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Full text of "Bulletin des sciences mathématiques"

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|'riICt>tIE: III! LËODLE 1»ES IIAI 

us! uiÊi>tri-s or niM?TKak nr i.*i>sri'\ 



Bl:LLETI^ 

BNCES MATHÉMATIQUES, II! 












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TOHE XXVI - iAtfVtBH I«a3. 



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BULLETIN 



DES 



SCIENCES MATHÉMATIQUES. 



COMMISSION DES HAUTES ÉTUDES. 



MM. G. DARBOUX, prtfsident. 
H. POLVCARÉ. 

I 

J. TANNERY. 
E. PICARD. 
P. APPELL. 
FOUSSEREAU, secrétaire. 



AVIS. 

Toutes les communications doivent èlre adressées à M. Darboux, Membre 
de rinslitul, rue Gay-Lussac, 36, Paris. 



91981 Paris. — Imprimerie GAUTHIEK-VILLARS, qaai des Grands-AuiiUstinF, &:». 



BIBLIOTHÈQUE DE LÉCOLE DES HAUTES ÉTUDES, 

Pl'BLItiE SOLS LES AUSPICi:» DU UIIVISTLItli DB I.'lNSTnUCTION PUOLIQUK. 

BULLETIN 

SCIENCES MATHÉMATIQUES, 

RÉDIGE PAR MM. G. DARBOUX, É. PICARD ET J. TANNERV, 



Sons la direction do la Commiasion des Hantes £tndes. 

rtlU.ICATID!l fttMtit a 1870 Hi iH. C. DtMDtIX KT ). IISVËI. 

COMTISCKE DE 1870 A 1886 l'*n IIU. O. DitHDOUX. J. IIOUEr. KT J. TANNEIir 

ET DE 1886 A igol PAR MM. O. DARBOUX ET J. TAN>Enr. 



DEUXIÈME SÉRIE. 
TOME XXVI. - &KHÉE 1902. 



PREMIÈDE PAUTIE. 




GAUTIIIER-VILLARS, IMPRLMEOR-LIDRAIIIE 
DU SUREAU DES Lo^GlTl^Es, DE L'Kcor.E roLrTKciiMQtiE, 

<>„ai de. Gr.nJs.Auc"»!.... y,. 



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BULLETIN 



DRS 



SCIENCES MATHÉMATIQUES. 



L-, 



PREMIERE PARTIE. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 



LORENTZ (H.-A.)* — Leiirbucu der Differrntial- und Intégral Rechnung 

VND DER AnPANGSGRUNDE DER ANALYTISCHEN GEOMETRIE, OberSOlZ VOÎÏ 

D*" ScHMiDT. Leipzig, J.-A. Barth; iqcm). 

Le Livre, qui est divisé en vingt-quatre Chapitres, peut être 
regardé comme formé de cinq Parties : i® une Introduction 
(p. I-I23) pour un lecteur ne connaissant que les Mathématiques 
élémentaires; 2** le Calcul différentiel (p. 1 24-253); 3° le Calcul 
intégral (p. 253-34 1); 4" une Partie (p. 34 1-402) comprenant la 
série de Taylor et les séries trigonon>étriques ; 5® les équations 
différentielles (p. 4o2-473). Je vais, pour chacune de ces Parties, 
indiquer sommairement les questions traitées eu insistant sur ce 
qui peut donner une idée de la méthode de Vauteur, ainsi que de 
la très grande variété et de l'intérêt des exentples. 

1. L'Introduction comprend les définitions et les propriétés 
les plus simples des fonctions algébriques, de rexponentfelle, du 
logarithme, des fonctions circulaires avec les formules usuelles de 
Trigonométrie plane ou sphérique, puis des notions de Géo- 

70/ ^7 



6 PIIEMIÈKE PARTIE. 

mélrle analytique se rapportant surtout à la représentation géo- 
métrique d'une fonction de une ou de deux variables. 

En examinant en détail la façon dont M. Lorentz introduit la 
fonction exponentielle (p. i5), on verra déjà avec'quel soin et 
quelle habileté les notions analytiques sont préparées par l'étude 
de cas particuliers, puis comment l'idée générale se dégage. 

Deux exemples empruntés, l'un à la théorie des intérêts com- 
posés, l'autre à la théorie de l'absorption, font comprendre qu'on 
est conduit à une exponentielle quand on peut faire l'hypothèse 
suivante : pour un accroissement très petit donné à la variable x, 
l'accroissement de la fonction est proportionnel à Taccroissement 
de In variable et à la valeur que possédait la fonction avant cet 
accroissement. (On écrira plus tard cette hypothèse 

dy = a Y dx, 
a désignant une constante.) 

2. Le premier Chapitre se rapportant au Calcul différentiel a 
pour titre : « Concepts fondamentaux {Grundbegriffe) du Calcul 
différentiel ». Il commence par des exemples. En laissant de côté 
ceux qui sont empruntés à la Géométrie et qui sont classiques, 
ces exemples sont : vitesse dans le mouvement varié, vitesse de 
refroidissement d'un corps plongé dans un milieu plus froid, chute 
de pression dans un tube traversé par un fluide.... Comme 
application de la théorie des maxima et des minima, on cherche 
le minimum de la déviation dans un prisme. La définition des 
dérivées du second ordre est suivie immédiatement de la déler- 
mination du rayon de courbure d'une courbe plane, des compo- 
santes de Taccélération d'un point matériel qui décrit une courbe. 

A propos des dérivées partielles d'une fonction de deux va- 
riables X et j^, l'auteur insiste sur l'expression de Taccroissement 
que prend la fonction pour un déplacement infiniment petit du 
point {3C,y) dans une direction donnée; le résultat est obtenu au 
moyen d\ine représentation géométrique, puis il est étendu au cas 
d'une fonction d'un nombre quelconque de variables. Comme 
exemples, on considère le volume d'une masse de gaz cx|)rimé en 
fonction de la température et de la pression, les composantes de 



COMPTES IIENDUS ET ANALYSES. 7 

la vitesse d'une molécule d'un fluide en mouvement, raclion d'un 
aimant infiniment petit sur une masse magnétique, les surfaces 
équipotentielles. • • . Comme application des dérivées partielles 
d'ordre supérieur, on trouve l'expression du rayon de courbure 
d\ine section normale d'une surface, la détermination desmaxima 
et des minima des fonctions de plusieurs variables*, avec une indi- 
cation sur la méthode des moindres carrés, enfin le calcul des 
dérivées des fonctions implicites. 

3. Le premier Chapitre se rapportant au Calcul intégral a pour 
titre : « Concepts fondamentaux et formules fondamentales du 
Calcul intégral ». Le concept d'intégrale définie est introduit au 
moyen de deux exemples : on admet dans l'un la notion de l'aire, 
dans l'autre l'existence d'un mouvement correspondant à une loi 
donnée de la vitesse. 

Les exemples nombreux qui suivent donnent une idée de la 
variété des questions dont la solution est obtenue au moyen d'une 
intégrale définie; je citerai seulement l'intégrale 



/ 



C dty 
l. 



qui mesure la quantité de chaleur fournie à l'unité de masse d'un 
corps pour élever sa température de t^ à ^2 quand la chaleur spé- 
cifique c varie avec la température, puis l'intégrale 



a j t* dt, 



qui donne la quantité de chaleur fournie dans l'intervalle de 
temps /a — t^ par un fil que traverse un courant d'intensité va- 
riable I. 

Les procédés d'intégration sont indiqués, puis appliqués à un 
grand nombre de fonctions simples. 

La notion d'intégrale curviligne est éclaircie tout de suite en 
considérant le travail accompli par une force agissant sur un point 
matériel qui décrit une courbe. La définition du cas où l'intégrale 
curviligne dépend seulement de l'état initial et de l'étal final se 
comprend mieux quand on a évalué d'une part la quantité de cha- 



8 PREMIÈRE PARTIE. 

leur fournie à un corps pour le faire passer de Télal (i^, /) à Tétat 
(i^H-rfr, t + dt)^ quantité dont l'expression n'est pas une diffé- 
rentielle exacte, et d'autre part le quotient de cette quantité par la 
température absolue, quotient qui, lui, est une différentielle 
exacte. 

Pour les intégrales doubles ou triples, les exemples sont em- 
pruntés à. la Géométrie et à la Mécanique, en particulier à la 
théorie du potentiel newtonien. L'importance des transformations 
d'intégrales de volume en intégrales de surface est indiquée à 
propos de l'extension aux intégrales de volume du procédé d'inté- 
gration par parties. 

4. Pour arriver à la série de Taylor, M. Lorenlz s'appuie sur 
les propriétés des intégrales doubles. La méthode suivie, très 
simple si l'on se contente pour le reste de la forme de Lagrange, 
perd beaucoup de cette simplicité si Ton veut ensuite passer à la 
forme de Cauchy. 

Après la série de ïaylor, des procédés auxiliaires d'intégration 
sont expliqués sur de nombreux cas particuliers, puis viennent 
l'intégration des séries et le calcul approché des intégrales dé- 
finies. 

Un Chapitre est consacré aux séries de Fourier. Pour le déve- 
loppement d'une fonction en série trigonométrique, l'auteur ne 
se contente pas de donner l'expression des coefficients sous forme 
d'intégrales définies et d'énoncer les conditions de convergence. 
Il ajoute une suite d'explications dont chacune se comprend bien 
et éclaire une partie de la question, mais l'ensemble de ces expli- 
cations ne donne pas une démonstration rigoureuse; c'est, du 
reste, ce que l'auteur a pris soin de faire remarquer. Le Chapitre 
se termine par la formule de Fourier 

F(ar)=i f dl f F(0 cosX(J — ar) rfj. 

O. Pour commencer l'étude des équations différentielles, on 
explique comment, une équation différentielle du premier ordre 
étant donnée ainsi que la valeur de la fonction pour la valeur ini- 
tiale de la variable, on peut, pour une suite d'accroissements très 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 9 

petits donnés à la variable, calculer des valeurs très approchées 
des accroissements de la fonction, et l'on reprend celte explica- 
tion dans le cas où, Téquation difTérentielle étant d'ordre /i, on 
donne les valeurs initiales de la fonction et de ses n — i premières 
dérivées. [On sait que ces remarques presque évidentes peuvent 
conduire à une démonstration rigoureuse (^)]. L'équation linéaire 
du premier ordre et les équations linéaires à coefficients constants 
sont traitées avec détails. On remarquera que les quantités com- 
plexes sont introduites seulement au moment où elles vont servir 
pour Tintégration des équations linéaires à coefficients constants. 

A propos des systèmes d'équations différentielles, on donne 
l'exemple de deux vases contenant des gaz à des pressions diffé- 
rentes et réunis par un tube capillaire, puis les équations géné- 
rales de la Dynamique et les intégrales premières que peuvent 
donner le principe des aires et le principe des forces vives. 

Les équations aux dérivées partielles sont introduites à l'aide 
de deux exemples i^ Mouvement de l'air dans un tuyau cylin- 
drique, puis variation avec le temps de la concentration d'une 
dissolution saline placée dans un vase cylindrique et telle que la 
concentration est plus grande au fond du vase qu'à la surface 
libre. En terminant, on indique que la difficulté dans l'intégra- 
tion des équations aux dérivées partielles est de trouver les inté- 
grales qui satisfont à des conditions initiales données, et que, 
dans ces questions, les séries trigonométriques, ainsi que la for- 
mule de Fourier, sont d'une grande utilité. 



Cet exposé sommaire ne donnerait qu'une idée bien imparfaite 
de la façon dont l'auteur conçoit la préparation à l'élude des 
Sciences physiques; mais j'ai pu obtenir, sur le Livre de M. Lo- 
renlz qui vient d'être analysé, l'appréciation d'un physicien émi- 
nent. 

M. Blondiot a bien voulu me communiquer ce qui suit : 

« Dans les Eléments de Calcul infinitésimal que M. Lorenlz a 
(') Voir par exemple Picard, Traité d'Analyse, r* édition, l. II. p. 291. 



lo PUËMIËIIE PAIITIË. 

écrits pour Tusage des jeunes gens qui se destinent aux Sciences 
physiques, on reconnaît la main d'un maître. Les matières traitées 
ont été choisies avec une expérience consommée pour répondre 
aux besoins de cette catégorie de lecteurs; la lucidité de Texpo- 
sition est complète et la lecture de TOuvrage constamment 
aisée et attrayante. Cet attrait est dû principalement à une 
profusion d'exemples habilement choisis, j'allais dire d'épisodes, 
montrant l'utilité de chaque théorie; prises le plus souvent dans 
les Sciences physiques, ces applications, plus tangibles encore 
que celles que l'on rencontre dans la Géométrie pure, non seule- 
ment soutiennent l'intérêt et stimulent la curiosité, mais de plus 
offrent toutes faites à Télève les représentations mentales néces- 
saires pour comprendre les propositions mathématiques qu'il a 
quelquefois peine à trouver de lui-même. Tout cela constitue un 
véritable entraînement physico-mathématique. Quelle satisfaction 
encore pour l'étudiant quand, plus tard, abordant la Mécanique 
et la Physique, il y retrouvera mainte théorie déjà entrevue, celle 
du potentiel, par exemple! 

» Si Ton se plaçait au point de vue exclusif de la rigueur, on 
dirait sans doule que dans ce Livre on a fait trop large part à 
l'intuition^ que parfois, au lieu d'une démonstration, on s'est 
contenté d'un aperçu, que l'on a par trop mis en pratique le 
conseil de d'Alembert à ce jeune homme qui se méfiait des infini- 
ment petits : « Allez et la foi vous viendra...»; mais ces cri- 
tiques, qui seraient fondées s'il s'agissait de former d'emblée des 
mathématiciens accomplis, se tournent en éloges lorsqu'il s'agit 
d'un Ouvrage d'initiation. L'intuition a joué un rôle capital dans 
l'invention et dans le progrès du Calcul infinitésimal, et ce n'est 
que bien récemment que la rigueur définitive a été atteinte, on 
sait au prix de quels efforts.... La gradation que l'humanitc a 
suivie pour édifier la Science, l'homme qui veut étudier la Science 
doit la suivre aussi. Les premiers degrés sont souvent les plus dif- 
ficiles à franchir; aussi est-ce un grand service que M. H. -A. Lo- 
renlz a rendu à la jeunesse que d'écrire un Livre qui, en dirigeant 
ses efforts, lui épargnera bien du travail; on doit reconnaissance 
à Téminent savant qui n'a pas dédaigné d'écrire un Livre élé- 
mentaire. » E. Lacouu. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. n 



BASSET (A.-D.)- — An elementary treatise on clbic and quartic curves. 
I vol. in-8'*; xvii-255 pages. Cambridge, Deighlon Bell; 1901. 

L'auleur a réuni dans ce Volume un assez grand nombre de 
propriétés intéressantes de courbes particulières du troisième et 
du quatrième degré; cette réunion n'est pas sans intérêt ni pour 
les étudiants ni pour les maîtres : il y a là beaucoup de propo- 
sitions susceptibles de démonstrations simples soit géométriques, 
soit analytiques, dont Tétude est propre à aiguiser l'esprit et à 
satisfaire le goût de ceux qui aiment Télégance. M. Basset a en 
outre exposé rapidement les théories générales nécessaires pour 
Tétude des singularités des courbes du troisième et du quatrième 
degré; il établit en particulier les formules de Pliicker. Son Livre 
se termine par un Chapitre destiné à montrer le parti qu'on peut 
tirer de la perspective pour l'étude des cubiques ou des quar- 
liques. Ce que Ton vient de dire suffira, je l'espère, pour indi- 
quer la nature des services qu'il ne manquera pas de rendre. 



MULLER (F.). — Vocabulaire matiiésjatiqie français-allemand et alle- 
11 1ND-FRANÇVI8, contenant les termes techniques employés dans les mathé- 
matiques pures et appliquées. Zwcite Ilalfto. 1 vol. gr. in-8; p. ix-xiv; 
1 33-3 14. Leipzig, Teubner; 1901. 

Le Bullelin a déjà parlé du vocabulaire de M. F. Mullcr et des 
services qu'il ne manquera pas de rendre. La seconde Partie, qui 
vient de paraître, sera particulièrement bien venue dans notre 
pays; n'eût-elle été qu'un simple dictionnaire de mots techniques, 
elle aurait sûrement été bien accueillie; mais la valeur du livre est 
augmentée singulièrement par les renseignements bibliographiques 
qu'il contient; M. Muller a eu en effet Texcellente idée d'indiquer 
les auteurs qui ont employé les mots dans les acceptions particu- 
lières qu'il signale; souvent même, quand il s'agit d'une acception 
importante, la daie est donnée. Ces précieuses indications sont 



12 PREMIÈRE PARTIE. 

très brèves, saos doute, mais on ne peut s'arrêter à regrelter cette 
brièveté sans penser que, autrement, le travail de M. Millier n'au- 
rait pas eu de fin. La même raison empêche de regretter l'absence 
de toute explication ; l'auleur s'est borné à mettre le mot français 
à la suite du mot allemand ; mais pouvait-on lui demander, quand 
il écrivait un dictionnaire, d'écrire une encyclopédie? Lui repro- 
chera-t-on l'universalité de la langue mathématique, et viendra- 
t-on dire, pour citer quelques lignes prises au hasard, qu*il ne 
valait pas la peine d'expliquer que Axoid veut dire axoïde ; axoi- 
disch, axoïdal; Axonometrie, axonométrie; Azimut, azimut; 
azimutat, azimutal et azygelisch, azygétique? Mais s'il avait 
supprimé les mots communs (ou presque communs) aux deux 
langues, cette fois encore, où se serait arrêté l'auteur? En outre 
cette seconde Partie doit servir aux mathématiciens allemands 
comme aux mathématiciens français, et les premiers, s'ils veulent 
écrire en français, ont besoin d'être fixés sur la forme française 
exacte, d'autant que, si bien qu'on ait appris une langue, ce n'est 
pas d'ordinaire avec le vocabulaire mathématique que l'on s'est 
familiarisé en étudiant cette langue. Et puis, ce qui importe 
quand on feuillette un dictionnaire, ce n'est pas de n'y point 
trouver les mots que l'on connaît, mais bien d*y trouver ceux dont 
on ne connaît pas le sens. Il y a au moins une catégorie de mois 
que le lecteur français, si j'en crois ma propre expérience, sera 
bien aise d'être assuré de trouver dans un dictionnaire : ce sont 
les mots qui se rapportent aux Mathématiques appliquées. 



WEBER (H.)- — Die partiellen Differential-Gleichungen der matiiema- 

TISCHEN PlIYSlK. NaCU RiEMANX'S VoRLESUNGEN IN VIERTER AlFLAGE, nCU 

bearbeitet von Heinrich Weber. Zweiter Band. in-8"; xi-5?7 pages. 
Braunschweig, Vieweg u. Sohn; 1901. 

Nous avons eu l'occasion, à propos du premier Volume, de dire 
la haute valeur de cette publication, tant pour les mathématiciens 
que pour les physiciens. Les problèmes traites dans ce second 



COxMPTES RENDUS ET ANALYSES. i3 

Volume ne sont pas moins intéressants que ceux qui remplissaient 
le premier. C'est tout d'abord l'étude de Tëquation diflerentielle 
du second ordre que vérifie la série hypergéométrique, puis quel- 
ques indications substantielles sur la façon dont se comportent 
les solutions d'une équation diflerentielle de la forme 

lorsque p ne change pas de signe. C'est la seule partie du Livre 
qui concerne les Mathématiques pures : il est vrai qu'elle trouvera 
de nombreuses applications dans les théories physiques et que les 
parties suivantes sont riches en beaux problèmes mathématiques : 
en efl'et, elles se rapportent successivement à la conduction de la 
chaleur, à l'élasticité, aux oscillations électriques, enfin à l'Hydro- 
dynamique. 



CESARO (E.). — VoRLESuNGEN iJBER NATÎJRLicHE Geosietrie. Autorislorte 
deutsche Aufgabe von G. KowalewskL i vol. in-8°; vi-34i pages. Leipzig, 
Teubner; 1901. 

Les Lezioni di Gèometria intrinseca de M. E. Cesàro, outre 
qu'elles présentent le développement systématique de méthodes 
importantes qui s'appliquent depuis les courbes planes jusqu'aux 
équations de l'élasticité dans l'hyperespace, en passant par la 
déformation des surfaces, sont remplies d'exemples intéressants, 
bien dignes d'être cités par les maîtres et étudiés par les élèves : 
le succès qu'elles ont eu est fort naturel et nous sommes heureux 
d'en annoncer la traduction allemande, due à M. G. Kowalewski. 
Cette traduction a d'ailleurs donné à l'auteur l'occasion de reviser 
le texte et d'y introduire de nombreuses améliorations ou addi- 
tions. 



lî PIIEMIËRË PARTIR. 



BOURLET (C.)- — Cours de Mathématiques a l usage des élèves archi- 
TECTE3 et ingénieurs, PROFESSÉ A l'Ëcole DES Beaux-ârts. I vol. in-8"; 
111-244 pages. Paris, Naud; 1902. 

Une des qualités les plus essentielles du professeur est de savoir 
s'adapter à son milieu. Le savant cherche la meilleure exposition, 
en soi, le maître cherche le mode d'exposition dont ses élèves 
tireront le meilleur parti; il lui faut donc connaître ses élèves, 
leur état d'esprit, et le but qu'ils veulent atteindre. M. Bourlet 
possède assurément cette qualité essentielle : habitué à développer 
ailleurs les théories sous leur forme la plus générale, à en pousser 
l'exposition jusqu'aux détails les plus minutieux, à aiguiser chez 
ses élèves la subtilité d'esprit, le goût du fini et le sens de l'élé- 
gance, il a su, pour ses auditeurs de l'Ecole des Beaux-Arls, se 
dépouiller de ses habitudes, abandonner franchement toute subti- 
lité, laisser de côté tout ce qui n'était pas utile, faire continuel- 
lement appel à cette intuition qui suffit largement à ceux qui 
veulent appliquer les Mathématiques à des objets concrets, qui ne 
prétendent ni scruter leurs principes, ni contribuer plus tard à 
leur avancement; par de nombreux exemples choisis dans les arts 
mêmes qu'ils auront à exercer, il a su enfin montrer à ses élèves 
le parti qu'ils pourraient tirer un jour de l'enseignement qu'ils 
recevaient. A vrai dire, je crois bien que toutes les matières que 
M. Bourlet a réunies dans ce Cours de Mathématiques (notion de 
fonction, dérivées, représentation graphique des fonctions, usage 
de quelques abaques, quadratures simples) devraient pénétrer 
dans l'enseignement élémentaire, si Ton voulait ne pas se préoc- 
cuper seulement d'orner les esprits, mais bien armer les jeunes 
gens pour les luttes du travail. Et il ne me paraît certain ni que 
le goût de la Science pure et le sens de sa beauté s'éteindraient 
parce qu'il y aurait plus de gens à savoir que celte Science sert a 
quelque chose, et comment elle sert, ni que la vanité reconnue 
des ornements dont on prétend affubler leur esprit exalte chez 
nos enfants l'ardeur à l'étude. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. ii 



ŒTTINGEN (A. von). — ElEMENTE DER CEOMETRISCn-PERSPEKTIVISCnEX 

Zeichxens. Mit 209 Textfiguren. i vol. in- 8°; vu- 177 pages. Leipzig, 
Ëngclmann. 

La perspective ne doit pas être négligée dans l'enseignement 
élémentaire; outre son utilité technique, la simplicité et la fécon- 
dité de ses méthodes sont faites pour donner le goût de la Science, 
et elle donne l'occasion d'initier les élèves à la Géométrie synthé- 
tique. On conçoit fort Lien un programme élémentaire où les 
propriétés fondamentales de la perspective et de l'homographie se 
mêlent à l'exposition de quelques règles indispensables au dessi- 
nateur. 

C'est ce programme qu'a réalisé M. OEltingen dans le Livre 
que nous annonçons et qui est divisé en trois Parties : perspec- 
tive de position {Perspektive der Lage)^ perspective métrique 
i^Massperspektive)^ applications à la génération de quelques 
figures projectives dans l'espace. 

Les titres de ces trois Parties en disent suffisamment l'objet. Il 
ne faudrait pas d'ailleurs prendre les mots dans un sens étroit : 
ainsi, dans la première Partie, les propriétés métriques ne sont 
nullement exclues; elles jouent au contraire un rôle essentiel, et 
c'est sur leur considération que sont fondées en particulier bon 
nombre de définitions et de démonstrations concernant la théorie 
de l'homographie : le titre reste vrai comme indication générale, 
et c'est dans cette première Partie que sont traités les problèmes 
classiques qui concernent la position relative des points, droites 
ou plans que l'on considère, tandis que les problèmes qui con- 
cernent les longueurs et les angles sont traités dans la seconde 
Partie. Quant à la troisième, elle est consacrée principalement à 
l'élude de l'hyperboloïde à une nappe et du paraboloïde hyperbo- 
lique, considérés comme le lieu d'une droite variable qui joint 
deux points qui se correspondent homographiquement sur deux 
droites fixes de l'espace. L'Ouvrage se termine par quelques pages 
où sont développées plusieurs propriétés importantes des coniques 
ou des cercles. 



i(> PREMIÈRE PARTIE. 



SICÂRD (H.). — Traitk de Cinématique théorique, avec des Notes par 
A. Labrousse. i vol. in-8°; viii-179 pages. Gauthier-Villars; 190'ji. 

L'auteur a développé d'une façon simple et claire les proposi- 
tions fondamentales de cinématique que suppose l'étude de la 
Mécanique rationnelle. L'exposition est ù la fois géométrique et 
analytique : si cette façon de procéder ne satisfait pas les esprits 
systématiques qui veulent qu'on voie tout du même point de vue, 
(|uitte û se fatiguer les yeux:, il semble bien qu'elle soit la plus 
pratique pour l'enseignement. 

L'auteur développe d'abord les propriétés des vecteurs indis- 
pensables ù la Cinématique comme à la Statique; il traite ensuite 
successivement du mouvement d'un point et du mouvement d'un 
corps solide : celte étude est d'abord faite au point de vue géomé- 
trique pour les vitesses, puis au point de vue analytique pour les 
vitesses et les accélérations; il eût été facile à M. Sicard d'ajouter 
quelques lignes pour montrer comment s'obtiennent géométrique- 
ment les règles qui concernent les accélérations. Le théorème de 
Coriolis est démontré géométriquement et analytiqucment. Enfin 
le dernier Chapitre concerne la composition des mouvements d'un 
solide. 

M. Labrousse a ajouté quelques Notes intéressantes sur les for- 
mules d'Olinde Rodrigues et leur application à Tétude détaillée 
d'un mouvement dans lequel tous les points du corps solide 
mobile décrivent des surfaces de Steiner, sur le déplacement 
considéré comme homographie, sur le théorème de Schonemann 
et Mannheim et l'application de ce théorème au mouvement d'une 
droite dont trois points décrivent des sphères dont les centres 
sont en ligne droite, enfin sur le quadrilatère articulé et les inver- 
seurs. 



I.IUHAIKI& GAUTlIKït; 



■oahobt <a-k-i. 



■ iT&iuiIrie el Jle VtiTlII 




- Caonlrmtfft' cun-il^r), Sv/ur 



lABLI". m: S MAÏIKHKS. 



JAHVUR 1002. 
Comptai rendui et AnalyiKs 



Hdtdo des paDMcationB iiirtil]<^ii)nti<|iii 
B|L\u.Air <llp n'Uii>tiiKlaagox<>«n<IIf.U!iilkL-ninul(<lo(tMintli 



1.IBKAIHIË GALÎTHIliH-VILI.ABS. 



flK-i, Utmbtr rl« llniiilHt, rmr*nriir • 1 tiilrilt^ 



la prafc«UliU d«* JoaHMCoU en mwHII 



pUTIir.OL'l'. l»F. I. i:<.oI.i-. hKS II\l)TI-> ETUIiES. 
nvai.ftsM -^mtcTitiR puni.tiisi.,. 



[ENGINS MATHEMATIQUES, 

►»)MII*r.Ml «'I II CTI. TANHEKV, 



^t ■■ dlTSCllDD lie la CDnmistioa des Ueales tludei 



IHÏVX1P.ME SEUIE. 
TOm lltVI. - FtVBIED HOJ 









l'AIIIS, 

Jirilnl. lui. Il- Mii'iii"! ni-LMllUlllK 

I. PIII.ITK' ilniueK, 



t'IlwBell paialt rtinim 



LTBMAIHlË G At ' Fi. If • f I 

u»All>Kkon«Mi 



fBAKBOgX. - Surltf pmkifnr du rrnff. (.;r.uiil l'.i-., 

■pplicattmu dt^ faaoUo»* nlUpUqs** * l><-iii<!- drt t 
B«UT. i llw.»,) la-ti iS»o. . . ,.- 



- TrdUlluJca risi 



tODBAM£l. 



«OXM. — btnduotiM ^ l'A>ialn« UIu>itiii>MJ«; ireil. d« U 



fPAA BB a&OVO (tf Oha»l 



frAll DS BKOnO {lo Okavklict 1 



< lin TbMei ilèiia^lai Uuinig> ri 



FAA DE SRUNO {!< Chfr-allnr fr::. 



- Ttièorle Am Htm 



FADRC !&.;. - BMiai m 



nt^rjtr^tfrtlmf iti^ qoaql 






CAIlMtKH. I^poBt de OiOaii) U>t«|;>" 



i;o.Mi*rKS HKNOLs i:t anai,vsi-:s. 



COMPTES HRM)l;S ET ANALYSES. 



DICKSON {L.-E.). — I.1MÎAII Ghoii's with an exposition hf tue (Ialois 
FiELD TiiEORr. Tomo V[ de la Thi bnrr'm Sammum; vu\ LiciinBi:i;iiKitN ait 

DEU GEBIIîTE nK» II\TIlE)IATI»;ltKX WlSSKNNMIAPTKK HIT ËIMii;IIU:SS llinKR 

AsiWEXDiNUEN. 1 vol. in-8'; x-lia pa-îcs, Li;i]>7.i;:. Tcubiiur; :i)ot. 



Soit 



un svsU'Tne de s svmliolcs; sii[i]him)m* ijtiVi clia({iieciiu|)lc^/r:i, iip) 
de CCS symboles on piiissu fiiirc c()rros|ioiiilrc, d'iinp pari, un do 
ces symboles Ur <]i<c l'on a|i|)rllora leur somme cl que l'un ôcrira 
«a-f- iipt d'autre part un oulrc dp ces svnliulos un ipie l'on appel- 
lera leur /jror/Mi/ el (|ue l'nii ôeiii-a Ha"fi; siijiposons <pi(' l'addi- 
tion ainsi définie soil eoninmlalivf^ el assiicialive, que ht ntitllijili- 
cation soit commululive, associative et distrihnlivc; supposons, 
en nuire, ^ne la soustraction, ro};Mrdéc comme opi-ration inverse 
de l'addition, soil toujours possible, en sorte (pi'il devra y avoir 
lin des symboles ii^, »,. . . ., itt , (pi i jouera le iiiE'me rôle ijne 
le nombre zéro dans l'aildition ordinaire, pnis<{tie ii^ — f/, doit 
être un des symboles ita\ l'it -■■• "i ■; *"■'<' ii'empi'ibcra de 
(lésij^ner ce symbole-là par le stf;iir o; sup|Kisoiis enlin «pie la 
ilivisiun, regardée cinniuv opéraliuii invirse île la uiultipliealion, 
soit toujours possible, pourvu <pii' le diviseur ne foil pas le syiii- 

boleo, en sorte cpi'ildevray avilir nn des syml>idesH,i, ii, ii, , 

i{iii jiinera le même rôle que le nuiiibre un dans la niulii|jlii:a(]oii 
ordinaire, puisque - doit être un di-s symlxdesff,,, it^. . . ., «!_,; 
rien n'empi'ehcra de représenter le symbole par le si^iie i. 

Un tel svsl<''nie de s sMiiliobs eiinslilue iiti cluiini' i /ii-/i/'\ que 
M. Di.-ksniî représenle par V{s,. L'eM-inple le plus >impU- e-l. en 
supposant lyic p soil un nombre entier, rcii':''nil)le des /» nombres 
o, 1 , a, ...,/) — 1 liirs»praiix résultais des additions et mullipH- 
culions (_an sens ordinaire du mcil i ell'eetiiées sur ces ininilires un 
siibslitne les restes de ee>* résiillats pris Miivanl le module /.. Kii 
un eertain sens, ces/* niuubres. pour une viilriir eouM'Oiibli' de /'. 

/IhW. '/.-! .SViViirM n„ill,.m.. ■■ >vr<r. t. WVI. MVm ., r ..,r. ■ , 



i8 IMIEMIÈHE PAiniE. 

font nécessairement partie de F(5), pourvu que l'on donne aux 
signes o et i la signification que l^on vient d^expliquer, et que Ton 
regarde un des nombres k pris dans la suite t., 3, ...,/? — i 
comme celui des symboles de V{s) qui est la somme de k sym- 
boles égaux au symbole (i). Un autre exemple est fourni par les 
imaginaires de Galois. 

Si P(^) est un polynôme en x de degré /i, irréductible suivant 
le module premier />, c'est-à-dire tel que Ton n'ait pas, en dési- 
gnant par g{x)^ A(^)j ^(^) ^cs polynômes entiers en x^ à coefG- 
cienls entiers 

V{x) = g{x)h{x)-^pk(x), 

l'ensemble des s = p" polynômes de la forme 

OÙ ao, cii, ' * "f cin-\ sont des entiers pris parmi les nombres o, i , 
2, *..,/? — I , constitue un champ ¥{s) au sens précédent, pourvu 
que Ton remplace dans la somme ou dans le produit de deux tels 
polynômes, effectués suivant les règles ordinaires de Talgèbre, le 
résultat ^{x) par un polynôme f (j?), qui soit congru à ^{x) sui- 
vant le système de modules />, ^{x) c'est-à-dire tel que la diffé- 
rence ^{x) — y(^) soit de la forme 

pg{x)-^ P{x)h{x\ 

g{x) et h{x) étant des polynômes entiers, et cela de manière que 
le degré de <f{x) soit moindre que ti et que les coefficients de 
çp(a:) soient pris parmi les nombres o, 1,2, ...,/? — i . 

On doit à M. Moore (*) d'avoir montré que ce second exemple, 
qui embrasse évidemment le premier, épuise tous les cas possibles, 
c'est-à-dire que, si l'on se donne un champ quelconque F(5), 
défini comme plus haut, s est de la forme/?", en désignant par p 
un nombre premier et par n un nombre entier positif et qu'on 
peut lui faire correspondre un champ GF(/?"), dit champ de 
Galois, constitué comme on vient de l'expliquer. C'est le pre- 
mier soin de M. Dickson que d'établir ce théorème, de montrer 
par là même qu'un tel champ ne dépend pas, au fond, du poly- 



(') DuU. amer. math. Soc i8«j3. 



COMPTIiS UKNDUS M \ ANALYSES. mj 

Dome P(j?), irréductible (mod/>), qui peut servir à le constituer, 
puis d'établir l'existence d'un champ GF(p") pour tout nombre 
premier p et tout entier positif n. Il établit ensuite la théorie du 
champ de Galois, théorie où interviennent et se généralisent 
diverses propositions de la théorie des nombres, ainsi que Galois 
l'avait déjà reconnu. Cette étude constitue la première Partie de 
son Livre (p. 1-71). 

La seconde Partie est intitulée : Théorie des groupes linéaires 
dans un champ de Galois; je me bornerai, comme pour la pre- 
mière, à en expliquer l'objet. 

Si l'on considère m variables 

SI» Çti • • • 1 s'w» 

et les substitutions linéaires 

(A) Ç'^=2«/yîy (/ = !, 2, ..., m), 

dans lesquelles les coefficients a/y sont des éléments d'un champ 
de Galois GF()e>"), tels que le déterminant 

l«/y| 

ne soit pas nul, il est clair que les substitutions relativement à 
Topération de composition constitueront un groupe fini; c'est le 
groupe linéaire général dans le champ de Galois GV(p"); ce 
groupe peut aussi être regardé comme un groupe de permutations, 
si Ton regarde les variables Ç,, Ç^f - - '•> im comme devant être 
pris parmi les éléments du champ GF(p") et comme étant les 
indices des />'"" lettres 

obtenues en remplaçant les ^ par toutes les valeurs possibles. Car 
il est évident que l'effet de la substitution (A) revient à remplacer 
les p"'^ lettres 

h p. f 

•9t • ■»»i •••• \m 

par les p""* lettres 

L'intérêt qui s'attache à l'étude de ce groupe linéaire apparaît 



Ao PlUiMIÈllE PAUTIE. 

immédialement. Celle étude est développée dans une suite de 
quinze Chapitres (p. 75-3 lo) relatifs à la théorie générale, au 
groupe linéaire abélien et à sa généralisation, au groupe hyper- 
abélien, au groupe hyperorthogonal, au groupe linéaire qui laisse 
invariante une forme quadratique dont les coefficients appar- 
tiennent au groupe de Galois, etc. Signalons l'application de la 
théorie au groupe de Téquation des vingt sept droites sur la sur- 
face générale du troisième ordre, et les renseignements sur les 
systèmes connus de groupes simples rassemblés à la fîn du Volume. 
M. Dickson, par sa connaissance approfondie du sujet, par les 
nombreuses et importantes contributions quMI y a apportées, 
était désigné pour écrire ce Livre. 11 Ta fait dans un style très 
condensé, grâce auquel il a pu faire tenir en trois cents pages un 
très grand nombre de faits; il ne paraît cependant avoir rien omis 
qui fût nécessaire pour Tintelligence des matières qu^il traite, et la 
lecture de son Livre, malgré Télévation du sujet, peut être abordée 
sans aucune érudition spéciale. 



STOKES (Sir G.). — Mathematical and physical Papers. Tome IIÏ. i vol. 
in-S"*; viii-4i3 pagos. Cambridge University Press; 1901. 

Le troisième Volume des Œuvres scientifiques de Sir G. Stokes 
contient les Mémoires suivants : 

On the Effect of the internai friction of fluids on the 
motion of pendulums ( i - 1 4 1 ) ( Transactions of the Cambridge 
philosophical Society, t. IX). 

An Examination of the possible effect of the radiation of 
heat on the propagation of 50w/irf (i 42-1 54) {Philosophical 
Magazine, t. 1). 

On the Colours of thick plates (iSS-igô) {Transactions of 
the Cambridge philosophical Society, t. IX). 

On a new elliptic Analyser (197-202) {Report of the Bri- 
tish A ssociation for 1 85 1 ) . 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 21 

On the Conduction of heat in crystals (203-227) {Cam- 
bridge and Dublin mathematical Journal, l. VI). 

On the total Intensity of interfering light (228-232) 
{Transactions of the Royal Society of Edimburghy l. XX). 

On the Composition and Resolution of streams of pola- 
rized light from différent sources (233-258) {Transactions 
of the Cambridge philosophical Society, l. IX). 

Abstract of a paper « On the Change of refrangibility of 
light » (259-413) (Proceedings of the Royal Society, t. VI). 

Ces Mémoires remonlent aux années i85o, i85i, i852. 



GIBBS (l.-W.) et WILSON (E.-B.). — Vector Analysis. A Text-Book for 
tlieuseofstudentsofMathematicsandPhysics. i vol. in-8", \viii-436 pages. 
New-York, Ch. Scribner's sons, 190 1. 

Ce Volume fait partie d'une série, les Vale Bicentennial Pu- 
blications; les Livres qui constitueront cette série seront l'œuvre 
des professeurs de la Vale University. L'un des auteurs de celui-ci, 
M. L Williard Gibbs, que ses travaux de Thermodynamique ont 
rendu justement célèbre, s'occupe d'un autre Volume de la même 
série, 4es Elementary Principles in statistical mechanics ; il 
fait tous les ans des Leçons sur V Analyse des vecteurs : ces 
LfCçoQS constituent le fond du présent Livre, mais, conformément 
au désir de M. Gibbs, M. Edwin Bidwell Wilson a eu toute liberté 
pour les rédiger, les modifier ou les compléter. 

C'est un Text-Book que les auteurs ont prétendu écrire, et, à 
parcourir ce Livre, on reconnaît bien vite des hommes rompus à 
renseignement oral, connaissant à fond les besoins des élèves, 
désireux de leur éclaircir les choses, de leur éviter les fautes, de 
leur mettre en main un instrument dont ils puissent se servir, 
dont ils connaissent l'utilité et la puissance. C'est, lorsqu'on écrit 
un Livre, une tendance très naturelle que de le faire aussi systé- 
matique que possible, de s'enfermer dans une idée, et de suivre, 



32 PREMIÈRE PARTIE, 

aussi loin que possible, une méthode unique. 11 y a nombre d'ex- 
cellents Livres qui sont faits de cette façon et qui ont dû pro~ 
curer aux auteurs, lorsqu'ils ont quitté la plume, une légitime 
satisfaction : ils revoyaient toute leur œuvre, ils se réjouissaient 
en pensant qu'elle était bien enchaînée, qu'ils ne s'étaient jamais 
écartés de leur plan et qu'elle ne comportait pas de digressions 
inutiles : le sujet avait été pris à son commencement, et mené à 
bonne fin sans que l'auteur se fût jamais écarté de la ligne droite, 
sans que le lecteur eût été tenté de regarder à droite ou à gauche. 

Ce n'est pas toujours ces Livres-là, si bien faits qu'ils soient, 
qui conviennent aux étudiants. Dans l'enseignement oral, on est 
amené très naturellement à présenter de diverses façons la dé- 
monstration d'un même théorème : on soupçonne que celle-ci, 
qui, pour le maître, qui domine le sujet, est la plus simple et la 
plus naturelle, n'est pas conforme aux habitudes de l'auditeur : 
on lui en donne une autre, qu'il comprend mieux, et qui éclaire 
la première; on tient compte de sa façon de penser et Ton cherche 
à la modifier peu à peu ; on sait qu'il s'occupe d'autres sujets que 
celui qu'on traite et Ton réveille son ardeur en lui montrant que 
les vérités nouvelles qu'on lui enseigne lui serviront ailleurs et lui 
permettront d'aller plus loin dans ces Sciences où il a déjà pé- 
nétré et qui, peut-être, l'attirent plus, pour le moment, que le 
Cours où il assiste. 

Il se familiarise peu à peu avec les idées et les notations qu'il 
ignorait hier : il s'émerveille de cette nouvelle forme sous laquelle 
se présentent des propositions qu'il connaissait déjà; il les systé- 
matise peu à peu sous cette forme et en prévoit d'autres, et, s'il 
a le goût de la logique, s'amuse à rattacher les fils que son maître 
avait laissés flotter. 

En lisant le Livre de MM. Gibbs et Wilson, on a l'agréable 
sensation d'assister à des Leçons admirablement faites, dont les 
auditeurs acquièrent, presque sans peine, ce qui leur importe 
vraiment, où l'intérêt ne languit pas, où l'on est presque tenté 
de savoir autant de gré au maître de ce qu'il dit, qui est essen- 
tiel, et de ce qu'il ne dit pas, dont on peut se passer et qui fati- 
guerait. 

Le Livre est divisé en trois Parties bien distinctes : la première 
comprend la théorie de l'addition et de la multiplication des vec- 



COMPTES IlENDUS ET ANALYSES. 23 

leurs; la seconde concerne le Calcul difTérentiel et intégral; la 
troisième contient la théorie des fonctions linéaires d'un vecteur. 

Les auteurs ont donné le plus grand soin aux notations. Les 
vecteurs sont systématiquement représentés par des caractères 
gras, majuscules ou non. Les notations A.B, AxB sont em- 
ployées, la première pour le produit droit (produit intérieur de 
Grassmann), qui est un nombre, la seconde pour le produit 
gauche (produit extérieur), qui est un vecteur. Non seulement 
ils expliquent soigneusement leurs notations, mais ils n^oublient 
pas de dire comment on doit les énoncer : le premier produit 
s'énonce A dot B, le second A cross B (*). Pour ce qui est de 
la multiplication scalaire (multiplication d'un vecteur par un 
nombre), ils n'emploient pas de signe : c'est la simple juxtapo- 
sition qui indique l'opération. Ainsi ^A ou Ax veut dire le vec- 
teur produit du vecteur A par le nombre x. Ils insistent sur les 
cas où Ton peut supprimer les parenthèses et ceux où il faut les 
conserver. Ainsi, d'après ce qu*on vient d'expliquer, le symbole 
(A.B)Cveut dire le produit du vecteur G par le nombre A.B; 
mais on peut aussi bien écrire A.BC, parce que, le symbole BC 
n'étant pas défini, au moins pour le moment, A.BC ne peut pas 
s'interpréter autrement que comme le produit du vecteur C par 
le nombre A.B. De même le symbole A.B x C ne peut pas 
s'interpréter autrement que comme le nombre produit droit des 
deux vecteurs A et B x C, dont le dernier est le vecteur produit 
gauche des deux vecteurs B, C. Ils adoptent le signe + pour 
l'addition géométrique. Les lettres i, j, k sont réservées pour 
trois vecteurs égaux à l'unité dirigés suivant les arêtes d'un 
trièdre trireclangle fixe. Ainsi le symbole J7i 4-j'j -H 2k repré- 
sentera un vecteur égal (équipollent) au vecteur qui part de 
Torigine des coordonnées et aboutit au point dont les coor- 
données cartésiennes sont x^ y^ z. 

Le premier Chapitre est consacré à l'addition et à la multipli- 
cation scalaire; la principale application se rapporte au Calcul 
bar jcen trique. Le second Chapitre concerne les lois des diverses 
multiplications. La partie théorique se termine par la réduction à 



(') On Irouvera, page i38, une note assez nniusanle sur les diverse^^ fuçnns 
d'énoncer l'opérateur V. 



'i4 PREMIÈRE PARTIE. 

des produits de deux vecteurs des produits de trois, quatre, . . . 
vecteurs. Des applications, qui montrent bien la portée de la mé- 
thode, sont faites à la Trigonométrie sphérique, à la Statique du 
corps solide, à la Cinématique, à la Géométrie analytique. 

Le calcul différentiel débute par la notion de dérivée géo- 
métrique et par les règles de dérivation : les applications à la 
courbure, à la torsion, à la cinématique sont toutes indiquées. 
A chaque fonction scalaire (numérique) V des trois coordonnées 
d'un point (or, ^, z) est attaché un vecteur 

dx ^ dy àz* 

le dérivatif {deriçative) de la fonction V. On peut le définir 
comme le vecteur qui jouit de la propriété 

dvSV = dW, 

pour toutes les valeurs de dv> Les auteurs développent avec soin 
les importantes propriétés de ce vecteur qui joue, comme on sait, 
un rôle essentiel. 

Le même signe V peut se rapporter à un vecteur V qui dépend 
des nombres x^y, z\ les symboles V.V et V x V seront* définis 
par les égalités 

V.V = i • -T hj . hk . -T-, 

ox •* oy oz 

V X V = 1 X -r hjx -^ hkx -T— : 

ox oy oz 

où les symboles -j— > ••• désignent des vecteurs, dérivées par- 
tielles du vecteur V par rapport aux nombres x, . . . , en sorte 
que, si V| , V2, V3 désignent les composantes du vecteur V (que 
l'on peut regarder comme des nombres), le nombre V.V sera la 

j , dV, d\t <^V, .. , r^ „ 

somme des nombres -r— > -^—9 -r—» tandis que le vecteur v x V 

ox oy oz » 

aura pour composantes les trois quantités -r-^ ~> -r-^ ~, 

' "^ * oy oz oz dx 

dx ày 

Le nombre V.V est la divergence du vecteur V; le vec- 



COMPTES KENDUS ET ANALYSES. i5 

leur V X V est le curl (*) du môme vecteur. On reconnaît là des 
combinaisons qui se rencontrent fréquemment en Mécanique et 
en Physique mathématique. Ce système de notations conduit à 
une suite de formules très simples relatives, en particulier, aux 
opérations V, V. , V x appliquées à des sommes ou à des produits 
numériques, droits ou gauches, de nombres ou de vecteurs, et à 
l'itération des opérations considérées. Ces nombreuses formules 
se présentent d^une façon simple et naturelle. 
LfC symbole 



Tw.rfr, 



où W désigne un vecteur dépendant du point x, y^ z de la 
courbe C, ou, si l'on veut, du vecteur p qui part de l'origine des 
coordonnées pour aboutir au même point et ou le vecteur infini- 
ment petit dv peut être regardé comme un élément d'arc de cette 
courbe (parcourue dans un sens défini), se comprend de lui-même, 
en se reportant à la définition du produit droit; il a le même sens 
que rintégrale curviligne 



X 



c 



où W|, Wj, W3 sont les projections du vecteur W. Si en dési- 
gnant par V une fonction numérique des variables numériques x, 
y^ Zy on regarde W comme égal au vecteur W, l'intégrale prise à 
partir du point Xo, J^oj ^o jusqu'au point x, y, z est égale à 
V(x, ^, z) — y{^oiyoi 2o), en sorte que, dans les mêmes condi- 

tioDS| l'intégrale iW.rfP prise le long d'une courbe fermée est 

nulle; réciproquement, si le vecteur W est tel que la condition 
précédente soit vérifiée, il existe une fonction (numérique) V telle 
que l'on ait W = VV. 

L'intégrale de surface d*un vecteur W relative à la surface S est 



(*) Curl veut dire boucle; autant conserver le mot anglais, comme a fait (en 
allrniand) M. Weber dans son édition des Leçons de Riemann sur les équations 
aux dérivées partielles. 



a6 PlIEMIËItU PAIlTMî. 

déliaie par la formule 

f f-W.dA = / A W, d/ dt -t- W, dz dx -4- W, dx dy\, 

où, dans le premier membre, le vecleur inilniment petit d^ repi 
sente, d'après des conventions bien connues, une aire infinime 
petite découpée sur la surface S. Ces notions et notations p« 
mettent de présenter sous une forme très simple et condensée 1 
ibéorèmes classiques de Gauss, Slokes, Green et conduisent 
une foule de propositions du même genre, bien que sans don 
moins importantes. Si l'on considère une fonction numérique 
des variables x-,, y^, z^ ou un vecteur W qui dépend des raém 
variables, le potentiel de V ou de W est une fonction (aura 
rique), ou un vecteur fonction des variables x,, y,, z, défini p 
l'une ou l'autre des équations 

Poiv =, fJ'P'"--/^ '!'• -'r. '''•■ 
p,.w-jy/g^"-;^^-"' ■/„ ,(,, ,(.„ 

OÙ r, I est la distance du point x,,y,, z, au point x,,^,, s». 

La combinaison des fonctions PotV, Pot W avec les symboles 
V., Vx donne lieu à une suite de propositions simples. S 
gnalons en particulier les notations 

TPotV - NewV. 

Tx PotW = LapW, 

V.PolVf = Max-W, 

dont les seconds membres s'énoncent navlonien de V, laplaci 
ou maxwellien de W, et les combinaisons qui résultent enco 
de ces notations et des précédentes. 

Il nous reste à donner quelque idée de la troisième Parti 
consacrée aux fonctions linéaires d'un vecteur. 

Un vecleur r' est dit fonction linéaire d'un vecteur p si '. 
composantes de r' sont des fondions linéaires et bomogènes < 
composantes du vecleur /•. Cette définition peut d'ailleurs é 
remplacée par la suivante : F(r) est une fonction linéaire d( 



COMPTES IIKNDUS ET ANALYSES. 27 

si Ton a, quels que soient les vecteurs r<, Ta, 

f(r,-+-r,) = f(ri)H-f(r,). 

L.'étade des fonctions linéaires se ramène à celle de combi- 
naisons pour lesquelles les auteurs ont adopté les noms de dyades 
cl de dyadiques {dyad, dyadic)» En désignant par a^ , as, as, ..., 
bi 9 1)2, bs, . . . des vecteurs, le symbole 

* = aibi + asbi+aabsH-. .. 

n^a par lui-même aucun sens, puisque la définition d'un produit 
de deux vecteurs n''a été donnée que dans le cas où les deux fac- 
teurs sont séparés par l'un des deux signes ., x; mais l'expres- 
sion précédente prend facilement un sens si on la considère 
comme un opérateur. Appliquée à un vecteur quelconque r, la 
quantité ^.r sera, par définition, le vecleur 

ai bi . r -h aj bt . r -+- as bs . r -4- . . . , 

obtenu en faisant la somme (géométrique) des vecteurs ai, as, 
&)i • . . respectivement multipliés par les nombres ai.r, aj.r, 
fts-r, ..., qui ont été définis plus haut. L'expression ^ s'appelle 
^^ djradique; le nom de dyade s'applique aux éléments aibi, 
*iba, ajbs, . . ., qui portent aussi le nom de produits indéter- 
minés. Les vecteurs ai, aa, as, . . . s'appellent antécédents, les 
seconds vecteurs bi, ba, bs, ... s'appellent conséquents. En 
intervertissant les antécédents et les conséquents d'un diadique, 
on obtient le djadique conjugué. Deux diadiques ^, W sont 
^gaux, lorsque l'on a, quel que soit le vecteur p, 

*.r = V.r. 
Le scalaire ^s ^^ diadique ^ est le nombre 

ai .bi -h aj .bj -I- as .bj -4- ... ; 
le vecteur <^x du mérne djadique est le vecteur 

ai X bi -+- ai X bî H- aj X ba -f- — 

Pour multiplier un diadique par un nombre, il suffit (par défi- 
nition) de multiplier par ce nombre l'un des vecteurs qui entrent 
dans chacune des djades qui composent le diadique. Il est en 



x> PREMIEKk PARTIE, 

dique ^ vérifie Icrquation du troisième degré 

OÙ 1 désigne l'idemfactor. C*est l'équatioD dite de Hamition- 
Cajr/ey, 

Cette théorie, quelque pen abstraite, troo^e une belle et immé- 
diate application dans le Chapitre suivant consacré aox rotations 
et dilatations, et où s'introduisent les notions de rersors, per- 
^trsorSy tensors^ tontes^ çyclotonics, shearers^ etc. D*antres 
applications concernent les surfaces du second degré, la propaga- 
tion de la lumière dans les cristaux, la courbure des surfaces, les 
vibrations harmoniques, etc. 

Les auteurs, à la fin de chaque Chapitre, ont donné un som- 
maire des définitions, propositions et formules essentielles. Ces 
résumés seront extrêmement commodes pour tous ceux qui auront 
étudié leur Livre et qui n'auront qu*à s*v reporter pour se rap- 
peler de suite les points les plus importants. 



EST AN AVE i E. . — Revie dëce>:(al£ des thèses pmEScrrÉES a la Faccite 
DES Sciences de Pamis en vue dc geade de OxTEcm Es Scie^ecks, dc 

l*' JA?(TlEm 1891 AU 3l DECEJfBEE I^X). AVEC L* INDICATIONS I^ES KUODIQrES 
COVrE?(A.vr LA PLCPAMT DE CES MÊXOIIES OC LEUftS AXALTSES. I Tol. io-S*, 

114 pa^es. Arcis-sur-Aube, Impr. L. FrèmoaE, 1901. 

Le titre de cette publication dit assez son utilité et son intérêt. 
Elle contient réoumération de 347 ^^>^^* dont 63 regardent les 
Mathématiques. Cette éoumération suit Tordre chronologique 
dans chacun des ordres < Siieuoes mathématiques, phvsiques, 
naturelles I. L*auteur a d'ailleurs donne deux Tables. Tune par 
noms d'auteur, l'autre par matières : dans cette dernière les Ma- 
thématiques sont divisées en .\nalvse. Géométrie. Mathématiques 
appliquées. Les recherches sont donc extrêmement faciles; enfin 
M. Elstanave a joint à son Travail quelques documents législatifs 
et statistiques qui p«:uveot être utiles. 

Qu'il uou> <oit permis d'exprimer le regret que M. Estanave 
ait cru devoir kornirr à la seule Faculté des Sciences de Paris son 



COMPTES IlENDUS ET ANALYSES. 3i 

intéressant Travail. Ce sera sans doute toujours à la Sorbonne 
que se passeront la plupart des thèses et, d*ordinaire, les meil- 
leures; mais enfin toute Pactivité scientifique de la France n'est 
pas concentrée à Paris, et il n'est pas souhaitable qu'elle le soit. La 
période qu'a embrassée M. Estanave comprend la création des 
Universités; si cette création n'est pas un acte vain, l'activité des 
Facultés des Sciences ira en grandissant : les thèses présentées 
devant les Facultés autres que celle de Paris sont un signe de 
cette activité, et c'est sans doute ces thèses-là que, dans l'avenir, 
il sera plus difficile de retrouver. Le public savant, les grandes 
bibliothèques ne peuvent manquer de faire bon accueil à la publi- 
cation de M. Estanave. Il lui sera facile, soit dans une nouvelle 
édition, soit simplement dans le Volume qu'il publiera en 191 1, 
d'ajouter quelques pages supplémentaires, qui seront les bien- 
venues. 



SNELLIUS (W.). — Le degré du méridien terrestre mesuré par la dis- 
tance des parallèles de Berg-op-Zoom et de Malines, publié par H. Bos- 
11AN8, S. J. In-8^, 22 pages. Bruxelles, Impr. PoUeunis; 1900. 

COiGNET (M.). — Le Traité des sinus, publié par H. Bosmanns, S- J. 
In-8*, 80 [>age8. Bruxelles, hnpr. PoUeunis; 1901. 

W. Snellius (1591-1626), de Leyde, eut le premier l'idée 
d'évalaer la longueur d'un arc du méridien par la méthode trigo- 
nométrique. Son Travail, publié en 161 7 dans VEratosthenes 
^(avca, comprenait la mesure de l'arc compris entre les paral- 
lèles d'Alcmaar et de Berg-op-Zoom. Peu content de ses résultats, 
Snellius recommença les mesures, el prolongea jusqu'à Malines 
le réseau de ses triangles. 

Ce sont les mesures de ce réseau complémentaire, recherchées 
en vain par Musschenbroek, dont la minute originale, inédite, est 
conservée à la Bibliothèque royale de Bruxelles, que le P. Bosmans 
vient d'éditer. Cette publication est accompagnée de notes propres 
« servir à l'histoire des travaux géodésiques. 

Michel Coignet (i 549- 1623) était fort estime des mathéma- 



395 PREMIÈRE PARTIE. 

ticiens de son époque : malheureusement, de ses travaux, la 
plupart inédits, un petit nombre seulement a été conservé ; on 
les trouve à la Bibliothèque royale de Bruxelles. 

Le Traité des sinus a pour objet la construction des Tables de 
lignes trigonométriques naturelles : il présente cette particularité 
d'avoir été écrit en 1612, deux ans avant l'apparition de la 
Mirifica logarithmorum canonis descriptio de Neper. Aussi 
Téditeur, à cette occasion, a retracé dans de savantes notes 
rhistoire des formules qui s'y rencontrent. Plusieurs de ses 
conclusions, neuves ou peu connues, formeront une contribution 
intéressante à l'histoire de la Trigonométrie au xvii*' siècle. 

A. F. 



BOLTZMANN (L.). — Leçons sur la théorie des gaz (P* Partie). Traduction 
française par A. Gallotti, avec une Introduction et des Notes de M. M. Bril- 
LOUiN. Paris, Gauthior-Villars; 1902. 

Personne n'aurait aujourd'hui l'idée de contester l'avantage 
énorme que les physiciens actuels tirent de l'emploi des raison- 
nements mathématiques : les méthodes purement expérimentales 
qui ont conduit leurs prédécesseurs à la découverte des grandes 
lois de la Nature deviennent insuffisantes pour une étude minu- 
tieuse de ses propriétés. Le physicien devient de plus en plus un 
théoricien, et son laboratoire n'est plus là que pour vérifier des 
faits dont l'existence est prévue d'avance, imposée, pour ainsi 
dire, par le seul raisonnement. 

Le Livre que vient de publier M. Gauthier-Villars en est un 
exemple frappant, comme nous allons essayer de le montrer en 
exposant ses grandes lignes. 

M. Boltzmann indique au début de son Ouvrage quelles sont 
les raisons qui ont conduit, depuis fort longtemps, à supposer 
que les corps n'emplissent pas d'une façon continue Tespace 
qu'ils occupent, mais sont ])lutôt composés de particules infimes 
séparées les unes des autres, les molécules, à supposer aussi que 
ces molécules sont constamment en mouvement. Dès l'antiquité 



COMPTKS HKNDUS KT ANALYSKS. r\ 

les philosophes ont eu Tidée logique de celle siniclure molé- 
culaire. Des faits d'observation nombreux et plus ou moins 
récents conduisent à faire la même hypothèse; citons entre autres 
la plupart des propriétés de la matière étudiées en Chimie et en 
Cristallographie. 

C'est là d'ailleurs (et il convient d'insister sur ce point), c'est là 
une simple hypothèse à laquelle il faudrait se garder d'assigner 
le caractère d'un fait mathématiquement exact; mais celte hypo- 
thèse est grosse de conséquences : les idées alomistiques, quoique 
fortement combattues par toute une école de physiciens mo- 
dernes, ont conduit à des découvertes fort importantes et, à ce 
titre, elles méritent d'être encore développées. Peut-être décou- 
vrira-t-on un jour quelle est la constitution exacte de la matière 
et reconnaîtra-t-on que les hypothèses actuelles des atomisies 
sont fausses; peut-être regardera-t-on la théorie moléculaire 
comme une représentation grossière, puérile même, des pro- 
priétés de la matière. Qu'importe, si ces hypolhèses, qui ne sonl 
en somme que la représentation d'un ensemble d'analogies méca- 
niques, ont conduit auparavant, par le développement mathéma- 
tique de ces analogies, à la découverte de faits nouveaux? 

D'ailleurs, si M. Boitzmann montre, au début de son Ouvrage, 
la vraisemblance de ces suppositions, s'il explique comment elles 
peuvent rendre compte non seulement des propriétés des gaz., 
mais aussi de celles des liquides et des solides, les adversaires de 
ces hypothèses auraient mauvaise grâce à le lui reprocher. Il a 
bien soin, en efl'et, en plusieurs points de ces Leçons, de rappeler 
que ce qu'il y a de rigoureux dans ses développements c'en est 
seulement la partie mathématique : il lire rigoureusement des 
conséquences mathématiques de certaines hypolhèses ; or ces 
hypothèses coïncident par certains points avec la réalité ; donc, 
très vraisemblablement, les conséquences qu'il en déduit présen- 
teront aussi un caractère réel : à l'expérience de le constater. 
Cestlà la véritable façon, pour un physicien, d'utiliser les Mathé- 
matiques; c'est ainsi qu'ont procédé non seulement les partisans 
delà théorie moléculaire, mais bien d'autres, et trop nombreuses 
elles sont déjà pour qu'on puisse les citer, les découvertes faites 
par cette méthode et confirmées a posteriori par l'expérience. 
Il suffît d'ailleurs de jeter un coup d'œil sur la Table des ma- 
Biili, des Sciences mathém.y t* série, t. XWI. ( PVvrirr 1903.) 3 



tières pour se rendre compte du caractère provisoire de ce qui 
ij'esl que l'hvpothèse : ce premier Volume, en effet, envisage 
successivement dans ses trois Chapitres trois cas entièrement 
différents : dans le premier Chapitre, les molécules gazeuses sont 
regardées comme des boules élastiques n'agissant les unes sur les 
autres qu*au moment où elles se rencontrent. Dans le second, ces 
molécules sont au contraire des centres de forces agissant à dis- 
tance les unes sur les autres, quelle que soit d^ailleurs leur dis- 
tance, la nature de la force n'étant pas déterminée. Dans le 
troisième, enfin, on suppose que celte force est une force répul- 
sive dont l'intensité est en raison inverse de la cinquième puis- 
sance de la distance, s*annulant par conséquent assez vite quand 
les molécules s'éloignent ; cette hypothèse spéciale étant destinée 
à simplilier le calcul des équations différentielles du mouvement 
des molécules. 

Et l'auteur ne se borne pas à cela : dans la seconde Partie de 
ses Leçons, dont M. Gallotti prépare actuellement la traduction, 
c'est surtout à Thypothèse de Van der Waals qu'il s'attache, à 
cette hypothèse de la force de cohésion qui est, contrairement au 
cas précédent, une force attractive et restant sensible à des dis- 
tances assez grandes. Chacune de ces hypothèses spéciales conduit 
d*ailleurs, par un développement convenable, à des résultats 
concordant avec la pratique. Souvent même, et c'est là l'utilité 
de la méthode employée, les raisonnements mathématiques ont 
permis de prévoir certaines propriétés que les expérimentateurs 
ont vérifié depui-^. 

Il serait maliidroil de chercher à résumer en quelques lignes 
tout ce que ce Livre contient d'intéressant. La besogne serait 
d'autant plus ardue que les Leçons de M. Boltzmann sont elles- 
mêmes un résumt', une mise au point, pour ainsi dire, de tous ses 
Mémoires précédents et de tous les Travaux analogues publiés 
par Kirchhoff, Maxwell, \ an der Waals, etc. Nous nous bornerons 
donc à indiquer brièvement les principaux sujets traités dans ce 
premier Volume. 

C est dabord, dans Tlntroduclion, une justification de Thjpo- 
thèse moléculaire, justification que nous avons exposée plus haut 
dans ses grandes lij:nes ; puis la définition, par les chocs des 
molécules sur le< parois, :1e la pression d'un gaz ou d*un mélange 



COMPTKS UKNDUS KT ANALYSES. J» 

gazeux, qui devient ainsi fonction des masses et des vitesses 
moyennes des molécules. 

Adoptant pour un instant Thypotlièse de molécules élastiques, 
dans le premier Chapitre M. Boltzmann étudie d*abord, en faisant 
intervenir le calcul des probabilités, la répartition des vitesses 
la plus vraisemblable dans un gaz dénué de mouvements d'en- 
semble et qui n'est soumis à aucune force extérieure. Il est amené 
incidemment à préciser une notion fort importante en Physi(|ue 
moléculaire: c'est la distinction des milieux en « molar-geordnete 
ou raolar*ungeordnete » et a molekuiar-geordnete ou molekular- 
ungeordnete », ce que le traducteur a rendu en français par 
milieu « comportant une organisation d'ensemble ou sans orga- 
nisation d'ensemble « et milieu a comportant une organisation 
moléculaire ou sans organisation moléculaire ». Nous croyons 
utile d'indiquer ici le sens encore peu connu de ces expressions. 

On dit que la répartition des molécules comporte une organi- 
sation d'ensemble (molar-geordnete) si, par exemple, certaines 
variables qui déterminent le mouvement des molécules ont, dans 
certaines partie» finies de l'espace occupé par le gaz, d'autres 
valeurs moyennes que dans d'autres parties : par exemple, la 
pression, ou la vitesse mo}'ennc des molécules, peut être plus 
grande dans une moitié du récipient que dans l'autre; ou, plus 
généralement, une partie finie du gaz peut se comporter autre- 
ment qu'une autre. 

L'absence de toute loi de ce genre caractérise une disposition 
dénuée d'organisation d'ensemble (molar-ungeordnele). 

Quand la disposition des molécules ne varie pas régulièrement 
d'un espace fini à un autre, c'est-à-dire quand on a un ensemble 
inorganisé, il peut se faire cependant qu^on trouve une certaine 
régularité dans des groupes définis de deux molécules voisines 
(ou même dans des groupes qui, sans avoir une étendue finie, en 
comprennent davantage). On dira d'une telle disposition qu'elle 
comporte une organisation moléculaire (molekular-geordnete). 
Pour ne mettre en évidence que deux exemples dans la variété 
infinie des cas possibles, nous aurions une disposition de cette 
nature en supposant que cbaque molécule se dirige toujours vers 
le centre de la molécule la plus rapprochée, ou encore que 
chaque molécule douée d'une vitesse comprise entre certaines 



U\ V\\\iM\E\\\i PAinii:. 

liinilrs ait pour voisines iinniëdiates dix autres molécules remar- 
quuhirment plus lentes. Si ces groupements spéciaux n'étaient 
pas limités à certaines régions de Tespace occupé par le corps, 
mais se trouvaient en moj^enne aussi nombreux dans toutes ses 
pnrlies, la disposition serait néanmoins dénuée d'organisation 
d'ensemble. 

KnHn, s'il n'existe aurune régularité de cette nature, il n'y a 
piis d'or^anisalion moléculaire (molekular-ungeordnete). 

Pour un milieu sans organisation spéciale, M. Boltzmann 
montre (|ue la réparlition des vitesses des molécules la plus pro- 
bable e^{ celle (|u'u indicpiée Maxwell. 

Kn supposant Tétat d'un gaz stationnaire, il déduit des équa- 
tions du mouvement nioléculaire la loi connue de Bojle (ou de 
Mariotte). Kn caractérisant la température des gaz par la force 
vive n)ovenne de leurs molécules et par comparaison avec un gaz 
Ivpe, il retrouve les lois de. (Ibarles et d'Avogadro. 

DilVérents pbénoménes observés dans les gaz apparaissent 
ensuite comme conséquences du mouvement de leurs molécules : 
lu conductibilité électri(|ue, la conductibilité calorifique, le frot- 
tement intérieur, la dilVusion; et tous ces phénomènes sont carac- 
lénst**s par ties roeflicients tpril calcule en fonction de certaines 
ilonnées simples romme la masse ou la vitesse niovenne des 
molécules. 

Telle e>t» dan> un rapide aperçu, la matière du premier Chapitre 
de rOu\ra^e. Bolt/mann a adopté une marche analogue dans les 
deuv autres» n»ai^ en partant dhvpothèses dillerentes. Nous n'en- 
trepremb'ouH pa^ l'anal \^e dt'taillee de ces (^.hapitres, espérant 
a\oir donne au le» ttMir une idée ^ulliNante îles avantaî^es de la 
nictiiodc du j;iand théorie un allemand potir engager een\ d*enlre 
ru\ quinleiv^^e plu^ Npocialement cette matière à lire lensenible 
de rOnxraiir II'* \ li\»u\ei\MU d^adleur^ bien de> sujets que 
l^vdtMnann n a pu qu\udiqutM\ «>lVrant ain^i un champ considé* 
labb' d luxoNii^aHonN au\ eheivhcurs qui \oudi\M)t protîler de sa 
►nrilu» i*' pxMii X,* mettre sir la xvmc de deevnnertes nou\elies. 

le lx*x teio tixMiNsu \lai»N U Pietave » vm Ue par M. Marcel 
HidKMnn \n\ ,nv*vt» bt'^lvMixpie ^ur Ihxpolb»^*' nudeeulairo dans 
!» ibe.M .' »i\''* ;v*'. ^'^^ %•* Uu V * '«'H »u^» •',j\* » bv'i;{v,ntp mieux iiuo 
t»v'.;x K. xi.î.^'x !, i ;•, A-. î»- ,'» \x- x>;*re.»u'i:; uptiv* de celte 



MfÏLANGKS. 3; 

théorie, dévelo|)pemeiil bien justifié par les nombreux résullals 
auxquels elle a déjà conduit et que rappelle M. Brillouin. Difl'é- 
rents points particuliers de la théorie relatifs à la distribution des 
vitesses et aux diverses diffusions sont également précisés dans 
les Notes qu'il a bien voulu ajouter à la fin de TOuvrage. 



MÉLANGES. 

LE PREMIER CHAPITRE D'UN RAPPORT SUR QUELQUES PROGRÈS RÉGENTS 

DANS LES SCIENCES ('); 

Pah m. ÊMiLK riCAHI). 



LKS PRLXnPES 1)K L ANALYSK KT 1>K LA (iEOMKTRIK. 

On ne peut s'empêcher d'être frappé de l'abondance des publi- 
cations parues depuis une vingtaine d'années et se rapportant à 
la philosophie des Mathématiques; elles sont bien en accord avec 
les tendances de Tépoque où nous vivons, et où Tesprit humain 
applique dans des directions varices une critique de plus en plus 
pénétrante. Placé à ce point de vue, on trouve même dans le 
nombre entier des difficultés que n'a pas dédaignées un grand 
phvsîcien comme Ilelmholtz. Plus grandes encore sont les diffi- 
cultés pour les nombres incommensurables qui, dans Tantiquité, 
troublèrent sans doute les pythagoriciens; pour les analystes mo- 
dernes, uu nombre incommensurable représente dans Tensemble 



(') Nous reproduisons ici le proniicr Chapitre d'un Rapport jji'ncral sur les 
Sciences k propos de 1'Ex.position Univorsi'IU* t\c 1900. I*ar sa nature uiénie. ce 
Happort ne pouvait s'étendre longuement sur les Sciences niatliéuiatiques; devant 
;:ardcr un rarartêre général et philosophique, il laissait nécessaireuH ni de côté 
on cr^nd nombre de queslion>« intéressantes pour les fiéomrlres. 



38 PREMIÈRK PARTIE. 

des nombres rationnels une coupure qui correspond à un partage 
de ces nombres rationnels en deux classes. L'étude arithmétique 
du concept du continu est loin d^étre simple et a donné lieu à de 
nombreuses recherches, parmi lesquelles il faut citer celles de 
M. Dedekind et de M. G. Cantor. Toutes ces études paraîtront 
d'abord bien subtiles, car rien ne semble plus simple que la notion 
du continu, et nous avons tous, dira-t-on, Fintuition d'un en- 
semble continu, en considérant tous les points d'une droite com- 
pris entre zéro et un. Mais le caractère de ces spéculations philo- 
sophiques est précisément de se méfier de l'intuition, et c'est un 
peu ici la lutte entre l'intuition et la logique. Il faut d'ailleurs 
reconnaître que, dans l'histoire de la Science, on rencontre plus 
d'une confusion tenant à l'insuffisante élaboration des notions 
fondamentales. Si abstraits que soient ces travaux, je devais ce- 
pendant les mentionner pour donner une idée des spéculations 
des géomètres philosophes qui ont cherché dans ces dernières 
années à éclaircir les principes de l'Analyse mathématique. L'étude 
des bases de la Géométrie n'a pas moins attiré l'attention; tout 
n'est pas si clair que le croient beaucoup de personnes, dans les 
commencements de la Géométrie, et d'Alembert a pu écrire que 
la définition et les propriétés de la ligne droite sont l'écueil et le 
scandale de la Géométrie. Nous sommes aujourd'hui bien con- 
vaincus qu'il y a dans toute Science un point au delà duquel on 
ne peut remonter : il faut poser certaines données, certains con- 
cepts, et formuler au sujet de ces concepts des axiomes ou postu- 
lats qui reviennent, au fond, à les définir. On posera, par exemple, 
au début de la Géométrie élémenlaire, les concepts de point, de 
ligne droite, et l'on formulera cet axiome que deux points déter- 
minent toujours une droite. C'est pour le géomètre un difficile 
problème que d'établir la Géométrie sur un système complet et 
non contradictoire d'axiomes indépendants; dans ces derniers 
temps, des travaux remarquables, tels que ceux de M. Hilbert et de 
M. Veronèse, ont été publiés dans cette voie. Suivant qu'on adopte 
tel ou tel svstème d'axiomes, on aura telle ou telle Géométrie. On 
peut maintenant se demander quelle est l'origine de ces postulats. 
Pour Kant, la source de nos connaissances géométriques est dans 
rintuition, et les axiomes plus ou moins explicitement formulés 
au début de la Géométrie ont un caractère de nécessité absolue; 



.MÊLANGKS. 39 

I*e$pace est pour Kant une forme a priori de notre sensibilité. 
Aucun géomètre ne peut aujourd'hui souscrire à cette opinion, 
depuis qu'on a montré que diverses Géométries, exemples de 
toute contradiction logique, peuvent être obtenues en parlant de 
divers systèmes de postulats, et l'on doit renoncera cette intuition 
directe, antérieure à toute observation, que nous aurions de 
l'espace. 

L'observation et l'expérience jouent donc un rôle indispensable 
dans la formation de nos connaissances géométriques; mais, tout 
en admettant ce point indiscutable, les avis sont encore très par- 
tagés. Quelques physiciens voient uniquement dans les axiomes 
des inductions basées sur les observations et les mesures faites sur 
les corps : c'est l'empirisme géométrique. D'autres attribuent un 
rôle plus ou moins grand à l'esprit travaillant sur les données de 
l'expérience. Pour certains même, comme M. Poincaré, le concept 
de groupe^ sur lequel nous reviendrons dans un moment, pré- 
existe dans notre esprit et s'impose comme forme de notre enten- 
dement; en outre, plusieurs interprétations de l'expérience sont 
possibles, et parmi celles-ci l'esprit a choisi la plus commode et 
la plus simple. Il ne faut évidemment pas trop presser le sens de 
ces termes, qui ont surtout ici une signification algébrique; en 
fait, la commodité et la simplicité peuvent résulter de riiérédilé 
ci de l'habitude. 

Mais ne nous attardons pas à ces questions de psychologie, où 
Ton risque vile de ne se comprendre qu'à demi-mot, et restons sur 
le terrain mathématique et logique. J'ai fait tout à l'heure allu- 
sion à divers systèmes possibles de postulats. Si Ton ouvre unïraité 
de Géométrie élémentaire, on ne trouve formulé bien explicile- 
ment qu'un seul axiome; il porte le nom Ae poslulatum iV Euclide, 
En réalité, un nombre considérable d'axiomes sont sous-entendus, 
el, en étudiant les plus récents travaux sur les principes de la 
Géométrie, on est ellVayé à la vue de la longue lisle des postulats 
nécessaires à poser pour que la Géométrie ait toute la rigueur 
logique qu'on lui attribue généralement. Les plus importants se 
rapportent aux concepts de droites, de plans, d'angles, de con- 
gniences ; il en est un autre, d'une nature différente, qu'il pour- 
rait paraître inutile de formuler: c'est le postulat de continuité ou 
axiome d'Archimède. Au point de vue lof;iquc, ce serait une 



4o IMUilMiÈUË PÂKTIË. 

erreur; ainsi l'on a pu construire des Géomélries étranges daos 
lesquelles, en portant à partir d'un point d'une droite une succes- 
sion de segments égaux, il n'est pas possible d'atteindre un poiot 
déterminé de la droite, quelque grand que soit le nombre de ces 
segments. 

En posant tous les axiomes de la Géométrie plane habituelle, 
sauf celui d'Euciide, et en supposant que par un point on puisse 
mener une infinité de droites ne rencontrant pas une droite, on 
sait que Lobatschcfski et Bolyai ont édifié une Géométrie, trouvée 
de son côté par Gauss. Dans cette Géométrie non euclidienne, la 
somme des angles d'un triangle est inférieure à deux angles 
droits; ou la désigne souvent sous le nom de Géométrie hjperbo* 
lique. On peut admettre, au contraire, avec Riemann, que par un 
point on ne puisse pas mener de droite ne rencontrant pas une 
droite; on aura alors une seconde Géométrie non euclidienne dite 
elliptique^ dans laquelle la somme des angles d'un Iriangle 
dépasse deux droites. On dit souvent que les Géométries planes 
peuvent êlre interprétées par la considération des pseudo-sphères 
ou des sphères del espace euclidien ; toutefois, cette interprétation 
n^est valable que pour une portion limitée du plan non euclidien 
et non pour le plan tout entier. Une autre interprétation dans 
l'espace ordinaire de la Géométrie plane elliptique, valable pour 
le plan entier, a été donnée récemment par M. Klein; considérons 
dans l'espace ordinaire l'ensemble des droites et des plans pas- 
sant par un point, puis les angles dièdres formés par deux tels 
plans, toute relation enlre ces éléments sera la traduction d'une 
relation dans le plan non euclidien, en substituant aux mois 
droite y plan, angle dièdre, les mots point, droite et angle. On 
s'c'ït naturellement demandé comment on pouvait être assuré que, 
dans les déductions des Géométries non euclidiennes, on ne ren- 
contrerait jamais de contradictions. Les interprétations, auxquelles 
il a été fait plus haut allusion, sauf celles de M. Klein pour la 
Géomôlrie elliptique, ne donnent pas une réponse satisfaisante, 
mais celle-ci peut être fournie par la considération des formules 
auxquelles on arrive en (lôoniclrle hyperbolique et qui ne sont 
autres (|ue celles de la Trigonométrie sphérl(|ue ordinaire, en 
supposant le rayon de la sphère purement imaginaire. Toutefois, 
si l'on est ain>i assuré que le poshilalum d'Euclide ne peut être 



MÉLANGES. 4i 

démontré en restant dans le plan, il reste un doute sur Pim- 
possibilité de la démonstration en employant des constructions 
hors du plan. L'étude des Géoméiries ne doit donc pas se borner 
au plan; ce fut là Pœuvre de Riemann, d^Helmlioitz et, il y b dix 
ans, de Sophus Lie. Tous trois se placent à un point de vue 
analytique et considèrent Tespace comme une multiplicité, c'est- 
à-dire qu'un point est défmi par un système de trois nombres 
qu'on appelle les coordonnées du point ; on ne pose plus alors 
Ici la notion de plan et de droite, on part du point comme 
élément. L'idée fondamentale d'HelmhoItz consiste à porter 
Tattention sur l'ensemble des mouvements possibles dans l'espace 
dont on fait l'étude. On suppose que lous ces mouvements for- 
ment un groupe dépendant de six arbitraires, qu'ils laissent 
invariable une fonction des coordonnées de deux points (|uelcon- 
ques, enfin que le mouvement libre soit possible, comme disait 
Ileimboitz. I^ie démontre que, dans l'espace à trois dimensions, 
il n'v a avec ces conditions que trois Géométries possibles; l'une 
e>l notre Géométrie ordinaire, et les deux autres correspondent 
aux deux Géométries planes dont j'ai parlé plus haut, et de ce 
point de vue analvtique on est assuré de l'impossibilité de toute 
contradiction. On peut aussi, d'une manière [)lus géométrique, 
retrouver ces résultats avec Cavley et M. Klein, qui subordonne 
ia conception métrique de l'espace à la conception projective. 

On voit par ces indications quel bel ensemble forment les 
éludes faites sur les principes de la Géométrie.. Dans ces dernières 
années, la question de l'indépendance des postulats a surtout 
préoccupé les Géomètres allemands, et c'est en construisant des 
Géométries aflranchies de tel axiome, tandis qu'elles en conser- 
vent tel autre, que l'indépendance de ces axiomes s'est trouvée 
établie. On remarquera aussi combien il est inexact de parler, 
comme on le fait quelquefois, des trois seules Géométries possi- 
bles. Le nombre des Géométries logiquement possibles est infini; 
tout dépend des systèmes de postulats que Ton adopte. A.u point 
de vue mathématique, l'étude des principes de la Géométrie a 
oll'ert, comme nous l'avons dit, à Sophus Lie un beau champ d'ap- 
plications pour la grandiose théorie des groupes de transformations 
qu'il venait de créer. De même, quarante ans auparavant, la théorie 
de» formes quadratiques de différentielles s'était développée grâce 



ijt PREMIERE PARTIE. 

aax recherches de Kiemaao §ur les principes de la Géomélrie. 
C'e^l ainsi qae des études, qui paraissent a^oir d*abord on carac- 
tère pnrement philosophique, ont contribaé au progrès des 
Sciences mathématiques. 



II. 

LES XATHÉVJITIQCES PIKES. 

L'Anal vse mathématique repose sur Fidée de fonction, c'est- 
à-dire de dépendance entre deu\ ou plusieurs grandeurs. Il a fallu 
longtemps avant qu'on se rendit compte de la complexité extraor- 
dinaire de celte notion, et c'est là d'ailleurs une circonstance qui 
a été heureuse pour les progrés de la Science. On a fait plus ou 
moins consciemment certaines hypothèses reslriclives, et il n'est 
pas douteux que la considération des phénomènes naturels a plus 
d'une fois guidé le mathématicien dans le choix de ces hypothèses. 
Une première limitation essentielle a été celle de la continuité. 
Suivant le vieil adage : \atura non facit saltiis, nous ayons le 
sentiment, on pourrait dire la crovance, que dans la nature tout 
se passe avec continuité. Il ne s'agit ici, bien entendu, que de la 
notion du continu physique tirée des données brutes des sens; 
nous avons dit plus haut qu'au point de vue du nombre Tidée de 
continuité est loin d'élre aussi claire qu'elle le paraît. Le sentiment 
confus de la rapidité plus ou moins grande avec laquelle s'accom- 
plit tel ou tel phénomène est sans doute l'origine première de 
l'idée de dérivée d'une fonction, qui est à la base du calcul dilTé- 
rentiel. On a particularisé davantage encore Tidée de fonction en 
considérant les fonctions analvtiques, c'est-à-dire développables 
en séries de Tavlor dans le voisinage d'une valeur arbitraire de 
la variable. Les fonctions élémentaires jouissent de cette propriété, 
et les facilités rpie donne la possibilité de ce dévelo|)pement ont 
donné aux fonctions analytiques une importance considérable. 
Depuis Lagrange, et surtout après les travaux de Cauclij, de 
Weierstrass et de Rieniann, la théorie des fonctions analvtiques 
est devenue une branche maîtresse de TAnalysc mathématique. 
Klle doit son brillant essor à la découvcrlc de quel(|ucs proposi- 



MÉLANGliS. 43 

lions générales, parnii lesquelles se Irouvent au premier rang les 
ihéorèines de Caiieby sur rintégration le long d'un contour. 
Depuis vingt ans, une partie împorlanlc de TelTort malhëmalique 
a été consacrée soit aux fonctions analytiques en général, soit à 
certaines fonctions spéciales. Ne pouvant entrer ici dans le détail 
de ces recherches abstraites, qu'il nie suffise de citer les noms de 
MM. Poincaré, Millag-Leffler, Picard, Appcll, Goursal, Painlevé, 
liadamard et Borel en Ire bien d'autres. Les singularités des fonc- 
tions analytiques et leurs diverses représentations par des séries, 
des intégrales définies, des fractions continues, ont été étudiées 
d'une manière approfondie. Parmi les travaux les plus récents 
relatifs aux développements en ^rie, mentionnons les développe- 
ments dus à M. Mittag-Leffler, cl la notion de série divergente 
sommable introduite par M. Borel, qui Ta brillamment utilisée 
pour Tétudc des propriétés des fonctions. Parmi les fonctions 
particulières, après le merveilleux développement de la théorie 
des fonctions algébriques d'une variable et des transcendantes qui 
s V rattachent, après les célèbres travaux de M. Poincaré sur les 
fondions fuchsiennes, les fonctions algébriques de deux variables 
devaient solliciter l'effort des chercheurs. Les études de M. Picard 
sur ces questions concernent le point de vue transcendant ; celles 
de M. xNœtlier, de MM. Castelnuovo, Enriques et Humbert se 
rapportent surtout au point de vue géométrique et algébrique. Le 
cliamp si vaste des fonctions analytiques de plusieurs variables 
est maintenant attaqué de différents côtés, et les résultats déjà 
obtenus promettent une ample moisson de découvertes. 

Si le concept de fonction analytique comprend aujourd'hui 
dans son domaine les fonctions les plus importantes de l'analyse, 
on ne doit cependant pas négliger d'approfondir l'idée de fonction 
dans toute sa généralité. Depuis les travaux de Riemann, qui 
<îl«sa les fonctions en intégrablcs et non intégrables, et de 
"cierstrass, qui donna le premier exemple d'une fonction 
continue sans dérivée, ces études ont été poursuivies par 
M. Darboux et M. Dini et actuellement par quehjues géomètres 
*ï*liens. Je ne veux signaler qu'une remarque curieuse montrant 
'comment nous devons parfois nous méfier de nos conceptions les 
plus simples. Quoi de plus simple, semble-t-il, qu'un arc de 
courbe plane pour la(|uelle les coordonnées d'un point (|ucl- 



44 IMlEMlEKH PARTIE. 

conque sont deux fonctions continues d'un paramètre variant 
entre deux limites? Nous suivons en quelque sorte des yeux 
le point décrivant cet arc. Cependant M. Peano a montré qn^on 
peut choisir ces deux fonctions de telle sorte que le point puisse 
prendre une position quelconque dans un certain rectangle; nous 
avons alors le résultat étrange d^une courbe qui est une aire. 
C'est ici le triomphe de ceux qui, comme je le disais tout à 
rheure, se méfient de Tinluition. A quoi pourront servir, dira- 
t-on, des fonctions aussi bizarres? Il est facile de répondre que 
les fonctions n'ont pas besoin de servir à quelque chose et que 
l'étude de l'idée de fonction mérite d'être faite pour elle-même. 
Mais de plus, avec la complexité croissante des phénomènes 
naturels dont nous devons aborder Tétude, les images que nous 
pourrons nous en faire ne nous conduiront-elles pas à employer 
d'autres fonctions pour leurs représentations que les fonctions 
aualvti(|ues ? Il serait téméraire de formuler une réponse 



négative. 



Mais revenons au présent. Toute l'histoire de la Science montre 
les rapports qui unissent l'Analyse pure et les phénomènes natu- 
rels. Celte solidarité se traduit mathématiquement quand on a 
ramené l'étude d\in phénomène à des équations dilTérentielles ; 
ainsi, pour Fourier, l'étude de la propagation de la chaleur se 
ramène à une équation aux dérivées partielles que Ton devra 
intégrer à Taide de conditions aux limites propres à chaque cas. 
De même, tous les résultats de la théorie mathématique de l'élas- 
ticité se concentrent dans un système classique d'équations diflfé- 
renlielles. Nous reviendrons sur cette réduction au point de vue 
de la Mécani(|ue et de la Physique, quand nous parlerons de 
Texplicalion des phénomènes naturels. Nous voulions seulement 
iri faire comprendre rint<'*rèl considérable s'attachant à l'étude 
des équations différentielles, (pii se présentent d'ailleurs dans 
presque toutes les parties des Mathéniati(|ues pures. Dans ces 
dernières années, la théorie des (Mpiations différentielles a fait 
l'objet de nombreuses recherches. Des voies nouvelles ont été 
ouvertes et dans des directions varié<*s. Il faudra sans doute 
encore uni» lonj^iie suite d'elVorts pour \enir à bout des questions 
posées, mais nous non> rendons compte de la nature des diffi- 
cultés <|u*il faudra \alncrt\ La plupart des géomètres c|ui se sont 



MÈLANGKS. iî 

occupés de la lliéorle générale des fonctions analytiques ont 
apporté aussi leurs contributions à Tétude des équations diflfé- 
rcntielles ordinaires, commencée jadis à ce point de vue par 
Cauchj et continuée par Briot et Bouquet et par M. Fuchs. Les 
recherches les plus récentes dans cet ordre sont celles de 
M. Painlevé, que la . considération de certaines équations du 
second ordre a conduit à des transcendantes nouvelles. La 
Physique mathématique indiquait, nous Tavons dit, des types de 
problèmes du plus haut intérêt; cette voie féconde a été suivie 
par de nombreux chercheurs, comme MM. Schwarz, Neumann et 
Poincaré pour Téquation de Laplace; MM. Picard et Vollerra 
pour des équations plus générales. A un autre point de vue 
encore, l'étude des courbes définies par des équations différen- 
tielles a été renouvelée et des méthodes nouvelles ont été créées 
par M. Poincaré; la liaison étroite de ce problème avec la Géo- 
métrie de situation a été mise en évidence et très heureusement 
utilisée par M. Hadamard dans st;s remarquables recherches sur 
les lignes géodésiques. 

Le beau traité de M. Goursat sur les équations aux dérivées 
partielles du second ordre vient de rappeler l'attention sur des 
questions importantes quelque temps négligées, comme Tinté- 
gralion enfeclive à l'aide d'expressions d'un type déterminé. 
Pareillement, les recherches de Géométrie infinitésimale ont pris 
wn grand essor sous l'influence du grand Ouvrage de M. Darboux 
sur la théorie des surfaces; ses travaux, ceux de MM. Bianchi, 
Wcingarlcn, Guichard ont donné une vie nouvelle à cette partie, 
SI importante depuis Gauss, des Sciences mathématiques, et, 
entre autres, la question de la déformation des surfaces s'est 
enrichie de résultats remarquables. 

Nous avons parlé tout à l'heure de l'œuvre de Sophus Lie sur 
la théorie des groupes de transformations, qui restera certaine- 
ment un des plus beaux monuments de l'Analyse mathématique 
w XIX* siècle. L'illustre géomètre en avait montré l'importance 
"*ns l'élude des équations difler^entielles, et ses élèves ont 
eonlinué ce genre de recherches. A un. tout autre point de vue, 
M. Picard, MM. Vcssiot et Drach ont tiré partie de la théorie des 
poupes de transformations pour étendre à l'Analyse les notions 
«fécondes introduites en Algèbre par Galois, de telle sorte que 



i<» PUHM]f:i(K PÂKTIH. 

de remarquables analogies entre la théorie des équations difleren- 
lielles et la théorie des équations algébriques ont été mises en 
évidence. 

Il nous faut encore dire un mot de la partie la plus abstraite 
des Sciences mathémaliques, celle où régne le nombre pur. Les 
célèbres recherches de Kummer, de M. Dedekind et de Rronecker 
sur les nombres algébriques ont été Torigine de travaux extrê- 
mement intéressants publiés surtout en Allemagne. Toute une 
Arithmétique nouvelle a été fondée, où les lois de la divisibilité 
se présentent d^abord tout autres que dans l'Arithmétique usuelle; 
on y voit des entiers déconiposables de plusieurs manières en fac- 
teurs premiers, et ce n'est qu'en introduisant la notion des idéaux 
que M. Dedekind a pu retrouver les lois simples auxquelles nous 
sommes habitués. Citons au moins le nom de M. Minkowski, qui 
utilise en .Vrithmétique les conceptions géométriques et vient de 
rassembler ses profondes recherches dans un Livre sur la Géomé- 
trie des nombres, et les noms de MM. llilbert, liurwitz et 
Frobenius, auxquels la théorie des nombres et l'Algèbre pure 
doivent d'importants progrès. Rappelons enfin que M. Lindemann, 
s'inspirant des profondes recherches d'Hermite sur la transcen- 
dance du nombre e, a pu établir l'impossibilité delà quadrature 
du cercle, proposition dont, depuis plus de deux mille ans, on 
cherchait en vain une démonstration rigoureuse. 



III. 

l.\ MKCAMQl K CKUKSTK KT l/ ASTRONOMIE PlIVSIQrE. 

Nous obéissons aux habitudes en parlant ici de l'Astronomie, 
science dont une partie a un caractère exclusivement mathéma- 
tique et dont l'autre rentre en réalité dans la Physique. L'Astro- 
nomie de position ne nous éloigne pas de la théorie des équations 
dinéreulielles dont nous parlions tout à l'heure. Une fois posées 
les lois lie la gravitation universelle, et le Soleil et les planètes 
étant supposés réduits ù des points matériels, la recherche des 
positions des planètes revient à l'intégration d'un système d'équa- 
tions (liirrrontiellr> (pii s'écrit aisément. Malgré leur apparente 
simplicité, ces é(pialions présentent trr*normes difficultés et font 



MÉLANGi:S. 4; 

depuis longtemps Tobjel de réliide approfondie des géomètres et 
des astronomes. Si des circonstances particulières, comme la 
g^randeiir de la masse du Soleil par rapport à celle des planètes, 
lie s'étaient présenlées, les procédés d'inlégralion par approxi- 
mations successives emploies par les astronomes n'auraient 
c^onduit à aucun résultat ; on peut donc se réjouir des circon- 
stances heureuses à qui nous devons le magnifique épanouissement 
Je la Mécanique céleste depuis plus d'un siècle. Une œuvre magis- 
irale^dont l'auteur a été prématurément enlevé à la Science, il y a 
quelques années, le Traité de Mécanique céleste de Tisserand, 
lionne un tableau complet de l'état actuel de l'Astronomie mathé- 
rnaiique. Nous ne pouvons mieux faire que de reproduire les der- 
oières lignes de cet Ouvrage qui résument les progrès de l'Astro- 
nomie de position au siècle dernier : « La loi de Newton, dit 
"Tisserand, représente en somme avec une très grande précision 
les mouvements de translation des corps célestes. On peut être 
émerveillé de voir que les inégalités' si nombreuses, si compli- 
quées, et quelques-unes considérables, du mouvement de la Lune 
soient représentées comme elles le sont, par la théorie. Sans 
doute il reste quelque chose : dans un intervalle de deux siècles 
et demi environ, la Lune s'écarte peu à peu de la position calculée 
jusqu'à un maximum de quinze secondes d'arc, de manière que, 
durant ce long intervalle, le bord éclairé de la Lune passera un 
peu plus tôt ou un peu plus tard devant les fils d'araignée de 
la lunette méridienne, sans (pie l'avance ou le retard dépasse une 
seconde de temps. De même les ])Ositions des planètes, pendant 
«n siècle et demi d'observations précises, sont représentées à 
woinsde deux secondes d'arc près. Il y a une exception : Mercure 
pcot être en avance ou en retard d'une quantité qui, pour cer- 
taines régions de l'orbite, s'élève à huit secondes d'arc, soit une 
demi-seconde de temps au bout d'un siècle. Les désaccords pour 
knœud de Vénus et le périhélie de Mars sont bien moins impor- 
tants. On éprouve, en fin de compte, une admiration profonde 
pour le génie de Newton et de ses successeurs et pour les 

• 

inmenses travaux de Le Verrier, poursuivant pendant plus de 
^<^te ans son enquête méthodique dans toute l'étendue du 
système solaire, travaux si habilement continués et développés 
par M. Newcomb. » 



48 PIIKMIEHR PARTIK. 

Il nous faut ajouter maintenant que, au point de vue théorique, 
le mathématicien a lieu d^étre moins satisfait que rastronome, et 
Ton peut dire que les équations de la Mécanique céleste font son 
désespoir. Depuis dix ans, M. Poincaré poursuit sur ce sujet des 
recherches extrêmement profondes, qu'il vierit de rassembler 
dans un Ouvrage ayant pour litre : Les méthodes nouvelles de la 
Mécanique céleste. Les conclusions les plus importantes ont un 
caractère négatif. M. Poincaré montre que les séries employées 
en Mécanique céleste ne peuvent être toujours convergentes et 
qu'on n'en peut rien tirer en toute rigueur pour la position des 
astres à trrs longue échéance; ceci, bien entendu, n'empêche pas 
que, pour un temps assez limité, on ne puisse avoir confiance 
dans les prédictions des calculs habituels, grâce aux heureuses 
circonstances auxquelles j'ai fait allusion. En outre, M. Poincaré 
établit qu'il n'existe pas d'autres intégrales premières uniformes 
que celles actuellement connues. Parmi les résultats positifs dus 
à l'éminent géomètre, citons les solutions périodiques et les solu- 
tions asymptoliques dont il a démontré Texislence et qui permet- 
tront probablement de nioditier le ])oinl de départ des méthodes 
d'approximation suivies aujourd'hui. Il est à craindre néanmoins 
que les efforts des analystes viennent échouer longtemps encore 
contre les immenses difficultés d'un problème posé cependant si 
nettement : les lois de la Nature ne sont pas toujours simples 
pour les calculs des mathématiciens. En présence de ces diffi- 
cultés, il n'y a certes pas lieu d'être étonné des quelques désac- 
cords (jue présenlenl avec Tobservalion les théories de la Lune et 
de Mercure; on peut penser que c'est à noire impuissance ana- 
lytique, et non pas à la loi même de la gravitation universelle, qu'il 
faut attribuer ces légères discordances. 

L'Astronomie d'observation a fait à la Physique des emprunts 
de plus en plus étendus. La Photographie appliquée à l'Astro- 
nomie est devenue un puissant auxiliaire de l'Astronomie de posi- 
tion, en permettant d'entreprendre la Carte céleste internationale. 
La Spectroscopie avait, dès sa naissance, trouvé dans le ciel une 
de ses plus remarquables applications; elle a, depuis, révélé la 
constitution de prescpie tous les astres, depuis les comètes jus- 
qu'aux nébuleuses et même, au moyen de la méthode Doppler- 
Fizeau dont nous parlerons en Pliysi(|uc, décelé la vitesse de leurs 



MÉLANGES. Î9 

mouvements propres. Si la Photographie et la Spcctroscopie ont 
pu ainsi changer en quelque sorte la face de l\\slronomie d'ob- 
servalion, cela est dû pour une bonne part aux perfectionnements 
apportés à la construction des instruments, et en particulier à la 
puissance des objectifs que Ton emploie aujourd'hui. Il existe 
maintenant plusieurs lunettes ayant un mètre d^ouverture, et tout 
le monde a vu à l'Exposition la grande lunette de 60™ dont Tob- 
jectifa i",20 de diamètre. Un examen rapide des divers corps du 
système solaire, puis des systèmes beaucoup plus éloignés formés 
par les étoiles et les nébuleuses, nous montrera les résultats essen- 
tiels obtenus en Astronomie dans ces dernières années. 

Il est indispensable de connaître la forme, les dimensions et 
les mouvements de la Terre que nous habitons. L'Europe presque 
tout entière a été couverte de triangles géodésiques. Les Anglais 
ont triangulé Tlnde, et au Cap ils ont étendu Tare de La Caille 
qu'ils songent à prolonger jusqu'à la Méditerranée. La France 
reprend en ce moment l'arc du Pérou, tandis que des missions 
russe et suédoise mesurent un arc au Spilzberg. Les mesures 
relatives à la gravité sont toujours le complément indispensable 
des opérations géodésiques. Tandis que jusqu'ici on s'est servi 
presque exclusivement dans ce but du pendule, M. Eolvos vient 
de modiGer la balance de torsion, en remarquant que la pesanteur 
aux divers points de celte balance n'est pas la même que celle au 
centre de gravité autour duquel se font les oscillations, ce qui 
produit un couple. Son ingénieux appareil a reçu un grand prix à 
TExposition. 

Le mouvement de translation de la Terre donne, comme on 
sait, naissance à ce qu'on appelle l'aberration, d'après laquelle 
nous ne voyons pas exactement les étoiles à leurs places réelles ; 
la constante si importante de l'aberration lie paraît pas encore être 
connue avec la précision désirable. Dans le déplacement annuel 
de la Terre autour du Soleil, son axe de rotation ne reste qu'à peu 
près parallèle à lui-même ; ses mouvements correspondent à la 
précession et à la nutation, phénomènes qui produisent les varia- 
tions de longitude et de latitude en chaque point de notre globe. 
Dans ces dernières années, aucun problème astronomique n'a 
suscité plus de recherches que celui de la variation des latitudes. 
Le mouvement en spirale du pôle sur la surface terrestre est main- 

BêUt. des Sciences malhém,, a* série, l. XXVI. (Février 1902.) 4 



5o PUEMIÈKE PARTIE. 

tenant établi, et il est hors de doute que dans les variations 
de latitude résultant des mouvements du pôle il existe deux 
termes périodiques dont l'un, découvert par M. Chandier, est de 
\/\ mois, l'autre étant d'une année. Il resterait à démêler les 
causes météorologiques, géologiques ou autres, produisant ce 
mouvement si complexe. 

Les études d'Astronomie physique sur le Soleil et la Lune se 
poursuivent régulièrement. C'est surtout au spectroscope que 
nous devons nos connaissances sur la constitution physique du 
Soleil. Ce merveilleux instrument montre que la plupart des corps 
connus à la surface de la Terre existent dans le Soleil à Tétai de 
vapeur, et même, chose singulière, il a révélé dans le Soleil 
l'existence de l'hélium près de 3o ans avant que ce gaz fût 
découvert parmi les éléments terrestres. Au-dessus de la pho- 
tosphère se trouve une enveloppe rose et mince qui l'entoure, 
la chromosphère. Çà et là celle-ci s'élève à de grandes hauteurs, 
formant ainsi des flammes qu'on appelle les protubérances. En 
1868, MM. Janssen et Lockyer avaient montré qu'on pouvait les 
observer en dehors des éclipses; leur spectre, contenant un grand 
nombre de raies brillantes, a été étudié avec soin, et MM. Haie et 
Deslandres ont même pu obtenir des photographies des protubé- 
rances. En interprétant, avec le principe Doppler-Fizeau, les 
déplacements des raies du spectre des protubérances, on a trouvé 
que ces flammes sont le siège de mouvements extrêmement 
rapides. Au-dessus de la chromosphère se trouve la couronne, 
qui forme la dernière et aussi la plus mystérieuse des enveloppes 
solaires. On l'aperçoit seulement pendant les éclipses totales de 
Soleil sous forme d'auréole à lumière argentée entourant le Soleil 
et la Lune. La couronne n'étant observable que quelques heures 
par siècle, nos connaissances sur sa nature progressent lentement. 
Parmi les raies brillantes de son spectre, on remarque surtout 
une raie verte produite par une matière encore inconnue sur 
la Terre, le coronium. D'après les observations des dernières 
éclipses, M. Deslandres pense que la couronne tout entière tourne 
dans le même sens que le Soleil. 

La portion de la surface de notre satellite tournée vers la 
Terre commence maintenant à être connue avec une grande pré- 
cision, grâce aux photographies lunaires faites par MM, Lœvy et 



MÉLANGES. 5( 

PuiseuiL avec le grand éqiiatorial coudé de rObservaloire de Paris. 
Uq grand nombre de Caries de leur magninque Atlas ont déjà 
paru, représentant la Lune à J'échelle de i""" pour iSoo*". 
Plusieurs astronomes pensent actuellement que la Lune doit 
avoir une légère atmosphère qui aurait eu autrefois une densité 
beaucoup plus forte qu'aujourdMiui. 

N^ous avons vu les difficultés subsistant au point de vue de la 
théorie de la planète Mercure. Au point de vue physique, sa 
surface ne présentant jamais que de rares détails difficiles à 
saisir, on a encore quelques doutes sur la durée de sa rotation 
autour de son axe. Longtemps la durée admise a été d'environ 
24 lieures, mais, d'après les observations récentes de M. Schia- 
parelli, confirmées par M. Perrotin, elle tournerait sur elle- 
luénie dans le même temps qu'elle tourne autour du Soleil, soit 
88 jours. Quoique la planète Vénus soit Tastre le plus bril- 
lant, du ciel, après le Soleil et la Lune, on sait peu de chose de 
sa constitution physique, sans doute a cause de son atmosphère 
épaisse: la durée de la rotation est regardée par MM. Schiaparelli 
et F^errolin comme égale à 225 jours. Toutefois, des observations 
speo troscopiques très récentes, annoncées par M. Bélopolskj, 
tendraient à la ramener à peu près à 24 heures. 

I— a question des canauv de Mars n'a guère avancé dans ces der- 
nièr^Cîs années. Pour les petites planètes comprises entre Mars et 
Jupiter, leur nombre s'accroît sans cesse et on les découvre 
maintenant par la photographie. Le plus intéressant de ces 
astéroïdes est Éros, qui a été découvert par M. AVitt, à IJcrlin, 
en 1 898; il présente cette particularité unique de se trouver par- 
fois entre Mars et la Terre, et de passer à une faible distance de 
celle-ci. On aura ainsi un moyen de trouver la distance d'Éros à 
la Terre, et, par suite, de fixer avec une précision jusqu'ici irréa- 
lisable les dimensions du système solaire; une entente s'est 
établie à ce sujet entre divers Observatoires à la dernière Confé- 
rence astronomique internationale. Un autre événement astrono- 
miqiie important a été la découverte faite en 1892, par M. Barnard, 
à 1 Observatoire Lîck, d'un cinquième satellite de Jupiter dont la 
révolution autour de la planète est d'environ 12 heures. 

*^s questions se rattachant aux comètes sont très nombreuses ; 
<^<^sl un des problèmes les plus intéressants à Tordre du jour, 



52 PREMIÈRE PARTIE. 

tant au point de vue de PAstronomie de position qu'au point 
de vue de TAstronomie physique et de la Cosmogonie. On a 
pensé longtemps que les comètes venaient des espaces interstel- 
laires et pénétraient le plus souvent en étrangères dans le système 
solaire pour en sortir ensuite, mais on admet maintenant qu'elles 
appartiennent an système solaire. La désagrégation des comètes 
paraît tenir surtout à Faction du Soleil et des planètes, Taction 
prépondérante étant celle du Soleil, qui agit lentement par son 
attraction et plus énergiqucment par sa chaleur. Des comètes aux 
étoiles filantes, la transition est immédiate. La parenté entre les 
deux espèces de corps est indéniable, mais, malgré les beaux 
Travaux de M. Schiaparelli, bien des questions restent ouvertes, 
et la désagrégation des comètes ne sufHt probablement pas à 
expliquer comment la Terre rencontre tant d^essaims d'étoiles 
filantes. 

Si, du système solaire, nous passons au monde sidéral, nous 
voyons se dresser les problèmes les plus grandioses. Il est inutile 
d'insister à nouveau sur Timportance de la photographie pour la 
formation d'une (larte céleste et d'un Catalogue d'étoiles. Ce 
travail immense est en excellente voie; le Catalogue, qui doit ren- 
lerincr les coordonnées exactes de deux à trois millions d'étoiles 
jusqu'à la onzième grandeur, sera même terminé d'ici peu. Un 
des problèmes les plus captivants de l'Astronomie sLellaire est la 
recherche des étoiles doubles ou multiples ; longtemps négligée 
en France, cetttî branche de l'Astronomie est maintenant cultivée 
avec succès, notamment par MM. Callandreau, Bigourdan et 
Perrotin. L'étude du mouvement des étoiles doubles ou multiples 
a révélé en (pielque sorie l'unité primordiale (jui règne dans 
l'Univers, car elle a montré que, dans ces systèmes éloignés, la 
nialière obéit aux mêmes lois de Taltraction (|uc dans le système 
solaire. De» plus, on a pu, en observant le dédoublement pério- 
(ll(|ue (le certaines raies spectrales, conclure (|ue (juelques étoiles, 
simples sous les plus forts «grossissements, étaient doubles et 
animées d'un mouvement relatif orbital. Kniin, une autre classe 
d'étoiles doubles est formée* par celles (|ui ont un compagnon 
obscur, dont la présence n'est révélée (|ue par l'irrégularité du 
mouvement propre? de Tél^iile principale : Ici est le cas de Sirius. 
Mentionnons i-ncorr 1rs rltHlcs dont réclal rsl \iiriable, le> 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE. 53 

étoiles nouvelles comme celle qui apparut de décembre 1891 à 
avril iSga dans la constellation du Cocher, et enfin les nébu- 
leuses, dont on fixe aujourd'hui avec la plus haute précision pos- 
sible la position actuelle dans le ciel. Le nombre des nébuleuses 
connues a considérablement augmenté, principalement par suite 
des belles observations faites dans ces dernières années, à Paris, 
par M. Bigourdan; leur intérêt tient surtout au rôle capital que 
ces astres jouent dans les théories cosmogoniques, chaque nébu- 
leuse paraissant constituer un monde stellaire en formation. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE. 



Adams (J.-C). — Scientijic Papers. T. II. In-4'*. London, Clay. ij sli. 

A?cDOTER (H.)- — Leçons sur la théorie des formes et la géométrie 
analytique supérieure, T. I. In-S", vni-5o8 p. Paris, Gaulhier-Villars. 

FaETCiNET (G. DB). — Essai sur la philosophie des Sciences {A na- 
iy-Me : Mécanique). 2* édit. In-8°. xiii-336 p. F^aris, Gaulhier-Villars. G fr. 

Jahibucii ûber die Fortschritte der Mathematik ^ begrundct von 
C Obrtmann, herausgeg. von E. Lampe. 29. Bd. Jahrg. 1898. (In 3 
lieCtcn.) I Heft. gr. in-8°, 4iG p. Berlin, G. Reimer. i3 m. 

KiLLi?» (W.). — Lehrbuch der analytischen Géométrie in homo- 
/^enen Koordinaten.i ThI. Die ebene Géométrie, gr. in-8*, xui-ido p. 
avec 5o fig. Paderborn, Schoningh. 4 m* 

LoaKNTZ (H. -A.). — Lehrbuch der Differential- u. Integralrechnung 
u. der Anfangsgrûnde der analyt. Géométrie, Unler Mitwirkg. d. 
Verf. ûbcrsetrt von G.-C. Schmidt. Gr. in-8*, VII-47C p. avec 118 fig. 
Leipzig, Barth. 10 m.; relié 11 m. 

Tbotiia (Tu.-V.). — Die kubische Gleichung u, ihre Auflôsung fïir 
réelle^ iniagindre u, komplexe Wurzeln, Ein Versuch. Gr. 10-8", 
flf-L\l p. Berlin, Ernst und Sohn. 2 m. 5o pf. 

Ueur angewandte .\fathematik und Physik in ihrer liedeutung fiir 
den Unterricht an den hnheren Schuîen. Scbst Erlduterunir der bc- 



j.\ PUEMlEUE PAiniR. 

5rt^/. Gôttinffcr Universitâtseinrichtungen. Vorirâge, gesammelt von 
F. Klein u. K. Riccke. gr. in-8", viii-242 p. avec 84 fig. Leipzig, Tcubncr. 
Relie, G m. 

Wkbkr (H.). — Die partiellen Differentialgleichungen der maihe- 
matisc/ten Physik, Nach Hi.einann's Vorlesungcn. In-4 Aufl. neu. bearb. 
i B(l. gr. in-8*, xviii-fioG p. avec portraits. RrauDSchweig, Vieweg und 
Sohn. 10 m. 

Jankt ( P.). — Leçons d^électro technique générale, In-8", ix-Gi4 p. 
avec 137 fijî. Paris, Gaulhicr-Villars. uo fr. 

Mascart (Iî.). — Traité de magnétisme terrestre. In-S*», vi-44^ P- 
avec fig. Paris, Gaulliier-Villars. 1 > fr. 

Bksskl. — Zivôlf liriefe an Olbers, (A us den Sitzungsberichten der 
prcuss, Akad, ti, Wissvnsch.) Gr. iii-8", 18 p. Berlin, G. Beimer. i m. 

BorciiK (K.)ol Lkvy {\,.). — Analyse infinifésimale, à l'usage des 
Ingénieurs, T. 1 : Calcul dijfércntiel. hi-8". viii-559 p. Paris, Gauthier- 
Villars. 

lUuTROix kV.). — l/Imagination et les .}f a thématiques, selon Des- 
cartes, ln-8'\ *»i p. Paris, Aloaii. •» fr. 

KNt:^Ki.oi»vniK der mathematischcn Wissenscha/tcn m, Kinschluss 
ihrer Anwcnilungcn. itcrausgeg. im Au/trage tler Akademieen d, 
Wissenschtiftcn iu Mùnchcn 11. llVr/i. oio. Il Bd. Anaivsis. Redij;. von 
II. Burkhardt. 4- Hofl. (îr. in-S"". I.oiprij:, Toubnor. 4 >"• 80 pf. 

lluiRN vJ.-i»,V — S\ nopsis der h%*hcren Atathematik. 111 Bd. Diffe- 
rcntiat' m. inta.-ralrt'chnun::, à l.f;: Tir. in-i'*- Borlin. Hames. 5 ni. 

i>ST\v\iu's klassiAer der t'rakten U'issenschaf'ten. y^* IINIKL ln-8'*. 
t.oipfij:. Kusjolmann. Bolio, .» ni. i*> pf. 

t\'^fttmu : \' tu. V. VbcK Vbhjiluiiunj; ubcr omo Ivsondcrp klassr alge- 
hr4i>oh 4«f^<*loxtor (%louhuiucu v.Ss>V Hcrausjîf j; . xoii V, Iav^%%\. .So p. 
»i.» pt. \' lî^. V. l. i\iuoh\. Vbhjn«{Uiiu ul*or bcstiinmt<r Intégrale 

twix.hcn iuui;«ii^i>rn liimidi. \«S:»^ llcrjiu^^ri:. \on P. Slàckcl. 80 p. 
I m. î» yi \* tî.î l.açr^njtr un.l \ jiuchx, /wci VMutuiUins:^n lur Théorie 

ùoi )MV*«iollfn huVoivulMUWu'luiniLx'o i v^»\ij: l;jv:uil »iu tVunoaiv p,ir li. Ko- 
waiow-^W». '» p I m 

\lU>ii:lK xJ, «*.'••;;'.■•:.:«..": .;'. * t.»' .:';>;. \»: in-<\ V|1I-.m> n. 

r\M\»H M I.- .x..xv.:.-V «..X l ..■.' \t : ^ ':::.<. T. III . 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE. 55 

IIaxdwobterbuch der Astronomie, herausgegeben von W. Valenliner. 
v?'t* livraison. Gr. in-S". Breslau, Trcwendt. 3 m. 60 pf. 

Jaiirbuch ûber die Fortsçhritte der Mathematik, begrundct von 
C- Ohrlmann, herausgep^. von E. Lampe. T. XXIX, année 1898, i' fasci- 
col<* Gr. in-8". Berlin, G. Reinier. ô m. 

>1i:ller (F.). — Mathematisches Vocabularium, franzôsisch-deutsch 
u. ^deutsch-franz.^ enth. die Kunstausdrùcke aus der reine n u, ange^ 
w€*ndten Mathematik, Première Partie (français-allemand). In-S**, 
i\- i3i p. Leipzig, Teubner. Paris, Gauthier-Villars. 8 m. 

Pascal (E.). — Répertoriant der hôheren Mathematik, Deutsche 
\usgabe von A. Schepp. Analysis u. Géométrie, i" Partie. Die Ana- 
lysis. Gr. in-8*, \ii-688 p. Leipzig, Teubner. Relié. 10 m. 

RoucHÉ (E.) et GosiBEROUSSE (C. de). — Traité de Géométrie. 7* édi- 
tion. 2* F^artie : Géométrie dans Vespace, In-8*, xviii-664 p. Paris, Gau- 
thier- Villars. 9 fr. 5o c. 

SchijÔiiilcii (O.). — Uebungsbuch zum Studium der hôheren Ana^ 
lyiis. n Thl. Aufgaben aus der Integrairecbnung. 4* édition par R. Henke. 
Gr. iii-8% viii-448 p. avec fig. sur bois. Leipzig, Teubner. 9 m. 

Sbuet (J.-A.). — Traité de Trigonométrie, 8* édit. In-80, x-336 p. 
Paris, Gauthier-Villars. 4 fr. 

Veiopfextlichungen des Centralbureaus der internationale n Erd- 
metsung, Neue Folge. N"' 1 et 2. Gr. in-4». Berlin, G. Reimer. 

Contenu : Bericht ûbcr die Thâtigkcit des Centralbureaus der internat. Erd- 
ncssuog im J. 1899, nebst dem Arbeilspian fur 1900. 28 p., 2 planches. 3 m. 
^- Coho, Ableitung der Declinatioacn u. Kigenbewcgungen der Sterne fUr dcn 
iotemat. Breitendienst. 63 p. 3 m. 

^LDAKERA (Fr.)' — Corso di mecanica razionale. T. l. In-8". Pa- 
lermo, Reber. 12 I. 5o c. 

Meitz (H.). — Electric waves; Researches on propagation of 
tlectric action with finite velocity through space. Traduit par 
^' 1^' Jones. In-8". 298 p. London, Macmillan. 10 sh. 

BotHM ( K.). — Zur Intégration partieller Differentialgleichungen. 
Gr. in-g", 55 p. Leipzig, Teubner. i m. 80 pf. 

DuiAT. — Éléments de Méthodologie mathématique. In-8", vii-i 102 p. 
Paris, Xony cl C". 

I^iioiEK (O.). — Lehrbuch der analytischen Géométrie, i Thl. Ana- 
l/tische Géométrie der Ebcnc. Gr. in-S", viii-35o p. avec 83 fig. Berlin, 
U. Th. Ilofmann. 6 m. 




ï.~;-il9 p. 



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ioruUL ftir die Mao anJ M^«nuiill<' Hai 



LIBRAIRIE GAI IHiKK-x II I vlisj 



KODCaË EucnF 



BULLET1^ 



ENn^SMATIlÉMATIQlES.iîn 



i'>ii)\, n. ncARO RT i. nMMiuv, 



i Au la CummiatitiD d«i Rsnttts Êtodea. ^ ï = * * 

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«i.lilcl'l i. IJtNKItM ^ ; " 



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U'LIblItlIIB 

l'titïTf'tlWIflll. 



LIBRAMIIE GAUTniKn-VILLAn^ 

qDAIDH««B*XI>»-AC(iVSti!<e,S^, A PARIt. 



fUSItilCATIOli I Cl." 



p la UiAontj •)•> 



IuA'.^»//c ^^.Mlft 






EéiMntfilqi 



lABBOTI^B. :B.' 



(AVPKI.I. !P->. 



cMirim Nlstbr>i|Ui 



i:OMPTES RENDUS ET ANALYSES. 



COMPTES UENDUS KT ANALYSES. 



PICARD (E.}. — (JiKLOi'Es BKFi.ExioNs Sun r.v Méuamul-k snivios crime l'nK- 
xiÈBB Leçon DK UvNAViQL'E. I vol. in-«, ■(() |in^cs. ii(H9^, l'jirifi, ll;iiilliiiT- 
ViUars. 



La première l'arlic de cnL inlûrRssant uftusciilc a paru ilans lu 
Bulletin; quant à la Premii-re Leçon de Dynamiijui' (jiii lo tcr- 
nioe, tous ceux <]iii â'îiilùre'i.sdiil à rensci<;tipinciil di; la ^l>.>cani(|iio 
nmdronl sûrement la lire et la méditer. Il nous suffini, en l'iin- 
Bonçant, d'indiquer rapidement la suite des idées de l'auteur. 

M. l'icard définit d'abord le cliam|) <!•' forces con^tanlos et 
introduit, pour ce. cas, le principe de riiKlé|)ondani'o de l'elfet 
des forces et du mouvement antérieurement acquis. Ce principe 
lui permet d'élablirla constance dernccéléralion. ]l insiste ensuite 
«r 11 difTérencc entre la conception th'H(tmiqti<- de la force 
conitaote, ainsi obtenue, cl la conception sfittif/iie. Que les 
Bonilires représentant 1rs forces envisagées an point de vno sta- 
tiljaeet au point de vue djnamitpie soient proportionnels, c'est là 
un riiullat expérimental. L'expérience iipprend aussi que dans 
un même cliatnp raccêlération du mouvement produit, que) que 
Mit le poÎQl matériel, est la même. Ce principe expérimental 
«enduit à altriluieranx iliirércnts points matériels des coeflieienls 
numériques (masses) (|ui apparaissent d'abord comme un sy-ilème 
de Doinlircs proportionnel^. La relation 



I'"' 



■""itreque, si, pour un point tli 
"«pour tont autre point !■' = i 
'«ucni précisée par lu <[<'-linitio 
•l'initès. L'éyalité fîéomélrl.]ue 
'"Pposp plus <)ne la force si.il coi 
M mouvement réel du poinl cum 
■^""'cmeiits discontinus produits par <l< 

""Il -tu Sri.-111-e^ iilflllir,,,.. i- -^.li,'. I. WVI. 



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58 PUEMIËRE PARTIE. 

Quelques exemples simples mettent en évidence la portée et 
l'usage de cette égalité. La Leçon se termine par quelques défini- 
lions relatives au travail dUine force et aux imités employées 
pour le mesurer. 



MELANGES. 



LE CATALOGUE INTERNATIONAL DE LITTÉRATURE SCIENTIFIQUE ('): 

Par m. Gaston DAHBOUX. 

Dans un article du Journal des Savants, où nous avons rap- 
pelé les démarches et les pourparlers qui ont précédé et pro- 
voqué la formation de V Association internationale des Aca- 
démies, nous avons fait allusion plus d'une fois au Catalogue 
international de littérature scientifique, dont la Société Royale 
de Londres a pris l'initiative et assumé la publication. Nous 
revenons aujourd'hui sur ce sujet pour faire connaître, d'une 
manière phis complète, le but, le plan et l'étendue de cette entre- 
prise bibliographique. Le sujet, sans doute, est aride et un peu 
sévère, mais l'entreprise est sans précédent; et il a fallu, pour la 
faire réussir, un concours d'efforts et de bonnes volontés sur 
lequel il est peut-être intéressant d'insister. 

Depuis longtemps, on le sait, la Société Royale de Londres était 
engagée dans la publication d'un Catalogue des Notes et Mémoires 
scientifiques {Catalogue of scientific Papers)^ bien connu à la 
fois des bibliothécaires et des savants. Ce répertoire contenait, à 
l'exclusion des Ouvrages séparés dont la recherche est relative- 
ment facile, les titres des Notes et Mémoires publiés dans les 
Revues et Journaux scientifiques du monde entier depuis le com- 
mencement du xTx' siècle, ces litres clant classés seulement dans 



(') K\tr;iil <ln Journal des Sfnants. 



MÉLANGES. 5o 

l'om^dre alphabrliqiic «les noms d'auteurs. C'élail un savant anu'ri- 

ca î ■^1 M. le professeur Henry, de Washington, qui, le premier, au 

Congrès de TAssocialion britannique tenu en i855, avait appelé 

Ta t, lenlion sur les services que pouvait rendre un tel Catalogue; et 

dtV ^ ï^oj, la Société Royale en commença la publicalion. De|)uis 

ce 1. te date, 1 1 volumes in-4" ont été successivement publiés, com- 

prc^ nanties litres des Mémoires parus depuis 1800 jusqu'à i883. 

Lcïs» lacunesque présentaient les premiersVolumes ont été comblées 

en parlie dans les derniers ; un Catalogue supplémentaire, qui 

co v:m tiendra tous les Mémoires dont les titres ont été omis dans les 

Vol unies précédents, est complètement achevé et va paraître dans 

quelque temps. La Société Royale a l'intention de compléter le 

travail dont elle a pris la charge et de le conduire jusqu'à 

l'aiti née 1900. Il y a plus : grâce à la libéralité d'un de ses membres, 

M. le docteur Ludwig Mond, elle l'accompagnera d'un index par 

ordre de matières, qui facilitera les recherches et accroîtra nola- 

blenent l'utilité de cette belle publicalion. Ainsi se Irouvera 

achevé le Catalogue bibliographique de l'œuvre si importante 

accomplie dans tous les ordres de recherches scientifiques durant 

le siècle qui vient de finir. 

C'est à partir de 1901 que prendra donc naissance le nouveau 
Catalogue international de littérature scientifique dont nous dési- 
rons entretenir nos lecteurs. Il faut d'abord faire connaître les 
motifs vraiment impérieux pour lesquels la Société Royale a cru 
nécessaire d'interrompre son œuvre ou, plus exactement, de faire 
appel, pour la continuer, à la coopération des savants de tous les 
pays. Depuis le commencement du xix* siècle, les recherches 
scientifiques se sont accrues dans une proportion dont on se fera 
une idée d'après les chifFrcs suivants. Si on laissait de coté les col- 
lections académiques, d'ailleurs peu nombreuses et paraissant à 
des intervalles éloignés, on pourrait sans doute faire tenir en une 
p*ge la liste des périodiques cjui, vers l'année 1800, s'occupaient 
des Sciences pures ou de leurs applications. Il y a aujourd'hui près 
de 10000 périodiques de ce genre : 900 environ en France, i3oo en 
Allemagne, 1000 en Américjuc, etc. Pour composer le nouveau 
Catalogue, il faudra donc, nous ne dirons pas analyser, mais par- 
courir tout au moins ces io(K)o périodiques, qui sont écrits dans 
(odlcs les langues possibles c\ traitent les sujets les plus variés. 



Go PREMIÈRE PARTIE. 

On conçoit bien qu'une telle entreprise ne peut être centralisée, 
qu'elle dépasse les moyens et les ressources de toute Académie, 
quelque puissante et quelque active qu'on la suppose. De plus, 
les savants s'accordent à reconnaître, depuis longtemps, qu'un 
catalogue par noms d'auteurs ne rend que des services incomplets. 
Ce qui est vraiment utile, c'est la classification par ordre de 
matières; elle seule répond aux exigences des travailleurs, dont le 
désir très légitime est d'être renseignés, aussi complètement et 
aussi promptement que possible, sur toutes les découvertes 
publiées dans le domaine qui les intéresse plus particulièrement. 

La publication du Catalogue par noms d'auteurs devait amener 
naturellement la Société à s'occuper de toutes ces questions; après 
avoir pris l'avis des personnes les plus compétentes et s'être assuré 
l'adhésion des divers corps savants, elle provoqua la convocation 
d'une Conférence internationale, qui se réunit à Londres, du i4 au 
i^ juillet 1896, et qui réunit les représentants officiels des pays 
suivants: Allemagne, Autriche, Belgique, Danemark, Etats-Unis, 
France, Grande-Bretagne, Grèce, Hongrie, Italie, Japon, Mexique, 
Norvège, Pays-Bas, Suède, Suisse, Canada, colonie du Cap, Indes, 
Natal, Nouvelle-Galles du Sud, Nouvelle-Zélande, Queensland. 

La Conférence comprenait une quarantaine de délégués. Ceux 
de la France, MM. Deniker et Darboux, avaient reçu pour mission 
de prêter leur concours à une œuvre dont l'utilité, je dirai presque 
la nécessité, ne paraissait pas pouvoir être contestée. La Confé- 
rence fut présidée par l'honorable sir John Gorst, délégué du 
Gouvernement britanni([ue, avec un talent et une courtoisie aux- 
quels nous sommes heureux de rendre hommage. 

On s'enlendit tout d'abord, et sans peine, sur le point essentiel. 
Tous les délégués s'accordèrent à reconnaître qu'il était désirable 
de compiler et de publier, à l'aide de la coopération internatio- 
nale, un Catalogue complet de littérature scientifique, classé sui- 
vant les sujets et aussi suivant les noms des auteurs. On déclara 
également que, dans la préparation de celle publication, on devait, 
avant tout, avoir égard aux exigences des chercheurs, afin que 
ceux-ci pussent, à Taide du Catalogue, trouver, avec le minimum 
(l'efi^ort, tout ce qui aurait <'lé publié sur une question ou sur un 
sujet donnr. 

(les points élant éliiblis d'un accord unanime, il fallait aborder 



MÉLANGES. 6i 

les moyens d'exécution. On s'arrtHa à l'organîsalion suivante, qui 
élaîl en quelque sorte imposée par la nature de l'œuvre à entre- 
prendre. On décida d'abord que les matériaux nécessaires à la 
confection du Catalogue seraient, autant que possible, recueillis 
dans les difl(érents pays par désorganisations locales ou Bureaux 
régionaux y constitués à cet cflet; que l'édition définitive et la 
publication du Catalogue seraient confiées à un Bureau central 
iniernationaly chargé de recevoir, de contrôler, de classer et de 
faire paraître les documents envoyés par les différents bureaux 
régionaux; que ce Bureau central serait placé à Londres et qu'il 
accomplirait sa tâche sous la direction et le contrôle d'un Conseil 
international f composé d'un petit nombre de délégués des prin- 
cipaux États. 

Ces différentes décisions réglaient, sous la forme la plus précise 
et la mieux appropriée, l'organisation du travail qui devait être 
accompli pour l'exécution du Catalogue; mais il restait à examiner 
un grand nombre de questions délicates et difficiles relatives au 
plan et à l'étendue de ce travail. La Conférence décida tout d'abord 
que le nouveau Catalogue serait, comme l'ancien, exclusivement 
consacré à la Science pure, dégagée de toutes ses applications; mais 
elle fit disparaître avec raison l'exclusion qui frappait les brochures 
el les ouvrages séparés. Une de ses résolutions porte, en effet, 
que le nouveau Catalogue devra comprendre toutes les contribu- 
tions originales aux diverses branches de la Science qui paraîtront, 
soit dans les revues, soit dans les recueils des Sociétés savantes, 
soit comme livres, brochures ou mémoires indépendants. Ce point 
ne souleva pas de difficultés. On eut, au contraire, quelque peine 
à dresser la liste des Sciences qui devaient figurer dans le Cata- 
logue et Ton s'arrêta à la rédaction suivante qui réservait les points 
sur lesquels l'accord n'était pas complet : 

M Devront entrer dans le Catalogue toutes les contributions aux 
Sciences mathématiques, physiques et naturelles; par exemple : 
Mathématiques, Astronomie, Physique, Chimie, Minéralogie, 
Géologie, Géographie mathématique et physique, Botanique, 
Zoologie, Anatomie, Pathologie générale et expérimentale, Psy- 
chologie expérimentale, Physiologie et Anthropologie, à l'exclu- 
sion de ce qu'on nomme parfois les Sciences appliquées; les 



62 PHliMIÊUE PAHTIE. 

limilcs de ces différenles Sciences seront délcrminées ullérieiire- 
menl. >> 

Mais la question qui souleva les discussions les plus vives fut 
celle de la classiflcation à adopter pour le nouveau Catalogue. Les 
délégués de la Belgique, MM. La Fontaine et Otiet, étaient deux 
des directeurs de V Institut international de bibliographie, qui 
a été établi à Bruxelles en 1895, sur l'initiative d'une Conférence 
bibliographique internationale, et Ton sait que cet Institut a 
adopté le système décimal du docteur Dewev. Une discussion un 
peu confuse s'engagea sur ce système, qui, appuyé par le délégué 
autrichien, fut combattu par d'autres et en particulier par les deux 
délégués américains, le docteur Billings et le professeur Newcomb. 
On ne (ït pas, à notre avis, une distinction assez nette entre deux 
points essentiels. Dans le système Dewey, comme dans tout s^'s- 
tème de classification, il y a deux choses bien distinctes : le clas- 
sèment des matières et des sujets, qui est le point essentiel, et, 
d'autre pari, le système d'indexation. Les objections au classe- 
ment, tel qu'il avait été établi par Tcdition de 1894 du système 
Dewey, nous paraissent des plus sérieuses. Il y a, au contraire, 
des choses intéressantes dans le système d'indexation adopté par 
le Bureau bil)liographi(|ue de Bruxelles. ISous avons visité cet 
Institut en 1898 et nous avons été frappé de l'importance des 
résultats qu'il a obtenus avec un |)crsonnel et des moyens relati- 
vement restreints. 

Finalement la Conférence déclara (ju'elle ne pouvait accepter 
aucun des systèmes récemment proposés et décida que la question 
(le la classification devait faire l'objet de nouvelles éludes. 

Elle examina ensuite sons quelle forme le Catalogue devrait être 
composé. Comme la question financière n'avait pas été soulevée 
el comme les délégués ne pouvaient se rendre compte encore de 
loiites ses difficultés, (juelques-uns firent les propositions les 
plus larges. On voulait à la fois un Catalogue sur fiches, un Cata- 
logue |)ar ordre de matières et un Catalogue par noms d'auteurs. 
La (Conférence décida que le Bureau central éditerait le Catalogue 
sous forme de fiches et que les fiches relatives à une ou plusieurs 
sciences, ou à (|uelqucs-uncs de leurs sections, seraient fournies 
au public par les soins du Bureau central. Elle décida égalemeni 



MÉLANGES. 63 

que le Bureau central aurait à publier le Catalogue sous forme de 
livre à des intervalles régulièrement espacés. 

En résumé, deux questions essentielles avaient été réservées : 
celle de la classification et celle des moyens financiers à adopter 
pour la confection et la publication du Catalogue. La Société 
Royale fut priée de choisir dans son sein un comité qui aurait 
pour mission de les résoudre en même temps que quelques autres, 
moins importantes, laissées en suspens, et de faire un rapport 
sur ce sujet à tous les Gouvernements intéressés. 

Tel fut le résultat de la première Conférence; il était, somme 
loute, très encourageant. Tous les délégués avaient pris part aux 
discussions en manifestant le désir le plus sincère de voir aboutir 
Tœuvre considérable proposée par la Société Royale ; des réso- 
lutions précises et concordantes avaient été adoptées sur les points 
principaux. Les discussions qui avaient eu lieu sur les questions 
réservées avaient donné aux délégués Tidée la plus nette des dif- 
ficultés qui se présentaient encore; et ces difficultés étaient loin 
de paraître insurmontables. 

Le comité que nomma la Société Royale, sur l'invitation qui 
lui avait été adressée par la Conférence, travailla près de 2 ans. 
Il élabora des classifications très étendues et très détaillées pour 
les diflercntes sciences qui devaient figurer dans le Catalogue; il 
serra de près aussi la question financière en faisant connaître, 
dune manière aussi approchée que possible, les dépenses qu'en- 
IraÎDerait la publication du Catalogue projeté. Son rapport, publié 
ca mars 1898, fut envoyé à tous les Gouvernements, qui furent 
invués à prendre part à une deuxième Conférence internationale, 
dans laquelle on s'efforcerait de résoudre toutes les questions qui 
**'aieni été réservées. 

Celle deuxième Conférence se réunit à Londres du 1 1 au 
i3 octobre 1898. Elle comprenait des délégués de tous les Gou- 
^'crnements représentés à la première, à l'exception du Dane- 
"•rk, de la Grèce, de riialie, du Canada et de la Nouvelle-Galles 
du Sud. Confirmant presque toutes les résolutions adoplccs dans 
«prenaière réunion, elle ne put cependant parvenir à des résolu- 
tJOns définitives en ce qui concernait les deux questions princi- 
pales qu*elle avait à résoudre, à savoir la classificalion par ordre 
de matières et les moycnj» financiers. Toulefois, les vues qui furent 



64 PREMIERE PARTIE. 

échaQ::ées sur ces deux poinls essenliel s furent loîo d'élre iouliies, 
et Ton put s'entendre notamment sur les principes qai devaient 
ré^ir le s%'§lème de classification. Un Comité intemational provi- 
soire composé de huit membres fut chaîné d'élaborer le plan défi- 
nitif du Catalogue projeté. 

On étudia aussi de plus près les questions relatives à la partici- 
palidti financière des différents Gouvernements, et il fut reconnu, 
sur la proposition des délégués français, que la forme la plus faci- 
lement réalisable de celte participation était celle d*ane souscrip- 
tion à un nombre déterminé d'exemplaires du Catalogue* garantie 
par chacun des Gouvernements pour une période de 5 ans. 

Le Comité international provisoire chargé d*exécuter les réso- 
lutions delà ijonférence se réunit à Londres du i"au 5aoûl 1899. 
Il se composait de sir M. Foster. de MM. Armstrong, Rûcker pour 
la Grande-Bretagne, de MM. F. Klein et Schwalbe pour TAIle- 
magne, de M. Koppeu pour la Russie et de M. H. Poincaré pour 
la France. Il prit connaissance des rapports envovés par les difie- 
rents pavs et adupla des classifications pour les 17 sciences qui 
doivent entrer dans le <^talogue. La liste de ces sciences fut 
définitivement arrêtée de la manière sui\ante : 

A. Maihôniati:jiie5. L. Biolo::îe centrale. 

B. >!ci:anique. >!. Botanique. 
C l'h^ïique. \. Zoologie. 

I». <^himie. O. Analomie de Thonime « v coni- 

E. Vrlr.tQomie. pri* l'His-lologie cl l'Embryo- 

F. M»^ltrori»l'»;zio \ c«»ni|»ri> I'* Io;;ie '. 

>!-jjnr:ti*njo lorrt^slre . î*. Anthropologie ph\5ique. 

G. Minr:ral'.»::ie ■ y conij-ris la P»*- O. Ph\*ioloirie 1 y compris la Psv- 

lroIo:;ioolljCri^iallourapliio.. cholo;:ie expérimentale, la 

II. r,t.:,|..^-ie. Pharmacoiogie et la Patho- 

J. G'-".:ra|'hie • inallicindti']<ii: et lo^îe e\|>érimentale ). 

|'h_\<ique . B. Bactériologie. 
K. Pjl'.'.intulo^i»:. 

Prenant surtout en roii^idératioii le> représentations du Gou- 
\rrii»'m«.'ul allemand qui tenduioiit à réduire le coiit de Tentre- 
pri-»-, le ^^«jinité pro\i>oire décida d'ajourner la publication dt 
^^idio^ue sur fiches. i|ui avait été prévue dans les deux premièreî 
< -onlérenccs, et aus^i de soumettre à une certaine limitation le 
nombre «Ic> ni'.utiun- diircreulc> ou dc> place- di>lincles qtie Toc 



MÉLANGES. 65 

pourrait attribuer à chaque Mémoire dans le Catalogue par ordre 
de matières. 

Une troisième Conférence se réunit à Londres, le 12 et le 1 3 juin 
1900, pour examiner les propositions précédentes et faire con- 
naître les résolutions définitives des Gouvernements. Elle accepta 
sans aucune difficulté les classifications qui avaient été proposées 
et reconnut que les engagements financiers pris par les Gouverne- 
ments représentés permettaient d'envisager l'avenir avec confiance. 
La Société Royale, qui, dans une question si ardue et si difficile, 
a montré un esprit de suite et une persévérance auxquels il con- 
vient de rendre hommage, leva d'ailleurs toutes les difficultés en 
se constituant comme éditeur du Catalogue au nom du Conseil 
international. La Société Royale consentit également à faire 
1 avance du capital nécessaire pour commencer l'entreprise, à 
charge d'être remboursée dans le délai de 5 années à partir 
de 1901. 

L'oeuvre entrait donc dans la période d'exécution. Les organes 
qui lui étaient nécessaires se sont, nous allons le voir, constitués 
avec la plus encourageante rapidité. 

li'abord le Conseil internationctl, qui a la responsabilité et la 
direction du Catalogue, a été nommé sans délai. Il se compose 
actuellement de sir Michaël Poster, de MM. les professeurs Riicker 
c^ Armstrong, du D"^ L. Mond, délégués de la Société Royale, de 
^1- H. Poincaré pour la France, du D^'Uhlworm pour l'Allemagne, 
de M. Nasini pour l'Italie. Le délégué des Étals-Unis sera désigné 
ultérieurement. 

A la première réunion du Conseil, qui a eu lieu le 12 décembre 
*9^c>, il a été décidé de commencer la préparation du Catalogue 
^ partir du i"janvier 1901. Les traités pour l'impression et l'édi- 
tion du Catalogue ont été approuvés. Pour pallier aux inconvé- 
nients, très grands selon nous, qui résultent de la suppression du 
v^talogue sur fiches, il a été décidé que le Catalogue sera imprimé 
sur deux colonnes et que l'on pourra livrer à tous ceux qui en 
feront la demande des exemplaires pour lesquels l'impression 
sera faite sur un seul côté de chaque feuille de papier, ce qui 
permettra de découper les volumes et de coller les titres sur des 
ncnes ayant les dimensions habituellement employées par les 
bibliothécaires. 



6(> PUËMIEKË FAUTIF.. 

Cliaquc édilion annuelle du Calaloguc aura 17 volumes, dont 
le prix sera de 17 livres sterling pour les Gouvernements partici- 
pants et d'environ 18 livres pour les particuliers. 

Le D*" H. Forster Morley a été nommé directeur du Bureau 
central. Ce bureau est installé à Londres dans le Strand, 34 et 
35, Soulhanipton Street, et Ton y travaille déjà à la préparation 
du Catalogue pour l'année courante. 

En ce qui concerne les Bureaux régionaux, les nouvelles 
sont au moins aussi satisfaisantes. Au mois d'août dernier, des 
Bureaux régionaux ])ourvus de toutes les ressources nécessaires 
avaient été constitués dans les pays suivants : 



France. 

Allemagne. 

Italie. 

Etats-Unis. 

Grande-Bretagne. 



Belgique. 
A II triche. 
Japon . 
Canada. 
Suisse. 



Norvège. 

Pavs-Bas. 

Danemark. 

Inde. 

Mexique. 



Colonie du Cap. 
Hongrie. 
Portugal. 
Grèce. 



Depuis, le mouvement s'est accentué : l'Académie de Cracovie 
a offert d'analyser tous les journaux écrits en langue polonaise; la 
Russie a constitué son Bureau régional sous la direction de M. le 
professeur Famintzine, de l'Université de Saint-Pétersbourg; la 
Finlande, l'Australie s'occupent des meilleurs moyens de cata- 
loguer leur littérature scientinque. J-.e succès étant assuré, il est 
clair qu'aucun pays ne voudra être oublié. 

Déjà les Bureaux régionaux ont envoyé 5 000 ficlies au Bureau 
central. Celui-ci ne reste pas inactif; il a publié en anglais les 
classifications et les instructions aux Bureaux régionaux. Tous ces 
documents ont été traduits en français, en italien et en allemand 
par les soins des Bureaux régionaux. Ces traductions ont paru ou 
vont paraître iiicessanunent, ainsi que les listes des périodiques à 
analyser, accompagnées des abréviations propres à désigner chaque 
j>ériodique. Nous avons déjà reçu la liste des périodic[ues français; 
clic comprend exactement 8.")3 numéros. Les listes relatives à 
rAIlcniagne, à la Grandc-Brelague et à plusieurs autres pays ont 
également paru. 

L'avenir Hnancier de Tœuvre se présente aussi sous l'aspect le 
plus encourageant. Les contributions des différents pays ont 
revêtu la forme de promesses de souscriptions annuelles a un 



MÉLANGES. fi; 

certain nombre d'exemplaires complels du Catalogue, ou à leur 
équivalent en volumes séparés pendant la période 1 901-1 906. La 
liste des souscriptions doit dépasser à ce jour 35o exemplaires. 

L'œuvre peut donc être considérée comme fondée; elle sera 
contrôlée périodiquement par une Convention internationale 
qui se réunira à Londres en igoD, puis en 1910, et ensuite tous les 
10 ans. Celte Convention s'occupera de Texanicn et, s'il y a lieu, 
de la revision des règles qui ont été adoptées pour la publication 
du Catalogue. En tout état de cause, ces régies ne pourront donc 
être modifiées avant l'année 1906. 

Dans l'intervalle entre deux réunions consécutives de la Con- 
vention internationale, Tadministration du Catalogue incombe au 
Conseil international. Ce Conseil, qui vient de se réunira Londres, 
a décidé que l'impression du Catalogue commencerait incessam- 
ment. 

Notre pays peut se rendre cette justice que, dès le début, il a 
donné avec empressement son concours le plus actif à une œuvre 
dont l'utilité était incontestable, mais dont la réalisation pouvait 
paraître bien difficile. Comme Ta fait remarquer avec grande rai- 
son la Société Royale dans l'exposé qu'elle a fait présenter à la 
récente assemblée générale de V Association internationale des 
Académies, les difficultés contre lesquelles les promoteurs du 
Catalogue ont eu à se débattre, alors qu'il n'existait aucun organe 
scientifique international, mettent en pleine lumière les services 
que cet organe pourra rendre en s'occupant des problèmes dont 
la solution nécessite la coopération de toutes les nations civilisées. 

Gastojv D.vrboux. 



SUR QUELQUES TRAVAUX RÉGENTS RELATIFS A LA NOMOGRAPHIE ('); 

Par m. Mauuick d'OCAGNK. 

Le principal objet de la présente Note est de donner une ana- 
lyse critique d'un Mémoire de plus de 3oo pages, publié 

( ' ) 1^ Traité de Nomographic que nous avons public en iS^i) à la librairie 
(■authîcr-Yillars sera désigne dans la suiio de colle Noie par les leitrcs T. de JV. 



G8 PUEMIËUE PARTIE. 

dans la livraison d^août 1901 du Bulletin de la Société des 
Ingénieurs civils, par M. Soreau, ancien élève de TEcole Poly- 
technique, sous le titre : Contribution à la théorie et aux 
applications de la Nomo graphie. 

Par la même occasion, nous signalerons quelques autres Tra- 
vaux relatifs au même sujet, parus depuis peu, et non dépourvus 
d'intérêt au point de vue purement mathématique. Nous indi- 
querons enfin, dans une Note annexe, le développement qu*a 
pris renseignement de la doctrine nouvelle dans diverses écoles 
techniques de la France et de l'étranger. 

Rappelons tout d'abord que la Nomographie traite de la repré- 
sentation des équations à un nombre quelconque de variables 
au moyen de Tableaux graphiques cotés dits abaques (*), ou 
mieux nonio g ranimes ^ suivant une proposition émanant de 
M. Schilling, professeur à l'Université de Goltingen. 



I. 



Le Travail de M. Soreau peut être considéré comme une expo- 
sition, sous une forme nouvelle en quelques-unes de ses par- 
lies, des principes fondamentaux contenus dans le Traité de 
Nomographie dont, en son ensemble, il suit l'ordre même à 
quelques variantes de détail près. Chemin faisant, d'ailleurs, 
il comj)lèlc ou généralise plusieurs de ces principes, comme on 
va le voir. 

iJisons tout de suite que la contribution personnelle de l'au- 
teur porte presque exclusivement sur les nomogrammes du type 
ù alignement, ce qui vient confirmer une fois de plus l'intérêt 
c|ui s'attache à ce mode particulier de représentation cotée, intérêt 
drjii mis en évidence [)ar le très grand nombre d'applications 
lechniquos qui ont suivi rétablissement de sa théorie dans notre 
hrocliuro de i8(ji ('-), el, plus encore, le développement de cette 



( ' ) D'aprrs >oii ct\iii(>lo;;ic. ce lormodoil cire réservé pour désigner les Tableaux 
;;rti|)iii(|iu-Mlotii la disposilion rappelle celle d'un damier ( a6a;). 

( - ) Xoniograpliic, Les calculs usuels e/fecCués au moyen des abaques. 
<:iia|.. IV Cl M. 



MÉLANGES. (>9 

théorie dans notre Traité de 1899 (*). Sur 80 exemples de 
nomogrammes qui servent à illustrer Texposé de M. Soreau, il 
nV en a pas moins de 67 du tjpe à alignement, dont 44 nouveaux 
traduisant des formules empruntées à la Géodésie, à THydrau- 
lique, à la Résistance des matériaux, à TArtillerie, à la Naviga- 
tion, aux Machines à vapeur, aux Chemins de fer, elc. 

Ce qui caractérise le mode d'exposition de M. Soreau, c'est Vem- 
ploi exclusif des coordonnées cartésiennes et, ce qui en est une 
suite nécessaire, l'usage constant des déterminants. L'idée de prin- 
cipe qui nous a conduit à formuler la méthode des points alignés a 
consisté à opérer une transformation dualistique des abaques car- 
tésiens, anamorphoses ou non, par la substitution aux coordon- 
nées cartésiennes de certaines coordonnées tangentielles spéciales 
que nous avions étudiées sous le nom de coordonnées parallèles. 
Et de fait, ce sont bien là ce qu'on peut appeler les coordon- 
nées naturelles de la question (^). Mais il est clair qu'une fois 
obtenus par cette voie, les nomogrammes à alignement peuvent 
èlre décrits au moyen de tout autre système de coordonnées, et 
notamment au moyen des coordonnées cartésiennes. Nous avons 
même très explicitement mis en lumière (•**) le lien qui existe 
entre les équations servant à exprimer le principe de la méthode 
Jans l'un ou l'autre système; et si, pour des raisons que nous 
*fOQs fait connaître (*), nous avons préféré nous en tenir, d'une 
"lanière générale, à l'emploi des coordonnées parallèles, qui nous 
*^aîl servi de point de départ, nous reconnaissons bien volontiers 
''ntérét qu'il y avait, pour les techniciens, à ce que l'exposé 
Complet de notre théorie fût repris en coordonnées cartésiennes, 
^* Oous ne pouvons que savoir gré à M. Soreau d'avoir mené celte 
îacKcàbien («). 



<• > r. de JV.y Chap. III et V. 

1 ) Comparer nolammeot l'exposé, au moyea de ces coordonnées, de la nié- 

ltiO(i« f\ç transformation géométrique que nous avons proposée pour passer d'un 

ttoinogranime à droites cnlrc-croisces à un autre à points alignés {T. de A'., p. 129), 

* celui qui résulte de l'emploi des coordonnées cartésiennes {Mcni. Soreau^ 

«') T. de .V., p. i34. 
'* ) r. de iV., p. 127. 

(') Nou^ croyons devoir pré-ionlrr ici une nhscrxalion relative à un détail 
t(niiint>|«)«:iqiic de l'exposé de M. Soreau, qui, pour 1rs Icclours déjà familiarisés 



i 



7û PREMIÈIIK PARTIE. 

Rappelons que les équations à trois variables ai, a^, aj 
auxquelles s'applique la méthode des points alignés sont celles 
qui peuvent revêtir la fornne 



(i) 



/î <pi 'J'i 

/î ?i 4'« 

/s ?8 4*8 



= o, 



OÙ//,©/, ai représentent des fonctions de la seule variable a/. 
Une telle équation exprime, en effet, l'alignement des trois 
points dont les coordonnées homogènes sont données respective- 
ment par 

^=/h y=^h ^ — ^i (t = i,2, 3), 

et, plus généralement, de ceux qui s'en déduisent par une trans- 
formation homographiquc quelconque (*). 

Former, lorsqu'une équation appartient à ce type, les fonc- 
tions y*/, o/, ^1, qui sont dites ses composantes, c'est, d'après 
notre terminologie, effectuer la disjonction des variables de 
celle équation. 

Le principal objet de la théorie que nous avons développée 
sur ce sujet a consisté à donner le moyen d'effectuer immédia- 
tement cette disjonction pour certains types d'équalions rentrant 
dans le type général à alignement, et qui constituent à cet égard 
des formes canoniques. Reprenant la question en coordonnées 
cartésiennes, M. Soreau fonde une classification des équations 
de ce type sur la remarque suivante : 

Si, dans le type général (i) qui contienl, au premier degré, 
six fonctions arbitraires (^) (obtenues en divisant les éléments 
de chaque ligne du dclermiuanl par l'un d'eux), les fondions d'une 
même ligne sont liées par une relation linéaire, elles se réduisent 
à une seule dans le déterminant développé et les points cotés 
correspondants forment une échelle rcctiligne. M. Soreau appelle 



avec le T. de iV., pourrait élre Ja cause d'une certaine confusion. Contrairement 
à l'usage adopte dans cet Ouvrage, M. Soreau donne le nom de réseau à un seul 
système simplement infini de lignes, au lieu de le réserver pour l'ensemble de 
deux tels systèmes. 

V) T. de A'., p. i3'|. 

(2) T. de A'., p. /,iy (noie). 



MÉLANGIîS. 



Tl 



/ 



dès lors ordre nomo graphique de réqualion le nombre des fonc- 
tions arbitraires linéairement indépendantes qu'elle renferme 
au premier degré. Ce nombre varie de 3 à 6 et l'on volt que 
le nombre des échelles rectilignes qui figurent sur le nomo^ 
gramme correspondant est égal à 6 — p. 

L'idée de celte classification est bonne en soi, mais il nous sem- 
blerait préférable de prendre comme caractéristique de chaque 
Ivpe l'excès du nombre des fonctions composantes linéairement 
indépendantes sur celui des variables. Cet excès pourrait être dit 
\q genre nomo graphique Ae l'équation proposée. Il varie, pour le 
type à simple alignement, de o à 3 et Ton voit qu'iV est égal au 
nombre des échelles curvilignes du nomogramme correspon- 
dant» Avec une telle définition, les nomogrammes à simple ou à 
double alignement qui ne comportent que des échelles recti- 
lignes, et sont entièrement comparables, sont indistinctement de 
genre o, tandis qu'avec la définition de M. Soreau ils sont res- 
pectivement d'ordre 3 et d'ordre 4* Quoi qu'il en soit de cette 
définition, la forme la plus générale de l'équation représentable 
par trois échelles rectilignes, c'est-à-dire de l'équation d'ordre 
nomographique 3 (ou de genre o d'après la définition précé- 
dente), est la suivante : 

( -2) A/,/,/3-H B,/,/s-+- B,/,/, -t- B3/,/,4- C,/, H- Cî/,4- Ca/a-H D = o. 

Nous en avons fait une étude complète (*) en prenant pour les 
fonctionsyi,y27 /s l^s variables ai, a2, aj elles-mêmes, parce que 
nous avions en vue de déterminer les cas où les échelles servant 
a la représentation peuvent, par transformation homographiquc, 
être rendues régulières. 

Si, sans changer un mot à notre théorie, on substitue les // 
aux tti, on obtient la solution tout à fait générale de ce problème : 
Représenter l'équation (2) par trois échelles qui soient projectiles 
de celles des fonctions /, , /a, /a. 

Celte étude nous a montré que, avec cette condition de projec- 
tivîlé, la disjonction des variables de celte équation peut être 



i' ) T. lie iV., Chap. VI, Sert. II B. Celle cliidc avait piTcédcmracnt fait l'objet 
d'un Mémoire spécial dans les Acta Mathcmatira (t. WI, 189-, p. 3oi). 



72 PREMIÈRE PARTIE. 

opérée sous forme réelle lorsque le discriminant A du premier 
membre de (2) rendu homogène est positif ou nul. 

Si A>o, on effectue la disjonction en mettant l'équation sous 
la forme 

('2') M(/,-i-^,)(/,-f-50r/3H-^3)-HN(/l^-^l)(/l-^'t)(/3-+-'»)=O, 

qui rentre dans le type canonique 

(2',) ?l«t?3=I, 

et les trois échelles rectilignes correspondantes ne sont pas con- 
courantes. 

Si A = 0, on met l'équation sous la forme 

f\-^Sx ft-^St /3-^S3 

qui rentre dans le type canonique 

et les trois échelles correspondantes sont concourantes. 

Mais le calcul, dans tous les cas, des divers coefficients M, N, 
.ç/, ti, exige une discussion délicate tenant à ce que si, parmi les 
(juantités 

E, = AC, - B, B3, Ej = ACî — B3 B„ E3 = AG3 - B» B„ 

il en est qui s'annulent, le résultat doit être mis sous une forme 
spéciale pour ne pas devenir illusoire. Cette discussion est com- 
plètement épuisée dans la solution que nous avons donnée, à 
laquelle n'échappe aucun cas. Mais cette solution, rejelée à la fin 
de notre Traité (parce que faite pour intéresser les mathématiciens 
plutôt que les techniciens, comme nous le disons expressément 
dans notre Introduction, p. i\), avait échappé à M. Soreau qui a, 
en conséquence, repris le problème piar une marche un peu diffé- 
rente pour aboutir à un résultat d'ailleurs immédiatement réduc- 
tible au notre dans le cas général (•), mais sans aborder la discus- 



(') Il suffit, pour opérer celle réduclion, de remarquer que les quantités }l. 
de M. Soreau se confondent avec celles qui, au moyen de nos notations, s'ccri- 

vent -ç . 



MÉLANGES. 



> 



sioD, pourtant indispensable, à laquelle nous nous étions livré et 
qui vise les cas où certaines des quantités E/ s^annulent. Sur ce 
point, Texposé de Tauteur n'a donc pas la généralité quMl lui sup- 
pose (•). 

La condition de projeclivité que nous avons observée, en 
raison de la recherche des échelles régulières^ exclut évidem- 
ment l'emploi de toute anamorphose transcendante. Si Ton 
s^aOranchitde cette condition, il est clair qu^on peut réduire Tun à 
Taulre les types canoniques (2', ) et (2* ) en opérant, avec Lalanne, 
ranamorphose logarithmique définie par 

^i= log<p,, 

ce qui permet de faire correspondre à volonté à toute équation 
da tvpe (2) pour laquelle A^o un nomogramme à échelles con- 
courantes ou non, en partant des types projectifs qui viennent 
d'être définis. En faisant cette remarque dans son Mémoire, 
M. Soreau semble croire (^) qu'elle nous avait échappé, alors que 
la phrase soulignée ci-dessus montre clairement la raison pour 
laquelle nous n'avions pas à la faire intervenir en cet endroit. On 
la rencontre d'ailleurs en un autre passage de notre Livre ('). 

Ed outre, lorsque, comme M. Soreau, on ne s'astreint pas à 
conserver le caractère projectif des échelles, mais que l'on se 
donne toute latitude de leur faire subir une anamorphose quel- 
conque, ce n'est pas seulement lorsque le discriminant A est positif 
00 nul, mais même lorsqu'il est négatif, que Ton peut représenter 
une équation du t\pe (2) au moyen d'un nomogramme à aligne- 
ïDent constitué par trois échelles rectilignes. M. G. Fonlené a l'ait 
'oir (*)y en effet, que si A<I o, l'équation peut être mise sous la 



( ) Loc.cit.t p- ^49» '^^'^ c^ 3^7* -^'^us tenons à dire que, depuis que nous lui avons 
^^oiuniqué celle crilique, M. Soreau a reconnu que le moyen de rendre sou 
***ijse applicable aux divers cas que notre solution avait mis en évidence con- 
"**fi laisser sut)sistcr dans le résultat final les quantités qu'il a appelées X-cl ;x., 
^<|Bi, pour le passage à la limite, se prêtent au même r«Me que nos quantités o| 
'^ Pi «aiquclles elles sont évidemment réductibles. 

( ) £oc. cil., p. 35(i et 2J7, 

^*) Voir la remarque qui, à la page 4*7^ accompagne les type** ( i ) et (1 his) 
^ U rapprochant des notes des pages 1 i^ et i^h. 

(*) Nouç. Ann. de Math.. 3' série, t. XI\, i») )o, p. 49'|. 

^ftll. des Sciences mathéni. y i' •^ctiii. l. WVl. (Mur> n)o« ) (î 



I 

l 



76 PULMIÈIIU; PAKTIE. 

dans la pratique, pour lesquels ces condilions sont toujo 
réalisées. 

Nous mentionnerons encore la partie du Mémoire ou Faul 
examine les t}^pes de nomogrammes à trois variables qui se dé< 
sent de ceux à quatre variables lorsque, dans ces derniers, on s 
pose deux des variables identiques (^), ou l'une d'elles rempla 
par une constante (^). 

Dans l'exposé qu'il présente ensuite des principes applîcal 
à la représentation des équations à un nombre quelconque 
variables supérieur à 3 ('), M. Soreau s'est surtout efforcé 
mettre en lumière le parti que l'on peut tirer de l'accolemenl 
nomogrammes du type à simple ou à double alignement s*ap 
quant à des groupes de variables convenablement isolés d 
l'équation considérée. Il n'hésite d'ailleurs pas, lorsqu'il n 
résulte aucun inconvénient, à faire correspondre plusieurs s 
tèmes cotés à une même variable pour rendre possible Tapplicat 
de ce procédé. A ce propos, on doit une mention spéciale j 
nomogrammes donnés sous les n"* 53 et 65. Le premier ( 
relatif à IVpaisseur des tôles des fojers cylindriques, et qui 
décompose en deux nomogrammes, Tun à équerre, l'autre à sim 
alignement, sert à représenter une équation à cinq variables 
moyeu de six systèmes cotés. Le second (^), relatif à la tract 
des locomotives, et qui se dt^compose en quatre nomogrammes, d 
deux à équerre et deux à sini|)lc alignement, sert à représer 
une équation à sept variables au moyen de dix systèmes cotes. 

Nous nous étions altaclié, dans notre Livre (®), à faire resso 
les précieux services (jue peut rendre la méthode des points alig 



(') Loc. cit.^ p. 372. Au sujet des nomograunncs sur lesquels, à une m 
variable, correspondent plusieurs syslènies colés, voir le renvoi au bas f 
page |Oi du T. de \. 

( ') Loc. cit., p. 38.^. 

(•'») T. de y., Cbap. V. 

(*) Loc. vit. ^ p. |io. On purl remarquer que le type d'échelle multiple à 
port curvilij;nc (jui ^c rencontre dans ce non)(»gramine, et que M. Soreau si^ 
counric nouveau, rentre très expiicilonienl dans la définition que nous a 
donnée des échelles à points condenses ( T. de .V., p. 39'3). Toutefois, c'est 
là le premier exemple pmtitjue d'une telle échelle qui s'offre à nous. 

{'") Loc. cit., p. |'|7. 

(•') 7. de .\ . Chap. III, Sert. IV. 



MÉLAxNGliS. 77 

noiir la recherche de certaines lois empiriques, et nous avions, à 

cr^t égard, eu recours au remarquable exemple que Von doit à 

f^M . Râteau et qui lui a permis de donner une expression analytique 

tK^^'S approchée des consommations théoriques d^une machine à 

>',^ peur. Après avoir repris cet exemple dans son Travail, 

\t . Soreau le fait suivre de deux autres qui lui sont personnels et 

cm 9.M i visent l'un le maximum des efforts tranchants dans les poutres 

^ «.me travée (*), l'autre la probabilité d'une relation entre le 

coefficient de chaleur spécifique d^électricité des métaux et leur 

^oint neutre (*). 

En résumé, sans parler de Télégance et de la variété des exem- 
ples nouveaux d'application qu'il contient, le Mémoire de M. So- 
reau nous semble devoir s'imposer à l'attention de tous ceux qui 
s'intéressent à la Nomographie, surtout en raison de la forme origi- 
nale et féconde sous laquelle la théorie du double alignement s'y 
trouve exposée et généralisée, ainsi que de l'extension qui y est 
donnée à la représentation des équations à plus de trois variables 
p^accolement de nomogrammes à alignement. 



II. 



I^es avantages pratiques de la méthode des points alignés, que 
vient de confirmer encore l'ensemble des applications contenues 
d*Dsle Mémoire de M. Soreau, après celles qui étaient dues déjà 
• de nombreux auteurs, rendent manifeste l'intérêt qu'il y a 
> étendre son emploi dans la plus large mesure possible. 

Si l'on ne peut pas toujours (bien que ce soit extrêmement 
fréquent) mettre rigoureusement sous la forme du type général 
à alignement [équation (i) ci-dessus] toute équation se rencon- 
trant dans la pratique, on parvient à le faire parfois avec une 
^approximation suffisante en rempla(;ant, dans un domaine 
déterminé, l'équation donnée par une autre appartenant au type 
îoulu. 



^M Loc. cit., p. 193. 
i') Loc. cit.. p 4«»9' 



78 PKKMlfclUi l>Ain IK. 

Il arrive, en eflfet, qii^une rclalion entre Iroîs variables, tra- 
duite en un abaque cartésien, entre certaines limites, donne lieu 
au tracé d\in système de lignes se confondant très sensiblement, 
dans le champ considéré, avec des droites. En substituant dès 
lors à ces lignes les droites qui en diflièrent très peu et appli- 
quant à Tabaque ainsi obtenu la transformation dualistique rap- 
pelée plus haut, on obtient un nomogramme à points alignés qui 
représente Téquation proposée avec une certaine approximation. 
C^est ainsi notamment que le capitaine Lafaj a construit ses 
ingénieux nomogrammes pour le tir des pièces de siège (*). 

On peut aussi, lorsque les courbes obtenues sur Tabaque car- 
tésien s'écartent par trop de lignes droites, s'eObrcer de leur en 
substituer d'autres qui présentent cette particularité, grâce à 
l'emploi d'une anamorphose graphique (*-*) comme celle que 
Lalanne appliqua jadis, dans un cas particulier, à la Table de 
mortalité de Demonferrand. La même transformation que précé- 
demment, effectuée après celte anamorphose, donne alors de 
nouveau un nomogramme à points alignés. 

Mais on ne connaissait jusqu'ici, pour obtenir un tel résultat, 
d'autre moyen que le simple tâtonnement, et il était fort à 
souhaiter qu'une méthode plus sûre fût instituée à cet effet. C'est 
à quoi le capitaine Lafaj a réussi en r amensinl approximative^ 
ment, par un ingénieux procédé graphique, une équation quel- 
conque à trois variables à Tun des types canoniques 

/i -+-/« -+-/» = '►. 
ou 

n^spoelivemenl de genre o et i . 

Pour le premier (l'entre eux (^auquel s*cippli(|ue le procédé des 
nomo<;ranimes à échelle mobile connus sous le nom de règles 
à calcul)^ le capitaine Lafay a indiqué une première solution 
à Toreasion d'un problème de tir (•"*). Il a, depuis lors, développé 



(M T. de \., p. 'iiii'i. 

{ ' I 7. <io V.. p. S7. 

( '; lU'K'uv (/' irti/irrù'. I. I.MII, iy«»i, p. î'»'». 



MÉLANGES. 79 

une solution plus générale (*) s'étendant au second Ijpe qui, 
grâce à la présence d*une fonction composante de plus, permet 
en quelque sorte de serrer de plus près Féquation donnée. Cette 
solution nous semble appelée à rendre de très réels services dans 
U pratique et constitue à cet égard un progrès qu'il convenait de 
noler. 



m. 



Nous dirons enfin un mot des problèmes que la Nomographie 
a fait naître dans le domaine des Mathématiques pures, et sur 
lesquels nous avons naguère attiré l'attention des lecteurs du 
H€dletin{^). 

Il est bien clair, par exemple, que la théorie de la disjonction 
des variables dans les équations du type à alignement de genre o, 
dont il a été question plus haut, présente, indépendamment du 
but pratique qu'elle poursuit, un intérêt, au point de vue algé- 
brique, qui n'est pas négligeable. On en peut dire autant, au point 
de vue de l'Analyse, de la détermination des caractères différen- 
tiels des équations auxquelles s'applique tel ou tel type de nomo- 
graainie, détermination dont notre Livre offre d'assez nombreux 
exemples (»). 

Voici, dans cet ordre d'idées, un fait qui mérite d'être noté : 
Devant le Congrès international des Mathématiciens ^ tenu à 
Paris en 1900, le Président de la première Section, M. le profes- 
seur D. Hilbert, de l'Université de Goltingen, a, dans une con- 
férence magistrale, signalé à la sagacité des Géomètres un cer- 
tain nombre de problèmes dignes, selon lui, de tenter leurs plus 
sérieux efforts (*). 
C^r, ainsi que le dit très expressément l'auteur, c'çst la 



( ) Génie civil, t. XL^ 1902, p. 298. 
(') Suit, des Se. math., a* série, t. XII, 1898, p. 177. 
^*) ^. de N., Chap. VII, Scct. II A. 

( ) La conférence de M. Hilbert, traduite par M. Laiigel, figure in-exienso 
dans le Compte rendu du Congrès, page 58. 



8o PRKMIËRB PAUTiE. 

Nomographic qui lui a inspiré le problème qui Ggure sous le 
n** 13 (*), et voici comment : 

Les seuls éléments à plusieurs cotes qui puissent figurer sur 
un nomogrammc ne comportant aucun élément mobile sont 
ceux qui s^obtiennent par enchaînement de réseaux succes- 
sifs (-), c'est-à-dire qui correspondent analj^tiquement à un 
enchaînement fini de fondions de deux arguments. Dès lors, une 
équation ne sera représenlable par un nomogramme sans élé- 
ment mobile qu^autant que sa résolution pourra s'effectuer au 
moyen de fonctions de deux arguments seulement. Grâce aux 
transformations de Tschirnhausen, on peut étendre un tel mode 
de résolution aux équations algébriques quelconques jusqu'au 
& degré. Le problème posé par M. Hilbert consiste à démontrer 
que cette possibilité cesse à partir du ^® degré. 

Celte Communication de Téminent Géomètre a été pour nous 
l'occasion de faire voir (') que la méthode des points alignés 
pouvait, toujours eu égard aux transformations de Tschirnhausen, 
permettre la résolution des équations algébriques jusqu'au 
•j* degré inclusivement, et, par suite, que l'adjonction à la 
partie fixe du nomogramme d'une simple ligne droite pour tout 
élément mobile permettait d'étendre à un degré de plus, pour 
les équations algébriques quelconques, le bénéfice de la résolu- 
tion nomographique. 

Celle recherche nous ayant amené à préciser, d'une façon plus 
complète que nous ne l'avions fait dans noire Traité, la distinction 
essentielle qu'il convient d'établir entre les éléments à plusieurs 
cotes suivant que, d'après notre terminologie, ils sont ou non 
condensés^ nous avons, dans une Note spéciale (*), repris à ce point 
de vue l'exposé des principes fondamentaux de la Nomograpliie 



( ' ) Loc. cit., |). ()i. 

(-) T. de A'., p. V)\. 

(^) ComjUes rendus de r Académie des Sciences, t. CWXI, 1900, p. 623. 

(*) IhtU. des Se. ntaf/i., 2" série, i. XXIV, 1901, p. 256. Il a été fait de cette 
Noie €l«;s Iradiiciions en iillcmuind par AI. Fiirle {Archiv der Matkematik)^ en 
cspa;^n()I par M. T<»rr<s { ,\aiuraicza), en italien par M. Lazzeri (Periodico di 
Matcmaliva ). M. Lo\ell nous a. en oulrr, fait connaître son intention d'en 
ilonner iin<' lra<lu(tioii en anglais. 



MÉLANGES. 8i 

V^ur en indiquer ensuite rappUcatîon à la résolution nomogra- 
V^lqae des équations algébriques des sept premiers degrés. 



NOTE ANNEXE 

SUR LA PÉNÉTRATION DE LA N0M0GR.VPU1E DANS L*ENSEIGNEMENT 

DES ÉCOLES TECHNIQUES. 

Dans l'analyse qu'il a donnée du Traité de Nomographie ('), 
M, Maurice Lévy émet l'avis que le nouveau corps de doctrine 
« mérite de prendre place à côté de la Géométrie descriptive et 
de la Statique graphique ». 

Et, de fait, la Nomographie^ réduite au moins à ses principes 
les plus essentiels, commence à se faire, à côté de ses deux aînées, 
une petite place dans l'enseignement des écoles techniques. 
£lle a été généralement rattachée soit à des cours de Statique 
graphique (^), soit à des cours purement techniques dans les 
applications desquels peut intervenir l'usage des nomogrammes. 

Voici rindication de quelques-uns des Cours dans lesquels ont 
été successivement introduites des notions plus ou moins déve- 
loppées de Nomographie : 

FRANCE. 

École Polytechnique. — Cours de Géométrie descrip- 
tive MM. Haag. 

École des Ponts et Chaussées, — Leçons sur la cuba- 

ture des terrasses d'Ocagne. 

École des Mines de S aint-É tienne. — Cours de Méca- 
nique appliquée Jouguet (*). 

École forestière de Nancy. — Cours de construction 

de roules PetitcoIIot. 



(*) Génie civil, l. XXXV, 1899, P* 425. 

(') Sur la oéccssité, en dépit de ce rattachement didactique, d'établir une dis- 
UnctioD formelle entre le calcul nomographiquc et le calcul graphique propre- 
ment dit, voir la Note que nous avons présentée au Congrès international des 
Mathématiciens de 1900 (page 419 du Compte rendu du Congrès). 

(^) A litre d'exercice, M. Jouguet fait construire à ses élèves quelques nomo- 
grammes. 

Bull, des Sciences mathém., 3* série, t. XXVI. (Mars 1902.) 6. 



82 



PREMIÈRE PARTIE. 



ALLEMAGNE. 

Ecole technique supérieure de Siuti^ari, — Cours de 
Géométrie descriptive MM. Mehmke. 

Université de Gôiiin^en. — Cours de Statique gra- 
phique Schilling. 

BELGIQUE. 

Université de Louvain, — Cours spécial de Nomogra- 
phie Suttor. 

ITALIE. 

Ecole d^ application des Ingénieurs de Padoue, — 

Cours de Statique graphique FaTaro (^ 

Ecole d'application des Ingénieurs de Bologne. — 

Cours de Statique graphique Gorrieri. 

PORTUGAL. 

Académie polytechnique de Porto. — Cours de con- 
struction de routes et chemins de fer Laranjeira 






C'est en Belgi<^»ie, à ï L'uixersité de Lom-ain, que l'ensei- 
nement de la Nomoirrapliie a pris jusqu*ici le plus complet 
développement. Sous rinspiralion de M. Pasquier^-), professeur 
de Mécanique à celle Lnixersilé, il v a été fondé un Cours spécial 
de Nomographie conlié à M. ringénieur Sultor, et qui com- 
prend une leçon par semaine pendanl le premier semestre de 
la deuxième année d'éludé des Ecoles spéciales d^ingénieurs 
annexées à TL niversilé. Cet enseignement est d'ailleurs complété 
par des conslruclions de nomogrammes que les élèves doivent 
exécuter à litre d'exercices pratiques. Les étudiants de l'Uni- 
versilé appartenant à l'ordre des Sciences mathématiques ou 
physiques peuvenl facullalivemenl suivre ce Cours dont les pre- 



{ M L\t>>isiaiit d\i profos5our, M. ringénieur Bella\itis. dirige des exercices pra- 
h ]no> ilo i^>n<>iruoti«>u lio nomogrammes. 
v* ' Voir à c;* *uji*l Paiiiclo public par M. Pasquior dans L' Enseignement ma^ 

i/tcmjti-jtte ^i. I. p. o5o . 



MÉLANGES. 83 

inières feuilles aulographiées ont été publiées en igoo par 
M. SuUor (*). 

Indépendamment des Cours permanents dans le programme 
desquels elle a été admise, la Nomographie a donné lieu à des 
séries de conférences isolées dont quelques-unes ont, depuis lors, 
pris la forme de publications imprimées. A cet égard, on doit 
donner une mention spéciale à celles qui ont été faites, d'une 
partf sous Tinspiration de M. Félix Klein, par M. Schilling à la 
Société mathématique de l'Université de Goltingen (2), de Tau- 
Ire, par M. Pesci à l'Académie navale de Livourne (' ). 

Les conférences de M. Pesci ont d'ailleurs été pour lui l'occa- 
sion de remarquables applications de la méthode des points 
alignés à TArt naval et, plus particulièrement^ à la Balistique 
navale, en collaboration avec le commandant Ronca (^). 



SUR LES GROUPES DE TRàNSFORMàTIONS DES ÉQUATIONS 

DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES; 

Par m. Alfred LOEWY. 

(Extrait d'une lettre adressée à M. Picard.) 

Je sais heureux que vous attachiez quelque intérêt à mes 
''^marques sur le groupe de transformations d'une équation diffé- 
'^'ïtîelle linéaire et je vous remercie pour l'invilation bienveil- 
lante de vous exposer le détail de ce sujet. J'emploie les mêmes 

*^oiîons que vous dans votre Traité d^ Analyse y l. III, p. 53i, 

^ï'aris, 1896). 

(') Loavain; typographie G île. 

^*) Ueber die Nomographie von Af, d'Ocagne, par le D' F. Schilling (Leipzig; 
Tcabiier, igoo). 

(') Cenni di Nomografia, par le professeur G. Pesci (Livourne; P. Giusti, 
'900. !• édition co 1901), reproduit en appendice du Manuale ci-dessous. 

^B aotre résamé de Nomographie a paru en langue italienne, sous la signature 
w capitaine Ricci, dans la Bixfista d'Artigliera e Genio (1900-1901). 

'*i Manuale del Tiro, par le capitaine de frégate ilonca (Li\ourne; P. (liusti, 
i<^i). Cet important Ouvrage est complété par un alhuni de nomograninics à 
C^ échelle, mis en usage dans la flotte italienne. 



8i PREMIÈRE PARTIE. 

Soit 

dnt Y d^ — ^V d^'~^Y 

une équation différentielle linéaire à coefGcients rationnels; nous 
désignons par^i ,^2? • • m y m un système fondamental d'intégrales 
et posons 

(a) V= a,^i-+-Mi^,-h...-+-iim^m, 

où les // sont des fonctions rationnelles arbitrairement choisies 
de X, En différen liant la relation (2) m^ fois et ayant égard à 
J'équation (1), on forme un système de m*-f- 1 équations (3), qui 

donnent V, -,-> " *> ,j^,n* ^" fonctions linéaires et homogènes 

des y et de leurs dérivées jusqu'à l'ordre m — i . Nous éliminons 
entre les m^-f- i équations (3) les fonctioiis^ et leurs dérivées et 
nous obtenons une équation de l'ordre m^ : 

à coefficients rationnels. Parce que les fondions u choisies arbi- 
trairement sont indépendantes linéairement, l'équation (E), que 
M. Schlesingcr, dans son Ilandbuch dcr Théorie der linearen 
Dijfcrentialglcichungen, t. 11|, p. 60 (B. G. Teubner, Leip- 
zig, '897), appelle d*après voire nom la résolsrante de Picard^ 
esl de Tordre //i^, elle a pour inlégralcs les /?i* fonctions Uiyk* Du 
syslome des équations (3) on peut tirer les valeurs des y et de 

leurs dérivées on fondions linéaires de V, -;— > •• •> -; — r-r à coef- 

ticients rationnels. 
On a 



< 



ix " " «/x"-'-» 






. lA . d"' '\ 

• * ' ' dx i/x"^'-» 

où Ioh X. i, .... A >onl ralionnoN on .r. 



MÉLANGES. 85 

Od voit qu^à toute intégrale V de Téquation (E) correspond un 
sjstème d'intégrales y^, y^^ ..., ym de Téquation proposée (i). 
Seulement, dans le cas où le déterminant wronskien des j^ est nul, 
le système^!, ^2 7 • • • ^ym ne sera pas fondamental; de là résulte 
une équation diflerentielle : 

à coefficients rationnels, k étant au plus égal a m^ — i. Prenant 
pour V une intégrale de l'équation (E) qui ne satisfait pas à 
Téquation (9), on obtiendra un système fondamental y%^ 

yt* • • • » J^m» 

Soit V une solution quelconque de Téquation (E) qui ne satis- 
fait pas à Téquation (^), nous formons l'équation difFérentielle à 
coefficients rationnels de Tordre minimum qui est satisfaite par la 
fonction V. Nous désignons celte équation différentielle à coeffi- 
cients rationnels de l'ordre minimum, qui a pour intégrale la fonc- 
tion choisie V, par 

/ ., rfv dp^y\ 

Nous pouvons supposer que l'équation (g) est algébriquement 

irréductible par rapport à la dérivée , de l'ordre le plus élevé. 

C'est ici que mes considérations se distinguent de vos recher- 
ches. Parmi toutes les équations (g) qui correspondent aux diffé- 
rentes possibilités par lesquelles on peut choisir V, vous ne 
considérez que les équations de l'ordre minimum et vous prenez 
l'une d'elles, que vous désignez par la lettre (/) : 






D'après votre détermination on doit avoir rinégalllé pi ^p. 

En examinant vos considérations, on voit qu'elles sont basées 
sur ces faits que toute solution de votre équation (/) satisfait a 
Téquation (E) et que toute équation différentielle à coefficients 
rationnels qui est satisfaite par une intégrale de {/) n'appartenant 
pas à (5) le sera pour toutes les solutions de (/). 

Vous savez que M. Kœnigsbcrgcr a démontre le théorème : « Si 



86 PliEMIËRE PARTIE. 

Ton a une équation différentielle quelconque (g) à GoefBcienis 
rationnels et algébriquement irréductible par rapport à la dérivée 
de l'ordre le plus élevé, et si une intégrale V de Téquation (g) ne 
satisfait pas à une équation diflerenlielle à coefGcients rationoels 
d'un ordre inférieur que Téquation {g)j chaque équation diffé- 
rentielle à coefficients rationnels vérifiée par cette intégrale V le 
sera pour toutes les solutions de (g). » (Koehigsberger, Lehrbuch 
der Théorie der Differentialgleichungen mit einer unab- 
hàngigen Variablen, p. 69; Leipzig, 1889.) 

En ajrant égard à ce théorème de M. Kœnigsberger, on peut 
employer Téquation (^g) de la même manière que vous le faites à 
Taide de voire équation {f) et Ton obtient tous vos résultats. 

Des résultats connus sur le groupe de transformations d'une 
équation différentielle linéaire, on sait déjà a priori que les con- 
séquences déduites des équations différentes {g) ne peuvent pas 
être d'une généralité plus grande que les conséquences déduites 
des équations {f) de l'ordre minimum parmi toutes les équa- 
tions {g). On peut démontrer directement que l'ensemble des 
équations (/) est le même que l'ensemble des équations (^). 

Soit 

une équation de la forme considérée ci-dessus; nous prenons une 
autre équation différentielle que nous désignons par 



(fi) /i(^. Vj, 



d\\ dP\ V 

— - ■ « • • • • ■■ I 

dx dxt* I 



= o. 



Je suppose que Téqualion (/i ) est une équation d'ordre 
moindre /? de la manière que vous la considérez (comparez p. 54o 
de votre Traité), En conséquence décela,/?^/?,. 

Puisque \ est une fonction linéaire des^', et celles-ci s'exprimant 
aussi linéairement à l'aide de V, et de ses dérivées, nous aurons 
pour V une expression linéaire par rapport à V| et ses dérivées. 
Considérons deux intégrales déterminées i> et ç?i des équations (g) 
et (/«), n'appartenant pas à Téquation (©), on aura 



MÉLANGIiS. 87 

a et ^ ëlant des fondions rali'onnelles de x. Nous supposons 
encore que l^intégrale déterminée v soit une telle intégrale de 
Téquation (^) qui ne satisfait pas à une équation différentielle à 
coerGcients rationnels d'un ordre moindre que Tordre de l'équa- 
lîon (^). L*équation (g^) a toujours une telle intégrale v^ car nous 
avons défiai l'équation (^) par cette qualité. 

Soît V| rinlégrale générale de (/i), nous formons l'expression 



W = (xV,-f-p 



dx 



L^équation (/i) étant de Tordre /?, l'expression W satisfera à une 
équation diOerentielle. à coefficients rationnels d'un ordre au plus 
égal à/7 : 

(/t) /î(W) = o. 

Les deux équations (^f^ et (^) ont l'intégrale v commune, v ne 
satisfait pas à une équation différentielle à coefficients rationnels 
d'un ordre moindre que p^ ; c'est pourquoi l'ordre de (/i) <Joil 
être ~/>i , mais nous avions p =Pi* De là résulte p z=. p^. 

Par ces considérations^ nous avons étendu aux équations diffé- 
rentielles linéaires le théorème, relatif aux équations algébriques, 
que vous avez donné page 44^ de votre Traité, On voit que : 

Si Von fait abstraction des intégrales de (E) qui satisfont 
à (ç) et que Von forme pour chaque intégrale de (E) V équation 
de V ordre minimum à coefficients rationnels, vérifiée par cette 
intégrale, toutes ces équations sont du même ordre. 

Comme voiis l'avez démontré, on passe de l'une de ces équa- 
tions à l'autre par une transformation rationnelle. 



CORRESPONDANCE : 
A PROPOS DE LA THERMODYNAMIQUE GÉNÉRALE DE GUSTAVE ROEIN; 

Lettre de M. L. RAFFY. 

Les lecteurs du Bulletin ont certainement encore présente à 
la mémoire l'importante étude que M. Duhem a consacrée dans ce 



88 PUIiMIÈUE PAUTIK. 

Recueil à la Thermodynamique générale de Robin. Je suis d'au- 
tant plus à Taise pour en discuter certains passages que M. Duhem 
m'a traité avec une courtoisie dont je ne puis que le remercier. 
Mais je ne suis pas seul en cause : dans Tintérét de la Science, 
j'ai enfreint les volontés de l'ami qui n'est plus et fait connaître 
ses idi''cs; je .-^^uis donc doublement tenu de les défendre. 

A la vérité, il y a autre chose que des discussions doctrinales 
dans Topuscule de M. Duhem. On y trouve des développements- 
historiques sur la genèse des lois fondamentales de la Science et — 
sur la part que M. Duhem a prise à leur coordination : je n'aL 
point à m'occuper de ces sujets. 

On y trouve aussi des revendications de priorité : la liste que^ 
M. Duhem a établie en contient quatre, auxquelles s'en ajoutes^ 
une cinquième, quand l'auteur, au cours de son article, les reprend — 
l'une après l'autre, pour les renouveler chacune en son lieu. Je ne=" 
crois point devoir en faire.rexamen, d'abord parce que ces sortes 
de questions n'intéressent pas le progrès même de la Science ('), 
ensuite et surtout parce qu'elles ne sauraient être posées à propos 
de Robin. Satisfait de son (ler idéal, Robin s'isolait dans les hautes 
retraites où les préoccupations égoïstes n'ont point accès et il 
professait sur Tlmpersonnâlité de la Science des opinions très 
fermes, qu*il mettait en pratique : se refusant toujours à faire 
imprimer ses travaux^ il engageait ses auditeurs à publier sous 
leur nom, si bon leur semblait, les vues et les résultats qu'ils em- 
portaient de ses leçons. Mais il y a plus. Après des méditations 
(|ui avaient duré de longues années, Robin formula deux principes 
absolument originaux, (|ui n'empruntent aux Réjlexions sur la 
puissance motrice du feu que les notions de cycle et de réversi- 
bilité : au premier, (]ui, couïbiné avec le principe de l'équivalence, 
suffit presque pour refaire, en l'élargissant, toute l'ancienne 
Thermodynamique, il conserva le nom de Carnot; quanta l'autre, 
sur le(|ucl il fondait la science générale des équilibres de la 
matière, il prit soin de l'appeler second principe de Carnot (*), 



(') «^u'impnrlo, rn oUV.'l, (|iic le tliormoiiiclro normal clioisi par M. Duliein, 
dans son Commentaire aux principes de la Thermodynamique qui a paru au 
rouis de i-^îi», soit celui que Roliin avait défini dans une Icron de fé>ricr 1^*92, 
ou <{n'il remonte à .1. Montier, ^i re nV*l à Ur^naull? 

(■) •« Pour honorer, dil-ii (p. 'is ), riioniino de génii! que Ton a trop souvent 



MÉLANGES. 89 

comme pour s^opposcr à ce qu^il fui plus tard mis sous son propre 
nom. Qui s^élonnerait que Robin, appliquant de la sorte ses prin- 
cipes de détachement, ne se souciât pas d*élucider devant ses 
auditeurs des questions de propriété scientifique, qui n^avaient 
point de sens pour lui? Aussi, en dehors de quelques appellations 
consacrées, la Thermodynamique générale ne contient guère 
de noms propres : Sir W. Thomson, Helmholtz, Clausius même 
y sont à peine cités plus d'une fois. Voilà qui est péremploirc. 
Robin n'écrivait point Thistoire de la Science : il la faisait (*). 

Je vais maintenant passer en revue les principales observations 
critiques de M. Duhem, dans Tordre même où il les a présentées. 

Aux énoncés des deux « principes de Carnot », M. Duhem 
conteste ce caractère d'être la généralisation par voie inductive 
d*un grand nombre de faits observés : il a paru inutile de viser 
l'universelle et quotidienne expérience des machines a feu. Quant 
aux vérifications de laboratoire, faut-il s'étonner que les vues, si 
neuves, de Robin n'aient point inspiré les expérimentateurs avant 
d'être publiées? 

M. Duhem reproche aussi à Robin d'avoir été infidèle à l'esprit 
de sa méthode en introduisant le potentiel interne, « qui n'est 
pas plus accessible à l'expérience que l'énergie et l'entropie ». 
Voici pourtant ce qu'on lit à la page Sg de la Thermodynamique 
générale : « On pourra toujours déterminer le travail isother- 
mique réversible à toute température et par suite le potentiel 
interne, grâce à des expériences à^équilibre, dont on n'aura 
qu'à relier les résultats par des graphiques ou par une formule 
empirique. » 

Un peu plus loin, M. Duhem s'élève contre les corps témoins 
cl leurs actions de présence, si longtemps décriés et dont l'em- 



sacrifié à Clausius, et qui a vu mieux que personne les faits les plus importants 
dr la Thermodynamique, ayant découvert, en dehors du principe qui porte son 
oom, le principe même de réquivalonce, longtemps avant que Robert Maycr le 
promulguât. » 

(*) Esprit éminemment rréateur, Rohin, alors même qu'il employait des maté- 
riaux dont la découverte était duc à d'autres, ne les enchâssait dans ses construc- 
lions qu'après les avoir soumise une longue élahoraiion, d'où ils sortaient trans- 
f«>rmés; tellement que, pour leur attribuer une provenance vraisemblable, il 
fdiudraitlc plus souvent l'œil exercé d'un crudit, sinon mi^mclH perspicacité jalouse 
d'un historien. 



IH» IMtKMIKKI-: PARTIE. 

ploi sjslëmaliquey fait par Robin eo mainte occasion et nolam- 
ment pour réaliser, dans la mesure du possible, les transformations 
réversibles, est ondes traits les plus originaux de sa doctrine. Les 
exemples rapportés dans la Thermodynamique générale (p. 1 1 
à i3) sont empruntés à Pexpérience journalière et hors de tonle 
contestation. M. Duhem s^attacheàune expérience de Van^tHofT, 
discutable, parait-il. Mais ce qu'il en dit n^est pas pour infirmer- 
cette vérité, bien acquise, que nombre d'actions phvsiques ou chi~ 
miques, qui mettent en jeu des quantités considérables de cha^ 
leur ou qui transforment d^énormes masses de matitee, sont dues 
à des agents mécaniques ou à des corps témoins qui n'éprouyenl: 
eux-mêmes que des modifications infinitésimales. Cette |irodi- 
gieuse disproportion entre la cause et TeOet n^avait, sans doolie> 
pas échappé aux physiciens et aux chimistes ; mais ils n^en avaient, 
que je sache, rien conclu, tandis que Robin, en construisant sa 
science des équilibres et des modifications de la matière (*), en a 
tiré un parti qu*on ne pouvait prévoir et que M. Duhem semble 
avoir méconnu. 

A propos du premier Chapitre de TOuvrage, M. Duhem blâme 
Robin d*avoir parlé de chaleur rayonnante avant d^avoir défini la 
quantité de chaleur; il me paraît pourtant que le feu est logique- 
ment antérieur à la calorimétrie. Quant au fer rouge dans le puits 
de glace, s*il n*échaufle pas la glace, il la fond, sans être en con- 
tact avec elle, ce que ne ferait pas une source de chaleur; il 
exerce donc sur elle une action^ mot que M. Duhem prend dans 
un sens trop étroit en lui imposant une acception mécanique. 

Il est assurément fort malaisé d*enlrer dans la pensée d^autrui 
(Tesprit y a d'autant plus de peine qu'il est plus inventif) et 
M. Duhem donne un nou\el exemple de cette difficulté quand il 
oppose à la définition du iraxail. posée par Robin, l'objecticm que 
voici : u Pourquoi une partie du système tomberait-elle vers le 
sol, dont elle n'éprouve niicune action? » Ici encore M. Duhem, 



( ' ) Je «lis sn sciiMico. rdr c'»?sl Itobin qui a le premier conçu cl professé, dès 1880, 
la p<tssibilil«' île coiisiruire. Ci»iiiiiio M, huheiii Va êcril une douzaine d'années 
plus lanl : « nm» srienre t|ui riubrassi* dan> des priiiripes rommuns tous Icsclian- 
j:»Mnenls d'élal dos rorp<. au<si liien les rhansements do lieu que les clianj^ements 
ilo qualilô> pliy^^itinos «. Il rnonoail \oltuitiers cc\it i«lèe dan« se!& conversations ft 
M. Ihilioiii. t|iii \«»>.iii nitliiii .1 rollo opiM|iio. a ilù la lui entondre exprimer. 



MÉLANGES. 91 

par le moi action, entend une force, ne séparant point la cliulc 
ics corps, qui est un fait, de Fattraclion terrestre, qui est une 
liyrj:^^ thèse. Or, l'une des visées principales de Robin est de définir 
le t.wavail de tous les systèmes possibles par la chute des corps et 
p3v* des mesures calorimétriques. Comment, si Ton tient compte 
de celte idée directrice, admettre qu'un système matériel ne tom- 
berai pas vers le sol, parce qu'il aura été isolé? Il eût suffi, pour 
bieo entendre le passage incriminé (p. 18), qui contient le mot 
isolé en italiques, de se reporter à l'endroit (p. 10) où il est pour 
la première fois question de Yisolement du système, obtenu au 
moyen d'une enveloppe : l'objection, qui est purement verbale, 
tombait d'elle-même aussitôt. 

Au sujet des principes de Carnot, M. Duhem soulève une 

question théorique très importante : le travail, au bout d'un cycle 

monothermique, pourrait être nul, le cycle étant irréversible, 

contrairement aux idées de Robin. M. Duhem en donne pour 

exen^ple les mouvements sans viscosité ni frottement qu^étudie la 

Méosànique classique. Je ne sais si Robin a eu connaissance de la 

dénr^ onstration de M. Duhem, ou s'il y trouvait quelque difficulté; 

mai s y le résultat admis, il n'avait pas à en tenir compte, les mou- 

veinents sans viscosité ni frottement n'existant que dans la Méca- 

Diqxme irréelle, non dans la nature. Aussi sommes-nous d'accord 

aveo M. Duhem pour considérer la Dynamique classique comme 

un Cas limite plutôt que comme un cas particulier de la Tlier- 

foodynamique générale. 

L*a démonstration sur laquelle Robin fonde la Statique générale 
est contestée par M. Duhem. Tout le désaccord tient à ce que 
M- Diihem conçoit les équilibres apparents et les modifications 
spontanées autrement qu'ils ne sont définis dans la Thermody- 
namique générale (p. Il, 12, i4) et à ce que tout équilibre se 
confond pour lui avec ce que Robin appelle un équilibre stable^ 
Quant à l'équilibre mécanique, il est aisé d'expliquer le jugement 
de Robin sur le théorème de Lagrange et de Lejeune-Dirichlet, 
Qu'il faille faire intervenir la considération du mouvement pour 
établir qu'un équilibre est stable, M. Duhem a parfaitement raison 
de I affirmer et nul ne le conteste. Mais je maintiens avec Robin 
qiron ne doit pas invoquer les formules 




.(' l'tlKMIËHE PARTIE. 

(]iio visciil k-s mots « lois cxaclvs du mou veinent » el qui ne Bont, 
d'iûllcurs. lien moins ifite dih»oiiti/-es. Un elTct, les prétendues 
clémonslrulions (ju'cn dunncnl 1rs Ouvrages classiques reposent 
sur une confusion enlrc les Torcus considérées eu Sutiquc et ce 
que Ih Dvi)amii|iic d<-«ign<; snii> le ni^niu nom. Celte opinion, trop 
peu ri^pnndiic cnrorc t-n Francn, esl iiettcnicnl formulée dans la 
7'/ifritiinlyniiitii//tiP f^i'ni'-niti' {\}. ».{5^; aussi Uoiiin )>ouvait-il, 
et pour deux raisons, ri-jcicr In di'mouslralion de Dîriclilel, qui 
implique \v. /losliilnl exprimé par les forniiiliis (i). 

V.n ce qui con<'(.-rnc la propo^ntion de l'onde explosive, je crois 
devoir diiiiiicr ruison ii M. Duliciii : l'analyse de Kobiri établit le 
lliéon'-uic ili' Mu^iiniiil, nniis sans le p':néniliger; sa portée est 
rc'Slri-inl<^ par lir nipproclimicnl Judicieux que faîl M. Dithcni et 
qui a cerlaiiicincnt cc}i;tji|ii' ù rtiuleiir, intiis <]uî n'aurait pas dA 
,„'.Vl,a|,|,cr. 

Il III- ini.' Ji'pliilt [xiiiit lie liiiirsiir oui iiviiii. Aussi liicii Texami-n 
ii|>|ii'i.riiii.li i|iii' M. Diilii'iii II rail ili' la riirrnmlrnamiiiiie g,mc- 

r„l,- nu ivM'Ir |iii> lr.i|. ili- iliriiilli n il l'i'M'.iiliuii ilc la lilulie 

(liif j'iii iissiiiiii-r. (hi'il 1110 siiil il ■ (iiTiiiis il'iijiiiiler ijiie je la 

jHiiirsiiis i-l i[iii- j ii][itii iiiililionraliiinl la Tt,é;,rit' th's fmic- 

li.nit. ,:rcl,mWm,al fmul,:- sur li.l,,- il,- ii„iiil,r,; raliii los 
Lrpms lie <luwi,- /./ii <iV/i„- ilo ll.iliiii. 



tlBH MllIIC 1. \l' ! rilP.n-VlIiLAHS, 

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31SI riru. — lorrimni g 



M lui uni I' t, A II I M il'lt - VII t \\\c 



L'J.MKliMkDLVlUE 

MAÏTIÉMATICIEN! 



de riniiiurltij. 

vn\r: \\ 



H^'*' 



COMPTES UliNDUS \'4 ANALVSKS. ./> 



COMPTES UENDl S KT ANALYSES. 



WERNFK BOV. — Sir la rur^ati/ra intc^ra i;t i.v Tc>r»oL(»(;ii: l>i:.s si iif.\c:ks 
PEMKF.S. Disscrialion inaiij:nnjl«*. 'j-y |uii:cs cl î planclics de fi!:«n*os. (int- 
Kin<nio: u)«>i. 

La Taille des maliùrrs de een • inlc'rrssiuilt* Thrse peut servir à 
donner une idée des sujets IruihS, nuiis non de la riehcsse el de 
TaliOndanee des points de vue nouveaux : 

Iatrcuiict !«»>'. 

Gif APiTRK I. — Dr la ctirvatunt intrisift dt's ronrhcs cl de 
f^ur' tJvfonnation parfaite nient conlinste. 

^Ji« vFiTRR II. — De la ciirxattira intei^rtt des surfaces fer- 
fnécs /iilatères. Courbure u éf/ut\'a lente ^>. 

' - XieprésentalioD de la eurvalura intei;ra par une inlé^rule. 
2- ^Appliealion des formules chiennes; de la déformation par- 
faiterK^ «ni continue des surfacres. 

3, De la représentation des points paral)oli(|ues sur la sphère 
de Os^ tiss. 

■»- tJe la courhure u ér|uivalenl(' •>. 

•*• LJe la curvatura intej;ra de surfaces hilatères de caraclé- 
ri*^*cnjeA' <|ni ont un nomhre <pich:onque de ccuirhes douhles. 
"• F'articnlarisation relative aux pol\rdres. 

^HAMTRK III. — Les sitrfarrs uniltttrres, leur eurwttuia 
iale^g'a et leur tapolo*sie. 

'• '-i«.*s surfaces unilatrrcs el leur cur\alura iiileura. 
*• I-)es diverses formes des surfaces Icrmccs, ex(*cplion faite 
de* surfaces à caracl<''risli*pjc impaire* cl «Icpourvucs de sin- 
gularités. 

••- Méthode pour la con-^lructinn de surfaces dépourvues de 
singularités et (pii oui une c.iraeh'ri^licpic donuét*. 
^' »-e< surfaces à caracléri^li«pie A* _- i . 
B*^''' lies Sciences tmit/icnt . :•' -•'in-, l. WVI. ( \\iil nr»i'.) 



94 



pkiimièrb: partie. 



o. Une surface parliciilit're à caraclérisliqiie /* =r^ i . Ses rap- 
ports avec le plan de la Géométrie projeclive. 

Voici une traduction abrégée de rintroduclion : 

Dans le célèbre Mémoire Disq, gcn. circa sup. cursras Gauss 



ig. I. 



I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 






jL. 



Il ■! 



y^' 




désigne par les mots ciinalura intégra d'une portion Unie 
de surface à courbure parrour positive ou partout négative, Taire 
de sa représontation splirriffiie ( Darbocx, Théorie des Surfaces, 



ri};. ■?. 



kX 




t. 1, 11" \VÎ. p. s><>()). Pour ohlonir la curvalura intégra d'une por- 
tion finie de surface c|uelcon(|uc, on devra décomposer la surface 
vu parties que l'on peut représenter d'une manière univoque et 
réversible sur la sphère; on formera la somme algébrique des 
curK'cttura intégra de ces parties, alfeolées des signes -|- ou — , 



COMPTES UENDUS ET ANALÏSES. gS 

selon que leur courbure sera positive ou négative. L'expression 
analytique de la curvalura intégra C est 



=/""■ 



oit k est la courbure [courbure totale =: courbure gaussienne ^ 

Fig. 3. 




Krummangs-niaas, inen^jura curvalurœ — p— if. (voir Daudoux, 

Sur/aces, t. U, n- 497, p. 365)], où da désigne l'élér 

lîcîel et où l'intégrale doit être étendue Atuule la i 

il s'agit d'évaluer la curvalura intégra. Dans le n" 6 de son 



lent super- 
■}>ion dont 




Mémoire, Gauss dit ; « ... Nous nous réservons cependant de 
donner à une autre occasion une exposition plus étendue sur le 
sujet de Ggures conçues de la manière la plus générale, » Malheu- 
reusement Gauss n'est plus revenu sur ce .sujet. Nous verrons 
plu» loin que l'étude de la curvalura intégra des surfaces fermées, 
seule étude dont nous nous occuperons, conduit directement à la 
considération de leur connexion. Ce rapport entre la connexion 



Sb PREMIÈRE PARTIE. 

et la curvatiira intégra a élé découvert par Kronecker (') et par 
D^ck ('). En cITet, on a l'équation C^(i — ^)4^) P désignant 
le genre de la surface fermée. 11 m'u semblé (|u'il valait la peiDC 
de donner une nouvelle démons ira tt on directe de ce théorème 
sans faire aucun usage des résultais de Kronecker et Dyck. La 
métliode que nous employons permet d'étendre la notion de 
curvatura intégra aux points où la courbure gaussienne devient 




intinic et par suite d'éiendre le tlicorènie aux surfaces quî poss^~ 
dent des siM<;iil:Lritcs. 

K(i raison de raiialo<i;ic avec les surfaces, nous consacrerons nn 
premier Chiqiitre à in citi\atttra intégra des courbes fermées et 
à leurs rléformations parfaitcntent continues. 

Dans un deiixit^mc Cliupilre, nous démonlrerons le lliéorème 
pri'cilé n nous l'riendrons. A eet elïet nnus inlroduirons la 
noiioti de courbure éifuitalente. loi se rnllaclie une applica- 
lliiii d<: nos résullais iinx polyèdres el nous verrons qu'ils sont 
i<lfiitir[iiis ;i In toli'bre propu^illon d'Eiiler el ;i ses diverses géné- 



:. WXll, 1888). t> 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 97 

ralisations. Dans un troisième Chapitre, nous étendrons nos résuU 
tats aux surfaces unilatères et nous discuterons la question 



suivante : 



Les diverses surfaces ayant un nombre donné de rétrosec- 

Fig. 6. 




-> 





lions ne les morcelant pas que Von peut construire ont-çlles 
ioutesdes représentants dépourvus de singularités? 

Nous avons trouvé qu'à cette question l'on doit répondre par 
raffirmative. 

^f^ particulier il existe une surface dépourvue de singula- 
^iies, située tout entière à distance ftnie, fermée, et qui au 
^^^ de /'Aiialysis situs est identique au plan de la Géométrie 
P''ojective . . . . 

*^oor plus de détails nous devons renvoyer au Mémoire même 
• ^^y. Contentons-nous de mentionner la surface unilatùre 



98 PREMJËHE PARTIE. 

précitée de M. Boy. Cette surface est assez difficile à décrire sans 
entrer dans une foule de détails, mais les dessins ci-dessus per- 
mettront de s'en faire une idée assez claire. Un modèle de celte 
surface a été présenté par M. Hilbert a la Réunion des mathéma- 
ticiens allemands à Hambourg, il y a peu de temps. 

Cette surface présente des propriétés très intéressantes. Entre 
autres elle pourrait fournir une représentation concrète du plan 
elliptique, puiscprclle peut servir a représenter le plan prO' 
jectif. M. Boy n'entre en aucun détail sur celte question et ne 
parle pas de la Géométrie elliptique. Il se contente d'énoncer le 
théorème relatif au plan projectif et de le démontrer. Il termine 
en disant que la manière dont le plan projectif serait représenté 
sur la surface présente un grand degré d'arbitraire. Le plus simple 
serait, dit-il, de faire correspondre la droite de Tinfini à la partie 
de la courbe double située sur les nappes de forme tubulaire. 

L. L. 



NETTO CE.). — Lkiirbicu dkr Combinat(»rik (Toubnor's Sammlun*; voa 
Lchrbiicher auf dcm Gobielo (1er malheinalischeii Wissonschaflcii, etc. 
Tomo VII). 

La librairie ïoubner publie, eu même temps que TEncvclo- 
pédie, une série de Livres sur diverses branches des Mathéma- 
tiques, qui ne laisseroul pas de rendre de grands services aux 
étudiants. Ceux-ci, sans doute, ne les liront pas tous ; ils choisi- 
ront suivant leurs goùls, leurs aptitudes, les recherches qu'ils 
on! envie dVulreprendre, et se trouveront ainsi tout orientés, 
après un travail relativement facile, ou qui tout au moins n*a 
rien ireUVavant. Ils nt» seront pas ifai Heurs les seuls à profiler 
dt* l'heureuse iniliali\e de la librairie Teubner. 

\.\' Li\re de M. \etlo sur la Coin(»ùuitoirc traite ifune branche 
deN MalluMnaliqiu's qui eNt peul-ètrr un peu dt'Iaissôo, mais qui 
liMitolois a <'i»nsrr\ê et et>nNtM*vera des adeplos iVrxenls : car d'une 
part, et'ltt' (\*fnhiniUoir%' >e mêle ,\ bon Ui>nibre lie belles ques- 
liou'i d' Vl^t'luv, d' Vrllhiuotique, d'Vualxse, df (lêoniêtrie, de 



COMPTES lilîxNDUS KT ANALYSES. 99 

Calcul des probabililës, et, d'autre part, les problèmes propres 
qu^on s'y propose sont d^ordinaire fort curieux, souvent amusants 
par leur énoncé, et parfois irritants par cela même qu'on ne sait 
commenl les aborder; enfîn, plusieurs de ces problèmes ont leur 
histoire, et la qualité de ceux qui s'en sont occupés ajoute à 
leur intérêt propre. Le Livre de M. Netto donnera sans doute 
satisfaction à des lecteurs très divers. 

Après avoir établi les définitions et propositions fondamen- 
tales concernant les permutations, combinaisons, arrangements, 
les applications à la formule du binôme et à ses extensions dans 
divers sens (Abel, Burg, etc.), ainsi que les principales pro- 
.priélés de ces développements. Fauteur traite, dans une suite de 
six Chapitres, un grand nombre de questions qui se déduisent des 
problèmes fondamentaux en imposant quelque condition que 
doivent vérilier les arrangements ou les combinaisons. Le lecteur 
sera certainement satisfait de savoir qu'il y a précisément 
33i2 manières d'arranger les mots dans le vers du jésuite 
B. Bauhusius : 

Tôt tibi sunt dotes, Virgo, quot sidéra cœlo 

sans que les lois de la métrique soient violées (sauf celle qui 
concerne la césure). Beaucoup de gens s'y sont trompés. 

Citons encore le problème des huit reines sur Tcchiquier, dont 
aucune ne doit menacer les autres, et diverses questions analogues 
entre elles, qui ne sont pas sans intérêt mathématique, dont la 
plus simple est celle d'Euler : 

Combien y a-t-il de permutations des nombres 1, 2, 3,... ndans 
lesquelles aucun de ces nombres n'est à sa place? 

Quelque mauvais plaisant en appliquera peut-être la solution à 
la l'echerche de la probabilité pour qu'aucun candidat, à la suite 
*lun concours, ne soit placé à la place qu'il devrait occuper, 
^^ peut compliquer ce problème en supposant qu'il y ait plu- 
**curs séries d'épreuves. Le compte des termes d'un déterminant 
1^1 satisfont à telles ou telles conditions fournit des problèmes 
"U même genre. L'étude des inversions, et surtout celle des 
-^^juences, que M. D. André a poussée fort loin, est Tobjet d'un 
inlércssant Chapitre. 



loo PREMIÈRE PARTIE. 

Lorsque les objets que l'on combine ou que l'on arrange so ^ 
des nombres, on peut se proposer de ne conserver que ceux d. ^ 
arrangements ou des combinaisons dont les éléments form^ ^ 
une somme donnée. De là, relativement à ces combinais(^ -m 
elles-mêmes, ou à leur nombre, une suite de problèmes don^:^ 
suffit d'indiquer l'origine. Euler a montré comment on pouv^ ^= 
former la fonction génératrice qui fournit, comme coefficieim ■ 
•ces nombres de combinaisons (avec ou sans répétition) pour 
somme prescrite. Nous entrons ici dans le problème de la paa 
tion des nombres. M. Netto expose les recherches de Sylves 
sur la détermination du coefficient de x" dans le dévcloppem. ' 
suivant les puissances ascendantes de x de l'expression 

I 

(I — x^)(i —xf*){i — x<^). . . ' 

coefficient dont la signification arithmétique est bien conn 
depuis Euler. Plusieurs questions, relatives à la partition A 
nombres, peuvent se traiter simplement par la considération » ^ 
diagrammes de points; un Chapitre est consacré aux solutions d 
cette espèce. Enfin, en supposant toujours que les objets qu 
l'on combine sont des nombres, on peut regarder une corabi-^ 
naison comme un produit et la considération des sommes de pro^ 
duits ainsi obtenus offre un nouveau champ de recherches. 

Deux Chapitres sont consacrés aux systèmes de ternes et à des 
systèmes analogues; c'est d'abord le problème de Steiner, qui s'in- 
troduit dans Tétude des tangentes doubles des courbes du qua- 
trième degré. Voici en quoi il consiste : 

On donne n objets : peut-on les arranger par ternes (trois 
par trois) de manière que deux objets quelconques figurent dans 
un terne et seulement dans un? Un tel groupement constituera 
un système de ternes. 

Si par exemple les objets sont les nombres i, 2, 3, 4? 5, 6, 7, 
on trouve le système suivant de ternes qui répond à la question 

123, 14^, ifij, 246, 2J7, 347, 356; 

en dehors de ce système de ternes, il reste (sur les 35 combinai* 
sons de 7 objets pris 3 à 3) 28 ternes libres. 

I^eut-on arranger les n objets par quaternes de manière qu'un 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. îot 

T<:Tnc libre (en donnanl â ce mol le sens de l'exemple précédent ) 
Cî relire dans un quaterne et dans un seul, sans que jamais trois 
<'-fcmcnts d\in quaterne ne constitue un des ternes du système 
I r ■ imitif? 

La question se continue en p^roupant maintenant les objets 
cri^q par cinq, etc. : elle a été Tobjet de travaux assez étendus. 

Il est aisé de montrer que, pour l'existence d'un système de 

tornes, le nombre n doit être de l'une des formes 6 N-j- ii 

t> ]N -h 3 : rcxistencc d'un groupement en quaternes, tel qu'on l'a 

«locrit plus haut, n'implique aucune condition nouvelle. Dans 

l' «"temple précédent, on aurait le système de quaternes que 

xoici : 

ii47, 1256, i34C, i357, 233), 2367, 4^07. 

Il n'y a pas pour ce môme exemple de quaternes libres, c'cst- 
a-dire de quaterne qui n'appartienne pas au système précédent et 
ne contienne aucun terne du système de ternes. Il n'y a pas 
lie 1.1 de cberchcr ici de groupements plus élevés. M. Reiss et 
M- H. Moore ont donné des constructions du système de ternes 
<l tiii nombre de la forme 6 N 4- 1 ou 6 N -f- 3. M. Nelto a résolu 
lut- même la question par d'intéressantes considérations emprun- 
ti'os à la théorie des nombres. La construction donnée par 
'•î. Ilefler complète sur un point celle de M. Nelto. 

^ oici maintenant le problème de Kirkman : 



^: 



1 Ton considère un système de ternes formé avec6/i -f-3 objets 
i^ contiendra évidemment (2 /i -}- i) (3 /i -4- 1) ternes : on demande 
«le partager ces ternes en 3 /i -h 1 groupes de 2 /i -f- i ternes, de 
laçon (pie dans chaque groii[)e figurent les 6 n -h 3 objets. 
*^n peut, dans le cas de n = 2, enjoliver la question en l'appli- 
i 'l'ianl à quinze jeunes filles, pensionnaires du même élablissc- 

•wcnt, qui vont, tous les jours de la semaine, se promener trois 
par trois, formant ainsi chaque jour un groupe dilTcrent de cinq 
•ï'rncs du système. Au bout de la semaine, chaque jeune fille a 
••uuré dans un lerne avec chacune de ses compagnes. C'est le pro- 
"Inne des quinze écolièrcs. 

Dans ravanl-deraicr Chapitre <lc son Livre, M. Ncllo passe en 
Buli. des Sciences mathcni., 1' série, t. WVI. (Avril igoi) 7. 



loa PUEM]Èll£ PARTIE. 

revue les principales applications de la Combinatoire, Dans 
dernier, enfin, il a rassemblé un grand nombre de formules reb 
tives aux coefficients binomiaux. 



ZOLL (Otto). — Ueber Flachen mit Scharen von geschlossenen geodjl ' 
TisciiEN LiNiEN. Inaugural Disserlalioa und ziigleich von der philosophî ^ 
schen Facultat der Universitai Gëtlingen, gckrôate Preissehrift. 4^ pagCF ^ 

1901. 

L'Universilé de Gollîngue avait proposé comme sujet de priit. 
pour Tannée 1901 la question suivante : « Déterminer et étudier" 
les surfaces sur lesquelles existe un réseau de lignes géode- 
siques fermées. Dans le traitement de ce problème, on tiendra 
compte de la relation de la théorie des lignes géodésiques avec la 
dynamique du point. ( Voir en particulier les remarques de 
M. Darboux, Leçons sur la Théorie générale des surfaces, 
t. II, n«547.) » 

On sait de quelle importance est en Mathématiques pures et 
appliquées la théorie des équations différentielles qui possèdent 
(les solutions périodiques. Les travaux de M. Poincaré sur ce 
sujel, dans ses recherches sur le problème des trois corps, ont en- 
core accentué celte importance. Dans son Ouvrage célèbre Sur 
les Méthodes noui elles de la Mécanique céleste, M. Poincaré se 
sert de ces mots bien remarquables pour caractériser les solutions 
périodiques : « C'est la seule brèche par laquelle nous puissions 
pénétrer dans une place jusqu'ici réputée inabordable. » 

Or, le problème posé par la Faculté de Gtiltingue conduit pré- 
ciséuïcnl à certaines équations différentielles qui doivent posséder 
des solutions périodiques. En Mécanique, une ligne géodésique 
est définie comme la Irajecloirc d'un point (]ui, n'étant soumis à 
aucune force extérieure, se nicul avec une vitesse constante sur 
une surface. Si la ligne géodésique doit se fermer il faut qu'après 
un certain temps T le point revienne à sa position initiale et par- 
courre de nouveau la même trajectoire. Quant à la surface sur 
la(|uellc se trouve la ligne géodésique on suppose qu'elle se com- 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. io3 

|>orle d^une manière régulière, au moins dans le voisinage des 
l>oiols où la géodésique suit son cours. Il s^ensuit que la géode- 
sîqiie elle-même est partout régulière et n'a pas de points saillants 
anguleux^ car il n'existe qu^une géodésique passant par un point, 
dans une direction déterminée. Si Ton donne aux équations de la 
courbe la représentatioo paramétrique 

le temps étant pris comme paramètre, ^, ^, y, et leuris dérivées 
Jus(|a'à lin certain ordre, seront des fonctions continues. La con- 
dition de fermeture de la ligne géodésique s'exprime analytique- 
ment en disant que o, ^, y sont des fonctions périodiques ayant 
la fliéme période T. 

Inspiré par les travaux de M. Poincaré, M. Hadamard a fait des 
recherches du plus grand intérêt sur les trajectoires d\in point et 
a été conduit en particulier à s'occuper de la fermeture des lignes 
géodésiques. Dans le remarquable Mémoire Sur certaines pro- 
p^-iétés des trajectoires en Dynamique, M. Hadamard démontre 
que, sur une surface à courbure gaussienne toujours positive, deux 
lignes géodésiques fermées se coupent nécessairement. Quant 
aux surfaces à courbure partout négative, Téminent géomètre 
ootient aussi des résultats très élégants. Au moyen de considé- 
"■^t-îons tirées de VAnalysis situs, il démontre que sur toute 
sttclace de cette nature il existe des géodésiques fermées et que, 
P^Mr chacune de ces dernières, il existe une ligne géodésique qui 
^^O rapproche asymptotiquement. \^Voir Hadamard, Les sur- 
f^^^es à courbures opposées {Journal de Liouville, 1898).] Ces 
*^« les recherches de M. Hadamard sont d'un caractère très général. 
*^ Van t répondre à une question particulière, les recherches expo- 
**^3 par M. ZoU dans le Mémoire couronné par la Faculté de 
'J^-^t.tingue sont nécessairement plus spéciales. 

^^ très remarquable Travail renferme toute une série d*impor- 

»**^t:set nouveaux résultats. Écrit dans un style clair et facile à 

"^^ il présente ce cachet d'élégance et de rigueur que l'on est en 

«^oit d'attendre d'un disciple de M. Hilbert. La forme n'en est 

P^a moins attrayante que le fond. Après avoir rapidement décrit 

les points de vue et les méthodes servant à obtenir les surfaces 

p(>ssédanl un réseau de lignes géodésiques fermées, fauteur étudie 



io4 PUEMIÈUlî PARTIE. 

<lans la première Partie de son Mémoire les classes spéciales de 
surfaces ajantla propriété requise, à savoir : les surfaces-canal 
qui sont les surfaces les plus générales ayant un réseau de lignes 
géodésiques fermées planes, puis les surfaces hélicoïdales et les 
surfaces de révolution. Cette première Partie renferme aussi un 
grand nombre d'intéressants théorèmes dont nous nous bornerons 
à citer le suivant : 



Sur une sur/ace à courbure gaussienne partout négative il 
n^existe aucun réseau de lignes géodésiques fermées. 

Ce théorème, démontré par M. Zoll, permet d'exclure de suite 
de la recherche le groupe si étendu des surfaces minima et des 
surfaces réglées. 

Dans la seconde Partie, M. Zoll s'occupe surtout des surfaces 
sur lesquelles toutes les géodésiques sont fermées. Ici, comme 
dans la plupart des questions relatives à la théorie des surfaces, il 
faut toujours revenir à TOuvrage classique de M. Dauboux : 
Leçons sur la Théorie générale des surfaces. On sait que 
Téminent géomètre y a exposé une méthode pour construire de 
telles surfaces, mais cette méthode fournit toujours des surfaces 
qui ont un contour (t. II, n** 317, loc, cit.) Or, et c'est là le 
résultat capital de son Mémoire, M. Zoll est parvenu à construire 
une infinité de surfaces fermées, dépourvues de singularités, 
situées à distance finie, dont les lignes géodcsitjucs sont toutes 
fermées, et qui cependant ne sont pas des sphères. INI. Tannery, 
s'inspirant des recherches de M. Darboux, avait découvert une 
surface de révolution en forme de poire sur laquelle toutes les 
lignes géodésiques sont non seulement fermées mais encore algé- 
hri(|ues. La collection de j\I. lirill en renferme un modèle. Mais 
cette surface ne répond pas tout à fait à la question, car elle pos- 
sède un point nodal. La surface découverte par M. Zoll, au con- 
traire, n'a aucun i)oint singulier et résout donc le problème. Kilo 
(Si rgalcment de révolution et piriformo. Le manque d'espace 
nous interdit (rentrer en plus do <l(''t;iils sur c(*l intéressant type 
(1(* surfaces et sur leurs expressions analyticpu^s. Maintenant, 
cxistc-t-il des surfaces jouissant de la propriét(' requise sans être 
(le r«'vulution? .M. Zoll répond par raflîrniativc, mais il ajoute 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. io5 

que Texpression analytique de ces surfaces serait très difficile à 
trouver. 

Dans la conclusion, l^auteur expose des généralisations inté- 
ressantes. Entre autres propositions, il démontre, pour terminer, 
cet intéressant théorème : 

La sphère est la seule surface dépourvue de singularités sur 
laquelle toutes les lignes à courbure géodésique constante 
joient fermées, 

La Table des matières donnera une idée précise de la disposi- 
tion de ce Mémoire dont on ne saurait trop recommander la lecture 
^ ceux qu ^intéresse la théorie des surfaces. 



1 



NTRODOCTIOIf. 



Partie I. — Sur/aces ayant un réseau de géodésiques 
ermées. 



1. Lignes géodésiques infiniment voisines. 

2. Méthode générale pour trouver les surfaces ayant un réseau 
de géodésiques fermées. 

3. Lignes géodésiques planes. 

4. Ilélicoïdes. 

5. Surfaces de révolution. 

Partie H. — Surfaces dont les géodésiques sont toutes fer- 
mées. 

6. Méthode générale pour trouver les surfaces précitées. 

7. Surfaces de révolution dépourvues de singularités et répon- 
dant à la question. 

8. Propriétés des surfaces dont les géodésiques sont toutes 
fermées. 

G)}(CLUsioiir. — Généralités. L. Lalgel. 



io6 PHBMIËHE PÂiniK. 



MELANGES. 



SUR LES TRANSFORMATIONS DE CONTACT DES SURFACES HINIMA; 

Par m. U. LEBESGUE. 

Je me propose de rechercher les transformations de contact qui 
font correspondre à Ion te surface minima une surface niinima. 

1. Soit une multiplicité M, d'élémenls de contact dont les 
points forment une courbe c et dont les plans enveloppent une 
développable A. Si c est minima et si A est un cylindre de généra- 
trices isotropes, et dans ce cas seulement (*), il existe une infinité 
de surfaces minima contenant les éléments de contacts donnés, 
M« est alors une multiplicité caractéristique. L'ensemble de ces 
multiplicités caractéristiques n'est pas altéré par les transforma- 
lions cherchées. 

Deux éléments de contact dont les plans ont une direction 
isolrope commune, et deux tels plans seulement, peuvent être 
considérés comme faisant partie de la même caractéristique; donc 
ils doivent élre transformés en éléments de même nature. Par 
suite, à deux éléments dont les plans sont parallèles correspon- 
dent deux éléments parallèles. A un plan correspond donc une 
surface dont tous les plans tangents sont parallèles, c'est-à-dire 
un plan; la transformation cherchée est tangentielle. 

Deux cvlindres isotro|)es (pii se déduisent Tun de l'autre par 
une translation pouvant être, et eux seuls parmi les cvlindres de 
même direction, considérés comme circonscrits à la même surface 
minima le long de deux courbes minim.i du même SNstême, ont 
pour translormt's des cylindres jouissant de la même propriété. 



(') Il y a ON.oplion si, r olanl ininim.». A r^l rir» .>iiHn iio an « orrlc <lc l'infini: 
mais il n'o\islo «jn'nnr de <'cs r«»nrh»'s minima par surlarr niinnna. el cVsl une 
ariMc <lo rcbion»"ioaicnl (^ vURoi \. I.€';>^ns sut iii f^n'^*'ii':;t'nKr(iir(/cssur/a(Cs. 
t . l. noir p. ^»|(ii 



>> I 



MÉLANGES. 107 

►onc à un cylindre minima périodique correspond un cylindre 
périodique et par suite à une surface minima périodique corres- 
pond une surface de même nature. 

Soient P, Q, R, ... des plans, P', Q', R', . . . ceux qu'on déduit 
n3rune translation X. On peut construire une surface minima pé- 
riodique non altérée par la même translation A et tangente à tous 
c^s plans; donc les transformés de P', Q', R', ... se déduisent 
p3r une translation des transformés de P, Q, R, . . . . y< une 
i^nnslalion correspond une translation. 

^. Soit le plan 

(i — «iUi) J7 -4- i(i -^ uui) y -\- {u -{- ui) z -k- \ = 0, 

ou, en posant 

x -4- ly "= X, X — /^ = Y, ^ = Z, 

X — awi Y -h ( w -f- Ml ) Z -h ; = 0, 
et soit 

X'— i^i', Y'h-(i' -4- r, ) Z'-i- S' = o 

^^1 transformé. A tout point du cercle à Tinfîni correspond un 
'^tre point du même cercle; donc on peut supposer v fonction 
"^ /i, i?, de u^. On pourrait même supposer ces deux fonctions 
**^^ntiques en tenant compte des développables circonscrites au 
^^■*cle de rinfini, c'est-à-dire des solutions données par l'intégrale 
'^t.crmédiaire singulière, mais cela est inutile. 

Si, à la translation a, p, y, correspond la translation a', jS', v', 
^^ aura, en supposant ^' =/(uy //,, Ç), 



l'-%'^vv^^'~(v^çi ) y' =/| u^ m,, J __ a ^ t£ m, 3 — ( w -+- m, )y ] . 






La dérivée du premier membre par rapport à ç étant indépen- 
<*^nte de a', ^', y', donc de a, [3, y, il en doit être de même de celle 
du second membre, c'est-à-dire que $' est fonction linéaire de Ç, 

î'=?(">"i)-+-/i(w,"i);. 

En tenant compte de cette relation, Téquation précédente se 
réduit à 



io8 PREMIÈRE PARTIE. 

Écrivons que les dérivées secondes du premier membre, par 
rapport à a, ^, y sont nulles, on a 

quels que soient i^ et (^i, ou w^ et v -i- Vt] donc a', P', 7^ sont des 
fondions linéaires de a, j3, y. 

A une translation isotrope correspond une translation isotrope; 
à deux translations isotropes de directions différentes corres- 
pondent des translations de directions différenles. A condition, 
peut-être, de prendre des axes imaginaires, mais des axes x',y', 3' 
non isotropes, on peut donc supposer 

En écrivant que ol'- -+- |i'2 _|_ ^2 et a^ -j- [i2 _|_ yi s'annulent à la fois, 
on a 

ai^bt=Oy ±: a =±: 6 = C| (*). 

Dans tous les cas, après une transformation homothétiquc et 
peut-être le changement du sens de l'un des axes X, Y, Z, on a 

donc, d'après l'équation (i\ 
(*t par suite 

3. Pour que le plan considéré soit tangent à une surface mi- 
nima il faut que Ton ait (^) 

Mais î' devant être do même forme, ^ (//, Ux ) ou ;' — \ sera aussi 



(') l> rcsuliat s'obiicnl iminotliateinciit ni rrmarqudnt que les seules transfor- 
iiiatioiK hoini>i;ra|>hi(}uos du plan do riutioi qui n'allrrent pas \v cefcle isotrope 
sont n'Ilfs «jui ri'>ullont He* deplacemonls el «les syniôlne*. 

I •) L>vuU'»rx, Lcyns sur /a fhcjne i:cnéralc liis sur/aces. i. I. p. ^>'^6. 



MÉLANGES. 109 

i même forme, c'est-à-dire sera le 5 d'une ceriaîne surface 

inima. 

La transformation la plus générale est donc trouvée. Pour obtenir 
MM^ énoncé géométrique simple, remarquons qu'avant d'effectuer 
1^ transformation précédente nous faisons subir aux surfaces 
sxB inima données une transformation par figures semblables; si 
rious effectuons de plus une homolhélie de rapport 2, on aura à 
Ia place de (2) 

^o étant relatif à une surface minima Sq. Donc, à une trans/or- 
nt9^2lion par figures semblables près, on obtient ainsi la 
t^^^insformation cherchée : une surface minima Sq étant arbi- 
tj^^^rement choisie, on fait correspondre au plan P le plan P' 
p^:mrallèle à P équidistant de P et du plan t. tangent à Sq parai- 
l^y bernent à P. 

Dans cet énoncé, il faut entendre par surface minima Tenve- 

l<=^ppe des plans déGnis par une équation de la forme (3); mais 

f^ 4t) onfi(Ui) pouvant se réduire à zéro, une telle équation peut 

"^ finir une courbe minima (*). Le cas où, Sq étant une courbe 

^^'^^nima, on applique la transformation à une courbe minima 

"^cinire que nous avons obtenu une généralisation simple de la 

Ç^viération des surfaces minima que SophusLie a déduite des for- 

Œ^ulfs de Monge. 

A l'aide de la formule (3) une surface minima est définie par 

^cux fonctions y, f^ ; soient foj f^o les fonctions définissant Sq. 

^^mme ces fonctions sonl en général multiformes et différentes 

» Une de l'autre, la transformation obtenue n'est pas univoque. Si 

ûïi l'applique à la surface 2) relative aux fonclionsy, /i, on obtient 

^eux surfaces analjtiquement distinctes relatives à 

}(/-+-/.), î(/i-*-Ao) et J(/+/,.o), i(/i^/o). 



(') Ctiie extension donnée aux mots sur/ace minima correspond à l'extension 
au sens da mot intégrale que M. Goursat développe à la page 49 du Tome I de 
•es Leçons sur l'Intégration des équations aux dérivées partielles du second 
ordre. 



un PKlilMlËHË PARTIB:. 

I^oiir que ces (leii\ surfaces se réduisent à une, quelle que 
soit ï, il faut et il suffit que I)o soit une surface double. 



4. La transformation trouvée est une conséquence de ce que 
Ç est linéaire par rapport aux fonctions /,/j et leurs dérivées. On 
déduit de là des transformations différentes, en apparence seule- 
ment, de celle déjà trouvée; elles expriment toutes ce fait : une 
somme algébrique de ^relatifs à des surfaces mininia, est le Çd^une 
surface minima. Voici Tun de ces énoncés : soient S, 2, 2' trois sur- 
faces minima, P, 17, 11' trois plans tangents parallèles à ces trois 
surfaces; la translation (jui amène II en P transforme H' en P, 
P' enveloppe une surface minima. Si 2 se réduit à un point, on a 
l'interprétation de la transformation trouvée, sous sa forme pri- 
mitive ($' = C3 -{- ç). 

Soient des surfaces niinima affectées de coefficients quelconques. 
Si Ton établit entre ces surfaces une correspondance par plans 
tangents parallèles, le centre des distances proportionnelles des 
points de contact décrit une surface minima (*). 

3. La transformation trouvée peut encore être rattachée à celle 
propriété ; soient deux surfaces S, S' entre lesquelles est établie 
une correspondance par plans tangents parallèles, et- le lieu des 
milieux des points correspondants. En un pointdeX la somme des 
ra\ons de courbure principaux est la demi-somme des quantités 
analogues relatives aux points correspondants de S et S'. 

Ccl'd se démontre très facilement par la géométrie, et résulte 
immédiatement de la formule (i^j), p. 9..\5, du Tome I de l'Ouvrage 
cité de M. Darboux. La transformation du ri" 3 fait donc corres- 
|)ondre à toutr surface parallèle à une surface minima une surface 
ilr même nature; et il en sorait encoie de même si 2o était une 
>urlacc parallèle à une surfacr minima. Je dis que /a transfor- 
fHtitinn ainsi (((''finir rst Iti trttnsfornifition de contact /a nias 



' (.'« - tt'.iii^!i>i III. liions III' "l'iil p.is iH'UXilli^: M. <iiitir^,it I«> a <i;:ii,ilrt*s 
I oiiiiiH- |Hiu\.iiil »ri \ ir .i l.i lictriiiiiiiation lii*. <>iirtii't"> iiiiiiiiii.i .i\,iiit 1,'^ inrinrs 

|-!,il «» i!«- »\ m« 'lu- ijrrîMi |.i'! \ «lu- 1 f;«ljlii I . 



MÉLANGES. m 

^t}ri enraie qui fait correspondre, à toute surface parallèle 
à terre surface mininia, une surface de même nature; une 
Iransformalion par fi<»;ures semblables ayant été préalablement 
efTeciuée. 

Lorsqu'on se donne une courbe c et une développable A conte- 
nant c, il existe deux surfaces et deux seulement, tangentes à A le 
lon^ de cet telles que la somme (positive) des rayons de courbure 
ail une valeur donnée).; cela est évidentpuisqu'il suffit de déplacer 
chacun des éléments de contact, définis par (c, A), de façon que le 
plan soit parallèle à lui-même et que le j)oint décrive une lon- 
g^ueur À sur la perpendiculaire au plan, pour obtenir une nouvelle 
courbe C|, une nouvelle développable A, qui définissent une 
surFace minima parallèle à la surface cherchée. On voit de plus 
(|iie si, pour une certaine valeur \q de X, c, est miniinn, A( étant un 
c^'lîndre isotrope, il y a une infinité de surfaces relatives à \q tan- 
{^enies à A le long de r, et aucune pour A différente de Âq. On 
pourrait raisonner à partir de ces multiplicités particulières (c, A) 
coin me nous Tavons faitdans le cas des surfaces miniina à partir des 
imilLiplicités caractéristiques, mais il est plus simple de raisonner 
ainsi. 

l*ar tout point d'une surface parallèle à une surface minima 
\>asseQldeux de ces multiplicités singulières, puisqu'elles corres- 
\K)ndeDt aux caractéristiques de la surface minima parallèle. Si 
BOUS considérons deux surfaces S, S' relatives à la même valeur 
^e )., il est possible de construire une troisième surface 2 di; 
la même famille tangente à S et à S' le long de multiplicités singu- 
lières. Or l'ensemble de ces mulûplicités est conservé par la trans- 
formation cherchée; donc par la transformation à deux surfaces 
relaiives à la même valeur de \ correspondent deux surfaces rela- 
lives à une même valeur de X, 'f (X). 

Ceci posé, à tous les éléments de contact faisons subir, comme 
îl a été dit, un déplacement ^(o) dans un sens convenable. Si ce 
déplacement est eiïcctué sur l'espace après la transformation que 
nous cherchons, toutes les surfaces minima ont pour homologues 
des surfaces minima. La transformation totale est donc obtenue 
par une transformation par figures semblables, puis par la trans- 
l'ormation du n® 3 relative à une certaine surface Sq- Mais il est 
évident que, pour effectuer en sens inverse le déplacement qui 



iij^ PltKMÏKRE PARTIE. 

nous a t'ir iilile, il siiflil de remplacer, dans l'énoncé du n" 3, 
la surfHce 1^ par l'une, ronvenaldcmeni choisie, des deux surfaces 
paralUMes à Xq el relalives à la valeur 2'^(o) de A. 



HLLLETIN lilHLIOGKAPIlIOL'E. 



HtTT.NKR «r.i. — Shifiù'n ithcrdit* fin'cnschr Abhandlung : Mathe- 
iiin tirai in%'esfi£rf{tions cnnrer/ii/ar thc ians o/ the equUibrium of 
fluids (i83';!;. Iii-S'\ v-<)S p. Leipz-i;:. Tculiner. 6 m. jo pf. 

I IVei>srliririeii ilt^r fui->tl. Jjlilonox^^ki'sciieii Gcsellscliafl zu Leipzig.) 

l)iKH:iiLET ( L.^. Dit* / ht r.sfr /lutter ganz willkiirlicher funciionem 
(lurrh Sinus- u. Cosinusrcihen (1837 ». — Skidki. ^Ph.-L.). A'ofa Mer 
die Kisrcnschaft der lieiht'n. nelrhe iiiscnntinuiriiche FunctionendoT' 
stelif'ti (iSi7.<. ]lcriiii<;:ci:. vnii II. Liobiiiiinii. In-8", 58 p. Leipzig, Engel- 
ma II II. <.'.ai't. 1 m. 

( iSlwîild's Ivla<>iki.r ilrr exakten NVis>cnsrliafien. N* 116.) 

IUgkn «J.-ri.i. — Atlas strllarum variabilinm. Séries HT, complee- 
tens variaftiics intra /irnitrs deriinationis -~ 1'}" et — go°, quarum lux 
tninima est in/'ra /naji^nitUf/irtf/n m^. {\i\ iii-i", 37 planches avec 3y p. 
<IV\plir.'iliuii> I.-1 V p. trxie. Berlin. I)ain»*<. .\llas relié. Prix de souscrip* 

tiiifi, j7 m.; prix <lr ilclail. ii m. 40 pf. 

I.rROTii (J.). — l'or/esuns^^en iiher niimerischcs Hechnen. Gr. in-8", 

M-i«»4 p. ii\cr I i fi^'. Loip/.i^. Teiibiier. 8 ni. 

Si.iiKKKHiis ( (i.). — Amvrnduni: der Diffcrential- u. Inteffral-Rechr- 
nti/ii! au/ (icometrie. 1 IM. Eint'i'iltnin^^ in Au: Théorie der Ciirvcn în der 
Khene 11. ini Kaiiiin'. i\\\ in-S". x-SGt) p. avec fi{r. Leipzig, Vcil cl C*. 10 m.; 
leli*'-. 1 1 m. 



I l'l.HIHAiritE li AlITMIKH-VI IL A ILS. 



LES ANNUES DE MATIIÉMATIUUES 



lOlJllStl. m;s CANDIDAT? 



lit tVMtf, SHfMiV^. i M i\C.tm IT k LMCREtiATIOX 



< llWl,MBliaU«tfn|>«rallni«lu-|« 





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CO&IPTHS liKNDUS HT ANxXLVSKS. ii3 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 



FeSTSCHRIFT ZUR FeIER des lIL'NnKRTFVNFZIGJAIiniCiKN BkSTKHKNS DFR KoM- 
GLICHEN GeSELLSCHAFT DEH \VjSSE.\S<:II.\FTKN ZU (ioTTlNCKN. HkITHAGH ZIR 

Geleiirtengeschiciite GoTTiMiENS. Mit cincin Tilolhildo iind i'\ Tufoln. 
I vol. în-8«, 688 paj^os. Berlin, Woidinann, 1901. 

Ce beau Volume, orné d\in assez ^rand nombre de portraits, 
renferme d^inlcressants documents liistori(|ucs relatifs à divers 
membres de la Société royale des Sciences de (id'ltingiie. Deux 
de ces documents, d'une nature fort diflérento, mais Irrs intéres- 
sants Pun et l'autre, se rapportent à Gauss. 

L'un n'est autre qu'une sorte de carnet, un I\otizen journal 
suivant l'expression de Gauss lui-même, 011 celui-ci a noté, en 
quelques mots très brefs, au jour le jour, ses reclierclies et ses 
découvertes mathématiques de 1796 à 181 4- C'est un pauvre 
cahierde dix-neuf pages, inappréciable pour Tliisloire de la pensée 
du grand géomètre. 

Il avait été pieusement conservé par la famille de celui-ci et a 
été communiqué en i8()8 à M. Stâckel, en vik* d(! l'édition des 
OEUivres complètes. 1^ publication ( ' ) a été faile avec tout le soin 
désirable; quelques notes donnent les explications et renvois 
bibliographiques indispensables; le texte a du vixv. quelquefois 
complété, afin qu'il fut clair; les complémcnls oui été mis entre 
crochets. Enfin une page a été reproduite en fac-similé; nous eu 
donnons ci-dessous le texte, qui suffira pour (pu; le lecteur prenne 
l'idée de l'intérêt qui s'attache à ces quebpies feuilles : celte page 

rapporte aux années 1 7<)8-i 799 : 



De lemnîscata clc^antissiniii oninc!> (r^poctationcs <iii|MM-:iniiii acquisi- 
%'irous et quideni pcr uictlidJos rpiu: caiiipum prorsu.s iitivuin iiuhis aporiuiit. 

Goii. Jul. 
Solulio problcmatis ballistiri. 

(iott. JllI. 



( '^ Il en a clé fuît un liriiKO à paît. 
Bull, des Sciences mathvm.j •' >ciic, i. \\N I. (.M.ii 1 <)<".) s 



ii4 PREMIÈUE PARTIE. 

Gometarum theoriam perfectiorem reddidi. 



GoU. Jul. 



Novus in analysi campus se nobis aperuit scilicet investigatio functio* 
num^ etc. 



Formas superiores considerare cœpimus. 



Formulas novas exactas pro parallaxi eruimus. 



Oct.? 



Br. Pebr. 14. 



Br. Apr. 8. 

Terminum médium arithmetico-geometricum inter 1 et y^ ^^^^ = ~~ 

usque ad figuram undecimam comprobavimus, quare demonsrata prorsus 

novus campus in analysi certo aperietur. 

Br. mai 3o. 

In principiis Geomctrise egregios progressus fecimus. 

Br. sept. 

Girca terminos medios arithmetico-geometricos multa nova detenimus. 

Br. not. 

De l'examen attentif des passages qui concernent la théorie 
des fonctions elliptiques et de leurs dates, M. Klein tire celte 
induction : Le point de départ de Gauss n'est pas, comme on Ta 
cru d'après Schering, la théorie de la moyenne arithmético-géo- 
métrique, mais bien l'étude des fonctions lemniscatiennes. II était 
en possession dès 1898 des fonctions 2r pour le cas de la lemnis- 
cale, qui lui permettent en 1899 de résoudre, pour ce cas, le 
problème de la moyenne arithmético-géométrique. Il reconnaît, 
dans cette même année, la généralité de la méthode et est amené, 
par là même, à l'étude des fondions elliptiques, dans le cas 
général. 

On lira aussi avec un vif intérêt les souvenirs de M. II. Dede- 
kind relatifs aux leçons de Gauss sur la méthode des moindres 
carrés. Ces souvenirs sont singulièrement nets : Tadmiration pour 
le grand homme, la joie de l'apercevoir de loin, l'émotion de la 
première visite, la mauvaise humeur de Gauss quand on lui parle 
de faire son cours, le cabinet de travail et l'antichambre, la table 
où les neuf auditeurs n'arrivaient pas à se caser, la voix, l'atti- 
tudc, la prononciation populaire et la belle écriture du savant, 
tout cela s'est imprime dans le cerveau du jeune homme, en iS-fo, 



COMPTES KËNDUS ET ANALYSES. ii5 

el aujourd'hui le maîlre vénéré nous rend ses impressions avec 
une fraîcheur charmante et un relief saisissant. M. Dedekind a 
fait plus encore : en fouillant ses notes et ses souvenirs, il est 
parvenu à résumer de la façon la plus intéressante la première 
partie des Leçons de Gauss, une sorte d'introduction élémentaire 
et pratique, moins connue que l'exposition plus savante, fondée 
snr la théorie des probabilités. 

Deux portraits figurent dans cette publication. Dans Tun, 
Oauss a vingt-six ans; les traits sont pleins, les cheveux sont 
épais et bouclés; dans l'autre, que la lithographie a rendu plus 
populaire, les jolies boucles sont remplacées par une calotte noire, 
d^où s'échappent quelques mèches grises; la pensée et l'âge ont 
cr«usé les traits; le front s'est éclairci et s'est bombé; la bouche a 
S^fAé sa finesse et les yeux leur vivacité. 

Les documents biographiques sur Gauss auront leur place dans 
'c Tome X de ses Œuvres, dont le Tome VIII vient de paraître. 
On peut avoir pleine confiance dans ceux qui s'occupent de par- 
faire et de terminer le monument élevé à la gloire du grand mathé- 
'i^aticien. Est-ce ici le lieu, à propos de ces documents, de 
'appeler cette correspondance entre Gauss et Bolyai, que l'on a 
'^cemmenl éditée (*) avec luxe, qui nous fait pénétrer dans l'in- 
timité de ces deux hommes, qui est pleine de traits touchants, 
comiques, admirables? Le lecteur connaît, par la traduction qu'a 
donnée M. Laugel du travail de MM. L. Stackel el Engel (2), le 
'^le de Gauss el des Uoljai dans l'établissement des fondements 
d^ la Géométrie. Mais on ne saurait trop lui recommander, s'il 
^^ui passer quelques heures délectables, de lire toutes ces lettres, 
w savourer les anecdotes, les portraits, les rendez-vous, les pipes 
^l^e chacun, à de certains jours et de certaines heures, fume en 
Pensant à son ami, les malheurs arrivés aux barriques de vin, la 
pUcidité de Gauss, l'enthousiasme et le lyrisme débordant de 
^lyai.... 



1*) Bolyai Farkcu es Gauss Frigyes Karoly Levelese; in-4'. Budapest, 
^^ja a Magyar Tud. Akademia, 1899. 
(') Bulletin^ 2* série, t. XXI, p. 3o(). 



ii6 premiEke partie. 




VIVANTI (G.)- — Teoria delle Fuxziom anautiche. i vol. in-i6 
viii-43f pages (de la collection des Manuels Hoepli). Milan, Hoepli; igoi. 

Ce petit Volume, que le nom de son auteur recommande suffi 
samment, contient une Introduction où sont résumées les princ 
pales propriétés des ensembles; le reste est un exposé clair i 
concis des propositions essentielles de la théorie des fonctioi 
analytiques. La grande concision est une condition nécessitée ps^ -^ 
le format : tous ceux qui veulent collaborer à cette collection 
intéressante et si utile de Manuels que publie la maison Hoep=:^= 
ont dû s'efforcer de la pousser aussi loin que possible. Dans a 
tains de ces Manuels les démonstrations ont dû être supprimée 
ce n'est pas le cas ici. L'exposition est faite dans le sens 
Weierstrass, c'est-à-dire en prenant pour unique point de déps 
la théorie des séries procédant suivant les puissances entières 
la variable : s'il est question de dérivées et d'intégrales, c'est 
dérivées et d'intégrales de telles séries, qui peuvent être défin 
d'une façon purement formelle. L'intégrale prise entre des limi 
imaginaires ne joue aucun rôle. 

L'Introduction contient d'abord les notions, définitions et p 
positions fondamentales de la théorie des ensembles. Elle p"^ — ^ 
suppose la notion de nombre; elle est faite d'ailleurs avec -^^b 
grand souci de la rigueur logique : ainsi l'auteur s'arrête sur" ia 
distinction entre le fini et l'infini et ne craint pas de démont- « — ^^ 
qu'un ensemble contenu dans un ensemble fini est fini. Il dé^^^^- 
loppe les notions les plus importantes concernant les noml^**^^ 
transfinis et applique ces notions à certains points de la tliéo^*^^ 
des ensembles de points. 

Immédiatement après la notion de cercle de convergence d'«-» '^^ 
série de puissances entières, M. Vivanti introduit la notion ^^ 
valeur moyenne d'une fonction sur une circonférence de cerc^ï*» 
ainsi qu'a fait M. Pringsheim, en vue de la démonstration ^" 
théorème du commandant Laurent. Cette notion permet, concm a^^ 
on sait, d'éviter, dans plusieurs cas, la notion d'intégrale cu^""^*" 
ligne, dont elle est d'ailleurs très voisine. Puis viennent les notio"* 
de dérivation et d'intégration d'une série de puissances entiè^"^^' 



COxMPTES RENDUS ET ANALYSES. 117 

«2 1^1. fsens qui a été spécifié plus haut, le prolongement analytique, 

I22. <:léfinilion d%ine fonction analytique, déduite d\in de ses élé- 

i-K^^r~its, dans toute sa généralité, la distinction entre les points 

<^i rzB ^uliers, le théorème de Laurent démontré comme a fait 

^1 . IVingsheim, le théorème dû à Casorati et retrouve par Weier- 

stK*^ ^s sur la façon dont se comporte une fonction dans le voisinage 

dl** u m point singulier essentiel qui n'est pas la limite d'un ensemble 

de points singuliers essentiels : on doit à M. Vivanti lui-même 

des remarques intéressantes sur ce sujet. 

^X^près quelques indications concernant les séries de fonctions 

rat.ioDnelles (expressions arithmétiques), et sur le plan d'une 

t^li-ide systématique des fonctions analytiques, l'auteur développe 

les recherches de Weierstrass sur l'expression d'une fonction 

«itière comme produit de facteurs primaires (avec application aux 

f<^nclions sinor, o-x), les principales propositions qui se rapportent 

à la notion de genre, les recherches de M. Mittag-Lcfiler sur la 

■"^présentation d'une fonction uniforme avec une infinité de points 

^"^guliers. 

4*our ce qui est des recherches plus récentes de MM. Poincaré, 
**^damard, Borel sur les fonctions entières, recherches où inter- 

m 

^■oni notamment la rapidité plus ou moins grande avec laquelle 
^*'gmcnte le maximum de la valeur absolue de la fonction quand 
■^ Valeur absolue de x augmente indéfmiment, M. Vivanti ne pou- 
^^itni les passer sous silence, ni les développer, avec leurs démon- 
strations, sans sortir du cadre qu'il s'était tracé. Il a dû se borner 
** >*apporter les déGnilions et les résultats les plus importants. Il 
'analyse aussi rapidement les résultats obtenus par MM. llunge, 
1 ^înlevé, Hilbert sur la représentation des fonctions analytiques, 
donne avec quelques détails le théorème de M. Miltag-Leffler 
*ur la représentation, dans une étoile, d'une branche d'une fonc- 
Uon analytique déterminée par un de ses éléments, cite quelques 
exemples de fonctions lacunaires, s'arrête sur les questions que 
soulève la théorie du prolongement analytique (Poincaré, Borel, 
Fibry,etc.), puis sur les conclusions qu'on peut tirer de la nature 
des points singuliers de deux fonctions relativement à celle des 
points singuliers d'une troisième fonction construite avec les 
^M <lcux premières (Pincherle, Borel, Iladamard, etc.), et termine 
par quelques pages sur ce que l'on sait de la distribution des 



r* 



ii8 PKEMIËIIË PAKTIE. 

points singuliers sur le cercle de convergence d'une série 
puissances (Lecornu, Hadamard, Borel, Leau, Le Roy, Prin 
sheim, etc.). 



ÂliL (D** Fritz). — Untersuciiungen ûbbr geodâtischb Linien. 
Inaugural Dissertation. 5o pages. Kiel; 1901. 

Dans ces recherches sur les lignes géodésiques, Tauteur s^at 
lâche a Tétudc des réseaux linéaires de géodésiques, c'est-à-di 
des réseaux que l'on peut représenter par des équations linéaire 

de la forme 

au-\-^if = const., 

a et p désignant des constantes déterminées. 

Sur une surface, il existe toujours deux réseaux linéaires de 
lignes géodésiques, et Ton n'a qu'à poser simplement 

/) = /(li,!') = const. et ^ = ^(a,c)= const. 

Lorsque sur une surface il existe quatre réseaux linéaires de 
géodésiques, M. Finstcrvvaldcr (*) a démontré que la surface a 
nécessairement une courbure gaussienne constante. Prenant 
ensuite comme point de départ la proposition que sur toute sur- 
face de révolution il existe trois réseaux linéaires de géodésiques, 
M. Fritz Ahl s'est proposé de rechercher s'il n'existerait pas 
d'autres surfaces jouissant de celte propriété. Il s'est donc 
demande s'il existerait dos expressions de la forme 

ds^- Edu^ -{- ^V du du -^ Gdi>* 

pour lesquelles l'équation des lignes géodésiques serait vérifiée par 

zi = consl., (^ = const., u — t» = const., 

l'élément linéaire n'appartenant ni à une surface de révolution, 
ni à une surface applicable sur une surface de révolution. L'au- 



( ' ) s. FiNSTunx ALnKH, Mer/tonisr/ie Beziehunf^en bei der Ftàrhende/ormafion 
(JahrrsOi'rtrhtr dvr />. 1/. I .. IM VI. iSS»j. p. '>o à .'m». 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 119 

leur est conduit à un système de trois équations simultanées aux 
dérivées partielles du premier ordre 



dif du ov 



(3) 



dG\ 



\ \ dv du âi^ du / \du ' dv ) ~~ ' 



On ne peut espérer obtenir une solution générale de ces équa- 
tions. M. Âhl s'est donc proposé d'étudier les cas particuliers où 
l'on peut arriver à un résultat. Il commence par démontrer que 
les six cas suivants conduisent toujours à des surfaces de révolu- 
lion, à savoir : 

(i> E=:o, G = o, 

<a)(") F = o, 

(3) F = const. 9^ o, 

U ) E = const. yé. o, 

(>) E = XF« ) 

icx ^ > „ [ (^= const.), 

(^) F = XE ) ^ ' 

Mais la partie principale de la dissertation est celle consacrée à 
la discussion des cas 

E = Ao u* -f- a Bo w -4- Co, 
F = Aia«-t-2B|««-4-Ci, 
G = Aj a« -t- 2 Bj M -h Cl, 

où A^, ..., Cî sont des fonctions de t»*seul, déterminées par la 
nature même du problème. 

Celte hypothèse relative aux quantités fondamentales E, F, G, 

*été suggérée à Tau teur par une remarque verbale de M. Stackel, 

a qui l'on doit d^ailleurs des études remarquables sur la théorie 

<*«» lignes géodésiques. 

On obtient alors un système de i5 équations dilTérentielles du 

(*) Comparer Darboux, Leçons sur la Th. des surf., t. I, 1887, p. i48-i5i. 



l'io PIIEMIËRE PARTIE. 

premier ordre pour les coeriicîeDts A©, - . ., C^. Leur discussi^^^^^^n 
conduil à distinguer un grand nombre de cas. Une sîmplificali^^^^=>n 

essentielle consiste d'abord à écarter ceux qui conduisent aux si^^ :^r- 

faces de révolution. L'auteur fait voir qu'il y a deux formes esse^^^ n- 

liellement dlfTérenles de Télément linéaire auxquelles ne corrt ^ s- 

pond aucune surface de révolution et pour lesquelles il existe fat "»is 

réseaux linéaires de géodésiques, à savoir : 

ds^=z(u-h vydu^ — 7.{u-h v)(u — 2C) dudv. 

A la seconde forme ci-dessus de l'élément linéaire ne corre 
pond aucune surface réelle, mais la première donne les surfac 
désignées par Sophus Lie sous le nom de sur/aces spirales ( 
Une élégante propriété de Télément linéaire de ces surfaces réel 
est celle d'être transformé eu lui-même par la transformati 

On voit que l'auteur a ajouté d'importants résultats à un c^^^Hcs 
Chapitres de la théorie générale des surfaces. 

L. Laugel. 





TESSARI { n.V — La Costrizionk delli ingranaggi ad use delle sgi' 
HKiiLi iNUL'uNKRt K uEi MECcAMci. 1 vol. in-8^ ; xv-xj^S fKi^es ct 8 planci 
Turin, Boooa froros: ujo^. 

L'onsoiirnomonl dos choses techniques présente des difficul t^s 
spéciales ol poul élro conçu de façons assez, diverses. Il peuK^ ^^ 
donner au milieu des choses mêmes, à Tatelier, au laboratoi ^"*' 
Ou n'a pas alors à se préoccuper de donner des définitions 1 *^" 
giques : ou montre les objets mêmes, on les nomme en les m o ■3" 
Iranl, ou les monte, on les démonte, on les voil fonctionner:. '*^ 
mots éveillent des images précises, des souvenirs de sensalio '^ *» 



(*) Sornis l-Y. r''ic,-^ne d^r rrant/ormatùvis-Orupptn {ArehU' for McM^^^ 



p soric 
pour les riiLiii-s llii'-ii- 



COMPTES KENUUS RT ANaLVSE 
l^plulôlqur ilc« coDcepls. Cf^l ensci^ncmcnt-là, (jui 
• Tappren tissage, iiVat jinsfi dûdaigner 

ii^icmi : il peut, sans doute, être accompagn<' trcxplica lions, mais 

' <- laV^t pas un enseigoemenl &cictitili(|ue. Dans un euseigiiement 

•cî«cililî(|ne les objets cinivent Hre schématisas, réduits â ce qu'ils 

ont d'essentiel; leur fonctionnement doit être expliqué par des 

friïictpes appartenant à Jes Sciences que connaissent les élèves, à 

l<'9 propositions «te Oéuinètrie, s'il s'agit, comme irî, dit jeu de 

DÛcanistncs compostas d'organes rigides. 

^g^ Trop souvent les livres rédigés par les lioninies de métier ne 

^^■Paveot élre compris que par ceux qui ont fait cette sorte d'ap- 

Bprenlissyge (Jont je partais tout à l'heure; tes auteurs ne s'astrei- 

;;>ienlp«ssuf1isammentàcet ordre logique qui est le fond de tonte 

^■■•«?nce, et ne se préoccupent même pas de définir les termes 

if^choiques qui viennent naturellement sous leur plume. De tels 

"Cs peuvent rendre de grands services aux lecteuts pour les- 

heis ils ont été écrits, qui v trouvent les renseignements dout ils 

pl besoin; ils ne peuvent guère servir aux étudiants proprement 

Bi». D'autre part, le tliéoricieu qui veut donner un enseignement 

-di>aut pntlique laisse trop souvent de cAlé les déluils qui 

pnnuicnt et s'attarde volontiers aux problèmes théoriques qui lui 

pal snggéréii par l'ordre de questions dont il s'occupe. Quelques- 

kls de ces problèmes ne valent que comme exemples ou cnmmc 

"•«sèment; il importe de ne pas en abuser et de ne pas se com- 

Ipuire uniquement, dans les choses d'ordre priilique, à celles qui 

"•nnenl l'oceasion de parler de quelque joli théorème de Matlié- 

K*Hiiqiteg, D'autres problèmes se trouvent avoir no grand intérêt 

■ Ms-mémes, et l'histoire de la plus pure des Sciences montre 

*Wï que le» plus beaux développements théoriques ont étr sou- 

'**>i les réponses â des questions posées dans la réalité ; pour ne 

I pHer que du sujet truite par M, Tessart. que de (Chapitres de 

[ ''Spiuatique n'inlervienuent-iU pas dans la solution de ce pro- 

nlènr : transformer, au nio^en d'organes rigides en contact, un 

«ouvpineul de rotation autour d'un nxe en un mouvement de ro- 

, Ulioii niitour d'un autre nve? Ce n'est pas ces Chapitres qu'il 

**pl de développer dans un Traité des engrenages : si ce 'l'ruité 

itdù être un livre csscnlicllctncnt pratique, l'auteur se serait 

I homé^k l'énoncé des régies précises qui servent au tracé des ligures: 



1)7 PREMIÈRE PARTIE. 

le livre que M. Tessart a voula écrire est un livre de Science o^ 
les applications ne sont jamais perdues de vue : c^est toujours di 
organes préciS| déterminés qu'il a en vue; il ne sera satisfait qv ^ 
quand il aura montré comment la construction peut être achevé^^ 
que son lecteur aura toutes les données nécessaires pour dessine ^ 
complètement ces organes et possédera toutes les raisons qui jui 
liiient ce dessin. 

On a bientôt fait, par exemple, lorsquMl s'agit dN 
cylindriques, dejustiCer, devant des auditeurs qui possèdent h 
éléments de la Cinématique, les diverses règles pour le tracé d^ 
deux profils conjugués. Â coup sûr, l'auditeur, ou le lecteur, » 
trouvé là une application intéressante de principes qu'il con- 
naissait, et cette application, bornée à ce que je viens de dire, 
est même une illustration naturelle de la théorie du déplacement 
d*unc ligure dans son plan. S*il ne sait que cela, notre audi- 
lour sera fort embarrassé de dessiner un engrenage, et risquera 
de ne so rendre compte que bien imparfaitement du fonctionne* 
ment de Tapparcil dont on lui a parlé. Quels profils choisi ra-t-i 1 ? 
Si c\\s| un engrenage épicvcloîdal, comment prendra-t-il le rajon 
du corcio doni un point décrira les profils conjugués? Com- 
ment limitora-l-il ces profils? Comment fera-t-il les saillies et les 
\idos? Quelles dents seront-elles en contact et pendant combien 
de temps? Combien ce mode dVngrenages comporle-t*il de 
dents? l^^s questions abondent^ et je ne parle, bien entendu, que 
de celles qui sont du rt^ssort de la Cinématique* et qu*a traitées 
M. Tessari: il v en a bien d*autres qui intéressent la Dynamique, 
IVIaslioitô« U résistance des matérijux« etc.; ces questions-là, 
rauleur ne |H>uvAit que les signaler en |>a5sanl« pour indiquer à 
l\HV4sion comment d'jiutres considérations que celles qui sont 
tir^^os de lu pure iuH^mcIrie interviennent. )^r exemple, dans le 
ch\^i\ des dimensions des or^jines« et s*il se contente de dire par- 
fois que b prjiliquc u conduit À adopter tel ou lel nombre, soo 
Kvlciir >c contentera aussi de celte atlirmation* d*aatant que ce 
îtvieur >ent bien qu'on ne peut tout lui dir^ el qu^il n*e$l pas 
ùvtle de totti expliquer : ju moins scra-lMl satisfait d'être capable 
de lîexiner un organe rxvl et qui {s^urraic lonclionner. de ne pas 
vji\o\r Neuîewen:. d'une fa<\^;î xa^ue e5 trv^ulvUnle. que laCîoêma- 
;:que ^cr; à quelque cKomt. wa*.^ d v Uv ra»«s;x c;> Nftckant com* 



COMPTES HENtlUS ET ANALYSES. 



ul 



benl elle sert. Rt si même il ne doit jamsis être ni ingénieur ni 

^CMnicirn, mais un homme de science ou un professeur, on sim- 

jjienieoi un homme instruit, l'étude upprofondie du quelqu'un de* 

kemples simples dêvcloppiis par M. Tessari sera, à coup srtr, 

Dc excellente discipline. Ce que l'on gagne de modestie cl de 

iCCf en uc se contenlnnt pas de principes généraux que 

PTon se croit capable d'appliquer, si seulement ou le voulait, et en 

adiani jusqu'au bout un exemple précis, sans se laisser rebuter 

■r ce qu'il peut avoir d'un peu méliculeux, n'esl pas à dédaigner. 

Les lignes qui préct'dent suffironl, je l'csp^'re. à caractériser l'es- 

rît AU foisscienlinquc ei pratique du livre de M. Tessarr : celui-ci 

■t în{;énicur et Ton sent assez ifu'il parle de sujets qu'il connaît : 

i esl professeur au F" Mmeo indiistriale italiano, et l'on 

onnaEtra, en lisant son livre, l'hunime qui sait enseigner. Les 

rdîvers problèmes sont traités d'une façon systématique, par 

IrélnJc Am mouvement relanf d'une des roues par rapport à 

I rtulre. Cette élude donne le plus simplement qu'il est possible 

1 loatc} )(s popusitions théoriques dont on a besoin. Sept Chapitres 

1 Mkat consacrés au\ engrenages à axes parallèles, pour un rapport 

caastanl des vitesses angulaires 1 après avoir nettemcnl posé les 



fnncipes, 



étudié 



le jeu des appareils, énuméfé les questions à 



réinndre dans chaque cas jiarliculier, l'aulL'ur traite successive- 

BKSt des profils épirvcloîdanx. des lianes rectiligne;, des prollls 

I i développantes de cercle et des engrenages â fuseaux. Un Cha- 

j pilre rpéctal e*l consacré aux engrenages de llooke et Whiie 

li(fVN« à chevrons) dans lestpiels la surface des dénis n'est pas 

j^ÎMdriqne, mais hélicoïdale. L'auteur termine ce Chapitre en 

int le sonhait de voir établir des rccherchei expérimen- 

• wr la comparaison, au point de vue du frottement, entre ces 

mages cl les engrenages cylindriques ordinaires. Trois (iha- 

■tre» très intéressants laut au point de vue théorique qu'au point 

fr vue pratique se rapportent au cas où, les nxes étant toujours 

rllMn, le rapport des vitesses est supposé variable. De nom- 

■eirt exemples sont traités avec détail. Les problèmes analogues 

semt que Ton vient de dire sont repris dans le cas des axes 

tbacoiirsuls : ils sont distribués dans trois Chapitres. 

) Enfin, rOnvrttge se termine pnr l'élude du cas où les axes sont 

a d'une faron quelconque dans l'espace, les mouvement* dc 



134 PKËMIËRE PARTIE. 

rolalion élant' supposes uniformes. Un Chapitre est consacré 
l'ëtude de la disposition des deux hjperboloïdes de révolutîo 
tangents le long d^une génératrice commune, que Ton est al 
amené à considérer, l'autre à Pétude des dents dont on pe 
armer ces hj'perboloïdes. J. T. 



CELLËRIER (Cii.)- — Cours de Mécanique, i vol. in-8«; viii-617 pages. 

Paris, Gauthier- Villars ; 1892. 

Ce Cours de Mécanique, professé en grande partie à l'Univer' 
site de Genève, et complùlement rédigé par Tauteur, est trè 
intéressant par les tendances multiples et quelquefois opposée- 
qui s^y manifestent. L^auleur était un excellent géomètre, qui 
écrit nombre de Mémoires sur la Mécanique et la Physique mathé-^ 
matique, et s'intéressait aux points les plus subtils de rAnalyse** 
On sent chez, lui le goût de la généralité : ainsi son Cours, qut 
débute par la Statique, s'ouvre par la démonstration du principe 
des vitesses virtuelles, ramené, grâce à une ingénieuse dispo- 
sition de ces petites poulies qui figurent dans plusieurs démon- 
strations classiques, à cet axiome : Si une force unique est 
appliquée à un système théorique, et si ce système peut se mou- 
voir de faron que le point d'application se déplace suivant la 
direction de cette force, le système ne restera pas en équilibre. 

Mais, en même temps qu'il a le goût des théories générales^ 
Cellérier ne perd pas de vue les phénomènes physiques : il en a le 
sens et veut le communiquer à son lecteur, qui ne restera pas 
lonj;lomps dans les considérations abstraites; cela se prévoit d*ail- 
leurs, ici et là, dès les j>remières pages; mais les applications 
mettent en évidence les préoccupations de l'auteur : tout d'abord, 
|)our ce qui concerne les systrmes à liaisons complètes, il aura 
jirand soin de faire ressortir le sens de Ténoncé populaire du 
principe des vitesses \irtuelles : u Ce qu'on gai^ne en force, on le 
ptM'd en \ilt»ssc »•: il aura grand >«)in aussi de distinguer les divers 
déplaremenl>, de nature lrr> iliUcrenle, 4|uc peut recevoir un 
>>slcnic; il clucidera <lc son mieux la notion des forces de 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. I25 

coniacty innllipliant les exemples, tantôt en considérant le frot- 
tement, tantôt en le négligeant, parlera, dans un cas simple, de 
^équilibre des voûtes, puis des murs de soutènement, et dira 
même quelques mots de la flexion des tiges. Les préoccupations 
du physicien se retrouvent dans l'établissement des principes de 
la Dynamique, lorsque, par exemple, il introduit la notion du 
poiot matériel. 

•c Dans ce qui précède, dit-il, nous faisons abstraction du fait 
que la matière, à un degré d*extréme subdivision, se réduit en 
nnolécules. Ce fait constitue un défaut d'homogénéité ou des 
irrégularités de structure dont les dimensions sont en général 
imperceptibles en comparaison de celles d'un corps, et dont Tin- 
fluence par suite peut être négligée en Mécanique. 

>» Il en est de même s'il s'agit d*un élément ou d'un point ma- 
tériel. En réalité, on pourrait sans erreur sensible le considérer 
comme infiniment petit, tout en lui attribuant des dimensions 
immenses en comparaison de l'intervalle mo}en des molécules. 
Mais il n'est pas même nécessaire de s*arréter à cette sorte d'ap- 
proximation; en eflet, les lois de la Mécanique ne peuvent 
dlêpendre de cet intervalle, dont la longueur nous est inconnue; 
&i donc nous lui supposons une petitesse indéfinie, ces lois ne 
seront pas changées. Cela revient à regarder la matière comme 
coniioae, conformément, du reste, à sa nature apparente. » 

Jamais, sans doute, un mathématicien qui ne serait que mathé- 
*nalicien, qui ne se préoccuperait que du jeu logique des défi- 
■^Uions et des déductions, n'aurait écrit cette phrase sur les lois 
<lc la Mécanique, qui ne peuvent dépendre de l'intervalle moyen 
<>€s molécules, intervalle dont la longueur nous est inconnue. On 
? sent l'homme qui a des scrupules et une certaine conception de 
l^noaiière, mais on ne se rend pas bien compte de l'idée physique 
Ou métaphysique que recouvrent ses paroles. 

Je ne cite cet exemple que pour signaler les difficultés presque 
^hérentes aux livres, très utiles d'ailleurs, qui, comme celui de 
wlérier, prétendent familiariser le lecteur avec les phénomènes 
^^ les théories physiques. L'auteur pense ces phénomènes avec 
certaines habitudes d'esprit, et ces habitudes créent pour lui une 
*onc d'évidence qui ne peut être partagée par le lecteur. A la 



ia6 PllËMIÈUE PARTIE. 

vérité, lorsqu^il s'agit de spéculations telles que celles do9 
vient d'être question, Tinconvénient que je signale n^a plus graJ 
importance : sans doute, il ne s'agit de rien moins que des éc[ 
tions fondamentales de la Dynamique ; mais, après tout, ces éq 
tions sont plus claires, en elles-mêmes, que les raisonnements 
lesquels on prétend les fonder, et il est loisible au lecteur d'oubi 
ceux-ci s'il sait appliquer correctement celles-là. La vraie difficc 
est peut-être dans les applications et dans l'appréciation de 
simpIiGca tions que Ton fait subir aux problèmes réels pour 
mettre en équations ; la meilleure ressource, pour persuader 
lecteur de la légitimité de ces simpliGcations, est sans doute 
multiplier les exemples; on en trouvera beaucoup, et d'ingéni< 
sèment choisis, dans le livre de Cellérier, qui, par cela même, 
pourra manquer de rendre de bons services. 

Après Tétude du mouvement d'un point et une digression 
cessaire sur l'évaluation des inté(|;rales multiples qui s'introduis 
en Mécanique (centres de gravité, moments d'inertie, attracti 
formule de Green, etc.), l'auteur traite du mouvement d'un sol 
ou d'un système de solides, en parlant du principe de d'Alemb 
signalons le paragraphe sur le mouvement de l'axe de la Terre 
démonstration de la réciproque du principe des vitesses virtuel 
la discussion de la nature des liaisons, l'application des forrai 
de Lagrange à reflTel, sur un pendule composé, de la secoussec 
à un tremblement de terre. Le chapitre se termine par la théo 
des percussions et l'élude de la stabilité de l'équilibre dans le c 
d'une fonction de forces. 

Un important Chapitre, sous le titre Complément de la Dyn 
mique traite, d'une part, des applications industrielles, d 
résistances passives, des moyens de régulariser et de mesurer 
travail, et, d'autre part, de Téiasticité (vibrations longitudinal 
d'une tige élastique, relations Ibndamentales entre les pressio 
intérieures d'un corps, valeur des pressions en fonction des^ 
riables qui expriment la déformation, etc.). 

La mécanique des fluides est traitée surtout au point de vi 
des applications pratiques. 

La brève analyse qui précède a eu pour but de mettre en h\ 
dencc les tendances du livre de Cellérier : s'il touche à tous I 
sujets que comporte un Traité de Mécanique rationnelle, l'aule 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 117 

efforce évidemment de rapprocher son enseignement, d^une pari 
; la Mécanique pratique, d'autre part de la Physique mathéma- 
3tie : il j a eu un temps où renseignement de la Mécanique ra- 
onnelle semblait avoir pour but principal de fournir aux étu- 
iants des exercices intéressants de Calcul intégral ; il ne faut pas 
«guetter que ce temps4à soit passé. 



lLEZAIS (Raymond). — Sur une classe de fonctions htperfuchsiennes. 

(Thèse). Paris, Gauthier-Villars ; 1901. 

La Thèse de M. Âlezais trouve son origine dans l'étude de 
certaines fonctions hjperfuchsiennes envisagées par M. Picard 
{Acia mathematica^ t. I, Il et V). Les périodes de Tintégrale 
abélienne 

(0 f ^' 

sont des fonctions des deux paramètres x et j', et ont trois déter- 
mioations linéairement indépendantes; soient coi, (1)2) 0)3 trois de 
ces déterminations convenablement choisies, et posons 

a>i ci>3 

— = M, — = V. 

(i>i (jji 

^ctjrsonl des fonctions uniformes de u et Vy dont le champ 
ucxistence est le domaine de Tespace à quatre dimensions cor- 
respondant aux deux variables complexes u et ^, déflni par Tiné- 
gtlilé 

en désignant par Uq et Vq les conjuguées de u et v, 

W. Alezais fait d*abord explicitement la recherche de ces fonc- 
tions X ety de u et v (fonctions hyperfuchsiennes) au moyen des 
fonctions 6. Considérant ensuite la courbe entre 5 et ^ 

x»=(i-a)(r-p)(i-Y)('-5) 
^ intégrale analogue à (1) relative à cette courbe, il fait une 



^ 




128 PREMIÈRE PARTIE. 

élude approfondie du groupe S des substilutîons linéaires re^^* 
lives à u et r, quand les points critiques a, ^, y, o tournent ^^^ 
uns autour des autres, groupe qui admet cinq substitutions CV>^' 
danrientaies. Comme it résultait des recherches de M. Picard -9 '^ 
groupe S pris sous forme homogène transforme en elle-mém^^ 
forme quadratique ternaire à indéterminées conjuguées 

M. Alezais se pose alors la question très intéressante de sav 
si le groupe S coïncide avec le groupe des substitutions se 
blablcs de F, ou s'il ne forme qu\in sous-groupe de celui- 
Pour élucider la question, Tauteur considère un nouveau groupe 
provenant des échanges des valeurs a, [i, y, entre elles, 
groupe T transforme F en elle-même et contient le groupe 
M« Alezais établit que les substitutions de S sont congrues à 
substitution unité suivant le module 1 — X (en désignant par 
une racine cubique imaginaire de runitc), et que S est donc u 
sous-groupe à congrucuces du groupe T; il en est, par suite, u 
sous-groupe invariant. On peut donc décomposer le groupe 
en classes de substitutions incongrues selon le module i — X. I 
est alors possible de montrer que le groupe 4> de toutes les sub 

suit niions transformant F en elle-même admet comme sous " 

groupe imariant d'indice deux le groupe T, qui adme^ 
lui-même le groupe S comme sous- groupe invariant d'indice 
vingt-quatre, I/étude du groupe des substitutions semblables 
de F est ainsi faite compirtemcnt, et ces résultats sont, au point 
de vuearillunrlic|ne, d'un réel inlérél. On sait, en effet, qu'il n'est 
pas en général facile de pousser jusqu'au bout la recherche des 
substitutions fondamentales du groupe relatif à une forme quadra- 
li(iuc iudéliiiie. Au groupe <^ correspondent, d^iilleurs, comme à 
tout groupe de substitutions transformant en elle-même une 
forme (|uudrati(|ue ternaire indéHnie à indéterminées conjuguées, 
des fonctions li^perfuchsicnnes. 

(lontinuaiil son étudt; aritliniéti((ue, M. Alezais passe aux sub- 
stitutions (|ui nHilti|>lient |)jirun entier/»- la forme F. Les célèbres 
tni\an\ (rilcruiitc sur la transformation des (onctions abéliennes 
(lu piTinii-r ordre ap[)elaient, dans le ca> actuel, (failleurs plus 
complexe, rullenlion sur la réduction et Vcquii'alcncc de ces 




COMPTES KENDUS HT ANALYSES. .129 

substitutions. Dans plusieurs questions de nature algébrique, le 
nombre des substitutions non équivalentes jouera certainement 
un rôle important, quand on poussera plus loin Tctude des fonc- 
tions hyperluchsiennes correspondant à la forme F. M. Alezais 
retrouve à ce sujet le nombre indiqué autrefois sans démonstra- 
tion par M. Picard, quand k est premier et de la forme 3m -j- 1 ; 
il lait aussi 1<$ calcul assez délicat pour k = 3. Ces résultats seront 
à utiliser par ceux qui voudront entreprendre la formation effec- 
tive de certaines équations analogues aux équations modulaires, 
et obtenir ainsi des exemples de sur/aces hyper/uchsiennes, 
c'est-à-dire de surfaces algébriques pour lesquelles les trois coor- 
données s'expriment par des fonctions liyperfuchsiennes de deux 
paramètres. 

La dernière partie est consacrée à un problème de transforma- 
tion linéaire de certaines fonctions de genre trois, qui conduit 
l'auteur à un nouvel exemple concret de fonctions hyperfuch- 
siennes, et lui fournit le moyen de vérifier directement Tinva- 
riance des fonctions x et v considérées au début. 

Le travail très soigné de M. Alezais, qui témoigne d'une réelle 
puissance de calcul, intéresse à la fois, comme on voit, l' Arithmé- 
tique et la Théorie des fonctions; sa lecture sera indispensable à 
ceux qui voudront aborder les nombreux problèmes qui se pré- 
sentent encore dans cet ordre d'idées. 



FRE\'C1NKX (C. de). — Sur les principes de la Mécanique rationnelle. 
I vol. in-8**, 167 pages. Paris, Gauthior-Viilars, 1902. 

On ne peut lire un livre de M. de Frcycinct sans admirer 
"abord l'écrivain, la limpidité du style, et cette simplicité dans 
^élégance qui, chez les riches, est la marque du goût. Dans ce 
|*vre-ci, qui touche aux points les plus difficiles de la Mécanique, 

** y a pas une formule, pas un symbole analytique ; les théorèmes 
^* 'es principes sont dépouillés de tout cet appareil inathéma- 
W^c, dont on se contente parfois, sans se donner la peine de 
^o^rder ce qu'il y a dessous^ les mathématiciens sont si habitués 

'**iL des Sciences mathem., 2' s<-ric, t. XWI. (Mai njoa.) 9 



\ 



i3o PREMIÈRE PARTIE. 

à leurs symboles et s^amusent si volontiers au jeu de ces symboles, 
qu'il faut peut-être leur arracher leurs jouets pour les forcer à 
penser. Forcer le lecteur à penser aux choses, c'est là sans doute 
ce qu'a voulu M. de Freycinct, et sa modestie semble excessive 
lorsqu'il dit, à la fin de son livre, qu'il s'est seulement efforcé de 
dégager les abords de la Mécanique rationnelle « et d'assurer les 
premiers pas de ceux qui voudraient pénétrer à l'intérieur de 
l'édifice ». 

C'est parmi ceux qui sont à l'intérieur de l'édifice, qui sont 
curieux de savoir comment ils y sont entrés, et si le chemin qu'ils 
ont suivi était bon, que M. de Frejcinet trouvera sans doute le 
plus de lecteurs. 

Quand on a affaire a uu esprit aussi lucide que le sien, à un 
écrivain qui dit exactement ce qu'il veut dire, ni plus, ni moins, 
il est qucl(|ue peu dangereux de prétendre lire entre les lignes et 
de prêter à l'auteur des opinions qu'il n'a peut-être pas, ou dont 
il n'accepterait pas l'expression. 11 semble bien, toutefois, que 
M. de Frejcinet n'ait pas de sympathie pour Técole de mathë* 
maticiens ou de logiciens dont l'idéal est de placer au début de 
chaque branche des Mathématiques une « table des idées pre- 
mières )), des définitions précises, des postulats dont on ait con- 
staté l'indépendance et qui soient en nombre suffisant, puis de 
constituer le reste de la science avec de purs raisonnements 
logiques. Ce n'est peut-être pas à ceux qui poussent le radicalisme 
aussi loin, mais bien a ceux qui ont quelques tendances de ce 
côlé, voire modérées et timides, que s'adressent les pages suivantes 
de la préface : 

« A mon avis, ces voies nouvelles ne sont pas sûres, et en tout 
ras elles ne sont pas favorables à la découverte des lois naturelles. 
Je cn)is prudent de m'en tenir à la tradition des (ialilée, des 
Newton, dos <r.\lemberl, des Laplace, des Lagrange; et si quelque 
ilianj;einenl doit être apporté à des méthodes, naguère réputées 
(•Ia«isitiuos, c'est plutôt ^ selon moi, pour en accentuer le caractère 
exiu'riinonlal et pour mettre davantage en relief les données phy- 
>iquos qui h»ur servent de base**. Sans doute la Mécanique ainsi 
c\|H»*»oe prc^enle un u niélani;c ^> de calcul et «robservalion u avec 
• quelque peu «ranlhroponïor|»lnsnie »». Mais (juelle est la branche 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. i3i 

de nos connaissances qui échappe à ce dernier reproche? Toute 
science ne porle-t-elle pas Fempreinle de nos concepts et, quand 
elle sort de la pure logique, l'empreinte aussi de nos sensations 
vis-à-vis du monde extérieur? Sa fécondité et sa certitude ne sont- 
elles pas alors en raison de son intime contact avec la nature et ne 
devient-elle pas stérile à mesure qu'elle s'en éloigne? 

» J'ai voulu, dans les pages qui suivent, reprendre précisément 
la méthode que certains inclinent à délaisser. Loin d'en atténuer 
le prétendu défaut, je l'ai délibérément accru en donnant plus de 
place aux considérations empiriques. Le « mélange » signalé 
comme un manque d'unité n'en sera que plus apparent; j'espère 
toutefois qu'il ne passera pas pour de la confusion. Car, au fond, 
les deux parties, abstraite et concrète, sont parfaitement dis- 
tinctes. 

» Celle-ci sert de support à celle-là. Les données expérimen- 
tales précèdent et motivent les théories analytiques; elles les main- 
tiennent dans la région du réel, hors de laquelle les plus brillants 
exercices de calcul sont décevants. » 

Que la Science puisse se développer sans que les concepts qui 
sont à la base de cette Science aient été l'objet d'une critique 
*évère, c'est ce que l'histoire met hors de doute ; il est même cer- 
^m qu*on ne revient sur les concepts, poijr les étudier, les distin- 
Çuer, les débarrasser de ce qu'ils ont d'inutile, que lorsque la 
*^cience est déjà très avancée^ c'est à la lumière de la Science elle- 
'"^^nae qu'on en peut scruter les principes : vaudrait-il mieux ne 
jamais s'arrêter à cette critique, s'efforcer d'aller toujours en 
*^ant et accumuler plus de vérités nouvelles? Sans doute, il ne 
^•udraitpas faire dire cela à M. de Freycinet, puisque, après tout, 
*oa livre même est, d'un bout à l'autre, la preuve de l'intérêt 
4^ il attache à l'étude des principes; mais il est vrai que l'organi- 
sation d'une science est autre chose que son accroissement. 
V^elques-uns regrettent cet appauvrissement des concepts qui 
^sulie de leur critique; rien n'est plus riche que l'intuition; mais 
cette richesse est confuse et cachée : il faut la découvrir, et l'on 
^^ sait comment Tutiliser. Rien ne semble plus pauvre que les 
concepts qui sont à la base de la Géométrie, si ce n'est ceux qui 
*on| à la base de l'Analyse : toule la richesse est dans le dévelop- 



i3'Jt 



imu:mièkk i>autie. 



pemcnt logique; csl-cc une richesse bien solide? n'est-ce pas pli 
tôt un rêve de richesse, si elle ne consiste qu'en formules abstraite 
en signes conventionnels, sous lesquels il n'y a aucune réalité? 
est permis, en tout cas, de priser davantage les spéculations qi 
s'adaptent aux choses et nous permettent de mieux les connatti 
et, d^ailleurs, il est certain que Tétude des problèmes réels a sin 
gulièrement contribué au développement de la Science pure. D'ui 
autre côté, l'enseignement d'une science logiquement constitnéi 
ne [)eut s'adresser qu'à des esprits très mûris par cette scicnci 
même : il ne convient assurément pas, si l'on en pousse la rigueui 
jusqu'au bout, à des gens qui n'ont pas la longue habitude dcj 
abstractions, qui ne sont pas accoutumés à respirer un air raréGé 
ceux qui enseignent la Mécanique rationnelle, en particulier, ont^ 
d'ordinaire, le souci de donner à leurs auditeurs le sens des pro- 
blèmes physiques et de ne pas perdre, eux non plus, ce « contact 
avec la nature » que recommande M. deFreycinet : j'en trouverais- 
la preuve, s'il était besoin de la chercher, dans le soin et le détail 
avec lesquels sont définies les unités pratiques de mesure dans les 
traités récents de Mécanique. 

Malgré tout, il est dans la natOrc d'une science de s'organiser, 
de se subdiviser en |)arties dont chacune se dillérentie naturelle- 
ment par les concepts et les postulats qui lui sont propres, prétend 
réduire les uns et les autres au minimum et ne s'appujer que sur 
ce qui est à elle; la Mécani(|ue s'est subdivisée en Statique, Ciné- 
matique, D vnann(|ue ; la Statique et la Cinématique ont des parties 
purement géomcl.ricjues; la I)vnami(|ue a des parties purement 
analvtifjues, où Ton étudie certains Ivpes d'é(|uations difiercn- 
liellcs. Des notions plus ou moins confuses de force, de mouve- 
ment, de matière sont sortis des éléments géométriques, numé- 
riques, anal\li(|ues sur lesquels on spécule sans penser ni ù la 
force, ni an niouNCinent, ni à hi matière : ces diverses parties se 
prèlcnt un innluel appui, et c'est leur ensemble seul qui constitue 
la M«H*;nii«|uo rationnelle ; elles n'en sont pas moins déjà séparées, 
so s«'|);iirr()nl (]aNai)tii<;e les unes des autres el continueront à se 
sulxlis i^cr. (Icllo division de la Srionee en parties correspond à 
une (lis ismn <lr> ('()n('«'|>!s cl d<'s postulais, (jui tend à préciser et 
ù îipp.iuN rir !<•< prciniris, à mieux distiniiuer les seconds, et à rap- 
pioc Ik'i I.i Si irnc»" de I id« ;il «1rs purs lo^icicll^. C'r.sl un niouve- 



COMPTES HENDUS ET ANALYSES. i33 

ft€?iit inévitable par lequel, toutefois, il convient de ne pas se 
aîsser entraîner trop vite : il est même désirable que des voix 
ui t. «risées viennent de temps en temps en montrer les inconvé- 
iîe>xts ou les dangers. 

Si même cet idéal des logiciens était atteint, si chaque livre 

lUii traite d'une partie des Mathématiques contenait au début la 

< lable des idées premières », la suite des définitions et des pos- 

.u.lats indispensables, la critique philosophique et historique aurait 

gocore à s'exercer sur ces idées premières et sur ces postulats, à 

en discuter l'origine et la formation ; pour ce qui concerne la Méca- 

Tiic|ue, il est hors de doute que Texpérience a contribué pour une 

très grande part à l'une et à l'autre. Les livres comme celui de 

M. de Freycinet auront donc toujours leur place. Il est même 

permis de croire que, pour ce qui concerne les principes, le rôle 

de l'expérience est loin d'être épuisé, si, comme le veut M. de 

Frejcioet, on fait rentrer le principe de l'équivalence dans les lois 

foodamentales de la Mécanique rationnelle : d'autres principes du 

mènie genre pourront s'ajouter à celui-là. 

Quoi qu'il en soit, en insistant sur le caractère expérimental des 
données de la Mécanique, M. de Freycinet ne va pas à l'encontre 
da mouvement dont je parlais tout à l'heure; mais ses fînes ana- 
lyses contribueront sur plus d'un point à détruire la fausse évi- 
dence sous laquelle on est parvenu quelquefois à cacher ces don- 
nées, grâce à des raisonnements dont on ne sait pas bien ni s'ils 
^niapriori, ni sur quoi ils s'appuient. Il est bon de reléguer ces 
nisonnements-là, qui sentent la Métaphysique, dans l'histoire; 
qu on leur y fasse une place honorable, puisqu'ils ont été utiles à 
la constitution de la Mécanique; ceux même qui croient que le 
monde extérieur nous est donné, que nous sommes incapables de 
le construire avec des vérités soi-disant nécessaires et de préten- 
does évidences métaphysiques, ne s'en plaindront pas. 

M. de Freycinet examine successivement les notions essen- 
tielles de la Mécanique, mouvement, vitesse, accélération, force, 
masse, etc., et les principes fondamentaux de cette science. 

Il passe rapidement sur les notions d'espace et de temps, qui 
ioterviennent dans la notion de mouvement; a vrai dire, la cri- 
tique de la notion d'espace appartient plutôt à la Géométrie qu'à 
la Mécanique. Toutefois, il no j^onvait |>as ne pa-^ s'arr(^lcr un 



l'H PREMIÈRE PARTIE. 

instant sur Ja question du mouvement relatif et du mouveme 
absolu, dont il admet la notion. Il est vrai qu^on ne trouve rien 
ré|)ondrc à ceux qui soutiennent que, pour qu'il y ait une Mécst^ 
ni(|no rationnelle, il faut bien qu'il y ait un système de repères e-* 
une façon de mesurer le temps, tels que les lois de cette Méca« 
ni(|ue soi(Mit vraies. 

(( La première origine de la notion de force se trouve, san 
oont(*sle, dans nos impressions personnelles. Bien avant qucr* 
rbonime vdl créé une science des forces et se fût élevé dans la 
spliérc des abstra( lions, il avait acquis, par sa propre expérience, 
\c sentiment très net d'un effort à déployer pour écarter les 
obstacles on pour déplacer les corps. Soit qu'il exerçât une pression 
sur (|iieh[ue objet fixe, soit qu'il essayât de vaincre des frottements 
on la pesanteur, soit seulement qu'il voulût faire osciller un poids 
suspendu, il était amené ù développer une contraction musculaire, 
\\ faire cjjort pour atteindre son but. Tel est l'acte spécial et bien 
délini par leipiel rbomme preud conscience de sa force et des 
t'IlVts «pril (Ml peut attendre. Aucun argument ne saurait préva- 
loir contre oo fait; aucune interprétation ne saurait enlever à la 
l'on e ain>i conçue et ressentie son caraclùre nettement concret. 
Mlle n\ st point une abstraction, un être de raison, mais quelque 
cbosc de réel et d'enicace dont nous portons en nous un type cer- 
tain. *^ 

San> iloulc» cl \\n\ ne saurait mieux dire; mais qu'il y a loin de 
la .scnsalion musculaire à ce vecteur qui, pour le mathématicien, 
irailnil la force! Va\ particulier, la comparaison entre deux forces, 
rc^alil*', Tadvlitivui de ileu\ forces comportent bien des difficultés 
que le >.\\.uil auteur ne cbcrcbe pas à dissimuler. Pour éclaircir 
ccn noiiouN, on imagine d'ordin.iirc que Ton ait à sa disposition de 
peliu-^ loiCf^^qne Ton accroclic ou que Ton décroche à volonté : le 
inoiMN »|ue l\»n pounail dire sur les mécanismes plus ou moins 
ei»:n;^K xcN «^le Ton in\enle pour reali>er ces opcratious est que la 
; . . ; .v' ,î. .\^ ;uv eaii.Nuu ^ i:iVv»iupicraiî cette Mécanique rationnelle 
' ^ .:.: vi étalon- les premières lu^liouN. Au fond, on s'efforce 
'..■.. ï lal bîcn tïue niaî. K s hoIkmis t^uc : on \cul introduire 
> I . - ■.•,., N V . ';î:-,k iK .i:::> à v:e> pi.< c.ore. v.cs a\cc lesquels on 
> . >x- " ^ ■: :,..;i;..:^; \\ .>; .ia; .i».:^ î .^^>îMc que des 



COMPTES UENDUS ET ANALYSES. liS 

sîdëratîons de ce genre soient intervenues historiquement dans 
Sjavail plus ou moins conscient qui a abouti à substituer à la 
Lion vague de force un vecteur ajant, pour ce qui concerne le 

«ivementy des propriétés définies. 

... Ainsi le corps a une double propriété : la mobilité, en 
"v^anlQ de laquelle, s'il est libre, il cède au moindre effort; et cette 
^ *» ^ »e propriété d'après laquelle il réclame des efforts différents, 
*^Mon sa nature et ses dimensions, pour prendre le même mouve- 
ïXDt. Celte seconde propriété est déterminée parce qu'on appelle 
^^tasse. Ainsi, la masse des corps se reconnaît à la grandeur des 
^c^es qui leur font prendre le même mouvement. 
** Si donc nous avions le moyen d'évaluer immédiatement Fin- 
sité de la force ou le nombre de kilogrammes nécessaires pour 
f^rimer à un corps un mouvement convenu, nous saurions, par 
^""■^lême, mesurer sa masse. D'une manière générale, les masses 
^ous les corps seraient proportionnelles aux grandeurs des forces 
*' "^ si enregistrées. . . . 

^* Les physiciens ont constaté que tous les corps sans exception, 

^^ffcuis le plus léger duvet jusqu'au bloc de plomb ou de platine, 

^*^^iidonnés à eux-mêmes dans le vide, prennent le même mouve- 

'^^ïil : partis en même temps de la même hauteur, ils arrivent 

^*^ Semble au bas de la chute. Les forces qui les sollicitent, c'est- 

^^ire leurs poids, sont donc, par défînition, proportionnelles à 

^•J^ï's masses. Dès lors, au lieu de mouvoir les corps à l'aide 

appareils spéciaux, pour en évaluer la masse, il suffit de les 

-A.U fond, cela revient à dire que la masse est définie au moyen 

^ la balance, et c'est sans doute ce que Ton peut en dire de 

P*i4s clair et de plus sûr, puisque, après tout, c'est au moyen de 

^ balance qu'on mesure effectivement les masses. Sans doute, ici 

^■*Ocre on pourrait dire que la balance est un appareil compliqué, 

^■^t la théorie implique une bonne partie de la Mécanique ralion- 

^■Ic; c'est même cette Mécanique rationnelle qui fournit le 

*****3»en de construire des balances qui soient justes et sensibles : 

l'^oiqu'une partie des difficultés soit supprimée en ne considé- 

^*^t, comme le veulent les physiciens, que des doubles pesées, 

^^ n'est pas logique de se servir de la balance pour définir une 




i3G FREMIÊUË PARTIE. 

notion fondamentale de la Mécanique. De quelque côté que V 
se retourne, on se heurtera toujours à Timpossibililé deconstru 
le monde extérieur avec la pure Ionique. D^ailleurs, à chacune 
notions fondamentales de la Mécanique ne correspond pas ic 
expérience qui permette de la déflnir : il y a une infinilé d'ex 
riences dont la Mécanique explique et coordonne les résuit 
d'une façon admirable, et c'est, comme on Ta dit, la cohérence 
toute la Science, nullement Tévidcnce de ses principes, qui 
garantit la valeur. 

M. de Frejcinet insiste avec raison sur l'impossibilité où L "^ <^o 
est de prévoir logiquement le rôle de la masse, de ce coeffici ^e=^Dt 
numérique attaché à la matière, que la balance nous permet d'^^ "sa- 
luer : pour les corps qui sont à notre portée, il s'efforce de f^a^ ^re 
pénétrer dans fesprit do son lecteur cet étonnement devant -les 

choses que l'habitude n'arrive pas à dissiper chez le véritable j:^ Tki- 
losophe. Pour me borner à la façon même dont M. de Frej'cm -«ciiel 
introduit la notion de masse, était-il possible de prévoir logicf «jae- 
ment ce fait que le temps de chute d'un corps est indépendan 



de 



sa masse? 



Je passe sur les concepts de quantité d'action, de travail^ "^ 

masse vive, d'énergie, etc., que M. de Frevcinet examine ens '■-^^ **® 
et ;i |)ropos des(juels il est obli«j;é d'anticiper un peu sur ces ^^^ 
gcmnalea du nioin'rmcftt auxquelles il consacre le second C-- ^ **' 
pilre de son livre, ci qu'il ran^r dans Tordre suivant : loi d' «^ ^*' 
lilé entre Tnelion el la rt-acliori ; loi d'inerlie; loi del'indépendLB «^cc 
d'action des forces ou de rindépendanee des mouvements; lo » "® 
l'équivalence uiécani(|ue de la chaleur. 

11 déduit de la seconde et de la Iroisième loi la relation fo*^* ^*' 
mentale de la Mécanicpic F = /^r/ et la régie du parallélogramme* - ^^ 
on peut, iuversemenl, par iFitégralion. déiluiredecesdeux demi ^^ ^^* 
propositions et la loi de l'incrlie et la loi de l'indépendance ^* 

clfels des forces. Je me «h luande en (luoi il est préférable d*ado ^^^^^^ 
un ordn: plulol (|u'un aulre, et de partir d'un svstème de lois ^-^•"' 
loi (|uc d'un autre. La façon de procéder qu'a adoptée M. de l*^ ^K^ï" 
cinct esi plus conforme aux habitudes et à Thistoire : est-elle ^^^p**^'' 
claire? On dira |>eul-élrc, connue on Ta dit à propos d'a«-^ 
stijris, (|uc rexpéricnce ne peut fournir des relations diffc^ ^^^ 
llrllis, mai- bien (Ic*^ r(*lalions entre des intégrales, d'oii ^^ ^^'*^ 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. iSy 

déduisons les relations difTérenliclles : dans le cas actuel, cette 

obscn'alîon n'est guère concluante, car ni la loi de Tinertie, ni 

celle de rindépendance des actions des forces ne sont susceptibles 

<l^u Kl «démonstration expérimentale directe. S'il n'y a donc, dans 

l'e»jpècc, ni évidence a priori, ni vérification expérimentale 

directe, il semble très légitime de se décider, dans le choix, par 

'a si mplicilé et la clarté de l'énoncé; or la relation F = my et la 

r^g'Ic du parallélogramme sont, à ce qu'il me semble, des énoncés 

pItAs clairs que le principe de Tindépendance des effets des forces 

e^t. citi mouvement antérieurement acquis : celui-ci, si je ne me 

trompe, n'a de sens que si les forces sont données en fonction du 

t^wi ps, et ne se prête à des déductions faciles que si les forces 

^^^■ït. constantes : M. de Frejcinet a lui-même signalé ce dernier 

poîdi. 

Je ne puis, en terminant, m'empêcher de citer quelques-unes 
^^2* observations que fait M. de Freycinet sur les lois générales du 
Q^oiavenient : 

«< Elles sont dues entièrement à l'observation et ne sont, à au- 
cun degré, susceptibles d'une démonstration logique. Elles dif- 
icreni donc essentiellement des principes en usage dans les Mathé- 
"*aiiques pures. 

^ Elles sont d'une généralité à laquelle, jusqu'ici, on ne connaît 

P*s d'exception. On est autorisé à croire qu'elles s'appliquent 

non seulement dans l'étendue du système solaire, mais au delà, 

^ns Tuniversalilé des mondes. A mesure que l'identité de la ma- 

^>ere, chez les différents astres, s'affirme davantage à la suite des 

•nerveilleuses découvertes de la Speclroscopie, il devient de plus 

^^ plus probable qu'ils sont soumis aux mêmes lois dynamiques. 

1^ fnouvement des étoiles multiples en fournit un nouvel indice. 

^ Elles sont d'une exactitude rigoureuse. Leurs formules ne 

*oai pas approximatives, comme celles de nombreuses lois pby- 

siques et chimiques, mais elles ont la rectitude d'une proposition 

**€ Géométrie. Ainsi, pour ne citer que la première loi générale, 

celle qui concerne l'égalité entre Taclion et la réaction, le principe 

énoncé se vérifie intégralement. Il n'est pas, selon les cas, exact 

^ un millième ou à un dix-millième près, mais il Test d'une manière 

absolue; il ne comporte pas la plus Ictère erreur.... » 




i38 FKEMIËRË PARTIE. 

Que ces lois ne soient nullement susceptibles d^une dëmonstr; 
tion logique, c'est ce qui me paraît incontestable et bon a dire.! 
disant qu'elles sont dues entièrement à Tobservation, M. deFre] 
cînet n'a certainement pas entendu que ces lois avaient étéobse: 
vées directement : elles expriment une induction très lointaine 
une interprétation des observations bien pénétrante et bien hardi< 
on n'admirera jamais assez ceux qui sont parvenus à les penser i — ^ 
à les exprimer clairement. Quant à leur valeur absolue, il est peu (• 

être permis d'être moins affirmatif que M. de Freycinet : ell< * .s 

s'étendent à des domaines extraordinairement vastes et jusqu ^i 
des profondeurs singulières; grâce à elles, notre connaissance (L o 
monde extérieur s'accroît et s'organise dans des proportions g=^t 
avec une précision qui sont, pour le philosophe et le savant, ul jd 
sujet d'étonnement et de légitime orgueil; mais ne ressembleo^.- 
elles pas à un conquérant qui ne peut se maintenir qu'en recalaHrmt 
toujours ses frontières et qui, de gré ou de force ^ fait rentrer dan s 
son empire, au moins nominalement, ceux mêmes qui ne voudraient 
pas le reconnaître? J. T. 



IIAMKL (Georg). — Ueber die Geometrien in denen die GiAD^>' 
DIE KÏRZESTEN siNP. Inaugural-Dissorlation, 90 pages. Gottingen; 1901. 

Dans le Problt-ine 1 do ses Mathematischc Problème ( ' ), M. Hi '* 
berl avait proposé celui qui fait le sujet de la belle Thèse d^ 
M. Hamel, à savoir : rexposilion et la discussion systématique d^^ 
Géomélries où la droile esl par définition le plus court chemî** 
d'un point à un autre. 

Cet énonce : « La droite est le plus court chemin. . .» se rédii il» 

tssentiellemeni, nous dit M. llilbcrl (/oc. r//.), au théorème d'E »J' 

ilide que dans un triangle la somme de deux cotés est toujoi» *^ 

»lus grande que le troisième; dans ce théorème, il ne s'agit que ^^ 

concepts élôinentairos, cVst-à-dire dérivant immédiatement cl ^5 



(M Oàttingcr .\achnchtau v,ov., et 7 ras aux liu Coni^rcs de 1900 (IradLuc- 

•Sam I «H*4kl \ 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. iSg 

axiomes, et sa discussion est donc plus abordable que celle de la 
proposition de la droite plus court chemin. Dans la démonstration 
de oe théorème d*Euclide, aux propositions de congruence rela- 
tives au transport d'angles et de segments il est absolument indis- 
pensable d'ajouter un théorème de la congruence des triangles, 
celui d'après lequel les angles à la base d'un triangle isoscèle sont 
égauic. Alors cette question se présente : Existe-t-il une Géométrie 
où sont vérifiés tous les axiomes de la Géométrie euclidienne, et en 
particulier tous les axiomes de congruence, sauf l'axiome de con- 
gruence des triangles dont il vient d'être parlé (c'est-à-dire une 
Géométrie où ne sera pas vérifié le théorème d'après lequel les 
angles à la base d'un triangle isoscèle sont égaux), et où, de plus, 
le théorème que dans tout triangle la somme de deux côtés est 
plus grande que le troisième est posé comme un axiome parti- 
culier? 

Celle Géométrie existe effectivement ; c'est celle de M. Min- 
^o^ski (' ), qui est caractérisée essentiellement par les conventions 
suivantes. Premièremenl, les points à égale distance d'un point 
"^€ sont représentés par une surface convexe fermée de l'espace 
euclidien habituel dont le centre est le point O. C'est la surface 
^^^on {die Aichjlâche), Deuxièmement, deux segments sont e/i- 
core dits égaux quand on peut les faire coïncider au moyen d'une 
^•^nslalion de l'espace euclidien habituel. Dans la Géométrie de 
Mînkowski, l'axiome des parallèles est vérifié. 

U existe une autre Géométrie où l'axiome des parallèles n'est pas 
vérifié, tandis que tous les autres axiomes de la Géométrie de 
Uîokowski le sont; c'est la Géométrie dite de Hilbert (•^). 

Cela posé, il s'agit de discuter et d'exposer systématiquement 
boules les Géométries possibles dans cet ordre d'idées. Dans le cas 
^Qplan et en admettant l'axiome de continuité, on est conduit à 
«tadier une question traitée par M. Darboux ('), à savoir : Déter- 
B^iner tous les problèmes du calcul des variations dans le plan où 
ks solutions sont toutes les droites du plan. Ce sont les générali- 



(') Gtometrie der Zahlen, I^ipzig, Tcubncr. 

(') Voir AfafA. Annalen, t. XLVI, p. 91, et Enseignement math., 'S* année, 
**^»i9^i (traduction Laugel). 
(') Leçons sur ta théorie générale des sur/aces, t. III, p. 54. 



i4o IMIKMIÈUË PÂUTIË. 

salions fécondes cl intéressantes de toutes ces questions qui m^^ 
le sujet de la remarquable Tht^se de M. Hamel. 

lAiltenlion toute particulière qui se porte actuellement su ** 
calcul des variations ajoute encore à rintérèt de la question prof^ 
ment dite. Le problème est eu efTet un cas particulier d^^ 
que M. Ilamel désigne sous le nom de problème d'inversion 
calcul des variations, a savoir : 



c 



litant donnée une certaine équation différentielle, 
miner un problème du calcul des variations qui ait pour éqt^ 
tion de La grange V équation donnée, 

La première question de ce genre se présenta en Mécanique -y 
propos du principe hamiltonien. Ilelmhollz (') donna ensuite c^ 
tains résultats qui furent vérifiés par M. A.. Mayer(^); mais en C 
cas, où il s^agil de systèmes d*équalions difTérentielles, la questio 
a été résolue seulement en ce sens que Ton a assigné les conditions 
requises pour que chacune des équations difTérentielles données 
soit identique à chacune des équations de Lagrange; mais il n*a 
pas été tenu compte de la possibilité de combiner les équations 
d i flV' re n l i e 1 1 es don n ées . 

Dans le cas particulier où l'on n'a qu'une seule équation diflfé- 
renlielle à considérer, le problème, considérablement généralisé 
d'ailliMirs à d'autres points de vue, a élè r«*solu par MM. Konigs- 
berj;er(^) et Hr>hni (*)et d'une manière particulièrement élégante 
p;ir M. llirsch (••); on aucun de ces cas, d'ailleurs, la (piestion n'a 
Ole poursuivie au delà du point de vue purement formel, et Ton n'a 
jamais oxaminô d'aulros oondilions (|ue celles de Lagrange. 

Outre son iniporlanco on Mécanique et on Géométrie, Je pro- 
blème d'invoision du calcul des variations rournil encore des ren- 
scignomonl s précieux sur la portée do ce calcul dont on s'occupe tant 
actuolloinonl. Aussi il no serait pas inutile, avant de lire le travail 
tic M. Ilanicl, do se familiariser a\oc les théories, les désignations 



\-\ Stti/i'iisr/tt' /icrichir. i"^*'*, p. Ju.». 

(' lU'rlinrr lùtir/itt'. \. Il, i*^»,'*. ( '/ t'/;'i . t. IM, |». iji 

^ • I < / I •;<•. l. I . I . I». l ■ |. 



COMPTIiiS HENDUS ET ANALYSES. 141 

cl les notations empruntées au Traité de M. Kneser (*). M. Ha- 
danciard a déjà fait l'éloge de ce dernier livre dans ce Bulletin (J^)^ 
et M. Slackel vient aussi de lui consacrer un très intéressant article 
dans les Archives de Griinert [^), Les Untersuchungen iiber 
Yariations-rechnung de M. Zermelo (Berlin, 1 894) et le Mémoire 
récent de M. Osgood sur ce sujet présentent aussi un très grand 
intérêt. Nous profitons de l'occasion pour exprimer un vœu que 
nous croyons général, ce serait de voir publier les Leçons sur le 
calcul des variations faites par M. Hadamard au Collège de 
France. Depuis Lagrange, et depuis la publication du Traité de 
Moig-no-Lindelof, il n'a été publié, en France, aucun livre didac- 
l'<iue sur ce calcul; c'est une lacune regrettable qui ne saurait 
être comblée trop tôt. 

lie Mémoire de M. Hamel, qui n'a pas loin de 100 pages, ne 
saurait être analysé dans tous ses détails en ce peu de lignes, tant 
a cause des nouvelles théories exposées que de leurs nombreuses 
appli c^^tions. Après avoir dit quelques mots sur la définition de 
la lig" lue droite, plus court chemin d'un point à un autre, nous ter- 
raine K^ons celle trop rapide analyse en donnant la Table des matières 
de ce t. le intéressante Thèse. 

C ^st Archimède (^) qui avait énoncé comme postulat que la 
droite est le plus court chemin d'un point à un autre; plus tard, 
une £";^asse interprétation du texte d'Archimède fit prendre cette 
propx-îéié comme définition de la droite {^), 

Un. grand nombre de géomètres ont élevé les objections les plus 
sérieuses contre celle définition (*). Mais on peut, avec M. Hamel, 
rcgai-der comme très licite de prendre cet axiome : La droite est le 
plus court chemin d'un pointa un autre, comme axiome fonda- 
"ïcnial de la Métrique, pourvu que l'on définisse auparavant la 



' ) dLehrbuch der Variationsrechntin g . Braunschweij;, Vicwcg. 

\ ) bulletin des Se, math., a* série, t. XXV, janvier 1901. 

( ) -^rchiv d. Afath. und Physik., 3* série, t. Il, p. 18G. 

' ) « Dcpl ffçxtpa; xal xgXivopou » Aaix6âuL£vov a'. 

\ ) Commentaire d'Anaritius sur les Œuvres d'Euclidc, p. 6 de l'édi- 
iiOQ ivurtzc; comparer IIouel, Essai critique sur les principes de la Géomé- 
''**<» Note IV; Paris, 1882, p. 74, et aussi Vi:iionese, Grundziige der Geom. 
Mhang^ p. 635; Leipzig, Tcubncr. 
V > ^'oi> en particulier IIoukl et Vi;iu>M:hi: (loc. cit.). 






i42 PREMIÈRE PARTIE. 

droite et le point. C'est ce que fait M. Hamel; il prend le postulat 
d'Archlmède comme axiome fondamental du concept qu^exprime 
le mot longueur. Cela seul suffit à faire sauter aux yeux le rôle 
prépondérant que joue le calcul des variations dans toute la dis- 
sertation. 

TABLE DES MATIÈRES. 
Introduction. 

Chapitre I. — Les Géométries dans le plan. 

1. Les axiomes de la Géométrie projective. 

2. Les axiomes de la Métrique. 

3. Les axiomes de monodromie. 
<4. Applications : 

i** La Géométrie de Minkowski; 

2° La Géométrie de Hilbcrt et ses généralisations. 

5. Un principe de dualité. 

0. Remarques sur les axiomes du second groupe. Axiomes de cod- 
gruence et axiome d*Archimédc. Énoncé d'un théorème sur Tin- 
fluence de certaines discontinuités. Théorème de M. Erdmann. 

7. Démonstration du théorème précédemment énoncé. Application. 

8. Singularités d'ordre supérieur. 

0. De la droite de Tinfini. Le Postulat d'Euclide. 

10. Généralisation du concept de la « courbe étalon x> {Aichcurve de 
Minkowski. 

Chapitre II. — Les Géométries dans l^ espace, 

il. Les axiomes de la Géométrie projective et de la Métrique. 

12. Les axiomes de monodromie. 

13. Applications. 

14. Sur les équations dilTércntielles. 

ir>. Inlerprélalion géométrique des résultats. Généralisation du concept 
de la a surface étalon » {Jic/iJ!dche de Minkowski). 

Conclusion. 

L. Laugel. 



MÉLANGES- i43 



MÉLANGES. 



SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE FONCTIONS RATIONNELLES 
DONT TOUS LES RÉSIDUS SONT NULS; 

Par m. Émilb PICARD. 



i . Étant donnée une fonction rationnelle F(j;, y) des deux 
variables indépendantes x et y, je rappelle d'abord ce que l'on doit 
entendre par résidu de l'intégrale double (') 

(I) JjF(x,y)dxdjr. 

Nous pouvons poser 

p, . M(x, y) 

^'^'•^^■" A(j:,^)a.B(:r,^)P...L(ar,^)X' 

M étant un polynôme en j?, à coefficients rationnels en y^ et A, 
B, . . . , L désignant des polynômes irréductibles en x et y, con- 
tenant la lettre x; a, • • », X sont des entiers positifs. 

Considérons alors la fonction algébrique x^ dey définie par 

(a) A(a7|,^) = o. 

Pour une valeur arbitraire de y, l'expression F considérée 
comme fonction rationnelle de j: a un résidu relatif au pôle x = Xiy 
qui sera nécessairement une fonction rationnelle de Xt et y^ soit 

Les périodes de l'intégrale abélienne 

•XT.i I R(a7,,^)c(x 



(') Otlc notion rsl duc à M. Poincarc (Acia mathcmatica, t. IX). J'iii pré- 
«■rnir cvtie tliéoric sous une forme dilTércnlc dans le Tome I de ma Théorie des 
fondions algébriques de deux variables, \). Sa. 



1.14 PliEiMIKRE PARTIE. 

relative à la courbe {2) sont dites les résidus de l'intégrale 
double (1) relatives au continuum ^1(2?,^)= o. Il y aura parcil- 
Icmeut des résidus de Tinlégrale double relativement aux conti- 
nuum B = o, . . . , L = o. 



2. La question que nous voulons traiter est la suivante : 

Quels sont les caractères d'une intégrale double de Jonc- 
tion rationnelle dont tous les résidus sont nuls? 

Une question analogue se pose dans les éléments quand, étant 
considérée une fonction rationnelle d'une variable F(x*), on 
demande à quelles conditions les résidus de l'intégrale simple 



/f(x 



)dx 



sont nuls. La réponse est alors que 

U élant une fonction rationnelle de x. 

Nous allons avoir, pour notre problème, une réponse présen- 
tant une analogie intéressante avec la question élémentaire que je 
viens de rappeler. 

La condition nécessaire et suffisante pour que tous les 
résidus de V intégrale double (1) soient nuls est que l'on ait 

V et Q étant des fonctions rationnelles de x et y (*). 

On aura ainsi en nirnie temps une mani(.TC élégante d'exprimer 



(') r.c rr^ullal se déiliiil irninrdiatrinciit k\v la llK-orio j:<^nrralo des iiiU*j;r;ilcs 
«loiilih's lie scioridc («^prcr pour 1rs surfarcs alf4cl»ri(|in's, ((iiiiiiic on pcul I»' \nir 
«laiis II- pirniirr fa^rimlo ((lliapitrr Nil) du Toiiu* II do ma Théorie fies fonc- 
fions (ili;t-hri<fii('s dr deux variabtra. niais iri jr trailr «lircrlj-iiicnl la (|urslioii 
<aiis me rrpmttr à aii<un lln-orriiic m'iirral cniicrriiarit 1rs surfac»"* alpri>riqurs, 
(Ml siii\aiit !•( iiit'-tliodr i|in> j\ii doiiiirr irrciiiiiii-iit daii'* iimii Coiii-v. 



MÉLANGIiS. 



i45 



les coiidîlîons pour qu\ine fonclion ralionnellc de j: et jk puisse 
se mellre sous la forme (3). 



3. Il est d^abord très aisé de montrer que la condition est suffi' 
sanle. Oo va voir en effet que les résidus de 



s M -^9) -'■'y 



sont nuls, P et Q représentant des fonctions rationnelles de a^ 
el j'. La chose est immédiate pour 



//si''-^^''' 



puisqu'on doit prendre d'abord, pour une valeur constante donnée 
à V, rinlégrale 



/ 






le long d'un contour fermé, ce qui donne :iéro. 

Kn ce qui concerne la seconde intégrale, soit, comme plus Iiaul^ 



Q=T^ 



M(^,>') 



A«B?...I> 

Cl désignons par X\ la fonction algébrique de y con^espondant 
à A(j?i,j')=± o. Le résidu de la fonction Q de Xy pour x^x^^ 
sera visiblement une fonction rationnelle 



de dr, et j, cl le résidu de -—^ pour x 



;ri, sera 



-^-9i^x^y)' 



Un résidu de Tinlégrale double 



//f-.'. 



P*** '•apport au conlinuum A(jri,)')=:o sera donc une période 
w/. des Sciences matliém.^ a* série, t. XWI. (Mai i|jov.) lu 



j40 PUl^MlËaii: PAKTIE. 

de l'intégrale abélienue 

c'est-à-dire zéro, 

\, Passons à la réciproque. Il s'agît de démontrer que 
Si tous les résidus de V intégrale double 



II' 



^{x,y)dxdy 
sont nuls y on aura 

V{x,y) = h -r-» 

•^ Ox dy 

V et W étant rationnelles en x et y. 
En posant comme plus haut 

on peut tout d'abord, d'après les éléments de la théorie des frac- 
tions rationnelles d'une variable, mettre F sous la forme 

les - étant des polynômes en a: à coefficients rationnels en y et 
y une fonction rationnelle de x et y. Les résidus de F relatifs au 
conlinuum \{x^ r) = o sont les périodes de l'intégrale abélienne 



.1 ^^ r 



relative à la courbe algébrique A(x,r) = o. D'après les hypo- 
llièses fuites, l'intégrale précédente est une fonction ralioniielle 
de X et r, et l'on peut par suite écrire 



rr.xix. y ) flv -. . 

/ {. —- ^ll{x,y\ 



11 étant un |K)lynoine en x^ à coenîcienls rationnels en jj'. 



MÉLANGKS. M; 

De la résulte que l'on a 

"^ii^ty) ^H dx dU dy àx d.r dy 
Ax àx dy dy d\ 

dx 

Celle idenlilé a d'ailleurs lieu en vertu de la relation A(a:,/) = o. 
On peut dire par conséquent que le polynôme en x 






est divisible, quel que soit j', pai* A(^,j^), et nous pouvons écrire 
ridentité en x et^ 

C étant un polynôme en x, à coefficients rationnels en y. 
Ceci posé, envisageons l'expression 



"" âx ày\\) dy Ox\/^) 



nui est de la forme -r h -r^> comme tout déterminant fonc- 

■ âx ôy 

lionnel. D'ailleurs 



U 



^ cm _ c)A. (m 

__ àx ôy à y àx 



ous reirancnuns %j ue r, ic terme 
remplacé par 



Si donc nous retranchons U de F, le terme -.- se trouvera 

A. 



, /-. I • • I I r àP àO 

OU c est un polynôme en x, qui est par suite de la forme 1 — p» 

Nous avons donc ainsi fait disparaître, par une soustraction d'un 
terme de la forme voulue, Texprcssion '** • On fera le même calcul 

pour ^9 •••> J-' et finalement nous trouvons bien 

F(.r, y) = j- Y , 

' " ' Ox ày 



j4H PUExMiËUK PAUTIË. 

V et W étant rationnel/es en x et y^ comme nous voulions 
rétablir. 

5. La recherche des conditions, pour qu'une fonction ration- 
nelle F(x,y) soit de la forme précédente, se trouve donc ra- 
menée à la recherche des conditions |)Our qu\ine înté<;rale abé- 
lienne soit algébrique; c'est un problème classique, sur lequel 
nous n'avons pas à insister. Le problème proposé se trouve alors 
très élégamment résolu. 

On |)ourrait traiter la question relative à la fonction F d\inc 
manière plus élémentaire^ sans se reporter à la théorie des résidus 
des intégrales doubles. Le |)rablème paraît en cdet tout élémen- 
taire; sa solution directe est cependant moins immédiate c|u'oii 
pourrait d'abord le penser, C'est cette solution directe que nous 
allons maintenant exposer. 

Tout d'abord, comme nous Tavons dit plus haut, F peut être 
supposé de la forme 

AH...L' 

M étant un polynôme en t, rationnel en y y et A, B, . . ., L des 
polynômes en oc et i', irréductibles et renfermant x* Soit donc 

^ *^ AH...L "^ i)x "^ ùy'' 

V et (^ doivent devenir infinies pour A = o, pour \\ == o, ..., L =• o 
et pcMivent aussi devenir infinies pour d*auli*os courbes A| •-=. o, 
n, _— o, . , ., .N, r^ o, 

Je dis d'abord qu'on peut suppc»ser que P et Q renferment seu- 
leuKMit à la première puissance A, 1^ ...,!-. et, s'ils existent, 

A.. H,, ....N.. 

Suppo'îons en elVel (|uo (^) renferme A* (a >> au dénomina- 
teur: ou peut, d'après les éléments, trouver une fraction ration- 
nelle 

.. = '■-;■-. 

y èl.iMl iiu p<)l\n<Mue eu ./'. nitiounel ru r, de telle sorte «pie 

'Il 



MÉLANGES. 



Mo 



cof» lionne seulement duns son dénoininalcur A à la premiùrc 
nce. Or on peut écrire le second membre de (4) sous la 



pu ISS 

form* 



s(- 









CI>x-k a alors une expression de la forme 



âx Oy 



OU 

Le 

teu 



« et par suîle P| deviennent seulement infinies comme -r-* 

^me raisonnement s^applique à tous les autres dénomina- 
• Nous pouvons donc supposer que notre identité a la forme 

^ -r\B...L 0.V LAB...LA,Bi...IN,J Oy | AB. . .LAiB,. . .N, J ' 

H et. K sont des polvnomes en x^ rationnels en y. Les poljnomes 
au dénominateur sont irréductibles, distincts et renferment x. 
Nous ne savons rien des polj^nomes A|, 13|, . . ., N|, mais on peut 
heureusement, comme nous Talions voir, les faire disparaître, et 
ces! là le point essentiel dans la recherche que nous effec- , 

SSoit (xo,^'o) u" point arbitraire de la courbe 

l^c premier. membre de (5) est une fonction bolomorplie des 
deux variables indépendantes :r et jk dans le voisinajje de(j:o,^'o); 
nous pouvons, dans le voisinage de celte vnleur, l'écrire sous la 

forme ^, en désignant par o une fonction holomorpbe autour 

de (jTo) Jo)« Nous aurons donc 

^ I II \ ^) / K \ 

da:VAB...LA,...INi "^ ) "^ 6>>^ \ AB. . .LA». . . (S,/ "* 

clnvisageons alors l'intégrale de différentielle totale 

J AB...LA|...i\,^*^~VÂlJ...LA,...N, ~'^)^^'' 

<^^l une intégrale de différentielle lotale possédant, dans le voisi- 
">8e (le (to, Vo), toutes les propriétés d*unc intégrale de différcu- 



l'io n(i«:.MiEHi<: pautik. 

lirilc toiiilc (ic (onctions rationnelles. En parliciilier, les périodes 
de rinU'f^nile de fonction rationnelle de x 

^ ^. r K ^^ 

^ An... LA I ... ^ 1 

ne dé/tendent pas du paramètre y. C'est là pour nous un poini 
rapilul; nous en concluons que Fexpression 

K 



AB...L1±1b,...N| 



(|ui, |>our ./• racine de ré<|ua(ion A|(jr, j^)=o, reprcscnlc une 
prriotle «le rinlrj^rule (()), ne dépend pas àe y. On a donc 



AH...L — B,...\, 



= ï. 



Y «'«lanl un<» constante convenable, et x eiy étant liées par la rela- 
tion A| (j:, )•) = o; on peut encore dire que le poljnonic en x 



• i)x 



est divisilde |)ar X^ix^y). Knvisageons alors le second membre 
d(* (T)) mis sous la forme 

Ox I AB...I.A1. ..\,' "^'^ ~~Jy J "^ t/>L^^I^- -l-^i-'-^i '' ^^ J' 

on voit de suile, d'après cv <|ui précrde, que la fraction ration- 
nelle sous le sl;rne — ne renferme plus Ai au dénominateur, et il 

en rst par suile de même de la fraction rationnelle sous le sii^nc — • 
' Ojc 

On |)eut ainsi faire disparaître tous les dénominateurs A|, 
r>,, ...^ N, cl, par suile, nous pouvons admettre que, dans le 
>econd nn'uihre de ( 5"), les polynômes connus A, H, ..., L 
/ii'urent srttls (tu dcnominateur, 

r>. Lu «pio-lion |>rt>po«»éi' m' ré"»oudra nitiinteuant ai>énient. 



3 



MÊLANGKS. i m 

l>t-sî<j;^nons par P le protluil AB. . .L; nous avons ridenlilt' 

M(>, r) d rn(.r, v)~| \K{x,y) 



* i)x L P " J ày L~ P" 



OÙ y\^ H cl K sont des polynômes en x. Soil v le dej;ré de Pcn .r ; 
on sait que^ d'une fraclion rationnelle en x 

P 

on peut relranclierune expression — (V étant un polynôme en .r, 
îcî ralionnel en^) de telle sorte que, en posant 

V i)x V ' 

le degré de K| en x soit au plus v — i. D'ailleurs, par une sous- 
traclion analogue, nous pouvons supposer cpie M est en x de 
degré v — i au plus. Par suite, dans Tidentité (-), nous pouvons 
supposer que la fonction donnée M, polynôme en x et rationnelle 
en ^', est de degré v — i en j:, et (ju'il en est de même pour les 
deux rendions inconnues II et R. 

L»es inconnues dans l'idenlilé (7) sont alors les coefficienis des 
diverses puissances de x dans H et R. Si le problème est possible, 
on devra pouvoir choisir pour ces coefficients des fondions ration- 
nelles de j'. 

Or comptons le nombre des inconnues et le nombre des condi- 
tions. Nous avons dans H et R un nombre de coefiicients égal 
à -a V- On doit égaler le second membre de (7) à 

M M P 

I..es numérateurs sont de part et d'autre des polynômes de 
degré av — i; on a donc à idenlifier deux polynômes de degré 
5tv I» ce qui donne 2V relations entre les :>.v fonctions ration- 
nelles inconnues de y. Ces relations constituent un système 
d^'éqtialîoDS dilTérenti elles linéaires, car les dérivées premières 
des V fondions de j^ se trouvant dans R figurent dans ces relations. 
On est donc ramené, en dernière analyse , à reconnaître si une 
équniion différentielle linéaire à coefficients rationnels en y 



iV/ m i«:m 11:111*: PAKTii!:. 

(iflinct comme solution une fonction rationnelle de y, CTesi li 
lin |)rol)lriiic c|iic Wmx sait irsotidre. 

On voit qui; la solution de la <|ucsh()n proposée prend une loot 
antre forme, en snivant celle voie Jireele« qiravec la méthode 
<rahor(l indiquée où Ton envisa«;eait les résidiiJi d'une intégrale • 
double ; renoncé des conditions se présente sous une forme beau» ] 
coup moins éléj^anle. 

7. Il est intéressant de se rendre compte du degré d*!ndéter» , 
mination de la solution (II, K) de fidentité (^), quand elle est 
snsceptil)le de solution, e/? su|)posant toujours, comme ci-dessus, ' 
(pie II et K sont de de|;;ré v — 1 en .r. Avec deux solutions dilFé- ■ 
renies, on peut former une solution, non identiquement nulle, de 
l'identité 

Alors Tin té*; raie 
iS, / d,v--ity 

est une inlr^rale de dillerenlielle totale. Va\ posant, comme plus 
haut, 

1*== AR...L. 

elle est nécessairement de la lornie 

a, [j, ..., A étant des constantes. Inversement, en metlani l'ex- 
pres*iion précédente sous l'orme d'intégrale (8), on aura des 
valeurs a<lmissil)l<*s de H et K. 

Il résulte (le là iiuc si Tidentité (') a une solution, celte solu- 
lion renft^rmtr les constantes arbitraires a, |j, •••, À en nombre 
l'i^^al à celui des f.ieleurs irréductibles de P. 

1 

1 



TABLK DiKS 1 



PruBti l* 






mIIo lltlEll 


'""-■ 


■ "- "■"'""-■ -' 




H»Ta« an pobh 


iu*ra|>lk4 n-i 


i.tti« 




Hftuniîo»' - 







I, matb*n»UqiiN!| 



LIHflArHIH tiAUTIIIBH-VlUtA 



ABBOOSfC ).M< 

- Lcçaoi «ur I:^ ' 
gfionio'trUiuw ilii 





^^F^ [tlLLKTIN 


-«^^^^^^^^H 


K&irrsMvriiËMATigiËS, 


i.^^^^^H 


^^^Bï< HT 


^^1 


^^^^^^^^^■a Baula* 


iH 


^^^^^^^^^fti 


tl 






i'^^^^H 


^^^ ^-■^: 




^^^^^^Hi 


^H 


^^^^^^^BT 1 1 . 1 


i^^^^i 


^^n 


î^^^H 


H' 


^^^^1 



COMPTES UIÎNBCS KT ANALYSES. 



COMriKS ULNDLS ET ANALYSES. 



BOBEL 'E.i. — I,K<;iiNS nm liî:» skrika \ Ti;nui:s ■•omtiF'', I'Iuikicsskks m- 
lUiLLKuii: itR Fii\m:k. Rcciii'illii-ri et rrilii^iii-s )>iir Jt. if.lMJmtir. i v<il. iji-S"; 
VI-91 pa^cs. Paris, Ujulliicr-Villarâ; njin. 

Le petil Livre que M. Bord nous ilonne celte aniicc s<; riiiiporle 
i la tliûone ild.s s^-ries à lermcs |)0:^iu^s il ù i|iii-l(|iic!i sujets eun- 
□excs, en particulier ù la lln'oric do lu eroissniicc. Il csl inutile 
de dire au lecteur qu'il troiivei'ii. dum ce nouveau \ uluiiic, lu 
niémc inlértït que dans le< préeédents. 

L'atileur s'occu|in d'aboid des séries di)nt les termes sonl roii- 
SlanlS. cl<Jesrrilères (de convergence) de prcniirro espèce, e'esl- 
i-dirc qui ne font intervenir qu'un Icrnie. Les crilcres de llirrlrand 
sont raltacliés de la façon la plus simple au lliéiin' me de Cnuclij' 
sur 1g caractère des deux séries 

V,,., y„.„ >.,,, 

qui, lorsque les tonnes jinsitiTs r/„ vont en décroissant, conver;^cnl 
OH divcr^enl en nii>me temps. Ajirès avoir montré eoinnicnt, de 
CCS critères (le prcniière espèce, on |>t>ul déduire des erilères de 
seconde espèce cuncernaut le rapport -'"-, M. linrcl cxpliipic 
U beondont intervient, dans rapplie;itioudeserilèresde Itertrand 
à une série donnée, et pour une eertiiinc snile cpi'il appn-nd à 
furmer. tei /i/ii^ ^rnii-f.- ilfx Umilt-x de ei-lle suite, e'csi-j-dire la 
linile supérieure de IVnsi'mlle de ses jiuints ira>-i'nmnlalii>n. 
P»ildu Ilois-Uevniond et M. ir<daniard oui montré l'imporlance 
Je cptic notion, qui reuiunie à Cuuchv. On doit iiussi ^i ces ;;éii- 
■^res d'intéressantes proposiriun-, dont le priuc-ipe apparricnt à 
AM. sur la dédneti.m de .éri.^> .lout la eoiuer^en. e ou U dlver- 
SeiMcslde plus en plus lenle. el surd.s snjils \..islns : M. lionl 
"Wnire, en parlienlier, que l'on peut olileuir de-, séri.s pour les- 
luellesles critères de llertrau.l >.<nl toujours .ippllciiliies et lon- 

joarsen délaiil. l'arallèle ol :. l'élude .le l^i rcuver^.nce el de Li 

■iivergeuce des séries, il e-l naliircl ili' haili-rde la <'<>nter^enei' i:t 

ll«ll.,Ui SiUneet i,„ilh.i„.. , •■t\-. i. \\M. i l.i.ii 1.. j 11 



i54 PUEMIÈUE PARTIE. 

de la divergence des inirégrales dont la limite supérieore est 
infinie. La proposition de Paul du Bois-Rcymond sur la possibilité 
de trouver une fonction ^(x) qui croisse plus vite que les fonc- 
tions <pi(j;), Oi{x)^ •.., <p/<(^), •.. dont on suppose que cha- 
cune croisse plus vite que les précédentes, montre bien Pidentité 
des deux questions : le théorème de du Bois-Rejmond est, d'ail- 
leurs, dans un certain sens, complété par celui de M. Poincaré, 
sur la possibililé de trouver une fonction entière E(â;)qui croisse 
plus vite qu'une fonction croissante donnée ^(^x). 

Toutes ces questions se rattachent à la théorie de la crois- 
sance des fonctions, théorie que l'auteur élucide sur quelques 
points très importants, de façon à parvenir à la notion de crois^ 
sance régulière. 

Après avoir montré nettement la nécessité qu'il y a de préciser 
celle notion, en construisant une fonction entière à croissance 
très irrégulière, qui, pour certaines valeurs de j:,est comparable à 

et, pour d'autres, à 

il s'attache à l'étude des ordres d^injinitude. Cette notion est 
bien élémentaire lorsqu'il s'agit de fonctions comparables à x^ 
xf{p^ q >> o), cl Ton voit de suite que le produit de ces deux fonc- 
tions est de degré /> -+- 7, q"e la fonction obtenue en substituant 
la première, à la place de or, dans la seconde est de degré pq. Ces 
simples remarques conduiront, par une voie logique, à la notion 
de l'addition et de la multiplication des degrés dans des cas plus 
compliqués; le degré de la fonction e^ est représenté par le sym- 
bole (o qui sera, si Ton veut, le symbole de M. G. Cantor, sans 
que, toutefois, on ait besoin de la théorie des nombres transfinis; 
le degré de logx sera re[)n'senlé par w~*, le degré du produit de 
deux fonctions étant, par définilion, la somme de leurs degrés : 
l(î de;,^rè de la fonction /ff(jr)] sera un produit dont le premier 
iiioUuir sera le dcf;ré do /, el le second le dej^ré de '^; ces défini- 
lions pcrnieUent d'abord d(î faire la lliéorie de l'addition ou de 
la innljiplicalion dos nombres positifs finis et des symboles co, 
(.)"■' : rathlilion es! coinniutatlve ; la multiplication est associative 
v\ \\v>\ pii"?, en L;('ii(r.il, conunutalive : la nnilliplicalion a droite 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. i5S 

est dislributîve par rapport à Taddition ; la muIlipHcalion à gauche 
ne Test pas, en général. Dès lors, tout polj^nome tel que 

i = ab -h c de -f-/^, 

a^ bjCj • - •ig étant des nombres positifs ou l^un des symboles co, 
«1»'*, dé6nit une fonction croissante de degré i. Cette notion 
s^élend notablement en introduisant une considération analogue 
à celle que Ton doit à Cauchy pour les infiniment petits; en dési- 
rant, par exemple, par F(x\b) la fonction croissante de degré 

i= ab-\- cde -\-fg^ 

use fonction ^(j?) telle que, £ étant un nombre positif aussi petit 
que Ton veut, on ait 



I 

X 

I 

X 



«»n I -,, - ^ \ I ==«, 



sera dite de degré 



y = a(ô)H-cé/tf-h/^. 



Les fonctions simples, que Ton rencontre naturellement, ont 
OD degré de la forme i ou j; les fonctions à croissance régulière 
seront celles que Ton peut comparer à ces fonctions simples. Je 
me suis borné à esquisser le point de vue auquel se place M. Borel; 
la nou-distributivité de la multiplication à gauche laisse soup- 
çonner dans cette théorie diverses difficultés que Tauteur met en 
lumière : il termine cet intéressant Chapitre en faisant un retour 
sur les critères de Bertrand, afin d*introduire la notion de la fonc- 
tioo idéale de Paul du Bois-Reymond. 

Après s^étre arrêté un instant sur les séries à entrée multiple 
pour faire ressortir Tinfluence du groupement des termes, et sur 
les intégrales multiples, qui donnent lieu à des observations ana- 
logues, il traite, en supposant toujours positifs les coefficients et 
la variable, des séries de la forme 



lîG PUBMIÈKË PAUTIE. 

Signalons la remarque relative à la sërîe 



2 



„., (p>»). 



n 



OÙ il y a un terme qui l'emporte sur tous les autres, et le théo- 
rème qui s'en déduit : 



SI, en posant 






la fonction ^(n) est croissante et de degré p{p> o)^ lafonc* 
lion f{x) sera de degré lo f - J • 

Après avoir reproduit une Note du Bulletin de la Société ma- 
thématique (iSqH, p. i86) où M. Iladamard a donné, au mojen 
de considérations géométriques fort simples, quelques indications 
précieuses sur les relations entre le mode de croissance d'une 
fonction entière et la nature des coefficients de la série qui la 
définit, M. Borel s'occupe du cas où le rayon de convergence est 
(lui, établit une proposition de M. Appelle dont M. Cesàro a su 
montrer la portée, sur la limite, pour x= i, du rapport de deux 
fonctions 

n —0 n = 

définies par des séries convergentes pour | j? | < i , divergentes 

pour X = i^ lorsque le rapport j-^ des coefficients correspondants, 

(|uc l'on suppose positifs, tend vers une limite pour /i infini; il 
montre enfin comment, dans diverses séries constituées comme les 
précédentes, il arrive, lorsque x tend vers un par des valeurs 
croissantes, qu-///i terme devient très grand par rapport aux 
iuilres, et comment on peut déterminer le degré de croissance : 
c'est la nïèine circonslancc cpie roii a signalée plus haut pour les 
foiulions onlièrcs. M. Borel compare les résultats auxquels on 
parvient ainsi à ceux (|ue M, Le Uoy a publiés ici même (*). Il 

( ' I T. WIN . l'i'»». p. .» j ":. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 157 

analyse, en lerminant ce Chapitre, une partie des belles recherches 
de M. Iladamard sur la façon dont se comporte une série sur la 
circonférence de son cercle de convergence, pour faire ressortir 
rimportance de Thypothèse relative à la croissance régulière des 
coefficients de la série. 

Lie dernier Chapitre est consacré aux séries à deux variables, de 
la forme 

1 auteur s'occupe d'abord des séries entières (dans le sens de fonc- 
tions entières). Pour ces séries, il y a lieu de considérer Vordre 
totale que l'auteur avait déjà introduit dans son Livre sur Ics/onc- 
tians entières, et Tordre de la fonction d'une variable que l'on 
outient en donnant à l'autre variable une valeur constante. Ces 
notions donnent lieu à des relations intéressantes. M. Borel analyse 
ensuite les résultats publiés dans le Bulletin par M. Lemalre (*), 
et rappelle les remarques de Cauchy sur les diverses régions de 
convergence de la série obtenue en développant 



i — x—y 



(^j y réels), suivant que l'on groupe les ternies d'une façon ou 

<ï'une autre. Cet exemple si simple met bien en évidence la nature 

<les difficultés que présente la théorie des séries de plusieurs 

variables, et fait prévoir les ressources qu'un géomètre habile peut 

tirer du groupement des termes. C'est eu faisant allusion aux 

récents travaux de M. MIttag-Leffler que M. Borel termine son 

Livre. 



LEIIOINE (E.). — GÉOMÊTROGRAPIIIE ou ART DES CONSTRUCTIONS GÉOMÉ- 
TRIQUES. 1 vol. in-8% 87 pages, de la Collection Scientia, Paris, Naud; 
190a. 

V-* est pour le promeneur une joie très vive que de découvrir 
tin site nouveau dans un pays bien connu, pour lequel les cartes, 



i58 PREMIÈRE PARTIE. 

les piansy les guides abondent : il se hâte d'y conduire ses a 
el même de se faire de nouveaux amis aGn de les y conduire 
jouit de son paysage, qui était tout près et que Ton n'avait 
soupçonné. 

Les gens qui aiment la Science sans en faire leur métier, 

s.y promènent, et se proposent surtout d'en jouir, peuvent c 

naître cette joie-là et être ainsi récompensés d'avoir bien placé I 

affection : il ne faudrait pas croire, toutefois, que leurs déc 

vertes sont le résultat d'une bonne chance ; leur chance est en ( 

dans leur activité, dans leur curiosité d'esprit, dans leur aptit 

à l'effort, dans le goût qu'ils ont à suivre leurs idées, à grinc 

obstinément le sentier non frayé, malgré les obstacles qui Terni 

rassent; ils mentent à eux-mêmes et aux autres quand ili 

traitent de flâneurs : ce sont des gens qui n'arment pas les grai 

routes. Tel est le cas de M. Lemoine qui, à plusieurs reprises 

Mathématiques, et ailleurs encore, a montré ce que pouvait 

initiative intelligente et suivie, en dehors des chemins battus. 

Celte « Géométrographie » qu'on lui doit a pris corps; elle a 

nétré dans quelques livres et dans quelques enseigneme 

M. Lemoine vient d'en publier, pour la collection Scientia 

petit Traité qui contient, outre une exposition très claire 

principes, une étude, au point de vue « géoméirographique», 

constructions classiques de la Géométrie élémentaire; il pré 

pour la maison Teubner un Livre sur le même sujet, qui n'est | 

aujourd'hui, une simple vue de Tesprit, mais bien quelque c 

d'organisé et de précis. C'est qu'il y a au fond de la « Géomètre 

phie » une idée qui ne manque ni de finesse, ni même de profond 

Il est vrai, comme Ta observé M. Lemoine, que les géomètre 

surtout les Grecs, se sont préoccupés essentiellement de la sii 

cité des déductions, de la façon dont s'enchaînent, non les 

structions, mais les raisonnements. Je crois bien que cette p 

cupation restera la principale, mais ce n'est pas une raison 

qu'elle su[)prime toutes les autres : au point de vue pratiqi 

Ton réalisait les constructions, il est clair que leur simplici 

leur exactitude importeraient singulièrement; elles impo 

peut-être au point de vue théorique plus qu'on n'est dispos< 

croire tout d'abord; cette disproportion entre la simplicité 

constructions el la simj)licité des raisonnements, que les reche 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. iSq 

^^ M. Lemoine ont mise ea évidence, parfois d^une façon si inal- 
K^nduCi n'est peut-être, au moins dans certains cas, qu^une appa- 
ce; elle peut tenir à des raisons profondes qu'on n'aurail pas 
^séà chercher, si M. Lemoine n^avait pas, tout d'abord, donné le 
tjreo de la reconnaître, et il est permis d'espérer que la critique 
laGéométrie, au point de vue « géométrographique », conduira à 
perfectionner renseignement. Il faut donc savoir gré à l'auteur 
L^oir donné à ces mois simplicité, exactitude un sens net, qui 
remette une évaluation numérique, et, par là-niéme, unecompa- 
^M>n précise. Les lecteurs se convaincront qu'il suffit, comme 
'^ ^it M. Lemoine, de quelques minutes pour s'assimiler les 
JDcipes de la méthode, principes qui tiennent en deux ou trois 
îs. Quant à l'art de manier ces principes, d'obtenir rapide- 
m t les coefficients numériques qui sont la mesure de la simpli- 
on de l'exactitude d'une construction donnée, c'est afiaire 
ftmabitude, et les nombreux exemples que fournit M. Lemoine 
^rmettront d'acquérir facilement cette habitude; pour ce qui 
&^ de l'art plus subtil de parvenir à la construction la plus 
iple possible, il est sans doute plus difficile à acquérir, mais la 
(session d'un instrument de comparaison y est sans doute sin- 
S^lièrement précieux. 



■^03IMERELL (Karl). — Dib Krummung der zweidimensionalen Gebilde 
i^siEKKN Raum von vier dimensionen. loaugural-Dissertulion, 53 pages. 
Tmbagen; 1897. 

Parmi les figures qui se présentent dans un espace à n dimen- 
**Oiis, ce sont principalement celles à 1 et à (/? — i) dimensions 
1**i ont été étudiées jusqu'ici. On peut renvoyer, à ce sujet, au 
■^ïitt Livre de M. Killing : Nicliteuclidische Raumfornien in ana- 
^y^ùcher Behandlung, où l'on trouvera de nombreux renseigne- 
ments bibliographiques. On a très peu écrit sur les figures à 
v^ — a) dimensions. L'aulcur a choisi comme sujet de thèse le 
^* particulier n — 2 = 2. Ce cas spécial est caractrrisé par ce 
l**l qu'il renferme aussi les surfaces de noire espace et qu'en même 
•^inps Tes^istence simultanée de deux équations entre les coordon- 



i6o PIIEMIÈHE PAHTIB. 

nées d*un point d^une surface permet de poursuivre très loin l'ani 
logie avec les courbes dans l'espace. 

M. Kommerell s'est surtout proposé le problème de transportei^ ' 
les lliéorèmcs les plus importants relatifs aux surfaces de l'espace^ 
à 3 dimensions, aux surfaces de Tespace plan à 4 dimensions^ 
(figures k n — 'a =: 2 dimensions dans un espace à /i = 4 dîmen- - 
sions). Il montre que certaines propriétés se présentent de nou- 
veau, tandis que d'autres disparaissent. Ainsi une surface dans 
Tespace à 4 dimensions possède en chacun de ses points 4 rayons 
de courbure principaux, et Ton peut de même tracer sur la surface 
un système quadruplement infini de lignes de courbure. Si Ton 
passe aux surfaces de l'espace à 3 dimensions, deux des rayons 
de courbure principaux deviennent infiniment grands, et au sys- 
tème 00* des lignes de courbure correspond le système des lignes 
de courbure et des lignes asymplotiques de ces surfaces de notre 
espace. 

L'analyse de toutes ces nombreuses analogies nous conduirait 
trop loin. Conlentons-nous dédire que l'auteur généralise la notion 
d'indicatrice et se sert de cette généralisation pour caractériser la 
courbure. 11 donne aussi une élégante extension du théorème de 
Meusnicr et fait aussi l'application au cas n — 2=2 des théo- 
rèmes de M. Killing sur les formes non euclidiennes de Tespace. 
M. Kommerell était d'autant plus compétent pour écrire ce nou- 
veau Chapitre delà Théorie des surfaces que ^ dès i8()3, il avait, 
en collaboration avec M. Stalil, publié un excellent Ouvrage 
d'enseignement sur celte branche de la Science : Die Grundfor- 
nieln der allgemeinen Flachentkeorie, (vi-i 14 pages. Leipzig, 
Teubner.) L. Laugel. 



HKIDKIil (PviL). - Ukbi-h KHKisTKiMN(;s<;LEi(:iirN(;EX von Primzaiilgrad 
P ~- /^7' /^i* • • * /^a'* -h I ( ;x > I). Inaugural-Disjortalion. Greiswald; 1899. 

On sait que la méthode eélèhrc de dauss, pour la résolution 
des écpialions biiiomosde (h'i;ré/>, revient en principe à résoudre 
suc(csNi\<'ineiit uih' suite d\'M|nalions dont la première seulea des 
coeflicicnls rationnels. 



COMPTAS KBNDUS ET ANALYSES. i6i 

]L«orsque le nombre p — i renferme plusieurs facteurs premiers 
dislincls, au nombre de [x par exemple, la mélhode de Gauss est 
susoeplible d^une simplification dont on trouvera Texposition dans 
FOu vrage si connu de M. Bachmann : Die Lehre von der Kreis- 
t/9,^£iung, ou encore dans le Traité d^ Algèbre Ae M. Webcr. En 
a|>|>Iiquanl en effet les théories de Galois, on peut alors ramener 
Isà x*^solution de l'équation binôme en question à celle de [x éqùa- 
tioK^sà coefficients entiers. 

Si Ton désigne par p^^ la puissance la plus élevée du facteur 
preniier />A par laquelle est divisible p — i , ce nombre />J* sera le 
de^ré d'une des équations auxiliaires de Gauss précitées. Gauss 
résout cette équation en résolvant successivement tc;^ équations de 
deg'ré/^A} dont la première seule a des coefficients rationnels. 

I^orsque toutes les [x équations sont ainsi résolues, on peut ex- 
primer rationnellement au moyen de leurs solutions les racines 
de l'équation binôme. Le principe de cette mélhode a étécommu- 
niqoé à Tauteur par M. Studj. 

l^Vxposé de ce procédé et son application, qui semble plus 
aisée pour le calcul que la méthode primitive de Gauss, fontTobjet 
de la thèse de M. Geck. L'auteur donne les calculs avec tous leurs 
priocipaux détails dans les cas /? = 7, 11, i3, 19,29,31. 

Les calculs, véritablement trop pénibles dans le cas /? = 23 
(p — 1 = 2.11) n'ont pas été poursuivis dans tous ces détails. 

Pour effectuer les très longues multiplications, Tauteur de cette 
intéressante et consciencieuse contribution à la théorie de la Kreis* 
^neilung a employé une machine à calculer faisant partie du 
cabinet de Physique de l'Université de Greiswald. Il eût été inté- 
ï'essani de savoir laquelle. L. Laugel. 



^"tlR (!.)• — Ueber eine Klasse von Matrizen die sicii einer gegebenen 
^'^''■^ix zuoRDNEM LASSEN. laaugural-Disscrtation, 75 pages. Berlin; 1901. 

^^ travail, dont le sujet a été probablement choisi par Tauteur 

Us l 'inspiration des savantes recherches de M. Frobenius, est 

'*o nature très abstraite et ne se prête guère à une analyse dé- 

*^^. Nous essayerons néanmoins, à cause de l'importance et 



i62 PREMIÈRE PARTIE. 

de la nouveauté des résultais, d^en esquisser les grandes lignes» en 
renvoyant le lecteur, pour les détails, au Mémoire origioaL 
Soient 

deux matrices d'ordre m dont les éléments sont des variables indé- 
pendantes; soit 

C=(c/it) = AB 

la matrice composée au moyen des deux premières; on a 

L'auteur considère dans sa thèse les matrices T(A) d'ordre 
premier r, et qui jouissent des propriétés suivantes : 

i"* Les /'^éléments de la matrice T( A) sont des fonctions ration- 
nelles entières des m^ variables a/^; 

2^ Si la matrice T(A) est transformée respectivement en T(B) 
ou T(C) quand on remplace aik par bik ou c/a» l'équation 

T(A)T(B) = T(C) 
devra être vérifiée. 

Une telle matrice T(A) est désignée par M. Schur sous le nom 
de forme ou matrice invariante formée avec A ou tout simple- 
ment de forme invariante de A. La formation d'une telle matrice 
est dite une opération invariante. 

En particulier, si tous les éléments de T(A) sont des fonctions 
homogènes de degré n des variables a/Ai l'opération sera dite homo^ 
gène et de degré n. 

Pour reconnaître qu'il existe cflectivement de telles opérations 
invariantes, il suffit de faire T(A) égal à A ou égal au détermi- 
nant I A I de la matrice A. 

Quand Ï(A) est une forme invariante de A, si Ton désigne par 
P une matrice constante quelconque, de mt^me degré que T(A) 
et dont le déterminant n'csl pas nul, la matrice P"'T(A) P pos- 
sédera les propriétés définies précédemment dans les n"* 1 et 2, 
et par suite sera aussi une forme invariante de A. Deux pareilles 
formes sont dites éf/tiivatentcs. 

Si T(A) Cbt dcconiposable en deux matrices T|(A) et Ta(A), 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. i63 

et si l^on a par suite 

on voîl immédiatement que T|(A) et T2(A) sont aussi des formes 
in vaa riantes de A. Toute forme invariante équivalente aune forme 
déoosnposable sera dite une/orme décomposable ou réductible. 
Si T ^ A) est décomposable en les formes T| (A) et T2(A), Tauteur 
désig^ne T|(A) etTi(A) sous les noms de diviseurs de T(A); 
il clit, encore qu'ils sont contenus en T(A). Une forme invariante 
qui 1:2 ^est égale à aucune forme décomposable est dite irréductible 
ou j^rimitive. 

^^oici maintenant le rôle des opérations invariantes : Soit G 
^"^ g^rt>upe abstrait (fini ou infini), et soient A, B, F, . . . ses élé- 
B'^nt^; si l'on fait alors correspondre à Télément A la matrice A, 
^ l^^lément B la matrice B, à l'élément F la matrice G, . . ., et 
^^K'si de suite, en sorte qu'à Télément AB corresponde la ma- 
^^^e AB, . . ., on dira que les matrices A, B, G, . . . représentent 
^^ groupe G ( « ). 

^ette représentation sera dite propre ou impropre^ selon que 

■^s déterminants des matrices A, B, (],... sont tous différents de 

*^*^ ou non. Gela posé, si T(A) est une opération invariante et si 

1 On fait subir cette opération aux matrices A, B, G, ... qui repré* 

^^ï^tenlle groupe, les matrices 

T(A), T(B), T(C), ... 

■OQrniront une nouvelle représentation du groupe G. 

On peut encore exprimer ce fait comme il suit : les ma- 
^ces T(A), quand on remplace A par toutes les matrices de 
^^rë nij forment un groupe isomorphe au groupe linéaire Homo- 
S^i^e général à m variables. 

Ces préliminaires nécessaires posés, le but principal du savant 
travail de M. Schur est la démonstration et Télude des proposi- 
(lODs suivantes : Deux formes invariantes T(A) et T|(A) sont 
^uivalentes lorsque leurs traces (^) (Spuren), c'est-à-dire la 



(*) Comparer M. Frobbnics, t'eber die Darstellung der endlichen Grupptn 
^'"^hlineare Substiiuiionen {Berlin Sitzungsberichte, 1897, p. 994). 
(*) Comftarer II. Wkdkr, Lehrbuchder Algebra, 1. 1, V* cdilioo,p. 461. 



i64 PUBMIÈUE PARTIE. 

somme des termes de leur diagonale principale, sont égales, et c*est 
là le seul cas dVquivalence. Le nombre des opérations primitives 
homogènes d'ordre n distinctes (non équivalentes) est un nombre 
fini. Ce nombre est égal au nombre k des décompositions de ren- 
tier n en sommes formées au plus de m termes égaux ou différents. 
M. Schur est aussi parvenu à déterminer les degrés et les traces 
des formes invariantes. 

La démonstration et la découverte de ces nouveaux résultats 
reposent sur la proposition fondamentale suivante également 
trouvée et démontrée par M. Schur : Toute opération invariante 
homogène d'ordre n fournit, au moyen de substitutions linéaires, 
une représentation du groupe symétrique d'ordre n, et, récipro- 
quement, à toute pareille représentation correspond une opéra- 
tion invariante et une seule, si l'on regarde les opérations équiva- 
lentes comme n'étant pas distinctes. 

Nous pensons en avoir dit assez pour démontrer le mérite du 
beau Travail de M. Schur et pour faire voir qu'il a réalisé un pro- 
grès considérable dans ces théories si difficiles et abstraites. 

En effet, avant lui la détermination complète des opérations 
invariantes T(A) n'avait été effectuée que dans les deux cas sui- 
vants : 

1° Lorsque T(A) est du premier degré, et fonction par consé- 
quent des variables Ui^] en ce cas T(A) est égal à une puissance 
du déterminant de A, résultat dû à M. Hurwilz ( * ). 

2" Lorsque les éléments de la matrice T(A) sont des fonctions 
linéaires homogènes des <2/a, le déterminant |T(A)| n'étant pas 
identiquement nul; M. Frobenius(^) a démontré qu'alors la ma- 
trice T(A) est une matrice de la forme 





L. L 



AUGEL. 



(') Zur Invarianlen-Theorie {Math. Annalen, t. ^5, P- 38i-4o4» §5). 
(') Vfber die Darstellun^ der endlichen Gruppen durch lineare Substitu- 
tionen. (Second Mémoire.) {Berlin. Sitzungsberichte, 1899, p. 4^2). 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. i65 



&IÂTTER (D" Karl). — Die den BERNOULLfscnBN Zaiilen analogen Zahlen 
m KoRPER DER drittenEiniieitswurzëln. Inaugural-Dissortalion, Sg pages. 
Zurich, 1900. 

Dans un beau Mémoire publié dans le Tome LI des Math, 
Annaleîiy M. Hurwitz (*) a fait une étude approfondie des coef- 
ficients du développement de la fonction lemniscatique. Dans ces 
coefficients entrent des nombres E„, que l'on peut nommer 
nombres de Ilunvitz, et qui jouent dans ce développement un 
rôle analogue à celui des nombres de Bernoulli B,, dans le déve- 
loppement de la cotangenle. 

M. K. Malter s'est proposé d'étudier, au point de vue analogue, 
le développement de la fonction p[u\ o, ^) de Weierstrass 

iSt = o, ^, = 4 ). 

On sait que cette fonction doublement périodique a un rap- 
port intime avec les nombres a + 6p du corps des racines cubi- 
ques de l'unilé ('), p désignant une racine cubique de l'unité 
définie par l'équation 

p' 4- p 4- 1 = o. 
Le parallélogramme des périodes de la fonction précitée est un 

pco ^ oa+pci> 



losange et la figure ci-jointe en donnera l'intuition complète. Si 
l'on désigne par tù une période primitive, l'autre période sera pco. 



(') Ueber die Entwickelungskoefficienten der lemniscatichen Functionen 
{Maih. Ânnaleriy t. LI, p. 196). 

(') M. Bachmann a consacré tout un Chapitre de son Livre bien connu sur la 
KreUiheilung à l'étude des nombres a + 6p. 



i66 PRB&IIÈRB PARTIE. 

Tandis que les nombres de BernouUi peuvent être déGnis pars 
la formule 

r 

la somme devant être étendue à tous les nombres entiers réels 
positifs et négatifs à Texception de zéro (ce qui est indiqué par la 
virgule attachée au signe somme, notation de Weierstrass), et où 
le nombre tc peut être regardé comme la valeur de l'intégrale 



/•* dx 



ar« 



les nombres de Hurwitz qui entrent dans le développement de la 
fonction lemniscatique sont définis par Téquation 

2' [(r +'«)»»] = T^ ^» («=i,2,3, .,.). 

OÙ la somme doit être étendue à tous les entiers complexes r + si 
du corps quadratique à Texception de zéro, et où le nombre ci> 
désigne la valeur de l'intégrale 



eu 






De même, dans le développement de la fontion p{u; o, 4)) les 
nombres F{ , F2) . . • , ^nj analogues aux nombres de BernouUi et 
de Hurwitz, sonl déGnis par Téqualion 

la somme doit s'étendre à tous les entiers complexes r-f-5p, à 
l'exception de zéro, p désignant la racine cubique de l'unité 

— I -h t /î 
P = ~> 

et le nombre w la valeur de Tintégralc 

dx 



^'Ivi 



x^ 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 167 

La substitution j; = --= rend, d'ailleurs, à Tintëgrale la forme 
ie Weierslrass, à savoir 

dy 



" = "/' 



•4r'-4 



Le but principal de Tintéressant travail de M. Matter est Féiude 

de la formation et de la représentation des nombres F^. Ces 

oonobres obéissent à une loi fondamentale tout à fait analogue à 

celle exprimée par le théorème de v. Staudt-Clausen relatif aux 

nombres de BernouUi; les principaux résultats de l'intéressant et 

consciencieux travail de M. Matter peuvent être résumés ainsi : 

Si Ton développe la fonction p(/7 ; o, 4) &u^ invariants ^2 = o, 



racine 



g% = 4> et aux périodes primitives co et pco | p désignant la raci 

cubique de l'unité et co la valeur de l'intégrale co= / ^ )> 

suivant les puissances de c/, les coefficients F,i du développement 
peuvent être rois sous la forme suivante 



6it 



F»_G,+ — ^+2(— 7 

Dans cette formule Otn désigne un nombre entier. La somme ^ 

^oîi être étendue aux nombres premiers/? de forme 6 A: 4- 1 pour 
lesquels/? — i est un diviseur de 6/i. 

Quant au nombre «lU qui correspond à chacun des nombres 
P^'cmiers précités, c'est le nombre JU qui entre dans la décompo- 
sition 

^e nombre doit être pris avec le signe requis pour que la con- 
S^uence 

X = (— I) « (mod 3) 

*-**auieur donne à la fin de celte intéressante Thèse deux Tables ; 
**^» la première se trouvent les décompositions de /> en ses fac- 



i68 PREMIÈRE PâRTIK. 

leurs primaires m et m\ 

m = a -h bp, m' = a -4- ô p*, 
b^o (mod 3), a^ — i, 

jiisqu^à/7 = 73, ainsi que les valeurs corresponda nies de JU. 

Dans la deuxième Table, il donne la décomposilion précitée ^©^ 
nombres ¥„ en leur partie entière e( fractionnaire jusqu'à n = * ^' 
La partie entière de ces nombres croît avec une rapidité tout à 
extraordinaire. Le nombre G5 a déjà i3 chifTres. Au delà de 
nombre G5, M* Matter s'est borné à calculer la partie fraclit 
naire de F/,, carie calcul de G devient insurmontable; la se «■-»»€ 
recherche du nombre approximatif de chiffres de la pac""*-^^ 
entière de 

„ 3". 5»». ii«. 17*. 23». 9.9^4 1.47. 53. 59. 467 880692001 

2*. 7. i3. 19.37.7J 

exigerait déjà un long et pénible calcul. L. Ladgbl. 



«1- 



EPSTEEN (D' Saul). — UxTERSUCIIUNGEN URRER LINEARE DlFPERENTIALGm:^*^'' 

CHUNGEN 4- Ohdxung und DIE zuGEiiORiGEN Gruppen. Inaugural-Diss^ -K^*-^* 

tion, 5G pages. Zurich, 1901. 

On sait que Sophus Lie a fait Tapplicalion de sa théorie <i^^ 
groupes de transformations, et tout particulièrement celle €i^^ 
groupes finis (dont les transformations ne dépendent que i''»-*'^ 
nombre fini de paramètres), à l'intégration des équations différa *^" 
tielles. 

L'illustre géomètre norvégien démontra que, dans presque tc^*^^ 
les cas où l'on était parvenu à abaisser l'ordre d'une équation d-'*" 
férentielle ordinaire, la raison en est l'existence de transforcï* ^" 
tions à nombre fini de paramètres pour lesquelles l'équa 
précitée reste invariante. Ces transformations forment nécessaî 
ment un groupe. A chaque groupe de transformations, défini J^ 
ses transformations infinitésimales, Sophus Lie fait correspoa^ 
certaines fonctions, dont l'importance était, d'ailleurs, déjà c^^^^' 
nue avant lui; ce sont les invariants différentiels qui restent ii».'^'' ^' 



COMPTES RENDUS ET ANALVSES. 1C9 

rî^ Sjles pour toutes les transformations du groupe, et pour celles-là 
se «-K lement. A Pexception de certains cas très particuliers, toute 
écr «jsalion qui reste invariable pour toutes les transformations du 
gr^:^ upe est une relation entre les invariants diiTérentiels précités. 
^CDr, quelles que soient la fécondité et la portée des méthodes 
dm. ^rand géomètre, elles ont quelque chose d'incomplet, car une 
éq «JKation différentielle ordinaire quelconque d*ordre supérieur 



(n 



•>^(^-^'^î"--)=° 



oe areste pas, en général, invariante vis-à-vis d'un groupe au sens 
de K^^ie. 

M lest vrai que Téquation aux dérivées partielles 

df àf àf 

et les systèmes complets étudiés par Lie restent invariants vis-à-vis 
A tin groupe formé par un certain nombre de paramètres et par 
\cs /14- I variables x, x^ , ^^2, . . . , X//. 

Mais de tels systèmes sont d'une nature très particulière. 

Si Ton compare à ceci la perfection de la théorie de Galois des 
^uations algébriques, on se rendra mieux compte de ce qui 
iDsnque à la théorie de Lie en remarquant les deux faits suivants; 
<l abord, étant donnée une équation dilTéreiiticlle, on ne peut pas 
toujours afiirmer que la réduction opérée au moyen du groupe 
^tt la seule possible; et, ensuite, certaines équations, par 
exemple l'équation différentielle des lignes géodésiques des sur- 
faces du second ordre, peuvent être intégrées, quoiqu'elles n'ad- 
"ïettent aucune transformation en elles-mêmes. 

C'est M. Picard qui, le premier, a indiqué la voie à suivre pour 
S^oéralîser les méthodes de Lie dans le sens de la théorie de 
Wois [Comptes rendus y i883; Annales de Toulouse, i8()^). 
L>exposilion des belles recherches de M. Picard, aujourd'hui 
dassiques, fit ensuite le sujet de la Thèse bien connue de 
M. Vessiot (Paris, 188:4, et Annales de V Ecole Normale supé- 
^^Urt), Dans ce beau Mémoire, W. Vessiot étudia en particulier 
■^Qation différentielle du second ordre, et (|uelques cas parti- 
culiers de celle du troisième. 

^li. des Sciences maihém., 2* sût ie, l. XWI. (Juin njo-2. ) u 



I70 



PKEMIÈKE PAIiTIB. 



C'est l'élude de l'équation differenlielle linéaire du qualrièK:ï\^ 
ordre dont les coefficients sont des fonctions de x 



(3) 



d\Y ..-^ d^y 



^^«S-<^»È-^*^ 



= o. 



dont s'occupe M. Epsteen dans sa remarquable dissertalion io: 
gurale. Ce domaine de recherches très étendu n'a été jusqa 
que très peu étudié, et l'auteur n'a pu qu'eftieurer un suje 
vaste. 

Sa Thèse est divisée en trois Chapitres ou Sections. En v 
la Table des matières : 



-a- 

• • 

ICI 

si 



ICI 



Introduction. 



Chapitre 1. — De V intégration rationnelle des équations diffé 
tielles linéaires du quatrième ordre. 

1. De rintégration rationnelle. Énoncé du problème. Domaine de i 
nalilc. 

Invariants formels et numériques. 

Groupe des fonctions invariantes. 

Equations transformées. 

Résolvantes. 

Un théorème analogue au théorème de Lagrange. 

Groupe de rationalité (groupe de transformations). 

Type caractéristique invariant. 

Résumé. 
â. Subdivision du problème. 

Groupes intégrables. 

Condition d'inlégrabiliié. 

Chapitre II. — Des groupes dans R4. 

3. Groupes homogènes linéaires dans H4. 

Groupes connus dans R^. 

Groupes projectifs dans R.^. 

Groupes dans R^. 

Résumé. 

Remarques. 
\. Sous-groupes à trois termes. 

Mélhotlc pour les déterminer. 

Méthode des groupes dérivés. 

Combinaison dos deux méthodes. 
3. Intégrabiliié des i:roupes. 



'tf/i- 



itio- 



COMPTES UENDUS ET ANALYSES. 171 

6. Démonstration que les groupes sont algébriques. 
Première méthode. 

Deuxième méthode. 

7. Sous-groupes invariants. 

Chapitre III. — Applications. 

8. Première réduction au moyen du groupe spécial linéaire. 
Equation dilTérentielle d'ordre n. 

Équation dilTérentielle du quatrième ordre. 

9. Deuxième réduction. Relation cubique entre les intégrales. 

10. Troisième réduction. Bclation quadratique entre les intégrales. 

11. Réduction au moyen de résolvantes assignées. 

La résolvante est l'équation diiïérentieile du cylindre elliptique, c*est- 

à-dire -7-^ -4- (^' -H 271 cosaa:)^ = o. 

La résolvante est l'équation de Lamé. 
La résolvante est l'équation de Lagrange. 
I^ résolvante est l'équation de Legendre. 
La résolvante est l'équation de Bessel. 

« 

Co^CLCSION. 

Les sept premiers paragraphes renferment Télude préliminaire 
du sujet, cl celle étude est faite aussi complrlemcnl qu'elle peut 
l'être en une trentaine de pages. Le n** 1 est un aperçu des théo- 
ries de MM. Picard et Vessiot, ap[)liquées à Téquation (3). Ce 
résumé est nécessaire aux déveioppemeuls qui suivent, et présente 
un intérêt tout particulier, car il éclaircit sur un exemple spécial 
une théorie peut-être assez difficile à saisir au premier abord dans 
toute sa généralité. Les n"'* 2 et 7 sont consacrés aux problèmes 
soulevés dans le n" 1 ; le Chapitre III est consacré aux applica- 
tions, el dans le n° H est examinée rintéressante question inverse : 
Étant donnée une résolvante, retrouver Téquation primitive. 

En résumé, la méthode de M. Ëpsleen consiste à déterminer le 
plus grand nombre possible des groupes de K4 el à faire la 
recherche des réductions correspondantes, en supposant successi- 
vement que chaque gt^oupe est celui de Téquation différentielle. 
Le proyême reviendrait ainsi tout naturellement à la détermina- 
tion de tous les groupes de R|. 

L'auteur détermine un certain nombre de ces groupes, pour la 
plupart primitifs, et il y choisit les termes linéaires homogènes. 



172 PREMIÈRC PAKTIE. 

Mais ceci ne suffit pas. 11 est, en effet, possible que queiques-uni 
des termes laissés de côté soient transformables en la forme linéair' 
homogène, el, par suite, pour résoudre complètement le problèm» 
il faut encore examiner ces cas. Les termes linéaires homogènes 
considérés par l'auteur, forment encore un groupe. 

Pour distinguer si les groupes sont intégrables ou non, ^ 

M. Epsteen applique les théories de Lie-Engei (n** 2) et la mé 

thode des groupes dérivés. Il considère i4 groupes, qu'il serai 
trop long d'énumérer, et le seul intégrable est celui qui lai 
invariante la surface de Cavley 

4xiiPjX3 — x^xl — îia?f = o. 

Les résultats de Tauteur semblent donc indiquer que, si quelques 
groupes sont intégrables, le plus grand nombre ne Test pas. Ceci 
montre qu'en général l'équation proposée (3) ne peut être résolue 
au moyen de l'intégration d'un certain nombre d'équations 
linéaires du premier ordre, mais que le problème de l'intégration 
peut être ramené à l'intégration d'une ou plusieurs équations dif- 
férentielles d'ordre inférieur au quatrième. 

M. Epsteen démontre aussi que tous les groupes, comme on 
pouvait s'y attendre, sont algébriques (n** 1, I; n® 2). 

Comme les groupes du n** 3 laissent invariante une relation, soit 
cubique, soit quadratique, entre les intégrales, on a à résoudre 
le problème qui consiste à opérer les réductions correspondantes. 
Dans les n*** 9 et 10, l'auteur donne plusieurs exemples de ces 
réductions. 

Enfin, au n^ il sont déterminées les équations du quatrième 
ordre dont les intégrales peuvent être représentées au moyen de 
certaines fonctions connues d'ordre moins élevé. 

11 reste encore un problème à traiter, beaucoup plus difficile 
d'ailleurs (n® 1, IV), à savoir : Déterminer le groupe d'une 
équation différentielle donnée. 

L'auteur, estimant que cette question dépassait beaucoup le 
cadre de sa Thèse, l'a réservée pour une autre occasion. 

L. Laugel. 



COMPTIiS KENOUS ET ANALYSES. 173 



BOUVIER (E.)- — L'V MÉTiioBB mathématique en Économie politique. 

I vol. in-8°; j45 pages. Paris, Larosc; 1901. 



Livre de M. Bouvier, professeur à la Faculté de droit de 

l'Uxiiversité de Lyon, est un plaidoyer modéré et modeste en 

laveur de Tinlroduction des méthodes mathématiques en Écono- 

¥ni^ politique. L'auteur risque de passer pour un esprit singulier 

et dangereux. Comment! il fait attention à ce qui se dit dans 

oet.Le Université de Lausanne, où M. Walras a enseigné, où 

M. Paréto enseigne à son tour, lui qui est professeur à Lyon, en 

uce, et professeur de droit? Ignore-t-il que, dans notre pays, 

ne peut « faire » son droit ou sa médecine qu'après des études 

lusivement littéraires? Serait-il capable de penser que, dans 

noire société moderne, les avocats et les juges peuvent avoir à 

^-r^îterdes affaires où les sciences interviennent, et des cas qui ne 

soQi point prévus dans le Digeste? Est-il possible qu'il regrette 

de ne pas savoir les Mathématiques? En tout cas, c'est un homme 

>niesté par l'esprit philosophique, qui parle de l'unité de la 

Science, du mutuel appui que ses diverses parties doivent se 

pï'^ler, qui cite non seulement M. Boutroux, mais encore 

"*• Poincaré, qui ne rejette pas ce qu'il ne connaît point, qui 

*«che même de s'en rendre compte, qui trouve des raisons pour 

*^*uler les arguments de ceux qui ne veulent point entendre parler, 

®n Economie politique, d'équations, d'inconnues, de courbes ou 

intégrales. 

A vrai dire, ces arguments sont fort amusants. On soutient 

S^e les Mathématiques n'ont rien à faire ici, parce qu'il s'agit de 

phénomènes variables, et non de constantes, ou bien parce que 

*®* Mathématiques sont une science exacte, et que les phénomènes 

^économiques ne peuvent être connus qu'approximalivcment, ou 

encore parce qu'il est arrivé à quelques mathématiciens de se 

**'Oniper, et que leur science est assurément inutile dès qu'elle n'est 

pas infaillible, ou enfin parce que les Mathématiques sont bien 

obscures pour ceux qui ne les savent pas. A la vérité cette 

l dernière assertion est assez exacte. Mais, à la lecture de pareils 

k ^''g^'meQts, un mathématicien ne peut s'empêcher de devenir 



174 PlUilMlÈKE PAKTIË. 

modesle, en pensant à ce qu'il risquerait de dire s*il se mêlait de 
parler d'Économie politique. Un autre argument, sur lequel on 
peut s'arrêter un instant, est que les mathématiciens négligent 
volontiers ce qui les gêne; voici, par exemple, M. Walras, qui 
spécule sur un milieu économique qui est purement idéal. Le 
reproche vaudrait contre les conséquences de ces spéculations, si 
Ton prétendait les appliquer de suite à la réalité : il a à peu près la 
même portée que celui qu'on adresserait à un physicien, parce 
qu'il étudie la chute des corps dans le vide, et non dans l'air où 
ils sont plongés : il manifeste simplement l'ignorance de la 
méthode de ces sciences expéfimentales, où l'on s'efforce d'isoler 
les causes, de les étudier dans des conditions simples, quitte à 
superposer au contraire leurs effets pour expliquer la réalité. 
M. Walras n'a sans doute pas la prétention d'avoir mis en formules 
toute l'Économie politique. 

Que les Mathématiques puissent intervenir utilement en Écono- 
mie politique, soit pour élaborer les résultats de la statistique et 
ses tableaux de nombres, soit pour éclairer certains points de la 
théorie des échanges, c'est ce qui, théoriquement, n'est pas 
douteux. Au point de vue pratique, la complication des phéno- 
mènes sociaux constitue assurément une grande difficulté. La mise 
en équation des problèmes réels est toujours difficile. On y pense 
avec découragement tant qu'elle n'est pas réalisée, avec étonnement 
lorsque quelqu'un y a réussi . M. Walras s'est efforcé d'avoir toujours 
autant d'équations que d'inconnues : cela est fort bien; on peut 
regreller que, dans ses équations, il reste parfois plus d'une ybnc- 
tion inconnue; il ne faut pas le lui reprocher, ni en conclure que 
les Mathématiques n'ont rien à faire avec l'Économie politique. Les 
problèmes de la Météorologie sont des problèmes déterminés qui, en 
fin de compte, sont du ressort des Mathématiques : on est loin, à 
coup sur, de posséder une formule qui permette la prévision du 
temps. Il n'est pas sûr que les phénomènes économiques soient plus 
simples (|uc ceux de la Métoorologie. Est-ce une raison pour ne 
pas étudier les données numériques de l'une ou l'autre science, el 
de tirer mallu'inati<|uemcnt des lois (|ue l'on connaît, ou de.* 
hypothèses (ju'on peut faire, les conséquences qu'elles comportent' 
Aussurcinenl la |)()s.sibililc de pr(»grès importants, dans cette voie, 
ne sera clémonlrre (juo par la rcalisalion même de ces progrès : 



COMPTES KKNDUS ET ANALYSES. 175 

est-ce une raison pour dédaigner et railler ceux qui s'y 
cffbrcenl? M. Bouvier a raison : le dédain que Ton aRecte pour 
ua ordre de recherches est presque toujours la marque de l'inca- 
pacité où l'on est d'entreprendre ces recherches et même de les 
comprendre, c'est un moyen court et facile de cacher auK autres 
et à soi-même cette incapacité; mieux vaudrait faire, tout simple- 
ment, ce dont on est capable. M. Bouvier termine son Livre en 
insistant sur la nécessité de donner aux jeunes gens une instruc- 
tion générale : Eh! quoi? 11 y a maintenant, dans notre pays, des 
gens qui parlent d'une « instruction générale » d'où les Sciences 
De seraient pas exclues? Que cela est nouveau et audacieux! 

J. T. 



DASSEN (C.-C.)- — Metapisica de los conceptos matemàticos fundambn- 
TALKs (espacio, tempo, cantidad, limite) y del analysis llamado infini- 
TEsinAL. Tesis para optar al tilulo de Doctor en ciencias fisico-matemalicas. 
I vol. in-8**; i83 pages. Buenos-Airos, Tailbade et Rosselli; 1901. 

1^ thèse de M. Dassen représente un travail notable de lecture 

ctde x*éOexion. Les <( informations » de l'auteur sont nombreuses; 

»a f>iiisé à des sources fort diverses et il a su tirer parti de 

Irav^i^x récents. L'eflTort de pensée nécessaire pour embrasser, 

comnne a voulu le faire M. Dassen, l'ensemble des principaux 

concepts mathématiques est d'ailleurs considérable, et le sujet est 

**^asie qu'on serait malvenu de reprocher à l'auteur de ne pas en 

avoir approfondi toutes les parties. Celui-ci s'occupe d'abord, au 

po*i*t de vue philosophique, de divers concepts qui, comme 

1 espace, le temps, la quantité, sont fondamentaux en Mathéma- 

'*1** es. Peut-être accepte-t-il bien rapidenient Topinion, d^ailleurs 

^^ïïteiîue par des mathématiciens éminents, que la théorie de 

^^ni sur l'espace, comme forme a priori de la sensibilité, est 

'^^"née par le développement de la Métagéométrie. Assurément 

•^^ot n'a ni connu ni prévu les diverses géométries, et, quoiqu'il 

^^ faille s'étonner de rien dans ces matières, je ne crois pas 

V^ aucun de ses disciples trouve dans la possibilité des diverses 

Séomélrics une confirmation de la théorie kantienne; on se 



176 PREMIÈRE PARTIE. 

contentera, si cela n^est déjà fait, de plaider la conciliation; mais 
je me figure que Kant, s'il avait connu les spéculalions inoderDes 
sur l'espace, n'aurait pas, pour si peu, changé sa pensée fonda- 
mentale : tout au plus en aurait-il modifié l'expression et aurait-il 
atténué quelques arguments; cela est aujourd'hui l'affaire de ceux 
qui se réclament de lui ; les savants vont bien vite en besognequand 
ils s'imaginent qu'un argument de fait renverse une doctrine 
philosophique : l'importance philosophique de la Science consiste 
bien plutôt dans les changements, d'ailleurs très lents, qu'elle 
apporte dans la façon de penser de quelques-uns. 

Pour la partie plus mathématique de son travail, c'est à P. do 
Bois-Rejmond et à son Allgemeine Funclionentheorie que 
M. Dassen se réfère le plus souvent : nous retrouvons chez lui 
cet idéaliste et cet empiriste qui exposent tour à tour, chez le 
penseur germanique, leurs différentes conceptions. Renan a écnt 
jadis des Dialogues philosophiques dont les personnages sont, 
dit-il, les lobes de son cerveau. Peut-être P. du Bois-Rejroond 
avail-il un lobe idéaliste et un lobe empiriste; même dans 1*^4 W- 
gemeine Funclionentheorie, ces deux personnages sont un p^^ 
fatigants, et je crois qu'il est permis de les ^ laisser. ToulefoiSi 
en s'adressant, pour en discuter et en développer les idées, à un 
penseur et à un mathématicien tel que P. du Bois-Reymond, 
M. Dassen s'adressait très bien. Outre les contributions impor- 
tantes qu'il a apportées à l'ensemble des faits malhémaliqu^^^ 
P. du Bois-Rcvniond a eu des idées originales et fécondes dont 
on a fail, à plusieurs reprises, ressortir la grande portée, ^^' 
quoiqu'il ail un peu abusé de son empirisme et de son idéalisii^^' 
])ersonne ne s'avisera sans doule, d'ici longtemps, d'écrire su^ 
philosophie de l'Anal jse inalhémalique sans avair lu son Al^S^' 
meine Functionenthcoric, Il semble, par contre, que M. Das*^ 
se soit, d'une pari, trop atlaché à développer les idées d'aut^^'^ 
dont les écrits sont singulièrement moins importants, et qu'il ** 

'•été suffisamment sur quelques hommes qui, coiï*^ 

M. G. Cantor, et les logiciens de l'école italien^^^ 

însée des mathématiciens modernes une influ^^^ 

es quelques lignes consacrées à la nolion d' « ^" 

■ilier, sont bien courtes. Dans un Livre où * ^ 

C]ue de Weierslrass d'une fonction conl"'"^ 



MÉLANGES. 



1 



// 



c|ui n'admet poinl de dérivée, il était sans doute intéressant de 
sig-naler, au point de vue historique, le raisonnement par lequel 
Duhamel prétend établir l'existence d'une dérivée pour une fonc- 
tîoxm continue et croissante dans un intervalle; mais il convenait 
d ^accompagner ce raisonnement de quelques lignes critiques; 
pimisque, aussi bien, ce raisonnement a trompé Duhamel, qui, de 
temps, a été admiré pour sa clarté et sa rigueur, il pourrait 
t.-élre tromper encore quelque lecteur inexpérimenté qui 
iB ^ «Brait pas bien compris le reste du Livre de M. Dassen. Puis, si 
' c>Mi ne peut passer sous silence les arguments de Zenon d'Élée, 
l'^a montrent, sous une forme singulièrement ingénieuse, le 
'■"'•^^jble que 1' « infini mathématique » a jeté dans l'esprit des 
P^^^seurs grecs, à quoi bon s'arrêter si longtemps sur les absur- 
"■•►^s que l'on obtient en raisonnant sur les séries ou les limites 
^^^**^ine il ne faut pas raisonner? 

ï^asse encore pour les raisonnements qui, comme celui de 

■-^ •charnel auquel je faisais allusion tout à Theure, ou certains 

^^^*ïiples classiques, ont un intérêt historique; mais il ne faut pas, 

*^^**s prétexte de philosophie, multiplier les exemples de cette 

'^^•-^reeten forgera plaisir. Enfin, pour en finir avec les critiques, 

^^**t.3ines citations sont par trop écourtées : à lire les dernières 

Ï^^S^s de M. Dassen, on pourrait s'imaginer que Cauchy , M. Prings- 

*^^îtii et M. Borel n'ont aucun souci de la rigueur. 

Itf . Dassen serait sans doute désolé que cette opinion-là se 
*^pandît à Buenos-Aires. 



l 



MÉLANGES. 

tua LES CALCULiTEURS CINÉMATIQUES DES FONCTIONS ELLIPTIQUES; 

Par m. N. DELAUNAY. 

"308 la présente Note je donne une description d'un méca- 
nisme dans lequel une roulette décrit un angle o = anu/ chaque 
lois qu'on tourne une roue d'un angle it. On verra, de plus, qu'on 



1-8 



PREMIÈRE PARTIE. 



peut prendre facilement, à Taide d'un compas, les longueurs snii, 
cnuy mdnu sur ce mécanisme pour chaque argument u donnée 
qu'on peut construire un instrument pour le calcul de l'inlégral 
elliptique de seconde espèce. 

i. Soit AB {/ig- i) une bielle dont le point A glisse sur 
cercle décrit avec un rayon (manivelle) OA, tandis qu'un sài 

Fig. I. 




point B de la bielle glisse sur la droite OB menée par le cent 
Posons 



a 



AB = //i, OA = a, — = A, A0B = 9, ABO = 0. 

ni ^ 

On aperçoit facilement qu'entre les angles o et existe * 
relation 

sinO = A: sino. 

Lorsqu'on conçoit o comme l'amplilude d'un argument u, o' 



(1) 



(•Jt) 



cosO = y/i — A* siii^cp = A^ = dn m, 
r/çp 



it = 



du = 



cosO 



MÉLANGES. 



179 



ans notre mécanisme, le syslème bielle et manivelle est posé 
me charretle {fig* i) d'une telle manière que la charnière O 
îxée sur la charrette et que la règle OB, aj^ant une rainure, 
pivoter autour du point O. La bielle AB porte au point B une 
ière qui conduit le point B suivant la règle OB. Le point P du 
3Dgement de la bielle porte une charnière par laquelle la 
e est liée avec la tige LP pivotant autour de la charnière L 
: sur la charretle. Cette disposition maintient le parallélisme 
î la bielle AB et les roues de la charrette. La règle OB porte 
hâssis MN {Jig' 2) perpendiculaire à OB. Le châssis porte 

Fig. 2. 
^ .0 A 



M 






'<fV 



Ir* 



î d'une roulette pq^ de sorte que cette roulette reste toujours 
»le plan vertical passant par le point O. Dans ces conditions, 
miette /?5r fait toujours l'angle variable 6 avec la bielle et avec 
eues de la charrette dont les rayons sont égaux à l'unité de 
ueiir. 

la charrette parcourt un chemin du dans la direction /z/i, ses 
s tournent d^m angle du, La projection de ce mouvement 
a normale du plan de Ja roulette ne produit aucune rotation 

roulette. La projection du mouvement du sur le plan de la 
tte tourne celle-ci d'un angle rfwcosO lorsque la roulette 

sur une table, comme dans l'instrument d'Amslcr mesurant 
►ment d'inertie. 

nsle châssis MN se trouve un engrenage {Jig- 2) tel que la 
*^elle OA tourne du même angle que la roulette pq. Dans ces 

Uons, la manivelle OA tourne d'un angle du cosO pour chaque 
lation du de la charrette, et la relation (2) se trouve remplie. 
la posé, admettons que la charrette parcourt un chemin 

j du; alors l'angle que la manivelle OA fait avec la règle OB 

Dt égal à y, qui est lié avec u par la relation (i), et l'on 



i8o PREMIËKE PARTIE, 

aura 

^ = amu, ÂD=sna, OD = cnu, BD = mdnff, 

si l'on prend OA = a pour l'unité de longueur. 

OA fait des tours complets, OB oscille autour du point 0. 

La position initiale de la règle OB doit être parallèle aux ro 
de la charrette; il faut donc qu'elle soit marquée par un index s 
la charrette pour l'ajustage initial du mécanisme. Toutes les tig 
se rangent, dans )a position initiale, sur la droite parallèle a 
roues et passant par le milieu de la charrette. 

2. Je voulais transformer ce mécanisme pour le calcul de Tin- ^ 

tégralc elliptique de seconde espèce E = / L-^d^^ qui donne 1^ ' 

relation rfE = d^ cosO, lorsqu'un de mes élèves, Tétudianl de l'In^ * 
stilut polytechnique de Varsovie M. Lipetz, a inventé un méca— ^ — 

nisme calculant celte intégrale. M. Lipetz s'est servi de mon ellip 

sographc dont la description se trouve dans le Bulletin des^^ 
Sciences mathématiques, 2*série, t. XIX. Dans cet eliipsographe - 
il y a une tige pB pivotant autour d'un point fixe ^, et, lorsqu'on 
tourne cette tige, un point D de l'ellipsographe décrit une ellipse 
qui est une projection orthogonale du cercle décrit parle point B. 
On voit bien que l'angle que fait la tige/?B avec le petit axe de 
l'ellipse est égal au complément o de l'anomalie excentrique. 
Après avoir fait celle remarque et sachant qu'entre le complé- 
ment o de l'anomalie excentrique cl la longueur s de l'arc de l'el- 

lipse il y a une relation s = a 1 A'^ rfy, M. Lipetz ajoute une 

roulette au point D de l'ellipsographe. Il faut que l'axe de celle 
roulette puisse tourner autour de l'axe vertical passant par le 
point D. On met le mécanisme dans une telle position que D est 
au bout du petit axe de Tellipsc. Dans cette position initiale, l'axe 
de la roulette doit être mis parallèlement à la lige/>B pour que le 
|>lan de la roulellc passe par la tangente à l'ellipse. La position 
initiale étant ainsi réglée, on tourne la lige pK d'un angle », ce 
(jiii l'ail parcourir à la roulellc le chemin s égal à l'arc de l'ellipse, 

et la roulette tourne d'un angle proportionnel à 1 A»rf;p. 





N. Dllaukay. 



MÉLANGES. i8i 



SUR UN THÉORÈME RELATIF A DES MOTENNES; 

Par m. André DURAND, 
Professeur à Besançon. 



Soient ai, a2, . . ., a/i, n nombres positifs qui ne sont pas tous 
ëgaux. Soit S^ la somme des produits p k p de ces n quantités, 

n I 

el Cg = —q — -^- — -j le nombre de ces produits. ^Lppelons moyenne 

ef ordre pet désignons par My,la quantité i/r.J, (M| est alors la 

moj'enne arithmétique — ' ' " ' -y M^ est la moyenne 

géométrique {/^ai, «2, . . ., a„j • 

Je dis que Tordre des grandeurs de ces quantités est 



M, > M, > M3, > M,, > Mp^i > . . . > M«. 

Deux de ces moyennes ne pouvant être égales que si tous les 
nombres ^i, ^2, . . ., a,, sont égaux, dans ce cas ces moyennes 
soQi toutes égales entre elles. 

Démonstration, — Je dis que My,>>My,^i. Je considère un 
système de valeurs des nombres a, tel que ces nombres ne soient 
pas tous égaux. Soit co la valeur de M^,; parmi les nombres a, il 
J en a qui sont supérieurs à co, et d'autres qui sont inférieurs à (o 
(s ils étaient tous supérieurs à eu , on aurait S{J>>C^(o/', 
<loncM^>co). 

''e considère alors deux nombres, pris parmi les nombres a, l'un 
^''périeur à w, l'autre inférieur, 

a, = co-f-a, a,= co— p, (a>o, P>o). 
Je puis écrire : 

Sg =H -»- K (ûTi-herj)-!- L aiaj, 
SS-^> = J-hH(a,-+-a5)-i- Krt,a,. 

■**'S*^e la somme des produits/; — a à p — 2 des lellrcs r/, 
*'»«'". et «,. 



i82 PKBMIÈRE PÂRTIB. 

K. désigne la somme des produits p — i à /> — i des lellrcs a, 

sauf ay et aj. 
H désigne la somme des produits /? à /> des lettres a, sauf a\ et a^. 
J désigne la somme des produits /> -h i à /> -|- i des lettres cr, 

sauf a\ et a^. 

Je remplace a\ et a^ respectivement par o> et o) 4- e, e étant un 
nombre, positif ou négatif, tel que S^ ne change pas de valeur: il 
faut que e satisfasse à Téquation 

(i) A(SS) = (K-f.La))0 — a-4-e)-^La? = o. 

SJ"^* varie; sa variation est 

A(S;;^« ) = (H -+- Kco)(? — a-h e) -h Kap, 

en remplaçant fi — a -i- s par la \aleur tirée de la première équa- 
tion 

MSr') = K«?-j^?-[II^-K.]=j.--^[K'-HL]. 

Je dis que cette quantité est positii^e, donc que SjJ'^' a 
auf^metit(\ ()uand 1rs n nombres auront clé rendus égaux à co, 
SjJ*^* aura augnionlé à cbacune i\o. ces opérations, et sera devenu 
égal à CJJ^* (o/*"^', M/i^.! sera devenu égal à lo, et par suile à My,; 
donc (|uand les nombres a n'étaient pas tous égaux à o>, on 
avait M^i^ M/i-i-i' 

Il n'es! pas dinîcile do vérifier (juc R^ — HL>>o, c'esl-à-dîre 
que le carré de la somme des produits k à /* de m nombres posi- 
tifs est supérieur au produit de la somme des produits A* — i à Â' — i 
par la somme des j^roduits k ~t i à A* -+- i . 

i" K- contient d*abord la somme des carrés des produits A* à A'; 
ces l(»rmes ne liguront pas dans IIL. 

•».'* (les termes mis à pari, un terme quelconque du carré K' 
ligure tians h» produit Lll, et réoi|>roi|uemeiit, mais le coeflîcient 
nun)éri(|ur est toujtuns plus grand dans le déxeloppement de K' 
que d.in> colui de IIL. 

Le *'0(»flîiiont di* tt\ f/j . . . r/; tt,^^ . . . </ja_i dans K x R est le 



MÉLANGES. i83 

nombre des combinaisons de 2 (A* — l) lettres différentes, k — / 
à Ar — /, soit 

Le coefficient du même terme, dans HL, est le nombre de com- 
binaisons de 2 (k — i) lettres différentes, k — i — i k k — i — i 
(ou A" — I -H I à A- — « H- i), soit 

R_ [Mk-ini 

On a bien A > B, car cette inégalité revient à 



k — * H- I k — i 

application : une équation du degré n, qui admet n racines 
positives, peut être écrite ainsi : 

n , n(n — i) , 

or* a* a?«-* H aï x*»-* -^ . . . 

I 1.2 * 

Elle ne peat avoir toutes ses racines réelles et positives que si 

«1 > «î > «3 >•.•>««> o- 
Mais ces conditions nécessaires ne sont pas suffisantes. 



NOTE RELATIVE A L'ARTICLE PRÉCÉDENT. 

L^éléganle proposition établie par M. André Durand peut se 
démontrer aussi de la manière suivante : 
Considérons Téquation algébrique 

(i) iF" M|ar«-*^H ^^ — ^ — ^IVI| :f«-«j* — ...-h(— i)«M2 =0 

écrile sous forme homogène. Si cette équation a toutes ses racines 
réelles positives et distinctes, il est évident qu'il en est de même 



i8i PUËMIËItlî PARTIE, 

de loulcs les éqtialions du second degré, 



(•>) 



i M M X» - a M i: ry - mJ:! y* = o, 



1 



qui ne sont autres que les dérivées <I*ordre n — a prises, soit ptr 
rapport à x, soit par rapport à y^ de réquatîon (i). On aura donc 

Mî-Mi>o, 
Mî-M,MJ>o, 






tA 



A-i mA-^1 



Mr-Mî::îMî::i>o. 



On déduit de ces iné^^alilcs 



et par conséquent 



M,<M,. 

M» 

M s <r _1 <- ' M ^ 



M3<Mî. 



Kn continuant de la mémo manière on aura 



C.Q.F.D. 



On \('rra l'ucilcmrnl (|uc> Ir nii^^onncMntMit s'appli(|ue toutes les 
fois que les n racines d(? iéijuahun (i ) ne sont pas conTondues. 

(.1. Darboux. 



H 



< 1 m tM ippKcjitloiu en Mam^- 



BULLETIN 



INCESMATliÉMATlULES, 

t l'An ««, (i, K^nitoix. t- rii.Aiir> et j. t-ïSmîhv. 



■irtlOJi d« la CfliDBlAiigii iên Banlsi tlodai 



■ UIKTorin M. fi.ltHMIt KTIHMKI, 



Mil 



t-ftllB XI VI - JUILLET iSttl- 



i 



^isTissiâ, 



l'AlUs. 



i.iniiAiiK^ 



LiimAïKii: r.Auriiiitiivitf 
L'IM'KKMËDIAIUE 

mathématicieI 

fOMltt HH IM( rAll C-A. t.\l5AM tT l_ LliUkli 



PnlilîeaUini baaor«» d'aa« MituarlpUun àa Mina 
de llnatraetion publi^u». 



rnxK \\ _ \sstv mmw 



VM,L,thtiilril.*m.i. 



i: 



CUUPTKiS KENUUS liT ANAIVSKS. 



COMPTES KEMIUS ET ANALYSES. 



KLEIN (F.). — AMveMiiM; der DiFi'KnE>TiAi.- vmi [xtecsii 
Geomethib. El^R IIevision- iieh Phincipien. Vnm.Esixc (;kii\lte> waiihkmi 
DES Soxmeusexcïteiis 1901. von K. Klnin, .4Hsgeai-lie'fit-t von Conrad MûUer, 
I vol. in-S"; Jti8 yia'^a IJlliugr., Liepiijj. Teubnvr; igoi. 

Plus (l'un lecteur IVançiiis. t-n li->aiil les levons {u-ofossi-cs |iar 

M. Klein pcnJaiit le senu'slrc ilV'lc de l'anni-e (lerniiTc, {;;i>i\lera 

an double plai&ir: iiasiirémenl, il prendra un vif iiiléri^l au siijci 

et à la façon dont tl eitt truild*; il se plniru aioâi à connuilrr' une 

forme d'enseignement très diDVronle de eeile dotil iintis nvniis 

l'habitude: la pitrcdr dti ininlre est là toute vivante: elle a élé sté- 

DUgraphiée atec inti-lii^eiiec. On n'a devant les yens ni nn livre, 

ni un méniuii-e. niai> det ffçnnx: des lei;ons <{iii, sans diiMlr. ont 

été longuement élalxirée-. dont on eounait. |ini' les antrei |iii]ili- 

calion-i de l'aiileni. la (vluparl lii-s idées, mais oô l'on M-iit liien 

«jne l'on a airaire à nn |ni'fi-isenr. non à un iVrixain, où la parole 

à une couleur, une spniilanéilé. nit'-tnc une eertaine fantaisie que 

l'on ne se permet pa> d'Iialiitiide en écrivant. Il >ciiddc même, 

tint l'impression de la lerinre est nette, ipie l'on lasse coonais- 

MBce avec les auditeurs, ipn- l'on devine ee qui les attire et 

n t|ui les relient anjuV-s du maître, ee <pi'ils vont elirivlier 

<^'>«z lui; on son)ii;onne. aux explieation> ipi'il donne, à la Utom 

••ont il insiste, ee <|iie savent on ee i|n'i^ri(.ret.i s.-s élèves. 

Tout d'ubord le leeleur sera frapp.' de la liherlé d'.ilh.iv il.' erl 
enseignement, eoupé par des digressions, des rélK'\ioii> pliilosn- 
l>l<it( .us. des ind;eati<His.lrleetnr.'>àl'airr. passant.. pi<.i.]ii.' l'unité 
'i' lu pensée suit visiUl.-. .l'un Mijel à l'autiv. . l'tl.-uiant reiui-.-i, 
■PI>r«rondiss.-.nl eelnidà .laus l.>'|.<-tits .létaiU: i,..ns n.- . .ninai- 
»"s iTuère .ette lil..-i t.-l.. : >aMS .|.mt<-. nn.- I.d .-ne.nv ré.-.nt.> lu 

^^tw ans prnlessfnrs .|.-s l niveisilés iV ..i-e-: ell.' n'.sr pa- 

«c.rcenlréf dan, les m.eurs; l.s mis. -n rai-n peut-être .lune 
*w^e-si\c modestie, n'ont pas .i-é la preiiilre; d'antres .mt .lisant 
In yeu\ un linl trop préei-. ils ii>l> nt tr<>|> l.i l.ui^^ii.'ur Ai\ l'Ii.'igiiii 

f-II.Je, Srii-Hro ni'Hl<.m.. ■■ -, 1 \\\t luill.l ..,..■.. i; 



i86 PKËMiÊUË PARTIE. 

quMl leur faul parcourir pour s^en écarter, et prendre le teni 
de faire admirer à leurs auditeurs les sites qu^ils rencontre 
C'est là une satisfaction dont M. Klein ne se prive pas, et, i 
vérité, il excelle à exciter Tadmiration. Au reste, s'il entend b 
que ses élèves emportent de son cours un certain nombre de C 
précis, choisis parmi ceux qui sont les plus importants, il enU 
surtout les faire rélléchir, exciter leur initiative, leur inspire 
goût de la recherche personnelle ; je m'imagine que, au besoii 
ne lui déplairait pas de les scandaliser un peu, il s'efforce, 
moins, de leur inspirer le mépris de la science purement livresq 
de ce qu'il appelle le savoir scolaslique, des choses que I 
a apprises et que Ton n'a point faites siennes, que l'on ré( 
parce qu'on les a apprises, sans les avoir soumises à une crili 
personnelle. 

L'idée maîtresse qui domine tout le cours est la dislincl 
entre ce que M. Klein appelle les MaUiémaliques de précisio 
les Mat héjnatiq lies d'approximation. {Pràcisions- undAppn 
mationsniathematik,) C'est une distinction sur' laquelle il 
revenu à plusieurs reprises, et qu'il a posée avec une entière cl 
dans ses Lectures de Chicago. A cette distinction se rattache 
vérité philosophique assez {grosse de conséquences. Cette ve 
philosophique, pour ceux qui y ont réfléchi, fait Teffet d' 
naïveté : personne, sans doute, noscrait la contester, mais I 
peu de gens la regardent en face; plus rares encore sont ceux 
prennent le parti de s'y résigner franciiement : elle consiste e 
que toutes nos mesures sont approchées; aucune mesure i 
exacte; Tobscrvalion ne nous apprend jamais autre chose 
ceci : telle (piantité est comprise entre telles ou telles limites. C 
sans doute, n'est pas nouveau. On ne commence guère à exp 
une science d'ohservation, sans le dire; puis, niailre et élève 
hâtent de l'oublitT. Je crois bien que les auditeurs de M. Klei 
l'oublieront pas, et (ju'ils resteront, d'ici longtemps, troublé 
celle vérité si simple; jamais elle n*a été mise en lunnèrc ; 
plus de lorce et de irancliise, ni répétée sous des formes | 
diverses, ni mieux poursuivie dans ses consé(juences. Parce 
nous connaissons (et dans des ca^ lies rares) six ou sept décini 
d un nombre, nous ne pouvons rien aHirmer sur celles qui • 
vent. Nous ne pouvons pas aKirnier que la niasse d'un corps 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 187 

coBsUnte, mais seulement que celle masse, si elle varie, varie en ire 
des limites très rapprochées. La loi de la chute des corps, la loi de 
rtttractioD universelle sont l'objet d'une critique serrée, qui met 
en évidence le degré d'approximation avec lequel on peut dire 
qoe ces lois sont vraies, et l'auteur prend quelque plaisir à 
ncoDter comment, d'après M. Hall, les irrégularités du mouve- 
ment de Mercure seraient mieux représentées en remplaçant la loi 
de Newton par la formule. 

kmm' 



/= 



/•t,ooofoei67« 



Ailleurs, il insistera sur l'impossibilité de définir d'une façon 
précise (disons même de penser) j au point de vue mathématique, 
les quantités qui entrent dans les formules, par exemple, en res- 
tant dans le domaine de l'attraction, le potentiel de la Terre. Si 
je l'ai bien compris, il ne recule pas devant l'idée que cette impos- 
sibilité est radicale, et s'étend à tout ce que nous prétendons 
mesurer. Et en eflel, la quantité même à mesurer s'évanouit quand 
on vent la préciser. Qu'est-ce que le volume d'un corps, son 
poids? Où ce corps est-il terminé? Qu'est-ce qui est lui, et qu'est-ce 
qui n'est pas lui? Assurément, nous ne pouvons jamais répondre 
complètement à ces questions; mais y a-t-il une réponse? D'une 
P^rt, il est certain que notre connaissance du monde extérieur est 
^ limitée et sera toujours très limitée, que notre représentation 
mathématique de ce monde extérieur sera toujours une représen- 
^tion approximative; d'autre part, il n'est pas sûr, lors même que 
Ion fait abstraction de Timperfeclion de nos organes et de la fai- 
Messe de notre intelligence, qu'une représentation mathématique 
oe l'Univers soit possible en soi. Pour Leibniz (*), la contin^ 
j^eAce résulta il de l'impossibilité de connaître Tinfinité des chiffres 
<pi constituent la représentation décimale des nombres qui corres- 
pondent aux choses ; mais est-il vrai qu'il y ait des nombres exacts 
attachés aux choses? Nous n'en savons rien, et nous n'en saurons 
jtmaisrien. 
On pourra toujours soutenir que la prétendue connaissance 



\ ) Voir CouTURAT, La logique de Leibniz d'après des documents inédits. 
P- su et /wwiin. Paris, 1901. 




s 



i88 PREMIÈRE PARTIE. 

mathémalique de l'Univers ne sera jamais qu'une sorte de sta. K.m- 
slique, comportant des lois numériques approchées^ relatives ^ 
des moyennes, et dont la précision absolue est impossible. Lil:^ r< 
à d autres, au contraire, de regarder notre science comme «jl ^r&e 
sorte de science asjmptotique, susceptible d'être toujours pous^^ ^^ 
plus loin, de puiser dans notre connaissance de cinq ou six cbiffi 
pour quelques nombres, une pleine confiance dans la détermi 
tion de l'infinité des chifi'res qui suivent, et de triompher cha 
fois qu'on fixera une décimale de plus. 

C'est aff'aire de goût ou de croyance, mais V agnosticisme ^^sl 
ici fort raisonnable. Tout ce qu'une induction valable, tirée ^" 

succès de la Science, permet de croire, c'est qu'il est possm V-->'^ 
d'aller plus loin que le point où nous sommes parvenus. 

Non seulement nous ne mesurons les choses qu'imparfailem^?^ ^c^^% 
mais même, d'après M. Klein, nous ne pouvons imaginer 
objets mêmes de la Géométrie, tels qu'ils sont définis rationne ■ ^ ^' 
ment. Chacun sait fort bien que la ligne qu'il dessine n'est gs:^^^ 
une ligne, qu'elle a une certaine épaisseur, mais quelque épaiss^^ ^^ 
subsitcrait même dans la ligne que nous imaginons. Nous t 
chions tout à Theure à la Métaphysique, nous voici dans la Psjc 
logie. Le logicien peut bien répondre que cette épaisseur, 
détcnninée, n'importe pas, puisqu'on n'y pense pas, et il est \r' 
que rintuilion et la pure raison se pénètrent assez pour qu'il ^ 
parfois bien difficile de les distinguer : le fait signalé par M. Kl 
n'en a pus moins son importance; au surplus, personne, s 
doute, ne lui prêtera cette opiuion qu'il soit impossible, en 
tant dans la pure Géométrie, de raisonner avec une enti< 
rigueur: c'est sur notre impuissance à imaginer les choses qi 
insiste. 

TiKite cette philosophie n'est pas sans conséquences au po 
de \ue des Mathémutiques. D'après M. Klein, celles-ci sont s 
reptibles île deux directions bien distinctes : dans Tune on po 
>ni\ra logiquement el, sans y rien faire intervenir autre chose q 
ilos lraii>lormalions lo«:ii|ues, les conséquences des prémiss 
On s't'llorcora d'épuiser ces conséquences. Dans l'autre on s'arr 
lora à un rorlain ilet^ré d'aj>proxinialion. Il ne sera point questi 
ilo la Munmo d'une série, mais de la somme d'un certain nomb 
lie -«•- iitiiii«>i. l no courbe ne sera pas une lii;ne proprement dit 



o- 






COMPTES UENDUS KT ANALYSES. 189 

mais une bande très élroite, une surface sera 1res mince. Une 
tangente ne sera pas la limite d^me sécante; elle sera, dans une 
petite mesure, indéterminée; elle joindradeux points, voisins sans 
doute, mais éloignés relativement à Tépaisseur de la bande. Et la 
petite indétermination qui subsiste dans sa direction entraînera 
à son tour, pour la courbe qui représenterait la variation de son 
coefficient angulaire, une petite é))aisseur. 

Une courbe de celte nature ne définira pas j/* comme une fonc- 
tion de X au sens des Mathémalhiques exactes, mais bien une 
bande de fonctions dont les valeurs restent comprises entre des 
limites très rapprochées, etc. Les Mathématiques appliquées 
n'ont affaire qu'à des éléments de cette nature. 

Les deux branches des Mathématiques, tout en étant essen- 
tiellement distinctes, s'aident mutuellement. D'une part, les Mathé* 
matiques exactes, au moins jusqu'ici, sont le fondement des 
mathématiques approchées : c'est elles qui fournissent à celles-ci 
les formules et les raisonnements dont elles ont besoin. C'est à 
elles qu'appartient la solution de ce problème difficile : évaluer, 
u après les limites de l'incertitude des données, les limites de 
inexactitude des conséquences. Sans doute, il y a des cas où 
celle recherche ne paraît pas bien utile : M. Klein observe, d'une 
•açon assez amusante, que, si l'on se place au point de vue de l'art 
<ln dessin, il ne faut pas énoncer le théorème sur Xhexagramme 
cynique comme on le fait d'habitude; il faut dire : Lorsque six 
points sont à peu près situés sur une conique, les trois points qui 
ï^sulient de la construction de Pascal, effectuée avec l'exactitude 
^oc comportent nos instruments de dessin, sont à peu près en 
ligne droite : on ne s'avisera probablement pas de rechercher la 
"mile de cette incertitude, quoique la question soit sans doute 
incomparablement plus facile que les problèmes analogues (mais 
•otreraent intéressants) qui se posent en Physique ou en Aslro- 
tiomie. En supposant que l'incertitude sur la loi de l'attraction 
tïniverselle soit de l'ordre de grandeur qui semble résulter de la 
^tique des observations, pendant combien de siècles les consé- 
t|nences qu'on en tire auront-elles quelque valeur? Voilà de beaux 
Problèmes, qu'on n'est pas près de résoudre. En attendant, l'étude 
^«•formules approchées, que l'on déduit des formules exactes et 
1^1 peuvent être substituées à celles-ci dans les calculs pratiques. 



i()o PREMIÈRE PARTIE. 

avec un ^rand avantage pour la rapidité, ne doit pas être négligée: 
outre leur utilité, ces formules peuvent avoir leur beauté propre: 
entre autres exemples tirés de la Géodésie, M. Klein signale U 
formule donnée par Legendre pour la substitution d'un triangle 
plan à un petit triangle sphérique tracé sur une sphère de grand 
rayon. 

Si le développement des Mathématiques exactes importe aoi- 
Mathématiques approchées et appliquées, celles-ci n'importent 
pas moins à celles-là. Les figures et les modèles donnent unappvu 
solide à la recherche scientifique pure, et permettent de Torienter; 
M. Klein insiste avec grande force sur le parti qu'on doit en tirer 
dans la recherche et dans renseignement : les dernières leçons de 
son cours sont consacrées à la description d'une suite de modèles, 
tirés de la collection de M. Brill. 

Ce n^est pas seulement ces modèles savants qu'il faut étudier, 
il faut regarder autour de soi en géomètre et interpréter ses obs^i^ 
valions; c'est la meilleure façon de nous débarrasser du savoir 
scolastique; certaines voûlcs architecturales, un vulgaire para- 
pluie, fournissent à M. Klein Toccasion de montrer des surfaces 
quimetlenl en évidence rincxactiludc de la proposition 



Ox Oy Oy ().r 

en dehors des conditions précises que Ton sait. D'un autre côt ^j 
il esl certain que la plupart des idées qui se sont affinées et pr~^' 
cisées dans les Mathématiques exactes ont leur origine dans u 
intuition plus ou moins grossière : tell(.' esl, par exemple, la noli 
de continuité, que M. Iviein rattache d'une façon ingénieuse à ^^ 
propriété qu'ont les images visuelles de s'absorber et de se co *^' 
linucr niuluellcnicut, si bien que nous voyons un trait continu ** 
où il n^y a qu'une suite de petites taches noires, el que le cinéir» ^ 
tographe nous donne l'illusion d'un mou vement continu. L'exemj::^ *' 
du cinématographe lui donne d'ailleurs une belle occasion de je*- ^ 
le trouble dans l'âme de ses auditeurs : la continuité des phérm o 
mènes ne serait-elle, elle aussi, qu'une apparence? Après cela^ ^ 
n'est assurément pas la peine d'insister sur la façon dont il accc^ "ï*^ 
mode la doctrine de ceux qui veulent que l'Univers puisse lt tr 
représenté au mojen de fonctions analytiques, de ces foucli ^zyti 



COMPTES RENDUS KT ANALYSES. L91 

qui soDt entièrement déterminées par Tun de leurs éléments, paor 
leors valeurs dans un intervalle si petit qu'on voudra, voire mène 
par une suite dénombrable de nombres. 

Jaî essayé, tant bien que mal, de caractériser Tesprit philoso- 
pbiquequi domine le cours de M. Klein : il me reste à en résumer 
rapidement le contenu mathématique et à dégager Tordre des 
sujets traités. 

Les leçons sont divisées en deux parties distinctes : les pre- 
mières se rapportent surtout à la théorie des fonctions de variables 
réelles et à leur représentation dans un système de coordonnées 
rectangulaires ; les antres ont un caractère nettement géométrique. 
Après avoir exposé, d'une part, les propositions élémentaires 
concernant les ensembles de points, la notion précise d'une 
(onction définie dans un ensemble, la notion précise de conti- 
nnilé, des quatre dérivées ; d'autre part, le caractère des courbes 
empiriques, ce que Ton peut dire de leur direction ou de leur 
courbure, il insiste avec grand détail sur le célèbre exemple, dû à 
Weierstrass, d'une fonction continue n'admettant nulle part de 
dérivée. Pour donner une première idée de la fonction 



Il = « 



y = \ 6* co5«'»7car (6 > o, a entier positif impair), 



11 = 



il dessine avec grand soin les trois premières courbes approchées 

^0= COSTTX, 

r . 

I - I - 

^1= cosrr H — rosoTTj: -h jCOsa'STrr, 

«lion voit ainsi comment, en passant de l'une à l'autre, le trait 
M complique et les oscillations se multiplient. La démonstration 
"*l uniformité de la convergence et, par suite, de la continuité de 
** fonction est en quelque sorte présentée d'une façon concrète, 
«n montrant que la courbe finale 



n = m 

cosa^rj: 

n=0 



7=2*" 



192 PUEMIÈUE PARTIE. 

pourrait être enfermée dans une bande avoisinant la m'^*"* coim ^^ 
approchée 



n — m 



^;„= 2 ^"cosa^iiar, 



n = 



bande doni IVpaisseur serait si petite qu'on ne pourrait la discer 
ner avec nos plus puissants microscopes. II distingue ensuite les 

*i IF I I 

nœuds de la courbe finale, pour lesquels x -= -^ — t{S entier), 

et qui se Irouvent tous siliiés sur la {m — iy«"»e courbe approchée, 
à cause de la supposition, faite par Weierslrass, que a est un entier 
impair; les abscisses des nœuds forment un ensemble dense par- 
tout. Sur Taxe des x il distingue de même les i^enires, c'est-à-dire 

les points dont Tabscisse est de la forme x = - - {g entier) et pour 
lesquels on a 

le point dont l'abscisse est de la forme -^ sera désigné dans ce 

qui suit comme un m**™'' venire. 

Soit maintenant Xq une abscisse quelconque; considérons le 

^^iemr yenlre dont Tabscisse -'" se rapproche le plus possible de x^^^ 
en sorte que Ton ait 

I 1 



2 






soient x' , x" les abscisses des m*'""'* ventres qui comprennent ce 
dernier venire, en sorte (jue Ton ail, )>()ur la courbe finale. 



V - » 



/ - y'm ,--• — n^'«A"'^/>\ 



V X 



v"--/;,, , -(- D^-zv^'V ^*', 



V ~n 



en dé.sl^Mianl par ^>'^„_,, }']„ , les ordonnros des points de la 
{m — I )""'»' coui'he approchée donl les abscisses sont x\ x". Si 
Ton ap})clle y^ rordonnéc du point de la courbe finale donl 



COMPTES liBNDUS BT ANALYSES. 198 

i'abscîsse est a:©, et si l'on pt>se, pour abréger, Xm^i = a'^Xo — a»,, 
on aura 

n = m — l 

y — ^0 _ V' .cosa^fzx' — cosa"TzxQ 
x' — J^o ~ ^ x' — ^0 

n = 
v = «» 

( __ , )a«^. 6'«-^v '/'±' ; 

X — Xq 

v = o 

le quotient des deux différences y' — ^o? ^' — ^0 ^^l ainsi séparé 
en deux parties, qui se rapportent, Tune à la {m — i^'^^e courbe 
approchée, l'autre à la courbe résiduelle, dont les ordonnées sont 
les différences entre les ordonnées de la courbe finale et de la 
('W — iy«"e courbe approchée. En remplaçant, dans la première 
partie, la différence de cosinus par un produit de sinus, on recon- 
^^it sans peine que cette première partie oscille entre les deux 
quantités 

n =m — 1 



TT "V a» 6" ; 



n = 



1**^nt à la seconde parue, elle est le produit de ( — \Yma^b^ par 
'• somme de la série à termes positifs 



V=ao 

I -h co?'a'*r,x,„^\ 
v=o 



2 



^^^•^t le premier terme est supérieur ou égal à -; on peut donc 

•^' "" •^*» = (- I )^.na"^ b"^ r/ ( l -4- '' "" 



x' — ^0 \3 ab ^ y 



et 


de 


même 


x"- 





= (-I)' 



3t...-Hl 



«"'*"'^''(|-^;ïfe) 



^n n'a plus maintenant qu'à s'arranger pour que les parties qui 
proviennent de la (m — ly^^e courbe approchée l'emportent sur 
tes parties qui proviennent de la courbe résiduelle : en supposant 



194 PREMIËUË PARTIE. 

al)> \ -\- -Tz, on pourra écrire 

X Xq 

^-^^" =(-ir--^'«"'6,«/'™. 

ST Xy 

P'm ^^ Pm <5l2int des nombres positifs, supérieurs au nombre positif 

•À ~ 

— ^-^ ^■^-^^-^"— • 

3 ab — \ 

En faisant croître m indéfiniment, l'impossibilité de rexislence 
d'une dérivée pour x =^ Xq est évidente. 

Tout cela, le lecteur ne Tignore pas, n'est autre chose que la 
démonstration de Weierslrass, et l'on peut estimer qu'il était 
inutile de reproduire ici cette démonstration. J'ai tenu cependant 
ù résumer la façon dont M. Klein l'a présentée, afin de montrer 
comment le même savant, qui expose volontiers une théorie d'une 
façon très large, sait entrer dans le détail lorsqu'il le veut, et faire 
pénétrer ses auditeurs dans le fond d'une démonstration, en en 
éclairant soigneusement toutes les parties : encore ai-je dû, dans 
ce résumé, supprimer bien des explications dont aucune n'était 
superflue : il y a là un module d'exposition orale dont je n'ai pu 
donner, dans ce qui précrde, qu'une réduction bien imparfaite; il 
V a, en même temps, une leron d'un autre ordre; il semble que le 
maître dise à ses auditeurs : Quand vous étudiez une démonstration, 
ne vous conteniez pas de ce degré d'intelligence où vous êtes forcés 
de donner votre assentiment à chaque partie de la démonstration 
et, par suite, à la conclusion ; il faut que vous vous rendiez compte 
du (( pour(]tioi )> de chaque partie, de la place (|u'elle tient dans le 
tout; Il ne suffît pas de vous assurer de la solidité de chaque 
anneau; il vous faut le connaître en lui-même, savoir comment il 
se rallache aux autres, comuienl la chaîne est faite de ces anneaux. 
Quatre ou cin(| fois, dans la suite de son cours, M. Klein s'est 
ainsi arrêté sur des points particuliers en les étudiant à fond. Il 
est clair (ju'il n'attache pas moins d'importance aux éludes de ce 
genre (ju'aux idées et aux théories générales qu'il indique à grands 
traits; en même temps qu'il fournit à ses auditeurs des sujets de 
réflexion cl de travail, il leur montre comment il faul travailler. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 195 

SaDS parler du travail de recherche, il est clair que la scieuce 
acquise ainsi, dans les livres ou les Mémoires, n'est point une 
science « livresque »; elle appartient vraiment à celui qui Ta 
acquise. 

Je reviens, en m'excusant de cette longue digression, à la suite 
des idées développées par M. Klein. 

Après avoir donné, avec le détail qu'on vient de dire, l'exemple 
d^une fonclion continue qui n'admet point de dérivée, l'auteur 
introduit, d'après Jacobi, l'expression de fonclion raisonnable 
(yernûnftige Function) pour les fonctions continues, n'admet- 
UDt> dans un intervalle fini, qu'un nombre fini de maxima et de 
minima, admettant enfin au moins des dérivées première et se- 
conde. Le problème de la représentation approchée soit d'une 
coarbe empirique par une fonction « raisonnable », soit d'une 
(onctioD a raisonnable » par une expression analytique simple, lui 
donne l'occasion de traiter de Tinlerpolation soit au mojen de 
polynômes, soit par des fonctions trigonométriques; il insiste sur 
la considération du reste. 

La série de Taylor peut être regardée comme un cas particulier 
lies formules d'interpolation, et c'est à son occasion que M. Klein 
purle des fonctions analytiques et qu'il en indique les caractères 
^entiels. L'interpolation trigonométrique lui donne une ouver- 
ture pour parler de la série de Fourier : il se contente d'indiquer 
le théorème de Lejeune Dirichlel, mais il insiste sur la propriété 
<|Qale développement limité de représenter le mieux possible une 
fonction donnée, au sens de la théorie des moindres carrés, et sur 
^ exemples particuliers qui lui permettent d'introduire d'une 
fiçon claire et précise la notion de convergence non uniforme : il 
«onne aussi la théorie de l'analyseur de Coradi. Les théories qu'il 
Vient de développer lui fournissent une occasion naturelle de 
l^ler des recherches de TchebychelT. 
' si indiqué plus haut l'étude de la relation 



dx dy dy dx ' 



je n y reviens pas, quoiqu'elle soit faite d'une façon détaillée. 
*^ question de la représentation approchée d'une fonction de 
^ux variables, aumoyen de fonctions sphériques, est traitée comme 



190 PHKMIÈUB PAKTIK. 

une généralisation de la représentation trigonométrique, et dans \e 
même sens : c'est-à-dire que M. Klein ne développe pas les pro- 
positions bien connues de la théorie des séries de fonctions sphé- 
riques : il s'arrête, au contraire, avec complaisance sur les fonctions 
des quatre premiers degrés, de manière à bien en faire ressortir 
les caractères essentiels et à faire saisir ce que les géomètres 
anglais appellent fonctions sphériques zonales, vectorielles ou 
lessérales. Il signale avec quelques détails la célèbre application 
numérique que Gauss a faite des fonctions sphériques à la théorie 
du Magnétisme terrestre. 

Dans la seconde Partie, Pétude des figures que Ton déduit de 
deux, trois ou quatre cercles en soumettant ces cercles à une suite 
d'inversions par rapport à l'un ou à Tautre d*entre eux et en pour- 
suivant indéfiniment la composition des inversions, occupe une 
place assez considérable et donne lieu à une suite de remarques 
très instructives : on sait que les études de ce genre touchent à des 
domaines très divers; M. Klein ne manque pas de rappeler, en 
passant, le rôle qu'elles tiennent dans la théorie de Télectricité. Le 
cas de trois cercles qui ne se coupent pas lui fournit, par la consi- 
dération despoints limites, un bel exemple d'un ensemble de points 
qui est parfaitet qui n'est dense nulle part. Le cas de trois cercles doni 
chacun est tangent au précédent et au suivant se rattache, comme 
on sait, à la théorie des fonctions modulaires. Le cas de quatre 
cercles dont chacun est langent à celui qui le précède et qui le 
suit lui donne, dans Tensemble des points de contact des cercles 
successifs et des points d'accumulation de cet ensemble, un exemple 
d'une courbe non analytique admettant une tangente en chaque 
point (*^, et séparant le plan en deux parties, l'une intérieure, 
Tiiutre extérieure. On voit combien la matière, qui appartient 
d'ailleurs, si Ton veut, à la théorie des fonctions automorphes. 
est riche. M. Klein a traité avec détail les points particu- 
liers dont il s'est occupé, et on lira avec un vif intérêt les pages 
consacrées à ce beau sujet, où il a fait ressortir, d'une part, le 
rôle que se trouvent jouer en lîoomêtrie des spéculations qui sem- 
blaient, par la fa^^iui dont olle> se sont présentées, ré>ervées à 



V ■ ' y M dil. par erreur, le CiMUr.nre. en f.usanl allusion à celle cr-urbe. lorsque 
j'ui rendu vompie. dans le Hulietir». des Ledurts lie Chiciij:o, l. W, p. aay. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 197 

rAoaljse, et, d'autre part, Taide que la Géométrie peut apporter 
à ces spéculations. 

Naturellement nous sommes ici en plein dans les Mathéma- 
tiques de précision; les exemples mêmes qu'a signalés M. Klein 
montrent assez la nécessité de se défier des intuitions naïves et de 
soumettre les concepts de la Géométrie, celui de courbe, en parti- 
culier, à la critique d'une logique affinée. L'auteur développe la 
notion de continuum, au sens de Weierstrass : il traite de la 
courbe de M. Peano, qui remplit tout un carré. Cette courbe, qui 
est, en quelque sorte, un fouillis de points doubles, montre de la 
façon la plus claire la nécessité d'imposer aux fonctions cp(^), ^(^) 
une autre condition que celle de la continuité pour pouvoir dire 
que l'ensemble des points dont les coordonnés sont cp(^), ^{t) 
constitue quelque chose qui ressemble à l'idée vulgaire que l'on 
se fait d'une courbe. On doit à M. Jordan d'avoir apporté une 
l'éponse d'une nature positive à la question ainsi posée en mon- 
trant qu'une courbe fermée sans point double sépare le plan en 
deux régions, l'une intérieure, l'autre extérieure à la courbe : Une 
telle courbe est définie comme l'ensemble des points dont les 
coordonnées x^ y s'expriment dans Tintervalle (a, b) par les 
fonctions ç(^), ^(^) continues dans cet intervalle, telles que 
''on ail 

ç(a) = o(6), ^{a) = ^^b), 
et telles enfin que les équations 

^^ soient vérifiées par aucun autre système de valeurs dis- 
^*ticies/, /', appartenant à l'intervalle (a, 6), que le système (a, b), 
"I* Klein donne aux courbes ainsi définies le nom de courbes de 
^ow^dan, La courbe des points de contact, dont il a été question 
plus haut dans la figure qui a pour origine quatre cercles dont 
chacun touche le précédent et le suivant, est une courbe de 
J^ordan. M. Klein expose ensuite comment la notion de courbe se 
particularise et distingue successivement les courbes régulières, 
c|ui correspondent à peu près aux fonctions raisonnables définies 
plus haut, les courbes analytiques, algébriques, rationnelles. Signa- 
lons la définition géométrique des courbes algébriques, comme 



198 PREMIÈRE PARTIE. 

pouvant être engendrées par un mécanisme formé ( 
articulées. 

 ces considérations purement théoriques s'opposent e 
sorte plusieurs leçons consacrées à la Géodésie et au dess 
trique. Le problème de Pothenot et, plus particulièri 
degré de précision que comporte sa solution, les lign< 
siques, la forme du géoïde sont l'objet de remarques 
ressantes. L'auteur rattache à quelques considérations in 
sur les conclusions que Ton peut tirer de la forme d*ui 
empirique sur la courbe idéale qu'on cherche à lui sul 
développement de ses belles recherches sur le nombre 
d'inflexion réels et de tangentes doubles réelles dans u 
algébrique générale d'ordre /i. Si léger que soit le lien qii 
les deux sujets, cette exposition détaillée, où Ton voi 
qu'un géomètre habile peut tirer de l'intuition et de la 
continuité sera certainement lue avec grand profit. Enfin 
termine ses leçons en parlant de l'appui que Ton tr< 
le dessins et les modèles pour les recherches théori 
description de quelques modèles est l'occasion d'une 
digression sur la surface du troisième degré, par laquelle 
ses lerons. 



CLAIRIN (Jean). — Sur les transformations de Baecklund. 
(loclorat présenléo à la Faculté des Sciences de Paris.) ln-4"' d 
Paris, Gaulhier-Villars, 1902. 

LVtudc de la célùbre transformation de l^place, re 
équations linéaires du second ordre aux dérivées partie 
le point de départ d'un grand nombre de recherches 
auteurs se sont proposé de rattacher Tune à l'autre, par 
formations plus ou moins simples, Tinlégration de d< 
lions aux dérivées partielles du second ordre. Parmi I 
récents de celte nature il faut citer ceux dus à M. Baeck 

Le Travail de M. Clairin a pour objet de systémaliseï 
théorie ces transformations, l/auteur commence par 



COMPTES KENDUS ET ANALYSES. 199 

les résultais obtenus par M. Baecklund, qui peuvent s'énoncer 
aiosi : 

Étant donnés deux systèmes d^éléments (x, y^ z^ p^q), 
{J^y^ t ^\p\ q^)^ entre lesquels on établit quatre relations dis- 
tinctes ©1=0 (« = i,2, 3,4)î quelles surfaces faut-il faire 
décrire à l'élément (Xjy, z,p^q) pour quUl lui corresponde 
une autre surface décrite par Vêlement {x^y^ z'^ />', y')? 

Eq général, si les relations données cp/=:o sont quelconques, 
ces surfaces sont données par les intégrales communes à deux équa- 
tions aux dérivées partielles du troisième ordre; mais, pour cer- 
taines formes des fonctions '^0 ce système de deux équations est 
remplacé par une équation unique du second ordre, de Monge- 
Ampère. 

M. Clairin complète le résultat précédent en établissant qu'une 
équation de Monge-Ampère ne provient pas d'une transformation 
telle que la précédente. 

Si les surfaces décrites par l'élément {x\y^z\p^,q') sont 

aussi les intégrales d'une équation du second ordre, les relations 

Çi=o établissent, entre deux équations du second ordre, une 

liaison telle que l'intégration de Tune d'elles entraîne l'intégration 

deTautre. L'auteur est ainsi conduite considérer trois classes de 

transformations (B|), (Ba), (B3) suivant que, à toute intégrale de 

lune déciles, correspondent une seule intégrale de l'autre équation 

OQ une infinité d'intégrales. Après avoir donné des exemples des 

trois catégories, il approfondit la liaison entre les caractéristiques 

des deux équations. 

Les transformations (B|) sont celles qui se rapprochent le plus 
delà transformation de Laplace, et leur étude offrait un intérêt 
parlicnlier. En ce qui les concerne, M. Clairin arrive à un résul- 
^^ très net. Si, d'une équation (e), possédant un système de 
caraciéristiquesdu premier ordre, on peut déduire, par une trans- 
formation (B|) correspondant à ce système de caractéristiques, 
^ne équation (c'), toutes les équations que Ton peut déduire 
"^ («) de la même façon se ramènent à [e') par des transformations 
^c contact. Si l'on ne regarde pas comme distinctes deux équa- 
"ons qui ^^ ramènent l'une à l'autre par une transformation de 



I 



200 PREMIÈRE PARTIE. 

conlact, on voit que, à tout système de caractéristiques du | 
mier ordre, correspond au plus une transformation (B|), et 
seules équations pouvant admettre deux transformations (B|) 
tinctes sont nécessairement des équations de Monge-Âmpère. 

La recherche de ces transformations, pour une équation 
Monge-Ampère donnée, est ramenée à la déterminatioo 
quatre intégrales d'une équation linéaire du premier ordre, I 
par deux relations d'une forme assez compliquée. M. Clairin poi 
les calculs jusqu'au bout dans le cas particulier où l'un des 
tèmes de caractéristiques admet une combinaison intégrable 
premier ordre qui se retrouve dans l'équation transformée 
déduit enfin comme application toutes les équations de Moi 
Ampère, pour lesquelles les équations difTérentielles de l'un 
systèmes de caractéristiques admettent une combinaison intégr 
du premier ordre et une du second ordre. 

Il termine cet intéressant travail par l'étude d'une transfor 
tion particulière (B3) de M. Baecklund qui a figuré dans ce 1 
letin (t. XXIV, 1900, p. 284). Un système de deux élément 
premier ordre {x^ y^ 5,/>, </), (^r', y\ z'j /?', q^) admet quatre ii 
riants relativement au groupe des mouvements dans l'espace 
égalant ces invariants à des constantes, on obtient les équat 
de la transformation qui s'applique à des surfaces parallèles 
des surfaces à courbure totale constante, étudiée par M. Darb< 
M. Clairin montre qu'il existe une transformation analogue ( 
la Géométrie non euclidienne. Il emploie pour cela une métJ 
analogue à celle de M. Darboux et en profite pour rappeler, ( 
min faisant, la manière élégante dont ce géomètre a démontrt 
théorèmes trouvés par M. Baecklund. E. E. 



MÉLANGES. aoi 



MÉLANGES. 



TitSES DE SCIENCES MATHfMATIQUES SOUTENUES DEVANT LA FACULTÉ 
BC8 SCIENCES DE PARIS ET DEVANT LES FACULTÉS DES SCIENCES DES 
DÉPARTEMENTS DANS LE COURANT DU XIX* SIÈCLE. 

Dans le numéro de février de ce Bulletin, page 3o, nous avons 
signalé â nos lecteurs une bibliographie intéressante, établie par 
M. Eslâ^nave, ajantpour titre : Revue décennale des Thèses pré- 
sentées CL la Faculté des Sciences de Paris du i^^ janvier 1891 
au 3i décembre 1900. Ce recueil contient l'indication de 347 Mé- 
moires dont 63 de Sciences mathématiques. 

M. Elstanave a bien voulu établir le relevé de thèses de Sciences 
mathématiques que nous publions ci-dessous et qui comprend 
toutes c^elles qui ont été soutenues devant les Facultés des Sciences 
de Paris et des départements pendant le xix* siècle ('). 

Faculté des Sciences de Paris. 



1811 (9 mars). 

^CBDON (P.-L.-M.). — Le mouvement d'un corps solide, sollicité par 
<k8 forces accélératrices quelconques, et assujetti à tourner autour d'un 
point fixe. 

"^ Théorie du mouvement elliptique des planètes, suivie du principe de 
la gravitation universelle, et de son application à la détermination des 
nasses de quelques planètes. 

1811 (23 novembre). 

WKBCRE DE FouRCY (L.-E.). — Ëquations générales du mouvement des 
oïdes et application de ces équations à la théorie du son. 

~~ Oe l'attraction des sphéroïdes et de la figure des planètes. 

) PoQr les indications bibliographiques de ces Mémoires, nous renvoyons le 
p au Catalogue de Thèses de M. Maire jusqu'en 1890 et à la Revue en 
*®o de M. Estanave pour ceux postérieurs à 1890. 

^^s Sciences mathéni., a* série, t. XXVI. (Juillet 1902.) i4 



uo'i PREMIÈRE PARTIE. 

1811 (3o novembre). 

Petit (A .-T.). — Théorie mathématique de l'action capillaire. 

— La théorie des réfractions atmosphériques. 

1815 (28 juin). 

RoDRiGUES (B.-O.). — De Tattraction des sphéroïdes servant de prélimi- 
naire à celle de la fîgure des planètes. 

— Mouvement de rotation d'un corps de révolution pesant. 

1817 (3o juin). 

Gautier (J.-A.). — Sur quelques points de la théorie de la Lune et des 
planètes. 

— Sur la variation des constantes arbitraires dans le problème du mou- 
vement de translation d'un système de corps pesants, et des planètes en 
particulier. 

18â3 (26 juillet). 

Zatepllisky (P.-A.). — Des inégalités périodiques des mouvements cé- 
lestes. 

— Du mouvement d'un système de corps soumis à leur attraction 
mutuelle. 

18â4 (.2G juillet». 

Verron-Vermer (J.-ll.». — De la distribution de l'électricité à la sur- 
face des conducteurs. 

— Figures des planèle>. 

18:î;) I -il mai -. 

l»oiMVKo\v>EY 'V.-J.». — Sur le mouvement de ri»lalioii. dans un milieu 
ri<i^i.iiit. «l'un s\^iènie de plans il'une épaisseur constante et d'un C(»ntt>iir 
ilrliTMimc, autour d'un a\e incliné, par rapport à l'horizon. — Oélermi- 
natioii du ra\on vecteur «lanT» le niouxenienl elliptique de< planète^. 

— ^i■»pa^ali»•n »le la chaleur ilan< rintèrieui Jc^ corp< soliiles. 



MÉLANGES. 2o3 

18 28 juin). 

Qu^miET (J.-J.). — Traité analytique de l'attraction des sphéroïdes ellip- 
tiqu^j» homogènes. 

— .^L.stronomie nautique. La détermination de la position d'un observa- 
teur & la mer. 

1829 (17 février). 

i^OT (A. -A.). — Mémoire sur le mouvement d'un corps rigide sou- 
tenu psr un plan fixe. 

— De la figure des corps célestes. 

1830(25 août). 

0!;iOT (A.-M.-A.). — Sur la propagation de la chaleur dans l'intérieur 
des corps solides. 

-- l-**attraction des sphéroïdes elliptiques. 

" Sur la figure qui convient à l'équilibre d'une masse (luide animée 
il'oD mouvement de rotation, dans le seul sens de l'homogénéité. 

1831 (i3 juillet). 

GviBERT (A.-P.-M.). — Propriétés générales de l'équilibre d'un système 
de corps. Propriétés générales du mouvement d'un système de corps. 

— Solution, par les séries, du problème de Kepler, et détermination des 
coordonnées d'une planète, en supposant très petites son excentricité et 
f'inciioaison de son orbite. 

1831 (26 août). 

DBSKOSiBfis (E.-L.-G.). — Formules sur le mouvement des fluides élas- 
tiques. 

— Mouvement d'un système de corps soumis à leurs attractions mutuelles 
supposées proportionnelles aux masses et, réciproquement, aux carrés des 
distances. 

1832 (i3 août). 

BiGOiTMDAN (,E.). — Équation de la surface capillaire. 
— Composition intérieure des fluides. 
— * Sur les éléments d'un sphéroïde. 



io4 PREMIÈRE PARTIE. 

1834 (19 février). 

Duhamel (J.-M.-G.)- — Théorie mathématique de la chaleur. 

— De rinflucncc du double mouvement des planètes sur les tempéra- 
turcs de leurs diiïércnts points. 

1834 (8 août). 

Olivikr(T.). — Recherches géométriques sur les centres de courbure des 
épicycloïdcs planes et sphériques, et les développantes sphériques; sur les 
rayons de courbure des courbes et surfaces du second ordre, avec des appli- 
cations aux engrenages. 

— Des éclipses de Soleil. Constructions graphiques. 

1836 (i5 janvier). 

LiovviLLE (J.). — Sur le développement des fonctions ou parties de fonc- 
tions en séries de sinus et de cosinus, dont on fait usage dans un grand 
nombre de questions de Mécanique et de Physique. 

Sur la figure d*une niasse tluide homogène en équilibre et douée d'un 
mouvement de rotation. 

I83(» l 'iG marsk 

Petit vJ--M.-A.-K.K — Calcul de Teflet des machines en mouvement. 
Application du principe des forces \i\es. 

— .Mouvement de la Terre autour de son centre de gravité. 

l«^iT I i .nril k 

Chevkt ^V.-M.-F.». — Attraclîon d'un ellipsoïde homogène. 

— Perturbations ilu mouvement elliptique des comètes. 

IS:»T V» août 

MoiiNS l .-T. ll.~\. . - Sur le mv»u\omfiU «les corps dottanis. 
Sur i.i fi cure ih* I,» Ter^e 



MÉLANGES. 2o5 

1838 (24 décembre). 

Lamoqub (F.-R.-N.). — Sur la distribution de la chaleur dans une couche 
sphérique homogène. 

— Sur les réfractions astronomiques. 

1839 (9 avril). 

Bertrand (J.-L.-F.). — Sur la théorie des phénomènes thermo-méca- 
oiques. 

— Sur la distribution de Féleclricité à la surface des corps. 

— Sur l'attraction des sphéroïdes. 

1839 (24 juin). 

Blavette (G. -A.). — Sur les mouvements vibratoires d'une verge élas- 
tique. 

— Mouvement elliptique des planètes et altération de ce mouvement 
causé par des forces perturbatrices. 

1839 (9. juillet). 

QcBT (J.-A.). — Sur les mouvements oscillatoires des corps flottants. 

— Sur le flux de la mer. 

1839 ('25 septembre). 

Vasnibr (C.-F.). — Attraction et figure des planètes. 

— Théorie des perturbations des mouvements planétaires. 

1840 (3r janvier). 

Foi'RESTET (J.-B.). — Sur la détermination des orbites des comètes. 

— Mouvement de la chaleur dans une sphère et application aux tempé- 
ratures terrestres. 

18i0 (août). 

So7fXBT(M.-L.-J.-H.). — Sur les vibrations longitudinales des verges 
élastiques. 

— Sur le mouvement relatif des étoiles doubles. 



!Eo6 PREMIÈRE PARTIE. 



1840 (2 septembre). 

Vieille (J.-M.-L. ). — Du mouvement de la Lune autour de son centre 
de gravité. 

— De la variation des constantes arbitraires dans les questions de Mé- 
canique. 

1840 (16 septembre). 

BoDRDONNAT-DucLÉsio (P.-M.). ~ Sur la distribution de rélectricîté à la 
surface des corps conducteurs. 

— Règle pour reconnaître, a priori^ si une fonction d'une variable réelle 
ou imaginaire peut se développer en série convergente, ordonnée suivant 
les puissances ascendantes de cette variable. Moyen d*en déduire la condi- 
tion pour que le rayon vecteur de Torbite d'une planète soit développable 
en série convergente suivant les puissances ascendantes de son excentricité. 

1840 (20 novembre). 

BoRGNET (A.-L.-J.). — De l'attraction d'un ellipsoïde homogène sur 
un point matériel, d'après la loi de l'action des molécules entre elles, en 
raison inverse du carré de la distance. 

1840 (4 décembre). 

Blanchet (P. -H.). — Sur la propagation et la polarisation du mouve- 
ment dans un milieu élastique indéfini cristallisé d'une manière quelconque. 

— Sur l'application de la variation des constantes à la recherche des 
équations diiïérenticlles des perturbations planétaires. 

1841 (i5 avril). 

Catalan (E.-C). — Attraction d'un ellipsoïde homogène sur un point 
extérieur ou sur un point intérieur. 

— Sur le mouvement des étoiles doubles. 



1841 (19 avril). 

Dëlaunay (G.-E.). — Distinction des maxima et des minima dans les 
questions qui dépcnrlent de la méthode des variations. 

— Mouvement de la Terre autour de son centre de gravité. 



MÉLANGES. ^07 



lail (ai août). 

Pl'1skux( V.-A.). — Sur rinvariabilité des grands axes des orbites des 
planètes. 

— Sur rintégration des équations du mouvement d'un système de points 
matériels. 

1842 (3i mars). 

Briox (G.-A.). — Sur le mouvement d'un corps solide autour d'un point 
fiie. 

— Mouvement des planètes, en tenant compte des actions réciproques 
des planètes les unes sur les autres. 



i8i2(i3 juillet). 

Ghoquet (C.-A.). — Sur les variations séculaires des éléments des 
planètes. 

— Sur les équations de l'équilibre et des mouvements moléculaires des 
corps solides élastiques. 

1843 (i4 février). 

Gasoheau (G.). — Mouvements relatifs d'un système de corps. 
"^ Sur deux cas particuliers du problème des trois corps. 

1843 (3i juillet). 

*-*CAi>LAiN (J.-C.). — Sur la résistance de l'éther au mouvement des pla- 
nètes. 

' Sur l'attraction des sphéroïdes. 

1843 (8 août). 

»^OL.tiEH (G.). — Sur la figure permanente d'une masse fluide homogène, 

•ttinaée d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe passant par 

^^ centre de gravité, et abandonnée à l'attraction newtonicnne de ses 

P*tics. En particulier, sur les figures elliptiques à 3 axes inégaux ou de 

évolution qui peuvent convenir à l'équilibre de cette masse. 

Sur les réfractions astronomiques. 



'20S 



PKEMIËRE PARTIE. 



1843 (a4 août). 
Bouquet (J.-C). — Sur les variations des intégrales doubles. 

1843 (i6 novembre). 

GiRAULT (G. -F.). — Sur les variations des éléments des orbites des 
planètes. 

— Sur le mouvement de trois corps. 

1841 (19 août). 

Peslix (II.-L.-J.). — Attraction des corps quelconques et en cas parti- 
culier des ellipsoïdes homogènes et hétérogènes, et des sphéroïdes qui 
différent peu de la sphère. Figure des planètes et pesanteur à leur surface. 

— Sur l'intégration des équations différentielles de la D)^amique. 

1814 (1:3 octobre). 

Banet (L.-.V.). — Mouvement de la chaleur dans une sphère homogène. 

— Perturbations dans les mouvements des comètes dues à la résistance 
de Téther. 

184r> (10 décembre). 

ViciiiKn (H. -P.). — K\lension des principales formules de la Dynamique 
à des équations différentielles d'ordre supérieur au second. 

— Théorie de la variation des constantes arbitraires, et indication de ses 
usages pour le caleul (hrs formules générales qui donnent les \ariations 
des éléments dt* rotation dos planètes. 



1845 {'2\ décembre). 

Tarmer (11). -A.). — Solution, par les séries, du problème de Kepler, et 
déterminai ion des coordonnées d'une planète, en supposant très petites 
son excentricité et Tinclinaison du plan de son orbite, expression de Pano- 
malie excentrique, du rayon vecteur et de l'équation du centre, au moyen 
(le séries ordonnées suivant les sinus et les cosinus linéaires des multiples 
erois>ants de l'anomalie moyenne. Terme général des coefficients de ces 
M''rie> exprimé en fonction d'une indéterminée m et de l'excentricité e. Le 
S(deil e>t supposé fixe, et la trajectoire une ellipse rigoureuse. 

— Sur la trajectoire des planètes et des comètes dans un milieu résistant. 



MÉLANGES. 209 



1847 (3 novembre). 

( J.-A.)* — Sur le mouvemenl d'un point matériel attiré par deux 
centres fixes, en raison inverse du carré des distances. 

— Sur la détermination de la figure des corps célestes. 



1848 (i3 mars). 

Roger (E.-L.). — Sur les brachystochrones. 

— Sur un cas particulier du problénve des trois corps. 

1848 n avril). 

Oesboves (A.). — Sur le mouvement d*un point matériel attiré en raison 
inverse du carré des distances par deux centres mobiles suivant une 
certaine loi. 

— Sur les perturbations planétaires. 

1849 (22 mars). 

Phii^ips (E.). — Sur les changements instantanés de vitesse qui ont eu 
lieu dans un système de points matériels. 

— Application de la méthode de la variation des constantes arbitraires 
à la détermination des perturbations des planètes. 

1849 (20 octobre). 

OiEU (T.-D.). — Sur la propagation du son dans un milieu indéfini 
homogèoe dans Tétat d'équilibre. 

— Sur les réfractions astronomiques. 

1849 (24 décembre). 
SoL'FFLET (J.-M.). — Sur les surfaces. 

1851 (P'mai). 

FBO?nrBmA (G.-J.-A.). — Sur une surface de Cauchy. 

— S nr l'attraction des corps en général. 



aïo PREMIÈRE PARTIE. 

1852 (3o mars). 

Alquibr (F.-G.-A.). — Sur TaUractioD. 

— Sur la distribution de réiectricité sur deux sphères conducCx-i 
mises en présence. 

1852 (5 avril). 

TissoT (N.-A.). — Mouvement d'un point matériel pesant sur 
sphère. 

— Sur la détermination des orbites des planètes et des comètes. 

1852 (17 mai). 

BouRGET (E.-M.-J.). — Attraction des paraboloïdes elliptiques. 

— Variations des constantes arbitraires dans les problèmes de la A^ 
nique céleste. 

1852 (2 août). 

Bonnet (P.-O.). — Sur le développement des fonctions en séries ri 
nées suivant les fonctions X» et Y^. 

— Sur la théorie mathématique des cartes géographiques. 

1853 (1 3 juin). 

Lefébure (A.). — Sur le mouvement des sphères sur un plan. 

— Sur le mouvement elliptique des astres. 

1853 (4 juillet). 

Garlin-Soulandre (J.). — Sur les surfaces isothermes et orthogo*^* 

— Sur les mouvements apparents. 

1853 (8 juillet). 

RoDRiGiES DE Passos (J.-A.). — Sur le détail relatif à la découverte 
Newton (attraction). 

— Sur les séries par lesquelles ont résout le problème de Kepler, < 
consiste a trouver l'anomalie vraie ainsi que le rayon vecteur de rorl» 
en fonction de l'anomalie moyenne. 



MÉLANGES. 211 



Ifôi (26 juin). 

Lapon (A. -A.). — Sur rintégration des équations difTérentielles de la 
Mécanique. 

— Sor la théorie du dernier multiplicateur et le problème des trois 
corps. 

1854 (26 juin). 

Painvin (L.-F.). — Études sur les états vibratoires d'une couche solide, 
homogène et d'élasticité constante, comprise entre deux ellipsoïdes homo- 
focaux. 

— Différentes formes des équations difTérentielles dans le problème des 
trois corps. 

1854 (10 juillet). 

SoftiviN (J.). — Mouvement, dans un milieu résistant, d'un point matériel 
attiré par un centre fixe. 

— De la Ggure de l'anneau de Saturne. 

18j4 (7 août). 

Valsox (C.-A.). — Application de la théorie des coordonnées elliptiques 
à la géométrie de l'ellipsoïde. 

1855 (4 juin). 

RÉ8AL (H.-A.). — Sur les équations polaires de Télasticité et leur appli- 
cation à l'équilibre d'une croûte planétaire. 

— Sur les oscillations des fluides qui recouvrent la surface des planètes. 

1855 (2 juillet). 

Sbxtis (J.-E.). — De l'emploi du principe général du travail des forces 
daDS la Mécanique appliquée. 

— Démonstration géométrique de plusieurs théorèmes sur la théorie 
des aarfaces. 

1855 (6 août). 

Simon (C.-M.-E.-T.). — Sur la théorie géométrique de la rotation de la 



l 



212 PREMIËRB PAUTIE. 

1855 (i8 août). 

HoiJEL (G.-J.). — Sur l'intégration des équations différentielles dans 
les problèmes de Mécanique. 

— Application de la méthode de M. Hamilton au calcul des pertarbations 
de Jupiter. 

1855 ('3 décembre). 

BouR (J.-E.-E.). — Mémoire sur le problème des trois corps. 

— Sur l'attraction qu'exercerait une planète, si l'on supposait sa masse 
répartie sur chaque élément de son orbite proportionnellement au temps 
employé à la parcourir. 

1836 (17 mars). 

GuiRAUDET (A.-P.-E.). — Recherches sur le mouvement d'un point libre 
rapporté à des coordonnées curvilignes. 

— Aperçu historique au sujet des problèmes auxquels s'applique le calcul 
des variations, jusqu'aux travaux de Lagrange. 

1856 (18 août). 

Renard (N.). — Courbure des siirfiiccs. 

— Sur un mouveiiiciit des planrlcs dans le cas des perlurhations. 

ISrJG (jto octobre). 

Fav de Riiixo (F.). Théorie cle réliinination. 

— I)(''volop|)crneiil do la fonction ]>orturbatricc et des cordonnces d'une 
planète dans son mouvement olIi|)liquo. 

ISrj" ( 3o mars). 

Haton de la Goupilmère (J.-N.). — Sur une théorie nouvelle de la 

géométrie des masses. 

— Sur le mouvement d'un corps sollicité par un centre fixe. 

1857 (6 juillet). 

Lespiault (F.-G.). — Théorie géométrique de la libration réelle de la 
Lune. 



- - "■ ■ ■■ - »■ 



MÉLANGES. 213 



1837 (17 août). 



SAUfT-Lovp (J.-F.-L.). -— Sur une nouvelle méthode pour le calcul des 
perturbations du mouvement des planètes. 

— Sur les propriétés des lignes géodcsiques. 



1858 (12 avril). 

Pesun (H.-F.-L.). — Sur la figure de la Terre. 

— Sur les axes principaux d'inertie. 

1858 (7 juin). 

Gombbsgure(J.-J.-â.-E). — Sur la théorie analytique des formes homo- 
gènes. 

— Sur divers problèmes particuliers relatifs au mouvement. 

1858 (12 juillet). 

Galopin-Schaub (C). — Sur Téquation de la surface des ondes lumi- 
neuses dans les milieux biréfringents. 

1858 (3o juillet). 

MÉRAT (H.-C.-R.). — Sur les propriétés générales des racines d'équa- 
tions synectiques. 

1858 (8 novembre). 

RouciiÉ (E.). — Sur le développement des fonctions en séries ordonnées 
suivant les dénominateurs des réduites d'une fraction continue. 

— Sur les intégrales communes à plusieurs problèmes de Mécanique 
relatifs au mouvement d'un point sur une surface. 

1859 (i4 février). 

FoRTOUL (J.-C). — Sur les oscillations d'un mobile sollicité par plusieurs 
centres d'attraction fixes. 

— Sur les figures d'équilibre des liquides planétaires. 



2i{ PHl^MIËUH PARTIE. 

1859 (28 mars). 

Matuieu (ë.-L.). — Sur le nombre de valeurs que peut acquérir une 
fonction quand on y permute ses lettres de toutes les manières possibles. 

1859 (19 décembre). 

Serret (P.)* — Théorie géométrique des lignes à double courbure. 

— Théorie mécanique des lignes à double courbure. 

1860 (i4 janvier). 

Jordan (M.-E.-C. ). — Sur le nombre des valeurs des fonctions. 

— Sur les périodes des fonctions inverses des intégrales des différentielles 
algébriques. 

18G1 (lO août). 

Massieu ( F.-J.-D. ). — Sur les intégrales algébriques des problèmes de 
Mécanique. 

— Sur le mode de propagation des ondes planes et la surface de Tonde 
élémentaire dans les cristaux biréfringents à deux axes. 

18()1 { \ novembre). 
MiTiiKT (^J.-O. ). — Sur les fonctions elliptiques. 

18Gi ( î août). 

Ai.LK(iRET (A. -F. -M. » — Sur le calcul des quaternions de M. Ilamilton. 

— Sur les principulos iaé^uliU's du mouvement des satellites de 
Jupiter. 

I8(»i yi\ décembre ). 

Svixr-CiKRMAi.N [ V.-L. i)K I. — Sur les équations générales de Télasticiié 
l'i U'^ ^urfaeos i>0(lynamiqiio<. 

— >iir la liiirée «les éolip^os de^ salollilos de Jupiter. 

IS(».'» -. I » n»'\embre K 
Vu \iii V. ». I]s>ai «l'une théorie iîêomêlrique dos furfaces. 



MÉLANGES. vti5 

1864 (20 juillet). 

DcaANDB (A.). — Propriétés géométriques des surfaces analogues à la 
surface des ondes. 

— Déterminations des coefGcients des termes périodiques de la fonclion 
perturbatrice. 

1864 (29 juillet). 

Caqub (J.-H.-J.). — Nouvelle méthode pour l'intégration des équations 
différentielles linéaires, ne contenant qu'une variable indépendante. 

1864 (24 décembre). 

NicoLAÎoÉs (N.) — Mémoire sur la théorie générale des surfaces. 

— Théorie de la déformation des surfaces réglées déduite du mouve- 
ment d'un système invariable. 

1865 (iSjuin). 

VlLLié (E.-A.). — Sur la détermination de corps ayant un potentiel 
donné pour les points qui leur sont extérieurs. 

— Sur l'équilibre d'une masse fluide homogène animée d'un mouvement 
de rotation uniforme autour d'un axe fixe. 

1865 (6 août). 

SouiLLART (G.-J.). — Essai sur la théorie analytique des satellilcs de 
Jupiter. 

1865 (23 décembre). 

Stkphan ( J.-M.-E.). — Sur une classe d'équations aux dérivées partielles 
du second ordre. 

1866 (14 juillet). 
D ARBOUX ( J.-G.). — Sur les surfaces orthogonales. 

1866 (4 août;. 
Lktistal (A.) — Recherches d'optique géométrique. 



■MÛ l'BEHIfiHE PARTIE. 

18GC (3 novembre). J 

Tirni>i'.tK(l..-V.). — lt<.'solutiiinnum(;riqiic,ta/Mcliinination,deiéqa«tïoBa 

' - Roclirrrhcs sur l;i maliilitc ilu tV'quilibre des corps flotunts. 

I8(!7 (ai ftivriiT). 
l.ih'Y (M.)- — Ks^ni tliiruriijui^ cl np|ili(]uù sur le mouvement des 

- Sur une trnnNrormatiiin des o ion lu n nous i-urvlligne.s orthogonales 
er Mir li-n riKirdiinni-cs rurvili(,'iio!< ciiniprcnant une famille quelconque de 

siirfiXT. <Iii si-roiid ordre. 



IliUssiNKSij ( V.-J.i. — Kiuilc sur 1» jinipH^aiion de la chaleur dana tes 

IKliT II" iiDÙn. 
MiiiiiN I l'.-J.~r.i. — Sur it--> |i:iNimi-lr(<s diirùrenliclM ih'ï ronetion». 

IW'.T (iK ii..vt-uibrc I. 
Ck niiKH < l>.-.l.-lt.>. — MouM'inerii .l'un |irojc.-tile dnns l'air. 



ri>>Kinsn I i-'.-!'.*. — K\|iii!.itii'n. ir;i|>r(> k'> |U'iiiri)ii.-s de Jacobi. de la 
iii.lli.>.l.' '»\\u- |i.ir W. 1I.I.IIII1J1 .1.111* -a llK'.>rk- du m»uvoment ilc la lune 
.•»l -.I.-I.. r,rr,-:.-M.>i.M..i. .iV l.> ii..'tli...l,-. 



(ANNALES DE MATUÉMATIIJIES 



iniRNM. nr„s (.»».iiin\TS 



iininK rr **• lIntmaiL 



l|«« fl/nni-rllet ln^uilei lir Miit/ir'm'iii'im-i pnrain^iinl r)iii|iii! itiitls et 



Ml (lai lin itit tulitNiv iii ^ ti' ( 



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JiiitriMl (fit t&i< ri'iiix iMil iiiig(>t\jiii.tlit M-3i!nti,i 



BILLET IN 

F:NrKSMATUÉMATiaLES,ffl| 

«V iiAKuoux. r.. l'iaiiti ht j iannhkv, 

Lll* la Cmnaiaaian de* Hautes CtsAva. 






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I KIMEUIt-LIIIKAllie 



TecHNIOl>«. 



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TAOaiieATIOBr IC-ar... 

(dRDhIi» do la Ul^CKHI il 



(«t«r< uitHllinttnM llnlA.d» qui 4*) laiiifhHUi 
«L'nn,! i..Jr 

fAMBOTIIH n , M ■ ir ■ '. I .. I M., . , 1- I -■ 



COMPTES ItEKDUS ET ANALYSES. 



COMPTES IlENIIUS ET ANALYSES. 



GOURSAT (E.), Professeur à In FhcuIic (iea Scionccs de Puria. — Couns 
d'Anilise matiiku vTivi'K, ToTiiu I. (iriind fn-8". lia» iia^ips ; Paris. Gaiitliier- 
Yillars, 190'^, 

(^ Livre, qui cât à )>eii do chose pr/'S larcproJiicliun d' tut Cours 
fut à la Sorbonne, paraît avoir )cs qiialilOs d'un Traité clas.siquu : 
ptécîsion extrême dans les définitions cl les énoncés, analyse 
pénétrante et habile dans les dénionstniliuns, indications snhstan- 
lîiUea sur l'iinporlance des notions on des propositions foiidamen- 
liles.ll sera très utile en particulier anx étndianis qnï ont l'In- 
■mion de continuer leurs études mathématiques et aussi, je l'ai 

'prouvé, à quelques-uns de ceux qui sont chargés d'enseigner les 

comiuenceintfnts de l'Analyse. 

Cbhitre 1 : Ih'rU-éi's el {liff^ic.iiticlli'x (pages i-,{o). — Ce 
Qia^itrc contient les défùiitions relatives à la continuité pour les 
■onctions de une on de plusieurs variables, le» généralités rela- 
tives n\ dérivées et aux d i fTé re 11 ti elles, In démonstration du ihéo- 
'^edeRolle cl de la formule des accroissements linis, avec une 
«"tension de cette formule faite d'après un Mémoire do Stielljcs. 
Un paragraphe est consacré au passage des difFérences aux déri- 
ves. 

Chipithk 11 : Fonctions im/'licitcs. DiUeriiiiiiniKs function- 
"<6. Changempnt.i di: variaUlas (pages .'ju-iuo). — Le Cha- 
pitre II débute par l'étude des fonctions implicites : les conditions 
wni lesquelles une éiguatioii entre trois \ai'i;ihles j", )', :; permet 
it délînir 2 comme i'unctioit continue de ./' et de y sont ana- 
\jiia avec soin. 

Apr(''S avoir défini un clément de foiictiim implicite pour des 
valeurs de x et dey corresjiondunl à rintérieni- d'un carré, pour 
étendre en dehors de ce domaine la définition de lu ronction, 
l'auteur emploie un pmcédé pur clic mi ne ment analogue â celui 

ButI- lie» ScieHcei miilli'in., ■■■ ■.i-rir. 1. WVI. ( \:i,\ Ufi.) i"i 



2i8 PREMIÈRE PARTIE. 

dont on se sert à propos des fonctions des variables corapleies. 
L'existence de la dérivée d\]ne fonction implicite est établie sans 
peine en s'appiiyant sur les développements qui précédent, et des 
procédés sont indiqués pour le calcul des dérivées successives. On 
étudie ensuite un système d'équations permettant de déCnir nfonc- 
lions d'un nombre quelconque de variables indépendantes. 

Cette étude montre déjà l'importance des déterminants fonc- 
tionnels. Le cas où le déterminant fonctionnel de n fonctions d' u n 
nombre égal de variables est identiquement nul est traité en^déldî! 
et l'utilité du théorème correspondant est mise en évidence par 
des exemples signiflcatifs. Les propriétés du jacobien et du hes- 
sien, relatives à un changement de variables, résultent presque 
immédiatement de la multiplication des déterminants; on en fatt 
l'application à la réduction d'une forme cubique à la forme cano- 
nique. 

On passe ensuite en revue les problèmes qui se présentent «^ 
plus fréquemment à propos des changements de variables : 

Problème 1. — Soit y une fonction de la variable indépe^^^^ 
dante x; on prend une nouvelle variable indépendante ^ ut-'^^ 
à X par X =. 'f{t). On propose d'exprimer les dérivées succ^^^' 
sives de y par rapport à x au moyen de t et des dérivées si.^ ^' 
cessives de y par rapport à t. 



Problème II. — A toute relation entre x et y^ les fovmu 
de transformation 

font correspondre une relation entre t et u. On propose de 
primer les dérivées de y par rapport à x au moyen de /, u 
des dérivées de u par rapport à t. 

L'application de ces méthodes est faite à la transformation 
courbes planes cl la notion de transformation de contact est inl 
duite. 

Les problèmes 1 et II se rapportaient aux dérivées des foncli 
d une variable ; deux problèmes correspondants pour les foncli 
de deux variables sont énoncés et traités avec la même précisi 



et 



t 

-4 

f 
I 

] 



COMPTES UKNDUS liT ANALYSES. 219 

onime application, on trouve la transformation d'Ampère et celle 
? JLegendre pour les équations aux dérivées partielles, puisTéqua- 
du potentiel en coordonnées curvilignes. 



Ihapitre III : Formule de Taylor. Maxima et minima 
ft^^es 101-149)* — Démonstration classique de la formule de 
'lor pour une fonction d'une variable, et expression du reste 
la forme de Lagrange et sous la forme de Caucliy. 
»mme application immédiate aux courbes planes, détermina- 
lorm de la tangente^ du sens de la concavité, de la parabole oscu- 
iLfice ayant son axe parallèle à Oy. 

Une méthode pour trouver les premiers termes du développe- 
nt nt d'une fonction suivant les puissances positives et croissantes 
d'uTie variable x, supposée positive et infiniment petite, est indi- 
quée et appliquée à propos d'une fonction implicite définie par 
UQC équation entière en x et y. L'application de la formule de 
Taylor à la recherche des valeurs limites des expressions qui se 
présentent sous une forme indéterminée est indiquée rapidement 
en supposant la formule applicable à chacun des termes de la 

traction- ^, "^ . » 

o(a-H h) 

Puis viennent la série de Taj^lor, les développements en série 
de log(i-4-x), (i-|-ar)", arc sinj; et, pour finir, cette remarque 
csl faite que, pour bien apprécier l'importance des séries entières, 
il faut ne pas se limiter aux développements que Fon peut obtenir 
pour les combinaisons simples des fonctions élémentaires, mais 
savoir que l'on étudiera en elles-mêmes des séries entières ayant 
une tout autre origine. 

La série de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables 
est obtenue par le procédé de Cauchy. On en donne l'inlerpré- 
toUon géométrique et on l'applique en particulier à l'étude des 
points singuliers d'une courbe /(j?, y) = o, et à la recherche des 
maximaetdes minima. Dans cette recherche, l'élude du cas ambigu, 
poussée déjà assez loin, est faite de manière à en montrer les diffi- 
cultés dans le cas général pour lequel on renvoie à un Mémoire 
^cL. SchelTer dans les Math. Annalen, 

A propos de la détermination des maxima des fonctions impli- 
^•^s, la méthode des multiplicateurs de Lagrange est expliquée. 



220 PUKMIÈUE PAUTIË. 

Chapitre IV : Intégrales définies (pages i5o-233). — A^^ï^è? 
avoir rappelé la mélhude d'Archîmède pour la quadrature d^ \ 
parabole, Tauteur, admeltanl provisoirement la notion de IWm-v 
montre comment on est conduit à considérer une somme 

(ari — a)/(a) -h (t, — jri)/(a7i) -f-. . .-h (6 — a7„_,)/(ar„_,), 

et à clierclier sa limite lorsque le nombre des termes d ^^ 
suite aj Xx^ . . ., Xn__x^ b augmente indéCniment, question doKZM t 
solution est immédiate si Ton connaît une primitive de f{x) ^ 

Mais il faut reprendre les mêmes questions sans faire app>^^l 
rintuition géométrique. 

A cet effet, les notions de limite supérieure et de limite i armfe 
rieure d^un ensemble, de fonction continue dans un intervalle ^on 
introduites avec la rigueur et les explications nécessaires. 

On peut alors définir les sommes 

M/ étant la limite supérieure, /?i/ la limite inférieure de /(x) dans 
l'intervalle partiel (^i, :r/^<), puis la limite inférieure,!, ^^^ 
sommes S et la limite supérieure, F, des sommes s, M. D^r- 
boux a montré que, sous la seule condition quey(a;) reste fi«^'^ 
dans l'intervalle (a, 6), les sommes S et 5 tendent respectivem^"^ 
vers I et F lorsque le nombre des intervalles partiels augmeïïl^ 
indétiniment de façon que chacun d'eux tende vers zéro. 

Une fonction y"(x) est dite inlégrahle dans un intervalle (^^ ^' 
si les deux sommes S et 5 tendent vers une limite commune. \J^^ 
fonction continue dans un intervalle est intégrable dans cet inl^**' 
valle. Dans ce qui suit, à moins de mention expresse, on supp^" 
sera que les fonctions sous le signe d'intégration sont contini*^** 

Après ces généralités, viennent la première formule à^ '^ 
moyenne, équivalente à la formule des accroissements finis «y 
seconde formule de la moyenne due à O. Bonnet, une prenci*^*'* 
indication sur la théorie des indices à propos de l'intégrale 

OÙ y"(x) désigne une fraction rationnelle. 



COAIPTIiS UliNDUS Kl ANALYSES. 221 

Mainlenant que Ton possède la nolîon analeptique d'inlégrale 

définie, on peut revenir à la délerminalion de Taire d^unc courbe 

pla ne el donner de celte aire une définilion précise^ qui ne dérange 

(J*a il leurs en rien les idées communes sur celle question, idées 

t.1 llanl d'expériences nombreuses, mais peu précises. 

signalerai ici, comme exemple de la précision rigoureuse 
dont, il faut parler à chaque instant à propos de ce Traité, tout ce 
<| u i se rapporte à la longueur d'un arc de courbe. 

Puis viennent le changement de variable, Tintégration par par- 
ties el, à celte occasion, une démonstration de la transcendance 
àwM. KBombre e^ empruntée à M. D. Hilbert, qui sVsl inspiré de la 
n'ftêt.liode de Hermile. 

0>n indique ensuite les extensions données à la notion d^inté- 
g^t*^ le définie, en commençant par le cas où la fonction à intégrer 
o ta l>ieQ Tune des limites devient infinie [Tun des exemples donnés 
apporte à la fonction r(a)]. 

es intégrales curvilignes sont introduites à ce moment : cela 
P^K"raettra au lecteur de bien comprendre les formules qui donnent 
■ ^î w«d*une courbe fermée en coordonnées reclilignes ou encoor- 
^Oi^nées polaires. On explique en détail la différenliation sous le 

^■S«ic / 9 le calcul approché des intégrales définies (méthodes des 

^•^^I^iies, de Cotes, de Gauss, planimètre d'AmsIer). 



BAPiTRE V : Intégrales indéjinics (pages 234-281). — On 

P^ss^ en revue, dans ce Chapitre, les catégories générales de fonc- 

"OUs ^l^mgjjjgjpgg dont les intégrales s'expriment elles-mêmes à 

'■<icdes fonctions élémenlaires : fonctions rationnelles (avec la 

"™^t.liode d'Hermite pour déterminer la partie algébrique de l'in- 

^ff'^ale), fonctions rationnelles des coordonnées d'un point variable 

*• *^c courbe unicursale, diCférentielles binômes, qu'il est très 

^®**^mode de supposer ramenées à la forme t^{at -+- b)Pdt. 

^^n étudie ensuite la réduction des intégrales elliptiques et 
^'^■*a-cllipliques, les cas d'intégration algébrique, une classe assez 
*^ndue d'intégrales pseudo-elliptiques, enfin les intégrales 

/ R(sinx, cos jr)cfr, / K{x)€^'dx, j e^-^ fi s'uix^ cosxjdx, 
^^ R désigne une fonction rationnelle et / une fonction enliùrc. 



i'}'x PKEMIÈRE PARTIE. 

Chapitre VI : Intégrales doubles (pages 28a-334). — Une 
région  du plan étant divisée en parties de plus en plus pet.it€S 
^1, a^t • • ., a/i, on considère les deux sommes 



=2cD/M/, *=2 



tatmiy 



Cl)/ étant Taire de la partie a/, M/ et /n/ la limite supérieure ^ ^ 
limite inférieure de la fonction /{:c, y) dans cette partie; s> 
foncliony(;r, y) est continue dans la région A, les deux somm ^s 
et s tendent vers une limite commune I, et si l'on désigne pas:* « 
Tt/ les coordonnées d'un point quelconque de ai, on a 

lim^/l;/, r^i)wi= I, 

I est une intégrale double. Dans cette définition, il reste de Ta 
traire non seulement dans le mode de décomposition de A, 
encore dans le choix du point Ç/ti/ que Ton fait correspond 
Faire partielle ai] l'auteur en tirera souvent parti pour simpli fi* 
et pour préciser en même temps des démonstrations, en particu 1»^ 
pour montrer qu'une intégrale double peut se calculer à l'aide <J 
deux intégrations successives et qu'on peut intervertir l'ordre ^ 
ces intégrations. 

Le changement de variables dans les intégrales doubles demar»* 
une élude approfondie et des explications préliminaires. 

Les formules 

X rr-/(f/, i.'), y = o(U, t') 

définissent une correspondance entre les points de deux plan 
et P^. On fait les hypothèses suivantes : i" les foiictionsy(//, 
cp(w, r) sont continues et admcllcnl des dérivées continues qtu 
le point (^/, i') décrit une portion A| du plan P,, limitée par 
contour (^^ ; 2" les formules précédentes font correspondre 
région A, du plan P| une portion A du plan P limitée pai 
contour il, et la correspondance est univoque; 3** le détermi 

fonctionnel A = — -' • ne chancre pas de si^ne à l'inté 
de (li . 

(^uanJ le point (//, r) décrit le contour Ci dans le sens d 
le point (x^y) décrit le contour C en se dé|)hiranl loujour 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 223 

terne sens : suivant que ce sens est le sens direct ou le sens 
i-v^rse, on dit que la correspondance est directe ou inverse, 
^n obtient aisément la formule 



U(5, r,) 



- > 



l c].ësignant l'aire de A, ùi celle de A|, Ç, r^ les coordonnées d'un 
)C>i<^l de A| et le signe étant -+- ou — , suivant que la correspon- 
la^Kice est directe ou inverse. 

Celle formule conduit à une première méthode pour obtenir 
\a régie relative au changement de variables dans les intégrales 
doubles, méthode suffisamment indiquée par Tégalité 



^F{xi, yi)u>^i^=^F[/(Ui, Vi), Q{^^/, vt)] 



D(/?) 



Oi 



1 y 



OÙ ci>^'^ et Cl)'/* désignent des éléments correspondants des régions A 
et A|. 

Une seconde méthode résulte de ce que la transformation géné- 
rale 

s'obtient en composant deux transformations dans chacune des- 
quelles une seule variable est changée. 

Laîre d^une portion S de surface courbe est définie sans faire 
intervenir la direction des axes de coordonnées. S étant décom- 
posée en portions plus petites, on projette l'une de ces petites por- 
tions sur le plan langent en l'un quelconque de ses points; la 
somme des aires planes ainsi obtenue par projection a une limite 
quand le nombre des petites portions augmente indéfiniment de 
façon que chacune d'elles devienne infiniment petite dans toutes 
ses dimensions, pourvu que l'on fasse des hypothèses convenables 
swles fonctions que définissent les coordonnées d'un point va- 
nable de la surface. C'est cette limite que l'on nomme Vaire de la 
portion S de la surface considérée. On retrouve, en partant de 
celte définition, la formule connue 

S = f fy/ÊG^F~^ du dv. 
On étudie ensuite les intégrales où le champ d'intégration est 



224 PREMIÈRE PARTIE. 

infini ou bien la fonction discontinue et, comme application, on 
montre que l'intégrale eulérienne de première espèce B(/>, q) 
se ramène aux fonctions F, puis on définit les intégrales de surface 
cl Ton démontre la formule de Stokes, en la déduisant presque 
immédiatement de la formule de Green , relative à une courbe plane. 
Le Chapitre se termine par des applications géométriques oa 
analytiques : calcul de volumes, déterminations dMntégrales déG- 
nies, valeur asjmptotique de logr(/i -h i). 

Chapitre VII : Intégrales multiples. Intégration des diffé- 
rentielles totales (pages 335-368). — Les définitions et les pro- 
cédés de calcul indiqués pour les intégrales doubles s'étendent 
presque immédiatement aux. intégrales triples, et, après quelques 
explications nécessaires, aux intégrales multiples. 

L'intégration d'une différentielle totale / P rf^r -j- Q rfy est ob- 
tenue d'abord en considérant successivement les deux équations 
aux dérivées partielles 

La question est reprise à un autre point de vue en cherchant "^ 
condition pour que l'intégrale, prise le long d'une courbe all^^^ 
d'un point Mq à un point M du plan ^O r, dépende seulement ^^ 
Torigine Mq et de rextréniilé M du contour, mais non du chenr»*" 
d'intégration. Si cette condition est remplie, et si Ton supposa *^ 
point Mo fixe, Tinlégrale est une fonction des coordonnées x c^ ^ 
du point M : on vérifie que ses dérivées partielles sont V(Xy ^ 
et Q(j^O')- ^^ résultat obtenu, on approfondit l'élude de l'in^^ 
grale considérée en déterminant ses périodes par un procédé ^^ 
lo<|;nc à celui qui donne les périodes d'une intégrale de fond*^^ 
couiplexe. • 

Une application intéressante est faite à l'intégrale / -- yî_i_ V* 

où X et Y désignent des fonctions continues des variables j: ^^ < 
dans une région A limitée par un contour fermé C. On obti^' 
une formule donnant le nombre exact des points communs ^^ 

deux courbes, pourvu que le déterminant fonctionnel t^t^JC^ 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 2!i3 

^rde on signe constant à Tintérieur de C. Pour compléter cette 
étMidef l'auteur renvoie à des travaux de M. E. Picard, et en 
particulier au tome II de son Traité d'Analyse. 

On étend ensuite les résultats précédents à une intégrale 



/ 



Pdx-hQdy-hRdz, 



et, l^on traite, pour les intégrales de surface, des questions analogues 
à oelles qui ont été résolues pour les intégrales curvilignes : for- 
mule d^Ostrogradsky, condition pour qu^une intégrale de surface 
ét^ei^due à une surface passant par un contour C ne dépende que 
du contour C. 

CIhapitbe VIII : Développements en série (pages 369-418). — 
Ce Ohapitre débute par un résumé des propriétés élémentaires des 
séries. L'auteur donne d'abord , d'après Caucliy , la condition néces- 
saire et suffisante pour qu'une suite soit convergente, et il intro- 
duit en méine temps une notion due également à Cauchy, celle de 
"^ p/iis grande des limites des termes d'une suite infinie. Mais 
l'établît directement les règles élémentaires de convergence, en 
s ^ppuj-ant sur un principe énoncé tout au commencement de l'On- 

*<^Uie quantité variable qui n'est jamais décroissante et qui 
reste i^iférieure à une quantité constante L tend vers une 
tuntif» £ inférieure ou égale à L. 

luis viennent les critères logarithmiques de Bertrand, la nuilli- 
piicaiioij des séries, les séries à termes imaginaires, les st-ries mul- 
liplcs^ la règle de Cauchy qui ramène l'élude de la convergence 

dune série à celle d'une intégrale dont les limites deviennenl 

infinies, 

» Our la convergence uniforme, la définition adoptée est la sui- 
vante : On dit qu'une série 

Wo(ar)-f- Ui{x) -^. . .-T- Mrt(j:) -+-.. . 

e»t Uniformément convergente dans un intervalle (a, b) si, à tout 
nombre positif £, on peut faire correspondre un nombre entier n 
*^» que la valeur absolue du reste R„ de la série 



226 PREMIÈRE PARTIE. 

soit moindre que e pour toutes les valeurs de x comprise! 
l'intervalle (a, b). 

Si une série est, en ce sens, uniformément convergente da 
intervalle (a, 6), et si ses termes sont des fonctions coni 
dans cet intervalle, elle déGnit une fonction continue ; de plus 

et Xi sont deux valeurs de l'intervalle (o, 6), l'intégrale / 

peut être rendue aussi petite que l'on veut, à condition de pi 
n suffisamment grand. 

On peut, en s'appuyant sur la théorie des séries, trouv( 
conditions suffisantes pour qu'on ait le droit d'appliquer la 

de diffiérentialion sous le signe / > même lorsqu'une des 1 

est infinie. Ceci conduit l'auteur à donner cette définitioi 
dit qu'une intégrale 

est uniformément convergente dans rinlervallc (a©, ai) si, 
nombre positifs, on peut faire correspondre un nombre N K 
pour toute valeur de />> N, on ait 

I r* 

I / fi j\ a ) (Lr 
quel (jiie soit a dans rinlervallc (a^, a, ). 

CnAi'iTiii: IX : Scries entières. Séries trigonométriqu 
On examine successivement la région de convergence, la 
ntiitc, les dérivées successives d'une série entière. La si 
Ttiylor est étendue au cas d'une fonction définie par un< 
entière. 

i^es fondions majorantes sont définies de la façon suivar 

Soient y*(x) une série entière 

/(x) = ao-^ aix -^ a^x^-^-. . . 

et 'f (x) une antre série entière, convergente dans un inl( 
convenable 

'i ( .r ) = 3to -f- 2 1 .r -f- a2 :r- -h . . . , 

dont tous les termes sont positifs; on dit que la fonction 'f ( 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 227 

majorante pour la fonction f{x) si Tun quelconque des coeffi- 
cients au est supérieur à la valeur absolue du coefficient corres- 
pondant de f{oc). On montre comment on peut prendre pour 
fonction majorante d'une série entière une progression géomé- 
trique décroissante. 

Ces préliminaires établis, on peut traiter avec rigueur la substi- 
tution d'une série entière dans une autre série, et le calcul des 
séries entières; enfin, une partie des propriétés des séries entières 
"Une variable est étendue aux séries entières de plusieurs 
variables. 

On revient à l'étude des fonctions implicites, en supposant 
niaintenant que les premiers membres des équations qui les défi- 
nissent sont développables en série entière, ce qui permet d'obte- 
nir cet énoncé précis : 
^ Soit un système de p relations entre p -¥ q variables 

où les fonctions F^ sont nulles pour Xi=^yk = o et sont dévelop- 
pables en série entière dans le voisinage; on suppose de plus que 

le déterminant fonctionnel ^ - ^' — ?i_i-: j — pJ n'est pas nul pour ces 

valeurs. Dans ces conditions, les équations précédentes admettent 
un système de solutions, et un seul, de la forme 

0iî®2i . . . , Op étant des séries entières en ^,, Xj,*. . . , x^ cjui 
s'annulent pour x, = 0:2 = . • • = .^^ = o. 

La formule de Lagrange est établie ici; puis on définit une fonc- 
tion analytique, un arc de courbe analytique, une surface analy- 
tique, un point ordinaire d'une courbe ou d'une surface analytique, 
ba question de savoir si une fonction /(x), définie dans l'inter- 
valle{-«7-^ tc), est développable en série trigonométrique, revient, 
comme on sait, à trouver la limite d'une intégrale de la forme 



/ 



'''"'/(^)rfa-. 






OU a et 6 sont des constantes, et où l'on suppose que n augmente 
■naelininient. Cette étude est faite d'a|)rès une mélliode analogue 



228 PREMIÈRE PARTIE. 

à celle d^Ossian Bonnet, et en supposant que la fonction /( 
satisfait à des conditions énoncées avec précision et qu^on appc 
conditions de Dirichlet, 

Le Chapitre se termine par une démonstration très simple, <j 
à M. Lebesgiie, d^un théorème de Weierstrass se rapportant à i 
fonction fix") continue dans un intervalle (a, 6) : e étant 
nombre positif donné à V avance, on peut déterminer un po 
nome P(^), tel que la différence f{x) — P(^) soit infériez 
à t en valeur absolue pour toute valeur de x dans Vint 
valle (a, b); et enfin par l'exemple d'une fonction continue 
n'admet de dérivée pour aucune valeur de la variable. 

Applications géométriques du calcul différentiel et 
CALCUL INTÉGRAL. — Lcs 1 4o dcmièrcs pages du Volume leur s 
consacrées et sont rédigées avec le même soin que les parties 
rement analytiques qui précèdent. Les sujets traités sont les î 
vants : 

Courbes planes, — Courbes enveloppes, courbure, contact 
courbes planes. 

Courbes gauches. — Plan osculaleur, surfaces envelop| 
Courbure et torsion des courbes gauches. Contact des cour 
gauches, des courbes et des surfaces. 

Surfaces. — Courbure des courbes tracées sur une surfi 
Lignes asymptotiques. Lignes de courbure. 

Notions sur les systèmes de droites. — Surfaces réglées, c 
gruences, surface focale, congruence de normales. Théorème 
Malus. Com|)lexcs. 

Un assez grand nombre d'exercices est proposé à la fin de cha 
Chapitre. Les uns sont des applications directes des méthc 
exposées dans le Chapitre; les autres, dit l'auteur dans la Préf 
sont un peu plus difficiles et sont le plus souvent empruntés à 
Mémoires auxquels le lecteur est renvoyé. E. Lacour. 



*s^ 



COMPTES IIENDUS ET ANALYSES. 229 



A55JiLBS IXTBBNATI0NALB8 D*HIST0IR8. CoNGRÉS DB PaRIS, I9OO. 5« SeCtion : 

Histoire des Sciences, i vol. grand in-8o, 348 pages. Paris, Armand 
Golia ; 1901 . 

Ce Volume, publié sous la direction de M. Paul Tannery, prési- 
dent de la Section, comprend les Mémoires suivants : 

AsvBftB Lalande. — L'interprétation de la nature dans le Valerius 
Terminus de Bacon. 

Gaston Milhavd. — Sur un point de la philosophie scientifique d'Au- 
guste Comte. 

Hkibbrg. — Anatolius sur les dix premiers nombres (texte grec inédit, 
traduction française de P. Tannery). 

^DrAftDo Saavbdra. — Note sur l'histoire de la résolution des équations 
cubiques. Observations de M. P. Tannery. 

"o^ixz Cantor. — Beitràge zur Lebensgeschichte von Cari-Friedrich 
Gaass. 

^^T'oxio Pavaro. — Il métro proposto corne unità di misura nel 1675. 

'«Aum^g Gallian. — Sur les Problèmes mécaniques attribués à Aristote. 
^^^■"-^•^Uons de M. Paul Tannery. 



. ^**oo Carra de Vaux. — Note sur les Mécaniques de BédI ez-Zamân 
J^^ari et sur un appareil hydraulique attribué à Apollonius de Perse. 

^^•^^UND G'ÛNTHER. — Die Kompromiss-Welt-Systeme des XVÎ, XVII 



w^ XVIII Jahrhunderts. 

■■Oce Nicolas Galitzynb. — Les premières expériences de Montgolfier 
'l^'^^s des documents russes (avec quatre fac-similés d'aquarelles). 

^^itiSLAS Meunier. — Sur l'évolution des idées dans le domaine de la 
^^*^«ic générale. 

^ ^I.BT. — Influence du positivisme sur le développement des sciences 
^^^^Çiqucs ea France. 

Millot-Carpentier. — La Médecine au xiii« siècle. 

A^miiANO Delpeuch. — Le rachitisme et la Médecine ancienne. 



23o PHEMIEIIE PARTIE. 

D*^ MoDESTiNO DEL Gaizo. — AIclinc lînee ciel movimento délia chiruj 
italiana nel secolo dccinioterzo. 

D*" Victor Nicaisk. — Noies sur Télat des sciences anatomique cl p 
siologiquc à la venue de Vesale et de Ilarvey, et en particulier de 
sciences au moyen âge. 

Paul Meuriot. — De roxpression diaphragma dans l'histoire d< 
Géographie ancienne. 

GusTAF Enestrom. — SuT la constitution d'un répertoire bibliographie 
de l'histoire des Sciences. 

Paul Taxnery. — \otes sur les manuscrits français de Munich 24" 
252 cl de Vienne 7049-7050. 

Paul Tannkry. — Lettres inédites adressées au P. Mersenne (par ^ 
correspondants bordelais, Pierre Trichet, J. Laconibe, Auberl, Franç=- <J 
du Verdus, Thomas Martel; en tout 9 lettres). 

Nous donnons la liste complète de ces Mémoires, parce qiiesr 
Congrès dont il s'agit a été la première tentative pour réunir J 
savants qui s'occupent de Phistoire des différentes Sciences et p 
revendiquer la place légitime que Pensemble de leurs travaux d 
tenir dans Phistoirc générale de la civilisation. Eu égard à la s| 
cialisalion indispensable aujourd'liui pour les travaux, originai- 
on pouvait se demander si l'idée était viable, s'il n'était pas p 
férablc, par excm[)lc, de laisser les historiens des Matliématiqi 
aux Congrès des nialhémaliciens, etc. En somme, la tcntaliv 
réussi, et le Volume publié en est la preuve; pour ne pas par — " ^ 
de nos compatriotes, les noms, bien connus de nos lecteurs, 
savants étrangers qui ont collaboré à ce Volume, la valeur 
Mémoires insérés et le choix des sujets assureront certainem 
à celle publication un rang sensiblement au-dessus du niv 
moyen des nombreux recueils fournis ou à fournir par les Cong 
de 1900. Et l'on doit remarquer en môme temps que, quoique 
général de toute première main, les divers travaux de la Sect 
d'histoire des Sciences offrent ce caractère de rester accessibl 
tout homnje instruit et de ne pas s'adresser exclusivement à 
spécialistes. 

Il y a bien dans ce Volume une lacune sensible; autant l'hisl 
de la Mathématique d'une part, celle de la Médecine de Tau 




4, 




COMPTES HliNDUS Eï ANALYSES. ah 

chacune aveS ses annexes naturelles, se montrent vivantes, autant 
rhîsloîre de la Physique proprement dite et celle de la Chimie 
seail>lcnt abandonnées. En réalité, les travailleurs dans ces 
domaines ne font pas défaut, et ce sont des circonstances acciden- 
telles qui ont privé les organisateurs de la 5* Section des Mémoires 
auxquels ils avaient réservé leur place. Mais il est vrai de dire que 
1 histoire de la Physique se présente aujourd'hui comme un éche- 
veau tellement emmêlé qu'il s'agit tout d'abord de bien détcr- 
miocr quels fils il faut suivre et quels nœuds il faut trancher ou 
débrouiller. Quant à la Chimie et à ses annexes, tandis que les 
publications si importantes qui se poursuivent sous la direction 
de IM. Berthelot (collections des alchimistes, lapidaires) réunissent 
des matériaux surtout pour les recherches des générations futures, 
»* Chimie moderne, qui, il y a 5o ans, n'était pas encore 
distincte de son histoire, commence à peine à sentir la nécessité de 
■*® pas perdre son passé de vue; on ne peut donc nier qu'en fait 
■ QÎsioîre de la Physique et de la Chimie est relativement dans 
*"> état moins prospère que celle de la Mathématique pure, par 
^^Cfiiple. C'est une raison de plus pour y appeler les bonnes 
Mon lés. 



^■*^t présentée à la Faculté des Sciences de Paris.) ln-4", |'a8 pages. 



*'ARD (JiLEs). — Sur la surface des ondes de Fresnel. (Thèse de Doc- 
l^^^^t présentée à la Faculté d 
■^^t eau roux, P. Langlois, 1901. 

^— ^st en étudiant la propagation de la lumière dans un milieu 
^ *^ isotrope que Fresnel a été conduit à considérer la surface des 

^*^n que l'origine de cette surface soit dans un phénomène 

P y^i<jue, l'étude de ses propriétés et de ses siugularilés en a fait 

^ ^ €|uestion dont l'intérêt a depuis longtemps le caractère mathé- 

***^^ic|ue; la transformation apsidale, la théorie générale des corn- 

P ^^«s quadratiques, les questions de Géométrie infinitésimale 

*^*^l.îves aux lignes asymptotiques ont trouvé tour à tour un champ 

application dans cette surface. 

M. Cayley a étudié, sous le nom de lélraédroïde, une surface 
^^^ est la transformée homographique de la surface des ondes. 



232 PRËMlÈim PAiniB. 

Divers auteurs ont trouvé les ligues asymptotiques de cette sur- 
face. 

M. Darboux en a donné une propriété qui sert à les caractériser 
géométriquement; il a montré qu'on pouvait construire la surface 
par points et a appliqué la Géométrie cinématique à la recherche 
des rayons de courbure de la surface des ondes. 

Cette surface possède un grand nombre de propriétés pouvant 
lui servir de définition, soit qu'on la considère comme une surface 
de Kummer, surface focale d^une congruence du deuxième ordre 
et de deuxième classe, ou encore surface singulière d'un complexe 
bien connu sous le nom de complexe de Painvin. Mais, le plus 
ordinairement, on la définit comme surface apsidale d'un ellip- 
soïde. C'est cette définition qu'adopte M. Richard. Il montre, 
dans son travail, que la surface se reproduit elle-même par un 
groupe de transformations qui sont les unes ponctuelles, les 
autres polaires avec une quadrique comme base; d'autres, au con- 
traire, polaires, mais avec un complexe linéaire pour base de réci- 
procité. 

La surface des ondes se trouve ainsi rattachée, de la façon la 
plus profitable, à cette théorie des groupes de transformations qui 
a reçu, par les belles découvertes de Lie, un essor si puissant. 

E. E. 



MELANGES. 



THÈSES DE SCIENCES MATHÉMATIQUES SOUTENUES DEVANT LA FACULTÉ 
DES SCIENCES DE PARIS ET DEVANT LES FACULTÉS DES SCIENCES DES 
DÉPARTEMENTS DANS LE COURANT DU XIX« SIÈCLE. 

{Suite.) 

1868 (10 juillet). 

Gruey (L.-J.). — Sur le calcul numérique des perturbations des petites 
planètes au moyen de quadratures. 



f 



MÉLANGES. %33 



1868 (10 juillet). 

PtJBT (A.-C). — Des quadratures. 

— Sur les mouvements simultanés d'un système de points matériels assu- 

■ 

jeltis à rester constamment dans un plan passant par l'origine des coor- 
données. 

1868 (6 août). 

DiDON (F.). — Étude de certaines fonctions analogues aux fonctions X,( 
de Legendre. 

1870 (24 mars). 

Collet (J.). — Intégration des équations simultanées aux dérivées par- 
tielles du premier ordre d'une seule fonction. 

— Du facteur intégrant pour les expressions différentielles du premier 
ordre renfermant un nombre quelconque de variables indépendantes. 

1870 (2 juillet). 

Le Cobdibr (P*)* — ^u'' ^^^ aires sphériques de Gauss, sur la périodicité 
qui caractérise les potentiels des lignes fermées, et sur les surfaces de 
niveau correspondantes. 

— Usages ies potentiels dans Télectro-dynamique et dans l'élcctro- 
magnétisme. 

1871 (i6 décembre). 

Maillard (S.-N.). — Recherches des caractéristiques des systèmes clé- 
mentaires de courbes planes du troisième ordre. 

1874 (28 mars). 

Salvbrt (M. -A. -F. de). — Étude sur le mouvement permanent des 
fluides. 

187-4 (28 novembre). 

Tannbry (J-)- — Propriétés des intégrales des équations dtiïércntielles 
linéaires à coefficients variables. 

Buii. des Sciences mathem.^ 2* série, i. WVI. (Août 1901.) i^i 



2J4 PUHMIÊlUi: PAIITIË. 



1876 (i5 février). 

LÉAUTÉ (II.-G.-V.-J.). — Étude géométrique du problème de intégra- 
tion des équations difTérenticUes partielles du premier ordre et à trois 
variables. 

— Du frottement de pivotement. 

1876 (21 juin). 

AppELL (P.-E.). — Sur la propriété des cubiques gauches et le mouve- 
ment hélicoïdal d*un corps solide. 

1870 (24 juillet). 

Baillaud (E.-B.). — Exposition de la méthode de M. Gyidén poup le 
développement des perturbations des comètes. 

1876 (29 juillet). 

Elliot (V.-Z.). — Détermination du nombre des intégrales abéliennes 
de première espèce. 

1876(3 août). 

JouBKRT (C.-J.-E.). — Sur les équations qui se rencontreot dans la 
théorie de la transformation des fonctions elliptiques. 

1877 (25 mars). 

André (A.-D.). — Développement en séries des fonctions elliptiques et 
de leurs puissances. 

— Terme j^énéral d'une série déterminée à la façon des séries récur- 
rentes. 

1877 (27 mars). 

rÉRiiiALi) ^E.-L.-A.). — Exposé de la méthode de Hansen pour le calcul 
de-'i perturbations spéciales des petites planètes. 



1877 (16 juin ). 

ricAiii) i^C.-K.). — Application de la théorie des complexes linéaires à 
1 éluilc (h*s Mirfaces et des courbes gauches. 



MÉLANGES. ^Vj 



1877 (29 novembre). 

Laisant (C.-A.). — Applications mécaniques du calcul des qua- 
ternions. 

— Sur un nouveau mode de transformation des courbes et des surfaces 



1878 (3o janvier). 

Haretu (S. -G.) — Sur l'invariabilité des grands axes des orbites pla- 
nétaires. 



1878 (14 mars). 

Pellet (A.-G.-ë.). — Sur la théorie des équations algébriques. 
— Sur la théorie des surfaces. 

1878 (i3 juin). 

Legoux (E.-A.). — Étude analytique et géométrique d'une famille de 
courbes représentées par une équation différentielle du premier ordre. 

1878 (20 juillet). 
Halphe.^i (G.-H.) — Sur les invariants différentiels. 

1879 (6 février). 
Perbotin ( J.-A.). — Théorie de Vesta. 

1879 (3 avril). 

Floqukt (A.-M.-G.) — Sur la théorie des équations différentielles 
linéaires. 

1879 (8 avril). 

BiEULER (G.). — Sur les développements en série des fonctions double- 
ment périodiques de troisième espèce. 

-^ Sur la théorie des équations. 

1879 (5 juillet). 
Emmanuel (D.). — Étude des intégrales abéliennes de troisième espèce. 



'jt3r, PREMIÈRE PARTIE. 



1879 (i8 juillet). 

PuiSEUX ( P.-H. ). — Sur raccclération séculaire du mouvement de la 
lunr. 

1879 (•>3 juillet). 

Maximovitch (VV.). — Nouvelle méthode pour intégrer les équations 
simultanées aux différentielles totales. 



1879 (i" août). 

PoiNCARK ( J.-II.). — Sur les propriétés des fonctions définies par les 
équations nu\ diiïércnces partielles. 

1880 (2a avril). 

■ 

AsTOH (.V.-M.). — Ktudc sur quelques surfaces. 

1880 (21 mai). 

KscLAiBKs (^H.-E. n'). — Sur les applications des fonctions elliptiques à 
Tétude des courbes de premier genre. 

1880 {•?.-; mai). 

NiEWENGLOWSKi ( 1» -A.). — Exposition de la méthode de Ricmaiin pour 
la détermination des >urfacos minimn de contour donné. 

1880 (^lo juinV 

nip«)UT (1..-11.-J.». — Sur un modo particulier de représentation des 
imaginaires. 

ISSO r.i3 juillet ». 

r>iui.i.oi IN i l..-M.^. — Intégration de> équations diAférenlielles auxquelles 
roiuluit l'otuile des plienoniènos d'induetii^n dan> Ic'^ circuits dt*rivés. 

1SS<» . i noxeinliio . 

v.iivr.M. I l'i 1.» icdiiv'li-Mi de< r.^rme* qvi.idt atique> ternaires posi- 

f.\o>» lî !«' lv''P! .)p|iii,M(i>»n aux irr.ili.MtHilIe" ilii tioi^itmo •Ic'rré. 



MÉLANGES. 23; 



1880 (lo novembre). 

Lecobnu (L.-F.-A.). — Sur l'équilibre des surfaces flexibles et inex- 
tensibles. 

1880 (la novembre). 

Callakdreau (P.-J.-O.). — Détermination des perturbations d*une petite 
planète par les méthodes de M. Gyldén. Application à liera. 

1880 (29 décembre). 

BouRGUET (J.-P.-L.). — Développement en séries des intégrales eulé- 
riennes. 

1881 (8 juillet). 

GouRSAT (E.-J.-B.). — Sur l'équation différentielle linéaire qui admet 
pour intégrale la série hypergéométrique. 

1882 (17 janvier). 

Sauvage (L.-G.). — Sur les propriétés des fonctions définies par un sys- 
tème d*équations différentielles linéaires et homogènes à une ou plusieurs 
variables indépendantes. 

1882 (7 février). 

GoGOU (G.). — Sur une inégalité lunaire à longue période due à l'action 
perturbatrice de Mars. 

1882 (21 mars). 

Sparbe (M.-L.-M. de). — Sur le mouvement du pendule conique à la sur- 
face de la terre. 

1882 (23 mars). 

Siii.%RD (G.-F.-M.-P.). — Commentaire sur deux Mémoires de Riemann 
relatifs à la théorie générale des fonctions et au principe de Dirichlet. 

1882 (28 mars). 

Nicolas (i.). — Étude des fonctions de Fouricr (première et deuxicrac 
espèce ). 



:>J8 PREMIÈRE PARTIE. 



1882 (24 juin). 

Kgenigs (G.-X.-P.). — Sur les propriétés infinitésimales de l'espace 

réglé. 

1882 (28 juillet). 

AuTONNE (L.-C). — Recherches sur les intégrales algébriques des équa- 
tions difTcrentielles linéaires à coefficients rationnels. 



1883 (20 avril). 
Rapfy (L.). — Recherches algébriques sur les intégrales abéliennes. 

1883 (4 juillet). 

Brunel (G.-E.-A.). — Étude sur les relations algébriques entre les fonc- 
tions hyperelliptiques de genre 3. 

1883 (i3 novembre). 
GuiciiARD (G.)* — Théorie des points singuliers essentiels. 

1884 (F7 juillet). 

Obreciit (J.-A.) — Kiude sur les éclipses des satellites de Jupiter. 

188.i (ai juillet). 

MoLK (G. -F. -G.). — Sur une notion qui comprend celle delà divisibilité 
et sur la tliôorie gcncralc de l'élimination. 

1884 (-25 juillet). 

Stkpiianos (C.). — Sur la théorie des formes binaires et sur Téli- 
mination. 



1885 (i5 juin). 
BoQUET I F.-J.-G.-J.). — Développement de la fonction perturbatrice. 

1885 (19 juin). 
Dkmartres (G.-L.). — Sur les surfaces à génératrice circulaire. 



MÉLANGES. 239 

1885 (7 juillet). 

Dadthbvillb (B.-F.-S.). — Étude sur les séries entières par rapport à 
plusieurs variables imaginaires indépendantes. 

1885 (18 juillet). 
UuMBERT (M. -G.). — Sur les courbes du genre un. 

1885 (28 juillet). 

Fabrt (G.-E.). — Sur les intégrales des équations différentielles linéaires 
â coefGcients rationnels. 

1886 («àGmars). 

Bbrlott (C.-A.-M.-B.). — Théorie des quantités complexes à n unités 
principales. 

1886 (2 avril). 

RiQCiER (G.-E.-A.). — Extension à Thyperespace de la méthode de 
M. Garl Neumann pour la résolution de problèmes relatifs aux fonctions 
de variables réelles qui vérifîent Téquation différentielle AF = o. 

1886(1 G juin). 

BiGOUROAN (G.). — Sur l'équation personnelle dans les mesures d'étoiles 
doubles. 

1886 (3o juin). 

Stieltjbs (T.-J.). — Recherches sur quelques séries semi-convergentes. 

1886 (21 juillet). 

Thbvbnet (A. -P.). — Étude analytique du déplacement infiniment petit 
d'an corps solide. 

1886 (28 juillet). 

Andoter (M.-II.). — Contribution à la théorie des orbites intermédiaires. 

1887 (10 juin). 

Painlevé (P.). — Sur les lignes singulières des fonctions analytiques. 



24o PUËMIÈRE PARTIE. 

1887 (27 juin). 
llAyr (M.-T.-A.). — Étude sur la figure des corps célestes. 

1887 (28 juin). 

Adam (F.-E.). — Sur les systèmes triples orthogonaux. 

1887 (26 octobre). 
Jamet (E.-V.). — Sur les courbes cl les surfaces lélraédrales. 

1887 (11 novembre). 

Flamme (D.-J.-B.). — Recherche des expressions approchées des termes 
très éloignés dans les développements du mouvement elliptique des 
planètes. 

1888 (19 juin). 

Petot (C.-A.). — Sur une extension du théorème de Pascal à la Géo- 
métrie de Tcspace. 

1888 (12 juillet). 

Vautihr. — Recherches expérimentales sur la vitesse d^écoulement des 
liquides par un orifice en mince paroi. 

1888 (iG juillet). 
Stolff (M.-A.-\.). — Sur la transformation des fonctions fuchsiennes. 

1888 (i3 novembre). 
Rikmann (J.). — Sur les problèmes de Dirichlel. 

1888 (27 novembre). 
UiniÈni-: ( C.-II.). — Sur divers cas de la tlexion des prismes rectangles. 

1880 (li mars). 

CossLHVT ( l'^.-.M.-l'. ). — Sur \c cercle considère coiiuno élément j;éné- 
ratciir «le i'opacc. 



MÉLANGES. 241 



1«S89 (22 juillet). 



VoGT (H.-G.). — Sur les invariants fondamentaux des équations diffé- 
rentielles linéaires du second ordre. 



1889 (3o novembre). 

Zaremba (S.). — Sur un problème concernant Tétat calorifique d'un 
corps solide homogène indéfini. 



1890 (26 février). 

Carvallo (M.-E.). — Influence du terme de dispersion de Briot sur les 
lois de la double réfraction. 

— Méthode pratique pour la résolution numérique complète des équa- 
tions algébriques ou transcendantes. 



1890 (23 juin). 

Blutel (E.-M.). — Recherches sur les surfaces qui sont en même temps 
lieux de coniques et enveloppes de cùnes du second degré. 

1890 (4 juillet). 

AxDRADE (J.-F.-G.). — Sur le mouvement d'un corps soumis à Tattrac- 
tion newtonienne de deux corps fixes, et sur l'extension d'une propriété 
des mouvements képlériens. 

1890 (10 juillet). 
Lyon(J.>. — Sur les courbes à torsion constante. 

1890 (Il juillet). 

RiVEREAU (P.-P.). — Sur les invariants de certaines classes d'équa- 
tions diflerentielles homogènes par rapport à la fonction inconnue et ù 
ses dérivées. 

1891 (22 janvier). 
Mangkot (F.-C.-S.). — De la symétrie courbe. 



xU PKEMIÈUE PARTIE. 

1891 (i4 avril). 

BouRLET (G.-E.). — Sur les équations aux dérivées partielles simultanées 
qui contiennent plusieurs fonctions inconnues. 

1891 (23 juillet). 

Tannenberg (W. de). — Sur les équations aux dérivées partielles du 
premier ordre à deux variables indépendantes, qui admettent un groupe 
continu de transformations. 

1891 (!i9 octobre). 
Gels (J.>J.). — Sur les équations différentielles ordinaires. 

1892 (i6 mars). 

PiCART (T.-L.). — Sur la désagrégation des essaims météoriques. 

1892 (3o mars). 

G0NNE8SIAT (F.). — Recherches sur Téquation personnelle dans les 
observations astronomiques de passages. 

1892 (18 avril). 

Padé (U.'E.). — Sur la représentation approchée d'une fonction par des 
fractions rationnelles. 

1892 (18 mai). 

IIada!UART> (J.-S.). — Kssai sur l'étude des fonctions données par le 
développement de Taylor. 

1892 (i3 juin). 

Vkïsiot (K.-I*.-J.). — Sur Tintégralion des équations différentielles 
linéciire*!. 

1892 (;!8 juin). 

IV\u\K ( A.). — Sur le problème «le Diriehlet et son extension au cas de 
ré«|uatiini linéaire ^'énêrale du second ordre. 



MÉLANGES. 243 



1892 (25 novembre). 

Pbrghot (L.-J.). — Sur les mouvements des nœuds et du périgée de la 
lune et sur les variations séculaires des excentricités et des inclinaisons. 



1892 (6 décembre). 
Gébard (M.-L.-J.). — Sur la Géométrie non euclidienne. 

1892 (7 décembre). 

Maillet (£.-T.). — Recherches sur les substitutions, et en particulier 
sar les groupes transitifs. 

1892 (i3 décembre). 

BouASSE (M.-P.-H.). — Réflexion et réfraction dans les milieux isotropes, 
transparents et absorbants. 

1893 (11 novembre). 

Le Vavasseuh (P.-R.). — Sur le système d'équations aux dérivées 
partielles simultanées auxquelles satisfait la série hypergéométrique à 
deux variables. 

1893 (i5 novembre). 
Sautrbaux (C.-B.). — Sur une équation d'Hydrodynamique. 

1893 (3o novembre). 

Tresse (A.-M.-L.). — Sur les invariants différentiels des groupes conli- 
Diis de transformations. 

1893 (14 décembre). 
M*^ Klumpkb(D.). — Contribution à l'étude des anneaux de Saturne. 

1893 (f9 décembre). 
p£miBR (G.-E.). — Sur une équation différentielle du troisième ordre. 



1^ PREMIËHË PARTIE. 



1893 (29 décembre). 



FABnY(L.). — Étude sur la probabilité des comètes hyperboliques et 
l'origine des comètes. 

1894 (18 janvier). 

Antomari (F.-X.). — Application de la méthode cinématique à Tctudc 
des surfaces réglées; mouvement d'un corps solide assujetti à cinq con- 
ditions. 

1894 (8 mars). 

Garonnet (T.-D.). — Recherches sur les surfaces isothermiques et les 
surfaces dont les rayons de courbures sont fonctiqns Tun de Tautre. 

1894 (16 mars). 

Caiien (E.). — Sur la fonction de Riemann et sur des fonctions 
analogues. 

1894 (10 avril). 

Grévy ( A.-C). — Ktude sur les équations fonctionnelles. 

1894 (7 juin). 

Maltézos ( G. -(].). — Los enveloppes solides minces. 
— Les cloches. 

1894 («juin). 

Cousin (P. -A.). — Sur les fondions de n variables comple\es. 

1894 (i.i juin ). 
BoiiKi- « K.-F.-J.^. — Sur ({uciquos points de la théorie des fondions. 

1891 ( 77 juin ). 

Si'iiii IKR «A.-.M.-J. nK 1. — Sur dcMix formules fondamentale^ dans la 
thénrio dos formes (|uadra(i(]urs cl Av la mul(i|»lii.-atioii romplo\e d'aprè> 
KroiHM'krr. 



MÉLANGES. 245 

1894(27 juin). 
L.EL1EWRE (M.'C). — Sur les surfaces à génératrices rationnelles. 

1894 (28 juin). 

Cartan (E.-J.). — Sur la structure des groupes de transformations 
finis et continus. 

1894 (29 juin). 

Petrowitch (M.). — Sur les zéros et les infinis des intégrales des 
équations différentielles algébriques. 

1895 (22 janvier). 

L«ACOUR (V.-L.-E.). — Des fonctions d'un point analytique à multiplica- 
teurs exponentiels ou à périodes rationnelles. 

— Sur l'équation de la chaleur. 

1895 (24 janvier). 

Le Roux (J.-M.). — Sur les intégrales des équations linéaires aux déri- 
vées du second ordre à deux variables indépendantes. 

1895 (28 mars). 

DEUiSSUS (E.-M.). — Sur les équations linéaires aux dérivées partielles à 
caractéristiques réelles. 

1895 (29 mai). 

DELEMEa (J.-J.-B.). — Sur le mouvement varié de l'eau dans les tubes 
capillaires cylindriques, évasés à leur entrée, et sur rétablissement du 
ré^me uniforme dans ces tubes. 

1895 (21 juin). 

Kdi^R von Leber (M.-J.). — Interpolation parabolique et hyper- 
bolique. 

— Convergence des séries algébriques. 



24G PREMIÈRE PARTIE. 



1895 (5 novembre). 

GoccLESCU (N.). — Sur les expressions approchées des termes de l'ordre 
élevé dans le développement de la fonction perturbatrice. 

1896 (28 février). 

RouGiER (G.-J.-M.) — Sur quelques sous-groapes de la 1 1* classe du 

groupe modulaire. 

1890 (27 mai). 

Beudon (J.-A.-E.). — Sur les systèmes d*équations aux dérivées par- 
tielles dont les caractéristiques dépendent d'un nombre fini de para- 
mètres. 

1896 (8 juin). 

IIaure (J.-M.-T.). — Recherches sur les points de Weicrstrass d'une 
courbe plane algébrique. 

1897 (5 mars). 

TiivBAi T ( A.-L.). — Sur la déformation d*un paraboloïde et sur quelques 
problèmes qui s'y rattachent. 

1897 (-23 mars). 

FÉRAUD (A. -A.). — Sur la valeur approchée des coefficients d'ordre 
élevé dans les développements en séries. 

1897 (24 mars). 
Simonin (L.-M.-K.). — Sur l'orbite de (ÎS) Hécube. 

1897 (2 avril). 

Leau (\j.). — Etude sur les équations fonctionnelles à une ou plusieurs 
variables. 

1897 (10 juin). 

Mascart (J.-M.). — Contribution à l'étude des planètes télescopiqucs. 



MÉLANGES. 247 

1897 (II juin). 

SucHAR {J.)« — Sur le problème général de l'inversion et sur une 
classe de fonctions qui se ramènent à des fonctions à multiplicateurs. 

1897 (21 juin). 

Boulanger (A.-U.-L.). — Contribution à l'étude des équations diiïé- 
rentielles linéaires et homogènes intégrables algébriquement. 

1897 (22 juin). 

Lebeup (A.-V.). — Sur une nouvelle démonstration des polynômes 
Hansen-Tisserand . Applications. 

— Table pour le calcul des perturbations de Jupiter sur les petites 
planètes. 

1897 (i3 novembre). 

DBSAl^T (L.-A.-J.). — Sur quelques points de la théorie des fonctions. 

1897 (24 novembre). 
Nau (F.-N.). — Formation et extinction du clapotis. 

1898 (21 janvier). 

BouRGET (C.-E.-H.). — Sur une classe particulière des groupes hypcr- 
abéliens. 

1898 (22 avril). 

Le Rot (E.-L.-E.-J.). — Sur l'intégration des équations de la chaleur. 

1898 (24 juin). 

Drach (J.-i.). — Essai sur une théorie générale de l'intégration et sur 
une classification des transcendantes. 

1898 (24 juin). 

Marotte (F.-A.). — Les équations diiïérenticlles linéaires et la théorie 
ries groupes. 

















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|BUIG6 rvM MU. a. uAitmmx, t. riti^vui) et j. taxhbiit, 

^rvetloi liQ 1b Oonmicston d«fl Hantes Ëtvdse. 
,,- -. — ,. ^, ii.o»iiiwi»nJ.oiH»i, 

'iiiinrK,/. nnuKi.r.T i. taKKkvi J a " âfl 

L>tliaol'« KT I. T.1NKBIIT. = I i *3i 



OEOxre.vf; .'HittfE. 

TOME : . . : -rTÊMBRB l»02- 




^%flB^ 



PARIS. 

'tl'RiMEUIt-LIKUAiltE 

t'trffLll rul.tlIiUUfl'IOllK. 



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I,] Il il A i lu i: i; A I rii i tii v 1 1 i \\ 



iCAvaus au« 



M ds nbttaC-unluiuii 



tOAOcBy ^ Auf. ;< — aàiii 






COMPTKS UKNDUS KT ANALYSLS. 7(9 



COxMPTKS KKNIXIS Kl ANALYSES. 



UILIIERT, Profossoiir à ITriivcrsilo do GiHliniîon. — Lks roxDKMENTs nn i.a 
Gêohétrie (Grundlagrn dkr (ikomkthik). iMSlsf^lirifl ziir Foicr dor Enlliiil- 
lu¥ig des Gauss-Wcbor-Dcnkmnis. 

Quels sont les principes fonrliinienlaiix de la (n'oinélrie; quelle 
en est l'origine, la nalnre et la porjcc? (^e sont là des questions 
flut onl de loul lemps préoccupé les nicilliéinciti(!iciis cl les pen- 
seurs, mais qui, il y a un siècle en\iroii, oui pris pour ainsi dire 
une figure loule nouvelle!, j;rî\c»î aux idées de Lohalchev.ski cl de 
Boijai. 

On s'ol lonj^lcmps cn*orc<* de lïf'monlrcr la proposition connue 
sous le nom de posiuialitni flf'siirlidr, on a con^laninicnl échoué; 
nous connaissons maintenant la raistm de «N's ét-hccs. Lolialchevski 
est parvenu à construire un édilici' lo:;lque, aussi c<diérent (puî la 
vJéotnélrie d'Kuclidc», mais où !«• céléhrc poslulatuni (»sl su|)))Osé 
*^^ix,cl où la soniuie des anj;l(»s d'un triaugle est toujours plus 
peiite que deux droits. Jlicuiann a imaginé un autn? sxslcme 
•Ogîcjiic, également exempt de* coulr.idiclinu, cl où cctl<! somme 
est au contraire toujours plus grande i\uv deux droits. (!('.s deux 
gCoinêlrirs, celle de Lid)at(diev>ki cl celle de liicmaun, sonl (te 
<|u on appelle les :*rnntr frics notirurlitlienfics. 

Le poslulatum d'ICuclide ne peut donc clr«' dcmoulré, et celle 

impossibilité csl au>si ahsnliiment cerlaiue qu»? nimpcuh' cpielhî 

verilé niathémali(|uc. («c «pii n'cm])éclie |)a> T Vcadémie des 

î^Cienccs de rcc(îV(»ir chaque année plusieurs démou>lrahons 

nouvelles aux(pn.dles v.Wr. reluse nalurelIcmiMit Thospitalilé thîs 

Comptes rendus, 

"n a déjà hcancoup éeril sur \c.< géoméiries noii-cuclidicnncs ; 

1 ^f^^ avoir crié* au scantlale, on s*e.«,i hahiluf* à ee (iiTclles ont de; 

P*'*a(/i>xn|; plusieurs per-^ounes soûl allé-e* juMpTà iloiih-r du pos- 

'^'ïifiij à se demander si r«*>paec réel e^l plan, commi' le sup|)o- 

(llticlide, ou s'il n(; présciih' pas une légère rnurhitn*. Klles 

jaiont même que Texpérieiue pouv.iiL leur donuer une rt'pon^e 

• ^^^*s ScivnCfx nuitiuiti.. • -«lir, 1. \\\l t <»j.ii miiir i-,"'.; 17 



25o PKËxMlËHB PAKTIii:. 

à cette question. Inutile d'ajouter que c'était là méconn 
complètement la nature de la Géométrie, qui n'est pas une sci 
expérimentale. 

Mais pourquoi, parmi tous les axiomes de la Géomélri 
postulatum serait-il le seul qu'on pût nier sans dommage 
la Logique? D'où tiendrait-il ce privilège? On ne le voit pas 
bien et, à ce compte, bien d'autres conceptions sont possibK 

Cependant beaucoup de géomètres contemporains ne seml 
pas penser ainsi. En accordant le droit de cité aux deux géomé 
nouvelles, ils croient sans doute avoir été jusqu'au bout des 
cessions possibles. C'est pourquoi ils ont imaginé ce c 
appellent la Géométrie générale j qui comprend comme cas 
ticuliers les trois systèmes d'Euclide, de Lobatchevski et de 
mann,ctqni n'en comprend pas d'autres. Et cetteépithètede^ 
raie signifie évidemment, dans leur esprit, qu'aucune ! 
géométrie n'est concevable. 

Ils perdront celte illusion s*ils lisent l'Ouvrage de M. Hil 
Ils y verront éclater de toutes parts les cadres dans lesque 
avaient voulu nous enfermer. 

Pour bien comprendre cette tentative nouvelle, il faut se 
peler quelle a été depuis cent ans l'évolution de la pensée m 
nialique, non seulement en Géomélrie, mais en Arilhmétiqi 
en Analyse. I^a notion de nombre s'est éclaircie et précisée 
même lemps elle a reçu des généralisations diverses. La plus 
cieuse pour les analystes est celle qui résulte de Tintrodu 
des imaginaires dont les mathématiciens modernes ne [ 
raient plus se passer; mais on ne s'est pas arrêté là et l'on a 
entrer dans la Science d'autres généralisations du nombre 
comme on dit, d'autres catégories de nombres complexes. 

Les opérations de l'Arithmétique ont été de leur côté sour 
à la crititjue, et les quatcrnions de Hamilton nous ont montr 
exemple d'une opération qui présente une analogie presque 
faite avec la multiplication, que Ton peut appeler du même n 
et qui pourtant n'est pas commutative, c'est-à-dire dont le pro< 
change quand on intervertit l'ordre des facteurs. C'était là, 
Arithmétique une révolution toute pareille à celle qu'avait f 
Lobatchevski en Géométrie. 

Notre façon de concevoir l'Infini s'est également modif 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. i5i 

M. G. Cantor nous a appris à dislingncr des degrés dans rinfini 
lui-même (qui n^ont d'ailleurs rien de commun avecles infiniment 
peliis des diflférents ordres créés par Leibniz en vue du calcul 
infinitésimal ordinaire). La notion du continu, longtemps regar- 
dée comme primitive, a été anal^^sée et réduite à ses éléments. 

Menti on nerai-je également les travaux des Italiens qui se sont 
efforcés de créer un symbolisme logique universel et de réduire le 
raisonnement mathématique à des règles purement mécaniques? 

Il faut se rappeler tout cela si Fon veut comprendre comment 
des conceptions, qui auraient fait bondir Lobatchevski lui-même, 
loat révolutionnaire qu'il fût, nous semblent aujourd'hui presque 
naturelles et ont pu être proposées par M. Hilbert avec une par- 
faite tranquillité. 

L^ LISTE DES AXIOMES. — La première chose à faire était d'énu- 
mérer tous les axiomes de la Géométrie. Ce n'était pas si facile 
quon pourrait le croire; il y a les axiomes que l'on voit et ceux 
quon ne voit pas, ceux qu'on introduit inconsciemment et sans 
s en apercevoir. Euclide lui-même, que Ton croit un logicien 
impeccable, en ap|)lique souvent qu'il n*énonce pas. 

1^ liste de M. Hilbert est-elle définitive? Il est permis de le 
croire, car elle semble avoir été dressée avec soin. Le savant Pro- 
icsseur répartit les axiomes en cinq groupes : 

^' Axiome der Verknûpfung(je traduirai par axiomes projecti/s 
^ "^u de chercher une traduction littérale, comme par exemple 

^^^'^^^les de la connection, nui ne saurait être satisfaisante). 

Il • • 

• Axiome der Anordnung (axiomes de Tordre). 

■'• Aiiome d'Euclide. 

• • Axiomes de la congruence ou axiomes niétri(|ues. 
^ • Axiome d'Arcbimède. 

* ^rmi les axiomes projectifs, nous distinj^uerons ceux du plan 
c^ Ceux de l'espace ; les premiers sont ceux (]iii dérivent de la pro- 
P*^^*lion bien connue : par deux points passe une droite et une 

^^^le; mais je préfrie traduire littéralement afin de bien faire 

^"ïprendre la pensée de M. Hilbert. 

^< Imaginons trois sjrstèmes d'objets que nous appcllerons/;o//}/5y 



252 « PKEMIÈKE PARTIE. 

droites el plans. Imaginons que ces points, droites et plans suien 
lies par certaines relations que nous exprimerons par les mots 
être situé sur, entre, etc. 

» I. — 1. Deux points diflfërents A et B déterminent toujours 
une droite a; ce que nous écrirons 

AB = a ou BA = a. 

)> Au lieu du mot déterminent nous emploierons également 
d'autres tournures de phrase qui seront synonymes; nous dirons : 
A est situé sur a, A est un point de a, a passe par A, a joint A 
à B, etc. 

» I. — 2. Deux points quelconques d'une droite déterminent 
celte droite, c'est-à-dire que si AB := a et que AC = a, et si B est 
diflérent de C, on a aussi BC := a. » 

Voici les réflexions que doivent nous inspirer ces énoncés : les 
expressions, être situé sur, passer par, etc., ne sont pas destinées 
à évoquer des images; elles sont simplement des synonymes du 
mot déterminer. Les mots point, droite et plan eux-mêmes ne 
doivent provoquer dans Tesprit aucune représentation sensible. 
Ils pourraient indiiïeremment désigner des objets d'une nature 
<juelcon(|ue, pourvu qu'on pûl établir entre ces objets une corres- 
pondance telle qu'à tout système de deux des objets appelés 
points correspondît un dos objets appelés droites, et un seul. Et 
c'est |)ourquoi il devient nécessaire d'ajouter (1, 2) que, si la droite 
(jui correspond au système des deux points A et B est la même 
que celle (|ui correspi^nd au système des deux points B et C, c'est 
aussi la même qui correspond au système des deux points A etC. 

Ainsi M. Hîlhert a, pour ainsi dire, cherché à mettre les axiomes 
sous une forme telle qu'ils puissent être appliqués par quelqu'un 
qui n'en comprendrait pas le sens parce qu'il n'aurait jamais vu ni 
point, ni droite, ni plan. Les raisonnements doivent pouvoir, 
d'après lui, se ramoner à dos rèj^los puromonl mécaniques, et il 
suffit, paur faire la (looniélrio, d'appliquer sorvilomenl ces règles 
aux axiomes, saiis saNoir ce cpiils veulent dire. On pourra ainsi 
oonsh'uiro louti* la (lèoinèlrio, jt' no dirai pas {)rèoisonionl sans y 
rioii oonipromiro, puisqu'on sai'^ira ronohaiiioniont logique des 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 253 

positions, mais tout au moins sans y rien voir. On pourrait 
;oofier les axiomes à une machine à raisonner, par exemple au 
pietf^o raisonneur de Stanley Jevons, et Ton en verrait sortir toute 
la Géométrie. 

0^€sl la même préoccupation qui a inspiré certains savants 
îlalienSy tels que MM. Peano et Padoa, qui se sont efforcés de 
créer une pasigraphie, c'est-à-dire une sorte d'Algèbre uni- 
verselle où tous les raisonnements sont remplacés par des sym- 
boles ou des formules. 

Cette préoccupation peut sembler artificielle et puérile; et il 
est inutile de faire observer combien elle serait funeste dans l'en- 
seignement et nuisible* au développement des esprits; combien 
elle serait desséchante pour les chercheurs, dont elle tarirait 
promptement l'originalité. Mais, chez M. Hilberl, elle s'explique 
et se jiislifîe, si l'on se rappelle le but poursuivi. La liste des 
axiomes est-elle complète, ou en avons-nous laissé échapper quel- 
ques-uns que nous appliquons inconsciemment? Voilà ce qu'il 
faut savoir. Pour cela nous avons un critère, et nous n'en avons 
qu'un. Il faut chercher si la Géométrie est une conséquence logique 
des axiomes explicitement énoncés, c'est-à-dire si ces axiomes 
confiés à la machine à raisonner peuvent en faire sortir toute la 
«uite des propositions. 

Si oui, on sera certain de n'avoir rien oublié. Car notre machine 
^^ peut fonctionner que conformément aux règles de la Logique 
pour lesquelles elle a été construite; elle ignore ce vague instinct 
9°e nous appelons intuition. 

••c ne m*étendrai pas sur les axiomes projeclifs de l'espace que 
'auteur numérote I, 3, 4, 5,6. Rien n'est changé aux énoncés 
habituels. 

Un mot seulement sur l'axiome I, 7, qui se formule ainsi : 

** Sur toute droite il y a au moins deux points; sur tout plan, 
^y a au moins trois points non en ligne droite; dans l'espace il y 
^u moins quatre points qui ne sont pas dans un même plan. » 

^ ^t énoncé est caractéristique. Quiconque aurait laissé àl'intui- 
^û une place, si petite qu'elle fui, n'aurait pas songé à dire que 
^r toute .droite il y a au moins deux points, ou bien il aurait 
jouté tout de suite qu'il y en a une infinité; car l'intuition de la 



254 PREMIÈRE PAKTIK. 

droite lui aurait révélé immédiatement et simultanémeat ces deai 
vérités. 

Passons au second groupe, celui des axiomes de Tordre. Voici 
l'énoncé des deux premiers : 

« Si trois points sont sur une même droite, il y aentreeaxane 
certaine relation que nous exprimons en disant que l'un des points, 
et un seulement, est entre les deux autres. Si C est entre A et 6, 
et si D est entre A et C, D sera aussi entre A et B, etc. » 

Ici encore nous ne faisons pas intervenir Tintuition; nous ne 
cherchons pas à approfondir ce que signifie le mot entre, tonte 
relation satisfaisant aux axiomes pourrait être désignée psr 
le même mol. Voilà qui est bien propre à nous éclairer sur la 
nature purement formelle des définitions mathématiques; mais je 
n'insiste pas, car je n'aurais qu'à répéter ce que j'ai dit à propos 
du premier groupe. 

Mais une autre réflexion s'impose. Les axiomes de l'ordre sont 
présentés comme dépendant des axiomes projectifs, et ils n'auraient 
plus aucun sens si l'on n'admettait pas ces derniers, puisqu'on ne 
saurait ce que c'est que trois points en ligne droite. Et cependant 
il existe une géométrie particulière, purement qualitative, et qu» 
est absolument indépendante de la Géométrie projective, qui ne 
suppose connues ni la notion de droite, ni celle de plan, mais seule- 
ment celles de ligne et de surface; c'est ce qu'on appelle YAnd- 
lysis silifs. Ne serait-il pas préférable de donner aux axiomes au 
deuxième groupe une forme qui les affranchît de cette dépen- 
dance et les séparai complètement du premier groupe? 11 reste a 
savoir si cela serait possible, en conservant à ces axiomes leur 
caractère purement logique, c'est-à-dire en fermant complètement 
la porte à toute intuition. 

Le troisième groupe ne contient qu\in seul axiome, qui est 1^ 
célèbre postulalum d'Euclide; je remarquerai seulement q^^» 
contrairement à l'usage ordinaire, il est présenté avant les axioiï*^^ 
uiè triques. 

Ces derniers forment le quatrième groupe. Nous y disting"^^' 
roiis trois sous-groupes. Les propositions IV, 1, 2, 3 sont ^^^ 
îixiomes métriques des segments : ces axiomes servent à défi '^ 
les loniru(Mirs. On conviendra de dire qu'un segment pris sur t* 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 255 

droite peut être congruent (égal) à un segment pris sur une autre 
droite; c'est Taxiome IV, 1; mais cetle convenlion n'est pas tout 
à fait arbitraire; elle doit élre faite de façon que deux segmenls 
cong'ruents à un même troisième soient congruents entre eux 
(IV^ 2); on définit ensuite par une convention nouvelle l'addition 
des segments, et cette convention, à son tour, doit être faite de 
façon qu'en additionnant des segments égaux on trouve des sommes 
%ales; et c'est là l'axiome IV, 3. 

Les propositions IV, 4, 5 sont les axiomes correspondants pour 
les angles. Mais cela ne suffit pas encore : aux deux sous-groupes 
des axiomes métriques des segmenls et des angles il faut adjoindre 
l'axiome métrique des triangles (que M. Hilbert numérote IV, 6); 
SI deux triangles ont un angle égal compris entre côtés égaux, les 
autres angles de ces deux triangles sont égaux chacun à chacun. 
Od retrouve là l'un des cas connus de l'égalité des triangles, 
que l'on démontre d'ordinaire par surpcrposition, et qu'on doit 
poser en postulat si l'on veut éviter de faire appel à Tinluition. 
Quand d'ailleurs on se servait de l'intuition, c'est-à-dire de la 
superposition, on vovait du même coup que les troisièmes côtés 
étaient égaux dans les deux triangles, et les deux propositions 
étaient unies pour ainsi dire dans une même apcrception; ici, au 
^^•ï traire, nous les séparons; de l'une d'elles nous faisons un pos- 
tulat, mais nous n'érigeons pas l'autre en postulat, parce qu'elle 
P^ut se déduire logiquement de la première. 

-A^utre remarque : M. Hilbert dit bien que le segment AB est 

covigruent à lui-même, mais (et de même pour les angles) il devrait, 

^^'^Ijle-t-il, ajouter qu'il est congruent au segment inverse BA. 

^et axiome (qui implique la symétrie de l'espace) n'est pas iden- 

*S^e à ceux qui sont explicitement énoncés. Je ne sais s'il pour- 

'^•^ s'en déduire logiquement; je crois que oui, mais, étant donnée 

'Marche des raisonnements de M. Hilbert, il me semble que ce 

P^siiilaj esi appliqué sans être énoncé (page 17, ligne 18). 

•■e regretterai aussi que, dans cet exposé des axiomes métriques, 

** ne reste plus aucune trace d'une notion dont Helmhoitz avait, le 

t^^mier, compris l'importance : je veux parler du déplacement 

^ **ne figure invariable. On aurait pu conserver à celle notion son 

^<"e naturel, sans sacrifier le caractère logi(|ue des axiomes. On 

*^rait pu dire, par exemple : Je définis enlre les figures une 






256 PREMIÈRE PARTIE. 

certaine relation que j'appelle congruence, etc.; deux figeasses 
congrucntes à une même troisième sont congruentes entre eil^s; 
deux figures congruentes sont identiques quand trois points de 
l'une, non en ligne droite, sont identiques aux trois points oox^- 
rcspondants de Tautre, etc. On aurait évité ainsi l'introdact-ioii 
artificielle de cet axiome IV, 6, et les postulats auraient été x*at- 
tachés à leur véritable origine psychologique. 

Le cinquième groupe ne comprend qu'un seul axiome, celai 
d'Archimède. 

Soient deux points quelconques A et B sur une droite D; soil a 
un segment quelconque; construisons sur D, à partir du point A, 
et dans la direction AB, une série de segments tous égaux eotre 
eux et égaux à a : AA|, Ai A2, . - -, A«_i A«; on pourra toujours 
prendre n assez grand pour que le point B se trouve sur l'an de 
ces segments. 

C'est-à-dire que, si Ton se donne deux longueurs quelcon- 
ques / et L, on peut toujours trouver un nombre entier n asseï 
grand pour que, en ajoutant n fois à elle-même la longueur /, on 
obtienne une longueur totale plus grande que L. 

Indépendance des axiomes. — La liste des axiomes une fois 
dressée, il faut voir si elle est exemple de contradictions. No^i* 
savons bien que oui, puisque la Géométrie existe; et M. IIill>^'^ 
répond oui également, en construisant une géométrie. Mais,cliC>^c 
étrange, celle géométrie n'csl pas loul à fait la nôtre, son esp»^^ 
n'est pas le ncilre, ou du moins ce n'en est qu'une partie. O^^^ 
l'espace de M. Ililbcrt, il n'j a pas tous les points qui sontd^*'^ 
le nôtre, mais ceux seulement qu'on peut, en partant de d^^^ 
points donnés, construire par le moyen de la règle et du comp^*^' 
Dans cet espace, par exemple, il n'existerait pas, en général 9 ""^^ 
angle qui serait le tiers d'un angle donné. 

Je crois bien que celle conception aurait été regardée J>*^ 
Euclide comme plus raisonnable que la nôtre. Toujours {^^^'^ 
que ce n'esl pas le nôtre. Pour retrouver notre géométrie, il C^^' 
drail ajouler un axiome. 



4m- '^ 



« Si,surune droilCjil va une double infinilé de pointsAijAs * 
A^, . . ., B,, B2, . . ., ll,is . . ., tels que B^ soit compris entre S^^» ^ 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 267 

Bf., , et Kp entre B^ et Ap_,, quels que soient/? et q^ il y aura sur 
cette droite au moins un point C qui sera entre A^ et B^, quels 
qae soient /> et q, » 

On doit se demander ensuite si les axiomes sont indépendants, 
c est-à-dire si Ton peut sacrifier Tun des cinq groupes en conser- 
vant les quatre autres et obtenir néanmoins une géométrie cohé- 
rente. C^est ainsi qu'en supprimant le groupe 111 (postulatum 
d'Euclide) on obtient la géométrie non-euclidienne de Lobat- 
schevski. 

On peut également supprimer le groupe IV. M. Hilbert a réussi 
à conserver les groupes 1, II, III et V, ainsi que les deux sous- 
groupes des axiomes métriques des segments et des angles, tout 
en rejetant Taxiome métrique des triangles, c'est-à-dire la propo- 
sition IV, 6. 

'Oici comment il y parvient : considérons, pour simplifier, une 

Wométrie plane et soit P le plan dans lequel nous opérons; nous 

conserverons aux mots points et droites leur sens habituel; de 

^|*ïe nous conserverons aux angles leurs mesures habituelles; 

^'^ il n'en sera pas de même pour les longueurs. Une longueur 

''^ mesurée />a/* définition par sa projection sur un plan Q 

«erent de P, cette projection conservant elle-même sa mesure 

f^^t-uelle. Il est clair que tous les axiomes subsisteront, sauf les 

^^ïties métriques. Les axiomes métriques des angles subsisteront 

o^lement, puisque nous ne changeons rien à la mesure des angles; 

^^ des segments sont vrais également, puisque, chaque segment 

plan P est mesuré par un autre segment qui est sa projection 

** 1^ plan Q, et que ce dernier segment est mesuré à la manière 

*^>l.iiellc. Au contraire, les théorèmes sur l'égalité des triangles, 

** C|ae l'axiome IV, 6, ne sont plus vrais. Cette solution ne me 

^sfait qu'à moitié; les angles ont été définis indépendamment 

^* longueurs, sans qu'on se soit préoccupé de mettre les deux 

^fiïiîtions d'accord (ou plutôt en les mettant en désaccord à des- 

*^*^). Il suffirait de changer Yune des deux définitions pour 

^^mber sur la Géométrie classique. Je préférerais qu'on donnât 

^** longueurs une définition telle qu'il devînt impossible de 

^^Uver une définition des angles satisfaisant aux axiomes métriques 

^^* angles et des triangles. Cela ne serait d'ailleurs pas difficile. 



\ 



258 PRE&IIÈHE PAKTIË. 

Il aurait été facile à M. Ililbert de créer une géométrie otk les 
axiomes de l'ordre seraient abandonnés, tandis que tous les au. tt: v^s 
seraient conservés. Ou plutôt cette Géométrie existe déjà, ou 
plutôt encore il en existe déjà deux. Il y a celle de Riemann, po iir 
laquelle, il est vrai, le postulatum d'Euclide (groupe III) ^s( 
abandonné également, puisque la somme des angles d^un triang^le 
est plus grande que deux droits. Pour bien faire comprendre usa 
pensée, je me bornerai à considérer une géométrie à deux dîme li- 
sions. La Géométrie de Riemann à deux dimensions n^esl au Ire 
chose que la Géométrie sphérique, à une condition toutefois : c*esl 
que l'on ne regarde pas comme distincts deux points diamétrale- 
ment opposés sur la sphère. Les éléments de cette Géométrie 
seront donc les diflTcrcnts diamètres de cette sphère. Or, si Pon 
envisage trois diamètres d'une même sphère situés dans un mérwe 
plan diamétral, on n'a aucune raison de dire que l'un d'eux est 
entre les deux autres. Le mol entre n'a plus de sens, et les axioi"«^es 
de Tordre tombent d'eux-mêmes. 

Si nous voulons maintenant une Géométrie où les axiomes àt 
de l'ordre ne subsisteront pas, et où l'on conservera le postulatum 
d'Euclide avec les autres, nous n'avons qu'à prendre pour Clé- 
ments les points elles droites imaginaires de l'espace ordinal re. 
11 est clair que les points imaginaires de l'espace ne nous s<3nl 
pas donnés comme ranges dans un ordre déterminé. Mais il J'^ 
plus : on peut se demander s'ils sont susceptibles d'être ainsi r^an- 
gés; cela serait sans doute possible, comme Ta montré G. Cait^^*'' 
. (à la coiidilion, bien entendu, de ne pas toujours ranger dans ie 
voisinage l'un de Taulrc des points que nous regardons con^'^^ 
infiniment voisins, de rompre par conséquent la continuité Q^ 
Tespace). On pourrait bien, dis-je, les ranger, mais cela ne pour- 
rait pas se faire de telle façon que cet ordre ne soit pas altéré p^^ 
les diverses opérations de la (jéomélrie (perspective, translalK'*"» 
rotation, etc.). Les axiomes de Tordre ne sont donc pas applicabif^ 
à celle Géométrie. 

La (jkométiue ^on AiicuiMiî:niEN>E. — Mais la conception ** 
plus originale de M. Hilbert, c'est celle de la Géométrie nonarr»^*' 
niédienne, où Ions les axiomes restent vrais, sauf celui d'Arci"**' 
méde. Pour cela il fallait d'abord construire un système ^ 



COMPTES KENDUS ET ANALYSES. 259 

nombres non archimédiens, c'est-à-dire un système d'éléments 
entre lesquels on pût concevoir des relations d^égalité et d^inéga- 
liiê et auxquels on pût appliquer des opérations correspondant à 
Taiclclition et à la multiplication arithmétiques, et cela de façon à 
saiiisfaire aux conditions suivantes : 

1^ Les règles arithmétiques de l'addition et de la multiplication 
(commutativité, associativité, distributivité, etc.; Aritmetische 
-Ajciame der Verknupfung) subsistent sans changement. 

a** Les règles du calcul et de la transformation des inégalités 
{yi r-itmetiscke Axiome der Anordnung) subsistent également. 

3** L*axiome d'Archimède n'est pas vrai. 

On peut arriver à ce résultat en choisissant pour élément des 
séries de la £orme suivante : 

Ao/'"-h Ai<'»-> -f- Ajfw-'H- ..., 

où 9n, est un entier positif ou négatif et où les coefficients A sont 
r<5els, et en convenant d'appliquer à ces séries les règles ordinaires 
<ie l^addition et de la multiplication. Il faut ensuite définir les con- 
alitions d'inégalité de ces séries, de façon à ranger nos éléments 
dans un ordre déterminé. Nous y arriverons par la convention sui- 
vante : nous attribuerons à notre série le signe de Aq et nous 
dirons qu'une série est plus petite qu'une autre quand, retranchée 
de celle-ci, elle donne une différence positive. 

H €st clair qu'avec cette convention, les règles du calcul des 
inégalités subsistent; mais l'axiome d'Archimède n'est plus vrai; 
*^<» oti effet, si nous prenons les deux éléments 1 et ^; le premier, 
*ddi lionne à lui-même autant de fois qu'on le voudra, restera 
^"jours plus petit que le second. On aura toujours />•/?, quel que 
*^'^ l'entier /i, puisque la différence t — n sera toujours positive, 
le Coefficient du premier terme /, qui, par définition, donne son 
^'Ç'^e, restant toujours égal à 1 . 

Nos nombres vulgaires rentrent comme cas particuliers parmi 

^^* inombres non archimédiens. Les nouveaux nombres vien- 

ncï^l. s'intercaler pour ainsi dire dans la série de nos nombres 

^^^Igaires, de telle façon qu'il y ait, par exemple, une infinité de 

uonibres nouveaux plus petits qu'un nombre vulgaire donné A et 

plus grands que tous les nombres vulgaires inférieurs à A. 



26o PREMIÈRE PARTIE. 

Cela pose, imaginons un espace à trois dimensions où les cc^ or- 
données d'un point seraient mesurées, non pas par des noroSz» res 
vulgaires, mais par des nombres non arcliimédienSy mais oui les 
équations habituelles de la droite et du plan subsisteraient ^ de 
même que les expressions analytiques des angles etdes longue es ts. 
Il est clair que dans cet espace tous les axiomes resteraient vxtsk is, 
sauf celui d'Arcliimède. 

Sur une droite quelconque, entre nos points vulgaires, vien- 
draient s'intercaler des points nouveaux. Si, par exemple, Do ^st 
une droite vulgaire, D| la droite non archimédienne correspoo- 
danle; si P est un point vulgaire quelconque de Dq, et si ce point 
partage Dq en deux demi-droites S et S' (j'ajoute, pour préciser, 
que je considère P comme ne faisant partie ni de S ni de S'), il? 
aura sur D| une infinité de points nouveaux tant çntre P et S 
qu'entre P et S'. Il y aura également sur D| une infinité de points 
nouveaux qui seront à droite de tous les points vulgaires de TD$. 
En résumé, notre espace vulgaire n'est qu'une partie de l'espace 
non archimédien. 

Au premier abord, Tesprit se révolte contre de pareilles concep- 
tions. C'est que, par une vieille babilude, il cherche une rep*^" 
scntation sensible. Il faut qu'il se débarrasse de cette préoccupa 1. 1 on 
s'il veut arriver à comprendre, et cela est encore plus nécessaire 
que pour la (iconirlrie non euclidienne. M. Ililbert ne s'est |>**o- 
posé qu'une cliosc : construire un système d'éléments susceplîl^ '*^* 
de certaines relations logiques, et il lui suffit de montrer que ^^^ 
relations n'impliquent pas de contradiction interne. 

Qu'on rcruar(|ue cependant ceci : la Géométrie non euclidîc**^"^ 
respectait pour ainsi dire noire conception qualitative du conï '"" 
géométrique tout en bouleversant nos idées sur la mesure d^ ^^ 
continu. LaOromètrie non archimédienne détruit cette concept* ^°» 
elle dissèque le continu pour y introduire des éléments nouvel» *■'*• 

Quoi (|u'il en soit, M. Ililbert poursuit les conséquences de ^^^ 
prémisses et il cherche comment on pourrait refaire la Géomé'-"^ 
sans se servir de l'axiome d'Archimède. Pas de difficulté en ce fl"' 
concerne les Chapitres que les écoliers appellent le premier e^ '^ 
deuxicnie Livre. Cet axiome n'y intervient nulle part. 

Le troisième Livre traite des proportions et de la simili H'^^* 
Voici, en substance, la marche que suit M. Hilbert pour lercco"- 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 261 

5Lmt,i.»crsans avoir recours à Taxiome d'Archimède. II prend la con- 

stwiAcslîon habituelle de la qualrième proportionnelle comme défi- 

nît^îon de la proportion, mais une pareille définition a besoin d'être 

JtâsCîfiée; il faut montrer d'abord que le résultat est le même, 

(l^^elles que soient les lignes auxiliaires employées dans la construc- 

tioKi y et ensuite que les règles ordinaires du calcul s'appliquent aux 

p*x>portions ainsi déGnies. C'est cette justification que M. Hilbert 

nous donne d'une façon satisfaisante. 

I^*e quatrième Livre traite de la mesure des aires planes; si 
c^tte mesure peut s'établir facilement sans le secours du principe 
à A^rchimède, c'est parce que deux polygones équivalents ou bien 
peu ventétre décomposés en triangles de tellefaçon queles triangles 
élémentaires de l'un et ceux de l'autre soient égaux chacun à chacun 
(ou, en d'autres termes, peuvent êlre ramenés l'un à l'autre par le 
P^'ocëdé du casse-téte chinois), ou bien peuvent être regardés 
<^oinnie des différences de polygones susceptibles de ce mode de 
décomposition (c'est toujours le même procédé, en admettant 
'^on seulement des triangles additifs, mais encore des triangles 
*o us trac tifs). Mais nous devons observer qu'une circonstance 
*ïialogue ne paraît pas se retrouver pour deux polyèdres équiva- 
'^ïils, de sorte qu'on peut se demander si l'on peut déterminer, par 
^^emple le volume de la pyramide sans un appel plusoumoinsdéguisé 
^^ Calcul infinitésimal. Il n'est donc pas certain qu'on pourrait se 
Passer aussi facilement de l'axiome d'Archimède dans la mesure 
^cs volumes que dans celle des aires planes. M. Hilbert ne l'a 
^ ailleurs pas tenté. 

vJne question restait à traiter toutefois ; étant donné un poly- 

Çone, est-il possible de le décomposer en triangles et d'enlever 

•ïO des morceaux de façon que le polygone restant soit équiva- 

^^ot au polygone donné, c'est-à-dire de façon qu'en transformant 

^^ polygone restant par le procédé du casse-tête chinois, on puisse 

'^^omber sur le polygone primitif. D'ordinaire, on se borne à dire 

^î'^^ cela est impossible parce que le tout est plus grand que la 

P^^'iîe. C'est là invoquer un axiome nouveau, et, quelque évident 

^ >1 nous paraisse, le logicien serait plus satisfait si l'on pouvait 

'cviier. M. Schur a trouvé la démonstration, il est vrai, mais en 

* appuyant sur l'axiome d'Archimède; M. Hilbert voulait y arriver 

***^5 se servir de cet axiome. Voici par quel artifice il y par- 




262 PHEMIÈIIE PARTIE. 

vient; il admet que la surface du triangle est par définition 
demi-produit de sa base par sa hauteur, et il justifie cette défi 
tion en montrant que deux triangles équivalents (au point de v 
du casse-tétc chinois) ont même surface (au sens de la no 
velle définition) et que la surface d'un triangle décomposa 
en plusieurs autres est la somme des surfaces des triangle 
composants. Une fois celte justification terminée, tout le res 
suit sans difficulté. C^cst donc toujours la même marche. Po 
éviter d'incessants appels à l'intuition, qui nous fournirait sa 
cesse de nouveaux axiomes, on transforme ces axiomes en défi 
tions, et l'on justifie après coup ces définitions en monln 
qu'elles sont exemptes de contradictions. 

La GéoMÉTRiE NON ARGui^isiENNE. — Lc théorùmc fondamcntj^^^ 
de la Géométrie projectivc est le théorème de Desargues. Deurr 
triangles sont dits homologues lorsque les droites qui joignen ^ 
chacun à chacun les sommets correspondants se coupent en u 
même |)oint. Desargues a démontré que les points d'intersectioïc 
des côtés correspondants de deux triangles homologues sont su 
une même ligne droite; la réciproque est également vraie. 

Le théorème de Desargues peut s'établir de deux manières : 

1° En se servant des axiomes projectifs du plan et des axiomes 
métriques du plan ; 

2** En se servant des axiomes projectifs du plan et de ceux de 
l'espace. 

Le ihéorrnie pourrait donc être découvert par un animal à deux 
dimensions, à qui une troisième dimension paraîtrait aussi incon- 
cevable qu'à nous une quatrième, (|ui par conséquent ignorerait 
les axiomes projectifs de l'espace, mais (|ui aurait vu se déplacer, 
dans le plan qu'il habile, des figures invariables analogues à nos 
corps solides, et qui, par conséquent, connaîtrait les axiomes 
métriques. Le théorème pourrait être découvert égah^ment par un 
animal à trois dimensions qui connaîtrait les axiomes projectifs 
(le Tespace, mais qui, n'avant jamais vu se déplacer de corps 
solides, ignorerait les axiomes métriques. 

Mais pourrait-on établir le théorème de Desargues sans se serxir 
jii des axiomes projcelifs de Tespace, ni des axiomes niétriiiues. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 263 

mais seulement des axiomes projeclifs du plan? On pensait que 
non ^ mais on n'en élail pas sûr. M. Hilbert a tranché la question 
eo oonslruisanl une géométrie non arguésienne, qui esl, bien 
entendu, une géométrie plane. Considérons une ellipse E. A l'ex- 
térieur de cette ellipse, le mot droite conserve son sens habituel; 
il Kinlérieur le mot droite prend un sens différent et il s'applique 
il un arc de cercle qui, prolongé, irait passer par un point fixe P 
extérieur à Tellipse. Une droite qui traverse l'ellipse E se compo- 
sera donc de deux parties rectilignes, au sens ordinaire du mot, 
raccordées à l'intérieur de l'ellipse par un arc de cercle; tel un 
■^jron lumineux qui serait dévié de sa trajectoire rectiligne en 
traversant un corps réfringent. 

Les axiomes projectifs du plan seront encore vrais si l'on sup- 
pose le point P assez éloigné de l'ellipse E. 

Plaçons maintenant deux triangles homologues en dehors de 

l^ellîpse E, et de telle façon que leurs côtés ne rencontrent pas E ; 

les trois droites qui joignent deux à deux les sommets correspon- 

^^anis, si on les entend au sens ordinaire du mot, iront se 

couper en un même point Q d'après le théorème de Desargues; 

supposons que ce point Q soit à l'intérieur de E. Si maintenant 

'^o^s entendons le mot droite au sens nouveau, les trois droites 

î**î joignent les sommets correspondants seront déviées en péné- 

*»*aQ t à l'intérieur de l'ellipse. Elles n'iront donc plus passer en Q, 

elles ne seront plus concourantes. Le théorème de Desargues n'est 

plus vrai dans notre nouvelle géométrie, c'est une géométrie non 

^'^Ruésienne. 



Géométrie non pascaliennc. — M. Hilbert ne s'arrête 

P^s là et il introduit encore une nouvelle conception. Pour 

^^en la comprendre, il nous faut d'abord retourner un instant 

^^tis le domaine de l'Arithmétique. Nous avons vu plus haut 

^élargir la notion de nombre, par l'introduction des nombres 

ton archimédiens. Il nous faut une classilicalion de ces nombres 

ïïouveaux, et pour l'obtenir nous allons classer d'abord les axiomes 

^* l'Arithmétique en quatre groupes qui seront : 

i*" Les lois d'associativité et de commutalivité de Taddition, la 
\oi d'associativité de la multiplication, les deux lois de distributi- 



264 PREMIÈRE PARTIE. 

^ité de la multiplication; ou en résumé toutes les rè^es de Tad 
tion et de la multiplication, sauf la loi de commatativité de 
multiplication ; 

2** Les axiomes de Tordre, c'est-à-dire les règles da calcal dF '^ 
inégalités; 

3^ La loi de commutativité de la muItipUcatioD, d*api 
laquelle on peut intervertir Tordre des facteurs sans changer 
produit; 

4^ L'axiome d'Archimède. 

Les nombres qui admettront les axiomes des deux premier^ 
groupes seront dits arguésiens; ils pourront être /losca/ie/is o 
non pascaliens selon qu'ils satisferont ou ne satisferont pas 
l'axiome du troisième groupe, ils seront archimédiens ou no 
archimédiens, suivant qu'ils satisferont ou non à l'axiome d 
quatrième groupe. Nous ne tarderons pas à voir la raison de ce0 
dénominations. 

Les nombres ordinaires sont à la fois arguésiens, pascaliens et. 
archimédiens. On peut démontrer la loi de commutativité en par- 
tant des axiomes des deux premiers groupes et de l'axiome d'Ar^ 
chimède; il n'y a donc pas de nombres arguésiens, archimédiens 
et non pascaliens. 

En revanche, nous avons cité plus haut un exemple de nombres 
arguésiens, pascaliens et non archimédiens; c'est ce que j'appel- 
lerai les nombres du système^ y et je rappelle qu'à chacun de ces 
nombres correspond une série de la forme 

où les A sont des nombres réels ordinaires. 

II est aisé de former, par un procédé analogue, un système de 
nombres arguésiens, non pascaliens et non archimédiens. Les 
éléments de ce système seront des séries de la forme 

S =To5«-+-T,5'«-« -+-..., 

oii 5 est un symbole analogue à /, /i un entier positif ou négatif, 
et To, Ï4 , ... des nombres du système T; si donc on remplaçait 
les coenicienls To, T|, ... par les séries en /correspondantes, 
on aurait une série dépendant ù la fois de t et de 5. On addition- 



COMPTES HBNDUS ET ANALYSES. 2O') 

n«? mr^L les séries S d'après les règles ordinaires, el de même pour la 
m ui 1 ILiplication de ces séries on admettra les règles de distributi- 
vilL€^ et d'associalivité, mais on admettra que la loi de commuta- 
it %-î t.^ n'est pas vraie et qu'au contraire st =z — ts. 

Il reste à ranger les séries dans un ordre déterminé, pour 
saLisfaire aux axiomes de Tordre. Pour cela, on attribuera à la 
s^^ri^S le signe du premier coefficient Tq; on dira qu'une série est 
plus petite qu'une autre, quand, retranchée de celle-ci, elle don- 
nera, une différence positive. C'est donc toujours la même règle : 
< es»t regardé comme très grand par rapport à un nombre réel 
ordinaire quelconque, et 5 est regardé comme très grand par rap- 
port à un nombre quelconque du système T. 

La loi de commutativité n*étant pas vraie, ce sont bien des 
i^otnbres non pascaliens. 

-X^'ant d'aller plus loin, je rappelle que Hamilton a depuis long- 
tetiips introduit un système de nombres complexes 011 la multi- 
plication n'est pas commutative ; ce sont les quaternions, dont les 
Angolais font un si fréquent usage en Physique mathématique. 
Mais, pour les quaternions, les axiomes de l'ordre ne sont pas 
^■"aîs; ce qu'il y a donc d'original dans la conception de M. Hil- 
fc><ïi*t, c'est que ses nouveaux nombres satisfont aux axiomes de 
l^ordre sans satisfaire à la règle de commutativité. 

l\evenons à la Géométrie. A.dmettons les axiomes des trois pre- 

**^îers groupes, c'est-à-dire les axiomes projeclifs du plan et de 

■espace, les axiomes de l'ordre et le postulat d'Euclide; le théo- 

**èm€ de Desargues s'en déduira, puisqu'il est une conséquence 

^^s axiomes projeclifs de l'espace. 

^ous voulons constituer notre géométrie sans nous servir des 
^^^'^mes métriques; le mot de longueur n'a donc encore pour nous 
''ucun sens; nous n'avons pas le droit de nous servir du compas; 
<?n t^cvanche, nous pouvons nous servir de la règle, puisque nous 
^"■^'à étions que par deux points on peut faire passer une droite, 
^" 'Vertu de l'un des axiomes projeclifs; nous savons également 
'"^Kmer par un point une parallèle à une droite donnée, puisque 
itot^s admettons le postulatum d'Euclide. Voyons ce que nous 
V^^'vons faire avec ces ressoures. 

^ous pouvons définir l'homothétie de deux figures; deux 
^^^Qgles seront dits homoihé tiques quand leurs côtés seront 
OuU.det Sciences mathém., a* série, t. XXVI. (Septembre 1902.) is 



a66 PREMIÈRE PARTIE. 

parallèles deux à deux, et nous en condarons (par la théotème 
de Desargues que nous admettons) que les droites qui joignent les 
sommets correspondants sont concourantes. Nous nous servirons 
ensuite de Thomothétie pour définir les proportions* Noas pou- 
vons aussi définir Tégalité dans une certaine mesure» 

Les deux côtés opposés d'un parallélogramme seront égnnx/Mir 
définition; nous savons ainsi reconnaître si deux segments sont 
égaux entre eux, pourvu qu41s soient parallèles. 

Grâce à ces conventions, nous sommes maintenant en mesure 
de comparer les longueurs de deux segments ; mais pourvu que 
ces segments soient parallèles. La comparaison de deux Ion«> 
gueurs dont la direction est différente n'a aucun sens, et il 
faudrait pour ainsi dire une unité de longueur difliérente pour 
chaque direction. Inutile d'ajouter que le mot angle n'a aucun 
sens. 

Les longueurs seront ainsi exprimées par des nombres; mais ce 
ne seront pas forcément des nombres ordinaires. Tout ce quie 
nous pouvons dire, c'est que, si le théorème de Desargues est vrai 
comme nous l'admettons, ces nombres appartiendront à un sys* 
tème satisfaisant aux axiomes arithmétiques des deux premiers 
groupes, c'est-à-dire à un système arguésien. Inversement, étant 
donné un système quelconque S de nombres arguésiens, on peut 
construire une géométrie telle que les longueurs des segments 
d'une droite soient justement exprimées par ces nombres. 

Voici comment peut se faire cette construction : un point de 
ce nouvel espace sera défini par trois nombres x, y^ z du sys- 
tème S qui s'appelleront les coordonnées Ae ce point. Si aux trois 
coordonnées des divers points d'rfne figure on ajoute trois con- 
stantes (qui sont, bien entendu, des nombres arguésiens du sys- 
tème S), on obtient une autre figure transformée de la première, 
et de telle façon qu'à un segment quelconque de l'une des figures 
corresponde dans l'autre un segment égal et parallèle (au sens 
donné pins haut à ce mot). Cette transformation est donc une 
translation, de sorte que ces trois constantes définissent une trans- 
lation. Si maintenant nous multiplions les trois coordonnées de 
tous les points d'une même figure par une même constante, nous 
obtiendrons une seconde figure qui sera homothélique de la pre- 
mière. 



COMPTES IlENDUS ET ANALYSES. 267 

iMquatîon du pian sera une équation linéaire connue dans la Géo- 
TÎe analytique ordinaire ; mais, comme dans le système S la mul- 
tif>l mcatioo ne sera pas commutative en général, il importe de faire 
ULKM-^s distinction et de dire que dans chacun des termes de cette 
éc] «jm ation linéaire ce sera la coordonnée qui jouera le rôle de mul- 
ti|>lmcande, et le coefficient constant qui jouera le rôle de multi- 
plier ^teur. 

^c^insi, à chaque système de nombres arguésiens correspondra 

i^ri^ géométrie nouvelle satisfaisant aux axiomes projectifs, à ceux 

d^ l^ordre, au théorème de Desargues et au postulalum d'Euclide. 

C^i^^Ue est maintenant la signification géométrique de Taxiome 

*rm.^liinétique du troisième groupe, c'est-à-dire de la règle de com- 

■^■^•-M-ativité de la multiplication? La traduction géométrique de 

^^^^e règle, c'est le théorème de Pascal; je veux parler du 

^H^orème sur l'hexagone inscrit dans une conique, en supposant 

^**^ cette conique se réduit à deux droites. 

-Ainsi, le théorème de Pascal sera vrai ou faux, selon que le 
^yst.ème S sera pascalien ou non pascalien; et, comme il y a des 
systèmes non pascaliens, il y aura également des géométries 
pascaliennes. 

€ théorème de Pascal peut se démontrer en partant des 
ornes métriques; il sera donc vrai, si Ton admet que les figures 
peuvent se transformer non seulement par homothétie et trans- 
■^lion, comme nous venons de le faire, mais encore par rotation. 
H^ théorème de Pascal peut également se déduire de l'axiome 
"-A-rchimède, puisque nous venons de voir que tout système de 
^^«^ibres arguésiens et archimédiens est en même temps pasca- 
ls «^ ; toute géométrie non pascalienne est donc en même temps 
'^^^^ archimédienne. 



Streckenilbertràger, — Citons encore une autre concep- 

^*^^b:i de Hilbert. Il étudie les constructions que Ton pourrait faire, 

^^ ^x pas à l'aide de la règle et du compas, mais par le moyen de la 

^^S'eeld'un instrument particulier qu'il appelle Streckenûber-- 

^^^^ger, et qui permettrait de porter sur une droite un segment 

^S^l à un autre segment pris sur une autre droite. Le Streckenii- 

ocr^tràger n'est pas l'équivalent du compas ; ce dernier instrument 

permettrait de construire l'intersection de deux cercles ou d'un 




268 PREMIÈRE PARTIE. 

cercle el d'une droite quelconque; le Streckenûbertrâger jmrM ous 
donnerait seulement l'intersection d'un cercle et d'une dmr^^Dite 
passant par le centre de ce cercle. M. Hilberl cherche <:M^^nc 
quelles sont les constructions qui seront possibles avec ces cJ^uï 
instruments, et il arrive a une conclusion bien remarquable. 

Les constructions qui peuvent se faire parla règle et le comj->^ * 
peuvent se faire également par la règle et le S treckeniibertràg^ ^ ^ 
si ces constructions sont telles que le résultat en soit toujot^ ^^^ 
réel. Il est clair, en effet, que cette condition est nécessaire; cr ^^-^ 
un cercle est toujours coupé en deux points réels par une droE 
menée par son centre. Mais il était difficile de prévoir queceL 
condition serait également suffisante. 

Géomctries diverses. — Je voudrais, avant de terminer, v 
quelle place occupent dans la classilication de M. Hilbert I 
diverses gromotries proposées jusqu'ici. Et d'abord les géom 
tries de Ilieniann ; je ne veux |)as parler de la géométrie 
Riemann que j'ai signalée plus haut et qui est Topposé de celle 
Lobatchevski ; je veux parler des géomctries relatives aux espac 
à courbure variable envisagés par Riemann dans sa célèbre Ha 
litationsschrift . 

Dans celle conception, on attribue par définilion une longue 
à une courbe quelconque, et c'est sur cette définition que lo 
repose. Le rôle dcii droites est joue par lesgéodésiques, c'est-à-di 
par les lii^ncs de longueur niinima menées d'un point à un aut 
Les axiomes [)rojectifs ne sont plus vi-ais, el il n'y a aucune raiso 
par exeinj)le, pour que deux points ne puissent être joints q 
par une seule géodési([ue. Le postulat d'Luclide ne peut plus év 
dcmnient avoir aucun sens. L'axiome d'Arcliimède reste vn 
ainsi que les axiomes de Tordre mutatis mu tandis; Ricmai 
n'envisage, en effet, que les systèmes de nombres ordinaires, 
ce qui concerne les axiomes métriques, on voit aisément que cei 
des segments el ceux des angles reslent vrais, tandis que l'axioii 
mélricpie des triangles (IV, 0) est évidemment faux. 

El ici nous retrouvons l'objection qu'on a le plus souvent fai 
à Riemann. 

Vous parlez de longueur, lui a-t-on dit; or longueur suppo 
mesure, el, pour mesurer, il faut pouvoir transporter un instruniei 



c 
c 




ir 

II 



3, 

le 



21 

11 
I. ^ 



COMPTES IlENDCS ET ANALYSES. 269 

d^e- Knesure qui doit demeurer invariable; d'ailleurs, vous le recon- 
rm^ M ^sez vous-même. Il faut donc que Tespace soit partout égal à 
I ** » — même, qu'il soit homogène pour que la congruence y soit pos- 
sît^le. Or, votre espace ne Test pas, puisque sa courbure est 
^"^wîable; il ne peut donc y être question ni de mesure, ni de lon- 
S*» ^ ur. 

Ib^iemann n'aurait pas eu de peine à répondre. Supposons une 

S^'c:^ inétrie à deux dimensions pour simplifier; nous pourrons alors 

»^c> ^j» s représenter l'espace de Ricmann comme une surface dans 

l 0'î^j)ace ordinaire. Nous pourrions mesurer des longueurs sur 

^'^^ï-^e surface à Faide d'une ficelle, et cependant une figure ne 

K^^^ u. rrait pas se déplacer en restant appliquée sur cette surface et 

*-*^ Caçon que les longueurs de tous ses éléments demeurent inva- 

***^ t^les. Gir la surface n'est pas, en général, applicable sur elle- 

"^^me. 

CU'esl ce que M. Ililbert traduirait en disant que les axiomes 
^^^triques des segments sont vrais, et que celui des triangles ne 
■ ^si pas. Les premiers sont concrétisés pour ainsi dire dans notre 
■*oo|le; celui des triangles supposerait le déplacement d'une figure 
^ont tous les éléments auraient une longueur constante. 

Cruelle sera la place d'une autre géométrie que j'ai proposée 

*^t.fefois et qui rentre pour ainsi dire dans la même famille que 

^^Ilcde Lobatchevski et celle de Riemann?J'ai montré qu'on peut 

^''^siginer trois géométries à deux dimensions, qui correspondent 

•'cspectivement aux trois sortes de surfaces du second degré, 

■ellipsoïde, l'hvperboloïdc à deux nappes et riivperboloïde à une 

'^^ppe; la première est celle de Riemann, la seconde est celle de 

1-ofc^atchevski, et la troisième est la géométrie nouvelle. On trou- 

^^**^îl de même quatre géométries à trois dimensions. 

^^ù viendrait se ranger cette géométrie nouvelle dans la classi- 
"^^tion de M. Hilbert? Il est aisé de s*en rendre compte. Comme 
P^^^ réelle de Riemann, tous les axiomes subsistent, sauf ceux de 
'o»^re et celui d'Ëuclide; mais, tandis que dans la géométrie de 
*^*^«iiann, les axiomes sont faux sur toutes les droites, au con- 
^^irc, dans la géométrie nouvelle, les droites se répartissent en 
^^^iL classes, les unes sur lesquelles les axiomes de l'ordre sont 
^t^is, les autres sur lesquelles ils sont faux. 



270 PRExMÏÈRE PARTIE. 

• 

Conclusions. — Mais ce qui est le plus important, c'esf de 
nous rendre compte de la place qu'occupent les concepti^'os 
nouvelles de M. Ililbert dans Thistoire de nos idées sur la phiio' 
Sophie des Mathématiques. 

Après une première période de naïve confiance où l'on no**'* 
rissait l'espoir de tout démontrer, est venu Lobatchevski,l'inv^^'' 
teur des géométries non euclidiennes. 

Mais le véritable sens de cette invention n'a pas été péné*^*"* 
tout de suite; Hclmhollz a montré d'abord que les proposilic^ '■^ * 
de la géométrie euclidienne n'étaient autre chose que les loisc^ ^* 
mouvements des corps solides, tandis que celles des autres g& 
métries étaient les lois que pourraient suivre d'autres corps a 
logues aux corps solides, qui sans doute n'existent pas, mais d 
l'existence pourrait être conçue sans (]u'il en résultât la moin 
contradiction, des corps que l'on pourrait fabriquer si on le v 
lait. Ces lois ne pouvaient, toutefois, être regardées comme exp: * ^" 
rimenlales, puisque les solides naturels ne les suivent ([ '•-^^ 
grossièrement et, d'ailleurs, puisque les corps fictifs de la géoit "■ ^' 
trie non euclidienne, n'existant pas, ne peuvent être accessib ^ ^* 
à l'expérience. Ilelmholtz, toutefois, ne s'est jamais explic^^ •^^ 
sur ce point avec «me parfaite netteté. 

Lie a poussé Taualyse beaucoup plus loin. 11 a cherché ^ 

quelle manirr<» j>euvent se combiner hîs divers mouvements |) 
sibles d\in système qu(îIcon<nie, on plus généralement les divcr 
transformations possibles d'une figure. Si l'on envisage un c- 
tain nombre de tninsformalions cl qu'on les combine en^^uile 
toutes les manières possibles, l'ensemble de toutes ces conibin 
sons formera ce qu'il appelle un <j[roupc, A cha([ue groupe c< 
respond une j;èomélrie, et la noire, ([ui correspond au groupe 
«léplacemenls «Tun corps solide, n'est qu'un cas très particuli^ 
Mais tous les groupes que Ton peut imaginer posséderont c< 
taines propriiUés communes, et ce sont précisément ces propriél ^ 
communes (pii linjilent le caprice des inventeurs de géométries?^ 
ce sont elles, (railleurs, que Lie a étudiées toute sa vie. 

Il n'élJiit [)onrlanL pas entièrement satisfait de son œuvre. 1^ 
avait, disail-il, toujours envisagé l'espace comme une Za hic n ma R' 
nigfalti^koit. Il s'était borné à l'élude des groupes continus 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 271 

proprement dits auxquels s'appliquent les règles de FÂnalysc infi- 
ni E^^âimale ordinaire. Ne s'élait-il pas ainsi artificiellement res- 
tr^i Kit? N'avait-il pas ainsi négligé un des axiomes indispensables 
d^ Jâ Géométrie (.c'est en somme de Taxiome d'Archimède qu'il 
s^sàg^-il)? Je ne sais si l'on trouverait trace de cette préoccupation 
dl^Kms ses (£uvres imprimées, mais dans sa correspondance, ou 
<la«:B s sa conversation, il exprimait sans cesse ce même regret. 

Test précisément la lacune qu'a comblée M. Hilbert; les géo- 

t.riesde Lie restaient toutes assujetties aux formes de l'Analyse 

^^ de l'Arithmétique qui semblaient intangibles. M. Hilbert a 

t^ri»^ ces formes ou, si l'on aime mieux, il les a élargies. Ses 

^sj>dces ne sont plus des Zahlenmannigfaltigkeiten. 

I-^s objets qu'il appelle point, droite on plan deviennent ainsi 
™^s êtres purement logiques qu'il est impossible de se représenter. 
^*^ ne saurait s'imaginer, sous une forme sensible^ ces points qui 
**^ sont que des systèmes de trois séries. Peu lui importe, 11 lui 
*^fïît que ce soient des individus et qu'il ait des règles sûres 
poiax distinguer ces individus les uns des autres, pour établir con- 
^^x^^onnellement entre eux des relations d'égalité ou d'inégalité 
^^ pour les transformer. 

U^ne autre remarque : les groupes de transformations au sens 

^^ I-ie ne semblent plus jouer qu'un rôle secondaire. C'est du 

"^^^^iiis ce qu'il semble quand on lit le texte même de M. Hilbert. 

^"^^îs, si l'on y regardait de plus près, on verrait que chacune de 

*^s géométries est encore l'étude d'un groupe. Sa géométrie non 

'^^^himédienne est celle d'un groupe qui contient toutes les trans- 

**^**tïïa lions du groupe euclidien, correspondant aux divers dépla- 

^^ïiaents d'un solide, mais qui en contient encore d'autres suscep- 

*^oIç5 de se combiner aux premières d'après des lois simples. 

l'Obalchevski et Riemann rejetaient le postulatum d'Ëuclide, 

''^^is ils conservaient les axiomes métriques; dans la plupart de 

*^ géométries, M. Hilbert fait l'inverse. Cela revient à mettre au 

P^mier rang un groupe formé des transformations de l'espace 

P^v* homothélie et par translation ; et à la base de sa géométrie 

ûoo pascalienne, c'est un groupe analogue que nous retrouvons, 

^iQprenant non seulement les homothéties et les translations de 

1 espace ordinaire, mais d'autres transformations analogues se 

combinant aux premières d'après des lois simples. 



272 PREMIÈRE PARTIE. 

M. Hilbert semble plutôt dissimuler ces rapprochements, je ne 
sais pourquoi. Le point de vue logique parait seul l'intéresser. 
Étant donnée une suite de propositions, il constate que toutes se 
déduisent logiquement de la première. Quel est le fondement de 
cette première proposition, quelle en est l'origine psychologique, 
il ne s'en occupe pas. Et même si nous avons, par exemple, trois 
propositions A, B, C, et si la logique permet, en partant de 
Tune quelconque d'entre elles, d'en déduire les deux autres, il lui 
sera indifférent de regarder A comme un axiome et d'en tirer B 
et C, ou bien, au contraire, de regarder C comme un axiome, et 
d*en tirer A et B. Les axiomes sont posés, on ne sait pas d'où ils 
sortent, il est donc aussi facile de poser A que C. 

Son œuvre est donc incomplète; mais ce n'est pas une critique 
que je lui adresse. Incomplet, il faut bien se résigner à l'être. Il 
suffit qu'il ait fait faire à la philosophie des Mathématiques un 
progrès considérable, comparable à ceux que l'on devait à Lobat- 
chevski, à Riemann, à Helmhoitz et à Lie. 

H. POINCARÉ. 



MÉLANGES. 



THÈSES DE SCIENCES MATHÉMATIQUES SOUTENUES DEVANT LA FACULTÉ 
DES SCIENCES DE PARIS ET DEVANT LES FACULTES DES SCIENCES DES 
DÉPARTEMENTS DANS LE COURANT DU XIX" SIÈCLE. 

{Suite et Jin.) 
Faculté des Sciences de Besançon. 



1870 {'11 janvier). 

GiiEViLLiET (J.-I.). — Sur l'équilibre d'élasticité du cylindre droit à 
base quelconque et de la sphère, soumis à l'action de la pesanteur et 
comprimés entre deux plans horizontaux. 

— Sur le problème inverse des perturbations. 



MÉLANGES. 273 



Faoultô des Sciences de Bordeaux. 



1840 (21 aoûi). 

Chenou (J.-L.). — Mouvement des corps célestes dans le vide. Leur 
mouvement dans un milieu résistant. 

— Intégration des équations diiïérentielles pour le cas d'une excentri- 
cité quelconque. 

— Inégalités périodiques et séculaires du mouvement des planètes. 

— Mouvement des étoiles multiples et en particulier des étoiles doubles. 



Faculté des Sciences de Caen. 



1829 (M juillet). 

BoNNAiRE. — Mouvement de deux masses liées par une ligne inflexible 
et inextensible, lorsque l'une d'elles est assujettie à se mouvoir sur une 
ligne droite. 

— Mouvement des planètes et formules servant à les déterminer. 



1829 (6 novembre). 

Cacii. — Théorie des pompes et considérations sur les lois de l'équi- 
libre des fluides pesants. 

— Théorie du flux et reflux, précédée de quelques considérations sur 
le problème des trois corps. 

1832 (21 avril). 

Toussaint (Ch.). — Sur le mouvement du pendule en tenant compte 
de la rotation de la Terre. 

— Mouvement des planètes dans le cas des perturbations. 



274 PREMIÈRE PARTIE. 



Faculté des Sciences de D^on. 



1834 (3 juillet). 

Artvr. — Mémoire sur la loi relative à la densité des couches inté- 
rieures de la Terre et sur son aplatissements 

— Mémoire sur la détermination de deux points d*où partent les droites 
par rapport auxquelles tous les moments d'inertie de la Terre sont égaux 
entre eux. 

1835 (27 février). 

CiRODDE (P.-L.). — Du mouvement de la chaleur dans un cylindre droit, 
solide, homogène. 

— De la détermination de l'orbite des comètes. 

1838 (6 mars). 

Perret (A.). — Théorie du mouvement d'un corps solide autour d'un 
point fixe. 

— Sur la détermination de l'orbite des étoiles doubles. 



Faculté des Sciences de Grenoble. 



18:29 {'ig avril). 

Gouré (E.-G.). — Questions de Mathématiques. 

— Questions d'Astronomie. 

183G (i3 janvier). 

Dumoulin (H.-J.). — Des équations générales du mouvement d'un fluide 

sollicité par des forces quelconques. 

— De l'Hydrodynamique. 

1837 (28 août). 
Lebesgue(V.-A.). — Sur deux transformations des fonctions homogènes 



MÉLANGES. 275 

du second degré à trois variables. Applications à la Mécanique et à FAstro- 
nomie. 

1893 (8 juillet). 

AvRlc (A.). — Les équations linéaires et leurs applications. 



Faculté des Sciences de Lyon. 



1837 (5 octobre). 

Bravais (A.). — Des méthodes employées dans les levées sous voiles. 
— Sur réquilibre des corps flottants. 



Faculté des Sciences de Metz. 



1813 (2 août). 
Lesage. — Questions de Mécanique et d'Astronomie. 

Faculté des Sciences de Montpellier. 



1821 (1"' février). 

Sarrus (F.). — Essai sur la théorie du son. 

— Essai sur le mouvement des planètes autour du Soleil. 

1850 (20 août). 

EsTOCQUOlS (T. d'). — Sur la convergence des séries. 

— Sur les perturbations du mouvement des planètes. 

1844 (il juin). 

Roche (E.-A.). — Sur la distribution de la chaleur dans une sphère. 

— Snr la figure des planètes. 



276 PREMIÈRE PARTIE. 



iSil (II juin). 

Aoust(B.). — Sur les intégrales d'un système d'équations aux diffé- 
rences partielles d'une certaine classe. 

— Sur les oscillations des cordes pesantes, flexibles et élastiques. 



18ii (G août). 

Bergeron (J.-P.-A.). — Sur la rotation de la Terre. 

— Sur la résistance des solides élastiques. 

ia44 ((> août). 

Sabatiër (A.). — Des courbes enveloppes. 

— De la transmission du travail dans les machines en mouvement. 

1847 (7 septembre). 

GiscLARD. — Sur l'attraction des ellipsoïdes. 

— Sur la mL-lhodc de la variation des constantes arbitraires. 

1882 (novembre). 

RouQUET (V.i. — Kiude géom«*irique des surfaces dont les lignes de 
courbure d'un svstème sont plan<'s. 



Faculté des Sciences de Nancy. 



18G4 (3o juillet). 
Reuss (G.-E.). — Sur le calcul des éclipses de Soleil et de Lune. 

1865 {'?.•; janvier). 

Laurent (P -M. -II.). — Continuité des fonctions imaginaires et des 
séries en pariiculier. 



MÉLANGES. 277 



Faculté des Sciences de Rennes. 



1848 (10 janvier). 

Paignon. — De la courbe décrite par un point mat-ériel, attiré par un 
centre fixe. 

— Détermination de l'aplatissement de la Terre par les inégalités du 
mouvement de la Lune. 



1874 (mai). 

Vincent. — Sur les analogies entre les équations diiïcrentielles linéaires 
«t les équations algébriques. 

— Sur un problème relatif au mouvement d'un point matériel. 



Faculté des Sciences de Strasbourg. 



1827 (i3 et 14 août). 

Delcambre (C.-F.-J.). — De la force d'attraction considérée particu- 
lièrement comme force motrice des planètes. 

— Du mouvement elliptique des planètes. 



1828 (25-28 octobre). 

Regneaclt (E.-E.). — Scolics sur la nature des vitesses virtuelles, 
suivies de quelques réflexions sur la métaphysique du calcul difi'ércntiel et 
intégral. 

— Discussion sur les mouvements propres des étoiles. 



1829 (18 juin-25 juillet). 

FiNCK (P.-J.-E.). — Considérations sur les machines en mouvement. 
— Essai sur les formules du mouvement de l'équateur terrestre. 



278 PREMIÈRE PARTIE. 

1829 (23 juillet). 

Kramp (Cu.-Th.). — Application de la théorie générale des petites oscil- 
lations. 

1829 (19 novembre), 1830 (3o décembre). 

QuATREFAGES (J.-F.-L.-A. DE). — Théorie d'un coup de canon. 

— Du mouvement des aérolithes considérés comme des masses dissé- 
minées dans l'espace par l'action des valeurs lunaires. 

1830 (Si octobre et 4 novembre). 

Renaudin (L.-F.-E.)* — Des oscillations du pendule simple dans le vide. 

— Lois de Kepler. 

1833 (12 et 19 décembre). 

Rameaux (J.-F.). — Théorie du mouvement des corps dans un milieu 
résistant. 

— Des occultations et des éclipses. 

1840 {21 mai;. 

Crebessac-Vkrnkt { P.-A.-B.;. — Recherches sur le mouvement d'un 
s>slème de |)oints libres liés entre eux et sollicités par des forces accélé- 
ratrices quelconques. 

— Calcul des variations des constantes arbitraires qui entrent dans les 
formules du niouvenienl elliptique des planètes autour du Soleil. 

1813 (4 cl i3 mai). 

Reuss (G.-C). — Du mouvement des planètes. 

— Sur l'équilibre d'un fil flexible et inextensible. 

1814 (18 juillet et '28 novembre). 

DosTOR (J.-C). — Du mouvement des comètes. 

— Du mouvement de rotation d'un corps solide autour d'un point fixe. 



MÉLANGES. 279 

1845 ((2 juin). 

Reuss (G.-E.). — Du mouvement d'un corps attiré par un autre qui se 
meut uniformément sur une droite. 

1850 (18 juillet). 

Plarr (G.). — Essai d'une théorie de la figure de la Terre basée sur le 
calcul de l'attraction des sphéroïdes hétérogènes. 

1851 (i5 janvier). 

Mahistre (A.). — Calcul de l'attraction d'un cône droit homogène sur 
011 point de son axe. Calcul de l'attraction d'une couche sphérique homo- 
gène interceptée sur deux sphères concentriques par un cône qui aurait 
son sommet au centre commun, le point attiré étant supposé placé su r 
l'axe du cône. 

— Théorie des perturbations planétaires. 

1857 (a6 décembre). 

Bach (X.-D.). — Recherches sur quelques formules d'Analyse et en par- 
ticulier sur les formules d'Euler et de Stirling. 

1863 ( 28 mai ) . 

HOPPÊ (J.-F.). — Détermination de l'orbite d'une comète par trois 
observations. 

— Attraction des ellipsoïdes homogènes. 

1864 (12 août). 

Stoffel (E.). — De l'intégration dos équations différentielles partielles 
du premier ordre. 

— Étude sur les étoiles doubles. 



Faculté des Sciences de Toulouse. 



1838 ('21 février et 27 mars). 

Sawicki (S.). — Sur les pressions des liquides homogènes. 
— Détermination du mouvement des planètes. 



PKEMlËltU PARTIE. 



IKjK ir> Lt Kl août). 



EtrRGIï (,A.-V.i. — Sur IViguililin; il'uD lil dont tous les poÎDls sont sol- 
li>'Lii'< |i,ir ili*!! fiirci::i (]ut.■lcuIll|lll:^. 

- im (iroMome Uc KOpler. 

IKil i'>7 I.-I II uuûli. 
l>i:srEiHiirâlTii.;. — Miitliuili: <Ii: ilihiTniiDulion (fes orbites des coiiiétuï. 
Tlii'<>i'ii: lie li< i<iri.ilir.>ii i\,:> ri>ii-l.iril<-s iirbitriiirts. 



I'iii:m:t iJ.-K.j. — Sur \e> f'iiiriiiii)-< i|iii suivent ù (litermiiiiir l'attrar- 

Siir i|iirii|iu's |iri>|ii-ii'rOs ^.'■iiiTiili',' ili' i-oiirbts ù double courbuiv. 



IKlill HT iioùli. 



liMii.iK ,i;.. Il.i. -- Kliiil.' 



l'mi'iil de \;i fiinrli<iii [n'itui 

,o,M.-N..nlsi.knaaire-. 

,.i;inair..d..,.nsC.ucb>. 



Ill'LLKTlN rillM.IOCIt \1'I11(JI:E. 



il-. \^irH,>i.iE.iiiii.>.>ii. c;.-. iii-N'uMvj-. Il-, li.HiH. 



WiiH. i\,.. .- ni,- so-ii„-lri..tl..- h,l.r,.r.-l.iti..,. .I.r l.l.-irhuuf- 
■ . :■,■.., ni hn-'in-aif.i'-t/.. ■„: liS' /:;■ '.-ri,,,.//-!!.:., hi.-M'H.M-.l. i„-v'. 



, !■■ 1. Ilhl..',:- .1,- I: rinK'-i,,.- ■! ,1. I., ri.iwf .l./.uis Us 



\i\\ V I l! I 1^ C \ |i 1 II I I 11 . \ 1 i I Hl< 



1. — Thiorin iW« flinnn biMutna. Iii'h; iH-fi. iri (r . 



> VbUaHi|>lil* dM 



R»Tao des pnbUiiatioiia oilbaniAliitVMiJ 



Juiirua] fUt (Ud reiofi ami tn/mi-ni ' 
JuuriMl titt t'Eoote l'uiytechjitquf 



LiltHAIRlE GAI r Hlhll-V | LLAIU 



GODBrHOT mm 



SAMSOKASFF. - BSMhada pmr la ré»IaUaf> tMilok 4 



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[ENCESMATHËMAT1ULES,;;Hj 



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PAU MM. ti. hahdoux, k. l'l^.,\n^ et i. lANSEitr, =î |?i 



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I U dkreoUDn 4o la CuiDinIsaiaD dut Saut»* tlnd»«. ^ ^ -Il 

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TitM* m. — CaUfl Migrai IfiftialMM Ai/l«rCHt»>frd| 



fOOtIBCRT (IB V.;, Pr»ri>M<«r i l'Cci)- &tiBL>-r.»n»jW. - 
lliia* qui M rcBoOBUeitl dana la lb4otta do la tiasarufs 
IMm iiltlptk|HCi ln..f, ld;lt.. .... . , 



tJOVBJMAI. SE MATaÉMATIQirES FVBJ» EX J 

fUcucil tUEiuuBl lia KtiBi/4n> MirlH <ll««nMp«rtia«dM Mal£ 



COMPTKS HENDUS HT ANALYSES 



COMPTKS ItENDUS Kl ANALYSES. 



BOCVAttT et RATISET. — Nm vi;i.i.hk Taiii.ks m: ijh:aiiitiiui:s a i;iso w.u- 
VkLEs. Division centkî'iuvi.k. i vd!. in-S', nliloii}:, la; [w^cs. l'aris, 
Hachclto, ittoi. 

L'usage <lc la division ccnti'-siiiit)!?, ^ràf:c à l'iiiiliaLive du Mi- 
nistre de la Guerre, va se répandre dans rcnsei^'nemrnl i-Ii-inon- 
taire. Il faut saisir les rares occasions où les |irograiiiincs servent 
la cause du progn'-s. (ielui-lâ esl dil, à coup sur, a» Service géo- 
graphique de l'Armée, où l'on ne se serl pins (]iie de la division 
ceoicsimale du quadrant, cl «pii a publié d'admirables Tables, à 
l>uit décimales ( * ), itn peu encombrantes sans doute, mais dont la 
belle impression est une joie pour ceux rpii ont les veux fatigués, 
et dont l'étendue permet d'atleimlre une grande précision dans 
'es calculs (*). Imposé par le Minisire de la (luerre, l'usage de la 
division ccnlésiinale se ré|iandra assurénieiil ailleurs. Les gens 
qui n'ont à faire que des calenls théoriipios sont tout naturelle- 
ment acquis à celte réforme. On peut craindre, sans doute, 
quelque résistance du fiW de la Marine; celte résis(ant;c se 
trouvera peul-t^trc moins iibslinée ipi'nn ne s'v attend. l/.(«- 
Mitiirr lin littietiii ilrs L<in<:iliidi'x pour miou coiitieiil en elVet 
«ne intéressante Nuliec de M, le eonimaiidanl Guvoii : Hur 
^applkatinn de la divisirm di-ciniitlc tlii quart ilf rfii'/i- à fit 
pratique de la iniii^'tilioii. <pii relate des e\pi'iiriui ■^ faites ré- 
cemnient sur cette upjilie.-ition. et dont les résultais |>iii-iiis-:enl 
concluants : 

" l*-i navires désif;nés jimir ces expéiiviiee^ i>iit l'ii: rlmisis 



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,■',.■- 



0.82 PUEMIKKK PARTIE. 

parmi ceux qui devaient ^Irc appelés à une navigalîon parliculiè- 
remcnl active pendant la pt'riodc qui avait été Gxéc. 

» Chacun d'eux reçut les instruments et documenls cî-après : 

)> Un chronomètre décimal; 

» Un Recueil d'éphémérides et de Tables nautiques; 

» Un exemplaire des Tables à cinq décimales du Service géo- 
graphique de FArmée; 

» Une collection de Cartes portant une graduation décimale 
supplémentaire, à Tcncre rouge; 

» Vue rose de compas graduée en grades; 

» Un sextant décimal. 

» Pendant toute la durée de ces expériences, plusieurs officiers, 
sur chaque navire, ont effectué, en rade et à la mer, avec les 
instruments décimaux, les éphémérides et les Tables décimales, 
toutes les observations et tous les calculs nécessaires à la condaite 
du navire. Les cahiers sur lesquels ont été faits ces calculs, ainsi 
(|ue les rapports dans lesquels les officiers expérimentateurs ont 
résumé leurs opinions, ont été recueillis dans les Archives du 
Rureau des Longitudes. 

» P»)nr donner la mesure de l'expérience qu'ont pu acquérir 
ces officiers, et par suite du degré de confiance que niuritenl leurs 
rapports, il suffira de dire qu'ils ont calculé 220 fois le point par 
deux, trois, (pialre et même cinq lieux géométriques isolés, et 
eflcctué 3v> réglages du tropouu''tre (') par les observations astro- 
nomie pies . . . . 

» ... Les olïiciers expérimentateurs sont à peu près unanimes 
à reconnaître (|ue les unités nouvelles pourront être mises en pra- 
tique, sans période de transition et sans risque sérieux de con- 
fusion, drs (pie Ton pourra mettre à la disposition des marins les 
instruments et les documents nécessaires à leur application. » 

(^es résultats sont assurément très encourageants et permettent 
(le penser (pie robjeetion tirée de la solidarité des unités de temps 



(') ('.Ol le i)f>rii (loiuio aii\ clnonoiiirlrcs décimaux, lunn dcsliiié à rappeler 
«lue << rrlcinnit ([iiiK mcsinviil ("it r;in;;l(' (|r»ni \v cercle \\nru\rv ilii Soleil irn»vfii 

tniinir r('liili\(iin'iil à un iiu'iidieFi Lt'rri>lre »». 



COMPTES UENDUS KT ANALYSES. 283 

et d^angle n'a qu'une force apparente : M. le commandant Guyou 
dévoile d'ailleurs la faiblesse de cette objection en montrant com- 
ment les problèmes de Navigation, et en particulier le plus impor- 
tant de tous, le problème du point, sont des problèmes de Géo- 
métrie pure, dans lesquels n'interviennent en réalité que des 
grandeurs angulaires, (c Lorsque les problèmes nautiques sont 
envisagés sous cet aspect, les notions de temps disparaissent com- 
plètement, et la réforme devient possible par le seul changement 
de la mesure des arcs. » 

On peut donc croire que nous approchons d'un moment où la 
i"éfornie sera pratiquement réalisée et entrera dans les mœurs. Il 
se peut que, pour ce qui les regarde, les astronomes s'y refusent, 
et iU donneront peut-être de leur refus d'excellentes raisons, 
dont ils sont les meilleurs juges. Que cherchent les uns et les 
autres? Simplement une économie de temp^ : ceux auxquels la 
réforme de la division du quadrant ne procurera pas cette éco- 
nomie, en raison des documents dont ils sont obligés de se servir, 
ne l'adopteront sans doute pas. INlais l'existence de quelques sa- 
vants constituant une classe fermée n'est pas un obstacle à une 
réforme générale. Au reste, il est bien évident, à cause des instru- 
ments existants, que les deux modes de division continueront 
d'être employés concurremment pendant longtemps, et, pour cette 
raison, les Tables a cinq décimales du Service géographique de 
l'Armée, qui donnent les lignes trigonométriques dans les deux 
systèmes de division, sont éminemment pratiques. 

I^s Tables de MM. Bouvart et Ratinct, que nous annonçons, 
sont un Livre purement scolaire et ne comportent que la division 
décimale. L'impression en est nette et agréable à l'œil : on sait 
assez que cela n'est pas sans importance, et qu'il faut ménager les 
jeux des écoliers. Chaque page contient 5o lignes. Les Tables de 
logarithmes, qui vont de i à loooo, sont à double entrée. Les 
Tables trigonométriques vont de grade en grade. Les logarithmes 

de et de — ^^— sont donnes pour les trois premiers grades. 

Outre une petite Table à sept décimales pour les calculs relatifs 
aux intérêts composés, les auteurs ont donné des Tables pour la 
conversion des divisions sexagésimales eu divisions décimales, et 
réciproquement. 



v84 PREMIÈRE PARTIE, 

Leur Livre ne contient ni instruction préliminaire, ni Tables 
auxiliaires autres que celles dont je viens de parler, ni Recaeil 
de formules ou de nombres importants. 

L^absence d'instruction préliminaire est sans doute justifiée. Il 
va de soi que ce n'est pas dans nne Table de logarithmes qu'on n 
chcrcber la tbéorie des logarithmes. Seules quelques règles pn- 
(iques peuvent trouver leur place dans une Tahle : les régiei 
usuelles sont trop connues pour qu'il y ait lieu de les rappeler; 
les règles un peu plus compliquées, relatives à la meilleure aùl\- 
salion possible des Tables, dans lesquelles on indique si la der- 
nière décimale est prise par excès ou par défaut n'avaient pas leur 
place ici. 

Il me semble qu'on devrait familiariser, même de bonne heurt, 
les écoliers avec l'usage des Tables de logarithmes et d'anliloga- 
rithmes avec quatre décimales, pour les mille premiers noml3re5 
C'est l'affaire de quatre pages : des Tables trigonométriquess, o' 
décigrade en décigrade, à quatre décimales encore, tiendr^îcn 
dans dix. pages, dans vingt si l'on donnait en outre les vald" 
naturelles. Ces Tables-là sufTiraient, et au delà, pour la plaJp** 
des besoins pratiques. Il est inutile d'insister sur leur comraod'^ 

Quant aux formules et au Recueil de nombres usuels, qu'i/ ^* 
bien naturel de faire figurer dans une Table de logarilhno^^ 
Tusage des écoliers, leur suppression résulte de nécessités c(p*^ 
merciales, qui sont elles-mêmes la conséquence des programma" 
d'examen. Dans ces examens, eu effet, les candidats doivent f^ 
servir de Tables qui ne contiennent aucune formule. 

C'est là, scmble-t-il, une exigence fâcbeuse. Il y a, dans les 
examens, assex d'épreuves où il est facile de constater que les 
candidats savent ou ne savent pas telle ou telle formule. D'ordi- 
naire, ils savent beaucoup plus de formules qu'il ne faudrait. Les 
épreuves pratiques, ainsi que je l'ai entendu exposer, avec les 
meilleures raisons, par M. le commandant Guvou, sont faites 
pour reconnaître si les candidats sont, ou non, capables, dans un 
temps donné, de réduire une formule en nombre, s'ils sont assez 
rompus au mélier pour ne pas se laisser arrêter par ces petites dif- 
ficultés prati([ues auxquelles ceux qui n'ont pas Thabitude du 
calcul perdent leur temps : il est facile de poser des questions 
variées qui, à cet égard, servent de pierre de louche. Il n'y a aucun 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. ?H5 

înoonvénient à donner les formules nithnes que les candidats au- 
raient à réduire en nombres; peu importeraient alors les autres 
Foranules qui se trouveraient ou ne se trouveraient pas dans leurs 
l>les : ce procédé vaudrait mieux que de leur imposer, à peu 
tous les ans, la même résolution de triangle. Quand il n^aurait 
f>ais d'autre avantage que de ne pas forcer les éditeurs a supprimer 
de leurs Livres des pages éminemment utiles, cela suffirait ample- 
nnent à le recommander. Une Table à cinq décimales est déjà un 
instrument théorique : il n'jr aura jamais à en avoir besoin (sauf 
ur les examens) que les gens (|ui ont une culture mathématique 
sex élevée. Comprend-on, par exemple, qu'une telle Table ne 
tienne même pas le nombre qui permet de passer des loga- 
t'ithines vulgaires aux logarithmes népériens, et faut-il savoir ce 
nombre-là par cœur? 



APPELL. — Cours de Mécanique a l'usage des candidats a l'École cen- 
T'KALB DES Arts et Manufactures, i vol. îm-H; 271 pages. Paris. Gaiilliier- 
Villars, 190-2. 



programme des examens d^entrée à l'Ecole centrale a été, 

'^xs dernier, profondément modifié ou plutôt renouvelé. 11 ne 

' ^^it pas, cette fois, de Tintroduction ou de la suppression de 

H^^cslque alinéa, sur laquelle les membres d^une commission ont 

^'^culé longuement autour d'un tapis vert et qui a été décidée, au 

"•-«ard du vole, d'après une majorité qui, le lendemain, ne se 

•^■^aît pas retrouvée la même, et qui penche tantôt dans un sens, 

^^^^tôt dans un autre, tantôt à cause du goût de certains membres 

P^^ tir quelque petite théorie qui réveille en eux d'agréables souve- 

^*>^s de jeunesse, tantôt à cause de l'autorité ou de l'âge de celui 

^**i vient de parler et que l'on n'ose pas contredire. Cette fois, 

^ ^stTesprit qui a soufflé, et le vent a emporté beaucoup de fétus 

^^ paille, apporté quelques germes nouveaux. Souhaitons que ccït 

finîmes poussent. Les gens qui ont rédige ce programme ont eti 

* idée vraiment neuve et originale de se préoccuper des besoins 

^c TËcolc dont il est le seuil, de renseignement (^uc Ton doit 




286 PUËMIÈKE PARTIE. 

donner dans celle Ecole, du mdlier que doivent faire un jour 
qui en sorlironl. I^cul-tHre ces gens- Là avaient-ils conscieoc 
ces besoins et celle Iiypollirse cxplique-t-elle leur origina 
Sans doute, quelques paragraphes, qu'il serait d'ailleurs ais' 
reloucher en restant dans le même esprit, prélent à la crilii 
mais il me semble bien que la tendance générale doit être lo^ 
sans réserve. 

Il ne suffit pas de faire un bon et beau programme, non p^^ *^* 
qu'un bon sermon : il faut prêcher d^exemple. M. Appell s'jr "^^^ 

dévoué et a écrit un petit Livre qui fixera le sens dans lequel c^B. oïl 
être enseignée la Mécanique aux futurs ingénieurs de Ttc^ ^^l* 
centrale, à des gens qui n'auront a faire ni de la Métaphystc]^ -^^e, 
ni delà pure Géométrie, ni de la pure Analyse, mais bien à me*^ — trc 
en équation des problèmes réels. 

Son Livre s'ouvre par un Chapitre où sont établies les prop-^ ^si- 

lions forulamcnlalcsde la théorie des vecteurs. Disons de suite c^ ^c, 
dans le Chapitre suivant, la vitesse et raccélération seront ne K_ te- 
ment définies comme des dérivées géométriques. On est un ^~:»eu 
étonné eu pensant que cela est presque une nouveauté dan^ un 
Livre élémentaire. Dans k Cinémati(|ue du point, l'étude ^dlc> 
mouvements vibratoires est faite avec détail : Tauteur a sans dci> »J/f 
pensé (|irellr pn'senlait quelque utilité pour renseignement ci ^ir /^ 
Physique. Si^^ualons aussi le parajifraphe relatif aux diagrain «iies 
du mouvement (graphique des crhemins de fer, etc.) 

L'espace îibsohi est défini |)ar un trièdre Irirectanglc invari» !>'*'" 
ment lié aux étoiles fixes : dans la phiparl des problèmes praticj ti<^> 
il n'y a pas d'ineonvénient à regarder le trièdre fixe comme i ii va- 
riableincnt lié à la Terre. La masse m d'un point matériel est- *'•* 
coefficient nuniéri(|ue lié à ce point : on apprendra tout à Th*"**^'^^ 
comnienl ou mesure effeetiveuient ee nombre, au moven ci*-' ''* 
balance. Si un point matériel est placé dans un champ de foi*^^^' 
il prend un<» a eeé lé rai ion y ^^ 1^ force qui agit sur lui est. !>•** 
définition, le veeieur m^', La pesanteur conduit, par voie exi"»*-'*^*' 
mentale, à la notion de /joi(/s absolu, La pression exercée p» *' ** 
poids sur la ninin inii le soutient donne l'idée d'une compari* • =^** 
grossière entre les poids absolus (\c9> corps par la sensation* 
Teffort rnusenlaire pour les (Mnpéeher de tomber. Les dvnr* *"*^ 
mètres peiinellent de préciser eelle comparaison. Sans d<:> * * 



COMPTIiS RENDUS KT ANALYSES. 9.87 

iout cela est grossier, et Ton criera, si l'on veut, au cercle vicieux, 
quand il sera question de mesurer la masse par la balance : la 
balance est une machine dont il faudrait avoir fait la théorie pour 
savoir ce qu'elle donne. Le vrai cercle vicieux est celui qu'on ne 
voit pas, celui où l'on s'enferme sans le savoir. Celui-ci crève les 
jeux et n'a donc aucun inconvénient. Il n'y a pas de science du 
réel sans cercle vicieux. Pascal a démontré cela surabondamment 
ci je crois bien qu'Ânaxagore l'avait fait longtemps avant lui : ce 
û est pas là une découverte moderne. Et, cependant, il est vrai 
qu'il y a une science du réel, une Physique, qui nous permet de 
prévoir des phénomènes que nous observons, des machines qui 
marchent, cpiî exécutent des travaux, et que l'on calcule. L'im- 
portant ici est de ne pas se tromper, et de ne pas substituer dans 
'es équations des nombres inexacts. Eh bien ! c'est eflcctivement 
avec une balance qu'on mesure les masses, c'est des nombres 
obtenus au moyen de cet instrument que l'on se sert, et c'est ce 
9*'''l importe de savoir : il importe aussi de ne pas se tromper 
<iuand on change d'unités, et l'on ne s'étonnera pas du soin avec 
'^quel M. Âppell a développé tout ce qui touche a ce sujet. 
" donne ensuite les notions essentielles relatives aux champs de 
force, et traite divers exemples du mouvement d'un point malé- 
"^d libre, choisis en vue des applications, et de manière à n'exiger 
9**c des connaissances très restreintes en Calcul intégral. 

t*our ce qui est du mouvement d'un point qui n'est pas libre, 

* •uieur se borne à étudier le mouvement d'un point sur un plan, 

''^^is de manière à introduire la notion du frottement. Les lois du 

irott^uient sont expliquées pour le cas de l'équilibre et pour le cas 

^ lïiouvement : il en est fait une application détaillée au cas 

^n point assujetti à se mouvoir sur un plan horizontal sous 

^^iîon d'une force horizontale constante. Le problème du mou- 

^ Strient d'un point pesant sur un |)lan incliné est déjà trop com- 

P '^lué pour le lecteur chez lequel on ne suppose aucune connais- 

*^*^Ce concernant le maniement des équations différentielles, et 

^ ^si traité que dans le cas on il n'y a pas de frottement : il eut 

^^^ tout au plus possible de lui expli(|ucr commient le problème se 

"^^t-iaiten équation. Quoi qu'il on soit, si incomplètes que soient 

^* connaissances ac(|uises par ce lecteur, au moins son esprit ne 

i-t-il pas faussé. 



288 PRËMIÈKE PÂliTiE. 

La ihéorle de réquilibre d^un corps solide est précédée des 
notions essentielles concernant le moment d'uo vecteur par 
rapport à un point ou à un axe et l'axe d'un couple de vecteurs. 
Après avoir observé l'invariance de la somme géométrique el du 
moment résultant d'un système de vecteurs quand ou fait sur ce 
système les transformations dont on admet en Statique qu'elles ne 
troublent pas l'état du corps, on établit les couditions néces- 
saires et suffisantes pour l'équilibre d'un corps solide en montrant 
d'abord que le système de forces peut être réduit à deux forces^ 
et en admettant que ces deux forces doivent être égales, opposées 
et portées par la même droite. De la règle générale on déduit 
ens^^ite les règles concernant les forces parallèles. 

L'auteur étudie enfin les conditions d*équilibre de quelques 
machines simples (levier, treuil, balance ordinaire, romaine; 
balance de Quinlenz, poulies, moufles, etc.) Il n'est question du 
frottement que pour la poulie, en vue du calcul du rapport qu'il 
doit y avoir entre la puissance et la résistance, supposées verti- 
cales, pour que la poulie commence à se mouvoir. Ce calcul, 
d'ailleurs très simplement et très clairement présenté, aurait peut- 
être gagné à être précédé de quelques courtes explications sur ce 
qu'il faut entendre par !'<( angle de frottement de l'œil sur l'axe », 
d'autant qu'il n'a été question, jusqu'ici, de cet angle de frotte- 
ment que pour le cas d'un point matériel qui glisse sur un plan. 
Quelques pages substantielles relatives au cas où les machines 
sont mises en mouvement, les forces étant supposées en équilibre 
à chaque instant, terminent cet intéressant petit Livre. Les candi- 
dats et les professeurs seront certainement reconnaissants à celui 
qui a bien voulu récrire, J. T. 



CAPELLI (A.)- — Leziom sli.la Teoria dëlle forme algebrische. 

I vol. in-S", autographié, ^yj pages. Napics, IMlcrauo, ic)o-2. 

Le lecteur trouvera dans ce Volume la reproduction du cours 
fait par M. Capelli à TUniversité de Naples, sur les points essen- 
tiels de la théorie générale des formes algébriques, théorie qui, 



COMlTIiS RENDUS ET ANALYSES. 289 

si elle a été Tobjet de nombreux et importants Mémoires, n'a 
guère été traitée d'une façon didactique : le Livre de M. Capelli 
apportera de grandes facilités de travail à ceux qui veulent s'ini- 
tier à cette théorie. 

Il est divisé en deux Chapitres : le premier contient les notions, 
définitions et propriétés fondamentales : la théorie des substitu- 
tions linéaires, des formes polaires, la définition des invariants et 
covariants, l'introduction des covariants de Cayley et de l'opéra- 
tion û, etc. Le second Chapitre est consacré à l'ctudc des divers 
procédés de formation, des représentations symboliques, des équa- 
tions diflerentielles que vérifient les covariants, etc.; il se termine 
par la démonstration du théorème de M. Hilbert. 

Enfin, dans un Appendice d'une vingtaine de pages, l'auteur a 
résumé les propositions essentielles concernant les formes bi- 
naires. 



GAUSS (K.-F.). — Gkxeral i.\vestig\tions of curved surfaces of 1827 

AND 1825. TrANSLATED WITU NOTES AND A RIULIOCRAIMIY RY J.-C , MorellCod 

AJiD A.-M, HUtebeiteL The Prixcetox Umvewsity Lirrary. In-4"i ^'"i- 
ittG pages. Princeton, 1902. 

Le célèbre Mémoire de Gauss : Discjuisiliones générales circa 
superficies curvas, présenté vers la fin de 1827 à la Société 
royale de Gœttingue, a une telle importance au point de vue du 
développement de la Géométrie infinitésimale, qu'il a été fré- 
quemment reproduit. Liouville, le premier, l'a ajouté à l'édition 
qu*il a donnée de V Application de ^ Analyse à la Géométrie de 
Monge. 11 a été traduit deux fois au moins en français et en alle- 
mand. Il fait partie notamment de la Collection des Classiques 
scientifiques publiée par Ostwald. Les auteurs de la présente publi- 
cation ont eu l'idée à leur tour de le traduire en anglais, de ma- 
nière à étendre encore le cercle d'une action qui ne paraît pas près 
d'être épuisée. Gauss n'a jamais livré à l'impression aucun de ses 
travaux sans avoir profondément médité sur la matière qu'il avait 
choisie. Ses moindres phrases méritent d'être étudiées avec soin; 
elles peuvent nous mettre sur la voie de notions importantes que 



790 IMIKMIÈUË PARTIE. 

Gaiiss a gardées pour lui ou qu^Il n^a pas eu le temps de publier. 
Les auteurs de la nouvelle traduction Tont bien compris, et ils se 
sont attachés à la rendre aussi irréprodhable et aussi fidèle que 
possible. 

Mais ils ne se sont pas contentés de nous donner le l^lémoire 
fondamental de Gauss. Ils y ont joint Tanaljse que Gauss en a 
faite lui-même dans les Mémoires de Gœttingiie ; ils onl éclairé 
le texte par des notes abondantes. 

Enfin ils ont reproduit une première ébauche du Mémoire qui 
a paru récemment dans le tome VIII des Œuvres de Gauss, cl sur 
laquelle nous avions déjà appelé Tatlcntion. 

Nous nous demandons pourquoi les auteurs n*ont pas cru devoir 
joindre à leur travail le Mémoire sur les Cartes géographiques qui 
semblait en faire naturellement partie. 

Quoi qu^il en soit, une bibliographie abondante termine le 
nouvel Ouvrage, qui est certainement appelé à avoir le plus grand 
succès et la plus grande iniluence dans tous les pays de langue 
anglaise et en particulier dans les Universités américaines. 

G. D. 



SKLLI']NTIIIN ( M.). — M\TiiKM\Tisriii:u Li:iTF\ni;N mit iiKsoMiKiiKn Hkhkk- 
siciiTKii N(; DKK Navi(;\tion. I vol. 111-8*; XI-4J0 pages. Leipzig et Uciiin. 

Tcubner, n.)(»>. 

L'auloura réuni, dans les 4'><^ pages qui constituent ce Volume, 
les connaissnnccs (rArillnnétiquc, de Géométrie élémcnlairr, 
dWli^èbrc, i\v Cosinograpiiic, de Trii^onométrie plane et s[)lit'- 
ri(|ue qui sont in(lis|)cn.sables aux jeunes gens qui se préparent .i 
la Mariiio : son Livre e**t fait pour servir de base à renseignement 
malhénialiquo <lans les établissements suivants : Kaiserlic/ic 
l)c( kofli/.iorscluile, Sockadeltcn-Schuischifle, Kaiserliche Marine- 
soluilo. 1/auleur s'est limité strictement à ce qui est nécessaireL 
il a d'ailleurs multiplié les exercices en les choisissant exclusive^^ 
ment parmi les (juestions qui se présentent dans la navigation ^ 
Son Livre est, au fond, un Traité de Mathématiques élémentairf5?i 
destiné à do futurs marins. Ce n'est iruère Jhabitude. eu France* 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 991 

que de donner iin enseignement élémentaire en vue d'une pro- 
fession déterminée, et les raisons que Ton peut donner de nos 
habitudes demeureraient excellentes, s^'l était possible d'allonger 
la durée de la vie humaine. On n*évite point d'ailleurs les spécia- 
lisations dans nos lycées; seulement, elles se font non en vue des 
professions, mais en vue des examens qui mènent à ces profes- 
sions. Quoi qu'il en soit, il est intéressant de noter, ailleurs que 
chez nous, celte tendance à renoncer franchement aux bénéfices 
évidents de l'instruction générale et des connaissances spécula- 
tives pour les jeunes gens qui se destinent aux carrières pratiques. 
Pour ceux même qui n'entendent nullement renoncer à ces béné- 
fices, le Livre de M. Scllenlhin n'en sera pas moins utile à 
consulter en lui-même et comme document, et aussi en raison du 
très grand nombre d'exemples qu'il contient. Il est bon assuré- 
ment de montrer aux élèves comment et à quoi les Mathématiques 
peuvent servir, et de leur parler quelquefois des réalités. 



HAMMEH (E.). — Seciistelligk Tafel deu Wkrtk lo»:— — fir jeden 
Wert des Arguments log.r vox 3, 0-10 bis 9,99000-10 l\oii Argument 

9,99000-10 AN DIS 9, 999700- lOSlIu/ DIE lo}; ^ NUR NOCII FLNFSTELLIG 

ANGKGEREN VON DORT AN VIERSTKI.LIG j . I VOl. in-4", IV-j] pagCS. Lcipzi};, 

Tcubner, 190a. 

W. F.-W. Rex avait publié en 1 884 des Tables à cinq décimales 
donnant pour les diverses valeurs du logarithme vulgaire de x 
(•^<Ci), les valeurs correspondantes du logarithme vulgaire de 

TlirrC); M. Hammer, qui a eu à sa disposition les calculs de 

"*• Hex, a construit, par la méthode des diflTérencrs, une Table à 
9 décimales d'où il a tiré la présente Table à (5 décimales. Les cas 



^*) Une petite Table de celte nature se trouve dans rcxrellent liecueil de for- 
^^Itt et de Tables numériques de J. IloUel; mais les dimensions de la Table ne 
P^f Dallent pas une interpolation sûre. 



792 IMlEMlÊUli PAirrili. 

douteux ont élé résolus directement soit au moyen des Tables à 
8 décimales du Service géographique de l'Armée, soit, quand Si a 
été nécessaire, au moyen du Thésaurus logarithmoruni k lo dé- 
cimales (Florence, 1889). 

La disposition de la Table de M. Hammer est, en général, la sui- 
vante : 

La Table est à double entrée. 

Chaque page contient 5 1 valeurs de l'argument, dont la dernière 
est répétée à la page suivante. De 10 en 10, les valeurs sont impri- 
mées en caractères gras et enfermées, ainsi que les nombres cor- 
respondants, entre deux traits fins; de trois lignes en trois lignes, 
il y a une ligne de blanc. Les parties proportionnelles sont calcu- 
lées. Le fait que le dernier chilTre est forcé n'est indiqué que s'il 
est un 5. 

L'impression est très nette et la recherche commode. 

Les intervalles entre les arguments successifs sont déterminés 
parla condition que l'interpolation linéaire soit permise : ils sont 

successivement de — » — :> — r? — r» — ; pour les valeurs de Tarçu- 

10 10* 10' 10* 10* * ^ 

ment comprises entre 7,0 et 4,0, entre /\^q et 3,3, entre 3,3 
et 2,5, entre 2,5 et 1 ,9, entre i ,9 et 1 ,996; à partir de la valeur 

1,99 ^^ Targumenl, les valeurs de log ne comportent plus 

que cinq décimales; pour les valeurs de l'argument qui vont de 

I ,990 à 1 ,9999, l'intervalle est de — ^> et les valeurs de log 

ne comportent plus que quatre décimales à partir de 1 ,9997. Dans 
la Table, tous les arguments sont augmentés de 10. 

Il est inutile d'insister ici sur le genre de services que peut 
rendre cette Table aux calculateurs. 



X 
X 



*^* 



MÉLANGES. 293 



MELANGES. 



SUR UN PROBLÈME DE MÉCANIQUE RATIONNELLE; 

Pau m. ANDOVKH. 



Je n'ai trouvé, dans les Traités classiques de Mécanique ration- 
nelle, aucune donnée sur le problème suivant, que je me propose 
de résoudre : 

Deux courbes quelconques sont assujetties y par une liaison 
sans frottement, à rester constamment tangentes entre elles. 
Quels sont, à un instant donné, les déplacements virtuels com- 
patibles avec la liaison et quelles sont les forces de liaison, ou 
réactions, qui s^ exercent entre les deux courbes? 

Il est bien clair que, si Ton veut étudier le mouvement des deux 
courbes sous l'action de forces données, on peut traiter sans peine 
la question à l'aide des équations de Lagrange; mais si l'on veut 
connaître en outre les réactions qui s'exercent entre les deux 
courbes, c'est-à-dire traiter le problème complètement, on est 
amené à se poser précisément la question que nous allons ré- 
soudre. 

Prenons pour axes de coordonnées rectangulaires : 

1" La tangente commune Ox aux deux courbes données C 
et C, en leur point de contact O, à l'instant donné; 

2** La normale principale Oy à l'une des courbes, C, dirigée 
vers le centre de courbure; 

3** La binormalc 0:ï à C. 

Si s désigne l'arc de la courbe C compté à partir de O dans le 
sens Ox^ R le ra^^on de courbure de C en un point M correspon- 
dant à l'arc 5, ï le rajon de torsion de C en M, on peut déve- 
lopper en séries les coordonm'es du point M de la façon sui- 



•>94 
vanle : 



PREMIÈRE PARTIE. 



X = s — 



6KÎ 



y 






s^ 



(iKoTo 



,<i) 



» pour5 = o, 



Ro, Tq, ( tt ) représentant les valeurs de 11, T , 

c'est-à-dire au point O. 

llappelons d'ailleurs, afin de lever toute ambiguïté sur le signe 
de T, que Ton a la relation 



't^ 



Kȕ 



(fv dz 
ils (Is 



dx 

in 

d'-x d^y d^-z 

777î' da^ lis* 

ff^x d^y d^z 

ds^ ds^ ds^ 



= o. 



La normale principale Oj' à la courbe O, dans le plan OyZj 
fait avec Taxe dcsj^' un angle a, compté de 0>' vers Oj?; la binor- 
maie Oz' fait le même angle avec O:;. Si donc s' désigne l'arc 
do (7 compte à partir de O dans le sens O x, W et T' les rayons de 
courbure et de torsion de (7 en un point M' correspondant à 
Tare 5', on aura pour les coordonnées du point M' les formules 
suivantes, où les nolalions s'entendent (rellcs-mèmes 



s 



'^ 



:r TTz S" — — - - 1- 



-. . . j cosa. 



ïr 



1\ 



sin a 



<»KuT'o 



Supposons la courhc (] fixe et donnons a C un déplacement 
virtuel défini par une translalion de composantes <7, 6, c cl une 
rotation autour du point O de c()m|)Osantes/?, q, r. Pour la svmé- 
Iric, nous inhoduirons aussi les composantes <y' et r' de celte rota- 
tion suivant Or' et O:;', de sorte que 



/y — fj cosa -- r SI 11 a, 
/•' = — 7 si II a — /' 00s a. 



MÉLANGES. 29^ 

Après un temps infinîmeat pelît 3^, la courbe iJ a pris une 
nouvelle position et les coordonnées de M' sont devenues, en 
nég;ligeant le quatrième ordre par rapport à .v, 5', 5/, 



jc =z ait -\- s'— .^,^ -^q sina--rT7- 0^ — rcosa j-rp- 0/ -h. . ., 



cosa 






^ = c O^-h 



Kcrivons que le point M' dans sa nouvelle position coïncide 
avec le point M et que la tangente en M' à C dans sa nouvelle 
posilion coïncide avec la tangente en M à C; on obtient les rela- 

lions 

6 = 0, c = o, 



s' 
, cosa-^ 


-'-'~K' 


s' . 
-. sina 

"0 


- got = 0. 



■^I- 



éliminant 5, 5', 0/ entre les trois dernières relations, on voit 
que les déplacements virtuels de C relativement à C, compatibles 
avec la liaison, sont définis par les relulions 

^ — o, c = o, 
as'ina -ï- q W'q — ( q cosa -h /• sina)Ho= o; 

la dernière de ces conditions peut d'ailleurs s'écrire 

rt sina -T- ^ Hy — y'Ug = ^j 

sous une forme plus sj' m étriqué. 

Si la courbe C est une ligne droite, on a simplement 

= 0, c = o, q = o. 
Si Ton assujettit les courbes C et ('/ à de nouvelles liaisons, on 



oqCi PUEMIÈRE partie. 

aura de nouvelles conditions. Voici quelques cas parllculic: 
simples : 

a. On suppose (|u'il y a roulement de C sur C 
Alors s — s' y et par suite on a 

a = ^ = c = o, <j H'^ — ly' Rq = o. 

h. On suppose qu'il y a glissement de C sur C. 
Alors 5'= o et l'on obtient 

b = c = f/ = o^ a — Ror = o. 

r. De même, s'il y a glissement de C sur (^, de sorte que 5 = 0, 

on aurait 

h TTz c = q'= o, a — ïi'^ r = o. 

d. Imaginons maintenant que les courbes C et C soient assu- 
jetties à se déplacer de façon que l'angle de leurs normales prin- 
cipales reste constamment égal a a. 

Pour exprimer celte condition, il faut tenir compte des termes 
du troisième ordre, non utilisés jusqu'à présent, dans les expres- 
sions des coordonnées de M et de M', et Ton trouve sans peine la 
nouvelle relation 

'r' - /> Of — ,_ , 

* * 

on en lire une nouvelle condition qui peut s'écrire sous la forme 

r;, , R« 

Toutolois, il peut arriver que cette condition ne soit pas dis- 
tincte de celles déjà établies; dans tous les cas, on aura les rela- 
tions (|ui définissent le dé|)la('ojnenl virtuel, en faisant h = €== o^ 
et aninilnnt tous les délerniinants du troisième ordre tirés de la 

niatri('(^ 

.: ft r */ p 1 

. ' il;, " ■ ■ t; '. 

. ' h;," " h;, " T- 



MÉLANGES. 297 

On pourra ensuite combiner ce cas particulier avec l'un des 
précédents sans difficulté. 

Passons maintenant à la détermination des réactions qui s'exer- 
cent entre les deux courbes C et C et supposons à cet eiTet que 
ces réactions forment un système de forces réductible à une résul- 
tante générale appliquée en O de composantes X, Y, Z et à un 
couple dont Taxe a pour projections L, M, N sur les axes 0:r, 
O^', O^; nous introduirons aussi d'ailleurs les projections de 
Taxe de ce couple sur Oy et Oz', soit 

M'= Mcosa -4- N sin a, 
N' = -- M siii a -h Ncosa. 

Puisque la liaison qui existe entre C et G' est sans frottement, 
la somme des travaux virtuels des forces de liaison doit ôtre nulle 
ei^ par suite, on doit avoir, comme on sait, 

aX-hbY -^cZ^-pL-hqM -4- rN = o 

pour tout déplacement compatible avec les liaisons. 

Dans le cas général examiné en premier lieu, on aura donc 

L = o X ^ M ^ — N 

' sina Wq — Rocosa ~~ Ro^inat 

OU mieux 

^=-r;=-"rî' ^ = ''' 

les composantes Y, Z ne sont soumises à aucune relation. 
Si la courbe G est une droite, on aura 

X = L = N = o. 

Dans le cas particulier (a), on a 

N N' 

^ = "^ r; = rî- 

Dans le cas (6), il vient 

Ko 

et dans le cas (c) 

N' 
L = o, X=— =-. 

ffulL de» Sciences mathém,, 3* scric, t. XWI. (Octobre 190a.) 20 



«8 l'IlEMIJCRK l'ABTlE. 

Dans le cas {d), on trouve 



S'il V avait en ouïr 




einenl, on aurait sculcmcul 



SGR VU THÉORÈME DE H. JENSEN^ 
[■ui M. E'^. (iUl'llSVl. 

On doit à M. Jc'iistn un bcnn lliéorîme (') concernai) l les siéro* 
et les pôles d'une l'onction luéromorjiite, qui parnfl susceplîhlr ilti 
nombreuses applicHilon^. Je me propose de monlrer ici comment 
ce théorème pcui se déduire très simplement du théorème fonda- 
mental de Cuuclij, cl se rattache ainsi à la tliéorîe générale des 
fonctions. 

Soit /(z) une fonction méromorphe à l'intérieur d'un contour 
fermé C comprenant l'origine à son intérieur, et holomorphe sur 
ce contour; nous désignerons para, , ai, .. ..a» lesiéros dey(s) 
intérieurs au contour C et différents de l'origine, chacun d'eux 
étant compté avec son degré de multiplicité, par bt, b^, . . ., 6b, 
les pûies lie /(z), autres que l'origine, intérieurs au contour C, 
chacun d'eux étant compté aussi avec son degré de multiplicité. 
Nous nous [iroposons d'évaluer l'intégrale 



,=f^los/(.,^. 



prise le long du contour C dans le sens direct. Pour achever de 
préciser le sens de cette intégrale, nous conviendrons (|ue la 



mporlant théori-me de la théorie 



MÉLANGES. xjO 

variable part d'un point A d'abscisse r >► o où le contour G ren- 
contre Taxe réel, l'argument de f{z) ajrant une valeur initiale 
déterminée. En intégrant par parties la formule (i), on peut 
encore écrire 



(^) 






la première partie du second membre représentant l'accroisse- 
ment du produit 

lorsque la variable z décrit le contour G. On a pour valeur ini- 
tiale de ce produit 

logrlog[/(r)], 

et nous conviendrons de prendre pour logr la valeur réelle; la 
valeur finale du même produit est 

(Iogr-f-27:0îIog[/(r)]-h2Kîr«;, 

K. étant un nombre entier qui dépend du nombre des pôles et des 
zéros de/'(z) à l'intérieur de G. Il vient donc 



(3) 



[Iog5 log/(5)lc = art; logr/( r)] -f- K logr| - 4 Kt:». 



Pour évaluer l'intégrale / lo 



<r 



./'( = )^. 



*-'[€.] 



/(*) 



rfj, il suffit de considérer 




le contour fermé F, formé de la courbe G, de la circonférence c 
de rayon e ayant pour centre l'origine et des deux segments do 



(4) 



3oo IMII^MIÈIIE PARTIE. 

droite infiniment voisins ba^ U a! ^ traces de part et d^autre de 
l'axe réel. Nous admettrons, pour fixer les idées, que la fonc- 
tion fi^z) n'admet ni pôle ni zéro sur cette portion de Taxe réel. 
Dans le cas contraire, on remplacerait les droites ha^ Va! par 
deux droites faisant un angle infiniment petit avec Taxe réel. La 

fonction log^ '^., / est méroraorphe à rinlérieurdu contour F, et, 

en lui appliquant le théorème de Cauchj, nous obtenons la rela- 
tion 

Ç'\ozz'Q^dz-^ f \o^zî^dz 

on en lire 

= 7.1:/ lofJl ,— ,— — , \-\-iT.i I ^ dz— I loir 3-^-: dz. 

Supposons d'abord que l'origine ne soit ni un polc, ni un zéro 
pour y(3); lorsque t tend vers zéro, l'intégrale 

• M" I •' ' 

est infinimeni pelilc cl la formule préct'dcnlc devient à la liniilc 

/'( = ) 
(5) 



/ h)f:z'^~^ ' (fz 

C) 



"'/(^) 



/ = '^'^^^^'''^(jj-^^^-l^^ -i--^.-no-/(/-) — 7.-n<>-/<o). 



La formule (-2) devient doue 



(0) I = '2-/ 



Ki.,„.-.io,/,o)-i,.,(«;;;^^;^)]-4K..; 



les déterniinalions des logarithmes qu'il faut prendre dans h" 
second membre résultent des conventions déjà faites. Pour 
obtenir la formule de M. Jensen, supposons que le contour C sr 



MÉLANGES. 3oi 

réduise au cercle de ravon i\ Le long de ce cercle on peut poser 

dz 



e 



i r 



on a 



z = re'?, dz = ire*9 d^y -^ = tVcp, 






Égalons maînlenant les coefncients de /dans les deux membres 
de la formule (6), en observant que dans le cas actuel on a 

K = n — m, 



cl nous arrivons à ia formule de M. Jensen 



(7) -^ f log|/(/-e'?)|^? = log|/(o)| 



log 



pft — m 



b\ bf . ^b 



m 



aia|. . .(ifi 



OÙ ne fîgurent plus que des logarithmes ordinaires. 

L.orsque la fonction y(5)'est holomorphe à Tintérieur du cercle 
de rayon r, la formule se simplifie, et il reste 






r« 



(1 \ o>^ • • . Clfi 



£n égalant de même les parties réelles dans les deux membres 
de la formule (6), on obtient la relation suivante qui complète le 
théorème de M. Jensen : 

. J — / *t/çp = jirg/(o)-harg^>i-4-arg^2-+-...-+-arg6,„ 

f — argai— ... — arga,,-!- '2(n — ni)T^\ 

dans celte relation, <I> représente l'argument de /(z) le long du 
cercle C, et il est aisé de voir comment on doit choisir les diflTé- 
rents arguments qui figurent dans le second membre^ d'après la 
façon même dont on parvient à cette formule. 

Si l'origine z=o est un pôle ou un zéro de f{z)^ on peut 
écrire 

p étant «n nombre entier positif ou négatif et ^{z) une fonction 
dont l'origine n'est ni un pôle ni un zéro, qui admet les racines 
€t%j c^'it •••» (In et les pôles t|, ^21 •••> ^m à l'intéricur du 



3o7 PHKMIËUE PAKTIli. 

cercle C. On a daus ce cas 

log|/(/-e'?)| =log|çp(re'?)|-f-/>logr; 

on peut appliquer la formule (i) à la fonction 7(2), et il reste 



6|6t.. ,Ôm 



1 /• I M% n 

(>") — / Io-|/(r)e'?|rf? = log|?(o)|-+-log r'-'w-Hi,^^!!^ 

Ce résultat pourrait aussi se déduire de la formule (4)^" ^^ 
cherchant la limite, pour e infiniment petit, de l'expression 

2 t: t / —-^v ^- - / l<>o - 'V — ^-* 



SUR LA PREMIÈRE LETTRE ARITHMÉTIQUE D'HERMITE A JACOBI ; 

Pau m. Xavier STOtFF. 



Soient 



r-n 

I — n 



/(•^1> •''i J'n) = Z^^iJ^iJTj ( »/y= rtyï) 



/-. 1 
/ I 



une forme <|uaclrali<|iie délinic, I) sou ilrtcrniinant, 






son a<lji>inlr, rn iMilcndanl par Oij \c. mineur de l) relatif à Tclé- 
nu'ul (tij. j\ous (lirons (pic / est réduile, si .ri étant celle de> 
indélerminées dont le cai iv a \c plus pelil coeflicienl, on a 



1 

n - i 






M) ^'M--(., ) \'l^ I''l/I<-'^1 (/ ~ -2, 3. .. ., 71 ►, 



el si i,'^(n, ).,, r,, ..., >'„ ) (^-^t aussi une forme n'-duiie. De la 
llit'oiir ('xpost'c' dans la premièie Lellre arilliméli(pie ^ ' )il résuhr 



I ' I Jimr/i(i/ de Crc/(c. I. iH. 



MÉLANGES. 3o3 

que ioule forme définie a pour équivalente au moins une forme 
réduite. M. Hermite a énoncé la proposition suivante : 

Si f est réduite, le coefficient de Vun des carrés dans g est 

moindre que (| 1 y/D"~* , et en multipliant les autres coef- 

ficients des carrés dans g rangés dans un certain ordre res- 
pectivement par la première, la deuxième, . . . , la {n — i)'*''"^ 
puissance de ce coefficient, on obtient des quantités respectif 

vement moindres que [ji,(/1>^«^^, [Xa^^Dâ^"^, ..., !Jl„,lî/D'»«"-•^ 
où l^ indice [jl,- ne dépend que de n et de i. 

Nous démontrerons ce théorème en prenant pour le coefficient, 

qui doit être moindre que (:r] y/D"""* et qui est emplojé 

comme multiplicateur, le plus petit des coefficients des carrés 
dans «'(o, j^2? J^3> • • '^ yn) ^^ pour le coefficient qui, multiplié par 
la puissance (/i — i)**"»* Jq précédent doit donner un produit 

moindre que [i-w^i y/D"^""'^, le coefficient dej>'^. Nous prouverons 
que, si le théorème ainsi précisé est vrai pour les formes d'un 
nombre d'indéterminées moindre que /2, il est vrai pour les 
formes d'ordre n. 

Soient D' le déterminant de g{o^y2y yzy • • • j^m) et 622 le plus 
petit coefficient des carrés dans cette forme, 






''( *^2« C;j, ..., Zfi) ^^ 



^ij ^i ^J y 



i=:t 



la forme adjointe de g{o^y2yy^, ••m^/i)? ^" '^ déterminant 
de A(o, 5j, 54, . . •, Zn) et C33 le plus petit coefficient des carrés 
dans cette forme, enfin 



i — n 



k{uzy it',f . . ., u,t) = z^djjUiUjf 



i -3 

/ -a 



la forme adjointe de /i(o, :;3, . . ., z,,) et e/,, le plus petit coef'fi- 
cieDl des carrés dans A(o, u^, ..., //„). /<(o, ^3, z^, ..., z„) 



3o4 



IMtliMIËllE PAIITIE. 



élant une forme réduite et le théorème étant supposé vrai pou 
les formes de moins de n variables, on aura 



/ 



(») 



/ 



rfu< (I) -*/6^», 

dU^ d,, < Vn»,"" VD'U- «H/I-Jf; 

on suppose que l'on a désigné dans un ordre convenable les 
variables de la forme k autres que u^ et u^ par ^£5, «/c, . • ., M/|. 
ffi^y y^y y^i • •*• 7 JK«) étant une forme réduite, on a 



rt— j) 



(3) ^«<(5y "-^Tr, 



1^1/ 1< -àtt (t = 3, 4, ..., n). 



Or, si Ton envisage le déterminant qui a pour éléments bijy 
(iyj = I, 2, 3, . . ., /i), D' est le mineur de ce déterminant relatif 
à l'élément b^ et, d'après les propriétés des déterminants réci- 
proques, 

(4) D'=rï,, !>'--, 



d'où 



f^ii< 



iïï 



1 /i — 2 > 



w— î 



an-il)n-t^ 



et. en remplacanl 0^ par sa limite supérieure (1), on a, par un 
calcul facile, 



(5) 



^,* 



4 



/i-i 



fi / 



jî ^ 






c'est la première des inégalités à démontrer. 

Les (|uanlilés diji^i^ j =1 .\^ .j» «''i ^) sont les mineurs du 
déterminant de //(<>, vj, ..., Zu^\ dij s'oblient en enlevant dans 
le di'lerminant de A(^(>, ^3, . . . , z„) la ligne d'indice i et la colonne 
d'indice j . Donc dij est un mineur du second ordre du <léternii- 
nanl de /t{z2, z.\ z„) cl s'en déduit en enlevant dans ce 



MÉLANGIiS. 3o'> 

délerininant la première ligne cl la ligne d'indice /, la première 
colonne et la colonne d^indice y. Or le déterminanl de h a pour 
éléments les mineurs du premier ordre de D'; donc, d'après les 
propriétés des déterminants réciproques, 

Vy étant a D' dans une relation analogue à celle de D' à D, on a 
(7) D'=^,5D'''-3. 

La première des relations (2) donne alors 



rf;;<(|)' '*-î/6ï, M>' " -^'' 



et, d'après (6) et après avoir supprimé le facteur commun D'""*, 



. rln-S) 



A«Au- *i*<(5)' "'v/*iVi>', 



-(/f — 3) 



et, en remplaçant CT)i cl b^ par leurs limites stipériciircs (i) et (5), 
(8) «,,^,<[i(|)"-^(|)''-]'^DlI^=(fj"-'"/n^; 

c'est encore une des inégalités à démontrer. 

Envisageons maintenant Tune des inégalités (2) 



lorsque i prend les valeurs 5, 6, ^, ...,/?. Cela donne, en rem- 
plaçant D^, ^44, rf/7 par les valeurs (7) et (6) cl après avoir sup- 
primé le facteur commun iyf'-3H«-»^, 

(bt^b,,^b\,y-^(b,^bu-bi)<ui-,''-V^b'i-,^hy-\ 

Or bi^ étant le plus petit coefficient des carrés dans 
est au plus égal à b^s-^ \^-i^\ ^^^ moindre (|uc ^^jj, donc 



3oG PKKMIËUE PÂUTIE. 

(622) ^3 «7 l^\\) csl une forme binaire réduite et Ton a 

3 
4 

on peut diviser les deux membres de cette inégalité par bÎT^y ce 
qui donue 

et, en remplaçant dans le second membre a^^ et 62s P^^ leurs 
limites supérieures (i) et (5), 



( 






on obtient encore ainsi n — 4 des inégalités à démontrer. 
L'inégalité 

se Irailc absolument de la même manière et donne lieu à riiiégalilc 

(10) //i,V>33< I ^(^ y -f- (!|) ' V„_3j"v^iV^^'. 

Il ne nous reste plus qu'une seule inégalité à démontrer, à 
savoir 



mais celle-ci exige une méthode toute spéciale. On a d'abord 
(II) I />2 2*/'fy| <î?/yl^''-' pour t,y=2, 3, 4, ...,fl, 

où les lettres T/y désignent des coeiïicients numériques ne dépen 
dant (jue de /?, i, j. Supposons d'abord y = i. On a 



^.>.^i<(^7)"'''\/D^"-^; 



MÉLANGIiS. 3o7 

<l'oLi, en mulliplianl par b"^'^^ 

il suffit de remplacer dans le second membre Ù211 p»r sîi limite 
supérieure (5) pour oblcnlr Tinégalilé à démontrer. De même, 
pour I = 5, 6, . . ., /i, on a 

el, en remplaçant dans le second membre b"'*'^' par sa limite 
supérieure déduite de (5) et b^^^ba par sa limite supérieure (9), 
on a encore les inégalités à démonirer. On opère d'une manière 
analogue pour 622*633. 

Pour démontrer les inégalités (1 1) lorsque i est différent de y, 
remarquons que la forme binaire (i//, ft/y, bjj) étant définie, 

I bij I est moindre que ybïïbjj, donc 

et il suffit, pour achever la démonstration, de remplacer dans les 
seconds membres les quantités soumises aux radicaux par leurs 
limites supérieures déjà trouvées. 
On a ensuite 

(la) I6î^*^ii| < p/D«-» pour / = u, 3, ..., /i, 

0/ étant un coefficient numérique qui ne dépend que de n et de i. 
En effet, suivant l'exemple de M. Hermite, écrivons Téquation 
connue 

2^bijaij=o (« = 2, 3, ..., /i), 
/=i 

qui |>eut encore s'écrire, en multipliant par b'!~^^ ses deux membres, 



/ = « 



en remplaçant dans le second membre les (pianlités — a^j par 
irtif limite supérieure de leurs valeurs absolues, et les quan- 
tités b"'^* bij par les limites supérieures déjà trouvées, puis, divi- 



:{o8 rUlilMIKUli; i>AKTlE. 

sanl par ^h les deux membres de rinégalîté ainsi oblcnuc, on 
obtient l'inégalité (12). Enfin on a 

/ = /! 

^aijùtj= D; 

un peut écrire celte relation en multipliant par 6^2* ses deux 
membres 

(i3) anb'i^^bn^Dù'i.^^^aijbU'Otj' 

/=« 
Mais on a, d'après (3), 

en remplaçant, dans le second membre de (i3), b'.^~^ par celle 

limite snpérieure, les quantités — «ly par~^n limite supérieure 

de leurs valeurs absolues^ et les quantités 6^J.J* h^j par les limites 
supérieures (12), puis en divisant par an, on déduit de (i3) l'iné- 
galité à démontrer. 

On remarquera que /i{z-2, ^3, ..., ^n) est précisément, u un 
facteur près, ce que M. Hermite, dans sa seconde Lettre arithmé- 
li(|ue à Jacobi, nom me la forme dcrii'ce de / par rapport à la 
variable ^|. 



H Li LLI:T1 N n l H Ll()(i K A V II I (J ^ K. 



\ Duiï \ W.). — lJ/f'mcnt(irc Mcctutnik als Einlcitun:^ in das Studium 
drr t/icnrc/iic/ic/i Physik. ?." cclitimi. Gr. iii-8'\ x-578 p. avec 66 lig. 
LiM|>/.i^, W'il v{ Cs\ \.\ m.; h'\h\ iO m. 

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rnisfry, Trailiiil |»nr K,-A. LelifeMl. Part 3 : KrIiHions bclween Proper- 
lir-i and C«»iii|n>«iiii.)ii. Iii-S". f44 P- ï-'»mlon, ArnuM. 7 ^ll. 6 d. 

r»iii>si: i<!.'. — ('^i'ifrs de ::éi>!Ht'trie iiescripti\'r. 1" Partie, 'i*" i-dii. 
Iii-S , \Mi1-177 p. a\ti' li^. Pari-*. daiiïliior-\ illar<. .'» fr. 



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lutions des problèmes donnés à V École Polytechnique de 1860 à 1900. 
In-8**, vi-240 p. avec fig. Paris, Gaulhier-Villars. 6 fr. 

Nallino (G.-A.). — Al-Battani sive Albatenii opiis astronomicum, 
€JidJidem codicis escurialensis arabice editum latine versum, adnota^ 
tionibus instructum. Pars III. In-4". Milano, Ilœpli. 25 1. 

Rapports présentés au Congrès de Physique réuni à Paris en 1900 
sous les auspices de la Société française de Physique, rassemblés et 
publiés par Gh.-Ed. Guillaume et L. Poincaré. 3 vol. gr. in-8*', avec 
ligures. Paris, Gaulhier-Villars. 5o fr. 

Annales de l'Observatoire de Nice, publiées par M. Perrotin. T. VII. 
In-4*, 45o p. et 89 pi. Paris, Gaulhier-Villars. 3o fr. 

Annales de l'Observatoire de Paris, publiées sous la direction de 
M. F. Tisserand. Mémoires, t. XXI. In-4**, 47^ P- a^cc fig. Paris, Gau- 
thier-Vil la rs. 27 fr. 

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unter BûcAsichtnahme auf die praktische Uandhabung der Disciplinen 
€/. Finanzwissenschaft u. Versicherungstechnik, 12. (Schiuss-) Liefg. 
Gr. in-8*. ( Suppl. T. VIII, 80 p. avec i planche.) Vienne, D"^ Ludw. 
Orossmann. 5 m. 

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f^arabel auf den Kreis u. unendlich lange Parallelstreifen. Gr. in-4**, 
8 et 4 P* avec 9 planches de figures. Leipzig, G. Fock. i m. 20 pf. 

Jaiirblcii iiber die Fortschritte der Mathematik, begriindet von 
C. Ohrtmann, Ilerausgeg. von K. Lampe u. G. Wallenberg. T. XXIX. 
Année 1898. 3* fasc. Gr. in-8". Berlin, G. Ucimer. 12 m. 

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nach den Standpunkte der astronom. Wissenschaft arn Ende des 
19. Jahrh, 3* édition de Anleitung zur Durchmusterung des Uimmels, 
Gr. in-8*, xiv-610 p. avec nombreuses figures et planches. Braunschweig, 
Vicweg. 10 ni. 

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longitude pour 1901. In-.p, 44 P- Paris, Gauthicr-Viilars. 4 f»'. 

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R. llaussner. In-8'>, 217 p. avec nombreuses fig. Leipzig, Kngelmann. 
Gart. 4 ^' 

(OslWtild's KlassikiT ^\vv rxaktcn Wissciiscliaftcn. N" 117.) 



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Leipzig, Goschcn. Relié, 5 m. •.>,() pf. 

(Sammlung Schubert. i4* Volume.) 

SciiLESiNGKR ( L.). — Einfilhriing in d. Théorie d. Differeniialgi^^ 
chungen mit einer unabhângigen Variabeln. fn-8*, viii-3o9p. Leipsî^^ 
Goschcn. Relié, 8 m. 

(Satttmlung Schubert. i3* Volume.) 

Teubner's Sammlung von Lehrbûchern auf dem Gèbiete der mathe- 
niatischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Antvendungen. IV Bd. 
I Abth. Or. in-S". Leipzig, Teubner. 2 m. 4o pf.; relié, 3 m. 

Contenu : O. Stolz u. J. A. Gemeincr, Theoretischc Arithmelik. 1 Ablh. 
rt Aud. der Abschnillc i — 4 ^^^ > Theiles der Vorlesgn. ûberallgcmcinc Arith- 
melik von O. Slolz. iv-98 p. avec 6 (ig. 

Valentixer (S.)- — Untersuchungen iïber die Beziehung zwischen 
dem Potential einer homogenen Kugel m. dem des Mittelpunktes, 
(Dissert.) Gr. in-S". 65 p. Karlsruhe, Rraun'sche Hofbuchdr. 1 m. 60 pf. 

Wrndlek (A.)' — Ueber die Flâchen, welche dem partikulâren In- 

tegrale der Differentialgleichung -7 — j- =0 entsprechen, (Disscrl.) 

Gr. in-8", 4^ P- avec i planche. MUnchen, Reinhardt. i m. 5o pf. 

Gross (Th.). — Kritische Beitràge ziir Energetik, 1, Die Verwand- 
lungen der Kraft nach Robert Mayer, Gr. in-S", xviîi-58 p. Berlin, 
Krayn. i m. 73 pf. 

KoMGsnERGER (J.)- — Ueber die Absorption des Lichtes in f est en 
Kur/fcrn. ( Ilabilitationsschrift.) Gr. in-8", 48 p. avec fijj:. Leipzig, Teubner. 
I m. 20 pf. 

Jankt (P.). — Premiers principes d^êlectricité industrielle {Piles, 
Accumulateurs, Dynamos, IVans/ormateurs). 4* édit. In-8*, v-'j».8o p. 
avec fig. Paris, Gauthier-Villars. 

Abii.vndm'Ngex zur Gesclùchte der mathematischen Wissenscha/ten 
mit Einschluss ihrer An^vcndungen. Bcgriindct von M. Canlor. 1 1. Hofl. 

pr. iii-8". Leipzig, Toubiicr. 5 lu. 

Contenu : M. Simon, Kurlid u. die scrhs plunimctrisclicn BUrhcr. Mil Be- 

nulzu'. tlir 'l'c\tyusgal)0 von Hcibori;, viM 'n p. avec iî)2 lig. 

Ahiianom NGKN mathcmatisc/ic , aus drm l'erlage mathemat, Modelle 
vnii Martin .S<.hilliiig in llallc a. S. None Folgc. N*» 'x gr. in-S'*. ILille, 
Schilling. I m. Oo pf. 

Contenu : II. \\ irri«.*r, dit^ I]intlnMlunu d<*r chcncn Kurv«^n n. Kogcl 3. Ordg. 
in i.'{ G.ilt nni;on. \\'\\ p. ,\\ci » \\<z. 



BULLETIN BlBLlOGllAPlllQUi:. in 

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^ Tu. DiiïerentiaUHechnung. 9* édition. Gr. in-S**, xvii-jSo p. avec 171 fig. 
•*annover, Hciwing. 12 m; relié, i3 m. 5o pf. 

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^ p. avec fîg. Paris, Gaulhier-Villars. 

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^^fctrodynamiques, 2* édit. In-B", x-647 p. avec fig. Paris, Carré et 
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iàrer mathemat. Hilfswissenschaften, 8* édit. Neii bearb. von G. Holz. 
'"-S**, ^xii-SaS p. avec 280 fig. et 1 planches. Berlin, v. Decker. 14 m.; 
«/ié, 1 6 m. 

Car^oy(J.). — Cours d* algèbre supérieure. Principes de la théorie 
flff €i^ terminants ; théorie des équations ; introduction à la théorie des 
fori^i.^^ algébriques, 2« édit. In-8**, xi-555 p. Louvain, Uyslpruyst. 9 fr. 



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^'partie. In-4®. xx-Sao p. et atlas de 40 pi. Paris, Gauthier- Villars. 10 fr. 

'■ •^>f lïwoRTERBLCH der Astronomie, herausgeg von W. Valentincr. 24* liv. 
gr. îci_9«^ avec fig. Breslau, Trewendt. 3 m. Go pf. 

■^^RSTENS (H.). — Ueber gewisse a.fymptotische Lôsungen der Diffe^ 
xt^ti€tl. gleichungen der analytischen Me c ha n ik (Dhfierl,), Gr. in-8**, 
^i P- Berlin, Maycr et Muller. i m. 20 pf. 

^It-LIXG (W.). — Lehrbuch der analytischen Géométrie in homoge- 
n«i Koordinaten, 2*. ThI. : Die Géométrie des Rauines. Gr. in-8", viii- 
561 p.Paderborn, Schuuingh. 5 m. 20 pf. 

Loewt(M.). — Ephémérides des étoiles de culmination lunaire et 
de longitude pour 1902. In-4*, 44 P- Paris, Gauthier-Villars. 4 fr- 

Oettixgex (A.-V.). — Elemente des geometrisch-perspektivischcn 
Zeichnens, Gr. in-S", vu- 177 p. avec 209 fig. Leipzig, Engelmann. 8 m.; 
relié, 9 m. 

Rl'SSEL (B.-A.-\V.). — Essai sur les fondements de la géométrie, Tra- 
Juctîon par A. Cadcnat. In-8", x-274 p> l^aris, Gauthier-Villars. 9 fr. 

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française de Physique, Optique. 3" fjiso. In-8'*, xii p. cl p. 787 à i3i3. 
piirî*, Gallrhi«»r-^'illars. i:)fr. 




Ji' l'IM:.MI(:Hli l'.MtilE. 

lUu. ( \V. W. U.i. — Slioil iiPC'iunl of Ihe. kUtory of Mathemalm^r-M. 

r.HII[.in-S% VJ^).. l.imilmi. Mariiiilluii.'iu»li. 

IUiiM^>« I K. W.l. — T/iriiry <>f flic ilmible Gamma functioM. {Fr*» » 
l'/iitoi. Tmns. A. vul. vMu Lr>iiU.>ii. l)<ih>u. 6 sli. 

ItnKiTiior (\.) i'\ F. ItiiKiTiicii^'. — Tritilè. i/c fféométrie deieript^ *^*- 
i" l'urlii'. i' l'ilil, ln-W->, ii)3 p. iiVLC nilit» in-4" ilc a4 |)lancli<!S. Uiuvc». i "i 
i:v.t|.nijM..jfr. 

lUMini. (O.). — h:i.-iinntui-!ivnHiflisclir Kef.'e/fr/imtltlr/irf..'W^i 
znhhcirhi-i, lk-huni:i:.n,/!.'iil>,-n. V.um «ubriiurh nn liôlii-rcn l.<-hrin<< K. -aI 
u-ii. ■'.'■ i-<lii. «r. iii-K-, vi-H'. |.. av.c i; «j;. Berlin, \Vci<lm«nn. C^ ■»• 
. >i.. (■«. ],r. 

LiiKWV Ml.) .a l', l'iisBiN. — Aihis pho/iiffraphlque de la Lu -x-.^' 
)>iil>ltô [.iir r()l.-i;rviili.iri' .lu l'iiri*. i" ta*r. \n-\-. lia p. av.îc planrt» ^«=' 

iMviii:iiVMi ( J.i. - J'nrfii^'e i/rs Irirniiis. .tr/tentage. levé det plc^r- ' 
et nh:-llii,ifiii. hi-K" awv W-f. I.xuvaiii. l yyt|>ru)>l. \ U: 

■■ ■ l.rlirhucli dcr tlitrsletlfnden Oromer ^ ^ 
iii-K', w-irH i'. iivoc tî;;, l.eipxi):, Veii i!t ^ " 



Sc:[ii.ni:> i C..). - .l„„h-i,\r/„- \l,.-il.u>iil.- x<in h-i pl,,iie vlitk. (ff^ 
Vhnr.l.-iii I. i. anrk. -v. Ïii-K ', L.lli p. iiv,- 11-, h.-lfl, Waiimnn jr. a (1. »*■ 

[îi:i IKir. -A- IniK-nij- '>/r.-r/.< ,..,,■ /rs uiitrin-s ù U.-A. I.nr,-i,li. /»-,./'>=' 
•rui- </-■ physi,,,,,- .; /•C.i.-rrsilr .!•.■ l.,-y<l.- <> rni-rasion du jlV annw.^r~=^ 
■..lirr </.• ^../i ,l,.rl.,r..l. h- li dr,:-mhr,- (;,.«.. «r. îti H». X-(i78 |.. a-*-' ' 

; 1.1. L,. ll.>v.'. Milii.ir. it.'lir. - II. 



ISki 



- l'iip.rs '111 iiirrliiininil tiiiil phy^ifal ndijer 
i Tr.Mi-<a<-li'iiis ii]>.l J.>iu-iial:<. Vi.1. ( : i8.,t-i.j 



lii-> 



p1.li 



\l 1KMiriMl:H 1 V.: — l:l.in,i,l„rh„rli .Irr Ihjrcr.-lilnd. ,t. fntr^-ralrt^ "^ 
.Innii,:;. „. . :>ilili;i.l„„ .t,„v.;„if.-„. „„s d. .In.ilysh, i;<«i,;l,U-, Me"^ 

.l,.u,ih I,. rinsil.. -,. A11II,, Uiiiil.. -..,» A. huiiiiili. C.r. i»-H", x-Iki. i"" * 
..M.' i-C. lii. I.iin/i.:. !!..{■■. \..|-l. ■) 1,..: ivlir. |.i m. 



I.r 



,.-U,-. ,u rr n,kl..ir,- des ..pvra- -" "*' 
,.ly .1 !.- I.il;!.-r<„i,i„r. [li-K'. -'' 



(-AVfitBTum, ^\, * PABia (il'). 



itM •)• IV»1*ii par Btnmtt élSirrwt, 

ikuKJio; mil iS Ir. 



Su 



Wrn(l«iiAri;tinMmult>it''viiii^ fi-t'i*"fi,f|()*ww>>tfl 



AAriitveii- 
GDn!'4r<C.)- —Sot 
STollrl'(Xnvl^l^^ — ^ 

iiai'utii..... 

RotleUii liibOograptiiq' 



KclABgK. 
Sur «n |«f"W^nm rif M^Mn!fi*id 



R«vne des poMloatlQui «9tlt*naUi 



JoDruo] de M 



BSQOÉiiÉL'Érni r ' 



BULLETIN 



:ENCES MATHÉMATIQUES, îîîlî 

bftliib'k PAU «M. G. luttnmrx. P.. fir.ARii iît j. tannf.hv, ^'- 



I, ««vv*»*. 



ici] 



I- ? C î = 

■■ la direction do la Commivilon doi Bautei £ttid9>> "i J =. i 

Il|ï 



<i, G.RUHUl ETI'DMXL, 



fil! 



TOME XXVt.- HOVCHBRE 1902 






ô^ 



ïiLARS, IIIPKIMEUn-UTtUAIIIE 



(i-dtftiui:-; ^«t-i'. a-nu'. tiMi 



COMPTES RENDUS KT A.NALYSKS 



COMPTKS IIKNDLS V.T VN Al.Vîil-lS. 



ZEITIIKN (U.-lî.i, — DlSTOIRK IIKS MATIIIlUkTIUlKS UANS l.lNTIyllTK ET IX 

MOVRN AUB. êililioii rniiiriiisc rrvao cl ct>rri};<''i.- [mr l'uDli'ur. trailuilc 
]taT Jean Ifiîscnrl. i vol. iii-8', svi-.(i|ti |i3j;c8. Paris, (jftiilliiiT-Villtirs; 



Lorscfiu'. dciis ans ii|>iis rr-dilinii (lanui.ti' île I'Oinia;;c de 
M. i^etitlicn, |iariit l'iMiliuit alloiiiando. j'en m dil ici-inème 
(mai i8y(i, (i, io5-io8^ au iDoiiis iinc partit.- du bien i(nc j'en 
pensaU; je ne pniâ duiu: (jiic coiisidt'rcr comme très liciin-iix (pic 
nous |iui«siotiE ciilin dUixiser, «'n l'raiieo, d'une Histoire des 
\lallièinatii]iifs avant la Henaissancc, (pii soit ucecssilde aux 
élèves coinuie anx mailn-s; <|ni, sans s'arrêter aux dvlaiis d"«*rii- 
ditiun nécessaires seiileiiieiit à eeiix <iiii veidciil poursuivre eux- 
niénit'â Avs iTclicrolics liislorifjues. roinjiroiinc lonl ce (jii'il t a 
il'nidispcnsaldc et d'iiii]i«rtaiit à savoir, avec tons les dêvelcp- 
pemeiits utiles pour une exacte inlelli^'cnre des faits; [ino Mis- 
loire enfin eu laiinelU; la liaule tonipélen.o dr- l'jioleur et le sens 
hislori(|ue exquis dnut il a donné tant de jireiivos |iiiisseiil inspirer 
une ronliaricc aussi entière ijuVIIc est mérilée. 

Je ne snis pas moins lieureux île pouvoir, à lelle orra-ion. 
annoncer i|iie M. /.eiitlien \ienl de li'rniiocr eu danois, jumo' liiin- 
siiilc à cet Ouwaui-, nue IIis/i.iW ifi- ht Mullirm-'li.fiif prinlattl 
les \\\" ri xvii" sin-/i'\. l'aot-il espérer en iiiétue leiiips (pie eelle 
Histoire n'attendra jias un tr.Klncleiir l'ranrais au>si lou^leiripMiue 
la première? 

U revision à huptello M. '/.eiillien a soumi. e.-ll.-.i. p.. or la 
nouvelle édition, a au reste •■i<- faite a\r-c le plus -ratnl >i>in. et 

et >e les Iravan-. le^ pins rérenls onl élé .ililisés. .-lie pré-enle 

un taldeau evacl el Iden au p..iul de nos eonn;ii.sanee- actuelles 
Mir la matière, eonnai->ance> à re\ten.i..n des.piellr. M. /.rutllen 
a lui-même si lar^eiuenl eo..lrii>Mê. 

|iuur ce ipii eonceriie l'histoire de l,i tiéiuuélrie dans rantiipiili' : 
Bail, dn Srieam mtit/i-ui.. - -. i i-. t. \\\I. i \.n, iiilii.- i ,..■. ■. 



■'-' PREMIÈRE PARTIE. 



i I /| 

au moins nous pouvons bien suivre le développement eirévolat^^^ 
des théories qui nous ont été léguées dans ce domaine de la Ma tl^^ 
malique. Pour celles qui ont été perdues dès avant les invasi^''^^ 
arabes, la Collection mathématique de Pappus ofirira longten^P* 
encore des sujets d'études, de conjectures et de divinations; f>^^ 
exemple, le célèbre Ouvrage de Chasles sur les Porismes d'E^' 
clide ne peut nullement être regardé comme déGnitif. Maispré^^^' 
sèment parce que ces travaux anciens se sont perdus de bon ^^^ 
heure, ils n'ont pas joué un rôle important dans l'évolution sci^ ^^ 
tidque; l'intérêt historique qu'ils peuvent éveiller est donc d'or<9^ *^ 
secondaire et n'égale pas l'intérêt mathématique qu'offrent cdcoc ^ '' 
même aujourd'hui, nombre de questions traitées ou indiquées [^ ^" 
Pappus. 

Des autres branches de la Mathématique ancienne, l'AstroDOm^^ ^ 
seule est comparable, pour l'avancement de son histoire, à ^ 

Géométrie. En particulier, la Géométrie de la sphère, que 1 ^ 
anciens traitaient en Astronomie, a été récemment l'objet de ti 
vaux approfondis de M. V. Braunmùhl ( Vorlesungen ùi 
Geschiclite der Trigonométrie), travaux que M. Zeulhen a 
à contribution pour sa nouvelle édition, tout en y apportant li 
même sa quote-part personnelle. 

Pour la Mécanique rationelle, à moins de vouloir se borner ai 
immortels travaux d'Archimèdc en Statique, son Histoire dans Ti 
liqiiilr ne saurait être dégagée de celle de la Mécanique pratiqi 
et là beaucoup de points restent obscurs. Cependant un effort c< 
si(léral)le se produit actuellement pour la réunion de nouveae- «.i 
matériaux (éditions crilicjues des anciens mécaniciens, rechcrck -ai o: 
(les traductions ou imitations arabes). Notamment notre cc^ 111- 
patriole M. le baron Carra de Vaux, après avoir donné la premi. ^mt 
édition des Mccanifjues de Héron, va publier, également d'a|^"fcré> 
tl(*s textes arabes, un Traité inédit de Philon de Byzance. 

Mais le domaine dont l'histoire laisse le plus à désirer, sansq x.zi'on 
piii>se, seml)le-t-il, espérer de nouveaux documents, à moins ck^'iinf 
irouvaille inattendue dans les paj)vrus (|ui sont encore enfoi» iseii 
I^^y|)te. c'est sans contredit le domaine de rArilhmétiquc: là, cl 
eu |)articulier pour le Calcul, les points les plus essentiels denic^ xircni 
dans une profonde obscurité; si les patientes et sagacesrech*:=> rche> 
de Fr. Hultsch ont récemment abouti à certains résultats qv^cVo 




■ COMPTES KENDUS ET ANALYSES. 3ij 

■ peut «lésormais regarder comme définilivcmcnl acquis, ils font 
fl dauiiinl mieux apprécier l'élendue de la (erre inconnue, sur 
W laquelle on ne peut que former des conjectures plus ou moins 
■ plaiisililes. 

r -M. /.('uthcn accuse une propension assez marquée à revenir à la 

l/irsr de Hankel : les Grecs, merveilleusement doués pour la (iéo- 

îii#.'trie, ne Tétaient nullement pour rAritliméli(|ue; la rédaction 

tl'tiii Ouvrage comme celui de Diophante ne peut s'expliquer 

qii't.'n supposant rintluence, dans l'Egypte liellénisée, d'une race 

pa nioulièremenl apte aux calculs numériques, comme celle des 

M ■ i^ (lous. 

^I. Zeutlien se borne cependant à émettre ii ce sujet des livpo- 

tli«>*çes sous forme dubitative^ comme je suis le premier à recon- 

■'*^ î I re (|ue la question ne peut se trancher d'une façon décisive, je 

'**^ x^enouvellerai pas ici les objections ([ue j'ai, à plusieurs reprises, 

^^^^^^ X ée«^ contre la thèse de Hankel. .le bornerai donc mes obser- 

^ ^ l î ons à deux points sur lesquels rallontion a été récemment 

**^ I >|»elée. 

i-^Hgef), M. Zeuthen, comme preuve de rinhabilelé des Grecs en 

'^^■c^ul. lait ressortir, d'après Heiberg, qu'Hérodote semble inca- 

1^** L»le de faire exactement la division par jS d'un nombre un peu 

S*'t*rîd. En fait, le texte d'Hérodote (VH, IH7). après avoir évalué 

^ consommalioD journalière de blé dans l'armée de Xerxès à 

^^ ^ ^.îav-O chénices, transforme ce nombre en médimnes (division 

I^^ K" {S), et donne comme quotient iio34o médimnes. 

J avoue que le plus singulier me paraît être, dans celle alfairt», 

^*>"siucun des nombreux éditeurs anliciues d'Hérodote ne paraît 

* *^ l re avise de vérifier le calcul et de corri^rer l'erreur malérielle. 
1 . . . 

**^s» manuscrits que nous avons n'offrent en effet aucune variante; 

***^ is cela ne suffit pas pour établir que la faute existait dans Tori- 

Ç*»^al d'Hérodote, et, s'il la renfermait de fait, on peut aisément en 

*^>^<irc compte sans supposer une erreur de calcul. Très certai- 

^^ nient Hérodote n'a pas calculé, comme nous, la plume \\ la main ; 

** s\stèmedenumération écrite des Grecs, jus(|u'au temps d'Eudide 

^^^ moins, n'a jamais été, pas plus que celui des Romains, auquel 

Il t'tail analogue, employé pour des calculs un peu complexes. 

nërodole a calculé ou a fait calculer par un esclave, sur Tabaque, 

svec des jetons ; il a trouvé le résultat exact 1 10060 médimnes, 



i 



3iG 



PREMIÈRE PARTIE. 




340 chénices. Des la première transcriplîon ou la première copie, 
une corruption a pu s'inlroduire. Il me semble bien difficile, »u 
reste, d'expliquer autrement la prétendue faute de calcul. 

A la différence des Grecs, les Égyptiens étaient alors depuis plus 
de mille ans en possession d'un s^'stème de numération écrite p^*"* 
mettant le calcul avec la plume (ainsi que le prouve le papjr^^^ 
d'Ahmcs). Avec leur système classique de la numération écri^^? 
qui se développa sous les premiers Lagides, les Grecs obliorent *^ 
même avantage, d'une façon d'ailleurs plus satisfaisante enco^* 
Si jusqu'à Archimède ils se bornèrent aux myriades de mjria^^* 
(nombres de huit figures), c'est sans doute que cela suffisait t ^^^ 
amplement aux besoins de la pratique. A la vérité, cela mon •-^ 
bien qu'alors ils ne se souciaient guère d'effectuer de longs calc^^ ^ 
pour des recherches purement numériques. Mais où en élai^^ 
alors les Hindous? (3uai\d ont-ils créé leur système de numératio 
Quand leurs facultés arithmétiques indéniables ont-elies été assi*^ 
développées pour déterminer ce progrès décisif? La vérité est q« 
nous n'en savons rien, et qu'il serait bien difficile de prouver qu'î 
temps de Diophante ils avaient déjà, sous ce rapport, quelqi 
supériorité sur les Grecs. 

Par hypothèse, page 4y, M- /enlhcn admet qu'avant Archiinè( 
il n'existait point de mélhode généralement connue pour exlrai 
les racines carrées quelconques, et il donne comme preuve qu'A 
chiniède a pu seul arriver à la détermination des limites qu'il 
données pour 7:. Je nie demande si ce raisonnement est bi« 
concluant, si la détermination en (juestion était irréalisable ava 
lui. 

Le seul lait que nous pouvons constater, c'est qu'Aristarquc 
Samos se contente irassigiier à 7: des limites numériques ti 
grossières, beaucoup plus écartées que celles que pouvait d< 
donner prati(|uement le tracé d'une (luadralricc. Mais ne peul-( 
dire (|ue la déLerininalion numéricjne de limites de 7: n'oflrait d i 
lérét pratique (|ue pour le développement de l'Astronomie 
qu'elle s'est, sous ce ra|)port, |)rodiiite à son heure? f^our le I) 
que se proposait Arislanpie, les limites qu'il a prises étaient p; 
faileinetJt suflisanles; j'imagine que pour la Géométrie praliq 
les Grecs pouvaient aisément s'en contenter également. Du mom< 
où t: n'élail pas détermiiiable géométriquement pour eux, il val 





COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 317 

^omme irralionel, et, quant ù prendre une ap|)ro\imation, ils 
prenaient la |)his simple. La gloire d^Arcliimèdc est d^avoir su 
prouver qu'avec des nombres réellement simples on pouvait avoir 
mine approximation pratiquement très supérieure; mais il a pu, 
f)our cela, n'employer que des moyens connus bien avant lui, sans 
^ne personne eût pris la peine de les combiner pour résoudre le 
^Tiême problème. 

M. Zeuthen ne conteste point (|ue le principe essentiel de 
t eitraclion de la racine carrée des nombres enliers était connu 
déjà depuis longtemps à l'époque d'Arcbimède. H s*agil donc des 
évaluations fractionnaires. Or nous connaissons sûrement au- 
jourd'hui la méthode suivie par Héron. Avec la racine entière par 
dë/aut, soil rt, il prend le nombre rt|, dont le produit avec a donne 
'<î nombre À dont la racine est à extraire. Entre ces deux 
*^Ofifibres a et a^^ qui comprennent nécessairrnienl la racine, il en 
■*ïtercale deux autres, 6 et t,, qui sont la movenne arithmétique et 
■^ irmioyenne harmonique des deux premiers. D'ailleurs, 

hùi =z aux = A, 

^* ^, b\ sont des limites plus approchées^ l'opération peut se ré- 
F^^* t.^r indéGoiment et le procédé est tout à fait général. 

^Hr, ce procédé remonte au moins à Archylas, qui l'a appliqué à 

** division des intervalles musicaux et a généralisé la notion de la 
"^^ *^^enne harmonique, seulement ébauchée par les premiers pj- 

*^^ soriciens. 



|uanl à la détermination des limites de \f 6 choisies, sansexpli- 

^^îon, par Archiméde pour son calcul des limites de t:, je dirai 

« '^ ^^ les ingénieuses conjectures de Hultsch ne m'ont point con- 

^**icu, et que je me demande si les séries auxquelles appar- 

*^Hnent ces nombres n'étaient pas connues dès avant Archi- 



^I. Zeuthen a mentionné la série donnée par Théon de Smyrne : 
I 3 7 17 p />-^'iy 

— > — > -r * y •••9 — » > ••• 

1 '2 5 la q P -^ H 

^ <)ui donne la suite complète des solutions de l'équation 



\i< PREMIÈRE PARTIE. 

IL r^couQdit d^aîltours que le iroisîème terme de celle série 4- élaîl 

■ :> 

connu de TU ton. 

Or U ût^on Ij plus simple de Toblenir me paraîl êlre la consi- 
d^rJLtlvui de deu\ litniles comprenant la racine comme ci-dessus, à 

>jk\v^ir '^ et — • Au lieu de former la movenne arithmétique, comme 

vijiKS le prvvtNio Itêronien, on prendra comme termes intermédiaires 

- ^ "^ ' * et 3 y ^^~ . S'il se trouve que/>* — 27* = ^: i, le premier 

des deu\ rapports înlormêdîaires jouira de la même propriété avec 
le sicn^ în\erse: dès lors la considération des deux au lies limites 

'i ot » "^ ^ " » qui sont moins approchées, devient inutile. 
y /» — 1 y ■ ' ^ 

Voilù un priH^êdê qu'il n\ a aucun motif de ne pas faire remon- 
ter au moins à Archvtas ou à Eudoxe, sinon plus haut, à savoir 

dès IVpvHfue 011 Ton reconnut rincommensurabilité de ^:i^ à la 
suite iW rechen^hes numériques avant peut-être beaucoup moins 
pour objet de satisfaire aux besoins de la pratique géométrique 
qu';iu\ exigences théoriques de la doctrine de^ intervalles musicaux. 

i^r le même procédé, appliqué à l'approximation de y 3 à la 
simple condition de supprimer le facteur a lorsqu'il est commun 
aux deux termes des rapports, conduit immédiatement à la série 



l 


1 


» 


i 


19 


>r> 


p 


/>H-37 


« 


% 


- • 


— % 


t 


— ^ » • • 


• » — » 


> 


l 


1 




i 


1 1 


iD 


7 


p^(] 



dv»nl les ternies salisfonl allornalivonienl aux deux formes de 
Inéquation 

/>i- $.7»= ""'. 

ViunÏ, pcul-èirrdès le \' siècle avant noire ère, on a pu presque 
iii.icliiiMltMucnL pour ainsi dire, établir la série dans laquelle Arclii- 
inèvK' n\iura ou quW choisir les Icrnies donnant Tapproxinialion 
vlvMii il a>,ul bcM>in. 

\\ v'nI à rcnK«n]uor que, pour les nombres // supérieurs à 3. \v 
mk:»u' pivurdè nt* s'appli(]ue plus, on tanl du moins qu'il no ( on- 
J:ni p!un à nno sorio >ahsfaisanl à la condition do donner los \w- 
A';»'. ^ MiuMMia Ak" /)- - //y-, et colles-là soulemonl. C'est co (]ui peut 
^ M'I'viiior que lo> rocliorohos dans cotte voie n'aient pas ét(* pour- 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. * Sig 

suivies. Le célèbre problème des bœufs, posé par Archinièdc, per- 
met cependant de croire qu'il avait repris la question aulremenl et 
<]u'il possédait une solution générale de Péquation de Pcll, que, 
pour un motif ou un autre, il n'aura pas fait connaître. 

Dans les remarques que je viens de faire, je le répèle, il y a un 
clément conjectural dont je ne veux pas dissimuler Timportance. 
Mais la thèse de Hankel repose également sur des conjectures qui 
me semblent encore moins d'accord avec Tensemble des faits cer- 
tains, et le plus sûr est de reconnaître l'insuffisance des documents 
vecueillis jusqu'à présent. Paul Tanner y. 

P.'S. — Dans une noie (p. 208) que j'ai ajoutée à la traduction 
^e M. Mascart et dont je suis responsable, on a imprimé par 
erreur cappa au lieu de coppa. C'est de cette dernière lettre 
grecque, qui ne fait pas partie de l'alphabet vulgaire, que dérive 
l'une des formes de l'abréviation du mot arithmos dans les ma- 
nuscrits. 



LARMOR (J.), M A., F. R. S., Fellow of S»-John*s Collage, Cambridge. — 
Aetbbe and Matter. a development of the dynamical relations of the 
aether to material svstems on tho basis of tho atomic constitution of 

m 

matter, ineloding a discussion of the inQuence of the Earth's motion on 
optical phenomena. In-S**, xxviii-365 pages. Cambridge. University Press, 

1900- 

Il ne paraît plus permis, à l'heure actuelle, de nier la fécondité 
des théories telles que celle dont traite M. Larmor, je veux dire 
des théories qui reposent sur la conception moléculaire non 
seulement de la matière, mais encore de l'électricité; trop de 
phénomènes relevant des branches les plus difTérenles des sciences 
phjsico-chimiques ont conduit, dans ces dernières années, à cette 
notion de l'atome électrique. 

Mais si le principe commun de ces théories moléculaires de 
Télectricité est généralement accepté, il est, par contre, singu- 
lièrement difficile de constituer ces théories en fait, d'assigner à 
ces atomes, à ces électrons dont on admet ainsi l'existence, les 



I 



3>o PREMIÈRE PARTIE. 

propriétés qii^'ls doivent posséder pour former par leur assem- 
blage une matière et une électricité analogues à celles que nous 
connaissons. Ce n'est pas que de telles propriétés ne puissent 
exister, ou du moins on ne saurait, quant à présent, affirmer 
d'une façon absolue une telle impossibilité. La difficulté réside 
dans l'ampleur dun pareil problème, qui embrasse, au fond, 
presque toute la Science. Si, en effet, M. Larmor prend soin de 
nous avertir que les théories atomiques de l'Ëleclricilé n'assument 
pas l'impossible lâche de régler, une fois pour loules, Tensemble 
des phénomènes physiques, il ajoute immédiatement qu'elles ^ss 

prétendent coordonner entre elles les explications qui ont été -^^< 

données de ces phénomènes^ et il est clair, en fait, que leur '^^ ' 

raison d'être est d'aller beaucoup plus loin dans celte voie que ^^ ' 

les théories purement mécaniques (*). 

Les faits mêmes qui ont conduit aux hypothèses électro-ato- 
miques fournissent, par leur étude quantitative, une série de 
conditions auxquelles doivent satisfaire les lois élémentaires 
cherchées. Mais ces conditions ne sont ni les plus importantes ni 
les plus difficiles à réaliser; comme il est naturel pour des théories- 
si profondément différenlcs des idées antérieures, ce sont les 
phénomènes les plus vulgaires et le plus anciennement connus- 
(égalité de l'action et de la réaction, conductibilité, difTérence de^ 
potentiel au contact, etc.) qui serviront surtout de pierre de- 
touche aux nouvelles doctrines. 

Cependant, au nombre de ces données que nous fournit l'exp 
riencc courante, il est un fait général qui reste pour le moin 
aussi difiicile à cx|)li(|ucr sons le point de vue mécanique que? 
sous le point de vue moléculaire. 

Les corps dont nous étudions les propriétés sont tous animéiiv^ 
(l'un mouvement commun, le mouvement de translation de 1». 
Terre. Comment cette translation reste-t-elle sans influence sur^ 
les phénomènes ohservés? Kn ce qui concerne les propriétés^ 
où la matière intervient, les propriétés mécaniques (au sen:^ 
ordinaire du mol), la Dynamique classique n'est point embar — 
rassée, puisque ses lois fondamentales ont été constituées exprès 



(') M. Larmor aireri*^ celle dénoniination à toutes les consiMôrations relative^ 
aux propriOlé-i de la nialière en l>loc, à tout ce qui n'est pas moléculaire. 




^S 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 32i 

<laDS ce but. Mais la difficullé apparaît partout où intervient 
l'éther, corame en Électricité ou en Optique. Là, en cfTet, existe, 
«n toute hypothèse, un mouvement relatif, celui des corps 
terrestres par rapport à Péther interplanétaire, mouvement dont 
la vitesse v est grande et n^est pas absolument négligeable par 
Tapport à la vitesse V de la lumière. Non seulement on ne voit, a 
priori, aucune raison pour qu^un tel mouvement relatif soit 
indifférent, mais, en fait, on sait qu^il ne Test pas. Dans le cas de 
Taberration, en effet, on a bien deux corps matériels en mouve- 
ment l'un par rapport à Tautre; mais, comme ces corps n^influent 
1*un sur Taulre que par Tintcrmédiaire de Péther, il faut bien que 
leurs mouvements par rapport à ce dernier interviennent en 
<|uelque manière. 

Seulement, cette condition, qu'il y ait mouvement de la matière 
jpondérable par rapport à la matière pondérable, semble d'une 
nécessité absolue. Chaque fois qu'elle n*a pas été réalisée, les 
expérimenlateurs ont toujours trouvé un effet nul, depuis Arago 
interposant un prisme de verre dans la lunette astronomique et 
comptant ainsi modifier Taberration grâce à la propagation plus 
rapide de la lumière dans le solide, jusqu'à M. Mascart recher- 
chant l'effet du mouvement terrestre sur la polarisation rolaloire 
du quartz. La réponse a encore été la même dans les expériences 
de MM. Michelson et Morlej, dont la précision était suffisante 

pour mettre en évidence les effets de Tordre de ( ^ j > s'il en avait 

existé. Un seul cas a pu paraître un instant faire exception, celui 
de Fizeau et Aogstrom (déplacement du plan de polarisation par 
passage à travers une pile de glace ou par dilIVaclion) ; mais 
Fizeau lui-même considérait son observation comme extrêmement 
douteuse, tant les difficultés expérimentales et les causes d^erreur 
étaient nombreuses. 

Comment concilier ces résultats négatifs avec le fait positif 
donné par le phénomène de l'aberration? Que Ton suppose 
Téther fixe, même au passage des [)lanèles, ou (|u*on le croie 
entraîné avec elles; que l'on considère ce passage comme provo- 
quant la formation de tourbillons ou comme ne la provoquant 
point, il semble que Ton arrive toujours à une contradiction 
d'un coté ou d'un autre. On comprend donc que, dans ces der- 



i 



322 PREMIÈRE PARTIE. 

nières années, M. Lorentz ait attribué une importance capitale a 
ces contradictions et cherché à les lever par rintervention des 
électrons. Cest à elles, également, que s'attache celte fois 
M. Larmor, et c'est ainsi que FOuvrage consacré, dans la pensée 
primitive de l'auteur, à Fhypothèse électro-atomique est devenu 
principalement, mais non exclusivement, un traité sur les effets du 
mouvement terrestre, traité qui débute par Texposition des difG- 
cultés dont nous venons de parler, Thistoire des idées qui ont été 
émises à leur sujet et des eicpériences instituées pour les vérifier. 
' Il s'agit ensuite (sect. Il) de constituer une théorie du mouve- 
ment des électrons, d'où l'on déduira une électrodynamique à 
l'abri des objections précédentes. La méthode suivie par M. Lar- 
mor offre le grand avantage de ne point prendre pour point de 
départ les actions à distance. Le phénomène primordial sera la 
tension élastique de Télher déformé. S'il n'y a ni molécules ni 
électrons, celte tension sera exclusivement de nature élastique et 
dépendra de la rotation moléculaire. 

L'électron sera un point singulier de l'éther, point où les ten- 
sions deviendront infînies à la façon des dérivées de -• Ici, la 

théorie de M. Larmor cesse d'être, à proprement parler, électro- 
atomique. En effet, la présence de points singuliers de Tespèce 
indiquée ne permet plus de conserver sans modification les 
expressions pour les composantes de tension, de sorte qu'aux 
termes élastiques précédemment écrits il faut en ajouter d'autres 
dépondant du mouvement des électrons; les termes complémen- 
laires ne sont pas calculés en chaque point : Tauteur n'écrit que 
leurs valeurs movennes en fonction non du mouvement individuel 
<los électrons, mais de leur mouvement moyen, autrement dit 
dos com[)osantes de courant telles qu'on les considère ordinai- 
romont. 

Après le passade de réiectrioité, les dérivées des composantes 
(lo lonsion retrouvent leurs expressions primitives, mais non les 
ooinposanlos ollos-mémes, les(|uclles conservent indéfmimeHt un 
lormo oornplémenlairo. 

(lonuno hoanooiip de physiciens contemporains, M. Larmor, 
|)()ur (léduiro do ses hypothèses fondamentales les écpiations diffé- 
reulielh's des mouvements étudiés, emploie exclusivement le 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 3^:; 

^principe de la moindre action, qui offre Tavantage de mener au 
vésuUat en parlant des seules expressions de Ténergie cinétique 
^t de Fénergie potentielle, sans entrer dans le délail des actions 
.mutuelles. On peut toutefois se demander si cet avantage ne 
devient pas quelquefois un inconvénient. On voudrait, quoi qu^en 
^ise Tauteur, suivre d'un peu plus près le mouvement des élec- 
trons, on voudrait s'expliquer comment le déplacement de ces 
points singuliers à travers Téther élastique est possible, ce qui se 
<;onçoil véritablement assez mal. 

Quoi qu'il en soit, on arrive par cette voie à des équations 
^lectrodjnamiques qui, pour le cas des corps en repos, coïncident 
•avec les équations de Maxwell, tout en en différant dans le cas du 
jnouvement. Le rôle de la force d'Induction magnétique est joué 
par la vitesse de Téther. Le magnétisme est ailleurs considéré 
•«comme une apparence et remplacé par les courants particulaires 
J' Ampère. 

Il est bon de noter que, dans certaines différentiations, on 
supprime les termes qui correspondent au mouvement de Téther, 
<t qui seraient du second ordre (puisqu'ils contiendraient, d'une 
pari les dérivées partielles des quantités différentiées, d'autre 
part les composantes du mouvement de réther)-, autrement dit, 
considérant ce mouvement comme suffisamment lent, on réduit 
les équations à leur partie linéaire. 

Quant aux molécules matérielles, elles n'existent pas, à propre- 
ment parler, pour M. Larmor. Une molécule n'est, en réalité, 
qu'un système d'électrons tournant les uns autour des autres. 
C'est cette rotation qui constitue le courant particulaire et, par 
conséquent, l'élément magnétique. L'existence d'un champ magné- 
tique a pour effet : d'une part, d'orienter les orbites- des électrons 
et, par conséquent, les courants particulaires, ce qui produit le 
magnétisme proprement dit; d'autre part, de contracter ces 
mêmes orbites dans une certaine proportion. Ce second effet, 
lorsqu'il prédomine, donnerait le diamagnétisme. 

Ces notions fondamentales sont suivies d'un Chapitre, sans 
relation bien évidente avec elles, où sont exposées et discutées 
les vues récentes sur les propriétés des radiations : ce Chapitre 
termine la Section IL 

Quel sera maintenant (Section III) l'effet d'un mouvement de 



324 PllIÎMIÈKM PAIITIE. 

translation sur les phénomènes tels qu'ils se déduisent des hypo- 
thèses précédentes? *• 

Tout d'abord, des considérations de symétrie conduisent Pau- 
teur à affirmer a priori que les effets doivent être du second 

ordre par rapport à ^« sauf peut-être dans les phénomènes (tels 

que la polarisation rolatoire) qui dépendent de Torientation de 
Tespace, qui chan<^cnt lorsqu'on remplace les diflfércnts corps que 
Ton considère par leurs images dans un miroir. 

Entrant un peu plus dans le détail, Tauteur adopte Thypothèse 
imaginée par M. Lorentz dans le but d'expliquer le résultai négatif 
des expériences de MM. Michelson et Morley, et d'après laquelle 
les solides animés d'un mouvement de translation de vitesse r 
subissent, dans le sens de ce mouvement, une contraction de 

l'ordre de ( v? ) • Quelques pages sont employées à justifier cette 

hypothèse, si bizarre au premier abord. 

D'autre part, on constate que, sur un corps en mouvement, les 
lois de la distribution électri'que sont modifiées : la nouvelle 
distribution sera celle qui se présenterait sur un corps en repos et 
dont la forme se déduirait de celle du premier par un certain 

allongement, également de l'ordre de (y) • Cet allongement 
fictif vient prècisèmenl compenser (aux termes près du quatrième 

ordre eu r; ) '^ contraction réelle subie par le solide : de sorte 

que, en fin de compte, la distribution électrique reste sensiblement 
inaltérée. 

Après avoir passé en revue les autres elfcts électriques impor- 
tants, railleur arrive aux eilcts |)urement matériels, mécanicpies 
de la conveclion. iW^V à eux i|iril rattache la notion de masse : 
l'énergie dos électrons est (lécom|)Osée en deux parties dont Tune 
dépcuil d(^ leurs cliîini;(Mnenls de position relatifsy tandis que 
l'autre contient en facteur le carré de leur vitesse commune : c'est 
le coeNicient de* ce seul ternie (|ni constitue la masse. L'inertie de 
la malièrt* serait donc exclusivenienl de nature électri(jue. 

Seideuieul, dans ce svsième, la j;ravitali(>n et, parliculièremonl, 
le fait (|ne celle-ci est |)r()|)orll()nnell<' aux niasses ne semblent pas 
devoir lrou\er leur ex|)licalion. L'auteur, de parti pris, ne sarréte 



COMFTIiS IIKNDUS ET ANALYSES. 325 

pas à cette difficulté. Ëlant donné qu^on ne saurait attendre des 
théories moléculaires Texplication (olale des phénomènes et que, 
par Texemple, la cohésion des solides paraît leur échapper, il 
J uge naturel que la gravitation soit dans le même cas. 

Il faut maintenant examiner les cas, réservés jusqu'à présent, 
où il y a asymélrie, c'est-à-dire le phénomène de la polarisation 
^"Olaloire, que celle-ci soit d'ailleurs naturelle ou électromagné- 
t.ique. 

M. Larmor regarde la polarisation rolatoire comme un phéno- 

'"raènc « dynamiquement secondaire et subordonné ». Mais il n'en 

*^«?connaît pas moins sa valeur comme mo^en de vérification des 

* hceries électro-optiques, en raison de son extrême sensibilité 

cjcii lui permet de mettre en évidence des retards de propagation 

^^ «aivalant à de petites fractions de période. 

CDr on admet actuellement, d après Lorentz, (]ue ce phénomène 
^orine précisément lieu à un désaccord entre l'expérience et la 
'-■^«orie, celle-ci conduisant à conclure que le mouvement ter- 
^ ^re devrait avoir une inlluence, tandis (|ue les expériences de 
«> Mascarl démontrent le contraire. C'est cette question qui est 
rise ici (Section IV). 

.'auteur commence par écrire en général les équations du 

■^ *"^ ^nomène, sans d'ailleurs faire intervenir tout d'abord les élec- 

^^^ »is et en prenant simplement pour base ce fait que la polarisa- 

^^ ^^ »i rota toi re est assurément liée à la présence, dans l'énergie 

* ^^trodvnamique, de termes contenant les dérivées de la force 

^^ citrique : dérivées qui seront prises par rapport au temps s'il 

^^itdc la polarisation magnétique; par rapport aux coordonnées 

^1 s'agit de la polarisation naturelle. 

Il indique rapidement ensuite comment, dans sa théorie, la 

■^^^ i arisatiou rotative magnéti(|ue s'explicjue naturellomenl par 

^^«•îentation des orbites <les électrons et traite, d'une manière 

*^ dépendante, la |>()larisalion rotaloire naturelle (en disant éga- 

^*iienl un mot de la polarisation par réllexion mai;néli(|ue). 

Une analyse unique s'appli(|uc, par contre, aux (I<mi\ cas 

lorsqu'il s'agit de rechercher l'iiillucuce de la translation. Elle 

^Uoutil à un résultat opposé à celui dt; Loronlz et conforuie aux 

expériences de M. Mascarl : concordance attribuée précisément 

* rhvpothèsc précédemment faite (|uc Téncr^ie des molécules 



39.G PKEMIËUI^ PAKTIE. 

malérielles esl cxclusivemenl due à celle des électrons qui les 
composenl. 

La seclion V esl consacrée aux rayons de Ronlgen et aux 
radiations en général. On y trouve une nouvelle confirmation de 
rhypolhèse donl il vient d'être question, dans ce fait que les 
capacités d'absorption des différents corps pour les rayons de 
Kontgcn varient comme leurs densités; et, d'autre part, des 
relations importantes entre les propriétés des électrons qui com- 
posent une mémo molécule. On constate, en effet, par un calcul 
analogue à ceux de la théorie des oscillateurs électriques, qu'un 
électron qui se meut est l'origine d'un certain ébranlement de 
l'cther et que, dans une molécule quelconque, il y aurait, par 
cette voie, dissipation continue d'énergie si les ébranlements dus 
aux différents électrons ne se compensaient pas. En particulier, le 
nombre de ces électrons doit être supérieur à deux dans une 
même molécule. 

Une série d'appendices (jui termine le volume mérite une 
mention spéciale. L'un d'eux (appendice D) a un but purement 
historique. Les trois suivants complètent sur plusieurs points les 
vues physiques exposées dans le corps de l'Ouvrage. Deux d'entre 
eux (C et F) sont, l'un une théorie des ions et de l'électrolvse, 
l'autre une théorie du phénomène de Zeemann. Dans Tappen- 
dicc E, raulenr cherche, à l'aide de comparaisons gyrostatiques 
si populaires chez les ])hysiciens anglais depuis les traxaux de 
Lord Ivelvin, à nous donner une idée, idée bien lointaine et bien 
apj)roximativc, mais en lin à nous donner une idée de ce que peut 
être un électron. 

Je n'entreprendrai pas ici d'examiner cette conception, non 
plus que d'énoncer un jugement sur les théories physiques résu- 
mées dans ce qui précède. On sait que plusieurs des diniculiés 
(|n'cllcs soulèvent ont été mises en évidence par M. l'oincaré ^•). 
.le préfère dire un mol des vues plus mathématiques contenues 
dans les appendices A et H. Non (pie ces vues soient très déve- 
loppres; l'auleur a, d'une manière générale, délibérément «'carlé 
h*s eonsidénilions pro|)reinenl aualytitpies de son Ouxrage. 
Celui-ci n en est pas moins intéressant pour les mathématiciens. 



(') LUctricitc cl Optique, ticuxicmc Parlic. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 827 

au contraire. Les ihéories qu'il con lient sont liées à toute 
ie questions qu'il serait hautement intéressant de reprendre 
inl de vue analytique. On rencontrerait loul d'abord, bien 
lu, les problèmes de calcul des probabilités auxquels donne 
î qu'on peut désigner, avec Maxwell et M. W. Gibbs, sous 
1 de Mécanique statistique. 

Larmor insiste plus particulièrement sur le caractère des 
x.imations qui s'introduisent dans ces sortes de raisonne- 
- L'examen de ceux-ci vient évidemment à Tappui des idées 
y par M. Klein, dans une de ses conférences de Chicago ( * ), 
nécessité de ce qu'on pourrait appeler ra/ia/>^5e approchée, 
-dire d'une branche des Mathématiques dans laquelle toutes 
nnées comporteraient un certain degré d'erreur, 
s que pourra être celte analyse approchée? Des quelques 
consacrées par la Géométrie de Gôttingue à cette question, 
urrait être tenté de tirer, quoique l'auteur ne l'ait pas 
Jscment formulée, la conclusion qu'on pourrait, dans cette 
, renoncer aux difficultés de rigueur et aux excès de gêné- 
qui ont été introduits dans l'analyse moderne. 
si que j'ai eu l'occasion de le remarquer à propos d'une 
on particulière (-), le contraire peut être vrai : il est fort 
>le, sinon probable, que Vana/yse approchée se voie forcée 
er les parties les plus délicates, les plus subtilement minu- 
s de l'analyse rigoureuse. Pour prendre un exemple simple, 
geons cette double proposition : 

^squ'on sait qu^ une fonction est finie et continue y on peut 
nclure qu'elle a une intégrale, mais on ne peut rien 
^\er sur V existence de sa dérivée. 

énoncé fournit bien un type classique de ces scrupules, de 
^inoiseries de rigueur qu'on introduit bien à regret dans les 
» de calcul infinitésimal. Est-il possible, cependant, de 
renaître sa liaison avec le suivant : 

'^squ'on connaît l'ordre de grandeur d' une fonction dans 



-onférence VI, p. 4^-4^ de la traduction Laugel. Paris, Hermann; 1898. 
^ théorie des plaques élastiques planes ( Transactions 0/ the American 
'natical Society, 1902). 



328 PUUIMIËKK PAHTIE. 

un intervalle, on est renseigné sur r ordre de grandeur ^ 
son intégrale, mais on ne sait rien sur celui de sa dérivée, 

énonc(i dont Tiniportance fondamentale, dans toutes les branc^ Èi^^ 
du calcul, ri parliculirrement dans les questions d'approxic^»''^' 
lion c|ui nous occupent en ce moment, n'a pas besoin d'^ t**^ 
démontrée. 

(le sont précisémenl des remarques analogues qui se présent ^^^^ 
à M. Larmor lorsqu'il a|)profondil l'étude de la polarité mag 
tique ou électrique (appendice A). Là interviennent des foncli 
pratiffuenient non dérivahles, c'est-à-dire dont les deriv 
exislent, mais ont des valeurs 1res grandes et de signes variabl ^^-s; 
des intégrales Aéiin'xQ'^ pratiquement divergentes, aie. 

L'appendice B Iraile des principes de la Mécanique. L^aule ■-■ **} 
comme nous l'avons dit, donne le rôle principal au principe de? 1* 
moindre action. 11 ne s'arrête même pas à l'objection de Hei •- ^^ 
fondée sur l'existence de systèmes non holonomes (roulemeuL «l 
phéiiomriies analogues). Il écarte cette «objection en réponde «^ t> 
encore une fois, que les pbénomones tels que le roulement sd^ «Jl 
étrangers à la Dynamique moléculaire. Il resterait à savoir si 

Texplicalion moléculaire qui rendrait compte de ces phénomè wcit^i 
pourrait satisfaire en même temps au principe de la nioia ^l\ re 
action. .1. Hadamaro. 



C.ZUIŒK ( K. ). — Pkoh\iumtks i:t .mou:.\m:s (iKOMKTiuyi ks. Traduit de P« »I'«- 
inaïul p;ir //. Schucnnans. I^rôfaco (!(» (li. iM-^rangc. i vol. in-S**; 7.\\ |>«.» i^*^ 
ii3 (i,:;iiros. Paris, Ilcrniami, 190». 

.le rejH'odnis ci-dessous, en partie, Tinléressante Préface <|*'^ 
M. Cil. Lai;ran{^o, membre de rAcadémie rovale des Science^ *'^' 
Beljj;i(iiie, a mise en tête du Li\re de M. Czuber; elle eu ^^^'^ 
conuaîlrc r('>()rit, mieux (|ue je ne saurais faire. 

u l/Ouvra^e du Professeur K. Czuber, dont M. le capiL i^" • "'' 
Scbuermans donne aujourd'hui la traduction, a pour objet | » **'"' 
cipal de groii|)cr, dans uu cadre syulbélicjue, la classe nonibi*^-^**^^ 



COMPTES KEN DUS ET ANALYSES. 3».) 

problèmes de probabilités où iplcrvient la notion de Tinfini, 
-à-dîre ceux dans lesquels, sans pouvoir dclerminer sépare- 
nt les nombres de chances possibles et favorables, on peut en 
léral, par un passage à la limite, trouver le rapport de ces 
bres ou la probabilité cherchée. 

• Ces questions ont pour t>pe le célèbre et classique probli* me 
d'aiguille, proposé et résolu déjà par Buflbn, il v a plus d'un 

de, dans son Essai d\4 rit h me tique morale. Pour la plupart 

Titre elles, ou bien les données sont d'ordre géométrique, ou 

énoncés sont susceptibles de représentation géométrique. Ce 

aclère géométrique a attiré la pensée de l'auteur et dicté pour 

" •^^ î la définition du sujet et le titre du Livre. Fidèle à son argu- 

^ ^ Kit, il examine successivement les problèmes qui se rapportent 

^* point, à la droite et au plan. La portée de ces questions n'est 

^fe mlleurs pas uniquement spéculative; comme presque partout 

^ * • 1 ^urs en probabilités, l'exploration métaphysique abstraite 

^ *^^ i^sine avec la préoccupation d'une application concrète et utili- 

"^ ■ we. Si Ton voulait de cela un exemple, il suffirait de mentionner 

^^ ■'^►plicalîon des probabilités par intégrales définies aux questions 

tiques du tir. 

L'exposé didactique de la matière précédente ne constitue 

* une première Partie de l'Ouvrage. La seconde Partie n'expose 
& des questions de probabilités proprement dites, mais elle 
mte d'une notion capitale en connexion intime avec leurs appll- 

ioos. Il s'agit de la moyenne, base des problèmes statisti(|ues'. 

se propose ici la détermination d'une grandeur ])ropre à 

résenler par un terme unique une collection donnée de gran- 



** w^irs de même espèce. Ce n'est pas dans la statistique proprc- 



fc? ni dite seulement que cette question se présente avec un but 

* le; on la rencontrerait dans toutes les branches des sciences 

(^ ^liquées. Telles seraient, par exemple, en Pliysi(|ne ou en 

^ ^o-Phj'sique, la détermination de rintensiié mo\enne d'un 

^■"onnemenl (lumineux ou autre) sur une surface, clans des 

^^^*ïditions données; en Géodésie, la question de Téloignement 

**^ ^>jcn de deux triangles, des points d'un triangle à un sommet, etc. 

^ vivant l'ordre spécial de son sujet, c'est encore dans le domaine 

S^ométrique que l'auteur cherche et multiplie les exemples. En 

t ^^>t)iliarisanl l'esprit avec ^importante notion de la moyenne, 

^uli, des Sciences mathém,^ 3* série, t. XWI. (NoTcmbrc 1902.) 11 



33o PREMIÈRE PARTIE. 

celle seconde Partie conslilue une utile préparation à k ihé^^*"*^ 
des erreurs ('); à celle théorie toucliait d^ailleurs déjà ai^ ^^*t 
incidemment et par quelques problèmes, la première Partie. 

» Nous observerons, en manière de parenthèse, que d'au*^*"^ 
points, côtoyés ou même compris par le sujet, seraient dig'*'^* 
d^un développement plus étendu ou plus approfondi. Telle se*"*^'^ 
la question, ici fondamentale, de la représentation d'une coll 
tion de points par une surface. L^éhicidation du paradoxe p 
sente par certains problèmes, qui semblent admettre pour- '* 
probabilité renseignée plusieurs solutions, gagnerait par rus^g"^ 
sjstémati4]ue et l'énoncé explicite du principe fondamenlal <1^ 
régale possibilité des chances, principe qu'il suffit de respec t.er 
dans chaque cas pour que ce prétendu paradoxe disparaisse ^^ 
lui-même. De même on pourrait désirer pour quelques solutio^^^ 
l'emploi explicite du théorème de la probabilité totale, cL 1* 
décomposition de celle-ci au moyen des probabilités des di 4 1^- 
renles manières et des probabilités de l'événement consi(l«:i'ré 
dans ces manières, 

» Pris en lui-même, l'Ouvrage actuel est essentiellement iIm bo- 
rique. Pour défendre sa valeur pratique, redisons, comme d «'jJ* 
plus liaul, qu'un point de vue inexact et 1res superficiel pourm^î^"^ 
seul condiiire à envisager le calcul des probabililés, même J ^* *^^ 
sa ])aiiic la plus abstraite, comme une sorte de hors-d'œuvre d' » ■ "^ 
])ortce et d'un inlcrêt purement spcculatifs : il est au conlri» m rc 
^expression précise et nécessaire d une science pratique, a*"» * ^' 
ricnr(î aux Traités didactiques el, comme d'autres sciences, im|)<.:> ^*'^ 
par la nature des choses. De tout temps les hommes ont fait ^^es 
j)robabiiilés, tout comme ils ont fuit de la Géométrie et d «^" '•* 
Mécanicfuo vivant qu'il existât des livres de Géométrie et * '^'^ 
traités de Mécanique rationnelle. Cest même, on peut le dirczr -. ^^ 
caractère humain dos probabilités qui, indépendamment. "*^ 
leurs ap[)lications pratiques el efl'eclives, explique et juss-l"''^' 
l'inlérét pédagogique de leur enseignement. ...» 




f 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 33i 

Je ne veux ajouter que quelques mots : c'est loul d'abord 
j cj s ticc que de louer Tinléri^l du Livre de M. Czuber; les nom- 
L>a:*^ux exemples qu'il développe sont vraiment inslructifs ot amu- 
rmts; outre leur inlérét propre, ils constituent, pour la plupart, 
* Acellents exercices d'intégration. Quelques-uns de ces exemples 
t accompagnés de renseigncmonts historiques fort curieux. En 
-liculier, les expériences dont le fameux problème de Taiguillc 
Eé l'objet sont relatées avec détail. 
i Fauteur n'a pas insisté sur les définitions et les principes 
■-:Béraux, il convient toutefois de signaler les observations essen- 
I les qu'il fait sur le choix des variables indépendantes, qui doit, 
- — il, concorder avec rinleiprétation du mot arbitrairement. 
^st sans doute dans ce choix des variables indépendantes et 
^^ coordonnées qui permeUrnl de les représenter, qu'il faut 
» |)ecter ce « principe fondamental de l'égale possibilité des 
«^nces » dont M. Ch. Lagran(;e regrette de ne pas trouver dans 
* ^^^ Livre de M. Czuber l'énoncé explicite; quelque lecteur regret- 
*- *=> 'K^sa sans doute, à son tour, <|ue le savant géomètre belge n'ait 
^*^ ^=* lui-même formulé l'énoncé do ce principe, à la lumière du(|uel 
^^ ^^'anouissent les paradoxes, a Où le sens ne découle pas incon- 
^ =s. Eablement des termes du problème, dit M. (Czuber, il peut 
' •J «jours se discuter quelle interprétation correspond le mieux à 
■nature de la chose. )> Sans doute, ce qui n'est pas incontestable 
^it être contesté, et peul-èire dans ces matières, faut-il parfois 
'*'*=^ <2ontenler d'une //ico/j/t'.s7<'//> V' vraisemblance. M. C/.uber, par 
^^ "^^ nombreux exemples ([u'il halte, semble s'être surtout proposé 



^ »* ffiner l'intelligence de sf> lecteurs et de leur donner, par 
'^siLitude^ celle acuité d'e>pril (pii permet de reconnaître que 
te sens découle inconteshibbinont des termes du problème ». 
^— <^ résultat, s'il est atteint, ej>l Tessenticl pour ceux qui estiment 
M^^cî le sen» du vrai importe t-ncore plus que le sens de la rigueur. 
^I. Czuber, au début de nom Livre, insiste sur Timpossibilité 
^ appliquer aux problèmes qui! Iraite la définition ordinaire de 
*^ probabilité, qui suppose que Ton ait alfaire à des u totalités 
4*scrètcs de cas favorables <i k\v cas possibles »; dans ces pro- 
blèmes, c'est par des rapports (Tintégrales (de longueurs, d*aires, 
<^c volumes, etc.) que la pr«<' ahilité est évaluée ou délinie. Si, 
|>ar exemple, on donne dan> nu plan deux aires A, B, (pii n\>m- 




33a PBEMIËIIE PARTIH. 

piëtent p&s l'une sur l'autre, si l'un sait qu'un point e»l dan* Tui 
ou l'autre de ces aires et §i l'on regarde comme égnlpini'rnl pro- 
bables les positions de ce puinl, n'importe où, dans l'une ou l'autre 

aire, on oe s'étonnera pas de voir prendre le rapport j = comme 

définition de la probabiliu^ pour que le point soit situé dans 
l'aire A, el l'on conçoit qiio d'autres quesiloos plu& coniplcu» 
puissent âtre ramenées au cas pn^ci^dent, ou à li'uulres anali>|;uvs, 
par une assimilation plausiML-. Il est cluir que, dans cette assimi- 
lation, c'est sur le choix de« variables indépendantes, ou du 
système de coordonnées, que ,.jit porter la critique. Si, par 
exemple, on veut avoir quelque idée dc\a probabiliti^ pourqu'une 
équation du second degré, t;ii u, 

(IU*H- Alt +C>eO, 

dont les coerGcienls sont arbitraires mais ne doivent pas, en 
valeur absolue, dépasser un nombre positif A, ail ses racines 
imaginaires, il paraîtra naturel de regarder les coelïïcients a, c, b 
comme les coordonnées rectanguluircs x, y^ z d'un point M, 
situé i l'intérieur d'un cube limité par 1rs plans dont les équa- 
tions sont 

* = ±A, y=±A, 4 = ±A; 

l'équation aura ses racines imaginaires si le point M est à Pint^- 
rieur du cane dont l'équation est s'^^xy; on prendra alors 
pour mesure de la probabilité cherchée le rapport au volume du 
cube du volume intérieur i la fois au cAne et au cube : on trouve 
ainsi, sans aucune peine, le nombre 

il _ logt. 

c'rst à cola que revient au fond la solution donnée par M. H. 
M'ColI. que reproduit M. Ciuber. Le nombre trouvé, comme on 
devait ï^'v atlendre en raison de Tbomo^néilé, est indépendant 
ttcA: le résultat subsiste donc, comme le fait observer l'auteur, 
pour des valeurs inlîniment grandes de \. Toutefois, il ne nie 
. seinblorail pas légitime d'e» conclure qu'où a la probabilité pour 
que IVqualion ««--}- 6« + r ^ o. dout les coefficients sont 
cutii-rcuiont arbitraires, ail ses raciucs imaginaires. L'image qui 



MÉLANGItlS. 333 

s^rvi à définir celle probabilité, lorsqu'on supposait les coeff^- 
*^^n.t,s limités, perd toute précision, et Ton n'a aucune idée du 
f^P|>ort à l'espace infini du volume d'un cône. 

3e demande la permission de faire, à propos de la traduction, 

^Ue observation qui n'a rien de spécial au travail de M. le capi- 

^^ine Schuermans. On sent assez que celui-ci s'est efforcé d'élre 

^îi traducteur fidèle, et l'on s'accorde d'ordinaire à regarder la 

udélité comme le premier devoir d'un traducteur. Quand il s'agit 

de mathématiques, il me semble qu'on pourrait laisser de côté 

bien des scrupules et écrire librement dans la langue où l'on 

traduit, dès qu'on a bien compris Tau leur. On s'astreindrait, bien 

entendu, à une fidélité rigoureuse pour tout ce qui concerne les 

principes et les idées générales; mais, vraiment, lorsqu'il s'agit 

de développer des calculs ou des raisonnements géométriques, 

c^est, à ce qu'il me semble, se donner trop de peine que de 

vouloir suivre jusqu'au mouvement de la phrase d*un auteur, 

et je ne vois pas bien ce que le lecteur y gagne. J. T. 



MELANGES. 



SUR LES FONCTIONS DE GENRE INFINI 
[Extrait d'une Lettre de M. Levi-Civila (à Padouc) à M. Borel (à Paris)]. 

J'avais lu, il y a déjà quelques semaines, votre Note Sur les 
fonctions de genre injini {*). Ayant eu occasion d'y réfléchir un 
peu, je me suis aperçu que vos remarques, très simples d'ailleurs, 
peuvent être présentées d'une façon plus élémentaire encore. 

Si vous le permettez, je vous enlretiendrai quelques minutes 
à ce sujet. 

Soient /'i, Tj, . • ., /',/, /'w+i, • • • les modules (rangés par ordre 
croissant) des zéros d'une transcendante entière /(:;) (se réduisant 

(') Comptes rendus/ juin njo2. 



334 PREMIÈRE PARTIE. 

à Tunilé pour z = o)] r = | s |, et 3(r) le Dombre des zéros de 
J{z)j dont le module est plus petit que r. 
On a par définition 

2r(5) = i pour ri <«S'*f> 

S(5)=2 pour rj <«irt, 



•••••••• •••••••••••• 

2j(5) = /i — 1 pour r„_,<*<r«, 
&(5) = n pour r,, <*Sr«-Hi. 

D'après cela, en supposant r„<; r^r„^ij il vient de suile 

/i — 1 



'• 1 



ri Tj . . . r„ 



Or, d'après le théorème de M. Jensen, le second membre ne 
peut dépasser logM(r); par conséquent, 

Au point de vue asjmptolique, on peut naturellement rem- 
placer Sr par toute autre fonclion '/^(s) lelle que lim— — $i. 

Si je ne me Irompe pas, il n\ a, a priori, aucune raison pour 

préférer voire fonclion ~ z=l - j 2!(s)ds à / — — ds^ el l'on 

peut se conlenlcr de Tinégalilé (i), qui est valable en toul cas. 
Au resle, en remarquant Tidcnlité 



et en posanl 



il vient 



l 


-;.i 


^ r — s 
1 


\ 


:> 


5 


) 


u r) - 


.(' 


( r — 

5 


s) 


Ing 


M . r ) 


I ^ 


£^. 



OÙ, par la i« -le de rilo>|>ilal. 



lim ;r- ~ lini — '—^ 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE. 335 

Il suffit donc que / ds croisse moins vite que Sr(/*) (ce 

qui arrive notamment lorsque la croissance de Sr(r) rentre dans 
le type exponentiel) pour que l'on ait votre inégalité asymplo- 
iique 

logM(r)>^;'-. 

Veuillez, etc. T. Levi-Ci\ ita. 

23 juillet 1903. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE. 



BoRKL (E.). — Leçons sur les séries divergentes. I11-8*', 11-2 p. avec fi^. 
Paris, Gauthier-Vîllars. 4 fr. 5o c. 

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Comitato per le onorazione a Francesco firioxchi, T. i, con riiratio di 
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fJL B(l. 'X. Abthig. Abschn. xvn (1700-1726). '?.. Aull. Gr. in-iS", avec 
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C.-J. Joly. Vol. 2, in-8". London, Longinaiis. '21 «h. 

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xv-484 p. Pari.s, Gauthier-Villars. 16 fr. 

Studt (E.). — Géométrie der Dynamen. Die Zusammcnsetzung von 
Krâflen u, verwandte Gegenstànde der Géométrie. (In 2 I^icfgn.) 
!'• liv. gr. in-S"*, 240 p. avec fig. Leipzig, Teubner. 7 m. Go [)f. 

VoGT (II.)' — Eléments de mathématiques supérieures, à l'usage 




">H\ IMiHMIKKK PAUÏIIî. 

t/rs p/tystricns. vhimistcs cl in^cnicurs. In-S**, vii-619 p. avec fig. "ni, 
\onv ri C'". 

Macii (V..). — Dû' Mcrhanik in ihrcr Enlwickelung hitior'i^^' 
Irifisch fiffr^'^rste/if. 4. Aull. xiv-jjo p. avec rjj pi. Leipzig, Brockbw*' 
8 m.; n-Iii', t) m. 

lîAHBvni.N (P.). — /'.'fmit's de ^ênmr trie analytique non euclidi^^^ 
ïii-8'\ i(iS p. avrc lig. Bruxelles, Ilaycz. 2 fr. 

BivNciii (L.). — Lezioni siti/a fcoria délie fan zio ni divariabile ^^' 
/dc.ssft e detle funzioni el/ittir/ic. I11-8". Pisa. Spocrri. '?.o 1. 

OEs\nc) ( F.). — l'nr/rsunsrcn iiher nfttîirliche Géométrie. Dew 
Ausjialu^ voii 0. K«nviilf\vbki. Gr. iii-S", \iii-!iî 1 p. avec fij*. Leipzig;, 
ner. K»*lié, 12 m. 

I-^N«;vci.()PAi)ii-: der mafhrmatisc/ien Wissenschaften m. Einsc 
ilirer Anivendun^en. I IJ«I, C. llefl. Gr. in-S**. Leipzig, Tcu! 

7 m. 7.0 pf. 

— na IV ( »j, j. [!efl. Gr. in-8". Jbid. 3 m. 80 pf. 

Fhii.kk \ H.). 1111(1 F. Klkin. — \'orlesiin,i;en iiher die Théorie der 
morplien Functionen, Il iJd. 1. Lfjr. Gr. in-8", 282 p. avec 34 fig« Le 
Teulmer. 10 ni. 

Kno.NKrKKii ( L. I. — } or/rsHNiren iifffr Mathcmatik, lierausgeg. 
Milwiilvu. ciri v. «I«;r UiMiiul. priMi>>. Akmlrinio d. \Vis<!Ciiscli. oingJ 
ifii l\Mimiii'»>ioii. lu 2Tliiii. 1. Tlil. i. Ah-^rhii. l'nrlrsiin^'en i'ther 
hulhrnrit:. l Ijd. hi'arb. 11. lnMaii-^^rir. von K. Ilc-nM.*!. Gr. i— 
\vi-ôo(| p. av«N! 7 li^. Leip/.iiT, Tciilnurr. 18 m. 

Li;.M VN I < i.). Sur rt'nsti::rn('nunt di' ratntlyse injinitt'simnlc. ^ 
7 >. p. G.iikI, iriipr. Mr\cr-\ iiii L(»n. i IV. 

Ni.HNsr ( \\ . t iirnl A. >r!iiiM"i.ii:s. — lù'n fiihrufi ^ in dit: mntf^^^ 

m 

fisrih- rnltninllunu' d> 1 \ n i nrw isst nsi im ftrtt . Aurz:.'t't'asst*:!i l.vh^'^^ 
dt I- hiji' l'iitiiil- II. hitt i: rtil fi' hniiiii*^ m. fnaniid. lieri'trhsiclitîî;^'' • ^ 
('lu mi'', j. \iill. (ir. iii-S'. xii-ijo p. jini-c {\\> jii,'. Miiiirln'ii, WollV. i" ^'^ 
ii-li«-, I I ni. K» jif. 

l*\>oi ii.H < IJ.'i. - (''lUis dr Mt'f trri if/tu* ti/uth fif/uc. T. I : VnctcurS/ 
(' iih in<it(t/iii- : Stiititjiir et h) iiKinif/m: du l'oint. In-S'% \xvii-r»Sp. 
L«i!i\,iiii. l N ^ipi ii\ -I . n> Ir. 



Mavw^l 



IRI K (lAUTHlIîll- VIl.L UIS 



II., n-*un tt aunoMiilfn lia IVotva (iti 



I cUD«t*tiUal « 



E (■-•r ;. — TtalU tlÀunUtn i1b (teKnl do t>nilMliniU* - 



^ RilcBl d>Dir«a 



li<( ilH fMiuvl Cbaua>4Ba. ~ »iyiit 
-i Li<4c««lt liM>U Mot «Alwr «r- '~ 



3 J« la (Mcm««ii« piiM. 1 Fanla as » *•!. rn-l 



■S, **Matn«ai ttir, . ilr. 
rat.«htlli« n> <UlllM>. Ii»-8i 



KkrTiiBit ([l ' 
lo tnof CD .'i . 

Cirara (K,f — l'riibabilll<'')^i>i n 

Hataoy», 
I jeviCivitA. — Sur lc( fooeiiooe 'tp (ifinrf jiïlUu'. . 
UuIIottD liibUo):ni|iliique i.. ..... 

Rime dw pnbUbBtiMu authtawUqa w , 
Zotlwlirin rUr Ualtiumalik unit Phyiiii.. ... 
HROibcoDll iii!l 1t. litilQlo UnaLirda dl Scihdu! BtLelliTV- 






BLLLETliN 

ENrrS MATllÉMATmiJKS.kiii 



tiu\. 11. I'ii;aiiI) et J. TA^^hl^\, 



iHSlon dss Bantee Btndc* 



TOHC XXVI- - DECEMBRE )902 






1.1 iiii A( tt 1 1: <; A t m 1 1: ii v i i.r \ ii >. 



ptRd'^i^Y n.i=io-i 






COMPTES KENDUS ET ANALYSES. ;> 



COMPTKS lii:M)l S KT ANVLYSKS. 



ZABEMBA. -- SiR i/i':or\TiON A// -i- ç// --- (►, i/ourno/ ffe xMathvmat'ujiw^ 

pures et fipplif/arrs, I9<»'». i 

Dan< un j^rand iiomhrtMic (|iicslions de Plivsiijuc iiiathrinalirpu*. 
au premier aI»ord 1res dilIV'iviiles. on rsl eoiiduil à dos |>r(d)lrMi('^ 
tels «pu* eelui-ci : déleriiiiner une ionelifMi tf t.|ui à riiiléricnr d un 
ilomaiiie D satisfasse à r«H| nation 

A// - J // - -i 

t ^ e->t une eon^tanlc clonnée, '^ une fonelion donnée) et (|ui mit I<i 
surface S (|ui limite vr doni.iiue .satisfasse à des conditions aux 
limite> telles «|ue celles-ci 



ou 



uU 



// - 


-i, 




- -^ 


7 


'' 7tï, 



ih l'tanl une constante donnt'e. ou 'l une fonction dunnrr . 

r«ius ce«« pr(d)lcnn's sont élroileincnl .«|»p.■lrcnl^'^ li"* iin> im « 
le^ autres. Duu'» !«• t j*» où •:, ri c soni nnl*» «i on i.i rondilion .msx 
limites est 

■ 

on retombe sur le c<''lrhn' pnd)lênii* de Dirirlilel. 

La [duparl des in»'*lln»d4*s prnpo-.i'cs pour l^'lmlc de ce prcddèm» 
^ont moins des sointi(Ui*» ipn* des dénionslr.ilioiis (.le ia ji(»<>^il)iliie 
d une sulutiiui. Il n \ a d exception cpie ponr l.i niêlliode de Nen- 
Uiuun. ipii eiuiiluil a un dcxeioppenieni reliiti\<-ni(!nl ^ifiiple. Mai^». 
siiu^ sa (orme primitive, elle ne paraissait applicalde (pr.nix siii- 
faec"* con\e.\es, cl l'on pouxail croire cpn* celle* rcshiciion lenail à 
la nature même des clio>eN. 

Il > a ipn.lipies .uinces, j'ai abordé le problènu.' i\\:> \ibrali«»n- 
If uH. des Sciences mut/icm., j' »iiri»*, i. \\\I. ( IK-ci-mlin- i»,'.-. 



338 PREMIÈRE PAITIS. 

d'nne membrane, problème caractérisé par les éqnaticms 

ÂM + £ii = cp (dans le domaioe D), 
u = o (sar la surface S). 

En me servant d'une ingénieuse idée doe à M. Scbwarif el en j 
usant de difFérenis autres artifices analytiques je sois arrivé à une ^ 
solution complète du problème. Le fait saillant était le suivant : 
si f est une fonction donnée, et si l'on fait varier le paramètre i, . 
la fonction u est une fonction méromorphe de \ dans toatle plaoi 
et les pôles de cette fonction correspondent aux diverses vibra- - 
tions propres de la membrane. 

La même méthode était évidemment applicable, avec quelques 
modifications, à tous les problèmes analogues; j*ai donc cherché k 
l'appliquer à Fétude de la méthode de Neumann. J*ai généralisé le 
problème posé, de façon à introduire dans l'énoncé un paramètre 
arbitraire X. La solution était encore une fonction méromorphe 
de X, et l'étude de cette fonction méromorphe m'avait conduit à 
cette conclusion que la méthode de Neumann devenait légitime, 
alors même que la surface envisagée n^était pas convexe. 

Ma démonstration avait encore néanmoins deux défauts : 

i^ Elle ne s'appliquait qu'aux surfaces simplement connexes. 

2^ Elle exigeait qu'on eût démontré préalablement le ce principe 
de Dirichlet », c'est-à-dire la possibilité du problème (pour cela, 
il est vrai, les méthodes ne manquaient pas). 

On pouvait prévoir cependant que ces restrictions n'étaient 
qu'artificielles et que d'autres chercheurs arriveraient à s'en 
afiranchir. 

Le problême de Dirichlet 

Af/ = (dans D), 
M = 6 (sur S) 

est intimement lié au suivant 

Am = o ( dans D), 

du . c , 

—- = O ( sur S ). 
an ' 

11 est aisé de passer de la solution de Tun à celle de l'autre, 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 33c, 

9€9^vu que cette solution ait été obtenue par la méthode de 
2\^^i£mann. C'est ce que Neumann avail fort bien vu. 

11 est d'ailleurs possible de traiter le second de ces problèmes 
directement par une méthode analogue à celle de Neumann ; c'est 
ce <{ti'a fait le regretté Robin, qui s'est servi d'un processus qui 
l'appelle tout à fait celui de Neumann, mais où il t'ait jouer aux 
po le otiels de simple couche le même rôle que le géomètre allemand 
attri l)uait aux potentiels de double couche. 

J^ reviendrai d'ailleurs avec plus de détails sur ces deux mé- 
ihocles et sur leurs rapports mutuels, en analysant le Mémoire de 
tremba. 

la solution du problème de Dirichletil est plus facile encore 
^^ cJcduîre celle d'autres problèmes tels que celui-ci : 

Al/ = o (dans F)), 
M = ^J; (sur S ). 

^*^ ^^^ u'ici nous avons supposé ; = o. Mais le problème plus général 

Aw -+- Ç M = ç (dans D ), 
"(ou -^\ ^^ (sur S) 

P^'^^t. aussi être résolu quand on sait résoudre ceux dont nous 

^^'•^Cins de parler. Il suffit de /aire une nouvelle application de la 

^*^^»ine méthode générale et de considérer u comme une fonction 

^ Ç, On voit ainsi que cette fonction est encore méromorphe. On 

^ î^lors à envisager le développement de cette fonction suivant les 

V^^ssances croissantes de Ç. Pour calculer chacun des termes de ce 

^^veloppement il faut résoudre un problème de Dirichlet, ou un 

Problème analogue, ce qui peut se faire, comme nous venons de le 

>oir, par la méthode de Neumann et celle de Robin. 

La solution du problème (A) se présente ainsi sous une forme 
fort compliquée, sous la forme d'une série double procédant d'une 
part suivant les puissances de Ç, de Tautre suivant celles du para- 
mètre auxiliaire de la méthode de Neumann. 

Ces considérations historiques étaient nécessaires pour faire 
comprendre quel était l'état de la question il j a quelques années 
et les progrès que devaient accomplir les chercheurs qui l'ont 



34o PREMIÈRE PARTIE. 

abordée de nouveau dans ces derniers temps. Les principaux d^ 
ces chercheurs sont MM. Le Roy, Stekloflf, Rorn et Zaremba. 

Arrivons maintenanl à l^analyse du Mémoire de M. Zaremba. 
Un premier poinl caraclérislique est le suivant. L'auteur abordes 
directement le problème 

/ du\ , 

11 a remarqué, en elTel, que les méthodes de Neumann et de ^ 
Robin, convenablement généralisées, peuvent nous fournir une 
solution immédiate de ce problème (A). Il suffit de substituer 
aux potentiels newtoniens, employés par Neumann et Robin, des 
potentiels généralisés pour lesquels Tattraclion, au lieu de suivre 
la loi de Newton, varie comme la dérivée de la fonction 

___ (où { =— [^', \t->0). 

Le potentiel d'une masse i n'est plus alors -» mais — ;— , 

où r désigne la dislance du point attiré au point attirant. 
Il est clair qu'un potentiel généralisé satisfera à Téquation 

AW [JL- // = o 

qui remplacera l'équation de Laplacc. 

Heinarquons, en passant, que ces polenliels généralisés ont été 
introtluils pour la première foiî> par Kirchliofl, sous une forme un 
peu didérenle, dans sa théorie de la diUVaclion. M. G. Nournann 
en a fait iisa«;e, en 1896, pour étendre sa ihéorie au problème 
qui nous occupe, mais toujours en se bornant aux surfaces 
convexes. 

En s'en .servant à son tour, M. Zaremba réalisait un notable 
pro«;rrs, la solnlion du problème (A) ne se présenlait plus sous 
la forme d une série double, mais sous celle d'une série simple, 
ce (jiil <'lail mie sensible simplification. De plus, non seulement 
le |»robI«''me ( A) n'élail pas plus diflicile (|ue celui de l>iiiclil(U, 
mais, comme nous le verrons, on pouvait profiler de la possibilité 
de donner dillérenles valeurs au nombre ç -^ — «j.-, pour >ini- 
plilier cerlains points de la démonstration. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 34i 

D^un autre côté, M. Zaremba, au lieu de commencer par traiter 
le problème (w = A) par l'emploi de la méthode de Newmann et 
des potentiels de double couche, et d'en déduire celle du pro- 
blème / -T- = i), préfère suivre la marche inverse. C'est donc le 

prol^lcme (-r- = ^f qu'il résout d'abord par la méthode de Robin 

et le?s potentiels de simple couche. 

Soient donc une surface fermée S, D le domaine intérieur, et 
'-^^ 1^ domaine extérieur à cette surface. Voici les hypothèses que 
''^" t- ^I. Zaremba sur S : 

» ** Elle a un plan tangent en chaque point; 

^-i** L'angle de deux normales est plus petit que le produit d'une 
^^^■^ étante par la distance des pieds de ces normales; 

3** Si O est un point de la surface et S' l'ensemble des points 

"^ ^i dont la distance à O est inférieure à une certaine limite, 

"■^^^ parallèle à la normale en O rencontrera S' en un point au 
pl «^^ 



problème à résoudre est le suivant : trouver une fonction u 
*^ ^ • s faisant aux conditions 

(«. {(S),-(S),-'[(S).-(,1S),]-'^ «— >. 

( Am — [x^u — o (dans D et D'), 

^ui, en outre, bien entendu, se comporte régulièrement à 
*"^^fîni. 

n désigne par l-j^i) et par (^) les dérivées de u prises, 

^^v-ant la normale à la surface S, la première du côté externe, la 
^Onde du côté interne. 

n voit que, pour X = -4- i , Téquation se réduit à 



\<is)i 



?. 



* Sorte qu'on est ramené au problème (-3- ^='i) pour le domaine 
*'*érieur D, tandis que, pour X = — 1, l'équalion se réduit à 






'^)=?. 



34^ PREMIÈRE PARTIE. 

de sorte qu*on est ramené au problème f -j- = ^}/j pourledom — ir^ inf 

extérieur D'. 

M. Zaremba développe la solution, suivant les puissances ciizS. <^, 
sous la forme 

(1) m^^maX*, 

et il envisage, en outre, d'autres séries auxiliaires; posant 

(duk-\\ ^ [duk-x\ 

il forme la série 

(2) 'jiT:7= 7 <iaX^. 

On voit immédiatement que Uk est un potentiel générali JH^ < de 
simple couche ayant pour densité Qky de sorte que chacun ^ des 
termes de la série (i) s'obtiendra à Taide d'un potentiel gén^ jMfalisé 
dont la densité ne dépendra que des termes précédents -^c^e la 
série. 

11 forme ensuite les intégrales 



12A 






w/.A = ^ ( 2 ë S -^ f^' "' "') ''^ '^^ ''- 

^^■-^' =" X (21 ê ï* ^ f^'"'"*) ''■^ ''■^ ''^^ 

La première intégrale est étendue à tous les éléments ds ^^ '^ 
surface S, la seconde au domaine intérieur D, la troisièL^^^ â" 

domaine extérieur D'. Ce qui me permet d'écrire W/^a et ^'/V>i 

avec un seul indice l -\- /r, c'est que ces intégrales, comme ^^ '^ 

démontre aisément, ne dépendent que de la somme des deux 
indices i et A*. 

On a encore à envisager les deux séries 

(3) 2^^^' 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 343 



La marche de la démonstration consiste ù établir que les 
^-^ miatre séries (i), (2), (3), (4) ont même rayon de convergence 
<^ A a convergence des deux premières étant d^ailleurs uniforme), e^ 
«le ce rayon de convergence est au moins égal à i et même supé- 
leur à 1, si certaines conditions sont remplies. 
En ce qui concerne d'abord ce dernier point, on voit presque 
lédiatement que ia suite 



w;ji-^, + vvu-^, 



st constamment décroissante et au moins égale à i . Elle tend donc 
ers une limite R' qui ne peut être inférieure à Tunité et qui 
''est autre chose, comme le montre un raisonnement simple, que 
*^^^^ carré du rayon de convergence de la série (4). 

Supposons qu'on ait trouvé un nombre O^ tel que 



JQ montre aisément que 

Ainsi R' sera plus grand que 1 , pourvu qu'il existe un nombre 641 
^^^tisfaisant aux inégalités précédentes. 

Pour démontrer l'existence de ce nombre je m'étais servi, dans 
^^on Mémoire cité, d'une certaine transformation extrêmement 
générale, mais qui, cependant, ne s'appliquait qu'aux surfaces 
simplement connexes. C'était pour cette raison que ma démons- 
tration n'était valable que pour ces surfaces. 

M. Zaremba suit une tout autre voie. Il cherche à démontrer 
que u est une fonction méromorphe de X. Pour cela, il suit la 
marche ordinaire, c'est-à-dire qu'il suppose que la fonction 
donnée cp contient n paramètres dont elle dépend linéairement, 
et il montre que l'on peut disposer de ces paramètres de façon 
que les inégalités (S) aient lieu, le nombre O^ étani d'autant 
plus voisin de i que n est plus grand. 



m PREMIÈRE PARTIE. 

Pour parvenir à ce résultat, voici l'artifice qu'il emploie : il 

remarque que la convergence des séries est assurée pourvu <iue 

le nombre [jl soit assez grand ; il compare ensuite la fonction .^i et 

les intégrales W à une autre fonction analogue qui ne diffère ««z3e u 
que par la substitution à [x d'un nombre caractéristique m vdIus 

grand que [jl, et aux intégrales K formées avec cette fon^n^ ilon 
comme les intégrales W le sont avec u. 

Si ce nombre m est convenablement choisi, la comparaisosn:^^ des 
intégrales K et W permet d'établir les inégalités (5). 

On voit que, en généralisant le problème et en substitu^a^^^t à 
l'équation de Laplace l'équation plus générale 

M. Zaremba, loin d'augmenter les difficultés, a rendu la soK. «_stioD 
plus facile. 

Nous n'avons pas établi, il est vrai, que R est toujour^^ plus 
grand que i, mais seulement que R peut dépasser toute \ ïmite 
si, la fonction cp dépendant de n paramètres, on dispose ^^ ^:^mî- 
nablement de ces paramètres. 

Mais nous verrons bientôt que cette restriction ne peu^ nous 
gêner. 

La convergence de la série (4) entraîne celle de la série (.1?^ J). On 
peut, en effet, établir une inégalilc de la forme 

•ù L est une constante ne dépendant que de la surface S. 

Pour établir celle inégalité je m'étais toujours servi ^^ '^ 
même transformation, ce (jui m'obligeait encore à me reslroi^^"^*' 
aux surfaces simplement connexes. 

M. Slekjoff a trouvé une démonstration applicable à toul^^ '^^ 
surfaces, sauf quelques restrictions; M. Zaremba a apporté en '"'^''^ 
un nouveau perfectionnement à la démonstration de M. Stek'^"' 
de sorte qu'elle ne laisse plus rien à désirer sous le rapporte!*^ *** 
ffénéralité. 

On a ensuite à faire voir que la convergence des séries C 
et (4) entraîne la convergence uniforme des séries (i) et (2). 
remarque d'abord que ces séries (1) cl (2) convergent et diver^;; *^ 
en même temps. Si (2) converge, il en est de même de (1), ^^^ 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 345 

•si évident^ mais, pour établir rigoureusement la réciproque, 

[. Zaremba est obligé d^employer un artifice ingénieux analogue 

^m celui dont nous avons parlé plus haut et qui consiste à comparer 

■nos potentiels généralisés, où le nombre caractéristique est égal 

•ai KLj à d'autres potentiels généralisés auxiliaires où ce nombre est 

«^gal à /w >> ;jL. 

Cette difficulté ne se serait pas présentée dans la méthode de 
I^eumann. 

Il est clair que le rayon de convergence de (i) et (.>.) ne peut 
^tre supérieur ni à celui de (3), ni à celui de (4). Mais ce qu'il 
■ mporte d'établir c'est qu'il ne peut être inférieur. Pour démontrer 
^z^e résultat j'avais été obligé de supposer que le principe de 
S.^irichlet avait été préalablement démontré par une autre méthode. 
Mjl démonstration de M. Zaremba est exempte de cet inconvénient, 
^.let auteur établit d'abord l'inégalité suivante : 

^3Ù 0^ représente le maximum de u^y où B| et B3 sont deux 
^^onstantes dépendant uniquement de la surface S; l'inégalité a 
Bieu pour toutes les valeurs de p comprises entre o et 1. Elle 
suffit évidemment pour démontrer le théorème énoncé. 

Voici comment on parvient à l'inégalité (7). On trouve une 
relation entre les valeurs de iih et de //a_ï sur la surface S. Soit M 
un point de S; considérons une couche attirante répandue sur 

cette surface et dont la densité soit— ^- On voit que la valeur 

deu^ au point M est égale à la composante normale en ce point de 
l'attraction due à cette couche. Laloi d'attraction est, bien entendu, 
la loi généralisée. 

Décomposons maintenant la couche attirante en deux parties S' 
tiS'y où S' sera une petite calotte entourant le point M et dont les 
dimensions linéaires sont de Tordre de 0. L'attraction de S' nous 
donnera le premier terme du second membre de (e) et l'attraction 
de S* nous donnera le second terme. Pour évaluer une limite supé- 
rieure de cette attraction de S'' il faut se servir de l'inégalité de 
Schwarz; mais cette inégalité conduirait à une limite supérieure 
infinie si le point A se trouvait sur S"^ de telle façon que la dis- 



346 PHEMIÈKE PARTIE. 

tance /* pût s'annuler. C'est pour cette raison qu'il a été nécessaire 
de décomposer la couche attirante en deux parties. 

Cette manière de se tirer de cette difficulté et la façon dont 
M. Zaremba se sert de l'inégalité (7) méritent de fixer Tatteiitioii; 
car cet exemple pourrait être avantageusement imité dans des cas 
analogues. 

Il résulte aisément de tout cela : 

1^ Que II est une fonction mcromorphe de Xdans tout le plan. 
(Il suffit, en effet, de se rappeler que, si f dépend linéairement de 
n paramètres, on peut disposer de ces paramètres de façon que 
R soit plus grand qu'une certaine limite, qui croît indéfiniment 
avec /i, et d'appliquer ensuite à ce problème la méthode que j'ai 
employée dans mon Mémoire des Rendiconti.) 

2^ Que u est un potentiel généralisé de simple couche, la den- 
sité de la matière attirante étant égale à 

Si nous considérons le résidu de cette fonction méromorphe relatif 
à un pôle quelconque, ce résidu sera évidemment un potentiel 
généralisé de simple couche dont la densité sera égale au résidu 
correspondant de la fonction 7. De plus, ce résidu devra satisfaire 
à des équations de même forme que (B), mais où la fonction g 
devra être nulle. 

Or il est aisé d'établir : 

1" Qu'il n'existe pas de fonction satisfaisant à ces équations 
(où ç=o) si X est imaginaire; ni si |). |<;i; ni si ). = — i; ni 

si X =r I et jJL ]^ 0. 

Nous n'aurons donc ni pôle imaginaire, ni pôle à Tintérieur du 
cercle de rayon 1, ni pôle sur la circonférence de ce cercle 
pour [jL>>o. Donc, si [jl>> o, le rayon de convergence R de nos 
séries sera plus grand que 1; nous pourrons donc faire dans nos 
séries X 1= lii i , ce qui nous donnera la solution du problème 



(£ = *) 



œMPTES RENDUS ET ANALYSES. 347 

Si p. r= o, le pôle X = 1 peut exister et, pour que la méthode 
oit applicable, il faut que le résidu correspondant soit nul, ce 



ui s'écrit 



< ^) I oris = 0; 

<:r ^esl là une condition à laquelle toutes les méthodes conduisent : 
«-»n sait, en effet, que le problème ( -r- = i j n'est possible pour le 
omaîne intérieur D que si 



/ 



du , 



<c^e qui n'est autre chose que la condition (8). 

Voyons cependant comment on pourrait résoudre le problème 

^ — = ^ j pour le domaine extérieur D' quand la condition (8) 

^ ^'est pas remplie. 

Nous trouverons alors 



U = ; r- W, 

A — I 



'^i^à w est une fonction méromorphe ayant tous ses pôles extérieurs 

^u cercle de rajon i ; le résidu P est alors le potentiel d'une couche 

électrique en équilibre sur la surface S supposée conductrice. (La 

loi d'attraction est d'ailleurs redevenue la loi newtonienne 

puisque u. = o.) 

Pour \ = — I on trouve alors 



P 

Il — iV 

9. 



La série w convei^e pour À = — 1 ; quant à P, on peut le calculer 
par la méthode de Robin, que les considérations précédentes jus- 
tifient complètement. On voit comment, par une application ingé- 
nieuse de la méthode des Bendiconli, M. Zaremba échappe aux 
difficultés qu'il aurait rencontrées s'il avait voulu démontrer 
directement que R est généralement plus grand que 1 . 

Il faut enfin passer du problème f ^ = 'M au problème (c< = 9) 

de façon à justifier la méthode de Neumann et le principe de 



348 PKËMIÈRC PARTIE. 

Dirichicl. M. Zaremba montre qu'on passe facilemenl de 'W â 
Tautre. Dans le problème de Neumann, il s'agit en cOetde trouver 
un potentiel généralisé de double couche satisfaisant à la condition 

Dans le problème que nous venons de résoudre il fallait trou^w 
un potentiel généralisé de simple couche satisfaisant à la cou dii^on 



\dS 



■;i - iM) .-Am ~ cm-^- 



11 suffit, pour passer de l'un à l'autre, de prendre 

i' = - ^— (^dans D), 
I — A 

V = ^.— (dans D ) 

I -i- A ^ ' 



et 






? 

i'o étant le potentiel d'une double couche dont la densité e^ ^ "" 



ar 



Cela suppose, il est vrai, que la dérivée -j^- existe. Je J^ '"* 

diquerai pas ici i'arlificc grâce auquel M. Zaremba ramène 1^ ^'*- 
général à celui où celle dérivée existe. 

Dans tous les cas, la méthode de Neumann et le princip*^ "^ 
Dirichiet se trouvent cnlitremcnl justifiés. 

On voit (jucllc est la généralité du résultat obtenu par M. ^^" 
remba. Les surfaces auxcjuelles le principe s'applique n'ont f^*'*- 
besoin d être simplement connexes. Les conditions imposées i* *** 
surface S sont extrêmement larges. Elles sont remplies par loi' *^^ 
les surfaces analytiques, et même par les surfaces composée* ^^ 
plusieurs morceaux analytiques, pourvu qu'en un point commi* 
deux ou plusieurs morceaux le plan tangent à tous ces morces^ ^^ 
soit le même. 

La généralisation qui résulte de Tintroduction du terme 



a 



y.. -2 



a contribué à simplifier la démonstration, de sorte que cette 



\è' 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 34î) 

monstralion semble avoir atteint sa forme définitive et qu'il n\ 
sera sans doute plus apporté que des modifications de détail. 

Il importe toutefois de faire la part de chacun; car le résultat 
Mi'a été obtenu que par étapes successives et avec le concours de 
|>lusieurs travailleurs. Un court aperçu historique est donc néces- 
saire. J'ai expliqué plus haut ce qu^il restait à faire quand j^ai 
abandonné la question. J^avais fait usage d^une certaine transfor- 
■naiion T qui m^obligeait à me restreindre à des surfaces sim- 
plement connexes, il fallait rendre inutile celte transformation T 
<le façon à pouvoir envisager une surface quelconque. J'avais sup- 
posé le principe de Dirichict préalablement démontré, il fallait 
s'affranchir de cette nécessité; enfin, j'avais, sans tenter une 
démonstration et en me contentant d*un de ces aperçus qui suf- 
fisent au physicien sans contenter Tanalyste, montré l'existence 
€t rimportance probables de certaines fonctions que j'appelais 
fondamentales et qui comprenaient les fonctions sphériques et 
les fonctions de Lamé comme cas particuliers. 

On chercha d'abord à se servir de ces fonctions fondamentales 
pour arriver à combler les lacunes qui subsistaient encore, mais 
on n'obtint ainsi que des résultats très incomplets. 

M. Le Roy [Annales de l'Ecole iVormale, 1 898) introduisit des 
fonctions analogues et en établit rigoureusement Texistence, mais 
elles ne contenaient pas les fonctions fondamentales comme cas 
particuliers, de sorte que les intéressants résiilials qu'il avait 
obtenus et qui étaient si utiles dans divers problèmes de Physique 
mathématique n'étaient pas directement applicables au |)rol)lème 
de Dîrichlet. 

Dans la suite MM. Liapounofl', Tauber et StekloflT approfon- 
dirent la nature des liens qui rattachent la méthode de Hobin à 
celle de Neumann. 

En i8()9, M. Korn publie son Ouvrage Lelirbiicli der Polen- 
tiatlheorie, où il démontre la léj;i limité de la méthode de Robin 
et de celle de Neumann sans supposer le principe de Dirichlet 
préalablement démontré. C'était là un progr«'s très considérable 
qui était d'ailleurs réalisé presc|ue en même temps et indépen- 
damment par M. StekloflT (y</î/i a /r5 de la Faculté de Toulouse, 
1900). Ce savant, qui avait d'abord fait des tentatives dans le 
même sens que M. Le Koy, n'a pas besoin non plus de s'appuyer 



35o PREIIIÈRB PARTIB. 

sur une démonstration préalable du principe de Dirichlet. De 
pins, il imagine un théorème qui affranchit une des parties de la 
démonstration de la considération de la transformatioii T. 

Ces deux auteurs supposent que la fonction 4, qoi définit les 
valeurs du potentiel snrla surface limitera des dérivées premières 
continues. Mais, en igoi, M. Kom {Abhandlungen sur Poî^H" 
tialtlieorie) fait un pas de plus, et il suppose seulement que cette 
fonction <t> elle-même est continue, sauf le long de certaines lignes. 

C^est M. Zaremba le premier qui s'est affranchi de la transfor- 
mation T, ce qui lui a permis d^envisager une surface de con- 
nexion quelconque et qui a établi rigoureusement Pexistence des 
fonctions fondamentales. Il a ensuite étendu les résultats à l'équa- 
tion Au-hÇ{£=:o (^Bulletin de V Académie de Cracovie et 
Comptes rendus, 1901). Il avait donc réussi à combler défini- 
tivement les trois lacunes que nous avions signalées plus haut. 

Peu après, M. Kom {Abhandlungen zur Poteniialtheorie, 5) 
retrouve et développe quelques-uns des résultats précédents de 
M. Zaremba et étudie, par une méthode dont le principe se 
trouve déjà dans un travail antérieur de M. Stekloff, le problème 
du développement d'une fonction arbitraire en série procédant 
suivant les fonctions fondamentales. 

Nous arrivons ainsi au Mémoire que nous analysons ici. Ce 
n'est en un sens que le développement des deux Notes succinctes 
que nous avons citées plus haut et qui avaient paru en 1901. 
Cependant de nombreux perfectionnements de détail ont été 
introduits et, comme nous Tavons vu, en envisageant Téquation 
plus générale A// + Çt/ = o, bien des points de la démonstration 
relative à IV'quation de Laplace se sont trouvés simplifiés. 

(^es détails historiques étaient indispensables pour faire com- 
prendre la place exacte qu'occupe le Mémoire de M. Zaremba dans 
rhistoire du développement de cette partie de la Science. 

POINCAKÉ. 



COMPTES RENDUS ET ANALYSES. 35i 



^ARDEY (E.) — Algbbraische Gleiciiungen nebst den Resultatbn uno 
DBX Methodbn zu iiirer Auflôsung. FUnfte AuQage bearbeitel von 
F.Pietzker, i vol. in-8"; xiii-405t pages. Leipzig, Teubner, 190!;.. 

Ce livre, dont la première édition remonte à 1868, est sans doute 
populaire dans les gymnases allemands et l'on peut le recommander 
^ax professeurs et aux élèves de nos lycées qui sont en quête 
'exercices. Il en contient plus d'un millier, et dans ces mille 
xercices il y en a beaucoup qui se subdivisent en un assez grand 
xiombre de questions spéciales. 

Tous ces exercices se rapportent à des équations ou à des sys- 
S^nies d'équations qui se résolvent par radicaux et, le plus sou- 
'^/ent, par des radicaux du second degré. Ils sont gradués et 
^[Toupés avec soin ; ils sont suivis non seulement des résultats, 
vnais encore d'indications très suffisantes pour retrouver rapide- 
xnenl la solution ; l'auteur y a même joint, à l'occasion, des obser- 
"%ratioDS générales qui peuvent être très utiles. Je dois ajouter que 
la plupart de ces exercices m'ont paru fort bien choisis, vraiment 
mnléressants et instructifs par la nature des calculs auxquels ils 
c^onduisent, par les réductions et les simplifications qui se ren- 
contrent dans ces calculs, et par Télcgance des résultats. C'est un 
livre dont je me suis servi il y a longtemps, et je suis bien aise 
«|oe cette cinquième édition, améliorée sur divers points par 
7)f. Pietzker, me donne l'occasion de dire ici tout le bien que j'en 
pense. 

C'est à ceux qui veulent acquérir l'art de manier le calcul, de 
triturer les équations, de bien choisir les inconnues auxiliaires, 
de profiter des circonstances qui se présentent, de tel ou tel genre 
de symétrie, etc., que ce livre s'adresse. Cet art-là n'est pas 
méprisable; il est amusant à acquérir, et il me semble qu'on Ta 
par trop sacrifié, chez nous, aux discussions minutieuses et appro- 
fondies. Celles-ci, d'ailleurs, ont aussi leur mérite, et personne 
ne conteste qu'elles servent à développer les qualités d'ordre, de 
méthode, de soin, je dirais presque de conscience, si ce mot 
n'était pas bien gros. Le talent du maître est surtout dans la 
mesure. Au reste, le livre de Bardey peut encore rendre de grands 



35a PREMIËRE PARTIE. 

services par les choses même qui j manquent, par Teffort qne 
devra faire le lecteur pour discuter et critiquer iessolations qn^on 
j trouve ; sur bien des points le nouvel éditeur a facilité cet effort. 
Les équations sont toutes posées; dans quelques cas, on en 
indique Torigine. C*est donc, encore une fois, Tart du calculateur 
que le livre de Bardey peut servir à développer. Il n*j est point 
question de la mise en équation; peut^tre l'auteur a-t-il pensé 
que les conseils ou les exemples que Ton peut donner sur ce snjet 
sont plutôt l'affaire de l'enseignement oral; peut-éire a-t-il désiré 
faire œuvre systématique et ne tenir qu'une spécialiié; peut-être 
a-t-il craint de grossir démesurément son volume. Quoi qu^il 
en soit, il y a là un sujet intéressant, qui pourrait tenter quelqu'un 
de ces professeurs consciencieux et modestes qui ont le goût de 
leur métier et de leur science, qui savent observer leurs élèves, 
reconnaître les difficultés qui les arrêtent, qui démêlent la raison 
de ces difficultés et trouvent les moyens de les aplanir. 



FERRY (J.)- — HoHERB Analtsis fus Ingbnibuse. Âatorisierte deutsche 
Bearbeitungvon R. Friche und F, S&chting^ mit i66 îq den Text gedriickten 
Figuren. i vol.in-8°; viii-4a3 pages. Leipzig und Berlin, Teiibner, 1902. 

Ce livre est fort intéressant et original. 11 ne manque pas de 
traités de Malhcmaliques qui, d'après le titre et mémo d'aprrs les 
intentions des auteurs, sont écrits pour les techniciens, et parmi 
ces livres on en trouve bon nombre que Ton a grand'peine à 
distinguer de ceux (jui sont écrits pour tout le monde : ce n'est 
pas le cas ici ; non seulement le livre de M. Perry est fait pour 
les techniciens, mais il n'est fait que pour eux, il ne peut être 
compris (|uc par eux ; ce livre-là parle le langage do ses lecteurs, 
ne leur dit que ce qu'il faut, et montre plus qu'il ne dit. Non seu- 
lement tous les exemples sont pris dans les arts, et dans les arts 
les plus divers, la mécanique, la physique a|)pliquéc, l'architec- 
ture, rélcclrlcité, etc., mais les explications théoriques ne sem- 
blent données qu'en vue des applications. Inutile de dire qu'eUrs 
sont réduites à ce qui est indispensable, présentées sous la 



COMPTliS UENDUS i: T ANALVSKS. 3)3 

forme la plus concrète. M. Perrj réprie à ses lecteurs que « cela 
n^est pas difficile », qu'on n'a pas besoin, dans les applications 
usuelles, des parties dilTicîles des Mathématiques; il le leur prouve 
d'une façon qui peut donnera penser aux professeurs de Mathé- 
matiques. Ajoutons qu'il est de belle humeur, qu'il écrit d'une 
façon alerte et gaie qui n'est point la manière habituelle des 
auteurs de traités de calcul; voici quelques lignes prises au com- 
mencement de son livre, et qui suivent les explications relatives 
à la représentation d'une quantité variable au moyen d'une courbe : 

« J^ai lu jadis un article très savant sur la façon dont la popu- 
lation, le bien-être et les impots ont augmenté en Angleterre. 
L^exposition était difficile à suivre. En prenant les nombres de 
Fauteur, en les représentant graphiquement sur du papier qua- 
drillé, chacun des résultats qu'il avait déduits, non sans peine, 
devenait si visible sur les courbes, qu'un enfant aurait pu le com- 
prendre. C'est peut-être la raison pour laquelle plusieurs auteurs 
ne publient pas de courbes : ils n'auraient plus rien à dire. )> 

Les traits de cette nature fourmillent. 

Quelle est la place dun pareil livre dans renseignement des 
Mathématiques et quels services peut-il rendre? — Il serait bien 
inutile de le recommandera ceux qui ne veulent rien sacrifier ni 
de la rigueur dans l'exposition, ni de la valeur de cette exposition 
dans la formation intellectuelle des étudiants. Quelques-uns, bien 
qu'ils prisent très haut l'un et l'autre, estiment qu'il est pourtant 
permis d'enseigner les Mathématiques en vue de leur utilité pra- 
tique, et seulement en vue de cette utilité ; il j a des gens pressés, 
dans le monde, qui ont besoin d'apprendre très vite un métier et 
de faire ce métier; ces gens -là ont leurs droits, d^autant plus qu'on 
ne saurait se passer d'eux, et c'est, en quelque sorte, d'un ensei- 
gnement primaire des Mathématiques supérieures qu'ils ont 
besoin. C'est à ce besoin que répondent les explications théo- 
riques que l'on trouve dans le livre de M. Pcrry. 

Maintenant, on doit reconnaître qu'il ne peut être entièrement 
compris que par des étudiants dont le cours d'études est organisé 
d*après des principes qui ne prévalent pas habituellement. — Ils 
prévalent sans doute au Royal Collège of Sciences de Londres, 
où enseigne M. Perry. — J'ai déjà dit que toutes les applications 
Bull, des Sciences rnathc'm., a* scric. t. WVI. ( I><''coiiil»rc ly».^ .«4 



354 PREMIËRE PARTIE. 

sont tirées des sciences appliquées et ne peuvent donc être saisies 
que par ceux qui possèdent les éléments de ces sciences; il parstt 
logique de n*enseigner ces sciences appliquées qu^ft des étudiants 
qui sauraient déjà, en fait de Mathématiques» précisément ce que 
ie livre de M. Perry est destiné à enseigner. On sait assez que, en 
matière d'enseignement, la logique n'est pas tout et qn^il est bon 
de mettre en contact avec les réalités pratiques ceux qui doivent 
passer leur vie au milieu de ces réalités'; il est clair qqe, sous ce 
rapport, les habitudes de notre pays et Tinterminable initiation 
théorique que l'on y exige des futurs ingénieurs sont déplorables. 
Le plan cT études que suppose le livre de M. Perry serait toute- 
fois fort curieux à connaître. 

L'inconvénient que je signale ne pouvait manquer de frapper 
les savants traducteurs allemands; ceux-ci, en léte de leur tra- 
duction, ont mis une très intéressante préface, dans laquelle ils 
s'expliquent sur ce point et sur beaucoup d'autres. Ils ne voient 
pas d'inconvénient à ce que les lecteurs de celle Hôhere Analysis 
filr Ingenieure laissent de côté les applications qu'ils ne sont pas 
en mesure de comprendre; ils y reviendront plus tard, voilà tout. 
Il est vrai de dire que ces explications sont assez nombreuses et 
variées pour que chacun, au point où il en est, soit sûr d*en ren* 
contrer quelqu'une dont il puisse profiter, et qui suffise à illustrer 
la théorie qu'il apprend. Le livre de M. Perry doit rester entre les 
mains des étudiants pendant tout le temps qu'ils passeront à l'école 
technique; ils doivent le lire et le relire; ils remporteront et le 
garderont, c*cst-à-dire qu'ils y auront recours plus tard, quand 
ils seront ingénieurs, s^ils ont oublié quelque règle, quelque for- 
mule ou quelque démonstration ; et précisément parce que ce livre 
parle leur langage, qu'il est bourré d'exemples qui, maintenant, 
leur sont familiers, il ne leur sera jamais un livre étranger, comme 
le deviendrait, malgré tout, au milieu de leurs préoccupations, un 
livre dépures Mathématiques. C'est là, après tout, une conception 
fort raisonnable et que la qualité de TOuvrage justifie d'ailleurs. 

Il va de soi que cet Ouvrage sera consulté utilement autre part 
(|(ic dans les écoles techniques anglaises ou allemandes. C^est la 
niultiplicité et la variété des exemples qui, partout, le rendra pré- 
rinix. l/aulour parle (piclquc |>arl, avec cette humour qui lui est 
faniiliorc^ de la i^'aucherie des meilleurs étudiants en Malhéma- 



COMPTKS KKNDUS |{T ANALVSIîS. 355 

tiques, lorsqu'ils sont en face d^un problème concret : ils ne savent 
plus que faire de leurs équations et de leurs courbes, si les unes 
ou les autres représentent quelque chose. Je crois bien qu'il n'v 
a pas un professeur de Physique qui n'ait fait cette observation. 

Les étudiants doivent lutter contre cette incapacité, et leurs 
maîtres, même lorsqu'ils donnent un enseignement théorique, 
doivent les y aider : aux uns et aux autres le livre de M. Perry 
peut être d'un grand secours. 





.\SCAL (B.) ^ REPERTORiuy der iioiieren M\TnEyATiCK (Depinitionen, 
FoiMELNf Théorème, Literatur). Aulorisirto deutsche Ausgabe nacheiner 
neuen Bearbeitung des Originels von //. Shcpp. Analysis und GEoyETRiE. 
II. Theil : oie Géométrie, i vol. gr. in i8; ix-712 pages. Toubncr, 190-2. 

Nous avons déjà eu l'occasion d'annoncer dans le Bulletin 
s deux volumes du Repertorio di Maternât iclie superiori de 
I. K. Pascal, et la traduction allemande du premier volume, con- 
Bcré à l'Analyse. La traduction de la Géométrie paraît à la librairie 
.^euboer : M. E. Pascal, M. F. Engel, M. A. Lœvvy ont amélioré 
î texte sur plusieurs points. Signalons en particulier les additions 
t corrections réunies ù la lin du livre et qui se rapportent tant au 
remier volume qu'au second. Il est inutile de revenir sur les ser- 
•^ices que peut rendre la publication de M. Pascal, qui est éminem- 
ment commode et pratique. 



COMBEBIAC (Gaston), Capitaine du Gcnio. — Calcil des Triquatermons 
(Thèse do Doctorat. Faculté des Sciences do Paris). 1 vol. in-4** do 
112 pages. Paris, Gauthier- Villars, 190?.. 

M. Combebiac s'est proposé d'élîiblir une analyse géométrique 
se passant de tout système de référence. 

On sait que les formules d'Olinde Ilodrigues suffisent pour 
mettre en évidence les rapports existant entre les rotations autour 
d'un point fixe et les qjyilcrnions d'Iiamillon. 



Jjfi PlUiMlÈHE PARTIE. 

En cherchant un système de quantités complexes qui s'inter- 
prètent géométriquement par le déplacement général d'un solide 
dans l'espace, on a été amené à imaginer les biquatemions.M»^^ 
la superposition des deux, ordres d'idées n'est pas parfaite, en ee 
sens qu'un déplacement comporte six paramètres et un biquatcr- 
nion, huit, ce qui fait qu'une double infinité de biquaternions ^ 
trouve correspondre à un déplacement donné. 

M. Gombebiac, en vue d'aboutir à un système de quantité* 
omplexcs qui mettent directement en jeu les éléments simpi** 
le la géomélriede l'espace, points, plans et droites, s'est propo^^ 
de rechercher un système de quantités complexes qui correspom^^ 
^l'ométriquemcnt au groupe des transformations par simililud^- 
I)c celte façon, les symétries par ra[)port aux points, plans ^^**' 
droites de l'espace seront comprises dans ce groupe et mettrez '■^^ 
rn évidence chacune un point, un plan ou une droite suivant le c 
La quantité complexe correspondante représentera alors Tun 
ces trois éléments. Pour arriver à ce système de quantités co 
])Iexes répondant à son objet, l'auteur observe qu'il doit co 
prendre les quaternions comme cas particuliers. En effet, le grou ^ 

(les similitudes comprend le sous-groupe des rotations; or 
(pialernions correspondent à ce dernier. 

Mais il se trouve alors que, d'après un théorème précédent 
M. Schellers, tout svstùmc qnatcrnionien est de la forme 

OÙ Y, <7,, r/.,, ..., f/,ty sont des quaternions ordinaires 

II, (.),, Wo, ..., (0,/), les unités d'un système de quantités cocr^ 

plexcs. 

("est ainsi que les hicpiaternions ollVent le premier échelon 

Ces sysièuîcs onl déjà été étudiés par d'autres géomètres. B- 
iricpialernions \icnnenl ensuite 

Le syslèine est complètement défini, comme on sail, sur ^* 
<'\prcssions de (.)'-, ul-, (O'x, «jko en fonction de to et m. 

'^«•s considérations géoniétricpies directes, fondées sur u/^'^' 



MÉLANGKS. 35; 

^«marque faite par M. Studj sur les biqualernions, amènent Tan- 
neur à faire le choix suivant : 



kS— A IfS — 



c»)*= o, jji'=i, (u;x = eu, |JLio = eu. 

Le système ainsi défînî comporte douze paramètres et se prête 
aivec élégance aux représentations géométriques que Tauteur avait 
^n vue. 

Apres une Introduction où M. Combebiac rappelle les principes 
cJe la théorie des quaternions, qui lui sert de point de départ, il 
aborde dans le premier Chapitre les |)rincîpes fondamentaux du 
calcul des triquaternions : Inverse d\in triquaternion, transfor- 
Buatlons par similitude, éléments linéaires. 

Le second Chapitre est consacré à Inapplication des triquater- 
nions au mouvement des systèmes indéformables en général. L*au- 
leur jexamine en particulier Féquilibre et le mouvement continu 
d^un corps solide. 

Les troisième et quatrième Chapitres sont consacrés à des 
applications géométriques du calcul des triquaternions aux com- 
plexes linéaires et aux surfaces du second degré. L'auteur montre 
Tefficacité du calcul des triquaternions, employé comme analyse 
i;éomélrique pour rétablissement des propriétés élémentaires des 
<]uadriques. E. E. 



MÉLANGES. 



SUR CERTAINES SURFACES MINIMA; 
Par m. HADAMARD. 

Dans un travail précédent (*), j'ai étudié les géodésiques des 
surfaces à courbures opposées, et constaté Tinfluence prépondé- 



(•) Les sur/aces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques {Journal 
de M. Jordan, 5* série, l. 1\ , 1S98, p. •J7 cl suiv.)« 



3>S IMIEMIÊUK PARTI K. 

rantc que jouait dans celle étude le mode de connexion de la 
suiTace. Il y a, dès lors, un certain înlérôt à former des surfaces 
à courbure négative présentant une connexion plus ou moins 
compliquée. 

Je nie suis demandé si les surfaces minima ne fourniraienl pas 
des exemples intéressants à cet égard, la condition de courbure 
négative étant remplie d'elle-même. 

Considérons, par exemple, une surface minima algébrique 
définie [dans le système de notations de M. Darboux (*)] par 
une fonction /(//) algi'brique. Celle-ci sera liée à une certaine 
surface de Riemnnn T, définie par une équation algébrique 
entière 

(i) o(a, i>) = 0, 

/{u) étant égal à une fonction rationnelle de u et de r. 

Il est clair que le genre de la surface minima ne sera autre que 
celui de la surface de Iliemann. Mais, pour obtenir Tordre de 
connexion, il faudra tenir compte, non seulement de ce genre, 
mais des bords ou nappes infinies (-). Celles-ci correspondent 
aux valeurs de u pour lesquelles les expressions des coordon- 
nées ('') sont infinies. 

Les surfaces al«;ébriques donneraient donc une solution assez, 
générale du problème, si elles ne présentaient pas de points sin- 
guliers à distance finie. Malheureusement, c'est le contraire qui a 
lieu en général. L'ciénienl linéaire de la surface est, en efifet (^*i, 

ds' = J( « ) -'^i < '/i ) f^u dux{\ -\- uui ;2 = ( I H- I M p )2 . I J( u ) du\^j 

oii rf(n) =^ /'"((f) et on ?/, et r^i («i ) sont respectivement conju- 
guées de u et de ^(it). Dès lors, il est clair que toute valeur de it 
qui annulera /'''(/^) donnera un point singulier de la surface. 

Les points de ramification de la surface T ne sont pas, en 
général, des points singuliers de notre surface : ils correspondent 



( ' ) Leçons sur la théorie générale des surfaces, t. I, n** 188-192, p. aSS-jcp. 
(-') Voir le Mémoire cilc Sur les sur/aces à courbures opposées,, parlicultèrc- 
mcnt p. 02. 

(') Dahrol-x, loc. cit.. n" 188, formiiks (iS), p. 2^9. 
(■ ' ) r>AUnuL-x. iOicL, p. î^fj. 



MÉLANGES. 339 

H des points de courbure nulle (*). Seulement, si Ton considère 
un cycle (au sens d*Halplien) ajant pour origine un de ces points 
et que / soit la variable de ce cycle (de sorte que u et ç soient 
des séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes 

de 1), il faudra queJ(w)-^ soit dilTérent de zéro. 

En un moty les points singuliers de la surface minima corres- 
pondent à ceux de la courbe minima (-) (|ui lui donne naissance. 

I^a recherche de la fonction y de manière ù éviter les points 
singuliers rst un problème d'Algèbre (jui semble présenter cer- 
taines difficultés, et il est peut-être tout aussi simple de construire 
directement des courbes minima répondant aux conditions cher- 
chées, autrement dit, de former des fonctions algébriques :t:,^% z 
vérifiant l'équation différentielle 

dx'^ -h dy^ -h dz'= o 
011 

d^ dr^ — dz^= (», 

en posant 

i = x-hijry r, =-.. (j-— f^). 

Je suis arrivé dans cette voie, après quelques tùtonnemenls, à 
rexcmpic suivant : 



1-2 ) 






- — r 



ou ^ est une variable complexe liée ù ^ par la relalion 
(3) 



r% 



Les formules précédentes définissent une courbe miniuja. En 
remplaçant les seconds membres par leurs parties réelles, on a 
iiiie surface minima. Toutes deux sont dépourvues de singularités 
à distance finie. 

JLe genre de la surface [celui de l'équation (3)] est G, le nombre 



( ») Leçons sur la théorie des surfaces, p. \\j. 
(- j Jbid,, p. 3ji. 




liio IMULMIKHIi l'AUTlK. 

des nappes inlinics ii; par conséquent, Tordre de connexioi 
est r>.3. 

Dans les (lilVérents exemples que j'avais indiqués au cours da 
travail précédernnient cilé, le nombre des nappes in (in iei était 
pair cliacpie fois (|ue le ;;eMre était ditlérent de zéro. On pouvait 
donc douter qu^il put en élre autrement. L'exemple précédeot 
décide e<» point. 

J^a surfiice |)récédente est, comme on voit, assez compliquée. 
Il serait intéressant d'en foinier d*un peu plus simples et surtost 
d'en trouver qui présentent les syuiétrics étudiées par M. GoorsH 
dans un iMémoirc connu (*). J^a dKïiculté, comme nous venonsde 
le voir, réside dans la présence des |)oints sin^^ulicrs. 

On pourrait, il est vrai, au lieu de la fonction /{u), se doDoer 
la fonction -î(//), et il serait alors facile de choisir celle-ci de 
manière (|u\flle ne s'annule (|u'aux points à Tinlini de la surface. 

jNJais celle-ci aurait alors des périodes correspondant à cellesdei 

intégrales /(i — ^/'-) J( //)<///, i i {^\ -r- U') ^ {u) d u ^ jl j ii3{u)dUi 

dont les parties réelles donnent les coordonnées. Si Ton vcal 
éviter les surfaces périodiques, on se trouvera en présence duo* 
nouvelle (liflieullé consistant à ex|)rimer (|ue ces périodes soot 
purenienl inia«^inaires. 

('} An nu/va scicnfi/if/ucs de Vl'.ntlc .\ormfi le supérieure, 6' bévic^i.W't^'^r 



h'/in ATA, 



I'.i;;o ji). Cil unie, au lieu dr : loir vv iiiriiic r««inc, |». v'>i|7, Usez : voir iiuh 

Iviill, l. 11^, p. !')!>, 



riN i»i: i.v i»iii..Mii.Hi PVHrri: \n insn-: wvi. 



III M m K <. \ 



k jfnn applicni 





^^^^^^^^^^^^^^^^^EiNT^^ 


1 


1!l!f!^l 




^^^^^^^^^^'"'■". 








^^^^^^^^H ••»"" 




^^1 




^^^^^^H PubUcAtlon taoDoi' 




"Il da ^^^1 




^^^^^H 




m 




^^^^^^^B Oidniri 




l'i^^^^^^l 




^^^^^^H 




"^^^^^1 






J^^MééJÎJ^ 


1 




TABLES 



MATIÈRES ET NOMS D'AUTEURS. 

TOME XXVI; 1902. - l'ItlîMIÈRE PARTIE. 



TABLE ALPHABETIQUE 

DI-:S MATIKHRS. 
COHFTES RENDUS ET ANALYSES. 

Aai (F.)-- L'iilersiicliHiisnri iil.iT ;; Lili-.lw I-iiiiru 

AlBIMS (ll.j. - Sitr une rlas-..-ili' f,.iirli..n^ Iin [irrf.irlisJr ■« 

,\(in»Ic« iolrnialiiinalf- .[■|IM..irr. C.iiikW-> it.' l'iiri» 

.4?rilLL (P.)- - C"iir, .II' M,T»iiinu<- à rii.ai;.r .its Ciiii-lî.lalr^ ù l'K 

Bmdev (E.). - Al^i'liijisrl..' i;lii.lMiii(;rii .11 Ii-L (li;n lli-iillah'i] 

iea Mithoileii ru iliror \iit1<>;<iin^ 

BuMT (A.-n.). — .\n cl ciit^irv In-iHisf ..n .iiliîr: Hiirl .|iiiirlM- dur 

IIm.TUa:in (I..)- — l.i-rotis sur l.i lln'iirir rii* k.i/. I- l'arlio. Iiii.liir-i 

pu A. Gallulli. iivei: un.' iiili'..,]ri. 1> 1 .1.'. \..Ui yar M. Iti iri..i 

BmtL (F,.). -- LoroH* ';■■■' 1.- >i'ii.-- ;. ti'iini- [...-.iLil., |.r..f.'^-.,-.-. 

CoIWgc <le tVaiirp. r.'.iii'illii> ].iii- M, il' \.ili.'iiiai- 

BOCUFT (T..). - (:..ur> .!.• Mi.tli.-|..i.li.|.i.-. à lu-i.;:.' .1.-. .-I.v.'s :„: 

lïttïs II ingi'iiii-urs pnift.W i ri':r"li' ili - lt<'iiii\ Vrl'^ 

BwTtnU et tt.lTINKT. -- NiiU1>'l]i-> t;■lllr'^ ilr l<>::.il'illiliir- .1 iill<| .\ 

Kàitf 

BoCTItn (l^.j. I.a iii.'Ui'iili' iii^illi.''iii;ill<tii>- m Kr- iiin- ]>..|itL<[uc. 

CUELLI (A.J. — Uliiiiii Milla Ir'iria .li'lli- f..iiMr at^.'l.ri-.lji- 

'•uUmtu (C). — Ciiiii'. .1.- Mr'.'Jiii.|iii- 

<kut«ch« Aiitig-dlK' v.iri (1. h..«alp«-l.i 

BuU.dei Seiencei mallicm., a- scrii-, 1. \XVI. ilit.ciiilnK iy..j.] 



36i PUEMIËUE PARTIE. 

CoiONET (M.)- — Le Irailé des siaus (publié par H. Bosmans) 3i-33 

CoMBEBiAC (G.). — Calcul des trîquatcrnions 355-357 

CzuDEU. — Probabilités et moyennes géométriques, traduit par H. 

Schuermans 3a8 

Dasscn (€.)• — Mctafisica de los conceptos roatematicos fundamentales 

y del analysis llamado infinitésimal >7^~i77 

Dickson (L.-K.). — Linear Croups with an Exposition of the Galois 

Field Theory. 17-20 

Epsteen(S.). — Unlersucliungen tiber lincare Diffcrentialgleichungen 

4. Ordnung 168-172 

EsTAXAVE (E.). — Revue décennale des Thèses présentées à la Faculté 

des Sciences de Paris 3o-3i 

Fcstschrifl zur Feicr des hundertfUnfzigjâhrigen Bestehens der K. Gcsell- 

schaft der Wissenschaften zu Gôttingen i i3-ii5 

Freycinet (C. de). — Sur les principes de la Mécanique rationnelle. . . 129-138 
Gauss (K.). — General investigations of curved Surfaces of 1827 

and 1H2S. Translated. .., by J.-C. Morchead and A.-M. liiltebeitel . . . 289-290 

GiBBs (W.) et WiLSON (E.). — Vector Analysis 2i-3o 

GouRSAT ( E.)- — Cours d'Analyse mathématique, t. 1 217-22S 

Hamel (G.). — Ueber die Geometrien in denen die Graden die kOr- 

zesten sind i38-i4'i 

I -J- J7 

IIammer ( K.). — Sechstellige Tafel der log 291-292 

Heidke (P.)' — Ueber Kreisteilungsgleichungen von Primzahlgrad 

P=p'rp".' '"PI^-^i (|^>0 i6o-i6i 

lliLBEUT. - - («ruiidlagon der Gcomctrle 2^9-272 

Klein (F.)- — Anweiidung der nifTerential- und Intégral Rechnung auf 

Goomolric. Fine Hcvision der Principien iS'î- 19s 

Kommehell (K.). — Die Kruinmung der zwcidimcnsionalen Gebilde in 

ehenoii llaurii von vier Dinicnsioncn i.'Sq-Hjo 

Laumoh. — Acthor aud Matter 3ii^-3iS 

Lemoim: (K.). — GLM)métrograpliie ou art des constructions géoiiié- 

tri(jnes 157-iV) 

Lorentz (H. -A.). — Lciirbuch der DifTcrciitial- und Intégral Hechniing 

und der Aiifangs^runde der analylisciien Géométrie, ûbcrsczt von 

D' Schmidt 5-io 

Mattku (K.}. - Die don Ik'rnoulii'schcn Zahlen anaiogen Zahlen iiii 

Koipcr (1er drittcn Fiiiheitswurzeln i'}3-i6S 

MiiLLKU fF.)- — Vocabulaire malhématitiuc fraurais-allcmand et allc- 

maiid-fraiieais. Zweitc Hiiifte ii-i? 

Netto :;I'^.)- — Lelirbucli der Conibinatorik 98-ioj 

ÔKïTiNtfKN (A. VON). — Kleiuente der gcometrisch-perspectivisclieii 

Zeiolmens i5 

Pascal (E.). - Kepertorinin der hoheren Malheniatik. Autorisicrte 

deiitsrlie Aus^alie. . ., von \. Sclicpp. II Theil : die Géométrie 355 

Pr.uuY CJ.). — Holiere Analysis fiir Inp:enicure. Autorisicrte dcutsche 

Be.irhcituni; \t>n H. Frieke und F. Saclitiiig 35^-35-'» 

IMcAiu) (K.). - Ouclques réflexions sur la Mécanique, suivies d'une 

jnemièrc iec ou de Dynamique 57-3S 



TABLE DES NOMS D*AUTEURS. 363 

Parcs. 

Ratinet. — Voir Bouvard et Ratinet. 

KiCHARD ( J.)> — Sur la surface des ondes de Fresnel 23i-23.i 

Roy (W.)- — Sur la curvaiura intégra et la Topologie des surfaces 

fermée? 93-98 

Sciiun (I.)- — Ueber eir.e Klasse ron Matrizen die sich einer gegcbcnen 

Matrix zuordnen lassen 161- 164 

Sellenthin (B.)* — Mathemalisclicr Leitfaden mit besonderer Berûck- 

siclitigung der Navigation 390-291 

SiCARD (H.)*— Traite de Cinématique théorique, avec des Notes par 

A. Labrousse 16 

Snkllil'S (W.). — Le degré du méridien terrestre (publié par H. Bosmans). 3i 

Stokes (G.)* — Mathematical and physical Papers. III. 20-21 

Tessari (D.). — La Costruzione delii ingranaggi ad uso délie Scuole 

degli ingegneri e dei meccanici 120-124 

ViVAXTi ( G.). — Teoria délie Funzioni analiliche 1 16-1 18 

Weber (H.). — Die partieilen DifTerential-glcichungen der mathema- 

tischcn Physik, nach Riemann's Vorlesungen in vierter Auflagc 12- 13 

WiLSON. — Voir GiBBS et Wilbon. 

Zaremba. — Sur Téquation Aa-+-5ii = o 337-35o 

Zeuthem (H.)* — Histoire des Mathématiques dans Tantiquité et le 

moyen-âge, traduite par Jean Mascart 3i3-3i9 

ZoLL (O.). — Ueber Flachen mit Scharen von gcschlosscnen geoda- 

tischen Linien 102- io5 



MÉLANGES. 



Andoyer. — Sur un problème de Mécanique rationnelle 293-298 

Darboux (G.)- — Le Catalogue international de Littérature scientifique 68-67 

— Note relative à l'article précédent ( voir Durand ) i83-i84 

Delaunay (N.)' -- Sur les calculateurs cinématiques des fonctions 

elliptiques 177-180 

Durand ( A.). — Sur un théorème relatif à des moyennes i8i-i83 

GoURSAT (E.). — Sur un théorème de M. Jenscn 298-300 

Hadamard (J.). — Sur certaines surfaces minima 357-360 

Lebesgue (H.). — Sur les transformations de contact des surfaces 

minima 106-112 

Levi-Civita. — Sur les fonctions du genre infini 333-335 

L<KWY (A.)* — Sur les groupes de transformations des équations diiïc- 

rcntielles linéaires 83-87 

OCAONE (M. D*). — Sur quelques travaux récents relatifs à la Nonio- 

graphie 67-83 

Picard (E.). — Le premier Chapitre d'un Rapport sur quelques progrès 

récents dans les Sciences 37-53 

— Sur les intégrales doubles de fonctions rationnelles dont tous les 
résidas sont nuls i43-i52 

RAFrr. — Correspondance : A propos de lu Thermodynamique généra le 

de Gustave Robin 87-9 








%.\ PREMIERE PARTIE. 

SrouFF. — Sur la prciiiicrr l<'ttr<' arilhiiictiquc d'Hemiile à Jacobi 3oa-3fil 

Tiirsos (le Scicnc<'s malht>iiiiili<iiics s«jiilcnucs devant la Faculté des 
Sciences <lo Paris et (Ic\aiil les Kaciilu'rs des Sciences des départements 
dans le courant du xi\' siècle aoi-aSa 



FIN DE LA TABLE DE LA PREMIERE PARTIE DU TOME XXVI. 



1 *! l-ii> - li;i;rim.-i 10 <:Alirilli:UYILLAKS. quai lies Grdmh-Aa^aâUas.-ji. 



! HIKH-VIM 



iNOLVIil.LES ANNAI.RS lll- M VTIIKMATIIJIIES 
w.\ (CHUS .si'UiiLiis, i II iicevct et « i.'isaEUino\ 



otumtMi; sïinTr 



t^ .5 




BULLETIN 



SCIENCES MATHÉMATIQUES. 



-i 



AVIS. 

Toutes les communications doivent être adressées à M. Darboax, Membre 
de l'Institut, rue Gay-Lussac, 36, à Paris. 



BIULIO'I'IIÈQUE DE L'ËCOLË DES HAUTES ÉTUDES. 

PUBLIÉE SOUS LES AUSPICES DU HINISTÉRE DE L'INSTRUCTION PUBLIQtIB. 



BULLETIN 

SCIENCES MATHÉMATIQUES, 

RÉDIGÉ PAIl MM. G. DARBOUX, É. PICARD ET J. TANNERV, 



Sons la direction de la Commission des Hantas ttadea. 

niILKino?! FOVkKB EX 1870 TU MU. G. lAHOCX RT J. BOÏj'EL 

CONTIMIBE I>E 1876 A 1886 PAR UH. C. DAHDOUX, J. liOÏEL ET J. TA^^ESV 

BT DE I88O A 1901 PAU HH. C. DARBUUX ET J. TANNEHT. 

DEUXIÈME SÉRIE. 
TOME XXVI. — AHHÊE 1902. 

SECONDE PAUrilî. 




PARIS. 
GAUTllIlîR-VlUARS, IMPIIlMEUn-UanAlRE 

DU DVnEAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLITECIINIQIE, 
Quai Jet Gran[l!>-A<ii;.iïlii«^, S5. 

1902 



BULLETIN 



DRS 



SCIENCES MATHÉMATIQUES 



SECONDE PARTIE. 



REVUE DES PUBLICATIONS ACADÉMIQUES 

ET PÉRIODIQUES. 



JOURNAL FiJll DIB REINB UNO ANGEWANDTE MaTIIEMATIK (JoURXAL DE 

Crelle), édité par L. Kronecker avec la collaboration de Weierstrass, 
VON Uelmiioltz, SciiROETER, Fuciis. Tomo 105 (4 Cahiers et i Planche), 
356 pages. Berlin; 1889. 

G unifier (Paul). — Sur les équations différentielles linéaires, 
dont les intégrales n'ont qu'un point singulier à distance finie, 
et sont régulières à Tinfini. (i-34). 

La forme générale des équations considérées, en supposant que leurs cocHi- 
cients sont rationnels, et que le point singulier est a? = o, est 

avec 

qi{x)= a,^,x-* H- a,^,^, j:"(*>') H- ... 4- a.^.x'-'i. 

Il s'agit de rechercher si elles ont des intégrales normales, au sens donne à 
ce mol par Thomé {Journal fur Mathematikj t. 05), c'est-à-dire icidcsinlc- 
grales de la forme 

G et ^ étant des polynômes entiers; et de donner une méthode régulière pour 
Jeâ trouver. 



G 



SECONDE PAUTIE. 



[«Gf 



Ce problème a élé posé et étudié par Hamburger [Sur une clasu sp^r^idile 
d'équations différentielles linéaires {Journal fur Âfathematik, t. "1 03)1- 
L'auteur modifie sa méthode de manière qu'elle s'applique & tous les cas. 

On détermine d'abord, d'après Thomé, les valeurs possibles du degré m 
en cherchant deux entiers positifs a et m tels que les produits 

soient tous des polynômes entiers en x. Posant alors 

/{x, V) = v'*-i-pi{x)v'^^-^...'i-pjx), 
F(x, v)=/(x, V)— -(/w-+-i)ar-p^jt 

on dclerminc les premiers termes des développements 

satisfaisant à Téqiialion F(x, i;)=o, en se bornant à ceux que pc 
fournir, quand on y fait ^ = o, cette équation et celles qu'on en déduit 
diiïc'renlianl m fois de suite. 
Si r^ est racine simple de F(o, v) = o, on obtient v„ <»,, ..., v^^ et To 




\x/ m ni — 1 



M/ • • • WV ] 



mf 



iUl ) 

de sorte qu'en posant y = e '^- T4, on est ramené à chercher, suivant les 
(hodes connues, les intégrales de la transformée en r, qui sont, de la fc 
x^ î^{jr). (Ce premier cas était le cas traité par Hamburger.) 

Si Vf, est racine iniikiplc de F(o, v) — o, et si l'on suppose qu'aucune im| 
sibililc ne se présente, les équations considérées fournissent un nioii 
non)l)ro de cocHicients, soient Vf,^ s\, ..., iv_i (r<.rn). On pose alors 

<-.( 7. ) 
y ■ r T., 



011 



■■(-) = -'"■ 






— jC~ '"* '"*■' 



k'cnt 

n U 






cl l'on est ramené à chercher une intéf;rale normale de la transformer c 
mai*» avec un polynôme <î <Ic (lc«;ré moindre cjne m. Le problème r<e rcso 
donc par un nombre (Tcssais liniité. 

L'auteur applii|uc ensuite sa méthode aux ('*(|unlions du se<:on<l ordre. Il 
mine par la recherche des intégrales normales logarithmicitie*^, c*csl-à-dir 
la forme 




)■ r-. cf' '- ' ' x^ V \\(j;) logi X. 



Fiohcnius (^'.). — Stir les fotjclions de Jacobi pour l 
variables. ( .>j-i ^M)^. 



«>/: 



REVUE DES PUBLICATIONS. 7 

L'auUar donne d*abord un résumé de la théorie générale des fondions de 
.Jacobi du premier ordre (ou fonctions thêta) et des caractéristiques, puis 
^ pplique ces généralités au cas de trois variables : il donne la formation des 
36 X 64 systèmes fondamentaux de huit caractéristiques, et leur groupement 
^n familles de 36 systèmes. 

Mais Tobjet essentiel du Mémoire est Tétude de la fonction que l'auteur 
désigne par ^{u)f et qu*il considère comme formant le centre de la théorie, 
d'est la fonction de Jacobi du second degré, qui se comporte comme le carré 
de la fonction Sr(ii), et dont le développement commence par des termes du 
C|aatrième degré : elle est définie par là à un facteur constant près. Son impor- 
tance résulte de ce qu'elle s'annule identiquement quand on 7 remplace ses 
«irguments par les trois intégrales abéliennes de première espèce, prises entre 
«ieux points quelconques de la surface de Riemann. 

L'étude de cette fonction 7(11) comprend essentiellement : expression de 
^(u) en fonction linéaire et homogène des carrés de huit fonctions thêta; 

«aïeul de ses valeurs et de celles de v^?(w) pour les 63 demi- périodes; repré- 
sentation de o{u) au moyen des fonctions sigma; passage d'un système fon- 
«lamenlal de caractéristiques à un autre. 

M. Frobenius introduit aussi les fonctions thêta du second degré impaires 
<ct dont le développement commence par des termes du troisième degré; il s'en 
sert pour établir les fondements analytiques de la théorie des fonctions racines 
^u second et du troisième ordre ( Wurzelfunctionen zweiUr und dritter 

Ordnung), 
Il termine en montrant le lien entre la théorie de la fonction 9((i) et celle 

des courbes du quatrième ordre. 

^iurni (liudol/). — Recherches purement géométriques sur les 
surfaces mînîma algébriques. (101-126). 

L'auteur établit par des considérations purement géométriques divers résul> 
tais connus de la théorie des surfaces minima. La première Partie de l'Article 
est consacrée à la détermination de l'ordre et de la classe du lieu des milieux 
des segments dont les extrémités s*appuient sur deux courbes algébriques 
données, distinctes ou confondues; les surfaces minima algébriques en sont, 
comme Ton sait, un cas particulier. Dans la seconde Partie de son Travail, 
l'auteur démontre que toute droite d'une surface minima en est un axe de 
symétrie (Schwarz), et que la section normale de tout cylindre circonscrit à 
une surface minima algébrique est la développée d'une courbe algébrique 
(llenneberg), ainsi que divers résultats qui se rattachent à ces théorèmes. 

Lipscliitz (/?.). — Élude des propriétés d'une classe de séries 
infinies, (lo.--! 56). 

En appliquant un procédé de transformation employé pur Uiemann pour la 
série ^(s) à la série plus générale 



v; 



çZr.mt 



m ^ 



(o<i><l) 



8 SECONDE PARTIE. 

{t quanlilé complexe à partie réelle non négalive; s quantité compleie à 
partie réelle positive), l'auteur obtient la formule 

m = • « = -4- Jiî 

Cette formule peut se rattacher à une transformation générale des lérîes 
thêta simplement infinies. L'auteur l'applique aux diverses séries introduites 
par Dirichlet dans son Mémoire sur la progression arithmétique, et découTre, 
comme conséquence, une relation caractéristique entre ces séries de Dirichlet 
et la théorie générale de la division du cercle en un nombre quelconque de 
parties égales. De là résulte un principe pour la répartition des nombres 
entiers en classes, qui conduit en particulier à une répartition des nonbres 
premiers en classes. 

Kronecker (A..). — Remarques sur la représentation des séries eu 
moyen d'intégrales, (i 07-1 69 et 345-354). 

L'auteur montre comment l'emploi de l'intégrale de Caocliy conduit & de» 
formules somniatoircs importantes. Certaines de ces formules, ou d'aulre4 
qui en résultent, rcniunlcnt à Cauchy, Plana, Abel, Schlômilch, Lipschits : 
elles découlent ici d'une méthode uniforme, et les conditions dans lesquelle;! 
elles sont applicables sont bien précisées. 

Les deux plus générales s'obtiennent en intégrant le long d'un contour rec- 
tangulaire parallèle aux axes la fonction 1: cotais /(«) de la variable com- 
plexe ;; — x + iy. Dans le premier cas, /{s) est supposée continue et finie 
dans une bande comprenant l'axe réel, et tendant vers zéro pour w iuGni; 00 
fait alors croître indéfiniment les côtés du rectangle d'intégration parallèles i 
l'axe réel, et l'on obtient la formule 

F(o)-ha V F(A') = i[sgnï;] r F(j7 4-T,i)cot(j:-»- t.i)is dLr, 



où 



l'(-)- ;[/(-)+/(--)). 



Dans le second cas, le rectangle d'intégration est modifié au mo3'en d*arcs 
de cercle convenablement choisis, et l'on obtient 



; v/(^)+^y/(^')=-^ f y(-')'cot(x.+.>'i)s/(jr.+t^/)rf^ 

k k' a, e 



ù condition <ine/(c) remplisse, dans la bande parallèle à l'axe imaginaire qui 
inlcrvicnt alors, des conditions analogues aux précédentes. 

Tour les applications de ces formules, nous ne pouvons que renvoyer i 
r Vrticio lui-incnie. 

Tfina (F.). — Sur (jii(.>l(|iie.s ihrorrmcs de Dirichlet. (iGo-i(i<)). 



REVUE DES PUBLICATIONS. 9 

L*aateur étudie les conditions de résolubililéy en nombres entiers, de l'équa- 
ion indéterminée 

étant on produit de facteurs premiers de la forme l^n-hi en nombre quel- 
«nque, ou le double d'un tel produit. Dirichlet avait considéré le cas où D 
un produit de deux ou trois facteurs premiers de la forme 4i + >> ou le 
louble d'an tel facteur premier. 

^nigsberger {Léo). — Sur une relation entre certains détermi- 
nants dans la théorie des équations diflerentielles linéaires. 
(170.179). 

Soient ^1,^2* «-M^m ^^ système fondamental d*intcgrales de l'équation 
li Ton désigne par Dj le déterminant 

obtient la relation 

9Ù les P,.( sont des fonctions entières des p^^ et de leurs dérivées. 

L'auteur montre qu'elle peut fournir des relations algébriques entre les inté- 
^ales particulières considérées et leurs dérivées. 

Il examine spécialement le cas où l'équation proposée est binôme 

D, est alors une intégrale si m est pair; et si m est impair D, est intégrale de 
l'équation obtenue en changeant p^ en — p^, 

L*aateur termine par diverses remarques sur une représentation symbolique 
de l'équation linéaire comme produit de facteurs, sur la recherche des solu- 
tions multiples, et sur des transformations analogues i la transformation de 
Tschirnhausen. 

Czuber {E.), — Calcul de la surface latérale et du volume de la 
portion d'une sphère comprise entre deux plans qui coupent la 
sphère et se coupent Tun Tautre. (180). 

Ce problème a été traité par Crelle {Journal fur Mathematik, t. 52). 
L'auteur en donne une solution élémentaire. 

Schlesinger {Ludwig), — Contribution à la théorie des fonc- 
lions fuchsiennes. (181-232). 



lo SECONDE PARTIE. 

C'est une nouvelle Ihcorie des fonctions fuchsien nés, développée laivanl une 
marche analogue à celle que Gauss avait donnée pour rintrodaction des foac- 
tions elliptiques : la relation fonctionnelle dont l'inversion fournit les fonctions 
fuchsiennes est obtenue comme la limite d'une série de rclaUoni algébriqaefl. 
Pour plus de simplicité, Fauteur se limite ù un cas particalier, qui eil celui 
des fonctions fuchsiennes de la deuxième famille ( type symétrique) de M. Poia- 
caré. 

L'auteur part de la surface de Riemann à n + i feuillets plans» définie par 
n points de ramification doubles donnés sur Taxe réel; le mode de liaison des 
feuillets en chacun de ces points est aussi défini. Cette surface définit, à trois 
constantes arbitraires près, une fonction algébrique y de Xf qu'on peut repré- 
senter par 

Gif an, ..., a^ étant les affixes des points de ramification. 

Cela posé, on considérera la suite des variables y^, y^^ ^,, ..., liées entre 
elles par la loi de récurrence 

OÙ les constantes réelles a{^) sont les diverses valeurs prises par y-^ pour Ici 

valiMirs 

"1 » " i » • • • » "#.-^ 

de l'x-iî ^'i est un entier supérieur à deux, et a^'^ a7^ •••» ^1'^ ^<^* nombres 

réels distincts qucicfuxiues. 

On peut étudier y-^ comme fonction de y^\ et cette fonction tend vers une 
certaine fonction limite r^ lorsque X devient infini. L'auteur montre ensuite 
que^Vy, considérée comme fonction de vj, est précisément une fonction fucb- 
sienne de- l'espèce indiquée. Il établit directement les propriétés connues de 
ces fonctions, en particulier la relation différentielle que vérifie chacune dVIIes. 
Il termine en signalant le lion qui unit sa méthode à la transformation des 
fonctions fuchsiennes : il tient à ce que les diverses variables y-^ considérées 
sont toiiies des fonrtinns fdclisicnnes dcT,,et que^>'^ est, quelque soit X, fonc- 
tion rationnelle de;>'-^,,. 

Srhnltky (F.). — Sur les rclalions eiïire les seize fonctions tliéla 
(le doux variabirs. (:>..J.*5-2 /(()). 

I/nuteur donne une reprêsentiition géométrique nouvelle de ces relations. 
Les fonctions tlit'^ta intpaires étant désignées piir 6,, O^, ..., 9^. et les fimc- 
tinns piiire-* par H,,,, ... ( H,.^^ -^ H,^^., ...), on considère les vingt produits 
**./v ■ *^u^i^'^'jLi- '"''^ verlii (les relations liant les fonctitms thêta, ils ^'expri- 
ment Ions en l'iMietion linéaire et homogène de quatre ((uantilés ;r, ;>', 2, w : les 
é<|nalii>ns 1^,^... - o repréNentent ainsi des plans, et ee sont tous ceux qui passent 
par trois points (piclroiifiues d'un système de six points fixes fondamentaux. 
l'usant enrori' II — H, H.. ..H,,, les é(|nations IIH^ — o représentent les six cône* 

(In «'iiind (Icuré pa<«^ani par les si\ points fondauirntaux et a\:in( leurs 
-«'HiMni- <ii « liarun «!"« ii\ : ri les équations IIH^j..= o représentent les riiuple" 



REVUE DES PUBLICATIONS. ii 

de plans passant par ces six points. Ces seize fonctions nO*, sont donc fonc- 
tions linéaires et homogènes de quatre nouvelles quantités X, Y, Z, W, qui 
sont des formes quadratiques de Xy y, z, w. Mais il existe une relation iden> 
tique entre les F.^^ qui exprime que le point {Xf yy s, w) doit se trouver sur 
la surface lieu des sommets des cônes du second degré passant par les six 
points fondamentaux {sur/ace de Weddie); si Ton considère X, Y, Z, W 
comme les coordonnées d'un point correspondant au point (Xy yj z, (v), il 
décrit une sur/ace de Kummer, 

Enfin la correspondance entre les arguments u et u' des fonctions ihèta* et 
le point {Xy y, Zt w) de la surface de Weddie est la suivante. Soient 

F,(X, Y, Z, \\;xyyyz,w)y F,(X. Y, Z, W'yXyyyZyW) 

les deux formes biiinéaires qui deviennent identiquement nulles quand on y 
remplace X, Y, Z, W en fonction de {Xy y y Zy tv), on a les formules 

_ F,(X, Y, Z, W; dx, dyy dzy dw) 

2 V 1* 

, , F,(X, Y, Z, W; dxy dy, dz, dw) 
du = — = J-— 1 

P désignant le produit des six fonctions de Xy y^ Zy w représentées par 116^ 
pour a = I, a, 3, 4. 5, 6. 

^iern (M. -A.). — Démonstration d'un théorème de Liouvillc. 
(200-266). 

Il s'agit du théorème suivant, énoncé par Liouviilc sans démonstration : 
«S« N est le nombre total des solutions en nombres entiers de l'équation 

n = x^ -^ y^ -h Z' -i- t'y 

*** ri est pair, la somme des quatrièmes puissances des valeurs de x dans 
^uies ces solutions est 

n-S 



IwC^rrr 



8 



h=0 



''onecker (^L.). — Sommation de la série de Gaiiss 7. e " . 
(a67-268). 

L'auteur montre qu'elle se déduit avec une surprenante simplicité du tliéo- 
rtme de Cauchy sur rinlégralc 1 f{z)dz prise le long d'un contour fermé, 



e " 
en prenant /(^) ~ - — .^.;» et en choisissant convcnablcuirnl le contour. 



^clioliky (/*'.). — llccherclic al'^cbriquc sur les fonctions tlicta 
de trois arguments. (aGD-i^Dj"). 




12 SBGONDB PARTIS. 

Il s*agit d*une représeDtation géométrique des relaliont catn Um toi 
qaalre fonctions 8 de trois arguments, aualogiie à celle qui a été espoiée^ 
les seize fonctions 8 de deux arguments dam le Mémoire de l'aatevr a»fl 
plus haut. Mais il faut ici supposer les troit argamenU liés par «se rdhié 
qui sera celle qu'on obtient en égalant à séio l'ane des soixaBte-qcatre fà 
lions thêta. 

Ces fonctions étant désignées, suivant une BOtation eoBBaey par 6; S,* •••» 
^i,si •••> ^<,i! ^m» "•» ^^M?; on considérera les treBte-eiBq prodaits..i 

qui s'expriment en fonction linéaire et hoDogéae de quatre quantités ir« jr> 't* 
de sorte que les équations F.^=o représentent tous les plans passant 
trois points choisis parmi sept points fondamentaux. Posant encore 

Il î— V| v« • . ■ V-, 

chacune des équations n'8^=:o représente une surface du quatrième ordre 

admettant les sept points fondamentaux comme points doubles. Les points 
{x,y, 5« cv) ont pour lieu géométrique une surface du sixième degré» ayant 
les sept points fondamentaux comme points triples: elle peutsedéGnir comme 
le lieu géométrique des points doubles des surfaces du quatrième degré ayant 
huit points doubles dont sept sont les points fondamentaux. On peut lui faire 
correspondre une surface du sixième degré A TÎngt-huit points doubles* par 
une transformation analogue A celle qui faisait correspondre» dans le précé- 
dent Mémoire, une surface de Kummer & la surface de Weddle* 

Siaude (Oito). — Sur les fonctions conditionnellemenl pério* 
diques d'un argument complexe à variabilité limitée, et leurs 
applications à la Mécanique. (Avec une Planche de figures). 

(298-328). 

La théorie exposée par Taulcur, et dont les principes ont été exposés par lui 
dans un précédent Mémoire (Mathematiiche Annalen, t. XXIX, p. 168), lui 
a été inspirée par un Article de Wcierstrass sur les fonctions réelles pério- 
diques {Monatsberic/ite der Berliner Akademie, i8(>6, p. 97). Dans la pre- 
mière Partie de rArticle, il étudie le problème d*inversion défini par les équa- 
tions 

.(1, \(-i-«i)(^|--i)7:i(^i) Ja, V(-:— a:)(^— -sr/^ÛT)' 
en employant le changement de varinMcs 

/"' (Iz, /*-» dz, 

»v, — 1 ^ tv. = I ~ - - . 



REVUE DES PUBLICATIONS. r; 

conditions imposées aux fonctions f^ et ^^s sont énoncées avec précision, 
^■fe restant d'abord au point de vue réel. 
L'inversion fournit des fonctions 

<-|ui jouissent des propriétés exprimées par 

^-^C» t.j est égal à zéro, pour a ^ ^, et à un pour a = p. On en conclut qu'une 



nction de 5,, «j, yjzy — a^^ \/ài— -Sp V^Sj— a,, >Jà^— z^ est, sous certaines 
^~^>nditions de continuité, une fonction G(^p fj) admettant les couples de pé- 
**i«>des (3c,ta>|p aciw,, ), (aE,^),,, ^t^fù^^)^ où e, et e, ont, suivant les cas, les 
'^~ «fleurs un ou deux. De là la représentation d'une telle fonction en série Je 
l^ourier à deux variables. 

C'est en faisant, dans une telle fonction, G(f,, ^2)^ ^1=0 et /]= ^ que 
^""auteur obtient ce qu'il appelle une fonction conditionnellemeru périoclif/ue : 
c^lle a en effet la période Qtyntyîù^y-i- ^t^m^ta^^, si m, et m^ sont des entiers 
l^our lesquels on ait 2 c, m, (>>,,+ a £2^310,2= o. 

Los résultats précédents s'étendent au cas où ^, et t^ sont des variables coni- 
S^lexes se déplaçant dans des bandes sufGsamment étroites parallèles à Taxe 
v^el et le comprenant, sous certaines conditions indiquées par l'auteur. 

La seconde Partie du Mémoire contient l'application de la théorie générale 
cjvi précède à divers problèmes classiques de Mécanique : mouvement d'un 
V^oint sous Faction d'une force centrale, mouvement sur une surface de révo- 
1-ution sous l'action d'une force à potentiel, mouvements de Liouville et Jacobi, 
nionvement d'un corps solide qui a un point fixe et n'est soumis à aucune 
C<»rcc, mouvement de la toupie, etc. Dans plusieurs de ces cas, les séries de 
S^ourier introduites se réduisent à des séries de Fouricr simples. 

^^ensel (K.). — Sur les classes de grandeurs algébriques, qui 
résultent de la composition de deux classes. (3a9-344)* 

Ce Travail est une contribution à la théorie de Kronccker sur les classes 
iGaitungen) de grandeurs algébriques. 

L'auteur donne d'abord une solution du problème suivant : Déterminer la 
puissance d'un diviseur premier P {Primdivisor) du domaine naturel de ratio- 
nalité contenue comme diviseur essentiel dans le discriminant d'une classe 
donnée. Il traite ensuite le même problème pour la classe qui résulte de la 
composition de deux classes données, dans le cas où Tordre de Tune d'elles ne 
se réduit pas par l'adjonction de Tautre au domaine de rationalité. La méthode 
employée est fondée sur la construction d'un système fondamental relatif au 
module P, pour une classe donnée. Les résultats obtenus permettent de déter- 
miner le discriminant de la classe composée, connaissant les deux classes com- 
posantes. 



i4 SECONDIi PARTIE. 



Tomo lOG (4 CnhicrS; 348 pages). Berlin; 1890. 

Fuchs (L,). — Remarque sur le Travail publié dans le Tome 73 

(p. 177) de ce Journal, (i-zj). 

11 s'agil (le lii délenninution du plus grand cercle de centre cv = o, À Tinté- 
rieur duquel deux branches de la fonction w définie par 

ivg\iy)z — /{iv) = o ou 5 — F(«») — o 

ne puissent devenir égales. Dans le Travail cité, M. Fuchs avait donné comme 
rayon de ce cercle le plus petit module des racines de F'(iv) = 0. Ce rayon 
peut être plus petit lorsque les coefficients «les polynômes /(«v) et g{^*) 
satisfont à certaines conditions. C'est ce cas d'exception' qui est ici précisé ei 
étudié. 

MinkowsL'i (IL). — Sur les conditions sous lesquelles deux 
formes quadratiques à coeilicients rationnels peuvent se trans- 
former rationnellement Tune dans Tautre. (Extrait d'une lettre 
de M. H. Minkowski, à Bonn^ à M. Adolf Ilurwitz). (5-26). 

Soit / une forme ({uadraliciue à n variables, à coefficients rationnels ri a 
discriminant non nul. On désigne par J le nombre de carrés positifs de /, 
supposée réduite à une somme de n carrés de formes linéaires réelles; et par A 
lo produit <!(' tous les facteurs premiers figurant dans le discriminant aver de*» 
«•xpt)saiils impairs adVclé du signe de ( — i)J. 

L'auttMir montre (pi'à loul nombre premier p on peut faire correspondre, 
par la considération des restes de / pris par rapport à des puissances de p >uf- 
fisainment élevées, un nombre C bien délrrniiné, ayant la valeur -f- 1 <»u — i. 
Four tout nombre p impair «pii n'apparlienl ni au discriminant, ni au déno- 
minateur général <les cocfdcicnls, C a la \aleur -4-1. On désignera par U le 
produit de tous les facteurs premiers impairs figurant dans le discriminant, nu 
!(* dénominateur général ne figurant pas dans A, et pour lesquels C a la 
valeur — i. 

La condition nécessaire et suffisante pour «pie deux formes / pui'^M'-nt <•* 
tran>former l'une dans l'autre par une transformation linéaire à «'orfficientN 
rationnels est (pie les nombres n, J, A, Il aient rc^pcclivenK-nl les njémr> 
xab'iir'i pour lc«i deux formes. De plus, sous certaines conditions que «loivent 
remplir ces quatre nombres, il exi>;te toujours une famille de formes pour les- 
quriles ils ont de^ valeurs donnée^. 

L'auteur exaiiiiiK! ensuite dans quel eas deux éi|ualions /* — : o peuvent «e 
t rail sfur nier rationueiiemrnl l'une «l.iiis l'autre : c'i'si -à-dire à quelles eoiiditioii> 
deux fornn-s y jM'UVent sr trausloriinr l'um- dans l'uiitre, à un fa«teur niiiiu- 
ii<jue raliormrj [i!c«.. II i.iut ici «iistinguer le (as de n pair et île w inipaii'. |)aiis 
les «irux < .is. 1,1 « oiisi<i( r;it ion des unités (' pernu't eiieore de di-linir un iiouNrI 
iiiN. niant l): «l l.i <<»iiditi«»n <licrclié«' «vi i|ue les \aleur^ (U- n et h «oifut b^ 



RHVUH DBS PUBLICATIONS. i5 

^me5, et que le nombre (/i — aJ) ait la même valeur absolue pour les deux 
rmes. 

Eotrc autres applications, i*autcur donne les divers ras où IVquation /— o 
f><ïrul se résoudre en nombres entiers. 

^joschitz{R,). — Remarque sur rArticle : Étude des propriétés 
<i^une classe de séries infinies, (27-29). 

Dans l'Article cité {Journal fiir Mathematik, t. 105), l'auteur a déduit de 
I9 théorie de la division du cercle un mode de n'^partition des nombres en 
«"lasses. Il donne ici quelques explications complémentaires sur le principe de 
cette classification, et montre qu'elle conduit à une infinité de classes. 

cye (Th,), — Sur les mulliplicîtés linéaires de faisceaux de 
plans projeclifs et de réseaux de plans ou d'espaces tangenliels 
collinéaires. II.- (3o-47)- "^* (3i5-329). 

Suite du Mémoire commencé au Tome 104 (p. an à 340) du même Journal. 

n. Chacun des éléments dont sont composées les multiplicités linéaires con- 
sidérées est Tun des oc^ faisceaux de plans qui sont en relation projective avec 
1*00 quelconque d*entre eux. L'auteur étudie successivement les multiplicités 
linéaires \ u^\, \ w^j, | u^\ formées respectivement de x*, oc*, x*dc ces éléments. 
(Dans le Mémoire précédent avaient été étudiées les multiplicités linéaires | m, |, 
1 u^\f 1 11,1 formées de x% x', x^ de ces mêmes éléments.) Dans chacun des trois 
cas, on considère les multiplicités d'ordre inférieur contenues dans la multi- 
plicité considérée : certaines d'entre elles présentent des singularités et per- 
mettent de définir des éléments géométriques simples caractéristiques de la 
multiplicité donnée. C'est ainsi qu'à chaque \u^\ correspond une cubique 
gauche; à chaque \ u^\ un système de droites d'une quadrique; à chaque | u^\ 
une division de points sur une droite (ce dernier résultat est dû à W. Stahl). 
Ces résultats ne subsistent pas sans modifications pour les | f/4!, 1 11 ^\ et \ u^\ 
singulières. Us mettent en évidence (dans le cas général) une dualité remar- 
quable entre les | fi,| et | t/gl» les | u, | et ] fij, les | u^\cl 1 1/4 1, respectivement. 

III. Les éléments fondamentaux sont maintenant les x^* réseaux de plans 
qui sont en relation collinéaire avec l'un quelconque d'entre eux. Les multi- 
plicités linéaires I SJ, | S,], | S,| formées de x', x' ou x^ de ces éléments ayant 
été précédemment étudiées, il s'agit de Tétudc d'une multiplicité | S4I de x* de 
ces éléments. La méthode de recherche est la même que dans ce qui précède : 
elle conduit, entre autres résultats, à la considération de dix points nodaux. 
de oc' faisceaux cubiques principaux, et d'une congrucnro <lu tnusièmr (»rdre et 
de la sixième classe. 

Kneser (Adol/). — Nouvelle dômonslralion de Timpossibilité de 
la résolution algébrique des équations générales de degré supé- 
rieur. (48-60' 

Soient M,, w^f .... ti>„ les racines di* l'équation considérée, supposée s«dublr 



i6 SECONDE PARTIE. 

par radicaux, et géoérale. On considère la résolTtnte 

G ( a?) = JJ (a: - Cl, ». — ii,!*^— . . .^ if.i*;^ = ©, 

a 

où le produit 1 1 est étendu à toutes les penovUtions paires : elle est rattoi^'' 

a 
nelle, après adjonction du discriminant^ et irrédocUble es Terin de lliypotkèM^ 
Elle doit devenir réductible, après adjoDCtion prélimiaaire de oeruîoes qvaa*-^ 
tités, par Tadjonction d'une racine déterminée d'une éqnaUon binôme de 
premier q, L*auteur montre qu*il en résulte que q doit diviser tons les m 
impairs compris entre /i et i : ce qui est impossible pour ii>>4* 

Busche {E.), — Sur la fonction ^^ I r (65-8o). 

jr = l 

[a] est pris avec le sens donné par Gauss à cette notation. L'auteur désigne 
par 'ifipi q) la fonction indiquée dans le titre, et lui donne un sens précis 
pour des valeurs àc p tl q de tous signes. Se servant alors d'un lemme général 
donné dans sa Thèse (Gôttingen, i883), et qu'il démontre de nouveau, il éta- 
blit la formule 



<f{py g)-^'^{qyp) = 



__ P — i g — < « — »8 



3 2 3 a 

(i = sgn/>, 6 = sgnç) 

qui contient la loi de réciprocité des résidus quadratiques. Il donne aussi 
<Ii verses propriétés de la fonction <]<(/>, q) — ^{^y p)' 

Netto {Eugen), — Sur le plus grand commun diviseur de deux 
fonctions entières d'une variable. (81-88). 

Il s'agil du plus grand commun diviseur pour un système de modules pre- 
miers donné, question étudiée par Kronecker ( yoM/*«a/ fur Mathematik, t. 100) 
au moyen de la méthode d'élimination de Bézout. L'auteur retrouve les mêmes 
résultats en employant la méthode d'élimination d'Euler. 

Eberkard ( K). — Une classification des sj'slèmcs généraux de 
plans. (89-120). 

II s'agit d'étudier la division de l'espace en corps primaires par n plans illi- 
mités quelconques. Deux points appartiennent à un même corps primaire si 
l'on peut aller de Tim à l'autre, en passant ou non par l'infini, sans traverser 
Tun des plans donnés, l/cnsemblc de tous les corps primaires constitue le 
n-èdre complet défini par les n plans donnés. 

Incidcninicnt l'autcnr examine la question analogue pour le n-latcrc forme 
p.ir n droites dans un plan, c'cst-à-dirc sa décomposition en surfaces primaires. 
Si n csi impair, il est constitué par un seul système de surfaces primaires deux 



REVUE DES PUBLICATIONS. i; 

deux opposées par un angle; si n est pair, par deux tels systèmes sans partir 
c^ommune. Dés que /i^6, il y a plusieurs sortes de n-latères, chacune étant 
c:aractérisée par le système des triangles primaires : il y a toujours au moins 
^ de ces triangles. 

D'une manière analogue, si n est impair, le n-cdre complet est composé d*un 
^ul système de corps primaires deux à deux opposés par une arête; et de deux 
systèmes complémentaires, si n est pair. La répartition des corps primaires en 
systèmes de corps deux à deux opposrs par un sommet est régie par une loi 
plus compliquée, et donne lieu à une classification des systèmes de plans en 
<ieQx espèces. Pour /i > 6, il y a plusieurs sortes de n-édres : c'est ici le sys- 
tème des tétraèdres primaires qui est caractéristique; il y en a toujours au 
moins n. L'auteur étudie en détail le cas où il y en a exactement n : le n-èe/re 
est alors dit normal, 

eck (A.). — Sur le problème fondamental de l'Axonométrie. 
(121-124 )• 

Ce problème consiste à construire trois segments égaux et rectangulaires 
ayant pour projections obliques trois segments donnés. On sait que tout 
revient à construire les axes de l'ellipse bitangenle aux trois ellipses qui ont 
pour demi-diamètres conjugués deux quelconques des trois segments donnés. 

L'auteur ramène la question à la construction des axes d'une quadrique dont 
on connaît trois diamètres conjugués, et peut alors appliquer une construction 
doc è Chasles. 

'robenius{G>)> — Théorie des formes biquadra tiques. (i25-i88). 

U faut entendre ici par formes biquadratiques celles qui sont du second 
degré à la fois par rapport à deux couples de variaBles x, x, et y^ >*,, c'est - 
i-dire da type 

F(jr, ^)= (A x'^-\-'iBxXy+Cx])y^ 

-H a( A'ar'-i- 'k\^'xXy-\-Cx\)yy^-{'{\'' x--^ alTxx.-h C'jr;).r;. 

L'anteur lui associe la forme quadratique 

G = (A/?-h B ç-h A'r-4-B .f)yj-h(n /? 4- C ^ H- B' /• -h €'5)7 
-f- ( A> 4- B'^ -i- AV H- \Y8)r -h ( B'/? -h C'q -4- B'r -h C"*)*, 

qni en est, en un certain sens, un covariant, ainsi que la forme* 

H = p* — qr. 

On considère donc le faisceau G h- XI!, et son discriminant 

Rj(X) = X'— 6X»* H- 4X< H- 1/, 

dont les coeflScients «, /, u sont les invariants fondamentaux de F. Les trois 
formes R, R| et R^ (on désigne par R et R, les discriminants de F par rapport 
anx deux couples de variables) ont des invariants égaux. M. Krobenius donne 
de ce théorème trois démonstrations algébriques, et une démonstration au 

Buii. des Sciences mathém.^ 3* série, t. XX VL (Janvier 1903.) R.2 



i8 SECONDE PAUTIE, 

moyen des fonctions elliptiques. La première de ces démoostratioos est ana- 
logue à celle par laquelle Cayley a prouvé l'égalité des invariants de R et R,. 
L'auteur examine ensuite si l'on peut transformer F en une forme de même 
nature, mais symétrique par rapport aux deux couples de variables. La ques- 
tion revient à celle de l'équivalence de R et R| : 

La condition nécessaire et suffisante de cette équiveUence est que R, ai/ itn 
diviseur élémentaire linéaire. 

M. Frobenius donne ensuite la solution complète du problème snivant : 

Déterminer toutes les formes F pour lesquelles R et R, sont des forma 
données. 

Il trouve, comme conséquence, que, pour que deux formes F soient équiva- 
lentes, il faut et il suffit que leurs fonctions caractéristiques R, aient les mêmes 
diviseurs élémentaires. 

Une étude spéciale des formes F symétriques, et une application des résultats 
obtenus à la théorie des fonctions elliptiques, terminent le Mémoire. 

Stàckel (P-)- — Contribution à la théorie des fonctions uni- 
formes. (189-192). 

On se donne une suite infinie de nombres complexes a^, susceptibles d*ètre 
les zéros d'une fonction transcendante entière, et une suite de polynômes Y«(')f 
de degrés (A^— i), tels que tous les h^ soient inférieurs à un nombre flic 
L'auteur montre qu'il existe une infinité de fonctions transcendantes eotièrfs 
dont les développements suivant les puissances de chacune des différence* 
{x — a^) coïncident, dans leurs h^ premiers termes, avec celui de la fonction 
{y^x) correspondante, et donne une formule générale pour les représenter. H 
établit d'abord que les fonctions dont l'expression est donnée par le théorème 
de Miilag-Leffler sont susceptibles d'être représentées par un développemenl de 
la forme 

v = i 

où lcs/^(:r) sont les fonctions rationnelles données, chacune d'elles ayant pour 
seul pôle le point a^, d'ordre h^ de multiplicité, et où les m^ sont des constante* 
positives convenablement choisies. 

Selling {Eduard). — Sur une formule pour les suites numé- 
riques empiriques, et particulièrement pour l'établissement des 
Tables de mortalité et d'invalidité. (193-198). 

Il s'agit de représenter une fonction y de a:, connue par ses valeurs pour if' 
valeurs o, 1, 2, 3, ... de x, par une formule de la forme 

y = au' -h 6i^' ■+■ cW -h 

L'auteur donne des formules simples pour le calcul des constantes a, b. c, •• • 



REVUE DES PUBLICATIONS. 19 

K, p, (V, .... Il applique ses résultats à la représentation do nombre des vivants 
d*âge X, 

SchottAjr (F,), — Sur les équations caraclérisliques des surfaces 
planes symétriques^ et sur les fonctions abéliennes correspon- 
dantes. (199-268). 

Étant donnée une aire plane G, à un ou plusieurs contours, il existe, comme 
Tauteur Ta montré dans un précédent Mémoire {Journal fur Mathematik, 
t. 83, p. 330), des fonctions K{x) qui se comportent comme des fonctions 
rationnelles dans l'intérieur de G et aussi, en un certain sens, sur les contours 
de G, et qui sont réelles en tout point de ces contours. Elles s*expriment ration- 
DfUement en fonction de deux d'entre elles : p et q, qui sont liées par une 
relation algébrique G{p, g) = o : si (p + 1) est le nombre des contours de G, 
cette relation est de genre p. 

L'auteur étudie ici les particularités qui se présentent, lorsque Taire G est 
symétrique par rapport à un axe. Si chacun des contours de G est symétrique 
par rapport à l'axe, on obtient seulement des fonctions hyperelliptiques. Ecar- 
tant ce cas, on a T couples de contours deux à deux symétriques l'un de Pautre, 
et (p-^i — 3t) contours dont chacun admet l'axe pour axe de symétrie. Les 
fonctions abélieilnes de p variables, auxquelles la relation G = o donne nais- 
sance, peuvent alors s'exprimer au moyen de fonctions abéliennes dépendant 
respectivement de t variables, et de a = p — x variables seulement. Aux x argu- 
ments des premières correspondent des intégrales abéliennes de première espèce 
qui se réduisent à des intégrales de genre t. Il n'en est pas de même pour les 
autres, qui sont par suite particulièrement intéressantes. 

M. Schottky donne l'expression effective des fonctions considérées, et des 
diverses fonctions qu'on leur associe dans la théorie des fonctions abéliennes, 
dans le cas t = 1. Les premiers termes des développements des fonctions thèla 
qui interviennent présentent des particularités caractéristiques; pour a = 4t 
deux des fonctions thêta paires, et deux seulement, s'annulent en même temps 
que les variables. 

L'auteur traite ensuite le problème suivant : Étudier les fonctions que Ton 
obtient en remplaçant, dans les quotients de fonctions thêta, les arguments 
par des intégrales prises entre deux points quelconques de la surface G. 

Ileffter (L.). — Sur certaines formules de récurrence pour les 
intégrales des équations difTérentielles linéaires homogènes. 
(aôg-aSa). 

Les équations différentielles linéaires considérées sont à coefficients rationnels 
et à intégrales régulières. L'auteur établit une formule générale, d'où se déduit 
la formule de récurrence pour les coefficients de toute série qui satisfait à 
l'équation. Il en conclut l'existence, sous certaines hypothèses, d'intégrales uni- 
formes dans le domaine d'un point singulier de l'équation. Il donne ensuite les 
conditions nécessaires et suffisantes pour que l'une des intégrales soit un poly- 
nôme entier de degré donné. Enfin il fait l'application des résultats obtenus à 
diverv^ classes d'équations linéaires. 





20 SECONDE FÂKTIB. 

Fuchs {L.). — Remarque sur le précédent Mémoire de M. He ^^^^^ 
sur la théorie des équations différentielles linéaires. (sSS-i^^^V 

En se servant de Féquation linéaire aux dérivées d'ordre r d'une équ^» ^ ^^^ 
linéaire donnée, de la classe considérée par M. Heffter, M. Fuchs établit incr^»- *^^^' 
diatement Tun des théorèmes obtenus par M. Heffter, à savoir : 

Si l'équation fondamentale déterminante relative à x = co a de* rat 
négatives entières, et si — r est celle de ces racines qui a la plus 
valeur absolue, V équation considérée a pour intégrale un polynôme et 
de degré r. 

ScliafheUlin {Paul)» — Contribution à Ja théorie des équati 
diflerentielles linéaires à coefficients rationnels. (285-3 1 4)* 

Le but de l'auteur est de retrouver, par des moyens algébriques, les résa 
fondamentaux obtenus par M. Fuchs sur la forme analytique des intégi^ 
dans ses premiers Mémoires sur les équations linéaires. 

Les équations considérées peuvent être mises sous la forme 

n 

où qi^{x) est un polynôme de degré k au plus, sauf g„(^) qui est exacte ^r^r-^cnt 
de degré /t. On peut ensuite les mettre sous une certaine /orme nornuil^ «lui 

est une généralisation de Féquation hypergéométrique de Gauss. Les propr* *- ^^^^ 
fondamentales des intégrales et la forme de leurs développements, tant da »»^ "* '^ 
voisinage d'un point ordinaire que d'un point singulier, sont ensuite mis^«:^ "=^^ ^^ 
évidence sur celte forme normale. 

Giintlier {Paul), — Sur une méthode pour déterminer Técf «-'3' 
tion fondamentale relative à un point singulier d'une équa t. » o" 
différentielle linéaire homogène. (33o-33()). 

Les coefficients do réqtialion en question ont été donnés par M. Hamb».» «^^f"" 
{Journal fur Aîalheniatik, t. 83, p. 198 ) sous forme de séries dans les tcrr~ *'^f- 
desquelles interviennent les valeurs que prennent, pour un point du doixi ** '"^ 
du point singulier considéré, les dérivées successives des intégrales d'un sye-t «^m» 
fondamental bien défini, prises par rapport au logarithme de la variable i^»*^^- 
pendante. Ce sont ces valeurs dont M. GOnlher donne une expression expl i*riU, 
en fonction des coefficients de l'équation, en se servant d'un développcmoo •- ^^ 
séries des intégrales d'une équation linéaire dû à M. Fuchs { Annal i di 3^^^^- 
matica, t. 4, p. 3G). Pour plus de netteté, le calcul est fait pour l'équation au 
second ordre. Application des résultats est faite à une équation étudi<>c par 
Cayley {Journal fur Mathematik, t. 100, p. 298). 

Stcrn {M.-A.), — Contrihiilion à la théorie de la fonclion E^. 

(337-34r)). 

Il s'atiil de la fonrlion Ex de Legendre. ou [x] de Gauss, cVst-à-dire du p/u< 



RëVUI{ des publications. ai 

rand entier positif contenu dans x. L'auteur obtient, par voie élémentaire, un 
rand nombre de formules relatives à cette fonction. Il détermine, par exemple, 
s valeurs des sommes suivantes 

-(m-l) j(m — I) |(m — 1) 

1 1 1 

is diverses formes. 

necker^L.). — Remarques sur la fonction arithmétique d\inc 
Jiantîté réelle x^ que Gauss désigne par \^x\ (346-348). 

LU moyen de la formule évidente 

r = l 

A = i 

9' est un entier positif quelconque, supérieur à a?, l'auteur vérifie les for- 
tes données par M. Stem dans rArticlc précédent, et des formules données 
M. Busche dans sa Thèse (GÔttingen, i883). On trouve aussi facilement 

* h,k 

(A: = I, a, . . ., m — i ; /t = i, a, . . ., /i — i )? 

La résulte aussitôt la formule connue 

Ar=l 



Tome 107 (4 Cahiers, 35yi pages et 2 Planches). Berlin; 1891. 

in (Gustav). — Sur les coniques de contact et les tangentes 
oubles de la courbe générale du quatrième ordre. (i-5o). 

/auteur montre que la courbe générale C* du quatrième ordre peut être 
inrc de la manière suivante. On considère les oc^ triangles T circonscrits à une 
lique J, qui sont définis par une équation du second degré entre les fonc- 
is symétriques élémentaires des paramètres des points de contact de leurs 
is côtés. C* est le lieu des points qui sont sommets d'un seul de ces triangles, 
■xiste deux systèmes quadratiques de coniques, £ et £', dont chaque conique 
circonscrite à 00' triangles T : ce sont deux des 63 systèmes de coniques de 
tact de G^ Inversement au système £ correspondent Sa coniques J, dont 
cunr est enveloppe conmiuiic de x' triangles T inscrits dans l'une quel- 



ri SECONDE PARTIE. 

ci>nque des coniques du système £, et cela donne en tout »' tels triangles 
correspondant à Tune quelconque de ces coniques J, suivant la loi énoncée. Par 
là est définie la correspondance, indiquée par Steiner, entre un quelconque des 
systèmes de coniques de contact et 32 autres systèmes. 

Aux systèmes £ et £' est associé un troisième système £' de coniques de 
contact : chacune des coniques de £' est le lieu des sommets des triangles T qui 
ont un côté fixe. La relation entre ces trois systèmes est symétrique. 

En partant de ces considérations, Tauteur établit, par une méthode uniftvme 
et purement géométrique, les théorèmes obtenus par Steiner, Hesse, Aron- 
hold, etc., sur les systèmes de coniques de contact, et les tangentes doublet, 
qui proviennent des coniques de contact qui se décomposent en droites. Il 
retrouve, par exemple, la construction linéaire d'Aronbold pour obtenir toutes 
les tangentes doubles au moyen de sept d'entre elles, convenablement choisies. 
Enfin, M. Kohn obtient aussi nombre de résultats nouveaux. 

Tliomé (L.- WS), — Sur une application de la théorie des équa- 
tions diflerenticlles linéaires non homogènes. (51-79). 

L'auteur applique les méthodes développées par lui dans ses précédents 
Mémoires {voir notamment Journal fiir Mathematik, t. 96) aux équations de 
la forme 

OÙ le premier membre est une expression différentielle pouvant s'exprimer par 
un système d'expressions différentielles normales (plus spécialement une expres- 
sion différentielle régulière, ou à coefficients constants. Le second membre q 
est une somme de produits H(j:) F(â;) Q(j:) ainsi définis : H{x) est une 
fonction rationnelle; Q(:z:) est une fonction satisfaisant à une équation linéaire 
de la même nature que ^(y, x) = o; enfin V{x) est une fonction analytique 
partout uniforme, satisfaisant à une équation linéaire homogène connue à coef- 
ficients rationnels, dont les intégrales sont régulières en tous ses points singu- 
liers, sauf un. 

M. Thomé étudie successivement la forme des intégrales dans le domaine des 
points singuliers, leur calcul avec une approximation donnée, leur prolongement 
analytique, la détermination des substitutions linéaires qui interviennent dans 
le prolongement des intégrales, et l'introduction des logarithmes dans les déve- 
loppements des intégrales au voisinage des points singuliers. 

IIermite{Ch.). — Sur les polynômes de Legendre. (Extraitd'une 
lettre adressée à M. F. Caspary). (8o-83). 

De l'intégrale définie 

.7: 



I A~^1J — (A ' lO^^ôîTiJ "' 7/ 



ab' 



raiilt'ur déduit diverMs expressions des polynomo P^, données par Laplace, 
Jarolii, Mrhler. 

l*uis il rattache à la thénriu des fractions continues algébrique> des identité^ 



REVUE DES PUBLICATIONS. iS 

entre des polynômes P^ de degrés difltérents, dues à Jacobi et Bellrami. Il géné- 
ralise en même temps l'identité de Beltrami. 

imon {McLx), — Méthode élémentaire et géométrique pour 
obtenir Ja construction des parallèles dans la Géométrie absolue. 
(84-86). 

Il s*agit de la construction du rayon parallèle à un rayon donné, mené par un 
point donné, obtenue par Bolyai et Lobatschewsky au moyen de la Trigono- 
métrie. L*auteur en donne ane justification purement géométrique et élémen- 
taire. 



■7- 



-^rischauf (/.). — Sur la théorie des fonctions sphériques. (8^ 
88). 

Simplification de la démonstration de M. H. Bruns {Journal fiXr Mathe- 
matik, t. 90, p. 3aa à 3a8) de ce théorème que P^(cosy) s'annule pour n infini, 

si ny devient infini (y 1 - |» ou si /i(7c — y) devient infini (t> - )• 

Alaurer {L.). — Sur la théorie des invariants. (89-1 16). 

L'auteur expose les principes généraux d'une théorie générale des invariants 
des formes tant générales que spéciales. 

Les formes seront réparties en classes, dont chacune contient les suivantes, 
et est caractérisée par un système d'équations entre les coefficients de la forme 
générale, du degré considéré. La forme générale d'une de ces classes est donc 
fonction des variables x^f a;,, . . . , x^, et des paramétres Up u,, . . .» u^ au moyen 
desquels s'expriment tous les coefficients (en vertu des équations qui caracté- 
risent la classe). Pour en définir les invariants, on devra introduire des groupes 
de transformations, rationnelles par rapport aux a;, et u^, transformant ces 
variables séparément, algébriques par rapport aux paramètres, et laissant inva- 
riante la forme considérée. Les invariants seront les fonctions des u,^ qui restent 
inaltérées par les transformations de ces groupes. On peut aussi considérer des 
groupes dans lesquels les variables u^ seules seront transformées entre elles. 

L'auteur montre comment la théorie des groupes de Lie conduira à introduire 
des systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles, analogues au système 
des a' équations d'Aronhold. Il donne, à cet effet, une exposition des principes 
foadamentaux de la théorie des groupes de transformations. 

M. Maurer termine par quelques indications générales sur la marche à suivre 
pour résoudre les problèmes généraux que les considérations précédentes l'ont 
coodait à poser. 

Schottky {F.), — Sur la définition du système des quatrièmes 
foDCtioDS thêta paires et impaires, (i 17-184). 

Les fonctions thêta, étant définies comme des fonctions transcendantes entières 
Jouissant des propriétés connues relativement aux périodes, ne sont déterminées 
qa*à des facteurs constants près. L'auteur cherche à déterminer ces facteurs par 



24 SECONDE PÂKTIE. 

la condition suivante : chaque fonction 

®rtL ®rtM ®rtKi ^rtLSIfl • ^a ^alM ^aUt ^rtlIK» 

doit se changer, par l'addition des demi-périodes correspondant à l'indice K^ en 
la fonction de même nature 

^rtlLL ^aKM ^aKN ^/iKLMN * %K ^«KLM ^oKLII ^alLM?(- 

(Les notations sont les mêmes que dans l'Article de Fauteur : Journai fàr 
Mathematik, t. 102, p. 3i3). il en résulte que chaque fonction 

se transforme, dans les mêmes conditions, en 

à un facteur ± i, que l'auteur représente par le symbole ( K, L. M ). L'étude de 
ces facteurs permet d'aborder la question posée pour laquelle on arrive à la 
conclusion suivante : après avoir choisi arbitrairement ce qu*il y a d'indéter- 
miné dans le symbole (K, L, M), l'une des fonctions (la fonction 6) est déter- 
minée à un facteur constant prés, les fonctions 6,, à des racines quatrièmes de 
l'unité prés, et les fonctions 6,^ aux signes prés. 

Kronecker (L.). — Réduction des systèmes de n* éléments 
entiers. (i35-i36). 

il s'agit de réduire un déterminant à éléments entiers, par des transforma- 
tions élémentaires (échange, addition ou soustraction des lignes ou des co- 
lonnes). On peut d'abord faire en sorte que le premier élément à gauche et en 
haut soit positif et divise les n^ éléments; puis annuler tous les autres éléments 
de la première ligue et de la première colonne. On continue à opérer de même 
sur le mineur du premier élément, et ainsi de suite.... Dans le déterminant 
réduit, tous les éléments, sauf ceux de la diagonale principale, sont nuls; et 
chaque élément de la dia};onale principale, qui n'est pas nul, est positif et divise 
tous les suivants. Celte réduction n'est possible que d'une seule manière. 

Caspary {F.). — Sur quelques formules relatives aux fonctions 
sphériques. (Extrait d'une lettre adressée à M. Ch. Hermile à 

i^aris). (137-1 io). 

Plusieurs dos fornuiles relatives aux polynômes P^, démontrées par M. Her- 
mile dans rArticlc analysé ci-dessus, sont établies en se servant d'une équation 

_i 

au\ dérivées parliclios à hi(]iu-ll(' >;ai^fail la finulion T = (i — 2ax -i- a-) '. 
Laiilcur en dodiiil plusieurs autrt-N relatives aux fonctions sphériques de 
stM ondo ospèct\ ri données déjà, pour la piiiparl, par K. Noumann (Beitrafe 
zur 7'heorit' dvr Kuî;elfunclionen. Lcipzii;: 1876). 

UuiKvitz i^./.>. — Sur la con>lriicl ion de Sclmiler pour les courbes 



REVUE DES PUBLICATIONS. 2^ 

planes du troisième ordre. (Extrait d'une lettre adressée à 
M. H. Schroter). (i4i-i47)« 

La courbe est définie par trois couples de points correspondants; on en déduit 
d'autres, de proche en proche, en prenant les troisièmes couples de sommets 
opposés de quadrilatères complets dont deux couples de sommets opposés sont 
des couples de points correspondants déjà connus. Telle est la construction de 
Schroter. L'auteur montre que son application indéfiniment répétée, ou bien ne 
donne qu'un nombre limité de couples de points, ou bien en donne une infinité 
qui couvrent, avec une densité uniforme {ùberall dicht)^ soit une courbe du 
troisième ordre à une seule branche, soit la branche impaire seulement, soit les 
deux branches d'une cubique à deux branches. 

Un théorème analogue s'applique à la construction, donnée également par 
Schroter, des biquadratiques gauches de première espèce, au moyen de systèmes 
de trois points. 

^ûge. — Le potentiel d*un anneau homogène à section elliptique. 
(148-161). 

L'auteur rappelle une formule donnée par lui {Journal fur Afaihemaiik, 
t. 104) pour le potentiel des corps homogènes de révolution. Elle conduit, dans 
le cas actuel, au calcul de deux intégrales doubles ayant une ellipse pour champ 
d'intégration. L'auteur les ramène à des intégrales simples, en imitant la mé- 
thode employée par Gauss dans un cas analogue ( Werke, t. 111, p. 33i). L'une 
des formules obtenues avait été donnée par F. Grube ( Journal fiir JUathematik, 
t. 69, p. 6). Le potentiel cherché s'exprime donc par une intégrale double, qui 
ne se réduit que dans des cas particuliers. 

itej'e (Th.). — Sur les multiplicités linéaires de faisceaux de 
plans projectifs, et de réseaux de plans ou d'espaces tangen- 
ticJs collinéaires (IV). (162-178). 

[Suite du Mémoire commencé au Tome 104, et continué au Tumc lOC de ce 
Journal.] 

Après avoir remarqué que sa théorie donne une représentation efTective des 
géométries à plus de trois dimensions, l'auteur étudie les multiplicités li- 
néaires IS5I de 00^ réseaux de plans en relation coUinéaire. A chacune d'elles 
correspond un complexe (d^) du troisième degré, auquel appartiennent les 
génératrices de l'un des systèmes de deux familles de oc' quadriques remar- 
quables; les génératrices de l'autre système de toutes ces quadriques appar- 
tiennent à un même complexe. 

L'étude des multiplicités analogues |S«I, | SJ, |S«|, |S||, \S^^\ se résume au 
fond en ce résultat général que les multiplicités |S.| et |S|«_„| se correspon- 
dent dualistiquement. Ce fait résulte de Tétude détaillée que fait l'auteur de 
chacune d'elles. 

Slahl {Wilhelm). — Sur les figures projectives en involution. 
(179-188). 



26 SECOND» l'ARTIK. 

Une division de points 

Xi=ai-h\bi (« = 1. a, 3, 4), 

et un faisceau de plans 

a.= a;-hXp. (1 = 1, 2, 3, 4), 

qui sont en relation projective, sont en involution, si l'on a la relation 

(ap)-(6«) = o r(a?) = 2]«/?.»<^) = 2]4i«il. 

Il y a une multiplicité linéaire de ao^" faisceaux de plans en involution avec 
toutes les divisions d'une multiplicité linéaire de oo" divisions (tous ces fais- 
ceaux et divisions étant en relation projcctive). De là résulte la dualité, signalée 
par Reyc, entre les théories des multiplicités linéaires de oo* et ac«-" faisceaai 
de plans projectifs. 

Si Ton considère des divisions et faisceaux de plans du second ordre, en rela- 
tion projective 

a:,= a.-f- 2X6,4- X»c„ 1/.= a^-i- aXp.-t- X»y. (« = i, a, 3,4), 

on dira qu'ils sont en involution, si l'on a 

(ar)-2(6p)-^(ca) = o. 

Ils définissent des réseaux coUinéaires 

^i= {a,-h \Lb,) -{-'kib.-h \ic,), ".• =»!-+- |A?. -h X 0,-1- IX vj, 

qui seront dits aussi en involution. Et de là résultera une correspondance entre 
les multiplicités linéaires de 00" et x"*-" réseaux coUinéaires. D'où, dans ce cas 
encore, la dualité signalée par Reye. 

Ces considérations se j;énéraliscnl pour les autres cas examinés par M. Rêve, 
et pour d'autres encore : par exemple, en introduisant, à la place des points et 
des plans, des sphères, des surfaces quelconques, des complexes, etc. 

Schottky{F.). — Le problème de l'interpolation pour les fonctions 
elliptiques. (189-195). 

Les variables x cl y étant liées par une relation algébrique de genre un, il 
s'aj;it de déterminer une fonction rationnelle de x et ^ qui prenne des valeurs 
données en un certain nombre de points {x^ y) donnés. L'auteur cherche la 
fonction inconnue sous la forme d'un quotient de produits de fonctions thêta. 
Les conditions du problème étant convenablement précisées, la solution dépend 
de la résolution d'une équation du second degré, de sorte qu'il y a deux fonc- 
tions satisfaisant à la question. 

M. Schottky se sert du résultat pour donner une forme explicite du théorème 
d'Abel pour les intéj;rales hyperclliptiqucs. 

Schwcring {K,). — Multiplication de la fonclion sinamM lem- 
niscatique. (196-240). 



REVUE DES PUBLICATIONS. 27 

Il s'agit de la fonction x = %\namu déGnie par la relation 



rdx 



I^auteur traite, après divers auteurs, et en s'inspirant principalement des tra- 
vaux d*Eisenstein et de Kronecker, le problème de la multiplication complexe. 
La fonctionnas sinampa (p =:a-H^<, x impair, ^ pair) est donnée par une 
formule de la forme 

±o(x^) 






Tout revient à calculer a,, a,, .... a^. Une première méthode consiste à se 
servir de l'identité 

dy dx 

= P 



dont on développe les deux membres suivant les puissances de x. Elle donne 
divers résultats théoriques intéressants, mais conduit, pour des valeurs de p un 
peu élevées, à des calculs inextricables. Il en est de même d'une seconde mé- 
thode dans laquelle on cherche, au lieu des coefficients a,, a,, . . ., les sommes 
des puissances semblables des racines de 9(<s~* ) = o. 
Dans une troisième méthode, l'auteur pose 

"— >' = (» — J?) — . 



a:r-«ç(ar-<) 



et cherche à déterminer les coefficients de F(â;), qui est uu polynôme de 
degré jv. La solution est fondée sur la formule remarquable suivante : 

[L=:(i-hi)^*i»-^('+0]. 

Les calculs sont possibles jusqu'à p = 53. De la formule précédente se déduit 
incidemment une démonstration de la loi de réciprocité pour les résidus biqua- 
dra tiques. 

Mais la vraie solution du problème consiste à chercher la valeur prise par le 
premier membre fiz) de l'équation de division pour les diverses racines d'une 
autre équation de division (pour laquelle le nombre p est premier). Ce calcul 
s'effectue par l'intermédiaire d'une résolvante en o>, dont l'étude fournit les 
propriétés essentielles de l'équation de division. Il en résulte une méthode pour 
déduire, par voie de récurrence, chaque équation de division d'autres plus 
simples : ce qui conduit à une infinité de relations entre les divers poly- 
nômes 7(4). 

De nombreux exemples numériques terminent le Mémoire. 



'28 SECONDE PARTIE. 

Hensel (A".). — Gontrîbutîon à la théorie des formes linéaires. 

(241-245). 

Solution générale du problème suivant : 

Étant données m formes linéaires des indéterminées i£,, u,, ...» u,, dont 
les coefficients sont des nombres rationnels d'une variable x, déterminer 
pour les Up ..., u^ des valeurs entières {nombres entiers, ou polynômes 
entiers en x, respectivement) de manière que les formes données prennent 
aussi des valeurs entières. 

Le problème est ramené à la résolution, en valeurs entières, d'un système 
de m congruences linéaires en Up ..., a„, à coefficients entiers. La solution 
donnée par l'auteur consiste à le ramener à un système semblable, relatif i uo 
module plus petit. 

Pochhammer {L.), — Sur une intégrale multiple, réductible aux 
intégrales eulériennes. (246-253). 

Par un développement en série et une intégration terme à terme. Fauteur 
obtient la formule 

J' s^ds I e-'W'ii -ty-'dt= r(i-a)E(a-f-ô, c). 
*^o 

Il généralise ensuite, de proche en proche, et obtient 

I s'^dsl S,ds, f S^^ds^.., I S^.jrf5^_, / e— .V ••mS^c/5, 



•-' Il 



= r(i — a) K(a -h6,, c,) E(a 4-6j, Cj)...E(a -+- b^^ c^ ) 

[S^=i;;^(i-5^)V-']. 

Il montre que la formule obtenue peut se généraliser en prenant pour l'uDe 
des intégrations un chemin d'intégration fermé à l'infini, au lieu du chemin 
réel de o à x. 

Kroneckcr (L.), — Application des systèmes de modules a des 
questions de la théorie des déleruiinanls. (254-261). 

Les relations entre un déterminant et le déterminant adjoint (ou réciproque) 
sont une conséquence de l'équivalence des six systèmes de modules suivants : 



^ ",. ^.7. - S/., , , 



C2]v''.-v^ i 



{g. h, * = I, 2, /ï). 

^ i^ V - , . u^,, - V',, f ). ( l:v - . . v^, - u^, V ) ) 

ï ri V soiu lc'5 drlcrminants dont les «,4 ri y.^ sont rcspcctivcfiirni le^ .•!<•- 



REVUE DES PUBLICATIONS. 29 

ments; Vg^ et V^i désignent les éléments des systèmes adjoints; enfin 8^,^ est 
égal à zéro ou à un, suivant que ^ et A sont différents ou égaux. 

Cayley (-^i.). — Sur quelques problèmes d^orlhomorphose. (262- 
^77)- 

L'auteur compare diverses formules donnant la représentation conforme d'un 
carré sur un cercle : Tune due à Schwarz, l'autre provenant de la combinaison 
de résultats de Sch'warz, une troisième déjà considérée par l'auteur ( Cambr, 
I^hiL Transact,, t. XIV, p. 48^ à 494). 

L*autear montre ensuite que la formule 



«1 = 






où m est un entier, 9(2) une fonction arbitraire et 9(2) la fonction conjuguée, 
donne la transformation conforme d'un cercle en un cercle. Mais elle n'est pas, 
général, biuniforme. 



Hfinkowski (Hermann), — Sur les formes quadratiques posi- 
tives et les algorithmes analogues à celui des fractions conti- 
nues. (A suivre). (278-297). 

Soit/ une forme définie positive des n variables j?,, j?,, ..., x„, à discrimi- 
nant non nul. Supposons la décomposée en carrés de fonctions linéaires à coef- 
ficients réels 

[ (a = i, a, ..., n). 

Et représentons par le point P, qui a pour coordonnées rectangulaires Ç,, Ç,, ..., \^, 
le système des valeurs de ces n formes linéaires, pour des valeurs quelconques 

attribuées aux â?,- : la valeur correspondante de/, étant le carré de la distance OP, 
est représentée par le même point. On considère tous les points P ainsi obtenus, 
quand 00 donne aux â?,- tous les systèmes de valeurs entières possibles. On peut 
les grouper de la manière suivante : on imagine d'abord les points P,, P,^ . . ., I\ 
obtenus en donnant à tous les Xi moins un la valeur zéro, et au dernier la va- 
leur un, et Ton construit le parallélépipède sur les segments DP,, OP,, . . ., 0P„ ; 
on imagine les parallélépipè<les égaux ayant une face commune avec le premier; 
on opère de même pour ceux-là, et ainsi de suite. Le système de parallélépi- 
pèdes ainsi obtenu, dont les sommets sont les points P précédemment définis, 
constitue la représentation géométrique fondamentale de la forme /. Si l'on 
^ change la décomposition en carrés employée, cela ne fait que changer l'orien- 
tation dans l'espace du système des parallélépipèdes, mais non sa forme. Enfin 
le» formes équivalentes A / sont représentées par les diverses manières de 
grouper les points P considérés en systèmes parallélépipédiqucs tels que celui 
qui vient d'être défini. 

Soit M la plus petite distance de deux points P du système considéré, cVst- 
à-dirc le minimum de /. L'auteur imagine que de chaque point du système 



3o SECONDE PARTIE. 

comme centre on décrive une sphère de rayon I^R, et dèduH dé la emûidéra- 
tion de toutes ces sphères, extérieures les unes aux antres, cette oonséqvence 
que le*volume de chacune est inférieur à celui du parallélépipède fondamental, 

c'est-à-dire à v^, A étant le discriminant de la forme/. Delà résalte l'ioégalité 
importante 



îiî vZ/tire^ 



M. Minkowski en fait une application importante à la théorie des nombres 
algébriques. Soit &>„ ci>,, ..., ta^ une base des nombres entiers d*nn eor/w de 
nombres algébriques du /i'*"** degré ; les valeurs conjngnénsdes m^ étant désignées 

par ci>^^\ et le carré de leur déterminant par D, l'auteur conaîdère la forme qua- 
dratique 



/=2: 



où les \ sont des constantes positives. De l'inégalité obtenue en lui appliquant 
le résultat précédent résulte que pour chaque idéal il existe au moins un mul- 
tiplicateur (relativement à la formation d'un idéal principal)^ dont la norme 

est inférieure à ^D. On en conclut aussi que tout discriminant D contient en 
facteurs des nombres premiers, propriété fondamentale énoncée par Kronecker, 
mais non démontrée encore. 

Giinther {Paul), — Sur la délcrminalîon des équations fonda- 
mentales dans la théorie des équations différentielles linéaires. 

(298-318). 

Comme il l'avait déjà fait dans un précédent Mémoire {Journal fur Mathe- 
matik, t. 106, p. 33o et suivantes), l'auteur se sert des développements en séries 
partout convergentes donnés par Fuchs dans les Annali di Matematica ( t. IV, 
p. 36 à 49) pour les intégrales des équations linéaires, en vue d'obtenir des 
expressions pour les coefficients de l'équation fondamentale relative à un point 
singulier. La nouvelle méthode qu'il donne ici est exposée en détail pour Téqua- 
tion du second ordre; et l'auteur montre qu'on peut l'appliquer au cas général, 
en prenant pour inconnues auxiliaires les sommes des puissances semblables 
des racines de l'équation fondamentale. 

M. GUnther en conclut ce théorème de Poincaré : 

Pour V équation 

n 

A- h, i 

les coefficients des équations fondamentales sont des fonctions transcen- 
dantes entières des quantités A,,^^.. // le complète par diverses remarques sur 
les coefficients des séries représentant ces fonctions entières. 



REVUE DES PUBLICATIONS. 3i 

Une autre application de la méthode exposée concerne la généralisation d'un 
théorème donné par Bruns pour une équation de la théorie des perturbations. 

Siâckel. — Sur les équations diffërentielles de la Dynamique, et 
la noJ.ion de Téquivalence analytique des problèmes dyna- 
miques. (319-348). 

Sous le nom de problèmes dynamiques, Tauteur considère ceux qui se rap- 
portent à des systèmes matériels dont l'état au temps test défini par un nombre 
fini de paramétres : les liaisons et les forces agissantes ne dépendent que de la 
conûguration du système, et non des vitesses, et il y a une fonction des forces. 

Soient /?,, p^^ ...,/?„ les paramètres, et soient 



la force vive et le travail virtuel du système. Le mouvement est défini par les 
équations de Lagrangc : Fauteur les résout par rapport aux dérivées secondes, 
ce qui lui donne le système 

k, I ; 

Les quantités a'.^ sont les éléments du déterminant réciproque de celui desa^-; 
et les ] . I sont les expressions introduites par ChristofTcl, Lipschitz, Wcin- 



garten 



j i <^- Zé'^'^lVôp, '^ dp, dpj' 



Deux systèmes dynamiques sont dits analytiquement équivalents, s'ils dépen- 
dent du même nombre de paramètres, et si l'on peut choisir ces paramètres de 
manière que les systèmes différentiels (S) correspondants soient les mêmes. 
De là le problème suivant : 

Connaissant T et \}', déterminer de la manière la plus générale 

kj k 

de manière que Von ait les relations 

Ae« équations du deuxième groupe déterminent les \ .^ quand on a calcule 
ie» «'41. Tout revient à déterminer ceux-ci au moyen du premier groupe 
(inéquations. 



39. SECONDE PARTIE. 

L'auteur montre que, tant que T ne satisfait pas à certaines équations aut 
dérivées partielles, il n'y a que la seule solution 

Ç = cT (c = constante arbitraire) 
qui entraîne 

Vy = €{]'. 

£lle correspond à la similitude mécanique (Newton, J. Bertrand). On peut 
faire disparaître la constanlc arbitraire, par un choix convenable des unités de 
longueur, masse, force et temps. On est donc en droit d'affirmer que, dans le 
cas général, la condition nécessaire et suffisante de l'équivalence analytique de 
deux problèmes dynamiques est que les expressions correspondantes de la force 
vive et du travail virtuel se transforment l'une dans l'autre (respectivement) 
par une même transformation elTectuée sur les paramètres. Les problèmes dyna- 
miques sont ainsi répartis en classes, et dans chacune d'elles on peut consi- 
dérer comme problème normal celui qui concerne le mouvement d'un point 
matériel de masse un dans un espace à n dimensions d'élément linéaire déter- 
miné. 

Les résultats généraux obtenus sont appliqués au cas n = a, et au mouve- 
ment d'une droite rigide, en particulier dans une congrucnce et sur une sur- 
face réglée. 

Kronecker (L.), — Sur un passage de l'article de Jacobi : Obser- 
vatiunculœ ad theoriam œquationiim pertinentes. (Extrait 
d'une Lettre à M. Weierstrass). (349-352). 

Dans ce passage, Jacobi caractérise une fonction rationnelle de cinq lcllrr> 
comme étant invariable par deux substitutions «lont l'une résulte de l'autre par 
permutation circulaire des lettres, et par suite semble inutile. El, en fait, elle 
a été supprimée dans le Tome III des Œuvres complètes de Jaoobi. Ca>b') 
remarque que rcpendant Jacobi parait avoir pensé à une fr>nrtion semi-méia- 
cycliquc, et non à une fonction cyclique : il propose en conséqucnrc <lc chaiiçcr 
la seconde siibslitulion. L'auteur préférerait l'addition de deux mots dans le 
texte primitif, ce qui rétablirait aussi la pensée de Jacobi. 

M. Kronecker j;énéralise de plus le raisonnement de Jacobi pour le cas d'un 
nombre impair quelconque de lettres. 



ATTI DELLA R. AccADEMiA DELLE SciENZE 1)1 ToRiNO. In-8*. Torlno, C. Clausen. 

Tome XXXIV; i898-i9<)9. 

Picard (Em.). — [HS^]. Sur la rcsolulion de certains pro- 
blèmes de Mi'canic|ue par des approximations successives. 
(Extrait d'une Icllrc à M. Vollerra). (6-10). 

A propos des Articles de M. Vollerra sur une classe d équations de \d Dyiia- 



UKVUE DIÎS PUBLICATIONS. 33 

inique, M. Picard rappelle une Note publiée par lui-même dans les Comptes 
rendus (février 1897), Q"i ^ quelques analogies avec le sujet traité par M. Vol- 
terra. 

Soit le système d'équations différentielles 



^_ — fm ( *^' ^P y 7 y m )» 



les fonctions réelles / des variables réelles x^ y^^ étant finies et déterminées 
pour X compris dans un certain intervalle I, et les -^-^ étant toujours infé- 
rieures à un nombre fixe N, pendant que ces y varient entre — 00 et -h 00 et 
que X reste comprise dans I. Alors tout système d'intégrales qui pour x=.x^ 
prend des valeurs finies y\^ yl-, ..., y^^ est fini et bien déterminé, et peut être 

obtenu par séries, par des approximations successives (Picard, Traité d* Ana- 
lyse, t. III). M. Picard applique cette remarque au problème du mouvement 
d^un corps pesant autour d'un point fixe, en montrant qu'on peut obtenir les y?, 
q^ r. Y, y', y* par des séries convergentes pour toute valeur du temps. 
Observations analogues pour les équations 

(P_x, _ çHJ 
dO "^ ôx.' 

et pour les équations canoniques 

(o • ) ''~ '^^^ 

\ dt ôpi 

Pour ces dernières, par exemple, l'auteur complète les équations suivantes, 
où le variable t remplace le /, 



d-z ~ 


H ' 




m 


<lli ... 
dt ~ 


H ' 



qui, en supposant tl continue et positive, et les dérivées des seconds membres 
inférieures à un nombre fixe, permettent d'exprimer les p et les 7 par séries 
pour toute valeur de t. Entre t et ^, il y a une relation linéaire 

il cause de l'intégrale H = const. qui appartient aux (i) aussi bien qu'aux (3). 

Lfauricella {Jos.). — [T2a]. Sur les développements en série de 
soliilions exceptionnelles de rélaslicité. (i 1-24)* 
Bail* des Sciences mathcni.., j* série, t. WVl. (Février 1902.) R..*? 



34 SECONDE PARTIR. 

Développemcnls des déplacements inittftax et dct viteiiet initiales tm lérie 
de solutions exceptionnelles des équationt des TilmlioBS élMlîqvcty ptr aBe 
méthode analogue à celle suivie par le même aalenr dans n Note aor la pro- 
pagation de la chaleur (ces Aiti, 1897-1898, p. 969). 

Peand (Jos.). — [li]- I^a numération binaire appliqué^ A la até* 
nographie. (47-55). 

En faisant correspondre les rayons d^uae étoile octogone (la dIrectioB de cet 
rayons étant fixée) aux huit premières unités du syilènie binaire^ c^eat-è*4îre 
aux nombres a*(i = o, i, ..., 8), on a le moyen d^écrire les 956 premiers 
nombres (représentés dans le système binaire) par des fignres qni ne soieai 
que des combinaisons de ces rayons. Ert établissant, d*après certaines règles H 
avec un certain ordre, une correspondance entre ces a56 figures et les !ionsd*une 
langue, qui sont à peu près dans ce nombre, on a un système de sténographie 
applicable aussi à des machines à écrire. 

Cliini (Mineo), — [H4^]. Sur certaines équations diiTérentielles. 
(56-66). 

Recherche inverse de celle de la Note : Sur ^équation différeniieile du 
deuxième ordre linéaire homogène (ces Atti, 1897- 1898, p. 737). Quels 
doivent être les coefficients d*une équation différentielle d^ordre m-f-i, équi- 
valente à son adjointe, afin qu>lle soit vérifiée par toute forme de degré m de 
deux solutions d'une équation du deuxième ordre linéaire homogène? 

Almansi {Emile), — [HIO^]. Sur Tintégration de l'équation 
difTérenlielle ^2^2=^ o. (92-1 10). 

Le problème se réduit à la résolution d'un système d'un nombre infini 
d'équations avec un nombre infini d'inconnues, et l'auteur établit ce système en 
s'appuyant sur un théorème qui subsiste pour des contours satisfaisant à cer- 
taines conditions, et qui esl le suivant : 

Soit s le contour de l'aire a considérée, et s^ une ligne fermée extérieure 
à ce contour. Si l'équation 



f 



A , - r/.t — (I 



est satisfaite pour une fonction quelconque «'. harmonique dans «,. et si l'on 
a €tussi 

I A </5 = O, 

on aura a = en tout point où X est continue. 

Porro (Franc.). — [U]. Sur Téclipsc lotale de lune du 27 dé- 
cembre !fi()S. (!S()-I(J|). 



REVUK DKS PUBLICATIONS. 35 

VoUerra ( V\), — [R8e]. Sur une classe de mouvements perma- 
nents stables. (247-255). 

Certaines propriétés relatives à la stabilité des rotations de systèmes ayant 
des mouvements intérieurs stationnaires ( même auteur, Annali di Matematica» 
t. XXIII) sont étendues ici à un cas général de mouvements à caractéristiques 
indépendantes (ces Atti, 1897-1898; Sur une classe d'équations dynamiques). 
Le cas considéré est celui des mouvements permanents, c'est-à-dire pour les- 
quels les caractéristiques p^ sont constantes, et la stabilité d'un mouvement 
permanent consiste en ceci, que, 9 étant un nombre arbitraire, on peut trouver 
un nombre e tel qu'une perturbation du mouvement produisant dans les carac- 
téristiques une variation < e ait pour conséquence que dans le mouvement 
perturbé les caractéristiques difTcrent en chaque instant de moins de 9 des 
valeurs correspondantes qu'elles ont dans le mouvement permanent. 

Les p sont supposées choisies de manière à avoir 

T = }(/>î-f-y>î-f-... + />;). 

F = }( A,/>; 4- \,p\ h.. .4- \p;) + :x,/>,-- :^./^:-t-- • -+- v-^Pr 

On a alors la proposition sui\ante : 

Aux niaxinia et mi ni ma effectifs de F {de T), la condition T= const. 
(F = const.) étant satisfaite f correspondent des mouvements permanents 
stables. 

L'auteur démontre qu'il y a toujours des mouvements stables, et en étudie 
les petites perturbations en démontrant qu'elles sont périodiques. 

IDaniele {Herménégilde), — [K46a]. Quelques observations 
préliminaires sur la théorie du mouvement des surfaces. (256- 
272). 

Expression des forces que l'on doit ajouter aux points d'une surface et à ceux 
de son contour, pour la maintenir en équilibre, dans l'hypothèse que la surface 
étant d'abord flexible et inextensible, et en équilibre, elle devienne extensible, 
eiception faite le long des lignes u et i^, en se réduisant ainsi à un tissu. 
L*auteur ajoute quelques considérations sur le cas où l'on ne modifie pas les 
forces appliquées à la surface, et où par conséquent la surface, en perdant son 
ioextensibilité, prend un mouvement. Voir ci-dessous la modification à cette 
Wotc (ces Atti, même Tome, p. 5i5). 

Giudice {Franc.), — [K6a]. Angle de deux droites et de deux 
plans. Perpefhdicularité et parallélisme en coordonnées homo- 
gènes. (277-291). 



erini {Ch,). — [D I 6e]. Sur la représenlation analytique des 
fonctions réelles discontinues d*une variable réelle. (325-345). 

Cette représentation approchée au moyen d'un polynôme rationnel (ces Atti, 



36 SRCONDE PAUTIE. 

1897-1898; Seveiuni, iiiéme litre, p. looa), semblable à celle que Weierstrass a 
donnée pour les fonctions continues, présente des cas où, en faisant diminuer 
Terreur, les coefficients du polynôme tendent à Tinfini. L'auteur, après avoir 
donné des exemples de cet inconvénient, expose une méthode qui peut servir à 
réviter. 

Segre {Corrade), — [^^]- Sophiis Lie. Notice. (363-366). 

Volterra (Vilo). — [Roa]. Sur le flux d'énergie mécanique. 

(866-375). 



Le flux unitaire a pour composantes 



étant 

\'y Y', Z' les dérivées des composantes de la force newtonniennc unitaire au point 

considéré ; 
w, v, Vv les composantes de la vitesse; 
Te» '^r» "^t ^^^^^^ ^'c la tension élastique unitaire exercée sur réiémcnt normal à la 

direction de la vitesse; 
U la fonction polentiellc newtonniennc; 
p la densité ; 
V la grandeur de la vitesse de la matière. 

Dans une région dépourvue de matière on a 

V - -^ X' 

*^ 
I' 

F — -— Y' 

J '\t: 

E. = ^ r. 

Pour une surface de niveau extérieure aux masses du système on a que h 
(juanlité totale d'éncrf;ie qui entre à chaque instant à travers celte surface est 
épale à celle (}ui sort dans le uième instant. 

Hiurli (Camille). — [T2]. Sur un problème d'élasticité. (3-6- 

Klani Tj le uiaxinnini du déplacement d'un point d'un système élastique, dû 
a i action d un poids P (jui tombe d'une hauteur h (déplacement dynamique). 



UEVUK DUS PUBLICATIONS. 3; 

et y étanl le déplacement produit par la charge P, appliquée sans chule, on a 



= r(i-+-^»-Ha^j. 



JFano (G.). — [H4rf]. Sur les équations différentielles linéaires 
qui appartiennent à la même espèce que leurs adjointes. (388- 

4«9)- 

On dit qu'une équation diiïérentirllc linéaire homogène 
appartient à la môme espèce qu'une autre équation semblable 

lorsqu'on peut obtenir Tune de Tautre par une substitution 

- = ««r -+- «.>' + •• --^ ««-i.v''*"''» 

les a,- étant des fonctions appartenant au champ de rationalité défini par les p^. 
La condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation (i) soit de même 
espèce que son adjointe 

est que son groupe de rationalité soit composé de substitutions qui transfor- 
ment on elle-même une forme bilinéaire k déterminant > o. Une telle forme bili- 
néaire doit s'annuler identiquement en substituant à ses deux séries de va- 
riables les solutions ^^ et z^ des deux équations, ou bien leurs dérivées 
d'ordres />, 7, étant p -h q'in — 1. Cette condition se modifie, relativement 
aux ordres de ces dérivées, lorsqu'on veut que la substitution, par laquelle on 
passe d'une équation à son adjointe, ne contienne les dérivées de la fonction 
que JDsqu'à un certain ordre < n — i. De ces conditions l'auteur donne aussi 
uoe interprétation géométrique dans l'espace S„_,. Les solutions y. peuvent 
être considérées comme coordonnées d'un point de S„_,, qui, pour les diverses 
valeurs de j:, décrit une courbe appelée courbe intégrale de l'équation (courbe 
attachée, suivant Halphen). Les considérations géométriques mentionnées 
consistent principalement dans l'usage de ces courbes et dans l'interprétation 
des substitutions 

comme étant des collinéations dans l'espace S„_,. 

Enfin l'auteur considère le ras où une équation coïncide a ver sa propre 
adjointe. 

Fano (Gino). — [II ig]» Sur les équations différentielles linéaires 
du cinquième et du sixième ordre, dont les courbes intégrales 
sont sur une quadrique. (/\i5'.i4^). 



38 SECONDE PARTIE. 

Les courbes iulégrales (voir d-dcssus Fano, ces Alti, iiiéme Tome, p. 38tf) 
sont sur une quadrique de S^ (pour le sixième ordre), lorsque, entre les si& 
solutions z-j il y a une relation quadratique à déterminaot ^o, que Ton pent 
supposer de la forme 

Z I vj " t~ 5 j Z I -T~ Z^ Z^ !^ O. 

On peut aussi, à la suite de cette relation, considérer les 3,. comme coordonnées 
d^une droite dans IVspace S-,; alors, au lieu d'une courbe intégrale, on a une 
surface réglée intégrale, qui devient une développable lorsqu*oii a au»$i 

«i *••,• "+■ ^j *'t "'" ■^5 •^e — '* 

z] étant la dérivée de «, par rapport à :r. A Faide des propriétés géoniétriquct 

de ces surfaces, l'auteur démontre, autant pour le sixième que pour le cin- 
quième ordre, que Tintégration de Téquation se ramène à cellt^ d'unt* équation 
linéaire du quatrième ordre. 

Marre {Aristide). — [V]. Des noms de nombres en usage dan« 
Madagascar, aux. Piiiiippines, dans la Malaisic el dans la Poly- 
nésie. (447"1'>^)- 

Kii français. 

MilUig-Lejjler {Giislai'e), — L'-^*^]* *^"'* '** reprësenlalion ana- 
lytique d\ine branche uniforme d\ine fonction inonogcne. 

(48.-.iç).). 

Etanl donnée une fonction analytique par un de ses eicnienis, trouK'er une 
expression arithmétique qui représente cette fonction, ou plutôt une branche 
uniforme de cette fonction, dans le champ le plus grand possible. 

Voilà le pro!)lèni('. 

La continuation analylicine peut !)icn ser\ir <i la délinitioii <le la fonction, 
mais, conime Tobservc Taulinir, \\c serait qu'un moyen très compliqué de repré- 
sentation. Sur l(^ problème indiqué, on avait déjà des travaux remarquables de 
Hun^e {Acta mathematica, t. VI; i885), Painlevé (Comptes rendus des 
séances de l'Académie des Sciences, t. CXXVI; 1898), Hilbert { \achrichten 
de Gottingue: 1H97), Borel {Journal de Mathem., 2* série, t. II; 1S96, et 
Leçons sur la théorie des fonctions. Paris, 1898), chez lesquels toutefois tantôt 
le rlianip irétail pas le plus grand possible, tantôt la représentation, déduite 
de la foruHib; de Caurhy en transformant l'intégrale en une somme d'un 
nombre infini de fondions rationnelles, exigeait la connaissance des valeurs 
de la fonction en un nombre infini de points. 

La solution de Mittag-Leffler est complète et ne dépend que de rélément 
donné 

[1 = 

ou, ce qui re>ienl au même, des valeurs de la fonction et de toutes ses dérivée*. 



REVUE DES PUBLICATIONS. Sg 

en un point. Une notion capitale dans celte solution est celle d'étoile, intro- 
duite pour la première fois par Tauteur. En considérant sur un rayon quel- 
conque, issu du point donné a, les continuations analytiques de P(:r|a), il 
peut arriver que tout point du rayon appartienne au cercle de convergence de 
quelqu'une de ces continuations, ou bien que Ton rencontre un point qui n'ap- 
partienne plus à aucun de ces cercles; en tel cas on exclut du plan toute la 
partie du rayon qui est entre ce point et Tinfini. On fait de même pour tous les 
rayons partant de a, et Tcnsemblc de ces rayons, ainsi coupé s'il y a lieu, est ce 
que Fauteur appelle étoile A appartenant aux éléments F(i^^(a). Cela posé, on a 
le théorème suivant : 

On peut toujours trouver un nombre N tel que, pour /i > N, on ait pour 
la /onction donnée V{x) dans tout ctiamp fini intérieur à l'étoile 

étant a un nombre positif arbitraire et g„{x) un polynôme donné par 

gA^) = ^c['')V'^-){a){^x- a)\ 

où les c^"^ sont données a priori indépendamment des données du problème. 

On déduit de là que la fonction ¥{x) est aussi donnée par une série 

•» 

de polynômes 

G^{x) = ^t^^^¥^-){a){x-a)\ 

(V) 

les t^!*' ne dépendant <}ue de [i, v, et étant 

y G (X) = lim gAx). 

y^olierra {V.), — [D4ref. K8^]. Sur quelques applications de 
la représentation analytique des fonctions de M. le professeur 
MîUag-LefHer. (492-494)- 

L'auteur observe l'application que Ton peut faire des développements de 
M. Mittag-Lefflcr à certains problèmes mécaniques, en supposant que les élé- 
ments inconnus soient des fonctions analytiques du temps, considéré comme 
nne variable complexe. Lorsqu'on peut s'assurer que l'axe réel des temps est 
intérieur aux étoiles {voir la Note précédente de Mittag-Leffler) qui appar- 
tiennent à ces fonctions, et dont le centre est l'origine des temps, on peut avoir 
les inconnues développées suivant la méthode de Mittag-Leffler. 

Comme questions qui se prêtent à cette application, l'auteur cite : la classe 



4o SECONDE PARTIE. 

de questions dynamiques conduisant à des équations du type 

V V 

1 "" 1 

le cas d'un point attiré par plusieurs centres newtonnîens en ligne droite; et 
celui de n points se repoussant suivant la loi newtonnienne. 

Cazzaniga {Titus). — [Ble]. Sur les réciproques des délermi- 
nanls normaux. (495-5i4). 

Un déterminant d'ordre infini D = [a,-^] est normal lorsque la série double 
des éléments non principaux et le produit infini des éléments principaux sont 
convergents. Définition et quelques propriétés des mineurs. Le réciproque d'un 
normal est aussi normal, et il a certaines propriétés analogues à celles des réci- 
proques des déterminants finis. Quelques observations sur les transformations 
linéaires dans un espace d'un nombre infini de dimensions. 

Daniele {Ilerménégilde), — [R46a]. A propos de ma Noie : 
Quelques observations préliminaires sur la théorie du mou- 
vement des surfaces. (5 1 5-5 17). 

Modification ù apporter dans certaines formules de cette note (voir ci-dessus), 
dans laquelle il n'avait pas considéré la densité de l'élément superficiel, qui 
vient à changer lorsque la surface perd son inextensibilité. 

Severini [Charles). — [Dl b\ Sur la représentation analytique 
des fonctions réelles discontinues d'une variable réelle. (5 18- 

■ 534). 

Ktunl f{x) une fonclion gcnéralciiienl continue et n'ayant que des discon- 
tinuités de première espèce, on peut construire, d'une infinité de manières, une 
série de fonctions représentant f{x) aux points de continuité, et donnant la 
moyenne arilliniéticiue des deiix limites, aux points de discontinuité. 

Bcmporad [Azeglio). — [^' ' i\ Complexes du deuxième degré 
consliuiés par les normales à une série de courbes planes. 

(535-5/Î6). 

Ces normales fornienl en général un complexe dont le degré est égal à Tordre 
de la podaire d un point dn plan par rapport à la série. L'auteur cherche donc 
les séries dont la [)odaire est une conique, et trouve que ce sont en général les 
trajectoires orthogonales des trajectoires d'un groupe projectif engendré par une 
transformation indnilésimale. Le complexe est toujours tétraédral. 

Yoiitif: (Grâce Ckisholm). — [Q2 réf. K^O /]. Sur la vaiiélp 



REVUE DES PUBLICATIONS. 4» 

raltonnelle normale MJ de Sa représentant la trigonométrie 
sphérîque. (SSj-Sgô). 

Les MJ de Fespace Sg peuvent être de deux espèces : Ou composées de simples 
séries rationnelles de plans, ou bien des cônes coupés par un S^ suivant une sur- 
face da quatrième ordre de Véronèse. 

L''auteur démontre que TMJ que Ton obtient en prenant 



— i»/-\f 



pjT, = col — rot — > 



a -.î 



rt, (t. 

J7o — col - col — i > 
1 '1 



a. «5 
pjr, = col — col - » 

* ^ 2 2 
0Xl= col — eut — > 

' '2 'X 

a, a, 

pj7r. = col — col — « 

3, 2o 

pj:*= cot — col — t 

' * 2 2 

p;r,= i, 

et dont les points représentent les triangles sphériques, appartient à la pre- 
mière espèce; et il en trouve aussi la série de plans, la réglée directrice minima 
qui est une quadrique, et les courbes directrices minima qui sont les droites 
d'un système de cette quadriquc. Les oo' triangles représentés par les points de 
la quadrique sont infinitésimaux, c'est-à-dire qu'ils ont tous leurs éléments 
5 (modar), et la classe de ces triangles a des relations remarquables avec 
celle des triangles minima, dont les trois sommets coïncident, et avec celle des 
triangles maxima dont les trois côtés sont sur un même grand cercle. 

Young ( IV.-II.). — [Qâréf. K66]. Sur les syzigies qui lient les 
relations quadratiques enlre les coordonnées d'une droite en S4. 
(596-599). 

Entre les dix coordonnées il y a cinq relations quadratiques, entre ces rela- 
tions il y a cinq syzigies, et une autre (syzigie double) lie ces dernières. 
L*auteur trouve ces relations et indique l'application qu'on en peut faire à la 
détermination de la fonction caractéristique de llilbert /(R) qui représente le 
nombre des constantes essentielles dans l'équation d'un complexe général 
d^ordre H. 

Gabba {Louis). — [U], Ephémérides du Soleil et de la Lune 
pour l'horizon de Turin et pour 1900. (63o-648). 

Carrera {Louis). — [U]. Les heures de Soleil relevées à Turin 

Bull, de* Sciences mathéni.y 2* série, t. XXVI. (Mars 1902.) H. 4 



4ji seconde partie. 

à l'aide (le riicllophanomèlre dans la période 1 896-1898. (G49- 
G65). 

Aimonctti (César). — [l^*^]- Détcrminalion de la gravité rela- 
tive dans le Piémont. (7 14-720). 

Levi (Beppo). — [Q2]. Sur rinterseclion de d^iix variétés ren- 
fermées dans wnv. variété simplement infînie d'espaces. (745- 
7C0). 

Volterra {Vilo). — [RSa]. Sur une application des lois du flux 
d'énergie mécanique au mouvement de corps qui s'attirent sui- 
vant la loi de Newton. (805-817). 

Cas de n sphères. Cas de deux sphères qui tombent Tune sur l'autre. Cas du 
iiiouvenient non perturbé, l'excentricité de l'orbite étant négligeable. 
Pour les n sphères, Pauteur trouve le tliéorèine suivant : 

Les lignes de /lux de l'énergie mécanique dans l'espace extérieur aui 
masses données coïncident avec les lignes de force magnétique que l'on 
aurait en plaçant au centre de chaque sphère un élément magnétique dont 
le moment soit égal et contraire à la quantité de mouvement de la sphère. 

Il en déduit cet autre qui donne une représentation niènie plus claire du flai 
d'énergie : 

Substituons à chacune des sphères données une sphère infinitésimale con- 
centrique, dont le volume soit proportionnel à la niasse de la première, tl 
su/>/)osons que l'es/tacc soit à chaque instant rempli d'un fluide incompra- 
siOie. sans tourbillons et en repos à l'infini, ayant la densité escale à la 
fonction jtoteiUiclle des sphères données. Le flux d'énergie sera propor- 
tionnel et oppose au flux produit dans le fluide par le rnousement des 
sphères infi/i itcsimales. 

Vouv Us deux sphères lonibanl l'une sur l'autre, l'auteur donne Icscqualion^ 
cl la construction des lignes de flux. Enfin, le flux étant un infini nient petit du 
cin<juicinc ordre, il trouve les parties du cinquième ordre de ses composantes. 

Jadanza {Nicodème). — [J!2(?]. Errata relatif à la Note inU- 
tiilée : Quelques observations sur le calcul de rerreur 
moyenne d^ un an^le dans la méthode des combinaisons 
binaires^ iuscrée aux Atti dell^ Accademia, Vol. XXXIU, 
p. 883; années 1897-1898. (96(3-96^). 

Pizzrtti (Paul). — [J-'^'l- Sur le calcul de Terreur moyenne 



REVUE DES PUBLICATIONS. 43 

d'un angle dans la méthode des combinaisons binaires. (ioi3- 
1019). 

Observations sur la Note de M. Jadanza (t. XXXIII, 1897-1898, p. 883). 

Tedone {Horace). — [T2]. Sur les équations de l'élasticité en 
coordonnées curvilignes. (io54-io6i). 



RENDICONTI del R. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere. 
Série 11^. Gr. in-8°. I^ilano, tip. di Gius. Bornardoni. 

TomoIX; 1876. 

Bardelli {Jos,). — [B2ca]. Quelques propriétés des coefficients 
d'une substitution orthogonale. (167-174)- 

Relations entre les coefficients a^, et leurs dérivées premières el secondes 
a^, o^, par rapport à un paramètre dont ils sont supposés être des fonctions. 

Le déterminant des a^, est zéro pour n impair, et pour n pair est un carré. 

Dans ces recherches jouent un rôle remarquable les quantités 

S^Gint^Iîobert {Paul de). — [S4a]. Sur la chaleur qui doit se 
produire dans l'expérience imaginée par Galilée pour mesurer 
la force de percussion. (i74-'79)- 

^schieri {F.). — [L^Ta]. Sur les surfaces gauches du 2" degré, 
représentées en coordonnées homogènes de droites. (222- 
227). 

Jung {Jos.). — [R4rf]. Sur le problème inverse des moments 
d'inertie d'une figure plane; solution graphique générale. (388- 

398). 

Étant donnée une figure plane ¥\ construire une figure F honiothétique à F' 
rt telle que son rayon d^incrtie par rapport ù un axe donné soit égal à un seg- 
ment donné, et que le centre de gravité soit en un point donné. 

Voir ce même Tome, page 697. 



44 SECONDE PAKTIE. 

Pincherle {S,). — [06/t]. Sur quelques problèmes relatifs aux 
surfaces minima. (444-456). 



Applications des mélhodes générales, avec quelques simplifications, ft 
tains cas du problème de déterminer une surface 'mioima passant par une 
courbe donnée et dont les normales sur cette courbe sont assignées. Les cas 

traités ici sont ceux où les normales : 
i** Sont parallèles à un plan donné; 
2** Font un angle constant avec une droite fixe. 

Jung (Jos.), — [R4r7]. Sur le problème inverse des moments de 
rësistaace d^une section plane; solution graphique générale. 

(5i4-5i8). 

Casorati [Félix), — [H8e]. Sur les solutions singulières des 
équations aux dérivées partielles. (522-533). 

Equations du premier ordre algébriques, dont l'intégrale complète est aussi 
algébrique rationnelle et entière par rapport k x^ y^ z et aux deux constantes 
arbitraires Ç, r^. Etant 

f{x,y, ;;, Ç, T.) = o 
l'intégrale, cl 

Téquaiion différentielle donnée, l'élimination de Ç, tj entre /= o et ses déri- 
vées donne lieu à une relation 

^'{JC, y, ■=,/>, «7) = ^'' 
cl l'on peut avoir 

F = O9, 

élant une fonction rationnelle entière de x, y^ z. Tout facteur de donne une 
solulion impropre. Pour avoir les solutions singulières, il faut considérer le 
(liscriniinanl de/ par rapport à ;, t, et celui de 9 par rapport à p^ q. Étant m 
le degré de f en ;, t,, pour m = i on n'a pas de solutions singulières, pour 
m — 2 l'iiulcur examine les cas où F est du a*, 3* ou 4* degré en /?, q. 

Colombo (Jos.). — [\{^(l]. Sur les distributions à boîte. ( 589- 

^97)- 

Jung (Jos.). — [lll^^]. Sur le problème i»iverse des moments 
d'inerlie et de résistance d'une section plane. Note 111. (igj- 

(ioo). 

loi/' (e niènir Tome, |». 3NS cl uj. 

Jung {./os.). — I II la]. Ucprésenlations grapliiques des moments 
(le i<'sislance d'une section plane. (<)oo-()o(> ). 



f _ 



l'nir le ( orn[ilcniciil. p. 617 



IlEVUE DKS PUBLICATIONS. 45 

Sayno (Ant,). — [T26]. Sur la poussée oblique des seclions 
planes des prismes. (6o6-6iti). 

Jung {Jos.), — [R4rf]. Complément à la Noie : Représenlalions 
graphiques des moments de résistance d'une section plane. 
(647-659.). 

La Note est à la page 600. Ici Tau leur relève certaines relations entre ses ré- 
sultats et ceux de M. Sayno ( p. 606 ) et de M. Ritter ( Civilingenieur, Cahiers III 
et IV; 1876). 

Selirami {Eug,), — [Roa]. Considérations sur une loi poten- 
tielle. (725-733). 

Étant ?(r) la fonction potentielle élémentaire d'une action à distance, et 
«{«(r) une fonction définie par 

la fonction potentielle d'une surface sphérique, dont a est le rayon, est donnée 
par 

r 

celle de la masse sphérique par 

V.= ^ f k{s)[^{r-^s)-^{r-^s)]ds, 

où 

h{r) étant la densité. 

En supposant que 9(r) et h{r)f déQnies pour les seules valeurs positives 
de r, soient des branches de fonctions paires, on peut les continuer pour r né- 
gatif au moyen des relations 



Alors l'expression 



^= ^ ['{'('•-♦-«)- ♦('•-«)] 



sert pour tous les points intérieurs et extérieurs à la surface donnée. Dans le 



4f) SECONDE PARTIE. 

cas de la masse, on trouve d^une manière analogue Texpression 



V=^y* A'(5)^(r + Orf*. 



Cette simplification de forme est possible lorsque la loi potentielle et la densité 
sont données par des fonctions ayant les propriétés (i). Un cas remarquable 
admettant cette réduction est celui où 

9 (r) = «-«*'•• et A = i; 
dans ce cas on a, pour a = oc, 



V= - r e-i'i'^')' ds = ('\ 



d*où Ton déduit que celte matière distribuée dans tout Tespace et agissant sur 
clic-méme avec la loi c~i""' est en équilibre. 
Dans la même hypothèse de ?(r) = e-i*""', la fonction potentielle d'une droite 

est i/- «-»"'■', celle d'un plan -e-i*'"'. 

Après, Tautcur suppose A(r) = -• Dans ce cas, en prenant des points de plus 

en plus éloignés de Torigine (centre de condensation), la fonction potentielle 
tend rapidement vers la fonction potentielle newtonicnne d'une masse con- 
centrée à l'origine. 
La fonction 



V = fh 

m ' 



c -!*••' d% 



salisfuit à un<^ équation analoj;uc à celle du inouvomont de la chaleur dans le« 
corps isfilropcs, cl l'on on déduit que la température variable dans un corp< 
isotrope peut être («Misidércc coinnie une fonction potentielle d'actions mutuelle^ 
entre les points du corps. 

Sayno (Ant.), — [Tî2^]. Sur une relation existant entre le uovau 
central et la résistance spécifique de cohésion penuanenle des 
sections normales des prismes soumis à la flexion. (''33--3"V 

Brioschi {Franc.), — [115/]. Sur certaines équations dilTércn- 
tielles à intéj;rale aigébricjue. (786-^9^). 

Ltant V,, Vj (lenv inléi^rales particulières de l'équation 

et ;;,, z. deux fon<ti«»ns linéaires de ces intéfirales, il y a une équation du 
3* ordre 

... dz / dz\' 

d- I(.^ - i d W^ — - \ 

/ , X dx 11 "^ dx \ I , dp 

dx- 2 \ dx J '2' dx 



REVUE DES PUBLICATIONS. 47 

satisfaite par -^y dont on trouve des intégrales algébriques par la considération 

des covariants A et d^une forme binaire/ d'ordre n qui se réduit à une con- 
stante K en y substituant Xp z^ au lieu des variables. On a, C étant une con- 
stante, 

Pour les covariants p^ associés à la forme /, on a vn {;éncral 



Pr={-0'r7C'-^'"''^M^)^ 



étant 



'^^^ "" ôz, dx "^ <)z^ dx ~^' dx '^•'^dx 

„ , ^ - /dz.y . dz, dzn . /dz^Y 

et (symboliquement) 

En supposant que p ci q aient les valeurs par lesquelles la (i) devient l'équa- 
tion liypergéométrique, Tauteur, pour certaines valeurs des constantes ren- 
fermées en p et ç, et au moyen de la forme / et de ses covariants, trouve des 
intégrales algébriques de Tcquation (2). Voir la suite au Tume X, p. 48. 

Canior (M.). — [V3, Via]. Éludes gréco-indiennes. (818-842). 

Priorité des Indiens sur les Grecs dans rAritlimélique et l'Algèbre, des Grecs 
sur les Indiens dans l'Astrologie, l'Astronomie et la Géométrie. 



Tomo X; 1H77. 
Milano, tip. Bcrnurdoni; U. Ilocpli, édilcur. 

Casorati {Félix). — [K6i]. Sur les coordonnées des points et 
des droites dans le plan, des points et des droites dans Tei^pace. 
(11-17), (40-45). 

Brioschi {Franc,). — [115/]. Sur certaines é(|uations différen- 
lielles à intégrales algébriques. (48-5-). 

Suite de la Note insérée au Tome I\; 1876, p. 786. Ici l'auteur, après avoir 
trouvé une relation récurrente entre trois covariants associés consécutifs de la 
forme/", examine les cas où / est du deuxième ou du troisième degré, en trou- 



48 SECONDE PARTIE. 

vanl des inlé^rales algébriques des équations (i) et (2). Enfin, il suppose que 
/(^,, z^)^ au lieu d'être une constante, soit égale à une fonction algébrique s (x) 
(racine d'une fonction rationnelle en x). 

Secchi (Le P. ^1.). — [U]. Sur la divisibilité des comètes en 
peliles parties et sur une tache obscure trouvée dans la voie 
lactée. Extrait d'une lettre à M. G.-V. Schiaparelli. (97-99)- 

SchiaparelU (G.-V.). — [U]. Observations de la comète ré- 
cemment découverte par M. Borelli à Marseille la nuit du 8 au 

() février 187-. (i 9.0-1 22). 

Secchi (Le P. A.). — [U]. Sur la comète découverte le 8 fé- 
vrier 1877 par M. Borelli. Extrait d'une lettre à M. G.-V. Schia- 
parelli. (122-123). 

Grassi (G.). — [UIO]. Nouvelle formule barométrique pour la 
mesure des altitudes et pour la réduction des hauteurs baro- 
métriques au niveau de la mer. (i3o-i34). 

Padellctti (Dino). — [Ri a]. Méthode générale pour obtenir 
les diagrammes du mouvement d'un point. (i34-i43). 

Pinclicrle [S.). — [H2c|j]. Sur les équations algébrico-diiréren- 
tiellcs (lu premier ordre et du premier degré îi intégrale géné- 
rale algébrique. ( i ^3-151 ). 

Kqiiiilioii diiït'rciilicUe du picinicr ordre, dont l'inlégralc générale est l\»jn.i- 
li(»n d'un faisceau de eourbes de l'ordre n. 

L'auleur coiiiineiire par déiiionlrcr queltjiics propriétés du faisceau 

(1) (^. — aI!=() 

au moveu de IVrijualion ol)leiiue par l'éliniinalion de X entre (i) et •ii*'^ dérixëc^, 
é<juati()ii ([ui esl la sui\aiUe 

\ (Ix -• n dy --- (». 

V = 0f -Ilf, u -. G '^ -„'''-•, 

()x ox oy vy 

les eourbes A = o, B — o, (jui S(nil de l'ordre in — i et passent par les poiiil'^ 
base"^ du faisceau, ont aus^ii en eoniniun ?.n — 1 points à riniîiii. Les autre>i 
Z{n — r)- points rommuns à ces courbes sont les points doubles <iu faisceau. 

J*uis il sujiposc ({u'étant donnée l'équation difl'érentielle, on sache qu'elle a 
pour inléi^ralo r«'*(|uali<m d'un fai'-ccau, et montre comment on peut la IrouMi. 



REVUE DES PUBLICATIONS. 49 

On peut exprimer par A et par ses dérivées les binômes 

^'^''^- Ox"- ôx' âx'- ôx'' 

entre lesquels il y a le binôme (o, /i) qui est une courbe du faisceau, et par- 
tant une intégrale particulière. On peut semblablement en avoir une autre au 
moyen de B et de ses dérivées, et le problème est résolu. Il y a toutefois un 
cas d^exception, lorsque ces deux intégrales particulières coïncident. Alors on 
peut avoir une autre intégrale H en prenant 



" " *^/S ''•>'' 



G étant celle que Ton avait précédemment trouvée. 

£eltrami (Eug,), — [Toa]. Sur cerlaînes questions d'Electro- 
statique. (171-180). 

Induction produite sur un disque circulaire conducteur par des actions 
données, symétriques autour de Taxe. La méthode suivie par Fauteur pour 
Tétude de cette question est fondée sur un théorème de M. Dini, relatif à la 
fonction potentielle d'un disque elliptique (A/e'm. des Lincei, 2* série, t. II; 
1875). 

La fonction potentielle du disque circulaire de rayon a est 






lû 



étant 

X la racine positive de 5 = o, et la densité superficielle étant 






- » 



avec 






Lcs lignes de force en chaque plan passant par Taxe du disque sont données 
par 



\\=i2T.a}z I :^--^4 = ronsl. 



On peut déterminer la fonction /(s) de manière ({ue la fonction potentielle 
prenne les valeurs d'une fonction donnée 9(1^) aux points du disque; par le 
théorème de Tinvcrsion des intégrales définies, on trouve qu'il suffit de prendre 



5o SECONDE PARTIE. 

pour cela 








Par les formules ainsi établies, l'auteur donne la résolution compléie du pro- 
blème et trouve la fonction potentielle des forces électriques provenant do 
disque, en le supposant en communication avec la terre et influencé par de^ 
forces électriques données, de potentiel P(^, u) symétrique autour de Taxe. Il 
trouve aussi la densité électrique à la surface du disque, et la quantité totale 
d'électricité, autant pour le cas que le disque soit en communication avec U 
terre, que pour celui où il est isolé et possède une charge donnée. Enfin il fait 
Tapplication des résultats obtenus au cas où l'action inductrice provient d'au 
seul point. 

Brusotti (Ferd,). — [Soi']. La vitesse moléculaire des gaz cl la 
vitesse correspondante du son. (209-224). 

Klein (F,), — [A4rfa]. Sur Téquation de Ticosaèdre dans la re- 
solution des équations du cinquième degré. Extrail d'une lellrc 
adressée à M. Briosclii. (253-255). 

Coïncidence de la méthode d'Hormitc avec celle de Kronocker pour la résolu- 
tion des équations du cinquième degré par les fonctions elliptiques. 

Schiaparelli (G.-V.). — [U]. Autres notices et observations sur 
les comètes de i8jj. (256-261). 

Ferrini (li.). — L^'^]* "^"^ ^^ composition la plus convenable de 
rcleclromolcur capable d'un cfl'et donné. (347-352 ). 

Briosc/u (Franc.). — [Fo^o]. Sur une nouvelle équation difTé- 
renlielle dans la théorie des fonctions elliptiques. (4i--4_>r'. 

Kqualion du qualriônio ordre riilr(; le module cl le iiiuUiplicatcur, a\aiil li«u 
quel que soit l'ordre de la traiisforinalioii. 

Casorati {Félix). — [IIScjj]. Noie sur les équations dillercn- 
ticlles. (4ii2-4'^3). 

Autre manière d'établir les propriétés démontrées dans les Aui dei Linrci. 
l. I, p. iH5; mai 1877. Ici Tauteiir prouve aussi que lu condition pour qu'un»* 
expression ternaire dilTérenlielle de dej;ré m, vf</x. r/>% dz) se transforme « n 

binaire f (f/w, dif) par la substitution u --. ^ , v — '-t est que <y et se> lien- 

vées par rapport à dx, dy, dz. jusqu'à l'ordre m — i inelusivciiicnt, «s'annulent 
idenli(j«i( ment en y p«.sant x. j', z au lieu de dx. dv, dz. 



REVUE DES PUBLICATIONS. 5i 

Genocchi (Angelo). — [F56o]. Sur l'équalion différenlielle du 
multiplicateur. (553-555). 

Casorati (Félix). — [H2cp]. Sur les conditions auxquelles doit 
satisfaire une équation afin que le degré de Téquation difle- 
rentielle correspondante par rapport aux variables soit moindre 
que le degré normal. (770-775). 

L'élimination de la constante u entre Téquation 

/( (i> ) = a w"" -f- 6 o)"» -' _f-.,.-j-5a>4-f = o 

et sa diiïérentiellc 

rf/(w)r.o 

donne lieu à une équation difTcrenticlIe F = o relative aux deux variables Uy v^ 
que Ton suppose renfermées dans les fonctions rationnelles et entières a, 6, ..., t. 
Étant n le degré de ces fonctions, celui de F est en général l = m{in — i); 
mais, sous certaines conditions, ce degré de F en u^ v peut s'abaisser, tout en 
restant le même le degré m de F par rapport à du^ dv. L'auteur, en laissant 
de côté le cas où cette réduction pourrait avoir lieu par effet de facteurs ra- 
lionnels communs aux coefficients de F, s'occupe exclusivement de celui où un 
ou plusieurs des groupes de termes des plus hautes dimensions sont identique- 
ment nuls. En indiquant par 

/ /— 1 

F F F 

les parties de F, dont le degré en m, v est respectivement /, / — i, ..., o, les 
conditions cherchées sont : 

/ 
Pour l'abaissement d'une unité F = o, 

/ /-i 

Pour l'abaissement de deux unités ... F = o, F = o, 



On a ainsi des équations diiïérentielles, dont toutefois rinlégration peut être 
éTÎtée de la manière suivante : 

Si, en adoptant une notation analogue à la précédente, un a 

n n — 1 

a = a-\' a -^-.,.-4-a, 

n n — 1 

b =z b -^ b H-...-4- 6, 



posons 



n n — 1 

a^=a-hy a -4-. ..-hj'''a, 

n n — I 

b^ = b-hy b -:-... -h ^"6, 
7 



52 SECONDE PARTIE. 

y étant tuut à fait indépendant des variables ci, v. L'élimination de w entre 
/,(w) = o et sa diiïércnticllc (par rapport à m, v) donne 

/ /-l 

Fy= V -^y K +... 4-/F = o. 

Si p,, pj, . .., p^ sont les racines de fAx) — o, on a 

{JL = m (A = m 

et afin que les /* premières des expressions 

/ /-l 

F V F 

soient identiquement nulles, il faut et il suffit que dans I | la puissance de y 

n 

la moins élevée soit y^. Soient Pp P,, ..., P^ les racines de fy{x) = o, que 
Ton suppose racines simples. Si Tune de ces racines, soit P,, est constante, 

7(p.) = o 

est rintégrale complète de F = o, et Ton a rabaissement d'une unité; si P| est 
racine commune de 

n n — 1 

J{x) — 0, /(J7) = 0, 

rabaissement est de deux unités, et ainsi de suite. Le degré de F peut oncorr 
s'abaisser si une autre racine Pj est constante, etc. Toutefois, uucune des P ne 
peut être racine commune de toutes les équations 

n « — 1 

/— o, / = o /= o, 

ce qui entraînerait révanouisscment identique de 1'. 

n 
Dans \v. cas de racines multiples de /— o, on a les solutions singulières, qui 

sont données par 

h h — \ 

V, -- W, ^ _- II, . . . , *, - - "i 

étant 

h li — \ 

et -^i tr _l_ 1' rr _1_ _i- v'' ^ 

le discriminant de / ( x) = o. 



Tome XI; 1878. 

Jhltrami {Eug.). — [Roa]. Sur certaines propositions de Claii- 
siiis dans la llicorie du potentiel. (i3-?.-). 

KxanKii (le (juclqucs formules de transformation et procédés de déiiionstra- 



REVUE DES PUBLICATIONS. 53 

tion, fondés sur les deux formules : 



ffu'^'^f^rn'^''' 



à'- 






Beltrami (Eug,), — [S2e]. Sur un cas de mouvement à deux 
coordonnées. (199-210). 

Mouvement d'une calotte sphérique dans un voile fluide appartenant à la 
niéme sphère. 

La vitesse des points du fluide suit les lois suivantes : 

1*" Suivant un même parallèle, la valeur absolue de la vitesse est constante; 
cette valeur absolue varie en raison inverse du carré de la distance du point au 
centre de la calotte solide; 

a* Suivant un même méridien, la direction de la vitesse fait un angle constant 
avec le méridien. 

Les trajectoires des points du fluide sont complètement étudiées par Tauteur. 
Le temps eniplo>'é par les points à parcourir leurs trajectoires peut sVxprimer 
par une intégrale elliptique. 

Itardelli (Jos.), — [R le]. Sur la cinématique d'un corps solide. 
(219-233). 

Belgiojoso (Ch,\ — [V9]. Le Père A. Secchi. Commémoration. 

(256-267). 

Pincherle {S.), — [Dla]. Relations entre les coefficients et les 
racines d'une fonction enti(>re transcendante. (391-398). 

Ferrini (^.)- — [^^]- Commémoration du Professeur G. Co- 
dazza. (5o3-5i6). 

Clericetii (C). — [T2f>]. Théorie des systèmes composés 
en général et spécialement des ponts suspendus américains. 
Influence des charges accidentelles. (538-54 {). 

Aschieri {FercL), — [N'lf>]. Diverses générations d'un com- 
plexe particulier du deuxième degré, déterminé par un système 
focal et par un système plan polaire. (Gi2-()2o). 

Beltrami {Eug,}. — [Kor/a]. Sur les fonctions potentielles de 
systèmes symétriques autour d'un axe. (6G8-G80). 



54 SECONDE PARTIE. 

La fonction potentielle V d^un système symétrique par rapport k un axe, et 
la fonction W qui, égalée à une constante arbitraire, représente les lignes de 
force, sont appelées fonctions associées, et liées entre elles par les denx éqaa- 
tions 

— =M~, dW_ ^dV 
au âz* dz du' 

étant u = v^x' ■+■ y^. En interprétant ces équations comme conditions d^inté- 

grabilité, on peut poser autant 

(,) v=Çi, w=-«?. 

dz ou 



que 

•' — — » >Y = --J— » 

u Ou oz 



(.)' v=i^. w=^ 



et exprimer ainsi les V, W par les dérivées d'une seule fonction V, ou W^. Ces 
dernières sont de nouveau deux fonctions associées. Tout cela peut être aussi 
généralisé, en se proposant d'exprimer V et W en fonctions linéaires des dé- 
rivées d'une même fonction U. Ces expressions se déduisent de 

étant t^, w deux solutions particulières simultanées des équations (i). Les (s) 
s'obtiennent d'ici comme cas particulier en prenant 

V = loe - ï w = z; 
u 



les (a)' en prenant 



V =z Zy iv = 



ni 

2 



Les i», w peuvent élre prises pour variables indépendantes, et alors on trouve 
que u satisfait à réquation 

On peut choisir le couple v, <v de variables associées de manière que u soil 
le produit de deux fadeurs dont l'un est de la forme ?(i')» l'autre de la 
forme ^{w). 

Les résultats précédents sont enfin appliqués aux cas des coordonnées po- 
laires. 

Casorali [Félix). — [II2cj3]. Sur Tinlégralion des équations 
algéhrico-difTcrenlielIcs du premier ordre et du premier degré 
au mojen de fonctions linéaires. (8o4-8o8). 

Afin que l'équalion 

a ( j:, y) dx -\- ?{J:, y) dr = o. 



KEVUE DES PUBLICATIONS. 55 

où les fonctions aL{x,y) et ^{Xy y) sont supposées rationnelles enlières de 
degré /i, ait une intégrale 

on doit avoir 

f étant du degré n — i. En égalant les eoefficients des groupes les plus élevés 
dans les deux membres, on a /i + 1 relations, desquelles on déduit une équa- 
tion en X du degré /i + 1. Les égalités entre les autres coeffîcients donnent le 
moyen de calculer en fonction de X la quantité p. et les coefficients de cp, et 
n — I relations en plus. Si Ton veut que ^ soit une intégrale pour chacune des 
/I-+-I valeurs de X, il y a donc (/i — i)(/n-i) conditions k satisfaire. 



Tome XII; 1879. 

Klein {F,), — [F568, A4a]. Sur les équations modulaires. (21- 
a4). 

Beltrami {Eug.). — [M- 3c]. Sur Téqualion pentaédrale des sur- 
faces du troisième ordre. (24-36). 

Étant 

une fonction rationnelle entière de troisième degré en X, et F(X) = o une 
équation rationnelle entière du onzième degré, dont les racines soient X,, ..., X^,, 
nous avons 



1 



k=l 



= 0; 



en prenant F(X) = y(X) 4'(^)> avec 

9(X) = a (X — «,)...( X — flj), 

^(X) = 6(X-i^,)...(X-6J, 

il est 

s 



où 



n* ^' / ^ \ .1. / x> \ * P» 



?'(««) ^(««.) ^^ 9iàJ^'{bJ 



En supposant que />, q^ r, s soient des fonctions linéaires des coordonnées 
d'on point de Tespace, on peut toujours les déterminer de façon que [X] = o 
représente, pour six valeurs distinctes de X, six plans donnés arbitrairement. 



56 SECONDE PAUTIE. 

Kn les déterminant de manière que les équations 

représentent les six faces d'un hexaèdre de Crcmona, Téquation 

6 



2] ?»(*.] = '> 



est celle d'une surface du troisième ordre. L'identité (i) donne le moyen d*ob- 
tenir Téquation pcntaédrale de la même surface 



^««.[«...r=='>' 



1 

les a^ étant déterminées comme racines de Tcquation du cinquième dcgré 

6 

1 

Pour mieux reconnaître les relations entre les hexaèdres, qui sont en nombre 
infini, Tauteur part de Féquation pcntaédrale 

s 

1 

5 



avrc ^ ",„ ~ ^>» <'t. prend 



1 



f A ] - ( A — <'/, ) . . . ( A — <7. ) V - ^^ ~ ; 



_ A — ^/ . 
1 



ainsi on drdiiil l<'s étiiialions iicxaédralcs 

1 
eu |)iM'uaiit poiii" /;„ les i-acinrs dr IVMjualion du sivit'mc (lej;n» 



^A„.(A-r/ ; 



jiT <'l h (lant cniislaiilcs arbilrairos. cl 9(X ) — ( a — a, ). . . ( a — </ ); puis nrr- 
liant 



•;(>..) = ( A-^,)...(A-A^). 
I 



'4 



rl^.)v(^J 



REVUE DES PUBLICATIONS. 5; 

Tous ces hexaèdres sont inscrits dans la hessienne et les sommets opposés de 
chacun soot des. pôles réciproques de cette surface. 

Suivent d'autres propriétés relatives aux quadriques polaires et obtenues 
par la même méthode. 

Casorati (Félix). — [026]. Nouvelle et meilleure forme des 
équations des asymptotes d'une ligne plane algébrique. (117* 
122). 

Si 

est une courbe algébrique de Tordre /i, et si Ton indique par u^ le groupe de 
termes d'ordre r, Téquation 

du^ du. ,« . 

donne successivement toutes les asymptotes en y mettant pour X : jx les /i valeurs 
données par 

Celoria (C). — [UIO]. Détermination des différences de longi- 
tude entre l'Observatoire de Milan et ceux de Padoue, de Mu- 
nich et de Vienne. (124-127). 

Jung (Jos.). — [P2rt]. Recherches sur les systèmes polaires. 
(169-179). Note II. (218-228). 

Voir les additions à la page 535. 

Ascoli (G,). — [C2]. Un théorème de Calcul intégral. (2i5-2i8). 

Aschieri (Ferd.). — [P6ref.N]. Sur la représentation de l'es- 
pace de rayons par un système de coniques dans un plan. (205- 
a68). 

Le système de coniques est celui des coniques circonscrites aux triangles 
circonscrits à une conique fixe. Cette représentation avait été indiquée par 
M. Cremona dans une lettre à Beltrami {Giornale di Battaglini, t. XI). Ici 
sont exposés quelques résultats sans démonstrations. Voir la suile à la page 34 1* 

Clericetti (C). — [Ï26]. Ponts suspendus rigides. (274-290). 

Bardelli (Jos.), — [08a]. Sur Taire décrite par une ligne inva- 
riable se mouvant dans un plan avec une loi déterminée. (290- 
298). 
/?«//. des Sciences matliéin.^ 3* série, t. XWI. (Avril 190a.) R.5 



->H SliCONDK PAUTIK. 

CrolU{Franç.). — [S4a]. Démonstration mécanique du deuxième 
principe de Thermodynamique. (333-33^). 

Ascoli {G,). — [G2]. Sur les fonctions dont la dérivée première 
appartient à la classe zéro. (337-34 1). 

Aschieri (Ferd.), — [PGrcf.N]. Représentation plane des com- 
plexes linéaires et de leurs intersections. (3^ 1-347). 

Suite de la Noie insérée à la pa^c a6ô. 

Cremona (Louis), — [M' 5]. Sur les surfaces et les courbes pas- 
sant par les sommets d^un nombre infini de polyèdres formés 
par les plans osculaleurs d'une cubique gauche. (347-352). 

Soient 

/, — o, /j = o, . . . , /^^2 = o 

les équations de n -î- -i plans osculaleurs d'une cubique gauche. rc't|ualiuu 



V 



A 






•••- =0 



représente une surface d ordre n passant par les = soiuincts du 

polyèdre coniplct formé par ros plans. Si cette surface passe par trois sommet* 
d'un lélraè<lrc rirconscril à la cubique, elle passera aussi par le quatri«-nii'. 
C<"lte profniélé peut aus^i élrc étendue à l'espace de m dimensions. Suit l'inili- 
calion d'une corrcspoiidance entre les points de l'espace ordinaire et les *;ii>up«"s 
de trois plans oscillateurs, par laiiucUe on fait correspondre à un point les tr«>i> 
plans osculaleurs passant par lui, et dont les formules sont 

x :.>' : znv =■ WjWjW^ : 0), Wj-h w^Wj-i- ^ù^i^i., '. w,-+- to^ H- 1O3 : I. 

Ascoli (G.). — [C2//]. Sur le produit de plusieurs fonctions inlê- 
grablcs et finies. (372-374)- 

Asc/tieri (Fcrd.). — [tN' \c]. Sur les systèmes de rayons. (4o«^- 
4 i *^^ ) • 

Ih'ltraini {Fug.). — [DO/]. Sur une formule intégrale. (4ii- 
426). 



/^"(^-cos:v/.-^^rr/;= f 



do 



,/, {z -4-Cos?\/----i) 



«-+ 1 



Aschiri'i [Ferd.). — |N'iA]. Sur les complexes Ictracdraux. 



( \>(\-\:i\K 



REVDE DES PUBLICATIONS. 69 

Bardelli (Jos.). — [R4a]. Sur le centre des forces dans le plan. 
(456-463). 

Brioschi {Franc.). — [J4a]. Un théorème dans la théorie des 
substitutions. (483-485). 

Une subslitution entre ics éléments 



'0» '•p • • • » ^n—\ 



peut être représentée par 



f ^'1 

L ^9(r) A 



f 



OU même par 9(r), et la fonction 9(r) peut se réduire à la forme 

çp(r) = «0(r -4- />)-+- p (niod/i), 

où a = I, 2, ..., « — I, et/?, p peuvent prendre les valeurs i, 3, . . ., /i — i. La 
forme réduite 6(r) est un pol3'nome de degré non supérieur à /i — 2, dont le 
ctH-nicient du premier terme est l'unité, et celui du deuxième est zéro. L'auteur 
démontre que la forme réduite 

n — I 

6 ( r ) = /•"-= -+-«/•* 4- br ( mod n ) 
ne peut avoir lieu que pour n = 7, et alors b = 3a^(mod7). 

Jung (Jos.). — [P2rt]. Additions aux Noies précédentes sur les 
systèmes polaires. (535-536). 

Voir les Notes aux pages 169 et 218. 

Pincherle (5.). — [H 116]. Sur les fonctions monodromes ayant 
une équation caractéristique. (536-542). 

Une fonction monodrome est supposée assujettie à la condition suivante : que 
si la variable x prend trois valeurs Xp j?,, ^r, liées par la relation 

a^x^x^x^-\- a^XnX^-\- aiXyX^+ a-^x^x^-^- a', a:, -h ala^j-f- a\x^-^ a',= o, 

les valeurs correspondantes y^. y^^ y^ «le la fonction soient liées par une équa- 
tion algébrique 

Les fonctions ayant cette propriété, en ne considérant pas les fonctions ra- 
tionnelles, peuvent se réduire, par une transformation linéaire de la variable, 
ou à des fonctions périodiques ou à des fonctions satisfaisant ù Téquation fonc- 
tionnelle 

r(-) = r(»-)- 



r,o SECONDE PARTIE. 

SehtaparelU (G.-V.). — [U]. Observations de la comèle de 
Swift faites à TObservatoire royal de Brera. (SgS-SgG). 

Klein (F.). — [Fo]. Sur la transformation du 1 1* ordre des 

fonctions elliptiques. (69.9-632). 



Tome XIII : 1 880. 

Grassi {G.), — [Tic]. Sur la transmission de la chaleur entre 
deux iluides en mouvement, séparés par une paroi solide. (47' 

52). 

Bardelli (Jos.). — [03]« Sur certaines relations géométriques 
et mécaniques concernant les courbes gauches. (52-58). 

Nouvelle démonsiration de quelques propriétés établies par Siacci [Sur le 
mouvement par une courbe gauche {AUi de TuriOy t. XIV, 1879)]. ^^s démon- 
strations sont fondées sur les relations qui passent entre les coefficients d*iine 
substitution orthogonale et leurs dérivées par rapport à un paramètre. ( Voir 
Baudelli, liend. d. Ist. Lomb., t. IX, 1876.) 

Casorati {Félix). — [//-4a]. Sur Téqualion fondamentale dans 
la théorie des équations difTérenlielles linéaires. (i^(i-i82). 

Ct^llc Noie se rallarhr aux recliorches de Fuchs (Journ. de Dorchardt. 

t. i;i;). Soit 

Irqiialinn donnéo. où les/?, sont des fonctions de x, finies, continues et mono- 
Iropcs (lan'i un anneau circulaire avant pour centre l'un quelconque x, des 
j)oints «ini^ulicrs tic ['«'"qualion. Scmi by la valeur que prend la fonction v après 
un tour positif enveloppant le point x^. Soit ,rp ^%, ..., v„ un svslèinc fon- 
(ianienlal <l'intcjiralcs de (i). rétjualion 



(->) 



• »r» 



Or, — (.)!•,, ..., r,^ — tu y 

f) v' f,i y' (o' î' )'' — w r' , — tu' r 

a pour inlcjîiale |;ciiéralc 

Va\ M|.v(^^;,|ll que rccpialion (j) est f.ali>failc pour de> valeurs conslanlt* 



= n 



REVUE DES PUBLKUTIONS. 6i 

de Cil, on en déduit Téquation fondamentale en y faisant 

«'= 10' = ...= coî^-Ozr o. 

Cette équation est du degré m en u et ses racines sont indépendantes de x. Le 
produit des racines est 

■ 

b^ étant le coefficient de dans le développement de /?, suivant les puis- 

sances de x — a:,. 

Une autre manière de déduire Téquation fondamentale est la suivante. L^équa- 
tioa (i) étant décomposée dans le produit symbolique 

(D-4-?«)(D + »^_,)...(D4-o,)y = 0, 

où D est le symbole de dérivation et les cp sont monotropes dans Tanneau cir- 
culaire , Téquation fondamentale cherchée est le produit des équations fonda- 
mentales des équations du premier ordre 

Aschieri (Ferd,). — [Piref.N* l/i,y]. Représentation sur l'es- 
pace de points de quelques formes de troisième espèce com- 
posées de rayons. (182- 191). 

Représentation des complexes formés par les rayons qui s'appuient aux 
rayons correspondants de deux formes projectivcs de première espèce, en sup- 
posant que ces dernières soient : 

I* Deux faisceaux non situés dans un même plan ; 
2* Un faisceau et une série réglée; 
3* Deux séries réglées; 

ce qui donne naissance respectivement au complexe tctracdral, à un complexe 
cubique, et à un complexe biquadratique. 

Paci (P.). — [S2a]. Sur une transformation des équations fon- 
damentales de l'Hydrodynamique. (209-217). 

L'auteur prend pour axe des z la tangente à la ligne de mouvement dans le 
point considéré, pour axes des x et des y les tangentes aux lignes de courbure 
de la surface de déplacement, c'est-à-dire de la surface normale à la direction 
du mouvement. Ensuite il applique les équations ainsi transformées au pro- 
blème de la propagation du son dans un tuyau vertical, et à celui de la propa- 
gation dans l'atmosphère du son produit par les vibrations d'un point. 

Jung {Jos.). — [R4rfa ref.J2e]. Solution géomécanique de 
quelques problèmes d'interpolation. (226-238). 



G2 SECONDE PARTIE. 

Jung (Jos.). — [R4rfaref.J2e]. Compensation des erreurs pro- 
porlionnelles pour un système donné d'observations directes. 

(239-242). 

Formenti (C). — [R7c]. Sur le problème des tautochrones. 

(266-280). 

Les expressions générales de la force tangenlielle p et de Tare s en fonction 
de la vitesse v au temps t et de la vitesse v^ au point d'arrivée, sont 






Ferrini (It.), — [T3a]. Sur l'aberration de sphéricité dans les 
lentilles d'épaisseur et d'ouverture ordinaires, et dans les sys- 
tèmes dioptriques centrés. (288-294), (36i-374)- 

Bcltrami {Eug,), — [C2A réf. D lf>o]. Sur un théorème d'Abel 
et sur quelques-unes de ses applications. (327-33^). 

De la relation 

f 9 (rsinO) ^/O - '^(r) 
• 

«)!) ilédiiil l'autre 

/ ■^{r)cir-- I «yf /• siriO) sii»0 rfO. 

cl réciprociurmcnl. C'est en cela (pie consiste la vraie si^nifiration d'un Ujé«»rênie 
donné par Abel {ÛfiUK'res, t. 1. p. -^7) et (jue Bellrami a ainsi présenté sous une 
forme plus convenable à certaines applications. Il rappli(iiic à la résolution d'un 
problème concernant les foncli<ms c\ lindriques, cl qui peut ^'Irc repartie roinnw 
réciproque d'un autre résolu par Scblomib h. Ce dernier, au movcn des forniulo> 



»7: 

c(.s(^sine) rfO "rl„(x), 

1 «.' Il 

(0 



\r 

< 

/ / sin (^sine) sin6</0 - 'rl,(x), 

et du théorème d'Abel, a cdilenu le dévelopi)enient d'une fonetion en série t\v 
lonctions cvlindri(|ues ; l'auteur, au moyen de la proposition précédente, ileduil 



REVUE DES PUBLICATIONS. 63 

des équations (i) les formules 

f i„(xsiiie)sinerfe= ^^^, 
(2) 



/ I,(j?sine)</e = , 

et par ces formules il obtient le développement d'une fonction en série trigono- 
métrique avec les arguments 



' • • • • < 



v,, 1^2, l'j, ... étant les racines positives d'une des équations transcendantes 

I,(x) = o, V^{x) = o, i;(a:) = o. 

Maggi {J>'Ant,), — [T5a]. Sur un problème d'Electrostatique. 
(384-390). 

Béltrami (Eug,). — [D168]. Sur certaines séries Irigonomé- 
iriques. (4o2-4i3). 

Suite de la Note précédente. I«.'i l'auteur détermine les multiplicateurs par 
lesquels on peut séparer les coefficients des développements trigonométriques 
considérés. 

Bertini {Eug,), — [P4/]. Sur les transformations planes uni- 
pohctuelles et en particulier sur les transformations involutives. 

(443-451). 

Propriétés relatives à la multiplicité des points fondamentaux pour les courbes 
fondamentales dans une transformation uniponctuelle. Pour les transformations 
involutives, Pauteur obtient le résultat suivant : 

Une transformation involutive, dont les points fondamentaux sont à des dis- 
taoces finies, peut toujours se réduire à un ordre inférieur par une transfor- 
mation quadratique, excepté les cas suivants : 

I* liomologic harmonique; 

2" Transformation involutive de Jonquières d'ordre p -h 2 ayant une courbe 
de points unis d'ordre /> -+- 2 et de genre p) 

3" Transformation involutive du huitième ordre avec sept points triples; 

4* Transformation involutive du dix-septième ordre avec huit points sex- 
tuples. 

Aschieri (Fercl.), — l'^^«?^J* Sur une correspondance parlicu- 



G4 SECONDE PARTIE. 

lière univoque en Ire les éléments d^espaces à trois dimen- 
sions. (SSi-SSg). 

Représentation sur Tcspacc ordinaire de points, du complexe quadratique 
intersection de deux faisceaux projectifs de complexes linéaires. 

S. R. 



CATALOGUE INTERNATIONAL DE LA LITTÉRATURE 

SCIENTIFIQUE (»). 



A. MATHÉMATIQUES PURES. 

0000 Philosophie. 

0010 Histoire. Biographie. 

00*20 Périodiques. Rapports dlnstitutions, de Sociétés, de Congres, etc. 

0030 Traités généraux. Manuels, Dictionnaires, Bibliographies, Tables. 

0040 l)is<'()urs, Leçons et Conférences. 

0050 Enseignement. 

OOGO Inslilulions. Applications pratiques. 

0070 Xomcnelalure. 

0080 Inslrunienls, Modèles. 

0000 Appareils pour les calculs. Procédés ;jrjipliiques. 



NOTIONS FONI)AMKNT.\LES. 



Bases de 1* Arithmétique. 

0400 Généralité?. 

0410 Nombres rationnels. Opérations arithmétiques. 

0420 Existence des nombres irrationnels et transcendants. Procédés infinis se 

rapportant aux nombres rationnels. 
0i30 Ensembles. 



(') Nous crc)}ons devoir reproduire ici la partie de ce Catalogue qui se rap- 
porte auv Mathématiques pures et à la Mécanique, d'autant que nous comptons 
utiliser à l'occasion le mode de classification qui s'y trouve défini. 



HlîVUfi DES PUBLICATIONS. 65 

Algèbre générale. 

0800 Généralilës. 
0810 Calcul des opérations. 
08W Théorie générale des nombres complexes. 
0830 Quaternions. 

O840 Ausdehnungslehre (théorie de l'extension de Grassmann); analyse vecto- 
rielle {voir aussi 6430). 
0850 Matrices. 

0860 Autres genres spéciaux de nombres complexes. 
0870 Algèbre de la logique. 

Théorie des groupes. 

1200 Généralités. 

1210 Groupes discrets d'ordre fini (y compris les groupes de permutations) (voir 

aussi 2450). 
1220 Groupes discrets d'ordre infini {voir aussi 4440). 
1230 Groupes continus d'ordre fini {voir aussi 5240). 
1240 Groupes continus d'ordre infini {voir aussi 5240). 



ALGEBRE ET THEORIE DES NOMBRES. 



Éléments de r Algèbre. 

IGOO Généralités. 

1610 Pol}iiomes rationnels; divisibilité; réductibilité. 

1G20 Permutations; combinaisons; partitions; distributions. 

1030 Probabilités (y comprises les combinaisons des observations). 

1640 Calcul desdifTérences; interpolation. 

Substitutions linéaires. 

2000 Généralités. 

2010 Déterminants. 

2020 Discriminants et résultants. 

2030 Propriétés caractéristiques des substitutions linéaires; types de substitutions 

linéaires. 
2O40 Théorie générale des quan tiques (formes). 
2050 Formes binaires. 
2060 Formes ternaires. 
2O70 Cas particuliers se rapportant aux formes de plus de trois variables. 

Théorie des équations algébriques. 

2400 Généralités. 

2410 Éléments de la théorie; existence de racines; fonctions symétriques; frac- 
tions rationnelles. 



Gr> SËCONDK PARTIE. 

2120 Kéalilé, muUipiicilé el séparation des racines. 

2430 Équations de troisième et de quatrième ordre; latres équittoas particv- 

lièrcs. 
2440 Résolution numérique des équations. 

2450 Résolution générale des équations; théorie de Gilois (vorVavMÎ tSlO). 
24G0 Équations simultanées. 

Théorie des nombres. 

2800 Généralités. 

2810 Divisibilité; congruences linéaires. 

2820 Résidus quadratiques. 

2830 Formes binaires quadratiques. 

2840 Formes quadratiques à trois ou un plus grand nombre de Tarîables; formes 

bilinéaires. 
2850 Congruences non linéaires; résidus cubiques et dWdre supérieur. 
2860 Formes d'un degré supérieur qu'on ne peut pas considérer comme produits 

de facteurs linéaires. 
2870 Formes d'un degré supérieur qui peuvent être considérées comme produits 

de facteurs linéaires; nombres algébriques idéaux. 
2880 Application des fonctions trigonométriques k TArithmétique; cyclotomie. 
28iK) Application d'autres fonctions transcendantes k TArithmétique. 
2900 Distribution des nombres premiers. 
20 10 Fonctions numériques spéciales. 
21^20 Irrationnalité et transcendance de nombres particuliers tels que e et ?:. 

( Pour applications des fonctions arithmétiques aux fonctions algébriques, 

t^)ir 4010.) 

ANAhVSK. 



Bases de l'Analyse. 

X^\{) Thoorics »lr> fiïiirlions de variables réelles. 

;i.*»U >onrs*. produits inlinis ri autres procédés infinis {voir 5610-5620). 

;i;*»U) Principes el élômonts du Calcul différenliel. 

3 MO Soi irs t\v TaUor; maxima et minima; autres applications analytiques du 

l'.alrul difforoiUirl. 
3».'»0 Priut ipo> ot éléments du Calcul intégral. 
3'»r»() Inio^ralos «lolînios (simples). 
;»?ro lmej:rale^ nuiltipUs. 
;i.\'^0 r,«l« ul do> NariatitMi*. 

Théorie des fonctions de variables complexes. 

MAO loiK tioM^ iniifornn> «runr >in"i;il»lr. 

M\l\\ Ininti»»!)"» nniIlil'Miiu'^ «ruiu- xariabU*. Surfiicc> de Kieiiianii. 



KBVUB DBS PUBLICATIONS. 67 

3630 Dvveloppemenls en série procédant suivant des fonctions autres que les 

puissances de la variable. 
3610 Fonctions de plusieurs variables. 

Fonctions algébriques et leurs intégrales. 

40OO Généralités. 

4010 Fonctions algébriques d'une variable. 

4020 Fonctions algébriques de plusieurs variables. 

4030 Fonctions logarithmiques, circulaires, exponentielles. 

4040 Propriétés générales des fonctions elliptiques et des fonctions thôta d'une 

variable; théorèmes d'addition {voir aussi 8050, 80G0). 
4050 Multiplication, division, transformation des fonctions elliptiques; fonctions 

modulaires (voir aussi 4410). 
4060 Intégrales abéliennes {voir aussi 8050, 8060). 
4070 Fonctions périodiques et fonctions thêta de plusieurs variables. 

Autres fonctions spéciales. 

4400 Généralités. 

4410 Fonctions culériennes. 

44^0 Fonctions de Legendre; fonctions de Bessel; fonctions hypergéométriques. 

4430 Autres fonctions qui peuvent être définies par des intégrales définies {voir 

48(Î0). 
4440 Fonctions automorphes (fonctions fuchsiennes et kleinéennes) {voir aussi 

1220, 4050). 
4450 Autres fonctions qui peuvent être définies par dos équations diiïérentiellos 

linéaires. 
44G0 Autres fonctions qui peuvent être définies par des étiuations fonctionnelles 

{voir aussi G030). 

Équations différentielles. 

4800 Généralités. 

4810 Théorèmes d'existence pour les équations dilTérenliolles ordinaires et par- 
tielles. 

4820 Méthodes de résolution et de réduction des équations diiïcrentielles ordi- 
naires. 

4830 Méthodes de résolution et de réduction des équations diiïérentielles par- 
tielles de premier ordre (y compris les équations diiïérentielles de la 
Dynamique théorique). 

4840 Méthodes de résolution et de réduction dos équations diiïérentielles par- 
tielles de second ordre et d'ordres supérieurs. 

4850 Théorie générale des équations ordinaires linéaires {voir aussi 4450). 

4860 Intégration dos équations ordinaires linéaires par les intégrales définies 
{voir aussi 4430). 

4870 Théorie générale des équations ordinaires non linéaires du premier ordre. 

4880 Théorie générale des équations ordinaires non linéaires d'ordre supérieur au 
premier. 



68 SECONDE PARTIE. 

Formes différentielles et ixiTariants différentiels. 

5200 Généralités. 

5ÎI0 Formes linéaires différenliclles; Ffaffiens. 

5220 Formes dilTércnlielles de second ordre et d'ordres supérieurs. 

5230 Transformation des formes différentiel les, y compris les iransformalioo» 

tangentielles. 
5210 Invariants différentiels (roiV aussi 1230, 1240). 

Méthodes analytiques se rapportant aux problèmes physiques. 

5600 Généralités {voir aussi B 2000-2100, 3220). 

5610 Analyse harmonique; séries de Fourier {voir aussi 3220). 

5620 Analyse harmonique; séries autres que celles de Fourier {voir aussi 3220). 

5630 Généralités sur les équations différentielles de la Physique mathématique 

{voir aussi B 2020). 
5610 Intégration des équations différentielles de la Physique mathématique par 

séries. 
5650 Intégration des équations différentielles de la Physique matliématique par 

les intégrales définies. 
5660 Problême de Dirichlet et problèmes analogues dépendant des conditions aux 

limites ( Randwcrthaufgabcn ). 

Équations de différence et équations fonctionnelles. 

0000 riéncralités. 

6010 Séries reçu rron 1rs. 

0020 Solution dva équations aux dilTércnces finies. 

6030 Solution des é<|nalions fonctionnelles (voir aussi 1160). 



(; K () M K T n I E . 



Principes. 

G'iOO Ciénéralités. 

GllO Principes do la (•éométric; Ciéométrie non-eurlidienne ; liypcrespare. 

6120 Topologic <lc Tespaco et de Thyperespace ( Anal>sis situs). 

6130 Méthodes de la riéoniélrie analyti(]ue {voir aussi 08-10). 

Géométrie élémentaire. 

r.80O r.énéralilés. 

0810 Planimétrie; lijînr<; droites et rirculaires. 

6820 Sléréoniélrie; lignes droites; surfaces et sphères. 

f»830 Triponométric. 

f)8iO (iconirtrie descriptive ; perspective. 



REVUE DES PUBLICATIONS. Ùi) 



Géométrie deg coniques et des quadxiques. 

7200 Généralités. 

7^10 Propriétés métriques des coniques. 

72t!0 Propriétés projectives des coniques. 

7230 Systèmes de coniques {voir aussi 8070). 

7240 Propriétés métriques des surfaces quadriques. 

7250 Propriétés projectives des surfaces quadriques. 

7260 Systèmes de surfaces quadriques {voir aussi 8070). 

Courbes algébriques et surfaces de degré supérieur au second. 

7600 Généralités. 

76t0 Propriétés métriques des courbes planes algébriques de degré supérieur au 

second. 
7620 Propriétés projectives des courbes planes algébriques de degré supérieur au 

second. 
7630 Courbes planes algébriques spéciales. 

7640 Surfaces algébriques de degré supérieur au second (voir aussi 8040). 
7650 Surfaces algébriques spéciales. 
7660 Courbes algébriques gauches (vo/r aussi 8030). 



Transformations et méthodes générales concernant les configurations 

algébriques. 

8000 Généralités. 

8010 CoUinéation ; dualité. 

8020 Autres transformations algébriques. 

8O30 Groupes de points sur une courbe algébrique; genre des courbes; principes 
de correspondance {voir aussi 7C20, 7660). 

8040 Groupes de courbes et de points sur une surface algébrique; genres des sur- 
faces {voir aussi 7640). 

8050 Application des fonctions transcendantes aux courbes algébriques (vo/r aussi 
4040-4060). 

8060 Application des fonctions transcendantes aux surfaces algébriques (voir aussi 
4040-4060). 

8O70 Géométrie énumérative {voir aussi 7230-7260). 

8O80 Connexes; complexes; congruenccs; éléments supérieurs de Tespacc. 

8090 Systèmes (linéaires et non-linéaires) de courbes et de surfaces. 

8100 Configurations algébriques dans Thyperespacc. 

Géométrie infinitésimale; applications du Calcul différentiel 
et du Calcul intégral à la Géométrie. 

8400 Généralités. 

8410 Principes de la Géométrie infinitésimale. 
84^ Géométrie cinématique. 

8430 Courbure des courbes planes; autres applications du Calcul différentiel aux 
courbes planes. 



70 SËCONDlî PAUTIË. 

8i40 Courbure des courbes gauches; aulres applications du Calcul différentiel aui 

rourbes gauches. 
8150 Courbure des surfaces; coordonnées curvilignes et autres app!icationf( d« 

Calcul diiïérentiel aux surfaces. 
84G0 Rectificalion et quadrature des courbes; aires et volumes des surfaces. 
8470 Courbes transcendantes spéciales. 
8480 Surfaces transcendantes spéciales. 
8400 Configurations dans Phypcrespace et éléments supérieurs de i'h^'percspace. 



Géométrie différentielle; application des équations différentiellef 

à la Géométrie. 

8800 Généralités. 

8810 Détermination des courbes sur les surfaces. 

88^0 Surfaces mininia. 

8830 Surfaces déterminées par des relations de courbure et par d'autres pro- 
priétés différentielles. 

8840 Ueprésentatioiis conformes et autres des surfaces les unes sur les aulres 
(renvf»i à la Géographie mat/iématique, J 70-95). 

8850 Déformation des surfaces. 

8860 Surfaces t)rtliojî(»nales et isothermes. 

8870 Configuration dans rinperespace et éléments supérieurs de l'Iiypcrcspace. 



B. MÉCANIQUE. 



fHXX) IMiilosopi.ie. 

0010 Ilisloiec. Biographie. 

00*20 Pcri(>di(|U('s. Happons d'Instiliitions, dr Sociétés-, de Conj;rôs, et«'. 

0030 Traites généraux. Manuels, Diriionnaircs, Bibliographies, Tables. 

OOiO Discours. Cours et Coiifércurcs. 

0050 Ensei^ncriient. 

0(K)0 Irislitulions, Musées, Collections. Applications pratiques. 

tX)70 Nomenclature. 



Mesure des quantités dynamiques. 

OIOO C.énéralilés. 

01 U) Unités et dimension^.. 

01*20 Mesure «les longueurs, <les aires, des volumes, des angles. 

0130 Mesure des masses et de la densité. 

Ol4() Valeur numérique des densités {loir aussi I> TKH)). 

Ol.')!) Mesure du temps; <lironomèlres {voir aussi K *I0O). 

0U)0 Mesure de la >itesse, de laccélération. de l'énergie du rnctuvoirient \isiMe. 

0170 Me>^ure des forces; balance à ressort d} nann)métri<|ue ; balance de t<>i>ioii, clç 

( roir aussi K ."ilOO). 
OlSO C"nsi.mii- de la i:ra\ilalion ( co//- aus>i K lOÔO. ôKM); J 10,. 



REVUE DES PUBLICATIONS. 71 



Géométrie et cinématique des points matériels et des corps solides. 

O4O0 Généralités. 

0410 Géométrie des masses; moments d'inertie. 

0420 Cinématique pure, y comprise la composition des mouvements et des dépla- 
cements; mouvements relatifs, axes mobiles; théorie des vis (scrcws). 
0430 Cinématique des machines. 
0440 Analyse des déformations, infinitésimales et finies. 



Principes de Mécanique rationnelle. 

O8O0 Généralités. 

08 10 Espace; temps; mouvement relatif; discussions critiques. 
08*20 L<»is et principes dynamiques (lois du mouvement, du travail virtuel, do la 
moindre action, etc.). 



Statique des points matériels, des corps rigides, etc. 

1*200 Généralités. 

1*210 Composition et décomposition des forces appliquées à un |>oiiit. 
1220 Attractions. Théorie du potentiel. 
1230 Attractions de. systèmes spéciaux. Ellipsoïdes, etc. 

1240 Statique d'un corps rigide et d'un système de corps rigides; systèmes asia- 
tiques. 
1250 Statique des charpentes; Statique graphique. 
1260 Statique des fils et surfaces flexibles. 
1270 Stabilité de Téquilibre. 

Dynamique des points matériels, des corps rigides, etc. 

1600 Généralités. 

1610 Dynamique des points matériels; orbite; mouvement contraint (liaison); 
milieux résistants. 

1G20 Dynamique des corps rigides (y compris percussion, mouvements initiaux 
produits par la suppression brusque d'une liaison). 

1C30 Dynamique des fils et surfaces flexibles. 

16i0 Systèmes spéciaux; pendule; toupie, gyroscope, bicyclette, appareils direc- 
teurs. 

1650 Balistique {voir aussi 2860). 

Mécanique analytique générale. 
{voir aussi A 5600-5C50). 

2000 Généralités. 

2010 Énergie cinétique et potentielle. 

2020 Forme des équations dilTcrcnticlles (y compris les systèmes dissi])alif>) 
{voir aussi A 5G30). 



7ji SECONDlî PAHTIE. 

2030 Applications de la première variation des intégrales; équations aux dérÎTéfs 

partielles. 
2040 Équivalence des problèmes dynamiques; analogies dynamiques; modèles. 
2050 Systèmes cycliques; auto-équivalence (self-équivalence). 
2060 Propriétés des intégrales; relations réciproques; solutions périodiques. 
2070 Méthode pour la détermination effective des intégrales exactes. 
2080 Méthodes approchées. 

2090 Oscillations et mouvements initiaux autour d'un état d*équilibre. 
2100 Oscillations autour d'un état de mouvement; stabilité et instabilité) foyers 

cinétiques (kinctic foci ). 

Statique et dynamique des fluides. 

2400 Généralités. 

2410 Statique des fluides. 

2420 Stabilité des corps flottants. Oscillations des corps flottants. 

2430 Cinématique des fluides; mouvement irrotationnel; sources et points d'ab- 
sorption. 

2440 Mouvement des corps solides dans les fluides parfaits. 

2450 Mouvement tourbillonnaire; tourbillons {voir aussi C 0500). 

2460 Surfaces libres et surfaces de discontinuité; veines. 

2470 Rotation d'une masse fluide soumise à la gravitation {voir aussi E IGOOV 

2480 Vagues sur les liquides. 

2490 Mouvement des fluides visqueux. 

2500 Mouvement des solides dans les fluides visqueux. 

2510 Flux régulier des fluides visqueux dans les tubes, etc. 

2520 Stabilité cl instabilité du mcmvcnient des fluides parfaits et visqueux: mou- 
vements irréguliers. 

2530 Mesure do la pression d'un fluide; incsuro de la vitesse d'un fluide. 

25i0 Mosnre de la viscosité (voir aussi 1) 7150). 

Hydraulique et résistance des fluides. 

2800 lu'oulcmeut des fluidos dans les tuyaux. 

2810 Mouvement de l'ciu dans les canaux et dans les cours d'eau. Jaugeage. 

2820 Moteurs hydraulicjues; propulseurs; pompes. 

2830 Mf>uvonient du vont; moulins à vent {voir aussi F I3G0). 

2840 Énergie du vont; aéroi)lanes; vol; élan initial. 

2850 Résistance des carènes; navigation. 

28G0 Mouvcrnonl à travers l'air; ballons; boulet; etc. {voir aussi 1650). 

Élasticité. 

3200 r.énéralilés. 

3'210 Tensions et déformations, leurs relations. Energie de défornnation. Ani>o- 

Iropie. Cristaux {voir aussi Cristallographie et COiOO). 
3220 Ftpiations de déformation et do mouvement élastique; solutions générales: 

snlniions spéciales; vibrations {voir aussi C 9100). 
3230 Torsion et. ll<'\ion dos prisme. 
32iO Tij;rs oi Dis élastiques ; rcssortï'. 



HEVUE DES PUBLICATIONS. 73 

3*2^0 Plaques et cloches élastiques. 
3260 Choc et résistance dynamique; charges mobiles. 
3270 Stabilité des systèmes élastiques. 

3280 Principes de construction, y comprises les formules approchées pour la résis- 
tance des matériaux. 
3290 Détermination expérimentale des constantes élastiques. 

Rérâtance des matériaux, dureté, frottement, viscosité, lubrification. 

3600 Généralités. 

3610 Élasticité imparfaite; limites de lelasticité. 

3620 Déformation ; conditions de rupture. 

3630 Déformation permanente (after-strain). Fatigue de l'élasticité. 

3640 Dureté. Frottement entre solides; abrasion. 

3650 Viscosité; plasticité; ductilité; malléabilité; etc. 

3660 Poussées des terres et du sable. 

3670 Lubrification. 



COMPTES RENDUS hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, 
par MM. les Secrétaires perpétuels. 

Tome CXXXII; 1901. 



Picard {E,). — Sur les intégrales de différentielles totales de 
troisième espèce dans la théorie des fonctions algébriques de 
deux variables. (18-19). 

A 4020 8060 

JUinkowski {H ,), — Sur les surfaces fermées. (21-9.4)- 
A 3280 8460 

Diiport (H,). — Sur le théorème des forces vives. (9..i'9.6). 
B0820 

Schlesinger (L.). — Sur les équations linéaires à points d'indé- 
termination. (27-^8). 

A 4850 
Bull, des Sciences mat/iém., 2* série, t. XWI. (A\ril 1901.) R.G 



;6 SECONDE PARTIE. 

Dulieni (P.). — De la propagation des ondes dans les fluides 
visqueux. (3()3-396). 

Guic/iard {€.). — Sur la déformalion du paraboloïde quel- 
conque. (898-401). 

A 8«5() 

Hunvitz {A.). — Sur le problème des isopérimèlrcs. (4oi-4o3). 

A 3-280 50 10 

Alezais {/{.). — Sur des fonctions de deux variables analogues 
aux fonctions modulaires. (4o3-4o5). 

V 4070 

Afaillet (A\). — Sur une certaine catégorie de fonctions trans- 
cendantes. (460-462). 

A 3-220 

Vftsseitr. — Traces superliciclles laissées par les outils dans le 

travail du sciage des métaux. (46*2-465). 

L^orov (l).-lli.). — Sur une certaine surface du troisième 
ordre. ( 538-5 {oV 

\ TC.jO 88.j() 

Maillet ( /f .). — Sur les systèmes complets d'équations aux déri- 
vées partielles. (5/{()-5i2). 

\ 4S3() 

I>ulieni ( /^.). — Sur les ondes du second ordre, par rapport aux 
vitesses, c|ue peut présenter un fluide visqueux. (Go'^-ôioV 

B 2400 

Dai'boujc [G.). — Notice sur la vie et les travaux de M. Th. Mou- 
lard. (|()i |-()i()). 

\ iNIlll 



HKVUE DES PUBLICATIONS. 



// 



Afaillet (£*.). — Sur une certaine catégorie de fonctions trans- 
cendantes. (622-624)< 



\ 3220 



^''iutonne. — Sur les groupes quaternaires réguliers d'ordre fini. 
(624-627). 

A 1*23() 8080 

Duliem {P»)' — De la propagation des discontinuités dans un 
liquide visqueux. (658-662). 

B 2VJ0 

Duport (//.). — Sur la loi de Tattraclion universelle. (662-663). 

B 0820 

Cousin (P.). — Sur les zéros des fonctions entières de n va- 
riables. (667-668). 

A 3640 

Jtibière. — Sur les vibrations des poutres encastrées. (668-670). 
B 3220 

Jouguet (£*.). — Sur la propagation des discontinuités dans les 
fluides. (673-676). 

B 2400 C 2450 

Jonquières {de), — Au sujet d'une précédente Communication. 
(750). 

A 2830 

Afittag'LefJler (G,), — Sur une formule de M. Frcdholm. (75i- 
753). 

A 3630 

Padé (//.)• — Sur l'expression générale de la fraction continue 
approchée de (1 4- »r)'". (7") ^-756). 

\ 3220 4120 



78 SCCONDK PARTIE. 

Liapounoff. — Une proposition géoérale da Calcol des probabi- 
lités. (8i4-8i5). 

A 1630 

Servant. — Sur la déforination du paraboloîde général. (8i6-Si8). 

A 8850 

Ocagne {Hl. d*), — Sur la somme des aogles d'un poljgone à 
connexion multiple. (818-820). 

A 6420 

Lippniann{G.). — Sur la puissance représentative d^une portion 
finie de courbe continue. (904-905). 

A 0430 5010 

Borel {E.). — Sur la décomposition des fonctions méromorphes 
en éléments simples. (906-908). 

A 3010 

Maillet {h!,), — Sur les racines des équations transcendantes. 
(908-910). 

A 3210 

Padé {II')' — Sur la fraction continue de Slielljes. (911-912). 

A 3220 
Miller (G.-jI.). — Sur les groupes d^opéralions. (912-914). 

A 1220 

Picard (fi*.). — Sur les résidus et les périodes des intégrales 
doubles de fondions rationnelles. (929-931). 

A 4020 80GO 

Duhcni (P')' — De la propagation des discontinuités dans un 
liquide visqueux. (9iî-9{^>). 

B 2ilK» 

Bricard (li.), — Sur une question relative au déplacement d'une 
fii;ure invariable. ({)\~'i)î}o), 

H oi2n 



REVUE DES PUBLICATIONS. 79 

Borel {E.). — Sur les fondions entières de plusieurs variables 
el les modes de croissance. (goo-gSa). 

A 3640 

Duhem (P.). — Sur la stabilité d'un système animé d'un mouve- 
ment de rotation. (i02i-i023). 

B 2520 

Lebesgue (/^.)- — Sur une généralisation de l'intégrale définie. 
(1023-1028). 

A 3-200 3260 

Dulac {!!')' — Sur les intégrales analytiques des équations diffé- 
rentielles du premier ordre dans le voisinage de conditions 
initiales singulières. (io28-io3o). 

A 4810 

Séguier (de). — Sur les équations de certains groupes. (io3o- 
io33). 

A 1210 

Maillet {E,). — Sur les lois des montées de Belgrand et les for- 
mules du débit d'un cours d'eau. (io33-io34). 

B2810 

Demoulin (-4.). — Sur une classe particulière de surfaces réglées. 
(1097-1 100). 

A 7650 

Tziizéica (G.). — Sur la déformation continue des surfaces. 
(1 loo-i loa). 

A 8850 

Desainl (L.). — Sur les séries de Tajlor et les étoiles correspon- 
dantes. (1102-1 io5). 

A 3240 

Guillaume (C). — Procédé pratique pour la correction de l'er- 
reur secondaire des chronomètres. (1 io5-i 108). 

B0150 



«o SECONDE PAKTIE. 

Duhem (P.). — Sur les théorèmes d'Hugoniol, les lemmes de 
M. Hadamard et la propagation des ondes dans les fluides vis- 
queux, (i i63-i 167). 

B 24G0 2490 

Dulac (//.). — Sur les intégrales réelles des équations différen- 
tielles du premier ordre dans le voisinage d'un point singulier. 
(1169-1 172). 

A 4810 

Lelieus^re (M,), — Sur certaines relations involutives. (117^- 
1174). 

A 2410 8030 

Siacci (F,), — Sur un problème de d'Alemberl. (i 175-1 178). 
B ICIO 1650 

Autonne (L.). — Sur les groupes réguliers d'ordre fini. (i2i(>- 

1218). 

A 1230 

Atarey. — Cliangcmenls de direction et de vitesse d'un courant 
d'air qui rencontro des corps de formes diverses, (i sipi-i 9.Qf)i. 

A 28;îo 

Duheni (P.). — Sur les ondes longiludinalos et lransversale> 
dans les iluidcs [)arfails. (i.^<>.i-i.^o()). 

B 2480 

Ilele-Schasv [II. -S.). — Conlrihulion à l'étude théorique el 
cxpérinicnlale des veines li([uidcs déformées par des obslacle«i 
el iWa dclcrniiiiation des lif^nes d'induclion d'un champ magné- 
tique. (l.^o(i-I ')!'>. ). 

B 2ii)0 c: Ô430 

I^(f,ffy (^•)- — Délerminalion des surfaces qui sont à la fois des 
surfaces de Joacliimslhal et des surfaces de \Veini»:arlen. (i3ij- 

IM.V). 
\ ss.'.n 



KKVUli DES PUBLICATIONS. 8i 

Mittag'Leffler (G.). — Sur la série de BernoulH. (iSSS-iSgi). 

A 3630 

Va Hier (E.). — Sur les intégrales eulériennes incomplètes de 
deuxième espèce et les intégrales indéfinies des fonctions pré- 
cédentes. (iSgi-iSgS). 

A i410 

Fhragmèn {E,), — Sur le domaine de convergence de l'inté- 
grale infinie / V{ax)e^'^ da. (iSgô-iSpg). 

• 

A 4430 

liabut. — Sur un invariant remarquable de certaines transforma- 
lions réalisées par des appareils enregistreurs. (i39g-i4oi). 

A 0080 

Itabut, — Equations et propriétés fondamentales des figures 
autopolaires réciproques dans le plan et dans Tcspace. (1470- 

1472). 

A 8010 8130 8830 

llursvitz (^.). — Sur les séries de Fourier. (i 473-1 475). 

A 5610 

3fesnager, — Sur l'application de la théorie de rélasticité au 
calcul des pièces rectangulaires fléchies. (1475-1478)* 

B 3270 

Dumont. — Théorie des surfaces du troisième ordre. (i54i). 
A 7640 

JSgorov {D,-'Th,). — Sur la déformation continue des surfaces, 
(i 545- 1547). 

A 8850 

Dickson (L.-E,). — Théorie des groupes linéaires dans un do- 
maine arbitraire de rationalité. (1.547-1 548). 

A 1240 
/fuil* des Sciences mathem., ?' série, t. XXVI. (Mai ion:i.) R.7 



8>, SECONDE PARTIE. 

Zaixmba{S.), — Sur Tinlégralion de l'équation Aiv — jji*«'= o. 

(i549-i55o). 



A 5G5(» 



Tome CXXXIII. 



Seligmann-Lui (>i.). — Sur une interprétation mécanique des 
principes de la Thermodynamique. (3o-33). 



B 2010 C 2400 

Demartres. — Sur les réseaux conjugues de courbes orlhogo- 
nales isothermes. (92-94)' 

A 8450 

Kœnigs (G.). — Sur im nouveau joint à angle variable. (iSy- 
142). 

B 0430 

Coulon (/.). — Sur l'extension de la méthode d'inlép:ration de 
Riemann. (1^2-1 45). 

A 4840 

Cosserat {E ,) et Cosserai (F.), — Sur la solulion des oc|iiahons 
de rélasticité, dans le cas où les valeurs des inconnues à la fron- 
tière sont données, (i/j.o-i ^{7). 

n 322(1 



Dccombe (L.). — Sur le mouvement du pendule en milieu rési 
tant. (1I7-1I9). 



>- 



B 1640 'im) 

]'aUicr (E.), — Sur la loi des pressions dans les bouches à Icu 

(:>.().>-9.o()). 

r. njôo 

Aiititnnc { L.). — Sur riiermilien. ( iiO()-> 10). 



IlliVUB DKS PUBLICATIONS. K3 

Cosserat {E.) et Cosserat {F,), — Sur une application des 
fondions potentielles de la théorie de Télasticité. (2io-2i3). 

A 5C60 B 3'2-20 

Soussinesq (»/.). — Sur le pouvoir refroidissant d'un courant 
liquide ou gazeux. (257-262). 

C 2040 

Demoulin (A.), — Sur les surfaces susceptibles d'une déforma- 
tion continue a,vec conservation d'un système conjugué. (265- 
a68). 

A 8800 

JDulac {IL). — Sur les intégrales analytiques des équations dif- 
férentielles du premier ordre et de degré quelconque dans le 
voisinage de certaines valeurs singulières. (268-270). 

A 4880 

Cosserat (E,) et Cosserat {F,), — Sur la déformation infiniment 
petite d'un corps élastique. (271-273). 

A 5660 B 3220 

Chèneveau {C .) et Cartaud (G.). — Sur les vibrations de nappes 
liquides de formes déterminées. (27^-276). 

B 2460 

Appell (P.). — Sur le théorème de Poisson et un théorème 
récent de M. Buhl. (317-319). 

A 4830 B 2030 

Vallier (E.), — Loi des pressions dans les bouches à feu. 
Recherche de l'exposant de lenteur. (3i()-32i). 

B 1650 

Cosserat (E.) et Cosserat {F.). — Sur la déformation infmiment 
petite d'une enveloppe sphéricpic élastique. (3î>.6-3'2()). 

A 5<i60 B 3220 



84 SKCONDIÎ PARTIK. 

Gra\faris{G.). — Sur une relation qui existe probablemeDl entre 
Tangle caractéristique de la déformation des cristaux et le coef- 
ficient newlonien de restitution. (329-33o). 

B 3210 

Kœnigs {G.). — Étude critique sur la théorie générale des 
mécanismes. (33o-333). 

B 0430 

Mittag-Leffler (G.). — Un critère pour reconnattre les points 
singuliers de la branche uniforme d'une fonction monogène. 

(357-36i). 

A 3200 

Casserai {E,) et Casserai {F,). — Sur la déformation infiniment 
petite d'un ellipsoïde élastique soumis à des efforts donnés sur 
la frontière. (36 1 -364). 

A 5660 B 3220 

Gravaris (G.). — Vérification de la relation qui existe entre l'angle 
caractéristique de la déformation des métaux et le coefficient de 
restitution de leur élasticité. (364-366). 

n 3210 
Siacci (F.). — Sur un problème de d'Alcmhcrt. (38i-382). 

B 1G50 

Cosserat (F.) et Cosserat (F.). — Sur un point critique parti- 
culier de la solution des équations de Télasticité, dans le cas où 
les efforts sur la frontière sont donnés. (382-384). 

B 3220 

Aœnt^s (G.). — Sur les principes généraux des mécanismes. 

(38r).387). 

R ni;)0 
Snrrnu (/:\). — Sur I application du principe de l'énergie aux 



REVUli DES PUBLICATIONS. 85 

phénomènes électrodjnamiques et électromagnétiques. (4o2- 
407). 

B 2010 C 6400 61)00 

JPetot {A.). — Sur le mode de fonctionnement des freins dans 
les automobiles. (4io-4iâ)* 

B 3640 

Sarrau {E.). — Sur l'application des équations de Lagrangc aux 
phénomènes électrodynamiques et électromagnétiques. (4^i- 
420). 

B 2020 C 0400 6600 

Ilumbert (C). — Sur la transformation quadratique des fonc- 
lions abéliennes. {/\'a^-^7,C)). 

A 4070 8060 

Tzitséica (G,). — Sur la déformation continue des surfaces. 
(431-432). 

A 8850 

Kœnigs{G,), — Esquisse d'une théorie générale des mécanismes. 
(43M34). 

B 0430 

Liouville {li*)* — Sur Téquilibre des corps élastiques. (434-437). 
B 3200 

Frémont (C). — Évaluation de la résistance à la traction de 
Tacier déduite de la résistance au cisaillement. (437-439). 

B3620 

Sieklojff ( W,), — Sur rexistcnce des fonctions fondamentales. 
(400-453). 

A 5660 

Donder {Th, de), — Sur les invariants intégraux. (453-455). 
A 5210 5210 



86 SECONDE l'AttTlE. 

Poisson (G,). — Sur la voûte élastique. (470-472). 

B 3280 

Kœnigs (C). — Les systèmes binaires et les couples d'éléments 
cinémaliques. (483-486). 

B 0430 

Boussinesq (/.). — Problème de la dissipation, en tous sens, de 
la chaleur, dans un mur épais à face rayonnante. (497-5oa). 

C 2050 

Suchar (P.). — Sur les équations différentielles linéaires du 
second ordre à coefficients algébriques. (5o8-5io). 

A 4850 4060 

Bolilin {K.). — Sur Textension d'une formule d'Euler et sur le 
calcul des moments d'inertie principaux d'un système de points 
matériels. (53o-532). 

A 2010 

Kœnigs (G,). — Propriétés générales des couples d'éléments 
cinématiques. (533-535). 

H 0430 

Dulieni (P.). — Des ondes qui peuvent persister en un fluide 
visqueux. (r)-()-5(So). 

B 241)0 

Davidoglou {A.). — Sur les intégrales périodiques des équa- 
tions diflTérenticlIes binômes. (582-584)- 

A 4850 5G30 
Kœnigs (G.). — Sur les chaînes secondaires. (62i-()24). 

B Oi.lO 

Miller [G. -A,). — Sur les groupes de substitutions. [(\i \-iS}.:}) . 
Suchar {l\). — Sur les (^Huilions difltTcnliclics linéaire^ de 



UliVUE DES PUBLICATIONS. 8; 

second ordre à coefficients algébriques de deuxième cl Iroi- 
sicme espèce. (626-62^), 

A 4850 

Demoulin {A,). — Sur deux classes particulières de congruences 
de Ribaucour. (628-63o). 

A 8080 

Chessin {A,), — Sur la toupie de Foucault. (676-67<)). 
1) 1G40 

Poincarc (//.). — Sur VAnalysis silus. (707-709). 

A 6V20 1*210 

Poincaré (//.). — Rapport sur les papiers laissés par Halphen. 
'(722-7^4). 

A 0020 

Hciffy {L.), — Sur les réseaux conjugues persistants. (72()-732). 
A 8850 

Aîaillet {E,). — Sur les équations différentielles rationnelles. 
(782-784). 

A 4810 3G30 

Davidoglou {A.). — Sur le nombre de racines communes à plu- 
sieurs équations. (784-78(3). 

A 3270 

Picard (É.). — Sur les périodes des intégrales doubles dans la 
théorie des fonctions algébriques de deux variables. (795-800). 

A 4020 3270 80G0 

Davidoglou {A,)* — Sur le nombre des racines communes 11 plu- 
sieurs équations. (860-86.^). 

A 3260 2420 
Armengaiid (./.). — Méthode graphique permettant dV'ludier 



88 SKCONDH PAUTIE. 

les circonslances de la marche d'un aérostat dirigeable, par 
rexamen de la projection de sa trajectoire sur le sol. (goo-poS). 

B 28G0 

Painlevé. iP,), — Sur les singularités essentielles des équalions 
différentielles. (910-913). 

A -i88() 

Rciffy {l^')' — Sur la déformation des surfaces et, en particulier, 
des quadriques. (91 ;*)-()!-). 

\ 8850 

Pellet {A,), — Calcul drs racines réelles d'une équation. (917- 
9.8). 

A 2420 

Tzilzéica (G,). — Sur le nombre des racines communes à plu- 
sieurs équations. (918-99.0). 

A 2420 32JiO 3270 

(%tr{allo (/i.). — Sur rap[)licall()n des é(|uations de Lagraii«;e 
aux phénomènes élcclrodvnaniiquos. (99.4~9'^'7)- 

Poinçon'' (//.). — Sni- la connexion des surfaces algébrique*. 

(970-973). 

A 8100 G'r20 12:o 
Demoulin (A.). — Sni* les svslènies eonju«;ués persistants. ( 98()- 

V 8'é.30 
Maillet (/:'.). — Sni* les ('qualions el les nombres transoendanis. 

( t)8o- <)<)<►). 
A :!rj() yi'id •::)-2i) 

l)i'<hnvlrrs, (//.). — Ab'lliode pcrmctlanl de délerniiiicM* la vire*<e 



REVUE DES PUBLICATIONS. 89 

propre des aérostats dirigeables. Application aux expériences 
de M. Santos-Dumont. (993-996). 

B 2860 

^rmengaud (/.). — Note complétant celle du sî5 novembre der- 
nier et donnant par un tracé, avec une approximation de -^ au 
moins, la trajectoire sur le sol de l'aérostat dirigeable de 
M. Santos-Dumont dans l'épreuve du 19 octobre. (996-999). 

B 2860 

Picard {E,). — Sur les périodes des intégrales doubles, (ii-i- 
1173). 

A 4020 8060 6420 

Pellet (-4.). — Calcul des racines réelles des équations. (1186- 
1.87). 

A 2440 

Riquier. — Sur le calcul par cheminement des intégrales de cer- 
tains systèmes différentiels, (i 187-1 189). 

A 4840 

Perrin (/?.). — Sur la séparation et le calcul des racines réelles 
des équations. (1189-1191). 

A 2440 

3faillet{E.). — Sur les nombres e et tc et les équations transcen- 
dantes. (1 191-1 192). 

A 2920 

Saussure {B. de). — Sur le mouvement le plus général d'un 
corps solide qui possède deux degrés de liberté autour d'un 
point fixe. (11 93-1 190). 

A 8420 

Niels Nielsen, — Sur les séries de factorielles. (1273-1275), 

A3630 
BuiL derSciences mathém., 1* série, t. XXVI. (Juin 1902.) R.8 

I - 



90 SKCONDli FAIITIK. 

iMiwy, (^.). — Sur les équations différentielles linéaires qui sont 
de la même espèce, (i f76-i278). 

A 4850 

Lindelôf {E,). — Quelques ihéorèmcs nouveaux sur les fonc- 
tions entières, (i 279-1 281). 

A 3610 

Guldberg {A,). — Sur les invariants intégraux et les paramètres 
différentiels. (1282-1283). 

A 5240 1240 

Saussure (/?. de). — Sur le mouvement d'une droite qui pos- 
sède trois degrés de liberté, (i 288-1 285). 

A 8420 

Mesnager, — Tensions intérieurs produites par deux forces 
égales et directement opposées agissant sur un solide indéfini. 
(1285-1287). 

B 3210 



JOURNAL FUH Dii: ukim: lnd angewandtk Matiikmatik ('). 
Tonio 108 (4 Cahiers). Berlin; 1891. 

Bosenoiv (ff.). — Sur les systèmes d'invariants qui scrvcnl à carac- 
tériser les dlfTércntes classes de formes bilinéaires. (i-'>i)- 

Kronecker a montré comment on peut, par une transformation conïiriuntf. 
ramener une forme hilinéaire à un nombre quelconque de couples de varial'lf^- 
à une somme de « formes élémentaires »; chaque classe de formes bilincai^* 
équivalentes est caractérisée par un système d'invariants qui ne sont autre* 
que les entiers indiquant les nombres de couples de variables qui entrenldan^ 
ces diverses formes élémentaires. L'auteur établit les difTércnles formes reiiuilo 
pour w — I, 2, 3, 4 couples dQ variables, en partant des systèmes d'inv.uiïR^'' 
de Kronecker. il étal)lit ensuite pour n = 3 une autre méthode de clas^fif*- 
tion reposant sur certains invariants, fonctions entières des cocfficicnls df la 
forme bilinéaire. 

Guido llauck. — Théorie des correspondances Irilinéaires de 

(') \o\r nulletin, t. XWI,, p. 5. 



REVUE DES PUBLICATIONS. 91 

systèmes plans. Quatrième article : La relation irilinéaire 
entre trois formes londamenlaies d^une dimension (avec une 
planche). (25-49). 

Dans un arlicle précédent, Tauteur a considéré une correspondance entre les 
points des trois axes principaux de trois systèmes plans en relation projective 
Irilinéaire; on a ainsi, dans un plan, trois ponctuelles rectilignes dont les 
points correspondants peuvent être regardés comme les projections d'un même 
point variable du plan vu de trois centres de projection fixes. Il existe, entre 
deux systèmes de points correspondants x^ x\ x" et y^ y\ y'^ une relation 
aux rapports anharmoniques 

ipqxy) ip'q'x'y') {p'q'x'y') = i, 

où les p et les q sont les points doubles, et qui, d'après les recherches de 
M. Schubert, montre que cette correspondance est la plus générale des corres- 
pondances trilinéaircs entre trois ponctuelles. Après avoir introduit la con- 
stante caractéristique C, il indique des constructions de ponctuelles trilinéaires 
avec des éléments donnés (points doubles, caractéristique, systèmes de points 
correspondants). Il étend la théorie aux faisceaux de rayons et aux faisceaux 
de plans et étudie le cas particulier dans lequel chaque ponctuelle ne contient 
qu'un point double. Enfin, revenant à la considération des systèmes plans en 
correspondance projective Irilinéaire, l'auteur montre que trois faisceaux de 
rayons correspondants sont en relation trilinéaire. 

Pochhammer (L,). — Sur une équation différentielle linéaire 
d'ordre n avec un point singulier à distance flnie. (So-S^). 

L'équation différentielle dont il s'agit, et qui a été introduite par M. Cour- 
sât dans son Mémoire sur les fonctions hyper géométriques d'ordre supérieur, 
peut être regardée comme un cas limite de l'équation diiïérentieile hypergéo- 
métrique générale et admet comme solution particulière la fonction entière 

«•PlP2-P*-l »-2.p, (0,-4-1) P5(p2-4-»).-P^-l(P.. ,-+-«) 

Cette série peut être représentée, comme M. Coursât l'a montré pour n = 3, 
par un produit d'intégrales eulériennes et d'une intégrale multiple définie 
d'ordre n — i. Dans son Mémoire, l'auleur s'occupe de l'inlégralion de l'équa- 
tion dilTérentielle au moyen d'intégrales définies de cette nature. Il y arrive 
par la méthode qu'il a déjà appliquée dans un Mémoire précédent ( même 
Journal, t. 102). Les intégrales multiples obtenues ont toutes la même fonction 
d'intégration, mais, pour obtenir un système complet d'intégrales, il faut uti- 
liser certains contours d'intégration fermés. En se servant de contours parcou- 
rus deux fois, on peut faire en sorte que les intégrales particulières ainsi 
trouvées soient toutes convergentes, sous la seule condition toutefois qu'aucune 
des quantités p^, p^ — p^ ne soit entière. 

Les deux premiers paragraphes exposent la théorie pour /i = 3; dans le n* 3, 
l'auteur montre comment on peut réduire l'intégration de l'équation d'ordre n 



9* 


S 


CONU 


t celle d'une iqualron anal 
tènip .les imégcales [iiiiltiple 
avec les sërîes Je piiisa»nces 


gue d-ur 
s qui sat 
qu'on ea 


Koi.\aleivsky {Soplii 
Kronecker. (88), 


ev 


:>n). - 




-i. 0»M\ttf 4, fl éuMil la n^ 

J'équtiiiun dunnée et leur Rlatioa 



Courte DOlice nécrologitjuc par 



lieye (Th.). — Sur les systèmes linéaires de faisceaux de plans 
prnjectifs et de réseaux ou d'es]>aceii col linéaires, V, VI. (89- 

V. L'auteur poursuil les rcrberches xposéei in t. 107, p- 163, da même 
Journal, et s'occupe d'abord du syslème linéaire | S, | de 00* espaces collinéairo 
et du système associé { i, ., | de m' sjslèmes colliucaires [[,| formés de x* pUm 
homologues des espaces de | £, |. A ( ijslêmc | S, | est attaché uae courlic 
gauche C" qui le caractérise cotnplélen il et qui est contenue dans lesx* lur- 
[ares doubles du quatrième ordre K, u^ I ~t I- C'est aussi le lieu des poînU 
doubles des ^' espaces singulii-rs du système; de plus, il existe •insl espaces 
doublement singuliers dont les aies coupent C-* en quatre point*. 

Vt. lUns cette dernière Partie, l'auteur s'occupe d'abord, toujours par la 
même métliods synthétique du système linéaire | £ J de »' espace* colli- 
nénires. A ce système sont attaches i\ t' points rnndamtnlaui par lesquels 
pKssenl toutes les courbes C'° et louir ks surfaces K,. Chacun d'eux rsl le 
point double de a' espaces singuliers ( | 5, |. Le sysiéiiie contient «> espaces 
doubleraeot singuliers, le lieu de leurs ..ts est une surface du vingtième ordre 
qui admet les vingt points fondamentaux pour points seituples. 

L'auteur termine par l'étude analytique du cas général qui le conduit * une 
réciprocité rpmarquable entre les systèmes | 1, i et l £,,_, | qui dépendent 
d'ailleurs du même nombre île paramétres, et donne quelques indications sur 
le système I ^\. 

Aîeyer (A,). — Sur la ihéorie des formes quadratiques ternaires 
iodéfinies. (i25-i39), 

Eiscnstein a, le premier, attiré l'attention sur l'existence d'une seule clas*e 
de formes quadratiques ternaires indéfinies, pour uo détcrminaot idférieor 1 10 
et sans diviseur carré, et pour un genre donné. L'auteur, dans sa dissertation 

Q et A sont impairs et premiers entre eux. Il s'occupe dans le présent Mémoire 
du cas des invariants pairs. Il montre que, sons certainei conditions, deai 
formes ternaires indéfinies primitives aux invariants Û et A et de même genre 
sont équivalentes. En particulier, il en est ainsi si les invariants ne sont pas 
divisibles par 4 et n'admettent aucun diviseur commua impair. La démonstra- 
tion repose sur certaines propriétés de l'équatioD de Pcll. 

f/cnsel {K.). — Application de la lliéorie des svstt'mes de modules 
à un problème d'Opliqtie. (lio-i jS). 



UBVUIÎ DHS PUBLICATIONS. 93 

On sait que le potentiel des forces élastiques, dans la théorie de l'élasticité 
des corps solides homogènes, est une forme quadratiqae de six arguments ;,,, 
^»> ^31* ^33* ^31) ii3 dépendant dans le cas général de 31 constantes. Les condi* 
lions pour que cette forme puisse convenir à Téther lumineux sont établies 
d'une manière très rapide; elle doit se réduire à un carré parfait de ^,,, i,;, 
^ par rapport au système de modules 

ce qui conduit invinédiatcment au résultat connu. 

JYelio (E.). — Application des sjrsièmes de modifies à une ques- 
lion de la théorie des déterminants. (i41-i46). 

Si Too considère les deux systèmes réciproques 

/ i 

OÙ Uf V désignent des variables, 8 . étant égal à i ou à o- suivant que les i<n- 

dices gt h sont égaux ou non, Kronecker est arrivé à représenter les M . 
comme fonctions linéaires homogènes des M ., les coeni'cients étant des fonc- 
tions entières des u, v de degré a /t. l/auteur montre qu*on peut trouver une 
représentation pour laquello le degré des coefficients ne dépasse pas 3/1 — a. 

Schoitky {F.). — Théorie des fonctions ellipliqucs-hyperellip- 
liques de quatre art^uments. (147-178, ig.'i-'.^.SS). 

SL Ton considère lesreiationsqui existent entre les {? fonctions ihéia de p argu- 
ments, Fauteur appelle solution^ particulière de ces relations un ensemble de 
fonctions algébriques (fune ou plusieurs variables qui, mises à la place des 
fonctions thêta, vérifient toutes ces relations. Alors, iiu moins pour des v^ilenrs 
M mitées- des arguments, les fonctions thêta sont proportionnelles à des exprès-: 
sions algébriques. Les arguments eux-mêmes deviennent alors des intégrales 
et, par application du théorème d'addition, on peut passer de la solution par- 
ticulière i la solution générale. Le but du Mémoire est Tapplication de cette 
méthode à Tétude de ce qu'il appelle les fonctions elliptiques-hyperelliptiques 
de quatre argumentSy caractérisées par la condition que deux fonctions thêta 
paires s'annulent lorsque leurs arguments sont nuls; i>i, en outre, on ajoutait 
une certaine relation entre les paramètres J = o, on aurait le cas des fonc- 
tions hjperelliptiques précédemment traité par Tauteur. 

Dans les n"* 1 et 2 de la première Partie, il est montré comment la méthode 
•^applique aux- cas de = a et 3; dans ce dernier cas, si l'on annnle deux des 
fonctions 6, les 6a autres sont proportionnelles aux racines carrées de^6a fonc- 
tions elliptiques du sixième ordre d'un argument «v. A. partir du n* 3, l-auteur 
s'occupe du cas p = 4 et cherche les relations entre les constantes r, vulcni-s ini- 
tiales des fonctions 6 paires, en supposant, comme il a été dit plus haut, que 
deux de ces constantes sont nulles. Le théorème fondamental qui lui sert de 
point de départ est l'existence d'une relation linéaire à coeflicifUts constants 
entre chaque série de six produits azygétiques de foncti<ms 6 paires; ces roef- 



9\ SECONDE PARTIR. 

ficients sonl, au signe près, des produits des constaoles c, ce qai, eo (ai«ait 
dans ces relations tous les arguments nuis et tenant compte de ce que deai des 
constantes c sont nulles, fournît des relations à deux termes qui permettest 
d'exprimer les constantes au moyen de fonctions 6 elliptiques d'on certaii 
nombre de paramètres ( n" 3-8). 

La deuxième Partie est consacrée d'abord aux fonctions 6 elles-mêmes. Il 
cherche une solution particulière en annulant les deux fonctions 6 pairesdoot 
les valeurs initiales sont nulles. Un certain nombre de quotients de foDCtiois0 
peuvent d'abord s'exprimer en fonctions elliptiques d'un paramétre a (n** 9-11). 
Puis tous les quotients de fonctions 8 s'expriment en fonctions elliptiques de 
deux arguments w, w' dont la somme est a, ou peuvent s'exprimer algébri- 
quement par de telles fonctions. Il introduit une certaine courbe algébriqoe 
pour laquelle les coordonnées Xy y d'un point sont respectivement unefooctiofl 
elliptique du second ordre et la racine carrée d'une fonction elliptique da sei- 
zième ordre qui contient x* en facteur; à chacun des arguments w^ w' corres» 
pond un point de cette courbe (n"" 12-20). 

Enfin, dans la troisième Partie, l'auteur montre d'abord qu'en supposant 
toujours les arguments des fonctions 8 tels que les deux fonctions 9 paires 
dont il a été question s'annulent, ces arguments sont des sommes d'intégrales 
de fonctions rationnelles des points (J?, .r), {x'^y') ( n* 21); puis il appllqo« 
le théorème d'addition pour passer de la solution particulière à la solalioa 
générale; si Ton prend pour les arguments des sommes d'intégrales de quatre 
points de la courbe, les fonctions abéliennes qu'on peut former au muyeodes 
fonctions B deviennent des fonctions rationnelles symétriques de ces quatre 
points qui ne changent pas si, aux arguments w de deux de ces points, os 
ajoute une certaine demi-période des fonctions elliptiques qui ont servi A définir 
la courbe. 

Sujets de concours pour les prix de l'Académie Jablonowskl de 
Leipzii; [)oiir les années 189.'^ et i8()4- (*79">8o). 

Fuclis {L')' — Sur une représentation conforme an moyen dune 
fonction rationnelle. (181-192). 

L'auteur reprend une question <|u'il avait déjà traitée (Journal fur Matf^f' 
matik, t. 106), et relative à la représentation conforme délinic par !> 
relation 



"••.^(«•) 



où /(tv) et gi^v) sont des fonctions rationnelles entières ne s'annulanl pj* 
pour w = <). Si, dans le plan de la variable «», on considère un cercle dw\l 
«le l'origine corrifiie centre et de rayon suffisamment petit, à deux points « 
diirérents pris à l'intérieur de ce cercle correspondent toujours deux points 
(iiirérents; le plus grand rayon (|ui satisfasse à cette condition est donne piirl 
module (hî celle des racines de l'équation 

( > ) I'" ( iV ) = o 



REVUE DES PUBLICATIONS. gS 

qui a le plus pelit module; sinon, dans le cas où les équations 

(T) 4/(tv,cv,)= /y _^ ^="' 

(6) ivF'(iv) + cv, F'(w,) = 

ont une solution (iv, iv, ) pour laquelle les modules de (V, «^, sont égaux et où 
ce module commun est inférieur aux modules de racines de (^)y il donne le 
rayon limite. 

L*aateur donne une nouvelle démonstration de ce théorème et il en fait une 
application à un problème de représentation conforme faisant correspondre à 
des points w, situés au sommet d'un polygone régulier ayant pour centre Tori- 
gine, des points z donnés arbitrairement. 

Gûnther {Paul), — Contribution à la théorie des fonctions ellip- 
tiques. (256-265). 

Entre deux fonctions elliptiques aux mêmes périodes, il existe une relation 
algébrique et l'on peut se proposer de résoudre, d'une manière purement algé- 
brique, les trois problèmes suivants : 

a. Décider a priori si cette relation est de genre o ou i. 

b. Dans le premier cas, trouver une troisième fonction elliptique en fonctions 
rationnelles de laquelle les deux premières puissent s'exprimer. 

c. Etablir la relation elle-même entre les deux fonctions données. 

Apres avoir démontré d'une manière simple le théorème de M. Humbert sur 
le genre de la relation, l'auteur établit d'abord, par une méthode algébrique, 
cette relation 

f{x, y) = o; 

il démontre ensuite que le premier membre est réductible ou irréductible, sui- 
vant que la courbe qu'elle définit est de genre o ou i, ce qpi lui permet de 
résoudre les problèmes a et b. 

Hunvitz {A.). — Sur la comparaison de la moyenne arithmétique 
et de la moyenne géométrique. (266-268). 

L'auteur représente la différence entre la moyenne arithmétique ei la moyenne 
géométrique de n quantités comme une somme de formesqui sont positives 
pour toutes les valeurs positives de ces quantités. 

Schrœter {H,). — La configuration de fiasse (124, 163). (269- 

3l2). 

Cette configuration, dans laquelle 12- poirHs sont situés trois à trois sur 
16 droites, chaque point étant situé sur quatre d'entre elles, s'est pré- 
sentée à Hesse dans Tétude des cubiques {Journal fikr Afathematik, t. 3G, 
p. i53). L'auteur se propose de l'étudier indépendamment des cubiques et en 
ne supposant connus que les théorèmes de Desargues, de Pascal et de Brian- 
chon. 




96 SIÎCUNUli 

On peut obtenir celle confiyuralion en partant de siï points sllu^ deni i 
lieux un trois droites concuuranlei ; ils forment de quatre maniÉrct dUtitrBatrt 
lieux triangles hoinologlque^, ce qui conduit, d'après un ibéoréme connu, t 
quiilrc droites contenant trois i trois sii nouveaui. points qui cocn|il<U:nt la 
conliguration (n< 1). Il correspond i celle conliguraiioD une uunrtgantUwi 
conjugua dont tes ii puiiiis sooi chacun le point da concours de truti druiu» 
joignant deux & deux sii des premiers poinli. Les ii points de la eottliguT»ti<M 
sunt, de i\ miiaiires dilTéreatcs, les sommets de deux hexagones dunt r.fascaA 
est à la fois inscrit et circonscrit i l'autre [ n* 3). Ilï se partar^'at aussi m 
trois groupes de qualre points consliluant trois quadranfles cuiaplels; oa» 
quadranglcs sont en position desmique, c'esl-ii-dire qu« deux quelcoDqBa 
d'cDire cm sont en perspective de qualre manières diffjresles, les oeotM* ds 
perspective jtanl les sunimcts du troisième quadrangle. Les i8 cAlét de Ml 
quadrangles cotnciUeat avec les iS càiE: lalogucs de U coofigoraiion eonju- 
guée, de manière 11 furnicr sur cliaquc ooi ble cAlé une division harmonique 
(n-lj. Ces r8 cdtéiisc groupent huit par hi" 1 savoir quHtre d'un quadranglc arec 

coniques (n* à). Chacun des trois quao igles complets donne 3 points ilia- 
gonaut et ces «t points sont situés irois L ..ois sur six droites ( n' (i). I)r plie, 
ils formant Irs sommets de trois triangles deux i deux homologiques. les lroi« 
centres d'hamotogïe formant avec les neuf loints diagonaux une nouvelle can- 
llg>iralion(i3„i6,) (n- 7). Les 71 autres points non encore considérés d 'in tet> 
section lies cAtés des trois quadrangles sont situés six 1 six sur 11 droites «t 
aussi six a six sur i4 coniques (n' 8). Apt Evoir montré qu'an peut dériver de la 
coaKguralion en question un certain r.. ;ire d'autres configurations étudiées 
par de Vries et Cayley (n° 9). l'auteur tre que les iï puinls sont situés sur 
une même cubique; celte cubique ei 1 qui correspond t la conSguniliun 

conjuguée se coupent aux g points dins — *ux; enfin les sommets de chacun 
des trois quadrangles ont même pnint tangcnticl qui est l'an des eentm d'iio- 

aiiisi sur la définition primitive de Hesse. 

L'riuleur moulre ensuite que, i part cette configuration, il n'j a qu'une autre 
configurai ion (11,, 16,), et il en donne une construction élémentaire; les n points 
forment aussi les sommets de trois quadrangles en position desmique (n** tl-13). 
Ils sont également situés sur une même cubique; les quatre sommets de chaque 
quadrangle se partagent en deux couples, les deux points de chaque couple 
ayant même point tangcnticl en ligne droite avec les deux points de l'antre 
ciiupli' (n* 1:1). Enfin, dans un cas particulier, on retombe sur une figure con- 
sidc.éepar Hurwitï{n» 11). 

Sc/tnr (Friedrich). — Sur les systèmes dits complets d'équa- 
lions aux dérivées parliclles linéaires et homogènes du pre- 
mier ordre. (3i3-3a,i). 
.Vjirt-ï avoir raini.-né un système complet à la forme de Jacobi : 

ir" X "l'-'^o} -'■•' = ' " = '•' i>. 



REVUE DES PUBLICATIONS. 97 

j?, = 0?, = .. .= a: = o à une série de puissances donnée ?(jr +,, ...,a:„), en 
se servant de la méthode des fonctions majorantes. Puis il ramène l'inlégration 
du système par un système d'équations diiïérentielles ordinaires à son vrai prin- 
cipe, qui est l'existence d'un groupe de transformations associé au système; si 
1*00 n'y gagne aucune nouvelle méthode d'intégration, du moins on évite toute 
élimination après l'intégration du système d'équations diiïérentielles. 

«c On intègre les équations 

sous la condition que x'^ se réduise à x^ pour ^ = ; si 

x\— x^ — a^t, ..., x',f = x^—a^t^ a:^= /,(x,, ..., x^, a, /,..., a^f) 

sont les fonctions aiusi obtenues, les expressions 

sont les solutions du système complet qui se réduisent respectivement à x^ 
pour X| = ...= a: = o et qui conservent leur forme par toutes les transforma- 
tions du groupe 

Kronecker (£».). — Quand et comment ont été introduites les for- 
mules ihéta de Jacobi. (325-334)* 

La découverte de la relation qui existe entre quatre séries thêta a été fonda- 
mentale pour le développement ultérieur de la théorie des fonctions ellip- 
tiques. Jacobi aurait été conduit à cette découverte par la présence, dans les 
exponentielles d'un produit de quatre fonctions thêta, de sommes de quatre 
carrés qui, comme on sait, sont susceptibles d'être représentées d'une autre 
manière comme des sommes de quatre carrés. C'est de la fm de septembre ou 
du commencement d'octobre i835 qu'il faudrait dater cette découverte. L'article 
se termine par la liste des cours professés par Jacobi. 

Thomé (L.'IV,). — Sur une application de la théorie des équa- 
tions difTérenlielles linéaires à la détermination du genre d'une 
fonGlioa algébrique quelconque. (335-34 1)* 

Si une fonction algébrique j de x définie par une relation algébrique irréduc- 
tible, de degré n par rapport à 5, le coefficient de «** étant l'unité, a ses n 
branches linéairement indépendantes, on peut déterminer directement l'ordre 
de chaque point de ramification au moyen des racines de l'équation aux expo- 
sants de l'équation diiïérentielle linéaire et homogène du /!'**"* ordre à coeffi- 
cients rationnels à laquelle satisfait la fonction algébrique; ces racines sont, 
pour un point à distance finie, n nombres rationnels positifs dont le dénomi- 
nateur ne dépasse pas n. Le genre de la fonction s'obtient alors facilement au 
moyen de la formule de Hiomann. Si les n branches de la fonction algébrique 



98 SECONDE PARTIE. 

ne sont pas linéairement indépendantes, on peut toujours trouver uDe fooclion 
rationnelle de 5 et de :r qui satisfasse à cette condition et il n'y a qu'à raisonofr 
sur cette nouvelle fonction. 

Schotthy {F,), — Sur la valeur du logarithme d'une fonction 
elliptique. (342-345). 

L'auteur recherche la valeur du logarithme d'une fonction elliptique ^(u) 
lorsqu'on va par un chemin donné d'un point donné fi' à un point congraentu': 
à part un facteur constant, elle est donnée parla différence entre la somme des 
distances des zéros et la somme des distances des pôles de 7(u) à la droite 
u'u'y ces zéros et ces pôles étant pris à l'intérieur d'un certain parallélo- 
gramme des périodes mixtiligne dont l'un des côtés est le chemin donné u'u'. 

Vahlen (K.-Th.). — Remarque sur la représentation complète 
des courbes gauches algébriques. (346-347). 

L'auteur donne l'exemple d'une courbe gauche du cinquième ordre qui ne 
peut pas être représentée par l'intersection complète de trois surfaces. 

Kronecker (L.), — Une formule d'Analyse arithmétique. (348). 
Cette formule est 

-^yiogasinp.^yr'^ll^^, 

? P 

où la soiinnatioii est étendue, dans le sccoiul niciiibrc, à tous les nombrfi pre- 
ifiicrs />, <^an^ l«^ premier membre à loulcs les fractions posilivos irréductibles ? 
dont h" (Iriioininalcur ne dépasse pas N et (|ui ne sont pas supérieures à [• 



Tome KM), 4 ('ailiers a\ec une planche. Kerlin, i89'.>. 

llensci (A.). — Théorie dos fouclions algébriques d'une vanablc 
et des inLé<» raies al«;ébriques. Premier Mémoire. (i-4:^). 

Les fnétliodcs usitées dans Téhnio do la IJH'orii* drs fondions algébriqu''* 
d'une variable ont, en j^énéral, le défaut de ne pouvoir s'appliquer telles qupll<" 
aux class(^s spériales dr formes algéhri(iucs. Ce n'est qu'en ulilisaot des f»'»"'^' 
lions rationn<'lles aussi bien par rapport aux eoefficienls de lèqualion iw' 
brique étudiée que î>ar rapport aux variables qu'on arriverait à une iht'ori' 
satisfaisante. L'auteur satisfait à ees eonditions en introduisant les forme^al:^' 
briques hoinojiénes dont la théorie s<! ramène à <'elle des formes entière*:"" 
évite ainsi la considération des valeui's inlinies des variables. 

Après avoir considéré les formes rationnelles homogènes de deux variab'^" 
.r, et j% ( n" I ), il arrive aux formes algébriques homogènes; une équa^"*" 
rii^ébri(jue 



HE VUE DES PUBLICATIONS. 99 

où les A sont des fondions entières de x^ conduit, en posant 

à une forme algébrique t^. Les fonctions rationnelles de (x,, x,, t^) se ramène- 
ront aux formes homogènes et celles-ci aux formes homogènes algébriques en- 
tières, analogues aux nombres algébriques entiers (n* II). 

Le premier problème qui se pose est la représention des formes homogènes 
entières de (Xp jr,, "n) au moyen d'un système fondamental. Par une analyse 
qui repose sur la considération de divisibilité par rapport à des puissances 'frac- 
tionnaires d'une forme rationnelle entière de (Xp x, ), Tauteur arrive à établir, 
par des résolutions d'équations linéaires dont les coefficients dépendent ration- 
nellement de ceux de Téquation donnée, un système fondamental 

de n formes algébriques entières linéaires indépendantes; il définit alors le 
genre /? de Tèquation algébrique donnée par la relation 

n 



^\^i=P-^f^ — 'y 



OÙ les \i sont les degrés des formes Ç. Il arrive de même plus simplement à un 
système fondamental de formes entières par rapport à un module donné 
( n- IIIMI ). 

L'auteur introduitensuile cequ'il appelle \qs formes algébriques de première 
espèce^ qui jouissent de la propriété que leur produit, par une forme rationnelle 
entière quelconque P(j:,, x,), s'annule avec P; ces formes admettent aussi un 
système fondamental 

^p S2» • • • » ^n 

qui se déduit très simplement du premier, les dimensions de ces nouvelles 
formes étant respectivement égales et de signes contraires à celles des pre- 
mières ( n" III). 
Enfin, l'auteur considère les intégrales de première espèce 



/ 



*P{X^yX.y T^){x,dx^ — X^dx.)y 

où «l> est de degré —2, et montre qn'on les obtient toutes en prenant pour *P 
une forme quelconque de première espèce: un simple dénombrement montre 
que le nombre de ces intégrales linéairement indépendantes est l'entier/? intro- 
duit plus haut; la méthode employée montre qu'on peut supposer les coeffi- 
cients de ces p intégrales particulières rationnels par rapport aux coefficients 
de l'équation donnée. 

Giïnther {Paul), — Conlribution à la lliéorle des fonctions 
elliptiques {suite du Tome 108, p. 256). (43-5o). 

L'auteur montre que la relation algébrique qui lie deux fonctions elliptiques 




SECONDK PAIITIE. 
iudns C91 ol)lcnuF immédiat emeni par la reprdMnUUon 

II 



données aux luiimM f 
paramétrique tic CIrh 



oCi V ne diffère de u que par une cnnsunte addilire convcniblcinrnt cbobitr: 
F„ G„ H, sont de» polynômes de dtgri f "'" ]; F„ G„ H, de degr* 1 '^1. 
m étaol l'ordre de la courbe. 

U utilixe celte rcpr^st^nution pour lu reclirrclie dei point» donti1u.de* poïal» 
de rebrou &SC m eut, de rtquatiuo tiiiigentje e et deï puinl^ d'inHexion de la 



Kôtter {Fritz). — Sur 1.- m 
un fluiiip. (5i-8i, 89-11 1). 



ni d'un coi'jis solide dmis 



Si un Corps solide ie mnut dans un Huide parrail incompressible rempliMant 
un espaci; simplement connexe s'éteudantA l'inQni dans toutes les dircelioas, si 
l'état initial est sans tourbillons et que le fluide soit en repoili l'inllnit ïi,enKn, 
les Torcea exti^rieures qui Hgistent sur le Uuide admettent un potentiel, U btrme 
générale des équalinns dilTcreutlelIcs nécessaires pour délcrniioee eniiiplét^-- 
ment le niauvement du eorps aolide peut être indiquée sans avoir i ri^soudre 
la partie puremenL hj'drodj'nainiquedu prabUme. Il j a, en elTet, pour la tloido 
un potentiel des vitesses qui est une foaeiiou lim'airedes eumpiManlu u, v, u', 
p, q, r du mouremeot instantané du corps solide, et ie prioctpr d'Hamilloo 
peut s'3p|>lii[uercuniine dans l'espace vide ; tu fiirce vite du 9,v'il<*'ine ti.Uiil c^i uoe 
forme quadratique boinogéne T de u, v, iv, p, q, r. Les théorèmes élémentaires 
de la Mécanique fournissent trois intégrales premières, et Clebsch a monirë qu'il 
en existait une quatrième, homogène et du second degré, lorsque T ne contieot 
pas de rectangles, Wi coeflîcients des carrés étant liés par une certaine relation. 
H. Wcbcr a résolu complètement le problème dans ce cas, en supposant toute- 
fois que le mouvement instantané ioitial do corps solide peut être obtenu par 
une seule force de percussion, sans couple. L'auteur résout à son tour le m^nie 
problème en se débarrassant de cette dernière reslrirtion et arrive i des résul- 
tais loot à lait aoalogurs i ceux obtenus par Weber. Il s'introduit des 
fonctions Si de deux arguments qui sont eui-mèmes fonctions linéaires du 



mps. 



dT dT dT ()T (*T (ÏT 



de la percussioi 






dv dw àp 6q lir 
ivcment instantané du corps solide sont des quotients 

dénominateur formé, ainsi que les numérateurs, au 
; il en est de môme de u, v, <v, p, q, r; l'auteur établit 
uf cosinus directeurs, des composantes par rapport aux 
cnt iusianlanè. les coordonnées de l'origine des aies 
lordnnnées contient une fonction addilive. linéaire par 
(■u\ aulrfs rontionnenl des facteurs exponentiels dont 



KEVUE DES PUBLICATIONS. loi 

Mirimanoff {D,), — Sur une question de la théorie des 
nombres. (82-88). 

Soient 6 une racine primitive de l'équation a:^— i =o(X étant premier), H le 
nombre des classes de nombres idéaux formés avec 0, a le premier et b le 
second facteur de H. Si H est divisible par X. X divise a, mais peut très bien 
ne pas diviser 6; d'après M. Kummer, ce cas se présente pour trois valeurs 
de \ inférieures à 100. L'auteur donne un nouveau critérium de la divisibilité 
de b par \. 

Posons 

X = 2v-+.i, e(6) = (\_Q^(,_Q-.t) » e, = e{^n (x = o, i, . ..,v-i), 

pétant une racine primitive pour le module \. Le facteur b est divisible par X 
s'il existe un système d'exposants entiers m^, mp ..., m^_j tels quee^oe7'i...«^2 
soit égale à une puissance X'**"* sans que tous les m soient divisibles par \. 

Heymann ( W,). — Coniribulion à la théorie des équations 
aux différences, (i 12-1 17). 

Étant donné un système d'équations aux diiïérenccs 

rr'-+-^/.krî = o (i,Ar = i,2, ...,/i), 
k 

où les / sont des polynômes entiers en x, l'auteur démontre qu'on peut, en géné- 
ral, le transformer de manière que dans chacune des n équations la somme \ 

contienne en facteur une expression linéaire en x. 
Étant donnée une équation aux différences linéaires du /i'*"* ordre 

et un système fondamental y^ d'intégrales particulières, on a 

D* désignant le déterminant 

lrr*"M (i, Ar = i,a, ...,/i). 

Enfin, l'auteur démontre un théorème analogue pour les systèmes d'équa- 
tions aux différences linéaires. 

^œhler (C), — Démonstration d'un théorème de VAnalysis 
situs. (i 18-120). 

La démonstration ordinaire du théorème d'après lequel l'ordre de connexion 
d'un système de surfaces change d'une unité lorsqu'on trace une coupure, s'ap- 
puie sur la proposition de Riemann : 

Si une surface n fois connexe est changée respectivement en p ou p' surfaces 




SKCONDK l'AIlTlK. 

V un v' coupures, on a tuu)i>urH 



I mirctic 
dfin oust rat ion trfa simple de lu proposition ir Biemai 

Killing {Wiltielm). — Sur l,>s fondements de la G.'omôlrir. 
(i2i-i86). 

tcnt prjutiblcmeat à tout ihéurt-me et i toute d^finUlon; l'atilcur 1m appelle 
concepts /ondamenlaux [Grundbegriffa' m gjsième de concepts (anil«men' 
tatix doit sHtiïFsire à trois cnnditions : en y,tm\&r liru, cliaiun d'eux don 'In- 
ntcesMire pourtoute génniélrie; en second lieu, le sjsténie nedmt paspouvoit 
tlxe riment i un moindre nombre de concepts; en troisième lieu, iU doivrot 
suffire pour obtenir tous les autres concepts gL'oDié triques. 

tu possibilité de diiduire Avt, concepts fandumenisui les autres coneepis. nu 
moyen de dérinitions, suppose l'cxisivnee du tliforôiiin qun j'auieur appelle 
ihèorémes fondamentaux de ta Gèoinelrit,iuBl Ih dd(ii<iDStr(lion oese r*inêia« 
pas A celle d'autres tiiéorémes. 

Dans le n* 1^ l'auteur énuiuira les concepts foudimentiiux qu'il place i la 
base de lu Géoinëltie et qui sont ceux du corps solide, parties d'un eorp», 
espace, parties d'un espace, temps, repos, muuvement. Dans Je d" 2 il i:noiiii*rc 
les théoriinesrondanienUnx qui se rapportent tous aux propriétés de«niauii«- 
menis d'un corps dam l'etpace; ces tli^orémet sont au nciobri de hait. Le* tix 
premiers pnurralenl s'appliquer a>i dorps liquides ûu fluidet, le septième éta- 
blit une liaison entre les partiel d'un mime corps, el le huititroe sert ti inlm* 
duire les eoneepls de Brnndcnr et de turiiie. Lc< n"* H il !) !.'o<-f"penl de 
conséquences qui résultent des sept premiers théorèmes rondamentaui; ils 
introduisent la notion de la dimension au mojen de celles des figures qui 
limitent deux portions runtiguës de l'espace, et ensuite la notion de coordon- 
nées; ils conduisent, enfin, â celte conclusion que cette partie de la Science 
géométrique déterminée par ces sept iliéorénies fondamentaux est identique à 
à la théorie purement analytique des groupes de transformations liais, con- 
tinus et transitifs. En négligeant le liutticme théorème, on obtient donc une 
Science que l'auteur appelle Géométrie généralisée, et qui s'occupe des 
•I formes d'espace au sens général », en uppositioD avec les formes d'espace 
proprement dites qui satisfont au huitième théorème. Il y a néanmoins, entre 
celle Géométrie généralisée et la théorie des groupes finis et continus transitifs, 
une différence tenant i ce que cette dernière ne fait aucaoe diOérence entre 
tes quantités réelles et les quantités imaginaires; de plus, i un même groapc 
peuvent correspondre plusieurs formes d'espace. 

Dans le n* 9 l'auteur rappelle quelques théorèmes sur 1rs groupes de trans- 
formations, et dans le n' 1(1 il commence l'élude des formes d'espace propre- 
ment dites qui satisfont au huitième théorème, auquel il donne l'énoncé 



Il point est en repos dans un espace à n dimensions, H est impôt- 
second point se meuve de manifre à parcourir tout un domaine 



REVUE DES PUBLICATIONS. io3 

à n dimensions; de plus, par le point immobile il ne passe aucune figure 
qui soit nécessairement en repos ou qui glisse sur elle-même. 

Ce théorème conduit à un invariant entre les coordonnées de deux points et 

Tespace à ; degrés de liberté. En faisant tendre le second point vers le 

premier, l'invariant devient Tcxpression donnée par Hiemann pour le carré de 

Télément d'arc, et c'est une expression diiïérentielle linéaire et homogène du 

second degré ( n« 10). Traitée d'abord par les méthodes de MM. Christoiïel et 

Lipschitz (n*"!! ), puispar l'application directe de la théorie des groupes (n" r2), 

cette expression difTérenlielIe peut être ramenée à trois formes différentes, 

Il 1 , w(/i-hi) , . , , 

auxquelles correspondent trois groupes a ■ paramètres et trois géome- 

tries proprement dites possibles. Enfin, dans le n** 13, l'auteur s'occupe du cas 
de l'espace à deux dimensions qu'il avait été obligé de laisser de côté dans le 
cours des raisonnements, et il prouve l'existence d'une géométrie dans laquelle 
les cercles sont remplacés par des spirales, et qui peut s'exclure par l'axiome 
de monodromie de Helmhoitz. 

nmon (Afax), — La Trigonométrie dans la Géométrie absolue. 
(187-198). (Avec une planche.) 

Le but de l'auteur est d'établir la Trigonométrie pur une méthode purement 
planimétrique. Cette méthode consiste à partir des formules de la trigonomé- 
trie euclidienne appliquées à des ligures infiniment petites. Il établit ainsi les 
relations fondamentales entre les éléments d'un triangle, la longueur d'un arc 
limite, d'un arc de cercle, Taire du rectangle des distances, du triangle maxi- 
mum, du triangle quelconque, du cercle. Il termine par des considérations 
sur les théorèmes projectifs et les constructions communes aux trois géo- 
métries. 

iiinther (Paul), — Sur les fonctions uniformes de deux 
variables liées par une équation algébrique. (199-212). 

Dans un Mémoire publié dans le Tome I des Acta mathematica, M. Appel I 
a étudié les fonctions uniformes d'un point analytique (:r, y). On peut arriver 
plus facilement aux mêmes résultats en se servant des principes algébriques 
de la théorie des fonctions abéliennes qui sont exposés dans les Leçons de 
Weierstrass. Ce dernier introduit une certaine fonction rationnelle du point 
(j?, y), d'où l'on peut déduire les intégrales normales des trois espèces, et qui 
conduit à une fonction transcendante uniforme du point, ne possédant qu'un 
zéro et un pôle, avec p points d'indétermination, si p est le genre de la courbe; 
cette dernière fonction permet de représenter par un produit de facteurs toute 
fonction rationnelle du point {x^y). 

D'une manière analogue, l'auteur introduit, dans l'étude des fonctions uni- 
formes de (a:, y), une fonction rationnelle ^{x^y\ x\ y*) qui admet le pôle 
simple {x\y') avec un résidu égal à — 1 et un seul autre pôle (a, 6); de cette 
fonction il déduit une fonction transcendante uniforme ^{x^ y\ x\ y') qui 
n'a qu'un zéro simple (x\ y') et un point d'indétermination (a, 6); sa norme 
est une fonction primaire de la variable x. Ces deux fonctions permettent la 



io4 SECONDE PARTIE. 

décomposition en éléments simples des fonctions uniformes qui n'ont qo'oo 
nombre fîni de points singuliers; la généralisation du théorème de MitUg- 
Leffler; la décomposition en facteurs primaires d'une fonction uniforme n'ad- 
mettant que le point singulier essentiel (a, 6), et, enfin, une généralisation de 
la formule d'interpolation de Lagrange. 

G tint lier {Paul), — Le ihéorème d'addition des fonctions ellip- 
tiques. (2l3-22l). 

L'auteur s'occupe d'abord du théorème d'addition de la fonctibls snu, obtenn 
d'après une méthode analogue à celle d'Abel. Une fonction elliptique 

F(m) = F,snM-+- F,sn'M-4- F,snWa 4-...-+- F^so^")!*, 

où F,, ..., F^ sont des constantes déterminées par la condition que F(u) ad- 
mette les m zéros m,, m,, ..., a^, admet un (m-+- !)*•■• zéro qui est 

— (Ml -+-...-+-£/„) -+-mK;, 
ce qui conduit à la formule 

sn(ii, +. ...+.«,.-+- mK;) = ^,^^^ ^^ ^- 



m 



11 



snw. 



Il applique une méthode analogue à la fonction p«, et, dans le cas où les 
m arguments (/p ...^u„ sont égaux, montre qu'on obtient la formule de Kiepert. 

Ile ff ter [Lothar), — Remarques sur les inttîgrales des équa- 
tions diflerenlielles linéaires. (222-^24 )• 

L'auteur, revenant sur une formule de récurrence des intégrales des équation* 
difrérentielies linéaires et liomogènes, dont il s'était précédemment occupé 
{Journal fur Mathematik, t. 1(>G, p. 29G), montre que, d'après cette formule, 
les propriétés de l'équation dilTérentielle de Gauss qu'on n'avait étendues, jusquà 
présent, qu'à des classes restreintes d'é(|uations diirérenticlles, appartiennent à 
toutes celles qui n'ont que des intégrales régulières. 

Landsberg (Georg). — Sur les mineurs adjoints relatifs. 

(225-23o). 

Si, dans un déterminant de degré w, on prend un mineur A de degré m, qu'on 
le borde d'abord avec jx lignes et fi colonnes^ ensuite avec les /i — m — p. lignes 
et les n — m — |x colonnes restantes, on obtient deux mineurs de degrés /n -^ a 
cl n — |x que l'auteur appelle adjoints relatifs à A. Il jouissent de propriétés 
analogues à celle des mineurs adjoints ordinaires. 

Landsberg [Georg). — Sur la théorie des fractions continues 
pt* ri od i (| II es . ( :>. 3 1 -> 3 - ) , 



REVUE DES PUBLICATIONS. io5 

Étant donnée une fraction continue périodique simple de forme générale, dont 
les n numérateurs et les n dénominateurs partiels h^ et g^i sont des nombres 
rationnels, si cette fraction est convergente, sa limite est racine d'une équation 
du second degré à coefficients rationnels, et Ton peut former facilement une 
seconde fraction périodique simple dont la limite, si elle existe, soit l'autre racine 
de celte équation. Si le discriminant est positif ou nul, ces deux fractions con- 
Tcrgent en général; s'il est négatif, elles sont divergentes; enfin, l'équation peut 
se réduire au premier degré : Tune des fractions continues est en général conver- 
gente, l'autre est divergente. 

Pirondini (Geminiano). — Sur la dëtermiuation des lignes donl 
le rapport de la courbure à la torsion est une fonction donnée 
de l'arc. (288-260). 

On peut ramener la recherche des lignes L, dont le rapport - du rayon de 

courbure au rayon de torsion est une fonction donnée ff{s) de l'arc à celle de 
la ligne plane A, à laquelle se réduit l'arôte de rebroussement L^ de la surface 
rectifiante de L, lorsque cette surface se déroule sur un plan; celte ligne A, 
vérifie l'équation dilTércnlielIe 

dx _ /x dy — y dx\ 
rfj? - 9 \ Ty ) 

si l'on prend pour axe des x la droite à laquelle se réduit la ligne L après le 
développement. 

Après avoir donné des applications de ce ihéorème, l'auteur établit les for- 
mules qui donnent les éléments de L^ en fonction de ceux de L et applique ces 
formules aux mêmes problèmes. Il montre la relation de cette théorie avec 
celle des enveloppes des droites tournant dans un plan autour d'un de leurs 
points pendant que celui-ci se déplace sur une droite fixe. 

A. une courbe L^, correspondent une infinité de lignes L géodésiques de la 
développable S dont L^ est l'arête de rebroussemenl; si l'on prend toutes celles 
qui sont parallèles à Tune d'entre elles, elles forment les arêtes de rebrousse- 
ment d*une famille de surfaces développables parallèles S; l'auteur étudie 
quelques cas particuliers de ces familles de développables et, entre autres, de 
celles qui contiennent un cAne; S se réduit alors à un cône. 

Kônigsberger {Léo). — Sur les intégrales des systèmes d'équa- 
tions aux dérivées partielles d'ordre quelconque (261-340). 

Un système algébrique d'équations aux dérivées partielles, obtenu en égalant 
à zéro m polynômes entiers par rapport à ^ variables indépendantes £,, . . ., ^ , 
à m fonctions inconnues ^,, z^y ..., ^^ et à leurs dérivées partielles jusqu'à 
un certain ordre, peut toujours être ramené au premier ordre. En introduisant 
alors les N racines f, d'une équation algébrique en f, entière par rapport aux 
Yariables indépendantes, aux fonctions inconnues et à leurs dérivées, on peut 

remplacer le système donné par N systèmes résolus par rapport à -j;' » • • •> -7:"'» 
BuU, des Sciences niathém., 2* série, t. XXVI. (Juillet 1903.) R.9 



1e3 seconda membres éiant ilr> 



dM s, des 11 Cl dci ^;'. 

L'aulcuT dùmontrc l'fi 




■jstâmesd'i'rjii -.,,,>.[.■, n ■■ - ]>jiiiifllr! en appliquant [u malimle dr* foBc- 

tioni iiiijoruiii- - i ' i.ilo rli.'|i(-i>(| de ni (nnrliax iirliilt«ir«n itr 

I* — I «rguHiiTii- . ' "invqiic Icsïy*Wmps»inpiilifrftirioW|jnitr-, 

pour iMqucU r< <i>i- n . h r > i r.irliiF double, wot ddlciniinrit |wr de« »}>■ 

tiniu nnuloBUCs, niiii» |ilus siiiipki (ii* ;)), 

L'auteur t'occupe ensuite do rinti^griilion des tyitcinci d'ûriuaiion* tiix itén- 
Tées pirtielies par lu mi^lltade de t« vnriilion des couïl«ntrs. Aprvi i\utr r«p- 
pflt comment celte niiitliude s'upplique diiu 1c cm il'iinc »culc fimcliuH 
inoonnuc. il introduit dan« le c>s général l'intigriie cnoipl^iK qui tifpttti de 
ni;j, conitiintes «rbitruires. L'intégrale i 'lénrle *'tm iMdnd pir l'iaingraiion 
d'un nouveau sy«téaieà m^ variables d<;|. ndanlr«. Ce iiouvcmu «j^ii-hic t-lint 
plus compliqué que le premier, l'auteur ei lose une anire mHlioilc puur patsrr 
de rintégrale complète t l'inl^grale g^ni^rale, rt qui evnduil *u reaultai 
par rinlAgratioii succesalvc de ifat^mes dVqualinBt sui déntén parlielln 
t |t — < variablci indéptndantci ci C< iteoant resparlitriiient (m — ■; (i. 
(ni'— 1)1^ .. ., o constantes. Mallirurcuscminl cella m<ilhMie rrpoM sur l'hT- 
polh^M implicite que l'intégrale itciKnil doit [nnctiotiiai'liiiraircs de )t — 1 >r- 
Sumcnts, maù pat de ieun dàrMts (n* 4), 

Sehrœter (//.). — Conslniclion ôlémenlairc tic i« figure formi^e 
par trois Idlraédrca en position desinique. (3ii-35*). 

Les lyitâmesdesmiqacsdptrnis létrai'ilre^, c'est -â-dire 1rs llgurr* (urniées par 
trois tétraèdres, tels que deux quclcunqucs d'entre eux soient homoluBlqucs de 
quatre manières différentes, les quatre centres d'IiDinuloGie tUanl les «oKii»et« 

mathênialiqiies, 1879) et ont fait l'objet de nombreuses recherches. L'auteur 
donne une construction tout à fait élémentaire de ce» sysiémei. Il pan de ciaq 
points pris d'une manière quelconque dan» l'espace, et mène par l'on de ces 
pointa les trais droites qui rencontrent les trois couples d'arélet opposées du 
tétraèdre formé par les quatreautrespoinis.I^s six points d 'intersection avec ces 
arêtes CI leurs six conjugués harmoniques |iar rapport aux sommet* du tétraèdre 
forment les douic sommets de trois tciraédres en position desmique. Ue plus, 
on peut adjoindre, aux cinq points primitifs, sept autres points, de manière i 
former un nouveau sjsiènie dcsmique de trois tétraèdres, les dix-huit arêtes 
de ces nouveaux tétraèdres roincidant respect ive ment avec les dix-huit arèle^ 
des premiers, de manière à former des divisions harmoniques. L'auteur montre 
ensuite les propriétés dualistiques de ces ligures, les quatre plans d'bomoingte 
de deux quelconques de trois tétraèdres en position desmiqnc étant le* plans 
des faces du troisième tétraèdre. 

Sehrœter {Uciiuieh). — Nolicc iK-croIogiqiic ]»ar R. Slurin. 
(3J8.;Hio). 



UKVUiî DKS PUBLICATIONS. 107 



Tomo 110 (quatre Cahiers). Berlin, 189a. 

Fri>benius (C). — Sur les paramètres différentiels qui se pré- 
sentenldahs la Théorie des surfaces. (i-36). 

f^es paramétres diffcrentiels introduits par Beltrami sont des covariants de la 
forme quadratique de deux diiïêrentielles qui représente le carré de Télément 
linéaire d'une surface. Si 9 = const. est ré()uation d'une famille de courbes 
tracées sur la surface et si 0/1 est Télément linéaire normal à l'une de ces 

courbes, le paramélrc différentiel du premier ordre est / v^ | • Si l'on construit 

un segment de droite dont la longueur soit ^' et dont la direction soit celle 

o/i 

de 6;t, ses projections sur les axes sont trois paramètres différentiels linéaires 

que Tauieur désigne par A^9, A^9, A. 9. Si l'on considère la représentation 

spbcrique <le la surface et qu'au point (j:, yy z) corresponde le point {\, •t\^ ^)<, 

on a de même trois autres paramétres A:?. 1^9, Irr^, Les trois paramètres 

difTéreniicIs bilinéaires qui correspondent aux trois formes 

S dx^', S dx d%, S d\^, 
peuvent être mis sous la forme 

et ceux du second ordre sous la forme 

2:A19, >* SA,(v^A:9) = /A"i:A,f--^A,9V S^??, 

vA \VA' / 

où k désigne la courbure totale. La forme bilinéaire 1 ~h ; //>' ^^ fournit enfin 
un nouveau paramètre bilitiéaiie et deux nouveaux paramètres du second ordre. 
I^s relations qui existent entre ces différents paramètres dilTércnlieis sont uti- 
lisées pour obtenir l'équation du troisième ordre, qui exprime qu'une famille 
de surfaces fait partie d'un système triple orthogonal, et pour obtenir la con- 
dition d'iàolhermic dos lignes de courbure. 

-^ppcll {Paul). — Sur des transformations de mouvements. 

(37-41). 

L'objet de cette Note est de résumer des recherches qui se rattachent à l'ar- 
ticlc de M. Stiickel sur le même sujet {Journal fiir Matliematik, t. 108). 
Étant donnés deux systèmes niiitériels dont les liaisons sont indépendantes du 
temps et ayant le même degré de liberté, (m peut toujours, par une transfor- 
mation de forme donnée, faire correspondre à tout mouvement de l'un des 
systèmes, sous l'aclion de forces dépendant des positions et des vitesses, un 
mouvement analogue de l'autre. Si Ton n^adm'et que des mouvements sou^ 
l'action de forces no dépendant pas des vitesses, le problème n*est pas toujours 



io8 SECONDE PAUTIE. : .» 

possible, et, s'il est possible, la transforma lion conserve les moavejneati géo- 
désiqocs. 

Schwerlng (fC.), — Décomposition de Féqualion de la division 
lemniscatique en quatre facteurs. (42-72). 

Dans un Mémoire précédent {Journal fur Afathemalik, t. 107, p. 196), 
l'auteur a indiqué des méthodes permettant d'obtenir les formules de la multi- 
plication de la fonction lemniscatique. Si 1) est un nombre entier compleie 
impair de la forme a -h 6t\ et si j; = sinamff, on a 

sinam{r^u) = x^j^y 

où 'f et / sont des polynômes qui fournissent la solution du problème de la 
multiplication de degré 4;^ = ^ — i» g désignant la norme de r,. L'auteur com- 
mence par exposer un procédé simple pour ramener le calcul de 9 et / 4 celui 
des polynômes analogues correspondant à des valeurs de Tj de norme inférieure 
(n" 1). Eisenstein avait indiqué deux manières de décomposer le polynômes, 
la première en deux facteurs ; 

la seconde en quatre facteurs de la forme 

A-+-Bv^t; + Cv^^-+-Dv'V. 

L'auteur ramène le calcul des coefficients de Y et de Z, ainsi que de ceux de A, 
B, C, 1) à la résolution d'une série de congruences par rapport aux modules t„ 
T,-, etc. Il démontre en outre que ces coefficients sont des nombres entiers 
complexes pour Y et Z, el qu'il en est de même pour A, B, C, D, sauf si ç e«l 
de la forme lO/u-nij, uuqnel cas il peut s'iiilrodiiire le dénominalcur i — i: 
( n " 2). Enlln (n" 3) la siibstilulion dans Y et Z de valeurs particulières de j, 
telles (juc rt / et "^^ 1, fournit des solutions de plusieurs équations de Pcll asijo- 
ciées au nombre t,, eu parlieulier de ré(]uatiuu 

Kl iniphoff' [W.), — ' Nouvelle représentation géoini'lri(|ue de la 
i'oneliou leinniseatique. (y-^-yj)» 

I/aulrur expose le principe d'une nouvelle méthode géométrique qui permet 
(le rendre compte des [)ropri(''tés de la fonction lemniscatique. Elle repose sur 
la considération de la courbe 

jo -T-yi —■ si n am ( m -f- ni ) u y 
X — y i — sin rt//i ( m — ni ) u ; 

dans le cas particulier traité par l'auteur m = 3, ^ï — 2, on a une courbe d' 
vingt-cinquième ordre avec i44 points doubles autres que les points cyclique? 
les propriétés des points doubles se lient a la théorie de la division des périod< 
de la fonction lemniscatique. 



REVUE DES PUBLICATIONS. 109 

Thomae (/.). — Sur la fonction Wf ' ,, , n] pour des va- 

\« » ? , ï » / 

leurs singulières de ses paramètres. (^S-ioS). 

Dans la théorie de la série de Gauss F(a, b^ c, z), il se présente certains cas 
singuliers pour lesquels certaines combinaisons linéaires des éléments a, 6, c, 

ou bien, en employant la notation de Riemann P( ' * '* n), une ou 

\«S PS Y y I 
plusieurs des diflTérences a — a', ^ — ?', v — v' sont des nombres entiers. Cer- 
taines branches de la fonction F exigent alors une représentation essentielle- 
ment nouvelle, caractérisée par la présence de logarithmes. Les choses se pas- 
sent d'une manière tout à fait analogue pour la fonction plus générale 






définie par la relation de récurrence 

G = (/i 4- a + 1) (/n- «'-4- I) W(/i) -h (n -h a — ?) (/i + 2 — ?') \V(/H- 2) 
— [2/1^4- /i(a -f- a'-i- G — 3 — ?') 

+ (a-i-i)(a'-hi)-t-(2-?)(2-?')-rr']W(«4-i)» 

et dont l'auteur s'est déjà occupé {Journal f tir Mathematik, t. 87, p. 26-73); 
mais ici ce sont non seulement des dilTérénces, mais encore des sommes des 
paramètres qui donnent lieu à des singularités; de plus, le logarithme est rem- 
placé par la fonction V(/t) de Gauss. 

L'auteur étudie les cas singuliers dans lesquels une seule des sommes ou dif- 
férences de paramétres est un nombre entier. Dans l'art. 14, il s'occupe du cas 
a' = a ; dans les art. 15-17, du cas a — a' = v ; dans l'art. 18, du cas a 4- ? = v; 
dans Fart. 19, du cas y = y'? dans l'art. 20, du cas Y_y'=r:v. Eufin, dans 
Fart. 21, il obtient, par un passage à la limite, les formules qui se rapportent 
à la série de Gauss ou à la fonction P de Riemann dans le cas où certaines 
diflTérences d'exposants sont entières, ce qui conduit à la présence de loga- 
rithmes. 

Hilbert {David), — Sur Tirréductibilité des fonctions rationnelles 
entières à coenicients entiers. (104-129). 

Si une fonction rationnelle entière, à coefficients entiers, des variables x^ 
■ ^, ..., (V, f, r, . .., <7 est irréductible, est-il possible de donner k un certain 
nombre de ces rariables t, r, ,.., q des valeurs numériques entières telles que 
la fonction reste irréductible par rapport aux variables restantes? Cette ques- 
tion, dont la solution est importante pour la théorie des équations, est résolue 
par l'auteur. En s'appuyant sur un lemme arithmétique dont l'énoncé serait 
trop long à rapporter ici, il montre d'abord qu'il est possible d'une infinité de 
manières de remplacer, dans une fonction rationnelle entière /(x, t) à coeffi- 
cients entiers, la variable t par un nombre rationnel entier, de manière que la 
loQction de x obtenue soit irréductible. Ce théorème est étendu au cas de plu- 
sieurs fonctions de x et de ^, puis au cas général d'un nombre quelconque de 
. variables. Ce tliéorcmc est encore vrai lorsque le domaine de rationalité est un 



nd SECONDE PARThE. 

nombre algébrique quelconque, les valears numériques doanées aux variables 
paramétriques restant toujours rationnelles entières. 

Les applications de ces théorèmes à la théorie des équation» sont nombrfoies. 
Étant donnée une équation de degré /t en or, les coefncients étant des foficiions 
rationnelles entières à coef(icieats entiers de certains paramètres, il est pos- 
sible, d'une inûnilé de manières, de donner à ces paramètres des valean oané- 
riques entières sans changer. le groupe de l'équation; par suite, il y a uoeinii- 
' nité d'équations de degré n à coefficients entiers dont le groupe est le groupe 
symétrique; de même pour le groupe alterné. Il en est encore ainsi si le do- 
maine de rationalité est celui d'un nombre algébrique donné. Il exisle une 
infinité de corps numériques de degré n qui ne contiennent d*aatres corps de 
degré moindre que celui des nombres rationnels. 

Schlesinger (Ludivig). — Sur les formes primaires qui se prë- 
senlent dans les équations differenlielles linéaires du second 
ordre. (iSo-iS^). 

Si l'on considère en général une solution d'une équation diiïérentielle linéaire 
et homogène à coefficienls rationnels, les valeurs de la fonction correspoodani 
à une valeur donnée arbitraire de la variable forment un ensemble de poioU 
dont l'ensemble dérivé remplit tout le plan, ou du moins une ou plusieurs por- 
tions connexes du plan. Dans certnins cas particuliers, cet ensemble se com- 
pose de peints isolés. Pour les é(|uations difrérentielles du second ordre, Hfaal 
et il suffit pour cela que le groupe de l'équation diflérentielle soit discontinu 
et que les points où il est improprement discontinu forment tout au plus des 
lignes. Il en est ainsi, par exemple, lorsque la variable indépendante Ç est une 
fonction uni forme du quotient t, de deux intégrales fondamentales; mais relto 
condition nVst pas ncccssairo. L'auteur se propose d'étudier cette classe dVqua- 
tions (liirénMUicllrs du second ordre A j;roiipe discontinu qui est la pénérrflisa- 
lion immédiate des ci(uations à intégrale générale algébrique et de lenrélcndrc 
la théorie des formes primaires qui, pour ces dernières, joue un si grand rùle 
dans les travaux de M. Fuchs. 

Dans le n" I, l'auteur démontre que, si le groupe d'une é({uation différenliollo 
du second ordre est disconliiui, la dépendance analytique entre l elr, esldclinic 
coniplèlemenl par un certain nombre de relations uniformes 

correspondant chacune à un des domaines L dans lesquels le plan de U 
variable ^ est partagé d'après la théorie du polyèdre générateur «le Poincarè. 
Les fonctions pcrmcltcnt alors de former une infinité de formes homogcn« 
des deux intégrales fondamentales et qui sont égales à des foncti<ms uniformes 
de ;; l'existence de telles formes entraîne d'ailleurs réciproquement a\ec elle 
la discontinuité du groupe. 

Dans le n° II, l'auteur, pour élemlre la théorie des formes primaires, sup* 

• pose que le genre du j^roupe est z.éro et que le domaine d'existence L de h 

fonction fuchsieniie ou kleinécnnc correspondante est siu>plement connexr 

Sahs points singuliers essentiels à son intérieur. Hn introduisant celte fonction!' 

définie à trois constantes arbitraires près, il est conduit à la notion de forni 



HliVUE DES PUBL1CAT40NS. m 

uniforme invariante de degré r, qui, par multiplication par \-p-) s devient 
la racine d'une fonction rationnelle de x\ ces formes sont entières si cette 

r 

- fonction rationnelle ne devient infinie que comme ( -^ j • Les formes pri- 
maires sont les formes entières qui ne s'annulent que pour une valeur de t^, et 
les valeurs homologues. Toute forme uniforme invariante entière est alors un 
produit de formes primaires : après avoir donné Texpression de ces formes 
primaires, il passe en revue les différents cas qui peuvent se préscnler relati- 
vement au degré v de Féquation différentielle. Dans le n* III, il étend. la 
théorie au cas où le groupe de Téquation contient des substitutions parabo- 
liques, levant ainsi une restriction faite au numéro précédent. 

Hamburger (^M,). — F2xtension d'un théorème de PfafT aux équa- 
tioDS aux dilTérenlielles totales simultanées du premier ordreet 
intégration d'une classe d'équations aux dérivées partielles 
simultanées. (i58-i^6). 

L^auteur se propose, par Tcxtension d'un théorème célèbre de PfaflT, d'effec- 
tuer sur les premiers membres d'un système de p équations aux différentielles 
totales à n variables j:,, x^^ ..., x^^ une substitution linéaire telle que les p 
nouvelles expressions différentielles obtenues ne dépendent plus que de a — i 
fonctions ^,, ^'2, ..., y^.\ des x et de leurs différentielles. Dans le cas où 
P'^n est impair, les y satisfont à p équations aux dérivées partielles linéaires 
qui doivent, par suite, admettre les mêmes solutions; le problème, pour être 
possible, exige {p — i)(n — p — i) relations entre les coefficients du système 
donné. Si /? 4- /t est pair, le problème est en général impossible. Une fois les^ 
déterminés, l'utilisation d'un système d'intégrales fondamentales permet d'ob- 
tenir la nouvelle forme du système donné sans changement de variables.' La 
théorie s'étend au cas où Ton se donne r relations entre les variables x. 

L'intégration d'un système de p équations aux dérivées partielles du premier 
ordre à p fonctions inconnues de m variables indépendantes se ramène à 
celle d'un système de p équations aux différentielles totales -k n — p -h m -t- pm 
variables liées par/» relations, le cas où la réduction de Pfaff est possible cor- 
respond à une classe de systèmes d'é(|uulions aux dérivées partielles du pre- 
mier ordre dont on peut obtenir facilement l'intégrale générale; le système 
réduit de Pfaff s'intègre immédiatement au moyen de p fonctions arbitraires 
de'm— I arguments et les p équations données permettent d'éliminer les mp 
dérivées des fonctions inconnues. 

Enfin l'auteur donne une nouvelle forme du système à intégrer pour opérer 
la réduction de Pfaff et qui fournit également le déterminant de la «ubsti- 
tution. 

Guizmer (August). — Remarque sur la formule thêta de Jacobi. 
(177-179). 

|^*autear démonlre la célèbre formule à quatre terunes de Jacobi en rcinar- 




119 SKCONDF. TAUTIE. 

quant qu'elle peut itrc cansîiJërte comino une relution entre dt* {oaviîSSSU 
second ordre; on peut, par suite, l'ohlenir presque immédialenient en partant 
da principe qu'il exisie nécessaire ment une relation linéaire ii cocfTieienii con- 
slanis entre trois fooclioni i du second ordre aux mimes périodes. 

Heniel{K.). — Sur les ëqiialions à l'aide desquelles onilétcrinine 
les perLui'bations séculaires dos jtlanëLes. (i8o-i83). 

Soient /(2) un pnlynomc entier en x de dcgri n, i coefQr.lcalii r^U; 

a,, x-, 'l'.-un système de n poiyoumes liaëiiremeat indipendaiit» ta"- 

dule/(x); que l'on forme les congrucnfca 



r*qn« 



n/(^) = 



JVetto {Etigeii). — Applicalion des systi'^mcs de modules à iiti 
llieorèine de Géoniéirie et à la loi d'inertie des formes tjiiaiira- 
liques. (184-187). 

Le théorOme ea question. Viioncpr sous forme gi^amiïlriquc li 

loi d'inertie dc« formes quad - suivant : 

Si l'on coiuidére, dans l'eipace à n dimentiont, le cane du tecoiui ordre 



e de n direction* conjuguée*, ■ *ont tituée* d'un 

Pochkammer {L.). — Sur la réduclioD de l'équation dilTërentielle 
de la série ^{pt, pj, -.., pn-i ; ^)- (188-197). 



l.î.f,(p,+ l)Pj(p,-H 

n dilTérentieile de la fi 



dx- 



' dx~-' 



-'dx 



In I. étant des constantes. Celte équation admet n — t autres intégrales obte- 
nues en multipliant des séries analogues i la première par des puiistacet de x 
et qui conjiituent avec cette série un système [ondameatil d'intégrale». L'au- 
teur rniiiOncrinléKratinn i celle d'uue équation de même (orme et d'ordr«n — i. 



REVUE DES PUBLICATIONS. ii 

en prenant pour y une intégrale définie 



et (r 

a 



de, 



les limites ^ et A étant constantes, S étant une fonction de t, 

Kàiier (Ernst). — Sur les polyèdres d'espèce donnée qui, sous 
un volume donné, possèdent la surface minima (premier Mé- 
moire). (198-229). 

Deux polyèdres convexes sont dits de la même espèce lorsqu'il existe entre 
leurs sommets, leurs arêtes et leurs faces les mêmes relations topologiques. 
Steiner a montré que, pour les pyramides et les doubles pyramides, le polyèdre 
d'espèce donnée qui, sous un volume donné, possède la surface minima, jouit 
de la propriété que toutes ses faces touchent une même sphère en leurs centres 
de gravité. Lindelôf a généralisé ce théorème et l'auteur s'occupera de ce théo- 
rème et des restrictions auxquelles il est sujet dans un autre Mémoire. Dans 
celui-ci, il examine le cas des polyèdres P^ qui se déduisent des doubles pyra- 
mides en supposant que les deux sommets B,, B, des deux pyramides sont en 
ligne droite avec l'un des autres sommets A, du polyèdre; P^ a alors n — 3 angles 
tétraèdres, deux angles tricdres et deux angles /t-èdres. La recherche du polyèdre 
de surface minima se rattache à la théorie de la division des fonctions ellip- 
tiques. Le polyèdre a deux plans de symétrie dont l'un contient BjB, et l'autre 
loi est perpendiculaire. Il est convexe si n<Bf concave le long de BjB, et 
convexe ailleurs si n'tii. Dans le cas de /i = 5, 6, l'auteur traite la question 
directement par une méthode purement algébrique. 

Schumacher (Robert). — Les sjslùmes de points sur la droite el 
leur application à la génération des courbes planes algébriques. 
(230-264). 

Le but de ce Mémoire est l'exposition d'une méthode purement géométrique 
qui permette de traiter toutes les questions se rattachant à la Géométrie de 
position, en s'alTranchissant de tout théorème qui ne peut être démontré que 
par le calcul. Elle repose sur la considération des systèmes de n points sur 
une droite, un groupe de n points jouant le même rAle qu'un point d'un espace 
à n dimensions. Par exemple, pour /i = 3, deux couples de points déterminent 
une involution et deux involutions ont un couple de points commun; un 
couple de points est donc l'analogue d'un point et l'involution d'une droite 
d'un plan. Cette analogie devient évidente si l'involution est portée sur une 
conique; à tout point du plan correspond le couple des poinife de contact des 
tangentes menées du point à la conique; à toute droite du plan correspond 
alors une involution. 

Des systèmes de deux points on passe aux systèmes de trois points et, d'une 
manière plus générale, aux systèmes de n points; une série r^^ est un ensemble 
de groupes de n points dont chacun est défini lorsqu'on se donne jâ. de ses 
points. On arrive aux séricH r^ ^_ , par rintrrmcdiaire <lcs séries singulières. 
tous les groupes d'une telle série a>ant un point commun, et qui résultent par 

Btiii. des Sciences maihém.f !>* série, t. WVL (Août 190a.) R.io 




m sl■;(:t)^ 

"uitc d'onc »ertc de groupes ajint « — i poinU- Cm »frie» '■..,_i fnnnciil «to 
rnisceaui et des i;erbes de t'mlns ilimrnsian»i nne K*-''*''" t n — i dimeatiuni 
déieriuiiie un groupe Ac n poiuts réeU va inagiiMiirs; une Ki-rbc do r..,, eti 
analogue A un point d'un espace k n (liincntJunii une wrio r, ,_, i une mulu- 
plieité plapc i n — t diinensioiis dp ect esplc«; le» gruupss d* n (luinlt con- 
londus eorrespundfnt ^lun i unr courbu normale d'ordre n, le» Mriei «tngu- 
Ii*rr? /-^ „_| .10» t'nj||i|.|icilrf» pldTics fl n — i dinieoiion; o«;uI>lriees à relie 

c Il' l' i.i'K I > r.'.iii.ri i|'li<iiti'igripliie et de coirtlntion le conduit Hut hanûet 

I /'"■■■ ' I Xi'lle): pui'uii reiderniêru», lei chHtn» normale* juueni 

ti: r'i I' ■'■'• '!■'— tle^'ri^ A deux iucounui^» (Tune tftant Ici un p*tt- 



Schlcsinfier {Liulivi^'). — Sur les équations difTércnli^Iloï 
linéaires et hniitci)>ëne!i du second ordre pour lt!s<|iifllcs In 
fi.iirlioD d'inv.-rsiuM cs( il'i.n.^ multiformllr de dL-^rc fini. (a63- 
'i8<)). 

I)an« un Irsvsil prùGi!di.'nl du tllCinc Tunis, l'tuleur a monli'é l'aitalagie qui 
etisle entre les <ïqu<j lions dilTéreutielIci du oevond ordre, à coefficients rationocU 
et i fruupe diicoulinui et celles dont l'intitsrile gin^rile est al^Hiiiie; l'ana- 
logie devient plu« ivideate encore si l'on considère collei de) équations dilTc- 
renticlles A groupe diiconlinu piiur lesquelles le nombre dea valeur! de la 
variable indépendante E <{ui eurreapoodent a une valeur donnée du qaalirnt t, 
de àtax intiïgrales est fini. L'auteur donne le* condiliona aédcsMire* ot siilii- 
laut» pour qu'il en «oit ain», en supposant que le groupe de l'tquatiwn «iiit 
un groupe fueliiien, nécessairement de Ecore aéro; chaque forme - uniturmc 
invariante des Intéfn'ali^s tondamcntalr» est la racine d'une fnnelion rAïkinnelle 
de \; il en résiilic de» priiprit^té^ pour liva riciin-i di's i^iiiialiom londaiiirnl^lri 
caraelérisliqiics relatives aux point» singuliers. L'auteur termine par une p^né- 
ralisalion de la génération de» fonctions fuclisienncs d'uoe certaine classe au 
moyen d'une triinâformiiliun répiïtée un nombre inGni de fois et qu'il avait 
indiquée pi'écédciiiuii'nt {Journal /Ûr JUalliemalik, t. 105. p. iHi). 

Vilfredo Parclo. — Sur les fonctions génératrices d'Abel (Lettre 
adressée à M. L. Kronccker), (ago-îaS). 



H tour 

les dé 


a pour but de préoi»er et de compléter la tliéoria de» fonction: 
s d'Abc! et de montrer la fécondité de ses application», sp^cialemem 
veliippemoiils .-n série des fonctions sjnectiqucs dans une aire. Abc 




■riT.)=Je-J{'.)d->. 


>ppelU 
ipe sp. 


■ ç la fonction génér.ilriit de /, cl / la déU'rminanle de ç. L'auteui 
i^cialcment du cas oii ? lsI un polynôme entier on x; on peut alor» 


Ire po. 


ir/iin i>cdynome eu -, l'mtésrale l'tanl étendue a une courbe fer- 



HEVUlîDES PUBLICATIONS. ii5 

sous certaines conditions; /est alors représentée par une série convergente pour 
des valeurs suffisamment grandes de v. 

Lorsque, dans ces conditions, on considère ^(x-ha), ©'(x), / ?( J?) dXt les 

déterminantes de ces fonctions s'obtiennent respectivement en multipliant celles 

de ?(x) par c*\ v, -; plus généralement, si 5, ^{x) est une opération linéaire, 

à coefficients constants sur 9(x), ?(J7-Ha), leurs dérivées, leurs intégrales^ 
leurs différences, etc., la déterminante de 5, ^(x) s'obtient en multipliant 
celle de 9(x) par une fonction <l>(v) qu'on appelle la déterminante de Topé- 
ration 8,; la déterminante de l'opération 6, $^_, ... 6, est alors le produit des 
déterminantes de 5,, . . ., 6,. Cela permet, par des développements appropriés de 
ces détermioanles d'opérations, d'exprimer, sous certaines conditions, certaines 
opérations au moyen de certaines autres et de retrouver une très graixle variété 
de formules célèbres. Contentons-nous de citer la formule qui donne les déri- 
vées en fonction des différences, le développement de 9{x-+-a) en une série 

\\x^^^^x -h^b)t certaines formules de sommation dues à M. Kronecker, 

6 
certaines formules d'interpolation; la méthode employée les déduit, en général, 
de différents développements de la fonction exponentielle. 

Schottky (F.), — Stir le théorème d'addition de la colangenle et 
de la fonction Ç(w)= — (324-337). 

La cotangente étant définie par le développement connu en série absolument 
convergente, l'auteur démontre directement, en l'appuyant sur la règle de mul- 
tiplication des séries, la formule 

cota cot V -+- cotM cottv -♦- cot V coitv = I pour m -+- v -+- tv — o, 

et en déduit Téquation différentielle 

cot- M -+- 1 -4- cot' M = o. 

Il procède de même pour la fonction ^{u) et démontre ainsi, sans s'appuyer 
sur le théorème de Liouville, la formule d'addition 

ll{u)'h^{v)-h^iw)y'*-Ç{u)-hÇiv) -hÇiw) — o pour a-hv-+-w = o, 
eo partant du développement de 

C(w)C(i')-f-^(M)!:(iv)-f-î;(i')!;(iv). 

Busché {E.). — Sur la fonction E(.r) à arçumenl complexe. (338- 

348). 

La fonction E{x-^yi) de la quantité complexe x-^yi peut se définir 
cooiaie le nombre entier complexe a -¥ bi satisfaisant aux conditions 

X -- I < a ' X, y — ^ <>b y^ 




ii6 SECONDE PARTIE, 

et l'on p«ut lui associer Irnis autres ronctions analogurs qui n'en didïrfBI^ 
li l'une des quantiii^s x oa y est enlière. L'uuleur ddmontn l'eiiilcnct if 
relations d'identilé entre certaines sommes dont les termes sont dc< oprO' 
sions E d'arguments cunipleics; en purliculicr, il établit une formule qui ntatut 
nne telle sorome- ^irmlue h ua domaine à deux dioicnsioa! t des ïnmin» m 
rapportant i des courlits limites. 

Netto {E.). — Remarques sur l'ArlicIe de M. G. Landsberg : Sur 
la théorie <fes fractions continues périor/it/ties, I. i09, 
i^MevSda Journal. (S^g-Soa). 

L'auteur montre que les résultats obtenus par M. T.andsberg peovcnl, en w 
plaçant i un autre point de vue, <':lre iduits facilement des di^vi'lo(>prment* 
exposés par l'auteur dans le Tome \XI\ des Afatli. Ann.. p. l'ii : Sur un al- 
gorithme teroant à la résotiilion dea égualioni numeriquet: il siiflit dr In 
appliquer i l'équntioti 



Le Tome se termine par lit Table des Matières contenues d.ins le; 
Tames 101-110. {353-3(J2). E. C. 



Dand lli (35j payes). Berlio; 1893. 

Kônigsberger (Lco). — Sur l'irréductibilité des s^slèmcs d'éqtia- 
tions au\ dérivées partielles algébriques. (i-a5). 

L'étude des circonstances qui se présentent pour une Mule équation aux 
dérivées partielles du premier ordre, et pour un système de deux telles équa- 
tions, conduit l'auteur A préciser la notioo de l'irréductibilité des systèmes 
diCTcruntiels plus généraux de la manière suiiaote ; 

Le système sera supposé mis sous la forme 

<■> |êr=». ('-■ "). 

les fonctions G, G , G„ étant des fonctions entières des variables indépen- 
dantes i„ :„ ■■■, '^, des variables dépendantes u„ u,^ .. ., u_, des dérivées 
partielles des u, par rapport aux variables z„ 2,, ..., s^, et de la quantité 
auxiliaire (, ; cette dernière est racine de l'équaiion en t 

"{' -." "-S '^•')-- 

qui est supposée algébriquement Irréductible. On dira que le système (1) est 

lie classe m, it k du^ri: di: l'équalinn (1) en { st'ra dit le degré du système (1 ). 

Cela puié, U' Mstème (ij e«i dit irréductible si aucun système de 1, 1. i 



REVUE DES PUBLICATIONS. 117 

ou m — I fonctions fip i/,, ..., u^_, appartenant à une solution do (i) n^appar- 
tient en mùmc temps à une solution d'un autre système diflrércnliel du premier 
ou du second ordre auquel M. Konigsberger impose certaines conditions pré- 
cises. 

Avec cette déGnitioa de l'irréductibilité subsiste le théorème général sur les 
équations algébriques ou diflférentielles ordinaires irréductibles : 

5t ie système irréductible (i) admet une solution dans laquelle tout ou 
partie des /onctions u^ ..., u^ appartiennent à une solution d'un autre 
système de même forme, qui soit de cUisse supérieure à {i) y ou de même 
classe mais de degré plus élevé, toutes les solutions de (i) satisfont à ce 
nouveau système. 

MirimanOjff' {D.). — Sur réqualion x'^ -f-^'^ -H 5*^ = o. (a6-3o). 

L*autcur applique les résultats d*un précédent Mémoire à la démonstration 
de Timpossibilité de la résolution en nombres entiers de l'équation considérée, 
au sens de Kummcr; ce qui est un cas particulier d'un théorème général de 
Kummer. 

Cardinaal (/.). — Sur un cas particulier du sjrstème lioéaire 
de 00' quadriques et sur Fespace eu relation projective avec ce 
système. (3i-43). 

La correspondance projective entre les quadriques d'un système linéaire tri- 
plement indéterminé et les points de Tespaee, étudiée par Ileye dans le cas 
général et dans le cas où les quadriques du système ont une conique en 
commun, est étudiée en détail par l'auteur dans le cas où les quadriques du 
système passent par une droite fîxe. L'auteur insiste en particulier sur une 
surface développable du sixième ordre qui correspond aux couples de plans 
faisant partie du système : les propriétés diverses de la correspondance étudiée 
sont rattachées à celles de cette surface fondamentale. Puis sont examinées les 
particularités qui se présentent quand les quadriques considérées ont, en plus 
de leur droite commune, un, deux ou trois points communs. 

Schafheitlin {Paul). — Sur la théorie des équations différen- 
tielles linéaires à coefficients rationnels. (44~^2). 

Suite d'un Article publié dans le même Journal, t. 106, p. 285>3i4. 

L'auteur y avait étudié le mode d'existence des intégrales des équations 
linéilpres à coefficients rationnels au moyen d'une forme normale donnée à 
l'équation proposée. Dans le Mémoire actuel, l'auteur simpline, au moyen de 
notations mieux appropriées, les résultats qu'il avait obtenus. 11 les couiplète 
ensuite en traitant le cas 011 certains éléments de sa forme normale sont des 
nombres entiers, ou ont pour différences des nombres entiers. Les résultats 
obtenus sont du reste des cas particuliers de résultats généraux de Fuclis. 

Hess (Edmund), — Remarques sur le Mémoire de II. Schrotcr : 




)|S SECONDE PAIlTiE. 

La configuration ( r a , , 1 1), ) rfc Hessc (mt^ine Journal, l. CVIII, 
p. a69-3ia).(63-58). 

L'inteor montre igiiL' les [irnpri<^l<^i de la ci>nli)tursiion [ii„ il),)A ritnlmt 
ds ceqn'on pent la ('(in.^îdér» comme une peripeclivi piano d'an tjnHatitt- 
iniqne de trait Utruêdrc; ( Stei-hanob, Bulletin dtM Scitneet matMmaOjtn 
«•««rie, L IIl, 187g). Il n'en est pas de même de la conOguratiun (ii„iS,)B. 

L'nnteur ajonte quelques remarques «ur les relaliane ([n'iin priit fuliliTMtR 
lea deux conflgnntions. 

HeffUr (£.). — Sur un cerljiin svsLèmc d'équations lini^airesbo- 
mogènet. (Sg-63), 

me «iiivjnl. i]iii iiili'rvieni dans In Ihi^nric d» c^qiialroiu 
TnuMT ta eonUiiions nécessaires et mi/fixaiiieii [,i>ur •/ne le t/Miat 



Vn,,J-, = rj (I = '. î 'I) 

>, quaiul on lappote hhU a„ «i ai ca 



Krazer (Adolf). — Sur un problèone spécial de la traDifonDitioa 
des fondions thêia. (64-86). 



'[f]«"''-""'l 



V+«i-H"'i'-+<'i.i + » 1. 



U strie 3 lii plus gciiiirak. Ko moyen de la mélliode de ta compmilii'n Jn 
transformations, l'atiieur oblient des formules siiiiptca rxpriminl It I»»'!»" 
a[^l(C")), au moj-en d. fontl.ons 3r*1((i<)),. cl mvc.s.-niLnl. d." i» 
cris uii la paramùtres b ■ sont liés aux paramiLrts n_- pur des rclitiont 

où n est un entier j.Dbiiif ci nii les e^^. sont dos entiers tels r|uc e^. = V 

Laiidaberg {Georf;). — Sur la iléterniinalion d'tin nonilire «' 

,.,.c.éric,|uis>r;.|,|>orlc.(8;-83). 

Cunsidéra Ml comme fSquivalents deux systèmea rectangulaire), i » ''ô"'' '' 
/ foloniii-i, d'éléments entiers rc?pecliïemciit congrus drui â deux iui'M' "° 
ui.idule pjvuiier p. l'julcur mi.iitre ciiic le iioiiibrc .ks systèmes diiti""^' ''' 



REVUE DES PUBLICATIONS. 119 

rang r (suivant le module p)^ est «gai à 

cl rattache à ce résultat une transformation d^un produit infini en série, donnée 
par Jacobi. 

IVallenberg (G.). — Sur les équations difTérenticIles linéaires 
homogènes, dont les intégrales fondamentales sont liées par des 
relations algébriques. (89-97). 

On suppose que m intégrales distinctes de Téquation 

soient liées par m — i relations algébriques. L^auteur montre que si p^ est 
une fonction algébrique non identiquement nulle, si /», est la dérivée loga- 
rithmique d'une fonction algébrique et si l'expression 

p i c//»!''' 

n\>st pas une constante, lery intégrales sont algébriques. Les autres cas sont 
étudiés seulement pour m = 3 : on retrouve des résultats de M. Fuchs. 

Siahl (^H.). — Sur une formule générale pour la résolution du 
problème d'inversion de Jacobi. (98-106). 

Les équations qui définissent le problème d'inversion de Jacobi s'obtiennent 
en égalant à p quantités arbitraires U,, IJ5, ..., U , p sommes de p intégrales 
de première espèce ayant pour limites supérieures les inconnues x^, x^^ . . ., x . 
La solution du problème, donnée par Hiemunn, revient à exprimer le loga- 
rithme d'une fonction thèla ayant pour arguments U,, Uj, ..., U en fonction 
symétrique d'intégrales abéliennrs et de fonctions algébri({ues des inconnues 
^%i •••» ^n- ^'^^^ est susceptible de formes très diverses, données, entre autres, 
par Weber, f)ar Nother et par Klein. L'auteur montre que ces formes sont 
contenues, comme cas particuliers, dans une formule générale à laquelle il 
arrive en transformant une formule fondamentale de Uiemann. 

Sclimidt (Hermann). — Trois démouslrations nouvelles de la 
loi de réciprocité pour les résidus quadrati(]ues. (107-120). 

Première dénwnstralion. — p et q étant des nombres premiers im[)airs 
et J/i leur diirèrence, on élablil, en se servant du leiiime de Gauss, la formule 



im-'^-> 






et l'on achève fa* ikiniiil 



4/^ 

S . 



120 SECONDE PARTIE. 

Deuxième démonstration. — Elle esl foadée sur la formule prélim maire 

[P^,(mod/))]x[P^,(mo(l^)] = (-i)L î t J, 
comparée à 

P„(ino<l/>) = (2){-.)- 

P étant le produit de tous les restes positifs premiers avec j9ç(mod/>9). 

Troisième démonstration, — P étant un nombre impair premier avec a, m 
désigne par ^'( ts ) le nombre des restes négatifs dans la suite 

P — I 
ût, a a, ..., a (modP), 

et par ^( p) le nombre de ceux de ces restes qui sont premiers avec P. De^ 

relations entre ces deux nombres on conclut la loi de réciprocité, soit par 
l'emploi du théorème de Dirichlet sur les nombres premiers en progressioo 
arithmétique, soit en se servant du principe de l'induction complète. 

Hamburger {M.), — Sur la réductibililé des équations différen- 
tielles linéaires homogènes. (i2i-i38). 

On doit à M. Frobenius le théorème suivant : 

Si une intégrale d'une équation linéaire homogène à coefficients uni- 
formes s'exprime au moyen d'une autre intégrale et de ses dérivées par 
une formule linéaire liomogène à coefficients uniformes, cette équation al 
réductible. 

L'auteur donne une démonstration directe de ce lliéorème et étudie la nature 
des équations linéaires d'ordre inférieur, à coefficients uniformes, avec les- 
quelles la proposée a efreclivement des intégrales communes. Soient V{)')-^ 
l'équation considérée et y^ et t,, les deux intégrales liées par une relaliun 

où V est inférieur à Tordre n de \^{y) = o. En écartant le cas banal où /i fl^u 
n'auraient pas l'une et l'autre n brandies indépendantes, M. Haniburficr 
montre qu'on peut trouver pour la constante w une équation algébrique"^ 
dej;ré n, qui exprime la condition nécessaire et suffisante pour que P{y)~^ 
ait une intégrale commune avec 

Pour toute racine simple de l'équation en w, il n'y a (|u'une inté{;rale «'f""- 
mune à V{y) -o ci f(y, (o ) — o, et elle se calcule par une quatiralurr. 
L'auteur examine en détail le ra-^ où rérjualion en ui a des ra< irie> uiullipl^'' ^i 
applique ses icsuhats au cas // i^ a. 



REVUE DES PUBLICATIONS. lai 

fensel(K.). — Sur la représentation des fonctions algébriques 
entières d'une variable au moyen d'un système fondamental. 
(iSg-iSS). 

Soit y une fonction algébrique entière de â7, c^est-à-dire définie par une 
équation dont les coefficients sont entiers en x et dans laquelle le coefficient 
de la plus haute puissance de y est Punité. On considère toutes les fonctions z, 
de la forme x = M,-h Mgy -h. . .4- M.y^"~*>, n étant le degré de l'équation en y, 
et les Uf des fonctions rationnelles de x, et Ton se propose de trouver toutes 
celles qui sont aussi entières, Kronecker a montré qu'elles s'expriment au 
moyen de n d'entre elles convenablement choisies x„ x,, ..., x^, qui seront 
dites /or/ît^r un système fondamental^ par la formule générale 

X = tV,X,4-...-f-tV.X., 

OÙ les w^ sont des fonctions entières quelconques de x, M. Hensel donne une 
méthode nouvelle pour construire un tel système fondamental. Il montre que 
tout revient à résoudre le problème suivant : 

y\t Xi* '"t Xm ^^o,nt n fonctions algébriques entières indépendantes, trouver 
la forme générale de n polynômes entiers en x i u^^ ...^ u^j tels que la 
fonction z = u^y^-{-, . .4- u^y^ soit algébriquement divisible par un binôme 
X — a donné. 

La solution de ce problème ne dépend que de la résolution de systèmes 
d'équations linéaires. 

(ônigsberger (Léo). — Théorème de la conservation d'une liai- 
son algébrique entre les intégrales de divers systèmes d'équa- 
tions aux dérivées partielles algébriques. (i56-i6g). 

L*aateur considère d'abord des équations de la forme 

où a,, ...,a^, Y sont des fonctions algébriques de x, ...| x„. Soient (i|» u,, ..., 
u^ des fonctions satisfaisant respectivement à m telles équations, supposées 
irréductibles (au sens défini par M. KOnigsbergcr dans le Mémoire analysé ci- 
dessus), et soit V une intégrale d'une (m -4-1)'*"** équation de même forme. 
Pour qu'il puisse exister une relation algébrique entre u,, i/,, ..., u^f Vj x, 
X3, ..., x^, il faut et il suffit que toutes les équations considérées aient même 
premier membre, que l'équation sans second membre correspondante ait toutes 
ses intégrales algébriques, et que Téquation 

àf àf 

"» 5x - dx "^ ^ ■" Y'?«"~ Y»^»""* • •- ^'"^-» 

ait aussi ses intégrales algébriques ( y,, ^2» • • • » Tm ^^ Y sont les seconds membres 
des équations considérées, et ^p . . ., ?^ des intégrales de l'équation sans second 




SBCONDli l'AKTI 11. 
itune intttgralR de celte 6qu«tian, U rvUiinti ci 



Le tUorCine anaonei est, dan<t 
on j remplace h,, u,, .. ., u„ i>ar 
coniiiUréet, v dereluni alors un 

Ce tbéarème l'étend aus sysirmcs d'équat 
tcaqneti l'utenra défihi J'iiT^ductibilité dan: 
pins hant). 



cas aciuri, i|uc ecixc rdalioniubsi^tcquinJ 
nlilrcs inlfgralrs quelcnnqu» dn équiltuni 
nuire intégrale de la [/n+i)"~ ^qunlii'ii 

DS d'équations aux dérîvéï^S partielle» pnur 
sou précédent Mémoin: (•inlji 



Sur la niitolulioa des éqiialions de la dWm 
qui se raitacKcntàla lcmniscalc.(L;< 



a été sifinaUc par Kroncckcr ; cllci rlniv 
M i ctictflr.itnls complexes, un ritle innb; 
du la diïjsinri du ccrclo pour lu fijuiili' 



Sehfvering (AT. ). 
de* fonctions eUipii<jii< 
"4). 

L'importaaee de ces équation: 
Joner, pc«r le* éqnitions alx^lipii 
i celui que Jouent lei 6|ii.>iiim: 
abéliennest CoefficieoU .-niur:^. ni.u- hMirr'lii.U' rr^tl.m .< h<itv m |.r.'.<ri[.>i<l' 
grandei dilBculUB. Par l'introduction de ijitèiDes de tnna iadicei, l'tilM' 
rfusiit k mettre en évidence des relitioDs simplet entre lea racine* de> t^ 
tioni couidérée*. Il obtient également de* rimlUU importanta poor II bm- 
tioD effective de leurs résolvante*, nâtamroent tccaleold'nnecBtaiB* foMiot 
cjcliqne par une sorte de développement en fraction coatinne, et lidflo*'' 
bation d« discriminant de l'équation. Il traite enllB compÛteMcat linn 
exemples numériques. 

Sldckel{P.). —- Sur la théorie de la courbure totale de Causs- 
(ao5-2o6). 

Démonstration de l'invariance de la courbure totale et de son premier t""- 
■nùtrc dilTérentlel, dans les défurmalions d'une surface, fondée sur la rnnip)- 
raison des développenicnls en série des x de deux surfaces, considérés caoïie 
fonctions de x et. y {x, y, « coordonnées rectangulaire» ). 

Uauck (Guida). — Théorie de la correspondance Irilméairedes 
systèmes plans. Cinquième Article. Résumé cl cas particulier! 
importants. (Voir les Articles précédents : même Jouniil, 
t. 95, 97, 98, 108.) (207-233, avec une Planche). 

L'auteur rappelle d'abord les propriétés générales de la corretpondance l"- 
linéaire proj'ective entre trois systèmes plans : cliaquc système de iruispi»'''' 
associés peut être représenté en (général par les trois perspectives d'un '""'" 
point de l'espace, [aites de trois points de vue dilTcrents sur trois plansdiUt- 
Tcnts. Il étudie ensuite la correspondance trilinénire itclixf, qui se déJa'"'' 
la précédente au moyen du principe de dualité. Mais l'Article est plus spéciik- 
ment consacré i l'étude de ta manière dont se mudifienl les résultats géncn°> 
précédemment obtcuus dans les trois cas particuliers suivants : i" te« poinli' 
l'infini de» trois axes principaux de la noirespumlante sont trois poiona»"' 



REVUE DBS PUBLICATIONS. i23 

ciés; 3* les droites à Tinfini des trois systèmes plans se correspondent; 3** les 
droites à IMnfîni se correspondent, et deux faisceaux nodaux opposés quelconques 
sont congruents. 

Landsberg [Georg). — Sur la théorie des sommes de Gauss et 
la transformation linéaire des fonctions thêta. (234-253). 



&3(;,t)= lim ——-—dWy 



L'auteur établit d'abord la formule 

OÙ p désigne le contour du rectangle formé par les droites y =± b^ et 

b désignant une constante fixe, et N un nombre entier positif quelconque. En 

développant sous le signe / la fraction -^^^^ en série, on obtient facilement 

la formule fondamentale connue 






La loi de réciprocité pour les sommes de Gauss s'en déduit par la considéra- 
tion d'expressions de la forme p&j f o, •-*?')» où l'on fait tendre p vers zéro. 

En modifiant légèrement son analyse, M. Landsberg y arrive aussi directement. 
Il s'occupe ensuite de la détermination de la racine huitième de l'unité qui 
figure dans la formule générale de la transformation linéaire des fonctions 
thêta, et en donne une expression explicite en fonction des quotients incom- 
plets des deux fractions continues égales à - et - fia transformation étant 
supposée définie par les formules 

T= - -^> C = 5» ao — PYrslI- 

Schumacher {Robert), — Les systèmes de points sur la droite et 
leur application à la génération des courbes planes algébriques. 
(Continuation de l'Article de la page 264 du Tome 110 du même 
Journal). (254-276). 

Soient P et P' deux points, g une droite du plan, P^ le point de rencontre 
de PP' et g. On considère la chaîne normale K d'ordre n du système de /* points 
de g, ayant P^ pour centre; on la suppose en relation projcctivc avec la série 
de points p' qui a g pour support, do m.inière que le groupe principal (P^) 
corresponde au point P^. ( roi/*, pour la définition des cléments introduits, 
l'analyse du précédent Article rappelé ci-dessus.) On projette, de P comme 
centre, les groupes de K, et, de P' comme centre, les points p' qui leur corres- 



i]j SECOND!' PARTIR. ^^^^| 

pitndcnt r»p«cLireiiienl : le liiu des |>i>inl* d'inierscPtion iIm pmJKlinbi Ii»- 
molugues nt udc courbe d'ordre n. Un iliéor^me tundaiticnul csl alori qa'oi 
peul remplai'cr le» pciinls P cL H' par deux aiilrci piiint) qurkonqucidu pUn. 
L'autear définît ensuite, en fiiisanL îaLiTvrnir del canlidérattoDl *iaJn|i»i,>t 
fiisreau de courbes d'ordre n, les syilèrim linéaire* quctcoaquM (arnu dr 
courbes d'ordre n, et la première polaire d'une courbe qurlcuniiue. II iiritr 
alors i la génération des coorbcs d'ordre n au moyen de fiJKCiat if drniirt 
«t de courbes d'ordre n — i, et en conclut t|uc l'easemble des coorlm d'urdrcit 

ainsi déCoies dépead bien de arbilr^iires. 

Knobtaucli (./,). — Sur les covarianls de la déforinalion. (a;;- 

L'auteur dc^^iene so"s ce nom les fonctions mtionnelles dps coeffiKîenU J'am 
forme dîlKrentiellE quadratique binaire, de leurs dérivées, et des déri'in d( 
une ou plusieurs Tonctions arbitraires, qui coosiTveiit leur forme p«r uii4*i'- 
gemenl de variables quelconque. Si l'on n'introduit qu'une (unctian aibilriire. 
par ses dérivées du premier et du swond rtrdrp. cm reirouvr en pariiculitrW 
paramËtrei dilTf renticis de Bettrami. Les résultats et les miïtbodes An. CkfltlcM 
permettent de traiter le cas général : l'iuicur niontri^ que l'on esl ramriitrB 
déGnitive nu problème fondamental dr \» tliéorîe de> iovarianis des h"i*> 
algébriques. 

H. Knoblauch donne en terminant quciqu» indications sur plu<lpur< pro- 
blèmes de la théorie des surfaces qui sont curacti}rl»^E> par réttn'iuiutacnl 
simultaoi^ de deux covariants de la défoi'malion. 

Stâckel (Paul). — Stir des transformations de certaioes *qu>- 
tions dilTérentielles. (ago-Soa). 



Pour justiner la définition classique des invariants différentiel» d'aotefl"- 
lion linéaire homogène, il importe de prouver que les traosformatiODS 

sont les seules qui changent toute équation linéaire homogène d'ordre "< " 
une équation de même (orniG. C'est ce théorème que l'auteur démonm ^ '' 
cas m = 1 fait exception. Le même théorème a lieu pour les équations diflt'*"" 
tielles algébriques homogènes par rapport à la variable dépendante d ^ 

Zindter (Konrad). — Définition synthétique de mutliplicil*' 
géométriques linéaires à un nombre quelconque de dimeDSioOJ- 
(3o3-3i4). 

Reje a montré que les diverses divisions portées par toutes tes droilei de 
l'espace et homographiques entre elles forment une multiplicité linéaire ) kf* 
dimensions. Parlant de celte multiplicité linéaire M">, on peul défiair d<s »>■'- 
tiplicités linéaires à une dimension, formées d'éléments de Mi'', et rapport*" 
projectivenieat les unesauxau très. L'auteur se propose de montrer que l'exE""'''' 



REVUE DES PUBLICATIONS. i25 

des êtres géométriques ainsi définis forme à son tour une multiplicité linéaire M^'). 
Cela fait, il en résulte que, si l'on opère sur M(^) comme on a opéré d'abord 

sur la multiplicité linéaire M^*) formée des points de Tespace, puis sur M^V> ^^ 
ainsi de suite, on obtiendra toujours des multiplicités nouvelles linéaires. 
L'auteur évalue le nombre de dimensions de ces multiplicités ainsi obtenues 
par Taddition répétée du procédé de Reye : ce nombre va en croissant à chaque 
cons.truction nouvelle. 

Jlazzidakis (J.-N.). — Équations dîfférenlielles linéaires homo- 
gènes, pour lesquelles le déterminante!* un s^rstème fondamental 
d'intégrales est symétrique. (3 1 5-328). 

Il s'agit des systèmes d^équations diiïérentielles linéaires homogènes du pre- 
mier ordre qui possèdent un système de solutions tel que le déterminant formé 
pur les valeurs des fonctions inconnues dans ces diverses solutions soit un dé- 
terminant symétrique. L'auteur montre qu'un tel système s'intègre par la réso- 
lution d'une équation algébrique d'ordre n {n étant le nombre des variables 
dépendantes) qui se forme comme l'équation caractéristique des systèmes à 
coefficients constants, et par n quadratures. Il donne également les conditions 
auiquelles doivent satisfaire les coefficicnls du système considéré pour qu'il 
ait la propriété en question. 

JCnoblauch (/.). — Sur la théorie des paramètres différentiels. 
(329-343). 

L'auteur se propose de perfectionner la théorie des paramétres différentiels 
pour cette partie de l'étude des surfaces où l'on considère, en même temps que 
le ds^i d'autres formes différentielles. Il faut d'abord séparer nettement ce qui 
provient uniquement de la considération de deux formes différentielles quadra- 
tiques ou bilinéaires des particularités qui tiennent aux relations entre les 
coefficients de ces formes et les coordonnées cartésiennes des points de la sur- 
face. Cela permet de mieux grouper les formules, de les simplifier et d'en ré- 
duire le nombre. D'autres simplifications s'obtiennent par l'emploi de certaines 
combinaisons linéaires des dérivées premières d'une fonction quelconque, qui 
ont été introduites par Frobenius, et dont Tauteur fait ressortir l'importance 
et la signification géométrique. 

Zsigmondy (K.), — Sur une généralisation de la fonction y (m) 
dans la théorie des nombres. (344-346). 

L'auteur considère le nombre 9 (r, /t,, ..., n ) de tous les entiers qui sont 
inférieurs ou égaux à r, et qui ne sont divisibles par aucun des nombres /t,, 
n,, ..., /t.. Il donne une expression de cette fonction, et en conclut diverses 
propriétés. 

Caylejr. — Sur la caractéristique n d'Halphen, dans la théorie 
des courbes de l'espace. (347*352). 

Four une courbe gauche de degrés/, Halphen a introduit, outre le nombre /< 



1^ 



SfiCoN 



«Jei Ëordet iiifle* (■'«■ foi»t ijudcnniii 
pliunt par M« A cordei. Podi unr valr 
•oDt en Boubre liuiU. Cijk'v [ail rei 

.{d. A, n )j En A cordei iuae* il'ui 
d'«B oAbs d'ordn II, mail qu'elle 

- eidM, qu'il j a«niU lien d'tiudi 




Vahten (/C.-Th.). - C, 
nombres. (i-36). 



Ilt(ï4)* |)ugus). Berlin; i8<|3. 

lion à une tliéoric addîiivc tiet 



J^ titre de l'Articla iodiquc <]iie les prnpri^ii'ï i|iii 
I de» dtcompof itioo* dei notnbri 



j Mini iiuAiiet uni triii 
e 1» prucédéB de démun- 
■treUoa eoniitteat à eooiid^vr k's nombre; dont on s'occupe coiiidie éiiM dci 
\ «ommei ptrtietiliére* d'egtres mimbreB se sucGifdant suivant des tait fuxUv- 
lUret. Le* nombreaMi farmulM qui y wal rilabliei le ripporteni aui lofcn 
■uivRoU : 

' I. IMmoaatrtiîoa pnnmaat arithmAtlqne dm théwieM de Lagewb* mi In 
nonbrea peDiagonanx, m ^pllcatloni da ce lUorème. 

II. Dimonitration paiement purament arititmétiqm d'nn tUortet }(■ 
g<aéra7, at applications. 

III. DécompoiitioD des nombres en deux et en quatre carrés. 

Sckivering {K.). — AdditioD an Mémoire : Décomposition de 
l'équation de la division des fonctions lemniscatiennes e" 
quatre facteurs (même Journal, t. 110, p. 43). (3^-38). 

Nonvslle démonstration du fait que, lorsqu'on pose «'= *±i dans !'*!"•- 
lion de Ja diviaion 7„(«*) = o, ses coelTicieols nouveaux tout diviiibles p" 
certaines puissances de i-t' t. 

Segen {D.). — Sur les surfaces du quatrième degré è trois droites 
doubles. (39-52). 

L'auteur étudie les propriétés de la surface gauche du quatrième degré i "f" 
droites doubles en la considérant comme engendrée par les droites qui joip"' 
les points d'une droite llxe aui couples homologues de points d'une iaTOln"'" 
sur une cunique Tiie, quand on établit une correspondance projectivc cutrt 
les points de la droite et les couples de l'involution. II examine les diicnui 
particuliers qui peuvent se produire. Il étudie enfin d'autres modes de gi»^ 
ration, en particulier ceux qu'on obtient par une correspondance coptchIi'' 
établie entre les points des deux directrices doubles, ou entre les points dcdcui 
coniques de la surface. 



UKVUU DKS PUBLICATIONS. 127 

Jiuoss {H.). — Sur les oscillations pendulaires isochrones. 
(53-57). 

Il s'agit d'étudier le système des droites d'un corps solide autour desquelles 
le corps exécuterait des oscillations pendulaires de même durée. L'auteur 
répartit, à cet ciïet, les droites de l'espace en groupes, les droites d'un même 
groupe étant toutes celles qui rencontrent à angle droit un môme rayon issu 
du centre de gravité du corps. Et il traite les questions suivantes : 

1** Quelle est la surface réglée engendrée par les droites d'un même groupe 
qui seraient axes d'oscillations isochrones? 

2" Quels sont les rayons is!>us du centre de gravité qui ne correspondent 
qu'à des axes d'oscillations isochrones imaginaires? 

3* Quel est le nombre maximum d'uscillations pendulaires qu'un corps donné 
peut eiïectucr dans une minute? 

Pochhammer (L.), — Sur la réduction de Tëquation difTérenlielIe 
de la série F la plus générale. (58-86). 

II s'agit de l'équation 

c/x- ' dx''-' "^ dx^ " * dx 

dx"* dx"*~^ dx 

m 

OÙ m < /i et OÙ Lp L,, . . . , L,^p K,, . . . , K^ sont des constantes. Elle est vérifiée 
par une série F du w'*"* ordre, c'est-à-dire de la forme 

P(»P •••» a«; Pn •••» P—iî ^) 

a.a,... a^ a,( a, -f- 1) aj( aj-+- 1). . . a«(a^-+- ^,_^ 



= IH • - 



J-PiPa--- Pn-i ».2.p,(p,-M)... P„_,(?„_,-M) 

L'auteur démontre que cette équation se réduit à une équation de même forme, 
mais de degré n — iy par l'un ou l'autre des deux changements de fonction 
inconnue 






h r 



y—jei t 9n't Tdt. 



Dans la nouvelle équation, t est la variable indépendante, et T la nouvelle fonc- 
tion inconnue. Le calcul de celte transformation est fait par M. Pochhammer 
dans tous ses détails. 

Meyer (^1.). — Note sur le Mémoire du Tome 98 du même Jour- 
nal, sur les formes ternaires. (87-88). 

Cette Note se rapporte à !a délcrmination du nombre dos classes des formes 




M** M itTtit de e**Mr«ctJvAf f li«i»ttri^«r». 

JlasudaAû {J.-A'.). — Le ihéonène des aires daaska 
>ar des uirface» développablcs. (i4o-i47)< 



Inr da poiat ■MLériel aiobilc cM iLMpliiJ ici par b tasfcvtc à >■« «a^rkc 
fiic, et r«« chCTClw 1* CABdiUoa paar qac ecU« UBCcaUdéaivedcsaiTC* ft»- 
piirtiiMadlM «■> Lcmp*. Il al mit t main p»ar cdi ^me U fp«w«* de la 
tiirrt MÎTSM I* pcrpeadicalaire i la taafeate «itaéc daaf le plaa anc^liHai 
de la CJiurbe fixe c«>*idérée Mtit iateneaeat prapartîoaaelle i la gaitrit»! 
pBÎHaacc de I* laageale et direct fft proportiiMaelle aa njoa de ca«ffe^n 
de l< r.ourlw fiic. Ce* coadiliuai Mial turBuates poar aae Tilene laîtlale e»m 
teniibleiiieut cliuitie. 

llavnttchel^E.). ~ Sur la rormedel'inlégralede l'éqiiatioQ diOe- 
renlidlc(7.~7,j-)g=/>,-i-/>,^ + /i,^»-i-/',^'.(i4»-i55). 

A)>r>'i jiuir tippe.\r diven IraTaui »JitH Irail 1 l'équatioa coDsidéric, l'aa- 



HliVUE DES PUBLICATIONS. 129 

Leur montre qu'on peut obtenir des équations de cette forraei plus générales 
]ue celles que Ton a pu intégrer précédemment, en prenant pour l'intégrale 
!a forme 






'^ — C€f (A, -h Aj-4- /i, = 0) 
ït d'autres formes analogues. 

uchs (L.), — Noie sur le travail contenu dans le Tome 83, 
pages i3 et suivantes, du même Journal : Sur quelques pro- 
priétés, etc.; extrait d^une lettre adressée à M, Ilermite. 
(i56-i64). 

Il s'agit d'une manière d'établir les propriétés fondamentales de la fonction 
iiodulaire, en partant de l'équalion dirTcreniiellc 

r/-T, , dr^ I 

'2lt{ll -^ \) '. ; -1- :> ( ? M — 1 ) . - -\- ■■ T, = 0. 

au- au 2 

On en déduit le polygone fondamental et, en même temps, la propriété de 
la fonction modulaire d'élre uniforme et itutoiiiorplie. L'auteur remarque que 
:etle méthode peut se généraliser pour décider si l'inversion du quotient des 
intégrales d'une équation linéaire quelconque fournit une fonction uniforme. 

homé(L.-TF^,). — Sur une application de la théorie des équations 
différentielles linéaires aux fonctions algébriques (i65-i8o). 
(Continuation des Mémoires des Tomes 104 et 108 du même 
Journal), 

Partant de l'équation /( 5, x) =0^ de degré n en -c, et qui n'est assujettie 
lu'à la seule condition que son discriminant ne soit pas nul, identiquement, 
l'auteur montre qu'on peut déterminer une transformation 

J "^ (j \ Jj ~f~ fc»| ■»» ~r~ Jko Z' -l - . . . — t— Jkjj - t ■^ }» 

jui conduise à une équation \*{s, x) — o, dans laquelle toutes les branches de 
a fonction algébrique s soient linéuiremeni indépendantes; et cela de manière 
jue les coefficients des polynômes entiers en a:, A^, A,, ..., A„_, s'expriment 
rationnellement au moyen des coefficients des polynômes entiers en x, qui 
:onstituent les coefficients des puissances de 3 dans l'équation donnée ( le cocf- 
îcient de z" est supposé égal à 1}. Alors l'équation linéaire d'ordre /i, à laquelle 
satisfont les n branches de la fonction s. permet de déterminer la nature des 
>oints critiques de cette fonction, et de trouver les développements qui pcr- 
nettent d'en représenter les branches. De la fonction Sj on passe sans peine à 
a fonction z elle-même. L'auteur donne à la fin de son Mémoire un moyen 
élégant de calculer cfl'ectivement l'équation linéaire dont dépend la fonction «, 
ît de vérifier le résultat obtenu. 

ônigsberger (Léo), — Sur les domaines de convergence des 
intégrales des équations aux dérivées partielles. (181-204). 
Bull, des Sciences mathém.f 7* série, t. XXVL (Septembre 190a.) R.ii 



i3o SECONDE PARTIE. 

L'auteur rappelle comment, dans le tome CIV dn mèae J^mnêot il * établi 
l'existence des intégrales d'une équation dîfféraiitielUi «rdinaln d^ordrc q«el» 
conque. C'est la méthode du calcul des limites de Ctschy qall * amylofie, 
mais avec cette modification intéressante que l'équatiott de eooiptniaoB eacda 
premier ordre. Appliquée à une équation linéaire» cette aétkode ooMlmift CmI- 
lement au théorème de Fuchs sur le rayon de converyence dea Intégraleai et 
prouve de plus que les équations linéaires sont les sevies powr leaqwellea ce 
théorème soit vrai. 

M. KOnigsberger montre epsuite que sa métliode s'étasd an eaa d^àne éqoalioa 
aux dérivées partielles d'ordre quelconque. SI on l'a|^lq«« Ir «lac éqvataaa 
linéaire, on arrive à ce résultat qu'il est impossible, ici de conclave d« cercle 
de convergence des coefficients à un rayon de coBTergenee des ialégnlca f«i 
ne dépende pas des conditions initiales; mais, ponr des conditions iadtiilcs 
d'une forme convenable, on peut retrouver des résultats analo^es à cens qae 
donnent les équations différentielles linéaires ordinaires. 

Hamburger (M.) — Sur les solutions singulières des équations 
•diflerentielles algébriques du premier ordre. (ao5-a46). 

Suivant que l'on raisonne sur l'équation diflTérentielle on sur son intégrale 
générale, on est induit à conclure qu'il n'y a pas, en générai, ou qu'il y a, 
en général, une intégrale singulière. Ce paradoxe n'a pas été expliqué d'une 
manière satisfaisante. Malgré le haut intérêt de leurs recherches à ce sujet» 
MM. Darhoux et Cayley en ont donné des raisons qui ne sont pas toutes accep- 
tables. La vraie explication, & laquelle arrivera M. Hamburger, est la suirante : 
Lorsqu^on prend une équation différentielle algébrique à coefficienis quel- 
conques, l'équation qui définit l'intégrale ofl're cette particularité que les courbes 
qu'elle représente n'ont pas d'enveloppe. Et înTersement quand on part d'une 
équation intégrale à coefficients quelconques, .l'équation différentielle obtenue 
présente cette particularité exceptionnelle d'avoir une intégrale singulière. Le 
fait que certiiinos propriétés des courbes apparaissent comme générales ou non, 
suixant la manière dont elles sont représenlées, se présente du reste déjà dans 
la diuible représentation, ponctuelle ou tangentielle, des courkx's planes algé- 
hri(}ue<. L'existonce'ou la non-existence d'une enveloppe, dans le cas actuel, 
ne dépond que de la nature du système de courbes; ce qui dépend du mode de 
représentation (équation difTérentielle ou équation intégrale), c'est seulement 
le fait que Puii ou l'autre cas apparaisse comme le cas général. 

M. Hamburger part d'abord de l'équation diff^érentielle, à laquelle il applique 

la méthode due à M. Fuchs, consistant à faire intervenir les facteurs linéaires 

dv 
du discriminant de l'équation en -,"- • Soit v — r l'un de ces facteurs: con- 

sidérant nl«^rs - *- comme fonction de v, on développe en série suivant les 

puissances de {y — t, ) et l'on intéizre avec la condition initiale que, pourx = c, 
>' prenne l.i même valeur que t.. i»n i»l)tieiit ainsi un dôveloppenienl de {y — t.) 
Mii\.«iit les puissances de {jt — c). Les circonstances caractéristiques des trois 
ca> possiMr^ : \- - r n'est pas une inte;:rale, ou est une intégrale siiiculiêre. ou 
est une intej;rale particulière, soni al"r> les suivantes : dans tous les dëvelop- 
pemeiitN obtnuis. le plus faible exposant de \T — C) e>t. au plus, cjîal i i, ou. 
tlan». certain-» de ces développements, cet exposant est supérieur 4 i, ou enfin 
certain> de ces développements sont nuls identiquement. 



REVUE DES PUBLICATIONS. i3i 

L*autear démontre ensuite que toute équation difTérenticlle algébrique de 

dy 
degré n en-j^ a une intégrale générale qui, sauf dans le voisinage d'un nombre 

limité de points (j;, y)^ s'exprime par une équation de degré n par rappport à 
la constante arbitraire dont les coefficients sont des séries entières ayant un 
certain rayon de convergence. 

Dans la seconde Partie de son Mémoire, l'auteur part d'une équation inté- 
grale de la forme précédente et élimine la constante : dans l'équation obtenue 
figure en général, outre le premier membre de l'équation difTérentielie, un fac- 

dy 
teur indépendant de -—-• Il peut alors arriver que le discriminant de l'équation 

intégrale donnée, pris par rapport à la constante arbitraire, se trouve dans ce 
facteur étranger et ne fournisse pas une intégrale de l'équation différentielle. 
Et ceci donne la condition pour que les courbes considérées n'aient pas d'enve- 
loppe. Appliquant alors la même méthode de développement en séries que dans 
là première Partie, on retrouve les mêmes circonstances caractéristiques que 
précédemment, pour les développements obtenus. 
Toute contradiction entre les deux points de vue a donc disparu. 

Fields (J,-C.). — Nombres des sommes de résidus quadratiques 
el de non-résidus quadratiques pris n k n, qui sont congrues à 
un entier donné, relativement à un module premier impair/). 
(247-161). 

Soient a,, a^» .-., cl les résidus quadratiques, et P|, ^3, ..., ^ les non- 
résidus quadratiques 1 ^ — -(/? — i) > et soient A* et n deux entiers donnés. 

L'auteur considère les expressions, formées de n termes, tous distincts, sauf A* 
d'entre eux, 

(A) a^^- a, -4-. . .H- Aa, 
et 

(B) p^^.3^.H...^-Ap,, 

et détermine le nombre des expressions (A) et des expressions (B) qui sont 
respectivement congrues, soit à un résidu quadratique quelconque donné, soit 
à un non-résidu quadratique quelconque donné, soit à zéro; ainsi que le 
nombre des sommes (a^+p.) qui satisfont aux mêmes conditions. 

Stàckel {Paul), — Sur la théorie des fonctions analytiques uni- 
formes. (262-264). 

L'auteur donne d'abord une démonstration très élémentaire de l'impossibilité 

de prolonger la fonction 7 z"^ au delà du cercle | -c | — i ; puis un procédé simple 


et général pour former des fonctions analytiques uniformes ayant un domaine 
d'existence donné; et même restant toujours inférieures en valeur absolue à 
un nombre positif fixe. 



i32 SECONDE PARTIE. 

Jalinke (Eugen), — Les relations différentielles pour les fonc- 
tions uniformes doublement périodiques de deuxième et de 
troisième espèce. (265-286). 

L'auteur obtient d'abord, pour une fonction doublement périodique de pre- 
mière espèce et de degré m, une équation difTérentielle du premier ordre et 
du second degré à coefficients doublement périodiques; et, par suite, au moyen 
des dérivées logarithmiques, une suite infinie d'équations dilTérentielles homo- 
gènes d'ordre et de degré v ( v = i, 3, 3, . . .) pour les fonctions de deuxième et 
de troi>ième espèce. La représentation des fonctions doublement périodiques, 
duc à Liouvillc, conduit à une nouvelle suite infinie d'équations de la même 
nature. Pour les plus simples, l'auteur donne les équations de conditions 
qu'elles doivent remplir pour satisfaire effectivement à la question. Il arrife 
ainsi à un théorème général caractérisant toute fonction doublement périu- 
diquc de deuxième ou de troisième espèce, de degré donné. 

Suit une étude détaillée des équations différentielles linéaires pour les fooc- 
tiens de deuxième espèce : on est conduit à des équations de la classe d'Iler- 
mite, du même type que celles qui ont été découvertes par MM. Picard et 
Mittag-Lefller, et qui sont au fond les plus générales de cette nature. 

Enfin, dans une troisième Partie, l'auteur applique les identités de M. Cas- 
pary sur les fonctions thêta, pour obtenir de nouvelles formes des relations 
différentielles cherchées, qui, dans les cas les plus simples, redonnent des résul- 
tats de MM. Miltag-Leffler et Brioschi. 

Stàckel (/^.). — Sur des équations algébriques liant des fonc- 
tions uniformes, qui se reproduisent par des substitutions 
linéaires. (;>87-3S5). 

L'.iutcur démontre dabord que, pour que deux fonctions uniformc>. a-iinil- 
tarit «les substitutions linéaires (et d'ordre fini), soient liées par une reldii'» 
algéhri(|uc. il faut et il suffit que leurs groupes aient un sous-groupe commun 
d'indice fini. 

Puis, suivant une idée indiquée par Abcl pour la transformation des f'»nc- 
tions ellii)li(jues, il étudie le problème suivant : 

fkiiis quel cas deux fonctions de la nature énoncée, mais d'arguments 
dijf'érents, sont-elles liées par une équation algébrique quand on établit 
entre les arguments une relation algébrique convenable? 

Trois cas j)euvenl se produire; le plus intéressant est celui où les group^'^ 
des deux fonctions sont infinis et contiennent tous deux des substitutif"^ 
paral»oliques. La relation entre les arguments est alors forcément bilincdire- 
et l'on est rainené au problème de la transformation. 

] Cl II le n {K,-Tli.). — Sur les relations entre les délenninani> 
d'une matrice. (3o6-3io). 

L'auteur se propose de généraliser les coordonnées pluckériennes delà dr'»'^*' 
pour une multiplicité linéaire à {ji dimensions, considérée dans un csp^c^' 



REVUB DES PUBLICATIONS. i33 

linéaire à ;i dimensions. Il établit à cet eflfetles [ j~i — [x(/i + i — (x) rela- 

tions homogènes qui lient les { j déterminants d^ordre [x d'une matrice à 

{JL lignes et (n-hi) colonnes. 

Stàckel {Paul), — Sur les systèmes de fonctions de variables 
réelles. (3i i-3j8). 

Le théorème classique de Sturm sur l'alternance des racines de deux inté- 
grales d'une équation diflférentielle linéaire du second ordre est, en réalité, un 
théorème de la théorie des systèmes de fonctions de variables réelles, et doit 
se rattacher à la théorie des caractéristiques de Kronecker. On l'énonce alors 
ainsi : 

Si deux fonctions réelles d'une variable réelle sont continues dans un 
intervalle, et si leurs dérivées y sont finies, si de plus le déterminant formé 
avec ces fonctions et leurs dérivées y est de signe constant, les racines des 
deux fonctions alternent dans cet intervalle. 

Ainsi considéré, ce théorème se généralise pour trois fonctions/,, /j, /, de 
deux variables réelles, en considérant les points où Tune des courbes /, — o, 
/j=o,/3 = o est coupée par les deux autres. La généralisation pour (/i -f-i) 
fonctions de n variables réelles est alors évidente. 



Band 113 (353 pages). Berlin; 1894. 

Wallenberg (G.). — Application de la théorie des invariants dif- 
férentiels à Fétudc de l'intégration algébrique des équations 
différentielles linéaires homogènes. (i-4i). 

11 s^agit des équations linéaires d'ordre /i, à coefficients algébriques, dont les 
intégrales sont liées par n—2 relations homogènes non linéaires. Après un 
historique de la question, et de la théorie des invariants difTérentiels, l'auteur 
introduit les invariants qui permettent d'énoncer des conclusions générales. 
Ce sont les invariants a^ et bi^ de Forsyth et Brioschi, et certaines combinai- 
sons qui en dérivent et que l'auteur appelle les invariants d^ i et f^. Les résul- 
tats essentiels obtenus sont les suivants : 

Si les invariants d^ { et f^ ne sont pas tous nuls ou dénués de sens, les inté 
grales ne diflfèrent de fonctions algébriques que par un facteur commun, dont 
la dérivée logarithmique est algébrique. Dans le cas excepté, il existe une 
transformation z = ^{x), y— p(x)i^ qui change l'équation en une équation 
à coefficients constants; et la nature des relations algébriques supposées est 
liée à celle des racines de l'équation caractéristique de cette transformée à 
coefficients constants. Les résultats relatifs à ce second cas se précisent encore 
si l'équation donnée appartient à la classe des équations de Fuchs, et si les 
racines de l'équation fondamentale déterminante sont rationnelles. Enfin, si 
Ton admet d'emblée cette dernière hypothèse, et si l'on suppose eu plus 



SBCONDË I-AKTIE. 



l'équation doUDie iirédactible, on pmt i 
que l'équatioD s'iatégre ilgibriquemcnt, 
de U [omie 



Cayley. — Sur les résolvantes sesiiqucs de Jacobi et Kroncrkcr. 

(42-49)- 

L'iDlear établît les nlatioas qui lirnl \ei racines de cei deux n!sol>.in[n K( 
l'équation du einquime degré; il éludl- les relations qui lient entre clin Ici 
racineide la résolvante de Kroaeckcr, et en dMuii une eipressioa nautclledii . 
coefflcienta de cette rénlTante. ^J 

Horn (/. ). — Sur la théorie de Briot et Boaqaet pour les équa- 
tions diGTéreatielles da premier ordre. (5o-57). 

L'éq nation diflérentielie 

(A'«*>»' + ...)g-- (\«-J* -h. ..) = <■ 

■ été ramenée par Brint et Boaqaet A dei tjpe* limplea, en sappowat l'ciii- 
tence d'nne