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CAENEGIE INSTITUTE
OF TECHNOLOGY
THE LIBRARY
(EUVRES
DE
HENRI POINCARE
PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS
Quai des Grands-Augustins, 55.
140740
(EUVRES
DE
HENRI POINCARE
PUBLIEES
SOUS LES AUSPICES DE L'ACADEMIE DES SCIENCES
PAR
LA SECTION DE GEOMETR1E
TOME VIII
PUBLIC AVEC LA COLLABORATION
DE
PIERRE SEM1ROT
DIRECTEUR DE I/OBSERVATOIRE DE L'UNIVERSITlS DE BORDEAUX
PARIS
GAUTHIER-VILLARS, ED1TEUR
LIBRAIRE DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ECOLE POLYTECHNIQUE
Quai des Grands-Augustins, 55
1952
Copyright by Gauthier-Villars, ig5a.
Tousdroits de traduction, de reproduction et d'adaptation reserve's pour tous pays.
MECANIQUE CELESTE
ET
ASTRONOMIE
ANALYSE
DE SES
TRAVAUX SCIENTIFIQUES
FAITI P»n HEMI POlNCARfi.
Acta Mathematica, t. 38, p. no, n4-u5 (1921).
XX. — DSveloppemexit de la Fonction, perturbatrice
[120, 168, 173, 196, 206, 207, 209, 278].
Jo me suis occuprt do la Ibnclion perlurbalrice a plusieurs points de vue
difl (fronts.
J'ai d'abord cJierchti la valour approckgce des coefficients des termes de rang
ir&s <Slcv<5. M. Flamme avail d^ja employ^ pour cet objet la methode de
M. Darboux sur les fonctions de u*6s grands nombres. Mais comme cette
inotliodc sous sa forme primitive ne s'appliquait qu'aux fonctions d'uno seule
variable, M. Flamme devait done decomposer cliaque terme en une somme de
produils, ou cliacun des factcurs ne dcSpendait quo d'une seule anomaliu
moyenne. J'ai pr<5fer<5 considtfrer directement la fonction comine dependant des
deux anomalies moycnnes. Des proct5d£s analogues sont encore, comme jel'ai
montrd, applicables dans ce cas. Seulement ils exigent une discussion; j'ai
donn^les principes qui doivent diriger cette discussion etj'en ai fait Tappli-
cation dans un cas simple [278].
On peut aussi consid&rer chaque coefficient comme fonction des excentri-
H. P. — Viir.
2 ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES,
cites el des inclinaisons, etudier les divers modes de developpcment do cos
fonctions el cliercher les conditions de leur convergence. Los conditions
auxquelles j 'arrive [209] sent relativement simples.
On pent enfin cliercher s'il y a des relations enlre les divers coefficients.
J'en ai trouv6 un certain nombre [196, 206, 207].
Dans toutes ces recherches, je me snis servi des relations de cos coefficients
avec les periodes de certaines integrates doubles.
XXII. — Astronomie, Questions diverses
[31, 43, 58, 93, 114, 152, 195, 202, 213, 217, 281].
On a vu plus haul quel role jouent en Astronomic les series trigono-
metriques.
J'ai done an point de vue de ces applications &l& ameiu* pour contribuer a
la solution de cette question a (Hudier les conditions de convergence des series
trigonom^triques [43, 93]. J'ai reconnu ainsi deux fails principaux :
i° Si une pareille s&rie est absolument convergente pour certaines valeurs
du temps, elle 1'est ^lernelleoient; il n'en est plus de m£me quand la conver-
gence n'est plus absolue;
2° Une mtime fonction ne peut pas £tre repr<5sent<5e par deux series diifiSrcnlos
absolument convergentes.
Je n'ai pu r<5soudre, de facon a me mettre a 1'abri de toute objection, la
question de la convergence des series particuli&res de M. Lindstedt; cepeudanl,
j'ai tout lieu de penser que ces series ne convergent pas absolument, mais que,
enordonnantconvenablementles termes, on peutles rendre semi-convergentes,
La convergence pourrait alors nc subsister que pendant un inlorvalle do lomps
On croit d'ordinaire qu'une fonction repr6sent<5e par une s6rio trigono-
m^.triqne absolument convergente ne peut croitro an dela de toute lirnite. G'ost
m^me cette croyance qui sert de fondement aux demonstrations anciennes de la
stability du systeme solaire et qui, depuis, a conduit les astronomes a fairc tant
d'eflforts pour faire rentrer le temps sous les signes sinus et cosinus, Getto
croyance est erroiwSe; j'ai montre [31, 93] qu'une pareille fonction devient aussi
grande que Ton veut si la convergence n'est pas uniforme. Mais il y a deux
manures de croitre au dela de toute limite : une fonction pent « tendre vers
ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 3
Tiiilini ». 11 arrive alors qu'elle finil par depasser une quanlile' quelcoiique, M
grande quVlle soil, pour reslcr ciisuile conslnnimenL superieure a celte quantite.
Une Ibnclioii pcul encore subir une infinite d'oscillations success ives, de iacon
quo 1'tmiplitude des oscillations croisse indefmhnent. J'ai raonlre [58] que les
deux cas peu\ent se presenter, en ce qui coiicerne la somrne d'uiie s^rie pure-
meiit irigonomgtrique. En resiling, quaiid meme on arriverait a representer les
coordonne'es des astres par des series trigonom^triques convergentes, on n'aurait
pas deiiionlre' la sLabilile du sysLemc solaire.
J'ai eiisuile [202] ^tudie des proc^de"s destines a augiiienter la con\ergence
de certaines series trigonoine'triques dont divers astroiiomes, et en particulier
M. Gyld^n, avaient fait usage dans les quadratures mecaniques.
Je revicndrai plus loin sur le iravail que j'ai consacre aux marees [195] el
qui inte'ressc e'galemen.l 1' Astronomic .
Lc calcul des perturbations des cometes par les quadratures me'caniques
clevient particulierement p6nible quand la comete passe tres pres de Fastre
iroublanl parce qu'a ce moment la distance des deux corps varie ires rapide-
meiit. J'ai indiqu^ [213] comment un emploi judicieux des integrates elliptiques
pouvait faciliter ce calcul.
J'ai public aussi un article [217] sur le role des observations du pendule en
ge'ode'sie et j'ai montre comment les seules observations pendulaires, si elles
e*taient parfaites et completes, pourraient suffire pour de'terminer la forme dc
la Terre.
Enfin dans la Preface que j'ai e'crite pour les legons de Tisserand sur la
determination des Orbites, j'ai compare les diverses me'thodes en usage et j'ai
montre" qu'une orbite parabolique pourrait se determiner a 1'aide de trois
observations quelconques, par des formules ou n'entrent que des fonctions
rationnelles .
PREMIfiRE PARTIE. — FONCTION PERTURBATRICE
ET PfiRIODES DES INTfiGRALES DOUBLES.
SLIR
LE DEVELOPPEMENT APPROCHE
OE LA
FONCTION PERTURBATRICE
Cornptes rendus de V Academic des Sciences, t. 112, p. 269-270 (2 f6vrier 1891).
II arrive souvent que, les moyens raonvemonts 6tant presque commensurables,
certains termes de la fonction perturbatrice acqui&renl, malgr£ leur rang
tflevtf, une importance considerable par suite de la presence de petits diviseurs.
II pent 6tre nt^cessaire de les calculer sans connaitre les termes qui prudent;
mais le plus souvent on n'a hnsoin que d'uno valeur approch^e, parce qu'il
ne s'agit que de reconnaitre si res tPrmes sont n^gligeables.
Le calcul do ces valeurs approch^es a d£ja, ^ plusieurs reprises, occupe
les g^om^tres ; le meilleur et lo plus complet, des travaux publics dans cet
ordre d'idees est une Tli^sc de M. Flammc,, ou cet astronome prend pour
point de depart la m^thode.do M. Darboux snr les fonctions de tr^s grands
nombres.
J'ai cru devoir revenir sur cette question pour la raison suivante : M. Flamme
commence par d^velopper, par les proc^d^s ordinaires, la fonction perturba-
trice en une somme de termes dont chacun est le produit de deux facteurs, le
6 DEVELOPPEMENT APPROCHE DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
premier dependant seulcment dc la longitude de la premiere plan&lc, el l<l
second de la longitude de la seconde plan&te. C'esL a cos deux facleurs qu'il
applique la m&hode de M. Darboux. J'ai pens<3 qu'il pouvait y avoir interest a
£viter ce developpement pr^liminaire et a appliqiior directemenl COUP methods
a la fonction perturba trice elle-meme.
Mais pour cela il faut rendre la methode de M. Darboux applicable aux
fonctions de deux variables, ce qui pent se faire sans rien changer aux principrs
sur lesquels elle est fondle.
Voici comment j'ai op6r£. Soient I et V les deux anomalies moyenncs, v (fct
ul les deux anomalies excentriques, R la fonction pertnrbatrice a dtfvelopper.
Soit
R=
Je me propose de calculer la valeur approch^e de Ami/na en supposant
^ ;?z2 = en H- d^
ou 11 est un entier tr^s grand, a, b, c, d des enliers finis, a et c, pr<nui(»rs
entre eux.
Par exemple, pour la grande in^galit^ de Pallas, on prendra
n = 2, ^=i, c— — I, d = o, n = 8,
cl'ou
77^1 = i7) /n2=8.
Posons maintenant
x = eu \f=i, y = eu' •-*,
Soit de plus
rint«5grale 6tant prise, en regardant z comme une constanie, le long <lu
cercle [ 1 1 = i , il viendra
Nous n'avons done plus a (5tudier qn'une fonction d'une seule variable.
a laquelle la methode de M. Darboux est directement applicable. On sail
que tout depend de la valeur et de la nature des points singuliers de *(*).
D^VELOPPEMENT APPROCHE DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 7
Or, pour trouver les points singuliers de *(*), il suffit d'exprimer que s a
une valeur Lelle que deux des points singuliers de F(*, t) consid<3r£e comme
fonciion de t viennenl a se confondre. Toutes les valeurs de z ainsi obtenues
ne conviennent pas a la question et une discussion est n^cessaire.
On trouve ainsi que les points singuliers de 9(z) sont de deux sortes.
Nous avons d'abord les quatre points
x = -c ou -i y = T' ou , >
en appelant sin cp et sin 9' les excentricit^s, et posant
s 6tant, d'autre part, dgfini en fonction de x et de y par la relation
a sin cp / 1 \ <-' sin cp' / \ \
Nous avons en second lieu les points d^finis de la mani&re suivante : Soit A
le carr£ de la distance des deux plan&tes; nous aurons les valeurs de z tiroes
des Equations
or ces Equations peuvent &tre remplac6es par les suivantes :
(3) P = o5 Q = o,
P et Q gtant deux polynomes entiers en x et y, le premier du 6e ordre, le
second du 7e; quant a z, il est toujours d&fini en fonction de x et y par la
relation (i).
Si Ton £limine y entre les deux Equations (3), on est amen£ & une Equation
alg^brique en x du 24° degr£.
Ce degr£ 6lev6 cr^e une premiere difficult^. Heureusement on pourra se
contenter dans le calcul des racines de cette Equation d'une grossi&re approxi-
mation, et la petitesse des excenlricit^s et des inclinaisons facilitera ce calcuL
Si Ton regarde les excentricit^s et les inclinaisons comme des infmiment
petits, le degr6 s'abaisse a 12; il est done encore tr&s £lev6; mais il s'abaisse
beaucoup si Tinclinaison est nulle, de sorte qu'on pent entrevoir qu'en combi-
nant les r^sultats obtenus par cette m^thode dans le cas d'une inclinaison
nulle, avec les considerations d^velopp6es par M. Tisserand dans le Cha-
8 DEVELOPPEMENT APPROCHE DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
pitre XXVIII du Tome I de sa Mecanique celeste, on poiirrn arriver a un
precede reellement pratique.
Supposons done Pinclinaison nulle; si les cxcenlricites sonl fmie,s, Pequalion
s'abaisse au qualrifeme degre; si les deux excentricittfs son!, Ires pcliles el tie
meme ordre, ou mfiine si Pune d'ellos soulemenl est Irfts polilo, ellr s'abaisse
au troisi&me degre; si enfin les deux encentricites sont trtjs petiles (Pune
mani^re absolue ct Pune tr£s polite par rapport a Faiilrc, tsllc s'abaissc an
deuxidnie degre.
Une seconde difficult^ provient de la n(5cessit(^ d'une discussion pour reeon-
naitre quel est de ces 28 points singuliers celui qui r^pond a la question. J'ai
fait cette discussion dans quelques cas particuliers s'tfcartant pen do ccux <[iii
peuvent are realises en Astronomic et j'ai trouv(5 que c'<5tait un des 3.4 poinls
dtSfinis par les Equations (3) qu'il fallait prendre.
Soit done £0 le point singulier qui convient a la question; et soient £0, a?0, ;)'„
les valeurs correspondantes de /, de x et de y. Si ce point ^0 est un de ceux
qui satisfont aux equations (2) et (3), la valeur approchtfc de Amiwa s('ra
a la condition, bien entendu, que dans -^- on remplace z et I par JSQ el. /0; ou
bien encore x ety par x$ etyo s^ l'on pr^ffere exprimer -T-J en fonction do c<»s
deux variables /^cela est d'ailleurs de beaucoup preferable, car ^- ost unc
fonction rationnelle de 5? et de y J •
On trouverait une expression analogue dans le cas ou le point singulier
convenable serait un des quatre poinls de la premiere sorle.
La m6me methode fournirait sans peine des expressions plus approdx<*os
quo Texpression (4), ou Perreur est de Pordre de
II y a beaucoup a fa ire pour faciliter et rendre reellemenl pratique la reso-
lution de liquation alg^brique & laquelle 011 est conduit ct la discussion qui
doit suivre. Je n'ai fait, dans le M^moire qui sera bientot public, <[uo poser
les principes sur lesquels cette discussion doit reposer et je ne les ai appliques
que dans quelques cas particuliers; mais il me semble que Timportance du
sujet devrait tenter les cherclieurs et les engager a computer les rcSsnltals quo
DgVELOPPEMENT APPROCHE DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 9
j'ai obienus. Et, en effet, je n'ai aborde ce travail que dans un but tr&s special
et je me suis arr£le d(\s qu'il a (Ht5 atteinl.
Dans lo conrs do ces recherclies, j'ai ele conduil A la romarqne suivanlo :
Soienl r el /•' los deux rayons voclenrs, II Tangle qu'ils font enlre oux ;
la fonclioii perlurbalrice de la premiere plan&te sera
et cellc de la soconde
i r cos H
"T^"*""""7^"*
La difference sera
n _ r cos ^ r' cos ^
"~ r't ^2
s^ . r cos H r cos H . , , , .
On sait qne ^ — et — ne contiennenL pas de lermes seculaires propre-
menl dits el qu'on pent (5crire, par exemple.
rcosH v1 A cos,
-pr- = 2^ A'^ "«» sin (
r' cos H
S
•A-//7JWZ-, et BOT^ sonl nuls pour 7ni=m2=o; mais si les mojens mouvemenls
sont commensurables, si par exemple
( 5 ) nil 11 H- ;?i2 n' = o,
1'expression mil-\-m$ll devienL iiid(5pendanle du temps et le terme corres-
pondant devient accidentellement secuhtire.
J1ai remarqu(5 que si Ton clonne anx grands axes des valeurs telles que la
relation (5) ait lieu, A/77l7?73 devient egal a BOTl/Wl, de sorte que la difference D,
qui ne contient dc^ja pas de termes seculaires proprement dits, ne pent pas
contenir non plus de termes accidentellement seculaires.
La verification est Irfcs facile.
H. P. - VIII.
SUR
LE DEVELOPPEMENT
DE LA
FONCTION PERTURBATRICE
Bulletin astronomique, t. 14, p. 449-466 (dficembre 1897)-
Je me propose d'6tudier les propri<H£s du d^veloppemenl de la parlie priuri-
pale de la fonction perturbatrice dans le cas oft les excentricil&s sont nullcs cl
les inclinaisons notables.
Solent a et ar les rayons des deux orbites, qui.d'apr&s noire Irypolh&so soul.
toutes deux circulates; soient I et l{ les longitudes des deux astres; soil eniin J
Pinclinaison mutuelle des plans des deux orbites.
Nous compterons les longitudes / et l! a partir de la ligne des noeuds. Dans
ces conditions, le carr<3 de la distance des deux astres a pour expression
a- 4- a''2 — 2 aa'(cos I cos I' -f- sin / sin lf cos J ),
Si nous posons
ayaatf'v^'i, y.- et'^i^
d'ou
- - J ' «
cos I'
2 \/-*
DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. II
Cette expression deviendra
a2-|_ a'*— — [(#H-#-i)(y -f-j,'-!) — COSJ(^? — ^-1)(7— JT"1)]?
cetle expression que j'appellerai dtSsormais F(#, y) est un polynome entier en
i i
*'*'-v'.r
Consid^rons un polynome entier eii x, — » y, ~ dont tons les termes sont
evidemment de la forme
ou a et b sont des entiers positifs ou n^gatifs.
Je conviendrai de dire que ce polynome est de degr£ m si, dans tous ses
termes, chacun des exposants a et b est au plus £gal a m en valeur absolue.
C'est dans ce sens qu'il faudra entendre d<5sormais, sauf avis contraire, le
mot polynome de degre m.
A ce compte, F(#5 y) est un polynome de degrg i .
II est clair d'abord que si P est un polynome de degrg m^ il en sera de
m&me de
dP dP
On voit ais&oienl ensuite qu'un polynome de degre5 m contient (2m-l-i)a
coefficients arbitraires ; done Lous les polynomes de degr6 m peuvent s'expri-
mer lin^airement a 1'aide de (2m. H- i )2 d'entre eux.
Mais on doit remarquer que F(a?, y) pr^sente une double sym^trie :
i° II ne change pas quand on permute x ety;
2° II ne change pas quand on change x en — ety eii - •
Un polynome de degr6 m qui pr^sente cette double sym^trie ne contient
plus que (m -f- 1 )2 coefficients arbitraires.
En efiet, ^m'2 de ses coefficients sont tSgaux 4^454^ sont ^gaux 232;
le terme tout connu seul ne doit 6tre 6gal a aucun autre coefficient.
II y a done
__
coefficients distincts.
Un polynome de degrg i contient done 9 coefficients arbitraires; et 4 seule-
T2 DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
ment d'enire cux sont distincis si le poljnome pnSsentG la doublu s>ni<UnV
deF.
Mais F ne depend quo dc irois ok'moiils a, a* ol ,F ; il v » <lonr, <'nlrc« !<>s
4 coefficients de F une relation qui no jonera d'aillours niicun rrtlr dans
1'analyse qui va suivre.
II s'agit de d^velopper la parlie principale de la fonciion perlurbalrico qiii
csl e^alo a 4= suivant les cosimis et les sinus des muliiplos des donx
0 V/F
/ et /; ou, ce qui revient au mtoc, suivant les puissances do
eW'^i, e1'^1.
D'aprtis la formule de Fourier, le coefficient de
ou a et [3 sont des entiers positifs ou mSgatifs, sera reprcscnte par
double
Immigration, tanL par rapporl a / que par rapport u lf, *loil s'ollbo-
les limites o et 27:.
Exprim^e a 1'aide des variables'
cette 6galit^ devient
/ N
(I)
et elle doit dire prise le long d'un chemin imaginaire, les variables x H,
d(5crivant chacune dans lenr plan le cercle de rayon i, de facou quo
Nous sommes ainsi conduits a 6ludier 1'int^gralc double (i) ou, plus tfononi
lenient, I'inteSgrale double
AC 3 — /r tftody^*
prise le long des deux cercles | # | = i , |y | = i .
Les nombres a et (3 sont des entiers positifs ou n(2gatifs et s esl la moili<»
d\m entier impair negatif,
Les int^grales A(a, (3, s) sont des fonctions transccndantcs des coefficients
DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 1 3
du polynome F el, par consequent, des deux grands axes a et a' el de Fincli-
naison J.
Mais, comme nous allons le voir, toules ces iraiisceiidaiiles ne sont pas
distincles el il y a entre elles des relations de recurrence que nous allons
(Hudier.
Je commence par observer qu'a cause de la symelrie du polynome F, on a
Gonsiderons maiiitenanl une integrate de la forme
/_,_ dx dy
HF' -¥T '
ou H est un polynome de degre //z, au sens donne plus haul a ce mot.
Les divers termes de H sont de la forme
ou les exposants a et (3 sonl au plus egaux a in en valeur absolue.
L7 integrate elle-m6me est done une combinaison line'aire des transcendaiiles
A(«, (3, *), ou
Si Ton demonlre qu'une pareille integrate est nulle, on aura une relation
line'aire entre ces transcendantes.
Voici comment on pent obtenir de semblables relations.
Soit P un polynome quelconque en x, y, - el ~; envisageons Fintegrale
t/
/rd/n^\
JJ dx\ y )
je dis que cetie integrate osl nulle. Si, en effet, nous inlegrons d'abord par
rapport a x, Fint(3grale indefmie est
et comme cette expression reprend la meme valeur quand la variable x a docrit
le cercle | x | = i tout entier, Tintegrale d^finie est nulle.
Pour la m6me raison, Fint^grale
l4 DEVELOFPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
oil Q esi ua polynome quelconque, cst nullo tfgalemenl. Si done uu a
^- d*\ y
ou, ce qui revient an mtoie,
(„ •.-
on a ura
(4;
Parmi les relations do la forme (4), nous dislinguerous cellos qui .soul, synw-
triques; nous appelleroiis ainsi cellos ou le polynome H prtfsculura la uu>nin
double sym^trie que le polynome F.
Les relations non sym(5triques ne nous apprendruiil. rien d(^ plus cjnc h>*
relations sym^triqucs. De loule rolalion non syin<5lriquo, il osl on ollot ais«i do
deduire une relation symetrique.
La relation
-entraine en effet la suivante :
qui estsyme'trique.
Les deux Equations, si Ton tientcompte des e"galit^s (2), conduisenl d'aillours
aux m^mes relations line'aires entre les transcendantes A (a, (3, s).
II suffira done d'^tudier les relations sym^lriques.
Nous devons done rechercher quels soul les polynomes H qui peuvoul so
meltre sous la forme (3).
Parmi les expressions de la forme (3), nous distinguerons encore cellos (|u<^
nous appellerons syin&triques.
Nous dirons qu'une expression (3) esl syme'trique si Ton a
(5)
et
DEVELOPPEMENT DE LA FONCTJON PERTURBATRICE. 10
De cette definition il resulte que, si un polynome H est egal a une expres-
sion (3) sym<5trique, ce polynome sera lui-m£me sym<3trique.
Si les polynomes P el Q sont de degre />, il en sera de m£me do
dP
eL 1'expressioii (3) sera an plus de degre p 4- 1 ; je dis au plus parce qu'il
pourrait y avoir des reductions.
Gela pos<3, nous avons vu qu'il y a (m-{~ i)2 polynomes H symetriques de
degr£ m, lin^airement independants.
D'autre part, nous devons nous demander combien il y a d'expressions (3)
symelriques et Iin6airement independantes qui sont egales a un polynome de
degre m au plus.
Pour que ^expression (3) soil t^gale a un polynome d'ordre m au plus, il
suffit que P et Q soient d'ordre m — i au plus.
D'autres expressions (3) ou les polynomes P et Q seraient de degre superieur
am — i, pourraieut par suite de reduction, 6tre (5gales a un polynome d'ordre
m ou d'ordre inferieur. Mais nous les laisseroiis de coU§; on peut d'ailleurs
d(5montrer que ces expressions ne nous conduiraient a aucune relation rxouvelle..
Nous devons done nous demander combien il y a d'expressions (3) sym£-
triques et lineSairement independantes ou les degr6s de P et Q ne d^passent pas
m — i.
Combien y a-t-il de polynomes P d'ordre m — i satisfaisant a la condi-
tion (5) et lin&urement ind^pendants ?
Un polynome de degr<5 m — i contienl
(27?l — i)2
coefficients; mais en vertu de la relation (5) un de ces coefficients est nul,
celui du terme tout connu et les autres sont 6gaux deux §. deux; le polynome
contient done
(2m — i)2— I , N
^ - 1 - =- 2 m(m — i)
coefficients arbitrages .
II y a done %?n(m — i) polynomes P ind^pendanls de degr6 (m — i) satis-
faisant & la relation (5).
A chacun de ces polynomes, correspondra un polynome Q d^fini par liqua-
tion (6) et, par consequent, une expression (3).
rg DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
II y a done *m(m—i) expressions (3) symtUriquos el ou les polyaomos l>
el Q sont de degre m — i et Iin6aircment independanls.
Si toutes ces expressions <3iaient dislincles, il y aurait seulemenl
( 7/1 -f- I )2 — 2 m (m — I )
polynomes H lineairemenl independanls et non susceptihles HVMiv mis sous la
forme (3).
^ous sommes done conduits a nous poser la.queslion suivanle : cos 2 /// (/// * - i )
expressions sont-elles distinctes? Pour qu'elles Ic soicnl, il faudrait. qu'un nr
put trouver aucune identity de la forme
ou, ce qui revient an m^me, aucune idenlite de la forme
S*il y CL p identites de cette forme lineairemeiit independaiiLes^ il y tturtt
au plus
(m -hi)2— zm(m-i)
polynomes H lineairement independents et non susceptible d'etre MIS ,v«//,v
la forme (3)
Cherchons done les relations de la forme (7).
Cette relation signifie que
QF^I^'-PF^I^
® y
esi une difierentielle exactej'je 1'appellerai
el, je me propose de demontrer que S est un polynome d'ordre in — a.
Regardons, en eflet, un instant y connne unc conslante; nous auroiis alors
«= r
«/
L'integrale du second membre est une intcSgralu elliptique,
Pour introduire les fonctions elliptiques, posons
aa .
— [COS J 0' - J»i) -
DgVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 17
Alors <$ est un polynome du troisieme degre* en x et le coefficient de x* est
egal a 4.
Adoptant les notations de WeiersLrass (qu'Halphen a aussi employees dans
son Ouvrage), je poserai
— e2— fl±) (a? —
= o, (&t
II est clair que 04, £2, e$ sont fonctions dey; il vieiit alors
/QFs-f-l
# ^
La fonction sous le signe /
est June fonction doublement periodique de u. Cette fonction est paire, ellc
admet quatre poles, a savoir
o comme infini d'ordre im •+- 2s H~ i,
032 »
0)3' »
Observons que, %s (Slant impair, tous ces uombres sont pairs.
3
D'ailleurs, si s est plus grand que -- ? les deux derniers nombres sontn^ga-
2
tifs, de sorte que co2 et co3, au lieu d'etre des infinis, sonl des zeros.
De'composons cette f one Lion doublement periodique en elements simples ;
la decomposition sera de la forme
Les coefficients A, B et C sont des constantes par rapport a x et ne dependent
que de y ; je de"signe par H une d£riv<5e d'ordre quelconque de 1'une des
fonctions
C(tt), S(W — (Oi), 'C(w—tOS)? C(M — CU8).
Remarquons que, la fonctioii <5tant paire, H ne pourra 6tre qu'uiie d^rivee
d'ordre impair; c?est pour la me"me raison que le d^veloppement ne contient
pas de terme dependant des fonctions ? elles-m^mes, rnais seulement des termes
provenant de leurs
H. P. — VIII.
DEVELOFFEMfcJN f
En integrant nous trouverons
'-f- D,
oii H' est une cterivee d'ordre pair des fonctions £ et ou D est une fonciion dey
seulement.
Quand u augmenle de 20)4, celte expression augmenle de
^J== 2A Wi-h 2'OiSB,
Oil
SB = B0-f-B1-f-B2-4-B3.
De m&me, quand u augmente de 20^, cette expression augmentc do
II est clair que A, 2B, &)1} 734, &>2, v?2 sont des fonclions de 7, mais je dis
que t]/4 et 4*2 ae peuvent ddpendre de y.
En effet, quand z^ augmente de 20)1 on de 2co2, SFJH~a augmentc dc ^i ®{l
de df«> et
augmente de -^ ou de -j^- Mais
__ _
et est, par consequent, une fonction p<3riodique de u ; on a done
dtyi _ ofya _
dy~ dy ~ °J
ce qui montre que ^i el ^a sont des constantes j
Or il y a deux valeurs remarquables de y, & savoir
y = ± v/~ tg-
pour lesquelles le polynome * est divisible par a?2, pour lesquelies, par cons6-
quent, on a
*\ = ez.
Si nous faisons d^crire a la variable y un contour fermti aulour dc cello
valeur remarquable, e% ddcrit un contour ferm6 autour de e4 .
Done 6)1? &>2j yj1? yj2 se chaagent en
A et 2B ne changent pas.
D£VELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 19
Done fyt. el fa se changent en
Mais <p4 et ^2 qui sonl des conslanles ne doivent pas changer, on a done
d'ou
D'aulre part, il y a deux valours remarquables de y pour lesquellcs 1'equa-
qualiou <& = o a une racine double, pour lesquelles, par consequent, e*= e3.
Quaiidj lournera autour de 1'une de ces deux valeurs reinarquables, les deux
racines e% et e% s'^changeront; &u, oo2, y}4 et rj2 se changeront en
0>i, W2—. to),, '/li, Vlo—^;
par consequent, 4*1 et ^2 se changeront en
<h, ^a— «ti;
on a done
^=6o-.^1}
d'ou
^=0
et, par consequent,
^2=0.
Ces deux Equations peuvent s'ecrire
A tOi-h "Oi SB = o,
A wo -h -r\z S B = o
et Ton en tire
A = 2B = o.
Ces deux Equations nous apprennent que SFJ+2 est unc fonction doublement
periodique de u.
Cette fonction est impaire eL admet au plus quatre poles, a savoir:
o d'ordre 2mn- 25,
0)2 » — 4 — 2 *j
0)3 » — 4 — 25.
D'autre part, FJ+2 est une fonction doublement periodique impaire qui admel
o et wi comme poles d'ordre 2$ +-4> ^2 ct w^ comme zeros d'ordre 2^ +4*
20 D^VELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
Done S sera une fonction doublement ptkiodique pairc pour laquclle
o sera un pole d'ordre (zrn-h 2$) — (zs -t-4) = 2(7^ — 2),
0)l » (2/W-H25) — (25 4-4) = 2(/7l — 2),
0)2 » — 4 — 2*H- (25 -f- 4) = 0,
0)3 » — 4 — 25-1- (25 -4-4) = O.
Alors S £tant une fonction periodique paire de u est unc fonction rullon-
nelle de x] comme elle no devient infinie quc pour u = o cl pour r/. = 6)t,
c'est-a-dire pour a? = oo et pour x = o, ce sera un polynome enticr on x t'l, -;
et enfin, comme ses deux infinis sont d'ordre 2(m — 2) par rapport a u, cc
polynome sera d'ordre ra — 2.
Ainsi S, considt5n5e comme fonclion de x, esl un polynome d'ordre ///. — a
en a? et-; pour la m$me raison, consideree comme fonclion do y, ce sera (in
cc
polynome d'ordre m — 2 en y et - •
Nous conclurons done que S, consideree comme fonction de x el de y, est
un polynome tfordre m — 2, an sens donne plus haut ii ce mot.
C. Q. F. D.
Mais Texpression
jouit d'une double symetrie :
i° Quand on permute x ety, F ne change pas7 Q se change en P et 1J expres-
sion change de signe;
2° Quand on change x Qly en^ et-3 F ne change pas, P et Q cliaiigenl do
signe, •— et -^ changent de signe et 1'expression ne change pas.
«/
Le polynome S jouit done des propriet6s suivantes :
(8)
II y aura done autant de relations de la forme (7) qu'il y a de polynomes S
d'ordre m — 2 satisfaisant aux Equations (8).
Un polynome d'ordre m — 2 contient
(27W — 3)2
DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 21
coefficients; mais, parmi ces coefficients, (zm — 4)" sont (jgaux quatre a
quatre en valeur absolue; ce sont ceux des termes en
ou Pexposant a n'ost <3gal ni a [3, ni a — (3.
II y en a ^in — 3 qui sont nuls : ce sont ceux ou a est egal a (3; il en est do
mtoie des zm — 4 coefficients oil a est <5gal a — (3.
II y a done en tout
polynomcs S lin<3airemcnt ind(3pendanls ; c'est aussi le nombre des relations (7),
do sorle que
p = (m — 2)2.
// y a done ait plus
(in -h i)2 — 2/?i(/?i — i) H-(/?I — 2)2= 5
polynomes H lineairem,ent independants entre eux et de ceux qui sont
snsceptibles cK&tre mis sous la forme (3) ; ce nombre 5, et c'esi la le point
essentiel, est indt5pendant de in eL de s.
Les polynomes P et Q (5lanl arbitraires el assujettis seulement aux conditions
(5) et (6), nous pouvons regarder leurs coefficients comme des constantes
donntfes.
Les coefficients de 1' expression (3) seront done des fonctions lintfaires des
coefficients de F et, par consequent, des polynomcs entiers par rapport aux
deux grands axes a et a! et a cos J.
Notre expression (3) sera done de la forme suivante :
ou les C sont des fonctions rationnelles de a, a! et a cos J.
Nous avons vu qu'& chaque expression (3) correspond une relation de la
forme (4). Cette relation s'tfcrira
ce qui donne
(9)
II y a done entre les A («, (3f ^), qui sont des fonctions transcendantes de a,
a2 D^VELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
ar et cosJ, une infinite de relations lin&iires donl les coefficients sonl des
fonctions rationnelles de ces m6mes 6lt5mcnts.
Nous ne consid<3rerons pas q iranscendantes A (a, (3, s} commc di$(i/ictes,
si ces q transcendantes sont Ii6es par une relation de la forme (9).
Considdrons alors les transcendantes
oft $ a une valeur determine el ou a ct (3 sonl au plus tfgaux a m en valour
absolue.
Ces transcendantes a cause des relations (2) sonl au nombre de (/» + i)-
correspondant aux (m + i)2 polynomes H de degr<5 w, symdlriqucs cl linOairo-
ment ind^pendants.
Mais parmi ces (m + i)2 transcendantes, combien y en aura-l-il qui soionl.
distinctes? D'apr^s ce qui pr£c&de, il y en aura prgcistfmonl auiant que do
polynomes H Iin6airement ind^pendants entrc eux el de ccux qu'on pent tueitro
sous la forme (3), c?eat-^-dire cinq.
Parmi nos (m + 1 )2 transcendantes , il y en aura au plus cinq qui seront
distinctes, et cela quels que soient m et s.
Comme le nombre m peut 6trc pris aussi grand que Ton veul, nous pcuivous
encore dnoncer le r6sultat comme il suit :
Parmi les transcendantes A(a, (3, s) en nombre injiniqui correspondent ft
une valeur donnee de ss il y en a au plus cinq qui seront distinctes.
Maintenanl, nous avons par d^finilion
Or
F '
— cos ^ —
ce que j^crirai plus simplement
T et a ^umt des exposants ^gaux & + x , o , ou — i ; el les D 6lant des coefficients
de la forme
D£VELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 28
et, par consequent, fonctions rationnelles de #, a1 et cos J. II vient alors
A(«,P,,) = SD (r
^ ' ™ } JJ
ou
A(«, p, .9) = sD.A(a-T, p-3, *-i).
Les coefficients D eianl rationnels en a, a' eL cosj, les Lranscendantes qui
correspondent a la valour s du iroisifcme exposanL se ram&nent a celles qui
correspondent a la valour ,? — i ; celles-ci se ramtoent de m£me a celles qui
correspondent a la valeur s — 2, et ainsi de suite,
Toutes les transcendantes qui correspondent a unc valeur du troisi&me expo-
sant plus grande que s — n: se ram&nenl done a la valeur s — n et comrne,
parmi ces derni&res, il y en a cinq qui sont distinctes, jo puis enoncer Ic
rgsullat suivant :
Parmi les transcendantes qui correspondent & une valeur du iroisi&me
exposant plus grande que s — ;i, il y en a au plus cinq qui sont distinctes.
Mais je puis prendre Fender n aussi grand que je veux, je puis done dire :
Parmi toutes les transcendantes A(a, (3, j), il y en a au plus cinq qui sont
distinctes.
Les coefficients du d^veloppement de la fonction perturbatrice sont, a un
facteur constant pr^s, ggaux AA( a, (3, — -j; done les coefficients du d£ve-
loppement de la fonction perturbatrice sont des fonctions transcendantes
de a, til et cos J; mais toutes ces fonctions transcendantes sont des combinai-
sons lin&xires de cinq transcendantes distinctes, ou de ces transcendantes
multiplies par des fonctions rationnelles des m6mes dements.
Calculons maintenant les d6riv£es partielles de A (a, p, s} par rapport aux
6l6ments a, a1 et cos J.
La differentiation sous le signe' / nous donne
d?A(«, p, s) _ CT dx dyY*-+ dF
da —SJJ ^a+ij/p-hi da*
jn
Mais j- est un polvnome en x> y dont les coefficients sont des fonctions
rationnelles de a, a! et cos J.
Je puis done <3crire
24 DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
les E dtant rationnels en a, a1 et cos J : il vient, par consequent.,
da
Ainsi la d«5rivt§e ^A^' *• sc ramfene atix iranscendanles
A(«, fi,*-i);
il en est de mtaie pour la mfimc raison des deux anlres di$riv<5es partielles
4A(a,P, J) g/A(«, p, Q
da' '
En diflferentiant on trouve
/•/R
Les coefficients de cette relation, E et -?- ? sont encore dos functions ration-
cCa
nelles de a, a' et cosJ; par consequent, la d^rivc3e seconde -7-7 &Q ranu^iii1 nux
transcendantes A et a leurs d^rivt^es premieres — ; mais nous venous do voir
que ces d(5riv^es premieres se ram^nenL cllos-mdmes anx trnnscoiulanlcs A.
Done la d(^riv(5c seconde
se ram^ne aux transcendantes A et il en est de m6me pour la m£mo raison dt\s
autres d6riv£es partielles du second ordre et des d(§rivdcs partiollcs d'ordir
sup^rieur.
En rdsum6, les A(a, (3, 5) e^ Zeztr^ deriv&es partielles. des different^ onlrw
par rapport a a, a! et cosJ sont des f one lions transcendantes de u, <t! H
cos J; maiS) parmi ces transcendantes en nombre infaii, il y en a auplus
cinq qui sont distinctes.
Nous pouvons, en particulier, consid&rer une des transcendanles A(a, |3, ,v)
et ses d^riv^es des divers ordres par rapport a a; six quelconques do ces fonc-
tions sont li^es par une relation lin^aire dont les coefficients sont des functions
rationnelles de a] done :
Les coefficients du d&veloppement de la fonction perturbatrice, regard^
comme fonctions de a, satisjont a une Equation differentidle lintaire
coefficients rationnels du cinquieme ordre auplus.
a,
DgVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 25
II en sera encore de meme si ces coefficients sont re gar des comme fonc-
tions de af ou de cosJ.
Considerons mainLenant deux transcendantcs :
A(a, p,*), A («',£',*')
(que j'appellerai pour abrgger A et A') et les qualre premieres d^riv^es de A par
rapport a a] ily aura entre ces six fonctions une relation lin^aire a coefficients
rationnels.
Si dans cette relation le coefficient de A' n'est pas nul, nous conclurons quc
A' peut 6tre <3gal6e a une combinaison lin^aire de A et de ses d<3riv<5es multi-
plies par des fonctions rationnelles de a, 61 el cos J.
Si, au contraire, ce coefficient de A' £tait nul, nous conclurions que A satis-
fait a une Equation lin^aire, non plus du cinqui&me, mais du quatri&me ordre.
Done, on bien tons les coefficients do la fonction perturbatrice satisferont a
une Equation lintSaire du quatri&me ordre ; ou bien tons ces coefficients pourront
6tre 6gal<5s a une somme de cinq termes, et chacun de ces termes sera 6gal au
produit d'une fonction rationnelle de a: tt'ctcosJ, par le premier de ces coeffi-
cients ou Tune de ses d£riv<3es.
Mais il y a plus; consid&rons les diverses transcendantes de la forme
suivante :
les coefficients G <Hant rationnels en «, a1 et cos J.
Si toutes ces transcendantes ne satisfont pas a une Equation diff^rentiellc
lin^aire du quatri£me ordre, je choisirai Tune d'elles qui ne satisfera pas a une
Equation du quatri&mc ordre et que j'appellerai O().
Alors toutes les transcendantes A (a, (3, s) pourront 6lre dgal(§es a une combi-
naison lin^aire de <£0 ct de ses quatre premieres d^riv^es multipli^es par des
fonctions rationnelles de a, af et cosJ.
Si, au contraire, toutes les transcendantes $ satisfont a une Equation du
quatri&me ordre, j des considerations emprunt^es a la th^orie des Equations
diflferentielles lin($aires, mais qu'il estUnutile de reproduire jici, permettraient
de montrer que quatre de ces transcendantes au plus (et non plus cinq) sont
distinctes, et Ton arriverait encore au m6me r^sultat que je puis dans tous les
cas &noncer ainsi :
H. P. — VIIL 4
26 D^VELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRJCE.
Les coefficients du developpement de la fonction perturb a trice peuvent
se deduire d'une seule transccendante $0 ct cela de la maniere suivunlc :
Chacun de ces coefficients sera egal a la somme de cinq ternws an plus;
chacun de ces termes sera le produit, de deux facteurs ; le premier fact en r
sera la transcendante #0 ou Vune de ses quatre premieres fleriw'e.s pat-
rapport a a; le second facteur sera line /auction rationnelle <lc <t, <tf ct. ciosJ.
Ces propri^tds des transcendaiites A (a, (3, s) soul tout a fail analogues unx
relations de recurrence bien connues cntre les coefficients do Laplace,
II semble qu'elles puissent rendre, dans le cas ou les cxcentricitds sont
faibles et les inclinaisons fortes, des services analogues a ceux qui rcndent c<»s
relations de recurrences bien connues, quand les excenlricitds or. Jos inclinaisons
sont faibles a la fois.
SUR
LE DEVELOPPEMENT APPROCHE
DE LA
FONCTION PERTURBATRICE
Comptes rendus de VAcademie des Sciences, t. 126, p, 370-873 (Si Janvier 1898).
On peut dtfvelopper la fonction perturbatrice, soit suivant les cosinus des
multiples des anomalies moyennes, soit suivant ceux des anomalies excen-
triques. On oblient ainsi des d^veloppemenls de la forme suivante :
Dans cette formule A repr^sente la distance des deuxplan&tes, Zet I1 les anomalies
moyennes, u et u! les anomalies excentriques.
Posons
On sail que les coefficients A peuvonl 6tre repr6sent<$s par une integrate
double de la forme
fr
'= //
JJ
prise le long des deux circonf&rences
28 DEVELOPPEMENT APPROCH^ DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
Q et F sont des polynomes en x: y, - et . -»
m
2
en d&ignanl par sincp et sincp' les deux cxccnlriciltfs.
Les coefficients B peuvent £tre represented par utio mu^ralc double <!<•
m£me forme, avec cette difference que Q se ri?duil a um1 conslanto nl.fi a «(?ro,
de sorte que 1'exponentielle e^ disparail.
On peut se proposer de calculer la valeur approclitfe dos coofficionis A <»l It
pour de grandcs valeurs de m et de /??'. Soit, par cxomple,
m = an -h b. m' = en H- r/,
ou a, &, c, <^ sont des entiers finis et donnas unc fois pour toutos ot ofi // <\sl
un entier tr^s grand qu'on fera croitre indgfiniment. On sail, que lo ralrul
approch^ des coefficients se ram&ne a I'cSlude des points singuliors cfum* <^c»r-
taine fonctiou analytique que je vais me tire sous la forme ([in* lui a
M. Fgraud :
ou n varie de o d + oo .
Cette fonction est egale a Pint^grale double
«<•>=/•
/ _
\
GA et &0 sont des polynomes de m<*me forme que 12, mais ou los onliors ;/? 01 />//
sont remplac^s par a et c pour iJ0; par 6 el d pour i2i.
On peut former une fonction *(*) analogue relative aux coofiiciouls ,B <»i au
d^veloppement suivant les anomalies excentriques ; on trouvc encore 11110
mt^grale de m^me forme, mais ou Q doit 6tre remplacci par uno consianUs;
QQ et Qi par z^ro, de sorte que les exponentielles disparaissent.
U6tu.de analytique de cette fonction Q(x) peut, en consequence, presenter
un certain int£r6t; voici les r^sultats auxquels je suis parvenu :
Supposons d'abord les excentricit^s nulles j ou bieu encore suppusons qu'il
s'agisse du d(5veloppemeut suivant les anomalies excentriques. Dans cos d«ux"
cas Tintdgrale qui repr^sente »(*) ne contient pas d'exponentiellc.
DgVELOPPEMENT APPROCH^ DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 29
On Lrouve alors que *(*) salisfail a une Equation diflferentielle linSaire a
second membre
Les coefficients du premier membre et le second membre P sonl des poly-
nomes entiers en z.
Dans le cas g&n<§ral, ou les exponentielles ne disparaissenL pas, la fonction
$(,s) satisfait encore a une equation do mdme forme, mais les coefficients du
premier membre el P ne sonl plus des polynomes entiers en z\ ce sont des
fonctions uniformcs, mais transcendantes dc s, n'ayant pour points singuliers
que
Z = O, Z = 00.
Revcnons au cas ou les cxcciitricites sont nulles, ou bieii a celui du develop-
pement suivant les anomalies excentriques, c'est-a-dire au cas oft les exponen-
tielles disparaissent; supposons les entiers a et c premiers entre eux et soient
a et y deux entiers tels que
etc— ay = i.
Posons
Texpression de $(z) deviendra
L'int<5grale doit cUre prise le long des deux circonferences
I6l«i, hi = x,
et il s'agit d'etudier le developpement de $ suivant les puissances negatives de t.
Les lettres Q4 et FI d^signent deux polynomes entiers en £ et V. Liquation
Fi(?, vO = o,
consid<5rcje comme Equation en TJ, admettra un certain nombre de racines
f\ij "Ha, -.-, "nm-
Ges racines se r^partiront en deux categories : la premiere cat6gorie comprendra
celles qui, quand on fait varier g d'une mani^re continue, de facon que la
valeur finale de £ ait pour module i , ont leur valeur finale de module plus petit
que i,
30 D^VELOPPEMENT APPROCHfi DE LA FONCTION PERTURB ATRICE.
Les points singuliers seront les valeurs de£ pour lesquelles liquation Kt = o
a deux racines e'gales.
Le point singulier est admissible si son module est plus petit quo i oi. si low
deux racines de 1'^quation F4 — o qui deviennent egales apparlienueiU A <lcn\
-categories differentes.
Soit a celui des points singuliers admissiblcs donl le modulo osl le plus
grand.
Alors, le developpemenfc de $ suivanl les puissances noga lives do (, s(»ra
convergent a Texlericur d'une circonforcncc do rayon. | a \. En d'aulros ICIMUOS,
la valeur approchee de A.mm, sera du mdmc ordre de grandeur quo a".
La discussion se trouve ainsi simplified.
Des proce'de's analogues sonl applicablcs au cas general ou les o
ne disparaissent pas .
DEVELOPPEMENT
DE LA
FONCTION PERTURBATRICE
Bulletin astronomique^ t. 15, p. 70-71 (fevrier 1898).
Dans le nume'ro de decembrc 1897 Je me su*s occupe du d<3veloppement de
la fonction perturbatrice et j'ai 6tudi6 les coefficients de ce deVeloppement dans
le cas ou les excentricite's sont nulles el les inclinaisons notables.
J'ai montre" que ces coefficients peuvent, a Faide de certaines relations de
recurrence, se d^duire de quelques-uns d'entre eux dont le nombre est auplus
(5gal a cinq.
J'ai montr<§, en outre, qu'ils satisfont a des Equations diffe*rentielles line*aires
dont Fordre est au plus e"gal a cinq.
Mais on peut aller plus loin.
Nous emploierons les m6mes notations quo dans le travail auquel je renvoie.
Nous observerons que F ne contient que des termes d'ordre pair en x ety,
de telle sorte que
F(^y) = F(-^-y).
II rdsulte de la que les coefficients A(a, (3, s) sont nuls si a + |3 est impair.
II suffira done d'envisager les int(5grales de la forme
xy
ou H est un >polynome de degre* m satisfaisant non seulement aux conditions
mais, en outre, a la condition
32 DgVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
Le polynome H contient alors
coefficients arbitraires.
Nous sommes conduits de m6me a supposer que les polynomi's l» ci Q
satisfont 11011 seulement aux. conditions
mais a la condition
POF,/) = P(-a?, — JO,
II esl clair, en cflet, que, si P salisfait a. ccltc condition, il en csl dik
de Q et de H.
Un polynome P? assujetti a ces conditions et do dcgrc m — i , conlioul alors
/?^2 — /7i
coefficients arbitraires.
Enfin Fidentite
nous montre que
S(*,y) = S(-a?,-(x).
Un polynome S, de degr6 m — 2, satisfaisant aux conditions
contient
(w — 2)(rn — 3)
2
coefficients arbitraires.
Le nombre des expressions de la forme (i) qui restent indtSpendaulos osl.
done
;^-h 2) (
Done tous les coefficients du d<3veloppemeni peuveat se dtiduiro do
d'entre eux seulement.
Chacun d'eux satisfait £ une Equation difF6rentielle lin&urc du qualri&mo
ordre.
DfiVELOPPEMENT
DE LA
FONCTION PERTURBATRICE
Bulletin astronomique, t, 15, p. 449-4^4 (decembre 1898).
1. Los coefficients du dgveloppemenl do la foiiction perLnrbalrice sont eux-
m6mes dos functions des elements et peuvcnl 6tre d^vclopp^s, par exemple,
^suivanl les puissances des cxcenlriciles et des inclinaisons. On peut se proposer
do rechercher quelles sont les conditions de convergences de ces dtSvelop-
pemenis.
Nous ddsignerons par A la distance des deux plantHes, par u et uf les deux
anomalies excenlriques, par / ol /' les deux anomalies moyennes, el nous tHu-
dierons lo developpenicnt de ~» c'esi-a-dire de la partie princlpalc de la fonc-
lion perturbalrice; nous dislinguerons le d<5veloppemenl suivant les anomalies
niojennes et le d<$veloppement suivant les anomalies excentriques.
Soient
I v A «/=!(«/-!-»*'/')
- = 2A,,/jm-^
le prcnnier de ces dtSveloppemcnts et
v
~r = * J
le second. Je reprfecnle par E la base des logarJlhmos
H. P. - VIII.
34 DE>ELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
Les coefficients AmX, de meme que les coefficients Bm, „, peuvcni s'exprimcr
par des integrales definies.
Posons
Alors A2#2/2 sera un poljnome du sixifcme degre en x et 7.
Soient e et e' les deux excentricites et posons
me
"2"
Nous aurons alors
dsc dy
(I) tK**m,m'**ff:
(a) 4*2Awv,t'=J/
les integrales etant prises le long des deux circonferences
Consid^rons ces integrates definles comme des fonctions des excentriciltSs cl
des inclinaisons ; ces fonctions seront ^videmment d^veloppables suivunl. les
puissances de ces variables pourvu qu'elles soient assez petites.
Pour trouverles limites de convergence de ces d^veloppements, j'appliquerai
la m^thode de Cauchy et chercherai quels sont les points singulicrs de cos
integrates d^finies, consider^es comme fonctions des excenlrJcit6s et <lc«
inclinaisons.
2. Nous sommes done ainsi amends a expliquer comment on irouve les
points singuliers des fonctions represents par des integralcs ddfiuics el,
d'abord par des integrales definies simples.
Soit
une integrale definie prise par rapport a x lejong d'un certain cozitowr ; coLU*
integrale sera alors fonction du param&tre z.
Pour que, pour cette fonction, une valeur de z soit critique, il fuut d'abord
que Fun des points singuliers de F(#5 *), consider^e comme fonction de #5 so
trouve sur le contour d'intggration.
DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 35
Mais commc on pent d^former ce contour d'une manure continue, on peul
le faire fuir devant le point singulier, et Ton n'est arr6t6 que quand ce contour
se trouve pris entre deux points singuliers et ne peut plus fuir.
On obtiendra done toutes les valeurs critiques de #, en exprimant que deux
des points singuliers de F, consid&^e comme fonction de x, se confondent.
Mais toutes les valeurs critiques ainsi trouv<3es ne convieiinent pas; il faut, en
cflel, que les deux points singuliers qui se confondent ainsi soient, avant de
s'Glre confondus de part et d'autre du contour; c'est seulement a cette condi-
tion que le contour pris entre deux feux, ne peut plus fuir.
Soit done
cp(#, *) = o
liquation qui exprime que la fonction F(a?, fr) prtSsente une singularity, eL
supposons qu'elle se decompose en un certain nombre d'^quations indgpen-
d antes, trots par exemple :
On obtiendra les valeurs critiques de z de Tune des deux manures suivantes :
i° En annulant deux des trois fonctions cpl5 cp2, cp:{, et en <3crivant, par
exemple,
on (5liminant x et r(5solvant par rapport a z, on aura une valeur critique de z\
a° En annulanl Fune de ces trois fonctions et sa dgriv<5e et ^crivant, par
exemple,
On aura encore une valeur critique de z en (5liminant x et rdsolvant par
rapport a z.
3. Consid^rons maintenant une int6grale double
cnvisag^e comme fonclioii du param^tre z et gtendue §. un champ quelconque.
Le cas particulier le plus simple est celui ou Ton doit intggrer par rapport
a x, le long d'un contour fixe ind^pendant de 7, et par rapport & y, le long d'un
36 D^VELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
contour fixe inctependanl de *. C'esl prtcisfanenl co cas pnrliciilior simple <|m>
1'on rencontre en ce qui concerne les morales ( i ) el (a).
Si Ton no donne a x et a y que des valeurs belles, de lollo fiiifun que lc> champ
d'inWgration se rSduise & une aire plane ordinaire, co c,as pmlioulior simple
correspond au cas ou cette aire est un rectangle.
Le cas g<2n<5ral peut d'ailleurs toujours 6 Ire ramcnd A e<> <uis parlinilic-r
simple. Pour nous en rendrc compte, supposons d'abord ([u'on iu» <Ionn« a ;r
et y que des valeurs rtfelles et que le champ d'inUSgration soil une uiixi plan*'.
Cette aire plane pourra toujours 6ire de$compos<3e en une infmilij d'uircs n^cian-
gulaires, les une finies, les autres de dimensions indgfmimenl d(*croissanlcs.
Pour que rintdgrale toiale pr^senie une singularittS il fuut ot il suflil, qu<» 1'
des inl(5grales etendues aux aires rectangulaircs parliolJcs ailinut sinp
11 suffit donc'de consid^rer les aires rectangulaircs.
Le mdme raisonnement, que 'je ne d^veloppe d'ailleurs pas
serait applicable quand on donnerait aux variables diks valours iinagi«ainis, si
Ton observe d'autre part que Ton pent toujours ddfornuirln cliaui|) (rinir^n)tion
d'une mani&re continue.
On ne reslreint done pas d'une fa con essentielle la gtfntfraliu'! <^u sc supposant
plact^ dans ce cas pariiculier simple; pen nous imporlc d'ailleurs au point di»
vue qui nous occupe, puisque avec les intdgralos ( [ ) ct (a) uons nous (rouvons
d^embl^e dans ce cas simple.
Soient done C.r et Cv les deux contours fixes d'hittigrution par rnppnrl a ,// «»l
a y. Soit
Tini^grale <5tant prise le long de C.r.
Notre inl^grale double sera alors
1'int^grale <§lant prise le long de Cy.
Nous n'avons plus qu'A appliquer les principcs du nunuh»o pr^c^dtMU aux
deux int^grales simples
f F dx, C 9 dy.
Soil
?(*, y, *) = o
liquation qui exprime que la fonclion F a une singularity.
DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 87
Di'coinposoiis celle <2qualion en equations irreduclibles
On obliendra les singularities de la fonclion 0 (y, z] :
i° En annulanl deux des fonclions cpl5 cpa, cp.{ el ecrivanl, par exemple,
) = o;
2° Eii iumulanl Line des Lrois fonclions eL sa derivee el ecrivanl
Ces singularile's peuvenl ne pas loules conveiiir, car il peul arriver qtie les
deux poinls singuliers, qui se confondent, soienl d'un mtaie cole du contour
d'inl(5gration.
Pour avoir les singulariles de vj(s), considerons mainlenanl celles de-
0 (y, 5), qui nous scront donnees par des syslemes d'equations de Tune des
dcuxfonncs
?i= 9s =o,
et cherchons les conditions pour que deux de ces singularite's se confondent.
Si nous considerons s comme un parametre, x et y comme les coordonn6es
d'un poinl dans un plan, les equalions (3) repre'senleni un Certain nombre de
courbcs planes.
Les singularile's de 0 donne'es par un sysleme d'e'quations de la forme
9i = 92s °
correspondronl aux points d'intersection de ces courbes; celles qui seront
donne'es par un systeme de la forme
correspondent aux points de contacl d'une de ces courbes avec une tangente
parallele a 1'axe des y.
Pour que deux de ces singularite's se confondent, il faut :
i° Ou bien que trois des fonctions cp s'annulent a la fois.
38 DiVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
2" On bien que Ton ait a la fois
dtyi
<$>!= — ~ = o, cp2=o;
mais comme la condition ne doit pas dgpendre du choix des coordomufos, el,
qu'en particulier elle doit subsister quand on permute x el/, on devra avoir
aussi
et7 par consequent,
ce qui veut dire que Tune des courbes (3) aura un point double;
3° Ou bien que les deux courbes
Op j £S 0» Cpg=: 0
soient tangentes 1'une £ Fautre ;
4° Ou enfin que les deux courbes
soient tangenles 1'une a Fautre. Mais cela entraine :
ou bien •— = o. ou bien — ~> = o;
dy dx*
mais, comme la condition ne doit pas changer quand on perrnulc x el/, on
devra avoir dans tous les cas
En rdsumtS, les valeurs critiques de £ sont :
i° Celles pour lesquelles trois des courbes (3) so coupeiil en un
point;
2° Celles pour lesquelles deux de ces courbes sont tangentes;
3° Celles pour lesquelles une de ces courbes a un point double.
Settlement toutes ces valeurs peuvent ne pas convenir, car les deux singularity s
qui se confondent peuvent £tre situ^es d'un in£me c6t^ du contour d'intdgraiion.
DfiVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3g
4. Appliquons ces principes aux integrates (i) et (2). La fonction sous le
signe / sera holomorphe tant par rapport a x et y que par rapport aux
excentricites e et ef et a sin-, J etant Finclinaison.
II j aura exception seulement :
i° Si e = i ou ef= i (condition ou x et y n' inter viennent pas et sur laquelle
nous reviendrons);
2° Si x ou y est nul ou infini;
3° Si A s'annule, c'est-a-dire si
F = A#2y2,
qui est un polynome entier du sixi&me ordre en #, y, est egal a zero.
Cela est vrai quels que soient les entiers m et mr; cela est vrai d'ailleurs
aussi bien de Fintegrale (2) que de 1'integrale ( i ), car VetE^ne cessent d'etre
holomorphes que si x ou y est nul ou infini.
Les courbes qui correspondent aux courbes (3), c'est-a-dire celles dontles
Equations expriment que la fonction sous le signe \ .cesse d'etre holomorphe,
se r^duisent done, en ce qui concerne les integrates (i) et (2), aux quatre
droites
(4) # = 0, y = 0, 57=00, y = oo
et a la courbe du sixi&me degr<5
Cette derni£re, dans le cas ou Pinclinaison est nulle, se decompose en deux
courbes du troisi&me degr6
(4 *«r) F! = O, F2=o.
Pour trouver les valeurs critiques des excentricit^s ou des inclinaisons, nous
devons done chercher celles pour lesquelles trois de ces courbes (4) ou (4 bis)
se coupent, ou pour lesquelles deux de ces courbes se touchent, ou pour
lesquelles une de ces courbes a un point double.
Mais, comme ces courbes sont les monies pour les integrates (i) et (2), les
valeurs pour lesquelles une de ces trois circonstances se pr^sentera, seront^ga-
lement les m&mes pour les integrates ( i ) et (2),
s
4o DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
linbi les \aleurs critiques des excenlriciles ou des inclinaisons sont les
mernes pour les deux integrates ( i ) et (2).
Mais une question pourrail encore se poser; nous avons vu quo Ionics les
\aleurs critiques ne conviennent pas. Ne pourrait-il se fairc qu'une de cos
\aleurs convinl u (i ) sans convenir A (a) ou invcrsemcnl.
La reponse doit etre negative. Comment se fait-il, en ellel, que cerlaiue*
\alctirs critiques conviennent et que d'aulrcs ne conviennent pas? Pour nous
en rendre comple, faisons varier d'une maniere continue Tun de nos puramislres,
par excmple 1'excenlricile e, et, en mtoie temps, cWormons d'une mnniiVe
continue les contours d'inKSgration. Nous devons dirigcr cello deformation de
tellc sorle qu'aucunc des valours smgulieres definies par les equations (f\) et
($b(s) nc se Irouve dans le champ d'inUSgralion. Si, e variant d'uno maniere
continue dopuis zt^ro jusqu'a eQ, on peul s'arraiiger do facon quo cello condition
ne cesse jamais d'eire remplio, c'est que en n'est pas une veritable valour
critique; e(} ne convient pas; si, au conlraire, il est impossible de s'arrunger
pour que la condition soil remplic (parce que, commc jeTexpliquais plus haul,
le contour d'integration se irouve pris enlro deux points singulicrs), c'est que
e(l est une veritable valeur critique; e() convient.
Faisons done varier e de zero a e0 et, en m6me lemps, ddfonuons nos conlnurs
d'integration en partant des contours iniliaux
qui soul les m£mcs pour les integrates (i) et (2); si #0 m^ conviont pas a
Tint^grale ( i ), c'est que nous pouvons dtSformer nos contours do lollc ia^ou
qu'a aucun moment une des valours singuli&res satisfaisaiil aux tUjuations (/j)
et(4.bts) ne se trouve dans le champ d'int<5grniion. Mais si cello condition no
cesse jamais d'etre remplic en ce qui concerne l'inl<$grale (i), olio nc CCSSITM
jamais non plus de l'£lre en ce qui concerne I'inl^grale (2), puisqnc los Equa-
tions (4) et (^bls] qui d&finissent les valeurs singuli^res sont los m6mes pour
( i ) et pour (2). Done e& ne conviendra pas non plus a 1'inldgraio (2).
c. Q, F* n.
Voici done un premier r^sultal'.
Les coefficients Bm^ du d&veloppement de la fonction perturbalrice
suivant les anomalies excentriques^ ainsi que les coefficients A^m' du d&ve-
loppement suivant les anomalies moyennes sont eux-m&mes developpables
suivant les puissances des excentricites et des inclinaisons.
DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 4l
L<>s luniles de convergence de ces nouveaux developpements sont les
memes pour les coefficients Bmm, et pour les coefficients Amm,; elles sont les
inernes pour tous ces coefficients quels que soient les entiers m et m'.
5. Considerons le cas ptirliculicr ou les cxconlricites sont nulles
e = <?' = o.
On ii alors
o — 0 v — i
— — « j j i — j,
ol, pur consequent,
A-HI,MF== uintrn'-
On a alors
A- =5 cos2 - «a H- a'- — «a' ( — h i ) -H sin2 - «2 -+• a'2 — #a' ( ^y -h — ) .
2[ \7 WJ at \ ^ ^r/J
Si nous posons
on en lircra
cos2 #a'Y sina~-
2 2
On irouvera Louies les singularit(5s on ecrivanl que la courbe A2 = o a un
point double; or, comme A2 est fonction lin^aire de X el de Y, celte courbe ne
pcul avoir de point double que si les Equations
ou X el Y sont r£gard(?s comme les donntfes, - et xy comme les inconnues, ont
Tune et 1'aulre unc racine double, d'ou
X=±25 Y=±2.
Voici done la condition pour que la courbe A2= o ait un point double
(5) a2-<- a'2±2 fla'cos* - ±2 aa'sin2- = o.
v / 22
11 n'y a pas lieu de chercher ce que donneraient les aulres conditions, a
savoir que trois des courbes (3) passent par un m6me point ou que deux de ces
courbes se touchent. Ici, ou les courbes (3) sont les quatre droites (4) etla
courbe A2= o, aucune de ces circonstances ne se pr^sentera.
II reste done & ^tudier la condition (5).
H, P. -YJII. . 6
42 DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
Posons v = sin2-et proposons-nous de deSvelopper suivant les puissances
croissantes de v. La condition (5) devient
ce qui peut s'Scrire de 1'une des deux mani&res suivantes :
(5 bis) (a'±a)«=o; «24» a'*±* aar(i-z v) = o.
Dans la premiere de ces relations v n'entre pas; la seconde donne
Le rayon de convergence sera done la plus petite des deux valeurs
4aa' '
c'est-a-dire
(ar-aY-
4 act!
Ainsi la condition de convergence du d^veloppement sera
La discussion des Equations (5 bis) montrerait de m^me que les coeffici<*iits
Am,m' sont ddveloppables suivant les puissances de a, pourvu que
Mais on peut encore envisager un autre mode de dgyeloppemenl.
Posons
{JL as COS2 - j
2
on aura
Mais nous pourrons 6crire
La quantity sous le radical se r^duit 3videmment a A2 quand on fait
= cos2 -5 v = sin2-* Mais nous pouvons regarder AWj^ comme fonction de fx
DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 43
et do v consid£r£es comme des variables ind^pendantes, el dt§velopper celle
fonction suivant les puissance croissantes de /JL et de v.
La relation (5), qui d^finit les limites de convergence, s'tscrit alors
a2 -+• a'2 it: 2 aaf [JL zfc 2 aa' v = o
Oil
La condition de convergence du d&veloppement est done
2 Cf>Clr
Cette condition est toujours remplie, car on a
coefficients sont done toujours developpables suivant les puissances
de cos2- et sin3--
2 2
6. Consid&rons maintenant le cas particulier ou Pinclinaison est nulle et
d&veloppons suivant les puissances des excentricit^s e et e] .
Les courbes qui correspondent aux courbes (3) sontles courbes (4) et (4 ter},
a savoir
x = o, y = o, a? 5= oo, y = QO, F! = o, F2 = o.
i° G'herchons d'abord la condition pour que FI=O ait un point double.
Pour nous en rendre compte, cherchons la signification de ces Equations.
Soient C 1'orbite de la premiere plan&te, C; celle de la seconde; d'apr&s notre
hypoth^se ces deux coniques sonl dans un m&me plan. A chaque valeur de x
correspond un point M de la conique C et a chaque valeur de y un point M7 dc
la conique C;.
Liquation F = o exprime alors que la distance MM' est nulle, ce qui peut ne
pas vouloir dire que les deux points M et M' coincident puisque ces deux points
peuvent 6tre imaginaires.
Liquation F4= o exprime que le coefficient angulaire de la droite MM' est
6gal a \l — i et liquation F3= o exprime que ce coefficient est 6gal a — \J — i.
4£ DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
Los equations cc = o, x = oo exprimcnl quc lo point M esL a 1'infini sur Funo
des deux branches infinies de la conique C; los Equations y = o, y ~oo
expriment que le point M' est a Finfini sur la coniquc C'.
Pour que la courbe F4 = o ait un point double, il fan! el il suflil quo la droilo
MM' soil tangenle a la fois aux deux coniques C el C'. Los deux coniquos C el
C' out un foyer commun, le Soleil. La droile MM', qui esL une Umgenlo isolropo
a C, doit passer par un des foyers de C, el pour la mOnne rnison olio doil passer
par un des fojers dc C'. Soient alors S le foyer commun de C el C', Flu second
foyer de C, F celui de C'.
Pour que les deux coniques admcllcnl une langcnle isolropo commune (on
dehors de celle qui passe par S qui exisle toujours el qui ne saurnil conveuir),
il faut done que la droite MM' passe par F el F'; c'esl-a-dire que la droile FF'
ait pour coefficient angulairc \/ — i. Celle condition s'expriinc analytiquonimil
comme il suit :
asE-ta-BtfVE-'a'.
Je represente par ny el cr' les longitudes des p<5rih<3lies.
G'est, la, la condition pour que Fi = o ait un point double (on dehors do
celui qui, correspondanl a la tangenle isolropc passant par S, exisle lotijours (^l
ne saurait convenir).
2° De inline, la condition pour que F3= o ail un point double s'tfcril,
3" Pour que les deux courbes F,j = o, F2= o soienl langeulos, il faut quo. les
deux coniques C et C' se touchent; car les points d'intersGctiou a distance finio
des deux courbes Fi= o, F2= o correspondent auxquatre points d'inlcrscctioii
des deux coniques*
II faut done que k distance des deux foyers F et F' soil ggale ft 1« sommo ou
a la difference des grands axes; ce qui s'ecril
(ae E^— a?e'WB')(ae E-'w— a'«'E-'W) = (a'± a)*.
4° II faut voir ensuite si Fun des points d'interseclion des courbes (4 ter) no
petit pas se confondre avec Fun des points d?intersection de Tune de ces courbes
avec Tune des droites (4) ou de deux de ces droites entre elles.
Ces deux categories de points correspondent respectivement : aux qua I re
intersections de C et de C' (M et M' confondus) et aux cas ou les deux points
M et M' sont a Tinfini sur les deux coniques G el C'.
D^VELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 45
La condilion est done que Fune des quatre intersections de C et de C1
s'tSloigne ind&iniment, c'est-a-dire qu'une asymptote de C soit parall&le a une
asymptote de C'.
Cola s5<$crit d'uno des quatre manures
ig2 - E2^= tg2 — E2/CT',
2 2
en posant
<? =3 sin o, e'= sin 9'.
Je puis 6crire aussi
en prenant dans chaque fraction le signe inf^rieur dans les deux termes ou le
siguo sup^ricur dans les donx termes.
7. Voici done quolles sont les Equations qui definissenl les valeurs critiques,.
( 7 ) fie E-*'ST = a' e'
(8) «cE'w= a'
(9) f ae E'w— a'«'E«»')(atf E-'w— a'c'E-'W) = (a'
i ± y^=r
(10)
auxquelles il conviont d'adjoindro
(U) ^ = 1, fi'=I.
Mais nous avons vu que loulos les valeurs aiiisi trouv^es peuventne pas convenir
et il est m6mo ais6 de voir qu'elles ne peuvent pas toutes convenir.
En cflet, envisageons 1'equation (7); elle est satisfaite pour e = er=o. Si
done les valeurs critiques d&finics par cette Equation convenaient, notre fonction
pr<5senlerait des singularities pour dos valeurs tr^js petites de e et e'. Nos coeffi-
cients ne seraicnl pas dt5veloppablcs suivant les puissances de e et de ef, m&ne
pour des valeurs tres petites de ces quantites. Nous savons qu'il n'en est pas
aiiisi. Done les valeurs d(5finies par liquation (7) ne sauraient convenir.
4<j D1&VELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.
Le mtoe raisonnemenl s'applique aux Equations (8) cl (10). 11 import*! d<>
remarquer que liquation ( 10), malgre la presence des doubles signes, no rcprc-
sente qu'une seule Equation analytique irrt'ductible qui prcndrait sa forme
algdbrique si Ton chassait les radicaux. Cette Equation irrtSducliblo osl salisfailo
pour e = e1 = o.
Restent les Equations (9) cl (n). Pour irouvor la Hmile do nmver£»vmv
definie par liquation (9), remarquons quc a, «', BT el w/ sonl dos domuSes do
la queslion el sonl r^elles, mais quc e el ef qui sonl nos variables indtipondanlos
pourront prendre des valeurs imaginaires.
Donnons a e une s^rie de valeurs de module constant |c|, mais d'argumonl
variable; faisons de m6mc pour ef. Le maximum du module du pn»mickr momlm*
de (9) est
at | <?2 1 + a'i | e'*i | + 2 ««' | tfc'cos ( w — w' ) |;
la condilion de convergence esl done
[ -4- 2
Nous sommes ainsi conduits a supposer que les seules conditions do conver
gence de noire d&veloppement soni
Je ne voudrais pas enirer dans trop de d^iails; je ne puis cependanl mo con-
tenter d'un apergu : il faut done que j'explique en quelques mots comment on
peut donner £ la demonstration toute sa rigueur.
Consid^rons le domaine D d^fini par les in<5galit(5s (12). II nc comical pas
de valeurs singuli&res satisfaisant aux Equations (9) et ( 1 1 ). Mais ilcn contie.nl
qui satisfont aux Equations (7), (8), (10). Si 1'une de ces valeurs convenciil, il
en serait de m£me de toutes celles qui satisferaient §. la m^me Equation et qu'on
pourrait rencontrer en faisant varier e et e1 d'une mani^re continue et sans
cesser de satisfaire & cette Equation. Cela serait vrai au moins en ce qui concerne
la determination de la fonction que Ton alteindrait par cette variation continue.
Or on verrait qu'on peut atteindre, par une variation continue, une quel-
conque des valeurs singulifcres qui satisfont aux Equations (7), (8), ( 10) el aux
inggalitgs ( 12) en partant de la valeur 6 = 0, e'= o et sans cesser dc salisfaire
a ces equations et sans sortir du domaine D. La valeur singuli&re ^ = 0,^=0
ne convenant pas, aucune de ces valeurs ne convient.
DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURB AT RICE. 4?
Les conditions (12) sont done les seules conditions de convergence.
La troisieme condition (12) sera satisfaite quels que soient w et wf, si 1'on a
\ae\ H-| a'c'|<a'— a,
c'est-a-dire si la distance p^rih^lie de 1'une des planetes est plus grande que la
distance aphe'lie de Fautre.
SUR
LES PMODES DES INTEGRALES DOUBLES
ET
LE DEVELOPPEMENT
DE LA
FONCTION PERTURBATRICE
Comptes rendus de I'Academie des Sciences, t. 124, p. taSg-iaflo (8 juin 1837).
On sail que le de"veloppement de 1'expression
(a2 — 2 aa'eos $ •+- a's)!
suivanl les cosinus des multiples de <p, a <5u§ ires bien tfiudid. Los coofficiunu d<!
ce dcJveloppement, qui sont connus sous Ic nom de coefficients de La/>lac«,
jouissent de proprie'te's curieuses.
Ce sont des fonclions iranscendantes du rapport £; mais ces iranscoudonios
Ctf
sont life, par des relations de recurrence, de telle facon qu'ollcs s'cxprimonl A
1'aide de deux transcendantes distinctes seulenoent.
D'autre part, chacune de ces Iranscendanles satisfait ft une tiquatiun <lifl<i-
rentielle lineajre a coefficients ralionnels.
LES P6RIODES DES INTEGRATES DOUBLES. 4g
L'expression (i) n'est autre chose (pour s = i ) que la fonction perturba-
irice dans le cas ou les deux excentricites et 1'inclinaison sont nulles.
La theorie des periodes des integrates doubles montre que le de~veloppemeiil
de la fonction perturbatrice, dans des cas plus genera ux, peut encore jouir de
proprietes analogues.
Supposons d'abord les deux excentricites nulles, mais 1'inclinaison differente
de zero.
On verrait que les coefficients de developpement sont des fonctions transcen-
dantes des elements, mais ces fonctions sont liees eiitre elles par des fonctions
de recurrence, de telle fagon qu'il n'y a que cinq transcendantes distinctes.
Si les excentricites ne sont pas nulles, ily a plus de difficult^. Mais supposons
que, au lieu de developper suivant les sinus et cosinus des multiples des ano-
malies moyennes, on developpe suivant les sinus et cosinus des multiples des
anomalies excentriques. (Dans le cas precedent, les excentricit6s 6tant nulles,
1'anomalie excentrique.se confondaitavecl'anomalie moyenne,) Les coefficients
de ce d^veloppement sont encore des fonctions transcendantes des 6l3ments,
mais entre lesquelles il y a des relations de recurrence, de telle fagon qu'il n'y
ait au plus que seize transcendantes distinctes.
D'autre part, ces coefficients satisfont a des Equations dififerentielles lin^aires
a coefficients rationnels, de telle fagon que leurs d6riv<5es partielles des divers
ordres puissent s'exprimer a Faide d'un nombre fini d'entre elles.
Revenons au d^veloppement procgdant suivant les multiples des anomalies
moyennes. II n'y aura plus entre les coefficients de relations de recurrence a
coefficients rationnels, ou du inoins je n'en ai pas trouve*. Mais les coefficients
du developpcrnent, consider^s comme fonctions des elements, satisfont encore
a des equations differentielles lineaires, de telle facon que les derivees partielles
des divers ordres de 1'un de ces coefficients puissent s'exprimer a 1'aide d'tin
nombre fini d'enlre elles.
H. P. — VIII.
SUR
LES PERIODES DBS INTEGRALES DOUBLES
ET
LE DEVELOPPEMENT
DE LA
FONCTION PERTURBATRICE
Journal de Mathe/natigues, 5e serie, t. 3, p. 208-276 (1897 ).
Introduction.
Soient u et uf les anomalies excentriques de deux asLres eL D leur distance,.
Le carrS D2 est un polynome entier par rapport aux lignes trigonomiHriques do
u et de u1.
La partie principale de la fonction perturbatrice estpr^cis&nenl -• Elle pent
se dgvelopper soit suivant les cosinus et sinus des anomalies moyennes, soil
suivant ceux des anomalies excentriques,
Le premier d6veloppement est le plus employed et le plus utile; n(5anmoins il
peut y avoir quelque int<Sr6t & <3tudier les [propri^t^s du second pour plusieurs
raisons
i
Quand les deux excentricites sont nulles? les deux ddveloppements se
confondent, quelle que soit d'ailleurs Tinclinaison;
LES P6RIODES DES INT^GRALES DOUBLES. 5 1
2° Hansen s'est servi de d<5veloppements proc^dant suivant Tanomalie
moyenne d'une des plan&tes et 1'anomalie excentrique de Fautre;
3° Enfin la connaissance des propri^t^s du second d^veloppement, qui sonl
plus simples, pent nous guider dans l^tude du premier d^veloppement.
Quoi qu'il en soil, le carr6 D2 est un polynome du second degre* par rapport
a cos w, sin &, cos &', sin u'.
Si nous posons
eiu=x, eiu'^zy.
D2 sera un polynome du deuxieme degre" en #, - y y, — ei #3y2D2 seaa un poly-
nome enlier en #, y, soil
^x2D2=F(^r), d'ou 5=*%'
Nous sommes done conduits a de'velopper -— suivant les puissances positives
V'F
et negatives de x et de y.
Je traiterai la question pour un polynome F quelconque. Pour quc le ddvelop-
pemenl soit possible et valable pour
il faut d'abord que F ne s'annule pour aucun des systemes de valeurs de^?et de
y dont le module est 6gal a i .
Sans cela, Fexpression -i= devenant infini ne pourrait plus £lre d^veloppe'e
par la formule de Fourier.
II faut ensuite que le radical yF revienne a sa valeur primitive quand Pargu-
ment de x augmente de arc, de telle fagon que la variable x dgcrive la circon-
f(5rence tout entiere du cercle ] x \ = i .
Regardons y comme une constante; le polynome F, conside're' alors comme
fonction de.iz? seulement, a un certain nombre de ze'ros. II faut que le nombre
de ces ze'ros, qui sont a 1'inte'rieur du cercle | x \ = i , soit pair. Cela doit avoir
lieu pour toutes les valeurs de y dont le module est e'gal a i .
Mais il suffit que cela ait lieu poury = i; en effet, faisons d^crire au pointy
le cercle |y| = i tout entier; le nombre des racines de liquation F = o, qui
sont a I'int^rieur du cercle \x\ = i, demeurera constant. En effet, il ne pour-
rait changer que si une des racines venait sur la circonference | x \ = i . Or, cela
52 LES PERIODES DES INliCRALES DOUBLES.
n'est pas possible, car nous avons suppos^ plus haul que F ne pouvails'anmiler
pour |a?| = I? \y | DI-
NGUS supposerons done que, pour y = i , liquation F = o a un nombre pair
de racines a PintSrieur du cercle | x \ = i .
II faut enfin que le radical y/F revienne a sa valour primilive quand ravgu-
ment de y augmente de 2 TT.
Nous supposerons done encore que, pour x = i, liquation F = o (ofi y osl
regard^e comme 1'inconnue) a un nombre pair de racines a l'inl<5rumr <lu
cercle | y \ = i .
Ges conditions sont d'ailleurs suffisantes.
Relations de recurrence entre les coefficients.
Nous aurons done le d^veloppemenl de -j= sous la forme
et le coefficient A«& sera donn^ par la formule
» 7)
L'int^grale double doit ^tre prise le long des deux cercles
1^1 = ^ lrl=i-
Les coefficients Afl& sont en g^n^ral des fonctions transcendanLos des cocfli-
cients de F, mais nous allons voir qu'il y a entre les Art& des relations do n$cur-
rence de telle fagon qu'il ne reste qu'un nombre fini de transccndanios
distinctes.
Pour simplifier, je me bornerai d'abord au cas ou a -+ i et b + i sont n<5galifs,
de telle fa9on que le num&rateur de la quantity sous le signe // 3 x~a-*.y-b-i
soit un polynome entier. Nous verrons plus loin que les autres cas se ramfeneni
ais&nent a celui-l^t. S'il y a entre les Aab (a H- i < o, b + i < o) une relation
lin&ure, cette relation s'^crira
H 6tant un polyiiome entier- Nous avons done £ rechercher quelles sont les
relations de la forme ( i ).
LES P^RIODES DES INTEGRALES DOUBLES, 53
On peul en trouver cle la mani&re suivanle : soil P un polynome quclconque;
on aura £videmment
(2)
car, en integrant d'abord par rapport a x, on trouvo z<3ro, puisqeP \/F rcprend
la m&me valeur quand, x ayant d^crit toute la circonference | x\ = i , son argu-
ment augmente de 2 TT.
D'ailleurs toutes les p6riodes de Pintegrale double (2) seront nulles.
Or
La relation ( i ) sera clone satisfaite quand on aura
De nuSme, si Q esl un polynome quelconque, on aura
de sorte que la relation (i) sera encore satisfaite quand on aura
w__ ^QF . i ^F
Jtl = -~- Jt> H -- -7— (J.
dy 2 ay
Si P ct Q sont deux polynomes quelconques, on aura encore
mais ce cas se ram&ne au pr^c^dent, car on a tSvidemment
Premier cas.
Le polynome F est homog&ne et de degrg m to x et'en y\ liquation F = o
n'a pas de racine double.
Nous supposerons ^galement que le polynome H est homog&ne et de degr6 q.
54 LES PJfolODES DES INTEGRALES DOUBLES.
Je dis alors que si le degre" q cst suffisamment (5lev6? 011 puurra irouvcr deux
polynomes P el Q tels que
et, par consequent, que Ton aura toujours
Edxdy
II est clair que, si les polynomes P et Q son! homogcncs dc dcgre/?, on aura
q = 77H-JO — I,
ce qui exige ddja
Maintenant, pour determiner les polynomes P et Q, je vais op(5rcr do la lacon
suivante : Je d^terminerai d'abord deux polynomes A el B, homogencs <a do
degr<5/?, par la relation
(4) H = A^n-B^.
K ' dx dy
Le polynome H contient q •+• i coefficients; en identifiant les deux mcmbrcs
de liquation (4), nous trouverons done q+ i Equations line"aires auxquelles
les coefficients de A et de B devront satisfaire.
Le polynome A contient p + i coefficients, de m&me que B; nous avons done
2,p + 2 inconnues.
Si done
#<2jt?-Hi, d'ou q > 2 m — 3,
nous aurons plus d'inconnues que d'e*quations.
Si
gr^ajOH-I, <TOU ^ = 277Z— -3,
nous aurons autant d'e'quations que d'inconnues.
Si enfin
nous aurons plus d'ikjuatlons que d'inconnues.
Je dis que si q^zm — 3, on pourra satisfaire i la relation (4). En offcl,
nous avons suppos^ que liquation F = o n'avait pas de racine double; il en
i dP dF
resulte que ^ et ^ ne peuvent s'annuler & la fois (sauf bien cntendu
LES P£RIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 55
Supposons d'abord
2 = 2771 — 33 d'ou #=2/?H-I, p = 771 — 2.
Nous avons alors autant d'equations que d'inconnues; nous pourrons done y
satisfaire, pourvu que le determinant de ces Equations lin&iires ne soil pas nul.
Mais si ce determinant etaitnul, on pourrait trouver deux polynonies G et D,
homog&nes de degre jt?, tels que
n clF ^dF
C-7- -f-D-r- =0.
dx ay
ffCp ^/C1 x7I7
-T- > divisant le produit D -j- et etant premier avec -r- ? divisera D.
Mais cela est absurde, puisque D est de degre/? = m — 2 et ^- de degr6
m — i.
Done le determinant n'est pas nul.
Done on pourra satisfaire a nos Equations et, par consequent, a la
relation (4).
Soit maintenant g^>2m — 3; alors H pourra se mettre djune infinite de
mani&res sous la forme
H==C1H14-G2H2j
HI et H2 etant deux polynomes homogtoes de degre 2m — 3, Ci et G2 deux
polynomes homogtocs de degre q — 2 m + 3.
Alors HI et H2 pourront se mettre sous la forme (4)? de sorte que
II vient alors
H=.(GiAI-hG2A2)^-H(G1B1-hG2B2) — ,
de sorte que H est mis aussi sous la forme (4).
Si enfin q < 2 m — 3, tous les polynomes H ne peuvent pas toe mis sous la
forme (4), puisque le nombre des equations est plus grand que celui des
inconnues.
II y a y+ i polynomes H de degre q lineairement independants. Sur ces
q + r polynomes, il y en aura au plus 2^ + 2 = 2^ — 2/72 + 4 que Ton pourra
mettre sous la forme (4).
56 LES piRIODES DES INTE^RALES DOUBLES.
Je dis qu'il y en aura prtcisdment ap H- 2; le contraire ne pourraiiarrivor cu
effet que si un de ces polynomes pouvait elre mis sous la forme (4) do deux
manieres dif&renles. Cela entrainerait une 6galil<5 de la forme
Or, nous avons vu qu'une pareille t§galii<§ est impossible, si lo degr<5/> do C
et de D est inferieur am — i .
Done, si q<2m — 3, il y aura zq— 2 /w + 4 polynomes H do ilogro </,
linSairement ind^pendants, que Ton pourra mettre sous la forme (4).
Combien y a-t-il alors, parmi les polynomes de tons les degrds, de polynomes
H non susceptibles d^tre mis sous la forme (4), lin<$aircmenl ind«Spcndanls
entre eux et ind<5pendanls (Sgalement de ceux qui sont susceplibles d'filrc mis
sous la forme (4) ?
D'abord tous les polynomes de degr<5 2 m — 3 ou de degr<3sup^ricurpouvanl
se mettre sous la forme (4), il nous resie (am — 3)(m — i) polynomes de
degrg inferieur a am — 3.
Parmi ceux-lA, il y en a 2 2 (/> -f- i ) qui peuvont 6 ire mis sous la forme (4).
Sous le signe 2 le nombre JE? varie de o & m — 3.
Done
II reste done .(/n — i)2 polynomes qui ne peuvent pas 6lre mis sous la
forme (4)- "
Passage de la forme (4) a la forme (3) .
Supposons done que H ait <5ic5 mis sous la forme (4)j il s'agil do le uuHlro
sous la forme (3),
Pour cela, remarquons que 1'on a •'
^-y- -f- V-
6te ^
Liquation (3) devient done
Si done nou$ posons
LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 67
on devra avoir
A et B sont connus, il faut determiner Z, P et Q.
Diflferentions la premiere des Equations (5) par rapport a #, la secondc par
rapport a y et ajoutons, il viendra
a? A dE Z 2Z i / dL dL\
__ ._ I ____ __ i ____, I ___ I /V» ___ - I nf ___ 1 .
—f-. — - _ — — I— ...I — f— _- I ^ >^_ 1^ - -_ I •
aa? ay 2 m m\ dx J dy ]
Mais, en vertu du th^oreme des fonctions homog&nes, on a
dL dZ
On a done
dx dy
ce qui donne Z; Z £tant connu, les Equations (5) clonneront imm^diatement P
etQ.
Si done un polynome H peut £tre mis sous la forme (4), il peut <5galement
<Hre mis sous la forme (3), de sorte que Ton a
Une question subsidiaire se pose : un polynome homogtoe H peul-il ^tre
mis de plusieurs mani^res sous la forme (3)? En d'autres termes, peut-on
irouver deux polynomes homog^nes P et Q, tcls que
(6) ^(PV/F)+|;(Q^F) = O.
Liquation (6) admet une solution 6vidente. Soit S un polynome homog&iie
de degr<3
p -H i — m = q H- 2 — 2 m.
II est clair que liquation (6) sera satisfait'e si Ton fait
H. P. — VIII.
$g LES PERIGEES DES INT^GRALES DOUBLES.
c'est-a-dire
_ dS 3 G dV
P= F^'H2S^'
P dS 3~dF
Q— -Fs-*-5sssr
Cette solution n'existe que si
p^m — i, (Toft #^2ra — 2.
Je dis qu'il n'y en a pas d'autre.
Si, en effet, P et Q satisfont a liquation (6), c'csL quo
Q s/F das — P v/F dy = dT
est une diflferentielle exacte.
Posons done
T ajant pour d£riv<5es des fonctions homogtoes, devra <Hrc cllo-m6mo unc fouc-
tion homog&ae (a une constante prfes, que je puis supposer nulle).
La fonction homogtoe T sera d'ailleurs de degr<5 p + ^ + i ; d'ou
2
Ainsi T est £gal £ \/F multiplies par un polynome eniier Q# — Py. Pour
montrer que
T = SF^5 d'ou Q# — Py = SF,
il suffit de faire voir que Q# — Py est divisible par F. En effet on a
ou
Oil
ce qui montre que F divise le produit -T- (Q# — Py). Comme liquation F =
n'a pas de racine double, F est premier avec -T-- Done F divise Q# —
C. O, F. D.
LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 69
Exposants negatifs.
Nous avons vu que le coefficient de xa yb tStait donn<5 par I'inUSgrale double
— i fp dx dy gr-*—\.y—b—i
Jusqu'ici nous avons suppose que a -f- 1 et b -f- i (Staieiit n<3gatifs, de telle
facon qu'au num&rateur de la fonction sous le sigiie jf) les exposanls de x et
dc y soient positifs.
Ne nous imposons plus cette restriction.
II est clair d'abord que le cas ou un de ces exposants esi n^gatif, et celui ou
ils le sont tons les deux, se ram&ne ais(5ment a celui ou ils sont tous deux
posilifs. Supposons, par exemple, que
nous poserons
„-, d'ou
I (a/7 y} 6ianL un polynome entier en x1 ety; I'int^grale devient alors
dsc'dy ,?+«-' . 1
,. J * y — o—l
^ '
et Ton voit que les exposants de of et de y sont positifs, au moins si m^4-
On doit done s'attendre a retrouver une thtforie analogue a celle quipr<5cfede.
Mais il vaut mieux la refaire directement.
II s'agit de trouver les relations de la forme
ou H n'esL plus un polynome entier en x et/, mais un polynome entier en x,
7, I eti? ou, si Ton pr^fere, un polynome entier en x et y, divis6 par une
puissance de x et par une puissance de y. Nous aurons encore
si P ct Q sont des polynomes entiers en a?, y, -» - *
6o LES PERJODES DES INTEGRALES DOUBLES.
II s'agit done de voir si Ton peut mettre H sous la formu
<«•*> *-
ou encore sous la forme
A et B etant, comme H, P el Q des polynomes cnticrs en x, y, - et -•
Nous continuerons a supposer quo F, H, P, Q, A, B soul homog&nes onff ol
y el que liquation F = o n'a pas de racine double.
Nous pourrons alors 6crire
a et |3 tftant des entiers positifs ou nggatifs et HA un polyiiome cnlior cu x
eiy.
Si alors on peut mettre HI sous la forme- (4)
„ . dF - dF
Hl=Ala?+Bt^
(ce qui arrivera toujours si le degr6 de HI n'est pas plus petit que 2 in — 3),
on pourra mettre H sous la forme (4 bis)
Mais il est ais6 de comprendre qu'un polynome H quelcojique pout toujours
se mettre sous la forme
le degr& de H4 etant au moms egal hzm — 3. Car on peut, sans changer II,
multiplier HA par yfr (p etant arbitraire),-£ condition de changer a en a — /*.
D'oii cette consequence :
Unpolynome H quelconque peut toujours se mettre sous la forme (4 bis).
Comment maintenant passer de la forme (4-6w) a la forme (3 bis}} un calcul
tout a fait analogue & celui qui prdcdde montrerait que A, B, P et Q sont lit
par les Equations
I Z===S^^'
(5 bis) * P
LES PERIODES DBS INTEGRALES DOUBLES. 6 1
On en deduirait
dx dy ~~ \2 771 /
De cette equation, on tirera Z et, par consequent, P et Q, a moins quo
(7) l^1^-0'
Cela montre que, si Pegalite (7) n'a pas lieu, le polynome H peut se mctlrc
sous la forme (3 bis) et, par consequent, que la relation ( i bis) a lieu.
D'ou cette consequence : le coefficient de xayb dans le developpement est
mil, a moins que Ton ait
Mais
q a= m -f- p — 1= — a — b — ?.
La relation (7) peut done s'ecrire
Le developpement de -J~ ne contiendra done que des lermes tels que la
V/F
sommc a + b soit ^gale a •
Ce rgsultat etait evident d'avance; c'est une consequence immediate de
Fhomogeneite de la fonction -p •
VF
Mais nous n'avons pas a regretter de Tavoir retrouve par une voie detournee;
car les equations intermediaires que nous avons obtenues chemin faisant nous
seront necessaires dans la suite.
Mais poursuivons et supposons que la relation (7) ait lieu.
Alors les equations (5 bis) entraineront
dA dE
w a*;1-^-0-
Ainsi, pour que H "puisse se mettre sous la forme (3 bis), il ne suffitplus
qu'il puisse se mettre sous la forme (4&w)j ^ ^aut ^nc°r6 que la relation (8)
ait lieu.
Cette condition est d'ailleurs suffisante. Car alors, en faisant
52 LES PERIODES DES INT^GRALES DOUBLES.
on satisfait aux Equations (5 bis). J'ajoute mtoe qu'on pent satisfairc 4 cos
Equations (5 bis) d'une infinite de manures, car la fonction Zpeut dlro choisie
arbitrairement.
Nous sommes done amends a nous poser la question suivanic :
Peut-on mettre H sous la forme (%bis) et cola do lollo facon quo la relation
(8) ait lieu?
La relation (8) montre que
est une diflferentielle exacte; on aura done
~~~ ~dx* ~~ dy
et, en vortu du th£or£me des fonctions homog&nes,
U est done un polynome en #, y, ^ et -; il est liomog&nc et de degr<5 /> -4- i
ena?et j.
Liquation (4 to) devient alors
d\J
et nous avons a rechercher si Ton pent mettre H sous la forme (9).
Soit
U
V ^tant un polynome entier et homog&ne d'ordre h en x et eny, a et (3 tilnnl
deux entiers positifs; on devra done avoir
Quant £ Hj il sera de la forme
( 10) H =
*
R 6tant un polynome entier en x et y , homogtoe de degr<^ h + in.
Le polynome R comprend h-t-m + i coefficients et le polynome U n'cn
eontient que k + i.
Quand nous voudrons mettre H sous la forme (9), nous n'aurons done quo
k + i inconnues pour satisfaire a h •+ m -+- 1 Equations lin^aires.
LES P^RIODES DES INT^GRALES DOUBLES. 63
Des h -{- m + i polynomes H de la forme (10) qui sont lin&urement indt*-
pendants, il y en aura au plus h + i que Ton pourra mettre sous la forme (g).
Je dis qu'il y en aura pr£cis<3ment h -f- 1 ; le conlraire ne pourrait arriver en
effet que si Fun de ces polynomes pouvait se metlre de deux mani&res diflfe-
rcnles sous la forme (9) :
H _ dF dU __ dF dV _ ^F dW dF dUf
dx dy dy dx ~~ dx dy dy dx '
d'ou
dF d([j — U') dF ^(U — U') _
dy dx dx dy "~~
Cettc Equation exprime que U — U; est fonclion de F. Mais F csl homog&nc
de degr(5 m et U — U' homog&ne de
771
2
On devrait done avoir
Gela est impossible, puisque U — U' doil toe rationnel.
Done cette circonsiance ne pourra se presenter.
Done il y aura pr£cis6ment h + i polynomes ind6pendants qu'on pourra
mettre sous la forme (9).
II y en aura m qui ne pourront se mettre sous cette forme et qui seront
lin&xirement ind^pendants entre eux et avec ceux qui peuvent se mettre sous la
forme (9).
Mais le nombre h pent £tre pris aussi grand que Ton veut. Nous arrivons
done & la conclusion suivante :
Parmi tous les polynomes H, en nombre infini, il n'y en a que m qui ne
peuvent se mettre sous la forme (9) et qui soient lin^airement ind6pendants
entre eux et avec ceux qui peuvent se mettre sous la forme (9).
Ou bien encore :
Les coefficients du d^veloppement de — sont des fonctions transcendantes
VF
des coefficients de F. Mais toules ces transcendantes ne sont pas distinctes
entre clles. II y a en tout seulement m transcendantes distinctes.
LES P^RIODES DBS INTfcjRALES DOUBLES.
Deuxieme cas ; cas general.
Supposons quo F soil un polynome cnlicr dc degre ?n, 71011 homogene <ui x
et en y.
Nous <5crirons
en deSsignant par Fk Fcnsemble cles termes liomog&ncs cl cFordre k on x <»t
en j.
Nous supposerons que liquation Fm = o n'a pas de racinc multiple. Nous uu
supposerons plus, sauf avis contraire, que les polynomcs H, P, Q, . . . soul.
homog&nes.
II s'agit de determiner les relations de la forme (i) ou ( i bis)', je vais
commencer par tStudier .exclusivement les relations de la forme ( i). Je snppo-
serai done que H, P et Q sont des polynomes entiers (homogtoos ou non) on a1
et y] je me propose de chercher quels sont les polynomes H qui pen vent so
mettre sous la forme (3).
Soit g IQ degr<5 de H; £crivons
H = H^r-h H^r— 1 •+- . . ,-f- Hfl)
H/; repr^sentant Tensemble des termes homogtoes et d'ordro /r.
Comme H^ et FTO sont homog^nes, comme Fm = o n'a pas dc racine mullipl^,
nous pourrons toujours trouver deux polynomes Pyj et Q,, homog6ncs d'ordni
p = g — m-*ri et tels que
_dPp i dFm
H^= TE *"+ 2 "35-
Cela sera toujours possible, comme nous 1'avons vu, A la condition quo
q^ 2 m — 3,
Soit maintenant
H'=^Fn-I^P,+ ^F^I^Qp. '
dx 2 dx p dy 2 dy ^p
Le polynome H7, qui peut se mettre sous la forme (3), ne sera plus homo-
g^ne, mais il sera de degr<§ g et Fensemble des termes de degrg g sera pr(§cisd-
inent H?, de sorte qne le polynome H — B7 sera de degr^ g — i.
Ainsi, si 3^2 m — 3, on pourra regarder H comme la sonime de deux poly-
LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 65
nomes, Fun susceptible d'toe mis sous la forme (3) et 1'autre de degre
moindre.
Le degre' peut toe ainsi abaisse' jusqu'a 2 in — 4- Mais il n'y a quo (2 w — 3)
(m — i ) polynomes lingairement indgpendants d'ordre 2 m — 4-
II y aura done au plus (2 m — 3)(m — i) polynomes iion susceptibles
d'etre mis sous la forme (3), lin^airement inde'pendants entre eux et de ceux
qu'on peut mettre sous la forme (3).
Mais ce nombre peut encore toe abaisse.
Soient P" et Q" deux polynomes quelconques d'ordre 7?? — 3 an plus, cl
soit
dx 2 dec dy
11 esL clair que IF sera d'ordre 2 m — 4 au plus.
Or il y a - - — - - polynomes d'ordre m — 3; done nous pourrons
Lrouver - - — - ' polynomes P et autant de polynomes Q.
Nous pourrons done former (m — 2) (m — i) polynomes EF; je dis qu'ils
seront lin^airement ind^pendants.
S'ils ne T^taient pas, en effet, c'est qu'on pourrait trouver deux polynomes
Pv et Q/;, d'ordre m — 3 au plus et tels que
.
dy 2 dy ^'
Soit p le degre* de celui de ces deux polynomes dont le degrg est le plus
; nous aurons
— 3.
SoienL P'^, Q"p 1'ensemble des Lermes de degr<* p de P" ct de Q7/. P"p et Q^ no
pourront toe identiquement nuls Lous les deux.
On devrait avoir
_ j. 77i ^r^ — ; * n ^^ »
dx 2 dx p dy
ou bien
dy 1 J dy L a ' m\dx dy
H. P* - VIII. 9
6g LES PERtODES DES INTEGRALES DOUBLES.
Comme ^ et — Sont premiers entre eux, cela ne pourrait avoir lieu que si
dx dy
?^(S + f*) aait divisible par w
et
2
r /n j- • -ui '»
Z ( rfl£ -H -7^ 1 divisible par — —
m\dx dy / r dx
Mais ^!-^et^-^ elant d'ordre m — i no peuvenL divisor deux polynomos
dx dy
d'ordre plus petit. Done la relation (is bis) ne pourrait avoir lieu quo si Ton
a va i I
dx dy
En differentiant la premiere Equation par rapport a #, la sccondc par rapport
a j, et ajoutant, en tenant compte du th^oreme des fonclions homog&ncs on
trouve
d'ou
ce qui est impossible, puisque P^ et Q^, ne peuvent s'annuler a la Ibis.
Les relations ( 1 1 ) et (12) sont done impossibles.
Les (m — 2,)(m — i) poljnomes H" sont distincts .
II y a done au plus
(2 m — 3 ) ( m — i) — ( m — ii ) ( in — r) = ( in — - 1)2
poljnomes H qui ne peuvent 6tre mis sous la forme (3) et qui sont indepen-
dants entre eux et de ceux qui sont de la forme (3).
Ge nombre peut-il 6tre rgduit davantage ?
En d'autres termes, existe-t-il des polynomes d'ordre 2 m — 4? 'ftutres quo
les polynomes H'7, et susceptibles d'etre mis sous la forme (3) ?
Soit H un de ces polynomes et soit
i dF dQ i
TT
JHL ss --r— Jt< -j -- -=— Jr H — ~ r -4- -- T~ v-
dx 2 dx dy 2 dy x
Soit p le degr<5 de P et de Q; on devra avoir />> m — 3, sans quoi H scrail
un des polynomes IF.
LES PER10DES DBS INlicRALES DOUBLES. 67
Gomme H csl supposed de degnS 2 m — 4? los termes de degre > 2 m — 4
devront disparaitrc dans le second membre, en particulicr les lermes de
r£ p-\~m — i .
On aura done
dP
ou bien
ou bien
T <5lant une fonclion de x el j" homog^ne de degre p -f- - — j- i .
Le lh£or£me des fonclions homog^nes donnera
On verrait, comme plus haul dans l'6tude de liquation (6), que
est divisible par Fm.
On aura done
S ^tant un polynome homog^ne de degr6/> + i
On aura alors
dx
d'ou
Or on a
P' el Q' ^lant des polynomes de degrd p dont les termes d'ordrej? sonl
ment Pp el Q/,.
11 vienl
68 LES Pl&IODES DBS INT*GRALES DOUBLES.
ce qui montre que les polynomes P CL Q peuvenl (Hre remplactfs par ies poljr-
nomes P — P' et Q — Q', qui sonl de degre moindrc.
Done le degr^ des polynomes P et Q poul toujours Sire abaissc el coin
jusqu'a m — 3, de telle facon que H n'esL autre chose qu'un polynome IV.
II y a done pnJcistoent (w— i)9 polynomes dwfc/wto non susccpliUcs
d'toe ramen^s a la forme (3).
Les coefficients du dSveloppemoni ou les exposaiits — a — i oi — b — i soul
positifs dependent done au plus de (m-— i)2 Iranscendanles.
Exposants negatifs.
II est facile d'etendre ces requitals & Felude dos relations de la forme ( i bis}.
Supposons done que H, P et Q soient des polynomes cniicrs, non plus en $
ety, mais en x, y, ~ el y
Nous poserons alors
H7 P' Q'
OIL a et P sont des entiers positifs eL H', P', QT des polynomes enliers en $
etj.
Les valours des entiers positifs a et (3 seront regarddos comme fixes, mais
pourront d'ailleurs toe prises aussi grandes qu'on voudra. Jc d(5signerai Lou-
jours par q le degr<3 de H, c'est-a-dire le degr(5 des termes de H dont le degrd
d'homog^n(5ite5 en x et en y sera le plus £lev£.
Je dgsignerai de mdme par/? le degr6 de P et de Q*
Je repr(5senterai par H? Pensemble des termes de degrtS q dell, par P^ eL Q^
Fensemble des termes de degr6p de P et de Q.
Je dgsignerai par qr le degr6 de H;, par/)' celui de P' et de Q', de sorte qu'on
aura
0'ss gr-^a-hp-f-a, y =:/?-+- a-hp -HI,
d'ou
qrzszp'-\-m.
Les termes du degr6 le plus (SlevtS de H;? P7 et Q7 seront alors
On tire de 1A
W, »_
LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 69
Posons-nous inaintenant le probleme suivant :
Existe-t-il deux polynomes P" et Q" entiers et homog&nes en x et y et tels
que Ton ail
d QVF
La relation ( i5) pent s'c^crire
H,^
on posanl, pour abr^ger,
.
Nous dcvons d'abord nous demander si Ton peut mettre Hf/ sous la forme
analogue & la forme (4)- Dans cetie Equation, A et B sont des polynomes
entiers el homogSnes en x et y clont le degr<5 est evidemment//.
Nous supposerons, pour eviter toutc difficult^, non seulement que Fequation
Fm=o n'a pas de raciiie multiple, mais que —7^ n'ost pas divisible par #, ni
7TT1 y-7I7 /"/P
-y^ pary. Dans ces conditions, x—j^ et y— —^ sont premiers entre eux.
En raisonnant alors comme sur Fequation (4), on verrait que Ton peut
toujours meLtrc Hr/ sous la forme (16), ponrvu que
q' ^ 2 m — i .
Une fois Hy mis sous la forme (16), nous determinerons P" et Q" a 1'aide des
Equations
A
d'ou Ton d(5duit
^A
^f-7 — ^y-j -- — -
dx J dy ' \2
On tirera de la Z et, par consequent, Pv et Q", & moins que Ton ait
1 p -hi
-4-£ - = 0.
2 m
Done, Hry pourra toujours se mettre sous la forme (i5), pourvu que
70 LES P^RIODES DES INT^GRALES DOUBLES.
Si la relation (17) 6 tait satisfaite, on verrait, comme a propos dc la discussion
de liquation (8), que, parmi les polynomes lifJ^+iy^'L de degrtf
il n'y en a que m qui soient dislincts eL non susceplibles d'etre mis sous la
forme (i5).
Posons maintenant
d
Le polynome H" ainsi dtSfini est de la forme (i4); ses Lermes du degrti lo plus
sont HqxP+tyP**, puisque P" eL Q" sont d<5finis par la relation (i5).
Done H7 — H" est de degr^ cf — i; done H7 est la somme de deux polynomes,
Tun R" de la forme (i4)9 1'autre H; — H" de degr(5 moindre, Le dogr^ do II
pout done toe rgduit, a moins qu'il ne soil, plus petit quo a/n — i, ou <Sgal
De plus, parmi les polynomes de degr£ a H- (3 •+- --> il n'y en aura quo m
rtSellement distincts et dont le degr<£ ne pourra £tre r(5duit (la reduction, une
fois 1'gtape a + (3 + ~ franchie, pourra 6tre pouss^e sans obstacle jusqu'u
am
II n'y a done que m polynomes r^cllement distincts, de degrci plus grand
que am — 2 et non susceptibles d'etre mis sous la forme (i4)-
Comme le nombre des polynomes de degr<3 am — 2 est tfgal a m(%m — i),
nous pouvons conclure qu'il y a au plus 2/n2 polynomes distincts qui no
peuvent se mettre sous la forme (i4)- Mais ce nombre peut encore 6 Ire rtiduil;
et, en eJSTet, il y a des polynomes de degr<5 zm — 2 qui peuvent se mettre sous
la forme (14) ; on les obtient en prenant pour P' et Q' des polynomes quelconqucs
de degr6 m—z. Or il y a ~(m — i) polynomes P; et autant de polynomes de
degrg m — 2. Cela fera done m2 — m polynomes de degrti m — 2 et de la
forme (i4)«
Je dis qu'ils sont tous lin^airement ind^pendants.
Si, en effetj ils ne 1'gtaient pas, on pourrait trouvcr deux polynomes
d'ordre m — 2, tels que
LES P^RIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 71
ou en appelant P'7 et Q" les termes d'ordre le plus eleve de P7 et dc Q;
d
Cette Equation csl. do m£me forme quo (10) (satif quo H,y esL mil); elle
entrainerait done
. d¥ ^ dF
-i — -}— = o.
dx J dx '
ou /puisque A el B sont d'ordro inferieur a ;?2 elanl du m^me ordre que P;/
fJTP ./-/FT \
ou Q;/ et que, d'autre part, &-r~ el J'^r: ,sont' premiers enlre eux J
A = o, B = o,
ce qui entrainc
P"=:Q"=:.0
a moins que la relation (17) n'aitlieu; or nous pouvons toujours supposer le
contraire, puisqu'elle entrainerait
/ r, in
?=«-+•?-- H-I;
que Ton a, d'ailleurs,
p' ^. m — 2
et que Ton peut supposer a et (3 aussi grands que 1'on veut . II faudrait done
que P" et Qf/ fussent mils; et, comme ce sont les termes du degnS le plus ^Iev6
de P' et de Q7, il faudrait que P7 et Q7 fussent nuls.
* — m polynomes sont done Hn^airement ind^pendants. II reste done
2/7Z2 — (m*— m)
polynomes rgellement distincts et non susceptibles de se mettre sous la
forme (i4)-
Gomme cela a lieu, quelque grands que soient a et (3, nous conclurons que
nos coefficients dependent au plus de ma+ m transcendantes distinctes.
Ce nombre peut-il encore £tre r^duit?
Voici comment la question se pose : Nous avons trouvg qu*un certain nombre
de polynomes en #, y, -> - de la forme
H'
^2 LES PE"RIODES DES INT1&GRALES DOUBLES.
ou H' est un polynome d'ordre qf en x el y, pourraicnl £trc mis sous la
forme (3 few), et cela de telle facon que
p/ et Q/ £tant des polynomes d'ordre/?' = ^ — ra en x et en j.
Quand un polynome H pourra se me lire sous la forme (3 bis), etcclo. de lello
fagon que P et Q soient de la forme (19), je dirai, pour abrgger, quo H pcul so
mettre sous la forme (3 ter}.
L'analyse qui precede monire que certains polynomcs de la forme (18)
peuvent se mettre sous la forme (3 ter}\ elle monire en mtoic Lemps qu'il n?y
en a pas d'autres.
Ce qu'il nous reste a voir, c7esl si certains polynornes nc pourraicnl fiLro in is
sous la forme (3 bis} sans pouvoir <Hrc mis sous la forme (3 ter).
On aurait done
et Ton pourrait 3crire
Le polynome H pourrait ainsi se mettre sous la forme (3 bis), mais, pour quo
cette forme nc se confonde pas avec la forme (3 ter), il faut :
i° Ou bien que a soit plus grand que a;
2° Ou bien que b soit plus grand que (3;
3° Ou bien enfin que le degr6 // des polynomes P' et Q' soit plus grand
que ql — m.
Nous pourrons, d'ailleurs, toujours supposer a ^ a, b ^ (3.
Je dis d'abord que? si a > a, a pent e;tre diminud d'une unil<5. On a en effet
Le premier membre 6tant divisible par x, il doit en etre de m£me du second.
Done ori aura pour x = o
LES P£RIODES DBS INTEGRALES DOUBLES. 73
Nous supposerons que, pour #~o, le polynome F est premier avec le
7p
polynome y-j-* Cette Equation nous montre alors que, pour #~o, Q' est
divisible par F ; soil done
Cette £galit£ ayant lieu seulement pour x = o? U sera un polynome entier Qny.
Posons maintenant
d'oil
ct
F = d f UF*\ Q'V'F = a? /UF« \
d-Hl ^7 \ iCa76 / ' a;a+lj6 ~" cto y xn y*> ) '
rf ( P"V/F
~di \ x«y*>^
ce qui rnontre que pour 5?=:o, on a Qr/=Q;, et par consequent, a cause
de (20), P*=F. Done les deux polynomes F— P", Qf— Q" sont divisibles
par x*
Mais a cause de (21) on aura
H = d (F-P7/)y/F d (Q7— Q")s/F[
i/F ^^ jjrtyiH-l ^v #flH-l y6
Comme P' — P//r et Q' — Qy sont divisibles par #, on voit que la valeur de a
se trouve abaiss^e d'une unit<3. c. Q. F. D.
On d^montrerait de m6me que b peut &tre abaisst5 d'une unitg s'il est plus
grand que (3.
Je dis maintenant que p1 peut 6tre abaiss6 d'une unit£ s'il est plus grand
que q1 — m.
Je n'ai presque rien a changer £ la demonstration analogue de la fin du
paragraphs precedent.
Soient Pf/ et Qf/ les termes du degr^ le plus 3lev6 de P7 et de Q', on devrait
avoir
H. P. ~ VIII.
, LES PERIODES DBS INT^GRALES DOUBLES.
ou bien
fil^.sH, p°^ fH,
#«•+•! y£ ok? asttyb+* dy
ou
6tant le degrg d'homog6n£it£ dc T ; d'ou
Cette Equation, que Ton peut multiplier par xa+l yb> montre que
((y_. p*)^"
est divisible par Fm; et, comme #-^r~est premier avec Fm, que Q" — P", es
divisible par Fm.
Soit
^ ~~~ * — - ^* m*
Nous poserons
Qwy/F __ ^ SF^" Pwy/F _ ^
On en conclut :
t° Que Q/;/ et P'" ont m^mes termes dc degr£ le plus <5lev(5 que Q" et P/; de
facon que les polynomes P;' — P'"7 Qf/ — Qw sont de degrg moindre;
a° que
_rf_ Pw y/F _£^ Q^y/F _
dx xayb-t-l "*" <^
d'ou enfin
J^^^ (P"~P'")y/F
./p ^/a? g*a-yb-*-\
On voit que le degrg des polynomes a 616 abaiss^. c. Q. F.
La demonstration se trouverait en d^faut si Ton avait
ou
LES PERIODES DES INT&GRALES DOUBLES. 76
OU
m
-
Dans cc cas on Irouve simplement
Q"=P".
Nous no pouvons done plus affinnor quo T soil de la forme
T
I =
ou S est un polynome; iii meme que T ne soit pas transcendant. La discussion
faite plus haul a propos du cas ou F <3tait suppose* homogene nous a me"mc
montre quo parmi les integrates de la forme
= rP'VFm/afr dx\
J x*y*> \y X ) '
OLI P" esl un polynome homogene d'ordre a -+- b ; que parmi ces inte"grales,
dis-je, il y en a qui sont transcendantes et qui sont des combinaisons line"aires
de m transcendantes distinctes.
Parmi les polynomes P" il y en a done m, distincts entre eux, et qui peuvent
ainsi donner naissance a des transcendantes. Supposons cependant que 1'inte'-
QT7 *
grale T ne soit pas Lranscendante. Je dis qu'elle sera de la forme a mb • Pour
x y
nous en rendre compte, regardons un instant y comme une constante et
d^veloppons suivant les puissances de x — XQ, #o (Stant unc valeur quelconque
de x.
Si a?0 n'est pas nul et si (x — a?0) n'annule par Fm) la quantity sous le
signe I ne contiendra que des puissances entieres et positives de x — x$ ; il en
dT
sera done de mdme de T; si XQ n'est pas nul, ^— ne contiendra que des
puissances positives entieres et impaires de \Jx — XQ. Cela montre que T est
(5gal a une fonction T0 de y, plus une fonction de x et de y, changeant de
ft Jrv\
signe avec \/x — x0 et divisible par (x — x0)J. Comme -r- doit changer de
dy
signe avec \Jx — ^?o5 nous voyons que la fonction To de y doit se re*duire & une
consiante que nous pouvons laisser de ctite'; de sorte que finalement cette
75 LES PfiRIODES DES INliGRALES DOUBLES.
fonction ne contient (# — tfof qu'A des puissances impaires ct au moms
<2gales a 3. a
La conclusion, c'est que T est divisible par F*, puisquc -y no devionl pas
infini pour x = #o ? on a done
et il nous resie a montrer que ^ et v sonl prdcisgment ggaux a a el 6. Pour cola
c/T
d^veloppons suivant les puissances croissantes de x\ le ddvcloppcmeni do -^-
commencant par un terme en or"-1 el celui de -g- par un lormc on ar" ; celui
de T devra commencer par un terme en x~a] d'oij a = jn. c. Q. F, D.
i
Comme T est de la forme -^-^j le resle du raisonnement so poursuivi'niL
comme plus haul et le degr^ des polynomes ne peul 6tro abaissd.
Nous n'avons done £ nous occuper que des m iranscendanlos T el dos in
polynomes P/; correspondant.
Soil P7/= Q" Tun de ces polynomes; tScrivons
H=^
dx
Nous aurons form^ un polynome H qui peut se mellrc sous la fonno (3
je dis qu'il ne peut se meilre sous la forme (3 ter}. Si, on offel, il pouvail s<^
mettre sous la forme (3 ter}, on pourrail irouver deux polynomes P; ct Q' donl
les termes de degrg le plus dev<3 sont fff el Qr/= Pr/ el qui seraienl lels quo
d / Pry/F \ d t Q7y/F \
Cela voudrait dire qu'il existerait une int(5grale de diff&rentielle totalo
" /qdx P'dy\t
'\ * ~T)
Cette integrate devrait 3tre transcendante et admettre des pgriodes cycliqucs,
puisque, pour a? et y tr&s grands, elle se rgduirait sensiblement &
rW^fdx dy\
J xayt> \oc y J
LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 77
qui est, par hypoth&se, Tune de . iios m transcendaiites et qui admet des
p<5riodes cycliques.
Mais il est absurde dc supposer quo 1'integrale T admeite des p^riodes
cjcliques. Elle ne pourrait en avoir, en effel, que si la surface
*2=F
admeLtait des cycles lineaires. Nous verrons plus loin qu'elle n'en admet pas,
si le polynome F est indecomposable, ce qui est le cas general.
Done I'hypothfcse faite au debut giait absurde et iios polynomes ne peuvenL
se mettrc sous la forme (3 ter).
II y a done in polynomes qui peuvenL se mettre sous la forme (3 bis), sans
pouvoir se mettre sous la forme (3 ter) et il n'y en a que m.
II nous restait m*-\-m polynomes distincts ne pouvant se mettre sous la
forme (3 ter)', il restera done ;?z2 polynomes distincts ne pouvant se mettre
sous la forme (3 bis). Ge nombre ne pent plus &tre r^duit, au "moms dans le cas
Done les coefficients du d<5veloppement de -r= dependent au plus de
trans cendantes distinctes.
Autre demonstration,
On pourrait encore raisonner comme il suit :
Donnons-nous la valeur de qf et choisissons-la de fagon que la relation (17)
n'ait pas lieu. Alors nous pourrons affirmer que tout polynome qui peut se
mettre sous la forme (3 bis) peut aussi se mettre sous la forme (3 ter).
II y a iff.."*"1^ "*"2^ polynomes de degrg qf. Les polynomes P' et Q7 sont de
II y aura done ^ "HIKP '+'2! polynomes P' et autant de polynomes Q'. Nous
pourrons done former (pr+i)(pr+%) combinaisons de la forme (3 ter).
Mais nous devons observer que toutes ces combinaisons ne sont pas
distinctes; combien y aura-t-il de relations entre elles? Pour former toutes ces
relations, nous n'avons qu'a rechercher toutes les identit^s de la forme
0-
'
g LES PERIODES DBS INliCRALES DOUBLES.
cette identite" montre que __
/- y/F (Qdx ¥' dy\
T=V x«yb \ x y )
esl une integrate de difFerentielle Loialc.
Je dis que ceite integrate ne pcul Gtre transcend ante. En cffet, si cllo <Hail
transcendante, il faudrail qu'elle cut, soil dcs p«Sriodcs cycliques, soil dcs
pgriodes polaires.
J'appello periode cy clique celie que Ton oblienl quand lo point ff, y dcJcril
un contour ferm6 (cycle linfeire) (ce contour ferine" ne pouvanl, par deformation
continue, <Hre ramene a un contour iiifmiment petit sans passer par un point
singulier).
J'appelle periods polaire cello que Ton obtient quand lo point a?, y ddcril
un contour ferme" infimment petit autour d'un point pour lequel la fonction
sous le signe I devient infinie.
11 n'y a pas de p^riode cy clique.
El, en efTet, un cycle limSaire, s'il existait, pourrait loujours 6tre ddcomposd
en cycles 6l£mentaires formes cliacun d'un double lacet entourant deux points
de la courbe F(#, j) = o; tel est le double lacet qui, cnvcloppanl Ics deux
points ± i , d^finit Fune des p(5riodes de Fint^gralc
Mais si la courbe F;(#, y} = o est indecomposable, ce que nous supposerons,
les deux points de cette courbe enveloppe's par le double lacet peuvcnl
s'^changer et se confondre, de sorte que le lacet devienl infinimcnt petit.
II n'y a done pas dc cycle Impair e.
II n'y a pas non plus de p&riode polaire.
En effet, la fonction sous le signe I ne devient infinie quo pour x = o
et pour y = o.
dT
D^veloppous suivant les puissances de #; le d(5veloppement de -T- se prtSsentcra
sous la forme 2^' °^ ^ est une f°ncti°n dey; consid^rons en particulier le
A
terme -~ •; c'est C6|lui-la qui, par integration, pourrait introduire la transcen-
dante
1 Mai
pas, c'est que -^=± o, c?est-a-dire que AI est une constante.
1 Mais alors il y aurait dans -- le terme La? -> et comme ce terme n'existc
LES PERIODES DES 1NTEGRALES DOUBLES. 79
Mais, d'autre part, AI doit changer de signe avec \/F. Done, At est nul.
Nous n'aurons done ni la transcendanle L#, ni pour la m6me raison la
transcendante Lj.
Done 1'int^grale T est alg6brique.
Consid<5rons maintenant y commc unc conslantc et soil %Q une valeur
quelconque de #. Si cette valeur n'annule pas F, nous verrons, comme plus
haul, que T est d^veloppable suivant les puissances de x — x§\ si cette valeur
£
annuleF, nous verrons comme plus haul que T est divisible par (x — #o)~.
z
Nous conclurons de lout cela que T est divisible par F2, ei nous <3crirons
S 6tant un polynome. On verrait, comme plus haut} que
£i = a, v ass b}
ce qui donne
On voit que S est un polynome de degr^i// — m.
II y aura autant de relations (22) que de polynomes S; c'est-a-dire
(// — rn -+• x) (pr — m -+- 2)
2
II y a done
combinaisons distinctes de la forme (3 ter}, et
polynomes distincts non susceptibles d'etre mis sous la forme (3 bis).
C. Q. F. D.
Gas des racines multiples.
Dans Texpos^ qui pr£c&de, nous avons fait diverses hypotheses; nous avons
suppos6 entre autres choses que liquation F^^o n'avait pas de racines
multiples.
8o LES PlRIODES DES INT^GRALES DOUBLES.
Mais tomes ces hypotheses n'avaient pas pour effet de restrcindrc la
gen^ralite. C'est ainsi que le cas ou liquation a dcs racines multiples csl un
cas particulier de celui ou elle n'en a pas.
Mais, dans le cas gtodral, il y a ciitre les coefficients du dcSveloppemenl
de JL un certain nombre de relations lin^aires.
V/F
Le passage a la limite suffirait pour monlrer qu'il y en a au moms aulanl
dans un cas particulier quelconquc.
Lcs coefficients dependent, dans le cas general, <Tun certain nombre do
Iranscendantes distincles; dans les diff&rents cas parlicuiiers, ce nombre pent
diminuer, mais il ne pent jamais augmenler.
Nous avons vu qu'il yam2 polynomes distincts non susceptibles do sc motlrc
sous la forme (3 bis}\ il y en aura au plus m* dans les cas parliculiers*
La discussion de chaque cas particulier serail sans doute int^ressanle, mais
je me bornerai aux cas qui se pr£sentent en Astronomic.
Application a la fonction perturbatrice.
Nous avons pos<5 dans Fintroduction
e*«=#, eiu' •=* yt
u et ur <§tant les deux anomalies excentriques.
Alors les coordonn^es de la premi&re plan^te sonL de la forme
£i
tandis que celles de la seconde sont de la forme
Le carr^ de la distance des deux planfetes D2 sera done un polyuome du
deuxi&me degr^ en 5?, y, - et -• C'est ce polynome que j'appellerai
d^sormais F(#, /); il contiendra des termes en.
Je poserai aussi quelquefois
x*
et F'(o7, y) sera un polynome entier en x et 7
LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 8 1
Pour avoir le coefficient de #2, il suffit de donner a u une valeur dont la
partie imaginaire est negative et tr£s grande, u' conservant une valeur finie.
Alors la distance D est sensiblement <3gale a la distance de la premiere plan&tc
a Forigine, c'est-a-dire a
/ \ / ex e \
a(i — e QOSU) = a ( i ---- )
V 2 2#/
ou sensiblement — • - •
2
Le coefficient de a?2 est done — — , a £tant le grand axe et e l'excentricit<3.
La m6me analyse montre que le coefficient de or"5* est le m£me.
De mdme les coefficients de y'2 et y~'2 sont tous deux £gaux a a ' f " >
a1 et ef £lant le grand axe et Fexcentricit6 de la seconde plan&te.
• Pour trouver le coefficient de xy observons que, si les parties imaginaires
de u et de uf sont toutes deux negatives et tr&s grandes, chacune des plan&tes
se trouvera sur 1'ellipse qu'elle d^crit en un point tr&s ^loign^ de 1'origine.
Si done nous appelons X Tangle de 1'asymptote ( imaginaire ) a 1'une de ces
ellipses avec Tasymptote de Tautre ellipse, le coefficient de zxy sera
aea'e' ,
- ; - COS A.
4
L'angle A est toujours imaginaire et cosX plus grand que i s'il est r£el.
Gomme chaque ellipse a deux asymptotes, nous avons quatre angles \ qui
correspondent aux coefficients de
L'angle X ne peut 6tre ^gal ni a o, ni a TT, puisque les asymptotes sont
imaginaires et situ^es dans deux plans r£els diflferents. Les termes du second
degr6 de F(a?7 y) ne peuvent done se r^duire a un carr^ parfait.
Si Tune des excentricit6s est nulle, e par exemple, les termes en x~ et a?~2
disparaissent; mais le terme en xy ne disparait pas, bien que son coefficient
ae a' e'
cos A
contienne e en facteur, parce que cos A devient infini.
Quant a F'(#, y) =^2y2F(a?, y)y c?est un polynome du sixi&me
g^n^ralement indecomposable.
La courbe
H. P. — VIII.
g2 L£S PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES.
est une courbe du sixitoe degni, avec un point double a Torigino eulouxpoiuls
doubles £ rinfini,
Cette courbe se decompose dans deux cas :
!' Si rinclinaison est nulle, elle se decompose alors en deux courbcs du
troisieme degre' ,'
a° Si les deux excentricite's sont nulles, elle a alors pour composanles les
deux axes de coordonne'es et une courbe du quatrieme degre" avcc deux points
doubles a Finfini.
Alors F(#, y) admet des Lermes en
Mais, de plus, le polyncwme prgsente une syme'trie particuli^re.
tl ne change pas quand on permute x et y, ni quand on change x
en -
Je n'examinerai dans la suite que le cas gtotod el celui ou les deux
excentricite's sont nulles,
Bien d'autres cas particuliers m^riteraient quelque attention : celui ou
Finclinaison est nulle, celui ou les deux grands axes coincident entre eux eL
avec 1'intersection des plans des orbites, celui ou ces deux plans so cotipcul a
angle droit et ou leur intersection coincide avec le grand axe de Tune des deux
orbites, etc.
Integrates de differentielles totales.
II parait n^cessaire de revenir sur la demonstration que j'ai donn^e de ce fail
que les integrates de diflferentielles totales dependant de \/F ne peuvont 6tre
transcendantes, afin de voir si elle s'applique aux cas particuliers que je veux
maintenant ^tudier en detail.
Quand M. Picard a annonc^, pour la premiere fois, que la surface la plus
ggn^rale de son degre' ne poss&de pas de cycle lin^aire, ce fait a caus<3 un grand
gtonnement. On sera moins 6tonn^ maintenant que la surface
n'en possede pas non plus quand le polynome F est indecomposable.
Revenons sur la demonstration. Soit A un point sinsrulier auelconcrue.
LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. S3
c'esl-a-dire un ensemble de valeurs complexes de x et de y qui annuleF{#3 y).
J'appellerai lacet un chemin d'integration compost comme il suit. On prendra
pour point de depart un point quelconque O non singulier, choisi comme
origine de tous les lacets. On ira de O a un point A' infiniment voisin de A en
suivant un chemin quelconque; on decrira un contour infiniment petit
cnveloppant le point A, de facon a revenir au point A', et Ton reviendra de A'
en O par le mtoie chemin.
Le lacet sera dit rectiligne si le chemin OA' est rectiligne.
Je represented par (A) 1'integrale prise le long de ce lacet en par taut du
point O en attribuant au radical un signe convenu une fois pour toutes. Je la
repr^senterai par [A] si le lacet est rectiligne. Je remarque deux choses :
i° Une periode quelconque de Tint^grale sera une combinaison lineaire a
coefficients entiers de p6riodes de la forme
[A]-[B],
A et B etant deux points singuliers quelconques;
2° Soient deux lacets, Pun rectiligne, Tautre non rectiligne, enveloppant un
m£me point singulier A. Soient [A] et (A) les deux int^grales correspondantes ;
la difference
sera egale au double d'une periode.
Cela pose, supposons d'abord le polynome F indecomposable, et supposons
que nous ayons n 4- 1 points singuliers qui peuvent £tre distincts
A A A A
Nous pourrons alors avoir n periodes distinctes
Je dis qu'elles sont toutes nulles.
En. eflet, le polynome F etant indecomposable, les points A0 et At peuven
s'echanger. Je puis faire varier d'une mani&re continue A<> de facon qu'il viennc
en At. Le lacet rectiligne entourant A0 se changera en un lacet, generalemen
non rectiligne, entourant A4, de sorte qu'on aura
Mais (At) — [At] est le double d'une periode. Nous avons done entn
84 LES P^RIODES DES INT^GRALES DOUBLES.
nos n p^riodes une Equation lintfaire a coefficients entiers. Le coefficient
de [A0] — [A4] est impair, celui des autres ptfriodes est pair.
Nous trouverions de m6me n — i autres Aquations lin(5aires. Le determinant
de ces Equations ne saurait 3tre nul. En effet, il est
I O O O
o i o o
0010
O O O I
(mods).
Done les n p&riodes sont nulles. c. Q. F. D.
Qu'arrive-t-il maintenant si le polynome F est decomposable? Si alors A0
et AI appartiennent a deux facteurs diff&rents de F, A0 ne s'dchange plus
avec A4. Mais voici comment on peut raisonner :
En faisant varier A0 et A4 d'une manure continue, je pourrai les amener on
deux points B0 et B! infiniment voisins Pun de Tautre et infiniment voisins do
Fun des points d/intersection des deux courbes dans lesquelles se decompose
la courbe F = o.
Alors les lacets rectilignes [A0] et [Ad] se changent dans les laccts non
rectilignes (Bo) et (BA)? de sorte que
LAoJ-LBo], [AiJ-tB,]
seront des doubles p&riodes.
Maintenantj en faisant varier d'une mani&re continue B0 et B*7 je puis faire
tourner B0 autour de B4; alors [B0] et [BA] se changent respectivement en
3[Bo]-2[Bi], 2[B0]™[B4],
d'oii
fBo]-3IB0]-2[B1]
on
On en conclut que [A0] — [AA] est encore une double pgriode, et le roste do
la demonstration se poursuit comme plus haut.
Cette demonstration suppose que B0 peut tourner autour de B*, sans qu'aucun
autre point singulier soil tr^s voisin de B0 et de Bi. C'est ce qui arrivera si la
courbe F = o se decompose en plusieurs courbes irr^ductibles, mais de telle
sorte qu'aucun point d'intersection de deux de ces courbes composantes
LES PERIODES DES INT^GRALES DOUBLES. 85
n'appartienne a plus de deux composantes et ne soit pas un point double pour
1'une d'elles.
La demonstration s'applique done, soit dans le cas g£n£ral du probl^me du
ddveloppement de la fonction periurbatrice, soit dans le cas particulier ou les
deux excentricit^s sont nulles.
Ainsi les integrates de diffgrentielles totales de la forme
ou R et S sont rationnels en #, y et
ne peuvent avoir de p&iodes cycliques, mais seulement des p^riodes polaires.
Elles ne peuvent done &tre transcendantes sans 6tre logarithmiques. Elles
seront done de la forme suivante :
Ai log RI 4- A2 logRa-4-. . .4- A^ logR^-h T,
ou RI, R2, . . . , Rp et T sont rationnels en #, y, z et ou A1? Aa, . . . , A/; sont
des constantes.
Mais il y a plus : si R (ainsi que S) est £gal a z multiplig par une fonction
rationnelle de x et de y, notre integrate doit changer de signe quand on
change z en — ^, de telle sorte qu'elle devra &tre de la forme
ou U est rationnel en x et j, ou les P sont des polynomes en #, j, s et les A
des constantes.
Alors le d6nominateur comrnun de R et S doit £tre de la forme
Nous sommes done conduits a la r&gle suivante :
Soit
une integrate de diff&rentielle totale, ou B, G, D sont des polynomes entiers
en rx et 7. Supposons cette integrate logarithmique et soit D4 Fun des
facteurs de D.
gg LES P^RIODES DES INTEGRALES DOUBLES.
La course gauche
D, = o, F = *2
doit se decomposer en deux autres.
Dans les integrates que nous avons a envisager, le d<*nominateur est do la
forme x*y$, a et (3 <5tant des entiers; il n'y aurait done aucunc difficult,^ si ks
deux courbes gauches
(Haient ind^composables. Mais ce n'est pas ce qui arrive. Pour x = o, K' so
r^duit a a2y2, et pour y = o, a &2^3, a et & 6tant des coefficienls constants.
La demonstration donn^e plus haut dans un cas analogue n'est done plus
applicable et il faut en chercher une nouvelle.
S'il existait une integrate logarithmique, elle serait de la forme
f Aflfon-Brfy 1=7
J - tfTfi V^ »
A et B etant des polynomes en x et y.
Si nous faisons x = const., elle deviendrait
qui devrait admettre une p^riode polaire quand on tournerait autour de y = o,
et ne devrait pas admettre de p^riode cyclique.
C serait un polynome entier en y et - -
Comme F' est un polynome du quatri&me degre en y , je poserai
et je designerai paryo? JKi? jKa? y* les quatre racin.es de 1'^quation
F'=o.
Nous aurons alors
a)
ou k, a et b sont des constantes.
Alors CF'' qui est un polynome eatier en y et — sera une fonction doublemeni
LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES, 87
p&riodique de u, ne changeant pas quand on change u en — u. Elle admettra
quatre poles, a savoir ± a et ± b.
Nous aurons
f
D6composons CF; en dements simples, il viendra
/""tlTlf _ Y / -y\ ^^ y., 'f ( _. fy \ M Y ( 1 7">\ Y ( —l/l'N
+ q[V(u- «) + ?'(»-+- «)] + /•[?'(«- £) + ?'(« + 6)]+ H,
ou w, /£, /;, </, /' sont des coefficients constants et ou H depend des ddriv^es
secondes des £ ou des d^riv^es d'ordre plus 6lev^.
La partie transcendante de Fint6grale sera done
. CT(M — 6) .
m log— - - f -f- 71 log
&
Notre int6grale ne doit pas admettre de p^riode cyclique, cette partie
transcendante ne doit done pas clianger quand u augmente de 2Wi ou de 2&>2.
Si u- augmente de aw, £(u) augmente de 27? et cr(w) est multipli^
Done notre transcendante augmente de
Colte expression doit s'annuler quand on donne a G), soit 1'indice i , soit
Findice 2, en donnant a YJ Findice eorrespondant.
On aura done
ma -h nb = g' -H r, /> = o.
Faisons maintenant varier a? d'une mani&re continue; a et 6 varieront d'une
mani^re continue, m, n: q et r restent constants et p doit rester nul.
II y a deux valeurs de 5? pour lesquelles une des racines de F!= o (je puis
toujours supposer que c'est celle que j'ai appel^e y0) devientnulle. Si5?tourne
autour d'une de ces deux valeurs, en d^crivant un cercle tr&s petit, y0 tourne
autour de z<*ro. Alors a se change en — a et & ne change pas,
Comrne notre relation doit toujours subsister, nous aurions
— ma, •+- nb = q -h r? d'ou m = o,
gg LES PERIODES DES INT^GRALES DOUBLES.
Nous trouverions de m&me
n = o, djou q •+• r = o.
Cela montre que notre integrals est alg^brique. c. Q. r. D.
Cette demonstration s'applique au cas g£n£ral; dans le cas particulier ofi les
excentricit<*s sont nulles, la demonstration est encore plus facile.
En effet, si Pint<3grale est de la forme
A doc -+-
C
J
elle ne pourrait avoir de point singulier logarithmique que pour 57=0,
ou y = o, ou a? = oo , ou y = oo .
Or F' est ^gal li a?y, multiplie par un polynome du deuxi6me degr6 tant en x
qu'en y.
Si done on suppose x irbs petit et qu'on d^veloppe suivant les puissances
de x, on n'aura que des puissances impaires de \]x\ on n'aura done pas de
terme en — qui introduirait un logarithme.
Done x = o n'est pas un point singulier logarithmique et il en est de m6mc
dey = o, o?= oo, j = GO. c. Q. F. o.
Cas general.
Nous avons vu que dans le cas general, c'esl-a-dire si les excentricit^s no
sont pas nulles, ni les inclinaisons, F est un polynome du deuxi&me degr(5.
D^sormais, sauf avis contraire5 j'entends par polynome de degr6 p, un
polynome de degre p en x, j, ~? -? de telle sorte que dans chacun de ses
termes la somme des valeurs absolues des exposants de x et de y soit au plus
Soit alors H un polynome de degrg q. II s^git de savoir si Ton peut trouver
deux polynomes P et Q de degrg p et tels que
d'ou
Nous g^n^raliserons en supposant que F est un polynome de degr£
LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES.
Si Ton a
nous dirons que le poljiiome H pent se meitre sous la forme (28 bis).
Si Ton a
de telle fagon que los Lermes de degr6 p -+- m se de'truisent dans le second
membre de (28), nous dirons que H peut se mettre sous la forme (28 ter) et ce
que nous avons d'abord a 6tablir, c'est que si H peut se mettre sous la
forme (28 ter), il peut se mettre sous la forme (28 bis).
Pour cela, j'adopterai la notation suivante. J'appellerai :
HI 1'ensemble des termes de H du degre' le plus eleve' (c'est-a-dire de degre* #),
en x et y]
Ha 1'ensemble des termes de H du degru le plus e'leve (c'est-a-dire de degre" <y),
en x et-;
y
H3 1'ensemble des termes de H du degre' le plus eleve (c'est-a-dire de degre* q),
en - et y :
a; J '
H» 1'ensemble des termes de H du degr*3 le plus e'leve' (c'est-a-dire de degrg q)*
en - et — •
x y
Je ddfinirai de m6me F4, F2, F3, F,, P1? P2, Pa, P4, Ql3 Q2, Q3, Q4.
Je remarque que Hi et H2 ont un terme commun, le terme en x*\
Je 1'appellerai H12; je de'finirai de m^me H13, H24, H34, F42J ---- Cela pose',
en prenant les termes du degrg le plus e'leve', en x et j/-, on aura, si ^ = p -j- /n,
Si, au contraire, H est de la forme (28 ter), les termes de degre/> -f- wi doivenl
disparaitre, et Ton aura
ou
^ («pt
Cela montre que
y Qt
H. P. — VIII.
Q0 LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES.
cst une differentielle exacte que j'appellerat
rf(Tv^).
(Test une fonction h.omog&ne de degr6 p -h 2 + — on # el /; on n done
Je poserai Qi — PI = RI, et je Lrouverai
ou
(25)
Jp* /
Cette Equation montre que ^?-^-iRi est divisible par F, f el comine Fd ost
7-rp N
premier avec^-^-? dans le cas g6n<*ralj , que RI est divisible par FI (remarquons
en passant que, d'apr&s leur definition, FI, PI, Q4, R4 sont des polynomcs
entiers en x et y). Soit done
On voii que Si sera un polynome entier homog&ne et d'ordrejo — m en x cly.
On aura d'ailleurs
Les termes du degr^/? ~f- m en a? et - doivent disparaitre, ce qui donne
ou bien
r Qa V/Fa <^? — ^Ps v/^a dy = <a?(T v/Fi),
6tant une fonction homog^ne de degr£/> + — en x el ~; on a done, par
le th6or6me des fonctions homog&nes,
+ t v/F2 =^7 v/FZCQ^ Pt).
Si je pose Q24-P2=^R2, je retrouverai une Equation analogue a (a5), ou le
coefficient p •+- 2 + ~ sera remplac^ par p + 2 et oft 1'indice i sera partoul
LES P^RIODES DES INTEGRALES DOUBLES. gi
remplace par 1'indice 2. Cette equation montre quo Ru esl divisible par Fa.
Posons done
R2=
S2 sera un polynome homog£ne de degr£ p — m en x et - et Ton aura
On d^montrerait de m£me qu'on aura
S3 et S* £tant des polynomes homogtoes de degrtS/? — m en - et y et cn-et-«
Si et S2 contiennent un terme en &~m\ soit S12 celui de Si, S2i celui de S3;
je vais d^montrer que 812= Soi.
De
Rt= (/^H-a-H ^) SiFi, R,= (^-H 7)
on tire, en 6galant les termes ind^pendants dey,
(Ql2- Pia) = (p H- 2 -i- ~ Si»F«,
il faut done d&nontrer que
ou
figalons dans (24) les termes ind^peiidants dey; ces termes, dans
sont respectivement
Pi., Q«,
II vient done
Q2 LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES.
OU
C. Q. F. D.
On d^montrerait de m&me que
51 et S3 ont m6me terme en yP-m^
52 et s* » ym~p>
53 et S* » xm~r.
II existe done un polynome S de degr& p — rn, ou
Les termes de degre p — - m en a? et y sont Sj,
» 5? et — » 83,
— et — » S*.
Posons alors
On a done
et par consequent
Les polynomes P et Q sont done remplac^s par P — Pv et Q — Q/; qui sont,
comme nous allons le voir, de degr^ moindre. En effet, les termes de P;/ et Qf/,
qui sont de degr6 p — m
en x et y sont PI et Qi,
x et - » P2 et Q2)
./
^ et y » P3 et Q3,
3D
- et ~ » P4 et Q4.
x y x
Le degrd des polynomes P et Q peut done toujours ^tre abaiss^ si H est de la
forme (a3 rer), de sorte que H peut toujours 6tre ramen^ ^ la forme (a3 &«>).
c. Q. F. D.
LES PERIODES DES INTfiGRALES DOUBLES. g3
II suffit done de chercher si H peut se mettre sous la forme (28 bis).
Combien y a-t-il de polynomes H de degr6 q=p + m^
II y en a
qz -4- ( q H- 1)2 = (p -+- m)* -H (p -+- m -h i)2.
Gombien y a-t-il de polynomes P de degr£ p ?
II y en a
et autant de polynomes Q, de sorLe qu'il y a
/> -Hi)2
expressions de la forme (28 bis). Mais loutes ces expressions ne sont pas
distinctes, parce qu'il peuty avoir des polynomes P et Q, tels que
(26) ^(
Cette Equation exprime que
f (y
est une int<3grale de diiF^rentielle totale. Gette intggrale, d'apr^s ce que nous
avons vu, ne peut ^tre transcendante ; et, en raisonnant comme nous Favons
s
fait plus haut, on verrait qu'elle doit toe de la forme xySFJ: S gtant un
polynome entier en #, y: ~ ? - • On aura done
ay 2 ay
Ces Equations montrent que S doit 6tre de degr6 p — m. Si, en efifet, S 6tait
de degr6
A > p — m,
il contiendrait un ensemble de termes homog&nes de degr6 h en x et y que
j'appellerais Si (et je dgfinirais de m^me, comme plus haul, S2) S3? S4).
Les termes de degrg A + m devant disparaitre dans le second membre de <
on aurait
o — S,P4-/f F^I^
9/j LES PERIODES DES INT^GRALES DOUBLES.
Oil
d'ou St = o.
On d^montrerait de m£me que S2? S3 el S4 sont nuls.
Done S est de degrg p — m, el il y a autant de relaiions (26) quo d<*
polynomes de degrgjo — w, c'est-a-dire
Gombien y a-t-il alors de polynomes H distincts non susceptibles d'etre mis
sous la forme (a3)? II y en a
(p H- 7rc)2-H (p + m + i)2 — 2J02 — z(p -+- 1)2+ (JP — m)«-4- (/? — /w -h i)25
Dans le cas de la fonction perturbatrice, on a
m = 2, 4^2=i6-
Ainsi /e5 coefficients du dgveloppeinent de la fonction perturbatrice
suivant les cosinus et sinus des multiples des anomalies excentriques sonl
des fonctions transcendantes des &l£rnents. Mais ces fonctio?i$ transcen-
dantes dependent au plus de 16 transcendantes distinctes.
Cas des excentricites nulles.
Alors, nous Pavons vu, le polynome F contient des lermes en
J'entendrai d^sormais, sauf avis contraire, par polynome de degnS jy tout
polynome • oft, dans chaque terme, Texposant de ^, non plus que celui de y,
n'exc&de jamais p en valeur absolue.
En ce sens, F est un polynome de degr6 i. Je g<5n£raliserai en supposant
que F est un polynome de degr£ m.
Soit H un polynome de degr^ q; il s'agit de savoir s'il peut se mettrc sous la
forme (a3). Je dirai encore que le polynome est de la forme (28 iw), si le
degrg p des polynomes P et Q (le mot degr& est entendu au sens nouveau que
je lui donne) est 6gal ^L q~m, et de la forme (a3 ter) s'il est plus grand
que q~m.
LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 96
Je me propose encore d'etablir que tout polynome de la forme (28 ter) est
aussi de la forme (28 bis).
Adoptant des notations analogues a celles du paragraphe precedent,
je dgsigne :
par P! 1'ensemble des termes de P de degre/> par rapport a j?,
P2
» P
» ^
» y,
p«
» P
» p
i
*» — )
&
p*
» ' P
» ^
i
* J5
par Qj
Q
» p
» #}
Q2
Q
p
j'i
Q3
Q
» JO
i
» -?
Q*
Q
p
i s
V '
par FI Fensemble des termes de F de degre m par rapport a a?,
Fa » F » /?! » y,
F » m » —5
x
F » m » — •
Je d^signerai toujours par P12 le terme commun a P£ et a P2, qui estalors un
terme en xpyp> et je d^finirai de m^me Qi3j . . . , F12, ....
Nous retrouverons alors liquation (24), qui montre que
jQ, \ftTidx — x
est une diff^rentielle exacte. Si nous observons que par definition P4, Q± et F4
sont £gaux a of ou a xm multiplies par une fonction de y^ nous voyons que TI
doit 6tre 6gal a a?/7"1"1"l""s multiplie par une fonction de y, c'est-a-dire que
/•/T
En 6galant les deux valeurs de -^ » on trouve
ce qui montre que Qi est divisible par FI ( si, cornme nous le supposons, F4 est
dFi\
premier avec y -r— ) •
LES PER10DES DES INTEGRALES DOUBLES.
Nous pourrons alors poser
Si 6tant tSgal £ #>'~m multipli<3 par un polynome d'ordre p — m on y el --
Nous trouverons de m&me
" dx —
et
on d&nontrerait de la mdme facon que
S2 6tant <2gal ^ j^""m multipli^ par un polynome d'ordre /; — m on x 01 «•
Mais Si etS2 ont tous deux un terme en &-™yt>-™\ j'appelltj Sia ^^Ini do S4
el Sai celui de S2. Je dis que S12= Sai.
En effet, nous avons
d'ou
Ce qu'il faut done d^montrer, c'est que
Mais si dans liquation
on conserve seulement les termes en %?+"*> yp+ny on irouve pr^cis^ment
On d^finirait de m^me S3 et S*, et Ton verrail comme plus haul
H existe done un polynome S d'ordre p — m dont les termes de degrg p — m
en x, en 7, en ^3 en ^, sont respectivement S4j S35 S3 et SA) de lelle fa90ix que
LES PE"RIODES DES INTE*GRALES DOUBLES. §7
Le reste du raisonnement se poursuivrait comme dans les paragraphes
pre"ce*dents et 1'on verrait que tout polynome de la forme (28 ter} peut se
ramener a la forme (28 bis}.
II suffit done de rechercher si H peut etre mis sous la forme (28 bis}.
Or, combien y a-t-il de polynomes H de degre* gr=/?4-m?Ilyena
• i)2= (a/? -h im -hi)"2.
II y a (2/> -h i)2 polynomes P de degre* p et autant de polynomes Q et, par
consequent, 2(2/>-l-i)2 expressions (28). Combien entre ces expressions
y a-t-il d'e*quations (26) ?
Si
/ (y Q
est une inte"grale de diffe"rentielle to tale, cette inte*grale ne peut 6tre
$_
transcendante et doit 6tre de la forme asySF2, S e*tant un polynome
i i
en x, y, -> -•
' J ' x y
Les Equations (27) qui sont encore valables montreraient que S est de
degre" p — m\ car si S toit de degr£ h>p — m, en e"crivant que les termes
en xh^m disparaissent du second membre de (27), on trouverait
en appelant St 1'ensemble des termes de S en #A. On aurait done Si= o, et
Ton verrait de m6me que les termes de S en yh, en x~h et en y~h doivent
disparaitre.
II y a done autant de relations (26) que de polynomes de degre" p — m,
c7est-a-dire
'(2jD — 2m -hi)2.
Combien alors de polynomes H non re*ductibles & la forme (28)? II y en a
(a/> -h 2m -h i)2— 2(27? H- i)2-h (a/? — zm -+- 1)2.
CelafaitSm2.
Dans le cas de la fonction perturbatrice m = i .
II y a done au plus huit trans cendantes distinctes.
H. P. - VIII.
98 LES pgRJODES DBS INliGRALES DOUBLES.
Influence de la symetrie.
Ce nombre peut encore 6tre abaissg. Nous avons vu, en offer, que le
polynome F ne change pas quand on change x en y, iii quand on change op
et y en - et -• Nous ne nous servirons que de la premiere de ces deux synu'Mnos,
Ainsi F est un poljnome sym6trique en x el y.
Soil alors H un polynome sym^trique en x el y.
Si nous avons
je puis supposer que les polynomes P et Q se changenl Tun dans 1'aulre quand
on change x et y.
Si, en effet, il n'en e*tait pas ainsi, en permutanl x ely, on Lrouverail
d'ou
JL - ± \x .ygP(
V/F ^ L
et il est clair que les deux polynomes
(qui remplacent P et Q) se permutent quand on change x et y,
Pour chercher combien il nous restera de transcendantes dislincles, il suffil
de chercher combien il y a de polynomes H symdtriques non susceptibles
d^tre mis sous la forme (28).
D'apr^s ce qui pr6c&de, il suffit de chercher combien il y en a qui no
peuvent se mettre sous la forme (28 bis}, les polynomes P el Q se penuutanl
quand on change x en y. C'est ce que j'appellerai meLLre H sous la
forme (28 quater).
II y a
polynomes H sym6triques de degr^ q.
II y a (*p + 1)2 polynomes P(a?, 7) de degr^j?. A chacun d'eux correspond
le polynome
LES P£RIODES DES INTEGRATES DOUBLES. 99
11 y a done (2J04-I)2 expressions (28 quater)] mais toutes ne sont pas
distinctes, car on peut avoir entre elles des relations de la forme
(26 bit) -^ (*P ^ + ~ (/Q s/F) = o,
d'ou
dx - ccP dy) = d( SF*).
Si Ton change # en y, le premier membre change de signe; done SF- change
de signe, et comme F ne change pas, S change de signe.
II y aura done autant de relations (26 bis) que de polynomes S de degr£/> — m
qui changent de signe quand on change x en y, c'est-a-dire
(2/? 4- 2/w -4- !)(/) — ni).
Le nombre des polynomes H sym^triques non susceptibles d'etre mis sous la
forme (a3) est done
(2jt? -H 2 m H- l) (/? H- /n -I- l) — (2/? H- I )a -4- ( 2/7 — 2 Wi -h l) ( /? — /n ),
c'est-a-dire
Ici m = i; done 4^2-l- ajn = 6.
Ainsi, j?« /e^ rfew^ orbites sont circulaires et les deux excentricit^s nulles et
si Ton d^veloppe la fonction perturbatrice suivant les sinus et les cosinus des
multiples des anomalies excentriques qui se confondent alors avec les anoma-
lies moyennes, les coefficients sont des fonctions transcendantes des gl&nents;
mais ils dependent an plus de six transcendantes distinctes.
Tenons compte maintenant de la double sym£trie du polynome F; il ne
change pas, ni quand on permute x et y, ni quand on change x en - et y
en ~-
y
Pour que ces deux changements n'alt&rent pas PintSgrable double
/Hdxdy
~w~9
il faut et il suffit qu'ils n'alt^rent pas non plus le polynome
IOO • LES PERIODES DBS INT^GRALES DOUBLES,
Si H' est un polynome pr^sentant cette double symtHrie, el si H pcul so mollrc
sous la forme (a3), nous aurons
<"> *-
en posant
Si H' a cette double symglrie, on pourra toujours supposer quc P' se change
en — p'j et que Q' se change en — Qr quand % et y se cliangcnl en ~ ct ~ j <H,
•/
d'autre part, que P' se change en Q' et Qf en P7, quand on permute x oty.
Cela se d^montrerait comme plus haul.
Le polynome F est de degr6 m Me veux dire par la, comme plus haul, qu'il
est de degr^ m par rapport a x et -j d'une part; par rapport a y ot -3 d'aulru
part).
Si P{ et Q; som d'ordre /?, Hf sera d'ordre q =/? + m.
Ilya
(gr -H l)2 = (/? -4- m -H l)2
polynomes H; de degrt5 q pr<3senlanl cette sym^lrie.
II y aura, d'autre part, 2/>2~h2/? polynomes P' de degr£ q se clwugoanl
en — P; quand x et y se changent en ~ et ~- A chaque polynome P' corrcs-
pondra un polynome
II y aura done a^3+ 2/> expressions (28), II reste a savoir s'il n'y u pas entre
elles des relations de la forme
dsc y dy x
OU
r
d'o*
f
On voit que S' sera un polynome d'ordre p — m\ ce polynome change de signe
LES PERIODES DES INT EGR ALES DOUBLES. IOI
quand on permute x cl y\ il ne change pas quand on change x en - et y
II y aura done autant de relations analogues aux relations (26) qu'il y aura
de polynomes S' de degrgyj — m prgsentant cette symgtrie; c'est-a-dire
Le nombre de nos transcendantes distinctes est alors, d'apr&s un calcul que
nous avons fait bien des fois,
(p •+• m 4- i)2 — zp- — 2/? •+- (p — m)2,
c'est-a-dire
2 m~ 4- 2 m -+• i .
Si m = i , on a
2 /n2 -f- 2 /7i -+- 1 = 5.
Done fes coefficients du developpement de la Jonction perturbatrice
dependent an plus de cinq transcendantes distinctes, quand les deux excen-
tricites sont nulles.
Relation avec la theorie des periodes des integrales doubles.
II n'est peuL-^Lre pas inutile de dire comment j'ai £t6 conduit a ces rgsultats.
Les coefficients cherches soiit .des periodes de I'int6grale double
Jxayb doc dy
"V/F "*" y
Soit A«6 le coefficient en question; envisageons la fonction
et 6tudions ses variations quand on fait varier t et u et, par consequent, sa
nature analytique.
Quand t d^crira un contour ferm£, les diverses periodes de 1'intggrale
double s'^changeront entre elles. Les nouvelles determinations de &(t, u)
seront done des fonctions Im^aires des anciennes. En d'autres termes, la fonc-
tion $(£, u) consid£r6e comme fonction de t satisfera a une Equation diffe§ren-
tielle lin^aire dont les coefficients seront des fonctions uniformes. L'ordre de
J02 LES PERIODES DES WliGRALES DOUBLES.
cetie equation sera au plus N, si N est le nombrc des periodes dc riuldgrale
double.
De plus, la fonction sous le signe ^elant algebrique, lout point singular
de $(t, u} sera im simple point singulier algebrique ou logariihmiquo. Done
les coefficients de liquation lin€aire seront des fonctions ralionnellcs.
On arriverait au m6me resultat en considerant *(£, u) comrne fonclioii
de u] ou bien en supposant entre t et u une relation algebrique quclconque.
En resume, la fonction #(*, u} et ses derivees par rapport a t el a usalisfonl
a deux ou plusieurs equations lineaires dont les coefficients sont des functions
rationnelles en t et en u.
On peut m6me, en chassant les denominateurs, supposer que les coefficients
des equations lin&aires sont des polynomes entiers en t et en u.
Or, on sait que, si une fonction satisfait a une Equation lindairc cl si 1'on
connait les premiers coefficients, tous les autres peuvent s'en deduire.
Nous devious done pr^voir que tous les coefficients dependraient d'mi
nombre fini de trans cendanles distinctes.
M. Feraud a presente derni^rement a la Faculte des Sciences de Paris uue
Th6se ou il se proposait d'etudier la valeur approchee des lermes de degre (Slov<5
du developpement en modifiant la methode que j'ai exposce duns mon livre sur
les Methodes nouvelles de la Mecanique celeste.
II a introduit une fonction qui presente de grandes analogies avec celle que
je viens d'appeler $(#, w)j il montra en mtoie temps le lien qu^il y avail enlro
Fetude de cette fonction et celle des periodes des integrates doubles.
Je fus ainsi conduit a penser £ Fanalogie etroite qu'il dovait y avoir on Ira
la theorie des periodes des integrates doubles et celle des periodes des inie-
grales simples; je pensai en particulier au Memoire de M, Fuchs, du tome 83
du Journal de Crelle, au sujet de 1'equation lineaire a laquelle salisfont los
periodes de Pintegrale elliptique. II est evident que Tintegrale
J=^1 ^
^i (i-«
doit satisfaire a une Equation analogue et que l^tude de cetle Equation condui-
rait imm^diatement aux relations de recurrence bien connues entre les coeffi-
cients b de Laplace.
Mais la th^orie de ces coefficients de Laplace n'est pas autre chose que celle
LES PERIODES DBS INTEGRALES DOUBLES. Io3
du developpemeiii de la fonction perturbatrice, quand les deux excentricites et
rinclinaison sont nulles.
On peut done prevoir que le m£me precede, applique aux integrates doubles,
donnera des relations de recurrence analogues entre les coefficients du deve-
loppement quand Finclinaison n'est pas nulle.
On remarquera 6galement que la theorie qui remplit les pages pr£cedentes
est une generalisation toute naturelle de la reduction des integrates hyper-
elliptiques, reduction qui aboutit, comme on sait, a la distinction des inte-
grates de premiere, deuxifeme et troisi&me espfece,
On peut done entrevoir une relation entre le nombre des periodes et celui
des integrates de premiere et de deuxi£rne espfcce, ainsi que cela a lieu pour
les integrates hyperelliptiques et abeliennes.
Ce n'est pas tout; reprenons le coefficient du developpement qui est repre-
sente par 1'int^grale
<te dy
~
xayi>
/P
Cette integrate peut 6tre regardee comme une fonction des coefficients de F
(et, par consequent, des elements du mouvement elliptique). Mais, quand ces
coefficients varieront et, apr&s avoir decrit des contours ferm.es, reviendront a
leurs valeurs primitives, les periodes de Tintegrale double ne feront que
s'eclianger entre elles. C'est le m^me raisonnement que plus haut et le resultat
est le m^me; notre integrale, consideree comme fonction de Pun des elements
elliptiques, satisfera a une equation lineaire a coefficients i*ationnels.
Tout ce que nous venons de dire s'applique aux devetoppements procedant
suivant les anomalies excentriques. Passons au cas des developperaents proce-
dant suivant les anomalies moyennes.
Un coefficient quelconque sera donn£ par 1'intdgrale
e designe la base des logarithmes neperiens, e et B' les deux excentricites. C'est
la presence du facteur transcendant
qui emp^che que les r^sultats precedents soient immediatement applicables.
C'est ce que j'appellerai le facteur e$ponentiel.
,0£ LES PiRIODES DES INTEGRALES DOUBLES.
Nous voyons que les deux entiers a et b figureni, d'une pan, dans le fac-
leur xayb et, d'autre part, dans le facteur exponentiel; d'autre part, les deux
excentricitgs e et ef figureni dans le facleur exponeniiel et en dehors do co
facteur.
Si nous -posons
at
le facteur exponentiel devienl
el si nous considtSruns T, T', s, e', a, b comme des variables indtfpendanles, co
qui ne fait qu'&endre la gfogralitg, r et r1 n'enlrenl que dans le facteur expo-
nentiel, et, an contraire, s, £f, a et b ne figureni qu'en dehors de ce facleur.
Cette convention simplifiera Fenonce des rtSsullals.
On salt que si Ton pose
el si /(a?) satisfail a line Equation differentielle de la forme
la fonction u satisfait a liquation conjugu^e
pourvu que le chemin d'int^gration soit convenablement choisi, et en parli-
culier si Fintdgrale d^finie u est une p(5riode de I'intoSgrale ind^finie.
Soit de mdme V une p^riode de Fintegrale double
= I) e*
(!K, y} dx dy.
Si la fonction /(a?, y) satisfait a une ou plusieurs Equations lin(5airos de la
forme
<"
la p&riode V satisfera aux Equations correspondantes
LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. IO5
Or, si /esl une function algehrique quelcoiique de a? el de y. /satisfcra a
deux equations lineaires a coefficients ralionnels en x el j'. Done \ satisfera
de m£me a deux equations lineaires a coefficients rationnels en z et u.
Cela pent d'abord s'appliquer a la recherche des relations de recurrence
entre les coefficients du duveloppement de —5 recherche qui nous a occupes
V/F
dans les paragraphes precedents.
En efiet, la fonction -j- (Slant algebrique, Pintegrale
satisfera a deux equations analogues a (3). De ces equations il est aise de
deduire des relations de recurrence entre les coefficients du d<£veloppement
de V suivant les puissances de z«uh. Or le coefficient de ~r^\ est precis(5menl
Tintegrale
/<Kaybdxdy
S/F '
c'esl-a-dire Tun des coefficients du d^veloppemeni cherch<* de — •
D'aulre part, posons
P integrate (i) pourra s^crire
J =
*({-, en) est une fonction algebrique de £ el de r?. Done J, considere comme
fonction de T et de T', satisfait a deux equations de la forme (3).
Mais on peut encore mettre Pintegrale J sous une autre forme ou le m6mo
resultat apparaitra d'une fagon non moins evidente. L'integrale J peut 6tre
regardee comme^un cas particulier de la suivante
TO:— -» -f-fj*— ~i d& dy
^ X •V«/«*nj'> . ^ »
ou cp(#? y) est une fonction rationnelle de x et de y et ou T, n, Tf, rt sont
regard^es comme des variables ind<5pendantes entre elles, et indSpendantes
<5galement, d'apr^s la convention faite plus haut, de £ et a' qui continuant a
figurer dans 9 et dans F.
H. P. -VIII. l4
I0g LES PERIODES DBS INTfiCRALES DOUBLES.
On relrouve l'int<5grale J en faisanl
T = T,, T'=T',.
Nous voyons ensuite qu'a un facteur constant pr6s cellc inttfgrale cst uno
peJriode de I'intggrale quadruple
on encore une periode de I'int^grale quintuple
f &***
J
Je regarderai cetle integrate comme un cas particulicr de la suivanle :
r er^..^r<^>v^ <P dx dy dan dy_i_ds_
L'integrale se trouve ainsi mise sous la forme convenable. Sous le signe J
nous avons le produit d'un facteur exponentiel et d'une fonction algdbriquo
(et m£me rationnelle) des cinq variables x, y, #t, y*., z.
Done F integrate consider^ comme fonction de T, TI, T', Tt et u satisfera a
cinq Equations differentielles lin<$aires a coefficients i^ationnels.
Toutes les deriv^es partielles des difFerents ordres de cette integralo par
rapport a T, TI, T', T\ et u peuvent s'exprimer lin&iirement & Faide d'unnombro
fini d'enlre elles; et cela par le moyen de ces cinq Equations diffdrentielles et
de celles qu'on en deduit par differentiation (je reviendrai tout a Fheure sur
ce point).
Done, si nous considerons les integrates
C H <p dx dy dXj dy\ dz
( D ) I ~
J
ou H = T# + TiZi-+- Jy + r^yi -+• us et ou a, b, c, a^ bi sont des entiers,
toutes ces integrates peuvent s'exprimer £ Faide d'un nombre fini d'entre elles.
Reprenons maintenant Tint^grale (4)- Nous venons de la consid&rer comme
fonction des r et de u] mais nous regarderons maintenant u et les r comme des
constantes et nous ferons varier les elements elliptiques (et entre autres $ et e')
dont depend la partie rationnelle de la fonction sous le signe I *
LES PERIODES DES INTEGRATES DOUBLES.
107
La derivee de J par rapport a Fun de ces elements, ou une derivee partielle
d'ordre quelconque de J par rapport a ces divers elements, sera de la forme
(6)
ou #H represente le facteur exponentiel et ou P est un polynome en x, )\ —
De meme que Fintegrale (i) a ete ramenee a Finlegrale (4)j de mgmc cette
integrate (6) se ramenerait a une combinaison d'int^grales de la forme (5).
Done les divcrses d<3rivees partielles de J peuvent s'exprimer a 1'aide d'un
nombre fini d'entre elles.
Un dernier point que j'avais reserve reste a examiner. Soit Fintegrale
triple
(7)
J =
} dxdydz,
ou R est rationnel en x, y et z\ je dis que les d^riv^es partielles de J par rap-
port a £, a u et a P peuvent s'exprimer a Faide d'un nombre fini d'entre elles.
J'ai 6nonc6 plus haut cette propri<£t6, sans la d^montrer, en ce qui concerne
Fintegrale (4); tHablie pour Fint^grale triple (7), elle s'etendrait t^videmment
a Fintegrale quintuple (4)- Soit
..$,
P et Q 6tant despolynomes.
R satisfera aux Equations difF<5rentielles
dx dy dz
dP dP d?
dsc dy dz
_
""
x. — ~v " T>.
dx dy dz
Cherchons & former les Equations correspondantes auxquelles satisfait J et
I0g LES PERIODES DES INT^GRALES DOUBLES,
qui se deduisenl des premises comme liquation (3) se ddduil dc liqua-
tion (2).
A chaque polynome en x, y, z corresponds un op^rateur.
Au polynome
correspond 1'operateur
2
A / T
A{ l
Soienl
A, At, A2, Di, D2, D3
les opera tears qui correspondent a ax polynomes
*. «.-«§-'3' -«
^P ^Q et? dQ _ P rfQ
dx dy dy dx
Alors les Equations auxquelles satisfait J s'<5criront
(B)
Pour d^monlrer quo toutes les d&riv<Ses de J d'ordrc suffisamnionl ('ilev6
peuvent s'expriiner & Taide des d^riv^es d'ordre moindre, il suffira do inontrer
qu'une combinaison liu(5aire quelconque des d6riv6es d'ordre M pout 6trc
regard^e comme obtenue de la fagon suivante :
Parmi les Equations que Ton peut d^duiro des Equations (8), par diffdrcn-
tiation, distinguons celles qui sont d'ordre M.
Soient
HI — Oj Hg 1=1 Qj • • • 7 tf-K ==: O
ces Equations. Soient H'1? H;s, ..., HJt les lermes de HI, Ha, ..., HK qui
contiennent des d^riv^es d'ordre M.
Je dis que tout© combinaison lin^aire des d<Sriv6es d'ordre M de la fonc-
tion J pourra se mettre sous la forme
les (3 ^tant des fonctions de.r, U., P.
LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 109
Les termes de 1'ordre le plus elev£ des Equations (8) sonl :
jfA'J, «A'J, u&il — jfA'oJ.
tD\ JH- Z£D'2J -4- fD'-J,
ou A', A'1? A'2, D'1? D'2, D'., representent les operateurs obtenus en conscrvanl
les de*rive*es de Fordre le plus clove" dans les operateurs A, AI, , . . ; ils corres-
pondent respectivement aux polynomes P', Q', S'i; S;4, T't, T'2: T'3 obtenus en
conservant dans les polynomes P, Q, Si, S27 T1? T2l T3 les teriues du clegre le
plus elev£.
Dans une equation d'ordre M obtenue en diffe"rentiant et coiubinant les
equations (8), les termes d'ordre M seront de la forme
(9) pi*aiA'J-i-
oii (34, pa, (33 sont des fonctions, Dij Daj Ds des ope>ateurs quelconques.
Ge qu'il s'agit de d^montrer, c'est que toute combinaison des d£rive"es
d'ordre M peut se mettre sous la forme (9)5 ou, ce qui revient au mgme, que
tout polynome homogene d'ordre M en x, y et z peut se mettre sous la forme
ou Vi, V2, Va sont des polynomes arbitraircs correspondant aux opera-
leurs DI? Da, D3.
Or, pour cela, il suffit que les trois polynomes
P'Q', wS't-O',,
ne puissent s'annuler a la fois.
C'est justernent ce qui a lieu quand on attribue des valeurs quelconques aux
trois inde'termm^es £, u et 9 et quand les polynomes P et Q sont les plus ggne-
raux de leur degre".
Le th^oreme d^montr^ quand les polynomes P et Q sont les plus ge'ne'raux
de leur degre" sera vrai (et pourrait se demontrer par passage a la limile) pour
des polynomes quelconques.
SUR
LES PfiRIODES DES INTlGRALES DOUBLES
ET
LE DEVELOPPEMENT
DE LA
FONCTrON PERTURBATRICE
Bulletin, astronomique, t. 14, p. 353-354 (septembre 1897).
On sait que le de>eloppement de 1' expression
(az — 2 ad cos cp -h a'2 )a
suivant les cosinus des multiples de cp, a 6t6 tres bien dtudie". Les coefficients
de ce de*veloppement, qui sont connus sous le nom de coefficients de
Laplace, jouissent de proprie"te~s curieuses.
Ge sont des fonctions transcendantes du rapport—; mais ces transcendantes
sont li^es par des relations de recurrence, de telle fagon qu'elles s'expriment &
Taide de deux transcendantes distinctes seulement.
D'autre part, chacune de ces transcendantes satisfait a une Equation diffd-
rentielle Iin6aire a coefficients rationnels.
LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. Ill
L'expression (i) n'est autre chose (pour s = i) que la fonction perturbatrice
dans le cas 011 les deux excentricites et Tinclinaison sont nulles.
La theorie des periodes des integrates doubles montre que le developpement
de la fonction perturbatrice, dans des cas plus generaux, peut encore jouir de
proprietes analogues.
Supposons d'abord les deux excentricites nulles, mais 1'inclinaison diffi»-
rente de zero.
On verrait que les coefficients de developpement sont des fonctions trans-
cendantes des elements, mais ces fonctions sont liees entre elles par des
fonctions de recurrence, de telle facon qu'il n'j a que cinq transcendantes
distinctes.
Si les excentricites ne sont pas nulles, il j a plus de difficult^. Mais suppo-
sons que, au lieu de developper suivant les sinus et cosinus des multiples des
anomalies moyennes, on developpe suivant les sinus et cosinus des multiples
des anomalies excentriques. (Dans le cas precedent, les excentricites etant
nulles, Panomalie excentrique se confondait avec 1'anomalie moyenne.) Les
coefficients de ce developpement sont encore des fonctions transcendantes des
elements, mais entre lesquelles il y a des relations de recurrence, de telle facon
qu'il n'y ait au plus que seize transcendantes distinctes.
D'autre part, ces coefficients satisfont a des equations differentielles lineaires
a coefficients -rationnels, de telle fagon que leurs derives partielles des divers
ordres puissent s'exprimer a 1'aide d'un nombre fini d'entre elles.
Revenons au developpement procedant suivant les multiples des anomalies
moyennes. II n'y aura plus entre les coefficients de relations de recurrence a
coefficients rationnels, ou du moins je n'en ai pas trouve. Mais les coefficients
du developpement, considers comme fonctions des elements, satisfont encore
& des equations differentielles lineaires , de telle fagon que les derivees par-
tielles des divers ordres de 1'un de ces coefficients puissent s'exprimer a Faide
d7un nombre fini d'entre elles.
SUR
LES PMODES DBS fflTfiGRALES DOUBLES
Journal de Mathematiques^ 6* s6rie, t. 2, p. i35-iSg (1906).
Voir OEuvres de Henri Poincare, t. Ill, p.
DEUX1EME PARTIE. — FIGURE DE LA TERRE.
SUR
U THEORIE DE LA PRECESSION
Comptes rendus de I'Academie des Sciences, t. 132, p. 5o-55 (14 Janvier 1901).
Stockwell a cherch£ a determiner les variations s6culaires de I'gquateur
terrestre qui sont la consequence des variations s<5culaires de l'3cliptique.
Mais, r^cemment, M. Backlund (Bulletin de VAcademie de Saint-
Petersbourg, mai 1900) a repris ces calculs par la m^thode de Gyld6n et est
arrive a des r6sultats enti&remenl diff&rents. G'est ainsi que le coefficient
d'une de ces in£galit6s serait, d'apr&s Stockwell, 20 438" et d'apr^s notre
Eminent correspondant 568 1".
Le principe de la m^thode employee par M. Backlund consiste a ne pas
supprimer tout de suite dans ses Equations les termes a courte p^riode qui
produisent la nutation; dans les Equations qu'on obtient aprfes quelques trans-
formations figurent certains coefficients p6riodiques qui dependent de ces
termes ; et pour Fintggration, au lieu de supprimer purement et simplement
ces coefficients p^riodiques comme on le fait d'ordinaire, M. Backlund en
conserve la partie constante, qu'il appelle vj et \L\.
Pour appr^cier la l^gitimitg de cette analyse, il suffira d'^tudier liquation
simple
(i) -^- = a sin(nt -*-v)-±~b sin/?*,
consid£r£e par M. Backlund .(p. 897). Nous supposerons que a et n sont tr6s
H. P. — VIIL i5
114 THEORIE DE LA PRECESSION.
petits, mais que b et p soient beaucoup plus petits et cela de lelle facon quc —
soit notablement plus grand que -^ ? et que p* soil du m6me ordre de grandeur
a2
Le premier termc du second membre de (i) est alors un lermc a courle
p^riode et le second un terme s^culairc. Lcs Equations do la precession
peuvent 6lre ramen^es a cette forme, avec cctte difference qu'il y a un grand
nombre de termes a courle p£riode el un grand nombre de lermes st^culaires.
Soit alors
(i bit) - = as
une equation analogue ^ (i), mais ou Ton a fail b = o, el posons
P = p0-h s.
Nous aurons alors en n^gligeanl £2
(2) -- = at cos(nt-*- PO)-H b sinpt.
Si Ton appliquail la m^lhode de Slockwell, on n^gligerail le premier lermo
el Ton irouverail
M. Backlund irouve d'abord en premiere approximation
n*
d'ou
a .
. smut,
j
Liquation (2) devient
s (a cos n* H- ~
ou, en conservant la valeur moyenne du coefficient de e,
d*s a2
— =—.s +
d'oii
b smpt
£ =
a*
2
THEORIE DE LA PRECESSION. XI5
Telles sont les deux analyses cntre lesquelles il s'agit de decider; la chose
est d'autant plus facile que les Equations (i bis) et (2) peuvent s'integrer
rigoureusement.
Posons, en effet,
liquation (i bis) devient
9 = a sin W cos W,
d'od
— «i, sin\V= — s/p(") — ea, cosW=-^
oup(u) est la fonction doublement periodique de Weierstrass et oil u est
a r plus une constante imaginaire.
Liquation (2), qui peut alors s'^crire
(2 bis) — = s
a ses coefficients periodiques.
Nous sommes ainsi amends a envisager des Equations lin^aires ^ second
membre de la forme
(3) £"-?£ = X?
ou cp est periodique en t (et ou je d^signe les d^rivees par des lettres accentu^es).
D'apr^s un th^or^me bien connu, liquation sans second membre
e*— 95 = 0
admettra deux integrates de la forme suivante :
cp! et ^2 etant p^riodiques. Je puis toujours supposer que Ton a
(4) s'iSa— £o£i = i,
et Ton trouve alors, pour 1'int^grale de liquation (3),
(5)
avec
p, =
n6 TH^ORIE DE LA PRECESSION.
Nous pouvons d'ailleurs trailer sSpardment chacun des termes deX; prenons
alors
X = e*P*.
Soit (en supposant que I'unite de temps ait 6t<3 choisie de telle facon quo la
p^riodo de la fonction cp soil <3gale a arr)
Dans les integrates (34 et (32, les seuls termes sensibles sont ceux qui conticn-
dront un petit diviseur (en consid<5rant p et a comme tr&s petits). Ces termes
sont
c
i = -— - ; — 5 .
pl — - a H- i/> r « -h ip
Si Ton ne conserve dans (3i,et (3a que ces lermes a petit divisour, lo lormc
en eft* dans s sera, d'apr&s la formule (5),
Dans le cas ou la fonction 9 est petite (ce qui arrive ici, puisque le faclcur«
est petit), les termes aQ et CQ sont notablement plus importants que les autres
termes de <p4 et ^3; de tous les termes de e, le plus important est le termc
en e1** que je viens d'(3crire; enfin, a cause de la relation (4), on a sensi-
blement
I ,
de sorte qu'il reste sensiblement
Dans le cas ou a s'annule, il y a ime d^gto(5rescence et Fin
de liquation sans second membre serait de la forme
? gtant p^riodique comme vp4, tandis que les y sont les constantes d' integration.
Mais a la limite, la formule (6) subsiste.
Comparons maintenant cette formule (6) avec celles dc Stockwell et de
Backlund. Nous voyons que, pour obtenir celle de Stockwell, il faut faire oc = o,
et pour obtenir celle de Backlund,
THEORIE DE LA PRECESSION. 117
Or, quelle esl la veritable valour de a ? On le volt tout de suite : liqua-
tion (2 bis}, quand on y supprime le second membre, admet pour integrate
£1=
qui est une fonction periodique. Done a est mil; done c?est Stockwell qui a
raison.
II faut attribuer aux ine'galites en question les coefficients de Stockwell, dont
quelques-uns sont quatre fois plus forts que ceux de Backlund.
La critique qui precede ne saurait, en aucune facon, s'adresser a notre
savant correspondant, puisqu'il n'a fait qu'appliquer une me'thode classique
que tout le monde croyait correcte.
Mais c'est la une raison de plus pour que j'aie cru devoir mettre en Evidence
le vice fondamental de la m^thode de Gylde*n, dont on pourrait ^tre tente* de
faire d'autres applications.
II est singulier que Gyld^n soil tombe" dans cette erreur, puisqu'il avait lui-
e' int^gr^ les Equations (i bis) et (2).
STJR LA PRECESSION"
Comptes rendus de VAcademie des Sciences, t. 132, p. 291-292 (11 fevrier 1901).
Je vous suis U^s reconnaissanl pour avoir appele Fatlention sur 1'erreur
commise dans ma Note stir la precession. En cffet, il m'avait <5chappc5 quo,
par des approximations successives, le second terme du membre droit dans
-TT— = a sin(otf -4- e)
donne naissance £i un terme
-4- ai>i v* sin ( at H- £ ),
ce qui r&luit vl a z<3ro (au moins aux quantit^s d'ordro sup<^riour),
Cette erreur ^l^mentaire m'appartient exclusivement.
Dans votre Note vous consid<5rez liquation
d'2& , ^ , .
— =ae cos(nt -4- PO) n- b smpt.
Gut*
Gjldto consid£re au d^but des approximations liquation
— =s as cos(/i«-h PO) -- «e2 sin(^-h ^0) — £#£3cos(/U-h PO) •+• b si
et parvient & determiner vj dans
Extrait d'une lettre de M. O. Backlund a M. Poincare.
THEORIE DE LA PRECESSION. 1 19
La valeur de pj; ainsi de*terminee est e*videmment beaucoup plus petite
Gylde"n dit expresse*ment qu'il est me'me inutile, pour la determination de pj,
de partir de liquation, ou Ton a ne"glig^ la deuxieme et la troisieme puissance
de e. C'est justement ce que vous avez d<5montre.
Je serais ires reconnaissant, si vous vouliez bien faire insurer ces lignes dans
les Comptes rendus* Je le dois a la me"moire de Gylde*n.
SUR
LA FIGURE DE LA TERRE
Comptes rendus de I'Academie des Sciences, t. 107, p. 67-71 (9 juillet 1888).
Est-il possible de irouver une loi de la variation do la densite a TinLdricur do
la Terre qui satisfasse a la fois :
i° A liquation de Clairaut;
2° A la valeur observe ~ de 1'aplatissement;
2Q5
3° A la valeur observe 3o5,6 de la constante de la precession?
Depuis quelque temps ddja, les g^om^lrcs consid^rontcommo vraisemblablo
que cela est impossible; si, en 'effet, on admet que la compressibility diminuo
rapidemenl quand la pression augmenle, M. Gallandreau a montr<3 que Ton a
et, si y] est croissant, ML Radau a d^montr^ qu'il doit y avoir entre Faplalisse-
ment et la constant de la precession une relation a laquelle les valours obser-
v6es ne satisfont pas.
Quelques doutes pouvaient subsister cependant; pour ^tablir cette relation,
M. Radau est oblige de supposer que la quantite qu'il a appelee YJ est comprise
entre o et o,54. Son rgsultat subsiste-t-il encore quand on s'affrancbit de cette
hypoth&se ?
Gette Note a pour but de montrer que le th<k>r6me de M. Radau est encore
vrai> sans qu'on ait a faire aucune hypoth^se.
LA FIGURE DE LA TERRE. 121
Rappelons d'abord les notations habituellement employees.
Nous appelons s I'ellipticit6 d'une couche sphuroi'dale quelconque; a le
rayon de cette couche, celui du globe entier (Slant pris pour unite; p la densile
de cette couche; D la densite moyenne du spheroi'dc limits ext^rieurement par
cette couche;
a dz .. df\
- =
D1? £j. et yji les valeurs de D, e et n a la surface.
Liquation de Clairaut s'^crit
f i<z2£"— £JD
on bien encore
(i) (
De plus, on doit avoir a la surface
£1=^3' 711 = 0,543.
Enfin, les observations de la precession nous donnent
D
_ eff
!-r I=I)955.
Si la densit^ est constamment d^croissante, on a
<o, P<D, _I>0)
et liquation (i) donne alors
(C-+-V— -n-ejC^ + ^-i-STjXo.
Comme Paplatissement va constamment en croissant, on a
TQ >o,
de sorte que l'in£galit£ pr£c6dente se decompose en deux :
(2) S-H^+.ST^O, S-h^2— -n — 6<o.
Je vais me proposer maintenant de d^montrer qu'on a constamment
?1<3.
H. P. — VIII. 16
122 LA FIGURE DE LA TERRE.
En differentiant 1'equation (i), on trouve
•0)
•"
Lorsque a est croissant, i est aussi croissant, ce qui entraine l'int$galit<£
Q
£ + 7)2-4-571 5 ^ '
Posons
Le premier membre de Fin^galit^ (3) pourra s'^crire
20
Les in^galit^s (2) entrainent la suivante
^_712_771
de sorte que Pinegalit6 (3) peut s'^crire
Pour les valeurs ir^s petites de a, £ et vj sont tr^s petits eltous deuxposilifs;
par consequent, F est positif. Je dis que, quand on fera crottre a, F restera
toujours positif.
En effet, en vertu des in(Sgalit£s (2), F est de mtoie signe que £ — vj2+ 3 73.
Done, pour les petites valeurs de a, F et £ — yj2+ STJ sont tous deux positifs.
Pour que ces deux fonctions pussent devenir toutes deux negatives, il faudrail
d'abord qu'elles fussent toutes deux positives, d^croissantes et tr^s voisines
de z6ro.
Mais, si 1'on suppose
F>o, $— 7)34,3Y)>0j G?F<O,
1'indgalitd (4) nous donne
S>os
ce qui est incompatible avec les in<%alit£s (2) et la supposition que £ — rf+ 3rj
est tr^s voisin de z£ro.
Nous avons done toujours
LA FIGURE DE LA TERRE. 123
En resum^, les deux quantit^s yj el £ doivent satisfaire aux inogalites sui-
vantes :
T]>0, ?-{-7)2— TQ — 6<0, 5 — Vj2-f-3
ct ces in£galit£s sont les seules auxquelles elles doivent satisfaire.
II est ais£ d'en d^duire
Tl<3.
On sait que Clairaut avait d&ja d£montr6, mats seulement pour la valeur
de YI a la surface, l'inegalit<3
Cela pos£, reprenons le raisonnement de M. Radau. Ce savant (Stablit, par
un calcul ing<3nieux, 1' identity suivante :
... /• T\
J Dl
d'ou Ton dgduit
g ^tant une des valeurs que peut prendre TO, quand a varie de o a i .
L' observation donne
/ — 5/ j ^
V 1 + 711= - ( I r- }?
V 2\ I?987/
d'ou Ton dt5duirait
i,955
Or, quand a varie de o £ i, t] reste compris entre o et 3; il en est done de
m£me de £, ce qui entraine Fir
1.0008.
Liquation (5) est done impossible.
En r6sum£, aucune hypo these sur la loi des densites ne peut satisfaire
aux observations.
Je m'abstiens de toute tentative d'interpr^tation de ce r^sultat et je ne
124 LA FIGURE DE LA TERRE.
recherche pas si FOIL doit, pour expliquer cette anomalie, reprendre la discus-
sion des observations, ou supposer, avec quelqucs ge'ologues , un mouvement
relalif du noyau fluide interne par rapport a I'e'corce solide; ou, enfin, si la
petite difference, entre 1'aplatissement observe' et 1'aplatissement calcule*, est
due simplemenl aux irre'gularite's de la surface el a celles qui, seloii les iddes
de M. Faye, existeraient dans la distribution des matieres solides et liquides a
Finte'rieur du globe.
Dans les hypotheses envisages par M. Radau, et ou
o<-n <TH,
la valeur de I reste sensiblement constante et e'gale a 1,987. Dans le cas plus
ge'ne'ral ou je me suis place", I peul prendre d'autres valeurs, mais il resle
toujours plus grand que 1,987; j'ajoute qu'il est toujours plus petit que 2,04.
On voit que les limites entre lesquelles peut varier I sont encore tres rap-
proche'es.
SDR
LA FIGURE DE LA TERRE
Bulletin astronomique, t. 6, p. 5-u (Janvier 1889).
1. Les r<5cents travaux de MM. Stieltjes, Tisserand, Radau et Gallandreau
ont appeltS de nouveau Fatten tion sur la question de la figure de la Terre, que
Ton croyait ^puistSe. Ces travaux semblent montrer qu'il est difficile de trouver
une loi des densit^s qui satisfasse a la fois a la valeur observe de 1'aplatisse-
ment et a la valeur observee de la precession. J7ai pens£ qu'il ne serait pas
inutile de reprendre le probl&me en me placant a un point de vue nouveau.
J'adopterai les notations de M. Radau; j'appellerai done :
a, le rapport du rayon du sph^roi'de consid<5r£ au rayon du globe entier ;
s, 1'aplatissement de ce sph^roi'de;
p, la densit^ de la couche sphgroidale envisag^e;
D, la density moyenne du sph<3roide entier.
Je d^signerai par les indices o et i les valeurs de ces diverses quantit^s au
centre et a la surface, et les d6riv6es par rapport ft a par des accents.
Je poserai, comme M. Radau,
0£' =
£
et je poserai de plus
126 LA FIGURE DE LA TERRE.
Dans ces conditions, liquation differ entielle de Clairaul peut se metlre sous
Time cles formes suivantes :
571 -+• 7)2) D -4- 2a(l •+• 7j)D' = O,
derivee logarithmique de D \Ji-+--r\ = -. 7-7 •
D'autre part, la condition qui determine I'aplatissemenl a la surface peut
s'ecrire
7]! = 0,543.
Le problSme est ainsi enticement determine.
Apr6s avoir etabli ces formules, M. Radau montre quc, si YJ va constamment
en croissant du centre a la surface, il est impossible de salisfaire a la fois aux
observations de precession et aux observations geodesiques.
J'ai ete ainsi conduit a me poser les deux questions suivantes :
i° Serait-il possible de satisfaire aux observations en renoncant a 1'hypo-
th&se que Y) doit &tre constamment croissant?
2° Si cela est impossible, quelle sera la distribution des densites qui, pour
une valeur donnee de la constante de precession, conduira a une valeur
maximum de 1'aplatissement, c'est-a-dire a une valeur aussi rapprochee quc
possible de la valeur observee.
2. Voici le syst&me de representation dont je ferai usage. Je representerai
un mode quelconque de distribution des densites par une courbe C dont les
differents points auront pour coordonnees les valeurs de YJ et de £ dans les
differentes couches qui composent le spheroi'de terrestre.
D&s que cette courbe C sera connue, on possedera toutes les donnees du
probl&me. On a, en effet,
da df\ t
comme nous connaissons £ en fonction de vj, nous pouvons ecrire
, r df\
loga=/ y,
ce qui nous donne a en fonction de 73.
Liquation de Clairaut donne ensuite
log(D v^R) = const. - C
ON v l/ J
LA FIGURE DE LA TERRE. 127
ce qui nous donne D en fonction de YJ (et par consequent de a) a un facteur
constant pres ; ce facteur constant se determine d'ailleurs sans peine, puisque
DI est une donne'e de la question.
Connaissant D en fonction de «, on en d^duira p en fonction de a. La
courbe G de'finit done la loi des densites. Voyons maintenant a quelles condi-
tions doit satisfaire cette courbe pour e"lre acceptable.
Supposons qu'on parcoure cette courbe G depuis le point A, qui correspond
au centre de la Terre, c'est-a-dire a a = o, jusqu'au point B, qui correspond a
la surface du globe, c'est-a-dire a a — i .
Alors a devra aller constamment en croissant, et par consequent dy devra
e*tre constamment de me* me signe que £.
Si done nous imaginons que les axes des YJ et des £ soient places comme le
sont d'ordinaire les axes des x el des y dans le plan, la courbe devra e"tre par-
courue de gauche a droite si 1'on est au-dessus de 1'axe des YJ, et de droite a
gauche dans le cas contraire.
En dehors de 1'axe des YJ, la courbe C ne pourra pas avoir de tangente verti-
cale (c'est-a-dire parallele a 1'axe des £); on pourrait cependant admettre
exceptionnellement une tangente verticale d'inflexion.
Sur 1'axe des YJ, la tangente a la courbe C est, au contraire, toujours verti-
cale (a moins qu'on n'admette que cette courbe a un point anguleux ou un
point de rebroussement), except^ toutefois au point A.
Au point A on doit avoir a = o; le point B est de'fini par la condition
•n = o,543.
de sorte qu'on doit avoir
C ^\
JB T"""00-
Gela montre d'abord qu'au point A, £ doit s'annuler, sans quoi 1'inte'grale serait
finie. Supposons qu'au point A nous ayons YJ = YJO et
lim — — =/t.
II vient alors
(77) restant finie pour v\ = Y30 ; d'ou
a ==(7) — *10)A<|;(70,
I2g LA FIGURE DE LA TERRE.
<p (YJ) restant fmie pour YJ = nQ- Pour que a s'annule pour YJ = YJO, il faut et il
suffit que h soil positif.
Gela veut dire que la tangente au point A a la courbe C doit jfitre comprise
dans Tangle form<§ par Faxe des rj positifs et par une parall&le £ 1'axe des
£ positifs, c'est-a-dire dans le premier quadranl.
Nous devons maintenant nous poser la question suivante : Quelles sont les
discontinues que peut presenter la courbe C? Observons que la densild p
peut 6tre discontinue, mais doit £tre toujours finie, et par consequent que D
est toujours continue. De nitoie, % peut toe discontinue, mais doitrester finie,
de sorte que n doit &tre continue.
Si done la courbe C pr<3sente une discontinuity, c'est-a-dire si elle se ddcom-
pose en deux arcs de courbe AD et EB ne se raccordant pas, les deux points
extremes D et E seront sur une m£me verticale; on pourra supposer les deux
arcs de courbe raccord^s par un segment de verticale DE.
3. Jusqu'ici nous ne nous sommes pas pr6occup£s de la condition
nous allons maintenant en tenir comple. Posons
D=~-hp, p =
d'ou
!«
^ 9
et, en tenant compte de la relation d(a*D) =
On doit done avoir
^
Ta
c'est-a-dire que JJL doit croitre de la surface au centre.
Nous sommes done conduits & construirc les courbes fx = const., quo
j'appellerai courbes de densit&+
LA FIGURE DE LA TERRE. I2Q
Liquation de Clairaut. nous donne
~H-ta(
J'-TI— c
Si nous regardons p. comme une constante et quo nous pronions la derivee
logarithmique on observant que — = -~5 nuns trouverons
cK, -h(2Tfi-4-5)rfr4 3 afrj __
on, en d<3veloppant,
i -4- 1) aft =
Tolle est liquation different idle des courbos dc donsitc.
Celle Equation admet trois solutions particulit?res remarqnables :
i ° La droite v\ = — i ; .
2° La parabole C + rr — *J — 6 = 0, qui correspond t\ /JL = o et quo j'appel-
lerai la parabole P ;
3° La parabole £ -h yj- + 5 73 = o, qui correspond a 4a = oo et quo j'appellerai
la parabole Pr.
Cette Equation diff(5rentielle admet les points singuliers suivants :
i° Le point 73= — i, £ = 4, que j'appellerai N et qui appartieiil a la fois
aux paraboles P et P; et a la droite fi == — i ;
2° Le point yj = — i, J= ^» que j'appellerai S et qui appartient seuleraent
a la droite YJ = — i ;
3° Les points 77 =: o, ? = o ; 73 = — 5, ? = o, que j'appellerai O et R et qui
appartiennent a la parabole P' ;
4° Les points 77 = 3, ? = o; vj = — 2, C — o, que j'appellerai Q et Q' et qui
appartiennent a la parabole P.
Une discussion facile montre que par les points N, O et Q' passent une infi-
nite de courbes de densite, tandis que par les points S, R et Q passent deux de
ces courbes settlement. En d'autres termes, pour employer les denominations
H. P. — VIII. I7
i3o
LA FIGURE DE LA TERRE.
que j'ai introduites dans mes M<3moires sur les courbcs d^finies par des Equa-
tions diflferentielles, les points singuliers N, 0 et Q' sont des nceuds, tandis
que S, R et Q sont des cols (voir fig. i).
Comme YJ reste toujours positif et que, d'autre part, p est essentiellement
positif, on n'aura jamais a sortir de la region du plan que je couvre de hachures
sur la figure i et qui est limit<3e par 1'axe des £ et par les paraboles P et P'.
Nous devons done tout d'abord nous proposer do construire les courbes de
density qui sont contenues dans cette region.
II existe d'abord une courbe de densit^ exceptionnelle OMQ qui va du
Fig. i.
point O au point Q et qui, par consequent, partage la region hachurge en deux
regions partielles. II importe de remarquer que cette courbe OMQ ne va pas
couper 1'axe des r\ entre le point O et le point Q ; en cffct, il est ais<5 de
trer que sa tangente au point Q a pour coefficient angulaire
ce qui montre que cette langente est parall&le a une droite du premier qua-
drant. Si la courbe OMQ allait couper la droite OQ en un point M situt*
entre O et Q, il y aurait (d'aprSs un th<$or£me quo j'ai d&nontr<3 dans mon
M^moire sur les courbes d^finies par les Equations difF^rentielles) eutre Q et M
un point ou 1'axe des r\ serait tangent a une courbe de density, ce qui est
impossible; car, en tous les points de cet axe, la tangente a la courbe de
density est verticale.
LA FIGURE DE LA TERRE. l3l
On d^montrerait de m6me que, si 1'on excepte le point O, aucime courbe de
density ne peut couper la droite OQ en plus d'un point.
Les courbes de density prgsentent done Taspect que leur donne la figure 2,
oil elles sont repr6sent6es en trait plein, pendant que les axes sont en pointillt*.
Fig. a.
SUR
LA. FIGURE DE LA TERRE
Bulletin astronomique, t, 6, p. 49'fo (ttvrier 1889).
4. Quand on parcourt la courbe C du point A au point B, a doit croilre
de o a i et, par consequent, p doit decroitre; on doit done avoir
dj + (*i\ + 6) dv\
_ _ . Q
-+-TiH-r, S p-
Si 1'on fait, par exemple,
d-r\ = o, rfC > o,
cette in6galit<£ est satisfaite.
II faut alors que la direction de la tangente a la courbe G, en tenant compte
du sens dans lequel cette courbe doit &tre parcourue, soit du m£me c6t6 de
la tangente a la courbe de density qu'une droite verticale parcourue de has en
haut.
Pour exprimer ce rt^sultat d'une fagon plus nette, faisons la convention
suivante : Nous avons vu que la region, comprise entre les deux paraboles P
et P' est partag^e par la courbe OMQ en deux regions partielles et que chacune
des courbes de density est comprise tout enti&re dans Tune de ces regions
partielles, dont elle ne peut sortir.
Celles de ces courbes de density qui appartiennent ^ la region partielle OMQN
coupent la droite OQ en un point et un seul.
Si une courbe de density coupe la droite OQ en M' et qu'une autre courbe
coupe OQ en My/, convenons de dire que la premiere courbe est plus avanc^e
LA FIGURE DE LA TERRE. 1 33
que la seconde si M' est a droito de M". De ceite facon, une courbe de density
appartenanl a la region ONQM sera d'autant plus avancee qu'elle s'^loignera
davantage de la parabole P et se rapprochera davantage de la parabole P et de
la courbe OMQ.
Cela pos<3, on voit que, si Ton parcourt la courbe C du point A au point B,
celte courbe ira couper n^cessairement des courbes de density de plus en
plus avanc^es si £ est positif et, au contraire, des courbes de densit^ de moins
en moins avanc^es si £ est n^gatif.
II rdsulte de la que la courbe G ira en s'6loignant de la courbe OMQ d&s
qu'elle sera au-dessous de la droite OQ ; elle ne pourra done franchir cette
courbe OMQ, ni sortir de la region OMQN.
En particulier, 73 est toujours plus petit que 3.
5. Occupons-nous main tenant de la condition relative a la density a la
surface. On peut admettre qu'a la surface on a a peu pr&s
d'ou
4u = i, a = i
et
*n — 6 = 0.
Si vjt = o , 543, on trouve a peu pr&s
C = i,7;
le point B devrait done avoir pour coordonnges
TQ = 0,543, 5 = 1,7-
Si nous consid^rons maintenant un point du sph^roi'de terrestre tr^s voisin
de la surface, il pourra arriver, si la density varie tr^s rapidement dans le
voisinage de la surface, que la density de ce point ne soit pas 6gale & - ; mais,
comme la density va toujours en croissant de la surface au centre, elle devra
6tre toujours plus grande que -; on a ainsi
5>2-'
et
l — 6<0,
1 34 LA FIGURE DE LA TERRE.
La courbe
2£H-2-n2H- 4-0 — 6 = O
est une parabole que j'appellerai la parabole P", qui est comprise entre les
deux paraboles P el P' et qui va passer par le point N.
Comme nous connaissons la valeur de Faplatissement a la surface, nous
savons que
v\i~ 0,543,
et nous en concluons que le point B est a Pintersection de la parabole P" et de
la droite YJ = o,543. Mais, si nous ne connaissions pas 1'aplatissement, nous
saurions seulement que le point B est sur la parabole P'7 et sur Fare EF de cette
parabole compris entre le point E, intersection de P" et de Taxe des f, et le
point F, intersection de P" et de la courbe de density OMQ.
Nous saurions ainsi que YH est plus petit que YJ du point F, ce qui nous
donnerait une limite de Paplatissement, G'est 1& un r^sultat bien connu, du
a M. Tisserand.
6. Cherchons maintenant liquation des courbes en termes finis.
Quand on suppose, comme au paragraphe 3,
X
D«-+Xn
et que Ton fait fx = i , liquation de Clairaut s'gcrit
( Ia2eff— e j (~ -hi J -4-(a£f-4-e) = o.
On trouve facilement une int^grale particuli&re de cette Equation : c'est
d'ou
ou
C'est encore liquation d'une parabole et cette parabole n'est autre chose
que la courbe de density OMQ; on v^rifie aisdment qu'elle passe par les
points O et Q et que sa tangente au point Q a bien pour coefficient angulaire
-r- = 3.
LA FIGURE DE LA TERRE. 1 35
Une autre integrate particuli&re de liquation de Clairaut est
d'ou, pour Fintggrale g£n<5rale,
£ — — (X constante ^integration)
et, pour liquation g6n£rale des courbes de density
7. Jusqu'ici nous avons admis que le point A, extr£rnit6 de la courbe C,
pouvait se trouver en un point quelconque du segment de droite OQ. Cela
n'est pas possible, si Ton veut que la density au centre de la Terre soil finie.
Nous avons en effet
, D */i -f- 1\ c"^ &n •+• rf dt\ . r dt\
Iog]^r^i=-4^^)T et Iosa=4T-
Au point A la premiere de ces integrates doit 6tre finie et la seconde infinie.
Cela ne peut avoir lieu que si, en ce point, le rapport des quantity sous le
signe I est nul, cjest-a-dire si
d'ou
Ainsi, le point A se confond avec le point O et, si Ton supposait que ce point A
ftit tout autre point de la droite OQ, il faudrait admettre 6galement que la
density au centre est infinie, ce qui ne peut pas 6tre le cas de la "nature.
Je dois maintenant expliquer pourquoi je nTai pas cru devoir laisser complfc-
tement de c6t<§ les lois de density inadmissibles au point de vue physique, qui
correspondent a des courbes C se terminant en un point de OQ different du
point 0. C'est que, s'il est impossible que la density suive exactement une de
ces lois, elle peut du moins les suivre a trfcs peu pr^s, sauf dans le voisinage
immgdiat du centre de la Terre. C'est ainsi que G. Darwin a cru pouvoir
examiner le cas ou la density est proportionnelle a une certaine puissance
negative de a; il admettait gvidemment que la density, apr^s avoir suivi cette
loi jusqu'a une tr&s faible distance du centre, suivait ensuite une loi toute
l36 LA FIGURE DE LA TERRE.
diffe* rente jusqu'au centre; qu'il y avail ainsi au centre de la Terre une sorlc
de noyau ou la densite variait suivant une loi inconnue, mais trop petit pour
que la distribution de la matiere a Finterieur de ce noyau put influer d'une
facon sensible sur Faplatissemeiit ou sur la precession.
Dans noire mode de representation, la loi de G. Darwin serait representee
par une courbe G reduite a un point unique, a savoir au point
Quand done la courbe C aboutira £ un point de OQ autre que 0, il restera
sous-entendu que cette courbe ne represente qu'approximativement la loi des
densites, et que la courbe veritable, apres avoir suivi la courbe G jusqu'a un
point tres voisin de A, s'en detache ensuite et va aboutir au point O, sans
jamais s'eloigner sensiblement de la droite OQ.
Une derniere remarque au sujet du mode de representation adopte.
Si la courbe G coupe la droite OQ en un autre point que le point A (Finter-
section se faisant a angle droit comme nous Favons vu), elle peut representer
une infinite de lois de densite differentes.
Imaginons, en effet, une courbe G partant du point A, confondu ou iion
avec O, coupant ensuite la droite OQ en un point D et aboutissant enfin au
point B, et cherchons ensuite comment varie a quand on parcourt cette courbe.
Au point A, a est nul; quand on parcourt Fare AD, a va en croissant, et tend
vers une certaine limite #0 quand on se rapproche indefiniment de D. Au
point D, on a v\ = YJO, £ = o; si Fon suppose que Fon stationne quelque temps
en ce point, on aura pour Faccroissement de log a, pendant la durtie de ce
stationnernent,
,/f '
d-f] est nul, parce que YJ ne varie pas pendant le stationnement; £ est nul : done
Fintegrale est indeterminee, de sorte que, quand on quitte de nouveau le
point D, la valeur de a peut ne plus 6tre egale & a(} et 6tre devenue a4. Quand
ensuite on parcourra Fare DB, on croitra de a± a i ,
Le rapport de a^ a a0 est indetermine .
II est aise de voir que, pour les valeurs de a comprises entre a0 et a1} la
densite varie en raison inverse d'une certaine puissance de la distance.
II peut arriver, en particulier, que le point A se confonde avec le point D :
dans ce cas, a0 est nuL
LA FIGURE DE LA TERRE. 187
8. M. Radau a demontre I'identitg suivante :
D
d'ou il est permis de conclure, puisque ~- est esseiitiellement positif,
/* O
.. 5-,'
? etant 1'une dcs valeurs que peut prendre ~n quand a varie de o a i . Comme YJ
reste toujours compris entre o et 3, ainsi que nous 1'avons vu plus haul, il j a
lieu de chercher comment varie la fraction
quand £ varie de o a 3.
On trouve que la d&rivee de cette expression ne s'annule que pour \ = o et
>- i
pour £ = o*
Nous sommes done conduits a substituer dans 1'expression les valeurs
o, i et 3,
ce qui nous donne
i, i, 0008 et 0,8.
On voit de plus que 1'expression devient £gale a i pour
g = 5 — \fiio = o,53.
Ainsi, £ variant de o a |> F expression croit de i a 1,0008; g variant de ^
a o,53, 1'expression d^croit de i ,0008 a i ; \ variant de o,53 a 3, elle d^croit
encore de i a 0,8.
On a done
D , .
Les observations de la precession exigeraient
II est done impossible djy satisfaire.
H. P. — VIII. l8
j38 LA FIGURE DE LA TERRE.
9. Ayant ainsi reconnu I'impossibilit^ de satisfaire exactement aux obser-
vations, nous devons maintenaut, par le calcul des variations, chercher quelle
est la loi des densit^s qui y satisfait le mieux. Je dois ajouter toutefois que cela
n'a gu&re qu'un int6r6t de curiosity carun grand noinbre de lois tr£s diflferentes
y satisfont presque ggalement bien, et celle qui y satisfait le mieux n'est pas
pour cela sensiblement plus probable que les autres.
II faut chercher la variation de Fint^grale
A cet effet nous allons poser
D
d'ou
d) u 4
v»1'
et, d'autre part,
On trouve en outre, en diflferentiant liquation (i),
ce qui donne
— i C ««rfa»87i(i^-7j)"»« Ce*a
2J0 J
(3)
L'int^gration par parties montre ensuite que le second membre de F6galit6 (3)
se r^duit a
M X1
/l „ , f ,
<5«8wrfa5 aw'
L
Le terme tout connu s'annule aux deux limites ; en effet, il contient a en fac-
teur, il s'annule done pour a = o ; de plus, pour a = i , 8 u est nul; car la valeur
de u pour a = i , qui est log(D4y/i + YH), est une donn^e de la question.
Si 1'on observe ensuite que
LA FIGURE DE LA TERRE.
on verra que le second membre de (3) se r^duit simplement a
2 /H- Tj(7)2-f- 2TT) -f- 5)2
de sorte que liquation (2) se rgduit a
/'
ou
J3V— TI — Z
Si Ton veut que cette Equation soil satisfaite quel que soil <3&, II faut que
Ton ait
v (3V- TJ) (?!*-*- 2-n- 5)
3^2+6^ — 1
C'est la liquation d'une certaine courbe que j'appellerai la courbe K.
Les valeurs reinarquables de 73 entre f] = o et YJ = 3 sont les suivantes :
i v/12 — 3 ...
Tq=-, TI = -I — ^ - =0,155.
d£
Pour TI = o, on a .......................... £ = o, -r- == 5
rftj
Pour o < -jq < o, i55, on a .................. £ > o
Pour TI s= o, i55, on a ...................... S = °°
Pour o,i55 <i\ < 5 on a
Pour TI as ? on a
Pour 7i>-,ona
«j
Ainsi la courbe K, qui poss^de une asymptote verticale
T\ = o,i55,
coupe la droite OQ en deux points, a savoir au point o et au point YJ = ^ •> II
est ais^ de voir quelle est la portion de cette courbe qui convient a la question ;
c'est 1'arc compris entre le point A, qui a pour coordonn^es
et le point B, qui a pour coordonnees
il = o,543, ^ = 0,8.
l4o LA FIGURE DE LA TERRE.
Calculons ensuite D et p; on trouve
, - r (
log D^i4-,- const, -j 2(l
Lorsqu'on parcourra la courbe K du point A au point B, la quantit<5 sous le
signe C restera essentiellement positive; done D\/i + rj ira en de'croissant et,
comme \Ji + YJ est croissant, D sera de'croissant.
Liquation de Clairaut nous donne ensuite
P __ 6 + TJ — 7)2 — £ _ — 67)4 — 87)3+ i27)2 + 4o7j — 6
6(1 + 7))(37)2-f-67) — i)
ou
D ~~ 6(x -HTJ) ""6
Dans la premiere fraction, le nume"rateur de'croit etestpositif, le d^nominateur
croit : done la fraction de'croit; il nous reste a examiner la seconde fraction.
La de"rive"e logarithmique de cette seconde fraction s'6crit
37 -
— 5i
3
ou
5-
\j
(37-7) -5 I) (37)i + 6ti -i)
Sous cette forme, il est aise" de voir que cette derived logarithmique est negative
et, par consequent, que ~ de'croit et que p est dvcroissant, ce qui est la condi-
tion pour qu'une loi des density's soit admissible.
La courbe K, ou plutot la portion de cette courbe comprise entre les
points A et B, repr£sente done une loi des densites admissible, et cette loi
est celle qui correspond au minimum de la quantite que Von a coutume
d'appeler I et qui est d£finie par V&galit6
D i
j- a =i— -j-
LA FIGURE DE LA TERRE. l£l
10. II pent 6tre int^ressant de recherclier quelle est la loi qui repond an
maximum de cette m£me quantity I; Pexistence de ce maximum est certaine,
puisque M. Tisserand a d£montr<£ (Bull. astroti.^ t. 1, p. 4*9) l'in£galit<5
i< 2,0288.
Cependant, le calcul des variations ne nous donne aucun maximum; il n'y a
qu'une loi des densites pour laquelle lu variation dl est nulle, c'est celle qiu
correspond an minimum dont nous avons paiiu dans le paragraphe precedent.
Nous devons done conclure que I n'aurait pas de maximum si la loi des
densites 6tait complement arbitraire, et que si I est limile, cnest parce qne la
density est assujettie a &lre decroissante.
Pour qu'il y ait maximum, il faut que, quelle que soit la variation dp de la
densit<5, la variation dl ne soit jamais positive. Or, si dp 6tait entitlement
arbitraire, cela ne pourrait avoir lieu que si ol tStait toujours nulle, et nous
venons de voir que cette hypoth^se conduisait a une solution inadmissible.
S'il y a maximum, c'est done que dp n'est pas entiferement arbitraire;
comment cela peut-il se faire ? Si p etait constamment d^croissant et qu'on
donnat a dp des valeurs suffisamment petites mais d'ailleurs arbitraires, p -J- dp
serait encore d(5croissant, de sorte que ces valeurs de dp seraient admissibles.
Ainsi dp est arbitraire, a moins que p ne soit constant; si, au contraire, p est
constant, dp doit 6tre dgcroissant et n'est plus arbitraire.
Le maximum de I correspond done a une courbe de densite. II ne reste plus
qu'a comparer entre elles les diflferentes courbes de density. Comme 1'equatioii
g£n£rale de ces courbes ne contient qu'un seul param^tre arbitraire, I n'est
plus fonction que de ce param&tre. Alors I atteindra son maximum soit lorsque
sa d£riv6e par rapport a ce param&tre s'annulera, soit quand la courbe de
densit^ se r^duira a une des courbes extremes qui correspondent aux cas
de p. = o ou /JL = oo .
On v^rifierait que la premiere doit 6tre rejet6e; parmi les trois courbes
extremes (/JL = O, fA^= oo) qui sont les trois paraboles
la derni^re est seule admissible.
Elle correspond au cas suivant :
j 42 LA FIGURE DE LA TERRE.
La density du globe est constante et £gale a Ajunf; de plus, un point materiel de
masse finie <§gale a | TT^ se trouve au centre de la Terre ; on a alors
et Ton trouve
on a a la surface
D'ailleurs, djapr&s la definition de I, il vient
3Dl5
Mais on sail que
711==A?_2)
ce qui donne
I =3 =- 2,0288
i —
Le maximum de I est done prt5cis£ment la limite sup&rieure trouvtSe par
M. Tisserand. Cette limite peut 6tre atteinte ou plut6t on peut en approcher
autant que Ton veut.
11. L'analyse qui pr^c&de est celle par laquellc j'avais <H6 conduit aux
conclusions 3nonc<5cs dans une Note r^cemment ins<§r<§e aux Comptes rendus
de VAcad&mie des Sciences. Depuis, M. Gallandreau a montr£ (BulL astroti*,
t. 5, p. 4?3) que le r<5sultat le plus important, c'est-a-dire rin6galit<$ vj<3,
peut ^tr^ d^duit presque imm^diatement des Equations de Clairaut. Pai ci"u
n<5anmoins devoir reproduire mon analyse primitive, parce qu'elle me conduit
a d'autres in($galit(§s importantes et qu'elle me fait connaitre entre autres le
syst&me complet des in£galitt5s auxquelles satisfont les quantities YJ et ?• Les
m6mes principes pourraient d'ailleurs, comme je me reserve de le faire voir
plus tard, conduire au syst£me complet des inggalitgs auxquelles satisfont les
quantit^s TO, £, s, a, p et D.
LES MESURES DE GRAVITfi
ET
LA GEODESIE
Bulletin astronomique, t. 18, p. 5-39 (Janvier 1901 ).
I. Tout le monde regarde les observations du pendule comme le compli-
ment ngcessaire des mesures ggodgsiques ; mais on ne s'est pas toujours
rendu exactement compte des v^ritables relations qui relient ces deux series
de donn^es obtenues par des moyens si diflferents.
II y a une circonstance qui a probablement d£j£ 6t6 remarqu^e, mais sur
laquelle on n'a peut-6tre pas suffisamment insist^ : c'est que les observations
du pendule ne viennent pas seulement nous fournir un complement aux
mesures g£od<3siques, mais elles pourraient les remplacer compl&tement si elles
pouvaient 6tre assez multipli^es et si elles ^taient suffisamment exactes.
De m6me, d'ailleurs, les mesures g^od^siques, si elles 6taient parfaites,
pourraient dispenser des observations pendulaires.
Bien entendu, je ne veux pas dire qu'il faut renoncer aux mesures g£od£-
siques. Les deux mgthodes d1 observation ne sont ni 1'une ni 1'autre assez
precises pour qu'il ne soit pas mScessaire de les contrdler 1'une par Pautre.
Mais, pour que ce contr6le soit possible, il faut justement se rendre bien
compte de la nature de leur d^pendance mutuelle. C'est l£ le but du present
travail.
Je me suis done propose de donner une formule propre £ d^duire la forme
!44 MESURES DE GRAVITY ET LA G^ODESIE.
du g^oi'de dcs scules observations pendulaires, et en particulier la dtfformalion
locale du gtSoi'de provenant d'une perturbation locale de la graviliS. Celte
formule est celle que je donno plus loin [§ IV, form. (i)].
Une remarque avanl d'ullcr plus loin : clans un ariicle ivcemiuenl public
dans la Revue gtnerale des Sciences, M. Brillouin a expose qiielquos idtSes
origin ales.
11 a fail remarquor quc la di'fmilion habiluelle du gtVide comporle line
ambigui"l6. On dit d'ordinairc que c'osl la proloiigalion id&ale de la surface dos
mers au-dessous du sol des continents. Mais qu'entend-oii par la ?
Est-ce la surface qu'un nivellemenl op£r£ sous lerre dans des galcrios de
mines monlrerait £tre parlout de niveau avcc les oceans ? C'osl la une premiere
definition, et j'appellerai Gi le gtSoXdo ainsi dttfini.
Mais esl-ce bicn la le veritable prolongemenl de la surface des mers ? II ost
permis d'en douler. Dans tous les cas ou la forme de la plan&te est susceplible
d'une definition g<5om€lriquc ct ou la densittj est supposes donnee par imp
formule analytique, il esl ais£ de conslaler que la surface des mers et cellc du
gctoide GI sont d6finies par des Equations dont les premiers membres son!, des
fonctioiis analjtiques entierement differentes.
Faisons7 par exemple, une hypoth^se aussi simple que possible. Lo noyau
solide de la plan&te a la forme d'un ellipsoi'de et sa density est conslante. 11 n'y
a pas de rotation. Le noyau est partiellemenl recouvert par une masse liquide,
qui joue le r6le de nos mers, mais dont la densite est n£gligeable.
II est ais(5 alors de d^finir le g6oide G4 qui prolonge la surface de cetlc
mer sous la partie du noyau solide qui n'est pas recouverte; on constate alors
que la surface G4 est un ellipsoi'de, tandis que la surface de la mer est une
surface transcendante.
Pappellerai done Ga le ggo'ide qui esl la continuation analytique de la surface
des mers au-dessous des continents.
Pour nous rendre compte de la difference entre les deux ggoides nous alions
prendre un exemple simple, auquel d'ailleurs tous les autres cas "pQvcventjprati-
quement se ramener.
Imaginons que, dans une region determin^e, la surface de la Terre s'<Sl6ve
au-dessus du g^oi'de, que dans cette region cette surface se rgduise ^ une
portion de sphere, dont le rayon sera R et dont le centre ne coi'ncidera pas en
g(5n6ral avec celui de la Terre; et enfin qu'entre cette surface sphtSrique ct le
g^oide la densite soit constante et <5gale i p.
MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE. l45
Soil W le potentiel total; ilse composera du potentiel U du a la force centri-
fuge et du potentiel V du a Tattraction. Ce dernier pourra lui-m^me 6tre
d<2compos£ en deux parties : i° le potentiel Vi du a une sphere attiranle S
homog&ne de density p, de centre C et de rayon R; 2° le potentiel V2 du aux
masses attirantes suppltSmentaires, c'est-a-dire a la partie de la plan&te qui esl
ext&rieure a la sphere S et de masses r^parties a Fintgrieur de cette sphere et
dont la densit^ p' sera <5gale a la density r^elle de la Terre au m£me point
diminu<5e de la Constance p; on peut d'ailleurs concevoir qu'en certain^
points p' soit nggatif.
On aura alors
Dans la region envisages, entre la surface spli<5rique qui est celle de la Terre
et celle du g^oide, la density de la Terre est suppos^e £gale a p ; par consequent,
p7 est nul; il n7y a done dans cette region aucune des masses suppl^mentaires
qui engendrent V2.
Done V2 est dans toute cette region une fonction analytique et peut
toujours 6tre reprt5sent<3e analytiquement par la m£me formule.
De m^me U est fonction analytique dans tout Fespace.
Venons a Vi ; soit r la distance du point (5?, y, z) a G; on aura
V1== M (pourr>R)
3M Mr2 . ^^
Vi=rp~Tmr (pourr<R)
Si done j'appelle V\ la continuation analytique pour r <C R de la valeur
de Vi pour r >> R, on aura
3M Mr2 M
2R3 r
Si j'appelle de mSrne Wf la continuation analytique a 1'intdrieur de la surface
sph^rique de la valeur de W a 1'ext^rieur de cette surface, nous aurons
3M M/-- M
Soit maintenant r = R — e ; cette difference e, qui sera tr&s petite, repr^sentera
a peu de chose pr&s 1'altitude de la surface de la Terre au-dessus du g£oide. Or
on trouve, en n6gligeant s3,
H, P. — VIII. 19
j 46 MESURES DE GRAVIli ET LA G^ODESIE.
Soil maintenant i la difference de niveau entre le gtSoide Gi dont liquation
est W = const. , et le g^oi'de G2 dont liquation est W == const. Nous pourrons
ecrire
W'— W = -£>8,
d'ou
3Me* 4* 3 p-
_ __
~" ~ 3 2
Or on a sensiblement
A £tant la density moyenne de la Terre et R0 son rayon; il vient done
*___31 11
2 A Ro*
Ainsi la distance des deux g^oides est proportionnelle au carr(5 de 1'allitude;
elle est d'un peu moins de om,i2 pour une altitude de ikm et d'un pen moins
de 2m pour une altitude de 4km-
L'influence sur la gravity est plus grande.
On a, en effet, sensiblement,
dr
et si jjappelle g1 la continuation analytique, a 1'int^rieur de la sph&re, de la
valeur de g a 1'ext^rieur de cette sph&re on aura
*=— 3F '
d'ou
— W) rf(W— W)
L'alt£ration de la gravity est proportionnelle a la premiere puissance de la
gravity.
Rappelons qu'on a propos6, pour rt^duire le pendule au niveau de la mer,
deux corrections :
i° La correction
Je Tappellerai correction de Faye^ bien qu'elle soit connue depuis fort long-
temps, parce que M. Faye a le premier propose de ne pas faire d'autre correction.
MESURES DE GRAVITE ET LA GEODES1E. l4?
2° La correction
_3.£ ±
2* A Ro
qui est connue sous le nom de correction de Bouguer et qui est destinee a
tenir compte des masses contin en tales.
Nous devons done envisager :
i° La valeur de la gravity, affectee de la correction de Faye seule, c'est ce
que serait la pesanteur a la surface du geo'ide, si les masses continentales
etaient condensees sur celte surface, ou plut6t, pour plus de precision, dans
une couche infiniment mince situee au-dessous de cette surface. Ce n'est pas
autre chose que ce que nous avons appele gr.
2° La valeur de la gravite, affectee des corrections de Faye et de Bouguer,
c'est ce que serait la pesanteur a la surface du geoide, les masses continentales
etant rasees ; c'est ce que j'appellerai g1*.
3° La valeur qu'aurait la gravity a la surface du geoide, si les masses
continentales subsistaient telles qu'elles sont. C'est ce que j'ai appele g.
Dans le premier cas, les masses continentales sont au-dessous du geoide,
elles attirent de haut en has; dans le second, elles sont supprimees, elles
n'attirent pas du tout; dans le troisifcme, elles sont au-dessus du geoide, elles
attirent de has en liaut. On aura done
On s'explique ainsi pourquoi la difference g — g est le double de la correc-
tion de Bouguer.
M. Brillouin adopte le geoide G2, ou plutot, afin d'enlever a la definition ce
qu'elle a d'un peu abslrait, il rapporte tout a une surface de reference G'2 qui
n'est plus la surface des mers, mais une surface de niveau ext^rieure a toutes
les masses attirantes.
Outre les g<5oi*des Gi et G2, il conviendrait de consid&rer le geoiide de
M. Helmert, dont la definition est plus compliqu6e.
Le choix de M. Brillouin me parait tout a fait judicieux; je remarquerai tou-
tefois que, dans ce qui va suivre, je n'aurai pas a me pr£occuper de la difference
des deux geoi'des, puisque je negligerai s2. J'aurai, au contraire, a tenir compte de
la difference entre les deux valeurs de g qui contient s a la premiere puissance,
et nous verrons plus loin que c'est la valeur g1 (c'est-a-dire la valeur affectee de
!^8 MESURES DE GRAVITE ET LA G^ODESIE.
la correction de Faye seule) qui intervient dans la determination de la forme
du geoi'de.
Quand je parle de la determination de la forme du geo'ide, je ne me pre-
occupe pas seulement de recherclier la meilleure valeur de Faplatissement.
Cette consideration passerait plutdt au second plan et il s'agit avant tout de
rechercher de combien le geoide s'ecarte de la forme ellipso'idale.
L'incertitude sur 1'aplatissement doit en effet ,6tre aujourd'hui regardee
comme du mgme ordre de grandeur que les coefficients des termes non ellip-
so'idaux.
II. Une des difficult*^ que nous rehcontrerons est la suivanle : si nous
voulons developper le potentiel en une serie de fonctions spheriques, le deve-
loppement ne sera valable qu'a Fexterieur d'une sphere, exterieure elle-m&me
a toutes les masses attirantes. II en resulte qu'il n'esl pas valable sur la surface
m£me du volume attirant, si Ton excepte celui des points de cette surface qui
est le plus eloigne du centre de la sphere.
On peut se debarrasser de cette difficult^ grace a Fartifice de la condensation
imagine par M. HelmerL, ou gr&ce a des artifices analogues. Imaginons d'abord
que Ton decrive une sphere compl&tement interieure au volume attirant, mais
qui s'ecartera tr^s peu de la surface de ce volume, puisque cette surface est
sensiblement spherique; la distance de cette surface a la sph&re est de Tordre
de Taplatissement, Nous prendrons pour unite le rayon de cette sph&re.
Supposons ensuite que les masses attirantes exterieures a cette sphere soient
condensees sur la surface de cette sphere, c'est-a-dire transportees sur la
surface de la sphere au point le plus voisin de la position qu'elles occupent
reellement.
La masse totale ainsi condensee est de Fordre de Paplatissement; la distance
de la position reelle de chaque masse partielle a la position fictive qui lui esl
attribuee par suite de la condensation est aussi de Fordre de Faplatissement.
On conclut aisement de 1A que Ferreur ainsi commise sur le potentiel V est de
Fordre du carre de Faplatissement, Nous pouvons done la negliger.
Mais il faut nous rendre compte de Ferreur commise sur #-, ou plutdt, ce qui
revient au m£me, comme on le verra plus loin, de Ferreur commise sur -^»
Soit done 9 le potentiel du aux masses attirantes exterieures a la sphere.
Soient M; une des masses attirantes, M le point attire, O le centre de la
MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE. I/fe
sphere, r1 la distance OM', r la distance OM, i Tangle M'OM, p la distance MM',
de telle sorte que
p2 —. r'2 .+. 7-2 — 2 rr' COS ^ j
il viendra
^jSr-sm^e^
ou 3 dgsigne la density de la mati&re attirante et 6 Tangle du plan MOM7 avec
un plan fixe passant par OM.
Nous pourrons poser
y —I ~' — -> — A a
£ ^tant une constante de Tordre de Taplatissement, de telle sorte que z et z
sont finis.
Nous aurons smfydfy = hdh, et d'ailleurs, si je pose
k-r<» rr\d%
*~r\J, S J
k sera une fonction de r' et de <j>, dont je ne veux retenir qu'une chose, c'est
qu'elle est finie. Notre Equation devient ainsi
/kh dh dzr
,
P
dyou M
On a d'ailleurs,
Nous poserons ensuite A rr: s^7 et nous remarquerons qu'on doit alors faire
varier £ depuis z^ro jusqu'a - qui est unetr&s grande quantity. Nous trouverons
ainsi
S-2C2
s(a — -s')-h(i-+-e«')-7-!
p
( i ) I/expression qui figure au deuxieme membre de Tequation est en realitS la valeur de — ^ •
d>9 d-9
II suffit, pour rectifier le calcul qui suit, d*y substituer parlout — -^ a ^-
l5o MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE.
Nous poseroiis
=» RJ,
Soit alors
nous aurons
G = H- SM71^* - *')
Nous aurons a examiner les diff&rents termes de 1' integrate -r- qui nSpondent
aux diff^rents termes de G. Remarquons d'abord que tous ces termes restent
finis pour £ = o, z = zr. En effet, si £ et z — z] sonl des infiniment petits du
premier ordre, X sera du second ordre, p du troisi^me ordre, R0 du premier
ordre. Le terme g6n<5ral de la premiere partie de G (je veux dire celui qui
figure sous le premier signe 2) sera d'ordre n — i; le terme g£n6ral de la
deuxi&me partie de G sera d'ordre n. Tous seront done au moins d'ordre — i ,
et les integrates correspondantes qui sont des integrates doubles resteront
finies.
Vojons maintenant comment toutes nos integrates se comporleront pour £
tr6s grand. Si £ est regard^ comme un infiniment grand du premier ordre, ^ esL
du second ordre, f/, du second ordre, R0 du premier ordre. Le terme general
de la premiere partie de G est de Tordre — 2; 1'intggrale reste done finie et,
comme elle contient en facteur en+1, elle est de 1' ordre de e/H-4.
Le terme general de la second partie de G est de 1'ordre [o, Fintegrale est
done tr&s grande, de Fordre de £, ou plutot de Fordre des £w+2^.
Comme la limite sup&rieure de ^ est-> Fmtegrale sera finalement de Fordre
de £/H-4. Si nous n^gligeons done le carre de e, nous pouvons r^duire G au
premier terme de chaque partie et ecrire
G = e(j» — a') '
Le second terme lui-m£me peut considgrablement se simplifier; en effet, les
MESURES DE GRAVITE ET LA G^ODESIE. l5l
seules parties sensibles de I'int^grale sont celles qui correspondent aux grandes
valeurs de £; nous pouvons done prendre
La difference
est d'ordre — 2 pour g tr&s grand, de sorle que 1'integrale correspondante reste
finie pour £ = oo ; elle est done de Pordre e2, c'est-a-dire n£gligeable.
Nous pouvons done 3crire, en ntSgligeant s2,
Le premier terme repr^sente Pattraction des masses les plus voisines : c'est
la correction topographique ordinaire. Quant au second terme, il pent se
simplifier encore. On peut, en eflet, remarquer que - est sensiblement £gal a i ,
et il reste alors
£ C^d&dz'dh,
expression qui : i° est ind^pendante de r et 2° reste la m£me avant et apr&s la
condensation.
Quelle est done Finfluenee de la condensation sur g ? Cette influence no
s'exerce que sur le premier terme de ^- II faut, non pas faire la correction
topographique a la facon ordinaire, c'est-a-dire supprimer les masses les plus
voisines ou bien encore supprimer le premier terme du second membre de (i),
mais condenser ces masses sur la sphere de rayon i, c'est-a-dire remplacer ce
premier terme par ce qu'il devient apr£s la condensation, soit par
'fSr^^'
[Remarquons en passant que, dans le premier terme du second membre (i)
comme dans 1'expression (2), nous pourrions au numc§rateur remplacer le
facteur r'2 par i, 1'erreur commise serait de 1'ordre de e*.]
Ce n'est pas autre chose que la correction de M. Helmert.
Mais on peut employer dgalement 1'artifice de M. Brillouin. Si Ton n'a pas
recours a la condensation, les d&veloppements en fonctions sphgriques seront
encore valables, mais seulement ^ Fextdrieur de la sphere Si de rayon i
102 MESURES DE GRAVITE ET LA GEODES1E.
qui enveloppe toutes les masses attirantes. Le g^oi'de qui nous servira de
surface de reference sera alors choisi de fagon a envelopper cette sphere.
Quant a g, nous lui attribuerons sa valeur veritable pour les points exterieurs
a la sphere; cette valeur ( ou plut6t celle de -7- qui en diff&re de qualities de
Pordre de s- ) sera dans cette region d^veloppable en series de fonctions
sph&riques. Nous feroiis au contraire subir une correction aux valeurs observes
a I'int&rieur de la sphere. La valeur corrig^e sera, par definition, la valeur de^
au point de la sphere Si le plus voisin du point d' observation, cette valeur
6tant affectee de la correction de Faye (sans celle de Bouguer) pour tenir
compte de la difference d'altitude.
Soient V0 le potentiel du a Tattraction des masses int&rieures a la sphere de
rayon i, U le potentiel du a la force centrifuge, la valeur de g sera (en
nggligeaut e2 )
__ dV0 __ dU dv
§ ~dr ~~~dr~~ ~dr*
Nous d^signerons par P(.s) et Q les deux termes du second membre de (i);
par P0 (js) l'expression(2). On a done
La valeur corrigde de M. Helmert est
Voyons ce |qu'est la correcton de M. Brillouin. Soient M le point d'obser-
vation, MI le point de la sphere Si le plus rapproche de M.
D'un autre cdte, si M est la masse totale de la Terre, on aura
__ ffVo ^ M
dr r2 '
T &ant de 1'ordre de c. Liquation (3) devient alors
(3 to) ^-5^T^S-P^)"Q'
ou, en faisant r = i 4- ez et n^gligeant s2,
Les Equations (3) et (3 bis) nous donnent la valeur observes de ^au point M.
MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE. 1 53
Pour en d^duire la valeur de g au point Ml5 il suffit d'j faire z = £; Pu) se
change ainsi en P(£). Les trois termes —--> Q et T ne subissent que des
changements insensibles, de 1'ordre de s2.
Quant a — 5 il passe de la valeur - - —- a la valeur - - ^ ou en negli-
geanl s2, de la valeur M — 2Ms^ a la valeur M — 2Ms£. Nous trouvons ainsi
(4) ^ = M
Pour passer de cette valeur vraie au point MI a la valeur corrigee au point M,
il faut, d'apr&s la convention que nous venons de faire, lui faire subir la
correction de Faye qui est
On trouve ainsi
En comparant cette Equation a (3 ter): on voit que la correction de M. Bril-
louin estP(s) — P(£)J tandis que celle de M. Helmert etait P(*) — P0(^)-
Les deux corrections conduiraient d'ailleurs a une analyse toute semblable
et a des r^sultats qui ne difF^reraient que de quantit^s de Fordre de s2.
Dans ce qui va suivre, afin d'^viter la difficult^ signal^e, j'adopterai Thypo-
th^se de la condensation. Les valeurs de g, dont il sera question dans la suite,
seront done toujours les valeurs observees, affectees de la correction
de M. Helmert.
On peut trouver cependant que Fapproximation adoptee, qui est celle du
carr^ de Taplatissement, nj est pas toujours suffisante. Pour la pousser plus loin,
on peut d^velopper, non plus en series de fonctions sph^riques, mais en series
de fonctions de Lam6. L' approximation est alors le carr6 des differences
d'altitude et non plus le carrg de Taplatissement. C'est ce que j?ai fait dans le
dernier paragraphe de ce travail.
II convient alors de faire la condensation non plus sur une sphere, mais sur
un ellipsoide, homofocal a ceux qui engendrent les fonctions de Lam6. On
prendra cet ellipso'fde tr5s peu different d'un g<3o"ide.
L'analys'e pr6c<5dente s'appliquerait sans changement a ce nouveau cas, et le
r^sultat ne serait pas sensiblement modifi.6.
Nous pouvons done, a condition de faire la correction de M. Helmert,
employer sans crainte, soit les d^veloppements en fonctions sph^riq'ues, soit les
d&veloppements en fonctions de Lam<5.
H. p. — vm. 20
l54 MESURES DE GRAVIT^ ET LA G^ODESIE.
III. Nous disposons dc trois series d'observations :
i° Les mesures de pendule, qui nous font connaitre la valeur de g aux
diffdrents points de la surface terrestre ;
2° Les operations de nivellement, qui nous font connaitre 1'altitude du point
d'observation, ou plus exactement la valeur du potentiel "W en ce point.
Je dis qu'il y a Equivalence entre ces deux £nonc£s. Soil, en effet, dh la diff'<3-
rence d'altitude de deux points voisins, mesur^e directement par le nivellement;
soil£* 1'intensitg moyenne de la pesanteur entre ces deux points, le travail dW
de la pesanteur quand on passera d'un point a 1'autre sera
3° Les observations g£od<3siques, qui nous font connaitre la forme dug^oi'de,
c'est-a-dire la distance d'un point de la surface du g<5oide, c'esl-a-dire de la
surface
(i) W = const.
au centre de la Terre.
Je d^signerai cette distance par R-{-£, rapportant ainsi le g<3oide a une
sphere de reference de rayon R; de sorte que £ sera la distance du g6oi"de a cette
sphere, compt^e sur le rayon vecteur. Nous nous arrangerons toujours pour
que cette sphere de reference soit tout enti&re ext^rieure a la plan&te, de telle
fagon que ? soit n^gatif.
Je d^signerai par W0 la constante du second membre de liquation (i).
Ce que je veux remarquer, c'est que ces trois series d'observations ne sonl
pas ind^pendantes et m£me que si les observations de deux des series tStaient
completes et parfaites, elles nous dispenseraient de la troisi&me.
Je ntSgligerai d'abord le carre de Taplatissement; dans ces conditions,
notre proposition et les consequences que j'en veux tirer sont aisdes & ^tablir.
D6signons par
x = r sin 6 cos<p, y = rsinS sin^p, ^ = rcos6,
les coordonn^es d'un point quelconque ; par V le potentiel du a Fattraction
seule; par U=— (o?2-{-y2) le potentiel du a la force centrifuge; par
W = V + U le potentiel total. Gr&ce a la condensation, le d^veloppement de
V sera de la forme
MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE. 1 55
Xn tHant une fonction sph&rique d'ordre n de 0 et de cp et an un coefficient.
Un seul des coefficients an est fini, c'est «0, qui est tel que #0X0 represenle la
masse M de la Terre; un autre est de Fordre de Faplatissement, ions les autres
sont encore beaucoup plus petits.
Nous aurons d'autre part,
U = U0-hU2,
Oil
/.\2 ».\2
U0= y(^-4-r~+~2), U2= — (a^vs-ass).
D'aulre part, je developperai de la mteie maniere £, qui est fonction de 0 et
de cp, et j'^crirai
5-E6.X,,,
les bn £tant des coefficients dont deux seulement sonl de 1'ordro de 1'aplatis-
sement et les autres beaucoup plus petits.
Soit maintenant 7* = R + 75 le rayon vecteur d'un point de la surface terrestre ;
nous aurons encore
'n = scnxn,
les cn etant encore des coefficients de Fordre de Faplatissement on d'ordre
plus petit.
Quant a £•, c'est une force dont les trois composantes sont
dW d\V dW
~Sf' ~df dz '
La composante dirig^e suivant le rajon vecteur est -r- ; soitTla compo-
sante perpendiculaire a ce rayon, on aura
T est de 1'ordre de 1'aplatissement, on peut done tScrire, en nt^gligeant le
de Faplatissement,
dr dr dr
Or
2to2r
3"
Dans les termes du d^veloppemenl de V, je mets en evidence, en le faisant
1 56 MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE.
sortir du signe 2, le premier terme qui est le seul qui soit fini et qui pent
s^crire
1Y M
CtQ 7— * Xo =
r
II vient ainsi
M 2w2 /r> . a)2 (0;--+- y2— 2^2)/D N
~ / D I M \ X ._ *y ' f t-t l_ fi \
Prr^- — -- - 3 - -
-4- S(n -f- 1) anXn(R H- TI )-(«+«).
Comme v?5 w2 et les an sont au plus de 1'ordre -de 1'aplatissement, nous
pouvons £crire, en n^gligeant le carr£ de Paplatissement,
D^veloppons g en s^rie harmonique, il vient
#== S^«Xn.
En remplagant rj dans liquation (2) par son d^veloppement et identiflant
les deux d^veloppements, il vienl
II y a exception pour deux coefficients : gQ (coefficient dc X0=± i) et celui
que j'appellerai g-2, c'est-a-dire le coefficient de (i)
(l) Les notations employees pourraient engendrer quelque confusion. II y a, en effet,
fonctions sphgriques d'ordre n et par consequent a/i-t-i coefficients gn.
II y a, en particulier, cinq coefficients gy Celui que je d6signe spdcialement par g^ (de m£me
que ceux que j'ai designed ou que je designerai par a2, 62, c2, g'^, . ..) est celui de
• r5
Les qualre autres pourront 6tre d^sign6s par
'rt1}. ^8). '^i ^24)
et les coefficients correspondants par
^ W, cjf), ^, ...).
On remarquera alors que les formules (3 ^er), (5 fer), (8 ter), etc., s'appliquent a g^ seuleraent^
tandis que les coefficients g\$ satisfont aux formules (3), (5), (8) ou 1'on doit faire, bien
entendu, n = 2.
MESURES DE GRAVITE ET LA GEOD^SIE. 1 5?
On a, en effet,
2 Go \ 2 CO* R
— ) -- IT'
D'autre part, pour r = R -|-r£, W doit se rt5duire a W0 ; on a done
ou en n^gligeant le carr6 de Faplatissement
(4) W0=-
Dans cette Equation, on remplacerait £ par son dtSveloppement ol 1'on
trouverait ensuite en identifiant les deux d^veloppements
M
(5) T2
11 j a exception pour 60 et 62, qui sont donn6s par
/e ,. w M M , 0)2 R2
( 5 & w ; Wo"~^"hR5&°:=-h —3— '
(5 ter) ^ b% = -h ^g-^ -h a2R-3.
Venons aux nivellements et reprenons la formule
dW ~—
Cette formule nous apprend que dW ^tant une diflferentielle exacte, il n'en
est pas g6n6ralement de m6me de dh, de sorte que les polygones de nivellement
ne se ferment pas exactement, a moins qu'on n'y fasse une correction appro-
pri^e. On salt que les experiences ont montr6 jusqu'ici que cette correction est
a peu pr^s de Tordre des erreurs djobservation, de sorte qu'on n'a pas avantage
a la faire.
Pour le moment, je me bornerai a remarquer que dh contient des facteurs
de Fordre de Faplatissement et que g est £gal a ^ a des quantities pr^s du m£me
ordre; on aura done, en n6gligeant le carrt5 de cet aplatissement,
1 58 MESURES DE GRAVITY ET LA G^OD^SIE.
d'od
w-w.-- -**,
en appelant h Taltitude au-dessus du g^oi'de.
En un point de la surface dont Taltitude est A, on aura done
d'ou liquation
dont le second membre diff&re de celui de (4) par la substitution de £ a YJ.
En retranchant (6) de (4) et divisant par^j il vient
(7)
Pour demontrer cette formule (7), an carre del'aplatissementpr&s, ilsuffirail
d'ailleurs de considerations g^om^triques tr6s simples.
Les operations de nivellement nous donnent A; c'est-a-dire les coefficients
Les operations g^od^siques nous donnent les coefficients bn et par conse-
quent an.
Les mesures de pendule donnent g, c'est-a-dire les coefficients
On voit que deux quelconques des trois series donnent tout ce que donne la
troisi&me. G'est ce que nous avions annonce.
Voyons ce que cela signifie. On fait ordinairement subir aux observations du
pendule deux corrections pour tenir compte de 1'altitude. La premiere COXTOC-
tion (que j'appellerai correction de Faye} provient de 1'augmentation de la
distance au centre de la Terre. Elle est £gale a 2— . .
La seconde correction, dite correction de Bouguer, est deslin^e a tenir
compte de Fattraction des masses plac^es entre le point d'observation el le
niveau de la mer.
MESURES DE GRAVITY ET LA GEODESIE. 169
Soil gj la valeur de la pesanteur affect^e de la correction de Faje, non affecttSe
dc celle de Bouguer; on a
2AM
— Or I __— _
- *» -*- :*
ct si Ton pose
il vient
(8) -
Pour g\ et g-'2, cette Equation doit £tre remplac^e par
a W0 M
,or-
(8 0 __ -TJ -- R5
(8
Nous nous servirons de ces formules pour montrer comment on peut calculer le
rel^vement du g^oide, ^ en fonction de g' (intensity corrig^e de la pesanteur).
Soit p la density d'une couche attirante quelconque r^pandue sur une sphere
de rayon R; le potentiel du a cette couche sera a la surface de la spli&re
V = SanXnR-(«H-D
et les valeurs de Pattraction, a I'int6rieur ou a Textgrieur, seront
dont la difference
Or
M
le d<5veloppement dans le premier membre commengant par les termes
ou n = 2 ; car on peut supposer que Forigine a £t6 clioisie de telle fagon
que a4 = b± = g\ = o. Nous poserons
M 20)3 R^X2
1N-R "3
et nous 6crirons
V — N
[(2/1 -h I ) — 3] ~~ j 271-H I
o
( 271 -h I )3 B "
Soit alors P0 le potentiel d'une couche r^pandue sur la sphere et ayant pour
l6o MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE.
density gj — g\\ soient P4 le potentiel d'uno couche de densite P0, P2 celui
d'une couche de density Pd? etc.
Soil, a la surface de la sphere,
il viendra
el
(2/1
R
d'ou
I £r' R X P v
P n -T -*
P,
i)2 (4*)2K
__ P2
(2/1 -hi)' (4«)»R«J
2ff^RXff __
(2/1 -hi)'
d'od
v-«-
Cette formule nous permet de d^duire des mesures de pendule la valeur de V
et, par consequent, le rel&vement du g($oi"de.
En ggn&ral, la s^rie (9) converge avec la m&me rapidit^ qu'une progression
Q
g6om6trique dont la raison serait-. La convergence serait done assez lente,
mais on peut Faugmenter en calculant a part les premieres harmoniques. Soil,
en effet,
Soient ensuite P'^ le potentiel du a une couche de density g", P\ celui qui est
du a une couche de densit^ P^, etc. ; il viendra
I — I
OU
MESURES DE GRAVITY ET LA G^ODESIE. l6l
La s^rie S converge alors comme une progression dont la raisonserait — —?•
L'emploi de la s^rie (9) sera surtout avantageux quand on voudra 6 valuer
I'influence d'une perturbation locale de la gravity.
Supposons en effet que, dans une region R0 assez limiuSe, la gravity subissc
des variations considerables et irr£guli£res; nous pourrons alors poser
ou g*1 sera une fonction dont les variations seront petites et lentes dans la
region R0, tandis que la fonclion g"! sera nulle ou tr6s petite en dehors de R0,
et prendra au contraire des valeurs considerables et a variations imSguli&res
dans la region R0. D'ailleurs, gnl doit Stre choisi detelle facon que son develop-
pement harmonique commence par des fonctions sph^riques du second ordre.
Nous repr^senterons par P'J. et PJ des potentiels qui seront formes avec g"
et gfff, comme les P/. 1'etaient avec gf — g'^ et nous poserons
et
v-TN^HK^)1— ]•
d'ou
V*-hV«V — N.
Alors V;/ repr^sentera ce que serait V — N si la perturbation locale de la
gravity n'existait pas, tandis que V"7 reprtSsentera Tinfluence de cette pertur-
bation locale.
Voyons quel est le rel&vement de g^oi'de du a cette perturbation locale.
On a sur la sphere de reference de rajon R
Avec le degr£ d'approximation adopts, nous pouvons n^gliger les termes
en C2? C35 • • • ? et remplacer -y- par £•'„; nous aurons done
W = W0 H- #'«>£.
D'autre part,
W = V -h U = -f- V -h V" + U + N,
d'oii
^Ot = — W0 -h V'-h U -+- V" -h N.
H. P. — VHI. a i
162 MESURES DE GRAVITY ET LA GEODESIE.
Nous pouvons alors s^parer la partie du rel&vement du g^oide qui est ind£-
pendante de la perturbation locale, et celle qui est due a 1'influence de cette
perturbation en posant
/Qy = — w0 -4- V-H u H- N,
£U'" = v'".
Alors
repr^sente la partie du rel^vement du g^oi'de qui est due a 1'influence de la
perturbation locale.
La s^rie (9 bis} converge en general avec une assez grande rapidity; mais
nous remplacerons au paragraphe suivant cetle s&rie par une integrate definie
dont la discussion est plus facile.
Je voudrais seulement faire deux remarques :
i° Les coefficients g\ (qui sont au nombre de trois puisqu'il y a trois fonc-
tions sph^riques du premier ordre) doivent 6tre mils. C'est la une condition £
laquelle les observations du pendule doivent satisfaire;
2° M. Faye a remarqu^ que, si Ton fait subir aux observations du pendule la
correction de Faye, en s'abstenant de faire la correction de Bouguer, ces obser-
vations se r^duisent sensiblement £ lavaleur th^orique. Gette proposition n'est,
bien entendu, que grossi&rement approch(5e. Voyons n&mmoins quelle cons<5-
quence on pourrait en tirer au sujet de la forme du g^o'ide, si elle <5tait rigou-
reusement exacte.
La valeur th^orique, c'est celle qui r^sulte de la formulc de Clairaut, suppo-
sant la Terre form^e de couches concentriques en <5quilibre.
Comme le rel&vement du g6oi"de f ne depend que de la valeur de g\ si g] a la
m6me valeur que dans Phypoth&se de Clairaut, ce g^o'ide aura aussi la m&me
forme que dans cette hypoth&se, c'est-a-dire que ce sera rigoureusement un
ellipsoi'de de revolution.
Je le r£p&te, cette consequence n'est que grossi&rement approch^e, si la pro-
position d'ou on Ta deduite n'est elle-m£me que grossi^rement approch^e.
IV. Pour aller plus loin, nous allons chercher ^ donner a la formule (9) une
autre forme.
MESURES DE GRAVITY ET LA GEOD&SIE. 1 63
Nous prendrons R pour unit£ de longueur, afin de simplifier les calculs
alg^briques, quitte a r^tablir a la fin rhomog<3n<3it(3.
Nous avons alors, pour r = R,
V N — T/y Y
V— IN — Zan&n
\ — I
P0 = 4^
2/1 4- I
Tous ces dtSveloppements commencent par des termes du second ordre (n = 2).
Remarquons maintenant que Ton a
' = » , 3
n — I 2/1 -H I (2rtH-l)(/Z — I)
Soil alors
)(n— I)'
de sorte que
on aura
*(r)5=2e(r)-h3/(r).
Or 4^® (r) n'est autre chose que le potentiel d'une couche sph&rique ayant
pour densit^ gl — £•'„, par rapport a un point int<3rieur a la sphfrre dont les
coordonn^es seront
x = r sin 8 cos cp, y — r sin 8 sin 9, z = r cos Q»
Nous aurons done
ou ljint«$gration est ^tendue a tous les dl&oients dd de la sphere, ou D; d^signe
la valeur de la fonction g1 — g'Q au centre de gravit^ de I'(5l6ment dd, et ou p
d^signe la distance de cet £l£ment au point attir6 x,y,z.
Soit 4* Tangle sous lequel cette distance est vue de 1'origine ; on aura
p = \i — 2r cos
Remarquons maintenant que, le d^veloppement harmonique de gl —
!64 MESURES DE GRAVITY ET LA G^OD^SIE.
commencant par des fonctions sph^riques du second ordre, on a, quel que soil
le point x, y,£,
Cv'da' — Cl)'
Nous pouvons done (Scri
avec
V/i — zrcosy H- r2
Nous avons, d'auLrepart,
d'ou
I'mt^gratipn devant s'^tendre d'une part a tous les ^ments dd de la sphere,
d'autre part a toutes les valeurs de r depuis o jusqu'a r.
Je puis done 6cire
avec
Nous devons done calculer 1'intdgrale H(r, ^)- Pour cela nous poserons
d'ou
et
1-
ou, ea d^composant en ^l^ments simples,
. dr cosd» cosd'
»^- _ = — T i T i T i
I^^
L'int^grale ind^finie est done
— * 4- cos ^ log( i —
MESURES DE GRAVITE* ET LA GEODESIE. l65
Pour avoir H ( i , 40> il faut inlegrer depuis 7* = o, c'est-a-dire t = — cos 4s
ce qui donne
cosd^ r -+- 2 log sin&)
jusqu'a r = i ; d'ou
tLi d< 6 / d>\
p = 2sm-^-5 2 = 2sin- — I3 i — «2 = 4sin — (i — sin -£ J 5
2 2 2 \ 2 /
ce qui donne
6 / 4> 6 \
i — 2 sin --h cosiMog ( 4 sin- — 4 sin2- ) 9
2 \ 2 2 /
d'ofr
H(i, 6) = 2 sin2 — — 2 sin — H- eos'4>Iog-
sin2 — cos2 —
2 2
ou enfin
H(i, «{/) = 2 sin3— — 2 sin — — cos& log f sin — -+- sin2 — J •
Si nous remarquons que, pour r = i, on a p = 2 sin — 5 cela peut s'^crire
On a ainsi
V — N = *(i) = 26(1) H-3/(O-
d'ou
Or
F( I, *) « - —r — 2COS2 = — 2 -f- .
V T . ^ 2 p 2
2sm — r
2
Si done nous posons
il vient
1 66 MESURES DE GRAVITY ET LA GEODESIE.
et nous pouvons <3crire finalement
cm, en rtHablissant Fhomog£n6ite,
En d'autres ternies, la partie compleSmenlaire du potcntiel d'ou depend le
rel&vement du g<3oide nous sera donn£e par le potentiel d'une couche attiranle
dont la density est g* — g'Q ; la loi d'allraction en fonclion de la distance p <Hant
repr£sent£e par la fonction
Nous avons obtenu les formules pr<5c£dentes en supposant que D' est la valeur
de g1 — g'0 sur 1'glgment dd. II en r^sultait que le d^veloppement de D' com-
menQait par des fonctions sph^riques du second ordre.
Qu'arriverait-il si, dans I'mteSgrale
on remplacait Df par une fonction* dont le d^veloppement contiendrait des
fonctions sph&iques d'ordre o ou i ?
Soient D'0 et D'4 deux fonctions analogues a D', mais se rgduisant, la premiere
a une fonction sph^rique d'ordre o, c'est-a-dire a une constante, la seconde a
une fonction sph^rique d'ordre i , c'est-a-dire a une fonction lin^aire des coor-
donn^es rectangulaires de l'6l^ment rfw'.
Je dis que
T
= o.
En effet, le d^veloppement de
oil Yn repr^sente une fonction sph^rique d'ordre n dependant de ^, commence
par des termes du second ordre (71 = 2). II en est de m&me du d^veloppe-
ment de
MESURES DE GRAVITE ET LA G^ODgsiE. 167
11 \ient eusuite
II suffil done de demontrer que
iYarfw' = o (n ^ a).
Or cela est Evident, si D'0 et D't sont des fonctions d'ordre o et i etYnune
fonclion sph^rique d'ordre superieur.
Supposons maintenant que Ton Studio Peffet d'une perturbation locale de la
gravit6 limit^e a une region R0. Nous poserons commeau paragraphe pr£c6dent
de telle fagon que £ varie r<5guli£rement et lentement dans la region R0 et
que gjn ne prenne de valeurs sensibles qu'a Pint^rieur de cette region. Seule-
ment, comme nous ne serons plus forces de supposer que le d^veloppement
de g!t/ commence par des fonctions sph&riques du second ordre, nous pourrons
admettre que, en dehors de la region R0, g*n est non seulement tr^s petit, mais
nul.
Soient D'2 et D;3 les valeurs de g1' et de g3" au centre de gravit6 de
ment dd\ nous poserons :
djou
La formule (i bis) est l^quivalent de la formule (9 bis) du paragraphe
rgc^dent.
Nous aurons de m6me
(iter)
ou £" repr^sente ce que serait le rel&vement du g^oide sans la perturbation
locale, et £w le surcroit de rel&vement du a la perturbation.
C'est la formule ( i ter) qu'il convient d'6tudier de plus pr^s.
Supposons que la region R0 soit contenue dans un petit cercle de rayon X.
L68 MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE.
L'inUSgrale du second membre de ( i ter) reprosentera le potential d'une couche
attirantc r£pandue sur la region R0 el agissant suivant la loi G(~ V Mais, en
general, rattraciion de cetle couche ne sera sensible que dans le voisinage de
la region R0 et principalement dans cetle region elle-m6me. Nous n'avons done
a nous preocuper que des valeurs tr6s petites de p; mais si p est tr£s petit, le
terme preponderant est le tei^me en-» qui est tr&s grand, tandis que le terme
en logp, quoique tr&s grand, est beaucoup plus petit que le premier et tandis
que les autres termes sont finis.
Pr^cisons davantage. Soit K la plus grande valeur dc g"1 et distinguons les
trois parties de V" qui sont dues respectivement :
i° Au terme en-;
2° Au terme en log p ;
3° Aux autres termes de G ( g j •
Ges trois parties seront respectivement du m£me ordre de grandeur que
KX KX\ X KXs
TTJ "R5-logRf ~W*
Comme le rayon X du cercle qui enveloppe la region R0 a £ti$ suppose tr^s
petit, les deux derni&res parties seront, en gt§n£ral, tout a fait n^gligeables, de
sorte que Ton aura simplement
<•*•-!*£•
ou, en reprenant les notations du paragraphe pr^c^dent,
c'est-a-dire que la s^rie (9 bis) du paragraphe pr<2c<3dent pourra 6tre r6duite a
son premier terme.
Remarquons que la formule (i ter), <5tant homogfene, peut toe employee
avec n'importe quelles unites. En effet, D73 et^0 repr^sentant des quantitt5s de
ry
nature, -~ €st un nombre abstrait ; il en est de m£me de G, de sorte que
1'intggrale
MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE. 169
est le carr£ (Tune longueur et que
est une longueur.
V. Cherchons maintenant a faire le calcul en negligeant non plus le carre* de
Faplatissement, mais le carre* du relevement du ge"o"ide au-dessus deFellipso'ide,
qui est une quantity beaucoup plus petite.
Nous n'aurons pour cela qu'a faire jouer aux fonctions de Lam6 le role des
fonctions sphe'riques.
Nous adopterons un ellipsoi'de de re'fe'rence qui jouerale role de notre sphere
de re'fe'rence de rayon R; et nous nous servirons de cet ellipsoi'de pour dgfinir,
a la maniere ordinaire, un systeme de coordonne'es elliptiques p, JLJL, v. (Si
Fellipsoi'de est de revolution, 1'une des variables y devient illusoire, il convient
de la remplacer par la longitude ge"ographique.) On sait que 1'on considere un
systeme de fonctions de Lam6 que j'appellerai
Ri, S/, Mi, N/.
R/ et Si sont fonctions de p, M/ de p., N/ de v. R,- est un polynome en p
et ^/p2 — a?, \/p- — b*, \/p2 — ca(si Ton d^signe par a, &, c les trois axes de
1'ellipsoide); M/ est forme' avec /JL et N/ avec v comme Rf avec p.
On sait e'galement que, quand 1'ellipsoide est de revolution, N,- n'est autre
chose que le cosinus ou le sinus d'un multiple de la longitude g6ographique.
Enfin, tottte fonction qui satisfait a liquation de Laplace a Fextdrieur de
I'ellipsoide peut se d^velopper en s^rie proc<5dant suivant les produits S|-M,N,-.
De ni^me toute fonction qui satisfait a I7 Equation de Laplace a 1'intdrieur de
Fellipsoi'de peut se de"velopper en serie proc<5dant suivant les produits R,-,M,-,Nz .
Je supposefai que 1'ellipsoide de reference a pour Equation p = o. Je de*signerai
par RJ et S^ les valeurs de R/ et S/ pour p = o; par Kt et S'f les d^riv<5es de Rz-
et S,- par rapport a p; par R7? et S'f les valeurs de R'z- et S'£ pour p = o.
Je distinguerai :
i° La fonction d'ordre o que je de*signerai par Findice o, R0, . . . , elle se
r^duit a une constante ;
2° Les trois fonctions d'ordre i que je de"signerai par les indices i, 2, 3;
3° Celles des cinq fonctions du second ordre qui sont des polynomes en p ;
H. P. — VIII. 22
170 MESURES DE GRAVITE ET LA Gl£oDE51E.
elles soul au nombre de deux, et je les d6signerai par R/f et R3. On a alors a
1'exttSrieur de la plan&te
A la surface de 1'ellipsoide de reference on aura
U =
Tous les coefficients X/sont nuls, a Perception deX0? X4J A5; ce dernier coeffi-
cient est mil lui-m£me si 1'ellipsoide est de revolution.
Je d^signerai par £ le rel^vement du gtSoide et par rj celui de la surface
terrestre au-dessus de Tellipsoi'de de nSftrence, et nous aurons
Nous aurons encore (en n^gligeant le carr£ de
ctV dU
_ = -_-_,
an a$ dn an
d • '
en d^signant par -7- les d<5riv6es estim^es suivant la normale.
w A ctn
Quelle sera la valeur de U en dehors de 1'ellipso'ide de reference? Nous savons
que U est proportionnel £ a?2 -I- y2 ; nous pourrons done <3crire
ou
s*annule sur 1'ellipsoide de reference el ou k est un coefficient constant conve-
nablement choisi.
Examinons d'abord un cas simple, celui ou la surface du g(5o'ide se confond
avec la surface terrestre et avec Fellipsoi'de de reference (yj = £ = o). Je d(5si-
gnerai par W0, V05 g'0 les valeurs de W, V et^ qui correspondent a ce cas
simple.
Nous aurons, sur Fellipsoi'de de reference,
V« -4- U = C.
C (5tant une constante ; d'ou
"^t R? •+- at S? =s o (sauf pour i = o),
ce qui montre que tous les at sont nuls, sauf a0, a* et a5.
Nous d&signerons par W00, ^00? V00 les valeurs de W0, g^ V0 pour p = o,
de sorte que W00 = C.
MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE. 171
Venons mainlenant au cas general.
Nous pouvons avoir avantage a introduire une notation nouvelle en posanl
de telle facon que £', par exemple, represente Faccroissement de p quand on
s'<5l£ve verticalement depuis la surface de 1'ellipsoide jusqu'a celle dugeoide.
Nous pouvons poser ai-je dit,
_ dWd?
*~ do dn
En effet, on a
N t^tant la composante de la gravid normale aux ellipsoi'des homofocaux a
1'ellipsoide de reference et T la composante tangentielle.
Cette derni^re ^tant de Fordre de 5, on peut prendre
d?
~
en n^gligeant ?2.
Nous venons de d^finir V0, W0 et g*0; nous poserons, dans le cas general,
d'ou
On voit que SV et 8g sont de Pordre de f .
En un point de la surface terrestre, on a (en n^gligeant 52),
dn
et en un point du g^o'ide
dW0 ,
dn
On aura done, en un point de la surface terrestre,
W = G + ~± ^+ BY = G- |f *M
172 MESURES DE GRAVITE ET LA
et en un point du geo'ide
d?
^^-Si-dF'"1"0^
Bien entendu, on pourra, avec 1'approximation adoptee, r<Sduire 8V et Sg a
leurs valeurs au point correspondant de 1'ellipsoide.
Comme a la surface de 1'ellipsoi'de W doit se rtfduire a la constante G,
on aura
ou
Supposons maintenant que 1'on fasse subir £ g la correction de Faye. Nous
aurons encore
et la correction de Faye sera ici
\ dn J d$fi dn dpz
Apr&s la correction, g devient
Remarquons maintenant que
de sorte que nous arrivons finalement a liquation suivante :
'--«
Telle est liquation d'ou il faut tirer 5V.
Voyons en passant ce que devient cette Equation dans le cas simple trait<§
aux paragraphes pr^c^dents, c'est-a-dire quand 1'ellipsoi'de de reference se
r<3duit a une sphere.
C'est alors le rayon vecteur r qui joue le rdle de p ; on a
W — M — M flftWo _ 2l|l t dp
r O "" r% ^-2 ^3 }
MESURES DE GRAVITY ET LA GgOD^SIE. I?3
Nous supposerons R = i et 1'on aura alors a la surface de la sphere de
reference
Woo = M, <f oo = M ;
Liquation (i) devient
Si
on a pour r = i
,x,
0==— 20V -- —
-_
Liquation (i) devient alors
On retrouve done bien les r<3sultats obtenus dans les paragraphes pr(5c^denls.
Revenons a liquation (i) et vojons quel parli on peut en tirer.
Envisageons le coefficient
^P i d*WQm
dn ^oo «fc2 '
il se r^duit a une constante aux quantit^s pres de 1'ordre de 1'aplatissemenL;
je 1'^galerai done a C + aF, C ^tant une consiante, F une fonction de p. et de v
et cc un coefficient de 1'ordre de 1'aplatissement. Notre Equation devient ainsi
Pour, determiner <5V, et par consequent f' et ^, je me propose de de*velopper
3V suivant les puissances de a, sous la forme
8V = PO -i- a PI ~f- a2 PS H- ----
Nous aurons alors la s^rie d7e*quations
(.a) ^_^.._
174 MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE.
Alors les ^ peuvent se developper de la facon suivante, a 1'exterieur de
Fellipsoide de reference :
Alors pour integrer (a a) nous developperons g1 — ^00 sous la forme
suivante :
developpement qui est toujours possible d'apres un theoreme bien connu, et
liquation (2 a) nous donnera
ce qui determine les coefficients «,-0 et, par consequent, VQ.
Quand PO est connu, on connait le premier membre de (26); on de*velop-
pera ce premier membre de la m6me fagon que le premier mcmbrc de (2 a) cl
Ton se servira de (zb) pour determiner PI comme on s'est servi de (2 a) pour
determiner ^0 ; et ainsi de suite.
Gela suffit pour montrer comment on doit corriger les requitals des para-
graphes precedents afin de tenir compte des puissances superieures de 1'apla-
tissement. Cela montre en m6me temps que le plus important de ces resultats
subsiste; je veux dire que la connaissance de la graviie en tons les lieux du
globe suffit pour determiner la forme du geo'ide.
SUR
LES DEVIATIONS DE LA VERTICALE
EN GEODESIE
Bulletin astronomique^ t. 18, p. 267-276 (juillet 1901).
I. Les geodesiens ont coutume de deduire les deviations de la verticale soit
vers 1'Est, soit vers le Nord, de la difference observe entre les deux latitudes
geodesique et astronomique, on bien encore entre les deux azimuts geodesique
et astronomique, ou bien encore entre les deux longitudes. On tient seulement
compte de la difference des deux azimuts, par exemple, aux deux stations
extremes, sans se preoccuper de la loi suivant laquelle cette difference a varie
dans les stations intermediates. Cette facon d'operer, generalement l6gitime,
ne tient pas compte.de toutes les circonstances du probl£me et pent entrainer
certaines causes d'erreur. Ces causes d'erreur sont a la verite fort m mimes,
ainsi que Font montre divers auteurs et, en particulier, Yvon Villarceau
(C. R. Acad. Sc.: t. 62, 1866, p. 740' ma*s Dependant mon attention a et£
attir^e sur elles parce qu'elles peuvent devenir sensibles dans les regions
equatoriales.
Peut-6tre une courte digression ne sera-t-elle pas inutile ? Que doit-on
entendre par meridien ? Est-ce le lieu des points du geoi'de ou le plan tangent
estparall&Ie ^ une direction donnee du plan equatorial, ou, end'autres termes,-
est-ce le lieu des points de longitude donnee ? Ou bien est-ce une courbe trac^e
sur le geoide et qui en chaque lieu est tangente au plan meridien de ce lieu,
176 DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEODESIE.
ou, en d'autres lermes, esl-ce une courbe ou razimul de la Langente csL cons-
tamment nul ?
Pour un ellipso'ide, ou en general pour une surface de revolution, les deux
definitions concordent et, de plus, les m<§ridiens ainsi definis sont des ligncs
geodesiques. Mais pour un geoi'de quelconque les lignes de longitude constante
different des lignes d'azimut nul, et ni les lines ni les autres ne sont des lignes
geodesiques.
De m6me, il faudra distinguer les lignes de latitude constante des ligncs ou
1'azimut de la tangente est constamment egal a 90°.
Soient M un point quelconque du geoide, MA, MB, MC, MD les tangentes :
i° a la ligne de longitude constante ; 2° a la ligne d'azimut nul; 3° a la lignc de
latitude constante; 4° ^ ^a ligne dont 1'azimut est 90°.
MB sera perpendiculaire a MD par definition. Mais MA et MD d'une part,
MB et MC d'autre part devront 6tre des diam&lres conjugu^s de 1'indica trice
du geoide. II en r<5sulte que MA ne peut se confondre avec MB (ou MC avcc
MD) que si MB et MD sont les axes de 1'indicatrice. Cette circonstance ne
peut se presenter pour tous les points du geoi'de que dans le cas des surfaces
de revolution.
Si une des lignes de latitude constante se confond avec une ligne dont
Pazimut est 90°, la tangente en chaque point devra toe un des axes de 1'indi-
catrice; ce sera done une ligne de courbure, satisfaisant & 1'equation g<5n£ralc
des lignes de courbure
^ — ty _ — *^L
Tl ~H^.~ d7i9
ou #, y, z sont les coordonnees et l: m, n les cosinus directeurs de la normale
a la surface. Or n c'est le sinus de la latitude; si done la latitude est cons-
tante, dz sera nulle et la courbe sera plane.
De mtoe, si une des lignes de longitude constante se confond avec une
ligne d'azimut nul, on verra de mSme que c'est une ligne de courbure et que
c'est une courbe plane. De plus, ce sera une ligne geodesique.
Cela pose, supposons que 1'on trace un arc de ineridienne AB sur la surface
du geoi'de , par des moyens geodesiques. Qu'est-ce que cela veut dire? Cela
signifie : i° que cet arc AB sera une ligne geodesique; 2° que 1'azimut au point
initial sera nul.
En general, cet arc AB ne sera ni une ligne de longitude constante, ni une
ligne d'aziinut nul, et cela quand m6me la deviation de la verticale serait nulle
DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEODESIE. 177
aux deux points extremes A et B, du moment qu'elle ne serait pas nulle tout le
long de Tare.
Supposons done la deviation nulle en A et 'en B, et differente de zero entre
A et B. Comme AB n'est pas une ligne de longitude constante, la longitude
de B ne sera pas egale a celle de A; comme ce n'est pas non plus une ligne
d'azimut nul, Fazimut en B ne sera pas nul. On constatera done une difference
entre les longitudes geodesique et astronomique, de mdme qu'entre les azimuts
g^odtSsique et astronomique, et, si Ton applique les formules usuelles, on en
d^duira 1' existence d'une deviation de la verticaleau point B,laquelle deviation
n'existe pas d'apr&s notre hypothfcse.
En resume, la difference entre les longitudes geodesique et astronomique on
entre les azimuts geodesique et astronomique ne depend pas seulement de la
deviation au point consid^re, mais de la deviation dans ton Les les stations de la
chaine.
C'est Finfluence de cette cause d'erreur que je voudrais (Hudier par une
analyse un pen plus appro fondie.
II. Soient I et A la longitude et la latitude d'un point d'une sphere,
x = cos / cos A, y = sra / cos A, js = sin A,
les coordonn^es rectangulaires de ce m£me point.
Soient
liquation d'une courbe tract5e sur la sphere, 9 1'azimut de cette courbe.
Soient M et M' deux points infmirnent voisins de cette courbe, MM'P un
triangle rectangle infiniment petit dont Fhypotenuse est MM' et dont les cot6s
sont un arc de rn^ridien et un arc de parall&le, de telle sorte que
MM7 = <&, MP = cD. , M' P = cos X dl.
On aura dans ce triangle
M'P rfJcoaX r \
(i) w- — -—;—*^*
en dgsignant par lf et I" les derives premiere et seconde de I par rapport a X.
Soil maintenant ^ Fangle de la normale a la sphere avec le plan osculateur.
H. P, — vin. 23
178 DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN
Les cosinus directeurs de la normale a la sphere sont x, y, z. On aura ceux du
plan osculateur de la facon suivante : Soil
A = /*'— *y, B = a'a?'— a?V, G = x'y" —
a, (3, y sont Ics cosinus directeurs cherch^s de telle sorlc que
sin 6 = OLX H- pj/1 H- 73,
d'o*
5
y
co" y" z»
A
D'
ConsidtSrons un mobile parcourant notre courbe de fagon quc la latitude varic
proportionnellement au temps. Les composantes de la yitesse seront of r, y': z1,
ot celles de I'acct5l(5ration x", y", zw\ de sorte que D sera le parall^logramme
construit sur la vitesse et l'acc(5l^ration. Pour avoir 1'aire de ce parall^lo-
gramme, il faut multiplier la vitesse par la composante normale de Fa
ration. Gette composante, d'apr&s un th<5ortoie bien connu, cst 6gale a — j
9 (Slant la vitesse et p le rayon de courbure. On aura done
Or
d'ou
et enfin
__ ds _
~" ""
cos®
p =
D:
s^ cos3 9
A cos3 9.
II reste a calculer A; on observera que A semble ddpendre de A, de I, de V et /*;
mais par raison de sym^trie, il ne d^pendra que de A, F et F, et pas de L Nous
pourrons done, apr&s avoir calculi par differentiation x^ yf, zr, x' ', y, zu>
faire I = o ; nous trouvons ainsi
A =
cosX
— sin X
— cosX(n-//2)
ou en d^veloppant et r^duisant
A =5— rcosX-t-2/'
sinX
cosX
— 2 1* sin X — sin X
^'3cos2X sinX,
DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN G^ODESIE. 179
d'ou
(2) tg& =— Z'cos'o cosX H- I' sinX(2 cos3o H- sin2? cos 9).
Si la courbe diflfere peu d'un grand cercle, tg'b peut £tre remplac^ par <k
Si la courbe s'£carte peu d'un mgridien de lelle facon que Z', I" et 9 soient ires
petits, la formule se simplifie et nous pouvons <*crire tout simplemenl
( 3 ) 6 = — I" cos X -4- 2 1' sin X.
III. Faisons le m£me calcul pour un ellipsoi'de peu aplati. Dgsignons
toujours par I et ?. la longitude et la latitude. Soient
x = C cos I, y = G sin Z, z = S
les coordonn<5es rectangulaires d'un point quelconque. C et S sont des fonctions
de A, peu diffih'entes de cos A et sin A. Nous d^signerons par C', C'7, ... les
di;rivees successives de G par rapport a A; de m£me pour celles de S, Z, ....
Si nous reprenons noire petit triangle MM'P, nous aurons
MM' = ds, MP = R fZX, M' P = G dl,
R elant le rayon de courbure de la section mthidienne, d'ou
t*3 = — = Cdl = ^Z'cos>
RI 6tant le second rayon de courbure principal de Fellipsoide. Le rapport des
rayons de courbure -^ diflfere peu de Punit£.
Nous d^finissons A, B, G et D comme plus haut et de sorte que
•-£• J-S- ^=§
sont les cosinus directeurs du plan osculateur. D'un autre cot6, les cosinus
directeurs de la normale a Fellipsoi'de sont
cos Z cos X, sin Z cos X, sin X,
de sorte que 1'on a
sin fy = a cos Z cos X •+- p sin Z cos X -t- y sin X.
En posant
cos Z cos X sin Z cos X sin X
x' y' z'
of f f
!8o DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEODESIE.
on trouve done encore
ds R
On aura encore
p0 tHant le rayon de courbure de la section normale langenle a la courbe
envisag^e, d'ou
D =
Pour le calcul de A nous allons, comme plus haul, fairc / = o. Nous avons
d'aillcurs
S'=RcosX, G' = — R sinX,
d'ou
S'» H- G'2 = R*, S' S" 4- G' G/; = R R'.
II vient ainsi
S' o - G'
AR = C' ' I' G S'
Gf— Z'*C
ou en developpanl
ou
AR
ou (a cause de Rtgcp =
ou enfin
(5)
Si nous supposons que la courbe diff^re tr^s pen d'un m<5ridien, de lelle fagon
que ^ et 9 soient tr^s petits el p0 tr6s pen different de R, nous aurons tout
siraplement
(6) t-rf-l-g-afg.
En r£sum<3, les formules (4), (5) et (6) sont tout & fait de m&me forme que
les formules correspondantes (i), (2) et (3). Les coefficients de I' el de £r sont,
il est vrai, des fonctions de X et de <p plus compliqu^es que dans le cas de la
DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GliODESIE. l8l
sphere. Mais ces fonctions ont, dans lo cas dc rellipsoi'dc et dans le cas dc la
sphere, des valeurs tres pen differentes, si raplalissement est faible, de sorte
que dans la plupart des applications qui vont suivre on obtiendra une approxi-
mation suffisante en se contentant des formules relatives a la sphere.
IV. Passons maintenant au cas d:un ggoide quelconque; je supposerai
toutefois que ce g^oi'de differe extr^mement peu d'un ellipsoi'de de revolution
que je prendrai pour ellipso'ide de reference et que cet ellipso'ide est lui-m&me
peu aplati. Soient M un point quelconque du g6o'ide, N sa projection sur Fellip-
soi'de de telle facon que MN soit normale a 1'ellipsoide. Soit MP la verticale
vraie au point M. Je deTmirai le point M par la longitude / et par la latitude X
du point N sur 1'ellipsoide et par la longueur
MN = £.
J'appellerai ensuite !• et 73, les deux composantes de la deviation de la verti-
cale vers le Nord et vers 1'Est, de telle fagon que Tangle tres petit de MN avec
MP soit^+vj2.
Comment vont se transformer nos formules ? Les angles <p et ^ vont, a ce
qu'il semble, dgpendre non seulement, comme dans le cas prudent, de A,
de I' et de Z", mais de £, de £', de £", de £ et de YJ.
A vrai dire, si Ton supposait que le point M est sur le g^oi'de, c'est-a-dire
que la courbe lieu des points M est 1'horizontale et, par consequent, normale
& MP, il y aurait une relation entre £', £ et rj, exprimant que la tangente au lieu
des points M est perpendiculaire a MP. Ces trois variables ne seraient done
pas ind^pendantes. Mais on peut ne pas faire cette hypolh&se, au moins au
debut du calcul.
Nos variables £, £', Zfj £, 73 etant tres petites, nous pouvons ecrire
o>0 et 4*0 etant les valeurs de cp et fy pour 5 = g/=^r=£ = yj = o, c'est-a-dire les
valeurs donne"es par les formules (4) et (5). II est clair, en effet, que cp ne peut
dependre ni de £;/3 ni de £.
Je dis maintenant que si YJ — O, on peut prendre tout simplement <p = 90.
Nous pouvons, en effet, toujours supposer £= o, de sorte que MP se c&nfonde
182 DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEODESIE.
avcc MN. Soienl MT el NT' les taiigentes au lieu des points M el au lieu dcs
points N. L'angle cp — cp0 n'est autre chose que Tangle dcs deux plans MNT'
et NMT. Si M' est un point voisin de M sur la courbe lieu des poinls MctsiN'
est le point correspoiidant sur le lieu des points N, M'N7 est comme MN nor-
male a Tellipsoide.
Les droites MN, M'N', . . . engendrent une surface r£glee. Les plans MINT
et MNT' sont les plans tangents a la surface r£gl<3e aux points M eiN. Ces plans
tangents se confondent si la surface nSglee est developpable ; c'est ce qui arrive
d'abord si, 1'aplatissement etant nul, rellipsoi'de se reduit a une sphere, parce
qu'alors la surface r£gl<5e se r(§duit a un cone. C'est ce qui arrive encore si le
lieu des points M est tangent a une ligne de courbure, c'est-a-dire si Tazimut
est voisin de o on de 90°.
Comme Taplalissement est tr£s petit, comme £ est loujours irfcs faiblc, nous
pourrons prendre sans erreur sensible
do
-
Le calcul du terme -r Y\ se d^duit imm<3diatemeni des formules de Tastro-
d-r\
nomie sphtirique, la correction a apporter a. 1'azimut est YJ tgA, de sorte que
Ton a
(7) 7 =arctg(Z'cos/0-F-''itgX.
Pour le calcul de ^, nous pouvons raisonnor a pen pr6s dc la m£mc manure.
Je remarque d'abord que, si Paplalisscment est nul, si 5=73=10, ct si le
lieu des points N est un grand cercle de la sphere, on a
di = d/o= o.
En effet, la verticale MP se confond avec MN, c'est-a-dire avcc un rayon do
la sphere; le lieu des points M est, comme celui des points N, une courbe
plane dont le plan passe par MN. Done Tangle ty est nul.
Ainsi les d£riv<3es
dfy dfy afy
^f' 3?' HO*
s'annulent quand Taplatissement est nul ainsi que ^0.
On aura encore
si, Taplatissement n'6tant pas nul, le lieu dcs points N se reduit a un ni(5ridion
DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEODES1E. l83
de Tellipsoi'de, pourvu d'ailleurs que '^ = -^ = 0. Dans co cas encore, le lieu
des points M comme celui des points N est une courbe plane dont le plan passe
par MN.
Si Ton observe que les lignes que nous aurons a envisager s'ecartent pen des
lignes ge'ode'siques et que, d'autrc part, Taplatissement est tres faible, nous
voyons que nous pourrons sans erreur sensible supposer
et ecrire
Pour evaluer le terme comple"mentaire
j'observerai que Tangle dont il faut corriger ty pour tenir compte de la d^via-
tion de la verticale n'est autre chose que Tangle des deux plans MTN et MTP,
c'est-a-dire
— TJ cos 9 -+• 5 sins.
Si Ton suppose que le lieu des points M differe tr^s peu d'une ligne gt5od(5-
sique, nous pourrons confondre Tangle d> avec sa tangente, de sorte que la
formule (2) (a laquelle nous nous bornerons en negligeanl Taplalissement)
s'<§crira
d;0 = — I" cos3 9 cos X -h I' sin \ ( 2 cos3 9 -h sin2 9 cos 9 ),
d'ou
(8) & =— //7cos39 cos^ •+• V sin X(2 cos39 •+• sin29 0059) — 1\ 0039 -h ? sino.
Dans le cas ou la courbe consid^r^e diifere peu d'unme'ridien, cette formule
se re*duit a
(9) 6 =— I'cosX -j-2^ sinX — f\.
Si nous supposons maintenant que la courbe differe tr&s peu d'un grand
cercle, de telle sorte que liquation du grand cercle soil
celle de la courbe
,84 DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEODESIE.
I'uziiiiuL du grand ccrcle <p, colui dc la courbc cp + 3<p, il vicndra
09 = cos A cos2 9 W
el, on laissant de cole les lermos en £ el en YJ,
S'J> = — o/" cos:j o cos A H- 8£' sin X ( 2 cos3 9 4- sin2 9 cos 9 )
4- o9[3/"cosX cos2o sin 9 — J' sin A (sin 9 •+- 3 cos2o sin 9)].
Mais la courbe / = F(A) 6lunl im grand cercle pour lequcl i|> csL nul, nous
pouvons ecrire
d'ou
3 r cos X cos2 9 sin 9 — /' sin X sin 9(1-1- 3 cos2 9 ) = 2 /' sin X sin 9.
Or
2 /' sin A sin 9 So = 2 S/' sin X sin2 9 cos 9,
d'oii enfin
8^ = — 8Z*cos39 cosX H- S/' sin A 0039(2 •+• sin2 9).
Si nous observons que pour la courbe Z = F(A), qui esL un grand cercle,
^ = o, nous pourrons 6crire finalemenL
(10) d» = — 8rcos39 cosX H- 51' sin A cos 9 (2 -h sin2 9) — ^coso -f- $sin9.
I*
Rappelons d'aulre part que la longitude el la latitude aslronomiques du
point M sont
/ H- JL et X H- g.
cosX
V. Appliquons mainlenanL ces nSsullats au probl^me qui nous occupc.
SoiL AB un arc de m&ridien tract5 par des moyens geod(5siques; ce dovra
d'abord 6tre une ligne g^od^sique, de sorte qu'on aura par la formule (9),
(i 1} /" cos X — 2 1' sin X H~ f\ = o.
D'aulre part, au point A Fazimut doit 6tre nul, de sorte qu'on aura par la
formule (7) et 9 <5tant tr^s petit
(12) IQ COsXo-hVlo lgA0= 0.
Je d(5signe par des indices o les valeurs relatives au point A et par des
indices i les valeurs relatives au point B. Au point B, on aura de m&me pour
la difference mesurable des azimuts g6od<5sique et astronomique
DEVIATIONS DE L.\ VERTICALE EN GEODfeSIE. 1 85
Nous prendrons pour origine des longitudes astronomiques le point A, de
sorte qu'on aura
(14) A)H ^— = o
' cosX0
et pour la longitude mesurable du point B (difference des longitudes geode-
sique et astronomique)
C'est de Fensemble des equations (11) a (i5) qu'il faut tirer des conclusions
en ce qui concerne YJ, landis qu'ordinairement on se sert des Equations
(16) ?L = (-HI
comme si I <3tait toujours nul.
Les fo ramies peuvent se me tire sous une forme plus simple.
Posons
H = L cosX.
H est mesurable, puisque L n'est autre chose que la longitude astronomique.
On trouve alors
H = / cos X •+- "n,
d'ou
H'= J'cosX — JsinXH-7)',
H"= I" cos X — 2 V sin X — I cos X -I- •*}".
Or
9 = I'cosX •+• f\ tgX,
d'ou
(18) H'=9 — HtgX-4-V-
D'ailleurs liquation (i i) devient
(19) HffH-H = <-
La combinaisan des ^qualions (i 8) el (19) nous donne liquation de condilion
suivante a laquelle doivenl salisfaire les quantities mesurables H et 9 :
(20) 9'=H'tgXH-Htg2X.
Je remarque d'abord, a litre de verification, que les Equations (18) et(ig)
nous conduisent de nouveau a un th(5or&me que nous avons d6montr<§ plus
haul directement. Si une ligne est a la fois ligne de longitude constants et
H. p. - vm. 24
l86 DEVIATIONS DE LA VERTICALS EN GEODESIE.
lignc d'azimut mil, dc telle facoii que Ton ait H~cp~o, cc sera une ligne
geodesique.
Si, en eflet, H=cp = o, liquation (18) donnera Y/=O, d'ou rfr=o, cL
alors liquation (19), qui est cclle des lignes geodesiques, so trouvc satisfailc
d'elle-m£me.
Reprenons notre arc de meridien AB trace -par des moyens geodesiques
(cf. § I); ce sera une ligne geodesique, ce qui s'cxprime par liquation (19);
de plus, an point A on devra avoir cp0 = o cl, par consequent,
H'0=s— HotgXo-HTl'o;
ct comme le point A a 6t& pris pour origine des longitudes astronomiqucs et
quo, par consequent, H0 est mil, on aura
(21) H'0 = Vo-
Si 1'arc AB est petit, H, qui est nul a une des extremites, restera toujours
tr^s petit, de sorte que liquation (19) pourra s'<$crire
ou, a cause de (21),
(22) H
Et si Ton suppose YJ nul an point A
(23) H
Liquation (18) devient alors
(24) 9 =
Les Equations approchees (28) et (24) sont en sommc (jquivalentes aux
formules ordinairement employees (16) et (17) et aux nSsultats d'Yvon
Villarceau.
Definissons les fonctions Y et Z par les equations
avec la condition que Y et Z s'annulent au point A.
Nous aurons, au lieu de (22) et de (a3),
(26)
(26)
DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEODESIE. 187
d'od
(27) s = 7ilgA— Y-f-ZtgA.
Si Fare AB est tr6s petit du premier ordre, en general yj (considere commc
nul au point initial A) sera aussi du premier ordre el il en sera de mdme de H
et de <p; mais Y sera du deuxieme ordre et Z du iroisieme; de sorte qu'on
pourra ne^gliger les termes du deuxieme et du troisi^me ordre dans les for-
mules (26) et (27), qui se reduiroiit aux formules (23) et (24).
Mais dans certaines circonstances cette conclusion ne sera pas legitime.
Supposons que Ton soil pr&s de F&juateur; le terme rHg/ deviendra beau-
coup plus petit a cause du facteur tgA et pourra devenir comparable a Y.
Dans ce cas, le dernier terme Ztg}i est n^gligeable, car les deux facteurs Z
et tgA sont tous deux tr6s petits; d'un autre cote, nous pouvons prendre avec
une approximation suivante :
Y= fH<fA= Ar/A,
de sorte que la formule (27) qui donne les azimuts devient
d'ou Ton tire pour la valeur de r\
o , r 9 <TA
Ti = — i- H- COlg A / Z—r- •
{ tgA 6 J tgX
Le second terrne pourra ne pas £tre n^gligeable devant le premier, a cause
du facteur cotgA qui est tr^js grand.
Cela sera surtout a craindre si les deviations de la verticale sont grandes et
varient irr^guli^jrement, comma cela peut arriver dans les pays de montagne.
Supposons que, sur 1'arc AB, YJ reste constamment positif, soit nul au
point A, croisse d'abord rapidement, puis dt^croisse de telle facon qu'au
point B il redevienne nul ou tr6s petit. Alors / rj dk pourra gtre relativement
grand, bien que YJ soit nul ou tr&s petit et le second terme de notre formule
pourra devenir le plus important.
Si on laisse de c6t£ les cas ou se produiraient de semblables irregularity, la
valeur de r) a I'extr£mit6 B sera du m^me ordre de grandeur que la valeur
moyenne de r) sur Tare AB, et il en r^sultera que le terme j r\ dk sera compa-
rable a yj multipli6 par Fare AB (le rayon de la sphere extant pris pour unlt^).
j88 DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN G^ODESIE.
Par consequent, pour que Ton puissc n<5gliger cc icrmc coreeclif, il fiuiL quo
Tare AB soil negligeable devani tg)i, c'esL-a-dirc devaiiL la distance du point B
a Fdquateur.-
Ce terme correctif pourra done d'aulant plus facilemenl £lre nt5glig(5 que
1'arc AB sera plus court. Mais tout depend de la facon dont cct arc cst
compens£. Quand on r^duira un arc de m<5ridien, cet arc sera en g<§n£ral assez
long; mais il sera parlag6 en plusieurs sections assez courtes el a Fexlr&nile'
de chacune de ces sections on mcsurera les tilgments astronomiques (lalitude
el azimul). Si chaque section (Hail calcultta pour elle-m6me, elle serail assez
courte pour qu'il n'y eul pas lieu de so preoccuper de la correclioii donl nous
avons parlg. Mais en opeSrant de la sorte, on se priverail dcs avantages de la
compensation; on ne peut done iraiter les diflferentes seclions indcSpendammenl
les unes des autres.
Supposons, par exemple, qu'on calcule 1'arc lout enlier, en bloc, en parlant
des seules donnees g6od(5siques ; puis qu'on veuille se servir des donn£es astro-
nomiques pour calculer les deviations de la verticale aux exlr6mile*s des diff(5-
renles seclions. La correction sera alors, en ge"n&ral, n<3cessaire. Pour qu'on
puisse s'en passer, en eflel, ce qui devrait y 6 Ire negligeable devantla latitude,
ce ne serait pas la longueur d'une des seclions, ce serail la longueur tolale
de 1'arc.
II faudrail pour ainsi dire, pour avoir le droit de se passer de la correclion,
se remettre a Vheure au commencement de chaque section. Je m'expliquc.
Soil AB Fare lolal, parlagtS par exemple en n sections : AA2, A2A3: ...,
An_iAn, A71B. Si Fare AB esl calculi en bloc, ce sera une ligne gt5odt5sique
unique, telle que Fazimul aslronomique soil nul au poinl A, el Fon mesurera
Fazimut aslronomique aux points A2, . . . , An, el au poinl B; c'esl de la qu'on
d6duira les variations de la verlicale. Dans ce cas la correclion sera n^cessaire,
a moms que Fare total ne soil n^gligeable devant la latilude. Si, au contraire,
les diflferentes sections sont trail^es ind^pendammenl, Fare AB sera une sorle
de ligne bris^e dont les £l<3ments seront des lignes g(5od<5siques. II faudra done
distinguer en chaque point de division, au point A* par exemple, qui est un
point anguleux de la ligne bris6e, Fazimut de I'6l6menl A^-iA* el Fazimul de
Foment A/A/^i. L'azimut des divers ^l6ments AA2, A2A3, ..., A^B aux
points initiaux A, A2, . . . , Anj sera nul, et Fon mesurera Fazimut de ces
m6mes 6l<3menls aux points finaux A3, A3, . , . , B. En d'autres lermes, on se
remettra a Vheure en revenant a Fazimul z6ro au commencemenl de chaque
DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEODJiSIE. 189
section. Dans ces conditions, la correction ne serait pas n^cessaire, pourvu que
chaque arc partial soil negligeable devant la latitude.
VI. Si au lieu d'un arc de meridien on avait affaire a un arc oriente d'une
manure quelconque, on pourrait appliquer les formules (3) on (6); mais on
peut encore faire autrement.
Au lieu de definir la position d'un point sur la sphere par sa longitude et sa
latitude, on peut se servir d'un autre systSme de coordonnties, qui seraient
d(5finies de la mSme facon que la longitude et la latitude, mais en faisant jouer
le role du pdle a un point quelconque de la sphere.
Soit alors P le p6le, L et A -+- £ = v la longitude ct la latitude astronomiqucs
d'un point quelconque M, et cp 1'azimut astronomique d'une ligne passant par
ce point.
Soit maintenant PI le point qui dans le nouveau syst&me de coordonmSes va
jouer le r6le du p6le, c'est-a-dire ce que je pourrai appeler le nouveau pole;
soient de m£me LI et PI la nouvelle longitude et la nouvelle latitude astrono-
miques du point considere et cpt le nouvel azimut astronomique de la ligne
considee.
II y a entre les quantities L, p, cp et L1; PI? cp1? certaines relations faciles a
(5crire. Si en effet L0 et t>0 sont la longitude et la latitude du nouveau pole PI
et si 1'on envisage le triangle spherique PPiM, les trois cotes de ce triangle
sont :
- — P0j PM = \ — P, PaM = -
et les trois angles sont :
P = L — LO, P!=^-+-LO — IM, M =
Supposons maintenant que Ton ait mesur<3 un arc AB de ligne g£od£sique de
direction quelconque. Je d^signerai par
la longitude et la latitude astronomiques du point A et 1'azimut astronomique
de AB au oint A ar
!g0 DEVIATIONS DE LA VERTICALS EN GEODE~SIE.
les nouvelles coordonnees asironomiques du point A et le nouvel azimut astro-
nomique au point A. Je d6signerai par
LS pi, ?S LJ, cl, o»l
les quantity analogues relatives au point B.
On calculera Tare AB comme si c'^tait une ligne ggodtSsiqne de 1'ellipsoidc
de reference. Mais dans Fanalyse qui va suivre, nous pourrons supposcr quo
Pellipsoide de reference se re^duit a une sphere et que 1'aplatissement est nul.
L'erreur commise ainsi sera de Fordre de la deviation YJ de la verticale multi-
pliee par 1'aplatissement e] comme ces deux facteurs sont tr&s peiits, cetie
erreur sera irfcs petite, non seulement d'une manifere absolue, mais encore par
rapport a la quantity a mcsurer, c'est-a-dire a Y]. C'esl ce dont on pent,
d'ailleurs se rendre compte en comparant les formules (i) et (3) du para-
graphe II aux formules (4) et (6) du paragraphs III.
Nous pourrons done raisonner comme si I'ellipsoide de reference <5tait une
sphere et dire que Tare AB doit <Hre calculi comme si c'etait un arc de grand
cercle. Nous choisirons le nouveau pole PI sur ce grand cercle de fagon
que AB soit un arc d'un nouveau meridien.
On mesurera L°, <^°, <p° au point A. Le grand cercle en question sera ainsi
enticement d6termin6 et Ton choisira le nouveau pole PI sur ce grand cercle.
On en d^duira LJ, pj? <pj en rt^solvant le triangle sph^rique PP4M (qui se
r^duit a PPi A), comme il a <5t<* expliqu^ plus haut. On aura d'ailleurs
Les nouvelles coordonn^es du point B devraient
o,
s'il n'y avait pas de deviation de la verticale; s est la longueur mesur^e de
Tare AB. Les observations astronomiques nous donnent pour ces nouvelles
coordonnees du point A
LI, oi, <?!,
Posons maintenant
HI =L! cos PI,
•ni=7i cos 9 — j-sincp; ?i= f\ sin 9
de sorte que HI, vu, Y4, Zi jouent par rapport au nouveau systdme de coor-
donn^es le m6me rdle que H, v), Y, Z par rapport a Tancien.
DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEOD&SIE. 1 91
L'arc AB £tant un nouveau meridien, les formules du paragraphe pr^c^dent
seront applicables et nous aurons
=-r\i, 91
PI == latitude g6od<5sique + £4.
Je n'aurais done rien a changer a ce que j'al dit an paragraphe pr<5c6dent si
1'on mesurait soit L4 d'ou H1; soit cp4. Mais ce que 1'on mesurera, ce sera soitla
longitude L, soit 1'azimut o (^rapport^s au syst&me de coordonn^es habiluel).
II est inutile d'ecrire explicitement les relations entre LI, (^, cpi, L, r et 9.
La consideration du triangle sph<5rique PP4M nous donne trois relations entre
L1? PI, L7 p et <^ — cpi- Nous aurons done une relation enlre 9 — 9*, LI et t^i et
nous pourrons 6crire
En faisant dans cette equation 1Li=G)i=o^ r1=fr?j4-^, on aura 1'azimut
calculi
En y faisant Li = LJ, oi = 9J, ^r^pj, on aura 1'azimut astronomique
observe que j'appellerai cp + oop; on aura done
en posant
d'ou
(28) s^^tgP.
Si Pare est tr&s petit, on peut n^gliger Yt et Z± et £crire simplemenl
i dF dF
of-THigpH- —
ou
/ J ^
—
Mais si Pare est tr&s petit, on peut appliquer simplement les formules ordi-
naires de la deviation de la verticale, de sorte que
5^ = 71 tgX.
lg2 DEVIATIONS DE LA VERTICALS EN G^OD^SIE.
En identifiant on voit que
i dF
— 2
de sorie que la formule (28) devient
i dF
En secondc approximation, on pent negliger Z4 cl prendre
Y,= AII^PI;
d'ou
(29) 5? = rn ig^ — / 'li ffoi,
(30) -/I = 3?cotgA-hcotgXJ Thflfri.
Sous les latitudes dquatoriales le facleur cotgA cst tr£s grand, de sorle quo le
lerme correctif peut <Hre sensible, bien que J m dvt soit petit.
Ces conclusions ne seraient pas modifies si Ton tenait compie de Papla-
lissement, cjest-a-dire si Ton prenail pour surface de reference un ellipsoi'de et
non une sphere. Les formules finales conscrveraient la m£me forme, setilement
les coefficients devraient subir une correction qui pourrait aller au plus au
centime de leur valeur.
On voit par ce rapide expose de quels pi&ges on devrait se d(ifier si 1'on
voulait determiner pr^s de l^quateur les deviations de la verticale par le moyen
des mesures d'azimut. Deja dans sa triangulation de Java, sous une latitude
assez basse et dans un pays tr£s accident^, M. Oudemans a rencontr<5 des
difficiilt&s analogues. II r^sulte, en effet, de Tensemble de ses determinations
que les deviations de la verticale deduites des mesures d'azimut sonten general
et systematiquement trois fois plus grandes que les deviations deduites des
mesures de longitude (dans des stations diflferentes, il est vrai).
Dans ces conditions, il est clair qu'il vaudra mieux, dans un grand nombre
de cas, s'abstenir de rien deduire des mesures d'azimut prises prfcs de Pequateur,
djautant plus que toute erreur commise dans cette mesure se trouve affectee du
facteur considerable cotgX.
Remarquons encore que dans la formule (29) le terme principal ne depend
que de 73, tandis que le terme correctif depend de *?, et par consequent a la fois
de £et de YJ.
TROISIEME PARTIE, — THEORIE DES MAREES.
SUR LtQUILIBRE DES MERS
Comptes rendus de V Academic des Sciences, t. 118, p. 948-902 (3o avril i8g4).
La theorie des marecs n?est pas encore faite ; la precision avec laquelle on les
predit ne doit pas faire illusion, carles precedes employes sont semi-empiriques.
Laplace n'a pu arriver a integrer ses Equations qu'en supposant qu'il n'y a
pas de continents, et que la profondeur de lamer ne depend que de la latitude.
Cette hypothec est beaucoup trop eloignee de la nSalittS pourqu'on puisse rien
conclure du r^sultat qu'il a obtenu.
L'etude des oscillations a longue periode el en parliculier de la inaree bimen-
suelle est relativement facile ; on peut y n^gliger, en eflet, Finertie du liquide
et la force de Coriolis, ce qui r^duil la question a un simple probleme de
Statique. L'importance de ce probl&me a (5te mise en Evidence dans le Traite
de Philosophic naturelle de Thomson ct Tait. Ces deux illustres savanls, aides
par M. G. Darwin, ont cherchg, en eifet, en comparant la theorie avec les
observations, a reconnaitre quelle deformation ^lastique subissait la jmasse
solide du globe sous I3 influence de 1'attraction lunaire.
Lour conclusion est que le globe terrestre presente une rigidit<3 t5gale a celle
de 1'acier, sinon une rigidit^ plus grande encore; Loutefois les rcsultats sonl
trop discordanls pour que cette conclusion soit absolument ccrtaine.
Ces discordances sont dues, sans doute, pour la plus grande pan, a Tincer-
titude des observations; mais Fimperfection de la theorie y est peut-^tre aussi
pour quelque chose.
Dans les paragraphes 806 a 810 de 1'Ouvrage que je viens de citer, on
H. P. — VIII. 20
I94 L^QUILIBRE DES MERS.
cherclie a tenir compte de k presence des continents, mais en negligeant
1'attraclion muluelle des caux soulevees; dans le paragraphe 815, on lienl
compte de cette allraclion, mais en suppusant qu'il n'j a pas dc contiuenL; il
arrive alors que 1'amplitude de la mart5e cst, par FefFet de colie attraction,
multipliee par un coefficient dont 1'expression est tr&s simple ; mais la valeur
de ce coefficient pourrail toe considtfrablement modified par la presence des
continents. II y auraii done lieu de poussser plus loin Tapproximation; 011
rendrail ainsi plus facile et plus sure la discussion nouvelle des observations,
qui pourrait 6tre enlreprisc des que celles-ci seront plus nombreuscs ol plus
exactes.
Voici comment le probltJine se pose analyliquemenL :
Soient
i, le rayon du globe suppose spherique;
A, la sur^l^vation des mers;
<r, la density du globe lerreslre;
i, celle des mers.
Soifc V le potentiel du a 1'aitractioii de 1'ean soulev^e, de Lelle sortc que,
si da est un d(5ment de la surface de la sphere terrestre et p la distance de cet
element au point (#, y, j&), on ait
Si alors je designe par r la distance du point (#, y, j) au centre de la Terre
et si j'envisage en particulier la valeur de V pour r = i , on aura
ar
Ju d(5signc par cp la ibncLion perturbalrice (qui, d'aprtjs 1' approximation
g^n^ralement admise, est a la surface de la sphere une fonction sphtSrique du
second ordre) et par C une constants que je me reserve de determiner plus
tard.
On aura alors a la surface des continents
h = o; d'ou 2-3 — h V !
et a la surface des mers
L'EQUILIBRE DES MERS. 195
djou
2 ^ + V = E ( V - 9 - C) = £V •+- '^
en posant
Ces conditions, jointes a Fequation de Laplace AV = o et a la condition de la
Constance du volume total des eaux, d(5termiiient V et h.
Clierchons alors a de"velopper V et h suivant les puissances croissantes de i-
en posant
( I ) V = V0 -4- V4 J 4- V2 ?a -h . . . , A = ?1Q -h 7i , £ H- Ao E» -h . . . .
Toutes les quantite"s hi doivent s'aiinuler a la surface des continents et Ton
aura, d'autre part, a la surface des mers,
-., —
On en deduit
les integrales e*tant etendues a tous les elements dco de la surface des mcrs
seulement, ainsi que toutes celles que nous aurons ik conside'rer dans la suite.
On peut se demander si les series ainsi obtenues convergent. Lareponse doit
(^tre affirmative, comme le prouve la m^thode de Scliwarz convenablement
modifiee.
Si nous posons, en effet,
/ V»Vmrfft) = W^.n,
*j
nous voyons ais^ment que Ton a
WTO.n = Wm+n.0 = WOT+TZ ; Wn > o ; ^ < ^~ < ^ <
De plus ,^+1 csl toujours plus petit quo i, et si ^ cst <5gal a- ^a somme
** n
de (p -f- i )2 fonctions donnees multipliees chacune par un coefficient arbitraire,
on peut disposer de cos coeficients arbitrages de telle sorte quo
ig6 L/EQUILIBRE DES MERS.
Si alors u est la limito do u, n pour n infini, on pourra trouver des nom-
W/H-I
bres k et g lels que
ce qui prouve que les series ( i ) convergent uuiformement, pourvu que £ <C [/..
La fonction V est une fonction mgromorphc dc £; soit kt Tun des p6les; le
residu correspoiidanl sera un coefficient constant A/, multiplied par une fonc-
tion m satisfaisant aux conditions suivanles :
\Ui == o (a I'interieur du globe); / u\dt& = i ;
2 -T7 •+• lit = o (a la surface des continents ) ;
2 --~i H- ui =s £/«j (a la surface des mers).
fir
Les fonclions w, jouent, par rapport a un globe doiil la surface est formee de
continents et de mers, Ip m^mc r6le que les fonclions sph^riqucs par rapport a
un globe entiferement recouvert par les eaux. Une fonction quelconque peut, a
la surface des mers, toe d<5velopp(5e en sdrie proc^danl suivant Icsfonctions u^
soit
/= /
d'oCi
11 resLe a determiner la conslante arbitrairc C, qui eiitrc implicitement
dans ^ ; on le fera en gcrivant que le volume des mers demeure invariable.
S'il n'y avait pas de continents, les fonctions ui so r(Sdiiiraieiil aux fonclions
spheriqucs ; on aurail
. /Cl = I, /Ca = A'a = /Lj. = 3, /tg s= 5 5
et
v = As lt*
"5-?*
Pour passer du rgsultal oCi £ esl neglige an resultat exact, il suflit alors de le
multiplier par le facteur
(3) —i-;
L'EQUILIBRL DES MERS. 197
si maintenanl on tieiiL comple des continents, IPS nombres /r/ augmentenl et le
facteur precedent devient
Mais, ot c'est la que je voulais en venir, les coefficients Ai7 A2, A3; A/, ne
sont phis nuls et la formule (2) contient des termes ou entrent les facteurs
S
z = 1,2,3,4).
lesquels sont notablement plus grands que le facteur (3).
II est tr&s probable que, avec la distribution r6elle des continents, les coeffi-
cients AI, A2, A3, A4, sans 6tre nuls, sont n^gligeables. MM. Thomson et Tail
auraient alors eu raison de dire an paragraphe 816 que 1'attraction mutuelle des
eaux n'altfere pas sensiblement les rgsultats. Mais la verification reste a faire;
dans l'6tat actuel de la th^orie, elle entrainerait sans doute des calculs fort
p^nibles et hors de proportion avec le but a atteindre. Peut-£tre cependant les
considerations qui precedent aideront-elles d'autres chercheurs a Irouver une
raethode assez rapide pour qu'on puisse calculer une liniite sup^rieure de A4,
A2, A3 et A4.
SUR L'EQUILIBRE
ET
LES MOUVEMENTS DBS MERS
Journal de Mathernatigues, 5C serie, I. 2, p. 57-102 (1896).
Introduction.
Le probl^me des marges pr6sente une telle complication qu'il ne pent gu&re
6tre abord£ du premier coup dans toute sa g6n&ralit<5 et qu'il convient deparlager
la difficult^. II faudrait tenir compte a la fois de Pat-traction des astres, de cello
dubourrelet liquide, qu'ils soul&vent, de 1'inertiedu liquide, de la presence des
continents, de la rotation du Globe et de la force centrifuge composite, etc.
Peut-6tre serait-ce s'acheminer vers la solution complete quc d'examiner
s6par£ment chacune de ces difficult^ et de chercher a r^soudre le probl&me
quand on n'a a triompher que d'une seule d'entre elles.
Si les astres gtaient fixes par rapport & la Terre et entrain^s dans son mouve-
ment de rotation, le probl&me serait beaucoup plus simple, puisque la surface
des oceans prendrait une position d'gquilibre dont elle ne s'^carterait plus. On
n'aurait plus alors a tenir compte ni de Pinertie du liquide, ni de la force cen-
trifuge compos^e et Pon serait ramen6 £ une simple question de Slatique.
On pourrait encore se contenter de cette approximation si le mouvement des
aslres gtait tr6s lent; les mers prendraient alors une forme tr&s pen diff(5rente de
leur figure d'gquilibre.
Malheureusement il n'en est pas ainsi et cependant la solution de cette ques-
tion peut avoir une importance pratique; les oscillations r^elles des mers
L'EQUIUBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 199
peuvenlelrc regard^os comme la superposition dfun grand nombre d'osciila lions
p&riodiques. les unes a courte, les aulres a longue pdriode. Chacuno de ces
oscillations partielles so comporte comme si elle e*tail seule. Les oscillations a
tr&s longue p<5riode peuvent alors se calculer par la mgthode siatiquo. GVst co
qu'ont tres bien apercu lord Kelvin el M. Tait (>/. Tail et Tliomscm, Traite
de Ph ilosophie n aturelle } .
Cette <3tude statique serait cxtrdment simple si les oceans recouvraient toute
la surface de la Torre ; Femploi des functions spheriques donnerait une solution
immediate, soit quo Ton neglige Pallraction du bonrrelet liquide. soil qn'on en
tieiine comptc.
La presence des continents complique le probl&me; si Ton neglige Fallrac-
tion du bourrelet liquide, il suffit d'appliquer une correction tr£s simple; c'est
ce qu'ont fait Tait et Thomson.
J'ai voulu le trailer en tenant comptc a la fois de Fatlraction du bourrelet et
de la presence des continents; j'y suis parvenu en introduisant certaines fonc-
tions dont les proprietors rappellent celles des fonctions sph<5riques, mais qui
dependent de la forme des continents.
Je me suis occupe ensuite des oscillations a courte periode, mais en negli-
geant d'abord I attraction du bourrelet liquide. II est d'abord ais6 de voir que
1'^tude des oscillations eprouv^es par la mer sous 1'influence des mouvements
des as tres se ram^ne a celle de ses oscillations propres, c'est-^.-dire de celles
qu'elle e^prouverait, si elle etait soustraite a cette influence et si ellc 6tait
^cart^e de sa figure d'gquilibre, puis abandonnee a elle-m^me. C'est ainsi que
Pintggration des Equations diff^rentielles lin^aires a second membre se ramene
a Fintegration des Equations sans second membre.
J7ai done tfte conduit a tStudier les oscillations propres d'un liquide. J'ai
suppos^ d'abord que ce liquide etait enferme^ dans un vase assez petit pour
qu'on puisse n^gliger la courbure de la surface d'&juilibre ; j'ai distingue' le cas
ou la profondeur est finie et celui ou elle est infiniment petite.
J'ai abordt5 ensuite le cas ou le vase est assez grand pour qu'on doive regarder
la surface d'^quilibre comme sph^rique.
J'ai fait ressortir Fanalogie de ce probleme avec celui des vibrations d'une
membrane tendue dont je me suis occup<5 dans les Rendiconti del Circolo
matematico di Palermo.
Enfin j'ai abord6 un probl&me se rapprochant beaucoup plus de la r6alit£ et
j'ai tenu compte de la rotation du Globe et de la force centrifuge compos<5e.
200 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
I. — Equilibre des mers.
Soil Vi le potentiel dft a la sphere terrestre, Ya celui qui cst du au bourrelet
liquide, H- cp celui qui est du aux astres ot a la force centrifuge. Le potentiel
total V, + V3 -h <p devra £tre £gal a une constante C a la surface de la mer qui
differera d'ailleurs peu d'une sphere
\! -H Va -4- 9 = G.
Soit p la density de la sphere terrestre, i son rayon, A 1'tSpaisseur du bour-
relet, de telle facon que la distance de la surface de la mer au centre de la
Terre soit i + h ; nous aurons
Soit cr la density du liquide, V2 pourra 6tre regardecomme le potenliel d'une
surface attirante; cette surface pourra ^tre confondue avec celle de la sphere
terrestre et la densile superficiellc de la mati^re attirante sera cr/?.
Si j'envisage la d£riv£e -T-^ * elle aura des valeurs diffdrentcs en un point Lr^s
voisin de la sphere, mais inttirieur, et en un point tr6s voisin de la sphere, mais
ext&rieur. Pour 6viter toute confusion, je d^signerai par ~-r~ la d£riv<3e en un
point int&rieur et par -— la d£riv<5e en un point ext^rieur ; il viendra alors
dv* ^v; , ,
_ --- -ri==4^<rA.
dr dr
D'autre part, si Va a la surface de la sphere es.t developp^e en st5rio de fonctions
sph^riques et que Ton ait
V2 = SXW.
il viendra
d'ou
Liquation d'^quilibre devient done
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 2OI
OU
2?
, / i P \ ap a>it_c 4 „
2V 35 / 3^ ^ "" 3 ' v'
Gette Equation devra <Hre satisfaite a la surface des mers; z\ la surface des conli-
nentSj on devra avoir h = o, d'ou
Enfin, a l'int<$rieur de la sphere, on aura
AV2 = o.
Nous pouvons simplifier un peu ces notations; supprimons d'abord Pindice a
devenu inutile et 6crivons V au lieu de V2. Posons ensuite
3d .. 3o- / ~ 4 \ 3c
£A = 5 <P= CD , (G ?^P = — K*
9 P * \ 3 / p
On devra avoir a la surface des mers
et a la surface des continents
2«fr"i~ ""°"
Pour rtkinir ces deux Equations en une seule, j'introduirai un coefficient £
qui sera 6gal a i sur la surface des mers et a o sur celle des continents et
j7£crirai
(O 2^ + V =
Le probl^me consiste alors a trouver une fonction V qui satisfasse a liqua-
tion ( i ) a la surface de la sphere et a
AY=:0
a Fint(5rieur de la sphere.
Pour cela remplacons liquation ( i ) par
//v
(ibis) . 2 ^--*-V = $eVH-e(* •+-*),
a/"*
ou | est une ind(§termin^e et d6veloppons V suivant les puissances de £.
Soit
. p. _
202 I/EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
II viendra
2 ~£ -4- c'0 =
el, en g£n<3ral,
dvn
(a) . 2 -^ +
a la surface do la sphere el
(3) A
a rinltSrieur.
Le th(5or6mc de Green nous donne
ou, en tenant compte de (2),
(4) / (pn^/n-i — i'//*pii-i
Les integrations doivent 6tre ^tendues a lous les (^l^menls <r/co de la surface de
la sphere.
Posons
I VmVnSd<* = V,n,n-
Liquation (4) niontre que
*/»,« — 1 := V/?i— 1,7315
et comme, d'ailleurs,
Vjn,n == V ntmj
on conclut que
ce qui me permettra d'^crire avec un seul indice
* m,n == * /n-Hrt*
Je dis que Vn est essentiellement positif ; en effet, si n = a/?, on a
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 2o3
el si n = sp — i , on a
V,, = / VpVp-i c dtO = I <> ( 2 ^' -r- P,, ) flfo) = / 2^ ^ flfo) H- ^ t$ rf(0,
OQ, en verlu Ju theoreme de Green.
La premiere intggrale doit ^tre ^tendue a tons les elements rfr du volume do
la sphere et ^ ( c-~- \ est la somme des carr<5s des irois d^riv^es parlielles de py/.
Si Ton change <1> en * + /,r0: P« se change en rn -f- /.^«-M ? ^ 2/» °l ^ 2/1-1 so
changent en
/ ({'„ -f- A Pw^i )a£6ftO s= V2ll -f- 2XV2n_l -H A2V2n+2
et
vv
/ (^ -f-
Ces expressions, quel que soit X, doivent ^tre positives; c'est-a-dire que les
Equations en /
O
doivent avoir leurs racines imaginaires. On a done
^ 1/z+l < ^ S/i
d'ou
Le rapport -r?^ va done en croissant avec n.
Or
//»
v% e <a?to / <
J
Si fn est d^velopp^ en s6rie de fonctions sph^riqties sous la forme
nous aurons
2C)4 L'^QUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
Si nous posons
|XXo> = A*,
il viendra
Cv\dv = 3AJ5
et
d'ou
v«» _ SA« X-±L<f
vsll-i""a(2p-hi)A*^ ' v« ^ '
Soil
ou cpj., cp2, - • • - 9 ry sonl q foiictions donn^es el ou a*, a2, . . . , <x(J sont des ind<5-
termin(5es. Les fonctions V ol 9n seront des fonctions lin<5aires et homog^nes
des a, et nous pourrons poser
Le rapport y27? depend aussi des a.
Or, si # = v3, je puis, quelles que soient les fonctions cp/, choisir les i
minxes a de telle facon que le d^veloppement de vn en s^rie de fonctions
sph^riques, commence par une fonction d'ordre v — i .
On aura alors
GonsidtSrons «l5 a2 ..... aty comme les coordonn<5es liomogenes d'un poinl
dans 1'espace a q — i dimensions. On pourra trouver dans cet espace une
region Rn telle qu'a 1'int^rieur de cette region l'in<5galit<5 (5) soil v<3rifi<3e.
On pourra <%alement trouver une region R/l4.i telle que dans cette region
on ait
Cette region sera tout enti&re contenue dans Rn, puisque
'2
On peut en conclure que, quand n croit ind^finimeut, R« tend & se r^duire
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 200
a une region limite que j'appelle R, qui pout se reduire a un seul point, mais
qui contient au moins un point.
Le rapport -^^-allant en croissant et etant plus petit que i tend vers une
limite qui est au plus egale a i ; mais d'apres ce qui pr<$c£de, si le point ai;
a2, . . . , 5?? est dans la region R, cette limite sera plus petite que - *
On peut done trouver un nombre A tel que Ton ait
Vn< A(2v- rr'S
pourvu que le point a1? a2, . . . , zq suit dans la region R.
Gela pose, il est aise d'integrer Fequation (2). Soient da et du! deux
ments de la surface de la sphere; D la distance de ces deux elements, soient
et ?'„_, les valeurs des fonctions s et r,z__i au centre de gravite de Foment d
on aura
Je me propose de trouver la limite superieure de [ vn \ que j'appelle £n.
Pour cela, je divise la surface de la sphere en deux regions, que j'appelle R"
et Rf//. Ces deux regions seront s^par^es Tune de 1'autre par un petit cercle qui
sera Tintersection de la sphere terrestre avec une autre sphere ayant pour centre
Pel6rnent rfw et pour rayon p.. La region R" sera celle des deux regions qui
contiendra Felement d&. Nous poserons
vn = pj -H vl.
vnn sera deiini comuic tVi par Pinlegrale (6); seulernent cette integrale, au lieu
d'etre etendue a la sphere tout entiere, sera 6tendue a la region Rff; de m^me, vmn
sera I'integnjle (6) etendue a Rw.
Cela pose, nous aurons
Les integrates doivent 6lre (5tendues a R'". La premiere est plus petite que
elendue a la sphere lout entiere J mais cette derniere esl egale a
206
car
D'autre part,
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
•' = o ou i, d'ou i = t'-.
/"' d(&r r d($' ^ i m
J 16*202 < J 16*2^ ^ 4njj[* '
car dans Rw on a D > p.
II vient ainsi
(si le point a1? a2, . . . , a^ est dans la region R).
On a ensuite
Los inlegrales doivent 6tre etenducs a W; la scconde esl ais6e a calculcr;
II vient done
d'ou
et
2
La quantitc p. csl arbilraire; mais il nous suffit do lui donner une valeur
quelconque; I?in<5galit6 pr<5c<5denie peut s'(5crire
a et 6 etant des constantcs.
Si X csl la plus petite des deux quaniilcte
,=1- et 3
2 2V — I
cela s'^crit
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 207
On en d^duit
£•* <<ZA2-f- A^j <
£•3 < a A* H- A#2 < A3(3 a
Comme JJL est arbitraire, je puis prendre
2v — :
d'oti
II r^sulte dc la que la serie
Po-+-5«»i -4- P «>«-*- ...
est (pourvu que le point ai7 #3, . . , c/Lq soit dans la region Pi) absolument et
uniform&nent convergente toutes les fois que
Soit maintenant
(7 )
d'ou
Si alors V* csl regard^e comme une fonction de £ definie par la seric (7) el si
le point «i7 a2 . . . , a7 est dans la region R, cette fonction del; sera holomorphe
dans le cercle dc rayon 2v + i .
Mais on a
d'ou Fun peul conclure que A est une fonction rationnelle de \ * el de £ et que,
par cons6quenl, a I7inl6rieur du cercle de rayon av-f- i, V est une fonction
meromorphe de £ dont les poles sont les racines de 1'equaticin
^f -f- a? = o.
208 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
Commc v est arbitraire, il resulte de la que V est mgromorphe dans tout lo
plan et que ses poles sont fixes, je veux dire ind^pendants du centre de gravid
de l'gl€ment civ.
Je vais maintenant montrcr que les poles sont simples et £tudier les r<5sidus;
je veux d<£montrer que, si "£,• ost nn pole et UV le r<3sidu correspondant, on a a la
surface de la sphere
(8) a^+U, = e&U7,
et a 1'interieur
j = o.
II me suffirait pour cola de repeter le raisonnement que j'ai fait dans mon
Mfemoire sur les Equations de la Physique mathematique qui a (Ht5 insure dans
les Rendiconti del Circolo matematico di Palermo; il est inutile de le repro-
duire ici.
Le th^oreme de Green nous donne
ou en vertu dcs Equations (i bis) et (8)
Ui(gV -+- * -f- A:)] « o
ou
(6i — i) fsVUK/w^ f
Soit alors
V ne deviendra pas infini pour £ = ;/; il viendra done
— ygUf rfw 4-^(5^ - 0 V'U/srfco = AUK* + A:)rfco,
ou pour g == ^j
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 209
II. — Fonctions fondamentales.
II n?y aura, en general, qu'une seule ibnction U/ qui satisfasse a 1'equation (8)
on plutut toutcs les fonctions qui satisferont a celte equation ne diff&reront que
par un facteur constant.
Soil Ui une de ces functions; je la choisirai de telle facon quo
/ SZJjrfto = I,
ct la solution la plus generate de liquation (8) sora
Uz- =
A£ etant un facleur constant; je dirai que ut- est une fonctionfondamentale.
II est aise dc voir que, si u\ et u/( sont deux fonctions fondamentales corres-
pondaiit a deux nombres differents £/ et E/0 on aura
Mais il peul arriver aussi que plusieurs fonctions line'airement ind^pendantes
satisfassent a une mtime Equation (8). II n'y en aura en tout cas qu'un nonabre
fini (au plus v'-\ si j ^/ j (av — i ).
Toutes les fonctions U/ qui satisfont a liquation (8) peuvent s'exprimer
lineairement a Faide de y •+- i fonctions lin^airement ind^pendantes que
et que je d^signerai par
Je pourrai clioisir ces fonctions fondamentales de telle fac.on que
/£U?dfo=I, / S
Nous aurons alors
U/ = Af«/ -h A/+1 iii+
les A <5tant des fac tears constants.
Voici quelles regies je suivrai pour le numtSrotage des fonctions u-t et des
nombres £$.
J'observe d'abord que les nombres £/ sont esseatiellement positifs et plus
grands que i .
H. P. — vin. a?
210 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS,
Je les rangerai par ordre de grandeur croissante. Mais il pourra arriver,
comme je viens de le dire, qu'un m&me nombre £,• corresponde & g -i- i fonc-
tions fondamentales
Dans ce cas, je dgsignerai indiff^remment le nombre £/ par les lettres
et le nombre suivant sera
Dans ces conditions, le nombre ^ correspondra toujours a la fonction Uk de
m6me indice, et au lieu d'gcrire le terme infini de V correspondant an
p6le £ = & sous la forme ••__ ^ 3 je pourrai 1'^crire
Les coefficients A,- se calculent aist5ment a 1'aide de la formule (9); on trouve
A/ = — / £
On aura ^videmment I'in6galit6
(ll) ^v*>2V— I.
Si une fonction quelconquc F est developpable en s£rie de fonctions fonda-
mentales sous la forme
F ssBiM! 4- B2W2-4- . .,
on aura, en vertu des relations ( 10),
B2-r= /£^F<a?co.
L'analogie avec les fonctions sph^riques est done ^vidente.
D'ailleurs, il y a un cas ou nos fonctions fondamentales se rgduisent aux
fonctions sph^riques elles-m6mes : c'est le cas de e = i ; c'est-a-dire celui ou
les mers recouvrent toute la surface du Globe.
De 1'ggalitg (6) nous avons d^duit plus haut Fin6galit6 suivante, ou gn
repr^sente le maximum de \v/i\'
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 211
Nous avons de m£me
d'ou
Cette relation, ou les notations ont le m£me sens que dans la relation (6),
est analogue a l'6galil£ (6); seulement vn et vn_i sont remplacgs par m et £,-w/.
Nous pourons done r^crire l'in£galit£ (12) en y rempla cant gn par le maxi-
mum de | M,-|, que j'appelle G/, ^rt_i par le maximum de |E/M/|, qui est ^-G/ et
V2«~2= / SPJUtflftiJ
par
L'in^galit^ devient ainsi
Comme ;JL est arbitraire, je puis le choisir de facon a rendro le second
membre minimum: je prendrai done
d'ou
0|<5< ys'
d'oft enfin
Nous avons ensuite, par Isin^galitt5 de Schwarz,
A? = T Aaf(O^-^)rfo)l"< C&u\du r(
La premiere des int6grales du dernier membre est £gale 4 i par la rela-
tion ( 10); la seconde peut 6tre regard6e comme donntie; je 1'appelle Q2 et j'en
d<5duis
|Af|<Q.
2I2 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
Envisageons la s£rie
2A/m /j
S-fcU
Cette s&rie sera absolumenl convergente si la suivanie 1'csi
Or, le termc gt$n<3ral de cetlc s<3rie est plus petit quo
Or
£va>2V — I-
Done
C' <5tant une constante. Le terme g6n£ral est done plus petit qu'un facteur
constant multipli^ par ^ ~.
La condition de convergence esl done que/> > 3.
Consid(5rons alors la stSrie
\V =
elle converge uniform gment et reprcSsenle une fonction m^romorphe W qui a
monies pdles et m^mes rgsidus que V; on a done
.E d6signant une fonction enti&re de ^.
D'autrc part, on a
la s6rie du second membre convergeant uniform&naent, d'oi'i
la s<3rie du dernier terme du second membre est encore absolumenl ct unifbr-
mement convergenle. Comme on a, d'autre part,
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 2i3
on en dtkluira
dE „ ..
2 ^ +- E = cJ
Soit alors
(13) E
on aura
_--tt «-,
sauf pour /z^o cl /i = 5, pour Icsqucls nous devrons ecrirc los equations
suivantes :
2<r/e0 ,* 7
—2 4- ^o = s(4> -4- /: i;
Les equations qui defimsseni los en ^onl done a parlir dc n = 6 tout a fait de
m£me forme que les equations qui definissenl les r/4.
Si done nous de'signons par Em>71 les integrates analogues aux Vm,n, nous
voyons que
Ces inegalites sont vraies pour n > 10; done a partir de « = 10, lo
T7
rapport -^±1 qui est positif va en croissant; el alors a moins que ee rapport ne
soil constamment nul, il tendra vcrs une limite diff^rente de o qui sera Tin-
verse du rayon de convergence de la serie (i3).
Mais la fonction E doit 6tre entire : il faut done que ce rapport soil cons-
tamment nul et que Ton ail
E/H-i = o,
pour n > i o ; on a done
/ \e\d<* = o?
et, par consequent,
^ = o,
pour n ^ 6.
La fonetion E est done un polynome du 5° degre1.
Comme W est divisible par £5, on aura ^videmment
fa?2 + Ps?3-
2 1 4 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
On a, d'ailleurs, en comparant les ddveloppements de E, V ct W,
Liquation
donne alors
d'ou
Si maintenanl je suppose que Ton puisse trouver cinq fonctions «>i, wa, cv3,
4, (ps telles que
dw5
w2 == e^j 2-T-
a/*
2
7--- 4,
ar ar
la s<5rie
convergera el Ton aura tout simplement
y-V
x-
C'est ce qui arrivera si la fonction $ + k est continue ainsi que toutes ses
d6riv£es et si elle s'annule ainsi que ses d£riv6es des cinq premiers ordres sur
le bord des continents.
J'ajouterai que, selon toutes les analogies, la s£rie (i4) cst probablement
toujours convergente et la formule (i5) toujours vraie.
III-IV. — Application aux marees.
Supposons done que la s^rie (i4) soit toujours convergente, ce qui donne
l/EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 2l5
La fonction <D est donn£e ; nous pourrons done la dgvelopper sous la forme
et nous aurons de m£me
Une fois qu'on a admis la possibility du developpement, rien n'est plus facile,
comme nous 1'avons vu, que de calculer les coefficients B,- et C/.
On a alors
Ai = — Bf— Cj*.
II reste a calculer la constante A- ; nous le ferons en remarquant que le volume
du liquide doit demeurer constant.
Or la variation de ce volume est proportionnelle a
Je fais remarquer que sur les continents
dV „
a3? + v-°-
On doit done avoir
/(•£+*)*•
Or
II vient ainsi
ce qui dgterminerait la constante k.
II faut faire finalement £ = E0»
Si Ton suppose que les mers recouvrent tout le Globe, les fonctions fonda-
mentales u; se r^duisent aux fonctions sph^riques X^; les nombres & sont dgaux
a 2v — i ; v 6tant la racine carr^e de i &. une unit6 pr^s par e$ces*
On a alors
C| = / zuidto = / Xi<fo>,
ce qui montre que tous les C,* sont nuls, sauf C±.
2i6 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
De plus, dans 1'eqiialion (16), tons los tcrmcs / ew/do) soul mils, sauf le
premier; il reste clone
£d -+- Bi = o.
Dans le cas parliculier des marges, <D a uiie forme parliculifere; c'esl une
foiiclion spherique du deuxieme ordre; je puis toujours supposcr quo
$ = BSX5,
puisque le clioix des cinq ibnctions fondamentales
z/£S=X, (i = 5, 6, 7, 8, 9),
qui doivent &tre des functions sphtiriques du deuxieme ordre, resle arbilrairc
dans une certaine mosurc.
On a, d'ailleurh,
B1=oJ
d'ou
k = 0, A3 = — Bi}
Si Ton fait d'abord £ = o, c'ebt-a-dire si Ton neglige 1'altraclion du liquide sur
lui-m^me, il vient
Si Ton fait ensuite £ = £0? *1 vient
v " 5^u ^ 5 JT=TO '
Comme on a a peu pr&s £0 = ? ? cela fait
db of»
v = — -~ •
5 22
On voit que 1'erreur commise en n^gligeant 1'attraction du liquide sur lui-
m^me est assez faible.
Supposons maintenant que la mer ne recouvre plus le Globe tout entier, rnais
nggligeons 1'attraction du liquide sur lui-m£me, il viendra
V = —
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 317
d'ou, a la biirlace des mers,
2 £L -+- V = $ -4- k.
dr
La constante A* doit etrc» determintic par la condition quo la variation dn
volume total soit nulle.
Lord Kelvin ct M. Tail, dans leur Traite de Philosophic naturelle^ out
applique cello metliode aux oscillations lentes dont la periode est de six mo is
on de quiiize jours; ils ont compare le resultat obtenu avec 1'observation; colic
comparaison n'est pas saiisfaisante si 1'on tient compte de ce fait quo la mareo
apparenle devrait 6tre diminue'e par la deformation eprouvee par la croute ter-
restre elle-m£nie, qui n'est pas absolumeiit rigide. Le resultal nc pourrait
s'expliquer qu'en adrneltant, non seulement, quc le Globe terrestre est un solide
plein, mais qu'il est beaucoup plus rigide que 1'acier.
Sans doute, la m^thode employee paries deux illuslres savants anglais consisle
a n(5gliger 1'attraction du liquide sur lui-m^me. Nous venons de voir que, dans
le cas ou les mers recouvrent le Globe entier, 1'erreur relative qui est comraise
o
est de — • Les auteurs concluent qu'elle doit £lre aussi faible dans le cas de la
22
nature.
Je ne m'iiiscris pas en faux contre cette conclusion, elle est probablement
exacie; je voudrais seulement montrer qu'elle n?est pas aussi evidente qu'on
pourrait d'abord le croire
Nous avons
an lieu de
L'erreur relative commise sur un terme de la s^rie est dono
Comme Ei est plus grand que 2v — i ? s'il j a des continents, et e*gal a 2 v — i
s'il n'y en a pas, cette erreur est plus petite dans le premier cas que dans le
second.
Mais, d'autre part, les termes en
qui disparaissent quand il n'y a pas de continents, ne sont pas mils quand' il y
a des continents.
H. P. — Yin. 28
2Ig L'^QUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DBS MERS.
D'un autre c6t<£, on peut concevoir que les valeurs de £n!;a>£a)£i> soient
voisines de ce qu'elles seraient si les continents n'existaient pas, c'est-&-dire
de i et de 3.
Les arrears relatives commises sur ces quatre termes seraient alors voisines
de-ou de7-
2 4
On peut done concevoir que, pour certaines formes particuliSres de conti-
2
nents, Ferreur relative commise sur V soit notablement plus grande que — •
II est probable qu'il n'en est pas aiiisi, mais pour le verifier il faudrait faire
le calcul complet, et a cause de la forme capricieuse des continents ce calcul,
m6me rgduit & une approximation grossi&re, serait absolument inextricable.
V. — Generalites sur les oscillations.
Nous ne nous sommes occup^s jusqu'icique des oscillations &longuep6riode,
ce qui est une simple question de Statique; les oscillations a courte p^riode
doivent, au contraire, £tre trait^es en tenant compte de Finertie, c'est-a-dire
comme une question de Dynamique.
Consid^rons d'abord un syst^me dont la position est d6finie par n coor-
donn^es quelconques gri} y2) - - • ? qn] soient y't, ya, . - », qn les vitesses, c'est-
a-dire les d&rivdes de ces coordonn^es.
Soient T F&iergie cin^tique, U l^nergie potentielle due aux forces int6-
rieures. Soit
le travail virtuel des forces ext&rieures correspondant a une variation vir-
tuelle iqi de la coordonn^e qi.
Les Equations de Lagrange nous donneront
. . d dl dT dU ^ . .
Les Qa sont des fonctions donn^es du temps.
Je suppose que le syst&me ne s'^carte jamais beaucoup d'un certain <§tat
d^quilibre stable. Get £tat d'^quilibre stable devra correspondre a un mini-
mum de la fonction U. Je suppose, par exemple3 qu'il correspoade aux valeurs
q\ = ya = . • • — qri = o, U « o.
Je suppose que U s'annule avec les #, ce qui est permis, puisque Un'est d<5ter-
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 2x9
qu'a une constante pr£s. Alors U est d6veloppable suivant les puissances
des qa] le dgveloppement commence par des termes du second degr£. Comme
les qa sont tr£s petits, je m'arr£terai a ces termes et U sera un polynome
homog&ne du second degr6 par rapport aux ga.
Avec cette m6me approximation, T sera un polynome homog&ne du second
degr6 par rapport aux qa ind^pendant des qa et nos Equations deviendront
d dT dU ^
<a> dtd?a + dj-a = ^
Les premiers membres de ces equations sont des polynomes limSaires et a
coefficients constants par rapport aux q et aux c[ \ les seconds membres sont
des fonctions connues de t. Nous avons done des Equations diflferentielles
lingaires a second membre et il faut d'abord int^grer les equations sans second
membre,
(3) dld^^d^^0'
II faut, pour faire Immigration, poser
(4) 2a = aaCOsX£, £a = — a«XsinX?,
les aa et X 6tant des constantes qu'il s'agit de determiner.
Soient T0 et U0 ce que deviennent T et U quand on y remplace les qa et
les qa par les art. Quand on y remplacera les qa et les qa par leurs valeurs (4)?
on trouvera
U = UoCos2X*, T=:T0X2sinn#; ^H =^L0
aqa d&a
dT _ . ,,<o?T0 d dT ., ^,
— X sin It -= — ; -=- -7-7- = — A2cosX£
dt dq'a
de sorte que liquation (3) devient
L'ensemble des Equations (5) signifie que X2T0 — U0, qui est une forme
quadra tique par rapport aux a^, a son discriminant nul.
Liquation qui exprime que ce discriminant est nul est une Equation alg6-
brique de degr6 n en X2 ; comme T et U sont deux formes quadratiques d^fmies
positives, cette Equation en Xa a toutes ses racines r^elles et positives,
Le th6or£me des fonctions homog^nes, compar6 aux Equations (5), nous
donne 6videmment
= Uo,
220 l/EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
et les equations (5) devieiinent
J_ ^T° — _L
To dxa ~~ Uo dy.a
ou
ae(5) —
de sorto que la resolution des Equations (5) revieiil a la recherche des maxima
T
el des minima, ou des maxima minimonun du rapport ~
T
~ •
Je de^signerai par
les 72 racines do 1'equation on X2; les loltros a(^3 seront les valours des art qui
satisfont aux Equations (5) en y faisant X = A/.
D'apres la thdorie des formes quadratiques, les deux formes T0 ctU0peuvcnt
toujours se decomposer comme il suit :
To - PI H- - . • H- PS,
U0 = (JLiPf -4- ... 4-linPJ,
les P dtant des polyiiomes lin^aires et homog&nes par rapport aux afl et les p.
(5tant des constantes.
On voit tout de suite alors que
P* = ^J
et que les valeurs des a^ satisferont aux Equations suivantes ^quivalenles aux
Equations (5) et qui sont au nombre de ft — i :
P* = o (k = r, 2} . . ., i — i ; kr=. i -h i, i-t- 2, . . .j /*).
Comme ces Equations ne determinant les a(j} qu'a un facteur constant pr6s,
nous disposerons de ce facteur constant de telle sorte que
P*(«SP)«i.
On a alors
ce qui entraine les Equations
Voici maintenant comment 011 pourra conduire le raisonnement.
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 221
Le rapport ;^ne peut s'annuler. il a done an minimum A~ qui est atteini
pour <y.n =. a(^; assujetissons ensuite les y.a a la condition
(7)
il y aura encore un minimum (plus grand que le premier), que j'appelle A
qui sera atteint pour art = a(;/ .
J'assujettis les aa a la condition (7) et, de plus, a. la condition
ot j'obliens un nouveau minimum A:, el ainsi de suite.
Touies ces considerations permettent de dtSfinir les a^J el les A/ et nous four-
nissent, par consequent, la solution complete des Equations sans second
membre; revenons maintenanl aux Equations a second membre (a).
Les Q« sont des fonctions de t qui pourront toujours se mettre sous la forme
d'int^grales de Fourier; mais il nous suffira de nous rtSduire pour ainsi dire a
Pun des <5lt5ments de ces intggrales et a poser
Qa =
les Ra t^tant des conslanies donn^es.
Nous pourrons alors rǤsoudre les equations (a) en posant
qa = «rt cos \t ;
c'est eette solution qui constiluera ce qu'on peul appeler une oscillation simple
forcee^ tout a fait analogue aux ondes £l£mentaires dont la reunion coiistitue
les marges; tandis que nous reservoiis le nora d'oscillations simples propres
aux solutions
des Equations (3).
Les Equations (a) deviennent alors (en divisant par
Multiplions les Equations (8) par a{^ et ajouloiis, ii viendra
(9) 2(Xf-^)pf(aa)==SRaa(/).
Les n Equations (8) sont ainsi remplac<5es par les n Equations (g).
222 L'gQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
Si Ton avail
la solution serait immediate et 1'on aurait
On est done conduit a chercher & determiner les n coefficients
k i j A 2 j • • • > "^
par les n Equations
(10) K^
Pour cela, multiplions ces Equations par a(^ et ajoutons; il viendra, en vertu
de(6),
2 Ra«S = 2^-.
Les coefficients A^ 6tant ainsi determines, on aura
On voit comment PtHude des oscillations forc^es se ram&ne a celle des oscil-
lations propres.
Dans les probl&mes que nous aurons a traiter, la situation du syst&me n'est
plus defiinie par un nombre fini de paramtoes, mais par une infinite; T et U
ne s'expriment plus par des sommes de termes, mais par des integrates definies.
Tout ce que nous avons dit subsiste d'ailleurs; la mani&re d'etudier les oscil-
lations propres par la suite des minima successifs du rapport de T a U; celle
de ramener les oscillations forcees aux oscillations propres; enfin les equa-
tions (6) ou il faut remplacer les sommes par des integrates et qui deviennent
ainsi ces series d'equations, analogues aux equations (10) du paragraphe II, et
que 1'on rencontre dans tous les probtemes de Physique mathematique
La premiere idee de cette generalisation, qui est le fondement de tout ce qui
va suivre, est due a lord Rayleigh.
Les equations (n) montrent que les aa sont des fonctions rationnelles
de A2 ; ces fonctions sont les analogues de la fonction V etudiee dans le para-
graphe I et qui est une fonction meromorphe de £.
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 223
Nous pouvons tirer de ces m6mes Equations ( 1 1 ) afl d£velopp6 suivant les
puissances de X2; il viendra
avec la condition
ft<*)^\
rfX?*+«
Fqrmons maintenant les expressions
(je suppose, bien entendu, que dans T0 et U0 les art onl 6t6 remplaciSs par j3(U}).
Ces expressions sont analogues aux integrates Vm,n considers dans le
paragraphe I.
On trouve aisgment
Ces Equations montrent que les expressions (12) ne changenL pas quand on
change m et n en m + A et n — A.
Cette proposition est analogue a liquation
V/7i,« == ' wz-Hl,n — i
d6montr£e dans le paragraphe L
VI. — Oscillations propres des licpddes.
Gonsid&rons un liq\iide enferm^ dans un vase assez petit pour qu'a Pint&rieur
de ce vase la pesanteur puisse ^tre regard^e comme une force constante en
grandeur et en direction. La surface libre du liquide en (Squilibre se r^duira a
un plan horizontal.
Nous supposerons que Ton peut n^gliger 1'attraction mutuelle des diverses
portions du liquide et les effets de la force centrifuge compos^e; et nous propo-
sons d'&udier les petites oscillations de ce liquide lorsqu'il a 6te peu 6cart^ de
sa position d'gquilibre, puisqu'il est abandonn6 a Iui»m6me.
A Porigine du temps, le liquide est £cart6 de sa position d'£quilibre, mais il
est en repos ; si la forme initiale de la surface libre, 6cart6e de Fgquilibre, est
convenablement choisie, le mouvement du liquide sera p<5riodique, et nous
aurons ce qu'on appelle une oscillation propre simple.
224 L'gQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
Si cette forme initiale est quelconque, le mouvement du liquide rtSsulte de la
superposition d'une infinite d'oscillations simples. Dans tous les cas, d'apr^s le
th6or£me de Lagrange, comme nous partons du repos, il y aura une fonction
des vitesses.
Consid^rons le cas d'une oscillation simple; comnio le mouvemenl osi, piSriu-
dique, cette fonction sera de la forme
<D = o sin A?,
cp tUant ind(3pendant du temps. Liquation de continuity sera
A9 = o.
La pression/?, si nous prenons la density du liquide pour nnild et 1'axe des z
dirig^ de hant en bas, sera donn6e par la formule
Mais les mouvemenl s (Hant tr^s peiits, nous pouvons n(5gliger le carre de O
et il reste
.
p —gZ — -rff—gZ — XO
La force vive du liquide est ggale
irr/d$\* (d&\ /rf*\91, sin*X/ Tvi /^9\
-/(T-I-M-T-I-M-T-} ^t:= - ~
*J l\dacj \dy } \ds J J
LJint<5gration doit 6tre etendue a tous les dements de volume ch du liquide.
Quant a 1'gnergie potentielle, elle est ^gale a
rint6gration t^tant <§lendue a tous les 6l6ments rfw de la surface libre du liquide.
Cette surface libre, en nggligeant des infinimenL petits, peut £tre assimil(5e a
un plan horizontal et nous prendrons ce plan pour plan des aty.
Une molecule qui se trouve a la surface libre 6tait dans le plan des xy quand
le liquide £tait en gquilibre. La quantity z qui entre dans notre integrate n'est
done autre chose que la projection sur 1'axe des s du d&placemenl de cette
molecule.
Or les projections du displacement d'une molecule sur les trois axes sont
t^videmment 6gales a
COSA£ d® cosXi dy cosX^ dy
~ dx* T~"5r' ~ dz'
L/EQUIUBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 225
L'energie potentielle est done e"gale a
D*apr&» ce que nous avons vu plus haul, le probleme csl aiiisi rarnene a
rechercher les maxima et minima relalifs du rapport de Tintegrale
a 1* integrate
La premiere integrate est etendue aux elements <:/7 du volume du liquide et
ce volume est limite. d'une part, par la surface de la paroi du vase et, d'autre
part, par la surface libre, qui est une portion du plan des xy. La seconde inte-
grale est etendue a la surface libre.
La foiiction cp est assujettie a deux conditions :
i° A 1'interieur du vase, on aura
Ac = o.
2° Sur la surface de la paroi, on aura
$-0.
dn
On trouve
uu, en vertu du theoreme de Green,
I3A= r^8srfca4- r^lSo^o'— Cteovdt.
2 J an " J dn " J
La premiere integrate est etendue a la surface libre, le long de laquelle on a
dfe> __ dy
Hn ~~ ds*
La seconde esl elendue a la surface de la paroi; ellc est. iiulle.
La troisitoe est <3iendue an volume du vase; elle est egalement nulle.
II reste done
- 3A = / -T^.O? //o>.
2 J dz '
H. P. — VIII. 25
6 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
On trouve, d'autre part,
Mais le theortjme de Green nous donne egalemenl
Mais la fond ion cp <£tant assujettie auu deux conditions Acp = o, -^ = o, on
devra avoir :
Sur la surface dc la paroi
~dii ~ °*
Done la seconde integrate est nulle.
Dans rinl&rieur du vase
Aos = o.
Done la iroisi&nc integrale est nulle.
Sur la surface libre
~~dn ~~ dz ~~ ds
Done enfiii
ISA
2
= / 9 s ;r ^to-
«/ ^s
Soil U le volume du liquidc, ce volume est constant; on a done
done
Pour que 5 ~ soit nul, il faut que SB = o soil une consequence de oA = o et
oU — o, ce qui exige qu'a la surface libre on ait
a et b ^tant des constantes. Mais la fonction des vitesses n'est d&finie qu'a une
constante pr^s; je puis done supposer b = o.
L'&JUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 227
La condition necessaire et suffisante pour que
3 A
c'est done que le rapport de 9 a -^ soit constant en tons les points de la surface
libre.
Ainsi la recherche des oscillations propres simples du liquide se ram&ae a la
determination d'une fonction 9 satisfaisant aux conditions suivantes :
i° A Pinterieur du vase
2° Sur la paroi du vase
3° Sur la surface libre
— : 9 = const.
On pent arriver a ce resultat d'une autre maniere. Nous avons trouv6
p = g 5 — AO COS A t.
A la surface libre, p est mil, et z est egal a la projection du deplacernent snr
Paxe des ^, ainsi que je Pai dit plus haul, c'est-a-dire a
On a done
<2?<p ^
^_ =_A-5.
La recherche des lonctions o, qui correspondent aux diflPereiites oscillations
simples et qui sont analogues dans une certaine mesure aux fonctions fonda-
rnentales du paragraphe II, le d^veloppement d'une fonction quelconque en
sgrie proc^dant suivant ces fonctions fondamentales, se ferait d'apr^s des pro-
c^d^s analogues a ceux des premiers paragraphes de ce travail ou de mon
Memoire cit6 des Rendicontf.
Mais je pr^fere ne pas m'y altarder et passer tout de suite au cas ou la pro-
fondeur du vase est tr&s petite.
Soil k la profondeur du vase, de telle fagon que la surface de la paroi ait
pour Equation
228 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
. . ..." , f . dh dh
Je supposerai que A est tres peat auisi que ses derives ^? ^-
Je d^veloppe 9 suivant les puissances croissantes de z et j'ai
O = Cpo •+• ?1 -2T H- y * 5- H- . . . .
A la surface libre, c'est-a-dire pour z = o, nous devrons avoir
d'ou
A 1'interieur nous devons avoir Acp = o, ce qui s'ecril
(A?o-H - As, -h. . . ) -4- (292 --T- 6^o3-t- i2^23>t-i-. . . ) == o
ou, en faisanl s = o,
(2) AcoH- 2toa= o.
Au fond du vase, c'est-a-dire pour z = h, nous devons avoir
Comme les cosinus directeurs de la normale sont proportionnels a
cela peut s'ecrire
Or, pour z = h, on a
dv
dh dh
-=-» -7- et — i,
dx dy '
ds dx dx dy dy'
cp _ po , <9t
~_ ___ — " ^— /<f _- — j— . . < .
dx doc dx
Je substitue dans 1'^quation (3) en n%ligeanl le carre de A et j'obtiens
dh d®b dh, d$>b
C4) " Tl 1 ~Ta" - dx^doc-fy ~fy
Tirons cp£ et <p2 de (i) et de (2) et substituons dans (4), il viendra
L^QUI LIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 229
OU
Au bord du vase, on a
^ =3. h = o,
et par consequent on a, a lafois,
dkp __ _ Aa dy ^ dh dy dh ds
dz ~~ g *' dz~~ dx dx dy 'dy*
Si nous nt^gligeons A, nous tirons de la
a?©
-£=0, ?=0
et, comme £ est nul,
90=0.
Ainsi la fonction <p0 doit satisfaire u liquation (5) en tous les points de la
surface libre qui est une aire plane et, au bord de cette aire plane, elle doit
s'annuler
G'est cette condition a la limite que nous adopterons; mais je dois observer
que, pour Tetablir, j'ai du supposer non seulement que h est tr6s petit, mais
que ses d6riv6es le sont <5galement; de sorte que, sur le bord, le fond du-vase
prgsente une pente tr^s douce.
Si, au contraire, j'avais suppose que pr&s du bord la paroi du vase est verti-
cale, j'aurais du remplacer la condition a la limite
90=^0
par la suivante :
On peut arriver au m&me r«5sullat d'uhe autre manure.
La force vive est ggale a
Or
23o L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
ou, puisque 3 esl ires petit.
' \dy) -*"
et, comme on a
— _ „
?i — g ,o,
la force vive est egale a
siii-Xz /", , r/^9o\"" /<^?oV A* 2 "I
2 .y i<rw[\7/5/ "'"V^r/ ^p90]
LT&iergie potentielle est^galea
Mais liquation. (4) monlre que Q! (el par consequent A2) ost une quantity
petite de 1'ordre de h ; nous devons done n^gliger le lerme en cpj dans
1'expression de la force vive qui se r^duit a
D'ailleurs, nos formules montrent suffisamment que Fthiergie cinetique
moyenne est de Tordre de h et T^nergie potentielle moyenne de Pordre de A2 ;
et comme 7 dans une oscillation simple, ces deux Energies moyennes doivent
&tre £gales, on doit conclure que A2 est de 1'ordre de A, ce qui justifie une fois
de plus la reduction que nous venons de faire.
Cela pos<5, la recherche des oscillations simples se ram&ne h la determination
des maxima et des minima relatifs du rapport de 1'int^grale
a Pint£grale
L'application des regies du calcul des variations nous conduirait a liqua-
tion (5), que nous avons obtenue directement,
Comparons a un probl^me en apparence tr&s diflf^rent, celui des vibrations
d'une membrane tendue.
L'^nergie cinetique est proportionuelle alors a I7int($grale
B /
L'EQUiLIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 23 1
o deslgnanl Tepaisseur de lu membrane el o le emplacement d'un point de la
membrane par rapporl a sa position cPequilibre. Ce d^placemenL est suppos^
normal a la membrane.
L'energie potentielle esi proporiionnelle a I'integrale
// designant la tension de la membrane.
D'aulre part, sur le bord de la membrane, la function o doit s'annuler.
Le probleme consislo a rechercher les maxima et les minima relatifs du
rapport i.
Mais les Integra les A el B sont les monies quo dans le probleme qui nous
occupait d'abord ; il suffit d'y fa ire p = i .
Le probl&me des oscillations d'un liquide dans un vase pen pro fond esl done
identique an probl&me des vibrations d'une membrane d'^paisseur constante,
mais de tension variable.
J'ai trait<5 compl^tement le probleme de la membrane dans mon Memoire
cit(5 des Rendiconti; J'T ai suppose, il est vrai, la tension constante; mais mon
analyse serait encore applicable, mutatis mutandis* an cas de la tension
variable.
VII. — Influence de la cottrbure.
Supposons maintenant que le vase soit assez grand pour que la surface libre
d'^quilibre ne puisse plus &tre regard£e comme plane, mais doive 6tre consi-
d^r^e comme sph^rique.
Je suppose toujours qu'il n'y a pas de rotations et que Ton neglige Tattraction
du liquide.
On aura, dans une oscillation simple, pour la fonction des vitesses,
cp titant ind^pendant du temps. A I'iut&ieur du liquide, il viendra
A<p = o.
La press Jon JE? sera, en n^gligeant le carr6 de 4>,
232 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
a et b designeiil ties const antes el /' la distance au centre cle la sphe.ro. Cela
peut b'ecrire d'ailleurs
= - — X® COS X £ — & .
La force vive est egale encore a
-^
et Pe'nergie potentielle a
1 a C . j
*&J ?**•
JL'inte'gration est e'tendue a tous les e'le'ments rfw de la surface libre sphe'rique
d'^quilibre ; R est le rayon de cette surface et R -f- p la distance an centre djune
molecule de la surface libre apres deformation.
Les projections d'une mole'cule sur les trois axes sont
cos X t dv cos A t d® cos X t dy
~ fa' X~ dy* T~^*
La projection sur le rayon vecteur sera
cos X t dy
T"^'
II est clair qu'en un point de la surface libre on a
d$ __ dv _ sc dv y dy s dy
dn ~ dr r dx r dy r dz '
L^nergie potentielle est done e"gale a
cos*X* a
-33
II faut maintenant chercher les maxima et les minima relatifs du rapport de
Pinte'grale
a rinte"grale
II vient
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. o33
Lt»& notations onl m£mc signification quo dans le paragraphc precedent; on a
encore
et sur la paroi du vase
11 reste
1 r dS® ,
- oA = / c — = — aco,
a J ' dr
D'autre part,
— SB = / -7- — = — dto.
2 J dr dr
Enfin, U etant le volume total du liqtiide, on doit avoir
3U == o,
c'est-a-dire
J-£**=°-
II faut que 3A = o soit une consequence de 3B = o, 3U = o. Cela exige
Commc q> n'est determine qu'a une constante pres, je puis supposer (3 = o.
D'aillenrs, a la surface, la pression est nulle; d'ou
— = X® cosXf •+• b^
ou
a __
Rn-p ~" ^
ou
a a? __ ,
II faut prendre la constante b e*gale a g et il vient, en remplacant p par sa
valeur,
d'ou
^? — ill
dr ~" a
Passons maintenant au cas oil la profondeur est infiniment petite.
H, p. — vin. 3o
2>3i L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
Soil Pi 4- p la distance d'une molecule an centre; <lt?veloppons cp suivant les
puissances do p el ecrivons
On dovra avoir a. la surface libre
cl'ou
La force vive esl tfgale a
2 J [_ ^ \ftrj J
fci // esL la profondeur el Dcp lo cam* do la composante de la vitesse perpendi-
culaire an rayon vecteur.
On peut prendre'
"T"J
et, comme Xa est Irtjs petit, n^gliger le terme en ( -~ V* II restc pour la force
vive
/ h Doo dtt).
L'^nergie potentielle esL, d'autre part.
"IT" 7&J (&) ***** ~a~~2fV~J *
Le problfeme est done ramen£ a la recherche des maxima et minima relatifs du
rapport de Pintggrale
A = /
a P integrate
De plus, cp0 doit s'annuler au bord de la mer.
Consid^rons sur la sphere les courbes cp0 = const. ; envisageons deux de ces
courbes infiniment voisines, correspondant aux valeurs 90 et ^p0 -+- d<$Q ; soit dv
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. ?35
la distance d'un point de la seconde courbe a la premiere courbe, estiinee
suivant la normale a cette premiere courbe ; nous aurons
Faisons la representation cunforme de la surface sphe*riquo de la mer sur une
aire plane; par exemple par projection stere*ographique.
Considerons les projections des deux courbes 3<> = consl. ot soit <kf la dis-
tance de ces deux coujbes estimee suivant la normale ; on aura
Y 6tant le rapport de similitude d'une figure plane infinimcnl petite a la figure
sphe'rique correspondante.
Soit dcd la projection de l'(5l£menl d& de la sphere, on aura
^0>'= v2 flfo).
11 vient aiiibi
Rapportons la figure plane a deux axes rectangulaires, celui des a?' et celui
des y', nous aurons
r/w' = dxf dy':
d'ou
Le probleme est ainsi ramene* a celui de la membrane, avec une e'paisseur
variable — et une tension variable h .
T2
Je me reserve de revenir dans un prochain num^ro sur le m^me sujet. J'ai
jusqu'ici n^glig^ les effets de rotation du globe et de la force centrifuge compo-
se*e; il me faut maintenant en tenir. compte; les rgsultats obtenus subsisteront
dans leurs traits ge*ne'raux> mais ils seront sensiblement modifies et compliqu^s.
23C L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DBS MERS.
La recherche des oscillation^ prop res simples dans Ic mouvomcnl rolalif se
ramene, comma dans le cas du mouvemenl absolu, a ljinte"gration d'un sysleme
d'e"quations differentielles ]in(5aires a coefficients constants el le principe de
moindrc action nous apprond quo colic integration so rallache anssi a une
question de minimum.
Apr&s avoir expose les principes gent?raux qui regissent cette question, nous
les appliquerons d'abord au cas d'un liquide oscillant dans un vase tournant
assez petit pour qu:on puisse n(5gliger la courbure de la surface; puis, enfin, au
cas des mers; mais nous n<5gligerons toujours Fattraction interne du liquide.
SUR L'EQUILIBRE
ET
LES MOUVEMENTS DES MERS
Journal de Mathematiques, 5B serie, t. 2, p. ^17-262 (1896).
VIII. — Mouvement relatif .
J'ai jusqu'ici neglige les efiets de la rotation du Globe ct de la force centri-
fuge compos^e; pour en tenir compte, je rappelle d'abord les principes fonda-
mentaux de la dynamique des syst&mes en mouvement relatif et, plus gtinerale-
ment, des syst&mes ou interviennent des forces gyrostatiques.
Soient gi: q^ ..., qn\ qn^, q,M, ---, gWc les n + k coordonnees qui
d^finissent la situation du systeme. En reprenant les notations du paragraphe V,
les Equations de La grange s'^criront
d_ dT dT dti _
(1) dt dj't dqt ' d^i "^
Parmi les parametres q, nous distinguerons :
i° qii q^t • • sj qm que j?appellerai les qa ou les parametres a variation faible;
a° ^i-n, <//*4-2? ••-? 2W/0 que j'appellerai les qi, ou les parametres a variation
rapidc.
Je supposerai que T et U sont independanls des q^ T dependant seulemcnt
des qb ; et que Q6= o. L'equation de Lagrange dcvient alors
d eft
238 L'iQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DBS MERS.
cl'ou
b (jtant une constante.
Soil maintenant
Dea equations (2) on peul tirer les q'b en function des ^«, des q'a et des
constanles /j&; el si 1'on subslitue dans H les valours ainsi trouvees, H n'est
plus fonction que des qa et des qfC
Pour eviter toute confusion, je dtfsiguerai par des d ordinaircs los derivdes
prises par rapport aux qa et aux qu en regardant les q'b comme des variables
indtipendantes et par des d ronds les d(5rivt5es prises par rapport aux qa el aux
q'a en regardant les qi comme des fonctions des qa ct des qn.
II vient alors
— 'Isit
dq'b dqa
ou, en verlu des equations (2),
de sortc qu'avec les nouvelles variables les equations de Lagrange deviennent
(3) f-^L-^i^Qrt (a«i,2 n)
Si les forces ext&ieures sont nulles, ces Equations se r^duisenta
dont la signification est bien connue. Elles veulent dire que Faction hamil-
tonienne.
Hdt
fn
doit &tre minimum.
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS J>ES MESS. 289
Les equations ^3 his) entrainent la suivante, qui est liquation de la conser-
vation de 1'eJiergio
— E = H — V -r-r q'n = const.
Dans le probleme qui nous occupe, nous aurous un seul parametre a varia-
tion rapide q\t : c'est Tangle dont le globe solide terreslre a tourne autour de
son axe a parlir d'une certaine position prise pour origino ; sa derivee q'b est sa
vitesse angulaire de rotation. Nous aurons une infinite de parainetres a variation
faible qtl qui definiront la position relative des particules liquides par rapport
au globe solide.
T est un polynome hoiuogene du deuxieine degre par rapport aux qa et aux
jnp
qb ; L ne depend pas de ces quantites; les -r-> sont des polynomes homogOnes
du premier degre en q'a et q'b.
Les *qb tire's des equations (2) sont des polynomes du premier degre non
liomogenes par rapport aux qtt\ H est done un polynome du deuxieme degre
non homoge-ne par rapport aux qa.
JJobserve que H n'est determine qu'a une constante pre-ss puisque cette
fonction n'intervient que par ses derivees ; je puis done, sans restreindre la
generality supposer que H s'annule avec les qa et les q'a* de sorte que son
d(5veloppement suivant les puissances de ces quantites ne contiendra pas de
termes de degre zero.
Je pourrai m£mej sans changer les Equations (3), ajouter a H un terme dela
jrt
forme A^'fl, A e*tant un coefficient arbitraire ; cela revient en effet a ajouter a j-y
, 4-1 d dK
la constante A; ce qui ne change pas -T- j-r •
Je puis done encore, sans restreindre la generalite, supposer que, dans le
d£veloppement de H, les termes du premier degre par rapport aux qf et de
degre ze*ro par rapport aux q disparaissent.
Enfin jo supposerai que les valeurs
qa = 0, q'a = O
correspondent a une position d'equilibrc stable ; les equations (3 bis) se
re"duisent alors a
- 3w
Ainsi les derivees premieres de H doivenl s'annuler pour q(l=^q'a = o;
ce
240 1/EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
qui montre que le developpemeiil de H ne contient pas de lenues du premier
degrt§ et commence par des tcrmes du deim&xue degr<3.
Quant aux termes de degre sup<5rieur au second, nous pouvons les negliger,
parce que les ya et les qa sont tres petits. En definitive, nous pouvons regarder
H commc un polynomc Iiomog&ne du deuxi&me degre par rapporl aux qa el
aux g' et nous i?cr irons
HssIJj-f-alliH-llu.
Ha sera du degre 2 par rapporl aux q'a et de degre o par rapporl aux q(l.
HI sera du degre i par rapporl aux q'a et de degre t pur rapporl aux qa.
H0 sera du degrc o par rapporl aux q^ ct de degre 2 par rapporl aux qa.
L'energie E sera alors evidcmmcnl t^gale a
E = H2-H0.
]jes equations (3) dcvicnnenl alors des equations lineaires a second membra
et a coefficients constants; et les Equations (3 bis] sont les m£mes equations
sans second rnembre.
Pour int^grer ces Equations sans second membre, posons
qa ~ *a «^*j
nous aurons n equatiozis lindaires et homog&nes par rapporl aux n quanliles aae^i
en tJcrivant que leur determinant est nul, on oblicndra une equation de degre
2 n en A, qu'il s'agit d'etudier.
Cette equation a £t£ etudi(5e d'une mani^jre approlbndie par Taiiet Thomson
dans leur Traite de Philosophic naturelle. De tous les resultats interessants
qu'ils out obtenus au sujet de la r^alite des racines, un seul nous est n<5cessaire.
Si les formes quadratiques H2 et — H0 sont definies positives (Vest le cas
auquel nous aurons affaire), toutes les racines sont r^elles,
IX. — Etude des equations sans second membre.
Ces r^sultats bien connus etant rappel6s, cherchons a t^tendre a ce probl&me
ainsi g^n^ralis<5 les resultats du paragraphe V.
Le principe de la moindrc action de Hamilloii nous apprcnd que l'inl<%rale
doit <Mre minimum; a la condilion quo les qn soienl assujeltis a avoir des
valeurs donn^es pour t = tQ el pour t = ti .
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 241
Si cette condition n'^tait pas remplie, nous aurions
Si le mouvemenl est assujetti a &tre periodique de periode fL — -
expressions
reprendront les mtaies valeurs pour t = tQ et pour t = t\.« et Ton aura encore
3J = o
Ainsi I'inlegrale J est encore minimum si le mouvement est assujetti a etre
periodique et si I'inlegrale est <*lendue a uiie periode entiere.
Cela pos£, soit
une solution (imaginairc) des equations (3 bis} el
la solution imagiuaire conjuguee.
Si nous faisons
( 4 ) • qa =s Y « e+ AJK -j- o«
PinttSgrale J prise entre les limites, t = o et £
an moins sa premiere variation devra s'annuler) quand on j fera
PinttSgrale J prise entre les limites, t = o et £ = ?^ devra etre minimum (ou tout
Vojons quelle est la valeur de cette integrate. L'expression de H, quand on
y substitue a la place des qa leurs valeurs (4)7 se composera de trois termes :
i° un terme en£2/A**, qui sera homog&ne du deuxi^me degr<5 par rapport aux y,,;
2° un terme ind^pendant de t* qui sera homog£ne du premier degr6 taut par
rapport aux y« que par rapport aux o(t ; 3° un terme en e~2^^, qui sera homog&ne
du second degr<5 par rapport aux dffl. Soient H;, H;/, H/7/ ces trois termes
H = H'-hir-h Hw.
Les integrates de H' et Wr sont nulles ; de sorte que
T — 'if H"
j — ^ — jii .
A*
La variation &W de IF doit done 6tre nulle, quand ya = «C0A), oa= j3^}.
H. P. — VIIL or
242 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
Mais, a cause do la forme biiineaire de H", cela pent encore s'6noncer
autrement :
H" doit elre uul quols que soient les y,, quand on y fail 5M= (3^ et qtiels quo
soient les 8a quand on y fait Y/» = a^*
Voyons quelle est la forme do H".
Nous avons pose
Nous devons reinplacer les qtl par
et les qa par
On \oil quc H2 conliendra A] en facieur et que Hi contiendra A/,-, H esL done
un polynome du dcuxieme degre en ?i/:.
Nous devons ensuile conserver les termes independanls dc t] nous aurons
alors
Ma, MI et M0 6tant cles formes bilin^aires en yw el 3a.
H" ne doit pas changer quand on permute yrt et 8a et qu'ou change X/f en — //:.
On a done
D'apres ce quo nous venous de voir, on doit avoir, quels que soient les
On aura done en parliculicr
(5)
et, de mdme,
ou, ce qiu revienlua
Les deux relations (5) et (6) montrent que liquation
(7)
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 243
a pour racines
A = Ajfc, A=— Am.
Reprenons liquation des forces vives
H«— H0= const.
Cette Equation doit Gtre satisfaile en particulier quand on fait
?«=«</' e^i'-H aW d*W.
Le premier membre de 1'equation des forces \ives contienL alors des termes
on e-A*e, e2zA'»', 0"'.A^A»''. Le coefficient de cetto derniere exponentielle doit
s'aniiuler, a moins que
AX-H- Am = o:
Supposons done
(8) A*£ — A™;
le coefficient de cette exponentielle est nul, ce qui entraine l'6galit£
(9) -AA^MoK*', aJj»>)-M.raSf), «<«>) = o.
Nous pouvions le pr^voir, car le produit — AA-Xm des racines de (7) doit £tre
Gonsid6rons quelques cas particuliei^s : si Ton fait A" = m, 1'^quation (5),
liquation (6) et liquation (9) se r^duisent a
Soil maintenant
^=-xm> ap'-P?';
liquation (9) ne sera plus vraie, mais les Equations (5) et (6) subsisteront et
s'^criront
Liquation (7) a alors une racine 6gale a /./,.; mais sur Fautre racine nous ne
savons rien.
Comme les a^^ie sonl determines qu'a un facteur constant pr&s, et que les
(S^sont imaginaires conjugates des a^, nous pourrons supposer qu'on les a
choisis de telle fagon que
(10) A|M2(«<*>, K*>)-M,(oE5f>, ^>) = U = ±!.
Un cas particulier qui a dte Irait6 a fond par Lord Kelvin est celtii 011 les
244 L^QUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
coefficients do HI sont tres grands par rapport u ceux de H0 cl do H2. 11 y a
rencontre de=> resultats analogues a ceux que nous venons de irouvcr dans le
cas general et il serait iiit^ressant dc les deduire des resullats generaux.
Si H! est ires grand. >. ne poura etre que tres grand ou ires petit. Supposons
/. tres grand; nous pourrons done dans nos Equations negliger M0. Les equa-
tions ( 5 ) et ( 6) s'ecrivent alors
o. Am jVIa — 2 i Mi = o,
(,*t Ton en dt5duit, si A/- n'est pas egal a — /.m.
C'e^t 1'equation de Lord Kelvin (cf. Tail et Thomson, Philosophie natu-
relle, 3e ed.? n° 34oXT). On s'en rendra compte aisement. Les deux auleurs
anglais ont choisi des variables particulieres, de telle sorte que
Liquation precedente s'ecrit alors
X* — Etude des equations a second membre .
Revenons mainlenani aux equations a second membre
d dE dXL _
dt dq'a dqa - ^a'
Elles signifient que Faction doit etre minimum, c'est-a-dire quo
(n) ' J * (3H
Soit
On pourra satisfaire aux equations en posant
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
el l'£quaiion ('i i ) devra etre satisfaite si, donnant aux qtt el aux Q« ces valeurs,
on fait
et cela quels que soient ra et ort.
Nous ferons en particulier
'(a = 0, Ofl = x<*J
el liquation (n) deviendra
(12) A«MS(*«, *£>)-i-aftMi(«<r, «£>) + M0(«a,
Des Equations (12) on pourra tirer les art, et 1'on tirerait de mteie les p« des
Equations
fitudions les Equations (12); on voit qu'on peut en tirer les aa et que ces
quantitds seront lin^aires et homog&nes par rapport aux rn et rationnelles par
rapport a >.. Consid^rons-les comme fonctions de >. :
i° Je vois d'abord que les <Xa s'annuleront pour X = co;
2° Les valeurs de / pour lesquelles les art deviendront infinis seront celles
pour lesquelles on pourra satisfaire aux n Equations
M0(a^ ««*)) = o
sans que les aa s'annulent
En annulant le determinant des equations (i3) on arrivera a une Equation
de degr6 2 n en X ; les valeurs cherchges sont done au nombre de 2 n .
Or on satisfait a ces Equations en faisant
Les 2 /i infinis des fonciions <xa sont done
II reste a chercher les rgsidus correspondants.
Posons done
a^ P«g j TK?
il s'agit de determiner p et les ya.
J6 L'EQUILIBRE ET LES MOUvEMENTS DES MERS.
Nous avons pour cela les equations suivantes :
. '\ [X*iMa(agS a^-HaiXMilaSS «£) -i- M0(«2S a*) |
A - Anl
•+- [A-M2r,'a, a*)-i- 2/XMi(v«, a£) -f- MO(T«S *£)!
ou en faisant tendre >. vers J.m et tenant compte de la relation (6),
Mais on a, quels que soient les y,,,
*3iMs(7fl> *'") — a* A"« ^i(Y«> ««)-«" M0(Tfl^ ^«z) == °>
ou bien encore, en changeant Am en — /.,„ et a™ en |3JJ',
U5) A^MsCva, 3«l)-H2«XmMi(Y«3 .SgOH-MoCTa, PS*) = o.
Parmi les Equations (i4)? nous distinguerons celle qui correspond a
1 . _ 1 «/• __ Qm -
A A- — — • ATTJJ «xff — f>a ,
elle se r£duit a
(16)
c'est de celle-la qu'on d<5duira p.
Mais a cause de (10) cela peut s'6crire
Nous tirons de la
ou en posant
P? = — B»» 2 raaff =
D<3veloppons oca suivant les puissances croissantes de X sous la forme
il viendra
(18)
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
Posons maintenant
on trouve immgdiatemant
( 4. } J = J J' = — J' J' = J" J> Q
Nous pourrons ecrire les formulos (18) sous la forme
,' Bma/;i
avec cette convention quc le signe ^ no porte pas romme 7 sur n termes,
mais sur zn termes partag^s en deux series; pour la premiere s<5rie, m vario
de i a ?imj el Ton passe d'un terme de la premiere serle au terme corespondant
de la seconde en changeant lm en — >.m, a^et \m en $™ et Bm r^ciproquemeni.
II vient alors
On a, d'autre part,
>4M2(a2S £g)^2iXmMi(aSS £X)-hM0(«SS s'^) = o;
d'ou
(19) ^-i,v^2«JW/-hJ/H-i,v=°-
On trouvei^ait de ni6me
(19 *«) JJ^-i — 2zJ^ + J^+1 = o.
On trouvera une autre relation de la fa^on suivante ; il vient
La somme ^ contient4^" termes, chacun des 2/2 termes de e^""1 (expres-
sions 1 8 6w) devant toe combing avec chacun des zn termes de e^"1.
De m&me,
Consid^rons la somme
2^8 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
En verlu do 1'equalion (9), ions les termes do cette somme (qui sonl an
nombre de 4/i2) disparaitront, a 1'exception de ceux (au nombrc de an) qui
sont tols quo
A* = ->.„, «i=P?, BA=Am.
II vient done, on tenant compte do ( 10),
on enfin (puisque les termes sont <3gaux deux a deux au signe pr&s),
(2o) J^.?-^J^=(_i)?+1^2A^U?
si /? + ^ est pair ct
(20 6w) JJ-i,7-i + J/>,<7 ^ °»
si/; + y est impair.
L'expression J^-i/y-i-f- J/?,? ne depend done que de p -\- q et de la parit(3
de q; elle change de signe sans changer de valeur absolue, quand q augmente
d'une unitt2 et que/> diminue d'une unit^. On a done la relation
*p-ltq-*-3p+l,(r-*-3*p, -1 + J/M-H — °?
que Ton pourrait d'ailleurs obtenir en ajoutant ( 19) et ( 19 bis).
En faisant dans cette relation q =PI on trouve
2 J
de sorte qu'on retrouve liquation (20 6
De ( 19) et ( 19 Ji"^) on dgduit encore
Toutes ces relations montrent que les fonctions J^^ ne sont pas ind^pen-
dantes les unes des autres ; considgrons Pensemble des fonctions J telles que
P + q^zn* des fonctions J' telles que p + q^^,n — i et des fonctions 3"
telles que/> -j- q^an — 2 ; le nombre total de ces fonctions, qui sont distinctes
en tenant compte des relations (A), est de 27z2-h (n + i)3. Le nombre des
relations distinctes de la forme (19) est n(%n — i); il reste done seulement
n- + 3n + 1 fonctions distinctes,
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 249
XL — Gas de 1'eqTiilibre stable.
Jc vais me restreindre maintenant au cas cm Ho ct — H0 sont deux formes
quadra tiques d^finies positives, de sorte que Fequilibre reste stable, m£me si
supprime les forces centrifuges composees
C'est <5videmment le cas de la nature, dans le probleme qui nous occupe.
Alors, d'apr&s ce que nous avons plus haul, tous les lm sont r^els.
Mais ce n'est pas tout; si *;« et ofl sont imaginaires conjiign^s, on a
Ms(-;a,8,,)>o, Mo(r«, *«)«>•
II vient done
ce qui montre que tons les nombres que nous avons appel£s IA- et Im, et qui
dans le cas general peuvent 6tre egaux a -4- i on a — r , sont dans le cas qui
nous occupe lous ggaux a -f- i .
Toutes les formules qui precedent se trouvent ainsi notablement simplifies.
II en r^sulte une serie d'in^galit^s sur lesquelles il me reste a appeler
Pattention.
Supposons en particulier que ra soit r^el; c'est-a-dire que rrt = 5rt, puisque
ra et sa sont imaginaires conjuguds.
Les quantit^s a™, fi™ sont imaginaires conjugu£es; de m^me quo ra: sa et que
•A-wi, -Dm-
II en r^sulte que epa est r^el si p est pair et purement imaginaire si p est
impair,
On a done, sip est pair,
sg»o,
et au contraire, sip est impair,
o, Mo(fS, eg, «S) > o,
c'est-&-dire que
o, Jj»,/»< o ( pour p pair),
JJ,»< o, J^,P> o (pour y impair).
II est clair d'ailleurs qu'on aura dans tous les cas
H. P. — VIII. 3s
i, l/EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
Cola post*, reprenons Tequation (ao') qui sVcrit maintenant (puisque Im= i)
(20)
Si nous faisons g=p, ilvienl
) *f>
Am
Commo Am cl Bm sont imaginaires conjugu^s, le second mcmbre est positif,
cFou 1'on tiro
j;_Ij/,_t-h JyD,/?<o (sip est pair;,
JJ-i.^-L-f- V^>o (si/? est impair).
Ces inogalitcs sont d'aillotirs dos cons(5quonces imm^diaies des in^galit^s (21).
Je poserai pour abregor
Cette valeur de Rp nous montre alors d'autres proprigteSs du nombre Kp qui
font ressortir son analogic avec les integrates J2/? envisagt^es dans la premiere
partie.
On trouve en eflet
^fl-t-i ^ KyQ-H2
de sortc que le rapport ^^ va constamment en croissant; sa limite pour
&p
p infini est en g^n^ral <^gale a la plus grande des valeurs do — -
A/«
Si Ton a done
Af<Al<...<>4
la limite de ce rapport sera ^ :
Ai
A moins que A4 (et par consequent, Bt) ne soienl nuls, auquel cas cette
limite serait ^gale a ^ ;
A moins que non seulement At et B1: niais encore A2 et B2 ne soient nuls,
auquel cas la limite serait ~;
^a
Et ainsi de suite.
Cela pos^: reprenons liquation
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS D£S MERS. 201
qui doit etre satisfaite par le developpement
On on deduira
M0(fii,a*)=-2iMi(fiJ, a*),
Mo(sS,aJi)=-2£Ml(eiJ «J)-
Les Equations (o^) nous donneront 3/j quantites
/oo\ -0 -t s-2
\22) *<n •=•<*? s<r
On pourra done former
Jn i" i i
00? J I 1 j •* 1 1 ? J 22
et, par consequent, le rapport
_ _
J o o -*- J 1 1 K i
Los quantites (a3) sont des fonctions liiieaires des /A quantites /v«; K2 et KI
sont done deux formes quadratiques definies positives par rapport aux ra.
Les A/f sont des fonctions lin^aires des /*„, mais a coefficients imaginaires;
les B/c sont des formes imaginaires conjugu^es des A./{.
Les r(t sont au nombre de n comme les A/t. et les B/e; mais nous avons suppose^
les rw r^els, tandis que les Ajt et les B^ sont imaginairos.
Si done nous donnons aux rn des valeurs reelles quelconques, nous ne pou-
vons pas choisir ces valeurs de facon a donnv3r aux A^ des valeurs imaginaires
arbitraires j il doit done y avoir n relations lineaires entre les n quantites A/£ et
les n quantites B/t-; ou, si Ton aime mieux, entre les parties r6elles et imagi-
naires des A/,, (ces relations expriment d'ailleurs que la somme des r^sidus des
fonctions afl qui sont n fonctions rationnelles de/; quecette somme, dis-je, est
nulle).
En revanche, les produits A^B^-, qui sont au nombre de «, sont re*els el
positifs ; on peut done choisir les ra de fagon qu'ils aient des valeurs reelles et
positives, arbitraires en ce sens qu'elles ne sont assujetties a aucune ^galit<5,
mais devant satisfaire a certaines inegalites.
Cela ne me suffit pas encore pour mon objet ; mais nous pouvons dej£ en
tirer certaines consequences.
2 L^QUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
On a, on of IV* I.
co qui nous monlre quo le rapport ~ est toujours compris eiitre r-2- ct ^r ; nous
avons done deja des in£galit£s auxquelles doivent satisfaire AL et ?.rt. Les monies
considerations nous donneraient egalemeiit des inegalites auxquelles devraient
satisfaire les autres /.w.
An paragraphe V nous avons inontre que, pour le mouvement absolu, la
determination des >.M so ramene a. Fetude des variations du rapport -de deux
formes quadratiques ; ici T.etude d'un rapport analogue ne nous donne plus les
?.m, mais des limites superieures on inferieures de ces quantites.
Mais on pent aller plus loin; n'assujettissons plus les rn a 6tre r<5els, mais
posons
les pa ct les ya etant reels. Soient alors s£ et i^: ce que devient sj quand on y
remplace rn par pa ct par ea ; il viendra evidemmenL
aa=(e'flft-i-XeaH-...)-H rA(£'^-X£^4-..O
et, par consequent,
£i- 6j?H- •# -h. . .,
ce qui montre que zka est encore reel si A' est pair et purement imaginaire si k
est impair.
Je remarque que aa est encore une fonction rationnelle de X et que cette
fonction conserve sa propriety essentielle, a savoir qu'elle ne change pas quand
on change a la fois / en — i et }. en — >k.
Ses infinis son t toujours ± lni] si alors j'appelle X^A^a™ le residu relatif a
>.,«, et — X^BmPi11 1° r^sidn relatif a — A/a, il sera facile de voir :
i° Que Am el B//z sont les mdmes pour Lous les aa et ne dependent pas de
1'indice a;
2° Que Am et Bm sont iraaginaires conjugu<5s»
On n*a plus :
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
253
imas
Zjg«"(Ffl — *
Eoorovswc clie,kies formulos ( 18) el loutes celles qui s'en deduiseiit restent
VT.W -s,doHcsoi:rlC(|uio Ton a encore
sf 22) doivenl etre remplacees par les suivautcs :
M0(si, a*)=-a/Ml(5S, *i)-
Mo(£i, «S)=-2iM1(£i. 3J)-Ma(8S, 4).
ra deli les 3/i quanliles (2%) sous la forme dc fonctions lineaires des
a elides i S7|. Douoc R2 ct KI seronl des formes quadratiques d^finies positives
}[*7aisl»i Iespoa el les <7a sont au nombre de 2^; on pourra done les clioisir de
Lolle fcoosontj jueles Am puissent prendre des valeurs imaginaires arbitraires et
ope I h A A$8i»=|jAm| prennent des valeurs r^elles et positives completement
AlDflB=sr7S«fiera les minimum du rapport ~ j et — - en sera le maximum. Posons
A A| rjr K} A|
* suite les 0 pour que le rapport soil aussi petit quo possible,
jij)* et les or* donnas. Le rapport depend encore des p^ et des
orjef tsoianE£iaxim~um nouveau sera — * En somme, nous relrouvons tons les
A,;
rtsul lids a.sdii pangrapho V.
A.^nlJit(llalJler|> 111S ^oiu^ obbcnoua que Ic& deux formes H2 el H0 jouenl un
irolc emlflalfljiunejloiutc notre analyse subsisterait si nous changions H2 en — H0,
Bleen - loo^li en -
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DBS MERS.
XII. — Problems du vase tournant.
un vase qui contieni un liquidc pesaiit, mais qui et»L assez petil,
pour qne la pesanlcur puisse elre regardee comme conslantc en grandeur et eu
direction.
Ce vase esl anime d'une vitesse de rotation. uniform e Q autour d'uii axe
parallele a Faxe des s. La surface librc du liquide en equilibre ii'est plus alors
un plan horizonlaL mais un paraboloide de revolution.
Toutefois, nous supposerons quefi est assez petit pour quo Fonpuisse n«5gli-
ger £22 qui outre en facteur dans la force centrifuge ordinaire, sans pouvoir
nugliger ^ qui enire en facteur dans la force centrifuge composee. A cetle
condition, nous pourrons regarder la surface libre comme un plan horizontal.
Du reste, si 1'on avail a tenir compte de i£2? il n?y aurail a faire subir aux
resultats quo quelques modifications tres simples.
II s'agit d'etudicr les petites oscillations du liquide dans ce vase.
Pour eels, nous allons voir comment les principes du paragraphe VIII
peuvent s'appliquer au mouvemcnl relatif d'un srsteme par rapport a des axes
mobiles.
Soit un syst&me forme5 de n points materials
La masse du point mt sera mi ; ses coordonnees par rapport aux axes mobiles
seront
#*» yiy *i
dans T^tat d'equilibre, el
*/-*-E*i }'i+-'rih ^/-f-!i
dans F^tat de mouvement.
Si les axes mobiles sont auiines d;une vitesse de rotation Q autour de Faxe
des ^, les projections de la vitesse absolue du point mi sur les trois axes
mobiles seronl
f-^.>--v, t-^^), §
of la force \ ive absolue du sy&teme sera
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 255
Le premier lerme represenle la force \ive relative, le second el le IroiMeme
represented, au facleur pres £2, le moment de rotation dans le mouvcinenl
relatif; le dernier ternie. qui contient en facteur Q-, es>t negligeablo.
La vitesse angulaire & joue le role de qh. el Ton n, en iiogligeanl dans T le
termo en &2,
di
d'oft
D'apres unc remarque faite au paragraphe \ 111, noiiis pomons .supprimer
dans H les Lermcs du premier degre par rapport aux qa qui sont represents ici
par le second lerme de Fexpression (2), de sorle qu'il resle
d'ou
„
Hs=
o = — U.
Pour passer au probleme du liquide, ou le nombre des molecules est infini,
il suffit de remplacer les sommes par des int^grales et il vienl
Les integrations sont etendues a tous les Elements de volume dt du liquide.
Quant a la valeur de H0= — ti, nous 1'ayons oblenue au paragraphe VI;
nous avons Irouve
Pint^gration 6tant ^tendue a tous les £l€ments rfw de la surface libre. Les fonc-
tions 5» v> C sonl assujetties a deux conditions :
256 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DBS MERS.
i° On doit avoir I'equation de contiiiuiie
2° Sur la paroi du vase, 011 doit avoir
(5) /?H-m'<iH-r^ = o,
/, m, n etant les cosinus direcleurs de la surface de la paroi.
On peul supposer, eii outre, que les diverges molecules du fluidc soul sou-
mises a. des forces exterieures ct que le travail virtue! de ces forces pour des
displacements virtuels 3*, ovj, o£ des molecules est repr<3sente par I'intggralo
/^^(
qui correspond ainsi a la somme quo nous appelions dans les paragraphs
precedents
II faut done que Ton ait, en vertu du principe de Hamilton,
C ' TsH -H /"^(Xo? H- Y5T, H- Z S?)l = o?
en supposant que 64, OTJ, 6^ sont nuls pour t = f0, t = lt et que £, •/?, ? sont
assujettis aux equations (4) et (5).
On petit e*crire ceci sous une autre forme, en introduisaiit deux fonctions
arbitraires fy et 0,
- T
n = o.
La troisieme integrate est (Hendue a tous les elements dd de la surface de la
paroi dont les cosinus directeurs sont Z, m, TI.
Cetlc Equation (6) est evidemment vraie, quelles que soient les fonctions d/
i»l 0 si £, yj et £ sont assujelties aux conditions (4) et (5), el, en vertu des prin-
cipes du calcul des variations, elle sera encore vraie, pour un choix convenable
de & et de 0, sans que £, •/?, % soient assujetties a aucune condition.
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 267
On arrive ainsi aux Equations du mouvement qu'on aurait pu obtenir direc-
tement et qui s'dcrivent
(7)
a Finterieur du vase ;
a la surface libre.
Je prends le signe — devant ^'^ dans la demiere de ces equations, pnrce que
je consid&re Faxe des z positifs, comme dirig6 vers le has.
Ges Equations, jointes a (4)eta(5)j definironl les quatre functions £, TQ, ?, f|.
Supposons, en particulier, que ces quatre fonctions soient proportionnelles
a efXS nos Equations deviendront
(7 W
— X2? -f- ajQXrj -i- — i. = X,
— \z't\ — 2 rfiXJ -+- -T-£ = Y,
a Fint6rieur du vase ;
a la surface libre.
XIII. — Developpement en serie.
L' Elimination de ^ entre les equations (7 bis) nuus conduit aux equations
suivantes :
(7 ter)
^/rfn ^\ ._ ^5 f/Y dL
— X2 V — -r I — 2 1 QA -=?• = -5-5
\dz dj'J dz dz ay
H. P. — VIII.
33
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS
a 1'interieur du vase;
a la surface libre.
La troisieme equation (8) cst unc consequence immediate do (4) el de (5).
Supposons mainlenant quo Ton ait
el que
XQ <af^7 -+•
i>(jit une diflerentielle exacle.
Developpons ;, rt: t suivanl les puissances croissantes de A, do telle sorte que
l?on ait, par exemple,
les equations (7 ter) et (8) nous doiinent, en egalant les coefficients des
puissances semblables de A :
Premier groupe.
(7*)
a Finterieur du vase ;
(4 «)
a rint<5rieur du vase ;
(<-.«)
pour la paroi ;
-5— -7
as a
*.«•_:«!
as ay -dx
^ __ 1
dx dy dz
y c» rfw = <
pour la surface libre.
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMINTS DES MERS.
Deuaieme groicpe.
J^ ^7.. ~/y
(7*)
az «s ay
et deux equations qu'on en d6duit par sjmetrio ;
(46) fl^$i-,$i=0,
dx dy dz '
Jidb-o,
Troisierne groupe (n > o).
ot deux equations qu'oii en deduit par sjmolrie,
//^x <^?/j-t-i t ^«-i-l O^n-hl
(40) — j -- \ -- -5 -- 1 — - — —o.
^ ' dx dy dz '
(5 C) /?n-M-H fftTfln^.t-4-ft^jsr: O,
/
Vojons comment ces trois groupes d'equalions vont nous permellre de deter-
miner par recurrence toutes nos inconnues :
i° Les Equations (7 a) dtftermiueiit ^ a une fonction inconnue pres de x el
de y\ les Equations (8 a) ach^vent ensuite la determination de ^0. Ces deux
Equations (8 a) sont compatibles, parce que
X, <te -f- T, dy
cst pour ^ = o une diiF^rentielle exacle.
2<50 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
2° Pour acliever la determination de £0 et YJO, nous devons nous servir des
equations (4«) et (5 a). Ces Equations nous font connaitre
ate dy
puisque £„ est enticement determine. D'autre part, ;0 et *j0 sont definis a deux
fonctions arbitraires pres de x et de Y] c'est-a-dire que Ton a
i'0 et r/, etanl enlieremonl connus. pendant quo ^ et yjff0 ne dependent quo de x
el de/. Les equations (4 a] et (5 a) peuvent alors s'ecrire
(ga) + 5=:?, /
9 et 0 etant deux fonctions connues de x et de /.
Ces equations ne sont pas toujours compatibles. Soit, en effet,
s=zh(as,y)
Fequation de la paroi du vase. Les cosimis directeurs I, m, n sont propor-
tionnels a
dh dh
^ &' ~J>
de borte que la seconde equation (9 a) peut s'ecrire
dh
Soit alors F(A) une fonction de h qui s'annule pour h = o,* on aura
r^^r^oF(A) rfnSF(A)1_
J dxdy\— -fa- •+• — 3jr- J- °>
FinttJgration e"tant etendue a toute la surface du vase, puisque sur le bord du
vase F(A) s'annule.
Gela peut s'ecrire, en tenant compte des equations (9 a},
(10 a) r^^[F(A)?-hF'(A)0] = o.
II faut done jque Xi5 Yt, ZA satisfassent a certaines conditions que je n'ecrirai
pas.
Supposons la condition (io«) satisfaite; je dis qu'elle sera suffisante pour
que Ton puisse determiner £J et r^, de fa^on ^L satisfaire aux Equations
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. ?6l
Nous pouvons, en effet, toujours tromor deux fonctions 2J ot r^ qui satis-
fassent a la premiere des equations (yen
Gela peul se faire d'une infinite de manieres: on pout, par exemple, prenihv
On aura ensuite
d» ^tant une fonction ausiliaire.
La seconde equation (ga]\ montre onsuite que fi doit satisfaire a une Equa-
tion de la forme
, . N M dh dh M f»
(9 a bis) -y- -3 --- — — t -a o*,
w y <:/a; <^r C/J7 «V
0* etant une fonction connue de x et de Y. En vortu de (10 a), on aura
(10 a bis)
Prenons alors un sjsteme particulier de coordonnees qui coinprondra la
variable h el une variable $ qui \ariera de o a 27: quand on fera le tour de 1'une
des courbes fermees h == const. Soil J le jacobien ou determinant fonctionncl
de x et de y par rapport a s et a //. Les equations (gabis} et (l
deviendront
(9
(10 a «er ) JT **(**>) J 6*
L'equation (10 « Jfer) ayant lieu, quel que soit F'(A), nous pourrons ^cri
r*fl
(loaquater) I J 8*^ = 0.
0
Liquation (pa ter) xious donne
/*
J8* ds -H fonction arbitraire de /i.
„
262 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
Mais, pour que cette fraction soit uniforine, il faut et il suffit que
Or celte condition cst romplie on vertu de 1'equation (10 « quater).
3° La fonction ^ n'est encore dt5termin^e qu'a une fonction arbitraire pr&s
de A que j'appellerai /(A); si cette fonction /(A) <5tait connue, les Equa-
tions (7 &) et (8 b) determineraient £* complement et 41 et •/?£ a des foiictions
arbitraires pres de x et de^r. II est aise de vcrifior quo lt?s equations (8 6) sonL
loujours compatibles.
4° II faudrait ensuite achever la determination de gi et fli ^ 1'aide de (4^)
et (5 ft) ; pour cela posons
Si- Si -*-?n nL»Vi-4--nn
t^ et rjj ^tant onti^rement co-nnues, tandis que E" <jl yj* nc dependent que dc x
et de y.
Nous arriverons a des Equations de mdme forme que (9^) qui s'^criront
ou ot et 64 sont deux fonctions conuues. Pour que ces Equations soient compa-
tibles, on devra avoir
(10 6) /"flterfK[F(A)tpi-hP/(/Ofli]:=o-
5° J'ai dit que f4, —? -^-j cpt et 61 <5iaient des fonctions connues, mats en
supposant que la fonction / '(A) 50^ connue elle-m&me.
Je vais maintenant me servir de liquation (10 6) pour achever la d^termina-
tionde/(A).
Nous connaissons compl^tement ?OJ ^ , ^; il en r<5sulte que ^ et ^ sont
aussi enticement connus; au contraire, •— n'est pas
parce que — ne Test pas.
est d&ermind au terme pr&s _/(A)~=_^J^ et n0 au terme
***
II en r^sulte que j± sera d^termin^ au terme pr&s
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 263
La valeur de £1 pour z = o iioins est donnee par les equation^ (,86); mais
comme £0 et YJO ne sont pas entitlement determines, ces equation* nous
montrenl que ~~ et -^ sont de'termine's a des icrnios piv* t»n
•2/Q
^ dx '
et, par consequent, Jt a un terme pres en
a«ii
H-—
en supposant, ce qui est permis,
j
La valeur de £1 pour s = h esl alors deierminee a nn terme pres en
et liquation (10 6) prend la forme
(10 b bis) C dx dy T— F(A) A/(A)
-f- F'( A) [/t A/— ^r^ ) = expression connue,
ou bieii
4Q2F7/!
— 2 - £ I — expression connue,
v» _J
ou j'ai posti pour abre^ger
En integrant par partie et remarquant que F(A) s'annule pour h = o, on
trouve
- r<terfjrF(A)A/(A) ^
de sorte que liquation (10 6 ^er) devient
hf Mi -f- AyDA-h/'— « expression coanue.
\
La fonction F( ^tant connue, on peut tirer de la liquation diff^rentielle qui
d^finira la fonction/.
264 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
Soit. en effet,
*« /""jDA*fc, B=/* JAA<&, C=/* ]ds'>
J» -Ao ^o
A, B, G sont des fonctions connues do //.
\otrt? equation diff<5rentielle s'ecrit alors
E etant une quatrieme fonction coniiue de h.
C'est la une equation differentielle du deuxieme ordre qui ne determine la
fonction /qu'a deux constantes arbitraires pr6s,
Voyons comment on peut determiner ces constantes.
Je supposerai qua la fonction h n'a qu'un seu.1 maximum que j'appellerai A0,
de telle facon que les courbes h = const, soient des courbes ferm^es s'enve-
loppant mutuellement. C'est d'ailleurs ce que j'ai d^ja suppos^ implicitement
en prenant les variables h et $.
Cela pos£, j'observe que J s'aiinule, ainsi que D/2, pour h = hQ. II en r^sulte
que A. B, C et E s?annulent '^galement et il en 'est de m6me de ^? tandis que
B E
•g reste fini et qu'il en est de m£me, en g<5nt5ral, de g-
Si j'ecris liquation (i i ) sous la forme
je vois que le coefficient de/" s'annule deux fois; pour A = o et pour h = A0.
II en rgsulte que pour h = o, par exemple, I9int€grale g^n^rale de liqua-
tion (n) devient infinie, ou du moins que ses d^riv^es d'ordre suffisamment
<?lev6 deviennent Jnfinies.
Si done on veut que /reste fini pour h = o, ainsi que toutes ses d&iv^es, il
faudra assujettir les deux constantes d'int^gration a une certaine relation.
De m&me, si Ton veut que / reste fini pour A = A0, ainsi que toutes ses
d^riv^es, il faudra assujettir les deux constantes d'int^gration a une seconde
relation.
Ces constantes devant ainsi satisfaire a deux relations seront enti&renient
d£termin£es.
La fonction / est done d<$termin6e complMement, ainsi que £0, Y}0) & -—-,
» f . et 6l.
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 265
6° Les fonctions cp* et 61 ainsi de'terminees satisfont a la condition (iofi);
on determinera £" et r\'[ par les Equations (g&); ce qui nous fera connaitre -i
et YH, non pas completement, mais a des termes pres en
-AW% - /',(*)*,
/i(A) £tant une nouvelle fonction arbitraire de ft.
7° Nous formerons une Equation (10 c) avec (4C) et (^ej de ^a tfifimc
maniere que nous avons formt^ (ioa) avec (4tt) et (5 «) et (10 &) avec (4&)
et (56); traitant ensuite (loc) comme nous venons de trailer (106), nous
determinerons/i(A). La determination de Ji, riL et £1 sera ainsi acheve'e.
8° Par les Equations (7 c} et (8e), nous
9° La condition (ioc) £tant remplie, les equations (4C) et (5 c) sont com-
patibles. Elles nous donneront Eo et ri2 a des termes pr&s en
f*(h) etant une nouvelle fonction arbitraire.
10° On determinera /a(A) comme on a determine /(A) ot /i(A). La deter-
mination de £2) *?2> Ca sera alors termineo.
Et ainsi de suite.
Nous avons du supposer plus haut que non seulement X0, Y0, ZOJ mais X1?
Y4, Zi doivent satisfaire a certaines relations. La generalite se trouverait ainsi
restreinte, et pour eviter cela nous poserons non plus
mas
X = Xo-f- XXt-f- X«XS, Y = Y0-^ XYi-f- A*Ya,
Nos Equations doivent alors 6tre modifie^es.
jr ^
Dans liquation (7*), on doit ajouter un second membre -gj- — ^ et il
faut modifier de m6me les autres Equations de*duites de (7 b] par syme'trie.
H. p. — vill. 34
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
equations ( '8 c\ doivenl tfgalement toe modifiees pour n = i et Ton doit
les tkrire
Tout ce que nous avons dit subsiste d'ailleurs el les functions X2, \2, Z2
peuvent etre quelconques.
Nous a\ons ainsi le mojen do developper £, rj, £ suivanl les puissances de A;
inais le domaine de convergence est c\idemmeiiL limiu?.
C'est ici qu'on pent appliques les principes du paragraphe XL
Nous avons vu que dans le cas ou il y a un nombre fini de degr(5s de liber Le,
les quantit^s qa (qui sont analogues a g, yj, £) sont des fonctions rationnelles
de A, dont les infinis sont les quantites ±: lm.
Ici, le nombre des degres de libertt1 elant illimite, £, vj, £ serontdes fonctions
uniformcs (et tre;s probablement m^romorphes) de A. En multiplianL lo d^ve-
loppement de E suivant les puissances de X par un polynome lelque lesuivant :
on etendra done beaucoup Fetendue du domaine de convergence (il est :
probable qu'on pourra Fetendre indt^finiment) et, d'ailleurs, on augmentera la
rapidite de la convergence.
De la FintenH qui s'attache a la determination des Am. Nous avons vu que
k
cette determination pouvnit reposer sur la consideration du rapport -r^-; ici ce
rapport ^Vcrit en faisant, par exemple, p = 3,
(12)
I a?co
J'observe que ce rapport est essentiellement positif. En effet, si nous suppo-
sons, comme il convient, X0, Y0, Z0, X2} Y2, Z2 r£els; Xl5 YI, Z4 puremenl
imaginaires, il arrivera que ^3? *ii, ?2> ^^ ^4, ?/* seront r^els, tandis que ^3, yj3,
^3 seront purement imaginaires.
Les fonctions ^u fin, Cn dependent 6videmment du choix de X, Y, Z; suppo-
sons done qu'on choisisse X} Y, Z, de facon que le rapport ^ soil maximum.
Le maximum ainsi obtenu, que j'appellerai le premier maximum^ est pr6ci-
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 267
Soil maintenant
X = -JL i A i •+• ao A a -f- . . . -t- Xp A^,,
Y = xjB, -f-22B2-»-. . .-*- x/t Eft,
Z = aid H-a2G2-i-.. .-i- a,, G/0
les a 6tant des coefficients indetormim\s, los A, B, C etant des fonctions
quelconques de #, r, s.
Les fonctions A, B, G elant d'abord supposes dunnees, ciioisissons les coef-
ficients a, de telle facon que le rapport (12) soil minimum. Soil R le minimum
ainsi obtenu. Ce minimum R depend du choix des fonctions A, B, C; ciioisis-
sons ces fonctions de telle facon que R soit maximum. Le maximum ainsi
obtenu sera ce que j'appellerai le />R'mc maximum du rapport (12); il sera
Tout, est done ramen<? a 1'^tude des maxima successifs du rapport (12).
XIV. — Gas d'tme profondeur tres petite.
Tout ce qui precede est susceptible d'importanlos simplifications, quand la
profondeur du vase est infmiment petite.
Nous pouvons alors developper toutes nos quantit^s suivant les puissances
croissantes de s et neglige r le carrd do 5. Nous aurons alors
', E;/, . . . , X;, X", . . . ^tant des fonctions de x et de y.
La troisi^me Equation ( 7 £er) devient alors
-= --- -r-
dy dx
Les Equations (8) deviennent
26$ L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
D'autre part, (4) nous donne (en negligeant les tcrmes en z devant ceux qui
ne contiennent pas :f)
''
el (5") devient, en negligeanl les termes en s2, sh
_. dh , dh vr , *„
P+-5-*-*^
En eliminant $" entre ces Equations, nous trouvons
Je transcris ces equations en supprimant les accents devenus inu tiles.
(2)
D(5veloppons maintenant toutes ces expressions suivant les puissances do X at
soil
X = XO-H 5.X,-*- A*Xts Y = Y0-h XYi-4- X2Y2,
Nous arriverons a la s&rie donations suivantes
Premier groupe*
T
(avec la condition Si = SiV
\ dy dx ]
(4 a)
L'EQUILIBKE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
265
(i b)
(2*)
(3*)
(4*)
(ic)
(20)
(3c)
(arf)
Deuxieme groups.
/
dx dy ) dy
dk%i dk
dx
dy dx
Tr*oisieme groupe.
^
/ ?
-h
dy
Quatri&me groupe ( n > 2 ).
/ £w did = '
« dh'f\n _y
""" dy ~ '"
A ces Equations il faut adjoindre les suivantes :
Soit F(h) une fonction quelconque' de h s'annulanl pour h = o> on aura
comme dans le paragraphs pr^c^dent,
270 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
d'ou Ton tire les equations
Liquation (ioa) est une condition a laquelle doivenlsalisfaire les foiiclions Xi
et Yt.
Les equations (ro b) et (10 c) doivent scrvir a determiner £0, yj0, £rt_i? TQ/H.
Void comment se diriment les calculs :
Les equations (i a) et (2 a) d6termineroiit £0 ;
Les Equations (3 a) et (4#)» <lui sont compatibles si la condition (IOCL) est
sutisfaite, determineront ^o et vj0 a des termes pres
et
/o(/>) etant une fonction arbitraire de h.
Les equations (i 6) et (2 6) determineront ^ au terme pres
2l'Q .
g
En meme temps ~~ — -^ sera determine au LeiMiie pres — A/'0(/z); de sorto
que Fequation (10 b) prendra la forme
/f 4 Q2 1
c?co| F /O-H (A-F7 — F) A/o I = expression connue.
C?esl Fequation (106 6^V) du paragraplie precedent et nous avons vu comment
il faut la trailer pour determiner f0 ( h ).
La fonction /0(A) <5tant ainsi connue, la determination de £07 -/30, ^ se Lrouve
actevee.
Et-ainsi de suite
Pour pouvoir appliqucr les principes du paragraphe XI, il nous faut voir
cc quo deviennent iios functions H2? H1? H0 au degre d'approximatioii adopts.
On Irouve aisemcnt
= — | C
L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
Le rapport ^ prend alors la forme
j h da (?1 -f- Tig ) — § J ^l
En tenant compte des Equations (i d) (?i = 4) et (4 d) (n = 3), cettc expres-
sion devient
/ f \
ct elle ne conlicnl plus que trois fonctions arbitraires
Ces trois fonctions ne sont pas cependant entitlement arbitraires, car elles
sont assujetties a la condition (2 d} (n = 4) et a la condition (10 c] (n = 4).
Ces conditions sont d'ailleurs les seules. Si elles sont remplies, on pourra a
1'aide de (3d) et (^d) (/i = 4), puis de (i d), (2d)(n = 5) et (ioc)(» = 5),
determiner %A, yj4, ^3, et ainsi de suite.
Tl reste a voir que ces fonctions £3, -Oy, £4 sont compatibles avec les equa-
tions (i a, 6, c), (2 a, &, c), (3 a, 6, c), (4«, 6, c), (ioa, 6), (i
Or'cette compatibility est evidente, (c rf) (n = 4) donnera ;2 ct yj2 ol cnlrai-
iiera coiume consequence (3d)(w = 3); (4^)(^==3) nous donnera ?;i et
cntrainera (10 c) (n = 3) et (2 d) (n = o L
Ensuite (i 6?) (/i = 3) donnera £1 et ra et enlrainera (3 c) ; (4 c) doimera Ja
et entramera (ice) (/i = 2) et (2 c').
On pourra choisir X2 et Ya arbilraircment; (i c) doniieru E0 et TQO et enlrai-
nera (3 6); (4 &} donnera d et eutraiuera (10 b) et (2 6).
Enfin (i 6) donnera Xt et Yi et entrainera (3 6); (4#) doimera ?0 et entrai-
nera (ioa) et (2 a); (i a) donnera X0 et Y0.
Voyons maintenant si nous ne pouvons pas nous affranchir de ces deux con-
ditions (2^) (n = 4); (ioc) (» = 4)«
Pour cela j'observe d'abord que si j'ajoute a %* une constante quelconque, le
d^nominateur de (5) ne change pas.
2 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
II en est encore de meme si j'ajoute respectivemeiit & £3, 733, £4 les termes
/(A) £tant une fonction quelconque de A.
On est done amen6 a chercher & determiner cette fonction /(A) de telle
fagon que le numeSrateur soil minimum.
Je puis encore enoncer le probl&me en d'autres termes : quelle est la condi-
tion que doivent remplir les fonctions ^;J7 Yj:}7 C» P^lir clue ^ numdraleur aug-
mente quand on change ^s, TQ3, 5* en
et cela quelle que soit la fonction arbitraire/(A) ?
ficrivons done que la variation de ce num^rateur est nulle
(6) — r^(?s S?3-H-ns BTIJ) da •+• g]^ s£* d«> = °-
Cette condition doit £tre remplie quelle que soit /(A) quand on fait
df(h) ^ df(h) j ^_*iQf
°^ — -fir1* OT»=^r' ^-H-— /,
d'ou
(6te) /A/'(?? § -^S) **•*• ^f^f** = °-
Posons /=F;, f!=Fff; nous pourrons encore supposer que F s'annule
pour A = o, et nous aurons
y*AWb^-ni^)^-Ha*oy*C*Ff^«o.
Or, AF^ estJa d^riv^e de AF; — F, et comme AF' — F s'annule pour A = o,
Tint^gration par parties nous donnera
On tire de la *
ce qui n'est autre chose que T^quation (10 c) (n = 4
Si, de m^mej dans F^quation (6 to) nous faisons
L'gQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 278
il vient
J ^ to - o,
ce qui n'est autre chose que 1'equation (2 d) (n = 4).
Nous sommes ainsi conduit a Fcnonce suivanl :
Considerons le rapport (5) ou ga, 733, ^4 sont Irois fonctions tout a fait arbi-
traires ; ou mieux le rapport
/
ou j'ai pos6
jja = I'M, ri:j = zV, 5V= «',
de telle facoii que les trois fonctions arbitraircs w, <^, «v soient r^elles.
Posons maintenant
9 = a, Pi -f- a2 p2 -+-...
Dans ces expressions, les «/ sont des coefficients inde terminus, les &/, les cv»
les (v/ des fonctions compl^tement arbitraires; /"(A) une fonction arbitraire
de h.
Regardant d'abord les M/, les t>/, les (v/ commc determines, nous choisissons
les a, et/(A) de telle fagon que le rapport (5 &w) soit aussi petit que possible;
soit R le minimum ainsi obtenu qui d^pendra des #/, des p,- et des PP/; choi-
sissons les Uf, PI, (Vj de fa^on que R soil aussi(grand que possible; le maximum
ainsi obtenu, quo j'appellerai ley; -+- iI6me maximum sera ~ •
*/>
La definition du p + i ifeme maximum se trouve ainsi un pcu modifi^e puis-
qu'au lieu de p -f- 1 coefficients arbitraires, on a p coefficients arbitraires a/
et une fonction arbitraire /(A). Mais cette modification n'a rien d'essentieL
Ainsi, la determination des p&riodes des oscillations propres du vase
lournant e$t ramen&e a la recherche des maxima successifs du rap-
port (# bis}.
H, P. — VIH. 35 -
274 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS.
De cetle determination depend, comme je Fai explique a la fin du para-
graphe precedent, la possibility d?t$tendre le domaine de convergence des series
procedant suivant les puissances de A et d'augmenter la rapidittS de leur con-
vergence.
Ainsi Fetude du inouvement des mers, en tenant compte de la rotation du
Globe, se trouve rattachee aux priiicipes exposes dans la premiere partie de ce
travail, ou je negligeais cette rotation.
Dans un cas comme dans Fautre on est amen<S a envisager les maxima sue-
cessiis du rapport de deux inte"grales .
G'est ce qu'on comprendra mieux daailleurs si je montre ce que devient le
rapport (o bis) quand on suppose la rotation nulle.
On a alors
O = o, u =s v =. o
et le rapport se r^duit a
/
.
ce qui est precisement le rapport envisage au paragraphe VI.
II resteraita tenir compte de la courbure; mais c'est ce qui pourrait se faire
d'apres les m^mes principes.
SUR UN THEORfiME GENERAL
RELATIF AUX MAREES
Bulletin astronomique, t, 20, p. 2i5-22Q (juin
La tlicorie generale des mar6es est exirememenl compliquee, cl conduit a
bien peu de propositions susceptibles d'un enonce simple; c'est ce qui
m'engage a publier quelques formulas g6n<§rales qui me semblent pouvoir &tre
utiles dans certains cas.
Je dt§signe par W le potentiel g<5n£rateur des marges, par V le potentiel
total, comprenant non seulement les termes provenant de Pattraction de la
Lune et du Soleil, termes dont 1'ensemble nous donne W, mais aussi les
termes qui proviennent de Fattraction de la Terre elle-m6me, de la force cen-
trifuge ordinaire et de 1'attraction des eaux soulev^es.
J'appelle/> la pression et je pose
Je repr«$sente par oo la vitesse de rotation dc la Terre et je prends Paxe de
rotation pour axe des z. J'appelle U, v, & les composantes du d^placemerit. Les
Equations du mouveinent s'(§criront alors :
dv dy ,
d* 9 du d®
+2w = '
-276 THEOREME GENERAL RELATIF AUX MAREES.
Pour etablir ces equations, je neglige d'une part le carre dcs displacements et
d'autre part, le frottement. M. Hough a monlre en effet dans le tome XXVIII
dos Proceedings of the London Mathematical Society combien sont faibles
Ics effets du frottement.
AUX equations (i), il cunvient d'adjoindre Pequation de continuite
, du dv dw
(2) -7- H- -r- H- -r- = O.
v • dx dy dz
Cela puse, isolons un volume de liquide; soil V ce volume, S lu surface
fermee qui le limile; soit d? un ^l^ment de ce volume, da- un element de la
surface S; soit T la force vive de ce liquide; nous aurons, en prenant pour
unite la densite du liquide.
d'ou
dt I i£tJL \ dt "dt^ i
*S ^^^ ^ *-vv ^*vv j
En multipliant les equations (i) respectivement par
du dv dw
et ajoutant? on trouve
•^ / du, d* u \ __ du dy dv dy dw dy x^ du
4M \ dt dt- i dt dx dt dy dt dz
d'ou
i du do
Nous aliens transformer le second membre en integrant par parties; il vient
/, du «5o r , du dv f* , , du
d^tZ=
Si nous appelone a, (3, y les cosinus directeurs do Tdemenl rfor, on aura
d
et par consequent
/*S 3 -/•*•*-/*•»£•
THEOREMS GENERAL RELATIF AUX MAREES. 277
(Toil
dT
dT ___ r ^ du dz
~3i ~J ZJ *di 1&
/, ( du r.dv dw\ r . d f^\du
CD ffo a --=- 4- 6 -- -h Y —r- ) — I s <r/~ -r ( > -=-
\ dt l ctt ' <:& / J ' dt\£ldx
En verlu de Fequation (2), la dcrnifcre integrate csl nulle; si d'autre part je
d<5signe par N la composante du d(5placement, normalc a I'^l^ment rfo-, de telle
sorte quo
N = a u -h [3 9 •+- 7 fp,
nous pourrons (Scrire
/ON <*T
(3) -
C'est ceile Equation fort simple qu'il s'agit d'interpr^ter. Pour cela, je sais que
le potentiel W qui engendre les marees est une fonction du temps el que cette
fonction est une somme de termes trigonometriques. Nous pouvons consid^rer
isol^ment Tun de ces termes et la mar6e partielle qui est due a ce terme. Dans
ces conditions W, w, P, t^, 9, N sont des fonctions p6riodiques de m6me
p^riode. Liquation (3) est <3videmment encore vraie quand on se borne a
celte martte partielle.
Alors T est une fonction p^riodique de £; etcommc la dtSrivee d'nne fonction
ptfriodique a sa valour rnoyenne nulle, nous pourrons t^crire
(4) vol. moy. J 9^-^=0.
JNous pourrions d'ailleurs 6crire tout aussi bien
(4 bis) val. moy. JN ^
et, cn eflet,
= o,
et / cpN d<r est une fonction p^riodique de T.
La surface S qui limite le volume W se compose de trois parties :
i° Une portion du fond de la mer que j'appelle la surface Si ;
a° Une portion de la surface libre que jlappelle S2 ;
3° Une portion de surface situ^e a Tint^riear des mers ,et s^parant le
volume W du rcste dm volume de I'Oc&tn ; c'est ce que j'appellerai Ss.
2P-§ TH^ORfcME GENERAL RELATIF AUX MARGES.
Au fond de la mer, on a
N = o,
de sorte que la portion de Fintegral-e qui se rapportc a la surface Si est nulle.
Voyons ce qui se passe sur la surface Hbre S2.
Le potentiel V se compose de irois parties :
i ° Le potentiel g<5n6rateur des marees W ;
2° Le potentiel dii a Fattraclion de la partie solide du Globe, a la force cen-
trifuge ordinaire et a Fattraction d'un liquide qui occuperait le volume compris
entre le fond des mers et la surface d'<5quilibre moyemiede la mer, telle qu'elle
serait sans 1'action des astres; c'est ce que j'appelle V;
3° Le potentiel da a Faction des eaux soulev^es, c'est-a-dire a Fattraction
d'une masse liquide qui occuperait le volume compris entre la surface d^qui-
libre moyenne et la surface d'equilibre actuelle des mers. C'est ce que
j'appelle V".
On a done
Sur la surface d'£quilibre mojenne, V est une constante et Ton a Vr= V0.
Comme la surface d^quilibre actuelle diff&re tr^s peu de la surface moyenne,
on aura
g &ant Fintensit^ de la pesanteur, et o la distance des deux surfaces compute
sur la normale a Fune d'elles, c'est-a-dire selon la verticale; cette distance est
ce que nous avons appel£ N et co que j'appellerai N2 pour rappeler qu'il s'agit
d7un ^l^ment de la surface S2. On* done
D'ailleurs p est 6gal a une constante, a la pression atrnosphgrique/>05 de sortc
que
comme <p et V ne sont d6termin$s qu'^i une eonstante pr^s, nous pourrons sup-
poser V'ft=jt>0 et ^crire
',(5) f
TH^OREME G£NE"RAL RELATIF AUX MARGES. 279
L'int(5grale / cp -jr da- relative a la surface S2 devient ainsi
/-\x-dN2
J v-sr
La troisi&me de ces integrates a sa valour moyenne nulle, car c'est la d6ri
de la fonction p6riodique
La seconde de ces integrates a egalement sa valeur moyenne nulle, si Ton
suppose que le volume V est le volume total de I'Oc^an tout entier. En eflet,
V" est le potentiel clu a 1'attraction des eaux soulev^es, c'est-a-dire d'un volume
dont chaque element est un petit prisme de base da1 etde hauteur N2. L'&iergie
potentielle due a 1'attraction des eaux soulev£es sur elles-m6mes est alors au
signe pr6s
i/VN,*
et, en vertu d'un theor&me bien connu de la theorie du potentiel newtonien, sa
d(5riv6e est <$gale a
Notre intdgrale est done encore la d^riv^e d'une fonction pgriodique.
Si le volume V n'est qu'une partie des Oceans, ce qui pr<5c^de n*est plus
exact, n^anmoins notre seconde int^grale pent encore 6tren3glig£e, et, eneffet,
dans la plupart des questions relatives aux marges, 1'effet du potentiel V" peut
£tre consid<5r^ comme beaucoup plus petit que ceux des potentiels W et V;.
L'integrale relative &. la surface S2 peut done s'^crire
val.
Envisageons maintenant la surface S3. Soit L la ligne ferm^e qui limite la
surface S2. La surface S3 pourra ^tre consid6r<*e comme engendr^e par une
droite normale a. S3, c'est-^i-dire verticale, qui se d^place en s'appuyant sur la
ligne L* Dans les questions relatives aux marges, on regarde la profondeur de
la mer comme tr^s petite, et elle Test ea effet par rapport aux longueurs d'onde
^t aux dimensions feomontales des Oceans* Nous pourrons done stipposer que
le l6ttg dVrie d^ ees dioiteftrb fon^tito <p et le ^placement N (qtie nou^ appel-
280 TH£ORH:ME G£N£RAL RELATIF AUX MAREES.
lerons N3 pour rappeler qu'il s'aglt d'un <3l<5ment de la surface S3) sont sensi-
blement constants depuis la surface jusqu'au fond de la mer.
Alors si ds est un glgment do la ligne L et h la profondeur do la mer, Ftflo-
rnent dv de la surface S:t sera // ds, de sortc que not re integrate pourra sVcrire
et que 1'equation (4) deviendra
(6) val. moy. C h?^ ds = -v*l.
La premiere intggrale doit 6 ire tilendue a tous les <3l£nients ds de la ligne L
et la seconde a tous les figments da- de la surface S2 limit€e par cette ligne.
II nous reste a interpreter cette Equation. Si d'abord la surface So comprend
FOc^an tout entier, la profondeur h est nulle tout le long de la ligne L qui
n'est plus autre chose que le bord des mers, et notre Equation se r^dtiit a
(6 bis) val. moy. / W— y-dfo = o,
d*ou Ton d^duit ais6ment comme nous 1'avons vu plus haut
(bter) val. moy. I N2-T-^cr = o.
De la nous pouvons d<5j^. d6duire une consequence importante. Onsaitqu'on
a cherchg a expliquer certains ph^nom^nes astronomiques par le ralentisse-
ment de la rotation terrestre du a Faction des marges.
La r£alit£ de ce ralentissement ne saurait ^tre douteuse; car le frottement
des marges absorbe de Fenergie qui ne peut 6tre emprunttte qu7a la force vive
de rotation du Globe. Quant an mt5canisme de ce ralentissement, on en rend
compte de la fac.on suivante : par suite du frottement la mar£e est en retard
sur le passage de la Lune au m^ridien et le bourrelet form£ par les eaux soule-
v^es ne se trouve pas dans le m6me m^ridien que la Lune; il s'ensuit que la
r&sultante des actions de la Lune sur ce bourrelet ne va pas rencontrer Faxe de
la Terre et poss&de par rapport a cet axe un moment qui tend a ralentir la
rotation.
Mais alors on est conduit aux reflexions suivantes ; le frottement n'est pas la
cause du retard de? marges ; ce n'est pas uniquement de lui que depend
des ports. Ge a'est m$jppie pas la cause principale de ce retard et
i qua, sauf pour certain^ ports^sito^s au fond d'ua canal pe^i profond,
THEORfeME GENERAL RELATIF AUX MARGES. 28 1
le froltement n'exerce sur Fetablissenient qu'uiie influence inappreciable.
Dans ces conditions on pent so domander si, rilors jneme cjuil n\r aurait pas
de frottement , Faction dc la Lime sur le bourrelet no va pas avoir une resul-
lante nc rencontrant pas Faxc et ne va pas tendre a fiiiro varier la vilessc do
rotation de la Terre. La reponse doit &tre negative.
En effet Faction de la Lime sur un eminent du bourrelet, qu'on peul assi-
miler a un prisme de base d<? et dc hauteur N2, a pour moment par rapport a
Faxe terroslre
Tvr 7
-77- Na r/ff,
cfy
on appelant ^ la longitude du lieu ; do sorlo que le moment tolal ost
(7)
Je dis que la valeur moyenne de cette integrate est nulle. Supposons d'abord,
en effet, que W se rgduise a Fun de ses termes trigonome" triques . On sail
quelle est la forme des diffe'rents termes trigonome'triques de W. Chacnn d'eux
ost <5gal a une fonction de la latitude multiplied par le cosinus ou le sinus d'un
multiple de
• <!>-**,
a etant une constante. Ainsi chacun des termes de W satisfail ii uno equation
de la forme
/AV
On aurait done, si W se reduisait a un seul termo,
T^WXT ^
J w^d*~
Done en vertu de liquation (6ter), Fintegrale (7) aura une valeur moyenne
nulle.
Rappelons en passant que, dans ce cas, liquation (6 ter) est rigoureuse,
car, lorsque la surface S2 s7e*tend £ FOce*an entier, nous avons vu que celle dc
nos integrates qui depend de Vff a sa valeur moyenne rigourcusement nulle.
Supposons maintenant que W se compose de plusieurs termes ; et pour fixer
Ics ide"es supposons deux termes seulement, le raisonnement qui va suivre
s'e'tendant sans peiiite au cas d'un nombre quelconque de termes. Soient W
el W ces deux termes :
H. P. - VIII. 36
282 THEOREMS GENERAL RELATIF AUX MARGES.
Soient SV et N" les termes correspondants de N2
nous aurons
La premiere et la quatrifeme inlegrale du second membre ont lenr valeur
moyenne nulle, d'apr&s ce qu'on vient de voir, puisqu'elles ne sont autre chose
que ce que deviendrait l'int<5grale (7) si W so reduisait, soit au terme unique W,
soil au terme unique W'.
Je dis maintenant que la deuxifcme intggrale (de m£me que la troisifeme) a
£galement sa valeur moyenne nulle. Supposons, en effet, que W soit propor-
tionnel a cos(a'* + ?') el "W" a cos(aft-t- (3/;); alors N/; sera proportionnel
a cos(a"« -+-yr)^ ^e sorlc CIU<? notre deuxi^me integrate se prSsentera sous la
forme d'une somme de deux termes, le premier proporlionnel a une ligne tri-
gonom^trique de (a'-}-<x.fr)t: le second & une ligne trigonom^trique de («' — a")/.
Comme ni (a'+ a"}, ni (a; — ar') ne sont mils (sans quoi les deux termes W
et W a jam m&me argument devraient £tre rdunis en un seul), les valeurs
moyennes de ces deux termes seront nulles. c. Q. F. n.
Done le moment de la rtfsullante de Paclion de la Lune sur les eaux soule-
v^es a toujours sa valeur moyenne nulle, de sorle qu'il ne peut j avoir aucun
changement dans la dur<5e de la rotation de la Torre. Le principe de la conser-
vation de PtSnergie pouvait nous permettre de pr^voir ce rdsultat, bien qu'on
eiit toujours pu se demander s'il n?y avait pas compensation entre P&iergie de
rotation perdue par la Terre et I'&iergie de translation gagn^e par la Lune.
Ainsi le frottement seul pent produire I'effet en question, mais comme nous
savons par les calouls <Je M. Hough que le retard des marges produit par le
frottement est presque u^gligeable, nous devons couclure que cet effet est
beaucoup plus petit qu'il »e le serait si on le calcukit en-partant, par exemple,
de r6tabli$sement observe dans les pprts de la Majiche, qu'il est beaucoup
trop petit par cons^queut pour produire des eflfets astronomiques tels que
Facc^l6ration s^culaire de la Lune,
L'mflueace des marges oc^aniemies sur k dur^e du jour est done tout ^ fait
imnime et n'est oullement conoipaTtbie £ I'effet des.mar6es dues a la viscosity
THEOREMS GENERAL RELATIF AUX MARGES. 283
et a 1'elasticite de la partie solide du Globe, eflfel sur lequel M. Darwin a insist^
dans une serie de Memoires du plus haul inltfr&t.
Revenons a 1'interpretation de notre Equation (6); et d'abord quelle est la
signification d'un element quelconque AV^^db- de Pintegrale du second
membre.
Supposons que W est proper tionnel a cos(a£ -f- j3j; s'il n'j avail pas de
re lard de la maree, N2 serait egalement proportionnel a cos (a £ + ,3) el
& sin(a£ + (3). Alors le produit W -^ serail proportionnel a sin a (a £ -f- (3j et
sa valeur moyenne serait nulle.
Si, au contraire, il y a un retard de la maree, N2 sera proportionnel £
cos(a£ + y) et la difference y — (3 mesurera le decalage de la maree, positif
s'il y a avance, nggatif s'il y a retard; xious supposons bien entendu a positif;
on aura alors
W^efo«— Macos(a*-+-p)sin
at
oii M est une quantil^ positive ind^pendante da temps.
La valeur moyenne de notre (^l<5ment sera done
et aura, par consequent, signe oppose a celui de sin(y — 13). Elle sera positive
s'il y a retard, et negative s'il y a avance.
11 importe de pr6ciser ce que, dans un pareil 6nonce, nous entendons par
retard* et par avance. Supposons une onde de mar^e se propageant avec une
cerlaine vitesse, par example dans le sens du m£ridien; si au depart il y a
accord entre la pleine mer et le passage de la Lune au meridien, un pen plus
loin la maree va se trouver en retard sur la Lune, puisque la propagation de
Ponde n'est pas instantanee; le retard va s'accentuer & mesure qu'on s'eloi-
gnera du point de depart; il finira par depasser une demi-periode; a ce moment
nous dirons que la marge est en avance ; c'est ainsi qu'une horloge qu'on ne
remettrait jamais £ Fheure finirait par avancer quand elle retarderait de plus
de 6 heures.
Nous convenons done de dire que la marteest en avance quand sin(y — (3)
est positif et en retard dans le sen$ contraire.
Les points oi!i la mar4d est en retard sont ceux oi!i le travail moyen de
284 THEOREME GENERAL RELATIF AUX MAREES.
Fattraction de la Lime sur la molecule d'eau envisagtte est positif; en effet la
mer tHant en retard, la Lime lend a acceltfrer son monvemenl pour le ramencr
a la position dVquilibre pour laquelle il y aurail concordance de phase. Si, au
coiilraire, la maree est en avance, le travail nioyen de Fatlraction lunaire est
m»galif ; car la Lime lend a relarder le mouvemont de la mer pour le ramener a
la position dVquilibre, position qu'elle a pour ainsi dire d<5pass£e.
Cherchons maintenant a interpreter le premier membre de (6).
Ici une courte digression esl n<3ccssaire. Reprenons les equations (i), le
volume W ct la surface S qui le limile. Liquation de continuity appliqucjc a
Fensemble du volume W nous donnc
N da = o,
Fintegrale cHant etendue a tons les elements de de la surface fermtSe S. Le long
de Sl7 on a N = o el les elements correspondants de Fintegrale sont nuls; le
long de S2, notre integrate peut s'ecrire /N2 dv, et comme un <5lt5ment da de S3
est egal, comme nous Favons vu, a h ds, cette partie de Fintegrale peut
s'ecrire / h N3 ds, do sorle que nous avons finalement
c c
} J 3^=-~y N2<r/cr,
la premiere integrate etant etendue a tous les elements ds de la ligne fermee L
01 la seconde a tons les elemenls da de la surface S2 limitee par cette ligne.
ficrivons maintenant les Equations (i) mais avec des axes quelconques et
designons par ?k, fjt, v les trois composantes de la rotation terreslre
d-u dv dw __ dy
dt* dt ^ dt ~~ dx^
'
dt dt dy
du . dv dv
+2x ._ = _,.
Si nous supposous que Faxe des z est la veriicale au point coasid^r6, nous
voyoms que la composa^te; w est trds petite an fond de la mer; car si la profon-
deur est tr&s petite, la peote est aussi irfes petite et la nor male & la surface du
fond est sensibfemeuit vertieale. Cette composaate, tr^s petite au fond, sera
pariout trfes petite, puisque la profoacleur est tr^s petite. Dans les deux pre-
*|uAtioi*3 (i bis) nous poiumiis dcmc B^gliger tes termes en --
THEOREMS GENERAL RELATIF AUX MAREES. 285
Supposons maintenant que pr&s du point considered la mer so reduise a un
canal gtroit eL qu'on prenne Faxe des x parall&le a la direction dc ce canal.
Alors P est nul sur le bord du canal, et, commc la largeur est irfes petite, p sera
tr&s petit dans tout le canal. Nous pourrons done negliger -£ dans la premiere
equation (i bis), qui se reduira a
d-u dv
Revenons a noire inUSgrale (6); la lettre N3 y designe la projection du
displacement sur la normale a la surface S3, normale dirigee vers Vexterieur
du volume W. Si done nous supposons que Faxe des x positifs est, dans le cas
particulier qui nous occupe, dirig^ vers Tint^rieur de ce volume, nous aurons
pour l'(§l<§ment de 1'inUSgrale (6)
. o?N3 j , da ,
A9^rA=-A93jA.
Supposons uiie onde se propagcanl dans le canal vers Vinterieur du
volume W; nous aurons
o = A. cosa^
(3 et a (5taiit positifs. On aura done en vertu de liquation (i ter]
OL
La valeur mojenne de notre element sera done positive.
Si nous avions eu une onde se propageant vers Pext&rieur du volume W, il
aurait fallu supposer (3 n6gatif et cette valeur moyenne aurait <it(S negative.
Si nous avions eu une onde stationnaire, de telle fagon que
cp = A
notis aurions eu
u = A £
a2
et
du
et cetie valeur moyenne aurait 6t6 nulle,
286 TH£OREME GENERAL RELATIF AUX MARGES.
Si nous supposons deux ondes simultanees se propageant en sens inverse
avec la ni£me vitesse
s =
nous aurions eu
J ?
as V H T / K2
et
afo 9i3 o , ? ,
' dt OL a
de sorte que la valeur moyenne serait, la somrae algebrique des valeurs
moyennes que donnerait s6par<£ment chacune des deux ondes.
Imaginons maintenant un canal plus large, mais toujours parall&le a Faxe
des x.
3N7os equations (i bis) deviennent
d^ IL dv d^
dt^ dt dos
d- v du dv
ou v est la composanle verticale de la rotation, c^est-a-dire w multipli^ par Ic
sinus de la latitude.
Je supposerai de plus pour faciliter le calcul que le potentiel g<?n6rateur W
est nul dans la region consid^r^e, que nous regarderons comme assez petite
pour pouvoir &tre consider^e coname plane. Dans ces conditions, en nggligeant
aussi Vff, liquation (5) nous donnera
N,=-I,
et liquation (8) deviendra
— / ghu ds = / ^AN3 d$ = \ 9 rfff,
d'ou Ton d(5duit aisement
dhu
(9)
Nous supposerons d'ailleurs h constant pour simplifies Nous voyons alors
qu'on peut satisfaire aux Equations (r bis) et (9) ainsi qu'aux conditions aux
limites ea posant
THEOREMS GENERAL RELATIF AUX MAREES. 287
pourvu quo
Les conditions aux limites sont en eflct satisfailes, car si y~b et y = bf
sont les Equations des deux bords [du canal, ces conditions aux lirnites exigent
que pour ces deux valeurs de y on ait v = o.
En adoptant pour cp et u ces valeurs il est aise de verifier que la signification
de I'&Leinent
, flN:i du,
h^-Wch=-ll*-dtds
demeure bien la m6me que dans le cas simple d'abord trailtS.
Dans le cas general, il serait plus difficile de donner une definition diroclc
du sens dans lequel se propage une oiide de marge. Mais nous pouvous
admettre par definition que I'dtSmenl d'int^grale hy--~ ds represente la
quantit^ de perturbation qui pen&lre dans le volume *F a travers T^le-
ment h ds.
Les exemples simples cit&s plus haul suffiraieul pour justifier cette defini-
tion. Mais on peut en donner une auir-e justification.
Si, en effet, nous repremms Tequation (-3) nous voyons que / cp -TT- dcr repr6-
sente 1'accroissement de la force vive lotale, de sorte qu'il est naturel de consi-
d^rer cp -g dcr dt comme la quantity de force vive qui entre dans le volume pen-
dant le temps dt a travers I'gl&nent da:
Revenons a liquation (6) et supposons d'abord que le volume W comprenne
1'Oc^an tout cntier; alors elle se r&luira a
/,,r<2?N2 *
W » ctfs ==s o.
dt
Comme les 3l6ments de cette iut6grale sont positifs si la mar^e est en. retard
et nggatifs si elle est en avance, nous devons d'abord conclure qu'il est impos-
sible que la mar^e soit en retard sur toute la surface des mers, ou en avance
sur toute la surface des mers, en donnant aux mots avance ct retard le m6me
sens que plus kaut.
Si maintenant nous reprenons liquation (6) en ne supposanl plus que le
volume *F copaprenne 1'Oc^an entier, nous voyons que si Ton consid&re les
ondes de mar^e qui p€n&tresit dans ce volume, ou qui en sortent, ces ondes
288 THEOREME GENERAL RELATIF AUX MAREES.
doivenl converger vers les regions ou la maree est en avance, et divcrger clcs
regions ou elle est en retard.
Car, si nous supposons que le volume *F soil uiie region vers laquelle les
ondes de maree convergent de toutes parts, dans le premier membre de (6)
tons les elements seront positifs. L'integrale
devru done elre negative, c'esl-a-dire quc la martSe devra £tre en avance.
On s'etonnera d'abord de ce resultat, car il semble que, si Ton conside-re la
propagation d'une onde, la marine doit etre plus en retard en aval qu'enamont.
Mais on devra refle'chir que 1'avancc de la martje ne peut se maintenir qu'a la
condition qu'elle soit entretenue par une perturbation venue du dehors.
Examinons a cc point de vue la tlieorie des marces de Whewell qui, comme
on le sait, supposait que les marges prenaient naissance dans les mers antarc-
tiques, produisaient des ondes qui remontaient vers le Nord et suivaient les
deux Oceans Atlantique et Pacifique a la fagon d'uiie vague qui se propage
dans un canal et convergeaient vers les mers arctiques.
Or, si nous reprenons liquation (6) en Petendant auxmers arctiques seules,
nous voyons que, dans le voisinage du pole, W est tr&s faible, de sorte que
notre equation se r^duit sensiblement a
/*, dNs .
val. moy. / A«p-^— e«==o.
Or, si les ondes convcrgcaienl toutes vers le pole, tons les elemcnls dc cette
integrale seraient positifs.
La theorie de Whewell ne serait done tenable que si Ton attribuait an frol-
tement un effet considerable capable de d<5truirc les marees en 12 heures; or,
si Ton s'en rapporte aux calculs de M. Hough, que jc citais plus haut, il fau-
dntit 20 ans pour rcduirc rampliludo des oscillations £ une fraction - de sa
valeur initiate.
ANWENDUNG
DER THEORIE DER INTEGRALGLEICHUNGEN
AUF DIE FLUTBEWEGUNG DBS MEERES
Seeks Vortrage (Universilc de GSttingue;, p. 12-19 (.23 avril 1909).
Ich will Ihneii lieute fiber eiiiige Aiivvendungenderlntegralgleicliungstheorie
auf die Flutbewegung berichten, die ich im letzten Semester gelegentlich einer
Vorlesung ixber diese Erscheinung gemacht habe.
Die Differentialgleichungen des Problems sind die folgenden :
(0
b. ;= —
Wir stellen uns dabei vor, dass die Rugeloberflache der Erde etwa durch
stereographische Projektion konform anf die (#, y)-Ebene bezogen sei; dann
bedeute k(x, y} das Ahnlichkeitsverhiiltnis der Abbildung zwischen Ebene
ung Kugel. Die LOsujig des Flutproblems denken wir uns durch periodische
Funktionen der Zeit t gegeben, und wir nehmen speziell an, dass unsere
Gleichungen (i) einem einzigen periodischen Summanden von der Form
Acos()U + a) enlsprechen, sodass also X in unseren Gleichungen die Schwin-
gungsperiode bestimmt; e3 ist bequem, statt der Kosimis komplexe Exponen-
tialgrdssen einzufuhren und also etwa anzunehinen, dass alle unsere Funktionen
die Form
H. F, — VIIL 37
390 THEORIE DER INTEGRALGLEICHUNGEN AUF DIE FLUTBEWEGUNG DES MEERES.
haben; der reelle und imaginare Teil dieser komplexen Losungen stelll uns
dann die physikalisch brauchbaren Losungen dar.
cp(#, y) ist definiert durch
wo V das hydrostatische Potential,/; der Druck ist.
Ist h die Tiefe des Meeres, so definieren \vir
*l
wo 5 die Colatitude des zu(#, y) gehorigen Punktes der Erde, o> die Winkel-
geschwindigkeit der Erde bedeutet. ?(^5 J') ist die Differenz zwisclien der
Dicke der mittleren und der gestorten Wasserschicht, d. h. ; > o entsprichl
der Ebbe, £ < o der Flut.
£• ist die Beschleunigung der Schwerkraft, W das Pontiential der St6rungs-
krafte, n isl das Potential, welches von der Anzichung der Wassermassen von
der Dicke £ herrfihrt. Ist z- B.
so
n Y
rr^-ij
wo die X? die Kugelfunktionen sind
Die Eiobeiten sind so gewahlt, dass die Dichte des Wassers gleich i, der
Radius der Erdkugel gleich i ist.
De GrSsse It kann man meistens vernachlassigen; tut man dies, so erhalt
man sofort fur cp eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung. Um aus
derselben cp zu bestimmen, muss mann gewisse Grenzbedingungeii
vorschrfeiben. Wir unterscheiden da zwei Falle :
1. Der Rand des Meeres ist eine vertikale Mauer; dann wird
dn X
wofcai j2 i ^ 4i0 Bonn&la i>z?^r. tfcagentiale AWeitung von <? ist.
2^ Der Rand des Meeres ist nicht vertikal; dann ist dort
h a= O,
THEOR1E DER INTEGRALGLEICHUNGEN AUF DIE FLUTBEWEGUNG DES MEERES. 2Q1
Die Grenzbedingung lautet bier, dass 9 am Ramie regular und endlich bleiben
soil.
Um auf diese Probleme die Methoden der integralgleichungen anwenden zu
konnen, erinnern wir uns zunSchst der allgemeinen Uberlegungen, wie sie
Hilbert und Picard fur Differentialgeiclumgen anstelleii. Sei
erne partiolle Difterentialgleiclmng 2. Ordnung fur w, die elliplischen Typus
hat, so ist eine, gewisse Grenzbedingungen erfulleiide, Losung u darstellbar in
der Form
wobei (.!(#, y; .T', yr) die zu diesen Handbedingungen gehorige Greensche
Funktion des Difterenlialausdruckes D(u) ist; f ist /(^'5 y3)^ dd=. dxr dy\
und das integral ist tiber dasjenige Gebiet der (#', y)-Ebenezu erstrecken, fur
welches die Randwertaufgabe gestellt ist. Um die Greensclie Funktion zu
berechnen und so die Randwert-aufgabe zu losen, setze man
wo
T. I , du t du
DI(M) = a-r — \-b -. — h cu
v ' dx Oy
ein linearer Difierentialausdruck ist. Nehmen wir nun an, wir kennen die
Greensche Funktion G0 von D0(w), so haben wir die LQsung von
in der Form
Schaffen wir hieraus durch partielle Integrationen die Ableitungen ^_> —7 heraus ,
so werden wir direkt auf eine Integralgleichung zweiter Art fur <p gefuhrt, die
wir nach der Fredholmschen Methode behandeln konnen, wen-n ihr Kern
nicht zu stark singular wird.
Bei tmeserem Pro|jjeme der Flutbewegtmg tritt nun gerade dieser Fall ein;
der Kerii wird so hoch tinendlich, dass die Fredholmschen Methoden versagen ;
m welcb^ Weise man diese Schwi^rigkeiten
2 THEORIE DER INTEGRALGLE1CHUNGEN AUF DIE FLUTBEWEGUNG DES MEERES.
Betrachten wir erst den Fall der ersten Grenzbedingung
wo G eine gegehene Funktioii von #, y ist, Die Difterentialgleichung, die
sich bei Vernachlassigung von II ergibt, hat die Form
und wir stehen dalier vor der Aufgabe, die Gleichung
A? = F
mit unserer Randbedingung zu integrieren.
Diese Aufgabe ist Equivalent mit der, eine im Innern der Randkurve r^gulare
Potentialfunktion V, die am Rande die Bedingung -v — {- C -j- = o erfullt, als
Potential einer einfacheii Randbelegung zu finden. Bezeichnet s die Bogen-
lange auf der Randkurve von einem festen Anfangspunkte bis zu einem Punkte P,
sr die bis zum Punkte P', so erhalt man fiir V eine Integralgleichung; jedoch
wird der Kern K(s, ^'} derselben fur s = sf von der ersten Ordnung unendlicb,
und es ist daher in dem Integrate
der sogenannte Cauchysche Hauptwert zu nehmen, der definiert ist als das
aritfametische Mittel aus den beiden Werten, die das Integral erhalt, wenn ich
es in der komplexen y-Ebene unter Umgehung des Punktesy = % das eine mal
auf einem Wege AMB oberhalb, das andere mal auf einem Wege AM'B
xinterhalb der reellen Achse fuhre.
Anstatt die Methoden zu benutzen, die Kellogg zur Behandlung solcher
unstetiger Kerne angibt, will ich einen andern Weg einschlagen. Wir
betrachten neben der Operation
S[/<#}] =y*K(«, y)f(y) dy
die iterierte
lam der ebeirfalls ^das l>oppeliiitegrai &1$ C^ucbyscher Hauptwert zu nehmen
iit; dies soil folgeadermassen verstaiiden werden : wir betiaohien fur die
THEORIE DER INTEGRALGLEICHUNGEN AUF DIE FLUTBEWEGUNG DBS MEERES. 2g3
Variable z die Wege AMB, AM'B, {dry die Wege APB, AP'B, die aueinander
liegen mOgen, wie in der Figur angedeutet ist. Dann bilden wir die 4 late-
grale, die sich ergeben, wenn ich einen Wegfur z miteinemfiir jkombiniere,
*: AMB, AM'B, AMB, AM'B; .
y : APB, APB, AP'B, APB,
und nelimen aus diesen 4 Inlegralen das arithmelische Mittel. Ziehen wir
nocli 2 Wege AQB, AQ'B wie in der Figur, so sehen wir, dass sich in der ersten
Wegkombination der Weg AMB ftir z ersetzen lasst durch AQB -f- AMBQA,
in der zweiten AM'B durch AQ'B, in der dritten AMB durch AQB und in der
Fig. i.
vierten AM'B durch AQ'B 4- AM'BQ'A, sodass wir jetzt die folgenden
Wegkombinationen haben :
s. y.
AQ B -h AM BQ A AP B
AQ'B AP B
AQ B AP'B
AQ'Bn-AM'BQ'A AP'B.'
Ftihren wir jetzt die Integrate aus und wenden den Residuenkalkul auf die
geschlossenen Wege an, so zeigt sich, dass unsere Operation S2[/(#)]3 die
einer Integralgleichung i. Art zugeh6rt, tibergeht in eine Operation, welche
durch die linke Seite einer Integralgleichung 2. Art gegeben ist, deren Kern
ttberall endlich bleibt; wenn wirzuerstdie vier Kombinationen von den Wegen
AQB und AQ'B mit den Wegen APB und APB nehmen, so bekommen wir
em doppaltes Integral welch6s nicht Tuniendlich werden kann, da auf diesen
W egen x ^ y und y $& z. Betraehtea wir jetzt die beiden Wegkombinationen
AMBQA, APB und AM;BQ' A, AP'B, oder AMBQA, APB und AQ'BM7 A, BP A,
so; i$t leiehfczu: sefeen, dais ^i@iiie ^escWosseBa Kwrve AMBQA oder AQ'BM'A
mm & be^al*^ifcfe, &nd . ias^ ^hkbteiti^., y eia^ gesdkfossejwe" Jfcerve APBPr A
294 THEORIE DER INTEGRALGLEJCHUNGEN AUF DIE FLUTBEWEGUNG DES MEERES.
um y besclireibt. Wir diirfen also die Residuenmethode auwenden, und wir
bekommen ein Glied, wo die unbekannte Funktion ohne Integralzeichen
auftritt, wie in der linken Seite einer Integralgleichung zweiter Art. Indem
wir so auf erne durchaus regulare Inlegralgleichung 2. Art gefiihrt werden,
die der Fredholmschen Methode zugimglich ist, haben wir die Schwierigkeil
bei unserem Problem iiberwunden.
Nur ein Punkt bedarf noch der Erlauieruiig : wenn x und y gleichzeitig in
einen der Endpunkte A, B des Intervalles hineinfallen, so versagen zunachst
die obigen Betrachtungen, und es scheint, als wSren wir fur diese Stellen der
Endlichkeit unseres durch Iteration gewonnen Kernes nicht sicher. Dieses
Bedenken wird jedoch bei unserm Problem dadurch beseitigt, dass der Rand
des Meeres, der das Integra tionsintervall darstellt, geschlossen ist, woraus sich
ergibtj dass die Punkte A, B keine Ausnahmestellung einnehmen konnen.
Durch diese Uberlegungen ist also der Fall, der vertikalen Meeresufer
erledigt.
Wir betrachten den zweiten und schwierigeren Fall, dass das Ufer des
Meeres keine vertikale Mauer ist. Dann ist am Rande
Da die Glieder 2. Ordnung unserer Differentialgleichung fur cp durch den
Ausdruck h± Acp gegeben sind, so ist die Randkurve jetzt eine singulSre Linie
fur die Differentialgleichung. Ausserdem werden h^ h$ gemass ihrer
Definition fur die durch die Gleichung
gegebene kritische geographische Breite 2r unendlich. Um trotz dieser
SingulariUiten, welche das Unendlichwerden des Kerns K zur Folge haben,
das Problem durchzufuhren, bin ich gezwungen gewesen, das reelle Integra-
tionsgebiet durch ein komplexes zu ersetzen, indem ich y in eine komplexe
VerSnderliche y + iz verwandle; x hingegen bleibt reelL
Wir deutea xy& als gewdhnliche rechtwinklige Koordinatea in eiaem
dreidimensionalen Raum und aeichnen dea Durchschnitt AB einer Ebene
x = koast. mit dem ia der (#, y)-Ebeae gelegeaen Meeresbeckea. Ea tspricht C
der kritiscken geographischea Breite, so ist es aicht schwer, diese Singularity
durch Aiisweichea ia das koxr*ple£$e Gebiet za umgehea. Wahlea wir feraer
irgend zwei Punkte D, E zwischen A uiwl B and umgebee A, voa 0 ausgefeend
THEORIE DER INTEGRALGLEICHUNGEN AUF DIE FLUTBEWEGUNG DBS MEERES. 296
und dorthin zuruckkehrend, mit einer kleinen Kurve und verfahren entspre-
chend bei B — raumlich gesprochen : umgeben wir die Randkurve mit einem
ringformigen Futteral — , so stellen wir uns jetztdas Problem, unsere Differen-
lialgleichung so zu integrieren, dass o, weiin wir seine Wertanderung langs der
den Punki A umgebendeii Kurve verfolgen, mit demselben Wert iiach D
zurtickkehrt, mit dem es YOU dort ausging. Diese « veranderte >> Grenzbe-
dingung 1st mit dcr ursprunglichen, welclie verlangte, dass cp am Rande (im
Punkte A endlich bleibt und sicli regular verhalt, aqtiivalent. Zwar sind die zu
der neuen und der alien Grenzbedingung gehorigen Greenschen Funktionen
G, Gi nicht identish, wohl aber die den betreffenden Randbedingungen
unterworfenen Losnngen von
d)
c .
Fig. 2.
Hiervon iiberzeugen wir uns leichter im Falle nur einer Variablen /; dann
ergeben die Gleichungen
durch Anwendung des Cauchyschen Integralsatzes dass u — Wi= o ist.
Um jetzt das Problem (i) zu behandeln, ziehe ich die vorige Methode heran,
die hier aber in zwei Stufen zur Anwendung kommt, da unsere veranderte
Randbedingung fur die Gleichung Aw=/ unzulassig ist (4). Wir ktanen
setzen
dabei soil D4(w) nur die Glieder i. Ordnung^-> j-? D2(w) aber nur u selbsi
enthalten. Indem wir
A(0=/
unter der Randbedingung 9 = o integrieren, erhalten wir fur u = jr- eine am
Rande endliche und regukre Funktion, fur welche
Diese Randbedingung ist nicht von solcher Art, dass sie eine bestimrate Lasuug van
= / auszeichnet.
296 THEORIE DER INTEGRALGLEICHUNGEN AUF DIE FLUTBEWEGUNG DBS MEERES.
ist. Darauf integrieren wir
unter Zugrundelegung der urspriinglichen Grenzbedingung nacli der gewolmli-
chen Methode. Der in der hierbei zu benutzenden Inlegralgleichung
auftreten.de Kern ist 2 war unendlich, aber \on soldier Ordnung, dass sich die
Singularitat durcli Iteration des Kerns beseitigenlasst : die partielle Integration,
welche Glieder von einer zu hohen Ordnung des Unendlichwerdens einfiihren
\vflrde, bleibt uns an dieser Stelle erspart.
Das damit bewaltigte Integrationsproblem ist aber der Integration von
unter der vertaderten Grenzbedingung Equivalent, und infolgedessen kSnnen
wir jetzt die zweite Stufe ersteigen und aucb die LOsung von
unter der veranderten Grenzbedingung bestimmen.
Wir haben bis jetzt das Glied n als so klein vorausgesetzt, dass wir es ganz
vernachlassigen durften. Heben wir diese Voraussetzung auf, so entstehen
keiue wesentlichen neuen Schwierigkeiten. II ist ein von £ erzeugtes Anzieh-
ungspotential; wir haben also
wenn dd ein Flachenelement der Kugel, ^ den Wert der Funktion £ im
Schwerpunkt (a/, y) dieses FlSchenelementes, r aber die raumlich gemessene
Entfernung der beiden Kugelpunkte (#, y)', (d, yl) bedeutet, und die Inte-
gration uber die ganze Kugeloberflache erstreckt wird. Wir kfinnen auch
schreiben
Setzen wir dies in unsere Ausgangsgleichungen ein, von denen wir nodi die
erste mittels Aufstellung der zugehorigen Greenscten Funktion und unter
Berucksichtigung der Randbedingung aus einer Differential- in eine Integral-
gleichung verwandeln, so erhalten wir zwei simultane Integralgleichungen far £
und cp, die mit Hilfe der soeben erdrterteu Methoden aufgelQst werden ktanen.
QUATRIEME PARTIE. — THEOR1E DE LA LUNE.
SUR
LES EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE
Bulletin astronomique^ t. 17, p. 167-204 (mai 1900).
1. A 1'exemple de MM. Hill et Brown, nous rapporterons la Lune a Irois axes
tournants, la vitesse de rotation 6tant £gale a n!, moyen mouvement du Soleil.
Les axes des x et des y sont dans le plan de F^cliptique et Paxe des z perpen-
diculaire £ ce plan. Dans ces conditions, les Equations 'du mouvement de la
Lune sont de la forme suivante :
Les lettres accentu6es £*,#/', . . . , d&signent les d6riv<3es de x par rapport au
temps. Quant a V± c'est une fonction des coordonn^es a?, y, z de la Lune etde
Tanomalie moyenne V du SoleiL Elle depend en outre de deux constantes, a
savoir : la parallaxe a qui est une quantit^ inversement proportionnelle au
grand axe de Torbite solaire et Vexcentricite e] de Forbite solaire.
Consid6r£e comme fonction de a, el et I1, elle est d^veloppable suivant les
puissances de a, er cosl1 et er sml1. Consid&rons-la maintenant comme fonction
de a, x, y, z, nous verrons qu'elle se rgduit a
pour a = o (x est un coefficient constant et r2 = #- + y2-4-*2). Quant au
coefficient a71, c'est un polynome homogtoe d'ordre n + 2 en #, y et &.
298 EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE.
Les equations peuvent 6tre mises sous la forme canonique par 1'artifice
suivant. Posons
X = jsr — n'\ . Y = y -+~ n'Xj Z = z' ;
T = ±I±2±±^; p-T-V.-n'L;
L <Stant une variable auxiliaire. En prenant pour variables conjugates
x, y, s, L;
x, Y, z? r,
nos equations prennent la forme canonique
(a)
dx __ dF dy __ dF dz __ dF^ dL _ dF
"dt •"" 3X ' ~3i ~~ 7n* ~3i ~~ dZ dt ~ dl1^
TV jir« JXT ^17 yy VS/CP y/' ^7f
aX ar d\ ar &L ar cii ar
~di~~~~dx'* ~dt==~~~dy'> ~di,~~~"~dz ~dt ~~~ ' ~dL'
Les trois premieres equations de chaque ligne se d^duisent direc lenient des
»»/ //R*
equations (i); on a d'ailleurs -g = TI; et ^=- = — nl] qtiant a la derniere Equa-
tion de la premiere ligne, elle pent &tre regard^e comme la definition de la
variable auxiliaire L.
J'ai deja fait usage des Equations (2) dans un article ant^rieur ( Bull, astron.^
mars 1900).
Toutes les theories de la Lune conduisent a d^velopper #, y et 5 en fonc-
tion : i° de trois constantes d'int^gration a, e et y; 2° de trois arguments
fonctions lin^aires du temps r, I et A; 3° de 1'anomalie moyenne solaire /';
4° des deux constantes solaires a et e1.
Des trois constantes a, e et y, la premiere est une sorte de demi-grand axe
moyen de Porbite lunaire, la seconde joue le rdle de 1'excentricit^ et la
troisi^me de Pinclination. Les trois arguments T, I et X repr^sentent respecti-
vement la distance moyenne de la Lune au Soleil, la distance moyenne de la
Lune au p6rlge*e, la distance moyenne de la Lune au nceud.
Nous remarquons alors : i° que les coordonne*es s^ont des fonctions
p&riodiques <le p^riode zn des quatre arguments r, /, X et V] 2° que si Ton
regarde pour un instant T et a comme des constantes et si Ton consid&re les
coordonne*es comme des fonctions de /, ^ V, e, y, €? et a, ces coordonnges sont
d^veloppables suivant les puissances des qiiantite"s
(5) a, ecosl,
De tons ces fiats bien connus, ioa pent d^duire diverses consequences.
EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 299
Nos quatre arguments T, £, A et /' sont des fonctions Iin6aires du temps et
nous pouvons 6crire
ou plus simplement , en posanl
-Z = tVj, J = WS, A = C?3, /' = CVV,
nous pouvons tterire
Wj = dt-r- £f.
II est clair quo c.* = n; et que c1-f-c4== /z, /« tont le moyen mouvement de
la Lune.
Cela pos£, considt5rons a el e1 comine des constantes et regardons nos coor-
donn^es comme fonctions de t et des quantitgs
(4) a> e> T, LO> Zi,
L0 est une constante choisie de telle facon que liquation des forces vives
s'^crive
F =— /t'Lo.
Nous d^Ssignerons par des d les deriv6es prises par rapport a t et aux
variables (4), et je poserai.
Dans cette Equation je d^signe par P et (3' deux quelconques des quantit^s (4) ;
j'ajoute que sous le signe 2 on doit changer so et X d'abord en y et Y, puis
en £ et Z.
D'apr&s un lh6or£me bien connu, nos Equations £tant canoniques, les
crochets [(3, |3;] doivent se r^duire & des constantes.
Regardons maintenant nos coordonn^es comme des fonctions des quantit^s
(5) <*r ** T? LO, W|
et d^signons par des d les d£riv6es prises par rapport a ces quantitls (5).
Posons
<** dx d&\ d\. dl' dL dl'
ou p et (3' sont deux qiielconques des quatntitds (5).
3oo EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE.
J'observe alors que Pon a
dx __ dx ^ d-x __ dx ^_ ^ dx dc/
^''' ~" ~ ^ ~d
si ft est 1'une des quantilgs ft: e< y, L,,, et j'en conclus :
On aurait une expression analogue pour le crochet [(3, (3'j, si (3 et (3'
d^signaient deux des quantit^s <2, ^, y, L0.
On voit d'abord que ((v/, ^/£) doit se r^duire a une conslante. Consid^rons
maintenant la seconde Equation (6). Le premier membre est une constante;
comme (w/, (3) et («>/, wy) sont des fonctions p^riodiques des quatre arguments,
le second membre est 6gal a une fonction p^riodique, plus une autre fonction
p6riodique multipli^e par f, il ne peut done se rgduire &. une constante que si
le coefficient de t s'annule et si en m6me temps (WP/, (3) se r^duit a une
constante dependant seulement de a, €, y, La.
On d^montrerait de m6me que si (3 et (3' sont deux quelconques des
quantit^s a, e, v, et L0? la parenth&se ((3, p') se r^duit a une constante.
Mais il y a plus, grSce & une circonstance particuli^re au cas de la Lune.
Nous savons que a?, Y, Z et L sont des fonctions paires des w>, tandis queX,/,
z et V sont des fonctions impaires. II en r^sulte que (si (3 et (3; sont toujour's
deux des quantity a, e> y et La) les d6riv6es
dx gf ^Z dL dX <fy_
r* f ' * *
dl'
sont des fonctions paires tandis que les d<5riv6es
dx d\ dZ dL dH dy dz dl'
fa9 d^>' dZ' IB' "5p"5 3P1 5p' 5p
sont impaires
Done les parentheses ((v/, w>j) et (^, 6') sont des fonctions impaires des w
et elles doivent se r<§duire i des constantes ind^pendantes des (v, elles doivent
6tre nulles, Cette circonstance simplifie beaucoup la demonstration du th^or^me
que nous avons en vue et qui serait vrai dans des cas beaucoup plus g£n£raux.
Si p., p! et f/ sont trois quelconques des quantity (5), on a gvidemment
Fidentit^
EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 3d
Gette identity nous donnc en particulier
puisque ((3, (3') est indtipendant des w et que (£', tv/; = — (w»i, (3').
On peut done trouver quatre fonctions A1? A2, As, Av de a, e, y et L0 telles
que
kj
DC ces trois relations
11 est ais^ de cunclure que
est une differ en tielle exacte (je regarde, hien entendu, a, e' et «' comme des
constantes).
Si je me rappelle que <vt= f , je puis 6crire
J 'observe ensuite que rfX, dY, dZ? d/; dr, rfZ, dA sont ind^pendants de dL0 ;
il en r<5sulte que S est ind6pendant de L0 et il doit en 6tre m&me de L — A/, ,
AI, Aa et An.
Done AI, A2, A:J dependent seulement de &, e, y fet en outre, bien entendu,
de a, e' et n!).
D'autre part, liquation F = — n'iiQ me donnc
T T T-VI
L =s LO H -- 7 -
et comme T et V4 ne dependent pas de L(M A4 — L0 n'en d^pendra pas non
plus. Nous pourrons done poser
At— Lo= —75
G etant une fonction de a, e, et y
Done en r£sum<5
zdL — At^T
T — V,-G
302 EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE.
est une difierentielle exacte. Tel est le premier fait que je voulais mettre en
Evidence. Je n'insiste pas sur les precedes de verification qui en r<5sultenl.
2. Si nous regardons e, x et n' comme des constantes, G, A1} AL> et A3 ne
dependent de a, e et y.
Voyons ce que deviennent les equations (2) si, au lieu de
x, y, s, L;
X, Y, Z, /',
on prend pour variables nouvelles
At, Ao, Ay, A^;
(rj; (*'2, (vs, »'i-
L'expression
Sa?</XH-Lf//'— SAf//^
etant une difidSrentielle exacte ? la forme canonique des Equations ne sera pas
et elles deviendront
_ _ _
dt ~~ rAvj1 rff "" d&.{
Mais on a
F = — n' Lo = G — nf A*.
Les Equations deviennent done (si Ton observe que G ne depend que de a,
e, y et, par consequent, de Al7 A2, A3)
dJk.i ^wz- (a^G ^tv2 . dG
_^
dt ~~
Mais nous devons avoir -^ = c/.
a?
On a done
(8) — d& =
3. Nous avons dit que #, y, ^r X: Y, Z sont des fonctions p^riodiques des
quatre arguments w et, de plus, sont dgveloppables suivant le$ puissances des
quantit^s (3),
II est ais6 d'en conclure qti'il en est de m6me de
^S dS dS
EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 3o3
et par consequent de
S-S0.
(S0 etant une fonction qui ne depend que de quatre arguments 90 et des cons-
tantes a, er et ;&', mais qui est ind^pendante de a, e et y).
D'autre part, il en est encore de m£me de
d$ . d$ . dS . dS G
•3E + Al' rf/+A2' ax"1"^' 3F •*;?'
et par consequent de
/i i< , o n & fio 7- lt l /ij/.i
Coinme, d'une parl-j-j --^-5 -^=-j -^r ne dependent que de r, f, /, V etde a,
e' et nr'9 et que d'autre part At, A2, A3 et G ne dependent que de a, e, y et
de a, e' et 7^, nous devrons conclure que 1'on aura
0 Q
"3T ~ "3T "*" Dt>
les 13 ^tant des constantes dependent seulement de a, e' et n1] tandis que A'tJ
A'g, A73. G', S'0 sont comme -^ + A, . . ., des fonctions p^riodiques des PP,
d(5veloppables suivant les puissances des quantitgs (3). (Remarquons que S;0
ne devant pas d^pendre de a, e et y, ne pourra contenir que les arguments T
et Z;, puisqu'il ne peut d^pendre de /, par exernple, sans d^pendre dee; d'autre
part, les AJ et G; ne devant pas d^pendre des arguments w seront d^veloppables
suivant les puissances a, e2, <e'2, y2; je devrais m^me ajouter de a2, e2, e'2, y2,
mais les considerations pr6c£dentes ne suffiraient par pour F^tablir.)
Remarquons maintenant que si D4, D2, D»7 DA sont quatre constates
dependant seulement de a, e1 et ?if, P6galit<5
? — Ai^T^-As^/ — A3<A+- T — yi — G ^ ^
71
entraine la suivante :
4^
€t I .
3o4 EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE.
-Nous puuvons done sans alterer iiotre relation fondamentale .changer S
en S — DiT — D2/ — Da> — D4f'? et enm&me temps Al7 Aa, As, GenAi + Dl5
A3-f-D2} AsH-Da, G + n'D^ ou, ce qui revienl au mdme, S en S — S0+S'0,
S0 en S'fl, Als A2j A3: G en A'1? A't, A'3, Cf.
Nous pouvons done toujours supposer, et c'est la que je voulais en venir :
i° Que la fonction S est periodique par rapport a r, /, X et V et qu'elle osl
d^veloppable suivant les puissances des quantit^s (3);
2° Que AI, Aa, Ay et G sont dgveloppables suivant les puissances de
Gela pose, comme S est developpable suivant les puissances de e cos /el
de e sin I, tous les termes de S qui contiennent / contiendront aussi e :
7^ Ty* jv
done -TT est divisible par e\ il en est de m&me pour la m&me raison de -TT> -rf ?
-77- Done
est divisible par <?, et comme Aa ne contient que des puissance paires de #,
y et efj il sera divisible par e2.
On trouverait de m&me que A? doit &tre divisible par y*.
Remarquons, avant d*aller plus loin, que les constantes a, e et y ne sont pas
enti^remenl d^finies; nous pourrions, sans avoir rien a changer a cc qui
pr6c&de? remplacer «, e et y pai*
ct
90, «P£ et G>2 <5tant trois fonctions quelconques de a, e, y, a et er d^veloppables
suivant les puissances de a, #2, y2, et e'2.
Rien ne nous emp&eherait done de supposer, par exemple,
Ai^v^ Aa^e*, AS=Y2.
4. Voyons inaintenant comment on peut appliquer ces considerations au
ealcul des coordonn^e^ par approximations successives. Nous supposerons
d'abord « = ^=;o; nous supposerons en outre y = o et, par consequent,
z = Z = o et nous nous proposerons de d^velopper a? ety suivant les puissances
de !Texcentricit6 e.
AQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 3o5
Soienl
X = XQ -h #!
ces de*veloppements. Soient
les dgveloppcments correspondants de X el Y. Alors a?/, j'/, Y/, Z/ sonL les
termes d'ordre * par rapport a Fexcenlricile e.
Soit de memo
le dgveloppement de S.
Je supposerai de m&ne A1: A2, A3 dereloppes suivant les puissances de e\
el les de"veloppements pourronl s'ecrire
il esl clair, en efTet que les developpemenls ne peuvenl contenir que des lermes
d'ordre pair, que celui de A2 commence par un terme du second ordre, enfin
que A3 est nul puisque y = o.
Je d^velopperai enfin sous la m£me forme les moyens mouvemenls a
Ci=/o-f-/2-h/i-4-...J
C2 = £o -H ^2 H- ^"4 H- . - - ,
Cg = h$ •+- AS -h ....
(D'aillcurs Cy n'interviendra pas puisque nous supposons y = o.)
II imporle de remarquer que les conslantes a, e et y n'ayaiil pas ole comple-
lement d&finies, ainsi que je 1'ai fait observer plus haul, ces developpemenls
restent arbitraires dans une cerlaine mesure. Je pourrais, par exemple, choisir
arbitrairement ga, ^4, E0? .... Le mieux, afin de faciliter la comparaison avec
les autres m<5thodes, est de supposer Ci=fQ, y2=yV = - . .= o.
Les premiers termes du de>eloppement ^a, y0 } X0 et Y0 sont ceux que M. Hill
a calculus dans son M^moire sur la variation (American Journal of Mathe-
matics, tome I); nous les regarderons comme connus; ainsi #0>,Xo> X0 et Y0
seront des, fonctions connues de r et de ^0 ; ces fonctions satisferont d'ailleurs a
la condition
Consid^Fons maintenant les termes du ier degr^, nous trouvons
G?Si =; Sd?i fl?Xo-4- S#0 ^Xl5
H. P. - VIII. 3[>
306 EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE.
cc qui. en posaiil
S\ = Si — Sa;oXij
peut s'ecrire
dS'i =5= S#i tfXo — SXi rfoo.
JNous scions quo S't doit contonir e en facleur; d'aulre parl, dX0 eld#0 (ni, par
consequent, la difierentielle Lolalc rfS1, ) ne dependent pas de ^e. Cela ne pout
urrivcr quc si S't esL mil. Nous avons clone
nxellre cello Oqualion (y; sous lu forme d'ocjuaLions diflerenlicllesj je
reaiarque que Ton a
dx dx
Y =/-+- n'x = Ci -£• -f- Ca"-^ -4- n' x.
Eu remplacaul j?, y, CA el ca par lours dt5veloppcinenLs, et cgalant les tormes
de inline ordrc, je Lrouvc
due i
avec des furmules analogues pour les Y/.
Ces formules soul simplifi<3es, si nous supposons comme je Fai dit plus haul
J'inlroduirai la nolalion suivante; je poserai
repr^sente alors ce qui serah la d6riv<e de x par rapport au temps t? si Ton
y reraplagait T et / par /0 r + £i> g* t 4- £* («» ^u de c4 ^ + £i , e?2 ^ + £2).
EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 807
Dans ces conditions, on a
Xj.= D^t— n'y^ YI =
X2= D#2 — /i'y2. Y2 =
On trouve ainsi les Equations suivantcs
(10)
Les Equations (10) son! deux (Squa lions difFerenlielles lineaires qui deflnissent
les deux fonctions inconnues Xi et y± en fonction de t (en supposant que r et Z
aient 6te remplaci5s par/0^ + ei, g^t + £3). Ces deux Equations sont du premier
ordre, de sorle que le syst&me est du second ordre.
Elles sont identiques aux Equations (10) de mon article ant(5rieur (Bull.
astro/i., mars 1900, p. 99). Toutefois comme cette identite pourrait 6tre
dissimul(5e par la difference des notations, quelques explications sontn^cessaires.
En premier lieu, dans les Equations du Meinoire cit6, les inconnues (5taient
d6sign(5es par £ et ri] il conviendrait done pour les retrouver de remplacer x±,
j4, D^, Dyi par ^, YJ, ^, 73'. Ensuite XQ et y0 'doivent toe remplac<5s par x
et y. Enfin nous employions dans le M(5moire cite la valeur m d^finie par
I'(igalit6 /0 = ~ ? et nous avions choisi une unit^ de temps telle que T = £, ce
qui nous permettail de faire (apr6s la differentiation par rapport a /0 ou a m)
fQ=i, rt=; m. Dans ces conditions on doit remplacer
T c ' <//0 ' ^/0 ' flj/i ' 4/0 '
par
dx dy
~
, dx' . dy , dyf „ c&p
oc'—m — -- 1- m* -T- 5 y — m ~- -- m.2 -7— j
rf^ «?m J dm dm
et Ton retrouvera les Equations cities.
5. Passons aux termes du second ordre; il vient
3o8 AQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE.
ce qui, en posanl
So = So — £#0X2,
s'ecrit
0 — X2 dxQ) •+-£#! d&i — £2 dx — t\* dl.
Je suppose que je regarde pour un instant T et f0 comme des constantes.
Alors,
et
(i i) <fdfS 2 = 2 x\ <r/Xi — Tja dl.
Cette equation determine S*,. En effcl, XL et Xd sont connus.
ifSg ^ ofXi
£*/ ^HB! £i/ ""
est un polynome entier par rapport aux cosinus et aux sinus des multiples de Z,
et ce polynome ne doit pas contenir de terme independant de /, puisqu'il est
la derivee de S2 qui doit £tre un polynome de m£me forme.
Nous disposerons done de 1'indeterminee Y}2 de fagon ^L faire disparaitre ce
lerme independant de /. Alors dS'% sera enti^rement determinee; il en sera
encore de m&me de S2 ^ tine constante pr6s independante de e et de L Mais
comme S'2 doit contenir e- en facteur, cette constante devra 6tre nulle et S2 sera
enti^rement connue.
Nous trouvons ensuite les equations
2/ <£X0 v djc0\ ^/s;
(** "3T " Xs ^T/ = -Sf "
-3T
(12)
Quelle est la forme des Equations (12) ? Les premiers membres ne different
de ceux des Equations (ro) que par la substitution des inconnues x% et y<>
aux inconnues x± et yd. Dans les seconds membres, tout est connu, sauf la
constante £2 que nous d^terfniuerons plus loin.
Le calcul de x$ et y2 est done rameng a 1? integration d'^quations Iin6aires a
second membre, dont les premiers membres sont ceux 'des Equations (10);
c'est ce que j'avais annonc^ dans le M&noire cite, p. 99, 4 la fin du paragraphe 2.
Prenons maintenant les termes du troisidme ordre
EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 3og
Nous poserons
83 = 83 — 23*0X35
Q— X, dxQ -h
Et si nous regardons pour un instant T et/0 conime des constantes,
Cette Equation cteierminera S'3 comme liquation (n) a determine S't. (Ici
le terme ind^pendant de I dans ^ disparait de lui-m&me.)
Nous formerions ensuile des Equations analogues aux Equations (12) et dont
la premiere serait
21 dXQ dxo\ d§'., ^/ dX* rfX
h^r-X3^j=-^-2-(^i/r-i-^-^
cl donl la seconde s'en d^duirait par la substitution de dfQ a dr.
Mais pour que Fanalogie soit complete, il convient de poser
de telle facon que
X73 = D a?3 — 71^3 , Y'n
Nous obtenons ainsi les Equations
Les premiers membrcs sont ceux des equations (10). Dans los seconds
membres tout serail connu si nous connaissions les deux constantes ^2 etE2?
mais la premiere de ces constantes figure expliciternent dans nos Equations, la
seconde y figure implicitement puisque #2? y» ^t, par consequent, S;, en
dependent.
6. II reste done a determiner ces deux constantes. Commen^ons par E2.
Je me servirai pour cela de I'&juation (8) qui, A3 etant nulle, se r^duit ici ^
(14) — dG — ci rfAi-h^^Ag.
J'y remplacerai a par/0 et A1? A2, c2 par leurs d^veloppements ; je rempla-
cerai egalement G par son ddveloppement
3 10 AQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE.
Nous auroiis d'abord
— r/Go = /o^o,
ce qiu ne nous apprcnd ricn, et ensuite"
Comme G2, E2 et r;2 sont homogtJiies d'ordre 2 par rapport £ e, la derni&re
Equation (10) entraine la suivante :
- ^2 = ft ?2 "+• ^"0 "Ha-
En different! ant par rapport a fQ et retranchant la premiere Equation (i5),
je irouve
Comme r}3 a 6t6 calculi ant^rieurement, cette Equation nous donnera £2-
Avant d'aller plus loin, montrons comment le m6me proc<5d<5 permcttra
d'obtenir ^4 quand on connaitra Y]4 et g»+ Nous aurons
— f/G4 =/Q r/|
d'ou
Comme GA, g4 el YJA sont homogtoes d'ordre 4 et yj2 homog^ne d'ordre 2 par
rapport & e, on aura
— G4 = /0 f
Si Ton diff^rentie par rapport ^/a et qu'on dimine ~5 il viendra
ce qui donne ^4 et ainsi de suite.
EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 3ll
7. Avanl dc determiner ^'o, voyons coauneiil oiipourra iiilegrer les equations
a second membre ( 12) et (i3) et les equations de m£me forme par la mtSthode
de la variation des constantes.
Soienl x e.ly nos deux fonctions inconnues el tfcrivons nos equations sous In
forme
(i6)
ou Ton a
X'=D# — <r, Y'= Dy + n'a;.
Les seconds membres P et Q sont regardes comme conmis.
Posons
Nous connaissons la solution g£ne*rale des Equations sans second membre,
II est clair que les Equations 6tant lin^aires et la solution subsistant quelle
que soit la constante e},
sera encore une solution. Soit
il est ais<5 de voir que k est une constante.
Posons alors
II s'agit de determiner ^t et p2; or nos Equations deviennenl
%D(,)$— P.
Df»,-- Q.
3l2 AQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE.
d'ofi
\ Q — ^ •*_ ' j «/- L. .
D3,
—
Uapplication do ce precede ne presente pas de difficult^, parce que A ne
s'annule pas.
8. Par ce procc^dt?, on par tout autre, on verrait que si P et Q sont des fonc-
tions periodiques de t et de L la solution des equations (16) est de la forme
9o et ?i *^tant des fonctions periodiques de r et L GI et C2 des coefficients
constants.
Si, de plus, P est une fonction paire de r et L et Q une fonction impaire,
x devra ^tre une fonction paire de T? I et t, ettr ^ne fonction impaire. Done la
Constance GI devra 6tre nulle.
Si, dans Ics premiers membres des Equations (16), on substitue d la place
de x et j% soil x^ et j'i: soit--~ et -™3 on trouve z^ro; mais si 1'on substitue
on trouve
dx\
2dx\ xQ
"ST1S"5 ~~
Cela pos6? cherchons a determiner ^2 et pour cela gcrivons les Equations (i3)
sous la forme
Comme la constante ^2 ^ 3t& d^termin<5e plus haut, P et Q sont des fonctions
enti&rement connues. Ces fonctions sont periodiques, la premiere paire et la
seconde impaire.
AQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 3l3
Si g% £tail mil, ces Equations nous donneraient
cp0 et cp4 6tanl p^riodiques. Si, au contraire, g% n'est pas nul, ces monies Equa-
tions donnent
Comme #3 elj^ doivent £tre p&riodiques, on devra prendre £*2==: C2, ce qui
determine g^.
9. Le calcul des termes d'ordre superieur se ferait de la m^me mani&re. En
(5galant les termes du quatri^me ordre, nous aurons 1'expression de ^84, et, par
consequent, celle de dS\ ou
Si dans cette expression on regarde T et/0 comme des constantes on obtiendra
une Equation analogue a liquation ( 1 1 ) qui d6terminera S\ ; on choisira 73^ de
fagon que S'4 soit p<5riodique, c'est-a-dire de facon que le terme ind^pendant
cZS'
de I dans —^ disparaisse.
Connaissant ~n>> et g% on calculora ^ par le proc^dd dtx paragraphe 6. On
forniera ensuite des Equations analogues aux Equations (12) qui determi-
neront x^ et y*.
On calculera ensuite S'5 a 1'aide d'une Equation analogue a ( 1 1 ) ou plutot
^S'
a ( 1 1 bis] ; le terme constant de •—- disparaitra de Iui-m6me.
On formera ensuite des Equations analogues a (i3) dont Pint^gration
d<5terminera x§ et y$ ; on choisira g* par le proc6d6 du paragraphe 8 de telle
fagon que a?5 et^5 soient p^riodiques. Et ainsi de suite.
40. J'attirerai Tattention sur une circonstance bien digne de remarque et qui
semble d'abord tout a fait paradoxale.
Mon but 6tait d*int£grer les Equations (2) et, dans tout le cours de cette
analyse, je ne me suis p&$ servi une seule fois de ces Equations.
H. p. — vni. 4<>
3^ EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE.
11 faut done quo jo los <ue introduces impliciteineni; »iais cm el comment
Fai-je fait ?
Tai supposed d'abord que les Equations (Haient dc la forme canouiquc.
Jo me suis servi ensuite des conditions
X = x' — Ji r, Y = / -f- 7if x.
Gobi rcvenait a supposer quo la fonction F (Hail de la forme snivanlo :
Gomme er est suppose mil, nous pouvons supposer L = o el F se r^duit
& T _ Vi ; la fonction <p(a\ y) n'est aulre chose que — Vi. Mais il semble que
nous n'avons fait aucune hjpoth^se sur la fonction cp(#, /).
Bien entendu, ce n'est pas la qu'une apparence. Nous avons au d^but
regard^ XQ et ^'o comme des fonctions connues de r et do /0. Or il se trouve que
si Ton se donne XQ et y0 en fonction de r et de/0? ccla suffit pour determiner
la fonction cp(#, y}.
Si nous connaissons en effet OTO et yg en fonclion de T et de /oy nous
connaitrons ggalement
Q-f-/to = o-? YO— w'^o = /a-^
et, par consequent,
D'aprfcs liquation des forces vives? F = T-f- ?(tf0, /0) devra se r^duire a
une constante qui ne pourra d^pendre que de/0. Je puis done £crire.
On voit ensuite que
est une constante, dependant seulement de/0, soit ^(/o)- Cette fonction ^ (/o )
peut 6tre regard^e comme connue puisqne j?0, y$, X0 et Y0 lo soni.
Nous irouvoris ensuite
d'ou
qui determine 6 (4 une constante pr6s <jui ne joue aucun rdle),
AQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 3l5
Comme T el 0 sont mainlenanl des fonctions connues, cp sera .line fonction
connue de T et de/0; comme #0 el r0 sont aussi des fonctions connues de T et
de/0, on pent regarder cp comme uno fonction connue de #0 et de/0 ellcpara-
doxe se Irouve expliqu<5.
ii. Supposons maintenant e = a = e'= o et clierchons a d^velopper suivanl
les puissances de y. Gommo e' esL mil, nous ponvons encore supposer
L = o, F = T — Vt. •
SoienL
x = 35*,, y = Srz, ' *=ssls X = sxf, Y =SY,.,
Z =SZ;, S=SS/, F = SFz, Ai=S5,, Aa=S7i(,
A3 = S ?f, G = S Gf) ci = S /, =/0, c2 = S ^-, c3 = 2 /?/,
nos d(5veloppemcnls proc^dant suivanl les puissances des y. Observons :
i° Que x, y, X, Y, S, F, Al5 A2, A3, G, c^ c2j c* ne contiennenL dans leurs
d^veloppements que des lermes d'ordre pair, tandis que s et Z ne contiennent
que des termes d'ordre impair;
2° Que A2= o;
3° Que le dtSveloppement de A3 commence par le terme ?2. Nous poserons
La consideration de <sZS0 ne nous apprend rien ; nous trouvons ensuite
Faisons varier d'abord y, les autres variables demeurant constantes;
comme flfX0 = dxQ =dr = d^ = o, il vient
Comme S'2 est homogtoe d'ordre 2 et Zj d'ordre i par rapport a v, on en
conclut
3l6 AQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE.
dS'<>
En tenant compte de cette relation et en ^galant les deux valeurs de -77 > ainsi
11 j <*S'*
que celles de — ~ 3 on trouve
Consid^rons ensuite le dt^veloppement de F suivant les puissances de z et
de Z; le premier terme ind^pendant de z et de Z, c'est F0; le second terme
(d'ordre 2 en z et Z) sera de la forme
&ant une fonction de x et de y.
On trouve alors
2 2
ry ^/C
D'autre part e' etant nul, S ne soit pas d^pendre de Z'; done -7/7? ^7/5
sont mils. Done
et comme nous avons d<5ja F = T — V4, il vient
F = G, F2=G2.
Si nous tenons compte des Equations
dXo __ fl?X0 _ rfF0 flx0 __
i^-/0i?r — s;' "w-
nous pouvons done ^crire
Nous poserons, par une notation analogue a celle des paragraphes pr^c^dents
_. . dx dx , dx .doc
de telle fagon que Da? est la d4riv<3e de & par rapport a t^ si Ton suppose quer,
I, I et P j ont 616 remplac^s par/0^ + e1? g^t -4- ss, kQt + s3, /i^ + s4 (au lieu
, ...).
AQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. Sly
Gomme ici e et ef sont supposes mils, nos fonctions ne dependent ni de /, ni
de /', de sorte que nous avons simplement
« , da? , dx
Nous aurons done
dz\
o_
Nous aurons d'ailleurs evidemmenl
(19) Z! = Djl3 DZ1=D*51.
Multiplions done les deux Equations (17) par /0 et A0 et ajoutons-les enlre
elles et a liquation ( 18), il viendra
(20) i(51DZ1-Z1Ds1)-+--(*
2 2
Mais liquation (8) devient ici
— d( Go +G» + ...)=/o^(Eo-4- E*-I
d'ou, en 6galant les termes d'ordre 2,
eL
n f $ j
— — - — ^ /o — » -- r- /io
-
Comme G2, £3 eL r^ soul homog^nes d'ordre 2 par rapport a y, on en d^duit
de sorle que le second membre de Tequation (20) est nul. Le premier membre
se r6duit si Ton tient compte des relations (19), de sorte que liquation (20)
ainsi r^duite s'^crit
ou
(21)
On retombe ainsi sur liquation lingaire du second ordre bien connue, a
laquelle satisfait la fonction z^ et que Ton peut obtenir par des proc&lgs
beaucoup plus simples.
12. Les fonctions *t et Z4 6tant ainsi connues, on calculera ^ .par la seconde
3l8 EQUATIONS DXI MOUVEMENT DE LA LUNE.
equation (17). On calculera £2 par un proce'de" tout a fail pareil a celui du
paragraphe 6, qui conduira a liquation
Nous trouvons ensuite
La premiere de ces equations n'esl aulrc chose que la premiere des
equations ( 17) et la seconde s'obliendrait de la mdme maniere.
Les seconds niembres des equations (22) sont entitlement connus. On a
d'ailleurs
X2 = Da?2
Les equations (22) sont done de mOme forme que les equations (12) et elles
s'integreraient de la m^me maniere
13. Nous trouvons ensuite
d'ou
c/S a?Zt <^3
-3$ — y -• -4- Sj —7 -- f-
Comme Z,, X25 Zn et S'4 sont homog^nes en y d'ordre i, 2, 3 et/J-j'en d<iduis
(23) 4Si S
Nous pourrions former liquation difft^rentielle a laquelle ^;} satisfait par le
proc(§dd du paragraphe H. Mais il est plus simple de la former directement,
ainsi que je Fai d<5ja fait remarquer; elle est de la forme
D2*3-f- ^^3= P — 2 A2D ^ 5
ou P est une fonction connue, p6riodique et impaire de T et de X.
On en d&iuira ^3, apr^s avoir choisi la constante A2 de telle sorte que la
valeur de ^3 soit p^riodique.
Nous pouvons done regarder dgsormais z$ et Z3 comme connus ; il en sera
de m&me :
i9 De S'4 en vertu de la relation (a3);
EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 3 19
2° De £4 en verlu de la relation
2^X2 drL, cTL* dS\
^ir^3^^1^-^-^-;
3° Do gi par le proc£d6 du paragraphe 6.
Nous pouvous alors poser -
P cL Q elanl dcs lonclioiis connues.
Si nous posons
Xj = Da?i-— riy^ Yj = D j,, -+- fi'x>n
nous aurons
X = X' -f-Ao , Y' 5= Y1 -f- A> --
v v 2 d/X * * a a?X *
eL nous Lrouvons les equations
2/ <a?X0 __ _, ^j?0\ _ .,
V 4 IS J * "STy ~"
(24)
donl les seconds membres sont coniius et qui s'inL^grent comme les Aqua-
tions (12) ct (22).
En»r<$sum<$? jc m'en ticns aux proc<jd<3s usuels eii ce quiconccrnc la latitude,
Landis que pour les termes de la longitude qui dependent de Tinclinaison, j'ai
recours a un procede analogue a celui des paragraphes 4 a 9.
14. Supposons maintenant e = ef=y = o et d^veloppons suivant les puis-
sances de a. Nous emploierons toujours nos m^mes notations pour nos d<5ve-
loppements, bien qu'ils procSdent suivant les puissances d'une autre variable;
nous d^finirons S^ de la m£me mani^re; enfin nous pourrons toujours sup-
poser
L = o, F = T — Vj.
Nous auroas z = Z = o, parce que y est nul.
Supposons que Ton ait calculi #o, Jo? ^i? /i3 - • • jusqu'a a?/_l7 y^ et qu'on
320 EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE.
se propose de calculer #,- et y/. J'observe que nos Xi ne dependent que d'un
seul argument, a savoir de T. On a done
— <r* = D#z — yt,
Nous pourrons £crire, en consid&rant les termes d'ordre «,
S(tf; o?X0-- X/ <£r0) -*- SM cfr — ?i sfo = dSJ,
les M eL les p etanL des fonclions anterieurcmeiil calculees. On en deduit
Nous remarquerons ensuite que, e' 6lanL nul, on doit avoir
F = T — V!=G
el, par consequent, F/= G/; or on irouve
P dependant des fonctions ant^rieurement calculees. Si Ton observe que
on conclura
(27)
Le premier meiubre est connu, c'est une serie trig'ononi(5lrique enr; coinme
»c/
S^ est p^riodique, la d(§riv<5e -T-* ne devra pas contenir de terme constant. Nous
prendrons done G/-t-/0^ 6gal au terme constant du premier membre. De cette
TQ/
fagon, Gf+yi5» 6st determine en fonction de fo et -~ en fonction de /o et T.
Done S'f est dgtermin<5 a une constante pr6s qui ne depend que de /0.
Liquation (8) me donne ensuite
ce qui peut s'^crire
(28)
»/0
Comme G/-f-/0^ est d^termin^, cette Equation determine fa et par
queat G/.
AQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 321
J'ai dit plus haul que S^ £tail determine a ujie co7ista?ite pres, mais comme
SJ doit 6lre une fonclion impairc de T, on volt tout de suite quc cette constants
doit dire nullc. Alors S,', £/, u el r etant connues, les equations (20) sonl de
m£me forme que les equations (13) et (23) el s'intfcgrenl de la m£me mani&re.
15. Nous alloiis enfin supposer e = a = y = o el developper suivant les
puissances de 6?'; nous n'avons plus alors
L = o, F = T — V,
mais nous aurons tonjours
,2 = 7 = 0.
Nous supposerons que 1'on connaisse deja XQ, j'o, #1, BVi jusqu'a o?/_i, tV/_.i
el que 1'on so propose de calculer a?t- et y-n a. 1'aidc de la relation
S (ar/ r/X0 - \t dx* ) + S u ch — £, rfc - H< rf/' = r/SJ,
rp _ Ty /-^
ou Hj represenlo Pensemble des lermes d'ordre / de - ^— — •
Nous relrouverons d'abord les equations (s5) avoc cetle difference que
1'indicc i s'applique aux lermes d'ordre / par rapporl a e1 el non plus aux
lermes d'ordre i par rapporl a. a.
II vienl ensuile
Or
P ne dependant que des fonctions d(5ja calcul^es.
Si nous muliplions la premiere Equation (25) par/"o et (29) par 7?;, puis que
nous ajoutions en tenant compte de la relation (26), nous aurons
2( • dv , dv \ p r , c - a?S;- , ^SJ
a^S"n3?j"f-paaG|H'/oe'"H/0'3r"'n rfT'
Le premier membre est connu et cette Equation se traitera comme liqua-
tion (27). Nous dgalerons G/+/oiy au terme constant du premier membre;
alors
sera d^termin^ ; done SJ sera d^termin^ a une constante pr^s ; comrne SJ- doit
322 ' AQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE.
&tre une fonction impaire, cette constante doit 6tre nulle etS^ pent <Hre regard^
comme enti&rement connu.
On d&erminera ensuite & par liquation (29) qui reste vraie et Ton n'aura
plus qu'a intggrer les equations (20), toujours par le m6me proc£d<5.
16. Ghaquc termc de nos d^voloppements contient, en facteur, un monomo
de la forme
IJL =s a^-'i e^iy^'s e'k*f
G'esl ce monome /JL que M. Brown appelle la caracteristique du terme.
Jusqu'ici nous ne nous sommes occupgs que des termes dont la caract&is-
tique est une puissance d'une seule des quantit^s a, e, y, e'; mais il est ais^ de
concevoir que la combinaison de ces divers proc£d£s permette de trailer le cas
Nous d^signerons dans la suite par
#p.j j'jjLj X^j Y^j S^j Spt, 5^5 */ijxj SJJLJ G^., Hjx
Tensemble des termes des d<3veloppements de
as, y, X, Y, S, S'- S -.#0X-roY,
A i A r T-Vj-G
AI, AS, AS, (j, - ; - >
dont la caracteristique est p..
Nous dtisignerons par
Z\L, ZJJL, ^j /*a
Fensemble des termes des dtSveloppements de
5, Z, c2? c3
qui admettent respectivement pour earact&ristiques
e, e, £, Ji.
T1 T « Tx
De cette fa^on nous d^signons par le m£me indice, non pas toujours les
termes qui ont la m£me caracteristique, mais ceux que Ton determine dans la
m6me approximation.
Je suppose alors que Ton ait calculi les termes dont 1'indice est un monome
diviseur de fx, et que Ton se propose de calculer les termes dont 1'indice est
<§gal a p.
AQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 3a3
17. Trois cas sont a distinguer; le premier est celui ou ft ne contient en
tacteur ni y, ni <?.
On trouve alors
) -4- S u do — Sn rfc — Hy. dl' = rfSjx,
ou U, 9 el P ne dependent quc des fonctions antgrieurement determines.
Ces Equations se iraiteront absolument comme celles du paragraphs 15; il
n'y a absolument rien a changer a 1'analyse de ce paragraphc.
18. Le second cas esl celui oil p, contient en factcur y, mais pas e. On a
alors
Dans cette relation u el v sont des fonctions pr<5alablemenl d6termin^es;
js4 et Zi sont des termes de caracte5ristique y (comme au paragraphe 11),
Nous pourrions determiner z^ et Z^ par le proc6d6 du paragraphe 11, mais
il est preferable d'avoir recours aux proc^d^s ordinaires qui conduisent comme
celui du paragraphe 11 a une Equation de la forme
ou P est une fonction connue, p^riodique et impaire.
Cette Equation est de m£me forme que celle que nous avons rencontree au
paragraphe 13 ; elle permet de determiner z^ on determine en m6me temps h^
en choisissant cette constante de fa^on a faire disparattre les termes non pgrio-
diques dans js^.
Nous avons ensuite
dv
U -J-
Mais SJt, Z4, Z^, P sont des fonctions homog&ies en y dont 1'ordre est res-
pectivement /:, i, ^ — i, k1} cet ordre est d'ailleurs connu. On en deduit
ce qui determine
324 AQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE.
On a ensuite
u 2x "" "2T = <
afo d?Si.
ce qui determine ^ et H^..
L'equation (8) nous donne cnsuile
^ 4- 2s de',
011 £ et e' represented divers lormes d^ja connus du developpemenl de c-A et
de A3.
On tire de la par lo proce'd^ du paragraphe 6
d'ou
ou A" et k! sont des degr^s d'homogen^ite^ de G,^ (le m^me quo pour E:JL el CPL)? el
de ef par rapport a y.
On tire de la •
fde k'—k ds'
— G^ =/0 5^4- Ao ^ + ££/>
ce qui determine 2^.
Nous arrivons enfin aux Equations
dv
dont le second membre est une fonction connue, et a une equation analogue
dont le second membre est ^galement une fonction connue.
Observons maintenant que si Ton pose
X'^ = D ^ — TJ'^,
on aura
AQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 325
ou s el c*> sont deux caract^ristiques lelles que sw =/^y2 f1). Comme Urns les#w
ou w est un diviseur de fx sont connus, ainsi que tous les hs ou e est un diviseur
de fJL, et que h^ lui-m£me, la difference X^ — Xp est connue et il en est de
m£me de la difference Y^ — Y^.
Nos Equations peuvent done s'<5crire
jj.^ — — — XM, — z — ) ^=1 0 3
eft dt /
21^^ ~~^dK) ** R/}
ou Q' el R' sont deux fonctions connues. Elles sont toul a fait de m£me forme
que les Equations (^4) et s'int^grent de la m6me manifere.
19. Le Iroisi^me cas est celui ou fx coiitient e en facteur. On a alors
— ck — ^dl— d\ — H dl '=
e^ el P (5lanl des fonctions ant^rieurement d^lermin^es.
On en tire
dv
d'ou
(3o) ziZ^-f-^ jMt3==s^
ou A- et K d<5signent les degr^s d'homog^n<5il^ de S^ (le m^me que celui de
et de v par rapport a e.
La fonction S'^ — z>JLy. est alors d^lermin^e.
Nous trouvons ensuile
dv
d'ou Ton lire
(*) J^es cas s = y2, w =: {t et e = (if2, o> = i sont nature Hement exclus; le premier parce que
le terme A0^ figure dans D^ et qtie poor e = -y% ^« n'eet autre chose que A0; le second
dx*
parce qne pour <o := i, a?a se r^duit a a;0 et que -^- est nul.
326 EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE.
oil i, p — i , pr et p sont les degrgs d'homog&igitg de Zi , Z^ et S[t par rapport
a y. La comparaison de ces deux Equations nous donne
(32) z^Lv
Cette Equation (82) va nous permettre de determiner z^ et Z^. Nous aurons,
en effet,
Dans les termes gt >~^i g et w reprgsentent deux caract^ristiques telles que
D'ailleurs e doit £tre divisible par e, sans quoi g& serait nul, puisque le
d^veloppement de c2 ne doit pas contenir de puissance negative de e. De plus,
w doit 6tre divisible par e, sans quoi -~£ serait nul.
Done s et &> sont des diviseurs de /x. Le cas s == e, &> = p. doit £tre exclu
parce que gs se r^duit alors a gQ et que le terme gb-^r est compris dans D^.
Le cas e = fx, o> = e doit £tre exclu ^galement parce que pour w = e, && est nul.
La conclusion est que les indices s et w £tant des diviseurs de p. plus petits
que p., tous les termes en question sont connus.
Dans les termes h£ -~> s et w repr6sentent deux caract<5ristiques telles que
£0) =
L'indice E doit toe divisible par y2, sans quoi ht serait nul, puisque le d£ve-
loppement de c;J ne doit pas contenir de puissance negative de y. De plus,
to doit &tre divisible par y2, sans quoi -^ serait nul.
Done s et &) sont des diviseurs de pi. Le cas e = y2, w = p est exclu parce
que As se r<5duit alors a Aa et que le terme AO~^ est compris dans D^. Lc
cas t = pi, w = y2 n'est pas exclu. Alors ^ se r&iuita z^z^ ayant m^me signi-
fication qu?au paragraphe 11.
La conclusion est que tous ces termes sont connus a Fexception du
terme h^ -—•*
Liquation (32) prend done la forme
j-
ou P est u06 fonction entidremenl connue.
AQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 827
La fonction s^ depend done ici d'une Equation lin&iire du premier ordre el
non plus du second. Cette m6me Equation (33) d^terminerait en m6me temps
la constanle h^ par la condition que z^ soit p^riodique.
On trouve ensuite
dv
car #0 et X0 ne dependent pas de X, I et Z'; ni Z4 de I et P.
En tenant compte de (So), ces Equations deviennent
<k—k dv k du
(34)
' — k' dv kr du
k dl k dl
t—k' dv k' du
ce qui determine ^ fi^ et H^.
On determine ensuite ^ par le proc6d6 du paragraphe 6. Liquation (8)
nous donne
Dans les termes g^dti^ on doit avoir
£0)
D'ailleurs & doit are divisible par e et il en est de m6me de G>, puisque A2 est
divisible par e2. Done e et o> divisent fx. On ne peut; avoir w = ft, d'ou 6 = e,
gs=gQ, puisque le terme g^d^ figure .d6j^i explicitement. On ne peut
avoir e = fx, d'ou w = e, car alors vj^ seraitnul, puisque A2 est divisible par e%.
Tous ces termes sont done connus. .
Dans les termes £ed£o>, on doit avoir
£0)
L'indice e doit 6tre divisible par y3, et il en est de m6me de w, puisque A3 est
divisible par y2. Done e et &> divisent (x. On ne peut avoir w = p, d'oti e = y2,
AE=A0, puisque le terme A0dtyt figure d^ja explicitement. On pourrait
avoir « = /x, w = y2, mais A^ a d^j§. ^t6 calculi. Tous ces termes sont done
connus.
328 EQUATIONS DU MOUYEMENT DE LA LUNE.
On lire de la
Oil
/i et /:' etant le degre d'homog^n^ite de Gu, et de ~n^ (ou de £w) en e.
On en tire enfin
k'
^
Celte equation determine ^ car ^u. et ^ sont connus*
On trouverait ensuite, toujours par le m^me proc^dd, des Equations de la
forme
21 rfXo Y ^o\ n
(^•sr-^-srj555^
ou Q el R sonfc connus, et Ton en d^duirait, toujours de la mtoie mani&re,
d'aulres Equations de la forme
Ces Equations, int(5grees toujours par le m6me proc^de, nous donneraient x^
el y^ et elles nous feraieiil en mtoie lemps connailre ^que Ton determinerail
par la condition que x^ et y^ soient periodiques.
20. Malheureusement, Fequation du premier ordre (33) n'est pas aussi
facile a raanier quyon pourrait le croire. Elle donne en effet en appelant P4 le
second mcmbrc
et la presence de s\ au d^nominateur est g^nante parce que ^i est susceptible
de s'annuler.
On pourrait songer & rgserver liquation (33) comma un moyenjde v^rifi-
AQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 329
cation eL a revenir pour le calcul de z^ a liquation ordinairemcnt employee.
Voici comment cette Equation pourrait se deduire de (33) :
Diflferentions cette equation (33), il viendra (en nous souvenant que Zi = Dzi)
= DP H- % D XL i
Or
&.si = o;
il reste done
= DP + 2^ D i H- AH D*! - *i
On doit se souvenir que
ds i _ — 6?>Si
_.D^_SlD^-
Alors on doit pouvoir choisir la constante h^ de telle fagon que
soil divisible par £*. La possibility d'un pareil choix est un moyen de v<5rifi-
cation. II doit arriver ensuite que h^ 6tant ainsi choisi, on trouve pour z^ une
fonction p^riodique. G'est une seconde verification.
Mais il y a mieux ^ faire. Rapprochons 1'^quation (32) de la premiere Equa-
tion (34). Ges deux Equations peuvent s'^crire
^Zi— Zjl^i= Q, s^" -- Zy>" ~
Q eL R 6tanl connus.
On tirera z^ el Z^ ^a/i^ integration de ces deux Equations du premier degr^.
Gomme, ainsi que nous venons de le voir, le determinant de ces Equations
se r6duit ^ une constante, on pourra achever cette operation sans avoir a faire
une division dans laquelle on pourrait craindre que le diviseur ne devint nul.
On devra pouvoir choisir h^ de telle fagon que les valeurs de ^ et Z^ ainsi
trouv(5es satisfassent a la condition trouv6e plus haut
G'est une verification et cela determine en m£me temps la constante
H. P. — VIII.
33o EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE.
On remarquera que la constante ^ est reside arbitraire. Celte nouvelle
constante arbitraire remplace la constante d'int^gration de liquation (33).
Nous n'avons rien a changer d'ailleurs au calcul de Y^, H^, g^, (
21. Dans les calculs qui pr6c£dent, nous avons souvent differentia par rap-
port a la constante que nous appelons /0. Si Pon veut pouvoir comparer avec
les formules usuelles, il faut poser
d'ou
dx __ dx^
J'df* ~"~mdm'
Mais pour que la comparaison soit possible avec les forrnules donn^es par
Delaunay et d'autres auteurs, il faut faire plusieurs remarques.
En premier lieu, ce que j'appelle ici m: c'est ce que Delaunay appelle — - —
M. Brown appelle cette m&me quantity m; mais il y a d'autres differences; j'ai
suppos*5 mes coordonn^es, # par exemple, exprimges en fonction de TI', a, /0
et, en outre, de e, y, T, /, A, e', I1. La quantity a, d'ou d6pendent les termes
parallactiques, 6tait 3gale a
a0 <5tant une longueur constante et d le demi-grand axe de 1'orbite solaire.
M. Brown exprime tout en fonction de a, <x! et m et, en outre, de e, y, T, I,
X, <?', ^. La longueur a est le coefficient du terme principal du d^veloppement
de #o-h v/ — iyo ; c'est une fonction de »' et de m, c'est-a-dire de TIA et de /<>.
Quant a a! (qu?il appelle a) C7est le rapport
La longueur a reste constante dans le mouvement de la Lune, mais ce n'est
pas une constante absolue au point de vue qui nous occupe, puisqu'elle depend
de /o- A la fin du calcul, toutefois, et apr&s toutes les differentiations, on
pourra supposer a = a0j d'oii oc = a'.
A cause de Phomog£n3it6 sp^ciale des Aquations, les coordonn6es x, y, z
sent de la forme suivante :
AQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 33 1
ot Ton aura ailleurs
la fonction ^(a', m) dependant, en outre, de e, y, r, /, X, e1, lr.
On trouve alors
Or
d'ou
, dx da dy dyf
/O »'"%' == — /WO —7— — J7l# —7-7 -s— —
J do ' atoz <afo' afrw
, a % dyf da dm da
a s= a — 5 a ou — 7- = — = -5 — >
j. dx da . dv da
fo -j-r = — /no -j ma -=^7 -= ma -
17 dq T a/n aa am
Cette formule rend les comparaisons possibles.
Observons maintenant que Panalyse pr^c^dente, exigeant des diff^rentia-
tions par rapport & m, conviendrait plus particuli&rement aux cas ou Ton veut
obtenir le dgveloppement littoral des coordonn^es, comme le faisait Delaunay.
Ce n'est pas qu'elle ne puisse ^tre appliqu£e& la recherche d'un d^veloppement
num6rique analogue a celui de Brown. II faudrait alors calculer d'avance, non
seulement a?o et y0j niais un certain nombre de leurs dgriv^es successives par
rapport & m, ce qui d'ailleurs se ferait sans difficult^.
22. Cherchons ce que devient, dans les nouvelles approximations, le para-
doxe signal^ au paragraphe 10. Voyons done dans quelle mesure nous avons eu
affaire aux Equations diff^rentielles qu'il s'agissait d'int^grer. Nous verrons que
nous nous sommes servi de ces Equations aux paragraphes 11, 14, 15, 17; que
nous njy avons fait nullement appel aux paragraphes 12, 19 et 20; et qu'enfin
aux paragraphes 13 et 18 nous nous sommes servi de ces Equations pour le
calcul de #, mais que nous n'en avons plus eu besoin pour le calcul de x et
dey.
En rgsumg, apr&s avoir dgterminS, A Paide des Equations qu'il s'agit d'int&-
grer, les termes de x et de y qui sont indgpendants de e et de y, et ceux de z
qui sont indgpendants de e, nous pourrons, sans faire intervenir de nouveau
ces Equations, calculer les termes de $ et de y qui dependent de y ou de e,
ceux de z qui dependent de e.
Le rSsultat conserve son apparence paradoxale, mais le paradoxe s'explique
comme au> paragraphe 10.
SUR LES PETITS DIVISEURS
DANS
LA THEORIE DE LA LUNE
Bulletin astronomique, t. 25, p. 3ai-36o (septembre 1908).
1. Dans le dtSveloppement de la th^orie de la Lune, on voil s'inlroduire de
petits diviseurs de la forme suivante :
I -f- pz Tl% -4- pg Tig -t- /? i 71* J
les p sont des entiers, positifs on n^gatifs; HI et/z2 sontles moyens mouvements
de la Lune et du Soleil, /iy et nA sont ceux du p(5rig(5e et du noeud. Si Ton pose
on voit que ce petit diviseur est divisible par m sifi esl nul, et par m- si
Parnii les divi3eurs7 tels que pi et p% soient nuls, diviseurs qui sont par
consequent divisibles par m2, il en est qui m&ritent une attention particuli&re.
Considdrons le d^veloppement de /i3 et de n\ suivant les puissances croissantes
de m; on sait que les termes en m* sont £gaux et de signe contraire, au moins
si nous n<5gligeons les carrgs de la parallaxe, des excentricit^s et de Fincli-
naison. Si done nous supposons
^i = />3 = o, p3 = /?*,
nous aurons un petit diviseur de la forme
LES PETITS DIVISEURS DANS LA TflfORIE DE LA LUNE. 333
qui sera divisible par m3. Ce sera ce que nous appellerons im tres petit divi-
seur analytique.
Mais on sail quo les lermos on m* sont presque aussi grands que los termos
en m-\ il on rcsulle que le rapport — ? an lieu d'etre egal a — i, ainsi qu'il
arriverait si Ton pouvait negliger los termes on ni*, ost sensiblemenl «5gal
a — 2. Si done nous supposons
^1 = ^2=05 a/j3 = 7?i,
nous aurons un diviseur de la forme
donL la valeur numerique est tr£s petite. Ge sera un tres petit diviseur nume-
rique. Les irfcs pelits diviseurs numtSriques ne sonl pas analytiquement divi-
sibles par m*, mais ils sonL num<3riquement de 1'ordre de 7?i3. Au contraire, les
Irt^s potits diviseurs analytiques sont analyliquoment divisibles par mA, mais ils
sont num6riqtiement dc 1'ordre de m-.
Dans les applications, il est clair que ce sont les tr6s petits diviseurs numtS-
riques qui pourraient sembler susceptibles de jouer un role important. Mais
on pent se placer a un atitre point de vue. Supposons qu'on se propose, com mo
le faisait Delaunay, de d<5velopper les coordonn6es dela Lune suivant les puis-
sances do /n, des excentricit^s, de Tinclinaison et de la parallaxe. On pout so
dcmander si le d^veloppement ne contiendra que des puissances positives, ou
si par suite de 1' intervention des petits diviseurs, divisibles par ;/z, m- ou ?ri^
nous n'allons pas arriver a des termes ou 1'exposant de in sera n<2galif. Dans
cette question, il est Evident que le role important sera joue par les tr£s petils
diviseurs analytiques.
C'est la la question qui va 6tre Tobjet du present travail.
2. II importe de remarquer avant d'aller plus loin que les tr&s petits divi-
seurs, tant analytiques que num&riques, ne pourront intervenir que dans des
termes d'ordre tr^s £lev<5. Commengons paries tr6s petits diviseurs analytiques.
Soient L et L' les longitudes moyennes de la Lune et du Soleil, BJ et 6 cellos
du p&rigge et du nceud ; soient
TsaL — L', Z = L-zsj, X = L-6
la difference des longitudes ( moyennes ), Tanornalie moyenne et la distance de
334 LES PETITS DIVISEURS DANS LA THfiORIE DE LA LUNE.
la Lime au noeud. Les termes de la fonction perturbatrice qui pourront donner
lieu a un tr&s petit diviseur analytique seront de la forme
k(w + 9)= A-(2L'- I— X -4- 2t).
Or les termes qui dependent de 1'argument
mi Lf -+• m* I -h m* \ -t- ?n^
contiennent en facteur e!l"ltl e]m*1 v''"»', e el ef 6lant les excenlricitoSs de la Lime
el du Soleil et y 1'inclinaison; notre terme contiendra done en facteur e'*kekvk.
Mais la fonction perturbalrice ne peut contenir que des puissances paires de y,
d'ou il results que k est au moins 6gal a 2 et que notre terme doit contenir en
facteur e2y2 efi. Dans les expressions de la longitude, les termes correspondants
contiendront au moins en facteur ej- <?"*, et dans les expressions de la latitude,
au moins £2y e'4.
Passons aux tr6s petits diviseurs num<5riques; les termes correspondants sonl
de la forme
A-(w-h 26) = Jc(3L'— I — 2 A -f- ST).
Us contiennent en facteur e**kek*fk.
De plus, ils contiennent en facteur la parallaxe a si le coefficient de T esl
impair. Si done A" = i, nous aurons en facteur ae'3eya, et, si k = 2, e'°fi2y*.
Nous aurons alors en facteur, dans les expressions de la longitude, ae/3y2
ou ef* €y% et, dans celles de la latitude, a er* ey on e
3. Venons maintenant a la question que j'ai pos(5e a la fin du paragraphe 1
et qui fait 1'objet de ce travail. Je ne Paborderai pas imm^diatement et je vais
trailer successivement une s^rie de cas de plus en plus compliqugs en com-
men^ant par un example extr&mement simple.
Soit un systdme d'^quations canoniques
d\ f^-lE, *lf~_^
v ; dt ~ dyi dt "" dxi
F est une fonction des n variables x et des n variables y, p6riodique de
p^riode 2ft par rapport aux y. De plus, F est d^veloppable suivant les puis-
sances djun param&tre a sous la forme
LES PETITS DIVISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE. 335
Fo est fonction des x seulement, et il n'y a entre les d<Sriv£es fS-£ aucune rela-
^ op-
tion lin<3aire & coefficients constants entiers. G'est Id un probl&me tr£s simple
et d<5j& bien des fois traits ; je vais nganmoins, & titre d'exemple, le trailer par
la m^thode que je compte employer dans des cas plus compliqugs.
Si la fonction F, et non pas seulement son premier terme F0, £tait ind^pen-
dante des y: I'intggration des Equations (i) serait immediate, les x se rgdui-
raient a des constantes et les y a des fonctions lin&ures du temps. Si F0,
FI, . . ., F^t (Staient ind^pendants des y et que a fiit assez petit pour que
a? fut n<5gligeable, cela reviendrait encore au m6me, puisque nous ntSgligerions
pr6cis6ment les termes qui dependent des y et qui figurent seulement dans F,;,
Voici done comment nous allons op6rer; nous allons faire une sgrie de
changements de variables qui n'alt&reront pas la forme des Equations (i) et
qui seront tels qu'apr&s le premier changement de variables F0 et F4, apr^s le
deuxi^me F0, F4 et F2, apr^s le troisi&me F0, F4, F2 et F3, aprfes le 9I6me F0,
Fi, . . . , F0 soient ind^pendants des y.
Pour expliquer en quoi consistent ces changements de variables, supposons
done qu'on ait effectu6 le (q — Iy&m« et qu'on se propose d'effectuer le ^rI6mc.
Je suppose, par consequent, que F0, F4, . * ., Fg_i sont ind^pendants des y\
et je me propose de faire un changement de variables tel qu'apr&s ce change-
ment les Aquations res tent de m£me forme, mais de telle fagon que Fr/ soit
ind^pendant des y.
Le changement de variables devra d'abord &tre canonique, c'est-d-dire ne
pas alt^rer la forme canonique des Equations. II faut pour cela que, si les x et
les y sont les variables anciennes, et les #' et les y1 les variables nouvelles,
Texpression
— ^xr dyr
soil une diff6rentielle exacte. Pour cela nous introduirons une fonctiou quel-
conque S des variables anciennes a? de la premiere sgrie et des variables nou-
velles y* de la deuxi&me s&rie, S(#, 7'), et nous poserons
djou
336 LES PETITS DIVISEURS DANS LA THE*ORIE DE LA LUNE.
Les Equations (2) d^finissent les relations entre les variables anciennes el
nouvelles. Je prendrai
la foncrion 0 elant periodique de pc^riode 27r par rapporl auxj-'.
On voit alors que, si Ton resoul les 'Equations (2) par rapport aux^et aux y,
les variables anciennes seront exprim6es en fonction des nouvelles; les diffe-
rences x — #', y — y1 seront alors des fonctions des #', des y1 et du para-
m6tro a; ces fonctions seront developpables suivant les puissances croissantes
de a et elles seront pth'iodiques par rapporl auxj-'.
11 en sera done de m£me de F(#, j'), de sorte que la forme de nos Equations
ne sera pas altt^ree !par le changemenl de variables. II resle a disposer de 0 de
facon a rendre F/7 independant des y' .
On aura, en nt^gligcant a^+1,
dtf , d(\'
1 """ l dy'i ' " * "" ^ £ dx'
Je designe par
1 dx' dy
ce que deviennent
0, L-, — —
dsc ay
quand on y remplace les x par les #?'.
On a (toujours en mSgligeanl
Je d^signe par F'k cc que devipnt ¥/, quand on. y remplaco les x el les j' par
les oc? et les y ; je pose d'aillcurs
de telle sorte que les TH repnSsentent les moyens mouvements. On lire de la
On a ^galement, toujours au m6me degr<5 d'approximation,
a
d'ou, loujours en a^gligeant oc^^1,
y
LES PETITS DIVISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE. 33n
Commc F'0, F'1? . . . , F/<7_1 sont independants dcs y1, il suffit de clioisir 0' dc
Lcllc facon quc
soit independent des y*. II suffit de rappeler que, si cp est une fonction quel-
conquc donmSe des j'', periodique par rapport a cos variables yr et develop-
pable par consequent en serie de 'Fourier, on pent toujours determiner une
fonction inconnue 0' de mgme forme par liquation
,3v
(3)
ou les m sont des coefficients constants, a la double condition :
i° Qu'il n'y ait entre les nt aucune relation lineaire a coefficients entie'rs
(condition que nous avons supposee remplie an debut de ce paragraphe);
a° Que la s<5rie de Fourier qui repr6sente cp n'ait pas de terme independant
des y1.
Si done [F7^] est le terme ind(§pendant des yf dans la serie de Fourier qui
repr(5sente F^, nous pourrons determiner 67 par liquation
(4) 2"'^ = !^-^'
qui se traite comme liquation (3), en regardant les xr et, par consequent,
les n comme dcs constantes. Alors
sera independant des yl ^ ce qui tHait la condition que nous nous etions impos^e.
La suite des changements de variables se poursuivra done sans difficult^.
Soient alors a?/ et yt- les variables primitives, x*t ety$ les variables finales. On
voit que toute fonction des #, des y et de a, cleveloppable suivant les puis-
sances de a et periodique par rapport aux y, sera egalement une fonction
des 5?*, des y* et de a, developpable suivant les puissances de a et periodique
par rapport auxy*; et en effet ces proprietes ne sont pas alterees par les chan-
gements de variables successifs. D'ailleurs, puisque apr£s le dernier change-
men t de variables les y* he figurent plus dans F que dans les termes que nous
mSgligeons, les x* se rdduisent a des constantes et les y* a des fonctions lingaircs
du temps. II rtSsultc de la qu?on rfa pas a craindre que a passe jamais au
d&nominateur et qu'on n'aura que des puissances positives de a dons le
developpement.
H. P. — vin. 43
338 LES PETITS DIVISEURS DANS LA TH^ORIE DE LA LUNE.
4. Abordons maintenant un probl^me un peu plus compliqutS; supposons
/"7I7
qu'il y ait entre les d6riv<5es •—- des relations lin^aires a coefficients constants
et entiers. Nous pouvons d'ailleurs immtSdiatement, par un changement lin^aire
de variables, supposer que ces relations sont de la forme
ce qui nous ramene au cas ou F0 ne depend pas de toutes les variables #.
Nous distinguerons ainsi deux sortes de variables x ; il nous sera commode
d'appeler les unes -s et les autres w, et, s'il y a par exemple p variables & et
q variables w, de designer la m&oae variable par X( ou ^ si i ^/?, ou bien
encore par XI+P ou ui si i-}-p >p-
De m£me, nous aurons deux sortes de variables y, a savoir les 9 correspon-
dant aux z et les w correspondant aux u. Grace a ces conventions, nous pour-
rons ^crire indifft3remment par exemple 2 $ dy ou bien
• Zudw.
Reprenons done les Equations (i), et supposons que F0 ddpende seulement
des z et pas des u ni des 9 ou des w et que, d'autre part, Fi d^pende seulement
des z et des a, mais pas des P ni des w (ou ce qui revient au m6me seulement
des x et pas des/).
TO /71?
Je suppose d'ailleurs qu'il n'y a ni entre les -j-^j ni entre les -T-^ aucune
relation lin^aire a coefficients constants entiers,
Nous allons op&rer comme au num^ro pr^c^dent, c'est-a-dire que nous
aliens faire une sgrie de changements de variables de telle fagon qu'apr^s
le <7leme changement F0, Fd, . . . , F^ soient ind^pendants des y • et pour d^finir
ce changement de variables, je suppose comme plus haut qu'avant le change-
ment F0, F4> . . ., F^^t soient indgpendants des y, et je me propose de faire
un changement tel que les Equations conservent la m&me forme, mais de telle
fagon que F9 devienne indgpendant desy comme le sont ddja F0, F1? ..., F^_4.
Nous conserverons pour d^finir -ce changement de variables les Equations (2),
en convenant de designer^ par exemple, indifftSremment par z\ ou xt ou bien
par it,'; et x't+p la variable nouvelle qui correspond a la variable ancfenne z\ = xi
ou bien a/= XI+P.
Je prendrai cette fois
s
LES PETITS DIVISEURS DANS LA THfoRIE DE LA LUNE. 33g
Les foiictioiis 0 et 0t sont p6riodiques par rapport auxy'; niais, tandis que 0
depend dc lous les y\ c'est-a-dire des v' aussi bien que des tv', la fonction Oi
ne depend que des <v'.
Gc que nous avons dit an paragraphe 3 bubsisle, c'est-a-dire que le change-
inent dc variables n'idtere pas la forme des Equations; on aura d'ailleurs, en
negligeanl a?+1,
t
ou, puisque ^\ ne depend que des or',
Zi = z[ — y.l -r—, j
a?}
II \denl ensuite, toujours au mtoie degre d'approximation,
ou, en posanl
et en remplagant zi — z't et w, — u'( par leurs valeurs,
x/fl'
! = aFi -t- a^/i?
On a d'ailleurs
d'ou
II faut done choisir 0^ et ^^ de telle fagon que
soil inctependant des y'. Pour cela, comme F7 est une fonction p^riodique
des y', supposons-la d^velopp^e en s^rie de Fourier; soit A.fJ Tensemble des
3/(o LES PETITS DIVISEURS DANS LA TH^ORIE DE LA LUNE.
termer dc celte serie qui dependent dcs r'; soil Eri rensembk* de ceui qtii
dependent des w* sans dependre des p'; soit Cej 1'ensemble de ceux qui sonl
ind^pendants a la fois des v! et des «>', c'esl-a-dire de tous les y\ de telle sorie
que
F;/=:A,7-i-HvH-Cv.
IN ous delcrminerons ulors 9' el 0\ par les equations
2dV .
'2<5£=-A'"
-f — B"
qui se traitent comme Tequation (3), de sorte que
soil indcpendanle des y'.
Inutile de rt§p6ter la suite des raisonnements du paragraphc 3; nous voyons
ici encore que Ton ne pent avoir que des puissances positives de a.
5. Les difficult^ commencent quand 011 suppose que F, au lieu d'etre deve-
loppable suivant les puissances d'un seul param^tre a, est d£veloppable suivant
celles de deux param&t'res a et |33 de telle sorte que Ton ait
On peut ramener ce cas au pr<§c(§dent en posanl
p = Xa.
On trouve alors
F = 2
de telle sorte quo
ct I'on peut ensuite appliquer Fanalyse des paragraphes 3 ou 4. On en
conclura done encore que les inconnues x et y peuvent se developper suivanl
les puissances croissantes de a, le coefficient de a^ dependant entre autres
ctoses de X et pouvant £tre d<5sign6 par cp;4(X). Mais il reste & savoir si ces
inconnues x et y peuvent cgalement se developper suivant les puissances crois-
santes de a et |3, quand ces deux param&tres sont regarded comme ind(§pen-
dahts. Pour cela^ il faut et i! suffit que ?^(X) soit un polynome entier de
LES PETiTS DIVISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE. 34l
degre Ji au plus en X. En est-il reellement ainsi, c'esl la question qu'il nous
resle a trailer. Dans le cas du paragraphe 3, c?est-a-dire si F0o depend do
loutes les variables x sans qu'il y ait entre ses d^rivees de relation Iin6aire a
coefficients enticrs, elle se rtSsout immtjdiatement.
En effet, la forme des equations ii'etant pas alteree par les changemeiils de
variables successifs, il suffira d'examiner ce qui se passe dans uii de ces chan-
gemenls et pour cela d'envisager liquation (4). Nous voyons alors que [F'J — F^,
se prtSsente sous- la forme d'un polynome entier d'ordre q en A, puisque
Quant au premier membre, il est independant de X, puisque
et ses derivees — rc,- sont independantes de /. II en resulte que 0 sera un poly-
nome entier d'ordre q en X.
Nous rencontrons au contraire des difficult^ dans le cas du paragraphe 4.
Nous avons alors a envisager au lieu de liquation (4) les Equations (5) et (6).
Les seconds membres — A7 et — Br/ sont encore des polynomes entiers de
degrg q en \ au moins pour le premier changement de variables. Le premier
membre de (5) est encore independant de A; mais il n'en est pas de m6me du
premier membre de (6), car F± et, par consequent, les n\ sont des polynomes
du premier degre en A.
En g6n6r.al, par consequent, Pintegration de (6) introduira des diviseurs qui
seront des polynomes du premier degr£ en A ; ces diviseurs entreront au pre-
mier degr6 dans le dtSnominateur de 04 ; aux approximations suivantes A7 et Bv
ne seront plus alors des polynomes entiers en X, mais des fonctions rationnelles
contenant ces diviseurs au denominateur; done, d£s le second changement de
variables, le denominateur de 6t potirra contenir ces diviseurs a des puissances
sup^rieures.
II r<5sulte de tout cela que cp/2(A) ne sera plus un polynome entier en A, mais
une fonction rationnelle de X dont le d&iominateur sera decomposable en fac-
teurs du premier degre. Qu'arrive-t-il alors si Ton veut developper suivant les
puissances de a et de (3? On aura, par exemple, un terme en ~a^_^ et ^'on
pourra ecrire
342 LES PETITS DIVISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE.
ou bien
Of , « LJ n
suivant qu'on veut developper d'abord suivant les puissances de a et ensuite
suivant celles de {3, ou inversement. D'aucune maniere, on Jie pourra £viter
V introduction des exposants negatifs.
6. 11 y a cependant un cas ou la difficult^ ne se pr<3sente pas. Supposons
que Foo, F10, .... FqQ ne dependent iii des u ni des iv; alors
, '.
dit\
et
est divisible par A.
D*autre part, Bg est un polynome de degr6 q en A, mais ce polynome esl
divisible par X; et en effet B,y represenle Tensemble des termes de F;y qui
dependent des w1 sans ddpendre des p' et, pour X = o, F'y se rt^duit a F' 0 qui
par Ivypothese ne depend pas des wf, de sorte que B^ s'annule pour X = o.
Nous pouvons alors diviser liquation (6) par X, de telle facon que le second
inenibre devient un polynome de degre" q — i en A, et le premier membre
devient ind^pendant de X. II ne s'introduit done plus de diviseurs dependant
del.
Pour que ce raisonnement soit valable, il faut que les changemenls de
variables successifs n'alt&rent pas la forme des Equations, c7est-a-dire que
les F90 restent ind^pendants des u et des w. Or, si nous supposons X = o, les
variables u et w disparaissent de nos Equations; et la suite des changemenls
de variables ne peut les y introduire. Done, apres un changement quelconque,
ces variables doivent cesser de figurer dans les Equations des qu'on y fait X = o,
c'est-a-dire quand F7 se r^duit a FqQ.
C'est ce qui arrive ea particulier quand F70==: o(^^i). Si done F ne con-
tient que des termes independents & la fois de a et de (3 ou des termes divi-
sibles par (3, nous rfaurons pas de puissances n&gatives de a et de $ dans
les expressions des coordonn£es.
Cela est encore vrai si les termes ind^pendants de (3 dependent seulement
LES PETITS DIVISEURS DANS LA TH^ORIE DE LA LUNE. 343
7. Ce qui precede suffirail pour que nous puissions en faire Tapplication au
cas de la Lime, si les d^veloppemenls des coordonn^es de cet astre proc^daient
seulement suivanl les puissances de a et de e': qui soul des param&tres donnes
figurant dans les Equations difftSrentielles. Mais ils proc&dent ggalement sui-
vant celles de e et de Fincliiiaison, qui sont des constantes d'intt5gration. Cela
m'oblige a reprendre la question encore a un autre point de vue.
Supposons des Equations canoaiques
Je suppose que
F=^Scc?F7
est dgveloppable suivant les puissances du paramStre a, que F est p&riodique
par rapport aux y et dgveloppable suivant les puissances des £ et des 73 ; je sup-
pose enfin que F0 ne depend que des x et est indSpendant des y, des £ et
des Y).
C'est pr£eis£ment ce qui arrive dans le probltaie des trois corps, quand on
adopte les variables kgpl^riennes canoniques, c'est-a-dire les deux variables L
proportionnelles aux racines carries des grands axes et qui jouent le r6le des x,
les deux longueurs moyennes qui jouent le r6le des y, et de plus les quatre com-
binaisons
L(J — /i — <?2), L /i^- e* (i — cos£)j
deux pour chacune des deux plan&tes que nous appellerons les p$, et les longi-
tudes des p^rih^lies et des noeuds chang^es de signe que nous appellerons
les 6)|, et que Ton pose ensuite
ffsa y2pf COS toi? *^z*
Supposons Fg d^velopp^ suivant les puissances des £ et des 17, et 6crivons
F7= SF^,
Ffjp <5tant Tensemble des termes homog&nes de degre /; par rapport aux £ et
aux 73 ; comme F</p est une fonction p^riodique des y , nous pouvons la supposer
d^velopp^e en s6rie de Fourier et designer par [F^] le terme de cette s^rie de
Fourier qui est ind^pendant des y .
U est clair que [Fi0] depend seulement des #, et je supposerai ;
i« Que[Fu] = o;
314 LES PETITS DIVISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE.
2° Que [Fi2] est de la forme
les y/ dependant seulemeni des x+
Si ces deux conditions n'6laient pas remplios, il suffirait pour qu'clles le
fussent de fairo un changeraent lin<3aire canonique de variables, de facon que
les nouvelles variables £l et 75^. fussent des fonctions lin<3aires (non homo^nes
en general) des £,- et des YJ,, les coefficients dependant seulement des x\ on
aurait, par exemple,
les (3 dependant seulement des x. On pourra remarquer en passant que la pre-
mifcjre condition est remplie d'elle-m&me dans le cas du probl&me des trois corps.
II rtSsulte de tout cela que nous pouvons supposer les deux conditions remplies.
Si F d6pendait seulement des x et des combinaisons
TinteSgration serait immediate. En effet, on aurail
dx
— =o, x = const.
dp
dF __ dF dp dF dF dF
d? ~~dj ^""^' 3? ==<n^'
dp dF dF
^=o, p = const., — = const., -r- = const.,
ce qui montrc que les y sont des fonclions lin<3aires du temps; d'ailleurs, les
equations
f5 — - — ^5 — — t £??
^ ~" 'n ^P ' dt "~ ^ dp
sont des Equations lin(5aires a coefficients constantsimm(5diatementint(5grables.
Nous sommes done conduit ^ reprendre 1'artifice du paragraphe 3 et £ faire
une s<Srie de changements de variables dirig<5s de fa$on A rendre success ive-
ment les divers termes F^ ind<5pendants de toute autre variable que les x et
les combinaisons p.
D'apr&s notre hypoth&se, la condition est deja remplie pour
LES PETITS DIVISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE. '^45
Par un premier changcmeut cle variables loul a fait pareil a ceux du para-
graphe 3, nous pouvons ^faire disparailre les termes dependant des y dans FI,
de facon a reduire FI a [Fi]; la condition est alors remplie ponr
8. Pour monlrer en quoi doivent consisler les changements de variables
successifs, imaginons que, par suite d'une serle de changemenLs de variables
ant^rieurs, on soit arriv<5 a ce r^sultat que Fav ne depende que des x et des p,
toutes les fois que
\*<q, v*£p
cm que
LU = £, V <p
et proposons-nous de fa ire un nouveau changement qui, tout en conservant les
rcSsultats acquis, fasse que FfJP ne depende non plus que des x et des p.
Nous dgsignerons encore par xl , y^ £'» y/ les nouvelles variables. Nous consi-
d(?rerons tine fonction S des #, des y3 , des % et des yjf , et nous poserons
, , . N ^S , dS dS „< d$
(2 to) y=-s;t> "-^ ^=35' ^^
Nous prendrons d'ailleurs
S ==: S*/ H- S?Ti'-H a<79(^ /, %, V) + a^BiCa:, g, r,').
Nous supposerons que 0 est pt5riodique par rapport aux y3 , QI ind6pendant
des yf, et que 6 et 0i sont des polynomes entiers homogtoes de degr<3 p en ^
et Y/. La condition cHant ddja remplie pour FQ^ F10, FH, Fi2, nous devrons
supposer ou q > i , ^ ou q = i , /> > 2.
Qu'arrive-t-il alors si nous r<5solvons les Equations (zbis) par rapport aux
variables anciennes de telle fagon que ces variables se trouvent exprimees en
fonction des anciennes et de «? Je dis que les differences
x — x', y~y, 5 — E'» 'n — -n'
scront des fonctions p^riodiques de y', d^veloppables suivant les puissances
de a, des £' et des V.
En effet, il suffit d'observer que, quand on fait a = o, les Equations (2 bis)
se rtkluisenl a
^ = ^ , y — /» i = S', n = V,
de sorte que le determinant fonctionnel des premiers membres par rapport aux
H. p. — vin. 44
346 LES PETITS DIVISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE.
inconnues se reduit a i et lie s'annule pas, de sorte qu'on pent appliquer le
theor£me de Cauchy sur les fonclions implicites.
II r a exception si q = i ; car les Equations se reduisent a
d\\i „, „ dbi , afti
* = J, J=:v + _, ;=;H-^, ,! = ,! + _.
Neanmoins le determinant fonctionnel reste 6gal a i pour
si p > 2, ce que nous supposerons, de sorte que le resultat subsiste.
Nous pourrons negliger «*+*, ou bien encore les termes de degre supgrieur
a D en ^ et r/, puisque nous n'avons a consid^rer que les termes FVjt, ou F^,
ou tu ^ #, v ^/?. Dans ces conditions, nous avons
//'ft'
Nous donnons, bien entendu, aux notations 6', ^-75 F^, ... la m6me signifi-
cation que dans les paragraphs pr^c^dents. L'erreur commise sur y sera alors
de Tordre 2^ — 2 en a, de 1'ordre 2/> — 2 en |; et V; Perreur sur a? sera de
Pordre zq — i en a et 2 /> — 2 en £' et vj'; Perreur sur ^ etvj sera d'ordre 2^ — 2
en a, d'ordre 2 jo — 3 en % et vir.
Passons au calcul de F ; il viendra
en n^gligeant a?+1 et a fortiori a2^ et, par suite,
Perreur commise ^tant de Pordre de a2?"* et par consequent d'ordre au moins
«5gal a a?+1, si q > i , et de Pordre de £2^-~2 et par consequent d'ordre plus grand
que ^> si Pen a ^ = i et, par consequent /? > 2, cette erreur etant par conse-
quent dans tous les cas n^gligeable. II vient ensuite
LES PETITS D1VISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE. 347
en n6gligeanl a?, ou bien encore
L'erreur commise sera de 1'ordre de a3?-*, c'est-a-dire de 1'ordre de a?,
si q > i ; si ^ = i , elle sera de 1'ordre a/> — 2 en £' et r/, c'est-a-dire d'ordre
plus grand que/>, puisqu'on a alors p >• 2. Nous pourrons encore la nggliger.
Nous observerons ensuite que nous pouvons dans le coefficient de a?"1 rem-
placer F't par F^ + F^ + F^ (puisque Terreur ainsi commise sera de 1'ordre
de g0"1"1) ou m^me par F12 (puisque F'10 -f- F^ t ne depend que des x*). II res I era
done finalement
'-• •
On trouve de m£me pour /? > i et au m^me degr€' d'approximation
d'ou finalemenL
F = F'0
^
Nous devons done nous arranger de lelle fagon que
ne d^pende que des of et des pf. Pour cela nous observerons d'abord :
i° Que nous pouvons laisser de cAt& les termes d'ordre plus grand que p
en £' et n!> c'est-a-dire F'^k ou h >/?, termes que nous n^giigeons ;
a° Que la condition est d&ja suppose remplie pour F^A ou A <C/^3 de sorte
qu'il suffit de s'occuper de 1'expression
3° Que cette expression est homog&ne de degr^ p en £' et vf, puisque 0'
et F'yp sont des polynomes homog&nes de degr^ /?.
Posons
p/ cos wj, T\'t = vpi sin w{ ;
348 LES PETITS DIVISEURS DANS LA THgORIE DE LA LUNE.
celle expression devient
db'
D'ailleurs, F^ devient une function periodique par rapport auxy' et aux &/,
ot develuppable en serie de Fourier. Soient AfJP Pcnsemble des termes dc cette
serie qui dependent des ;>-'; EfJP ceux qui dependent des GO' sans d^pendre
des y'; C,/7> ceux qui sont independants & la fois des y1 et des GO'.
Nous pourrons determiner 0' et 6!, par les Equations
2n— - — A
dy ~~ w
2CL u i
T JJ
1 dd f/f"
qui se iraitent comme (3), (5) et (6); et Ton verra que
ne depend plus que des od et des p'.
Nous pourrions r(5p(5ter ce que nous avons dit a la fin du paragraphe 3;
representons les variables primitives par des lettres .non accentucSes, les
variables finales, apr^s tous les changements de variables, par des lettres
marquees d'ast<?riques. Nous verrons que ces variables primitives #, y, £, 73
sont des fonctions de a, des constantes x* , des arguments y* qui varient pro-
portionnellement au temps, et enfin des combinaisons
\* = et cos «»|, TI* = ei sin wt,
ou les £/ sont des constantes d'iiit(?gration et les ir/ des arguments variant pro-
portionnellement au temps.
Ces fonctions sont periodiques par rapport aux y* et d<hreloppables suivant
les puissances de a, des £* et des 73*; on voit que nous n'aurons partout que des
puissances positives de a et des e.
Ce qui pr<Sc&de s'applique au probl^me des trois corps, ainsi que nous
1'avons fait remarquer plus haul. C'est peut-6tre la mani^re la plus rapide de
demontrer les th^orSmes fondamentaux relatifs ^ la forme des dgveloppements
des coordonn^es, bien que cette mgthode ne puisse 6tre recommand^e pour le
calcul direct de ces d^veloppements.
Dans le cas que AOUS venons d'examiner, on n'a pas £ craindre de voir
s'introduire d'exposants n(5gatifs; mais il serait aistf, en op^rant comme au
LES PETITS DIVISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE. 34g
paragraphe 5, d'en deduire d'autres cas analogues ou celte circonsLanco se
produirait.
9. ChtTcIions maiiitenant, apres ce long preambule, a appliquer a la Lane
les principes pr«5c6dents. Soient #1: #2, #3 les coordonne'es de la Lime par
rapport a des axes de direction fixe ayant leur origine au centre de la Terre,
j'i, y-i* y* les composantes de la viiesse de la Lune par rapport a ces memes
axes. Soient u 1'anomalie moyenne du Soleil, et 9 une variable auxiliaire que
nous definirons plus loin. Soit T = -2j2; soit U Fenergie potentielle due a
2
1'attraction des trois corps; soit Ui 1'^nergie potentielle qui serait due a
Tattraction du Soleil sur le syst^me Terre-Lune supposee concentre'e en son
centre de gravity," soient mL et m7 les masses de la Lune et de la Terre, et soit
soit eiifin (3 le moyen mouvement du Soleil.
Les Equations du mouvement de la Lune preiidront alors la forme canonique
dxt___d_f T U>t &i-_*_
dt ~ dyt\ m'± / dt ~ dxt
La fonction T -\ -- r depend des coordonn^es x de la Lune et des compo-
santes y de sa vitesse; mais elle depend dgalement des coordonn^es du Soleil
par rapport au centre de gravite" D du syst&me Terre-Lune; mais celles-ci
peuvent £tre regard^es comme des fonctions connues du temps, ou si Ton aime
mieux de Tanomalie moyenne u du Soleil; car le mouvement du Soleil autour
du point D peut 6tre regard^ comme k(5plerien. La fonction
est done une fonction des x^ des y et de u.
Nous observerons, d'auire part, que Ui depend seulement de u] ses dorivees
par rapport aux x et aux y sont nulles, de sorte que Ton peut remplacer dans
les equations prtSce'dentes Upar LI — Ui ; d'autre part, nous pouvons tntroduire
la variable auxiliaire 9 et poser
350 LES PETITS DIVISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE.
d'ou les equations canoniques
d , U-Ui
L'equalion en — peul £tre conside'ree comme la definition de la variable
auxiliaire r.
Pour transformer ces equations, nous allons introduire les variables keple-
riennes, c'est-a-dire les (Sle'ments osculateurs de 1'orbile de la Lune. Soil L une
quantity proportionnelle a la racine carre'e du grand axe de cette orbite oscula-
Lrice; soil
p1== L(I— \/i— e'~), ps= L y'l — e'- (i — cosz'},
e et i etanl TexcenlriciLe et 1'inclinaison osculatrices ; soient A 1'anomalie
mojenne, 0)4 et w2 les longitudes du p^rig^e etdu noeud( osculateurs) change'es
de signe ; soit
Si = V/2P/ coso)/, r,f = V/^PZ- sin co/.
Le cliangement de variables sera canonique et les equations (i) deviendront
n\ , flfp d^ct c£F c£v CbS*
dK dF d't\i dF du dF
cLt £L\-I cit dcf cLt civ
Nous voyons d'abord que F peut s'eqrire
F0 est ce que deviendrait la fonclion F, si le Soleil n'existait pas ; le mouvement
serait alors kepltSrien et F0 se reduirait a une constante divise"e par L2; Ft est
tout simplement ^gal a — -p; quant a i32F2, c'est la fonction perturbatrice qui
est, comme on sait, proportioniielle a ^2. Quelle est sa forme?
i0* Elle depend des variables L, X, g, 73 et de w, et en outre de deux para-
metres qui sont la parallaxe « et Fexcentricite ej du Soleil;
2° Elle est developpable suivant les puissances de a et e1 ;
3^ Elle est periodique par rapport a \ et a u ;
4° Elle est developpable suivant les puissances des £ et des n]
LES PETITS DIVISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE. 35 1
5° Si Ton j remplace \ et mn par V/2P cosco et y'zo sinw, elle sera une fonction
p&riodique de A, de u et des w, qui pour <2f = o dependra seulement des difle-
rences des quatre variables
A, z<, — to1; — wa;
6° Ge sera une foiiclion paire par rapport a £2 et vjo.
II resulte de la cinqui&ine condition que, si Ton d^veloppe F2 en serie de
Fourier selon les lignes trigonom&riques de A et de w, et que Ton envisage le
terme constant que j'appellerai [Fa], ce terme constant ne dependra que de la
difference Wi — &)a, et, comme il est developpable suivant les puissances des £
et des YJ, on voit que son d£veloppement ne pourra conienir que des termes de
degrtS pair. En vertu de la sixi&me condition tous les termes devront 6tre pairs,
d'une part par rapport a ^ et TJI? d'autre part par rapport a ^2 et Y72;
7° Mais il y a plus; dans le dgveloppement de [F2] envisageons les termes
qui sont de degr<S z6ro par rapport a a et a ^ et de degrtS 2 par rapport aux g eL
aux yj ; ces termes se r^duiront a
C ne dependant que de L. G'est pour cette raison que, dans lesM^veloppements
des vitesses du p6rig<5e et du noeud, les termes en m3 (ou en (32) sont 6gaux et
de signes contraires.
10. Gela pos£, nous allons, comme dans les paragraphes pr6c£dents, faire
une s(5rie de changements canoniques de variables, n'alt^rant pas la forme de
la fonction F, mais simplifiant progress ivement cette fonction jusqu'a ce que,
finalement, les termes non n<5gligeables de cette fonction ne dependent plus
que des nouvelles variables L', v\ g', t{ et pas de V et ur, et que de plus elle ne
dtSpende des % et rf que par les combinaisons
Si*
Nous diroiis alors que ces termes satisfont aux conditions A. Le premier
de ces changements de variables aura pour but de faire disparattre dans F2 les
termes dependant de X et de w; il suffira d'appliquer le proc^dg du para-
graphe 4. La fonction F deviendra
F = F; -H PF; -
ou F;e, Ft et F£ sont form6es avec les nouvelles variables comme F0, F4 et [F2]
352 LES PETITS DIVISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE.
Pelaienl avec k's ancicnncs. Si, pour economiser les notations, nous conveiions
de supprimer les accents apres chaque changeinent de variables, unc Ibis quo
ce cliangement esL accompli (ce quo nous avons fait, en somme, dans les para-
graphos pr<5c<5dents), nous aurons
F = F0H- p
F:J, F», ... remplissanl les conditions enoiic6es pour F2 an puragraphc 9.
On rernarquera que F4 reste egal a — r, les autres termes F0, [F2], F;,, . . .
ne dependant pas de 9. Cette circonstance subsistera dans toute la suite des
changements de variables. Cela tient a ce que les fonctions qui joueront le role
de la fonction 0 du paragraphs 3 ne d^pendront pas de P, de sorte que les diflfe-
rences entre chaque variable ancienne et la variable nouvelle correspondante
sera ind^pendanle de c?.
Si les termes du second degrg de [F2] se reduisaient a
sans qii'il y eat entre yt et y2 de relation lineaire a coefficients entiers, on
ii'aurait qu'a combiner sans y rien changer les principes des paragraphes pr6-
c^dents et Ton verrait que les quantites j3, a, e, ef: y par rapport auxquelles on
dt5veloppe ne peuvent jamais ^tre afTect^es d'exposants n^gatifs; mais il n'en
est pas ainsi, car on a y4 + ra = o , ainsi que nous Tavons dit plus haut (§ 9, 7°) ,
et c'est ce qui nous oblige a examiner la question de plus pr&s.
11. Nous appellerons caracteristique djun terme un produit de la forme
ou ^t, /j.2j /^s ne sont autre chose que les exposants de [3, a et ef dans ce terme,
tandis que ^ est le degreS du terme en £1 et 734, et p4 son degrg en ^2 et vj2.
Comme nous le verrons plus loin, il peut s'introduire des termes ou Tcxpo-
sant f*i est n<5gatif, et c'est pr£cis£ment le fait que nous nous proposons de
mettre en Evidence ; mais cela aTarrivera que pour des termes pour lesquels les
autres exposants JJL sont notables; cela ne se pnSsentera pas au d^but du calcul;
nous supposerons done qu'au point ou nous en sommes arriv6 le fait nc s'est
pas encore produit, de telle fagon quo tous les termes de F aient uiie caract(3-
ristique a exposants positifs. Ce qui nous auloriso i\ faire cette hypothCise, c'est
que, d^s que le fait en question se produira, nous pourrons arr^ter le calcul,
le but (qui £tait de d^montrer la possibility de ce fait) tftant atteint.
LES PETITS DIVISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE. 353
Soil
K = iiviav*ev»Yv»c'v-.
Je suppose que, par suite des changements de variables dejafaits, tons les
termes de F dont la caracteristique est un diviseur de K (K Iui-m6me etaiit ,
exclu) satis/assent aux conditions A, cest-a-dire ne dependant que de L,
f;, £1 + rii , Ho + yjo . Je me propose de faire un changement canonique de variables
tel qu'apr&s ce nouveau changemeut les termes en question dont la caracteris-
tiquc est un diviseur de K ne soient pas allures et continuenl par consequent a
salisfaiz^ aux conditions A, et que de plus les termes dont la caracteristique
est K satis/assent egalement a ces conditions A.
II est clair qu'on peut conduire une suite de semblables changements de
variables de facoii que finalcment tons les termes non ntigligeables satisfassent
aux conditions A.
Les variables anciennes s'appelant d'apres nos conventions
L, X, 9, u, %h Tlh
les variables nouvelles s'appelleront
L% V, (/, w', %, TjJ.
Et nous introduirons comme au paragraph c 3 une fonction S qui definira le
chaiigement de variables par Pidentite
dS = X dL -f- u dv -h ST] <$* -h U d)J '-H 9' dtt! '•+• S?' rfr/.
Celle fonction S sera d'ailleurs de la forme suivante :
S = L//-H vu'-t- S£V-f- B.
Nous prendrons
K K K.
ou00, 0,, 93, 03 auront respectivement pour caract6risLiques K, -r 5 ^ et ^; ou 6A
sera ind^pendant de A7, 02 et 03 ind^pendants de ^etde u!\ ou enfin 83 satisfera
a liquation
Nous ferons la m6me approximation qu'au paragraphe 3, c'est-a-dire que
nous remplacerons les Equations exactes
(4) J-^S' L = L'~3T" -
H. P. — VIII. 45
354 LES PETITS DIVISEURS DANS LA TH^ORIE DE LA LUNE.
par les equations approchees
7f\ ' fj€\ '
(4 *») >- = v-*-3L'> L==L'-5v'
0' c'est ce que devient 0 quand on y accentue les lettres L, c, £/• yVbws evalue-
rons plus lorn, au paragraphs 14, Verreur qui resulte de cette approxi-
mation .
Dans ces conditions, apres le changement de variables, F deviendra
F'-i-[F', 6'],
en negligeant le carrt5 de 07, en d(5signant par F; co que devient F quand on y
acccnlue toules les lettres, et en posaiit
/dF' dff__<R^ <M\ ^ (dS^ d&_ _ d^_ dff\
\du' dv' dv1 duf ) ^ 2l\dr{ d% d% df\' J *
12. Nous ne conserverons dans F que les termes qui out pour <jaract(5ris-
tique K ou un diviseur de K, et qui sont les seuls qui nous int^ressent. Avaiit
d'aller plus loin, considt5rons deux termes quelconques A' et BA, et formons le
crochet [A;, BQ defini comme nous venous de le faire pour [F7, 0'] : ce crochet
se composera de quatre termes, les deux premiers correspondant aux deuxpre-
mi6res parentheses du second membre de (5) et les deux derniers aux paren-
th^jses r^unies sous le signe 2 dans le dernier terme de ce second membre.
Si alors nous supposons que A' et B' aient respectivement pour caract^ris-
tiques RI et K2, nous voyons que les deux premiers termes de [A7, B'] out
1C K TC K
pour caract&tistique KiK2, et les deux derniers 1t) a et \ 2*
Observons en passant que dans le cas qui nous occupe le second terme dc
[A7, B'] est gto^ralement nul, car 0 ne depend pas de p', et le seul terme de F
qui dgpende de v est le terme F4 ; c'est done seulement quand A;= F'4 que le
second terme en question n'est pas nul.
De ce que 0 un depend pas de v, il resulte e'galemeiit que
u = u!.
Consid^rons les diffe*renls termes de [F', 0^] et d'abord
et
F\ onl pour caracterislique i, et sont ind^pendunts des % et des Y/, de
LES PETITS DIVISEURS DANS LA TH^ORIE DE LA LUNE. 355
sorte qu'oii n'a pas a envisager les denx derniers Lermes du second membre de
(5); comme 6'0 a pour caractgristique K, on \oit que [F'0, 9'0] et (3[F'13 9'0] ont
pour caractgristiques R et (3R; le premier de ces crochets doit done 6tre
conserved et le second rejet<5. Prenons ensuite les diff&rents lermes de (3*[F'W, 9'0],
Si le terme envisage de F'n a pour caract(5ristique KI, les deux premiers
termes du second membre de (5) nous donneront des termes de caract&ristique
Ki, et les deux derniers des termes de caractgristique
Q
e* ° T2
Tons ces termes doivent &tre rejettSs, car il n'est pas possible que (3»KK1?
PngKi Ou "" - soit 6s;al a R ou a un diviseur de R.
e* y2 O
II u'y a pas a craindre d'ailleurs que — ^ par exemple soit fractionnaire ;
quelle est en efTet 1'origine des termes qui ont cette caract^ristique ? On les
obtiendra en consid&rant un terme A; de F'n ayant pour caract^ristique KI, et
en formant le troisi&rne terme du second membre de (5) dans le crochet
fin[A!, 9'0] ; or ce troisi^me terme est [nul si les d£riv£es de A; par rapport & g't
et ~f}\ sont nulles, c'est-a-dire si RA n'est pas divisible par e^ ou encore si les
d6riv£es de OQ par rapport a ^ et ^ sont nulles, c'est-a-dire si R n'est pas
divisible par e. II faut done bien que RR* soit divisible par e*.
En r£sum6, de [F'? 0'0] il convient de conserver seulement
Consid^rons maintenant
Le premier terme [F'0, 9'J est nul, parce que Vt ne depend pas de V; le
second,
a pour caract^ristique R et doit 6tre conserve. On verrait, comme plus haul,
que les aulres termes ont pour caract&ristiques
et doivenl 6tre rejet^s. Passons a
356 LES PETITS DMSEURS DANS LA TH^ORIE DE LA LUNE.
Nous avons
parcc que ft', ne depend ni de /J ni de ur. Les autres termes provenant de
3W[F'W, 6'.,] out pour caracteristiques
(6)
KI etant toujours la caracteristique du lermc de F'n envisage. Tous les Lermes
pour lesquels n > 2 doivent £tre rejete"s, car, si n > 2, aucune des quantities (6)
ne peut etre egale a K on a un diviseur de K. Reste done a envisager les termes
provenant de B"[F'2: 6'2]; ils ont pour caracteristiques
KKif V' IT-
Nous devons done prendre Jyt = i, Ki = ea, K.1 = y3, ce qui nous domiera
la caracleristique K. (ou bieii K4 = e, Ki = y, ce qui nous donnerait les carac-
T\ TC
leristiqties — ou - ? K ^tant suppose divisible soit par e, soit par y).
Nous rejetterons Fhypothese K4= i, parce que F2 a 616 reduil par le chan-
goment de variables du paragraphe 10 i la forme [F2] et a conserve" cette forme
dans les changements suivants, de sorte que celui de ses termes qui a pour
caracteristique' i ne depend que de L;: et, comme 02 ne depend pas de A', le
crochet du terme en question ct de 6;2 est nul.
Nous rejetterons les hypotheses Kt = c, Ki = y; et en etfel [Fa] ne conlienl
que des termes d'ordre pair par rapport aux £ et aux vj.
Nous conserverons les hypotheses Ki=e2, Kt=y2; nous uurons done a
conserver dans [F2] les termes qui sont du second ordre par rapport aux \ et
aux yj, ind<5pendants d'ailleurs de a et de er et qui se re'duiseiil (§9,7°) a
Nous n'aurons d'ailleurs a envisager dans liquation (5) que les deux derniers
termes du second membre, de sorte qu'il nous restera finalement pour les
termes conserves de notre crochet
PR" fi' 1
[F, Bs]
i, pour
envisager
ce que j'^crirai, pour abrtJger Pa D (6,).
11 reste a envisager
J-ES PETITS DIVISEURS DANS LA TH^ORIE DE LA LUNE. 357
On verrait, comme plus liaut, que
[F'o, 6'3]==!F'i,^] = o,
puisque 6'3 ne depend ni de /.' ni de u1. De m£me les termes provenant de
(3ri[F'7Z, 0',] aurontpour caract6ristiques
et doivent tous £tre rejet^s, sauf ceux pour lesquels n = 3 ou n = 2.
Parlous d'abord de Phypoth&se n = 3; on verrait, comme plus haut, qu'elle
conduit a Tune des hypotheses suivantes :
K, = i, Ka=<?2, KJ^Y*, K1=e, KI = Y.
Consid^rons dans F3 les termes qui admettent Tune de ces cinq caract&ris-
tiques ; nous pouvons admettre que par des changements de variables ant^rieurs
ils aient 6t& amends a satisfaire aux conditions A. Soient B'n B^, B^s, B^s B^s les
termes correspondants de F, ; nous verrons que B'x ne depend que de U5 et que
B^ et Bv sont nuls. II on r^sulte que [B'1? 0'n] = o, puisque 0r3 ne depend pas
de X.
Nous ne devrons done retenir que [B^+ B^5 6'3[, en nous bornant aux deux
derniers termes du second membre de (5), qui sont de la forme
Ci et C2 ne dependant que de I/ et que je repr^senterai par la notation
Die;.
Supposons maintenant u = 2, de telle sorte que nos caract^ristiques
deviennent
Pour que ces caract&ristiques soient 6gales a K ou & un diviseur de K, il faut
et il suffit que Ki soit 3gal au ddnominateur (3, (3e2, (Sy2, ou a Tun de ses divi-
seurs. Or F2 c'est par definition le coefficient de (32; il rgsulte de l^t que K4
n'est pas divisible par (3, car F2 est ind^pendant de p. Nous devons done sup-
poser
KI = I, <?? y? c2 ou 7*.
Si nous appelons E'15 EJ,, ... les termes correspondants de F2; nous verrions,
comme plus haut, que
35$ LES PETITS DIVISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE.
et, d'autre part,
[E^^EV.9e'i] = D8'3 = o,
puisque 9'3 satisfait a liquation (3).
En r£sum£, les seuls termes qu'il convienne de conserver dans [F', 0'] sont
les suivants :
13. On peut se demander si le changement de variables, en dehors des
termes que nous conservons, ne va pas introduire des termes a caract<3ristique
fractionnaire, ou Tun des exposants JJL serait n6gatif.
Je dis que cela n'arrivera pas si ® ne contient pas lui-m£me de termes a
earacteristique fractionnaire; et en effet, reprenons les Equations
t r\ v_j_ ^L T ,, a?e
(4) A==A-I"5e' L = L-5v' "•'
d'ou Ton peuttirer les variables anciennes en fonction des nouvelles, d'apr^s
le th^or^me de Cauchy sur le retour des suites et les fonctions implicites; les
expressions ainsi obtenues seront d^veloppables suivant les puissances de (3, a,
er, des £' et des v/, de sorte qu'il n'y aura pas de caract^ristique fractionnaire ;
il ne pourra done pas s 'introduire de caract^ristique fractionnaire quand dans F
on remplacera ces variables anciennes par les expressions trouv^es.
J'ajouterai qu'apr&s cette substitution toutes les caract6ristiques dans F'
seront 'divisibles par (32, a 1'exception de F'0 qui ne depend que de I/ etde (3F'1?
qui se rgduit & — (3^'. En effet,
est divisible par (32 et restera divisible par j3a apr^s la substitution. D'autre part.
FO ne depend que de L, et la difference
est divisible par P2. En effet, 64,83, 03 ne dependant pas de I1, il reste
Or la caract^ristique de $0 est ggale 4 K. ; elle pst done divisible par pa , puisque
LES PETITS DIVISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE. 869
cclle de 02 qui est supposee noil fraclionnaire esl (%alea ^. li ivsulie de la que
FO — F'0 est divisible par (32. II en sera de mSnie de
car
r — r ==
-T -7 = -j- - -T- -, •
au du du
•vr
Or les caracterisliques de 90 et 84 sent K el -^ et, par consequent, divisible
par (3. La proposition enoncee se trouve done etablie.
Remarquons que 63 est au moins du quatri^me degre par rapporl aux £ el
aux r/. En effet, 0:i satisfait a liquation (3); si Ton remplace £/ et r^. par
sa)i et y^ap/sinw/, ce sera done une fonction p(5riodique de la sommo
&>2, d^veloppable par consequent suivant les
cos
Nous pouvons supprimer les termes ind^pendants de
Wj et to2 (JD = o).
Nous n'avons pas de lerme ou^> = i, parce que nous n'avons dans uos deve-
loppements que des puissances paires de H2, V32> |i» ^'2; nous avons done au
moins p = 2 ; et comme le degr^ par rapport aux £ et 75' est au moins £gal a 2jt>,
ce degr<£ est au moins (§gala 4- On d&nontrera aussi, au paragraphe 16, que Oft
est divisible pas e'4.
14. Je me propose maintenant d'^valuer 1'erreur que nous avons commise au
paragraphe 11 en remplagant les Equations (4) par les Equations (4 bis) et en
n^gligeant quelques lignes plus loin le carr6 de &.
Gherchons la caract<5ristique des divers termes nggliggs; mais, afin d*abr^ger
la discussion, nous ne consid^rerons pas s6par6ment le degr6 en gt et 731 et le
degr6 en ^2 et yj2; c'est-^i-dire que nous envisagerons la caracteristique reduite,
qui sera par definition la caracteristique ordinaire ou Ton a fait y = e. Dans le
present paragraphe, il s'agira toujours des caracteristiques reduites.
ficrivons les equations (4) sous la forme
Dans les seconds membres figurent les variables L et £; nous les remplace-
rons par L'+(L — L;), £;-h (^ — |7)' et n°us developperons suivant les puis-
sances de L — X' el de £ — £'.
36o LES PETITS D1VISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE.
En premiere approximation, nous ferons dans les seconds membres
L _ L'=£ _ £;=o et nous retomberons ainsi sur les Equations (^bis)j on
irouve dans les seconds membres les caracttSristiques
K K K K
K> p' (P' J3*
en ce qui concerne les variables autres que £ et -n et les caract^ristiques
(r£duit,es)
K K K K
7'
en ce qui concerne les £ et les 75. Ces quatre types de caract&ristiques corres-
pondent respectivement a 60, 81? 92) 83; le dernier disparait done si 93= o; les
termes correspondant aux deux derniers ne dependent ni de V ni de u]\ ceux
qui correspondent aux trois derniers ne dependent pas de X;.
En deuxi^me approximation, nous n^gligeons dans les seconds membres les
carr^s de L — I/, \ — Q, et nous remplacons L — L', \ — £' par leurs premieres
valeurs approch^es; cela introduit les nouveaux termes ayant pour caracteS-
ristiques
(^ = o, i, 2,3; / = o, i, 2, 3, 3, 4,5, 6).
Pour le comprendre, il faut se rappeler qu'en diff&rentiant par rapport a £
ou a Yj, on divise la c&ract6ristique par e\ de sorte que, par exemple, le terme
<f>y
aura pour caract6ristique le produit de celle de ^p par celle de £ — % divis^e
par e*
En troisi^me approximation, nous n^gligeons dans les seconds membres les
cubes de L — L/, £ — £;, et nous rempla^ons L — L', £ — £' par leurs secondes
valeurs approch^es; les nouveaux termes introduits auront pour caract<$-
ristiques.
Et plus g&n^ralement^ en ^16jae approximation, les caract^ristiques des termes
nouveaux seront
LES PETITS DIVISEURS DANS LA THfiORIE DE LA LUNE. 36l
Mais quelques remarques soiit n^cessaires :
i° Si 63 = 0, on a £^a en premiere approximation, d'ou £^4 en deuxi&me
eL / ^ a n en 7iI&me approximation ;
2° Supposons toujours 93=o; en premiere approximation, les termes ou
/= a sont inde*pendants de jj et de ul\ il en sera done de meme en deuxi&me
approximation des termes ou / = 4? q1" ne peuvent provenir que de la combi-
naison de deux termes de premiere approximation pour lesquels 1= 2; il en
sera de m£rne en ;i16me approximation des termes ou 1= %n. On d^montrerail
de m£me que les termes ou l = zn — i ne dependent pas de X'.
3° Dans L — L/ (toujours si 03 = o), on a I ^ an — 2 parce que -^r? = -^3
et dans 9 — c' on a l^Zzn — i parce que
Cela pos^, considerons le d^veloppement de
F(L, ...)
suivant les puissances de L — L', .... •
Le premier terme sera tout shnplement Ff et le terme g£n£ral sera, d'apres
la formule de Taylor, ADrc, A 6tant un coefficient num&rique, D une dgrive'e
partielle d'ordre/? de Tun des termes de F;, et TT un produit de/> facteurs de la
forme L — U, .... Si K4 estla caractdristique du terme envisage" de F, celle
de D sera
S ^p-)-
Celle des diflferents facteurs de TC sera de la forme
Celle de AD?r sera done
(8) KtKN
avec
Le terme ne doit £tre conserve que si cette expression est ggale 4 K. ou & un
diviseur de K.
H. P. — vin. 46
362 LES PETITS DMSEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE.
i° Supposons Oa = o. Soieat q et qi les exposanls de (3 dans K. ct dans
IVxposant de j3 dans (8) sera
3i-*-Nq — M;
pour quo (8) divise K, un doit avoir
M
Comme
on aura
2N — ?i^(N — i
ou
D'apr&s le paragraphe precedent, nous aurons q ^ a, de sorte que le second
membre nc peut £tre mSgalif ; Pin^galit^ ne peut done 6tre satisfaite que si
^!=2, N = I.
Mais les termes pour lesquels N = i sont pr6cis£ment ceux que nous n'avons
pas n6glig6s en remplacant les Equations (4) par les Equations (4 bis) ou en
n^gligeant le carr<5 de ®', ou si
qi ==. 2j q = 2, cas que nous reservons,
ou si
qi = i ou qi = o.
Mais, si ^ = 0, le terme de F' envisage n'est autre que F'0 qui ne depend que
de L'; en vertu de la remarque faite plus haut (3°), on aura non plus
mais l^zn — 2 et par consequent
— 2
de sorte que la condition a remplir devient
2N—
ou
ce qui entraine encore
q = 2 ou N = i.
Dans le cas de qi = i , on aurait pour uae raison analogue
M
et FOR arriverait au m^me r^sultat.
LES PET1TS DIVISEURS DANS LA TH^ORIE DE LA LUNE. 363
. 2° 11 nous reste a. examiner le cas de q = •>., que nous n'avons pu Lruiter par
la consideration de Fexposant de (3.
Soient s et .s*i les exposants de 6? dans K ol Rt; Pexposant de t? dans ADr
sera
$i-i- Ns — H ;
pour que (8) divise K, on doit avoir
H
Mais
d'ou
in^galite qui ne peut 6tre satisfaite pour N = i , c'est-a-dire pour un terme non
n£glig£, ou pour s = o, i ou 2.
3° II nous reste done le cas de q = 2, s = o, i ou 2 et celui ou 63 = o. Pour
cela, soient encore t et t± 1'exposant de « (ou celui de el) dans K et K4 ; dans (8)
il sera £4+ N; et devra 6tre au plus 6gal a f, ce qui ne peut arriver que pour
N = i ou pour ti = ^ = o. II ne peut done y avoir de difficult^ que si Fexposant
de a et celui de e' sont nuls dans K et K4 .
4° De sorte que, si 63 = o, les seuls cas douteux correspondent a
(9) £ = 2, ^ = o, i ou 2, £ = o.
Mais, apr&s le, changement de variables du paragraphe 10, F3 s'est trouv<5
r^duit a [F2]. Les termes de [F3] qui satisfont aux conditions (9), c'est-£-dire
ceux qui sont ind^pendants de a et de e* et de degr<5 2 au plus par rapport aux£
et aux YJ, satisfont d'eux-mteies aux conditions A. On n'aura do'nc jamais £
faire un changement de variables avec une caract£ristique K satisfaisant aux
conditions (9).
5° Supposons que 63 ne soit pas nul ; nous verrons au paragraphe 16 que 63
est toujours divisible par eu; done K, si 93 n'est pas nul, est divisible par eM,
de sorte que la condition t = o n7est pas remplie, ce qui nous ram&ne a un cas
d^ja examin^ (3°).
II r^sulte de cette discussion que les seuls termes dont la caractdristique soit
K. ou uzt diviseuf de K, sont ceux dont nous avons tenu compte dans les para-
graphes 11, 12, 13.
364 LES PETITS DIVISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE,
15. Done, en nous bornant aux lermes dont la carncltiristique divise K, nous
aurons
F = F'H-[F', 0']
ou, d'apr&s le paragraphe 12,
Tous les termes du second membre, sauf F', ont pour caract&istique K;
nous pourrons £crire
F'=Gn»H,
H contenant tons les termes de caracteristique K, et G les termes dont la carac-
teristique divise K sans &tre tSgale a K. Les autres termes sont ngglig£s.
Nous dgcomposerons H en cinq parties :
H = HO-+- Hi-h H2-4- H3-h [H].
Voici comment se fera la decomposition. Remplagons |J et fit par \/2,pL cosco^- et
\l^\ sin^; H deviendra une fonction p^riodique de V, w', w'1? w'2 et pourra
6tre exprim^e en s6rie de Fourier.
Dans cette s&rie :
Ho reprgsentera les termes dependant de V ;
Ht, les termes ind(§pendants de 7J: mais dependant de ii!\
Ho, les termes ind^pendants de H et de w', mais dependant de o/j et w'2 de
telle fagon que les coefficients de ces deux variables ne soient pas <5gaux;
HS, les termes qui ne dependent que de la combinaison Wj + Wj, mais en
dependent eflfectivement ;
[H], les termes ind^pendants a la fois de X', uf et des w'.
Les termes G dont la caract&ristique divise K ne seront pas alt^rgs par le
changement de variables. Nous d^terminerons les 9 par les Equations
(10)
de sorte que les termes de caract&ristique K se rMuiront a [H] et satisferont
ainsi aux conditions A.
LES PETITS DIVISEURS DANS LA THEORIE DE LA LUNE. 365
11 ne peul se presenter aucune difficulte pour la resolution des trois pre-
ini&res equations (10), car la caracteristique K est toujours divisible par (32,
c'est-a-dire que H0, Hi et H2 sont divisibles par j32. II n'en est pas de m£me en
ce qui concerne la derniere equation (10), car H3 est divisible par (3a, mais peut
ne pas £tre divisible par (3-1, de sorteque $ peut s*introduire au denominateur.
16. La fonction F presents une symetrie particuliere dont jrai parle au para-
graphs 9. Elle depend de la longitude de la Lune ?., de Panomalie moyenne du
Soleil w, des longitudes du nceud ot du perigee — wj et — o>2; elle depend e'ga-
lement de la longitude & du perigee solaire, qui est une constants et que nous
avions jusqu'ici supposed nulle par un choix convenable de Porigine des longi-
tudes. Soit alors
e'P COS(«A -h bu -h C't t04 -f- CgO^-f- /ITu)
un terme quelconque; comme la fonction F doit 6tre inde'pendante de 1'origine
des longitudes, on aura
a -H b -i- h =
D'autre part, si nous prenons pour variables u et la longitude u H- BT, nous
voyons que, pour ef= o, F dependra seulement de u -+- t^y, et que plus g^nt^ra-
lement ce sera une fonction de A, des w, de si, dc ef CQSU, de ef s'mu, develop-
pable suivant les puissances de e! cosu et e1 s'mu. On aura done
Do plus, 6*2 sera toujours pair (voir paragraplie 9).
Toutes ces sym(5Lries ne sont pas alterees par les changomenls de variables,
ainsi qu'on le v^rifierait aisement.
Quels peuvent 6tre alors les termes Ha s'ils ne sont pas tous mils? D'abord
on doit avoir
a sss b = o, Ci = Co ^ o,
d'ou
Mais c^ est toujours pair; done
p^4.
Ainsi H3 est nul ou divisible par ef*. Done 0;3 et 9* sont nuls on divisibles
par e]h .
366 LES PET1TS DIVISEURS DANS LA TH^ORIE DE LA LUNE,
17. Que H3 puisse £tre divisible par (32 sans l'£tre par (3:?. il sut'iit pour s:en
assurer de consid&rer les termes dont la caracteristique est (32e'/f£2y2.
II rdsulte de la qu'il y aura des termes a caract&ristique fractionnaire ; mais
cela ne pent arriver taut que H3 et, par consequent 03 sont nuls. Cela n'arrivera
done pas si Pinclinaisoii est nulle, c'est-a-dire si £3 = 733=0. Cela n'arrivera
pas si er=o', cela ne pourra pas arriver non plus pour les termes dependant
de e. Gela ne pourra arriver que quand s'introduira ce que nous avons appel<3
un tres petit diviseur analytique] et en effel les termes de F que nous avons
appel<£s H3 correspondent pr^cis&ment a ces tr6s petits diviseurs analytiques.
Au lieu de (3, nous pouvons introduire la constante in deDelaunay, qui n'en
diff&re que par un facteur constant. Nous n'avons pu conserver dans 1'analyse
prec^dente cette constante w, parce que ce facteur constant ^ depend de la
variable L, ce qui nous aurait g6ne.
Mais 1'exposant de m est ^videmment le m6me que celui de (3. II peut done
devenir ntSgatif. Si done onpoussait assezloin les d^veloppements de Delaunay,
on arriverait a des termes ou m figurerait a une puissance negative. Mais on n'y
arriverait que quand on rencontrerait de tr^s petits diviseurs analytiques, ce
qui7 nous 1'avons dit, ne peut se produire que pour des termes d'ordre tres
3. CJest pour cette raison que cette circonstance a tfchappe a Delaunay.
SUR
LE MOUVEMENT DII PERIGEE DE LA LUNE
Bulletin astronomique^ t. 17, p. 87-104 (mars 1900).
Los tonnes du mouvemeni de la Lime qui ne dependent ni de I'mclinaison,
ni de la parallaxe, ni de PexcentricittS solaire, sont determines paries (Squalions
(0
Ici, on a pos<5
"— 2 my1 -4
n
n — ri
n! etant le mojen mouvement du Soleil Gi'»n celui de la Lune; et Ton a choisi
l'unit<5 de temps de telle fagon que n — nr=i. Quant a •/, c'est la somme des
masses de la Terre et de la Lune.
Si Ton pose
- H- -
r 9.
ces Equations peuveut s'Scrire
et Ton en d^duit rinWgrala de Jacobi
#'2.4. y'2
(2) ^— =s Y! -f- const.
v ' 2
M, Hill a d6termm£ une solution particuli&re de ces Equations; cetle solution
368 MOUVEMENT DU PERIGEE DE LA LUNE.
que je designerai sp<5cialement par x, y, est une solution p&riodique et elle
represente 1'ensemble des termes de degru z6ro par rapport aux deux excentri-
cit£s; a Finclinaisoii et a la parallaxe. Elle correspond a la valeur z<5ro de la
constante d'inteSgration e qui joue le role de Texceiitricite.
D^signons par x + '^y + rh une solution infiniment voisine de la prece-
dente, de lelle sorte que nous puissions n^gliger les carrgs des variations £etvj.
Alors £ et Y] repr^senteront Pensemble des termes qui seront du premier degr£
par rapport a e.
II est clair que > et r) devront satisfaire aux (Squations aux variations
(3) r= 277rr/= p? -4- Q-n, iri'-h 2^?'= Q5-+- R-n,
ou j'ai pos6 pour abreger,
De plus, on d&Iuit do Pintegrale de Jacobi
(4) ^ J'-H rY- ^ ? - ^ 'I - coast.
Ges Equations (3) et (4) permettent de calculer les termes du premier degrtS
par rapport a e et la partie du mouvement du p^rig(5e, qui est ind^pendante des
cxcentricit^Sj de Pinclinaison et de la parallaxe et depend seulement du rapport
des moyens mouvements.
Les equations (3) sont des equations diff&rentielles lineaires a coefficieiils
p^riodiques; le syst&me est du quatrifeme ordrc puisqu'il se compose dc deux
Equations du deuxieme ordre. M. Hill, pour calculer le mouvement du pgrigtk1,
commence par ramener le syst^me au deuxieme ordre et parvient a le rempla-
cer par une Equation unique
/= o,
ou ® est une fonction p^riodique du temps.
Je voudrais indiquer une m&hode par laquelle on pourrait determiner co
mouvement du p^rig^e sans avoir recours a cette transformation.
Pour cela cherchons a nous rendre compte de la forme de Fint6grale g(5n6rale
du syst&me (3). J'ai dit que les Equations (i) admettent une solution p&rio-
dique; en r^alit<5, elles en admettent une infinite (une pour chaque valeur de
m\ aui peuvent s'^crirc -
MOUVEMENT DU PERIGEE DE LA LUNE. 36g
ou 9 el cpi sont des fonctions developpees, d'une part suivant les puissances
de 77Z, d'autre part suivant les cosinus et les sinus des multiples impairs de 7.
Quant a T, c'est la difference des longitudes mojennes de la Lune et du Soleil.
•c = (n — n") (t-h s).
J'ai <5crit les equations (i) en adoptant une unite de temps particuli^re, a
savoir la p<3riode synodique divis^e par 21:; je ne puis le faire si je veux faire
varier m, parce que cela fera varier precis&nent cette periode synodique. Jc
retablis done I'homog&igild et j'ecris les Equations ( i ) sous la forme
x" — 2nry'H — —
y.v
y"-t- 27l' X'-^T- "~ = O.
Mes solutions p^riodiques deviennent alors
contenant deux constantes d'int^gration n et s.
On obtient <§videmment deux solutions particuli^res des Equations aux varia-
tions en diflferentiant par rapport a ces deux constantes. Ces deux solutions
particuli&res sont
dx , ,.dx dy . ,.dy
?1==="" '=~
et
dx
fr-aS-^-^Sr-oTI^
Apr^s la differentiation, je puis supposer. de nouveau n — 7i'=i, d'ou
T = t + s, ce qui donne
dx dy
/ dx , dy
* = ™~m-3SV ^=^-md^'
Outre ces deux solutions particuli&res, la tlitJorie des Equations lin^aircs a
coefficients p^riodiques nous enseigne qu'il en existe une troisi&nae de la forme
suivante :
. P. — vni. 4?
370 MOUVEMENT DU PERIGEE DE LA LUNE.
Les £y el les e'-sont des coefficients constants;/ est un entier, cest 1'exposanl
caract£ristique dont depend le mouvement du perigee; enfin
£ = cost -t- isimr.
Si Ton change T en — T, £ en — £, vj en — 73, les quanliuSs x, r et y se chan-
geront en x, r el — y et les equations ne changeront pas. Nous aurons done
tine quatridme solution
Nous en deduisons une cinquifcmo
= 2s)
Quelles sont les conditions initiates correspondantes ? On a d'abord
Reprenons maintenant liquation (4)? je ^s q110 pour cette solution pai^ti-
culi^re la constante qui figure dans le second membre de (4) doit <Hre nulle. II
suffit, en eflet, de prouver qu'il en estainsi pour les deux solutions parliculi&res
b: ^s el £4, YU- Or la solution ?3, y?3, jouil de cette propri^t^ de se reproduire
multipliee par — (COSCTT + y — i sincTr) quand on change r en T + TT.
Le premier membre de (4) est done multipli£ par le m6me facteur, si apr^s
y avoir fait £ = ^3? YJ = vj3, on change T en T + TT. Comme ce facteur n'est pas
egal a i et que le second membre est une constante, il faut que cette constante
soit nulle ; elle le sera encore, pour la mtoe raison, si Ton fait £ = !;*> r\ = TO* J
et, par consequent, on aura
Pour T = o, F' et F4 s'annulent, et il reste
Mais pour T = o, on a x = r ; d'ou
en appelant #0 et y'0 les valours de x et/ pour T = o.
Comma F et F4 ne sont d^finis jusqu'ici qu'a un facteur constant pr&s? nous
MOUVEMENT DU P^RIG^E DE LA LUNE. 871
pourrons prendre pour les conditions initiales qui definissent compl&tement
ceLte solution parlieuli&re
F'i (0) = S£;(2/ -h I -f- C)
Q
On aura alors
F(rc) = ££/ cos(~-h c-) = — j''0 cos c~,
F'i(~) = Se/(2/-hi-+-c)cos(s -+• c;r) = — ( 3/?i*2#o — — o ) COSGJC.
Ces Equations vont nous fournir un mojen de calculer COS<?TT; il suffit pour
cela de calculer par exemple F(TT).
Observons que P, Q, R sont des fonctions periodiques de T; la periode (5tanL
TT, les developpements proc(5deront suivant les lignes trigonom£triques des
multiples de ar. De plus, par raison de syni6trie, les developpements de P et
R ne contiendront que des cosinus et celui de Q ne contiendra que des sinus ;
soit
P = S Py cos 2/T, Q =* S Q/ sin 2/ T, R = S R/ cos 27 -c.
Posons maintenant
$ = pcos-u-h o- SIUT, YJ = p sin-u — crcos-u;
nos Equations deviendront
(2;^ -+- i)p = P'p -H Q'ff,
= Q'p -4-
en posant
P'= P cos2i -4- 2 Q COST sini: — R sin2T,
Q'= Q(sin2T: — cQS2T)n-(P — RJco
R'= P sinsT — 2 Q COST SUIT -H R COSST,
c'est-a-dire
/w /C
P'= 3/nscos2T -- - -f- 3 -r(# COST -h r SHIT)S.
r* r6
Q'= 3m2 COST sint-i-3 — (J?COST H-JK siiiT)(
R'= 3 rr& sin2T -- - + 3 -_ (x SIHT — y COST)S.
* 8
II est ais6 de voir que (x + iy)%^i^ ($ — ^y)C» ®t par consequent r,
57 COST + ^ sin T, #sinr — j^cosr, et enfin P', Q', R; sont developpables suivant
les puissances de m, m*t? et m2C"2-
372 MOUVEMENT DU PERIGEE DE LA LUNE.
II en rgsulte que si Ton pose
P' = S P; cos 2/7, Q' = S Q; sin 2/7, R' = S R} cos 2/7,
les coefficients P^. , QJ , R) seront d'ordre | 2/ 1, m 3tant regard^ comme du pre-
mier ordre. J'observe de plus que Q'0 est nul.
Ne laissons dans le second membre que les quantity du second ordre ; nos
equations deviendront
"+• 2(m -h i) </— (2 m -h i) p - P'o p =(P/- P'o ) p •+• Q'ff,
II s'agit de determiner F(T) et pour cela il faut chercher une solution parti-
culiere des equations (5), assujetlie aux conditions initiales
(6) P=j'o> p'=5^=o, ff'=3m2^0— £1 (pourT = o).
5?o
Cette solution parliculi^re dt^pendra ^videmment des coefficients P^- , Q^ , Ry .
Un th(5or^me general relatif aux equations Iin6aires nous apprend que notre
solution peut se developper suivant les puissances de P/, Q}, R}, et que le d6ve-
loppement ainsi obtenu converge, quelles que soient les valeurs attributes ct
ces coefficients. En d'autres termes, notre solution est une fonction entiere de
ces coefficients.
Je veux dire que c'est une fonction enti&re par rapport aux coefficients
P' p/ p/
Oj *1? r2? ••->
Q'i, Q's, -•-,
R'0, Rj, Rg, ...,
Mais je d<5velopperai seulement suivant les puissances des coeificients
Pt p'
1> ^25 • • • J
Qi, Qi, .-.,
Rl> ^2J ••-)
qui sont tr^s petits.
Pour cela, je prendrai les equations (5) et j'altribuerai d'abord dans le
second membre les valeurs o a p et a o-; et je chercherai a satisfaire aux Equa-
tions (5,i ) ainsi obtenues et aux conditions initiales (6); j'aurai ainsi une pre-
mi&re approximation pour p et o-. Je substituerai ces valeurs approch^es dans le
second membre; j'aurai ainsi des Equations (5,2) dont les premiers membres
seront ceux des Equations (5) et dont les seconds membres seront des fonctions
connues; je chercherai a satisfaire a ces Equations (8,2) et aux conditions iiii-
MOUVEMENT DU PERIGEE DE LA LUNE. 878
tiales (6), ce qui me donnera une seconde approximation pour p etc-, et ainsi
de suite.
La premiere approximation nous fera connaitre exactement les termes des 7?
premiers ordres du d^veloppement suivant les puissances des Pj, Q}, R).
D'ailleurs PinteSgration des equations (5,i), (5,2), etc., ne presentera aucxine
difficult^, car ce sont des Equations lineaires a second membre, et les premiers
membres sont a coefficients constants.
On aura ainsi le d^veloppement de p, de cr, et, par consequent, ceux de F(r),
F(TT) et COSCTT suivant les puissances des P), Q^, R); ces dtSveloppements conver-
geront tr£s rapidement, car la convergence a lieu quelles que soient les valeurs
attributes a ces coefficients.
11 pourra n^anmoins &tre avantageux de proctSder autrement.
Soient (5 bis) des Equations de m£me forme que les Equations (5); mais ou
les coefficients P}, Q), R), an lieu d'avoir les valeurs particuli&res qu'elles ont
dans les Equations (5), ont des valeurs quelconques arbitraires.
Le syst£me (5 bis) <5tant du quatri&me ordre adraetlra quatre solutions lin(5ai-
rement independantes. Parmi ces quatre solutions, j'en distinguerai deux qui
seront telles que p se change en — p et <r en — c- quand r se change en — r.
D'apr^s les propri^tes gtoerales des Equations lineaires a coefficients p^rio-
diques, ces deux solutions seront de la forme suivante :
p = ?I(T) = Sot/ cos(2y -h q) T3 cr = ^(T) = Sp; sin(2/ -h q) T,
p = 9,(T) = Sa)cos(27 -4- 00 T, cr = ^,(T)= sp) sin ( 2J -h q1) T,
011 q et qf sont des constantes.
Quand les coefficients P}, .. . prenant des valeurs parti culi&res, les equa-
tions (5 bis) se r<3duisent aux equations (5), q se reduit £ c et q* a zt5ro; et
Ton a
^(T) = F(T) COSTH- F^t) SIHT, ^iC^) = ^(T) s^nT — FI(T)COST;
^}2(-u) s= a?' COST H~X sini:, ^(^J = 3* ginT — y* COST.
Le proc£d£ que nous avons Jd(5velopp<5 plus haut consistait a chercher une
solution des Equations (5 bis) de la forme suivante :
(7) P = A?I(T) -f- B?S(T), a = A^(t) H- B^(T),
a determiner les coefficients constants A et B de fagon a satisfaire aux condi-
tions initiates (6) et £ d^velopper la solution ainsi d&finie suivant les puissances
des P, . . , ,
3j4 MOUVEMENT DU P^RIG^E DE LA LUNE.
Nous pouvons aussi envisager la solution
(7 bis) p = Ao1('u), er= A.<JJI(T),
et determiner le coefficient A de telle facon que
la condition unique (6 bis) remplacant les conditions (6).
Les deux solutions (7) et (7 bis) sont identiques quand les coefficients
P} ..... prenant des valeurs particuli^res, les equations (5 bis) se rt'duisent aux
Equations (5) ; mais l'identit£ ne subsiste plus pour les autres valeurs des Py, —
Nous pouvons alors nous proposer de d<3velopper suivant les puissances des
P}, .. ., non plus la solution (7), mais la solution (7 bis)} ce d^veloppement
representera encore y\ COSCTT, quand 011 y fera T — TT et qu'on donnera aux
Pj, . . . , les valeurs particuli£res qui correspondent aux Equations (5).
Gherchons a nous rendre compte de la forme du d^veloppement ; supposons
qu'on ait d£velopp<3 les A a/ et q suivant les puissances des P), . . . ; soient qQ et
q\ les valeurs des nombres q et q1 pour
On voit que le d<5veloppement de cos (ay + ^)T pourra s'^crire
005(2,7-1- ^)-c = cos(2/-h^0)"— ^ sin(2
1.2
de sorte que le d^veloppement de Acpi(T) devra contenir seulement des termes
de Tune des deux formes
(8) T2* cos (a/ -+- ^0)-c, tzk+± sin (ay
Voici alors comment nous devons op^rer pour former efiectivement le d^ve-
loppement en question. Remplagons d'abord p et o* par z<3ro dans les seconds
membres des Equations (5 bis) ou (5), nous obtiendrons les Equations (5,i)
dont la solution g6n£rale est
p = A eos <?0T -f- AI &in q* T •+• A2 cos ^ T •+• A3 sin q'$ T.
Nous prendrons Aj = A2 = A3 ==o et nous choisirons A de fagon a satisfaire
a la condition (6 bis). Nous aurons ainsi une premiere approximation pour p et
nous en d£duirons or. Nous substitueroas ces valeurs approch^es <Je p et de <r
MOUVEMENT DU PERIGEE DE LA LUNE. 876
dans les seconds mcmbres dcs equations (5) el nous oblieiidrons ainsi les
Equations (0,2), dont la solution generate esl
p = H-t- A COS^OT •+- A! sin^o1^ -4- A2
ou H cst un ensemble do termes de la forme (8) et les A des coiistantes arbi-
Iraires. Nous prendrons Ai = A2=A3=o et nous choisiroiis A de facon a
salisfaire a (6 bis). Nous aurons ainsi une seconde approximation pour p el
nous en deduirons o-; et ainsi de suite.
On voit qu'a cliaque approximation, on choisit les conslanles arbitraires de
facon a satisfaire a la condition (6 bis) et a eviter Introduction dans Pexpres-
sion de p de termes de la forme sin q^, cos^r ou sin q^.
Le dt^veloppement obtcnu par ce nouveau procedtS n'est pas identique a celui
que nous avons d'abord envisage; il n'y a done pas de raison pour qu'il resle
convergent quelles que soient les valeurs attributes aux P], .... Mais la
convergence n'cn est pas moins suffisamment rapide, a cause de la pelitesse de
ces quantit^s P^, et la forme de cliaque terme est notablement plus simple.
Les proc£de~s de calcul que nous venons d'exposer ne seront sans doute
jamais employes pour le calcul num&rique; sous ce rapport ils lie prgsentent
que peu d'avantages surla m6thode de M. Hill, et ce savant a d'ailleurs pous$<3
le calcul a un lei degr6 de precision qu'il n'est pas probable que personne songe
jamais a le reprendre par un proc£d<5 nouveau. Mais ces proce"de"s n'en sont pas
moins miles a connailre, car ils peuvent servir a mettre en Evidence certaines
propri^t^s du nombre c consid^r<5 comme fonction de m.
2. Reprenons les Equations ( i ) du paragraphe 1 et observons que Ton peut
les 6crire
dx _ £F dX __ ^F
di "" ^X3 ~di "~"~ dx*
dy dF dY dF
^^5YJ Tt^^^
en posant
Les Equations ( i ) prennent ainsi la forme canonique des Equations de la
Dynamique.
Les Equations (3) du paragraphe 1 sont les Equations aux variations
376 MOUVEMENT DU PERIGEE DE LA LUNE.
des equations ( i ) ; elles jouissent done des proprie'le's des Equations aux variations
des equations de la Djnamique.
Rappelons ces proprie'te's. Soient
#1, #2, -.., #«,
rij y^ • >•, y*
les deux series de variables conjugue'es; soient
^EI — ^L d?1 — clF
dt dyt dt ™" d%t
les equations canoniques. Soit (a?,-, jv) une solution particuliere de ces
Equations; (#/+£/, J^-t-TJi) une solution infiniment voisine. Les £ et les yj
satisferont aux Equations aux variations
Soient 4?, yjj et Ej, vjj- deux solutions particulieres de ces Equations aux
variations. On aura
S(??rli--ei 7!?) = const.
Appliquons ce principc a nos Equations (3); nous verrons que nous devons
avoir
5i(52 — >mrio) — ?2(5i — /»YII) -H ra(7)2 -h /n fa ) — '12 ( Vi -*- ^?i) = const.,
ou bien
(9) (Ei fa — Es£i)-H(nii)« — TisVi) -*-2m(irii |2— Ta2?i) = const.
La m^me relation devra subsister si Ton remplace un des indices i ou 2
ou ces deux indices par Tindice 3 ou par Findice 4-
De'signons, pour abr^ger, par (i, 2) le premier membre de la relation (9)
et, le plus ge'ne'ralement, par (z, k) une expression analogue ou les indices i et 2
ont 616 remplace"s par i et k.
On aura alors
?'— . ^y ) = const.
Cela peut s'e'crire aussi, en changeant les signes,
- const.
et nous retrouverons ainsi F^quations (4) du paragraphe i.
MOUVEMENT DU PERIGEE DE LA LUNE. $77
Si Ton fait /r=i, le premier membre est identiquement nul; je dis que
pour & = 3 ou 4 la constante du second membre doit toe nulle.
II est clair en efiet que (i, 3) est multiplies par — COSCTT — ism CTT el ( i, 4)
par — COSCTT-H zsincTi quand on change 7 en T-J-TT. Et comme ce facteur
n'est pas tSgal a i, il faut bien que la constante soit nulle.
Au contraire, (i, 2) est <3gal a une constante qui ne peut 6tre nulle. Car si
les quatre expressions (1,1)5(1,2), (i, 3) el (i, 4) ^taient nulles, a la fois,
on aurait quatre Equations d'ou Ton tirerait
?i=*ii=Fi = Vi = °.
Consid(5rons maintenant les expressions (2, i), (2, 3), (a, 4)- Nous avons
evidemment
(dx dye
*kd^i "I"71*^T
dx , dy\ /„ dy dx
Nous n'avons pas a nous inquirer de (2, 2), qui est identiquement nul;
et si nous nous rappelons que (i, i), (i, 3), (i, 4) sont nuls, nous pourrons
<*crire
- (2, k) '
On verrail alors que (2, i), (2, 3)? (2, 4) se reproduisenl multiplies
respectivement par i , — COSTTC — i sinvrc, — COSTUC +z sinTrc quand on changer
en T + TT, et 1'on en conclurait, comme plus haul, que (2, 3) et (2, 4) sont
Nous savons d'ailleurs que (2, i ) = — ( 1,2) n'est pas nul.
II reste & envisager 1'expression (3, 4)= — (4? 3), qui doit £tre
a une constante.
Je dis que cette constante n'est pas nulle. En efiet, (3, 3) est identiquement
nulle. Nous venons de voir que (i>3) ct (2,3) sont nulles. Or les quatre
expressions (i, 3)? (2, 3) (3, 3) (4? 3) ne peuvent &tre nulles a la fois, sans
quoi 1'on aurait quatre Equations d'ou 1'on tirerait
Done (3, 4) = — (4» 3) n'est pas nulle. c. Q. F. D.
II r^sulte de 1& que £3, v}3 et ^4, ^* satisfont aux Equations
^a?'-h -n'y = 5(^—2^7') H- r^y-i- 2 mx1^
(10) >rdx ,dy ^/dxf x dy\ ( dyr f dx\
' V -- h-n -r- =? ( -s ---- im-£- ) 4- i\ [ -f -- ^- H-sm-r- ) •
dm dm \dm m dm) \dm in dm J
H. P. - VIII. 48
378 MOUVEMENT DU PERIGEE DE LA LUNE.
Gcs equations formenl un systeme du second ordre d'dqualions lineaircs
a coefficients periodiques. On pourrail s'en servir pour determiner le mouvement
du perigee; car le calcul des series -j^- et -j-- pent se faire avec la me" me
facility que celui des series x et y .
Je me propose de montrer dans un autre article comment on pourrail
imaginer une methode d'approximations successives ou le le calcul des termes
d'ordre superieur, par rapport aux excen trie he's et a I'inclinaison, serail
ramene a Pintegration d'equations lineaires a second membre, dont le premier
membre serait la difference des deux membres des Equations (10). On aurait
ainsi affaire a un systeme de deux equations line*aires a second membre
du premier ordre^ qui pourrait remplacer le systeme ( i ) considere plus bas
du paragraphe 3, lequel est un systeme de deux equations lin&ures a second
membre du second ordre.
3. Les relations, mises en Evidence dans le paragraphe 2, peuvent fournil
d'interessanls procedes de verification, mais elles sont susceptibles aussi
d'une aulre application sur laquelle je desirerais attirer 1'attention.
Le calcul des termes qui sont proportioneels a la parallaxe on a Texcenlricite
solaire et le calcul des termes d'ordre sup^rieur se ramenent a Pint6gration
des equations a second membre
ou A et B sont des fonctions connues de T, developpees en series trigono-
metriques.
Pour etudier Fintegration des equations (i), occupons-nous d'un probl&me
un peu plus general. Soient
deux series de variables conjuguees ; formons les equations canoniques
/ \ dXi oLV' dL'V-i diF
r v ww^ __ «r-. ^".F I ~~ ^_
Soient fy et rn les variations de xt et y/ ; formons les equations aux variations
d*F
dt
dt\t _ YI d* F
^ """" 7
MOUVEMENT DU PERIGEE DE LA LUNE. 879
Considerons 211 solutions particulieres de ces equations (3) et ecrivons-les
(4) & =£/./» u
Posons
(P* %} =
nous aurons, d'apres le paragraphe precedent,
(P- #) = const.
11 est clair que nous pourrons choisir les solutions particulieres (4) de telle
facon que
et que les (/?, q) soient mils si les deux nombres p et q ne sont pas 1
un nombre impair et Fautre le nombre pair qui le suit.
Cela post?, nous envisageons les Equations a second membre
un
ou les A/ et les B/ sont des fonctions connues de t.
Multiplions les Equations (5) par r,/.7> et — Zi.p; multiplions, d'autre part,
les Equations
"3
par — fit, fy> 6t ajoutons toutes les Equations ainsi obtenues, il viendra
Le second membre, £tant une fonction connue, nous aurons Imm^diatement
par quadrature
(6)
les Cp ^tant.des fonctions connues. II reste a re*soudre les 272 Equations (6)
par rapport aux 27^ inconnues g/ et TQ/.
Pour cela, posons
380 MOUVEMENT DU PERIGEE DE LA LUNE.
les equations (6) deviendront
ou, a cause des valeurs particuli&res des constantes (y, /?),
F%p
d'ou les formules
qui donnent la solution g&i^rale des Equations (5) par de simples quadratures.
Appliquons cette m^thode aux Equations (i) et, pour cela, observons
que ces Equations peuvent se mettre sous une forme analogue a celle
des Equations (5).
Posons, en effet,
X =s x* — my, Y = y'-+- mx^
les Equations ( i ) du paragraphe 1 pourront s'ecrire
dx_dF^ dy _ dF
Les Equations (3) du paragraphe 1, qui sont les Equations aux variations
des Equations ( i ) du paragraphe 1 , s'(5criront
en appelant
6, 1,
les variations de
*> y> x? Y? 5' ••••
Les Equations ( i ) du paragraphe 3 s'tScriront alors
__^F
X/T
(8)
di dx ' dt dy
at sont ainsi ramen^es i la forme (5),
MOUVEMENT DU PERIGEE DE LA LUNE. 38 1
Les equations (3) du paragraphe 1 admettent quatre solutions distinctes,
que nous avons representees par des notations
Nous avons vu que les expressions (i, 3), (i, 4)? (2? 3), (2, 4) sont nulles,
tandis que ( i, 2) et (3, 4) sont des constantes differentes de zero.
Gomme les solutions £p, Y^, ne sont determinees qu'a un facteur constant
pr&s, nous pourrons disposer de ce facteur de telle facon que
Si alors nous posons
de telle sorte que
(Pi #) = ?/> ^Xy — ?7 <>Xj
nous serons conduits par analogic avec le cas des equations (5) a poser
GP= E3X,— tp 8X -+• -r\ Wp — f\p o Y,
et alors nos equations (8) nous donneront
//f!_
(9)
nous aurons done les formules
(10)
7J s— TJjj Oj[ — • 1^1 C<2 -{- TQj(, Og — - Tjg (jj.
analogues aux formules (7).
On observera que A et B sont des series trigonometriques; il enest de m6me
de £1? Yji, £3, vj3, ^, V34 et par consequent, de
j/i x7/^ *JC*
Ct(jti «U3 £KL<{,
W"C fl5T ttT
^"/P /'/f* //P
Le calcul pourra toujours 6tre dirige de telle facon que * 3 *
ne contiennent pas de terme tout connu et, par consequent, que GI, G3 et G4
soient encore des series trigonometriques.
II reste a examiner G2-
On a
Ei ==5?', fii=y'>
d& dfY
^=^'-m—, ^2==,r_m__
382 MOUVEMENT DU PERIGEE DE LA LUNE.
et, par consequent,
dC* dd I A dx „ dy \
- r — T ___J H- /?& ( A -^ -- h B -~- ) -
dt dt \ dm dm)
Si done nous posons
C, = TC1-4-C'2,
on aura
dG'» n / A dx _> dy \
-f-fi = — Gi -+- m ( A -j -- H B -7^- ) •
^T \ <f/?i dm)
Lc second membre est une s£rie Irig'onomelrique; conime Ci n'esL d(5fini
/r1
que par sa deriv^e -^rri c'est-a-dire a une constanle arbilraire pres, nous pouvons
toujours disposer de cette constante arbitraire de telle fagon que ceite s^rie
trigonome"trique ne contienne pas de ierme tout connu.
Alors C'2 sera aussi une se>ie trigonome'trique et nous aurons
(10 bis)
= — m - d — a:' G'2 -I- $4 C3— & CA,
dm
^
i = — m - G i — y G'o H- T] ^ G j — irj 3 C i. ,
funnules qui donnent ^ el v? sans autre calcul que des multiplications de series
trigonome'triques et des quadratures de series trigonome"triques.
Gette me'tkode est en somme celle qui a 6te~ appliqu<5e avec succ^s par
M. Brown, pour le calcul des termes de 1'ordre le plus eleve" ; mais il n'<5tait pas
sans inte*r6t de la rattacher a des principes
SUR LE DETERMINANT DE HILL
Bulletin astronomique, t. 17, p. i34-i43 (avril 1900).
On sail que M. Hill a rameng lo calcul du mouvement du perigee de la Lune
a Pintegration de liquation suivante :
(I)
Oil
0 = 60-f- 20i COS2-C -h 26-20034^ -h. . .,
les 0/ etant des coefficients constants. D'une equation de la m&ne forme
depend le mouvement du noeud.
On cherche A satisfaire a cette Equation en posant
n etant un entier positif on n^gatif et c un nombre qu'il s'agil de determiner
el donl depend le mouvement du p£rigt$e.
Cela nous donne les Equations lin^aires en nombre infini :
(2) MBo— (*n -4- ^)2] •+• ^p*n~p t>+p = 0.
Sous le signe 2, p doit prendre les valours
zfci, ±2, ..., ad Inf.
el Ton suppose
6-,-e,.
On sait que M. Hill, pour determiner c, envisage le determinant d'ordre
infini deduit des Equations (2). Num6rotons les lignes et les colonnes de ce
determinant, qui s'^tend i 1'infini dans les deux sens de fa^on que la ligne
384 LE DETERMINANT DE HILL.
(ou la colonne) centrale soil numerotee zero, et qu'a partir de l£ les autres
lignes (ou colonnes) soient numerotees successivement d= i, ±2, etc.
L'element du determinant qui fera partie de la fiikmo ligne et de la /?i6mc colonne
sera :
i° Si n ==p, c'est-a-dire sur la diagonale principale, 00 — (%n + c)2;
2° Si /£</?, c'est-a-dire en deliors de la diagonale principale, 0/i_yj.
Oulre ce determinant, on aura a en envisager deux autres anologues.
Le premier, quo M. Hill appelle v(£), est celui des equations
Je designe par * une indeterminee quelcunque; on voit que pour £ = c
les Equations (2 bis) se r(5duisent aux equations (2) multiplies par un facteur
constant.
Les 6l4ments du determinant y(£) sont done :
pour n=p,
pour /i>/>,
4/12—1
Je consid^rerai ensuite le determinant que j'appellerai D (£) ^L qui est celui
des Equations
Ces Equations (2 ter] ne different des Equations (2 few) que par un facteur
constant.
Les elements du determinant D (^) sont done : pour n=p, i ; pour n^p,
_ &n—p _
(271^5)2-00*
On remarquera que, pour \ = o, ce determinant se r^duit a ce que M. Hill
appelle D (o); en revanche, pour £ =\/0o, il ne se reduit pas a ce que M. Hill
appelle Q (\7B|>).
LE DETERMINANT DE HILL. 385
M. Hill adinet sans demonstration que ces determinants d'ordre infini
convergent et, en se contenlant d'un simple aperc.u, que
Sin2(fc)
V ' =D(o).
Dans le tome II des JMethodes de la Mecantque celeste^ j'ai donne de ces
deux propositions une demonstration rigoureuse, mais celte demonstration
est assez compliqiuSe et fait appel a un theoreme de M. Hadamard qui appartient
a la partie la plus delicate de la theorie des fonclions. II y a raoyen de simplifier
cette demonstration.
Je commence par en rappeler rapidement la premiere partie, sans y rien
changer d'essentiel.
Le developpemeiit d'un determinant d'ordre infini oti tous les Elements
de la diagonale principale sont 6gaux a i
<3L_i I d i CZ'>
. . . 6-2 b—l I &1
conduit a une serie iiifinie dont les lermes peuvent s'obtenir de la facon
suivanle : on consid^re le produit infini
. ..( r -f- «i-(- «a -f-...
on d«5veloppe ce produit et Ton aflecte chaque terme de 1'un des coef-
ficients o, -H i ou — i . *"
Je d^signerai pour abreger ce produit par
Au lieu du produit II, je puis consid&rer le produit
ll'=...(i-HS|a|)(n-ai^[)(n-S|c|)...l
en rempla^ant chacun des a, fe, c, . . . , par sa valeur absolue.
II est clair :
i° Que tous les termes du produit IF sonl rtSels et positifs;
2° Que chaque terme de II' est egal a la valeur absolue du terme corres-
pondant de n, de sorte que pour obtenir le determinant il suffit encore :
H. P. — VIII. ' 49
386 LE DETERMINANT DE HILL.
Si les a, b, c, . . . ; sont reels, d'affecter chaque terme de IT de Tun
des coefficient o, •+- 1 ou — i ;
Ou, si les a, &, c, ..., sont imaginaires, d'affecter chaque terme de IT
d'un coefficient dont le module est o ou i .
Ainsi la convergence du produit II7 entraine celle du determinant.
D'autre part, si 1'on developpe 1'exponentielle £S'rtI, suivant les puissances
croissantes des |a[, on obtiendra tous les termes du polynome i + 2|#|
et d'autres termes encore qui seront reels et positifs.
Si nous d^veloppons 1'exponentielle
nous obtiendrons tous les termes de IP et d'autres encore qui seront reels
et positifs.
Pour obtenir le determinant, il suffit done de ddvelopper E et d'affecLer
chaque terme d'un coefficient ayant pour module o ou i .
Si la
converge, il en sera de m&me de la serie obtenue par developpement de E et,
par consequent, du determinant.
Si les a, les 6, ... dependent d'une variable quelconque et si la convergence
de la serie S est uniforme, la convergence de la s6rie E et du determinant sera
egalement uniforme.
Appliquons ces principes au determinant n (^) I la serie S peut alors s'ecrire
(271 -f-|)2— 00
*
Le premier facteur a2|6/| est evidemrnent convergent. Le second facteur
converge egalement, a moins que Ton ait
Si dans le plan des £ on entoure chacun de ces points singuliers
£ — — 2/1 ± y/®Q par une petite courbe fermee et que 1'on considers le domaine
situ<§ en dehors de ces petites courbes fermees, ce second facteur convergera
uniformement dans ce domaine. Done, dans ce domaine, p (g) convergera
absolument et uniformement.
Comme chacun des termes du developpement de Q (^) est line fonction
analytique de |, D (5) sera ^aas <& m^nie domaine uae fonction analytique.
LE DETERMINANT DE HILL. 887
Cetle. fonction sera uniforme, puisqu'elle est c;ntieremeiit determines quand
on se donne £, elle ne pcul avoir d'aulres points singuliers que les points
Je dis que ces points singuliers sont des pdles simples.
En effel, supposons que £ tende vers — zj -f- \ 00> — j etant enlier.
Envisageons le produil II' dont les divers facteurs sonl ici lous de la forme
Quand £ tendra vers sa limite, tons ces facteurs resleront finis, excepte
le facteur
2 s | e* |
1-4-
Soil H^ le produit obtenu en supprimant dans II' ce facteur el Si la serie
obtenue en supprimant dans S les terme correspondants, c?est-a-dire ceux qui'
contiennent ce d(5nominateur (ay+E)2 — ©o- La s^rie Si convergera m^me
quand | atteindra sa limite ; et, comme oh a
on voit que
reste fini quand £ attaint sa limite. Done
reste fini et, comme D(£) est toujours plus petit que n en valeur absolue,
le produit
restera fini, ce qui montre que le point singulier est un p6le simple.
La fonction D (fy esl done m^romorphe.-
Comme la convergence est absolue, on peut intervertir 1'ordre des lignes
et des colonnes du determinant. Or, changer £ en £+2, ou £ en — £, cela
revient a une semblable interversion.
Done D (0 ftfc change pas, soit quand on change £ en £~H2> soit quand
on change ^ en — £•
La fonction D (£) s'annule pour ^==c, puisque pour ^ = c, les equaliuns
388 LE DETERMINANT DE HILL.
(2 ter) ne different pas des equations (2), qui doiyenl 3lre satisfailes a la fois.
A cause de la periodicite de la fonclion, elle s'annule egalement pour
5 = 2 /l-H 6'
et, comme la fonction esL paire. pour
En resume, DlS) 6bL une fonclion meromorphe de £; de plus, elle esL
periodique a\ec la periode 2 el. ne change pas quand on change £ en — £.
Envisageons maintenant 1'expression
cos*? — cosrcc
C?esL encore une fonction meromorphe de £. Le premier facLeur devienl infini
pour £=2ft:±y005 mais alors COSTT> — cos7r^/00 s'annule et, comme
Pinegalite (3) montre que tous nos poles sont des poles simples, la fonction
resle finie. Pour £ — 271 ±c, le denominateur COSTT^ — COSTTC s'annule;
maisD (I) s'annule 6galement et la fonction F(£) reste encore finie.
Done F(^) est une fonction entiere.
Comment se comporte-t-elle quand | £ | augmente iiidefiniinenl? Comme
la fonction est periodique, il suffira de donner a ^ des valeurs dont la partie
reelle reslera comprise entre o el 2; si Ton partage le plan des £ en bandes
par des droites paralleles e*quidistanles, perpeiidiculaires a 1'axe des quantiles
rtielles, et que 1'equidistance soil egale a 2, les valeurs dont il vient d'etre
question seront comprises dans Fune de ces bandes. Et il est clair que dans
les autre bandes la fonction periodique F(£) reprendra les m&mes valeurs.
Si la variable £ reste dans cette bande, elle ne pourra croitre indefmiment
sans que sa parlie imaginaire croisse indefiniment. Or il esl clair que, quand
la partie imaginaire de \ croit indefiniment, 1'expression
tend vers ze"ro. Chacun des elements du determinant D (^) tend done vers
zero, sauf les elements de la diagonals principale. Chacun des termes
du develbppenient dc cc determinant tend done vers zero* sauf un seul terme
qui reste egal a i. Comme la convergence du determinant est uniforme,
cela veut dire que le determinant tend vers i .
LE DETERMINANT DE HILL. 38$
D'autre part, cosir? tend vers 1'infini, de sorte que le rapport
cos rc jj — cos w V^o
cos ^J — COSTCC
tend aussi vers i. Done F(!-) tend vers i. Ainsi F(£) est une fonclion entire
qui tond vers i qimnd E croit indefiniment. Elle est done finie dans tout
le plan. CVst done une eonstante, el comme
limF(!j)=:i (pour £ =00),
cette constants ne peut 6tre que i .
On a done
c'est-a-dire
= eoflgg —
cos 37* —
C. Q. F. D.
Nous savons que le determinant V(^) est une fonetion enti&re de 0^, 0i, . . .,
il est ais^ de se faire une id£e de la rapidit£ avec laquelle converge le d^velop-
pement de ?(1L) suivant les puissances de ces diflferentes variables. Les principes
pr^c&Ients permettent en eifet de reconnaitre que chacun des termes de ce
d^veloppement est plus petit en valeur absolue que le terme correspondant
du produit infini
Sous le signe 2, Tindice A' de 0// doit prendre toutes les valeurs entires
positives, negatives ou nulles.
Or ce produit est ais£ a calculer, Posons 2 1 %• | = — Q2 ; je vois que les z^ros
du produit sont
ce sont done les m£mes que cenx de COSTI — cosTiQ. Le produit est done £gal a
A (cos^E — cosrcQ),
A ne dependant que de Q. Faisons £ = o ; il vient
3go LE DETERMINANT DE HILL.
Or le premier membre peut s'ecrire
a _.;^^Q.
= sin*^.
2
2
Dans ces derniferes equations, on donne a /i, sous le signc II, les valours
positives + 1,4-2, . . . , #rf m/. On a done
Le terme general du developpement de y(£) suivant les puissances
de 00? ®i3 . . ., est done plus petit que le terme correspondant du de\elop-
pement de
2 ~ 2 4 4
Cela permet de se rendre comple de la rapidite de la convergence
du determinant de Hill; on I'appr^ciera mieux encore si Ton se rappellc
que de nombreux termes manquent dans le determinant, landis que les lermos
correspoiidanls figurenl dans le produit inflni auquel nous le comparons.
On remarquera que le determinant que j'appelle v(5) n'esl- Pas LouLi fait
le ni^me que celui que M. Hill dt^signe ainsi; pour passer de Tuna Taulre,
il faudrait multiplier tous les t&5ments par 4« Ce facteur 4 n'a (5te iiitroduit
que par inadvertance, puisqu'alors le determinant deviendrait infini; je crois
avoir, <in supprimant ce facteur, r^tabli la veritable pens^e de M. Hill.
II est ais£ de voir que
ou par un calcul de tout point semblable a. celui qui
(t\ — C°S?C^ — COS7C ^° COS3r£~" COS TUG
Dans le chapitre eite (XVII) des Nouvelles wAthodes de la M&canique
celeste (t. II), j'ai designt6 par ^(^) un autre determinant, a savoir celui qu'on
deduit de D (^) en multipliant la ligne num^rotee z«5ro par E,2 — 007 et la
(TJ>O) par (S"f"2);^e% d'ou
LE DETERMINANT DE HILL. 3gi
Or
±l^ = A (cos*? - cos* V/eo),
A 6tant independent de J- et de 0o ; d'oii pour !• et ®0 infiniment petits
?*— 60=2A sin ^ (? -+- v'6«) sin- (V'BO — ?)
ou
d'oft
et enfin
V(?)= zt (cos* v^o— .cos*?).
CINQUIfiME PARTIE. - THEORIE DES PLANfiTES.
SUR LA DETERMINATION DES ORBITES
PAR
LA MtfTHODE DE LAPLACE
Bulletin astronomique, t. 23, p. 161-187 (mai r906)-
Introduction : choix de 1'epoque.
Bien que la metliode de Laplace soil tombite dans un injuste discredit.
elle me parait presenter certains a vantages, dont le principal est la facility
de se servir de plus de trois observations; c'est ce qni me determine a publier
quelques reflexions qu'elle m'inspire.
J'einploierai les notations suivantes :
J'appellerai X, Y? Z les coordonnees heliocentriques de la Terre; x, y, z
celles de la plan^te; p la distance Terre-PlantJte; ^, rj, £ les cosinus directeurs
du rayon vectenr Terre-Plan^te, de telle facon que les coordonnees geocen-
triques de la plan^te seront p£, pvj, pC ct que Ton aura
J'appellerai r la distance Soleil-Plan£te et R la distance Soleil-Terre.
Le mouvement de la Terre £lant connii, X, Y, Z? R peuvenl £tre regardes
H. p. — vilL 5o
3g4 DETERMINATION DES ORBITES PAR LA METHODS DE LAPLACE.
comme connus ainsi que leurs d<3riv6es des diff^rents ordres. On observe^ TQ,
a trois <5poques, et Ton trouve
A 1'epoque
Des trois valeurs de £, on deduit par interpolation la valeur de £ et celles
de ses deux premieres derives £' et £" a une certaine (§poque £; et Ton fait
de mdme pour r\ et pour £.
Les forraules d'interpolation nous donnent
1 ;
On voit que £ se prt$sente sous la forme d'un polynome du second degr6
en ^, de sorte que £' se r^duira ^ uii polynome du premier degr6 et £" ^ une
constante.
Quelle est Ferreur commise par 1'emploi des formules (i)? La partie
la plus importante est tSvidemment celle qui provient des termes du troisi^me
ordre en t qui sont les premiers termes n£glig£s.
La formule ( i ) nous donne Tunique polynome du second degr<5 qui prend
les valeurs £t, £a, £3 pour t=ti: £=£$, t=t%. Si nous voulions satisfaire
a ces m6mes conditions par tin polynome du troisi&me degr6, il faudrait
ajouter a la formule (i) un polynome du iroisiSme degr^, s'annulant pour t = ti,
£111
t~t%, t = t<A ; ce- polynome serait 6videmment de la forme ^-H, en design-ant
par gw la d(§riv(5e troisi^me de £ et en posant
Ainsi 1'erreur commise sur £ sera sensiblement -^-H, 1'erreur commise sur £'
Cff/ C'"
sera sensiblement ^-JI' et Ferreur commise sur £;/ sera sensiblement VHA/,
b o
Les ^poques des observations sont tr&s voisines et F^poque t doit £re choisie
voisine des observations; done £, ^i, £2) ^3 sont tr^s petites. Or II est homog^ne
du troisi^me ordre, IF et IT7 homog^nes du deuxi&me et du premier ordre
par rapport & ces quatre quantitgs.
Done Ferreur sur £ est du troisi&me ordirey Ferreur sur % du deuxi&me ordre,
Ferreur sur g* du premier ordre.
(J) Plus gea^ffalemetit nous affecterons de l*indice i, 2 ou 3 les valeurs des diverses quaatites
aux e^poques t15 f, on ^3; ainsi Xt on pt repr^seatera la valeur de X ou de p pour t •= tr
DETERMINATION DES ORBITES PAR LA METHODS DE LAPLACE. 896
Quel est le meilleur choix £ faire pour Fepoque t ? On prend ordinairement
FtSpoque de Fobservation moyenne, de sorte que Ferreur commise sur H
esL nulle.
Mais il vaudrait mieux choisir t de lollo facon que IF:=o, c'est-a-dire
prendre la moyenne aritlimgtique des <Spoques des trois observations
t = |(*i + *a-H*a).
II vaut mieux sacrifier Ferreur sur £ qui est du troisi&me ordre a Ferreur
sur ?" qui est du premier ordre. Les deux avantages sont reuiiis quand
les observations sonl £quidistantos, mais 011 n'observe pas quand on veut,
.on observe quand on pent.
Nous supposerons done toujours que t a <3ttf choisi pour que IT' soit nul.
Dans ces conditions, Ferreur sur % s'abaisse au deuxi&me ordre; si nous
voulons FtSvaluer, il faut tcnir compte des termes du quatri^me degr<5 en t\ si
nous voulons satisfaire aux observations par un polynome du quatri&me degre,
il faut ajouler a la formule ( i ) un polynome ( ^7 1 4- a j II, ou ^IV est la derivtSe
quatri^me de |, et a une constante. L'erreur commise sur £" est la deriv<'ie
seconde de cette expression, c'est-a-dire (puisque II" est nul) ^-11'.
Aiiisi done, si nous appelons o£, 3^, Sf les corrections a apporter a E, H;, ^',
nous aurons (en negligeant les termes du troisieme ordre)
(2) 8g = o, 35'= fir, sr=^ir.
I. — Premiere approximation.
En tSgalant les deux valeurs de Faccete ration, on obtient les Equations
(3)
Comme il ne s'agit encore ici que d'un dt5veloppement analytique et que
nous ne nous proposons pas pour le moment de mettre les formule sous une
forme imm^diaiement accessible au calcul, nous avons suppose que les unites
aient ^t^ ctoisies de fa^oa que la constante de Gauss soit 6gale & i .
896 DETERMINATION DBS ORBITES PAR LA METHODS DE LAPLACE.
Ajoutons les equations (3) apr£s les avoir multiplies par les mincurs
de la ma trice
? r
il viendra
(4) ?i?rri =
Je n'ecris que la premiere ligne de chaque determinant; j'ecris par exemple,
au lieu de
E ?' ?"
tj 7)' <
*• y xff
•a SB *
L/equalion (4) pent £tre jointo a liquation
(5) r2 = p2— 2RpcosT-h R2,
ou T est Tangle sous lequel on voit de la Terre la distance du Solcil
a la Plan£te, de sorte que
Je n'ai pas a rappeler ici comment les deux Equations (4) et (5) perm el tent
de determiner p ct ;*; comment on peut les ramoner soit a la forme d'une
Equation unique du septi&me degre en p, soil a la forme
M sm^z = sin(^ •+• to).
II est aise de voir quelle est Interpretation geometrique de 1'equation (4);
il suffit de clioisir des axes particuliers, de prendrc pour axe des x le rayon
vecteur Terre-Plan£te et faire passer le plan des coy par la vitesse relative
de la PlanSte par z^apport a la Terz*e.
Dans ces conditions, on a
•
71 = '
ou 9 d^signe la vitesse du point £, 73, ? sur la sphere celeste; tandis que a
represents Fangle du rayon vecteur avec le plan osculateur a la trajectoire
DETERMINATION DES ORBITES PAR LA METHODS DE LAPLACE* 3g7
de ce point £, YJ, £, de telle facon que le rayon de coiirbure de cetle trajectoire
esl e gal a cos a,
Si nous appclons de plus cp Tangle du plan PTS avec le plan des xy,
1'equalion (4) pourra s'ccriro
Reprenons mainlenant les equations (3) eL ajoulons-les apres les avoir
multiplies par les mineurs de la malrice
X 5
Y TI
Z C
il viendra
(6) 2p'|erX| +
Avec les axes particuliers que nous supposions lout a 1'heure, elle s'6crirait
Ajoutons enfin les equations (3) apres les avoir multiplies par £, v?,
il viendra
Rappelons en effet que, ^, 73, 5 etantdes cosinus directeurs, le point £} y?j
d<5crit une courbe sph^rique, de sorte que Ton a
Calcul des elements. — Ayant ainsi calcule, en premiere approximation,
p3 pf et pff, il est ais£ d'en deduire les valeurs des Elements ; nous avons d'abord
ce qui montre que les coordonndes h(iliocentriques sont des polynomes
du premier degr£ en p.
Quant aux vitesses, on a
^=X'+Pr-*-p'«,
X', £' et I sont connus. Done d est un polynome du premier degr^ en p et p',
et, comme le rapport de pr ^ p est connu par liquation (6), c'est un polynome
du premier degr6 en p.
898 DETERMINATION DES ORBITES PAR LA METHODE DE LAPLACE.
Le carre" de la vitesse a!* + y] * + -c'a est e>id_emment e"gal a
2 x'2+ 2 p s X' S'-H 2 P' s X' ? -f- p2 s ?'2-^- p'2 ;
c'est done un poljnome du deuxie-me degre en p.
Les equations (4) et (5) nous domienl -^ et /•- sous la forme de deux
poljnomes du premier et du deuxieme degre" en p; done i est un poljnome
du troisieme degre.
L'equation des forces vives
montre alors quo - (a elant le grand axe) esL un poljnome du troisieme
degre en p.
Les constantes des aires qui.delerminent le plan de Forbite el le parametre
(9 ) c = yzr — zy'i cr = zx' — &zr, c" == xy' — yxr
apparaissent comme des poljnomes du deuxieme degrtS en p.
Pour avoir la longitude du pe>ih6lie, on partira des Lrois constanles
(10)
qui se pr^sentent sous la forme do poljnomes du quatrieme degre" en p.
Le vecteur dont les composantes sont /, /', //; a m6me direction que le grand
axe de Forbite et est proporlionnel a Fexcentricit6.
En rdsum^, toutes nos constantes sont des poljnomes entiers en p dont
les coefficients sont des fonctions rationnelles de £, g', ^*, YJ, Yjf, ri'^ t, ?7, £".
Calcul de rr, x'r, o/ir, * ... — Comme r2 esL un poljnome du deuxi&me
degre" en p,
/'=_£-t-Z'e
il vient
rr'= pp'-f. p (ZX'g -l- SX f) + p'S X g -f- SXX',
ce qui niontre que rrl esl un poljnome du deuxieme degrts en p> et,
DETERMINATION DES ORBITES PAR LA M^THODE PE LAPLACE. 899
et que — = — (rrf) est un polynome du troisieme degre.
par consequent, que r'=-(rrf) est un polynome du cinquieme degre
r' i /
que — = — (j
D'autre part,
sont des polynomes du deuxieme degre et
— z
7.a ' •>' ~ ru ' " ~~ "7a~
sera aussi un polynome entier en p dont le degrg s'el&verail a 9, mais pourrait
£tre abaiss6 a 6 en se servant de Tequation du septi^ine degr£, a laquelle
satisfait p. Mais il est plus simple d'(5crire simplement
et de remarquer que -j et xrr1 sont des polynomes du deuxi&me et du troisieme
ordre.
On a ensuite
, N „ x" 6^V 3j? d(rr') xr"*
^ ^—^^-TT-^TTT-15 — *
Nous voyons que #*v se prtisente egalement sous la forme d'un polynome
entier en p; en eflet, il en est ainsi de
sc" x , r' x r' I r' \*
et il reste a montrer qu'il en est de m6me de ^ <; or, on trouve
--- - -,
at dt r* r 2 a 2
on voit que -^- est un polynome du troisi&me degrg en p.
Calcul de £w et ^IV. — En diffgrentiant les Equations (7) et (3), on trouve
et
w? + 3 p'p -4- 3p'
4oo DETERMINATION DES ORBITES PAR LA METHODE DE LAPLACE.
Les seconds membres sont connus, grace a Fequation (n); ce sonl
des polynomes enliers on p. Si nous uiulliplions les equations (i/f) par £, YJ, £
et que nous ajoutions, il vienl, en lenanL comptc de ( i3),
(10) p''' = -3p'
Remarquons qu'en verlu dcs equations (n), rexpression 2£#'" qui figure
dans le dcuxiemc membre de (10) pent s'ecrire
de sorte que r'-2£#w et, par consequent, /*2pw se presento sous la forme
d'un polynome du qualrieme degr<5 en p.
„ Une' fois p'" determine, les equations (i4) donneront £w, r/", £"' sous la forme
de polynomes entiers en p.
Differentions une fois encore les equations (i3) et (i4)> il viendra
( 16) 23 5 E1T = — 4 2 ?' E'"-
et
PwE-MpT-H6p'p-i-4p'r
piv £ •+• 4 pwC' -f- 6 pff Cff-^- 4 p' C" -+• p CIV = -siv — ZIV.
Les seconds membres sont connus en vertu dc 1'equation (12); on congoit
done que Ton puisse lirer prv, ^lv, v}IV3 ?IV des Equations (16) et (17) en les
traitant comme les equations (i3) et (i4)S l^s inconnues se presenleronl
sous la forme de fonctions rationnelles de
p;" EJ 7i> ?; 5'j ^' ?'; ?'? r/'s f
et ces functions rationnelles pourront toujours se ramener a des poljnomes
du sixi^me degr(i au plus en p dont les coefficients seront rationnels en
II. — Deuxieme approximation.
Les valeurs de £, £;, ^;/, . . . ne sont qu 'approximate ves et les Equations (2)
nous font connaitre les erreurs commises sur ces trois quantit^s; toutes
les formules pr^cedentes nous donnent
DETERMINATION DES ORBITES PAR LA METHODE DE LAPLACE. 4oz
et les elements de Forbite en fonctions de g, £', £', ---- Ces formules sonL
rigoureuses; mais, comme les valeurs de g, £', £*, .-. qu'on y substitue,
ne sont qu'approchees, les valeurs que 1'on trouvera pour p, pf, ... ne seront
plus qu'approchees ; il s'agit maintenant d'en calculer de nieilleures valeurs.
Dans ce qui va suivre, nous continuerons a designer par les notations
?> S 3 ? 3 1 » • • • >
P> p'> pff, r; 5?, ...,
» c,
7Z072, pas les valeurs exactes de ces diverses quantites^ mac's les valeurs
approchees telles que nous venojis de les calculer. Les valeurs exactes
seront designees par
5 + 8g, $' + a 6', ,..,
I -4- 8 I, c-f-ocJ
"
Observons que les equations (7) ne seront plus exactement satisfaites;
on aura rigoureusement par exeinple
et 2£2 ne sera qu'approximativement egal a i. Mais cette circonstance ne peut
nous g£ner.
En efiet les formules (4)? (5), (6), (8), (9), (10) sont rigoureuses,
en ce sens qu'elles expriment aussi bien la relation entre les valeurs exactes
de p, |, ... qu'entre les valeurs approchees de ces m£mes quantites. Si done
nous avons, par exemple,
nous en deduirons
Les valeurs dg, 5g7, §^ nous sont donn^es par les formules (2); pour
calculer dp, 5r, dp' il faut calculer les corrections des trois determinants
H. P. — VIII. 5i
402 DETERMINATION DES OR BITES PAR LA METHODS DE LAPLACE.
qui figurenL dans les equations (4) et (6); on trouve sans peine
Nous sommes done conduits a calculer les quatre determinants
urn, lew, i?rxi, i?p»x|.
Nous nous servirons pour cela des Equations (i4) el ( 17).
Ajoutons los Equations (i4)j apres les avoir multiplies par les mineurs
de la matrice
r
c r
il viendra
II faut done calculer les deux determinants
|?6*«*l et
qui figurent dans le deuxieme membre de (18). Or 1'equation (ti) nous
donne
el 1'on a
el de ni^me
_
l?rx'"i= — pi
On trouve done finalement
Calculons mainlenant m'^"| et pour cela ajoulons les Equations (17) apres
les avoir multipli^es par les mineurs de la matrice
r
DETERMINATION DES ORBITES PAR LA M^THODE DE LAPLACE. 4o3
il viendra
(20) 6p'iE5/epi-4-4p'ieF
Nous avons a calculer
nous trouvons, en vertu dc (12),
Pour avoir m'XIV| il suffit de remplacer dans cetle formule r par R el x
par X; si nous nous rappelons d'ailleurs que
nous voyons que le second membre de (20) se rtSduit a
ce que j'^crirai pour abrgger
Pour avoir |E^'^W| il faut revenir aux. equations (i4) et les ajouter apr£s
les avoir multiplies par les mineurs de la matrice
? r
on Irouve ainsi
el on raisonnanl comme plus haul
Tous les lermes de 1'gqualicm (20) sonl ainsi connus.
Passons au calcul de
pour cela il faut ajouter les gquations (i4) apr^s les avoir multiplies par
les mineurs de la matrice |£X j, ee qui donne gvidemment
4o4 DETERMINATION DBS ORBITES PAR LA METHODS DE LAPLACE.
el Ton irotive d'ailleurs aise*ment
— \*A -I— R3
Ainsi tous les tennes de (21) se trouvent connus.
II reste a calculer
en ajoulanl les (Aquations (17) apres les avoir mtiltipliees par les mineurs
de la matricc |£X |. On Irouve ainsi
En raisonnant comrne plus haul, on voit que le second mcmbre se reduit a
' r' R"
D'autre part, pf// est donn(5 par I'equation ( i5).
Le calcul de
est done terniine et Ton voit que dans ce calcul ne s'introduisenl que les
determinants contenus dans la matrice
(23) iserx'xi.
Calcul de dp, 3r, dp7. — La differentiation des equations (4) et (5)
nous fournira dp et 5r? la premiere donnera
(24) oPi55'fi-3~i?rxi=;-p5|5rr/i
et la seconde
= Sp(p — RcosT),
de sorie que le premier membre de (24) peut 6tre rcmplac<3 par
ou P est Tangle sous lequel on voit de la Planete la distance Terre-Soleil;
on a eu 1'occasion de calculer cet angle en r^solvant F&juation fondamentale.
On obtient 5p; en difF6rentiant liquation (6), ce qui donne
DETERMINATION DES ORBITES PAR LA METHODE DE LAPLACE. 4o5
Ainsi op, Sri et 5p; s'expriment rationnellement en fonction cle
et dans les coefficients des diverses puissances de p figurent principalement les
determinants de la matrice (28).
Correction des elements. — Comme les <$l<$ments dependent de #, y, z, #',
y, ^;, il faut, pour avoir les corrections des 6l(5ments, calculer d'abord les
corrections
oj?, oy, 05, 5a?'? o/, Ss'.
Or on trouve
d'ou
On a d'ailleurs
et o?v/ nous est donn<5 par liquation ( 14).
Ayant les corrections ox, 5j?f, . . ., il est ais<5 de calculer les correclions des
6l£ments. Oil voit quo ces corrections
Sl, Sc, 5f, ...
se pr^sentent sons la forme de fonctions rationnelles de
P, s, ^ :, r, ^ r, r, v, r-
Correction de V aberration. — Je n'ai pas a parler ici des corrections dues
a la parallaxe que Ton peut faire porter au d^but du calcul sur les coor-
donn^es X, Y, Z; mais il convient de dire quelques mots des corrections dues '
ci Paberration.
En vertu de ce ph<3nom&ne, ce n'est pas, comme nous Favons suppos^
jusqu'ici, aux ^poques
th **> *3
que x a r^ellement pris les valeurs #4, a?2, x$, mais aux Spoques
tt — api, /2 — apa, *3 -- ap3,
a ^taut true constanto tr^s petite et connue.
4o6 DETERMINATION DES ORBITES PAR LA METHOD E DE LAPLACE.
Reprenons notre Equation fondamentale
et voyons quelle en est la veritable signification; X, Y, Z sont les coord onnees
de la Terre a Pinstant t\ x, y, z sont les coordonn^es hdliocentriques do la
Plan^te a Pinstanl t — ocp; p est la distance des deux points X, Y, Z et x, y, z\
enfin £, rh £ sont les cosiiius directeurs observes a Pinslant t el, corriggs do
1'aberration des fixes.
Nous aurons done
j?=s/(« — ap),
en repr^sentant par f(t) Tabscisse de la Plan&te au temps /; nous d<3duirons
dela
ou en ntSgligeant le carr£ de Paberration
et si j'observe que
les Equations (3) doivent 6tre remplactSes par
(3 bis)
avec deux autres Equations qu'on en d£duit par sym^trie.
Si nous ajoutons ces Equations. apr^s les avoir multiplies par les mineurs de
e r
il viendra
(4 b^
Si Pon multiplie les Equations (3 bis) par les mineurs de
X, ?
Y3 f\ >
DETERMINATION DES ORBITES PAR LA METHODS DE LAPLACE. 407
il vient
(6 bis) 20' ( 5FX i 4- p i gf X [ = -ap*j X?X' i - «pp*[ Xg? N
de sorte que, si op et dp' reprtSsentent les corrections a apporler a o el a p' par
suite de Paberration, on aura
(4 /er) 5p \ gfp i = 2f ; 55' x [ - »p" | gr X' |,
(6 /er) 23?' | tfX | + 3p ] ??*
Inutile d'ajouter que, dans les seconds membres de (4 ter} ot (6 ter), on
peut remplacer r, p, p', py/ par leurs premieres valeurs approch^es.
Dans le calcul des elements, il faut prendre pour x et of les valeurs f(t — ap)
etf((t — «p); on obtiendra de la sorte les £l6ments d'une planfete fictive, en
retard sur la plan^te reelle d'une quantity constante «p. Tons les dements
seront les monies pour les deux plancMes, sanf IVpoquo du passage an perihrfie
pour laquelle la difference sera ap.
On aura done
ou p et of doivent £tre remplaces par leurs valeurs corrigees, ce qui donne
en n^gligeant le carr<5 de 1'aberration, on trouve
/'(* — ap) = ;
d'ou
Si Ton avait n£glig6 Taberration, on aurait eu simplement dans les seconds
membres X •+• p;? Xr+ p'^H- p'£; si done on d^signe par QX et 3^ les corrections
qu'il convient d'apporter a x et a x? pour tenir compte de Taberration, on
trouve
On remplacera ^p et 5pr par leurs valeurs tiroes de (^ter) et (6^r), et p'
et &' par leurs premieres valeurs approch<!fe$.
408 DETERMINATION DES ORBITES PAR LA M^THODE DE LAPLACE.
Ayant les corrections dc &x et de dxr on en dt^duira ais&oient les variations
des <2l6ments; ainsi, pour le grand axe, on aura par exemple
avec
;>8r = (p — RcosT)8p
et
2 2
On voit le role que jouent encore ici les determinants de la matrice
En ce qui concerne la correction de parallaxc, appelons X, Y, Z les
donn6es du centre de la Torre, X + <3X, Y -+- oY, Z + 3Z celles du lieu d'obser-
vation; la premiere chose a faire est de calculer, pour l'6poque choisie, les
valeurs de dX, 3X', oX"; on a facilement 3Xi, 3X2, 5X3, c'est-^.-dire les pro-
jections sur 1'axe des oc du rayon vecteur qui va du centre de la Terre au lieu
d'observation aux (5poques des trois observations.
On en d^duit par interpolation <5X, dX' et SX;/ de la m6me facon qu'on a
d^duit £, 5' et 5" de ?<? Ea et %$. II faut bicn se gardcr de calculer ces quantil<3s
en partant des lois de la rotation de la Terre ; djabord cela n'a aucun sens quand
les observations ont cH6 faites dans des observatoires diff&rents, et, quand m6mc
elles auraient eu lieu dans un m6me observatoire, Porientation du rayon de la
Terre qui va & cet observatoire a vari<5 beaucoup^dans 1'intervalle de deux
observations cons^cutives, et les positions successives qu'il a pu occuper dans
cet intervalle ne nous importent t5videmment en aucune facon. En operant
autrementque par interpolation, on pourrait 6tre conduits £ de graves eireurs.
Quoi qu'il en soit les Equations (3) deviennent
avec
x = X -h SX H- pg, r^= P2_ 2(R H- SR) cosT -h (R -h SR)
R SR = X SX -f- Y 8Y -h Z aZ
et les Equations (4) et (6) deviennent
DETERMINATION DBS ORB1TES PAR LA METHODE DE LAPLACE. 4og
Dans les premiers membres de (^bis) et (6 bis), p et p' representent les
valeurs corrigees, il conviendrait done d'y remplacer petp'parp -+- dp, p'-fr- op'.
Si, des Equations (4 bis) et (6 bis) ainsi modifiers, nous retranchons les Equa-
tions (4) ct (6), il viendra
qui nous feront connaitre les corrections de p el pf dues a la parallaxe.
Comparaison des methodes. — Si nous comparons la me*thode de Laplace
a celle de Gauss au point de vue de 1'exactitude, nous devons distinguer ce qui
concerne la premiere approximation et ce qui concerne les approximations
suivantes.
En premiere approximation, nous savons que la me'thode de Gauss nous
donne pour les distances p1? p2, p3 des erreurs du premier ordre si les obser-
vations ne sont pas e"quidistantes, et du second ordre si elles sont e*quidis-
tantes; et, pour les differences pa — pi, ps — p2j des erreurs du second ordre
si les observations ne sont pas e~quidistantes et du troisieme ordre si elles
sont e*quidistantes.
Au contraire, d'apres ce qui precede, la mtHliode de Laplace nous donne
pour p, p', p" des erreurs du second ordre, et cela est vrai que les observations
soiejit ou 7io?2 equidistantes, pourvu qrfoti choisisse pour epoque
Supposons que nous prenions pour origine du temps eel to e"poqiifi - - -• - LJ
nous pourrons e*crire pour la formule de Taylor
p1=Sp + p%-h^fH- ?~tl+....
Gomme ti est du premier ordre, que Terreur sur p, p', p" estdu second ordre,
et que nous ne*gligeons entierement p"', nous voyons que Perreur commise sur
les ier, 2e, 3e, 4e termes de la s^rie de Taylor sera respectivement d'ordre 2, 3,
4,3.
L'erreur commise sur p4 (et de m6me sur p2 et p3) sera done du deuxi&me
ordre.
L'erreur commise sur p4 — p (et de m£me sur p2 — p, p3 — p, p2 — fi, p» — fz)
sera du troisieme ordre.
H. P. — viri, 52
4lO DETERMINATION DBS ORBITES PAR LA METHODS DE LAPLACE.
En rt£sum<3, en ce qui concerne la premiere approximation, la mgthode de
Laplace est &juivalente & celle de Gauss quand les observations sont (kpiidis-
lantes; elle lui est supgrieure quand elles ne sont pas &juidistantes.
Jc ne parlerai pas ici de la rapidit^ des calculs, qui sont presque identiqucs
dans les deux cas. Je veux faire seulement une remarque. On a imagines il y a
qiielque temps un certain nombre de mtSthodes, fondles sur le principo de
Gibbs et destinies A. perfectionner la m&hode de Gauss (cf. Astr. Nadir.*
n° 3061 Fabritius; n° 3075 Vogel; n° 3159 Lorenzoni, vofr Bull astron., t. 9,
p. 42 d i345 t. 10, p. 386). Toutes ces mgthodes ont pour objel de lenir
compte d&s la premiere approximation des termes du quatri&me ordre.
Si les observations sont 6quidistantes, elles nous donnent en premiere
approximation une erreur du troisi&me ordre sur p ; elles Pemportent done sur
celles de Gauss et de Laplace, mais les calculs sont plus compliqwSs.
Si, au contraire, les observations ne sont pas £quidistantes, les mgihodes on
question gardent leurs avantages sur celle de Gauss; elles ont en effot pour
rgsultat de permettre d'atteindre une approximation aussi grande qne si les
observations <3taient (Squidistantes. Or, ce que je voulais faire observer, c'esl
que ce rtSsultat est prgcis&nent celui q'ue la m^thode de Laplace nous procure
a beaucoup moins de frais.
Une autre observation n?est pas sans importance. Rien n'empScherait de
commencer les approximations avec la m6thode de Laplace et de les continuer
avec celle de Gauss. En effet, nous venons de voir que la m<5thode de Laplace
nous faisait connaitre non seulement p, p', p", mais encore pi, pa, pa et cela avec
une approximation toujours 6gale et quelquefois supgrieure ^L celle de Gauss.
Or, quand, dans la m^thode de Gauss, on veut procgder §. une nouvelle appro-
ximation, on prend pour point de depart les valeurs de p4, p2} p3 trouv^es dans
1'approximation pr6c6dente. On pourra done tout aussi bien prendre pour
point de depart dans la deuxi&nq approximation de la m^thode de Gauss, les
valeurs de pd, p2, ps trouv^es en premiere approximation par celle de Laplace.
Nous devons remarquer toutefois que, si nous calculons les trois lieux
h^Iiocentriques 4 Taide des valeurs observes de gi » b- Ss? ^i? • • • , et des valeurs
ainsi calcul^es de pi5 p2, p3, ces trois lieux ne seront pas rigoureusement dans
un m6me plan passant par le SoleiL Cela n'aurait d'ailleurs pas tr^s grand
inconvenient; mais il serait ais6 de s'en affranchir. Par le Soleil et deux de ces
lieux, P4 et Pa par exemple, on pourrait faire passer un plan et prendre pour
le troisi&me lieu Pa rintersectioix de ce plan avec la droite P3Tj); 1'erreur
DETERMINATION DES ORBITES PAR LA METHODE DE LAPLACE. 4ll
commise sur p3 et sur p» — p2, serait encore du m£me ordre. Ou bien encore
on pourrait prendre, pour les trois lieux Pl? P2, P:j, les intersections des trois
droites PiTi, P2T2, P:{T:j avec le plan de 1'orbite provisoire deduite des
valeurs de p el p; calculees.
En ce qui concerne les approximations suivantes, nous devons encore
distinguer le cas on les observations lie sont pas, et celui ou ellos soul equi-
distantes.
Dans le premier cas, Perreur sur pi apres les irc, ae, 3C? . . . , approximations
sera d'ordre i, 2, 3? . . ., avec la m^thode de Gauss, et d'ordre a, 3, 4<
avec celle de Laplace; 1'avantage reste done a la m&hode de Laplace, d'aulant
plus qu'£ chaque approximation, ou tout au moins a la seconde, les calculs
sont plus simples.
Au contraire, si les observations sont e^quidistantes, IVrreur sur pi apr£s
les irc, ae, 3% . . ., approximations, sera d'ordre 2, 4s 6, . . ., avec la m<§thode
de Gauss, et d'ordre a, 3, 4? - • • j avec celle de Laplace. L'avantag-e appanienl
done a celle de Gauss.
Mais, pour les approximations d'ordre 6lev6, on peut faire beaucoup mieux
encore; dans la methodede Newton pour la resolution numt5rique des Equations,
1'ordre de petitesse de 1'erreur commise, comme on le salt, croit non pas en
progression arithmgtique, mais en progression g^om(5trique ; il double a chaque
appr*oximation. Or il suffit de modifier trfes l£g£rement la m^lhode de Gauss
pour lui conferer les monies avantages.
Soient pls p2, p3 les valeurs des distances PiT4, P2T2, P3T;j calculees dans
1'approximation pr6c£dente; soient pi4-^pi, pa-h^pa? pa+^pa les v^ritables
valeurs de ces distances. On sail que le rapport -^Ldu triangle SP2Pa a la racine
carre^e du param&tre depend seulement de la corde P2P», de la somme des rayons
vecteurs SP2-i- SP3, et du temps t% — t^. Ce temps est connu, et les longueurs
PoP3, SP2 + SP3 le serait ^galement si Ton connaissait p2 et p;t ; ainsi ~ est une
vp
fonction de p2 et de p»
^ -/(P., P»).
v£
Soit li la valeur de cette fonction / quand on remplace pa et p3 par leurs
valeurs approchges, ant^rieurement calculees; soient at, §4 et yi les valeurs de
ces trois d6riv£es, par rapport a pi, p2, psj la premiere est nulle, puisque la
412 DETERMINATION DES ORBITES PAR LA M^THODE DE LAPLACE.
fonction en question ne depend pas cle pi et je ne 1'ecris que par symetrie. On
aura alors sensibleuient
.^L = }fcl -j- at! Spi -h Pi 8p2 •+• Yi 8p3.
\fp
On operera do mAme pour -~> -^; liquation do Gauss
V> V.P
peut alors s'^crire, en n^gligeant les carr£s des fip,-,
On a ainsi trois Equations lin&iires en <5pl7 op2, op3, qui nous fournissent de
nouvelles valeurs approcb^es des distances PiTd, P2T2j P^T;*, ct 1'approxi-
mation croit en progression g6om£trique. Rien ne serait done plus facile que
d'assurer a la m^thode de Gauss les m£mes avantages qu'£ celle de Newton.
C'est d'ailleurs ce qu'a fait Gauss lui-mdme et les dix.mgthodes qu'il a dgve-
lopp^es dans les articles 120 a 129 du Theoria Motus sont concues dans cet
o sprit.
II n'y aurait pas a h^siter a op6rer de la sorte, si Ton disposait de trois
observations parfaitement exactes et si 1'on n'avait rien autre chose. Mais il est
parfaitement inutile de chercher a pousser 1'approximation plus loin que ne le
comporte la precision des observations; et, quand on aura plus de trois
observations, il conviendra toujours de les faire concourir toutes au r<§sultat, et
cela sera m&me d'autant plus important que Ton aura pousstS plus loin
I'approximation.
Les avantages de la m^tbode de Gauss seront done ainsi souvent illusoires.
Par exemple, si 1'on dispose d'un certain nombre d'observations, il n'y a pas
lieu d'en d^duire trois lieux normaux par interpolation et de leur appliquer la
m^thode de Gauss. L'emploi de la m^thode de Laplace est alors tout indiqu<§.
II arrive aussi quelquefois qu'apr^s avoir appliqu6 la m^tbode de Gauss sans
pousser plus loin que la premiere approximation, on calcule le grand axe par
exemple en partant des deux lieux extremes. II ne faudrait pas s'imaginer
qu'on obtient ainsi un r^sultat plus precis qu'en appliquant la m<5thode de
Laplace et calculant le grand axe tout simplement par liquation des forces
vives. Le r^sultat final ne peut pas en effet &tre plus approch^ que les lieux
extremes d'ou Fon est parti.
Ges raisons me font penser que le discredit dans lequel parait 6tre tomb^e la
DETERMINATION DES ORBITES PAR LA METHODE DE LAPLACE. 4l3
methode de Laplace n'est nullement justified Dans ces derniers lemps, deux
savants, partant sans doute des memes considerations, ont cherche a la
r^habiliter.
Ce sont MM. Harzer et Leuscliner. II semble, d'apr&s les examples qu'ils ont
donnas, qu'ils ont obtenu des reSsultats tr&s encourageants. J'aurais toutefois a
faire quelques remarques. M. Harzer prend cinq observations; ayant deter-
min<$ p, p' et p" eii premiere approximation par la methode ordinaire, il en
deduils les cinq distances p1? p2, p:J, p/,7 p5 et il s'en serl pour effectuer les
corrections d'aberration eL de parallaxe; il determine de nou\eau p, p', el o" a
Taide des observations ainsi corrigees. Pour les derniferes corrections, il prencl
pour inconnues les corrections ^x: \y, \z, v#'? vX» V-2' *l apporler aux trois
coordonnees de la Plan6te a PtSpoque et aux trois composantes de la vitesse.
Les corrections des cinq ascensions droites et des cinq declinaisons obsen ees
sont des fonctions lineaires de ces six inconnues. Nous avons done dix Equations
et six inconnues et Ton pent les rgsoudre par la m<§tliode des moindres carres.
M. Leuschner prend trois observations seulement; dans la correction finale,
il prend quatre inconnues ^P? V^» TJ'^? V-2'? l'6poque choisie est celle de
1'observation moyenne, de sorte que les corrections d'ascension droite et
d^clinaison sont nulles pour cette observation. II reste seulement quatre equa-
tions a quatre inconnues.
II semble qu'on perd beaucoup de temps au calcul de pi, p2, p3, p4, ps, a la
correction des cinq observations et a une nouvelle application de la mtStliode
de Laplace aux observations corrigees. L'emploi des corrections que j'indique
pour Taberration et la parallaxe serait, je crois, beaucoup plus rapide et ne serait
pas moins exact. Dans un de ses exemples, M. Leuschner est oblig<§ de faire
trois approximations successives pour Paberration et la parallaxe; cela peut
sembler surprenant au premier abord; mais, si Fon-regarde de pr&s, on voit
qu'il aurait pu facilement 6viter ces tatonnements. En effet on reconnait que
Tinfluence pr^pond^rante ^tait celle de la parallaxe; et que Faberration seule
n'aurait pas n6cessit6 de nouvelle approximation; or, en faisant porter la
correction de parallaxe, au d£but du calcul, sur les coordonnees de la Terre,
on ^vite, comme nous Tavons vu, toute espfece de tatonnements. Quant a
Taberration, on aurait pu faire disparaitre presque enti&rement la difficult^, en
prenant pour £poque la Plan^te t — ap au lieu de £, ainsi que nous 1'avons
fait plus haut. Quoi qu'il en soit de ces points de detail, MM. Harzer et Leus-
chner paraissent avoir r£alis£ un p.rogr&s notable sur les m^thodes usuelles.
4x4 DETERMINATION DBS ORBITES PAR LA METHODS DE LAPLACE.
Observations multiples. — La m^thode de Laplace est surtoul intcSressante
quand on dispose de plus de trois observations; disons quelques mots sur la
maniere de diriger 1'interpolation en pareil cas.
On emploiera le proc£d6 habituel d'interpolation. Soient done £i» £», .*.,£/?
les instants des observations ; on posera
On developpera — en fraction continue sous la forme
Soit -— la iii6mc rgduile, de telle sorte quo
On aura
et 1'on posera
Si 1'on veut repr^senter la fonction £ par un poljnome de degr^ n<p: on
posera
et 1'on choisira les coefficients yft de fagon quo Fexpression
a[5i-F(«i)]S
ou les 5/ soiit les valeurs observ^es, soit minima. Pour celu il faut prendre
II reste a voir ou il faut arr^ter le dc$veloppement, c*est-a-dire quelle valeur
il faut donner a /z. II est ais^ de verifier que, si les ti sont regard^s comme
quantity tr^s petites du premier ordre, le polynome y^-PA sera d'ordre k. Or,
si Fon prend pour F(f) un polynome d'ordre /&, le premier terme nuglig6
L'erreur commise sur {• est done d'ordre n + i ; elle est d'ordre n pour % et
d'ordre n — i pour £ff. L'erreur sur \n s'abaisse a Fordre n^ si
C'est done ^ Faide de cette Equation P^.t (^) = o que Fon devra determiner
DETERMINATION DES ORBITES PAR LA METHODE DE LAPLACE. £l5
Yepoque] elle rcmplace 1'equation H."(t) = o, qui dans le cas de Irois obser-
vations nous avait donn6 t = *"*" J*"1" 3* Si Ton suppose ?i = 2 elle s'ecrit
P3(0 = o,
et est alors du premier degre ; si Ton pose
elle nous donne
Si nous nous reportons alors a ce que nous avons dil plus haul au sujet des.
corrections a faire en deuxi£me approximation, on verra le role que joue
I7 expression II' ; ce role tient a ce que nous avons
Quelles sont les quantites qui vont ici jouer le mdme role ? il est aise de s'en
rendre compte.
Nous aurons, en efiet, en nous bornant aux terines les plus imporlants et en
supposant P^ = o,
d'od
p/ ryt
gt' = Cw LJ . gt" — JIV.11 ,
°5 — 5 pw °5 — s pjy '
P, et Pj se r^duisent a des constarites independaules do t et Ton a dVilleurs
n _ i PS ^ PS
P^"a Pf^Pf"
Ces quantites se calculent ais^ment en fonctions de tt de sorte que les mgthodes
pr(5c6dentes restent applicables sans changement important.
Nous avons suppos^ jusqu'ici qu'on prenait n = 2; plus g<5ntSralement, nous
avons vu que 1'erreur sur % est du /&ldme ordre, et peut 6tre repr^sent^e par Ar"7
h £tant une constante et r une quantity comparable a Tintervalle des obser-
vations. On aurait done int6r£t a augmenter n si les observations 6taient
parfaitement precises ; mais 1'erreur sur £" due a Pincertitude des observations
peut 6tre repr6sent6e par -^? h± ^nt une constante; on devra choisir n de
fagoa que hvn soit comparable & --• Si done -~ est petit, on prendra n grand,
4i6 DETERMINATION DES ORBITES PAR LA METHODE DE LAPLACE.
surloui si T est sensible; si, au contraire, ~- esl grand, on T Ires petit, on
prendra n petit.
Si 1'on etait conduit a prendre n > a, les methodes demanderaient quelques
modifications, je a'y insisterai pas.
Conclusions. — Les mettodes que j'ai exposes plus haut succinctemeiit ne
sont pas mises au point pour le calcul pratique, mais je suis persuade qu'il
suffirait pour cela de peu d'efforts, apr£s quoi elles presenteraient un avanlagc
notable sur les methodes usuelles.
J'ai fait porter Pinterpolation sur les cosinus directeurs £, 73, £ et non sur les
ascensions droites et declinaisons; on aurait evidemment pu faire le contrairc,
les resultats n'auraient pas 6t£ sensiblement modifies, il semble toutefois peu
rationnel de faire 1'interpolation, sur trois quantit^s, quand il suffirait de le faire
sur deux. Mais il ne semble pas n<$cessaire de calculer efFectivement ^", yj", f.
Dans le calcul de p, pf, r el des corrections que Ton doit apporter a ces
quantiMs pour tenir compte de Faberration, de la parallaxe, ou des termes
dependant de n;} nous avons vu intervenir uniquement les determinants dc
la matrice
(23) '
Or, ces d&erminants peuvent s'exprimer liudairemenl a 1'aide de la matrice
les coefficients ^tant des fonctions de «£, £2, ^3 faciles & determiner. On pourra
done calculer ces determinants (28) sans calculer eflfectivement £, ^, ^,
II reste a faciliter le calcul de ces determinants en les mettant sous unc
forme calculable trigonometriquemeut par logarithmes, et oii figureront non
pas les cosinus directeurs £1, £a, ga, mais les ascensions droites et declinaisons
observ^es, ou bien les longitudes et les latitudes.
Je n'insisterai pas sur ce point, me bornant a faire remarquer que ces
determinants sont les mdmes qu'on rencontre dans la metbode de Gauss et quo.
pour les rendre calculables par logarithmes, on n'a qu'a faire ce que fait Gauss
lui-m&ne.
LES SOLUTIONS PMlODIQUES
ET
LES PLANETES DU TYPE D'HfiCUBE
Bulletin, astronomique^ t. 19, p. 177-198 (mai 1902).
L'^tude des solutions p^riodiques de la premiere el de la seconde sorLc
prtSsente un int£r6t particulier quand on suppose que les moyens mouvements
sont a peu pr£s commensurables. Ces solutions periodiques donnent, en effet,
une premiere approximation pour les orbites des petites plan^tes dont le moyen
mouvement est sensiblement le double de celui de Jupiter. C'est ainsi qu'a
proc6d6 M, Simonin; c'est ainsi ^galement, tout compte fait, qu'a proc6d<3
M. Brendel dans sa Tkeorie der kleinen Planeten^ ou il a appliqu^ la m^thode
de Gyld^n; il commence, en eflet, par determiner les termes de degre sero^
et ces termes correspondent pr6cis6ment a une solution p<5riodique de la
premiere sorte.
Equations du probleme.
Nous n^gligerons les inclinaisons et Pexcentricit^ de Jupiter. Nous supposons
done que Torbite de Jupiter est circulaire et que la plan&te trouble se meut
dans le plan de cette orbite. Comma d'ailleurs la masse de la plan^te trouble
est nulle, nous sommes dans les conditions de ce qu'on appelle le probleme
restreint.
OP. sait qu?on doit rapporter la premiere plan^te au Soleil, et la seconde au
KL P. — VIII. 53
4l8 SOLUTIONS P&HODJQUES ET PLANETES DU TYPE
centre de gravity du systeme forme de la premiere planete et du Soleil. Si la
premiere planete est la petite planete dont la masse est nulle, ce centre de
gravite coincide avec le Soleil, de sorte que les deux planetes peuvent 6tre
rapportees an Soleil.
Soit alors R une fonction e"gale a la masse du Soleil divise'e par la distance
de la petite plan&te att Soleily plus la masse de Jupiter divise'e par la distance de
cette planete a Jupiter, moins le demi-carre de la vitesse de la petite planete.
Nous pourrons choisir les unites et 1'origine du temps de telle facon que la
longitude de Jupiter soit egale a £, puisque le mouvement de cet astre est
supposes uniforme. . ;
Quant aux elements osculateurs de la planete troublee, nous designerons
par L2 le grand axe, par G ~ L \J i — e- la constaiite des aires, par 1 1'anomalie
moyenne, par g la longitude du pgrilielie.
Nous avons alors
clLi rfR dl £/R dG <^R dg dR.
dt dl dt d\j dt dg dt dG*
Conune R depend seulement de L, G, I et g — £, ce qui s'e'crit
nous sommes conduits a poser
F = R 4- G}
et nos equation's deviennent
<//___ ^F
dt ~~ dL f
d(g — t) __ dF
Posons maintenant
j 'observe que la dijQTtTencc
L dl -t- G d(g — ^—Ld^ —
est uiie diff^rentielle exacte, de sorte que nos Equations conserveront la forme
canonique et sMcriront
dt
SOLUTIONS pfolODIQUES ET PLANETES DU TYPE D'HfiCUBE* 4i
Je remarque que X repr^sente la difference des longitudes moyennes et que
ct yj sonL de Pordre de Fexcentricite.
Quelle esL la forme de la fonction F ? Nous pourrons ecrire
m etant lu masse de Jupiter; on aura d'ailleurs
. - -._.
2L* 2La 2
Quant a FI, ce sera une fonclion do L7 A, £ el YJ d6veloppable suivant les
puissances cnti&res de £ et de YJ el suivanl les sinus et cosinus des multiples de J.
Par raison de symcHrie, F4 nc changera pas quand on changcra X elrjen — X
et — YJ,
Solutions de la premiere sorte.
Reclierchons d'abord les solutions pcriodiques de la premiere sorte. A cet
effel, ecrivons nos Equations en faisant passer dans le second mcmbrc les termcs
affects du coefficient m; il viendra
dL
(4)
-T. -"i-TT? -rf -M-
at aA rff
^ - — Q^?1 ^
c^-n ' dt
En premi&re upproximuLion, nous uurons done
L = L0= const., ~ = Ao = ^ — i = const.
at Jjj,
Si dans les -seconds mombres des Equations (4) nous substituons les valeurs
approchees ainsi trouvtfcs, ces seconds membres deviennent des fonctions
connues do t, qui se pi^senleront sous la forme de series proc6danL suivant les
sinus on les cosinus des multiples de A0 1, avec cette circonstance que les seconds
membres des Equations en -T- et en -~ no contiendront que des sinus, tandis que
ceux des Equations en ~r et en -^ no contiendront que des cosinus.
Ges Equations (4), oti les seconds membres sont rcgard^s comme des fonctions
connues de £, vont nous donncr de nouvelles valeurs approchees de nos
inconnues,
4ao SOLUTIONS PERIODIQUES ET PLANETES DU TYPE D'H^CUBE.
La premiere nous donne
w . $
ce qui determine L par quadrature a une constante pr&s ; nous voyons que L
sera une fonction paire de t.
II vient ensuite
Le second membre se compose de deux tcrmes ; dans le second de ces termes
qui conlient m en facteur, je remplacc £, y?, L et X par les valeurs Lrouvecs en
premiere approximation el j'ai ainsi pour ce second terme une fonction connue,
periodique et paire de t, developpable en serie procedant suivant les cosinus
des multiples de hQt. Quand au premier terme, qui depend seulement de L,
j'y remplace L par la valeur a laquelle vient de me conduire Tinted-ration de
Pequation (5); j'ai encore une fonction periodique et paire de t: mais celte
fonction n'est pas enticement connue; elle le serait si L Petait, mais nous
venons de voir que liquation (4) ne peut determiner L qu'a une constante
pr&s.
Le second membre de (6) est done une serie procedant suivant les cosinus
des multiples de A0£; mais cette serie n'est pas enti&rement connue, car les
coefficients dependent d'un param&tre indetermin^ (qui est la constanle dont
je viens de parler). Nous disposerons de ce parametre de telle sorte que le
terme tout connu de la serie trigonometrique qui figure dans le second
membre de (6) soit egal CL A0. Le second membre de (6) estalors enticement
connu et nous aurons X par une simple quadrature.
Nous voyons que \ — A0£ sera une fonction periodique de £, et il en sera par
consequent de m£me de
cosX SBS cosA0£cos(X — AO t ) sin A0* sin (X — h0t)
et de sin^. D'ailleurs, on voit que X est une fonction impaire de t.
Nous avons enfin les equations
Dans les seconds membres nous remplacerons L, A, ? ct Y? par les valours
SOLUTIONS PERIODIQUES ET PLANETES DU TYPE D?HE*CUBE. 4'2I
oblcnues en premiere approximation ct nous trouverons dcs Equations cle la
forme suivante :
(7) ^ 4- 7)== SB* sin
d'oii nous lirons immiSdiatemont
11 y aurait exception si le denoimnatour s'annulait, c'est-a-dire si, pour unc
valenr enlifcre n de/v, on avail
Si 7f0, sans £tre rigourensement <§gal i\ -> £tait voisin de -5 le dtfnominateur,
sans s'annulcr, doviendrail tr&s petit, el il pourrait y avoir des doutes sur la
convergence.
Les approximations suivantes se poursuivraicnt de la m<5me manifcre sans
qu'il y ait absolument rien a changer a ce qui precede.
On ne ronconlrorail de difficult^ quo si 7?0 (5tait voisin dc ± -; comnie 7?.0 est
toujours posilif (mouvomonl direct), il no sera jauiais voisin cle ; mais il
ponrra 6lro voisin de + - pour los planiilos ditcs caracltristiques, c'esl-
a-dire de i pour les planfctes du type d'H<*cube, dc - pour les plan&lcs du type
de Hilda et de ^ pour les planfcles du type dc ThulcS.
Solutions de la seconde sorte.
Pour TcHude des solutions de la soconde sortc, nous choisirons une variable
nouvelle w, on posanl ^ = 7/,ck), et nous proposerons do choisir co coefficient
constant A, qui cst d'abord ind&erminl, de telle fa^on quo L, cosX, sinX, ^etY2
soient des fonctions p^riodiques de w de p<5riode de 2?r, d6veloppables en series
proc^dant suivant les sinus et les cosmus des multiples de oo.
Nous aurons alo-rs les Equations
(8)
dL .d¥i d\
— SB mh -rr ? -7-
i\
— =rz = —
L8/
422 SOLUTIONS PERIODIQUES ET PLAN&TES DU TYPE
En premiere approximation, nous remplaccrons les seconds menibres par
z6ro et nous trouverons
L = L0=const, ^-183*' h=*>
5 = p cos/? to, r[ = p sinpto,
p etg <5tant deux entiers ct (3 une conslante arbilraire quolconque.
Pour la seconde approximation, nous poserons
L = L0-i-8L, X
f = P GOSJOCO -4- 8?, - '/i = p sin/? to -+- 8^
et dans les seconds membres des Equations (8) nous remplacerons les
variables L, X, A, £, YJ parleurs valeursapproclit5esLOJ ^co,/;, (3 cos/^co, (3 sin/?co.
Ces seconds membres deviennent ainsi des fonctions connues de to pdriodiques,
dont deux sont paires et d^velopp'ables en series de cosinus et deux impaires
d^veloppables en series de sinus. Nous avons ainsi d'abord
/ v d^ v, A •
(9) -gjj.-ZA^mn*,
d'ou Ton d^duit par quadrature ^L, & une constante pr&s.
Quant aux deux derni&res Equations (8), elles sJ6crivent
$S)== SB, COS/KO.
Les corrections 3A, 8%, 8n sont de 1'ordre de m; si done nous n^gligeons m2,
nous pourrons ndgliger les produits 8h §y], dh 3^ et nos Equations s'<5criront
(10)
ft n?
i, ' H-JE) Svi -+- p sinjoto SA = SGn sin w to,
— JE> 8J — p cosjDto SA = SD/z cos/io),
L'int^gration de ces Equations est immediate et nous donne
^ COS 71 0) -4- V COS/? 10,
l ^ J
Sous le signe 2, on doit donner & n toutes les valeurs entires, sauf la
valeur p. Quant k y, c'est une constante d'int^gration que Ton peut supposer
nulle, car elle fait double emploi avec la constante (3.
SOLUTIONS PfolODIQUEtf ET PLANETES PU TYPE ^
Nous avons ensuite
dFi
•"rfT
Jo rappelle que, dans la dtfriv^e dc F4, los variables sonlrcmplacecs par lours
valeurs approchtfes.
D'autre part, en n^gligeant wi2, el par consequent ih dL cl 5L2, je puis d'crire
d'ofr
Lcs coefficients EA seraient entiftrement connus si 3L 6tait enti&rcmcnl connu,
mais 3L n'a (H£ determines qu'a une distance pr^js; les coefficients E,t dependent
done de cette constante que Von choisira de fagon qne E0 soit nul. Ce choix
6tant ainsi ftiit, les EA sonL connus et Ton trouve <3X par quadrature.
En troisi&me approximation, on tiendra compte de m2, mais on n^gligera m3 ;
soient L, X, A, g, fi les valeurs obtenues en seconde approximation; et
soient L + <JL, \ + 5X, h + 5A, g + 3?, YJ + Srj les valeurs exactes aux quantit^s
pr^s de 1'ordre de m3 que nous cherchons £ determiner.
Dans les premiers membres des Equations (8) nous remplacerons done L, X,
A, g, Yj par L + 5L, X •+- SX, A + 5A, g + 3g, Y3 + ^- Dans les seconds membres,
au contraire, nous pourrons n^gliger 6L, 8X, 3A, 3g, &Q, de sorte que ces seconds
membres seront des fonctions connues de co.
Nous avons d'abord pour determiner $L une Equation analogue a (9) qui se
traitcra de la m6me mani&re ; puis nous ayons
ou, en n<5gligeant Sh JTQ, qui est dc 1'ordre de m4,
Le second membre est de la forme 2Cn sinnw.
D'autre part, je puis n^gliger (YT— '$*mpto)Sh '^t :(Jfi-r-^p)6v, puisque
v^ — ji sin/? a) et h —p sont de 1'ordre de w, et que 3A et &rj sont de 1'ordre de m2.
Notre Equation devient done
424 SOLUTIONS PfcRIODIQUES ET PLANfetES DU TYPE D'HECUBE.
et nous avons de m6me
Ces (Equations <3tant de mteie formo que les Equations (10) sc traiteront do la
ttignie mani&rc. Nous determinerions cnfiii 5X par une equation qui serai t de la
forme (i i).
II y a cependant un cas ou il pourrait y avoir line difficult**,
Nous avons trouv6 plus haul
CeLle formule deviendrait illusoire si (3 <3tait mil, ct m&me si (3 <Hait tr6s petit
la convergence des d^vcloppements pourrait 6tre compromise. On retrouve
d'ailleurs a chaque approximation des Equations de la forme (10), de sorle
qu'il faut chaque fois calculer une nouvelle correction 8h par une formule de
la forme (12), de sorte que la m&me difficult^ se repr(5sentera chaque fois.
On pourrait done craindre que la nuHhode ne fill pas applicable au cas ou (3
(et par consequent Pexcentricit6) est une petite quantity. Mais nous observons
que, si Ton fait (3 = o, on retombe pr^cis^ment sur les solutions de la premiere
sorte que nous venons d'6tudier; or nous venons de voir que ces solutions
existent toujours, sauf peut-toe pour les plan&tes caract^ristiques.
Le cas des plan&tes caract^ristiques est celui ou lo rapport ^ est entier. Si
done - est commensurable sans 6tre entier, nous sommes certains que la diffi-
cult^ se dissipera d'elle-m^me, c'est-^-dire que Cy; — Dyj s'annulant en m&me
temps que (3, la correction $h restcra finie, C'est ce qu'il est ais^ d'ailleurs de
constater pour les premieres approximations. Si au contraire — est entier
(p entier, q = i), la m^thode peut se trouver en d^faut, et nous allons voir ce
que devienuent dans ce cas nos solutions p&riodiques.
Raccordement des deux sortes de solutions.
On peut repr^senter sch^matiquement les r^sultats obtenus par une figure.
Supposons que nous repr^sentions chaque solution p^riodique par un point
d^fini de la fagon suivante. Nous pouvons toujours choisir pour origine des
SOLUTIONS pfolODIQUES ET PLANETES DU TYPE D'HECUBE. 425
temps Tinstant ou les deux planfctes sont en conjonction symetrique. A ce
moment on a :
A = Yl == O.
Prenons alors pour abscisse la valour de L & cot instant ct pour ordonniSc la
valeur de £ ; nous aurons un point qui pourra £trc regards commo rcpr£scnlanl
la solution ptfriodique.
Les solutions de la premiere sorte seront r>epr(isent6es par les arcs de
courbe AB, GHKL et RS. La courbe est interrompue entre B et G el entre
L et S ; nous avons vu en cffet que la m<Hhode cst en d^faut quand /?0 est voisin
de -• Nous ne savons alors ce que deviennent les solutions de la premiere soric;
A B
E T
V
^e-
H""K
rN
C
1
D U
w
Fig. i.
\
R S
M
j'ai done represented deux interruptions correspondant, par exemple, 1'une aux
plan&tes du type d'H<5cube, 1'autre aux planfctes du type de Hilda.
Repr<5scntons maintenant les solutions de la seconde sorte ; & chaque syst^me
de nombres cntiers p et q correspondra une courbe repr^sentant une s6rie de
solutions do la seconde sorte. J'ai trac6 quatre courbes, & savoir EFCD corres-
pondant &•£ = i (type d?H(5cube). THU correspondant & £ = -? VKW corros-
pondant & %- = ^5 et enfm PQMN correspondant & ^ = 2 (type de Hilda).
Commc nous avons vu que les solutions de la seconde sorte correspondant aux
valeurs enti&res de •£ n' existent plus pour les petites valeurs de (3, j'ai
interrompu la premiere courbe entre F et C, et la derni&re entre Q et M. Au
contraire, les deux autres courbes THU et VKW, qui ne correspondent pas
& des plan&tes caract&risques, ne sont pas interrompues et viennent croiser la
courbe GHKL en H et en K.
Comment se raccordent les courbes EF, GH, AB, CD, PQ, RS, KL, MN ?
H. p. — VHI. 54
426 SOLUTIONS PiRIODIQUES ET PLANETES DU TYPE
II est probable que c'est par de pelits arcs de courbe BC, FG, QR, LM, tels que
ceux quo j'ai repr6sent(5s en trait pointille. Cette provision est confirmee par
1'application de la m&Iiode Delaunay, dont 1'approximation est (hddemment
suffisante pour r<*soudre une question qualitative de ce genre.
Supposons que dans la fonction F nous conservions seulement les termcs a
longue ptfriode. Pour les plan&tes caracUSristiques, telles que le rapport des
moyens mouvements soil voisin de n-~^ * > ces termes a longue p&riode seront de
la forme (J-cos/zA -+-TQ sin/zX)^, de sorte qu'apr&s la suppression des termes a
courle p^riode F ne d(5pende plus que de
T=s ? cosn A
D'ailleurs F est dtSveloppable suivant les puissances emigres de S et de T.
L'intiigration complete des Equations est alors possible et les solutions
p6riodiques auront pour Equations
L = const., -y- as const., S = const., T = const.,
^ I O ) ""
les valeurs constantes de L, S et T 3tant donn^es par les Equations
x7P x^K1 ^717 T2
(14) F =
On trouve; en efiet, que les Equations (3) deviennent
dLt dJ? i._-_^-v. _ «^\ d^\ dP
(I5) % df?
di = ~dS'ri^ dT a*"""*> d£
et sont satisfaites par les valeurs ( i3) et ( 14).
Que deviennent alors nos courbes? Au moment de la conjunction symcUrique,
on a
II faut done construire la courbe - . .. .
G?F d¥ dP
• T*»
en prenant L et T pour coordonn^es et en rempla^ant S par — -
SOLUTIONS PfiRlODIQUES ET PLANETES DU TYPE D'HfiCUBE. 427
Si nous arr6tons le dgveloppement de F4 aux termes du premier degrtS par
rapport aux excenlricit6s, nous aurons
F = -^ -h L — S •+•/»( A. -+-BT),
A oL B <Uanl des fonctions de L, eL par consequent
S=<-P-'^'+B'T>' S— '. S-«B-
A' et B; tilanl los d<5riv6es des fonctions A ol B.
Noire Equation s'«$crira alors
T| n( i— -1^ -h 1 1 H- w[»B'T»-H nA'T — B] = o.
Pour m = o, cctte courbe sc decompose on deux droites :
T = o (solutions de la premiere sorte).
-_ (solutions de la seconde sorte).
Ce seraient encore deux droites si nous prenions pour coordomuSes non plus T
etL, maisTet JT-J.
Si m n'estpas nul, maistr^s petit, nous aurons des courbes s'gcartant peu de
ces droites, et pour nous rendre compte de la forme de ces courbes, le mieux.
est de prendre pour coordonn<5es . T eL =-5 cl de n^gliger mT2. La courbe se
r^diiil alors & une hyperbole (Squilat&re. D'ou nous devons conclure que la
forme g(3n<5rnle des courbes est bicn celle qui.a dl^reprdscntdcsur la figure. On
voil que co sont les solutions de la seconde sorle qui sont la continuation
analylique de colics do la premiere sorte, ot inversomont,
Gas des planetes caract^ristiques.
Je voudrais maintenant montrer comment on peut9 avec une approximation
ind^finie, determiner les solutions p£riodiques correspondant aux parties
pointillges de nos courbes, c'est-a-dire aux planetes caract^ristiques.
Nous allons d^velopper, non plus suivant les puissances de m} mais suivant
celles de \/m, de sorte que nous dirons qu'un terme est d'ordre p quand il
E
contiendra en facteur m*. Nous devrons, d'autre part, .distinguer le rang et
4'i8 SOLUTIONS PERIOD1QUES ET PLANETES DU TYPE D'HECUBE.
Y ordre, car certains termes, <3tant a longue pe^riode, seronl plus imporlants que
Ics autres termes du m£me ordre et aussi imporlants que les termes d'ordre
moindre.
Pour les termes qui figurent dans le d(5veloppement des deux inconnues L, X,
et pour ceux qui figurent dans les developpemenis des seconds membres des
deux equations (8), qui donnent -^ et ~ ? le rang sera egal ct V ordre.
Passons maintenant aux d^veloppements de £, de YI ou des seconds membres
des deux Equations (8) qui donnent-— el -™-
Ici je dois distinguer; je suppose que le rapport des moycns mouvements
soit voisin de - — -5 je poserai t = Aw, // tHant une constante voisine de n que
je detcrminerai plus compl^lcmcnt dans la suite, et je prcndrai w comme
variable.
Mes seconds membres, contiendront alors des termes en COSJDCO ou sin/xo,
p ^tanl un entier. Pour ceux des lermes au p n'est pas 6gal a n, le rang sera
encore egal a I' ordre.
Considerons maintenant les termes en cos7^co et sin/ico, et soient
(16) Gsinnw, Dcoswco
deux lermes de m6me ordre figurant respeclivement dans les seconds membres
de la iroisi&me et de la quatri&me Equation (8). Nous d<5composerons ces
lermes et nous les regarderons comme formes chacun de la somme de deux
aulres, a savoir
, N C-i-D . C-hD
(17) — ; - sin/zco, - cos/iw
el
, ON C — D . D — G
(io) - smmo, - cos/io).
Pour les termes (17), le rang sera encore &gal & Vordre, mais pour les
termes ( 18) le rang sera &gal a V ordre diminu& d'une unitg.
Ces definitions poshes, nous allons proc^der ^ Pint^gration. En premiere
approximation, nous rempla9ons les seconds membres des Equations (8) par
et nous trouvons
= Lo= const.
SOLUTIONS P^RIODIQUES ET PLANETES DU TYPE D'HECUBE. 42g
Pour la seconde approximation, je remplace dans les seconds membres loutes
les variables par leurs valeurs approcheSes; ces seconds membres deviennent
sin/? to, m%Bp cos/) to, mSG^sinjoto,
les A, B, C, D giant des coefficients connus. Tous ces termes sont du second
ordre, puisque nous avons m = (y m)~ en facteur.
Mais nous conserverons seulement les lermcs de rang i , de sorte que ces
seconds membres se reduiront respeclivement a
G,,-Dn Dn— Cn
o, o, m sin n to j m cos it to •
' ' 2 '2
Nos Equations (8) deviendront ainsi
dL d\ . I i \
. — = o, -5 — h h ( i — =-7 ) = o,
ato rito \ j-.-1/
(19)
i ... D«— G,t
! — A? = /ttCOSTUO •
Int<5grons d'abord les deux derni&res Equations ( 19)^ nous trouvorons
_ . Crt— D/t
Quant aux deux premieres, elles me donnent
L = LI = const.
i \
B I.
(20)
On voit que |3 esl une conslante arbitraire d'int(§gration et que LI est une
nouvelle consianLe peu diflferente de L0 et d<5termin6e par la derni&re
Equation (20).
Passons maintenant a la Lroisi^me approximation.
Je d^signe par L, i, g, v?, h les valeurs de nos inconnues obtenues en
deuxi^me approximation, ct par L-h<5L, X + W, £H-3£, Yj + dvj, h + Sh les
valeurs en troisi&me approximation. Nos Equations (8) deviennent alors (en
laissant de c6t£ la seconde Equation)
430 SOLUTIONS PfolODIQUES.ET PLANETES DU TYPE D'HECUBE. ,
J'ai neglige, bien entendu, les produits <5£§A, dyjSA. Les seconds membres
des equations (21 ) sont des fonctions connues de w de la forme
m S Kp sin/? to n- m ym S AJy sin/> w?
mS G^ sin/? to -H m \fmSG'p sin/? to,
raS Dp cos/? oj -4- m- /m S DJ,, cos/? to.
Ces Lermes sont d'ordre 2 el 3, les lermes d'ordre 4 (Slant laissesjle cot^.
Les coefficients Cp et Dp ne sont naturellement pas les m6mes que tout a
Fheure.
Nous avions salisfail en deuxi6me approximation a nos equations (8) aux
lermes pr^s de rang 2, en tenant comple des lermes de rang i. Cela veut dire
que, si Ton fait <SL= d£ = SYJ = o, les equations (21) scront salisfaites aux
lermes pr6s de rang 2; c'est-a-dire encore que les seconds membres de ces
equations ne contiendront plus de lermes de rang i ,
On aura done
a,=D/0
sans quoi nous aurions des lermes de rang i
C«— Drt . Dw — -Cn
m sin/iw. m cos n to,
•2 ' 2 J
Nous conserverons settlement les tennes de rang 2, de sorte que nos seconds
membres se r<5duironl a
rv r\;
.p sin/jti), mSG^sin/Joj •+• m \Jm—2~~t — -si
m S Dp cos/> w •+• m ^m — 2 cos n to
D'autre part? dans les premiers membres des equations (21) nous pouvons
n^gliger
qui sont de rang 3, de sorle que nos Equations s'($crivent
j JJC -
-j 1- n 0*1 4- p \fm sin /z,to 3A = m S G^ sin/? to
(22)
—3 /i Bg — p ^/wi cos n to SA =
et que nous trouverons (en nous rappelant que Gn= D,,
-— —
^ri TiGn — pDn . m~ .
> — ^ _ * g-^smpto -i -- 0^ sin /iw 4- y/nsm/iw,
m g
SOLUTIONS P^RIODIQUES ET PLANfeTES DU TYPE D'HtoJBE. £3l
ou sous le signe 2, on donne &p loules les valeurs emigres sauf n: el ou X esl
une constanle arbitraire d'int^gration qui, faisant double emploi avec (3,
pourra 6 Ire suppos^e nullc.
La premiere 6qualion (21) nous donnera ensuile SL a une constanle pr&s, el
la seconde equation (8) nous donnera
*r>
-35- = SB, cos/> w,
ou les coefficients B7, nc serontpasenli&remenlconnus, maisd6pendronl encore
de la conslanle addilive arbiiraire doni depend JU On dtHerminera celle
conslanle de facon que B0 soil nul el, les coefficients B (Hani dgsormais enliCi-
remenl comius, on aura 3L par quadrature.
11 csl a pcine n<5cessaire de parlor de la quatrifeme rpproximalion, pour
laquelle on proctSderail comme pour la troisi&me. Soient L, A, £, ??, h les valeurs
des inconnues en Iroisi&mc approximaiion; soient L + <3L, . . . leurs valeurs
en qualri&me approximaiion. On rcmplacera les variables par leurs valeurs
appreciates L, X, . . ., dans les seconds mcmbres des (5qualions (8) el par les
valours L+SL, ... dans les premiers membres. On obliendra ainsi des
equalions de la forme (21). Les seconds membres seront desfonclions connues
de co donl tous les tcrmes seronl au plus de rang 3; on y retiendra seulemenl,
d'ailleurs, les termes dc rang 3.
Dans les premiers membres nous pourrons n<5gliger (h — /&) 5E, (/i — n) §73,
etaussi(Y) — (S^wsin/ico) $k, (% — jS/racosftw) 5A, qui sonl de rang 4.
Nous relomberons ainsi sur des dqualions de la forme (22) avec celle diflfc-
rence quo, dans les seconds membres, les coefficients m\/m devronl <Hre
remplac(3s par m\/met m*. D'ailleurs on aura encore Cn=^n^ puisque nos
seconds membres ne doivenl pas conlenir de lermes de rang 2.
L'inU'igralion se ferail done comme celle des Equations (22), el Ton d<5lermi~
nerail ensuite SL el 3A comme dans la iroisi^me approximaiion.
On voil quo, dans les solutions quo nous venons d'<5Uidier, £, 73 el la diffe-
rence p sont de Fordr.e de \]m. Si \ et 73 <3laient tr6s pelits par rapporl
&\/jn la difference p — serait grande par rapport a \/m el Ton pourrait
appliquer les mdthodes relatives aux solutions de la premi&re sorte. Si au
conlraire, ^ t5tait pelil par rapport & y/m, ^ el yj seraient grands par
rapport £ \Jm et Ton pourrait appliquer les mgthodes relatives aux solutions de
la seconde sorte. On-ue sera done jamais pris au d&pourvu.
432 SOLUTIONS P^RIODIQUES ET PLAN^TES DU TYPE D'HECUBE.
Gomparaison avec les resultats de M. Brendel.
M. Brendel, dans sa Theorie der Kleinen Planeten, a 6tudi6 egalement ces
solutions p<§riodiques. II est arriv^, page 126, a des Equations qu'il appelle (278)
dont je vais expliquer la signification.
On ddsigne par /JL le rapport des moyens mouvemenls osculateurs dans les
orbites absolues, et par p4 le rapport des moyens mouvemenls moyens. Pour
les plan&tes du type d'HtScube, \L et fx4 sont tr&s voisins de-> de sorte que Ton
pent poser
i — o i — 01
_, ,*,— ^
3 et BI 6tant tr^s petits.
Quant a (34, c'est un coefficient qui correspond a pen pr^s a celui que nous
avons appete (3 dans I76tude des solutions de la seconde sorte, et(30ndans
r<5tude des plan^tes caracteristiques ; il est a peu pr^s <3gal a la valeur initiale
de £ au moment de la conjonction sym^trique.
Pour p\ et pi ce sont des coefficients qui dependent de p ct de diverses
variables, mais qui, variant pen dans le voisinage de la valeur critique |UL= -5
pourront, dans la discussion qui va suivre, 6tre regard^s comme constants.
M. Brendel arrive aux Equations qu'il appelle (267) et (269) et ou je
neglige $1 ; elles s'<5crivent
djou (278) se d^duit immeidiatement.
Nous pourrons dans le voisinage de la valeur critique faire p. = ide telle
fagon que liquation (273) s'^crive
Si nous regardons (34 et $ comine des coordonn^es planes d'un point, si
d'autre part nous continuons a consid^rer /?4 et p\ comme des constantes, c'est
la liquation d'une courbe du troisi&me degr^.
Au lieu de tracer graphiquement cette courbe, M. Brendel a prgferg cons-
truire un petit tableau num&ique qui se'trouve page 128.
SOLUTIONS PtfRIODIQUES ET PLANETES DU TYPE D'HECUBE. 433
J'ai repr6sent6 sur la figure cette courbe du troisi&me degr6 en ABC, DEF.
Lc tableau de M. Brendel ne comprend que les arcs BC et ED marques en trail
plein. II saute brusquement du point B au point E. Ges deux points B etEsont
sur une m&me droite perpendiculaire a 1'axe des Set tangente a la courbe enE.
On voit facilement ce saut brusque sur le tableau, ou a la valeur 8, 1670 de
log 3 on voit correspondre les deux valeurs 5g3,3 et 6o3,8 de 7^^ ; 9,09^ et 8,79
Les droites perpendiculaires a 1'axe des 3 coupent la courbe en un point si
clles sont a droite de BE, eL en irois points si elles sont a gauche. Les droites
perpendiculaires a 1'axe des (3i la coupent en un point.
Si, passant a la limite, on fait m = o,/?i et p\ s'unnuleiil et la courbe se
decompose on une droite (3t = o et une parabole (3J = 4^- Gette droite et cetto
parabole sont repr(5sent(5es en trait mixte sur la figure en LHM et GHK.
Ce r^sultat peut parailre (Strange au premier abord; il est clair, en effet, que
la droite LHM corrrespond aux solutions de la premiere sorte, qui pour m = o
se r<5duisent & des orbites circulates, et que la parabole GHK correspond aux
solutions de la seconde sorte, qui pour m = o se r<5duisent a des orbites ellip-
tiques ayant toutes m6me grand axe et m&me moyen mouvement — 2.
Mais si //. et 8 dependent seulement du moyen mouvement osculateur, on
pourrait croire que, ce moyen mouvement <§tant le m^mie pour toutes ces orbites,
la valeur de S doit 6tre aussi la m6me pour toutes ces orbites, de sorte que la
courbe GHK devrait se r6duire a une droite.
II importe d'expliquer la raison de cette anomalie.
Soient r et 9 les coordonii<§es polaires de la planfcte. Soient a et n le grand
H. P. — vni. 55
434 SOLUTIONS P^RIODIQUES ET PLANETES DU TYPE D^H^CUBE,
axe et Fexcentricite de cette plan&te dans son orbite absolue^ c'est-a-dire ce
grand axe et cette exentricite reduits a leurs termes elementaires, c'est-&-dire
aux termes constants ou p^riodiques de leurs d^veloppements dontle coefficient
ne contient pas m en facteur. Dans ces conditions a est une constante. On
pose ensuite
IH-P
Cest avec cette constante a que Ton calcule le moyen mouvemenL n a Faide
de la iroisierne loi de Kapler n*d* = i , el JUL est egal a- ? le moyen mouvemenL
de Jupiter elant pris pour unitt*.
Dans l^tude de ce qu'il appelle les termes de degre zero, c'est-a-dire des
solutions periodiques, M. Brendel suppose yj = o. II semblerait done que
1'excentricite ne doit contenir que des termes non gl&nentaires, c'est-a-dire donL
le coefficient contient m en facteur. Ces termes devraient done s'annuler
pour m = o, de sorte qu'en faisant m = o nous devrions Lrouver seulement des
orbites circulaires. Nous devrions done trouver seulernenL la droite LHM,
mais rien n'expliquerait la parabole GHK.
Mais les choses ne se passent pas d'unc manitjrc aussi simple : Fexpression
de p conlienl un terme dit caracteristique
PiC082(l — JJLi)p,
eL (34 esl de la forme
a ^lant fini
Qu'esl-ce maintenant que v?2? C'est la parlie (Slum en lair e de Texpression
c'esl-a-dire ce que devient cetLe expression quand ony supprimc tons les termes
qui contiennent m en facteur. Si Ton borne p an terme caractcSristique, il vienl
Si nous regardons 01 comme une constante diff^rente de zeSro, aucun de ces
termes n'es.t d^mentaire; c'est le point de vue auquel s'est plac£ M. Brendel.
Quand, 5X restant constant, on fait tendre m vers zgro, 1'expression (a3) tends
aussi vers z6ro. G'est & ce point de vue que Ton peut dire que YJ est nul.
SOLUTIONS PgRIODIQUES ET PLANETES DU TYPE D'HECUBE. 435
Mais, si maintenaiil je fais tendre siniullanemenl QI et m vers zt5ro, si jepose
par exemple <3t = ym, y elanl fini, alors a la limile on aura <3i = o, |JL4 == ^el
Comme nous avons suppose, avec M. Brendel, yj = o, nous avions, fin redui-
sanL p a son lerine caracleristique
I H- |JiCOS2(l — Ui )P a ,
' ^ ( ' I H--COS2(l — j
on a la liniiLe, pour w = o,
i •+- ~ cos P
T
C'cst Fckjualioii d'unc ellipse qui a pour excenlricit6~et pour grand axe lion
pas a, mais -• Dans ces conditions 1'orbile rdelle lend vers uiie ellipse,
landis quo Forbite absolue, toujours circulairo, lend vers un ccrcle qui non
seulemenL n'esl pas identiquc a cette ellipse, mais n'a pas m6me grand axe quo
celte ellipse.
Toutes ces ellipses limiles coiTespondenL aux divers poinls de la parabole
GHK. Elles ont louLes mCme grand axe, mais les orbiles absolues correspon-
danles n'ont pas loules m6me grand axe; la valeur de /JL oti de 3 n'esL done pas
la m6me pour toutes ces ellipses, el c'est pour cela que la courbe GHK ne so
rtfduit pas a une droite.
Ainsi done, quand m lend vers z6ro, ce n'esl pas la quantity p qui tend vers
le rapport des moyens mouvemenls des deux orbitos k<5pl(5rieniics, c'est la
quanlit6 /Jt-i, Si done, an lieu de prcndre pour coordonn^es (3A el 5, nous
avions pris (Si el <5j., notre courbe GHK serait devenue une droile el la courbe
du Iroisi&me degr<5 serait devenue une hyperbole 6quilal6rc.
Done I'a&omalie provient simplemenl de ce qu'il y a d'un peu vague el flou
dans la definition do Forbito absolue et, par consequent, dans celle des quan-
tit^s a, |Ji et 3.
Si 1'on fail attention a ces points, on verra que les resultals de M. Brendel
sont en parfait accord avec les miens. Je dois cependa.nl faire une reserve,
M. Brendel croit avoir expliqu^ de celle mani&re 1'exislence de lacunes dans
436 SOLUTIONS PER1ODIQUES ET PLANETES DU TYPE D'HECUBE.
la s^rie des pc tiles plan&tes. Cette opinion rfest pas fo?idee. Son tableau
montre en effet une lacune dans les valeurs 'de #t et sur la jfigure ce saut brusque
se produit quand on saute du point B au point E; Si saute alors de la valeur dj
a la valeur 3[. Cela veut-il dire qu'il ne saurait y avoir de petites plan&tes pour
lesquelles #4 prendrait une valeur comprise entre 3J et 3J? Nullement; il pour-
rait en exisler qui correspondraieiit aux parties pointill^es de la courbe. Mais
M. Brendel, pour dresser son tableau, a supprimtS ces parties pointillees.
Oest cette 'amputation arbitraire qui a cree la lacune. Pourquoi.u-t-elle cHu
faite aux points B et E plutot qu'aillcurs? C'est parce que le point E est le
point de contact d'uiie tangenle paralltile a 1'un des axes de coordonn(5cs. C'cst
done le choix des coordonn<5es qui a d(Hermin<3 le choix du point E. Or ce
choix depend lui-meme de la definition de 8 et de a, ct nous venous de voir
justement combien cette definition est vague et artificielle.
SUR LES PLANETES DU TYPE D'HECUBE
Bulletin astronornique, t. 19, p. aSg-Sio (aotitigoa).
M. Simonin a, il y a quelques ann^es, soutenu une th&se remarquable sur lo
mouvemenl de la plan&te Etecube; plus r^cemment, il esi revenu sur cette m£me
question et le Bulletin vienl de publier un article de lui sur ce sujet. AyanL
pris cetle annee pour sujet de mon Cours la theorie des petites plan&tes, j?ai
ou 1'occasion de rgsumer nos connaissances sur les orbites plan&aires du type
cl'Efecubc et des aulres types caract£ristiques. J'al done mis les rtisultals de
M. Simonin sous une forme nouvelle qu'il ne sera peut-tilre pas inutile de fa ire
connailre ici.
Jo prcncls la plan de Porbite de Jupiter pour plan des xy.
Je choisirai les unites de telle fa$on que la longitude moyenne do Jupiter soil,
rfgalo a t\ OL j'appellorai R une fonction 6gale a la masse du Soleil divistie par
la distance du Soleil a H6cube plus la masse de Jupiter divis^e par la distance
do Jupiier a Hdcubc, moins le demi-carr<$ de la vitesse d'H(5cubc.
Jo d&igne par L la racine carr^e du grand axe de 1'orbite d'H^cubo, et jo
pose
e et i 6lant I'excenlricUg et 1'inclinaison de cette orbite.
Jo d6signe par /, g el 0 1'anomalie moyenne, la distance du p<5rih<5lio an nonid
el la longitude du nceud. Dans ces conditions, les Equations sont canoniques et
s'^crivent
^t— — — - — — = —
<fl?jt $\4 (fy dQf dt U&
438 PLANETES DU TYPE D'HfiCUBE,
La fonction R depend des six variables, L. G, 0, /, g\ 0 el de t. Ces Equations
prennenl une autre forme si Ton pose
el si Ton prend pour variable 0 — f au lieu de 0, elles devienenl alors
dL_ dF dG^ dF dB ^ dF
ft ~~ dl* dt ~" dg* dt d((}—-t)^
-_ -_ ^^
t~ dL' fit ~~ r/G' f/t d&
Dans ces conditions, F est regard £ comme f one lion des six variables L, G,
<j)? i^ g'^ 0 — £, el de t. Mais nous devons observer que si l'exccnlricil,6 de Jupi-
ler 6lail nulle, F ne dependrail plus de t* mais seulement des six premieres
variables.
Nous allons maintenant changer de variables. Supposons que le rapporl des
moyens mouvements soit .tr^.s voisin de71 "^ -? n 6tant un entier qui pour
Htfcube sera t^gal a i . Nous poscrons
A = /-t-^-f-0 — ^ ,9 = — nt— (/i-f- i)^ — (n-*- 1)(0 — 0»
T = - nl - ng — (n -t- i )( 0 - 0.
U = L-f-/iS-<-/iT, S = L — G, T = G — 6.
On constate ais&nenl que Ton a identiquement
LI -»- Gg -h 6 (0 — t) = U A -i- S J? •+• TT
et, par consequent,
ce qui prouve qu'avec les nouvelles variables les tf qua lions rcsteronl canoniques
et s'l^criront ^
— — ^E ^?— ^5 aT _ dF
dt d\ dt ~~ ds* dt ~~~ dt^
™ — — — ^1 — „ — ^T — ^F
dt ~~~ dU'* cS""~~?S' S""~5T'
(3)
Voyons quelle est la signification de ces nouvelles variables. D'abord X re
senle la difference des longitudes moyennes. D'autre part,
ds dl td$ dti \ di ds d
Comme et~ sent tr^s petits et — ir^s voism de7-^i? on yoit que-et^
sont trds petits.
PLANETES DU TYPE D'HECUBE. 489
S est de Pordre du carrtf de Fexcentricile et T de 1'ordre du carre de rincli-
naison.
Comme S el T sont petits, U diflferera pen de la racine carrtje du grand axe.
Jo dgsigncrai par I1 el 57' Foxontricittf el le poriholio do Jupilor, cl je poserai
^ = ft A — t -+• ITF'.
Gomme-^-esl mil, on du moins Ir6s potil, on aura
dv d\ di
~- = n -. -- i = n - — n — i ,
dt dt dt '
dv
cc qui monlrc quo -,- csl aussi LrtJS peliL
Posons ma in Lena ni
y =
Com mo
xdy — S r^, J r/r, — T r/T
sont dos diffdroniiollcs oxaclos, Ics Equations resleronl canomques et s^crironl
,
_ __ _ _
dt "" d\ ' dt~ dy ' ^ "" d-t\ '
r/X__^F ^_ ^F ^J__^
* "" ^U' * ' dx* dt "" r/? '
Forme de la fonction perturbatrice.
La fonction F est, comme on sait, dcjveloppable suivant Ics puissances
dc ecosJ, esinZ, i"cos(Z + #), ism(l + g), efcos(t — tj7), e'sin(^ — w7) el suivant
los cosinus cl les sinus des multiples de la difference des longitudes moyennes X,
les coefficients du cltfveloppement dependant encore des grands axes, c'est-4-
dire dc L. Mais on voit ais^ment que <?cos£ =ecos [s + (n + i)X], esin/,
«cos(^ + ^) = i:'cos[T-t- (/i + i)X], «sin(^H-^) sont ddveloppables suivant Ics
puissances dc x^y^r\ et les cosinus et sinus des multiples de \\ quo d'autre
part,
e' cos (4— -Tii') =s (e'cosc )cosnX •4-(e/sin
On conclura que F est d^veloppable suivant les puissances de a?, y, £, YJ,
e'cosp, e'sinp et suivant les cosinus etles sinus des multiples de X. Les coeffi-
cients du d£veloppement dependent encore de L = U — nS — nT; ces fonc-
440 PLANfcTES DU TYPE D'HECUBE.
tions de L peuvent £tre d<*velopp6es par la formule de Taylor suivant les puis-
sances croissantes de n(S -+- T); c'est-a-dire de
dc sorlc que final ement F proc<3dera suivanL les puissances dc #,y, £, YJ, e'cosc,
£rsinp, cos/>A, shy?A, les coefficients du d^veloppemcnt ne dependant plus que
deU.
J'obscrve maintenani que, par ralson do'symtStrie, F ne doit pas changer :
i° Quand on change £ et 75 en — gel — yj;
a° Quand" on change y, yj el 9 en — y, — vj et — 9.
Cela montre qu'un grand noinbre de termes ne doivent pas figurer clans le
d^veloppernent.
Voyons maintenant quels sont, parmi ces termes, ceux qui sont a courte
p^riode. Ce sont les termes qui contiennent \ en dehors des combinaisons s,
r ou 9. Car nous avons vu que -3- ? -ri -T-? sont tr^js petits, tandis que -y- est fini.
Si, conform(5ment ^ Tesprit de lam^thode deDelaunay, nous supprimons ces
termes a courte p^riode, nous pourrons dire que F est dcSveloppable suivant les
puissances de x, y, ^, vj, e'cost>, e'sinp, les coefficients dependant seulemen I
deU.
Si nous n<5gligeons, comme M. Simonin, les termes qui contiennent en
facteur : e3, ZH, i-e, e*e\ d*, et si nous supprimons les termes qui doivent 6lre
nuls en vertu de la sym^trie, nous trouverons :
(5) F = A -H Bx H- G& -h D/s n- E? -h H-^
A, B, C, Dj E, H, K, L, M sont des fonctions de U.
Je remarque d'abord que F depend encore de X indirectement. Car F est
suppose exprim^ en fcmction de U7 >, ^, j, 5, n et de t\ ici F depend de U, x,
v, ^, 73 et p = /iX — ^ + ^. C'est par Tinterm^diaire de 9 qu'il depend encore
de X et de t.
Si Ton suppose que Ton neglige la masse de Jupiter, on aura simplement
PLANE1TES DU TYPE D'H^CUBE. 44l
on, en ntSgligeant les carr<5s de S el de T,
rn2
dc sortc quo si Ton pose
A — Ao-HfliAi B = BO H-
m <5lant la masse de Jupiter et A0, A1? . . . (Hani des fonctioiis de U indepen-
danlcs de celle masse, on aura
f BO ~ Ko = Lo = Mo = O.
Methode de Delaunay.
Comme premiere approximation, nous allons supposer
ef = g = -n = o.
Dans ccs conditions, F ne depend plus que de x, de y, et de U. On peut alors
pousser I'inl^gration jusqu'au bout par la rmHhode dc Delaunay. Nous n'avons
d'ailleurs aucune raison de ntigligcr les lermes de degr(5 supt^rieur en ,o?ei enj.
On Irouve imm^diatement deux intc^grales
U = const., P = const.j
car F ne depend ni de X, ni de t.
Consid&rons done x Qly comme les coordonntfes d'un point dans unplan, U
comme une constante donn^e et construisons les courbcs F = C, en faisanl
varier la constante C.
Si Ton supposait m = o, il viendrait
et nos courbes se rgduiraient & des cercles concentriques ayant pour centre
Porigine.
On doit faire une attention toute sp^ciale aux points pour lesquels on a
d¥ dF
Tx = fy~*>
H. P. — VIU. 56
442 PLANfeTES DU TYPE D'HISCUBE.
et, par consequent,
x == const., y =* const.
Ces points correspondent aux solutions p^riodiques.
Dans le cas de m = o? ce's'poinls sonL les suivants : Forigine x = y = o qui
correspond a uno orbilo circulaire, ct tons les points dn corcle
dF __ n __
rfS ~(U — ftS)-'""""1
qui correspondent nu cas ou le rapporl clcsmoyens mouvcmonts esl rigourouse-
ment c'gal a - •
Liquation ^ = o peut, suivant la valeur de LI, ne pas avoir de racine posi-
tive, on en avoir une; nous nous supposerons places dans cc dernier cas.
Nous remarqueroiis alors trois points, a savoir Forigine O ct los deux points
d'intersection A et B dc Faxe des x avec lo cerclc
dF
d§~°'
Passons au cas oti m n'est pas nul, mais tr^s petit. Les deux Equations
^F dF
-=- tsz -~ =s 0
dx ay
peuvent 6tre remplac^es par les suivantes ;
auxquelles correspondront divei^s points sur Faxe des x. Comme m cst tr£s
petit, ces points seront tr&s voisins des positions 0, A, B qu'ils occupaient
pour m = o.
Nous aurons done trois points, G voisin de 0, A7 voisin de A, B' voisin de B,
qui correspondront a trois solutions p&riodiques, la premiere de la premi6re
sorte, les deux autres de la seconde sorte.
Les courbes F =r= C pr^senteront alors la forme repr£sent£e sur la figure. Les
courbes sont numgrotSes i, a, 3, 4, 5, 6. On remarquera que i eta sontdcs
courbes ferm^es entourant le point G; que 3 et 5 forment par leur reunion une
sorte de limagon de Pascal ayant le point A; pour point double; que 4 cst une
courbe fermge entourant le point B' ; enfin que 6 est une courbe ferm($e entou-
rant les trois-points A7, B;, G*
PLANfcTES DU TYPE D'H^CUBE. 443
Le point reprcSsentatif #, y dgcrit une de ces courbes et sa vitesse a pour
//R1 /7F1
composantes -T- : ~~^~3 e^e est done proportionnelle a la distance normale de
deux courbes infiniment voisines, Le sens de cette vitosse depend du sens de
la normale suivant lequel les F vonl on croissant.
Les courbes i,2,'et 3 seronl done describes dans le sens des aiguilles d'nno
montre, par excmple; los courbes 4? 5 ol 6 dans le sons inverse. D'aillours,
landis quo le point x,y fora une infinite do fois le Lour dos conrbcs 7, a, ^el6,
il no parcourra qu'uno soulo fois les courbes 3 ol 5 on nllanl du point A' an
point A' dont il sera infiniment voisin lant pour t = — oo quo pour £ = + oo .
La courbc 4 correspond au cas do la libration.
Nos courbes fermtics diffdrcront pen de circon&rences.
Rappelons quo les coordonn<3os polaires du point #, y sont y 28 ct s. Or on
voit aistSment que, quand on parcourt une de nos courbes, S atteint4 son maxi-
mum ct son minimum sur 1'axe des x et que la difference cntre ce maximum et
ce minimum est en g^n&ral de Fordre de m: sauf pour les courbes 3,4? 5 ou
pour les courbes peu diflferentes de 3 ou de 5, pour lesquelles celte difference
est de 1'ordrc de ^m.
Parlons maintenant des variations de Tangle polairc s. Nous voyons qu'cn
g(5n^ral, quand le point a?, y d^crit une de nos courbes, s varie dc o ft arc ou
de 27T &. o, II y a exception pour la courbe i et pour la courbe 4 qui laisscnt
Torigine 0 en dehors.
Pour ces courbes, Tangle s oscille autour de z6ro.
Mais les deux cas sont bien diflferents; dans les deux cas, on a rigoureuse-
la relation suivante : le moyen mouvement dJH(^cube est £gal ^ deux fois
444 PLANETES DU TYPE D'HECUBE.
le moyen mouvement dc Jupiter moins deux fois le moyen mouvement du
ptSrihglie d'Efecube (je suppose que n= i, comme cela a lieu dans le cas
d'Hticube). Cette relation signifie eneffet que la valeur moyenne de~est nulle.
Mais on sait que le mouvement du p£rihglie est de 1'ordre des masses, a
moins que l'excontricii(3 ne soil elle-m£me de Fordre des masses; car si Fexcen-
tricite est tr£s petite, il suffit d'une trtis faible perturbation pour d<3placer
beaucoup le pgrihdie. Or, dans le cas de 4? Fexcenlricile est fmie, le mouve-
ment du p<3rih<5lie est do Fordre des masses, de sorte que le rapport des moyens
mouvements est ugal a 2 — ~ a des quantity pr6s de Fordre des masses. On
a une veritable libration. Dans le cas de i, au contraire, Fexcentricit(5 dtanl
petite, le mouvement du p<5rih(Slie est fini, de sorte quo le rapport dos moyens
mouvements n'est pas voisin de 2 = ; il n'y a pas dc libration.
Influence de 1'inclinaison.
Les equations qui donnent les variations de Finclinaison pronncnt la forme
tr^s simple
(7) | = + H,, J = -E5;
E et H doivent 6tre regard^s comme des constantes, puisquc U = const. L'inld-
gration est done immediate.
J'ai dit quo Fon avait U = const. ; Gt, en. cffet, si jc tiens compte de Fincli-
naison, mais que je continue a n«5gliger Fexcentricit<5 de Jupiter et los lormos a
courte p(5riode, F depend seulenent de U, ^,7", ^»V3, mais no depend ni de X,
ni de t\ on a done
r/F
— = o, U = const., F = const/
Galcul de X.
La difference des longitudes moyennes de X se calculera par unc simple
quadrature.
On trouve en effet
(8) «-=S-Al-B'ar-(yfljt
PLANETES DU TYPE DJH6CUBE. 445
A', B', ... dgsignanl les d&rivees de A, B, ... par rapport a U. Gomme U est
une constante, les coefficients A', B', ... sont aussi des constantes; quant
a x, y, £, YJ, ce sont des fonctions connues et p^riodiques du temps. Gela r^sulte,
pour oc et y, de ce fait que les courbes F = G sont ferm^es, et pour £ et YJ de la
forme des Equations (7).
Lc dernier membre de (8) est done une serie irigcnomglrique doiit la quadra-
ture est immediate. Le terme tout connu de cette sdric repr<5sentera alors le
inoyen mouvement de X.
Influence de 1'excentricite de Jupiter.
Tenons compte mainlcnunl de I'cxcenlricilg ef (je no veux purler que des
tcnnes de premier ordre en ef), mais continuous a ndgliger les terines a courte
p<5riodc.
Main tenant F depend de t et de A par 1'inlermgdiaire de p, de sorle qu'on n'a
plus les deux inlggrales
U = const., F = const.
Mais on tronvc encore .
— ~—
dt ~~ dt~~ dp*
(9)
Dans cos Equations (9), les premiers membres-^-j -jr reprtSscntcnt les deri-
V(5es totales prises par rapport au temps; les seconds membres ^r? ^repr(5-
senlent les d^riv^es partielles de F consid^r^e comme fonction de U, a?, y, £,
1T71
YJ, X, t] enfin, dans les troisifemes membres j- est la d^riv^e partielle de F
considtoSe comme fonction de U, a?,y, £,TQ, p. Ges Equations (9) mettent en
Evidence Fexistence de I'inttigrale
(10) U-H/iF = const.
Pour aller plus loin, j'adopterai la notation suivante : je continuerai a d<5si~
gner par U, ^, y, X les valeurs de ces inconnues que nous avons obtenues dans
Thypoth&se ef = o ; ce sera 1'ensemble des termes ind^pendants de ef dans le
d^veloppement de ces inconnues ;-je dgsignerai par 5U, te, Jy, 5i 1'ensemble
des termes du premier degr6 en e', de sorte que Fexpression complete, en
446 PLANETES DU TYPE
negligeanl e'2, serait U H- 6TJ, x + to, y + §y, X + 3X. 0ft voit par la que U
est une constants, mats que <5U n'est pas une constante.
Si nous nous arr^tons aux ternaes du second degrtS en x el/, nos Equations
prendront la forme suivante : Posons
F = & -+• e' ^ *
$ ;= A -t- B x -4- G #" -h D y2 •+• E ^2 -+- H *^2 j
6 = KCOSP -H Litrcosp •+• My sin P;
nous avons d'abord
-U d& dx
TT = -TT- = O; -7: =
tt^ ^fcJ?
elensuite
r d& i dfy t Tr . T ' AT
= e df. ~ ne-^~ — ne( sin P -H -. a? sm P — /COSP),
11 va sans diro que I' on a
5B
Nos ^qua lions peuvcnl s^crire
(12)
,,., . r • 11 x
-— =^ — ne (Ksiiip •+• La? SHIP — M/COSP),
<**
3 - = — oB — 2^?oG — Le'cos P.
at
Le second membre de la premiere equation (12) esl une fonclion connue du
lemps, de sorle que SV s'oblienl par une simple quadrature. Une fois SU deter-
mine, 5B, 3C, 3D sonl connus el les seconds mcmbres des deux dernieres
equations (12) seront des fonclions connues du temps. D'aulrc part, D el C
sont des constantes, de sorte que les deux dernieres Equations (12) sont des
Equations lin(5aires a second membre et a coefficients constants.
Le second membre pouvant d'ailleurs se mettre sous la forme de series trigo-
nom(§triques, ljint(5gration est immediate.
Nous avons trouv<5 plus haut la valeur de X et nous pouvons l'e"crire
X
PLAN&TES DU TYPE D'H^CUBE. 447
A0 et h <3tant des conslantes et Xj. une serie de cosinus et dc sinus. Dans les
seconds mombres des Equations ( 12), il est clair que nous pouvons nggliger Xj
cL faire
9 = n( \Qt •+- h) — t -t- TS',
mais si nous voulions lenir compte de ^, il n'y aurait aucune difficult^.
11 vienl enfin
— e'(Kfcosv -hL'#sinp -+- My sin 0 )
— [B'fa -h C'8(a:«) H- D'8(jr») H- E'S(^) ^ H'8(?i* J.
Lo second mcinbre est connu; A", Bv, ... sont les d&riv<5cs secondes
clc A, . . . , par rapport a U; on pourra d'ailleurs remplacer P par
n(X0<-h A) — t •+- ur'.
On aura done SX par quadrature.
Nouvelles approximations.
On pent se proposer dc pousser Fapproximation plus loin, soil eu tenant
coaipte des termcs a courtc p<5riode ou X figure explicitement, soil en tenant
compte des puissances suptSrieures dc a?, y, 5, TTJ, ou ej. Ges approximations
nouvellcs se poursuivent d'apr^js les monies principes.
Supposons qu'oii ait trouv6 des valeurs approch^cs des inconnues; soient
U? ^j^j S? ^j ^ ^^^ valeurs approcli(5es. Nous aurons
dU_d$ dx _ d$
dt ™^X ' dt ~" <r' " §'
4& etunt I'euscmblc des termes de F dont nous avons louu compte et diiFdranl
par consequent tr6s pen de F. Supposons maintenant qu'on veuillc tonir compte
de nouveuux. termes de F et soit ^ Pcnscmblo de ces uouvcaux tennes; nous
ferons done
F = <I> -h ^.
Nous voulons, en tenant compte de ces nouveaux termes, obtenir de nouvelles
valeurs plus approch<$es U -1- 3U, x 4- to, . . . , de nos inconnues.
Nous trouvons alors
, ON
(I3)
448 PLANETES DU TYPE D'HECUBE.
avec
Dans les d^rivees de ^ et dans les d^riv^es secondes de <S on pent d'ailleurs
remplacer les inconues par leurs valeurs approch^es, U. x, ....
Nous poserons
$i = A
el nous d<5composerons la fonction <b en deux parties en (Jcrivanl $ = Oi + <&2 5
on aura par exemple
Les d^riv<5es secondes de <&2 seront alors tr^s petites ; soit parce que tous
leurs termes contiennent en facteurs des puissances sup^rieures des excentri-
cil£s ou des inclinaisons, ou la masse multiple par un terme a courte p^riode.
de fagon que la petitesse de la masse ne puisse toe compens^e par 1'introduc-
lion de petits diviseurs.
Alors les lermes
seront tr^s petits par rapport a 5X, 3a?, . . . , c'est-4-dire par rapport aux correc-
tions qu'il s'agit de calculer; ils pourront Gtre n£glig(£s, ce qui rcvienL a dire
que dans les Equations (i3) on peut remplacer $ par $4. Ges Equations
deviennent alors
(14)
= - au( A.ff
Comme ~ est connu, la premiere Equation ( i4) nous donne 3U par quadra-
ture; comme SB, 3G, 5D sont d^sormais connus, les seconds membres des
autres Equations (i4) sont connus; les quatre suivantes deviennent des 6qua-
PLANETES DU TYPE D'H^CUBE. 44g
lions lin^aires a seconds membres el a coefficients constants qui donnent faci-
lement &#, <5y, <5£, $n et la derni&re donne 5X par quadrature.
Mais il importe d'<5ludier de plus pr&s la forme des solutions ainsi oblenues.
Dans les premieres approximations, les variables U, #, y: £, YJ, cos A, sin A se
pr^sentaienl sous la forme de series Irigonom^triques proctSdant suivant les
sinus et cousins des multiples de quatre arguments proportionnels au temps et
que nous pourrons appeler
h) —
Voici comment s'introduisaient ces quatre arguments ; d'abord pour cr, nous
avions les deux Equations
dx dF ^ dy dF
— = 2Dy, -j- =; — — = — B — 2 G#.
dt dy J dt dx
Ces Equations, qui sont linduires et a coeficicnts constants, s'int^grent imm<5-
diatement et nous trouvons
B
x — -- _ _j_ XQ Cos <y, ^ssjKoSincjj
a?0 ety0 t$tant des constantes et e unc fonction lin<5aire du temps tclle que
(15) S=2^'
De rn^me pour £, nous avons les deux Equations
djou
T\ — 7^0 siii s;
etYj0 (Hant des constantes et s une fonction lineaire du temps telle que
~ =
Dans Texprossion de-^j nous aurons ensuitc mi ierme constant A0 qui intro-
duira par quadrature Targument -
JJL ss X0« -H A.
Enfin, quand on substituera a X sa valeur dans p = /zX — ^ 4- E/, on introduira
le quatridme argument
1 v = n\x. — t -4- tu'f ,
H. P. — YIIL 57
450 PLANETES DU-TYPE D'HECUBE-
La iii^me forme trigonom^trique se retrouvera-t-elle aux approximations
suivantes?
D'abord la premiere Equation ( i4) ne soul^vcra pas de difficult^. Sile second
membre de cette Equation contenait un tcrme constant, il en rdsulterait
dans 81] un terme s^culaire; niais cela n'arrivera pas parce que, par raison de
sym&trie, ce second membre ne peut contenir que des sinus.
Passons ci la deuxi&me et a la troisi&me equation (i4)- D esl- clair que ces
equations donneronl, pour 8x et iy, des termes stfculaires si nous avons dans
les seconds membrcs des Lermes en sine-, coscr. A cause de la relation ( i5), les
equations
—
donneront en eflet des termes seculuires, a ruoins que Ton ait
Q v'D -h P v/5 = o.
Les autres Equations (i4) donneraient lieu a des observations analogues. Ainsi
s'introduiraient des termes scSculaires que nous pouvons et que nous devons
eviter.
Pour eviter ces termes, cherchons t\ rupresenter nos inconnues pur des series
proc£dant suivant les sinus et les cosinus des multiples de quatre arguments o-,
£, JJL, v, en supposant toujours que ces quatre arguments sont des fonctions
lingaires du temps, mais sans supposer que les coefficients du temps dans ces
quatre fonctions lin^aires aient rigoureusement les valeurs trouv^cs en premiere
approximation, c'est-a-dire les valeurs (iS), (i5 bis), A0, /iA0 — i.
On a alors
et, par consequent,
, Av R dx dox dx da dx ^ dt dx d^ dx <h
( ID ) 0 -77 =s — =— H r- 0-^-H r-O-T" H — F- o — s- «4- -v-O-r--
^ ' dt dt dv dt de. dt d\J. dt d» dt
Nous voulons, a Taide des Equations (i 4), determiner non seulement nos incon-
nues to, ty, §U7 ax, mais les constantes S~,S~,S^,a^.
dt dt dt dt
Je remarque d'abord que dans le second membre de ( 16) flgurent les dgrivges
PLANfeTES DU TYPE D'H£CUBE. 45 1
de x. Nous pouvons, dans ces dckiv^es, remplacer x par sa valeur approch^e
B
Gar si nous commeltons une pelile erreur sur x* Fen-ear commise sur-^
J
~
at
sera Irfcs petite, non seulemcnt d'une manure absolue, mais par rapport
a 3^-? c'est-a-dire par rapport aux quanlil6s a calculer.
Or si nous remplaQons x par sa. valeur approchee, il vient
doc . dx dx dx ^dx
35 -- *,sm<r, ^ = ^ = ^-=0, 0_
La seconde Equation (i4)> qui dcvrail s'ecrire
devienl ainsi
/ N . ^ _^ * TV *% . wv
(17) -r -- tfosms.S-T- — 2Doy = 2jSD -h ^- = P sm <r -4- R.
La seconde Equation (i4) donne de ratoc
(ijbis) -^-4-7oCOsar.S^H-2G5a? = — 2a?oG — oB — -^ = Qcos<r-h R'.
P el Q sont dcs consUmlos, R et R' des ensembles de lermes trigonomeLriques
donL aucun n'a pour argument <r,
Or les Equations (17) ei (17 bis) n'introduiront pas de termes s^culaires,
pourvu que S-r; soil d<£lormin£ dc tclle tacon quo
(Qv/D + Pv/e) - 3(roy/D -
11 est uLile de rcmarquer que Ton a
de sorte que le coefficieuL de ^37*10 s'annule pas.
Les quatri^rne el cinqui^rne (5qualions ( i4) se traiteront de la m<5me manidre
el dcHermineronl 5^, SYJ, §-;-• La sixi^me equalion (i4) donnera <JA par quadra-
lure, et il cst clair que 5 ~~ neseraaulre chose que le terme constant du second
membrc de cette Equation. On aura enfin
_c?v du.
452 PLANfcTES DU TYPE D'HECUBE.
On peut done 6viter les termes seculaires, et la difficult^ pcut loujours etre
surmontge. Elle ne se rencontrerait d'ailleurs que dans le calcul des termes du
troisi£me ordre par rapport aux excentricit^s et aux inclinaisons.
M. Simonin n'a pas pouss6 1'approximation aussi loin; on voit, il est vrai,
dans ses formules figurer des lermes seculaires, mais Forigine enestdiff&rente.
Les moyens mouvements
da di d\t. dv
~dt' dt: di' di
dependent des constanles d'int^gration et en particulier de U. M . Sirnonin a
voulu donner a la constante U un petit accroissement 5U; il en r^sulterait
pour X) par exemple, un petit accroissement
qui contient un terme s6culaire t sina.
C'est cette differentiation pour ainsi dire qui est Torigine des termes s6cu-
laires rencontres par M. Simonin,
Nouvel examen des termes en e'.
Reprenons les equations (12), et cherchons quels sont les Lermes les plus
imp.oftants, Dans les seconds membres, nous ne pourrons conserver que les
termes qui contiennent en facteur el seulement, en rejetant ceux qui contien-
nent erx ou e'y ] nous trouverons ainsi
.
-— = — ne K sin P,
KI etant une constante contenant comme K la masse en facteur. Alors
SB = B'SU, SG==G^U, 8D = D'SU
contiendront er en facteur et, nggligeant toujours er x, er y> nous pourrons
= Me' sine,
—• -f- zCSar = — (KtB' -1- L)e'cose,
PLANfeTES DU TYPE D'HfCUBE. 453
•„ ,Lc termc KiB' pent 6lrc neglige parce que KI et B' sont Fun et Fautre do
1'ordre des masses.
Dans les seconds membres, nous ferons
9 =s n(\Qt-\- h) - / -f- 7T?' = 71 JJL — i-J- W'
el 1'inldgration sera immediate.
Si nous negligeons d'abord les perturba lions de Saturne eldesautres grosses
planfetes sur Jupiter, nous pouvons rcgarder e1 et rss' comme des constantes.
Alors §% se rgduit <a un lerme en cos^, et Sy a un terme en sint^. Ges termes
seront grands parce que le moyen mouvement de 9 diff^re trfes peu de celui
de a; la difference est de 1'ordre des masses. Mais, si 1'on veut tenir compte dos
perlurbations sgculaires subies par Jupiter, on devra 6crire
e'cosw7 = 2>ccos(«i H- p),
e'sinta' = Sxsin(a^-f- (3),
ou chacun des seconds membres sera la somme d?un certain nombre de termes
p^riodiques a tri^s longue p<5riode; les x, les a et les (3 sont des constantes.
Les Equations (18) devieindront alors
MS* sill (/ip —
L'int<5gration est encore immediate et nous fait connaitre les variations
sgculaires de 1'excenlricit^.
Termes elementaires de la longitude.
11 existe dans 1'expression de SK des termes Elementaires ^. tr^s longue p6riodc
et dont il est ndcessaire de faire une etude approfondie. Nous supposerons
c'est-^i-dire que nous n^gligerons Finclinaison.
Nous avons
en posant
454 PLANfeTES DU TYPE. D'H&IUBE.
O0 dSsignant 1'ensemble des termes ind^pendants de la masse de Jupiler
et 7ft<£i 1'ensemble des termes qui contiennent cette masse en facteur.
Or on a
d'ou
ou en nggligeant S
Nous sommes ainsi conduits a calculer <5U — n5S; et pour cela nous avons les
Equations (3)
d\J dF rfS d¥ ds d¥
dt ~ d\ ' dt " ds ' dt~ dS
qui nous donnent
(puisque $ ne depend pas de A et que ^ n'en depend que par 1'interm^diairo
de *> et
d'ou
Nous ne voulons conserver dans le second membre que les termes s^culaires,
Or, nous avons
ce qui montre que le moyen mouvement de 9 + $ est tr&s petit. Les termes
sgculaires sont done les termes en *>-f-i; si nous les conservons seuls, fy
deviendra une fonction de 9 + s et Ton aura
PLANfeTES DU TYPE D'HfcCUBE. 455
J'(5cris ^-^a la place de -77) parce que je sais que-~estrnul, <D0 dependant
soulement de U el de S.
Commo tons los termes do 5-~contiennent on facteur to, Sy on 3LJ, et par
consequent m, jo vois quo la ddriv^e dc 3U — ;idS (rtfduile aux termes a tr6s
longue p<5riode) esl divisible par le carr6 de la masse.
Co r&ultat n'est autre chose que le th6or£me de Lagrango sur l'mvariabilil£
des grands axes; car U — nS est une fonclion du grand axe.
Nous trouverons ensuile
<& = A -4- B \/2Scos5-h2S(Gcos25-hDsins5),
^~ as — B /2S sin* 4- 4$(D — C)cosssins = — Bj -4- (D — C)^r;
d'ou enfin
Seulement, ainsi quo nous Pavons fait observer (el en verlu du th£or£me de
Lagrangc), le second membre de (20) contient en facteur le carrc5 de la masse
per turba trice. En premiere approximation, il devrait 6tre regards comme nuL
Si 1'on veut pousser plus loin Fapproximation et tenir compte de /?i2, nous
n'avons plus le droit de n^gliger les tei^mes en -^ — ™* En effct, si nous avons
ndmis que les seuls termes S(5culaires (5taient les termes on c + s, c'est parce
que nous avions remplac6 x et y par lours valeurs approcheos
(et que nous avons dans 9 remplac6 ?i par /jt en supprimant la partiep^riodique
Nous trouvons alors
JL — ~ ss — Ksinp-f-(L 4-M)(rcosp — d?sinp).
av as
II vient done
d
(21) dt ~
H- ne'[— Ksin^ -t-(L *+- M)(/cosp — a? sine)],
Mais, a col6 du th^or^me de Lagrange sur Finvariabilit^ des grands axes,
nous avons celui de Poisson, d'apr&s lequel les termes s($culaires des grands
456 PLANETES DU TYPE
axes qui contiennent ni* en facteur doivenl <5galement disparaitre. Ainsi, dans
le second inembre de (21 ), les termcs a longue p^riode de Fordre de w2 devront
se d6truire.
Ce r^sultat doit £lre rapprochcS de ceux qu'ont obtenus, par la m<3thodc do
Gyld£n, M. Ludendorf pour la plan&te Etecube, M. Brendel pour la plan&tc
Hestia. Ces deux savants onl cherch<5 a former les termes £ longue p^riode qui
pourraient exister dans le d^veloppement de la quantity qu'ils appellent S et en
se bornant aux termes du second degr£ par rapport aux excentricit<5s. Us out
reconnu que les plus importants de ces termes se d^truisent.
Ce r&sultatj qui a cout<§ aux deux auteurs d'assez longs calculs, n'est done
autre chose que la traduction dans le langage de Gyldtfn du c6l6brc th^or^mo
de Poisson.
Quoi qu'il en soit, il faudrait en revenir a liquation (19) et rechercher quels
sont les termes du second membre qui peuvent avoir une valeur sensible. Gelte
tHude pr(5senterait un grand int6r6t, car elle permettrait de con,tr6ler les r<5sul-
tats obtenus par M. Harzer, au sujet de termes a longue ptSriode dont les coef-
ficients seraient extr&mement 6lev<5s et dont 1'existence a 6t& contest<5e par
M. Backlund (voir Bull, astron.^ l. 14^, p. 3ai). Bien que Panalysc de
M. Backlund soil sujette a une sgrieusc objection, un contr6le direct pourrait
6tre fort utile.
NOTE
SUR Li STABILITE DE L'ANNEAU DE SATURNE
Bulletin astronomique^ t. 2, p. 507-608 (aovembre 1886).
Laplace a d($montr6 que 1'anneau de Saturne ne pouvait 6tre stable qu'a la
condition d'etre subdivis<3 en plusieurs anneaux concentriques animus de vitesses
de rotalion diflferentes ; de sorte que, si 1'observation. ne nous avait pas permis
de conslater directement cette subdivision, la thgorie de la pesanteur aurail pu
suffire pour la faire pr<5voir. Depuis, M. Tisserand (4) a, par une analyse
approfondie, confirm^ le r<3sultat de Laplace ; il a reconnu qu'un anneau unique
ne pourrait subsister que si la density de 1'anneau <5tait notablement sup<5rieure
a celle de la plan^te, ct il a calculi la largeur maxima de chaque anneau <&3mcn-
laire en fonclion de sa density et de son rayon moyen.
On voit ainsi que cliaque anneau <5l<5'mentaire doit 6tre d'autant moins large
que sa density est plus faible, Mais on peut aller plus loin encore dans cette
voie : je vais montrer que, si la density devient inferieure a une certaine
limite, tout anneau fluide est instable, quelle que soit d'ailleurs sa largeur. Sous
Finfluence de la moindre perturbation, 1'anneau ne se d^composeraitplusalors
en plusieurs anneaux concentriques, mais il se r^soudrait en un grand nombre
de getits satellites.
Dans ma Note sur l^quilibrc d'une masse fluide amim^e d'un mouvement de
rotation (Bull, aslron,, t. 2, p. 109), j'ai montrg qu'une pareille masse ne
peut £tre en ^quilibre stable que si la vitesse de rotation w est plus petite
(*) Annales de VObservatoire de Toulouse, t. 1.
H. P. — VIII. 58
458 LA STABILITY DE L'ANNEAU DE SATURNE.
que ^27rp/, p etant la density moyenne de cette masse et /1'attracLion de deux
unite's de masse a 1'unite" de distance.
Si 1'anneau tHait fluide et tournait d'une seule piece, on devrait done avoir
CO2 < 2 ftp/.
D'autre part, on a pour la vitesse de rotation
r e'tant le rayon de 1'anneau (3l£nientairc conside>£ et M la masse de Saturne.
Si nous appelons r1 le rayon de la planete et p' sa densite*, il viendra
On d^duit de
ou
De 1'anneau int^rieur £ Panneau ext^rieur, lc rapport — varie ^ pen pres enlro
les limites i ,5 et a, 2 : le second membre varie done entre^ et -^*
Si done les anneaux gtaient fluides et tournaient d'une seule piece, la densit<5
de 1'anneau inte*rieur devrait 6tre au moins dgale au cinquiemc ot celle de
Panneau extt^rieur au seizieme de celle de la planete.
On verra peut-6tre la une raison de ne plus conside*rer les anneaux comme
formes d'une multitude de satellites extSmement petits; Maxwell estimait en
effet qu'un anneau fluide ne pourrait 6tre stable que si sa densite" 6tait au plus
au i- de celle de Saturne.
SUR LES SATELLITES DE MARS
Comptes rendus de rAcademie des Sciences , t. 107, p. 890-892 (3 d^cembre 1888).
Dans uno Nolc rtfccnle (20 aout 1888), M. Dubois <§mel Phypoihfcse que
Phobos el Djoimos sonL de pelites planfeles qui ont pass<3, il y a quelques ann6es,
dans le voisinage de Mars et ont 616 rotcnucs par Pallraction de cet astre. C'est
ainsi qu'il explique que ces deux satellites de Mars n'aienl 6U3 observes
qu'cn 1877.
Celte hypoth&se est inadmissible. On peut s'en rendre compie d'abord en
nggligeant Pexcentricit<3 de Mars. Si Ton suppose en effet que le rnouvementde
Mars est circulaire et uniforme, le probl&me des trois corps admet une int6-
grale connuc sous le nom Nintegrale de Jacobi, et qui s'dcril
, , M u, P2
( i ) -- — — c -h — =s const.
2 R p 2
Dans colie relation, M d^signc la masse du Soleil, JJL celle de Mars, n le
moyen mouvement de Mars, R est la distance de la petite planfcte au Soleil, p
sa distance a Mars, r sa distance au centre de gravity G de Mars et du Soleil;
enfin 9 est sa vitesse relative par rapport a des axes mobiles ayant leur origine
en G; Paxe des z <3tant normal au plan de 1'orbitc de Mars et 1'axe des x ^tant
la droite qui joint Mars au Soleil.
Si Phobos avait 616 autrefois une petite plan&te, il aurait du? ^L une 6poque
antgrieure, couper 1'orbite de Mars en un point assez 6loign6 de cet astre pour
que le terme -soit n£gligeable. La formule (i) permet alors de calculer.quelle
6tait a ce moment la valeur de P; le calcul donne une valour imaginaire.
Si Ton ne croyait pas pouvoir nggliger I?excentricit6 de Mars, d'autres consi-
d^rations pcrmettraient encore de rejeter I'hypoth^se de M. Dubois. Cette
460 LES SATELLITES DE MARS.
hypothec revient en effet a admettre que les 6l6ments des deux satellites 6taient,
il y a pen d'ann^es, tr&s diflferents de ce qu'ils sont aujourd'htii; et par cons<3-
quent, que la force perturbatrice du Soleil les fait varier trfcs rapidement. Or
cette force perturbatrice est du mfimc ordre de grandeur que la quantity que
Ton appelle w2, c'est-a-dire que le carre du rapport des moycns monvcments.
On voit que cette force ne produit sur les <5l6menls de la Lune que des variations
extr6mement lentes. D'ailleurs il est ais£ de calculer que m2 est pour
Deimos i 600 fois plus petit et pour Phobos 20 ooo fois plus petit que pour la
Lune. Aussi, quoique Texcentricit^ de Mars soit environ 6 fois plus grande que
celle de la Terre, je crois pouvoir affirmer sans calcul que les laments des
des satellites de Mars ne peuvent pas avoir vari6 sensiblement depuis un sifcclc,
Bien que I'hypoth6se de M. Dubois doive 6tre abandonee en ce qui concerne
Phobos et Deimos, il y a peut-6tre quelque int<5r£t a se rendre compte de ce
qui arriverait si une petite plan&te s'approchait beaucoup de Mars,
On voit sans peine qu'i sa sortie de la sphere detraction de Mars, sa vitesse
relative par rapport a cet astre serait sensiblement la m6me en grandeur qu'i
son entree dans cette sphere, mais pourrait toe tr^s dilF^renle en direction,
Elle ne pourrait done devenir momentantoenl satellite de Mars que si celte
vitesse relative 6tait sensiblement nulle. Cela est tr&s improbable sans 6lrc
absolument impossible; en tout cas elle qnitterait de nouveau la plan^le apr&s
un petit nombre de revolutions, et son grand axe demeurerait pr^s de 100 fois
plus grand que celui de Deimos,
SIXIfiME PARTIE. — QUADRATURES MfiCANIQUES.
SUR LES QUADRATURES MECANIQUES
Bulletin astronomique^ t. 16, p. 882-387 (octobre 1899).
1. Quand Fexcentricite du corps trouble est trop grandc pour quo Ton
puisse ddvelopper suivant les puissances de celle quantity, on a ordinairement
recours aux quadratures m<2caniques. Le plus souvent, le corps trouble reste
sur une partie de son orbite tr&s eloigne de la plan£te troublante, de sorte que
dans celto partie les perturbations sont tr&s petites et souvent presque negli-
geables. Dans Fautre partie de 1'orbite, au contraire, il se rapproche beaucoup
de la plan&te troublante et les perturbations sont relativement considerables.
On est done oblige, au moins dans cette seconde partie de I'orbite, de
multiplier beaucoup les intervalles, non seulement parce que la quantity &
integrer est tr£s grande, mais surtout parce qu'elle varie tr&s rapidement. Je
me suis demands s'il n'y avait pas moyen d'abr^ger un peu le travail de ces
quadratures m^caniques en s'aflranchissant de cette circonstance.
2. Je supposerai d'abord que Forbite du corps trouble soit tr6s excentrique
et celle de la plan&te troublante circulaire. Je prendrai pour variable Panomalie
excentrique du corps trouble que j'appellerai u. Les coordonn^es du corps
trouble, le temps et, par consequent, les coordonn<5es du corps troublant
seront des fonctions entires de u. Si done j'appelle F(w) le carr^ de la dis-
tance des deux corps, la fonction F(&) sera aussi une fonction enti&re de w,
c'est-a-dire d^veloppable suivant les puissances de w, quelque grande que soit
cette variable.
462 LES QUADRATURES MECANIQUES.
Les integrates qu'il s'agit de calculer sont de la forme
y*G(i*)[F(«)f ««fo,
s 6tant un entier positif impair et G(u) une autre fonction entire.
Je suppose que le moment ou les deux corps sont le plus rapproche's 1'un de
1'autre correspond a la valeur u = u^.
La difficult^ provient de ce que, pour u voisin de MO> F(u) devicnt tres petit
__
et que, par consequent, [F(w)] 5 est grand et varie rapidement.
Gonside"rons les racines de liquation
F(M) = O.
Solent MI, u\ ; M2, u't les qualre racines, imaginaires conjugates deux a deux,
les plus rapprochees de UQ.
Soit
(1) P(a) = (tt— a, )(«
(2) F(M) =
Q(z^) sera encore uno fonction enliere; mais elle ne deviendra plus tres petite
pour u voisin de «0-
Si alors nous considerons la fonction
cette fonction, dans le voisinage de u = UQ, nc deviendra plus tres grande et
ne variera plus tres rapidement; j'ajouLerai que dans le voisinage de u = w0j
elle pourra etre de'veloppe'e en s^rie ordonnee suivant les puissances de u — w0
et que la convergence de cette se"rie sera raplde. Nous pourrons done poser
(3)
etant un entier plus grand que -> H(w) un polynome et R(w) une fonction
qui reste tres petite. II vient alors
La premiere inte'grale est une intggrale elliptique; la seconde peut se
calculer d'une faQon relativement rapide, puisque la fonction sous le signe
I est petite et ne varie pas rapidement.
LES QUADRATURES MECANIQUES. 463
J'ajouterai que Fintggrale elliptique en question est a peu de chose pr&s <§gale
a une integrate elliptique complete, c'est-a-dire a une periods de Pint^grale
ind(5finie. Comparons, en effet, Fintograle complete
et Fintegrale a calculer
La valeur UQ sera comprise enLre Ics deux limites d'inttSgration Ui et w2; or,
c'est seuleinent dans le voisinage de w0 que la fonctioii sous le signe C
acquierl une valour notable; la difference des deux inle"grales
/V"
*/_.«, */Wa
est done petite et le calcul n'en pr^senle pas de difficult^.
3. Supposons maintenant que 1'orbite du corps troublant nc soit plus circu-
laire, imiis elliptique, quoique tr&s peu excentrique.
Les coordonn(5es du corps troublant seront encore des functions. entires de -
1'anomalie excentrique du corps troublant; mais celle-ci, qui ne sera plus
proportionnelle au temps, ne sera plus une fonction entire de w, c'est-^i-dire
de 1'anomalie excentrique du corps trouble.
Soit done 9 I'anomalie excentrique du corps troublanl; P n'est plus fonction
cnti&re de u] mais 9 pent se de"vclopper suivant les puissances de l'excentricit(5
ct la convergence de ce devcloppement est ir&s rapide puisque cette excentri-
est tr6s petite.
Soit done
ce dtfveloppernent ct soit v1 la somme des m premiers t'ermcs. La difference
9 — 9' sera tr6s petite et 9J sera une fonction enli&re de u.
Ce que je viens de dire de 9 s'applique a une fonction enli&re quelconque
de 9 el de u et, en particulier, aux coordonn^es du corps troublant et au carr6
de la distance des deux corps.
Les deux fonctions que j'ai appetees F(w) et G(u) ne sont done plus des
464 LES QUADRATURES MECANIQUES.
fonctions enti&res de u] mais elles different tr&s peu de deux fonctions
entires E'(tt) &.G?(u).. .
On peut ainsi remplacer I'inlggrale
r —
/G(K)[F(M)] *du
par la suivante :
(ou F' et G' sont des fonctions entires), en commeltanl une erreur qui est dc
1'ordrc de la mI6mc puissance de 1'excentricite de la planete troublanle (et cela
en prenant m aussi grand que Ton veul).
CeLLe soconde int<5grale se traiterail comme cello du paragraphe prudent.
4L On pourrait objecter que le calcul des racines ui: u\, u%, u'2 pourra
presenter autant de difficulte que le calcul direct lui-m£me; mais il faul
observer qu'il n'est pas n<5cessaire de calculer ces racines exactement.
Si Uij u'i: u%, u'z d^signent non plus les racines de F = o, mais des valeurs
approch^es de ces racines, et si Ton conserve les formules (i), (2) et (3) qui
d<2finissent P, Q, H et R7 la fonction R restera encore petite, si Papproxi-
mation des racines est suffisante, et les m£mes proc(5d<5s resteront applicables."
Je crois qu'il suffira le plus souvent de prendre pour P(&) les cinq premiers
termes du dgveloppement de F(w) suivant les puissances de u — UQ.
5. On pourra aussi quelquefois, au lieu de quatre racines Wi, u\, w2, w'2 en
consid&rer deux seulement u± et u\ et poser
Les integrates elliptiques seront alors remplac<5es par des integrates circu-
laires.
On pourra surtout introduire cette simplification, si la masse troublante est
tr£s petite et si les perturbations ue deviennent sensibles que parce qu'a un
moment donn£ les deux corps se rapprochent beaucoup.
Soit, par exemple,
nous pourrons poser
(« — WI)(M-— u\ ) ="(#—
LES QUADRATURES MECANIQUES. 465
puis
-(
d'ou
cl
Or la fonctioii
peul so dtfvelopper suivanl. les puissances do u — MO; soil
(P). p0-+-pt(M-Wo)H-pa(M
c(i d(5veloppemoni.
Si ^ = i , il restc & calculer Fintt^gralc
ct Ton Irouvc pour l'int,6gralo indtSfinic ime s6ric dont Ic Lormo lo plus impor-
lant osl
ol dont les auln^s tcrmos sont de la forme
Aw(M-he-«S).
II n'y a plus qti'i\ substituor dans celtc s^rie les limilcs d7int(5gration; mais
il nous resie & nous rondre compte dc la rapidit^ de la convergence de celte
s(Srie.
J'obsorve ,d'abord quo les coefficients (3/t sont du m6me ordro do grandeur
quc ; - rr- D'autrc part.
^ («2— W0)rt l '
^(eS-. ^-5)1 ^ = GS + SX« tf»t,
od C = o si ft est impair et oil C = ± -. — —j si /i est pair et ou
\2 V
H. P. — vnr. 59
4G6 LES QUADRATURES M^CANIQUES.
Pour 71 Irtjs grand el pair, C osl, du m6mo ordre de grandeur quo i~", do
sorle que le coefficient du terme en £, dans noire serie, convergora avoc la
mdme rapidile qu'une progression g<3om£trique dont la raison osl
a2 __ ( Ui — u o ) ( u\ — UQ )
( Z/-2 — WQ )2 ~" ( W2 — Wfl )2
Qiianl a Fensomblo dos lermes exponentiels, il convergera aver, la memo
rapidilu qu'uno progression geom^trique dont la raison osl
U — a
U-2 UQ U* UQ
U represent ant Fune dos valours de u qui correspondent, a 1'unc dos limllos
d'inlggralion, c'osl-a-diro a Fuiio des limiles de 1'intervalle auquol la mtflhode
doil s'appliquer.
Ceci nous fait voir quclle ost la condition pour quo cetlo m<5lliode puisso
s'appliquer avec avantagc. Tl faul, d'une part, que MI — UQ soil petit par rapport
a w2 — UQ; d'autre pan, quo U — Ui el, par consequent, U — UG soiont petits
par rapport a w2 — UQ.
Rappelons que z^0, U, MI, uz representent les valours de u qui correspondent
respectivement a la distance minima des deux corps, a 1'uiie des lirnites de
1'intervalle d 'integration, a la racinc de F = o la plus voisinc de Wo, et cnfin a
la racine de cette m^me equation la plus voisine de UQ apr&s Ui etsaconjugmle.
II fa ut done que deux racines conjugates soient beaucoup plus voisinos de MO
que les autres; sans quoi, il vaudrait mieux avoir recours aux fonctions ollip-
liques.
Le cas de s^> i so ram6ne facilement a celui de s= i, car les integrates do
la forme
( U — UQ )fl du
se ramfenent facilement par des proc<5dds connus au cas de s = i .
OBSERVATIONS
AU SIJJET DE L'ARTICLE PRECEDENT
Bulletin astronomique, t. 18, p. 4o6-420 (novembre 1901).
1. On no sanrnit prondro a la lotlro 1'affirmation do M. Soaros quo 1'oxaoli-
lude du rtisnllal depend bion plus do la frequence dcs changemonls do signc
dos differences succossivcs qne do la valenr absolue do cos differences.
Soionl F(#) la fonction a inlerpolcr, #1, a», .,., an los valours pour
lesquelles on calcule la fonclion F(«i), F(«2), . . . , F(an); nous romplacons
la fonclion F(#) par im polynome de n — iI(Nmc dog-re P(a?), on clioisissanl los
cocfficionls do co polynome de tclle facon quo
Soil alors
el soil A1 le maximum do la valour absolue do la derivee ftlftmc do F(#) dans
Tinlorvallo considere; I'errcnr commisc esl plus polilo quo la valour absolue do
_£
L'orrour commise stir Piniegralc esl done plus pelilo quo
Mais co resullat donneraii uno idee Lr^s incxactc do la grandeur do 1'erreur,
qui poul ^Irc boaucoup plus pclile. II esl clair quo cello orrour pen I
ropreseniee par tine iniegrale dc la forme
rF(«)(a?)e(*)dar,
468 ' OBSERVATIONS AU SUJET DE L'ARTICLE PRECEDENT.
ou F(»)(#) represente la d6riv^c 7&l6mo de F(#) et ou 0(#) est une fonction qui
ne depend que des limites d'integration et des valeurs a±J a2, . . . , an.
Pour determiner cette fonction 9 (a?), supposons que la fonction F(#) soit
definie de la facon suivante : i° Elle devra s'annuler pour x = a/; 2° elle sera
continue ainsi que ses n — 2 premieres derivees; 3° la derivtSe n — iI6me sera
continue egalement, sauf pour une valeur z de x comprise entre ap et ap+i ; en
franchissant cette valeur, cette d£rivt§e subira un saut brusque 6gal a i, de
telle facon que
F(«-i)(* -+-£) = F^-^Cs — e) -H i;
4° la d<5riv(Se /iifemc sora nulle partoui, sauf pour la valeur 5, pour laquelle ello
n'existe pas.
Dans ces conditions, 1'inttSgrale I F(a?) rf5? [dont la valeur approchtfe d^duile
par interpolation des valeurs F(a4), F(«a), ..., F(an) serait 6videmment
nulle] ne sera autre chose que ce que nous appelons Verreur commise et sera
^galea &(s).
D^lerminons done la fonction F(#) qui satisfait aux conditions pr6c6dentes.
D'abord elle sera <3gale a un polynome du n — ilfemo degrtS pour x < z et u un
autre polynome du /i — ii6me dogr<§ pour x^>z. Soient Q4(a?) et Qa(^) ces
deux polynomes. Soient
*i(a?) = (sc — at) (ar — «»). . .(a? — ap),
*s(fl?) = (a? — a^+i ) (* — ^H-»). ..(«? — ««),
d'ou
$(aO = $i(a:)$s(fl?),
Qi devra 6tre divisible par Oi et Q2 par €>2 ; soient
La difference Q2 — Qi doit, pour #~£, s'annuler ainsi que ses n
premieres d6riv(5es, tandis que la w — iI6me doit 6tre 6gale u i; on, a done
Cela suffit pour determiner les deux polynomes ; car
Decomposons le second membre en elements simples
OBSERVATIONS AU SUJET DE I/ARTICLE PRECEDENT, 469
Oil
de sorte que
*==/> /=«
_. _. ^ri A i ^ „ v' A/
().>:= <I> ^ 5 Oj = <I> ^
V" 4««J iP — flf/ V JM d? rtf
SoienL #0 ut 5?i les deux limites d'integration, de telle sorle que
il viendra
rc^ jbjt±__ (at—*)'1-*-
/ (n-i)I *'(«0(«-«i
Oil
On voit quo dans le premier termc la sommation doit 6trc dtendue a toules
les valeurs de a/ plus pelites que z et, dans le second, a ioules les valeurs de at
sans exception.
Rappolons quo, pour une fonclion F(ar) quclconque, la formule d'interpo-
lation nous doiine
de sorle que la valeur approchde de Tinl^grale s'<5crira
ce qui, en posant
$ dx
s'^crit Lout sirnplement
(2)
C'est la formule ordinaire des quadratures m^caniques.
470 OBSERVATIONS AU SUJET DE I/ARTICLE PRUDENT.
Le premier terme de la formule (i) s'ecrit alors
2p (g'~" g)""1
faiBf (n-i)i '
QiuinL au second, il pent s'^crire
J f (n — i)! <E> "" n\
On u done fmalement
pour les valeurs de * comprises entre afj et
Nous voyons que, dans chaque intervalle, 6(5) esl un polynome d'ordre ;i
en £, mais que ce n'est pas le m^me polynome dans les diflferenls inlervalles.
Quand z franchit la valeur afi+i, il faut ajouter au second membra de (3) un
terme compl^mentaire
Comme ce terme comptementaire s'annule ainsi que ses n — 2 premieres
d^riv^es, nous devons conclure que ©(#) est continue ainsi que ses n — 2
premieres d6riv(5es. Au contraire, la d^riv^e n — i est discontinue el subit un
saut brusque ( — i)ll~1B| quand z franchit la valeur «,-.
Dans 1'intervalle x^a^ &(z) se r<5duit a (Xo~~^Yt et dans Tinlervalle atlx\. a
-11
2(0£— £)M (a?0-~^)« _ /•a*(Jg — jg)/!-!
1 (n — i)! "*" /z! "J (i — i)!
La deriv<§e (;t — i)I6mc de ®(z) s'annule done aux deux limiles pour z = XQ
et pour z = XL. On se Fexpliquera si Ton observe que la d^riv^e /iI6mo esl, dans
eel intervalle, conslante et egale a ( — i)"; raccroisscment total de la d<5riv6e
(n — i)16meserait done
si cette d^riv^e <Hait continue, Mais a cause des sauts brusques qu'elle subit,
— i)«-i 2: B,,
cet accroissement sera
OBSERVATIONS AU SUJET DE L' ARTICLE PRECEDENT. 471
c'est-a-dirc zero, puisquc
SBz-=tft — #0.
La fonction 0(x?) s'annulc aux deux limites ainsi quo ses n — i premises
d<3riv6es; si elle s'annule, en oulrc, h fois dans 1'intervalle, sa derivee jp[bmtf
(p < ji) s'annulera/; -h h fois el, en parliculier, la derivee n — ilfimc s'annulcra
/i-+-h — i fois; or, on voit sans peine que cette d&riv6e s'annulc au plus 2,71 — i
fois; a savoir une fois au plus dans chaque inlorvalle a/«/+i, uiic fois au plus
en chacim des points «/. Done ®(z) s'annule an plus n fois.
II suit de la quo si F(/i>(#) esl plus petit en valcur absolue quc M^, I'erreur
commise sera plus petite que
M» /""i
^.IV
Dans cette formulc intervient uniquement la limite sup<5rieure de |F(")(#) |
et nullement la frequence dcs changements de signe de cette d<jriv(5e.
1^'assertion de M. Seares n'aurail done aucun sens si Ton devait se Jiorner a
la limite donndc par cette formulc. Mais il y a des cas ou Ton pent la remplacer
par une limite a pen pr6s moitid moindrc.
Supposons, en efFet, que ¥(li](x) demeure toujours positive; 1'erreur scruil
plus petite que
H(a?) <5lanL une fonction qui serail dgale a ®(o?) quand 6(57) est positif el a
zero (juand ©(a?) est ndgnlif.
Remarquons que, si F(/<)(^?) est une conslanle, la valour de I'crreur esl
M» Ce(x)dx
et que si ®(a?) change frequemment de signe, cette integrale I ®(x)dxpeu\
Alre IxNiucoup plus petite que / | ®(#) | dx.
Si ®(a?) (Hail conslaininent positif, Ferreur
scruil plus grande si F<">(#) <Hait constamment posilif que si F<")(#), conser-
vnnt d'ailieurs la mdme valour absolue, (5tait tant6t positif, tantdl n6gatif ; cela
serail directemcnl conlraire a Tassertion de M. Seares.
jj;2 OBSERVATIONS AU SUJET DE ^ARTICLE PRUDENT,
Si, au conlraire, 0(#) change de signe, Ferreur sera plus grande si Y(n)(a)
change de signe en mdme temps que 8(2?) ou a peu prfes en m6me temps
que 0(#), que si FW(X), tout en conservanl la m£me valeur absolue, resle
constamment posilif, ou change de signe ind<3pendamment de 0(a?). Voila
dans quelle uiesure Fassertion de M. Scares est exacle.
Soil d'abord
et soil A 1'erreur correspondanle ; supposons que a(x) change frgquemmenl
de signe.
Soit mainlenant B Ferreur qui correspond a 1'hypothfcsc
el C Ferreur qui correspond a Thjpoth^se
F<«)(a?) = e(*)-
Nous pouvons supposer que c(a;} est line constanle e^ale a la plus petite
valeur de a(x} el que
b(x) = «(#) — c(x).
- Alors la plus grande valeur absolue de &(#) sera au plus le double de la plus
grande valeur absolue de a(#), el b (x) sera conslammenl positif. On aura
d'ailleurs
B = A— C;
il est done impossible que [Bj et |C| soient tons deux beaucoup plus pelils
que | A|; et c'est pourtant ce qui devrail ^ire si I'assertion de M. Scares dcvail
6tre prise a la lettre, puisque les valeurs absolues de a (a?), b(x) el c(x} sent
du m^me ordre de grandeur et que a (a?) change fr^quemment de signe, tandis
que b(%] et c(&) n'en changent pas.
Ce que M. Seares aurait dti dire et ce qu'il a evidemrnenl voulu dire, c'est
que, pour une m$ine valeur du maximum Mrt, 1'erreur sera plus grande
si F<7l'(a?) subit de forles variations que si F<">(#) est sensiblemenl constant.
Elle ne d^peudra done pas seulement de Mft, mais de Mn+1, Mn+2, ....
C'est ce dent on se rendra compte d'une fa^on plus precise de la manure
suivante :
OBSERVATIONS AU SUJET DE L1ARTICLE PRECEDENT. 473
SoicnL
/.*; . -.»:
e(x)dB, 6»(a?)= / 0J
•^•0
Si les inlervalles sonL pelils el si 0(#) change frequeimnent de signe, ©i(a
sera plus pelit quo /| © | ^a?, ©i (a?) sera notablement plus petit que 0 (a?),
plus petit que 0l5 ....
EL Pinte*gration par parlies nous donnc aisemeiil pour Perreur cherchee
de sorle que la limite sup<5rieure de cette erreur sera
^., | dx
dependant a la fois de M/i, MrtH_l7 . . . , Mn^J)+1.
2. De tout cela r<5sulle quo la limite de Perreur depend de la valeur absolue
de la d(5riv<Sc /iI6mo et des dtSrive'es d'ordre superieur.
Supposons done que nous ajons une valeur approch^e FO de F et soit
F(*) = F0(*)-4-R(«),
R(#) etant Ires petil. Mors
^F^= CVtdx+ C&dx.
Supposons quo Ton puisse calculer exactemenL / F0 dx, niais qu'il faille
calculer / Rrf^? par quadi^aLures mi5caniques. Dans quels cas aura-l-on avan-
lage a se servir de ce de"tour au lieu de calculer direclemcnL / F dx par qua-
dratures me'caniques?
SoienL Mn la plus grande valeur absolue de la de'rive'c Y(")(x) et JNrt la plus
grande valeur absolue de la de>iv<3e R(/0 (a?).
Si le nombre des intervalles employd dans les quadratures me*caniques est
n — 1: on pourrait croire qu'il suffil (pour que le detour soit avantageux)
H. p. — vili. 60
474 OBSERVATIONS AU SUJET DE l/ARTICLE PRECEDENT.
que IN/j soil beaucoup plus petit que M7l et qu'il n'est pas necessuire que N/IH_i
soil aussi beaucoup plus petit que M/H_i, Nn+a plus pulil que M/2+o, etc.
C'est ce qui serait vrai si Ton n'avail a envisager, comnie limite superieure
de 1'erreur, que
Cela ne sera plus vrai s'il y a lieu d'envisager nne aulre des limiles que nous
avoiis trouvees a la fin du paragraphe precedent.
Soil done
Qp+t = M,, | 6j ( j:, ) | -h M,H-I | 6-2(^1 ) | H- - - - •+• M/H-J, 1 6/H-i (a?i ) I H- M/H-/H-I T I ®/;+i I ^»,
de lelle sorte que
Qo=M« \e\dx.
Alors 1'erreur commise dans le calcul direct de / F d&: par quadratures me'ca-
niques sera plus petile a la fois que Qo, que Qi, que Qo, etc.
Desigiions par Q^+< une expression analogue a Qp+i, mais ou les Mr/ soni,
remplac<5s par les N^. Alors 1'erreur commise dans le calcul de / Rofo? (el, par
consequent, dans le calcul indirect de / F dx\ sera plus petile a la fois
que Qo, que Q;15 que Q'2, etc.
Soit alors Q/, la plus petite des quantite's Q0, Qi, Qa, . . .". Si Q^ est beau-
coup plus petit que Qjr,, il y aura avantage a employer le calcul indirect.
Or, c'est ce qui arrivera certainement si Nn est tres petit devant M7l, N/w_i
devant Mra+i, . . . et enfin Nn+p devant Mn+/>.
Mais cela pourrait ne plus &tre vrai, bien que N7l fut ndgligeable devant M/0
si N/i^y; ^tait comparable a M/t+/?.
Ainsi, pour que le calcul indirect soit avantageux, il ne suffil pas toujours
(jue la dcSrive'e /i16mo de R soit ne"gligeable devant la d^rivtse de iu6mc ordre de F;
il faut encore quelquefois qu'il en soit de m&me pour quelques-unes des de"rive*es
d'ordre sup^rieur.
LJarticle de M. Seares est de nature a attirer notre attention sur ce fait, el
c'est ce qui en fait la veritable ported.
Supposons que, dans les divers cercles de rayon p et ayant pour centres les
diflferents points du chemin d' integration, la fonction ¥(&) soit holomorphe el
plus petite que p eu valeur absolue.
OBSERVATIONS AU SUJET DE L'ARTICLE PRECEDENT. 475
Alors on aura coiiime on sail
La fonclion F0 diflfere par hypoihfcse tr&s pcu dc F, mais deux cas sonl a
dislingucr. Ou bien F0 prdsenle les mGmes singulariles quo F, de lelle facoii
que la difference F — F0 = R ne poss^de plus les points singuliers de F, ou clu
moins ceux de ces points qui sont le plus rapproches du chemin d'int£gralion.
Dans ces conditions les cercles de convergence ayanl leurs centres sur le
chemin d'inUSgralion auronL un rayon plus grand pour la fonction R que pour
la fonclion F. Nous pourrons admeltre qu'a 1'inlerieur des cercles de rayon p',
la fonclion R est plus petite que p (p' (Hani iiotablement plus grand que p). On
aura alors
On voil qu'alors Nft esl beaucoup plus petit quo M/,., et cela quel que soil n^ el
m£me le rapport de Nn a Mn sera d'aulanl plus pelil que n sera plus grand.
On n'a pas alors de m<5comple a craindre dans Tapplicalion de la mgthode
indirecle.
Supposons mainlcnanl que F0 n'ail pas les m6mes singularit<5s que F, nmis
ait sculement ct peu pres les monies singularities ; qu'en parliculier, les points
singuliers nc soient pas exaclemenl les m£mes pour les deux fonclions, mais
seulemenl a peu pr&s les m^mes. Alors la difference F — F0 = R admetlra a la
fois lous les points singuliers de F el tons ceux de F0.
Les d<3riv<3es d'ordre tr^s elevc5 de R seront alors a peu pr&s 6gales aux
d(5riv<5es d'ordre Ir&s 6lev6 de F (ou a celles de F0r qui seronl plus grandes
encore) en vertu des th(5or^mes de M. Darboux sur les fonctions de Ir&s grands
nombrcs.
Si F0 a (3 US choisi tr^s voisiii de F, el de lellu fagon que les points singuliers
diff£irenl Ir6s peu, il pourra se faire que la d<5riv(5e /j16™0 de R soil beaucoup
plus pelile que celie de F el qu'il en soil encore de m6rne pour la dtSrivtfc
^^jifemo et p0ur quelques-unes des d(5riv<5es suivanies. Mais a partir d'un
certain ordre, cela ne sera plus vrai, de sorte que si, en verlu des considdralions
que je viens d'exposer, 1'erreur commise dans 1'int^gration d<5pendait moins
des valeurs des d£riv6es /i16mo que de celles des d.<2riv<3es M+jy161"6, il pourrailse
faire que PavanLage offerl par la mtJthode indirecle devinl illusoire.
476 OBSERVATIONS AU SUJET DE L'ARTICLE PRECEDENT.
Dans ce cas done uiie discussion plus approfondic esl iiecessaire pour
reconnailro si F0 esL suffisamment approche" de F.
3. C'esl evidemment a uiic circons Lance do ce genre q if esl du 1'insucccs
de M. Scares. Peu 1-6 Ire vaudrait-il mieux modifier la melhode comme il suil :
II s'agit, on s'en souvient, d'e* valuer des integrates de la forme
les G(u) sonl des fonclioiis eiilieres; F(w) esL le carnS de la distance de la
planete el de la comele; u esl 1'anomalie excentrique de la comele; «0 esl la
valeur de cetle anomalie qui correspond au minimum de F(w).
La methode ordinaire consisle a remplacer la fonclion sous le signe /
par un polynome enlicr II (a) du n — ii6mo degre qui en differe tres pen.
La me'lhode proposed consisle a poser
j^o=_Q(fO ^B(a?;
V/F(«0 v/p(M)
P(w) e"tanl un polynome du quatrieme degr6 diffe>anl peu de F el Q un poly-
nome differant peu de G, et a inle"grer ensuite R par quadratures me*caiiiques,
c'esl-a-dire a remplacer R par un polynome IF du ?i — iI6me degre* qui en differe
extr^mement peu.
II est (Svidenl que le re'sidu R, laisse* par M. Scares, ii'e"lail pas assez petit
pour que la me'lhode fut avantageuse; il 1'aurait e"le" assez sans doute si les zeros
de P(w) avaient 6l6 exactement ceux de F(w); mais celte coincidence exacle
tStait impossible a r(5aliser, de sorte que loules les observations quo je viens de
faire dans le paragraphe pre"ce*dent trouvaient leur application.
Je propose done de modifier la me'thode comme il suil : On ne laissera
aucun re'sidu R a inle'grer apres coup et Ton s'efforcera de repre'sentcr la fonc-
lion sous le signe / par une expression de la forme
qui en differe Ires peu, P e"tanl un polynome du quatrieme degre et Q un poly-
nome du n — ii6mo degre".
OBSERVATIONS AU SUJET DE L'ARTICLE PRECEDENT. 4?7
Quo la foncLion
Q(«0
>/F(M)
puisse £lre beaucoup mieux represent^ par une expression de la forme (i)
quo par 1111 polynome II du. n — ilftmo degre, c'est ce qui n'cst pas douteux.
L'inl6gralion de 1'expression (i) ne prtfsente pas non plus de difficult^. On
pent la ramener par un calcul simple a la recherche des deux integrates ellip-
tiques de premiere et de seconde esp^ce.
On pourrait d'ailleurs construire des Tables qui facilitcraiont ce calcul.
4. Mais la difficult^ commence quand il s'agit de diHermmer les polynomos
P cl Q, el d'abord pour P.
Consid(5roiis liquation
F(M) = O.
Elle n'aura que des i^acincs imaginaircs. SoieiiL
UQ -+- )-! , Z/.0 -H \'i J UQ -h X2, UQ •+- X'2 J UQ -+• X3, UQ •+• X 3 J
Elles sonl rangeos par paires de racines imaginaires conjugu^es; el dans Fordre
dos modules croissants des quantit^s AI, A3, A3, .... Nous prendrons alors
P(U) = (U — UQ ?M )(ll — UQ )/! )(U — UQ X2) (lL UQ — X'2 ).
La d(5rivee 7ili-mQ de • sera alors du m&me ordre de grandeur que . ^ ' ?
cello de
sera du m6me ordre de grandeur que •. ' ' • Lour rapport sera done Ir6s petit
| AS |
et du m6me ordre que ^ et cela quel que soit n.
Si done on connaissait exaciement les racines de F(w) = o, 1'approximation
par la m<5thode indirecte serait, pour un m&me nombre d'intervallcs, *\ peu
pr^s Y- fois plus grande que par la mgthode directe.
Bien qu'on ne connaisse pas ces racines exactcment, il n'en est pas moins
certain que Ton peut choisir P(w) de fagon que 1'approximation pour un
m£rnc nombre d'intervalles soit beaucoup plus grande que par la mcHhode
directe.
478 OBSERVATIONS AU SUJET DE L'ARTICLE PRECEDENT.
On poiirrail, par exemple, determiner les coefficients do P(«) de telle fa con
quo les derivees d'ordre n, n -h i , n -j- 2, /i + 3 de
s'annulenl pour M = UQ. On serait assur6 alors quo cos derivcles, qni sonL celles
donl depend surtoul rapproximalion, ne deviennenl, jamais ires grand es el que,
par consequent, 1'erreur commise restc petite.
Mais il scrail plus simple, el cela reviendrait a peuprfts an m^ino, d'annuler,
pour u = Uo< les derivees d'ordre n: n + i , n + 2, n -f- 3 de F /-;;••
Le polynome P(^) une fois determine, on calcnlera Q(u] a Taide de n
valours parliculu^ros de la fonction
pour n valeurs
U
iHjpartios d'nne mani^re quelconque sur le chcrain d'inl^gralion.
o. Tout cela n'est qu'un apergu qui pourra sans doute £tre ulilc a cclui qui
enlreprendra une discussion m&hodique. Cette discussion devrail nous per-
mettre dc reconnaitre comment variera 1'approximalion ifinale sur laquelle on
pourra compter en fonction du nombre n — i des inlcrvalles eL de Fapproxi-
mation avec laquelle on aura calculi les coefficients de V(ii)\ on d6ierminerail
ainsi quelles sont les conditions pour que Pemploi de la mtSthode indirccie soil
avantageux.
II faudrait (^galement voir commenL devrail 6tr<^ dirige^e la construction des
Tables auxiliaires destinies a rendre le proc^d^ pratique. Je me bornerai & dire
que cette construction serait grandement facilittfe, si 1'on se bornait a inlro-
duire des int^grales circulaires an lieu d'int^grales elliptiques eidespolynomes
du deuxi^me degr6 an lieu du quatr&me.
Mais M. Scares a encore rencontr^ une auire difficult^. Nous n'avons
envisage jusqu'ici que les perturbations du premier ordre qui sont donndes par
des integrates simples de la forme
OBSERVATIONS AU SUJET DE LJARTICLE PRECEDENT, £79
Mais juslomenl dans les cas oft 1'emploi de la miHhode indirecto serai I
indique, c'est-a-dire quand la com&te passe irfcs pr&s de la planftte iroublanle,
los perturbations du deuxifemc ordre deviennent sensibles.
Pour en tenir comple, M. Seares fait ce que Pon fait d'ordinairo, c'est-a-dire
qu'a la fin de chaquo iniervalle, il corrigc les elements de la cornel o dos per-
lurbalions du premier ordre. On concoit quo, dans ces conditions, los a van-
la ges de la meihodc indirecte sMvanoiiissenl.
11 faudrait calculer d'abord, pour tout le champ d'inltSgration, les integrates
simples (i) sans se soucicr des perturbations du detixi&me ordre, el y ajouier
onsuile des lermcs correctifs destines a lenir complo de ces perlurbalions,
L'exprossion analyliquc des perlurbalions du deuxifcmo ordro no sc ivdnil
pins u nno integrate simple lelle quo (i), mats a dos inlogralos doubles do la
formo
Si Ton consider P(^) comme donne, les integrates (i) seronl dos polynomos
du promior dogre par rapport aux n valours parliculi&res do ^(u), *
(3)
el ce sont precisement les coefficients de ces polynomcs qui devraionl ftiro
donnds par des Tables. De mdme, les integrates (2) seront des polynomos du
deuxi&mc degre par rapport a ces mfimcs quanlil^s, ol los coefficients do c<^s
polynomcs pourraient egalemenl 6lre donnds par des Tables.
Jo me borne a cos considerations sommairos, quillo a rovenir plus lard sur
co sujot a uii(i aulni occasion.
SEPTIEME PARTIE, — HYPOTHESES COSMOGONIQUES.
SUR
LA PRECESSION DBS CORPS DEFORMABLES
Bulletin astronomique, t. 27, p. 321-356 (septembre 1910).
L — Croute solide et noyau liquide.
1. Lord Kelvin s'est, 1'un dcs premiers, pronoiice en favenr de la solidite
du globe terrestre, et il a cherche de lous cotes des arguments en favour do
son opinion; quclques-uns son! fondes sur les observations dc precession ct
dc nutation. Je renverrai en pariiculier a ses Popular Lectures, vol. Ill,
page 244 el & scs Mathematical Papers, vol. Ill, page 820. Dans ses investi-
gations, il envisage Phypolh&se d'nnc croute solide invariable, a Pinterieur de
laquelle se Irouve un liquide homog≠ il suppose que la surface cxUSrieuro
de cette croute solide est un ellipsoide et que la cavite interne est egalement-
ellipsoi'dalc.
II avait d'abord annonce que la conslanle de la precession aurait dil, dans
cetle hypoth&se, differer consid^rablement de celle qui conviendrail a une
terre solide et qui est celle que donne Pobservation, II en serait manifestemcnt
ainsi si la cavittS interne <5tait sph^rique; la sphere liquide interne aurait alors
eu un axe de rotation different de celui de la croute solide ; le premier de ces
axes aurait £t£ fixe, tandis que le second aurait seul subi Peffet de la precession;
la constante de la precession aurait done ete la m&me que si la croute solide
, avait seule existe.
II crut d'abord que Paplatissement etant tr^s faible no pouvait sensiblement
alterer cc resultat, mais en reflechissant a la question, ainsi qu'il nous le
H. P. - vni. 6r
482 PRECESSION DES CORPS DEFORMABLES,
raconte, il se convainquil dc son crrcur. Par Feffet de cc qu'il appelle la
rigidite \gyrostatique, le corps complexe qu'il envisage tend a se comporter
comrae un corps solide. Celte rigidite a son plein effet si la ptSriode de 1'in^ga-
lite envisagee, exprimee en jours, 'esl tr£s grande par rapport a 1'inverse de
I'aplatissement; elle est done parfaite en ce qui concerne la precession qui doit
suivro les lois thtSoriques, mais il n'on osl plus de m£me pour la nutation de
Bradley dont la p^riode n'esL plus que a3 fois 1'inversc de 1'aplatissement, ni,
a fortiori, pour les nutations semi-mcnsuellc el semi-annuclle dont les p<5riodes
sont plus courtes que cette inverse. Les divergences scraient thiormes et
auraient 616 cerlainement deceives par 1'observation.
2. II ne sera pas inutile, avant d'aller plus loin, de montrer comment la
theorie de Kelvin peut &lre presentee sous une forme nouvelle et assez simple.
Je commence par introduire la notion du mouvement simple. Je dirai que le
mouvement d'un liquide est simple, si les composantes de la vitesse d'une
molecule sont des fonctions lingaires des coordonn^es. II esl ais<5 d'&ablir, en
s'appuyant sur la th<3orie des tourbillons de Helmholtz, que si le mouvement
est simple & Porigine des temps, il reslera toujours simple, pourvu que le
liquide remplisse enti&rement un vase ellipsoidal invariable, ou mdme si ce
vase se d<5place ou se dgforme, mais en restant toujours ellipsoidal. Cela nous
autorise a n'envisager que des mouvements simples. Soit
aa& •+* by* •+• c^2 = i
liquation de 1'ellipsoiide rapport^ a ses axes et quo nous supposerons d'abord
fixe.
A la molecule liquide x, y, z^ dont la vitesse est w, p, w, correspondra une
molecule fictive dont les coordonn^es seront
et la vitesse
u' = u \/a, v' = 9 v^6, wf = w \fc.
L'ensemble de ces molecules fictives remplira une sphere S qui aura pour
Equation a/* -f- yf* + s!- = i . II est aisg de voir que, si le mouvement du liquide
est simple, ces molecules fictives se dgplaceront comme le feraient les mole-
cules d'un corps solide, de sorte que tout se rgduira a une rotation de la
PRECESSION DES CORPS DEFORMABLES. 483
sphere S. Soient />i, gr1? i\ les composantes de cette rotation suivanl les trois
axes ; on aura
Nous nvons suppose jusqn'ici quo Pellipsoidc ost fixe. Supposons maintenant
quo cet ellipsoide soil indt5formable, mais mobile; les mfimcs formules subsis-
ieront encore pourvu que Ton coiisidere le mouvemont relatif du liquide par
rapport a la croute solide. Pour avoir le mouvement absolu, il fauly ajouter le
mouvement d'entrainement qui se r<5duit a uno rotation de la croulo solide et
dcs axes mobiles. Soient p, q, r les projections de ccllc rotation sur les axes
mobiles; on aura pour les vitesses absolues
(0
les axes, 6tant ceux de Tellipsoide, sont mobiles.
3. 11 est ais6 de calculer la force vive dans le*mouvemenl relatif, on trouvc
avec
i / 1 i
et des expressions analogues pour B4 et GA ; d est la density du liquide.
De m&me, les trois composantes du moment de rotation dans le mouvement
relatif sont
ou
On voit que si Taplatissement est tres petit, on a A4 = A7A a des termes pres de
1'ordre du carrg de 1'aplatissement.
484 PRECESSION DES CORPS DE*FORMABLES.
Quant & la force vive dans le mouvement d'enlrainement, ce sera
A, B, C £tant les trois moments d'inertie du corps complet (croiite solide plus
contenu liquide).
La force vive dans le mouvement absolu est alors
4. Les Equations du mouvement peuvent se mettre sous une forme parti-
culi&rement simple. On peut les £crire
d <fT dT dT .
d
avec celles qu'on en d6duii par sym<Hrie; L, M, N sont les moments de la force
extgrieure. On remarquera que ces Equations pr^senlent une divergence an
premier abord d^concerlante.
Dans liquation (3), le second terme est affect^ du signe + et le iroisi&me
du signe — ; c'est le contraire dans liquation (4). Cela s'explique Lr^s ais6-
ment. La rotation /?, y, r, c'est la rotation absolue de 1'ellipsoide ; nous la
projetons sur les trois axes de 1'ellipsoide qui sont des axes mobiles. Au
contraire 5 la rotation pi7 qi, r4 est la rotation relative de la sphere S par rap-
port & Tellipsoi'de; nous la projetons encore sur les trois axes de 1'ellipsoi'de
qui, en ce qui concerne cette rotation relative, sont des axes fixes.
Ces Equations peuvent s'^tablir de bien des manures; j'en citerai deux: je
m'appuierai d'abord sur un th.6or6me que j'ai d^montr^ dans les Comptes
rendus de VAcad&mie des Sciences^ t* 132, p. 36g. Voici ce
Soit un systeme m£canique d&fini par r variables a?/. Envisageons un
groupe simplement transitif de transformations deLie. SoitJL^.^ X2, . . ., Xr
les r transformations infinit&simales de ce groupe, de telle sorte que H^par
exemple change xi en une fonction des x diff&rant tres peu de xi* Nous
&criron$ les Equations de structure du groupe sous la forme
les c sont des constantes, et le sens de ces notations est bien connu des
PRECESSION DES CORPS DEFORMABLES. 485
persomies familieres avec les travaux de Lie; si, par example, on a
X/X*— X/tXj— o,
cela veut dire que les deux transformations X/ et X/c sont permutables,
Cela pos^, au bout du temps dt, les variables xi se changent en #/-f- -~~dt\
ce qui revient a dire qu'elles subissent la transformation infinit^simale
- 7^2X2-1-. . .-4- vXr).
Soient T I'&iergie cin^tique du systSme et U son 6nergie potentielle ; T sera
une fonction des x et des w et U une fonction des x. Donnons maintenant
aux xi des accroissements virtuels §x\\ cela revient a leur faire subir la trans-
formation infinitgsimale
.-+- o)rXr.
Supposons alors que les £2<- soient dtfmis par I'i
Ces notations <§tant d^finies, le th<5or&me en question nous apprend que les
Equations du mouvement peuvent 6tre miscs sous la forme suivante (qui
contient, cornmc cas particulier, les Equations de Lagrange, ainsi que' les
Equations d'Euler pour la rotation des corps solides) :
Cette formule s'applique imm^diatement au cas qui nous occupe; nous avons
six degr6s de liberty ; les six transformations infinit^simales possibles sont :
i° une rotation du corps complet autour de Fun des axes de Pellipsoide; 2° le
mouvement simple du liquide correspondant a une rotation de la sphere S
autour de Fun des axes de Tellipsoide, la croute solide demeurant fixe. Soient
X, Y, Z, Xi, Y4, Zt, ces six transformations. Les regies de la composition des
rotations nous fournissent les Equations de structure du groupe
XY-YX = Z, X1Y1-YiX1 = -Zlj
YZ-ZY=X, YJZ, -ZiY,^ — X,,
ZX-XZ = Y, ZiXi
D'autre part, une quelconque des transformations X, Y, Z est permutable
avec une quelconque des transformations Xi, Yt, Z4; on voit done que toutes
les constantes c sont 6gales a o, 4- 1 ou — i ,
486 PRECESSION DES CORPS DEFORMABLES.
Aii bout du temps dt, la crouie solide a subi une rotation infiniment petite
dont les composantes sont p dt, q dt, r dt\ et la sphere S a subi, par rapport a
la croiite solide, une rotation dont les composantes sont/>d dt, q± dt, r4 dt, de
sorte que nos variables out subi la transformation infinite simale
-qY -h rZ
ce cjui monlre que les YJ ne sont autre chose que/;, y, /', />i, </i, rL.
On voit que T ne depend que des YJ, de sorte qu'on a
ce qui veut dire que 2ft co repr^sentent le travail virtuel des forces ext<5rieures
pour un d&placement tr&s petit du systSme; les trois premiers Q sont done les
moments des forces ext^rieures; quant aux trois derniers ils sont mils, puisque
les transformations X4, Y4, Z4 ne produisent aucun travail. L'application de la
formule (5) nous conduit ainsi aux Equations (3) et (4).
5. On peut arriver aux monies Equations par une autre voie. Liquation (3)
n'est autre chose que I'intggrale des aires; en effet, le moment de rotation a
pour composantes (sur les trois axes mobiles)
^T ^T ^T
dj>* dq* dr'
et 1'dquation (3) exprime que la vitesse absolue de l'extr($mit<5 de ce vectour
est repr^sent6e en grandeur et direction par le moment des forces ext<5rieures.
Quant a liquation (4), c'est 1'expression du th£or&me de Helmholtz sur les
tourbillons. L'int^grale de Helmholtz
/
( u dx -+> 9 dy -h w dz ),
<§tendue a une section plane diamgtrale quelconque de I'ellipsoi'dc, est a un
facteur constant
a, (3, y repr^sentant les cosinus directeurs du plan du grand cercle de la
sphere S qui correspond a la section diam6trale conside§r6e. II suffit pour s'en
assurer de se reporter aux Equations (i) et (2). Le th<§or&me de Helmholtz
/JT* /^TP jVT1
nous apprend done que le vecteur -—.,—-,_. est invariablement li<5 a la
«Pl W^l W'*!
sphere S, ce qui s'exprime pr6cis6ment par liquation (4).
PRECESSION DES CORPS DEFORMABLES. 487
6, Si nous nous rappelons 1'cxprossion de T, nous pouvons gcrire les
Equations (3) el (4) sous la forme
(6) A/H-A'^', -4- r(Eq -4- B'i £!) — ?(<> H-C^r,)** — L,
(7) A'iX
avec cellos qu'on en deduit par symeirie; // et/^ sont les derives do/? el/>i
par rapport an temps.
Une premiere consequence de ces Equations, c'ost que si la croule solide est
maintenuc fixe, le mouvemenl interne du liquide suivra les lois du mouvement
a la Poinsot.
Si Ton suppose qu'il n'y a pas de forces exterieures,
. L = M = N = o,
on trouve aise*menl les integrates suivantes :
(8) T = const.,
Si la capacity interne esL suppos(5e sph6rique, on a
A^A'^B^B'^C^C'r,
on trouve alors, en retranchant les Equations (6) el (7),
( A - A, )/-h r?(B - C) = - L,
ce qui monLre que le mouvement de la croute solide est le m&me que si sos
moments d'inertie etaient A — Ai, B — Al5 C — Ax, c7est-a-dire si elle existait
seule.
7. Supposons maintenant que le corps soit de revolution; on aura
(9) A = B, A^Bi, M^B'n Ci = Cfl9 N = o
et nous aurons les equations
Cr'n- Ci r'i -h B't (qpi — pqi} = o,
Ci /-H Gi r'i •+- B'^qpi — pqi ) = o
qu'on deduit de (6) et (7) jpar symetrie et, en tenant compte des rela-
tions (9), on en deduit aisement
/•' =o, r = const.
et
(10) Gir{ -h B'liqpi'— pq\} - o.
488 PRECESSION DES CORPS DfiFORMABLES.
Si Ton suppose de plus L = M = o, on pourra achever Fint6gration par
quadratures.
Les Equations (8) nous donneront
sous la forme de polynomes du deuxi£me et du quatri£me degr<5 en r4, en nous
rappelant que r est une constante. Liquation (10) nous donne alors r4 en
fonction elliptique du temps. On montrerait enfin que, par exemple, la
par rapport au temps de
Ap-
arc tff-7-£ - . . •
b A q H- A', qi
est une fonction connue du temps.
8. Le cas qui nous inlgresse est celui ou />, g, _/?1? q± sont Lr6s pelits du
premier ordre. La relation (10) nous apprend alors que 7\ est tr&s petit du
deuxi&me ordre et peut 6tre nt5glig6. Nous poserons
— M «— K sinfe, N = o.
Voici ce qui nous y autorise : L et M sont des fonctions p&riodiques du icmps
developpables en series de Fourier; nous consid^rerons seulement Tun des
termes ; si maintenant nous attribuons au sinus et au cosinus le mGmc coeffi-
cient, c'est qu'on peut toujous Scrire
Gcos^ = Acos^ + A/cos(— kt)\
D sin^ = A sin(^)-h Af sin(— kt)
en posant
G = A H- A', D == A — A'.
Nos Equations, en n^gligeant r4 et tenant compte de (9), deviennent
A// -+• A7! p\ H- r( A q •+• A; ^) — q Gr =: K cos&f,
/>!) -+-pGr «— K
i /? -I- jjO7! + ?i Gi r a 09
A i ^' 4- At £1 — j^i Gi r s= o.
Nous y satisferons en posant
jp =s a sin k^ q = a cos &?, pi = «i sin A:«3 ^ = at cos A:«,
ce qui donnera
(I- (
(
PRECESSION DES CORPS DEFORMABLES. 48g
9. Pour discuter les Equations (11) nous supposerons Faplatissemenl tres
petit, ce qui nous permettra, comme nous 1'avons explique" plus haul, de sup-
poser AI = A!L. De plus, nous supposerons que les deux ellipsoi'des exlerne et
interne sont sensiblement semblables, ce que nous exprimerons en e"crivant
A _ Ai
G " d
on
C — A Ci—
:£,
A A ,
r\. i
s <3tant de 1'ordre de Taplatissement. Nous poserons alors
A = i, AI = X, G = i~f-£, GI == X (i -t- £), X oci = p,
ce qui est permis en choisissant les unite's. Alors pour un corps solido on
aurail X = o ct, pour un liquide recouvert d'une croute tr6s mince, X = i; les
Equations (i i) deviennent alors
d'ou
) — 7(k(k-\-r) 6tantle d^lcrminanl des Equations (12).
II s'agit de savoir comment 1'amplitude a de la nutation varie en fonction de A
(c'est-a-dire comment elle depend de I'^paisseur de la croute solide).
Comme k + r -i- sr ne depend pas de X, on voit que a est en raison inverse
de A.
Soit N le nombrc de jours de la pgriode de la nulalion consid^r<5e, on aura
Done A estproportionnel a (N + i +eN) (i — sN) — X(N + i), ou, puisquceN
est n6gligeable devantN-f-i, a (N + i)(t — sN — X) ou a i — sN — X. Si done
nous de'signons par a0 Tamplitude de la nutation pour un corps solide, c'est-a-
dire pour X = o, nous aurons
—
oj ~" sN — in- X
On voit que si eN est tres grand, c'est-a-dire si le nombre de jours de la
nutation est tres grand par rapport a 1'inverse de 1'aplatissement, le rapport —
H, P. — VIII.
4go PRECESSION DES CORPS DEFORMABLES.
est sensiblement <3gal a i, do sorle que la nutation diff&re peu de sa valeur
th^orique, mais qu'il n'en esl pas ainsi pour les nutations courtes, commc
les nutations semi-annuellc et semi-mensuelle, a tel point qu'elles peuvent
changer de signe et deviennent infinies pour une certaine valeur de 1'Opaisseur,
.celle pour laquelle on a
sN=i— *.
Les conclusions g^n^rales de lord Kelvin se trouvent done v£rifi<3es; cepen-
dant les valeurs.num&riques obtenucs ne sont pas les monies; je lui ai autrefois
6crit a ce sujet et il m'a r^pondu que cette rectification lui avait dgja Gt6
signal^e par un savant irlandais; j'ignore si ce savant a public quelque chose a
ce sujet.
On pent <5galement se demander quelle est la p^riode de la nutation propre
du syst&me; elle correspond au cas ou A s'annule, ce qui donne
Ce serait une p^riode plus courte que celle d'Euler; on sait que la p^riode
de Chandler, donn^e par Pobservation, est au contraire plus longue.
II. — Licjuide homo gene.
10. Apr&s avoir expos6 les r^sultats qui pr^c^dent, lord Kelvin se demande
quelle serait la precession djune masse liquide libre et il annonce qu'elle doit
se comporter comme un corps solide :
« Although, ditr-il, the full problem has not yet been coherently worked out:
I think I see far enough towards a complete solution to say that precession and
nutation will be practically the same as in a solid globe. »
Nous allons voir que ces provisions sont parfaitement justifi£es.
Nous supposerons d'abord que le liquide est homogene :
Soient #o, Jo, ^o les coordonn^es initiales d'une de ses molecules; x, y^ z
ses coordonn^es actuelles; si le mouvement est simple, ce que, .comme nous k
verrons, il nous est permis de supposer, a?, /, z sont des fonctions lingaires
de #o? y*i £o et nous pouvons 6crire :
(i)
y
z
PRECESSION DES CORPS DEFORMABLES. 4gi
les a, (3, y (Hant des fonclions du lomps. Le liquide <3tant incompressible, le
determinant A de ces neuf coefficients est 6gal a i .
Nous supposerons que la surface libre initiale du liquide a la forme d'un
ellipsoide; le mouvcment (Slant simple, cette surface libre conservera toujours
la forme d'un ellipsoide. Rien ne nous force a consid^rer comme situation
initiale une situation qui ait 6t6 a un moment quelconque effectivement
re$alis(5e; nous pouvons "choisir une situation initiale id&de d'ou Ton puisse
passer a la situation actuelle par un mouvement simple, mais d'ailleurs
quelconque. Nous pourrons done supposer que la surface libre initiale a pour
Equation
Mais comme les molecules qui sont initialement a la surface restent a la
surface, liquation de la surface libre sera toujours
Les Equations de 1'Hydrodynamique nous donnent
ou #" = a'J x(} ~f- $\y* + yi#o est la d<3riv6e seconde de x par rapport au temps ;
ofi p est la pression, p la density du liquide et V le potentiel. Le liquide 6tant
homog&ne, nous pouvons prendre p = i ; quand au potentiel, il se compose de
deux parties : le potentiel int^rieur V/ du a 1'attraction du liquide sur lui-
mtoie; le potentiel ext^rieur Ve du a Faction des astres troublants. Nous
pourrons done finalement 6crire liquation sous la forme
(2)
11. Pour justifier nos hypotheses nous devons montrer que les deux
membres peuvent 6tre <5gal£s a la diff(5rentielle d'un polynome du second degrt5.
Le premier membre doit 6tre une difi^rentielle exacte, et cenepeut 6tre que
celle d'un polynome du deuxi&me degr^ si, le mouvement <3tant simple, x" et x
sont des polynomes du premier degrg; passons au deuxi^me membre :
i° V|- sera un polynome du deuxi&me degr^, si la surface libre est un ellip-
soide, puisque le potentiel du a Pattraction d'un ellipsoide est un polynome du
deuxi&me degr<5 6 Vint&rieur de cet ellipsoide;
2° Ve sera un polynome du deuxi&me degr^; ea effet, Vfipeut ^tre d6velopp6
492 PRECESSION DES CORPS DfrORMABLES.
suivant les puissances de x, y, s\ les termes de degr6 o et i doivent 3tre
laissgs de c6t6 dans l'6tude du mouvement d'un corps autour de son centre de
gravity; les termes de degrg sup^rieur & 2 doivent 6tre n6glig6s comme tr&s
petits ; il restera done les termes de degr6 2 ;
3° Quant a la pression P, elle n'est assujettie qu'd. une condition, celle d'etre
constante & la surface libre. Cette surface libre £tant un ellipsoi'de ip = i , il
suffira de prendre y proportionnel a fy pour satisfaire a cette condition et pour
qu'en mtoe temps, comme il convient, p soil unpolynome du deuxi&me degr<3.
Nos hypotheses se trouvent ainsi justifies .
12. Soit fy = i liquation de la surface libre, que nous supposerons pen
diflferente d'une sphere.
En prenant pour un instant pour axes ceux de Tellipsoide, je puis (5crire
fy = (i -h a) x* -h (IH- 6)72H- (i 4- c)<s2,
a, b etc tont tr5s petits et assujettis §. la condition d'incompressibilil<3
an- b -f-c = o.
D'apr^s la ih^orie de 1'attraction des ellipsoides, nous pouvons <5crire
V£= (I-H k'a) x* H- (n- k'b)y*+ (i -H kc)x*,
q
ou k*= ^; nous supposons les unites choisies de telle sorte que pour la sph&rc
on ait V/=
Comme, d'autre part, ^ =; Sa?J, nous aurons
(3)
et cette formule sera ind^pendante du choix des axes. Nous supposerons,
d'autre part
p = X' 2 #5 H- const.
et nous substituerons ces valeurs de p et de V/ dans liquation (2), ou nous
supposerons d'abord Vfl= o. En identifiant les coefficients de x0 dx$, y* dx*,
on trouve
(4)
(5)
en posant pour abrgger
X =
PRECESSION DES CORPS D^FORMABLES.
Si Ton tenait compte de Ve, on aurait
(7) % £*"?_= Sap's *Sap -
A. ces Equations il faudrait, bien entendu, adjoindre celles qu'on peutdgduire
par symglrie. On y voit figurer des sommes telles que 2avj3 qui signifienl, bien
entendu ,
mais nous aurons bientOt a envisager d'autres sommes analogues ou la somma-
tion se fait d'une mani&re diflferente; telle sera, par exemple,
que j'^crirai 2a'jaa, ou je mettrai les indices en Evidence, de sorte que Loute
confusion deviendra impossible.
13. Ces Equations admettent des integrates particuli^res ; si nous supposons
Ve = o, nous aurons I'inl6gralc des forces vives et celle des aires. Cette derni^re
peut s'<5crirc
— an = const.,
m giant la masse d'une molecule; en y remplacanl x, y, s parlours valeurs (i),
cela peul s'<3criro
(a/1«2 — a'2al)Sm5?§-f-(a'1 po — pjoti-l- agpi — a '2 [3 1 ) S m fl?oJKo •+- • • • = const.
Mais la figure iniliale est une sphere 2a?o= i; on aura done
Liquation des aires se r6du.it done a
(8) S(«ia« — «2«i) = const.,
la sommation ayant le sens qui a dt£ expliqu^ a la fin du num^ro pr£c6dent.
Supposons maintenant qu'on tienne compte de Ve. Le premier membre de (8)
repr^sente a un facteur numgrique pr^s la constante des aires ; la ddriv^e de ce
premier membre sera done 6gale a ce facteur num&rique pr^s au moment de la
force ext^rieure.
Le th^or^me de Helmholtz nous apprend cnsuite que 1'integrale
/ a?' dx +>y' dy -+> z' dz
494 PRECESSION DES CORPS D&FORMABLES.
prise le long d'un contour ferm<3 est constants; or cetle inUSgralc est <5galc a
C C C
J J J
Si Ton observe que la courbc tStant fermtSe on a
//»
XQ dxq = / (#0 clyQ -+• y0 r/^o ) = o,
y >
on voit que le iht?or&me de Helmhollz enlraine IVqnation
(9) S(«'P — «p') = const.
et celles qu'on en d^duit par sym^trie.
Liquation (9) est vraie que Ve soit nul on non.
II faudrait des calculs compliqii(5s pour dgduire (8) de (4) et (5); il u'on esl
pas de m&me de (9) qui rdsnlle imni(5dialemenl do rinlegration do
14. Les Equations (4) et (5) admetlent line solution parliruJiiVo simple;
il suffit de poser
d'ou
C- — pa
On aura, d'autre part, la relation d'incompressibilitiS A = i qui s:(5crira
Cette solution s'appllque au cas ou la masse liquide prend une vitesse de
rotation uniforme et subit un aplatissement; les deux axes de Fellipsoldc sont
p et c.
15. Les solutions que nous aurons 4 envisager sont celles qui s'^loignentpeu
de la solution (10), soit que nous fassions V^o, soit que nous envisagions
les Equations (6) et (7), lesquelles admettront des solutions tr&s peu diff^rentes
de (10) parce que nous snpposons Ve tr^s petit; nous allons appliquer la
PRECESSION DES CORPS DEFORMABLES. 4g5
m^thode des equations aux variations, c'esl-a-dire quo nous allons remplacer
«i, «3, <*35 ... par
!= p cos co t -H 8ai, a2-h Sa2 = — p sinw£ •+• oa2,
:!= Sa3, . ..,
el nggliger les camSs des VcarJations 3aj, . . . ; nous obtiondrons ainsi des Equa-
tions diflferentielles lint^aires pour ces variations da\ ; cos Equations seront
clgpourvues de deuxifone membre, si nous faisons V,> — o, elles en poss&ioronl
un si nous partons des Equations (6) et (7).
Le point remarquable, c'est que ces Equations lindaires se rdparliroin en
deux groupes distincls.
Les Equations d<5duites de A = i et des equations (4) et (5) en aa", a/7(3, apw,
j3{3" et ff ne conticndront d'aulrcs inconnues que
Au conlraire, les Equations d<$duites des dqualions (4) oL (5) en ay", a;/y,
(3y", (3/7y no conticndront d'autres inconnues que
Celles du premier groupe correspondent, dans le cas de Ve= o, a la isolution
qui correspond a une vitesse de rotation uniforme peu diflferente de co, ot aux
oscillations propres du liquids dans lesquelles le plan des xy reste un plan de
symgtrie. Dans le cas oft Ve n'est pas mil, elles nous font connaitre les marges
du liquide sous 1'influence du coi^ps troublant.
Ge sont celles du deuxi^me groupe qui nous font connaitre les plienom&nos
de nutation et qu'il convient d'envisager.
16. Gherchons done a former les Equations du deuxi&me groupe; nous
trouverons
et, par exemple,
SotSy =
et, en continuant le calcul de la m£.me faQon, on aurait
8S«y -h t'SSpy
en posant
$ya = 5,
4g6 PRECESSION DES CORPS D^FORMABLES.
(de facon a n'avoir plus que deux inconnues \ et r, dont les parties rtfelles el
imaginaires sont nos anciennes inconnues 8y et da), on trouverait de m6me
oSa"y H- z
Or des Equations (4) et (5) on pent d^duire comme Equations aux variations
5Sa/-+- z oSpf' = 8Sa" -j- z 833" 7 ==
ou
(11) p0to/£* — _
On trouve aussi liquation de Helmholtz qu'on pent d6duire par variation de
(9) et des Equations qu'on en tire par symcHrie, ce qui donne
(12) pe'^g' — ?cop e'"*^ — c-rj'= const.
et liquation des aires qu'on peut dt5duire par variation de (9) (et des Equations
qu'on en tire par sym<5trie) et qui s\5crit
(13) p <3~z'w/(r)'-i- £o)vi ) — c£'= const.
La differentiation de (i3) donncrait
(14) ' pe
Si dans (i4) nous reniplacons g7 et rf par leurs valeurs tiroes de (11), colic
Equation devient une identic en tenant compte de k(c* — p2) = 6)2p2.
Si Ton tient compte maintenant de V,., il faut ajouter au dernier mctmbro
de(n)
/ rfiV^ } . d*Vf \
\ dx§ ttso ffyo dzQ )
Mais V* 6tant tr^s petit, nous pouvons dans ccs .termes correclifs fairc
p s= c = i , Sa = 8(3 = 87 = o ;
d'ou
x = XQ co? w t •+- y-Q sin o> t, y= — #0 sin w ^ 4-*^0 cos to £, ^=^0j
d?oil enfin
, .
(_ I ^ - -— / _ -- ^ J
dy
de sorte que le terme a ajouter au dernier membre de (i i) est
PRECESSION DES CORPS DjfrORMABLES. 497
Si Ie liquide se deplace comme un corps solide, Sz?2 devra <Hre independanl
du temps, egal par consequent a sa valeur dans la solution (10), c'est-a-dire
qu'on aura 2#2 = p2 (x\ + yl ) + c^z\ ; on deduit de la
Say = Spy = o,
ou
SSay -h iSSp-y = o,
ou
(16) peto'j-H-cTi = o.
17. Le potentiel Ve est une fonctioii connue des coordonnees du point attire
x, y: s et du temps, puisque les coordonnees de 1'asLre Iroublant sont connues
en fonctions du temps. L'expression (10) est done une fonction connue du
temps; elle pent <Hre d^veloppee en s(5rie de Fourier, les p^riodes des diflerents
tonnes de
dydz
sont relativement longues puisque ce sont celles des diverses nutations. Si
done je designe par A.e'*L un des termes du developpement de (17) et, par
consequent par — Ae'^5'* le terme correspondant du developpement de (16),
s sera petit par rapport a w.
Je puis isoler ce terme, et les equations (i i) deviennent alors
(18)
Nous y satisferoiis en posant
c-f\ =
ce qui donnera
Le determinant des equations (19) est
A = (2/CH- £10 H- £2)£(ci)-h £).
Pour obtenir les oscillations propres du syst&me, il faut faire A==o et
resoudre par rapport a s, a et 6. On aura done A = o, ce qui conduit aux
solutions suivarites :
i° e = o, ce qui correspond a une rotation uniforme de vitesse angulaire o>
autour d'un axe tr&s peu different de Taxe des ^;
H. P. — VIIT. 63
4g8 PRECESSION DES CORPS DEFORMABLES.
3« w -f- s = o, ce qui correspond a I'hypoth&se suivante : supposons qu'avant
d'imprimer au liquide une rotation uniforme autour de 1'axe des z, nous
deplacions les molecules de tr&s petites quantity a I'intgrieur du liquide, sans
allerer sa forme exterieure; nous aurons une solution tr£s peu diffdrenle do
la solution (10), correspondant a la m£me rotation Lant en grandeur qu'en
direction, au m6me aplatissement, a la m&me orientation des axes de 1'ellipsoide,
et qui ne se distingue en un mot ?de la solution (10) que parce que certaines
molecules se sont 6chang£es avec d'autres ;
3° 2 A" + ECO -+- £2~ o, ce qui correspond & des oscillations proprcs de p<5riode
Ires court e, un peu plus d'une lieure.
Si nous voulons maintenant tenir compte de ruction de 1'ustre LroubluuL,
nous ne ferons plus A = o, et il viendra
A(co-4- e)
£0)-f-s2)5
— c)
D'apres nos hypotheses, £ est ires petit par rapport a w, et-r- est de Fordre
de I'aplatissement; nous pouvons done n£gliger s devant w et £w -j- £- devant 2 A1,
ce qui donne
"Aw r Aw
a = , > o = -- 7—;
2/T£ 2^£7
d'ou
a -4- b = o.
Mais cette relation a-\- b = o est ekjuivalente a la relation (16); elle signifie
done que le liquide se comporte comme un corps solide.
18. Ce r(5sultat peut ^tre pr<$sent6 sous une autre forme, ficrivons liquation
des airesj qui n'est autre chose que liquation (i3) quand Ve= o. Si Vc n7est
pas nul7 nous devrons ^crire que la d(5rivde de la constante des aires est <5gale
au moment de la force exterieure. Or le premier membre de ( i3) a la signifi-
cation suivante t c'est a un fact^ur num^rique pr^s la constante des aires
relative au plan des xz, plus \/ — i multipli^ par la constante des aires relative
au plan desjvs. Done la d6riy£e de ce premier membre, c'est-4-dire le premier
membre de ( 14), doit <Hre 6gala, a M + *'L, L et M 6tant, a un facteur
PRECESSION .DCS CORPS DEFORMABLES. 499
rique prijs, les moments de la force ext^rieure par rapport aux axes -des x et
des y. On aura done
7!"-+- 0)27]) — cf==
Le deuxi&me membrc pent £tre d<*velopp<3 en s6rie de Fourier; soil Be/s* un
de ses termes; nous rsolerons ce terme et nous ecrirons
Cette equation est vraie tant pour un corps solide que pour un liquide.
Dans le cas d'un liquide, ceite Equation doit <Hre compile par liquation de
HelmhollZj c'esl-u-dire par la deuxi£me Equation ( 18) et dans le cas d'un solide
par liquation ( 16). On irouve ainsi
— [o>2 — (to H- s)s] H -- e2 = B (solide ou liquide),
a(w — e) -f- 6(a) -+- e) s= o (liquide),
= o (solide).
On voit que pour s lr£s petit par rapport a w les deux derni^res Equations
concordeiit, de sorte quo les deux corps, solide ou liquide, se comporteront
sensiblement de la m6me mani6re. Ceite analyse dcs mouvements d'un liquide
homogtoe doit <Hre rapproch^e de celle que j'ai faite dans le lome VII des Ada
mathematica pages 847 et suivantes; la on voit ddja &. 1'endroit citd que les
oscillations d'un ellipsoide peuvent £tre r^parties en groupes susceptibles
d'etre <5tudi(5s s(5part$ment; dans chacun de ces groupes n'interviennent que des
fonctions de Lam(5 d'un ordrc d^termind. Les mouvements quo nous avons
considers ici correspondent txux fonctions de Lam6 du premier ordro.
III. — Rigidit6 gyrostatique.
1. Examinons maintenant ce qui sc passe dans le cas d'un liquide h6U3ro-
g&ne. Les Equations do 1'Hydrodynamique nous donnent encore comme au
paragraphe II,
(0
Je d^signe par D la densit^ du liquide que je n'ai plus le droit de prendre
pour u&it6 puisque le liquide est h6t6rog&ne. Une solution particuli^re est
celle oil le liquide soustrait £ toute action ext^rieure est anim6 d'une vitesse de
rotation nniforme w autojur de 1'axe des z. Dans ce cas on a Vtf=o; nous
500 PRECESSION DBS CORPS DEFORMABLES.
aliecterons de Findice i les lettres relatives a cette solution et nous <3crirons
(2) Stf'i0foi = ^p-rfVM.
D seul n'ayant pas changed Comparons maintenant a un liquide liomog^ne
souiiiis aux m£mes actions ext&rieures, et afFectons de 1'indice 2 les lettres
correspondazites ; nous aurons
(3) S#2 dx*~dp*—dV*i— dVe.
D cst devenu tfgal a i et Ve par hypoth&se est le inline que dans le premier
cas. Gonsidt5rons enfin le cas d'un liquide komog&ne soustrait a toute action
exl^rieure et anime d'une rotation uniforme; nous aurons, en affectant les
lettres de Pindice 3,
( 4 ) S x\ dx* = dps — dVv.
Nous avons vu au paragraphe II que, si la nutation est de periode longue,
le liquide homog&ne se comportera sensiblement comme unsolide; ilenr^sulto
que le potentiel V/ sera le m6me dans Ics deux cas (pour une m6me molecule
^o) JKo? ^o)5 en e^et ce potentiel est du a Fattraction de FellipsoiCde, et cet
ellipsoi'de s'est d^plac6 sans se dgformer et en entrainant dans son mouvement
le point attir<3 a?0, y0, ^0 ; on aura done
V2,= V3I-;
on a (Sgalement
^2 = ^3
(la valeur des constantes A et V du paragraphe II etant les monies dans les deux
cas). II reste done, en retranchant (3) de (4)?
(5) dVe= £#3 dxz— Xx\ dxt.
Observons 'encore que le mouvement du liquide li<$t<§rog&ne dans le cas de
liquation (2) est le m6me que celui du liquide homog&ne dans le cas de
liquation (4)? de sorte qu'on a
id = xs, x\ = x\ ,
Je dis maintenant qu'on pourra satisfaire a liquation (i), en supposant que
le liquide h&terog&ne se d^place d'apr&s les m^mes lois que le liquide homo-
g^ne dans le cas de liquation (3), c'est-a-dire de telle fagon que #=±=#a, ce
qui entrain^
PRECESSION DES CORPS DEFORMABLES. 5oi
La condition mSccssaire ct suffisanle pour quo celte solution soil acceptable,
c'est qu'elle concluise pour dp a une expression qui soit la diffigrentielle exacte
d'une fonction qui s'annulc sur la surface libre.
Si Ton a x = x%, le liquide se comporte sensiblement comme un corps
solidc et 1'on peut, en rdp<§tant le raisonnement qui nous a fait voir quo
V2|/= Vv-, montrer quo
V,= Vi|£.
Dans ces conditions, les Equations (i) et (2) deviennent
(ibis) S x\ dx* = ^ - dVf - <We,
(2 bis) Sa?5rfa?a=3Ei— <Ar/,
en les retrnnchant ot en tenant compte de (5), on Irouve
dp = dpi,
ce qui montre que dp est la diflferentielle exacte de la fonction p± qui s'annule
a la surface libre. c. Q. F. D.
Ainsi, aussi bien pour un liquide Jielerogene libre que pour un liquide
homo gene libro, la precession et les nutations seront les memes que pour un
corps solide.
2. Ce qui pr<3c6de rcnlrc dvidemmcnl dans un fait tr6s ggngral connu sous
le nom de rigidit6 gyros tatique*, ct 1'on pout alors se dcmander pourquoi le
m&me raisonnement n'est pas applicable au cas trait6 dans le paragraphe I, efts
clans lequel nous avons obtenu des r<§sultals absolument diff(5rents. En r6alit(i,
il reste applicable, mais il y a une difference importante. Rappelons la formulo
du dernier numcSro du paragraphe I :
—
a0 """ sN — I-H X
Lorsque N tend vers 1'infini, le rapport — tend vers t, c'cst-a-dire que le
corps envisage tend a se comporter comme un corps solide : settlement, ce qui
figure dans la formula, ce n'est pas N, c'est sN, et N peut 6tre tr6s grand sans
que sN le soit; si eN est tr.&s grand, c'est-a-dire si la p&riode de la nutation
exprim£e en jours est tr^s grande, non seulement d'une mani^re absolue, mais
par rapport a Pinyerse de 1'aplatissement, la rigidit^ gyrostatique aura son
502 PRECESSION DES CORPS D^FORMABIES.
plein eflet, et la nutation sera la m£me que pour un corps solide. Mais il njen
sera plus ainsi si eN est fini. C'est ce qu'avait ddja expliqiu* lord Kelvin, mais
il est n^cessaire d'entrer dans plus de details.
3. Quelle est Porigine de la rigidit<5 gyros la tique; ceLte rigidilc* n'esL aulre
chose qu'un cas particulier d'un pli<5nom6no bcaucoup plus g&nSral, la
resonance.
Envisageons un syst&me quelconque en 6quilibreabsoluourelatifet (Studious
ses petits mouvements dans le voisinage de sa position d'gquilibre. Ces petils
mouvements pourront toe dgfinis par des Equations lingaires; et si x, y, z, ...
repr^sentent les coordonn6es du syst&uie (qui s'annulent dans la position
d^quilibre), on aura des Equations de la forme
D est une expression lin^aire a coefficients constants par rapport ft x, y, s, ...
et a leurs d6riv6es; 2Aez'ef repr^sente 1'ensemble des termes dus aux forces
perturbatrices extdrieures et qui seront d^veloppables en s^rie de Fourier. Nous
envisagerons en particulier les Equations sans second membre
qui d^finissent les oscillations propres du syst£me et les Equations
(7) B(^,r, z, ...)
qui repr^sentent Feffet de Tune des composantes des forces perturbatrices.
On satisfera £ liquation (7) en posant
On verra que #,&,<?, ... sont donnas par des Equations du premier degrg
dont les coefficients dependent de e, et Ton aura
A est un polynome eutier en e, indgpendant des coefficients A : c'est le deter-
minant des Equations du premier degr^; P1? P3 sont des polynomes entiers
en s, lin^aires par rapport aux A. Les z^ros du polynome A, que j'appelle
«i, $*, - . , , correspondent aux p&iodes des oscillations propres du systfcme
PRECESSION DES CORPS DEFORMABLES. 5o3
T* "P
definies par liquation (6). Les fractions rationnelles -£>-£> ••• peuvent £tre
decomposees en elements simples ; on trouve ainsi
ai a*
£ — £l £ — I
£ — Si £ — £3
On voil aisement qu'on satisfait a. liquation (6) en posanl
(9) x = a\ efei*, y = bi etei', z = Ci etei',
Si £ esl lr6s voisin de £1, a, &, c. ... deviennent tr6s grands; c'esl le pheno-
m£ne de la resonance. Dans ce cas, le lerme qui a pour dtfnominaleur s — e4
dovienL tout a fait preponderant; ot Ton a sensiblemcnt
c'est-a-dire que le syst&me se comporte sensiblenient comme dans Foscillation
propre (9) avoc laquelle il y a resonance.
Done, si la periode de la force perturbatrice devient tres voisine de la
p&riode de Vune des oscillations propres du systeme^ le systeme se comporte
sensiblement comme dans cette oscillation propre.
Ce r^sultat cesse d'etre vrai si les deux coefficients EI et £2 different tr^s peu
et si s est voisin £ la fois de £i'et de £2 de telle sorte que £ — £1 et £ — £2 soient
du m6me ordre. II n'y a plus alors de terute preponderant, C'est le ph^nom^ne
de la double r£sonanec.
4. Appliquons ces principes au cas de la rigidite gyrostatique. Gonsiderons
un systeme mecanique quelconque ea equilibre relatif par rapport & des axes
mobiles tournant autour de Paxe des z avec une vitesse uniforme OK Ce systeme
pourra osciller autour de cette position d'equilibro relatif, et nous distingnerons
ses oscillations propres, c'e$t-£-dire celles qu'il prend lorsqu'il est soustrait ^.
toute force perturbatrice ext^rieuro, et ses oscillations contraintes dont la
periode sera la m£me que celle de la force pertubatrice.
Si les forces perturba trices paraissent varier tr&s lentement ^ un obscrvateur
fixe, pour un observateur lie aux axes mobiles elles paraitront tourner autour
de 1'axe des z avec une vitesse angulaire — w, c'est-4-dire que leur periode sera
2ft
4 peu pr&s -T *
5o4 PRECESSION DES CORPS DEFORMABLES,
Or parmi les oscillations propres du systtirne nous devons distinguer la
suivante : le syst^me par hypoth&se petit tourner avec une vitesse angulaire a)
autour de 1'axe des s, c'est alors qu'il est en ^quilibre relatif par rapport aux
axes tournants; mais s'il est soustrait a toute action ext^rieure, il pourra £gale-
ment tourner avec une vitesse uniforme GO autour d'un axe tr6s peu different de
1'axe des z. Dans ces conditions, il sVcartera tr&s pen de P<5quilibre relatif ct
ce sera la une oscillation propre dont la ptfriode sera pr<5cis6ment — • Dans
cette oscillation propre, le syst&me se comportera comme un corps solide.
II y aura done resonance et, dans Poscillation contrainte, le syst&mc se
comportera a peu pr6s comme nn corps solide; il y aura rigidit£ gyrostatique;
il rty aura ^exception que s^il y a double resonance, c'est-a-dire si le
syst&me est susceptible d'une autre oscillation propre, ou il ne se comporte pas
comme un corps solide et dont la p<5riode est voisine de — •
CO
5. C'est prgcis^ment ce qui arrive dans le cas du paragraphe I. II cxiste une
oscillation propre dont la p<$riode est donn<5e par la formule
N= i — X
~" e '
(en reprenant pour un instant les notations du paragraphe I). Cette pdriode est
tr&s longue, c'est-a-dire qu'elle est a peu pr&s la m£me que celle des forces
perturbatrices.
Pour mieux nous en rendre compte, il convient dc rcprendrc le probl^mc
du paragraphe I avec les notations et les ni(Hhodes du paragraphe II; on faci-
litera ainsi la comparaison des resultats de ces deux paragraphes et 1'gtude des
cas intermgdiaires.
La relation entre les coordonmSes actuelles 5?, /, z et les coordonn^es
initiales ^0, y0, £0 seront, aussi bien pour la croute solide que pour le noyau
liquide, exprim^es par les formules (i) du paragraphe II, seulement les fonc-
tions a, (3, y ne seront pas les monies dans les deux cas. Nous supposerons
que, pour la surface commune qui limite inttfrieurcment la croute solide et
exterieurement le noyau liquide, on a
oblige a supposer que la croute solide 6tait encore liquide dans la
position initiale idgale, et qu'elle s'est solidifige dans une phase ulterieure
PRECESSION DES CORPS D^FORMABLES. 5o5
apr£s avoir acquis sa forme definitive. Cette hypoth&se pent £tre faite sans
inconvenient puisqu'il s'agit d'une position initiale ideale.
JNous envisagerons une solution particuli&re ou tout le syst&me est anim6
d'une rotation co; ou par consequent on a les relations (ro) du paragraphe II
aussi bien pour la croute que pour le noyau, ainsi que les solutions ti^s pen
differentcs. Nous continuerons a poser
en cc qui concerne le liquide, et nous appellerons £4 et ~n± les quantites corres-
pondantes pour la croute solide.
Cettc croute etant solide devra satisfairq a la condition (16) du n° 16 du
paragraphe II; c'est-a-dire qu'on aura
(10) p <sio)'£iH- crn = o.
Exprimons maintenant que la surface externe du liquide coincide avec la
surface interne du solide. Quelle serait d'abord la condition pour que la surface
libre du liquide ne se deformat pas. On devrait avoir
2 _ & -h yz z-
5~" ^ *~ C2'
d'ou
£Xj Y^ -f~ Ctg YS *3*jf3 t^l Y! H~ 1J2*Y2 H^T''
En remplagant dans ces formules ai, a2, (3d, (32, y3 par pcos&j^, — psinwjfj
p sinwr, p coswi, c, yi + «y2 el a8 + ^Pa p«r ^ et YJ; on irouvera, par un calcul
pareil a celni du n° 16 du paragraphe II
ou
Si nous ecrivons que la surface interne du solide ct la surface externe du
liquide tfprouvent la m£me deformation, nous aurons
(II)
6. Nous avons trouve au n° 13 du paragraphe II la constante des aires pour
le liquide; faisons le m6me calcul pour la croute solide. Nous aurons encore
S nt(sc'y — xy'}z=. (u\ aa— a;2 aj)S mx\ -4- S wa?07o( ...)+••-• ,
H. P. — VIII. 64
5o6 PRECESSION DES CORPS D^FORMABLES.
Mais nous ne pourrons plus ^crire
S mx\ = S myl = ^mz\,
Toutefois, comme le corps doit 6trc regard^ commc de revolution, nous
pourrons tfcrire
S mx^yQ = S w^o-So =: S 7>?#o£o = o,
£ /?ia?J = S myl = A, 5 /nsj = C,
les constantes A el C n'ayant pas la m£mc significalion qn'au paragraphe II, il
vient ainsi
Xntfy-x/^^Wat^-^A + ^fa-V^
On trouve de m&me
^
-y^) = A [(a'a«3- «'3 «O + (P« Ps~ K P«)] + C(T'2 Ts- Yi TS),
Formons Pexpression
— Oil — z J?9
en y remplacant
par leurs valeurs
pe-'««,
(je dis V3i, 5i parce qu'il s'agit de la crolte solide); on trouve
C?est le calcul m^me par lequel nous avons obtenu liquation (i3) du n° 16 du
paragraphe II. Pour avoir Texpression analogue a — Jit — t'ji? relative au corps
tout entier, il faut ajouter le premier membre de cette Equation (i3), ce qui
donne
Cette expression, en vertu de la loi des aires, doit 6tre une constante s'il n'y a
pas de force extgrieure et, s'il y en a, sa d^riv^e
Ap tf-*»«(ifl 4- wSrii ) — Gc?; -4- p tf-^w^ti'-h o>2vi) — o£"
doit 6tre <5gale a une combinaison simple des moments des forces exUSrieures,
c'est-a-dire a une fonction connue du temps, d^veloppable en st5rie de Fourier;
j'^cris
(12)
PRECESSION DES CORPS D&FORMABLES. 507
7. Nous avons, en outre, la deuxi&me Equation (18) du paragraphe II, qui
subsiste puisqu'elle n'est autre chose que la d&riv<5e de liquation (12) de
Helmholtz du paragraphe II. Elle complete avec (10), (n) et (12) le sysi&me
complet de nos equations qui s'dcrit, en isolant Pun des lermcs du dcuxi&me
membre de ia,
A p e-tut('r\'[ -h w*^ ) — G c\\
— c^"= B e^1 ;
On les intggrera en posant
ce qui donne
(2 C0£
.
C2
.(tO2 — £s) •
Le determinant de ces Equations s'gcrit
£2 G£2 2U)£ -h £2
pi n2 0*2
01 O
I I
TO
_
™— Oj
= o.
2 (*)£ -h £2
-L
c2
0)2—
La premiere ligne du determinant est divisible par 5, done A est divisible
par £.
Le coefficient de £ est
2 CO
2At»)
C2
C2
0
I
0
I
1
i'
i
I
P2
P5
C2
"~ C2
GjS
0
(0s
o
(I I \ 2 CO3
?-*)—
5o8 PRECESSION DES CORPS DEFORMABLES,
Done A n'est pas divisible par £2 a moins que — = — ? c'est-&-dire que la
cavite interne ne soil splitSrique. Dans ce dernier cas, il vient
A = 2s2(w-t- e)(aAo) -+- Ae-h Ge)-i-«
Done 1'oqnation A = o admottra, si — est tress petit, quatrc racinos,
dont une nulle, une trfcs petite, unc dgale a — GO. el la quatri&me voisine do
— A — C* Nous avons vu quelle esi la signification de la premiere (rotation du
corps en bloc autour d'un axe tr&s peu different do 1'axe des 3) et de la troisi&mo
( displacement prtfalable des molecules liquides a I'interieur clu noyau liquido,
de sorte que ces molecules se sont simplement substitutes les unes aux autres).
C'est a la presence de la deuxi&me racine, qui est tr£s petite, que nous
devons les particularity du ph^nom^iie; la p<$riode de la force porturbatrico
correspond a un s trfes petit, d'ou resulte une resonance avec la racine nulle;
si cette resonance existait senle, le corps se comporterait a peu pr^s comme
dans Poscillation propre qui correspond a cette racine nulle, c'est-a-dire
comme un corps solide; il y aurait rigidite gyrostatique. G'est ce qui arri-
verait si Taplatissement de la cavit6 elliptique interne n'6lait pas trfes petit.
Mais s'il est tr^s petit, liquation A = o admcttra une racine tr&s petite. II y
- aura double resonance.^ et 1'amplitude do la nutation sera tr6s difl^ronlc de ce
qu'elle est avec un corps solide.
IV. — Influence de F61asticite.
II conviendrait maintenant d' examiner ce qxii arrive si Ton suppose que la
partie solido de la Terre n'est pas un solide invariable, mais un solide <3lastiquo.
Supposons done d'abord que la Terre est un sphtSroi'de solide plein dastique,
ct ensuite qu'elle est un sph^roide solide creux gkstique rempli de liquide.
Consid^rons d'abord la premiere hypoth^se; 1'amplitude des diverses nuta-
tions sera-t-elle alt£r£e ? D'apr^s le paragraphe prdc^dent, cette question so
ram&ne a la suivante : y a-t-il simple resonance ou double resonance ? En
d'autres termes, liquation en e analogue a liquation A = o du paragraphe
prgcgdent a-t-elle une racine nulle, et toutes les autres fmies, ou bien unc
racine nulle et une autre tr£s petite ? La question, se rgsout imm<*diatement;
dans le cas limite du solide invariable, c'est-^t-dire quand on suppose la rigidit£
infinie, il y a simple resonance; il y a une racine nulle et les autres fmies;
PRECESSION DES CORPS DEFORM ABLES. 5og
il faul done quo ces racines soient finies pour une rigidite quelconque ; car si
Time d'elles 3tait tr£s petite pour une rigiditg quelconque, elle resterait telle
pour une rigidit6 infinie. II y a done simple resonance, la rigidit<5 gyros tatique
a son plein effet, et 1'amplitude des diverses nutations est tr£s sensiblement la
m^me que pour un solide invariable.
Passons a la deuxi^me hypoth6se. 11 s'agit d'dtudier les oscillations propres
du syst&mc. La croute solide va obeir aux lois de I'tSlasticite. Soient #, y, z les
coordoimees d'un point; x + u, y + p, z -\~ w ce que deviennent, par suite de
la deformation, les coordonn(5es de la molecule dont les coordonn^es initiales
etaient x, y, s\ soil
. du dv dw
8 = ~ h ~= h - -r- 5
dx dy dy
soienl (JL eL v deux coefficients, on aura
d* u
JNous avons, en outre, les conditions aux limites; soient P^., P,rj., . ., les
diverscs composantes de la pression, de telle sorte que
(du, <.
Soient a, (3, y les cosinus directeurs de la nonnale a la surface libre, et soit
X^aP,™-
le veeteur X, Y, Z rcprdsentera la pression qui s'exerce sur un clement de la
surface libre. Sur la surface libre ext&rieure, ce veeteur devra <Hre mil; sur la
surface libre intgrieure, il doit &tre normal a la surface et 6gal & la pression
hydrostatique du liquide.
Supposons que les surfaces libres externe et interne soient des spheres (ou
des figures tr&s peu diff&rentes) et que la pression p soit 6gale a un polynome
sph^rique P du second ordre par exemple; nous pourrons alors satisfaire aux
equations en prenant
R et S 6tant deux fonctions de r = /#* +• ya + ** ; on voit que R et S satis-
font ^. deux Equations diff^rentielles du deuxi^me ordre, etles quatre constanles
d'int^gration peuvent &tre d^termin^es par les conditions aux limites. Les
fonctions inconnues R et S sont done enti&rement d^finies et elles restent les
510 PRECESSION DES CORPS D&FORMA5LES.
m&ines qucl que soil le polynome sptuSrique P, pourvu qu'il soil loujours de
inline ordre.
Nous nt, posstidons pas ainsi la solution g(5n(5rale du probleme ; voici comment
on pourrait 1'obtenir : soient
U SB Uij 9 = P19 W = Wi
la solution particuli^re que nous venons de Lrouver; la solution g^ntSrale sera
U = Ui -H MS, 9
^j ^a repr^sentant un d^placement d'ailleurs arbitraire ou le corps consi-
se comporlerait comme un solide invariable; ce d^placement cst done une
simple rotation; nous la supposerons aulour d'un axe situ£ dans leplan des xy,
de sorle qu'elle d(5pendra de deux constantes arbitrages.
U faut d'abord calculer p\ nous allons appliquer los r^sulltits du para-
gruplie II. Nous pourrons, en effet, admettre que le mouvemenl du liquido
reste simple] il suffit pour cela, d'apr^s ce que nous avons vu, que la surface
ext(5rieure reste ellipsoidale, c'est-a-dire que la surface interne de la croule
solide, primitivement sph^rique, devient un ellipsoide par la deformation. Or
il est ais6 de voir que cette hypoth&se est d'accord avec celle que nous avons
faite que/> = P est un polynome sphiSrique d'ordre 2.
Nous retrouverons done les Equations
Les termes de p qui nous int^ressent sont les lermes
dont nous nous proposons de calculer les coefficients. Les Equations (i) nous
donneront alors, par le proc<5d<5 employ^ au paragraphe II
k Say -h h,
Si nous posons A + j%1 = w et que nous nous rappelions la signification
et de YJ, ces Equations nous donneront
(2) — co3p e*w*£ -1- erf— p etot%'ss ^(p e^^ -+• erf) +. w.
*
Nous aurons done pour les termes qui nous
^ — ^.TsusoC^o— i/o),
la notation 01 signifiarit partie rtelle,
PRECESSION DES CORPS DEFORMABLES. 5ll
Nous pouvons, en n<3gligeant le carr6 de £, vj, GT, ecrire
p = P = <& — ,5(2? — iy)e— z<w£=! tflzn-SoC^o — &Xo).
Dans ces conditions, la solution depend de quatre const-antes arbitrages qui
sont les parties r<5elle et imaginaire de w et les deux constantes qui d<3finissent
la rotation &2, t>2j w2.
Je voudrais maintenant former des Equations analogues aux Equations (i3)
et (i4) du paragraphe III, en cherchant a d<5finir les quantit^s qui joueront le
role de £1 et de YU. La premiere Equation sera celle des aires; la seconde devra
6tre remplac&e par celle de l^quilibre glastique ; celle-ci nous apprend qu'on a
car il est aistf de verifier que telle est Texpressioix 2#&i, et que 2
Elle nous donne done, en nous reporlant a liquation (2), une relation entre
^xu et les parties r^elles et imaginaires de i; et de vj. Nous pouvons mettre
cette Equation sous une forme analogue a celle des Equations (i3) du para-
graphe III de la fa^on suivante : rcvenons au cas d7un liquide et reprenons les .
Equations (i) du paragraphe II; soient x, y, z les valeurs des coordonn6es qui
correspondent a la solution (10) de ces Equations ; x + w, y + ^, z + w celles
qui correspondent & la solution tr£s voisine envisag^e au n° 16 de ce para-
graphe, II viendra
x -H y
^ = ^7) (570— (To).
On en d<5duit
Par unalogie, nous poserons ici encore
(3) S#M = (H($i <?
Reinarquons que cette Equation repr^sente en r^alit(5 deux relations entre les
parties rttelles et imagi&aires de g4 et yj4; car les coefficients de#0£0 et/0s0
doivent 6tre identiques dans les deux membres, et notre Equation deviendra
d'oft
(4)
ou
5 12 PRECESSION DES CORPS DfrORMABLES.
doit 6lre regardee comme une conslanle donnee. En effet, les Equations de
1'elasticite nous ont permis de determiner les fonctions R et S, el nous devons
dans ces fonctions donner a r la valeur qui correspond a la surface libre interne
tr&s peu differente d'une sph&re.
Passons k la troisi&rne Equation (i3) du paragraphe III; elle exprime que la
surface libre interne de la croute coincide avec la surface libre externe du
noyau liquide. La intoie condition nous donnerait ici
ou, puisqtie nous negligeons 1'tiplatissement eL que, par consequent, nous
pouvons prendre p — c,
(5) ^(^wgi-HCTiOss^pe^J + ciri).
Nous acheverons de definir fa et yj4 en ecrivant que, pour a?0=/0=o,
su = i , on a
U -h IV =
II n'y a rien a changer a la qualriteme qui est liquation de Helmholtz. Ainsi
que nous Favons vu les deformations de la croute solide dependent uniquement
de quatre arbitraires. On peut prendre pour ces quatre arbitraires les parties
r<5elles et imaginaires de £1 et de Y\\*
Nous aurions pu rapporter le systfcme a des axes diff&rents, en conservant
1'axe des z, et de telle fagon que le nouvel axe des x fasse avec Fancien un
angle cp. Gela serait revenu £ changer #0 — iyQ en (XQ — iy^}e-^, u + iv en
(u + «V) ei(? et, par consequent, g, TO, fa, YU en ^ez<<P, YJ e'?, fa e*99 Yjt e*P.
Les Equations des aires sont des relations Umpires entre fa YJ, £4, yji, leurs
imaginaires conjugu£es 5°, y?°5 ^Jj v3j et leurs derivees. Mais ces equations
doivent subsister avec le nouveau syst&me d'axes et, par consequent, quand on
change £, tj, fa, ^, ^°, YJ°, K, TjJ, en gc^, me**, fae**, net*, t»e-'V, v»e~£'*,
%l <?~Z<P, vjj e-*?. Le premier membre se divise ainsi en deux parties, 1'une qui
est multipliee par e*9, Tautre qui est multipliee par e~^ et, comme la relation
doit avoir lieu quel que soit cp, chacune de ces deux parties devra &tre nulle
separement. Nous egalerons done. ^, zero la premiere, qui ne dependra que de
E? ^) ^1? Vi et nous aurons liquation des aires
PRECESSION DES CORPS DEFORMABLES.
donl le premier membre est lin&iirc par rapport a £, YJ,
puis liquation d'<3lasticil£ deduile de (2) et (4)
5l3
eL leurs d*$rive$es;
puis la dernifcre Equation (i3) du paragraphe III qui subsisle sans changement
eL liquation
deduite de liquation (5).
Si nous posons, comme au paragraphe III,|
(6) p? = a e&t, cf\ = b e'(<«H-*)*, fa =: at ^', CYJ
il vieni
A a H- AI ai + B 6 -h Bj 61 = o,
-H b\ = o,
— b\ = o3
A, A1? B, B4 sonl des fonctions de s. Pour gludier ces fonctions, remarquons
que F(^. vj, ^ij ^1} ne repr^sente Pas la constanle des aires, mais la d^riv^e de
cette constante; si <fr(£, YJ, ^i, yji) repr^sente cette conslante elle-m6me, en y
subsLituant aux g et YJ leurs valeurs (i) il viendra
&, ^ 61, TU ) = ( A'a + A; at 4- B'b H- B't
A', ... 6lant des polynomes entiers en e. En diff&rentiant il vient alors
on a done
ce qui montre que A, Ad, B, BA sont divisibles par s. Le determinant des
Aquations (i4 to) s'annule done pour s==o; il y a done resonance. G'est ce
que nous savions d&ja', mais il reste a savoir si celte resonance est simple ou
double. Pour cela, je divise la premiere ligne du determinant par is, et je fais
s = o, ce determinant devient
A'
XA:
B'
\k
H. P. - VIII.
65
5l4 PRECESSION DES CORPS D^FORMABLES.
Je dis que ce determinant s'annule pour p2 = c2, il est par consequent tr&s
petit pour p2 voisin de c2. En effet, considerons le tableau forme des trois
derniferes lignes du determinant. Si Ton fait c2= p2, les colonnes i et 3 de ce
tableau sont identiques, de m&me que les colonnes 2 et 4- Doncle determinant
estnul. c. Q. F. D.
II y a done double resonance; done 1'amplitude des nutations differera nota-
blement de ce qu'elle serait pour un corps solide.
REMARQUE SUR L'HYPOTHESE DE LAPLACE
Bulletin astronomique^ t. 28, p. 25i-266 (juillet 191 1).
1. On sail que, dans Fhypolh&se cosmogonique de Laplace, on suppose que
la n&buleuse primitive en se conlractanl abandonee une s^rie d'anneaux d'ou
d(5rivent ensuite les diflferenles plan&les. On peut se demander quelles sont les
conditions de stability de ces anneaux et quelle estla cause delear destruction.
Roche a d£ termini les conditions de leur formation par Fanalyse suivante. On
est oblig<5 de supposer que la n6buleuse est tr&s fortement condens^e au centre
et se compose d'un noyau sensiblement sph^rique et d'une atmosphere trfcs
rargfige ; la comparaison des moments de rotation nous impose absolument ces
suppositions. Soient done M la masse du noyau, w la vitesse de rotation sup-
.pos(5e uniforme; r la distance du point #, y, z a 1'origine; 1'axe de rotation
(Slant pris pour axe des #, Liquation de la surface libre de Fatmosph^re sera
, + + M
2
surface de revolution dont la section m^ridienne est
(0
Pour cerlaines valeurs de la conslaute C, cetle courbe pr^sente deux points
doubles, et c'est quand ces valeurs sont atteiiites que les anneaux se formenl
nux d^pens de Patmosph&re. ' ' •
Si Ton donne & G ces valeurs, la courbe pr&senle de& branches infinies, de
sorte que si liquation (i) restait valable, les parties d^tach^es de la masse
centrale ne pourraient former des anneaux et seraient reponss^es a. Finfini.
Mais il est clair que ces parties ne sauraient conserver la vitesse angulaire o>
5l6 REMARQUE SUR L'HYPOTHlSE DE LAPLACE.
que nous avons jusqu'ici supposde consLanle; une fois dcHachttes, elles ne parti-
ciperont plus a la rotation gen^rale, et leur vitesse angulaire ira en d<5croissant
conformement a la loi des aires a mesure qu'elles s'^loigneronl de 1'axe.
Ainsi, au moins au dela des points doubles, nous ne pouvons regarder co
comme constant, et il est pen probable que ceite uniformity de rotation ait pu
se maintenir dans I'atmosph&re de la n^buleuse qui est tr&s rar<3fu§e; nous sup-
poserons done desormais co variable suivant une loi quelconque; d'autre part,
nous avons pour gtablir liquation (i) ngglig^ 1'attraction de cette atmosphere
a cause de sa faible densit6; nous ne pouvons plus le faire; il est Evident en
effet, et Ton s'en rendra compte d'ailleurs dans la suite, qu'a supposer cette
attraction nulle on serait conduit a conclure que les anneaux sont toujours
inslables.
Les Equations de 1'Hydrostatique nous donnent
d? i dp d? i dp _ dP i dp
— !___£.— 0 — | — -—= war. -= -- h - -y- = co2^;
dx p dx dy p dy J dz p dz
p est la pression, p la density du flnide, P le potentiel dti a 1'attraction.
Ces Equations peuvent s'^crire
(2) dP+&=zu*RdR
9
en posant R2 = t72-H^2. Supposons que/? soit fonction de p, ce qui arrivera
dans un grand nombre de cas et en particulier si la n<3buleuse est, soit en gqui-
libre isothermique, soit en gquilibre adiabatique; alors — est une diflferentielle
exacte, et il doit en &tre de m6me de o)3R<^R, c'est-a-dire que w ne depend
que de R. Posons done
liquation (a) nous donnera
P H- re = cp(R)-f- const.
A la surface libre TT doit ^tre nulle, de sorte que liquation de cette surface
libre sera
(3) ^ 9-P = C.
Si Ton suppose &> constant et Pattraction de Fatntosph^re n^gligeable, il
vient
REMARQUE SUR L'HYPOTHESE DE LAPLACE. 017
et nous retombons sur liquation de Roche,
Nous poserons dans le cas general,
5P <5iant le terme tres petit du a rallracliim de Falmosphere. Discutons la
forme de la surface (3); nous voyons d'abord que c'est tine surface de rtSvolu-
tion; par raison de syme"trie, elle admettra en general un plan de symtilric
Equatorial, qui sera le plan x = o. Supposons qu'on veuille eiudier Fintersec-
lion de la surface par une droite parallele a 1'axe des x\ nous voyons que le
long de cette droite cp est constant, tandis que -7 va en croissant quand | x \ so
rapproche de zero. Si done nous negligions <5P. nous serions amends a conclure
que le premier membrc de (3), quand x varie seul, presente un maximum
unique pour x = o et, par consequent, que toute droite parallele a Faxe des x
coupe la surface en deux points au plus. Gette conclusion ne sera pas alte're'e
quand nous passerons aux approximations suivantesi Car 1' expression — <5P,
due & Fattraction de 1'atmosphere, aura egalement un maximum pour & = o,
puisqu'un mobile, assujetti a se mouvoir sur une droite parallele a 1'axe des x
et soumis a Fattraction de 1'atmosphere, tendra a se rapprocher du plan x = o ;
cela est Evident si cette atmosphere est limite'e par une surface que chaquo
droite parallele a 1'axe des x coupe au plus en deux points syme'triques par
rapport au plan # = o. Or nous pouvons determiner la forme de cette atmo-
sphere par approximations successives. Nous negligerons d'abord §P; en
seconde approximation, 'nous prendrons pour <5P le potentiel du a Fattraction
d'une atmosphere limit(§e par la surface calcul^e en premiere approximation et
ainsi de suite. La surface limite satisfait a la condition en premiere approxi-
mation, et nous venons de voir que si elle satisfait en /iifeme approximation, elle
y satisfera encore en (n-\- i)Jferae approximation; elle y satisfera done quelque
loin que ces approximations soient pouss^es.
On pourrait objecter que la connaissance de la surface libre ne suffit pas
pour determiner <JP; et que la densite de Fatmosphere etant variable, il faut
connaitre toutes les surfaces d'egale densite, c'est-a-dire toutes les surfaces
TT = const. Mais toutes ces surfaces satisferont a la condition enonc^e en
5l8 REMARQUE SUR L'HYPOTHESE DE LAPLACE.
premiere approximation el Ton vcrrail <5galemont quo, si olios j salisfonl en
7iI6mc approximation, elles y satisfont en (n -+- i)16m° approximation.
La conclusion c'cst quo la surface (3) est couple par une droitc parallele a
1'axe des x au plus en deux points sym6triques par rapport au plan Equa-
torial x = o.
Pour (Studior cette surface, on plutdl sa section mt»ridienne, il suffit done
d'<Hudier les variations de 1'expression
(4) 900-POO,
c'est-a-dire du premier membre de (3) ou Ton fait x = z = o. Si
<?Cro)-P(.7o)>C,
la surface (3) coupe en deux points la droitey —j'o , z = o; elle ne la coupe
pas si
M
Si notre atmosphere ne s'^tend pas a Finfini, 1'expression (4) pour y tres
grand doit ^tre plus petite que C; elle est infinie pour y = o, parce que
— = — =4-00. Nous devons envisage? les maxima et les minima successifs de
«/
Pexpression (4); 1'un des cas les plus simples est celui oft, quandy d^croit de
-4- oo a o, Texpression (4) croit d'abord, atteint un maximum pour y=zyQ,
d^croit, atteint un minimum pour y =yi, et croit ensuite jusqu'& 1'infini.
Nous dSsignerons alors ce maximum par Co, et ce minimum par d. Si nous
prenons C = Ci la courbe m^ridienne, sym<3trique par rapport aux deux axes,
prgsente deux points doubles comme 1'indiqne la figure, les points doubles A
et A7 ont pour coordonn^es
= = ,
les points B et B' ont pour coorclonn^es
et correspondent au maximum de (4).
REMARQUE SUR L'HYPOTHESE DE LAPLACE. 619
Si Ton fail tourner celle courbe mdridienne aulour de Paxe des .r, ollc
engendrera unc surface de revolution avec une courbe double, et Ton voit que
Panneau engendre" par AMG eL A'M'C' Lend a se sgparer de la masse cenlrale
engendr^e par ANA'N'.
Si nous ne"gligions d'abord oP, nous aurions
Pour que Pexpression (4) admit un minimum, il faudraii d'abord que
.|(f_P) = t,j2r_M==0;
c'est-a-dire que «2/:{ = M. co 6tanl alors la vilesse angulaire sur tine orbite
circulaire de rayon y: donne'e par la iroisieme loi de Kapler; il faudraii ensuile
ou
2M
a)2 •+• 2 o)o>'jK -t- ^-jj- = 3 co2 H- 2 o)to' y < o,
ce qui veul dire que O32ys doit croitre avec y. Toules les lois de variation de w
avec y ne sont done pas compatibles avec la formation des anneaux. Si Pon
suppose une n^buleuse ou n'existent que de tres faibles courants de convec-
tion, le frottement mutuel des diverses parties maintiendra Puniformite' de la
rotation, 03 sera une constante, &)3y3 une fonction croissante et la formation des
anneaux sera possible. Si nous passons a Pextr6me oppose" et que nous suppo-
sions de tres puissants courants de convection; en vertu du principe des aires,
le produit wy2 tendra a, se maintenir constant pour une masse gazeuse entraine*e
par ces courants; ces courants brassant toute la masse, la fonction or^2 deviendra
constante, c'est ce qu'on pourrait appeler V6quilibreadiabatiquei par analogic
avec ce qui se passe pour Pe'quilibre thermique de notre atmosphere. Si &>y2 est
constant, la fonction &)2y3 est de* croissante et la formation des anneaux impos-
sible; il faut done admettre que, dans la ne"buleuse de Laplace, les courants de
convection 6taient trop faibles pour contre-balancer Pinfluence du frottemenl
et il en r^sulte ^viderament que le processus a du £tre excessivement lent.
2. Examinons maintenant la stabilite" des anneaux une fois forme's. Pour
qu'un anneau se forme et qu'il reste stable, il faut d'abord que la surface libre
520 REMARQUE SUR L'HYPOTHESE DE LAPLACE.
prenne la forme indiqu^e sur la figure el, par consequent, que le maximum
correspondant an point B existe. Au point B, on aura
if p N 0*2 / £0 -— P ^
~dy "~ s ~dy*
La premiere condition nous donne & fort pen pr&s wa/3 = M. Cherchons
alors quelles sonl, au point B, les d<3rivt$es secondes des trois parties de cp — P;
nous trouverons :
M
* Derivee de <?. -. - op.
20)*-h2£' — 4 ftp + £ ~h £'
* • •_ ' — '
5P W- — W-—£
En effet, cp ne depend pas de x^ ses d£riv£es secondes par rapport a y el a .
se dgduisent imm^diatement de sa definition, D'autre part, on a
<f2 M aM d* M d* M M
et nous avons a tr^s peu pr^s
M
Nous devrions, pour ^tre rigoureux, <5crire
M , i d$P
-y— •
7 ^7
En ce qui concerne — ^^ — • 5 il r^sulte de la remarque faite plus haul que
— oP, sur une droite parall^jle a 1'axe des #, a un maximum unique pour $ = o
et que, par consequent, cette deriv^e est negative.
D'autre part, en posant
on trouve (puisque d'ailleurs, au point B, z = o)
7 dy ~~ R3 flfe* ~" R"1
d'ou
REMARQUE SUR I/HYPOTHESE DE LAPLACE. 521
on a d'ailleurs par Fuqualion de Poisson A«5P =4- 4^p, P etant la densitd du
fluide; d'ou
s •+• e,'.
Nous devons done regarder s comme posilif ; mais nous no connaissons pas
le signe de s', bien que celle derivtfe soil plus probablemenl positive.
II vieiiL alors
-
4^p -f~ £ •+- 3s'< o.
— 2
Si p est tr6s petit, il doit en 6 ire de uidme de £ et de 3e', ce qui entraine
3 w2 -4- 2 cou/y < o.
ce qui signifie que &)3y3 d^croit quand y croil. Si done dans le voisinage du
point B la fonction coay3 est d^croissante, la stability peut subsister quelque
petite que soit la densit6 p; mais si la fonction co2y;! est croissante, 1'anneau ne
peut &tre stable que si cette density reste sup^rieure a une certaine limite.
Pour pr^ciser, supposons que la masse de Fanneau soit tr6s petite, non seule-
ment par rapport a celle du noyau central, mais par rapport a celle de Fatmo-
sph&re qui reste autour de ce noyau.
Posons alors
e = 61 H- eat, e'= EI-+- si?
ei et s.\ se rapportant a Fattraction de Fatmosph^re rest(5e autour du noyau,
ea et e'a a celle de Fanneau. Dans ces conditions e^ est positif si nous supposons
que la surface libre de Fatmosph^re du noyau est une surface convexe; d'autre
part, s'2 est tr6s petit par rapport a e^ ; le rapport de ces deux quantit^s est du
m£me ordre de grandeur que le rapport des dimensions lin£aires de la section
m<§ridienne de Fanneau et de la section m6ridienne de Fatmosph&re du noyau.
On aura done finalement &f > o et, par consequent,
( 5 ) 4 ^p !> 3 to2 -h
Si la rotation <3tait uniforme, cela donnerait
Nous remarquons que, pour que Fanneau se forme, la fonction &>2^8 doit
&tre croissante au point A; pour qu'il soit stable, si la density est tr^ss faible,
cette fpnction doit 6tre dgcroissante au point B. Ces deux points &tant voisins
H. P. — VIII. 66
522 REMARQUE SUR L'HYPOTHESE DE LAPLACE.
Fun de Pautre, nous conclurons que dans Panneau, au moment de sa formation,
la fonction co2y:j est sensiblcment constante.
Nous venons de Irouver une limite inferieure de la density ; ce r&ultat doit
3lre rapproch<3 de celui que j'ai donn£ autrefois pour Fanneau de Salnrne, mais
la limiie est plus prdcise. Reprenons cependant dans le cas actuel le calcul que
j'avais fait pour Fanneau de Saturne. On doit avoir en tons les points de la
surface de Fanneau,
la notation -?- repr6sentant la d<5riv6e estim^e suivant la normale dirig^e vers
Fext6rieur. On aura done, en vertu du th6or£me de Green,
de £tant un figment de la surface de Fanneau et ch un £l<$ment de son volume.
Or
Acp = 2 to2 -+- 2 ww'j/,
AP = 4*p;
d'ou
4 ftp > 2 u>2 -h 2 cow' y.
3. La densit(5 a dgalement une limite sup&rieure. Pour F^tablir, il suffit de
se reporter au calcul de Maxwell sur Fanneau de Saturne dont je vais rappeler
succinctement le principe. Soit un anneau formc§ de satellites r<5partis
uniform&nent sur une circonference de rayon a, et circulant sur cette
circonference d'un mouvement uniforme; soit alors a et p0-f-w£ les coor-
donndes polaires d'un de ces satellites ; supposons qu'il soit trouble et que ces
coordonnges deviennent
a(i-h£),
s et o- <§tant trfes petits. Soit V le potentiel du a Fattraction mutuelle de ces
satellites.
Les Equations aux variations qui d^terminent e et <r sont les suivautes
o7, ... repr^sentent les d^riv^es de o-, . . . , par rapport au temps,
(6) 3co2£-h2co<j'-eff=^i^; ^-*-2coe/«i^.
a2 dz ' a2 dxs
Nous chercKerons & satisfaire 4 ces Equations (6) en faisant
or = B sin
REMARQUE SUR L'HYPOTHESE DE LAPLACE. 5^3
Je m'explique; nous avons aulant de couples d'equations (6) que de
satellites ; e el 0 nc sonL pas les m&nies pour lous les satellites, ce sont done des
fonctions non sculement do £, mais de PO longitude initiale du satellite, qui est
la quantity qui distingue les satellites les uns des autres. Le coefficient m doit
tHre un cntier, en effet quand r<> augmente dc 2TT, nous retombons sur le m6me
satellite, il faut done que e el cr revienneiit a la mtoie valeur. Quant a n c'est
noire incoimue. Dans ces conditions, nous aiirons
-^ = a2Aacos(7?i^0-f- nt), -r- = ^2B p sin(mp0-H /*0»
a et (3 etant des coefficients constants que nous chercherons a determiner un
peu plus loin. II vient alors en substituant dans les Equations (6),
(3to2-f- n--+- a) A -h 2o>nB = o, 2co/^A H- (n2-H p) B = o,
on en 6liminant A et B,
(7) (3w«H-/iS-t-a)(/i*-4- P)— 4u)S/i*=o.
Pour la stability, cette Equation doit avoir ses racines r^elles. Si nous
supposions la masse de Fanneau nulle, on aurail
« = fi sss 0, 7i2(«2 - CO2) =5 O,
et la stability serait assume; si Ton supposait &> = o, on trouverait
et comme a et (3 sont g^n^ralement positifs, il y aurait instability. Cela nous
indique d^ja que pour la stability, il faut que la masse de Fanneau soit
suffisante, et d'autant plus grande que &> est plus grand.
Pour 6tendre ces r<§sultats a un anneau continu, il faut d'abord un peu de
bonne volont<3, puisque dans un anneau continu, a) n'est pas gfe^ralement
constant, et qu'en tous cas a est variable. Mais si la section m^ridienne de
1'anneau est petite par rapport & son rayon, il n'est pas d^raisonnable de
supposer que Fdquation (7) reste encore valable-£ fort peu pres. II reste a
determiner a et |3.
Soit V0 le potentiel du ^ Fanneau non trouble, V0 H- P le potentiel du a
Fanneau trouble, soit p la density de Fanneau non trouble, p + 5 celle de
P &
Fanneau trouble, de sorte que y et- sont tr&s petits.
Le nombre m ne figure pas explicitement dans F equation (7); mais a et P
dependent de m. Nous devons choisir ce nombre m de la manure la plus
524 REMARQUE SUR L1HYPOTHfeSE DE LAPLACE.
d^favorable a la stabilite, puisqu'il suffit que Tune quelcoiique des Equations (7)
ait des racines imaginaires pour quo 1'anneau soil instable. Or ce sont les
grandes valeurs de m qui sont les plus d&favorables. Nous supposerons done m
tr&s grand de sorte que si 1'on se d^place le long d'une circonf&rence, les
fonctions V, e, a- varieront beaucoup plus rapidement que si Ton se d^place
suivanl un rayon vecteur. Done -3-5 —r^> seront Irfcs petils par rapport
a -5-5 -TV* a tr^s petit par rapport a (3.
Prenons des axes rectangulaires, ayant pour origine le point consid6r6; 1'axe
des y est dirigg suivant le rayon vecteur allant au centre de la n6buleuse, 1'axe
des z est parall&le a Paxe de rotation, 1'axe des x est tangent a la circonference
d^crite par le point mobile.
Dans ces conditions, on aura
AP=— 4*3.
Mais les d6riv£es prises par rapport a y et a z sont, d'apr^s Thypoth^se faite
plusjiaut (m tr^s grand), tr^s petites par rapport aux d£riv£es prises par
d* P
rapport a x. Dans ces conditions, AP pent se r^duire sensiblement a -^-7 etl'on
peut ^crire
D'autre part, on a (par la relation entre les coordonnges rectangulaires etles
coord onn<5es polaires or et e)
(8) da^adx
et, par consequent,
^V _ ^P _ ^P
da ~" da ~~ dx
Liquation de continuity nous donne
j_.- __ — __ i « I L ,
p dx dy dz
8x, dy, dz repr^sentant les projections sur les trois axes du veeteur qui joint la
position du satellite trouble a celle du satellite non trouble Les d^riv^es par
rapport a y et a z ^tant n6gligeables, nous pourrons £crire
REMARQUE SUR L'HYPOTHESE DE LAPLACE. 525
oil la cteriv^e partielle
da 1 da rnB , .
— = — ._ — cos(?ftp0-H nt)
dx a dvo a ^ '
n'a bien entendu rien de commun avec le rapport •£- des diflferentielles qui
figurent dans 1'^quation (8). Liquation de continuity devient done
d'ou
<*r
En integrant, nous trouvons
dP
d'oti
Faisons done, dans liquation (7),
il viendra
(9)
ou
/I* -4- 71* ( 4 « p — 0)s)H~I2%pO)2=0.
Pour que les racines soient rdelles, il faut
Les valeurs de ^~ qui annulent le premier membre sont voisines, 1'une de-^j
1'autre de i4? c'est la premiere qui nous convient et nous en dtSduirons
(10)
4. La density p se trouve ainsi comprise entre deux limites donn(5es par les
in^galit^s (5) et (10). La limite inferieure donn^e par (5) depend de o)r, elle ne
depend done pas seulement de la vitesse angulaire moyenne, mais de la loi de
distribution des vitesses angulaires ; il n'en est pas ainsi pour la limite
supgrieure.
526 REMARQUE SUR I/HYPOTHESE DE LAPLACE.
Au moment de la formation de Panneau, la density p est tr6s petite, de sorte
que Pin<3galil6 (10) est satisfaite; d'autre part, la rotation n'est pas uniforme,
et rien n'empSche de supposer que &>2/3 est d^croissant dans le voisinage du
point B el, par consequent, que Panneau est stable.
Mais cette stability est promptement d<$truite par un triple m<5canisme :
i° Le frottement tend & <%aliser les rotations, si done co'—o, PintSgalite (5)
devient
et est incompatible avec Pin6galit£ (10).
2° Par suite de la condensation, Panneau se concentre de telle fagon que sa
section m&idienne tend a se r^duire & son centre de gravity quel ost Peffet de
cette condensation? Soient y le rayon de la circonference d^crite par une
particule et &) sa vitesse angulaire; soient y0 et o)0 les valeurs de y et co au
moment de la formation de 1'anneau. Nous pouvons supposer qu'a ce moment
on a
wJ^saM.
D'autre part, e.n vertu de la loi des aires,
Soit a le rayon de la circonference moyenne
j0= a(i-heo), y = a(i-f-e).
Nous pouvons supposer que la contraction se fait d'une fagon unifqrmo,
de sorte que
e = Xe0-
II vient alors
ou si s et e0 sent petits,
On voit que, pour A = i? la rotation devient uniforme. On trouve d'ailleurs
REMARQUE SUR L'HYPOTHESE DE LAPLACE. 527
Oil
Gela entraine
to'y = [j. to
et l'm(5galit£ (5) devient
Pour qu'elle soit compatible avec Pin6galit6 (10), il faut
d'oti
La stability cessera done d&s que les dimensions lin^aires de la section
m&ridienne auront diminu6 de —r •
3° Enfin, par suite de la condensation, p ira en croissant, de sorte que
lit6 (10) cessera d'etre satisfaite.
Pour toutes ces raisons Fanneau ne tardera pas & se subdiviser en parties
indgpendantes qui circuleront chacune de leur c6t6 conform<5ment & la loi de
Kapler. Ces parties dtScrivant des orbites peu diffeentes finiront pas se
choquer et se r^unir en une seule.
5. Passons maintenant £ la question du sens de la rotation des planMes.
On a cherch£ a en rendre compte par les conditions de rotation de Fanneau ;
cette rotation £tant rendue uniforme par le frottement, les vitesses lingaires des
parties ext&ieures devaient 6tre plus grandes que celles des parties int^rieures.
Gette vue doit 6tre abandonee. En effet, si les vitesses lin&iires croissaient
avec y, c'est-4-dire si ay ^tait croissant, on aurait
o>' ' y -\- to > o
et, par consequent,
47cp>3u>2-t-2oKo'7> to2,
ce qui est incompatible avec Ijin6galit£ (10). L'anneau se rompra done bien
avant que sa rotation ne soit devenue uniforme.
Le sens primitif de la rotation de la plan&te sera done d<3termin6 par les
528 REMARQUE SUR L'HYPOTHfcSE- DE LAPLACE.
conditions du choc des diverses parties de 1'aiineau quand, apres s'£tre se'pare'es
1'une de Pautre, elles entreront en collision et se fusionneront en un sphe'roi'de
unique. A ce moment, ces parties obe'iront se'pare'ment aux lois de Kapler; les
plus externes auront done une vitesse line*aire moindre que les plus internes,
de sorte que le sens primitif de la rotation sera toujours retrograde.
Les rotations ne pourront devenir directes que par Faction des marches el par
le me"canisme imaging par Roche.
HUITlfiME I'ARTIE. - ARTICLES.
LE PROBLEMS DES TROIS CORPS
Revue generate des Sciences^ t. 2, p. i-5 (i5 Janvier 1891).
La loi do Newton csl la plus simple cle toutes les lois physiques; mais elle a
pour expression matli&nalique une dquation differenliello, el pour obtenir les
eoordonn<5cs des astres, il faut inUSgrer cctLc equation. Ge probl&mc est un des
plus difficilcs de 1' Analyse, et malgrtS les recherchcs persgvtSrantcs des
gtioin&lres, il csl encore bien loin d'etre rtisolu.
I. — Quel sera le mouvernenl de n points materials, s'attiranl muluellement
on raison direcie de leurs masses et en raison inverse du carr€ des distances?
Si ;i = 2, c'est-^i-dire si 1'on a affaire A. une plan&te isol<3e et an Soleil, en
ntSg'ligeant les perturbations dues aux autres planfeles, I'intdgration cst facile;
les deux corps ddcrivent des ellipses, en se conformant aux lois de Kapler.
La difficult^ commence si le nombre n des corps est £gal i\ trois; le probleme
des trois corps a d^fi<5 jusqu'ici tons les efforts des analystes.
Immigration complete et rigoureuse dtant manifestement impossible, les
astronomes ont du proc^der par approximations successives; 1'emploi de cette
m^iliodc (Halt facility par la petitesse des masses des plan6tes> compares & celle
du Soleil. On a done £t6 conduit &. d<$velopper les coordonn(5es des astres
suivant les puissances croissantes des masses.
Ge mode de d(5veloppement n'est pas sans inconvenient; je n'en citerai
qu'un : supposons qu'il eatre dans Texpression d'une de ces coordonn^es un
termc p&riodique dont la p^riode soit tr&s longue, et d'autant plus longue que
les masses troublantes sont plus petites, et de§veloppons ce terrne suivant les
puissances croissantes des masses ; quelque loiu que nous poussions Papproxi-
mation, la valeur approch(§e de ce terme ira en croissant ind^finiment, tandis
H. p. - vnr. c?
53o LE PROBLfcME DBS TROIS CORPS.
que la vraie valeur reste toujours finie. G'est ainsi qu'on d(3veloppant sin/?z/
suivant les puissances croissantes de m et nggligeant les termes en m>, on
trouve mt — i/n3£3, polynome susceptible de croitre ind.(5finiment, landis
que sinmt est toujours plus petit que i. La veritable nature de la fonction esl.
done comply tement dissimul^e.
Cette m^thode a t3t£ cependant jusqu'ici tr£s suffisante pour les besoins do la
pratique; les masses sont, en effet, tellemenl petites qu'on peut, le plus
souvent, ntfgliger leurs caries et se borner ainsi a la premiere approximation.
Mais on ne peut esp<3rer qu'il en soit toujours ainsi; il ne s'agit pas
seulement, en effet, de calculer les t$ph<5m£rides des astres quelques anmSes
d'avance pour les besoins de la navigation ou pour que les astronomes puissent
relrouver les petites planStes d<3ja connues. Le but final de la Mdcaniquc
celeste est plus £lev£; il s'agit de r<5soudre cette importante question : la loi de
Newton peut-elle expliquer £ elle seule tons les ph&nom&nes astronomiques ?
Le seul moyen d'y parvenir est de faire des observations aussi prdcises quo
possible, de les prolonger pendant de longues annexes ou m£me de longs stecles
et de les comparer ensuite aux r<3sullals du calcul. II est done inutile do
demander au calcul plus de precision qu'aux observations, mais on ne doit pas
non plus lui en demander moins. Aussi 1'approximation dont nous pouvons
nous contenter aujourd'hui deviendra-t-elle un jour insuffisante. Et, en ofTcl,
en admettant mtoie, ce qui est tr&s improbable, que les instruments de mesuro
nc se perfectionnent plus, Paccumulation seule des observations pendant
plusieurs si&cles nous fera connaitre avec plus de precision les coefficients des
diverses in6galit6s.
On peut done pr^voir le moment ou les m(§thodes anciennes, malgr<3 la
perfection que leur a donn^e Le Verrier, devront 6tre abandonn<5es d^finiti-
vement. Nous ne serons pas pris au d^pourvu. Delaunay, Hill, Gyld(jn,
Lindstedt ont imaging de nouveaux proc^dgs d'approximation successive plus
rapides et plus satisfaisants a tous ggards que les anciens; en particulier, ils se
sont affranchis de Finconv^nient que je signalais plus haut.
Les d^veloppements auxquels ils parviennent pourraient m^me ^tre regards
comme une solution complete du probl&me des trois corps, si la convergence
en 6tait £tablie. II n'en est malheureusement pas ainsi.
Faute de cette convergence, ils ne peuvent pas donner une approximation
indtSfinie; ils donneront plus de d^cimales exactes que les anciens proc<5d6s,
LE PROBLEME DES TROIS CORPS. 53l
ma is Us n'en donneronL pas aulant qu'on voudra. Si on Foubliait, on seraii
conduit a des consequences erronoes. On en seraii vile averli, d'ailleurs, car
cos consequences ne seraient pas les m6mes, selon qu'on appliquerait les
meihodes de Delaunay ou celles de Lindsledl, et ces contradictions suffiraienl
pour monlrer qu'un au moins des deux developpemenls n'est pas convergent.
II. — Ne peul-on cependanL etablir aucun resultal relatif au mouvement des
irois corps avec ccLLe absolue rigucur £ laquelle les g6om&lres sont habitues ?
S'il esL possible d'en decouvrir, ne pourrait-on y irouver un terrain solide sur
lequel on s'appuicrail pour marcher a de nouvelles conqu^les? N'aurail-on pas
ouverl une br&che qui permeltrait d'entrer enfin dans la forleresse? On ne
peuL s'emp£cher de le penser, et c'est ce qui donne quelque prix aux rares
iheortemes susceptibles d'une demonstration rigourcusc, quand m6mc ils ne
somblont pas immedialemenl applicables a 1'astronomie.
Tulles sont les proprietes des solutions particuli&res remarquables du
probl&mc des trois corps.
Le mouvement des trois astres depend en effet de leurs positions et de leurs
vilosscs initialcs. Si 1'on se donne ces conditions initiales du mouvem'ent,
on aura defini une solution parliculi&re du probl&me. II peut se faire que
quelqucs-unes de ces solutions parliculi£res soient plus simples, plus
abordables au calcul, que la solution generale; il peut se faire que pour
certaincs positions initialcs des trois corps, les lois de leur mouvement
presentent des proprieties remarquables.
Parmi ces solutions particulifcres, les unes ne sont interessantes que par leur
bizarroric; les autres sont, comme nous le verrons, susceptibles duplications
astronomiques, Lagrange et Laplace ont dej^i aborde le probl&me par ce c6te,
<»l ils ont decouvert ainsi un theor^me important. II peut arriver que les orbites
des trois corps se reduisent & des ellipses. La position etla vitesse initiales de
noire satellite auraient pu 6tre telles, que la Lune fut constamment pleine;
dies auraient pu tee telles que la Lune fut constamment nouvelle; elles
auraient pu aussi 6lre telles que cet astre fut constamment & 60° du Soleil dans
une phase intermediate entre la nouvelle lune et le premier quartier.
Ce sont la des solutions particuli&res tr&s simples, il y en a de plus
compliquees qui sont cependant remarquables. Si les conditions du mouvement
avaient ete differentes de ce qu'elles sont, les phases auraient pu suivre des
lois bicn etranges; dans une des solutions possibles, la Lune, d'abord nouvelle,
532 LE PROBLEMS DES TROIS CORPS.
commence par croitre; mais, avanl d'atteindre le premier quartier, elle se met
a d<5croitre pour redevenir nouvelle et ainsi de suite; elle a done conslammeni
la forme d'un croissant. Dans une autre solution, plus Grange encore, elle
passe irois fois par le premier quartier entre la. nouvelle lune et la pleine lunc ;
dans cet intervalie, elle croit d'abord, ddcroll ensuile, pour se mettrc do
nouveau a croilre.
Ges solutions sont trop difftrentes dcs vcSriiables trajectoires des as ires, pour
pouvoir jamais £tre r<5ellement utiles a 1'Astronomie. Elles n'ont qu'un inloret
de curiosittf. II n'en est pas de m6mc de celles donl je vais mainlenant parlor.
II y a d'abord les solutions periodiques. Ce sont celles ou les distances des
trois corps sont des fonctions p^riodiques du lemps; a des intervalles
p<$riodiques, les trois corps se retrouvent done dans les m£mes positions
relatives. Les solutions pe"riodiques sont de plusieurs sortcs. Dans celles que
j'ai appel(5es de la premiere sorte, les inclinaisons sont nulles et les trois corps
se meuvent dans un m£me plan; les excentricites sont trtjs petites et les orbites
sont presques circulates ; les moyens mouvemenls ne sont pas commensu-
rables; les deux plan^tes passent en mtoe temps au p&rilidlie, qui, loin d'filro
fixe, tourne avec une rapidit6 comparable a celle dcs plantHcs elles-mtoes, de
telle facon que ces deux astres sont au p<5rih<5lie a chaque conjonction. C'cst {\
cettc cat6gorie qu'appartient la premiere solution p^riodique qui ail Ote
d(5couverte et que son inventeur, M. Hill, ft prise pour point de depart dc sa
lh<5arie de la Lune.
Dans les solutions de la seconde sorte, les inclmaisons sont encore nulles,
mais les excentricit^s sont fmies; le mouvement du p(5rih<5lie est tr£s lent; les
moyens mouvements sont pr^s d'etre commensurables ; les p6riodes anoma-
listiques (on appelle ainsi le temps qui s'^coule entre deux passages cons<5cutifs
de Tastre au p^rik^lie), le sont exactement. A certaines (^poques, deuxplan^tes
passent en m6me temps au p<5rihdlie. Dans les solutions de la troisi&me sorle
les inclinaisons sont finies, les orbites sont presque circulaires; le mouvement
des p£riht$lies est tr&s lent et £gal a celui des 'noeuds; les p^riodes anoma-
listiques sont commensurables; a certaines 6poques les plan&tes passent en
m^me temps aux p£rih6lies. Je laisse de c6tt5 de nombreuses categories de
solutions p&iodiques plus compliqu^es et qu'il serait trop long d'^num^rer.
II y a ensuite les solutions asymptotiques. Pour bien faire comprendre ce
qu'on doit entendre par l£? qu'on me permette d'employer un exemple simple.
Imaginons d'abord une Terre et un Soleil isolds dans Tespace, se mouvant par
LE PROBL&ME DES TROIS CORPS. 533
consequent d'aprfcs les lois de Kapler. Supposons encore pour simplifier, que
lour mouvement soil circulaire. Donnons mainlenanl a celte Terre deux
satellites LI et L2 dont la masse sera infiniment petite, de telle sorte qu'ils no
troubleront pas le mouvement circulaire de la Terre et du Soleil, et qu'ils no
so troubleront pas non plus mutuellement, chacun d'eux se mouvant commo
s'il etait soul. Choisissons la position initiale de Lt de facon que cette Lime
decrivc une orbite periodique; nous pourrons alors choisir celle de L2 de facon
que ce second satellite decrive ce que nous appellerons une orbite asympto-
tique. D'abord assez eloigne de L4, il s'en rapprochera indefiniment, de sorie
qu'apr&s un temps infiniment long, son orbite differera infiniment peu de celle
cle LI. Supposons un observateur place sur la Terre et tournant lentement sur
Iui-m6me de fagon a regarder constamment le Soleil. Le Soleil lui paraitra
immobile et la Lune LI dont le mouvement est periodique lui semblera decriro
une courbe fermee C. La Lune L2 decrira alors pour lui une sortc de spirals
dont les spires de plus en plus series se rapprocheront indefiniment de la
courbe C. II y a une infinite de pareilles orbites asymptotiques. L'easemble do
ces orbites forme une surface continue S qui passe par la courbe C et sur
laquellc sont traces les spires dont je viens de parler (d).
Mais il y a une autre categorie de solutions asymptotiques. II pout arriver,
si Ton choisit convenablement la position initiale de L2, que cette Lune aille
en s'eloignant de LI, de telle fagon qu'a une epoque tr&s reculee dans le pass6?
son orbite diff&rc tr&s pen de celle de L4. Pour notre observateur, ce satellite
decrira encore une courbe en spirales dont les spires se rapprocherout
indefiniment de la courbe C; mais il la decrira en sens contraire en s'gloignani
constamment de C. L' ensemble de ces nouvelles orbites asymptotiques formera
une seconde surface continue S' passant ggalement par la courbe D.
Enfin il y a une infinite de solutions doublement asymptotiques] c'est la
un point quo j'ai eu beaucoup de peino ^t etablir rigoureusement. 11 pcul
arriver que lo satellite L2, d'abord tr&s rapproche de 1'orbite de L4, s'cn
eloigne d'abord beaucoup et s'en rapproche ensuite de nouveau indefiniment.
A une epoque tr&s reculee dans le passe, cette Lune se trouvait sur la
surface S', et y decrivait des spires en s'eloignant de C; elle s'est ensuilc
beaucoup eloignee do C; mais dans un temps tr&s long elle se retrouvera
(*) II pent- toiler, si 1'inclinaison des orbites est nulle, que S se r6duise & une surface
infiniment aplatie, f oroide de plusieurs feuillets plans superpos6s, et analogues aux surfaces de
Riemann.
534 LE PROBLfeME DBS TROIS CORPS.
sur la surface S el decrira dc nouveau des spires en se rapprochant de C.
Solent La, L:>, ...,Ln, n — i lunes d^crivant des orbites doubleuient
asymptotiques; a une epoque recul6e, ces n — i lunes se meuvenl en suivanl
des spirales sur S'; en parcourant cette surface, on rencontre ces n — i orbites
dans un certain ordre. Au bout d'un temps tr&s long, nos satellites sc
retrouveront sur S et dgcriront de nouveau des spirales; mais, en parcouranl
cette surface S, on rencontrera les orbites des n — i lunes dans un ordre tout
different. Ce fait, pour peu qu'on prenne la peine d'y rt5flc5chir, semblera une
preuve 6clatante de la complexity du probl&me des trois corps et dc
Pimpossibilit6 de le r^soudre avec les instruments actuels de P Analyse.
III. — L'Astronomie ne nous ofFre aucun exemple d'un systSme de trois on
de plusieurs corps dont les conditions initiales du mouvement soient telles
qu'ils d^crivent exactement des orbites p&riodiques ou asymptotiques.
D'ailleurs a priori la probability pour que celte circonstance se prtSsenlat 6lait
manifestement nulle. On ne peut pas en conclure que les considerations
pr6c£dentes ne sont int&ressantes que pour le ggom&tre et inuliles a
Pastronome. II peut arriver, en effet, et il arrive quelquefois que les conditions
initiales du mouvement different peu de celles qui correspondent a une
solution p^riodique. L'gtude de cette solution prgsente alors un double int6r£t.
D'abord, le plus souvent, le mouvement de 1'astre pnSsentera une in<3galiu$
dont le coefficient sera tr&s grand, mais tr&s peu different de ce qu'il scrait si
Porbite 6tait rigoureusement p^riodique. Le calcul de cette solution p<3riodique
fournira alors ce coefficient plus rapidement et plus exactement quo les
m<5thodes anciennes. G'est ce qui est arriv<5 dans la th^orie de la Lune dc
M. Hill pour le- calcul de cette grande in£galit£ appel(§e variation.
En second lieu, Torbite p<5riodiquc peut 6tre prise commc premiere
approximation, comme « orbite interm^diaire » pour employer le langage dc
M. Gyld^n. La seconde approximation conduit alors £ un calcul relativement
facile, parce que les Equations sont lin<5aires et a coefficients pdriodiques. C'csl
ainsi que M. Hill a calculi le mouvement du p^rig^e et qu'il aurait pu calculer
^galement le mouvement du nceud et la grande in£galit£ connue sous le nom
d'gvection.
Je pourrais citer beaucoup d'autres exemples. Un des satellites de Saturne a
un mouvement tr&s trouble : son p^risaturne tourne tr6s rapidement;
M. Tisserand a ratlach<5 sa thgorie a P^tude d'une solution p6riodique de la
LE PROBLfeME DES TROIS CORPS. 535
promifcrc sorle. La m6ino m6thodc est applicable a unc ccrtaine pclilo planele
donL Ic moyen mouvement est sensiblement double do celui de Jupiter et quo
M. Harzer a etudi^e.
Gauss a cm pouvoir affirmer 'que les mouvements moyons do Jupiter et do
Pallas (Haienl entre eux exactement dans le rapport do 7 a 18. Si ses vues
venaicnt a se confirmer, ce qui est encore douteux, la theorie de Pallas se
ram&nerait a celle d'une solution ptSriodique de la seconde sorte.
Mais 1'excmple le plus frappant nous est fourni par Fgtude des satellites de
Jupiter. Les relations qui ont lieu entre leurs moyens mouvements, et dont la
d(5couverte est le plus beau titre de gloire de Laplace, montrent que leur orbile
diff^re fort peu d'une orbite p<5riodique; en y regardant de pr6s, on voit que la
m&hodc sp(3ciale cr^6e par le ggnie de cc grand g£om£tre ne diflfere pas dc
cello que nous pr<$conisons ici.
IV. — Les Equations diff&rentielles du problkme des trois corps admettent
un certain nombre d'int6grales qui sont connues depuis longtemps; ce sont
cellcs du mouvement du centre de gravity, celles des aires, celles des forces
vives. II 6tait extr6mement probable qu'elles ne pouvaient avoir d'autres
integrates algtSbriques ; ce n'est cependant que dans ces derni&res ann£es que
M. Brnns a pu le d&montrer rigoureusement. Mais on ne pent aller plus loin;
en dehors des integrates connues, le probl^me des trois corps n'admet aucuno
integrate analytiquc et uniforme; les propri^t^s des solutions p^riodiques et
asymptotiques, <3ludi<3es avec attention., suffisent pour 1'^tablir. On pent en
conclure que les divers dtSveloppements proposes jusqu'ici sont divergents; car
leur convergence entrainerait 1'existence d'une int^grale uniforme.
Dirai-je pour cela que le probl&me est insoluble? ce mot n'a pas dc sens;
nous savons depuis 1882 que la quadrature du cercle est impossible avec la
rfeglo et le compas, et pourtant nous connaissons TT avec beaticoup plus de
d(5cimalcs que n'en pourrait donner aucunc construction graphique. Tout ce
quo nous pouvons dire, c'cst que le probl&me des trois corps ne pent 6tre
nSsolu avec les instruments dont nous disposons actuellemcnt; ceux qu'il
faudra imaginer ct employer pour obtenir la solution devront certainement
6tre tr6s diff($rents et d'une nature beaucoup plus compliquge.
V. — Une des questions qui ont le plus pr6occup<5 les chercheurs est celle
dc la stability du syst&mo solaire. C'est a vrai dire une question math^matique
pluldt que physique. Si Ton d^couvrait une demonstration g6n<5rale et
536 LE PROBLfeME DBS TROIS CORPS.
rigoureuse. on n'cn dcvrait pas conclure quc le sysl^mo solairc csL eterneL
II peul en effet toe soumis a d'autres forces que celle de Newton, et les aslrcs
ne se reduisent pas & des points mat^riels. Bien des causes peuvenl dissiper
peu §. peu 1'energie du syst&me; on-n'esl pas absolumenl certain qu'il n'cxislc
pas de milieu resistant; d'autre part, les marges absorbent de 1'energie qui cst
incessamment convertie en chaleur par la viscosity des mers, et cette energic
ne pent 6tre empruntee qu'£ la force vive des corps celestes. De plus, si tous
les astres sont des aimants comme la Terre, leurs mouvements doivcnt
produire, par une induction mutuelle, des courants dans leur masse et, par
consequent, de la chaleur qui est encore empruntee a leur force vive. Mais
toutes ces causes .de destruction agiraient beaucoup plus lentement que les
perturbations, et si ces derni&res n'etaient pas capables d'en alterer la stability,
le syst&me solaire serait assure d'une existence beaucoup plus longue.
La question de la stability conserve done toujours un trSs grand intent.
Lagrange, par une demonstration d'une admirable simplicity, a montre que,
si 1'on neglige les carres des masses, les grands axes des orbites demourcnt
invariables, ou plutdt que leurs variations se reduisent a des oscillations
periodiques d'amplitude finie autour de leur valeur moyenne. Poisson a etendu
la demonstration au cas ou 1'on tient compte des carres des masses en
negligeant leurs cubes; mais, malgre la virtuosity analytique dont il a fait
preuve, son analyse montre deja les defauts des anciennes methodes. Ilmontrc,
en effet, que les grands axes eprouvent autour de leur valeur moyenne des
oscillations pdriodiques; mais, d'apr6s ses formules, 1'amplitudc de ces
oscillations pourrait croitre au dela de toute limite; ce n'est la qu'unc
apparence due au mode de developpement, et si Ton ne n^gligeait pas certains
termes, on pourrait prouver que cette amplitude rcstc finie. Apr6s Poisson
on a cherche a trouver une demonstration generale ou au moins a etablir
1'invariabilite des grands axes en tenant compte du cube des masses. Mathicu
avait cru un instant y reussir; mais M. Spiru-Aretu a montre cnsuite qu'il
s'etait trompe. II avail ainsi plul6t condamne les anciennes m&hodes que
demontre 1'mstabilite du syst^me. La question restait enti^re.
Toutes ces recherches ont .exige de grands efforts qui nous semblent
aujourd'hui bien inutiles; les methodes de M. Gylden et celles do
M. Lindstedt ne donnent en effet, si loin que 1'on pousse 1'approximation, que
des termes p^riocliques, de sorte que tous les elements des orbites ne peuveiit
que des oscillations automr de leur valeur moyenne. La question
LE PROBLEMS DES TROIS CORPS. 087
serait done rusolue, si ccs dcSvcloppemenls etaient convergeiits. Nous savons
malheureusement qu'il n'en esL rien.
Incapables pour le moment de r<3soudre le probl^me general, nous pouvons
nous borner a un cas particulier. Imaginons trois masses se mouvanl dans un
mtime plan, la premiere tr£s grande, la seconde assez petite, la troisi&mo
infinimenl petite el, par consequent, hors d'etat de troubler les deux aulres.
Supposons de plus que les deux grandes masses aieiit un mouvement circulairo
et uniforme. Tel serait le cas du Soleil, de Jupiter et d'une petite plaii&te,
si Ton n<5gligeait Pinclinaison des orbites et Pexcentricite de Jupiter. Dans ce
cas, MM. Hill et Bolilin ont d<5montre que le rayon vecteur de la petite planete
roste toujoufs inferieur a une limite finie.
Cela ne suffit pas toutefois pour la stability il faut encore que la petite
masse repasse une infinite de fois aussi pr6s que Ton veut de sa position
initiate.
II est Evident qu'il n'en est pas ainsi pour toutes les solutions particuli^res,
c'est-a-dire quelles que soient les conditions initiales du mouvement;
1'existence des solutions asymplotiques en est une preuve suffisante. Mais,
d'autre part, on peut rigoureusement d6montrer que 1'on pent choisir ces
conditions initiales de fa^on que 1'astre repasse une infinite de fois dans le
voisinage de sa position primitive. II y a done une infinite de solutions
particuli&rcs qui sont ins tables, au sens que nous .venons de donner & ce mot
et une infinite' d'autres qui sont stables. J'ajouterai que les premieres sont
exceplionnelles (ce qui permet de dire qu'il y a stability en g6n£ral). Voici ce
que j'entends par 1&, car ce mot par Iui-m6me n'a aucun sens. Je veux dire
qu'il y a une probability nulle pour que les conditions initiales du mouvement
soient celles qui correspondent & une solution instable. On objectera qu'il y a
une infinite de manures de definir cette probability ; mais cela reste vrai quclle
quo soit la definition que Ton adopte, & une condition toutefois : soient x ely
les coordonn<5es de la troisi&me masse, xl et y les composantes de sa vilesse.
J'appelle Vdxdy daddy1 la probability pour que x soit compris entre ^0
et x^+dx, y entre yQ et 70+^7, %' entre x\ et d^dx], y1 entre y\
et y^ ^ dyi. Nous pouvons d^finir la probability comme nous le voulons et,
par consequent, nous donner arbitrairement P en fonction de #o? yo? x\ et j^.
Eh bien, le r6sultat que j'ai enonc^ plus haut reste vrai, quelle que soit cette
fonction P, pourvu qu'elle soit continue.
H. P. — VIII. 68
SUR LA STABILITE DU SYSTEME SOLAIRE
Revue scientifique, t. 9, p. Gog-6i3 (14 mai 1898).
Les personnes qui s'int(5rcssent aux progr&s de la M<3canique celeste, mais
qui ne peuveiit les suivre que de loin, doivent ^prouver quelque tHonncmonl
en voyant combien de fois on a dt3montrt$ la slabiliie du syslSme solaire.
Lagrange Fa etablie d'abord, Poisson 1'a demontnSe de nouveau, d'aulres
demonstrations sont venues depuis, d'autres viendront encore. Les dcSmons-
trations anciennes tStaient-elles insuffisantes, ou sont-ce les nouvelles qui sonL
superflues?
L'(5tonnement d6 ces personnes redoublerait sans doute, si on letir disail
qujun jour peul-6tre un math&maticien fera voir, par un raisonnemenL
rigoureux, que le syst£me plan6taire est instable.
Cela pourra arriver cependant; il n'y aura la rien de con tradic Loire, el
cependant les demonstrations anciennes conserveront leur valeur,
C'est qu'en eflfet elles ne sont que des approximations successives; elles
n'ont done pas la pr<5tention d'enfermer rigoureusement les eldmenls des
orbites entre des limites (Hroites que jamais elles ne pourront franchir, mais
elles nous apprennent du rnoins que certaines causes, qui semblaieul d'abord
devoir faire varier ces elements assez rapidement, ne produisent en r£alit6 que
des variations beaucoup plus lentes.
L'attraction de Jupiter, a distance (§gale, esl mille fois plus petite que cello
du Soleil; la force perturbatrice est done petite, et cependant, si elle agissait
toujours dans le m6me sens, elle ne tarderait pas & produire des effets trfes
appr^ciables.
II n'en est pas ainsi, et c'est l& le point qu'a <5tabli Lagrange. Au bout d'un
petit nombre d'ann^es, deux plan&ies qui agissent Tune sur Pautre ont occup^
STABILITE DU SYSTEME SOLAIRE. 53g
sur lours orbitcs Louies les positions possibles; dans ces divcrses positions leur
action mutuellc etait dirigee, tantot dans un sens, tantot dans le sens oppose,
et cela de lelle facon qu'au bout de peu de lemps il y ait compensation presquc
exacte. Les grands axes des orbites ne sont pas absolument invariable^, mais
leurs variations se reduisent a des oscillations de faible amplitude de part cl
d'autre d'une valeur moyenne.
Gette valeur moyenne, il est vrai, n'est pas rigoureusement fixe, mais les
changcmcnts qu'elle eprouve sont extr6mement lents, comme si la force qui les
produisait etait non plus mille fois, mais un million de fois plus petite que
I'allraclion solaire. On peut done negliger ces changements qui sonl, comrnc
on dit, de 1'ordre du carre des masses.
Quant aux autres elements des orbites, tels que les excentriciles et les
inclinaisons, ils peuvent eprouver, autour de leurs valeurs moyennes, des
oscillations plus amples et plus lentes, mais auxquelles on peut facilement
assignor des limites.
Voila ce qu'ont montre Lagrange et Laplace; mais Poisson est alle plus loin.
11 a voulu etudier les lents changements eprouves par les valeurs moyennes,
changements dont j'ai parle plus haul et que ses devanciers avaient d'abord
negliges.
II montra que ces changements se r6duisaient encore a des oscillations
p(5riodiques autour d'une valeur moyenne qui n'<5protivait que des variations
mille fois plus lentes encore.
C'6tait un pas dc plus, mais ce n'dtait encore qu'une approximation; depuis
on a fait d'autres pas en avant, mais sans arriver ^ une demonstration complete,
definitive et rigoureuse.
11 y a un cas qui paraissait ^chapper a Panalyse de Lagrange et de Poisson.
Si les deux moyens mouvements sont commensurables entre eux, au bout d'un
certain nombre de revolutions, les deux plan^les et le Soleil se retrouveront
dans la memo situation relative et la force perturbatrice agira dans le m6me
sens ;qu'au debut. La compensation dont j'ai parle plus haut ne se produit plus
alors, et 1'on peut cramdre que les efFets des perturbations ne finissent par
s'accumuler ct devenir considerables. Des Iravaux plus recents, entre autres
ceux de Delaunay, de Tisserand, de Gyld&n, ont fait voir que cette
accumulation ne so produit pas. L'amplitude des oscillations est un peu
tmgmeixtee, mais reste pourtant tr£s petite. Ce cas particulier n'echappe done
pas & la rfcgle generate.
5^0 STABILITE DU SYSTEME SOLAIRE.
Non seulernent on s'est d^barrasse de cos exceptions appareiites, mais on
s'est mieux rendu comple des raisons profondes do ces compensations
qu'avaicnt remarque'es les fondateurs de la Mtfcaniquo celeste. On a pousse
plus loin que Poisson Fapproximation, mais on n'en est encore qu'a une
approximation.
On peut d^montrer, dans certains cas particuliers, que les cements do
Forbite d'une plan&te redeviendront une infinite" de fois Ires voisins des
elements initiaux, et cela est probablement vrai aussi dans le cas ge"n6ral, mais
cela ne suffit pas ; il faudrait faire voir que non seulement ces e'le'meiits Jfinironl
par reprendre leurs valeurs primitives, mais qu'ils ne s'en tfcarteront jamais
beaucoup.
Gette derni£re demonstration, on ne Fa jamais donn^e d'une maniero
rigoureuse, et il est m6me probable que la proposition n'est pas rigoureusement
vraie. Ge qui est vrai seulement, c'est que les <2l£ments ne pourront smearier
sensiblement de leur valeur primitive qu'avec une extreme lenteur et au bout
d'un temps tout a fait (Snorme.
Aller plus loin, affirmer que ces 6l^ments resteront non pas tres longtemps,
mais toujourS) compris entre des limites ^troites, c'est ce que nous ne pouvons
faire.
Mais ce n'est pas ainsi que le probl&me se pose.
Le math^maticien ne consid&re que des astres fictifs, r<5duits a de simples
points mat(5riels, et soumis a Faction exclusive de leurs attractions mutuelles
qui suit rigoureusement la loi de Newton.
Comment se comporterait un pareil syst&me; serait-il stable? G'est la un
probl6me aussi difficile qu'int&ressant pour Fanalyste, Mais ce n'est pas celui
qui correspond au cas de la nature.
Les astres rgels ne sont pas des points materials, et ils sont soumis a d'autres
forces que Fattraction newtonienne.
Ges forces compl^mentaires devraient avoir pour efFet de modifier peu a pen
les orbites, alors mSme que les astres fictifs envisages par le mathdmaUcien
jouiraient de la stability absolue.
Ce que nous devons nous demander alors, c'est si cette stability sera plus
vite d&truite par le simple jeu de Pattraction newtonienne, ou par ces forces
compl&nentaires.
Quand 1'approximation sera pouss^e assez loin pour q^ie nous soyons
certains que les variations tr&s lajates, que Fattraction newtonienne fail subir
STABILITY DU SYSTEMS SOLAIRE. 54l
aux orbiles des asLres fictifs, ne peuvent &tre que tres petites pendant le temps
qui suffil aux forces comple'mentaires pour achever la destruction du systeme;
quand, .dis-je, 1'approximation sera pouss<3e jusque-la, il sera inutile d'aller
plus loin, du moins au point de vue des applications, et nous devroiis nous
conside'rcr comme satisfaits.
Or il scmble bicn que ce point soit atteint; sans vouloir citer de chifFres, jo
crois quo les effets de ces forces compliSmcntaircs sont bcaucoup plus grands
quo ccux des termcs neglige's par les aiialjstes dans les demonstrations los
plus rtfcentcs de la stabilile*.
Voyons en effet quelles sont les plus importantes de ces forces
companion taires.
La pi*cmierc idt5e qui vient a 1'esprit, c'cst que la loi de Newton n'cst sans
don le pas absolumcnt cxacte; que 1'attraction n'est pas rigourcuscmcnl
proper tionnelle a 1'inverse du carr<5 des distances, mais u quelque autre
fonction dcs distances. C'est ainsi quo M. Newcomb a dernieremont cherche* a
oxplLquor le mouvement du pe*rih<5lic de Mercure.
Mais on voit bien jvitc que cela ne saurait influcr stir la stability. II est vrai
que, d'apres un th(5or6me de Jacobi, il y aurait instability si 1'allracliondlail en
raison inverse du cube de la distance.
II cst aise", par un raisonnement grossier, de so rendre compte pourquoi :
avec unc parcillc loi, 1'attraction serait considerable aux petites distances et
extrfimcmcnt faible aux grandes distances. Si done, pour unc raison
quelconquc, la distance d'unc des plan&tcs au corps central vcnait a augmcnter,
1'attraction diminuerait rapidement et ne serait plus capable de la rctcnir.
Mais cela n'a lieu que pour des lois tres diff&rentes de cclle du carrc" dcs
distonccs. Toutes les lois, asscz voisines de celle de Newton pour £tre
acccptables, sont ^quivalentes au point de vue de la stability.
Mais il y a unc autre raison qui-s'oppose £. ce que les astros sc mcuvent sans
s'<5carter jamais beaucoup de leur orbite primitive.
D'apres la secondc loi thermodynamique, connue sous le nom de principe
de Carnot, il y a une dissipation continuelle de l'6nergie, qui tend a perdre la
forme du travail mgcanique pour prendre la forme de la chaleur; il existe une
ccrtaine fonction, nomme*e entropie, dont il est inutile de rappelcr ici la
definition; 1'entropic, d'apres cette seconde loi, peut rcster constante ou
diminucr, mais nc pout jamais augmenter. Des qu'clle s'est (5cart6e dc sa
542 STABILITE: DU SYSTEME SOLAIRE.
valour primitive, ce qu'clle no pent faire qu'cn diminuanl, olio no peul plus
jamais y revenir, puisque pour cela il faudrait augmcnlcr.
Lc monde, par consequent, nc pourra jamais revenir a son etat primilif on
dans un etat peu different, d£s que son entropie a change. C'cst le conlrairc do
la stability.
Or 1'entropie diminue toutes les fois que se produit un phenom&nc irreversible,
lei quo lo frotlemcnl de deux solides, le mouvomcnt d'un liquidc visquoux,
I'ecliangc dc chaleur cntre deux corps dc temperature differonlc, lYichaiiflomonl
d'un coiiducleur par le passage d'un courant.
Si nous obsorvons alors qu'il n'y a pas en realite de ph&nom&ne reversible,
quo la reversibility n'est qu'un cas limitc, un cas ideal dont la nature 'pen I
approchcr plus ou moins, mais qu'ellc ne pent jamais aUoindre, nous serous
amenes a conclure que 1'instabilite est la loi de Lous les ph(5nom6ncs nalurels.
Les mouvements dos corps celestes seraienl-ils sculs a y echapper? On
pourrail le croire en voyant qu'ils se passcnt dans le vide el sonl ainsi
soustraits au frottement.
Mais le vide intcrplan<3laire est-il absolu, ou bicn les astres so mcuvenl-ils
dans un milieu exlrdmemenl L^nu, donL la resistance esl excessivemenl ftiiblo,
mais qui cst cependant resistant?
Les astronomes n'ont pu expliqucr le mouvcmenL de la com^te d'Encke
qu'en supposant 1'existence d'un pareil milieu. Mais le milieu resistant qui
rendrait compte des anomalies de cette com<He, s'il cxisle, so irouvc confine's
dans le voisinage immgdiat du Solcil. Cette com6tc y pdn^trerait, mais aux
distances ou sont les plan&tes, Faction de ce milieu cesserait de se fairc sentir
ou deviendrait beaucoup plus faible.
II aurait pour effet indirect d'accdterer le mouvement dcs plan^tes; perdant
dc IMnergie, elles tendraient a tomber sur le Soleil; et, en vcrtu de la troisi&mc
loi de Kapler, la dur^e de la revolution diminuerait en m6me temps quo la
distance au corps central. Mais il est impossible de so fairo une idee do la
rapidite avec laquelle cet effet se produirait> puisque nous n'avons aucuno
notion sur la densite de ce milieu hypothetique.
Une autre cause, dont je vais parler maintenant, doit avoir, semble-t-il, uno
action plus prompts. Soupgonnee depuis longlemps, elle a ete surtout misc en
lumi&re par Delaunay et, apr&s lui, par G. Darwin.
Les mareos, consequences diroctes des mouvomenls celestes, ne s7arr6toraient
quo si ces mouvements cessaient cux-mteies; cependant les oscillations dcs
STABILITY DU SYSTEMS SOLAIRE. 543
mers sonL accompagne"es dc froltcmenls el, par consequent, produisont do la
chalcur. Cetlc chaleur ne peut 6tre empruntt^c qu'a FcSnergie qui produit les
marges, c'esl-a-dire a la force vivc des corps celestes.
Nous pouvons done pr^voir que cettc force vive se dissipe pen a peu par
celle cause, cL un peu de reflexion nous fera comprendre par quel m^canismc.
La surface des mers, souleve*e par les marges, pr^senlc une sorle do
bourrelct. Si la plcine mer avail lieu au moment du passage dc la Lune an
mdridien, cctte surface serait cellc d'un ellipso'ide dont 1'axe irait passer par la
Lune. Tout serait symtHrique par rapport & cet axe, et 1'atlraction dc la Lune
sur ce bourrelet no pourrait iii ralentir, ni acc£l6rer la rotation tcrreslre.
G'esl co qui arriverait s'il n'y avait pas de frollement; mais, par suite des
froLlomonls, la pleine mer est en retard sur le passage de la Lune; la syme'lrie
cessc; Pallraction de la Lune sur le bourrelet ne passe plus par le centre de la
Torre el tend a ralenlir la rotation de noire globe.
Delaunay cslimait que, pour cette cause, la dure"e du jour sideral augmento
d'une seconde en cent mille ans. C'eslainsiqu'il voulait expliquer l^ccele"ralion
se*culaire du mouvement de la Lune. La lunaison nous semblcrait devenir do
plus on plus courte, parce que Punit<5 de temps a laquelle nous la rapportons,
lo jour, dcviendrait de plus en plus longuc.
Quoi qu'on doive penser du chiffre donn£ par Delaunay et de ^explication,
qu'il propose pour les anomalies du mouvement lunaire, il est difficile do
contestcr Peffet produit par les marges.
G'esl m£me ce qui peul nous aider a comprendre un fait bien connu, mais
bicn surprenant. On sait que la dure"e de la rotation de la Lune est pre"cise*mcni
c'jgale £ celle de sa revolution; de telle sorte que, s'il y avait des mers sur col
astre, cos mers n'auraient pas de mare*es, du moins de marges dues a Pattraction
de la Tcrrc ; car pour un observateur silue" en un point de la surface de la Lune,
la Terre serait toujours £ la m&me hauteur au-dessus de Phorizon.
On sait ggalement que Laplace a cherche" Pexplication de cette <3trango
coincidence.
Comment les deux vitesses peuvenl-elles ^tre e&actement les monies? La
probabilite* d'une <§galil£ rigoureuse due au simple hasard est (§videmmcnt
nulle.
Laplace suppose que la Lune a la forme d'un ellipso'ide allong£; cet
cllipsoide se comporlc comme un pendule qui serait en e*quilibre quand lo
grand axe est dirig$ suivant la droite qui joint les centres des deux astrcs.
544 STABILITE DU SYSTEME SOLAIRE.
Si la vitesso initiale do rotation diflffrre pcu do la vitcssc do revolution,
I'cllipso'ide oscillera do part ct d'autre do sa position d'equilibre sans jama is
s'cn Scarier beaucoup. C'est ainsi que so comportc un pcndulc qui a rccu uno
faiblc impulsion.
La vitesse moyenne do rotation cst alors exactcmcnt la m£me quo collo do la
position d'equilibrc autour do laqucllo lo grand axe oscillc; olio ost done In
m£me quo colle de la droile qui joint les centres des deux aslros. Elle osl done
rigoureusement egale a la vitesse de revolution.
Si, au contraire, la vitesse initiale diff&re notablement de la vitesso do
revolution, le grand axe n'oscillera plus autour do sa position d'equilibro,
comme un pendule qui, sous unc forte impulsion, decrit un ccrcle complet.
11 suffit done que la vitesse de revolution soit a peu pres dgalc a la vilesso
initiale de rotation, pour qu'elle soit exactement egale a la vitesse moyenne
de rotation. Une egalite rigoureuse n'etant plus ruScessaire, lo paradoxo so
irouve ecarte.
L' explication est incomplete cependant. Quelle est la raison de cetle egaliie
approchee, dont la probability n'csl plus iiulle, il est vrai, mais resle assoz
faible? Et surtout, pourquoi la Lune n't5prouvc-t-elle d'oscillations sensiblcs do
part et d'autre de sa position d'equilibre (si nous eliminons, bien cntcndu, sos
diverscs librations dues a d'autres causes qui sont bien connues)? Cos
oscillations devaient existcr a Forigine; il faut qu'ellcs so soient eteintes par
une sorte de frottement; et tout porte a croirc que le m^canisme de co
frottement est celui que je viens d'analyser a propos des marges de nos oceans.
Quand la Lune n'cStait pas encore solidifi^e et formail un sphcSroi'de fluide,
ce spheroi'de a dti subir des marges ^normes, a cause de la proximito do la
Terre et de sa masse. Ces marges n'ont du cesser que quand les oscillations ont
ete presque compl^tement eteintes.
II semble que les satellites de Jupiter et les deux plan^tes les plus voisincs
du Soleil, Mercure et V^nus, ont aussi une rotation dont la dur<5e est la mAmo
que celle de leur revolution : c'est sans doute pour la m6me raison.
On pourrait croire que cette action des marees n'a aucun rapport avcc notrc
sujet; je n'ai encore parle que des rotations et, dans les etudes relatives a la
stabilite du syst&me solaire, on ne s'occupe que des mouvements de translation.
Mais un peu d'attention montre que la m&me action se fait sentir egalement
sur les translations.
Nous venons de voir que 1'altraction de la Lune sur la Terre ne passe pas
STABILITE DU SYSTEME SOLAIRE. 545
exaclement par le centre de la Terre. L'altraction de la Terre sur la Lune, qui
est egale eL directement opposee, no passera pas non plus par ce centre,
c'est-a-dire par le foyer de Forbite lunaire.
II en rgsulte une force perlurbatrice, minime a la verity, mais qui fait gagner
de F(5nergie a la Lune. La force vive de translation ainsi gagn<5e par la Lime est
evidemment plus petite que la force vive de rotation perdue par la Terre;
puisqu'unc partie de Fenergie doit se transformer en chalcur, a cause des
frottcments engendr<5s par les marees.
Un calcul tr6s simple monlre que, la revolution de la Lune durantvingl-huit
jours sid6raux environ, la Lune gagne vingt-huit fois moins de force vive que
la Terre n'en perd.
J'ai expliqu<3 plus liaut Faction d'un milieu resistant; j'ai montr<3 comment,
en faisant perdre de 1'gnergie aux planfcles, cllc acc(jl£re leur mouvernent; ait
contraire, Faction des mardes, en faisant gagner de Fenergic a la Lune, ralentit
son mouvement; le mois s'allonge done en indmc temps que le jour.
Quel est FcHat final vers lequel tendrait le sysl&me si cette cause agissait
seule? fividemment cette action ne s'arrGterait que quand les marges auraient
cessg, c'est-a-dire quand la rotation de la Terre aurait m6me duree que la
revolution lunaire.
Ge n'est pas tout, dans Fetat final, Forbite de la Lune devrait £tre de venue
circulaire. S'il en <Hait aulrement, les variations de la distance de la Lune a la
Terre suffiraient pour produire des marges.
Comme le mouvement do rotation n'aurait pas chang<5, il serai t ais<3 de
calculer quelle serait la vitesse angulaire commune de la Tcrrc et de la Lune.
On trouve que, dans cet <Hat limite, le rnois comme le jour durerait environ 65
de nos jours actuels.
Tel serait FtHat final s'il n'y avait pas dc milieu resistant et si la Terre et la
Lune existaient seules.
Mais le Soleil produit aussi des marges, Fattraction des plan6tes en produit
tSgalcmcnl sur le Soleil.
Le syst^me solaire tendrait done vers tin (Hat limite oit le Soleil, loules les
planfctcs et leurs satellites tourneraicnt, avec une mdme vitesse, autour d'un
inline axe, comme s'ils (Haient des parties d'un m6me corps solide invariable.
La vitesse angulaire finale diff&rerait, d'aillcurs, pen dc la vitesse de revolution
de Jupiter.
Ce serait 1& 1'etat final du systftme solaire, s'il n'y avait pas de milieu
H. P, — VHI. 69
546 STABILITY DU SYSTfeME SOLAIRE.
resistant, mais 1'action de ce milieu, s'il exisle, lie permeltrait pas a eel etal de
subsisler cL finirait par precipiter toutes les plan&tes dans le SoleiL
II ne faudrait pas croire qu'un globe solide, qui ne serail pas reconvert par
des mers, se trouverait, grace & Pabsence des marges, souslrait a des actions
analogues a celles dont nous venons de parler. Et cela, en admetlant m6me que
la solidification ait atteint le centre de ce globe.
Get astre, que nous supposons solide, ne serait pas pour cela. un corps
solide invariable; de pareils corps n'existent que dans les tra'il<3s de M(5canique
rationnelle.
II serait elastique et subiraii, sous 1'attraction des cox^ps celestes voisins, des
deformations analogues aux marges el du mfiine ordre de grandeur.
Si Pelasticite eiait parfaite, ces deformations se passeraienl sans perte de
travail et sans production de clialeur. Mais il n'y a pas de corps parfaitemcnt
6lastique. II y aura done encore la developpement de chaleur, qui aura lieu aux
dgpens de Fenergie de rotation et de translation des astres et qui produira
absolument les monies effets que la chaleur engendr£e par le frottement des
marges.
Co n'est pas Lout; la Terre est magn^tique, et il en cst probablemont de
m&me des autres plan&les et du SoleiL On connait 1'experience du disque do
Foucault; un disque en cuivre, tournaiit en presence d'un electro-aimant,
6prouve une grande resistance et s'echauffe d&s que I'^lectro-aimant entre en
action. Uii conducteur en mouvement dans un champ magngtique est parcouru
par des courants d'induction qui FecliaufTent; la chaleur engendnSe ne pent
titre emprunt<§e qu'^i la force vive du conducteur. On pent done prtfvoir que les
actions <§lectrodynamiques de F&lectro-airnant sur les courants d'induction
doivent s'opposer au mouvement du conducteur. Ainsi s'explique Texp(5rience
de Foucault.
Les astres doivent 6prouvor une resistance analogue, carils sontmagnetiquos
et conducteurs.
Le iiT^me phdnomdne se produira done, bien qu'extr^meruent att6nu6 par la
distance; mais les effets, se produisant toujours dans le mdme sens, finiront
par s'accumuler; ils s'ajoutent, d'ailleurs, a ceux des mar6es? et tendent &
amener le systfeme au m^me ^tat final. •
Ainsi les corps celestes n'echappent pas &. cette loi de Carnot, d'apr^s
laquelle le monde tend vers un £tat de repos final* Ils n'y echapperaient
pas s'ils ^taieiit s6par£s par le vide absolu.
STABILITE DU SYSTEME SOLAIRE. 54?
Leur 6nergie se dissipe, et, bien que cette dissipation n'ait lieu qu'avec une
extreme lenlcur, elle est assez rapide pour que Ton n'ail pas a se pr<5occuper
des termes n6glig<5s dans les demonstrations actuelles de la stability du systeme
solaire.
NOTE SUR Li XVte CONFERENCE
DE
L'ASSOCIATION GEODESIQUE INTERNATIONALE
Annuaire du Bureau des Longitudes, p. A.i-A.2g
Jusqu'ici c'<Stait M. Bouquet de la Gryc qui rendait compte aux lee tours de
V Annuaire des reunions ptSriodiques de 1'Association g£od6sique internationale.
II <§tait pour cette tache mieux d£sign<3 que personne; president de la Commis-
sion gdodesique frangaise, il assistait a toutes les Conferences de 1'Association
internationale et prenait a loutes les discussions une part active; les longs
deplacements ne 1'effrayaient pas, et malgr<5 son grand age, il avait affronUS
avec entrain les fatigues du voyage de Budapest 1 L'ann<3e derni&re seulement,
il fut oblig^ de renoncer a assister au Congr£s de Londres; il croyait que
Pheure du repos avait sonn£ pour lui; mais les hommes comme lui ne se
reposent pas longtemps; quelques mois apr^s nousleperdions. Nous ne voulons
pas rompre toutefois la tradition qu'il avait entretenue et je vais essay er de
rendre compte ici, moins bien qu'il ne 1'aurait fait, des travaux de la
XVP Conference.
On sait que 1'Association Internationale se r<5unit tous les trois ans. En 1906
on s'cHait donn<5 rendez-vous & Budapest; TanntSe dernifrrc, c'cst TAngleterre
qui nous offrait Thospitalit^. II avait d'abord <§tg question de tcnir toutes les
stances a Cambridge, mais on voulut profiler des ressources scientifiques con-
sid^rables qui se trouvent & Londres et a Greenwich, et Ton se partagea entre
la grande m<*tropole moderne et la vieille cit^ universitaire; les premieres
reunions eurent lieu & Londres; les derni&res seulement se tinrent a Cambridge.
NOTE SUR LA XV1C CONFERENCE DE L' ASSOCIATION GtfODfcSIQUE INTERNATIONALE. 54g
La plupart des etats adherents etaient representes; comme toujours les relations
cnlre les delegues des differents pays ont et(5 d'une parfaite cordiality tous
logeaiont dans le m&me h6tel, -de sorte qu'en dehors des stances ils se retro u-
vaionl et pouvaient causer enlre eux d'une facon plus intime. Une excursion en
bateau a vapeur sur la Tamisc, organisee par M. Leonard Darwin, nous
permit d'etudier et d'admirer en detail les richesses de 1'Observatoire do
Greenwich.
On so rendit ensuite a Cambridge; c'est PUniversite ou professe si brillam-
mont le vice-president de 1'Association, sir George Darwin, quiabeaucoup fail
pour organiser le Congrfes et pour rendrc lo sejour de 1'Angleterre profitable el
agreeable pour tous les delegues.
La, conformement aux vieilles traditions de 1'hospitalite britanniquo, la
plupart d'entre nous furent gracieusement accueillis par des particulars, ou
Iqg6s dans les batiments des colleges, devenus disponibles pendant les vacances.
La, dans ces Edifices, admires par les arcliitectes etlesarcheologues, ilsauraient
pu se croire au moyen age, si la luini&re electrique ne leur avait 6t6 leurs illu-
sions. Ils prenaient leurs repas dans ces grands tails gothiques etsolennels, qui
font 1'etonnemcnt de tous ceux qui sont admis a les visiter.
C'est aussi dans 1'une de ces belles salles, celle de Saint John's, quo le
Congr&s fut convie a une brillante soiree donnee par le maitre de ce college.
Enfin le dernier jour, nous nous trouvions tous r<3unis dans un banquet ploin
do cordialiie et ou les auteurs de toasts d^ploy^rent plus d'humour que de
graviu*.
Enlre los stances, les membres du Congr^js visit^rent PObservatoirc do
Cambridge et une Lr6s int(5ressanle fabriquc d'instruments de precision.
Jo voudrais maintenant parler des travaux du Congr^s, mais quelques-uns de
cos (ravaux et non les moins importants ne so prStent gu^re a une analyse. Les
rapports des diverses Commissions nationales nous faisaient connaitre F<§tat
d'avancement des m^sures g<$od6siques de precision dans les diif^rents pays.
G'ost la Tobjet principal de la G<5od£sie, c'est par la longue patience des obser-
va tours, par la lente accumulation de leurs r^sultats, que nos connaissances se
font ol surtout se feront, mais une sernblable Enumeration serait fastidieuse
pour ceux qui n'ont pas suivi pas a pas cette activity feconde des g^odesiens
dans les diff^rentes parties du monde.
Je puis encore moins songer a entretenir le lecteur des deliberations relatives
a noire budget et a notre situatioafmancifere; mais a ce propos je tiens a rendre
550 NOTE SUR LA XVIe CONFERENCE DE L'ASSOCIATION G^OD^SIQUE INTERNATIONALE.
hommage au d^vouement de M. Forster, ancien directeur de FObservatoire de
Berlin; si nos finances sont solidement <£tablies, si nos comptes sont clairs, nous
le devons a son infatigable activity, qui nous fait oublier son age.
Au lieu done de traiter par ordre et en detail toutes les questions qui ont 6t6
agiuSes dans nos seances, je crois plus profitable d'insister sur quelqnes poinls
qui ont parliculterement altir£ 1'altcnlion des d(5l(3gu(5s et qui prtSsentent quel-
que caract£ro de nouveautcS.
Variation des latitudes.
Je parlerai d'abord de la question de la variation des latitudes. On sait quo
pour 1'observation syst<5matique de ces variations, 1'Association avait install^
six stations £ peu pr6s dgalement rdparties sur un m6me parall&le, en
Am6rique, au Japon, en Asie centrale et en Sicile; le Congr&s a r£solu de con-
tinuer ces observations qui deviendront de plus en plus utiles par leur accumu-
lation m6me. Malheureusement Tune des stations, celle de FAsie centrale, a du
6tre d6plac6e de quelques kilometres. Dans cette region les fleuves sont sujcls
a d'incessantes variations, et Fun d'eux se rapprochait de FObservatoire avec
tant de rapidit^ qu'un d£m£nagement 6tait urgent; malgr6 toutes les precautions
qu'on a prises, il en r^sultera peut-£tre quelque g6ne pour le rattachement des
observations anciennes aux observations pass^es. Ces observations se font par
des m^thodes visuelles. II peut ^tre int<§ressant, sans abandonner ces m<3thodes
d'en comparer les rgsultats avec ceux des m^thodes photographiques. On va
done installer pr&s de Tune des stations am&ricairies un appareil enregistreur
photographique dont les indications seront compares chaque jour avec celles
des lunettes z^nithales visuelles.
L'Association, lors des Congr^s prdc6dents, s'iStait pr(5occup^e d^tendre ^
Fh^misph^re sud des observations jusqu'ici concentres dans rh<3misph&re
nord; si }es mesures faites au sud de Tfiquateur confirmaient celles qui avaient
&t6 pour$uivies dans notre h^misph^re, on pouvait en eflfet consid^rer comme
^Iimin6es de nombreuses causes d'ereurs syst<5matiques. Nos ressources ne nous
permettaient que d'installer deux stations, en les plaQantsurun m6me parall^le.
Les rSsultats n'ont pas 6t6 aussi complets qu'on Favait esp^r^; un des points
choisis sur la c6te australienne orientale s'est r^v^l^ insalubre et inhabitable et
a du 6tre abandonn^; il faut maintenant se pr^occuper de trouver un autre
emplacement, probablement sur la cdte oriontak du ift^nie continent.
NOTE SUR LA XVP CONFERENCE DE L5 ASSOCIATION G^ODESIQUE INTERNATIONALE. 55 1
II ne suffit pas d'accumuler les rtfsullats, il fauL encore les disculcr; sans cela
on n'aurait fail que tracer la courbe d^crite par le p6le sur la surface de la
Torre et donl les allures parailraient de plus en plus capricieuses a mcsurc
qu'on la prolongorait. On ii'en pourrait tirer aucune conclusion generalc. CVsl
do cette sccondo parlie do la llclie que s'cst chargtf un savanl aslronome
japonais, M. Kimura; il nous a pr<5sent6 le rtisullat de son travail.
On sait qu'on distingue dans los variations des latitudes trois mouvomenls
principaux : i° le p6le ddcrit sur la surface de la Terre une courbu formic
dans une pgriode de i4 niois environ, c'est le terme de Chandler; 2° lo p6le a,
en outre, un mouvement annuel; 3° enfin il y a un aulre terme, d'origino mys-
KJricuse, et connu sous le nom de terme de Kimura] si ce terme etait soul,
tout se passerait comme si le pole restant fixe, toutes les stations so rappro-
chaicnt et s'6loignaient simultanement de ce pOle; comme si le rayon de chaque
parall&le terrestre subissait de petites variations p^riodiqucs. La periode esL
d'ailleurs annuelle.
Cela rappel<5, voici comment on peut r£sumer les r6sultats apportSs par
M. Kimura, La p^riode du terme de Chandler n'est pas constanle; elle <5taiL de
436 jours on 1898, elle s'est <5lev<Se a\ 44a jours en 1897 ets'est abaiss<5e ensuite
A 4^7 jours en 1907. L'amplitude varie 6galement; de o",49 e^ 1890, elle est
tomb^e a, o",a5 en 1898 pour se relever a 0^,40 en 1907. Ces variations no sonl
pas sans causer quelque surprise.
On explique ordinairement la p6riode chandlgrienne par I'6lasticit6 du globe
terrestre. Si la Terre £lait un solide invariable, cette pgriode serait de 3o5
jours; si elle 6tait liquide, ou en grande partie liquide, le pli&nom&ne ne se
produirait pas; il faut done qu?elle soit solide, mais sans avoir une rigiditg
infinie; le chiffre de la p6riode chandl&rienne nous rnontre que la rigiditg du
noyau interne, sans &tre infinie, est comparable ^ celle de 1'acier. On ne doit
pas s'^tonner des variations d'amplitude. La Terre oscille autour de sa position
d'gquilibre; mais par suite des frottemeixts, ces oscillations tendent a s'&eindre
el leur amplitude va en d^croissant, jusqu'a ce que des causes m<H£orologiquesy
ou plus probablement des mouvernents sismiques, d^rangent de nouveau
1'gquilibre et donnent lieu a une nouvelle s^rie d'oscillations plus 6tendues. Au
contraire, on sera surpris des variations de la p&iode, I;6lasticit6 n'ayant pas
chang^, Peut-6tre avc-ns-nous affaire ^ deux oscillations de pgriode tr6s peu
diff&rente qu'on cherche a, repr^senter par un terme unique et que des obser-
vations ultdrieures permetlront de s^parer, ou bien les mouvements sismiques.
552 NOTE SUR LA XVIe CONFERENCE DE ^ASSOCIATION G^OD^SIQUE INTERNATIONALE.
dont nous venons de parler, derangent non seulement 1'amplitude, mais la-
phase des oscillations, de sorte que le jeu de la methode des moindres carr<3s
donne 1'illusion d'une variation de la p&riode.
L'ellipse annuelle decrite par lo pole a paru sensiblement constantc en gran-
deur, en phase, et en orientation, et c'est la encore un sujet de surprise. On
est tente d'expliquer ce terme par des influences metdorologiqucs, soit qu'il
corresponde a un deplacement reel du pole et qu'il soit du, par exemple, a des
chutes de neigc, soit qu'il ne soit qu'apparent et explicable par des erreurs
instrumentales dues a la refraction ou a 1'inggal echauflement des piliers. Dans
tous les cas on ne verra pas sans etonnement ces amplitudes varier sipeu, alors
que deux anndes consecutives se ressemblent si peu au point de vue meteoro-
logique. Cette amplitude n'est d'ailleurs que do 0^,07. Lc terme do Kimura
doit 6tre egalement d'origine meteorologique; mais il subit d'assez importantes
variations en amplitude et en phase; en 12 ans son amplitude a passe de o/;,oa6
a o",o52, tandis que sa phase passait de 126° a 68°. Ce qui cst interessant, c'est
que les valeurs dc ce terme deduites des observations faites dans les deux
hemispheres sont concordantes, autant du moins qu'on peut en juger, etant
donn6 le petit nombre des mesures faites au sud dc Hfiqualeur, Cctte circons-
tancc serait de nature a faire regarder cc lerme commc ayant une existence
rt^elle. Tels sont les probl6m.es qui se rattacbcnt a la variation des latitudes ct
dont Fimportance juslifie les sacrifices que 1' Association a fails et va faire encore
pour les rgsoudre.
Marees de 1'ecorce terrestre.
Nous rapprocherons des Etudes pri5c<5dentes les travaux de M. Hecker sur los
marges de F^corce terrestre; M. Lallemad a eu Foccasion d'en parler dans une
Notice parue dans VAnnuaire de 1909; et cela me dispensera d'insister trop
longuement. On sait que M. Hecker a install^ deux pendules horizontaux ^
une profondeur de 25m dans un puits pr£s de Potsdam. L'observation de ces
deux pendules, orients Tun NS, 1'autre EW, devait faire connaitre les variations
p^riodiques de la verticale dues aux attractions du Soleil et de la Lune* Si la
Terre £tait absolument rigide, les variations observ(5es seraient celles de la
verticale rgelle et pourraient ^tre d^termincJes a priori par le calcuL Mais la
Terre gtant ^lastique et dgformable, ce qu'on observe n'est que la difference
entre les dgplacements de la verticale et ceux de la normale & la surface du sol,
et 1'on peut en tirer des consequences au sujct de la deformation du Globe*
NOTE SUR LA XVIe CONFERENCE DE LJ ASSOCIATION GEODESIQUE INTERNATIONALE. 553
Les r^sultats releves pendant plusieurs annecs onl ete on somme assez con-
cordants pour qu'on puisse esperer que les influences perturbatrices dues prin-
cipalemenL aux variations de temperature, se soient suffisammenl attenu^es a la
profondeur ou Ton a op6r6. M. Hecker les a resumes devant le Gongr&s. L'onde
solaire ct 1'onde lunaire peuvent 6tre discernees; en ce qui concerne la premiere,
on ponrrait craindre un trouble du a des causes thermiques ou meteorologiques;
il y a done lieu d'attaclier plus d'importance a Fonde lunaire. Pour les deux
pcndules les deviations calculees etaient o",oo922 et 0^00900, et les deviations
observes o", 00622 et o/;,oo543. Les chiffres correspondants pour Ponde solaire
etaient 0^00899 et 0^00889 conlre o", 00244 et o",oo585; mais il n'y a lieu de
les citer quo pour memoire, pour les raisons expos6es plus haut. L'aulcur se
domande, en outre, si les marges oceaniques ne pourraienl pas troubler les
mesures relatives & 1'onde lunaire, a cause du voisinage de la mer du Nord;
mais lo calcul lui montre que cet effet ne saurait depasser o'r,ooo6.
DCS mesures pr^c^dentes, on est done en droit de deduire des consequences
sur le coefficient d'6lasticit€ de la Terre; on rcmarquera que les deux pendules
ne donnent pas le m6me chiflre, comme si cette elasticity n'etait pas la mfime
dans lo sens d'un meridien et dans le sens d'un parall^le. Mais cela peut tcnir
a dos conditions geologiques particuli^rcs aux environs de Potsdam; d'ou la
necessiie do multiplier les observations; 1'Association n'a pas hesite a y consa-
crer unc partic de ses ressources; de nouvelles experiences vont6tre poursuivies
dans des regions d'une structure g(5ologique tr^js differente et a unc profondeur
beaucoup plus grande dans les mines do Przibram oCi il y a des puits de plus
de i ooom*
II me rcste a expliqucr pourquoi j'ai rapproche ces etudes de cclles qui so
rapportent ft. la variation des latitudes; c'est qu'elles se corroborent et sc
competent mutuellement en nous fournissant des donnees sur Fetat interieur
de notre plan^te; elles nous montrent que la Terre est interieurement solide,
et que sa rigidity est voisine de celle des metaux usuels. M. Schweydar avait
montr6 qu'on pouvait les concilier en, admettant que le module d'dlasticite, de
m£mo que la densite, croit de la superficie au centre. Les chiffres qu'il
propose, deduits de I'hypoth&se de Wiechert, valent ce que vaut cette hypo-
thfcse; ils ne sont gu^jre admissibles, puisque tandis que le noyau interne serait
environ deux fois plus rigide que Tacier, la partie externe serait, au contraire,
moins rigide que les roches connues de Fecorce terrestre, cc qui avait conduit
& Fid^e d'une couche fluide intermediaire, sorte de lubrifiant entre la croute
554 NOTE SUR LA XVI6 CONFERENCE DE L' ASSOCIATION G^OD^SIQUE INTERNATIONALE.
externe ot le noyau central; cctte derni&re hypothec, esl-il besoin de lo dire,
n'a pu supporter 1'examen, de sorte qu'il faudra admettre pour la variation des
densites une loi beaucoup plus compliqu^e que cello de Wiechert.
De son cote, M. Lallemand a cherch6 a monlrer que les donnees fournics par
les deux modes d'observation sont parfaitement compatibles avec la supposition
d'une elasticity scnsiblement constanto. G'est La 1'objcL de sa recente Notice,
bicn connuc des lecteurs de I'Annuaire. Ccs questions out occasional'; une
interessante discussion a laquelle ont pris part MM. Heckcr, Lallemand et sir
G. Darwin* Gctie discussion n'aura pas ete inutile, bicn qn'on ne soil pas
arrive a un accord definitif, ce qui nVtait pas possible dans 1'eiat acluel des
observations. Les mesures nouvelles acluellemententreprisesnousy am&noronl
sans doute; dans quelques annees on posskdera des donnees assez precises pour
pouvoir arriver a une conclusion. Mais ilest un point qui a ete un pen oublie,
ct dont il conviendra alors de tenir compte. Newcomb avait monlre que les
Oceans jouaient un r6le dans la variation des latitudes, et il avait cherche a
1'evaluer grossi&rement; ses successeurs ont, dans leurs calculs, Iaissc5 cette
circonstance de c6te en la considerant a tort comme negligeable. Cela ne sera
plus permis quand les observations seront de venues plus precises.
Mesure de la pesanteur en mer.
Le m£me M. Hecker a communique au Congr£s les r(5sultats do son voyage
dans 1'Oc^an Indien et FOc^an Pacifique. L'intensit(5 de la pesanteur pout 6tre
mesur^e §. terre a Taide du pendule; mais cette mgthode n'est plus applicable
sur mer. M. Hecker s'est servi d'un proc^d(5 enticement different et qui repose
sur la comparaison de la hauteur barom^trique qui donne la mesuro de la
pression £valu£e en kilogrammes par centimetre carr^; et de la temperature
d'ebullition de Peau, d'oii Ton peut deduire la pression atmosph^rique evalu<5e
cette fois en dynes par centimetre carr£; on a ainsi le rapport du gramme a la
dyne, c'est-a-dire g* Dans un premier voyage dont il a rendu compte dans un
Congr&s ant^rieur, M. Hecker a fait la travers^e de PAtlantique jusqu'au
Br6sil; il avait pu deja & Budapest nous parler sommairement de son second
voyage et nous faire voir ses nouveaux appareils qui avaient regu d'importants
perfectionnements. A Londres il nous a expose en detail ses resultats.
II est alle djabord de Bremerhaven en Australie par la Mediterranee et la
mer Rouge, puis de Sidney k San Francisco par les iles Hawai, puis de San
Francisco au Japon, etrevint paries cdtos de Chine etl'oc&m Indien. II va sans
NOTE SUR LA XVK CONFERENCE DE V ASSOCIATION GEODESIQUE INTERNATIONALE. 555
dire que dans de semblable operations Ics causes d'erreur sont nombrouses; les
plus importanLes sonl celles qui sont dues a Vinertie du baromfeire, dont la
colonne porte un etranglement afin d'attenuer ses oscillations; comme eel
etranglement produit un froltemcnl, les indications du barometre so Irouvenl
en retard sur la prcssion effective. D'aulrc part, il fanl tenir comple du roulis
el du tang-age, les oscillations devant dependre de Famplitude el de la periode
de ces mouvemcnls, De la une stfrio de termes correctifs don t il faut determiner
les coefficienls; cello determination sc fait par la methode des moindres carres.
On ne saurait en Pespecc avoir dans cette meihode une entiere confiance;
aussi a-l-on fail de nombreuses comparaisons avec les observations de pendules
failes a lerre, a Melbourne, Sydney, San Franscico, Tokyo, Zi-Ka-Wei, Hong-
Kong, Bangkok, Rangoon et au fond du golfe du Bengale. Les valeurs obtenues
par d'autres observateurs a Messine, Port-Said, Aden, etc., ont egalemenl 0*16
ulilisees. La concordance a ete en general tres satisfaisante.
Je ne retiendrai que la conclusion generale que je iraduis litteralcment.
La pesanteur aussi bien sur Pocean Indien que sur le Grand Ocean est a pen
pres normale et obeil & la formule de Helmert de 1901. Par consequent, pour
ccs deux oceans, comme aiiterieurementpourrAtlanlique, Fhypoth&se de Pratt
sur la disposition isostatique des masses terrestres s'est trouve'e confirmee, si
bien qu'a part quelques anomalies locales on peut la regarder comme une loi
gen^rale. On pent regarder comme demontre que la faible densite des eaux
marines est compensee par la densite superieure des couches sous-jacentes.
Inversemcnt, les masses continentales qui s'elfrvent au-dessus du niveau de la
mer, ne representent pas unexces veritable de masse. Mais les masses continen-
tales apparentes sont compensees par un defaut de masse au-dessous des
continents,
Des anomalies positives ont ete observes dans le voisinage de Ceylan, de
PAustralie occidentale, du plateau des lies Tonga, des iles Sandwich. En gene-
ral, la graviie esl au-dessous de la normale au large et un peu au-dessus sur les
c6tes.
Un autre fait curieux a encore ete signale par M. Hecker; la valeur de la
gravite observee depend de la route du navire; elle ne sera pas la m6mc en un
m^me point si le navire marche de PW a 1'E ou inversement; c'est la un effet
ae la force centrifuge composee de Coriolis. La theoriepermettaitdeleprevoir,
et cela a ete observe effectivement sur la mer Noire, par un navire que le gou-
vernement russe avait mis a la disposition dc Fastronome allemand.
556 NOTE SUR LA XVIC CONFERENCE DE L1 ASSOCIATION G^OD&SIQUE INTERNATIONALE.
Balance de torsion.
M. Eotvos a communique de nouvelles observations failes avec sa balance do
torsion. On sait que cet inslrumenl est fonde sur los intones principos que la
balance de Cavendish avec cette difference qu'au lieu d'etre conslruile com mo
un appareil de laboratoire qui ne peut £tre employe qu'avec mille precautions
cl qui est sensible aux moindres courants d'air, elle esL etablio comma un appa-
reil de campagne, applicable aux operations geodesiques. Elle nous fournil, non
pas la valeur de g: mais celle de ses derivees par rapport aux coordonndes. Si
done on a mesure g par Ic pendule on deux stations, el. la derivtfe de g par la
balance Eotvos en des stations intermediaircs suffisamment. rapprochees, on a
deux valeurs d'origine differenlc pour la difference de la valeur de la gravite
aux deux stations extremes, ct il peut 6tre interessant de les comparer. Les
differences sont de quelques unites de la derni^re decimale clonnee par le pen-
dule et souvent plus petites; les distances varient de i a 5okm, avec environ une
station intermediate par kilometre. La concordance n'est pas moins satisfai-
sante si Ton fait la comparaison entre les mesures de M. Eotvos ot les determi-
nations geodesiques de la deviation de la verticale.
L'accord des diverses methodcs montre la valeur du nouvel appareil; mais il
y a des cas ou il peut nous fournir des indications que les anciens no nous
donncraient pas. Les anomalies dans la distribution des masses pcuvent nous
£lre r£velees par Ic pendule, par les deviations de la vcrticalo, par la balance de
torsion; suivant la distance qui separe la station de la masse pcrturbatrice, et
suivant la profondeur, chacune des trois mgthodes peut avoir 1'avantagc, ct lour
comparaison permet dans tous les cas dc mieux se rendre compto do la position
des masses perturbatrices. La balance est surtout utile lorsque les masses sont
placees a de faibles profondeurs; les geologues pourront sans aucun doute en
tirer parti; et il a deja ete question de Pemployer pour 1'etude des phenoin&nes
volcaniques et m6me pour la recherche des gisements de cuivre.
Unc interessante comparaison peut 3tre faite entre les perturbations de la
gravite et celles du magnetisme. M. Eotvtfs a reconnu ainsi trois types diffe-
rents; tant6t les deux perturbations sont de m&me signe, tant6t de signe
contraire, tantdt enfin leurs sens varie d'une fagon independante; ces trois
types correspondent & trois modes de distribution de masses magnetiques, ct de
masses de forte densite d^pourvues de magnetisme. On peut ainsi diagnostiquer
la presence de masses de fer.
NOTE SUR LA XVIe CONFERENCE DE L' ASSOCIATION G^OD&SIQUE INTERNATIONALE. 55?
Le savant hongrois a cherche avec son appareil a resoudre une question des
plus importantes pour la philosophic naturelle; la constante de la gravitation
est-elle la m6me pour tous les corps ? Si elle ne Fetait pas, la direction de la
verticale ne serait pas non plus la m&me pour tous les corps, puisque la pesan-
teur observe est la resultante de deux forces, 1'attraction qui, pour deux corps
differents, aurait m6me direction, mais intensite differente, et la force centri-
fuge qui aurait mgme direction et m6me intensity pour tous les corps. Gette
deviation de la verticale pourrail 6 ire mise en evidence par la balance de
torsion.
Les determinations anterieures, faitcs a 1'aide du pendule, avaient niontre que
les differences si elle existent sont plus petites que 1/60000°; la methodc nou-
velle montre qu'elles sont plus petites que 1/200 ooo 000°. Je dois ajouler loute-
fois que Laplace a traite la m6me question par des moyens astronomiques. II a
compare 1'attraction du Soleil sur la Terre et sur la Lune; il a trouve que la
difference est plus petite que i/iooooooe environ; le calcul refait avee les
donnees les plus recentes donnerait i/5o ooo oooc.
M. Hecker a montre aux delegues des photographies obtenues a 1'aide de la
balance Eo'tvos; en eloignanl et en rapprochant certaines masses, on deplace
une image refletee par un miroir que porte la balance; et Ton peut photogra-
phier le displacement de cette image. En reptHanl plusieurs fois Fexperience a
plusieurs jours d'intervalle, on obtient des courbes qui se superposent Fune a
Faulre d'ime fagon surprenante,
L'isostasie.
Une tentative fort importante a <5t(5 faite pour etudier la distribution des
masses a Finterieur du globe; elle est due au g<3od£sien amgricain M. Hayford,
dont la Communication a vivement int^ress^ le Gongr&s.
Dans un M^moire ant<5rieur, expose devant le Gongr&s de Budapest, Fauteur
avail discute loutes les observations dc la deviation de la verticale faite sur le
territoirc des fitats-Unisj cette fois, il cherchait a discutcr de nombreuses
observations de pendule dont 56 faites aux fitats-Unis, et une dizaine en des
stations particuli&rement remarquables reparlies sur toute la surface du Globe.
Ghacune de ces observations donnait lieu a des calculs de reduction tr<5s con-
siderables, puisqu'il fallait tenir complc de Fattraction de toutes les masses
continentales a quelque distance qu'elles fussent de la station, c'est-a-dire qu'il
558 NOTE SUR LA XVI6 CONFERENCE DE ^ASSOCIATION GEOD^SIQUE INTERNATIONALE.
fallait etendre Fint^gration au Globe lout enlier. M. Hayford, quelles que
soient son habilet<i el sa patience, n'aurait done pu accomplir sa tache, s'il
n'avait imaging une m<3thode de calcul abrt§gd. II se sert d'une sorte de canevas
forme de compartiments limites par des circonferences concentriques et par
des lignes radiales. Ges divers compartiments n'ont pas m£me aire; les plus
rapproch^s de la station sont les plus petits, les plus eloign^s sont les plus
grands, et leurs aires sont calcul^es pour que leur influence sur le pendule soit
sensiblement la m6me, les plus grandes dimensions des aires les plus (Sloign^es
etant compensttes par Feffel de la distance. Tragons ce canevas en transparent
el placons-le sur une carte g^ographique ou Fhypsom<5trie est indiqu<3e, el cela
de fagon que la station en occupe le centre. Nous gvaluerons a vue 1'altitude
moyenne dans chacun des compartiments, et nous chercherons dans des tables
auxiliaires pr£par(5es a Favance, la valeur de 1'attraction qui correspond a cette
altitude, Une fois les tables construites, on n'aura done plus qu'a effectuer des
multiplications et des additions. M. Hayford avait appliqu<j une m^thode ana-
logue a la discussion des deviations de la verticale.
Ges quelques mots suffisent pour faire comprendre Fesprit de la m^thode', et
je vais maintenant r^sumer les r^sultats. Tout se passe comme si les masses
terrestres <3taient distributes isostatiquement] voici ce que Fauteur entend par
la. Imaginons une sphere S concentrique ^. la sphere terrestre et dontla surface
est a une profondeur constante P au-dessous de la surface des mers prolong^e.
A Fint<5rieur de cette sphere la density peut $tre regard<5e comme uniforme; il
n'en est pas de mteie a Fextt$rieur. Partageons la surface de la sphere S en un
tr^js grand nombre d'aires tr^s petites ds1 que je supposerai toutcs (Sgalcs en Ire
elles. Gonsid^rons un c6ne ayant pour sommet le centre de la Terrc et pour
base le contour d'une de ces aires ds\ prolongeons ce cone jusqu'S. la surface
topographique. Le solide compris entre la surface de la sphere S et la surface
topographique, c'est-a-dire la croute exttSrieure du Globe, se trouvera ainsi
ddcompos^ en un grand nombre de petits troncs dc c6ne ayant pour petites
bases les aires ds et pour grandes bases les (5l6ments correspondants dc la
surface topographique. Les petites bases de tous ces troncs de cdnes sont £gales
par hypoth&se, mais il n'en est pas de m&me de leur volume; leur hauteur
depend en effet* de la distance de la sphere S a la surface topographique; elle
est done plus graixde sous les montagnes que sous les plaines et sous les conti-
nents que sous les mers. Eh bien, djapr&$ Fhypothfcse isostatique, ces troncs de
c6ue qui ont des volumes diffdrents auraient tous m^me masse; la density serait
NOTE SUR LA XVI° CONFERENCE DE L'ASSOCIATION G^OD&IQUE INTERNATIONALE. 55g
plus faible sous les continents que sous les mers; elle serait en raison inverse dc
la distance de la surface topographique a la sphere S, c'est-a-dire de P + //,
IL designant Fallitude au-dessus du niveau de la mer, et P la profondeur coiis-
LanLc de la sphere S au-dessous de ce niveau.
II resLe a savoir quelle est la valeur dc P. Les deviations de la verticals
avaienL donmS 1 1 3km. En faisant le calcul pour le pendule avec cette valeur de P ,
on Lrouve une concordance remarquable, puisque Fanomalie moyenne de la
gravite qui avec les anciennes formules <3tait de 0,106 tombe a 0,012.
Une semblable compensation ne saurait £tre due au hasard, et 1'on doit se
demandor comment 1'isostatie a pu s'£lablir. Une hypoth&se int^ressante avait
etc mise en avant; on se repr6sentait la croute terrestre comme composee d'une
serie de radeaux flottants sur un liquide interne plus dense; en vertu du prin-
cipe d'Archiin£de, chacun de ces radeaux s'enfoncera d'autant plus que son
poids sera plus grand, et le rapport entre la partie 6merg6e et la partie immergee
sera sensiblement constant; c'est ainsi que sur les mers polaires les icebergs
laissent sorlir de Feau le septi&me de leur hauteur to tale. Les continents corres-
poiidraient aux radeaux les plus 6pais, puisque ce seraient ceux qui ^merge-
raionL le plus; ce seraient aussi ceux qui seraient le plus profond^ment immer-
g(5s, de sorte que sur une profondeur plus grande, le liquide dense serait
deplac<£ par un solide de moindre density; et il r^sulterait de ce m^canisme une
compensation automatique et parfaite.
Gela ne correspond pas tout & fait aux observations de M. Hay ford; les com-
partiments qui 6mcrgeraient le plus seraient non pas les plus £pais, mais les
moins douses; et ils seraient tous ^galement immerg6s a une profondeur cons-
tante de u3km, de tclle sorte que leurs surfaces inforieures se trouveraicnt au
iu6mc niveau.
Cela cst moins s<5duisant que I'hypoth&se primitivement propos(5e, mais cela
cst parait-il plus conforme aux faits.
11 sera done n^cessaire de modifier Thypoth&se dont je viens de parler; il y a
une autrc raison de le faire. Elle implique la fluidity interne du Globe et nous
vcnons de voir plus haut les preuves de la grande rigidite de notre plan&le. Si
Ton assimilait cette rigidit^ & celle des solides invariables des th^oriciens,
1'isostasie deviendrait tout 4 fait inexplicable; mais il convient sans doute de se
repr^senter la Terre comme pourvue d'une certaine viscosity, de telle sorte que
tout en se comportant comme un solide sous Finflueace de forces dont les
variations seraient relativement rapides; elle aurait c^d6 a la fagon d'un corps
560 NOTE SUR LA XVIC CONFERENCE DE L1 ASSOCIATION GfiOD&IQUE INTERNATIONALE.
p&leux a des actions seculaires dont les effels se seraienl accumules Icnlement
pendant la duree des aiges geologiques.
Nouvelle valeur de I'aplatissement.
Quelque interessantes que soient ces recherches, les geodtfsieiis no pouvaient
oublier 1'objet principal de leurs Etudes, la determination des dimensions du
Globe terrestre. Les determinations se sont accumulctos, mais il fallait les cal-
culer et les discuter; c'est ce qu'a fait M. Helmcrt; P ellipsoide de Clarke que
beaucoup de geodesiens avaient conserve comme ellipsoide dc reference n'cst
plus admissible.
On sait que ses dimensions etaient :
Demi grand axe ou rayon equatorial 6378,263
Demi petit axe ou rayon polaire 6356,521
Inverse de 1'aplatissement 293 , 5
Celles du nouvel ellipsoide calculi par M. Helmerl sont :
Demi grand axe 6878,388
Inverse de Faplatissement 297
On remarquera que la nouvelle valeur do 1'aplatissemcnl cst compatible avec
celle de la precession, ce qui n'avait pas lieu pour Panciennc valeur, ainsi que
Favait ddmontr(5 M. Radau.
Mission de lf£quateur.
Le Gongr&s s'est occup6 egalement des recentes mesures d'arc dc meridien,
nous voulons parler de Tare de I'fiquateur, de celui du Spitzberg et de Tare
africain.
On sait combien la mission de 1'fiquateur, memSe a bien an milieu de diffi-
cult^s considerables, a fait d'honneur & la Geodesic frangaisc et au Service
geographique de TArmee qui en a ete charge. Les operations sur le terrain ont
ete terminees en 1906. II restait & calculer les observations et a publier les
resultats. Les calculs, deja tr&s avances, se poursuivent dans les bureaux du
service geographique, et le Parlement a vote un credit special qui permettra
Fimpression des volumes qui doivent faire connaitre au monde savant les
resultats obtenus. La moitie de TOuvrage seulement sera consacree & la
Geodesie; 1'autre moitie contiendra la description des interessantes collections
NOTE SUR LA XVI" CONFERENCE DE L1 ASSOCIATION GEODE~SIQUE INTERNATIONALE. 56l
d'hisloire nalurelle rapprotees par M. le Docteur Rivet, et qu'on a pu admirer
an Museum il y a trois ans.
Nous nous bornerons a rtSsumer bri&vemenl quelques-uns des chiffres d^duils
des calculs d<5finitifs et communiques au CongrSs par M. le Colonel Bourgeois,
Voici d'abord ce qui peut donner une id<5e de la precision obtenue dans les
mesures des bases avec les regies soit bimetalliques, soit monometalliques en
m6tal invar.
Base.
Riobamba. Viviate.
Section Est Quest
R&gle Bimetallique Monometallique
iro mesure 3809,993898 3687,28370
a'mesure 3359,998270 8687,28533
Difference 6mm,62 imni,6i
Erreur relative 1/609000 1/229000
Les mesures d'angles ont 616 contraries par deux causes, les circonstances
mtH<5orologiques d<*favorables qui ont obligg, par exemple, les observaleurs a
rester dans la station d'El Pelado u 1'altitude de 4i4gm pendant 1.42 jours et a
celle de Naupan, a 1'altitude de 45i5m pendant 83 jours; et les destructions de
signaux. par les indigenes, qui se sont reproduces jusqu'a 17 fois et ont oblige
chaque fois a recommencer les operations.
L'oxactitude des rdsultals n'en a pas souffert, puisque le calcul de compensa-
tion u montr<§ que Ferreur moyenne d'une direction finale est seulement de
i",i29 (il s'agit de secondes cent^simales, environ 3 fois plus petites que les
secondos ordinaires). L'erreur moyenne d?un angle d^duite dela compensation
de la chaine est de a'^SS.
La comparaison des longueurs calcul^es et mesurttes dans deux bases de
contr6le peut 6galement nous donner une id6e de Texactitude sur laquelle on
peut compter.
Base.
Nord
Longueur.
66o5
Difference.
Base mesuree
— base calcul^e.
Erreur
relative.
i/u8ooo
Sud
8200
— Omm.5r7
I/I440000
La concordance est trfes satisfaisante en ce qui concerne la base du Nord;
pour la base du Sud, elle est presque absolue, ce qui ne peut £videmment 6tre
attribu<* qu'au hasard.
H. P. — VIII. 7 7i
562 NOTE SUR LA XVI* CONFERENCE DE ^ASSOCIATION GEOD^SIQUE INTERNATIONALE.
Je n'insisierai pas sur les autres operations, on me bornanL a conslatcr les
excellents resultats qu'a donnas pour la mesurc des latitudes Fastrolabe a
prisme de MM. Claude et Driencourt.
Arc du Spitzberg.
Les delegues suedois ont rendu compte egalement des operations faites an
Spitzberg et ou ont collabor6 les geodesiens russes et suedois. La mesurc des
bases a presente de grandes difficult^ a cause de la nature du terrain, elle a 616
faite au fil Jadderin; deux mesures successives ont donne ioo24m,532 eL
ioo24ra,5o4; la concordance est tr&s satisfaisante, surtout si Ton lient compte
des conditions defavorables dans lesquelles on a op<5r£; 1'exactitude des nSsul-
tats a 616 contrdlee egalement par les jonctions du nSseau russe avec le reseau
suedois.
Arc africain.
Grace & Tinitiative de sir David Gill, TAngleterre a entrepris la mesure d'nn
grand arc du meridien qui traversera tout le continent africain du Gaire au
Cap. Les mesures sont deja tr&s avancees dans les lerriloires britanniques du
sud de TAfrique d'une part, et en Egypte d'autre part; d'autres operations ont
616 menses avec succ^s dans la region des grands lacs (5quatoriaux; la travers<5c
du massif montagneux du Rouvenzori a pr6senl6 cerlaines difficult*^ qui on I.
6l6 heureusement surmont^es.
Telegraphie sans fil.
Les detegu^s japonais ont communique des observations de differences de lon-
gitude faites par le moyen de la telegraphic sans fil. Les resultats obtenus sont
encourageants. A cette occasion, M. Poincare a entretenu le Congr&s d'un
projet de mesures de la difference de longitude Paris-Ath&nes, dontM. Eginitis,
directeur de 1'Observatoire d'Ath^nes, a pris Finitiative. On songe, malgre la
grande distance, & utiliser dans cette operation la telegraphic sans fil.
D'autre part, on s'est preoccupe en France de donner 1'heure aux marins en
mer par des ondes hertziennes. On a etudie 1'installation d'un poste & la Tour
Eiffel qui tous les jours & minuit donnerait un signal perceptible dans une
partie de 1'Atlantique et de la Mediterranee. Nous pouvons ajouter aujourd'hui
NOTE SUR LA XVIe CONFERENCE DE L'ASSOCIATION GEODESIQUE INTERNATIONALE. 563
que cette installation a Gt6 retarded par les inondations de la Seine qui onl
completement de'truit le poste radiote'le'graphique de la Tour Eiffel et que le
nouveau service ne fonctionne que depuis le 28 mai.
M. Forster a fait savoir a ses collegues que 1'Allemagne allait installer un
service anologue a Nauen, et il a insiste' stir la ne'cessite' d'une entente Interna-
tionale afin d'e'viter les confusions de signaux.
J'arr^te la ceL expose' que je ne saurais prolonger sans entrer dans des de'lails
irop lechniques; j'espere avoir montr6 quelle est la varie*l<5 des questions qui
ont attire' 1'atLention des digue's et quel est 1'inte're't des problemes qui se
rattachent a la Ge'ode'sie; cette science est la seule qui nous permette de
pe'ne'trer les mysteres de la constitution interne du Globe, et elle deviendra
ainsi pour le ggologue une auxiliairc indispensable.
LE DEMON D'ARRHENIUS
Hommage a Louis Olivier, p. 281-287, Paris (26 septembre 1911).
Parmi les id£es nouvelles que nous voyons germer en foule dans le fecond
cerveau de M. Arrh<3nius, il y en a une qui m<5rile d'altircr parliculi&rement
1'aUention, parce qu'elle int^resse Tavenir do noire Univers; elle nous ouvre
(ou du moins elle s'y efforce) des perspectives plus consolantes que la lh€oric
classique de Clausius; le Monde si Ton en croil le savant su<§dois, ne serait pas
fatalement voug a la mart thermique, il nc serail pas deslin<3 & p<5rir dans une
morne uniformity finale.
On sait que les machines thermiques ne peuvent fonclionner qu'enlre deux
sources, 1'une chaude et 1'aulre froide. La chaleur emprunl^e ^ la premiere nc
pent &tre que partiellement transform^e en travail, il est n^cessaire qu'uiie
partie soit c^d^e & la source froide; il en reunite que la source chaude va se
refroidir et la source froide sMchauffer; leurs temperatures finiront pas s'ggaliser,
elles seront alors <5puis6es.
Si Ton regarde 1'Univers entier comme une immense machine thermique, la
source chaude sera repr<3sent6e par les Soleils, la source froide par les N£bu-
leuses, toutes les source donl nous disposons devant 6tre regard^es seulement
comme des Echelons interm6diair*es de P^chelle immense qui s'^tend entre ces
LE DEMON D'ARRHENIUS. 565
deux extremes. Qu'est-ce done qui peul eiilretenir la source chaude; cenepeut
6tre que 1'energie qui existe dans le monde sous la forme mdcanique; ce n'esl
pour nos Soleils qu'une bouchge, a peine de. quoi assouvirleurappetil pendant
une centaine de millions d'ann^es. El alors les fitoiles vont se refroidir et les
Nebuleuses s'echauffer, jusqu'a ce qu'il n'y ail plus entre elles de difference de
temperature : 1'Univers aura subi la mort thermique,
C'est la ce qu'exige le second principe de la Thermodynamique. Mais quelle
est la raison d'etre de ce principe; d'apr&s beaucoup de physiciens, il ne serait
qu'une consequence de la loi des grands nombres. Les molecules etant tr6s
nombreuses, leurs mouvemenls Lcndraient de plus en plus a se distribuer con-
formemenl aux lois du hasard. Tout lendrait a se m6ler, parce que, s'il esl
facile de cacher un grain d'orge dans un las de ble. il est tr&s difficile de 1'y
retrouver et de Ten faire sortir. Les molecules sonliiinombrablesettr6spetites;
c'est pourquoi il est pratiquement impossible de les dem£ler, une fois qu'elles
sont m^l^es.
Pour remonter le couranl, pour faire passer de la chalcur d'un corps froid
sur un corps chaud, il faudrait, disait Maxwell, un 6tre assez petit et assez
intelligent pour faire le triage de ces objets minuscules. Cet6tre, aux sens delies,
qui verrait ce qui ediappe a nos yeux grossiers, pourrait s^parer les molecules
« chaudes », c'esl-a-dire les molecules rapides, des molecules « froides », c'est-
a-dire des molecules lenles. G'esl cet ^tre fictif que Ton appelle le demon de
Maxwell.
Pour conserver au monde la vio, pour maintenir les N^buleuses froides et les
Soleils chauds, il faudrait done une sorte de dgmon de Maxwell automatique.
C'est ce qu'Arrhgnius croit avoir trouv(5. Comment, en effet, op^reraitle demon
de Mavwell pour r^chauffer la moitie d'une masse gazeuse en refroidissant
Fautre ? II s^parerait le vase en deux parties par une cloison, perc^e de petites
portes qu'il pourrait ouvrir ou fermer a volonte. Si une molecule rapide, venant
de gauche, s'approchait d'une de ces portes, il se h&lerait de la fermer, et la
molecule rebondirait vers la gauche; il 1'ouvrirait, au contraire, pour une mole-
cule lente venant de gauche ou pour une molecule rapide venant de droite.
Finalemenl, il n'y aurait plus a gauche que des molecules rapides et a droite
que des molecules lentes, le gaz de gauche serait chaud et celui de droite serait
froid.
Or, qn'arrive-t-il dans les Nebuleuses; la mature y etant tr&s rarefiee, les
molecules gazeuses n'y sont que faiblement retenues par la gravitation; il doit
566 LE D£MON D?ARRH£NIUS.
done arriver fnSquemment qu'une molecule s'tSchappe et va se perdro dans Ic
vide infini. Mais quelles sont les molecules qui sonL Ic plus exposes a cot
accident; ce sont 6videmment les plus rapides; un projectile lanc<3 de la Terre
aura, en effet, d'autant plus de chances de sortir de la sphere detraction
lerrestre que sa vitesse iniliale sera plus grande. Par consequent, les molecules
qui resleront dans la N^buleuse seronl les molecules lentes, c'est-a-dirc froides;
celles qui s'en iroiit seront les molecules rapides, c'csl-a-dirc chaudcs. El, c'esL
ainsi que les Ngbuleuses pouvent rester froides, malgrg la chalcur qu'elles
regoiveiit des Soleils. II y a un triage, comme colui quo ferait le d(3mon de
Maxwell, mais ce triage esl automatique.
Les molecules t$chapp(5es des ISfebuleuses finissent par cnlrcr dans la sphere
d'altraction des Soleils et par tomber a leur surface en. acqucSrant uno grando
vilesse par Feffel de la gravilation. En m£me Lcmps qu'elles augmenlent la
masse, elles en entretiennent la chaleur par leurs chocs.
La solution n'est pas encore satisfaisante; ct d'abord nous savons bien que la
masse de notre Soleil n'augmenle pas. D'aulre part, les Ngbuleuses finiraient
par se vider et perdre leur substance qui irait se concontrer dans les Ltoiles.
Le monde atteindrait Funiformitg et la mort ihcrmiquc, mais par tine aulro
voie. ArrhtSnius est done oblige de computer son hypoth&se ; pour cela, il a
recoups a la pression de radiation de Maxwell-Bartholi; on sait quo les corps
tr£s lagers sont repousses par la lumi£re, et c'est ainsi que se forment les queues
des com&tes, dont la mati&re tr^s t£nue est repouss(5c par la lumi&re solaire.
Arrh^nius suppose que des particules tr£s fines, issues du Soleil, peuventsubir
une action analogue; elles forment d'abord la couronnc solaire; mais elles ne
s'arr6tent pas la : la pression de Maxwell les pousse beaucoup plus loin, en
dehors ni&me du sjst^me solaire et jusqu'aux lointaines N^buleuses. Les N6bu-
leuses, qui envoient de la mati^re aux Soleils, en recevraient en <5change, de
sorte qu'il y aurait balance parfaite entre les gains et les pertes de substance.
Que devons-nous penser de cette th6orie si sgduisante ? Toutes les difficult^
sont-elles ^cart^es ? Pas encore. La mati^re se trouve soumise & deux forces
autagonistes *la gravitation newtonienne qui Pattire vei-s le Soleil, la pression
de Maxwell qui tend a Fen ^loigner. La premi&re de ces forces Femporte sur la
LE D£MON D:ARRH£NIUS. 557
seconde si le corps esl gros el lourd, parce qu'elle esl proportiormelle a la
masse, Landis que la pression de radiation varic comme la surface. La repulsion
I'cmporle, au contraire, pour les gouttelettes qui n'ont que quelques milli£mes
dc millimetre; cnfin, 1'attraction 1'emportc de nouveau pour les corps qui sont
petits par rapport aux longueurs d'onde et ne peuvent, par consequent,
ir la Iumi6re, comme par exemple pour les molecules isotees. On pent
alors concevoir une sorte [de va-et-vient : des gouttelettes sont repouss^es par
le Soleil; parvcnucs a une cerlaine distance, pour une raison ou pour une
aulre, ellcs s'agglomerenl en corps trop gros, ou se dissocienl en particules
Lrop peliles. L'attraclion 1'cmporte de nouveau et la rnatikre reLombe sur le
Soleil ou elle rcprcnd la forme de gouttelettes, et ainsi de suite ind^finiment.
Ce n'esl pas la le mouvement perpgtuel; le travail n^cessaire pour entretenir
ce va-et-vient ind^fini est cmprunl6 a la chaleur solaire; nous avons affaire a
une machine thermique. Quel esl le rendement de cette machine? II est ais6 de
voir qu'il ne peut d^passcr 'un demi. En effet, une de ces particules peut 3tre
regardtSe comme un 6cran qui arr£lc le rayonnement solaire; qtiand elle est
rcpousstie, 1'espace dans lequel ce rayonnement peut se r^pandre se trouve
accru, d'ou emprunt de chaleur nu Soleil; et la loi de Maxwell montre que cet
einpruul esl prgcis&ncnl 6gal au travail de la pression de radiation; la moiti£
de l'6nergie 6man6e du Soleil sera done employee en travail meScanique sur la
particule ct Fautre moilig en tichaufFemcnl de 1'espace. La chaleur ainsi perdue
atteindra finalement la N6buleuse; le d^mon d'Arrh^nius serait-il de force a
nous la restituer ? Les molecules qui sont chass6es de la N^buleuse en sorteiit
avec une cerlaine vitesse; quand elles retombent ensuite sur le Soleil, cette
vitesse s'accroit, de sorte qu'en choquant la surface solaire, elles lui apportent
I'dmergie qu'ellcs poss^daicnt an depart, plus celle qu'elles ont acquise dans
leur chute. C'est cette derni^re qui figurait dans les calculs que nous venons de
faire au sujet du mouvement de va-et-vient; et nous avons vu qu'elle estau plus
la moiti6 de FeSnergie rayonn^e par le Soleil.
Si nous voulons que la restitution soit complete, il faut done que la seconde
moili6 soit repr^sent^e par P<§nergie initiale que ces molecules possgdaient en
quittant la N^buleuse, c'est-a-dire que leur vitesse initiale soit comparable a
celle qu'acquiert un corps qui tombe de Finfini sur le Soleil, et qui est de
plusieurs centaines de kilometres par seconde. Or, cela est bien invraisemblable;
les Ngbuleuses sont tr&s froides,c'est-£-dire que la vitesse moyenne de leurs
molecules est trfes faible; il est vrai que ce sont les plus rapides qui s'en vont,
568 LE DEMON D'ARRHENIUS.
inais cellos qui auroul des vitesses dc col ordro no pourront jnmaiselrc que des
exceptions, mOme paraii celles qui ne soul pas relenuos duns la JN6buleuse par
1'allraclion.
On a peino a renoncer definilivemenl a une idee si seduisanle el on cst ported a
se demandcr si elle n'esl pas incomplete plutol quo fuusse. Le dt'mion d'Arrh6-
nius ne peut suffire a sa lache, niais peut-<Hre y en a-L-il d'aulres qui 1'y aido-
ronl. Ne pourrail-on, par exemplo, apr&s avoir mis un d<5mon dans la
source froide, en mellre un auLro dans la source chaudc ? Quelquc hypolhti-
liques, quelque mal fondues quosoienl ines vues surce point, me perinelLra-l-ou
d'en dire queques mots ?
Les molecules qui quitlent les Solcils ne peuvent-elles 6 Ire 1'objet d'une
selection comme celles qui quit-tent les N^buleuses ? Cctte fois, ce no sonl pas
les plus chaudes qui doivent parlir, ce sonl les plus froides. Examinons done
par quel mScanisme se produisent les goulleleiles qui subissonl la pression do
radiation : i° Certaincs molecules gazeuses sonl. ionise*es; 2° Chaquc ion dcvienl
un centre de condensation pour certaines vapeurs sursatur(5cs. La selection se
ferait done tout nalurellemenl : i° Si les molecules froidcs, c'est-a-dire lentes,
^taient plus facilemenl ionis^es que les molecules rapides; 2° Si la condensation
se faisait plus aisemenl autour des ions lenls qu'autour des ions rapides; 3° Si
les molecules de vapeur les plus lentes se liqu^fiaient plus ais&nenl que les
plus rapides.
• Je ne vois aucune raison a all^guer en faveur de la premiere lijpoth^se* La
seconde est plus plausible; on con^oit qu'un ion en repos pourra jouer son r6le
do centre de condensation plus facilemenl qu'un ion en moirvement; pierre qui
roule n'amasse pas de mousse. Mais c'est surloul a la Iroisi&me qu'il convienl
de s'attacher, Qu'on se repr^sente une goutlelelle en voie de formalion el des
molecules de vapeur circulant dans son voisinage; on peut les comparer a des
bolides qui circuleraient pr6s d'une plan^te el fr6leraient son atmosphere,
Ceux qui auronl des vitesses hyperboliques passeront sans tee arr6t6s; ce sonl
les plus lents qui seront retenus et tomberont a sa surface. Sans doute aussi,
quand un liquide est au contact de sa vapeur, il y a ^change continual entre
leurs molecules. Retenues quelque temps par 1'attractlon du liquide, les unes
finissent s'^chapper et redeviennent gazeuses. D'autres, au contraire, sont
capt^es par 10 liquide.
LE DEMON D'ARRHENIUS. 669
Ce sont evidemnient les plus leiilcs qui scroiil retenues, les plus rapides qui
sYtchapperont, lout se passant commc pour lu N(5bulcuse donl nous parlions
plus haul. II en resultcrait, remarquons-le qu'il dcvrait y avoir unc difference
do temperature e litre un liquidc ot sa vapour; je ne sais si elle serait constatable.
Quoi qu'il en soit, on pourrait imaginer un mecanisine analogue jou ant dans la
source chaude le role de dtSmon automatiquc. Ge dtSmon, en tout cas, travail-
lerait dans le bon sens, ma is je ne puis examiner la question de savoir s'il suf-
firait pour remplir sa tache.
H. P. — VIII. 72
NEUVlfiME PARTIE. — RAPPORTS.
RAPPORT
SUR LE PROJET DE REVISION
DE
L'ARC MERMEN DE QUITO
Comptes rendus de VAcademie des Sciences, t. 131, p. 2i5-a36 (16 juillet rgoo).
Par une Lettrc en date du 21 juin 1900, M. le Ministre de PInstruction
publique a invil<$ PAead&nie a ltd donner son avis sur le projel de revision de
Pare m^ridien de Quito ei luia demand^ d'examinerle programme scientifique
propose, de le discuter el de lui IransmetLre ses observations. L'AcadtSmie a
renvoytS la question a une Commission compos6e des sections de G«5om6lrie,
d'Astronomic et de G<3ographie et Navigation. Cette Commission a <5tudi6 le
projet en detail, et c'est le r&ullat de cette 6tude que je dois rgsumer dans le
present Rapport.
II est ndcessaire d'abord de rappeler en quelques mots Phistorique de la
question. Au commencement du si&cle dernier, la th^orie de Newton qui
concluait 4 Paplatissement du globe terrest^e, fut souinise ft de vives contro-
verses, auxquelles Pobservation directe pouvait seule mettre fin. II fallait mesu-
rer deux arcs de meridian a des latitudes diff^rentes. C'est ft la France, et en
particulier ft Pancienne Acad&nie des Sciences, que revient Phonneur d'avoir
men<$ a bien cette difficile operation. En 1786 et dans les ann^es suivantes, un
672 RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE L'ARC M^RIDIEN DE QUITO.
arc fuL mcsure au Perou pur Godin, Lacondamine el Bouguer, el un aulre en
Laponie par MauperLuis el Clairaul
La me'ridienne de France, rcvisce unc premiere fois eii 1739 par Cassini do
Thury cl Lacaille, lo fuL do nouvoau on \ 790 par Delambre cl Me'chain au
moment clc I'tSlablissemenl du sysiemc molrique. Cettc operation, enlreprise
dans des condilioiis de precision inconnucs jusquc-la, fut prolonge'e j usque sur
lo lerriloire espagnol.
G'esl la comparaison de ces irois arcs, mesures Tun pros de I'Equalcur,
Pautre pres dn cercle polaire, lo iroisiemc sous dcs latiludcs moyennos, qui a
fourni la premiere valeur suffisamment approchc'e dc 1'apktissemcnt.
Jusque-la la Ge"ode"sie el ail reside pour ainsi dire uiio science cxclusivemenl
francaise; mais dans la premiere moili£ du xixc si6cle an conlraire, ce fut sur-
tout a l'6t ranger qu'elle sc developpa. Non seulemenl de nombreuscs mesurcs
furent entrepriscs, mais les m^lliodes furenl perfeclionn6cs par les Iravaux de
Gauss, Bessel, Airy el Clarke.
C'esl noire regrctld Confrere le Ge'ne'ral Perrier qui a rendu a la France le
rang qu'elle avail paru perdre un insLa-nl. On sail au prix de quels eflorls il esl
parvenu a joindre 1'Espagne el l'Alge"rie; par les method cs ingdnieuses el pr6-
cises qu'il avail cr^ees, il a procddil a unc nouvelle revision de la mdridiaimc
de France qui, se raccordanl d'un col(5 aux Iravaux anglais, de 1'autre aux tra-
vaux espagnols et par eux aux mesurcs failes en Alg6rie, nous donne maintc-
nanl un rdseau qui s'e'tend sans interruption du nord de Pficosse au Sahara.
Les travaux (Strangers et ceux du Ge'ne'ral Perrier onl conduit les ge"ode"siens
a modifier la valeur adopltie pour Taplatissement. 11s disposent pour cela d'un
grand nombre de donne'es nouvelles dont les principales sont :
L'arc anglo-francais, qui a 28°, dc Laghouat (82° N) aux Shetland (60° N);
L'arc russe, qui a 25°, du Danube (45° N) a Tocean Glacial (70° N);
L'arc indien, qui a 24°, entrc les latitudes 8° et 82° N ;
L'arc ame'ricain de rAtlantiquc, entre les latitudes 32° et 45° environ;
L'arc ame'ricain du Pacifique, entre les latitudes 3o° et 40° enviroA;
Plusieurs arcs de paralleles dont les plus importants sonf :
L'arc europe"en de Valentia a Omsk par 02° de latitude;
L'arc ame'ricain, entre les deux Oceans par 38° de latitude ;
L'arc qui traverse 1'Hindoustan a la latitude 24° ;
On remarcjuera que presque tons ces arcs se trouvent place's sous des lati-
RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE L'ARC MERIDIEN DE QUITO. 678
tudcs moyennes. Non settlement nous n'avons dans Fhemisph&re sud qu'un arc
de 7° dans la colonie du Cap, mais sous les latitudes equatoriales et polaires,
on n'a presque rien ajoute aux travaux du si£cle dernier.
II y a la une lacune infiniment regrettable, car les determinations ancienncs,
quelquc remarquables qu'elles aient ete dans leur temps, ne peuvent evidem-
ment 6tre compares aux travaux plus recents.
Cette situation a frappe depuis longtemps P Association geodesique ; la necos-
site de mesures nouvelles, destinies a verifier et a corriger celles de Lacondamine
et de Maupertuis, paraissait evidente a tout le monde.
Une expedition russo-suedoise est partie pour le Spitzberg et a commence
la determination d'un arc de 4 ou 5 degres destine a remplacer celui de
Maupertuis.
II restait a s'occuper de la revision de Fare du Perou. A la reunion de
1'Association Internationale geodesique en 1889, M. Davidson, delegue des
fitats-Unis, appela sur cette question Fatten tion de ses coll&gues. Reconnais-
sant les droits que donnenta la France les glorieux souvenirs du xvme si£clo,
il ajoutail que, si notre Gouvernement ne voulait pas les revendiquer, IP
Geodetic Survey des £tats-Unis pourrait se charger de Foperation.
Le Gouvernement frangais d'alors ne crutpas devoir dediner cetLe invitation.
II regut d'ailleurs un concours empress^ de la part de 1' Academic des Sciences
et du Gouvernement gquatorien. En effet, par suite du demembrement de
1'ancienne colonie espagnole du P<5rou, c'est sur le terriloire de la Republiquo
de 1'fiquateur que se trouve situ£ Fare dit du Perou. Des n6gociations furent
done entamees par Fintcrm6diaire de M. Anlonio Flores, Ministre de I'fiqua-
teur & Paris. Elles etaient sur le point d'aboutir et le Gouvernement allait
d^poser une dcmande de credits, quand de graves evenements politiques se
produisirent a Ffiquateurf La situation ne paraissant plus favorable a une ope-
ration scientifique de cette nature, le projet fut provisoirement ajourne.
En 1898, les circonstances politiques s'etaient denouveau modifiees a Quito.
Le General Alfaro avait ete appele a la Presidence et Fon etait assure de trouver
aupr^s du nouvcau President un appui sans reserve. Ge fut encore un delegue
americain, M. Preston, qui, & la Conference de Stuttgart, porta de nouveau la
question devant 1'Association geodesique. 11 reconnut d'ailleurs encore unefois
les droits de la France.
Le Gouvernement frangais comprit qu'une prompte solution eiait desirable;
en efTet, il etait ^ craindre que, si la France hesitait a faire valoir ses droits,
674 RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE L?ARC MERIDIEN DE QUITO.
la mesure ne fut entreprise par le Geodetic Survey amgricain, ou par 1'Associa-
tion Internationale, de sorte que 1'honneur en serail ravi a noire pays. D'autre
part, 1'op^ration devait prendre tin certain temps, et il 6tait a d<3sirer qu'ello
fut termin^e avant 1'expiration des pouvoirs du President Alfaro, afin dc
profiler des excellentes dispositions du Gouvernement actuel.
Sur 1'avis de la Commission g<3od£sique frangaise, M. le Minislre dc Plns-
truction publique entra en pourparlers avec le Minist£rc de la Guerre en vue
d'tStudier les moyens d' execution. II sembla que la mission principale ne pou-
vait s'embarquer avec son materiel encombrant, pour un pays aussi mal connu,
avant qu'une premiere reconnaissance eut montr£ la possibility de 1'entreprise
et d£termin<3 les moyens de la mener a bonne fin.
Cette reconnaissance ne pouvait &tre effectu^e que dans le pays m6me ;
M. le Ministre de 1'Instruction publique y affecta une somme de 20 ooo francs
prise sur le credit des Missions, et il confia cette mission a MM. les Capitaines
Maurain et Lacombe du Service g<5ograpliique de I'armcSe, mis a sa disposition
par le Minis t^re de la Guerre.
Partis de Bordeaux le 26 mai, ces deux officiers arriv^rent a Quito le
1 3 juillet. Us furent extr&memeiit bicn accueillis par M. le President de la
R^publique et par tous les membres du Gouvernement qui s'efforc&rent de
faciliter leur tache par tous les moyens en leur pouvoir. En trente jours,
MM. Maurain et Lacombe pouss&rent jusqu'au Cerro de Pasto, sur le territoire
colombien, et d<$termin£rent Pemplacement de dix nouvelles stations g6od<5-
siques, d'une station astronomique ot d'une base. Us explor&reul ensuite la
contree au sud de Quito, reconnurenL deux bases nouvelles dont la derni^ro
est situ<3e sur le lerri loii'e pt5ruvien, el d(5lermin^rent quinze nouvelles stations
L'ancienne mt5ridienne va se irouver ainsi prolong^e vers le Nord de i° et
vers le Sud de 2° environ.
La Mission s'embarquait de nouveau a Gayaquille a5 novembre pourretourner
en France.
Les-d^penses se sont 6lev6es au chiffre total de 35 ooolr, dont 1 5 ooolr environ
ont <5t6 supports par le Gouvernement de Ffiquateur.
On sera frapp<5 de la rapidit<S avec laquelle cette reconnaissance a 616 accom-
plie. Si Ton songe que ces deux officiers ont eu £ parcourir environ. 35ookm
dans un pays des plus difficiles, et & faire une trentaine d'ascensions dans une des
cliajnes les plus £lev6es du Globe, on se rendra compte du z&le et de 1'endu-
676
Reproduit
cl'apr^s une figure du
Bulletin de la
S octet e de Geographic
(Paris, Masson et C««).
676 RAPPORT SQR LE PROJET DE REVISION DE l/ARC M^RIDIEN DE QUITO.
ranee dont ils ont du faire preuve pour mener leur lache a bonne fin en quatrc
mois. Cette infatigable activity leur a vain Fadmiralion de M. le General Alfaro.
II n'est que juste de reconnaitre que de si prompts rtSsuIlats n'ont pu 6lrc
atteints que grace a la bonne volonte constante des agents equatoricns.
Les croquis rapportes par MM. Maurain et Lacombe idmoignenl du soin n voc
lequel cette reconnaissance a ete menee. Les environs de chaque station g<§odt5-
sique et de chaque base ont ete Fobjet de levers topographiques sommaires
accompagnes de tours d'horizon, el ces levers fournironl a la Mission definitive
tous les renseignements dont elle peut avoir besom.
Ce travail fait le plus grand honneur a MM. Maurain et Lacohibe, el montre
ce qu'on peut attendre des officiers de notre Service geographique.
C'est a la suite du Rapport qui lui fut adresse par les membres de cetLe
reconnaissance que M, le Ministre de FInstruclion publique, persuade desor-
mais de la possibility de Foperation, a 6crit a F Academic des Sciences pour lui
demander son avis.
Sur le fond m&me de la question, cet avis ne pouvait 6tre douleux. L'interiH
scientifique de cette determination est manifesto. Tous les corps savants,
FAcademie elle-m^me, le Bureau des Longitudes, la Commission gdoddsiqut*
frangaise, 1'Association internationale, se sont deja a plusieurs reprises pro-
nonc6s sur ce point, et j'ai d6j£ expos6 plus haut les raisons de leur opinion ;
ces raisons sont trop &videntes pour qu'il y ait lieu d'insister davantage,
Mais, outre cet int£r6t scientifique, cette cntreprise presentc pour nous im
veritable int6r6t national. Si notre pays se doit a lui-mOme de prondre sa par.!,
des conqu&tes nouvelles de la Science moderne, a plus forte raison il no pcul
pas abandonner une position sur laqnello les efforts de nos pisres ont fail Holler
pour ainsi dire le drapeau intelloctuel de la France. Nos droits ont <5l<5 publi-
quement reconnus. R<5pondrons-nous a ces courloiscs inviliitious par une
declaration d'impuissance? La France eslaussi vivante et plus ricbe qu'il y a
cinquante ans. Pourquoi laisserait-elle a des nations rgp aides plus jcunes lo
soin d'achever ce que la France d'autrefois avail commence ?
Si ces raisons doivent frapper tous les Frangais, elles sont plus particuli&re-
ment sensibles aux membres de notre Compagnie. C'est Fancienne Academio
des Sciences, dont nous sommes les heritiers, qui a accompli Fceuvre de
et ces souvenirs, glorieux, pour tous, le sont parliculi&rement pour nous.
M. le Ministre n'a eu garde de meconnaltre leg droits de FAcademie.
RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE L'ARC M^RIDIEN DE QUITO. 677
Je no saurais oublier, dit-il dans sa Lettre, que Fceuvre qu'il s'agit de realiser
est la continualion de celle qu'accomplirent au si&cle dernier les membres de
1'ancienne Academic. Je ne saurais oublier davantage 1'initiative prise en 1889
par F Academic des Sciences. La presente Communication n'a done pas simple-
menl pour objel de vous iransmettre des renseignements au sujeL d'une entre-
prise qui nc pent pas manquer de vous interesser. Je voudrais, en placant la
nouvellc operation sous le haul patronage scientifique de votre Compagnic, lui
demander le concours de ses lumi£res. »
De quolle manure devra s'exercer le liaut patronage dont parle la Lettre
ministerielle? II va sans dire qu'il ne doit pas <Hre purcmenl nominal el qu'il
implique un controle effeclif des operations.
Couvient-il d'aller plus loin? Quelques personnes Favaient propose en 1889.
D'aprfes ellcs, F Academic devrait accepter tout entier Fheritage de Bouguer <»l
Lacondaminc, et envoyer un de sos membres a Ffiquateur pour diriger lui-
rndmo les operations, comme Favaient fait les Academicieiis du sificle dernier.
Votre Commission a pense qu'on ne devait pas donner suite a cette propo-
sition.
Los circonstances ont, en effet, compl^tement change depuis le temps do
Lacondaminc ; alors tout cHait a cr^erj; aujourd'hui, tout est organise, et Ton no
comprondrail pas qu'on hesitat a se servir de 1'admirable organisation qui
existe.
Dans les operations de cette nature, la haute| competence scientifique, Fliabi-
lete technique elle-m£me et les habitudes de scrupuleuse regularite sont des
qualites qui restent indispensables, mais qui ne sauraient suffire. II faut 3ire
en etat de supporter de grandes fatigues, dans des pajs sans ressources et sous
tons les climats; il faut savoir conduireles hommes, obtenir Fobeissance deses
oollaborateurs et Fimposer aux serviteurs & demi civilises que Fon est bien force
d'employer. Toutes ces qualites intellectuelles, morales et physiques se trou-
vent reunies chez les officiers de notre Service geographique. Qu'on puisse les
trouver egalement dans d'autres corps constitues ou m^me chez de simples
hommes de Science n'appartenant a auciin corps, nous n'avons garde d'y
contredire. Les Academicians du xvme si^cle Font bienprouve, dans un temps
ou les difficultes etaient bien plus grandes qu'aujourd'hui.
Mais cnfm il y a un corps qui est fait pour ce travail ; nous ne sommes pas
surs de trouver aussi bien, nous sommes surs de ne pas trouver mieux. Et ce
H. P. — Vin. ?3
678 RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE L5ARC M^RIDIEN DE QUITO.
quo nous n'anrions pas ailleurs, c'osl la cohesion, Fhabiludc dc Lravaillw
ensemble et d'appliquer les m6mes m<5thodes, la discipline, enfm, qui per-
-mettra de faire vite et sans talonnement.
Nous ii'insisterons pas sur 1'eSconomie considerable quo Ton n&liscra on so
servant d'un personnel militaire, mais il convicnt de faire rcmarquer quo Pop<5-
ralion a onlroprondre n'est pas isol<3e, qu'elle n'osL qiMin detail dans un grand
ensemble; que cet ensemble doit rosier homogftne pour quo 3os cements un
suicnl compartiblcs et qu'il imporlo, par consequent, que lo nouveau travail
soil exticutg par le m6me corps, par les mfimes mdlhodcjs el avec les intones
inslrumenls que la grande m&ridienne de France.
D'ailleurs, en laissanl cette tache an Service g^ographiquo, PAcadtimio
n'abdiquera pas. Les m^lliodes dont ce corps conserve les traditions son!
sorties de 1'oeuvre de nos pr<5d<5cesscurs ; commc gardien de cct luSrilage, il
n'est pas pour nous un Stranger ; 1'Acaddmie 1'a toujours compris el die a lou-
jours cherch(5 a faire enlrer dans son sein le chef de ce service. Lc direcLour
aclucl, M. le G<5nc5ral Bassot, est un de nos Confreres.
Si, PAcad^mie, pendant 'une phase quelconque des operations, le jngoail
necessaire, le Gdn^ral Bassot serait pr^t a se rendrc A Quito el nous apprticic-
rons certainement b^aucoup les services qu'il pourrait nous rcndre ainsi; mais,
si m6me il ne faisait pas ce voyage, ce serait toujours notrc Confrere qui diri-
gcrait de loin les officiers places sous ses ordres.
L'Acad&nie devrait, en outre, avoir un r6le de contr6le sciontifiquo; h^s
carncts d'observations et de calculs devraient lui toe soumis et il y aurait
lieu, sans doutc, de nommer une Commission charg^e de los examiner.
Arrivons a 1'examen des details de Tavant-projet.
Mesure des bases.
Trois bases seront mesur<3es; chacune d'elles aura environ 85oom. La base
principalc sera situ^e vers le milieu de Tare, pr&s de Riobamba, a une latitude
d'a peu pr^s i°,5 Sud et a une altitude d'environ. 25oom.
En outre, deux bases de verification seront (Hablies pr^s des deux extrdmiuls
de Fare, Tune au Nord, pr&s de Cumbal, sur le territoire colombicn; 1'autre au
Sud, entre Quiroz et Sullana, sur le territoire p^ruvien.
II importe que les mesures soient faites avec le m&me instrument qui a servi
pour la m<§ridienne de France. Non seulement cct appareil a fait ses preuves,
RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE L'ARC MERIDIEN DE QUITO. 679
mais Ics rtSsultats doivent 6tre comparables, et ils ne sauraient l'6ire si Ton
n'op&re avec I'instrument qui a 6t£ employ^ dans les mesures pr<$c<$dentes
(quitte a se munir d'appareils do reserve pour le cas d'accident).
Depuis (quelque temps, on a comment a ^tudier les alliages de fer el de
nickel donl la dilatation est extr6mement faible. II est possible que ces alliages,
quo nous devons a M. Guillaume, rendent dans Pavenir les plus grands services
pour la mesure des bases. Jusqu'ici, toutefois, leurs proprietors sont assez mal
connues. Elles ne peuvent l'6tre qu'£ la suite d'exp<5riences longues et difficiles.
On a propose*, non de subslituer les regies en mtStal Guillaume aux regies
biiiuHalliques, mais d'emporter a Pfiqualeur les appareils des deux syst£mes
aim de pouvoir faire pour chaque base des mesures comparatives. La Commis-
sion n'a pas cm devoir adopter cette ^proposition ; cela serait en r<5alit<5 greffer
sin1 la mesure de Pare de Quito les experiences sur la valeur de la nouvelle
r&gle. Ces experiences sont ntScessaires et elles se feront; mais il vaut mieux
([u'ollos so fassont ind(5pcndamment. Faites en France, elles couteront moins
cher (it Pon pourra plus facilcment y consacrer le temps ngcessairc.
Mesure des angles.
Lo lorri Loire de la RtSpublique de Pfiquateur sur lequel on doit op<$rer se
diviso en uncsdric de zones d'altitudes tr^s diflferenles qui sont, en partanl de
1'octian, Pacifique : i° une plaine basse; 2° la chaine des Cordill^res occiden-
lales; 3° le plateau de Quito ; 4° la chaine des Cordill&res orientates; 5° la
plaine des hauts affluents de PAmazone.
Les deux chames ont une altitude g6n6rale d'environ fooo™ ou 45oom, mais
au-dessus de laquelle s'<§l6vent un certain nombre de pics g(?n6ralemenL volca-
niqucs qui atteignenl ou m&me d^passent 6ooom. L'altitude moyenne du plateau
osl dc 25oom.
Toutefois, les deux chaines et le plateau s'abaissent notablement dans la
partie Sud.
La plaine du Pacifique reste a une basse "altitude (3oom & 4oom) jusqu'aux
premieres pentes des Cordill^res ; de m&me la plaine de PAmazone commence
assez brusquement au pied des Cordill&res orientales, avec des altitudes
moyennes d'environ 5oom.
La largeur de ces diffdrentes zones est naturellement assez variable.
A )a latitude de la base principale, la plaine du Pacifique a une largeur d'a
580 RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE L'ARC MERIDIEN DE QUITO.
peu pr&s 1 8okm? le versanl occidental (.des premiers escarpements au faiie) 45km 5
le plateau (entre les deux failes) 5okm, le versant oriental (du faito a la plaine)
a5kra.
Plus au Sud, les deux chaines se rapprochent de 1'Ocgan; d'autre part, la
cole pr^sente une tSchancrure profonde qui est le golfe de Gayaquil.
Pour ces deux raisons la largeur de la plaine occidenlale est considtSrablo-
ment diminiuSe. C'est cette circonstance qui permeUra, comme nous le verrons
plus loin, de pousser la triangulation jusqu'd la mer.
Celte configuration du terrain imposait pour ainsi dire le plan ggngrnl do la
triangulation.
On construira deux series de stations, les unes sur la chaino occidonlalo,
soit sur les sommels, soit sur les flancs des montagncs, los an ires sur la chntnu
orient ale.
Ccs stations seront au nombre de cinquante-deux, dont vingt-huil seronl
cmprunlges k 1'ancienne chaine de Bouguer et Lacondamine.
Leur altitude sera souveiit de 4ooom. Les cot^s des triangles auront de 3okm
& 4okm.
La chaine des triangles suivra done la direction g£n£rale des Gordill&res, et
comme cette direction n'est pas exactement Nord-Sud, cette chainc devra oJle-
m£me Stre ItSg&rement incline sur le m^ridien de telle sorte quo la difference
ile longitude des deux extr^mitgs sera un peu moins de 3°.
Dans la partie Sud du golfe de Gayaquil, les hauteurs se rapprochcnt assoz
de la c6te pour qu'on puisse joindre & la triangulation g<2n<2rale un point sitm'j
sur le bord de la mer et ou se trouve un ancien phare.
Les operations seront dirig(5es de la fagon suivante : les officicrs composant
la Mission se partageront en deux brigades dont Fune se portera de station on
station sur la chaine occidentale, pendant que 1'autre fera de m6mo sur la
chaine orientale. Bien entendu, la marche des deux brigades devra se pour-
suivre parall&lement de telle fagon que les stations oft elles op^reront en m6me
temps soient toujours en vue Tune de 1'autre.
D'un autre cdtg, Texp^rience prouve qu'il 6st impossible dans ce pays do
construire des signaux; ils seraient dgtruits par les indigenes; il sera done
n<5cessaire dj employer des h^liostats. Chaque brigade devra, en consequence,
6tre accornpagn^e de deux postes comprenant des sous-officiers ou soldats
frangais exerc^s a la t<5l^graphie optique. Pendant que les observateurs s'instal-
leront dans une station, 1'un de ces postes occupera la station pr£c<5dente de la
RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE L'ARC MERIDIEN DE QUITO. 58 1
e cluunc, oL Fautre la station suivante, do fagon a pouvoir envoyer des
signaux aux officiers.
Astronomie fondamentale.
Los trois <5l<5monts aslronomiqucs fondamcnlaux, latitude, longitude et azi-
niul, seront dcStermintis avec Ic plus grand soin dans trois stations, la premiere
ii Quito, vers lo milieu de Fare, et a i°,5 environ au nord de la base principale;
les deux autres a petite distance des deux bases extremes.
Quito poss&de un Observatoire muni de bons instruments. Le Gouverncment
frangais a mis a la disposition du Gouverncment dquatorien pour une p6riodo
de cinq ans un de nos plushabiles astronomcs, M. Goncssiat, de FObservatoire
de Lyon, Ce savant va prendre la direction de FObservatoire de Quito.
Gette combinaison, si hcureuse au point de vue de Finflucnce extdrieurc
dc la France, a (H6 renduc possible par la munificence de deux donateurs
anonymes, et je suis heureux d'avoir Foccasion de rendre ici hommage a leur
gtintircusc pcnsgc.
En tout cas, cette circonstance facilitera singuli&rement les operations de la
Mission. Pendant quo les officiers op<5reront dans les stations extremes,
M. Gonnessiat fera des observations simultan(5es t\ Quito. Gette simultaneity,
indispensable pour les observations de longitudes, sera aussi pnScieusc pour la
mesure de la latitude et nous fora connailre les differences de latitude avec une
(r6s grande precision.
Longitudes.
Le Uiltigraphc rqjoint maintonnnt Quito ft Gayaquil ot i\ un point irfes voisin
do la station astronorniquo Nord. Entre Quito et Gayaquil, il y a un rolai; il y
(in a nix (Jgalomcnl exitre Quito et la station Nord. Mais il sera facile de suppri-
mer ces rolais ea employant un nombre suffisant de piles.
Vers le Sud, lo t(5l(5graphe est pouss(S moms loin et il s'arrdte & une assez
grundo distance; de la station astronomique; mais on travaille actuellement i\ le
prolonger jet il est certain qu'au moment du besom il pourra 6tre facilement
reli6 & la station Sud.
Les differences de longitude enlre Quito et les deux stations astronomiques
principales, ct entre Quito et Gayaquil pourronl aiusi 6tre d(5termin(5es sans
relai tdtfgraphiquc, c'est-d-dire avec une grande precision.
582 RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE L'ARC MERIDIEN DE QUITO.
Gayaquil esL relitf par des cables sous-marins au nSseau ltfl<3graphique gen&-
ral; on pourra done connailre sa difference de longitude avec PAmiiriqiie du
Word. Mais ici 1'emploi do relais sera inevitable el la precision sera moindre.
Elle sera d'ailleurs beaucoup rnoins n<5cessaire.
Astronomie secondaire.
OuLre les Lrois stations astronomiques principales, il sera <5labli six stations
aslronomiques secondaires ou 1'on mesurera dcs latitudes diffbreiUielles el des
azimuls secondaires. Ces stations seront sensiblement espactfcs de degr6 en
degr6.
L'une d'elles, Ghuyuj, est voisine de la base principals.
Nivelleraents.
Les bases devant 6lre rcSduites au niveau de la mer} il importe de connailre
leur altitude avec une assez grande exactitude.
L'allitude de la base centrale nous sera donn<5e par une operation de nivelle-
ment gcSomtHrique de precision, avec les m<5thodes cr<3<2es par M. Lallemand ct
employees dans le nivellement g^ndral de la France. Ces mtHhodes sont fami-
li&res aux officiers du Service g^ographique, qui en ont fait usage en Alg^rie.
Ce nivellement se fera le long du tracg du futur chemin de fer de Gayaquil a
Quito.
Le niveau de la mer sera d^lermind par un m<5dimar<3m&lre. On n'a pas cru
devoir dtablir cet instrument a Gayaquil. Ce port se Irouve, en effet, au fond
d'une baie longue et ^troite qui d^bouche elle-m^me sur le golfe de Gayaquil.
On pourrait done craindre qu'il y eul de l£g&res differences entre le niveau
inoyen du port et celui de la pleine mer. G'est pourquoi le m£dimar£m&lre sera
plac6 a Playas, sur la c6te du Pacifique proprement dit, un peu avanl 1'enlrdo
du golfe et & jokm de Gayaquil.
La ligne de nivellement du m6dimar6m&tre & la base prgsentera un d<$velop-
pement total d'environ 28okro. Du m^dimar^m^trea Gayaquil, puis de Gayaquil
a Puente de Cimbo, c'est-a-dire sur i7otm, Faltitude s'6l&ve lentement jusqu'a
345m; de ce point jusqu'a Sibambe, oil la ligne de nivellement rejoint la chaine
trigonom^trique, on monte rapidement de 34Sm & 2470™ sur 35km; sur le reste
RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE I/ARC MERIDIEN DE QUITO. 583
clu trace, do Sibambe a la base, rallilude resle elevt'e, mais sensiblenu'nl
conslanlo.
On no pent songer a roller les deux bases extremes a la mer par des Hgnes
de nivcllemenl analogues. On devra se conlenter des donnees clu nivellemenl
giiodesique. A celcffelon mesurcra dans chaque station les distances ze"nllhales.
Tonics les fois quo cela sera possible, on proc6dera par mesures rtfciproques
el simuliantfes, ce qui permellra d'gliminer la refraction ge'ode'sique el d'en
(Hudier les lois.
On doit pourlanl observer quo I'unc des brigades suivanL Loujours la chaine'
occidental el 1'uutre la chaine orienlalc, le nivellemenl. ge*od6sique ne poiirrail
<Ure prolong^ d'une base a 1'aulre par mesures reciproques e£ simullanees
quo le long d'une ligno en zigzag passant allcrnalivemont d'uiio chaine a 1'aulrc.
II n'esl pas m6mc certain que le long de ces lignes ces mesures simultamk'-s
puisscnl se faire sans difficult^ et sans perles de temps. En tout cas, les
mosures de dislances zcSnithalcs seront, sinon simultaii(5es, du moins toujours
reciproques ot la precision restera suffisante.
En ollbt, d'aprcs les comparaisons des mesures faites en France el en Alg<5rie,
1'incorlitudo ii(3 sorait quo de quelques metres, ce qui amencrail pour la base
rddiiilo an nivoaii de la iner une erreur de i/i oooooo°a pou pres. Or la concor-
dance1 dos bases calculdes et des bases mesuro'es ne se verifle gc'nc' rale went
qu'avoc unci precision bcaucoup momdre, et si Ton a 616 parfois jusqu'au
i/5oo()()o° peul-6tre par suite do compensations ibrtuites enlrc los erreurs,
c'osl sur le i/ioo oooc seulemenl qu'il convient de compter.
Observations du pendule.
fxis mesunjs de gravile sonl partout lo coinpldiuonl indispensable des opera-
tions g('jod6\siques; mais il y a une raison, sur laquelle d'aillours nous rcvien-
drous plus loin, et qui les rend encore plus importances dans le cas qui nous
occupo.
La region oil Ton doil op<5rer est une des plus e*lev6es du Globe, et le relief
considerable des Andes porterait (It penser qu*il peut s'y produire des attrac-
tions suppldmentaires capables de produire des anomalies de la gravile" et un
relfevement local du gdoi'de. Ge relevement ainsi que les deviations de la verti-
cale aux oxlnSrnile's de I'arc seraient do nature a affecter gravement le rdsullal.
584 RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE l/ARC M^RIDIEN DE QUITO.
Ge serait la mtoie une objection s&rieuse centre le choix do ccLLc meridienne
si les observations pendulaires ne nous fournissaienl pas prtfcisement un
moyen de reconnaitre 1'existence de ces anomalies, d'evaluer les erreurs qui en
resullent et au besoin de les corriger.
Le projet prevoit sept ou huit mesures de pesanteur disposes suivanl unc
coupe partant de la c6te vers Gayaquil, passant au pied du Chimborazo, a
Quito, et aboutissant au versant oriental du massif Cotopaxi-Antisana.
II en resultera evidemment les indications les plus pr<3cieuses, puisqu'on
verra ainsi comment varie la pesanleur depuis la c6te jusqu'au pied des Cor-
dites, puis jusqu'au faite de la chaine occidentale et jusqu'au plateau; on se
rendra compte de plus des anomalies qui r^sultent de la presence des deux
massifs les plus eleves, cenx du Chimborazo et du Cotopaxi.
Ce n'est pas assez, toutefois, et nous pensons qu'il serait desirable do multi-
plier encore les stations, ce qui n'entrainera pas de depenses supplementaires
importantes, si 1'on prend soin de combiner le plan d'op<5rations de fa$on a
eviter des deplacements inutiles.
II faudrait faire des observations tout le long de la chaine pour se rendre
compte de la fagon dont les anomalies de la pesanteur varient depuis la base
Nord jusqu'a la base Sud. On pourrait, par example, faire des mesures dans
chacune des stations astronomiques principals et secondaires et dans le voisi-
nage des bases.
D'un autre c6te, on aurait intent ^ poss^der des donn<5es sur les valours de
la gravity dans la plaine situ£e £ Test des Andes ; et, en efFct, le rel&vomenl
g(5n^ral du g^oide ne depend pas settlement de I'intensittS de la pesanleur au
point ou 1'on veut ^valuer ce rel^vement et dans son voisinage imm^diat, ma is
il depend aussi de la valeur de g dans les regions un pou plus 6loign6es.
Toutefois, nous devons remarquer que cette plaine est peu habitue et presque
inexplor^e, qu'on n'y saurait p^n^trer sans escorte. C'est done sur place qu'on
pourra s'assurer de la possibility de cette expedition. C'est d'aillcurs seulernonl
cjuand les operations seront plus avanc^es qu'on verra si les ressources dont
dispose encore la Mission lui permettent de Fentreprendre.
Au contraire, il est une autre station ou 1'observation du pendule serait fort
int^ressante et pourrait se faire sans aucune difficult^. Je vcux parler de cello
)ti sera place le medimarem&tre. II est possible, en effet, que Finfluence des
taides se fasse dej^t sentir & Gayaquil, et qu'on trouve une difference entre les
leux stations.
RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE L'ARC M^RIDIEN DE QUITO. 585
Toules ccs mcsurcs se feronL avec le pendulo relatif de M. le Colonel
DcJlbrges. Les determinations relatives suffisonl en effcL pour iioLro objet, is I le
irausporL du pcndule absolu presenlcrait de grandes difficultes.
Observations magnfitiques.
Les observations magnetiques se raUachcnt moins direclcmciil aux iravaux
goodesiquos. Mais on profitcra du voyage de la Mission pour determiner les
Irois elements magnetiques absolus : declinaison, inclinaison ct composanlc
horizonlalc, an moins pour loutes les stations astronomiqucs, qui sont an
nombre de ncuf.
Les officiers s'excrceront avant leur depart au maniemenl des instruments
magnetiqucs, a PObscrvatoirc magngtique du pare Saint-Ma ur, sous la direction
flo M. Moureux, dont la competence est bien connue de 1'Academic.
Observations g^ologiques et topographiques.
11 est ii(5ccssaire de corriger les latitudes observtSes des deviations locales (Ui
la vorlicalo, et pour cela de calculer 1'attraclion locale due aux massifs appn-
rents l(is plus voisins des stations d'observation. Une correction, analogue dovra
souvent ctro appliqufSc aux mesurcs pendulaires.
A col etftit, il faudra faire un lev(5 topographique de ces massifs it une (ichelle
suffisaulc, afin d'dvalucr leur volume, et une etude gtSologique sommairo des
rochcs qui les constituent, afin de connaitre leur dcnsite.
Un meinbrc de la Commission a propose de choisir pour medecin de la
Mission un lionunc habitue aux recherches peti-ograpliiques et geologiques.
Mais la majority n'a pas juge quo cettc solution fut la meillouro.
Si Ton peut esperer de trouver cliez lc medecin militaire attache a la Mission
dos counaissances zoologiques et botaniques, si celu est m6mo desirable a tons
egards, il n?y a aucune raison dc supposer qu'onait plus de chances de reucon-
trer parmi les medecins un geologue competent. Ce sont pluldl les officiers
oux-m<!imes qui soul prepares par leurs etudes et leurs travaux antericurs a
Petude petrographiquc des terrains.
On a done pense que le micux etait de prier M. Fouque ou M. Lacroix de
donner d quelques officiers leurs conseils edair^s et de les exercer au Museum
aux determinations petrographiques et au choix judicieux des echantillons.
H. P, — VIIL 74
586 RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE l/ARC M^RIDIEN DE QUITO.
Examen du devis.
Nous nuns elendrons peu sur le dcvis cslimalif, qui echappe a noire compe-
tence, el nous nous borncrons a faire ressortir 1'imprcssion g<3n<5rale qui se
d6gage d'un premier examen.
C'csl quo ce devis a e"l<3 6labli avec grand soin cl avec un souci conslani.
d'6vitcr les doubles emplois et les defenses inutiles. II no semblc pas qu'il
puisse £tre r^duit.
En effet, on doil tenir comple de ce fait quc, malgr^ la bonne volont6 du
Gouvernenieut de 1'fiquateur, son concours sera forcdmenl limits.
II pourra fournir a la Mission une escorte el des hommes pour les transports.
Mais cctte escorte et ces auxiliaires devront probablement <Hre pay<3s.
Sans doute, on peul espcSrer que le credit demand^ ne sera pas enticement
depense"; les Evaluations ont e*t(5 failes largemenl eL en tenant compte d'tfven-
Lualil^s qui ne se pr^senteront peut-^tre pas. Cela 6tait n<5cessaire, afm d'etre
assurt5 que le devis ne serait pas d£pass<3 ; mais en escomptanl les ctrconstancos
heureuses et en r^duisant d'avance le credit, on s'exposerait a dcs surprises.
II ne semble pas qu'aucun des articles du devis puisse donner lieu a une
contestation.
II cHait n<3cessaire, par exemple, de pre>oir le cas ou quelques-uns des
officiers auraient besoin d'un cong(5 pendant une campagde si longue et si
fatigante.
II 6tait n6cessaire d'emmener un rmScanicien pour faire sur place les rdpa ra-
tions des instruments; car le renvoi des instruments en France, a cause duprix.
des transports et des d^lais qui rcSsulteraient d'un aussi long voyage, entraine-
rait des defenses considerables.
Enfin, tandis que la Mission principale partira au mois de fdvricr ou de mars
prochain en vue d'une campagne de quatre ans, deux officiers partiront six
mois plus t6t, en septembre 1900, afin de pr<3parer les voies et d'achetcr les
animaux destines aux transports. II est Evident que cette disposition produirn
en definitive une (Sconomie notable.
£tendue de Tare.
11 nous reste & traiter deux importantes questions. La premiere a 616 soule-
v£e par la Lettre ininist<3rielle elle-m^me.
RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE L'ARC MERIDIEN DE QUITO. 687
« TouUifois, (lit M. Ic Minislrc, il y a lieu do consid^rer quo la dispense
pourrail etre rckluite dans une assez forlo proportion s'il (Hail possible, sans
inconvenient scicnlifiquc, dc rcSduire Fare acluellemenl pr<5vu do 6° a 4°?5, de
la base do Colombie a la base deTargui; on supprimerait ainsi la panic la plus
difficile des iravaux.... Je pricrais l'Acad<5mie do me faire connatirc son scnli-
inent sur la question de Fampliludc de Fare a mcsurer et de me dire si la
inesure d'un arc de 4°?5 lui paraitrait rcSpondre suffisamment aux bcsoins de la
Science. »
L'arc inesunS au xvmc si^cle s'cHcndail de la station de Mira, par o°35'!N,
jusqu'a la base de Targui, par 3°io'S. II s'cHcndail ainsi sur environ 3°, 5. II
est question de le prolonger vers le Nord jusqu'a Gcrro de PasLo, par i° la'N,
soit de trois quarts de dcgr<§ environ, et vers le Slid jusque sur le lerriloire
ptiruvion, par 4° 55' S, soit d'a peu pr&s i°,5,
La proposition vis^e dans le paragraphe que je viens de citer consisterail- a
supprimer lo prolongement vers le Sud, ce qui r6duirait Tare a 4°35-
Nous clevons d'abord remarquer que Tare a mesurer doit 6tre combin6 avec
des arcs de grande amplitude pris clans les latitudes moyennes et qui ont un(»
vingtaine de dogrds; J7ai cit6 plus liaut les plus importants de ces arcs; il scrail
<\ (Icisircr (jue la noiivellc determination eul un poids comparable.
Or, il est Evident que ce poids sera d'aulanl plus grand que 1'arc sera plus
etenclu. La principale cause d'erreur esl, en effet, Tincertitude sur les latitudes
extremes, on raison des attractions locales qui peuvent fairo d£vier la verticale.
C(itte deviation et par consequent cette incertitude, toutes choses dgales
d'ailleurs, scront ind<5pendanles de 1'amplitiide de Tare, de sortc que Ferreur
relative qui en rtSsultera varicra en raison inverse de cette amplitude.
A ce compte, en rdduisant Fare de 6° «3i 4°, 5, on rtiduirail d'un quart su
vukuir scientifique; mais, en r^alitd, ces sortes d'apprticialions ne peuvent se
iraduirc par des chiflres. Quand une determination devicixt deux fois plus pre-
cise, est-il vrai que sa valeur scientifique devient seulement cleux fois plus
grnudo? Tous les savants r<5pondront que la progression est beaucoup plus
rapide, que pour avoir deux fois autant dc precision ils devront depcnser
l)caucoup plus de deux fois autant de peine, et qu'ils no la regrctteront pas.
D'un autre c6t(S, plusieurs membres do la Commission ont <3mis Favis que,
les frais g<5n<3raux restant les mOmes, la d<3pense ne serait r^duite que d'un
588 RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE I/ARC MfiRIDlEN DE QUITO.
Mais un examcn plus approfondi clu devis monLrc quc cello Evaluation csl
encore tr&s exag6r<3e.--
II n'y aurail aucune 6conomie ni sur la mesuro dcs bases, ni sur les
indemnity d'entrtfe en campagne, ni sur lo transport du personnel cL du
materiel de France en Am^rique, ni sur le nivellemenl de precision, ni sur
Tachat des mules.
En ce qui conccrne la mesure des angles, I7<5conomie n'est pas la mOmo, si
Ton veul rattacher la triangulation a la mer, au point dit « 1'ancien Phare »,
donl j'ai parl6 plus haut, on si Ton renonce a ce ratlachement.
Si Ton veut rejoindre la mer, jonction donl rint<2r&t est manifesto, on no
pourra supprimer que neuf stations, a savoir les cinq stations peSruviennos ol
celles d'Acacana, Pisaca et Ama. Je ne parle pas des deux stations silutfes aiix
extr<$mit<3s de la base, qui se trouveraient supprim^es <5galement, mais qui
devraient 6tre remplac6es par deux stations analogues aux extremities de labaso
de Targui.
Si Ton renonce a joindre la mer, on pourra supprimer en plus Chilla, Mulle-
pungo, Minas et Fancien Phare, de sorte qu'on gconomiscrail en tout ireizo
stations.
La dur6e de I'opgraticm serait ainsi diminu^e de deux mois.
Pour les mesures astronomiques, la station principale du Sud serait suppri-
m(5e, ainsi que la station secondaire du Cerro Chacas, mais la station sccon-
daire de Purin devrait deveuir principale.
En somme, on aurait quatre stations secondaires au lieu de six; d'ou une
nouvelle ^conomie de deux mois.
L'entretien du personnel fran^ais pendant un mois montant a 4I75rr, ¥&w-
nomie en argent serait de 16700^. Cettc Evaluation est tr&s exag^rtSu, car 1(^
seSjour de chaque membre de la Mission ne serait pas r£duit de quatre mois, ol,
en particulier, 1'officier sup^rieur chef de la Mission devrait ntfanmoins roster
un an & Ffiquateur. Quant a une reduction du personnel, elle ne saurait so
faire sans nuire.i la rapidity et a la bonne execution du travail.
Les frais occasionn<5s par la mesure des angles, soit 38 ooofr, seraient nSduits
d'un quart environ (toujours en renongantS. la jonction £ la mer), soit g5oof1'.
Les d^penses des stations secondaires seraient r<5duites d'un tiers , soit 3 goofl*.
Cela fait en tout environ 3oooofr, mettons 35ooon' pour tenir compte do
divers frais de transport et des (Sconpmies r<3alisables sur les mesures degravii<5.
RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE L'ARC M&RIDIEN DE QUITO. 689
Colte Evaluation, qui cst plutot exagtfrEo, suffit pour cxpliquor common!
volro Commission a ElE unanime a ponser que Pare devait Giro prolong^ sur6°.
Relevement du geolde.
La sccondc question so rapporlc an rel&vemcnt du gEoi'de quo ponrrail
produire Fatlraction du massif des Andes. M. Ilatl, dans Ics stances do la
Commission, a insist u plusieurs reprises sur les difficulties qui peuvont <m
rEsullcr.
Nous dcvons d'abord nous demander quelle ost 1'importance probable on
possible de co rel&vemcnt. Quelquos auteurs avaicnt parlE de i5oin. Si Ton
calcule Poflet de 1'altraclion d'un massif cylindrique de 3ooom de hauteur et do
i5okm de diam&lrc, en supposant la density moiltE de celle de la TOITO, on
trouvo un rclfevemcnl maximum de 5om. Lc rEsullal pourrait Giro augmeniE, et
poul-oUro double^ pour la chaine des Andes, qui ne se rEduil pas a un massif
oirculaire, mais s'Etend tout Ic long de la c6tc du Pacifique.
Mais il fan I icnir compte aussi de 1'influence probable des masses interieures.
On sail que les observations du pendule dans les regions monlagneuses ont mis
on Evidence un fail des plus curieux. Les valeurs observEes do la gravit6 sont
toujours (in deficit sur les valeurs calculEes par la formule dc Bouguer. Elles
s'accordent, au contraire, asscz bien avec une autre formule, due a M. Faye,
ol oil Ton n<Sgligo compl&lemcnt 1'altraction des massifs monlagnoux.
Ge fait inau.cn.du, sur lequel M. Faye a appelE ^ plusieurs reprises 1'aitcnlion
du monde savant, monire que 1'attraclion des massifs montagncux apparents
est compensEe, du moins en grande parlie, par la distribution int<5rieurc des
masses, do, lelle sorte que, si la formule de M. Faye Elait rigourcusemenl exacte,
le rolfevcmcnt du gEo'ide serait nul.
II en cjsl &, pen prfts ainsi dans les Alpes et 1'Himalaya. En sera-t-il de ni£mo
dans les Andes? Los differences de structure slratigraphiquc ct dc constitution
lilhologiquc no nous permettent pas de 1'affirmer. L'observation peul scule
decider,
Nous dovons voir maintenant quelles peuvent 6tre les consequences de ce
rel^vcmcnt sur les rEsullats de nos mesures.
Pour bien le faire comprendre, nous devons dislinguer irois surfaces :
i° L'ellipsoide de revolution, qui diff^re le moins de la forme de la Terre;
2° Lo gdoldo vrai, c'esl~£-dire la surface d'Equilibre des oaux tranquillcis
590 RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE L'ARC MERIDIEN DE QUITO.
sous Finfluence de la force centrifuge ct de I'atlraction de loules los masses,
lant apparentcs qu'interieuresi;
3° Le geo'ide corrige, c'cst-a-dire la figure d'equilibre quo prondraicnl cos
monies eaux Lranquilles si Ton supprimail quclques-nns des massifs los plus
apparenls.
II esL clair que le giSoi'dc corrige, don I, la definition reslc d'aillours arbiirairo
dans unc largo mesure, differera tres pou dn gtio'ido vrai, ma is prtfsonlera
moins de petitos irregularites locales. *
Le ihgor&me de Logendrc et Gauss prouvc d'abord quo nos mesuros nous
donncront exactement la veritable longueur d'un arc mdridien du gdoido vrai
(ou du ggoi'de corrige, si Ton a calculi convcnablemcnl les aUraclions locales),
a la seule condition que la base ait ete coircclement. reduile an niveau do In
mer, je veux dire du geoide.
Jusqu'& quel point cetle condition sera-t-ellc realisec? A cause de la grando
altitude de la base, elle ne le sera qu'au prix de certaincs precautions. Soit a
Tangle de la normale au geoide et de la normale & 1'ellipsoXde. Si la variation
de cet angle entre les deux extremites de la base est de i", il est ais6 do calculor
que 1'erreur sur la reduction de la base sera d'un peu plus de icm.
Mais si nous obtenons ainsi exactement la courbure d'un certain arc du
geo'ide, il n'est pas-[certain que cette courbure ne s'ecarte pas notablement d(J
celle de 1'ellipsoi'de ; il peut se faire qu'on ait pris les mesures sur une bosso
toute locale du geoi'de, et que la courbure y soit tres differente do co qu'on
aurait trouve dans une autre partie peu eloign.ee de ce m6me geoldc, sur lo
bord du Pacifique par exemple.
11 importe de se mettre en garde contre une seniblable erreur, ct Ton ne pout
le faire qu'en cherchant d. evaluer le rel&vement du geoi'de. Quels sont los
moyens que 1'observation nous fournit pour cela ?
II y en a deux : le premier est Fobservation pendulaire. G'est le moins coil-
teux et c'est le plus stir, parce qu'on peut multiplier les mesures. Mais il no
donnera le rel&vement cherche que si les cotes sont assez nombreuses pour
qu'on ait une idee approximative des variations de la gravite dans loute la region
consideree.
Toutefois, ce premier moyen ne devrait pas nous faire negliger le second, si
sur place on le reconnaissait praticable et suffisamment economiquo. Co
second moyen est la mesurc de la difference de longitude astronomiquo en ire
RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE L'ARC MERIDIEN DE QUITO. 5gi
un poinl do la c6le el Quilo cL sa comparaison avec la difference de longitude
II esl clair qu'on pourra en dcSduirc, sinon le rel&vemenl absolu du g<5oide,
du moins la difference enlrc les valours dc cc rclCjvemenl a Quilo ol sur lo bord
du Pacifique.
IVEiiis, pour que coLlo operation puisse se faire, il faul irouver sur le littoral
un poinl donl on puisse avoir a, la fois la longitude astronomique el la longitude
^eodesique. Gayaquil, au nord du golfe du m6mc nom, ot reliu a Quito par le
U'ilrigraplic; ou on mesurera done la longitude astronomique. D'un anlrti cold,
I'ancien Pharo, au sud du mOme golfe, sera rallach<5au r<5seau IrigonomcSLriquti,
eo qui permcttra d'cn calculcr la longitude gcfod^siquc.
En revanche, on nc peut avoir ni la longitude aslronomique de I'ancien
Pliare, puisquc Ie!lt5l(5graphc n'y va pas, ni la longitude gi$od<5sique de Gayaquil,
paree quo la plaine enlrc celte-ville ol les Cordill^rcs esl plale, bois^e ot sans
vues.
Mais [\ y a au milieu du golfe do Gayaquil unc ilc oppcl<5c Puna ; dans cell(i
'H(^ se Irouvenl quelques collin.es que 1'on pourrait poul-6lro raccorder a la
Iriangulalion au moyon d'un ou deux triangles. On petit esp6rer, d'aulro pniM,
<[ii<* l(j uUdgrapho sera d'ici a quelques mois prolonged de Gayaquil a Puna.
La iuo.suro d(^s deux sortos de longitude dcviendrail alors possibhi.
Conclusions.
Eu n'isuuKl, volro Commission vous propose :
1° DVjmtUlixi mi avis favorable au projel Je revision dc la m^ridienno de
Quito;
%" D'insistcr auprfts de ML le Minislre pour que Tare mesurcS soil de 6° ot
iton de 4°?5;
3° D'<5mcUre le vaiu que I'op&ralion soil confine au Sei'vice gdographiquede
l'Armi5o, sous lo haul patronage et sous le conlr6lo scientifiquc de FAcaddmie
dus Sciences;
4° De nomincr une Commission permanente chargi5e de suivrc et de conlrdler
les operations de la Mission;
592 RAPPORT SUR LE PROJET DE REVISION DE L1ARC M^RIDIEN DE QUITO.
5° D'approuver dans ses trails g<£n6raux 1'avant-projel qui nous esl -soumis,
sous la reserve des observations conlenues dans ce Rapport ol, on partictilicr,
do cclles qui se rapportent a la n<3cessil<5 de multiplier les mcsures peiidulairos.
Apres [discussion on Gomile socrol, I'Acad^mio adoplo los conclusions du
Rapport.
RAPPORT PRESENTS AU NOM DE LA COMMISSION
CHARGfiE DU CONTROLE SCIENTIF1QUE
DBS
(0
OPERATIONS GEODESIQUES DE L'EQUATEUR
Comptes rendus de l*Academie des Sciences, t. 134, p. 966-972 (28 avril 1902).
La Commission cliargxSe par rAcadihnie du conlrole scicnlifiquc dcs op<§-
ra lions gttodtfsiquos do Pftqualeur s'csl nSunio lo 10 mars dernier pour cnleudrc
M. lo Commandaul Bourgeois, clief do la Mission, qni vionl do reiilrer
on Franco aprfes avoir organist lo travail. Co savant officier lui a rcndu
comj)Ui dos m(Ksiiros oflbclutSes pondant l'anu<3c 1901, ct votrc Commission
a FhoniKMir d<k vous sonmollro un Rapport sommairc sur cos operations.
L'avant-gardo d(j la mission, comprenant MM, los Capilaincs Mauraiu
ot Lalhnnand, a consacrt'; los premiers mois do 1901 tl 1'achat dcs mules
mlcossairos aux convois ot a la roconnaissanco do la region do Riobamba,
oft dovait so Irouver la base fondamentalo.
L(j gros do la mission, commands par M. Bourgeois cl comprenant
M, lo Capilaino Lacombe, M. lo Lioulonant Porricr, M. lo Mddocin aide-major
Rivol, plusiours sous-ofliciors, caporaux ct soldats, d<5barqua a Gayaquil
l(j i°1' juin avoc lo mat(5riol. DCS convois furent organises avcc 120 mules
(») Gommissaires : MM, les Membres du Bureau, MM. Faye, Halt, Bassot, Loewy; H. Poincarc,
rapporteur.
H, P. - VIII, 75
594 OPERATIONS GtfODgSIQUES DE L'EQUATEUR.
de louage et 4° Indiens porleurs. La r&gle bim&allique, qui ne pouvail Mre
transport^ qu'a dos d'hommes, arriva a Riobamba le i3 juillel. Le reslc du
materiel <§tait arrive le 22 juin. Six officiers equatoriens adjoinls a la mission
aid&renl a Forganisation des convois, cL leur entremiso fncilila les rapports
avec les auloril(5s locales et avec les indigenes.
M, le Commandant Bourgeois se rendit d'abord a Quito et visita 1'Obsor-
vatoire, ou M. Gonnessiat a dt5ja en. pen de temps obtcnu d'excollenls
r^sullats.
Le chef de la Mission se porta ensuitc dans le voisinage dc Riobambn,
ou 11 examina les emplacements rcconnus par Favanl-gardc.
La premiere chose a faire 6tait de choisir la base a mesurer. M. Maurain
avait propos<5 deux emplacement de base, 1'un dc iokm environ a travers
champs, Fautrc de 6km,5oo sur roulo. M. Bourgeois rojeta, avec raison scion
nous, le second alignement parce qu'une de ses cxlr<£mil<5s (Uaut tout prfcs
du Chimborazo, Finfluence des attractions locales (.Hail irop a rodoulor.
Le premier alignement, malgr^ les inconv^nienls d\imk mesuiv a lrav(irs
champs, se recommandait d'ailleurs par son rattaclicment facile.
La base ful mesurdc nnc premiere fois a la rfcglo bim<3la]liquc du 3o juilltit
au 4 septembre; entre les deux termes extremes, un tonne inlorui(3diain%
ful <£labli a la port6 84o, c'est-a-dii^e au tiers (»nvirou do la base. Go segment
partiel, d'un peu plus de 3km, ful niesure une sc^condc fois a la r6gl<»
bim^tallique du 7 au 18 seplembre. Toute redirction failo, la diflVironct1
les deux mesures n'est que ymm, soil environ i/45oooo°.
L'op^ration, malgrd les difficult<5s du terrain, a (Utf inem'^i rapi
puisqu'on a fait en moyenne 80 porU§cs 'par jour.
II imporle d'insislor sur les difficultc^s ronconlrt?os ol qui peuvonl inHucr
sur la precision du rdsullal. La nature du terrain rendail des glissemmils
possibles et la stabilil(5 des supports inccrlaine. D'un aulrc coltS, les inclinaisons
6taient souvenl tr6s fortes. En resumes, Tappareil bimtilallique do Brenner
se pr^te mal a une mesure faite en pleins champs.
D'autres difficult^s provenaienl du climat; Thumidild des nuils et dos
matinees oblige 4 remplacer constamment les fils dos imcrom&lros qui
se d^tendent; el m^me quaud on pai*vient & les preserver la nuit avec
du chlorure dc calcium, ils se dgtendenl ^ vuc d'ceil d^s qu'on ouvre la boilo.
si Ton op^re entrc 6h et gh du matin; d'un an ire c6l<5, cntre u1' ct il1 s'devo
un veni du Nord-Est qui soul^ve des flots de poussi^ro. Ges poussi^rds
OPERATIONS G1SODESIQUES DE L^QUATEUR. 5g5
s'inlroduisanl dans les instruments s'opposenl an libro glissemenl des regies
el dtHerioreraienl rapidement les appareils. Enfin les variations de temperature
sent Ir&s brusques et Ton peut se clemander si 1'equilibre lliermique des deux
regies esL bien assur<5.
Ton les ces raisons rondaieiit d'aulanl plus n6cessaire lo conlrole par
la inesure au fil Judderin. La Mission eHail munie de deux fils, nn on cuivre,
Faulro en mtHal invar ou acier-nickel Guillaume. Les operations dcvaienl
comprendre : un premier <3lalonnage des fils, deux mesures completes
de la base et un second £lalonnage des ills.
En vue de FiHalonnage, on fit (Hablir dans un jardin appartenant
a don Pedro Lizarzaburo, pelil-iieveu de don Pedro Maldonado, le compagnon
de voyage de La Goudaminc, deux petits piliers a a4m l'un de 1'autre.
La distance exaele des deux piliers ful mesur^e trois fois a la r&gle bimtS-
lallique; tronle mesures de celte nidmc distance; avec Pappareil Jadderin
out ponnis erisuite d<^ determiner la longueur des deux fils et leur coefficient
de dilatation. Don Pedro a pris d(is dispositions pour que les piliers restent
installs i\ demeure dans son jardin, de facon a permettro de nouveaux
('jtalonnages a uno 6poque quelconqae. 11 y a lieu de remercier cet ami
d(i la Science qui a tenu a. roster fiddle aux traditions de sa famille.
La inesuro de la base londamonlalc faite en double par le systfcine Jadderin
a OU'i lormint'ie 1(^ 9 oclobro. et suivie d'un nouvel etalonnage des fils.
*
Los operations aslronomiques autour de Riobamba ont occup6 la Mission
du () octobre a hi (in de novombre. On avail, d'abord pensd placer ix Quito
mAme uiie des stations astronomiques principals. Un observatoiro temporuire
avail ('ilx'i iuslalld pr6s de Quito de fagon a pouvoir 6tre facilement reli<S
d'une purl i\ 1'Observatoire permanent de celle ville et d'autre part au rdseau
IrigonomtUriquo. Got observaloiro (Hail placed sur la colline du Panecillo,
([ui est pour ainsi dire collde aux prcmifcres ponies de l'6normc masse
du Pitchincba. La latitude fondamenlale qu'on an rail pu y observer aura it.
done did fortoinenl affecldc par los attractions locales.
A ce point d<{ vue, le voisinage inumSdiat de Riobamba prt^sontail des condi-
tions beaueoup plus favorablcs. M. Elystfo Reclus a compare'* la region interan-
clino ^ une immense <3clielle doni les montanls sont repr(5sentt5s par les deux
Gordill^res et les barreaux par les chaines Iransversales qui les relient
de distance en distance; ces barreaux parlagent le plateau interandin en une
stfrie de cirques successifs. II est clair quo la verticalc doit 6lre moins d(5vit5e
5g6 OPERATIONS G£OD£SIQUES DE L^QUATEUK.
an centre d'un de ces cirques que dans le voisinage de Fun des barreaux.
C'esL pour cetle raison que la situation de Riobamba etaienl avanlagcusc.
Le Commandant Bourgeois rdsolut done d'installer a la Loma, pr&s
de Riobamba, une station principale, et de determiner la latitude a la fois
au Panecillo et a la Loma, puis la difference de longitude des deux stations,
ct enfin un azimul an Panecillo eL un autre a la Loma, par la imHliode
des observations meridicnnes.
Les latitudes furcnl determines par la meihode de Villarccau en hull
soirees dans qualre positions du cerclc observes chacune nadir face Word
et nadir face Sud.
La difference des longitudes put se faire sans grande difficult^, car les deux
postes eiaienl relies u$l<5grapliiqucmcnl et radminislralion des Integra plies
avait eu la complaisance de mellre le fil a la disposition exclusive des obser-
vateurs de 8h a i ih du soir.
Mallieureusement Fediange des observateurs nc put fllre pratique;
les officiers n'auraienl pu abandonner lour posle sans s'exposer a voir
disparaitre les mires, parce que le personnel fruncais etait trop peu nombreux
et qu'il aurait fallu laissor la garde a des liidiens en qui Ton nc pouvait avoir
confiance. On s'esl done content de determiner avec la plus grand soiu
les differences d'equations personnelles. Cola parail. devoir suflirc pour le but
& atteindrc, c'est-a-dirc pour le calcul des attractions locales dans Id sens
Est-Ouest, qui sous les latitudes equaloriales no peuvent tHre deduiles
des observations d'azimut.
En m6me temps que 1'observation de la longitude, el pour profiler de Telude
de la marche de 1'borlogc, M. Bourgeois fit a Riobnmba une station depeudule
dans une casemate coiistruite pour 1'inslallalion de 1'horlogo, Collo station,
une fois calculee, nous permottra deja de voir si l(^s Andes se comporlent
de la m6me fagon que les Alpes et 1'Himalaya en ce qui coucerno la correction
d'altitude. On se souvient que divers gcSologucs avaicnl emis des doutos
a cet egard.
Les elements magndliques furent egalement determines,
Pendant ce temps, on s'occupait egalement du rattachenicnh En nioins
de 3S jours M. Maurain rcconnut les stations du rallacliemcnl et y construisil
les signaux, ainsi qu'aux sommcts de trois des triangles du grand rtisoau*
M. le Capitaine Lacombe acheva de ratlachcr la base de Riobamba au rtfscau
dans les derniei^s mois de 1901 .
OPERATIONS GEODESIQUES DE L'EQUATEUR. 697
Le programme comportail, en outre, la delcrminalion de la latitude a la
seconde ronde en chacune do ccs slalioiis. On compLail se scrvir du theodolite
a jnicroscopos qu'on y avail hiss6 pour los operations g6od6siqucs. On avail
modified eel apparoil dans 1'ospoir dc le rendre proprc aux obscrvalions
aslroiiomiquos; malheurcusemcnl il n'eiail rcnlre de chez le conslrucleur quo
quelques jours avanl le depart, dc sorlo qu'il n'avail pu 6lre essaye a Paris.
A P usage, les obscrvalcurs renconlrerenl dos difficulies, surlouL pour
Peclairage; on dul done ajourncr Poporalion projeiec. Nous disculerons plus
loin les moyens dc reprcndre colic imporlanle operation qui ne saurail
en aucun cas <Mrc abandonee.
M. le Conimandanl Bourgeois quilla Riobamba le 2,3 novembre a pros avoir
loul lerrnine. M. Maurain parlil de Quilo les 26 pour les slalions du Sud,
en laissanl a M. le Lieutenant Pcrrier le soin d'achovcr les operations
an Panocillo. M. Perrier rejoignil a son tour M. Bourgeois, le 1 1 deceinbre,
dans lo nord de 1'KqiiaLcur.
En decembre, le chef dc la Mission, accompagne du Capilaine Lallcmand,
du Lieutenant Perrier el du Mtfdecin aide-major Rivet, so rendil dans la region
du Nord pour les determinations aslronomiqucs ct la luesure do la base de
vtfrificalion. Dans les pro jots primilifs, Tare devail6trc prolong^ stir le terriloire
oo]()inbi<kn, mais les t'w6nemenls poliliquos donl cello region vitsnl d'6tre
1<», llitliitrc. out reiidu cc.lle prolongation impossible. L'arc ne se trouvcra ainsi
dimiiuiti qiui do i5'. La station astronomique Nord et la base de verification
so Irouvaienl ainsi roporUScs pr6s de la ville do Tulcan.
Malhourousomont, dans cello region les doux Cordilleres se rapprochont
1'uno de 1'autro ot il n'y a plus do plateau inlerandin. Jl ost done difficile
do- choisir un (uuplncouiont do baso. On doit mOme renoncor coinplotemenl
a on Irouvor un comporUmt 1'einploi do la r6glo I)im6lalliqtie. L'cStat
dos chemins n(s p<k>rmo-llail d'aillours pas do songer au transport do cello regie,
transport qui nurait iknlnun6 dc Irop forlos d6penses. Ilfallul done se conlenler
du (il Jadrlorin; la ponte montait par ondroils jusqu'a 10%. On dovait faire
Irois mostiros do la l>ase, mais il fallul rocommoncor c<aio triple mesure
a plusicurs roprises par suite de divers accidents. Le plus facheux dc cos
accidents ost une deformation du fil qui a (51(5 r6par^e, mais d'ou il re*sultc
neanmoins quo los etalonnages faits avant la rncsure ont perdu toule valcur,
de sorlo quo tout se passera comme si les fils n'avaient 6t6 6talonn<5s
qu'uno fois, ,
5g8 OPERATIONS GEODJESIQUES DE L'EQUATEUR.
La station astronomique de Tulcan a ete construite etsa latitude determined.
La latitude de la station astronomique Sud a Payta etait observde en ttigmc
temps par M. le Capitainc Maurain. Les valeurs provisoires sont H-o°47fi5'r
pour Tulcan et — 5°5'i8" pour Payta, ce qui donne a Fare line amplitude
totalede5°52'33".
Gependant M. Lallemand reconnaissait le rattachcmenL au rtiscau general
de la base mesuree et de la station astronomiquc dc Tulcan.
Si j'ajoute que M. le Medecin aide-major Rivet, qui a d'ailleurs coop<5r<3>
aux travaux g^odesiques, a fait d'imporlanls envois au Museum et a entrepris
Fetude anthropologiquc dos races indiennes, j'aurai fait voir que les mombros
de la Mission ont bien employe Fannie 1901.
L'arc a mcsurer se trouve parlag<§ en deux LronQons, Fun entre la station
astronomique principale de Riobamba et cello cle Tulcan au Word, I'aulrc
entre Riobamba ct la station astronomique du Sud a Payta. Chacun do cos
trongons sera subdivise en deux sections, le premier par la station astro-
nomique de Quito, ou les operations sont termintSes, le second par line station
astronomique secondaire a choisir dans la region de Guencja.
On remarquera que le rtiscau I6l6graphiquo actuel permoL d(5ja la mosuro
do la difference de longitude entre les extr6mit<Ss des trois sections clu Nord.
II y a lieu d'esp^rer qu'avant la fin de la Mission, c'csl-a-dire avanl la fin
de 1904, la jonction avec les lignes p^ruviennes s6ra achev(5o, ce qui permeltrait
de relier les deux derni&res stations, Payta et Cuenga. Duns lo cas conlrairo,
on devrait se contenter de determiner a Payta Taltraction dans lo sens
Est-Ouest par la difl^rence entre les nzimuts g(5od6sique (^t nstronoiniquo,
qui donnerail d^ja une indication utile puisque la latitude de Payta est d<§ja
de 5°.
D'aprtis les instructions laiss^cs par le chef de la Mission, le programme
coinprendrait :
En 1902, les operations gtiodgsiques du tron^.on INord et la reconnaissance
de la ife section du trongon Sud.
En 1908, les operations astronomiques du trongon Sud, les operations
ggodesiques de la il'° section du tron^on Sud et la reconnaissance de la
2° section.
En 1904 : i° la fin des operations g^odesiques dc la chaine et la mesuro
de la base de Payta ;
OPERATIONS GEODESIQUES DE L'EQUATEUR. 699
2° Le nivcllomcnL do precision depuis la mcr jusqu'a la base fondamentale
do Riobamba. Daiis les pro jets primilifs, cette operation devait se faire
an debut do la Mission; uiais Petal acluel des clicmins des Cordiil^res 1'aurait
renduo ires difficile, Landis qu'en 1904 lc chemin de fer sera lermine el Ton
pourra 1'ulilisor pour les transports, lout on faisant lc nivcllcment le long
do la plate-forme in Cine de la lignc fcrnSe;
3° Le rattacheinent g<Sod(5siquc du reseau a inio sin (ion. du bord de la mcr
et les observations aslronomiques dans cette station. Ccs operations ont pour but
de comparer les differences cle longitude, tant geodesique qu'aslronomique,
eiilro la clmlne et le littoraL Cette determination aurail une grande importance;
inalheureusenient ]a nature boistSe du terrain en rend encore la realisation
iiicertaine. On pourra en tout cas observer la difference de longitude astro-
nonnquc (l«yaq nil-Quito.
Tou les I os fois quo les circonstances lo permetlront, on fera en outre
dans diverses siotious g'eodesiques des observations pendulaires et magnetiques
et dos mosuros do latitude.
II y a lieu d'insislor sur 1'nuporlaiico de, ces determinations do la latitude
ol, du peiululo. Puisquo lo, theodolite a microscopes no somble pas pouvoir
cUro utilise, la bililudo nci pourra 6tro iiu^sur(5o quo dans les stations ou. le cercle
ineridie.n pourra ^tre monte. Mais, toutes les fois quo ce transport sera
possible, sans trop tie peine et de deponses, il no faudra pas negliger ce genre
<roI)sorvHlious, principalewenl d?»ns le voisinage des cinq stations astro-
uomiquos et don bnses. C'est la seule garantj'o quo nous ayons quo les latitudes
fon<lamentnl(\s (I^Utrmiudos dans ccs stations no sont pas faussees par
IPS allraclions Jocnlos.
Biou couvairicu coinnu^ nous d<k, cetto uecessite, le chef de la Mission.
a etudio los points ou le cercle ni6ridien pourra 6tre transport^. Dans le
voisinago do lliobambn, la latitude pourra £lro mesuree a Chujuj, ainsi
tfu'on tin point de la Cordillere de I'Esl et aussi, malgre Faltitude, a la station
do Clumborazo. La station do la Loma se trouvera ainsi bien encadree.
A, In hauteur do Quito, on a dej& la latitude fondumentale du Panecillo.
On fera une statioa do pendule au sommet du Pitchincha; cette operation
est absoluuient c^cessaire : c'est l& en effet qujau xvnie si^cle a op£re Bouguer,
et c'ost aprfes celte mesure qu'il a adopte la correction qui porte son nom.
600 OPERATIONS GtfODfclQUES DE L^QUATEUR.
On sera done obligd de laisser Ic ccrclc m<3ridicn au sommel do celLc montagne
eL Ton en grofitera pour faire une determination de la laliludc. Cc point
est tres voisin du Panecillo, mais dans des conditions tres diff&rentes au point
de vue des attractions. D'autre part, M. Gonnessiat s'offre a faire des mesures
de latitude a FEst de Quito avec un instrument de 1'Observatoire.
Pres de la base du Nord et de la station de Tulcan, on pourra observer
la latitude en trois points, un an Sud-Ouest, un au Sud ct un au Sud-Est
de Tulcan, d'autant plus facilement que Fun des instruments imSridicns
est rest<5 dans la r6gion.
On est done certain de pouvoir encadrer les trois stations du trongon Nord.
Quant au tron^on du Sud, il n'estpas encore complement reconnu, mais
il y a lieu d'esp^rer qu'on n'y rencontrera pas de plus grandcs difficult^.
En ce qui concerne les mesures pendulaircs, on n'a encore fait qu'une
station, celle de Riobamba; il y a lieu de proctSder a une s<3rie d'observalions
le long d'une coupe perpendiculaire a la chaiiic mdridienne et allant de la mer
au vcrsant amazonien a la latitude de Riobamba. Toutefois, il serait impossible
de multiplier les stations avec 1'apparoil Defforges; il serait done ndcessaire
de faire Facquisition d'un pendule Sterneck ou d'un appareil analogue pour
les stations secondaires. On ferait alors sur cettc coupe, outre la station
de Riobamba, deux autres stations du second ordrc par la mtHhode Defforges
(dont une a Gayaquil) et un grand nombre de stations du troisieme ordre
au Sterneck.
Nous poss(Sderons, en outre, en dehors de cette coupe, une aulre station
du second ordre au sommct du Pitchincha, ou, comme nous 1'avons dit,
on tient a renouveler Fop&ration faite par Bougucr au xviu° siecle.
II y a lieu, d'ailleurs, d'appelcr une fois de plus Fattention du chef de la
Mission sur la n£cessit6 de multiplier les stations au Sterneck, aussildl qu'on
disposera d'un appareil l<3ger.
On a du abandonner le mode d'observulion par h^liostats, et cela pour
deux raisons : le personnel fran$ais est trop pen nombreux et les jours
de soleil sont trop pen frequents. On est done obligd de revenir au syslftmc
des mires. Dans cos conditions, il n'est plus ndcessaire d'avoir deux brigades
opdrant simultan^ment, Tune sur la chaine de 1'Est, Tautre sur cclle de 1'OuesL
Tout en regrettant qu'on renonce ainsi a la possibility d'obtcnir des distances
z^nithales r^ciproques et simultan^es, nous nc pouvons que nous iixcliner
devant une n6cessit6 qui parait d^montrde. Mais il y a lieu de remarquer que,
OPERATIONS GEODfcSIQUES DE L'EQUATEUR. 6oi
uc pouvanl optfrcr par distances zgnilhalcs simultandcs, unc bonne *5tude
do la refraction dcviont encore plus utile.
En i9°2> unc brigade s'occupera de la reconnaissance d'une partie
du troncon Sud, pendant quo deux brigades d'op<£rations parlanl 1'unc
dc Riobamba, Fan ire deTulcan, marcheront a la rencontre Tune de Paulre.
La Commission ne pent quo f<3liciter M. Bourgeois de l'habilel(§ avec
laqucllc il a pr<5par<5 et conduit Fexp6dilion. Le chef de la Mission et les
officiers places sous scs ordres ont su triompher des difficult^ caus6es
par lo climat, par la nature du terrain et par les dispositions de la parlie
la plus ignoranlc de la population; pour cela ils ont dii faire preuve a la fois
d'cndurancc physique, de tact psychologique, d'un grand talent scientifique
et surlouL d'un zfele infatigable. Us ont rencontr6 un concours empress^ chez
les officiers gqualoriens, qui leur ont &l6 pr<5cieux par leur connaissancc
des indigenes et des ressourccs locales. J'ajoule que, dans les succ^s obtenus,
une part importante revient a Thabile direction de notre confrere, M. le G6n6ral
Bassot. Los r6sultats d6ja atteints sont d'un heureux augure pour Favenir
de Fentreprise.
H. P. - VIII.
RAPPORT
SUR LES OPERATIONS GfiODfiSIQUES
DE L'EQUATEUR
Association geodesique Internationale, t. 11, p.
L'Associalion connail, depuis Ic dernier Gongr&s les details du projol
de revision de 1'arc mgridicn do Quito; je vondrais lui reudru comple de 1'tflal
actuel de ceUe enireprise el dcs premiers resullals oblenus. L'avanl-gardo
de la Mission, comprenanl MM. les Gapilaines Mauraiu el Lallemand, s'esl
rendue a PElqualeiir an commcncciuciil de 1'anntie 1901 el a consacrti
les premiers mois dc cetle ann<5e aux pr<§paralifs indispcusablcs. l-i<^ gros
de la Mission, command^ par M. Bourgeois el comprenanl M. 1(^ Gapilaino
Lacombe, M. le Lieutenant Perrier, M. le Medocin aide-major Rivol, plusieurs
sous-officiers, caporaux el soldals, d^barqua a Guayaquil le icr juin Jtvt^o
le materiel. Six officiers 6cjualoricns furenl adjoinls a la Mission pour aider
& 1'organisation des convois el lour enlremise facilila beaucoup les rapports
avec les auloritfis locales el avec les indigenes.
Grace au z^le de tout le personnel, tout le materiel, y compris la rftgle
bim^tallique, put 6lre transport^ a Riobamba, le r3 juillel.
Les operations commenc^renl par la mesure dc la base principale ii Riobamha.
Gelte mesure, ainsi que les operations aslronomiques principalcs el los obser-
vations pendulaires aulour de Riobamba, occupferent la Mission jusqu'4 la fin
de novembre.
Pendant ce lemps, M. Maurain rcconnaissait les slations du ratlachement
OPERATIONS GEODESIQUES DE L'EQUATEUR. 6o3
el y coiislruisn.il les signaux ainsi qu'aux sommets de irois des triangles
du grand rdseau. M. le Capilaine Lacombe acheva de rallacher la base
de Riobamba an rescau dans les derniers mois de 1901.
En decembre, le chef dc la Mission, accompagne du Gapilaine Lallemand,
du Liciuenanl Perrier el de M. Rivet, se rendil dans la region du Nord
pour los determinations aslronomiques el la mosure de la base de verification.
Dans les projets prhmlifs, celte base devail se Irouver sur«le lerritoire
coloin bien, ma is les 6v«Sncmenls poliliquos donl celle region fut le theatre
a cello epoque rondil impossible la prolongation de Pare on dehors de la
Republiquo de Pfiquateur, C'csl done sur le Lerritoire equatorion pros do Tulcan
quo furenl choisis los cmplacome.nls de la slalion astronoiuique principale
et do la base du Nord. La mosure do la base ol la latitude de Tulcan furenl
lonuines a la fin do ftivrior. On a determine ensuito la difference de longitude
Qiiilo-T ulcan, co qui a dcmande plus de temps a cause de Petal du ciel.
Pendant co temps, M. lo Gapilaine Ma urains'etaitrendud Pay ta A Pextremiie
Sucl do Pare cl avail determine la laliludo do celle stalion aslronomique
principale.
En me"mo temps, M. Lallemand reconnaissait lo ratlachemcnt an rtfseau
general clo la base du INord ol do la slalion aslronomique de Tulcan.
Los premieres operations avaionl en somme ele" lerminees dans los delais
provus; la irimigulalion proprcmenl dile, au conlrairo, par suite do difficultes
(lont nous allons parlor, 'avanga ))oaucoup plus lenternent qu'on no 1'avail
M. Bourgeois quilla TUqualeur pour renlrer en. France au commencement
de 1'anntio 1902, laissanl 1(». commandonu»nt a M. lo Capilaine Mauraiu;
on parlaul, il osp6rail qu'on pournul lorminor dans Fannie 1902 los operations
g<Sodissiquos du trongon Nord onlre les deux, stations astronomiques principales
do lliohamba el de Tulcan ot la reconnaissance de la i<jro section du trongon
sucl jusqu'ft la slalioii awlronomiquo socondaire de Guonga.
OOUJL brigades avaionl done 6U5 constitutes, 1'uno (levant descendre
do Tulcan vors lo Sud ot 1'aulro remontor do Riobamba vers le Nord, et Ton
esp<?,rait qu'elles se renconlreraient avant la fin do Fannde, de lelle fagon
quo les operations geodesiques du trongon Nord se Irouvoraienl tcrrnine'es.
M. Lallemand dcvait commander une troisienie brigade chargee des reconnais-
sances et de la construction des signauz.
Ge programme est loin d'avoir 6t6 execute, bien que M. Maurain ait
6o4 OPERATIONS G^ODESIQUES DE l/EQUATEUR.
conslitue, afm de hater les travaux, une brigade auxiliaire dontilpritlui-m&ne
Ic commandenicnl.
Ge retard est du a deux causes principales et d'abord a des circonstances
m6t6orologiques exceptionnellement defavorables. Les sommets 6 talent
constamment masques par des nuages ou des brouillards qui rcndaienl
les vis<5es impossibles. C'est ainsi quc M. le Lieutenant Perrier a du roster
trois mois au poste du Mirador a 1'altitudc de %ooom et presque constamment
dans le brouillard. Pendant lout son sejour, pluies incessantes, horizon limit£
an camp m£me, un vent furieux qui faisaient lout trembler dans la baraque.
An bout de ID jours, il n'avait pu mesurer qu'un soul angle sur 21 et il n'avait
pas apercu une seule fois le signal de Yura-Cruz; dans les valises qui sgparent
les deux signaux s'6coulaient sans interruption, comme dans un canal,
des bandes de nuages venant de 1'Est. Jusqu'au dernier jour, M. Perrier
eut a hitter contre les mteies difficult^. Enfin sa perseverance futr6compens(3e
et il put achever complement en cette station la tache qu'il avaitaaccomplir;
on doit Miciter cet officier d'avoir mcng a bien son travail dans de pareilles
conditions et sans se laisseraller au d<3couragement.
Les autres brigades rencontraient les mSmes obstacles que celle du Nord
et leurs chefs faisaient preuve des monies qualilgs. A la Tucunga, M. Maurain
ne pouvait observer qu'a de rares inlervalles en profitant des 6claircies;
un violent vent d'Est, accompagne de rafales de neige, rendait le travail
trSs p^iiible, arrachait les attaches du loit de la baraque d'observations
et enlevait les tentes a plusieurs reprises. M. Lacombc a la sation de Cahuito,
restait plusieurs jours dans le brouillard et la neige sans pouvoir faire aucune
observation. Dans toutcs les stations d'ailleurs, les <5claircies permettant
d'obscrver <5laient tr^s rares. M. Lallemand, qui dirigeait la brigade
de reconnaissance, avait a op<5rer dans des terrains lr6s difficiles. II tomba
dans une crevasse au Gotopaxi et resta alit6 trois semaines. Ces circonstances
d^favorables paraissent avoir un caract^re exceptionnel, les reconnaissances
ne les faisaient pas pr<5voir. D'ordinaire la saison des pluies est plus courte et,
m£me dans les mois les plus mauvais, les observations restent quelquefois
possibles pendant plusieurs heures de la journ^e. Faut-il rattacher ces mauvais
temps persistants a la recrudescence d'activit^ volcaniquo qui s'est manifest^e
dans toutes PAm^rique du Sud apr^s la catastrophe de la Martinique?
Les volcans de la Cordill&re orientale qui n'gmettent en temps ordinaire
qu'un peu de vapeur d'eau, rejet&rent a plusieurs reprises d?^paisses colonnes
OPERATIONS GEODESIQUES DE L'EQUATEUR. 6o5
de fum6e; il y eut des coulees de lave dans la chaine occidenlale; de fortes
secousses sismiques se produisirenl 6galemenl. Ces manifestations volcaniques
ne g6n&renl pas directemenl les travaux de la Mission, mais peut-6tre
ne sont-elles pas etrang^res aux ph6nom£nes met6orologiques qui lui onl 6t6
si pr6judiciables.
La seconde cause du retard est la destruction continuelle des mires par
les Indicns el mfime par les blancs. Ccs populations ignorantes s'imagineiit
que ces signaux sont places la pour marqucr Templacement d'un tr6sor;
elles ne se bornent pas a abattre les piliers, mais elles fouillenL profondement
le sol tout auLour, detruisanl ainsi les repfcres que 1'on s'efforce d'etablir
pour relrouver au besoin le centre du signal. Les avis du Gouvernement, dont
on ne saurait trop loner le z6le 6clair6, les mandernenls des 6v6ques, les pr6di-
cations des cur6s,' n'ont pu jusqu'ici emp&cher ces destructions. On peut
esp6rer que, grace aux efforts des auloril6s equaloriennes et surtout a la haute
intervention de M. le President de la Republique equalorienne qui porte
tain d'inUMM a cette enl reprise scienlifique, elles deviendront de plus en plus
rares.
La n6cessite de reconslrmre les signaux, si lues souvent a une forte altitude
et dans des pays 011 les communications sont si difficiles, eiitramail toujours
dc longs retards; mais ce n'esl pas lout. 11 arriva plusieurs fois que le centre
du signal dcHruit n'ayant pu 6tre exactement d^tei^min^, on du recommencer
Louies les sla lions d'ofi ce signal avait el<$ vis(5. C'est ainsi que la demolition
de la mire de Ghujuj, situ^e an centre d'un polygone, a obligO de refaire
enti^rement qualre stations.
Certains signaux ont 616 d6lruils jusqu'a trois fois ct presque chaque rapport
du Capitaine Maurain menlionne une nouvelle destruction. L'un des plus
facheux de ces incidents a 616 la demolition siimillan<5edelamireaslronomique
du Panecillo, ou se trouvait 1'une des stations aslronomiques principales
et du signal g6od6sique de Pambamarca. La station g^od^sique n'ayant pas
encore 616 ex6cut6e; il a fallu determiner cnti^reraenl a nouveau Fazimut
astronomique du c6l6 Panecillo-Pambamarca sur 1'horizon de Panecillo,
operation primordiale qui avait ei6 terminee en octobre 1901, On n'est pas'
sans inquietude sur les signaux du c6l6 Zagroun-Laulanguzo qui est le
c6te le plus meridional aujourd'hui mesure*; si ces signaux n'etaient pas
respectes pendant le temps que vont encore durer les operations du Nord,
on ne -pourrait plus partir de ce c6t6 pour continuer la chaine vers le Sud,
606 OPERATIONS GEODESIQUES DE L'EQUATEUR.
el il faudrail cerlainemenl faire a nouveau plusieurs stations. Plusiours officiers
equatoriens attaches a la Mission ont ete envoyes dc ce cute pour surveiller
ces points et altirer, sur la conservation des signaux, Fattention des autorites
politiques locales.
Dans la premiere moil it1 do Fannee 1908, It's circonslanccs meteorologiques,
loujonrs defavorables, onl ele un pen moins mauvaises eL on a pu avancer
un pcu plus rapidement.
II est difficile dc prevoir Fimporlance du retard, d'autanl plus que
le Capitaine Maura in no pent plus envoyer des rapports details aussi
frequemmenl qu'aulrefois, par suile de la pesle bubonique qui r£gne
a Guayaquil et qui emp6chc la pluparl des bailments d'y relacher.
Toutefois le dernier de ces rapports, dale" du zt± mai, faisail prevoir qne la
Mission pourrail se Irouver rdunio a Guenca pour la fin de I'ann^e, ne laissanl
derriere olio que les mesnres de gravity. Elle aurail ain'si terming les operations
g^odesiques propremenL dites sur trois des qua I re sections de Fare, ce qui
constiluerail un retard d'environ six mois sur les provisions. Mais il faut
pour cela que le temps lie soil pas irop dOfavornblo.
toules ces difficult^, nous avons la satisfaction de constaler
que les operations onl t5te* conduites dans des conditions qui nous donnenl
toute garanlie d'exactilude. Nous n'aurons a rcgreller qu'un retard de quelques
mois d'ou r<5sultcra sans doule nn surcrotl de d^penses, inais la valeur
scientifique de Fceuvre ne laissera rion a. dt?sirer, c'est ce que va nous monlrer
IVxamen detaille' des rOsullals.
Mesures des bases.
La base fondamenlale de Riobamba ful mesur^e d'abord a la r6gle bime-
tallique de Brunner; comme v(5rifi cation, un trongon de 3km environ fut mesure"
une seconde fois a la rfcgle bim<5tallique. Comme conlrdle, la base to tale
fut mesur^e en double par le sysi&ne Jaderin. Apr^s une premiere reconnais-
sance, M. Maurain avail propose deux emplacements de base, Fun de iokm
environ a travers champs, Fautre de 6kin, 5 sur route. Malgre les avantages
d'une mesure faite sur roule, M. Bourgeois rejeta, avec raison selon nous,
le second alignement, parce qu'une de ses extremites etanl tout pr^s
du Gliimborazo, Finfluence des attractions locales etait irop a redouter.
Le prettier alignement &e recommandait d'ailleurs par son ratlachement facile.
OPERATIONS GEODESIQUES DE L'EQUATEUR. 607
La double operation a la r&gle bim^tallique fut men6e rapidement a raison
de 80 port6es par jour malgr<5 les difficultes des terrains. II importe d'insister
sur la nature de ces difficult*^ qui peuvent iniEluer sur la precision du r6sultat.
La nature du terrain rendait des glissements possibles etla stability des supports
incertaine. D'un autre cot6, les inclinaisons 6taient souvcnl lr6s fortes.
En r6sum6, 1'appareil de Brunner se prete mal a une mesure faite en plains
champs.
D'autres difficult6s provenaient du climat; 1'humiditti des nuits et des
matinees oblige a remplacer constamment les fils des micrometres qui
se d£tendent; et m6me quand on parvient a les preserver la nuit avec
du chlorure de calcium, ils se d£tendent a vue d'oeil d£s qu'on ouvre la boile
si Ton opere entre 6U et gh du matin; d'un autre cot6, entre uh et i11 s'6l6ve
un vent du NE qui soul&ve des flols de poussi&re. Ces poussi^res s'introduisant
dans les instruments s'opposent au libre glissement des regies elddlgrioreraienl
rapidcmenl. les appareils. Enfin les variations de temperature sont ir&s
brusques, do sorle qu'on pourrail se demander si 1'gquilibre ihermique
des deux regies est bien assur6.
La base a ete parlag^e en deux segments, et commc nous 1'avons dit,
le segmenl Sud a 6t6 mesur<5 deux ibis a la r6gle bim<5tallique. La comparaison
des deux r^sultuts oblenus nous penneL de nous rend re compte de la precision
r«5alis(?e; or nous iroiivons :
Premiere mesure ................ 33 5gm, 966 162^,4
Deuxieme mesure ................ 3359™, 958620^,9
Diflerence .......................
soit i/5o6ooo do la longueur du segment, ce qui est bien la precision obtenue
dans les bonnes mesures de base. La valeur adopl^e pour la base lolale
est : 938om, 758868^.
Ce chiffre, calculd a 1'aide de 1'^Lalonnage fait & Breteuil en 1901, pourra
6tre Lrfes ]6g6rement modifi(5 a la suite du nouvel glalonnage qui vient d'6trc
fait apr^s le re tour de la r&gle a Paris. Get 6talonnage a domxg lieu aux obser-
vations suivantes. La r^gle avail 6t6 mesur^e a plusieurs reprises pendant
les annexes qui out pr«5c<5d6 le depart et une derni&re fois en 1901. On avait
coastal^ une variation Ir^s I($g&re, mais systtoatique. L'^talonnage du relour
n'a pas montr^ une nouvelle variation dans le mdme sens; au contraire,
la r^gle $tait revenue & sa longueur primitive,
608 OPERATIONS G^ODlblQUES DE L'gQUATEUR.
II y aura lieu do disculer ces diff&renls etalonnages, mais quel que doive £tre
le resultat de cette discussion, le chiffre final n'en sera pas sensiblement
affecte, car la difference enlre les valeurs extremes correspond settlement
a une incerlitude de amm sur la longueur lotale de la base.
Quelque salisfaisanLe que soit la precision oblcnue, les difficult^ que j'ai
signalees plus haul auraicnl pu laisser quelque doutc et rendaienL desirable
le controle au fil Jixderin, ce controle etait d'ailleurs ncSccssairo a un autro
point de vue, car il penneltail de so rendre comptc de la precision que I'oii
pouvail attendre de la nouvelle mgthode qui pouvail seule 6tro appliqutio
a la base du Nord.
Les operations devaient comprendre : un premier etalonnage des fils; doux
mesures competes de la base et un second etalonnage des fils.
En vue de Petalonnage, on fit etnblir dans un jardin appailcnanU don Pedro
Lizarzaburo, petil-neveu de don Pedro Maldonado, le compagnon de voyage
de La Condamine, deux petils piliers a 24™ Pun de Pautre. La distance exuclu
des deux piliers fut mesurge trois fois a la regie bimetallique; 3o mesures
de cetie inline distance avec PappamlJaderinontpenmsensuilede determiner
la longueur des deux fils et lour coefficient de dilatation. Don Pedro a pris
des dispositions pour que les piliers restent installs a domeure dans son jardin,
de fagon a permettre do nouveaux etalonnages a une epoque qutilconquo.
II y a lieu de remercier cet ami de la Science qui a lemi ill rosu^r fid6lo
aux traditions de sa famillc.
La Mission disposait de denx fils, Pun dit A2 en m^lal invar ou acior
au nickel Guillaume, Pautre dit B4 en Inilon; cliaque poruto einil nuksur(?.e
d'abord avec le fil Aa, puis avec lo fil Bd el pendant ce temps on prenait
la temperature au thermomfelrc fronde aux deux extremites et au milieu
de la portee. Les mesures oblenues avec Pinvar et avec le laiton <5laienl
separ^ment corrigees de la temperature.
On calculait en outre, k tilre de contr6le, la longueur de chaque portee,
en la deduisant de la comparaisou des longueurs mesurees avec Pinvar et avec
le laiton et en faisant le calcul comme avec un appareil bimeiallique.
Cette derniSre methode est evidemment beaucoup moins precise J3i cause
de la faible dilatation de Pacier au nickel; aussi n'a t-on pas retenules nombres
auxquelles elle conduisait; ces nombres ne pouvaient servir que pour eviter
les erreurs grossidres comme serait par exemple, Poubli d'une portee.
OPERATIONS G£OD£SIQUES DE L'^QUATEUR. 609
La promiftro mglhodc a donn6
Par le fil A2 9880,75532
Par le fil B! 9880,74142
Los diftVirences avoc la mosnre a la r&gle bimtitalliquc out 6l6 :
Pour le fil Ao — 3^5 ou 1/3200000
Pour le fil B! _I7mm34 ou 1/600000
11 (»si tividonl quo la concordance si complete des rtisultats no pent 6lro
atlribw'e qu'u un lieureux hasard; car si Ton compare les deux mesures faiies
dans le sens aller el dans le sens rolour, tanl avec le fil invar qu'avec le fil
dii lailon, on conslale un dcarl noLablemenl plus grand; c'esl senlemeni
la moyonno des deux mesuros A2, ou la moyenne des deux mesures B4
qui so rapprochenl d'une facon aussi extraordinaire de la longueur obtcnuo
par lu reglo de Brunner.
Copendanl si nous comparons les longueurs du segmenls Sud oblenues par
los deux nu'iihodes, nous consiatons la mdmo concordance. La moyenne
dcis <l(uix nuksuros A3 no diff^re que de i/3ooooo de la moyenne des deux
mcisutvs t\ la rftglo oi il semble que ce soil bien lt\ la precision que permel
d'aUeindn^ la nu'jlhode Jildcrin avec le fil invar. Avec le lailon, 1'accord
<^sl moius bon, quoiqiui encore Ir5s salisfaisanl.
Kn n'isum^, avoc la uxMhodo Jiidcrin, on peul complcr sur le 1/100000
ou le 1/200000; inais on a bcaucoup pins de garanties avec 1'acier Guillaume
(jiiSivoc le lailon. Tons ces chiffres oni 6i<5 calculus en se servant cxclusivemenl
du premier dlalonnage fail dans le jardin de don Pedro avani les operations
sur Jo terrain.
On n trouWi en eilel ontro les deux dlalonnages une difference de i/5oooo
imviron, el divorsos raisons porlonl. & penser que Tune des bornes a dii recevoir
un choc dans 1'iniervalle des deux mesures. Gel incideni no doil pas nous
prdoccuper on ce qui conccrno la base de Riobamba puisquo le chiffre dtSfinitif
adopt^ sera nalurellemenl celui qu'a donn6 la r&gle bim^tallique.
M'ais il n'on est pas de m6me en ce qui concerne la base du Nord, mesur<$e
i\ El Vinculo, pr6s de Tulcan. Dans cetle region, en effet, les deux Cordill&res
s(j rapprochenl et il n'y a plus de plateau inlerandin. II esl done difficile
de choisir un emplacemenl de base. On a dil renoncer compl&lement
t\ en trouvcr un comporlanl 1'omploi de la r&gle bim^iallique. L'iUal
des chemins ne permjQltaii d'ailleurs pas de songer au iransporl de ceite r^gle,
H, P, — VIM, 77
6iO OPERATIONS GgODtfSlQUES DE L'^QUATEUR.
transport qui aurait entraine de trop fortes expenses. II fallut done se conlenler
du fil Jaderin. La pente montait par endroits jusqu'a 10% .
On dcvait faire trois mesures de la base, mais il fallut recommencer
cette triple mesure a plusieurs reprises par suite de divers accidents, tels quo
destructions de rep&res par les Indiens. Le plus facheux de ces accidents
est un noeud qui s'est produit dans Pun des fils ; cette deformation a ete reparee
et toutes les mesures. reprises apr&s la reparation; mais ilen r6sulte nlanmoins
que les etalonnages fails avant la mesure ont perdu toule valeur, de sorle
que tout se passera commc si les fils n'avait ete etalonnes qu'une fois.
La base d'El Vinculo devra toe calculee uniquement a 1'aide du second
etalonnage fait apr£s les mesures; cela est d'autant plus regrettable que eel
etalonnage est lui-m£me suspect, puisque nous avons dit qu'on avait des raisons
dfe supposer que Fune des borne places dans le jardin de don Pedro avait <H<3
deplacee par un choc. II est done fort important de s'assurer de la r<3alit6
de ce deplacement de la borne, bien que la base d'El Vinculo n'etant qu'une
base de verification et ne devant pas intervenir dans les compensations,
il semble qu'on puisse se contenter dc la precision de i/5oooo qui correspond
a la difference constatee entre les deux etalonnages. Les fils Jaderin qui ont
servi a 1'fiquateur, ont d'ailleurs ete ramenes au pavilion dc Breteuil ou
ils seront examines de nouveau.
Une troisi^me base doit £tre mesur^e a Payta, dans la par tie Sud de 1'arc,
vers la fin des operations. Comme 1'emplacement choisi est sur une plage
de sable au bord de la mer, 1'emploi de la r&glebim£talliqueredevienl possible-
II serait done a d^sirer que la r&gle de Brunner qui a servi a Riobamba et qui
a 6t6 ramen^e a Paris en vue d'un nouvel 6talonnage put 6tre renvoy^e
a 1'fiquateur d^s que seront terminus ce r^etalonnage et sa comparaison
avec la r&gle ^gyptienne qui se font actuellement a Breteuil. Cette solution
n'est pas la seule, on pourrait aussi employer la nouvelle rdgle en acicr
au nickel r^cemment construite, si les essais faits avec cet appareil donnent
toute satisfaction. Les frais de transport seraient en tout cas tout 4 fait
minimes.
L'op<§ration serait completee par une mesure Jaderin, en emportant non plus
deux fils de m6taux diflferents, mais deux ou plusieurs fils en acier invar,
puisque l'exp£rience en a d<§montr£ la superiority. Mais dans Fintervalle,
la methode Jaderin a regu de nouveaux perfectionnements ; on a propose de
remplacer les reglettes de laiton par des r^glettcs en invar; et les
OPERATIONS G^OD^SIQUES DE L'EQUATEUR. 6ll
par dos poids. Lcs deuxperfectionnementssemblentaccroitre tres notablement
la rapidity dcs operations et la precision des re"sultats. II faudrait bien cnlendu
en inunir les appareils qu'on enverrait £ Ffiquateur. Nous saurions ainsi
(Itfllnitivement a quoi nous en Lenir sur F exactitude dc la nouvclle meHhode,
clepuis los plus r6cunls progres qu'on a re'alise's.
Triangulation .
Dans los pro jets primitifs, les officiers devaient se partager en deux brigades
qui se soraicnt de'place'es parallelement, Tune sur la chaine occidenlale, 1'autre
sur la chaine oriunlalc. On devait aussi se servir d'hdliostats ; les Acadgmiciens
du xviii0 siecle avaionl eu en effel a soufFrir de la destruction des signaux
par les indigenes; on craignait de rencontrer la m6me dificulto" et F experience
a dopuis prouv<5 que cetle crainte n'e"tait que trop fondle, on voulait done
rtviter d'avoir <\ conslruire des signaux fixes.
Malhoureusement les circonstances n'ont pas permis de suivre ce plan.
En premier lieu les jours de soleil sont trop pen frequents pour que Femploi
do lu'tliostats puisse 6l,re uvantageux, Ensuile le personnel frangais eUait
Irop pou nombreux pour qu'on puisse constituer, outre les deux brigades
principles, une chaine, qua Ire sous-brigades (deux par chaine, une pour
la station d'amont, Tautre pour la station d'aval) pour la manoeuvre des
IrflioslaLs.
On se trouva done oblige do revenir au systeme des mires, exposc^es,
commc uous 1'avons vu, f\ de fr^quentcs destructions, et pour (hater des trans-
ports ondrcux, on fat conduit d'autrc part, t\ constituer, non pas deux brigades
so dtfplugant parall^lement, mais deux brigades venant 4 la rencontre 1'une
do 1'aulre oi marchant Tune vers le Sud, 1'autre vers le Nord. G'tftait renoncer
ft la mesure des distances zgnithales r<Sciproques et simultantSes puisque
los doux op<Srateurs ne devaient jamais sc trouver en vue Tun de Fautre.
Nous avons dit quelles ont ^t^ les difficult(Ss rencontr^es dans la triangu-
lation. Ces difficultds, qui ont amend taut de retards ne paraissent pas avoir
ou (Finlluence sur la precision des r<5sultats. Les angles azimutaux mesur^s
donnent une compensation trfes satisfaisante. Le 24 mai il ne restait plus
pour achever la g^oddsie des stations du trongon Nord; qu'^i terminer
les quatre stations dc Culangal et de Pusacocha, Tupisa et Yura-Cruz.
Les observations sont sans doute commences sur la premiere moiti6
6l2 OPERATIONS GfiODfrSIQUES DE L^EQUATEUR.
du trongon Sud entre Riobamba et Cuenga; 1ft on fera optSrer deux brigades
marchant parall&lemenl du Nord au Sud; bien entendu, il faudra conlinuer
a conslruire des signaux, 1'emploi des h<5liostats demeuranl impossible;
mais les cbances de destruction se trouveront diminwSes, puisque cliaquo
mire ne sera utile que pendant moins de temps.
Je dois signaler que, par suite de circonstances diverses, on a c5l(5 oblige"
d'adopler pour une partie du re"seau une solution Louie parliculiere. 11 a fallu
conslruire a Sincholagua deux mires a pen de distance 1'une de Pautro,
parce que cliacune de ces mires (Hail invisible de cerlains points. On a done
mesure* de quatre stations : Gorazon, Pichincha, Panecillo et Pambnmarca
Tangle sous lequel se voyait la distance de ces deux mires. Grace ft cello
precaution, et aux conditions favorables dans lesquelles ces observations on I pit
filre faites, on peut £tre assure" que la compensation dc cello parlie du ri'iseau
sera aussi solide qiie^celle du reste de la chaine. Les erreurs de fermeluro
n'y depasscnl pas 1^7.
Dans la moitie" Sud du trongon Nord (section Riobarnba-Quilo) les fermo lures
de 36 triangles dont les r6sullals nous son I connus donnenl pour valour
du coefficient de comparaison, m~i/ -z — 5 2NJi=o", 7 (cello valour loin I m
a o", 6 si Ton mel ft part les triangles 29 el 30 donl les erreurs de fermeluro
tiennent vraisemblablement ft ce que la mire do Ouangolasm n'a pas tfu'j
exactoment recentroe apres les destructions). II ii'y a d'un pen considerable
que la fermeture du triangle 29, 9", do sorlo quo la Iriangiilation osl dans
son ensemble ires salisfaisanle.
Astronomic fondamentale.
Les projels primiiifs comporlaient, trois stalions nslronomiquos principales,
une ft Quito, une dans le voisinage cle la base du Nord, une prfcs de la base
du Sud.
La ville de Quito possede un observatoire permanonl acluellemcnl diri^o"
par un asironome tres exp^rimente', M. Gonnessial. Lo concours do col
observaleur Eminent 6lail poux^ la Mission une prdcicusc bonne fortune*
Un Observatoire temporaire avail done 616 inslalle* pr6s de Quilo do fayon
ft pouvoir 6tre facilemcnt reli6, d'une part ft PObservaloire pormanoul d<^ cello
ville et, d'autre part, au r^seau Irigonome'lrique. Get Observatoire (Mail plac^
OPERATIONS GEODESIQUES DE L*EQUATEUR. 6l3
sur la collino du Panocillo, qni est pour ainsi dire collee aux premieres penles
do IVnorme masse du Pitclmiclm. La luliludo fondamonlale qu'on aurail pn
y observer aurail done ettf forlcmcnL affectdo par les allractions locales.
A eo point do vue, le voisinage immiSdial de Riobainba presenlait
dos condilions beaucoup plus favorables. M. £lys<5e Reclus a compart la region
inlerandine a une immense dchelle clonl les monlanls sonL represents par
les deux Cordillcres et les barroaux pur les cliaincs transversales qui les relienl
de distance on distance; ces barrcaux partagont le plateau interandin en une
serie do cirques succossifs. 11 esl clair que Ja vcrticale doit 6trc moins rl6viee
an centre d'un do ces cirques que dans le voisinage de Tun des barreaux.
(Vest pour c<M,le raison que la silualion de Riobamba <5tait avantageuse.
F,(^ Cuiiuuaiidanl. Bourgeois nSsoluL done d'insLaller a la Loma, prfts
Ai\ Riobamba, une station principalo, et de d6lerminer la latitude a lu fois
an Puuocillo et f\ la Loma, puis la dlfl^rence de longitude des deux stations
ol eniin uu azimut au Panecillo ct un autre a la Loma par la mtfthode
des observations mtfridiennes.
I.(^s latitudes furent d(5ternun(5es par la m^thode de Villarcoau en htiit soirees
clans qualro positions du cercle observers chacune, nadir face Nord ct nadir
face Sud.
La diilterence des longitudes put so faire sans grande difficult^, car les deux
posies (Uuient nilitSs uUclgrapliiquomonl. et Pudministration des t6l6graphes
avail on la complaisance de motlre le fil *\ la disposition exclusive des obser-
valours de 811 & i ih du soir.
Malfiourousemont, F(5change des obsorvalours no peut 6tre praliquti;
l(js officiors n'auraient pu nbandonnor leur poste sans s7cxposer a voir
dispuratlre les mires, parco quo lo personnel frungais tHnit trop pen nombreux
et qu'il aurail fallu laisser la gardo d. des Indicns en qui on no pouvait avoir
coniiance. On s'esl done con.Lcnt.6 de determiner avec lo plus grand soin
les diffiSroncos d'tiquations personnelles.
La latitude de Tulcan (station astronomique du Word) et celle de Pajta
(station du Sud) ont 6tt5 d(Jtennin6es simultanteient.
On a d<Stermint'i c^galomont un azimut ^. Tulcan et la difference do longitudes
Quito-Tulcan. Pour cetto demi&re difference les soirdes dMchanges de signaux
tel^graphiques compreixnenl deux soirees completes li quatre positions
eommun.es uux deux stations, doux demi-soire'es communos, plus cinq soire'es
comportant doux positions i uno- station, et uno seule & la station conjugu^o.
6l4 OPERATIONS GtfOD&IQUES DE L'EQUATEUR.
Exchange des observateurs n'etant pas possible, MM. Maurain et Pcrrier
avaient de termini leurs Equations personnelles a Quito ct les dtilcrmincronl
encore quand ils s'y rencontreront de nouveau.
II reste, pour achever les operations astronomiques fondamenlales, a mesurcr
une longitude et un azimut a Payta. Depuis quelques mois la jonclion entre
les lignes telegraphiques peruviennes et ckjuatoriennes est achevcSe, ce qui
permettra de relier Payta aux stations du Nord. La mesure de la longitude
astronomique ne presentera done pas de difficulte.
Les re"sultats des mesures de latitudes principales sont les suivants, tons
calculs fails :
0 I "
Payta —5 5 8,6
Riobamba — i 4o 0,9
Panecillo — o i3 5i , i
Tulcan H-o 48 26,6
Amplitude totale de Pare 5 53 34 , a
Amplitude du tron^on Nord 22826,6
L'amplitude totale de Tare reste done voisine de 6°, bien que les <3v6nemenls
politiques aient emp£che de le prolonger en Colombie ; il n'est dimimi(5 de ce fail
que de i5' environ, Les observations de longitude ne sont pas encore r<2duilcs,
Astronornie secondaire.
Le trongon Nord comportait deux stations astronomiques socondairos
au Pinllar pres d'Ibarra entre Tulcan et Quito, et & la Tacunga onlro Quito
et Riobamba, M, le Capitaine Maurain de'cida de de"terminer d'abord la diflc$-
rence de longitude de la station principale de Panecillo & 1'Obsorvaloiro
de Quito, ce qui avait 1'avantage de permettre de profiter de I'mslallation
de cet Observatoire et de la presence continuelle de M. Gonnessiat pour la
determination de la longitude des stations secondaires. A cet cffct, M. Maurain
dgtermina, avant le depart, sa difference de liquation personnelle avoc
M* Gonnessiat et observa ensuite la difference de longitude enlro Quito
et la Tacunga, en trois soire*es et en se servant d'un seul chronographe install^
a Quito et sur lequel s'enregistraient les observations des deux opdrateurs,
Les communications tgl^graphiques pouvaient se faire sans relais,
La latitude de la Tacunga fut dgtermine*e en quatre soirees au corclc
meridian; la moyenne gen6rale provisoire est o° 56' 0^,97,
Lor$ du depart du dernier courrier, M, le Lieutenant Perrier se trouvait
1
OPERATIONS GfiODfelQUES DE L'EQUATEUR. 6l5
au Pinllar, pros d'Ibarra ou se irouve la seconde station secondaire. II avail
achev<5 la determination de la latitude, et d'un azimul et commence celle
de la longitude, Quilo-Pinllar. Apres avoir termini cette operation, ainsi
quo les deux stations geodesiques qu'il lui reste a faire, cet officiers doit
so rondre a Quito oft il observera en double avec M. Gonnessiat en vue de la
determination de leur equation relative.
Uno troisieme station socondaire sera observed a Cuenca entre Payta
ot Riobamba. M. Maurain doit s'y rendre en personne aussitdt les operations
du Nord tcrminees. M. Maurain ferait ensuite avec M. Perrier la longitude
Alansi~Cuen<ja ou Alansi-Riobamba. Alansi est une station situe*e surle plateau
intorandin au point ou le chemin dc fer de Guayaquil £ Riobamba tourne
pour romonter vors le Nord. Cctte station vient d'etre reunie a Guayaquil
par une lignc telegraphique en cuivre.
Latitudes du troisieme ordre.
Pondant le congres de 1900, M. Helmert avait insiste sur Pinteret qu'il
y aurail, dans un pays aussi accidente, & mesurer la latitude a la seconde
rondo, aulant quo possible dans toutes les stations geodesiques.
On comptait d'abord se sorvir du theodolite & microscopes qu'on doit hisser
dans chacunc do ces stations pour les operations geodesiques. On avait
modifie cot apparoil dans 1'espoir de lo rendre propre aux observations
astronomiques; malheureusement, il n'etait rentre de chez le constructeur
quo quelques jours avant le depart, de sorte qu'il n'avait pu &tre essaye
& Paris, A 1'usage, les observateurs rencontr&rent des difficultes, surtout pour
Fdclairage.
11s durent renoncer a s'en servir et Ton crut quelque temps que la latitude
no pourrait 6tre mesuree que dans les stations ou le cercle meridien pourrait
Co n'est qu'au bout de plusieurs mois que la Mission re^ut enfin des acces-
soircs permettant 1'emplox du theodolite 4 microscopes pour les mesurcs
dc latitude,
Le Capitaine Maurain, aussitdt apres avoir observe au cercle meridien
la latitude secondaire de la Tacunga, s'occupa de determiner au theodolite
une latitude do comparaison, afin de savoir quelle precision on peut attendre
de cet instrument; les resultats lui ont paru suffisants pour qu'on puisse
6l6 OPERATIONS GEODESIQUES DE l/EQUATEUR,
Femployer aux operations en Cordilltere ; on pent oompter sur la seconde
ron'de. C'esl d'ailleurs ce que confirms la discussion dos observations ulte-
rieures; il y a loujours une difference sysUsmaliquc cnlro les eloiles Nord
el les (Holies Sud, mais les Pearls entre plusieurs soirees constfculives soul
loujours lr6s faibles.
11 fuL done possible de faire des mesures de laliiude dans presquc ionics
les stations de la moili6 Nord du tron^oii Nord; mais il reslc sepl sla lions
dans la moiti(3 Sud donL la laliludo n'a pas ot6 d6lermin6e. Ce son I cellos
de Sagoaloa, Huicolango^Mulmul, Cahuilo,Chimborazo, Zagroun, Yana-Ashpa.
M. Lallemand va s'y rendre sp<$cialemcnl, pendant que les aulres officiors
qp^reront dans le irongon Sud. II consacrcra vraisemblablemenl plus de Irois
mois a ces observations de latitude.
Je dois ajouler que la Mission va reccvoir dcuxapparcils Glaude-Dricncourl ;
eel appareil, que M. Bouquet do la Grye a pr^scnlo an Congrfcs, couiporlt*
une plus grandc precision et esl tr&s portalif; il pourra 6tre utilisii dans
les stations g<5od6siques qui res tent a faire ou encore dans les localities ou Ton
devra se rendre pour les mesures du pendule.
Nivellement geodesiqiie.
w Nous avons vu pour quelles raisons on avail <M:e oblig6 dc, renoneor A la
mesure des distances z&aithales rdciproques el simullan<§cs ; mais on a obienu
partoul des dis lances r^ciproques. Un premier examen de ces distances umnlro
qu'elles sont bien concordantes ; les refractions semblent convenablcmenl
constantes, cc que la lranquillil6 des images pcrmcttaii d<$ja de pr<5jugor. D<%
plus cela a (5t6 confirm^ par des mesures rigoureusenicnl simullanties failos
par M. Mauraia a Pambamarca el par M. Gonness,ial au Paneoillo. Dans ces
conditions, il est permis de compter sur un bon nivellemenl g<5od6siquc.
Nivellement de precision.
On avail d'abord pens6 faire cette operation d^s la prenii&rc )iuu<5c. Muis
des chemins des Gordill^res Taurait alors reixdue Ir^ss difficile; ou «
attendre I'ach&vement du chemin de fer de fa9on ^ 1'uliliser dans les
transports tout en faisant le nivellemeni le long de la plate-forme m6me de \\\
ligne
OPERATIONS GEODESIQUES DE L'EQUATEUR. 617
M. Maurnin s'esl, mis d'nccord avec la Compagnie du Chemin de fer et
Joules facililtis seronl accordoos an personnel qui en sera charge*. Les operations
d<» riivellemeiit pourronl coinmencer aussitot apr&s la conclusion de Tastro-
noimu principale du segment Riobamba-Cuenga. Les 3aokm a faire exigeront
uue cainpagno de 5 a 6 mois par suite cles fortes peiites qui nSduironl de moilie
les nivellees normales sur lo versanL occidental de la Cordill&re. M. le Capita ine
Lacombe a reconuu sur la cote du Paciflquo un emplaccmenl convenable pour
lo
Observations pendulaires.
CVst la parlio du travail qui se trouve le plus en retard; une seule station a
<Me faite par M. Bourgeois a Riobamba, en m6ine temps quo Fobservation de la
longitude ct pour profiler de FtHude de la marche de 1'horloge, Cette station a
t'^U}, nVluile, il ne manque plus que la determination definitive de la marche de
1'horloge sidtirale.
Aucune mesure nouvelle n'a 616 foite, on h<5site encore an sujet. de
rinslruiuenl. a adopter dans les stations secondaires. Le pendule Slerneck ne
parai t pas presenter d'aussi grands avantages qu'on 1'avail cm d'abord. Toulefois
l(». cluvf do la Mission ne perd pas de viu? cette importante question et nous
pouvons Mro assures qu'elle ne sera pas n(5glig6e.
Lew officiers qui sont actuellement a Ffiquateur ne soni pas habiluiSs au^
mesures penduluircs; elles ne pourront 6tre reprises qu'apres le retour
d<^ M. lo Commandant Bourgeois. II est done & ddsirer que ce retour ne se
lasso pas longtuinps attendre. L'importance de cette question est Irop gvidenle
(M, Irop conuue de 1'Association pour qu'il soit ndcessaire d'insister.
Travaux geologiques et topographiques.
fjos offieiers de la Mission, gr&ce taut Irop frequents lo is irs que leur laissent
les brumes onl lev(S au phototach6om$tre, non seulement des tours d'horizon
aulour de chaquo station, mais une carte au i/5oooooe de la region intcraijdine.
Uno minulo des environs deTulcan, lev^e au i [i 00000° par le lieutenant Perrier
ct le Docleur Rivet, a t§i4 tirde au Service G(5ographique comme specimen et
envoyd i M.. le President de la R^publique d.e T^quateur.
Ces travaux topographiques, et l^tude des (Schantillons min(5ralogiques
H- P. - vm. 78
6l8 OPERATIONS G^OD&SIQUES DE L'EQUATEUR.
recueillis dans le voisinagc de chaque station facilitcront Petude des attractions
locales,
Observations magnetiques.
DCS observations magnetiques ont ete faites dans la plupart des stations;
elles n'ont pas encore ete reduites.
Sciences natur elles.
M. le Medecin aide-major Rivet s'est occupe d'etudes relatives aux sciences
naturelles. II a fait de nombreux envois au Museum et il a entrepris une cUude
anthropologique sur les races indiennes de la region interandine. Je profile de
1'occasion pour ajouter que M, le Docteur Rivet a pris une part active aux
operations geodesiques proprement dites et qu'il a ete d'un grand sccours
a M. Perrier dans les stations difficiles ou cet officier a observe.
Relevement du geoide.
Dans le Gongr&s de 1900, plusieurs membres on fait observer que 1'attraciion
des masses montagneuses des Andes pourrait produire d'importantes devia-
tion de la verticale et un rel&vement notable du geoide et qu'il importait de so
mettre en garde contre les erreurs qui pouvaient en resulter,
En ce qui concerne les deviations dans le sens N-S les mesures de latitude
du 3e ordre dont nous avons parle plus haut doivent suffire pour nous
renseigner.
Les differences entre les latitudes geodesiques et astronomiques dans les
stations dont nous connaissons les r^sultats atteignent i57/ et i8/; sexag&simales
et souvent pour des points relativement rapproches.
II semble qu'il serait d'autant plus desirable de connattre exactement les
deviations dans le sens E-O, qui, on doit s'y attendre, doivent 6tre plus
considerables. On a montre dans le dernier Gongr&s quelles sont les difficultes
qu'on doit rencontrer dans cette determination.
Le premier moyen propose consistait, on se le rappelle, a mesurer la longi-
tude geodesique efc la longitude astronomique, Guayaquil-Quito en utilisant
une ile du Golfe de Guayaquil, 1'ile de Puna, qui se pr$terait a Installation
de$ signaux.
OPERATIONS GtfODfcSIQUES DE L^QUATEUR.
6l9
ARC MER1DIEN DE QUITO
Partie Nord de la Triangulation
Signes conventionnels
Cote defa Triangulation
Base geodteique
Difference de Longitude
Azimut
Sommet geodesique
Station astronomique
Qbservatoire de Quito
Localites importantes
Sommets de montagnefr
icfor
Zagrtun
Siniguallay
620 OPERATIONS GEOPE1SIQUES DE l/EQUATEUR.
Les derniers rapports du Capilaine Maura in font prevoir quo cette operation
pourrait so faire sans Irop do difficultcs en par tan t des cotos Galuiapala-
Soldados-Minas et qu'il suffirail dc deux s La Lions intermediaires placdes sur la
Gordill&re dc MolleLuro ct sur les hauLeurs de Puna.
M. Maurain propose, en outre, dc fairc dcs observations de longitude en irois
points, en liaison t<5l(£graphique avec Quito et situds Tun a 1'oucsl do la
Gordill&rc occidentale du cote de Sanlo Domingo de los Golorados, un aulro
un pen a Pest de Quito sur la cr£te de Poingasi, un troisifcme att pied do la
Cordill&rc orionlale, pr&s de Cayambc; au point de vue gtiodtisiquc les deux
derniers points peuvent 6tre rccoupcis facilement des stations du rtfseau; do
Santo Domingo, on peul viser plusieurs sommols dont la position a ete deter-
mingc par recoupement lors des operations geodesiques.
Les trois points en question se trouvant tout indiqu&s couiiuo stations do
pendule, ces operations se feraient en mdme temps quo la campagne do gravito.
11 y a lieu de retenir cct interessant projet et d'inviter le chef do la Mission a
1'etudicr de pr^js.
En dehors de ces mesures de longitude, on poss5do un autre moyon do .so
rendre compte de I'influcnce des massifs des Andes. Go sontles observations
pendulaires; nous avons parle plus haut dc cette question ct nous uvons insislo
sur son importance.
Conclusion.
En r&urng, la Mission de Tfiquateur a rencontr6 de inSs graudos difficulU^s.
Grace a 1'appui 6clair6 du Gouverncment <3quatorion, au z6le d<^s officic^rs
frangais et §. Taide que leur ont constamment pr6t<5e les officiers 6quatorions,
ces difficult^s ont 616 ou seront vaincues. Elles n'auront d'autre cons(5qucnco
qu'un retard, malheureusement considerable, et un surcroit imprtSvu do
d^penses. Mais nous avons la satisfaction de constaler, que en ddpil. do
conditions si difficiles, ces officiers n'ont rien sacrifie de la precision
scientifique la plus rigoureuse et qu'ils ont accompli une oeuvre de tres haut.fi
valeur.
Les longues journ<3es d'attente dans la neige et le brouillard n'ont pas nxnenti
un instant de decouragenient; la Constance el le d^vouernent des officiers et do
tout le personnel ne se sent jamais dementis. II y a lieu de feliciter cos vaillants
pionniers de la Science de leur courage et des rgsullats obtenus.
RAPPORTS
SUR LES OPERATIONS GtfOD&IQUES DE LlQUATEUR
EN 1903, 1904 ET 1905,
PRESENTES A L'ACADEMIE DBS SCIENCES
AU NOM DE LA COMMISSION
CHARGfiE DU CONTROLE SCIENTIFIQUE
DES
OPERATIONS GfiODESIQUES DE L'EQUATEUR
Association g&od&sique international e^ t. 15, p. 289-30,
1903.
La Commission charge par l'Acad€mio <lu conlr6le scieniifique des
operations gdodtisiquos do 1'lSquaLcur s'esL nhmio, lo 8 mars 1904, pour
<»uLendro le Rapport do IVT. lo GommandaixL Bourgeois sur los iravaux cffecliitis
pondimi Tannde 1908.
II rdsullo de co Rapport quo les circonslances mdt^orologiqucs qui avalenl
iM6 si prdjudiciablos aux iravaux de la Mission pendant 1'anndo prdctidcnic, ne
so sont malheureusemenl pas am<5lior6os? et que les operations no so soni pas
poursuivios avoc In rapidiui sur laqnollo on avail compt6.
Dans nolro Rapporl pr^cddcnl, nous avons fail connailre le programme
propose par M. Bourgeois, chef de la Mission, programme auquel vous aviez
donn£ volre ^pprobalion.
622 OPERATIONS G^ODESIQUES DE L'EQUATEUR.
L'annee igo3 devait 6tre cqnsacree :
i° & l'ach&vemenl des operations du trongon Nord;
2° aux observations geodesiques de la section Riobamba-Cuuncn ;
3° aux observations astronomiqucs a Guenca;
4° aux observations magnetiques ;
5° au commencement du nivellcrnent de precision.
Ce programme n'a pu 6lrc enticement rempli; les operations du troncon
Nord n'ont et6 termin<5es qu'au 10 fevrior 1904. On n'a pu fa ire, dans lo Sud,
que quelques stations en 1908, et les travaux aslronomiqucs dc Cuenca vonl
seulement commencer.
Nous allons expliquer maintenant quelles ont ete les causes de ces retards <;t
montrer que la valeur scientifique des resultats n?en est nullement atteinle.
Des changements ont eu lieu dans le personnel. M. le Gapitaine Lacombe
s'est embarque pour la France le 16 avril igo3, et a ete remplucrf
par M. le Gapitaine Peyronnel qui est arrive a Guayaquil le 20 Janvier dernier,
M. le Medecin aide-major Rivet est vonu en conge en France, mais il doit
retourner & FlSquateur le 26 avril procliain.
Operations du Nord. — Au ier Janvier igoS, trois brigades operaient
simultanement dans le Nord; celle de M. Maurain an Gorazon, <\ la hauteur do
Quito; celle deM. Lacombc entre Quito ct Riobamba, cclle de M. Perrior dans
le voisinage de la baie de Tulcan,
Quand M, Lacombe partit pour la France, apr^s avoir termini la partie du
trongon qui lui etait attribuee, on constitua, avec son personnel, une nouvello
brigade, placee sous les ordres de M. le Capitaine Lallemand et destin<3o t\
operer entre les deux autres brigades, afin de marcher au devant de M. Perrior
et de rattraper une partie du temps perdu.
M. le Capitaine Maurain, apr£s I'ach&vcment de sa section, se rendit le 9 aout
£ Alausi, pour pr^parer les operations du trongon Sud. Au mois de septembre,
M. le Capitaine Lallemand, ayant & son tour termine sa t&che, partait pour
Riobamba, pour reprendre, dans les stations qui entourent cette baie, les
observations de latitude & la seconde ronde, conformement au voeu de TAca-
demie.
M. le Lieutenant Perrier avait, de son c6te, presque mene & bonne fin les
operations dans la region si difficile ou il travaillait, quand diverses circons-
OPERATIONS G£OD£SIQUES DE L^QUATEUR. 628
lunces I'oblig&rcnl & reprondrc plusiours stations oft il devait renconlrer des
conditions aussi ddfavorablos que pendant son premier sgjour. II y reLrouva
cos brouillnrds qui, rendant les signaux invisibles, le forewent de nouveau a
do longuos somaines d'attente a de grandes altitudes. Ce n'esl, comme nous
1'avons dit, quo lo r3 fovricr 1904, qu'il put enfln quitter ces regions inhospi-
lali&rcs.
Los causes do ces retards sont cellos qui ont gtti signalges dans les pr£c<3dents
Rapports, el, en parliculicr, les circonstances m6t(5orologiques. Les stations
sont. loutes ft do fortes altitudes; ellcs sont souvent battues par des tempStes de
noigo on onveloppcios do nuagos. Nous avons expliqu<3, FanntSe derni^re, les
soullrances quo notre personnel avait & supporter dans ces conditions. Cette
situation n'a pas changed
L<s tableau suivanl, fera d'aillcurs mieux ressortir la nature des dif(icult(5s
runconinSus :
Nombre de stations distinctes 43
Nombre de stations redoubles 12
Nombre total dc stations 55
Altitude moyenne 3 700 m
Nombre total de couples mesurds 2391
DurtSe totale du sejour dans les stations (ddplacernents non-compris) i 137 jour
Dans trois stations on a du S(5journer plus de 80 jours, dans onze plus
do 3o jours, toujours par suite des circonstances m<5U3orologiques.
La socondc causo de retard a 616 la destruction des signaux; deux signaux ont
<H(5 dtitmtts deux fois et un trois fois; 18 incidents de cette nature ont oblige
les optSratcurs il revcnir & 12 stations et £ reprendre la mesure de 36o couples.
Sans lo zfclc dclaird du Gouverncment ^quatorien, sans Pappui constant et
bienvcillant de M. le President dc la R^publique, ces destructions auraient $16
boaucoup plus fr<5quentos. On no saurait trop louer les efforts pers£v£rants des
aulorUds (Squatorionncs pour assurer la conservation de nos signaux.
Les operations du Nord <5tant aujourd'hui tcrmin(5es, on peut d&s maintenant
so fairo une id(5c de leur precision. M. Maurain a calculi provisoirement
Ponchainement outre les deux bases de Riobamba ct de Tulcan. Au sujct de
co calcul nous devons observer :
i° Qu'il a 616 fait avant les derni&res mesures du Chiles qui viennent
seulement d'6tre achev^es et que, par consequent, M. Maurain a dti conclure
an angle en Chiles;
624 OPERATIONS GEODESIQUES DE L'EQUATEUR.
2° Qu'il a admis, pour ce calcul provisoire, que les deux bases sonl au
mgme niveau.
Dans ces conditions, M. Maurain est arrive au r^sultat suivanl :
m
Base du Nord mesuree 6 6o4 , 77
Base du Nord calculee 66o4?83
La concordance est bien superieure a ce qu'on pouvait attendre, etant
donnees les conditions dans lesquelles on a opere, etilnefaudraitpass'etonnor
que les calculs definitifs ne Fameliorent pas; il n'en est pas moins certain, d£s
a present, que celle qu'ils feront ressortir sera tout a fait satisfaisante. Nous
sommes done assures de la tr6s grande precision de cette partie de la iriangu-
lation.
OperatioJis du Sud. — Nous avons dit que M. Maurain, apr&s avoir termine
ses travaux du troncon Nord, s'est rendu a Alausi, le 9 aout 1908 ; il a procede
aussitot a la reconnaissance du trongon Sud jusqu'au massif de 1'Aguay, a la
construction des signaux jusqu'a Guencay et il a achev<3 dans le couranlde igo3
les stations de Pagroun, Lalanguzo, Sinigallay et Danas.
La reconnaissance entreprise avait en partie pour but la recherche de
1'emplacement d'une station astronomique secondaire entre Riobamba et Cuenca
dans le voisinage d'Alausi. L'examen du terrain a prouvei qu'il 6tait impossible
de trouver un emplacement convenable, susceptible d'etre rattach^ a la
triangulation, m^me avec une station g£od£sique suppl^mentaire. Dans cos
conditions, il a paru preferable de renoncer a ce projet, que la resolution de
mesurer les latitudes a la seconde ronde en chaque station rendait d'ailleurs
beaucoup moins interessant.
M* Maurain est en ce moment £ Cuenca ou, apr£s avoir am^nage la station
astronomique, il a commence les observations de latitude; il s'occupera ensuile
de la determination de la difference de longitude Guenca-Quito.
Le reseau primitivement prevu sera reporte plus a 1'Ouest en s'ecartant de
la direction du Nord-Sud; quand on 1'avait etabli en 1899, il n^etait pas encore
question de pousser 1'arc jusqu'a Payta, mais seulement jusqu'a la region
Ay abaca, le complement a 6° etant donne par le prolongement sur le territoire
colombien. Ge prolongement etant devenu impossible par suite des evenements
politiques, on resolut de continuer 1'enchainement vers le Sud sur le territoire
peruvien jusqu'a Pajrta sur la cflte du Pacifique de facon a lui conserver une
OPERATIONS GfcODESIQUES DE L}EQUATEUR. fr25
etendue totale de 6°. Get emplacement dePay la etait d'ailleurs particuli&remeut
favorable pour les mesures de bases. Mais comme cettelocalileestnotablement
a TOuesl dn prolongemenl de Fare d'abord projeie, il y a lieu de deplacer
lonte la chaine. Les observations en seront d'ailleurs grandemenl facilities.
L'experience a prouve en effet que les difficult^ climateriques qui onl cause
tant de retards augmenlenlrapidemenlavecl'altitude. Or la GordUlfcre orienlale
esl elevee, Immide, malsaine et presque Loujours eouverle de nuages. ATOuest,
an conlraire, 011 rcnconirera des massifs montagneux d'allitude moindre, ou
les vues soiit generalement libres, par suite du voisinage du desert sablomieux
de Tnmbez. On aboutira enfin a la plaine au Lord de la mer dont le climat esl
irfcs sec. En arrivant aux premieres stations de cetle plaine, les altitudes
varieront tr6s rapidemeni; il conviendra done d'apporler un grand suin a
1'observation des distances zenithales et autanl que possible d'obtenir des
mesures reciproqucs el simultanees.
Tous les officiers vont se irouver r<5unis dans le Sud, MM. Lallemand el
Perrier ayant achevtf leurs travaux dans le Nord et M. Peyronnel (5tant arrivtS a
PJfiqualeur. On pourra done constituer deux brigades qui optkeront paralhV
lement ; on peut espgrer qu'avec cette facon d'op<5rer, les destructions de signaux
seront mo ins a craindre et en tout cas auront moins d'inconv<5nients.
M. Maura in estime que dans ces conditions on peut compter sur une vitesse
d'avancement d'une station par brigade et par mois, de sorte que les travaux
ossentiels de triangulation pourraient £tre acbeves jusqu'a Payta vers la fin
de 1904.
Latitudes de troisieme ordre. — D6s le dtSbut des operations, on avait
reconnu la n.6cessit<3 de proc<5der aussi souvent que possible a des determinations
de latitude. Mais ne pouvant utiliser pour ces mesures les theodolites a micros-
copes dont ils etaient pourvus, les officiers de la Mission durent y renoncer
dans les premieres stations qu'ils firent autour de Riobamba. Depuis ils ont
recu des accessoires qui permettent Femploi du theodolite pour les observations
de latitude, ,et a partir de ce moment ils ont determine la latitude a la seconde
ronde dans toutes les stations, conformement au voau exprime par FAcademie
et FAssociation Internationale g^odesique.
Mais les premieres stations etaient restees en soujBrance ; M. le Capitaine
Lallemand a done dft s'y rendre de nouveau. Les determinations y sont
H. P. - VIII. 79
626 OPERATIONS GEODESIQUES DE L'EQUATEUR.
terminus et les r£sultats de ces observations ont 6t£ envoySs a Paris afin d'y
6tre rgduits.
Les latitudes ont done &6 mesur^es dans toutesles stations du troncon Nord.
En ce qui concerne le troncon Sud, la Mission va disposer d'un instrument
nouveau. M. le Capitaine Peyronnel a apporte en effet une astrolabe a prisme
du systfcme Claude-Driencourt. M. Maurain a reconnu un emplacement pr&s
d'Alausi ou les officiers pourront apprendre a la manier.
Nivellement, — Les travaux du nivellement de precision sont confi^s a une
brigade spgciale commands par M. FAdjudant Lallemand; elle a commence
ses operations en decembre 1908 et a atteint vers le milieu de fevrier la station
d'Alausi; on se rappelle que la ligne a niveler s'etend le long du trace du
cKemin de fer, qu'elle court Nord-Sud depuis Riobamba jusqu'a Alausi, puis
Est-Ouest depuis Alausi jusqu'a Guayaquil et doit Stre ensuite prolongee de ce
dernier point jusqu'au m£dimar6m£tre.
C'est done la premiere section Nord-Sud qui est aujourd'hui termin^e;
les r6sultats d'apr^s le rapport de M. Maurain, sont excellents, et Ton n'a eu a
reprendre que tr£s peu de nivel^es.
On rencontrera une difficult^ au passage du Guayas, un peu avant Guayaquil,
Cette rivifere est trop large pour qu'on puisse employer les proc^dgs ordinaires
de nivellement. II faudra op^rer g6od(5siquement par distances zgnithales
r^ciproques et sinmltan^es. Une bonne verification consisterait a se rattacher
par un nivellement de precision a des points situ^s sur les deux rives du Guayas.
En clioisissant le moment ou les courants de mar<5e s'annulent, on pourra
admettre en effet que le niveau de Teau est sensiblement le m6me sur les deux
rives.
A la suite d'une reconnaissance faite avant son depart par M. le Capitaine
Lacombe un emplacement a <5t6 choisi pour le medimar6m£tre a Salinas, sur
la cdte du Pacifique, en un point situ£ en dehors des courants. M. Peyronnel
a apport<£ deux medimaremStres, dont Pun sera sans doute install^ a Salinas et
Pautre a Payta.
Pendule. — Cette partie du programme est toujours restge en souffrance,
L'Academie ne saurait trop insister sur son importance; et comme il semble
que cette situation doive se prolonger jusqu'au retour de M. le Commandant
Bourgeois en fiquateur, nous devons gmettre le voeu que ce retour soit aussi
prompt que possible.
OPERATIONS G£OD£SIQUES DE L'JEQUATEUR. 627
tl y a cependant un resultat interessant a signaler : la station de Riobamba
a <5tc5 reduite, eL Ton a pu constater que les resultats concordent avec la formule
de Bouguer, Landis que les mesures faites dans les massifs des Alpes el de
FHimalaya ne s'accordent pas avec cette formule et se rapprochent plutot de
celle de Faye. Ainsi se trouvent confirmees les provisions de M. de Lapparent,
fondles sur la difference des conditions tecloniques des Andes etdel'Himalaya.
II y a lieu d'ailleurs de rappeler que c'est a la suite d'une observation faite au
Pichincha que Bouguer avait adopte celte formule.
Rattachement de Guayaquil. — Ce resultat fail prevoir un rel&vement assez
considerable du ggolde; -il devient done de plus en plus interessant d'apprecier
I'importance de ce rel&vement en mesurant la difference des longitudes
geodesique et astronomique de Guayaquil. II fau-t pour cela rattacher geodesi-
quement celte station a la Iriangulation ; a cet effet, on a propose de se servir
de File de Puna, siluee dans le golfe de Guayaquil. Le chef intfrimaire de la
Mission n'a pas perdu de vue cette importante question, et il a etudie une
autre solution qui consislerail a prendre comme base la ligne geodesique calculee
Sinacalman-Minas ; en visanl des deux extr£mil£s de cette ligne le sommet
du Cerro de Santa Anna, tout proche de Guayaquil. On <3conomiserait ainsi
deux stations ce qui serai iforl important etanl donn£ le retard des operations, et
Fon ne pcrdrait pas beaucoup en precision. II reste a savoir si cela est possible;
les cotes du triangle auraient de TOO a iaokin; M. Maurain estime que cette
distance pourrait Giro franchie; c'est ce qu'une reconnaissance ulterieure nous
pourra seulc apprendre.
Divers. — Les observations magnetiques ont 6te poursuivies.
M, le Docteur Rivet est rentre en France en rapportant pour le Museum de
nombreuses caisses de collections ; ces collections interessent toules les parlies
de FHistoire naturelle, mais principalement FAnthropologie,
Programme et resume. — Nous avons dit plus liaut qu'on pouvait prevoir
Facb^vement des operations du trongon Sud pour la fin de 1904* La latitude
de Cuenca est actuellement mesuree. II est probable que Fon aura termine £ la
m6me epoque :
i° les differences de longitude Cuenca-Quito et Payta-Quito ;
2° le nivellement de precision.
628 OPERATIONS G^OD^SIQUES DE l/EQUATEUR.
II reslerait done pour ipo5 :
i° la base de Pay la ;
2° le rallaclieinent de Guayaquil el la difference de longitude Guayaquil-
Quito;
3° les observations pendulaires.
II y a lieu une fois de plus de felicilor nos officiers des rgsullats qu'ils ont
obtenus et dont la valeur scienliiique esl tr6s grande, de rendre liommage a
leur z&le et a leur Constance dans les circonsiances difficiles ou ils ont op<3r£
depuis trois ans.
Nous devoiis remercier ggalemenl les officier (Squatoriens doni le concours
nous a £tt3 tr&s utile, et surtout le Gouvernement (Squatorien qui n'a cess<5 de
nous venir en aide, non seulement par ses subsides, mais par son intervention
constante aupr&s des populations.
1904.
La Commission chargge du controle de I'exp^dition de 1'Equaleur s'esl,
comme les ann^es pr£c£dentes, rgunie pour entendre le Rapport de M. le
Commandant Bourgeois sur les operations de I'ann^e 1904. Elle a eu le regret
de constater que les conditions climatdriques ne se sont pas amglior^es et que
le retard qui s'^tait produit dans les ann^es pr<5c<5dentes s'est encore accenlu^.
II y a deux ans, nous pouvions esp^rer qu'on pousserait jusqu'a Cuenca a van I
la fin de 1908; il y a un an, nous comptions encore qu'on alleindrail ce point
vers le milieu de 1904. En rt5alit6, c'est seulement ennovernbre que les stations
qui entourent cette ville ont pu 6tre terminges. Depuis, on n'a pas pu marcher
plus rapidement, de sorte qu'au mois de Janvier on 6tait encore a Tinajillas et
Narihuima, a 5okm et 8okm au sud de Cuenca.
Ces retards sont extr6mement facheux et nous devons d'abord en recherclier
la cause. Les renseignements fournis par les indigenes avaient fait croire que
la contr<3e au sud de Riobamba 6tait moins brumeuse que celle du Nord, Ces
renseignements 6taient inexacts; les indigenes, en effet, ne s'aventurent pas
volontiers dans les nautes regions et n'en connaissent pas bien le climat; en
outre, ils n'appr<5cient pas les conditions ma^orologiques au m6me point de vue
OPERATIONS GEODESIQUES DE L'EQUATEUR. 629
que les gtSodtSsieiis el s'inquifctenl peu des visibility a grandes distances. On
a done tilt* obligg de s<3journer aussi longtemps dans les nouvelles stations que
dans les anciennes, les brumes s'opposant aux observations. Ces sdjours
prolong^ a de grandes altitudes <Haient d'ailleurs trfes p6nibles pour le
personnel. A Soldados, la foudre est tomb6e deux fois sur le catnpement. On
6lait presque constamment entourg de nuages, et les officiers gquatoriens, qui
accompagnaient la Mission et n'avaient jamais p6n<Hrt§ dans cette partie du
pays, tStaient 6tonn6s d'y trouver un temps si constamment mauvais.
En revanche d'autres incidents, qui avaient contribute a retarder les travaux
dans les anntSes prt§c6dentes, ne se sont heureusement pas reproduits, II n'y a
plus eu de destructions de signaux. Les efforts faits par le Gouvernement
(Squatorien et le clergg local paraissent enfin avoir produit leui^s fruits.
Malheureusement la santg du personnel a Iaiss6 a d^sirer ce qui a occasionntS
aussi quelques retards. M. le Capitaine Peyronnel, chef de la Mission par
interim, a 616 atteint de fi6vre et oblig6 d'interrompre son travail pendant
plusieurs jours; les autres officiers, et en particulier M. le Gapitaine Lallemand
et M. le Docteur Rivet, ont 616 aussi fortement £prouv6s. M. PAdjudant
Lallemand, frapp6 par la fifevre jaune, a dii ^tre rapatrig. Le personnel
secondaire n'a pas £16 non plus (5pargn6 et plusieurs hommes ont 6l& malades.
Enfin, les travaux ont subi, a la fin de Pann6e 1904, des retards impr6vus par
suite de la presence au P^rou de la peste bubonique qui a emp£ch6 la marche
rapide des operations de reconnaissance.
M. le Capitaine Maurain, malade a quitt6 1'fiquateur au mois de juin; il atH6
remplac^, comme chef par intt5rim.de la Mission par M. le Gapitaine Peyronnel
qui 6tait arrive depuis la fin Janvier 1904. M. le Docteur Rivet, qui avait pass6
en congtS les premiers mois de Pann^e 1904? a repris son poste a la fin de mai;
on sait qu'il fournit a la Mission un concours actif, non seulement comme
m^decin et comme naturaliste, mais encore comme observateur, M. Maurain
no devanl pas retourner en Am^rique, M. le Gapitaine Massenet qui doit le
remplacer est arriv6 le 22 fevrier igo5; il a pris le commandement par interim
auquel son anciennet6 lui donnait droit. D'autre part M. le Capitaine Perrier
est parti en cong£ au commencement de d^cembre et il doit retourner en
fiquateur au mois de mai; il sera accompagntS de M. le Capitaine Noirel, chargg
sptScialement des observations de pcndule-
TriangulatioJi. — On en 6tait rest<5, a la fin de Pann^e pr^c6dente, au
630 OPERATIONS GfoDESIQUES DE L^QUATEUR.
Danas-Sinigallay, a la hauteur du chemin de fer de Guayaquil; on en <5tait, a la
fin de 1904, au cot<3 Tinajillas-Narihuima, a un degr<5 environ plus au Sud; on
avait done fait seulement 1 1 stations, sans parler des operations astronomiques
de Cuenca. II est probable que les stations de Chilla-Cocha et Fierro-Urcu
sont aujourd'hui termin6es et que nos observateurs sont actuellement a
Guacha-Urcu et Colambo (latitude 4°2o' environ, latitude de Payta 5° 5').
M. le Gapitaine Perrier a fait la reconnaissance et la construction des signaux
jusqu'a la fronti&re pgruvienne. Les brigades se suivent maintenant parallk-
lement, de sorte que les operations sur les deux chaines Est et Quest sont
simultan6es a la m£me hauteur. Deux points sont a signaler. Dans les quatre
derni^res stations, on a employ^ I'heliostat concurremment d'ailleurs avec les
mires, les signaux ayant 6t6 prcSalablement construits par les reconnaissances.
On a observ^ en effet que, dans cette region, malgr£ la frequence des brumes,
le soleil brille d&s que les iiuages sont dissip^s, en sorte que, a part les jours
ou la visibility est nulle 1'emploi de Pheliostat est possible.
D'ailleurs, comme 1'heliostat est double par la mire, commc nous venons de
Pexpliquer, on n'est pas expose a perdre une joura.ee favorable.
En second lieu, afm de rattraper autant que possible le temps perdu,
le Capitaine Peyronnel, chef par interim en 1904, a cru devoir remplacer les
triangles de 5ofcm de cot6 qui avaient d'abord 616 pr6vus, par des triangles
beaucoup plus grands de iookm environ : le nombre des stations se trouveni
done considerablement diminu^, mais en revanche on peut se demander si le
nombre des joui*s de visibility suffisante ne va pas diminuer dans la m^me propor-
tion. Toutefois, les officiers ont observe qu'en dehors des jours, malheureu-
sement trop frequents, oii les nuages couvrent les sommets plus rapproch(3s et
ou aucune operation n'est possible, la vue s'6tend a de grandes distances. Nous
ne pouvons que nous en rapporter a leur experience du pays.
Nous devons observer que les dimensions de ces triangles devront £tre progres-
sivement r^duites a mesure qu'on sjapprochera de la nouvelle base a mesurer,
afm de faciliter le rattachement de cette base. D'un autre cot6 il va y avoir une
assez brusque inflexion de la chaine vers TOuest afin de rejoindre la cote a
Payta et un brusque changement d'altitude au moment ou Ton franchira la
fronti^re p^ruvienne.
Astronomie. — Une station astronomique avait 6l£ install^e a Cuenca. Les
operations furent terminees au mois d'avril. La longitude fut
OPERATIONS G^ODESIQUES DE L?E*QUATEUR. 63 1
par M. Maurain a Cuenca et par M. Perrier a Quito; la latitude et 1'azimut
1'avaient ete anterieurement. Le nombre des determinations a Guenca est
surabondant; a Quito le temps a ete moins favorable, mais les determinations
sonl amplement suffisantes; la marche de la pendule etant bien connue par les
observations de M. Gonnessiat.
Une station astronomique avait egalement ete prevue vers le quatrieme
parull&le.
L'emplacemenl n'en est pas encore choisi; nous disculerons plus loin
1'opporlunite de la creation de cette station.
La station astronomique principale de-Payta doit surlout allirer notre
attention; on y a deja mesure la latitude, il reste a y faire 1'azimut et la longi-
tude, Payta est relie a Cuenca par Machala, Chacras et les lignes peruviennes.
On pourra done mesurer, soit la difference Pay ta-Cuenca , soit la difference
Payta-Quito.
Latitudes du troisieme ordre. — On a continue a mesurer les latitudes en
chacun des sommets de la triangulation. L'astrolabe Glaude-Driencourt qui
sert a ces operations continue a donner toute satisfaction. Les officiers sont
maintenant compl&temcnt familiarises avec 1'emploi de cet instrument. II est
mteressant de signaler que les latitudes de Souzahim et Yansai* ontete observees
an theodolite et a Tastrolabe; les resultats calculees pour Yansai accusent une
difference insigmfiante, o", 12 environ. Cette concordance justifie 1'emploi
exclusif de 1'aslrolabe dans la plupart des stations.
Nivellement de precision. — Le nivellement de precision est aujourd'hui
termine, sauf la traversee du Guayas. D'abord dirige par M. 1'Adjudant
Lallemand, il fut, aprfcs la maladie et le depart de ce sous-officier, confie
au Sergenl Lecomte qui s'est acquitte de sa taiche d'une facon tr&s satisfaisante.
Pendule. — Notre opinion sur Fimportance des observations pendulaires
n'a pas change, et il importe d'autant plus de s'en occuper qu'elles ont ete
presque compl^tement laissees de cdte jusqu'ici. II aurait ete a desirer, tant a ce
point de vue que pour d'autres raisons, que M. le Commandant Bourgeois put
retourner en fiquateur. Mais malheureusement les necessites du service en
France ne le permettent pas. M. le Capitaine Noirel doit partir le 26 avril en
emportant un appareil Defforges. Get officier est accoutume aux mesures da
gravite.
632 OPERATIONS GEODESIQUES DE L'EQUATEUR.
Rattachemeni de Macltala. — D&s le debut de la Mission, on s'tHait rendu
compte de la n^cessite de mesurer la deviation de la verticale dans le sens
Est-Ouest. Pour cela il fallait determiner la difference de longitude geodesique
et la difference de longitude astronomique d'un point de la c6te et d'un point do
la meridienne de Quito. II fallait done trouver sur la cdte un point qu'il ful
possible de relier a la chaine, tant telegraphiquement que 'geodesiquement.
On avait d'abord song6 a Guayaquil qui cst en communication telegraphi-
que avec Quito, et qu'on pouvaitjoindregeodesiquementala chaine par 1'inter-
mediaire de Tile de Puna. Toutefois le passage par File de Puna, outre qu'il
aurait entrain^ un certain nombre<le stations suppl&menlaires, n'etait pas sans
presenter quelques difficult6s.
La situation s'est heureusenaent modifiee par la construction d'une nouvelle
ligne telegraphique. La station de Machala, petit port de mer, vers 4° de1 lati-
tude Sudj est maintenant relive au rgseau telegraphique; d'autre part, elle esl
visible de deux stations de la chaine, celle de Narihuina et celle de Chilla
Cocha; ces deux stations sont aujourd'hui terminates, la premiere certainement,
la seconde probablement, et les visges ont pu toe faites, grace a la presence
du Sergent Lecomte qui, apr^s avoir termini le nivellement s'est rendu
a Machala. Ce sous-officier est d'ailleurs en etat de faite Iui-m6me la mesure
de Tangle Narihuina-Machala-Chilla Cocha, de sorte qu'il ne resterait a faire
ea cette station que les operations astronomiques.
Conclusions. — Les lignes pr£c6dentes ont montr<5 quelles difficult^ onl
rencontr^es nos officiers, quels efforts ils ont faits pour les surmonter et que la
situation actuelle ne peut en aucune fagon leur toe impure. Mais il n'en esl
pas moins vrai que cette situation est facheuse et il convient d'examiner les
moyens d'y faire face.
II n'y a, 6videmment, que deux partis a prendre, ou bien arr^ter le travail
au moment ou les ressources deja vot<5es seront ^puisees, ou bien le poursuivro
jusqu'au bout en se r^signant aux sacrifices n^cessaires. Ce n'estpas & nous,
(Svidemment, qu'il appartient de decider, puisqu'une question de depense est
soulevee, mais nous pouvons du moins £mettre un avis.
Jusqu'ou les ressources actuelles nous permettraient-elles d'aller?Un examen
minutieux. de Tetat des credits a permis au Service ggographique de r^pondre
a cette question. II faudrait :
OPERATIONS GEODESIQUES DE L'EQUATEUR. 633
1° Raccourcir 1'arc d'un degr6 environ, soit du sixieme de sa longueur en
s'arretant au voisinage du cote" Guaclm-Urcu-Colambo.
2° Renoncer a mesurcr la base du Sud avec un appareil tie haule precision
en se conlentant d'un appareil plus I6ger.
En effet, Pare n'aant pas pouss6 jusqu'au bord de la mer, ilfaudraitprendre
1'emplacement de base dans les montagnes ou Femploi de la regie est impossible,
d'autaiit que le transport de la regie dans ces regions entrainerait d'importantes
defenses.
3° Supprimer les observations pendulaires.
4° Renoncer au rattachemeiil de Machala.
II suffit d'gnoncer ces conditions pour montrer qu'une pareille solution est
inadmissible. Ce serait une veritable faillite; la France n'aurait fait qu'une
ceuvre incomplete, qui rie re"pondrait nullement aux promesses faites a FAsso-
ciation international g6od£sique, et elle se verrait exposed a voir son travail
iiiachev£ repris par d'autres puissances. Nous verrons d'ailleurs que ce
programme restraint entrainerait lui-mSme de grandes difficulty's,
1. II est.clair que le raccourcissement de Tare diminue sa valeur scienti-
fique. 11 avait e5t<3 question d'abord de le prolonger vers le Nord jusque sur le
territoire colombien; ce premier projet ne put &tre ex<3cut6 par suites des
(Svenements politiques; on r^solut alors de compenser la reduction n^cessaire
de la partie septentrionale par une prolongation correspondante de la partie
me'ridionale, ce qui offrait en m&me temps 1'avantage de pousser jusqu'a la
mer, a Payta, ou Ton devait trouver un emplacement tres favorable pour la
niesure des bases. II s'agirait aujourd'hui de renoncer a cette prolongation.
2. N'allant plus jusqu'a la mer, on n'aurait plus d'emplacement assez uni
pour 1'emploi des regies et la base du Sud y perdrait en precision, ce qui serait
d'autant plus fdcheux que la base de verification du Nord n'a pu non plus £tre
mesur(§e qu'avec les fils. Mais ce n'est pas tout, et Ton peut se demander s'il
sera possible de trouver un emplacement se pr&tant a la niesure d'une base par
les fils. La region est, en effet, tres accidente'e et il n'y a rien de comparable a
ce qu'on appelle plus au Nord la plaine interandine. De plus, les stations
construites forment de grands triangles et, pour passer h. une base de longueur
raisonnable, il faudrait un asscz grand nombre de stations interm6diaires si Ton
veuL que le rattachement se fasse avec quelque precision.
H. P. — vili. 80
634 OPERATIONS GfoDESIQUES DE L'gQUATEUR.
3. LTabandon des observations pendulaires serait plus deplorable encore.
Nous n'avons pas a revenir sur les raisons qui ont t5t6 exposees dans les precedents
rapports et qui demontrent Timportance des mesures de gravity. Rappclons
seulement que jusqu'ici une seule station a ete faite celle de Riobamba.
4. Pour que la mesure de 1'arc de meridien conserve touie sa valeur, il faul
qu'on soit assur^ que cet arc n'est pas alter^ par un rel^vement anormal du g^o'idc,
do. a 1'attraction des Andes. Or ce relSvement ne peut 6tre evalue que de deux
manures, ou bien par la comparaison des observations pendulaires, on bien
par la mesure des differences de longitude tant geodesiques qu'astronomiques
entre un point de la cote et un point des Andes.
Si 1'on renonce aux observations pendulaires, le premier rnoyen nous echappe,
car la mesure unique effective jusqu'ici ne permet aucune comparaison. Si,
d'autre part, on renonce au rattachement de Machala, le second moyen nous
fait egalemeiit defaut; dans le projet primitif la triangulation touchait la c6te
en deux points seulement, a Payta et a Machala et ces deux points seraient
abandonnes.
Telles sont les raisons qui ne nous permettent pas de nous arr<Her a la
premiere solution. II faut maintenant se rendre compte des depenses supple-
mentaires qu'entrainerait 1'adoption de la seconde. Les Evaluations du service
geographique les portent a i5oooofl*. Fort heureusement, 1'intervention d'un
genereux donateur facilite beaucoup la solution et nous permet d'entrevoir un
resultat digne de la France. Lc Prince Roland Bonaparte met a la disposition
du Gouvernement de la Republique, a titre de fond de concours, une somme
de 100 ooofr, a la condition que Foeuvre soit pouss^e jusqu'au bout. Les credits
nouveaux a demander au Parlement se reduiraient ainsi a 5o ooofr.
II semble que, dans ces conditions, 1'hesitation ne soit pas permise et qu'ily
ait lieu de maintenir le plan primitif, et de rejeter definitivementle programme
restreint dont nous avons montr^ plus haut les inconvt5nients : mais on pourrait
encore se demander si tine solution interm<3diaire ne serait pas possible. Nous
observerons d'abord qu'on ^pargnerait ainsi du temps, mais que les charges du
budget ne seraient pas diminu^es et se trouveraient m6me accrues, puisque le
concours du Prince Roland Bonaparte ne nous est offert qu'en vue de I'ach&ve-
ment de 1'arc jusqu'£ Payta. D'autre part, si le rattachement de Machala et les
observations de pendule sont absolument indispensables pour estimer le i-el&ve-
ment du g^oi'de, le prolongement de Tare jusqu:a la mer nous est ggalement
OPERATIONS GEODESIQUES DE L^QUATEUR. 635
impost par la difficult^ de trouver un. emplacement de base convenable dans la
region montagneuse. D'ailleurs, des observations astronomiques ont deja ele
faites en ce point par le Capitaine Maurain. Ges considerations ne sernblent
pas permettre de s'arrSter a une solution intermediate.
Si 1'on maintient les projets primitifs, il y a lieu de se demander a quel
moment on peut esperer que 1'execution en sera achev6e. A cet egard, nous
devons nous en rapporter aux Evaluations de M. le Capitaine Perrier qui a fait
la reconnaissance des regions ou 1'on doit op6rer, et qui par un long sejour en
Jfiqualeur a acquis une grande experience de ces contrees. Cet officier, estime
qu'a la date du ier avril iQoS, toutes les stations actuellement construites seront
terminees, sauf les deux derni&res ou 1'on ne peut operer tant que les signaux
des stations suivantesne seront pas etablis. Pendant les mois d'avril, mai, juin,
juillet deux des officiers opereraient la reconnaissance du dernier troncon de
Tare et y conslruiraient les signaux. Pendant ce temps, les autres officiers
feraient la station de Machala, y dcSLermineraient la latitude, y feraient les
observations de pendule, et mesureraient la difference de longitude Cuenca-
Machala.
Les stations a construire seraient vraisemblablement au nombre de dix, y
compris les termes de la base. M. Perrier estime a sept mois la duree des ope-
rations geodesiques dans ces stations (avec deux brigades), de telle sorte que
ces operations seraient terminees en fevrier 1906.
Pendant ce temps, deux autres officiers se rendraient a Guacha-Urcu et
Colambo les deux demises stations actuellement contruites; ils y feraient la
geoddsie et deux latitudes au cercle meridien, ce qui les m&nerait a la fin
d'octobre. Ils feraient ensuite la difference de longitude Colambo-Cuenca qui
serai t terminee a la fin de Tannee igoS.
On aurait pu se demander si 1'on n'aurait pas pu supprimer cette station
aslronomique de Colambo; mais on doit observer, d'une part que ce point est a
une altitude tr&s differente de celles de Machala et Payta, et qu'il importe
d'avoir une determination astronomique d'un point situd a la fois dans lapartie
Sud de Tare et dans la region montagneuse, et d'autre part que les operations
ne s'en trouveront pas retardees, puisque, d'apr&s Texpose qui precede, les
officiers qui procederont a cette determination ne pourraient pas facilement
6tre utilises ailleurs §. ce moment.
De fin decembre a fin mars, on installera la station de Payta et Ton fera la
difference de longitude Payta-Machala.
636 OPERATIONS GEODESIQUES DE l/EQUATEUR.
Enfin, de fin mars uu milieu de mai, on mesure la base de Payta, d'une part
avec trois fils Jaderin en metal invar avec reglettes en invar et poids tenseurs,
cFautre part avec la r&gle bimetallique Brunner ou mieux avec la nouvelle rtgle
en metal invar.
Pendant ce temps, M. le Capitaine Noirel, operant independamment, ferait
les determinations pendulaires.
Si ce plan pouvait £tre execute, tout serait termini au mois de mai 1906.
M. le Capitaine Perrier, instruit par F experience, a fait les Evaluations de
temps d'une facon aussi large que possible. Neanmoins nous avons deja ete si
souvent decus que Ton pourrait conserver quelques craintes de voir ce delai
depasse. Ce qui toutefois doit nous rassurer, c'est que Ton va decidement
sortir de la Cordill&re pour entrer dans la region peruvienne ou les conditions
climateriques sont tr£s differentes. Le retard, s'il s'en produit un, ne serait que
de quelques semaines. Le calcul des credits a d'ailleurs <§t(§ fait dans Phjpoth^se
ou les operations dureraient jusqu'a la fin du premier semestre 1906, et les
officiers croient pouvoir nous garantir que cette date ne sera pas dgpass^e.
Quoi qu'il en soit, il nous semble qu'il y a lieu d'approuver le plan qui nous
est propose. En terminant, adressons nos remerciments aux vaillants Fran^ais
dont le courage et la perseverance ne se sont jamais dementis, et aussi au
Prince Roland Bonaparte dont la genereuse intervention nous aidera a atteindre
le resultat desire.
1905.
Le dernier rapport sur la mission de Fequateur a ete preseiite a FAcademie
le 10 avril 1900; il faisait connaitre Fetat des travaux au icr Janvier 1906 et il
faisait prevoir Fach<|jvement des travaux au mois de mai 1906. Ces previsions
se sontheureusementrealisees et Ton a pu mener a bonne fin Foeuvre entreprise
sansdepasser les credits alloues.
Le ier Janvier 1906, il restait a faire la partie Sud de la chaine depuis les
stations de Fierro-Urcu et Chilla-Cocha (soit 16 stations en y comprenant
les termes de la base et les sornmets du rattachement), a mesurer les differences
de longitude Machala-Cuenca, et Payta-Machala, a mesurer la base de Payta a
la rfcgle et aux fils, et enfin a faire les observations pendulaires.
M. le Capitaine Massenet, qui devait prendre le commandement de la Mission,
debarqua le 22 fevrier 1906; malheureusement, cet officier si distingue et si
OPERATIONS GEODESIQUES DE L'EQUATEUR. 687
plein de zele nous ful enlev<5 le 2 oclobre par les suites d'une fievre lyphoide.
Ce ful une perle cruelle pour la Mission. Le Gouvernement 6quatorien saisil
cotte occasion pour nous uSmoigner des sympathies dont nous devons lui £tre tres
reconnaissants. La mort de ce ggodgsien, qui nous avait deja en peu de temps
rendu de si grands services, et qui a peri viclime de son denouement a la,
Science, a excil(5 dans l'arm<5e et dans le monde savant des regrets unanimes
auxquels l'Acad«5mie a ddja tenii a s'associer en lui dScernant un de ses prix.
Peu de temps apres, le Capitaine Lallemand, qui 6tait attach^ a la Mission
depuis le de"bul des travaux, sentant sa sant6 s'alterer, fut obligt* de demander
son rappel. On eiivoya pour les remplacer M. le Commandant de Fonkmgue,
qui prit le commandemenl, et M. le Capitaine Durand. D'un autrc cot6,
M. le Capitaine Noirel, charge* des observations pendulaires, d^barqua a
Guayaquil, lo 29 mai igo5.
Operations geodesiques. — Les dernieres stations ont e*t6 faites d'abord par
MM. Peyronel et Lallemand; ce dernier officier, obligg de demander son
rappel, dut Gtre remplactS par M. Perrier, puis par M. Durand.
Les obstacles qui avaient tant retarde" les operations dans le Nord ne se sont
plus repre'sente's dans la m6me mesure. II n'y a plus eu de destruction de signaux.
Les brouillards ont 6t6 encore g6nanls tant qu'on a <5t(5 dans les montagnes ;
mais, en arrivant dans la plaine, on a trouv6 un climat tout different; on en a
profit^ pour augmenter les dimensions des taangles, ce qui a acce*le>6 la marche
des travaux. En revanche le vent soulevait des tourbillons de sable quirendaient
les observations impossibles pendant une grande partie de la journe"e. Gomme
I'atmosphere <5tait, au contraire, remarquablement limpide pendant la nuit, on
a fail venir des appareils dc telegraphic optique, et les operations purent alors
6tre poursuivies sans difficult^ sp^ciale.
Signalons la variation brusque d'altitude subie par la chaine au moment du
passage du territoire p^ruvien. Un des triangles a un sommet a 3 ioom, un
a 2 4oom et un a 4oom; le triangle suivant, qui a ces deux derniers sommets
communs avec le pr^c^dent, a son troisieme sommet a 45om. II y aura lieu de
tenir compte de cette circonstance lors du calcul d&6nitif. Ajoutons que la
latitude a (5t^ prise en chacune de ces stations, ce qui permettra de se rendre
compte de la deviation de la verticale.
Base de Payta. — Le Commandant de Fonlongue, apres s'etre rendu a
Lima pour presenter ses devoirs aux membres du Gouvernement pe>uvien, a
638 OPERATIONS GEODESIQUES DE L'EQUATEUR.
debarque a Payta et a execute les operations geodesiques dans les diverses
stations du rattachement de la base du Sud. II a ensuite dirige la mesure de
cette base. Cette mesure a ete grandement facilitee par le nombre considerable
d'auxiliaires, tant civils que militaires, mis gracieusement a la disposition de nos
missionnaires par le Gouvernement peruvien.
La base a £te partage en deux segments ; le segment Est a ete mesure deux
fois et le segment Quest une fois a la rfegle monometallique invar. On a procede
ggalement a des mesures avec trois fils Jaderin en m^tal invar. Chacun des
segments a ete mesure deux fois avec chacun des trois fils. Ces diverses mesures
ont presente de faibles discordances dont la discussion n'est pas encore
terminee. Cette discussion, sur laquelle nous reviendrons dans un rapport
ulterieur, nous renseignera sans aucun doute sur les precautions que Ton doit
prendre dans 1'emploi des fils Jaderin si Ton veut arriver a une haute precision.
Elles ne doivent pas en tout cas nous inquieter en ce qui concerne le resultat
final, puisque d'une part, elles sont de Pordre de grandeur de Perreur a
laquelle on doit s'attendre dans la comparaison d'une base mesuree a une base
calculee et que, d'autre part, les deux segments ont ete mesures a la r6gle qui
presente toutes les garanties desirables.
La base Sud se irouvant a proximite de la mer, on a execute un nivellement
de precision (aller et retour), entre le Lerme Quest de la base et Pappontement
de Payta ou etait installe un m6dimar6m&tre et entre ce dernier point et PObser-
vatoire de la station astronomique.
Signalons la difference entre les trois bases, celles du Nord et du Centre
etanl a 2 8oom au-dessus de la mer, et celle du Sud presque au niveau de la mer.
Longitudes. — II restait a eflectuer deux differences de longitude pour
rattacher Payta et Machala a Cnenca; Petat des lignes telegraphiques n'a pas
permis de fermer le triangle.
Observations de pendule. — Les observations pendulaires ont ete dirigees
par M. le Capitaine Noirel, qui dut momentanement les interrompre quand il
lui fallut remplacer le Commandant Massenet, malade a la station astrono-
mique de Cuenca; les troubles politiques qui agit&rent un moment la Repu-
blique equatorienne g^n^rent 6galement ses travaux; il put neanmoins fairc
cinq stations judicieusement clioisies et suffisanles par consequent pour nous
dormer une idee de la fagon dont varie la gravite dans les difFerentes zones de
la Cordillera.
OPERATIONS GEODESIQUES DE L'EQUATEUR. 63o
Resume. — L'ensemble des travaux comprend :
74 stations geodesiques.
3 bases.
8 differences de longitude, reliant entre elles les stations de Tulcan, Piullar
Quito, Lalacunga, Riobamba, Cuenca, Machala et Payta; les cinq premieres
stations sont reguli&rement espacees sur le troncon Nord; la sixi&me au milieu
du troncon Sud ; la sepli&me a la m£me liauteur et sur le bord de la mer ; la
dcrni&re a 1'extremite du troncon Sud et au bord de la rner.
La coinparaison des differences de longitude geodesique et astronomique
entre les stations de Machala et Payta, d'une part, et celle de Cuenca, d'autre
part, nous renseignera sur le relSvement du geoi'de dans le sens EW, puisque
les deux premieres stations sont au bord du Pacifique et la troisi&me dans la
la region interandine.
6 azimuts, a Tulcan, Pullar, Quito, Riobamba, Cuenca, Payta.
64 determinations de latitude, dont-io au cercle meridien par distances
zenithales meridiennes, 44 au theodolite a microscopes par distances zenithales
circumm6ridiennes, 10 a Pastrolabe a pi^isme.
Les seules stations geodesiques oft la latitude n'ait pas ete determinee sont
dans la partie moyenne de Pare enlre Quito el Riobamba.
48 stations magnetiques reparties sur toute la longueur de la chaine.
6 stations de pendule. Apr&s la determination faite par M. Bourgeois
a Riobamba, cette partie des travaux avait ete laissee de cote; elle a pu toe
reprise dans la derni^re annee des operations, gr&ce a 1'arrivee de M. Noirel.
Les stations ne sont. pas nombreuses; elles sont situees dans la partie moyenne
de la chaine entre les latitudes o et — 3 ; mais elles sont d'ailleurs lr6s
heureusement choisies, en ce sens qu'elles sont reparties de facon a nous
donncr une coupe transversale complete de la Cordill&re.
L'une, celle de Machala, est au bord de la mer, en mi point ou il y a eu une
determination de longitude; vient ensuite Bucay, au pied de la Gordill&re W,
puis Chimborazo, a Faltitude de J±i5om dans la Cordill&re W (pour cette
derni£re la correction topographique devra &tre faite avec soin).
On a deux stations dans la region interandine & Riobamba et a Quito, et
enfin, on a une sixi&me station Banos a Faltitude de i 8oom dans la plaine
de PAmazone, de 1'autre cote de la Cordill&re E.
a lignes de nivellement de precision, allant Tune de la base de Riobamba
a Guayaquil et de l£ au medimaremfctre de Salinas sur la cote du Pacifique, et
640 OPERATIONS GEODESIQUES DE L'EQUATEUR.
1'autre de la base clu Sud au mt5dimart5m&lre de Payta. L'ensemble de ces
deux lignes comprend plus de 4-iokm.
Enfin, M. le Docteur Rivei qui, tout en dirigeant le service de sant6 de la
Mission et en prenanl personnellement part aux operations g£od<3siques
proprement diles, s'<3tait occupe d'gtudier le pays au point de vue de 1'Histoire
iiaturelle, a rapporte d'importantes collections que nous avons pu* admirer au
Museum ou elles ont et6 recemment exposes. Ges collections pr<3sentent le
plus grand int£r£t, non seulemenL pour la Botanique et la Zoologie, mais
surtout pour 1'A.nthropologie et FEthnographie.
Calcul provisoire. — Lft calcul provisoire est, d£s aujourd'hui, assez availed
pour qu'on soit assur<5 de la valeur des observations. La fermcture des triangles
et la concordance des bases calcul^es et mesurges semblent devoir £tre compa-
rables a ce qu'elles sont dans la revision de la mgridienne de France. Nous
reviendrons, dans un Rapporl ulterieur, sur le r<5sultat de co calcul provisoire
lorsqu'il sera terming.
Publication. — Le service ggographique de PArm^e est en mesure d'assurer
le calcul provisoire et d^finitif des observations. Mais la publication des r<§suhais
n^cessitera ceriaines d6penses, et il ii'est pas douteux que les Pouvoirs publics
lie nous fournissent les moyen de les couvrir. Cette publication sera divistSe en
deux parties, qui entraineront des frais ^ peu pr&s (5gaux : la premiere parti e
comprendra les r<5sultats des observations g6od<§siques astronomiques etmagn^-
tiques, el la seconde partie ceux des recherches biologiques. Les personnes qui
ont visits les belles collections exposes au Museum ne s'tHonneront pas du
d6veloppement attribu6 £ cette seconde partie. Les esp&ces nouvelles, surtout
pour les insectes, sont nombreuses etdevront6trereproduites par des planches,
souvent colorizes. L'ensemble des r^sultats et d'un haut int^r6l et fait le plus
grand honneur a la Science franchise et au Corps de sant6 de TArm^e.
En constatant ici 1'beureuse issue de Pexp6dition, nous croyons devoir
rendre hommage au d^vouement, au courage et & Fendurance des officiers,
sous-officiers et soldats francais qui Font men^e k bien sous un climat p^nible
et dans les circonstances difficiles exposes dans nos pr£c6dents Rapports, ainsi
qu'a I'habilit^ et a la science des op6rateurs qui ont accompli une ceuvre scien-
tifique de premier ordre. Nous devons remercier les Gouvernements ^quatorien
et p6ruvien de 1'appui p6cuniaire et moral qu'ils nous ont pr6t6 et de la bonne
OPERATIONS G£OD£SIQUES DE L'EQUATEUR. 641
volonte" qu'ils ii'ont cesse" de nous t&noigncr. Signalons egalement Ic zele des
officiers <5quatoriens et p^ruviens qui onl t5t^ pour nous des collaborateurs ires
u tiles. Qu'il nous soil permis en terminant de rappeler le role de notre Confrere,
le Prince Roland Bonaparte, ct de dire combien sa g<5n6reuse initiative a facilite
le succes final de 1'entreprise. Mais noire reconnaissance va surtout au Parlement
francais, qui a compris 1'importance de cette ceuvre au double point de vue
scientifique et patriotique, et qui nenous a jamais marchand^les credits neces-
saires, bien que, par suite de difficulte*s inalteiidues, les previsions primitives
aient £16 nolablement d6pass(5es.
H. P. — VIII. 8l
RIPPORT
SUR LA PROPOSITION BONIFICATION
DBS
JOURS ASTRONOMIQUE ET CIVIL
Annuaire du Bureau des Longitudes, p. E.i-E.io (1896),
Par une lettre en date du 19 octobre 1894, M. le Ministre de 1'Insiruction
publique invite le Bureau des Longitudes a donner son avis sur une proposition
faite par Plnstitut canadien et la Soci6t£ astronomique de Toronto. II s'agil
d'un changement de Forigine du jour astronomique, qui commencerait a minuit
comme le jour civil.
Ce n'est pas la premiere fois que le Bureau des Longitudes a eu a s'occuper
de cette question.
Le 24 fevrier i8o4> Laplace proposa d'unifier Fheure civile et 1'heure astro-
nomique en comptant celte derni&re a partir de minuit. Apr£s une assez longue
discussion, cette proposition fut adoptee par 7 voix contre 5.
Elle ne fut toutefois pas ex^cutge; la Con?iaissance des Temps res La fiddle a
Fancienne mani^re de compter le temps astronomique.
Mais Laplace, dans la Mecanique celeste et dans le calcul de ses Tables,
adopta le temps civil et il fut imit<§ par les autres constructeurs de Tables
jusqu'a Le Verrier, qui revint a la date astronomique.
La question fut agitee de nouveau, en 1884, par la Conference inlernalionale
rt^unie a Washington, qui adopta le vceu suivant :
PROPOSITION ^UNIFICATION £>ES JOURS AST RONOMlQtJE ET CIVIL. 643
(( La Conference exprime 1'espoir qu'aussitot qu'il sera possible de le faire,
les jours astromomiques et les jours marins seront partoul regies de facon a
commencer a minuil. »
En 1 885, un aulre Gongr^s astronomique se tint a Geneve et la resolution de
la Conference de Washington y fut 1'objet d'une loiigue discussion ; elle fut
critique par la grande majorite des astronomes presents, et- en particulier par
MM. Newcomb, Auwers, Gyld&n el Tietjen, representant de la direction du
Berliner Jahrbuch. Elle fut d^fendue par M. Struve.
Le Bureau des Longitudes n'^tait pas reste Stranger a ce mouvement. A plu-
sieurs reprises, M. Faye attira son attention sur le vote du Congr&s de
Washington et rappela que, sous Pinffuence de Laplace, le Bureau calculail
autrefois les Tables des plan&les et de la Lune pour minuit moyen de Paris.
Cependant, en presence de la discussion du Congr&s de Geneve et de 1'opposi-
lion probable des astronomes allemands, le Bureau ne prit aucune decision.
A Greenwich, on adopta une demi-mesure; depuis i885, le temps civil de
Greenwich, comptcS a parlir de minuit, de oh a 24", a 616 adople pour les obser-
vations spectroscopiques, photographiques, magn^tiques et m6ttk>rologiques;
le temps astronomique restant en usage pour les observations purement astro-
nomiques et pour le Nautical Almanac.
Les choses en tHaient la quand PInstitut canadien et la Socit5t^ astronomique
de Toronto nomm&rent une Commission mixte charg(5e d'examiner de nouveau
la question.
La Commission, nettement favorable a la r^forme, r£solut d'envoyer une
circulaire a tons les Astronomes pour les prier de donner leur avis sur la ques-
tion suivante :
« Est-il desirable, en considt^rant lous les int(5r^ts, qu'a partir du ier jan»
vier 1901 , le jour astronomique commence partout a minuit moyen? »
Les responses a cette sorte de plebiscite furent peu'nombreuses; 108 de ces
r^ponses 6taient pour la rtSforme, 63 y 6taient opposes.
Les Allemands 6taient en majority hostiles ; mais les Russes, les Autrichiens,
los Anglais, les AmtSricains, les Italians, les Frangais 6taien.t favorables. II
convient d'ajouter quc les astronomes frangais n'avaient envoytS que quatre
responses.
Les Lords de PAmiraut6 estimaient quo le changement propose pouvait
644 PROPOSITION D'UNIFICATION DES JOURS ASTRONOMIQUE ET CIVIL.
£tre utile, mais a la condition expresse qu'a la suite d'une entente prt5alable il
soil adopte simultanement par toutes les grandes epli<5m^rides.
C'est sur la question aiiisi postSe que M, le Ministre de Plnslruclion publique,
saisi par M. le Ministre des Affaires etrang&res, demande 1'avis du Bureau.
Ce n'est certainement pas sans raison que Fusage actuel a 61(5 adopte et
mainlenu jusqu'a ce jour par les aslronomes, malgre le vote du Bureau en 1804.
Les observations astronomiques se font surtout la nuit, et c'est au moment
ou la vie civile se ralenlil que la vie aslronomique alleint sa plus grande inten-
site ; pour ne pas 1'interrompre par un changcment de date, il convient done
de s'ecarter des usages civils.
II est evidemment incommode pour 1'astronome de changer la date sur son
carnet au milieu d'une nuit d'observations ; il est permis de craindre qu'il
n'oublie souvent de le faire et que les erreurs qui en resulteront ne soient
difficiles ensuite a d6couvrir et a corriger.
Mais cet inconvenient se pre"sente d6ja avec le syslfone actuel pour les
observations du Soleil et, comme ce sont les plus usite"es a bord, les marins se
trouvent a cliaque instant en presence de cette mtaie incommodite' qui eflraje
les aslronomes.
On peut m6me remarquer que le marin, pr^occupe' de mille soucis divers,
oblige" d'utiliser son observation sur Theure pour decider sa route, est plus
expose* a 1'erreur que I'astrononie, que rien ne vient d(5ranger de ses observa-
tions; et d'autre part les consequences d'une erreura bord peuvent £tre graves,
tandis que, dans un observatoire, on aura tout le temps de la rechercher et de
la corriger a t^te repos^e.
Sans doute, le mouvement du Soleil etant plus rapide que celui de beaucoup
de plan&tes et de com^tes, une erreur d'un jour amenerait des divergences qui
attireraient promptement Tattention; il est toujours a craindre, cependant,
que ce ne soil trop tard.
Si les astronomes prenaient Phabitude d'inscrire, au d^but de la nuit, sur
leur carnet, « nuit du 1 1 au 12 », par example, ils n'auraient plus qu'a marquer
I'heure sid<5rale a cote* de chaque observation; il leur serait facile ensuite,
quand ils mettraient leur travail au net et qu'ils convertiraient le temps sid^x^al
en temps moyen, de mettre la date du 1 1 jusqu'a minuit moyen, et celle du 12
a partir de cette heure.
Ce n'est la qu'un changement d'habitudes qui peut, comme il arrive
toujours, provoquer quelques resistances, mais qui ne semble pasinacceptable.
PROPOSITION BONIFICATION DES JOURS ASTRONOMIQUE ET CIVIL. 645
Uii auLi-e argument a <jle invoque conlre la reforme. 11 va y avoir une cliscon-
linuiie dans revaluation du temps, analogue a celle qui s'est produile au
moment do la reforme gregorienne ou quaiid on a commence a compier Tannee
a parlir du i01' Janvier. Ce n'esl pas la un inconvenient passager; les calcula-
icurs auront loujours a uliliser les nombrcuses observations des deux dermers
socles; il faudra done, si la reforme est adoptee, qu'ils les aflecleni d'une cor-
rection, pour les ramener a leur manure de suppnter le temps.
Ce sera la une complication et une source d'erreurs.
Get inconvenient est grave sans doute, mais plus la reforme sera retardee,
plus il s'aggravera, car les observations rapportees a la date dite astrotiomique,
iront en s'accumulant sans cesse. Or, il est a prevoir que le changement finira
par so faire, car les tendances a 1'unification deviennent de plus en plus impe-
rieuses. Lc desavantage en question sera done d'autant moiiis gtoant qu'on s'y
resignera plus vite.
Toutes ces objections, quelle que soil leur valeur, ne sembleiit done pas
decisives. II pent en consequence y avoir intent a faire disparaitre les nom-
breuses singular ites qu'cntrainent les usages actuels.
La date a laquelle les marins doivent rapporter leurs observations n'est pas
cello qui figure au journal de bord.
Nous avons vu plus haut qu'a Greenwich on emploie concurreminenl le
temps civil et le temps astronomique, suivant la nature des observations.
Dans les publications du Bureau des Longitudes lui-m£me, on pourrait
rclovcr des anomalies analogues.
La Coruiaissance des Temps rapporte tout a la date astronomique, saufles
hcurcs des levers et couchers du Soleil et de la Lime, celles des pkases de la
Lune, culles des Eclipses, el le temps moyen a midi vrai qui sont exprimes en
temps civil.
Dans VAnnuaire, pour se conformer aux habitudes du public, le temps civil
est ordinairement employe, sauf pourtant pour les etoiles variables.
Mais il en resulte alors certaines divergences entre la Connaissance des
Temps et VAnnuaire^ par example pour le passage au meridien de la Lune et
des plan&les, quo ces deux Ouvrages rapportent a des dates difFerentes.
Tons ces inconvenients ne pourront disparaitre que quand la r6forme sera
adoptee.
Toutefois, si le changement propose parait avantageux en principe, il
646 PROPOSITION ^UNIFICATION DES JOURS ASTRONOMIQUE ET CIVIL.
convient de se demander si la France ne doit pas, avant de le mettre en pra-
tique, se pr^occuper de ce qui se passera dans d'autres pays.
Si les divers observatoires, si les diverses publicaiions astronomiques ne se
ralliaient pas a la nSforme et ne PoptSraient pas en m£me temps, il sjensuivrail
une confusion inextricable, beaucoup plus facheuse que la situation actuelle,
Les calculateurs qui se servent concurremment des 6ph<5mgrides francaises,
anglaises, allemandes et amcSricaines, devraient faire une correction pour passer
des unes aux aulres.
II faut au moins que la Connaissance des Temps, le Nautical Almanac de
Greenwich, celui de Washington, et le Berliner Jahrbuch s'entendent pour
adopter simullantoent le projet cTunification. Si ces quatre grands jouniaux
se mettent d'accord, les autres publications seront amene"es a les suivre.
II faut done d'abord qu'uae entente s'(5tablisse entre les gouvernements sous
les auspices desqueis se publient ces quatre grandes (3phe3mt5rides. S'ils no
pouvaient s7accorder? il vaudrait mieux, conform^ men t a I' avis des Lords dc
PAmiraute", renoncer provisoirement a la nSforine.
Agir autrement serait s'exposer a ua immense d^sordre, qui nc serail pas
seulement un inconvenient passager, puisque nos descendants en souffriraient
encore quand ils voudraient utiliser les observations de la p^riode de transition.
Plusieurs membres du Bureau (Haient d'avis d'en courir les risques; mais la
majority a pens^ que ce serait la acheter trop cher des avantages peut-^tre un
peu lagers.
Une autre question a appelc5 Tattention du Bureau.
Pour que 1'tinification soit complete, il ne suffit pas que le jour civil et de
jour astronomique commencent en mtoie tempsj; il faut encore que I'heure
civile et I'heure astronomique se comptent de la m&me manure.
Le jour civil se divise actuellement en deux p&riodes de douze heures, et
Pheure se compte de o a 12; la r^forme n'aura vraiment son efficacitd quo
quand Pheure civile se comptera, comme Pheure astronomique, de o a a4-
G'est ce qui se passe en Italie et en Angleterre depuis Pannde derni&rc.
Le public rgsistera sans doute et sera quelque temps avant de consentir a
changer ses habitudes.
Mais on pourrait recommander cette r^forrne aux Compagnies de chemins
de fer, qui y trouveraient de grands avantages.
La Gonnaissajice des Temps et YAnnuaire du Bureau devraient, d'autrc
part, compter partout les heures de o a 2^ de5 que Punification serait faite, II
PROPOSITION D'UNIFICATION DES JOURS ASTRONOMIQUE ET CIVIL. 647
n'y a pas lieu, bien entendu, de devancer cette unification, puisque ces men-
tions « matin et soir » son! actuellement le meilleur inoyen de distingucr, a
premiere vue, le temps civil du temps astronomique.
Le Bureau des Longitudes a, en consequence, adopts la resolution suivante :
« Le Bureau des Longitudes est favorable, en principe, a la re forme pro-
pos^e par Tlnstitut canadien pour le changement d'origine du jour astro-
nomique.
Le Bureau estime que cette r^forme, comme Font fait observer les Lords de
1'Amirautg, ne peut avoir d'efficacitt§ que si une entente a lieu entre les gou-
vernements publiant les principales 6ph3m6rides.
« Enfin, conside*rant que Tunification ne sera vraiment complete que lorsque
1'heure civile, a Fexemple de ce qui se fait en Italie, sera compile de o a 24h,
le Bureau £met le voeu que cette derni&re rdforme soit rdalis<5e le plus tdt
possible. »
RAPPORT
SUR LES RESOLUTIONS DE LA COMMISSION
CHARGEE DE L'ETUDE
DES PROJETS DE DECIMALISATION DU TEMPS
ET
DE LA CIRCONFERENCE
Archives du Bureau des Longitudes, p. 1-12.
On a souvent parle d'introduire le syst&me decimal dans les divisions du
lemps et de la circonference ; mais c'est surtout depuis quelques ann^es que
s'est produit dans certains milieux un mouvement d'opinion favorable a cello
rgforme.
Plusieurs projets, d'ailleurs incompatibles, ont &1& proposes, et chacun d'eux
a recueilli d'assez nombreuses adhesions.
A la suite de cette agitation et des petitions adress£es par plusieurs soci6U5s
de G^ographie, M. le Ministre de 1'Instruction publique a charg6 une Commis-
sion sp^ciale .d'audier les avantages et les inconv^nients des diff^rents syst^mes
i§ ainsi en avant.
Cette Commission, oft toutes les spdcialittSs ^taient repr6sent£es, comprenait :
i° Les membres du Bureau des Longitudes;
2° Deux membres de Fadministr^tion centrale de Tlnstruction publique ;
PROJETS DE DECIMALISATION DU TEMPS ET DE LA CIRCONFERENCE. 649
3° Deux represenlants des Posies el Telegraphes;
4° Deux i^epresentants des Chcmins de fer;
5° Deux repr<3sentants des societes de Geographic*.
Les eludes de cette Commission Font conduile a des conclusions que jo vais
cliercher a exposer bri^vement.
Inconvenients du systeme sexagesimal.
Tous les peuples ont depuis longtemps adopts uii m£me sysl&me d'unites
pour la mesure des temps et des angles.
La oil-conference est divisee en 36o degr^s, cliaque degre est divise en
60 minutes d'arc, chaque minute en 60 secondes d'arc.
Le jour est divise en 24 heures, chaque heure est subdivisee en 60 minutes
de temps, chaque minute en 60 secondes de temps.
Ainsi, notre mani&re de compter les temps et les angles repose sur le sys-
t&me de numeration sexagesimal, tandis que nous employons le syst&me decimal
pour tous les autres usages.
Ce syst&me sexagesimal, legs des anciens Chaldeens, presente des inconve-
nients qui sont trop evidents pour qu'il soil ntScessaire d'y insister.
Les problSmes les plus simples ne peuvent plus se r^soudre sans quelque
effort; il faut une certaine attention, par exemple, pour calculer la vitesse d'un
train, connaissant Flieure du depart, celle de rarriv<5e, et le nombre de kilo-
mitres parcourus.
II n'est pas jusqu'a 1'addition et a la soustraction de deux angles qui ne
deviennent des operations compliqu^es, et qui n'exposent m&me souvent qu^a
quelques chances d'erreur. II en sera de m&me, a fortiori, quand on voudra
multiplier ou diviser un angle par un nombre entier, m£me simple.
Mais la difficult^ est plus grande encore dans Interpolation, qui est une des
operations les plus frequentes que doivent employer les astronomes et les
marins.
On donne un angle quelconque (par exemple Fascension droite d'un astre)
a midi moyen; on donne egalement la variation de cet angle pour une heure,
et il s'agit de calculer la valeur de ce m6me angle a i ih 45m 36s.
On n'a alors d'autre ressource que de « d6cimaliser » cette donnee par un
calcul prealable qui montre que i ih 45m 36s = i ill,?6o.
H. P. — VIII. 82
650 PROJETS DE DECIMALISATION DU TEMPS ET DE LA CIRCONFERENCE.
Ces difficult^ sont sans doule petites; mais elles se rencontrent a chaque
pas, d'autant plus importunes qu'on les sail purement artificielles.
D'ailleurs, M. d'Abbadie a montre, par des experiences comparatives soi-
gneusement faites, que 1'usage du syst&me decimal abregerait des deux cin-
qui&mes environ la duree de beaucoup de calculs astronomiques.
Ce n'est pas tout, 1'emploi de deux unites diff6rentes pour les temps et pour
les arcs est une nouvelle source de complications. Dans la Connaissance des
Temps, on exprime en heures, non seulement le temps solaire et sideral, mais
les ascensions droites ; tandis qu'on exprime en degrees les declinaisons, les
longitudes et latitudes astronomiques, et les latitudes geographiques. Les lon-
gitudes geographiques sont donn£es a lafois en heures et en degr^s.
Mais les ascensions droites et les angles horaires qui nous sont donnas en
heures jouent dans les calculs le m6me role que les autres angles; on doit
chercher leurs lignes trigonometriques dans des tables ou la division en degres
est le plus souvent seule employee.
On ne peut done s'en servir qu'apr&s les avoir convertis en degrees. Cette
necessite entraine de frequents calculs de conversion, des temps en arcs et des
arcs en temps.
Cette conversion ne serait pas extr&rnement compliquee si les subdivisions
glaient decimales, car le facteur de conversion est simple; c'est le nombre i5.
Mais avec le systfcme sexagesimal, la multiplication ou la division par i5 est
une operation relativement penible et peut entrainer des erreurs.
Ajouterai-je enfin que, si Fusage des machines a calculer vient & se r<§pandre,
on devra avoir deux machines, Tune pour les operations sur les angles et les
temps, Pautre pour les operations sur toutes les aulres grandeurs. Si les angles
et les temps etaient divistSs decimalement, une seule machine suffirait pour
assurer le service.
Ges inconv&aients interessent tout le monde, depuis Tastronome jusqu'a
Pemploye de chemins de fer. Mais ils sont surtout penibles pour les marins qui
ont besoin de calculer souvent, rapidement, et quelquefois dans des circons-
tances difficiles.
M, Guyou, capitaine de frigate, membre de I'Institut, qui Taisait partie de
la Commission, a souvent insist^ sur ce point; selon lui, bien des patrons, qui
naviguent actuellement plusieurs semaines sans jamais connaitre leur position,
pourraient apprendre a faire le point si on les debarrassait de ces difficultes
artificielles.
PROJETS DE DECIMALISATION DU TEMPS ET DE LA CIRCONFERENCE. 65 1
Premiere tentative de rgforme.
A Fepoque de la Revolution, les createurs du syst&me metrique consideraient
la division decimale du jour et de la circonference comme la consequence
logique de la reforme des poids el mesures.
Une Commission ou dominait Finfluence de Laplace, fit diviser le jour en
10 heures et la circonference en 4oo grades.
La nouvelle unite de temps, beaucoup trop longue, trop contraire aux habi-
tudes du public, ne fut acceptee de personne; on n'en retrouvait des traces
qu'au museo Garnavalet qui poss£de quelques horloges decimales construites a
cette epoque.
La nouvelle unite d'angle eut une meilleure fortune. Non seulement Laplace
en a fait un frequent usage dans son Traite de Mecanique celeste, mais elle a
conserve jusqu'a nos jours un role dans la pratique.
La premiere application en fut faite par Delambre et Mechain, pour la
mesure de Fare de meridien.
Plus lard, en 1818, quand on s'occupa de la confection d'une carte detaillee
de la France, Finfluence de Laplace, celle des souvenirs laisses par Delambre
et Mechain, fit adopter le grade comme unite d'angle par le' Service geogra-
phique de FArmee.
Depuis lors, ce service n'a pas cesse d'en faire usage et il y a trouve avantage,
bien que les astronoines aient conserve le syst&me sexagesimal.
Les geodesiens sont ainsi forces d'avoir deux sortes d'instruments ; les uns
divises en grades pour les triangulations geodesiques, les autres gradues en
degres pour les mesures de latitude. Mais a leurs yeux, cette g6ne est largement
compensee par la facilite du calcul.
On a calcule et imprime des tables trigonometriques dans le syst^me cente-
simal. Le Dep6t de la Guerre en a publie trois, d'etendue differente.
La premiere est a huit decimales et donne les lignes trigonometriques de
milligrade en milligrade.
La seconde est a cinq et la troisi^me a quatre decimales; Fune donne les
lignes de centigrade en centigrade, Fautre de decigrade en decigrade.
Le Service geographique de FArmee n'est pas reste isole ; il a ete imit-e par
le Service du Genie et par les services geodesiques de divers pays Strangers,
tels que la Belgique.
652 PROJETS DE DECIMALISATION DU TEMPS ET DE LA CIRCONFERENCE..
Neaiimoins, Femploi du grade ne s'esi pas g£n<§ralis6 ; les aslronomes fran-
cais ne pouvaient renoncer a Funit6 adoptee par tous les astronomes Strangers,
el, il y a un siecle, F6tat de FEurope n'aurait pas permis une entente inler-
nationale.
Les marins, le service liydrographique (Haient obliges de suivre les astro-
nomes. Us ont done conserve le degr6 avec ses divisions sexagesimals .
En resume", la reform e avait echoue".
Conditions du probleme,
Peut-on aujourd'hui renouveler cette tenlalive avec de meilleures chances
de succ&s? II est permis de Fesp^rer; mais le probleme est complete; la mulli-
plicite* m&me des solutions proposes le prouve suffisamment, et d'ailleurs un
rapide examen des conditions a remplir va mieux nous le faire comprendre.
Sans doute, quelles que soient Funit6 de temps et Funit£ d'arc adoptees, il
suffira que ces unites nouvelles soient subdivis^es d'apres les regies du syst&me
decimal pour qu'un progr^s immense soit realist et que les inconv&nients les
plus graves s'6vanouissent.
Mais 1'embarras commence d&s qu'il s'agit de choisir ces unites.
i° II est dangereux de froisser inutilement les habitudes du public qui ne
renoncera pas facilement & la division du jour en 24 heures. Nous nous expo-
serions a nous heurter, comme nos devanciers, a une invincible resistance.
2° Les savants eux-m6mes ont une tradition qu'ils ne pourraient abandonner
impun^ment; les astronomes ont accumul6 depuis plusieurs si^cles un riche
tr^sor de documents qui, loin de perdre leur prix en vieillissant, deviennent
chaque jour plus pr£cieux; les ph^nom^nes astronomiques se d^roulent avec
lenteur, et une comparaison constante du present et du passg peut s'eule nous
en r6v6ler le secret.
II est done desirable que les angles et les temps exprim^s en mesures sexag^-
simales puissent gtre ais^ment convertis dans le nouveau syst&me d'unit^s.
3° Enfin, il faut compter avec les repugnances des physiciens et des m6ca-
niciens pour qui la seconde, base du syst^me G. G. S. est Funite* fondamen-
tale de temps.
4° On peut avoir a additionner plusieurs angles dont la somme est plus
grande que la circonf&rence ; ou bien ^. soustraire un angle d'un autre plus petit
en valeur absolue-
PROJETS DE DECIMALISATION DU TEMPS ET DE LA CIRCONF^RENCE. 653
On pent, particulterement dans Petude des marges, £tre force de calculer les
lignes trigonometriques d'un angle qui croit proportionnellement au temps et
dont les variations, pendant le cours d'une annee, pourront atteindre plusieurs
circonferences.
II faut done se prtSoccuper du calcul des angles plus grands que 2^1.
11 esL a souliaiter que Ton puisse facilement extraire d'un pareil angle le
multiple de 21: qui y est contenu et, par consequent, que le rapport de la cir-
conference a Punite d'angle soit un noznbre simple.
5° II convient que Punite de temps soit la m£me que Punite d'arc, ou au
moins que le rapport des deux unites soit un nombre simple.
6° Enfin, pour simplifier les calculs trigonometriques, il faut que 1'on puisse
immediatement ecrire le supplement ou le complement d'un angle.
La simple enumeration de ces conditions montre qu'elles sont incompa-
tibles ; il est done necessaire d'en sacrifier quelques-unes ou tout au moins de
n'y satisfaire qu'imparfaitement.
Examinons maintenant les avantages et les inconvenients des diverses solu-
ions proposees.
Examen des divers syst ernes.
Plusieurs unites de temps ont ete preconisees ; on a propose de diviser le
jour en 24 heures, en 20 heures, en 10 beures et en 4-0 heures. Les deuxpre-
mi&res solutions peuvent seules toe discutees, car les deux derni&res donne-
raient : Tune une lieure beaucoup trop longue, 1'autre une lieure beaucoup
trop courte.
La division en 20 heures est evidemment plus rationnelle, plus conforme a
Tesprit du syst^me decimal.
D'un autre cdte, la division en 24 heures, subdivisees decimalement, res-
pecterait les habitudes du public, pour qui Theure est 1'unite fondamentale du
temps et qui tient beaucoup moins a la minute et a la seconde.
Elle faciliterait la division du jour en 3, 4» 6 °u 8 parties egales.
En ce qui concerne Punite d'angle, on a propose de diviser la circonference :
i° En 100 degres; 2° en 200 degres; 3° en 4<>o degres; 4° en 240 degres;
5° en 36o degres.
Dans tous les cas, le degre serait subdivise decimalement.
654 PROJETS DE DECIMALISATION DU TEMPS ET DE LA CIRCONFERENCE.
Examinons successivement chacun de ces syst&mes que j'appellerai, pour
abrgger, le syst&me 100, le syst&me 200, etc.
Avantages du systems 100. — 1° II est le plus satisfaisant pour Fesprit.
2° C'est celui qui s'adapte le mieux au calcul des angles plus grands que 27:.
On peut en effet, sans aucun calcul, extraire d'un angle plus grand que In
circonference le plus grand multiple de la circonference qui y est contenu.
Inconvenients du systems 100. — i° 11 esL incompatible avec la division du
jour en 24 neures.
Si le jour etait divise en 24 neures et la circonference en 100 degr£s, la
conversion des arcs en temps exigerail une division par 24 qui est un facteur
compliqu6.
2° Pour transformer dans le syst&me 100 un angle donng par les anciens
documents et exprime en degr^s, minutes et secondes, il faut d'abord d^cima-
liser cet angle, c'est-a-dire 1'exprimer en fractions d^cimales de degr£s et
diviser ensuite par 36 qui est un facteur compliqu<5.
Avantages du systeme 400. — i° II exisle; il est employ^ depuis un si&cle
par les g6od6siens francais et Strangers.
2° Les tables trigonomgtriques correspondantes ont 6t<5 calcul^es et impri-
m^es; la r^impression en serail facile.
3° C'est celui qui s'adapte le mieux aux calculs trigonom^triques ; car on
passe imm^diatement de I'expression d'un angle 4 celle de son complement et
de son supplement, ou a celle des angles qui ont in toes lignes trigono-
m&triques.
4° II est conforme au principe du systeme m^trique qui a parlag6 le m<5ri-
dien terrestre en 4o millions de metres.
Comme consequence, le nouveau mille marin serait 6gal au kilometre. On
sail que les marins sont obliges djadopter pour unit<§ de longueur la minute
d'arc de la circonference terrestre; lew mille actuel est de i852m. Dans les
syst&mes 100, 200. 240, 36o, le nouveau mille serait respectivement de 4 kilo-
Inconv£nients du systeme 400. — Le systeme 4oo ne remplit qu'imparfai-
PROJETS DE DECIMALISATION DU TEMPS ET DE LA CIRCONFERENCE. 655
lemcnt les autres conditions, sans qu'aucune pourlant le soil assez mal pour
rendre la solution inacceptable.
i° II est moins propre que le systeme 100 au calcul des angles plus grands
que 2 TT. Pour extraire d'un pareil angle le plus grand multiple de la circonfe-
rence qui y est contenu, il faul procEder a une division par 4. Sous ce rapport,
en revanche, le systSme 4oo est tr&s supErieur aux syst&nes 240 et 36o.
Si Ton divise le jour en 24 lieures et la circonference en 4oo grades, il
faudra, pour convertir le temps en arc ou inversement, faire une multiplica-
tion ou une division par 6. A ce point de vue, le syst&me 4oo est preferable au
syst&me 100, mais inferieur au syst&me 36o et surtout au syst&me 240.
2° Pour transformer en grades un angle donn<§ par les documents anciens el
oxprime en degrEs, minutes et secondes, il faut d'abord le convertir en frac-
tions dcScimales du degrE et le diviser ensuite par 9.
La multiplication par 9 serait une operation trtjs simple : la division est plus
compliquge, mais n'est cependant pas inacceptable*
Avantages et inconvenients du systems 200. — Le syst&me 200, interm6-
diaire entre les sytkmes i oo el 4°°? participe tSvidemment des avantages et des
inconv(5nients de Pun et de Pautre.
Avaniages du systems 240. — i° La conversion du lemps en arc se fait
sans aucun calcul.
2° L'angie du triangle Equilateral contient un nombre entier de degr^s.
3° II en est de m£me du fuseau horaire (on sait que, dans le syst&me
adopts par toutes les nations civilis6es, sauf la France, 1'Espagneetle Portugal,
la surface du Globe est partag^e en 24 fuseauz horaires et que 1'heure legate
est pour chacun. de ces fuseaux celle du m^ridien central du fuseau).
4° Pour transformer un angle donng par les documents anciens, il suffira de
le convertir en fractions decimales du degr<5, puis de proceder a une division
par i57 ce qui se fait en prenant le tiers et en retranchant.
5° II serait facile d'adapter au syst&me 240 les tables du D£p6t de la Guerre
calculees pour le syst&me 4oo. Ges tables donnent les lignes ti'igonom6triques
des arcs de 10 en 10 secondes. Mais 5 seeondes du syst&me 4°° Equivalent a
3 secondes du systdme 240. On aurait done immEdiatement les lignes trigono-
mEtriqucs de 6 secondes en 6 secondes et Pinterpolation serait facile.
656 PROJETS DE DECIMALISATION DU TEMPS ET DE LA CIRCONFERENCE.
Avantages du systeme 360. — Les avantages du systeme 36o sont ana-
logues a ceux du prt5c<5dent :
i° La conversion du temps en arc 6t la conversion inverse exigent seulement
une multiplication on une division par i5.
3° L'angle du triangle Equilateral et celui du fuseau horaire contiennent un
nombre entier de degr^s.
3° Pour transformer un angle donntS par les documents anciens, il suffit de
le convertir en fractions d^cimales du degr^, operation qui est n^cessaire dans
tous les syst&mes.
Le systeme 36o est done sup6rieur au systeme 240, en ce qui concerne la
conversion des documents anciens , mais inferieur en ce qui concerne la
conversion du temps en arc: operation qui semble devoir £tre plus frgquenle.
Le systeme 240 est d'ailleurs plus satisfaisant pour Fesprit.
Inconvenient^ des systemes 240 et 360. — Ces deux syst&mes ont un incon-
v6nient commun.
Us ne se patent pas convenablement au calcul des angles plus grands que 271;
on serait conduit en effet a une division par 24 ou par 36,
Comparaison des divers syst&mes.
Pour faciliter la comparaison des divers syst&mes et pour faire appr^cier
dans quelle mesure ils satisfont aux differentes conditions, je donne pour
chacun d'eux le tableau des trois coefficients de transformation.
Le premier coefficient est celui qui intervient dans le calcul des angles plus
grands que 2ir.
Le second est celui qui sert a la conversion des temps en arcs.
Le troisteme est celui qu'on doit employer dans la conversion des documents
anciens; c'est le rapport du degrg ancien au degr6 nouveau.
Ces coefficients sont, bien entendu, d£barrass<3s des puissances de 10,
Syst&mes. 1« coefficient. 2* coeffictejat, 3« coefficient.
100 , i 24 35
200 2 12 I8
400 4 6 Q
240 24 x I5
360 36 i5 z
PROJETS DE DECIMALISATION DU TEMPS ET DE LA CIRCONFERENCE. 667
Decisions de la Commission.
Quelles que soienl les nouvelles unites adoptees, elles devront £tre subdi-
visees decimalement.
L'accord etait facile sur cette premiere resolution, qui suffisait d'ailleurs
pour assurer les resultats les plus essentials.
La Commission Pa adoptee a 1'unanimite.
D'autre part, peu de membres ont pense qu'il fut possible de faire renoncer
le public a la division du jour en 24 heures. On etait done force de conserver
1'heure actuelle comme unite de temps (au moms en ce qui concerne le temps
solaire moyen civil ou astronomique). Mais les subdivisions nouvelles de 1'heure
devaient <Hre decimales.
Cette seconde resolution a ete adoptee a une grande majority.
L'hesitation a ete plus grande en ce qui concerne le choix de Punite d'angle.
On le comprendra sans peine en se reportant a Texamen qui precede et ou j'ai
cherche a exposer les avantages et les inconvenients des divers syst&mes.
Tous sont acceptables, tous realisent un progrtjs considerable sur la subdi-
vision sexagesimal, mais tous ont leurs defauts.
Neanmoins, il fallait prendre une decision, et, apr&s une discussion appro-
fondie, la majorite s'est prononcee pour le syst^me 4oo.
Voici quelques-unes des raisons qui ont motive ce vote :
i° En sc reportant au tableau precedent, on voit que le syst&me 4^0 est le
seul pour lequel aucun des trois coefficients de transformation n'est un nombre
complique ;
2° On aurait pu craindre d'augmenter la confusion en imaginant un troi-
si^me systSme a cdte de celui du grade deja employe par les geodesiens et de
celui des degres, minutes et secondes, dont Tusage estreste jusqu'ici universel;
3° Tout en se resignant a, conserver provisoirement la division du jour en
24 heures, plusieurs membres de la Commission n'avaient pas renonce a Fespoir
qu'un progr^s nouveau pourrait, dans un avenir incertain et eloigne} conduire
a un mode de division plus rationnel et plus conforme au syst&me decimal.
L'adoption du syst^me 240 aurait certainement barre la route a ce progr^s ; au
conlraire, celle du systfeme 4oo contribuera peut-^tre ^. y preparer tout douce-
ment les esprits.
H. p. -, YIII. 83
658 . PROJETS DE DECIMALISATION DU TEMPS ET DE LA CIRCONF1&ENCE.
L'unite" de lemps ne sera done, pas plus qu'aujourd'hui, la m6me que T
d'arc, G'est un inconvenient s&rieux, sans doute, mais la majority n'a pas
estime" qu'il put compenser les avantages de la solution adoptee.
Maniere de compter les heures.
La Commission a pris une autre decision fort importante qui se rapportail
indirectement a Tobjet de ses travaux,
On sail que les astronomes ne comptent pas le temps mojen comme on le
fait dans les usages civils. Le jour moyen astronomique commence a midi el se
divise en 24 heures compte'es de o a 24. Le jour moyen civil commence &
minuit et se divise en deux p^riodes de 12 heures compte'es de o a 12.
Le Bureau des Longitudes s'est occupe" il y a quelques ann£es d'un projet
destin^ a faire disparaitre cette anomalie; il avait gmis un avis favorable; le
rapport adresse" au Ministre a ce sujet a 6t6 publie* dans VAnnuaire du Bureau
des Longitudes pour I'anne'e 1896.
Nous n'avons pas a parler ici de cette rdforme que 1'impossibililg d'une
entente Internationale a oblige" d'ajourner.
Mais le Bureau des Longitudes avait, £ cette occasion, 6mis un autre voeu
par des motifs qui se trouvent exposes dans le rapport que je viens de citer.
En Italie, Fheure civile se compte de o & 24 comme Theure astronomique;
d'autres pays se sont rallies au m^me syst^me en ce qui concerne le service des
Ghemins de fer.
Le Bureau des Longitudes avait done propose" d'adopter en France la mime
mesure.
Sur rinitiative de M. Noblemaire, directeur de la Gompagnie de Paris-Lyon-
M^diterrane'e, la Commission a d<5cid63 k Funanimit6 des votants, qujil y avait
lieu de renouveler ce vceu.
L'auteur de cette proposition e"tait mieux k m<*me que personne d'appr^cier
les simplifications que cette r^forme permettrait d'apporter dans le service des
Chemins de fer.
Les avantages pour le public ne seront pas moins grands; il faudrait n'avoir
jamais consulte" un indicateur pour ne pas s'en rendre compte.
En Italie, le changement s'est fait sans aucune difficult^
PROJETS DE DECIMALISATION DU TEMPS ET DE LA CIRCONFERENCE.
Examen de diverges difficult es.
659
11 faut maintenant examiner certaines difficultes qu'il nous reste a vaincre.
Le sjsteme adopts obligera a de nombreuses conversions du temps en arc.
II esl vrai que cette operation, assez penible avec le sjsteme sexagesimal, se
irouve considerablement simplifiee par le seul fait de la decimalisation.
Peut-dtre pourrait-on attenuer Pinconvenient en exprirnant en arc les ascen-
sions droites, les angles horaires et le lemps sideral.
La question, qui est d'ailleurs eomplexe, n'a pas ete examinee par la Com-
mission.
La question des unites electriques, celle de Pobservation a P ceil eta Foreille,
cello de Padaptation des chronometres et des instruments, retiendront plus
longtemps notre attention.
SystSme C.O.S.
Pour les mecaniciens, les physiciens, les electriciens, Punite de temps est la
soconde; ils se servent rarement de Pheure et de la minute, de sorte qu'un
changement d'unite serait pour eux une g£ne presque sans compensation.
Mais ce n'est pas tout; des trois unite's fondamen tales : longueur, masse et,
lomps, d^rivent toutes les unites secondaires; on ne pourrait toucher a la
soconde sans modifier en m^me temps Funite de force, et les unite's electriques,
ohm, ampere, volt, etc.
A la suite de longues discussions, les physiciens sont arrives a un syst&me
d'unites parfaitement coherent et tout d fait satisfaisant pour Fesprit. Son ave-
nement a paru un progres comparable d Finvention du syst&me metrique. II
est clair que les physiciens ne pourraient Fabandonner sans repugnance.
Sans doute un changement ne rencontrerait pas des obstacles materials
insurmontables ; mais Funiformite des mesures electriques est une conqu^te
trop recente et trop precieuse. On craindrait de la compromettre en remettant
tout en discussion.
Cependant les physiciens peuvent conserver la seconde, quand m6me, les
astronomes, les marins, ou m^me le public adopteraient Fheure decimalisee.
Cette dualite aura-t-elle quelque inconvenient? Je ne le crois pas.
Les industriels ne s'en apercevront m6me pas.
Pour les physiciens de laboratoire ce ne sera qu'une gtoe insignifiante.
660 PROJETS DE DECIMALISATION DU TEMPS ET DE LA CIRCONFE*RENCE.
L'industriel qui emploie Pohm pour mesurer une resistance se rappelle-l-il
bien que Pohm est une vitesse? En tout cas, ce souvenirne peut ni le g&ner, ni
le servir. Peu lui importe, par consequent, que I'unite de temps qui a servi £
Porigine pour la definition de Pohm soit ou ne soit pas celle dont les astro-
nomes font usage dans des recherclies toutes differentes .
Cette circonstance ne pourrait devenir une g6ne que dans les cas ou Ton a
a mesurer un temps.
Or, dans les mesures relatives, les seules que les industriels aient a effectuer,
le temps n'intervient pas. Ni dans la comparaison de deux resistances, ni dans
celle de deux intensites, ni dans celle de deux forces electromotrices, on n'a &
mesurer un temps. Toutes ces operations peuvent se faire sans qu'£ aucun
moment on ait m&oae besoin de se rappeler quelle estPunite de temps employee;
pas plus que le boutiquier qui mesure de la toile avec un m&tre n'a besoin de
se rappeler que ce m&tre est la quarante-millioni&me partie du meridien
terrestre.
Le changement d'unite n'interesse done que les physiciens qui ont a faire
des determinations absolves, &. determiner par exemple Pohm, Pamp&re et le
volt. Eh bien, dans ces recherclies, on pourra continuer a se servir d'un chro-
nom^tre a secondes. Sans doute ce chronom&tre sexagesimal ne pourra plus
que difficilement £tre compare aux horloges des observatoires devenues deci-
males. Mais qu 'importe ?"Ge chronomktre ne doit nous indiquer qu'un uiter-
valle de temps, d'ailleurs tr&s court; nous n'avons pas besoin de le remettre
a Pheure.
Mais poussons les choses a Pextr&me ; faisons une hypoth&se qui ne se reali-
sera sans doute que dans un avenir fort eloigne : les astronomes ont adopte
Pheure decimale; cet usage s'est repandu dans le public et il est devenu telle-
ment general que Pon ne peut plus se procurer chez les horlogers de chrono-
m^tres a secondes.
Quelle fg6ne en resultera-t-il pour les rares physiciens qui auront £ deter-
miner la valeur absolue de Pahm? Us auront a eflFectuer une multiplication
par 36.
Et pour leur eviter cette operation, on imposerait quotidiennement des
calculs fastidieux & des milliers de marins, & des millions d'el&ves ou d'anciens
el^ves des ecoles primaires.
A-t-on plus souvent k determiner la valeur absolue de Pohm, ou bien & faire
le point £ la mer, £ additionner deux angles ou deux temps ?
PROJETS DE DECIMALISATION DU TEMPS ET DE LA CIRCONF^RENCE. 66 1
Quc resle-t-il done ? Une anomalie purement tht§orique. II y aura deux unites,
1'heure pour les astronomies, la seconde pour les physiciens.
Gela est certainement peu satisfaisant pour Tesprit. Mais, en somme, ces
deux unites existent d£ja : les 6lectriciens eux-m£mes emploient concurrem-
ment I'amp&re-heure et le coulomb. Le rapport de la seconde a 1'heure
deviendra-t-il plus compliqu^ quand les astronomes ne compteront plus
en secondes ?
L'anomalie existe done d<5ja; seulement elle paraitra plus choquante, parce
qu'elle aura disparu ailleurs.
En rgsum<3, on ne voit pas pourquoi les physiciens interdiraient un progr&s
aux astronomes et au public, uniquement parce qu'ils ne peuvent pas eux-
m£mes en profiler.
Observations a 1'oeil et a Foreille.
On a fait aux projets de rgforme une autre objection.
Dans les observations m^ridiennes a 1'oeil et a 1'oreille, il est facile d'apprgcier
le dixi&me de la seconde actuelle ; la seconde nouvelle qui est £gale & o° 36 est
beaucoup plus courte; I'appr6ciation du dixi&me deviendra impossible.
La rtSponse est facile; en premier lieu, dans la plupart des observatoires,
Pobservation au chronographe enregistreur tend & se substituer aux anciens
proc6d6s a l'oeil et a 1'oreille. -
En second lieu, on pourra se servir d'un balancier battant deux secondes
nouvelles (o;/72). Le battement sera assez lent pour qu'on puisse observer ^L
l'oeil et a 1'oreille. D'ailleurs le nombre 2 6tant un diviseur de 10, il n'y aurait
pas la de derogation au principe du syst^me decimal.
Si Ton se d^cidait a compter le temps sid^ral en arc, on se servirait d'un
balancier battant cinq, dix milligrades, ce qui ferait alors I7'o8. Le nombre 5
est aussi un diviseur de 10, et peut &tre introduit sans inconvenient.
Adaptation des instruments.
On a fait une objection au nouveau syst&me de division du temps; les
cadrans des horloges et des montres sont actuellement divis^s en 12 parties, et
chacune d'elles est elle-m^me subdivis^e en 5 parties plus petites : les deux
aiguilles indiquant ainsi facilement les heures et les minutes.
Dans.le nouveau syst&meril faudra tracer sur le cadrandeux cercles concen-
662 PROJETS DE DECIMALISATION DU TEMPS ET DE LA CIRCONFERENCE.
triques portant deux divisions independantes : Tune en 12 ou 24 parties, 1'autre
en 100 parties.
L'inconvenient est minime; il sera m&me facile d'ajouter cette nouvelle gra-
duation sur les montres actuelles, ce qui permettra de les utiliser encore, toutes
les fois qu'on n'aura besoin que d'une approximation grossi&re.
II n'en sera plus de m6me en ce 'qui concerne les horloges astronomiques el
les chronom&tres employes dans les mesures de precision.
II faudra : ou bien renouveler tous ces instruments, ce qui entrainerait de
grandes depenses; ou bien se resigner, jusqu'a ce qu'ils soient tous remplac^s,
a un calcul de reduction.
La difficult^ est la m&me en ce qui concerne les cercles divises. Sans doule,
la division en grades se fera sans aucune peine; on 1'emploie couramment
dans la construction des cercles du service geographique ; mais il faudra
graduer a nouveau tous les cercles existants, ou faire un calcul de reduction
apr&s chaque observation.
C'est la evidemment la pierre d'achoppement de la reforme. Se resignera-t-on
a cette g&ne pendant une periode assez longue, mais transitoire, afin d'epargner
aux generations futures les inconvenients du syst&me sexagesimal? Peut-£lre
n'est-il pas interdit de Pesperer.
En revanche, les difficult^ provenant des cartes g^ographiques, des tables
trigonom^triques et m6me des tables astronomiques paraissent beaucoup moins
s^rieuses.
II sera ais6 de tracer une double graduation sur les cadres des cartes g£ogra-
phiques, de telle fagon que les anciens cuivres pourront &tre utilises.
Quant aux tables trigonometriques, elles existent : il suffit de les reimprimer
a un plus grand nombre d'exemplaires.
Ghoix des denominations.
La Commission ne s'est pas preoccup^e de rechercher des noms pour les
unites nouvelles et leurs subdivisions. La question paraissait secondaire et
accessoire. Mais |on s'est generalement accorde ^L penser que ces unites nou-
velles devrout avoir des noms nouveaux.
Les noms de minute et de seconde devront 6tre reserves aux anciennes
mesures; sans quoi on serait expose a de contumelies confusions, Les noms de
PROJETS DE DECIMALISATION DU TEMPS ET DE LA CIRCONFERENCE. 663
, centiheure, etc., d^cigrade, centigrade, etc., semblent devoir
convenir.
G'est ddja bien assez de celles qu'engendre actuellement 1'emploi simultane
de la seconde d'arc et de la seconde de temps.
Necessite d'une entente Internationale.
Le syst&me actuel a bien des inconv^nients, mais il a un grand avantage : il
est universel; toutes les nations Pont adopt<§.
A cet avantage, on ne 'pent renoncer de gaittS de coeur. Les savants frangais
ne peuvent marcher en avant sans se prt5occuper de savoir s'ils seront suivis
par ceux des autres pays. Les avantages que leur procurerait la r^forme seraient
loin de compenser les inconvgnients de 1'isolement.
Le syst6me nouveau ne pourra done entrer en vigueur avant qu'une entente
Internationale se soit produite.
Quelque grandes que soient les difficult*^ de cette entente, on ne peut rien
faire sans elle; et si longtemps qu'il faille 1'attendre, il vaudrait mieux
patienter, la reform e dut-elle 6tre ind^finiment ajournt§e.
A l'(5poque de la Revolution, la France a naarchg seule et elle a cr£<5 le sys-
t^me m^trique; mais il n'y avait pas alors de mesures universellement adoptees.
On ne pouvait craindre d'augmenter la confusion qui 6tait a son comble.
II n'en est pas de m&me aujourd'hui.
Dans ces conditions, la Commission ne pouvait songer & arr&ter des solutions
definitives. G'est en futur Congr&s international qu'il appartiendra de les
prendre, s'il se r^unit.
Les votes de la Commission ne peuvent 6tre regard^s que comme des indica-
tions; pour faciliter "une entente, on ferait volontiers tous les sacrifices pos-
sibles sur les questions de detail.
Le seul point essentiel, c'est que les subdivisions de I'unit<5 nouvelle, quelle
qu'elle soit, devront 6tre d^cimales. Cela suffira pour que les r^sultats r^ellement
importants soient assures.
Mesures transitoires.
En attendant cette entente Internationale, qu'avons-nous a faire?
Le mieux sera, semble-t-il, d^prouver par des experiences restreintes, mais
soigneusement faites, la valeur des diff&rents systfcmes proposes.
664 PROJETS DE DECIMALISATION DU TEMPS ET DE LA CIRCONF^RENCE.
M. Guyou a etudie le projet d'une de ces experiences ; elle devrait se faire a
bord de quelques batiments de 1'fitat qui seraient munis de sextants dgcimaux,
de chronometres deeimaux et d'une Edition speciale de VExtrait de la
Connaissance des Temps, ou le systeme decimal serait employe.
La construction de ces instruments de'cimaux enttainerait tine defense
minime que le Departement de la Marine consentirait a supporter.
La Commission, dans sa derniere stance, a emis le voeu que toutes les faci-
lites soient donnees a M. le Commandant Guyou pour mener a bien cette
experience,
Conclusions,
1° Le jour splaire moyen est divise en 24 heures qui sont subdivise"es d^ci-
malement;
2° La circonference est partag^e en 4°° grades qui sont subdivisgs d6ci-
malement ;
3° Ces nouveaux modes de division du temps et de la circonference pour-
ront ^tre mis en vigueur des qu'ils auront e"te* approuv^s par un Congres
international.
II convient, sans attendre cette entente Internationale, de decider que 1'heure
civile l^gale se comptera de o a 24? comme Fheure astronomique.
5° En attendant la reunion du Congres, il y a lieu de faire des experiences
pr^liminaires que M. le Commandant Guyou veut bien se charger de diriger.
La Commission £met le voeu que toute facilite soit donne*e pour ces experiences
a M. Guyou par le Departement de la Marine.
DIXlfiME PARTIE. — CONFERENCES.
CONFERENCE SUR LES COMETES
Bulletin de la Societe indmtrielle de Mulfiousej t. 80, p. 3n-323 (octobre 1910).
Les amateurs de comtetes ont 6t£ favoris^s cette annee ; ils ont eu deux belles
com&Les visibles a Pceil nu ou du moins qui auraient d& l'6tre si le temps 1'avait
pcrmis. La premiere, la plus belle des deux, n'avait pas &t£ annonc^e; la
seconde, au contraire, avait <H6 prddite; on avail calculi son orbite d'avance et
elle csL arriv^e a point nomm6 avec une exactitude que pourraient envier les
trains de l'Ouest-£lat; mais ce n'est pas- cette exactitude qui a fait la popularity
dc la com&te de Halley; on avait annonc<3 que sa rencontre avec la Terre
ambxxerait la fin du rnonde dans la nuit du 18 mai. En France, cela se borna a
quelques chansons, mais il y a eu des pays od Ton a eu r^ellement peur, et Ton
a vu des pharmaciens qui ont fait fortune eu d^bitant je ne sais quel antidote
contre le cyanog^ne. Je ne vous apprendrai rien en vous disant que le monde a
continue a vivre apr&s le 18 mai. Mais alors ce fut une autre antienne; comme
la comdte ne se montralt pas, beaucoup de gens se.sont imaging qu'elle n'avait
jamais exists ct que les astronomes ^taient des mystificateurs. Toujours est-il
qu'on en a beaucoup parl<§ et la com^te de Halley 6tait encore une actuality
quand j'ai choisi le sujet de cette Conference; aujourd'hui elle est peut-6tre un
peu oublitSe; sans doute, il est Irop tard pour parler encore d'elle. Gependant,
pcut-(§tre y a-t-il quelque intenH ^ rechercher si r^ellement notre planfcte vient
d'^chapper a un si grand danger qu'on Pa dit.
La comfcte de Halley est ch&re aux astronomes parce que c'est la premiere
dont le retour a M pr<*dit. Halley Tayant observ^e au xvne sifecle, calcula son
orbite avec assez d'exactitude pour annonccr qu'elle reviendrait au bout de
H. P. — VIII. 84
666 CONFERENCE SUR LES COMETES.
70 ans. II mourut, bieii entendu, avantF($ch&mce, mais ses successeurs revirent
Fastre chevelu en 1769 et il revint encore a point nomm£ en i835. On Fatten-
dait en 19 10 et d£s Fannie derni£re on esp^rait pouvoir le voir avec de bons
instruments. Deux astronomes anglais calcul&rent avec soin les circonstances
de ce retour; ce n'est pas chose facile, les com&tes sont exposes a une foule de
mauvaises rencontres dans ces espaces celestes ou il r6de tant de plan6tes;
chacune de ces rencontres, m£me a tr&s grande distance, les d^tourne l£g£re-
ment de leur route, il fallait n'oublier aucune de ces rencontres et en prdvoir
les effets. Quoi qu'il en soit, on m'a montr^ Fannie derni&re, a Greenwich,
une plaque photographique reprgsentant une portion du ciel 3toil£; on y voyait
une petite tache a peine perceptible, c'^tait la commie qui se trouvait exacte-
ment au point calculi d'avance. Depuis elle a grossi et si on ne Fa pas vue a
Paris a cause du mauvais temps, ou parce qu'elle 6tait trop bas sur Fhorizon,
on Fa admir^e d'un grand nombre de points du Globe.
Mais arrivons au point qui nous int(5resse. Avons-nous r^ellement iraversg la
queue de la com&te? Nous pouvons d'abord r^pondre hardiment, non, nous ne
sommes pas passes a travers la queue le 18 mai; si nous y 6tions passes, ce ne
pourraitfrtre que deux jours apr&s. Pourquoi avait-on pu croire que nous ren-
contrerions cette queue pr^cisgment dans la nuit en question ? On avait calculi
que le noyau de la com&te passerait a ce moment devant le Soleil et cela est
arriv^ effectivement ; on ne pouvait pas le voir en Europe parce que le Soleil et
la com&te ^taient couches a Fheure du passage. On ne Fa pas vu non plus aux
antipodes, parce que le Soleil est tellement brillant et la mati&re du noyau si
pen dense et, par consequent, si transparente que F^clat du disque solaire n'en
etait pas affaibli; mais on a pu observer le noyau un peu avant et un peu apr&s
le passage et Fon s'est assurg que sa trajectoire apparente passait bien devant
le Soleil. Ainsi, a un certain moment, le Soleil, le noyau et la Terre se sont
trouv^s en ligne droite. Si la queue 6tait rectiligne, si elle £tait dirig^e a
Foppos£ du Soleil, et si elle gtait assez jlongue, elle devait done rencontrer la
Terre. Les deux derni&res conditions ^taient certainement remplies; mais
pouvait-on admettre que la queue £tait en ligne droite. On a souvent observe
des com^tes a queue recourb^e; si la queue paralt souvent rectiligne, cela
peut 6tre par un eflfet de perspective, parce que Fceil est plac6 dans le plan de
la courbe. Gette courbure parait varier d'une com^te a 1'autre et d^pendre de
la composition de la queue, c'est ce que nous verrons plus loin. On ne pouvait
done pr^voir quelle serait cette courbure, ni si elle serait assez faible pour que
CONFERENCE SUR LES COMETES. fifty
la rencontre restat possible; les observations ne nous apprenaient rien non
plus, parce quo le mauvais temps avail ernp6ch<$ de rien voir en Europe dans
les jours qui avaient pr<5c<5d<§ le passage, et que celles qui nous venaient des
aulrcs continents nous arrivaient par le I6l6graphe et sous line forme singulifc-
rement succincte. Mais si la queue avait <H6 rectiligne on auraii dii la voir le
lendemain tr&s courte et oppos<§e au Soleil; ce n'est pas du tout cela qu'oii a
vu; le soir on voyait le noyau avec une courte queue se perdant sous PKorizon
du c6t6 du Soleil, et le matin, le noyau et le Soleil n'gtant pas encore Iev<§s, on
voyait encore une certaine longueur de quene; c'est ce qu'on vit le 19 et le
20 mai au matin. La terre n'avait done pas encore franchi la queue; le 21
sculement cette queue du matin avait disparu, nous venions seulement de
d^passer la queue.
La queue <§tait done notablement courbe et si nousl'avons travers^e, ce n'est
que dans la nuit du 20 au 21. Quelle que soit sa courbure, nous 1'aurions ren-
contr^e t6t ou tard si 1'orbite de la com&te et celle de la Terre avaient 6t6 dans
un m6me plan. Mais il n'en est plus de m&me si les deux orbites sont inclines
1'une sur 1'autre; nous pouvons alors d6passer la queue sans passer dedans,
mais en passant dessus ou dessous. L'axe de la queue 6tait gvidemment dans le
plan de 1'orbite de la com£te; 1'inclinaison de ce plan £tant de 18°, la Terre
<Hait a plus d'un million de kilometres de ce plan dans la nuit du 20 mai. Ne
vous effrayez pas de ce chiffre, cela n'est pas 6norme; la question est de savoir
si l'6paisseur de la queue 6tait de plus de 2 ooo ooo de kilometres. II semble
que non d'aprfcs les observations faites, et alors nous devons conclure que
nous n'avons pas traverse la queue, que nous 1'avons tout au plus fr6l£e en
effleurant 1'es parties ext^rieures les moins denses.
D<3j£ en 1861, on a dit qne nous 6tions passes dans la queue d'une com^te;
les domnSes me manquent pour vous dire si cette hypotk&se est conforme aux
faits; en tout cas les choses se sont passeSes d'une fagon aussi peu tragique que
le 1 8 mai dernier, Mais une autre question se pose : si r6ellement nous avions
travers^ la queue d'une com&te que serai t-il arrivg ? Pour y r^pondre, il est
n6cessaire que je vous rappelle rapidement ce que nous savons des com^tes en
Et d'abord, d'ou viennent les comdtes? Sont-elles 6trang^res a notre syst^me
solaire; traversent-elles en tons seas les espaces immenses qui s^parent les
(Stoiles ? sont-elles des messag^res qui vont d'une constellation a 1'autre; ou
bien, au contraire, ces astres sont-ils des membres fantaisistes de notre systeme,
668 CONFERENCE SUR LES COM&TES.
des satellites tr&s excentriques du Soleil? Dans co dernier cas, elles doivent
toutes decrire des courbes fermges, des ellipses; dans le premier, leurs trajec—
toires doivent s'etendre a Finfini; c'est ce que nous appelons des hyperboles.
La plupart decrivent des courbes tellement allong^es qu'il est impossible de
savoir si elles sont ferm6es ou non, si, par consequent, Fastre qui les decrit
nous reviendra un jour, ou si nous sommes destines a ne le revoir jamais ; je
ne parle pas de nous, bien entendu, mais do nos descendants les plus lointains;
car, si la com&te doit revenir, ce sera souvent dans 10000 ans, peul-£tre dans
DO ooo ans. Mais le calcul des probability nous montre que si les com£tes
n'appartenaient pas au syst&me solaire, elles devraient, en majorite, avoir des
orbites franchement hyperboliques, sur lesquelles il n'y aurail pas moyen de
se tromper; or, il n'y en a pas une seule qui soit dans ce cas.
La conclusion, c'est que les com^tes ont appartenu de tout temps au syst&me
solaire, qu'elles ne nous apportent pas des nouvelles des mondes plus lointains,
de ceux qui gravitent autour des autres etoiles. En general, elles decrivent des
orbites beaucoup plus allonges que les plan^tes, elles s'eloignent beaucoup
plus du Soleil et Ton peut admettre qu'elles mettent plusieurs milliers d'annees
& faire une revolution complete. La premiere com&te de cette annee, la plus
belle des deux, n'avait pas ete annoncee parce qu'elle n'etait pas encore passee
dans notre voisinage depuis les temps bistoriques; c'etaitla premi&re fois qu'on
la voyait. Nous avons vu toutefois que la seconde, celle de Halley, revient tous
les ^5 ans ; =il y en a d'autres dont le retour est encore plus frequent, tous
les 6 ans, par example. A quoi cela tient-il; ont-elles une autre origine que
les autres, une origine qui ferait d'elles des intermediates entre les com^tes
proprement dites et les plan^tes ? Pas le moins du monde; autrefois, elles
mettaient comme les autres des milliers d'ann^es ^ faire le tour de leur orbite,
mais il leur est arrive dans le cours de leur histoire une m^saventure ; elles ont
rencontre une grosse planfcte; je ne veux pas dire qu'elles Tont choqude; elles
sont simplement passees assez pr^s pour que leur trajectoire soit profondement
troublee; deviees de leur route, elles ont quitte la grande ellipse allonge
qu'elles decrivaient, pour suivre une autre ellipse plus petite, plus semblable k
un cercle, qu'ellcs peuvent parcourir en moms de temps. C'est ainsi que la
comMe de Halley a ete captee, corame on dit, par Neptune, et la plupart des
autres com&tes periodiques par Jupiter.
Quel est maintenam Favemr des comfetes ? Nous voyons les plan^tes graviter
autour du Soleil sans subir de changemeat sensible; sans doute, elles. ne sont
CONFERENCE SUR LES COMETES. 669
pas <Hernelles, elles p6rironl un jour, mais dans si longtemps ! En esl-il de
m6me des comfctes ? Non, ces astres p&riclitent rapidement at nous en avons
vu disparaitre sous nos yeux.
Ainsi, ily avail une com&le, celle de Bi<§la, qui avail <§Ui capttSe par Jupiter
el qui revenail lous les 6 ans. A un de ces passages, il y a une cinquantaine
d'annges, comme on avail <3l£ quelques jours sans po avoir 1'observer, a cause
du mauvais lemps, on Pa revue divis6e en deux par je ne sais quel caiaclysme;
les deux noyaux scmblaienl s'gloigner Pun de 1'auire. On les revil encore a
1'apparilion suivanle. Six ans apr£s encore, on allendail la commie, on ne la vit
pas reparailre el, depuis, elle n'esl plus revenue; mais, au lieu el place de la
com&le dgfunle, on a une pluie d'gloiles filanles qui reviennenl maintenant
rgguli&remeni; si Ton calcule Forbile de ces gloiles filanles, on irouve qu'elle
coincide avec celle que suivait aulrefois la com≤ c'est pourquoi ces gioiles
filanles que Ton revoil lous les ans, le 27 novembre, onl regu le nom de
Bi&lides. Schiaparelli, le grand astronome ilalien qui vienl de mourir, a g£n6-
ralisg ce rgsullat; il a reconnu qu'un grand nombre d'essaims de m6t6ores onL
des orbiles en connexion inlirne avec celles de eom&les vivanles ou disparues.
Sans doute, la coincidence n'esl pas parfaile, puisque Torbite de la comfcle ne
renconlranL pas celle de la Terre, nous ne verrions pas les rn6l6ores, s'ils ne
s'en ^cartaient un peu. D'ailleurs ces gloiles filanles suivenl a peu pr^js la roule
de la commie, mais elles sont rgpandues loul le long de celle roule, plus ou
inoins en retard sur la commie qui lenr a donng naissance.
Ceci me rapp'elle encore une hisloire de fin dumonde. L'essaim des L^onides
circule dans Torbiie de la commie de 1866; on voil lous les ans des 6ioiles
filanles le i3 novombre; mais, lous les 33 ans, le nombre des mgieores apergus
esl un maximum, parce que la dsrtSe de la revolution de la comfete est de
33 ans. Or, les journaux bien informds avaient annonc^ que la fin du monde
devail avoir lieu le i3 novembre 1899. Tout $plor6, un journalisle vint m'inler-
viewer, je le rassurai en lui disant que le inline ph6nom&ne s'6lail d6ja
produit en i833 el en 1866.
Ainsi, les comfetes se d^sagrftgent peu b. peu et fmissent parse r^soudre enun
essaim d7gtoiles filanles; commenl se faii-il alors qu'il y ait encore des com&tes
depuis le lemps que le monde dure ? C'esl que celle lente destruction des
aslres chevelus parait ne se produire qu'au moment ou ils passent pr^s du
SoleiL Tanl qu'une commie ne passe au p&ihslie que tous les 10000 ans, par
exemple, elle peut ^videmment durer Jbngtemps; mais vienl-elle a etre capt<5e
670 CONFERENCE SUR LES COMETES.
par une plantjte, comme nous 1'avons dit tout a I'heure, elle devientperiodique,
se rapproche davantage du Soleil et revient tous les si&cles, ou m£me tous les
10 ans, se reckauSer a ses rayons. Desormais, ses jours sont cotnptes et
1'ceuvre de mort se poursuit rapidement.
Pourquoi maintenant les corn&tes ont-elles des queues ? et si elles n'avaienl
pas de queue, il faut bien le reconnaitre, per'sonne, en dehors des profes-
sionnels, ne ferait attention a elle. C'est la une question dont on a proposed
bien des solutions plus ou moins saugrenues; il y en a une maintenant qui esl
a la mode et qui parait appuyee d'assez bonnes raisons pour qu'on puisse se
demander si elle n'est pas destinee a durer. Mais ceci necessite quelques expli-
cations. Maxwell, en se fondant sur des considerations theoriques etait arrive
a cette conclusion que la lumi&re devait repousser les corps qu'elle frappe;
depuis, Bartholi, par d'autres considerations theoriques aussi, mais enticement
differentes, etail arrive i^la mSme conclusion. II restait a verifier ces hypo-
tk&ses et la difficult^ provenait de la petitesse de cetle repulsion. C'est dans ce
but que fut imaging un instrument que vous connaissez bien, le radiom&tre;
on esp&rait qu'il tournerait sous 1'influence de la lumi&re, comme 1'exigeait la
throne. II tourna, en eSet; il tourna mdme beaucoup plus vite qu'on ne s'y
attendait; malheureusement, il tournait a 1'envcrs. II y avait done un effet que
personne n'avait pr6vu, qui tStait beaucoup plus considerable que celui qu'on
avait calculi et qui le masquait compl&tement ; il fallait en d<5couvrir la cause;
on y parvint sans trop de peine; la rotation est due aux mouvements
determines dans Pair tr^s rarefie qui remplit 1'appareil par les inegaliies
d'echaujGfement.
On essaya alors d'eliminer cet efFet perturbateur en prenant des palettes ir&s
minces et brillantes des deux cotes; 1'appareil ne lourna pas, mais il subit une
leg&re deviation; on m'a dit que cetle deviation est en accord avec la theorie.
Pai entendu parler aussi d'une experience plus frappante. On fait tomber dans
un sablier un melange de limaille de fer et de poudre de lycopode; a un certain
moment, on dirige sur ce melange un faisceau lumineux; le fer, qui est plus
lourdj continue son chemin vertical, mais le lycopode, repousse par la lumi&re,
se trouve devie et separe de la limaille. On aurait la, pense-t-on, une repro-
duction artificielle des queues cometaires; la limaille representerait le noyau,
forme de matures plus lourdes, qui contirxuerait a parcourir son ellipse, avec
1^ sagesse d'une simple plan&te; le lycopode, ce serait la queue qui, au lieu de
CONFERENCE SUR LES COMETES. (J7I
rester sur cetLe ellipse, serait d6vi6e et rejetee an loin par la repulsion due a la
lumi&re solaire.
La queue serait done form^e de particules trfcs tfeues, assez ttSnues pour que
celte repulsion Pemporte sur Pattraction newtonienne. On conceit, en effel,
que cette attraction est proportionnelle aux masses, tandis que la repulsion,
qui agil superficiellement, est proportionnelle aux surfaces; si done on consi-
d&re deux spheres et que la plus grande ait un rayon double, la plus grande
sera allude Imii fois plus et repoussge quatre fois plus que la petite; il peut
done se faire que la repulsion predomine pour la plus petite et Pattraction
pour la plus grande.
Quelle peut 6 ire la dimension de ces particules? On peut s'en rendre
comple. Un astronome russe, M. Bredicliin, a 6tudi<* les formes des queues
com<5taires; il a reconnu que la th^orie pnScddente pouvait en rendre compte;
que la courbure cles queues <Hait variable, sans doute d'apr&s la composition
des particules, et que cette courbure d&iotait diffiSrents types de particules,
pour lesquels la repulsion 6tait soit cinq fois, soit sept fois, soit mSme vingl
lois plus grande que Pattraction. A quelles dimensions cela nous conduit-il
pour ces corpuscules ? Cela depend naturellement de la density qu'on leur
attribue; rnais remarquons qu'ils ne peuvent 6tre gazeux; les gaz sont trans-
parents, ils laissent passer la lumiere qui les traverserait sans agir sur eux.
On les regarde done comme solides ou liquides et on leur attribue, un peu
arbitrairement, la density du pelrole, sans doute parce que Ton a trouvg les
rales des hydrocarbures dans le spectre des com&tes. Le calcul montre alors
que le diam^tre de ces particules doit 6tre de Pordre dumilli&mede millimetre.
Les divers types de queues de Bredicliin correspondraient alors, soit a des
particules de diam6tres diffgrents, soit ^ des particules formges de substances
plus ou moins denses.
On voit comment nous devons maintenant nous repr^senter la genese des
queues com^taires. La queue est comme un panache que le noyau transporte
avec lui ; mais il y a deux esp&ces de panaches; il y a celui que le militaire
porte a son casque ou & son k6pi, et il y a le panache de fum£e qui sort de la
chemin<5e des bateaux a vapeur. Le panache du militaire voyage avec lui, il est
toujours form(5 des m6mes plumes, il fait corps avec le casque. Un observateur
superficiel pourrait croire qu'il en est de m6me du panache de fum^e du
paquebot, puisqu'il verrait que le navire est all6 de New-York au Havre sans
cesser de trainer derri&re lui une sorte de queue qui a conserve tout le temps
672 CONFERENCE SUR LES COMETES.
a peu pr6s la m£ine forme. Et pourtant nous savons qu'il n'en est rien, que la
fum<5e se serait promptement dissip^e si la cliemin6e n'en avail constamment
fourni de nouvelle pour remplacer celle qui disparaissait. La fum^e qui est
arriv(5e au Havre n'est pas du tout celle qui ^tait partie de New-York.
La queue d'une com&te est semblable a la fura^e du bateau; ce ix'est pas une
esp&ce de grand sabre avec lequel la com&te fauche 1'espace. Mais a chaque
instant, pour une cause inconnue, et sans doute sous 1'influence de la chaleur
solaire, des particules se dgtachent du noyau; la com£te s'effrite, pour ainsi
dire; une fois d&ach6es, leur l£g£ret<5 m&me les expose a la repulsion due a la
lumi&re solaire et elles s'^loignent en se perdant dans 1'espace; la queue aurait
bient6t disparu, si elle ne se renouvelait sans cesse.
Dans ces conditions, vous comprenez que la rencontre de cette queue ne
peut pas 6tre bien redoutable. Et d'abord la masse des com^tes n'est pas tr&s
considerable; on n'a jamais observ£ qu'elles exercassent sur les orbites plan6-
taires la plus l<5g£re influence perturbatrice. Une d'elles esl pass<5e une fois
entre Jupiter et ses satellites; sa trajectoire a 616 fortement d<5vi<3e, mais ni
Jupiter ni les satellites n'ont eu Fair de s'apercevoir de rien. Laplace a 616
jusqu'a dire que la masse d'une com&te n'est que de quelques kilogrammes; en
cela, il exaggrait, <5videmment; la rencontre d'un noyau avec la Terre engen-
drerait sans doute quelques d6g£ts, mais cette Eventuality est extr^mement peu
probable, les noyaux sont relativement tr^s petits et nous n'aurions vraiment
pas de chance d'aller donner justement dans un but aussi restreint. II n'en est
pas de m£me pour les queues, qui occupent dans le ciel des espaces ^normes,
mais alors leur density devient vraiment n6gligeable et il est ais6 de s'en
rendre compte.
Ce qui pourrait faire croire le contraire, c'est la lumi^re dont elles brillent.
Si nous admettons m^me que tout provient de la lumi&re solaire r<5fl(5chie et
qu'il n'y a pas a faire intervenir ces pbgnom£nes catnodiques qui peuvent se
produire dans le vide, il n'y aurait pas lieu de trop s'effrayer.
Si nous considSrons tine m6me masse 6clair6e par le Soleil, la quantity de
lumi^re qu'elle r^fl^chira sera d'autant plus grande qu'elle sera plus divis^e.
Si cette masse est foran^e d'un grand nombre de petites spheres, la lutni^re
r^fl^chie sera d'autant plus intense que ces spheres seront plus petites. II est
ais6 de s'en rendre compte ; consid^rons de grosses spheres de ae de rayon et
de petites spheres de ic de rayon; le volume ou la masse de la grosse sphere
sera huit fois le volume de la masse de la petite, mais la surface de la grosse
CONFERENCE SUR LES COM&TES. 673
sphfero sera sculemonl qua ire fois la surface de la petite. Hint pctites spheres
c'jquivaudront done a uno grosso au point de vue de la masse; mais elles auront
on lout deux fois plus de surface; elles r<5ftechiront done deux fois plus de
Inmifcro, La Lime a un peu plus de i ooo km de rayon et nos particules ont un
millifcme de millimetre. Si done nous remplissions le volume de la Lune par
de parcsillos particules, de facon quo la densile totale soit un million de millions
de fois plus petite que cellc de la Lune, la lumtere qu'elles r<£flechiraient
aurail Pticlal de la Lime. Si nous les regardions a la distance de noire satellite,
olios nous feraient Peflel de la Lune; si nous <5tions plus loin, nous verrions un
disqne plus petit, mais dont Pgclal serail le mtoie.
Or, on ne saurait songer a comparer P^clai d'une queue conuHaire a celui
de la Lune; il est peul-Glre cent mille fois plus faible, je ne crois pas qu'on ait
fait de mesurc, meltons mille fois; nous devons conclure que la density de ces
particules esl ioiK fois plus petite que celle de 1'eau; nous pouvons dire que
c'est le vide, puisque c'est une density un milliard de fois plus faible que celles
auxqnelles nous parvenons avec beaucoup de peine quand nous avons fait le
vide dans nos apparcils, avec les mojens artificiels les plus perfectionn^s que
nous commissions.
Nous n'avons done ricn a redouter du choc; allons-nous done craindre les
effcts caloriilques ? En voyant les queues si brillantes, nous pourrions croire
qu'elles sonL chaudcs; mais noire Terre, qui n'est pas chaude, apparaitrait
bien plus brillante encore; a cette distance, elle aurait Paspect qu'ont pour
nous Mars ou Jupiter. Ces particules sont, au contraire, ir&s froides, et elles
seraienL chaudcs qu'il n'y aurait pas a s'en inquirer, parce que leur masse esl
trop faible; une goulle d'eau bouillante jet6e dans la mer ne la nSchauffierait
pas sonsiblemcnl. Nous devons done conclure comme il suit : nous n'avons
pas traverse la queue le 18 mai, nous n'avons fait que la frdler le 20, mais nous
1'aurions rencontr<5e que nous ne nous en serions pas apergus; nous aurions
dormi cornme c\ Tordinaire et, en nous r(5veillant le lendemain, nous aurions
trouv6 le monde tout pareil ^t ce qu'il 6taitlaveille. Les astronomes qui auraient
voill(5 n'auraient rien vu du tout, pas ni6me ces 6toiles filantes dues a la d^sa-
gr^galion des com^tes et qu'on a observes en 1899.
II reste cependant une question, celle des gaz d6l<H&res; nous- n'aurions 6t6
ni <Scras6s ni brtll6s; nous aurions pu Sire empoisoangs.
II est certain que la comfcte de Halley est particuli^rement riche en cyano-
g^ne; on Fa reconnu eu ^tudianl son spectre, mais les raies du cyanogSne,
H. P. — VIII. 85
6;4 CONFERENCE SUR LES COMETES.
comme celles des autrcs gaz, n'ont 6t<3 observes que dans Ics parties de la
chevelure les plus voisines du noyau; on n'cn voit pas dans la queue, soil qu'il
n'y en ait r^ellemenl pas, soit qu'il y en ait trop peu, soil qu'a une certaine
distance de la t&le il cesse d'etre lumineux. Si le mdcanisme de la formation de
la queue est celui que je vous ai expos<3, celui que suppose Bredichin, il n'y a
aucune raison pour que le cyanog&ne soit entrain<§ dans la queue. La repulsion
de la lumi^re solaire n'agit que sur les parlicules solides ou liquides, elle n'agit
pas sur les gaz, parce que ceux-ci sont transparents etn'arr^ientpaslalumi^re;
les poussi£res solides ou liquides sont seules entrain<5es el ce sonl elles exclusi-
vement qui-doivent former la queue. S'il y avait des gaz, leur density serait
sans doute plus faible encore que la densil6 moyenne de la queue, que nous
avons calcul^e tout a Fheure, elle serait tout a fait insensible, m£me pour nos
meilleurs instruments, mgme pour les organismes les plus susceptibles. On a
fait des prises d'essai apr&s le passage pour savoir si la composition de 1'atmo-
sph&re avait vari6; on n'a rien trouv<3 du tout; c'6tait bien inutile, il (Hait bien
impossible qu'oii y trouvat quelque chose. Le danger d'empoisonnement <Hait
done aussi chim^rique que les deux autres.
Une derni&re question; les deux com&tes de cette ann6e ont-elles <H6 pour
quelque chose dans les mauvais temps que nous avons subis ? II y a, a ce sujel,
une th^orie int^ressante de mon ami M. Deslandres. On admet g(§n£ralement
que le Soleil nous envoie des rayons cathodiques et ce sont ces rayons, qui
produiraient, par exemple, les aurores bor&iles. Quand les rayons cathodiques
frappent dans le vide une surface solide ou liquide, ils engendrent des
rayons X; les rayons cathodiques solaires trouvent dans les particules qui
forment les queues com6taires une grande (Hendue de surface r6fl£chissante.
La presence des com&tes va done engendrer des rayons X qui sillonneront
Tespace. Les rayons X ionisent Fatmosph^re et les ions d^terminent la conden-
sation de la vapeur d'eau. Gela ne veut pas dire qu'il pleuvra parlout; les ions
ne peuvent condenser la vapeur d'eau que s'il y en a une quantity notable;
mais dans des lieux ou 1'on aurait eu simplement beau temps avec degr6
hygrom6trique 6lev6, on aura des nuages et de la pluie.
Cette th<5orie est st5duisante ; elle m^rile d'etre examinee, mais elle soul^ve
bien des objections. D'abord, la tradition parle de com&tes qui, au lieu de nous
apporter de Teau, nous ont apport6 du vin. Et puis, s'il y a des rayons X
partout, ils doivent voiler les plaques photographiques m6me a travers les
chassis. A-t-on observes que, cette ann£e, il y a eu plus de plaques qui se sont
CONFERENCE SUR LES COMETES. 675
voices, sans savoir pourquoi ? Jusqu'a nouvel ordrc, nous devons done voir
dans les mauvais temps en question unc simple coincidence.
Je no veux pas abuser plus longtcmps de votre attention. Vous voyez que si
les cometes ne sont pas si terribles qu'on le dit, elles restent, abiendes 6gards,
des aslrcs mysl<Srieux; leur origine, leur nature, celle de la lumiere qu'elles
nous envoienl, leur destine'e, sont encore mal connues; je vous ai dit ce qu'oii
cii savait ot vous avcz vu qu'on n'en sait pas grand chose.
LA DECIMALISATION DE L'HEURE
ET
DE LA CIRCONFERENCE
LEclairage electrique, 1. 11, p. 52g-53i (12 juin 1897).
M. Cornu a public, dans un des num&ros precedents, un fort interessant
article sur les projets de decimalisation du temps et de la circonference.
Pour faire connaitre aux lecteurs de U Eclair age toutes les opinions, je
voudrais reproduire quelques-unes des raisons que j'ai fait valoir dcvant la
Commission, institute pour etudier cette question.
La question presente un aspect complexe : bien des intents differents etaient
a manager, on ne pouvait aboutir qu'a une cole mal taillee.
De pareilles solutions ne satisfont parfaitement personne et il est aise, en los
jugeant d'un point de vue exclusif, de les accabler de critiques.
Mais il suffit qu'elles r<5alisent un progr£s pour que Ton s'y r^signe.
Pour mon compte, mes preferences etaient pour le sysl&me Sarrauton; j'ai
neanmoins accept^ de faire le rapport bien qu'une solution diff^rente ait
pr^valu.
Le seul point essentiel a mes yeux, c'est qujon fera disparaitre les « nombres
complexes » tels que 8I)25m4o% a5° 17' i/f, etc.
Le choix des unites importe peu pourvu qu'elles soient divisSes decimalement.
Je crois que les electricians se sont exagere les inconvenients qui resulte-
raient pour eux de la reforme; ceux qu'engendrerait la necessite de renouveler
les chronomtoes et les cercles divis<§s sont bien autrement considerables.
DECIMALISATION DE L'HEURE ET DE LA CIRCONFISRENCE. 677
Voici la portion du rapport qui est relative au syst&me C. G. S.
« Pour les mecaniciens, les physiciens, les electriciens, Funite de lemps est
la scconde; ils se servent rarement de Fheure et de la minute, de sorte qu'un
changement d'unite seraitpour eux une g6ne presque sans compensation.
« Mais ce n'est pas tout; dcs trois -unites fondamentales : longueur, masse
et temps, derivcnt toutes les unites secondaires, on ne pourrait toucher a la
seconde sans modifier en m£me temps F unite de force, etles unites electriques,
ohm, ampere, volt, etc.
« A la suite de longues discussions, les phjsiciens sont arrives a un systeme
d'unites parfailement coherent et tout a fait satisfaisant pour Fesprit. Son
av&nemenl a paru un progr&s comparable a Finvention du systeme metrique.
Tl est clair que les physiciens ne pourraient Fabandonner sans repugnance.
« Sans doute un changement ne rencontrerait pas des obstacles materiels
insurmontables; mais Funiformite des mesures electriques est une conqu6te
trop recente et trop pz^cieuse. On craindrait de la compromettre en remettant
tout en discussion.
« Gependant les physiciens peuvent conserver la seconde, quand m6me les
astronomes, les marins, ou m6me le public adopteraient Fheure decimalisee.
<c Gette dualite aura-t-elle quelque inconvenient ? Je ne le crois pas.
« Les industriels ne s'en apercevront m£me pas.
« Pour les physiciens de laboratoire ce ne sera qu'une g6ne insignifiante.
« L'industriel qui emploie Fohm pour mesurer une resistance se rappelle-t-il
bioii que Fohm est une vitesse ? En lout cas, ce souvenir ne peut ni le g£ner,
ni lo servir. Pen lui importe, par consequent, que Funite de temps qui a servi
a Forigine pour la definition de Fohm soil ou ne soit pas celle dont les astro-
nomes font usage dans des recherches toutes differcntes.
« CetLe circonstance ne pourrait devenir une g6ne que dans les cas ou Fon a
a mesurer un temps.
« Or, dans les mesures relatives , les seules que les industriels aient a effec-
tuer, le temps n'interviejnt pas. Ni dans la comparaison de deux resistances, ni
dans celle do deux intensites, ni dans celle de deux forces electromotrices, on
n'a ^ mesurer un temps. Toutes ces operations peuvent se faire sans qu'a aucun
moment on ait m&me besoin de se rappeler qu'elle est Funite de temps
employee; pas plus que le bqutiquier qui mesure de la toile avec un m&tre n'a
besoin de se rappeler que ce m&tre est la quarante-niillioni&me partie du
meridien terrestre.
678 DECIMALISATION DE I/HEURE ET DE LA CIRCONFERENCE.
« Le changemenl d'unite n'interesse done que les pliysiciens qui out a fairc
des determinations absolues, a determiner par example Fohm, Tampere et le
volt. Eh bien, dans ces recherches, on pourra continuer a se scrvir d'un
chronomStre a secondes. Sans doute ce chronom&tre sexagesimal ne pourra plus
que difficilement £tre compare aux horloges des observaloires devenues deci-
males. Mais qu'importe ? Ce chronom&tre ne doit nous indiquer qu'un inter-
valle de temps, d'ailleurs tr&s court; nous n'avons pas besoin de le remetlre
a Fheure.
<c Mais poussons les choses a F extreme; faisons une hypoth&se qui ne se
realisera sans doute que dans un avenir fort eloigne; les astronomes ont adopto*
1'heure decimale; cet usage js'est repandu dans le public et il est devenu telle-
ment general que Ton ne peut plus se procurer chez les horlogers de chrono-
mStres a secondes.
« Quelle g6ne en resultera-t-il pour les rares pliysiciens qui auront a
determiner la valeur absolue de Fohm ? II auront a efFectuer une multplication
par 36.
« Et pour leur <§viter cette operation, on imposerait quotidienncment des
calculs fastidieux a des milliers de marins, a des millions d'£l&ves ou d'anciens
<3l&ves des ^coles primaires.
« A-t-on plus souvent a determiner la valeur absolue de Fohm, ou bicn a
faire le point & la mer, a additionner deux angles ou deux temps ?
« Que reste-t-il done ? Une anomalie purement th6orique. II y aura deux
unites, Fheure pour les astronomes, la seconde pour les physiciens; cela est
certainement peu satisfaisant pour Fesprit.
« Mais, en somme, ces deux unites existent deja : les electriciens eux-m6mcs
emploient concurremment Famp6re-heure et le coulomb. Le rapport de la
seconde a Fheure deviendra-t»il plus complique quand les astronomes ne
compteront plus en secondes ?
« L'anomalie existe done dej^i; seulement elle paraitra plus choquante,
parce qu'elle aura disparu ailleurs.
<c En resume, on ne voit pas pourquoi les physiciens interdiraient un
progr£s aux astronomes et au public, uniquement parce qu'ils ne peuvent pas
eux-m6mes en profiler . »
A cette citation, je n'ajouterai qu'un mot.
La question pent se poser ainsi :
DECIMALISATION DE L'HEURE ET DE LA CIRCONFERENCE. 679
Nous uvons pour le moment quaLrc unites de temps; le jour, 1'heurc, la
minulc ot la seconde.
Avec le nouvoau sysl&me on on conservcra trois, le jour et 1'heurc pour les
astronomes ot le public, la seconde pour les mecaniciens et les physiciens.
C'cst la. un inconvenient evident.
Mais cet inconvenient peut-on Peviter ?
Les electric lens sont-ils disposes a renoncer a la seconde.
La campugnc qn'ils mciient actuellement prouve bien le contraire.
Lo public cst-il dispose a renoncer a 1'heure ?
Los astrononies cux-m£mes peuvent-ils y renoncer ?
En tout cas, s'ils le faisaient, ce ne serait pas pour adopter la seconde, niais
le jour; 11 y aurait done encore deux unites, le jour et la seconde.
Si cot inconvenient est accepte, vaut-il mieux avoir a changer d'unite, de
temps en temps par Tin calcul simple, touj.es les fois que 1'on passera de la
lecture d'tm traite d'astronomie a celle d'un traite d'electricite ?
Ou l)ieii dcvra-t-on, comme par le passe, changer trois fois d'unite, dans
Venonce (Pun seul nom.bre^ en disant 8h, i4m? 25S.
Un progr^s partiel vaut~il mieux que pas de progr&s du tout ?
NOTES ET COMMENTAIRES
PREMIERE PARTIE
FONCT10N PERTURBATRICE
ET PER10DES DES 1NTEGRALES DOUBLES.
Soient deux corps attires par un corps principal et A leur distance mutuelle.
Chaque corps soumis a la seule action du corps principal aurait un mouvement
keplerien. Par suite de Taction reciproque des deuxpetits corps Tun sur Pautre, le
mouvement reel n'est pas un mouvement keplerien. Les forces qui modifient le
mouvement keplerien derivent d'une fonction de force designee sons le nom de
fonction perturbatrice. La fonction perturbatrice se compose d'unepartie principal e
et d'une partie complementaire dont les developpements en series ainsi que ceux.
de leurs derivees se deduisent du developpement de A"1. Les coefficients du deve-
loppement de cette quantite ont ete etudies par LAPLACE dans le cas ou les orbites
sont circulaires et leurs plans confondus (coefficients de Laplace), par TISSERAND
dans le cas oil les orbites sont circulaires et leur inclinaison mutuelle quelconque
(polynomes de Tisserand), par NEWCOMB dans le cas general (operateurs de
Newcomb).
Les developpements de la quantite A-1 peuvent prendre la forme suivante :
avec
T QEOito^ ass^a_l
*
(T QEOito
Am'm'-J] a-Hy-tt/
1'inlegration s'effectuant suivant les cercles |a;| = i, (7|=i.
On a pos^ :
l = u-esmu, x = W«, . l'=u'- e1 sin of, /=Ete/.
Lorsqpe les moyens mouvements des petites planeles sont presque commensu-
H. P. - VIII. 86
682 NOTES ET COMMENTAIRES.
rabies, certains termes de la fonction perturbatrice acquierent, malgre leur rang
eleve, une importance considerable par suite de la presence de petits diviseurs,
Apres FJLAMME, Poincare a etabli des principes qui, bases sur la determination des
points singuliers, sont propres au calcul des valeurs approchees de ces coefficients
et cela sans connaitre les termes qui precedent.
Cette determination des points singuliers est extremement difficile et elle n'a pu
etre appliquee qu'a des cas particuliers du probleme des trois corps. ( Voir
chap. XXIII du t. 2 des Legons de Mecanique celeste}.
Poincare a egalement calcule la valeur approchee des coefficients A et B pour de
grandes valeurs de m et de m* en recherchant encore les points singuliers d'une
certaiixe fonctioa.
Entre ies coefficients de Laplace, il existe des relations de recurrence. Si des
relations analogues existaient dans le cas general entre les coefficients A.mmr ou
Bmmfy le calcul de ces coefficients serait evidemment simplified Poincare s'est
attaque a ce probleme par la consideration d'une integrate double de la forme
( Voir chap. XXI du t. 2 des Lecons de Mecanique celeste.) •
Les integrates II sont des fonctions des elements, par exemple des grands axes,
des excentricites et des inclinaisons et Poincare montre qu'elles peuvent se require
a un certain nombre d'entre elles lineairement ind^pendantes. Si/et w sont res-
pectivement les degres de F et de Q, il y a au plus 8(/-h &))2 expressions II dis-
tinctes. Ce nombre se reduit a 4(/-f"w)2 si les polynomes F, &, H sont syme-
triques. En appliquant ces resultatsaux coefficients A/n/n7, B/n/w7, Poincar^ montre
que le nombre des coefficients A/nm7 distincts est egal a 36 et que le nombre des
coefficients B/n/n7 est egal a 16. Si les orbites sont circulaires, le nombre des coeffi-
cients independants est egal a 4-
LAMBERT (t. 26, 1920, Memoires (Ann. Observ* de Pari$)} supposant connus les
quatre coefficients pour une valeur de Tinclinaison des orbites et pour une valeur
particuliere du rapport des rayons, a cherche quel parti on pouvait tirer de cette
connaissance pour le cas ou les elements out des valeurs differentes.
Poincare a e*galement indique une methode prop re a Tetude de la convergence
des series qui representent les coefficients A.mmf et Bm/n; fonctions des puissances
des excentricites et des inclinaisons (chap. XX du t. 2 des Le$on$ de Mecanique
celeste). Cette methode a ete appliquee par Poincare dans le cas ou les excentri-
cites sont nulles et celui ou Tinclinaison est nulle et par H. VON ZBIPEL dans le cas
general (Arkiv for matematik, astronami a. fysik, Bd 6, n° 33).
NOTES ET COMMENTAIRES. 533
Les methodes ingenieuses et originales que Poincare a imaginees pour la resolu-
tion des diflerents problemes enumeres ci-dessus sont d'une application ires difficile
et de nombreuses questions meriteraient encore une etude attentive et approfondie.
DEUXIME PARTIE
FIGURE DE LA TERRE.
L'aplatissenaent de la Terre peut etre determine par de dedicates observations
geodesiques. Les valeurs successivetnent admises pour Tinverse de i'aplatissement
sont les suivantes :
Clarke (1880) 298,6
Ifelmert (1907) 298,8
Hayford (1909) 297
Ilelmert (igiS) 296
Helbronner (1920) 298,8.
En 1910, BROWN a montre que la valeur 294 conviendrait a la theorie de la Lune.
A partir de mesures de parallaxes eflfectuees au Cap et a Grenwich, W.D. LAMBERT
a obtenu en 1928 la valeur 298,5.
L'etude de la figure d'equilibre d'une masse fluide heterogene discontinue et Tetude
de la figure d'equilibre d'une masse fluide hete'rogene continue permettent d'etablir
des relations entre la valeur de I'aplatissement et la constante de la precession
deduite de la theorie de Ja rotation de la Terre el de Tobservation.
En tenant compte des termes de Tordre de la seconde puissance de la vitesse
angulaire de la terre o>, Poincare montre qu'il j a disaccord entre les valeurs de*
Taplatissernent donnges par les mesures geodesiques (CLARKE, 298,6) et la theorie
de la rotation de la Terre (298,8) (TISSERAND, Mecanique celeste, t.2, 1891, p. 2s4).
En tenant compte des termes de Tordre de la quatrieme puissance de la vitesse
angulaire, M. WAVRE, montre qu'il y a accord entre les mesures geodesiques et les
mesures precessionnelles. A partir des relations citees, M. WAVRE trouve que
Tinverse de Paplatissement de la Terre est compris entre 29^,4 et 296,5, nombres
plus approches que le precedent de la valeur de Clarke (WAVRE, Figures plunetai-
res et geodesic, i^2)-
L'introduction par M. WAVRE des termes de la quatrieme puissance de co a permis
a M. TIEROV de trouver pour la densite superficielle de la Terre une valeur iheo-
gg^ NOTES ET COMMENTAIRES.
rique voisine de la valeur observee (2,60). La loi de Roche donne alors une valeur
pouvant aller jusqu'a 2,6 au lieu de la valeur 2,1 obtenue en se limitant aux
termes co2.
Les etudes seismologiques modernes permeltent dese representer la structure de
la Terre. La Terre serait formee d'un noyau central sur lequel reposeraient trois
couches et Fecorce terrestre. M. BULLEN represente les densites p par les formules
suivantes :
Entre 35 et 474km de profondeur 3,29 -h 0,000 843 d
» 474fitnookm » 3,92 -h 0,000 655 df
» nooet29ookm 4^ 10 -ho, ooo 494^-
Pour le noyau :
12,08 — o , ooo ooo 1 9 r-
(r= rayon de la couche ; d=i 6Sj ikm — r).
( BULLEN, Suppl. geophysique des Monthly Notices, vol. Ill, n° 9, ig36.)
(FABRE, Bull, astroti., t. 11, p. 3i3-326.)
Page i38. — A. partir de Tequation 3, le calcul de Poincare comporte des erreurs
de signes qui entachent les conclusions relatives a la loi des densites.
TR01SIME PARTIE
THEORIE DES MAREES.
L'analyse de la Theorie des marees de Poincare a ete presentee magistralement
par H. VON ZEIPEL dans le n° 38 des Acta Mathematica, 1921 et tout dernierement
par M. GOUGENHEIM dans une briliante Conference faite a TEcole Poly technique.
La Theorie des marees de Poincare repose sur deux methodes : la methode de
Fredholm et la methode de Ritz. L'application pratique de la methode de Fredholm
conduit a des calculs tres compliques et BLONDEL et Mmo CHANDON ont applique la
methode de Ritz a Petude des marees de la mer Rouge.
La prediction des marees en un lieu donne est pratiquement resolue au moyen
des observations. Le phenomene des marges interesse surtout les theoriciens qui
de'sireraienl connaitre tous les aspects de Tinfluence de la maree en un point quel-
conque des Oceans.
Parmi les oeuvres les plus recentes qui traitent de la Theorie des marees, je
citerai Texpose critique de la Theorie des marees par FICHOT, Annales die Bureau
des Longitudes, t. 11, 1988 et t. 12, 1949.
NOTES ET COMMENTAIRES. 685
QUATRIEME PART1E
THEORIE DE LA LUNE.
La complcxite et les difficultes presentees par I'elaboration d'une Theorie de la
Lune ont attire les malhematiciens les plus illustres de NEWTON a BROWN. Poincare
ne devait pas echapper a Fattrait d'un probleme repute « infernal ». H, VON ZEIPEL
a analyse Vceuvre accomplie par Poincare dans ce domaine (Ada Mathematics
t. 88, 1921).
Pour montrer le labeur enorme exige par un tel travail, je signalerai que
DBUAUNAY tiat compte de i/Joo inegalites et qu'il fallut deux generations de calcula-
teurs pour etablir les tables basees sur sa theorie. NEWCOMB et BROWN consacrerent
presque entierement leur vie a la resolution de ce probleme qui n'avait apporte
que des deceptions. Aucune theorie ne s'adaptait a la realite et des ecarts subsis-
taient toujours entre la theorie et Pobservation. Les lois de Newton ne pouvaient
etre mises en doute et Hiypothese de la variation de la vitesse de la rotation de la
Terre permet Pexplication des disaccords observes.
Le mouvement de la Lune ne satisfait a la theorie de Brown qu'a la condition
d'introduire un terme empirique important et les petites fluctuations dues a Tirre-
gularite de la vitesse de rotation de la Terre. DE SITTER a montre qu'il etait inutile
de tenir compte du terme empirique de Brown si au lieu du temps terrestre on
utilisait le temps newtonien.
Ainsi le genie des plus grands savants avait enfin dompte le mouvement si capri-
cieux de notre satellite.
Disposant d'une theorie solidement etablie, les astronomes ont oriente leurs
recherches vers une confrontation systematique de la theorie et de Tobservation et
ils se sont surtout attaches a recueillir les observations les plus precises de la Lune.
Aux. observations meridiennes se sont ajoutees les observations des occupations des
etoiles par la Lune. Le probleme des occultations, en apparence si simple, pre-
sente pratiquement de nombreuses difficultes dues aux irregulariles du bord
lunaire. Cette etude du bord lunaire est li^e a une connaissance precise de la Hbra-
tion de la Lune. M. BANICHIEWICZ, M. KOZIEF, M. YAKOVKIN ont apporte leur contri-
bution a 1'e'tude de la libration et M. WBIMER et M. WATTS ont entrepris les travaux
de determination du bord lunaire.
Les discussions des observations des occultations sont publiees dans V Astronomical
G8G NOTES ET COMMENTAIRES.
Journal sous la direction de M. BROUWER et les resultats obtenus permettent non
seulement Tetude de la trajecloire de la Lune mais aussi celle de la rotation de la
Terre.
CINQUIfiME PARTIE
THEORIE DBS PLANETES.
Sur la determination des orbites par la methode de Laplace.
Du point de vue pedagogique, la methode de Laplace est d'une exposition plus
facile que toutes les autres methodes. Cependant, elle a ete delaissee par tous les
calculateurs.
Apres avoir presente tous les avantages de cette methode, Poincare en a publie
une nouvelJe etude qui, pratiquement, n'a pas eu de succes. Si ies calculs de
Poincare portent bien la marque de son imagination fertile, its ne sont pas pour
autant d'une application facile.
II appartenait a M. DANJON de rendre pratique la methode de Laplace ((7. jR.
A cad. So., t. 231, ig5o, p. 678-676).
A partir de trois observations, M. DANJON introduit une methode des positions
fictives qui, par iteration, fournit une orbite provisoire ; cetle orbite provisoire est
ensuite corrigee en utilisant toutes les observations disponibles.
Des erreurs de signes conamises par Poincare dans son etude Sur la determi-
nation des orbites par la methode de Laplace, n'alterent en rien sa conclusion.
Solutions periodiques.
A Tanalyse penetrante de H. VON ZEIPEL sur les travaux de Poincare relatifs aux
solutions periodiques, il faut ajouter Panalyse claire et precise de M. CHAZY donnee
,dans une Conference faite a 1'JEcole poly technique, le 25 juin ig5o.
La seule contribution a presenter ici ne peut concerner que les nombreux travaux
qui ont eu leur origine dans les decouvertes geniales de Poincare.
L'etude classique du mouvement d'un corps s'eflfectue en deux temps :
i° Les elements de Porbite sont d'abord determines en supposant le corps attire
par le Soleil;
2° Puis il est tenu compte de Tattraction de tous les autres corps (calcul des
perturbations).
NOTES ET COMMENTAIRES. 687
En 1877, HILL prenait comme point de depart de sa theorie de Torbite lunaire
une trajectoire voisine de celle de la Lune, mais decrite periodiquement par un
astre ideal. Poincare generalisail le Memoire de HILL et mettait en evidence Texis-
tence de solutions periodiques dans le probleme general des trois corps :
i° Solutions periodiques de la irfl sortc : les inclinaisons sont nulles et les excen-
tricites tres petites;
2° Solutions periodiques de la 2e sorle : les inclinaisons sont nulles et les excen-
tricites finies;
3° Solutions periodiques de la 3e sorte : les inclinaisons ne sont plus nulles.
Toutes les solutions periodiques de Poincare dependent d'un nombre de cons-
tantes inferieur a celui du probleme des trois corps. II en resulte que ces solutions
sont particulieres et n'auront qu'un domaine duplication restreint :
i° Gas ou le rapport des moyens mouvements des deux corps soumis a Pattrac-
tion du Soleil est vdisin de la valeur - — : — (/' etant un en tier);
2° Gas ou le mouvement du corps etudie presente une grande inegalite.
Ces deux cas sont justement ceux qui defient ou qui rendent difficilement appli-
cable la methode classique de determination des orbites.
DARWIN a etudie par voie numerique les solutions periodiques du probleme des
trois corps en suppo$ant une masse principale et deux autres masses finies dont le
rapport des masses etait 10.
L'ficole danoise avec ses brillants mathematiciens BUREAU, THIELE, E. STROMGKEN,
s'est specialisee dans la recherche systematique des orbites sirnples du probleme
restreint generalise, par application d'une methode d'integration numerique des
Equations dififerentielles du probleme. Cette methode consiste a calculer pas a pas
les forces agissantes et a en deduire le raouvement resultant. DARWIN et BROWN ont
egalement etudie analytiquement les solutions periodiques dans le cas du probleme
restreint.
PBRCHOT et MASCART ont applique a cette question la theorie des solutions perio-
diques de Poincare.
SIMONIN, HILL, SCHWARZSCHILD ont montr^ combien les solutions periodiques etaient
favorables au calcui des perturbations des petites planetes dont la duree de revolu-
tion est en rapport presque rationnel avec celle de Jupiter.
Dans tous les travaux (Snumeres ci-dessus, ii est suppose que les trois corps res-
tent dans le m£me plan et ce sont done des solutions de la ire et de la 2e sorle qui
ont ete etudies. H. VONZEIPEL a consid^ les solutions de la 3e sorte dont ii a donne
ggg NOTES ET COMMENTAIRES.
une classification des differents types et une discussion des conditions de stabilite
(Recherches sur les solutions periodiques de la 3e sorte dans le problems de
Jupiter, Soc. Roy. des Sciences cTUpsala, 1904). En igi5 (Ark., t. 10, n° 30)
H. VON ZEIPEL pnbliait un Memoire sur la stabilite des solutions periodiques de la
ire sorte en supposant que le mouvement des petites planetes ne se poursuit pas
dans le plan de Torbite de Jupiter.
L'application des methodes de Poincare a la determination des orbites des petites
planetes presente de grandes difficultes, par suite de Tiritroduction de petits divi-
seurs qui conduisent a la divergence des series representant les solutions du pro-
bleme. En decomposant 1'orbite en parties extremement petites et en assimilant
chaque partie a Torbite osculatrice obtenue par integration des equations difTeren-
tielles, HEINRICH a mis en evidence la presence de ces diviseurs. Ceux-ci etant
connus, HEINRICH choisit pour solution periodique de depart une solution ne con-
duisant pas a Pintroduction des petits diviseurs, et il tient egalement corhpte de la
remarque suivante : « les oscillations seculaires des lignes des apsides sont la vraie
cause dc Pimmensite de Tamplitude des oscillations instantanees et, par la., de la
divergence des series pour ce qui concerne les equations aux variations ».
La methode de Heinrich s'est montree feconde et, par son application, il a mis
en evidence pour le type de commensurabilite £- une multiple infinite de solu-
tions a periode s^culaire formant la continuation analytique des solutions de
irc sorte de Poincare a courte periode.
Parmi les travaux les plus remarquables parus ces dernieres annees, je cilerai la
these de M. FABRE sur Les mouvements recurrents en Mecanique celeste et la
variation des elements des orbites (Bull, astron^ t. 10, 1987, et 11, 1988). Un
corps celeste est mobile sous Faction d'un corps central fixe et d'un anneau substilue
aux astres perturbateurs. Dans le cas ou le champ de forces possede un axe de
revolution et un equateur, M. FABRE applique les methodes de Birk6fFpour etablir
Texistence de solutions a longues periodes pour les equations du mouvement relatif
dans le plan meridien. M. FABRE utilise les solutions periodiques de Poincare
lorsque le potentiel est une fonction periodique du temps et lorsqu'il y a commen-
surabilite approchee entre les moyens mouvements de la planete perturbee et de la
planete perturbatrice.
ERRATA
Pago i3S, tiqualion (3), au lieu de
///'C?
r „ ay/T a
J Yi2-j-2
Pago 357, ligno 12, «
Soient B'^ B;S, B^SJ B;
lire
Soient B'1? B;,} B^5 B;
Pagt* 370, u I'avanL derni^jre lignc, aw lieu de
f pour T = o.
lire
y' pour T = o.
Pages 377, ligno P.C), au lieu de
Pago 401, lignc 26, au lieu de
lire
^. P. _ vill. 87
TABLE DES MATIERES
DU TOME VIII.
Pages.
Analyse de ses travaux scientifiques, par Henri Poincare (Acta Math.j t. 38, 1921,
p. xio-zr 4-iz5) *. i
PREMIERE PARTIE. — Fonction perturbatrice et periodes des integrales doubles.
\. Sur le devetoppemenl approche de la fonction perturbatrice (C. JR. Acad. Sc.:
t. 112, 1891, p. 269-278) 5
2. Sur le dcveloppenient de la fonction perturbatrice (Bull, astron., t. 14, 1897,
p. 449-466) 10
3. Sur Je developpement approche de la fonction perturbatrice (C. ft. Acad. 5c.,
t. 126, 1898, p. 870-378) 27
4. Developpement de la fonction perturbatrice (Bull, astron., 1. 15, 1898, p. 70-71). 3i
5. Developpement de la fonction perturbatrice (#&£/. astron., t. 15, 1898, p. 449-
464) 33
6. Sur les periodes des integrates doubles et le developpement de la fonction per-
turbatrice (C. JR. Acad. Sc., t. 124, 1897, P- 1269-1260) 48
7. Sur les periodes des integrates doubles et le de'veloppement de la fonction per-
turbatrice (/. Math., 5° serie, t. 3, 1897, p. 208-276) 5o
8. Sur les periodes des integrates doubles et le developpement de la fonction per-
turbatrice (BulL astron., t. 14, 1897, p. 353-354) no
9. Sur les periodes des integrales doubles (/. Math.^ 6e serie, t. 2, 1906, p. i35-
189). Voir GEuvres de Henri Poincarg, t. Ill, p. 493-539 1 12
DEUXIISME PARTIE. — Figure dela Terre.
10. Sur la theorie de la precession (C. JR. Acad. Sc., t. 132, 1901, p. 5o-55) ii3
11. Sur la precession (C. JR. Acad. Sc., t. 132, 1901, p. 291-292) 118
12. Sur la figure de la Terre (C. JR. Acad. Sc., t. 107, 1888, p. 67-71) 120
13. Sur la figure de la Terre (BulL astron.^ t. 6, 1889, p. 5-n) is5
14. Sur la figure de la Terre (BulL astron., t. 6, 1889, p. 49-6o) i32
15. Les mesures de gravite et la Geodesic (BulL astron., t. 18, 1901, p. 5-89) i43
16. Sur les deviations de la verticale en Geodesic (BulL astron., 1. 18, 1901, p. 267-
276) J75
692 TABLE DES MATURES.
TROISIEME PARTIE. — Theorie des Marees.
Pages.
17. Sur Pequilibre des mers (C. R. Acad. Sc., t. 118, 1894, p. 948-962) ........... 198
18. Sur Pequilibre et les mouvements des mers (J.Math., 5eserie, t. 2, 18965 p. 67-
102) .................................................................... 198
19. Sur 1'equilibre et les mouvements des mers (/. Math.^ 5C serie, t. 2, 1896, p. 217-
262 ) ................................................................... 287
20. Sur un the'oreme general relatif aux marees (Bull, astron., t. 20, 1908, p. 21 5-
229) .................................................................... 276
21. Anwendung der Theorie des Integralgleichungen auf die Flutbewegung des
Meeres (Seeks Vortrftge, Univ. de Gottingue3 1909, p. 12-19) ............... 289
QUATRIEME PARTIE. — Theorie de la Lune.
22. Sur les equations du mouvement de la Lune (Bull, astron., t. 17, 1900, p. 167-
204) ............................................... > .................... 297
23. Sur les petits diviseurs dans la theorie de la Lune (Bull, astron., t. 25, 1908,
p. 32i-36o) .............................................................. 332
24. Sur le mouvement du pe'rigee de la Lune (Bull, astron.^ 1. 17, 1900, p. 87-104). 367
25. Sur le determinant de Hill (Bull, astron., t. 17, 1900, p. i34-i43) ............ 383
GINOUIEME PARTIE. — Theorie des Planetes.
26. Sur la determination des orbites par la methode de Laplace (Bull, astron^
t. 23, 1906, p. 161-187) ................................................... 393
27. Les solutions periodiques et les planetes du type d1Hecube(J?M^/. astron., 1. 19,
igo2> p. 177-198) ........................................................ 4i7
28. Sur les planetes du type d'Hecube (Bull, astron., t. 19, 1902, p. 289-810) ..... 437
29. Note sur la stabilite de Panneau de Saturne (Bull, astron., t. 2, i885, p. £07-
"
30. Sur les satellites de Mars ( C. R. Acad. Sc., t. 107, 1888, p. 890-892) ......... 459
SIXIEME PARTIE. — Quadratures mecaniques*
31. Sur les quadratures mecaniques (Bull, astron., t. 16, 1899, P- 882-387) ........ 461
S2. Observations au sujet de Particle precedent (Bull, astron., 1. 18, 1901, p. 406-420), 467
SEPTIBME PARTIE. — Hypotheses cosmogoniques.
33. Sur la precession des corps deformables (Bull, aslrort., t. 27, 1910, p. 321-356). 481
34 Bemarque sur Phypothese de Laplace (Bull, astron., t. 28, 1911, p. 25i-266)... 5i5
HmxiEME PARTIE. — Articles.
35. Le probleme des trois corps (JRevue generate des Sciences, t. 2, 1891, p. i-5).. 629
36. Sur la stability du systeme solaire (Revue scientifique, fc sdrie, t. 9, 1898
P- 609-6x8) ............................................................ ' 538
TABLE DES MATURES. 6g3
Pages*.
37. Note sur la XVIe Conference de P Association geodesique Internationale (Annuaire
du Bureau des Longitudes, 1911, p. A.i-A.29) ........................... 548
38. Le demon d'Arrhenius (Hommage & Louis Olivier^ Paris, 1911, p. 281-287). . . 564
NEUVIEME PARTIE. — Rapports.
39. Rapport sur le projet de revision de 1'arc meridien de Quito (C. JR. Acad. Sc.,
t. 131, 1900, p. 215-236) .................................................. 671
40. Rapport pre'sente au nom de la Commission chargee du controle scientifique des
operations geodesiques de I'Equateur (C. R. Acad. Sc., t. 134, 1902, p. 965-
972) ...................................... f ......... ..................... 689
41. Rapport sur les operations ge'odesiques de I'Equateur (Assoc* geod. intern*,
t. 14, p, 113-127) ........................................................ 602
42. Rapports sur les operations geodesiques de PEquateur en 1908, 1904 et 1905
(Assoc. geod* intern^ t. 15, p. 289-804) .................................. 621
43. Rapport sur la proposition d'unification des jours astronomique et civil (Annuaire
du Bureau des Longitudes^ 1896, p. E.i-E.io) ........................... 642
44. Rapport sur les resolutions de la Commission chargee de Tetude des projets de
decimalisation du -Temps et de la Circonference (Archives du Bureau des
Longitudes, p. 1-12) .................................................... 648
DixtEME PARTIE. — Conferences.
45. Conference sur les cometes (Bull. Soc. ind. de Mulhouse, t. 80, 1910, p. 3n-
323) ................................................ ; ................... 665
46. La decimalisation de 1'Heure et de la Circonference (L: 'Eclair age electrique^
t. 11, 1897, p. 529-53i) ................................................... 676
ERRATA
IMPRIMERIE GAtJTHIER-VILLARS
55, QUAI DBS GRANDS-AUGUSTINS - PARIS \\ e
110740
Depot legal, Imprimeur, igSa, n° 779
Depot legal, fidileur, 1962, n° 446
D'IMPRIMER LE i.r> OCTOBRE 1952
130101
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