Full text of "Bulletin de la Société philomathique de Paris"

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5. L LIBRARY

les BULLETIN

jé DE LA

SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE
DE PARIS.

Séance du 4 janvier 1868.
PRÉSIDENCE DE M. PUEL.

M. Laguerre fait une communication sur la construction du
cercle osculateur des anallagmatiques sphériques.

M. Marey rend compte des expériences qu’il a entreprises sur
l’état électrique des muscles dans la contraction musculaire.

M. Alix expose le résultat de ses recherches sur quelques points
de l’anatomie de l’Orang-Outang. Il a vérifié chez cet animal l’ab-
sence du ligament rond de la tête du fémur.

Sont élus : M. Mannheim, président pour le premier semestre de
1868 ; M. Laboulaye, trésorier; M. Alix, archiviste; MM. Transon,
Laurent, Moutard, membres de la commission des comptes.

M. de Caligny a communiqué dans cette séance quelques
détails sur ce qu'il a dit dans la séance précédente relative-
ment aux roues verticales à aubes courbes et à une nouvelle
turbine à double couronne mobile.

Quant aux roues verticales à aubes courbes où l’eau entre
par-dessous, il est à peine nécessaire d'ajouter que, si l'eau
est transvasée latéralement au moyen de lames courbes con-

LES

Extrait de l'Institut, 1re section, 1868. 1
no

So ne À #

centriques, pour sortir par d’autres aubes courbes, comme …
cela a été expliqué le 28 décembre, il est bon que cela se
fasse de chaque côté de la roue; de sorte que, de chaque
coté de cette roue, il y aurait une couronne renfermant des
aubes courbes, chacune de ces couronnes ayant une largeur

| à peu près égale à la moitié de celle de la couronne cen-

| trale, par les aubes de laquelle l’eau entrerait pour sortir

par ces deux couronnes latérales. Il est entendu que cela. me
peut être essayé que pour des roues d’une assez petite
largeur.

Quant à la turbine à double couronne mobile, pour se
rendre compte de la manière de transvaser l’eau ascendante
de la couronne intérieure dans la couronne extérieure, dans
les circonstances où l’on voit & priori que cela peut se faire
sans employer des lames courbes concentriques, ayant un
but analogue à celui qui vient d'être rappelé, il est intéres-
sant de considérer l'hypothèse suivante. On trouve parle
calcul que, dans des circonstances qui précisément se présen-
teront dans la pratique, la hauteur de chute et le diamètre
de la turbine peuvent être combinés de manière que la force
centrifuge de l'eau diffère assez peu en moyenne de la pesan-
teur pour qu’on voie très-facilement comment les choses se
passeront en général.

Dans l’hypothèse dont il s’agit, on voit immédiatement que
les choses peuvent être disposées de manière que l'ascension
de l'eau, en vertu de la vitesse acquise restante, quand.
chaque molécule arrivera dans la première couronne à Na
hauteur où l'on veut qu’elle tende à se transvaser, sera
plus que suffisante pour que la force centrifuge ait le temps
de faire passer toute l’eau de la couronne intérieure dans
la couronne extérieure. rs

Quant à la perte de force vive résultant des vitesses laté-
rales occasionnées par la force centrifuge, il est facile de voir
que, si la largeur des couronnes est petite par rapport à la
hauteur de chute motrice, cette perte ne sera qu’une petite
fraction de cette chute dans l'hypothèse dont il s'agit. :

M. de Caligny répète qu'avant d’avoir fait des expériences
sur les roues à aubes courbes, c'est au point de vue des
théories générales qu'il a cru pouvoir faire des communmica-
tions sur ce sujet. :

Séance du 11 janvier 1868.

PRÉSIDENCE DE M. DE SAINT-VENANT.

M. Laboulaye entretient la Société de la construction des nou-

_velles machines à ammoniaque.

M. Gilbert adresse une note intitulée : De la courbure des sur-
faces.

Sur la courbure des surfaces, par M. Gilbert.

La note communiquée à la Société par M. l'abbé Aoust,

dans sa séance du 21 décembre 1867 (journal l’Institut,

n° 14114, p. 3), me détermine à présenter, de mon côté,
quelques observations.

Comme je l’ai dit ailleurs, j'étais parvenu aux résultats
dont un extrait a été présenté à la Société dans la séance
du 25 octobre (voir l'Institu!, n° 1771, p. 399) (1), avant de
rien connaître des travaux de M. l'abbé Aoust sur les coor-
données varvilignes. En les examinant depuis lors, j'ai
constaté qu'en effet je m'étais rencontré avec lui sur plu-
sieurs points, et dans mon mémoire, dont la rédaction est
terminée depuis deux mois et que J'ai présenté à l’Académie
royale de Belgique, je me suis fait un devoir d'appeler dans
une note l'attention sur les rapports qui pouvaient exister
entre ses recherches et les miennes. Ainsi, je reconnais sans
détour que cet habile géomètre a, longtemps avant moi,
appliqué avec avantage à la théorie des lignes tracées sur
une surface la notion à laquelle il donne le nom de courbure

(4) Cette note, envoyée au mois d’août, est arrivée trop tard
pour être présentée avant les vacances.

D RE

ynclinée et que j'appelle déviation, que dans les parties de :
ses travaux que j'ai retrouvées par d’autres voies, l’antériorité
lui appartient, et qu’en particulier la formule

cos (à, Pi) 1 d 0

Q = —.

1 CE) d

(l'Institut, loc. cit.) à laquelle je suis parvenu par une voie

géométrique bien simple, comme je l'indique dans mon mé-

moire, ne diffère que par la notation de la formule (14) de

la Théorie des coord. curvil. quelconques (p. 11). Je regarde

cette formule comme l’une des plus précieuses dans la
théorie des surfaces, et j'en ai fait un fréquent usage.

Pour le reste, tant par lobjet que par les procédés de
démonstration, mon travail s’écarte beaucoup des travaux
de M. l'abbé Aoust, et il convient que j'entre à cet égard
dans quelques détails.

I. La première remarque du savant géomètre porte sur la
formule (D) de l'extrait rappelé ci-dessus (voir l’Institut,
n° 1771, p. 399), qui, dit-il, ne diffère pas de celles que
MM. Liouville et Bonnet ont donnée en 1851.

Assurément, considérée comme une conséquence du théo-
rème de Gauss, ou mieux encore du théorème de M. Bonnet
sur la courbure totale d’un polygone curviligne, cette for-
mule n’a rien de neuf, et elle s’en tire si simplement qu'on
peut dire qu’elle n'appartient à personne : cette observation
s'applique également à la formule (17) de M. Aoust, dans
le Journal de Crelle (tome LVIII, p.861), qui n’en est qu’un
cas particulier.

Mais ce qui offre précisément quelque intérêt et une cer-
taine difficulté, c’est au contraire d’arriver directement, par
des considérations géométriques très-simples, à cette expres-
sion remarquable de la mesure de courbure, qui a la géné-
ralité de celle de Gauss avec la complication en moins et la
clarté géométrique en plus, et qui fournit ensuite, par une
méthode aussi simple que curieuse, comme on le verra dans
mon mémoire, soit le théorème de Gauss sur le triangle
géodésique, soit le théorème de M. Bonnet sur le triangle
quelconque. C'est là ce qui n’a été fait jusqu'ici par per-
sonne, à ma connaissance, et les réflexions très-fines que fait

BEN EE

M. Bertrand à ce sujet (Trailé de Calcul différentiel, p. T4T,
748), le montrent suffisamment; c'est là ce que je n'ai vu
nulle part dans les écrits de M. Aoust, non plus que deux
relations que je crois nécessaires pour cet obiet : l’une est
mon équation (C), l’autre est la relation suivante, fort utile
dans toute cette théorie :

sin (dy, Ps) _ SR qe
Ôi SES 4

dans laquelle +, désigne l'angle compris entre la tangente

MT et la tangente conjuguée de MT,, et les autres nota-

tions sont les mêmes que dans la note du 25 octobre.

Or, c’est là ce que j'ai réussi à faire avec une simplicité
inespérée, ce que je regarde comme vraiment neuf dans
mon travail et comme une heureuse application de l’ingé-
uieuse théorie de la courbure inclinée (1). J'établis, en effet,
directement dans mon mémoire, par quelques considérations
géométriques fort simples, l'équation :

sin & dsi dsa d, — (p1, Pi) dsl a — P;) ds, |
EE ere UT RU M )
p4

T1 To 1

qui se transforme immédiatement, par les équations (C),
(æ) et par la formule de la courbure géodésique, dans l’équa-
tion (D). Je note en passant que la formule (6) de M. l'abbé
Aoust ne diffère pas de la précédente, mais il la déduit de
la relation (D) qu’elle me sert au contraire à établir.

Il. La seconde remarque de M. l’abbé Aoust est relative à
la quantité |

COS (P4, Pa) AuCOS (@1 da)
P4 Pa 4 do

dont il s’occupe après moi et dont il donne lexpression

(4) Ce que je dis dans ma note rappelée ci-dessus ne peut lais-
ser aucun doute à cet égard.

AREA

lorsque les courbes coordonnées sont quelconques. Il est à
peine nécessaire de faire remarquer qu’en énonçant le théo-
rème : « Lorsque deux systèmes de courbes quelconques se
coupent sur une surface, l'expression ci-dessus ne varie pas
lorsqu'on déforme la surface, » j'ai indiqué suffisamment
que j'avais obtenu la valeur de cette grandeur en fonction
des angles et des arcs tracés sur la surface, dans le cas géné-
ral. La formule (1) de M. l’abbé Aoust est en effet dans mon
mémoire : si je ne l’ai pas écrite dans l'extrait présenté à la
Société, c'est que son principal intérêt réside dans le théo-
rème énoncé, et je n'ai cité les deux cas particuliers qui
s'en déduisent que comme donuant lieu à un énoncé assez
net et assez élégant.

Mais je dois faire ici la même remarque que ci-dessus :
considérée comme une transformation des formules sur la
mesure de courbure, ainsi que le fait M. Aoust, cette for-
mule (1) ne m'offrait qu'un intérêt secondaire. Ce qui lui
donnait à mes yeux une valeur réelle, c'est que, en ayant
obtenu une démonstration directe, aussi simple que possible,
j'en déduisais immédiatement le théorème de Gauss sur l'in-
variabilité du produit R° R”, ainsi que je l'ai dit Gans ma
précédente note, et de plus, comme je l'ai montré dans mon
mémoire, une méthode nouvelle, très-simple et indépen-
dante, pour arriver au théorème général de M. Bonnet sur
la courbure totale. :

En effet, j'obtiens directement, par une simple différentia-
tion, la relation générale :

COS (P4, 02) CS (Èy, do) Co (CE) MR
—— — —— | ds; ds = ds | — © ds, | —
Pi Pa 1 Oo P1

a [En à]
1

qui équivaut aux formules (6) de M. l’abbé Aoust, et qui, par
l'équation («) et l'expression de la courbure géodésique, de-
vient ma formule générale identique à la formule (1) du
savant géomètre. En décomposant ensuite une portion de
surface en éléments infiniment petits par des lignes de cour-
bure et appliquant l'équation à ces éléments, j'en tire le
théorème de M. Bonnet sur la courbure totale.

Car pr es

III. Je dois remarquer enfin que l'application de l’idée de
la déviation m'a conduit encore, par une voie toujours très-
simple, à beaucoup d’autres formules relatives à la courbure
des lignes et des surfaces. Je signalerai, en passant, cette
transformation de l’équation (D) :

1 1
d —) d (= sin21004 "4 ABRONcHS 10
sin 0 | ER EE 92 = ve toit ONE

E TT D/ pp 0]
ds 0 a MC AT Eee
1L%cos:0)\ d'8 cos À 1\d9 d 6
== Le ie:
gi ÿ2 } dsi gi 2) ds 2 ds d83

d'où l’on déduit des résultats intéressants.

Si l'on désigne par g, 9 les angles que fait la tangente
MT, avec les conjuguées respectives de MT,;, MT;, et par ç
l'angle o;—9, on a encore :

je (©) LAPS (ee __ _sin E dsi dSa +)

ri T2 6 Ta ga ds;

dS9 ds \__ sinédsds [1 da d86
a (Te) ee (=)- T4 ess IE

d'où l’on déduit les variations de l’angle de deux normales
infiniment voisines suivant des lignes coordonnées quel-
conques.

D’autres formules générales, que je ne développe pas ici,
se réduisent, lorsque les courbes c, et « se coupent orthogo-
nalement, aux suivantes, dans lesquelles R, et R, sont les
rayons de courbure des sections normales tangentes aux
lignes c, et ©» et Y1, y», les rayons de seconde courbure
géodésique de ces lignes :

(ANA | d /A À À | 4 F- =
GS a Pas . Ta k, K) Ty NAME

as nn etR ! AE)
ds \Y1 dsi \R] Ogi\i Ga \Ru

DUT"

On peut les simplifier à l’aide de la relation connue
Yi=— ; et lorsque l’on prend pour lignes coordonnées les
lignes de courbure, on retrouve des formules données par
M. Picart dans sa thèse sur les surfaces (p. 27). On en déduit
encore d’autres résultats intéressants, par exemple en pre-
nant des lignes géodésiques et leurs trajectoires orthogo-
nales, etc.

Enfin, on connait la condition très-simple que M. Bonnet
a donnée pour que deux séries de lignes décomposent une
surface en carrés : J'ai obtenu, plus simplement encore, une
formule générale qui se réduit, lorsque l'angle 0 est constant,
à celle-ci :

d 1 io El GO d il
— | — — |—| — cos 0 | — - =.
ds, (Gi) di dS2 (5 ÉÈ É dSi \Q

qui exprime la condition pour que la surface soit décomposée
en losanges.

Mais je répète en finissant que, indépendamment des for-
mules nouvelles auxquelles je puis être parvenu, mes recher-
ches ont eu surtout peur but, et, j'espère, pour résultat, de
reconstruire par une méthode nouvelle et géométrique à la
fois plus générale et beaucoup plus simple, tout ce que Gauss
et les géomètres qui l'ont suivi nous ont appris de plus inté-
ressant sur cette belle théorie des lignes décrites sur une
surface. Pour cela, j'ai tiré un grand parti de l’élément nou-
veau que M. Aoust avait appelé courbure inclinée, et j'espère
qu'il reconnaïitra que, sous ce rapport, j'ai été utile aux idées
qu'il a introduites dans la géométrie.

Pour ce qui est de la préférence à accorder à telle déno-
mination sur telle autre, à telle démonstration sur telle autre
sous le rapport de la clarté, c’est une question sur laquelle
il convient d'attendre la décision des géomètres.

Séance du 18 janvier 1868.

PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

M. de Saint- Venant complète une communication antérieure, en
date du 16 juiliet 1864, sur le problème des remous (1).

M. Laguerre fait part de nouveaux travaux sur les surfaces anal-
lagmatiques.

Rapport de M. Bureau sur les titres des candidats à une place
de membre titulaire vacante dans la troisième section.

Probleme des remous, ou des gonflements produits jusqu'à de
grandes distances dans les cours d’eau par les barrages
qu'on y élève, par M. de Saint-Venant.

M. de Saint-Venant a fait à la Société une communication

(41) Un malentendu a été cause que cette note n’a pas été im-
primée à l’époque de sa lecture à la Société philomathique. Mais
M. de Saint-Venant a donné, au volume de 1863, des Mémoires de
la Société des sciences de Lille (Notice sur la vie et les ouvrages
de l’hydraulicien du Buat), au bas des pages 640 et 648, la for-
mule représentative ci-après RI — UMR", avec m — 1,9,
n —= 0,3, en annonçant qu'il venait de s’en servir pour calculer
de nouvelles fables de remous. Il se croit ainsi, de toute manière,
fondé à réclamer la priorité sur M. Ph. Gauchler, qui a envoyé
à l’Académie des sciences, le 22 avril 1867, un Mémoire où il
construit, pour représenter par exemple les expériences faites sur les
canaux à ciel ouvert (Comptes rendus, t. LXIV, p.821), des formules
revenant à celle-ci, avec n — >; qui ne diffère pas sensiblement
de 0,3; et avec m — 2 ordinairement et — 1 dans un cas ex-
trême, valeurs entre lesquelles celle — 1,9 est comprise.

établissant la possibilité de construire, avec les données
fournies par les recherches récentes sur les eaux courantes,
des tables numériques et des formules graphiques nouvelles
comme celles qu’il a calculées en 1851 pour résoudre expé-
ditivement cet important problème au moyen des données
expérimentales dont on disposait alors.

Les belles expériences de M. l'ingénieur des ponts et
chaussées Bazin sur les canaux découverts (Savants étrangers,
t. XVEHIE) ont montré, dit-il, comme celles de feu l'inspec-
teur général Darcy sur les tuyaux (idem, t. XV), que le pro-
duit RI de la pente I d’un courant uniforme par le rayon

w ; à Le
moyen R — — de la section d’eau (quotient de l'aire w par
x

le contour ou périmétre mouillé y) non-seulement varie
beaucoup, pour même vitesse, avec le degré de poli ou de
rugosité des parois, ce que n'avait pas aperçu du Buat,
mais varie aussi très-sensiblement avec le rayon R lui
mème, en sorte que pour chaque nature de paroi ce produit
est fonction à la fois de la vitesse moyenne U et de KR, et
non pas de U seul. |

Il faut donc poser, non plus RI — aU -L BU? avec Prony
et Eytelwein qui faisaient a et b constants, mais, avec M.
Darcy

: 6! ; 6” \
RI =(1+5) U + +)
pour les tuyaux. Darcy réduisait cetle équation, pour les

ete $ 6
cas et les besoins ordinaires, à RI — | a il U? ; et c’est

ce que fait aussi M. Bazin pour les canaux découverts, tout
en reconnaissant que dans ceux d'une trés-petite section, RI
est sensiblement proportionnel à U et non à U?, et en obser-
vant aussi que les coefficients & et 6 varient quelquefois lé
gèrement avec la pente [| pour même débit et pour même
nature de paroi.

On sait que M. l'inspecteur général Dupuit a proposé
d'employer de préférence (Etudes sur le mouvement des
bU?

eaux, 2° édition, 1861) une formule RI — TT ak qui

— 11 —

fait toujours décroître la résistance de l'unité superficielle
des parois, pour même vitesse moyenne, quand les dimen-
sions de la section augmentent.

Pour les canaux en terre, les seuls qui intéressent notre
problème, M. Bazin trouve « — 0,00028, 6 — 0,09035, ou

pose
1,25

9 12

équation dont chacun des deux membres représente la ré-
sistance moyenne de la paroi, évaluée en hauteur du prisme
d’eau qui a sa surface pour base, et un poids égal à l'in-
tensité de cette résistance.

Or, lorsque l’on passe du mouvement uniforme à un mou-
vement retardé, camme celui que détermine un barrage
jusqu'à une grande distance à l'amont du point où il a été
élevé, si l’on tient compte de l'inertie de l’eau affluente, en
regardant, du reste, la résistance des parois comme une
même fonction de la vitesse et du rayon moyen que quand
le régime est uniforme, on peut poser, avec M. Belanger,
® désignant cette fonction, w la nouvelle vitesse au point
quelconque du courant dont s est l’abscisse ou la distance
à un point fixe situé en amont, g la pesanteur, y le relève-
ment de l’eau au-dessus de sa surface primitive supposée en

RI — 0,00028 (1 de

é Fe Rs PE
pente uniforme 1, d’où à — Ts Pour la nouvelle pente, en-
ds

fin y un coefficient numérique (variant ordinairement entre
4 et 1,2) par lequel il faut multiplier la force vive due à la
vitesse moyenne w d’une tranche transversale pour avoir sa
force vive réelle, l'équation

| dy nd (u?) % w
l EPP RER EPS ee TO ais
q) SR qe 2qg ds F wù ? u, 1

d’où, U, H, Q, X étant l’ancienne vitesse, l’ancienne profon-
deur, l’ancienne section et l’ancien périmètre mouillé, sup-
posés constants ou indépendants de s; ce qui, vu la cons-

Es ONE

UT QU do d
tance du débit ou vu ww — QU donne PRESS UN F5
ds w? ds ds
AIX O0).
et aussi Vu ? — at (Ux)
U? ©? H du
1 —n
ds — 9H “ dy. a()
(2) HE AUTOUR H
nl sn
AE
NATATION
FLE :)

L'intégration de cette équation, toujours effectuable numé-
riquement par les formules connues de quadrature quelle
que soit la forme de +, quand le lit est d’une forme connue
en sorte qu'on ait w et x partout en fonction de la profon-
deur nouvelle y + H, fournira les abscisses s répondant
aux divers relèvements y, et, par suite, réciproquement les
relèvements aux diverses distances en amont du barrage;
ce quon se proposait de déterminer.

Un pareil calcul serait extrêmement long et nuliement
usuel. Il convient donc, pour les besoins de la pratique, d2
dresser d'avance des tables numériques que l’on n'ait qu'à
consulter dans chaque cas, au lieu de continuer à se servir
de certaines règles prétendues empiriques tout à fait irra-
tionnelles ei erronées.

Or, d’après la forme de l’équation (2), il faudrait autant de
tables qu'il y aurait, non-seulement de lits de diverses
formes, mais encore de grandeurs diverses de la vitesse U
et du rayon moyen x dans l’état primitif.

Heureusement M. Dupuit a aperçu que sous certaines
conditions l’on pouvait les po à une table unique

is
de valeurs correspondantes de F “

les pentes à comme toutes les profondeurs H. Ces conditions |
sont 1° que l’inertie soit négligeable ou que le deuxième
terme du numérateur du second membre de (2) puisse être

Ÿ applicable pour toutes

effacé devant 1; 2° que, dans l'expression binôme aU--bU?
assignée par Prony à la fonction +, l’on puisse supprimer le
terme aU en ne laissant que LU? ; 3° que le lit soit rectan-
gle; 4 et qu'il ait une largeur assez grande par rapport à
sa profondeur pour qu’on puisse prendre sensiblement

fl ; Car al
finis 0e,

ce qui afiecte d (2) dans le second membre est une simple

4 = X = cette largeur, et le rapport = —

fonction du rapport + Et M. Dupuit a calculé cette table

en obtenant l'intégrale en série.

J'ai remarqué, en 1851, qu’un semblable genre de solu-
tion était encore possible sans ces quatre conditions ou sans
faire de pareilles restrictions : 1° en se servant de la mé-
thode de quadrature de Th. Simpson ; 2 en calculant, pour
la table, une troisième colonne, dont les nombres sont des-

nU?
tinés à être multipliés par la donnée — PTE afin de tenir compte,

par déduction, de l'effet de l’inertie de l’eau, qui n’est pas
toujours négligeable; 3° en substituant à aU + OU? un
terme unique YU" qui, comme je l'ai montré, donne sensi-
blement la même chose, l’exposant m étant fait un peu

plus petit que 2, par exemple — = "1009 Matin dense

conformer à la loi depuis longtemps signalée par du Buat,
« d’une résistance croissant en moindre raison que le carré
de la vitesse » ; et, 4° j'ai fait voir aussi qu’en caleulant en
tout sept tables, de deux pages chacune, on embrasserait
avec la même facilité les cas de lits peu larges, même à
section trapèze et non rectangle.

J'ai remarqué aussi que toutes ces tables pouvaient être
remplacées graphiquement par une épure de plusieurs cour-
.bes de remous, tracées sur papier quadrillé les unes au-des-
sus des autres, et entre lesquelles tout le monde peut en
intercaler visuellement d’autres, suivant les cas, de manière
à obtenir toute l’approximation désirable pour la pratique.

Mon mémoire, inséré en 1851 aux Annales des Mines, à
servi de base à l’enseignement spécial de ce Corps savant

eg AE

pour les questions d’hydraulique pratique y relatives; et
plusieurs ingénieurs de celui des ponts et chaussées m'ont
dit aussi avoir fait usage, d’une manière avantageuse, sur-
tout des épures dont je viens de parler.

Or, il convient aujourd’hui d'examiner si la même cons-
truction de tables peu étendues et cependant suffisantes est
possible en prenant pour a résistance des parois, ou pour
la fonction +, les valeurs que les travaux de M. Bazin ont
récemment révélées.

Cela ne saurait se faire si l'on conserve à la fonction 9

sc CAES ie
la forme à coefficient binôme (a + 5) U?; car le deuxième

terme du dénominateur de l'expression (2) de = sera
X
Y® à EL 6 w
Xwi a + 6 X
Q

qu'il n’est pas possible de réduire à une fonction de ”

. même quand on peut se permettre, vu la grande largeur du

à w Q
lit, de prendre y = X, . = 9) SE El, x —

Mais le calcul des tables désirées est possible si { « + éjue

1
est remplaçable par une expression monôme YU?R=", n étant
un exposant fractionnaire compris entre O0 et À; car, en
supposant même que pour une représentation plus exacte
l’on soit conduit à adopter pour U, comme j'ai fait en
1851, un exposant aussi fractionnaire m un peu au-dessous
de 2, c'est-à-dire à prendre

RI, ou ® (U, R\ — y U"R-r,

le second terme du dénominateur de l'expression (2) se ré-

duit à
Q\m+n+i Y n+1
w 0 ME 4

c'est-à-dire à une fonction de _ fonction qui, très-simple

si la largeur est grande et permet de prendre £ =

Q H , Ms
— —= ———., n'a dans les autres cas, rien de compliqué, ni
w y + H

de très-dépendant du rapport variable de la profondeur à
la largeur moyenne du lit primitif; ni, non plus, de la pro-
portion non négligeable pour laquelle les parois latérales ou
les talus peuvent entrer dans le périmètre mouillé de la
section ; de sorte qu'il ne faudra pas plus de tables ou de
courbes que je n’en ai calculé ou tracé en 1851.

Il s’agit donc de savoir si les nouvelles expériences peu-
vent être représentées par une formule monôme RI — yÜ”
R=" suffisamment approchée pour notre objet spécial.

J'ai commencé par l'essayer sur les expériences de feu
Darcy relatives aux tuyaux de conduite d’eau. J'ai trouvé,
entre autres résullats, que celles qui ont été faites sur les
tuyaux de fer étiré de 0",0122, de 0",0266 et de 0,03955
de diamètre étaient assez bien représentées par RI—0,00003198
Ut R 05%; mais qu'en se bornant aux tuyaux de 0",0266
et de 0%,03955 on représentait encore mieux les résultats
par

RI — 0,00007809 Ur! R- 0

Passant aux expériences de M. Bazin sur les lits décou-
verts, j'ai reconnu que celles qu'il a faites en très-grand
nombre avec des canaux en planches dont les rayons moyens
variaient de 0®,05 à 0",30 étaient assez approximativement
représentées par

R1 — 0,0002064 U25 R 018

Pour les canaux de dimensions analogues, rendus artifi-
ciellement rugueux par des liteaux, l’exposant négatif — n
de R devrait être porté à — +.

11 doit être, aussi, augmenté pour les lits en terre, autant
qu'on peut le conclure de séries d'expériences faites par di-
vers auteurs, et dont M. Bazin, en les discutant judicieuse-

ment, remarque les irrégularités nombreuses. Pour ceux de
petite dimension, tels que les rigoles dont le rayon moyen
n'excède pas 0,50, on devait faire n — + au moins; mais,
pour les grands cours d’eau, on ferait n = % ou +.

Cela est d'accord avec ce qu'indique la formule empirique
de M. Bazin, car si l’on s'impose la double condition d’avoir

1,95
la même valeur pour R=" que pour 0,00028 (1 + nu

et aussi les mêmes grandeurs pour leurs dérivées par rap-
port à R, quand on donne à ce rayon une valeur détermi-

1,25
1,95 + R’
nombre d'autant plus petit, comme on voit, que R est plus
grand.

née, l’on trouve qu'il faut prendre l’exposant n —

Or, en supposant même une erreur de plusieurs dixièmes
dans le choix de la valeur à donner à l’exposant — n de R,
elle influera peu sur la grandeur de l’exposant m + n + 1
ou à peu près 3 + n dont est affecté, comme on a vu, le

rapport = des sections avant et après le relèvement de
1

l’eau, et par conséquent le rapport Du

qui lui est sub-

stitué sensiblement quand la largeur est beaucoup plus
grande que la profondeur. C’est même vraisemblablement à
cause de cela que M. Bazin a trouvé que la formule ordi-
naire du mouvement _varié représente approximativement

I,
les remous de ses canaux artificiels en attribuant à — im ° u à

6
LE £ la même valeur que dans l’état primitif du courant,

ce qui reviendrait à faire n — 0. Mais l’ensemble des faits
dont cet ingénieur distingué a enrichi la science hydrau-
lique, et dont il m'a obliecamment communiqué le détail
avant leur publication, prouve que l’on obtiendra une ap-
proximation bien plus grande en donnant à cet exposant »

une valeur entre 0 et l, telle que 0,3 pour les grands
cours d’eau.

ROMA Ve

On reconnaît aussi qu'il y a à gagner du côté de l’ap-
proximation (voir ci-dessus) en donnant à l’exposant m de
la vitesse une valeur un peu inférieure à 2.

J'ai, en conséquence, calculé pour :

HP OT 00

de nouvelles tables de remous, et des formules d’interpola-
tion toutes faites et applicables à des grandeurs quelconques
des diverses données, dans des limites étendues. J'en indique
ici le principe avant le moment de les publier, ainsi que
les épures capables de les remplacer commodément dans
les cas habituels. Les chiffres et les courbes types ne difiè-
rent pas beaucoup de ce que donne mon travail de 1851, ré-
pondant, comme on vient de le voir, à m — 1,909, n — 0.

Sur quelques propriétés des surfaces anallagmatiques,
par M. Laguerre.

4. M. Moutard a le premier étudié d’un façon complète les
surfaces anallagmatiques, c’est-à-dire les surfaces du qua-
trième ordre qui ont pour ligne double l’ombilicale (1). Il à
montré que ces surfaces pouvaient être définies géométrique-
ment, comme l'enveloppe des sphères dont les centres par-
courent une surface du second degré A et qui coupent or-
thogonalement une sphère fixe S. Cette sphère peut être
désignée sous le nom de sphère directrice de la surface; son
centre est évidemment un pôle principal de l’anallagmatique
engendrée. Au point de vue géométrique, il est avantageux
de modifier un peu la définition précédente et de la présen-
ter ainsi : À la surface du second degré donnée À, on mène
un plan tangent quelconque qui coupe la sphère directrice S

(4) Voir le Bulletin de la Société philomathique, tome IV. Séance
du 6 avril 1867.

Extrait de l’Institut, 41° section, 4868.

suivant un cercle; par ce cercle, on peut faire passer deux
cônes isotropes, dont les sommets sont évidemment deux
points réciproques par rapport à la sphère directrice. Ces
deux points, lorsque le plan tangent prend toutes les posi--
tions possibles sur la surface À, engendrent la surface anal-
lagmatique, enveloppe des sphères ayant leur centre sur la
surface A et coupant orthogonalement la sphère directrice.

2. M. Moutard a montré que la surface ainsi définie pouvait
être engendrée de cinq manières différentes au moyen de
cinq surfaces du second ordre À, A;, A, À; et À,, et de
cinq sphères directrices correspondant à ces surfaces; que,
par suite, la surface anallagmatique possédait cinq pôles
principaux de transformation.

Je me propose dans cette note d'exposer de quelle façon
sont reliées entre elles les surfaces du second ordre qui
peuvent servir à la génération d’une anallagmatique donnée
et comment elles se rattachent géométriquement aux focales
de cette anallagmatique.

Les focales d’une surface sont, comme on le sat, ies l‘gnes
doubles de la développable isotrope qui lui est circonscrite.
M. Chasles a le premier donné cette notion de focale dans
son Aperçu historique, ete., et montré d’une façon précise,
ce qui était le point délicat de la question, la notion qui
dans l’espace correspondait à la notion du foyer dans le
plan. Il a développé du reste depuis les idées qu'il avait
alors émises, et je renverrai notamment sur ce sujet à une
note sur les surfaces du second ordre homofocales, insérée
aux comptes reudus de l’Académie des sciences (11 juin 41860),
note à laquelle, du reste, j'aurai, dans ce qui suit, plusieurs
fois occasion de me rapporter. ;

Une surface anallagmatique étant définie par une surface
du second degré À et une sphère directrice S, appelons C
l’anallagmatique sphérique qui résulte de leur intersection ;
la même surface peut être définie par quatre autres surfaces
du second degré A, As, A3, À;, et quatre shpères directrices
correspondantes Sy, 9, 53, 53. Soient Ci, Co, C3, C:, les
intersections respectives de ces surfaces, on voit immédiate-
ment que les anallagmatiques sphériques C;, C, C3, G, sont
les focales de la surface anallagmatique donnée.

Ces cinq focales ne sont pas indépendantes entre elles. Car,

10 =

étant pris l’une d’elles, C, par exemple, si on lui circonscerit
une surface développable isotrope, cette surface développable,
outre la courbe primitive C, renfermera d’autres lignes dou-
bles qui seront évidemment aussi des focales de la surface
proposée.

Or, ces autres lignes doubles seront précisément les quatre
anallagmatiques C1, C, C3 et CG.

De là résulte immédiatement le théorème suivant, qui mé-
rite peut-être, par sa simplicité, d'être explicitement énoncé.
Soient une courbe M résultant de l'intersection de deux
surfaces du second ordre P et Q, et une section plane quel-
conque R de la surface P, la surface développable circon-
scrite à la fois aux courbes M etR admet, comme lignes dou-
bles, outre la courbe M, quatre autres courbes du quatrième
ordre, et chacune de ces courbes est située sur une surface
du second ordre passant par la conique KR.

3. L’arête de rebroussement de la développable ésotrope
circonscrite à une surface du second degré jouit d’une pro-
priété curieuse signalée par M. Moutard dans les Nouvelles
Annales; elle consiste en ce que la projection de cette arête
sur chacun des plans principaux de la surface est la déve-
loppée de la focale contenue dans ce plan. Il existe une pro-
priété analogue relativement aux surfaces anallagmatiques.
Considérons une sphère directrice quelconque A et soient O
son centre et E l’arête de rebroussement de la développable
isotrope circonscrite, le cône ayant pour sommet le point
0 et pour base la courbe E coupera la sphère correspondante
A suivant le lieu des centres de courbures sphériques de la
focale située sur cette sphère.

4. Lorsqu'une surface, telle que la surface anailagmatique
considérée, contient l'ombilicale, la développable isotrope qui
lui est circonscrite se décompose en deux surfaces distinctes.
L'une est l'enveloppe des plans, pour lesquels le point de
contact avec la surface n’est pas sur l’ombilicale mème; les
lignes doubles de cette surface sont les focales ordinaires, et
dans le cas actuel elles se composent des cinq anallagmati-
ques sphériques dont j'ai parlé ci-dessus.

L'autre est l’enveloppe des plans qui touchent la surface
le long de l’ombilicale et ses lignes doubles sont les foraies
singulières. Dans le cas actuel, ces focales singulières se

composent de trois coniques qui sont les focales ordinaires
communes aux cinq surfaces A, A, As, A3, A;, A5, qui
peuvent servir à la génération de l’anallagmatique.

Les focales singulières, tout en jouissant des propriétés gé-
nérales des focales, s’en séparent cependant en certains
points ; ainsi, tandis que les focales ordinaires se transfor-
ment, par la méthode des rayons vecteurs réciproques, en
focales ordinaires de la transformée, il n’en est pas de même
des focales singulières. Les surfaces du système triple ortho-
gonal, découvert par M. Moutard et formé de surfaces anal-
lagmatiques, ont les mêmes focales ordinaires, mais leurs
focales singulières varient pour chaque surface.

4. Considérons une surface anallagmatique définie, comme
il a été dit au $1 au moyen d’une surface du second degré
À et d’une sphère directrice S.

La développable circonscrite à ces deux surfaces a quatre
lignes doubles qui sont des coniques. Soient K,, K, K; et
K, ces quatre coniques. D’après un théorème, dû à M. Chasles
(loc. cit.), par chacune de ces coniques on peut faire passer
une surface homofocale à A. Les quatre surfaces du second
degré ainsi déterminées seront précisément les surfaces A,,
A2, A3, A;, au moyen desquelles, d’après le théorème de M.
Moutard, on peut engendrer la surface.

Etant prise une de ces surfaces, par exemple la surface A,,
qui passe par la conique K,, il sera facile de déterminer la
sphère directrice correspondante. En effet, que l’on mène le
plan de la conique K,, il coupera la surface À suivant une
conique. Si l’on circonscrit à cette dernière conique et à la
surface À, une surface développable, cette surface, d’après
un théorème de M. Chasles (loc. cit.), sera circonscriptible à
une sphère, et cette sphère sera précisément la sphère direc-
trice correspondant à la surface À.

5. Divers théorèmes relatifs, soit aux surfaces du second
ordre homofocales, soit aux surfaces anallagmatiques, décou-
lent des considérations précédentes. Je me bornerai à énon-
cer les deux suivants :

Théorème I, — Etant donnés deux surfaces homofocales du
second ordre et un plan fixe H, par une droite D tracée
dans ce plan, menons les plans tangents aux deux surfaces.
En joignant les points de contact appartenant à des surfaces

OR E

différentes, nous obtiendrons quatre droites. Toutes les droites
ainsi obtenues, lorsque D se déplace dans le plan H, sont nor-
males à une même surface anallagmalique.

Soient S, T les coniques suivant lesquelles le plan H coupe
les deux surfaces homofocales données ; construisons une co-
nique quelconque passant par les quatre points d’intersection de
SetdeT;sila droite Dse meuttangentiellement à cette conique,
les droites obtenues par la construction précédente formeront
une surface développable, et par conséquent traceront sur
Panallagmatique une de ses lignes de courbure.

Théorème Il[.—EÆEtant données deux surfaces homofocales À
et B et une droite D, menons par celte droite les plans tan-
gents aux deux surfaces, et soient D et D! les points de contact
relatifs à la surface B, a l'un des points de contact relatifs à
la surface À; les droites ab ef ab! sont dans un méme plan
avec la normale au point a et également inclinées sur cette
normale. À

6. Les considérations que j'ai exposées dans cette note au
sujet des surfaces anallagmatiques s'appliquent évidemment
aux courbes planes anallagmatiques. Je me dispenserai donc
d’énoncer les propositions relatives à ces courbes.

Séance du 25 janvier 1868.
PRÉSIDENCE DE Me MANNHEIM.

M. Janssen fait une communication relative à l’éclipse de Soleil
du 6 mars 1867, et aux résultats que lui à donnés dans cette oc-
* casion l’analyse spectrale. |

Dans une deuxième communication, le même membre rend
compte des phénomènes géologiques qu’il a constatés à Santorin,
dans l’Archipel.

M. Wolf présente, de la part de M. Barbier, une note sur la
condition de l'élimination de l’erreur de lecture d’un cercle gradué,
provenant du jeu des tourillons dans les coussinets.

Sur la condition de l'élimination de l'erreur de lecture d'un
cercle gradué provenant du jeu des tourillons dans les
coussinets, par M. Wolf.

4. La lecture du point où un cercle gradué est rencontré
par une normale fixe varie pour une petite translation du
cercle d’une quantité qui est en général du même ordre.

Cette quantité est la projection de la petite translation,
qu'on appelle excentricité, sur une perpendiculaire à la
normale fixe, Dans un cercle gradué, mis successivement
dans plusieurs positions, l’excentricité varie de grandeur et
de direction.

2. Si la lecture se fait au moyen d’un microscope, comme
au cercle mural de Gambey, la valeur des tours de la vis
du micromètre en arc de cercle varie d’une quantité du
même ordre que l’excentricité et proportionnelle à la pro-
jection de translation sur la normale fixe.

Théorème 3. Si l'on suppose plusieurs normales fixes, la
moyenne des lectures des points où elles rencontrent le cercle
est affectée en général d'une erreur de méme ordre que l’ex-
centricuté; mais dans le cas où le centre des moyennes dis-
tances de ces points est au centre du cercle, l'erreur est d'un
ordre plus élevé; dans les conditions théoriques que nous
supposons, l'erreur ne dépasserait pas l’ordre du cube de
l'excentricité.

Théorème 4. Si les lectures se font au micromètre, à la
condition que l’on ait des microscopes égaux et placés à
égales distances des points qu'ils visent normalement, les
nombres de iours de vis lus aux différents micromètres étant
égaux, l'erreur sur la lecture moyenne est d’un ordre plus
élevé (troisième ordre) que l’excentricité, lorsque le centre
des moyennes distances des microscopes est au centre du
cercle.

9. Les formules données par M. de Littrow, dans son traité, -
expriment la proposition 3. Nous en déduisons en particu-
lier que si l'on n’emploie que cinq microscopes sur les six
microscopes disposés régulièrement autour du cercle de

— QD —

Gambey, l'excentricité n’affecterait pas à la première puis-
sance la moyenne de sept lectures ; savoir : les cinq lectures
à chaque microscope et la lecture répétée des deux micros-
copes les plus voisins du microscope non employé.

S'il arrivait, par hasard, qu’un microscope füt mal scellé,
on pourrait savoir, non-seulement. quelle couple de micros-
copes diamétralement opposés est défectueuse, mais le mi-
croscope qui doit subir l'examen de l'artiste.

6. On sait qu’on peut énoncer ainsi la condition donnée
ci-dessus de l'élimination de la première puissance de l’ex-
centricité.

Une moyenne de lectures n’est pas sensiblement altérée
par l’excentricité du cercle si chaque lecture, étant considé-
rée comme une force égale à 1 et agissant dans la direc-
tion du rayon correspondant du cercle, l’ensemble des forces
fictives qui en résultent est un système en équilibre.

7. Si, au lieu d’une graduation cylindrique, comme celle
du cercle de Gambey, on suppose une graduation plane,
dans une couronne circulaire, visée par des microscopes
perpendiculaires au plan de la couronne et parallèles à l’axe
de rotation du cercle, on élimine encore l’excentricité à la
première puissance, si le centre des moyennes distances des
points visés est sur l’axe; la seconde puissance ne serait pas
éliminée. Ce qui a été indiqué au n° à pourrait être dit du cer-
cle méridien de MM. Secrétan el Eichens; le n° 6 s’applique
à un cercle dont la graduation est plane comme à un cercle
gradué sur le pourtour cylindrique où est incrusté le limbe
qui reçoit la graduation. .

8. Si le limbe était tronc-conique et visé normalement
par des microscopes égaux, l’excentricité n'affecterait pas la
moyenne des lectures à faire aux points visés (on néglige les
puissances de cette excentricité supérieures à la première),
pourvu que le centre des moyennes distances des points vi-
sés füt sur l’axe de rotation du cercle.

Aux mêmes conditions, on peut dire avec une approxi-
mation de même ordre que l’excentricité n’affecterait pas la
moyenne des lectures faites au micromètre, si les nombres
de tours lus aux micromètres étaient égaux.

ne 7

Séance du 1° février 1868.
PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

M. Debray analyse les principaux points mis en lumière par ses
recherches sur la dissociation des corps.

Rapport de M. Dausse sur la candidature de M. Colladon au titre
de membre correspondant.

Séance du 8 février 1868.
PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

M. l'abbé Aoust adresse une note sur un principe de la théorie
des surfaces. . :

M. Alix rend compte de ses travaux sur l’anatomie de la Girafe
et de l’Autruche.

M. Moreau fait connaître de nouvelles expériences qu’il a insti-
tuées pour l’étude du suc intestinal.

Rapport de M. Rouché sur les travaux scientifiques de M. Chio,
candidat au titre de membre correspondant.

Sur un principe de la théorie des surfaces, par M. l'abbé Aoust.

[. — Il existe un principe d’une grande généralité dans
la théorie des surfaces ; cette généralité provient d’une fonc-
tion arbitraire de l’angle que font entre elles les lignes coor-
données, laquelle entre dans la relation dont il s’agit. Ce

principe contient, comme cas particulier, la formule de
Gauss, ainsi que celles que nous avons exposées dans notre
dernière note présentée à la Société sur la courbure des sur-
faces. (Voir l’Institut, numéro du 2 janvier 1868.)

Nous conservons les notations dont nous avons faitusage dans
cette note, avec cette différence que nous représentons par

en . les rapports des binomes : 1
K, K, PP T1 Vo lb pe Po R;
1 :
RER carré du sinus de l’angle + des lignes coordon-
1 2
RG
nées, étant les composantes normales à la sur-

fe. ra Be LB
face des courbures propres et des courbures inclinées des li-

1
K sont deux éléments qui
s’infroduisent d'eux-mêmes dans la théorie, et ils se compo-
sent de la même manière, le premier par rapport aux cour-
bures normales, le second par rapport aux courbures tangen-
tielles. Cela posé, si, dans les formules (31) de notre Théorie
des lignes coordonnées, nous supposons les deux dernières
surfaces orthogonales sur la première, les seconds membres
de ces équations qui sont linéaires par rapport aux cosnus
des angles des lignes coordonnées, se réduisent, et les deux
premières formules deviennent :

1
gnes coordonnées dc, do >
n

È cotg q)
te ; d
da (3, cotg ?) — di (L se en + Sin 9 se AR Ê
| K' K,
. “0 sin! @

Dis D. ASE 19 ? x
d; (di sin te) —d, (L sin del Te —+ sin K |

Nous concluons de ces deux formules que si l’on repré-
sente par une fonction arbitraire de l'angle +, par d, d”
les dérivées, première et seconde, de cette fonction par rap-
port à +, et qu'on pose pour abréger :

mr LE: VE
ON re A re

4106 2
on a la double équation qui représente le principe dont il

S'aoite

d
16] | (9) —di (L9') = mod 1 (9) — dé (L Ÿ) = |

Si l’on remarque que l’on a aussi:
2) dd = d (4) — di (le Ÿ) = de ( Ÿ) — de (Hi Ÿ});

on déduit des équations {6} les deux suivantes :

d
M) dl: 9) —d (by) = EN 4 Du,
rit ere ne

Ces deux formules forment un système de deux équations
dont la résolution donne séparément les deux éléments qui
se trouvent dans les seconds membres.

dv
H (4)
5) di — Ji) 9} — d {(b — }) v| = 2 d dv.

4) do (+ di) Ÿ} — d | + db) ÿ} = 2

Ces relations, comme il est aisé de le reconnaître, et comme
l'indiquent les chiffres placés entre accolades, sont analogues
à celles que nous avons déjà exposées ; mais elles sont gé-
nérales, puisqu'elles se rapportent à une forme quelconque
de la fonction 4. Malgré leur généralité, elles n’en sont pas
moins simples ; nous n’avons aucune raison de les altérer
par l’introduetion d’une hypothèse particulière sur les li-
gnes coordonnées. Car, à simple vue, on peut supprimer
les termes qui s’annulent par suile de cette hypothèse, tan-
dis qu’il serait difficile de restituer les termes absents.

Il. La généralité des conclusions qui en résultent, pour

D Dee

ainsi dire intuitivement, nous fait aussi une nécessité de
ne pas en restreindre la forme. En effet, si l’on intègre deux
fois de suite les équations {1} et (3}, une première fois par
rapport à p, entre deux valeurs de cette variable, une se-
_ conde fois par rapport à P2 entre deux valeurs de cette se-

conde variable, l'élément superficiel devient l’aire d’un qua-
drilatère ; soient «, 6, y, à, les angles de ce quadrilatère, et

d oi do pe

on les projections tangentielles des angles de con-
è À

tingence propre ou inclinée de l’une des lignes du contour

suivant que l'indice à sera égal à À ou à 2, on obtiendra les

deux équations dans lesquelles le signe ï s'étend à tout

le contour,

nov + rie [y

Life

B vo+vep+rm-vnas fr

ce
+ [fr

On voit que la première est analogue à celle de M. Bonnet,
et que le premier terme du second membre s'évanouit pESQne
le quadrilatère est géodésique.

IT. Les formes de la fonction 4 sont en nombre infini, il
y en a quatre qui méritent attention.

4° Lorsque Ÿ (eg) — +, l'élément TT devient = et l’on
trouve les formules de Gauss et de M. Bonnet.

2 Lorsque Ÿ (9) — cos +, alors, si l'on représente par
u et.v les angles plans de deux trièdres qui entrent dans

la question, l'élément ——— devient l'élément considéré

H (?)

= 9% —
COS WU COS v
par M. Gilbert (er RU

rème dû à ce savant géomètre, théorème analogue à celui
de Gauss et aussi celui qui est analogue à celui de M. Bonnet.

3° Lorsque 4 (9) — Log. sin v, si l'on représente par w et
v les angles de deux trièdres qui existent dans cette ques-
tion, l'équation {7} devient:

d d oi d ANSNCCS EUR RES NT: : sin & sin y
= ff se | RAR Due een 6 sin à

4 Lorsque % (9) — Log. tang +9, w, étant les angles
de deux nouveaux trièdres qui existent dans la question, la
même équation |7} donne:

d o d Le) COS 2 __ COS V2
— —= Log teens
J + TEnen rs UE Lt

6 d 6;
EH EN dE mo) SE sn 9 RS

| et l’on retrouve le tliéo-

et l’on voit que ces deux dernières formes de 4 nous sont
imposées par les équations (31).

I est inutile de dire que l'équation {8| donne naissance
à des formules du même ordre au nombre de huit.

Quelie que soit la forme de Ÿ, l'élément =—— ne dépend

d w
H (4)
jamais que des paramètres différentiels du premier ordre et
de leurs variations, et de l'angle des lignes coordonnées.
Cet élément reste inaltérable dans la déformation des surfaces
applicables.

Si, maintenant, on élimine des équations du n° [ les va-
riations des projections tangentielles des angles de contin-
gence propre et inclinée des lignes coordonnées au moyen
des formules du n° VIII de notre premier mémoire sur les

— Sp)

coordonnées (Journal de Crelle), formules dans lesquelles il
n’y à rien à changer, on tombe sur une série de formules
que nous n’avons aucun intérêt à transcrire, et qui sont
analogues aux relations entre les courbures propres et les
courbures inclinées qui se trouvent dans les numéros X et
XI du mémoire déjà cité. Ces formules renferment la pre-
mière du n° III de la dernière note de M. Gilbert, et que
Cauchy avait déjà fait connaître en 1844 (Comptes rendus,
1844).

Outre les deux mémoires d'analyse que nous avons pu-
bliés sur les coordonnées curvilignes, nous en avons écrit
deux autres qui ont été présentés en 1861 et 1862, l’un au
Comité des Sociétés savantes et l’autre à l’Académie des
sciences de Paris. Ces mémoires, exclusivement géométri-
ques, qui se trouvent dans les archives de ces deux Sociétés,
seront publiés, et les lecteurs pourront se convaincre que
l’un des deux repose exclusivement sur la formule des courbu-
res inclinées, sans que pourtant nous ayons eu besoin d’intro-
duire l'angle des tangentes conjuguées.

Séance du 15 février 1868.
PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

M. Ribaucour fait une communication sur les courbes enveloppes
de cercles et les surfaces enveloppes des sphères. Il énonce en outre
ce théorème : lorsque, pour une surface, les rayons de courbure
principaux en chaque point sont fonction l’un de l’autre, les nappes
de la surface des centres de courbure de la surface considérée
sont applicables sur une surface de révolution.

Para

Sur les courbes enveloppes de cercles, et sur les surfaces
enveloppes de sphères, par M. Ribaucour.

EL. — Si de chacun des points d’une spirale logarithmique,
comme centre, on décrit un cercle orthogonal à un cercle fixe,
ayant son centre au pôle de la spirale, la somme de deux
arcs correspondants de l'enveloppe est évaluable en arc d’hy-
perbole.

Si de tous les points d'une épicycloiïde, comme centres, on
décrit des cercles orthogonaux à un cercle fixe, concentrique
à la base de l'épicycloïide, la somme de deux arcs correspon-
dants de l'enveloppe est évaluable en arc d’ellipse.

Une courbe (C) roule sur une droite (D) en entraînant un
point o qui décrit une trajectoire (0); de tous les points de
(O) comme centres on décrit des cercles tangents à la
droite (D) :

La somme des arcs correspondants de l'enveloppe de cette
série de cercles est double de la longueur correspondante de
la seconde podaire positive de (C) par rapport au point o.

Si de tous les points d’un arc (C), comme centres, on dé-
crit des cercles orthogonaux à un cercle fixe de centre 0,
l'enveloppe de cette série de cercles est ce que M. Moutard
a appelé une courbe anallagmatique.

Je désignerai par aire de cette anallagmatique la différence
des aires comprises entre chacune des branches de l’enve-
loppe la ligne (C) et les normales extrêmes.

Lorsque le point o se déplace dans le plan, en entraînant
avec lui le cercle orthogonal à toute la série, lanallagma-
tique se déforme et son aire varie.

Il y a un point dans le plan pour lequel l'aire de l’anallag-
matique est un minimum; ce point est le centre de gravité
de l’urc (C) supposé chargé en chacun de ses éléments d’une
masse proportionnelle à la courbure.

Si le point o se déplace sur un cercle ayant pour centre ce
point particulier, l’aire de l’anallagmatique reste constante.

Considérons toutes les séries de cercles ayant même ligne
de centres, les rayons de l’une d'elles se déduisant de ceux
d’une autre par la relation :

La différence entre la longueur de la courbe enveloppe des
cordes communes d’une série et l'arc correspondant de la dé-
veloppée de (C) est proportionnelle au carré du coefficient k.

Supposons que l’on charge chaque branche de l'enveloppe,

en chacun de ses points, d’une masse proportionnelle à
l'angle de contingence, et qu'on cherche le centre de gra-
vité “du système formé par deux arcs correspondants de l'en-
veloppe.
. Les centres de gravité de courbure de toutes les séries
sont situés sur une même droite passant par le centre de gra-
vité de courbure de l'arc correspondant de la ligne des centres,
et le quotient de leur distance à ce point par le carré du
coefficient k est constant.

Supposons les courbes enveloppes matérielles et homogènes,
et cherchons leur centre de gravité, en admettant que les
masses sont positives sur l’une des branches et négatives
sur l’autre.

Les centres de gravité de toutes les enveloppes sont en
ligne droite.

Le centre de gravité de l'aire comprise entre deux courbes
parallèles ferrées coïncide avec le centre de gravité de la
courbe parallèle médiane.

Si les courbes ne sont pas fermées, les deux centres de
gravité sont sur une droite parallèle à la bissectrice de l'angle
des normales extrémes.

IL. — De tous les points d’une courbe gauche (C) on dé-
crit des sphères dont les rayons sont liés par une relation
permettant d’en connaître le rayon lorsque la position du
centre est fixée sur la courbe donnée. Ces sphères ont une
enveloppe qui admet un système de lignes de courbures
circulaires.

Les normales à l'enveloppe le long de l’un des cercles de
courbure forment un cône de révolution.

Les centres de courbures principaux, sur ces normales,
sont le sommet du cône et les différents points d'une conique
section du cône par un plan perpendiculaire au plan oscula-
teur en © à (C).

La surface tangente aux normales à l'enveloppe des sphères

DR OO ES

se compose de (C) et d'une surface qui admet une série de
sections planes du second degré; les lignes conjuguées de ces
coniques sont des géodésiques passant par les ombilics de la
surface ; elles sont toutes égales entre elles.

En particulier : les géodésiques passant par deux ombilics
opposés d'un ellipsoïde sont toutes égzles entre elles.

Supposons que la ligne des centres (C) soit déformée en
conservant même tangente et même plan osculateur au
point c. 1

Quelle que soit la déformation, le plan de la conique cor-
respondant au point c rencontre la tungente en © à (C) en un
point fixe.

Les différentes lignes de courbure circulaires ont une en-
veloppe formée de deux branches que, d'après Monge, nous
nommerons l’arête de rebroussement de l'enveloppe de
sphères. ‘

L'arêie de rebroussement est l'intersection de la surface en-
veloppe avec la surface tangente aux normales de l'enveloppe.

Les différentes arêtes de rebroussement des enveloppes pa-
rallèles forment, sur la surface tangente aux normales, une
série de lignes orthogonales aux géodésiques ombilicales.

Sur chacune de ces courbes orthogonales aux géodésiques
passant par les ombilics, on doit considérer des ares corres-
pondants, puisqu'elles sont les enveloppes des lignes de
courbure circulaires d’une enveloppe de sphères.

La différence entre les arcs correspondants d’une trajectoire
orthogonale, comprise entre deux coniques tracées sur la sur-
face, est proportionnelle à la distance d’un ombilic à cette tra-
jectoire. $

Si l'on déforme la ligne des centres (C) sans faire varier
sa seconde courbure, la différence de deux arcs correspon-
dants de l’arête de rebroussement reste constante.

Si l’on déforme (C) sans faire varier sa première courbure,
la somme de deux arcs correspondants de l’arête de rebrous-
sement reste constante.

Si l’on déforme (C) d’une manière quelconque, l'aire de la
surface enveloppe de sphères comprise entre deux lignes de
courbure circulaire reste constante; le volume compris entre
la surface et les plans de ces deux cercles reste aussi constant.

Si parmi les lignes de courbure non circulaires d’une enve-

MÉRC ES

loppe de sphères, deux sont planes, toutes les autres le sont
aussi; tous ces plans passent par une même droite; si l’on
rabat les lignes de courbure autour de cetle droite sur un
même plan, on peut les considérer comme les trajectoires or-
thogonales d'une série de cercles.

Si (C) est une courbe plane, elle admet deux lignes de
courbure situées dans ce plan. Les surfaces gauches passant
par l’une de ces lignes et toutes les lignes de courbure non
circulaires de l'enveloppe rencontrent le cylindre, dont le lieu
des centres des cercles de courbure est la base, suivant des
courbes dont les ordonnées au-dessus du plan de (C) sont entre
elles dans un rapport constant.

La longueur d'un arc de géodésique tracée sur une surface
de révolution est proportionnelle à l'aire comprise entre la
projection de cet arc, sur un plan perpendiculaire à l'axe de
révolution, et les rayons issus du pied de l'axe aboutissant
aux projections des extrémités de l'arc.

IL. — De tous les points d’une surface (S) on décrit des
sphères dont les rayons sont liés aux coordonnées des cen-
tres par une relation permettant d'en connaître le rayon
lorsque la position du centre est fixée sur la surface donnée.
Ces sphères ont une enveloppe qui se compose de deux
nappes.

A une ligne tracée sur (S) correspondent deux lignes
tracées sur les deux nappes de l'enveloppe.

Par chaque point de (S) passent deux lignes telles que les
courbes correspondantes tracées sur les deux nappes sont
égales.

Si l’on joint deux à deux les quatre centres de courbure
principaux situés sur les normales aux deux nappes issues
d’un point de (S) on a quatre droites qui donnent lieu à
deux points d’intersection.

Quelle que soit la déformation de la surface des centres
aux environs du point considéré, cette droite qui joint ces
deux derniers points d'intersection rencontre le plan tangent
en un point fixe.

Si l’on trace un contour fermé quelconque sur la surface
des centres (S), on a deux contours analogues sur les deux
nappes de l’enveloppe.

4° Quelle que soit la déformation de (S), la somme des va-

Extrait de l'Institut, 1r° section, 1868. 3

Ur ee

leurs sphériques des aires limitées par ces deux contours est
constante. |

2 Quelle que soit aussi la déformation de (S), la somme
des aires comprises entre ces deux contours est constante.

3° Le volume compris entre les normales issues du contour
tracé sur (S) et les deux nappes de la surface enveloppe
reste constant, quelle que soit la déformation de (S).

Si l’on considère toutes les séries de sphères dérivées d’une
série par l'équation :

RER

pourvu que la surface (S) soit une surface à étendue minima,

4° La différence entre les aires de deux contours conjugués
relatifs à un contour tracé sur (S) est proportionnelle au
cube du coefficient k.

2 La différence entre les volumes limités par les contours
conjugués, le contour tracé sur (S) et les normales à l’enve-
loppe issues de ce dernier, est proportionnelle à la quatrième
puissance du coefficient k.

En général, si l’on considère la droite qui joint deux
points conjugués relatifs à un point de (S), cette droite,
dans ses différentes positions, n’est pas normale à une sur-
face ; mais s’il arrive que pour une enveloppe de sphères
ces cordes de contact soient toutes normales à une même
surface, les enveloppes de sphères dérivées par l’équation

R' = FR

jouiront de la même propriété.

Les centres de courbure principaux situés sur toutes les
cordes de contact relatives à un point de (S) appartiennent à
une méme conique.

La considération des enveloppes de sphères montre que :
si l'on trace une série de courbes sur une surface, et que l’on
mène tous les plans normaux à la surface tangente à ces
‘courbes, ces plans sont tangenis à une autre surface.

J'en déduis que : si deux surfaces,*vues d’un point quel-

conque de l’espace semblent se Couper à angle droit, elles sont
tangentes aux normales d'une même surface (1).

Séance du 22 février 1868.
PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

Lettre de M. de Caligny, transmettant une note relative aux ex-
périences faites à Billancourt sur un de ses appareils à élever Er
au moyen d’une chute d’eau.

M. Laurent donne quelques détails sur le forage du puits arté-
sien de la Chapelle et sur les instruments employés pour l’achè-
vement de ce travail.

M. de Caligny a communiqué dans cette séance quelques
résultats d'expériences sur son appareil à élever de l’eau, au
moyen d’une chute d’eau, qui a fonctionné aux expositions
universelles de 1855 et 1867.

Il rappelle que, dans un mémoire publié sur cet appareil
dans le Journal de Mathématiques de M. Liouville (année
1862, pages 169 à 200), il n’avait annoncé qu’un effet utile
de 50 pour cent en eau élevée. Aujourd’hui l'effet utile pa-
raît dépasser sensiblement 60 pour cent, et l’auteur espère
obtenir 70 au moyen d’une construction plus soignée.

Le jury international de l'exposition universelle de 1867
lui a décerné une médaille d'argent, surtout à l’occasion de
ces nouvelles expériences. Il est peut-être convenable d’at-

(4) Il y a déjà quelque temps, M. Mannheim est arrivé à cette
proposition par une voie toute différente.

0 —

tendre la publication du rapport avant de rendre compte de
tous les détails des expériences faites par la Commission.
Mais M. de Caligny croit savoir que le jury a admis un effet
utile moyen ayant peu différé de 60 pour cent. Il espère, au
reste, que ces expériences vont être variées à l'Ecole d'agri-
culture de Grignon, où cet appareil doit être employé à faire
des irrigations d’une manière utile.

Le jeu automatique du système repose sur un principe
nouveau de succion, assez difficile à comprendre. Plusieurs
savants ont cherché à l'expliquer; mais quand on a voulu
en donner des explications différentes de celles qui se trou-
vent dans le mémoire précité de 1862, on a dit des choses
contraires aux faits observés.

Le phénomène dont il s’agit manifeste d'autant plus son
intensité, que la levée alternative du tube mobile (qui peut
À la rigueur être la seule pièce mobile du système) est
moindre relativement au diamètre du tuyau de conduite fixe.
On sait done mieux ce qu'on fait, quand ces levées sont
relativement assez petites. Or, dans les dernières expériences
dont il s’agit, on a augmenté l'effet utile en ne donnant pas
à ces lévées autant de hauteur qu'il semblait, au premier
aperçu, qu'on devait le faire.

Comme il faut une certaine vitesse de sortie de l’eau pour
engendrer une force de succion convenable au but proposé,
on conçoit que, pourvu qu'il n’en résulte pas trop de force
vive perdue par suite d’une vitesse suffisante, l'espèce d’étran-
glement resultant d’une petite levée n'a pas l'inconvénient
d’un étranglement qui aurait lieu pour des vitesses perma-
nentes, tandis qu'ici les vitesses augmentent graduellement.

M. de Caligny, en étudiant les diverses résistances passives,
a été conduit par le calcul différentiel à une équation du
troisième degré, d’où il résulte qu’il n’est pas nécessaire, pour
un bon effet utile que la quantité d'eau élevée à chaque
période de l'appareil soit aussi grande qu’on l’avait cru jus-
qu’à ce jour. Cela explique pourquoi, dans certaines limites,
d'assez petites levées du tube mobile, fournissant ainsi un
orifice d'écoulement moindre qu'on ne l'avait cru nécessaire,
ont pu augmenter l'effet utile, expressions qui désignent,
comme on sait, un rapport dans les ouvrages sur l'hydraulique.

M. de Caligny reviendra sur ce sujet après de nouvelles

ET RE

expériences sur les diverses parties des résistances passives ;
mais On peut provisoirement admettre qu’il est rationnel de
diminuer de moitié la levée du tube mobile, qui donnerait
une section de sortie égale à celle du tuyau de conduite fixe,
du moins dans certaines circonstances.

Sur le puits artésien de la place Hébert, par M. Laurent.

_ Dans la séance du 23 février 1867, j’ai eu l'honneur d’en-
tretenir la Société de diverses circonstances assez graves qui
étaient survenues dans le tubage du puits artésien foré
place Hébert, à la Chapelle.

Vous le savez donc, on avait été en apparence assez heu-
reux pour faire arriver un tube unique de 1",62 de diamètre
intérieur jusqu'à une profondeur de 121,66, maïs à cette
profondeur, malgré tous les efforts, il avait été impossible
de le pousser plus loin. On avait dû s'arrêter parce que la
base du tube se déplaçait de la verticale et qu’en outre une
déformation se manifestait sur une longueur de près de onze
mètres, en différents points.

Le remède était simple, c'était celui prévu dès le principe,
qui consistait à descendre une deuxième série de tubes. Ceux-
ci offraient encore un diamètre intérieur de 4,39, supérieur
aux exigences du traité qui portait l’arrivée à la craie à
10,20 au maximum.

Cette circonstance de déplacement et de déformation nous
a forcé à prendre quelques centimètres sur les dimensions
que cette seconde colonne de tubes aurait pu avoir si tout
avait marché régulièrement, et cela était prudent, car, mal-
gré cette diminution du diamètre, cette dernière colonne
s'enserra à l'endroit où la précédente avait souffert, et
éprouva elle-même une déformation assez sensible. M. Gault,
qui dirige ce travail avec une rare intelligence, eut l’ingé-
nieuse idée d'adopter des galets au trépan, de manière à
exercer des pressions successives sur les génératrices et de

ReNST

récalibrer ainsi cette colonne. Ce procédé assez énergique a
parfaitement réussi et le mal ainsi réparé ne s’est pas reproduit,

Cette circonstance fâcheuse a permis d'apprécier une fois
de plus l'énorme importance d’une verticalité aussi complète
que possible dans de semblables travaux et quelle gravité
peuvent acquérir des déviations. En effet, on comprend que
nos instruments ne peuvent que momentanément abandon
ner la verticale, ils y reviennent toujours, la difficulté passée;
mais alors le sondage présente une courbure plus ou moins
prononcée en ce point. Or, si la partie convexe de cette
courbure arrivait jusqu’à la moitié du diamètre, non seule-
ment la descente du tubage pourrait être fatalement entravée,
mais la marche de la sonde elle-même.

Quelques reproches que l’on puisse faire à un sondeur de
manquer d’audace s'il se refuse à des moyens énergiques
pour arriver à tel ou tel résultat désiré, si ces moyens ne
lui présentent qu’une sécurité douteuse, il devra toujours
préférer le reproche à risquer de compromettre un sondage
par des manœuvres en dehors des règles de la prudence, et
j'appelle ainsi toutes celles dont l'efficacité peu assurée ex-
pose à des inconvénients probables ou seulement possibles.
L’audace devient alors de la témérité, et si celle-ci a quel-
quefois donné le succès, bien plus souvent aussi elle a amené
des déceptions. |

Dans le cas présent, on voit que si la première colonne,
maintenue libre à sa base, n’eût été abandonnée qu'à son
propre poids, qui était de 100000 kilogrammes environ,
poids bien suffisant pour vaincre des frottements énergiques,
elle se fût arrêtée vers 105 ou 110 mètres. A cette profon-
deur, elle ne marchait plus que difficilement et dans un
terrain ébouleux seulement sur un côté; il devenait donc
redoutable de la forcer dans sa descente. On devait conclure
qu'il fallait de fortes pressions latérales pour la retenir et on
avait la certitude que celles-ci se faisaient inégalement.
Malgré la perspective séduisante de mener un tubage unique
jusqu'à 193 mètres, si on se füt arrêté à 410 mètres, il faut
reconnaître aujourd'hui qu’on eût évité 10 mètres d’un tu-
bage inutile, gagné du temps, ce qui se serait traduit par
100 mètres de profondeur acquise en plus, assuré une ver-
ticalité complète de l’ensemble, tandis qu'aujourd'hui on

n’en est sûr qu'à quelques centimètres près. Si bien qu’a-
vant de descendre la colonne définitive qui devra aller jus-
qu’à la nappe aquifère, il faudra s'assurer de cette vertica-
lité. Pour cela, on descendra une dizaine de mètres de cette
colonne comme calibre, avant d’en opérer la construction
complète, qui ne comportera pas moins de 600 mètres de
longueur.

Les essais de toute nature et le tubage complet des ter-
rains tertiaires ont duré du 16 décembre 1866 au 20 juillet
1867, plus de six mois. Le 21 juillet la craie a été attaquée,
au diamètre de 1,35, et au 31 décembre on était à 330,39,
ce qui donnait depuis 137,75 un approfondissement de
192%,64, soit environ 12,18 par jour, en y comprenant, ac-
cidents, jours de fêtes ou chômages.

Le: 1% janvier 1868, on a arrêté les travaux pour répara-
tions et modifications importantes aux machines; elles ont
été terminées le 14 février. Aujourd’hui, 22, on est arrivé à
la profondeur de 839%,99, en bonne et régulière marche de
12,10 à 12,15 par jour.

Cette nécessité de réparation a eu ce côté favorable en ce
que l'interruption des travaux a eu lieu dans un moment
rigoureux de la saison. Or, pour la manœuvre des sondes,
les grands abaissements de température sont les instants
fertiles en accidents à cause des ruptures plus fréquentes des
fers.

Séance du 29 février 1868.
PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

M. Transon fait la communication suivante : Application de l’al-
gèbre des nombres directifs à la géométrie.
M. Chio, de Turin, est nommé membre correspondant.

Séance du 7 mars 1868.
PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

M. Delanoue rend compte d’un travail de M. Chevalier sur le
système de Cialdi, destiné à combattre les atterrissements en avant
des jetées.

Communication de M. de la Gournerie sur les lignes spiriques.

Séance du 14 mars 1868.
PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

M. Laussedat fait une communication sur le sidérostat.

M. Laguerre traite des cassiniennes planes et sphériques.

M. Transon complète l'exposé de ses recherches sur l'application
de l’algèbre des nombres directifs à la géométrie.

Sur les cassiniennes pianes et sphériques, par M. Laguerre.

4. On peut considérer une anallagmatique sphérique comme
le lieu des points de contact des plans tangents à une conique
fixe K et à une sphère. Soit S le cercle suivant lequel le
plan de la conique coupe la sphère; si l’on peut inscrire
dans le cercle S un quadrilatère circonserit à la conique K
(et alors, d’après le théorème de Poncelet, on pourra le faire
d’une infinité de façons) en désignant par «a, 8, y, à, les

PERTE re SS

sommets consécutifs d'un tel quadrilatère, les divers points m
de l’anallagmatique satisferont à une relation de la forme

Ma. MY
— constante.

mê. md

J'ai signalé cette propriété dans une note insérée au Bullelin
de la Société philomathique (mars 1867).

Les courbes qui jouissent de cette propriété constituent dans
l’ensemble des anallagmatiques un groupe remarquable et
jouissant de propriétés spéciales dignes d'intérêt. Je les dési-
gnerai sous le nom de cassiniennes, par analogie avec l’ellipse
de Cassini qui peut être regardée comme leur type principal.

9. Je vais donner ici une autre définition de ces courbes,
qui, quoique moins simple peut-être en apparence que la
précédente, se prête bien mieux aux recherches géométriques.

Soit, en général, tracée sur une sphère une anallagma-
tique; par cette courbe passent quatre cônes dont les som-
mets forment un tétraèdre conjugué par rapport à la sphère.
Prenons une quelconque des arêtes de ce tétraèdre et l’arête
opposée qui est sa polaire par rapport à la sphère. Il sera
facile d'établir les propositions suivantes. Toute droite qui
passe par un point a de l’anallagmatique et qui s'appuie sur
les deux arêtes du tétraèdre considérées, coupe la sphère en
un second point b qui appartient aussi à l’anallagmatique. Je
dirai que les deux points a et b sont conjugués, et, pour
simplifier le langage, j'appellerai simplement corde la droite
qui joint deux points conjugués. Si l’on désigne par P et Q
les points où l’une des arêtes considérées coupe la sphère, il
résulte de ce qui précède que deux points conjugués quel-
conques et les points P et À sont toujours situés sur un même
cercle et partagent ce cercle enharmoniquement. Par suite,
si l’on appelle I le point milieu du segment PQ, il en résulte
que le produit des distances du point I à deux points conju-
gués quelconques est constant et que les droites qui joignent
ce point milieu aux deux points conjugués sont dans le même
plan que la droite PQ et également inclinées sur cette
droite (*).

(*) Le point I est donc pour l’anallagmatique un des points que

2,70) —

3. Comme dans un tétraèdre il existe trois couples
d’arêtes opposées, on voit que pour une anallagmatique
donnée, on peut imaginer trois modes de groupement des
points.

Or, si la courbe est une cassinienne, on pourra choisir les
deux arêtes du tétraèdre de telle sorte que les points conju-
gués fournis par le mode de groupement correspondant
jouissent de la propriété suivante :

Si l’on prend le conjugué harmonique d’un point quel-
conque de la sphère P par rapport à chaque couple de points
conjugués (**), c'est-à-dire si, sur le cercle passant par le
point P et chaque couple de points conjugués, on prend le
conjugué harmonique de ce point, le lieu des points ainsi
obtenus est un cercle.

Pour abréger, je désignerai simplement ce cercle sous le
nom de cercle correspondant au point P.

La propriété précédente est caractéristique et peut servir
de définition à la cassinienne.

Considérons une sphère et deux droites quelconques dont
chacune soit la polaire réciproque de l’autre par rapport à
la sphère. Sur cette sphère on peut tracer une infinité de
courbes jouissant de la propriété énoncée au paragraphe 2,
que toute droite passant par un point de la courbe et
s'appuyant sur les deux droites fixes dont je viens de parler
rencontre la sphère en un second point de la courbe. Je
désignerai les deux points de la courbe situés sur une telle
droite sous le nom de points conjugués. Maintenant, consi-
rons le lieu des points qui sont conjugués harmoniques d’un
point R de la sphère, par rapport aux différents couples de
points conjugués d’une courbe quelconque de l'espèce dont
je viens de parler. Si ce lieu est un cercle pour une position
particulière quelconque du point P, il en sera de même
quelle que soit la position de ce point sur la sphère et la
courbe considérée sera une cassinienne.

M. Moutard a désignés sous le nom de pôles secondaires de transfor-
mation.

(*) Voir Bulletin de la Société philomathique, février 1867.

HR 23 0

Dans tout ce qui suit, je considérerai exclusivement le
mode de groupement qui donne lieu à la proposition énoncée
ci-dessus ; en sorte que le point conjugué d’un point de la
courbe sera parfaitement déterminé. Des deux arêtes du
tétraèdre considérées, il y en a toujours une qui coupe la
sphère en deux points réels; je désignerai ces deux points
par les lettres P et Q.

Ceci posé, on établira facilement les propositions suivantes.

4. Si l’on considère une corde quelconque d'une cassinien-
ne, c'est-à-dire la droite qui joint deux points conjugués,
sa polaire réciproque par rapport à la sphère, sur laquelle
est tracée la cassiniènne, rencontrera cette sphère en deux
points conjugués de la courbe et sera par conséquent aussi
une corde.

De là résulte que la surface engendrée par toutes les cordes,
surface qui est du 4 degré, est à elle-même sa polaire
réciproque.

5. La propriété précédente constitue une propriété carac-
téristique des cassiniennes et l’on peut énoncer la propriété
suivante :

Si une anallagmatique est telle qu'une droite passant
par deux points de cette courbe ait pour polaire, par
rapport à la Sphère sur laquelle elle est tracée, une droite
rencontrant la courbe en deux points, cette anallagmatique
est une cassinienne dont la droite proposée ainsi que sa
polaire sont des cordes ; et alors, d’après le théorème pré-
cédent, il y a une infinité de droites qui jouissent de la
même propriété.

6. Si À désigne le cercle correspondant à un point R de
la sphère, les cercles correspondants aux divers points du
cercle À passeront par le point R.

7. Le cercle correspondant à un point de la courbe lui
est tangent en ce point et coupe la courbe en deux autres
points qui sont conjugués.

8. Considérons une corde quelconque d’une cassinienne;
par cette corde on peut mener quatre plans tangents à la
courbe. Deux des points de contact se trouveront sur la
polaire de la corde, les deux autres seront deux points con-
jugués. Si, par la corde qui joint ces deux derniers points,
on mène des plans tangents à ia courbe, deux des points de

— 44 —

contact seront les points conjugués formant les extrémités
de la première corde considérée.

Deux cordes liées entre elles de la façon que je viens
d'indiquer seront dites cordes associées.

Leur propriété principale est renfermée dans la proposition
suivante :

Toute droite qui touche la sphère sur laquelle est tracée
une cassinienne en un point de cette courbe et rencontre une
de ses cordes, rencontre aussi la corde qui lui est associée.

9. Cette propriété donne lieu au théorème suivant:

Siune droite se déplace en s'appuyant sur deux droites
fites et en restant tangente à une sphère, la courbe suivant
laquelle la surface ainsi engendrée touche la sphère est une
cassinienne dont les deux droites fixes sont deux cordes ;
et, d’après la proposition précédente, la cassinienne ainsi
obtenue peut être engendrée d'une infinité de façons au moyen
de deux cordes associées quelconques de la courbe.

10. Une cassinienne est complétement définie lorsqu'on
connaît les deux points P etQ, qui sont conjugués harmoniques
par rapport à tous les couples de points conjugués, et le
cercle À correspondant à un point R de la sphère.

Soit M un point quelconque de la sphère et N son réci-
proque par rapport au cercle À, je veux dire le point où
la sphère est percée par la droite qui joint le point M au
pôle du plan du cercle. Il est facile de déterminer sur la
sphère deux points & et y, qui soient en rapport anharmo-
nique avec les points M et R, ainsi qu'avec les points P et
Q. On peut, si l’on veut, considérer les droites PQ et MR
ainsi que leurs polaires; il y aura deux droites qui les ren-
contreront toutes les quatre, et ces droites seront elles-mêmes
polaires réciproques. Par suite, il y en aura une et une
seule qui coupera la sphère en des points réels; ces deux
points seront les deux points & et y cherchés. On détermi-
nerait de même deux points Ê et à qui soient conjugués
harmoniques par rapport aux couples de points N,R et P, (.

Cela posé, un point quelconque m de la cassinienne
considérée satisfera à la relation suivante :

ma. MY

——— —= Constante.
mé. m

LE PONS

On voit que les points à et y sont deux points conjugués
de la sphère, en prenant ce mot dans le sens où je l'ai em-
ployé au $ 3, c’est-à-dire que la droite &« + rencontre la
droite fixe P Q ainsi que sa polaire; il en est de même des
points et à. De plus il est évident que l’un des quatre
points peut être pris arbitrairement. On peut donc énoncer
la proposition suivante :

Etant donnée une cassinienne et étant pris arbitraire-
ment sur la sphère sur laquelle elle est tracée un couple
quelconque de points conjugués, il est toujours possible de
trouver un autre couple de points conjugués, de telle sorte
que le produit des distances d’un point de la courbe aux points
du premier couple soit dans un rapport constant avec le
produit des distances du même point aux points du second
couple.

11. En particulier, il y existe toujours sur une sphère
un couple de points conjugués qui sont diamétralement op-
posés. Pour les obtenir il suffit de mener par le centre de
la sphère une droite s'appuyant sur la droite P Q et sur sa
polaire. Désignons par a et a ce couple de points; on
pourra déterminer d’après le théorème précédent deux autres
points c et d, tels que pour tout point de la courbe l'on ait
la relation :

ma. Mme

a — Cons Anie.
mc. md
ou encore :
sin Z ma. sin L Ma.
EE. — ONcANte:
mc. md
et, comme sin + »4a — cos £ ma, la relation précédente
pourra s'écrire de la façon suivante :
sin ma
= — Constante.
mc. md

D'où la proposition suivante :

MP AE

Étant donnée une cassinienne, on peut toujours détermi-
ner un diamètre de la sphère sur laquelle elle est tracée
et deux points fixes de cette sphère, de telle sorte que
le produit des distances d’un point quelconque de la
courbe aux deux points fixes divisé par la distance de ce
même point au diamètre donne un quotient constant.

12. Si par une corde d'une cassinienne fixe et deux
points conjugués quelconques, on mène des plans, ces divers
plans forment un faisceau en involution, et les deux plans
doubles de l’involution coupent la sphère suivant deux cer-
cles orthogonaux.

15. Soient À, Bet C, D deux couples quelconques de
points conjugués d’une cassinienne; et soient a, b, c, d,
les points de la sphère qui leur sont diamétralement opposés;
m, désignant un point quelconque de la courbe, la différence
des aires des triangles sphériques mac et mbd est constante.

14. Les cassiniennes se changent en cassiniennes par une
transformation quelconque par rayons vecteurs réciproques.
Aux couples de points conjugués de la première courbe cor-
respondent des couples de points conjugués de la transtor-
mée.

En particulier, au moyen d’une projection stéréographique,
les cassiniennes sphériques se transforment en cassiniennes
planes. Je me bornerai, au sujet de ces courbes, à énoncer
quelques propriétés que ne partagent pas les cassiniennes
sphériques.

Si l’on désigne par a, b'et c, d deux couples quelconques
de points conjugués, la différence des angles sous lesquels
ces segments ac, et bd, sont vus d'un point quelconque de
la courbe est constante.

15. Dans le cas où la cassinienne est du 5° degré, la
différence de ces angles est nulle.

On peut donc dire que la cassinienne cubique est le
lieu d’où deux segments de droite sont vus sous des angles
éqaux.

L'on en déduit que si l’on joint un point fixe de la
courbe à tous les couples de points conjugués, toutes les
droites ainsi obtenues sont également inclinées sur deux
droites fixes rectangulaires.

16. Le lieu des points milieux des droites qui joignent les

Fée

res

points conjugués d’une cassinienne plane est un cercle. Lors-
que la cassinienne est du 3° degré, ce cercle se réduit à une
droite.

Par chaque point de ce cercle (ou de cette droite) passent
deux cordes de la cassinienne se coupant orthogonalement.

L’enveloppe des cordes d’une cassinienne plane est une
courbe de quatrième classe ayant pour foyers les deux
foyers singuliers de la courbe et les deux points fixes du
plan qui sont en rapport harmonique avec chaque couple de
points conjugués.

Lorsque la cassinienne est du troisième degré, elle n’a
plus qu’un foyer singulier et l'enveloppe des cordes est alors
une courbe de troisième classe.

Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à cette
dernière courbe se compose de la cassinienne elle-même et
de la droite, lieu des points milieux des droites qui joignent
les points conjugués.

17. Les cassiniennes cubiques planes ont été depuis long-
temps étudiées sous le nom de focales. On peut consulter à
ce sujet divers travaux de MM. Quetelet, Dandelin et Chasles
dans les Mémoires de l'Académie de Bruxelles et la Corres-
pondance mathématique de Quetelet.

Le tome V de cette dernière collection renferme à ce
sujet un très-intéressant mémoire de M. Van Rees, qui y a
donné les propriétés énoncées dans le $ 15 et en a déduit
les principales conséquences.

. Séance du 21 mars 1868.
PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

M. Alix décrit quelques particularités de l’anatomie de l’Au-
truche.

M. Fischer donne des détails sur la structure de l'estomac du
Delphinus griseus.

Séance du 28 mars 1868.

PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

M. Laguerre fait une communication sur les sections circulaires
des surfaces anallagmatiques.

M. Cazin rend compte des expériences qu'il a instituées récem-
ment pour étudier le travail intérieur dans les gaz.

Sur les sections circulaires des surfaces anallagmatiques,
par M. Laguerre.

1. Étant donnée une sphère fixe Setun plan quelconque P,
par le cercle d’intersection de la sphère et du plan, on peut
faire passer deux cônes tsotropes. Soient p et p' les sommets
de ces cônes; ces deux points sont réciproques par rapport
à la sphère S; pour abréger le discours, je dirai que ces
deux points sont associés au plan P, et réciproquement que
le plan P est le plan associé au point p et au point p'.

Gela posé, on peut énoncer les deux lemmes suivants :

Lemme 1. Si un plan pivote autour d'un point fixe O,
le lieu des points associés au plan dans ses diverses posi-
tions est une sphère ayant pour centre le point O, et coupant
orthogonalement la sphère fixe S.

Lemme 2. Si un plan tourne autour d'une droite fixe, le
lieu des points associés au plan dans ses diverses positions
est un cercle aÿjant pour centre le pied de la perpendicu-
laire abaissée du centre de la sphère S sur la droite et cou-
pant orthogonalement cette sphère.

2. Une surface anallagmatique peut être définie comme
le lieu des points associés par rapport à une sphère S des
divers plans qui touchent une surface du second degré A.

PURE

L'intersection de la surface A et de la sphère S est d’ailleurs
une des focales de la surface. À chaque point de l’anallag-
matique est associé un plan qui touche la surface À en un
certain point correspondant au premier; à toute courbe tra-
cée sur l’anallagmatique correspondra une certaine courbe
formée par les points de contact avéc la surface A des divers
plans associés aux points de la courbe tracée sur l’anallag-
matique.

Des deux lemmes que j'ai donnés ci-dessus, on déduit
immédiatement les deux propositions suivantes:.

La normale en un point M d'une anallagmatique est la
droite qui joint ce point au point correspondant sur la sur-
face À.

Etant donnés une courbe C tracée sur l'anallagmatique et
un point M de cette courbe, si l'on désigne par © la courbe
correspondante tracée sur la surface du second degré À et par
m le point de cette courbe qui correspond aw point M, le
plan normal en M à la courbe C'est le plan qui passe par
ce point et par la tangente conjuguée de la tangente menée
en m à la courbe c.

3. Pour faire une application de ces propositions très-sim-
ples je démontrerai brièvement le beau théorème donné par
M. Moutard sur l’orthogonalité des surfaces anallagmatiques
homofocales.

Les surfaces d’un système homofocal peuvent être engen-
drées au moyen d’une sphère fixe S et des diverses surlaces
du second ordre passant par une anallagmatique sphérique
K située’ sur cette sphère.

Cherchons les surfaces d’un tel système qui passent par
un point de l'espace M. Pour cela, menons par ce point un
cône isotrope, il coupera la sphère suivant un cercle C, dont
le plan P sera le plan associé au point M. Le problème est
évidemment ramené à mener par la courbe K une surface
du second degré tangente au plan P. Or ce plan devant être
tangent à la surface cherchée, doit la couper suivant deux
droites renfermant nécessairement les quatre points d'inter-
section de la courbe K avec le cercle C. On aura donc trois
solutions, et les trois points de contact correspondant à ces
trois solutions seront les trois points de concours des diagonales
du quadrilatère formé par les quatre points d’intersection dont

Extrait de l'Institut, 17° section, 4868. 4

HG os

je viens de parler. En désignant par p, q, r ces trois points
d'intersection, il résulte de la première proposition établie
au $ 2 que les normales aux trois surfaces homofocales pas-
sant par le point M sont les droites Mp, Mg, Mr. Mais les
trois points p, q, r sont les sommets d’un triangle conjugué
par rapport au cerele C; les droites Mp, Mg, Mr forment
donc un trièdre conjugué par rapport au cône ayant pour
base C et pour sommet le point M, c'est-à-dire par rapport
à un cône isotrope, donc elles forment un trièdre trirec-
tangle.

4. Sur une surface anallagmatique, il existe dix systèmes de
sections circulaires qui ont été découverts par M. Moutard.
Leur existence résulte très-simplement de la définition
donnée au $ 2. Que l’on imagine en effet un plan se mouvant
tangentiellement à la surface À, de façon que son point de
contact décrive une génératrice g de cette surface ; pendant
ce mouvement le plan tangent tournera autour de cette gé-
nératrice; le lieu des points qui lui sont associés par rapport
à la sphère S sera donc un cercle coupant orthogonalement
cette sphère. À toutes les génératrices de la surface À du
même système queg, correspondra un système de sections
circulaires de l’anallagmatique ; un autre système de sections
circulaires correspondra au second système de génératrices
rectilignes de la surface A.

Comme l’anallagmatique est susceptible de cinq modes de
génération différentes, l’on voit que l'on obtiendra ainsi
cinq groupes de sections circulaires, chaque groupe compre-
nant deux systèmes distincts.

Deux cercles d’un même groupe et de même système ne
se rencontrent jamais.

Deux cercles d’un même groupe et de systèmes différents
se coupent en deux points et sont par conséquent situés sur
une même sphère.

Deux cercles de groupes différents se coupent toujours en
un point.

Les sections circulaires d’une anallagmatique jouissent d’un
grand nombre de propriétés analogues à celles des généra-
trices rectilignes des surfaces du second ordre ; je me con-
tenterai ici de mentionner la suivante, semblable de tous

les

points à une propriété fondamentale des surfaces du second
ordre donnée par M. Chasles :

Etant donnés quatre cercles quelconques d’un même groupe
et un cercle variable C d'un autre groupe rencontrant les
quatre cercles fixes aux points a, b, cet d; si l’on mène
par le cercle variable C les sphères qui touchent la surface
aux points a, b, © et d, le rapport anharmonique de ces
quatre sphères est constant.

5. Pour plus de clarté, je désignerai par Ss, Si, So, S, et
S, les cinq sphères au moyen desquelles on peut engendrer
‘la surface et par As, A4, À. À, et A, les cinq surfaces du
second degré homofocales qui leur correspondent; pour indi-
quer le mode de génération relatif à la sphère Si et la sur-
face A;, j'emploierai simplement l’expression de généra-
tion (S;).

Cela posé, j'ai montré au $ 2 qu'à chaque courbe tracée
sur une anallagmatique correspondait une courbe tracée sur
la surface du second degré qui sert à engendrer la surface.

Il est utile, dans un certain nombre de questions, de
connaitre les courbes qui, dans un mode de génération
donné, par exemple {S,), correspondent aux diverses sections
circulaires de la surface. .

Relativement au groupe qui appartient proprement à la
génération (S:), il est clair, d’après ce qui précède, que les
sections de ce groupe sont représentées par les génératrices
rectilignes de la surface As.

Pour obtenir la représentation des autres groupes, imagi-
nons que nous circonscrivions à la sphère S, et à la surface
À, une surface développable; cette surface a pour lignes
doubles quatre coniques, qui, dans un théorème connu (*),
seront situés sur les quatre surfaces A4, A2, À, et AÀ,. Je
désignerai ces quatre coniques par la notation Ceo,, C, Ces, ©;
les indices inférieurs indiquant celle des surfaces A sur la-
quelle chacune des coniques est située.

Si maintenant de chacun des points de la conique C,,
on mène des cônes circonserits à A), les diverses courbes de
contact sur cette surface seront les courbes correspondant
aux sections circulaires du groupe appartenant proprement
à la génération (S;); les coniques C°,, C; et C,; fourniront
de même les courbes correspondant aux sections circulaires

des groupes appartenant aux générations ($S:), (S:) et (S:).

On obtiendrait d’un façon analogue les coniques qui, sur
les surfaces A;,, A, A, et AÀ,, correspondent aux ditferents
groupes de sections circulaires.

L'on estamené ainsi à considérer 16 coniques analogues à
celles que j'ai définies plus haut comme lignes doubles de la
surface développable circonscrite à S, et à As.

Avec ces quatre dernières, elles forment un système de
20 coniques qui sont distribuées quatre par quatre sur les
cinq surfaces A. Le tétraèdre formé par les plans de quatre
d’entre elles situées sur une même surface est un tétraèdre
conjugué par rapport à cette surface.

Sur le déplacement d'une fiqure de forme invariable. Nouvelle
méthode de normales : applications diverses, par M. Mann-

heim.

Mon mémoire est divisé en deux chapitres qui sont eux-
mêmes partagés en paragraphes.

Le paragraphe 1 du chapitre [° est intitulé : Introduction.
Je considère successivement les éléments simples de toute
figure : un point, une droite, un plan pour rechercher, si
l’on peut amener ces éléments d’une position à une position
infiniment voisine, soit par une translation, soit par une ro-
tation. Je trouve que déjà, pour une droite, un déplacement
dans de pareilles conditions n’est pas toujours possible. On
ne peut pas toujours amener une droite de sa position dans
une position infiniment voisine par une simple rotation ; la
droite jouit alors de la propriété d'être normale aux trajec-
toires de ses points.

La considération d’une droite qui se déplace ainsi est très-
utile. La propriété dont elle jouit alors permet d'arriver à
deux théorèmes importants qui portent dans mon mémoire
les numéros 4 et 6.

Théorème 4. Pendant le déplacement le plus général d'un

Le a

plan, les droites de ce plan, normales aux trajectoires de leurs
point*, passent par un méme point.

Si l’on considère simplement le déplacement d’une figure
plane sur son plan, ce théorème conduit à la méthode des
normales de M. Chasles.

Th. 6. À un instant quelconque du déplacement d'une figure
de forme invuriable, si on considère parmi toutes les normales
aux trajectoires des points entraînés celles qui rencontrent
une droite D, toutes ces normales rencontrent en outre une
deuxième droite À.

Ce théorème renferme comme cas particulier le théorème
4, il conduit dans l’espace à une méthode de normales qui
fait l’objet principal de mon mémoire.

Pour exposer cette méthode des normales dans le cas du
déplacement le plus général d'une figure de forme inva-
riable, il est nécessaire de connaître certaines propriétés de
ce déplacement. C'est l'exposition de ces propriétés qui fait
l'objet du paragraphe 2.

Ce paragraphe 2 est intitulé :

Propriétés géométriques du déplacement infiniment petit
d'une figure de forme invariable.

Je démontre dans ce paragraphe quelques-unes des pro-
priétés énoncées dans le mémoire de M. Chasles intitulé :

Propriétés géométriques reiatives aw mouvement infiniment
petit d'un corps solide libre.

Je commence par ces deux théorèmes :

Th. 7. Toute droite d’un plan mobile engendre une surface
dont la normale, contenue dans ce plan, passe par le foyer
de ce plan.

Th. 8. Lorsqu'un plan mobile passe successivement par les
différentes génératrices d'une surface réglée, sa caractéris-
tique, à un instant quelconque, passe par le point où à
louche celte surface. ;

J'emploie ensuite la considération des droites conjuguées
pour démontrer que tout déplacement infiniment petit est héli-
coidal.

. Après la démonstration de cette propriété, j'introduis la
notion de l'adjointe à un plan.

L'adjointe à un plan est la conjuguée de la droite qui est

— D4 —

à l'infini sur ce plan. Elle passe par le foyer de ce plan,
elle est parallèle à l’axe du déplacement.

En employant cette droite, on peut énoncer ce théorème :

Th. 14. La caractéristique d’un plan (P) est la projection
de la droite adjointe à un plan perpendiculaire à (P).

Puis alors, on déduit de là ces propriétés :

Th. 15. Le plan perpendiculaire au plan (P) mené suivant
la caractéristique de ce plan est parallèle à l'axe du déplace-
ment.

Th. 16. Lorsque des plans sont parallèles à une même
droite R, les plans normaux à chacun d'eux, menés respecti-
vement par leurs caractéristiques, passent par une même
droite L. Cette droite est adjointe au plan perpendiculaire R.

Cette propriété est très-utile, comme je le montre à la fin
de mon mémoire en examinant les constructions du plan
tangent et de la courbe d'ombre sur un hélicoïde réglé.

Le théorème 19 : une droite engendre une surface déve-
loppable lorsqu'elle rencontre un plan qui lu est perpendi-
culaire, est aussi très-utile, pour démontrer quelques-unes
des propriétés relatives aux droites conjuguées.

Enfin, je termine ce paragraphe en recherchant, pour un
déplacement infiniment petit, l'expression de l'angle qu'une
droite fait avec sa position infiniment voisine, de même pour
un plan.

Le paragraphe 3 est intitulé :

Il faut cinq conditions pour déterminer le déplacement
d’une figure de forme invariable.

Pour arriver à ce résultat, je reprends successivement
comme dans l'introduction : un point, une droite, un plan.
Mon point de départ est toujours le nombre qui assure l’im-
mobilité de la figure. Aïnsi je dis :

Th. 32. Cinq conditions fixent les positions de tous les
points d'une droite et assurent leur immobilité.

Après avoir considéré une droite, je prends une figure
plane et j'arrive à ce résultat :

Th. 38: Cinq conditions déterminent le déplacement d'une
figure plane dans l'espace; qui entraîne le suivant :

Th. 59. I! faut cinq conditions pour déterminer le déplace-
ment d'une fiqure de forme invariable. Chaque point de la
figure décrit une trajectoire.

Si l'on n'a que quatre conditions, chaque point peut
alors se déplacer dans une infinité de directions à partir de
sa position initiale. Je désigne sous le nom de surface tra-
jectoire la surface qui contient les éléments de toutes les
trajectoires qu'un pot peut ainsi décrire à partir de sa po-
sition initiale.

En employant cette expression, on a l'énoncé suivant :

Th. 40. Quatre conditions permettent le déplacement de la
figure d'une infinité de manières, chaque point de la figure
se déplace, en général, sur une surface trajectoire.

de dis, en général, parce que je fais voir plus loin qu il
existe alors une infinité de points qui décrivent nécessaire-
ment les mêmes lignes, quel que soit le déplacement de la
figure compatible avec les données.

On arrive à ce résultat en considérant les conditions que
j'appelle complémentaires. Les conditions complémentaires
sont celles qu'il faut ajouter pour obtenir l’immobilité de la
figure qui se déplace. Je montre que, pour une figure mobile
assujettie à 3 ou 4 conditions, le nombre des conditions
complémentaires n’est pas le même pour tous les points de
cette figure.

Le paragraphe 4 est intitulé : Réduction du problème au
cas où l’on a cing points assujeltis à rester sur cing surfaces
données.

Les conditions auxquelles une figure peut être assujettie
sont très-diverses; je considère les conditions descriptives
suivantes :

Une surface de la figure mobile est assujettie pendant le
le déplacement, soit à contenir un point fixe, soit à toucher
une courbe, soit à toucher une surface; ou une courbe de la
figure mobile est assujettie à rencontrer une courbe ou à
toucher une surface. Je montre qu’à chacune de ces condi-
tions on peut substituer la condition unique : un point doit
se déplacer sur une surface. Ainsi, par exemple, si une
courbe L doit toujours rencontrer une courbe M, à un
instant quelconque, on substituera à cette condition la con-
dition pour le point de rencontre / de L et de M de se dé-
placer sur le plan déterminé par les tangentes en ! aux
courbes L et M.

Le paragraphe 5 est consacré à l'exposition de la méthode

Le ue

des normales. Voici comment j'énonce le 1° problème résolu
au commencement de ce paragraphe.

Cinq points d’une figure de forme invariable sont assujettis
à se déplacer sur cinq surfaces données ;

Construire 4° Le plan normal à la trajectoire d'un point
quelconque de la figure mobile;

do La normale en un point arbitraire de la surface engen-
drée par une courbe quelconque;

5° La ligne suivant laquelle une surface entrainée touche
son enveloppe;

4 L'axe du déplacement de la figure mobile;

5° Le pas réduit des hélices infiniment petites décrites à un
instant quelconque.

La solution de ce problème entraine la solution générale,
quelles que soient les conditions du déplacement de la figure
mobile. On peut, par exemple, considérer le déplacement
d'un ellipsoïde assujetti à se déplacer en restant tangent à
cinq ellipsoïides donnés. Puisque l’ellipsoïde mobile est assu-
jetti à cinq conditions, les points invariablement liés n’ont
que des lignes trajectoires. Cherchons le plan normal relatif
à un point quelconque ? entrainé.

Appelons (A), (B), (C), (E), (K), les ellipsoïdes fixes, a,
b, c,e, k les points de contact à un instant quelconque de
ces ellipsoïdes et de l’ellipsoïde mobile ; enfin, À, B, C, E,
K les normales de ces ellipsoïdes issues des points a, b, c,
e, k. On prend les quatre normales À, B, C, E et l’on cons-
truit le couple des droites D, À qui les rencontrent. Du point
i, on mène Î qui rencontre D et À, on fait la même cons-
truction en employant quatre autres normales telles que A,
B, C, K; on obtient une droite l. Les droites I et F déter-
minent le plan normal relatif à (1).

Dans l'énoncé du 1* problème, il n’entre que des condi-
tions simples. J’indique ce que devient la solution de ce pro-
blème lorsque l’on à un point assujetti à parcourir une
courbe, ou un plan assujetti à rester tangent à une dévelop-
pable; ces conditions sont doubles.

Le 2e problème général dont je donne la solution est
énoncé ainsi :

Quatre points d'une figure de forme invariable sont assu-
jeilis à se déplacer sur quatre surfaces données ;

LP OT RS

Construire à un instant quelconque 1° la normale à la sur-
face trajecloire relative à un point entrainé;

2° Le point où une surface entraînée touche la surface lieu
de ses intersections successives.

La solution de la 1r° partie dE ce pions m'a conduit
à ces deux résultats importants

Th. 44. Lorsque une figure de forme invariable se déplace
en restant assujettie à quatre conditions, à un instant quel-
conque, les normales issues de tous les points entraînés, aux
surfaces trajecloires de ces points, rencontrent les deux mêmes
droites.

Th. 45. Lorsqu'une fiqure de forme invariable est assujettie
pendant son déplacement à quatre conditions, à un instant
quelconque, on peut déplacer tous les points entratnés d'une
infinité de manicres ; les trajectoires de ces points appartien-
nent à des surfaces trajectoires, excepté pour les points de
deux droites particulières qui décrivent toujours nécessaire-
ment les mémes éléments de lignes.

Comme exemple, je considère une droite entraînée pen-
dant le déplacement d’une figure assujettie à quatre condi-
tions.

Je démontre, théorème 46; que, à un instant quelconque. les
normales issues de tous les points de la droite mobile aux
surfaces trajectoires de ces points, appartiennent à un hyper-
boloïde.

Th. 47. Cet hyperboloïde est le lieu des conjuquées de la
droite mobile pour les divers déplacements qu'on peut faire
subir à cette droite.

Je fais voir que, pour deux déplacements particuliers, une
droite ainsi entraînée engendre des éléments de surface déve-
loppable.

J'arrive à ce résultat de deux manières, en considérant
les conjuguées de la droite mobile ou les adjointes au plan
qui lui est perpendiculaire.

Je termine ce qui est relatif au 2e problème général en
donnant pour exemple le cas suivant où l’on a des condi-
tions doubles :

La figure mobile est assujettie à avoir deux de ses points
sur deux courbes données.

Enfin je termine ce paragraphe en considérant une figure
simplement assujettie à trois conditions.

On a alors le théorème suivant :

Th. 49. Lorsqu'une figure de forme invariable est assujet-
tie pendant son déplacement à trois conditions distinctes, à
un instant «quelconque, on peut diriger arbitrairement un
point quelconque lié à la figure mobile, à l'exception de tous
les points d'un certain hyperboloïde qui admettent des surfaces
trajectoires.

Lorsque les conditions du déplacement ne sont pas dis-
tinctes, l’hyperboloïde de l’énoncé précédent peut se décom-
poser en deux plans. Je considère la podaire d’une surface
comme exemple qui présente cette circonstance.

Le chapitre 2 est consacré aux applications de ma méthode
aux normales. Il est partagé, comme le premier chapitre, en
plusieurs paragraphes.

Le $ 4 est intitulé : Sur le déplacement d'une droite. Ap-
plications aux surfaces réglées.

J'arrive dans ce paragraphe à la solution d’un grand
nombre de questions nouvelles.

Je citerai par exemple :

Une droite G se déplace en gestant tangente à trois sur-
faces données (A), (C), (E) : construire le plan normal à la
courbe de contact (a) de (A) et de la surface (G), engendré
par G.

Une droite G est osculatrice à une surface (A) aux diffé-
rents points d'une courbe (a) tracée sur cette surface : cons-
truire en un point quelconque de G la normale à la surface
engendrée par cette droite. -

Pour la solution de ces questions, j’emploie constammen
les surfaces lieu de normales ; afin de faciliter le langage,
je désigne ces surfaces sous le nom de normalie.

Dans ce paragraphe, j'ai fait usage des propriétés des
droites conjuguées. On ne peut plus recourir à la droite
conjuguée d’une droite mobile, lorsque celle-ci est normale
à la trajectoire donnée d’un de ses points. On arrive facile-
ment alors à une solution par la considération de l’adjointe
au plan perpendiculaire à la droite mobile. On peut du reste
employer cette adjointe pour la solution de quelques-uns des

problèmes traités dans ce paragraphe ; c’est ce que je fais
voir au commencement du paragraphe 2.

Le 8 2 est intitulé : Sur le déplacement d'un dièdre.

Je considère la surface engendrée par l’arête du dièdre
mobile, et J'arrive à la solution de quelques questions.
Entre autres :

Construire la normale en un point d'une droite mobile à la
surface engendrée par cette droile assujettie à rester tangente
à une surface donnée et à rester, pendant son déplacement,
osculatrice à une autre surface donnée.

Je trouve, comme application de la considération du dé-
placement d’un dièdre, la démonstration de ces propriétés :
Th. 52. Si deux surfaces (A), (B), paraissent se couper à
angle droit de n'importe quel point de l'espace, elles consh-
tuent le lieu des centres de courbure principaux d'une inji-
nité de surfaces parallèles entre elles.

Th. 53. Si deux surfaces se coupent constamment sous le
méme angle, les plans, menés normalement à ces surfaces
respectivement par les tangentes conjuguées à la droite &
tangente à leur ligne d'intersection, et le plan normal au plan
osculateur de cette courbe mené par G, se coupent suivant une
méme droite.

Le paragraphe 8 est intitulé : Sur le déplacement de quel-
ques trièdres particuliers.

Le premier trièdre que je considère est celui qui a pour
arêtes la normale, la tangente et la binormale issues d'un
point d’une courbe gauche donnée, et qui se déplace en
conservant par rapport à cette courbe la même relation de
position. Je montre que le foyer du plan osculateur de la
courbe gauche n’est autre que le centre de courbure de
cette ligne. Je trouve que la droite rectifiante de Lancret,
est parallèle à l’axe de déplacement du trièdre.

Je considère un deuxième triède tri-rectangle dont l’une
des arêtes est normale à une surface; j'arrive ainsi à cer-
taines propriétés des normalies.

Th. 56. Le contour apparent d'une normalie sur un plan
contenant une tangente à sa courbe directrice est une courbe
tangente à la développée de la section que ce plan détermine
dans la surface sur laquelle est tracée la courbe directrice de
la normalie.

Le paragraphe # est intitulé : Sur le déplacement d'une
surface assujettie à des conditions. muluples.

La surface mobile est d’abord assujettie à avoir cinq de
ses points sur cinq surfaces données.

Je suppose ensuite que les surfaces données viennent suc-
cessivement se confondre ainsi que les points donnés qui
appartiennent à la surface mobile. Je rencontre amsi des
conditions de déplacement dont l’examen direct présenterait
quelques difficultés. La solution générale est toujours appli-
cable dans ces cas particuliers.

En voici un :

Une surface mobile est assujettie à se déplacer de façon que
deux courbes, J et J,, qu'elle contient soient constamment
osculatrices en leur point de rencontre à une surface fixe don-
née : construire deux couples de droites conjuguées.

La connaissance de deux couples de droites conjuguées
suffit pour la solution des questions qu'on peut se proposer
relativement aux normales, aux lignes ou surfaces décrites.
C'est ainsi qu’à l’aide de ces deux droites, on pourra déter-
miner la tangente en un point de la ligne décrite sur la
surface fixe par le point de rencontre des courbes J et J,.

Comme cas particulier de ce problème, on a le suivant :

Un angle de grandeur constante se déplace de façon que ses
côtés soient osculateurs, en leur point de rencontre, à une
surface fixe; construire la tangente en un point de la ligne
décrite par le sommet de cel angle.

J'ai été conduit à dire un mot des lignes tracées sur les
surfaces et qui jouissent de la propriété qu'en chacun de leurs
points on peut mener une droite surosculant la surface. La
solution générale montre que, pour l'étude de ces lignes, il
est nécessaire de connaître les lignes analogues que l’on peut
tracer sur une surface réglée.

Dans ce paragraphe, j'ai eu l’occasion de retrouver un
théorème de Sturm sur les normales infiniment voisines au-
tour d’un point sur une surface.

Ce théorème que j'énonce ainsi : Les normalies à la sur-
face (A) qui contiennent une normale À sont tangentes entre
elles aux centres de courbure principaux de (A) situés sur À;
les plans tangents communs en ces points sont les plans des
sections principales de (A) menées par la normale À, n'est

PROPRES PAT

RDS PSS

qu'un cas particulier de cet autre théorème que je rencontre
dans ce même paragraphe :

Th. 58. Les normalies à (4), qui ont pour directrices des
courbes tangentes entreelles, admettent les mémes droites oscu-
latrices dans les plans des sections principales de A; en d'au-
tres termes, elles sont osculatrices aux centres de courbure
principaux.

M Bonnet, qui m'avait signalé ce théorème, l’a généralisé
en considérant des directrices ayant entre elles un contact de
l'ordre n.

Le dernier paragraphe, intitulé : Sur l’hélicoïde réglé, a pour
objet de montrer comment les propriétés démontrées dans le
paragraphe 5, et qui sont relatives à un déplacement infini-
ment petit d’une figure de forme invariable, conduisent aux
constructions connues qui servent à déterminer le plan tan-
gent en un point d’un hélicoïde réglé et la courbe d'ombre
sur cette surface supposée éclairée par des rayons lumineux
parallèles.

En résumé, mon mémoire renferme la solution complète
du problème des normales dans le cas le plus général du
déplacement d’une figure de forme invariable. Les appli-
cations que J'ai faites de la solution de cette question, mon-
trent l’usage qu'on peut faire des propriétés relatives au dé-
placement dans la théorie générale des surfaces.

A l’occasion d’un rapport sur les inondations émané du
ministère des travaux publics, M. Dausse a fait à la Société,
dans la séance du 30 décembre 1867, la communication sui-
vante :

L'idée d’empècher les débordements par des digues n’a pu
manquer de suivre de près la culture des vallées. Simples
bourrelets d’abord , mais exhaussés et renforcés chaque fois
qu'ils étaient surpassés, ils sont devenus à la fin nos énormes
levées actuelles.

Quand une crue débordante tardait longtemps à venir, ce
qui arrivait parfois, surtout avant le déboisement des mon-

tagnes, le préservatif dont il s’agit semblait excellent, et
volontiers on le tenait pour tel; autrement on se hâtait de
le rendre une bonne fois suffisant , pensait- -on, et l'on se
rendormait aussitôt. On ne se souciait mème aucunement
de l’effet produit par le resserrement des crues, lequel va
pourtant aujourd’hui, en plus d’un lieu, jusqu’à doubler leur
hauteur première. Enfin, ce n’est qu'en 1856 qu'a été pro-
clamé ce principe aussi simple que méconnu : Il ny a pas
de limite assignable aux grandes crues de nos rivières. Le
fait est que les digues, toujours surpassées et culbutées, ont
néanmoins toujours été dites insubmersibles, qualification
tellement à l’ordre du jour qu'en révéler la folie ç'a été se
perdre. Si les digues sont toujours surpassées, a dit lEmpe-
reur dans une lettre célèbre, c’est qu’on ne retient pas sur
les montagnes les averses qui causent les pluies diluviennes.
La science ayant naguère dérobé la foudre au ciel, elle peut
bien dompter la pluie. L’argument a cours depuis Babel.

Or, c’est pourquoi précisément on vient de perdre dix
années précieuses; c'est pourquoi précisément la crue de
1866, plus forte encore que celle de 1856, a pris nos val-
lées au dépourvu tout comme sa devancière. Mais il est juste
et il importe de noter que ce malheur eut été-évité, si lad-
ministration n’eût pas étouffé au berceau la Haule commis—
sion des rivières que l'Empereur nous a promise et à laquelle,
Lui, dans sa sagesse, il voulait soumettre sa propre idée.
Grave preuve de plus que le huis clos est fatal en toute
chose.

Car, avec la Haute commision des rivières, formée de
toutes les capacités du pays en l’espèce, loyalement, libéra-
lement convoquées, — riverains, ingénieurs, académiciens,
députés, sénateurs, — c'en était fait sans retour de la trom-
peuse épithète et de la routine intéressée qui la maintient.
De la lutte à outrance contre l’ordre naturel et son inces-
sante et invincible puissance, on revenait à une juste sou—
mission aux lois immuables, que la vraie science se contente
de mettre à profit. Et au lieu de s’ingénier afin d’avoir du
pays des millions par centaines pour d'innombrables réser-
voirs, aussi insuflisants et encore plus suspects de leur na—
ture que les digues elles-mêmes, comme tant de néfastes
exemples anciens et récents ne l’ont que trop prouvé; au

are ue

lieu de demander d’abord six millions rien que pour relever
les digues de la Loire, de l'Allier et du Cher, culbutées par
la dernière inondation, on eût proposé au contraire d’abais-
ser ces digues à la faible hauteur des crues ordinaires et
fréquentes, laissant les autres librement exhausser les plaines
et les féconder de leurs riches limons, et rétablir ainsi entre
ces plaines et le lit des fleuves le rapport de hauteur sans
lequel ceux-ci, violentés, tôt ou tard se font justice et avec
gros intérêts pour le sursis. Qui ne sait d’ailleurs, pour citer
un exemple décisif entre mille, que les ségoneaux du Rhône,
c'est-à-dire les terres comprises entre le fleuve et les digues,
valent deux fois plus aujourd’hui que les terres abritées par
ces digues et refroidies à ce point qu'une partie, qui s'étend
de plus en plus, est devenue marécageuse et infecte.

Qu'on empêche la mobilité du cours des fleuves en armant
leurs berges d’un revêtement convenable, là où il le faut;
qu'on empèche l’inondation quand elle vient de courir sur
les plaines, au moyen surtout de simples haies le long des
chemins transversaux aboutissant aux ponts et aux bacs, et
puis qu'on encourage les riverains à se cotiser pour faire
face, par une sage assurance, aux pertes éventuelles de ré-
coltes, et l’on aura le système de commun bon sens auquel
il faut, selon moi, se résigner désormais. Les grands désas-
tres ne viennent que des digues démesurées, au moment de
leur rupture : or, il n’y aura pour ainsi dire plus de digues.

Ce système n’exclut ni quelques grands réservoirs lorsqu'ils
sont indiqués , offerts par la nature; ni Fépanchement dans
certains vals, surtout comme essai et transition, la vigilance
des hommes et tout leur art étant médiocrement rassurants.
Mais ce qu'il requiert, non point comme ces palliatifs plus
ou moins exceptionnels, bornés et chanceux; ce qu’il requiert
comme complétement essentiel et capital, c’est le reboise-
ment des montagnes, exigeant lui-même le barrage des ra-
vins sillonnant ces montagnes. Car les bois sont le modéra-
teur naturel des crues; ils suffisent d'ordinaire à empêcher
l’inondation des plaines; en outre, en fixant le sol des mon-
tagnes, ils empêchent l'encombrement des plaines par le
charriage des torrents; enfin, en clarifiant ces torrents et Les
cours d’eau qui les reçoivent, ils les rendent tous moins ins-
tables et plus maniables, procurant même, au lieu de:

l'exhaussemeut de leurs lits qui suit toujours le déboisement,
un creusement proportionnel à l’épuration dent il s’agit.

Je renvoie à la brochure pour les détails et je conclus
que, en toute chose, il faut avoir des principes et une doc-
trine, justifiables et avoués, et les suivre fermement et fran-
chement; non point avec engouement ni roideur, mais avec
intelligence et avec suite, avec à-propos et sans jamais per-
dre une occasion; ce qui exige qu'on soumette toujours sans
délai leur application à la libre et publique discussion des
intéressés, parce que eux seuls savent tout ce dont il faut
tenir compte pour ne pas aller à l'aventure et que sans leur
aiguillon on s'endort. À ces conditions seulement, au lieu
des désastres qui se répètent à notre époque, il n’y aura plus
pour tous qu'honneur et prospérité; les dépositaires du pou-
voir seront en tout cas sans reproche devant Dieu et devant
les hommes.

à
ÎMPRIMERIE CENTRALE DES CHEMINS DE FER.— A. CHAIX ET C®, RUE BERGÈRE, 20. —4142-8.

BULLETIN

DE LA

SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE

DE PARIS.

Séance du 4 avril 1868.
PRÉSIDENCE DE M. TRANSON.

M. Fernet expose le résultat de ses expériences’sur un appareil
destiné à régulariser la lumière électrique.

M. Haton développe un théorème sur le tantochronisme des épi-
cycloïdes quand on a égard au frottement.

M. Laguerre fait une communication sur la méthode de la trans-
formation par rayons vecteurs réciproques.

Sur le tantochronisme des épicycloides, par M. Haton de la
Goupillière.

M. Haton de la Goupillière fait connaître des théorèmes
relatifs à l'isochronisme des épicycloïdes.

On sait depuis Newton que ces courbes sont tantochrones
pour des forces d'attraction et de répulsion exercées par le
centre en raison de la distance. M. Haton ajoute à ce résultat
les propositions suivantes.

1. Le tantochronisme subsiste encore lorsqu'on a égard au

Extrait de l'Institut, 1re section 4868. 5

Lien

frottement. Le point d'isochronisme est alors celui dont le
rayon vecteur forme avec la normale l’angle de frottement.

9. Ce tantochronisme n’est pas troublé par l’adjonction
d’une résistance proportionnelle à la vitesse.

3. L'ensemble de ces trois influences et du mouvement
épicycloïdal constitue le cas le plus général qui soit renfermé
dans la formule de Lagrange pour le tantochronisme, lors-
qu'au frottement et à l’action proportionnelle à la distance
on adjoint une résistance qui procède suivant une fonction
indéterminée de la vitesse.

4. Ajoutons enfin que cet isochronisme a encore lieu en
sens inverse pour diverses impulsions initiales communiquées
au mobile à partir du point en question.

Séance du 18 avril 1868.
PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

M. Laguerre présente ses observations sur les courbes gauches
résultant de l'intersection de deux surfaces de second ordre.

M. Frémineau fait connaître un nouveau mode d'éclairage ap-
plicable à l'examen microscopique des Diatomées.

M. Horwart rend compte de ses expériences sur l’écoulement des
corps solides.

Sur les courbes gauches résultant de l'intersection de deux sur-
faces du second ordre, par M. Laguerre.

1. On sait que les courbes gauches du quatrième ordre
sont de deux espèces différentes; par les unes, on ne peut
faire passer qu’une seule surface du second ordre; par les

— (6 —

autres, on en peut faire passer une infinité et elles peuvent
être définies comme l'intersection de deux de ces surfaces.
Je ne m’occuperai ici que de ces dernières, et, pour abréger
le discours, je les désignerai sous le nom de biquadrati-
ques gauches, ou simplement de biquadratiques lorsqu'il n’y
aura lieu de craindre aucune ambiguité.

Par toute biquadratique gauche, l’on peut faire passer quatre
cônes dont les sommets forment un tétraèdre T conjugué
par rapport aux diverses surfaces du second ordre que l’on
peut faire passer par la courbe. Considérons deux arêtes op-
posées de ce tétraèdre; il est facile de voir que toute droite,
qui rencontre la courbe en un point » et s'appuie en même
temps sur les deux arêtes considérées du tétraèdre, rencontre
la courbe en un second point m’. Je dirai que les points m
et m sont conjugués, et j'appellerai simplement corde
la droite qui joint deux points conjugués (*). Les diverses
cordes de la courbe forment une surface réglée du quatrième
ordre ayant pour lignes doubles les deux arêtes du té-
traèdre; je désignerai cette surface par la lettre KR.

Comme, dans le tétraèdre T, il existe trois couples d’arèêtes
opposées, l’on voit que l’on peut grouper les points de la
courbe de trois façons différentes; on obtiendra ainsi trois
systèmes de cordes formant trois surfaces réglées du qua-
trième ordre, la surface R et deux surfaces analogues que
j'appellerai R, et R;. Je désignerai simplement les modes de
groupement qui correspondent à ces trois surfaces par la
notation (R), (R;) et (Ro).

A chaque point de la courbe ne correspond, dans un
mode de groupement donné, qu’un seul point conjugué; mais,
en tout, il lui correspond trois points dont chacun lui est
conjugué dans un des trois modes de groupement que j'ai
définis plus haut,

Ces définitions permettent d'établir facilement les propo-
sitions suivantes :

2, Étant donnée une droite quelconque rencontrant en
deux points une biquadratique gauche, on peut mener par

(*) Voir ma communication du 14 mars 1868 à la Société phi-
lomathique.

ON —

cette droite quatre plans tangents à la courbe. Chacun des
points de contact a pour points conjugués les trois autres
points de contact, en sorte que, si l’on joint le premier
point aux trois autres, on obtient les trois cordes, corres-
pondant aux trois modes de groupement, qui passent par ce
premier point. Chacune de ces droites s'appuie donc sur
deux arêtes opposées du tétraèdre T. La droite joignant
deux points de contact pris arbilrairement et la droite joi-
gnant les deux autres points sont deux cordes du même
système, en sorte qu’elles rencontrent les deux mêmes arêtes
opposées du tétraèdre.

3. Si a, a' et b, b' désignent deux couples quelconques
* de points conjugés, les droites a,b et a',b' sont les généra-
trices d’une même surface du second ordre passant par la
courbe.

4. Si par une droite quelconque rencontrant la courbe en
deux points et par trois couples quelconques de points con-
Jjugués, l’on mène des plans, les plans ainsi obtenus forment
un faisceau en involution.

En particulier,

Si par une tangente quelconque à la courbe et par trois
couples quelconques de points conjugués l’on mène des plans,
les plans ainsi obtenus forment un faisceau en involution.

M. Chasles a donné un théorème analogue, relatif aux
cubiques gauches (Comptes Rendus, 10 août 1857, $ 29).

5. Soit a et b un couple quelconque de points conjugués
d’une biquadratique gauche ; si par la droite a b l’on mène
les plans tangents à la courbe, les quatre points de contact
forment deux couples de points conjugués a', b'et a”, b”
appartenant au même groupe de points conjugués que @
et b.

Ces deux couples sont parfaitement déterminés et les droites
a b', a” b” rencontrent les deux arêtes du tétraèdre T sur
lesquelles s'appuie la droite a b. De ces deux couples, il y
en a un, c’est celui que je désignerai par a b', qui jouit
de la propriété suivante. Les droites qui joignent chacune
des extrémités de la corde a b aux deux extrémités de la
corde a'b', forment un système de quatre droites situées
sur une même surface du second ordre passant par la bi-

—" (

quadratique. Le couple de points conjugués a”, b” ne jouit
pas de cette propriété.

Je dirai que a’ b’ et a b sont deux cordes conjuguées et
que a” b” et a b sont deux cordes associées, ou bien encore,
que ces couples de droites sont respectivement des généra-
trices conjuguées et des génératrices associées de la surface
réglée R, lieu des cordes correspondant au mode de grou-
pement que je considère.

Ces définitions établies, on aura les propositions sui-
vantes:

6. Si l’on joint les extrémités de chacune des cordes appar-
tenant à un mode de groupement donné, par exemple au
groupement (R), aux extrémités de la corde conjuguée, toutes
les droites ainsi obtenues sont les génératrices d’une seule et
même surface du second ordre, que je désignerai par A.
Aux deux autres modes de groupement correspondraient
deux autres surfaces du second degré que j'appellerai A,
et À.

Deux cordes conjuguées, appartenant au groupement (R),
ou, si l’on veut, deux génératrices conjuguées de la surface
réglée R, sont polaires réciproques par rapport à la surface
A; en sorte que la surface R est à elle-même sa polaire ré-
ciproque par rapport à la surface A.

Si par un point quelconque de la surface À, on mène les
droites qui s'appuient sur les divers couples de génératrices
conjuguées de la surface R, toutes les droites ainsi obtenues
sont dans un même plan.

T. Si une droite se meut tangentiellement à la surface À,
en S appuyant constamment sur deux génératrices associées
quelconques de la surface R, elle touche la surface À suw-
vant la biquadratique dont cette surface est dérivée.

Cette propriété résulte immédiatement de la proposition
suivante : Toute droite qui touche la surface À en un point
de la biquadratique et qui rencontre une génératrice de la
surtace R rencontre aussi son associée.

Le théorème précédent complète une proposition énoncée
par M. Chasles (Comptes Rendus, 24 février 1862, K 64), et
fournit le moyen d'obtenir effectivement uné biquadratique
donnée par le mode de génération indiqué ci-dessus.

On voit que par toute biquadratique l’on peut faire passer

trois surfaces du æcond ordre fournissant une solution du
problème, chacune de ces surfaces correspondant à un
des trois modes de groupement des points de Ia courbe,
et, au moyen d’une quelconque de ces surfaces, on peut en-
core engendrer la courbe d’une infinité de façons différentes.

Les surfaces réglées du quatrième ordre et à directrices
doubles que j'ai désignées par R, R, et R, jouissent de pro-
priétés particulières qui méritent d'être signalées.

En général, si l’on considère une surface réglée du qua-
trième ordre, contenant deux droites doubles D et À, lon
voit que par chaque point a de la directrice D passent deux
génératrices coupant À en deux points; de même, par chaque
point b de A passent deux génératrices coupant D en deux
points. Les génératrices divisent donc les deux directrices de
telle sorte qu'à un point de D correspondent deux points de
À et réciproquement.

La correspondance entre les points des deux droites D et À
peut être exprimée par une relation à trois termes de la
facon suivante. Il existe en général, sur la droite D, quatre
points tels que le couple de points correspondant à chacun
d'eux sur la droite A se confond en un seul point; désignons
par «, a et a” trois quelconques de ces points. De même
il existe sur la droite À quatre points tels que le couple de
points correspondant sur la droite D se confonde en un seul
point ; désignons par $, f” et f” trois quelconques de ces
points.

Cela posé, la relation qui existe entre deux points corres-
pondants a et b situés respectivement sur les droites D et À
pourra être écrite sous la forme suivante :

p Vaa.b8 + q Vas.bf + r Vax.bE" = o

relation où p, q et » désignent des quantités numériques
constantes.

Dans le cas des surfaces que j'ai étudiées dans cette note,
la correspondance entre les points des deux directrices dou-
bles a lieu de telle façon qu’à un couple de points de la
droite D correspond un couple de points de la droite A;

c'est-à-dire que si, au point a de la droite D, correspondent
les deux points b et D’ de la droite A, à ces deux derniers
points correspondront deux mêmes points de la droite D,
parmi lesquels se trouvera nécessairement le point a.

M. Chasles a depuis longtemps signalé l'importance de ce
mode de correspondance dans son Mémoire sur la réso-
lution des équations du troisième et du quatrième degré. Les
surfaces à directrices doubles du quatrième ordre, pour
lesquelles à lieu ce mode de correspondance, jouent dans
l’ensemble des surfaces de la mème famille le même rôle que
les cassiniennes dans l’ensemble des courbes anallagmatiques.

On peut, dans ce cas, exprimer la relation qui existe entre
les points correspondants des deux directrices, et cela d’une
infinité de façons, par des équations à deux termes; tandis
que, dans le cas général, cette relation ne peut pas être ex-
primée plus simplement que par l'équation à trois termes
donnée ci-dessus.

Sur des essais d'éclairage pour l'analyse des stries des Diato-
mées, par M. Frémineau.

La difficulté que l’on éprouve pour analyser les stries des
Diatomées nous a fait répéter d'un côté des expériences que
l’on avait laissées dans l'oubli et en entreprendre de nouvelles
qui aident énormément ce mode d'exploration.

Le procédé le plus généralement employé consiste à éclai-
rer l’objet à l’aide de la lumière oblique obtenue en plaçant
le miroir en arrière du microscope et latéralement en l'in-
clinant de manière à ce que la lumière réfléchie fasse avec
la normale un angle de 4° en frappant sur l’objet.

La difficulté qu'éprouvent les observateurs qui n’ont pas
une grande habitude de manier la lumière oblique, souvent
la qualité des objectifs, sont deux causes qui empêchent
d'arriver à un résultat bien net.

Voici donc différents moyens qui permettent de corriger
ces deux causes d'observations incomplètes et de simplifier
le maniement de la lumière.

Hire A

Le premier consiste à faire arriver la lumière solaire di-
rectement au travers des navicules, à couvrir l’objectif d'un
verre noir pour protéger la rétine. Ce premier mode d'ob-
servation donne très-bien toutes les stries.

Le second consiste à avoir recours à la lumière du spectre
solaire : on la dirige sur le miroir pour la réfléchir au tra-
vers des navicules dans les teintes comprises entre le jaune
orangé et le jaune vert.

Le troisième consiste, quel que soit le grossissement, à
éclairer les navicules directement comme on éclaire les ob-
jets opaques, mais par un procédé différent, le premier
n'étant pas applicable.

On place un prisme équilatéral, ou mieux un prisme à
faces convexes (prisme condensateur) au niveau de la platine
du microscope. On fait passer un faisceau de lumière soit
blanche, soit spectrale, entre la préparation et la lentille
objective ; alors on voit les stries noires sur un fond irisé
en jaune verdâtre.

Ces différents procédés ne demandent point, comme la lu-
mière vblique, une grande habileté dans le maniement et
permettent d’avoir l’analyse immédiate et très-nette des stries
les plus difficiles à étudier des navicules.

Ces divers procédés nous ont rendu de très-grands services
dans d’autres cas que l'exploration des Diatomées et sont
applicables à l'examen de toutes les préparations.

Comme on n'a pas toujours le soleil à sa disposition nous
avons essayé divers moyens d’en remplacer la lumière pour
obtenir le même résultat.

Un grand condensateur en demi-Foule que l’on place au
devant d’un réflecteur conique; entre ces deux appareils une
bonne lampe, et mieux, la lumière du magnésium, la lu-
mière électrique, ou bien la lumière blanche obtenue en
mettant au centre de la flamme un cylindre de magnésie
concrétée, sont les premiers et les meilleurs moyens d’obte-
nir les mêmes #ffets qu'avec la lumière solaire.

Ces divers procédés peuvent assez bien la remplacer.

Quand ces appareils ne peuvent être à la disposition de
l'observateur, nous avons cherché à les remplacer par d’au-
tres moyens.

Nous avons fait passer la lumière à travers des liquides

Aro

colorés. Après des tâtonnements nombreux, nous avons ob-
tenu à peu de chose près les mêmes effets avec une solution
de la matière colorante des graines du Gardena grandiflora
et avec la teinture de chlorophylle au moment où elle vire
au jaune verdâtre. Le liquide se place entre deux lames pa-
rallèles d’un vase plat semblable en petit à l'appareil ver-
tical qui sert à faire virer les photographies.

Séance du 25 avril 1868.
PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

M. Gaudry, en offrant à la Société sa carte géologique de l’At-
tique, donne quelques explications à ce sujet.

Communication de M. Darboux sur un nouveau mode de trans-
formation des figures.

M. Moutard présente des observations sur la même question.

Sur un nouveau mode de transformation des figures,
par M. Darboux.

Soient deux points O, O’ pris sur une surfate du second
ordre. Par ces deux points menons deux droites OM, O'M se
coupant sur la surface. Il est clair qu'à une droite OM cor-
respondra une droite O’M et une seule, en sorte qu'à un
cône ayant le point O pour sommet correspondra un cône
ayant le point O’ pour sommet, et ces deux cônes couperont
la surface du second ordre suivant une même ligne.

Maintenant faisons correspondre au point O un plan fixe P,
et au point O’ un plan fixe P’. Tout cône ayant son som-—
met en O sera coupé par le plan P suivant une ligne, et le

Mae ra

cône correspondant ayant son sommet en 0’ sera coupé par
le plan P’ suivant une autre ligne. Ces deux lignes situées
dans les plans P, P°’ pourront être considérées comme cor-
respondantes et l’on aura ainsi un mode de transformation
des figures planes dans lequel à un point correspondra un
seul point.

Pour déterminer la propriété fondamentale de ce mode de
déformation, nous remarquerons qu'à une droite dans le
plan P correspond une conique dans le plan P° et récipro-
quement. En effet, par le point O et par la droite faisons
passer un plan. Ce plan coupera la surface du second ordre
suivant une conique, et le cône ayant son sommet en O’ et
passant par cette section de la surface coupera le plan P°
suivant une. conique correspondante à la droite considérée.
On a donc la réalisation géométrique du mode de transior-
mation, considéré pour la première fois par Magnus (Crelle,
tome IV), dans lequel à un point répond un point, et à une
droite répond une conique. M. Transon avait montré que la
projection gauche d'une figure réalise ce mode de transfor-
mation. Enfin M. Hirst Va étudié au moyen de la théorie des
faisceaux homographiques. Le nouveau mode que je propose
permet d'obtenir la transformation la plus générale consi-
dérée par Magnus, puisqu'il y a neuf constantes dans l’équa-
tion d’une surface de second ordre, six dans celle des deux
plans, et qu'on peut prendre arbitrairement sur la surface
les points OO’.

Si, laissant invariable les autres parties de la figure, on
déplace le plan P’, toutes les figures obtenues dans les dif-
férents plans P’ seront les perspectives les unes des autres,
puisque ce sont des sections planes de cônes ayant leurs
sommets en 0’. Nous pouvons donc supposer que le plan P
et le plan P’ coïncident. On pourra même, si l’on veut,
prendre une position particulière du plan P. Les résultats
les plus généraux se déduiraient de ceux que nous obtien-
drons ainsi en faisant la perspective de lune ou des deux
figures correspondantes.

Soit S le point de rencontre de la droite O0 0’ et du
plan P. Un point M de la surface du second ordre donnera
deux points a,a situés sur une droite passant par le
point S. Ces deux points coïncideront quand le point M sera

dans le plan, en sorte que le lieu des points qui coïncident
avec leurs homologues sera la section de la surface par le
plan P. Les points a, a formeront sur chaque droite S a «
des divisions homographiques, dont les points doubles seront
les intersections de la droite et de la conique, que j’appelle-
rai conique principale.

.À un point à@ correspond en général un seul point a’,
parce que la droite O a ne coupe en général la surface qu’en
un point. Mais si la droite O a est située tout entière sur la
surface, à un point a correspondent des points a’ en ligne
droite.

Considérons les plans tangents à la surface en O et 0’; ils
coupent la surface suivant des droites O «, O6, O’«', O’ f.
a @ «x £’ désignent les points d’intersection de ces droites par
le plan P; il est clair que les droites & à’, 8 8’ vont passer
par le point S.

Au point &« considéré comme appartenant à la première
figure correspondent tous les points de la droite Sx, ete. On
peut donc former ie tableau suivant :

1" figure 2% figure 2 figure 1e figure
point æ& droite Sæ point «& droite Sa
É SIC a SG
) a p S a

Donc à toute droite de la première figure correspond une
conique passant par les trois points &’, fÿ,S et par les deux
points d’intersection de la droite et de la conique principale,
et réciproquement à toute droite de la seconde figure cor-
respond une conique passant par les trois points o, B,S.

Voici du reste un tableau s'appliquant à toutes les courbes
et que nous empruntons à l’article de M. Hirst.

n et » désignent les ordres des courbes correspondantes,
a, b,s, «,b°,s le nombre de fois qu’elles passent la première
par les points «,6,S, la seconde par les points «,f,S.

On a

= n —b—Ss a= nN —Ù—Ss
bn —s—a b= nn —$ —
S = n —a—b S— n —@—b
M—=dn—a—=b—s n—=Ÿ9n — à —b —5s

RO rien

Comme application, considérons une droite passant par
le point a.

On a n

On trouve

1
1

ll I

1
4

I 1
ï I

b 0
b’ 0

Ainsi à ces droites correspondent des droites passant par
le point x, ce qui est évident géométriquement.

Il résulte de là un moyen très-simple de trouver, par des
constructions effectuées dans le plan, l’homologue d'un
point. Joignons à« M. A cette droite correspond une droite
passant par le point a’, et ces deux droites doivent se couper
sur la conique principale en £. On connaîtra donc la droite
correspondant à æ« M et de même celle qui correspond
à 6 M, 6 q, d’où la construction suivante.

Joignez le point M aux deux points a $. Les droites de
jonction coupent la conique principale en deux points qu’on
joint respectivement à &' f par des droites, ces droites se
coupent au point M’ homologue de M, et la droite M M va
passer par le point S.

Construction des tangentes aux points correspondants. Les
tangentes aux points M M vont couper en un même point
la trace p q du plan tangent à la surface. Donc, quand on
connaîtra la tangente en M, on en déduira très-facilement la
tangente en M.

Le mode de transformation que nous proposons nous
paraît avoir un avantage. On peut se rendre compte sans
effort, de tous les cas particuliers que présente la transfor-
mation de Magnus.

Veut-on avoir l’inversion quadrique de M. Hirst. On pren-
dra pour P le plan polaire d’un point de O O0’. Alors deux
points correspondants a’ a forment une involution sur a a’,
et on a l’inversion quadrique telle qu’elle à été proposée
par M. Hirst.

Par exemple, si on prend une sphère, deux points O O'à
l'extrémité d’un diamètre, et pour plan P un plan perpen-
diculaire à O O0’, on obtient la transformation par rayons
vecteurs réciproques.

Dans une prochaine communication je donnerai quelques
détails sur la transformation précédente, et j'en ferai lappli-

TT,

cation à la construction de la surface du deuxième ordre,
déterminée par neuf points.

Séance du 2 mai 1868.
PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

M. de la Gournerie, après avoir exposé des considérations sur
les involutions du quatrième ordre, donne comme application la
résolution de l’équation générale du quatrième degré et quelques
propriétés des lignes spiriques.

M. Vaillant présente une sorte de hache provenant de l'Océanie
et taillée dans la coquille d’un Tridacna.

Séance du 9 mai 1868.

PRÉSIDENCE DE M; MANNHEIM.

M. Delesse, en offrant à la Société son rapport sur l'Exposition
universelle, analyse la partie relative aux matériaux de construc-
tion.

M. Transon fait une communication sur un moyen géométrique
d'obtenir la décomposition des fractions rationnelles.

D Pa

Séance du 16 mai 1868
PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

M. Transon complète la communication commencée dans la
séance précédente et ajoute des considérations sur la représenta-
tion des quantités imaginaires.

M. Darboux termine sa communication du 29 avril 1868, sur la
construction de la surface du deuxième ordre déterminée par neuf
points.

M. Fouret expose le résultat de ses recherches sur les épicycloides.

Sur la construction de la surface du deuxième ordre déter-
minée par neuf points, par M. Darboux.

1. Construction de la surface du deuxième ordre passant
par une droite (0) et par six points 0”, a, b, c, M, N.

Nous prenons par les deux pôles de la transformation un
point O, situé sur la droite (0) et le point 0’; pour plan P
de la transformation, nous prenons le plan des trois points
a, b, c. La question est donc ramenée à la suivante :

Déterminer les éléments de la transformation connaissant
le point « (où la droite (0) rencontre le plan P), trois
points a, b, c de la conique principale et deux couples de
points correspondants m, m'; n, n.

Remarquons qu'aux droites a m, & n doivent répondre des
droites allant se couper en un point $” de la conique prinei-
pale. Ces droites doivent d’ailleurs passer par les points »,
n. Il faut donc résoudre le problème suivant :

Mener par quatre points fixes «&, a, b, c une conique ren-
contrant les droites fixes à », an, en des points tels que, si
on joint ces deux points donnés aux deux points #°, n', les
droites de jonction aillent se couper sur la conique.

SA TQ ne

Ce problème se résout avec une grande facilité de la ma-
nière suivante : |

Si on considère une des coniques passant par les quatre
points fixes et coupant les droites fixes en g, q’, la droite
nq ira couper la conique en un point r variable et la droite
r q menée par les deux points mobiles r,q ira passer par
un point fixe.

Ce point fixe se détermine avec la règle : il suffit de pren-
dre, parmi les coniques variables, celles qui se réduisent à
des droites. Dès lors la droite q’ », devant passer par ce point
fixe et par un autre point fixe m’, est complétement déter-
minée; le point q donne un cinquième point de la conique
cherchée.

Nous pouvons maintenant considérer le problème comme
résolu, puisque nous connaissons la conique principale qui
est une section de la surface cherchée, la droite (0) et la
droite 0’ &” appartenant aussi à la surface.

II. Construire la surface du deuxième ordre déterminée par
neuf points quelconques.

On sait que toutes les surfaces passant par huit points se
coupent suivant une ligne du quatrième ordre et, par suite,
que leurs sections par un plan fixe passent toutes par quatre
points de ce plan. Soit en particulier le plan P contenant
trois des huit points a, b, c, les sections des suriaces par ce
plan se coupent en trois points 4, b, c et en un quatrième
point qui est inconnu. Notre problème serait résolu si on sa-
vait déterminer ce quatrième point; en effet, si des neuf
points “donnés on retranche successivement deux points, on
aura deux systèmes de huit points qui fourniront dans le
plan P deux points æ, y. La conique des cinq points a, b,
C, &, y appartiendra donc à la surface cherchée et le pro-
blème sera résolu. Nous sommes donc ramenés au problème
suivant : | |

Etant donmés huit points, déterminer dans le plan de trois
d'entre eux le quatrième point qui appartient à toutes les sur-
faces du second degré passant par les huits points.

Ce problème peut se résoudre au moyen de celui que nous
avons examiné précédemment; on n’aura qu'à considérer deux
surfaces particulières passant par six des huit points et par

SN de

la ligne qui joint les deux autres, et on n’a plus qu'a résou-
dre le problème connu :

Etant données deux coniques déterminées par cinq points,
et ayant trois points communs, déterminer leur quatrième
point d’intersection ; ce qui se fait avec la règle.

IT. On voit, d’après ce qui précède, que le problème de
déterminer une transformation du deuxième ordre quand on
connait neuf systèmes de points correspondants revient au
suivant : construire la surface du deuxième ordre détermi-
née par neuf points. Je terminerai en faisant remarquer que la
méthode de transformation employée fournirait plusieurs
autres solutions du problème que nous nous étions posé;
elle serait surtout précieuse dans le cas où quatre points se-
raient dans un plan et dans quelques autres cas particuliers.

Sur les épicycloides, par M. Fouret.

4. Je me propose dans cette note d’exposer quelques pro-
priétés nouvelles des épieycloïdes. La plupart de ces pro-
priétés appartiennent aussi bien aux épicycloïdes allongées
ou racCcourcies qu'aux épicycloïdes ordinaires, et on en dé-
duit comme cas particuliers quelques théorèmes sur l’ellipse
dont la plupart me paraissent nouveaux. Ces théorèmes se
démontrent très-aisément par la plus simple géométrie ; c’est
pourquoi je me bornerai à les énoncer et à indiquer en peu
de mots le principe de la démonstration.

Quoique les propriétés dont il s’agit soient des propriétés
géométriques, j’emploierai, pour les énoncer plus commodé-
ment, des termes empruntés à la mécanique, et qu’il est
inutile de définir ici. Je dirai seulement quelques mots sur
la définition des épicycloïdes.

Au lieu de la définition ordinaire de ces courbes, j'ai em-
ployé la définition suivante qui, tout en n'étant qu’une

QU —

transformation très-simple de la première, se prête beaucoup
mieux qu'elle à l'étude actuelle.

2. « Une épicycluide quelconque (ordinaire, allongée ou
» raccourcie) peut être considérée comme engendrée par un
» point M parcourant une circonférence (M), tandis que
» cette circonférence tourne autour d’un point fixe O, son
» centre F décrivant autour de ce point une circonférence (F),
» de telle sorte que les angles p et o dont tournent simulta-
» nément le point M sur la circonférence (M) et le point F
» sur la circonférence (F) soient constamment proportion-
» nels. »

L’épicycloïde sera extérieure, si les deux rotations s’effec-
tuent dans le même sens ; ce sera d’ailleurs une épicycloïde
ordinaire, allongée ou raccourcie, suivant que l’on aura

m et f étant les rayons des deux circonférences (M) et (F).

Si les deux rotations ont lieu en sens contraire, l’épicy-
cloïde sera intérieure; autrement dit ce sera une hypocy-
cloïde. Cette hypocycloïde sera ordinaire, allongée ou rac-
courcie suivant que l’on aura

3. Parmi les épicycloïdes proprement dites on peut citer
l’épicycloïde du 4 degré, qui n’est autre chose que le lima-
con de Pascal, pour lequel . — 1

L'hypocycloïde la plus intéressante est l’ellipse pouvant se
réduire à un segment de droite; c’est le cas de + —o,

Dans ce qui va suivre, nous appellerons épicycloïdes du
même genre celles pour lesquelles le rapport a a la même

valeur et le même signe.

Extrait de L'Institut, 4re section, 1868. 6

(ms

Dans le cas de l’ellipse l'angle + compté à partir du grand
axe a reçu le nom d'angle d'anomalie ; je me servirai dans
ce qui va suivre de cette dénomination en l’étendant au cas
d’une épicycloïde quelconque ; seulement l’axe qui sert d’o-
rigine à l'angle + restera indéterminé, ce qui ne peut avoir
aucun inconvénient parce que l’angle + n'intervient que par
ses accroissements.

L’angle © dans le cas du limaçon est l'angle que fait avec
l'axe le rayon vecteur issu du pôle, ou autrement dit du
point double.

Pour faciliter le langage, j'appelle rayon vecteur d’une
épicycloïde la droite joignant le centre de son cercle direc-
teur à un point mobile sur cette courbe.

4, « Une cycloïde quelconque (ordinaire, allongée ou rac-
» courcie) peut être considérée comme engendrée par un
» point M parcourant une circonférence (M) douée d’un
» mouvement de translation rectiligne, le chemin { parcouru
» par le centre de cette circonférence et l’angle dont tourne
» en même temps le point m sur la circonférence étant con-
» stamment proportionnels. »

5. Théorème I. « Des points en nombre quelconque décri-
» vant sur un plan des épicycloïdes du même genre, de fa-
» çon que les angles d’anomalie croissent simultanément de
» la même quantité, la résultante des droites menées à
» chaque instant par un point fixe du plan parallèles et
» égales aux rayons vecteurs de ces épicycloïdes est le
» rayon vecteur d'une épicycloïde du même genre qu'elles.»

Ce théorème est d'une grande généralité; les suivants
n’en sont que des conséquences presque immédiates.

6. Théorème II. « Par un point quelconque on mène dans
» un sens déterminé des droites parallèles et égales aux
» cordes d’une épicycloïde dont les deux extrémités ont des
» angles d’anomalie différant d’une quantité constante; le
» lieu des extrémités des droites aimsi obtenues est une
» épicycloïde du mème genre. »

Ce théorème est évident dans le cas de l’ellipse, lorsque

LOIS

l’on considère cette courbe comme la projection d’un cercle.

Dans le cas du limaçon, ce théorème prend la forme sui-
vante :

« Par un point quelconque on mène dans un sens déter-
» miné des droites parallèles et égales aux cordes d’urf li-
» maçon vues du pôle sous un même angle; le lieu des
» extrémités de ces droites est un limacon.

7. En remarquant qu’un cercle peut être considéré comme
une épicycloïde d’un genre quelconque, on déduit du théo-
rème Î les deux théorèmes suivants :

Théorème III. « Par chacun des points d’une épicycloïde
» on mène une droite d’une longueur constante faisant un
» angle constant dans un sens de rotation déterminé avec
» la droite joignant les centres des cercles générateurs de
» lépicycloïde. Le lieu des extrémités des droites ainsi ob-
» tenues est une épicycloïde du même genre que la pre-
» mière. »

8. Théorème IV. « Les droites menées par un point quel-
» conque parallèles et égales aux portions des normales à
» une épicycloïde comprise entre leur pied et leur premier
» point de rencontre avec le cercle directeur, sont les rayons
» vecteurs d’une épicycloïde du même genre. »

Dans le cas de l’ellipse, on obtient une seconde ellipse qui
n'est autre chose que la première ayant tourné de 90° autour
de son centre.

9. Théorème V. « Les droites menées par un point quel-
» conque parallèles et égales aux rayons de courbure d’une
» épicycloïde ordinaire, sont les rayons vecteurs d’une épi-
» cycloïde allongée ou raccourcie du même genre. »

Cette dernière épicycloïde peut être considérée comme dé-
crite par un point coïncidant primitivement avec le centre
de son cercle directeur, lequel est par conséquent un point
multiple de l'épicycloïde

10. Théorème VI. « Des points en nombre quelconque
» parcourant sur un plan des épicycloïdes ordinaires sem-
» blables, de manière qu'à chaque instant les tangentes à
» ces épicycloïdes soient parallèles ; la résultante des droites
» menées à chaque instant parallèles et égales aux rayons
» vecteurs de ces épicycloïdes est le rayon vecteur d’une
» épicycloïde ordinaire semblable aux précédentes. »

LR AE

« La tangente en un point quelconque de cette épicycloïde
» est parallèle aux tangentes aux points correspondants des
» premières. »

On déduit ce théorème du théorème [ en remarquant que
la tangente d’une épicycloïde ordinaire s’infléchit d’un angle
proportionnel à celui dont augmente l'angle d’anomalie de
son point de contact.

11. À l’aide du dernier théorème on démontre très-facile-
ment le suivant, en se reportant à la définition du mouve-
ment de réptation donné par Jean Bernoulli.

Théorème VII. « Une épicycloïde ordinaire rampant sur
» une épicycloïde semblable, un point quelconque lié à la
» courbe mobile engendre une épicycloïde semblable aux
» précédentes (L). »

Ce théorème s'applique à la cycloïde ordinaire considérée
comme limite d'une épicycloïde ordinaire dont le rayon de
cercle directeur augmente indéfiniment.

19. Imagmons un certain nombre d’épicycloïdes engendrées
par des points liés à un même cercle roulant sur un cercle
fixe, et construisons des courbes homothétiques à ces épicy-
cloïdes par rapport au centre du cercle fixe et avec des rap-
port d’homothétie différents. Les points des nouvelles épicy-
eloïdes qui sont les homologues des points des premières
correspondant à une même position du cercle mobile, peu-
vent évidemment être considérés comme correspondant à des
angles d’anomalie égaux. On peut par conséquent leur ap-
pliquer le théorème I.

Supposons, par exemple, une ellipse engendrée par un
point lié à une circonférence roulant intérieurement sur une
circonférence deux fois plus grande. On démontre facilement
que la normale en chacun des points de cette ellipse ren-
contre l’un ou l’autre de ces axes en un point dont la dis-
tance au centre est constamment proportionnelle à celle du
point de la circonférence mobile qui engendre l'axe en
question. De là résultent les deux théorèmes suivants :

A) Voir une Étude sur les reptoires par M. Prouhet, Nouvelles
Annales, 1re série, t. XII.

ENTER

Théorème VIII. « Le lieu des extrémités des droites me-
» nées par un même point parallèles et égales aux portions
» des normales à une ellipse comprises entre cette couche et
» l’un de ses deux axes est une ellipse. »

Théorème IX. « Le lieu des extrémités des droites menées
» par un même point parallèles et égales aux portions des
» normales à une ellipse comprises entre ses deux axes est
» une ellipse.

Les axes de la nouvelle ellipse sont inversement pro-
» portionnels à ceux de la première. »

Remarque. — il est facile de voir que les théorèmes précé-
dents sont également vrais pour l’hyperbole. Le premier
s'applique aussi à la parabole considérée comme ellipse
limite.

13. Les propriétés des épicycloïdes qui me restent à passer
en revue sont comprises comme les précédentes dans un
même théorème fondamental. Ce théorème peut lui-même se
déduire du théorème I; mais il est plus simple de le dé-
montrer directement en s'appuyant sur le lemme suivant :

Lemme. «Deux points décrivant dans un plan deux cir-
» conférences, avec des vitesses angulaires constamment égales,
» tout point qui divise dans un rapport constant la droite
» joignant les deux premiers points décrit une circonférence
» avec la même vitesse angulaire.

» Les centres de ces circonférences sont situés sur une
» même ligne droite qui est divisée par ces points dans le
» rapport précité. »

Ce théorème a été donné.par M. Grouard dans une Étude
sur les figures semblables (Bulletin de la société FOlomaraue
t Il p-105):

Si les deux premières circonférences se déplacent rail
lement à elles-mêmes et indépendamment l’une de l’autre, la
troisième circonférence se déplace aussi parallèlement à elle-
même sans changer de grandeur :

14. En tenant compte de cette remarque, on démontre fa-
cilement le théorème suivant :

DORE ee

« Théorème X. Deux points décrivant dans un plan deux
épicycloïdes du mème genre, de façon que les angles d’ano-
malie correspondant à ces points croissent simultanément
de quantités égales, tout point qui divise dans un rapport
constant la droite qui joint les deux premiers points dé-
crit une épicycloïde du même genre que les précédentes
et suivant la même loi.

» Les centres des cercles fixes de ces trois épicycloïdes sont
sur une même ligne droite qui est divisée par ces points
dans le rapport précité. Il en est de même des centres des
cercles mobiles et des points de contact des cercles géné-
rateurs de ces épicycloïdes. »

Les éléments de la nouvelle épicycloïde se trouvent ainsi

complétement déterminés.

45. Le théorème précédent peut s'étendre à un nombre

quelconque d’épicycloïdes du même genre situées dans un
même plan ou dans des plans parallèles. Ainsi généralisé, il
peut s’énoncer commodément de la manière suivante :

Théorème XI. « Des points matériels de masses différentes
et en nombre quelconque décrivant dans un même plan
(dans des plans parallèles) des épicycloïdes du même
genre, de façon que les angles d’anomalie correspondants
croissent constamment de la même quantité dans le
même temps, leur centre de gravité décrit une épicycloïde
du même genre suivant la mêmeloi et dans le même plan
(dans un plan parallèle aux précédents).

» Le centre du cercle fixe de cette épicycloïde est le cen-
tre de gravité des points matériels transportés aux centres
des cercles fixes de leurs épicycloïdes respectives. Il en est
de mème des centres des cercles mobiles et des points de
contact des cercles générateurs de ces épicycloïdes. »

16. Ce théorème s'applique aux cycloïdes considérées comme

limites d’épicycloïdes du même genre.

Dans le cas de l’ellipse, il peut se généraliser encore da-

vantage au moyen de cette remarque que « la projection or-

)
»
>)
)

thogonale d’une ellipse sur un plan quelconque est une
ellipse, dont l'angle d’anomalie en chaque point diffère
d’une quantité constante de l’angle d’anomalie au point
correspondant de la première. »

LIRE

D’après cela, on démontre facilement le théorème sui-
vant :

Théorème XII. « Des points matériels de masses diffé-
» rentes et en nombre quelconque décrivant dans l’espace
» des ellipses de façon que les angles d’anomalie correspon-
» dants à ces points croissent constamment de la même
» quantité dans le même temps, leur centre de gravité dé-
» crit lui-même une ellipse suivant la même loi.

» Le centre de cette ellipse est le centre de gravité des
» points matériels transportés aux centres de leurs ellipses
» respectives. »

17. Ce théorème subsiste lorsque quelques-unes des
ellipses sont infiniment aplaties; en les supposant toutes dans
ce cas, le théorème peut prendre la forme suivante :

Théorème XI11. « Des points matériels de masses diffé-
» rentes et en nombre quelconque exécutent des vibrations
» isochrones dans des directions quelconques, de façon que
» leurs déplacements simultanés varient comme les cosinus
» d’angles croissant de la même quantité dans le même
» temps, leur centre de gravité décrit une ellipse de manière
» que l’angle d’anomalie correspondant varie comme les an-
» gles précédents.

» Le centre de cette ellipse est le centre de gravité des
» points matériels transportés à leurs centres de vibration
» respectifs. »

Pour fixer les idées, on peut supposer les points matériels
animés de vitesses satisfaisant à une relation de la forme

t — 1
V= a sin 2 r—
a Sin Z7 T

le temps T d’une vibration double étant le même pour tous
les points.

18. Revenons maintenant au théorème IX pour en tirer
quelques conséquences intéressantes.

En supposant que les deux épicycloïdes n'en fassent
qu'une, on obtient le théorème suivant :

Théorème XIV. « Le lieu des points qui divisent dans un
» rapport constant les cordes d’une épicycloïde dont les deux

» extrémités ont des angles d’anomalie différant d'une quan-
» tité constante, est une épicycloïde du même genre.

» Le centre de cercle fixe de cette épicycloïdeest le même
» que celui de la première.

En particulier :

» Le lieu des points qui divisent dans un rapport constant
» les cordes d’un limaçon vues du pôle sous un même an-
» gle est un limaçon. »

Le théorème est évident dans le cas de l’ellipse.

49. Théorème XV. « Le lieu des points qui divisent dans
» un rapport constant les portions des normales à une épi-
» cycloïde comprises entre leur pied et leur premier point
» de rencontre avec le cercle directeur est une épicycloïde
» du même genre. »

La construction qui permet de trouver les éléments du lieu
dans le cas général examiné (art. 14) est en défaut dans le
cas actuel.

Mais on-peut les déterminer facilement en remarquant
que le centre du cercle générateur de la nouvelle épieyeloïde
divise dans le rapport donné le rayon du cerele générateur
de la première qui aboutit au point où ce cercle touche le
cercle directeur. Il est évident d’ailleurs que les cercles di-
recteurs des deux épicycloïdes sont concentriques.

Le théorème analogue au précédent dans le cas de la ey-
cloïde peut s’énoncer ainsi :

« Le lieu des points qui divisent dans un rapport constant
» les normales d’une cycloïde est une cyceloïde. »

Il est facile de voir que le cercle générateur de la nouvelle
cycloïde est égal à celui de la première; les drones sur les-
quelles ces cercles roulent sont d’ailleurs parallèles.

20. Théorème XVI. « Le lieu des points qui divisent dans un
» rapport constant les rayons de courbure d’une épicycloïde
» ordinaire est une épicycloïde du même genre (allongée
» Où raccourcie).

Le cercle directeur de cette épicycloïde est parallèle à
celui de la première. Quant à ses éléments, ils se déduisent
facilement des éléments de l’épicycloïde donnés et de ceux
de sa développée.

Dans le cas de la cycloïde, ce théorème rentre dans le
précédent.

21. Théorème XVII. «Le lieu des points qui divisent dans
» un rapport constant les portions des normales à une
» ellipse comprises entre leur pied et l’un des axes est une
» ellipse. » +

En prenant pour le rapport une valeur convenable, on
peut trouver soit le second axe, soit l’un ou l’autre des deux
cercles concentriques à l’ellipse, et ayant pour rayons la demi-
somme et la demi-différence de ses axes.

Le théorème précédent est vrai pour l’hyperbole et pour la
parabole.

99. La plupart des théorèmes énoncés ci-dessus et qui con-
viennent à l’ellipse conviennert également à la parabole, et
il est facile de démontrer que l’ordonnée à l'axe est lélé-
ment qui, dans la parabole, joue le même rôle que l’angle
d’anomalie dans l’ellipse.

C’est ainsi que du théorème XITL résulte le théorème sui-
van£ :

Théorème XVIII. « Des points matériels de masses diffé-
» rentes et en nombre quelconque décrivant dans l’espace
» des paraboles de manière à s'éloigner dans le même
» temps des axes de ces paraboles de quantités proportion-
» nelles à leurs paramètres, le centre de gravité de ces points
» décrit lui-même une parabole suivant la même loi. »

23. On peut supposer un certain nombre de paraboles in-
finiment évasées, c'est-à-dire réduites à des lignes droites ;
et le théorème précédent subsiste.

En appliquant en particulier ce théorème à la parabole
et à sa tangente au sommet, on démontre facilement que
« le lieu des points qui divisent dans un rapport constant
» les portions des tangentes à une parabole comprises entre
» leur point de contact et leur point de rencontre avec la
» tangente au sommet est une parabole ayant même axe
» et même sommet que la première. »

On peut encore tirer du même théorème ce résultat
connu, à savoir, que « le lieu des pieds des perpendiculaires
» abaissées du foyer d’une parabole sur les normales à cette
» courbe est une parabole, »

00e

IV.

24. Voici maintenant quelques théorèmes concernant ex-

clusivement les épicycloïdes ordinaires et comprenant comme
cas particuliers des propriétés caractéristiques et bien con-—
nues de ces courbes.

Du théorème XI et d’une remarque faite précédemment

(art. 10), on déduit immédiatement le théorème suivant :

Théorème XIX, « Des points matériels de masses différentes
et en nombre quelconque décrivant dans le même plan ou
dans des plans parallèles des épicycloïdes (cycloïdes) or-
dinaires semblables avec des vitesses à chaque instant
parallèles, le centre de gravité de ces points décrit lui-
même une épicycloïde (cycloïde) ordinaire semblable aux
précédentes et satisfaisant aux mêmes conditions. »

25. Ce théorème peut s’énoncer de la manière suivante,

dans le cas où l’on ne considère que deux épicyeloïdes :

Théorème XX. « Deux points parcourant dans un plan
deux épicycloïdes (cycloïdes) ordinaires semblables, de fa-
çon que les tangentes correspondantes soient constamment
parallèles, le lieu du point qui divise dans un rapport
constant la droite joignant les deux premiers points
est une épicycloïde (cycloïde) semblable aux deux pre-
mières. »

26. De ce théorème, on en déduit un autre d’une nature

toute différente, en s'appuyant sur le lemme que voici :

Lemme. « Imaginons sur un plan trois courbes (A), (B),
(C), telles que les points &, b, c, de ces courbes pour les-
quels les tangentes sont parallèles, soient en ligne droite

: DC NTI
et satisfassent à la relation ne (constante). Faisons
CAEN

tourner (B) d’un certain angle dans le plan; la tangente
en b à (B) rencontrera alors la tangente en a à {A), en
un certain point ?, par lequel nous menons une droite 1c’
Es ea

en te L'enveloppe de cette droite est
sin bie n

une courbe égale à la courbe (C). »

27. Théorème XXI. « Un angle de grandeur constante se

telle que

— Qÿ|

» meut dans un plan de manière que ses côtés restent con-
» stamment tangents à deux épicycloïdes (cycloïdes) ordi-
» naires semblables. Une droite invariablement liée à cet
» angle et passant par son sommet enveloppe une épicy-
» cloïde (cycloïde) semblable aux deux premières. »

En désignant par A, B, C, les trois tangentes dans des po-
sitions correspondantes, par p4, Pr, Pc, les rayons de cour-
bures correspondants; par S4, S», Sc, trois arcs enveloppés
simultanément par les trois droites (A), (B), (C), on a les re-
lations

A A UN
pa sin BC + 68 sin CA — pc sin AB= 0

A) /\ 1H X
S, sin BC + S, sin CA + Sc sin AB — 0

On peut remarquer que, dans le cas des cycloïdes, lorsque
deux de ces courbes seront égales, la troisième sera égale aux
deux premières.

28. Dans le dernier théorème, on peut supposer que les
deux côtés de l'angle soient tangents à la même épicycloïde.
En supposant, de plus, que la troisième droite conserve une
inclinaison constante sur l’un des côtés de cet angle, pendant
que celui-ci augmente jusqu'à devenir égal à 80°, on obtient
le théorème suivant :

Théorème XXII. « L’enveloppe des droites coupant une
» épicycloïde (cycloïde) ordinaire sous un angle constant est
» une épicycloïde semblable (cycloïde égale). »

Dans le cas où l’angle est droit, on retrouve cette pro-
priété bien connue des épicycloïdes, à savoir, que « la déve-
» loppée d’une épicycloïde (cycloïde) ordinaire est une épicy-
» cloïde semblable (cycloïde égale). »

29. En terminant, j'indiquerai deux autres propriétés des
épicycloïdes, qui, sans être liées aux précédentes, ont quelque
analogie avec elles et se démontrent à peu près de la même
manière.

La première peut être considérée comme une généralisa-
tion du théorème de M Grouard, dont j'ai fait usage précé-
demment (art. 143); on peut l’énoncer de la manière sui-
vante :

HPOODLE

Théorème XXIIT. « Deux points décrivant dans un même
» plan deux cercles avec des vitesses angulaires constamment
» proportionnelles, tout point qui divise dans un rapport
» constant la droite joignant à chaque instant les deux pre-
» miers points décrit une épicycloïde. »

Soient C et C les centres des deux circonférences, À et A?
les points qui les parcourent pris dans des positions corres-
pondantes. Le point O, qui divise CC’ dans le rapport donné,
est le centre du cercle fixe de l’épicycloïde, la parallèle OF à
CA”, comprise entre le point O et la droite CA’, est le rayon
de la circonférence fixe; la parallèle FM à CA, comprise
entre le point F et la droite AA”, est le rayon de la circon-
férence mobile. De là, on déduit facilement les circonférences
qui, en roulant l’une sur l’autre, engendrent l’épicycloïde.

La construction que nous avons indiquée pouvant se faire
de deux manières, on voit que l'épicycloïde pourra s’engen-
drer de deux manières différentes par le roulement d’une
circonférence sur une autre.

On est ainsi conduit à la double génération des épicy-
cloïdes quelconques, que j'ndiquerai après avoir énoncé le
théorème suivant, qui y conduit également :

30. Théorème XXIV. « Deux points décrivant dans un
» même plan deux circonférences avec des vitesses constam-
» ment proportionnelles, la résultante des deux droites me-
» nées à chaque instant parallèles et égales aux rayons de
» ces deux circonférences est le rayon vecteur d’une épicy-
» cloïde. »

Ce théorème résulte immédiatement de la définition des
épicycloïdes, que j'ai rappelée au commencement de cette
note.

31. Soient O et F les centres de deux circonférences dont
l'une roule sur l’autre, et M un point lié à la circonférence
mobile et engendrant pendant son mouvement une épicy—
cloïde quelconque (ordinaire, allongée ou raccourcie).

Cette épicycloïde peut être engendrée au moyen de deux
autres circonférences faciles à déterminer. Pour cela, on joint
le point M au point B de contact des deux premières circon-
férences ; le point d’intersection B’ de cette droite et de la
parallèle à FM menée par le point O est le point de contact
des deux nouvelles circonférences. Le point d’intersection F°

Don

de OB’ et de la parallèle à OF menée par le point M est le
centre de la circonférence mobile. D'ailleurs le nouveau
cercle directeur a le même centre que l’ancien. Au moyen
de ces éléments, on peut facilement construire les deux nou-
velles circonférences génératrices, en remarquant que la nou-
velle circonférence mobile doit être en dedans ou en dehors
de la circonférence sur laquelle elle roule, suivant que l’an-
cienne circonférence mobile était elle-même en dedans ou en
dehors de la circonférence fixe correspondante. Dans le pre-
mier cas, les deux circonférences mobiles rouleront sur leurs
circonférences fixes en sens contraire; dans le second cas,
elles rouleront dans le même sens.

La double génération des épicycloïdes ordinaires est con-
nue depuis longtemps; c’est Euler, je crois, qui l’a fait con-
naître le premier; mais on ne connaissait pas encore la
double génération des épicycloïdes allengées et raccourcies,

si ce n’est dans deux cas particuliers: dans le cas de l’el- -

lipse et dans le cas du limaçon de Pascal. Le deuxième mode
de génération du limaçon de Pascal se trouve indiqué dans
un théorème énoncé par M. Mannheim dans le tome XVII
de la première série des Nouvelles annales. Ainsi que nous
venons de le faire voir, on a d’une manière générale le théo-
rème suivant :

Théorème XXV. « Toute épicycloïde (ordinaire, allongée
» ouraccourcie) peut être engendrée de deux manières diffé-
» rentes par une circonférence mobile roulant sur une circon-
» férence fixe. »

R et R’ désignant les rayons des circonférences fixe et mo-
bile correspondant à un premier mode de génération, a la
distance du point décrivant au centre du cercle mobile ;
R;, Ry, &, désignant les éléments correspondants dans le
second cas, on a:

GREAT de R'
R
R=0E
ANRSER
TR

les signes (+) correspondant au cas de l’épicycloïde propre-
ment dite, les signes (—) au cas de l’hypocycloïde.

RD 7 rs

Séance du 23 mai 1868.

PRÉSIDENCE DE M. TRANSON.

M. Lariet rend compte de la découverte d’ossements humains
de l’époque de l’âge de la pierre, aux Eyzies.

Séance du 30 mai 1868.

PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

M. Laguerre expose le résultat de ses recherches sur les centres
de courbure des surfaces anallagmatiques.

Séance du 6 juin 1868.

PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

M. Laguerre discute un théorème de M. Williams Roberts.
M. Lartet décrit l'appareil de M. Da Sylva, destiné à enregistrer
les tremblements de terre et à indiquer leur direction.

”

“a 1e oui

Séance du 13 juin 1868.
PRÉSIDENCE DE M. LAGUERRE.

M. Delanoue, de retour d’un voyage en Égypte, fait part de ses
observations sur les lacs salés de l’isthme de Suez.

M. Laguerre discute certaines variétés remarquables des surfaces
anallagmatiques.

Séance du 20 juin 1868.
PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

M. Fischer fait une communication sur les prétendus Poulpes
gigantesques, qui sont tous des Céphalopodes Décapodes (Loligo,
Ommastrephes, etc.), et non des Octopodes.

Séance du 27 juin 1868.
PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

M. Laurent est nommé président pour le deuxième semestre de
l’année 1868.

M. Delesse rend compte des observations géologiques qu’il a faites
le long de la tranchée du chemin de fer de Paris à Cherbourg.

IMPRIMERIE CENTRALE DES CHEMINS DE FER.— A. CHAIX ET C®, RUE BERGÈRE, 20. —14688-8

BULLETIN

DE LA

SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE

DE PARIS

Séance du 4 juillet 1868.
PRÉSIDENCE DE M. DELANOUE.

M. Alix complète une communication antérieure sur l'anatomie
de l’Autruche.

Sur l’analomie de l’Autruche d'Afrique, par M. Alix.

Je viens communiquer à la Société quelques observations
que j'ai pu faire sur une Autruche d’Afrique, grâce à l’obli-
geance de M. Alphonse Milne-Edwards qui a bien voulu me
confier cet Oiseau dont il avait fait l'acquisition pour en con-
server le squelette.

N'ayant pas l'intention de répéter ici ce qui a étédit dans
d’autres travaux tels que ceux de Meckel et celui plus
récent de M. Macalister (Proceed. of the royal irish Academy,
1864), je me bornerai aux détails suivants :

Le membre thoracique de l’Autruche ne diffère pas seule-
ment de celui des autres Oiseaux par la forme et la dispo-
sition des os de l'épaule, par la longueur de l’humérus et la

Extrait de J'Institut, 11° section, 1868. 7

brièveté de l’avant-bras, il en diffère encore par larrange-
ment et le jeu de plusieurs articulations. Aïnsi le radius ne
se meut pas sur le cubitus parallèlement à son axe et, avec
l’absence de ce mouvement, coïncide celle du ligament et
du fibro-cartilage interarticulaires que l'on voit habituelle-
ment dans l'articulation du coude. D'ailleurs le mouvement
de pronation et de supination du cubitus signalé par
Strauss-Durckheim et par nous (Bull. dela Soc. phil. et jour-
nal l’Institut, 1863) a lieu chez l’Autruche.

Les articulations du poignet offrent certainement la diffé-
rence la plus curieuse à observer. Habituellement l’os cubital
du carpe (Bull. de la Soc. phil. et journal l'Institut, 1863)
est disposé de telle sorte que, lorsque la main s'incline vers
le bord du cubital de l’avant-bras, cet os, glissant à la fois
sur le bord correspondant du métacarpe et sur la face pal-
maire du cubitus, modifie le mouvement de la main à la
façon d’un excentrique, de telle sorte que la face dorsale de
la main vient regarder la face palmaire de l’avant-bras;
d'autre part, il ne peut y avoir que ce mouvement d'adduc-
tion, et la flexion directe de la main sur lavant-bras est
impossible. Chez l’Autruche, il peut,-au contraire, y avoir un
léger mouvement de flexion directe de la main sur l’avant-
bras. En outre, l’adduction est excessivement limitée, et
d’ailleurs los cubital est incapable de glisser soit sur l’avant-
bras, soit sur le métacarpe; il s'oppose comme un coin au
mouvement habituel d’inclinaison de la main vers le cubi-
{tus.

D'un autre côté, tandis que chez les “autres Oiseaux le
bord radial de la main peut à peine se placer dans la ligne
du radius, chez l’Autruche la main peut dépasser cette ligne
et s'incliner vers le bord libre du radius par un mouvement
d’abduction ; dans ce mouvement , le métacarpe glisse en
outre sur une facette que présente à sa face dorsale l'os ra-
dial du carpe, en sorte que la main, en s’inclinant, est en-
traînée par un mouvement excentrique; d'où il résulte que
sa face palmaire arrive à regarder la face dorsale de l’avant-
bras. C’est de toute manière l'opposé de ce qui a lieu chez
les autres Oiseaux.

Si uous ajoutons à cela que les phalanges du doigt moyen
(au nombre de trois) s’inclinent vers le bord radial de la

LE 0e

main et non vers son bord cubital, on verra que la totalité
du membre thoracique se courbe dans le même sens au lieu
d'offrir trois segments (le bras, l’avant-bras et la main) pliés
successivement en sens inverse l’un de Pautre.

Il y a une relation entre ces faits et l’usage que les Au-
truches font de leurs ailes. Ces organes en effet ne leur ser-
vent pas pour voler, mais elles les étendent comme des
voiles quand elles courent dans la direction du vent, et,
grâce à la disposition des os, les plumes, disposées sur la
convexité d’une courbe, occupent un plus grand espace. Si,
au contraire, l'oiseau court contre le vent, les ailes peuvent
être facilement rabattues sur le poitrail de manière à n’oppo-
ser aucun obstacle à la rapidité du mouvement.

Séance du 11 juillet 1868.
PRÉSIDENCE DE M DELANOUE.

M. Alix rend compte d'expériences nouvelles de M. Czerny, re-
latives à l’action des verres grossissants sur ia rétine.

M. Puel donne quelques détails sur les mœurs d’un Ouistiti.

Communication de M. Fischer sur la distribution géographique
des Baieines.

Séance du 18 juillet 1868.
PRÉSIDENCE DE M. DELANOUE.

M. Fischer continue l'étude de la distribution géographique des
Baleines.

— 100 —

Séance du 25 juillet 1868.

PRÉSIDENCE DE M. DELANOUE.

M. Laurent expose les nouveaux procédés employés pour les fo-
rages instantanés.
M. Delesse présente quelques observations à ce sujet.

Séance du 1° août 1868

PRÉSIDENCE DE M. LAURENT

# :] LA
M. Delanoue, à la suite d’un voyage récent en Egypte, fait une
communication sur la géologie de cette contrée.

Séance du 8 août 1868.
PRÉSIDENCE DE M. LAURENT.

M. Alix rend compte de ses recherches sur la disposition des
lignes papillaires de la main et du pied.

M. Hamy présente les résultats de ses études sur le développe-
ment de la face et sur l’os intermaxillaire.

CS CE

IMP. CENTRALE LES CHEMINS DE FER. — A. CHAIX ET C°, RUE BERGÈRE, 20, À PARIS -— 44602-8

BULLETIN

DE LA

SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE

DE PARIS.

Séance du 17 octobre 1868.
PRÉSIDENCE DE M. ROZE.

Communication de M. Fischer sur quelques particularités de
l’organisation des Squalodon.

Séance du 24 octobre 1868,
PRÉSIDENCE DE M. LABOULAYE.

M. Prillieux rend compte de ses recherches sur les mouvements
- des plantes déterminés par des agitations ou des chocs à direction
constante.

AS ©

Extrait de L'Institut, 17° section, 4868. 8

— 102 —

Séance du 31 octobre 1868.
PRÉSIDENCE DE M. LAUSSEDAT.

M. Prillieux complète la communication commencée dans la
séance précédente.

M. Laussedat décrit un nouveau régulateur.

M. Félix Chio présente le résumé d’un troisième mémoire sur
la série de Lagrange.

Séance du 7 novembre 1868.
PRÉSIDENCE DE M. LAURENT.

M. l’abbé Aoust adresse à la Société une note intitulée : Sur
les courbures des surfaces.

M. Laguerre fait une communication sur les surfaces quadri-
cuspidales. :

M. Marey rend compte de ses expériences sur le vol des Insectes.

Sur la théorie des surfaces, par M. l'abbé Aoust.

Nous avons déjà établi qu’un certain nombre de propriétés
relatives à la courbure d’une surface s'étendent, convenable-
ment modifiées, à un autre élément du même ordre que
cette courbure, mais plus général, et contenant une fonction
arbitraire de l’angle des lignes coordonnées auxquelles un
point quelconque de cette surface est rapporté. Nous avons

ENT NPA 0e CONTE T0 DENON IPE ES

5
;
ë
x
h
El

donné plusieurs expressions remarquables de cet élément; le
but de la présente note est de donner l'expression du même
élément en fonction des variations des arcs et de l'angle des
lignes coordonnées.

. LE. Nous conservons toutes les notations et hypothèses adop-
tées dans les deux notes insérées dans le journal l’Institut,
numéros du 2 janvier et du 26 février 1868. Nous appelons

1 1
KE la courbure de la surface, K une expression qui se com-
n

pose par rapport aux ere tangentielles des courbures

1
propres.ou inclinées des lignes coordonnées comme ,— se
È n

compose par rapport aux composantes normales de ces
mêmes courbures ; W'(+) est une fonction arbitraire de l’an-
gle © des lignes coordonnées, W” sa dérivée première, W” sa
‘dérivée seconde. Nous définissons l'élément qui nous occupe
par l'équation

À \" z y”
@) H (M To

on a, d’après les équations (18)” et (19) de notre théorie
des coordonnées curvilignes quelconques, les équations sui-
vantes :

(40) _ = di (cos +. do>) —d; doi, = — (là ds, — COS 9 di door
1
Or, si l’on porte ces deux valeurs dans les formules (6)
de la note du 26 février, en remarquant que chacune des
deux équations précédentes est double par suite de la: per-
mutation des arcs coordonnés, on obtient l'équation suivante,
qui est aussi double

do _4(W (9) cosy d do, —dids | W" (e)
(ED HE) nm snme do de sin @

d, (cos o do>) — d; ds, |

— 104 —

de laquelle on déduit l’équation suivante, qui est symétrique
par rapport aux arcs coordonnés

LE @). cos çdidoi—didso| (&)
09 au En AR sin? ds, HAE :
COS 9 di do — de do, |
dc ;

Ces deux formules ont toute la généralité désirable puis-
qu'elles se rapportent 1° à un système quelconque de lignes
coordonnées, 2 à toutes les formes possibles de la fonction Y.

IL. Ces deux équations, qui donnent la valeur de l’élément
HG ” se modifient suivant le système de lignes coordonnées

a |
dont on fait usage. Si une des séries des lignes coordonnées,
>, par exemple, est composée de lignes géodésiques, ces
équations deviennent

13) HIER “ w Mo). COS ® da ds, — di dos
HE) ST ds, <
or, dans ce système de coordonnées, on a la relation
da do, — d (cos ® ds),

et en ayant égard à cette relation, l'équation se transforme
et devient

- di (smgdos,) , sing do

de Mae

(Os RAS }.
Si les deux séries de lignes coordonnées sont l’une et
l’autre géodésiques, on à simplement

d, dy Y _smg ae
(2 ds: do2 TT) H(#)

II. La fonction Y qui, entre dans les relations précédentes
peut prendre une infinité de formes dont la plus intéressante
est celle qui résulterait de ce que le rapport de cette fonc-

— 105 —

tion à l’angle + des lignes coordonnées serait constant et
égal à l'unité. L’inspection de l'équation (9) montre que,

dans ce cas, l'élément devient égal à la courbure de

À
H (#)
1 : È
la surface K: Ceci permet d'exprimer cet élément en fonc-
tion des variations des arcs et de l’angle des lignes coor-
données. En effet, la formule (11) devient

COS ® da do; —d, dos

, dù di (COS® ds) — do dos
(11) K, = di sin + do, AE ET UE |

sin ® d5»

et la tormule (12)

cosodod5i—did52
sin ® doy

cosodidc—dedo,

1
(12) _ ir =di|

sin © dos

Si ces deux formules ne sont pas connues, elles sont du
moins équivalentes à des formules connues que l’on obtient
en introduisant dans ces dernières les paramètres différen-
tiels H, H,, G, tirés de l'expression du déplacement quel-
conque ds effectué sur la surface

ds? = I? de? HE H,? des? Æ 2 G? de dei.

Si une série de lignes coordonnées : p, — const, est
composée de lignes géodésiques, la formule (13) devient

d{? (sin & do) , sin + do

doi? + K, 0

(1 3)”

qui se rapporte à un angle # variable, et lorsque cet angle
est droit, on a l’équation de Gauss

dy? (do) do»

doi? K,

—0 .

Dans le cas où les coordonnées, restant quelconques, ne

— 106 —

sont assujetties qu'à cette condition de se couper sous angle
droit, on retrouve la formule

d ;
af af) dde 0

d 09

Séance du 14 novembre 1868.
PRÉSIDENCE DE M. LAURENT.

M. de Caligny décrit un moyen de faciliter la marche automa-
tique d’un nouveau système d’écluses de navigation:

M. Gaudry rend compte d’un voyage géologique qu'il vient
d'exécuter dans le midi de la France.

Sur un nouveau moyen de faciliter la marche automatique
d'un nouveau système d'écluses de navigation, par M. À.
de Caligny. .

On achève en ce moment, sur un canal de l’État, l’appli--
cation en grand de ce système. Les périodes de l'appareil
étant très-peu nombreuses, on ne s'était pas préoccupé d’a-
bord d’obtenir une marche automatique. Mais la nécessité
d'empêcher les tubes mobiles verticaux de retomber avec
trop de vitesse sur leurs siéges a donné à M. de Caligny
l’idée d’ajouter aux -contre-poids des balanciers, des contre-
poids supplémentaires attachés à ces balanciers au moyen
de chaînes qui ne sont pas tendues quand les tubes mobiles
sont au haut de leur course. On conçoit que les choses
peuvent être disposées de manière que les chaines se trou-

— 107 —

vent tendues lorsque ces contre-poids supplémentaires doi-

vent agir pour modérer convenablement la vitesse de des-
cente de ces tubes. Les choses sont calculées de façon à
amortir convenablement la percussion de ces tubes sur leurs
siéges, et à réserver, pour aider à leur soulèvement en temps
utile, une force qui aurait été perdue.

Cela permet d'obtenir une marche automatique plus tôt
qu'on ne l'aurait pu au moyen des contre-poids déjà es-
sayés, parce que les oscillations en retour ‘des premières
périodes ne diminuaient pas assez les pressions qui s'opposaient
au soulèvement des tubes en supposant d’ailleurs les choses
disposées comme dans des communications faites précédem-
ment à la Société.

On n’entrera dans aucun détail, d'autant plus que la mar-
che automatique de cet appareil sera plus curieuse qu’utile,
à cause du très-petit nombre de périodes de chaque opéra-
tion. On ajoutera seulement que les grandes oscillations ini-
tiales et finales que M. de Caligny a produites, abstraction
faite du jeu proprement dit de la machine, et qu'il a pré-
sentées à l’Académie des sciences de Paris en 1866 et 1867,
faciliteront encore la marche automatique en modifiant les
oscillations en retour dans les tubes.

Quel que puisse être le succès de la disposition particulière,
objet de cette communication, quoiqu'il n’ait pas encore été
fait d'expériences tout à fait régulières sur l'épargne de
l’eau au moyen de ce système, tel qu’on l’applique en ce
moment à une écluse de l'État, M. de Caligny croit pouvoir
affirmer déjà, d’après les expériences préliminaires, que l’é-
pargne sera plus grande qu’on ne l’espérait, et que la durée
de chaque opération de remplissage et de vidange sera plus
courte qu’on ne le pensait. (Voir les extraits de rapports faits
sur ce système, dans le journal l’Institut, aux séances
de la Société, philomathique des 2 et 23 février 1867.) Il ne
s’est pas présenté de vagues gênantes, comme on avait pu
le craindre. C'était le point le plus essentiel à constater.

— 108 —

Séance du 21 novembre 1868.
PRÉSIDENCE DE M. LAURENT.

M. Haton communique à la Société, de la part de M. E. Ha=
bich, le théorème suivant : Si l’on construit à partir d’un point
fixe les diverses surfaces conchoides d’une surface quelconque,
toutes leurs normales aux points situés le long d’un même rayon
vecteur se croisent en un même point de l'espace.

M. Haton présente en outre de la part de M. E. Habich un
mémoire publié dans les Annali di Matematica pura ed applicata
(série IF, tome IT, fasc. Il), en analysant ses principaux résultats,
ainsi qu'une note manuscrite dont la Société décide l’insertion dans
son Bulletin. Ces deux productions sont relatives à un nouveau
système de coordonnées dans le plan et dans l’espace et à son appli-
cation aux caustiques.

M. Laguerre fait une communication sur quelques propriétés
générales des courbes algébriques et sur leur application à la
théorie des courbes et des surfaces anallagmatiques.

Quelques remarques sur les lignes et sur les surfaces réci-
proques et caustiques, par M. E. Habich.

Soient :

(E) l’arête de rebroussement d’une surface développable
donnée ;

O le point de contact d’une génératrice OM avec l'a-
rête (E);

v l’angle sous lequel la génératrice OM est rencontrée au
point M par une courbe (A), tracée sur la développable;

K, le centre de courbure de la section normale faite dans
la développable suivant la ligne (A), et R;—MK, le rayon de
courbure correspondant ;

— 109 —

K le centre de courbure de la transformée de la ligne (A)
dans le développement de la développable sur son plan tan-
gent le long de la génératrice OM. (On pourrait appeler K
centre de courbure géodésique) :

La droite KK, est la polaire de la courbe (A).

Cela posé, on trouve en désignant par « le rapport des
deux courbures

OM 7
(1) ot
c’est-à-dire que, le long d’une même génératrice les centres
de courbure des sections normales pour lesquelles sin?v reste
invariable, se trouvent sur une même droite passant par le
point de contact 0.

Sin?v ne varie pas lorsque tés lignes (A) rencontrent la
génératrice sous des angles égaux ou supplémentaires. On
pourrait appeler ces ligues semblables et réciproques par rap-
port à l’arête (F).

Nous avons démontré (Annali di matematica pura ed ap-
plicata. Tome II, 1868, 2° livraison) que les centres de cour-
bure géodésique de deux lignes semblables et de deux lignes
réciproques se trouvent sur une même droite passant par le
point O (pôle de transformation) ; il suit de là et de (1) que :
les droites polaires de deux courbes semblables ou récipro-
ques par rapport à l’arête (E) se trouvent sur un même plan
passant par le point O, pôle correspondant de transformation.

Lorsque l’arête de rebroussement (E) est un point, la
développable est une surface unique et on a les lignes sem-
blables et réciproques par rapport à un point.

Menons par les points correspondants M et M’ des courbes
réciproques (A) et (A) leurs plans normaux, les intersections
successives de ces plans formeront une surface développable
(D), lieu des points également distants de (A) et de (A) et
qui a pour plan tangent le plan perpendiculaire à la géné-
ratrice OM au point P déterminé par

@ qg—=0P—= + (OM OM) = £ (r + r

. En prenant la courbe (A) pour l’anticaustique des rayons

= HO

incidents et la courbe (A) poar l’anticaustique des rayons
réfléchis, la développable (D) sera la dirimante et les surfaces
polaires de (A)et de (A) seront les caustiques des rayons
incidents et des rayons réfléchis.

On reconnait aisément qu'étant données deux courbes (A)
et (A'), pour que le lieu (D) des points également distants
de ces courbes soit une développable, il faut que les géné
ratrices de la surface développable détermmée par les lignes
(A) et (A) soient rencontrées par ces courbes sous des angles
supplémentaires.

Lorsque la courbe (P) lieu du point P est donnée [on
pourrait l’appeler podaire de la développable (D) par rap-
port à la courbe (E)], on a pour déterminer les réciproques
(A) et (A) les relations (2) et la suivante :

(3) Tr = 2 [aus + c —=vw

ds est l'élément de l’arc de l'arête (E). — (Annali di mate-
matica. T. II, 1868).

Traçons autour du point O comme centre une sphère de
rayon (sphère variable d’inversion); les points M et M des
réciproques (A) et (A) seront déterminés par l'intersection
de la génératrice OMM' avec une sphère qui coupe orthogo-
nalement la sphère d’inversion et dont le centre est situé en
un point quelconque de la génératrice correspondante de la.
développable .(D).

Considérons maintenant le cas intéressant où l’arête (E)
est un point; nous le traiterons dans toute la généralité.

On a F4) —Const. (4)

(A) et (A’) sont deux surfaces (ou lignes) réciproques par
rapport à un point O;

Un est la surface ar des points également distants de (A)

ei (AJ

(P) est la podaire de (D) par rapport au point O.

Les surfaces (A) et (A’) sont les enveloppes d’une sphère
qui coupe orthogonalement la sphère d’inversion et dont le
centre se déplace sur la surface (D). :

— At —
Entre les rayons vecteurs r et r’ on a la relation
(5) 7? — Dr La—=0.

Il s'ensuit que (5) est l'équation d’une surface (ou ligne)
qui est sa propre réciproque par rapport au pôle considéré.

D'une manière analogue on pourrait déterminer une courbe
semblable à elle-même, etc.

Comme les normales aux points correspondants des sur-
faces (A) et (A”) se rencontrent au même point de la surface
(D) il s'ensuit que les points de contact des rayons incidents
et des rayons réfléchis, avec les caustiques, se trouvent sur
une même droite passant par le pôle de transformation.

Les caustiques dans le cas considéré sont évidemment au
nombre de quatre : deux pour les rayons incidents et deux
pour les rayons réfléchis.

Enfin, on peut, connaissant la surface dirimante (D), déter-
miner l'équation générale de toutes les surfaces réciproques
par rapport à un point qui sont ses anticaustiques.

En effet, si
q=f(6,9)

est l'équation de la podaire (P) de la dirimante (D) par rap-
port au pôle O,

[9 = POz et » est l’angle dièdre formé par les plans POz et xOz]

l'équation de la podaire (P') de la même dirimante (D) par
rapport à un outre pôle O’ sera :

(6) g'—q—00 [cos8. cos 0, + sin 6. sin 04. cos (g—+)];

où O0’ est la distance des deux pôles et 0, et # les angles
formés par O0" et le plan P'O'z avec les directions invaria-
bles des axes et des plans coordonnés. |

Des relations (4) et (6) on déduira l'équation générale (5)
qui comprend les anticaustiques cherchées.

= MAS =

Séance du 28 novembre 1868.
PRÉSIDENCE DE M. LAURENT.

Suite de la communication commencée dans la séance précé-
dente par M. Laguerre.

Sur quelques propriétés générales des courbes algébriques et
sur leur application à la théorie des courbes et des surfaces
anallagmatiques, par M. Laguerre.

1. Avant d'aborder ce qui est relatif aux anallagmatiques,
je m'occuperai d’abord du lieu décrit par le sommet d’un
angle de grandeur donnée dont les côtés s'appuient respec-
tivement sur deux courbes fixes. Je dirai d’abord ce que
l’on doit entendre par angle de deux droites, lorsque le sens
danslequel doivent être prises ces droites n’est pas déterminé.
Etant données deux droites À et B, faisons tourner la pre-
mière autour de leur point de rencontre, et dans un sens
déterminé, par exemple, celui des aiguilles d’une montre, .
jusqu'à ce que cette droite s'applique sur B; je dirai que
l'angle ainsi décrit est l'angle que fait la droite À avec la
droite B. Si l’on continuait le mouvement de rotation, après
avoir décrit un angle égal à x, À viendrait de nouveau
s'appliquer sur B. L’angle que fait À avec B n’est donc
déterminé qu’à un multiple près de x; sa tangente est déter-
minée, mais son sinus et son cosinus ne le sont pas; le double
de cet angle est déterminé à un multiple près de 27, et les
valeurs de toutes ses lignes trigonométriques sont parfaite-
ment connues.

Ces définitions étant établies, étant donnés dans un plan
deux points fixes À et B, si l’on cherche dans ce plan le

— 113 —

lieu du point M, tel que l’angle de MA avec MB ait une
valeur donnée (à un multiple près de r, nécessairement),
l’on trouvera pour ce lieu un cercle, passant par les points
À et B, et tous les points de ce cercle feront partie du lieu.
Le cercle symétrique du précédent serait le lieu des points
M, pour lesquels l'angle de MA avec MB aurait une valeur
supplémentaire de la valeur donnée précédemment.

2. Ceci posé, cherchons le centre du cercle, lieu des
points M tels que l’angle que fait MA avec MB ait une
valeur donnée w. Ce centre est le foyer singulier de la
courbe, c’est donc le point réel situé sur la tangente menée
à cette courbe en un quelconque des ombilics.

Appelons I l’ombilic par lequel passent les diverses lignes
isotropes du plan qui ont pour coefficient angulaire ?.

Soit K un point du lieu infiniment voisin du point I, en
sorte que KI est infiniment voisine de la tangente au cercle
en [. Le point K appartenant au lieu, l’angle que fait KA
avec KB est égal à w. Maintenant, joignons le point K au
deuxième ombilic du plan J; la droite KJ sera infiniment
voisine de la droite de l'infini, et le point £', où elle coupera
la droite AB, sera infiniment voisin du point à l'infini sur
cette droite. Soit Æ le point où la droite KI coupe la droite
A B, d’après une proposition fondamentale que j'ai donnée
pour la première fois dans une note sur la théorie des foyers
insérée dans les Nouvelles Annales de mathématiques (1853),
l'on sait que le rapport anharmonique des quatre points
À, B; k, k, est égal à e20i, quantité qui est parfaitement
déterminée (Voir $ ’).

L'on aura donc

Ak B%

— pau -
= PONS

d’où en passant à la limite et en remarquant que le point
k' est alors à l'infini

Ak
— = 20! ;
B£ 5

D'où cette conclusion : Pour trouver le centre du cercle,

— 114 —

lieu des points M tels que l’angle de MA avec MB ait une
valeur donnée w, prenons sur la droite AB un point k tel

Ak .
que le rapport a ait pour valeur e2vi; menons par ce

point la droite isotrope qui passe au point I, le point réel
situé sur cette droite sera le centre cherché.

3. Soient maintenant deux courbes quelconques À et B,
cherchons le lieu des points M tels qu'une des tangentes
menées de ce point à la courbe À fasse un angle donné
avec une des tangentes menées de ce même point à la courbe
B. Ce lieu a déjà occupé divers géomètres, notamment
M. Cremona et M. Faure, qui ont déterminé son degré et sa
classe. Je me propose ici de déterminer ses foyers principaux ;
on sait d’ailleurs que cette courbe (en général) ne rencontre
la droite de l'infini qu'aux ombilics, qui sont pour elle des
points multiples de l’ordre n—1, 2n étant le degré de la
courbe. Considérons en particulier l’ombilic [, chacune des
tangentes menées à la courbe et la touchant en ce point
contiendra un point réel qui sera le foyer singulier corres-
pondant à la branche de courbe que l’on considère. Soit un
point K situé sur cette branche et à une distance infiniment
voisine du point I; en sorte que la droite KI est infiniment
voisine de la tangente en I à cette branche du lieu. Soient
Ka, Kb, les droites menées tangentiellement aux courbes
A et B et qui font l'angle donné w. Ces deux tangentes
sont nécessairement infiniment voisines de deux droites
isotropes ; soit F le foyer de À, qui est infiniment voisin du
point- réel situé sur la droite Ka; soit G le foyer de B,
qui est infiniment voisin du point réel situé sur la droite
K b.

Je joins le point K au deuxième ombilic du plan J; la
droite KJ coupe la droite FG en un point #' infiniment
voisin de la droite de l'infini. La droite Ka coupe FG en
un point F' infiniment voisin de F, et la droite Kb coupe
FG en un point G’ infiniment voisin de G. Soit de plus k le
point où KI coupe FG ; d’après la proposition fondamentale
que j'ai rappelée plus haut, l'on a:

Fk GX
— — — e2ut,
HQE os

— 1145 —

D'où, en passant à la limite et en remarquant que les points
F' et G’ viennent alors se confondre avec les points F et G
et que le point k#’ s’en va à l'infini,

FÆ
—— — eu,

Gk
L'on obtiendra donc le foyer singulier correspondant à la
branche de courbe considérée, en déterminant, sur la droite
FG, le point Æ par cette équation, en joignant ce point
à lJ’ombilic I et en prenant le point réel situé sur cette
courbe.

En comparant ce résultat avec celui que J'ai obtenu
dans le paragraphe précédent, l’on en déduit la proposition
suivante :

« Le foyer singulier, correspondant à la branche de courbe
» considérée, est le centre du cercle décrit sur FG comme
» segment et capable de l’angle donné w. »

L'ensemble des foyers singuliers de la couche s’obtiendra
facilement. Désignons par F, F,.….. K, les m foyers de la
courbe À, et par G, G... G, les n foyers de la courbe B.
Prenons un foyer quelconque F; de À et un foyer quelcon-
que F; de B : le centre du cercle, décrit sur K; F; comme
segment et capable de l’angle donné, sera un des foyers sin-
guliers de la courbe; et on les obtiendra tous en combinant,
de toutes les façons possibles, chacun des foyers de A avec
chacun des foyers de B.

Remarquons, en passant, que, d’après ce qui précède,
l'équation du degré mn, à laquelle conduit la détermina-
tion des foyers singuliers du lieu, sera résoluble par la
résolution d’une équation du degré m et d’une équation du
degré n.

Un des cas les plus utiles dans les applications est celui
où la courbe B se réduit à un point P. La courbe étudiée est
alors une podaire, c’est-à-dire le lieu des projections du
point P sur les tangentes à la courbe A. Les foyers singu-
liers de cette podaire sont les points milieux des segments
qui joignent le point P aux différents foyers de A.

5. Je vais traiter maintenant le problème inverse du pro-
bième précédent. Étant données deux courbes fixes À et B,

— 116 —

un angle de grandeur constante se déplace de façon que son
sommet parcoure la courbe À, tandis qu'un de ses côtés
roule sur la courbe B, quels sont les foyers de la courbe C,
enveloppée par le deuxième côté de l'angle?

Pour plus de clarté, je considérerai simplement le cas où
l’angle constant est droit et où la courbe B se réduit à un
point tixe P. Le cas le plus général se ramènerait facilement
à ce cas particulier.

Je supposerai que la courbe A ait m branches qui se
croisent en chacun des ombilics du plan, en sorte qu’elle
aura m foyers singuliers que je désignerai par G, G', etc. ;
soit, de plus, n le nombre des points où elle coupe la
droite de l'infini ea dehors des ombilics. On voit que la
courbe sera du degré 2 m + n et qu’elle aura n asymptotes
qui ne seront pas sotropes.

Joignons le point fixe P à l’un quelconque des points
de la droite de l'infini, distincts des ombilics, qui appar-
tiennent à la courbe, la droite de l'infini est perpendicu-
laire à ceite droite, elle est donc tangente à la courbe £ et
elle la touche en un point à situé à l’infini sur la direction
d’une perpendiculaire à J’asymptote qui passe au point &. Ce
point «& est d’ailleurs un foyer du lieu cherché; d’où cette
conclusion: Le lieu a n foyers situés sur la droite de l’in-
fini et sur la direction des droites perpendiculaires aux n
asymptotes de la courbe qui ne sont pas isotropes.

Menons maintenant par le point P la droite isotrope qu
passe par l’ombilic [; cette droite coupe la courbe A en
m + n points distincts de l’ombilic. Soit b l’un quelconque
de ces points, la perpendiculaire au point b à la droite Pb
se confond avec cette ligne elle-même, cette droite est done
une tangente isotrope du lieu cherché. Le mème raison-
nement s’appliquerait à la droite isotrope qui joint le point
P au deuxième ombilic J; d’où cette conclusion: Le point
fixe P est un foyer du lieu cherché, et un foyer multi-
ple qui doit compter pour (m - n) foyers réels.

La droite Pl a encore m de ses points de ren-
contre, avec la courbe À, confondus au point [; la perpen-
diculaire en ce point à PI est indéterminée. Pour voir ce qui
a lieu, considérons sur une des branches de la courbe A,
par exemple sur celle qui est caractérisée par Le foyer sin-

— AIT —

gulier G, un point K infiniment voisin du point I. Joignons
PK, puis menons en K la perpendiculaire à cette droite;
cette perpendiculaire, étant à [a limite une droite isotrope,
le point réel qu’elle contient sera, à la limite, un foyer du,
lieu cherché. D’un autre côté, la droite IK s’écarte infini-
ment peu de la tangente en I à la branche considérée de
la courbe A; elle coupe donc la droite réelle PG en un
point k infiniment voisin du point G. La droite KJ, s’écar-
tant infiniment peu de la droite de l'infini, coupe PG en un
point Æ’ infiniment voisin de cette droite. Soit H le point
où la perpendiculaire en K à la droite PK coupe KG, l'on
voit facilement que les quatre points P, H, %, k', forment
un système de points harmoniques, on a donc la relation sui-
vante :

PRES 1
DU
d’où en passant à la limite PG = GH.

On voit que le point H s'obtient en joignant le point P

au foyer singulier G et en prolongeant la droite PG d’une
longueur égale à elle-même.
. En considérant la branche de courbe, passant au point J,
qui correspond au même foyer singulier G, on obtiendrait
aussi une tangente isotrope au lieu cherché passant par H;
donc ce point est un foyer de la courbe C.

6. En réunissant les résultats obtenus précédemment, l'on
arrive au résultat suivant :

« La courbe C, définie comme ci-dessus, est de
» 2.(m — nji® classe; elle à :

: « 4° n foyers situés à l'infini et sur des directions per-
» pendiculaires aux n asymptotes de la courbe À qui ne sont
» pas IsOtropes ;

« 2 Un foyer multiple au point fixe P, qui compte pour
» (m + n) foyers;

« 9° m autres foyers H, H°, etc., que l’on obtient en joi-
» gnant le point P aux foyers singuliers de la courbe A, et
» en prolongeant d’une longueur égale à elle-même chacune
» des droites ainsi obtenues.

7. Je vais appliquer ce résultat à la recherche de la rela-

Extrait de l’Institut, 1*e section, 1868. 9

— 118 —

tion qui existe entre les différents points d’intersection d'une
courbe et d’un cercle. J'ai donné cette relation dans ma
note intitulée Théorèmes généraux sur les courbes algébriques,
qui à été insérée dans les Comptes Rendus (janvier 1863). Je
la reproduirai ici en la présentant sous une forme plus
commode.

Etant donné un système de n droites situées dans un
plan, et un axe fixe dans ce plan, si l’on fait la somme des
angles que fait chacune de ces droites avec l’axe fixe, la
somme de ces angles (somme qui sera déterminée à un
multiple près de x) mesurera ce que j'appelle l'orientation
du système des droites relativement à l'axe fixe. Le système
étant représenté, par exemple, par À, je désignerai simple-
ment son orientation par rapport à un axe donné par la no-
tation (A). Si deux systèmes de droites A et B ont une
même orientation, ce que l’on exprimera par la relation :

ï est clair que cette propriété subsistera quel que soit l'axe
fixe que l'on ait choisi comme terme de comparaison.

Ceci posé, soit une couche algébrique B de degré p, ne
passant pas d’ailleurs par les ombilics, en sorte qu’elle n’a
pas de foyers singuliers. Coupons cette courbe par un cercle
quelconque; les 2p points d’intersection peuvent toujours
se distribuer deux par deux sur p droites réelles (dans
cette note, je ne m'occupe exclusivement que de courbes
réelles ou du moins ayant une équation réelle), et cela
pourra se faire de plusieurs manières, s’il y a plus de deux
points d’intersection réels. Le théorème que j'ai donné dans
les Comptes-Rendus peut alors s’énoncer ainsi : « L’orienta-
» tion du système formé par ces p droites réelles est la même
» que lorientation du système formé par les asymptotes
» de la courbe B. » Cette orientation est évidemment cons-
tante, et lorsqu'on la connaît, on peut, étant donnés (2 p-1)
des points d’intersection, construire le dernier point.

8. Je considère maintenant une courbe A, telle que celle
que j'ai examinée ci-dessus, possédant m foyers singuliers
G, G’, etc. et n asymptotes non isotropes, en sorte que son
degré est égal à 2 m n.

— 119 —

Un cercle quelconque la coupe en 2 {m + n) points dis-
tincts des ombilics; soit d un quelconque de ces points.
Prenons sur ce cercle un point arbitraire P et désignons par
Q le point diamétralement opposé à P; considérons enfin
la courbe C, dont j'ai déterminé les foyers dans le $ 6,.et
qui est l'enveloppe du côté d’un angle droit dont le deuxième
côté s'appuie sur P, tandis que son sommet parcourt la
courbe À. Il est clair que la droite Q d et les droites ana-
iogues sont les diverses tangentes que l’on peut mener à la
courbe C par le point (.

Je rappellerai un théorème -que j'ai donné dans ma note
sur la détermination du rayon de courbure des lignes planes,
insérée dans le Bulletin de la Sociélé philomathique (février
1867), théorème qui peut s’énoncer ainsi : « Si par un
» point Q pris dans le plan d’une courbe réelle de classe
» n, On mène les x tangentes à la courbe, l'orientation du
» faisceau formé par ces tangentes est la même que celui
» du faisceau formé par les droites qui joignent Le point Q
» aux foyers de la courbe. »

Appliquons ce théorème; désignons par (Q d) l’orienta-
tion du faisceau de droite formé par Q det les droites ana-
logues, par (Q P) l'orientation du faisceau formé par les
(im n) droites coïncidant avec Q P, par (Z) l'orientation
du faisceau formé par les droites menées par Q parallèle-
ment aux n asymptotes de la courbe À qui ne sont pas
isotropes, par (Q H) l’orientation du faisceau formé par la
droite QI et les droites analogues, nous obtiendrons : la
relation

(Qd) = (QP) + (OH) + D 4+T,

ou bien
nT

Imaginons maintenant un système de (m + n )droites
réelles passant par les 2 (m + n) points d’intersection du
cercle et de la courbe À, et soit (T) son orientation, il est
facile de voir que l’on a

(Qd)— QP) — = (QH) + (2).

D
dv

(T) = (Qd) — (QP) — (m + n) ÿ :

— 120 —

Transportons, parallèlement à eux-mêmes, de sorte
que leur orientation ne change pas, les faisceaux en-
trant dans le second membre de la relation ei-dessus, en
leur donnant comme sommet commun le centre R du cercle.
Par suite de la position relative des points If, H”, etc., et
G, G’, etc., on voit qu'au lieu du faisceau formé par les
droites allant du point @ aux points H, H”, etc., nous aurons à
considérer le faiscezu formé par les droites allant du point R
aux points G, faisceau dont je désignerai l'orientation par
(R G); le deuxième faisceau reste toujours composé des
parallèles aux asymptotes et la relation donnée ci-dessus
peut s’écrire ainsi

m T

(1) = (RG) + D +

d’où le théorème suivant :

Théorème. « Etant donnée une courbe algébrique, ayant
» m foyers singuliers et de degré 2 »m -- n, un cercle quel-
» conque la coupe en 2 (m + n) points distincts des ombi-
> lics. Si l’on imagine un faisceau de (m + n) droites
» réelles passant par ces points d'iutersection, l'orientation
» de ce faisceau diffère de m angles droits de lorientation
» du faisceau formé par les n asymptotes de la courbe qui
» ne sont pas des droites isotropes, et par les m droites qui
» joignent le centre du cercle aux foyers singuliers de
» la courbe. »

Séance du 5 décembre 1868.
PRÉSIDENCE DE M. LAURENT.

M. Berthelot rend compile de travaux sur la préparation du
potassium. :

M. À. Dugès est nommé membre correspondant.

— 11 —

Séance du 12 décembre 1868.
PRÉSIDENCE DE M. LAURENT.

M. Vallès décrit un appareil de M. de Caligny, destiné à
remonter une partie de l’eau du sas d’une écluse dans le bief
d’amont.

Résultats d'expériences sur l'effet utile du nouveau systeme
d’écluses de navigation inventé par M. de Caligny et exécuté
à l’écluse de l’Anbois, sur le canal latéral à la Loire, par
M. Vallès.

La chute de l’écluse de l’amont à l’aval étant de 2,40,
l'appareil a relevé au bief d’amont une tranche d’eau de
926 millimètres d'épaisseur, une tranche d’eau de 810 mil-
limètres étant descendue au bief d’'aval. Cette opération
s’est faite en douze périodes et a duré en tout cinq minutes
et demie. Le niveau de l’eau s’est ainsi abaissé dans l’écluse
de 1,736, et il n'est resté que 66 centimètres de hauteur
d’eau dans le sas. On a alors arrêté l'appareil, on a levé le
tube mobile d’aval, et l’on à fait passer par une grande oscil-
lation dans la rigole de décharge, momentanément trans-
formée en bassin d'épargne par une porte de flot, une
tranche d’eau de d0 centimètres de hauteur, qui a relevé de
31 centimètres le niveau de l’eau dans cette rigole de dé-
charge au-dessus de celui du bief d’aval. Il n’est resté dans
le sas que 16 centimètres de hauteur d’eau à écouler par
les moyens ordinaires. En définitive, il n’est passé au bief
d’aval qu'une tranche d’eau d’une hauteur de 97 centimè-
tres. Il est vrai que la quantité de liquide entrée ainsi
dans la rigole de décharge, momentanément transformée
en bassin d'épargne, ne peut rentrer toute entière par une
seule grande oscillation dans le sas, quand on veut ensuite
remplir celui-ci. Sans entrer pour le moment dans les dé-
tails nécessaires pour montrer comment cette eau peut être
convenablement utilisée en entier, on va d’abord montrer
toute l'importance du résultat obtenu au moyen du jeu de
la machine proprement dite.

— 19 —

Abstraction faite des écluses, il est intéressant d’apprécier
l'effet utile de l'appareil, considéré comme machine à élever de
l’eau, dans des circonstances exceptionnellement désavantageu-
ses, puisqu’à chaque période la hauteur à laquelle l’eau doit
être élevée au-dessus de son niveau augmente, tandis que la
chute motrice diminue. Si l’on suppose tout entière à la
hauteur de son centre de gravité la tranche d’eau de 4,74
sortie de l’écluse pendant le jeu de la machine, on peut
considérer la hauteur de ce centre de gravité au-dessus du
niveau du bief d’aval comme étant celle de la chute mo-
trice, tandis que la hauteur des sommets des tubes mobiles
à l’état de repos au-dessus de celle de ce centre de gravité
sera la hauteur de versement de l’eau élevée. Si donc on
ajoute aux 66 centimètres restés dans le sas 87 centimètres,
la chute motrice sera de 153 centimètres. Le sommet des
tubes est à 15 centimètres au-dessus du niveau normal du
bief d’amont. La hauteur moyenne de versement est donc
de 87 centimètres, plus 13 centimètres, ce qui fait 102 cen-
timètres. L'effet utile est done :

102 L 0,926 ni.
153 7° 0,810

L'effet utile approche donc beaucoup des quatre cinquièmes
en eau élevée. Ce résultat confirme donc l'effet utile le plus
grand de l’appareil à tube oscillant de M. de Caligny à l’île de
Billancourt. (Voir le tableau olficiel des expériences de la
Commission impériale sur cette machine, pages 400 et 101 du
tome XII des rapports du jury international.)

M. Vallès n’a pas encore fait d'expériences précises sur la
quantité d’eau retirée du bief d’aval par l'appareil, pendant
le remplissage de l’écluse. Mais il est évident que les phé-
nomènes sont tout à fait de la même nature, et que, même
pour le remplissage, on n’a pas le désavantage d’être obligé
de relever l’eau plus haut que cela n’est nécessaire, comme
il l'a fallu pour la vidange, à cause des variations très-
grandes du niveau du bief d’amont dans la localité dont il
s’agit. Ceci ne concerne d’ailleurs que l’appareil considéré
comme machine élévatoire; quant à ce qui est relatif à l'é-
pargne de l’eau dans les canaux, M. Vallès à établi que,

— 193 —

tandis que dans la pratique actuelle ordinaire le passage de
chaque bateau exige le rejet vers l’aval de la totalité d’une
éclusée, avec le jeu de l'appareil, et sans profiter du béné-
fice des oscillations initiales et finales, il suffira d’une dé-
pense d’eau qui ne sera que les 23 centièmes de la précé-
dente, dépense qui sera même réduite aux 45 centièmes
seulement si au fonctionnement de l'appareil on ajoute
l'économie produite par les oscillations. du commencement
et de la fin.

Ces résultats d'expérience font comprendre avec combien
d'avantages on pourra appliquer les appareils de M. de Ca-
ligny aux canaux pour lesquels les approvisionnements d’eau
sont insuffisants.

Séance du 19 décembre 1868.
PRÉSIDENCE DE M. LAURENT,

M. Laussedat expose les découvertes récentes de M. Janssen eur
les protubérances du Soleil.

M. Laguerre fait une communication sur l'intégration d’une cer-
taine classe d'équations différentielles simultanées de premier ordre.

Séance du 26 décembre 1868.
PRÉSIDENCE DE M. LAURENT.

M. Transon présente des considérations sur les intégrales défi-
nies prises entre des limites imaginaires.

— 1924 —

TABLE DES MATIÈRES.

Sur une nouvelle turbine, par M. de Caligny...........,...,,..,...
Sur la courbure des surfaces, par M. Gilbert.....................
Sur le problème des remous, par M. de Saint-Venant. Ododusbnouc
Sur quelques propriétés des surfaces anallagmatiques, par M. La-

Sur la condition de l'élimination de l'erreur de lecture d’un “cercle
gradué praNenens du jeu des tourillons dans les coussinets, par

MEN OI Cobosoncondons tea tt en LU latele ie a aie sien ie ce
Sur un principe de la théorie des surfaces , par Tabbé Aoust.....
Sur les courbes enveloppes de cercles et sur les surfaces enrelppes

de’sphères, par MURIDAUCOUR EEE eee ee --mec-ce-ercne

Sur un appareil à élever l’eau au moyen d’une chute d'eau, par
M. de Caligny......
Sur le puits artésien de la place Hébert à La Chapelle, par M. Lau-
RENE éoooooonouooovosoovcooouoooauoe D0a0ù
Sur les cassiniennes planes et sphériques, ‘par M. ‘Laguerre. : te
Sur les sections circülaires des surfaces anallagmatiques, par M. La-
OL coobcoosooddonodoaouococoldoogoesodoodencooddenoce
Sur le déplacement d'une fi igure de forme invariable , nouvelle mé-
thode de normales, applications diverses, par M. Mannheim.
Sur les inondations, par M. Dausse.....,.......,................
Sur ie tantochronisme des épicycloïdes , par M. “Haton de la Gou-
pillière ....… Ab DO BE SUCER A DO MIDI Ut do O dB OO GO DL
Sur les courbes gauches résultant de l'intersection de deux surfaces
dusecondaordres par MAPaguerre-cec-hee eee ce CCE
Sur des essais d’ éclairage pour l'analyse des stries des Diatomées,
Pare M SFrémineau- ae ne SR EU A EM Ne A
Sur un nouveau mode de transformation des figures, par M. Darboux.
Sur la construction de la surface du deuxième ordre déterminée par

neuf points, par M. Darboux.......... 20000 RONDE ÉBie re nie o
Suriestépicycloides AparMeMRODreLe ee ererner cree ce PRO ED 00
Sur l’anatomie de l'Autruche d’Afri ique, par Mo Aloe
Sur la théorie des surfaces, par M. l'abbé Aoust.................
Sur un nouveau moyen de faciliter la marche automatique d’un nou-

veau système d’écluses de navigation, par M. de Caligny........

Quelques remarques sur les lignes et sur les surfaces TÉDRoUE et
Caustiques ApariMe A HAaDIChE AE TER ere ere ere me Le
Sur quelques propriétés générales des courbes algébriques et sur leur
application à la théorie des courbes et des surfaces anallagma-

tiques, par M: Fapguerre see since lente core
Résultats d'expériences sur l’effet utile du nouveau système d’écluses
de navisAon inventé par M. de Caligny, par M. Vallès.........

112

____ MP, CENTRALE DES CHEMINS DE FER.— A. CHAIX ET C°, RUE BERGÈRE, 20, A PARIS. — 2900-9.

BULLETIN

DE LA

SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE

DE PARIS.

Séance du 9 janvier 1869.
PRÉSIDENCE DE M. LAURENT.

M. Ribaucour fait une communication sur’les surfaces orthogo-
nales.

M. Hamy présente le résultat de ses recherches sur l’ossification
de l’os malaire chez l’homme; il signale au troisième mois de la
vie intra-utérine trois points d’ossification : un antérieur, un supé-
rieur, un inférieur; les deux premiers se soudent d’abord, puis le
troisième qui reste quelquefois longtemps distinct et qui peut
même être distinct pendant toute la vie.

M. Marey est nommé président pour le premier semestre de
1869,

Sur les surfaces orthogonales, par M. Ribaucour.

Lorsque des sphères ont leurs centres sur une surface, on
peut considérer le rayon comme une fonction des coordon=
nées du centre, soit :

R——92F (p, 6)

Extrait de l'Institut, 17° section, 1869. 1

LEO UAl

. où R désigne le rayon d’une sphère dont le centre a pour
coordonnées p et p,, qui sont par exemple les paramètres
des lignes de courbure. Le ds? de la surface pourra s’écrire:

ds? — H? de? LH}? do.

En général, les droites qui joignent les points de contact
de chacune des sphères avec leur enveloppe ne sont pas
normales à une surface ; et pour que cela ait lieu, il faut que
on ait :

pd PAIE EE NH"

(0 HE TI

de de; sa de H dei dei H, dp ?

or, si l’on considère un système triplement orthogonal tel
que

ds? = H°? de? + H$? de? + H°? de

la fonction H, substituée dans l'équation (1) donne précisé-
ment l’une des six équations auxquelles satisfont les fonc-
tions H, H,, EH; de plus, le produit de F par une constante
satisfait aussi à l’équation (1). Donc, à tout système triple-
ment orthogonal correspondent une infinité d’enveloppes de
sphères dont les cordes de contact sont normales à une sur-
face et sont donnéés par l'équation

R——2{H,

où k prend toutes les valeurs possibles. Par exemple, au
système déduit par rayons vecteurs réciproques de celui
formé par une famille de surfaces parallèles et par leurs dé-
veloppables orthogonales, correspondent des anallagmatiques
et les surfaces qui en dérivent.

L’équation (1) peut s'intégrer complétement sur certaines ,
surfaces, par exemple sur celles dont toutes les lignes de
courburé sont des cercles géodésiques pour lesquelles le ds?
peut s’écrire :

1
AS HE Hp (de? + der?)

où H est une fonction de p seulement, et H, de p,; on a
alors : -

Fr — (6) + 9 (es)
H LH,

f et # étant deux fonctions arbitraires.

_ Au lieu de considérer R comme une fonction de p et p,
seulement, on peut le regarder aussi comme fonction de ps;
et, si l'équation (1) est vérifiée, on aura pour chacune des
surfaces (p) une série de sphères dont les cordes de contact
sont normales à des surfaces.

Il est naturel de se demander dans quelles conditions les
surfaces normales aux cordes de contact feront partie d’un
système triplement orthogonal; or, on trouve que cela a lieu
lorsque l’équation (1) subsistant :

GE ENT PA EE OC A dF 1 dH,

2 ——— — 2 AL ES 9
( ) dpidp2 dei H, dp2 de EH de:

@ A Id dE 1 d'H
des de des EH de de H dp

Nous avons vu tout à l'heure que la fonction H, substituée
dans l’équation (1) la rendait identique; si substituée dans
(2) et (8) elle conduisait encore à deux identités, il en ré-
sulterait que l’on connaïitrait immédiatement un système or-
thogonal déduit du premier sans aucune intégration.

Or les équations (2) et (3) dans lesquelles on remplace F
par H, expriment que les trajectoires orthogonales des sur-
faces (2) sont des cercles; il en résulte que le système tri-
plement orthogonal considéré doit contenir deux séries d’en-
veloppes de sphères.

Or, maintenant si l’on cherche quelles sont les conditions
nécessaires et suffisantes pour que deux séries d’enveloppes
de sphères orthogonales soient normales à une surface don-
née, on trouve que le H, satisfait à la seule équation :

BH AC dE AN dA : dH.4 4H.

— ——— ———— —— —

dde de H des 7 du Hi d°

Le Ge

c'est-à-dire qu'à toute fonction H, satisfaisant à cette équa-
tion correspond une double série d’enveloppes de sphères
orthogonales, faisant partie d’un système triplement ortho-
gonal ; la multiplication de H, par une constante ne donne
plus rien. Mais il résulte de ce qui précède qu’à toute en-
veloppe de sphères dont les cordes de contact sont normales
à une surface correspond un système orthogonal particulier.
À ce sysième particulier en correspond un autre que l'on
obtient sans aucune intégration lorsque le premier est com-
plétement défini ; enfin à ces deux systèmes en correspondent
une infinité d’autres que l’on obtient en intégrant deux
équations. Il est facile de voir que tous les systèmes ainsi ob-
tenus jouissent tous de cette propriété de comprendre deux
séries d’enveloppes de sphères orthogonales.

Il résulte aussi de ce qui précède que, si l’on a des sur- :
faces (e2) faisant partie d’un système triplement orthogonal,
les cercles osculateurs des trajectoires orthogonales de ces
surfaces, tout le long de l’une d’entre elles, sont orthogonaux
eux-mêmes à une série de surfaces faisant partie d’un sys-
ième triplement orthogonal. Ce système est osculateur au
premier tout le long de la surface (p)).

Si des cercles sont orthogonaux à des surfaces faisant par-
tie d’un système triplement orthogonal, le lieu des centres
de courbure principaux de ces surfaces, tout le long d’un des
‘cercles, se compose de deux droites situées dans le plan du
cercle même.

Tous ces cercles enveloppent quatre surfaces qu'ils tou-
chent aux points où ils sont rencontrés par les deux droites
dont il vient d’être question.

Les plans tangents aux points où un cercle dudit ses
surfaces enveloppes sont situés deux d’un côté du plan du
cercle, deux de l’autre; deux plans situés du même côté de
ce plan font avec lui des angles égaux; des angles situés de
côtés différents font des angles complémentaires.

Cette dernière propriété appartient d’ailleurs à toutes les
courbes planes trajectoires orthogonales d’une série de sur-
faces faisant partie d’un système triplement orthogonal.

On ne connaissait Jusqu'à présent que deux systèmes tri-
plement orthogonaux déduits d’une surface donnée: le sys-
tème contenant les surfaces parallèles à la proposée, et le

— 5 =—

transformé par rayons vecteurs réciproques de celui-ci. Les
considérations précédentes nous en fournissent d’autres sans
aucune intégration. En effet, si l’on prend une anallagma-
tique on sait que ses cordes de contact passent par un même
point; donc, à toute anallagmatique correspond un système
triplement orthogonal. Si l’une des nappes de l’anallagmati-
que se réduit à un point, on tombe alors sur le second des
systèmes connus. Mais dans le cas d’une anallagmatique gé-
nérale on obtient de nombreux systèmes dont la définition
géométrique est assez simple.

De même à tout système triplement orthogonal contenant
deux systèmes développés de sphères correspondent le long
d’une trajectoire de celle-ci d’autres systèmes triplement
orthogonaux que l’on obtient sans aucune intégration.

Séance du 16 janvier 1869.
PRÉSIDENCE DE M: LAURENT.

Nouvelle communication de M. Ribaucour sur les surfaces ortho-
gonales.

M. Hamy développe ses études sur l'os intermaxillaire et sur
son rôle dans la production du bec-de-lièvre.

Le Société décide qu’à l'avenir ses séances seront tenues le
deuxième et le quairième samedi de chaque mois.

Séance du 23 janvier 1869,
PRÉSIDENCE DE M. MAREY.

M. Vaillant rend compte de ses observations sur la vitalité des
Eponges.

M. Dehérain présente des recherches sur les différences des sen-
sations de couleur perçues par divers points de la rétine.

Séance du 13 février 1869.
_ PRÉSIDENCE DE M. MAREY.

M. Ribaucour fait une communication sur un sujet de géomé-
trie.

M. Transon expose les lois relatives à la courbure dans certaines
transformations des courbes planes.

Sur les lois relatives à la courbure dans certaines transfor-
mations des courbes planes, par M. Abel Transon.

On sait que Cauchy, dans une note insérée au tome XXII
des Mémoires de l’Académie des sciences (1850), renonce for-
mellement à la théorie qu’il avait donnée des expressions
imaginaires dans son Cours d'analyse algébrique (1821), et
qu'adopiant pour ces expressions l'interprétation géométrique
proposée depuis longtemps par plusieurs mathématiciens, il
expose à cette occasion les principes du calcul que Mourey,
en 1828, avait appelé calcul directif; calcul dont M. Bella-
vitis (de l’université de Padoue) avait, de son côté, donné
les règles en grand détail et dont il avait fait de nombreuses
et intéressantes applications dans ses mémoires sur les Equi-
pollences (années 1832, 1835, etc.).

Une équation à deux variables étant interprétée selon les
principes de ce calcul donne lieu à un spectacle géométrique
d'une variété infinie. Car si on suppose que l'extrémité de
la variable indépendante trace sur le plan une figure quel-

conque, les extrémités de chacune des valeurs correspon-
dantes de l’autre variable décrivent des figures qu’on peut
appeler les transformanties de la première.

Cette remarque ingénieuse a été présentée, en 1846, à la
Société philomathique, par M. Faure, professeur de mathéma-
tiques au collége d'Embrun, et il en résultait le problème
de chercher les relations des figures transformantes soit entre
elles, soit avec la figure primitive dite la transformée. Et,
par exemple, il fut établi dès cette époque ce fait bien
connu, que toute région infiniment petite autour d’un point
de la transformée est représentée par une région semblable
autour du point correspondant de chacune des transfor-
mantes. Mais il ne paraît pas que, depuis lors, on se soit
avisé de rechercher les lois relatives à la correspondance
entre les éléments du second ordre, c’est-à-dire entre le
rayon de courbure de la figure primitive ‘et ceux de ses trans-
formantes. Or, l’expression de ces lois se résume dans les
deux théorèmes suivants :

Théorème [. Toutes les droites qui passent par un même
point de la figure primitive ont pour transformantes des
courbes dont les centres de courbure relatifs au point corres-
pondant sont sur une droite.

Théorème IL. Si plusieurs courbes passant en un point a de
la figure transformée ont en ce point le même rayon de cour-
bure p, les rayons de courbure correspondants de toutes les
transformantes seront les rayons vecteurs d’une même conique
ayant pour foyer le point À, transformant du point a. De
plus, cette conique variera d'espèce avec la valeur de » ; mais
sa directrice sera fixe, étant la droite à laquelle se réduit la
conique elle-même lorsque les transformées sont des lignes
drontes, c’est-à-dire lorsque p est infini.

‘Il y a ensuite des rapprochements curieux à faire entre la
transformation des figures sphériques par leur projection
stéréographique et la transformation des figures planes au
moyen d’une équation à deux variables interprétée selon les
règles du calcul directif. En effet, on sait déjà que la région
sphérique infiniment petite autour d’un point est semblable
à la région qui lui correspond en projection; mais de plus
on a les deux théorèmes suivants :

Théorème [. Tous les grands cercles qui passent par un

HQE

méme point de la sphère ont pour projections des cercles dont
les centres sont en ligne droite.

Théorème Il. Si plusieurs cercles de même rayon p passent
par un méme point de la Sphère, les centres des cercles qui
leur corr espondent en projection stéréographique sont sur une
même conique dont l'espèce dépend de la grandeur de p.

Séance du 27 février 1869.
PRÉSIDENCE DE M. MAREY.

M. Alix montre à la Société un crâne de Papion portant des
traces d’une altération pathologique du tissu osseux.

M. Marey présente une étude sur la forme des muscles des Oi-
seaux en rapport avec leurs fonctions.

Séance du 13 mars 1869.
PRÉSIDENCE DE M. MAREY.

M. Vallès fait une communication sur le système des écluses de
M. de Caligny.

M. Hamy rend compte de ses recherches sur les sinus du crâne
et de la face chez le Gorille.

M. de la Gournerie expose les propriétés de la spirique à centre.

M. Ribaucour présente des observations sur les longueurs d’arcs
et le mouvement d’une figure dans son plan.

Sur l'effet utile de l'appareil de M. de Caligny appliqué aux
écluses de navigation, par M. Vallès.

Dans la communication que j'ai faite à la Société Le 12 dé-
cembre 1868, j'ai dit que le temps m'a manqué pour étudier
en détail l'effet utile produit par l'appareil de M. de Caligny
pendant l'opération de remplissage du sas.

J'ai toutefois présenté diverses observations qui tendent à
prouver que pendant cette dernière opération l'effet obtenu
doit être plus grand que pendant la vidange. Ces observa-
tions ne sont pas seulement théoriques; elles s'appuient en
outre sur des résultats d'expériences obtenus en faisant pas-
ser, en dehors du jeu de l'appareil, et par voie de simple
oscillation, le liquide soit du sas dans le bassin d’épargne,
soit du bassin d'épargne dans le sas.

L'examen de ce qui a lieu pendant ces oscillations montre
clairement, ainsi que je l’ai expliqué, que l'effet est sensi-
blement plus considérable lorsque l’eau vient du bassin d’é-
pargne dans le sas que lorsqu'au contraire elle se rend du
sas dans le bassin d'épargne. J'ai fait observer en outre que,
pendant la vidange, l’eau jetée à l’amont est obligée de re-
monter plus haut qu’il ne faudrait, à cause de la suréléva-
tion que, par suite de circonstances purement locales, on a
dû donner aux rebords des tubes, inconvénient qui n'existe
pas pour les eaux qui, pendant le remplissage, sont prises à
l'aval.

C’est à la suite de ces considérations que j'ai conclu que
l'effet utile, pendant le remplissage, devait être plus consi-
dérable que pendant la vidange, que, dans tous les cas, on
pécherait plutôt par défaut que par excès en admettant que
les deux effets sont égaux.

Je n’en ai pas moins regretté que des expériences directes
ne m'eussent pas permis d'être plus affirmatif à cet égard.
Mais aujourd'hui cette lacune vient d’être comblée par les
observations qui ont été faites tout récemment à lécluse
de l’Anbois par M. Perrault, conducteur des ponts et chaus-
sées.

M. Perrault a été mon collaborateur pendant les six jours
que j'ai employés à étudier l'appareil de M. de Caligny; ül
a suivi avec le zèle le plus louable et avec beaucoup d’intel-
ligence toutes mes opérations, il est entré dans tous les
détails du jeu de l'appareil et possède la connaissance com-
plète de la marche à suivre pour le manœuvrer.

Or, il vient tout récemment de procéder à des expériences
de remplissage dont je vais faire connaître les résultats.
Après quelques essais préliminaires qui ont eu pour objet,
soit de se familiariser lui-même avec une marche parfaite
ment régulière de la machine, soit de bien dresser l’éclusier,
ce premier point étant acquis, il a fait deux opérations de
remplissage.

Dans la première, en neuf périodes, il a obtenu par le
fonctionnement de l'appareil le remplissage du sas jusqu'à
une hauteur de 1,60, la chute de l’amont à l’aval étant au
début de 2,44. La quantité d’eau prise à l’amont est re-
présentée dans cette opération par une tranche de 0®,595,
tandis que celle venue de l’aval a pour mesure une hauteur
de 1,005.

Dans la seconde, la chute initiale étant de 2,43, le jeu de
l'appareil a rempli le sas jusqu’au niveau de 1",59. Le
nombre de périodes a été également de neuf. L'eau prise à
lamont est représentée dans ce cas par une tranche de
02,590 de hauteur, et celle venue de l'aval par une tranche
de 1m,000.

Ainsi, pendant que, dans la vidange, l’eau relevée à l’a-
mont a eu pour mesure 0,926, celle prise à l’aval, dans le
remplissage, a été de 1,002. Celle-ci a donc un effet supé-
rieur à la première, ainsi que nous l’avions prévu.

Comparant cette tranche à la hauteur totale de l’éclusée,
on obtient pour l'épargne pendant le remplissage le rapport
0,421; le rapport analogue pendant la vidange étant 0,385,
on a définitivement le be 0,805, soit les + de l'éclusée
comme mesure de l’économie réalisée.

Si l’on considère l'appareil comme machine élévatoire, son
effet utile, mesuré d’après les résultats obtenus dans ces
expériences, a pour valeur 0,825 au lieu de 0,76 que nous
avons trouvé pour le cas de la vidange.

Les expériences de M. Perrault font donc disparaître la

{ie

lacune que nous regrettions, en même temps qu'elles cor-
roborent toutes nos conclusions.

Sur la spirique à centre, par M. de la Gournerie.

M. Garlin a démontré que la courbe lieu des points de ren-
contre des tangentes à une conique quicomprennent un angle
donné était identique avec la section d’un tore par un plan paral-
lèle à son axe. Le lieu dont M. Garlin s’est occupé est, en effet,
la spirique à centre; cette courbe appartient à douze tores,
dont huit ont le même centre qu’elle, tandis que les quatre
autres ont leurs axes parallèles à son plan.

Une spirique à centre étant donnée, on peut déterminer
deux coniques telles que les tangentes menées à l’une d’elles
d’un point quelconque de la courbe comprennent un angle
donné. Ces coniques sont de genres différents; l’hyperbole
a pour asymptotes les diagonales du rectangle circonscrit à
l’ellipse.

Toutes les fois que deux coniques de genres différents ont
entre elles les relations qui viennent d'être indiquées, il
existe une spirique à centre telle que les tangentes menées
de ses divers points à l’une quelconque des deux coniques
comprennent un angle constant.

L'ensemble des deux coniques représente une courbe de
la quatrième classe, ayant quatre foyers réels et douze ima-
ginaires. Ces foyers coïncident avec ceux de la spirique.
Quand les foyers réels de cette courbe sont sur les axes,
ils sont les foyers des coniques ; lorsqu'ils se trouvent en de-
hors des axes, les carrés des axes des coniques et leurs
foyers sont imaginaires.

Les foyers singuliers de la spirique sont les centres des
cercles décrits sur le segment compris entre les deux foyers
d’une conique, et capable de l'angle compris entre les tan-
: gentes d’un même couple. Cette proposition peut être déduite
d'un théorème plus général donné par M. Laguerre.

= 19) 2

Sur les longueurs d'arcs et le mouvement d'une fiqure dans
son plan, par M. Ribaucour.

Un angle droit ABC se meut dans son plan de telle sorte
que le sommet B décrive la courbe (B); que les côtés AB et
BC, enveloppent les courbes (A) et (GC); (F) est la développée
de (A).

Désignons par p la longueur AB, par dw l'angle de con-
tingence de (A); par (A) (B) (C) (E) les longueurs corres-
pondantes des arcs de courbe du même nom, on a les deux
formules :

[A]
BC— BG = | pe dw — (c)
C9

Les propositions de ce premier chapitre sont des consé-
quences de cette formule.

Supposons que (C) soit une courbe fermée, et que, de
chacun des points tels que G, comme centres, on décrive des
cercles ayant pour rayons les différentes valeurs de p :

(1) La demi-différence des ares complets de l’enveloppe
des cercles est égale à la longueur de la ligne (C).

(2) Si de chacun des points d’une courbe (A) comme cen-
tre, on décrit un cercle dont le rayon élevé au carré soit
égal à l’aire de cette courbe évaluée en coordonnées polaires
[(E) désignant toujours la développée de (A)], les cordes de
contact de ces cercles et de leur enveloppe sont tangentes à
une courbe (S) et l’on a :

A
S) — 0) = ©.

Si (À) est un cercle, (S) est aussi un cercle.

Un —

(3) Soit une courbe (A) quelconque, et deux axés rectan-
gulaires ox, oy situés dans son plan.

D'un point A de (A), on abaisse des perpendiculaires Ax
et Ay sur ox et oy; par les pieds æ et y de ces droites, on
mène des parallèles à la tangente en A à (A), ces droites

enveloppent des courbes (x) et (y); la somme algébrique
des arcs de (x) et de (y) correspondant à un arc de (A) est
égale à la longueur de cet arc.

“(4 ) Si du point À comme centre, avec un rayon dont le
carré est égal à l’aire de (A) (évaluée relativement aux
droites ox, oy), on décrit des cercles, leurs cordes de con-
tact vont envelopper une courbe (S) et l’on a :

(S) — (Æ) = + (A) — (æ)]

(E) désignant toujours la développée de (A).
Je me borne à ces applications, on en pourrait faire à
volonté un très-grand nombre.

IT.

Ce qui va suivre est relatif au mouvement le plus général
d’une figure dans son plan.

(1) Une courbe () entraîne une courbe (B) en roulant
sur une droite et à l’intérieur d’une courbe, dont le rayon
de courbure est à chaque instant moitié du sien ; les lieux
des positions successives des points de contact des tangentes
à (B) issues des différents points de (x) ont même longueur
dans les deux cas.

(2) Soient deux courbes. (A) et (Q) [les tangentes aux
points correspondants étant rectangulaires], si l’on porte sur
la tangente à (Q), à partir do Dont (Q), une longueur égale
au rayon de courbure de (A) en (A), et en sens inverse de
celui-ci, la transformée du lieu (B) de l’extrémité de ce seg-
ment, lorsque (A) roule sur une droite, a son are égal à
l'arc correspondant de la courbe, lieu des projections des
points tels que (B) sur les normales à (A).

(3) Si l’on fait rouler une droite.(D) sur une courbe (A),
les courbes (S) et (S,), lieux des points de contact des tan-
gentes menées à deux courbes (C) et (CG!) symétriques par

DE A4

rapport à (D), des différents centres instantanés de rotation,
sont égales.

(4) Une courbe (D) roule à l’intérieur et à l'extérieur
d’une courbe (A) en entraînant une courbe (B) quelconque,
la somme des ares enveloppes des positions successives de
(B) dans les deux cas est indépendante de la forme de la
base (A).

(5) Considérons un arc limité de la roulette, et imaginons
que chaque point de cet arc soit le centre d'action d’une
force constante proportionnelle à l’angle de rotation corres-
pondant ; l’arc donné de la roulette agit alors sur un point
matériel en vertu de chacun de ces centres d'action élé-
mentaires, ce système de forces admet une famille de cour-
bes de niveau, qui sont précisément les courbes lieux des
points du plan de la roulette qui ont donné lieu à des tra-
‘jectoires de même longueur.

(6) Lorsqu'un cercle roule sur une courbe quelconque,
l'enveloppe d’une droite passant par son centre est une
courbe que l’on obtiendrait aussi en cherchant la trajectoire
d’un point d’un cercle de rayon moitié de celui du précé-
dent, et roulant sur la même base.

(7) Lorsqu'un cercle roule sur une courbe quelconque, la
somme des carrés des arcs décrits par deux points diamétra-
lement opposés du cercle, est indépendante de l'orientation
du diamètre.

(8) Lorsqu'une figure se meut d’une manière Her que
dans son plan, pour un mouvement déterminé, toutes les
droites de cette figure enveloppent des courbes dont les lon-
gueurs sont les mêmes que si tout le système avait tourné
du même angle autour d’un certain point de la figure.

LIL.

Ce chapitre est consacré à l'étude des aires balayées par les
droites d’une figure et à celle des podaires.

(4) Lorsqu une droite d’une figure mobile s’est déplacée
de manière à former un certain angle avec sa position pri-
mitive, toutes les droites passant par un même point ont
balayé des aires qui peuvent être représentées par des quan-
tés proportionnelles aux inverses des carrés des rayons

ET REs

qu'elles interceptent dans une conique ayant pour centre le
point donné. Sur toute droite se trouve un point pour lequel
l'aire balayée est un minimum.

Le centre de gravité de la roulette chargée en chacun de
ses points d’une masse proportionnelle à l’angle de rotation
correspondant, projeté sur une droite quelconque, donne le
point à aire minimum de cette droite.

2% Les axes de la conique d’un point sont tangents aux
deux coniques passant par ce point et homofocales de celle
du centre de gravité. a

3° Pour tous les points également éloignés du céigtre de
gravité, la somme des carrés des axes est constante.

4 La différence entre les aires de la podaire d’un arc de
courbe et de la podaire de l’arc correspondant de sa déve-
loppée, est égale à l’aire de la courbe augmentée de la diffé-
rence entre deux triangles.

On appelle centre de gravité de courbure d’un arc le
centre de gravité d’un arc supposé chargé en chacun de ses
points d’une masse proportionnelle à l’angle de contingence
correspondant.

Pour le centre de gravité de courbure d’un arc la
somme des aires de sa podaire et de celle de sa développée
est un minimum. Pour tous les points également éloignés
du centre de gravité de courbure, la somme analogue est
constante.

5° Pour tous les points d’une droite parallèle à la corde
qui sous-tend l’arc donné, la différence entre les podaires de
l'arc et de l’arc correspondant de sa seconde développée est
constante.

IV.

Ce chapitre est consacré aux centres de gravité de cour-
bure.

1° La droite qui joint les centres de gravité de courbure
d’un arc et de l’arc correspondant de sa développée est per-
pendiculaire à la corde qui sous-tend le premier are, et la
longueur de cette corde est égale au produit de la distance
des deux centres de gravité par l’angle des normales aux
extrémités de l’arc.

FAT

20 Dans le mouvement le plus général d’une figure dans
son plan, un faisceau de droites concourantes enveloppe
des courbes dont les centres de gravité de courbure sont si-
tués sur un même cercle, la distance comptée sur ce cercle
de deux centres de gravité de courbure est double de l'angle
que font entre elles les droites correspondantes. Tous les
cercles, lieux des centres de gravité de courbure de droites
formant faisceau, passent par un même point.

3° Le centre de gravité de courbure d’un arc d’ellipse
coïncide avec le centre de gravité des quatre foyers de cette
courbe, chacun de ces foyers étant chargé d’une masse pro-
portionnelle au produit du carré de l’axe qui le contient
par l’angle sous lequel l’arc donné est vu de ce même foyer.

Ze PAPAOPAAS-----

IMP. CENTRALE DES CHEMINS DE FER.— A. CHAIX ET C° RUE BERGÈRE, 20, A PARIS. — 7448-9.

BULLETIN

DE LA

SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE

DE PARIS.

Séance du 3 avril 1869.
PRÉSIDENCE DE M. MANNHEIM.

Communication de M. Transon sur les transformations des
figures en général et sur l’homographie en particulier.

M. Moutard expose ses recherches sur un mode particulier de
transformation des surfaces.

M. Prillieux présente le résultat de ses travaux relatifs aux pro-
priétés particulières des cellules végétales et aux modifications de
ces propriétés produites par la mort.

Séance du 10 avril 1869.
PRÉSIDENCE DE M. ALIX.

M. Vaillant élucide une question de priorité au sujet d’un Ces-
toile étudié par M. d'Udekem.

M. Fischer fait part de ses observations sur un cas d’ectopie vis-
cérale observé chez un Mollusque gastéropode,

M. Prillieux complète une communication antérieure sur les
modifications des cellules végétales produites par la gelée.

Extrait de l’Institut, 1e section, 1869. 2

PAR

Sur la transformation des figures planes, par M. Abel Transon.

On sait que deux figures sont homographiques lorsqu’à un
point de l’une d'elles correspond un point de l’autre, et
qu'en même temps à chaque droite de l’une correspond
aussi une droite de l’autre. Donc, en ne considérant que l’une
de ces deux relations, on peut dire que l’homographie est un
cas particulier du mode de transformation dans lequel, à un
point de la première figure, correspond un point de la
seconde.

Dans le mode de transformation par correspondance de
point à point, il peut arriver que si plusieurs courbes pas-
sent par un même point de la figure transformée, les
courbes qui leur correspondent dans la seconde figure se
rencontrent sous les mêmes angles que les premières. Si cette
propriété a lieu pour tous les points du plan transformé, on
dit que la transformation est isogonale. Elle est directement
ou inversement isogonale selon que les angles correspondants
se succèdent dans un même sens de rotation ou dans un
sens contraire.

Mais, plus généralement, lorsque plusieurs courbes de la
première figure se rencontrent en un même point, le faisceau
de leurs tangentes en ce point est directement ou inverse-
ment homographique avec le faisceau des tangentes aux
courbes correspondantes de la seconde figure. Alors la trans-
formation est isologique.

Ainsi la propriété générale des transformations par corres-
pondance de point à point est d’être isologique. La circon-
stance d’être isogonale est un état plus particulier. Seule-
ment, toute transiormation isologique est directement isogo-
nale relativement à certains points du plan, et inversement
isogonale relativement à d’autres. Ces points d’une et d'autre
sorte sont en nombre limité ou illimité selon la nature des
fonctions qui déterminent la transformation.

L'homographie est une transformation isologique ; elle est
isogonale directe pour un point unique du plan, et isogo-
nale inverse pour un autre point; de là ce résultat :

Théorème : — Deux figures homographiques ont deux

couples de points correspondants, caractérisés par la pro-
priété que deux segments de droite qui se correspondent
dans les deux figures, étant vus respectivement des deux
centres qui forment un même couple, y sont vus sous des
angles égaux. Mais pour les centres de l’un des couples, les
extrémités correspondantes des deux segments se suivent
dans le même sens de rotation ; et pour ceux de l’autre couple
elles se suivent en sens contraire.

Ce théorème se démontre très-facilement si l'on place les
deux figures en perspective l’une de l’autre.

Séance du 24 avril 1869.
PRÉSIDENCE DE M. MAREY.

Communication de M. Transon sur la méthode de Mouret.
M. Marey analyse ses nouvelles expériences sur le vol des
Oiseaux.

Séance du 8 mai 1869.
PRÉSIDENCE DE M. VAILLANT.

M. Hamy présente le résultat de ses recherches sur une loi par-
ticulière des anomalies crâniennes relativement à la classification
des races humaines.

M. Moutard fait une communication sur un mode particulier de
transformalion des surfaces.

M. Ribaucour développe le théorème suivant : Les polaires des
trajectoires orthogonales des génératrices d’une surface gauche,
relatives à une génératrice, sont hyperboloïdes.

= D) —

Séance du 22 mai 1869.

PRÉSIDENCE DE M. MAREY.

M. Vaillant décrit une monstruosité par soudure de deux indi-
vidus, observée sur un Entozoaire de l'Homme.

M. Guillemin donne des détails sur un nouveau condensa-
teur.

Sur une monstruosité d'un Tœænia de l'Homme, par M. Léon
Vaillant.

Si les monstruosités chez l'Homme et les animaux supé-
rieurs ont déjà donné lieu à un grand nombre d’importants
travaux, il n’en est pas de même chez les invertébrés, qui
jusqu'ici n’ont guère été l’objet que d’observations isolées.
Le fait que j'ai l'honneur de présenter aujourd’hui à la So-
ciété viendra s'ajouter à ces dernières qui permettront peut-
être, étant reprises un jour, d'arriver à des résultats plus
complets.

L'animal qui en a été l'objet m'a été remis par M. J.
Chatin et provenait d’un malade venu en consultation à
l'Hôtel-Dieu pour se faire débarrasser de ce parasite incom-
mode.

C'est un Ver cestoïde se rapportant très-évidemment au
genre Tœnia et soit au T. solium, soit au T. mediocanellata;
mais, vu l’état incomplet des pièces et la disposition anor-
male des anneaux, il est difficile de décider plus exactement
à quelle espèce il appartient. Les fragments comprennent :

1° Une portion de chaîne de treize anneaux, plus un qua-
torzième divisé en trois lanières; ils sont longs de 10% à
dmn, larges de 8m" ;

2° Six anneaux également réunis, plus allongés, la lon-

Én OU

gueur étant de 14%, tandis que la largeur n’atteint
que 0e ;

3° Deux anneaux intermédiaires aux précédents comme
dimensions, mesurant 142%" sur 8m ;

4 "Trois anneaux longs de 12", larges seulement de 3mm;

5° Deux anneaux ayant à peu près les dimensions de
ceux sous le n° 8, l’un fendu en trois lanières ;

6° Un groupe de trois anneaux, un long étroit, un moyen
large et le dernier très-court (4""de long sur 6" de large),
réunis tous trois par une de leurs extrémités, de sorte
qu'ils semblent partis d'un centre au lieu d’être disposés en
série *

7° Quatre anneaux isolés.

Sur tous ces fragments, sauf peut-être celui compris sous
le n° 4, dont l’alcool avait fort contracté les anneaux, on
observe une forme insolite qui à beaucoup frappé tous ceux
qui ont bien voulu examiner ces échantillons. Au lieu d’être
simplement plat, l'anneau présente sur l’une des faces un
prolongement s’élevant de son milieu, de même épaisseur,
de même aspect, égalant en hauteur la moitié de la largeur
de l’anneau, de sorte que sur une coupe perpendiculaire à
Jaxe de l’animal, on obtient une figure en étoile à trois
branches. Les pores génitaux, bien visibles sur chaque ar-
ticle, sont irrégulièrement alternés sur le bord de chacune
des lames sans distinction. Sur l’anneau long faisant partie
du groupe n° 6, on voit un pore sur deux des lames, la
troisième n’en présentant pas, c’est le seul point où j'aie pu
reconnaître cette particularité, d’où il résulte qu’un seul
anneau offre deux ouvertures génitales.

En recherchant dans les auteurs des faits analogues, on
trouve qu'un cas presque identique est signalé et figuré par
M. Kuchenmeister (1), sur un Tænia qui lui avait été envoyé
du Cap de Bonne-Espérance, par M. le docteur Rose; il n'avait
reçu également qu’une portion du strobile, sans le scolex.
Mais le même auteur rapporte avoir eu en sa possession un
exemplaire du T. cœnurus offrant la particularité d’avoir un

(4) Die in und an dem Kærper des lebenden Menschen vorkom-
menden Parasiten, 47° part. p. 93. PI. IT ; fig. 14-16, 1855.

— 99 —

corps triangulaire, un des angles simulant une crête; sur cet
échantillon le scolex présentait une anomalie non moins cu-
rieuse, à savoir, six ventouses au lieu de quatre.

Ces observations conduisent à admettre qu'il faut voir
dans ces faits une monstruosité, déduction conforme à celle
de M. Kuchenmeister lui-même. En ayant égard au nombre
anormal des ventouses dans un des cas qu’il a cités, à la pré-
sence des deux-orifices génitaux sur un seul anneau, comme
dans le fait qui est le sujet de la présente note, on doit ad-
mettre que cette monstruosité est produite par l’accollement
et la pénétration partielle de deux individus; que de plus
l'anomalie semble dépendre d'une malformation primitive
du scolex.

Il serait important pour juger de ce dernier point, de pos-
séder plus d'observations sur le nombre des ventouses dans
les individus monstrueux, et c’est ce desideratum qui m’en-
gage à appeler l'attention des helminthologistes sur les faits
analogues qu’ils auraient l’occasion d'observer.

Sur l'emploi des condensateurs comme réservoirs d'électricité,
par M. Guillemin.

Le tome XXIX des Comptes-rendus de l’Académie des
sciences contient, p. 21, une note dans laquelle je démon
tre qu’on peut avoir des courants avec une pile isolée et sans
communication entre les deux pôles. Pour avoir ces cou-
rants, j'avais construit un grand condensateur, à lame 1iso-
lante très-mince de gutta-percha, vernie à la gomme laque,
sur les deux faces de laquelle j'avais appliqué deux lames
d'étain. La surface condensante était de plusieurs mètres
carrés. Cet appareil, chargé par le contact des deux pôles de
la pile, donnait des commotions, déviait l’aiguille aimantée,
décomposait l’eau et produisait, en un mot, tous les effets de
la pile.

Des condensateurs semblables ont été depuis cette époque
employés à divers usages, récemment aux transmissions par
les câbles sous-marins d'une grande longueur ; avec cette

différence, qu’à la lame de gutta-percha, on a substitué des
feuilles de papier enduites de paralfine.

J'ai essayé, l’année dernière, d'employer ces condensateurs
comme réservoirs d'électricité, pour renforcer le courant de
la pile dans les transmissions télégraphiques.

Une pile de Daniell de 120 éléments de très-petites dimen-
sions était assez résistante pour fournir un courant à peine
capable de faire marcher le récepteur Morse placé à l’extré-
mité d’une ligne de 550 kilomètres de longueur. Le ressort
antagoniste de l’électro-aimant fut tendu suffisamment pour
empêcher tout mouvement de l’armature. En faisant com-
muniquer alors les deux pôles de la pile avec les deux ar-
matures du condensateur de 18 mètres carrés de surface,
l'appareil s’est mis à parler, et, pour arrêter l’armature, il
fallait faire tourner de trois tours la vis du ressort antago-
niste.

Un second condensateur, de 18 mètres carrés de surface,
ayant été ajouté, le même phénomène s’est produit; il à
fallu de nouveau imprimer trois tours à la vis, pour arrêter
l'armature. J'ai mis jusqu'à quatre condensateurs, formant
au total une surface de 72 mètres carrés, la tension du res-
sort antagoniste se trouvait alors représentée par 12 tours
de la vis de réglage. L'effet des condensateurs était donc de
renforcer le courant de la pile, proportionnellement à l’éten-
due de leur surface condensante. Ces appareils absorbent
l'électricité dans l'intervalle des contacts de la pile et cèdent
leur charge électrique à la ligne, à chaque émission de cou-
rant; en sorte que, dans le premier moment du contact, le
courant de la pile est renforcé par la décharge du conden-
sateur, qui a servi de réservoir d'électricité.

Cette action du condensateur, bien qu'elle soit de courte
durée, produit cependant une attraction permanente de l’ar-
mature qui reste en contact, lors même que le courant de
la pile seule ne peut pas l'y maintenir. Cet effet tient à l’ac-
croissement de magnétisme rémanent dù à la décharge du
condensateur.

La charge électrique que ces 4 condensateurs prenaient
au contact de la pile était presque triple de celle que le fil
de 550 kilomètres acquiert, par le même contact. Cette

charge condensée produisait quelques points dans le récep-
teur Morse, mais elle s’épuisait très-vite.

En résumé, lorsqu'on a une pile insuffisante pour la trans
mission, à cause de sa trop grande résistance, on peut, sans
diminuer cette résistance, augmenter cependant la puissance
de transmission, en lui ajoutant un condensateur à large
surface et à lame isolante mince. L'effet, sur les lignes, aug-
mente proportionnellement à la surface du condensateur.

Ces essais, répétés avec l’appareil à cadran et avec l’appa-
reil Hughes, ont donné les mêmes résultats. Il y aurait donc
avantage à employer ces condensateurs, si leur prix n’était
- pas trop élevé.

On constate facilement que ces mêmes appareils renfor-
cent considérablement l’étincelle de fermeture et diminuent
l’étincelle de rupture. C'est l'inverse de ce qui a lieu pour
l’extra-courant des bobines des électro-aimants.

Séance du 12 juin 1869.
PRÉSIDENCE DE M. MAREY.

La Société reçoit une note manuscrite de M. Maistrasse sur une
sonde électrique marine.

M. Fischer annonce la découverte de l’acte de la ponte chez des
tétards de Tritons. |

M. Alix rend compte de quelques faits relatifs à l’anatomie du
Chimpanzé. k

M. Vaillant présente le résumé des recherches de M. Brown-
Séquard sur les yeux des Pleuronectes.

M. Delanoue donne le résumé de ses explorations en Espagne,
à la recherche des mines de soufre. Il mentionne la découverte
de salses ou volcans de boue dans deux localités.

Séance du 26 juin 1869.
PRÉSIDENCE DE M. MAREY.

M. Fernet fait l'analyse du travail de M. Maistrasse sur une sonde
électrique sous-marine, destinée à la recherche des corps submer-
gés, et à celle de la variation de la salure de l’eau de mer.

M. A. Milne-Edwards présente le résultat de ses recherches sur

l'anatomie des Limules.
Communication de M. Ribaucour sur les surfaces orthogonales.

Recherches anatomiques sur les Limules, par M. Alphonse
Milne-Edwards.

En 1838, Van der Hœven publia sur les Limules un tra-
vail monographique; on trouve dans les Leçons d’anatomie
comparée de M. Owen quelques indications sur des particu-
larités de structure qui avaient échappé à l’auteur que je
viens de citer, et plus récemment (1858) M. Gegenbauer a
publié quelques observations sur la structure intérieure de
de ces Crustacés: mais, à raison de la difficulté que les na-
‘turalistes éprouvent à se procurer des Limules dans un
état de fraicheur convenable pour la dissection, on n'a pu
jusqu'ici en faire une étude approfondie. Gräce à l’obli-
geance de M. Lennier, directeur de l’aquarium du Havre,
j'ai obtenu dernièrement plusieurs Limules d'Amérique peu
d'heures après leur mort ei j'en ai fait avec soin l'anatomie.
Mes observations ont. porté sur tous les systèmes d'or-
ganes: mais je me suis occupé principalement de l'appareil
circulatoire, dont la disposition est fort remarquable. J'ai
constaté qu’une partie du sang en sortant du cœur se rend
directement dans un tube à parois résistantes qui loge non-
seulement tout le système nerveux central, mais engaine
aussi la plupart des nerfs, notamment ceux des yeux, des
pattes-mâchoires et des branchies dans une portion quel-

LOG en

quefois très-considérable de leur trajet, de façon que les
nerfs, dont les fibres élémentaires sont très-lâchement unies,
_ baignent directement dans le sang chargé d'oxygène. Ce ne
sont pas des artères qui accompagnent les nerfs et qui leur
seraient simplement accolées. Ce sont des vaisseaux qui ren-
ferment dans leur intérieur les filets nerveux ainsi que les
centres dont ils partent.

J'ajouterai que toutes les parties du système artériel com-
muniquent directement entre elles à l’aide de larges anas-
tomoses et que les ramifications extrêmes de ces vaisseaux
sont d’une très-grande richesse. Les dessins joints à ce
Mémoire et représentant le mode de distribution du sang
dans l’ensemble de l’économie, les relations des artères avec
le système nerveux, la manière dont les nerfs sortent de ces
tubes, etc., permettent de se bien rendre compte de la dis-
position si singulière de l'appareil circulatoire des Limules.

Enfin, je ferai remarquer que le mode d’origine des nerfs
permet de reconnaître dans les petites pattes-mâchoires
antérieures de ces animaux les analogues des antennes
des Crustacés ou des Insectes et des chelicères des Arachnides.

IL ressort de l’ensemble des recherches dont il vient d’être
question que c'est avec les Arachnides et non avec les Crus-
tacés que les Limules présentent le plus d’analogie.

Sur les surfaces orthogonales, par M. A. Ribaucour.

Dans une communication que j'ai faite à la Société, J'ai
montré que, si des cercles sont normaux à trois surfaces, ils
le sont à une infinité d’autres qui font partie d'un système
triplement orthogonal; je propose d'appeler ces systèmes or-
thogonaux des systèmes cycliques.

Un des systèmes cycliques les plus intéressants est le sui-
vant : on prend une surface À courbures opposées dont la
courbure intégrale est constante (applicable sur une sphère
imaginaire, si l’on veut); dans chaque plan tangent et du
plan de contact comme centre, on décrit un cercle dont le

EURO

rayon est égal à la racine carrée du produit des rayons de
courbure principaux; tous les cercies ainsi obtenus sont nor-
maux à des surfaces toutes applicables les unes sur les autres
et sur une sphère imaginaire. Si l’on prend deux de ces
surfaces et qu'on cherche le lieu des points qui en sont éga-
ment distants, on trouve des surfaces applicables sur des
surfaces de révolution, dont on obtient la méridienne de la
manière que voici : on prend deux fractrices égales ayant
même asymptote, et l'on cherche la courbe lieu des points
également distants. Cette courbe, tournant autour de l’asymp-
tote des tractrices, engendre l’une des surfaces de révolution
en question.

En m'occupant de systèmes cycliques qui comprennent un
plan, j'ai trouvé la proposition suivante :

Soit un cylindre du second degré et un plan quelconque,
les coniques homofocales à la trace du cylindre sur le plan
sont la projection, faite parallèlement aux génératrices, d'un
réseau conjugué tracé sur une surface du second d-gré quel-
conque inscrite dans le cylindre.

Je me suis aussi occupé de la transformation des systèmes
orthogonaux quelconques, en partant des idées suivantes :

Soit un système orthogonal dans lequel on à :

ds? — I. de? + H,? de? H? des ;

sur les tangentes OA, OB, OC, aux trois lignes de cour-
bure passant par un point O, portons les segments X, Y, Z
dont les extrémités sont À, B, C. Supposons que X, Y, Z
soient trois fonctions de p, p1, p2, tellement choisies que, si
l’on se déplace dans tous les sens sur la surface (22), l'ex-
trémité du segment Z décrive une surface (C) tangente en
C au plan ABC, et de même pour les segments Y et X; il est
clair que si l’on décrit des sphères ayant leurs centres sur
(A) (B) (C) et tangentes respectivement aux surfaces (op), (p4),
(2), les secondes nappes des enveloppes de ces sphères vont
se couper à angle droit en un point 0’ symétrique de O, par
rapport au plan ABC; les trois familles de ces surfaces cor-
respondant aux familles des surfaces (A) (B) (C), formeront
donc un système triplement orthogonal.

Si l'on cherche quelles sont les valeurs à donner à X,Y,Z,

eos

on trouve que F désignant une fonction de p, p4, pa, on doit
avoir :

HE “HE oHE
de en
d p d pà Pa

F satisfaisant d’ailleurs à l'équation :

GE D UGE 14H PF 1 au

dote Ad GO GNT EEE

et à deux autres équations qui s'en déduisent par permuta-
tion; d’ailleurs, sur ces trois équations, l’une est conséquence
des deux autres ; posant :

>
L Se d F\? et)

le ds?, dans ce nouveau système, devient :

P = ——

ASE

oo d P | FH:
FPE

Ces systèmes comprennent tous ceux q1: l’on obtient à
laide de la transformation du premier par rayons vecteurs
réciproques.

Mais, d’après un résultat que j'ai énoncé à la Société et
qui avait été trouvé déjà par M. Combescure, au système
primitif correspond le système dans lequel

La comparaison de ces deux sytèmes, qui*sont tous deux
réciproques du premier, donne encore d’autres systèmes qui
viennent eux-mêmes, en se combinant avec les premiers, en
fournir de nouveaux ; je citerai simplement celui qui a même
image sphérique que le système dérivé du système primitif
par la transformation que j’expose aujourd'hui, pour lequel
On à :

dF 2rd Pet:
pe Fde Pdp
Se PA 0 Le 2 402.
ANT Te el
Pde Fdp

Séance du 10 juillet 1869.
PRÉSIDENCE DE M. DE LA GOURNERIE.

M. Guillemin fait une communication sur la force électro-mo-
trice des différentes piles.

M. Prillieux rend compte des expériences relatives à l’influence
de la lumière sur les plantes.

Séance du 24 juillet 1869.
PRÉSIDENCE DE M. DELANOUE,

M. de Caligny adresse à la Société une note sur un appareil de
son invention, destiné à faire des épuisements au moyen des vagues
de la mer.

Ce En

M. Guillemin discute cette question : Quelles sont les piles con-
venables pour le service télégraphique ?

M. Moutard est nommé président pour le deuxième semestre
de 1869.

M. de Caligny a communiqué dans cette séance des con-
sidérations sur un de ses appareils à faire des épuisements
au moyen des vagues de la mer.

Il rappelle que le journal l’Institut a publié une note sur
cet appareil, extraite du procès-verbal de la séance de
la Société du 17 mai 1851. Pour éviter les répétitions, il
suffit, relativement à ce qui va suivre, de rappeler qu'un
tuyau recourbé horizontalement ou de manière que sa partie
plongée, évasée convenablement, reçuive le choc des vagues,
est disposé de façon à faire osciller une colonne liquide au-
dessus et au-dessous du niveau de la mer, tel que serait ce
niveau si elle était tranquille, et qu'il en résulte que si un
clapet latéral est disposé à une certaine profondeur, il peut
entrer alternativement de l’eau d’un marais dans ce Système
par un tuyau latéral.

Ce dernier peut, dans certaines circonstances, avoir une
assez grande longueur. Mais en général il paraît que, dans
la pratique, il vaudra mieux, quand l’eau du marais sera
amenée dans la mer par un long tuyau de conduite, disposer
près de l'extrémité de celui-ci, du côté de la mer, un puits
ou réservoir latéral à ciel ouvert, ayant une section d’une
certaine étendue, en communication avec ce tuyau de con-
duite. Ce sera dans ce puits ou réservoir latéral que débou-
chera un tuyau court portant le clapet précité.

De cette manière, quelque irrégulier que soit le mouvement
oscillatoire, on n’aura pas à s’embarrasser de l’inertie de
l’eau du grand tuyau de conduite, c’est-à-dire que la moindre
dénivellation de la colonne liquide oscillante au-dessous du
niveau de l’eau dans le marais fera ouvrir le clapet de lap-
pareil, de manière à introduire de l’eau de ce marais, sans
lui permettre d'y retourner.

— 91 —

Si l'on suppose même qu'il n’y ait aucun appareil pro-
prement dit, et qu'on veuille seulement utiliser la dénivel-
lation alternative des vagues librement abandonnées à elles-
mêmes devant une porte de flot ou une cloison garnie de
clapets, disposés à l'extrémité d’un tuyau de conduite établi
dans certaines conditions, il devient alors indispensable en
général de disposer derrière cette porte ou cette cloison un
puits ou réservoir à ciel ouvert communiquant avec le tuyau
de conduite du marais à épuiser, si celui-ci n’est pas extrê-
mement court, ou si l’eau n’est point amenée seulement par
un canal à ciel ouvert assez large.

En effet, sans cette précaution, l’inertie de l’eau contenue
dans ce tuyau de conduite ne permettrait pas à cette eau de
prendre une vitesse convenable, dans l'intervalle d’une
vague à la suivante; tandis que, s’il y a ainsi un réservoir à
ciel ouvert, l’eau de ce réservoir pourra, à chaque dénivel-
lation de la vague, entrer dans ia mer en quantité conve-
nable.

On a proposé dernièrement, sans avoir eu connaissance, à
ce qu'il paraît, de la note précitée de 1851, d'employer la
démrvellation des vagues libres à faire écouler alternative-
ment l’eau d’un marais au-dessous du niveau le plus bas de
la mer, au moyen d’une sorte de clapet de retenue. Mais
dans la localité dont ïl s'agissait, l'eau était, à ce qu'il
paraît, amenée du marais dans la mer par un assez long
tuyau de conduite souterrain, ayant des clapets à ses deux
extrémités.

M. de Caligny n’a encore pu savoir quel a été le résultat
de lexpérience, mais si elle n’avait pas réussi, il faudrait
l'attribuer, selon lui, à ce qu'on n'aurait pas employé le
réservoir dont la description est l’objet de la communication
qu'il fait aujourd’hui.

Quant à l'appareil proprement dit, objet de la note pré-
citée de 1851, les mouvements des vagues sont tellement
irréguliers que si, dans certaines circonstances, on ne prenait
pas la précaution, au moyen d’un autre clapet, d'empêcher
une oscillation de retour du réservoir latéral vers le marais,
il pourrait arriver qu’il y eût de l'effet perdu par suite d’un

= 301
mouvement en retour. L'expérience seule pourra montrer
l'utilité de certains détails de ce genre, mais il était intéres-
sant d'indiquer les principes de l'établissement du réservoir
latéral. Les phénomènes dont il s’agit ne peuvent d’ailleurs
être bien compris qu'au moyen de ceux qui sont décrits
dans un mémoire de M. de Caligny, publié dans le Journal

de mathématiques de M. LiouviEe, t. VIII, première série,
1843, p. 93 à 40.

Séance du 14 août 1869.
PRÉSIDENCE DE M. MOUTARD.

M. Bert présente le résultat de diverses expériences sur les mou-
vements de la Sensitive.

Po,

MRIMERIE CENTRALE DES CHEMINS DE FER.— A. CHAIX ET C° RUE BERGÈRE, 20,4 PARIS.—17002-9

BULLETIN

SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE

DE PARIS.

Séance du 23 octobre 1869.
PRÉSIDENCE DE M. MOUTARD.

M. de Caligny adresse une note sur une nouvelle application
de la force centrifuge dans un de ses appareils à épuisement.

M. Laguerre fait une communication sur les géodésiques de
l’ellipsoïde.

M. Moutard expose ses recherches sur les propriétés des lignes
asympiotiques des surfaces.

MM. Yvon Villarceau, Transon, Laussedat, sont nommés mem-
bres de la commission chargée d'examiner la candidature de
M. Gould, comme membre correspondant.

M. Delanoue rend compte de la réunion de la Société géolo-
gique de France au Puy.

Sur une application nouvelle de la force centrifuge,
par M. A. de Caligny.

M. de Caligny a communiqué dans cette séance une note
sur une application nouvelle de la force centrifuge, dans un

Extrait de l'Institut, 4re section, 1869. 8

— 94 —

de ses appareils à faire des épuisements, au moyen des va-
gues de la mer. La note contient en outre diverses considé-
rations sur ce système.

L'auteur rappelle d’abord qu’il a communiqué le principe
de cet appareil dans la séance du 17 mai 1851, et qu'il est ve-
venu récemment sur ce sujet dans la séance du 24 juillet
dernier. Il suffit, pour ce qui va suivre, de se souvenir que
l’eau entre alternativement d’un marais à épuiser dans l’ap-
pareil, par suite d’une oscillation occasionnée par les vagues, et
qu’elle ne peut retourner dans ce DITES. en étant empêchée
par un clapet de retenue.

Il est intéressant de disposer les choses de manière à di-
- minuer autant que possible Ia moyenne des pressions laté-
rales dans la partie de l'appareil où doit entrer l’eau à épui-
ser. Or, aux moyens déjà signalés à la Société, M. de Cali-
gny ajoute un effet de la force centrifuge provenant de ce
que le clapet, avec sa chambre, peut être disposé de manière
à introduire l’eau par l’intérieur du coude du tuyau en for-
me de L. On sait, en effet, que la force centrifuge qui
augmente la pression latérale dans la partie concave d’un
coude, la diminue au contraire dans la partie qui est con-
vexe par rapport à la colonne liquide.

L'ensemble du système peut d'ailleurs être disposé de plu-
sieurs manières selon les circonstances ; ainsi, le-tube ver-
tical peut être mis, soit dans la mer, soit dans le marais ou
dans un réservoir en communication avec ce dernier. S'il
n’est pas dans la mer, la construction est plus simple, le
clapet, quelle que soit du reste sa position la meiileure, n’a
pas besoin de tuyau latéral pour communiquer avec le ma-
rais, une simple chambre étant alors suffisante.

Si l’on voulait diminuer autant que possible la profondeur
des fondations, le clapet -pourrait être mis près du coude de
manière à introduire l’eau immédiatement par la partie ho-
rizontale du. tuyau.

Dans ce cas, si l’on ne craignait pas les ensablements, on
pourrait avoir un coud2 à angle droit brusque, c’est-à-dire,
dont le rayon dit intérieur serait nul; le rayon dit extérieur
étant égal au diamètre du tuyau, parce qu'on diminuerait
convenablement la résistance de l’eau dans ce coude en y
disposant des lames concentriques.

ÿ
à
M;
Hé
É

%
r:

RTS LE

Quant à l’évasement, qu'il est utile de mettre à l'extrémité
qui débouche dans la mer, on pourra n'’élargir pour cela ile
tuyau que dans le sens horizontal, si l’on veut diminuer la
profondeur des fondations, et si l’on peut l’allonger assez
pour que sa section de sortie du côté de la mer soit suffi-
samment grande, que cependant la colonne liquide ne varie
de largeur que par degrés assez insensibles.

Abstraction faite de l’objet le plus spécial de cette ,commu-
nication, sur une propriété résultant de la force centrifuge,
et même en rencontrant un effet contraire à celui qui a été
signalé ci-dessus quant à la force centrifuge, il n'est passans
intérêt d'indiquer la possibilité de se servir d’un tuyau déjà
construit pour faire écouler l’eau d’un marais dans la mer,
avec un clapet de retenue en amont de ce tuyau, c'est-à-dire
à celle de ses extrémités qui débouche dans le marais.

Il suffit, quand ce tuyau n'est pas trop long, par rapport
aux effets que doivent produire les vagues, de disposer sur
lui, près de cette extrémité, un tuyau vertical, bien entendu
ouvert par ses deux bouts. On conçoit que, si les oscillations
occasionnées par les vagues dans ce tuyau vertical descendent
assez bas, le clapet s'ouvrira sous la pression de l’eau du
marais, et que, si l'avantage précité de la force centrifuge
est au contraire remplacé, pendant une partie de chaque pé-
riode, par un effort de cette force en sens contraire de l’in-
troduction de l’eau; si, de plus, on trouve un surcroît de
résistance provenant d'ailleurs de ce qu’alors on ne pourra
disposer dans le coude les lames concentriques précitées, il
faudra tenir compte de ce que la veine liquide entrera direc-
tement du marais dans le système, sans se plier dans
un coude. Or cela aura aussi ses avantages, surtout pour le
cas où le tuyau pourrait être employé, quand l'appareil me
fonctionnerait pas, à faire écouler l’eau du marais dans la
mer par les moyens ordinaires.

. L’'évasement précité n’a pas seulement pour objet de mieux
recevoir la percussion des vagues, en diminuant d’ailleurs
l'effet de la contraction de la veine liquide à son entrée de la
mer dans l'appareil, il a aussi pour but d'employer conve-
nablement la force vive de l’eau qui entre alternativement
dans la mer. Quant à ce dernier but, cet évasement paraît avoir
d'autant moins d’importance que l’amplitude de l’oscillation

2150 —

dans le tuyau vertical est moindre par rapportà lalongueurdu
tuyau plongé. Mais on n’entrera pas ici dans les détails de
ce genre. Il est à peine nécessaire d’ajouter que, dans cer-
taines circonstances du moins, il sera sans doute utile que le
tuyau plongé soit graduellement évasé, même depuis le coude,
de manière que les changements de sections soient aussi peu
sensibles que cela se pourra.

Abstraction faite des applications de ce système à l’épuise-
ment des marais, il pourra être employé à l'assainissement des
ports dans les mers sans flux et reflux. On sait, en effet, qu'il
serait utile d’avoir un moyen simple de déplacer pour cela
de grandes masses d’eau, même sans élever le liquide au-
dessus du niveau d’un port.

On trouvera des dessins de cet appareil dans un des pro-
chains numéros de la Revue universelle de M. de Cuyper.

Séance du 13 novembre 1869.
PRÉSIDENCE DE M. MOUTARB.

M. Laurent fait une communication sur la géologie de l’isthme
de Suez.

MM. Gaudry, Janssen, d'Omalius d’Halloy, Vaillant, Delanoue,
présentent quelques observations à ce sujet.

M. Ribaucour fait une communication sur la déformation des
surfaces ;

M. Laguerre, sur quelques propriétés des lignes spiriques ;

M. de Caligny, sur un cas singulier d’un appareil de son inven-
tion à faire des épuisements au moyen des vagues de la mer;

M. Moutard, sur un mode particulier de transformation des sur-
faces.

Sur la théorie de l'application des surfaces l’une sur l'autre,
par M. Ribaucour.

On sait quelles difficultés présente l'intégration de l’équa-
tion aux différentielles partielles du second ordre qui domine
la théorie de la déformation des surfaces. M. Moutard et moi,
chacun de notre côté, nous nous sommes proposé un problème
plus abordable : la recherche des groupes de deux surfaces ap-
plicables l’une sur l’autre. M. Moutard, à l’aide d’une trans-
formation élégante qu’il a communiquée à la Société, et moi,
directement, en me servant de formules spéciales qui sem-
blent très-importantes dans la théorie des surfaces, nous
avons pu former un nombre indéfini de ces groupes, même de
ceux qui comprennent deux surfaces algébriques. J'expose-
rai dans cette note deux théorèmes complétement géométri-
ques qui permettent de trouver autant de solutions que l’on
veut de la question.

Th. I.— Soient deux surfaces (A) et (4”) applicables l'une
sur l'autre; joignons les points correspondants À et 4’ el por-
tons à partir du milieu M sur AÂ’, de part et d'autre, les lon-
gueurs MB et MB’ égales à K fois AM; les surfaces (B) et (B')
heux des points B et B° sont encore applicables l’une sur
l’autre.

La connaissance d’un groupe de surfaces applicables l’une
sur l’autre fournit donc une infinité de groupes analogues,
correspondant aux diverses valeurs de la constante K.

Je me suisproposé, connaissant la surface (M) lieu des milieux
des cordes AA’, de trouver tous les groupes tels que (A) (A);
ils sont tous donnés par une équation aux différentielles partiel-
les du second ordre, sur Jaquelle je reviendrai dans une autre
communication, et qui s'intègre immédiatement dans le cas
où (M) est une surface du second degré. 6

J'ai aussi étudié la question à un autre point de vue. Ele-
vons par les milieux M des cordes telles que AA’, des plans
perpendiculaires à ces cordes, ils enveloppent une surface (0).
Nous donnant (0) nous pouvons chercher tous les groupes
de surfaces (A) (A’) correspondants; ils sont encore donnés

MP ul

par une équation aux différentielles partielles du second ordre
que l’on peut rendre identique à celle trouvée en considérant
la surface (M).

Il en résulte qu'étant donnée une surface (S), on peut la
considérer soit commeune surface (M) soit comme unesurface (O).
La connaissance d’un groupe (A) (4’), dans le premier cas,
équivaut à celle d'un autre groupe dans le second cas.

C'est en cela que consiste mon second théorème. Les con-
séquences à en tirer sont nombreuses.

Imaginons que nous connaissions un groupe (A) (A) ; la
surface (M), lieu des mil ieUX, considérée comme surface(0)donne
un second groupe (A;)(A’,); la surface (M) des milieux des cordes
À, A’,, donne en la Sn comme surface (0) un troi-
sième groupe (A) (A°).... ete. On a donc ainsi une infi-
nité de groupes déduits du premier ; mais on peut aussi en
déduire une autre infinité en considérant la surface (0) en-
veloppe des plans menés par M perpendiculairement à À À
comme surface (M).... et ainsi de suite; donc : connaissant
un groupe (A) (A) de surfaces applicables l’une sur l’autre,
on en peut déduire algébriquement une infinité d’autres grou-
pes et par le théorème I et par le théorème If.

En particulier on n’a qu’à supposer que (A) et (A) soient
deux surfaces identiques algébriques pour en déduire une
infinité âe groupes algébriques.

Je terminerai cette note en signalant un cas particulier in-
téressant, c’est celui où les points À et A” supposés invaria-
blement liés aux plans tangents de la surface (0) ou de la
surface (M), les surfaces (A) et (A) sont toujours applicables
l’une sur l’autre, quelle que soït la déformation de (0) ou de
(M).

Dans ce cas, les surfaces (0) et (M) sont applicables sur
des surfaces de révolution ; les points À et À’ se construisent
immédiatement lorsqu'on se donne la méridienne de la sur-
face,

Je me propose d'exposer à la Société dans d’autres com-
munications la suite de mes recherches sur la théorie des
surfaces et sur la déformation en particulier.

— 39 —

Sur quelques propriétés des lignes spiriquse,
par M. Laguerre.

4. On désigne sous le nom de lignes spiriques les cour-
bes anallagmatiques du quatrième ordre qui ont un axe de
symétrie. Ces lignes ont été depuis longtemps l’objet des
études des géomètres, et, récemment encore, M. de la Gour-
nerie leur a consacré un remarquable mémoire inséré dans
le Journal de Liouville (1869).

Comme toutes les anallagmatiques, ces courbes ont quatre
foyers singuliers , dont deux réels et deux imaginaires; ces
quatre foyers sont d’ailleurs les foyers ordinaires des quatre
coniques homofocales au moyen desquelles, d’après là pro-
position de M. Moutard, on peut décrire ces courbes en les
considérant comme enveloppes de cercles.

On peut distinguer deux espèces de spiriques; dans les
premières, que je dirai être de première espèce, les deux
foyers singuliers réels sont situés sur l’axe de symétrie; dans
les autres, que je dirai être de deuxième espèce, ce sont les
deux foyers singuliers imaginaires qui sont situés sur cet
axe. Leurs propriétés, du reste, sont les mêmes au fond, et
ne diffèrent que par les diverses façons de les énoncer. Dans
tout ce qui suit, je considérerai spécialement les spiriques
de première espèce.

N'ayant à considérer ici que les foyers singuliers de ces
courbes, je les désignerai simplement sous le nom de foyers.
Autour de chaque foyer singulier, comme centre, on peut
décrire un cercle qui oscule la courbe en chacun des ombi-
lics; je désignerai les deux cercles ainsi définis sous le nom
de cercles focaux.

Etant donné un cercle, j'entends par puissance d’un point,
relativement à ce cercle, le carré de la longueur de la tan-
gente que l’on peut mener de ce point au cercle.

Les spiriques renferment, comme cas particuliers, un grand
nombre de courbes remarquables, notamment les ovales de
Descartes, ou, pour me servir d’une expression plus nette
déjà employée par M. de la Gournerie, les cartésiennes ;

LA NES

elles peuvent être considérees comme des spiriques dans les-
quelles les deux foyers réels viennent se confondre.

La spirique peut encore s’abaisser au troisième degré; je
la désignerai dans ce cas, pour abréger, par le nom de ca-
taspirique. La cataspirique n’a qu'un seul foyer; elle peut
être considérée comme une spirique dans laquelle un des
foyers est rejeté à l'infini.

Les coniques peuvent aussi être regardées comme des
spiriques dont les deux foyers ont été rejetés à l'infini.

D'un point de l’axe d’une spirique, on peut mener huit
normales à la courbe, dont quatre se confondent avec l’axe
et dont les quatre autres sont symétriques par rapport à cet
axe. Je désignerai sous le nom de points associés les deux
points situés d’un même côté de l’axe, et tels que les nor-
males élevées en ces points concourent en un même point
de l’axe. |

2. Les spiriques jouissent de toutes les propriétés connues
des anallagmatiques; elles possèdent en outre des propriétés
particulières. Ces propriétés se déduisent facilement de la
proposition suivante, qui s'établit immédiatement par la
définition même des spiriques.

PROPOSITION. « Etant donnés deux points fixes À et B
d’une spirique, et un point mobile C situé sur cette courbe ;
si l’on joint le point mobile aux deux points fixes, et si, par
le milieu des cordes ainsi chtenues, on mène des perpendi-
culaires à ces cordes, ces perpendiculaires déterminent sur
l’axe de la courbe deux divisions homographiques, dont les.
points doubles sont les deux foyers situés sur l’axe. »

THÉORÈME I. « Etant donnés deux points fixes À et B
d’une spirique, si on joint un point C mobile sur cette courbe
aux deux points fixes, et si, sur les milieux des cordes AC
et BC, on mène des perpendiculaires à ces cordes, coupant
l'axe de symétrie aux points « etB; F et G désignant les deux
foyers réels de la spirique, le rapport

Fa Ga
F6 GB

demeure constant, quelle que soit la position du point C sur
la courbe, et sa valeur est égale au rapport des puissances

des points À et B relativement au cercle focal ayant pour
centre le foyer F. »

. THÉORÈME II. « Etant donnés deux points fixes À et B
d’une cataspirique et un point mobile C situé sur la courbe ;
si, par le milieu des cordes AC et BC, on mène des perpen-
diculaires coupant respectivement l’axe de la courbe aux
points a et $, le rapport

F &
F6

est constant, quelle que soit la position du point mobile sur
la courbe, et ce rapport est égal au quotient des puissances
des points À et B relativement à la courbe. »

THÉORÈME III. « Etant donnés deux points fixes À et B
d’une cartésienne et un point mobile C situé sur la courbe;
si, par les milieux des cordes AC et BC, on mène des per-
pendiculaires à ces cordes, coupant respectivement l’axe de
la courbe aux points « et 6, la différence

Sp
Fa) F(

est constante, quelle que soit la position du point mobile sur la
courbe, et la valeur de cette différence est proportionnelle à
la différence des carrés des distances du foyer aux points
A et B. »

THÉORÈME IV. « Le produit des puissances d’un point
quelconque d’une spirique relativement à ses deux cercles fo-
caux est constant.»

THÉORÈME V. « Si l’on prend les polaires du point d’une
spirique relativement à ses deux cercles focaux, la portion
de la tangente interceptée entre ces deux droites à pour
point milieu le point de contact. »

THÉORÈME VI. « Etant donnée une corde quelconque
AB d’une spirique, si l’on prend les points de rencontre «
et 6 de l’axe avec les normales menées à la courbe par les
extrémités de cette corde, et le point K où la perpendicu-
laire élevée au milieu de la corde coupe cet axe, le point K.

est: l’un des deux points doubles … Pinvolution déterminée
par les deux points F, G et a, £. »
Remarque. — Cette propriété st exprimée par la relation

FR? Fe. FB
GK? Ga. GB

Lorsque la courbe est une cataspirique, le foyer G est
rejeté à l'infini, et l’on a la rélation

FK — Fa F6.

Lorsque la courbe est une cartésienne, les fdeux foyers
coïncident en un même point F,et par conséquent les quatre
points F, K; «, 6 sont en rapport harmonique.

Si la courbe est une conique, les deux foyers sont à l’in-
fini et lé point K est le milieu du segment af.

THÉORÈME VII. « Si deux dus d’une spirique sont
situés sur un même perpendiculaire à l’axe, ou s’il sont à
égale distance du centre de la courbe; les normales en ces
points coupent l’axe en des points équidistants du centre. »

J'appelle ici centre de la spirique le point milieu des
deux loyers.

THÉORÈME VIII. « Le point de l'axe où concourent les
normales en deux points associés et le point où la perpen-
diculaire, élevée au milieu de la corde qui les joint, coupe
l’axe, par harmoniquement le segment intercepté entre
les foyers.

THÉORÈME IX. « Le milieu de la droite qui joint deux
points associés quelconques est situé sur une droite fixe per-
pendiculaire à l’axe. »

THÉORÈME X. « La somme des carrés des distances des
deux points associés à un foyer est constante et égale au
double du carré du rayon de ce cercle.

THÉORÈME XI. « Si, par le milieu d’une corde d’une
spirique, on mène uné perpendiculaire à cette corde, le rapport
des distances du point de rencontre de cette droite avec l'axe
aux deux foyers est égal et de signe contraire au quotient

er HA

de la puissance d’une des extrémités quelconques de la corde
relativement au cercle focal du premier foyer, par la puis-
sance de l’autre extrémité relativement à l’autre cercle
focal. »

THÉORÈME XII. « La normale en un point d’une spirique
partage la droite joignant les foyers en deux segments dont
le rapport est égal et de signe contraire à celui des puis-
sances du point relativement aux cercles focaux. »

THÉORÈME XIII. « Sur une normale quelconque à une
spirique, le rapport des segments déterminés par le centre de
courbure, sur la portion de la normale interceptée entre
l’axe et la courbe, est proportionnel au carré du sinus de
l'angle que la normale fait avec l’axe et au cube de la lon-
gueur de la tangente menée du point de rencontre de la
normale avec l’axe au cercle décrit sur la droite qui joint
les deux foyers comme diamètre. »

3. Les spiriques, qui ont deux axes de symétrie, sont à la fois
de première et de seconde espèce et jouissent des propriétés
précédentes relativement à leurs deux axes. De là des pro-
priétés particulières que j’exposerai dans une autre commu-
nication.

Les surfaces anallagmatiques, ayant un plan de symétrie,
jouissent relativement aux normales qu’on peut leur mener
de quelques-unes des propriétés énoncées ci-dessus. Je déve-
lopperai plus tard ce point important de leur théorie.

Sur une nouvelle application de la force centrifuge,
par M. A. de Caligny.

M. de Caligny a fait dans cette séance une communication
ayant principalement pour objet un cas singulier de la théo-
rie d’un appareil de son invention à faire des épuisements
au moyen des vagues de la mer, dont il a parlé le 23 octo-
bre dernier.

Si un tuyau en forme de L, dont la partie horizontale est

LS RARE

toujours plongée dans la mer ou dans un lac, a des dimen-
sions convenables par rapport aux vagues ordinaires, et si
l’on peut supposer que celles-ci soient assez régulières, les
deux extrémités du tuyau étant toujours ouvertes, on est
conduit à un résultat théorique intéressant.

Supposons que l’intumescence d’une vague, même abstrac-
tion faite, si l’on veut, de la percussion latérale de cette va-
gue, trouve dans le tube vertical le liquide à une hauteur
qui ne soit pas au-dessus du niveau moyen de la mer à l’ins-
tant dont il s’agit, c’est-à-dire ce dernier niveau étant con-
sidéré comme si la mer était tranquille. L’eau montera dans
le tube vertical en vertu de la pression de l’intumescence.

Lorsque ensuite il y aura dans ce tube une oscillation en
retour, si la durée de celle-ci se trouve combinée avec celle
du mouvement alternatif des vagues, de manière que la des-
cente de l’eau dans le tube vertical fasse convenablement
sortir le liquide dans le creux d’une vague, l’eau descendra
notablement plus bas dans le tube vertical que la première
intumescence ne l'y avait trouvée. Par conséquent, il y a
lieu de penser que l’intumescence suivante pourra élever
l'eau dans le tube vertical plus haut que la première. On
conçoit que, par suite d’oscillations successives, l’eau pourra
s'élever ainsi à des hauteurs de plus en plus grandes, et des-
cendre aussi à des profondeurs de plus en plus grandes,
dont même l'expérience seule pourra assigner la limite, si la
partie plongée du système est enfoncée assez profondément
dans la mer. |

L'état de la question sera changé à cause de l'introduction
alternative de l'eau d’un marais à épuiser par un clapet la-
téral en vertu de la baisse alternative de la colonne liquide
verticale, conformément à ce qui a été expliqué dans d’au-
tres communications. D’ailleurs on ne peut pas compter sur
un mouvement assez régulier des vagues pour que cet effet
d’oscillations, pour ainsi dire accumulées, puisse être soumis
au calcul.

Si, pour utiliser un tuyau de conduite déjà existant, on
dispose un tube vertical près de l’extrémité qui est dans le ma-
rais, On peut étudier par tâtonnement la section la plus con-
venable de ce tube en y introduisant une portion de cylindre
circulaire vertical dont le reste aura été retranché soit par un

MT ON

plan, soit plutôt, en général, par une surface cylindrique
verticale. La forme de celle-ci est à étudier par expérience.

On ajoutera seulement ici que cette pièce, qui sera fixe,
doit être mise dans la partie de ce tube vertical qui est du
côté de la mer; que sa partie inférieure sera disposée en
biseau, convenablement arrondi, äe manière à ne pas gêner
le mouvement de l’eau ascendante venant du côté de la mer;
enfin que la section de la partie du tube vertical qui restera
libre se rapprochera plutôt d’une forme rectangulaire que
d'un segment de cercle, parce que, dans les coudes de ce
genre, c'est par cette section que l’eau ascendante doit prin-
cipalement passer.

Sur la déformation des surfaces, par M. Moutard.

Dans la séance du 12 juin dernier, j'ai fait connaître ver-
balement à la Société quelques résultats auxquels j'étais
parvenu dans l’étude d’un mode spécial de transformation
géométrique ayant pour objet de déduire, point par point,
d'une surface donnée, une autre surface dont tous les éléments
linéaires sont assujettis à étre dirigés orthogonalement aux
éléments correspondants de la surface primitive. Les recher-
ches auxquelles j’ai continué à me livrer sur ce sujet m'ont
fourni la solution du problème, non-seulement pour le cas
des surfaces du second degré, qui faisait l’objet de ma com-
munication, mais encore pour un grand nombre d’autres
cas, comprenant en particulier ceux où la surface primitive
est une surface réglée quelconque, ou, plus généralement,
une surface susceptible d’être engendrée par le déplacement
d’une ligne de figure invariable. Cette solution est encore
trop compliquée, et trop liée à l’analyse pénible par laquelle
je l’ai obtenue pour être utilement exposée devant la Société,
mais il ne me paraît pas sans intérêt de montrer dès main-
tenant la connexité qui existe entre le problème que je me
suis proposé, et le problème célèbre de la déformation des
surfaces; c’est l’objet de la présente communication.

40 —

Concevons que (x, y, z) et (44, ya. &1) désignentiles coor-
données de deux points correspondants de deux surfaces
ayant entre elles le mode de dépendance énoncé, on aura
évidemment pour tous les systèmes de valeurs des deux pa-
ramètres uniques dont dépendent ces six coordonnées :

dxda, + dydys + dzdz; = 0.

Si donc on considère les deux surfaces définies par les
équations :

E— À + par, n = y + bn, = À +
et
= ÀT— par, MAY — by, GX —uz,

on aura :

dé + dr? + dé = dé? Hd? + dé?

et par suite les deux surfaces (6, n, £), et (E,, m1, Gi), seront
applicables l'une sur l’autre. Toute solution particulière de
mon problème fournit donc une solution particulière du
problème qui a pour objet de trouver deux surfaces appli-
cables l’une sur l’autre; il n’est pas moins aisé de voir que
toute solution particulière du second problème fournit une
solution du premier; en conséquence, si l’on pouvait former
le tableau complet de tous les couples de surfaces qui satis-
font à l’une des deux conditions, on aurait par cela même le
tableau complet de tous les couples de surface qui satisfont
à l’autre. Je ne prétends pas dire, d’après cela, que les deux
problèmes soient identiques, car lorsqu'on se propose, par
exemple, de trouver toutes les surfaces applicables sur une
surface donnée, de nouvelles difficultés analytiques d’un
ordre moindre, il est vrai, se présentent lorsqu'on veut re-
chercher tous les couples de surfaces assujetties à l’orthogo-
nalité de leurs éléments linéaires correspondants, et suscep-
tibles de fournir un couple de surfaces applicables dont l’une
soit précisément la surface donnée. Mais la remarque qui
précède n’en établit pas moins entre les deux problèmes un
lien que, je dois l'ajouter, le développement de l'analyse
rend encore plus intime.

LATE

En appliquant cette remarque aux formules les plus géné-
rales que j'aie pu obtenir, je suis parvenu à former des équa-
tions renfermant explicitement jusqu'à six fonctions arbi-
traires bien distinctes, et leurs dérivées en nombre quelcon-
que, mais limité, qui, par le simple changement de signe
d'un paramètre, fournit -des -couples de surfaces applica-
bles l’une sur l'autre. Ces formules, que je ne transcrirai
point ici à cause de leur complication, sont algébriques, et
fournissent par conséquent des couples de surfaces applicables
algébriques, lorsqu'on choisira pour les six fonctions arbi-
traires elles-mêmes des fonctions algébriques. Dans ce cas, il
arrivera d’ailleurs fréquemment que les deux surfaces d’un
même couple ne constitueront, au point de vue de Jla-conti-
nuité, qu'un seul et même être géométrique; et l’on obtien-
dra ainsi un nombre illimité de surfaces susceptibles de
coïncider avec elles-mêmes, après avoir subi une déformation
qui altérerait en chaque point les deux rayons de courbure
principaux, leur produit restant, bien entendu, constant, en
vertu de la loi de Gauss. Un type extrêmement simple de
surfaces satisfaisant à cette condition, pour lequel la vérifica-
tion immédiate est facile, est fourni par les équations :

fu. v= fe Pots auto:

où f(u) est une fonction arbitraire, f’ (v) la dérivée de f{v),
et a une constante différente de 0. Le carré de l’élément li-
néaire d’une pareille surface, ayant une expression symétrique
en % et v, à savoir :

ds? = (f? (u) 41) du L2 Vi—adu dv + (f? (v) HA) dut,

on voit tout de suite que la surface est applicable sur celle
dont les équations se déduisaient des précédentes par l'é-
change des lettres w et v, laquelle est évidemment superpo-
sable à la première. D'autre part, l'équation qui fournit les
rayons de courbure en un point quelconque est

VAOIAOESAOESAOET
VI — a f (u) f (e) f'(u) f’ (v)

le coefficient de p ne pouvant être symétrique en # et v tant
que « n’est pas nul, il est constaté par là que les rayons de
courbure sont différents aux deux points qui correspondent
à un système de valeurs échangées de w et v.

Parmi ces surfaces, qui sont toutes susceptibles d’être en-
gendrées par une ligne plane de figure invariable, je signa-
lerai en particulier celle qui a pour équation :

3 = à (as xs + b? y5) ; où a? — b? ==\(1)

laquelle peut être engendrée par une développée de parabole
s'appuyant sur une autre développée de parabole, et pour
laquelle la correspondance entre deux points est donnée par
les relations très-simples

Séance du 27 novembre 1869.
PRÉSIDENCE DE M. MOUTARD.

M. Laguerre a fait une communication sur l'intégration d'une cer-
taine classe d'équations différentielles :

M. Ribaucour, sur la déformation des surfaces;

M. Janssen, sur une méthode pour obtenir des monochroma-
tiques des corps lumineux ;

M. Vaillant, sur l'effet d’une eau de pompe qui ne rougit pas
le curacao.

M. Delanoue présente quelques observations à ce sujet.

M. Bureau étudie la question suivante : jusqu’à quel point
la connaissance des caractères fournis par la structure des tiges peut-
elle servir à la classification; il s'occupe ensuite de la végéta-
tion des lianes.

Sur l'intégration d'une certaine classe d'équations différen-
tielles simultanées du premier ordre, par M. Laguerre.

Dans une note sur l'intégration d'une certaine classe d'é-
quations différentielles du second ordre, que j'ai présentée à
l’Académie des sciences le 7 décembre 1868, j'ai donné une
méthode qui permet d'intégrer au moyen des transcendantes
abéliennes un grand nombre d'équations différentielles du
second ordre. Toutes ces équations sont comprises dans le
type général suivant

d
(1) _ Le),

équation où la caractéristique désigne une fraction quel-
di . AE
conque de __ et où Z désigne un polynôme quelconque du

second degré en x et en y.

Je consignerai à ce sujet une propriété importante des
équations de la forme que je viens de considérer et qui peut
s’énoncer ainsi :

«Si l’on connaît une solution particulière de l’équation (1)
et qui ne soit pas de la forme y — ax + b, a et b étant
des constantes de cette solution particulière, on peut, quelle

Extrait de L'Institut, 4re section, 1869. 4

— 0 —

que soit la fonction f, déduire une intégrale du premier or-
dre renfermant une constante arbitraire. »

Dans la note citée, j'ai donné un cas particulier où l’inté-
gration pouvait s’eftectuer complétement ; on peut trouver
facilement une foule d’autres cas où l’on peut former lin-
tégrale complète avec deux constantes arbitraires.

Le but de la note que je présente aujourd’hui est d’indi-
quer un cas général où les équations différentielles peuvent
s'intégrer algébriquement.

SOI
F (x, y, z) + (3s— a) (s— a) =0

l'équation d’un système de surfaces du second degré renfer-
mant un paramètre arbitraire À, et

f (@, y, x) LH u(s — a) (: — à) —=0

l'équation d’un système de surfaces du second degré renfer-
mant un paramètre arbitraire fi.

Désignons par S la courbe gauche résultant de l’intersec-
tion d’une quelconque des surfaces du premier système et
d’une quelconque des surfaces du second système. Menons
une tangente arbitraire à cette courbe et désignons par x,
y, a les coordonnées de son point de rencontre avec le plan
z—4@, par 6, n, a les coordonnées de son point de rencon—
tre avec le plan 3 —a; l’on aura les relations suivantes :

de __d _ VFG&yo _Vf@yo ,
EU re Nu.
on peut, au lieu de ces relations, en désignant par = la va-

leur commune des rapports précédents, écrire les deux sys-
tèmes d'équations qui suivent :

D rue, Le
go W@rd _ Ver _1
VE a MINT ET on

Des équations (3), on peut déduire les valeurs de Ë et de
n en fonction de æ, y ett; en portant ces valeurs dans les
équations (2), on obtiendra deux équations différentielles du
premier ordre et du premier degré entre æ, y et t; l’inté-
grale générale de ces équations pourra être obtenue facile-
ment en vertu de ce qui précède. La courbe S étant choisie
comme précédemment, l’on voit que æ, y et & pourront être
exprimées en fonction d’un seul paramètre arbitraire, dont
l'élimination fournira les deux intégrales des équations pro-
posées; de plus, comme les équations de S renferment deux
paramètres arbitraires À et x, on obtiendra ainsi les intégra-
les qni seront évidemment algébriques.

Dans le cas général, l'élimination de t conduirait à une
équation différentielle du second ordre entre æ et y, que
l'on intégrerait par la méthode précédente.

Dans un grand nombre de cas, une des intégrations peut
s'effectuer immédiatement, et l’on est conduit alors à une
équation différentielle du premier ordre entre deux variables
et que l’on peut intégrer algébriquement.

Je ferai remarquer, en terminant, que les considérations
précédentes sont au fond indépendantes des considérations
géométriques que j'ai employées dans la note que j'ai pré-
sentée à l’Académie des sciences; elle repose uniquement sur
des propriétés élémentaires des polynômes du second degré et
s'étendent d’elles-mêmes à un nombre quelconque de variables.

Sur la déformation des surfaces, par M, Ribaucour.

Dans la dernière séance j'ai fait voir comment d’un groupe
(A) (A') de surfaces applicables l’une sur l'autre, on pouvait
déduire une infinité de groupes analogues.

Connaissant la surface (0) lieu des milieux des cordes
A A’, les équations qui déterminent les groupes correspon-
dants peuvent se réduire à deux; elles sont linéaires et du
premier ordre; on en conclut le théorème suivant :

10 Ro

« Soient deux groupes (A) (A') et (A) (A';) symétriques
» par rapport à la surface (0), si l'on divise les segments
» AA, et A'A', dans le même rapport constant, les surfaces
» lieux de ces poñnts de division sont aussi applicables l’une
» sur l’autre. »

On peut supposer que (A,) (A',;) sont deux surfaces iden-
tiques à (0) transportée parallèlement à elle-même, et d’un
groupe donné l’on déduit un autre avec quatre constantes
arbitraires.

On peut aussi énoncer cette autre proposition :« Soient
» deux groupes (À) (A) et (A;) (A',;) symétriques par rap-
» port aux plans tangents d’une surface (M), a et a, les pro-
» jections de À et A, sur le plan tangent en M à (M), joi-
» gnons les points a et a, aux points A, A et À A’, ces
» quatre droites se coupent en deux points qui engendrent
» deux surfaces applicables l’une sur l’autre. »

M. Moutard a fait voir que la recherche des groupes tels
que je les ai étudiés revient à celle des groupes de surfaces
se correspondant par orthogonalité des éléments. Les for-
mules que j'ai déjà signalées à la Société me permettent
d'établir plusieurs des résultats découverts par M. Moutard et
m'ont conduit à considérer certains groupes dont je dirai
quelques mots.

Soient deux surfaces (M) et (M') se correspondant dans ce
système et de telle fagon que le point M' soit à chaque
instant dans le plan tangent en M à (M).

« Si l’on suppose le point M' lié invariablement au plan
» tangent qui le contient, la surface (M) lieu de M' corres-
» pond toujours par orthogonalité des éléments à (M) quelle
» que soit la forme de celle-ci. »

Les surfaces (M) sont particulières et d’un genre nouveau.
Leur ds? peut s’écrire

ds — + (du? L du?)

Ÿ désignant une fonction arbitraire de vw, le À de ces sur-
faces est donné par une équation aux différentielles partielles
du troisième ordre dont l'intégrale est :

NY XX
ni et A de) |A
(Rv vx) =

où la caractéristique est une fonction arbitraire, X et Y deux
fonctions arbitraires des coordonnées symétriques imaginaires
de la surface, et X’ Y’ leurs dérivées.

J'ai trouvé en termes finis l'équation des surfaces (M) dans
le cas particulier où (M) est un plan.

La connaissance de toutes les formes d’une de ces surfa-
ces(M) donnerait, d'après la théorie de M. Moutard, un groupe
de surfaces applicables avec deux tonctions arbitraires.

Séance du 11 décembre 1869,
PRÉSIDENCE DE M. MOUTARD.

M. le président communique une lettre de M. Arthur Gris, qui dé-
clare donner sa démission de membre de la Société philomathique.

M. Laussedat fait un rapport sur la candidature de M. Gould au
titre de membre correspondant.

M. Bert continue une communication relative à quelques points
de la physiologie de la Sensitive.

M. Janssen fait connaître une méthode pour obtenir les images
monochromatiques des corps lumineux. Il rend compie aussi de
nouvelles recherches sur la vapeur d’eau, et fait uue troisième com-
munication sur la recherche du sodium par l’analyse spectrale.

Faits relatifs à l'influence de la lumiere sur la Sensihive,
par M. Paul Bert.

À. — Lorsqu'une Sensitive endormie est soumise pendant
quelque temps à l'influence d’une lumière intense, elle com-

mence ses mouvements de réveil et étale ses folioles alors
même que la lumière a été déjà enlevée.

B. — Si l’on maintient une Sensitive dans l'obscurité con-
tinue, les oscillations périodiques des pétioles primaires se
troublent et diminuent, et ces pétioles finissent par devenir
immobiles : ils sont alors abaissés. Peu avant ou peu après
cette immobilité, ils deviennent insensibles. Si l'on emploie,
au contraire, un éclairage continu, l’immobilité des pétioles
arrive également, mais ils sont relevés presque au maximum.
Leur sensibilité est alors extrème.

Ces formules sont le résultat d'observations faites en été,
de à en 3 heures, pendant 17 jours et 17 nuits de suite.

C. — L'étude de l'influence des divers rayons lumineux a
été faite au moyen de lanternes fabriquées avec des verres
colorés, dont on a déterminé la valeur au spectroscope :

4° Verre noirci; 2 verre blanc; 8° verre rouge (sensible-
ment monochromatique) ; 4 verre jaune (laisse passer rouge,
orangé, jaune, vert); à° verre vert (laisse passer vert et un peu
de bleu); 6° verre bleu (laisse tout passer, en affaiblissant
beaucoup la région jaune) ; 7° verre violet (donne une bande
d'absorption sur le jaune).

J'appellerai, par abréviation, rouge la Sensitive placée
dans la lanterne rouge, etc.

a. — Si l’on coupe sur une Sensitive des feuilles d'âge
égal, leurs folioles se ferment aussitôt pour se rouvrir à peu
près en même temps. Mais si on les distribue dans chacune
des lanternes colorées, on voit qu’elles se rouvrent après des
intervalles de temps très-inégaux. Celle de la lanterne blan-
che se rouvre la première, celle de la lanterne noire la der-
nière. La Sensitive violette se rouvre presque en même temps
que la blanche, la bleue ensuite; la verte et la rouge presque
aussi tardivement que la noire. Il va sans dire que, dans
ces expériences, la contre-épreuve a toujours été faite. Par
exemple, des folioles de Sensitives, qui étaient restées
deux heures dans le vert sans s'ouvrir, se sont rapidement
ouvertes dans le violet, tandis que celles du violet, trans-
posées avec elles, ne se sont plus rouvertes de la journée
dans le vert.

Il est bon de faire remarquer que le plus obscur des

== Ei —

verres, au point de vue de l'intensité lumineuse, était le
verre violet.

b. — Si l’on place une Sensitive dans une lanterne mi-
partie rouge et mi-partie bleue, les folioles se tournent, en
s'étalant, du côté du bleu.

c. — Quand des Sensitives entières sont placées dans des
lanternes ci-dessus énumérées , elles présentent, dès le len-
demain, des aspects très-différents. Les pétioles des Sensi-
tives rouge, jaune, verte, sont plus dressés, et leurs folioles
plus rapprochées que celles de la Sensitive blanche; le con-
traire a lieu pour les Sensitives bleue et violette, dont les
pétioles s’abaissent et les folioles s’étalent.

Après un temps qui varie suivant la température, la sai-
son, etc., la Sensitive noire devient insensible, puis meurt. La
verte se comporte de même quelques jours après. Les autres
paraissent vivre indéfiniment. Cependant, à l'exception de la
blanche, elles ne grandissent guère.

Voici les détails d’une expérience encore en cours d'exé-
cution.

Le 12 octobre, début de l'expérience ; les plantes sont
placées dans la serre de la Faculté de Médecine ; il y en a
cinq dans chaque lanterne ; toutes sont de mème taille et
proviennent d’un même semis.

Le 19, noires presque insensibles; le 24, noires mortes,
vertes insensibles ; le 28, vertes mortes.

Je place dans la lanterne verte les Sensitives blanches, qui
ont beaucoup grandi,

Le 5 novembre, les nouvelles vertes sont insensibles aux
pétioles, encore un peu aux folioles; le 9, elles ne le sont
presque plus ; le 14, elles sont toutes mortes.

Aujourd'hui encore (14 décembre), toutes les autres sont
sensibles, et paraissent se bien porter. Seulement, elles ont
grandi très-inégalement : les rouges ont plus que doublé de
longueur; les jaunes sont un peu moins élevées, mais leurs
tiges sont extrêmement grêles; les rouges et les jaunes ont
poussé de nouvelies feuilles. Les violettes sont beaucoup plus
petites ; les bleues ont à peine grandi et n'ont pas poussé de
nouvelles feuilles.

pps

Méthode pour obtenir les images monochromatiques des corps
lumineux, par M. Janssen.

À la suite de l’éclipse du 18 août 1868, j'ai proposé une
méthode pour obtenir les images monochromatiques des
corps lumineux.

J'ai l'honneur de présenter, aujourd'hui, quelques détails
sur cette méthode.

Imaginons qu’on fasse tomber l’image d’une flamme (pour
prendre un exemple) sur la fente d’un spectroscope, le spectre
formé résultera, dans le sens de sa hauteur, de la juxtaposi-
tion de tous les spectres linéaires fournis par les différents
rayons lumineux qui pénétreront par les divers points de la
fente.

Supposons maintenant qu'on place au point où le spectre
se forme dans la lunette oculaire (tournée vers l'œil) une
seconde fente parallèle à la première. Cette fente isolera dans
le spectre une ligne lumineuse d’une couleur déterminée sui-
vant le point du spectre où elle aura été placée. La hauteur
de cette ligne et ses divers degrés d’intensité lumineuse seront
en rapport avec celles de l’image de ia flamme aux points
où cette image est coupée par la fente du spectroscope. Si on
imagine maintenant que le spectroscope tourne autour d'un
axe passant par les deux fentes, alors les diverses parties de
l’image lumineuse viendront successivement produire leur
ligne monochromatique dans la lunette d'exploration, et si le
mouvement rotatif est assez rapide, la succession de toutes
ces lignes produira une impression totale qui sera l’image de
la flamme formée avec des rayons d’une seule réfrangibilité.
En déplaçant la fente, on pourra obtenir la série des images
monochromatiques de cette flamme. Pour avoir plus d’éga-
lité dans l'intensité des diverses parties d’une même image,
on pourrait donner à la fente une ouverture plus grande vers
les points les plus éloignés de l’axe de rotation.

Appliquée au Soleil, cette méthode pourrait fournir les
images de l’ensemble des protubérances.

Pour la vision d’une protubérance isolée, la méthode de

PAT Re

M. Huggins, appliquée par M. Zoellner, peut avoir certains
avantages. Mais la méthode décrite ici permettrait d’obtenir
l’ensemble du phénomène, et d’ailleurs, c'est surtout comme
méthode pour obtenir la série des images monochromatiques
des corps lumineux que je la considère comme intéressante.

Sur le spectre de la vapeur d'eau, par M. Janssen.

Mes études sur le spectre de la vapeur d’eau ont été con-
tinuées.

Pour identifier les raies de la vapeur d’eau dans le spectre
solaire, j'ai fait passer un faisceau de lumière solaire dans
le tube de 37 mètres qui contenait la vapeur, et à côté du
tube, un second faisceau. Ces deux faisceaux étaient reçus
dans un même spectroscope, et leurs spectres étaient super-
posés. Toutes les raies du spectre dues à la vapeur d’eau
étant beaucoup plus foncées dans le spectre correspondant à
la lumière qui avait traversé le tube, on pouvait obtenir fa-
cilement la distinction.

Les raies du spectre solaire dues à la vapeur d’eau sont
extrèmement nombreuses. De D à A (1) leur nombre est
décuple des raies solaires proprement dites.

Dans la partie de la chaleur obscure, l’absorption de la
vapeur d'eau est très-énergique aussi, ce qui confirme les
résultats obtenus d’une autre manière par M. Tyndall.

Il en est de même pour la partie violette et ultra-violette
du spectre. À Simla, dans les Himalayas, j'étais à 7 000 pieds
environ d'altitude, et pendant les mois de décembre et de
janvier, j'avais une sécheresse extrême de l’atmosphère ; or,

(1) Dans son beau mémoire sur le spectre normal du Soleil,
M. Angstrom dit que j'attribue à la vapeur d’eau la raie A; ceci
n’est pas exact. (Voir Compte-Rendu, 27 août 1866, p. 411, et 29
octobre p. 728.)

pan

j'ai pu constater, dans ces conditions, que le spectre ultra-
violet, photographié par M. Mascart, était directement visible
(avec un spectroscope à vision directe du modèle de ceux
que j'ai proposés en 1862 (1) et que M. Hoffmann a exécutés
le premier). Ceci montre combien une atmosphère sèche est
transparente pour la lumière ultra-violette, et explique com-
ment les phénomènes photographiques sont si influencés par
la présence de la vapeur d’eau dans l’atmosphère. On sait,
par exemple, que, dans l'après-midi, la puissance photogé-
nique diminue rapidement. Ceci s'explique d’après les ob-
servations ci-dessus, en remarquant que l’eau dissoute dans
notre atmosphère augmente à mesure que le Soleil s'élève sur
l'horizon. En général, abstractiôn faite des modifications ap-
* portées par les vents, la quantité de vapeur doit être la plus
grande vers les 2 et 3 heures de l’après-midi, et alors, le
Soleil baissant rapidement, les deux causes concourent pour
amener une diminution très-prompte du pouvoir photogra-
phique de la lumière solaire. Le matin, avant que le Soleil
n’ait eu le temps de vaporiser toute l’eau répandue à la sur-
face de la Terre, la puissance photographique doit être la plus
grande, et ç’est en effet ce que l’expérience confirme.

Si l'atmosphère sèche est transparente, d’après ces obser-
vations pour la lumière violette et ultra-violette, elle l’est
également pour la chaleur obscure. Ainsi, à Simla, j'ai pu
reconnaître par des expériences pyrhéliométriques que le
rayonnement calorifique du Soleil augmente beaucoup avec
la sécheresse de l’atmosphère, toutes choses égales d’ailleurs
sous le rapport de la pureté de l’air, de l'élévation de la
station, etc. |

Jai pu constater aussi la présence de la vapeur d’eau dans
une classe d'étoiles qui sont en général les étoiles rouges,
et dans lesquelles manquent souvent les raies de l’hy-
drogène,

J'espère donner bientôt des cartes du spectre de la vapeur
d’eau pour les régions obscure, lumineuse et ultra-violette.

(1) Compte-Rendu, 6 octobre 1862, p. 575.

RE oo

Sur une nouvelle méthode pour la recherche de la soude et
des composés du sodium par l'analyse spectrale, par
M. Janssen.

On sait que la recherche de la soude présente en analyse
spectrale des difficultés très-grandes qui tiennent à ce que
la raie du sodium se retrouve dans presque toutes les flam-
mes, en raison de la présence presque constante du sel ma-
rin dans l'atmosphère. Or, on peut lever facilement cette
difficulté en employant, au lieu d’une flamme très-chaude et
fort peu éclairante comme la flamme de Bunsen, une flamme
. très-lumineuse, comme celle d’un bec de gaz ordinaire dans
la partie la plus brillante.

En effet, tandis qu'on aperçoit presque toujours la raie du
sodium dans la partie bleue et transparente de la flamme
d’un bec de gaz, on ne l’aperçoit plus dans la partie la plus
lumineuse, à cause de l’abondance des rayons qui avoisinent
la raie du sodium dans cette région.—Voici donc la manière
d'opérer :

On dirigera le spectroscope sur la partie brillante de la
flamme, de manière à obtenir un spectre brillant et continu,
dans lequel la raie du sodium n’apparaisse pas sensiblement.
On prendra un fil de platine qui aura été préalablement porté
au rouge dans une flamme, pour le débarrasser de toute pous-
sière salée, et, avec ce fil, on portera une goutte de la solu-
tion à essayer, dans la flamme du spectroscope. En cet ins-
tant, si la liqueur contient un composé de sodium réductible
par la flamme, la raie D apparaîtra immédiatement.

On peut rendre aussi peu apparente qu’on le voudra la
raie du sodium en employant les parties les plus brillantes
des flammes, ou même en plaçant entre le spectroscope et
la flamme d'essai une ou deux flammes auxiliaires qui
rendront la raie D encore moins perceptible. Dans ce der-
nier cas, il faudra employer du sel en assez grande quantité
dans la flamme d’essai pour voir apparaître la raie D dans
le spectroscope. Si, au contraire, la liqueur ou le corps à
essayer contient fort peu du composé sodé, on pourra em=

ployer une partie plus transparente de la flamme. Dans tous
les cas, il sera prudent de faire des expériences comparatives
avec les fils de platine et de l’eau distillée pours’assurer que
les raies qui apparaissent sont bien dues à la substance qu’on
analyse.

Je continue l'étude de ce sujet , et j'espère arriver à une
analyse quantitative des substances à étudier.

Séance du 18 décembre 1869.
PRÉSIDENCE DE M. TRANSON.

M. Prillieux rend compte d'expériences sur les mouvements
des globules de chlorophylle dans les Mousses sous l'influence de
la lumière.

M. Fischer fait une communication sur l’accouplement des
Aplysies.

M. Bert demande que les comptes rendus des séances soient plus
développés.

—PRRPAÔQPRIFE —

JMP. CENTRALE DES CIITMINS DE FER.— À. CHAIX ET C°, RUE BERGÈRE, 20, A PARIS, — 9814-0.

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DE LA

SOCIÉTÉ PHILONATHIQUE

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Tome cinquième. — Janvier-Février-Mars 1868.

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Le Bulletin de la SOCIÉTÉ PHILOMATHIQUE se publie
par cahiers trimestriels depuis le mois de mars 1864. Le
prix de l’abonnement est fixé à à francs.

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A la librairie K. SAV Y, 24, rue Hautefeuille

TABLE DES MATIÈRES.

Séance du 4 janvier 1868................ RE ru il
Sur une nouvelle turbine, par M. de Caligny............... 4
Séance du 11 janvier 1868 PS ee dE 0 UE 3
Sur”la courbure des surfaces, par M. Gilbert SR OS 3
Séancendu alé envier; 1e 0e re AE es 0)
Sur le problème des remous, par M. de Saint-Venant 2 RE VE 9

Sur quelques propriétés des surfaces anallagmatiques, par
Mr Labderre. se Om RE RER
Séance du 25 janvier 1868....... A Re 21
Sur la condition de l'élimination de l’erreur de lecture d’un
cercle gradué provenant du jeu des tourillons dans les cous-

sinets, par M: Wolf Re RSR 22
Séance: du 1er février 1808 27 ERP REED
Séance du:S ENTIER ISO CNRS ER en EN EEE RENNES 2%
Sur un principe de la théorie des surfaces, par M. l'abbé

NOUSD ES NL PR RER ee pre ea ess Se LEA à 24 :
Séance du: 15 février 1868. ........ RS URSS 0 29
Sur les courbes enveloppes de cereles et sur les surfaces enve-

loppes de sphères, par M. Ribaucour..................... 30
Séance dil:29/ février LS 2e EC ce LOS 35
Sur un appareil à élever de l’eau au moyen d’une chute d’eau,

par Mi de Calieny rene ne CR Re 39
Sur le puits artésien de la place Hébert ; à la Chapelle, par

M:°Eaurents 5,60 Rien Re ce RE ee 37
Séance du 29-février 18682722 Er ON ER RS 39
Séance di 72mars 1868 Re he D re 40
Séances 14/mars 186822 Re Re .. 40
Sur les cassiniennes planes et sphériques, par M. Laguerre... 40
Séancésqus 21 mars 18680 Se A RENE RAS Nero …. 47
Séance (du 28 mars 1808.40 0 Un EE CREER 48
Sur les sections circulaires des surfaces anallagmatiques, par

MLasuerre seen ne RU ER RER RES 48

Sur le déplacement d’une figure de forme invariable; nouvelle
méthode de normales; applications diverses, par M. Mannheim. 52
Sur les inondations; par M/Dausse.: RER Se 61

IMERIVER!E CENTPALE DES CHEXINS DE FER.—A4. CHAIX ET Cie, RUE BERGÈRE, 20, À baRIS.-4744=8

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DE LA

SOCIÉTÉ PIILONATHIOUE

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Tome cinquième. — Avril-Mai-Juin 1868.

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TUE Va
AR

TABLE DES MATIÈRES.

Séances 0 2avnl 18682207 0e DEN RS RENTE 64

Sur le tantochronisme des épicyeloides, par M. Haton de la
GOUPUIÈ TE 2 ae PO NN ARS Er Re ee 64

Séance du 18 avril 1808: 222200 me ne Ne ee 65

Sur les courbes gauches résultant de l’intersection de deux

surfaces du second ordre, par M. Laguerre .............. han

Sur des essais d'éclairage pour l’analyse des stries des Dia-.

tomées, par M. Frémineau................... NT nn 70
Séance du DDR AVEIL ASS no RU Ne ANR NRA ANS ere 72
Sur un nouveau mode de HSE des figures, par

MA Darboux st Pere Re SR PEN AE Re RE SEP 72
Séance du 2 mal 18082 PNR A AR AE NE Er 76
Séance ‘du. 9 mar be: de, AA NS Re et A 76
Séance du 16 Mass rt) NE NES Mol
Sur la construction de la surface du deuxième ordre déterminée

par neuf points, par M. Darboux. .......... RAD in re 71
Sur les épicycleides, par M. Fouret. ......:............... 8û
Dance QU 29 MAIS NE RULES ORNE RS 94
Séance du 90 Ina ASGS NUE, REC Ua 94
Séance du: Gun AS CC AURA Ee UNARU I Re 9%
Séance du 13 juin 1868 ............. RU RES 1 Re ES 95
Séance ou 20 in ASDS PSN PMMRER SAS RES RIRES 95

. Séance du 27 juin 1868..... ÉTEND ER ee NE RRRS 7. 195

MERÇVERIR CENTIALE DES CHEMINS DE FER.—A, CHAIX EE Cie, RUE BERGÈRE, 20, 4 varis.—14600 &

BULLETIN

DE LA

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SOCIÉTÉ PHILOMATIIQUE 4 :

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Tome cinquième. — Juillet-Août 1368.

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1868 4

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TABLE DES MATIÈRES.

Séances A JUiUet ASG8 RON RUN RAR 97

Sur l'anatomie de l’Autruche d'Afrique, par M. Alix. ....... 97
Séances du HAUT SGS EN IE LESC Re Se 99
Séancendu 18 juillet ASGR PA UE ERA re 99
Séance du 225 JULIeRAS68 0.20. penses Ares 100
Séance du 1% août 1868............. UE Su UNE A MEne 106
DÉANCE JU, S'AOUL/ 1868 LADA MANN EAN 100

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SOCIÉTÉ PHILONATHIQUE

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Tome cinquième. — Octobre-Novembre-Décembre 1868.

PÉRRUS
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TABLE DES MATIÈRES.

Séancerdu 1FNOCIObre) 1808 ANR RE et RSR 401
Séance du 24 octobre 1868 .. .…. +R ie LA EMA RICO LE Aa 101
Séance du 31 octobre 1868...... ni er na ore 102
Séance UT TOME PRE RENE RE rte 102
Sur la théorie des surfaces, par M. l’abbé Aoust ......... : 402
Séance du MAAnovVeMmhEe SCSI CPAM ANRNR Re e 106

Sur un nouveau moyen de faciliter la marche automatique
d’un nouveau système d’écluses de navigation, par M. A.

de Calieny here ei ue AAA RE SR Res 106
SÉANCe AU A AROVEMDE SDS. ERA SESRURSS RC 108
Quelques remarques sur les lignes et sur les surfaces réci-

proques et caustiques, par M. E. Habich............ RP ALES
Séance du 28 novembre 1868 CCR ATEN R 412

Sur quelques propriétés générales des courbes algébriques et
sur leur application à la théorie des courbes et des sur-

faces anallagmatiques, par M. Laguerre ................. 112%
Séance du 5 décembre 1868..........:......: RE 120
Séance du 19 décembre 1868 4222.00) nt ae 121

- Résultats d'expériences sur l'effet utile du nouveau système

d’écluses de navigation, inventé par M. de Caligny et exé-

cuté à l’écluse de l’Anbois, sur le canal latéral à la Loire,

DATIME SN ANIES RAS eRtess D RO Re Le Ce hee 121
Séance du 9 décembre 1808 Aie APE ne 193
Séance du 26 ÉCEMDre 1808 MEME RENNES RER ES 193
Table des matières du volume de l’année 1868... .......... 194

LHPRUMER'Z CENTRALE DES CHEMINS DE LER.—A. CUAIX ET Cie, RUE BERGÈRE, 20, A varis.— 294)2-0

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SOCIÉTÉ PHILONATHIQUE

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Tome sixième. — Janvier-Février-Mars 1869.

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TABLE DES MATIÈRES.

Séance dt OManviEn 1869 Me SIN ARRET Rte 4
Sur les surfaces orthogonales, par M. Ribaucour............ 1
Séance du: 16 Javier AS602 SN AN Ten AR Ares 5
Séance du 23 janvier 1869 ...... nn EN RU ON RCI 5
Séance-dulé évier 180040. ui A Aer Re _6
Sur les lois relatives à la courbure dans certaines transforma-

tions des courbes p'anes, par M. Abel Transon............ 6
Séance du 271 1évrieL 1860 Ab LR ares eee 8
Séarrce du 19 /Mars 1860 0.720 Us See 8
Sur l’effet utile de l’appareil de M. de Caligny appliqué aux

écluses de navigation, par M. Valles”:9 0" een ete 9
Sur la spirique à centre, par M. de la Gournerie........... 11
Sur les longueurs d’arcs et le mouvement d’une figure dans

son plan, par M. Ribaucour ...... ER PR 12

GENERIC EE PA REED AE EE EP Cu ee
1MPRIMER!E CENTRALE DES CHEMINS DE FER.—A. CHAIX ET Cie, RUE BERGÈRE, 20, A PARIS.— 1450-0

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Tome sixième. — Avril-Mai-Juin-Juillet-Aoùt 1869.

PARIS
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À pr El

TABLE DES MATIÈRES.

Séance du 3 avril 1869..... TE 7 AO NE LE en 17
SÉanCeAdU OLA SCOR ER SReRt RRReA 47
Sur les transformations des figures planes, par M. Abel Transon. 18
Séance du 24 avril 1869 ........ SR Da en de en 19
SÉANCE AUS MAI SOLE NE RP Re 19
Sur une monstrnosité d'un Tœnia de l'Homme, par M. Léon
Vaillant ie er RNA re A Re 20
_ Sur l'emploi de simenerens comme réservoirs d'électricité,
par M: Guillémins 2 00e ER enSee 22
Séance du 12 juin A A AE 24
Séance Au 926 juin 1800: Nom eN TIRs RS NNrAnRS ae 25
Recherches anatomiques sur les Linmies, par M. Alph.-Milne-
FdWarAs Er ne PME SN AURNRRRS Pere Are 25
Sur les surfaces orthogonales, par M. Ribaucour............ 26
Séance du 10 juillet 1869....... SN Ale A en ee 29
Séance ‘du 24" juiHet 4869 mn core en . 30
Sur un appareil à faire des épuisements au moyen des vagues
dela mer, +par M. A. de Caliony. 00e er et 30
Séance du 44/9001 1869.02 0 ANR PR ane 32

2 ————————— "a ————————

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Séance du 93 octobre 1869. ........ RE RD ER Dei

Sur une application nouvelle ‘de: la force centrifuge, par M. A.
de: Gale yeste te ee Re ee RE SR ae PE

Séance du 13 nerawbre 1869... FÉNI ee A RE = ;

Sur la théorie de l'application des surfaces Tune sur l'autre,
par M. Ribaucour .......:... STE DO ANA ie

Sur quelques propriétés des lignes spiriques, par M. Laguerre.
Sur une nouvelle application de la force centrifuge, par M. A.

de Caligny.2..704. RU Re EE :
Sur la déformauon des ‘surfaces, par M: Moutard. ARE à
Séance. du 977 #emibre 1869: MR RER Re
Sur l’intégra! ‘ane certaine classe d'équations différentielles
simultanée sremierordre, par M. Laguerre.......... =
Sur la défor: des surfaces, par M. Ribaucour. Re ee se
Séance du %. bre 1869:.... PRE SRE T TE PO à RSS
Faits relatilr _ iuence de la lumière sur la Doit par
M. Paul ? eee SR DS MR CU du Hate
Méthode pour: ‘+ les images | monochromatiques des corps
lumineux, Janssen...... Re ue SU EAN I
Sur le spectre ‘ vapeur d’eau, par M. Janssen. ........
Sur une not éthode pour la recherche de la soude et
des compos -dium par l'analyse spectrale, par M. Janssen

Séance du 1: Dre ARGUS nee Le SE

3 9088 01526

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