequemlichkeit zu vermeiden, empfiehlt es sich den Coef&cienten tT auf
andere Weise auszudrucken. Aus den Gleicbungen

folgt, dass p' q' r i durch P, Q, -ß, sieh so ausdrucken la&scn:

M*

268

ZweiU» Buch. Dritter Aludiuitt.

so dae» % %'f 9*, 91", H" bestimmte Grössen sind. Es wird daher (we&n
die Zahl der Unbekannten anf vier beschrankt ist):

Hieraus loito icli Colj^eiKk'ii Scliluss ab: die walifselioinlicli.steii Werthe der
IJnltekannti'ii y/, 7, r, .f ctc-., die (hncli r^liininntioD aus den ( ileicliungTu /' 11.
Q = 0, 7? = 0, *S' = 0 cfc ;ili:_nI»>it(T wf'rdf-n ^^ollon, lassen sieh otienbar,
wenn ein(,' Zeitlang /', Q. Ii, <S viv. als l >iiuaiite an<r«'selien werden, naili
Anleitung demselben Kliniinationi- Vert'alirena in liueäier l'omi durch J\ Q, B,
S etc. ausdrucken, so dass man hat:
(219) p L -1- AF -r ru,i -{-CR + DS + etc.

q = U^AP +BQ + etc.

r := r'+ Ä'P + + C'Ä + D'S + etc
* « ^'"/'H- J5"'g+ 0^"^+ D"'8-\- etc.

etc.

Darn.'ifli werdt^n oA'enbar die walirselieinllehsten Wertlie von Pt y, ff * etc. sein
lesp, Z-, i/', 2/", L" etc.| und das Alaass der dii-si-n Hes(inininng:en beizulegendea

Genauigkeit wird ausgedrückt rcsp. durch 1/-^, V'W* ^'^'^ ^> wenn

man die Genauigkeit der primitiven Beobachtungen = 1 setst. Denn dasjenige,

was oben wegen Besthumung der ünbekannten s gezeij^t ist Cfür welche ^„

ent.sj)ri< iir dem // lüsst sich durch blosse Vertanschiuig der Uubekaujiteu auf
alle Uebrigeu Uburti'ageu.

1S4.

Um die vorangehmdoi Untersuchungen durch ein Beispiel zu erläutern,
nehme ich an, dass diudi Beobachtungen, bei welchen gleiche Genauigkeit
SU präsumiren, gei'auden sei:

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BeattiDBnuig man Bahn» ia» den Beobaehbiogw, w ?M« naa ilww lis^ aieh ete. 269

P— 9 + 2r== 3
3p + 2^— ör= 5 •

Dorch eine vierte Beobachtung, der aber nur die halbe Qenamgkeit beizu»
menen, sei gefandeo:

— 2/) + 6?+6r= 28.
An Stelle der letzten Gleichung 8iibstituii-e ich dahw:

— p J- 3'/ -4- — 14,

und ncliHK' «in, (lass die>ic Glcicliung au.s t Itu-i den t'rlihereu au Grcuauigkeit
gleiclien Beobachtung herausgekommen sei. Hieraus wird

p = 27/)+ 6(/ —88
Q»= 6p^l5q-^r —70
J?« 9+54r— 107

and hieraus durch Elimination

19899p = 49154 -f- 809 P — 324 Q + 6 Ä
7377^ 2617— 12/'+ b^Q — R
6633r = 12707 + 2P— 9Q>+123Ä.
I>ie wahrscbeiniichstea Werthe der Unbekannten sind also

p = 2,470
q = 3,r>öl
r = 1,916,

Qnd die relative, diesen Bestiinmangen beaumessende G^tauigkeit (die Genauig- (2-20)
Jcett der primitiTOi Beobachtnngen « 1 gesetzt) ist

für p ..

. . . \

büU

=-= 4,96

737

"64 ^

3,69

fi{!33
123 ~

= 7,34.

185.

Der bislang behandette Gegenstand k(jnnte Gelegenheit zn mehren
eleg^anten analytischen tlntersuchimgen geben, bei denen ich jedoch hier nicht

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270

Zweit« Buch. Dritter Abachnitt.

vci-weile, um nicbt za weit von meinem Vorhaben abzugerathen. Aus den-
selben Grunde verspare ich die Aoiteinandersetsnng der Kanstgriife, mittelst
derer nmnerische Reehnimg auf d.ne mschere Zahlendarlegung zarlick-

gefülirt wen.lt'ii kann, auf e'wic. andeio (Joletjcnlieit, Docli erlaube ich mir eine
t'lnzigc Bemerkung. So i>t't die Aiizalil der Functionen oder der an<;enoimner«ii
( Üeicliunpn lieträelitlirh ist, .-^o wird die Reclmini^'' liaupt?;:!! I.Iii Ii d» -'lallt ein
weniLT lieseliwerlielier. v ri! dif Cnetlieienten, mit denen die ju inntiv cii (»leiehnn-
■jv]\ mulfiplieirt weixkii niii-M-n, mn J', Ji. S ete. zu eriiuhi n, gemeinitdieli
wenig bcqucuic Dccimalbrüclic cntliaiten. — Wenn es iii diesem l alle nicht
der Mflhe werth sdieintf diese Muhiplicationen mh Hülfe der logaritluniadien
Tafdtt iw> genau aU möglich durchzufahren, so wird es in sehr vielen Fällen
genUgen, an Stelle dieser I^lultiplictitoren andere zur Rechnung bequemere
anzuwenden, die von ilinen wenig versdueden sind. Die«e Licenz kann keine
merklichen Irrthünici . mit Aa^nahnie des Falles erzeugen, WO das Maass der
Genauigkeit hei Besiinnnung der I nlK-kannten viel kleine sich ergiebt, als
die Genauigkeit der primitiven Üeobachiungen war.

m.

Im Uebrigen kann das Princip, dass die Quadrate der Unterschiede
zwischen den beobachteten und berechneten Grössen eine möglichst kleine
Summe erzeugen müssen, auch unabfattngig von der Wahrscheinlicbkdts-
Beebnung auf folgende Wdse betrachtet werden- So ofit die Anzahl der Un-
bekannten der Anzahl der dav ii ahliängigen I ml achteten Grössen gleich ist.
so lassen sieh erstere so bei»tinin)en. dass dt n letzteren genau genJigt wird.
Wenn aber die Anzahl der Crsteren kleiner als die der letzteren ist, 80 hU.*!
sieh eine absolut genaue l ebereinstinirnung nicht erreichen, in<h m die I^^--
obachfungen nicht absolut genau sind. Man muss si(di daher in dic.>.em Falle
beniUhcn, die l ebcrciustimuiung so gut als uiüglich icstzustcllen , oder die
(221) Unterschiede soviel als möglich zu verkldnem. Diese Bemerkung involviit
aber ihrer Natur nach etwas Vages. Dom wenn auch ein Wertlisystem der
Unbekannten, welches alle UntcracJiiede resp. kleiner giebt als ein andeies,
diesem andeni zweifelsolme vorzuziehen ist, 8o bleil>t nieht.sdestoweiiiger die
Wahl zwischen zwca Systemen, von denen das eine bei diesen^ das andere bsi

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BtttimiBiiiig einer Belm, die den fi^oheehtvegen, ao viele ran Quer lut, aieh ein. 271

jenen Beobnehtnogen eine b^ere Uebereimtunminig d«rbie(et, in gewisser
Weise ans^r Willkttr ttberlassen, und es ksaen sieh ofienbar sahUofle ver-
gchiedene Principien mmehmen, durch welche die ^tere Bedingung erfüllt
wird. Bezeichnet man die Untentdüede swischen Beobachtimg and Bechntmg

mit ./. /. /"etc., so wird der er^^tcren Bedingung nicht nur Genüge «geleistet,
wenn JJ -j- J'J' -j- J"<f' + etc. ein Kleinste» wird (was mein Princip ist),
sondeni auch, wcjm . /' -f- /'* -j- ' * 4" oder .</' -j- ^ '* -f- etc., (»der
{ditreiiiein die Simmie der rotciiziii von irj^fiid »inem geraden ExpiiiRntLn ein
Kleinstes wü'd. Aber von alkii dicbeu l'iincipien ist meines das Kintaehstc,
wUiuend man bei den übrigen in sulu* verwickelte Rechnungen geräth.
Uebrigens is^ mein Princip, deseen ich mich seit dem Jahre 1795 bedient
habe, neuerlich auch von Legen dre in seinem Werke ^^NouTdles methodes
ponr la d^termination des orbites des com&tes, Paris 1806" vorgetragen, wo
mehre andere Kigenthündichk^toi dieses Princips entwickelt sind, die ich hier
der Kürze halber Ubergehe.

Würde insin eine Potenz von einem geraden iniendlich grossen Exponenten
.-rriTieliiuen, so käiiic mm\ auf dasjenige b/stemf wobei die grössten l>Ü£erenzen
so klein als nioglirli wünlcn.

Laplace benutzt zur Aunö.<iung der linearen Gleichungen, deren
Anzahl grüääer ist ak die Anzuld der Unbekannten, ein andere» Princip,
welches einst bereits von Boseovich vorgeschlagen war, nSmlich das, dass
die Differenssen selbst, aber alle positiv genommai, eine kldboate Smmne bilden
aollen. Es lässt sich leicht zeigen, dass ein Werthayst^ fUr die Unbekannten,
welches lediglich ans diesem Principe ermittelt ist, notbwendig [mit Ausnahme
besonderer Fälle, in welchen die Auflösung gewiasennaasaen imbestinimt bleibt]
eljensovielen (ileichungcn aus der Zahl der angenommenen genau Genüge
leisten muss, als- rnbekannte da sind, so dsws die Uhingen GlHcInmgren
nur insoweit in Üetracht kommen, als sie zur Entscheidung lür
diti Wahl beitragen. Wenn daher z. Ii die Gleiehimg V ~ M zm de»'
Zahl derjenigen gehört, denen nicht Genüge geschieht, so wttrde das System
der zufolge jenes Princips gefundenen Werthe sich In nichts Sndem, wenn
«ttch statt des Werthes M irgend dn anderer Werth N beobachtet wäre,
falls nur, ind«n n den berechneten Werth beaeiehnet, die Untersehiede
M — n and N — n mit dem nXmlichen Zeichen behaftet sind. Uebrigens

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272

Zweite« Bach. Zweiter Abecbnitt.

regulirt Laplace gewissermaaMen das fraglicbe Princip durdi Hinzafngnng
einer neuen Bedingung, denn er verlangt, dass der Difierenzen Summe selbst,
bei Nir liTiiiulening der Zeichen, — Null werde. Hierdurch wird bewirkt, das»
die Anzald der genau dargestellten Gleichungen um eine Einheit kleiner wird,

als die Anzfilil (Ter unbekannten Grössen: deniKK h alter findet das von
mir vorhin l'murkte auch hier 8taU, wenn uamlicL weuigsteos zwei
ün bekannte da sind.

(222) 187.

Icli wende mieb von diesen allgemeinen UntefBaehangen zurttdc su
meinem eigendichen Vorhaben, um derentwillen ich die enteren mitenionimeb
habe. Bevor man die möglichst genaue Bestimmirag einer Bahn aus t 1
Beobachtungen, als nothw endig ei-l'orderlicU sind, unternimmt, mti^ bereit»
eine angcn'fihertp Ik-stiuimung vorhfindcü win. die von allen gegebenen PfCnlt-
aehtungen niclit viel abwrichr. I »ic an ilif.-r Lfenälierten Elemente zur KrlauLrnii;:
der möglichst genauen l ebci clii^^tiuuauiig auzubringenden Verbc^seruiigi n jjiiul
als Quäsite des rrobicms zu betrachten. — Da mau vorauissctzeu kami, dass
diese Yerbetterwigen so kldn neb heraittstälen werden, dwe man ihre
Quadrate und Prodocte vemachlliasigen darf, so können die VerSnderongeo,
welche die berechneten geooentriscben Orte des Himmelskörpers hierdureh
«leiden, durch die im zweiten Abechnitt des ersten Baches gegebene Difie-
rentialformeln berechnet werden. — Die nach den verbesserten Elementen, St
ich suche, berechneten Orte werden alsi) durch liueärt? Functionen der
Verbesserungen der Elemente dargestellt, und es wird deren \'ergleichuiiLr mit
den iR'nl.aclirt teil ni tt n na< h den oben entwickelten Grundsätzen zur ßestiiniiiMii.'^
der waiirscluiiilit li.stcu Wertlie führen. Diese Operatiimen sind so cintaciu
daÄS es einer weiteren Krläutcrmig derselben nicht bedarf, mid es ist vun
selbst klar, dass man dabei Beobachtungen benntsoi kann, so viele man ihrer
hat, und die, so weit man will, von einander entfant sind. Derselben Metbode
kann man sich auch aar Verbessentng der parabolischen Bahnen der
Cometen bedienen, wenn znfftllig eine längere Reihe von Beobachtungen vor-
handen ist, und grfisstmöglichste Uebereinstinunnng verlangt wird.

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Batiminttng cJaer Bfllm, die den Deobaehtangeii, m ^ek ntn ilirer halt, lieb vte. 278

188.

Die vorhergehende Äfethode ist vorzugsweise denjenigen Fällen ange>
pnifst, wo die köcliste Genanii^keit verlangt wird. Sehr bäafig aber kommen
FaUe. vor, wo man ini'Kilt uklicli von letzterer etwas narlilasjäen kann, wenn
sich dadnrfli die Wt itliiuttigkeit der Rechnung erhelilich abkürzen Isisst,
nainentiicli wenn die Beobachtungen noch keinen grossen Zeitranni unithsscn,
nnd man daher so zu ««gen an eine definitive Bahnbcstininiung noch nicht
denkt. In solchen Fallen lUast sich die nacbfolgeude Methode mit groascm
Vortheile benntsen:

Man wlihle aus dem ganzen Vorrathe der Beobacbtungen zwei vollständige
Orte L, und L' aus und berechne fttr die entsprechenden Zeiten aus den ge-
näherten Elementen die Entfernungen des Himmelskörpers von der Erde. IMan
bilde .^1 ilLinn bezüglich dieser Abstände drei Hypothesen, indem man bei der
ersten die berechnetLH Werthe beibehält, in der zweiten Hvpotlicsc aber rlie
erste Distanz, und in der dritten H^ivitlicsr dir zweite Distanz ändert. Beide
Aenderungen lassen sieh nach XerhaltniiM» der Ungewisshcit, welche man bei
jeuen Abständen als zurückbleibende vermuthet, nacii Ermessen annehn;ien.
lHaoh diesen drei Hypothesen, welche ich in folgendem Schema darstelle:

Uyp. I.

Dyp. n.

Ilyp. III.

der dm entea Orte entsprechende Abstand*}
» « zweiten » « 9

D
D

n

D

(393)

berechne man aus den beiden Orten Lj L' nach den im ersten Budie ent»
wickelten Methoden drei Elementen-Systeme, nnd ans jedem einzdnen der
letzteren die geocentrischen Orte des Hinunelskörpera, welche den Zeiten
aller übrigen Beobachtungen entsprechen. Es sden diese (indem man

•) Nocih beqanur M ci!, ibitt der AbiUUI* dia Logvittmn der «wlfHm AlwUnde m gcbrnt^

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274

Zweitea Buch. Dritter Abtchnitt.

die dnzdnen Lttngen und Breitem oder Rectaacengionco und Dedinatioiien
geflottdert beseiclinet)

im ersten Bysteme Jf, AT, etc.

im swciten Systeme ^1^+«, .V'-f-« , M"-\-a" etc.

im dritten i^ystcme M-\-ßy M'-\-ß^ et*!«

' und es seien ferner die

beobachteten ürte^ resp N'^ N" etc.

hk soweit nim kleinen Aenderangen der AbetSnde D fwofiortiooale
Aenderungen sowohl der einselnen Elemente, als der daraus bereehnelen
geooentrischen Orte entsprechen, so darf man anneinnen, d:ia die geocentri^chen
Orte, welche aus einem vierten Elementen- Systeme berechnet sind, bei
dem die Alistiindo von der Krdr V \- ^ />'-]- f/(y zu Grimde üpitp"-
rcsp. »ein ss( i(it ii M.\-ax-\-{iy^ M ^ax-\-(ikj^ M -\-(f"x-^jf'y etc. iiierau«
werden dann nach den vorhergelienik'n Untersuchungen die Grössen y so
hestimmtf das« jene Urüosen bestuitigliclist (mit Rücksicht auf die relative
Gttianigk^t der Beobachtungen) mit N"^ N" ete. uberdnstimmen. Das
verbesserte Elementen- System selbst trird entweder ebenso am Lf L' und
den Abständen D-^xd, D'-\-^ bestimmt, oder es iSsst sich dasselbe nach
bekannten Regeln aus den drd ersten Elementen-Systemen durch einfiuihe
Interpolation ableiten.

189.

Diese M^hode ist von der vorhergebenden nur darin verediieden,
dass rie den awei geocentrischen Orten genau and den Übrigen so genau wie
möglich QenQge leistet, ^x^rend nach der anderen Methode kerne Beobachtung
den Übrigen vorgezogen wii-d, sondern die Fehler so viel wie m^lich anf
alle vcrtheilt werden. Die Methode des vorhergehenden Artikels ist daher
der früheren nur in so fern naciizusetzen, al.s, wenn die Orte L, IJ irgend
einen 'I'lieil der Fehler in sich aufnehmen, die Fehler hei den Ubrifrcii Orten
»ich erliehlich vermindern lassen. Inzwischen kann man meistens dun h »chiek-
(224) liehe AuBwstlil der licubachtungen L sich Icielit davor hüten, dasä dioüer

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Bestimmung einer Bahn, die den Beobachtungen, «o viele man ihrer hat, sich etc. 275

Unterwhied nicht von zu giosscr IVtlentimg wird. Man musa nämlich dai-nach
trachten, für L und L solche Beobachtungen zu nehmen, die nicht allein
ausfresuehtPr Genauigkeit sieh erfrnirti , sondern die auc Ii so beseliaffen

ÖD ^

sind, dasti die atia ihnen und ;iiis dcTi Distanzen nliLaltitcten Elemente von
klcint^ Aenderungen der geocentrisclien Positionen nicht allzusehr atticirt
werden. Man würde daher niolit wohl ihun, solche Beobachtungen aus-
mwäUen, die um einen kleinen Zeitnmm Ton einander alwtehen, oder
solche, denen nahe entgegengesetato oder ziinammenfaUende hehocentriache
Oite ent^trechen.

35'

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276

Vierter Absehiiitt

lieber die Bestimmung der BaIiucu mit Rttcksiclit auf Stürungei«

190.

Die Si;>rini<fen, \vcl«-ltt> die lU-weiriiiiiroii der [*Ianotrn durcli Einwirkung
der übrigen Planeten erleiden, .sind so klein und j^flien so langsam vor sicli^
djLss sie erst mch i'in<'ni jüngeren ZeitaMaut'«' luerkiiiii wf-vlrn. Innerluilb
klirzaer Zeit — und niidiin (je nach Hcscliarienlieit der l nisiäude; willireud
dtMT oder mehrer gaazen Revolutionen — weicht dte Bewegung so wenig
▼on derjenigen ab, die in einer Tollkommenen, genau nach den Kepler'schen
Gesetsen beschriebenen Ellipse Statt findet, dass die Beobachtongen diese Ab-
weichung nicht anzeigen können. So lange dies ssich so verhält, würde es
nicht der Mühe < rrii sein, eine verfridiote Beredmung der Störungen za
unternelimen; vielmehr genügt es, einen gleieli«ira orfeulirenden Kegelselinitt
den Beohaehtungen atiznjtnssen. Spnfer aber, naelideni der l'lnnof lünijorc
Zeit hindureii genau beobaelitei ist, wird der EinHu.ss der SuirunLfcn -ich
endlich 4>o zeigen, diiJjj* es nieht ferner möglieli ist, alle Bcuhachtungen dureii
rein elltptisclie Bewegung genau zu vereinigen und es Uaat sich aodaam
eine vollatändige und stabile Harmonie nicht herstellen, ohne die Störungen
mit der elliptischen Bewegung geliörig zu verbinden.

Da die Bestimmung eHi])tiselier Elemente, uiit welelien die Störungen
bcbiif genauer Darstellung der J^eobaehtungen zu verbinden ^ind, eine Kenntnis»
der Störungen voran««('f/t. lungekehrt aber die Theorie der St-inrngen niclit
genau festgestellt werden kann, ohne eine l>ereits hcIh- l''* iuiuc l\.<.iiutnis.s der
Elemente, so gestattet die Natur der Saebe nit lit, diva seliwierige Gesehäft
suturt im ersten AngriHe vollständig zu erledigen, sondern es küimen Störungen
and Elemente erst durch melurfitch abwechselnd wiederholte Verbesscn-uxigen
zur graten Hjjhe der Schärfe emporgehoben werden.

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U«ber die Btarimmnug d«r B«luiai mit Rflokaklit mt StBmiig«!!.

277

Die erste Theorie der Btörangen mrd daher auf rein elliptische Ele-
mente f^estützt, welche man den Beobachtnnj^en so genau als mön-lich Jingepasst
hatte. — Daun wird eine neue Bahn erlurhciu, welche, mit dieatu Störungen
vcrbimden, den Beobachtuugcu so nahe alü möglich Genüge thiit. Ist diette
von den früheren faetrSditlidi verschieden, ao wird auf dieselbe &Bß ' Wieder»
holte Entiridcelung der Stifrungen gestützt, nnd (Uese YerbeMerungcn werden
ab wechselnd so oft wiederholt, bis BeobachtnngeD, Elemente und StSnmgen
so genau wie mißlich Übereinstimmen.

191.

Da die Kntwi( kchiiig der Theorie der »Störungen aus gegebenen Ele-
menten meinem Vorhabtu trcmd ist, so braucht liier nur gezeigt zu werden,
wie eine geniherte Bahn eo verbeasert werden Icann, dass sie, mit den gege-
benen 8t6nuigen verbanden, der Beobachtung so nahe als möglich Genttge
thut. Dies Geschäft läset sich sehr einfach dnroh eme den Artikeln 124, 165, (22«)
188 analoge Methode erledigen.

Für die Zeiten aller derjenigen Beobachtungen, welche mim zu dicaem
Zwecke benutzen will, und deren, je nacli Bclcgcnhcit der Sache es drei, vier
oder mehr *.n'beii kann, werden aus den Gleiclitinc^eri die nmnerischeii AVerthe
dieser Störungen berechnet, sowohl für die Längen in der Jialiii. als für die
Kadicn Vectoren, als l(lr die helioceiitrlschen Breiten, h'ür diese Rechnung
mmmt man die Aigumoite aus den genäherten dDiptiachen Elemente, auf
welche man die SttSrungstheorie gestützt hatte. Dann werden aas all^
Beobachtungen zw& ausgewählt, ftlr welche man die AbstSnde von der Erde
aas denselben genäherten Elementen berechnet. Diese constituiren die erste
Hypothese. Die zw^te und dritte Hypothe^ic werden gebildet, indem man
jene Abstände ein klein wenig ändert. Daim werden in den einzelnen
Hypothesen aus den beiden geooentrisichen Orten die heliocotitri.^eben Positionen
und die ETitferinini^'-en von der Sciiine bestimmt. Aus diesen leitet man,
nachdem diu Hreiten von ticii Slörungeu beireit .sind , die Länge des auf-
steigenden Eaiotens, die Neigung der Bahn und die Längen in der Bahn ab.
Bei dieser Berechnung bedarf die Methode des Art 110 einer Modification,
wenn es anders der Mähe werth erscheint, aaf die idUndare Aendenmg der

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278

Zweite« liiich. Vierter Abttchnitt.

Knoteiilüiige und der Ndgttng Rücksicht zu nehmen. Beaeidmet man nSadich

mit ß' die liflioccntriHchen , von den periodischen Störungen befreiten
Breiten, mit i., l' die lieliocontrist hen Längen, mit W, i die Längen des
aufsteigenclnn Knotons, mit / mv\ i (t die Xeigiujgen Her Bahn, so empfiehlt
ea sich, die GJeichmigen in ibigencier (je.st;ilt darzustclleu:

tmgß = lang» sin (A — W)

Der Werth fUr ^^^^^^^ u^t aller ndtbigen ädiärle erhalten, wenn man

für « den genäherten Werth aetst; aodann laaaen aieb i und Q dareh die

gewöhnlichen Methoden enuittehi.

Von den beiden l^ängen in der liahn ferner, sowie von den beiden Radien
Veetorcn werden die Stimmen der Str;nmL''eji »h<^('-/.n^cn. nm rein elliptische
Werthe zu erhiUteii. llii-r ;ilii r k;iini aiicl) (iicjcniiif Kiiiwirkiui::-, wclclic die
sUcularen V'eränderungen dvi i'nsiiirui des rerüicls und der Excculrieität
aut die i^änge in der Balm und den Kadiu» N'ector äussern — welche Ein-
wirkung durch die Dtlfeirentialfonneln des ersten Abachnitts im eraten Buche
m botinmien ist — ^ sofort mit den periodischen Störungen verbunden
werden, wenn andeta die Beobachtungen genügend Ton einander entfernt sind|
daas es der Milbe werth eracheint, hierauf Rttdcsicht au nehmen. Aua diesen
verbesserten Längen "To der Bahn und varbessertcn Tvadicn Vectoreii werden
zugleich mit den entsprechenden Zeiten die übrigen Elemente bcstimmti
Endlich werden aus dicRrn Kiementen die geocmfri.'jrlten Positionen fiii- nllo
übrigen Reolmehtnnj^cn he ih i hnet. Durch Vt rL;l<i( Imni,'^ derselln'ii mit den
(227) beobachteten wird auf die in Art. 188 entwickelte Art da-yenige System
der Abstände hergeleitet, aus welchem Elemente ciilieascn, die allen Übrigen
Beobachtungen bealmSIglkdist genügen.

192.

Die im vonagehenden Artikel erklärte Methode ist vnrzugaweiee der
Bestimmung der ersten^ die SUtenngen mit enthaltenden Bahn aagepasst
Sobald aber nur erst sowohl die mittleren elliptischen Elemente, als die

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1

Ueber die BegümmaDg der UahBen mit Rilckaicht Huf Störungen.

279

StSrungi^leidKiiigen scbon recht nahe b^aont sind, bo wird die genaneste
fiesdnunnng mit Hülfe so vieler Beobachtungen, als möglich ani bequemstem
dorcb Anwendung der Methode des Art. 187 erledigt, welche hier einer
betendem Erläuterung nicht bedürfen wird. Wenn nun ein hinreichend grosser
Vnrrath an vorzli^rlirhen Beobaclutmg'en vorliruKleii ist, der einen grossen
Zeicraum mnfasst, so kann diese Metliode in mehren Fällen zugleich zur
genaueren Bestiimnung der Ma.sseu der ütüicuden Planeten (wenigstens der
grösscm) dienen. Erscheint nämlich die bei der Stöningsrechnung voraus-
gesetete^Masse eines stöienden Planeten noch nicht hinrrächend adier, ao mag
nan ausser den sechs, von den Verbessaroigen der Elemente abhängendm
Uabekannten, noch eine andere fi dnfffhren, indem man das Verhltltnias der
verbesserten Masse zu dei v'>raiisgeselz(6n Masse wie 1+,» zu 1 setzt. Man
darf diinn annehmen, dass die 8t('irini|^en selbst in eben «liesem Verhältnisse
geändert werden, woraus offenbar Inn den einzelnen Ijt iu ( Imetcn Positionen
ein nemer HneHrcT, das enthaltender Ausdruck erzeugt wird, dessen Ent-
wickelung keimr iSchwi» rlgkeit unti i wol len ist. Die Vergleiehnng der berech-
neten Positionen mit den beubaciiteten nach den oben auseinandergesetzten
Principien, wird zugleich mit den Verbesserungen der Elemente auch die
Verbesserung für // geben. Es lassen sich daraus also aach die Massen mehrer
Pbneten genoaer bestimmen, wenn sie StSrangen yon genügender Beträcht-
liehkeit aosttboi. Zweifelsohne werden die Bew^^ungen der neuen Planeten,
hanptBüchlich der Pallas un l der Juno, welche so beträchtliche StSrongen von
dem Jopiter erleiden, sulchcrgestalt nach einigen Jahrzelmden zu einer sehr
«renmien Bestimmung der Mas.se des .Jupiter führen. Ja es wird sogar viel-
leieh* fiorein-st möglich »ein, die Miu-'^e eines oder des anderen dieser neuen
Planeten aus den iStürungeu erkennen, welche er auf die übrigen uusUbt.

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I

TabellartMlie ITebentelit

derjenigen Diiickfebler in dem lateinischen Originale der Uauss'scken Theoriu motus
corpomiD ooeleatium, dia in dem, janem W«rke angehängten FehterreneMhmiM nicht auf-
gefthrt litid, bei d«r deutaehen Deberaetsung aber BerttduiebtigUDg gefaodea haben.
{HB. Di* ngtgiiMm ZM An^utm lad bOca UiHtiM lat*ialich*a (Mciimlt.)

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10

6

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4.504 3S78n

12

in ticm im Artiki'l 1^5 bere«:

liiipten Rf*is[)i(>lo Kiiul Ix-i , i'iniL:;i'ii Zithlen

Aendcrungen vorgenommen, die jedoch das ächiiisarGauitat niclit ni^cnt-

Kdt nodificiien.

14

14

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fomida VIII ve] IX

19

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im KTeniMr der

Ueberateftit

der in tkn, dem fhiginale der Gauss'schen Tlieoria motus coqiornm coelestium aogelilq^
drei Tafeln aufgefiindenen Druckfehler, wclclio bei der deutschen Uebwtragniig

berücksichtigt sind.

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6594

0437

0,258

4804

3146

7030

0700

5184

3387

0,289

7468

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0,30I

5949

3871

0,291

a _ _ _
8350

>49i

0,2D2

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4114

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Oma .

«795

»757

0,263

6721

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0,293

9241

2023

I 0,264

7III

0,2Q4.

o,oocq68q

2 2QO

0,265

7S01

4848

0,295

0,0060139

2S57 '

0,266

7894

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0,296

0S9I

2826

0,267

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5341

0,297

1045

3095

o,s68

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5589

0>19S

1502

3364

0,969

9085

5838

0,299

1960

3635

0,170

0,0049485

0,0036087

0,300

0,0062411

0,0043906

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Anhang.

L

Schreiben des Herrn Hofraths Gauss, Directors der Güttinger Sternwarte,
«m den Herausgeber der Astronomasdieii Nachrichten. (Nr. 474.)

Gewingen 1843. April 1.

Um aus Elemcntwi fUr une gegebene Zeit ciucn Ort zu berechnen, brauche it-li zur
Bereduning der Anomalie gern die Burokhardt'acbe Tftfel« dio »bcr nur bis 163" 45' geht,
und daher ftlr den gegenwärtigen Stund d«a Com«ten Moh Horm 6 all«'« Elcineiiten iiiizui«ichcDd

wild. Harkt'r's Tni\'\ r> iiht zwar ilbei<ill uns, wird aber hei groesen Anomalien wegen des
Le£cliwc'flkLcn Inter]ic>lireu& ä«lir unbequent. lu sokhca Filiiea pHege ich ein be&ouderes Vor-
fahren anzuwenden, dessen Mittheilung Ihnen vielleicht angenehm sein wird. Ist M die Zaill
mit der (oder für grflsscre Werthe mit deren T-ogaritlimcn) mnn in die Barkcr'ache Tafel ein-

gehen luiUste, also ji/ — - r , wo logfi ~ 0,0398723, so setze ich log -^-^-^-^ 5= 3

und such« in meiner kleinen Logarithmentafel, A und B in der dortigen bedeutimg yciKiniaien,
der Gleichung ^ A-^ 2 B = 3P Genüge zu leisten, was immer, wenn P grcsa ii-t, eelir schnell
bewirkt wird. l*t deon a die nun Logerithmoi A jehttrige Zahl, «o wird« die Anomalte
= V gesetzt,

Ung -} V — V'f3") '■<'<''■ '"K^'ii'K l V \ {A -|-log3).
Auch der Logarithmt: dt:« rndiui* vectt^r winl Uattn äiiuHcrüt bt'qucm berechnet, ind<;'m man mit
.fl-f-log3 wieder In die erste Columne eingebt, oder .4 -j- log 3 = A' und die daru gehörige
Grösse in der zweiten Columne = ü" folgt, wodurch aogleidi der Logarithme des radiuB veetor
s= A* -{-B'-j- log q wird.

Die iiiJireete Auflösung jener 01eicln:ng geseliielit, wenit,'ileuä für die oräton VersucJie,
ttvviui Lcijucmcr und taat a vuc in der i'ürtu C S'^i "lau kjmu zutrat P in der liritii'ii

Columne aufsuchen, oder P = C und die dazu gehörige Grösse in der zweiten Columne — V>
•eties, dann P-\-iB s= C" und dazu aus der Tafel di« Grösse der zweiten Columne = B',
dann (wo nOthig) P-|-|B^ = C" and dazu gehörig B" nehmen a. s. w., wdohe Rechnnng
sehr schnell zum Stillstand kommt. Will man sich mit der Genauigkeit, welche fUnfzi/Trige
Logarithmen geben, nicht begntlgen, so kann man die Matthiosscn'sche Tafel (welche ich
sonst wegen der imzeitij:;eu Ookonomio, womit wie ganz uiuiiilliiper« oi?;i> gedruckt i»t, nielil ^;erTi
gebrauche) hier mit Vortüeil zu Hülfe nehmen, was ich aber lieber erst dann thue, wenn ich
durch die kleinere Tafel die beiden Stellen, zwischen welchen der Definitivwerth von A flUlt»
schon bestimmt habe, und dann wende ieh lieber die Qletehnng in ihrer anpriiagUchen Feim
3.4-f-2J9 = 3Pan.

Soll z. B. die Anomalie Tiir Februar 48,333 33, oder Air die Zeit oacb der Soanennlhe
20*87663 beetinuDt werden, so i^t nach Galle 's Elementen

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22

AnhAng.

7,0809490 «0^7663.... 1,3x96604

nVi6875 a.i5349»» 9.334443»

Cotwt. Logarithme = 9,334443t 3,085x173

Alio 3P« 4,1704344
P= 1.390 1448

HU den Utioen Tifeln 5ndet neh daraaa

B =r 0,01806 C = 1,39616

^' = 0,01781 C"= 1,39608

womit dia Rechnting M^hon steht, und A sr 1,378 27 «iid. MattliieBt«ii'« Itfel graU
A 3« 1,378 «739> Dia waitera Bechitung wird dtDB

itss 1,3782739

3 0477 "'3

i>85S 395 >

0.9376976 = log taug 83* I5'49"S3

and die wAhre Anomalir' = i66 31 39,00
FerDci gehört lu A' — 1,85s 3952

B 0,006 O I 70

q 8,053 9660

Lognrithma dca radjai Teetor = 9,915 3783
Man sielit ^i^rIgpn>!, rl.iss iiif":<> Methode nichts weiter i«t, rtls eine intllrecle Aiiriösinig iler
bekannten cubischeii Gleichung evt-i«ehon der Tangente lier halben Anomalie uiid der Scctorüäche
and lagleich, dana meine, oder fhr schMrfere Rodinung die Matthieaaen'ttche I^garithmentafal
aaf gßnjt ihnlkba IVaiM la ainer lehr bequeaieB AyiHndaag aller leellea Wiiraaln jadar
«Igabralteliea Glefetinng, dia nialit mehr «la drai affeetive Gliadar hat,

benutzt werden kann, ^vie ieli in Pe^ichung auf die q1l:l(!^!lti.'^l'hp Gleidnu^ uUlBgat dar
leUtOD Ausgabe der Vega'schen LogarithuaoUfei schon gezeigt habe.

IL

Tafel au» dem ersten Bande der Pariser Annalen.

Statt d«r whr umDaagreichen Barker'tchou Tafel und der dazu erforderlichen HUlfa-
tafel, urenn « dek t8o* nttiOTl, iM hier die Im «ntan Banda dar Aaaalen der kaiiarliahaB

Sternwarte zu Paris Erfindliche Tnfcl Tum Abdrucke gebracht.

Bezeichnet = p — den IVrihf labstand in der Parabel, v = die wahro Anomalie,

t = 'lie Zeit vor oder seit dein Teriheld nrch^^ange, n = die (in der Roge] = o zu setzende)
Masse des in der Parnl f^l «irh bewegenden HimniLlskr)r|nTs, l<i<; A; = 8,0850664436, SO ist

und 111.U1 hat Ung ^ o -j-^ tang ^ — kl'; T = (3 tang v -|- taog ^

Setzt min dea Waith für k in diese laUte GlaiehaBg, 00 irird

r= 27,40389544(3 Ung^i;4-tanT|r') = 1,096 l 55816 (75 Ung^tJ-f 25 lang ^ b»),
und daher, wenn mmi k' 0,912379061 set^t, 75 tang^ v-f- 25 tang^ ~ JcT; wobei
lof 1^ BS 9,9601 377069.

Die Barke r'icha Tafel giebt kT fttr dae Aigament «. Die mittlen tägliche Bewagu«
oder dia i« dar BarkarlMfaaa TaTd mit M kaieielHMta GrSma wird doreh dia Fteiaer TaTal
fllr aijwD bdial^gan Warth voo v athaltea, waan man daa antq^nahandaa Warth 'nn T uät K

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Aahug. 23

nrallipliiehi. Dfa TbiM*) gTcbt «, fnilcm die Werlli« fRr I* d« Argmneiit df«BBit| vaä die ^idin
ABOBHlliei wddie diesem Argumente enUpricht, wird gefunden durch die FenadE

t> = t», 4- >1 , (r-rj 4- >l , (r-r.)^ + ^, (T-T«.,)' + etc.

Hier ist 7*, ein speciell^r Werth, welcher lich unter den Argumenten der Tafel findet, und
wekben man lo wählt, du« die Diflerenc T— mfigliclut lilein wird. Die für A^, A^,
geltenden VerzeSchen lanä den Logaritliinen dlraer Grünen bdgefllgt

Zur Erl;iutprung ti filih'n wir diissclhe l?eispit'I, wc-lclics IIimt I'rofcs.^or Enclcp in seiner
Ausgabe der 0 1 1 ers '»clicn AUlwiitl Ising gUebcr die Icklitestc miJ bequemste ilcthodo die Bahn
eines Cometen zu beretrhnen" pag. 24.1 gegeben h«t. Für de« grossen Couieten von 1843 h*t man
nach Santini'e P«ral>el logg = 7,9027300, woraue log m = 3,1060477. Man «ucbt die wahr«
Anomalie ftr IfMn 3o. 8^ mittlen Berliner Zeit oder 7^ i$"46' Pariser Zeit Hkx iat alao, d«
die ZeÜ d«l Perihels auf Februar 27. 6* 19" 59" mitttere Pariaer Zeit fallt,

t = 21,03874., folglich log M log mt = 4,4290674.
Geht man hiennit in die Bnrker'sche Tafel ein, «o findet man mit Rtiektielit auf iw«ite
Differenaen v «s: 168* 44' 14 ' >3

Benutat mnn die Bttlfatafel', ao wird

logain w = l(I"g 200 — log 3/1 — 2,39o6S44
woraus w = 168*^ 44 20" 44

V s= t68 44 24, tt

liadi der bier nitgethciltcn Tafel wird mit t 21,03874 und log q = 7,9027100,
3*s 29440,I3{ die IMfferena von T« = 30000 ist aUo T—T, = — $$9,67

mithin v, <= 168*48' 41" 17

^,(r-r,) = — 4 13 71

^i(T-T^)* = — 3 19

(i'-r,)' = — o 05
t> = 1 68' 44' 24" 22

Wenn T ttber die Grenze der Tafel iT^ = 40000) hinausgeht, so kann man die
Formel brauchen ü = iSo" - [6,094 7259I {'f-f— (6,877 18] (^) — (7,313] (—)' etc.

wobei die in Kiaminem stabenden Zidern Logarithmen sind.

Iat V gegeben, und man v<vlHngt T z», findeo, io biit man

Behnl einer ersten Annihemng Icaon man die von dem Quadrate und den Cnboa von T—T^
abhängenden Glieder vernaehlKMigen, und der so fbr T—T^ gefundene WerA wird so lange
TcrlL^^ert, bis er der Gleichung geosu Qcnllge tbot Wenn « ttber 169* henut^eb^ so nimmt

man statt der Tafel die Pormcl:

T = (i,9H9336]W4''+[«i4S78»«3l*"6i«''-
Aber wath bei einem kleineien v kann nao, Gills aum es bcqeeflur bJdt, sieb dieser Fonnel
bedienen.

WShlt man bei dem im Art. 3g der Theorift motuB gelehrten Vcrfiibrcti, die bier abge-
druckte TiUVl statt der barkür sehen, so bezeichnet w den Werth (Ur v, welcher dem Argumente

T= entspricht. Will man in dem, im Art. 41 abgehandelten Falle diese Tafel zur Be*

stimmUQg von i statt der Barker'iahen Ikfet «owendm, se gesebieht ^Bes dadordu daas nun

den, dem w entspreebenden Werth flto T mit moHiplicixL

*) »Die Bnrekhardt'iche Tafel, in Bowdiieb's .Aakang taai dritten Baadc der i^Mfcaniqno
flIMi« W Oidieh, aar da« dort lay r, iiatt P aam Aifaminto dImS.

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24

Anlmg.

1<WA,

o

2

4
6
8

o* o'o",oo

2 47 11.83

5 34 0.00
8 20 1,19

tt 4 s»,8a

4- 3,7005116
3,7000079
3,698 4710
3,695 9236
3^923863

— 0,00000

o,47t6o
0,76930
0,93987
1,0570s

— 9,695
9,691
9,ijSi
9,664
9,641

lO
12

>4
i6
i8

13 4<> 13, 3f
16 2g 42,39
19 9 1,36

45 53.»3
34 so s,89

+ 3,6878872
3,682 46 1 3
3,676 1493
3,668 9972
3,6610547

— 1. 14430
1,21171
1,26497

«»30744
M4»35

— 9,610
9iS7' 1
9.525
9.470
9,40s

20
SS

24
26
28

26 51 17,15
29 19 24,78
31 44 16,52

34 5 44.97
36 83 44pSi

-{- 3,6523748
3,643 Ol : [
3,6330224
3,6224621
3,6113863

— 1,36825

1,39829

«.40535
I.4I7H

— 9,329

9-39
9. »30 1
8,994
M14

30

3»
34
36
38

38 38 11,23

40 49 i»74
4t 56 i8,e«

44 59 57,33
47 0

+ 3.599 ^•^96
3,587 9044

3,57560'!
3,5629877
3,550 109I

— 1,43003

1,43:01

i>43'49
1,42877
1,42410

— 8,538

- 7.847
+ 8.237

8,585
8,753 !

40

4«

44
46

1 48

48 56 34,33
50 49 37,39
52 39 14.95

54 »5 3»j32
S6 8 31,34

+ 3»S37oo77

3,S*37««7

3,5102905

3,4967444
3,4831149

— 1141772
1,40983

1,40060
1,39020
1,37878

-j- 8,857
8,928
8,978 1
9,013
9,038

so

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S4
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C7 48 19,82

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60 58 44.53

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63 57 29.99

-J- 1,4604207

3,4557140
3,441 9903

3,428 2790

3)4'4 5981

— 1,4664^

',35333
»,33952

1,32512
1,31021

-]- Q,0^6

9,067

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9,07s

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68 5 26,60
70 38 21,86
73 2 '3»i7
75 »7 40.91

+ 3,4009637
3,3738900

3.347 1520
3,3208214
3,2949510

— 1,29486
t,s63o8

1,23025
1,19672
1,16277

+ 9»o7«
9,056

9,03 s
9,008

8,978

80
«4

88

92
96

77-5 22.94
79 25 54.H
8» >9 47,97

83 7 33.

84 49 3»,62

+ 3,2695785
3,2447291
3,4204185
3,1966546

3,1734393

— 1,12863

«»09447
1,06044

1,0:665

0,993 '9

+ 8,945
8,910
8,874

8,837
8,798

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25

log At

1««^

log A,

lOO

104

108

112
116

86 ' 26 28 '52

87 58 26.32
89 25 53,18
9049 8,43
92 8 29,76

+ 3.1507694
3,1286388
3,1070382

3.085956$
3,0653811

— 0,96012
0,92749
0,89534
0,86370
0,83257

+ 8,760
8,721
8.682
8,643
8,60s

ISO

"4
I«S

132

93 24 >3»33

94 36 33-98

95 45 45-25

96 51 S9rte

+ 3-045 2984
3,0256943
3,0065544
3,9878638

— 0,80199

0,77 '94
0,74244

o*7«347

+ 8.567

8.529 '
8,491

MS4

136
140

144

148
152

97 55 28,43

98 56 22,24

99 54 50,68

100 51 2,62

101 45 6,25

-|- 2,9696079

2,95 1 7723

--934 3427
2.917 3052
2,900 6462

— 0,68505
0,65716
0,62979
0,60293
0,57658

-f> 8,418
8,382
8,346
8,311
8,276

IS6
160

T64
168
17«

102 37 9,12

103 27 18,23

104 15 40,03

105 2 20,49
los 47 »S,"

-f- 2,8843526
2,8684116
2,8528110
2,837 5388
2,822 5838

— 0,55071

0-52534
0,50043

0,47598
<^45>9«

+ 8,24:
8,209
8,1-6
8,143
8,111

176
180
184
188
192

106 30 59,23

107 13 7.45

107 53 54'*8

108 33 »3,87
t09 II 40^10

+ 2,8079349
2,793 5817
2,7795141

4*765 7«'3
»,7$2 197 1

— 0,42841
0,40526
0,38253
0,36020
0.33826

-f- 8,080 i
8,049
8,018
7.988
7>959

196
300
sto

ISO

330

109 48 46,58

HO 34 46,69

III 50 16,87

H3 9 55-67
114 24 20,89

+ 2,7389297
2,7259114
2,694 4032
2,664 2838
2,6354467

— 0,31670
0,29551

o»»44»7

0,19472
0,14732

+ 7,930

7,831 1
7,764 ,
7,700

240
250
260
270
280

»IS 34 4,97
»10 39 35 94

117 41 18,16

118 39 32,86
H9 34 38,67

4- 2,6077961

2-555 7'7o
2,531 1401

2.5074507

— 0,10174

0,01556
9.97476
9,93535

+ 7.637
7»577

7-519
7.463
7.409

490

3cx>
310
320
330

110 26 $1,98

121 16 27,30

"* 3 37-49

122 48 34,01

123 31 27,11

+ 2,4845910
2,462 5078
2,441 1532
2,4204831
2,400 4569

- 9»897ä5

9,86038
9,82467
9,79006
9,75648

+ 7.356

7.305
7,256
7,2o3
7,161

4

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26

340
550

360

370

380

1:4' t:' 25"97
1:4 51 38,87

125 29 13,25

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9,66139

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9,60224

+ 7,116
7,072
7,029
6,987

6,947

390
400

420

440
460

127 13 9.75
127 45 11,66
1^8 45 48,63

129 42 16,43

130 35 2,66

+ 2,2919450

2,275 5384
2,243 9555

2,2 13 SS71
2,183 1991

— 9,57381
9,54610
9,49269

9,44 '"6
9,39310

+ 6,907
6,868
6,794
6,723
6,655

480

JOO
$20

131 24 30,82

132 II 1,09

132 54 50.84

133 36 15,19

-i- 2,157 774«
2,131 5086

2,106 3114
2,082 10 1 1

— 9,34654
9,30188
9,25901
9,21777

+ 6,589
6,527

6,467 '

6,409

560
580
600
640
680

134 15 27,33

134 5- 38,80

135 59,81

136 33 4SiS2

137 33 45,39

-|- 2,0588051
2,036 3588
2,0147037

a,973 5615
1,9350140

— 9,17805
9,13976
9,10278
9,03246
8,96649

+ 6,353
6,299

6,247
6,148
6,055

720
760
800
850

! 900

138 28 48,27

139 19 33>8i

140 6 34,57

141 0 45,22
141 50 30,0s

+ 1,8987593
1,864 5446
1,833 1564

»,793964«
1,7580440

— 8,90438
8,84571
8,79012

«»7H5I
8,6627$

+ 5,968
5,885
5,807
5,7H
5,627

9SO

1000

1050
1 100
ti$o

142 36 14,37

143 18 57,20

143 58 32,66

144 35 30,95

145 10 9,:o

1,6920492
1,661 5826

1,63: 5881
1,6049315

— 8,60441
8,54915
8,49665

8.44666
8,39896

+ 5.544
5,466

5,392
5,321
5,254

1200
1 2 50

1300

1 1350
1400

145 42 41,98

T>tA II ^ 1 Sl'J
1 £L,\I 14 ^ J fO *

146 42 19,55

»47 9 44,57
t47 35 45,"

+ 1,5784963

•»5>3 •<'0+
1,5288937

1,505 5568
1,4830989

— 8,35333

"'3"9"*
8,26767
8,22735
8,18853

+ 5.'89

C. I 27
5,068
5,0 1»

4,95«

i 1450
1500

i 1600
1700

148 0 28,40
148 24 0,83

H9 7 55.10
T49 48 6,25

+ 1.4614567
1.4405738
1,400 8865
1,3636849

— 8,15110
8.1 1498
8,0463 I
7,98190

+ 4,903
4,851

4,754
4,663

4 ^-f'

Digitized by Google

Anhang.

27

log A,

log A, ^

1900
2000

3tOO
3200

2300

150 59 16 75

151 31 1,89

J5« 0 37.76

152 38 18,85

15* 54 17,45

4- 1,2956243
1,2643177

1,2345845
1,206 2750
1,179 2601

- 7,86398
7,80971

7-75814
7,70903
7,66216

+ 4»495
4.418

4-345
4,27s ■
4,208

3400

tioo
2600

2700
2800

'53 44»05

153 4» 47.70

154 3 36,21

154 24 16,39
»54 43 54.21

-1- 1,1534273

»,»286779
1,1049254

1,082 0930
1,060 II 35

— 7.61732
7.S7435

7.53310

7,49344
7.45526

+ 4.H5 1
4,084 '■

4-025

3,969 1

3.9 H

' igoo
3000
3:00

3000

»55 2 34,93
15s 20 23,19

155 53 3«-39

156 24 7,80
156 5s 14,00

-{- 1,0389230
i,oi8 4698
0-979 5^03
0,943 1040
0,9087603

— 7,41844

7,38289

7-31529
7,25186

7,19213

+ 3,862
3,8n 1
3,715 ,
3.625
3,540

3800
4000
4200
4400

157 18 15,42

157 42 27,19

158 5 2.33
158 36 11,25

-f- 0,8763145
0,845 5688
0,8163545
0,788 5269

— 7.13568
7,08218

7,03133
6,98289

+ 3-459
3,383
3,3"
3.242

4600
4800

5000
5200
5600

158 46 3,15

159 4 4S.«3

159 22 25,99

159 39 9.45

160 10 6,00

-j- 0,7619607

0.7365469

0,712 1902

0,688 S063

0,644 ^674

— 6.93664
6,89238
6,84996
6,80923
6,73234

+ 3»»76
$•"3

3,053

2,995
2,885

i 6000

; 6400
6800
7200
7600

160 38 9,17

161 3 45,36
161 27 15,57

161 48 56,78

162 9 2,89

-f- 0,603 6264
0,565 2780
0,5292915

0-495 3934
0.4633554

— 6,66082
6,59398
6,53125
6,47215
6,41639

+ 2,783
2,688

2,599

2,514

2.435

' 8000

0400

1 88co
9200
9600

16: 17 45,39

162 45 ' 3-9^

163 I 36,52
163 17 0,16
163 31 30,72

+ 0,4329843

0,404 1 157

0,376 608 1

0,3503393
0,325 2029

— 6,36332
6,31297
6,26499
6,21916
6,17531

+ 2,359
2,287
2,219
2,154
2,091

10000
XO500

IIOOO

11500

1 1000

163 45 13,32

164 I 20,80
164 16 27,66
164 30 40,23

164 44 3,94

-|- 0,30! 1054
0,2723199
0,244 8894
0,218 6921

0, 193 6223

— 6,13326
6,08303
6,03516

5,98944
- 5,94568

+ 2,031

1.959
1,891
1,826
1,764

4*

Digitized by Google

28

Anhang.

r

1 13000

14000
1 5000
16000
17000

165* 8'42"90

165 30 55,26

165 51 4,63

166 9 29,58
166 26 24,88

+ «»146 S04»
0,1029147

0,062 36:7

0,0:4 45:3
9,988 8624

— 5»86343

5-78733
5-7'652
5,65032
5,58817

+ «.646

1.538
«437
1,34- .
1,254 '

18000
19200
20400
1 21600
1 2s8oo

166 42 2,53

166 59 18.90

167 ij 11,32
167 29 51,00
167 4S »7,1 f

+ 9-955 3241
9-9'7 47Si
9,881 9393
9,8484507
9,816 7866

— St52959
5,46348
5,40141

5>34290

+ «,'7c ,
1,076 1'
0,987
0,904
0^825

, ;4Coo
:6c 00
28000
30000
32000

I G 7 56 7 , ; S
16S 15 :<j,77
i68 32 si,95

168 48 41,17

169 J 8,84

+ 9f736 7SS5
9-7399215

9*6965794
9,6562474
9,6185347

— 5-35'-

S1O7755
5,00706
4,94116

4- 0,750
0,633
0,525
M»4
o>330

34000
36000
38000
40000

169 16 :6,46
169 28 43,36
169 40 7,19
169 5« 441*8

+ 9-583 '221

9i549745a
9,5181828
9,488 248t

— 4.879:6
4,82093

4.?«57S
4*7 «S4^

+ o,:4; '

0,159
0,080

0,005

m.

Sciu'eibcu des Herrn J^lartli, Obscrvators un der iStcmwurtc zu Duriiaiu, an
den Heraasgeber der AstronomHichen Nachrichten (Nr. 1016).

Das (iaussWlic Verfahren, die Ur(*t<ii>iiiiHateti in einer KIlipse von starker lixcen-
tridtlt ni besUniincn, lässt bekaandieh nichts zu wünschen (tbrig. lodeaien ist die damit ver-
bttadene Recbnaog nicht guut Mig«a«lim und in Folg« davon wird «ie, wenn ich mich nkht
irre, von einigen Aatronomen Beibat In eolehen Flllen vermieden, in welehen die gewBlinHcheren

Mc|1iih1i-[| KrMitt;^t(> \<<n sr^'i'ifrtfKiftiT Zivor^ä'-'^ii^krif rrgebcn. Die Kocliinmg las.st .skIi aliiT

nicht ui)we»viitlich erleichtern, wcnu man die Mithe, die darin vori^oniinenden Ciroggen

(l'- \A-\~C)^ und 1 ^''^ Zeichen der Theor. m«t.) in dieMn Poraen jede*»

mal spociell zu bcn-<-linen, riur<h i inc c in fache llfilfitalel beseitigt. Denn 10 trobedeiitend diese
Mtthe in einem einseinen Falle i«t, «o wird eie, wenn man eine Beihe vea Wertlien tu be-
stimmen liat, wegpn der von H abliängigen, n-iederholten Nftbemngen und der damit wieder-

kehrctulfn Interpol, itkiiicii, iloch cXwah l-'i-tig, vcnirsacht xum wcnig^ti-n ^rillig verrnoidbnr'^n
Zcitvcrlugt. Nicolai hat vor langen Jahroii eine kleine «peetelle HttU^tatel bei Gelegenheit

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Anhang. 29

•einer Rechnungen Uber den OlbcrsVhcn Coineton bekannt gemacht') und zugleich die Ue-
KcbDung einer aUgemeinen Tafel in Atustcht gestellt; d» Indewen dica Vorhaben weder von
•einer Seite, noch tn «iner der neaem Cometenmonographieen mmnea Wiaaena rar AuaflllurnBg

gekommen ist, so hab?^ ich gelegentlich Vor uil;i!.-;ntig genommen, eine S' ^ lic allgeineino Tjifel in
gehürigcr V'ulUtändigkcit zu entwerfen und erlHubo mir, dieselbe hier mitzutheilen, in der
Meinung» daai ai« vielicteht aneh AndedN« mitaster bei CometeBreclin.inigaB tod Nntaem aein

ItMUk Sie gicbt zum Argument 2^1 di« Werthe dt-r Gnisaen loja «ae log (i -j- 1-' — l^r-"""!

log V = 1"^' 1 I : »^icli i>t. um stllcs NiStUge bettanuBCD in haben, logi^ aua der

Xkeor. mot. hinzugefügt. Man hat dtimit also

t»ng ^ = yotAng— und

«der alllgeiiiMiBer» um r nidit dnrek Hfllfe von eoii-|- sn finden, fUla v m vmattaa Quadran-
ten liegt,

^ .i «in^^ = fotang-Y

l ' . tos — = 1.

Die cubische Olpirbfing, aus welcher w /.u hei?timmf*n ist, sclircilit (rauas in der Form
75 tang^ ic-{- 25 taug ^ = um sie rtiit Hiilfi! diT H n r k c r 'sulicn Tutel aufluseu zu können.

Da man indetaea den Winkel to selbst niclit iiutliig hat^ sondern nur tang zu kennen braucht,

ao aeh^nt ea mir vortheilhafter, die CHeichung indirect anfanlSaeD und dazu daaaelbe Verfidiren

allgemein anziiwenden, nt-ldies Gauss bei Gelegenheit de« März-Cometen von 1843 grosse
Anomalien als zweckuiaitsig empfiehlt.") Bei der bequemen Einrichtung der Zech'schen Tafel
macht sich die Rechnung sehr einfndi, wenn man der MtÜM der eratet) Vcraodie durcb nn«
Uem« UaUätttfel überhoben wird.

Die Gl^hnng -{-ax—'h = 0, in weteher a nad nndi b fni!&r idnd, indem man
l.L-i negativem h, uh UnLekanntc —X cMt X «ioAUiren ttod dttui die Vonelciwii nnikehran
kann, lässt sich nümlich schreiben ■

oder, wenn man st«tt i -j" ! Zeichen einführt, so da*! alio log jzj den in der Tafel
der Additionslogarithmen zum Argument log s gehörenden Tafelwerth bedeutet,

woratts log — und log — und aomit auch x leicht gefunden wird.

*) Lindenau und Bohnenbergcr, Zcit«ckrifl fiir Attronomie, Bd. 1, Mte 317.
"J A«trpiwaiii«b« Kaebckhtm, Mr. 474 (aieke oInh Anhutg 6«t« 81).

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30

Anbuig.

Mm hat die erst« oder zweite Fonn der Gleiclrang flnzuwenden, je uchdem —7- kleiner
oder grtteser aU 2 ist.

Die zweite llulfttaiei, die ich beilege, fpipart aiies üUerfllUsige Suchen, indem man
dwnv den Werth von log t (mf 4. oder am Seblnw «uf 3 StelUsn) entaehmeii kum, der txtm

Arganmi Iqg •4- b d«r enlen oder dtittttn Spalte gdifirt. Zu dieeeoi log s tmd ebenao n

den nücliKten Tafelargument der Additionslogarithmcii berechnet man dann die genauen Wcrthe
von logijs} z *) oder resp. log {{z^ z^) und crhAlt damit durch ein« einCiehe Interpolatioa den
aebarfen, zu log gehörigen Werth von log z.

Daü nltltekannte directe Verfahren, die cubische Gleichung goniometrisch aufzulösen
(welches Herr l'rofej»or Grunert, wie ich beiliturig anmerke, zum (jfgenstand eine» besonderen
Aufsatz»'* in <\c\\ A-tr. Xai hr- ^'im;i.u |i( li;it ' i, i^t wohl nur in -'iIi Ihmi l'alli'ii n'\^:'\' iiiiv.jrtlu'illi.ilt
in welchen die Henutzimg «L i IJarker scheu Tafel weitlttuftig wird und in welchea mau es
»omit in einer Form aii» i-iid> u darf, die dtxs. sonst nütbige netie AoAehlagem der trigononetriadien
Tafeln enpart, nämlich in der Form -\- tur — h ^ o

-li^f = t«ng<r

CO« y.' 1/ q

sin y J '

Verliert bei kli'iin'in (Irr l'rliiTgnn^ vnn sin ?ft niif < i>a ^' zu sehr an Sirlierheit, *r.

ist die Anwendung der IJerkcr «dien 'i"»fel otienbar wieder «wcckmKssigcr. Das indirecte Vcr-
fthren vereinigt bei grOMer Bequemlichkeit, mit dem Vorzuge immer mit Leiehtigkeit anwendbar
zu sein, nach den, immer ni^glicbat aeharfe ReBultato zu geben und ieh halt« e« daher, wenigateaa

fdr den gegenwärtigen Zweck fllr das vortheilhaAegte.

Die Niillstiiiulijrt'n ivfi'liiriii^^'^vor.-Llirifti'ii, iji'nt-ii irli fil^rr, iini in ilfin ilrr Si>iinL> luilieren
Tbeilo einer tllifjti^rlifii •'■jnictenb«hn die Ortscoordinaten mit ticnaui^kijit zu bestimmen, geütoJ-
ten aieh mm tolgi-iKlonnaasBen:

Es «i'i " «Iii; halbe f^iL'^se Ave dor l?alin, q die Periheidi.-taiiz, « die Excentricitftt,

i die Abweichung der Exceutricit«t von der Einheit, al«o ~- = i — « = t; ea sei ferner » die

wahre Anomalie, r der radius vector, T die iu mittleren Sonnentagen ausgcdrilektc, aeit deni
I*crihelduRhgange vorfloMene Zeit — so hat man sunKebat dl« Colutantfln ei', ff y m benehnen,
nach den Formeln ^ __ 3 '

I —

to

1— L

a

l'g 1^ = 8,0850664.5
loK = 7.346 5058 • 3

*) Aitroooauscha Nachrichten Kr. SOi.

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Aakuig.

31

log

I — kann man mit dem Argtunent '■d'

loK l — I

j ^ mit log— unmittelbar aus der Talol der ätibtmctioa»-

]og«ritliineu nebmeo. — Ich b«ntttte die doppelten Formen, um bei dem Menge! einer ^rengea
Cootndle nehr geeiebeirt lu Min. — BeMishnet min eben Nifaenngnreitli tm B (0. ^ x,
mnn ganz unbekannt), «o encht nun, wenn

. a' t ^

\\ ^ 2

' Ii.. "'

log 2 mi indircctcin Wege aus der Gleichung

{*} = 4:

logj^J — ^ lug s lüg -^j^, wobei man die vorläufigen Versuche erspart, indem

man mit log in die erste Spalte der kleinen HUlütai'cil eingeht und den zug«liürigen Werth

von log« aae der «weiten Spalte nimmt ut mit Uillfe der Zech 'sehen Tafel log£ genauer
gttfimdeni ao niamA mm mit

aus der Ellipsentafel log B, berechnet log z von Neuem aus der Gleichung log ^z^ — | log z
~ ^'-'n ""'^ wiederholt die Opcradon, bis zwei successive Wertke ftbeceilwtimnieD» lat logS
iu aller Schärfe gefunden, so nimmt man mit dem Argument

«» der EllipMBtafel log o md log * mid htt daan

Vr . « r'a
— .vain — = i-,-

Vr V •
. V COS = I ,

wodurch also — und V— . v, mithin auch r, bekannt wenlen. Ist

2) > 2, 80 bchantlcU man in ganz annlogpr Weise die Gleichungen

t A~p' z

1/ . V COS 8 I,

^ 1 »

Hat man eine ReüM» von Oertetn in hinlMuglieh kleiiMB Intervallen au besänrnmii, «o
fallen tuitüilidi ülh- WeÜliufti^citen in den Kihemngein weg und die Rechnung wird gaas

leicht und ungcnt-imi.

Schliesslich will ich noch bemerken, dos« ich zu grögserer Sicherung der eingeschalteten
Wertbe, Ar einen Theil der Tafel, C ond log neu berechnet, übrigen« aber nur 8 Decimalen
nngewandt habe, eo daas die letxte Ziffer der Tafelwerthe hin inid wieder um eine Einheit nn-

pIchrTOi- fc'\n wird. T>tT iLir.ui^ c-iit-.)n'in;;cndf Fehler kommt natllrlich nicht in 15etrAeht.
diesem Urundc und zugleich der leiciiteren Interpolation halber habe ich auch lug i und nicht
will Doppeltea angeeetst.

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32

Anhang.

log o

log

2 .1

o,ooo

OOI
002

003
004
005
006
007
008
009

0,010

OII

012

013
014

015

016
017

018

019

000 0000 I
0 0869
o 1738
o 2607
o 3+77

o 4347

o 5217

o 6088
o 6958
o 7829

0,020
021

02 2
023
024

025
026
027
028
029

0,030
031
032
033
034
035
036
037
038
039

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Anhang.

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2,0731
2,0877
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2,1170
2,1316

2,1462
2,1608

2,1755

2,1901
2,2048
2,2195
2,2341
2,2488

2,2635
2,2782
2,2929
2,3076
2,3223

4,3518

2,3665

2,3813
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2,4108

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1171
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,68

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,92
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,96
,98

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2,4108
2,4255
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2,4698
2,4846

2,4994
2,5142

2,5290
2,5438

3,5586

2,5734
2,5882

2,6030

2,6178

2,6327

2,6475
2,6623
2,6771
2,6930

2,7068

2,7365
2,7662

2,7960
2,8257

2,8554
2,8852

2,9150

2,9447

2,9745

3,0043

3.303
3,6o2

3,901
4,201
4,500
4,800
5,100

5,400
S.700

6,000

8

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42

Anhang.

IV.

Vorschriften, mii aus dor jrcucciitrisclicn l.äii|^fe tmd liroitc eines Ilimmdskijrpcrs,
dem Orte 8eiiie.s Kmtfeiis. dt r X«'ijiUM<r 'In Unhu, der UiriLre der Smne und
ihrem AbstauUe von der Erde abzuleheti: des Uuumelskürpers heUocentrisdte
Länge in der Bahn, tmkren Abstand von der Sonne und «KtAren Ahttamd von
der Erde. \\m Dr. ( Jauss in Brannscliweig.

(Vcrgl. Art. 74 der TbMria moltu.)

iitcftbrn : I tietufht :

Q LSngc dt» auf.sttjigcndc'n Knotrn'i. v heliorintrischc Längt drx HimmebMrpcn

1' LuHji«" AfT S'iiiii«;. I in ili-r IJjifin.

0 OcocFotri'i'hc 1,11»};« Am Hinmrliikörpcrä. r Wukrcr AlMtand voa der Homw.
ß Gonct-ntrUrhr lircit«. ; A Wahrer AhlUnd TW der Eni«.

1 Keigtuig der U«hit, ) A |

Jt AbcUml dur Smam tob im JM». ^ A > HMUMidnI.

j C «tc. j

I.

cos ( r—Q) lang ij . ^ sin vi tnnir f 1'— Q) ^ , r^^

3 riii(r-- iUnKi * ♦ Ä f e-f f - 0) eo« • ""•»

Anmerkung. Du Winkrl, die um 180" vor^^cliiedon sind, einerlei Tangenten haben,
SO l«t hier noch eine Vorsrhrift uüthi|^, wie dii? «liirch ihre Tungeuteu bestimmten Winkel
A, B, C etc. und v — Q ang«Betet weidon mii.-^en. Den Winkfl V—Q hat nmu «Uezeit
xwiachen o und 180" «uitDebmen) wenn p pouiüv (nördlich) iat; üt hingegen die Breite sOdlich»
so mnsB v—Q swbehen 180* nnd 360" , oder, welche« einerlei ist, iroiaehen — 180* nnd o
fallen. Igt ß = o, so ist der 7Iiiniiirt>k;irper in eiiir-m Kih't^'ii, uii'! niaii «inl nie /.«cifi'lliafit
sein, ob es Q uder Q Ut. Der aiuti) tischen Vollständigkeit wegen beiiict ke ich, dai6 in diebvin

Fall« der Himmebkürpisr io {^j i»t, utcbdem »in(K— et) nnd sin(« — { elit^e|^ngeactite }

Zeiebea fcnben. D!e Httlftwinkel A, B, C, D «ber, •« wie die iblgende« E, P etc. kenn man

in dieser Hinsicht ganz nach Belieben Änset7.«Ti : « ii'n i rs sich jedoch 'i ' ri sdljHt versteht,
d>us man auf die Zeichen 4^ gehörige Uücksicht nehme; ich habe sie in toigendein BeLspiele
nriachea — go* nnd -{•90* genommen.

II.

Ol imw,„jr. mFün{V—Q ^si n_$ t

6« t«ng»«ai(«— 0) « «"K^; "5^(7-^ «»(.-g)15^ = T
_« - — . jy cosOnaiV — o) r

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43

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«inl'<'<'i»(r— Q>

^jjHiifa-
iw/oMrr— yt r_

tggüi^coaQ' — ^) _ r
(IT— ^)c>>M.. — Q) 9
« Hin Z, 1^

'3 «tD/l *

III.

Äco« /■"«in ( r — Q) «in i

»in (« — K) «in 1 *in (i — A'jsin i« — Qj co» ,i

Und «o In^seti sieb noch tnehNi« Auadrilek« .iUr J ava dar Verbbidusg von 13* mit
allen Fonneln II ableiten.

Beisfife!. l'.
Q s= 80 59' 12 07
K == a8i I 34,99
« — S3 23 2-46
< = »o 37 9.55
Iogtan«»/J:= 8,7349698»

log/f - 9,9926158
= - 3" 6' 33 "56i
negativ oder «Üdlicli
Polglieh F— Q = «oo» a'aaV

F — a = 2:7 38 32. 53

c — Q = — 27 36 9,61

log8in(r— o) 9,8686173«

logtBngi 9,4729872

Compl.logcos(F — Q). 0,02712381»
logtung jg. ....... 9,1 687283

iogcosÄ 9-9953277

log sin 1$ 8,7343300«

logtanglF — Q». . . . 9,5620014

Compl.log «in (ZJ-|-|*) • 1,0360961
Compl. log cog t 0,0075025

lostvigv(— Q) .... 9.335*577'»
Folglicb
5« 8* 33' 21" 868
B-\-^ = S » +8. 3*7

logcos( V~Q) . . .

....... 9,97- 8762 n

Com pl . 1 og sin ( V — 0)

log sin ^

Couipl. log »in (^-{- 1)

9>335aS77

Folglich

A = ■

-3 '57' »"136

6 40 7, 414

rcrner

v-Q = ~

- ir' ii'37"

aUo V —

68" 46' 34 128

logsin(r— Q) . . .

3'.

• 9.5348776»!

• 8,7349698«

Compl. log sin (V — a)

. 0,131 382711

Compl. log tangi . . .

. 0,7270128

log lang C

. 9,r 28 z^zgn

• 9.1H3583"

- . ^. 9.5348776«

Cpl.log8ia(6'-|r V— Q) 0,668 519411
(kni>pl.l<q^coa{. . . . . 0,007 SQ*S

oben. lo»taiig(t»— Q)

9,33s a578nwteTOiiliiB.

Also

^'«-7*S9' 7"o56
^•'■4- y—Q~ '9* «3
6*

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44

Anhang.

4'-

l()gcos(F' — Q) .... 9.97: 876: n

logUng/J 8,;-34 9b9S«

('oinpl. logcos ( F" — c) . 0,171 497:^«
(,'ompl. logUmgi .... 0,7270110

logtang/i 9,6063561«

log»in7> 9,5-3 5 u

iogtang(r— Q). . . . 9,5620014

logeosd'— K) 9,818 SOtjn

C|)l.Iogsiu(X>-(- K— c) 0,3637217«
Compl. logcwi« » • . « 0,007502 5
logtaag(p— Q) . . . . 9,335 2578 n wie oben.

2)+F

D = — 2i"59'5i"i82
-a = 205 38 41,348

6".

log t«ng » . , .
log sin (CT — Q)

K'^t,"ing/-'. . .

logsin( I'— Q)
Comp], logsiii (/" — (!)
Coiiipl. logsin (tf — Qj
Couipl. log cos I , , , ,

r

9.2729872
9^6658973«

8,93s 88,^;»
9.9983674

9,53+8776«
1,489 6990«
0,674 6802 n
0,007 5025«

0 4394567 {

votlMr.

Daii

^=—4 57 53 955

logtang(a — 0) .... 9.71S3744«

logcoat. ........ 9,9924975

logtangg ..... ."7 9,725 8769«

l' r-'^ll" . 9.67 I 7672«

logsimV" — «) 9,868617311

Cpl. logsin (//— (e— gj) 0,56496951*
Coinpl.log>iii(g — . 0,334 ioa7n

• 0,4394567 wi» vorher.

Folglich

//= — 28» o' 39 "879
= — 15 48' I. 937

5*-

logUngjJ 8,7349698«

logaiii(ff — Q) . . . . . 9,665 8973 n

logtong E 9.06 9 07 1 5

logssinA' 9,0661081«

logMiijK— Q) .... 9,5348776«

Coijipl. lugsin (t — E) . 1,1637907

f'om pl. logain^tf — . 0, 674 6802 n

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£= 6»4i'ia"4i2

i—E = 3 55 57, 13*

Ferucr

logr == \»gR-\r^og-^ = 0,4320724

r.

Jogco** 9.9924975

logt*ng<»' — Q> • • • • 9 .335 2 577 «
log tung Q 9,3:7755:^

logco«^; 9.9903922

logsin — er) 9,8686173«

CpLlog*ia(f: — Q — G) 0,5705092«
CÄmpl. log 00.1(1; — . 0,0099379

0,4394566

Alao

G = — 12' o' 27" 118
a — Q—Q = —IS 3$ 43,492

log/aogii 8,7349698«

Compl. logsin t o.734 5>S3

Cwropl.log cos (g — Q) , 0,0524771
logtimg/ 9,5219622«

log sin/ 9.4991749«

log«M(J'— .... 9,9728762«
Cpl. }og<iii(i> — Q — J) 0,967 4054

log-^ Oi4394SfiS wie Toiriitt.

Hieraus

/=-i8«23'55"334
*— Q— /= 6 II 17,392

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45

lO".

In ist NXb« dm Ko»teii« weniger adarf.

log sin i 9 *65 4847

logcoB(«— Q) 9,9475229

logtmgfa— 0) .... 9>33S«577»

logtongiT 8,5481653»

logcosiC 9,9997290

log «in 8,7343300»

logcosir — Q) .... 9 97? 876; n
Coupl.log sin (ir — ß) . 1,7225836
Oiiinipl.logeoi{p — Q) . 0,0099379

l«g-^ 0439 4S^7 ^'"^ vorhv.

Abo

logcoB(r— Q)

I«'

2' 1' 26" 344
I 5 7.217

Cpl.logco»(Z)-j|-T'^Q) 0,0002536«

C'ompl. Io<?cos t

t I78» «'31*738

9-573 5^95 "

9,972 S762 H

0,007 5025

• 9.554161811

>V it: (iIjl'U in I I ".

Der übrige TlieU der Uecbuung eben so
tri« dort

II*.

C+F-«««9-59'as'*474

logsinC 9>'24 3583n

logMo(K — a) 9,8686173»

Cpl. 1ogc«ft(C-(- V — et) o, II s 685011
Compl.logtang(F— 0,4379986

Compl. log cos t 0,0075025

logtopgL 9,5541617»

log sin £ 9^5-7 9439«

Coinp.log«in(f— /,) 0,8843888
Coii>|J.logco>(y — Q) 0,0*7 laaSn

o.43945^S ^

L ^ — i9"42'32"S33
v — Q — L = 7 29 54.591

logr 0,4320724

logsinCü — Q) 9.3253198»

logMttt 9,2654847

CMapl.log»iii/> . .... 1,9656 700»
log^ = 0,2885469

T.

Zamte SU Art 90 und 100 der Thcoiia motus oorporum coelestiuin.

(Vergleiche Berlinct Jkhrbuch Or

Zur Aufldtong der wichtigen Aufgabo, am iweien rsdüi Toetoriboit und dem einge-
aehloseennn Winkel die clUpti'sehpn oder hyperbollaehen E!eni«nte su bestimmen, h»l>o ich mich
mit gro-^scm Vortlii il i'iinT llüli-L^r '-si' C ini iier Ellipse», C hei der Hyperbel lifdiciit, fiir ui-Iclie
ich jenem Weriie ciin' Tatei iin^^i-li.ingt liiUe. Hi^rechnet ist diese TaUel nach einem dort
■DgefUhrlen eontinuirtcu iiniclie, d".'#,st!n Mjllständige Ableitung aber dort nidit gegeben ist,
»od so deama tbeoretiacber Enlwickeiuog, die mit andern UDterauchnagen uuMtneitbiiagt, ich
bisher noch niclit Odegenbeit gefunden habe. E« wird daher Manehen Heb nein, hier einen
amlom Weg angezeigt M finde», naf weiebeni man jene HKlfiigrlfiaa ebeuM» beqnen hXtts
boreehoea köunen.

9

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46

Anhang.

Wir hiben (Alt. 90)

Der Zähler dm Brucbt Terwandelt «{«Ii leicht, -wenn mm Air 2 die dort gegebene
Reihe rahBtituirt, in

* , 1 i-H I 3.S.10 , 4 » lo.j» , I 5. S. 10. IX. 14 4 , . ,

— x.rfi •'■-h —xx-i-~ — — — af*4--2 ^af*H-ete.l

105 ' 9 ' 9.11 ' «• 11.13 ~ ».»i.»!.!! -r «""1

Seüt man also die Itcilie

5.8 .J.8.I3 , .
.j ' i, II ' '

•0 wird „ i- 1 \ I ^ ...

6 '9 105

I 4-

1-*«
s

«7$

nach welrhor Formel man 5 immer bequem und sicher berfichnea kimi. Fdr { (Art. 100)

braucht man nur z statt x 2u ^ uun.

Ich bemerke nur noch, tlms man A noch bequemer nach folgender Permel beredmCB kun

' S.9 ' 2.4.9 II 1,4.6.9.11.13 '

nilein die Ableitung dieser Keihe nua der vorigen benilit euf Gründen, die hier nicht angaftlhrt
werden kttimen.

VL

AiiBziig aus Zach'fl Monatlicher Correspondenz, Band 28, p. 501 folgende.

Beobachtungen ders z\\( it<Mi ('' irK tt ii \ i.tii .l ilni' 1813, angestellt «lif d* r Sternwarte zn Göttingen,
nebst einigen Bemerkungcu Uber die Berc«:bnung parabolischer Bahnen, von Carl Friedrieb
Gauss (vorgelegt der kSnigl. Oeseilseheft der 'WlaaensclMfteo am 10. September 1813).

dem Lateinis« lH n fihor.si't7t.

Den Cometen, welchen mein wUnliger und geliebter ('oliege, Herr Frofeasor Harding,
nm dritten April dieses Jahren im Sternbilde des PoniatO«sky«>chei) Stieres entdeckte, beobachtete
ich aelbst seit dem JtM April auf hiesiger Sternwarte. Folgendea aind die Beatimniasg<eo,
welche ich mit dem Kreis •Mikrometer des zehnftlasigen Teleskope erhielt:

tSi]

Mittler« Zgit in

SchctAbsre gera«}«
AatttügUMg.

8ebcinb«r«
Ahwaiehaag.

April 7

.9
II

14
21

13'' 12" 2'
13 35 40

13 '7 43

13 7 36

14 33 0

271» 7' i9"3
270 10 33,5
269 I 19,9
266 44 5,5
256 39 19,3

5"34'36"7 N-

4 " 3.4 i
2 33 0,7 ,

0 33 0,8 S.

12 57 56,0

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ÄaiMiig.

47

Folgendes nnd die corrigirt«n Rl^mente, welobe Herr Doetor Gerling henusgobracbt
hat, und welche sich sowohl au die hiesigen Beobachtmigeii, ale aneh an die des Herrn Doctor

Olbcrs, «o genau als möglich anüchlicj^scn:

Zrit <lrh Durchgänge« durtll^ l'ci iheliiim, im Meridina VOn GSttingeil . . . 18x3 M u' 19.44507
Logarithmus des AbstanJes im l'erihel 0,0849211

Länge dea PeriheliumR '97*43' 7"?

Länge des Hufsteigenden Knotens 42 40 151 S

}<cigung der Bahn 81 2 tl, 8

Bewegung }iif kl<'o(ii>i.

E« si': uiir erlüubt, hier noch einige Rechnung:s4ibkiirxungen auseinander zu «st-tztin,
deren ich niii h öfter, bei der ersten Bestimmung der parabolischen Bahn eines Cometcn nacft
der Methode des Herrn Doctor Qlbcrü, mit Vurtheil bedient habe, und wodurcli dicMs an Bich
schon so einfache Methode noch mehr zusammengezogen und zur numorihchcn Rechnung noch
bcquemiT gi-iiiin lu werden kann. Sie bcziclH-n ^'uAi uut ilir l>ei'f< Iuiiihl,' tk-i' radii vcrtori-s, und
besonders der Chorde zwischen dem ersten und dritten Orte, /u ilrin Knde weudet Herr Doctor
Olbcr» Ausdrücke von «Icr Form [' {f-\-ge-^f*ev) < bestimmt die CoefBctenten

f, g, h durch Formeln, die au sicli zwar einfach genug sind, deren Zuaammensetzong aber in
den meisten Füllen keine binroichendc Genauigkeit ver8t«ttet, wenn man nicht etwa grSssere
Logarithinentiit'eln mit sechs oder sieben üei imai.'itcÜL')! atiwi'tult'n will, Stutt dieser Ausdiüt kn
nun habe kh andere eubi^tituirt, die thcils zur numerieichen Kecliuung geeigneter zu sein
scheinen, Ibeib den Tortlieil gewähren, daaa man bei allen Operationen nur Tafeln mit flilif
Dectmalea aaniweiidcn n^hig hat. Das ganae Verfahre« besieht in Folgendem:

Man bezeichne durch
L, L', L" die Längen der Sonne in der ersten, zweiten und dritten Beebaditmig^
Ji, R, Ii' die DiktAnzen der 8onne von der Erde,
et, tt, ft" die geoeentriM-hen Ltfngeii und
f, Ii', p" die geoeentritcheo Breiten dea Gomttco,
r, r', r" seine EntfcmtiBgen von der Soime,
^> C ) 1'" in ' < urtirtcn Abstünde von der ErdA^
t, t', t" die Bcübachtungäseiten,

k die Chorde zwiiebeu dem eraten und dritten Orte det Oometen, nnd ee ad

80 hat man

l| r =|/[((ico8f? — Äcos A)' -}- (psin <r — /«"sin L)' -f-^Ctang/J']

i/(Kl/vco8ß'' — /rcosA'V + (.l/pmnfi'' — /i;''8inrV-f J/jUpct-'-igp'*)
j k = |/(|J/(>co8c»" — «Cosa — is!"cosL"-f-/^cosZ.)'-|-(^*w*<*" — tüaa — Jt'amL"-^
Äsin Z.)»+(Jif fftang^i"— * timg /?)'J.
Die Gleiehangen i, 2 verwiuideln sich in folgende :

>• - i''C-,!;'.-*fÄcos(«-z,)+Äi?)

II

r

Seist man also

•0 folgt

= V(-^^-2-«ffÄ"«»(a"~/.")+iir ,ß")

co8iicoB(cf — L) = eoaw, JRsin^ = D
ces/»"oos(a" = eot«/', R'un^" = B'

' =V[(,;^-Äee.^y+BÄ]

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48

BMÜniint lOMi ftnwr flinf*) nuirsgrücRen g, G, h, H, C ao,

7?' cos L" — Reo» L-= gcwQ
K' ein IJ' — Rtia J, — fj Hin G

M CO« ti" cos - fi cos CS If

M sin a" — ain a = hcoi^sinU
Miangf— tmg f = harnt
M Terwandelt sich dio Formel 3 in folgende:

k = yii^hcoiicoaH^gcoaGi'-^^ifhQoaCBiaU — günGi' 9ghhtia('\

Macht man alao

9o»Ccm{0 — JST) s CM 9, giin^p A.

so wird

k= y[(Qh~gcos<p)*-{-AA]
odar, man buid •benÜM noch f — ^cosqp = u scut,

k = y(uu-\-AA).

Es wird mehreren Lcscra niclit unangenehm sein, hier nicht nur alle zu diesen Um»
Wandlungen erforderlich ( n Op!>rati(>nen noch einmal nebm einander gestellt, sondern auch alle
Übrigen Operationen beigrfügt su sehen, um alles, wa» «tir ersten Berechntinp; einer parabolischen
Balm gi'hört, tiicr lieisaiiiincn zu hiilj<'ii. Ztif;li'irli \MT(lf ich türhc« \' il iliren durch ein von
nosenn Cometen hergenommenes Beispiel erläutern. Zu dem Ende wähle ich meine Beobech*
tmigwi Ton 7., 14. und ai. AprO, n» dttMB umhi umIi gstiBrigcr BadodioB Mgende INite
erbllt:

t = 7,55002

f 14,54694
t" = 21,59931

« rs 271» 16' 38" fi «4-^9* *' O"
«' = 266 27 «* ff BS 4-22 5« 18

«* = 256 48 8 e= -(- 9 53 I*

L = 17 47 41 l'^g-'? = 0,00091
L' — 24 3845 log/f =0,00175
L" = 31 31 25 log Ä" = 0,002 60

I. Die erste Operation bwtdit in der genKlwiten Beatimmiuig der QrM*e wollte
man folgenden Ausdruck hat

t' — f Uns ß' «in (ft — Z') — tang ^ '^i'n fn' — L')
f — / ' tajig ^" 'in (a' — L') — taug (3' »ia (o" — L')
Im gegenwärtigen Pelle findet man log 5/ = 9,75709.

II. Aladun inHMen die QröMen q, G, b, i/, { aecb folgenden Formeln barti H i wt
werden, weldie «Aaber den obigen gleiobgemnd, trad fltr die BeeliBOiig aoeb bequemer aiad:

H"coi{L" — L)—R ^ f}con(G — L)
lÜ' a\n[IJ' — ü) = oisiniCf — L)
AI — cos(n"~ir) = neos f cos (/? — «")
«n(a"— «} sss kcMima{H—ti")

Jltang(l"— tangjV ts=i AeinC

*) Feber rüp Bpilj-ntunj? <lrr HölfigrSssen g, O, h, IT, ^ rf. Fnfk»», p. 246 und 247 io iwnsr AUfJtk»

d«r OlbsrnVi iii-n AiaiuniiUin^'.

g iül (iii' ClMrclc <i<'r I'rtUmhn nriteliPTi dtni ('r«tin iirnl driltm Ort« der EtdO.
Q dir Luii;^'!- r rHt»'n Jlnlnrl* v 'ni ilritt'D liu^ j^r^^ liru.

Wenn A" ein l'unkt dcMwn Cri...riiiii:iti n l>( /.'>i;cn auf ii<:ii liriltrii Fnlnrt »in4 :

«>_«ind^j, die PoUrcoordinalcn de» dritten Com«tpnort», bc«>g«n tuf ,V Anfangspunkt, nkaUieb Abstand,

Uat« vA Bnüa; * «M mnaar

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Anhtn^ 49

la nnaenn Beispiele eiliilt n«B

G =113" 43' 57"
log<jr= 9,38029

jsr «109^ 5' 49"

f ^ 44" 13' 9"

log/i — 9,81477.

III. F«ni«r Milk nan

cos f CQ8 (tf —H\ = COS 'p

«oa /f C08 — L) — cos if/
coi^"eM((i"— Z,") = eoa f/'
1^ sin q» = il

/? sin V» = Ii
iü' sinf' = J3".

fiollM es sich kier znittllig treflen, das* die Cosini» der Winlccl cp, \p, f" am wenig

von der Eiti?i<*it vrrs.'liutlon würfn, Si> wird es gut sein, !>■ 1 (lic^rr fjpitinnni; I.oi:;iritliinen mit
sechs oder üielicti Deciiiiiileri zu gebrauciien. Es ist Ubrigcii& luclit n«tiiig, die Winkel i(, ip, ^"
in Ciraden, Minuten und Seennclou zu berechnen, hondern man kann sogleich in deo Tefeln TOO
den Logarithmen der Cosinus dieser Winkel xu denen der Sinus Ubergehen.
In nnaenn Beispiele wird

log A — 9,225 27
log B = 9,987 06
log » 9,86038

IV. Endlich aetse man

hcoaß =z b

ff cos 9 — & 7^ cos y = e
^coaf»— r/^'co8^= ^

In nnaenn Bdsinde iat

log h — 9.75645
log h" = 0,05028

c +0,31365

c" r= 4-0-95443

V. Nach dieaen Transformstionen hängen die radii vectores r, lind die Chorde k
Ton der unbekannlMi Gfieae 11 anf folgende Art ab:

Uieraus muss U durch Versuche so bestimmt werden, d»ss d4ulurvh der Gleichung
(r+,-"+t)*- {r + r"-k)^ = ----
ein Genüge gesilu lii', in welcher m die Zeit von 9,6887401 Tagea bedeutet, wovon der Loga-

rithmoi = 0,986 ;673. Der OrSsse (r-f-*'' — mösste das Zeichen -f" vorgesetzt werden,

wenn der v^m ('"im ieii in <lri 7i it /" — ( il jt\ liLiiifriir lieliocentrische Bogeti t:ii.ss<_'r als 180*
wäre. l>ii;iit.r l all kinin iinless bei den Vor«<is.'*c'tzui.ycJi, wurauf diese erste HAhnbestlminuDg
sieh gründet, nirht statt iiirli-n. Uehrigens wird es kaum nötbig sein zu beoierken« dait man
bei der nunoriseben ßerecboung von r einen Uttlüiwinkel 9 einfllbrt, so daaa

7

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50

Anhing.

wodiiTcb r s= — - wird, nnd «b«n ao bei und it. Ancb tiaht ntaa tsieht eb, diM btt allen

dii scn Opeitttioneii meine llnlfstafel znr unmittelbmren Auffinduag dtr Logtritfamn der Summen
und DMerauen sehr gate Uicnsto leisten werde.

In uiMcnn Beiipiele ist log ^ ^ 0,16139. und nach wei^gen Venucbea findet man

tt = 0,24388.*)

VI. Tet tt bekennt, eo bat me»

9 BS ..-Xäj — S-, ff" s- M9

(in anienn Beispiel« log(< — 9,80364, log ^Z' — 9,561631.

Dia OHQ folgenden Operationen sind zwar binlänglidi bekannt ^ damit inden bier alle«
■beimnuien eei, lo wSl ich eiwh die Übrigen Formeln, deren leb mich gewSbnlleb bedient^ her*

sctzf-n. 11^ seien demnach

>, /.' diu lielioccntriachen LAngeu des Coniclen bei der erittcn und dritten üeobaclittuig,
d, 6" die hcliocentrischfn Rreitca,
V, v" die Längen in der Bahn,

?die LXnge de« enfstelgenden Knotens,
die Neigung der Buhn, Hif /.wi?i-1ii ii 0" tun! 90" «npi n'.innifn wprf1«-n tnii-s, wenn OMai *ie
gewöhnlich, rech t i a u 1 i c uud lücklauiige licwegung unterscheidet,
61 die LXnge des l'eriheliiiins,
T die Zieit dea Unrcbgangea durchs Peribelium,
q der Abetand im Perihelio.

VII. Die heliocentriüchen Positionen findet inun durch die Formeba

ff eo8 {r< — L) — ii = r COR 1.0s (A, — £,)
f ein (« — L) SS r cosJ «in(A— Xi)
(i tang ti s raind

v ' CO* L") ^BT =z »^«««"eeet*"— I.")
l/'«in K — L"J = r"cos6"sia(X'' — L*'J
y"tang^" = r"»in4".

Stimmen die eue dieeen AmdrOcIcen erhaltenen Wertbe ftlr r, f'' mit denen «berein,

dir vorhin aug der Grösse u abgeleitet waren, «Iiil ilic-i-^ ilio Itirliliirkiil d.r Recliritmg
bestätigen. Die Bewegung de« Cviucteu wird rechtliiulig oder riiciiiäulig «ein, je nachdem Ä"
grVeter oder Uemer bt ala A,

*) tf, Aiehe, p. s4t. Kaant maa seait heia« NOMraaf Ar ft ete r aad r"i wodiieb a geaibfrt

Diwa Tanaeh« wiadan imdk die natta Saita 5a folgi m)« T^r«! crltieMÖrt, wdeba Ittr

H ^ x

(r+r«)«

daa Vcrtt vaa ß liiH danb valehta itKafc <]<^n Wi-rihm von r, r'' aid f — t aalipraefeicad wM;

«ö Iii;» x — Ä.536 ^114.

.M (11 U .iJi^ ilab<i <lrn f«ang so nchrnrn, da« man für rinrn Werth ron ii a<w V, ':n n-i Imi ( k,
dann vermin 1 1^* '1' r TuM aus r, r" dus zugtliörigc r; lun'cliir t. fi!» rTOi» ii »m J<t TiUel mmmt, und »o eiaca
Werth für A (ihiilt, der doii Wirtin u <i:>n r, r", t" — / tnt'pihlit. 1,-. wird n -u liag« raiilzt, bia
Werlb v«u k loUig ulwrctutaaunt mit dtm itiu der ubijjen Kormvl sub V. lieivvhuclvn.

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Anbmg. 51

In unsenu licie|>iclt) tindet sich

). = 22S'4'22", ^ ^ 4-i4''5«'39". K»- ^ 0,13896
i"ss= 223 6 55 , 4* > 49 38 , log/ = o,ijo68

Die Bewegung dm CoDieteo ist «lio t^ksvßg.

Vllf. Zur BcstiinmuBg der Lünge d« «nfiteigeiiden KuDtenB aod 1er Keignag bediene

i«h rnicb folgender Formeln:

^2 l«iif?<' — tRngisin(A— ^)

-h — — 7T^^ ' = fjuiir I cos — Q) ,

WO die ob«rii Zeichen sleli anf rechtiiiufige, die natero auf rücklltufig« Bew^ung beliehen. Die
Lingcn ib der Bahn erhlilt man dann dardi die Auadrtteite

wo V — Q, v" — Q lesp. in denaellm Qnadranten genommen werden mSwen, in denen ^L— Q,

A" — g «ind.'J

Für nwem Comelen erUat Dan

0= 42» 40' 8"
t = 81 13
t' = 237 43 7
v" = aac 31 3a.

IX. Dia Lüage de« Pt r ih eB u m a und die Diitans bn Peribailo geben folgende Funnebi:

V r V q

, — 4 («—«»)

yr »n\{o—v).yr" yq

Bei imgcitn Coiiioten wifd a» » »97"37'5i"> = 0,08469.

X. Endlich nimmt man ana der Bark er 'sehen Tafel die mHÜeren Beareguugeii,
welche den wahren Anomalien v— », tf—v» oder «0— v, «• — ff entapredien. Beaaiehnet man
aie duceh J/, Mff ao erbilt mati

T=t^Mnq^ = t" + M'nq^
wo die oberen Zeichen gelten, wenn bei reehtlUutiger Bewegung tJ>'->, tj">o>, oder bei rfielc-
liiii'^i.'cr v<^()>, v"<^io; lüi- uiiU'rn in cntgogengosctztc-n Fttllcn. I)if 'ir^s^f 71 i«t eine ^'.lrl^tal)te,
unU iiir Logiirithmiis = 0,0398723. Die UebereiosUmmung der beiden Wertbe fUr 2' ist eine
aweite Beatitigung der liichtigkeit dea Calanla.
In nnaeim Beiapicle findet man

^=49-517

JK» das»» man lür diu Zeit dea Durchganges durchs l'erihelium anneluHca kann Mal 19,^17$.

Berechnet man nach diesen Elementen den geocentrischcn Ort de» Cometen fllr die
Zeit der mittlem fieobaehtuog, so findet «ich die JuMnge = 266* 27' 15". die nitrdliehe Breite
^ 32* 51' t8", jena bia anf j", dieia geoan mit der Beohaebtnag '

*) Aach hitt man hier tcf. Kneke, p. 149) Bocb die Prüfung, <Ia«s der früher für die Charde ic b«>
Melaala War^ UNniaiÜaaMa um« aiit:

7*

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52

Anhiing.

TAFEL

zur Auflösung der LambertWhea Gieidioog.

1

Ig n

' 0,00

0,000 0000

0,01

0018

0,02

0072

0,03

0162

1 0,04

0289

04$2

0,06

0652

0,07

Oooo

0,08

1 161

1 0,09

1470

0,10

0,000 18 16

0,11

2199

2010

0,13

3074

0,14

3568

0,1^

40qq

0,16

4668

o,»7

S920

0,19

€003

,— -
1

0,000 7325

0,21

0 8086

0,22

0 8886

1 0,23

0 9725

I 0604

0,25

1 1523

0,26

1 2483

1

1 3484

o,x8

> 4525

0,29

s 5608

....

o>so

o^ooi 6733

0,31

I 7901

1 0,32

I 9II2

n

log M i

0,30
0,31
0.1 2

o»33
0.34

0,001 6733
1 7901

1 9 1 1 2

2 0367
2 1666

0,35
0,36

0,38

o>39

2 3010

2 4399

J 73«5
2 8»43

0,40
0,41
0,4.2
0,43
0,44

0,003 0420

3 2045
3 37*0

3 5445
3 7222

0,45
0,46

0,47
OA9

3 9050

4 093«
4 2867

4 4858
4 6906

o,SO
0,51
0,52
0,53
o»54

0,004 901 1
5 "75
5 3398
5 5683
S 8030

0,55
0,56

0,57
0,58

0,59

6 0441
6 2919
6 5465

6 8080

7 0766

0,60
0,61
0,62

0,007 3526
7 6361

7 9274

Diir.

n

log #*

0,60
0,61
0,62
0,63
0,64

0,007 3526
7 6361

7 Q274.

8 2268

8 5345

0,65
0,66
0,67

0,63
0,69

8 8$o8

9 1759

9 8542
10 2081

0,70
0,71
o«7a

0,73
0,74

0,010 5723

10 9473

11 WK^

11 73«5

12 1419

OJ5
0,76
0.77
0,78
o»79

12 5652

13 0022

13 9202

»4 403»

0,80
0,81
0,82
0,83
0,84

0,014 903 z
15 4218

15 9603

16 5202

17 W33

0,85
0,86
0,87
0,88
0,89

17 7119

18 3486

19 0165

19 7195
so 4629

0,90
0,91
0,92

0,0s I 3529

2 2 0992
23 0160

DHL

Ol«

1-7

»00

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309

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45L

494

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569

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8 39
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1041
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1111

1155
1199

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1481
151$

»577

1615
167J
1725

«777

1S2»

■ 881
1936
1991

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1x64
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2478
1546
1615
1686

1760

»835
1913

283$
2913

J077

5:5'

3J44
3439
3539

J«4a

3750
3«6i
3380
4.104

W3

437=
4S'4
4O66
4<»9

5001

5186

53«5

5*3'
6086

6367
6679

7434
7900

«463
91U

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Anlnog.

vn.

BSnige Bcinorkiiiigon zur Wn-lnfjurliiitip: der Reclininif^ für die geocentmcbeil
Oerter der Jflanetcn. \"nn Ih. rJatis^ in iiraunschweig.

(Verpl. A:l .']:', —.'i7 ikr 'I'liw^fiii luuiui.;

Seit der Erfindung der l'endeluhreu beziehen sich allo tinsorc Ueobacbtungen der
Fixsterne, I'lanetea und Cometeo oieht muf ihte htga S^go lldiptik, sondern unmittelbar
auf ihre La^'c gegen den Aequator. In unscrn neiiei^ten und besten ätemverzeichnisaen nnd
Stcrnknrten sind gleichfalls nicht Lünge und Breit«;, sonilorn Kcilaffeenfllon und Deelination zum
Gründl' .i;i'li7,t. ,Mii!i Imt (l.>her sehr häutig VeranhissiriL;, liir l'l.iii' ii-ji üjiJ ('maoton ihre
geocentiii»cl«eu Uerter in Ue^iehung auf den Aequator aus jliifn )n.Uoi;*.'iUii.-,then Uertern in ihrer
Bahn zu berechnen; und man würde diese Veraulussung noch iiituHger haben, wenn man sieh
eDtscUttwe, in den astronumitchen K|>hi-nieridea anstatt der wenig nutzenden Liingen und Breiten
der Planeten durchgängig die in jeder praktischen Hinsielit viel brauciibarern geraden Auf*
Steigungen un<l Abwcichuiif.'i'n .Mi.'ii,-t;tzen. Dies hat der vortri fTI'. !ir llömer (in einem
Briefe an Leibnitz. Uorrebowii Opera T. II, p. 142 1 bereits vor hundert Jahren angerathen
und besonders vtird es gaiM unentbelirlieh für die Leide» neuesten Planeten, die so schwer
«tt beobachten, und nur vermltlelst sebr detaillirtcr Himmelakarten aus den sie umgebenden
kleinen Fixsternen herauszufinden sind. Eben so hüufig wttrde die allgemeinere Befolgung
(.•iiii'i »mtiTii V'ii-».!ilnj»es zu jener KecliniüiL,' !I^-k'geuheit gehen, n!unlt\!i In i Vi r^li-ii liuu^ <lcs
bcobuchltjtcu Uitü eines Planeten oder Comtlen mit dem berechneten uuiiikiclljiu- üie bcub-
achtcte gerade Aufsteigung und Abweichung zum Grunde zu legen, und nicht erst, wie ge-
wöhnlich geschieht, aus diesen «ins sogenannte beobachtete Länge und Breite abzuleiten. Die
mit diesem Verfahren verbundenen Voriheile «ind bereits von einen coupeteaten Kiehter in
V. Bande der M. C. 8. 594 . i ."iSnt \v. r.li n.

Aus diesem Gesichi>^uu*^t>j hat m.iij die geocentrische Länge und Breite des Planeten
nur als Mitteigrüssen anzusehen, um seine Lage gegen ilcn Aequator zu linden. Ks wlvii daher
obigen Vür2M:hltfgen vielleicht zu einer Empfehlung mehr dienen, dass man dieser Zwischen-
rechnung, ja selbst der Kedaetion de» belioveutrJscliiea Orts in der Balm auf den beliocentrischm
Ort in Beziehung auf die Ediptik ganz Uberhoben sein, und durch sehr einfaclie und ge-
schmeidige Formeln, welehc in gegenwartigem Aufsätze entwirkelt werden sollen, aus jenem die
geocentrische Kectasceusion und Ijccliniitjui uimcitrllMr «bleiteu kann, /.i liirfiti Vurtlieilen
kann ntan noch die grosse Leichtigkeit hinzuliigen, womit «ich bei diesem Verfahren die
Parallaxe auch in dem Falle mit in ({echnnng Innlagea iKsst, wenn der Planet sich ausser dem
Meridiane des fieohaehtongsorts helindet, welches zwar adteaer nSthig, dann aber Mcb bei
andern Methoden ungleich beschwerlicher ist

Durch den Mittrljiuukt dri Sonne lege man drei auf ciruituler senkrecht« ülu'ndi, die
eine parallel mit dem Kriiacijuutur, die zweite durch die Punkte der Nachtgleichen, also die
dritte durch die Punkte der tfonneuweuden. Es heissen die senkrechten Abstände de« Mittcl-
pankts der Erde von diesen drei Ebenen respeotive Z, Y, X, und die Abstünde eines Planeten
von eben denselben z, y, x. Diese Abstünde sollen als positiv angenommen werden bei der
ersten I'.lji ric jiiif (1< r Seite, wo der Xordpol liegt, bei der zweiten auf der Seiti' der Sommcr-
sonncnwemie, bei der dj iucn auf der Seite der I''nihlings-Nachtgleiche. werden demnach z — X,
y — X — A' die auf iihnliehe Art genonunenen senkrechten Abstttnd« deS Planeten von dreien,
den obigen parallel durch den Mittelpunkt der Erde gelegten £benen eeio. Bezeichnet man
also die geocentritelte gerada Aufsteigung des Planeten durch «r, seine Abweichtiag dttfch <|
den Alütiuid von der Erde durch J, so wird

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54

x—X ^ Jmtewiti jf— y SSI JtM^tiatt; t — Z Jain«.

Man findet folglich n durch die rr:i:u ' tnng « — wo da* positive odor negaüv« Zeiche

des Ziililnm entscheiden mtiü«, ob n in den beiden ersten oder in den beiden letlton Qmdnntel

anzunehmen ist. Sodann wird Jcosö = - — , und tan"ö = - — — ..

< "5 't sm II J fo« o

Auf diese Weise erhalt man nUo die Uectascension und Deolination des Planeten uns
dem Mittelpunkte der Krde gesehen. Verhinc^t man dieselben, wie sie nus einem Punkte auf
der Obertiilchc der Krde crsclieinen, so Ut in obigen Formeln ««iter Iteine Aenderaog oüUiig,
alt duas ntan 8tHtt der Coordinnlen des Nittelpankte X, Y, Z, die Abitloda dei O^bwhtaog»-
ortet von den drei Fundamentitlebeiien gebrainhen muss. Ist der HiilbmcÄser der Erde = i«'),
die Polhohe des Ucobnchtungsorts = v, und die Sternzeit, die derselbe im Auguiiblicke der
Ueubachtung zählt, im liogen , I i l'< i >de Aiilstei^^Ming des enliiiiitirendmi Punkte d«t

AoqttHtors = ö: »o werden jene Abstände, wie nrnn leivht übersehen wird:
X -\- 1} coa (p KW O \ Y-\-^etMtptmO\ Z-^'^tm^,
Hierbei i-^t liir VaAc l itte Kugel ,ir: l'<mi' iiinien. Fände man es nöthig, am h ;iiif die

spbäroidiBche Geht.ili d' r I'.rde liiick^iclit 7m neliuien (weidier Fall bei (.'»meten eintreten könnte,
die der ICrde sehr ii Jn' kirnen), i^o dürfte man nnr Air y dia Entfernung des Beobaehtung^orls
vom Mittelpunkte der £rde, und flUr 9 «eine eogonnDntn v«rlM«a«lta foUifihe aalzaD, die nach
bekannten Kegeln bestimmt wrrden.

Man hiebt jit/! .il^., .l.ii-s is ledigh\'h dncut i^ kommt, oino bequeme Methode zur
lU'tstimmung der (.'tKiniinafen A, 1, Z, x, 1/, z aulzu».uciien. In dieser Absiiht sei nm die
.Sonne eine Kngelflluhe mit unbestimmtem Halbmesser beAchrieben; auf derselben bezeichne
d«n Nordpol der Ecliptik, p den Nordpol der Ebene iler Planetenbahn 3 K den Ort der Erde,
k den heliocentriachen Ort det PTaneten; endlich .V, 3 diejenigen Pole der drei Pnndamental-
ebenen, die auf der Seite lieg« 11, \\<\ die Al>s»iinde j\ _»/, z positiv genommen wirilrn: ;iKo 3
den Nordpol des Aequators, .\* den Punkt der Frtjhling^-Naehtgleiche, den I'unkt des Aeiiiiaion»,
der 90* Uectn-scension hiit (eine Figur wird sich hiernach jeder, der es nöthig findet, leicht
mlbat entwerfen kQnnen). 3«tsen wir nun den Abstand der £rde von der Sonne &= B,
wird offfenbw

,V . <.s T A': Y — i?eos ?t Ä'; Z = Äcos 3 A'.

Folglich, da in dem bpliäristhcn Dreiecke 3LPK die Seite PK = 90°, also twüK ~
mnlPwJtPK iat.

X= RmXPeotXPK, und ebenso }' = A'sinD Pcoa^PiT Und

Gans auf fihnliehc Weise worden die Coordinaten de« Planeten, wenn wir deüen AVataui
TOa der Soane durch r bezeichnen

X =^ rainXpeonXpk; y s= rsin^l/'cos'jüpÄ!; 2 = rm\ lipcoti:ipk.

Wir bemerken hier ein für allemal, das* wir den sphärischen Winkel PK so ver-
standen wiaaen wollen, wie der Schenkel PK auf den Schenkel PX nach der Ordnung der
Zetehen folgt, so dasa alao derselbe mit KP3 nieht gtetchbedentend sein aol), sondern

beide einander 7H 360" ergänzen. Kben so s<dl Jeder iit;.!(TO s]>bMrisclie Winkel 7u \er-fehen
«ein, Durcli eine solche nähere ISeMtinmiutig gewinnen v.W den Vortheil, dass die Urmidlürmeln
der sphärischen Trigonometrie «ich ohne weiteres aui,h auf Hreiecke mit Winkeln Über i8o°
«usdehnen lassen, und weichen so der sonst Statt lindeiiden Nothwendigkeit aus, mehre einaeloe
Fülle nnteneheiden tu mUmen. tJebrigena werden IVinkel, deren Untendiied 360' oder ein
Vteiftebea davon betrifgt, jedeniait als gleichbedeutend angesehen werden.

*) DicHr ist sIm den Sinns dt« miulera H«ri2mlaipsrallsxe der 8eiias gkidi, wesm die nritOiM JBal>
ftnuag äet Brd« von d«r Sonn« aU Einbeit aagnuKnaicn wird.

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1

66

Vfir a«liiii8B mm nnrSrdcnt Um Coordimlsii X, Y, Z vor, nmd wtzen die Schiefe der
Ediptik = t, die heliocnntmuhc LSngo der Erde = A (= gcocentrisclie Länge der Sonne -\- i8o*).
In obigen Formeln wird alio XP—^o', s= 90" 4-«. 3i^=*. 4' PA' = A, J) PÄ' =
3PiC B A— 90% fel^Jich

X^JtttmX; Y=Rml9Mt\ Z ^ Rmlmat.

Für den Pliuieten setzen wir Ktir^c halluT Xp = n, 1) p = h, 3p ^ "^f'^c Ent-
fernung iu der Baiin vom aufsteigenden Knoten «uf dt-n- Lk-iijjtik = t, und die Wiiiktl XpP,
^pP, SpP respectivc = A, Ii, C. Man wird leicht übersehen, dass Pjtlc = t — 90" (oder
nach obiger Aomerku^g ss 1-4-270"), alfo üpk — A-^t — ^fk = B-\-t — ^',
3p A; = C'-}-(— 90*. E* wird deirautdi

SB C3 rwin«m{A-^^\ y s rrinfrnB(J74'Q> * — r8meriii((7-f-<).

Es bleibt uns jetzt noch übrig, die Grössen a, A u. g. w., die nur von di r L ige der
Bahn des Pkoeten, nicht von a«inem jedeanialigen Orta in deiwlben abhÜDglg siad, aus der
Neigung der Ebene dicMr B«bii und der Linge dea euftteigendca Knoteaa ebiuleiten; wir be-
xrU iinen jonc inti diete mit IT. IKe Betn^mig den Dreieeki SpP giebt am felgeade drei

Uleiehuiigea :

eolip = eoepPeoeSP-|-RBpPiBna(Peoep2*I

• «in 3E /• iinp PX

Ebenso geben die Drciecice ^pP, 3pP jedes drei Ähnliche Gleichungen, welche hier
unnötUig iat, da man, um sie zu ariullen, in den drei obigem nur ,¥ mit ^ und 3
xn vertaoachen hat. Nun ist pP= i, pPl = 90* — «, pP^ = pPQ = 180* — n. Mit
dieaen und den übrigen äubttitutioneu werden uoBere neun Gleichungen dteee:

eoteng A = — -eeattangn

. . . . com

etwa s «int »mit: 8ina= .

«oe& = — eoa»Mn* — ainteoflaeoin; rin6 s

cotang C = ^i^' + ^io^'»

" sinn

coso = cosicosi — smtsin(co«n; sine

linC

Die Unbeadmmtheit, ob man A, B und C in den beiden errten oder in den Iteiden
letzten Quadranten anzunehmen habe, wird man m ent«chei<lcn, dass die S!nu8 von a, h und c

werden. M.tn iiimriit ^^i^^> A in den beiden ersten Quadrantcti , wenn vts u ji' >itiv,
3 und C in eben denselben, wenn sinn positiv ist; in den entgegengesetzten Füllen aber in
den beiden letaten Quedrenten.

Die vierte, ftofte, siebente und nebte dieser Oleiehnngea laasen sich durch die ICin-
fUirang T«i Httifitwidkeln noch bequemer einricUeB. Dke kann auf eine doppelte Weise

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56

Anhang.

Erstlich wmn mm - tangf uiul tangicMn s UngF tt/Ut, «o wird

••otanc/i — -. ■ — 7 ,. =^ '

MaMcokf mh fngntMtetuE

t«Mn '»'ti (f-f-f) wnic<Mtt»ii» (F+<)

COUne C = "in i «inj A' _ co»> tin (£-|- «)

___ <ö«tCMli''-|-«) Mn 1 eom mw -}- 1)
CM e " ^ ^ nia

Zweiten«, macht man '^'^'^'^J ^ tangO, vml tAtigicoen s taaglf, lo wird:

couiig J3 = — — ^ ' = — " ■ . . '
° ttofficosO lUlinnv

sin K9*0

CMieM(^4-«) «lD«coi>i«m(iff4-t)
COS 0 nn Jt

E« wird wohl der Mtlhe wortli tsoin, noch i-itiigo HclAtioncn «wischen den OröKsen
A, a Q. w. EU entwkkcin. Dm sphärische Dreieck giebt coiä^ = tm3Lp«iO»^p-^

ninSfumffp eoaXpf^. Allein JTf) « 90« und Sp^ XpP— ^pP s= A~ R Alto

eM{A - - B) — — ri:tanp;n rritanj;^.

Ebenso geben die Dreiecke 2jp3f

eai(B—C) = '-cotuDg&eohinge

t ' s ( — ^1 ) ~ — Tötung c cof;int: n

Ferner wird in dem JJrcicckc Xp% cosa = eoap^isinb, und iu dem Dreiecke 2)i'3>
ünBVp «inDpSainc. Da nun 3^7\+p9^ = 3<0X = 90*, CO hat Dan eoea b
ainftaineein^pB, oder d« fIpB = /i — C ist

5in(Z^-C'} = ."T*
' MB6«ac

Ganz aui Ähnliche Art findet man

Die VeriMaduBg dieaer Gleielrangen mit den vorigen giebt noch

. CM a esst . .n r»\ «ywAcoie

cot8ng{X— £) 5= iS^j— 5 coUng(B— C) =

teUng{C—A) =

eoaa* = COtangl^l — /i)i(.lang(/'— A)

eoa6* = cotiing(/{ — r)coiBng(>l — ß)

cose* = cot4ing((' — A) vi>mi^i Ii— t'i
nnd anf iihnlirhe Art la.sKen sich die Quadrate der Sinua nnd Tangenten der Seiten a, 6» 0
durch die Winkel Ä — B, B ^ C, C—A darstellen.

Um den Gebrauch dieser Formeln au erlXulern, wollen wir einige derselben auf die
Pallas nnwciiden, und dabei die neueste» Elemente dieses Planeten (ttr 1803 sum Grunde legen.
Wir setzen also

/ = 34-38' 1 "i; n I7a»a8'i3"7

* — -S^S/'SS"* (mittlere Schiefe nach M:f:kf?yne lUr 1803).
Mit diesen Elementen steht die Rechnung fulgeudermaasseo :

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57

log fang B

log CO lang w4
Also A
log cot Jt
hgtSHÄ

9,915 S9S8

9,121 i553n

9,0364^11

-63" 47' 35' 4
9,996239011

9>9974407»

log sin
log sin i
log sinn

9,9987923

9.7545982
9. "7 3944

logoc>n»t.

log8in(£^4~')

Compl. log sin « s=

lofcotaDgC =

C =

logeoat s

log sinn =

Coinpl. logsin ß —
log gin b

0^8800665

= 9.295 93 «8

= ^0.3999^

0,5759006

I4"S2'I2"S

9,9625114

9. "7 3944
0,912 1791

= 9,992 0849

Hieraus a =
log tang I =
log cos» =

logtengJF ="

log Ung F =
Al«o E =
F

Comp I . log Ung n =
ComplJogeoejE =

8,871 99:6

85' 43' 44' 8
9,83930:4
9,996 23 90 n

^9^8430634»»
9,8355414«

14s" 8' 2"4

H5'^35'52"9
i68"35'58'a

169' 3'48"7
9,9152958
0,8788447»
0,085926011

log const. —
log CO» ( A' ^ )
Conipl. log cos«
logooUng^

HieMtnt B =

0,8800665

9-99' 3455»
0,8374886

0,9089009?)
i72"58'7"4

log »int
log sinn

Compl.]«g«iaC

9,600 0977

9."73944
0,590694s

log sin c

9,308 1863

log cos i
logcoal.'

9,9152958
9,9165035«

logsiu (F-i- 1}

9,9qS-q:3ri

9.-7* "42
9,99203991»

log cos 6
log tos C
AI» b
c

9,2769065
9,9908322

79" 5' 39 "4
»"43'5»'8

Wenn man nur die SinuH von O, fr, c verlangt, so Ist die Kechnilitg Air ihre CoMDUt
nicht nötbig, und man kann aUo aach den UUl&wtnkcl F entbehraa. Will man aW Mich

o, ft, e Mlbst kennen, so dienen die Cosinus (wovon nachher noch ein Gebraueh TOrkommt)
dazu, dio Zw ciiiiMJti^kriteii, «L-li lie <lii.' Sinnt ullt'in ilnbri übrig laswi), zu i'iit>r]ii';<l<'ii. Auch
geben eie dann, wenn die Siuus näher bei i sind, eine schärfer« Hestimuiuug, und zugleich eine
Contadl« ffer di« Blchli^eit der RaehauBg; Zu dieeer letzten Abaidbt i»t «ueh aoefa der

UtnsUnd brauchbar, data e= -fsina ist, wo das obere Zakheo fOt, wenn F mit A xii>

gleich in den beiden ersten oder letzten Quadranten liegt; das untere, wenn F in einer andern
TtÜtie des Umfanges angenommen ist aU A. (Zur EIntwiekellillg dea Gmadea davea dieat die
lii nx-i kling, .iitas F im «rslea Falle mit dem Winkel PSp einerlei, im aweitea iBo* davoD

verschieden ist).

Die Grössen t, n, i sind Secularanderun^cii unterworfen: dnsselbe wird also Mtch dar
Fall mit den davon abhingigea A, aB, bV, c «ein. Sind die jihrlichen Aenderungea von
jenen bekannt, so kSnnen die Aendernngen von A, a n. t. w. durch leicht sn entwickelnde

DiiTiTi-ntiiilfonneln berechnet werden, bi'i wiIoIh'h wir uns hier nii-ht aNrii.iIltii hmIIcm. Man
kann auch die Werthe von A, a u. w. flir eine enticmtere Epoche von neumn U'rcchnen,
and daraus ihre jährlichen Aendeningra ableitea,

Anaaerdem leiden dteae Grifsaen weipa der Nutation noch periodtaehe Aenderungea,
dm mit jedem Umlaufe der Mondaknoten wiedarkeliren. Da man nKmlich die geocentriaehe
Lage de» Phim'tcn gegen den wahren Aequator verlangt, so tnuss oi:rent!tih fllr i nirlil ilic
mittlere, sondern die wahre öchiefe der Ekliptik, und fiir n die Enitornung d?8 uutstcignnden

8

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58

KiutttTiN ».■•III «.ihren, nicht \«>in mittlem Acijuiiuxtiiilpunktc g<'nomineti Hcnlii;. I>ie hi'-r.ii«
entspringcndfn pcri<nlisihcn Aendi'riitkf;!-!! kr>nii«"n nach «ben den Uiti'crenlialtonneln wii- die
Seculnruiiderungen herechnet, und in eine TntVI. di-rcQ Algonent die LKo^ des Mondsknutcns
wtf gebracht werden. Wenn nuwt eia« xablreicho Menge 'geo< « ntris« her Oerter Air einen nicht
zu greasen Zettntnm zu berechnen hat, wird mnn en in Krni:in}{i-Iiinf; einer sotehen Tife! am
b<'i|iu'in>t<'ii ini'li i;, i'üi /.wfÄ J^ixK-ln'ii zu Anl'.iu;^' iinil lind«- «IcNselljeii «Ii ' n.iln -n W'crthe von
.-1, (• u. s. vv, .M>,'UMih nnniitii'limr <len wjthri'ii \\'iTth<M) vnn /, !, n zu LHT(.'L'hit«a, und (kr
<la;cwi»ch<.Mi ]i<.>^'pndo Zeiten nie ihiruim Jiir< h eiiil'.uhe Interpulatiim abzaleitca. JBia Jahr hindurch
kann man ohne Bedenken diese Aenderungen als gleiehtöniii^ an»ehen.

Man kSnnte auch die von der Xiitation abhXn^-igi n pcrIodMchen Aendcntngen ganz
ithergehen, und *>!cli (h-r niitth.-rn Werthe M>n A, ii <i. s. w. I • di jhu ; d in:i inUr'iitc m«n aber
»ufh bei chT Krde t"Ur t die uiiulere ,**iliiete dw Lcli|>tik gehiaiulK n, und von der Länge ). die
Nutation weglüBaen, om den Ahstan*! vom mittlem A<-r]iiinot'tinni 7.y\ hnben. Der i'.rfolg duvon
ist aodann, dual aiaa di« §eoecntriacbe Uectaaeenalon und Deciinatioo dea Planeten in Besiehang
auf den mittlem Aeqtiator erhllt, wofM» »an dann «atiia Lage g«goa den wahren A«i|nator
elien .«o ubicitct, wie man den mittlem Ort eine« Fixatema dareh Anhringnog der Nvtation anf

den si'heinbrtren rcducirt. %

Wir Imben jetxt nur noch einiges iil-'': 'V>' IN .tiirb«tioncn hinzuziit'ügcn. Die Störungen
der Breite, von denen allein natürlich hier die liedu ist, sind bei allen itltern Planeten ao un-
betrlchtllch, da» man aia mit Recht gan« v«mach1iia!gen kann; bloaa bei der Cerea nnd Pallaa

wird CS wegen dfir Ktarkcii Neigung der rtalinen dieser l'lani'ten gegen di«; .lupitersbahu noth-
wendig, sie mit in lieehnung zu nehmen. Ivs giebt d(«ii einen doppelten Weg. Man kann
nüinlieh entweder diejenigen Elemente, welche du l.ij! der Bahn be.itiininen, die Neigung und
diu Lauge des Knoten««, aU veritndtirlich auätUen und ibre mittlem Werthe durch pehodiache
Gleichungen \erbe^Mern, oder auch geradem untersuchen, wie viel der Planet aus der mittlem
Ebene seiner nuhn hcraus/uweich<'n durch fremde Krttftc genörhigt »ein wird. Im eraten Falle
wird man jene Aendeningen auch auf die Grii.ss.en A, n u. ». w. Obertragen, also diesen aus»cr
d<:ii ili i- Ni.tiiriiiii .itui.iü.M riden noch aiidcro periodische Uleirliungi n beiln;.'i'n, «liTcn

Argumente mit denen llir diu (ileiohungcn der Neigung nnd der Länge des Ivnuteni« üüerein-
konunen werden. Dtesei« Verfahren ist jedoch bisher nicht üblich gewesen. Bei der zweiten

Methode bingc^n werden die Stiirungatafeln die Perturbation dar heUocentriaelMB fiieite angeben,
welche aber eigentlich nicbta ander* iat, lüa die belioeentriaehe Breite dea Ptaneten fiber der

niittii'tii I"iiriie .seiner Bahn. Ks «ei die.selbe - — gegen den Nordjutl zn A-- positiv, gegen ilcn
>Sildpoi zu als negativ angesehen. In dem isphärischen Dreiecke Ulfk Kt also die Seite pk nicht
wie voihia = 90* aondera = 90* — P folglich

« s reoeXit r^no/}eo«a4-co»^ainaain((-^.^)j

und ebenso

y zr^ r^»in jScoR/>-j-co.sfS8in6sin(/ -(- B)\

z — r(ain^«o«c-^coafiaiocain((-j- C))
In ao fem hier it hSehateoa nnr wnigo Miauten betragen kann, wird man ooa/l = i
und Kil l 1^ -ri/i ti diiifen. llier.ms filudlet, das« raan wegen der Störungen zu den ohne
sie gel'undenen Werthcn von y, z nur noch die (irösaen ^rcosa, Prwtb, /Jrcoac hiaziuu*
aetMB habe^ wo ft in Tbeilen dea Halbmeaaeia anagedrüekt werden mnaa.

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Anbmg.

59

AiLsziig ans einer Abhandlung des Herrn Professors Dr. KlinkcrfiKs iil>er
Rilinl>f^^t5in>iiiiniron von Plmirteii und Ci»iiiPt< n ilcm zclnm ri l!,ni:le der

Abbaudlungen der kouigl. GeselJ.scliaft der \\ isscnschatteu zu Uöltiu^jcn, pag.
196 b» 205). Beämmftng einer paraholUeltien Bahn atu drei BetAachtungen,
von denen eine tmvoUstätidiff ist^ Mit Tt^eln,

E« ist b«kmnt, diM die Artronomen bei Beobtehtang der Cometen nch vorzug^\\ot8e
des Kreismikroiiietorg bedicticii iiiiUscn, und dH>s dio |)cL'liniitioii)iljeätiuitiiungcii iriit dieBoin
Inütru III eilte ycwi»-.se Voi-sicliLsiruiassregoln crlonlorn , wenn difselbitn gelingen sollen. Die
Kectiificcnsion wird, «ie dt'ii IJeobaiditern bekannt ist, immer viel leiehter erhait<'n. IJeiiondeni
•ind meist in der Nacht der Etttdeckung die üinstKnde für die sichere UeobAchtuug in üeclinaUon
VDgfiiutig, wvil dieielbe das Aufruchen eines guten Vergleichsteras, knrz Vorbereitungen erfordert,
lU welchen keine Zeit bleil>t. L'eberhrin pt tindet in den ersten Tairen nueli der Kntdeekiing
und vor Hereiluning einer Kpliemeridi: uiiu! groFsere Schwi^-rigkiii in dieser IJcziidiiing .Stuft,
wenn niieli in geringerem tinido al» bei iler Kntdecknng selbst. 8o häulig dcsimlb der Fall,
doss eine der drei Ueclinntionen unsicher, oder Oberlisupt nicht erhalten ist, vorkommt, so hat
doch meines Wissens, noch Niemand bis jetst die erste Bahnbestimmung auf solche fBnf Doten
gCÄttitzt, «ondeni man hnt eine dritte \olbttfndige Beobuelitiing abgewartet. Ich weiää keinen
andern Grund dufUr zu Anden. den, das« hier die OlberttVIie Methode nicht pait.st. Zur
.Noth kann man allerdings damit eine Bahn drei Längen mni zwei ISrcilcii anseid ieKsen, aber
diese Combination hat keine praktijjohe Ik'ileutuiig, abgesehen davon, dass die Hechnung doch
recht mtthsam ausfallen würde.

Die folgende Hcthude, nus drei geocentriscben Beobachtungen, von denen eine die
Declination gar nicht oder nur geKuhfltzt entliAlt, eine paraboliseho Buhn zu berechnen, bleibt,
wie ein Beispiel unten zeigen wird, aneh in ungün^ligon r.illiu r.'u li silir 'ni i|ui iii. Als i;iin-
stigater Fall nämlich kX xn betrachten, wenn die unvolUtiindige lieobachtimg, dint-ii Ivcetasceuition
itn Folgenden immer mit a bezeiebnet i^t, die zweite ist, nnd wenn ausserdem da.<< Zeitintervall
swiscben der ersten und dritten Beobachtung I" — i dureh t nahe balhirt wird; alsdann gelangt
UM» am Lefebtesten »i d#m bdtebi^ «ebnrTen Resultat«, welches sich durch die Methode ersleleo
läsj-t. Dil' iinL'iiii-;iL;i'r( ii l'älli'. für w/Khe übrigen" <il'' I'iTrn iliorllu' lilribt, (indem eben stets
a' die iiei:tttsveii*i«n der unvoiist4iiiligv'u Beobachtung vor.«'tellt/ üiiul *ite, wobei dieser unvoll-
itladige Ort der erste oder der dritte 'ni.

Die Parallaxe und Aberration wird, soweit ich den Gebrauch der Rechner kenne, meist
bei der ersten Rahnbostimmnng veraaehlliSBtgt ; es ksnn dies nur in seltenen Pillen erhebliche
Koli^i n liiit'cn iiu! ( Tsi tu liit wegen der Mühe, die dif norÜck«ichti<r;"iL; tjfi der 0 1 bor« "sehen
MetiiwUc venirsatlicn würde, ganz gerechtfertigt. Dil iih'i;r, wie eben bemerkt, diese \'eniach-
lüssignng von bedeutenderem Kinflus» wenlen kann, so ist es nicht gleichgültig, dass bei der
vorliegenden Methode der obige Urund Air die Vernachlässigung wegCiUlt. Uebrigens ist schon
weiter oben von der Art, Pardlaxe und AbemtioB wn bertteksiehtigen, aacb von der für die
Hahnherochnung (und zugleich Tiir dio Beobachter) bequemsten Form, die Beobachfiingcn
initzutheilen, die Rede gewesen, wobei ich also, da es hier ungean<lert Anwendung liiidet,
nhsht verweile.

Der Methode selbst schicke ich eine Ueihcneutwickelung für das
VerbXltniss den parabolischen Sectors snn Dreieck voraus, welche sich in
dem (?a«e«'«eAeji Nachlattt findet Wenn nttnlielt r and f' die den Seetov

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60 Anhaog.

begrensend«ii und zwei Zeiten t und entsprsebendea Radieo Vectoren «jnd,
s die beid« verbindende Sehne, so setzt Gauta

r 4 r

oad kaim alsdauo die Lambert'sche Glcidiiing in lolgcndcr Form schreiben
WQbei « 8 Anuenten wird aber noch

Setst BMui daher

{>■+ r-p **

«» wird

Nach dieeer Reibcnentwickelting habe leb eine kleine Tefet bereehnet, wefcbe flir

mb Argument lo-^^^ giebt.

D»t wie man aehen wird, die drei bei der Bahnbeatinauing in Betracht konunenden

Radien Tectoren leicht erhalten werden kttnnen, ao flülc der Nutzen dieeer Tafel in die Augen.

Von Ji r'-i-llii»n IihLo ich bei der :\ilj.^t i;(!( ii Ivi t-hniing GeLratiLli ^'c nuicJit , bevor ich «ioe
aiiUi^r«: il II I retard cvnjitruirt hatte, die für die Hvharl'e iieatiiumuni; einer paraboliavhen Bahn
Diüglichst couipendiös iat. Nach den Verhergehenden wird eia-^9 die Ueioata pontive Wnnel
der cubiecben Gleichnag

a-* — ^ «-+-4 — X = o

(r+r-jf

Setat ann daher J.- . * ''--'^ = ,V . t= «iaa*, ao wird

.sin ^ 'p = einiff . Y -
Man künnte nun die Lam bcrt sehe Gkicliting durch die lielation

X = {r-\- r) »in f

ersetzen, aber diese Form i«t für Construetion einer Tafel nicht bequem wligea der gronaeu Aoa-
dehnung, die OMn einer solchen geben nitiA«te; ea wird aber auch

leb habe in einer der beifolgaiden Tafeln tOr die Tauaendtel dea Aigomeata ( twiaclieii o vnd 04

1

6 C09 i (f

CO» (p

^ berechnet, Augeerdem enlhlllt dieae Tafel aber nodi eine ColttPine ülr

^ '~B^^~' ~ ( a 'j 7<>s ~ ^' felgeadea VonchrtAen fllr die Bereobou^g der paraboliMben
Bahn au» Anf Daten werden erhalten, wenn man, wie oben, die Glewhaagea

a'= cx-|-c"^■
V =«-f-c"«"

*) Gütigrr IGlthdhuf iIh Bsrni PnAwnn XHnkerfncs mitalkm wir ffia Bnacrkung , i*m

tls5 litzfr (llied dif«.-r ßvihc, Inhiilt« vintr DisM-rtiitiun des Uorrn Doctora Tictjen, nicht Tollig richtig «ei,

ifldcni iUtt — gel«««n ««tdea miiwe — Ihfi*- I>i«a«r Ualanebicd an jadoeb fir die Tafal nnaeTUidi.

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61

nit derjeoigen*) verbindet, wddM £e vnvollitbidig» Bvebiditing fi«f«rt, ritelieh

UnlMi 4Qf die folgende ReUtioti zwüchcu den Distanzen von dar Erde f ud
(♦).,. «"," = M-Mc-Wc'^ •

M ={7 tma' — X «m«')wc«"c<»ec(<i:" — o')

jW = (F cos«'— A" Mncr'lÄii 3"co8ec(a" — «')
M" = (i'"«:oae' — A sin « j sec d coaec («'' — a'}

c und c" haben mit eonMqinntor Berttdcdehtigiiaig der Voncidieo die BedeotUBf, «io
im VoriMigehenden, d. h.

r'r" sin ( c" — c") „ rr' rin ( v' — ti)

' ri^«n(c" — ^»■;' rr"(>inff" -e)'

Wenn man die Verliältnisse — . -, und zwut ii düin Intervalk- t" — t' , n" dem Intervalle

Au-.5i.hiiitt

f' — t und ff' dem Intervalle ^' — l tsubprcL-licixi <.'üil'uiirL, so wird uiuu haben

f"-<' I, „ _ f —t V'

~ t'-t 1." — r-« •
Einstweilai e md e* «Is bdcunt aogeaonunen, findet man auf folgende Wein die hdioeen-
trif^ea Cooidinten x, y, z, x", y", z. Man bringt r' und r"* auf die Fenn

und ebenao aei

wenn x die Schno bedeutet, welche r und r" verbindet Um dioso Form zu erhalten, hat man

5— : f.VcosÄcoaÄ-j-ycos^Bui a-^- /fslii^, ; B" : ( A* ' cos()" <^iis a' -{- }"'cüs 5" sin f.-" -|- sin 3")
Um die Aufstellung dea Ausdruck» für k übersichtlicher zu machen, sei nach (4J der ZuAammcn-
liang swiaelien f ond Vta einer Annalmi« fBr e vad e"

dann wird

(Jr— Jr+F«»»d"eoe«")«-|-(r'- y-|-ifcoid"«»«^)«+(Z"-Z+F«ind")*

= ( -X" — X-f- f «08 6" CO« a") (/ . cos <?" cos o" — Qoa dcoa «)

K-f- /-'cosrHlnf") :/. co8a"Rina"~eog»8in«)+ Z ■\' F^xni") (/sind"— aiud)
£=(/«<» cos «" — cos i cos a) ' -|- (/cos ti" «n a" — cos d »in «j ^ (^'sin — sin d ) '

Wem man die Legaritlinraa der hier varkonmendeB Faetoren in einer gewiaaen

Ordnung' ni'ln'n (uler ■tiiiter cinnndcr «rlir.'ilit, ist dio Ik'n'iluiiiii;^ von C, D und K nichts
weniger bubclivvcrlitli. ^1, B, A . U' siud y.tuz cuuitiiiu, iliie IJcrecliunng gehört daher zur

Vorbereitung.

Sobald diese Auadriickc aufgestellt «indt wird y so zu beatimmen sein, doss der L am-
ber t'achen Gldehung

OenNge geschieht; denn die Glei«htti»g (4) giebt zu jedem Werthe Toa f ein bei der U^theae

•) In der Torhrrjfchcnilcn Abhandlung des Herrn I'rofraisor« Klinker fucs bcwichncn x, y, «, x' y'
y"r s" hclioceatriMlwn Cowrdinatvn za den jSdtea t, f t"; y, Z m. t w. die fa«li«o«ntriadisft Cowrdi*
eatilk daa BaabachlaaiioMa an dae dni 2«ttn; «v «1^, dfo «alnaiii lamualiaii 4sa Ckatbaa.

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62

Anliaug.

augehüriges (-". Diene Auflösung Hi-r La ui bcr t '<«clicn Gleichung geetnttct offenbar dieselben
Uttlütmiltel, deren man sich K>mt dabei hc-dieut, z. B. dio Uonutzung der bekiuiaten Tufd von
Eaekft oder dw im Anfange uiitgotht-ilti»» TaTel. Aus ^ und i>", welche sich SO ergeben haben,
findet man dann or, y, x, al', y", «" auf hinlangliili bokHimtf \Vei$e, und t' ana der Glddnrag

/* s= {cx-\-tf ä-" \- -\-\c y-\-c" y")- \-[c: -\-e" z"\''
E« ist hiermit Alles bekannt, wfts iii-tliig ist. fj, »/, / i lir>iii;iinen, da diene fiKl-«i ii \<iu
r-f-r', r-X-r" und »•'-|-r" Rbhiingou. Wenn di« neuen WCrilii» von <• und c" mit d< njLnigea,
Wi ll he mal» iiii^i-iiyiiuntrii liiit, flbc-rein.itiinbien, weideil alle .nefunflenen Werthe in ScJiäik' einer
Parabel enlaprecfaen; im andern l'ulle legt man die neuen ^Verthe, welche aehr viel angenlherter
■ein werden, bei der Wiederliolnng d*>r Rcciutnng ta Gründe.

T)!i' erste l]%;Hit!M .r :iir c, c" kann auf vonehiadeBe Weiaa gabildat w«rden; am
Meisten möchte »ich aber wulil cinj»!'''hlf!i,

- - r' — r" --- 1

SU aetaen, und hiernach q, Vi V mit Hülfe der Tafel au beBtimmen. UIU man den Cometeu
noch Air aahr entfernt von der Sonne, oder ihr viel nJlhcr als die Erde, ao kann man danadi
leicht die erste Hyiiothesc nuxliiicircti.

Ein licispiel, die AnwrncluMj,' auf den ('unit'tcn 1857 III, wird iutijt.-ii lau, liic Be<|Uein»
lichktit dw Methode r.u zeigeji, zuniul der Fall M ini^nin>tig gewShlt ist. Die Hcrliticr Beob-
aditungen, von iierm Dr. Forster in Nr, 1124. der Astronomiachen Nachrichten mitgetheilt,
anjd zwar alle voUallndig; ich ignorira aber die 1>ee)tnationBbeftin)mnng vom 33. Juni und lege
folgend« Data in Grund«:

Mittl. Z<:it Urrliu It< i-Ium i nKion D<rl

1857. Jnni 23. 11" 56-53' 53 ' 6 53 4

»7. 12 5637 61 30 51,1 -4- 44» 43' 50" I
Jttli a. 13 «7 37 77 a 50,6 -I-48 47 8,8

Die l.'nvollstjiinlii'kcl' ciiii r r>«'<ib:irliliii):-' I' ;.-!. w . nij:.-''-»* in iI' t ri.ivi-, der Hedtiction
vom scheinbaren Ort nuf den Hiiltlcren kein llindi-ruiHi« in den \V«-g; die Ucobaelitungcn können
also auf dns mittlere Aequinoctiuin \on 1857 bezogen und von der Aberration der Fixsterne
befreiet werden. Die £idcoordinateQ , auf daaaelbe Aeqninoctium beEogen, sind dem Mauttcai
Alaianae entnommen, da dieaes Jahrbuch die Koductlon volbtllndig enthSlt; endlich sind zur
BeriieksictitiL'un^ <Irr Parallaxe, weil sie mit so li'i liirr Miihf zu lialxn, die helioccutrischen
Coordinaten des Heobarhtungsorte« aelbst abgeleitet. Die lorrigirte Grundlage der Ueclinuug wird
danach dnreh folgende QrQagen gebildet:

^ <" ...Juni 27,53932 .Iiint 23,53950, Juli 2,56085
«,</,«" 61" 20' 48' 53 6' 51" 77" 2 44"

* *" + 44 43 46 +48 47 4

A', A", A Oj»09S3 0,04203 0,19350

y, >", r' — *o,9S730 —0,93183 —0,91569
'A, Z, Z' —0,40235 0,40432 -0,39731

Die folgende Itechnung ist, «ie ti; iUtiilitUiti l'iltlen dem Zweck ent«preihend geschieht,
auf filnf Decinialstellen geftlhrt. Wenn man auf mehr Stellen rethnel, so kann doch der
bedeutendste Theil der Arbeit mit f&nf Stellen erledigt werden, da nur die Vorbereitungatecb-
nung und die letzte Bypothes« über die Genauigkeit entscheiden, Aua denweiben Grand« wBrd«
CS auch Zeitw riiih; si in. iu:f die proviBorischon Liiaungen der Lambert'achen Olddinng die
grÜMte Sorgfalt zu verwenden.

bt g*gcnwltrtig«D Falte lindnt man
log ir« 0,382 05.. l«gjr «0,34604.« logir«o,4ao85.. log(2{j^,).Sj;=9.S»047

iT^" — — 2,2i840-f-(0,38205) c4-(o,42o85) c" — (9158047)

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63

ab die ftr «II« HypoIhMcn gUltigc Kelation kwltehen « und 9", in «aleber die etofsldaiiiinerteD
Zahlen Lofuithneil bedeuten. Auch wird fUr die ganze lU'chnttNg

r» = 1,03376— 1,64791c' 4-*'

r"' = 1,03400 — 1,716 56(.>"-|->''*
Bildet indn auf die obige Art die erste IIypotlie*e, so wird

log r, = 9,99818, logij" = 9,99966, log,/ = 9,99947, aliso logc = 0,853 '5i

loge" = 9,90139.

« 0,001 63 4- (9,93z 23)«
Für das Quadrat der Sebne erblilt mut

= 0,007 2908 — 0,0387194»-}- 0,055033«*
£• genOgt der Lambert'Mben Gleicbuug log 0,01088 wosu log s 9,943 92 gehört.
Fttr die drei Radien Vectoren «rhKit man logr = 9,79854, log/ =s 9,85160, logi^' £= 9,73679.
llit diesen Werthen wird als Grundlage für diu zweite ilypotlicfte gefunden

log 9 SS 9.99273, logV = 9.99886. ^«8fl' = 9.997 3<*
lege « 0^*49*7t = 9.902 76.

Als Lüeong «igiebt sicfa jetzt

log» = 0,04359

»Tiflonrdom ~ 9'9M<»*

logr = 9.81883

logr* = 9,868 10
logr" = 9,748 16

Man kenn lehon binreiebend liefaer an die Umtm die Cometion wegen der Aberration anbringen.
Da DÜmllch log^' = 0,08478 gefunden wird, m\d die rcductione» temporum bei t, f, f

— 0,00631
^0.00694

— 0,005 63

demnach die eonig^rtan Seiten

Juni 27. 53301
Juai 13. 53256
Juli 2. 5552s

Der dritten Hypothese wird löge = 0^25029, log«" 9,90*60. «tt Gmnde SU legen sein;
sie iUhrt auf fvlgende Zahlen

logp = 0,040 14

logf" =^ 9.9 »8 45
loy/- = 9,81639
logr' = 9,86651
logr" = 9,7460t

Für die vierte Uypotheae wtirde folgen löge = 0^250 16, logtt" = 9,902 59,. Ifen kaau nun
aber ^ewb ans d«n Qenge der VerbcKücrimgon Achlteg»en, dMS die

0,25021 tUr logc
etwas gennoer sein wird. Es crgüsbt sieb dann sddiesdieh

logt = 0,04087
log ff" = 9*989

(«^— «) folgt ans der Femel

4rr "8lii|((/'— o)' » »«— (,/'_,^»

ea wird hier «) = 5»48'2a".

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64

Aiduuig.

BeikiaDfliieh bMtafaw «G» Okidnngeii

q der Perihelabttaiid dea Cometea üt Man *hu!i t bier

Jo«? = 9.565 28

and die Zeit d«! Pctiheb

7'= Juli 18,00817
OIuM die tUnr^an Elenumte zu berechnen, erhnlt man

X = (91972 58) »in (211' 18' 25"-|-i') r

? — '9. 79' 7») i^in (149" 2' 48" -|-

Hiermit i8t die Kecbnung beendigt; kann aber von intere»»« a«in, m sebeo, wie
genau wohl die nicht bei dCT Redtnung mgczogenc Doelination vom Juni 23 dargestellt wird.
Auf du AeqoinoetiiiiD toh 1857, o btttogen, ist diese Declilution nach der Beobacbtung

, „ +4o'59'34'3
Di« ReelnraBg «rgiebt +40*S9 3S •

Diisi- fast völlige llebereinstimmung ist, /umal die Rechnung auf (iinf Decimalstellen
geführt wurde, tbeiifreiM dem Zur«ll suzmchrcibeui iodesaen xeigt «ie dot-h die gröMte Zuver-
Uaigkdt der Hethede, imd iSm uai eo «ageidUliKer, ab eto ao bctrlebtiieher TbaO dea

geocenfrin licti I-aiif<=. 7,[ Orade in TtcctHscension, 8 Grade in der Declination umfa^st werden.
Dieser Umstimd iiiiiiilich erschwert es otTcnbar, «ich an die Beobachtungen innerhalb gewisser
Grenzen anzuscbliesscn, wtthrcnd er die Sicherheit der Babubestimmung an iind für i^irh erhöht.
Gewöhalich werden zwei Hypothesen eine hinreichende Genauigkeit gewaiiren, g^oz beaonden
aber dann, wemi die unvolbtliidige B«obachtung die zweite ist. In Nr. ttOj der AatroDomiaehiäi
N«thrt( litr»n hat Dr. Pupp am d< n Beobachtungen Juni 23, Juli 3 zu Berlin und Juli 14 an
Altona ein Klenieiitensystem berechnet, welches nahezu als definitiv gelten kann. Er findet

logf = 9,565259

T Juli i8,ori75

womit obigea Reanltat hüchat befriedigend ttbereinetixnnt.

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Anbang.

66

TAI EL

fUr die AuflSkung der Lambert 'sehen Gleichung und das Verbältnüs des

Dreiecks zum parabolischen Sector.

c

loe
* ■'0

Ii

f

lOiZ

M

\o& n

0,000

0,301 030

0,000000

0,038

0,301

'35

9.999 160

0,076

0,301

45»

9,996 603

0,001

0,301 030

0,000000

0,039

0,301

140

9.999 "5

0,077

0,301

463

9.996512

0,00 2

0,301 030

9.999998

0,040

0,301

146

9,999069

0,078

0,301

474

9,996419

0,003

0,301 031

9-999995

0,041

0,301

152

9.999022

0,079

0,301

485

9,996325 1

0,004

0,301 031

9»99999i

0,041

0,301

158

9,9^8 974

0,080

0,301

497

9,996 230 1

0 101 011

0, 0 1

1 6^

9.99" 9*4

0,08 1

5°9

9)99" '33 ■

0,006

0,301 033

9,999980

0,044

0,301

171

9,998 873

0,082

0,301

521

9,996036 1

0,007

0,501034

0,045

0,301

»77

9,998821

0^083

0,301

533

9.995936

1 0,008

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0,312525
0,312605
0,312 685
0.312765

9,878459

9,077 301
9,876 127

9,874938

9,873-32
9,872 511

0,270

0,306832
0,306 880
0,306 927
0,306975
0,307 024
0,307074
0,307 124

0,307 1/3
0,307 2rj
0,307 272

0,307322
°:307J_73
0,307424

0.307 4/5
0,307 525
0,307576
0,307 626
0,307 678

9.946973

9.940472

9.945970

0,318
0^319
0,320
0.321
0,322
0,323

0,309 436

0,309 49°
0,309 560
0,309623
0,309686
0,309 749

9,917 550

0,366

0.367
0,368
0,369
0,370

S!.371
0,372

0.373
0.374
0.375
0,376

0.377

0,312 846
0,312927
0,313 008
0,313090

0,313 LZ2
0,313 256

q.871 274

0,27 1
0,272

9,91b 794

9,916 032

9,970 022

9,868 "54

0.27?

9,945462

9-944 949

0 QA A All

9,91 5 26ii
9.914 496

ö Ci\ 1 *7 I n
9,913 , ID

9,867 470
9,866 1 70

Q 861 860

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0,277
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9,941910

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9,942852

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9,941 215

0,324

0,325
0,326

0.327
0,328

^329^

0,330

0,331

0,332

0,333
0,334
_^335_
0,336
0.337
0.338

0,339
0,340

_^3.4i_
0,342
0.343
0.344
0.345
0,346

0.347

0,309 813
0.309 878
0,309942
0,310007
0,310073
0.310 139

9.qi2q27

9,912 130
9,911 325

9,9 10512
9,909690
9,908 860

0,313341
0,313427
0,313 512
0,313598
0,313684
0.3^3 77'
0,313857

0,3 '3 945
0,314032

0,314 L2i

0,314213

0.3 '4 304

0.314395
0,314487

o,3'4 579
0,314671
0,314763
0,314856

9,863 531

9,o02 1 04

9,860818

9.859 432

9,858 029
9,856 606

9,940691

0 QIQ C8^

9,93902-5

0,310205
0,310 271

o.J 'o )il
0,310404
0,310471
0,310539
0,310607

0.3 10 676

0,310745
0,310 814
0,310 884
0.310^954
0,111025

9,908022

f\ Q n6 11 T
9.905

0,378
0,379
0,380
0,381
0,382

0,383

9.855 164

9iOS^ 704
y »o^ * * * 5

9,850-23

0,286
0.287

9.937 ^86

9,904 602
9.903

9,849 198

q,847 6si

10^,288

0,289
0,290
0,291
0,292
0,293

0,307 730

0,307 703
0,307 836
0,307 889

0.307 943
0,307 996

9,937310

9,936 727
9.936

9.93S 554
9,934 962
9.934 364

9.902 835
9,901 937
9,90 t 029
9.900113
9,899 185

q.898 24q

0.384
0,385
0,386
0,387
0,388
0.389

9,846085

9.844495
9,842 8S3
9.841 250
9,839594
q,8l7qi7

0.294
0,295

0,296
10,297
0,298
0,299

0,308 051
0,308 105
0.308 ESa
0,308 215
0,308 271
0,308327

9-933 760

9,897 302

0,390
0,391
0,392
0,393
0.394
_^395
0,396

0,397
0,398

0,399
0,400

0,314951
0,315046
0,315
0,315 241
0,315 339
o.3i5 437_
0,315 536
0,315635
o,3>5 733
0,315833
0,315934

9.836219

9,933 ISO
9.93- 535

9.93' 9H

9,931 287

9.930653

0,311 095

<•

0,311 162
0 31 I 2^
0,311 310
0.311383

9.89&347
9,895 381
9,894407
9,893422
9-892 428

9,834 466
9,83: 691
9,830 889
9,829 063
q.8:~ 212

0,300

0,301
0,302
0.303

j 0.304
1 0,305

0,308 383
01308 439
0.308495
0,308 551
0,308 608
0,308 666

9.930015

9,929376
9.9-8 731
<}.q28 07q
9,927421

9.9:6 : 56

0,348

0.349
0,350

0.351
0.352
0,353

o,3"455
0,31: 528
0,31 1 602
0,311 677
0,311 753
0,311 828

q,8qi424

9,8 Qo 411
9.SS9 38S
9.8SS 352
9,887 304
9,886242

0,8:5 336
9.823 435
9,8; I 509
9,819 559

q,8i7 58:

68

Anhang.

Die vorstehende Tafel (m welcher die sechste Oecimalstelle der Rechnung noch mit
•urgcfUhrt ist, am die Ainfte mehr zu sicheni, und welche, in Folge einer durch Uerm Pro-
fessor Klinker fucs veranlassten Revision, hier in einem correcteren Abdrucke erscheint, als
im zehnten Bande der Abhandlungen etc |, dient zur Bestimmung der Sehne x vermitteUt
der Lambertschen Gleichung in folgender Weise. Man setze

k{t'—l)

(r'-fr)*

so gicbt die Tafel log u und ea ist

Die zweite Cktlumne enthält den log r^"^— .

TAFEL

für -^—z — iiJ <ler Parabel nach der Gauss 'sehen Reihenentwicklung, Seite filL

ß

Seinor

c

1 A

'«6 Scctor

0,000
0,001
0,002
0,00^
0,004
0,005

0,000 00

9,9994^
9,998 8i

9.998 ^
9,997 ^

9.997 07

0,010

0,01 1

O,0I2
0,0 I 3
0,014
0,0 1«i

9,994 OS

9-993 41

9,992 &2
9,992 2Q

9,991 s8
Q,q90 9'}

0,020
0,021
0,022
0,023
0,024
0,02«;

9.987 Z6

9,987 II
9,98616

9.985 Sq

9f98S II
9,984 42

0,006
0,007

0,008
0.009
0,010

9-99612
9-995 »2

9.99s i5
9,994
9.994 05

0.016
0,017
0,018

0,019

o,o;o

9,990 32

9,989 ES

9,989 05
9,988 40

9.987 Z6

0,026
0,027

0,0:8
0,0:9
0,0-50

9,98^ Sq
9.983 12
9.982 4";
9,981 22
9,981 05

Auch diese Tafel ist einer nochmaligen Revision unterzogen. Während bei der Reihen-
entwicklung |f — — * }'-T—T— '8', hier ß = ■ V '* — «Uo = C und man kann daher

leicht diese kleine, nach der Reihenentwicklung bereih nete Tafel mit der vorangehenden grösseren
controliren. *

Anhang.

69

IX.

üeber den Ausnahmefall einer doppelten l^almhostimmnng aus denselben drei

vollständigen BeobacLiungen

hat Herr Professor Rncke in den Nummern 640 und 641 der Astronomischen Nachrichten sich
ausgesprochen. Auf diese Abhandlung muss daher hier verwiesen werden. Setzt man
m = cQän<o; ^ — (&i-|-o), so wird die Gleichung IV im Artikel der Theoria motus,

falls r' grüBser als H"

msinr* = sinfz — q),

und falls r' kleiner als

msinz* = tin{z-\-q),

wobei m stets positiv.

Folgendes sind die Bedingungen, unter denen es möglich ist, eine von der Erdbahn
verschiedene Planetenbahn zu finden, welche drei vollständigen Beobachtungen Genüge leisten soll.
Erstens. Die Gleichung

m sin z' = sin (z -f- q)

muss vier reelle Wurzeln haben. — Iliezu ist erforderlich, dass ohne Rücksicht auf dm Zeichen
iin^ kleiner sein muss als ^, und dass m zwischen den Grenzen tn' und m" liegen muss.
(m' und m" sind in der umstehenden Tafel angegeben.)

Zweitens. Von diesen vier reellen Wurzeln rotlasen drei positiv ond eine negativ
sein. Um diese Bedingung zu erfüllen, ist es.nothwendig, dass cos^ positiv bleiben muss fUr
alle vier dei^enigen Wcrthe, ftir welche sinq kleiner ist, als ij; die beiden im zweiten und
dritten Quadranten sind ausgeschlossen, imd nur Werthe zwischen — 36*52' und -{-36* £2^ bei-
zubehalten.

Sind diese beiden Bedingungen crfUllt, so muss stets eine der drei positiven reellen
Wurzeln der Krdbalm entsprechen, und diese kann daher nicht in Frage kommen. Im Allge-
meinen wird es nicht zweifelhaft sein, welche der beiden anderen Wurzeln zur Lösung der
Aufgabe zu benutzen ist. Unter Anwendung der obigen Bezeichnung auf die Artikel 139 und
»40 der Theoria motus hat man

»ini: *in[^~ t) »inf

'R'~ ~ ' r' '

Es mUssen daher nicht nur z und i' stets kleiner sein als 180", sondern es muss auch sin (4' — z)
positiv sein, mithin grösser als z.

Stellt mun nun die drei reellen positiven Wurzeln nach Ordnung ihrer absoluten Grösse
zusammen, so lam-n sich drei Fälle unterscheiden. Entweder die kleinste Wurzel nähert
sich dem Werthe fiir d' am meisten und eutspricht mithin der Erdbahn. In diesem Falle ist
die Aufgabe unmöglich, weil die Bedingung, dass d' grüsticr als s, nicht erfüllt werden kann.
Oder die mittlere Wurzel coincidirt mit 6'; dann kann die Aufgabe nur mittelst der kleinsten
Wurzel gelöst werden. Oder endlich die grösste der drei Wurzeln ist nur wenig ver-
schieden von d'. In diesem Falle hat man die Wahl zwischen beiden kleineren Wurzeln,
von denen jede eine planetnriscbe Bahn liefert, weil beide alle Bedingungen erfüllen, und ea
muss dann erst durch Zuziehung von anderen, als den drei gegebenen, der bisherigen Rechnung
zum Grunde liegenden ßcobachtungi-n bestimmt werden, welche Bahn die richtige ist.

Den von llerrii Professor Encke in Nr. 641 der Astronomischen Nachrichten gegebenen
Rechnungsbeispielen fügen wir auf Seite ^2 noch ein dem Astronomischen Journale von Gould,
Band I, Nr. eutuommencs E.xempel hinzu.

70

Anhang.

m Hin r* =

sin -

m

und £ po«itiv.

log m

1

log nj

?

n 1

<n' 1

m' 1

m'

1

m'

m

m

4>'97''

9.9999

1° 0

l"20'

I-20'

«9-40'

89^40'

«77"37'

180^55'

181" 0'

3>395°

9,9990

2 0

2 40

2 40

89 :o

89 20

J75 »4

181 51

182 0

\

2,8675

9»999*

3 0

4 0

4 0

8q 0

89 0

172 5:

18; 46

183 0

4

24938

9t99°"

4 0

5 20

5 20

88 40

88 40

170 28

183 42

184 0

5

2,2044

9>997«'

5 0

6 41

88 19

88 19

168 5

184 37

185 0

0

1,9686

9,990»

0 I

8 I

St cn
•7 59

«7 59

i6s

IB5 32

Ivw 0

l

1 , 1 u 0

7 I

9 22

9 22

87 38

87 38

163 18

186 28

1S6 59

1,59a I

9>9943

8 I

10 42

10 42

87 18

87 18

160 52

«87 23

187 59

9

ii4473

9,9928

9 2

12 3

12 3

86 57

86 57

158 28

188 18

188 58

10

i,3»30

9>99 ' '

10 3

13 25

13 25

86 35

86 35

156 3

189 13

189 57

II

1,1922

" 5

14 46

;n

86 14

86 14

153 37

190 9

190 56

13

1,0824

n nR? I

'* 7

10 0

•5 5*

8$ 53 to

191 \

191 54

o.gS : I

9.9848

13 9

17 31

17 31

8s 29

85 29

148 43

191 59

192 52

'4

9»9''*3

14 12

ib 53

18 53

85 7

85 7

146 14

192 54

»93 49

15

0,8045

9>9 / 9^

15 16

so 17

30 17

8443

84 43

143 45

»93«

194 46

16

0,7254

9>97o/

16 20

21 40

21 40

84 30

84 20

'4' 14

194 44

»95 42

»7

0,05 18

n n^ t n

9.973°

17 36

23 5

23 5

83 55

83 55

13Ö 42

195 39

196 38

10

10 33

24 30

34 30

Ö3 30

83 30

136 9

190 33

*97 33

'9

0,5 IÖ5

0.9667

19 41

25 56

25 56

83 4

83 4

133 34

197 28

198 28

0,4)0 1

9,90.9

20 51

27 »3

27 23

82 37

82 37

130 58

198 23

»99 2 2

«I

MO'3

9,9^00

22 3

j8 so

38 50

83 10

82 10

128 19

»99 »7

30O 15

22

0,3479

9»9i45

23 15

30 19

30 19

81 41

81 41

125 38

200 II

30I 8

23

0,2976

9.9499

24 3»

3» 49

3' 49

81 II

81 II

122 SS

201 6

303 0

24

0,2501

9.945 '

25 49

33 20

33 20

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130 9

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- s

0, 20 y3

9,9400

-7 10

34 53

34 53

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2C2 54

203 42

ZD

0, • 03 I

9.9345

28 35

36 28

36 28

79 32

79 32

114 27

203 47

204 32

27

0,1232

9,9287

30 4

38 5

38 5

78 55

78 55

III 30

204 41

205 22

28

0,0857

9.9226

31 38

39 45

39 45

78 15

78 15

108 27

205 35

206 I I

20

9,9161

33 18

4*1 27

41 27

77 33

77 33

JOS 19

206 28

207 0

30

0,0170

9,9092

35 5

43 13

43 »3

76 47

76 47

102 3

207 21

207 48

3'

9.9857

9,9019

37 I

45 4

45 4

75 56

75 56

98 37

2o8 14

208 36

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63 26

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72

AnluLiig.

Bei dem Ainftcn Conwleii iu Muu 1847 leitete Herr Dr. Oeald $m der entea
BjrpotheM di« Oleuhtug ab:

[9,9as laöileb,* = du (»+3** 53' ««^5)
ftr d^ wer gefindea: & ijj'o'ji".

Man het ebo naq kleiner ah ^ und ein Blick auf die Tefiil zeigt, ditaa der (alt

I.ognritlumis gegebene) Factor in d< r KLuniiiri zn-iKchen m und m" liegt. Es .sind folglich hier
vier rt-t'lie Wurzeln vorbanden, von denen drei positiv «ind. Hier nühcrt bich daher z'" so sehr
dem gegebenen d', das« darüber kein Zweifel bestellen kann. Es tritt mithin der Ausnahmefall
einer doppeltea BahsbestiiiUDung «in, wobei nach der Tafel die beiden möglichen Werthe flir »
liegen nriaciien 88*29' bb 105*59' "»^ swiadien 105" 59' bis 131" 7^ ThateNekUoh lind die
vier Wnndn:

«' = 95 3» 43 "S
«" = "7 3» >3. 1
«"' = »37 38 16,7
«" — 3«9 5« SS. 5.

Die zweite Wurzel (117° u, s. w.) lieferte eine Ellipse \on sehr kurzer UmlauCszeit,
aber die anderen Beobaehtingen ceigten, data diea niebt die wahre Beb» war.

Dieser Auatialmiefall kann, wi« «in Bück nnf di« Tafel «nawdit, niemala eintreten,
sobald 6' kleiner ist n]» 63° 26'.

Die Wurzel z'^ ist nur der Vollständigkeit wegen in die Tafel mit aufgenommen, indem
di« Wonal 1^, da fix dleee lb « dne n^tiv anattUt, nie in Frag« kommen kann.

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netnnig.

A. Im Hauptwerke.

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das Komout hinter dem Worte Rechnung zu tilgen

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ist das Eaamift hinter

dem Worte wtrdtn nn tilgen

B. In der Tafel II bei log^^.

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AnmerkuDg des ücbertctieri. Di« in dieter T«fel TorkomnuiiLlfii Hrrichiicungtn, ^clch« (glcich-
ww ih im Ftihlw VitnrinhiiMtr dir litwniThwt Amagtit» mit ümam * btaMchticlen Sldlca) nur um «int Suiitit
!■ dar äilNHlin DmömI« iUmfo, und dw Rmltet matt ait ABvndug m» wlnwliWgtt LoginOnw an^
gestellten Prüfung derjenigen Zweifel, welche «ich ergeben hitttcn, DBeUaB dw linatligkw TtaldMgabw für
log if)) zuomchrt durvh Bildnii;; der Differenzen untcrtucht waren.

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All hange.

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beim Argnnente ä8000 rcip.
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