Collection de mémoires relatifs à la physique

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-i-^

COLLECTION

MÉMOIRES

RELATIFS A LA

PHYSIQUE.

TOME ra.

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COLLECTION

HK

MÉMOIRES

REL\TIFS A ÏA

PHYSIQUE,

PUBLIES PAR

LA SOCIÉTÉ FRANÇAISE DE PHYSIQUE.

TOME m.

MEMOIRES SUR L'ELEGTRODYNAMIQilE.

SECONDE PARTIE.

PARIS,

GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUMIBRAIRE

DU BCREAD DES LONGITUDES, DE L'£cOLE POLYTECHNIQUE ,
Quai des Augustin», 55.

1887

Tout Uroiu réserté^ <

101987

0^0 IS 1906

.^^Q, MÉMOIRES

3 SUR

L'ÉLECTRODYNAMIQUE.

XXX.

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-
DYNAMIQUES, UNIQUEMENT DÉDUITE DE L'EXPÉRIENCE,

DANS LEQUEL SE TROUVENT RÉUNIS LES HÉMOIRES QUE M. AMPÈRE A COM-
MUNIQUÉS A l'académie royale des sciences, dans les Séances des

4 ET 26 DÉCEMBRE 182O, 10 JUIN 1822, 22 DÉCEMBRE l823, 12 SEPTEMBRE
ET 28 NOVEMBRE iSzS (>).

L'époque que les travaux de Newtou ont marquée dans l'his-
toire des Sciences n'est pas seulement celle de la plus impor-
tante des découvertes que l'homme ait faites sur les causes des
grands phénomènes de la nature, c'est aussi l'époque où l'esprit
humain s'est ouvert une nouvelle route dans les sciences qui ont
pour objet l'étude de ces phénomènes.

{*) Mémoires de V Académie des Sciences [2], t. VI, p. 175-388? iSaS. Ce Vo-
lume, bien que portant la date de i8a3, n'a paru qu'en 1827.

Ce Mémoire, dans lequel se trouve exposée d'une manière méthodique l'Œuvre à
peu près complète d'Ampère, n^est, dans beaucoup de parties, que la reproduc-
tion, le plus souvent textuelle, de publications antérieures, notamment pour ce
qui concerne les Mémoires lus à l'Académie le 22 décembre 1828 et le 12 sep-
tembre 1825.

Le Mémoire du 22 décembre 1828 a été publié dans les Annales de Chimie et
de Physique [2], t. XXVI, p. i34-i62 et 246-268, sous le titre de : Mémoire sur les
phénomènes électro-dynamiques, \dl dans l'Opuscule intitulé ; Précis de la théorie
des phénomènes électro-dynamiques, par M. AMPtïkE, pour servir de supplément
^à son Recueil d'observations électro-dynamiques et au Manuel d'Électricité de
M, Demonferrand, Paris, Crochard et Bachelier, 1824 (67 pages). Le Précis,
Mém* de Phys., III. i

2 If.-A. AllPàRfc.

Jusqu'alors on en avait presque exclusivement cherché les causes
dans rimpulsion d'un fluide inconnu qui entraînait les particules
matérielles suivant la direction de ses propres particules; et
partout où Ton voyait un mouvement révolutif, on imaginait un
tourbillon dans le même sens.

Nev^ton nous a appris que cette sorte de mouvement doit,
comme tous ceux que nous offre la nature, être ramenée par le
calcul à des forces agissant toujours entre deux particules maté-
rielles suivant la droite qui les joint, de manière que l'action
exercée par Tune d'elles sur l'autre soit égale et opposée à celle
que cette dernière exerce en même temps sur la première, et
qu'il ne puisse, par conséquent, lorsqu'on suppose ces deux par-
ticules liées invariablement entre elles, résulter aucun mouve-
ment de leur action mutuelle. C'est cette loi, confirmée aujour-
d'hui par toutes les observations, par tous les calculs, qu'il
exprima dans le dernier des trois axiomes {*) qu'il plaça au com-
mencement des Philosophiœ naturalis principia mathematica.
Mais il ne suffisait pas de s'être élevé à cette haute conception,
il fallait trouver suivant quelle loi ces forces varient avec la situa-
tion respective des particules entre lesquelles elles s'exercent, ou,
ce qui revient au même, en exprimer la valeur par une formule.

Newton fut loin de penser qu'une telle loi pût être inventée en
partant de considérations abstraites plus ou moins plausibles. Il
établit qu'elle devait être déduite des faits observés, ou plutôt de
ces lois empiriques qui, comme celles de Kepler, ne sont que les
résultats généralisés d'un grand nombre de faits.

sauf Taddition de trois Notes, importantes d'ailleurs, n'est qu'un tirage à part
de l'article des Annales. {Voir l'analyse de ce Mémoire, t. II, art. XXIX.)

Le Mémoire du 12 septembre iSaS, Mémoire sur une nouvelle expérience
électro-dynamique, sur son application à la formule qui représente l'action
mutuelle de deux éléments de deux conducteurs voltaiques, et sur de nouvelles
conséquences déduites de cette formule, a été inséré dans les Annales de Chimie
et de Physique [1], t. XXIX, p. 38i, et t. XXX, p. 24-41.

On a jugé inutile de réimprimer ces Mémoires qui auraient fait double emploi
avec le Mémoire actuel, pensant qu'il suffirait d'indiquer au fur et à mesure les
passages empruntés à chacun d'eux, et de reproduire dans des notes les variantes
et les passages supprimés qui présenteraient quelque intérêt. (J.)

( * ) Actioni contrariam semper et œqualem esse reactionem : sive corporum
ditorum actiones in se mutuo semper esse œquales et in partes contrarias
dirigi (J.)

THÉORIE MATHÉMATIQUB DES PnÉNOMÊNES, ETC. 3

Observer d'abord les faits, en varier les circonstances autant
qu'il est possible, accompagner ce premier travail de mesures
précises pour en déduire des lois générales, uniquement fondées
sur l'expérience, et déduire de ces lois, indépendamment de toute
hypothèse sur la nature des forces qui produisent les phénomènes,
la valeur mathématique de ces forces, c'est-à-dire la formule qui
les représente, telle est la marche qu'a suivie Newton. Elle a été,
en général, adoptée en France par les savants auxquels la Phy-
sique doit les immenses progrès qu'elle a faits dans ces derniers
temps, et c'est elle qui m'a servi de guide dans toutes mes re-
ches sur les phénomènes électro-dynamiques. J'ai consulté uni-
quement l'expérience pour établir les lois de ces phénomènes, et
j'en ai déduit la formule qui peut seule représenter les forces aux-
quelles ils sont dus; je n'ai fait aucune recherche sur la cause
même qu'on peut assigner à ces forces, bien convaincu que toute
recherche de ce genre doit être précédée de la connaissance pure-
ment expérimentale des lois, et de la détermination, uniquement
déduite de ces lois, de la valeur des forces élémentaires dont la
direction est nécessairement celle de la droite menée par les
points matériels entre lesquels elles s'exercent. C'est pour cela
que j'ai évité de parler des idées que je pouvais avoir sur la na-
ture de la cause de celles qui émanent des conducteurs voltaïques,
si ce n'est dans les Notes qui accompagnent V Exposé sommaire
des nouvelles expériences électro-magnétiques faites par plu-
sieurs physiciens depuis le mois de mars 1821, que j'ai lu dans
la séance publique de l'Académie des Sciences, le 8 avril 1822;
on peut voir ce que j'en ai dit dans ces Notes à la page 2i5 de mon
Recueil d' observations électro-dynamiquesi^ * ). Il ne paraît pas que
cette marche, la seule qui puisse conduire à des résultats indépen-
dants de toute hypothèse, soit préférée par les physiciens du reste
de l'Europe, comme elle l'est par les Français; et le savant illustre
qui a vu le premier les pôles d'un aimant transportés par l'action
d'un fil conducteur dans des directions perpendiculaires à celles
de ce (il en a conclu que la matière électrique tournait autour de
lui et poussait ces pôles dans le sens de son mouvement, précisé-
ment comme Descartes faisait tourner la matière de ses tour-

(») Tome II, an. XVIII, p. aSo. (J.)

4 M.-A. AMPÈRE.

billons dans le sens des révolutions planétaires (*). Guidé par les
principes de la philosophie newtonienne, j'ai ramené le phéno-
mène observé par M. Oersted, comme on Ta fait à l'égard de tous
ceux du même genre que nous offre la nature, à des forces agis-
sant toujours suivant la droite qui joint les deux particules entre
lesquelles elles s'exercent; et si j'ai établi que la même disposi-
tion ou le même mouvement de réiectricité qui existe dans le fil
conducteur a lieu aussi autour des particules des aimants, ce n'est
certainement pas pour les faire agir par impulsion à la manière
d'un tourbillon, mais pour calculer, d'après ma formule, les forces
qui en résultent entre ces particules et celles d'un conducteur ou
d'un autre aimant, suivant les droites qui joignent deux à deux les
particules dont on considère l'action mutuelle, et pour montrer
que les résultats du calcul sont complètement vérifiés, i** par les
expériences que j'ai faites, et par celles qu'on doit à M. Pouillet
sur la détermination précise des situations où il faut que se trouve
un conducteur mobile, pour qu'il reste en équilibre lorsqu'il est
soumis à l'action, soit d'un autre conducteur, soit d'un aimant;
2** par l'accord de ces résultats avec les lois que Coulomb et
M. Biot ont déduites de leurs expériences, le premier relative-
ment à Faction mutuelle de deux aimants, le second à celle d'un
aimant et d'un fil conducteur.

Le principal avantage des formules qui sont ainsi conclues im-
médiatement de quelques faits généraux, donnés par un nombre
suffisant d'observations pour que la certitude n'en puisse être
contestée, est de rester indépendantes, tant des hypothèses dont
leurs auteurs ont pu s*aider dans la recherche de ces formules,
que de celles qui peuvent leur être substituées dans la suite. L'ex-
pression de l'attraction universelle déduite des lois de Kepler ne
dépend point des hypothèses que quelques auteurs ont essayé de
faire sur une cause mécanique qu'ils voulaient lui assigner. La
théorie de la chaleur repose réellement sur des faits généraux
donnés immédiatement par l'observation; et l'équation déduite
de ces faits, se trouvant confirmée par l'accord des résultats qu'on
en tire et de ceux que donne Texpérience, doit être également
reçue comme exprimant les vraies lois de la propagation de la

(•) Voir l'art. I du t. II, p. 5. (J.)

TBÉOBIE UÂTHÉUATIQUB DES PHÉNOUâNESi ETC. 5

chaleur, et par ceux qui rattribuent à un rayonnement de molé-
cules calorifiques, et par ceux qui recourent, pour expliquer le
même phénomène, aux vibrations d'un fluide répandu dans l'es-
pace; seulement, ii faut que les premiers montrent comment
l'équation dont il s'agit résulte de leur manière de voir, et que les
seconds la déduisent des formules générales des mouvements vi-
bratoires; non pour rien ajouter à la certitude de cette équation,
mais pour que leurs hypothèses respectives puissent subsister. Le
physicien qui n'a point pris de parti à cet égard admet cette
équation comme la représentation exacte des faits, sans s'inquiéter
de la manière dont elle peut résulter de l'une ou de l'autre des
explications dont nous parlons; et si de nouveaux phénomènes
et de nouveaux calculs viennent à démontrer que les efiets de la
chaleur ne peuvent être réellement expliqués que dans le système
des vibrations, le grand physicien qui a le premier donné cette
équation, et qui a créé pour l'appliquer à l'objet de ses recherches
de nouveaux moyens d'intégration, n'en serait pas moins l'auteur
de la théorie mathématique de la chaleur, comme Newton est
celui de la théorie des mouvements planétaires, quoique cette
dernière ne fût pas aussi complètement démontrée par ses travaux
qu'elle l'a été depuis par ceux de ses successeurs.

Il en est de même de la formule par laquelle j'ai représenté
l'action électro-dynamique. Quelle que soit la cause physique à
laquelle on veuille rapporter les phénomènes produits par cette
action, la formule que j'ai obtenue restera toujours l'expression
des faits. Si l'on parvient à la déduire d'une des considérations
par lesquelles on a expliqué tant d'autres phénomènes, telles que
les attractions en raison inverse du carré de la distance^ celles qui
deviennent insensibles à toute distance appréciable des particules
entre lesquelles elles s'exercent, les vibrations d'un fluide ré-
pandu dans l'espace, etc., on fera un pas de plus dans cette partie
de la Physique; mais cette recherche, dont je ne me suis point
encore occupé, quoique j'en reconnaisse toute l'importance, ne
changera rien aux résultats de mon travail, puisque, pour s'ac-
corder avec les faits, il faudra toujours que l'hypothèse adoptée
s'accorde avec la formule qui les représente si complètement (*).

{*) Cette Introduction formait le préambule d'un Mémoire inédit portant la date

11. -A. AMPERE.

Dès que j'eus reconnu ( * ) que deux conducteurs vollaïques agis-
sent Fun sur l'autre, tantôt en s'attirant, tantôt en se repoussant,
que j'eus distingué et décrit les actions qu'ils exercent dans les dif-
férentes situations où ils peuvent se trouver l'un à l'égard de l'autre,
et que j'eus constaté l'égalité de l'action qui est exercée par un
conducteur rectiligne, et de celle qui l'est par un conducteur si-
nueux, lorsque celui-ci ne s'éloigne qu'à des distances extrême-
ment petites de la direction du premier, et se termine, de part et
d'autre, aux mêmes points, je cherchai à exprimer par une for-
mule la valeur de la force attractive ou répulsive de deux de leurs
éléments, ou parties infiniment petites, aGn de pouvoir en dé-
duire, par les méthodes connues d'intégration, l'action qui a lieu
entre deux portions de conducteurs données de forme et de si-
tuation.

L'impossibilité de soumettre directement à l'expérience des
portions infiniment petites du circuit voltaïque oblige nécessai-
rement à partir d'observations faites sur des fils conducteurs de^
grandeur finie, et il faut satisfaire à ces deux conditions, que les
observations soient susceptibles d'une grande précision et qu'elles

du a4 novembre i8a3, et doat le manuscrit autographe appartient à la Société de
Physique. Ce Mémoire, inachevé et présentant des lacunes nombreuses, renferme,
mais sous une forme qui n'a pas encore atteint toute sa perfection, les principaux
résultats relatifs à l'action d'un circuit fermé sur un élément de courant qui ont
été publiés dans le Mémoire du 22 décembre i8a3. Ampère y croit nécessaire
d'établir une classification des diverses espèces de circuits et de leur attribuer des
noms. Voici un extrait de sa classification :

« 1» Courant corismérique, un courant dont les différentes parties peuvent se
mouvoir séparément, de xu>^i^^ séparément, (lépoç, partie;

» 2<> Courant acorismène, un courant pris dans son entier et, par conséquent,
rentrant sur lui-même en formant une courbe fermée ou infinie dans les deux
sens, de à privatif et de x£x<ApC(T|ievo;, qui a été séparé, divisé;

» 3» Portion hypocorismène, une portion de courant formant à elle seule un
circuit presque fermé, d'après la signification du mot vtcô, dans les mots com-
posés, très peu séparé ou ininterrompu;

» 4** Portion olocorismène, une portion de courant qui ne tombe pas dans le cas
précédent; 5Xoc, dans les mots composés, signifie, comme l'on sait, tout à fait,
entièrement ;

» 5*» Système électrodynamique invariable, un assemblage de courants arreg-
matiques dont la situation les uns à l'égard des autres est invariable.

» 6" Soléno'ide électrodynamique, etc. » (J.)

(») Toute cette partie du Mémoire, jusqu'au milieu de la page 12, est empruntée
au Mémoire du 10 juin 1832, t. Il, art. XIX, p. 270. (J.)

THÉORIE MATHÉMATIQUE DBS PHÉNOMÈNES, ETC. 7

soient propres à déterminer la valeur de l'action mutuelle de deux
portions infiniment petites de ces fils. C'est ce qu'on peut obtenir
de deux manières : l'une consiste à mesurer d'abord, avec la plus
grande exactitude, des valeurs de l'action mutuelle de deux por-
tions d'une grandeur finie, en les plaçant successivement, l'une
par rapport à l'autre, à différentes distances et dans différentes
positions, car il est évident qu'ici l'action ne dépend pas seule-
ment de la distance ; il faut ensuite faire une hypothèse sur la va-
leur de l'action mutuelle de deux portions infiniment petites, en
conclure celle de l'action qui doit en résulter pour les conduc-
teurs de grandeur finie sur lesquels on a opéré, et modifier l'hy-
pothèse jusqu'à ce que les résultats du calcul s'accordent avec
ceux de l'observation. C'est ce procédé que je m'étais d'abord
proposé de suivre, comme je l'ai expliqué en détail dans un Mé-
moire lu à l'Académie des Sciences le 9 octobre 1820 (*); et,
quoiqu'il ne nous conduise à la vérité que par la voie indirecte
des hypothèses, il n'en est pas moins précieux, puisqu'il est sou-
vent le seul qui puisse être employé dans les recherches de ce
genre. Un des membres de cette Académie, dont les travaux
ont embrassé toutes les parties dé la Physique, l'a parfaitement
décrit dans la Notice sur l'aimantation imprimée aux métaux
par V électricité en mouvement, qu'il nous a lue le 2 avril 1821,
en l'appelant un travail, en quelque sorte, de divination, qui est
la fin de presque toutes les recherches physiques (^).

Mais il existe une autre manière d'atteindre plus directement
le même but; c'est celle que j'ai suivie depuis et qui m'a conduit
au résultat que je désirais : elle consiste à constater, par l'expé-
rience, qu'un conducteur mobile reste exactement en équilibre
entre des forces égales, ou des moments de rotation égaux, ces
forces et ces moments étant produits par des portions de conduc-
teurs fixes dont les formes ou les grandeurs peuvent varier d'une
manière quelconque, sous des conditions que Texpériencc déter-

(*) Ce Mémoire n'a pas été publié à part, mais les principaux résultats en ont
été insérés dans celui que j'ai publié en 1820, dans le Tome XV des Annales de
Chimie et de Physique, (A.)

Voir t. II, art. II, p. 17, et, en particulier pour les essais de mesure dont
il s'agit, les pages 29 et suiY.

(') Voir le Journal des Savants, p. 233, avril 1821. (A.)

8 M.-A. AMPÂBE.

mine, saus que l'équilibre soît troublé, et d'en conclure directe-
ment par le calcul quelle doit être la valeur de l'action mutuelle
de deux portions infiniment petites, pour que l'équilibre soit, en
effet, indépendant de tous les changements de forme ou de gran-
deur compatibles avec ces conditions.

Ce dernier procédé ne peut être employé que quand la nature
de l'action qu'on étudie donne lieu à des cas d'équilibre indé-
pendants de la forme des corps; il est, par conséquent, beaucoup
plus restreint dans ses applications que celui dont j'ai parlé tout à
l'heure : mais, puisque les conducteurs voltaïques présentent des
circonstances où cette sorte d'équilibre a lieu, il est naturel de le
préférer à tout autre, comme plus direct, plus simple, et suscep-
tible d'une plus grande exactitude quand les expériences sont
faites avec les précautions convenables. Il y a d'ailleurs, à l'égard
de l'action exercée par ces conducteurs, un motif bien plus décisif
encore de le suivre dans les recherches relatives à la détermination
des forces qui la produisent : c'est l'extrême difficulté des expé-
riences où l'on se proposerait, par exemple, de mesurer ces forces
par le nombre des oscillations d'un corps soumis à leurs actions.
Cette difficulté vient de ce que, quand on fait agir un conducteur
fixe sur une portion mobile du circuit voltaïque, les parties de
l'appareil nécessaire pour la mettre en communication, la pile,
agissent sur cette portion mobile, en même temps que le conduc-
teur fixe, et altèrent ainsi les résultats des expériences. Je crois
cependant être parvenu à la surmonter dans un appareil propre à
mesurer l'action mutuelle de deux conducteurs, l'un fixe et l'autre
mobile, par le nombre des oscillations de ce dernier et en faisant
varier la forme du conducteur fixe. Je décrirai cet appareil dans
la suite de ce Mémoire.

Il est vrai qu'on ne rencontre pas les mêmes obstacles quand on
mesure de la même manière l'action d'un fil conducteur sur un
aimant; mais ce moyen ne peut être employé quand il s'agit de la
détermination des forces que deux conducteurs voltaïques exer-
cent l'un sur l'autre, détermination qui doit être le premier objet
de nos recherches dans l'étude des nouveaux phénomènes. Il est
évident, en effet, que si l'action d'un fil conducteur sur un aimant
était due à une autre cause que celle qui a lieu entre deux con-
ducteurs, les expériences faites sur la première ne pourraient rien

THEORIE MATHÉMATIQUE DBS PHENOMENES, ETC. 9

apprendre relativement à la seconde; et que si les aimants ne
doivent leurs propriétés qu'à des courants électriques, entourant
chacdne de leurs particules, il faudrait, pour pouvoir en tirer
des conséquences certaines relativement à Faction qu'exerce sur
ces courants celui du fil conducteur, que Ton sût d'avance s'ils
ont la même intensité près de la surface de l'aimant et dans son
intérieur, ou suivant quelle loi varie cette intensité; si les plans
de ces courants sont partout perpendiculaires à l'axe du barreau
aimanté, comme je l'avais d'abord supposé, ou si l'action mutuelle
des courants d'un même aimant leur donne une situation d'autant
plus inclinée à cet axe qu'ils en sont à une plus grande distance
et qu'ils s'écartent davantage de son milieu, comme je l'ai conclu
depuis de la différence qu'on remarque entre la situation des
pôles d'un aimant et celles des points qui jouissent des mêmes
propriétés dans un fil conducteur roulé en hélice (*).

( * ) Je crois devoir insérer ici la Note suivante, qui est extraite de VAnalyse
des travaux de l' Académie pendant l'année 182 1, publiée le 8 avril 183a (voir
la partie mathématique de cette Analyse, p. 22 et 33) :

« La principale différence entre la manière d'agir d'un aimant et d'un conduc-
teur voltaîque, dont une partie est roulée en hélice autour de l'autre, consiste en
ce que les pôles du premier sont situés plus près du milieu de l'aimant que ses
extrémités, tandis que les points qui présentent les mêmes propriétés dans Thé-
lice sont exactement placés aux extrémités de cette hélice : c'est ce qui doit arriver
quand l'intensité des courants de l'aimant va en diminuant de son milieu vers
ses extrémités. Mais M. Ampère a reconnu depuis une autre cause qui peut aussi
déterminer cet effet. Après avoir conclu de ses nouvelles expériences que les cou-
rants électriques d'un aimant existent autour de chacune de ses particules, il lui
a été aisé de voir qu'il n'est pas nécessaire de supposer, comme il l'avait fait
d'abord, que les plans de ces courants sont partout perpendiculaires à l'axe de
l'aimant; leur action mutuelle doit tendre à donner à ces plans une situation
inclinée à l'axe, surtout vers ses extrémités, en sorte que les pôles, au lieu d'y
être exactement situés, comme ils devraient l'être, d'après les calculs déduits des
formules données par M. Ampère, lorsqu'on suppose tous les courants de même
intensité et dans des plans perpendiculaires à l'axe, doivent se rapprocher
du milieu de l'aimant d'une partie de sa longueur, d'autant plus grande que les
plans d'un plus grand nombre de courants sont ainsi inclinés, et qu'ils le sont
davantage, c'est-à-dire d'autant plus que l'aimant est plus épais relativement à
sa longueur, ce qui est conforme à l'expérience. Dans les fils conducteurs plies
en hélice, et dont une partie revient par l'axe pour détruire l'effet de la partie
des courants de chaque spire qui agit comme s'ils étaient parallèles à cet axe,
les deux circonstances qui, d'après ce que nous venons de dire, n'ont pas néces-
sairement lien dans les aimants, existent, au contraire, nécessairement dans
ces fils; aussi observe-t-on que les hélices ont des pôles semblables à ceux des

10 M. -A. AMPBRE.

Les divers cas d'équilibre que j'ai constatés par des expériences
précises donnent immédiatement autant de lois qui conduisent
directement à l'expression mathématique de la force que deux élé-
ments de conducteurs voltaïques exercent Tun sur l'autre, d'abord
en faisant connaître la forme de cette expression, ensuite en dé-
terminant les nombres constants, mais d'abord inconnus, qu'elle
renferme, précisément comme les lois de Kepler démontrent
d'abord que la force qui retient les planètes dans leurs orbites
tend constamment au centre du Soleil, puis qu'elle change pour
une même planète en raison inverse du carré de sa distance à ce
centre, enfin, que le coefficient constant qui en représente l'in-
tensité ala même valeur pour toutes les planètes. Ces cas d'équilibre
sont au nombre de quatre : le premier démontre l'égalité des va-
leurs absolues de l'attraction et de la répulsion qu'on produit en
faisant passer alternativement, en deux sens opposés, le même
courant dans un conducteur fixe dont on ne change ni la situation,
ni la distance au corps sur lequel il agit. Cette égalité tésulte de
la simple observation que deux portions égales d'un même fil
conducteur, recouvertes de soie pour en empêcher la communica-
tion, et toutes deux rectilignes ou tordues ensemble, de manière
à former l'une autour de l'autre deux hélices dont toutes les
parties sont égales et qui sont parcourues par un même courant
électrique, l'une dans un sens et l'autre en sens contraire, n'exer-
cent aucune action, soit sur un conducteur mobile, soit sur un
aimant-, on peut aussi la constater à l'aide du conducteur mobile

aimants, mais placés exactement à leurs extrémités, comme le donne le calcul. >
On voit par cette Note que, dés l'année 1821, j'avais conclu des phénomènes que
présentent les aimants : 1° qu'en considérant chaque particule d'un barreau ai-
manté comme un aimant, les axes de ces aimants élémentaires doivent être, non
pas parallèles à l'axe de l'aimant total, comme on le supposait alors, mais situés
dans des directions inclinées à cet axe et dans des directions déterminées par leur
action mutuelle; 2* que cette disposition est une des causes pour lesquelles les
pôles de l'aimant total ne sont pas situés à ses extrémités, mais entre les extré-
mités et le milieu de l'aimant. L'une et l'autre de ces assertions se trouvent au-
jourd'hui complètement démontrées par les résultats que M. Poisson a déduits
des formules par lesquelles il a représenté la distribution, dans les aimants, des
forces qui émanent de chacune de leurs particules. Ces formules sont fondées sur
la loi de Coulomb, et il n'y é, par conséquent, rien à y changer quand on adopte
la manière dont j'ai expliqué les phénomènes magnétiques, puisque cette loi est
une conséquence de ma formule, comme on le verra dans la suite de ce Mémoire.

(A.)

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. II

qu'on voit dans \^fig» 9 de la PL I du Tome XVIII des Annales
de Chimie et de Physique, relative à la description d'un de mes
appareils éleclrodynamiques, et qui est représenté ici {Jig^ i). On

Fig. !.

'- ^t— f

mu )d

^^ù

place pour cela, un peu au-dessous de la partie inférieure deefd!
de ce conducteur, et dans une direction quelconque, un conduc-
teur rectiligne horizontal plusieurs fois redoublé AB, de manière
que le milieu de sa longueur et de son épaisseur soit dans la verti-
cale qui passe par les pointes x,^, autour desquelles tourne libre-
ment le conducteur mobile. On voit alors que ce conducteur reste
dans la situation où on le place; ce qui prouve qu'il y a équilibre
entre les actions exercées par le conducteur fixe sur les deux por-
tions égales et opposées de circuit voltaïque bcde^ b'dd'ef^ qui ne
diffèrent que parce que, dans Tune, le courant électrique va en
s'approchant du conducteur fixe AB, et dans l'autre en s'en éloi-
gnant, quel que soit d'ailleurs l'angle formé par la direction de ce
dernier conducteur avec le plan du conducteur mobile : or, si l'on
considère d'abord les deux actions exercées entre chacune de ces
portions de circuit voltaïque et la moitié du conducteur AB dont
elle est la plus voisine, et ensuite les deux actions entre chacune
d'elles et la moitié du même conducteur dont elle est la plus éloi-
gnée, on verra aisément : 1** que l'équilibre dont nous venons de
parler ne peut avoir lieu pour toutes les valeurs de cet angle,
qu'autant qu'il y a séparément équilibre entre les deux premières
actions et les deux dernières; a** que si l'une des deux premières
est attractive, parce que les côtés de l'angle aigu formé par les

la M. -A. AMPÂBE.

portions de conducteurs entre lesquelles elle a Heu sont par-
courus dans le même sens par le courant électrique, l'autre sera
répulsive parce qu'elle aura lieu entre les deux côtés de l'angle
égal opposé au sommet, qui sont parcourus en sens contraires par
le même courant ; en sorte qu'il faudra d'abord, pour qu'il y ait
équilibre entre elles, que ces deux premières actions, qui tendent
à faire tourner le conducteur mobile, l'une dans un sens, l'autre
dans le sens opposé, soient égales entre elles, et ensuite que les
deux dernières actions, l'une attractive et l'autre répulsive, qui
s'exercent entre les côtés des deux angles obtus opposés au som-
met et suppléments de ceux dont nous venons de parler, soient
aussi égales entre elles. Il est inutile de remarquer que ces ac-
tions sont réellement les sommes des produits des forces qui agis-
sent sur chaque portion infiniment petite du conducteur mobile,
multipliées par leur distance à la verticale autour de laquelle il
peut librement tourner; mais, comme les distances à cette verticale
des portions infiniment petites correspondantes des deux branches
bcdCy b'c'dJef sont toujours égales entre elles, l'égalité des mo-
ments rend nécessaire celle des forces.

Le second des trois cas généraux d'équilibre est celui que j'ai
remarqué à la fin de l'année 1820; il consiste dans l'égalité des
actions exercées sur un conducteur rectiligne mobile, par deux
conducteurs fixes situés à égales distances du premier et dont l'un
est rectiligne, l'autre plié et contourné d'une manière quelconque,
quelles que soient d'ailleurs les sinuosités que forme ce dernier.
Voici la description ( * ) de l'appareil avec lequel j'ai vérifié l'égalité
des deux actions par des expériences susceptibles d'une grande
précision, et dont j'ai communiqué les résultats à l'Académie,
dans la séance du 26 décembre 1820.

Les deux règles verticales en bois, PQ, RS {fig- 2), portent,
dans des rainures pratiquées sur celles de leurs faces qui se trou-
vent en regard, la première un fil rectiligne 6c, la seconde un ûXkl
formant, dans toute sa longueur et dans un plan perpendiculaire
au plan qui joindrait les deux axes des règles, des contours et des
replis tels que ceux qu'on voit dans la figure, le long de la règle

(') Cette description est empruntée textuellement à V Exposé sommaire, etc..
t. II, art. XVIII, p. 258. (J.)

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. l3

RS, de manière que ce fil ne s'éloigne, en aucun de ces points,
que très peu du milieu de la rainure.

Ces deux fils sont destinés à servir de conducteurs à. deux por-
tions d'un même courant, que l'on fait agir par répulsion sur la
partie GH d'un conducteur mobile, composé de deux circuits rec-
tangulaires presque fermés et égaux, BCDE, FGHI, qui sont par-

Fig. 2.

courus en sens contraires par le courant électrique, afin que les
actions que la terre exerce sur ces deux circuits se détruisent mu-
tuellement. Aux deux extrémités de ce conducteur mobile sont
deux pointes A et K qui plongent dans les coupes M et N, pleines
de mercure, et soudées aux extrémités des deux branches de
cuivre ^M, AN. Ces branches sont en communication, par les
boîtes de cuivre g et A, la première avec un fil de cuivre gfe, plié
en hélice autour du tube de verre Ag/, l'autre avec un fil recti-
ligne hi qui passe dans l'intérieur du même tube et se termine
dans Tauge kiy creusée dans une pièce de bois vw qu'on fixe à la

l4 ai.-A. AMPÈRE.

hauteur que l'on veut, contre le montant 5, avec la vis de pres-
sion o. D'après rexpérience dont j'ai parlé plus haut, cette portion
du circuit composée de l'hélice ^/et du fil rectiligne /ii, ne peut
exercer aucune action sur le conducteur mobile. Pour que le cou-
rant électrique passe dans les conducteurs fixes bc et /r/, les fils
dont ces conducteurs sont formés se prolongent en crfe, Imn dans
deux tubes de verre (*) attachés à la traverse xy^ et viennent se
terminer, le premier dans la coupe e et le second dans la coupe /i.
Tout étant ainsi disposé, on met du mercure dans toutes les
coupes et dans les deux auges 6a, ki^ et l'on plonge le rhéophore
positif />a dans l'auge ia, qui est aussi creusée dans la pièce de
bois vw^ et le rhéophore négatif yn dans la coupe n. Le courant
parcourt tous les conducteurs de l'appareil dans l'ordre suivant :
pabcdefgUPiRCOE¥GmK^hiklmnq\ d'où il résulte qu'il est
ascendant dans les deux conducteurs fixes, et descendant dans la
partie GH du conducteur mobile qui est soumise à leur action, et
qui se trouve au milieu de l'intervalle des deux conducteurs fixes
dans le plan qui passe par leurs axes. Cette partie GH est donc
repoussée par bc et kl : d'où il suit que, si l'action de ces deux
conducteurs est la même à égales distances, GH doit s'arrêter au
milieu de l'intervalle qui les sépare; c'est ce qui arrive en eflet.

11 est bon de remarquer : i** que les deux axes des conducteurs
fixes étant à égales distances de GH, on ne peut pas dire rigou-
reusement que la distance est la même pour tous les poihts du
conducteur kl, à cause des contours et des replis que forme ce
conducteur. Mais, comme ces contours et ces replis sont dans un
plan perpendiculaire au plan qui passe par GH et par les axes des
conducteurs fixes, il est évident que la difi<érence de distance qui
en résulte est la plus petite possible, et d'autant moindre que la
moitié de la largeur de la rainure RS, que cette moitié est moindre
que l'intervalle des deux règles, puisque cette différence, dans le
cas où elle est la plus grande possible, est égale à celle qui se
trouve entre le rayon et la sécante d'un arc dont la tangente est
égale à la moitié de la largeur de la rainure, et qui appartient à un

(*) L'usage de ces tubes est d'empêcher la flexion des fils qui y sont renfermés
en les maintenant à des distances égales des deux conducteurs 6e, kl^ afin que
leurs actions sur GH qui diminuent celle de ces deux conducteurs les diminuent
également. (A.)

THéORIB MATHÉMATIQUE DES PlIÉNOMèNES, ETC. l5

cercle dont le diamètre est l'intervalle des deux règles, a® Que si
Ton décompose chaque portion infiniment petite du conducteur A7,
comme on décomposerait une force en deux autres petites por-
tions qui en soient les projections, l'une sur l'axe vertical de ce
conducteur, l'autre sur des lignes horizontales menées par tous ses
points dans le plan où se trouvent les replis et les contours qu'il
forme, la somme des premières, en prenant négativement celles
qui, ay3ntune direction opposée à la direction des autres, doivent
produire une action en sens contraire, sera égale à la longueur
de cet axe; en sorte que l'action totale, résultant de toutes ces
projections, sera la même que celle d'un conducteur rectiligne
égal à l'axe, c'est-à-dire à celle du conducteur bc situé de l'autre
côté à la même distance de GH, tandis que l'action des secondes
sera nulle sur le même conducteur mobile GH, puisque les plans
élevés perpendiculairement sur le milieu de chacune d'elles pas-
seront sensiblement par la direction de GH. La réunion de ces
deux séries de projections produit donc nécessairement sur GH
une action égale à celle de bc\ et, comme l'expérience prouve que
le conducteur sinueux kl produit aussi une action égale à celle
de bcj quels que soient les replis et les contours qu'il forme, il
s'ensuit qu'il agit, dans tous les cas, comme la réunion des deux
séries de projections, ce qui ne peut avoir lieu, indépendamment
de la manière dont il est plié et contourné, à moins que chacune
des parties de ce conducteur n'agisse séparément comme la réu-
nion de ses deux projections.

Pour que cette expérience ait toute l'exactitude désirable, il est
nécessaire que les deux règles soient exactement verticales et
qu'elles soient précisément à la même distance du conducteur
mobile. Pour remplir ces conditions, on adapte une division ap à
la traverse xy^ et l'on fixe les règles avec deux crampons rj et 9 et
deux vis de pression \ [jl, ce qui permet de les écarter ou de les
rapprocher à volonté, en les maintenant toujours à égale distance
du milieu y de la division a^. L'appareil est construit de manière
que les deux règles sont perpendiculaires à la traverse xy^ et l'on
rend celle-ci horizontale à l'aide des vis que l'on voit aux quatre
coins du pied de l'instrument, et du fil à plomb XY qui répond
exactement au point Z, déterminé convenablement sur ce pied,
quand la traverse xy est parfaitement de niveau.

l6 M.-A. AMPÈRE.

Pour rendre le conducteur ABCDEFGHIK mobile autour d'une
ligne verticale, située à égale distance des deux conducteurs 6c,
kly ce conducteur est suspendu à un fil métallique très fin attaché
au centre d'un bouton T, qui peuttoumer sur lui-même sans changer
de distance à ces deux conducteurs ; ce bouton est au centre d'un
petit cadran O, sur lequel l'indice L sert à marquer l'endroit où il
faut l'arrêter pour que la partie GH du conducteur mobile ré-
ponde, sans que le fil soit tordu, au milieu de l'intervalle des deux
conducteurs fixes 6c, A:/, afin de pouvoir remettre immédiatement
l'aiguille dans la direction où il faut qu'elle soit pour cela, toutes
les fois qu'on veut répéter l'expérience. On reconnaît que GH est
en effet à égale distance de 6c et de À/, au moyen d'un autre fil à
plomb if{ù attaché à une branche de cuivre ^yif portée comme le
cadran O par le support UVO, dans lequel cette branche Y/j^
peut tourner autour de l'axe du bouton <p qui la termine, ce qui
donne la facilité de faire répondre la pointe de Taplomb oj sur la
ligne yS milieu de la division a^. Quand le conducteur est dans la
position convenable, les trois verticales ^j^cu, GH et CD se trouvent
dans le même plan, et l'on s'en assure aisément en plaçant l'œil
dans ce plan en avant de tj^cu.

Le conducteur mobile se trouve ainsi placé d'avance dans la
situation où il doit y avoir équilibre entre les répulsions des deux
conducteurs fixes, si ces répulsions sont exactement égales : on
les produit alors en plongeant dans le mercure de l'auge ba et de
la coupe n les fils ap, nq^ qui communiquent avec les deux extré-
mités de la pile, et l'on voit le conducteur GH rester dans cette
situation malgré la grande mobilité de ce genre de suspension,
tandis que, si l'on déplace, même très peu, Tindice L, ce qui
amène GH dans une situation où il n'est plus à égales distances
des conducteurs fixes 6c, A"/, on le voit se mouvoir à l'instant où
l'on établit les communications avec la pile, en s'éloignant de celui
des conducteurs dont il se trouve le plus près. C'est ainsi que j'ai
constaté, dans le temps où j'ai fait construire cet instrument, l'éga-
lité des actions des deux conducteurs fixes, par des expériences
répétées plusieurs fois avec toutes les précautions nécessaires pour
qu'il ne pût rester aucun doute sur leur résultat.

On peut aussi démontrer la même loi par une expérience bien
simple : il suffit pour cela de prendre un fil de cuivre revêtu de

THÉORIE MATHÉMATIQUE DBS PHÉNOMÈNES, ETC. 17

soie, dont une portion est rectiligne et Tautre est repliée autour
d'elle, de manière qu'elle forme des sinuosités quelconques sans
se séparer de la première qui en est isolée par la soie qui les re-
couvre. On constate alors qu'une autre portion de fil conducteur
est sans action sur Tassemblage de ces deux portions; et, comme
elle le serait également sur l'assemblage de deux fils rectilignes
parcourus en sens contraires par un même courant électrique,
d'après l'expérience par laquelle on constate de la manière la plus
simple le premier cas d'équilibre, il s'ensuit que l'action d'un
courant sinueux est précisément égale à celle d'un courant recti-
ligne compris entre les mêmes extrémités, puisque ces deux ac-
tions font Tune et l'autre équilibre à l'action d'un même courant
rectiligne de même longueur que ce dernier, mais dirigé en sens
contraire (*).

Le troisième cas d'équilibre consiste en ce qu'un circuit fermé
de forme quelconque ne saurait mettre en mouvement une portion
quelconque d'un fil conducteur formant un arc de cercle dont le
centre est dans un axe fixe, autour duquel il peut tourner libre-
ment et qui est perpendiculaire au plan du cercle dont cet arc fait
partie (^).

(') M. J. Bertrand a montré {Journal de Physique [1], t. III, p. 297; 1874)
que le théorème des courants sinueux, pris par Ampère comme un des quatre
théorèmes fondamentaux dont il se sert pour établir sa formule, est une consé-
quence de l'hypothèse que l'action de deux éléments est dirigée suivant la droite
qui les joint et du théorème fourni par le troisième cas d'équilibre, que Taction
d'un courant formé sur un élément de courant est toujours normale à l'élément.

« Supposons, ajoute M. Bertrand, qu'Ampère ait vérifié et énoncé d'abord ce
dernier théorème et que, par le raisonnement seul, il en ait déJuit le théorème
des courants sinueux, il aurait pu dire : Si l'action de deux éléments est, comme
cela me parait vraisemblable, dirigée suivant la droite qui les joint, il faut né-
cessairement qu'un conducteur sinueux exerce la même action qu'un conducteur
rectiligne suivant la même direction. L'expérience venant ensuite confirmer cette
prévision, n'aurait-elle pas été regardée, avec raison, comme une très forte preuve
en faveur de l'hypothèse qui y conduit? L'ordre dans lequel les vérités ont été
découvertes et l'époque à laquelle a été signalée leur dépendance mutuelle chan-
gent-ils quelque chose à leur probabilité? » (J.)

(^) Mémoire sur une nouvelle expérience électro^ynaniique, etc., lu à l'Aca-
démie royale des Sciences, dans la séance du 12 septembre 1826 (note de la
p. i). Le Mémoire débute par les lignes suivantes: « La manière dont j'ai déter-
miné la relation des deux coefficients de la formule par laquelle j'ai représente
l'action mutuelle de deux éléments de courants électriques, dans le Mémoire que
j'ai lu à l'Académie le 10 juin 1822 (t. II, art. XIX), étant sujette à quelque
Mém. de Phys., III. 2

i8

H. -A. AMPÈRE.

Sur un pied TT {fig- 3), en forme de table, s'élèvent deux
colonnes EF, E'F', liées enrrc elles par deux traverses LL', FF';

Fiff. 3.

un axe GII est maintenu entre ces deux traverses dans une posi-
tion verticale. Ses deux extrémités G, H, terminées en pointes
aiguës, entrent dans deux trous coniques pratiqués, l'un dans la
traverse inférieure LU, l'autre à l'extrémité d'une vis KZ portée
par la traverse supérieure FF' et destinée à presser l'axe GH sans
le forcer. En C est fixé invariablement à cet axe un support QO
dont l'extrémité O présenle une charnière dans laquelle est engagé
par son milieu un arc de cercle AA' formé d'un fil métallique qui

difficulté, j'ai cherché à établir cette relation d'une manière plus simple et plus
directe : j'y suis parvenu aisément à l'aide d'un instrument que je vais d'abord
décrire; j'exposerai ensuite quelques nouveaux résultats que j'ai déduits de la
même formule. »

Au point de vue pratique, la nouvelle expérience ne parait pas présenter moins
de difficultés que l'ancienne; elle est d'une sensibilité médiocre, à cause des nom-
breux frottements qui nuisent à la mobilité de l'appareil, les frottements de l'axe
et surtout le frottement de l'arc contre le mercure des augets : le mouvement
ne commence à s'accuser que pour une assez forte excentricité de l'arc. M. Ettings-
hausen {Sitzb. der Wien. Ak., p. la; 1878) a notablement amélioré les conditions
de l'expérience en soutenant le levier par une suspension bifilaire. (J.)

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, KTC. 19

reste constamment dans une position horizontale, et qui a pour
rayon la distance du point O à Taxe GH. Cet arc est équilibré par
un contre-poids Q, afin de diminuer le frottement de Taxe GH
dans les trous coniques où ses extrémités sont reçues.

Au-dessous de Tare AA' sont disposés deux augets M, M' pleins /

de mercure, de telle sorte que la surface du mercure, s'élevant au-
dessus des bords, vienne toucher Tare AA' en B et B'. Ces deux
augets communiquent par des conducteurs métalliques, MN, M'N',
avec des coupes P, P' pleines de mercure. La coupe P et le con-
ducteur MN qui la réunit à Tauget M sont fixés à un axe vertical
qui s'enfonce dans la table de manière à pouvoir tourner libre-
ment. La coupe P', à laquelle est attaché le conducteur M'N', est
traversée par le même axe, autour duquel elle peut tourner aussi
indépendamment de Tautre. Elle en est isolée par un tube de
verre V qui enveloppe cet axe, et par une rondelle de verre U
qui la sépare du conducteur de l'auget M, de manière qu'on peut
disposer les conducteurs MN, M'N' sous Tangle qu'on veut.

Deux autres conducteurs IR, l'R' attachés à la table plongent
respectivement dans les coupes P, P' et les font communiquer
avec des cavités R, R' creusées dans la table et remplies de mer-
cure. Enfin, une troisième cavilé S, pleine également de mercure,
se trouve entre les deux autres.

Voici la manière de faire usage de cet appareil : on fait plonger
l'un des rhéophoi:es, par exemple, le rhéophore positif dans la
cavité R, et le rhéophore négatif dans la cavité S, qu'on met en
communication avec la cavité R' par un conducteur curviligne
d'une forme quelconque. Le courant suit le conducteur RI, passe
dans la coupe P, de là dans le conducteur NM, dans l'auget M, le
conducteur M'N', la coupe F, le conducteur l'R', et enfin de la
cavité R' dans le conducteur curviligne qui communique avec le
mercure de la cavité S où plonge le rhéophore négatif.

D'après cette disposition, le circuit voltaïque total est formé :

i« De l'arc BB' et des conducteurs MN, M'N';

2** D'un circuit qui se compose des parties RIP, VÏR' de l'ap-
pareil, du conducteur curviligne allant de R' en S et de la pile
elle-même.

Ce dernier circuit doit agir comme un circuit fermé, puisqu'il
n'est interrompu que par l'épaisseur du verre qui isole les deux

20 II. -A. AMPERE.

coupes P, P' : îl suffira donc d'observer son action sur l'arc BB'
pour constaler par Texpérience Taclion d'un circuit fermé sur
un arc dans les différentes positions qu'on peut donner à Tun et à
l'autre.
\ Lorsqu'au moyen de la charnière O on mel l'arc AA' dans une

position telle que son centre soit hors de l'axe GH, cet arc prend
un mouvement et glisse sur le mercure des augets M, M', en vertu
de l'action du courant curviligne fermé qui va de IV en S. Si an
contraire son centre est dans l'axe, il reste immobile; d'où il suil
que les deux portions du circuil fermé qui tendent à le faire
tourner en sens contraires autour de l'axe exercent sur cet arc d<^s
moments de rotation dont la valeur absolue est la même, et cela,
quelle que soit la grandeur de la partie BB' déterminée par l'ou-
verture de l'angle des conducteurs MN, M'IN'. Si donc on prend
successivement deux arcs BB' qui diffèrent peu l'un de l'autre,
comme le moment de rotation est nul pour chacun d'eux, il sera
nul pour leur petite différence, et par conséquent pour tout élé-
ment de circonférence dont le centre est dans l'axe; d'où il suit
que la direction de l'action exercée par le circuit fermé sur l'élé-
ment passe par l'axe, et qu'elle est nécessairement perpendiculaire
à l'élément.

Lorsque Taie VA' est situé de manière que son centre soit dans
l'axe, les portions de conducteur MN, M'N' exercent sur l'arc BB'
des actions répulsives égales et opposées, en sorte qu'il ne peut
en résulter aucun effet; et, puisqu'il n'y a pas de mouvement, on
est sûr qu'il n'y à pas de moment de rotation produit par le cir-
cuit fermé.

Lorsque l'arc iVA' se meut dans Tautre situation où nous
l'avions d'abord supposé, les actions des conducteurs MN et M'N'
ne sont plus égales : on pourrait croire que le mouvement n'est
dû qu'à cette différence; mais, suivant qu'on approche ou qu'on
éloigne le circuit curviligne qui va de R' en S, le mouvement est
augmenté ou diminué, ce qui ne permet pas de douter que le cir-
cuit fermé ne soit pour beaucoup dans l'effet observé.

Ce résultat, ayant lieu quelle que soit la longueur de l'arc AA',
aura nécessairement lieu pour chacun des éléments dont cet arc
est composé. Nous tirerons de là cette conséquence générale, que
l'action d'un circuit fermé ou d'un ensemble de circuits fermés

THÉORIE MATUÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. Il

quelconques, sur un élément infiniment petit d*un courant élec-
trique, est perpendiculaire à cet élément.

C'estàTaide d*un quatrième cas d'équilibre ('), dont il me reste à
parler, qu'on peut achever de déterminer les coefficients constants
qui entrent dans ma formule, sans avoir recours, comme je l'avais
d'abord fait, aux expériences où un aimant et un fil conducteuragis-
sent l'un sur l'au tre. Voici l'instrument à l'aide duquel celte détermi-
nation repose uniquement sur l'observation de ce qui a lieu quand
ce sont deux fils conducteurs dont on examine l'action mutuelle.

Dans la table MN {/ig- 4)? est creusée une cavité A, remplie de

mercure, d'où part un conducleur fixe ABCDEFG formé d'une

(') La dcscriplioa de cette expérience a été présentée à l'Académie le 25 no-
vembre 1825. On verra, dans le dernier paragraphe du présent Mémoire, qu'elle
n'avait pas été faite au moment de sa publication, et elle ne parait pas l'avoir été
depuis. Elle serait d'ailleurs d'une exécution assez difficile sous la forme que lui
a donnée Ampère. M. Felici (7/ nuosfo Cimento [3], t. Xï, p. 2^43) l'a rendue plus
simple et, en môme temps, beaucoup plus précise, en plaçant les cercles verticale-
ment avec leurs centres sur une même droite horizontale. On troifvera la descrip-
tion et la figure de l'appareil de M. Felici dans le Journal de Physique [2],
t. Il, p. 529. (J.)

M. -A. \MPERE.

lame de cuivre; la portion GDE est circulaire, et les parties CBA,
EFG sont isolées Tune de l'autre par la soie qui les recouvre.
En G ce conducteur est soudé à un tube de cuivre GH, surmonté
d'une coupe I, qui communique avec le tube par le support HI
du même métal. De la coupe I part un conducteur mobile
IKLMNPQRS, dont la portion MNP est circulaire; il est entouré
de soie dans les parties MLR et PQR pour qu'elles soient isolées,
et il est tenu horizontal au moyen d'un contrepoids a fixé sur une
circonférence de cercle qu'un prolongement bcg de la lame, dont
est composé le conducteur mobile, forme autour du tube GH. La
coupe S est soutenue par une tige ST, ayant le même axe que GH,
dont elle est isolée par une substance résineuse que Ton coule
dans le tube. Le pied de la tige ST est soudé au conducteur
fixe TUVXYZA', qui sort du tube GH par une ouverture assez
grande pour que la résine l'en isole aussi complètement dans
cet endroit qu'elle le fait dans le reste du tube GH, à l'égard
de ST. Ce conducteur, à sa sortie du tube, est revêtu de soie
pour empêcher la portion TUV de communiquer avec YZA'.
Quant à la portion VXY, elle est circulaire, et l'extrémité A'
plonge dans une seconde cavité A' creusée dans la table et pleine
de mercure.

Les centres O, O', O'' des trois portions circulaires sont en ligne
droite; les rayons des cercles qu'elles forment sont en proportion
géométrique continue, et l'on place d'abord le conducteur mobile
de manière que les distances 00', O'O" soient dans le même rap-
port que les termes consécutifs de cette proportion; de sorte que
les cercles O et O' forment un système semblable à celui des
cercles O' et 0'\ On plonge alors le rhéophore positif en A et le
rhéophore négatif en A', le courant parcourt successivement les
trois cercles dont les centres sont en O, O', O", qui se repoussent
deux à deux, parce que le courant va en sens opposés dans les
parties voisines.

Le but de l'expérience qu'on fait avec cet instrument est de
prouver que le conducteur mobile reste en équilibre dans la posi-
tion où le rapport de 00' à O'O" est le même que celui des rayons
de deux cercles consécutifs, et si on l'écarté de cette position, il y
revient en oscillant autour d'elle.

Je vais maintenant expliquer comment on déduit rigoureuse-

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 23

ment de ces cas d'équilibre la formule par laquelle j'aî représenté
Taction mutuelle de deux éléments de courant voltaïque, en mon-
trant que c'est la seule force agissant suivant la droite qui en joint
les milieux qui puisse s'accorder avec ces données de Texpérience.
Il est d'abord évident que l'action mutuelle de deux éléments do
courants électriques est proportionnelle à leur longueur; car, en
les supposant divisés en parties infiniment petites égales à leur
commune mesure, toutes les attractions ou répulsions de ces par-
ties, pouvant être considérées comme dirigées suivant une même
droite, s'ajoutent nécessairement. Cette même action doit encore
être proportionnelle aux intensités des deux courants. Pour ex-
primer en nombre l'intensité d'un courant quelconque, on con-
cevra qu'on ait choisi un autre courant arbitraire pour terme
de comparaison, qu'on ait pris deux éléments égaux dans
chacun de ces courants, qu'on ait cherché le rapport des ac-
tions qu'ils exercent à la même distance sur un même élément
de tout autre courant, dans la situation où il leur est parallèle
et oii sa direction est perpendiculaire aux droites qui joignent
son milieu avec h\s milieux de deux autres éléments. Ce rap-
port sera la mesure d'une des intensités, en prenant l'autre pour
unité.

Désignant donc par i et i les rapports des intensités des deux
courants donnés à l'intensité du courant pris pour unité, et par
ds^ ds' les longueurs des éléments que Ton considère dans chacun
d'eux, leur action mutuelle, quand ils seront perpendiculaires à
la ligne qui joint leurs milieux, parallèles entre eux et situés à
l'unité de distance l'un de l'autre, sera exprimée par ii' dsds\ quc^
nous prendrons avec le signe -f- quand les deux courants, allant
dans le même sens, s'attireront, et avec le signe — dans le cas
contraire.

Si l'on voulait rapporter l'action des deux éléments à la pesan-
teur, on prendrait pour unité de force le poids de l'unité de vo-
lume d'une matière convenue. Mais alors le courant pris pour
unité ne serait plus arbitraire; il devrait être tel, que l'attraction
entre deux de ses éléments ds^ ds^^ situés comme nous venons
de le dire, pût soutenir un poids qui fût à l'unité de poids comme
dsds' est à i . Ce courant une fois déterminé, le produit ii'dsds'
désignerait le rapport de l'attraction de deux éléments d'intensités

24 ll.-A. AMPBRE.

quelconques, toujours dans la même situation, au poids qu'on
aurait choisi pour unité de force (*).

Cela posé (^), si Ton considère deux éléments placés d'une ma-
nière quelconque, leur action mutuelle dépendra de leurs lon-
gueurs, des intensités des courants dont ils font partie, et de leur
position respective. Cette position peut se déterminer au moyen
de la longueur r de la droite qui joint leurs milieux, des angles 6
et 0' que font, avec un même prolongement de cette droite, les
directions des deux éléments pris dans le sens de leurs courants
respectifs, et enfin de l'angle co que font entre eux les plans
menés par chacune de ces directions et par la droite qui joint les
milieux des éléments.

La considération des diverses attractions ou répulsions ob-
servées dans la nature me portait à croire que la force dont je
cherchais l'expression agissait de même en raison inverse (du carré)
de la distance; je la supposai, pour plus de généralité, en raison
inverse de la puissance /i^'"*' de cette dislance, n étant une con-
stante à déterminer (^). Alors, en représentant parp la fonction in-
connue des angles 0, ô', oj, j'eus - — - — pour l'expression générale
(le Taclion de deux éléments ds^ cls' de deux courants ayant pour

.(*) L'unilé crintensité ainsi définie est Tunité électrodynamique, rapportée à
l'unilé de poids, au gramme par exemple, pris comme unité de force; elle est
donc égale à l'unité absolue (C, G.S.) multipliée par \^{g -- 981"). D'autre part,
on sait que l'unité électromagnétique (C. G.S.)i plus ordinairement employée, *est
éjîale à l'unité électrodynamique multipliée par v^ et vaut 10 ampères. L'unité

dtTinie dans le texte vaut donc ïoi/^ — = 2-21,4 ampères. (J.)

(*) Voir t. II, p. 128 et 238, l'art. VII (4 décembre 1820) et l'art. XVIII (8 avril
1822). (J.)

(') En toute rigueur, rien ne prouve : 1*» que la fonction de la distance soit de

lu forme — ; 2"» que cette forme soit la même quand l'élément occupe la position

(rd" et la position ad {Jfg. 5), et que, par suite, il y ait un rapport constant A',
indépendant de la distance entre les actions exercées dans les deux cas. Dans la
Note I qui fait suite au présent Mémoire, Ampère donne une méthode plus générale
où Ton ne suppose plus a priori que l'action varie en raison inverse d'une puissance
de la distance. On trouvera dans les Œuvres de Verdet {Conférences à VÉcoie
Aormale, t. I, p. i44) une démonstration, plus générale encore, due à Blanchet,
et dans laquelle on prend deux fonctions différentes pour représenter l'action de
deux éléments de courants dans les positions ad et a'^d", (J.)

THÉORIE MATHEMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 25

intensités i et {. Il me restait à déterminer la fonction p; je con- ■
sidérai d'abord, pour cela, deux éléments adj ci d! {fig^ 5) paral-
lèles entre eux, perpendiculaires à la droite qui joint leurs mi-
lieux, et situés à une distance quelconque /• Tun de l'autre; leur

action étant exprimée d'après ce qui précède par — > je sup-
posai que ad restât fixe et que a'rf' fût transporté parallèlement à

Fig. 5.
a il a- i'

a' J'
a a'

lui-même, de manière que son milieu fût toujours à la même
distance de celui de ad; (o étant toujours nul, la valeur de leur
action mutuelle ne pouvait dépendre que des angles désignés ci-
dessus par 0, 6', et qui, dans ce cas, sont égaux ou suppléments
l'un de l'autre, selon que les courants sont dirigés dans le même
sens ou en sens opposés; je trouvai ainsi pour cette valeur

iV'(U(b'o(6,e') ., , , . . / .• .
u * ^" nommant A' la constante positive ou négative a

laquelle se réduit o(^,H') quand l'élément a' d' est en a"' d" dans
le prolongement de ad, et dirigé dans le même sens, j'obtins

a — po"r l'expression de l'action de ad sur a'"d"' \ dans cette

expression, la constante k représente le rapport de l'action de ad
sur a"'d^" à celle de ad sur r/V, rapport indépendant de la di-
stance r, des intensités /, /, et des longueurs ds, ds' des deux
éléments que l'on considère.

Ces valeurs de l'action électrodynamique, dans les deux cas les
plus simples, suffisent pour trouver la forme générale de la fonc-
tion p, en parlant de l'expérience qui montre que l'attraction
d'un élément recliligne infiniment petit est la même que celle d'un
autre élément sinueux quelconque, terminé aux deux extrémités
du premier, et de ce théorème que je vais établir : savoir, qu'une
portion infiniment petite de courant électrique n'exerce aucune
action sur une autre portion infiniment petite d'un courant situé

26 M. -A. AMPÈRE.

dans un plan qui passe par son milieu et qui est perpendiculaire
à sa direction. En effet, les deux, moitiés du premier élément pro-
duisent sur le second des actions égales, Tune attractive et l'autre
répulsive, parce que dans Tune de ces moitiés le courant va en
s'approchant, et dans l'autre en s'éloignant de la perpendiculaire
commune. Or ces deux forces égales font un angle qui tend vers
deux angles droits à mesure que l'élément tend vers zéro. Leur
résultante est donc infiniment petite, par rapport à ces forces, et
doit, par conséquent, être négligée dans le calcul. Cela posé,
soient M/?i = d^ (^fig- 6) et M'/n = d^' deux éléments de cou-
rants électriques, dont les milieux soient aux points Aet Sl\ faisons
passer le plan MA'm par la droite AA' qui les joint et par l'élé-
ment M/^i; substituons à la portion de courant d^ qui parcourt

Fig. 6.

cet élément sa projection N/i = d^cosO sur la droite AA', et sa
projection Vp = d^sinO sur la perpendiculaire élevée en A à cette
droite dans le planMA'm; substituons ensuite à la portion de
courant d^' qui parcourt Wni! sa projection ]N'n'= d^'cosô sur
la droite AA', et sa projection P'/?'= d^' sinÔ' sur la perpendicu-
laire à AA' menée par le point A' sur AA' dans le plan M' A m'; rem-
plaçons enfin cette dernière par sa projection ï'^'= d^'sinÔ'cosio
sur le plan MA'/n, et par sa projection U' w'= d^' sinO' sinw sur la
perpendiculaire à ce plan menée par le point A'; d'après la loi
établie ci-dessus, l'action des deux éléments d^ et d/sera la même
que celle de l'assemblage des deux portions de courants d^cosÔ
et d^sinô sur celui des trois portions ds'cosO', d^'sinÔ'cosw,
d^'sinO' sinw; cette dernière ayant son milieu dans le plan M A m
auquel elle est perpendiculaire, il n'y aura aucune action entre
elle et les deux portions d^eosO, d^sinO, qui sont dans ce plan.
Il ne pourra non plus, par la même raison, y en avoir aucune

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 27

entre les portions d^cosÔ, d^'sinô'coso), ni entre les portions
d^sinO, di-'cosÔ', puisqu'en concevant par la droite AA' nn plan
perpendiculaire au plan MA'm, d^cosÔ et d^'cosO' se trouvent
dans ce plan, et que les portions d/sin8'cosa> et d^sinô lui
sont perpendiculaires et ont leurs milieux dans ce même plan.
L'action des deux éléments d^ et d^' se réduit donc à la réunion
des deux actions restantes, savoir : l'action mutuelle de d^sinÔ
et de ds' sin 0' cos (0 et à celle de d^cosO et de d^'cosô'; ces
deux actions étant toutes deux dirigées suivant la droite AA' qui
joint les milieux des portions de courants entre lesquelles elles
s'exercent, il suffit de les ajouter pour avoir l'action mutuelle des
deux éléments d^ et d^'. Or les portions d^sinO et d^' sin 9' cos to
sont dans un même plan, et toutes deux perpendiculaires è la
droite AA'; leur action mutuelle suivant celte droite est donc,
d'après ce que nous venons de voir, égale à

û*'d«ds'sinO sinO'cosco
1^^ '

et celle des deux portions d^cosô et d^'cosO' dirigée suivant la
même droite AA' a pour valeur

ii' k as as' co%^ cos6'
TT. '

et, par conséquent, l'action des deux éléments d^, d^' l'un sur
l'autre est nécessairement exprimée par

m as as' . . e, ' ù.t , A Afx

(sinO «ino cos(»> -4- ArcosO cos6 ).

fit ^ '

On simplifie cette formule en y introduisant l'angle s des deux
éléments au lieu de w; car, en considérant le triangle sphérique
dont les côtés seraient 8, 9', s, on a

cose = ces 6 cosÔ'h- sinO sinO'cosio;
d'oii

sinO sinO'cosù) = cos£ — ces 6 cosô';

substituant dans la formule précédente et faisant k — 1 = A, elle
devient

m as as' . f n a/s

(coss -H h cos6 cos6 ),

et il est bon de remarquer qu'elle change de signe quand un seul

Jî8 M. -A. AMPÈRE.

des courants, par exemple celui de réiément dy, prend une direc-
tion diamétralement opposée à celle qu'il avait, car alors cosô
et coss changent de signe, et cosô' reste le même. Cette valeur
de Taclion mutuelle de deux éléments n'a été déduite que de la
substitution des projections d'un élément à cet élément même;
mais il est facile de s'assurer qu'elle exprime qu'on peut substi-
tuer à un élément un contour polygonal quelconque, et par suite
un arc quelconque de courbe terminé aux mêmes extrémités,
pourvu que toutes les dimensions de ce polygone ou de cette
courbe soient infiniment petites.

Soient, en effet, dsi, d^a, . . ., dsm les différents côtés du poly-
gone infiniment petit substitué à d^; la direction AA' pourra tou-
jours être considérée comme celle des lignes qui joignent les mi-
lieux respectifs de ces côtés avec A'.

Soient 8|, ô^,. . ., 6w les angles qu'ils font respectivement avec
AA', et £,, Sa»' • •> S/n ceux qu'ils font avec M' m'; en désignant,
suivant l'usage, par S une somme de termes de même formé, la
somme des actions des côtés d.v, , d^^, . . . , ds„t sur d^' sera

— — 1 2(l5| cosî| -h h cos6'2d*i cosOi).

Or Sd^i cos£| est la projection du contour polygonal sur la
direction de d^', et est, par conséquent, égal à la projection de d^
sur la même direction, c'est-à-dire à d^coss; de même Sd^i cos^i
est égal à la projection de d.ç sur AA' qui est d^cosô; l'action
exercée sur d^' par le contour polygonal terminé aux extrémités
de d,v a donc pour expression

il' ds'

pn

{ ds co« z -h hâs cos 6 cos 0' )

et est la même que celle de d^ sur d^'.

Cette conséquence, étant indépendante du nombre des côtés
d.ç,, d.Ço?. . . , d^^i, aura lieu pour un arc infiniment petit d'une
courbe quelconque.

On prouverait semblablement que l'action de d^' sur d^ peut
être remplacée par celle qu'une courbe infiniment petite. quel-
conque, dont les extrémités seraient les mêmes que celles de ds',
exercerait sur chacun des éléments de la petite courbe que nous
avons déjà substituée à d^, et par conséquent sur cette petite

THÉORIE MATHÉAIATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. lij

courbe elle-même. Ainsi la formule que nous avons trouvée
exprime qu'un élément curviligne quelconque produit le même
effet que la portion infiniment petite de courant rectiJigne ter-
minée aux mêmes extrémités, quelles que soient d'ailleurs les va-
leurs des constantes n et h. L'expérience par laquelle on constate
ce résultat ne peut donc servir en rien à déterminer ces con-
stantes.

Nous aurons alors recours aux deux autres cas d'équilibre dont
nous avons déjà parlé. Mais auparavant nous transformerons (*)
l'expression précédente de Faction de deux éléments de courants
voltaïques, en y introduisant les différentielles partielles de la di-
stance de CCS deux éléments.

Soient ^,7,5 les coordonnées du premier point, et x\y, z' celles
du second, il \iendra

.r — .r ri r y — y

cosO = ,- -1-^ •—

r ds r

d^

z - z i\z

/• ils r

z — z' i\z'
r ils' '

mais on a

ri -= (^ jr - a:' )2-h (j - -/ )i -^ ( -. --z')\

d'où, en prenant successivement les coefficients différentiels par-
tiels par rapport à ^ et s\

i\r , ,, i\jc . <î>' / f. fl^

(\s ' as '^ lis ^ ds

05 d* ./ • ,1^ , ^ ds

amsi

dr ^, dr

ds ds

Pour avoir la valeur de coss, nous observerons que

dur dy dz djr' i\y lïz'

ds ds ds ds' ds' ds'

sont les cosinus des angles que d^ et ds' forment avec les trois

(•) Celte transformation a été donnée pour la première fois par Ampère, dans
le Mémoire du lo juin 1832, art. XI\. C'était un pas considérable qui lui permettait
de calculer Taction d'un courant fermé sur un élément de courants et d'établir
une relation entre les deux constantes n et k. ( 1. )

/

30 M. -A. AMPERE.

axes, et nous en conclurons

dx ôx'

_j_

d/ dy

_u

d^

dz'

ds

ds'

t\s ds'

ds

ds

Or, en dîfférentiant par rapport a s' l'équation précédente qui

donne r-r-' on trouve
ds

d*r dr dr _ dx dx' dy dy' ds dz _

dsds' ds ds' ds ds' ds ds' ds ds'

Si Ton substitue, dans la formule qui représente Taction mutuelle
des deux éléments d^, d^', au lieu de cos8, cosô, coss, les valeurs
que nous venons d'obtenir, cette formule deviendra, en rempla-
çant I M- h par son égal A ,

/ d'/- . dr dr\

\ dsds' ds ds )^

qu'on peut mettre sous la forme

Il (\si\s I \ d* /

OU enfm

^, dsds.

ds

On pourrait encore lui donner la forme suivante :

1 -f- A" d* d.v

Examinons maintenant ce qui résulte du troisième cas d'équi-
libre dont nous avons parlé, et qui démontre que la composante
de l'action d'un circuit fermé quelconque sur un élément, suivant
la direction de cet élément, est toujours nulle, quelle que soit la
forme du circuit (*). En désignant par d^' l'élément en question,
l'action d'un élément d^ du circuit fermé sur d^' sera, d'après ce
qui précède.

— Il ds r' -« -^ — ^— ï

d. -•'^

/ (') Tiré du Mémoire du 12 septembre 1825, loc. cit. (J. )

f

r

y

THÉORIE MATHEMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 3l

OU, en remplaçanl -p par — cos^V

••' 1 ' I „ /. d(r^ cos6') ,
i\s

la composante de cette action suivant d^' s'obtiendra en multi-
pliant cette expression par cosô' et sera

•VIT , „ t. a; (U/'^C0s6') ,

Il ds r^ "-** ces 6 --^ — T ds.

ds

Cette différentielle intégrée dans toute l'étendue du circuit s don-
nera la composante tangente totale et devra être nulle, quelle que
soit la forme de ce circuit. En l'intégrant par partie, après l'avoir
écrite ainsi

it d^V- "-*^« r^ cosô — ^ ; ds,

ds

nous aurons

iù'd^' r»-«cos«e'— (i — Al — ik) I r " cos»6'd/- .

Le premier terme /'""cos^O' s'évanouit aux limites. Quant à l'in-
tégrale //*"" cos^Ô'dr, il est très facile de concevoir un circuit

fermé pour lequel elle ne se réduise pas à zéro. En effet, si l'on
coupe ce circuit par des surfaces sphériques très rapprochées,
ayant pour centre le milieu de l'élément d^', les deux points où
chacune de ces sphères coupera le circuit donneront la même va-
leur pour /• et des valeurs égales et des signes contraires pour dr ;
mais les valeurs de cos^8' pourront être différentes, et il y aura
une infinité de manières de faire en sorte que les carrés de tous
les cosinus relatifs aux points situés d'un même côté entre les
points extrêmes du circuit soient moindres que ceux relatifs aux
points correspondants de l'autre côté; or, dans ce cas, l'intégrale
ne s'évanouira pas; et, comme l'expression ci-dessus doit être
nulle, quelle que soit la forme du circuit, il faut donc que le coef-
ficient I — n — 2Â^ de cette intégrale soit nul, ce qui donne entre
n et k cette première relation i — n — a A- = o ( • ).

(•) Dans le Mémoire du lojuin 1822 (t. II, arl. XIX, p. 370), Ampère déduisait
cette même relation du fait qu'un circuit fermé circulaire n'exerce aucune action

3^ M. -A. AMPÈRE.

Avanl de chercher une seconde équation pour déterminer ces
deux constantes, nous commencerons par prouver que k est né-
gatif, et, par conséquent, que /ï = i — a A* est plus grand que i ;
nous aurons recours pour cela à un fait bien facile à constater par
l'expérience (•), savoir qu'un conducteur rectiligne indéfmi attire
un circuit fermé, quand le courant électrique de ce circuit va dans
Je même sens que celui du conducteur dans la partie qui en est la
plus voisine, et qu'il le repousse dans le cas contraire.

Soit UV {fig- 7) le conducteur rectiligne indéfini; supposons.

Fig. 7.

pour plus de simplicité, que le circuit fermé THRÏ'K'H' soit
dans le même plan que le fil conducteur UV, et cherchons l'action
exercée par un élément quelconque MM' de ce dernier. Pour cela,

sur un conducteur de forme quelconque mobile autour de l'axe du cercle et ayant
SCS deux extrémités sur cet axe.

On a vu comment Savary s'était servi, pour obtenir une seconde relation entre
n et /., de la remarque de Gay-Lussac et Welter, que l'action extérieure d'un ai-
mant annulaire est nulle {Mémoire de Savary j t. lï, art. WVI, p. 35i). On a \u
également comment Ampère, pour rendre la détermination des constantes indé-
pendante de toute assimilation des aimants aux courants, avait montré qu'un solé-
noïde n'exerce plus aucune action sur une portion mobile de conducteur de forme
quelconque, du moment où il est fermé sur lui-même {loc. ciLj p. 352). Cette
expérience conduit à la relation

An -i- 1 - ; o,

qui, jointe à la première, donne les deux solutions

/ ' = — ^ , n' — 2 et k" — 1 , n" — ly

la première étant seule acceptable dès que l'on démontre que A est négatif. Cette
démonstration est superflue dans la méthode actuelle qui donne directement n — 2.

(J.)
(') Expérience faite au mois de mai 1822. {Voir^ t. II, la note de la p. 288.)

(J.)

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 33

lirons du milieu A de cet élément des rayons vecteurs à tous ces
points du circuit, et cherchons l'action perpendiculaire à UV
exercée par cet élément sur le circuit.

La composante perpendiculaire à UV de l'action exercée par
MM'=d5' sur un élément KH = d^ s'obtiendra en multipliant
l'expression de cette action par sinô'; elle sera donc, en observant
que ï — n — 2/r = o,

« d5 sm6 r* — ^ — 3 d.ç

d^

ou

l«d5 tango' -^ j <- àsy

expression qui doit être intégrée dans toute l'étendue du circuit.
L'intégration par parties donnera

iiTd^Yrî^sine'cose'— Trî^de'V

Le premier terme s'évanouissant aux limites, il reste seulement

— {iCi^s' Tr^A-de'.

Considérant maintenant les deux éléments KH, K'H' compris
entre les deux mêmes rayons consécutifs, d8' est le même de part
et d'autre, mais doit être pris avec un signe contraire, en sorte
qu'en faisant AH = r, AH'=/, on a, pour l'action réunie des
deux éléments,

où nous supposons que r' est plus grand que r. Le terme de cette
intégrale qui résulte de l'action de la partie THT' convexe vers
UV l'emportera sur celui qui est produit par l'action de la partie
concave TH'T' si k est négatif; le contraire aura lieu si k est po-
sitif, et il n'y aura pas d'action si k est nul. Les mêmes consé-
quences ayant lieu pour tous les éléments de UV, il s'ensuit que
la partie convexe vers UV aura plus d'influence sur le mouvement
du circuit que la partie concave, si A'<;o, autant si X: = o, et
moins si A* > o. Or l'expérience prouve qu'elle en a davantage.
On a donc /r <C o, et, par suite, /i > i , puisque /i = i — 2/r.
On déduit de là cette conséquence remarquable, que les parties
Mém. de Phys., III. 3

34 M.-.V. AMPÈRE.

d'un même courant rectiligne se repoussent; car, si l'on fait 6 = 0,
Q'= o, la formule qui donne Taltraction de deux éléments devient
kirâsds' ^ ^^^ comme elle est négative, puisque A- Test, il y a ré-
pulsion. C'est ce que j'ai vériGé par l'expérience que je vais dé-
crire (*). On prend un vase de verre PQ[/g^. 8 (2)], séparé par la

Fig. 8.

cloison MN en deux compartiments égaux et remplis de mercure,
on y place un fil de cuivre recouvert de soie ABCDE, dont les
branches AB, ED, situées parallèlement à la cloison MN, flottent
sur le mercure avec lequel communiquent les extrémités nues A
et E de ces branches. En mettant les rhéophores dans les capsules
S et T, dont le mercure communique avec celui du vase PQ par
les portions de conducteur hll, A'R, on établit deux courants,
dont chacun a pour conducteur une partie de mercure et une
partie solide; quelle que soit la direction du courant, on voit tou-
jours les deux fils AB, ED marcher parallèlement à la cloison MN
en s'éloignant des points H et K, ce qui indique une répulsion
pour chaque fil entre le courant établi dans le mercure et son
prolongement dans le fil lui-même. Suivant le sens du courant, le
mouvement du fil de cuivre est plus ou moins facile, parce que,
dans un cas, l'action exercée par le globe sur la portion BCD de
ce fil s'ajoute à l'effet obtenu, et que dans l'autre, au contraire,
elle le diminue et doit en être retranchée.

Examinons maintenant l'action qu'exerce un courant électrique

(•) Expérience faite à Genève à la fin d'août 1822. {Voir les art. XXIV et
XXV.) (J.)

{') On a reproduit ici la figure de la p. 827 du t. II {Afémoire de de la Rive,
art. XXIV). Les lettres de la figure ne concordent plus avec celles du texte; mais
il n'en peut résulter aucun embarras pour le lecteur. (J.)

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 35

formant un circuit fermé, ou un système de courants formant aussi
des circuits fermés, sur un élément de courant électrique (').
Prenons l'origine des coordonnées au milieu K' [Jig, 9) de Télé-

ment proposé M'N', et nommons X, [jl, v les angles qu'il fait avec
les trois axes. Soit MN un élément quelconque du courant for-
mant un circuit fermé, ou d'un des courants formant également
des circuits fermés dont se compose le système de courants que
l'on considère, en nommant d^' et d^ les éléments M'N', MN, r la
distance AA' de leurs milieux et 0' l'angle du courant M'N' avec
AA'; la formule que nous avons trouvée précédemment pour ex-
primer l'action mutuelle des deux éléments deviendra, en y rem-

plaçant -p par — cosÔ',

« d* r* — ^^ j — .

as

Les angles que AA' fait avec les trois axes ayant pbur cosinus

X Y ^
->-•-> on a
r r r

A-f- ^

cos6'= - CCS

r

cosïxH — cosv;
r ^ r

en substituant cette valeur à cos8 et en multipliant par -> nous
trouverons pour l'expression de la composante suivant l'axe des a:,

iï'd5'r*-»vrd(r*-»a?cosX 4- M- •j'cosjn- r*-*.3 cosv ),
le signe d se rapportant seulement, excepté dans le facteur ds'.

(') Mémoire du 22 décembre iSaS. Reproduction, à quelques variantes près, du
texte des Annales et du Précis, jusqu'à la fin de la page 46. (J. )

I

36 M. -A. AMPÈRE.

aux différentielles prises en ne faisant varier que s (cette expres-
sion peut s'écrire ainsi

= iï'd5TcosXr*-»xd(r*-'x)^ ^-^^^ r*-»7d(r^-»7)

= Jiï'd^'l cosXd(r**-*ar*) -+- - cos[j.d(r«*'-*j^*)-h - cosvd(r*^"->^«)

__ / j ^*cosX 4- irj'COSjAH- a:>s cosv ^>cos(x,a: ^'cosv ,j-\

. .^ . ,/ . iFCOsô' j-dv — rdj? ^dx — iFd>« \

en remplaçant aA' — 2 par sa valeur — n — i.

Si Ton représente par Ti, ^i, 8', et r2, ^2? 8', les valeurs de r,
^, ô' aux deux extrémités de Tare s, et par X la résultante suivant
l'axe des x de toutes les forces exercées par les éléments de cet arc
sur d^'j on aura

X = i M d* ( -— — - — i -I- cos a / — f

/<sda? — xdz\
).

Si cet arc forme un circuit fermé, r2, ^27 ^2 seront égaux à ri,
Xif Ô'j, et la valeur de X se réduira à

X =4-u d. (^cosjxj -^^ cosvj --^^ y

En désignant par Y et Z les forces suivant les axes des j^ et des z
résultant de l'action des mêmes éléments sur d^', on trouvera, par
un calcul semblable,

et, en faisant

f' ydz^zdr _ ^ f zdx — xdz _ ^ Pordy—ydx^^

THÉORIE MATHÉUATIQUB DES PHBNOMàNES, ETC. Sj

il viendra

X = ju'ds'{C cosp. — B cosv),
Y = ^iTd5'(A cosv — C cosX),
Z = Y"*'d5'(^<^^sX — A cosfi).

En multipliant la première de ces équations par A, la seconde par
B et la troisième par C, on trouve

AX-i-BY-i-GZ = o;

et si Ton conçoit par l'origine une droite A'E qui fasse avec les
axes des angles dont les cosinus soient respectivement

A ^ B C, r

jj=COSÇ„ jg=:COSTQ,, •p=COS;„

en supposant, pour abréger,

/A2-hB«H-G* = D,

elle sera perpendiculaire sur la résultante R des trois forces X,
Y, Z, qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont

X Y Z

r' r' r'

puisqu'on a, en vertu de l'équation précédente,

A X B Y G Z _
DR'^DR'^DR""^'

Il est à remarquer que la droite que nous venons de déterminer
est tout à fait indépendante de la direction de l'élément M'N'^ car
elle se déduit immédiatement des intégrales A, B, C, qui ne dé-
pendent que du circuit fermé et de la position des plans coor-
donnés, et qui sont les sommes des projections sur les plans
coordonnés des aires des triangles qui ont leur sommet au milieu
de l'élément d^', et pour bases les différents éléments des circuits
fermés s, toutes ces aires étant divisées par la puissance n -j- i du
rayon vecteur r (*). La résultante étant perpendiculaire sur cette

C) Résultat capital auquel Ampère est parvenu en 1823, à la suite du travail
de Savary. On le trouve exposé pour la première fois dans le Mémoire daté du
24 novembre 1823. Dans un des brouillons d'Ampère qui se rapportent à cette
époque, on lit cette phrase jetée au milieu de calculs : « Mes trois grandes choses,
les attractions, les projections, les aires. » (J.)

3B M. -A. AMPÈRE.

droite A'E, que je nommerai directrice, elle se trouve, quelle que
soit la direction de Télément, dans le plan élevé au point A' per-
pendiculairement à A'E; je donnerai à ce plan le nom à^ plan
directeur. Si Ton fait la somme des carrés de X, Y, Z, on trou-
vera pour valeur de la résultante de l'action du circuit unique ou
de l'ensemble de circuits que Ton considère,

H — J D W djV(cosi;,cosii — cosTi,cosv)»4-(cosÇ,cosv--cos(;,cosX)»-4-(cosT,,cosX— cosÇ, C#6îl)',

ou, en appelant s l'angle de l'élément d^ avec la directrice,

R = |D«'d5'sine (»).

Il est facile de déterminer la composante de cette action dans un
plan donné passant par l'élément d^' et faisant un angle cp avec le
plan mené par d^' et la directrice. En effet, la résultante R étant
perpendiculaire à ce dernier plan, sa composante sur le plan donné
sera

Rsin^ ou I DeVd^'sinesintp.

Or sine sinç est égal au sinus de l'angle A que la directrice fait
avec le plan donné. C'est ce que l'on déduit immédiatement de
l'angle trièdre formé par d^', par la directrice et par sa projection
sur le plan donné. La composante dans ce plan aura donc pour
expression

1 \Mi ùs' sinij/.

Cette expression peut se mettre sous une autre forme en obser-
vant que ^ est le complément de l'angle que fait la directrice avec
la normale au plan dans lequel on considère l'action. On a donc,
en nommant 5, v;, !^ les angles que cette dernière droite forme avec

(')En unités éleclromagnétiques on aura

U - Dird5 sine;

la droite D représente en grandeur et en direction l'action exercée par le circuit
fermé parcouru par un courant égal à l'unité sur un pôle égal à l'unité placé au
point A'; autrement dit, l'intensité du champ en ce point. La résultante R est
donc égale au produit des intensités par Taire du parallélogramme construit sur
l'élément du courant et la directrice. Elle est normale au parallélogramme et
dirigée vers la gauche de l'observateur placé dans le courant et qui regarde dans
la direction de la directrice. (J.)

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 89

les trois axes,

Sin^/ = — COS$ -^ rr C0S7) -f- JT cos ^,

et l'expression de l'action devient

^u'ds'(X CCS? 4- B cosT, -+- G cosï)
ou

\ViCds\
en faisant

U = A cos$ 4- Bcosr^ -h GcosÇ.

On voit que cette action est indépendante de la direction de
l'élément dans le plan que Ton considère; nous la désignerons
sous le nom à^action exercée dans ce plan, et nous conclurons
de ce qu'elle reste la même lorsqu'on donne successivement à
l'élément différentes directions dans un même plan, que si celle
que la terre exerce sur un conducteur mobile dans un plan fixe
est produite par des courants électriques formant des circuits
fermés, et dont les distances au conducteur sont assez grandes
pour être considérées comme constantes pendant qu'il se meut
dans ce plan, elle aura toujours la même valeur dans les diffé-
rentes positions que prendra successivement le conducteur, parce
que les actions exercées sur chacun des éléments dont il est com-
posé restant toujours les mêmes et toujours perpendiculaires à
ces éléments, leur résultante ne pourra varier ni dans sa grandeur
ni dans sa direction relativement au conducteur. Cette direction
changera d'ailleurs dans le plan fixe en y suivant le mouvement
de ce conducteur : c'est, en effet, ce qu'on observe à l'égard d'un
conducteur qui est mobile dans un plan horizontal et qu'on dirige
successivement dans divers azimuts.

On peut vérifier ce résultat par l'expérience suivante (') : dans
un disque de bois ABCD {fig* lo), on creuse une rigole circulaire
KLMN dans laquelle on place deux vases en cuivre RL, MN, de
même forme, et qui occupent chacun presque la demi-circonfé-
rence de la rigole, de manière cependant qu'il reste entre eux
deux intervalles KN, LM, qu'on remplit d'un mastic isolant; à

(•) Annales de Chimie et de Physique, t. XXVI, p. 189; 1824. (Mémoire du
22 décembre 1823.) (J.)

4o M. -A. AMPÈRE.

chacun de ces vases sont soudées les deux lames de cuivre PQ, RS,
incrustées dans le disque et qui porlent les coupes X, Y destinées
à mettre, au moyen du mercure qu'elles contiennent, les vases
KL, MN en communication avec les rhéophores d'une très forte
pile; dans le disque est incrustée une autre lame TO portant la
coupe Z, où Ton met aussi un peu de mercure; cette lame TO

Vif. lo.

est soudée au centre O du disque à une tige verticale sur laquelle
est soudée une quatrième coupe U, dont le fond est garni d'un
morceau de verre ou d'agate pour rendre plus mobile le sautoir
dont nous allons parler, mais dont les bords sont assez élevés
pour être en communication avec le mercure qu'on met dans cette
coupe; elle reçoit la pointe V (Jig* 1 1) qui sert de pivot au sau-

Fig. II.

toir FGHI, dont les branches EG, El sont égales entre elles et
soudées en G et I aux lames gxh^ iy/qm plongent dans l'eau aci-
dulée des vases KL, MN, lorsque la pointe V repose sur le fond
de la coupe U, et qui sont attachées par leurs autres extrémités h,
/, aux branches EH, EF, sans communiquer avec elles. Ces deux
lames sont égales et semblables et pliées en arcs de cercle d'envi-
ron 90**. Lorsqu'on plonge les rhéophores, l'un dans la coupe Z,
l'autre dans l'une des deux coupes X ou Y, le courant ne passe
que par une des branches du sautoir, et l'on voit celui-ci tourner
sur la pointe V par l'action de la terre, de l'est à l'ouest par le

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 4^

midi quand le courant va de la circonférence au cenlre, et dans le
sens contraire quand il va du centre à la circonférence, conformé-
ment à Texpllcation que j'ai donnée de ce phénomène et qu'on
peut voir dans mon Recueil d^ observations électrodynamiques,
p. 284 ( * ). Mais, lorsqu'on les plonge dans les coupes X et Y, le cou-
rant parcourant en sens contraires les deux branches EG, El, le
sautoir reste immobile, dans quelque situation qu'on l'ait placé,
quand, par exemple, une des branches est parallèle et Tautre per-
pendiculaire au méridien magnétique, et cela lors même qu'en
frappant légèrement sur le disque ABGD on augmente, par les
petites secousses qui en résultent, la mobilité de l'instrument. En
pliant un peu les branches du sautoir autour du point E, on peut
leur faire faire différents angles, et le résultat de l'expérience est
toujours le même. Il s'ensuit évidemment que la force avec la-
quelle la terre agit sur une portion de conducteur, perpendiculai-
rement à sa direction, pour la mouvoir dans un plan horizontal,
et, par conséquent, dans un plan donné de position à l'égard du
système des courants terrestres, est la même, quelle que soit la di-
rection, dans ce plan, de la portion de conducteur, ce qui est pré-
cisément le résultat de calcul qu'il s'agissait de vérifier.

Il est bon de remarquer que Taclion des courants de l'eau aci-
dulée sur leurs prolongements dans les lames gh, if ne trouble en
aucune manière Téquilibre de l'appareil; car il est aisé de voir que
l'action dont il est ici question tend à faire tourner la lame gh
autour de la pointe V, dans le sens hxg, et la lame (/'dans le sens
fyiy d'où résulte, à cause de l'égalité de ces lames, deux moments
de rotations égaux et de signes contraires qui se détruisent.

On sait que c'est à M. Savary {^) qu'est due l'expérience par la-
quelle on constate cette action; cette expérience peut se faire plus
commodément, en remplaçant la spirale en fil de cuivre de l'ap-
pareil, dont il s'est d'abord servi, par une lame circulaire du
même métal, (^ette lame ABC {fig* 12) forme un arc de cercle
presque égal à une circonférence entière; mais ses extrémités A
et G sont séparées l'une de l'autre par un morceau D d'une sub-
stance isolante. On met une de ses extrémités A, par exemple,

(') Tome II, p. 3a6.

(') Voir t. II, art. XIV, p. 198. (J.)

4^ M. -A. AMPÈRE.

en communication avec un des rhéophores par la pointe O qu'on

Fig. 12.

place dans la coupe S {fig- i3) pleine de mercure; celle-ci est

Kig. i3.

jointe par le fil métallique STR à la coupe R dans laquelle plonge
un des rhéophores. Cette pointe O {^fig» la) communique avec
l'extrémité A par le fil de cuivre AEQ, dont le prolongement QF
soutient en F la lam^ ABC par un anneau de substance isolante,
qui entoure en ce point le fil de cuivre. Lorsque la pointe O
repose sur le fond de la coupe S i^fig* i3), la lame ABC {^fig» la)
plonge dans l'eau acidulée contenue dans le vase de cuivre MN
(yî^. i3) qui communique avec la coupe P où se rend l'autre
rhéophore-, on voit alors tourner celte lame dans le sens GBA, et,
pourvu que la pile soit assez forte, le mouvement reste toujours
dans ce sens lorsqu'on renverse les communications avec la pile,
en changeant réciproquement les deux rhéophores de la coupe P
à la coupe R, ce qui prouve que ce mouvement n'est point dû à
l'action de la terre et ne peut venir que de celle que les courants
de l'eau acidulée exercent sur le courant de la lame circulaire ABC
{^fig* la), action qui est toujours répulsive, parce que si GH re-

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 43

présente un des courants de Peau acidulée qui se prolonge en HK
dans la lame ABC, quel que soit le sens de ce courant, il par-
courra évidemment l'un des côtés de l'angle GHK en s'approchant,
et l'autre en s'éloignant du sommet H. Mais il faut, pour que le
mouvement qu'on observe dans ce cas ait lieu, que la répulsion
entre deux éléments, l'un en I et l'aulre en L, ait lieu suivant la
droite IL, oblique à l'arc ABC, et non suivant la perpendiculaire
LT à l'élément situé en L; car, la direction de cette perpendicu-
laire rencontrant la verticale menée par le point O autour de
laquelle la partie mobile de l'appareil est assujettie à tourner, une
force dirigée suivant cette perpendiculaire ne pourrait lui impri-
mer aucun mouvement de rotation.

Je viens de dire que, quand on veut s'assurer que le mouve-
ment de cet appareil n'est pas produit par l'action de la terre, en
constatant qu'il continue d'avoir lieu dans le même sens quand
on renverse les communications avec la pile en changeant les
rhéophores de coupes, il fallait employer une pile qui fût assez
forte; il est impossible en effet, dans cette disposition de conduc-
teur mobile, d'empêcher la terre d'agir sur le fil vertical AE pour
le porter à l'ouest, quand le courant y est ascendant, à l'est quand
le courant y est descendant et sur le fil horizontal EQ, pour le faire
tourner autour de la verticale passant par le point O, dans le sens
direct est, sud, ouest, quand le courant va de E en Q, en s'ap-
prochant du centre de rotation, et dans le sens rétrograde ouest,
sud, est, quand il va de Q en E, en s'éloignant du même centre ( * ).
La première de ces actions est peu sensible, lors du moins qu'on
ne donne au fil vertical AE que la longueur nécessaire pour la
stabilité du conducteur mobile sur sa pointe O; mais la seconde
est déterminée par les dimensions de l'appareil; et, comme elle
change de sens lorsqu'on renverse les communications avec la pile,
elle s'ajoute dans un ordre de communication avec l'action
exercée par les courants de l'eau acidulée et s'en retranche dans
l'autre; c'est pourquoi le mouvement observé est toujours plus
rapide dans un cas que dans l'autre; cette différence est d'autant

(') Voir, sur ces deux sortes d'actions exercées par le globe tcrreslre, ce qui
est dit dans mon JRecueil d'observations électrodynamiques, p. 280, 284. (Mé-
moire de De la Rive, art. XXIV, p. Sai-Sa;.) (A.)

44 M. -A. AypÉRB.

plus marquée, que le courant produit par la pile est plus faible,
parce qu'à mesure que son intensité diminue, Faction électro-
djnamique étant, toutes choses égales d'aiUeurs, comme le pro-
duit des intensités des deux portions de courants qui ag^îssent
Tune sur l'autre, cette action entre les courants de Teau acidulée
et ceux de la lame ABC diminue comme le carré de leur intensité,
tandis que l'intensité des courants terrestres restant la même, leur
action, sur ceux de la lame, ne devient moindre que proportion-
nellement à la même intensité : à mesure que l'énergie de la piie
diminue, l'action du globe devient de plus en plus près de détruire
celle des courants de l'eau acidulée dans la disposition des com-
munications avec la pile où ces actions sont opposées, et l'on voit,
lorsque celte énergie est devenue très faible, l'appareil s'arrêter
dans ce cas et le mouvement se produire ensuite en sens con-
traire; alors l'expérience conduirait à une conséquence opposée
à celle qu'il s'agissait d'établir, puisque, l'action de la terre deve-
nant prépondérante, on pourrait méconnaître Texistence de celle
des courants de l'eau acidulée. Au reste, la première de ces deux
actions est toujours nulle sur la lame circulaire ABC, parce que,
la terre agissant comme un système de courants fermés, la force
qu'elle exerce sur chaque élément, étant perpendiculaire à la direc-
tion de cet élément, passe par la verticale menée par le point O,
et ne peut, par conséquent, tendre à faire tourner autour d'elle
le conducteur mobile.

Nous allons, pour servir d'exemple, appliquer les formules pré-
cédentes au cas où le système se réduit à un seul courant circu-
laire fermé (*).

Lorsque le système n'est composé que d'un seul courant, par-
courant une circonférence de cercle d'un rayon quelconque /n, on
simplifie le calcul en prenant, pour le plan des xy^ le plan mené
par l'origine des coordonnées, c'est-à-dire par le milieu A de l'élé-
ment ab {/ig- i4)> parallèlement à celui du cercle, et, pour le
plan des xz^ celui qui est mené perpendiculairement au plan du
cercle par la même origine et par le centre O.

Soient/? et q les coordonnées de ce centre O; supposons que
le point C soit la projection de O sur le plan de xy, N celle d'un

(') Précis de la théorie des phénomènes électrodynamiques , § II; 1824.

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 45

point quelconque M du cercle, et nommons co l'angle ACN ; si l'on
abaisse NP perpendiculairement sur AX, les trois coordonnées x,

Fig. i4.

y^ z du point M seront MN, NP, AP, et l'on trouvera facilement
pour leurs valeurs

-^ — y» ^=/nsin(o, x =■ p — //icoso).

Les quantités que nous avons désignées par A, B, G étant respec-
tivement égales à

/■

yàz — zày fzàx — xàz

/•/i-j-i

r-

pn+\

r-

ày — yàx

nous aurons

. /"ces (0 d(i)

^ rsinwda)

^ rcostodo) a r do)

Si l'on intègre par partie ceux de ces termes qui contiennent
sinw et coso), en faisant attention que

r^ = x^ -^ y^ -\- z"^ = q^-^p^-\- /n* — 2mp coso)

donne

mp sinti)da>

dr = — ^ >

r

qu'on supprime les termes qui sont nuls, parce que ces intégrales
doivent être prises depuis u> = o jusqu'à w = ai:, et qu'on mette

46 M.-A. AypàRE.

les valeurs de A, B, C ainsi trouvées dans celle de U,

U = A cos S -h B COS7J -f- G cos Ç,
on obtiendra

U = m» y{n ^ 1)0?» cosÇ-yjg cosOJ —p^, cos^J j:^^^ j .

Or l'angle Ç peut être exprimé au mo^en de ^; car, en dési-
gnant par h la perpendiculaire OK abaissée du centre O sur le
plan 6AG, pour lequel on calcule la valeur de U, on aura

A = ^r cosÇ-f-/>cosÇ,

et cette valeur deviendra

.L vr/ • «X V t -1 /*sin«a)d<i} ^ /* du> )

U = ,n«j(7i-M)[Cp«4-^»)cosï~Ayy -^:;j^^5 cosïj ^:^j.

L'évaluation en est bien simple dans le cas où le rayon m est
très petit par rapport à la distance / de l'origine A au centre O;
car, si on la développe en série suivant les puissances de m, on
verra que, quand on néglige les puissances de m supérieures à 3,
les termes en m' s'évanouissent entre les limites o,2'7r, et que
ceux en m^ s'obtiennent en remplaçant r par l = yj p^ ~{- q'^ \ il ne
reste alors qu'à calculer les valeurs de / sin^o) dco et de / dco, de-
puis 0) = o jusqu'à (0 = 2 71; ce qui donne tz pour la première et
27t pour la seconde; la valeur de U se réduit donc à

Pour plus de généralité, nous allons supposer maintenant que
le courant fermé, au lieu d'être circulaire, ait une forme quel-
conque, mais sans cesser d'être plan et très petit (*).

Soit MNL {Jig* i5) un très petit circuit fermé et plan dont
l'aire soit ). et qui agisse sur un élément placé à l'origine A. Par-
tageons sa surface en éléments infiniment petits, par des plans

(') La démonstration de ce théorème, que l'action sur un élément d'un circuit
fermé plan très petit est indépendante de la forme du circuit et proportionnelle
à son aire, se trouve à la fin du tirage à part du Mémoire du la septembre i8a5,
mais ne figure pas encore dans le texte des Annales. (J. )

THÉORIE MATHEMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. ^7

passant par Taxe des ^, et soient APQ la Irace d*un de ces plans, et
M, N ses points de rencontre avec le circuit X, projetés sur le plan
des xy en P et Q. Prolongeons la corde MN jusqu'à Taxe des z en

Fig. i5.

G ; abaissons de A une perpendiculaire AE = q sur le plan du circuit
et joignons EG. Soit kpq la trace d'un plan infiniment voisin du
premier, faisant avec celui-ci un angle d'^; faisons AP=:m et
PQ = 8w. L'action du circuit sur l'élément en A dépend, comme
nous l'avons vu, de trois intégrales désignées par A, B, C, que
nous allons calculer. Considérons d'abord C, dont la valeur est

Q^ Ç xày—yàx ^ Ç

Celle intégrale est relative à tous les points du circuit, et si l'on
considère simultanément les deux éléments compris entre les deux
plans voisins AGNQ et \Gnq, et qui se rapportent à des valeurs
égales et des signes contraires de dy, on verra que les actions de
ces deux éléments doivent être ôlées l'une de l'autre, et que celle
de l'élément qui est le plus près de A produit l'action la plus
forte. Observant que, pour avoir l'action du plus éloigné, il faut
remplacer u et /• par w -h 8w et r 4- 8r, on trouve

J r'^^^J (r-+-6r)«+i '

ces deux intégrales étant prises entre les deux valeurs de ^
relatives aux points extrêmes L, \J entre lesquels est compris le
circuit.

48 M. -A. AMPERE.

La différence de ces deux intégrales pouvant être considérée
comme la variation de la première prise en signe contraire, lors-
qu'on néglige toutes les puissances des dimensions du circuit
dont les exposants surpassent l'unité, il vient

Or

d'où

8r= ;

d'ailleurs l'angle ZAE étant égal à Ç, on a

AG=-^, GH = z 2L.,

cosÇ cosÇ

et, à cause des triangles semblables MHG, MSN,
MH: MS :: GH : NS,

c'est-à-dire

cosÇ

en tirant de cette proportion la valeur 82 et la reportant dans celle
de 8r, on obtient

wcosÇ arcosÇ arcosÇ

et, en substituant cette valeur dans celle de G, il vient

7./H-8 cos Ç r'*-^* J ^

J l ^«-M r«-^3cosÇj ^

Le circuit étant très petit, on peut regarder les valeurs de r et
de z comme constantes et égales par exemple à celles qui se rap-
portent an centre de gravité de l'aire du circuit, afin que les termes
du troisième ordre s'évanouissent; en représentant ces valeurs
par l et Zi, l'intégrale précédente prendra cette forme

Mais ud(f est l'arc PK décrit de A comme centre avec le rayon u

THÉORIE liATHÉMATIQUE DES PHÉNOllâNES, ETC. 49

et PQ=:8w; donc ud(fZu est l'aire infiniment petite PQy/>, et
l'intégrale / ud^du exprime Taire totale de la projection du cir-
cuit, c'est-à-dire XcosÇ, puisque Ç est Tangle du plan du circuit
avec le plan des xy] on aura donc, enfin,

p_r(7i--i)cosÇ (nH-i)y^ tl^
On obtiendra des valeurs analogues pour B et A, savoir

r(n--i)cos$ (n-^'i)qxi'].
^ - 1 JK:ri /«+3 J ^•

On connaîtra ainsi les angles que la directrice fait avec les axes,
puisqu'on a pour leurs cosinus n' d' d' ^'^ faisant

Quant à la force produite par l'action du circuit sur l'élément
situé à l'origine, elle aura, comme on Ta vu plus haut, pour expres-
sion jïVds'Dsins, s étant Tangle que fait cet élément avec la
directrice, à laquelle cette force est perpendiculaire, ainsi qu'à
la direction de l'élément.

Dans le cas où le petit circuit que l'on considère est dans le
même plan (*) que l'élément d/ sur lequel il agit, on a, en pre-
nant ce plan pour celui des xj,

q=0, COSÎ^ = I, C0S7) = o, cosÇ = o

et, par suite,

A = o, B = o, C = ^£[yX;

D se réduit alors à G; e est égal à -> et l'action du circuit sur
l'élément ds devient

n — I iids'\

(') Mémoire du ai novembre i8a5. (J.)

Afém. de Phys., MU \

5o M. -A. AMPÈRE.

Je vais maintenant exposer une nouvelle manière de considérer
Faction des circuits plans d'une forme et d'une grandeur quel-
conques.

Soit un circuit plan quelconque MNm {^fig* 16); partageons sa
surface en éléments infiniment petits par des droites parallèles
coupées par un second système de parallèles faisant des angles
droits avec les premières, et imaginons autour de chacune de ces

Fig. 16.

aires infiniment petites des courants dirigés dans le même sens
que le courant MN/n. Toutes les parties de ces courants qui se
trouveront suivant ces lignes droites seront détruites, parce qu'il
y en aura deux de signes contraires qui parcourront la même
droite; et il ne restera que les parties curvilignes de ces courants,
telles que MM', /n/n', qui formeront le circuit total MNm.

Il suit de là que les trois intégrales A, B, C s'obtiendront pour
le circuit plan d'une grandeur finie, en substituant dans les
valeurs que nous venons d'obtenir pour ces trois quantités, à la
place de \^ un élément quelconque de Taire du circuit que nous
pouvons représenter par d-^). et intégrant dans toute l'étendue de
cette aire.

Lorsque, par exemple, l'élément est situé dans le même plan
que le circuit et qu'on prend ce plan pour celui des xy^ on a

A=o, B=--o, G=(/i-i)yy^,

et la valeur de la force devient

it'cU'

■//^

/l-Hl '

THÉORIE MATHéMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 5l

d'oïl il suit que, si à chacun des points de Taire du circuit on élève

une perpendiculaire égale à T^ipî» le volume du prisme qui aura

pour base le circuit et qui sera terminé à la surface formée par les
extrémités de ces perpendiculaires représentera la valeur de

/ / vr+i^ ^^ ^^ volume, multiplié par — ; — «Vd^, exprimera l'ac-
tion cherchée.

Il est bon d'observer que, la question étant ramenée à la cuba-
ture d'un solide, on pourra adopter le système de coordonnées et
la division de l'aire du circuit en éléments qui conduiront aux
calculs les plus simples.

Passons à l'action mutuelle de deux circuits très petits O et O'
(yî^. i8) situés dans un même plan. Soit MN un élément d^ quel-

Fig. 18.

conque du second. L'action du circuit O sur d^' est, d'après ce qui
précède.

pii-k

Nommant dcp l'angle MNO, et décrivant l'arc MP entre les côtés
de cet angle, on pourra remplacer le petit courant MN par les
deux courants MP, NP, dont les longueurs sont respectivement
rdcp et dr; l'action du circuit O sur l'élément MP, qui est normale
à sa direction, s'obtiendra en remplaçant dans l'expression pré-
cédente d^' par MP et sera

n — 1 u'Xdo

5a M. -A. AMPânE.

l'action sur NP, perpendiculaire à sa direction, sera de même

n — I iCXàr

Cette dernière, intégrée dans toute l'étendue du circuit fermé O',
est nulle; il suffit de considérer la première qui est dirigée vers le
point O, d'où il résulte déjà que l'action des deux petits circuits
est dirigée suivant la droite qui les joint.

Prolongeons les rajons OM, ON jusqu'à ce qu'ils rencontrent
la courbe en M' et N'; l'action de M'N' devra être retranchée de
celle de MN, et l'action résultante s'obtiendra en prenant comme
précédemment la variation de celle de MN en signe contraire, ce
qui donne

n{n — i) iTXd^pSr n{n — i) ii'Xrà^lr

Or, rdçor est la mesure du segment infiniment petit MNN'M'.
Faisant la somme de toutes les expressions analogues relatives
aux différents éléments du circuit O', et considérant r comme
constant et égal à la distance des centres de gravité des aires X
et V des deux circuits, on aura, pour l'action qu'ils exercent l'un
sur l'autre,

n{n — i) ii'W

et cette action sera dirigée suivant la droite 00'. Il résulte de là
que l'on obtiendra l'action mutuelle de deux circuits finis situés
dans un même plan, en considérant leurs aires comme partagées
en éléments infiniment petits dans tous les sens, et supposant que
ces éléments agissent l'un sur l'autre, suivant la droite qui les
joint, en raison directe de leurs surfaces et en raison inverse de
la puissance /i -i- 2 de leur distance.

L'action mutuelle des courants fermés n'étant plus alors fonc-
tion que de la distance, on en tire cette conséquence importante,
qu'il ne peut jamais résulter de cette action un mouvement de ro-
tation continue.

La formule que nous venons de trouver pour ramener l'action
mutuelle de deux circuits fermés et plans à celles des éléments des
aires de ces circuits, conduit à la détermination de la valeur de n.

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈXES, ETC. 53

En effet, si l'on considère deux systèmes semblables composés
de deux circuits fermés et plans, les éléments semblables de leurs
aires seront proportionnels aux carrés des lignes homologues,
et les distances de ces éléments seront proportionnelles aux pre-
mières puissances de ces mêmes lignes. Appelant m le rapport
des lignes homologues des deux systèmes, les actions de deux élé-
ments du premier système et de leurs correspondants du second
seront respectivement

•i) mW n(n — i) iHW'm^

L et — ^^ ■ "

n(n-

leur rapport, et par suite celui des actions totales, sera donc m^"".
Or nous avons décrit précédemment une expérience par laquelle
on peut prouver directement que ces deux actions sont égales ; il
faut donc que n = 2 et, en vertu de l'équation i — n — 2k = Oj
que k = — I (*). Ces valeurs de n et de ^ réduisent à une forme
très simple l'expression

i\sds'

âsds

(*) La collection des papiers d'Ampère comprend un brouillon où il remplace
cette quatrième expérience par Texpérience équi?alentei et plus simple, qui con-
siste à faire agir un courant rectiligne indéfîni mN sur deux portions verticales
et parallèles AB, CD {/ig. 18 bis) d'un cadre mobile, et à constater que l'équilibre

Fi g. 18 bU,

If^

a lieu quand les dislances du courant aux deux lignes AB et CD sont proportion-
nelles aux longueurs de ces lignes. Pour que l'équilibre soit stable, il est nécessaire

54 M. -A. AMPÊBE.

de l'action mutuelle de d^ et de d^'; cette expression devient

Jp asQiS

Il suit aussi de ce que n = 2 que, dans le cas où les directions
des deux éléments restent les mêmes, cette action est en raison
inverse du carré de leur distance. On sait que M. de Laplace a
établi la même loi, d'après une expérience de M. Biot, lorsqu'il
s'agit de l'action mutuelle d'un élément de conducteur voltaïque
et d'une molécule magnétique^ mais ce résultat ne pouvait être
étendu à l'action de deux éléments de conducteurs, qu'en admet-
tant que l'action des aimants est due à des courants électriques;
tandis que la démonstration expérimentale que je viens d'en
donner est indépendante de toutes les hypothèses que Ton pour-
rait faire sur la constitution des aimants.

Soit MON (^fig* 17) un circuit formant un secteur dont les côtés
comprennent un angle infiniment petit, et cherchons l'action
qu'il exerce sur un conducteur rectiligne OS' passant par le centre

d'opérer par répulsion. Celte expérience a été employée par Lamé {Cours de
Physique à l'École Polytechnique ^ 2* édit., t. III, p. 235; 18^0) pour établir la
formule fondamentale et elle lui avait été attribuée.

Les actions exercées sur les parties horizontales se détruisent; pour une des
portions verticales situées à la distance a, on a u> = o, 6 = 6' et, par suite, pour
l'action d'un élément ds de courant indéfini sur la portion /,

... (i — A)sin»e-f-A- ,
u'I '-— ds;

. . a , dx

ou, en remarquant que sinô = - et ds = -~â>

— — . [(i— A-)sin'»e-4-A-sin'^eide.

En désignant par A l'intégrale de o à x de la quantité entre parenthèse, inté-

AiV*"/
grale indépendante de a et de /, l'action du courant indéfini est égale à j^-^ ;

on en conclut

l _ V

comme l'expérience donne

a a''

il faut que Ton ait /i = a

(J)

THÉORIE MATHÉMATIQUE DBS PHENOMENES, ETC. 55

O du secteur ( ' ), et calculons d'abord celle d'un élément MNQP de
l'aire de ce secteur sur un élément M'N' du conducteur OS'. Fai-
sonsOM = M,MP=dw,OM'=5',MM'=/-,S'ON=s,NOM==de.

Fig. 17.

Le moment de MNQP pour faire tourner M' autour de O sera, en
observant que l'aire MNQP a pour expression i/dade,

\u s ds' — -— >

et le moment du secteur sur le conducteur s' s'obtiendra en inté-
grant cette expression par rapport à m et s'.
On a

r^ = 5'* -f- a' — 2 us' cos e ;
d'où

dr

dr

r '.- = u — s cos e, r , i = y — m cos s
du ds

et, en différentiant une seconde fois,
d*r dr dr

r -1 — pv ■+- -T-i -,- = — cos£^
duds ds du

OU, en substituant à -r, et ij- leurs valeurs,
ds du '

d*r (w — 5'cose)(*'— Mcose)

dwd*'

= — cose,

(') Et situé dans son plan.

(J.)

I

66 M.-A. AMPÈRE.

ce qui devient, en efiectuant les calculs et réduisant,

r
d'où Ton lire

r-ï 1-7 H r — =0,

us* I d* r

r^ sin*E dud*"

substituant cette valeur dans le moment élémentaire, on a, pour
Texpression du moment total,

"•//-^=-!'''iil^//;^^»^-

En considérant la portion L'L*^ du courant 5' et la portion L« L.2
du secteur, et en faisant L'L| = r',, L'^L|==r''^, L'L2= z'^,
\ï\u2^=- /'a» la valeur de celte intégrale est évidemment

Lorsque c'est à partir du centre O que commencent le secteur et
le conducteur s\ la distance r\=^o\ et, si l'on fait 0L2=a,
0L":= 6, U'L2 = /', on trouve que leur action mutuelle est ex-
primée par

dz

sin' £

^"';t^(« + ^-'')-

Quand le conducteur UU ( fig. 19) a pour milieu le centre L| du

Fig. 19.

secteur et que sa longueur est double du rayon a de ce secteur,
on a a= 6, et, en faisant L'L|L2= 28 = 7: — e,

r\ = r\ = af r', = aasinô, r^ = 2acos6, de = — adô,

en sorte que la valeur du moment de rotation devient

... de . . ft -^ 1 aiTd6(cosO — sinO)
au' -r-r- ( smô — cos6) = t^tâ i^ •

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. . 67

On peut déduire de ce résultat une manière de vérifier ma for-
mule au moyen d'un instrument dont je vais donner la descrip-
tion (*).

Aux deux points a, a! {fig* 20) de la table mn s'élèvent deux
supports aè, a'U dont les parties supérieures ce, d b' sont iso-
lantes; ils soutiennent une lame de cuivre HrfeH'rfV pliée en
deux, suivant la droite HH', et qui est terminée par deux coupes

Fi g. 30.

E. nUCHOÎ.

H et H' où Ton met du mercure. Aux points A, C, A', C de la
table sont quatre cavités remplies de même de mercure. De A part
un conducteur en cuivre AEFGSRQ, soutenu par HH' et terminé
par une coupe Q; de A' il en part un second A'E'F'G'S'R'Q'
symétrique au premier; ils sont tous les deux entourés de soie,
pour être isolés l'un de l'autre et du conducteur HH'. Dans la

(*) Cette expérience est indiquée dans le Mémoire du 13 septembre iSsS {An-
nales de Chimie et de Physique, t. XXIX) et décrite complètement, ainsi que
Tappareil destiné à Texécuter, dans le Mémoire du 21 novembre. L'expérience,
comme il résulte dudernier paragraphe du présent Mémoire, n'a jamais été faite;
elle présenteraiti surtout au point de vue des mesures, les plus grandes difficultés.

L'appareil se composant de deux parties symétriques, on a reproduit seulement
la moitié gauche de la figure; les lettres accentuées se rapportent à la partie sup-
primée. (J.)

58 M. -A. AHPBRE.

coupe Q plonge la pointe d'un conducteur mobile QPONMLKJH
revenant sur lui-même de K en I, et ayant dans cette partie ses
deux branches PO, Kl entourées de soie; il est terminé par une
seconde pointe plongée dans la coupe H; NML forme une demi-
circonférence dont LN est le diamètre et K le centre; la tige PK./?
est verticale et terminée en p par une pointe retenue par trois
cercles horizontaux B, D, T qui peuvent tourner autour de leurs
centres et sont destinés à diminuer le frottement.

XY est une tablette fixe qui reçoit dans une rainure un con-
ducteur Y\J i/khgoZC revenant sur lui-même de ^ en o et doublé
de soie dans cette partie; ifkhg est un secteur de cercle qui a
pour centre le point k ; les parties Ut et go sont rectilignes; elles
traversent en x le support aè, dans lequel on a pratiqué une ou-
verture à cet effet, et se séparent en o pour aller se plonger res-
pectivement dans les cavités A et C. A droite de FG se trouve un
assemblage de conducteurs fixes et mobile parfaitement sem-
blable à celui que nous venons de décrire, et lorsqu'on plonge le
rhéophore positif de la pile en C et le négatif en C, le courant
électrique parcourt les conducteurs QILoghkfiXiY j AEFGSRQ;
de là il passe dans le conducteur mobile QPONMLKIH, et se rend
en H' par IIH'; il parcourt ensuite le conducteur mobile symé-
trique HTK'UM'N'O'P'Q', arrive en Q', suit le conducteur ,
Q'R'S'G'FE'A' qui le conduit dans la cavité A', d'où il se rend
en G' par le conducteur YUi'fk'h'g'o'Z'G, et de là dans le
rhéophore négatif.

Le courant allant dans la direction LN dans le diamètre LN, et
de h en ky puis de k en /, dans les rayons hk, kfj il y a répulsion
entre ces rayons et le diamètre; de plus, le circuit fermé ghkfi
ne produisant aucune action sur le demi-cercle LMN dont le centre
se trouve dans l'axe fixe/?H, le conducteur mobile ne peut être
mis en mouvement que par l'action du secteur ghkfi sur le dia-
mètre LN, vu que dans toutes les autres parties de l'appareil
passent deux courants opposés dont les actions se détruisent (*).
L'équilibre aura lieu quand le diamètre LN fera des angles égaux
avec les rayons /:/, kh et, si on l'écarté de cette position, il oscil-
lera par l'action seule du secteur ghkfi sur ce diamètre.

C) En vertu du troisième cas d'équilibre. (J )

''m^^w'-

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. Sq

Soit 2 7) Tangle au centre du secteur, ou aura dans la position
d'équilibre

a6= — h T. ou 6=--i-n;

a 4

d'où l'on conclut
cos6 — sin'B = cos6 — cos ( 6) = 2sin-^sin( - — ^)= — /^ sin^r,

et

sinOcosO =y sinaô = \ cost^;

mais il est aisé de voir que, quand on déplace de sa position
d'équilibre le conducteur L'L" d'une quantité égale à adO, le mo-
ment des forces qui tendent à l'y ramener se compose de ceux que
produisent deux petits secteurs dont l'angle est égal à ce déplace-
ment et dont les actions sont égales, moment dont la valeur,
d'après ce que nous avons vu tout à l'heure, est

1 aii' (cosb — sin6) ja _ __ 2 qu'y/à si n {t^ .^

2 sin*6cos*Ô "" cos^r^

D'où il suit que les durées des oscillations seront, pour le même
diamètre, proportionnelles à

V/sin^T)

cos 7)

Faisant donc simultanément osciller les conducteurs mobiles
dans les deux parties symétriques de l'appareil, en supposant les
angles des secteurs différents, on aura des courants de même in-
tensité, et l'on observera si les nombres d'oscillations faites dans
un même temps sont proportionnels aux deux expressions

V^s'nj^ et S/^'^^W

COST) C0S7)'

en appelant 27i et 27|' les angles au centre des deux secteurs.

Nous allons maintenant examiner l'action mutuelle de deux con-
ducteurs rectilignes ; et rappelons-nous d'abord qu'en nommant P
l'angle compris entre la direction de l'élément d^' et celle de la
droite r, la valeur de l'action que les deux éléments de courants
électriques d^ et d^ exercent l'un sur l'autre a déjà été mise sous

6o M. -A. AMPÈRE.

la forme

iVd/r^d(r*cosp);

en la multipliant et la divisant par cos^, et en faisant attention

que A =: donne r^*=:-i nous verrons qu'on peut Técrire

ainsi

Q- /^cosBd(/^cosB)= Q d 1 ),

d'où il nous sera facile de conclure que la composante de cette
action suivant la tangente à Tëlément d^' est égale à

et la composante normale au même élément Test à

i«-'d.'tang?d(^),
expression qui peut se mettre sous la forme

Ces valeurs des deux composantes se trouvent à la page 33 1
de mon Recueil d'observations électro-dynamiques , publié
en 1822 (*).

Appliquons la dernière au cas de deux courants rectilignes pa-
rallèles, situés à une distance a Tun de l'autre (■^).

On a alors

a

r= -. o j
sinp

et la composante normale devient

Soit M' (Jig* 21) un point quelconque du courant qui parcourt la

(') Voir t. II, la note de la p. 291. (J.)

(') Les calculs qui suivent, relatifs à l'action de deux courants rectilignes, sont
la reproduction textuelle du Mémoire du 12 septembre 1825 {Annales de Chimie
et de Physique, [2], t. XXIX). (J.)

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 6l

droite L, L2, et p', p'^ les angles L'M'La, UM'h^ formés avec L, La
par les rayons vecteurs extrêmes M'L', MU; on aura Faction de

dy sur Ulf en intégrant l'expression précédente entre les limites
P', p*^, ce qui donne

— i^ds'i sin» ^' cos ?' -h cos ?" — sin« P' cos p' r- cos P') ;

mais on a à chaque limite, en y représentant les valeurs de s par
f et b%

en substituant ces valeurs et intégrant de nouveau entre les limites
Pi» ?2 ^^ ?i> P2» ^" ^ pour la valeur de la force cherchée

' \ "^^ ^^ '^* '^* sin^, sinp, sinpi sinPi/

ou

Si les deux conducteurs sont de même longueur et perpendicu-
laires aux droites qui en joignent les deux extrémités d'un même

côté, on a

r\ =z r\=z a et r\ =z r\=z c]

en nommant c la diagonale du rectangle formé par ces deux droites
et les deux directions des courants, l'expression précédente de-
vient alors

\a c I ac
en nommant /la longueur des conducteurs, et quand ce rectangle
devient un carré, on a-- pour la valeur de la force; enfin, si l'on

62 ll.-A. AMPERB.

suppose l'un des conducteurs indéfini dans les deux sens, et que /
soit la longueur de l'autre, les termes où r\, r'^, r\^ r\ se trouvent
au dénominateur disparaîtront; on aura

et l'expression de la force deviendra

a

qui se réduit à ii quand la longueur / est égale à la distance a.

Quant à l'action de deux courants parallèlement à la direction
de sf ^ elle peut s'obtenir quelle que soit la forme du courant s.
En effet, la composante suivant d^' étant

cos'3^

i.'d.'d(--!l?)

l'action totale qu'exerce as! dans cette direction sur le courant
L'U' {fig* 2i) a pour valeur

}uM.'(H2-;:i'-2£^').

et il est remarquable qu'elle ne dépend que de la situation des
extrémités L', U' du conducteurs; elle est donc la même, quelle
que soit la forme de ce conducteur, qui peut être plié suivant une
ligne quelconque.

Si l'on nomme a' et a" les perpendiculaires abaissées des deux
extrémités de la portion de conducteur L'U' que l'on considère
comme mobile, sur le conducteur rectiligne dont il s'agit de cal-
culer l'action parallèlement à sa direction, on aura

et, par conséquent,

«

''-sinp^'

~ cos3' ~

a' dp'
sin*p'

(\s' dp'

THÉORIE MATHÉMATIQUE DBS PHÉNOMÈNES, ETC. 63

d'où il est aisé de conclure que Tintégrale cherchée est

\ tangjfJ /

Il faudra prendre cette intégrale entre les limites déterminées
par les deux extrémités du conducteur recliligne; en nommant
Pn p2 ^^ Pn ?2 '®s valeurs de ^' et de ^'^ relatives à ces limites,
on a sur-le-champ celle de la force exercée par le conducteur rec-
tiligne, et cette dernière valeur ne dépend évidemment que des
quatre angles ^\, p], p;, p;.

Lorsqu'on veut la valeur de cette force pour 'le cas où le con-
ducteur rectiligne s'étend indéfiniment dans les deux sens, il faut
faire ^'^ = ^'^ r= o et p!^=r^^r=7î; il semble, au premier coup
d'oeil, qu'elle devient nulle, ce qui serait contraire à l'expérience;
mais on voit aisément que la partie de l'intégrale où entrent les
cosinus de ces quatre angles est la seule qui s'évanouisse dans ce
cas, et que le reste de l'intégrale

* \ tangiP'i 'tangip'J ' ' tang{ ?', cotj?',
devient, à cause qu'on a 3^ = ^ — ? i ^^ P2 == ^ — P\ >

tang^iP', tangi?', a

Cette valeur montre que la force cherchée ne dépend alors que
du rapport des deux perpendiculaires a' et a", abaissées sur le
conducteur rectiligne indéfini des deux extrémités de la portion
de conducteur sur lequel il agit; qu'elle est encore indépendante
de la forme de cette portion, et ne devient nulle, comme cela doit
être, que quand les deux perpendiculaires sont égales entre elles.

Pour avoir la distance de cette force au conducteur rectiligne,
dont la direction est parallèle à la sienne, il faut multiplier cha-
cune des forces élémentaires dont elle se compose par sa distance
au conducteur, et intégrer le résultat par rapport aux mêmes li-
mites; on aura ainsi le moment qu'il faudra diviser par la force
pour avoir la distance cherchée.

64 M. -A. AMPÂRE.

On trouve aisément, d'après les valeurs ci-dessus, que le mo-
ment élémentaire a pour valeur

I II as rsmpd •

Celle valeur ne peut s'intégrer que quand on y a substitué à Tune
des variables r ou ^ sa valeur en fonction de l'autre, tirée des
équations qui déterminent la forme de la portion mobile de con-
ducteur; elle devient très simple quand cette portion se trouve
sur une droite élevée par un point quelconque du conducteur
rectiligne que l'on considère comme fixe, perpendiculairement
à sa direction, parce qu'en prenant ce point pour l'origine des s'
on a

s'

r = Q,

cosp

et que s' est une constante relativement à la difTérentielle

j cos*B
a •

r

La valeur du moment élémentaire devient donc

ieVd5'^(l(cos»p)= — |âM5'sin«Pcospd?;

donc l'intégrale entre les limites P" et ^' est

— \ ii'ds'i sin» P'— sin» p').

Et remplaçant d^ par les valeurs de cette différentielle trouvées
plus haut, et en intégrant de nouveau, on a, entre les limites dé-
terminées du conducteur rectiligne,

\ u'[a'{ cos?; — cos?'; ) — a'( cos?', — cosp',)].

Si l'on suppose que le conducteur s'étende indéfiniment dans les
deux sens, il faudra donner à P', , p]^ p'^j Pa ^^^ valeurs que nous
leur avons déjà assignées dans ce cas, et l'on aura

— iï'(a'— a')

pour la valeur du moment cherché, qui sera, par conséquent,
proportionnel à la longueur a'^ — a' du conducteur mobile, et ne
changera point tant que cette longueur restera la même, quelles

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. (.)

que soient d'ailleurs les distances des extrémités de ce dernier
conducteur à celui qui est considéré comme fixe.

Calculons maintenant (*) l'action exercée par un arc de courbe
quelconque NM pour faire tourner un arc de cercle L, La autour
de son centre.

Soient M' (Jig* 23) le milieu d'un élément quelconque d^' de l'arc
L| L2, et a le rayon du cercle. Le moment d'un élément d^ de NM

Fig. 23.

pour faire tourner d^' autour du centre O s'obtient en multipliani
la composante tangente en M' par sa distance a au point fixe, ce
qui donne

, .., , r , cos'p

\au ^s d -•

r

Nommant jî', ^'' et r', 1^ les valeurs de ^ et r relatives aux limiter
M et N, on a pour le moment de rotation de d^'

, ..,-,/cos»S' cos«S'\

résultat qui ne dépend que de la situation des extrémités M et N.

Nous achèverons le calcul en supposant que la ligne MN soit un
diamètre L'L' du même cercle.

Nommons 2O l'angle M'OL'; M'T' étant la tangente en M', les

(») Les paragraphes suivants faisaient partie du Mémoire du 21 novembre iS^i
et se trouvaient publiés pour la première fois dans le Mémoire actuel. (J.)
Mém. de Pkys., lU. J

66 M. -A. AMPERE.

angles L'M'T', L^M'T' seront respectivemenl ^' et ^'\ et Ton aura
évidemment

cosp' = — cos6, cosp''=sin6, r'*=aa sinO, /^=2acosO.

L'action du diamètre L'L" pour faire tourner l'élément situé en M'
sera donc

Lorsqu'on prend un point quelconque A de la circonférence pour
origine des arcs, et qu'on fait AU =1 G, on a

5' = C -h 2aÔ et ds' = aadô,

ce qui change l'expression précédente en

qu'il faut intégrer dans toule l'étendue de l'arc L|La pour avoir le
moment de rotation de cet arc autour de son centre.
Or on a

/?in«OdO . /T. I .\ .an

/

—~,r— — 1. tangi6-4- cos6 -hC ;

si donc on appelle 28, et 282 les angles L'OLi er L'OLj, le mo-
ment total de l'arc L1L2 sera

a r tang(^-^i0,)tangiei "l

-in I. ^^-^ — sinÔj— cos6î-hsin0t-i-cos0, l-

Cette expression, changée de signe, donne la valeur du moment
de rotation du diamètre L'L'' dû à l'action de l'arc L, La.

Dans un appareil que j'ai décrit précédemment, un conducteur,
qui a la forme d'un secteur circulaire, agit sur un autre conduc-
teur composé d'un diamètre et d'une demi-circonférence qui est
mobile autour d'un axe passant par le centre de cette demi-cir-
conférence et perpendiculaire à son plan.*L'action qu'elle éprouve
<ie la part du secteur est détruite par la résistance de l'axe, puisque
le contour que forme le secteur est fermé; il ne reste donc que
l'action sur le diamètre. Nous avons déjà calculé celle de l'arc ; il

THEORIE MATHEMATIQUE DES PHENOMENES, ETC. G7

ne nous reste donc plus qu*à obtenir celles des rayons de ce secî-
teur sur le même diamètre.

Pour les déterminer, nous allons chercher le moment de rota-
tion qui résulte de l'action mutuelle de deux courants rectilignes
situés dans le même plan, et qui tend à les faire tourner en sens
contraire autour du point de rencontre de leurs directions.

La composante normale à Télément d^' situé en M' i^fig* ^^1)

est, comme nous l'avons vu précédemment,

Le moment de d^ pour faire tourner d^' autour de O s'obtiendra
en multipliant cette force par 5'; on aura donc, en nommant M k'
moment total,

d'où, en intégrant par rapport à 5,

Mais, d'après la manière dont les angles ont été pris dans le
calcul de la formule qui représente l'action mutuelle de deux é\(\-
ments de conducteurs voltaïques, l'angle MM'L2= p est extérieur
au triangle OMM'; et, en nomma^nt e l'angle MOM' compris entre
les directions des deux courants , on trouve que le troisième angle
OMM' est égal à p — e, ce qui donne

s sins

r =

sin(P— £)'

68 . M. -A. AMPÈRE.

on a donc

^^ d/ = iiT ^ [ cos? sin? sin(P — e) -h cos(? - e) -i- G].

En remplaçant dans celte valeur cos(p — s) par

cob' P cos(P — e) ■+- sin' ^ cos(P — e),

on voit aisément qu'elle se réduit à

dM Hî'

-i^ ds'^im -r^ [cosECos3-+- sin'Bcos(B — e)-i- G],

qu'il faut prendre dans les limites P' et p''; on a ainsi la différence
de deux fonctions de même forme, l'une de P'', l'autre de P', qu'il
s'agit d'intégrer de nouveau pour avoir le moment de rotation
cherché : il suffit de faire cette seconde intégration sur une seule
de ces deux quantités ; soit donc a" la distance 01/ qui répond
à p", on a, dans le triangle OM'U',

, a'sinO'— e) , ,. ^ q, ,, a'sintd^'

s = ~~i = a cos E — a sin E cot 3 , as = — . ^^-^^ :

sin 3 ^ ' sin* p

et la quantité que nous nous proposons d'abord d'intégrer devient

dont l'intégrale prise entre les limites p] et ^^ ^st

« -.., r • /o» X • /o7 V cosE cose 1
ia'»'[s.n(p;-s)-sm(?;-e)-^j^H-.^J.

En désignant par p"^ etp!, les perpendiculaires abaissées du point
O sur les distances U'L2= r^, L''L| = r]^ on a évidemment

^ ^^ ^*^* ' -^^ smp, siQE smpi sms

et l'intégrale précédente devient

Si l'on fait attention qu'en désignant la distance OU par a', on a
aussi, dans le triangle OM'L',

a'sin(3'--e) , , . _, ,, a'sinEdâ'

s = ;— — - = a cos e — a sin s cot 3', as = — . ,q, y

sin p ^ ' sin* p

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 69

on voit aisément que l'intégrale de l'autre quantité se forme de
celle que nous venons d'obtenir, en y changeant p^^p^j r*, r\,
en p.^j p\y r'j, /, ; ce qui donne pour la valeur du moment de ro-
tation, qui est la différence des deux intégrales,

\ii{p\-p\ -p't-^p'i - {r\—r\ - ri-H.r'i ) cote].

Cette valeur se réduit à celle que nous avons trouvée plus hauî,
dans le cas où l'angle e est droit, parce qu'alors cots = o.

Quand on suppose que les deux courants partent du point O et
que leurs longueurs OL", OL2 [^fig* 22 (* )] sont représentées res-

Fig. 22.

pectivement par a et 6, la perpendiculaire OP par p et la distance
\^\u2 par r, on a

P\ = Py P\ = P\ = P\ = o» r\ - r, r\ = «, r\ = 6, r\ = .>

et

i "'[/^ -^{a-\-b — r) cots],

pour la valeur que prend alors le moment de rotation.

La quantité a-\- b — r, excès de la somme de deux côtés d'un
triangle sur le troisième, est toujours positive : d'où il suit que Ir
moment de rotation est plus grand que la valeur ^ à'/? qu'il prend
quand l'angle e des deux conducteurs est droit, tant que cots est
positif, c'est-à-dire tant que cet angle est aigu; mais il devient
plus petit quand le même angle est obtus, parce qu'alors cots est
négatif. Il est évident d'ailleurs que sa valeur est d'autant plu?*
grande que l'angle s est plus petit et qu'elle croît à l'infini comnit^
cots, à mesure que s s'approche de zéro; mais il est bon de mon-

(') On a laissé subsister les légères interversions que présente plusieurs fois
le texte relativement au numérotage des figures. (J.)

à

70 M.-A. AMPÂRE.

Irer qu'il reste toujours positif, quelque voisin que cet ang^le soit
de deux droits.

Il suffit pour cela de faire attention qu'en nommant a 1^ angle
du triangle 0L''L2 compris entre les côtés a et ;•, et (3 celui qui
l'est entre les côtés b et r, on a

cote = — cot(a-H P), jo = asina = 6 sinp, r = acosa-t- ô cosp,

et par conséquent

a-f- 6 — r= a(i — cosa)-i-6(i — cos^) =/> tang|a-+-/? tang^" ?

valeur qui reste toujours positive, quelque petits que soient les

angles a et p, puisque tang(a -}- P), pour des angles inférieurs à - >

est toujours plus grand que tanga+tangp, et, à plus forte rai-
son, plus grand que tangua -|- tang^ p. Cette valeur tend évidem-
ment vers la limite ^ii p à mesure que les angles a et ^ s'appro-
chent de zéro; elle s'évanouit avec/> quand ces angles deviennent
nuls.

Fig. 25.

Reprenons maintenant la valeur générale du moment de rota-
tion en n'y faisant entrer que les distances 0L"=: d\ 0L'= a' et
les différents angles, valeur qui est

\ W ra'sin(p; — e) — a'sin(P'; — e) — a'sin(p'j— e)

, . ,n, K a^cose a'cose a'cose a'coseT
^^^ ' sinpj sinpi smp, sinp, J

et appliquons-la au cas où un des conducteurs L'U [fig* 25) est
recliligne et mobile autour de son milieu L| et où l'autre part de

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 7I

ce milieu. En faisant UU= 2a, on a

o'^a, a' = — a, p; = Tr-+-E, ?\ = e, sin p; = — sin ^^ ,

et en désignant comme précédemment les perpendiculaires aba!^*
sées de L| sur L'L2 et U^L2^ l'expression du moment devient

,..,/- , acoss acosE\

Or

sln^^ia:: sine: r\
et

— sin p j : a : : sin E : r'j ,

et les valeurs de r* et de r^ tirées de ces proportions et substi-
tuées dans l'expression précédente la changent en

i»'Lp'i-+-/>;-+-cotE(r;-r;)].

Lorsqu'on suppose L,L2 infini, on a

p\ =p\ — a sin e, r\ — rj = 2 a ces e,
et cette valeur du moment se réduit à

- ... / . 2Cos'e\ au

\aii I 2 sine -i : 1 = -. — ;

' \ sine / sine

il est donc en raison inverse du sinus de l'angle des deux couiunls
et proportionnel à la longueur du courant fini.

Quand L|L2=:^L'L''= a et qu'on représente l'angle LM^, X.^
par 2O, on a

/?j = asin6, /?j=acos6, r', = 2asin6, r2 = 2acos6, cote = — roiaù,

et le moment devient

■Jaiï'[ cosô -f- sin6-i-2cot26(cos6 — sinô)] ;

en remplaçant 2cot2 par sa valeur

I— tang^B _ cos*6 — sin*6 _ ( cos6 -4- sin6)( cos6 — sin 6)
tangO ~~ sin6cos6 ~~ sin6cos6 '

on trouve que celle de ce moment est égale à

1 -f/ A • AN r {cos6 — sin6)*"l
' ^ 'Y sin6cos6 J

= 4a«''(cos6 + sin6)( -7— ^ ^ — i )•

' ^ ^\sin6cos6 /

I

71 M. -A. AUPàRE.

Pour avoir la somme des actions des deux rayons entre les-
(juels est compris un secteur infiniment petit dont l'arc est ds,
il faut faire attention que, ces deux rayons étant parcourus en
s^cns contraire, cette somme est égale à la différentielle de
l'expression précédente; on trouve ainsi qu'elle est représentée
]Kir

1 -f/ A • Ax/ ï \ (cop6-+-sine)(cos»e — sin»6)"] ,^
\fin (cose — sinO)( -r-x ^ — i )— ^ r-^ ^ -^ Id8

i=|a«'(COSe — Sin6) -r-r r —I— ^ r-^ft T^ d6

* ^ ^Lsin6cos6 sin*6cos«6 J

= — iaâXcosO — sinO)f -^— v^ — — ^ -r-^ — - -m jdO.
' ^ ^\sin*6cos*0 sinOcosO /

Muts l'action de l'arc L2L3 sur le diamètre L'L'^ est égale et op-.
]Hi>ée à celle que ce diamètre exerce sur l'arc pour le faire tourner
Hiilour de son centre; le moment de cette action, d'après ce que
riniis venons de voir, est donc égal à

U»Y£?!Ï_^)de = iaà'(cos6-sme)f-.-^i— . + .)dd;
\ smO cos6/ * ^ ^\sinÔcos6 /

m l'ajoutant au précédent, on a, pour celui qui résulte de l'action
{\it secteur infiniment petit sur le diamètre UL",

— ^aiï'(cosO — sinO) -i—r r-

Tiite valeur ne diffère que par le signe de celle que nous avons
Ar\h trouvée pour le même moment, différence qui vient évi-
ili iiiment de ce que nous avons tiré celte dernière de la for-
mule relative à l'action d'un très petit circuit fermé sur un
t'ii'ment où nous avions changé le signe de C pour la rendre
jiitsiiive.

Examinons maintenant l'action que deux courants rectilignes,
([Ml ne sont pas dans un même plan, exercent l'un sur Tautre, soit
|irnïr se mouvoir parallèlement à leur commune perpendiculaire,
r^iïit pour tourner autour de cette droite.

Soient les deux courants AU, A'U' {Jig* 26); AA'=: a, leur
rommune perpendiculaire; AV une parallèle à A'U' : l'action de

THÉORIE MATHÉMATIQUE DBS PHÉNOMÈNES, ETC. 78

deux éléments situés en M et M', lorsqu'on fait /2 — a ot

Fig. 26.

^«

h = k — I = — ;j dans la formule générale
m as as'

r«

( cose -+- h cos6 cos6'),

de\'ient

à cause de

li'Asàs* ( 2 eosE-i- 3 -t — 7-7 )
I \ (\s ôs I

cosU =

Ts'

cosO = — ,-;
«5

mais, en faisant AM = 5, KW=.$\ VAU 1= s, on a
r* = a* -h *2 _|_ ^'î — 255' ces s,

d'où

dr

r -r- = * — s cose,
ds

dr
d*

d'r dr dr

et comme

r

dr
d^

d«

d2r

dr dr

. — «j . —

d^di' d^ ds'

ces £ H- 3 -^ ,7

d* r* d^d/ r'

la valeur de l'action des deux éléments devient

•î a'd^d^'l — r-^ -h r

d^di'y

Pour avoir la composante parallèle à AA', il faut multiplier c^Ue
expression par le cosinus de l'angle MM'P que fait MM' avecMT

74 M. -A. AUPÉRE.

parallèle à AA', c'est-à-dire par jr^^ ou -> ce qui donne

1 --rj J t\ COSÊ r I

et en intégrant dans toute l'étendue des deux courants, on trouve
pour l'action totale

Si les deux courants font entre eux un angle droit, on a

cose = o,

et l'action parallèle à AA' se réduit, en. prenant l'intégrale entre
les limites convenables et en employant les mêmes notations que

ci-dessus, à

A ^ l CL et Cl a \

Cette expression est proportionnelle à la plus courte distance des
courants et devient, par conséquent, nulle quand ils sont dans un
même plan, comme cela doit être évidemment.
Si les courants sont parallèles, on a

e = o
et

d'où

■f

d5' '-'* - = _ y/a^-{s-s'y ^ __ ^

c'esl-à-dire, entre les limites des intégrations,

a*
et, comme coss = 1 , l'action totale devient

i/;V - "* a a r\-\- r\- r\-^ r\\
\ri r^ r\ r, a )

Nous verrons plus tard comment se fait l'intégration dans le cas
où l'angle e est quelconque.

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. y5

Cherchons maintenant le moment de rotation autour de la com-
mune perpendiculaire : pour cela il faut connaître d'alj<»rd la
composante suivant MP et la multiplier par la perpendiculaiiT AQ
abaissée de A sur MP, ce qui revient à multiplier la force suivant

-h/rhMt MP . r\ ss' sint

mm.' par îr^f AC^ ou par ; on aura amsi

iusmel ss ——àsàs^ss /;

as as' H

posant — = y, on aura

et

, , ss'à -

oç s r

as ~~ r as

or , r

à^q _ I s* ùr s

as as' "" r r' d*' r* d^ d^d*'

I s'{s' — 5C0se)-f-5(5 — 5'cose) , r

= î^ ^——^ ^ ->r ss' T— 5-,

r r' d^d^

et, en réduisant,

d'où Ton tirera

d*<7 _ a' r

àsàs' ~~ r* d^d*'

d^d*' d5d*' r'
Or, nous avons trouvé précédemment
d*r dr àr

(iisAs' ds as '

ou

d*r (s — s' co%t)(s' — sco%t)

'•an?-^ 7^ -=-"'"''

effectuant la multiplication et remplaçant 524-5'^ par fin valeur

tirée de

r^= à^^ 5t>4-5'j_ 255'cose,

76 M. -A. AMPÈRE.

on obtient, en réduisant,

d*r w'sin'e-f- a*cosÊ

dsâs' ' r» ~^'

d'où

ss' _ 1 / d*r a*cos6\

Substituant cette valeur, ainsi que celle de ss^ -t-t-i* ^^^s l'expres-
sion du moment de rotation de Télément, il devient

\ "t ' j j fT d'7 a' cosE / d*r a*cose\1
|_ d*d5' /•« sin*e\d5d5 r» /J

1 vi j // . ^*7 a'siiiE d*r cos*e a'\

= |U d5d5 ( SinE-r-f-, C0tET--py -. )

\ as as r^ as as sins /•'/

1 ••» j 1 f / . d*<7 rf^r I a*\

= Lu dsâs ( sinE . /. — COtE -=— r-? ; r )>

\ asas asas siqe r* /

et intégrant par rapport à 5 et 5^, on a, pour le moment total,

Je calcul se ramène donc, comme précédemment, à trouver la va-
leur de rintégrale double / f -^ •

Si les courants sont dans un même plan, on a a = o, et le mo-
ment se réduit à

i "^ ( Ç' sin E — r co t E ),

résultat qui coïncide avec celui que nous avons obtenu en traitant
directement le cas de deux courants situés dans un même plan.

ss'
Car, q n'étant autre chose que — > et r devenant MP, on a

ss' s'mt MP.AQ
^s,nE=~^ = >-^jjp-=AQ;

et nous avions trouvé par l'autre procédé

\ u'{p — rcotE),

p désignant la perpendiculaire AQ : les deux résultats sont donc
identiques. L'intégration faite entre les limites donne

{ «"I>2— y; —P't +/>'i ■+- cotE(r'; -4- r\ - r\ - r\ )];

TRÉORIE MATIIÉaiATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 77

si l'angle e est droit, ce moment se réduit à

\ii\p"t'-p\-'P\-^p\).

Lorsque e = -' mais que a n'est pas nul, le moment ci-dessus
devient

..■.•(,-..//if^).

L'intégrale qu'il s'agit de calculer dans ce cas est

r,s' f% = r,s- f — ^£_^ = f ; a..

qu'il faut intégrer de nouveau par rapport à 5^; il vient

sà^ ^ r (ag-h5«)5dy _^

(a* -t- 5'*) v/ a» H- 5» 4- s'^ J (^a^-^ «« j:'« -h a*5* + 5^5'*) /ÔM^'ï^^^'a

as'

■f

f

^(a'-h s^)

\/~â^-

s^

s(a^-{- s^)i]s'

as l Ç r^

r = - arc tang - -}~ G.

Soit M la valeur du moment de rotation lorsque les deux cou-
rants électriques, dontles longueurs sont s et 5', partent des points
où leurs directions rencontrent la droite qui en mesure la plus
courte distance; on aura

M = Y ii' ( q — a arc tang - j >

expression qui se réduit, quand a = o, à M = ^ lY'y, ce qui h\\v-
corde avec la valeur M = ^ ii'p que nous avons déjà trouvi^e pour
ce cas, parce qu'alors q devient la perpendiculaire que nous avianii
désignée par/?. Si l'on suppose a infini, M devient nul, couiiul*
cela doit être, puisqu'il en résulte

g
a arc tang ^ = q.

78 M. -A. AMPERE.

Si Ton nomme z Tangle dont la tangente est

il viendra

a/ô*

^'-'"■'^('-t-sï^)-

c'est la valeur du moment de rotation qui serait produit par une
force égale à

V tangz/
agissant suivant la droite qui joint les deux extrémités des con-
ducteurs opposées à celles où ils sont rencontrés par la droite qui
en mesure la plus courte distance.

Il suffit de quadrupler ces expressions pour avoir le moment de
rotation produit par Faction mutuelle de deux conducteurs dont
Tun serait mobile autour de la droite qui mesure leur plus courte
distance, dans le cas où cette droite rencontre les deux conduc-
teurs à leurs milieux et où leurs longueurs sont respectivement
représentées par 2 s et 2 s'.

Il est, au reste, aisé de voir que si, au lieu de supposer que les
deux courants partent du point où ils rencontrent la droite, on
avait fait le calcul pour des limites quelconques, on aurait trouvé
une valeur de M composée de quatre termes de la forme de celui
que nous avons obtenu dans ce cas particulier, deux de ces termes
étant positifs et les deux autres négatifs.

Considérons maintenant deux courants rectilignes A' S', L'L''

Fig. 27.

{Jiff' 27), non situés dans un même plan et dont les directions
fassent un angle droit.

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 79

Soit A'Aleur commune perpendiculaire, et cherchons Tacdon
de UU pour faire tourner A' S' autour d'une parallèle (>V .1 1/1/
menée à la distance A'O = 6 de A'.

Soient M, M' deux éléments quelconques de ces courants; l'ex-
pression générale de la composante de leur action parallèle i la

perpendiculaire commune AA' devient, en faisant s = 7 j

i au' 3—5—, ds' as' ;
* as as

son moment par rapport au point O est donc, en prenant A' pour
origine des 5', égal à

r
as as'

^au'(s'-b)-r-',dsâs';

en intégrant par rapport à 5, il vient

d
~ds

laie{s'~-b)-;^ds';

et en appelant / et r^' les distances M'U, M'U de M' auv poînU
L', U et intégrant entre ces limites, l'action de UU, pouj' lalri'
tourner l'élément M', est

di di

r r

expression qu'il faut intégrer par rapport à s\ Or

laicfi^- 6)d 1 =Ui^{^ -fy) ,

et il est d'ailleurs aisé de voir qu'en nommant c la valeur AL" de s
qui correspond à r^' et qui est une constante dans rintéprraiinii
actuelle, on a

d'où il suit que

A'L''^/âM-c«,

r =

• Q. ' y 5' = — /a» -+- c* cet 3', ds' = ^ . ,.,,-
ainsi

f^-f

le second terme s'intégrera de la même manière et l'on aina enOn,

Hl> m. -a. ampère.

pour le moment de rotation cherché,

V ''i ''l ''î '•'• 'tangi?'itangip;y

Dans le cas où Taxe de rotation parallèle à la droite Ull ou 5
nasse par le point d'intersection A' des droites a et 5', on a 6 = o;
rL ù l'on suppose, en outre, que le courant qui parcourt s' part
de ce point d'intersection, on aura de plus

*i = o, Pi=-> Pi = â'

(.n sorte que la valeur du moment de rotation se réduira à

Je vais maintenant chercher l'action d'un fil conducteur plié sui-
vant le périmètre d'un rectangle K'K^L'^U [(Jiff- 27)] pour faire
tourner un conducteur recliligne A'S'== s'.^, perpendiculaire sur le
plan de ce rectangle et mobile autour d'un de ses côtés K'K" qu'il
n'MContre au point A' : le moment produit par l'action de ce côté
K'R" étant alors évidemment nul, il faudra à celui qui est dû à
faction deUL", et dont nous venons de calculer la valeur, ajouter
1 ■ moment produit par K'L' dans le même sens que celui de UL"
I t en ôter celui qui l'est par K^'L", dont l'action tend à faire tourner
A' S' en sens contraire; or, d'après les calculs précédents, en nom-
mant g et h les plus courtes distances A'K', A'K" de AS' aux
"li'oites K'U, K"U qui sont toutes deux égales à a, on a pour les
wtleurs absolues de ces moments

i "' ( (?' — /? *'*c *^3"& ^ ) ' j "' ( Q ~~ ^' ^^^ *^2i"o h) ^

on faisant

, as'.» as'^ „ as\ as\

/^î -h a* -+- 5'2 r'i ^ y/h^^a^^s'i r

celle du moment total est donc

\ •',{ 1 9" </' 1 tanjîjS'lX

i II ( h arc tang -, g arc tang al. — ^-~ | •

* V ^ A * ^ g tangip'J

Telle est la valeur du moment de rotation résultant de l'action
iTun conducteur ayant pour forme le périmètre d'un rectangle,
W agissant sur un conducteur mobile autour d'un des côtés du

THEORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 8l

rectangle, lorsque la direction de ce conducteur est perpendicu-
laire au plan du rectangle, quelle que soit d'ailleurs sa distance
aux autres côtés du rectangle et les dimensions de celui-ci. En dé-
terminant par l'expérience l'instant où le conducteur mobile est
en équilibre entre les actions opposées de deux rectangles situés
dans le même plan, mais de grandeurs différentes et à des dis-
tances différentes du conducteur mobile, on a un moyen bien
simple de se procurer des vérifications de ma formule susceptibles
d'une grande précision ; c'est ce qu'on peut faire aisément à Tai Je
d'un instrument dont il est trop facile de concevoir la construction
pour qu'il soit nécessaire de l'expliquer ici.

Intégrons maintenant l'expression / / — ^ dans l'étendue de

deux courants rectilignes non situés dans un même plan et faisant
entre eux un angle quelconque e, dans le cas où ces coiironts
commencent à la perpendiculaire commune; les autres cas i^Vn
déduisent immédiatement.

Soient A {Jig* 28) le point où la commune perpendiculaire

Fig. a8.

rencontre la direction AM du courant s, AM' une parallèle mcnie
par ce point au courant s\ et mm^ la projection sur le plan MAlSr
de la droite qui joint les deux éléments ds, dsf.

Menons par A une ligne A/i parallèle et égale à mm'^ et for-
mons en n un petit parallélogramme /i/i' ayant ses côtés parallèles
aux droites MAN, AM' et égaux à d^, d^'.

Si l'on répète la même construction pour tous les éléments, les
parallélogrammes ainsi formés composeront le parallélogramme
entier NAM'D et, leur surface ayant pour mesure d^d^sine. On
obtiendra l'intégrale proposée multipliée par sine, en cherchant
le volume ayant pour base NAM'D et terminé à la surface dont k\s
Afém. de Phys,, III. û

82 M. -A. AMPÂRE.

ordonnées élevées aux différents points de cette base ont pour

valeur — : r étant la distance des deux éléments des courants qui

correspondent, d'après notre construction, à tous ces points de la
surface NAMD.

Or, pour calculer ce volume, nous pourrons partager la base en
triangles ayant pour sommet commun le point A.

Soient A/? une droite menée à Tun quelconque des points de
Taire du triangle AND, et /> y ^r'/?' l'aire comprise entre les deux
droites infîniment voisines A/?, A^r' et les deux arcs de cercle
décrits de A avec les rayons A/? == m et A^'= u-^àu ; nous
aurons, à cause que l'angle NAM'=7î — e et en appelant <jp
l'angle NA/?,

Or, si a désigne la perpendiculaire commune aux directions des
deux conducteurs, et s et 5' les distances comptées de A sur les
deuït courants, on a

r = v/«' -4- a*, M = y/^ï -H s'^ — aw' cose ;
donc, en intégrant d*abord depuis w = o jusqu'à u = AR = m,,

JJ ' J J ia^^u4 J V'» S^^^^J

Il reste à intégrer cette dernière expression par rapport à o : pour
cela nous calculerons Ui en fonction de «p par la proportion

AN: AR :: sin(<p-+- e): sine
OU

s: Ux :: sin(cp -4- e): sine;

et, en substituant à a^-^ u^^ la valeur tirée de cette proportion,
nous aurons à calculer

Tdo \~ - ' 1 *= ^ - f <^?sin(cp + £)

J *\ ^ / j ^'sinH I a J /5îsin«e-+-a*sin«(<pH-£)

L y ^ ■^sinî(o^-£)J

dcos(?p -4- e)

I r . acos(PH-e) _"1

= - 9 -f- arc sin ^ -^ + G .

/* L v^a«-f-5«sinî£ J

2-+-52sin*£

_ C0S2(cp-+-£)

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. ÈZ

Nommons }x et |jl' les angles NAD, M'AD, et prenons Tinlégrale
précédente entre cp = o et ^ = |jl; elle devient alors

I r • acos('a-+- e) . a ces s ~\

- [JL -+- arc sin -^ — - — ^rc sin ,

^L va* H- 5* sin* e v^a*-l-5*sin*£j

et, à cause de [x -|- e = tc — [jl', elle se change en

I r . acosu.' . acose "1

- ijt. — arc sin ^ — arc sin . ;

^L /a* H- 5* sin* e /a*-i- 5^sin*£ |

or

, AK s' — scosz s' — 5Cose

AD y/^y — 5COse)*-i- 5* sin*£ ^s^-hs'* — aw'cosE
d'où Ton tire pour l'intégrale l'expression suivante ^

if . a(s' — 5C0se) . acos£ "1

- I [JL — arc sin ^ — — — — arc sin - —

^L /a* -h 5* sin * £ ys^ ■+- j'* — 2^5 cos£ ^a^-r- s^sm^ij

ouy en passant du sinus à la tangente pour les deux arcs,

I r a(s' — 5C0SS) acots 1

- I |x — arc lang — ; j- — ^ ^ — arc tang -p=^=. ;

^L j sin £ /a* H- 5* -h 5'* — 2Ss'cost ya^-hJt-j

et, comme on trouve l'intégrale relative au triangle M' AD en chan-
geant dans celte expression |jl en |jl' et s en y, on a pour rinlégralf»
totale, à cause que u. 4- |ji'= tî — s,

I r ^(s' — 5C0S£) Arnlt

- \ Tz — £ — arc tang — -:-^^ ' — arc tang -—

^ L 5 sin £ /a* -^- ** -h 5'* — 2w'cos£ /a^-t-n^*

acoU I
a*H-s'J"

a(s — 5'cose)

— arc lang — arc tang .

y sin £ /a* 4- J* -H 5*' — 2 55'cos£ /i

En calculant la tangente de la somme des deux arcs dont les va-
leurs contiennent s et 5', on change cette expression en

I / a sin£i/a*-i- 5*-+- 5'* — 2w'cos£

a\

arc tang , . , ;

ss sin*£H- a* cos£

acot£ acot£ \

— arc tang -t= — arc tang ) ;

/a* H- s^ /a* -i- 5'* /

84 ll.-A. AMPÈaE.

et comme

X flr sînei/a* -+- f'-+-5'* — iss' cost
arc tang , . . ;

w' pin* s H- a*cosE

= arc tang . — >

a sin 6 /a* -+- 5* -h s'* — a ss' cos e

on a, en divisant par sine (*),

f râs(]s' I / 55' sin* E -ha* cos 6

/ / — ~ = — : — ( arc tang =^

j j r asins y a sine y^a*-*- j*-*-*'* — aj^'coss

a cote acots ir \

— arc tane _ — arc tang . -\ e \y

yja?- -h 5* v/a* 4- 5'* » J

expression qui, lorsqu'on suppose e = -, se réduit à

- ( arc tang — — |?

«\ av/a*-h5*-h5'*/

comme nous l'avons trouvé précédemment.

On peut remarquer que le premier terme de la valeur que nous
venons de trouver dans le cas général est l'intégrale indéfinie de

d5(b'

1'
(a* -h 5* 4-5'* — aw'coss)*

comme on peut le vérifier par la diflférentiation, et que les trois
autres s'obtiennent en faisant successivement dans cette intégrale
jndéiinie

lo^'zrro, 2^*5 = 0, 3° *' = O Ct 5 = 0.

Si les courants ne partaient pas de la commune perpendiculaire,
on aurait une intégrale composée encore de quatre termes qui
seraient tous de même forme que l'intégrale indéfinie.

Nous avons considéré jusqu'ici l'action mutuelle de courants
éleciriques situés dans un même plan et de courants rectilignes
situés d'une manière quelconque dans l'espace; il nous reste à
examiner l'action mutuelle des courants curvilignes qui ne seraient
pas dans un même plan. Nous supposerons d'abord que ces cou-
rants décrivent des courbes planes et fermées, dont toutes les di-

(') Le Mémoire du 12 septembre i8î5, publié dans les Annales, t. XXIX et
XXX, donne la valeur de cette intégrale, mais sans les calculs qui y conduisent.

(J)

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHENOMENES, ETC. 85

mensions soient Infiniment petites. Nous avons vu que Tac lion
d'un courant de cette espèce dépendait de trois intégrales A, B, C,
dont les valeurs sont

Concevons maintenant dans l'espace une ligne quelconque M/^tO

Fig. 29.

'«finO

(yî^. 29) qu'entourent des courants électriques formant de très

(*) Les paragraphes qui suivent, relatifs à la théorie des solénoYdes, sont \â
reproduction textuelle du Mémoire du t. XXVI des Annales et des paragraphe*
III, IV et V du Précis, avec cette différence cependant que les courants infimmi^nt
petits qui forment le solénoïde sont encore supposés circulaires et que, par suîtej
X est remplacé par itm». ( Voir la note de la p. 46.)

Ampère ajoute, p. 19 du Précis : «Ces mêmes résultats (propriétés générales
des trois intégrales A, B, C) sont indépendants de la valeur qu'on donne â 1 vx^
posant de la puissance à la distance à laquelle on suppose que Faction élecLro-
dynamique est réciproquement proportionnelle, quand cette distance varif suns
que les éléments des courants électriques entre lesquels elle s'exerce changfoi de
direction. Il n'en est pas de même des résultats dont je m'occupe dans le re^ie de
mon Mémoire, et qui sont relatifs au cas où le système de courants formant de^s
circuits fermés devient un cylindre électrodynamique; ceux-ci n'ont lieu que
dans deux cas : dans celui de la nature, c'est-à-dire lorsqu'on admet que t'LtnLioa
électrodynamique est réciproquement proportionnelle au carré de la dislance
quand elle varie seule, et dans le cas où l'on supposerait la même action diiTcle-
ment proportionnelle à la distance. Ils sont dus, la plupart, à M. Savary, qui les
a d'abord obtenus pour un cylindre électrodynamique et ensuite pour un sdc-
nolde quelconque. La nouvelle démonstration que j'en donne s'applique dirccLe-
ment au solénoïde, et comprend ainsi le cas où il s'agit d'un cylindre, qui n'esl
qu'une espèce particulière de solénoïde. »

fiËT M. -A. AMPàRE.

jïoHts Circuits fermés autour de cette ligne, dans des plans infiui-
mrnt rapprochés qui lui soient perpendiculaires, de manière que
lis aires comprises dans ces circuits soient toutes égales entre
elks et représentées par \ que leurs centres de gravité soient sur
M mO, et qu'il y ait partout la même distance, mesurée sur cette
ligne, entre deux plans consécutifs. En appelant^ cette distance,
qiii^ nous regarderons comme infiniment petite, le nombre des cou-
riuiis qui se trouveront répondre à un élément d5 de la ligne M m

sira — ; et il faudra multiplier par ce nombre les valeurs de A, B,

il i|ue nous venons de trouver pour un seul circuit, afin d'avoir
ptIJes qui se rapportent aux circuits de l'élément d^; en intégrant
iriTïuite depuis l'une des extrémités U de l'arc s jusqu'à l'autre
rxirtmité L" de cet arc, on aura les valeurs de A, B, C relatives à
ru-ssemblage de tous les circuits qui l'entourent, assemblage au-
ïjiK'l j'ai donné le nom de solénoïde électrodynamique, du mot
grec TwXriVoeiSi^jÇ, dont la signification exprime précisément ce qui
*i lu forme du canal, c'est-à-dire la surface de cette forme sur la-
(|iît'lle se trouvent tous les circuits.
< )n a ainsi, pour tout le solénoïde,

^ X r/cosl^ds 3qzâs\

^ = ffJ\~ii ~)'

0(\ la direction de la ligne ^, perpendiculaire au plan de X, étant
(viiallèle à la tangente à la courbe s, on a

t, dx dy ^ dz

cos5=-i-, cos7i=-r-t cosc=-r-*

d^ ' d* d*

îyv plus, q est évidemment égal à la somme des projections des
in lis coordonnées x^y^ z sur sa direction; ainsi

xdx-^ydy-\- zdz Idl

^ = dS ="d7'

puisqu'on a

Substituant ces valeurs dans celle que nous venons de trouver

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 87

pour C, elle devient

Nommant a:', y^ z\ V et ^', y\ z", F les valeurs de x,y^ z, /, rela-
tives aux deux extrémités U, h" du solénoïde, on a

En opérant de la même manière pour les deux autres intégrales A,
B, on trouve des expressions semblables pour les représenter, et
les valeurs des trois quantités que nous nous sommes propose^ de
calculer pour le solénoïde entier sont

Si le solénoïde avait pour directrice une courbe fermée, on aurnît
od'=:.x\ y-=.y\ ^= y, II'=zl^ et, par conséquent, A = o,
B = o, C = o; s*il s^étendait à l'infini dans les deux sens, tou^ Ic:?
termes des valeurs de A, B, C seraient nuls séparément, ei îl ^M
évident que dans ces deux cas l'action exercée par le solénoiMo &e
réduit à zéro. Si l'on suppose qu'il ne s'étende à l'infini que d'un
seul côté, ce que j'exprimerai en lui donnant le nom de solénoïde
indéfini dans un seul sens, on n'aura à considérer que l'extrcmiié
dont les coordonnées x' ^ y, z' ont des valeurs finies; car Tautre
extrémité étant supposée à une distance infinie, les premit^rs
termes de celles que nous venons de trouver pour A, B, C sont
nécessairement nuls : on a ainsi

')

^=-^3' ^-""F^' ^""F^-

donc A : B : C :: a/:y : .s'; d'où il suit que la normale au plan
directeur, qui passe par l'origine et forme avec les axes des angles
dont les cosinus sont

ABC

D' D' D'

dSt M. -A. AMPàRB.

en faisant toujours D = y/A^+B*-+-C*, passe aussi par Textré-
mité du solénoïde dont les coordonnées sont a;', j^, js'.

Nous avons vu, dans le cas général, que la résultante totale est
perpendiculaire sur celte normale; ainsi l'action d'un solénoïde
indéfini sur un élément est perpendiculaire à la droite qui joint
le milieu de cet élément à l'extrémité du solénoïde; et, comme
elle l'est aussi à l'élément, il s'ensuit qu'elle est perpendi-
culaire au plan mené par cet élément et par l'extrémité du solé-
noïde.

Sa direction étant déterminée, il ne reste plus qu'à en con-
naître la valeur : or, d'après le calcul fait dans le cas général, cette
valeur est

DiTd5'sinÊ'

,

1

i' étant l'angle de l'élément d^' avec la normale au plan directeur;
et comme D = y/A^ -+- B'-* -h C^, on trouve aisément

ce qui donne pour la valeur de la résultante

Xu'd^'sine

On voit donc que l'action qu'un solénoïde indéfini, dont l'extré-
milé est en L' {fig* 29), exerce sur l'élément ab est normale en A
au plan 6 AU, proportionnelle au sinus de l'angle 6 AL', et en
raison inverse du carré de la distance AU, et qu'elle reste tou-
jours la même, quelles que soient la forme et la direction de la
courbe indéfinie UU sur laquelle on suppose placés tous les
centres de gravité des courants dont se compose le solénoïde in-
(îéfini.

Si l'on veut passer de là au cas d'un solénoïde défini dont les
deux extrémités soient situées à deux points donnés U, U', il suf-
fira de supposer un second solénoïde indéfini commençant au
point U du premier et coïncidant avec lui depuis ce point jusqu'à
lïnfini, ayant ses courants de même intensité, mais dirigés en
sens contraire, l'action de ce dernier sera de signe contraire à
celle du premier solénoïde indéfini partant du point U, et la dé-

THÉORIE MATHRHATIOVE DES PHBNOMÂNES, ETC. 89

truîra dans toute la partie qui s'étend depuis L'^ jusqu'à TinHoi
dans la direction L^O où ils seront superposés; ractioii du sole-
noïde UU sera donc la même qu'exercerait la réunion de ces deux
solénoïdes indéfinis, et se composera, par conséquent, de la force
que nous venons de calculer et d'une autre force agissant en sens
contraire, passant de même par le point A, perpen dieu luire an
plan bKLHy et ayant pour valeur

Xu'df'sine*

2^r« '

e'' étant l'angle bMI et F la distance AL''. L'action totaU- dn sole-
noïde L'L" est la résultante de ces deux forces et passe, comme
elles, par le point A.

Comme l'action d'un solénoïde défini se déduit immécUaLenieni
de celle du solénoïde indéfini, nous commencerons, dans tout ce
qui nous reste à dire sur ce sujet, par considérer Icr snl<enoïdc
indéfini qui offre des calculs plus simples, et dont il est tou-
jours facile de conclure ce qui a lieu relativement à un sulcnoïde
défini.

Soient L' (Jig* 3o) l'extrémité d'un solénoïde indcllni ; A le

milieu d'un élémenlquelconque6ad'un courant électrique M , \ M^,
et L'K une droite fixe quelconque menée par le point \J\ nom-
mons l'angle variable KL' A, |jl l'inclinaison des plans //Ah',
AL'K, et l la distance L'A. L'action de l'élément ba sur le sulc-
noïde étant égale et opposée à celle que ce dernier encrer» sur
l'élément, il faut, pour la déterminer, considérer un point situé
en A, lié invariablement au solénoïde, et sollicité par uno force

90 M.-A. AMPÈRE.

Jonf Texpression soit, abstraction faite du signe.

\ iC ds' s\n b AL'

ou

«n nummant àv l'aire d\Jh qui est égale à

2

Comme celte force est normale en A au plan PiUb, il faut, pour
avoir son moment par rapport à Taxe L'R, chercher sa compo-
sante |jcrpendiculaire à A L'R et la multiplier par la perpendicu-
laire il AP abaissée du point A sur la droite L'R. |jl étant Tangle
(■orïipris entre les plans Ah'b, AL'R, celte composante s'obtient
en ni uUipliant l'expression précédente par cos|jl; mais dv cosjjl est
la projection de l'aire d{> sur le plan AL'R, d'où il suit qu'en re-
présentant cette projection par du la valeur de la composante
cherchée est

Or la projection de l'angle aUb sur AL'R peut être considérée
Lomnic la différence inGniment petite des angles RL'a et RL'6 :
vc 5çra donc d9, et l'on aura

/'»de

du = :

2

ce f[m réduit la dernière expression à

cl comme AP= /'sin9, on a, pour le moment cherché,

— sine de.

CcUc expression, intégrée dans toute l'étendue de la courbe

Mi A Ma, donne le moment de ce courant pour faire tourner le

solu'noïde autour de L'R; or, si le courant est fermé, l'intégrale,

t[iiî cst^ en général,

_ XiTcose

2^

THEORIE MATHÉMATIQUE DES PHENOMÂNES, ETC. 9t

s'évanouît entre les limites, et le moment est nul par rapport à une
droite quelconque UK passant par le point U.

Il suit de là que, dans l'action d'un circuit fermé, ou d'un sys-
tème quelconque de circuits fermés sur un solénoïde indéfini,
toutes les forces appliquées aux divers éléments du système don-
nent, autour d'un axe quelconque, les mêmes moments que si
elles l'étaient à l'extrémité même du solénoïde; que leur résul-
tante passe par cette extrémité, et que ces forces ne peuvent, dans
aucun cas, tendre à imprimer au solénoïde un mouvement de ro-
tation autour d'une droite menée par son extrémité, ce qui est
conforme aux résultats des expériences. Si le courant représenté
parla courbe M4AM2 n'était pas fermé, son moment pour faire
tourner le solénoïde autour de L'K, en appelant 6', et 6!, les valeurs
extrêmes de 6 relatives au point L' et aux extrémités Mi, IVL de la
courbe Mi AM2, serait

-^g

(cosO'j — cos6j).

Considérons maintenant un solénoïde défini L'L" {^fig* 3i) qui ne

Fig. 3«.

puisse que tourner autour d'un axe passant par ses deux extré-
mités. Nous pourrons lui substituer, comme précédemment, deux
solénoïdes indéfinis; et la somme des actions du courant ]\l 1 AMj
sur chacun d'eux sera son action surL'L^. Nous venons de trouver
le moment de la première, et en appelant 6" , 6* les angles corres-
pondants à 0',9 6!j, mais relatifs à l'extrémité L", on aura pour
celui de la seconde

-^'(cose^,~cose;);

cjï M.-A. AlIPERB.

le moment total produit par Taction de M i AM2, pour faire tourner
le solénoïde autour de son axe L'L'', sera donc

(cos6j — cosO*! — cos6', 4- cos

;6;).

O moment est indépendant de la forme du conducteur M1AM2,
de sa grandeur et de sa distance au solénoïde L'L'', et reste le
même quand elles varient de manière que les quatre angles 0^ B*,
h\^ Q'^ ne changent pas de valeurs; il est nul, non seulement quand
le courant MiMj-forme un circuit fermé, mais encore quand on
suppose que ce courant s'étend à l'infini dans les deux sens, parce
qu^aiors, ses deux extrémités étant à une distance infinie de celles
du solénoïde, l'angle 0', devient égal à h\ et l'angle O'j, à ô',.

Tous les moments de rotation autour des droites menées par
l'extrémité d'un solénoïde indéfini étant nuls, cette extrémité est
le point d'application de la résultante des forces exercées sur le
solénoïde par un circuit électrique fermé ou par un système de
courants formant des circuits fermés; on peut donc supposer que
toutes ces forces y sont transportées, et la prendre pour l'origine
A i^fig* 82) des coordonnées : soit alors BM une portion d'un des

courants qui agissent sur le solénoïde; la force due à un élément
quelconque Mm de BM est, d'après ce qui précède, normale au
plan AM m et exprimée par

dp étant l'aire AM/n, et r la distance variable AM.

Pour avoir la composante de cette action suivant AX, on doit
la multiplier par le cosinus de l'angle qu'elle fait avec AX, lequel
est le même que l'angle des plans AM/n, ZAY; mais dç' mul-
tiplié par ce cosinus est la projection de AM/n sur ZAY, qui est

égale à

THEORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. Q^
ydz — zây

si donc on veut avoir l'action suivant AX exercée par un nombre
quelconque de courants formant des circuits fermés, il laudra
prendre dans toute l'étendue de ces courants l'intégrale

qui est

X il' Çy Hz — rAy

XiHk
j

A désignant toujours la même quantité que précédemment dans
laquelle on a remplacé n par sa valeur 2 ; on trouvera semblable-
ment que l'action suivant AY est exprimée par

\ia\K
>

et celle qui a lieu suivant AZ par

La résultante de ces trois forces, qui est l'action totale exercée
par un nombre quelconque de circuits fermés sur le solénoïde in-
défini, est donc égale à

Xù'D
»

en désignant toujours yj h?- -\- B'-' -H 0=* par D, et les cosinus des
angles qu'elle fait avec les axes des x^ des y et des z ont pour
valeurs

ABC

D' D' D'

qui sont précisément celles des cosinus des angles que G^îï avec
les mômes axes la normale au plan directeur que l'on obtiendrait
en considérant l'action des mêmes circuits sur un élément situé
en A. Or, cet élément serait porté par l'action du système dans
une direction comprise dans le plan directeur; d'où l'on lire celle
conséquence remarquable, que lorsqu'un système quelconque de
circuits fermés agit alternativement sur un solénoïde indi^iini et

94 M.-A. AMPÈRE.

sur un élément situé à l'extrémité de ce solénoïde, les directions
suivant lesquelles sont portés respectivement l'élément et l'extré-
mité du solénoïde sont perpendiculaires entre elles. Si l'on sup-
pose l'élément situé dans le plan directeur lui-même» l'action que
le système exerce sur lui est à son maximum et a pour valeur

iCDds'

Celle que le même système exerce sur le solénoïde vient d'être
trouvée égale à

ces deux forces sont donc toujours entre elles dans le rapport
constant pour un même élément et un même solénoïde

g

c'est-à-dire, comme la longueur de l'élément est à l'aire de la
courbe fermée que décrit un des courants du solénoïde, divisée par
la distance de deux courants consécutifs; ce rapport est indépen-
dant de la forme et de la grandeur des courants du système qui
agit sur l'élément et sur le solénoïde.

Lorsque le système de circuits fermés que nous venons de con-
sidérer est lui-même un solénoïde indéfini, la normale au plan
directeur passant par le point A est, comme nous venons de le
voir, la droite qui joint ce point A à l'extrémité du solénoïde ; il
suit de là que l'action mutuelle de deux solénoïdes indéfinis a
lieu suivant la droite qui joint l'extrémité de Tun à l'extrémité de
l'autre; pour en trouver la valeur, nous désignerons par V l'aire
des circuits formés par les courants de ce nouveau solénoïde, g^ la
distance entre les plans de deux de ces circuits qui se suivent im-
médiatement, / la distance des extrémités de deux solénoïdes in-

définis, et nous aurons D = — "^PTi' ^^ q^î donne, pour leur ac-
tion mutuelle,

qui est en raison inverse du carré de la distance /. Quand l'un des
tiplinoïdes est défini, on peut le remplacer par deux solénoïdes

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. g5

indéfinis, et Taction se trouve composée de deux forces, l'une at-
tractive et l'autre répulsive, dirigées suivant les droites qui joi-
gnent les deux extrémités du premier à l'extrémité du second.
Enfin, dans le cas où deux solénoïdes définis L'L", L| L2 {Jig- 33 )

Fig. 33.

agissent l'un sur l'autre, il y a quatre forces dirigées respective-
ment suivant les droites L'L,, L'L2, L"L4, U'L2 qui joignent leurs
extrémités deux à deux; et si, par exemple, il y a répulsion sui-
vant L'Li, il y aura attraction suivant L'L2 et U'L, et répulsion
suivant L"L2.

Pour justifier la manière dont j'ai conçu les phénomènes que
présentent les aimants, en les considérant comme des assemblages
de courants électriques formant de très petits circuits autour de
leurs particules, il fallait démontrer, en partant de la formule
par laquelle j'ai représenté l'action mutuelle de deux éléments de
courants électriques, qu'il résulte de certains assemblages de rcs
petits circuits des forces qui ne dépendent que de la situation de
deux points déterminés de ce système, et qui jouissent, relative-
ment à ces deux points, de toutes les propriétés des forces qu'on
attribue à ce qu'on appelle des molécules de fluide austral et de
fluide boréal, lorsqu'on explique, par ces deux fluides, les phr-
nomènes que présentent les aimants, soit dans leur action mu-
tuelle, soit dans celles qu'ils exercent sur un fil conducteur : or
on sait que les physiciens qui préfèrent les explications où Ton
suppose l'existence de ces molécules à celles que j'ai déduites des
propriétés des courants électriques admettent qu'à chaque molé-
cule de fluide austral répond toujours, dans chaque particule thi
corps aimanté, une molécule du fluide boréal de même intensité,
et qu'en nommant élément magnétique l'ensemble de ces deux
molécules qu'on peut considérer comme les deux pôles de cet t'Ié-
ment, il faut, pour expliqueras phénomènes que présentent les

9Ô M.-A. AMPÈaE.

deux genres d'action dont il est ici question : i° que l'action mu-
tuelle de deux éléments magnétiques se compose de quatre forces,
deux attractives et deux répulsives, dirigées suivant les droites
qui joignent les deux molécules d'un de ces éléments aux deux
molécules de l'autre, et dont l'intensité soit en raison inverse des
carrés de ces droites ; 2^ que quand un de ces éléments agit sur
une portion infiniment petite de fil conducteur, il en résulte deux
forces perpendiculaires aux plans passant par les deux molécules
de l'élément et par la direction de la petite portion du fil, et qui
soient proportionnelles aux sinus des angles que cette direction
forme avec les droites qui en mesurent les distances aux deux
molécules, et en raison inverse des carrés de ces distances. Tant
qu'on n'admet pas la manière dont je conçois l'action des aimants,
et tant qu'on attribue ces deux espèces de forces à des molécules
d'un fluide austral et d'un fluide boréal, il est impossible de les
ramener à un seul principe; mais, dès qu'on adopte ma manière
de voir sur la constitution des aimants, on voit, par les calculs
précédents, que ces deux sortes d'actions et les valeurs des forces
qui en résultent se déduisent immédiatement de ma formule, et
qu'il suffit pour trouver ces valeurs de substituer à l'assemblage
de deux molécules, l'une de fluide austral, l'autre de fluide boréal,
un solénoïde dont les extrémités, qui sont les deux points déter-
minés dont dépendent les forces dont il s'agit, soient situées pré-
cisément aux mêmes points où l'on supposerait placées les molé-
cules des deux fluides.

Dès lors, deux systèmes de très petits solénoïdes agiront l'un
sur l'autre, d'après ma formule, comme deux aimants composés
d'autant d'éléments magnétiques que l'on supposerait de solé-
noïdes dans ces deux systèmes; un de ces mêmes systèmes agira
aussi sur un élément de courant électrique, comme le fait un ai-
mant; et par conséquent tous les calculs, toutes les explications,
fondés tant sur la considération des forces attractives et répulsives
de ces molécules en raison inverse des carrés des distances, que
sur celle de forces révolutives entre une de ces molécules et un
élément de courant électrique, dont je viens de rappeler la loi
telle que l'admettent les physiciens qui n'adoptent pas ma théorie,
sont nécessairement les mêmes, soit qu'on explique comme moi
par des courants électriques les phénomènes que produisent les

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 97

aimants dans ces deux cas, ou qu'on préfère l'hypothèse de deux
fluides. Ce n'est donc point dans ces calculs ou dans ces explica-
tions qu'on peut chercher ni les objections contre ma théorie, ni
les preuves en sa faveur. Les preuves sur lesquelles je T^ippuie
résultent surtout de ce qu'elle ramène à un principe uniquo trois
sortes d'actions que l'ensemble des phénomènes prouve être dues
à une cause commune, et qui ne peuvent y être ramenées autre-
ment. En Suède, en Allemagne, en Angleterre, on a cru pouvoir
les expliquer par le seul fait de l'action mutuelle de deux aimants,
tel que Coulomb l'avait déterminé; les expériences qui nous of-
frent des mouvements de rotation continue sont en contradiction
manifeste avec cette idée. En France, ceux qui n'ont pas odopté
ma théorie sont obligés de regarder les trois genres d'action que
j'ai ramenés à une loi commune comme trois sortes de jilituio-
mènes absolument indépendants les uns des autres. Il est à remar-
quer, cependant, qu'on pourrait déduire de la loi proposée por
M. Biot pour l'action mutuelle d'un élément de fil conducteur et
de ce qu'il appelle une molécule magnétique, celle qu'a établie
Coulomb relativement à l'action de deux aimants, si l'on admet-
tait qu'un de ces aimants est composé de petits courante élec-
triques, tels que ceux que j'y conçois; mais, alors, comment pour-
rait-on ne pas admettre que l'autre est composé de m^^me, et
adopter, par conséquent, toute ma manière de voir?

D'ailleurs, quoique M. Biot ait nommé force élémentaîte (')
celle dont il a déterminé la valeur et la direction dans le cas ou un
élément de fil conducteur agit sur chacune des particules d'un ai-
mant, il est clair qu'on ne peut regarder comme vraiment élcoien-
taire, ni une force qui se manifeste dans l'action de deux éléments
qui ne sont pas de même nature, ni une force qui n'agit pas sui-
vant la droite qui joint les deux points entre lesquels elle s'exerce.
Cependant, dans le Mémoire que cet habile physicien a commu-
niqué à l'Académie, les 3o octobre et 18 décembre 1820 (^), il
regarde comme élémentaire la force qu'exerce un élément de 111
conducteur sur une molécule de fluide austral ou de fluide boréal.

(*) Précis élémentaire de Physique, t. II, p. 122, de la seconde cdilioriH ( \.)
(>) Ce dernier Mémoire n'ayant pas été publié à part, je ne connais h lurmulft
qui y est donnée, pour exprimer cette force, que par le passage suivant tic \d ie-
Mém. de Phys., HI. 7

1

98

M.-A. AMPàRB.

c'est-à-dire sur le pôle d*un élément magnétique , et il y considère
comme un phénomène composé Taction mutuelle de deux éléments

«oûdc édition du Précis élémentaire de Physique, t. II, p. laa et ia3. ( Voir t. n,
irl. VI, p. ii3, ii4 :
c En divisant, par la pensée, toute la longueur du fil conjonctif Z'C {fig. 34)

en une iofioité de tranches d'une très petite hauteur, on voit que chaque tranche
doit agir sur l'aiguille avec une énergie difTérente, selon sa distance et sa direc-
lion. Or ces forces élémentaires sont précisément le résultat simple qu'il importe
îiïirtout de connaître; car la force totale exercée par le fil entier n'est que la
f^nmme de leurs actions. Mais le calcul suffit pour remonter de cette résultante à
l'action simple. C'est ce qu'a fait M. Laplace. Il a déduit de nos observations, que
la loi individuelle des forces élémentaires exercées par chaque tranche du fil con-
jonctif était la raison inverse du carré de la distance, c'est-à-dire précisément la
môme que l'on sait exister dans les actions magnétiques ordinaires. Cette analyse
montrait que, pour compléter la connaissance de la force, il restait encore à dé-
terminer si l'action de chaque tranche du fil était la même dans toutes les direc-
tions à distance égale ou si elle était plus énergique dans certains sens que dans
d'uutres. Pour décider cette question, j'ai tendu dans un plan vertical un long fil
dç cuivre ZMC {fig- 34), en le pliant en M, de manière que les deux branches
ZM, MC fissent avec l'horizontale MH des angles égaux. Devant ce fil, j'en ai
tendu un autre Z'M'C de même matière, de même diamètre, pris dans le même
tirage; mais j'ai disposé celui-ci verticalement, de manière qu'il ne fût séparé du
premier en MM' que par une bande de papier très mince. J'ai ensuite suspendu
notre aiguille aimantée AB devant ce système, à la hauteur des points M, M', et
j'ai observé ces oscillations pour diverses distances, en faisant successivement
passer le courant voltaïque par le fil plié et par le fil droit. J'ai trouvé ainsi que,
pour l'un comme pour l'autre, l'action était réciproque à la distance aux points
M, M'; mais l'intensité absolue était plus faible pour le fil oblique que pour le fil
ijroit, dans la proportion de l'angle ZMH à l'unité. Ce résultat, analysé par le
craîcul, m'a paru indiquer que l'action de chaque élément jjl du fil oblique sur
chaque molécule m de magrnétisme austral ou boréal est réciproque au carré de

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÉNBS| ETC. 99

de conducteurs voltaïques (*). Or on conçoit aisément que s'il
existe, en eflet, des molécules magnétiques, leur action mutuelle
peut être considérée comme la force élémentaire : c'était le poiot
de vue des physiciens de la Suède et de l'Allemagne, qui n*a pu
supporter l'épreuve de l'expérience, puisque cette force, étant pro-
portionnelle à une fonction de la distance, ne peut jamais donner
lieu au mouvement toujours accéléré dans le même sens, du nioin^

sa distance (x/n à cette molécule, et proportionnelle au sinus de l'angle m^iM
formé par la distance {xm ayec la longueur du fil. 9

II est assez remarquable que cette loi, qui est une conséquence rigoureuse; de la
formule par laquelle j'ai exprimé l'action mutuelle de deux éléments âa fil^ con-
ducteurs, quand on remplace, conformément à ma théorie, chaque élément mu-
gnétique par un très petit solénoYde électrodynamique, a d'abord été troiiVf.'i' pur
une erreur de calcul ; en effet, pour qu'elle soit vraie, il faut que Vintensîté ab-
solue de la force soit proportionnelle, non pas à l'angle ZIIM, mais à la tangente
de la moitié de cet angle, ainsi que l'a démontré M. Savary, dans le Mi^mMJrt^
qu'il a lu à l'Académie le 3 février 1828, qui a été publié dans le temps et s<^
trouve aussi dans le Journal de Physique, t. XCVÏ, p. i-aS et suiv. (*). Il par;iU, un
reste, que iM. Biot a reconnu cette erreur, car, dans la troisième édition du tn^uie
Ouvrage qui vient de paraître, il donne, à la vérité sans citer le Mémoire au cHe
avait été corrigée, de nouvelles expériences où l'intensité de la force totale e^l,
conformément au calcul de M. Savary, proportionnelle à la tangente de h tîLOitié
de l'angle ZMH, et il en conclut de nouveau, avec plus de raison qu'il nt V^yah
fait de ses premières expériences, que la force qu'il appelle élémentaire est, ii
distances égales, proportionnelle au sinus de l'angle compris entre la dirottion *1c
l'élément du fil conducteur et celle de la droite qui en joint le milieu à la mok^-
cule magnétique {Précis élémentaire de Physique expérimentale, 3* édiL, t. Il,
p. 740-745). {A.)

(«) Toute cette discussion, jusqu'à la page io4, forme la Note B du Précis. Nous
reproduisons le début de cette Note, supprimé ici : « Dans l'état actuel de la Phy-
sique, on ne connaît pas de cause des phénomènes dont nous sommes tc'^moïn^
qu'on puisse regarder avec certitude comme vraiment primitive; et, de mi^me
que l'on considère, en Chimie, comme un corps simple ou élément toute sub^lânro
qu'on ne peut décomposer en d'autres, on doit, en Physique, admettre c^mme
force élémentaire toute force qu'on ne peut point ramener à d'autres. Il e<it cvi-
denl que la force qui se manifeste dans l'action mutuelle de deux fils «^ondnt^-
teurs ou dans celle de l'un de ces fils et d'un aimant ne peut être rameni^e & des
attractions ou des répulsions simplement fonctions des distances des particule^:
entre lesquelles elles s'exercent, puisqu'on obtient, par l'une comme par l'autre,
des mouvements de rotation accélérés toujours dans le même sens. Il fa m donr
chercher la force élémentaire, soit dans l'action de deux éléments de fils riMidm-
teurs, comme je l'ai fait dès mes premières recherches sur ce sujet, soit dans tulk*
qu'un élément exerce sur les deux pôles d'une particule d'aimant, pôles qu'on désigne
sous le nom de molécules magnétiques^ quand on admet l'hypothèse des den x fl u îde^,
ainsi que Ta fait M. Biot dans les Mémoires communiqués à l'Académie les St> oc-
tobre et 18 décembre 1820 : il y regarde comme élémentaire » (/,j

( ' ) Voir la noto do la p. 1 16 dn t. II. t|j|p

lOO BI.-A. AMPÈRE.

tant que, comme ils le supposaient, les molécules magnétiques
sont considérées comme fixées à des points déterminés des fib
conducteurs qu'ils regardaient comme des assemblages de petits
aimants, et alors les deux autres genres d'action étaient des phé-
nomènes composés, puisque l'élément voltaïque l'était. On con-
çoit également que ce soit l'action mutuelle de deux éléments de
Gis conducteurs qui offre la force élémentaire : alors l'action mu-
tuelle de deux éléments magnétiques, et celle qu'un de ces élé-
ments exerce sur une portion infiniment petite de conducteur
voltaïque, sont des actions composées, puisque l'élément magné-
tique doit, dans ce cas, être considéré comme composé. Mais
comment concevoir que la force élémentaire soit celle qui se ma-
nifeste entre un élément magnétique et une portion infiniment
petite de conducteur voltaïque, c'est-à-dire entre deux corps, à la
vérité d'un très petit volume, mais dont l'un est nécessairement
Composé, quelle que soit celJe des deux manières d'interpréter les
phénomènes dont nous venons de parler?

La circonstance que présente la force exercée par un élément
de fil conducteur sur un pôle d'un élément magnétique, d'agir
dans une direction perpendiculaire à la droite qui joint les deux
points entre lesquels se développe cette force, tandis que l'action
mutuelle de deux éléments de conducteur a lieu suivant la ligne
qui les joint, n'est pas une preuve moins démonstrative de ce que
la première de ces deux forces est un phénomène composé. Toutes
les fois que deux points matériels agissent l'un sur Tautre, soit en
vertu d'une force qui leur soit inhérente ou d'une force qui y
naisse par une cause quelconque, telle qu'un phénomène chi-
mique, une décomposition ou une recomposition du fluide neutre
résultant de la réunion des deux électricités, on ne peut pas con-
cevoir cette force autrement que comme une tendance de ces deux
points à se rapprocher ou à s'éloigner l'un de l'autre, suivant la
droite qui les joint, avec des vitesses réciproquement propor-
lionnelies à leurs masses, et cela lors même que cette force ne se
transmettrait d'une des particules matérielles à l'autre que par un
iluide interposé, comme la masse du boulet n'est portée en avant
avec une certaine vitesse, par le ressort de l'air dégagé de la
poudre, qu'autant que la masse du canon est portée en arrière
suivant la môme droite, passant par les centres d'inertie du boulet

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÉNESi ETC. lot

et du canon, avec une vitesse qui est à celle du boulet comme la
masse de celui-ci est à la masse du canon.

C'est là un résultat nécessaire de l'inertie de la maliùre, que
Newton signalait comme un des principaux fondements de la
théorie physique de l'univers, dans le dernier des trois axiomes
qu'il a placés au commencement des Philosophiœ naturalis prin-
cipia mathematica, en disant que l'action est toujours égale et
opposée à la réaction ; car deux forces qui donnent à deux massés
des vitesses inverses de ces masses sont des forces qui les feraient
produire des pressions égales sur des obstacles qui s'opposnrairnr,
invinciblement à ce qu'elles se missent en mouvement, c'est-
à-dire des forces égales. Pour que ce principe soit applicable dans
le cas de l'action mutuelle de deux particules matérielles traver-
sées par le courant électrique, lorsqu'on suppose cette action
transmise par le fluide éminemment élastique qui remplit respacc
et dont les vibrations constituent la lumière (^), il faut admettre
que ce fluide n'a aucune inertie appréciable, comme l'air à l'égard
du boulet et du canon; mais c'est ce dont on ne peut douter, puis-
qu'il n'oppose aucune résistance au mouvement des planètes. Le
phénomène de la rotation du moulinet électrique avait porté plu-
sieurs physiciens à admettre une inertie appréciable dans les deux
fluides électriques et, par conséquent, dans celui qui résulte de
leur combinaison; mais cette supposition est en opposition avec
tout ce que nous savons d'ailleurs de ces fluides, et avec le fait
que les mouvements planétaires n'éprouvent aucune résistance de
la part de l'éther; il n'y a plus d'ailleurs aucun motif de TaJ-
mettre, depuis que j'ai montré que la rotation du moulinet élec-
trique est due à une répulsion électrodynamîque produite eutre
la pointe du moulinet et les particules de l'air ambiant, par le
courant électrique qui s'échappe de cette pointe (^).

Lorsque M. Œrsted eut découvert l'action que le fil conduc-

(') Ce fluide ne peut être que celui qui résulte de la combinaison dcâ iletix
électricités. Afin d'éviter de répéter toujours la môme phrase pour le désiiunier, je
crois qu'on doit employer, comme Euler, le nom dVMer, en entendant loujiiïurs
par ce mot le fluide ainsi défini. (A*)

(*) Voir la Note que je lus à l'Académie, le i!\ juin 1822, et qui est insrîré*
dans les Annales de Chimie, t. XX, p. 419-421, et dans mon Recueil d'oÙH^n^a^
tions électrodynamiques, p. 3 1 6-3 18. {^*)

Voir t. II, p. 288 et 291.

102 M.-A. AMPÈRE.

leur exerce sur un aimant) on devait, à la vérité, être porté à
soupçonner qu'il pouvait y avoir une action mutuelle entre deux
fils conducteurs; mais ce n'était point une conséquence nécessaire
de la découverte de ce célèbre physicien, puisqu'un barreau de
fer doux agit aussi sur une aiguille aimantée, et qu'il n'y a cepen-
dant aucune action mutuelle entre deux barreaux de fer doux.
Tant qu'on ne connaissait que le fait de la déviation de l'aiguille
aimantée par le fil conducteur, ne pouvait-on pas supposer que le
courant électrique communiquait seulement à ce fil la propriété
d'être influencé par l'aiguille, d'une manière analogue à celle dont
Test le fer doux par cette même aiguille, ce qui suffisait pour qu'il
agît sur elle, sans que pour cela il dût en résulter aucune action
entre deux fils conducteurs lorsqu'ils se trouveraient hors de l'in-
fluence de tout corps aimanté? L'expérience pouvait seule décider
la question : je la fis au mois de septembre 1820, et l'action mu-
tuelle des conducteurs voltaïques fut démontrée.

A l'égard de l'action de notre globe sur un fil conducteur, l'ana-
logie entre la terre et un aimant suffisait, sans doute, pour rendre
cette action extrêmement probable, et je ne vois pas trop pour-
quoi plusieurs des plus habiles physiciens de l'Europe pensaient
qu'elle n'existait pas; non seulement comme M. Erman, avant que
j'eusse fait l'expérience qui la constatait (*), mais après que cette
expérience eut été communiquée à l'Académie des Sciences, dans
sa séance du 3o octobre 1820, et répétée plusieurs fois dans le
courant de novembre de la même année, en présence de plusieurs
de ses membres et d'un grand nombre d'autres physiciens, qui
m'ont autorisé, dans le temps, à les citer comme ayant été témoins
des mouvements produits par l'action de la terre sur les parties
mobiles des appareils décrits et figurés dans les Annales de
Chimie et de Physique, t. XV, p. 191-196 {PL ll^fig. 5, el
PZ. lll^ fig, 71), ainsi que dans mon Recueil d^ observations
électrO' dynamiques (p. 43-48), puisque, près d'un an après, les
physiciens anglais élevaient encore des doutes sur les résultats
d'expériences si complètes et faites devant un si grand nombre de

(') Dans un Mémoire très remarquable, imprimé en i8ao, ce célèbre physicien
dit que le fil conducteur aura cet avantage sur l'aiguille aimantée, dont on se
sert pour des expériences délicates, que le mouvement qu'il prendra dans ces
expériences ne sera point influencé par l'action de la terre. (A.)

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. lo3

témoins (*). On ne peut nier Timportance de ces expériences, ni
se refuser à convenir que la découverte de l'action de la terre sur
les fils conducteurs m^appartient aussi complètement que celle de.
Taction mutuelle de deux conducteurs. Mais c'était peu d'avoir
découvert ces deux genres d'actions et de les avoir constatés par
Texpérience, il fallait encore :

1° Trouver la formule qui exprime l'action mutuelle de deux
éléments de courants électriques ;

2** Montrer que d'après la loi, exprimée par cette formule, de
l'attraction entre les courants qui vont dans le même sens, ei de
la répulsion entre ceux qui vont en sens contraire, soït que ces
courants soient parallèles ou forment un angle quelconque (-),
l'action de la terre sur les fils conducteurs est identique, dans
toutes les circonstances qu'elle présente, à celle qu'exercerait sur
ces mêmes fils un faisceau de courants électriques dirigés de Test
à l'ouest et situés au midi de l'Europe, où les expériences qui
constatent cette action ont été faites;

3** Calculer d'abord, en partant de ma formule et de la manière
dont j'ai expliqué les phénomènes magnétiques par des courants
électriques formant de très petits circuits fermés autour des par-
ticules des corps aimantés, l'action que doivent exercer Tune sur
l'autre deux particules d'aimants considérées comme deux petits
solénoïdes équivalant chacun à deux molécules magnétiques. Tune
. de fluide austral, l'autre de fluide boréal, et celle qu'une de ces

(') Voir le Mémoire de M. Faraday, publié le ii septembre i8ai. Ln, tradurtion
de ce Mémoire se trouve dans les Annales de Chimie et de Physique^ t, XVIII,
p. 337-370, et dans mon Recueil d'observations électro-dynamigue^f, p. ia5-i5N,
C'est par une faute d'impression qu'elle porte la date du 4 septembre iS^tr^ au lieu
de celle du 11 septembre 1821. (A.)

Voir le t. II, p. i58.

(') Les expériences qui mettent en évidence l'action mutuelle de deux coiiranlf;
rectilignes dans ces deux cas furent communiquées à l'Académie âau^ la séance
du 9 octobre 1820. Les appareils que j'avais employés sont décrits el liqurés dans
le t. XV des Annales de Chimie et de Physique, savoir : i" celui pour l'action
mutuelle de deux courants parallèles, p. 72 {PL f,Jig- 1), et, avec piu^ fie détail,
âdins mon Becueil d'observations électro-dynamiques, p. 16-18; a** celui pour l'ac-
tion mutuelle de deux courants formant un angle quelconque, p. 171 dii niènic
t. XV des Annales de Chimie et de Physique {PI. JI, fig. 2) el dans mon
BecueUf p. 23. Les figures portent dans mon Recueil les mêmes numéros que dans
les Annales. CA*)

Voir t. II, art. II.

Itij M. -A. AMPéRE.

particules doit exercer sur un élément de fil conducteur; s'assurer
fîDsuile que ces calculs donnent précisément pour ces deux sortes
d'aciî<ms, dans le premier cas, la loi établie par Coulomb pour
rîiL'tinn de deux aimants, et, dans le second, celle que M. Biot a
pru posée, relativement aux forces qui se développent entre un ai-
mntïl ci un fil conducteur (*). C*est ainsi que j'ai ramené à un prin-

ce ) Irî s'arrête l'emprunt fait à la Note B du Précis. Voici la fin de cette Note,
dunl (pj<j1ques passages seront repris plus loin dans le texte :

a A l'i^i^ard de la manière dont j'ai établi ma formule, on doit consulter Ja
Noti* publiée dans le Journal de Physique j septembre iSao, et le Mémoire qui
Vti tH'^ thins les Annales de Chimie et de Physique, t. XX, p. 398-341. L'identité
de ruciiiin de la Terre et de celle du faisceau de courants dont je viens de parler
est iTii^c en évidence dans les mêmes Annales, t. XXI, p. 39-46. Ces divers mor-
tiii^M% -^e trouvent dans mon Recueil d* observations électro-dynamiques^ p. 327-235,
'^r^.l'.lj'^ pl 277-284. ( Voir t. II, p. 2G1-269, 270-289 et 321-327.) Enfin, tout ce qui
tf?l relatif à l'identité entre les conséquences de mon opinion sur la constitution
4cs aimantS) et les lois de l'action qu'ils exercent, soit les uns sur les autres, soit
sur di^s [Ils conducteurs, telles qu'elles ont été établies par Coulomb et M. Biot,
^c innivc complètement démontré dans ce Précis, C'est ainsi que la nouvelle
iiriiticbf^ de Physique relative aux phénomènes électro-dynamiques est arrivée au
ty^ié, de perfection où elle se trouve maintenant.

■■ li K-5ulte immédiatement du fait de la rotation continue, que l'action élé-
m4^nl<Hie à laquelle sont dus ces phénomènes n'est pas, comme les autres forces
|in.^Ci'dMnment reconnues dans la nature, une simple fonction de la distance des
(k'ti% [urUcules matérielles entre lesquelles elle s'exerce : c'est aussi une conse-
il uiMirr de la valeur même de cette force déduite de l'expérience, et qui représente
evacU-iiient toutes les circonstances des phénomènes.

t> Pliifîieurs physiciens ont cru devoir rejeter l'existence d'une pareille force,
Htuiiqu'clle fût établie sur le même genre de preuves que les forces simplement
fonciiuii des distances admises jusqu'à présent : c'est ainsi que les Cartésiens se
rti\j<ûi<?ût, du temps de Newton, à admettre une autre force que l'impulsion,
pijrcL^ ijue c'était la seule qu'on eût considérée jusqu'alors; ils cherchaient encore
uussî ripiaiâtrement qu'inutilement à y ramener tous les faits, lorsque déjà l'exi-
titciitT d'une force entre toutes les particules matérielles en raison inverse des
cÉinv'i des distance^ était démontrée. On se rendit enfin à la force des preuves;
nvMM El lors on ne voulut admettre d'attractions dans la nature que suivant ce
ruppnri inverse des carrés des distances; on mit presque autant de résistance à
î^liin. Ut'iî une attraction suivant une autre loi, que les Cartésiens en avaient mis à
iuliiitttre l'attraction newtonienne; mais les phénomènes de la cohésion, des tubes
r^ipilLiires, etc., étaient en contradiction avec ce qui devait résulter de l'hypo-
Û\i\^(*, i[ui voulait soumettre toutes les. forces attractives à la raison inverse du
ci{VV\!i dt la distance. On a fini par faire céder la prévention qui accompagne tou-
jnurs \<% hypothèses exclusives à l'autorité de l'expérience éclairée par le calcul,
et les iittractions moléculaires, variant comme une fonction de la distance qui
dùcruM , à mesure que la distance augmente, bien plus rapidement que l'attrac-
iiMû universelle, ont été généralement admises.

it Qui croirait qu'après ces deux défaites de l'esprit de prévention qui porte à

THÉORIE MATHëUATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. iu5

cipe unique ces deux sortes d'actions et celle que j'ai découvei le
entre deux fils conducteurs. Il était sans doute facile, d'après Ten-
sembie des faits, de conjecturer que ces trois sortes d'actions dé-
pendaient d'une cause unique. Mais c'est par le calcul seul qu'oo

repousser tout ce qui n'est pas immédiatement dans les hypothèses avec lâ^i^ndle»
on s'est familiarisé) il vint encore s'opposer à ce qu'on reconnût l'existenci? i['unc
troisième espèce de force qui, d'après les expériences les plus précises et les nnl-
culs les plus rigoureux, n'est plus, comme les deux précédentes, fonction de hi
simple distance, qui ne se développe entre deux particules matérielles que quiind
il arrive à la fois, dans ces deux particules, soit une séparation, soit une { <i[ribt'
naison des deux fluides électriques, comme si elle émanait de ce que M, i»^bi{J
a nommé conflit électrique, et qui dépend des deux directions suivant IcïquL'Urs
ce conflit a lieu, en même temps que de la distance des deux particules. Cette
force ne dure que pendant l'instant où se fait la séparation ou la combinaison;
mais comme celles-ci se renouvellent sans cesse à tous les points des fils CHiiUtit^-
teurs, tant qu'ils sont en communication avec les deux extrémités de la [mI'% \^^
effets produits sont les mêmes que s'ils étaient dus à une force permanenir', ijii^
pendant à la fois de la distance et des directions des deux éléments de «^ourïiEil
électrique entre lesquels elle s'exerce, directions qui sont évidemment celles ijut;
suivent les deux fluides électriques en se séparant ou en se portant l'un ver»
l'autre pour se combiner. Les forces qui émanent du conflit électrique sonl d'une
nature toute difl'érente des attractions et répulsions inhérentes aux moléeuk'iï i\Q%
deux fluides électriques dont les effets se manifestent lorsque ces fluides snnl iné-
galement répartis dans les corps : le fait du mouvement de rotation cuntinue;
et la forme de l'expression analytique de l'action électro-dynamique le démimirDiU
complètement. Quelques physiciens en ont conclu que les phénomènes absolu mm t
différents produits, les uns par l'électricité ordinaire et les autres par rélcttrirtiii
dynamique, ne devaient pas être attribués aux mêmes fluides électriques, en r^|jijs
dans le premier cas et en mouvement dans le second : c'est précisément comme
si l'on concluait de ce que la suspension du mercure dans le baromètre r^i itn
phénomène entièrement diff'érent de celui du son, qu'on ne doit pas les attt ihurr
au même fluide atmosphérique, en repos dans le premier cas, et en mouvniueni
dans le second; mais qu'il faut admettre, pour deux faits aussi diflérenL^, dcMx
fluides, dont l'un agisse seulement pour presser la surface libre du mcreuro, eX
dont l'autre transmette les mouvements vibratoires qui produisent le son*

» C'est celte manie de multiplier, comme on dit, les êtres sans nécessitt} ijui ii
fait, pendant quelque temps, admettre en Physique un fluide lumineux di^Un^ i
de celui auquel on attribuait les phénomènes de la chaleur : c'est elle qui foeUi
encore aujourd'hui à supposer deux fluides magnétiques différents des deu:\ tliiUJoiâ
électriques, quoiqu'il soit démontré que l'électricité, en se mouvant autimi' ilr^
particules des corps aimantés, précisément comme elle se meut dans le ct<ioJ ac-
teur voltaïque, et y exerçant, par conséquent, la même action, doit nocei-s^iirc-
ment produire^des effets complètement identiques à ceux qu'on attribue à ce -ju'un
appelle des molécules de fluide austral et de fluide boréal»

» Au reste, il ne faut pas perdre de vue, dans l'examen de ma théorie, ct\ jon-
dément de toute physique déduite de l'expérience, sur lequel cette Scicfi^'i- ic^
pose depuis Newton, et auquel elle doit tous les progrès que lui ont fait Hiire ^^^
successeurs, en suivant avec tant de succès la route qu'il leur a tracée^ sd voir :

Io6 M.-A. AMPàBB.

pouvait justifier cette coDJecture, et c'est ce que j'ai fait, sans
rien préjuger sur la nature de la force que deux éléments de fils
conducteurs exercent l'un sur l'autre : j'ai cherché, d'après les
seules données de Texpérience, l'expression analytique de cette
force; et, en la prenant pour point de départ, j'ai démontré qu'on
en déduisait par un calcul purement mathématique les valeurs

que c'est des seuls résultats des expériences, réduits en lois générales analogues
à cellci de Kepler, qu'on doit conclure les formules sur lesquelles repose Tappli-
catio» des Mathématiques à la Physique, et non de quelques hypothèses qu'on
a'eat accoutumé à regarder comme devant servir exclusivement à Texplication des
phénomènes, telle que l'hypothèse de Descartes, sur ce que tout devait être ex-
plique par l'impulsion, et celle des physiciens qui veulent que toute force attrac-
tive ou répulsive entre deux particules soit nécessairement proportionnelle à une
frariLion de leur distance, quelles que soient d'ailleurs les circonstances qui don-
nent naissance à cette force. Rien de plus simple cependant que de conceroir
qu'une force qui n'existe entre deux particules que pendant que les deux fluides
électriques s'y séparent ou s'y combinent ensemble, et doit être considérée comme
émanant du fait de leur séparation ou de leur réunion en fluide neutre, dépende
des directions suivant lesquelles il a lieu dans chacune de ces particules.

p C'est parce que je suis intimement convaincu que c'est de l'expérience seule
qu'on doit déduire les lois des phénomènes et les valeurs analytiques des forces
qui les produisent, que je n'ai mêlé aucune considération théorique à la marche
purement expérimentale que j'ai suivie dans la détermination de ma formule. J'ai
suffisamment indiqué, dans le Mémoire que je lus à l'Académie le 6 novembre 1820,
la manière dont je concevais que les attractions et répulsions électro-dynamiques
étaicDlducs aux mouvements communiqués à l'éther par les courants électriques
des deux fils entre lesquels on observe ces forces; mais, soit que cette opinion
soit fondée ou qu'elle ne le soit pas, c'est uniquement des résultats des expé-
rieoces qu'on doit tirer la formule qui les représente, en suivant la marche qui
m*y a conduit et qui est exposée dans le Mémoire que j'ai lu à l'Académie le
10 juin 1822.

> L'A dynamique des fluides, en tenant compte de toutes les circonstances phy-
iiques qui en accompagnent les mouvements, est bien loin encore du degré de
pet fecLion où il faudrait qu'elle fût pour que l'on pût calculer la valeur de la force
qui doit résulter, entre deux éléments de courant électrique, des mouvements
que ces courants impriment à l'éther : si l'on y parvient un jour, on ne peut
guère douter qu'on n'en déduise précisément ma formule, comme M. Gauchy a
lire la formule de M. Fourier, relative à la propagation de la chaleur dans les
corps, de la considération des mouvements vibratoires de leurs particules quand
on suppose qu'elles sont dépourvues d'élasticité. Déjà la loi de l'égalité d'action
entre un élément de courant électrique et la somme des actions de ses trois pro-
jections, loi qui sert de base à ma formule, est une suite nécessaire de l'hypothèse
dont je parle; mais quand on aurait ainsi obtenu ma formule, par des considéra-
iLonâ purement théoriques, elle n'en serait pas plus certaine^ puisque la manière
purcmeot expérimentale dont je l'ai établie et l'accord des conséquences que j'en
ai déduites avec les faits suffisent pour la démontrer complètement. • (J.)

THEORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÂNES, ETC. 157

des deux autres forces telles qu'elles sont données par l'expc-
rience, Tune entre un élément de conducteur et ce qu'un appelle
une molécule magnétique, l'autre entre deux de ces iuoIlcuIos,
en remplaçant, dans l'un et l'autre cas, comme on duit \\i faire
d'après ma manière de concevoir la constitution dt> fiîniaru.s
chaque molécule magnétique par une des deux exlrcniih's d\ui
solénoïde électro-dynamique. Dès lors, tout ce qu'on ]»guL diVlLÙit.'
des valeurs de ces dernières forces subsiste nécessaireiiionL dans
ma manière de considérer les effets qu'elles produisent, cl devient
une suite nécessaire de ma formule, et cela seul suffi rail pour dé-
montrer que l'action mutuelle de deux éléments de iîlî cunduc-
teurs est réellement le cas le plus simple et celui dmii il funt
partir pour expliquer tous les autres; les considérations sui\ ^ntr^
me semblent propres à confirmer, de la manière la plur^ ( v>rji]ili:k\
ce résultat général de mon travail; elles se déduisent flicilcmcnt
des notions les plus simples sur la composition des farcis, i^i smit
relatives à l'action mutuelle de deux systèmes, coiMpnsûi^ tu us
deux de points infiniment rapprochés les uns des aun< >, dans lis
divers cas qui peuvent se présenter suivant que ces ^v^triiiL^s nt*
contiennent que des points de même espèce, c'est-à-dire tjin luu?
attirent ou repoussent les mômes points de l'autre syslrM)!^ ()N t[u'd
ait, soit dans un de ces systèmes, soit dans tous lc> diiu\, déb
points de deux espèces opposées, dont les uns attirent no. qui- U^>
autres repoussent et repoussent ce qu'ils attirent.

Supposons d'abord (*) que chacun des deux systèmes Huit toui-
posé de molécules de même espèce, c'est-à-dire que Cf lies de riui

Fîg. 33.

agissent toutes par attraction ou toutes par répulsion ^ur relier de
l'autre, avec des forces proportionnelles à leurs masso:^; i^uiciii
M, M', M", ... (Jig. 35) les molécules qui composent io prc*

(•) Note C du Précis de la théorie, etc. ( J.)

ro8 M. -A. AMPÈRE.

mîer, et m une quelconque de celles du second : en composant
successivement toutes les actions ma^ mb, md^ ..., exercées
parMj M', M'\ •.., on obtiendra les résultantes me, me, ...,
dont la dernière sera Faction du système MM'M'^ sur le point nij
et passera à peu près par le centre d'inertie de ce système. En
raisonnant de nicime relativement aux autres molécules du second
système, on trouvera que les résultantes correspondantes passe-
ront aussi toutes très près du centre d'inertie du premier système,
et auront une résultante générale qui passera aussi à peu près par
le centre d'int^tie du second : nous nommerons centres (inac-
tion les deux points extrêmement voisins des centres respectifs
d^inertie des deux systèmes par lesquels passe cette résultante
générale; il est évident qu'elle ne tendra, à cause des petites
distances où ils sont des centres d'inertie, à imprimer à chaque
système qu'un mouvement de translation.

Supposons, en second lieu, que les molécules du second système
restant toutes de même espèce, celles du premier soient les unes
attractives et les autres répulsives à l'égard de ces molécules
du second système, les premières donneront une résultante of
{/ig- 3C))j passant par leur centre d'action N, et par le centre d'ac-

tion ù de l'autre système ; de même, les particules répulsives
donneront une résultante oe, passant par leur centre d'action P
et par le même point o : la résultante générale sera donc la dia-
gonale og\ et comme elle passe à peu près par le. centre d'inertie
du second système, elle ne tendra encore à lui imprimer qu'un
mouvement de translation. Cette résultante est d'ailleurs dans le
plan mené par les trois centres d'action o, N, P; et quand les
molécules attractives sont en même nombre que les répulsives, et
agissent avec la même intensité, sa direction est, en outre, per-
pendiculaire à la droite oO qui divise l'angle PoN en deux par-
ties égales.

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHENOMENES, ETC. 109

Considérons enfin le cas où les deux systèmes seraient com-
posés l'un et l'autre de molécules d'espèces différentes. Soient N
et P {fig^ 37) les centres d'action respectifs des molécules attrac-

Fig. 37.

tives et répulsives du premier, soient n el p les centres corres-
pondants du second, de sorte qu'il y ait attraction enire N et/>,
ainsi qu'entre n et P, et qu'il y ait répulsion entre TS el n^ de
même qu'entre P et p. Les actions combinées de N el P sur p
donneront une résultante dirigée suivant la diagonale /><? : sem-
blablement, les actions de N et P sur n donneront une résultante
nf. Pour avoir la résultante générale, on prolongera ces deux
lignes jusqu'à leur rencontre en o, en prenant oh =pe et ok ^ nf^
la diagonale ol sera la résultante cherchée qui donnera Paction
exercée par le système PN sur le système pn. Mais comme le
point o ne fait pas partie du système /?/i, il faudra concevoir qu'il
est lié à ce système d'une manière invariable, sans Téirc au pre-
mier système PN; et la force ol tendra généralement, en vertu de
cette liaison, à opérer sut pn un mouvement de translalion ei un
mouvement de rotation autour de son centre d'inertie.

Examinons maintenant la réaction exercée par le second système
sur le premier : d'après l'axiome fondamental de la Mécanique,
que l'action et la réaction de deux particules l'une sur l'autre
sont égales et directement opposées, il faudra, pour roblenir,
composer successivement des forces égales et direc terne ni oppo-
sées à celles que les particules du premier système exercent sur
les particules du second, et il est évident que la réaction totale
ainsi trouvée sera toujours égale et directement opposée à l'action
totale.

Dans le premier cas, la réaction sera donc représentée par la
ligne me (^^. 35), égale et opposée à la résultante me, et que l'an

tlô M. -A. AMFiRB.

pourra supposer appliquée au centre d'action du premier système
qiii se trouve sur sa direction; d'où il suit qu'en négligeant tou-
jours la petite différence de situation du centre d*action et du
centre d'inertie, on n'aura encore ici qu'un mouvement de trans-
lation.

Dans le second cas, la réaction sera de même représentée par la
ligne oy {fig* 36), égale et opposée à og. Mais comme le point o
n'appartient pas au premier système et que, généralement, celui-
ci ne sera pas traversé par la direction oy, il faudra concevoir
que ce point o soit lié invariablement au premier système sans
Télrc au second; et, par cette liaison, la force oy tendra généra-
lement à opérer sur le système PN un double mouvement de trans-
lation et de rotation. Au reste, cette force oy est dans le plan
PoN; et lorsque les molécules attractives sont en même nombre
que les répulsives et agissent avec la même intensité, sa direction
est, comme celle de og^ perpendiculaire à oO.

Enfin, dans le troisième cas, la réaction sera représentée par la
ligne n\ {fig' ^y), égale et opposée à la résultante o/, et appliquée
comme elle au point o. Pour avoir l'action deoZsur/?/2, nous avons
conçu tout à l'heure que ce point o était lié à ce second système
pn sans l'être au premier PN. Pour avoir maintenant la réaction
exercée sur celui-ci, nous concevrons la force o\ appliquée en un
point situé en o et lié au premier système PN sans l'être au second.
Cette foL'ce tendra encore, généralement, à opérer sur PN un
double mouvement de translation et de rotation.

Si Ton compare ces résultats avec les indications de l'expé-
rience, relativement aux directions des forces qui s'exercent dans
les trois genres d'actions que nous avons distingués plus haut, on
verra aisément que les trois cas que nous venons d'examiner leur
correspondent exactement. Lorsque deux éléments de conduc-
teurs Yoîtaïques agissent l'un sur l'autre, l'action et la réaction
sont, comme dans le premier cas, dirigées suivant la droite qui
joint CCS deux éléments; quand il s'agit de la force qui a lieu entre
un élément de fil conducteur et une particule d'aimant contenant
deux pôles d'espèces opposées, qui agissent en sens contraires
avec des intensités égales, l'action et la réaction sont, comme
dans le second cas, dirigées perpendiculairement à la droite qui
joint la particule à l'élément; et deux particules d'un barreau

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHENOMENES, ETC. lll

aimanté, qui ne sont elles-mêmes que deux très petits ai munis,
exercent l'une sur l'autre une action plus compliquée, semblalilc
à celle que présente le troisième cas, et dont on ne peut de ttiLine
rendre raison qu'en la considérant comme le résultat de quatre
forces, deux attractives et deux répulsives : il est aisé d'en roa-
clure qu'il n'y a que l'élément de fil conducteur dont on ptn^§o
supposer que tous les points exercent la même espèce d'i^ciion^
et de juger quelle est, des trois sortes de .forces dont il est '\c\
question, celle qu'on doit regarder comme la plus simple ( ' ).

Mais, de ce que la force qui a lieu entre deux éléments tic* (lî^
conducteurs est la plus simple, et de ce que celles qui se dt^v*^-
loppent, l'une entre un de ces éléments et une particule d'oijiuini
où se trouvent toujours deux pôles de même intensité, l'iiuLre
entre deux de ces particules, en sont des résultats plus ou nïoinâ
compliqués, en faut-il conclure que la première de ces Inrccis
doive être considérée comme vraiment élémentaire? C'est ct^ ç\uu
j'ai toujours été si loin de penser que, dans les Azotes sur /V.r-
posé sommaire des nouvelles expériences électro-magnétitincH,
publiées en 1822 ('), je cherchais à en rendre raison par la rcïu -
tion du fluide répandu dans l'espace, et dont les vibrations jin>-
duisent les phénomènes de la lumière : j'ai seulement dit qu'un
devait la considérer comme élémentaire, dans le sens où h s t hr-
mistes rangent dans la classe des corps simples tous ceii\ qu'ils
n'ont encore pu décomposer, quelles que soient d'ailIciMs It*-^
présomptions fondées sur l'analogie qui pourraient porter k Qn%\n^
qu'ils sont réellement composés, et parce qu'après qu'on en m ■ In-
duit la valeur des expériences et des calculs exposés dans ci.^ Mé-
moire, c'était en partant- de celte seule valeur qu'il fallait caltulir
celles de toutes les forces qui se manifestent dans les cas Icà plivs
compliqués.

Mais, quand même elle serait due, soit à la réaction d'un \\\\u\e
dont la rareté ne permet pas de supposer qu'il réagisse en Mriu
de sa masse, soit à une combinaison des forces propres au\ deux
fluides électriques, il ne s'ensuivrait pas moins que l'action ^v.v{i\V
toujours opposée à la réaction suivant une même droite; tut,

(*) Fie de la Note C du Précis, \\.)

(») Recueil d'observations électrodynamiques, p. 2i5 (t. II, p. abo). {\.}

im H. -A. AMPERE.

ainsi qu'on Ta vu dans les considérations qu'on vient de lire,
celte circonstance se rencontre nécessairement dans toute action
complexe, quand elle a lieu pour les forces vraiment élémentaires
dont se compose l'action complexe. En appliquant le même prin-
cipe à la force qui s'exerce entre ce qu'on appelle une molécule
magnétique et un élément de fil conducteur, on voit que si cette
force, considérée comme agissant sur l'élément, passe par son
milieu, la réaction de l'élément sur la molécule doit aussi être
dirigée de manière à passer par ce milieu et non par la molécule.
Celle conséquence d'un principe qu'avaient jusqu'à présent admis
tous les physiciens ne paraît pas au reste facile à démontrer par
rexpérience, lorsqu'il s'agit de la force dont nous parlons, parce
que dans toutes les expériences où l'on fait agir sur un aimant'
une porlion du fil conducteur formant un circuit fermé, le résultat
qu'on obtient pour l'action totale est le même, soit qu'on suppose
que celle force passe par l'élément de fil conducteur ou par la
molécule magnétique, ainsi qu'on l'a vu dans ce Mémoire; c'est
ce qui a porté plusieurs physiciens à supposer que l'action exercée
par Télcment de fil conducteur passait seule par cet élément, et
que la réaction lui étant opposée et parallèle n'était pas dirigée
suivant la même droite, qu'elle passait par la molécule et for-
mait avec la première force ce qu'ils ont appelé un couple pri-
mitif.

Les calculs qui vont suivre me fourniront bientôt l'occasion
d'examiner en détail cette singulière hypothèse. On verra, par cet
exameuj qu'elle n'est pas seulement opposée à l'un des principes
fondamentaux de la Mécanique, mais qu'elle est en outre abso-
lument inutile pour l'explication des faits observés, et qu'une
fausse interprétation de ces faits a pu seule porter à l'adopter les
physiciens qui n'admettent pas que les aimants doivent réelle-
ment leurs propriétés à l'action des coupants électriques qui en-
tourent leurs particules.

Les phénomènes produits par les deux fluides électriques en
mouvement dans les conducteurs voltaïques paraissent si difl*é-
renls de ceux qui en manifestent la présence quand ils sont en
repos dans des corps électrisés à la manière ordinaire, qu'on a
aussi prétendu que les premiers ne devaient pas être attribués aux
menas Iluides que les seconds. C'est précisément comme si l'on

THÉORIE MATHÉMATIQUB DES PHÉNOMÈNES, ETC> IIÎ

concluait de ce que la suspension du mercure dans le baromèlre
est un phénomène entièrement différent de celui du sod, qu^on
ne doit pas les attribuer au même fluide atmosphérique, en repos
dans le premier cas et en mouvement dans le second; iiioiâ qu*]l
faut admettre, pour deux faits aussi différents, deux fluides dont
l'un agisse seulement pour presser la surface libre du mtï cure, el
dont l'autre transmette les mouvements vibratoires qui produisent
le son.

Rien ne prouve, d'ailleurs, que la force exprimée par ma for-
mule ne puisse pas résulter des attractions et répulsions dts mole-
cules des deux fluides électriques, en raison inverse dus carréâ
des distances de ces molécules. Le fait d'un mouvement de rota-
tion s'accélérant continuellement, jusqu'à ce que les fi oUcmenls
et la résistance du liquide dans lequel plonge l'aimant ou le con*
ducteur voltaïque qui présente cette sorte de mouvement en ren-
dent la vitesse constante, paraît d'abord absolument oppoâé à ce
genre d'explication des phénomènes électro-dynamiques. En effei,
du principe de la conservation des forces vives, qui est une con-
séquence nécessaire des lois mêmes du mouvement, il suit néces-
sairenaent que quand les forces élémentaires, qui seraient ici des
attractions et des répulsions en raison inverse des carrés des dis-
tances, sont exprimées par de simples fonctions des distai3ces
mutuelles des points entre lesquels elles s'exercent, el (lu'une
partie de ces points sont invariablement liés entre eux *^t ne se
meuvent qu'en vertu de ces forces, les autres restant li\es, les
premiers ne peuvent revenir à la même situation, par rapport aux
seconds, avec des vitesses plus grandes que celles qu^ils avaient
quand ils sont partis de cette même situation. Or, dans le mou-
vement de rotation continue imprimé à un conducteur mobile par
l'action du conducteur fixe, tous les points du premier reviennent
à la même situation, avec des vitesses de plus en plus grandes à
chaque révolution, jusqu'à ce que les frottements et la rtsislance
de l'eau acidulée où plonge la couronne du conducteur mettent
un terme à l'augmentation de la vitesse de rotation de ce conduc-
teur : elle devient alors constante, malgré ces frottements et celle
résistance.

Il est donc complètement démontré qu'on ne saurai i rendre
raison des phénomènes produits par l'action de deux conducteurs
Mém. de Phys.y III. ti

114 M.-A. AMPÈRE.

Yoltaïques, en supposant que des molécules électriques, agissant
tri tai^oii inverse du carré delà distance, fussent distribuées sur
ii/s ii!s tjonducteurs, de manière à y demeurer fixées et à pouvoir,
par conséquent, être regardées comme invariablement liées entre
fllus. ( *ii doit en conclure que ces phénomènes sont dus à ce que
\i!S tli'uv fluides électriques parcourent (*) continuellement les fils
tninJuL leurs, d'un mouvement extrêmement rapide, en se réunis-
s;mt L'I se séparant alternativement dans les intervalles des parli-
tuIls (le ces fils. C'est parce que les phénomènes dont il est ici
ijut '^tiuii ne peuvent être produits que par l'électricité en mouve-
luenU que j'ai cru devoir les désigner sous la dénomination de
phàîKimènes électro-dynamiques ; celle de phénomènes éleclro-
mftp^nfUiques, qu'on leur avait donnée jusqu'alors, convenait bien
luriL qu'il ne s'agissait que de l'action découverte par M. CErsted
ctiiri^ un aimant et un courant électrique; mais elle ne pouvait
plus [irtsenter qu'une idée fausse depuis que j'avais trouvé qu'on

( ^] L^hfi des premiers travaux des physiciens sur les phénomènes électro-dyna-
i]i"u(Hf"^. plusieurs savants crurent pouvoir les expliquer par des distributions de
rin(l< i ulriij soit électriques, soit magnétiques, en repos dans les conducteurs vol-
UiïijMi':', iJèî que la découverte du premier mouvement de rotation continue faite
\y&v M, l'araday eut été publiée, je vis aussitôt qu'elle renversait complètement
fcUc li.vjMaUièse; et voici en quels termes j'énonçai cette observation, dont ce que
jo ûh Wi n'est que le développement, dans V Exposé sommaire des nouvelles ex-
fiiirkncv^ tiectro-magnétigues faites par différents physiciens depuis le mois de
jiiai'i iH-u, que je lus dans la séance publique de l'Académie royale des Sciences,
II? S avril 1822.

« THs ^unt les nouveaux progrès que vient de faire une branche de la Phj'sique,
iluhL îiouïi ne soupçonnions pas même Texistence, il y a seulement deux années,
ni i[ui il 'jii nous a fait connaître des faits plus étonnants peut-èlre que tout ce
r|nr \t\ Si'icïice nous avait jusqu'à présent offert de phénomènes merveilleux. Un
TM4MIM nitut qui se continue toujours dans le même sens, malgré les frottements,
inalutr lu résistance des milieux, et ce mouvement produit par l'action mutuelle
lie iivkis I urps qui demeurent constamment dans le même état, est un fait sans
rxriijjilr dans tout ce que nous savions des propriétés que peut offrir la matière
innr;;<t,jjifue; il prouve que l'action qui émane des conducteurs voltaïques ne
liiiHi i'LiP due à une distribution particulière de certains 11 u ides en repos dans ces
rMtiilurU'ina, comme le sont les attractions et les répulsions électriques ordinaires.
On tif pf*ut attribuer cette action qu'à des fluides en mouvement dans le conduc-
ttH»r '|U ib parcourent, en se portant rapidement d'une des extrémités de la pile à
ÏVuirt^ ttliomité». (V'oir le Journal de Physique, où cet exposé a été inséré
{hm ]v Iciiips, t. XGIV^, p. 65, et mon Recueil d* observai ions électro-dyna-
mî*iri(^. p, Tio3. (A.)

luw l. II, art. XVIII, p. 288.

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. Il5

produisait des phénomènes du même genre sans aimant cL par la
seule action mutuelle de deux courants électriques.

C'est seulement dans le cas où l'on suppose les molécules élec-
triques en repos dans les corps où elles manifestent leur présence
par les attractions ou répulsions produites par elles entre ces
corps, qu'on démontre qu'un mouvement indéfiniment accéléré
ne peut résulter de ce que les forces qu'exercent les moléculeÈ;
électriques dans cet état de repos ne dépendent que de leurs
distances mutuelles. Quand l'on suppose au contraire que, mises
en mouvement dans les fils conducteurs par l'action de la piley
elles y changent continuellement de lieu, s'y réunissent à chaque
instant en fluide neutre, se séparent de nouveau et vont aussitôt
se réunir à d'autres molécules du fluide de nature opposée, il n'est
plus contradictoire d'admettre que des actions en raison inverse
des carrés des distances qu'exerce chaque molécule, il puiîîse ré-
sulter entre deux éléments de fils conducteurs une force qui dé-
pende non seulement de leur distance, mais encore des directions
des deux éléments suivant lesquelles les molécules électriques se
meuvent, se réunissent à des molécules de l'espèce opposée et s'en
séparent l'instant suivant pour aller s'unir à d'autres. Or, c'est
précisément et uniquement de cette distance et de ces directions
que dépend la force qui se développe alors, et dont les expé-
riences et les calculs exposés dans ce Mémoire m'ont donné b
valeur. Pour se faire une idée nette de ce qui se passe dans le fii
conducteur, il faut faire attention qu'entre les molécules métîïl-
liques dont il est composé est répandu un fluide composé de fluide
positif et de fluide négatif, non pas dans les proportions qui con-
stituent le fluide neutre, mais avec un excès de celui de ces deux
fluides qui est de nature opposée à l'électricité propre des niulé-
cules du métal, et qui dissimule cette électricité, comme je Tai
expliqué dans la lettre que j'écrivis à M. Van Beek, au commen-
cement de 1822 (') : c'est dans ce fluide électrique inicraiolécu-
laire que se passent tous les mouvements, toutes les décomposi-
tions et recompositions qui constituent le courant électrique.

(*) Journal de Physique^ t. XCJII, p. 4^o-1i>3, et liecueil d^observatiorit ëletT-
tro-dynamiques, p. 174-177' t A4

Tome II, art. XVII, p. 217-219.

|]6 M.-A. AMPÂRE.

Cumme le liquide interposé enlre les plaques de la pile est,
sans romparaison, moins bon conducteur que le fil métallique qui
en joint les extrémités, il se passe un temps, très court à la
vt'riLiV, mais cependant appréciable, pendant lequel l'électricité
iïitonnoléculaire, supposée d'abord en équilibre, se décompose
dans chacun des intervalles compris entre deux molécules de ce
(II. (luLte décomposition augmente graduellement jusqu'à ce que
IV'leclricité positive d'un intervalle se réunisse à l'électricité néga-
tive «le l'intervalle qui le suit immédiatement dans le sens du
LfiiiriiTil, et son électricité négative à l'électricité positive de l'in-
tL'i\alle précédent. Cette réunion ne peut être qu'instantanée
onrnine la décharge d'une bouteille de Leyde; et l'action entre les
llls ( (inducteurs, qui se développe, pendant qu'elle a lieu, en sens
r.oirlruire de celle qu'ils exerçaient lors de la décomposition, ne
|>e(it, par conséquent, diminuer reflet de celle-ci, car l'eflet pro-
iliiii par une force est en raison composée de son intensité et du
Lt in jis pendant Içquel elle agit; or ici l'intensité doit être la même,
suit "|ue les deux fluides électriques se séparent ou se réunissent :
mai.s le temps pendant lequel s'opère leur séparation est sans
canip.i raison plus grand que celui qu'exige leur réunion.

I/.fci lion variant avec les distances entre les molécules des deux
{luidi-t) électriques pendant que se fait cette séparation, il faudrait*
irïlugrcr^ par rapport au temps et pour toute la durée de la sépa-
intïniu la valeur de la force qui aurait lieu à chaque instant, et
Jivi^Li' ensuite, par cette durée, l'intégrale ainsi obtenue. Sans
r;MrL' ce calcul, pour lequel il faudrait avoir des données, qui nous
jrt;i lit {lient encore, sur la manière dont les distances des molécules
rît cil u|ues varient, avec le temps, dans chaque intervalle inter-
iiuilOeuIaire du fil conducteur, il est aisé de voir que les forces
p lui lui les de cette manière, entre deux éléments de ce fil, doivent
tli'pfudre des directions du courant électrique dans chacun de ces

S'il L^iait possible, en partant de cette considération, de trouver
que friction mutuelle de deux éléments est en eflet proportion-
nel Ir Il la formule par laquelle je l'ai représentée, cette explication
du luîL fondamental de toute la théorie des phénomènes électro-
(IvikuM tiques devrait évidemment être préférée à toute autre; mais
elle c\igerait des recherches dont je n'ai point eu le temps de

THÉORIE MATHÉMATIQUE DBS PHÉNOMÈNES, ETC. I17

m'occuper, non plus que des recherches plus difficiles encore
auxquelles il faudrait se livrer pour voir si l'explication contraire,
où Ton attribue les phénomènes électro-dynamiques aux xnouve-
menls imprimés à l'éther par les courants électriques, peut con-
duire à la même formule. Quoi qu'il en soit de ces hypothèses et
des autres suppositions qu'on peut faire pour expliquer ces phé-
nomènes, ils seront toujours représentés par la formule que j'ai
déduite des résultats de l'expérience, interprétés par le calcul; et
il restera mathématiquement démontré, qu'en considérant les ai-
mants comme des assemblages de courants électriques disposés
autour de leurs particules ainsi que je l'ai dit, les valeurs des
forces qui sont, dans chaque cas, données par l'expérience, et
toutes les circonstances des trois sortes d'actions qui ont lieu^
l'une entre deux aimants, une autre entre un fil conducteur et un
aimant, et la troisième entre deux fils conducteurs, se déduisent
d'une force unique, agissant entre deux éléments fie courants élec-
triques suivant la droite qui en joint les milieux.

Quant à l'expression même de cette force, elle est une des plus
simples parmi celles qui ne dépendent pas seulement de la di-
stance, mais encore des directions des deux éléments; car ces di-
rections n y entrent qu'en ce qu'elle contient la seconde cliflYren-
tielle de la racine carrée de la distance des deux éléments» prise
en faisant varier alternativement les deux arcs de courants élec-
triques dont cette distance est une fonction, différentielle qui
dépend elle-même des directions des deux éléments, et qui entre
d'ailleurs dans la valeur donnée par ma formule d'une manière
très simple, puisqu'on a pour cette valeur la seconde différentielle
ainsi définie, multipliée par un coefficient constant et divisée par
la racine carrée de la distance, en observant que la force est ré-
pulsive quand la seconde différentielle est positive, et aitracllve
quand elle est négative. C'est ce qu'exprime le signe — qui se
trouve au devant de l'expression générale

/

d«d5'

de cette force, d'après l'usage où l'on est de regarder les attrac-
tions comme des forces positives, et les répulsions comme des
forces négatives.

Il8 11. -A. AMPERE.

Les époques ( * ) où Ton a ramené à un principe unique des phé-
nomènes considérés auparavant comme dus à des causes absolument
dîfTérentes ont été presque toujours accompa^ées de la décou-
verte d'un grand nombre de nouveaux faits, parce qu'une nouvelle
manière de concevoir les causes suggère une multitude d'expé-
riences à tenter, d'explications à vérifier; c'est ainsi que la dé-
monstration donnée par Volta de l'identité du galvanisme et de
l'électricité a été accompagnée de la construction de la pile, et
suivie de toutes les découvertes qu'a enfantées cet admirable in-
strument. A en juger par les résultats si importants des travaux
He M. Becquerel, sur l'influence de l'électricité dans les combinai-
sons chimiques, et de ceux de MM. Prévost et Dumas sur les
causes des contractions musculaires, on peut espérer que tant de
laits nouveaux découverts depuis quatre ans, et leur réduction à
lin principe unique, aux lois des forces attractives et répulsives
observées entre les conducteurs des courants électriques, seront
aussi suivis d'une foule d'autres résultats qui établiront entre la
Physique d'une part, la Chimie et même la Physiologie de l'autre,
la liaison dont on sentait le besoin sans pouvoir se flatter de par-
venir de longtemps à la réaliser.

Il nous reste maintenant à nous occuper des actions qu'un cir-
cuit fermé, quelles que soient sa forme, sa grandeur et sa position,
exerce, soit sur un solénoïde, soit sur un autre circuit d'une forme,
d'une grandeur et d'une position quelconques (^); le principal
résultat de ces recherches consiste dans l'analogie qui existe entre
les forces produites par ce circuit, soit qu'il agisse sur un autre
circuit fermé ou sur un solénoïde, et les forces qu'exerceraient
des points dont l'action serait précisément celle qu'on attribue aux
molécules de ce qu'on appelle fluide austral et fluide boréal;
ces points étant distribués de la manière que je vais expliquer sur
des surfaces terminées par les circuits, et les extrémités du solé-
noïde étant remplacées par deux molécules magnétiques d'espèces

(') Ce paragraphe forme le paragraphe final du Précis de la théorie des phé-
nomènes électro-dynamiques, (J.)

(») Les résultats qui suivent ont été présentes à TAcadémie dans la séance du
j8 novembre 1825. On trouvera sous le n«» XX\I l'extrait lu à l'Académie, et sous
le n® XXXII le résumé publié dans la Correspondance mathématique et phy-
sique des Pays-Bas. (J.)

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. Tir;

opposées. Celle analogie parail d'abord si complèle, que tous ]c^
phénomènes éleclro-djnamiques semblenl êlre ainsi ramené? h la
théorie où l'on admel ces deux fluides; mais on reconnaît hiinihM
qu'elle n'a Ueu qu'à l'égard des conducteurs voltaïques qui Jur-
ment des circuits solides et fermés, qu'il n'y a que ceux <!<' rcs
phénomènes qui sont produits par des conducteurs forru.mt ^1^
tels circuits dont on puisse rendre raison de cette manu rr, vi
qu'enfin les forces qu'exprime ma formule peuvent seuli s >'îk-
corder avec l'ensemble des faits. C'est, d'ailleurs, de ceWi invmr.
analogie que je déduirai la démonstration d'un théorème if!i|ti)i'-
tant qu'on peut énoncer ainsi : l'action mutuelle de deux rinuîu
solides et fermés, ou celle d'un circuit solide et fermé < i (Tun
aimant^ ne peut jamais produire de mouvement continu ciM*r
une vitesse qui s'accélère indéfiniment jusqu'à ce que Ïls iv-
sistances et les frottements des appareils rendent cette vîio'^so
constante.

Afin de ne rien laisser à désirer sur ce sujet, je commriurrni
par donner aux formules relatives à l'action mutuelle de àru\ llls
conducteurs une forme plus générale et plus symétrique. .Snintt
pour cela 5 et s' deux courbes quelconques qu'on suppose pur-
courues par des courants électriques dont nous continuerons u il/'-
signer les intensités par i et i'. Soient ds= Mm (^fig^ 38) un Tlo-

Fig. 38.

ment de la première courbe, d5'=: W rrl un élément de la ser nmlc ;
^j^> 2 et «^'î y ^ ^' 'es coordonnées de leurs milieux o, o\ ♦f y lu
droite od qui les joint, laquelle doit être considérée comme mir
fonction des deux variables indépendantes 5 et 5^ qui reprr''^rrj[i'ni
les arcs des deux courbes comptés à partir de deux poinN li\i h
pris sur elles. L'action mutuelle des deux éléments às^ ilv' ct^I,
comme nous Tavons vu plus haut, une force dirigée sui^.uJ Ih

120 V.-A. AMPÈRE.

droite Tj et avant pour valeur

On peut l'écrire plus simplement de celte manière :

en distinguant par les caractéristiques d et d' les différentielles
relatives à la variation des seules coordonnées x, y, z de Télé-
nienl ds, de celles qu'on obtient en faisant varier seulement les
coordonnées 3c\ y\ :i de l'élément d^'; distinction dont nous nous
servirons toutes les fois que nous aurons à considérer des diffé-
rentielles prises les unes d'une de ces deux manières, et les autres
de l'autre.

Celle force étant attractive, il faut, pour avoir celle de ses com-
posantes qui est parallèle à l'axe des x^ en multiplier la valeur

par ' ^ ' ou par > suivant qu'on la considère comme

a^nssanl sur Téléraent d^ ou sur l'élément d^; dans ce dernier cas,
la composanLc e5l donc égale à

On peut mettre cette expression sous une autre forme en fai-
sant usage de la valeur qu'on obtient pour uàiV^ u ^X. v repré-
sentant des quantités quelconques, lorsqu'on ajoute, membre à
membre j les deux équations identiques

Mdt'-f-i'dw = d(Mp),
w dp — p da = a' d ( - J ;

cette valeur est

el, en faisant

on en conclut

rA'-i(^-yjd'(/-*dr)= - d'[r»*-»(ar— a?')dr]-+- i r»^-«(a?-ar')*d' - ''^'^

uàs? = - d(Mp) -f- - M*d - ,

u = r^-^{x — x')j p = /^dr,

a ■■ ' ■• 2 ^ ' x—x

I ^,(x—x')<\r I (x — x'y ., râr

= - cl i — -- — a , y

a r" a pn-^i x — x

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. Î2Î

puisque 2k -{- n = i, ce qui donne

aA: — 1 = — n, 2A:— 2 = — n — 1.
Mais

et par conséquent

râr , y — / j z — z'

X — X X — X '^ X — X

d'où

,, rdr {z-z')àx'—{x-'X')àz' (a? — ar')dy— (j'—/ )dir' ,

Cl -, — ; jr-T d^ ; frr (11%

x — x (a? — a?)* (a?— a?)* "

La composante parallèle à l'axe des x a donc pour valeur

- ««'d' ^^ --^^ h - « ^^ ^ -n — d^

_ (a7-a70d/~( jK-y)dy ^j 1

Les deux termes de cette expression peuvent être considères
séparément comme deux forces dont la réunion équivaut a la force
cherchée. Or, il est aisé de voir que quand la courbe ^ forme un
circuit fermé, toutes les forces telles que celle qui a pour expres-
sion la partie - lï'd' -^ — > provenant de l'action de tous les

éléments d^' du circuit 5' sur le même élément ds, se détruisent
mutuellement. En effet, toutes ces forces sont appliquées au mùmc
point o, milieu de l'élément d^, suivant une même droite parallèlu
à l'axe des x\ il faut donc, pour avoir la force produite stii v;hu
cette droite par l'action d'une portion quelconque du conducteur

5^, intégrer - lY'd' -^ — d'une des extrémités de celle porLÎûu

à l'autre, et l'on trouve

en nommant x\f Ti, dr^ les quantités qui se rapportent à une
extrémité, et a:^, rj, drj celles qui sont relatives à Tautrcj cette
valeur devient évidemment nulle quand, le circuit étant fermé, ses
deux extrémités sont au même point.

Quand le conducteur s' forme ainsi un circuit fermé, il faut

n

111 M.-A. AMPÂRB.

doDCy pour avoir plus simplement raclion quMl exerce sur Télé-
menl ds parallèlement à Taxe des x, supprimer, dans l'expression

delà composanle parallèle à cet axe, la partie - ii' — ^^ — ~^ — >

et n'avoir égard qu'à l'autre partie

que nous représenterons par X.

En appliquant les mêmes considérations aux deux autres com-
posantes de la môme force qui sont parallèles aux axes des ^' et
des z^ on leur substituera des forces Y, Z, a^ant pour valeurs

a y i-i'-^i /vw-i J

Ainsi, lorsqu'il s*agit d'un circuit fermé, la résultante R des
Irois forces X^ Y» Z, auxquelles sont réduites les composantes de
la force — iVr*d'(/-*dr), remplace cette force; et l'ensemble de
toutes les forces R est équivalent à celui de toutes les forces exer-
cées par chacun des éléments d^, du circuit fermé /, et repré-
sente Taction totale de ce circuit sur l'élément d^. Voyons main-
tenant quelles sont la valeur et la direction de cette force R.

Soient u^ %\ w les projections de la ligne r sur les plans des^z,
des xz et des xy^ faisant respectivement les angles «p, '^, ^, avec
les axes des y^ des ;; et des x. Considérons le secteur M'o/n'
{fig' 38), qui a pour base l'élément d^, et pour sommet le point o

Fig. 38.

milieu de th^ dont les coordonnées sont j:, j^, z. Appelons \ [x, ,
les angles que fait avec les axes la normale au plan de ce secteurv
et 6' l'angle compris eatre les directions de ds' et de r. Le double

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC, 123

de Taîre de ce secteur est rds' sin^', et ses projections sur les
plans des coordonnées sont

Z4«d'cp = rdysinÔ'cosX r^ (y—y)dz'—(z'^z)dy\
v^d'-/^ = rd^'sinô'cosix— {z' — z)dx' — {x' — x)d^\
w^d'^ = rds' sin6' cosv — (x'— x)dy — (y—y)dT\

On peut donc donner cette nouvelle forme aux valeurs des iorces
X, Y, Z,

X = - " ( »Ji dz ;— -^ dy] = ; ( -T- co s IX — -5" cosv ) t

I ..,/cv«d'6 , M*d'9, \ 1 irdsds'sin^' /dx iU *\

» = - " ( „^J dx -_^; dz ] = ; ( -r- cosv — -r- nos X ),

I .., /a'd'9 , t^'d'y . \ i iï'd^d^'sinO' /dy ^ *i/? \

Z =- u { J- dy 7-* dx ) == ( -p- cos A — ces \x *

Or ces valeurs donnent

da: d^ d^

d* d5 d5

X cos X -f- Y cos |i 4- Z cosv = o ;

c'est-à-dire que la direction de la force R fait avec celle de Vêle-
ment mM = d^, et avec la normale op au plan du secteur }tVom\
des angles dont les cosinus sont zéro, de sorte que cette furce est
à la fois dans le plan du secteur et perpendiculaire à réléracnt d^.
Quant à son intensité, on a par les formules connues

P _ /^- y^ y^ _ I il dsds' s'in^' sinpo m __ i ii' dsds' sinb' cos mok _

ok étant la projection om sur le plan du secteur Woni^ (' ). On
peut décomposer cette force dans le plan du même secteur en deux

(') Cette formule a été reproduite par M. Reynard {Annales de Chimw €i d&
Physique [4]> t- XIX, p. 272; 1870), et est souvent désignée sous le nnm d*} for-
mule de Beynard. C'est, au point de vue analytique, la plus simpic pue laqot'llEî
on puisse représenter l'action réciproque de deux éléments de courants. En ïijou-
tant à chacune des composantes une différentielle exacte des coordonoùeâ x\y\ ^\
on aura une formule qui satisfera également aux expériences, puisque le* inté-
grales étendues au contour du circuit fermé donnent pour ces termes tics valtrurs
nulles. Si l'on impose à la nouvelle force ainsi obtenue la condition qu elle t^oit
dirigée suivant la droite qui joint les deux éléments, on trouve que te Icraïc est
celui qui a été négligé précédemment, et l'on retombe sur la formule d'Ampcre :
c'est donc la seule qui satisfasse à la condition imposée. (J>>

t%i M. -A. AMPÈRE.

autres, Tiine S dirigée suivant la ligne oo'= r, l'autre T perpen-
diculaire à cette ligne. Celle-ci est

T = Rco8ToR = RcosAoA = ;

et comme l'angle trièdre formé par les directions de om, ok et oh
donne

cos moA: cos hok = cosmoA = cos6,
tl vient

_, _ I iC ds ds' si n 6' cos 6
~" a r«

La force S suivant oh est

S = Rsin AoA:= Ttang AoA:.

Mais en désignant par co Tinclinaison du plan moh sur le plan
hok^ qoî est celui du secteur Wom\ on a

tangAoA: = tangO coso);
ainsi

„ 1 lï'd^d^'sinô sinô'cosw
•^ = ~ ;; '

Si Ton înlè^e les expressions de X, Y, Z pour toute Tétendue
du circuit fermé 5', on aura les trois composantes de Faction
exercée par tout ce circuit sur l'élément d^; en remplaçant n par
sa vaïcur 2, celles des trois composantes deviennent

Des forces semblables appliquées à tous les éléments ds de la
courbe 5 donneront Faction totale exercée par le circuit s' sur le
circuit 5, On les obtiendra en intégrant de nouveau les expres-
sions précédentes dans toute l'étendue de ce dernier circuit.

Concevons maintenant deux surfaces prises à volonté o-, (r', ter-
minées par les deux contours 5, 5', dont tous les points soient liés
invariablement entre eux et avec tous ceux de la surface corres-
pondanLc, et sur ces surfaces des couches infiniment minces d'un

THBORIB MATHEMATIQUE DBS PHÉNOMÈNES, ETC. l^'î

même fluide magnétique qui y soit retenu par une force coercitive
suffisante pour qu'il ne puisse point s'y déplacer. En considérant
sur ces deux surfaces deux portions infiniment petites du second
ordre que nous représenterons par d^o", d^o', dont les positions
soient déterminées par les coordonnées ^, J^, z pour la première,
x^y y ^ z' pour la seconde, et dont la distance soit r, leur action
mutuelle sera une force répulsive dirigée suivant la ligne r et repré-

sentée par — que nous considérerons comme agissant

sur l'élément d5 (*) ; e, e' désignent ici ce qu'on appelle Y épaisseur
de la couche magnétique sur chaque sur/ace; [/. est un coeiTG-
cient constant, tel que [xes' représente l'action répulsive qui au-
rait lieu, si l'on réunissait en deux points situés à une distance
égale à l'unité, d'une part tout le fluide répandu sur une aire
égale à l'unité de surface, où l'épaisseur serait consLanie et
égale à s, de l'autre tout le fluide répandu sur une autre aire égale
à l'unité de surface, où l'épaisseur serait aussi constante et
égale à e'.

En décomposant cette force parallèlement aux trois axes, on n
les trois composantes

Concevons maintenant une nouvelle surface terminée par le
même contour s qui limite la surface o-, et telle que toutes les
portions de normales de la surface o- comprises entre elle et la
nouvelle surface soient très petites. Supposons que sur cette der-
nière surface soit distribué le fluide magnétique de l'espèce con-
traire à celui de la surface o", de manière qu'il y en ait sur lu por-
tion de la nouvelle surface circonscrite par les normales menées
par tous les points du contour de l'élément de surface d^i une
quantité égaleàcelle du fluide répandu surd2(T(*). En nommant h
la longueur de la petite portion de la normale à la surface '7,
menée par le point dont les coordonnées sont ^, j^, >5, et con>prise

(') Ce dernier membre de phrase, qui n'existe pas dans le texte ori^îudï, cu
rétabli ici d'après les indications de V Errata. Il faut évidemment lire tl^j au
lieu de d*. (JO

(') Le nom de feuillet magnétique (magnetic shell) est aujourd'hui emjplfjyii
pour désigner la distribution magnétique imaginée par Ampère. (J^)

ia6 M.-A* AUDâni:.

entre les deux surfaces, laquelle mesure dans toute Téteudue de
Taire infiniment petite d^o- la dislance de ses points aux poiuls
correspondants de Tautre surfaee, et en désig:nant |îar £, r,, Ç les
angles cjue celte normale fait avec les axes, les trois composantes
de raction mutuel!e entre l'élément d^tf' et la peiite portion de la
nouvelle surface circonscrite comme nous venons de le dire, qui
est toujours égale a d^o- tant que h est très petit et qu'on néglige
dans les calculs, comme nous le faisons ici, les puissances de h
supérieures à la première, s'obtiendront en remplaçant, dans Tex-
pression qtïe nous venons de trouver, x, r, j par x --r h cos;,
j -h AcosT,, z -h Acosî^. Et comme les deux fluides répandus sur
les deux aires égales à rf^o- sont de nature contraire, il faudra re-
irancher les nouvelles valeurs de ces composantes des valeurs
trouvées précédemment; ce qui se réduira, puisqu'on néglige les
puissances de h supérieures à la première, a diflTérentier ces va-
leurs, à remplacer dans le résultat les dilFérentielles de *r, ^>% z
par //cosÇ, /rcosT,, /i cosÇ, et à en changer le signe. Ces diffé-
renlielles étant prises en passant de la première surface a- à Tautre,
nous les désignerons par 8, suivant la notation du calcul des va-
riutions ; nous aurons ainsi pour la composante parallèle aux x ce

que devient — jJLsi^d^o-d^o'o — -j— j quand on y remplace Sx par

/* cosÇ, c'est-à-dire

|A££'d'ad'(j'/i cos

Nous allons maintenant déterminer la forme et la position de Télc-
mcnt d'^^.

Désignons, comme précédemment, par u, ç^ w les projections
de la ligne r sur les plans des j-:;, des jx et des xy^ et par y, y, i^
les angles que ces projections font avec les axes des r, des j^t
des X respectivement. Décomposons la première surface ^7 en une
infinité de zones infiniment élrolles, telles que abcd {fig- 4^)1
par une suite de plans perpendiculaires au plan des yz menés
par la courdonnée w! p^ ^=^ x' du point m'. Chaque zone se termi-
nant aux deux bords du contour ^ de la surface t aura pour pro-
jection sur le plan des yz une aire décomposable elle-même en
éléments quadronj^ulaires infiniment petits, auxquels répondront

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 117

autant d'éléments de la surface o- sur la zone dont il s'agÎL Ce
sont ces éléments qu'on doit considérer comme les valeurs de d-^.
Celui dont la position, à l'égard de l'élément d-a'^ est déterminée
par les coordonnées polaires r, w, y, est égal à sa projection
uàud^ sur le plan des yz divisée par le cosinus de Tangle Ç com-

Fig. 4a.

pris entre ce plan et le plan tangent à la surface a avec lequel

coïncide l'élément d-^o*. Il faudra donc remplacer d^T rKir -—-

dans la formule précédente, et l'on aura

3{x

{jLAee'd'ff'wdud^ 1 -

]

Pour calculer la valeur de [x — x') ^-» soient mx le prolonge-
ment de la coordonnée mp = :c du point m où est situé Tel émeut
d^(j, mu une parallèle au plan des j^^ menée dans le plan pmm^p'f
et mt perpendiculaire à ce dernier plan au point m. Il est aisé de
voir que la droite mn, suivant laquelle /?m/n'/?' coupe le plan lan-
gent en /w, à la surface o-, fait avec les trois lignes nix, mu^ mi^
qui sgnt perpendiculaires entre elles, des angles dont les cosjiiu!^
sont respectivement

i\T

ihi

v/da:*-4-dw* y/dx^-^du^

Cl o,

128

ll.^A. AMPÈAE.

et que la normale mk fait avec les mêmes direcliODs des aagleâ
dont les cosinus sont

Ix

ta

It

Sf tenant lieu de la projection de mh sur nit. On a donc

/iUr* -r^tlû* /Sx" -h Sa* H- o/*

pour le cosinus de Tangle compris cnlre la droite mn et la noj-
male mh^ et puisque cet angle est droil^ àx^m + Aum =^ o, d on

^ =— ^* Mais Téqualion
du 5^ ^

donne

1 1

d'où Ton déduit

et

0/'

-

X

— X

6u

r

rlr
J7*

—

r

r

x'

àx

X

r

y

lu

eu éliminant v- entre ces deux ëauations, il vient

,. Sr àr (x — X*)* u*
{x^x)ir-i"U-r-=^ h — = r.

ox au r r

Si nous tirons maintenant de celle équation la videur île

5r
(^— j;') c* pour la substituer dans celle de la force parallûle à

Taxe des x^ nous aurons

La hauteur h et l'épaisseur £ de la couche de Quide infiniment
mince répandue sur la surface tr peuvent varier d'un point de

THÉORIE MATHÉMATIQUE DBS PHÉNOMÈNES, ETC. 1^

cette surface à un autre; et pour atteindre le but que nous nous
proposons de représenter à l'aide des fluides magnétiques, les
actions qu'exercent les conducteurs voltaïques, il faut supposer
que ces deux quantités e, h varient en raison inverse Tune de
l'autre, de manière que leur produit hz conserve la même valeur
dans toute l'étendue de la surface «r (*). En appelant ^ I» valeur
constante de ce produit, l'expression précédente devient

ut
[x^e'd*ff'd«pd — j

et s'intègre immédiatement. Son intégrale ^g^'d^^^^i^^ — C J

exprime la somme des forces parallèles à l'axe des x qui agissent
sur les éléments ûf^o- de la zone de la surface o- renfermer* entre
les deux plans menés par mlp^ qui comprennent l'angle d'^. La
surface o* étant terminée par le contour fermé s, il faut prendre
cette intégrale entre les limites déterminées par les deux élt'menis
aô, cd de ce contour qui sont compris dans l'angle rfç des deux
plans dont nous venons de parler, en sorte qu'en nommnnL a%^
r, , et W2j /'a les valeurs de u et de r relatives à ces di»iix élé-
ments, on a

pour la somme de toutes les forces exercées par l'élément d'^^
sur la zone parallèlement à l'axe des ;r.

Si la surface cr, au lieu d'être terminée par un contour, renfer-
mait de tous côtés un espace de figure quelconque, la zone de
cette surface comprise dans l'angle dièdre cp serait fermée^ et Ton
aurait U2'= U\, r2 = ri; en sorte que l'action exercée sur ccHe
zone parallèlement à l'axe des x serait nulle, et par cons^'queni
aussi celle que l'élément d^a^ exercerait sur toute la suilace <j
composée alors de semblables zones. Et comme la même cliose
aurait lieu relativement aux forces parallèles aux axes des j et
des Zy on voit que l'assemblage de deux surfaces très rapprochées
l'une de l'autre, renfermant de tous côtés un espace de forme
quelconque, et couvertes, de la manière que nous venons de le

( * ) Ce produit est généralement appelé aujourd'hui la puissance magnétique
du feuillet. ( J. )

Mém, de Phys.f lil. g

ri > iS. -A. AUPEBE^

dire, Tune de Ûuidc austral, l'autre de fluide boréal, esl sans ac-
tion sur une molécule magnétique, en quelque endroit qu'elle soÎL
placée, et par cooséqueut sur un corps aimanté de quelque manière
que ce soit. Beprenons Texpression précédente

cl il nous sera aisé de voir que, pour avoir la somme totale des
forces parallèles à Taxe des jc que Téïément rf^^ e:s:erce sur la sur-
face entière <r, il faut intégrer, par rapport à o^ les deux parties
dont se compose celte expression, respectivement dans les deux

portions A ff^B, BcdA du contours, déterminées par les deux plans

tangents p^ m' A, p'm'B^ menés par la ligne m'jw'. Mais il revient

tt* \**-
au même d^intégrer [x^E'd^T' — ^ dans toute Pétendue du cir*

cuit s; car si Ton met pour « et ç leurs valeurs eu fonctions de r
déduites des équations de la courbe j, on voit qu'en passant de la
partie ArtûB à la partie BcrfA, d^ change de signe, et que par
conséquent les élcmenls de l'une de ces parties sont d'un signe
contraire à ceux de Tau Ire,

D'après cela, si nous désignons par X la somme des forces pa-
rallèles aux X qu'exerce Télément d-fi'sur l'assemblage des deux
surfaces terminées par le même contour s, nous aurons

ou, ce qu! est la même chose,

X = iiged^^j - - — — r -7

les âfj j-j z n'étant relatifs qu'au contour s.

On aura de même, en désignant par Y et Z les sommes des

forces parallèles aux ^^ et aux z qui agissent sur le même assem-
blage de surfaces,

(^) Il csi muUle de remarquer que ceâ X, Y, Z exLpnnient des forces Luutes dîf-

THÉORIE MATHÉMATIQUE PES PHÉNOMÈNES, ETC. l3ï

Gomme toutes les forces élémentaires qu'exerce l'élément d^i^ sur
ces surfaces passent par le point m' où il est situé, on voit que
toutes ces forces ont une résultante unique dont la direction passe
par le même point m\ et dont les composantes parallèles aux axes
sont X, Y, Z. Les moments de cette résultante par rapport aii\
mêmes axes sont donc

Yz'-Z/, Zx'-\z\ \y-Xx'.

Supposons maintenant qu'au lieu de ces forces on applique
au milieu de chacun des éléments ds du contour s une force ég^ale

à ^gt'd'^ — i et perpendiculaire au plan du secteur qui a ds

pour base, le point m', pour sommet, et dont l'aire est ^ràs sînQ.
Les trois composantes de cette force étant respecUvenient
égales à

parallèles à celles qui passent par l'élément d^o- et dirigées dans
le même sens, on aura les mêmes valeurs pour les trois forces X^
Y, Z qui tendent à mouvoir le circuit s\ mais les soiumes des
moments de rotation qui en résulteront, au lieu d'être représen-
tées par

le seront par

Il semble d'abord que ce changement en doit apporter un ^^

férentes de celles que nous avons déjà désignées par les mêmes lettres lorsqu'il
s'agissait de l'action mutuelle de deux éléments de circuits voltaïques* (,\«)

i3à M. -A. ÂiiPÈne.

raclion exercée sur le contours, maiàil n^en est pas ainsi, pourvu
que ce conlour forme un circuU fermé, car, si Ton relranchc la
|ireinière somme de moments, relative à Taxe des jr par exemple,
de la quatrième qui se rapporte au même axe, en faisant attention
que .r\ r'j ^' doivent être considérés comme des coaslanies dans
ces întégralions, on aura

, ., , r(3-3-)*djr—lg~s')(T-T')As~(x-y){^-r')i\r->-i r-/ (Mj-
[l^î a»s I ~ :

^gt'dW n/-*-<.r-'r')']'i-P-tJ--^')[^d^-(a^-'g')tH

, „ , rrrdx — (* — V)il/-1 , „ ,/jr, — j-' j-, — jr'i
.,g,d>.J [ j5 J = ,xff. d«. (^—^ _ j,

en nommant j^i, jt^, et r^ r^ les valeurs de x et de r aux deux
extrémités de Tare s pour lequel on calcule la valeur de la diffé-
rence des deux moments. Quand cet are Tonne un circuit fermé,
il est évident que iiCg^tx^, r2=^rtf ce qui rend nulle Tintégrale
ainsi obtenue; on a donc alors

^gtii^^ J (^ ^=^^^^à^s[^^J-j:J^^y \-;^y

On trouve par un calcul semblable que les moments relatiis aux
deux autres axes sont les mêmes, pour un circuit fermé, soil
c(u*ûn suppose que les directions des forces

passent par l'élément d^^ ou par le milieu de d^; d'où il suit que
dans ces deux cas Taction qui a Heu sur le conlour s est exacte-

menl la même, ce conlour étant invariablement lié aux deux sur-
faces très voisines qu'il termine ; Taction exercée sur ces deuxsur^
faces par l'élément d-o^ se réduira donc, pourvu que le eon lotir s
soit une courbe fermée, aux forces appliquées comme nous venons
de le dire à chacun des éléments de ce contour, celle qui agit sur

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. l3^

Félément ds ayant pour valeur

^^^'d^^ -—^ —

La force appliquée au milieu o de rélément ab = dsj c|iii csl
proportionnelle à d^ sin8 divisé par le carré de la distance r de cet
élément au point m', et dont la direction est perpendiculaire au
plan qui passe par l'élément ab et par le point m', est préciscmcni
celle qu'exerce, comme nous l'avons vu, sur l'élément ds Texlié-
mité d'un solénoïde électro-dynamique indéGni lorsqu'on place
cette extrémité au point m'; c'est aussi celle qui est produite,
d'après les dernières expériences de M. Biot, par Tac lion mu-
tuelle de l'élément ab, et d'une molécule magnétique située
en m'.

Mais en donnant à cette force la même valeur et la même direc-
tion perpendiculaire au plan nJ ab, qu'on doit lui donner lors-
qu'on la détermine» comme je l'ai fait, en remplaçant la molécule
magnétique par l'extrémité d'un solénoïde indéfini, M. Biot sup-
pose que c'est en nJ que se trouve son point d'applicalion^ ou
plutôt celui de la force égale et opposée que l'élément ds exerce
sur le point m', car c'est à cette dernière que se rapportent le.^
expériences qu'il a faites; au lieu que la direction de la force
exercée par cet élément sur l'extrémité située en rn! d'un solé-
noïde indéfini doit passer par le point m, comme celle que le so-
lénoïde exerce sur l'élément, quand on conclut cette force de ma
formule. Ainsi, en conservant les notations que nous employons,
et en représentant, pour abréger, par p le coefficient constant
^[xe'd^îr', les sommes des moments, d'après la manière dont
M. Biot place les points d'application des forces, seraient pour les
trois axes et en changeant les signes, puisqu'il s'agit des forces
qui agissent sur le point m'.

_,/:

-/
-/

*x' w' dtj/ — z' u^à^
r» ^

y a' do — a7'c*d)^

tandis qu'en prenant les points d'application comme je le& trouve,

l3jt M. -A. AMPÈRE.

on a pour ces sommes de momcnls

fi

'f-

Mais nous venons de voir que ces dernières valeurs sont respec-
livemenL égales aux trois précédentes, quand la portion de con-
ducteur forme un circuit fermé ; d'où il suit que, dans ce cas, Tex-
périence ne peut décider si le point d'application des forces est
réellement au point m! ou au milieu m de Télémenl as. Et comme,
dans celles qu'a faites Thabile plivsicien à qui Ton doit les expé-
riences dont il est ici que^ion, c^était en effet un circuit complè-
tement fermé, composé de deux portions rectilignes formant un
angle auquel il donnait successivement différentes valeurs, du
reste du fil conducteur et de la pile, qu'il faisait agir sur un petit
aimantj pour déduire le rapportr des forces correspondantes aux
diverses valeurs de cet angle des nombres d'oscillations du petit
aimant, pendant un temps donné, qui correspondaient à ces di-
verses valeurs, dès lors, les résultats des expériences faites de
cette manière devant être identiquement les mêmes, soit qu'on
suppose le point d'application des forces eno ou en ni\ ne peuvent
servir à décider laquelle de ces deux suppositions doit être pré-
férée, cette question sur la situation du point d'application ne
peut être résolue que par d'autres considéralioDs; c'est pourquoi
je pense qu'il est nécessaire, avant d^aller plus loin, de Texamincr
avec quelques détails.

C'est dans le Mémoire que je lus à la séance du 4 décembre 1 8ao,
que je communiquai à l'Académie la formule fondamentale de
toute la théorie exposée dans ce Mémoire, formule qui donne la
valeur de l'action mutuelle de deux ûls conducteurs exprimée
ainsi :

iVdjd5'(sin6 sin6'co5tu -h ^casft eosO')

k étant un nombre constant , dont j'ai depuis déterminé la va-

(') Journal de Physique, t. XCI, p. aaS-ïîo. {\.)

THÉORIE MATHÉMATIQUE DBS PHÉNOMÈNES, ETC. j35

leur, en prouvant, par d'autres expériences, qu'il est égal à — |*
Quelque temps après, dans la séance du i8 du même moiâ,
M. Biot lut un Mémoire où il- décrivait les expériences qu'il avait
faites sur les oscillations d'un petit aimant soumis à l'aclicm d*im
conducteur angulaire, et où il concluait de ces expériences, par
l'erreur de calcul exposée plus haut, que l'action de chaque élé-
ment du conducteur sur ce qu'on appelle une molécule magné-
tique est représentée par une force perpendiculaire au plan mené
par la molécule et par l'élément, en raison inverse du carré de
leur distance, et proportionnelle au sinus de l'angle que la droite
qui mesure cette distance forme avec la direction de Télé ment*
On voit par les calculs précédents que cette force est préciscmenL
celle que donne ma formule pour l'action mutuelle d'un élément
de fil conducteur et de l'extrémité d'un solénoïde électro-dvna-
mique, et qu'elle est aussi celle qui résulte de la loi de Coulomb ,
dans l'hypothèse des deux fluides magnétiques, lorsqu'on clierche
l'action qui a lieu entre une molécule magnétique et les éléments
du contour qui termine deux surfaces infiniment voisines^ recou-
vertes l'une de fluide austral, l'autre de fluide boréal, en suppo-
sant les molécules de ces fluides distribués sur les deux surfaces
comme je viens de l'expliquer.

Dans ces deux manières de concevoir les choses, on trouve les
mêmes valeurs pour les trois composantes, parallèles à trois axes
pris à volonté, de la résultante de toutes les forces exercées par les
éléments du contour, et, pour chacune de ces forces, l'action est
opposée à la réaction suivant les droites qui joignent deux li d*^ux
les points entre lesquels elles s'exercent^ il en est de même de la
résultante elle-même et de sa réaction. Mais dans le premier cas,
le point O {Jig' 36) représente l'extrémité du solénoïde auquel

appartiennent les points P, N, et o étant celui où est situé Télt

l36 M. -A. AMPÈRE.

ment, les deux forces égales et opposées og^ oy passent par cet
élément; dans le second cas, au contraire, c'est en O qu'il faut
concevoir placé l'élément du contour des surfaces recouvertes de
molécules magnétiques P, N, et en o la molécule sur laquelle
agissent ces surfaces, en sorte que les deux forces égales et oppo-
sées passent par la molécule. Tant qu*on admet qu'il ne peut v
avoir d'action d'un point matériel sur un autre, sans que celui-ci
réagisse sur le premier avec une force égale et dirigée en sens
contraire suivant une même droite, ce qui entraîne la même con-
dition relativement à l'action et à la réaction de deux systèmes de
points invariablement liés, on n'a â choisir qu'entre ces deux bjpo-
tlièses. Et comme l'expérience de M, Faraday, sur la rotation
d'une portion de fil conducteur autour d'un aimant, est, ainsi
que je l'expliquerai tout à l'heure , en contradiction manifeste avec
la première, il ne devait plus y avoir de difficulté à regarder, avec
moi, comme seule admissible celle où l'on fait passer, par le milieu
de l'élément, la droite suivant laquelle sont dirigées les deux
forces. Mais plusieurs physiciens imaginèrent alors de supposer
que, dans l'action mutuelle d'un élément AB Cfig- Sg) de lil con-

Fig. 39-

^' ^/i.---r

/
k

ducteur et d'une molécule magnétique M, Faction et la réaction,
quoique égales et dirigées en sens contraires, ne l'étaient pas sui-
vant une même droite, mais suivantj deux droites parallèles, en
sorte que, la molécule M, agissant sur l'élément AB, tendrait à le
mouvoir suivant la droite OR menée par le milieu O de l'élé-
ment AB perpendiculairement au plan MAE, et que l'action
qu^exercerait réciproquement cet élément sur la molécule M
tendrait à la porter, avec une force égale, dans la direction M S pa-
rallèle à OR.

Il résulterait de cette singulière hypothèse, si elle était vraie,
qu'il serait mathématiquement impossible de ramener jamais les
phénomènes produits par l'action mutuelle d'un ûl conducteur et

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. t3;

d'un aimant à des forces agissant, comme toutes celles dont on a
reconnu jusqu'à présent l'existence dans la nature, de manière
que l'action et la réaction soient égales et opposées dans h direc-
tion des droites qui joignent deux à deux les points entre lesquels
elles s'exercent; car, toutes les fois que cette condition est rem-
plie pour des forces élémentaires quelconques, elle l'est évidem-
ment, d'après le principe même de la composition des forces, pour
leurs résultantes. Aussi, les physiciens qui ont adopté cette
opinion sont-ils forcés d'admettre une action réellement élémen-
taire, consistant en deux forces égales dirigées en sens contraires
suivant deux droites parallèles, et formant ainsi un couple pri-
mitif, qui ne peut être ramené à des forces pour lesquelles l'action
et la réaction seraient opposées suivant une même droite. J'ai
toujours regardé cette hypothèse des couples primitifs comme
absolument contraire aux premières lois de la Mécanique, parmi
lesquelles on doit compter, avec Newton, l'égalité de TactioTi et
de la réaction agissant en sens contraires suivant la même rlroîtci
et j'ai ramené les phénomènes qu'on observe quand un fil con-
ducteur et un aimant agissent l'un sur l'autre, comme tous les
autres phénomènes électro-dynamiques, à une action entre deux
éléments de courants électriques, d'où résultent deux forces égales
et opposées, dirigées toutes deux suivant la droite qui joint les
deux éléments. Ce premier caractère des autres forces oliservées
dans la nature se trouve ainsi justifié; et quant à celui qui con-
siste en ce que les forces que l'on considère comme réellement
élémentaires soient en outre simplement fonctions des distances
des points entre lesquels elles s'exercent, rien ne s'oppo^^e, ainsi
que je l'ai déjà remarqué, à ce que la force, dont j'ai déterminé la
valeur par des expériences précises, ne se ramène un jour à des
forces élémentaires qui satisfassent aussi à cette seconde condition,
pourvu qu'on fasse entrer dans le calcul le mouvement continuel,
dans les (Ils conducteurs, des molécules électriques auxquelles
ces dernières forces seraient inhérentes. La considération de ces
mouvements introduisant nécessairement dans la valeur de la
force qui en résulterait entre deux éléments, outre leur distance,
les angles qui déterminent les directions suivant lesquelles se
meuvent les molécules électriques, et qui dépendent des direc-
tions mêmes de ces éléments; ce sont précisément ces angles, oti,

l38 U.-A. AMfÉnB.

ce qui revienLau môme, les différcnuclles de la distance des deux
élumenls considérée comme une fonction des arcs formés par les
iîls condacteiirs, qnl entrent seuls avec cette distance dans ma
formule. Il ne faut pas oublier que, dans la manière de concevoir
les choses qui me paraît seule admissible, les deux forces égales
et opposées OR et OT sont des résultantes d'une infinité de
forces égales et opposées deux à deux ; OR est celle des forces
On\ Op^j etc.j qui passent toutes par le point O, en sorte que
leur résultante OR y passe aussi, maïs que OT est la résultante
des forces N/î, P/î, etc., exercées par Télnment AB sur des points
tels que N, P, clc, invariablement liés à Teitrémité M du solé-
noïde électro-dynamique par laquelle je suppose remplacé ce qu'on
nomme une molécule magnétique. Ces points sont très près de
M quand ce solénoïde est très petit, mais ils en sont toujours
distincts, et c'est pourquoi leur résultante OT ne passe pas par le
point M, mais par le point O vers lequel toutes les forces N/ï,
Ppj etc. y sont dirigées.

On voit, par tout ce que nous venons de dire, qu'en conservant
aux deux forces égales qui résultent de l'action mutuelle d'un fil
conducteur et d^un aimant^ et qui agissent Tune sur le Hl dont
Téléraent AB fait partie, et l'autre sur l'aimant auquel appartient
te point Mj la même valeur, et la même direction perpendiculaire
ati plan MAB, on peut faire trois hypothèses sur le point d'appli-
cation de ces forces : dans la première, on suppose que les deux
forces passent par le point M^ dans la seconde, qui est celle qui
résulte de ma formule, les deux forces passent par le milieu O de
Télément; dans la troisième, où les forces sont OR et MS, celle
(|ui agit sur l'élément est appliquée au point O, et l'autre au point
M. Ces trois hypothèses sont entièrement d'accord, i® à l'égard
de la valeur de ces forces qui sont également, dans toutes les trois,
en raison inverse du carré de la distance MO, et en raison directe
du sinus de l'angle MOB que la droite OM qui mesure cette
dislance fait avec Télément AB; 2° à l'égard de la direction des
mêmes forces, toujours perpendiculaire au plan MAB qui passe
par la molécule et par la direction de l'élément : mais, à l'égard de
leurs points d'application, ils sont placés différemment pour les
deux forceSj dans les deux premières hypothèses; et il y a iden-
tité entre la première et la troisième seulement pour les forces

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 1I9

qui agissent sur Taimant, et entre la seconde et la troisième seule-
ment pour les forces qui agissent sur le conducteur.

En vertu de l'identité des valeurs et des directions des fnrrcs
qui a lieu dans les trois hypothèses, les composantes de leur> ré-
sultantes, prises parallèlement à trois axes quelconques, stTont
les mêmes-, mais les moments de rotation, qui dépendent en outre
des points d'application de ces forces, ne seront, en général, les
mêmes, à l'égard des forces qui tendent à mouvoir l'aimanl, qiin
pour la première et la troisième, et, à l'égard des forces qui
agissent sur le fil conducteur, que pour la seconde et la tnii-
sième.

Nous venons de voir que dans le cas où il est question de J dic-
tion d'une portion de fil conducteur, formant un circuit fertné.
les valeurs des moments sont les mêmes, soit qu'on prenne, pnur
chaque élément, le point d'application des forces en O ou eu \1 ;
dans ce cas, donc, il y aura, en outre, identité pour les valeurs
des moments dans les trpis hypothèses.

Le mouvement d'un corps, dont toutes les parties sont inNiiiiû-
blement liées entre elles, ne peut dépendre que des trois compo-
santes parallèles à trois axes pris à volonté, et des trois monieni-^
autour des mêmes axes; d'où il suit qu'il y a identité coTn[>U*le
dans les trois hypothèses pour le mouvement produit, soit tlnns
l'aimant, soit dans le conducteur, lorsque celui-ci forme un tir-
cuit solide et fermé. C'est pourquoi l'impossibilité d'un mouve-
ment indéfiniment accéléré, étant en général une suite nécesHniri*
de la première hypothèse, puisque les forces élémentaires y smuI
simplement fonctions des distances des points entre lesquels < llc>p
s'exercent, il s'ensuit évidemment que ce mouvement est <!';^;i hu-
ment impossible, dans les deux autres hypothèses, seuleiucui
lorsque le conducteur forme un circuit solide et fermé.

Il est aisé de voir, au reste, que la démonstration ainsi obkrun
de l'impossibilité de produire un mouvement indéfiniment nrvv-
léré par l'action mutuelle d'un circuit électrique solide et femir.
et d'un aimant, n'est pas seulement une suite nécessaire de juu
théorie, mais qu'elle résulte aussi, dans l'hypothèse des couplr-^
primitifs, de la seule valeur donnée par M. Biot pour la force jn r~
pendiculaire auplanMAB, ainsi que je l'ai démontré dircctcitiruL
avçc tous les détails qu'on peut désirer, dans une lettre que j ul

l4o M. -A. AMPÂRE.

écrite sur ce sujet à M. le D"^ Gherardî (*). Si donc on avait pu
produire un mouvement accéléré en faisant agir sur un aimant un
conducteur formant un circuit solide et fermc^ ce n^aurait pas été
seulement ma formule qui aurait été en défaut, mais encore celle
qu'a donnée M. Biot, que toutes les observations faites depuis ont
complètement démontrée, et dont les physiciens qui admettent
rhypolhèse des couples primitifs n'ont jamais conslesté Texac-
litude.

Lorsqu'on rend mobile une portion du circuit vokaïque, on
doit distinguer trois cas : celui où elle forme un circuit presque
fermé (-); celui, où ne pouvant que tourner autour d'un axe, elle
a ses deux extrémités dans cet axe; celui où la portion mobile ne
forme pas un circuit fermé, et où une de ses extrémiiés au moins
parcourt un certain espace à mesure qu'elle se meut : ce dernier
cas comprenant celui où cette portion est forjuée par un liquide
conducteur.

Nous venons de voir que, dans le premier de ces trois cas, le
mouvement que prend la portion mobile par Taction d'un aimant
est identiquement le même dans les trois hypothèses et ne peut
jamais s'accélérer indéGniment, mais tend seulement à amener la
portion mobile dans une position déterminée où elle s'arrête en
équilibre après avoir quelque temps oscillé autour de cette posi-
tion en vertu de la vitesse acquise.

Il en est de même du second, qui ne diffère du premier qu'en
apparence : car, si Ton ajoutait dans l'axe un courant, qui rejoi-
gnît les deux extrémités de la portion mobile, on aurait un circuit
fermé sans avoir rien changé au moment de rotation autour de
cet axe, puisque les moments des forces exercées sur le courant
ajouté seraient évidemment nuls; d'où il suit que le mouvement
de la portion mobile serait identiquement le même que celui du
circuit fermé ainsi obtenu.

Mais lorsque la portion mobile ne forme pas un circuit fermé,

{') Vùir plus loin l'art. XXX W. (J4

(') Le circuit formé par une portion mobile du fil conducteur n'est jamais
rigoureusement fermé, puisqu'il faut bien que ses deux exirémilés communi-
quent fit^parément avec celles de la pile; mais il est aisé de rendre l'intervalle
f;uï Jc^ sf'pare assez petit pour qu'on puisse le considérer comme ^'U était cxaete*
ment fermé. (4^)

TRÉORIB MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. J4I

et que ses deux extrémités ne sont pas dans un axe autour thïqutl
elle serait assujettie à tourner, les moments produits par PacLion,
soit d'une molécule magnétique, soit de l'extrémité d'un solù-
noïde indéfini, ne sont plus les mêmes que dans la seconde ei la
troisième hypothèse, et ont une valeur difierente dans la preniRre.
En prenant pour l'axe des x la droite autour de laquelle ou sup-
pose la portion mobile liée de manière à ne pouvoir que lùurncr
autour de cette droite, et en conservant les dénominatious ([ue
nous avons employées dans les calculs précédents, nous en con-
clurons que la valeur du moment de rotation produit par les forces
qui agissent sur la portion mobile serait

'S'-

r^

dans la première hypothèse, et

dans les deux autres.

C'est à cette différence dans les valeurs du moment de rotatiuu,
qu'on doit la possibilité de prouver par l'expérience que h* )M'e-
mière hypothèse est en contradiction avec les faits. Car si l\in
considère un aimant comme réduit à deux molécules magn<H^]iic:>
d'une force comme infinie placées à ses deux pôles, et qu'aprc^
avoir mis dans une situation verticale la droite qui les joinl on
assujettisse une portion de fil conducteur à tourner autour de eeUc
droite prise pour l'axe des x, alors les deux moments de roi^iiioji
relatifs aux deux pôles seront exprimés par la formule précétîenti:;
en y remplaçant x', ^, z\ par x\,y\^ z\ pour un des ptMcs, et
par Xjj, y^'i z'2 pour l'autre, en ayant soin de changer de signe
l'un de ces moments, le premier, par exemple, puisque les deux
pôles sont nécessairement de natures opposées, l'un au si nul et
l'autre boréal.

Quand les deux pôles sont, comme nous le supposons ict, ^\-
tués sur l'axe des x^ on a j\ = 0,^3= o, z\ = o, ^2*= ^? ^'^ ^'*^
deux moments de rotation autour de l'axe des x deviennent nuls
dans la première hypothèse : ce qu'il était facile de prévoir, puisque
dans cette hypothèse les directions de toutes les forces appliquées
au conducteur mobile passent par un des deux pôles et y rencon-

j4a u.-A, AMpéne.

Irent Taxe Hxe, ce qui rend nécessairemenl nuls les momeDts d€
ces forces.

Dans les deiiit autres hypothèses, au contraire^ où les direclîoïis
des Ibrces [jassent par les milieux des éléments, les parties des
moments égales à ceux de la première hypolhèse sout les seules
qui s\*vanouissenL; et lorsque, après les avoir supprimées, oa
réunit ce qui reste de chaque momeDl, on a

'' J'j J-j J'i - X', J-; — X\ ^^ J"| — ^i '

V '"1,1 '"l.l ''t.l

en désignarïl [)ar r^^a; '*i,2; '*2,i ; ^\,\ It^s distances des points doDt
les abscisses sont respectivement j:'^, x\^\ x^^ .r'^ ; x^^ x^ ; X\^ x\.
Il est aisé (le voir que les quatre termes de ia quantité qui est
comprise entre tes parenthèses dans cette expression sont préci-
sément les cosinus des angles que forment avec l'axe des x les
droites qui mesurent les distances /Vj^^; r^y^ ^2^\\ ^\,\ ^ ce qui
rend la valeur que nous venons de trouver^ pour le moment produit
par Taction des deux pôles sur le conducteur mobile, identique à
celle que nous avons dt'^ja obtenue pour celui qui résulte de ractïon
sur le mt^me conducteur d'un soiénoïde dont les extrémités se-
raient situées a ces pôles, et dont les courants électriques auraient
une intensité / et des distances respectives telles qu'on eiH

l étant l'intensité du courant du conducteur.

Le moment de rotation étant toujours nul dans la première hj-
pothèse^ ia portion mobile du circuit voUaïque ne tournerait ja-
mais par Inaction d'un aimant situé, comme nous venons de le
dire, autour de Taîte de cet aimant; dans les deux autres hypo-
thèses, elle doit au contraire tourner en vertu du moment de ro-
tation dont nous venons de calculer la valeur, toujours la même,
dans ces deux hypothèses. M- Faraday, qui a le premier produit
ce mouvement, conséquence nécessaire des lois que j'avais établies
sur Tac lion mutuelle des conducteurs vol laïques, et de la manière
dont j'avais considéré les aimants comme des assemblag^es de cou-
rants électriques, a démontré par là que la direction de l'action
exercée par le pôle d'un aimant sur un élément de fil conducteur
passe en effet par le milieu de l'élément, couformément à Texpli-

THÉORIE MATHÉMATIQUE DBS PHÉNOMÈNES, ETC. 1 fl

cation que j'ai donnée de cette action, et non par le pôle de Taï-
mant. Dès lors l'ensemble des phénomènes électro-dynamiques
ne peut plus être expliqué par la substitution de l'action des mo-
lécules magnétiques australes et boréales, répandues de la manière
que je viens de l'expliquer sur deux surfaces très voisines et ter-
minées par les fils conducteurs du circuit voltaïque, à la place de
Faction, exprimée par ma formule, qu'exercent les courants de
ces fils. Cette substitution ne peut avoir lieu que quand il s'agil
de l'action des circuits solides et fermés, et sa principale utilité
est de démontrer l'impossibilité d'un mouvement indéfinimeiu
accéléré, soit par l'action mutuelle de deux conducteurs solides
et fermés, soit par celle d'un conducteur de ce genre et d'iiij
aimant.

Lorsque l'aimant est mobile, il faut aussi distinguer trois cas ;
celui où toutes les parties du circuit voltaïque qui agit sur cet ai*
mant sont immobiles; celui où quelques parties de ce circuit sonl
mobiles, mais sans liaison avec Taimant, ces portions pouvant
d'ailleurs être formées par un fil métallique, ou par un liquide
conducteur^ enfin celui où une partie du courant passe par Tal-
mant, ou par une portion de conducteur liée à l'aimant.

Dans le premier cas, le circuit total composé des conducteurs
et de la pile est nécessairement fermé; et puisque toutes ses par-
ties sont immobiles, les trois sommes des moments des forces
exercées sur les points de l'aimant considérés, soit comme des
molécules de fluide austral ou boréal, soit comme des extrémités
de solénoïdes électro-dynamiques, sont identiques dans les trois
hypothèses, ainsi que le sont les résultantes mêmes de ces forces;
en sorte que les mouvements imprimés à l'aimant, et toutes les
circonstances de ces mouvements, sont précisément les mêmes,
quelk que soit celle de ces hypothèses qu'on adopte. C'est ce qui
a lieu, par exemple, pour la durée des oscillations faites parTai-
mant, sous l'influence de ce circuit fermé et immobile; et c^esi
pour cela que les dernières expériences de M. Biot, d'où il résulte
que la force qui produit ces oscillations est proportionnelle à la
tangente du quart de l'angle que forment les deux branches dti
conducteur qu'il emploie, s'accordent aussi bien avec cette con-
séquence de ma théorie que les directions des forces qui agisseni
sur l'aimant passent par les milieux des éléments du fil conduc-

i|3 M. -A. AMI>HR£.

trent Taxe fixe, ce qui rend nécessairement nuls les moments de

ces forces.

Daus les deux autres hypothèses, au contraire, où les directions
des forces passent par les milieux des éléments, les parties des
moments égales à ceux de la première hypothèse sont les seules
qui s^ëvonouisscnt; et lorsque, après les avoir supprimées, oû
réunit ce qui reste de chaque momentj on a

(^IZU^ „ 5!.Zl£j _ ^^ - ^'i ^ ^\ — A \
^\ ^la n.t ^la ''M /

on désignant par /'a^^i ''i,^; '':i,* î fî,% les distances des points dont
les ahscisses sont respectivement Xo, j-l, ; x^^ x\\ x^j x\ ; Xi, x\.
Il est aisé de voir que les quatre termes de la quantité qui est
comprise entre les parenthèses dans cette expression sont préci-
sément les cosinus des angles que forment avec Taxe des x les
droites qui mesurent les distances t\^; /'i^a; r^,,; r^^^ : ce qui
rend la valeur que nous venons de trouver, pour le moment produit
par Taction des deux pôles sur le conducteur mohile, identique à
celle que nous avons déjà obtenue pour celui qui résulte de T action
sur le même conducteur d^un solénoïde dont les extrénïilés se-
raient situées à ces pôles, et dont les courants électriques auraient
tine intensité i et des distances respectives telles qu'on ei^t

i' étant l'intensité du courant du conducteur.

Le moment de rotation étant toujours nul dans la première hy-
pûthèse, la portion mobile du circuit voltaïque ne tournerait ja-
mais par l'action d'un aimant situé, comme nous venons de le
dire, autour de Taxe de cet aimant; dans les deux autres hypo-
thèses, elle doit au contraire tourner en vertu du moment de ro-
tation dont nous venons de calculer la valeur, toujours la ra^me,
dans ces deux hypothèses. M, Faraday, qui a le premier produit
ce mouvement, conséquence nécessaire des lois que j'avais établies
sur racUon mutuelle des conducteurs voltaïques, el de la manière
dont j'avais considéré les aimants comme des assemblages de cou-
rants électriques, a démontré par U que la direction de Taction
exercée par le pôle d'un aimant sur un clément de fil conducteur
passe en effet par le milieu de l'élément, conformément à Texpli-

TBÉORIE MATHÉMATIQITE DBS PHÉNOMÈNES, ETC. l{i

cation que j'ai donnée de cette action, et non par le pôle de 1 ai-
mant. Dès lors Tensemble des phénomènes électro-dynamiques
ne peut plus être expliqué par la substitution de l'action des mo-
lécules magnétiques australes et boréales, répandues de lamanîcrt^
que je viens de l'expliquer sur deux surfaces très voisines et lei-
niinées par les fils conducteurs du circuit voltaïque, à la place de
Taction, exprimée par ma formule, qu'exercent les courants ûo
ces fils. Cette substitution ne peut avoir lieu que quand il s'agît
de l'action des circuits solides et fermés, et sa principale utilité
est de démontrer l'impossibilité d'un mouvement indéfinimf^jt
accéléré, soit par l'action mutuelle de deux conducteurs soliJt s
et fermés, soit par celle d'un conducteur de ce genre et d*un
aimant.

Lorsque l'aimant est mobile, il faut aussi distinguer trois cas :
celui où toutes les parties du circuit voltaïque qui agit sur cet u\-
manl sont immobiles; celui où quelques parties de ce circuit sont
mobiles, mais sans liaison avec l'aimant, ces portions pouvrini
d'ailleurs être formées par un fil métallique, ou par un liquide
conducteur^ enfin celui où une partie du courant passe par l'ai-
mant, ou par une portion de conducteur liée à l'aimant.

Dans le premier cas, le circuit total composé des conducteur^
et de la pile est nécessairement fermé; et puisque toutes ses par-
ties sont immobiles, les trois sommes des moments des forces
exercées sur les points de l'aimant considérés, soit comme dos
molécules de fluide austral ou boréal, soit comme des extrémités
de solénoïdes électro-dynamiques, sont identiques dans les Irois
hypothèses, ainsi que le sont les résultantes mêmes de ces forces;
en sorte que les mouvements imprimés à l'aimant, et toutes les
circonstances de ces mouvements, sont précisément les mêmes,
quelle que soit celle de ces hypothèses qu'on adopte. C'est ce qui
a lieu, par exemple, pour la durée des oscillations faites parl'ai-
mant, sous l'influence de ce circuit fermé et immobile; et c'est
pour cela que les dernières expériences de M. Biot, d'où il résuit l^
que la force qui produit ces oscillations est proportionnelle â la
tangente du quart de l'angle que forment les deux branches du
conducteur qu'il emploie, s'accordent aussi bien avec cette con-
séquence de ma théorie que les directions des forces qui agissrol
sur l'aimant passent par les milieux des éléments du fil conduc-

l4^ M. -A. AMPÈRE.

Ireot Taxe fixe, ce qui rend nécessairement nuls les moments de
ces forces.

Dans les deux autres hypothèses, aucontraire, où les directions
des forces passent par les milieux des éléments, les parties des
moments égales à ceux de la première hypothèse sont les seules
qui s'évanouissent; et lorsque, après les avoir supprimées, on
réunit ce qui reste de chaque moment, on a

^ X^ — X\ J-, — t\ Xf — X\ 3^1 — 3^1

)■

\ ^î,î ''l,î ''1,1

en désignant par rj^a î ^1,2 î ^2,1 î ^\,\ les distances des points dont
les abscisses sont respectivement x^^ x\\ ^i, x\^\ X2, x\ ; Xt, x\.
U est aisé de voir que les quatre termes de la quantité qui est
comprise entre les parenthèses dans cette expression sont préci-
sément les cosinus des angles que forment avec Taxe des x les
droites qui mesurent les distances r^^i] ^i,2\ ^'2,1; ''i,^ • ce qui
rend la valeur que nous venons de trouver, pour le moment produit
par l'action des deux pôles sur le conducteur mobile, identique à
celle que nous avons déjà obtenue pour celui qui résulte de Faction
sur le même conducteur d'un solénoïde dont les extrémités se-
raieut situées à ces pôles, et dont les courants électriques auraient
une intensité i et des distances respectives telles qu'on eût

f étant l'intensité du courant du conducteur.

Le moment de rotation étant toujours nul dans la première hy-
pothèse, la portion mobile du circuit voltaïque ne tournerait ja-
mais par l'action d'un aimant situé, comme nous venons de le
dire, autour de Taxe de cet aimant; dans les deux autres hypo-
thèses, elle doit au contraire tourner en vertu du moment de ro-
tation dont nous venons de calculer la valeur, toujours la même,
dans ces deux hypothèses. M. Faraday, qui a le premier produit
ce mouvement, conséquence nécessaire des lois que j'avais établies
sur l'action mutuelle des conducteurs voltaïques, et de la manière
dont j'avais considéré les aimants comme des assemblages de cou-
rants électriques, a démontré par là que la direction de l'action
exercée par le pôle d'un aimant sur un élément de fil conducteur
passe en effet par le milieu de l'élément, conformément à l'expli-

THÉORIE MATHÉMATIQITE DBS PHÉNOUÈNES| ETC. l43

cation que j'ai donnée de celte action, et non par le pôle de l'ai-
mant. Dès lors l'ensemble des phénomènes électro-dynamiques
ne peut plus être expliqué par la substitution de Faction des mo-
lécules magnétiques australes et boréales, répandues de la manière
que je viens de l'expliquer sur deux surfaces très voisines et ter-
minées par les fils conducteurs du circuit voltaïque, à la place de
l'action, exprimée par ma formule, qu'exercent les courants de
ces fils. Cette substitution ne peut avoir lieu que quand il s'agit
de Faction des circuits solides et fermés, et sa principale utilité
est de démontrer Timpossibilité d'un mouvement indéfiniment
accéléré, soit par l'action mutuelle de deux conducteurs solides
et fermés, soit par celle d'un conducteur de ce genre et d'un
aimant.

Lorsque l'aimant est mobile, il faut aussi distinguer trois cas :
celui où toutes les parties du circuit voltaïque qui agit sur cet ai-
mant sont immobiles; celui où quelques parties de ce circuit sont
mobiles, mais sans liaison avec l'aimant, ces portions pouvant
d'ailleurs être formées par un fil métallique, ou par un liquide
conducteur; enfin celui où une partie du courant passe par Fai-
mant, ou par une portion de conducteur liée à l'aimant.

Dans le premier cas, le circuit total composé des conducteurs
et de la pile est nécessairement fermé ; et puisque toutes ses par-
ties sont immobiles, les trois sommes des moments des forces
exercées sur les points de l'aimant considérés, soit comme des
molécules de fluide austral ou boréal, soit comme des extrémités
de solénoïdes électro-dynamiques, sont identiques dans les trois
hypothèses, ainsi que le sont les résultantes mêmes de ces forces;
en sorte que les mouvements imprimés à l'aimant, et toutes les
circonstances de ces mouvements, sont précisément les mêmes,
quelk que soit celle de ces hypothèses qu'on adopte. C'est ce qui
a lieu, par exemple, pour la durée des oscillations faites par l'ai-
mant, sous Finfluence de ce circuit fermé et immobile; et c'est
pour cela que les dernières expériences de M. Biot, d'où il résulte
que la force qui produit ces oscillations est proportionnelle à la
tangente du quart de l'angle que forment les deux branches du
conducteur qu'il emploie, s'accordent aussi bien avec cette con-
séquence de ma théorie que les directions des forces qui agissent
sur Faimant passent par les milieux des éléments du fil conduc-

1

ifi M.-A. AUPàRE.

tpiir, <]U^avec l'hypothèse qu'il a adoptée et dans laquelle il admet
([[te ('c% directions passent par les points de l'aimant où il place
Il s JTiul Locales magnétiques.

L'^hniité qui a lieu dans ce cas entre les trois hypothèses
niiMiiii' en même temps l'impossibilité que le mouvement de l'ai-
iniJuL ^'accélère indéfiniment, et prouve que l'action du circuit
vnli;tH|iie ne peut que tendre à l'amener dans une position déter-
minée tréqullibre.

11 semble, au premier coup d'œil, que la même impossibilité
(Irvruit îivoir lieu dans le second cas, ce qui est contraire à l'expé-
rfervcr, du moins quand une partie du circuit est formée d'un
Ihjinih . Il est évident, en effet, que la mobilité d'une portion du
4 ontliiricur n'empêche pas que cette portion n'agisse à chaque
in^l.iiit comme si elle était fixe dans la position qu'elle occupe à
et't instant; et l'on ne voit pas d'abord comment cette mobilité
iWMt c lianger tellement les conditions du mouvement de l'aimant,
iitril devienne susceptible d'une^ accélération indéfinie dont l'im-
iifïsslhililé est démontrée quand toutes les parties du circuit vol-
l^iïtjUi' sont immobiles.

Mils dès qu'on examine avec quelque attention ce qui doit ar-
river* eTaprès les lois de l'action mutuelle d'un corps conducteur
vi iVun iiimant, quand le conducteur est liquide, qu'un cylindre
iiiin^mU'; vertical flotte dans ce liquide, et que la surface du cy-
îiu^iïe est recouverte d'un vernis isolant afin -que le courant ne
jiuisse [ïas le traverser, ce qui donnerait lieu au troisième cas, on
m enitjiaît bientôt comment il résulte de la mobilité de la portion
liijuiili- Ju circuit vol taïque que l'aimant flottant acquière un mou-
\« jiH iH qui s'accélère indéfiniment : il ne faut pour cela qu'appli-
*\iu}i A oe cas l'explication que j'ai donnée, dans les Annales de
< hi^tnr et de Physique (t. XX, p. 68-70), du même mouve-
m*.'Nl, (|uand on suppose que, l'aimant n'étant pas verni, les cou-
liinis (la liquide où il flotte le traversent librement.

En ^'Ifet, cette explication étant fondée sur ce que les portions
\\v murants qui se trouvent dans l'aimant ne peuvent avoir sur
Imî aucune action, et que celles qui sont dans le liquide hors de
l'iiimniu agissent toutes pour accélérer son mouvement toujours
<lms le même sens, il s'ensuit évidemment que tout ce qui arrive
(l.iiîs ce cas doit encore arriver quand la substance isolante, dont

THéORIB MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. | {5

on revêt Taimant, supprime seulement précisément ces portions
de courants qui n'avaient aucune action, et qu'elle laisse subsistur
et agir, toujours de la même manière, celles qui, étant hors de
l'aimant, tendaient toutes à accélérer son mouvement constam-
ment dans le même sens. Pour qu'on puisse mieux juger qu'il
n'y a, en effet, rien à changer à l'explication dont je viens de
parler, je crois devoir la rappeler ici, en l'appliquant au cas m
l'aimant est recouvert d'une substance isolante. Je supposent,
pour plus de simplicité dans cette explication, que l'on substitue
à l'aimant un solénoïde électro-dynamique, dont les extrémitt's
soient aux pôles de cet aimant, quoique, d'après ma théorie, il
dût être considéré comme un faisceau de solénoïdes. Cette suppo-
sition ne change pas les effets produits, parce que, les courants cîu
mercure agissant de la même manière et dans le même sens sur
tous les solénoïdes du faisceau, ils lui impriment un mouvemeni
semblable à celui qu'ils donneraient à un seul de ces solénoïdes,
et l'on peut toujours supposer que les courants électriques dr
celui-ci aient assez d'intensité pour que son mouvement soit seu-
siblement le même que celui du faisceau.

Soit dono ETFT' (/ig- 4o) la secUon horizontale d'un vase rie

verre plein de mercure en contact avec un cercle de cuivre qui en
garnit le bord intérieur et qui communique avec un des rhéo-
phores, le rhéophore négatif par exemple, tandis que l'on y fait
plonger en P le rhéophore positif; alors il se forme dans le mer-
cure des courants qui vont du centre P du cercle ETFT' à sa cir-
conférence.

Représentons la section horizontale du solénoïde par le petil
Mém, de Phys., Itl. lo

j^G M. -A. AMPÈRE.

cercle etft\ dont le centre est en A et dont la circonférence etft^
csr un des courants électriques dont il est composé : en suppo-
sa ni que ce courant se meuve dans le sens eifi^ il sera attiré par
les courants du mercure tels que PUT, qui se trouvent, dans la
Ggiircj a droite de etftly parce que la demi-circonférence etf^ où
le courant va dans le même sens, en est plus rapprochée (\\xe fl'e
où il va en sens contraire. Soit AS cette attraction égale à la diffé-
l'pnci" dtis forces exercées par les courants PUT sur les deux demi-
circonférences, et qui passe nécessairement par leur centre A,
puisqu'elle résulte des forces que ces courants exercent sur tous
les éléments de la circonférence etft! qui leur sont perpendicu-
laires, el sont, par conséquent, dirigées suivant les rayons de
cette circonférence. Le même courant etfl' du solénoïde est, au
contraire, repoussé par les courants qui, comme P.U'T', sont, dans
la figiircj à gauche de ce courant etft'^ parce qu'ils sont en sens
contnilre dans la demi-circonférence //'e la plus voisine de PU'T'.
Soit AS' la répulsion qui résulte de la différence des actions exer-
cées par les courants PU'T' sur les deux demi-circonférences /^'e,
£'//, t'Iic sera égale à AS, et fera, avec le rayon PAF, l'angle
FAS- ^ PAS, puisque tout est égal des deux côtés de ce rayon :
iii résultante AR de ces deux forces lui sera donc perpendiculaire;
cl coninic elle passera par le centre A, ainsi que ses deux compo-
santes VS, AS', le solénoïde n'aura aucune tendance à tourner
autour de son axe, comme on l'observe en effet à l'égard de l'ai-
uiaiU (lottant que représente ce solénoïde; mais il tendra, à
clrar[ite instant, à se mouvoir suivant la perpendiculaire AR au
rayon l*/VF, et comme, lorsqu'on fait cette expérience avec
un aimant flottant, la résistance du mercure détruit à chaque
instant la vitesse acquise, on voit cet aimant décrire la courbe
perpendiculaire à toutes les droites qui passent comme PAF par
le point P, c'est-à-dire la circonférence ABC dont ce point est le
centre.

Cette belle expérience, due à M. Faraday, a été expliquée par
les physiciens qui n'admettent pas ma théorie, en attribuant le
mouvement de l'aimant au rhéophore plongé en P dans le mer-
cure, auquel on donne ordinairement une direction perpendicu-
Uire à ta surface du mercure. Il est vrai que, dans ce cas, le
courant de ce rhéophore tend à porter l'aimant dans le sens où il

\

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. l^J

se meut réellement; mais il est aisé de s'assurer, par des expé-
riences comparatives, que c'est avec une force beaucoup trop
faible pour vaincre la résistance du mercure, et produire, malgré
cette résistance, le mouvement qu'on obser\'e. J'étais d'abord
surpris de voir que ces physiciens ne tenaient pas compte de l'ac-
tion que les courants du mercure doivent exercer dans leur propre
théorie; ma surprise a augmenté quand j'en ai reconnu la cause
dans une erreur manifeste qui se trouve énoncée en' ces termes
dans l'ouvrage déjà cité (') ' « L'action transversale de ce filficuf
}) (le courant électrique qui est dans le mercure) sur le niagn*' tisme
» austral de A {/iff. 4^) tendra donc aussi constamment à pousser

Fig. /,3.

» A de la droite vers la gauche d'un observateur qui aurait la tête
» en G et les pieds en Z. Mais une tendance contraire s'exercera
» sur le pôle B, et môme avec une énergie égale, si la ligne hori-
» zontale C'FF'Z se trouve à la hauteur précise du centre du bar-
» reau; de sorte qu'en somme il n'en résultera aucun mouvement
» de translation. Ce sera donc alors la seule force exercée par CF
» qui déterminera la rotation du barreau AB. » Comment T auteur
n'a-t-il pas vu que les actions que le fil fictif , placé comme il le
dit, exerce sur les deux pôles du barreau AB, tendent à le porter
dans le même sens, et qu'elles s'ajoutent au lieu de se d<^truire,
puisque, étant d'espèces contraires, ces pôles se trouvent des deux
côtés opposés du fil?

(') Précis élémentaire de Physique expérimentale j 3* édit., U 11, p, 753,

I48 M. -A. AHPéRB.

Il est important de remarquer, à ce sujet, que si des portions de
courants, faisant partie de ceux du mercure, pouvaient se trouver
dans riritérieur du petit cercle elfi et agir sur lui, elles tendraient
à le fïiire tourner autour du point P en sens contraire, et avec une
force qui, au lieu d'être la différence des actions exercées sur les
deux demi-circonférences etf^fde^ en est la somme, parce que si
it\' re])iésente une de ces portions, il est évident qu'elle attirera
Type (j!/<» et repoussera l'arc vtUi^ d'où résultent deux forces qui
consi^ircot à mouvoir etfd dans la direction AZ opposée à AR.
(j(Lte circonstance ne peut évidemment avoir lieu avec Taimant
llottanr qui occupe tout l'intérieur du petit cercle etft'^ parce qu'il
en exclut les courants quand il est revêtu de matière isolante, et
parce ipie, dans le cas contraire, les portions de courants com-
prises dans ce cercle, ayant lieu dans des particules de l'aimant
invariablement liées à celles sur lesquelles elles agissent, l'action
qu'elles produisent est détruite par une réaction égale et opposée;
en sorti" qu'il ne reste, dans les deux cas, que les forces exercées
par h s courants du mercure, qui tendent toutes à mouvoir l'ai-
uiiini suivant AR. C'est uniquement pour cela qu'il tourne autour
du [joint P dans ce sens, comme on s'en assure en remplaçant Tai-
tnauL par un conducteur mobile xzeifi sy {fig. 40» formé d'un

Fig. 4i.

m de cuivre assez fin, revêtu de soie, dont la partie intermédiaire
etjY c^t pliée en cercle, et dont les deux portions extrêmes, tordues
ensemble de e en ^, vont, l'une ezx se rendre en x dans une coupe
î\ mercure communiquant à un des rhéophores, et l'autre l'sy
plungcr en P {fig* 4o) dans le mercure qui communique, comme
nous l'avons dit, avec l'autre rhéophore : on suspend ce conduc-
leur ninbile de manière que le cercle etfd {Jig» 40 soit très près
de la surface du mercure, et l'on voit qu'il reste immobile, en

THÉORIE MATHÉUATIQUB DES PnÉNOMBNES, ETC. tfg

vertu de l'équilibre qui s'établit entre les forces exercées par les
portions de courants comprises dans le cercle etfl! et celles qni
le sont par les courants et portions de courants extérieurs à ce
cercle. Mais, dès qu'on supprime les portions de courants com-
prises dans Tespace eifi {fig» 4o)> ^^ enfonçant dans le mercure
au-dessous du cercle etfd {fig* 4^) ^^ cylindre de matière iso-
lante dont la base lui soit égale, pour imiter ce qui arrive à l'ai-
mant flottant, on le voit se mouvoir, comme cet aimant, dans le
sens AR. Lorsqu'on laisse le cylindre de matière isolante où élait
d'abord le cercle etft', celui-ci ne tourne pas indéfiniment comme
l'aimant, mais va s'arrêter, après quelques oscillations, dans une
position d'équilibre; différence qui vient de ce que l'aimant flot-
tant laisse, derrière lui, se remplir de mercure la place qu'il occu-
pait d'abord, et chasse le mercure successivement des diverses
places où il se trouve transporté. C'est ce changement dans la si-
tuation d'une partie du mercure qui en entraîne un dans les cou-
rants électriques, et fait que, quoique le circuit vol taïque total soit
fermé, le mouvement continu de l'aimant, qui est impossible par
l'action d'un circuit solide et fermé, ne laisse pas d'avoir Heu dans
ce cas où le circuit fermé change de forme par le mouvement
même de l'aimant. Pour produire ce mouvement en employanl,
au lieu de l'aimant, le conducteur mobile que nous venons de
décrire, il faut, lorsqu'on a constaté qu'il ne se meut que quand
on supprime, par le cylindre de matière isolante, les portions de
courants intérieures au petit cercle etft\ et qu'en laissaiU ce cy-
lindre à la même place, il s'arrête dans une position déterminée
d'équilibre après avoir oscillé autour d'elle, imiter ce qui a lieu
lorsqu'il s'agit d'un aimant flottant, en faisant glisser le cylindre
de matière isolante sur le fond du vase, de manière qu'il soil tou-
jours sous le cercle etft' {fig* 4') ^^ que son centre corresponde
toujours verticalement à celui de ce cercle : le conducteur mobile
se met alors à tourner indéfiniment autour du point P ( ///r- 4^)
comme l'aimant.

C'est, en général, en substituant aux aimants des conducieurs
mobiles plies en cercle, qu'on peut se faire une idée juste des
causes des divers mouvements des aimants, lorsqu'on veut ana-
lyser ces mouvemients par l'expérience sans recourir au calcul^
parce que cette substitution donne le moyen d'en faire varier les

t5o m.-a. aupêre.

clrconsttinces de différentes manières, qu'il serait le plus souvent
ïmpossilile d'obtenir avec des aimants, et qui peuvent seules éclair-
cîr les difficultés que présentent des phénomènes souvent si com-
pliqués. C'est ainsi, par exemple, que dans ce que nous venons de
dire 11 est impossible, avec un aimant, de vérifier ce résultat de
la théorie, que si des portions des courants du mercure pouvaient
traverser l'aimant, et agir malgré cela sur lui en conservant Tin-
tensité et la direction qu'ils ont dans le mercure lorsqu'on enlève
raîmant, celui-ci ne tournerait pas autour du point P, et que la
vérificaiion en devient facile quand on lui substitue, comme nous
venons de le dire, le conducteur mobile représenté ici {^fig* 40-

L'identité d'action qu'on observe constamment entre les mou-
vemenis d'un conducteur mobile et ceux d'un aimant, toutes les
fois qu'ils se trouvent dans les mêmes circonstances, ne permet pas
de douter, quand on fait l'expérience précédente, que l'aimant
ne restât aussi immobile, lorsqu'il est traversé parles portions de
courants intérieures au cercle etft\ si ces portions pouvaient agir
sur lui ; et, comme on voit, au contraire, que quand il n'est pas
revêtu d'une substance isolante, et que les courants le traversent
librement, il se meut précisément comme quand il l'est et qu'au-^
cunes portions de courants ne peuvent plus pénétrer dans l'inté-
rieur de cet aimant, on a une preuve directe du principe sur le-
quel repose une partie des explications que j'ai données, savoir :
que les portions de courants qui traversent l'aimant n'agissent en
aucune manière sur lui, parce que les forces qui résulteraient de
leur action sur les courants propres à l'aimant, ou sur ce qu'on
appelle des molécules magnétiques, ayant lieu entre les parti-
cules d'un même corps solide, sont nécessairement détruites par
une réaction égale et opposée.

J'avoue que cette épreuve expérimentale d'un principe qui n'est
qu'une suite nécessaire des premières lois de la Mécanique me
paraît complément inutile, comme elle l'aurait paru à tous les
physiciens qui ont considéré ce principe comme un des fonde-
ments de la science. Je n'en aurais même pas fait la remarque, si
l'on n'avait pas supposé que l'action mutuelle d'un élément de fil
conducteur et d'une molécule magnétique consistait en un couple
primitif composé de deux forces égales et parallèles sans être di-
rectement opposées, en vertu duquel une portion de courant qui

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. l5l

a lieu dans un aimant pourrait le mouvoir; supposition contraire
au principe dont il est ici question, et qui se trouve démentie par
l'expérience précédente, d'après laquelle il n'y a pas d'action
exercée sur l'aimant par les portions de courants qui le traversent
quand il n'est pas revêtu d'une enveloppe isolante, puisque le
mouvement qui a lieu dans ce cas reste le même lorsqu'on em-
pêche les courants de traverser l'aimant, en le renfermant dans
cette enveloppe.

C'est de ce principe qu'il faut partir pour voir quels sont les
phénomènes que doit présenter un aimant mobile sous l'influence
du courant voltaïque, dans le troisième cas qui nous reste à con-
sidérer, celui où une portion du courant passe par l'aimant, ou
par une portion de fil conducteur invariablement liée avec lui.
Nous venons de voir que, lorsqu'il s'agit du mouvement de révo-
lution d'un aimant autour d'un fil conducteur, le mouvement doit
être le même, et l'est en effet, 5oit que le courant traverse ou ne
traverse pas l'aimant. Mais il n'en est pas ainsi quand il est ques-
tion du mouvement de rotation continue d'un aimant autour de la
droite qui en joint les deux pôles.

J'ai démontré et par la théorie et par les expériences variées
de diverses manières dont les résultats ont toujours confirmé ceux
de la théorie, que la possibilité ou l'impossibilité de ce mouve-
ment tient uniquement à ce qu'une portion du circuit voltaïque
total soit dans tous ses points séparée de l'aimant, ou à ce qu'il
passe, soit dans cet aimant, soit dans une portion de conducteur
liée invariablement avec lui. En effet, dans le premier cas, l'en-
semble de la pile et des fils conducteurs forme un circuit toujours
fermé, et dont toutes les parties agissent de même sur l'aimant,
soit qu'elles soient fixes ou mobiles; dans ce dernier cas, elles
exercent, à chaque instant, précisément les mêmes forces que si
elles étaient fixes dans la position où elles se trouvent à cet instant.
Or nous avons démontré, d'abord synthétiquement à l'aide des
considérations que nous ont fournies les Jig. 3o et 3i, ensuite
en calculant directement les moments de rotation, qu'un circuit
fermé ne peut imprimer à un aimant un mouvement continu au-
tour de la droite qui joint ses deux pôles, soit qu'on les considère,
conformément à ma théorie, comme les deux extrémités d'un so-
lénoïde équivalant à l'aimant, ou comme deux molécules magné-

j52

M.-A. AUPÈRE.

lîques dont Pintensité soit assez grande pour que les actions
exercées restent les mêmes quand on les substitue à toutes celles
dont on regarde l'aimant comme composé dans Thypothèse des
deux fluides. L'impossibilité du mouvement de rotation de l'ai-
mant autour de son axe, tant que le circuit total fermé en est
partout séparé, se trouve ainsi complètement démontrée, non
seulement en appliquant ma formule aux courants du solénoïde
substitué à l'aimant, mais aussi en partant de la considération
d'une force qui aurait lieu entre un élément de fil conducteur et
une molécule magnétique perpendiculairement au plan qui passe
par celte molécule et par la direction de l'élément, en raison in-
verse du carré de la distance, et qui serait proportionnelle au
sinus de l'angle compris entre la droite qui mesure cette distance
et h direction de l'élément. Mais lorsqu'on suppose, dans ce der-
nier cas, que la force passe par le milieu de l'élément, soit qu'elle
agisse 3ur lui ou réagisse sur la molécule magnétique, ainsi que
cela a lieu, d'après ma théorie, à l'égard du solénoïde, le même
mouvement devient possible dès qu'une portion du courant passe
par Taimant, ou par une portion de conducteur invariablement
liée avec lui; parce que toutes les actions exercées par cette por-
tion sur les particules étant détruites par les réactions égales et
opposées qu'exercent sur elles ces mêmes particules, il ne reste
que les actions exercées par le reste du circuit total qui n'est plus
fermée et peut par conséquent faire tourner l'aimant.

Pour bien concevoir tout ce qui se rapporte à cette sorte de
mouvement, concevons que la tige TVUS (Jig. i3), qui sup-

Fig. i3.

porte la petite coupe S dans laquelle plonge la pointe o du con-
ducteur mobile oab, soit pliée en V et U comme on le voit

THÉORIE MATHÉUATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. lâ3

dans la figure, de manière à laisser libre la portion VU de la
droite TS prise pour axe de rotation, afin qu'on puisse suspendre
Taimant cylindrique GH, par un fil très fin ZK, au crochet K
attaché en U à cette tige, et que le conducteur mobile oab main-
tenu dans la situation où on le voit dans la figure par le contre-
poids c soit terminé en b par une lame de cuivre bcf^ qui plonge
dans l'eau acidulée dont on remplit le vase MN, afin que ce coti-
ducteur communique avec le rhéophore /> P plongé dans le nier-
cure de la coupe P, tandis que l'autre rhéophore rR est en com-
munication avec la tige TVUS par le mercure qu'on met dans la
coupe R, et que la pile pr ferme le circuit total.

A l'instant où l'on établit le courant dans cet appareil, on voit
le conducteur mobile tourner autoiu* de la droite TS; mais l'ai-
mant est seulement amené à une position déterminée autour de
laquelle il oscille quelque temps, et où il reste ensuite inimobile-
En vertu du principe de l'égalité de l'action et de la réaction, qui
a lieu à l'égard des moments de rotation autour d'un m^me a\c
comme à l'égard des forces, si l'on représente par M le moment
de rotation imprimé, par l'action de l'aimant, au coruluctcur mo-
bile oaè, la réaction de celui-ci tendra nécessairement à faire
tourner l'aimant autour de son axe avec le moment — M, é^al
à M, mais agissant en sens contraire.

L'immobilité de l'aimant vient évidemment de ce que, si le con-
ducteur mobile oab agit sur lui, le reste 6MP/?rRTS du circuit
total ne peut manquer de le faire également; le moment de l'ac-
tion qu'il exerce sur l'aimant, réuni à celui de oah^ donne le
moment du circuit fermé oa6MP/?rRTS, qui est nul; d'où il suit
que le moment de 6MP/;rRTS est M, égal et opposé à — M.

Mais si l'on vient à lier l'aimant GH au conducteur mobile oaby
il en résulte un système de forme invariable, dans lequel Tac lion
et la réaction qu'ils exercent l'un sur l'autre se délruf sent mutuel-
lement; et ce système resterait évidemment immobile, si la partie
6MP/?rRTS n'agissait pas comme auparavant sur Taimant pour le
faire tourner en lui imprimant le moment de rotation M, C'est en
vertu de ce moment que l'aimant et le conducteur mobile, réunis
en un système de forme invariable, tournent autour de la droite
TS; et comme ce moment est, comme on vient de le voir, et de
même valeur et de même signe que celui qu'imprimait Taimant au

|S| Al. -A. AMPÈRE.

conducteur oab quand ce conducteur en était séparé et tournait
seul, oo voit que ces deux mouvements auroat nécessairement
lieu dans le même sens, mais avec des vitesses réciproquement
proportionnelles au moment d'inertie du conducteur et à la somme
de ce moment d'inertie et de celui de Paimant.

J'ai fait abstraction, dans les considérations précédenteSj de
TacLion exercée par la portion 6MP/?rRTS du circuit total sur
le conducteur mobile oab^ soit dans le cas où ce conducteur est
séparé de l'aimant, soit dans le cas où il lui est uni, non seule-
ment parce qu'elle est très petite relativement à celle qu'exerce
Taimunt, mais parce qu'elle tend uniquement à porter le conduc-
teur mobile dans la situation déterminée par la répulsion niuluelle
des éléments de ces deux portions du circuit total, et ne contribue,
par conséquent, dans les deux cas, aux mouvements de rotation
de oabj que pour en faire un peu varier la vitesse, qui sans cela
serait constante.

Pour pouvoir facilement unir et séparer allernativemcni l'ai-
niant et le conducteur mobile, sans interrompre les expériences,
il convient de fixer au crochet Z par lequel l'aimant est suspendu
au fil ZK un morceau de fil de cuivre ZX terminé en X par une
fourcbette dont les deux branches X^, Y y embrassent le conduc-
teur mobile oaby qui se trouve serré entre elles, quand on plie
convenablement la tige ZX; en la pliant en sens contraire, on lui
donne la position où elle est représentée dans la figure, et le con-
ducteur redevient libre.

J'ai expliqué en détail cette expérience, parce qu'elle semble,
plus qu'aucune autre, appuyer l'hypothèse du couple primitif,
quand on ne l'analyse pas comme je viens de le faire. En effet, on
admet comme moi, dans cette hypothèse, que les forces exercées
par l'aimant GH, sur les éléments du conducteur mobile oab^
passent par ces éléments, et qu'en les supposant tous dans le plan
vertical TSaô, mené par la droite TS, les forces sont normales à
ce plan ; elles tendent donc à faire tourner oab toujours dans le
uiéme sens autour de TS : ces forces sont, d'après la loi proposée
par M, Biot, précisément les mêmes, en grandeur, en direction
et relativement à leurs points d'application, que les forces données
par ma formule; elles produisent donc le même moment de rota-
tion M en vertu duquel s'exécute le mouvement du conducteur

THEORIE MATHÉMATIQUE DBS PHÉNOMÈNES, ETC. [55

oab lorsqu'il est libre. Mais; suivant les physiciens qui admelient
l'hypothèse dont il est ici question, les forces dues à la réaction
des éléments du conducteur sur Taimant ne sont plus les mêmes
qu'en grandeur et en ce qu'elles sont perpendiculaires au plan
TSflè; ils pensent que ces forces sont appliquées aux molécules
magnétiques, ou, ce qui revient au même, aux deux pôles de Taî-
mant GH qui sont sur la droite TS; dès lors leurs momenU de
rotation sont nuls relativement à cetlte droite. C'est à cette cause
qu'ils attribuent l'immobilité de l'aimant quand il n'est Hé à
aucune portion du circuit voltaïque-, mais, pour expliquer le mou-
vement de rotation de l'aimant dans le cas où on l'unit au con-
ducteur mobile oabj à l'aide de la tige ZX, ils supposent que lâ
réunion de ces deux corps en un système de forme invariable
n'empêche pas l'aimant d'agir toujours pour imprimer au conduc-
teur mobile le même moment de rotation M, sans que ce conduc-
teur réagisse sur l'aimant de manière à mettre obtacle au mouve*
ment du système, qui doit tourner par conséquent dans le même
sens que tournait le conducteur mobile avant d'être lié invariable-
ment à l'aimant, mais avec une vitesse moindre dans la raison
réciproque des moments d'inertie du conducteur seul et du con-
ducteur réuni à l'aimant.

C'est ainsi qu'on trouve dans celte hypothèse les mêmes résul-
tats que quand on suppose l'action opposée à la réaction suivant
la même droite, et qu'on tient compte de l'action exercée sur
l'aimant par le reste 6MP/?rRTS du circuit voltaïque. Il résulte
de tout ce qui a été démontré dans ce Mémoire que cette identité
des effets produits et des valeurs des forces que nous venons de
trouver, dans le cas que nous avons examiné, entre la manière
dont j'ai expliqué les phénomènes et l'hypothèse du couple pri-
mitif, est une suite nécessaire de ce que le circuit voltaïque qu'on
fait agir sur l'aimant est toujours fermé, et que dès qu'il s'agît
d'un circuit fermé, non seulement les trois forces parallèle îs à
trois axes qui résultent de l'action qu'un tel circuit exerce sur un
aimant, mais encore les trois moments de rotation autour de ces
trois axes, sont les mêmes dans les deux manières de concevoir
les choses, ainsi que le mouvement de l'aimant, qui ne peut dé-'
pendre que de ces six quantités.

La même identité se retrouvera, par conséquent, dans toutes

l56 M.-A. AMPÈRE.

les expériences du même genre, et ce n'est, ni par ces expériences,
ni par la mesure des forces qui se développent entre les fils con-
diicleurs et les aimants, qu'une telle question peut être décidée;
elle doit IVHre :

1* Par la nécessité du principe, que raclion mutuelle des di-
verses parties d'un système de forme invariable ne peut, dans
aucun cas, imprimer à ce système un mouvement quelconque;
principe qui n'est qu'une conséquence de l'idée même que nous
avons des forces et de l'inertie de la matière;

a° Par cette circonstance, que Thypothèse du couple primitif
n'a été imaginée, par ceux qui l'ont proposée, que parce qu'ils ont
cru que les phénomènes dont ils sont partis ne pouvaient être
expliqués autrement, faute d'avoir tenu compte de l'action
qu'exerce sur l'aimant la totalité du circuit voltaïque; parce qu'ils
n'ont pas fait attention que ce circuit est toujours fermé, et qu'ils
n*oni pas déduit, coinme je l'ai fait, de la loi proposée par M. Biot,
celle conséquence rigoureuse que, pour un circuit fermé, les
forces et les moments sont identiquement les mêmes, soit qu'on
suppose que les directions des forces exercées sur l'aimant passent
par les molécules magnétiques ou par les milieux des éléments
des fils conducteurs.

S"* Sur ce^ quand on admet que les phénomènes dont nous nous
occupons peuvent être produits, en dernière analyse, parles forces
exprimées en fonctions des distances qu'exercent les molécules
des deux fluides électriques, et qu'on attribue aussi aux deux
Oui des magnétiques quand on les regarde comme la cause des
phénomène}?, purement électriques selon moi, que présentent les
aimants, on peut bien concevoir que si ces molécules sont en
mouvement dans les fils conducteurs, il en résulte entre leurs élé-
ments des forces qui ne dépendent pas seulement des distances
de ces éléments, mais encore des directions suivant lesquelles a
lieu le mouvement des molécules électriques qui les parcourent,
telles précisément que les forces que donne ma formule, pourvu
que ces forces satisfassent à la condition que l'action et la réaction
soir^nl dirigées suivant la même droite, tandis qu'il est contradic-
toire de supposer que des forces, quelles que soient d'ailleurs leurs
valeurs en fonctions des distances, dirigées suivant les droites qui
joignent les molécules entre lesquelles elles s'exercent, puissent

THÉORIE HAtHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. l5y

produire, par quelque combinaison que ce soit, lors même que
ces molécules sont en mouvement, des forces pour lesquelles
l'action et la réaction ne soient pas dirigées suivant la même
droite, mais suivant deux droites parallèles, comme dans Thypo-
thèse du couple primitif.

On sait, en eflFet, que quand même des molécules électriques
ou magnétiques sont en mouvement, elles agissent à chaque in-
stant comme si elles étaient en repos dans la situation où elles se
trouvent à cet instant. Si donc on considère deux systèmes de
molécules, telles que chaque molécule de l'un exerce sur chaque
molécule de l'autre une force égale et opposée, suivant la droite
qui les joint, à la force exercée par la seconde molécule sur la pre-
mière, et qu'arrêtant toutes ces molécules dans la situation où
elles se trouvent à un instant donné on suppose qu'elles soient
toutes liées invariablement ensemble dans cette situation, il \
aura nécessairement équilibre dans le système de forme invariable,
composé des deux autres, qui résultera de cette supposition, puis-
qu'il y aura équilibre entre les forces élémentaires prises deux k
deux. La résultante de toutes les forces exercées par le premier
système sur le second sera donc égale et opposée, suivant la même
droite, à celle de toutes les forces exercées par le second sur le
premier; et ces deux résultantes ne pourront jamais produire un
couple capable de faire tourner le système total, quand toutes ses
parties sont invariablement liées entre elles, comme le supposent
ceux qui, tout en adoptant l'hypothèse d'un couple dans l'actloD
mutuelle d'une molécule magnétique et d'un élément de fil con-
ducteur, prétendent cependant que cette action résulte de ce que
l'élément n'agit sur la molécule que parce qu'il est lui-même un
assemblage de molécules magnétiques, dont les actions sur celle
que l'on considère sont telles que Coulomb les a établies, c*esL-
a-dire dirigées suivant les droites qui les joignent à cette dernière,
et en raison inverse des carrés des distances.

II sufGt de lire avec quelque attention ce qu'a écrit M. Biot sur
les phénomènes dont nous nous occupons, dans le Livre IX de
la 3* édition de son Traité élémentaire de Physique expert-
mentale, pour voir qu'après avoir considéré constamment les
forces que les éléments des fils conducteurs exercent sur les ai-
mants, comme appliquées aux molécules magnétiques pcrpendi-

1

t5t M. -A. AMPÈRE.

culairement aux plans passant par chaque élément et chaque mo-
cule, il suppose ensuite, quand il parle du mouvement des Cls
conducteurs autour des aimants, que les forces exercées par les
molécules magnétiques sur les éléments des fils passent par ces
cléments dans des directions parallèles à celles des forces exercées
sur Taimant, et forment, par conséquent, des couples avec les pre-
mières, au lieu de leur être opposées suivant les mêmes droites ; qu'il
explique en particulier, à la page ^54, tome II de cet Ouvrage,
le mouvement de rotation d^in aimant autour de son axe, quand
une portion de courant le traverse, en supposant que Taimant
lourne par l'action que cette portion même exerce sur le reste de
Taimant, qui forme cependant avec elle un s^^stème de forme in-
variable dont toutes les parties sont invariablement liées entre
elles (*) : ce qui suppose évidemment que l'action et la réaction
de cette portion de courant et du reste de l'aimant forment un
couple. Gomment dès lors concevoir que le physicien qui admet

[^ '} Je ne sais s'il est nécessaire de rappeler à ce sujet ce que j'ai déjà fait re-
marquer ailleurs, savoir que les fluides électriques, d'après l'ensemble des faits,
surtout d'après la nullité d'action sur les corps les plus légers de l'électricité qui se
meut dans le vide, doivent être considérés comme incapables d'agir en vertu de
leur niasse qu'on peut dire infiniment petite à l'égard de celle des corps pondérables,
et qu'iiinsi toute attraction ou répulsion exercée entre ces corps et les fluides élec-
triques peut bien mettre ceux-ci en mouvement, mais non les corps pondérables.
Pour que ces derniers se meuvent, il faut, lorsqu'il s'agit des attractions et répul-
sions électriques ordinaires, que l'électricité soit retenue sur leur surface, afin que
lu forre qui surmonte l'inertie de l'un s'appuie, si l'on peut s'exprimer ainsi, sur
rincriie de l'autre. 11 faut de même, pour que l'action mutuelle de deux fils con-
ducteurs mette ces fils en mouvement, que les décompositions et recompositions
du tluJ de neutre qui ont lieu à chaque instant 'dans tous les éléments des lon-
gueurs des deux fils déterminent entre leurs particules pondérables les forces
capables de vaincre l'inertie de ces particules en imprimant aux deux fils des
viiesscs réciproquement proportionnelles à leurs masses. Quand on parle de Tac-
lioû mutuelle de deux courants électriques, on n'a jamais entendu, et il est évi-
dent qu'on ne peut entendre que celle des conducteurs qu'ils parcourent : les
physiciens qui admettent des molécules magnétiques agissant sur les éléments
d'un fil conducteur, conformément à la loi proposée par M. Biot, admettent, sans
doute aussi, que cette action ne meut le fil que parce que la molécule magnétique
cât retenue par les particules pondérables de l'aimant qui constituent l'élément
magnétique dont elle fait partie; et il est dés lors évident qu'en supposant que
raimatit se meut par l'action de la portion de courant électrique qui le traverse,
on suppose nécessairement que son mouvement résulte de l'action mutuelle qui
a lieu entre chacune de celles de ses particules que traverse le courant et toutes
les autres particules du même corps. (\. )

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 1 5g

une pareille supposition, puisse s'exprimer en ces termes a Li
page 769 du même livre : « Si l'on calcule l'action qu'exerœraU à
» distance une aiguille aimantée d'une longueur infiniment pctlie
» et presque moléculaire, on verra aisément que l'on peut fui mer
» des assemblages de telles aiguilles, qui exerceraient des forces
» transversales. La difficulté unique, mais très grande sans don le,
» c'est de combiner de tels systèmes, de manière qu'il en résulte,
» pour les tranches d'un fil conjonctif de dimension sensible, les
» lois précises d'actions transversales que l'expérience fait recon-
» naître, et que nous avons exposées plus haut. » Sans doute que
de l'action de deux systèmes de petits aimants, dont les molt^cules
australes et boréales s'attirent ou se repoussent en raison invLTse
des carrés de leurs distances, suivant les droites qui les joignent
deux à deux, il peut résulter des actions transversales, mais tiou
pas des actions qui ne soient pas égales et opposées à des réac-
tions dirigées suii^ant les mêmes droites, comme celles qut? ,^ii im-
pose M. Biot.

En un mot, la valeur de l'action de deux éléments de fils caa-
ducteurs, que j'ai déduite uniquement de l'expérience, dcpend
des angles qui déterminent la direction respective des deux vlé^
ments ; d'après la loi proposée par M. Biot, la force qui se dé-
veloppe entre un élément de fil conducteur et une molécule ma-
gnétique dépend aussi de l'angle qui détermine la direclioji de
Télément. Si j'ai appelé élémentaire la force dont j'ai déterminé 1 i
valeur, parce qu'elle s'exerce entre deux éléments de fils cojid lic-
teurs et parce qu'elle n*a pas encore été ramenée à des forces plus
simples, il a aussi appelé élémentaire la force qu'il admet entre
une molécule magnétique et un élément de fil conducteur. Jus-
que-là tout est semblable à l'égard de ces deux sortes de farces ^
mais, pour celle que j'ai admise, l'action et la réaction sont op-
posées suivant la même droite, et rien n'empêche de concevoir
qu'elle résulte des attractions et des répulsions inhérentes uux
molécules des deux fluides électriques, pourvu qu'on suppose cos
molécules en mouvement dans les fils conducteurs, pour ronJro
raison de l'influence de la direction des éléments de ces fils sur
la valeur de la force ^ tandis que M. Biot, en admettant une farce
pour laquelle l'action et la réaction ne sont pas dirigées eo seas
contraire sur une même droite, mais sur des droites parallèles et

lÛO M.-A. AMPÈRE.

formant un couple, se met dans rimpossihiliié absolue de ramener
celte force à des attractions et répulsions dirigées suivant les
droites qui joignent deux à deux les molécules niagneiiques, telles
que les admettent tous les physiciens qui s'en sont servis pour
expliquer Faction mutuelle de deux aimants. N'est-il pas évident
que cVst de cette hypothèse de M. Biot, sur des forces révolu tives
pour lesquelles l'action et la réaction ne sont pas opposées sui-
vant une même droite, qu'on devrait dire ce qu'il dit (p. 771) au
sujet de Faction mutuelle de deux éléments de fils conducteurs,
telle que je Fai déterminée par mes expériences et les calculs que
j'en ai dt-duits, savoir : qu'une pareille supposition est d'abord
en elle-même complètement hors des analogies que nous pré-
sentent toutes les autres lois d^ attraction? Y a-t-il une hypo-
tlkèse plus contraire à ces analogies, que d'imaginer des forcée
iclies que l'action mutuelle des diverses parties d'un système de
furme invariable puisse mettre ce système en mouvement?

Ce n'est point en m'éloignant ainsi d'une des lois que Newton a
regardées comme les fondements de la théorie physique de l'uni-
vers, qu'après avoir découvert un grand nombre de faits que nul
n'avait observés avant moi, j'ai déterminé, par la seule expé-
rience et en suivant la marche tracée parce grand homme, d'abord
!es lois de l'action électro-dynamique, ensuite l'expression analy-
tique de la force qui se développe entre deux éléments de fils
conducteurs, et qu'enfin j'ai déduit de cette expression toutes les
conséquences exposées dans ce Mémoire. M. Biot, en citant les
noms d'une partie des physiciens qui ont observé, de nouveaux
faits ou inventé des instruments qui ont été utiles à la Science,
n'a parlé ni du moyen par lequel je suis parvenu à rendre mobiles
des portions de fils conducteurs, en les suspendant sur des pointes
d'acier dans des coupes pleines de mercure, moyen sans lequel
on ne saurait rien des actions exercées sur ces fils, soit par d'autres
conducteurs, soit par le globe terrestre ou par des aimants; ni
des appareils que j'ai construits pour mettre en évidence toutes
les circonstances que présentent ces actions, et déterminer avec
précision les cas • d'équilibre d'où j'ai conclu les lois auxquelles
elles sont assujetties; ni de ces lois elles-mêmes déterminées par
mes expériences; ni de la formule que j'en ai conclue; ni des ap-
plications que j'ai faites de cette formule. Et à l'égard des faits

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. l(3r

que j'ai observés le premier, il n'en cite qu'un seul, celui de Tat-
traction mutuelle de deus. fils conducteurs; et s'il le cite, cVst
pour en donner l'explication qui avait été d'abord proposée par
quelques physiciens étrangers, à une époque où l'on n'avait pas
fait les expériences qui ont démontré depuis longtemps qu'elle
était complètement inadmissible. Cette explication consiste, comme
on sait, à supposer que deux fils conducteurs agissent l'un sur
l'autre, comme ils le feraient en vertu de l'action mutuelle d'ai-
guilles aimantées infiniment petites, tangentes aux sections circu-
laires qu'on peut faire dans toute la longueur des fils supposés
cylindriques; l'ensemble des petites aiguilles d'une même sec-
tion formant ainsi un anneau aimanté, semblable à celui dont
MM. Gay-Lussac et Welter se sont servis pour faire, en 1820, une
expérience décisive au sujet de l'explication dont il est ici ques-
tion. Cette expérience a prouvé, comme on sait, qu'un pareil an-
neau n'exerce absolument aucune action, tant qu'il forme ainsi
une circonférence entière, quoiqu'il soit tellement aimanté qu'en
le formant d'un acier propre à conserver, quand on le rompt,
tout son magnétisme, on trouve, en le brisant, que toutes ses por-
tions sont très fortement aimantées.

Sir H. Davy et M. Erman ont obtenu le même résultat à l'égaie I
d'un anneau d'acier d'une forme quelconque. Il est, au reste, une
suite nécessaire de la théorie des deux fluides magnétiques comme
de la mienne, ainsi qu'il est aisé de s'en assurer par un calcul tout
semblable à celui par lequel j'ai démontré, dans ce Mémoire, la
nullité d'action d'un solénoïde formant une courbe fermée, con-
formément à ce que M. Savary a trouvé, le premier, par un calcul
qui ne difi*ère pas essentiellement du mien, et qu'on peut voii-^
soit dans l'addition qui se trouve à la suite du Mémoire sur Tap-
plication du calcul aux phénomènes électro-dynamiques, qu'il a
publié en iSîS, soit dans le Journal de Physique, t. XCVl,
p. agS et suiv. ('). En donnant de nouveau cette explication, M. Bîot
montre qu'il ne connaissait ni l'expérience de MM. Gay-Lussac et
Welter, ni le calcul de M. Savary.

Il ya plus, les petites aiguilles tangentes aux circonférences des
sections des fils conducteurs sont considérées par M. Biot comme

(') Voir l'art. XXVI, t. II, p. 338. (J, J

Mém. de Phys,, III. 1 1

I$a M. -A. AMPÈRE.

les particules mêmes de la surface du Cl conducteur aimantées
par le courant électrique qui séparerait dans ces particules le
fluide austral du fluide boréal, en les portant en sens contraire,
sans que les molécules de ces fluides puissent sortir des particules
du fil où elles se trouvaient d'abord réunies en fluide neutre. Dès
iorsj quand le courant est établi depuis quelque temps dans le
fluide et se continue indéfiniment, la distribution des molécules
magnétiques dans les fils conducteurs ne peut plus changer; c'est
donc comme s'il y avait dans ces fils une multitude de points dé-
terminés qui ne changeraient pas de situation tant que le courant
continuerait avec la même intensité, et dont il émanerait des forces
attractives et répulsives dues aux molécules magnétiques, et par
conséquent réciproquement proportionnelles aux carrés des di-
stances.

Ainsi deux fils conducteurs n'agiraient l'un sur l'autre qu'en
vertu de forces exprimées par une fonction des distances entre
des points fixes dans l'un des fils et d'autres points également fixes
dans l'autre fil; mais alors un de ces fils, supposé immobile, ne
pourrait qu'amener l'autre dans la situation d'équilibre où l'inté-
grale des forces vives, qui s'obtient toujours en fonction des
coordonnées des points du fil mobile quand les forces sont fonc-
tions des distances, atteindrait sa valeur maximum. Jamais de
telles forces ne pourraient produire un mouvement de rotation
dont la vitesse allât toujours en augmentant dans le- même sens,
jusqu'à ce que cette vitesse devînt constante, à cause des frotte-
ments, ou de la résistance du liquide dans lequel il faut que plon-
gent les conducteurs mobiles pour maintenir les communications.
(ïr, j*ai obtenu ce mouvement de rotation en faisant agir un con-
ducteur spiral, formant à peu près un cercle, sur un fil conducteur
reeliligne, tournant autour d'une de ses extrémités située au centre
du cercle, tandis que son autre extrémité se trouvait assez près du
conducteur spiral.

Celle expérience, où le mouvement est très rapide et peut durer
plusieurs heures, quand on emploie une pile assez forte, est en
coniradiction manifeste avec la manière de voir de M. Biot; et si
elle ne l'est pas avec l'opinion que l'action de deux fils conduc-
^teurs résulte des forces attractives et répulsives inhérentes aux
molécules des deux fluides électriques, c'est que ces molécules

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. ifil

ne restent pas circonscrites, comme celles dont on suppose com-
posés les deux fluides magnétiques, dans des espaces très poiîi^
où leur distribution est déterminée par une cause permaneiUc*
mais qu'au contraire elles parcourent toute la longueur de cIukuio
fil par une suite de compositions et de décompositions, qui se sur -
cèdent à de 1res courts intervalles : d'où il peut résulter, comme jv
Fai déjà observé, des mouvements toujours continus dan^ lu
même sens, incompatibles avec la supposition que les points iToù
émanent les forces attractives et répulsives ne changent poinl do
lieu dans les fils.

Enfici, M. Biot répète dans la troisième édition de son Traiié r/r-
mentaire de Physique (t. II, p. 778) ce qu'il avait déjà dit dans
la Note qu'il publia, dans ]es Annales de Chimie et dePhj'sif/tn\
sur les premières expériences relatives au sujet dont nous Jinus
occupons, qu'il a faites avec M. Savart, savoir ; que quand un rld-
mcnt de fil conjonctif très fin et indéfini agit sur une molécule nui-
gnétique, « la nature de son action est la même que celle d'une
» aiguille aimantée qui serait placée sur le contour du fil dans im
» sens déterminé et toujours constant par rapport à la direclion du
» courant voltaïque ». Cependant l'action de cette aiguille sur i\uv
molécule magnétique est dirigée suivant la même droite que hi
réaction de la molécule sur l'aiguille, et il est d'ailleurs 2lis<* de
voir que la force qui en résulte est en raison inverse du cube. < L
non pas du carré de la distance, comme M. Biot a trouvé liiî-
niêmc qu'est celle de l'élément du fil.

Il me reste maintenant à étendre à l'action mutuelle de deux
circuits fermés, de grandeurs et de formes quelconques, les vui^i-
sidérations relatives aux surfaces terminées par ces circuJu il
dont les points agissent comme ce qu'on apj)elle des molécidrs
de fluide austral et de fluide boréal, que j'ai précédemiru iif
appliquées à l'action mutuelle d'un circuit fermé quelconque tL
d'un élément de fil conducteur. J'ai trouvé que l'action de frli'-
ment d^^surles deux surfaces terminées par le contour s éLaîï
exprimée par les trois forces

appliquées à chacun des éléments d^ de ce contour; je vais mu\n-

l6j H. -A. AHPÈRK.

lenanL faire à l'égard du circuits' ce que j'ai fait alors à l'égard
du circuit s. Concevons pour cela une nouvelle surface terminée
Je tous côl^s, comme la surface (t', par la courbe fermée s^, et qui
soit telle que les portions des normales de la surface (t' comprises
entre elle et cette nouvelle surface soient partout très petites.
Supposons, sur la nouvelle surface, du fluide de l'espèce contraire
à celui de la surface a', de manière qu'il y ait les mêmes quantités
des deuK ihiides dans les parties correspondantes des deux sur-
faces. En désignant par i\ 7^', ^' les angles que la normale au
point m\ dont les coordonnées sont a/^y, d ^ forme avec les trois
axes, et par A' la petite portion de celte normale qui est comprise
entre les deux surfaces, nous pourrons, comme nous l'avons fait
pour rélement d'o^, ramener l'action de l'élément de la nouvelle
surface^ qui est représenté par d^o^, sur l'ensemble des deux sur-
faces terminées par le contour 5, à des forces appliquées, comme
on Ta vu, page i3i, aux divers éléments de ce contour^ celle qui
est relaiivf! à l'élément d^ et parallèle aux x s'obtiendra en substi-
HiarU ilitns l'expression que nous avons trouvée pour cette force

ait

les nouvcllea coordonnées ^•+-A'cosÇ',j^'+ A' cosV> s'-f- /l'cosî^'
à la place de a/, ^', 5'. Comme les forces ainsi obtenues agissent
cri sens contraire des premières, il faut les en retrancher, ce qui
6e réduit, liirsqu'on néglige dans le calcul les puissances de A' su-
périeures à ta première, à différentier

eu faisant varier j?', y, 5', remplaçant ôx', S^, ôc' par A'cosÇ',
A'cnsr,', //eosî^', et changeant le signe du résultat, tandis que ^,
^v, z^ et djT, dj, d5, doivent être considérées comme des constantes
piû^rpiVlIes appartiennent à l'élément as.

La funivule dans laquelle on doit substituer A'cosÇ', A'cosVi
//(Î05C i^ ûj;', 8^, 8^ est donc

^^e'(<L5d«<r'8'-?^ - dyd.cr'3' f!=^) ,

THÉORIE HATB^UATIQUB DBS PHÉNOMéNES, ETC. 105

qu'il faut intégrer après cette substitution dans toute l'éLendiie de
la surface o^ pour avoir l'action totale de cette surface et de celle
qui lui est jointe sur l'assemblage des deux surfaces terminées par
le contours. On peut faire celte double intégration séparément
sur chacun des deux termes dont cette expression se compose.
Exécutons d'abord celle qui est relative au premier terme

Pour cela, décomposons la surface o^ en une infinité de zones
infiniment étroites par une suite de plans perpendicubires au
plan des xz menés par la coordonnée y du milieu o de T élément
d^. Nous prendrons, sur une de ces zones, pour d^o^ l'élément de
la surface o^ qui a pour expression

COSTl'

et nous aurons alors à intégrer la quantité

^^ cosV /-'

qui se changera, par une transformation toute semblable k celle
que nous avons employée plus haut relativement à

,. uAuào

d»<T= ^y

cosÇ
en celle-ci

-fz^d^/iVd'xd'^;.

En supposant, comme nous l'avons fait pour la surface t^ que
les quantités A', e' varient ensemble de manière que leur produit
conserve une valeur constante g^, on intégrera cette dernière ex-
pression, en supposant l'angle '^ constant, dans toute la longueur
de la zone renfermée sur la surface o^ entre les deux plans qui
comprennent l'angle d'y^ depuis l'un des bords du contour ^ jus-
qu'à l'autre. Celle première intégration s'eflectue immédialcmcni
et donne

Ti, v^ et Ta, (^a représentant les valeurs de r et de (^ pour les deux

]6G II. -A. AMPÈRE.

bords du contour 5'. Les deux parties de celte expression doivent
main tenant être intégrées par rapport à y^ respectivement dans les
deux portions du contour s' déterminées par les deux plans tan-
gents â ce contour menés par l'ordonnée j^ de Télément ds\ et
diaprés la remarque que nous avons faite, page i3o, à l'égard de
la valeur de la force parallèle aux x dans le calcul relatif aux deux
surfaces terminées par le contour s, il est aisé de voir qu'on a ici

en prenant cette intégrale dans loule l'étendue du contour fermé s!\
les variables r, v et y n'étant plus relatives qu'à ce contour.

On exécutera de la même manière la double intégration de
l'autre terme qui est égal à

dans tonte l'étendue de la surface (t'. Il faudra, pour cela, diviser
cette surface en une infinité de zones, par des plans menés par la
coordonnée z du milieu de l'élément ds^ et prendre, sur l'une de
ces zones, pour d^T^ l'aire infiniment petite qui a pour expres-
sion — HT-^» La formule, après avoir été transformée comme la

cos Ç ' *

précédente, s'intégrera d'abord dans toute la longueur de la zone;
riniégrale ne renfjermera alors que des quantités relatives au con-
tour s\ Ensuite la seconde intégration faite par rapport à ^ dans
l'étendue du contour fermé s' donnera

f,yp

Rassemblant enfin les deux résultats obtenus par ces doubles in-
tégrations, on aura

..^(.../^*-o./q?.)

pour la valeur de la force parallèle aux Xy dont la direction passe
par le milieu de l'élément ds^ et qui provient de l'action des deux
surfaces terminées par le contour 5' sur les deux surfaces termi-
nées par le contour s.

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. M\j

On aura de même, parallèlement aux deux autres axes, les
forces

Ainsi, en supposant appliquées à chaque élément ds du contour s
les forces que nous venons de déterminer, on aura l'action qnî
résulte des attractions et répulsions des deux fluides magnétiques,
répandus et Cxés sur les deux assemblages de surfaces terminées
par les deux contours 5, s'.

Mais ces forces appliquées aux éléments ds ne diffèrent que par
le signe de celles que nous avons obtenues (p. 124) pour Tactlon
des deux circuits 5, 5', en les supposant parcourus par des courants
électriques, pourvu qu'on ait [^•gg^ = ^ii'' Cette différence vient
de ce que, dans le calcul qui nous les adonnées, les différentielles
d'o, d'y, d'^ ont été supposées de même signe que les différen-
tielles dcp, d'^, d^, tandis qu'elles doivent être prises avec des signes
contraires quand les deux courants se meuvent dans le même
sens; alors les forces produites par l'action mutuelle de ces cou
rants sont précisément les mêmes que celles qui résultent de l'ac-
tion des deux surfaces g-' sur les deux surfaces 7, et il est ainsi
complètement démontré que l'aclion mutuelle de deux circuits
solides et fermés, parcourus par des courants-électriques, peut être
remplacée par celle de deux assemblages composés chacun d€
surfaces ayant pour contours ces deux circuits, et sur lesquelle^^
seraient fixées des molécules de fluide austral et de fluide boréal,
s'attirant et se repoussant suivant les droites qui les joignent, en
raison inverse des carrés des distances. En combinant ce résuUaL
avec cette conséquence rigoureuse du principe général de la con-
servation des forces vives, déjà rappelée plusieurs fois dans ce
Mémoire, que toute action réductible à des forces, fonctions des
distances, agissant entre des points matériels formant deux sys-
tèmes solides, l'un fixe, l'autre mobile, ne peut jamais donner lieu
à un mouvement qui soit indéfiniment continu, malgré les rési-
stances et les frottements qu'éprouve le système mobile, nous en
conclurons, comme nous l'avons fait quand il s'agissait d'un ai-
mant et d'un circuit voltaïque solide et fermé, que cette sorte àv

lC8 M. -A. AMPÈRE.

mouvement ne peut jamais résulter de V action mutuelle de deux
eireuits solides et fermés.

Au Heu de substituer à chaque circuit deux surfaces très voisines
reciiiïvertes l'une de fluide austral et l'autre de fluide boréal, ces
lluiiJ^'s étant distribués comme il a été dit plus haut, on pourrait
remplacer chaque circuit par une seule surface sur laquelle se-
raienl uniformément distribués des éléments magnétiques tels que
les a définis M. Poisson, dans le Mémoire lu à l'Académie des
Sciences le 2 février 1824.

L'auteur de ce Mémoire, en calculant les formules par lesquelles
t1 a fait rentrer dans le domaine de l'analyse toutes les questions
reliiiives à l'aimantation des corps, quelle que soit la cause qu'on
lui assigne, a donné (* ) les valeurs des trois forces exercées par un
élément magnétique sur une molécule de fluide austral ou boréal ;
ces valeurs sont identiques à celles que j'ai déduites de ma for-
mule, pour les trois quantités A, B, C, dans le cas d'un très petit
ci rouit fermé et plan, lorsqu'on suppose que les coefficients con-
]^Umî1s sont les mêmes, et il est aisé d'en conclure un théorème
d':i]if ts lequel on voit immédiatement :

i" Que l'action d'un solénoïde électro-dynamique, calculée
il'!i|irès ma formule, est, dans tous les cas, la même que celle
d'une série d'éléments magnétiques de même intensité, distribués
unifurmément le long de la ligne droite ou courbe qu'entourent
ious les petits circuits du solénoïde, en donnant, à chacun de ses
points, aux axes des éléments, la direction même de cette ligne;

'^:' Que l'action d'un circuit voltaïque solide et fermé, calculée
de même d'après ma formule, est précisément celle qu'exerce-
rnirnr des éléments magnétiques de même intensité, distribués
iinilormément sur une surface quelconque terminée par ce circuit,
lorsque les axes des éléments magnétiques sont partout normaux
à celle surface.

Le même théorème conduit encore à cette conséquence, que si
Ton conçoit une surface renfermant de tous côtés un très petit
espace ; qu'on suppose, d'une part, des molécules de fluide austral
et de fluide boréal en quantités égales distribuées sur celte petite
siirlacei comme elles doivent l'être pour qu'elles constituent l'élé-

{ ' I Mémoire sur la théorie du magnétisme, par M. Poisson, p. aa. (A ).

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 1%

ment magnétique tel que l'a considéré M. Poisson, et, d'aiiLn*
part, la même surface recouverte de courants électriques, forinanL
sur cette surface de petits circuits fermés dans des plans parallèles
et équidistants, et qu'on calcule l'action de ces courants d*aprr s
ma formule, les forces exerfcées, dans les deux cas, soit sur un
élément de fil conducteur, soit sur une molécule magnétique^ sont
précisément les mêmes, indépendantes de la forme de la petite
surface, et proportionnelles au volume qu'elle renferme, les axes
des éléments magnétiques étant représentés par la droite perpen-
diculaire aux plans des circuits.

L'identité de ces forces une fois démontrée, on pourrait consi-
dérer comme n'en étant que de simples corollaires tous les ré-
sultats que j'ai donnés dans ce Mémoire, sur la possibilité de
substituer aux aimants, sans changer les effets produits, des assem-
blages de courants électriques formant des circuits fermés autour
de leurs particules. Je pense qu'il sera facile aux lecteurs de dé-
duire cette conséquence, et le théorème sur lequel elle repose,
des calculs précédents; je l'ai d'ailleurs développée dans un autre
Mémoire où j'ai discuté en même temps, sous ce nouveau point
de vue, tout ce qui est relatif à l'action mutuelle d'un aimant et
d'un conducteur voltaïque (^).

Pendant que je rédigeais celui-ci, M. Arago a découvert un nou-
veau genre d'action exercée sur les aimants. Cette découverte,
aussi importante qu'inattendue, consiste dans l'action mutui lie
qui se développe entre un aimant et un disque ou anneau d'une
substance quelconque, dont la situation relative change conti-
nuellement. M. Arago ayant eu l'idée qu'on devait pouvoir, dans
cette expérience, substituer un conducteur plié en hélice au bar-
reau aimanté, m'engagea à vérifier cette conjecture par une expé-
rience dont le succès ne pouvait guère être douteux. Les défauts
de l'appareil avec lequel j'essayai de constater l'existence de celte
action dans les expériences que je fis avec M. Arago nous empê-
chèrent d'obtenir un résultat décisif; mais M. Golladon ayant l>fea
voulu se charger de disposer plus convenablement l'appareil dont
nous nous étions servis, j'ai vérifié avec lui de la manière la phi s
complète, aujourd'hui 3o août 1826, l'idée de M. Arago, en fiiî-

(0 Ce Mémoire est celui qui est reproduit plus loin sous le n^ XXXIII. ( J.)

1

170 M. -A. AMPÈRE.

saut usa^e d'une double hélice très courte, dont les spires avaient
environ doux pouces de diamètre.

Celte expérience complète l'identité des effets produits, soit
par des aîntants, soit par des assemblages de circuits voUaïques
solides et fermés (•); elle achève de démontrer que la série de dé-

(') lî si'mbic d'abord que cette identité ne devrait avoir lieu qu'à l"*^gard dci
trirfiiiis voîtwïques fermés d'un très petit diamètre ; mais il est aisé de voir qu'elle
a Ufu aussi pfjur les circuits d'une grandeur quelconque, puisque nous avons vu
que cetjx-ci ^leuvent être remplacés par des éléments magnétiques distribués uni-
fitriiiéNient sur des surfaces terminées par ces circuits, et qu'on peut miiUip[ier
à vulinité iv nombre des surfaces que circonscrit un même circuit. L'enaemble
diî et?» sui'fiiœ* peut être considéré comme un faisceau d'aimants équivalenlâ au
circuit. La irii^me considération prouve que sans rien changer aux forces qui en
iTîrultfnt, il est toujours possible de remplacer les très petits coururUs éleetriques
qui c^ntourrnt les particules d'un barreau aimanté par des couratii^ éjeciriqu^a
tïune. (jrajideur finie, ces courants formant des circuits fermés autour de Taie dti
htirrc^u quand ceux des particules sont distribués symétriquement uutour de cet
axe. Il suftii pour cela de concevoir dans ce barreau des surfacf^s, terminées à
celle de l.iiniapi, qui coupent partout à angles droits les lignes d'îiiniantalion, et
qui passent par les éléments magnétiques qu'on peut toujours suppost^^r sitm'^s
îiut pniius t:nr CCS lignes sont rencontrées par les surfaces. Alors, îsi tous les élé-
ijh lits tVnuv mCme surface se trouvaient égaux en intensité sur des uîres égaler,
\is iJcvr»iienL ttre remplacés par un seul courant électrique parcourant la eouibe
lormée [mt l'intersection de celte surface et de celle de l'aimant; s'ils variiiient en
iLiiïïrMt iihii3t d intensité de la surface à l'axe de l'aimant, il faudrait leur substituer
il jbr>id un i;4iurant dans cette intersection tel qu'il devrait être d'après rintetisitâ
tfiitnmutH fW:^ courants parliculaires de la surface normale aux lif;neâ d'aimania-
linn ijui^ Viiiï considère, puis, à chaque ligne circonscrivant les portions de celle
snrliicc uù 1rs petits courants deviendraient plus intenses, on concevrait un nou-
veau cour^inl concentrique au précédent, et tel que l'exigerait la ditTért^nce d'In*
leiisiié fleiï courants adjacents, les uns en dehors, les autres en dedans de celle
Ji^^ne; ^i rinten^ité des courants particuliers allait en diminuant de la surface à
V\k\c du bu n eau, il faudrait concevoir, sur la ligne de séparation, un eouvant
eaiu;cnlrii|ue au précédent, mais allant en sens contraire; enfin, une augmcniaiitin
d'inlciisit-é i\\u succéderait à cette diminution exigerait un nouveau courant eon-
ct^utrii]iie fhiii^c comme le premier.

Je ne fjiis. au reste, ici cette remarque que pour ne pas omettre une consè-
qurnce reiji jiijoable des résultats obtenus dans ce Mémoire, et non pour en dé-
duire quelqur s probabilités en faveur de la supposition que les courants électriques
di'9 aifji'inis iV'rment des circuits fermés autour de leurs axes. Après avoir d'abord
hésité enire reite supposition et l'autre manière de concevoir ces conranls, en les
ct^nsi^lérant i'r>mme entourant les particules des aimants, j'ai rc^eunnu, depuis
bingtcmpi^, que cette dernière était la plus conforme à l'ensemble des faits, et je
iitii point cliEingé d'opinion à cet égard.

Cette eFHiï'Or[ucnce est d'ailleurs utile en ce qu'elle rend la similiinde des ac-
(inn!^ prniiniicSf d'une part par une hélice électrodynamique, de rentre par un
tiiniuni, tiy?^i complète, sous le point de vue de la théorie, qu'on la trouve quand

THÉORIE MATHÉHATIQUB DES PHÉNOMÈNES, ETC. 171

compositions et de recompositions du fluide neutre, qui constitue
le courant électrique suffit pour produire, dans ce cas comme
dans tous les autres, les effets qu'on explique ordinairement par
l'action de deux fluides différents de Télectricité, et qu'on désigne
sous les noms Ae fluide austral et àe Jluide boréaL

Après avoir longtemps réfléchi sur tous ces phénomènes et sur
l'ingénieuse explication que M. Poisson a donnée dernièrement
du nouveau genre d'action découvert par M. Axago, il me semble
que ce qu'on peut admettre de plus probable dans l'état actuel de
la Science se compose des propositions suivantes :

i** Sans qu'on soit autorisé à rejeter les explications fondées
sur la réaction de l'éther mis en mouvement par les courants élec-
triques, rien n'oblige jusqu'à présent d'y avoir recours.

a** Les molécules des deux fluides électriques, distribuées sur
la surface des corps conducteurs, sur la surface ou dans l'intérieur
des corps qui ne le sont pas, et restant aux points de ces corps où
elles se trouvent, soit en équilibre dans le premier cas, soit parce
qu'elles y sont retenues dans le second par la force coercitive
des corps non conducteurs, produisent, par leurs attractions et
répulsions réciproquement proportionnelles aux carrés des dis-
tances, tous les phénomènes de l'électricité ordinaire.

3° Quand les mêmes molécules sont en mouvement dans les fils
conducteurs, qu'elles s'y réunissent en fluide neutre et s'y sépa-
rent à chaque instant, il résulte de leur action mutuelle des forces
qui dépendent d'abord de la durée des périodes extrêmement
courtes comprises entre deux réunions ou deux séparations con-
sécutives, ensuite des directions suivant lesquelles s'opèrent ces
compositions et décompositions alternatives du fluide neutre.
Les forces ainsi produites sont constantes dès que cet état dyna-
mique des fluides électriques dans les fils conducteurs est devenu
permanent; ce sont elles qui produisent tous les phénomènes
d'attraction et de répulsion que j'ai découverts entre deux de
ces fils.

on consulte l'expérience, et en ce qu'elle justifie les explications où l'on sub-
stitue, comme je l'ai fait dans celle que j'ai donnée plus haut du mouvement
de révolution d'un aimant flottant, un seul circuit fermé à l'aimant que l'on con- ,
sidère. (A.)

t7'l M.-A. AMPERE.

4" L'action, dont j'ai reconnu l'existence, entre la terre et les
conducteurs voltaïques, ne permet guère de douter qu'il existe
des courants, semblables à ceux des fils conducteurs, dans l'inté-
rieiir de notre globe. On peut présumer que ces courants sont la
cause de la chaleur qui lui est propre; qu'ils ont lieu principale-
ment là où la couche oxydée qui l'entoure de toute part repose sur
un noyau métallique, conformément à l'explication que sir H. Davy
a donnée des volcans, et que ce sont eux qui aimantent les mine-
rais magnétiques et les corps exposés dans des circonstances con-
vcnalilcs à l'action électro-dynamique de la terre. Il n'existe ce-
pendant et ne peut exister, d'après l'identité d'eflFets expliquée
dans la note précédente, aucune preuve sans réplique que les
c:oii) ;ints terrestres ne sont pas seulement établis autour des par-
ticules du globe.

5 ' Le même état électro-dynamique permanent consistant dans
une série de décompositions et de recompositions du fluide neutre
qui a lieu dans les fils conducteurs existe autour des particules
des corps aimantés, et y produit des actions semblables à celles
qu^exercent ces fils.

6'* En calculant ces actions d'après la formule qui représente
celle de deux éléments de courants voltaïques, on trouve précisé-
incnt, pour les forces qui en résultent, soit quand un aimant agit
sur Tin fil conducteur, soit lorsque deux aimants agissent l'un sur
Tau Ire, les valeurs que donnent les dernières expériences de
M. Biot dans le premier cas, et celles de Coulomb dans le second.

7* Cette identité, purement mathématique, confirme de la ma-
nière la plus complète l'opinion, fondée d'ailleurs sur l'ensemble
i\e Lous les faits, que les propriétés des aimants sont réellement
dues au mouvement continuel des deux fluides électriques autour
rie leurs particules.

8' Quand Faction d'un aimant, ou celle d'un fil conducteur,
établit ce mouvement autour des particules d'un corps, les molé-
cules d'électricité positive et d'électricité négative, qui doivent se
coui^tituer dans l'état électro-dynamique permanent d'où résultent
les actions qu'il exerce alors, soit sur un fil conducteur, soit sur
un corps aimanté, ne peuvent arriver à cet état qu'après un temps
toujours très court, mais qui n'est jamais nul, et dont la durée
drpend en général de la résistance que le corps oppose au dépla-

THBORIB MATHÉMATIQUE DBS PHÉNOMÈNES, ETC. 178

cernent des fluides électriques qu'il renferme. Pendant ce déplace-
ment, soit avant d'arriver à un état de mouvement permanent, soii
quand cet. état cesse, elles doivent exercer des forces qui pro-
duisent probablement les singuliers effets que M. Arago a décou-
verts. Cette explication n'est, au reste, que celle de M. Poisson,
appliquée à ma théorie, car un courant électrique formant un très
petit circuit fermé agissant précisément comme deux molécules,
l'une de fluide austral, l'autre de fluide boréal, situées sur son
axe, de part et d'autre du plan du petit courant, à des distances
de ces plans égales entre elles, et d'autant plus grandes que le
courant électrique a plus d'intensité, on doit nécessairement
trouver les mêmes valeurs pour les forces qui se développent, soîl
lorsqu'on suppose que le courant s'établit ou cesse d'exister gra-
duellement, soit quand on conçoit que les molécules magnétiques,
d'abord réunies en fluide neutre, se séparent, en s'éloignant suc-
cessivement à des distances de plus en plus grandes, et se rappro-
chent ensuite pour se réunir de nouveau.

Je crois devoir observer, en finissant ce Mémoire, que je n'ai
pas encore eu le temps de faire construire les instruments repré-
sentés dans \di'fig. 4 de laP/. 1 et dans \dLfig. 20 de la PI. Il i^)-
Les expériences auxquelles ils sont destinés n'ont donc pas encore
été faites*, mais, comme ces expériences ont seulement pour objet
de vérifier des résultats obtenus autrement, et qu'il serait d'ailleurs
utile de les faire comme une contre-épreuve de celles qui ont
fourni ces résultats, je n'ai pas cru devoir en supprimer la des-
cription (^).

(*) Figures des pages ai et 57. (J. )

(') Ampère avait fait faire un tirage à part du présent Mémoire. Le texte da
Mémoire proprement dit est le même, à la pagination près, dans le tome VI des
Mémoires de l'Académie et dans le tirage à part. Il n'y a de différence que dans
les Notes qui suivent, lesquelles sont un peu plus étendues dans le tirage à part.
Nous reproduisons ici le texte du tirage à part. ( J.)

F74 M.-A. AMPÈRE.

NOTES

contenant quelques nouveaux dés^eloppements sur des objets
traités dans le Mémoire précédent,

l, — Sur la manière de démontrer, par les quatre cas d'équilibre exposés au
commencement de ce Mémoire, que la valeur de l'action mutuelle de deux
éléments de fils conducteurs est

lia as as' , , ,
-y^~ as as'.

ËQ suivant l'ordre des transformations que j'ai successivement fait subir à
celte valrur, on trouve d'abord, en vertu des deux premiers cas d'équi-
libre, qu'elle est

«'('sînO sin6' costo -f- A:cosB cosO'^d^d/

on di'duîl du troisième, entre n et /:, la relation /n-aA: = i, et du qua-
Iriême n = 2, d'où k=^ — \\ ce quatrième cas d'équilibre est alors celui
qu'on emploie en dernier lieu à la détermination de la valeur de la force
qui ^e diveloppe entre deux éléments de fils conducteurs : mais on peut
suivre uno autre marche en partant d'une considération dont s'est servi
M. de Laplace, quand il a conclu des premières expériences de M. Biot,
sur TacLion mutuelle d'un aimant et d'un conducteur rectiligne indéfini,
que celle qu'un élément de ce fil exerce sur un des pôles de l'aimant est
en raison inverse du carré de leur distance, lorsque cette distance change
seule de valeur et que l'angle compris entre la droite qui la mesure et la
dii ecLion de l'élément reste le môme. En appliquant cette considération à
raciion mutuelle de deux éléments de fils conducteurs, il est aisé de voir,
iruk'pend animent de toute recherche préliminaire sur la valeur de la force
qui en résulte, que cette force est aussi réciproquement proportionnelle
au carré de la distance quand elle varie seule et que les angles qui déter-
minent la situation respective des deux éléments n'éprouvent aucun chan-
gement. En effet, d'après les considérations développées au commence-
ment de ce Mémoire, la force dont il est ici question est nécessairement
dirigée suivant la droite r, et a pour valeur

ii'f{r,^,^',iù)àsàs'\

d'ûù il suit qu'en nommant a, p, y les angles que celte droite forme avec
les IraÏB axes, ses trois composantes seront exprimées par

a'/(r,0,6', to) cosad^d*', iï'/(r, 6,0', w) cospd^d*',
«'/( r, 6, 6', o) ) cos Y d5 d^',

THEORIE MATHEMATIQUE DES PHENOMENES, ETC. r;j

et les trois forces parallèles aux trois axes qui en résultent entre deux (Cir-
cuits par les doubles intégrales de ces expressions, i et i' étant des cim-
stantes.

Or il suit du quatrième cas d'équilibre, en remplaçant les trois cercles
par des courbes semblables quelconques dont les dimensions homologues
soient en progression géométrique continue, que ces trois forces ont Jcs
valeurs égales dans deux systèmes semblables; il faut donc que les iirLtU
grales qui les expriment soient de dimension nulle relativement à toul(?F
les lignes qui y entrent, d'après la remarque de M. de Laplace que je vii^ni;
de rappeler, et qu'il en soit par conséquent de même des différent înlle:î
dont elles se composent, en comprenant à.s et d^' parmi les lignes qui y
entrent, parce que le nombre de ces différentielles, quoique infini du se-
cond ordre, doit être considéré comme le même dans les deux systèmes*

Or le produit d^d^' est de deux dimensions : il faut donc que

/(r,0,0',a))cosa, /(r,e,0', co) cos?, /(r,0,0',a)) cosa

soient de la dimension — 2; et comme les angles 0, 0', w, a, p, y sont ex-
primés par des nombres qui n'entrent pour rien dans les dimensions (l< "5
valeurs des différentielles, et que /(r,6,6',co) ne contient que la seuli^

ligne r, il faut nécessairement que cette fonction soit proportionnelle â — *

en sorte que la force qu'exercent l'un sur l'autre deux éléments de fils cf>n-
ducteurs est exprimée par

Les deux premiers cas d'équilibre déterminent ensuite la fonction cp, tiii k
seul reste inconnu, et l'on a

w'(sinô sinO'coso) -f- Â- cos6 cosO') , ,,

^^ ÙSQSy

pour la valeur de la force cherchée : c'est, comme on sait, sous c<.nf?
forme que je l'ai donnée dans le Mémoire que j'ai lu à l'Académie le 4 *h'~
cembre 1820. En remplaçant alors sinO sinO'coso), et cosOcosO' par leui<^
valeurs

rd*r , 1 , dr dr

d^d^' ' d5 d^"

il vient

— ii[/_d*r dr dr\ ,

r» \d5d5' d5 as' )

^ tT(rdd>4-X:drd>) ___ iV r^ M r -^ kr^^-^ àr à' r

/«2 pk-i-i

^ _ ii'àj rkà'r) ___ ii'àà\rf^^^)
et en faisant, pour abréger, A: -h i = m, on a pour la force cherchée cette l* v-

176 M.-A. AMPÈRE.

pression très simple

iC(\d'(r'n)

où il ne reste plus qu'à prouver que r'" = /r, c'est-à-dire que le nombre
consUnt m est égal à ^,

L'expérience décrite p. 22-25 [17-20], dont je me suis servi dans cet Ouvrage
pour déterminer la valeur de k, et par conséquent celle de m = A: -m , est peu
suscoptible de précision à cause du frottement de l'arc AA'(yî^.3) sur le
mercure contenu dans les deux augets M, M', et de la difficulté qu'on éprouve
à empêcher que la répulsion qui s'établit entre l'arc et le mercure, lorsque
le courant électrique les traverse, ne les écarte assez l'un de l'autre pour
interrompre la communication. J'avais d'abord déduit la valeur de k, d'une
autre expérience (*) qui ne présentait pas les mêmes inconvénients, parce que
la portion mobile du circuit voltaïque ayant ses deux extrémités dans l'axe
vertical autour duquel elle était assujettie à tourner, le frottement du
mercure n'avait lieu que contre la surface de deux pointes tournant sut
elles-mêmes, ce qui le rendait sensiblement nul, et que d'ailleurs les
pointes ne pouvaient se séparer du mercure dans lequel elles étaient
plongées; cette expérience a en outre l'avantage de ne pas exiger un appa-
reil particulier, mais seulement celui qui sert à faire toutes les autres ex-
périences électro-dynamiques, et qui est décrit et figuré dans l'ouvrage
que j'ai publié en 1826, chez Bachelier, libraire, quai des Augustins, n**55,
ious ce titre : Description d'un appareil électro-dynamique, 2* édition.
On peut voir dans cette description, p. 19 et 20, comment se fait l'expé-
rience dont il est ici question; elle a pour but de constater qu'une portion
mobile de fil conducteur dont les deux extrémités sont dans l'axe vertical
autour duquel elle tourne librement ne peut se mouvoir continûment autour
de cet axe par l'action d'un conducteur circulaire horizontal dont le centre
est daas le même axe. J'avais ensuite abandonné cette manière de détermi-
ner Ja valeur de /c, parce que le calcul dont je m'étais servi pour l'en déduire
supposait établi relativement à chacun des éléments du conducteur circu-
laire ce que l'expérience démontrait seulement pour la totalité de ce con-
ducteur (*). Mais j'ai reconnu depuis qu'en partant de la nullité d'action du
conducteur circulaire sur un conducteur rectangulaire dont deux côtés
sont verticaux, ce qui est la forme la plus commode pour l'expérience, on
peut, au moyen d'une transformation, qui sera le sujet de la Note sui-
vante, déterminer directement la valeur de m, et par conséquent celle
de A: = m — i; ce qui dispense d'avoir recours à l'instrument réprésenté
dans la /ig, 3, et à l'expérience peu susceptible d'exactitude à laquelle il
était destiné (').

(') Voir t. II, art. XIX, p. 270. (J.)

(') Voir la note de la p. 17. (J.)

(*) A la place de ce dernier paragraphe, on trouve le suivant dans les Mémoires
de l'Académie :
w II ne reste plus alors qu'à déterminer m d'après le cas d'équilibre qui démontre

THEORIE MATHEMATIQUE DES PHENOMENES» ETC. I77

II. — Sur une transformation propre à simplifier le calcul de l'action mutuelle
de deux conducteurs rectilignes.

Quand les deux conducteurs sout rectilignes, l'angle formé par les di-
rections des deux éléments est constant et égal à celui des directions
mêmes des deux conducteurs ; il est donc censé connu, et, en le désignant
par e, on a (p. 3o)

d*r dr dr _^ dx dx' dy dy* dz ds' __

''5737'"^ dû a? ~""d7 57"" dï d7"" dJ d?""""^^®^*

d'odi il suit que

dd'(r'") __ (m — i)drdr'-f- rdd'r __ (m — !2)drdr' — cosed^d^'
mr"*- ~ r* ~" r* '

que la somme des composantes des forces qu'exerce un fil conducteur sur un élé-
ment, prises dans la direction de cet élément, est toujours nulle quand le fil
conducteur forme un circuit fermé. Ce cas d'équilibre, que j'ai considéré dans ce
Mémoire comme le troisième, doit l'être alors comme le quatrième, puisqu'il est
le dernier qu'on emploie dans la détermination complète de la force cherchée.
En remplaçant dV par — cosO'dj dans la valeur

tTd(r'^«dV)

de la force que les deux éléments exercent l'un sur l'autre, on a, pour sa compo-
sante, dans la direction de l'élément d«',

u'd^'cosO'dÇr'^'cose') _ 1 iTdyd(r»"'-«cos«e')

dont il faut que l'intégrale relative aux différentielles qui dépendent de ds soit
nulle toutes les fois que la courbe s est fermée; mais il est aisé de voir, en inté-
grant par parties, qu'elle est égale à

I .., , ,rcos»e', cos'6', , , /'cos'e'drl

La première partie de cette valeur s'évanouit quand la courbe * est fermée, parce
qu'alors r, = r,, cosô'j = cos6| ; à l'égard de la seconde on démontre facile-
ment, comme nous l'avons fait (p. 3i), que / — -- — ne peut s'évanouir,

quelle que soit la forme de la courbe fermée 4; il faut donc qu'on ait am — i = 0,
m = 1^, et que la valeur de la force due à l'action mutuelle des deux éléments d«,
dj' soit

«'dd'(r'») _ a/fddy/P

v/r

Mém, de Phys., III.

t7S M. -A. AMPÂRE.

En désignant par/> un autre exposant quelconque, on a de même

dd'(rP) __ {p — i)drd'r — cosed^d*'
prP "" r'

et en éliminant — p- entre ces deux équations, on obtient

(p — a^dd^r*») {m — i^àà'irP) _ (m'—p)costdsds'
mr'^ prP r'

d'où

dd'(r'») __ m — 2 dàU rP) m—p cosed^d*'
/wr'» ~ p — 2 prP p — 2 r*

En multipliant les deux membres de cette équation par — if, on a une
expression de Faction mutuelle de deux éléments de conducteurs vol-
taïques où Ton peut assigner la valeur que l'on veut à la constante indé-
terminée^; cette expression est

,,dd'(r'»)_ ,;;[^ — a dd'(r/») ^ m — p coszdsds'^

..Jm-
= — Il \

mr*^ L jt? — 2 prP p — 2 r» J

IlL — Application de cette transformation à la détermination de la constante
m qui entre dans la formule par lequelle est exprimée la force que deux
éléments de fils conducteurs exercent l'un sur l'autre, et à celle de la Taleur
de cûtte force qu'il convient d'employer lorsqu'on veut calculer les effets
produits par l'action mutuelle de deux conducteurs rectilignes.

Il s'agit d'abord d'appliquer la formule que nous venons de trouver à la
détermination de la valeur de /n, en partant de l'expérience qui prouve
qu'un conducteur mobile rectangulaire dont deux côtés sont Verticaux ne
prend aucun mouvement lorsqu'il est soumis à l'action d'un conducteur
circulaire horizontal et qu'il est assujetti à ne pouvoir que tourner autour
de Taiîe du cercle dont ce dernier conducteur forme la circonférence. Pour
cela, en exécutant une des deux différentiations indiquées dans la valeur
que nous venons de trouver pour la force exercée sur l'élément d*' du con-
ducteur circulaire, par l'élément ds du conducteur mobile, on la mettra
sous cette forme

.., fm — 2 d{rP-^dr') m — p cosed^d/l
L/? — 2 rP ~^ /? — 2 r* J '

on prendra ensuite sa composante suivant la tangente au conducteur cir*
culairc en la multipliant par cos6', et l'on remplacera dr' par sa valeur
— dj'cosO', ce qui donnera, pour Texpression de cette composante,

,, , Tm — 2 „ û,,, ^ , û,. m—p cosO'cosed*"]

li ds \ r-z'cosô d(rP-*cos6 ) ^ 1 ,

[_p — 2 ^ p — 2 /'» J

où p peut avoir la valeur que Ton veut.

THÉORIE MATHÉMATIQUE DBS PHÉNOMÈNES, ETC. 179

En multipliant l'expression de la composante par le rayon, qne je nom-
merai a, de la circonférence suivant laquelle est plié le conducteur fiTLC,
on aurait celle du moment de l'action que l'élément d^ exercerait pour faire
tourner d*' autour de Taxe, si ce dernier élément était mobile^ d'où W suit
qu'en changeant le signe du produit, on obtiendra la valeur du moment
qui résulte de l'action de d^ pour faire tourner d* autour du même axe.
Gomme on peut prendre/? à volonté, on rendra cette valeur plus simple
en faisant —p=p — i , ou /> = | ; on a alors

A, j/ . A/» cos6' cos6' I , cos'ô'
r-/'co86'd(r/»-*cos6') = — — d — — - = - d ,

^r /:

r

a

et l'expression du moment devient

"t A t/^ — ^ 1 cos«6' am — î cos6'cosed*\

„„d. (-3— d-^^ 3 js )•

En l'intégrant par rapport aux différentielles désignées par le signe d, qui
sont relatives à la portion mobile du fil conducteur, et en nommant ri^ f^tj
cosO',, cos6', les valeurs de r et cosô' qui ont lieu aux deux e\tr<^mitês
de cette portion, il vient, pour celle du moment en vertu duquel i^lle tend
à tourner autour de l'axe par l'action de l'élément d*',

", I f r 'W — '^' / COS* 0', COS« ^1 \ _ '^^ — ï /'COS 0' COS ^ iiî"|

Comme les droites menées de tous les points de l'axe au milieu de l'élé-
ment ds' du conducteur circulaire sont perpendiculaires à la din^r^tion de
cet élément, il est évident qu'on a, quand les deux extrémités du conduc-
teur mobile sont dans l'axe, cosôj = o, cos6', = o, et qu'ainsi Iw \aleur
précédente se réduit à

(2m — i)aii'L\s' rcosO'cosedj _ (2/n — \)au'âs' r dr co^^âx

3 J r^ ~ 3 J d7' r^ ^ ^'

L'intégrale qui entre dans cette expression doit être prise pour tuui le
contour du rectangle formé par le conducteur mobile, c'est-à-cîire pour
les quatre portions de ce conducteur qui sont les quatre côtés du rec-
tangle; mais d'abord, pour les deux portions verticales, l'angle £ eompris
entre les directions de l'élément horizontal d^' et des éléments dont elles
se composent est évidemment un angle droit : le facteur coss est donc nul,
ce qui rend aussi nulle l'intégrale elle-même dans ces deux portion??» et il

(*) La même réduction a lieu quand le conducteur mobile forme uq circuit
fermé, parce qu'alors r, -= r,, et 6', = 6 1 , ce qui donne

cos'S, __ cos'6, _ . .

]8o U.-A. AMPERE.

ne reste, par conséquent, à calculer que les parties de l'intégrale relatives
aux doux portions horizontales.

Supposons que la circonférence L'M'L'M' (fig^ 23) représente le con-
ducteur horizontal, que l'axe soit élevé au centre de ce cercle perpendicu-
lairement au plan de la figure, que les deux portions horizontales du con-
ducteur mobile soient projetées de è en c sur le rayon OL, et que P soit
la projection des milieux, situés dans une même verticale, de deux élé-
ments égaux de chacune de ces portions, représentés tous deux par d* et
sttués à une distance OP = 5 du centre O, en prenant dans les deux por-
tions l'origine des s aux points où leurs directions sont rencontrées par
celle de l*axe. Au lieu de calculer l'intégrale

- "''^^''1%

dr cossd^

séparémeni pour chacune de ces deux portions et de réunir les deux ré-
sultats^ il vaut mieux ne prendre qu'une fois, depuis 5 = 0, 6 = 5i jusqu'à
* = O, c — $Xi l'intégrale de la somme des deux moments des forces exer-
cées par rêlément d^' sur les deux éléments représentés par ds. En nom-
mant Y Tangle L'OM', on a 5 = ay -4- G, d5'= ady; et puisque le rayon OM
est perpendiculaire à l'élément d^', et que les deux portions horizontales
du conducteur mobile sont parcourues en sens contraires par le courant
électrique, il est évident que pour celle où il est dirigé vers Taxe, on doit

faire £ = ^ Y? ^^ pour l'autre e = — h y*

Si noua désignons par r et r' les distances de l'élément as' aux deux élé-
ments de ces portions représentés par d*, nous obtiendrons, pour le mo-
ment résultant de l'action de d*' sur celui de la première portion où
cos£= ainfi

(a/n — i)a*w'dY dr sin^d^
3 d? r« '

et pour le moment imprimé, par la même action, à l'élément de la seconde
où cûse — — ^siny,

(am — i)a*«'dY dr' sin^d^
3 d? ~T'ï~'

Soient h et K les distances au plan du conducteur circulaire des deux
portions horizontales du conducteur mobile, il viendra

r' = A*-H a'-h** — 2a5cosY, r''= A'* -h a* -+- 5« — ïo^cosy;
ainsi

''d? ^d5 = a5smYdY:

et, comme ds'= adY, on a

^^ — f -'^'^ Y ^^* __ f sin Y

d?" r ' d? ■" ~?~'

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. tSt

En substituant ces valeurs dans celles que nous venons d'obtcDir pour les
deux moments, on trouve que leur somme est égale à

{^-'^}ésé,.

(im — i) a* iC / sin* y sin* ^ \

Le moment total résultant de l'action du conducteur mobile sur le con-
ducteur circulaire est égal à la double intégrale de cette expression prise
depuis Y = o jusqu'à y = 2it, et depuis s= Si jusqu'à s = 5i, Tordre dans
lequel se font ces deux intégrations étant d'ailleurs arbitraire, ce moment
est donc exprimé par

(am — na«w' r'* , f^^/sin'Y sin»Y\j

et comme l'expérience prouve qu'il est nul, il faut nécessaireniPiU que la
double intégrale

OU que 2 m — i = o, ce qui donne pour m la valeur | que nous nous pro-
posions de démontrer être en effet celle de la constante m.

Il ne s'agit donc plus que de faire voir que cette double inti^grale ne
peut jamais être nulle, ce dont il est bien aisé de s'assurer, car d'abord les

sin^Y sm^Y
deux termes — ^ et — yj^ ne sont point susceptibles de changer de signes

quelle que soit la valeur qu'on donne à f, parce que les deux distances r,
r' doivent toujours être prises positivement; ensuite, comme ces deux
distances sont celles d'un même élément d^' du conducteur circulaire à
deux éléments égaux à d* qui se trouvent dans une même veriîeale sur
chacune des portions horizontales du conducteur mobile, il est évident
que si l'on suppose, pour fixer les idées, que r se rapporte à rol/'ment dj
de celle de ces deux portions qui est à une moindre distance du pîan du
conducteur circulaire, et / à l'autre, on aura toujours r< r'j et par con-
séquent

positif.

Tous les éléments de la première intégrale étant positifs, celte intégrale
prise depuis y = o jusqu'à y = ait le sera aussi, son produit par sàs sera
du même signe que d^ tant que s sera* positif, c'est-à-dire tant que le rec-
tangle formé par le conducteur mobile sera tout entier du mèrnc calé de
l'axe, comme nous le supposons ici. Quant au signe de d^, il est d^^terminé
par le sens du courant dans les deux portions horizontales de ce < ondue-
leur, et comme nous avons attribué des signes différents à i-O!^^^ dans
chaque portion, ds a nécessairement le même signe dans Tune et dans
l'autre : ainsi tous les éléments dont se compose la seconde mtcg'rale de-

tSl M.-A. AMPÈRE.

puis s ^ Si jusqu'à s = Sf ont aussi le même signe, et cette intégrale ne
peut par conséquent jamais être nulle; il faut donc, d'après ce que nous
venons de voir, qu'on ait m = ^, que l'action mutuelle de deux éléments
de courants électriques ait pour valeur

^ dsds

et que le moment dû à l'action d'un conducteur circulaire sur un conduc-
teur mobile autour de l'axe du cercle formé par le premier soit toujours
nul quand le conducteur mobile a ses deux extrémités dans cet axe ou
forme un circuit fermé, ce qui est, comme on sait, confirmé par l'expé-
rience, quelle que soit la forme du contour suivant lequel il est plié (^).

Maintenant que la valeur de m est déterminée, on peut substituer cette
valeur J au lieu de m dans la transformée trouvée (p. 207) et y supposer
de nouveau/? arbitraire; on a ainsi, pour l'action mutuelle des deux élé-
ments d^ et d*', l'expression

!àudd'\/r jiH dd' (rP) (i — p)ii' cosz dsds'

v/r /> — 2 prP p — i /•«

ùl Von peut, dans cette formule, assigner à j!? la valeur que l'on veut.
Celle qui donne un résultat plus commode pour le calcul est /> = — i; en
l'adoptant, il vient

iii'dd')/r i .., jj/ < » W costdsds'

^r 1 r a

r

/ cl.i

I .^j , ,1 cose r

= - tt d^d* \ — r — h r

2 \ '"' dsds' /

j^ai déjà obtenu d'une autre manière (p. 73) cette expression de la force
qu^exercent l'un sur l'autre deux éléments de fils conducteurs; on ne peut
remployer, pour simplifier les calculs, que quand les conducteurs sont rec-
Lilîgnes, parce que ce n'est qu'alors que l'angle £ est constant et connu;
majs^ dans ce cas, c'est elle qui donne de la manière la plus simple les va-
leurs des forces et des moments de rotation qui résultent de l'action
mutuelle de deux conducteurs de ce genre. Si j'ai employé dans cet ouvrage
d'au lies moyens d'en calculer les valeurs, c'est qu'à l'époque où je l'ai écrit
je ne connaissais pas encore la transformation de ma formule que je viens
d'expliquer.

(') Toute la partie qui précède de la Note III ne se trouve que dans le tirage
ù part* Le paragraphe qui suit forme la fin de la Note II dans le texte des Mé-
moire de l'Académie; les numéros des Notes suivantes se trouvent diminués
d'une unité dans ce dernier texte. (J.)

THEORIE MATHÉMATIQIB DES PHÉNOMÈNES, ETC.

iS3

lY. — Sur la situation de la droite que j'ai désignée sous le nom de dîrec*
trice de l'action électro-dynamique à un point donné lorsque cette acUon
est celle d'un circuit fermé et plan dont toutes les dimensions sont très
petites.

La droite que j'ai nommée directrice de V action électro-dynamique
à un point donné est celle qui forme avec les trois axes des angles dont
les cosinus sont respectivement proportionnels aux trois quantités A, B, G ;
les valeurs de ces trois quantités, trouvées à la page 227, deviennent

quand on substitue à /i le nombre 1 auquel n est égal; si donc on suppose
le petit circuit d'une forme quelconque situé comme il l'est {fig. ijf),

Fig. 14.

c'est-à-dire qu'après avoir placé Forigine A des coordonnées au pi m ni
donné, on prenne pour Taxe des z la perpendiculaire AZ abaissée du
point A sur le plan du petit circuit, et pour le plan des xz celui qui passe
par cette perpendiculaire et par le centre d'inertie de Taire LMS auquel
se rapportent les x,y, z qui entrent dans les valeurs de A, B, G, il est évi-

dent qu'on aura j = o, y = ^, 5 = ti= -> ÎJ = o, et que ces valeurs se ré-
duiront par conséquent à
Z\xz

A = -

B = „. C = x(i-îi>

X(j?«

■iz^)

parce que r*=ar'-i-^*. B étant nul, la directrice AE est nécessairement

1^4 M.-A.. AlIPÈRB.

dans le plan des xz déterminé comme nous venons de le dire; elle y forme

Q

avec Taxe des x un angle EAX dont la tangente est égale à -r-y c*est-à-dire

à ^ — ; et comme celle de TangleOAX Test à —> on trouvera pour la

valeur de la tangente de OAE

z a-2* — ar*

UDgOAE = = -^— — - = - - = - tangCOA,

d*où il suit que, si Ton prend OB = jOA, et qu'on élève sur OA au point B
un plan jn rpendiculaire à OA qui rencontre en D la normale OC au plan
du pclil circuit, la droite ADE menée par les points A, D sera la direc-
irice de Faction exercée au point A par le courant électrique qui le par-
court, puiî^qu'on aura

AB = aOB, tangBDA = 2 tangBDO
et

tangOAE = cotBDA = ^cotBDO = J^tangCOA.

Cette construction donne de la manière la plus simple la direction de la
tlrr>)te A E suivant laquelle nous avons vu, p. j o4 , que le pôle d'un aimant placé
en A est )jf>rté par l'action de ce courant (*). Il est à remarquer qu'elle est
située à IVgard du plan LMS du petit circuit qu'il décrit, de même que la
direction de l'aiguille d'inclinaison l'est en général à l'égard de l'équateur
magnétique; car le point O étant considéré comme le centre de la Terre, les
plans LMS, OAG comme ceux de l'équateur et du méridien magnétiques, et
U droite ÂE comme la direction de l'aiguille d'inclinaison, il est évident
que i'augle OAE compris entre le rayon terrestre OA et la direction AE de
raiguîlle aimantée est le complément de l'inclinaison, et que l'angle GOA
est le complément de la latitude magnétique LOA; l'équation précédente
devient ainsi

cot incl. = 2 cot lat.,
tang incl. = 2 tang lat.

(' ) Si Ton remplace le petit circuit fermé par le petit aimant équivalent, cette

coDstructton est celle qui a été donnée plus tard par Gauss pour déterminer Tac-

tion d'un aimant sur un pâle situé à une grande distance, et qu'on désigne ordi-

fnairemcDt bous le nom de tfiéorème de Gauss. (Gauss, Resultate der Beobacàtun-

(j^en des magnet. Vcreins, 1887, p. 23.) (J.)

TUKORIB IIATHÉIIATIQUB DES PHÉNOMÈNES, ETC.

I85

Y. — Sur la valenr de la force qa'nn conducteur angulaire indéfini exerce
sur le pôle d'un petit aimant, et sur celle qu'imprime à ce pôle uû c abduc-
teur de forme parallélogrammique situé dans le môme plan.

Soit que l'on considère le pôle B {fi g, 34) du petit aimant AB caminê
rextrémité d'un solénoïde électro-dynamique ou comme une molécule

magnétique, on est d'accord, dans les deux manières de voir, à i'eçanl
de l'expression de la force exercée sur ce pôle par chaque élémenr iln con-
ducteur angulaire CMZ : on convient généralement qu'en abais^ianl flu
point B.sur une de ses branches GfiM prolongée vers O la perpendiculaire
BO = 6, en faisant 0[a = 5, BM = a, Bfi = r, l'angle BjjlM = 0, Tan g le
CMH = BMO = e, et en désignant par p un coefficient constant^ la force
qu'exerce sur le pôle B l'élément d* situé en (jl est égale à

p sinOcif

qu'il s'agit d'intégrer depuis s = OM = a cose jusqu'à * = 00 , ou, Ci? qui
revient au même, depuis = e jusqu'à = o : mais, dans le triangte liO \ï^,
dont le côté ÔB = ô = a sine, on a

sinO

5 = asinscotO, d* =

asinedÔ

d5

flfl

sin«e '

r«

« 5lli£.

ainsi

p sinOd^ __ p sin6(iB

dont l'intégrale est

(cosO-hC),

l86 ll.-A. AMPÈRE.

QU, en la prenant entre les limites déterminées ci-dessus,

p( I — cose") p ^ T

i- ; = i taner - e,

asins a a

valeur qu'il suffit de doubler pour avoir la force exercée sur le pôle B par
le conducteur angulaire indéfini GMZ; cette force, en raison inverse de
BM — a^ est donc, pour une même valeur de a, proportionnelle à la tan-
gente (le la moitié de l'angle GMH, et non à cet angle lui-même, quoiqu'on
prétende (*) que la valeur

p sinOd5
r*

de la force exercée par l'élément ds sur le pôle B ait été trouvée en ana-
lysant par le calcul la supposition que la force produite par le fil con-
ducteur CMZ était proportionnelle à l'angle CMH. On ne peut douter qu'il
n'y eût quelque erreur dans ce calcul; mais il serait d'autant plus curieux
de le connaître, qu'il avait pour but de déterminer la valeur d'une diffé-
renttelle par celle de l'intégrale définie qui en résulte entre des limites
données, ce qu'aucun mathématicien ne me parait, jusqu'à présent, avoir
cru possible,

Coinmo on ne peut pas, dans la pratique, rendre les branches MG, MZ
du conrlucteur angulaire réellement infinies, ni éloigner les prolongements
du fil dont il est formé qui mettent ces branches en communication avec les
eviré mités de la pile, à une assez grande distance du petit aimant AB
pour qu'ils n'aient sur lui absolument aucune action, on ne doit, à la rigueur,
regarder la valeur que nous venons d'obtenir que comme une approxima-
tion. Afia d'avoir à vérifier par l'expérience une valeur exacte, il faut cal-
culer celle de la force qu'exerce sur le pôle B du petit aimant un fil con-
ducteur PSRMTSN, dont les portions SP, SN, qui communiquent aux deux
extrémités de la pile, sont revêtues de soie et tordues ensemble, comme
on le voit en SL, jusque auprès de la pile, en sorte que les actions qu'elles
exercent se détruisent mutuellement, et dont le reste forme un losange
5RMT situé de manière que la direction de la diagonale SM de ce losange
passe par le point B. Mais d'abord, en conservant les dénominations précé-
dentes et faisant de plus l'angle BRM = Oj, l'angle BRO'= 6',, la distance
BS = ^' et la perpendiculaire B0'=6' = — a'sins, parce que l'angle
BSO'= — e, on voit aisément que l'action de la portion RS du fil conduc-
teur sur le pôle B est égale à

p(cose — cosô'j )

V '

commei à cause de 6 = a sine, on aurait trouvé

p(cos6, — cose)

( ' } Voir t. II, la note de la p. u i. ( J.)

THÉORIE lIATflÉllATIQUE DBS PHENOIIÉNES, ETC. 187

pour celle qu'exerce la portion MR sur le même pôle B, en prenant l'inté-
grale précédente depuis 6= e jusqu'à = ôi; et ensuite, qu'il suffit de
réunir ces deux expressions et d'en doubler la somme, pour avoir l'action
de tout le contour du losange MRST, ce qui donne

(cos6i cose cos6', coseX

Cette valeur est susceptible d'une autre forme qu'on obtient en rap-
portant la position des quatre angles du losange à deux ame^ BX, 6Y menés
par le point B parallèlement à ses côtés et qui les rencontriant aux points
D, E, F, G; si l'on fait BD = BF = ^, BE = BG = h, on aura

ô = B0 = ^sin2e, ô'= B0'= Asin2e,

-V OR h-i-£^cosis

cosôj = — - = ^ =9

y^*-h A*-H2^Acos2e

ft, O'R £'-+-Acos2e

cos6, = -ïT^r = —

BR /^«-+- A» H- 2^Acos2&

expressions à l'aide desquelles on trouve, pour celle de la force exercée
sur le pôle B,

(AH-^cos2e ^-4-Acos2e ^^ cosc cose \

^8in2ev/^*-f-A*-H2^Acos2e Asin2ev/^*-hA*H-2^Acos2s ^sinat Asinay

__ /2/^'-4- A*-+- 2^Acos2e I I \

"~ \ ^Asin2 8 ^sine Asine/'

en réduisant les deux premiers termes au même dénominateur, en rem-
plaçant dans les deux autres sin2e par sa valeur 2 sine cost.

Abaissons maintenant du point D les perpendiculaires DI^ DK sur Les
droites BM, BR : la première sera évidemment égale à ^sins^ t^L la seconde
s'obtiendra en faisant attention que, en la multipliant par

BR = ^ g'^-r- A>-h 2^Acos2e,

on a un produit égal au double de la surface du triangle BDHj c'cst-à-dit'i'
à ^Asinae, en sorte qu'en nommant px^x et/>],2 ces perpendiculaires, il
vient

I I

î _ v^^*-h A*-H2^AcosaE

P\A ~ iTsins'

Pu\ ~ gh%\TL%t

en abaissant du point E les deux perpendiculaires EU, EV sur les droites
BT, BS, et en les représentant par />t,i et/>t,j, la première sera égale à DK
à cause de l'égalité des triangles BDR, BET, et la seconde aura pour va-
leur h sine, en sorte que l'expression de la force exercée par le contour du

r83 M.-A. AMPÉRB.

losange MRST sur le pôle B pourra s'écrire ainsi :

8ous <^^\Xû forme elle s'applique non seulement à un losange dont une
diagonale i-^t dirigée de manière à passer par le point B, mais à un paral-
léloçramni*? quelconque NRST {fig* 44) dont le périmètre est parcouru
par UQ courant électrique qui agit sur le pôle d'un aimant situé dans le
plan dii tr:' |iarallélogramme. Il résulte, en effet, de ce qui a été dit (p. 49)
q(i'i:n fMli^ulanl les quantités désignées par A, B, C et D = v/A*-f-B*-4- C*,
rt:laiLvcnjcnl à un circuit voltaïque fermé et plan, tel que celui que forme

Fig. 4'».

Ir prrinirïTT! du parallélogramme NRST, et à un point B situé dans le

A = o,

B

Iorfii| 1/011 représente par d>X un élément de Taire de ce circuit et qu'on
reiTipLitL* rcTtposant constant n par sa valeur a. A et B étant nuls, la di-
rt'îetrîrc de Faction électro-dynamique exercée au point B par le courant
qup nous Ci insidérons est la perpendiculaire élevée à ce point sur le plan
du pai'ïilli logramme, d'où il suit :

i" Que Ja force qu'il imprime à un élément d*' de courant électrique,
dont le milieu se trouverait en B, est, dans ce plan, perpendiculaire à la
Uirectîpn de l'élément, et a pour valeur (p. 38)

- D m dj' sin e = - iH às^ cos
2 a

"//^'

eu nonimant «) l'inclinaison de l'élément d;' sur le plan BRST, inclinaison
qui esL to complément de l'angle e formé par la direction de cet élément
et ctîllc 4e le directrice;

îf" Qiit-, d'après ce qui a été dit (p. 98), si l'on plaçait au point B l'ex-
irt-miit d\uï eolénoïde indéfini, la force exercée sur cette extrémité par le

THÉORIE MATHÉMATIQUE DBS PHÉNOMÈNES, ETC. [8g

même courant électrique serait perpendiculaire au plan BRST et aurait
pour valeur

en nommant X' Taire des petits circuits dont se compose le solénoïtlc, et g
la distance des plans de deux circuits consécutifs;

3** Que le pOle d'un aimant situé en B éprouverait de la part du circuit
NRSTune action dirigée suivant la même perpendiculaire et exprimée par

p étant un coefficient constant.

Pour trouver la valeur de 1 1 —j- y relativement au circuit voltaïque

représenté par le périmètre du parallélogramme NRST, on rapportera
tous les points, tels que M, de son aire à deux axes BX, BY menés par le
point B parallèlement à ses côtés, et en nommant x,y les coordonnées BP,
PM, on aura

d'X = dj7dj^sinae et r = v/a:*-+-^'-h aar^cosae;

la force totale, imprimée au pôle B du petit aimant AB, sera donc

r r àxày
psmae / ï ^•

^ *^ (a:'-h^*-h 2iP^cos2e)*
Or nous avons vu (p. 84) que l'intégrale indéfinie de

d5ds'

est

1
(a» 4- *» -H s'^ — a w' cos e)*

ss' sin* e -4- a* cos e
arc tang

O'^^^^ a sine y/a' -i-^* -4- 5'* — iss' cos t

ou

I asinei/a*-H5*-t- j'* — 2 «'cos s

: — arc tang , - ^ i y

a sin 8 ° ss sm' e 4- a* cos e

en supprimant la constante - • Quand a = o, cette quantité se présente

sous la forme -; mais, comme Tare doit être alors remplacé par sa tangente,
le facteur nul a sine disparait, et Ton a

//;

d^d*' __ ^S^->r-s'^ — 2 m' cos 8

,1. "" 55' sin* 6

{s 4- «'* — iss' cose)^
qu'il est aisé de vérifier par la dilTérentiation. On en conclut immédiate^

igO M.-A. AMPÈRE.

ment que 1 expression de la force que nous calculons, considérée comme
une intégrale indéfinie, est

p/a?*-+->^*-!- îiay cosae _ p
â^sinse "~ p

€n nommant p la perpendiculaire PQ abaissée du point P sur BM,
parce que le double de Taire du triangle BPM est à la fois égal à
p)/x^ -^ y^ -\- %xy cosit et à a^^sinae, ce qui donne

I __ v^iF*H-^*-h 2a?^cos2e
p "~ o^sinae

Il ne reste plus maintenant qu'à calculer les valeurs que prend celte inté-
grale indéfinie aux quatre sommets N, R, T, S du parallélogramme, et à
les ajouter avec des signes convenables; en continuant de désigner res-
pecuveraent par je?i,i, />ij, />j,i, />j,j les perpendiculaires DI, DK, EU, EV,
il est évident qu'on obtient ainsi pour la valeur de la force cherchée

Si Ton remplace, dans cette expression, la constante p par -^ lï'd^'cosco,
on aura la valeur de là force qui résulte de l'action que le courant élec-
trique NRST exerce sur l'élément d*', et dont la direction comprise dans
le plan BRST est perpendiculaire à celle de l'élément; cette valeur est

^ \Pi,t PtA P\A PtytJ

Lorsque l'élément situé en B est dans le plan du parallélogramme, on a
td = 0, cos 0) = I, et la valeur de la force que nous venons de calculer se
réduit à

- lias I 1 ) •

^ \P\A P^A PUI P^A/

THEORIE MATHEMATIQUE DES PHENOMENES, ETC. I9I

TABLE DES MATIÈRES

CONTENUES DANS CE VOLUME (*).

Ptftrf

Exposition de la marche à suivre dans la recherche des lois des phénomènes
naturels et des forces qui les produisent 1

Description des expériences par lesquelles on constate quatre cas d'équilibrt?
qui donnent autant de lois de l'action à laquelle sont dus les phénomènes
électro-dynamiques * , . 10

Recherche de la formule qui exprime Faction mutuelle de deux éléments de
conducteurs voltalques - , . ai

Relation donnée par le troisième cas d'équilibre entre les deux constantes
inconnues qui entrent dans cette formule 3q

Formules générales qui représentent l'action d'un circuit voltaîque fermé ou
d'un système de circuits fermés sur un élément de courant électrique. ,,. ^

Expérience par laquelle on vérifie une conséquence de ces formules Sg

Application des formules précédentes à un circuit circulaire 44

Simplification de ces formules quand le diamètre du circuit circulaire est
très petit 46

Application à un circuit plan formant une courbe fermée quelconque, d'abord
dans le cas où toutes ses dimensions sont très petites, et ensuite quelle
qu'en soit la grandeur 4^

Action mutuelle de deux circuits fermés situés dans un même plan, d'abord
en supposant que toutes les dimensions en sont très petites, et ensuite dans
le cas où ces deux circuits sont d'une forme et d'une grandeur quelconques^ 5i

Détermination des deux constantes inconnues qui entrent dans la formule
fondamentale , , 5î

(' ) Cette Table se trouve seulement dans le tirage à part du Mémoire. ( J.)

19^ M.-A. AMPERE.

Pagts.
Action d'un fil conducteur formant un secteur de cercle sur un conducteur
rcciiltgne passant par le centre du secteur 54

De^rripiion d'un instrument destiné à vérifier sur des conducteurs de cette
forme les résultats de la théorie 57

ActÎQD mutuelle de deux conducteurs rectilignes Sg

Actioii exercée sur un élément de fil conducteur par l'assemblage de circuits
rrrfné$de dimensions très petites, qui a été désigné sous le nom de solénoïde
électro-dynamique 84

Action qu'exerce sur un soIénoTde un élément ou une portion finie de fil
conducteur, un circuit fermé ou un système de circuits fermés 89

Action mutuelle de deux solénoYdes g'i

Identité des solénoïdes et des aimants, quant à l'action exercée sur eux soit
par des fils conducteurs, soit par d'autres solénoïdes ou d'autres aimants.
Diacuï^sion sur les conséquences qu'on peut tirer de cette identité, relati-
vement à la nature des aimants et à celle de l'action qu'on observe entre
le glûbe terrestre et un aimant ou un fil conducteur 96

Identité des actions exercées, soit sur le pôle d'un aimant, soit sur l'extré-
niiié d'un solénoïde, par un circuit voltaîque fermé et par un assemblage
de deux surfaces très voisines que termine ce circuit, et sur lesquelles sont
répandus et fixés deux fluides tels qu'on suppose les deux fluides magné-
liquo> austral et boréal, de manière que l'intensité magnétique soit par-
toui Ja même 118

Examen des trois hypothèses qu'on a faites sur la nature de l'action mu-
tuelle d'un élément de fil conducteur et de ce qu'on appelle une molécule
magnétique i35

Impossibilité de produire un mouvement indéfiniment accéléré par l'action
mutuelle d'un circuit solide et fermé et d'un aimant ou d'un solénoïde
électro-dynamique '. 189

Examen des différents cas où un mouvement indéfiniment accéléré peut ré-
sulter de l'action qu'un circuit voltaîque, dont une partie est mobile sépa-
rément du reste de ce circuit, exerce sur un aimant ou un solénoïde
électro-dynamique i4o

Identité de l'action mutuelle de deux circuits voltaïques fermés et de celle
de deux assemblages composés chacun de deux surfaces très voisines ter-
mins'^cs parle circuit correspondant à chaque assemblage, et sur lesquelles
soDt répandus et fixés les deux fluides magnétiques, austral et boréal, de
manière que l'intensité magnétique soit partout la même i63

Impossibilité de produire un mouvement indéfiniment accéléré par l'action
muluclle de deux circuits voltaïques solides et fermés, et, par conséquent,
par celle de deux assemblages quelconques de circuits de cette sorte 167

Expérience qui achève de confirmer la théorie où l'on attribue à des cou-
rants électriques les propriétés des aimants, en prouvant qu'un fil conduc-

I

THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PHÉNOMÈNES, ETC. 198

Piges,
leur plié cd spirale ou en hélice et parcouru par le courant voltaïque,
éprouve de la part d'un disque métallique en mouvement une action sem-
blable en tout à celle que M. Arago a découverte entre ce disque et un
aimant 169

Conséquences générales des expériences et des calculs relatifs aux phéno-
mènes électro-dynamiques 171

Notes sur différents objets traités dans cet Oiivrage^

I. — Sur la manière de démontrer, par les quatre cas d'équilibre exposés au
commencement de ce Mémoire, que la valeur de l'action mutuelle de deux
éléments de fils conducteurs est

lia d}\/r . . , ^

r=r -i-Vv d*d*' 176

»/7 d*d* '

II. — Sur une transformation propre à simplifier le calcul de l'action mu-
tuelle de deux conducteurs rectilignes 177

III. — Application de cette transformation à la détermination de la con-
stante m qui entre dans la formule par laquelle est exprimée la force que
deux éléments de fils conducteurs exercent l'un sur Tautre, et à celle de la
valeur de cette force qu'il convient d'employer lorsqu'on veut calculer les
effets produits par l'action mutuelle de deux conducteurs rectilignes 178

IV. — Sur la situation de la droite que j'ai désignée sous le nom de direc-
trice de Inaction électro-dynamique à un point donné, lorsque cette
action est celle d'un circuit fermé et plan dont toutes les dimensions sont
très petites i83

.— Sur la valeur de la force qu'un conducteur angulaire indéfini exerce
sur le p61e d'un petit aimant, et sur celle qu'imprime à ce pôle un con-
ducteur de forme parallélogrammique situe dans le même plan i85

Ment, de Phys,, III.

194 M.-A. AMPÈRE.

XXXI.

ntmim gommiinioué a lagadénie royale des sciences dans sa

SÊIVCB DII 21 NOVEMBRE 1825, FAISANT SUITE AU MÉMOIRE LU DANS
LA SÉANCE DU 12 SEPTEMBRE;

Par M.-A. AMPÈRE (•).

Depuis le dernier Mémoire que j'ai eu l'honneur de commu-
niquer à l'Académie, dans sa séance du la septembre dernier,
j'ai élé conduit à de nouvelles conséquences de ma formule que
je me proposais d'exposer dans un second Mémoire ; mais, d'autres
occupiitions ne me permettant pas de le rédiger, j'ai cru devoir,
quant à présent, me borner au simple énoncé de ces conséquences.

J'ai trouvé, quel que soit l'exposant n de la puissance de la dis-
lance et de cet élément à laquelle leur action mutuelle est réci-
proquement proportionnelle quand cette distance varie seule :

t' Que, quand les dimensions d'un circuit plan et fermé sont
asse^- petites pour devoir être négligées relativement à la distance
où se trouve le circuit du point sur lequel il agit, l'action qu'il
exerce est indépendante de sa forme et ne dépend que de sa situa-
tion par rapport à ce point et de l'aire qu'il circonscrit, aire à
laquelle l'action qu'il produit est toujours proportionnelle.

11 suit de là que tout ce que M. Savary a démontré, le premier,
sur la manière d'agir d'un assemblage de courants électriques dé-
crivant de très petites circonférences de cercles de même diamètre,
âÎLuées dans des plans équidistants et perpendiculaires à la ligne
ilroiie ou courbe qui passe par les centres de toutes ces circon-
Icrences, y compris la détermination qu'il a donnée de la valeur
du nombre /i, est également vrai à l'égard d'un assemblage de
très petits circuits fermés, de même surface et situés dans des plans

(f) liicdit. Publié d'après le manuscrit autographe des Archives de rAcadémie
de» Sciences. D'après les procès- verbaux, la lecture a été faite en réalité dans la
*d-ani:x' lin 28 novembre. (J*)

MÉMOIRE DU 21 NOVEMBRE l825. IqS

équidistants perpendiculaires à une ligne droite ou courbe en-
tourée par tous ces circuits.

L'action de cet assemblage sur un conducteur voltaïque quel-
conque est donc, comme celle de l'assemblage considéré par
M. Savary, identique à Faction qu'exercerait sur les mêmes corps
une particule de barreau aimanté; et il n'est plus nécessaire, dans
l'explication de cette dernière action par de très petits courants
électriques, de les supposer de forme circulaire.

Ce résultat de ma formule est le seul de ceux qui sont indiqués
dans cette Note dont j'ai eu le temps de rédiger la démonstration.
On la trouvera à la fin du Mémoire dont j'ai parlé plus haut et
que je publie en ce moment (*).

2** La droite que j'ai nommée normale au plan directeur de
l'action dynamique exercée par un circuit fermé à un point quel-
conque sur un élément d'un conducteur voltaïque se trouve,
quand ce circuit est plan et très petit, dans le plan mené par le
milieu de l'élément perpendiculairement à celui du circuit; et,
lorsqu'on fait /i = 2, la direction de cette droite est telle qu'elle
forme avec la droite menée de l'élément au circuit un angle
dont la cotangente est double de la tangente de l'angle compris
entre la même droite et le plan du circuit, c'est-à-dire qu'elle* est
située, relativement à une perpendiculaire élevée sur ce plan,
comme l'est, en général, la direction de l'aiguille d'inclinaison
relativement à l'axe magnétique de la terre.

3® Quand l'élément sur lequel agit le petit circuit est dans le
même plan que ce circuit, la force développée est aussi dans
ce plan et proportionnelle à l'aire du circuit divisée par le cube
de sa distance à l'élément. Cette force est, comme on sait, tou-
jours perpendiculaire à la direction de ce dernier.

4** Quelles que soient la forme et la grandeur d'un circuit tracé
sur un plan dans lequel se trouve aussi Télémentsur lequel il agit,
la force qu'il exerce, et qui est encore perpendiculaire à la direc-
tion de cet élément, est proportionnelle au volume compris entre
l'aire du circuit, la surface du cylindre droit qui a cette aire pour
base et la surface courbe dont les ordonnées verticales sont réci-
proquement proportionnelles aux cubes des distances de leurs

(•) Voir la note de la p. 46. ( J.)

ig6 U.-A. AMPÈRE.

piedâ au milieu de l'élément, ce qui donne un moyen très simple
de ca feuler cette action. En l'appliquant à celle qu'exerce sur un
conducteur rectiligne le circuit fermé composé d'un très petit arc
de cercle dont le centre est au milieu de ce conducteur et des
rayons menés de ce centre aux deux extrémités du petit arc, on
trouve; sur-le-champ que cette action est proportionnelle à la dif-
férence des distances du milieu de Tare aux deux extrémités du
condiJCleur rectiligne divisées par le carré du sinus de l'angle
que forme celle-ci avec le rayon qui passe par le milieu, résul-
tat que j'ai obtenu d'une manière moins simple dans le Mémoire
lit à TAcadémie le 12 septembre dernier (*), et qui m'a conduit
il un moyen de vérifier ma formule par l'observation du nombre
d'oscillations que fait, dans un temps donné, un conducteur for-
ma ni un demi-cercle par l'action de divers conducteurs en forme
de secteurs dont les rayons se coupent sous différents angles.

5° L'action mutuelle de deux circuits plans et fermés, dont les
dimensions sont telles qu'ils puissent être considérés comme infi-
uiiriejit petits, et qui sont situés dans un même plan, est dirigée
.suivant la droite qui les joint; elle ne dépend que des aires qu'ils
circiHiscrivent et de la longueur de cette droite et elle est propor-
tlorfiielle au produit des deux aires divisé parla puissance /i -|- 2
de It tir distance.

6" Quelles que soient la forme et la grandeur de deux circuits
fermt^a compris dans un même plan, leur action mutuelle est pré-
cisément la même qui aurait lieu entre leurs aires respectives, si
toutes les parties de ces aires, supposées partout de même densité,
^ 'al tiraient ou se repoussaient, suivant que le courant électrique les
parent irt en sens contraire ou dans le même sens, en raison in-
verse de la puissance /i-|- 2 de leurs distances.

j Si Ton suppose que toutes les dimensions des deux circuits
augmentent ou diminuent dans le même rapport, ainsi que les
dislnnces mutuelles des points qui se correspondent avant et après
ce changement, leur action mutuelle augmentera ou diminuera
comme la puissance 2 — n de ce rapport, et devra, par consé-
queuï, rester la même si, comme l'indique l'ensemble des faits, le
nombre n est égal à 2.

{') ïWrart. XXX, p. 54. (J.)

k

MÉMOIRE DU 21 NOVEMBRE l825. 197

8** Si l'on a dans un même plan trois circuits semblables dispo-
sés de manière que tous leurs points correspondants soient situés
sur les mêmes droites divisées dans le même rapport, que toutes
les dimensions de celui qui est entre les deux autres soient des
moyennes proportionnelles géométriques entre les dimensions
homologues des deux circuits extrêmes, qu'on rende l'intermé-
diaire mobile dans le plan et qu'on fasse passer un même courant
électrique par les trois circuits, de manière qu'il les parcoure al-
ternativement en sens contraires, le circuit mobile sera porté vers
le plus grand si /i >> 2, vers le plus petit si /i < 2, et restera im-
mobile dans cette situation si n = 2. Ce résultat, qui est d'ailleurs
indépendant, comme il est aisé de le voir, de la manière dont les
trois angles qui déterminent la situation respective de deux élé-
ments de conducteurs voltaïques entrent dans l'expression de la
force qu'ils exercent l'un sur l'autre, fournit un moyen bien simple
de démontrer que l'on a en effet /i = 2, par des expériences faites
directement sur des conducteurs et sans se servir d'aimants, comme
on a été jusqu'à présent obligé de le faire dans les expériences
dont on a conclu la valeur de n. Je décrirai ailleurs (*) un instru-
ment destiné à faire cette expérience avec la plus grande préci-
sion.

9° Une fois qu'on aura établi rigoureusement par ce moyen
que n = 2 dans l'action qu'exercent réellement les conducteurs
voltaïques, il faudra remplacer n par 2 dans toutes les conséquences
de la formule qui représente cette action. Celle de deux circuits
fermés, situés dans un même plan, dont nous venons de parler,
sera, par exemple, la même que si toutes les parties des aires
qu'ils circonscrivent, supposées de même densité, s'attiraient ou
se repoussaient en raison inverse de la quatrième puissance de
leurs distances. On sait que cette loi d'attraction ou de répulsion
a lieu entre deux très petits aimants, lorsque leurs axes sont per-
pendiculaires à un même plan passant par les milieux de leurs lon-
gueurs, suivant que leurs pôles, de noms différents, sont du même
côté de ce plan ou de côtés opposés ; il est aisé d'en conclure que
deux circuits fermés, situés dans un même plan, agissent l'un sur
l'autre comme le feraient une- infinité de très petits barreaux per-

(M KoiV l'art. X\X, p. 21. (J.)

t^ Al. -A. AMPÈRE.

pendiculaires à ce plan et situés de manière que leurs milieux y
tussent situés, qu'ils remplissent toute Taire de chacun des deux,
circuits, et qu'ils fussent aimantés au même degré dans le sens
oii cfiaque circuit tendrait à rendre magnétique ceux de ces cou-
ranls qu'il entourerait.

(le résultat était facile à prévoir en considérant que, d'après
l'identité d'action entre des circuits plans infiniment petits entou-
rant des aires égales, quelle que soit la forme de] ces courants et
d'après la manière dont j'ai considéré les aimants, un circuit plan
infiniment petit peut toujours être remplacé par un très petit ai-
mant dont les deux pôles se trouvent sur une normale à un plan et
A égale distance de ce plan, l'un d'un côté et l'autre de l'autre,
quel que soit d'ailleurs le point de l'aire qu'entoure le circuit où
Von suppose que la normale est élevée, point qu'on peut, pour
fixer les idées, prendre au centre de gravité de la petite couj-be
formée par ce circuit.

Soit une surface quelconque terminée par une courbe fermée
donnée de grandeur et de position dans l'espace, si l'on suppose
qu'à des points infiniment rapprochés dans toute l'étendue de
celte surface on place de très petits aimants dont la longueur soit
la ni^me pour tous et du même ordre que leurs distances mutuelles,
qui aient la même intensité et soient également espacés, de ma-
nière que tous les pôles de même nom de ces aimants soient d'un
même côté à la surface et que les droites qui joignent les pôles
de chaque aimant aient leurs milieux dans cette surface et soient
dirigés suivant les normales, il résulte des calculs que j'ai l'hon-
neur de présenter à l'Académie : i° Que l'action exercée par cet
assemblage d'aimants sur un pôle austral ou boréal d'un autre
aimant, placé comme on le voudra relativement aux contours de la
t^urface, est indépendante de la forme de cette surface et ne dépend
que de son contour;

a"^ Que cette action est précisément la même que celle qui ré-
sulte delà formule par laquelle j'ai exprimé Taction mutuelle de
deux éléments de conducteurs voltaïques, entre un courant élec-
trique qui parcourrait le contour de la surface et l'extrémité d'un
solénoïde électrodj^namique situé au point où l'on suppose le pôle

MÉMOIBE DU 21 NOVEMBRE iSsS. J99

sur lequel agissent tous les aimants infiniment petits normaux à
la surface.

Je vais d'abord démontrer ces deux théorèmes en partant uni-
quement de la loi des attractions et des répulsions des pôles de deux
aimants infiniment petits, en raison inverse du carré des distances
de ces pôles; j'exposerai ensuite quelques autres conséf[uences
des calculs qui m'y ont conduit.

Prenons pour origine des coordonnées x^ y, z le pôle dont je
viens de parler : soient 8/? la portion de la normale comprise entre
les deux pôles d'un des petits aimants; Ç, y), Ç les angles que cette
normale forme avec les trois axes, ùx^ Zy, tz les différencns entre
les coordonnées respectivement correspondantes aux deux pi'iles;
nommons enfin r la droite menée de Torigine au point dont les
coordonnées sonlx^y^ z, et u celle qui joint la même origine à
l'ordonnée verticale Zj et représentons par cp l'angle que cette der-
nière droite forme avec l'axe des x.

En représentant par |jl l'intensité infiniment petite de h force

magnétique d'un des petits aimants, ^ exprimera la composante
suivant l'axe des z de l'action exercée à l'origine par l'un de ses

pôles et ^ ^r—r celle de l'autre; il faudra retrancher celle-ci

de la première, puisqu'elle agit en sens contraire : on aura ainsi
^ ixz /3zor oz\

pour la force verticale restante.
Mais on a évidemment

^z= 0/? cosÇ, ror = xox -hyoy-\-z oz = (a7Cos5-4-^cosT^-h^co3Ï)î/ï,

et il est aisé de voir que x cos$ -h y cos 'ri-h z coslj est la sommf!
des projections de x^ y y z sur la perpendiculaire abaissée de lori-
gine sur le plan tangent à la surface au point dont les coordonnées
sont x^y^ z\ en nommant q cette perpendiculaire, on a donc

r
et l'expression de la force que nous calculons devient

^ C^zq cosÇN

900 M. -A. AMPÈRE.

Employons la caractéristique d pour désigner les différentielles
relatives au déplacement suivant la surface du point que nous

considérons; nous aurons — -^ ou -r^ pour Taire élémentaire

' cosÇ cosîi ^

de cette surface, et, comme les petits aimants y sont également
espacés, le nombre de ceux qui se trouvent sur cette aire élé-
mentaire, nombre par lequel il faut multiplier la valeur que nous
venons de trouver pour la force verticale, pourra être représenté
par

u du <f cp
X cosÇ

\ élant une constante infiniment petite du second ordre qui re-
pru sente la petite portion de surface correspondante à chaque
9Îmant. On aura donc pour cette force, en tant qu'elle résulte de
I^aire élémentaire,

X ' \ r« cos ï /•'/

Maïs — ^ est l'ordonnée verticale du plan tangent mené par l'ori-

gioe, et il est aisé de voir que cette ordonnée est égale à ^ ^*

puisque u et z sont les coordonnées de la section faite dans la
surface par le plan vertical qui passe par l'axe des z et par la
droite w; et, comme

, r dr — udu

ctz = >

JZ

on trouvera

q rudr — m' du _ r^du — ru dr

cos Ç ~ ^ zdu ~~ z du

En substituant cette valeur dans celle de la force, elle devient

[JL 5/7 , / 3r* du — 3 ru dr ^'^ \ _ V-^P [ '- ^ ^'^ ^ "' ^^\ ^
\ '^\ r* 1^ ) ~ X \~r3 r* ) ^'

qu'il faut intégrer dans toute l'étendue de la surface au moyen de
deux intégrations successives qu'on peut exécuter dans l'ordre
qu'on veut; en commençant par celle où u et r varient seuls dans
les plans verticaux passant par l'axe des z pour lesquels do = o,
on trouve que l'intégrale s'obtient indépendamment de la relation
entre <p, m et r que donnerait l'équation de la surface rapportée
aux trois coordonnées ©, u et z =z^ r^ — w-; dès lors cette inté-

MÉMOIRE DU 21 NOVEMBRE l825. 201

grale ne peut plus dépendre de la forme de la surface, mais seu-
lement des valeurs de m et de r aux différents points de son con-
tour qui sont donnés en fonction de f par les deux équations
entre les mêmes coordonnées qui déterminent ce contour.
On a, par cette double intégration,

en nommant m' et w'', /•' et r^ les valeurs de w et de r correspon-
dantes aux deux points où le contour fermé donné rencontre les
plans verticaux menés par l'axe des ^, qui sont les deux limites
de la première intégration et qui sont nécessairement de inantère
qu'il y en ait un. sur chacune des deux branches dont ce conloiir
est composé et qui sont séparées par ses points de contact avec
les deux plans verticaux menés par Taxe des Zf qu'il touche et
entre lesquels il est situé; u"^d'f et u'^d(^ sont évidemment les
projections sur le pla^ des zy des aires comprises entre un
élément du contour et les deux rayons vecteurs qui en joignent les
extrémités à l'origine; si donc on fait attention qu'en suivant
l'angle o va en diminuant le long d'une des branches dont noun
venons de parler, lorsqu'il est allé en augmentant le long de
l'autre, d'où il résulte que do change de signe quand on passe
d'une de ces branches à l'autre, on reconnaîtra aisément que

r/ u'^do u'*d^ \

est la somme de ces projections sur le plan des xy, divisée rcspec*

tivement par les cubes des distances, somme qu'on peut écrire

ainsi

'*x dy — y dx

^3

S'-

et que j'ai nommée C dans le Précis de la théorie des phéno-
mènes électrO'dynamiques{^), En faisant les mêmes calculs rela-
tivement aux composantes de la même force suivant l'axe dt^s x eL
celui des y, et en continuant de désigner par B et A les quantités

/ — -~r~~' / '^~~T~^ ^ '^^ quantités A, B, G étant aussi les
(») Voir page 36. (JO

202 M. -A. AMPÈRB.

mêmes que j'ai désignées par ces lettres dans mon Précis de la
théorie des phénomènes électro-dynamiques, on trouve que les
composantes suivant les trois axes des x^ àesy et des >5, sont res-
pectivement

[A S/? [10/? |x Sy?

__A, -^-U, .-^l.,

d'où il ïàuit que le pôle de Taimant qui est situé à Torigine est
porté par l'action de la surface dans la direction de la droite qui

A R P

forme avec les trois axes des angles dont les cosinus sont ^ y -j^? tt >
en faisant toujours, pour abréger, D = y/AT^-BM-C^> avec une
force égale à ^-^ D, c'est-à-dire que l'action exercée sur ce

pôle est précisément celle que, d'après ma formule, un circuit
voltaïque parcourant le contour de la surface doit produire sur
Textrémité d'un solénoïde, telle que je l'ai déterminé pages aS et 3o
de mon Précis de la théorie des phénomènes électro-dynamiquesy

excepté que le coefficient constant ^-y^ y est remplacé par cette

autre constante > ce qui n'établit aucune différence réelle

entre ces deux cas, puisque l'on peut toujours supposer que les
iïilen^iilës des forces magnétiques des petits aimants, d'une part,
et celle des courants électriques de l'autre, sont telles que ces
conslaiites soient égales. On sait qu'il n'est pas nécessaire, pour
arriver à ce résultat, que la longueur Zp d*un petit aimant, l'inten-
sité \x de sa force magnétique et la petite portion \ qu'il occupe sur
la surface soient toutes trois constantes dans toute l'étendue de cette
iiiirface ; il suffit que les petits aimants y soient distribués de ma-
nière que le rapport ^-^ y ait partout la même valeur.

ANALYSE PU MÉMOIRE DU 21 NOVEMBRE 18^5. 2o3

xxxn.

PRÉCIS D UN MÉMOIRE LU A LAGADÉMIE ROYALE DES SCIENCES
DANS SA SÉANCE DU 21 NOVEMBRE 1825;

Par M.-A. AMPÈRE («).

Le Mémoire que j'ai Thonneur de présenter à TAcadémie est
divisé en trois paragraphes. Dans le premier, j'ai considéré comme
indéterminé l'exposant n de la puissance de la distance de
deux éléments de conducteurs voltaïques, à laquelle leur action
est réciproquement proportionnelle, quand on suppose que cette
distance varie sans que les angles qui déterminent la situation re-
lative des deux éléments éprouvent aucun changement. Cette
première partie se termine par un nouveau moyen de démontrer
que l'action dont nous parlons est dans ce cas réciproquement
proportionnelle au carré de la distance, et je parviens aux résultats
suivants :

i" L'action produite par un circuit plan et infiniment petit est
indépendante de la forme de la courbe fermée qu'il décrit, et dé-
pend seulement de sa position et de l'aire de cette courbe, à la-
quelle la force produite est proportionnelle (2).

( ' ) Correspondance mathématique et physique des Pays-Bas. Le tirage ù
part de celte Note porte le titre suivant, que nous n'avons pas reproduit textuel-
lement à Cause de sa longueur : Précis d'un Mémoire sur l'action exercée par
un circuit électro-dynamique formant une courbe plane dont les dimensions
sont considérées comme infiniment petites; sur la manière d'y ramener celle
d'un circuit fermé, quelles qu'en soient la forme et la grandeur; sur deux nou-
veaux instruments destinés à des expériences propres à rendre plus directe et
à vérifier la détermination de la valeur de l'action mutuelle de deux éléments
de conducteurs; sur l'identité des forces produites par des circuits infiniment
petits j et par des particules d'aimant; enfin sur un nouveau théorème relatif
à V action de ces particules, lu à rAcadémie royale deâ Sciences dans sa
séance du 21 novembre 1825, par M. Ampère. (J.)

(•) J'ai déjà donné la démonstration de ce théorème à la fin du Mémoire sur
une nouvelle expérience électro-dynamique, sur son application à la formule qui
représente l'action de deux cléments de conducteurs voltaïques, et sur de nouvelles

2o4 M. -A. AMPÈRK.

çt^ Dans le cas où le circuit infiniment petit est dans le même
plan que l'élément sur lequel il agit, la force dont la direction est,
comme on sait, perpendiculaire à l'élément, se trouve aussi dans
ce plan, et sa valeur est simplement en raison inverse de la puis-
sance /i + I de sa distance à un point déterminé de Taire du cir-
cuit. On peut supposer, pour fixer les idées, que ce point est au
centre de gravité du contour de cette aire.

3° La force qui résulte de l'action de deux circuits infiniment
petits, situés dans un même plan, est dirigée suivant la droite
qui en joint deux points déterminés, tels que leurs centres de
gravité.

4° Cette force est réciproquement proportionnelle à la puissance
71 -H 2 de la distance de ces deux points.

5** Si l'on divise une aire quelconque en aires élémentaires dont
toutes les dimensions soient infiniment petites, et qui la remplis-
sent entièrement, et qu'on suppose des courants électriques de
même intensité qui en parcourent dans le même sens tous les
contours, les actions réunies de ces courants équivaudront à un
seul courant également intense, et décrivant seulement le contour
de l'aire totale, puisque celui-ci se compose des seules parties
des contours des aires élémentaires qui, n'appartenant pas à deux
de ces aires, ne sont pas, comme les autres, parcourues en sens
contraires par deux courants de même intensité dont il ne peut
résulter aucune action, d'après la première loi des phénomènes
électro-dynamiques.

6** Pour avoir l'action qu'un circuit fermé et plan, quelles que
soient sa forme et sa grandeur, exerce sur un élément de conduc-
teur voltaïque situé dans le même plan, il faut élever, à tous les
points de l'aire du circuit, des perpendiculaires réciproquement
proportionnelles aux puissances n -f- i des distances de ces points
au milieu de Télément, calculer le volume compris entre cette
aire, la surface du cylindre droit dont elle est la base, et celle qui
passe par les sommets de toutes les perpendiculaires; c'est à ce
volume que la force est proportionnelle : cette force est d'ailleurs

conséquences déduites de cette formule, que je viens de publier chez Crochard,
libraire, rue du Clottre-Saint-Benott, n<* i6, et chez Bachelier, libraire, quai des
Àugustins, n® 55. {Voir la note de la page i). (A.)

ANALYSE DU MéllOIBE DU 21 NOVEMBRE l825. 2o6

dans le plan du cîrcuit, et dirigée suivant la droite qui y est me-
née par le milieu de l'élément, perpendiculairement à sa direc-
tion.

7** Deux circuits fermés quelconques, compris dans un même
plan, s'attirent ou se repoussent suivant qu'ils sont parcourus en
sens contraires ou dans le même sens, par un courant électritjue ;
précisément comme si tous les points des aires qu'ils circonî^cri-
vent, supposées partout de même densité, s'attiraient ou se repous-
saient en raison inverse de la puissance n -f- 2 de la distance.

8° Dans le cas où toutes les dimensions et les dislances respec-
tives des points homologues de ces deux circuits deviennent plus
grands dans un même rapport, leur action mutuelle augmente
quand on suppose /i<C 2, reste la même si n=2^ et diminue
lorsque n> 2,

On a deux déterminations de la valeur de n, l'une déduite des
expériences de M. Biot, d'après le nombre d'oscillations que fait
un petit aimant par l'action d'un conducteur rectiligne indéfini à
différentes distances du conducteur; l'autre repose sur Texpé-
rience, due à MM. Gay-Lussac et Velter, qui constate la nullité
d'action d'un anneau d'acier dont tous les points sont aimanlés au
même degré. Mais l'une et l'autre de ces deux déterminations, ré-
sultant d'expériences où l'on emploie des aimants, ne peuvent être
étendues, rigoureusement parlant, à l'action mutuelle de deux
conducteurs. Il était important de trouver un moyen pour dcLcr-
miner la valeur de n, en partant d'observations faites directeirieiiL
sur des flls conducteurs. C'est à quoi l'on parvient d'une manière
très simple, en partant du dernier résultat que nous venons d'ob-
tenir. Il suffit pour cela de construire un instrument compose de
trois circuits semblables, circulaires par exemple, dont les di-
mensions homologues forment une proportion continue, et dispo-
sés dans un même plan, de manière qu'ils puissent se trouver
compris entre les côtés d'un angle qui soient à la fois tangenU ;^
leurs trois circonférences. En rendant mobile celui du milîcti et
en les faisant parcourir tous trois par un môme courant électrique
dont la direction soit telle qu'il y ait toujours répulsion entre les
branches les plus voisines de trois conducteurs, afin que l'équilibre
soit stable, on devra voir le circuit mobile s'arrêter dans la siiua-
tion que nous venons d'indiquer, si /i = 2, s'éloigner davantage

206 M.-A. AMPÈRE.

du plus grand des deux circuits fixes, si /i < 2, et du plus petit,
si n > 2.

D'après les déterminations que je viens de rappeler, et Pen-
semble des faits relatifs à l'analogie qu'on retrouve partout entre
l'action des conducteurs et celle des aimants, sous le point de vue
sous lequel je les ai rapprochés, on ne peut douter que ce ne soit
le premier de ces trois cas que Texpérienee vérifie. Mais, pour que
les lois de l'action électrodynamique fussent démontrées par les

Fig. I.

faits seuls et d'une manière absolument indépendante de toute
hypothèse, il serait bien à désirer que cette expérience fût faite
avec un instrument susceptible de toute la précision qu'on peut
désirer : tel est celui que je vais décrire {^fig^ i ).

Aux deux points A et A' de la table mn sont deux cavités rem-
plies de mercure : dans la première, plonge un conducteur
ABCDEFG dont la partie CDE est circulaire et dont les deux
autres parties ABC et EFG sont recouvertes de soie pour être iso-
lées l'une de l'autre.

En G ce conducteur communique avec un tube en cuivre HG,
surmonté d'un arc HI, terminé par une coupe l remplie de mer-

ANALYSE DU MÉMOIRE DU 21 NOVEMBRE l8gtÔ. 207

cure. Dans cette courbe plonge un conducteur IKLMNPQRS dont
la partie MNP est circulaire, et le reste enveloppé de soie. Il est
mobile autour de la verticale qui passe par les deux points I et S,
et le cercle MNP est maintenu horizontal au moyen d*un contre-
poids a. La pointe S de ce conducteur plonge dans une coupe
soutenue par une lige en cuivre ST qui communique au conduc-
teur TUVXYZA' dont la partie VXY est circulaire et le reste en-
touré de soie.

Les rayons des trois cercles O, O', O", forment une proportion
continue dont le rapport est arbitraire.

Cela posé, si l'on plonge le rhéophore positif en A et le rhéo*
phore négatif en A', le courant suivra la route ABCDEFCIIMICL-
MNOPQRSTUVXYZA'. Le cercle O' sera donc repoussé par les
deux cercles O et O'' et Texpériencc fait voir qu'il reste en équi-
libre lorsque les distances 00', O'O" des centres respectifs de^
trois cercles, sont dans le même rapport que les rayons den deux
cercles /consécutifs. L'instrument est construit de manière que,
dans cette position, les trois centres soient en ligne droite; de
sorte que le système des deux cercles O et O' est semblable au
système des deux cercles O'etO"; et le rapport de toutes les lignes
homologues des deux systèmes est encore le même que celui de
deux rayons consécutifs.

Lorsque la valeur de n est ainsi déterminée, on doit, dans Té-
nonce des théorèmes précédents relatifs à l'action d'un circuit
plan sur un autre circuit situé dans le même plan, remplacer les
expressions puissance n -\-i, puissance n -f- 2, par celles de troi-
sième et de quatrième puissance.

Il est à remarquer au reste que la manière que je viens d'indi-
quer pour déterminer la valeur de n pouvait être conclue de ce
que l'action mutuelle de deux éléments de courants électriques,
étant nécessairement proportionnelle au produit des longueurs de
ces éléments, et représentée par ce produit multiplié par une
fonction des angles qui en déterminent la position et divisé par la
puissance n de leur distance, le nombre des dimensions des va-
leurs des doubles intégrales qui expriment les forces réstiltanLes
de l'action mutuelle de deux circuits est nécessairement 2 — n ;
en sorte que, quand on suppose que toutes les dimensions des deux
circuits augmentent ou diminuent dans le même rapport sans que

aoâ

M. -A. AMPBRE.

les angles changent, il faut bien que Faction soit, comme nous
venons de le voir d'une autre manière, proportionnelle à la puis-
sance îâ — 71 de ce rapport; si l'action reste la même, il faut donc
que /i = 2.

Dans le second paragraphe de mon Mémoire, j'ai donné con-
slaiiHnent à n cette valeur, et j'ai d'abord calculé l'action qu'exer-
ceni lieux circuits fermés, formant l'un un secteur de cercle, et
l'aulrc une demi-circonférence de même rayon que le secteur,
joînie au diamètre qui en réunit les deux extrémités. 11 est aisé de
mesurer exactement cette action à l'aide d'un instrument où deux

FiR. 2.

coiidncteurs mobiles en demi-cercle sont soumis à l'action de deux
coTid licteurs fixes en forme de secteurs dont l'angle au sommet
n c:^l pas le même, ainsi que je l'ai expliqué dans le Mémoire que
j'ai [^réseuté à l'Académie, le 12 septembre dernier, soit par la
iûrsion d'un fil, soit par le nombre des oscillations que font en
niùnju temps les deux conducteurs. Voici une description abrégée
de cet instrument.

Aux deux points a et a' {fig, 2) de la table m/i, s'élèvent deux
supports aby a' 6' dont les parties supérieures c6, db' sont d'une

ANALYSE DU MEMOIRE DU 31 NOVEMBRE l825. HOg

matière isolante; ils soutiennent une pièce de cuivre Hrfee'rf'H'
formée avec une lame pliée en gouttière suivant la droite HH\ et
terminée par deux coupes H et H' remplies de mercure. Aux points
A, C, A', O de la table sont quatre cavités remplies aussi de mer-
cure. De A part un conducteur en cuivre AEFGRSQ, soutenu par
HH' et terminé par une coupe Q. De A' il en part un second sy-
métrique A'E'F'GS'R'Q'. Ils sont tous les deux entourés de soie
pour être isolés Tun de l'autre et du conducteur HH'. Dans la
coupe Q plonge la pointe d'un conducteur mobile QPK^LMN K I H
revenant sur lui-même de K en I, et ayant dans cette partie ses deux
branches entourées de soie. Il est terminé par une seconde pointe
plongée dans la coupe de mercure H; NML est un demi-cercle
dont NL est le diamètre et K le centre. La tige PK^/? est verticale
et terminée en p par une pointe retenue par trois cercles horizon-
taux B, D, V, qui peuvent touruer autour de leurs centres, et sont
destinés à diminuer le frottement.

YT est une tablette fixe qui reçoit dans une rainure un conduc-
teur AU e^/ZA^tO>3C, revenant sur lui-même de g en O, et
doublé de soie dans cette partie.

La partie f^Lhg est un secteur de cercle qui a pour centre le
point Z; la partie go est rectiligne; elle traverse en i le support
ah dans lequel on a pratiqué une rainure verticale. En o les deux
lames se séparent et vont plonger respectivement dans les coupes
A et G. La partie de l'instrument située à droite de FG est entiè-
rement symétrique de celle que nous venons de décrire; les points
correspondants en sont marqués dans la figure par les mêmes
lettres accentuées.

Cela posé, si l'on plonge le rhéophore positif de la pile en C,
et le négatif en G, le courant électrique parcourra le conducteur
G-so^AZ/^UAEFGRS; de là il passera dans le conducteur mo-
bile QPK"LMNKIH, et se rendra en H'; il parcourra ensuite
le conducteur mobile symétrique H'rK'N'M'L'K"^P'Q', arrivera
en Q', suivra le conducteur Q'S'R'G'F'E'A' et, arrivé en A, il
suivra le conducteur h!\i' i^ f'TJ h' g' i' o' z' CJ ^ et de G' passera dans
le rhéophore négatif, le courant allant dans la direction NL, dans
le diamètre NL et de h en /r, puis de k en /, dans les rayons /itN
et Z/; de plus le circuit fermé fTihgf ne produisant, comme on
le sait, aucune action sur le demi-cercle LMN dont le plan est
Mém, de Phys,, III. i4

ILO M.-À. AMPàRB.

perpendiculaire sur la droite fixe PK*^ menée par son centre, le
tond 11 de ur mobile ne pourra êlre mis en mouvement que par
Faction du secteur ^AZ/^ sur le diamètre NL, vu que, dans toutes
les autres parties de l'appareil , passent deux courants opposés
dont les actions se détruisent. L'équilibre aura lieu quand le dia-
mètre iVLfera des angles égaux avec les rayons Z/et ZA; et, si on
lY'C^rtij de celle position, il oscillera par l'action seule du secteur
g/tTsfg sur le diamètre LN, et le nombre des oscillations détermi-
nera 1 intensité de cette force pour qu'on voie si elle change avec
Fan^lu du secteur, conformément au résultat du calcul.

Jp d/'Lcrmine ensuite, toujours dans le cas de n=2j l'action
(]ij*uti c ircuit dont toutes les dimensions sont infiniment petites
exerce à un point situé hors de son plan, en supposant que ce
point est celui dont les coordonnées sont œ, y^ z, et en prenant
pour Taxe des z la perpendiculaire élevée sur le plan du petit cir-
cuit par un point déterminé de l'aire qu'il circonscrit, tel que le
centre de gravité de son contour; je trouve ainsi :

1" (^ïue la droite que j'ai désignée sous le nom de normale au
jïUn directeur de l'action électro dynamique au point que l'on
considère est dans le plan abaissé de ce point perpendiculaire-
ment sur celui du petit circuit;

1^ " (^ue cette droite est située, relativement à ce dernier plan,
comme la ligne d'inclinaison de l'aiguille aimantée l'est, en géné-
ral, à l'égard de l'équateur magnétique de notre globe; c'est-
à-dire qu'elle forme avec la droite menée du point que l'on con-
sidère à Torigine un angle dont la tangente est la moitié de celle
4jue lo même droite fait avec l'axe des z.

Je donne ensuite les formules qui expriment les trois forces que
produit Faction d'un circuit infiniment petit : i° sur un élément
de conilucteur voltaïque, parallèlement à trois axes rectangulaires
dont un est élevé perpendiculairement sur le plan du circuit et
pasâe par un point déterminé de son aire, pris pour l'origine des
coordonnées; 2® sur un autre circuit plan dont toutes les dimen-
sions sont aussi infiniment petites. La difSculté qu'ofiraient ces
calculs venait de la nécessité de ne conserver dans les formules,
pour toute quantité infiniment petite, que les aires des deux cir-
cuits, puisque les forces cherchées doivent être indépendantes
de leurs formes. Je suis parvenu à mettre les valeurs de ces

ANALYSE DU MÉMOIRE DU 21 NOVEMBRE iSsS. 211

forces sons une forme qui satisfait à cette dernière condition , par
une application particulière de la méthode des variations aux
questions de ce genre, application que je crois entièrement
nouvelle.

Dans le troisième paragraphe, j'ai considéré les efiFets qui doi-
vent résulter, non plus de l'action des courants électriques, mais
de ceux qui seraient produits par des assemblages de deux sortes
de points agissant les uns sur les autres, comme on admet dans
la théorie des deux fluides magnétiques, qu'agissent les points
qu'on désigne sous le nom de molécules de fluide austral el fluide
boréal, en supposant, comme on le fait dans cette théorie, que
dans un espace extrêmement petit où se trouve un de ces points,
il y a toujours un autre point de l'espèce opposée, qui attire ce
<jue l'autre repousse, et vice versa, avec une force dont l'intensité
est la même pour les deux points, et décroît d'ailleurs en raison
inverse du carré de la distance. Pour éviter les circonlocutions
dans la comparaison que je me propose de faire ici entre les con-
séquences auxquelles on est conduit, lorsqu'on admet l'existence
de ces molécules, et celles qui se déduisent de la considération
des courants électriques formant des circuits plans infiniment pe-
tits, je donnerai le nom d^élément magnétique à l'assemblage de
deux points doués des propriétés dont je viens de parler; je dési-
gnerai ces points sous celui de pôles de l'élément magnétique, et
j'appellerai axe du même élément la droite qui les joint. J'ai
considéré d'abord deux éléments magnétiques dans une situation
quelconque : j'ai pris le milieu de l'axe d'un de ces éléments pour
l'origine des coordonnées ^, j^, z, et ce même axe pour celui des
z; j'ai calculé les forces parallèles aux trois axes qui résultent de
l'action mutuelle des deux éléments magnétiques, et en compa-
rant les valeurs de ces forces avec celles que j'avais obtenues dans
le paragraphe précédent pour les trois forces produites par l'action
mutuelle de deux circuits infiniment petits, après avoir fait n = 2
dans ces dernières, j'ai trouvé qu'en supposant les axes des deux
éléments magnétiques, normaux aux plans des deux circuits, et
les milieux de ces axes dans des points déterminés des aires que
circonscrivent les mêmes circuits, on avait dans les deux cas des
valeurs qui ne difi<éraient qu'en ce que le coefficient constant qui
entre dans ces valeurs était ^et^XV, i et H étant les intensités des

312 M.-A. AMPàRE.

deux courants, X et V les aires qu'ils entourent, lorsqu'il s'agit de
Taction mutuelle des deux circuits, tandis que quand on prend les
valeurs des forces produites par l'action mutuelle des deux élé-
ments magnétiques, le même facteur est |jL[jt.'Sp8p', en nommant
jjL, |jl' les intensités des forces attractives et répulsives des pôles de
ces éléments, et 8p, 8p' les longueurs de leurs axes.

Ce résultat établit complètement l'identité de tous ceux qu'on
peut déduire des deux espèces de considérations par lesquelles
on a expliqué les phénomènes électro-dynamiques, identité qu'on
pourrait déjà déduire, quoique d'une manière moins directe, des
calculs de M. Savary, et de ceux qu'on trouve dans mon Précis
de ta théorie des phénomènes électro^ynamiques.

Mais ce n'est pas là le seul avantage de ce résultat général : il
montre non seulement comment on doit disposer des circuits
électriques fermés, pour qu'ils produisent exactement les mêmes
effets que les aimants considérés ainsi qu'on le fait ordinairement
comme composés de molécules de fluides austral et boréal, c'est-
à-dire d'éléments magnétiques, mais encore, ce qui est beaucoup
plus important, comment il faut disposer des éléments magné-
tiques, pour qu'il en résulte précisément tous les effets des con-
ducteurs vollaïques formant des circuits fermés de forme inva-
riable. C'est à cette question que je me suis d'abord appliqué, et
j'ai terminé mon Mémoire par quelques recherches sur la manière
dont on pourrait étendre les mêmes considérations au cas où les
conducteurs ne forment pas des circuits solides fermés, et où
l'on observe le singulier phénomène du mouvement de rotation
continue.

D'après ce qui a été dit dans le premier paragraphe au sujet de
la possibilité de remplacer, sans qu'il en résulte aucun change-
ment dans l'action que produit un circuit fermé et plan quel-
conque, par autant de circuits infiniment petits, de même direc-
tion et de même intensité, que l'on conçoit de parties dans l'aire
du premier, on est conduit naturellement à remplacer de même
un circuit fermé, mais dont toutes les parties ne sont pas dans un
même plan, par des circuits infiniment petits, de même direction
et de même intensité, situés sur une surface quelconque terminée
de toutes parts au premier circuit. Il est bien évident que les
seules parties de ces petits circuits, dont l'action n'est pas dé-

ANALYSE DU MÉMOIRE DU Ski NOVEMBRE 18^5. ai3

truite par les parties des circuits voisins avec lesquelles elles coïn-
cidesty sont précisément celles dont se compose le circuit total.
Or, celui-ci ne changeant pas, on peut donner à la surface dont
il est le contour toutes les formes que Ton veut : l'action des
circuits infiniment petits disposés sur cette surface de la manière
que je viens de le dire est donc indépendante de sa forme, et on
peut la faire varier sans que Faction change, pourvu que le con-
tour de cette surface reste le même.

Il m'était alors aisé de prévoir, d'après ce que j'avais démontré
dans le second paragraphe de ce Mémoire, que la même indépen-
dance de la forme de la surface doit avoir lieu à l'égard de l'ac-
tion exercée par des éléments magnétiques, normaux aux plans
des petits circuits qui peuvent leur être substitués. De là résulte
un théorème bien remarquable relatif à ces éléments, et que j'ai
démontré directement d'après la seule considération des forces
qu'on attribue dans l'hypothèse des deux fluides magnétiques aux
molécules du fluide austral et à celles du fluide boréal.

Ce théorème consiste en ce qu'en partant des forces attribuées
aux deux pôles des éléments magnétiques on trouve : i® que si,
à tous les points d'une surface de forme quelconque, on conçoit
des éléments magnétiques dont les axes aient leurs milieux dans
cette surface et soient dirigés suivant les normales, et dont les in-
tensités multipliées par les longueurs donnent des produits égaux
pour toutes les portions de la surface dont l'aire est la même, l'ac-
tion exercée par ces éléments sur le pôle d'un autre élément que
l'on peut considérer comme l'origine des coordonnées auxquelles
on rapporte la surface est absolument indépendante de la forme de
cette surface, qu'elle est toujours nulle quand celle-ci est fermée
et termine de toute part l'espace qu'elle renferme, et que, dans le
cas contraire, la même action dépend seulement de la forme du
contour qui circonscrit la surface ; 2** que les trois composantes
de l'action totale suivant les trois axes sont respectivement pro-
portionnelles aux sommes des quotients des projections des aires
dont le sommet est à l'origine, et qui ont pour bases les arcs infi-
niment petits dont se compose le contour, divisées par les cubes
des distances de ces arcs à l'origine. On sait que j'ai trouvé dans
le Précis de la théorie des phénomènes électro-dynamiques, en
partant d'une formule uniquement déduite de l'expérience, des

-lli M.-A. AMPÂRE.

expressions semblables pour les trois forces qui résultent, dans les
mcmes directions, de Taction d'un circuit fermé sur le pôle d'un
élément magnétique; et comme la même chose doit se dire de
toutes les surfaces qui ont ce circuit pour contour, on peut con-
sidérer Taclion qu'il exerce comme due à des éléments magné-
tiques, disposés dans l'espace suivant des lignes d'aimantation
qui coupent partout à angles droits les surfaces dont nous ve-
nons de parler, avec cette seule condition que l'intensité des élé-
ments magnétiques multipliés par les longueurs de leurs axes
donnent des produits égaux pour des portions égales d'une même
surlace.

Soit qu'on suppose que chaque élément niagnétique doit Tac-
tion qu'il exerce à deux molécules, l'une de fluide austral, l'autre
de fluide boréal, ou que cette action résulte du courant électrique
formant dans un plan perpendiculaire à l'axe de l'élément un
circuit infiniment petit, le résultat purement mathématique que je
viens d'énoncer subsiste, et l'on ne peut guère se dispenser d'en
conclure, dans les deux manières d'expliquer les phénomènes que
présentent les conducteurs voltaïques, que l'action exercée par
ces conducteurs est produite par la formation, dans l'espace en-
vironnant, des éléments magnétiques dont je viens de parler;
surtout si l'on se rappelle une expérience que j'ai faite à Genève,
en 182a (* ), et celles par lesquelles M. Becquerel a généralisé et com-
plété le résultat que j'avais obtenu, savoir que le courant électrique
imprime en effet à tous les corps l'espèce d'aimantation dont il
est ici question, aimantation qui disparaît dès que le courant est
interrompu.

D'autres physiciens ont cherché à représenter l'action des fils
conducteurs par des distributions d'éléments magnétiques propres
à les produire; mais leurs travaux n'ont eu aucun résultat, parce
qu'ils plaçaient les éléments magnétiques, les uns suivant les dia-
mètres des fils dans deux directions perpendiculaires entre elles, hy-
pothèse repoussée par une expérience bien connuede M. Oersted (2);

(0 Voir t. II, art. XXV, p. 332. (J.)

(*) L'expérience d'OErsted consiste à montrer qu'un fil conducteur rcctiligne
mobile autour de son axe exerce la même action sur une aiguille aimantée,
quelle que soit la situation qu'il prenne par rapport à cet axe. {AnncUes de
Chimie et de Physique, [2], t. XXII, p. aoi; 1823.) (J.)

ANALYSE DV MÉMOIRE DU 21 NOVEMBRE l8a5. Jt 1 T

les autres suivant les circonférences des mêmes fils, tandis que
l'expérience déjà citée de MM. Gay-Lussac et Welter démontre
qu'alors ils n'exerçaient aucune sorte d'action. Il fallait suivre la
marche toujours appuyée sur l'expérience, dont je ne me suis point
écarté dans mes recherches sur ce sujet, pour être conduit à dis-
poser, comme je viens de le dire, des éléments magnétiques dans
l'espace où se trouve le circuit voltaïque, de manière qu'ils pro-
duisent exactement les effets observés. Qui ne voit d'ailleurs qu<s
quand même on aurait eu cette idée, on n'aurait eu aucun moyeu
de la vérifier, si je n'avais pas déduit de la seule observation des
faits les lois de l'action électro-dynamique et les valeurs des forcer
qui en sont une suite nécessaire? Ces lois et ces valeurs ainsi éta-
blies, indépendamment de toute hypothèse, subsistent nécessai-
rement, quelle que soit la théorie qu'on adopte, ou plutôt cites
sont comme la pierre de louche de toutes les théories qut se
trouvent appuyées sur les faits, dès qu'elles conduisent aux va-
leurs déterminées d'avance pour les forces, et inadmissibles quai^cl
elles en donnent d'autres.

A l'égard des phénomènes qu'on observe quand une partie d»i
circuit voltaïque est mobile séparément, sans former elle-même
un circuit presque fermé, il est aisé de voir que la répulsion mu-
tuelle des éléments magnétiques normaux aux surfaces qui oui
pour contour le circuit total, y compris la pile, doit tendre à !e
dilater en établissant une répulsion, apparente si l'on veut, soit
entre les diverses parties d'une portion rectiligne, soit entre 1rs
deux côtés d'un angle que le courant parcourt, en allant vers le
sommet de cet angle dans l'un, et en s'éloignant dans l'autre.

De là résulte le phénomène de rotation tel qu'on l'observe, et
cette rotation tend toujours à s'accélérer, parce qu'à mesure que
la partie mobile se déplace, il se forme de nouveaux éléments ma-
gnétiques dans l'espace environnant, enfsorte que les forces atLrac-
.tives et répulsives qui en émanent dépendent du temps : ce qiti
suffit, comme on sait, pour qu'il n'y ait plus lieu au principe iEl^
la conservation des forces vives, tel qu'on le conçoit commum--
ment. Mais si l'on voulait continuer d'expliquer les phénomènes
produits par les aimant» et par les conducteurs voltaïques, en sup-
posant deux fluides magnétiques différents de l'électricité et dotU
les molécules se disposeraient dans le cas des conducteurs de la ma-

sis M.-A. AMPÈRE.

nière que je viens d'indiquer, il resterait à dire comment le courant
électrique agit sur elles et leur donne une si singulière disposi-
tion ; tandis qu'en n'admettant dans ces phénomènes que de l'élec-
tricité en mouvement agissant, comme le prouve l'expérience,
conformément aux lois que j'ai établies et à la formule qui en ré-
sulte, on voit sur-le-champ que le courant électrique du fil con-
ducteur doit imprimer aux particules de fluide neutre répandues
dans Fespace un mouvement de rotation qui se propage de
proche en proche suivant les surfaces dont je viens de parler, et
qu'il résulte autant de courants électriques infiniment petits
qu'il j a de ces particules, puisqu'elles sont chacune composées
de molécules d'électricité positive et de molécules d'électricité
négative. Celte manière de concevoir les efiets des conducteurs
voltaïques rend également raison de ceux que produisent les ai-
manLs, et donne pour ces derniers les deux lois connues de l'action
mutuelle de deux aimants, et de l'action d'un aimant sur un fil
conducteur* Seulement ces lois ne sont plus le résultat d'une force
inhérente aux prétendues molécules du fluide austral et du fluide
boréal, mais résultent des mouvements que les courants électriques
impriment aux particules du fluide formé par la réunion des deux
éieciricités, et de la manière dont ces particules réagissent en
vertu de ces mouvements' sur les corps où les courants sont
établis. J'avais annoncé dans mon Recueil d'observations électro-
djnamiques que de tels mouvements étaient la cause la plus pro-
bable des phénomènes dont il est ici question. Les nouveaux ré-
sultats contenus dans ce Mémoire tendent à confirmer cette
opinion, cl A nous mettre sur la voie qui doit nous conduire à la
détermination complète de ces mouvements, et à l'explication de
tous les effets qu'ils produisent.

PREMIERE LETTRE A GHERARDI. 217

XXXUL

LETTRE DE H. AMPÈRE A M. GHERARDI, SUR DIVERS PHÉNOMÈNES
ÉLEGTRO DYNAMIQUES (').

Monsieur,

J'ai mille remercîraents à vous faire de l'exemplaire de vos
observations sur l'ouvrage de M. le chevalier Leopoldo Nobili,
que vous avez eu la bonté de m'envoyer.

Les réponses que vous faites à plusieurs objections proposées
dans cet ouvrage contre quelques parties de ma théorie des phé-
nomènes électro-dynamiques m'ont paru en général très justes,
et je pense qu'elles ne laissent rien à désirer sur ce sujet. La plu-
part s'étaient présentées à mon esprit quand je lus l'ouvrage de
M. Leopoldo Nobili, ouvrage où se trouvent d'ailleurs des re-
cherches sur diverses circonstances des phénomènes électro-dyna-
miques qui m'ont paru pleines d'intérêt.

Vous avez très bien montré, Monsieur, que les résultats de toutes
les expériences décrites dans cet ouvrage sont entièrement con-

(') Annales de Chimie et de Physique, [a], t. XXIX, p. 373.

Nobili avait décrit, dans V Anthologie de Florence (août, octobre et décembre
1824), plusieurs expériences qu'il présentait comme autant d'objections à la théorie
d'Ampère. Le D' Ghcrardi, auteur d'une traduction du Manuel d'Électricité
dynamique de Demonferrand, chercha à réfuter ces objections dans un Mé-
moire intitulé : Osservazioni sopra alcune esperienze elettro-magnetiche del
signor cavalière Leopoldo Nobili, del dottor Silvestro Gherardi (Nuova col-
lezione d'Opusculi scientijici, quaderao I, Bologna, 1825 ).

Parmi ces expériences, la plus intéressante est la rotation du mercure à l'inlé-
rieur et à l'extérieur d'une hélice traversée par un courant, expérience analogue
à celle que M. Bertin a publiée, en 1809, dans les Annales de Chimie et de Phy-
sique [3], t. LV, p. 3o4. Gherardi montre que les rotations sont bien de sens con-
traires à l'intérieur et à l'extérieur de l'hélice, comme le veut la théorie.

Les éclaircissements donnés dans la lettre actuelle n'ayant pas levé tous Ic^
doutes de son correspondant. Ampère se décida, sur de nouvelles objections, à
écrire le Mémoire sur Vaction d'un courant voltaïque et d'un aimant, qu'il
adressa à Gherardi en même temps que Ik Lettre qui forme le supplément de ce
Mémoire. {Voir les art. XXXIV et XXXV.) ( J. )

ai8 M. -A. AMPÈRE.

formes à ce qu'on déduit de la manière dont j'ai expliqué les phé-
nomènes électro-dynamiques. Je crois cependant devoir ajouter
deux observations à celles que vous avez faites sur ce sujet. La
premiitG est relative à ce que, dans ma lettre à M. Faraday, en
daie du i8 avril 1828, j'avais dit que l'action mutuelle de deux
cirtîuiu fermés ou de deux assemblages de circuits fermés ne peut
produire le mouvement de rotation continue dans l'un de ces cir-
ciïiis ou de ces assemblages. [Voir mon Recueil (Inobservations
éieciro-dj^namiqiies, p. 366 ( ' ). ] Vous avez raison, ainsi que M. de
Nobili, de me reprocher d'avoir, dans ce passage d'une lettre
écrite rapidement, énoncé d'une manière trop générale une chose
qui n'est vraie que des circuits fermés, ou assemblages de circuits
fermés qui sont solides, c'est-à-dire, de forme invariable dans
toute leur étendue. Qu'elle soit vraie dans ce cas, c'est ce qu'il
vous sera facile de vérifier, parce que, dans toutes les positions
des deux circuits fermés où l'un d'eux tend à imprimer à l'autre
un mouvement de rotation continue, il arrive, à mesure que ce
mouvement a lieu, que le circuit fermé mobile vient s'appuyer sur
Tautre^ et que le mouvement ne peut continuer qu'autant que l'un
des deux circuits a, dans l'endroit où ils se rencontrent, une por-
liuii li(juide que l'autre puisse traverser. Mais si j'ai eu tort, dans
le passage en question de ma lettre à M. Faraday, de ne pas
énoncer cette restriction en disant : « Des circuits fermés solides
el de forme invariable dans toute leur étendue », c'est que je pen-
sais qu'on verrait bien, en lisant ce passage, que j'entendais parler
seulement de cette sorte de circuitis, puisque l'expérience même
de ÎNL Faraday, où un aimant tourne continûment autour d'un con-
ducteur vertical, m'était connue depuis longtemps, et qu'il est
évidenl que, d'après ma formule, le mouvement continu de rota-
tion doit avoir lieu, dans ce cas, soit que le courant électrique
traverse ou ne traverse pas l'aimant, pourvu que le mercure dans
lequel il est établi puisse s'ouvrir pour laisser passer cet aimant,
en un mot, pourvu que le circuit fixe soit en partie liquide. J'étais
d'aulant plus fondé à penser que l'on restreindrait aux circuits
fermés solides ce que je disais relativement à l'impossibilité de
produire un mouvement de rotation continue par leur action

{ ' ) Voir t. II, art. XXVIII, p. 384- ' ( J.)

PREMIÂRE LETTRE A GHERARDI. 219

mutuelle^ que cette restriction, oubliée dans ma lettre à M. Fa-
raday, était énoncée de la manière la plus complète dans deux
autres endroits de mon Recueil (inobservations électro-dyna-
miques.

Voici comme je me suis exprimé à la page 235 de ce Recueil (* ) ;
(( Dès que j'eus connaissance, à lafm d'octobre 1821 , du Mémoire
où M. Faraday avait publié, peu de temps auparavant, son impor-
tante découverte du mouvement continu de rotation d'un conduc-
teur voltaïque autour d'un aimant, et d'un aimant autour \\\m
conducteur, et où il avait annoncé qu'il n'avait pu faire tourner,
par l'action de ce dernier, un aimant autour de son axe, je
cherchai à produire cette sorte de mouvement en faisant agir des
aimants, disposés de toutes les manières que je pus imaginer, sur
les conducteurs mobiles dont je m'étais servi jusqu'alors dans
toutes mes expériences, et dont les deux extrémités se trouvaient
dans l'axe de rotation. Je parvins bientôt à ce résultat génénil,
que tant que cette circonstance a lieu dans un conducteur doni
toutes les parties sont liées invariablement entre elles, le mcm-
vement continu de rotation est impossible, et il me fut facile fl'en
conclure qu'il l'est également par l'action mutuelle d'un aiinani
et d'un circuit fermé de forme invariable, puisqu'un tel circuii
peut toujours être considéré comme la réunion de deux portions
de conducteurs dont les extrémités sont dans un même axe de
rotation pris à volonté. »

Et à la page 356 (•), en répétant qu'il est impossible de produire
cette sorte de mouvement en employant seulement des aimants ou
des conducteurs solides formant des circuits fermés, j'aiexplituié,
par une note placée au bas de cette page, l'expression conducteurs
solides en ces termes : « On entend ici, par cette expression, que
toutes les parties de la portion du conducteur qui forme un cir-
cuit fermé ou presque fermé sont invariablement liées entre elles,
et ne peuvent changer de situation respective. Lorsque cette pori înii
est composée de deux ou de plusieurs pièces mobiles séparémeni,
ou qu'elle est formée en tout ou en partie d'un liquide conducteur,
le mouvement de rotation continue devient possible. »

(') Voir t. II, art. XVIII, p. 267. (J-)

(") Voir t. II, art. XXVH, p. 877. {h \

220

M.-A. AMPERE.

Vous voyez, Monsieur, quft la restriction qui rend exact ce que
j'ai dit sur le cas où le mouvement de rotation devient impossible
est exprimée de la manière la plus expresse dans cette note, qui
se trouve dans mon Becueil, immédiatement avant ma lettre à
M. Faraday, et qui y a été publiée il y a plus de deux ans.

La seconde observation se rapporte à la remarque que vous avez
faite page i6 de votre Mémoire, sur ce que, d'après la valeur

2^

( cos 6' — cos 6" — cos b\ -h cos 6", ),

que j'ai donnée à la page 28 de mon Précis de la théorie des
phénomènes électro-dynamiques {^)y pour représenter le moment
de rotation produit par l'action d'un solénoïde électro-dynamique
sur un conducteur, action qui peut en général être assimilée à celle
qu'un aimant exercerait sur le même conducteur, vous avez trouvé
qu'en supposant que les deux extrémités du conducteur et les
deux pôles du solénoïde ou de l'aimant sont à la fois dans l'axe
de rotation, le mouvement continu autour de cet axe devait avoir
lieu quand un des pôles est entre les deux extrémités du conduc-
teur, et l'autre pôle hors de l'intervalle compris entre ces extré-
mités. Ce résultat de ma formule est d'accord'avec celui de l'ex-
périence qu'on fait au moyen de l'appareil représenté ici {^fig* i),

Fig. I.

quoique, dans cet appareil, l'extrémité inférieure N du conduc-
teur mobile MABN qui plonge dans le mercure de la coupe PQ
ne se termine pas précisément à l'axe. Gela vient, d'une part, de

(•) Voir t. m, art. XXX, p. 9a.

(J.)

PREMIÂRB LETTRE A GHERARDI. 221

ce que les cosinus des angles 8'^ et 0* , relatifs à l'extrémité N, ne
diffèrent que très peu des valeurs — i et -+- 1 que prendraient ces
cosinus si elle était exactement dans Taxe; et d'autre part^ de ce
que la valeur du moment de rotation en fonction des angles 6 * h\
8,, ^\ est applicable à ce cas parce que les divers points du con-
ducteur sont à des distances des courants de Taimant beaucoup
plus grandes que les rayons des circonférences décrites par ces
courants. Mais si l'on pouvait supposer que le conducteur pvné*
trant dans l'aimant vînt se terminer à un point D de Taxe s\lw
dans l'intérieur de cet aimant, on ne peut plus dire précisénieut
ce qui aurait lieu dans cette supposition, impossible d'ailleurs à
réaliser. En effet, les points de la portion CD du conducteur mo-
bile se trouvant comme infiniment près des courants de l'aim^int,
on ne pourrait plus considérer les rayons des circonférences que
décrivent ces courants comme très petits relativement aux di-
stances entre elles et les points dont nous parlons; dès lors t*ex-
pression du moment de rotation qui a été calculée en négligeant
les puissances de ces rayons, supérieure à la troisième, cessiTiiit
de donner la valeur de ce moment. C'est pourquoi, lorsqu'on rt*ju-
place, dans l'appareil que nous venons de décrire, l'aimant par
une hélice électro-dynamique, il y a encore mouvement de rota-
tion continue tant que l'extrémité inférieure N du conducteur
mobile est en dehors de cette hélice, comme elle est en delnirs
de l'aimant LU (Jig' i); mais si, cette hélice ayant toujours pour
axe celui autour duquel le conducteur mobile est assujetti à tour-
ner, on dispose le conducteur mobile comme on le voit (Jlg- ^)»
de manière que son extrémité inférieure N soit, comme la supé-
rieure M, exactement dans l'axe, en faisant passer la portion hori-
zontale BC de ce conducteur entre les spires de l'hélice, il n'aura
plus aucune tendance à tourner autour de l'axe de ces s}>irri^,
parce que pour chacune d'elles il y aura sur BC un point O tel qm^
le moment de rotation que l'action de la spire imprime à la [mr~
tion M AJBO pour la faire tourner dans un sens sera détruit par iin
moment égal et de signe contraire résultant de l'action de la mt*me
spire pour faire tourner la portion OC en sens contraire. L'op-
position de ces deux actions n'a évidemment lieu que parce qnc la
portion OC du conducteur mobile se trouve dans l'intérieur de
l'hélice, tandis que la portion MABO est en dehors : or, cette cir-

222 M. -A. AMPERE.

constance ne peut avoir lieu sans (ju'il y ait des points du conduc-
teur mobile à une distance des deux spires entre lesquelles il passe
moindre que celle d'une spire à l'autre, et dès lors la valeur du
moment de rotation en fonction des angles 8', V^ 8',, 8* n'est plus
applicable, puisqu'elle repose sur ces deux suppositions que la
distance de deux courants circulaires consécutifs est infiniment
petite, et que celle des divers points du conducteur mobile à ces
courants est très grande relativement aux rayons des cercles qu'ils
décrivent» Ce cas où la valeur trouvée pour le moment de rotation
n'a plus Heu est au reste particulier aux hélices électro-dynamiques,
et ne peut exister à l'égard des aimants, puisque le conducteur
mobile ne peut passer entre les courants électriques auxquels ils

Fig. 2.

doivent leurs propriétés, et que les rayons des cercles décrits par
ces courants sont d'une petitesse de l'ordre des dimensions des
particules des corps.

De tout cela il ne résulte aucune dissemblance réelle entre la
manière d'agir d'un aimant et celle d'un solénoïde électro-dyna-
mique; on voit que l'hélice que nous substituons à ce dernier
agit comme l'aimant, à l'exception du seul cas où une portion du
conducteur mobile passe entre ses spires, et s'étend dans l'inté-
rieur de celte hélice, ce qui ne peut avoir lieu à l'égard de l'aimant
dont les courants circulaires entourent chaque particule. On voit
en même temps pourquoi la valeur du moment de rotation rap-
pelée plus haut cesse, dans le même cas, d'exprimer l'action de
l'hélice, quoiqu'elle représente toujours exactement celle des

PREMIÈRE LETTRE A GHERARDÎ. 2!lS

aimants, et comment la rotation continue du conducteur mobile,
disposé comme dans la yï^. i, n'est nullement contraire au cas
d'équilibre dont j'ai déduit^ entre les deux constantes k et n de
ma formule, la relation

aA: -+- /i = I,

et que j'ai constatée par l'expérience décrite aux pages 3 1 1 et 3 1 2 de
mon Recueil d'observations électro-dynamiques (*). Dans cette
expérience, l'équilibre a lieu entre les deux actions exercées par
le conducteur circulaire horizontal; la première, dans un sens,
sur la portion du conducteur mobile qui répond à l'intérieur de
ce conducteur circulaire; la seconde, en sens contraire, sur la
portion du conducteur mobile qui lui est extérieur : or, dans l'ap-
pareil {Jlg- 1), ce dernier est tout extérieur à l'aimant, il n'y a
donc d'action que dans un sens, et le mouvement de rotation con-
tinue en est une suite nécessaire. Il est inutile d'ajouter que, si les
actions exercées par le conducteur horizontal sur les deux portions
du conducteur mobile dont je viens de parler tendent à le faire
tourner en sens opposés, cela vient de ce que le courant de ce
dernier conducteur ne peut aller, en s'approchant de celui du
conducteur horizontal dans une de ces deux portions, sans aller
en s'en écartant dans l'autre et réciproquement (2).
J'ai l'honneur d'être, etc.

Paris, 16 août iSaS.

(«) Voir t. n, art. XIX, p. 283 et 28/1 . ( J.)

(') Nous avons supprimé ici un dernier paragraphe, qu'Ampère avait supprimé
lui-môme dans le tirage à part de cette Lettre. Il annonce à Gherardi qu'il vient
d'employer une nouvelle méthode (celle de l'arc mobile, t. III, p. 17) pour dé-
terminer la relation 2k-h n = i : la première « n'était peut-être pas assez rigou-
reuse parce que je n'avais vérifié que sur un courant décrivant, soit une circonfé-
rence entière, soit une demi-circonférence, ce qui aurait dû l'être sur chaque
élément du courant circulaire horizontal. » ( J.)

33$ M.-A. AMPÂRE.

XXXIV.

illËMOIRE SUR VkCim MUTUELLE DTN CONDUCTEUR VOLTilQUE
ET DUBI AIMANT (*);

Par M.-A. AMPERE.

Quoique M. Savary, dans le Mémoire qu'il a lu à TAcadéniie
des Sciences de Paris, le 3 février 1828, ail déduit la loi, que
M. Biot a proposée en 1820 pour représenter Taclion qui s'exerce
entre un élément de conducteur voltaïque et une molécule ma-
gnétique, de la formule par laquelle j'ai exprimé l'action de deux
éléments de fils conducteurs, en substituant à cette molécule
l'extrémité du solénoïde électro-dynamique à laquelle elle est
idenlique, quand on conçoit l'aimant comme un assemblage de
courants électriques disposés autour de ses particules, ainsi que
j'ai montré qu'ils devaient l'être pour qu'il en résultât tous les
phénomènes que présentent les aimants, et quoique ce jeune pby-
sicien ait ainsi ramené ces phénomènes aux effets produits par
l'électricité en mouvement, j'ai cru qu'il était important d'exa-
miner, en particulier, l'action mutuelle d'un conducteur vol-
laïque et d'un aimant, en partant de cette loi considérée comme
une simple donnée de l'expérience. En effet, si elle ne résultait
pas des premières expériences dont M. Biot l'avait déduite, et
qu'on trouve décrites dans la seconde édition de son Précis élé-
mcnlaire de Physique , expériences qui ne pouvaient même

(0 La plus grande partie de ce Mémoire fut d'abord, avec la lettre qui est
jntîiU' ici, adressée, au commencement de i8aC, à M. le D' Gberardi. Je l'ai revu
depui?j et j'y ai ajoute divers développements propres à cclaircir toutes les diffi-
cultés qui pouvaient rester sur le sujet dont il traite. (A.)

Ce Mémoire, présenté à l'Académie royale de Bruxelles, dans la séance du 26 oc-
tobre i836, a été publié dans le Tome IV des Mémoires de cette Société. Toute la
second e partie, à partir de la page 2/|8, a été reproduite dais les Annales de
Chimie et de Physique, t. XXXVII, p. ii3, 1828; un tirage à part du texte des
Annules a paru sous le titre : Note sur l'action mutuelle d'un aimant et d'un
conducteur voltaïque, par M. Ampêbe; Paris, Bachelier, 1828. (J.)

ACTION MUTUELLE D*UN CONDUCTEUR VOLTAIQUE, ETC. 2^5

s'accorder avec elle, elle se trouve aujourd'hui complètement vé-
rifiée par les nouvelles expériences dont il a consigné les résultats
dans la troisième édition du même ouvrage ( * ); et les physiciens qui
admettent ma théorie, comme ceux qui la combattent, s'accordent
à regarder l'exactitude de cette loi comme incontestable. Elle
consiste, comme on sait, en ce que la force qui résulte de l'action
mutuelle d'un élément de conducteur voltaïque et de ce qu'on ap-
pelle une molécule magnétique est perpendiculaire au plan qui
joint la molécule magnétique avec l'élément, et que sa valeur,
pour un même élément et une même molécule, est en raison in-
verse du carré de leur distance, et en raison directe du sinus du
l'angle que la droite qui mesure cette distance forme avec la di-
rection de l'élément.

La direction et l'intensité de cette force sont ainsi complète-
ment déterminées, mais il n'en est pas de même du point auquel
on doit la considérer comme appliquée. Ce point dépend de l'hy-
pothèse qu'on adopte sur la cause des phénomènes électro-dyna-
miques; on a fait sur cette cause trois hypothèses. La première
consiste à admettre l'existence de deux fluides nommés austral
et boréal, et à distribuer ces fluides de manière à produire la loi
dont il s'agit (2).

La seconde est celle par laquelle j'ai rendu raison des phéno-
mènes observés, en considérant un aimant comme un assemblage
de courants électriques, tournant autour de ses particules vl
agissant, soit sur les courants électriques d'un autre aimant, soii
sur ceux d'un fil conducteur, précisément comme l'expérience

. (*) Voir t. II, art. VI et, en partiçalier, les notes des pages 80 et 116. (J.)

(') C'est ainsi qu'un grand nombre de physiciens ont pensé qu'il était possible
d'expliquer les phénomènes découverts par M. OErsted, et ceux que j'ai observf>s
le premier, par certaines dispositions des deux fluides magnétiques, austral cl
boréal. Mais il ne suffisait pas de quelques aperçus vagues et généraux, pour
l'explication des faits dont se compose cette nouvelle branche de la Physique : il
fallait surtout trouver une distribution des éléments magnétiques qui pût repré-
senter exactement la loi dont nous nous occupons; c'est ce que j'ai fait dans le
Mémoire que j'ai lu à l'Académie des Sciences de Paris, le 28 novembre i8a5, où
se trouvent les principaux résultats dont celui que je publie aujourd'hui contîepi
le développement; on y verra quels sont les phénomènes électro-dynamiques qui
peuvent être expliqués de cette manière, et ceux qui prouvent qu'elle ne peut
être admise dans tous les cas. ( A. )

Afém. de Phys., 111. i5

226 H. -A. AMPÈRE.

m'a prouvé que les courants des fils conducteurs agissent les uns
sur les autres.

Enfin, la troisième hypothèse est celle où Ton suppose qu'il
existe entre un élément de fil conducteur et une molécule ma-
gnétique une action élémentaire primitive, tendant à faire tour-
ner à la fois la molécule autour de l'élément, et l'élément autour
de la molécule.

Cette dernière hypothèse diffère des deux autres, en ce que, au
lïiîu de n'admettre entre les points matériels qui agissent les uns
sur les autres que des forces dirigées suivant les droites qui les
joignent, elle suppose entre l'élément de conducteur voltaïque et
la molécule magnétique une action représentée par deux forces
égales et opposées, mais toutes deux perpendiculaires au plan qui
passe par l'élément et par la molécule magnétique, appliquées
l'une au milieu de l'élément et l'autre à la molécule, et formant
ainsi ce que M. Poinsot a nommé un couple; en sorte que, lors
même que l'élément et la molécule seraient liés ensemble inva-
riablement, l'assemblage solide qu'ils formeraient prendrait par
leur seule action mutuelle un mouvement de rotation. Quoique
celte dernière hypothèse semble directement contraire aux pre-
miers principes de la Dynamique, suivant lesquels l'action mu-
tuelle des diverses parties d'un même système solide ne peut ja-
mais lui imprimer aucun mouvement, il m'a paru nécessaire de
l'examiner spécialement, afin d'en comparer les résultats à ceux
des deux précédentes, et de démontrer que, lors même qu'on
l'adopte, le mouvement de rotation indéfiniment accéléré (*)est
impossible, comme dans les deux autres hypothèses, lorsque la
portion de conducteur voltaïque qui agit sur l'aimant forme un
circuit solide et fermé.

Ces trois hypothèses offrent d'ailleurs un exemple frappant de

(*) J'appellerai toujours ainsi dans ce Mémoire le mouvement qui résulte dans
certains cas de l'action mutuelle, soit de conducteurs voItaVques, soit d'un con-
ducteur et d'un aimant, et qui présente cette circonstance singulière, que la vi-
Ut&se du conducteur ou de l'aimant mobile va toujours croissant, jusqu'à ce que
les frottements et la résistance des milieux mettent des bornes à son accroisse-
ment, et qu'alors elle reste constante, malgré ces frottements et ces résistances
en sorte qu'il est prouvé par l'expérience qu'il y a dans ce cas une production
continuelle de force vive, quelle qu'en soit la cause. (A).

ACTION MUTUELLE D*UN CONDUCTEUR VOLTAIQUE, ETC. 227

la possibilité où l'on est souvent de remplacer un système de
forces, agissant sur un assemblage solide de points matériels, par
un autre système de forces toutes différentes, mais dont l'en-
semble produit absolument les mêmes effets d'équilibre et de
mouvement sur cet assemblage solide. C'est ainsi que, quand un
corps est plongé dans un liquide pesant, on peut, sans rien changer
aux conditions d'équilibre ou de mouvement de ce corps, substi-
tuer au système des pressions que le fluide exerce sur sa surface
un système de forces verticales appliquées de bas en haut à toutes
les particules de ce corps, et dont chacune est représentée par le
poids d'un volume du liquide égal au volume de la particule du
corps sur laquelle cette force est censée agir.

La condition nécessaire et suffisante pour que deux systèmes
de forces appliquées ainsi à un assemblage solide soient équiva-
lents consiste, comme on sait, dans six équations, dont les trois
premières expriment que les sommes des composantes des forces
parallèles à trois axes, pris à volonté, sont les mêmes dans les
deux systèmes; et les trois autres, que les sommes des moments
des mêmes forces, autour des mêmes axes, sont aussi égales dans
les deux systèmes.

En représentant par dio un élément de l'assemblage solide, par
Xrfw, Yrfci), Zrfco les forces appliquées à cet élément, et par x.
r, 2 les coordonnées d'un point quelconque situé sur la direction
de la résultante des forces X, Y, Z, lorsqu'elles en ont une, ces
six équations consistent en ce que les expressions

Tx^w, /Vrfo), fzdio,

C{Yz — Zy)du}, nZx — Xz)du}, Ç(\y^\x)diù

ont les mêmes valeurs dans les deux systèmes.

J'observerai à ce sujet : i° Que rfo) représente une quantité in-
finiment petite du premier, du deuxième ou du troisième ordre,
suivant que l'assemblage dont il s'agit est une ligne, une surface
ou un volume ;

2** Que j'ai dit que Xj y^ z sont les coordonnées d'un point
quelconque de la résultante des forces X, Y, Z, et non pas celles
du point où se trouve l'élément rfw, parce que cet énoncé gé-

l'iS

M. •A. AMPERE.

nérsilj qui comprend le cas où Ton emploierait les coordonnées de
l'ék^menl rfw, conduit à des résultats infiniment plus simples,
lorsque toutes les forces appliquées au système solide sont diri-
^tSes vers un même point fixe. Car alors on peut prendre pour
JT, /, z les coordonnées de ce point, et comme elles sont les
mêmes pour tous les éléments rfw, il s'ensuit que les sommes des
moments peuvent s'écrire ainsi :

^ j Ydtti — jr I Zdu), X I Zdu} — z I Xdu}, y 1 Xdu) — x j Ydin,

de sorte que les trois premières intégrales qu'il faut calculer, pour
poser les trois premières équations, donnent immédiatement les
trois dernières, sans qu'il soit besoin d'aucune nouvelle intégra-
tion. Il est d'ailleurs bien évident qu'il est toujours permis de
donner k x, y^ z cette, généralité, puisque, quand il s'agit d'un
système solide, on peut toujours supposer une force transportée
à tel point qu'on veut de ?a direction.

Avant de soumettre au calcul les trois hypothèses dont je viens

I

X

Fig. I.
T

i

^^^^A .0 ^/

Q

9 -

; « An^ \

</r

0'

■■TjV V)^ \

L

\- "\i

/ il

\ -\-A«

kT— ^A\\

de parler, pour en comparer les résultats, je crois d'abord devoir
établir un théorème à l'aide duquel ces calculs se simplifient sin-
gulièrement. Concevons d'abord une surface quelconque GHK et
un point donné M, rapporté à trois axes rectangulaires OX, OY,
OZ (Jlg' i). Si l'on mène par le point M une parallèle MP, à l'un
des axes, à celui des x par exemple, qu'on fasse passer par cette

ACTION MUTUELLE D*UN CONDUCTEUR VOLTAIQUE, ETC. 229

parallèle deux plans formant un angle infiniment petit dtf, qui
coupent dans la surface une bande Gghïl que nous représente-
rons par rf<T, la surface GHK Tétant par <t, et dans le plan des j^:^
le secteur PLZ; qu'on prenne ensuite dans cette bande un élément
N/in'N'= d^<T dont la projection sur le plan des jz soit la por-
tion infiniment petite Qy^r'Q' du secteur PL/, terminée par les
parties QQ' et qq^ des droites PL et P/, et par les arcs de cercles
Qq, Q'y^, dont le centre est en P; en nommant x,y, z les coor-
données du point M, x'j y^ z' celles du point N, p la distance
MN, u sa projection PQ sur le plan des yz\ a, 6, c les trois
angles que la normale NO au point N de la surface GHK forme
avec les trois axes, i Fangle que la même normale fait avec J:i
droite MN et enfin rfo- (*) l'élément de surface N/i/i'N'. On aun,
comme on sait, pour la valeur du double du secteur PQ^,

^Vqq = u^d^ = (y-y)dz'-{z-z')dy',
l'aire Qqq'C^' = ududoy

et l'aire N/iai'N'= " " ? »
cosa

Cela posé, si Ton divise le double du secteur PQq par le cuLc
de la distance MN, on aura la quantité "^ (^) dont la différen-
tielle, prise en regardant l'angle infiniment petit df comme con-
stant, sera égale à

[3(x — x') cos i — p cosa] d^v

? T'

en sorte que le théorème dont il est question consiste en ce que
, u^do __ [3 (x — x') cos i — p nos a]d*cf

Pour le démontrer, il faut d'abord remarquer que, dans la dil -
férentielle indiquée dans le premier membre, dff est. considéré
constant, puisque cet angle reste le même pour toutes les parties

(') U faut éTidemment lire rf*a.

(") Il faut évidemment lire îî!--?. (J.)

P

%30 M. -A. AMPÈRE.

de la banda GUhgj ce qui donne

Or, si Ton conçoit le plan tangent NST à la surface a- en son
point N, plan qui rencontre MP en T, et si l'on abaisse du point
M la perpendiculaire MS sur ce plan, on aura, dans les deux
triangles rectangles MSN, MST, ces deux valeurs de MS,

AÏS = MN cosSMN = MN cosMNO = p cosi,
M S = MT cos SMT = MT cosa,
d*oii

cosa

Si Ton mène dans le plan MPQN, NR égale et parallèle à QP,
qui est repr*5sentée par w, on aura

MT = MR -f- RT = ar - x'-h RT.

Mais en comparant le triangle rectangle NRT avec le triangle
dlfférenliel semblable, dont les côtés sont du, dx\ on a

donc

Par conséquent,

Maïs l'équation

donne
d'où

du

au
udx'

pcosi

-j— = {x — x').

du cosa '

pî= u'^-j^i^x—x'Y

pdp = udu — (x — x')dx\

, , ,. udx'

M*— {x x) ■

lojp __ ^ ^ du

du p

_ (x — .r')pcos^

ix — x) COSl

= p— -^^

pcosa

ACTION MUTUELLE d'uN CONDUCTEUR VOLTAIQUE, ETC. 23l

Substiluant celle valeur dans celle que nous avons trouvée
pour d — j-î , il viendra

, u'^d^ __ [ 3 ( 0? — x') CCS i — p CCS a ] u du d-^
p' ~~ p^cosa

ou

u^do __ [3(jr — x')co%i — p cos^]»Y* j

ce qu'il fallail démontrer.

La première application que nous ferons de ce théorème est
relative à l'action mutuelle d'une molécule magnétique et d\in as-
semblage de très petits espaces circonscrits chacun de tous côtés,
par une couche infiniment mince des deux fluides magnéiiques
austral et boréal en quantités égales, et formant ainsi des élémonLs
magnétiques, tels que les conçoivent les physiciens qui n'ont pas
adopté ma théorie. C'est dans le Mémoire (*) où M. Poisson a éUibli
les principes et déduit les conséquences qui doivent résulter de
l'action qu'on attribue aux fluides magnétiques, que je prendrai
l'idée précise de ce que, dans cette hypothèse des deux fluidtîs,
on doit entendre par l'action des éléments magnétiques.

D'après les formules qu'on trouve à la page 22 de ce Ménn^re,
l'action d'un de ces éléments sur une molécule magnétique dé-
pend : I** de la position de la molécule par rapport à l'élément;
2** du volume infiniment petit occupé par l'élément que l'aulenr
représente par A', d'une quantité 8 qu'on peut regarder corrune
l'intensité de son action, et des angles qui déterminent la direc-
tion de la droite suivant laquelle cette action est à son maxi-
mum; ces dernières quantités restant les mêmes pour un morne
élément, de quelque manière qu'on fasse varier la position di^ U
molécule.

Concevons maintenant une surface t de forme invariable [elle
que GKH {fig- i), sur laquelle soient répandus et fixés à des in-
tervalles égaux des éléments magnétiques, tels que le volume A*
et la quantité soient les mêmes pour chacun d'eux, ce qu'on peut
exprimer en disant que le magnétisme est uniformément distribué

(») Poissox, Mémoires de V Académie des Sciences^ [2], t. V, années iSiJt et
1822 (1826); première Partie, p. 247-338, et deuxième Partie, p. 488-533. (J.)

a32 If.-A. AMPERE.

sur la surface, et qu'en outre, dans chaque élément, la direction
suivant laquelle l'action est la plus grande soit perpendiculaire
à celte surface. Après que les fluides magnétiques y auron t été
ainsi répartis, nous admettrons qu'ils sont retenus sur chaque
élément par une force coercitive sufGsante pour qu'ils ne puissent
se déplacer, ni par leur action mutuelle, ni par celle de la molé-
cule magnétique placée hors de la surface sur laquelle nous allons
considérer leur action.

En désignant par a, è, c les angles formés avec les trois axes
des coordonnées par la normale NO à la surface <t menée par un
point N de ce tte^ surface, pris dans l'intérieur d'un élément ma-
gnétique, par x', y, z' les coordonnées de ce point N, par x, j^^
z celles d'un autre point M où se trouve placée une molécule
magnétique, par p la distance MN entre ces deux points, et par /'
l'angle MNO, compris entre cette droite et la normale NO au
point N, on aura, d'après les formules trouvées par M. Poisson,
page 22 de son premier Mémoire sur la Théorie du Magnétismey
pour les valeurs des trois composantes de la force attractive ou
répulsive dirigée suivant la ligne r (*), qu'exerce l'élément magné-
tique sur la molécule M,

h^^\Z(x — y ) cos i — p cos a ]

-— y, '

^' f 3 ( r — }'' ) cos / — cos b 1

" ^ ■ ■ P^ '

A'o[3(^ — z')cosi — pcosc|

Désignons par m, ç^ w les projections de la ligne /• =: MN sur
les plans des yz^ des zx et des xy^ et par <f , ^, i/ les angles que
ces projections font avec les axes des y^ des z et des x respecti-
vement. Concevons que, par la coordonnée MP = ^ du point M .
on fasse passer deux plans formant un angle infiniment petit rfç,
et cherchons l'action exercée sur la molécule M par tous les éli -
ments magnétiques qui se trouvent sur la bande infiniment étroite
comprise sur la surface <t entre ces deux plans. Nous pourrons
concevoir cette bande décomposée en aires élémentaires, dont

(*) Il faut évideminent lire p au lieu de r. De même, quelques lignes plus loin.

(J.)

ACTION MUTUELLE d'uN CONDUCTEUR VOLTAIQUE, ETC. 233

les projections sur le plan des yz aient pour valeur u du dp y el,
ces aires élémentaires étant toujours représentées paré/^o-, nous

^^ udud9

cosa
Si nous appelons k le petit intervalle constant qui sépare les
éléments magnétiques distribués uniformément, comme nous

Pavons dit, sur la surface o-, -r sera le nombre de ces élémenl^^
placés les uns à la suite des autres sur une longueur égale à Tunilt*
linéaire, et conséquemment j^ le nombre de ceux qui sont con-
tenus dans l'unité de surface. Il y en aura donc un nombre reprt-
sente par -ry sur Taire élémentaire que nous considérons. Il est
clair qu'on aura leur action sur la molécule magnétique M tu
multipliant par cette quantité -r^ les valeurs des forces relatives

à un seul élément données par M. Poisson, et que nous venons de
rappeler. On aura ainsi pour l'action de tous les éléments qui oc-
cupent l'aire d<T décomposée dans le sens des jt,

h^Q\3(x — x')cosi— p cosa\d^9

OU, en appelant m le rapport -, des petites lignes h et A", rapport

qui est, par hypothèse, un nombre constant pour tous les élé-
ments magnétiques de la surface,

m^ho['i{x — x')cosi — p cosa]d*<j

D'après le théorème que nous avons établi plus haut, celU*
expression devient

m^hùd — — * :

en rintégrant dans toute l'étendue de la bande Gghîl et en nani-
mant Ui et pi, U2 et p^ les valeurs de u ei de u aux deux limiter
de cette bande, on obtient

\ Pt Pî /

pour l'action qu'exercent sur la molécule M les éléments magnf-

234 M. -A. AMPÈRE.

tiques renfermés dans cette portion G^AH de la surface o- com-
prise entre les deux plans menés par MP, qui forment Tangle d(f.
En supposant la surface o- terminée par un contour fermé 5, dont
ces deux plans coupent les deux bords, les limites de cette inté-
grale déterminées par p» et W|, p2 et u^t seront les deux petits
arcs de ce contour compris entre les plans menés par MP.

Si Ton suppose maintenant que la surface o- soit fermée de toutes
parts comme la surface d'une sphère ou d'un ellipsoïde, cette
bande formera une zone complète rentrant sur elle-même. Dans
ce cas, on reviendra à la même limite d'où l'on est parti; on aura
p^:^ p(, u^^ Mj, et l'expression précédente sera nulle; chacune
de ces zones n'ayant donc aucune action, la surface entière n'en
aura pareillement aucune sur la molécule magnétique M, et par
conséquent elle n'en aura pas non plus sur un assemblage quel-
conque de molécules, c'est-à-dire sur un aimant.

Mais si nous supposons que la surface ne soit pas dans ce cas,
et qu'elle soit terminée par un contour fermé Sj il faudra intégrer,
par rapport à p, les deux parties dont se compose l'expression

m^hùdfi

<h^.)

respectivement dans les deux portions AN, B, AN2B, du contour 5
déterminées par les deux plans tangents PMA, PME, menés par

la ligne MP. Mais il revient au même d'intégrer m^hZ ^i-S dans

toute rétendue du contour s; car, si l'on met pour w et <p leurs va-
leurs en fonction de p, déduites des équations de la courbe s, on
voit qu'en passant de la partie AN, B à la partie BNj A, d(f change
de signe et que par conséquent les éléments de l'une de ces par-
ties sont d'un signe contraire à ceux de l'autre.

D'après cela, si nous désignons par X la composante parallèle
aux X de Taction totale qu'exerce l'assemblage des éléments ma-
gnétiques de k surface t sur la molécule M, nous aurons

U^d9

J P3

les quantités r, w et «p n'étant plus relatives qu'au contour S.
De même, en désignant par X et Z les composantes parallèles

ACTION MUTUELLE D'uN CONDUCTEUR VOLTAIQUE, ETC. 235

aux JK et aux z, nous aurons

D'après les expressions des forces X, Y, Z, on voit que l'action
totale exercée par l'assemblage des éléments magnétiques de la
surface <t sur la molécule M est précisément la même que dans le
cas où chaque élément ds du contour s exercerait sur la molécule
M une action représentée par une force dont les trois composâmes
parallèles aux axes seraient

m«A8 — -î., /n*/io — -^, /n«A8 — — i-.

pJ p3 p3

Car les sommes de ces composantes par tous les élémenls ch
seront

.,A8/^?. ,n.A3/!^, 'n.AS/^^

c'est-à-dire identiques avec les forces X, Y, Z, auxquelles se ré-
duit l'action de la surface <t. On voit aussi que cette action est in-
dépendante de la forme de cette surface o-, de sorte qu'on peut
faire varier cette forme à volonté, sans que l'action change, pourvu
que le contour s reste le même.

Remarquons maintenant que w^rfcp, t^^rf^^, w^d^ représenleni

Fig. 2.

les projections sur les trois plans des coordonnées du double do
l'aire du petit secteur M^S {fig* 2), qui a pour sommet le point
Met pour base l'élément 5S = c& du contour s. En désignant

a36 H. -A. AMPERE.

par 9 Tangle que fait la clirection de cet élément ds avec celle de
la lîgne p, et par X, ijl, v les angles que fait avec les axes la per-
pendiculaire au plan du secteur M^S, on aura po^^sinO pour le
double de Taire de ce secteur, et pour ses projections

u^d^ -=. ^ds sinô cos)«,
ij* d^f — p (/f sin cos jjl,
w^d^ = pc^f sin6 cosv.

Les trois forces parai Ities aux axes qu'on suppose exercées par
rélémeot th sur la molécule M sont donc exprimées par

. , ^ (f^ sinQ cosX . , ^ 6^5sinO cosu. . , .^ rf* sin6 cosv
ffi* h , m^ h ù 7 m*n<i r >

pl pï p2

comnie elles sont respectivement proportionnelles aux cosinus
des angles \ ^, v, et elles donnent pour résultante une force

ayant pour valeur m^fii — — — > et dirigée suivant la perpendicu-
laire au plan 4u sec leur M^S qui forme, avec les trois axes, les
angles \ jjt, v. Ainsi chaque élément 5 S du contour s produit
sur la molécule M une force proportionnelle à la longueur de cet
élément j au sinus de ['angle que sa direction fait avec celle de l:i
droite SM, en raison inverse du carré de la distance SM, et per-
pendiculaire au plan du secteur M^ S. Or, c'est précisément une
force ainsi déteninnée qui a lieu entre une molécule magnétique
et un élément de fil conducteur, d'après la loi dont j'ai parlé au
commencement de ce Mémoire, d'où il suit que l'action de la sur-
face couverte d'éléments magnétiques dont il est ici question, sur
une molécule magnétique, est identique à celle qu'un fil conduc-
teur exercerait sur la même molécule, s'il était substitué au con-
tour fermé qui circonscrit cette surface. C'est ainsi qu'on peut
rendre raison de cette loi dans la première hypothèse, où tout doit
être ramené à l'action mutuelle des molécules magnétiques aus-
trales et boréales,

La seconde application que nous ferons du théorème ci-dessus
consiste à montrer qu*en considérant au contraire cette loi comme
un fait général, indépendant de toute hypothèse, on trouve que
l'action exercée par un solénoïde électro-dynamique sur une mo-
lécule magnétique est identique à celle qu'un aimant dont les

ACTION MUTUELLE D*UN CONDUCTEUR VOLTAIQUE, ETC. 237

pôles seraient situés aux deux extrémités du solénoïde exercerait
sur la même molécule.

Pour cela, nous remarquerons d'abord qu'en conservant toutes
les dénominations précédentes, et en désignant par [x un coêffî-
cient constant, la loi dont il est ici question consiste en ce que la
force exercée par un élément de fil conducteur, sur une molécule
magnétique, est exprimée par

et que ses trois composantes parallèles aux axes des x, des f et
des z le sont respectivement par

\Lu'^d^ \i.v^dy fi(v*ûft|^

1., i, — .

p3 p» pS

Pour avoir celles d'un circuit fermé AGBH circonscrivant une
portion d'une surface quelconque représentée par o-, il faudrait
intégrer ces expressions dans toute l'étendue du circuit, ou, ce
qui revient au même, en considérant par exemple la première, et
concevant par la coordonnée PM les plans tangents PMA, PMB,
intégrer de A en B la différence des deux valeurs de cette expres-
sion, qui sont relatives à deux éléments correspondants G^, HA,
compris entre deux plans passant par PM, et formant entre eux
l'angle d^\ en désignant par 7/2, /*2 et 2/4, r^ les valeurs de n^
r qui se rapportent à l'arc AHB et AGB, on a ainsi pour la com-
posante cherchée

la double intégrale qui entre dans cette expression étant prise
dans toute l'étendue de la surface terminée par le contour
AGBH.

En vertu de notre théorème, cette valeur devient

'//

[3{x — x')cosi — pcosa]d^

Ti ( )y

(*) Dans cette formule, ainsi que dans la suivante, il faut lire d^9 au lieu de d^i.

238 M.-A. AMPÂRE.

et si la surface est plane, et que ses dimensions soient assez pe-
tites pour qu'on n'en doive conserver dans le calcul que les pre-
mières puissances, il faudra regarder comme des quantités con-
stantes, dans cette double intégrale, les droites x^ p et les angles
a, i\ on aura ainsi

p.[3(a^ — a:')cosi — p cosa] /*/* .^.

or \ l ds est évidemment l'aire même de cette surface, en sorte
que, en la représentant par X, on a

jiXfpcosa — 3 (a? — j?')cosi]

pour la composante parallèle à l'axe des x de l'action exercée sur
la molécule magnétique par le petit circuit qui circonscrit cette
aire.

Le solénoïde étant un assemblage de tels circuits situés sur une
ligne donnée dans des plans équidistants et perpendiculaires à
celte ligne, que l'on nomme g la distance de deux plans consé-
cutifs, et ds une portion infiniment petite de la ligne donnée, il

ds
faudra multiplier l'expression précédente par (^); mais il est

aisé de voir que dscosi= dp et que dscosa = dx^ en sorte que
l'action de la portion du solénoïde correspondante à ds sera

[ik pdx — 3(a: — x')pdp

dont l'intégrale est

c'est-à-dire

(xX/ x — x' \

[kk/Xi — x' Xt—X'\

7\~pî pT/'

(') Cette expression devrait être précédée du signe — . (J.)

(') Le texte porte encore ici plusieurs fautes d'impression évidentes; il faut

lire — au lieu de ; dans la formule qui suit, il faut supprimer le facteur p

au second terme du numérateur. (J.)

ACTION MUTUELLE D'uN CONDUCTEUR VOLTAIQUE, ETC. 289

en représentant par x^ et x^ les abscisses des deux extrémités du
solénoïde.

On trouvera de même pour les composantes parallèles aux axes
des y et des z

\Lk f Zx — z'

g

( Zx — Z' _ Zi—Z' \

\ 9\ Pî /

Ces trois forces passent par la molécule magnétique, quelque hy-
pothèse qu'on admette relativement au point d'application des
forces élémentaires, puisque les courants du solénoïde forment
des circuits fermés, et que nous démontrerons bientôt (p. 242-243)
que dans ce cas les trois hypothèses conduisent identiquement
aux mêmes résultats; il est évident d'ailleurs qu'on peut les rem-
placer par six forces, savoir :

i Pî '

ff Pi ' s- Pî '

(xX x^—x'

g pj '

1*^ yt—y K^^ zt—z'
ff Pl ' ff p\

Les trois premières ont une résultante égale à -^> parce que

^{Xi — x^y-h (jK< — yy~^ i^i — z')'^= Pi, et qui est dirigée sui-
vant la droite qui joint la molécule magnétique à l'extrémité du
solénoïde dont les coordonnées sont Xf, ^1, z^^ puisque les co-
sinus des angles, que sa direction forme avec les trois axes, sont
proportionnels à x^ — ^, Ji— y, z^ — :^j et sont, par conséquent,
égaux à

xx — x' yt—y -51 — -s'.

Pi

pi

Pi

on trouve de même, pour la résultante des trois autres, une force
éfi:aleà -^, dont les anfi:Ies avec les trois axes sont

Xt-

,

Pt

^1— -

pt Pi Pt

et qui est dirigée suivant la droite menée de la molécule magné-

a|fr M.-A. AMPÈRE.

tique à l'autre extrémité du solénoïde, maïs qui, à cause des signes
contraires des cosinus, est répulsive quand la première est attrac-
tive, cl réciproquement.

Ces deux, forces sont évidemment celles qu'exercerait sur la mo-
lécule uQ aimant dont les deux pôles seraient situés aux deux
extrémités du solénoïde.

Comme un barreau aimanté peut toujours être considéré comme
un assemblage de petits aimants, il suit de là qu'on peut faire
dépendre l'action qu'il exerce sur une molécule magnétique et,
par conséquent, sur un autre barreau, à la même force élémen-
taire que l'action découverte par M. OErsted, entre un fil conduc-
teur et un aimant; mais qu'il faut, pour cela, considérer l'aimant
comme un assemblage de courants électriques formant autant de
solénoïdes que l'on y conçoit de petits aimants.

Revenons maintenant aux résultats par lesquels nous avons au
contraire ramené l'action découverte par M. OErsted à celle d'une
surface recouverte d'éléments magnétiques, qui ne peut avoir lieu
que quand les fils conducteurs forment des circuits fermés, et
remarquons que l'ensemble de la pile et de tous les conducteurs
forment toujours un circuit ou plutôt un assemblage de circuits
de ce genre; caries fils conducteurs et surtout la pile ne peuvent
point être considérés comme une simple ligne formant un circuit
fermé, mais doivent être comme une multitude de circuits fermés,
passant par tous les points de chaque section transversale du fil,
et s'écartant les uns des autres lorsqu'ils entrent dans la pile,
pour en traverser successivement les plaques de cuivre et de zinc
aux différents points des surfaces de ces plaques.

Il suit de cette considération, et des calculs que nous venons
de faire, que toutes les expériences où l'on fait agir sur un aimant
mobile, considéré comme un assemblage de molécules magné-
tiques, un conducteur fixe de forme quelconque, ce conducteur
formant avec la pile des circuits complètement fermés, peuvent
toujours être représentées, en supposant qu'on substitue à ces cir-
cuits des surfaces couvertes d'éléments magnétiques, comme nous
venons de le voir. Au reste, les conducteurs forment toujours des
circuits fermés, quand ils sont fixes.

Mats, outre les actions d'un conducteur fixe sur un aimant, nous
avons encore à considérer celles d'un aimant fixe sur une portion

ACTION MUTUELLE D'uN CONDUCTEUR VOLTAlQUEi ETC. Ttf^l

mobile de conducteur. Toutes les parties d'un aimant étant inva-
riablement liées entre elles, il faut que Taimant soit en masse ou
fixe ou mobile. Mais, dans le conducteur, il peut y avoir des par*
ties fixes et des parties mobiles. Nous ne supposerons jamais
qu'une partie mobile, tout le reste du circuit voltaïque total étant
fixe, car on dirait pour chaque partie, soit mobile, soit fixe,
ce que nous allons dire d'une seule.

Il faut distinguer avec soin deux cas : le premier dans lequel la
partie mobile du conducteur forme à elle seule un circuit solide
fermé, ou plutôt presque fermé; car il est impossible que la pariie
solide mobile le soit rigoureusement, puisqu'il faut que les dt:ux
extrémités communiquent avec le reste du circuit, et où la partie
fixe forme aussi un circuit fermé; le second celui où la pariio
mobile, et par conséquent le reste du circuit ne forment pas,
chacun en particulier, un circuit fermé, mais où c'est'seulement
leur ensemble qui l'est. Ainsi dans ma Description d'un nou^^el
appareil électro-dynamique y les conducteurs des fig* 4? ^i *>
forment des circuits presque fermés, où il ne manque^ pour i\u\U
le soient complètement, que l'intervalle des deux points x et ^ ,
tandis que ceux àts Jig, i3, i4j i5 ne le sont pas.

Examen du cas où les portions du conducteur forment des circuits

fermés.

Des deux portions du conducteur, l'une est toujours censée
fixe et l'autre mobile. Discutons, dans chaque cas, tout ce qui doil
résulter de l'action mutuelle de l'aimant et du circuit total. Ea
concevant l'aimant fixe et une portion mobile que forme un circuit
fermé, on peut, d'après ce que nous venons de voir, substituer à
cette portion fermée une surface couverte d'éléments magnétiques
uniformément distribués, comme nous l'avons dit. Alors l'action
qu'une des molécules de l'aimant exerce sur cette portion mobile
est la résultante de toutes les actions exercées sur les éléments
magnétiques compris dans la surface, d'où il suit que les trois
composantes X, Y, Z, parallèles aux axes, passent aussi par cetlc
molécule. Ces trois composantes étant

-'*8/^' -'*«/^"' -/^«/^^

Mém. de Phys., III. 16

âj2 M. -A. AMPÈRE.

leurs moments relatifs aux trois axes des coordonnées seront

Zx — \z = m^hfi I ■^ 9

J P'

\z — Zy:= m^hù j '-'—f ^,

en observant que x, y et z sont constantes dans les intégra-
lions.

Dans le Précis de la théorie de phénomènes électro-dyna-
miques (* )j j'ai donné les trois composantes et les trois moments
de raction exercée par un circuit voltaïque fermé, sur l'extrémité
d'un solénoïde indéfini, dont on suppose Tautre extrémité infini-
ment éloignée, et il suit des formules auxquelles je suis parvenu
que les trois composantes de l'action exercée par ce circuit sur
l'exlrémilé du solénoïde, qui sont égales et opposées à celles de
rextrémité du solénoïde sur le circuit, ont précisément les mêmes
valeurs que les précédentes, excepté que le coefficient constant
rn^hù s'y trouve remplacé par ^i{^ moitié du produit des deux
intensités i et i! du courant du circuit et de ceux du solénoïde; en
sorte qu'elles deviennent égales quand on suppose, ce qui est
permis, \ ÎC= m^hù.

Mais les moments ne paraissent pas les mêmes, car les forces
que j^ai données pour l'action du solénoïde sur le circuit sont
appliquées aux milieux des éléments de ce circuit. Cependant,
nous allons démontrer que toutes les fois qu'il s'agit d'un circuit
fermé, les valeurs des moments sont les mêmes, soit que les forces
se trouvent appliquées aux éléments mêmes, soit qu'elles passent
toutes par un point lié avec le circuit et placé à l'endroit où est la
molécule magnétique ou l'extrémité du solénoïde.

En appelant x, y, z les coordonnées de l'élément ds du cir-
cuit, les sommes des moments qui tendent à faire tourner le cir-
cuit autour de l'axe des ^, lorsque les forces sont appliquées aux

<V) Voir art. XXX, p. laS et la^. (J.)

ACTION MUTUELLE d'uN CONDUCTEUR VOLTAIQUB, ETÇ, ^^3

éléments ds^ seront

jL ., ry v> d^ — 7f v'^ dx

'"J j^

Mais si les mêmes forces étaient appliquées au point dont les
coordonnées sont a:, y^ z^ point qu'on suppose lié avec le con-
ducteur sans Tétre avec la molécule magnétique, la somme des
moments autour de Taxe des z serait, comme nous l'avons vu^
en supposant toujours m^ AS = ^ iV,

La différence entre ces deux sommes de moments, relatives aux
deux hypothèses, est

Mais on a

v^dy={z'' — z)dx''—{x''-^x)dz''.

En substituant ces valeurs dans l'expression précédente, elle
devient

, (^ [(af^xy^(f-yy]dz-{z^z)\(x^x)dx-^{f^j)df\
\r,t—(z'' - zY]dz'' — (z - z)\pdç^ — iz" — z)dz'\

*pdz" — {z" — z)do

= î" ( ^ const. j •

Or, si le circuit est fermé, cette intégrale s'évanouit aux limites,
de sorte que la différence dans les deux sommes de moments est
nulle, et que ces deux sommes sont égales; d'où il suit que la ré-
sultante des forces appliquées aux éléments d,^ du contour fermé s
passe par la molécule magnétique, comme dans Thypothèse des
éléments magnétiques. Ainsi, dans mon hypothèse où toutes les
forces sont appliquées aux éléments ds^ on a les mêmes compo-
santes et les mêmes sommes de moments que quand on considère
la surface o- couverte d'éléments magnétiques, mais cette identité
n'a lieu qu'autant que le circuit est fermé.

244 M. -A. AMPÈRE.

Il existe une iroîsîème manière de concevoir Taclion mutuelle
d'une moU^cule mai^nétique et d'un élément : c'est de supposer
que ceLie action mutuelle produise à la fois deux forces de même
îniensiLé, toutes; deux perpendiculaires aux plans du petit secteur
M^S ( y?^- 2), agissant en sens contraire, suivant deux directions
parallèles, Tune passant par la molécule magnétique et l'autre
par le milieu de Télément, en sorte qu'elles forment un couple
que les physiciens, qui adoptent cette manière de voir, regardeni
comme Taction électro-magnétique primitive. Dès lors, quand il
s'agit d'uQ aimant mobile, si tout le circuit est fixe, on voit im-
médiatement que Taction de pareilles forces est identique, par la
définition môme, avec celle qui résulte de la considération des
éléments magnétiques, tandis que, quand il s'agit d'un aimant
fixe et d'une portion mobile du circuit voltaïque fermé, elle est
identique avec la mienne. Ainsi, tant qu'il est question d'un cir-
cuit fermé, et que, par conséquent, les forces résultantes de la
considération des éléments magnétiques, et celles que j'admets
entre les éléments de fils conducteurs, sont identiques, celles qui
résulteraient de l'hvpothèse du couple primitif leur sont égale-
ment identiques^ soit que l'aimant soit fixe ou mobile, de sorte
qu'il est impossible qu'aucune expérience puisse faire distinguer
entre ces trois hypothèses laquelle doit être préférée, puisqu'elles
donnent toutes également les mêmes forces et les mêmes moments.

Maintenant, nous pouvons démontrer que tout mouvement
continu est impossible, soit pour l'aimant mobile, soit pour une
portion de conducteur supposée mobile, toutes les fois que cette
portion mobile du conducteur, et l'autre qui est fixe, forment,
chacune en particulier, un circuit considéré comme fermé.

D'après ce qui précède, nous pouvons remplacer la partie mo-
bile fermée par une surface a* couverte d'éléments magnétiques
uniformément distribués, comme nous l'avons dit. L'action ne
sera nullement altérée par cette substitution. Mais alors nous pou-
vons regarder les molécules de l'aimant et les éléments magné-
tiques de la surface o- comme deux systèmes solides de points
matériels, exerçant les uns sur les autres des forces attractives et
répulsives, dirigées suivant les droites qui les joignent et fonc-
tions des distances (puisqu'elles sont en raison inverse des carrés
de ces distances).

J

ACTION MUTUELLE d'UN CONDUCTEUR VOLTAI(|UE, ETC. 2^5

Donc, si ces forces produisent le mouvement, le principe de la
onservation des forces vives aura lieu pour les deux systèmes. En
vertu de ce principe, si chacun de ces systèmes n'a que la liberté
de tourner autour d'un point ou d'un axe fixe auquel il soit lié,
ce qui est le cas de toutes les expériences, les vitesses que pren-
dront leurs différents points ne pourront pas croître indéfinimenï.
Il faut, en effet, d'après le principe, que la somme des forces
vives, c'est-à-dire, la somme des produits des masses en mouve-
ment par les carrés de leurs vitesses, soit constante, quand il nV
a ni frottements ni résistances, et qu'elle diminue sans cesse quand
il y en a. D'où il suit que les vitesses ne peuvent pas croître indé-
finiment, ni même finir par devenir constantes, puisque l'effet des
frottements est de les diminuer sans cesse. Les deux systèmes ni'
peuvent donc pas prendre de mouvement qui soit indéfini mcni
continu, avec l'accélération nécessaire pour leor faire vaincre les
résistances et les frottements qu'ils éprouvent; ils doivent donc
tendre au repos et finir par s'arrêter dans une position d'équilibre
déterminée, après avoir oscillé autour d'elle, position qu'on de-
montre être celle où la somme des forces vives est un maximum
entre toutes les valeurs qu'elle prend aux environs de cette posi
tion, dans un mouvement quelconque.

Mais nous avons établi plus haut que l'action mutuelle de Tai-
mant et d'un circuit vollaïque fermé est précisément la même
que celle de cet aimant et de la surface t couverte d'éléments ma-
gnétiques, et ayant ce circuit pour contour. Donc aussi, l'impos-
sibilité d'un mouvement continu et accéléré, soit de l'aimant, soit
de la portion mobile du conducteur, est démontrée.

D'après ce que nous avons dit précédemment, cette propositioïi
a lieu, quelle que soit l'hypothèse qu'on adopte sur le point d'ap-
plication des forces élémentaires qui s'exercent entre les mole*
cules de l'aimant et les éléments du fil conducteur.

C'est là le théorème que je m'étais spécialement proposé de dé-
montrer dans cette lettre; et l'on voit que la démonstration con-
siste à ramener toute action entre un aimant et une portion fermée
de conducteur à des forces qui sont simplement fonctions dc-^
distances des points entre lesquels elles s'exercent, et dirigées
suivant les droites qui joignent ces points, parce qu'il est reconnu
par tous les mathématiciens que de telles forces ne peuvent jamais

t246 M.-A. AMPéRB.

produire de mouvement avec accélération continue, autour d'axes
ou de points fixes quelconques.

Je conclurai en outre des calculs précédents qu'il n'est pas
possible de distinguer par les phénq^nènes que présentent les cir-
cuits fermés, laquelle des trois hypothèses est la véritable, puis-
qu'elles donnent toutes les mêmes résultats. On ne peut espérer
de décider la question qu'en passant aux cas où les deux por-
tions, l'une fixe, l'autre mobile du courant voltaïque, ne forment
pas des circuits fermés. Je vais maintenant en dire quelques mots.

L'expérience prouve alors qu'en supposant un aimant fixe, on
peut obtenir un mouvement continu autour d'un axe de la partie
mobile du conducteur qui ne forme pas un circuit fermé, pourvu
que les deux extrémités ne soient pas dans cet axe.

Ce mouvement, découvert par M. Faraday, est décrit et expli-
qué dans le Manuel d^ Électricité dynamique de M. Demon-
ferrand.

Voyons ce qui résulte de ce phénomène, relativement aux
trois hypothèses précédentes.

L'existence du mouvement dont il s'agit autour d'un axe, quand
même cet axe passerait par les pôles de l'aimant considérés comme
des molécules magnétiques, prouve que les forces élémentaires
qu'exercent ces molécules sur les éléments du fil conducteur ne
passent pas par les points où ces pôles sont situés. La première
hypothèse est donc exclue par ce fait, et je n'aurai, par consé-
quent, plus à en parler.

Mais les deux autres subsistent et donnent des effets identiques,
puisqu'il en résulte également des forces agissant sur la partie
mobile du conducteur, et passant par les milieux des éléments
sur lesquels elles s'exercent. Cette expérience ne prouve donc rien
encore en faveur de l'une ou l'autre hypothèse.

Mais quand l'aimant est mobile, ainsi qu'une portion non fermée
du conducteur, et qu'on examine le mouvement de l'aimant, il
semble d'abord qu'il doit y avoir une différence entre le mouve-
ment que doit prendre l'aimant dans l'hypothèse du couple pri-
mitif et celui qu'il doit prendre dans la mienne. Car dans celle du
couple primitif, les forces qui meuvent l'aimant passent par ses
molécules; dans la mienne, elles passent par les éléments. Les
moments de ces deux systèmes de forces considérés dans l'action

ACTION MUTUELLE D*UN CONDUCTEUR VOLTAIQUB, ETC. ^iy

mutuelle de Taimant et de la portion mobile non fermée diffèrent
alors, puisque l'intégrale qui exprime la différence de ces mo-
ments, savoir

devient

\ m l h const. J y

z\^ pï et ^2» p2 appartenant aux deux extrémités de la portion non
fermée de conducteur, et que cette intégrale n'est pas nulle, si ce
n'est dans le cas où les deux extrémités de cette portion se trou-
vent en ligne droite avec la molécule.

Mais ce n'est pas seulement la portion mobile de circuit vol-
taïque qui agit alors sur l'aimant, il faut aussi avoir égard à l'ac-
tion qu'exerce sur lui la portion fixe de circuit dans laquelle la
pile est comprise. Cette considération change entièrement les con-
séquences qu'on pourrait déduire de la différence des mouvements
que nous venons de calculer, puisque cette différence n'a plus
lieu pour le circuit entier formé de ces deux portions, et qui est
nécessairement fermé. Quand on fait attention à cette circon-
stance, on voit que les mouvements produits doivent être les
mêmes dans les deux hypothèses, et que, pour se faire une idée
nette de ces mouvements, il faut encore distinguer deux cas, celui
où l'aimant, dans le mouvement qu'il prend pour aller à la posi-
tion où il s'arrêterait en équilibre après avoir oscillé autour d'elle,
si tout le circuit voltaïque était fixe, dérange la portion mobile
du conducteur, et celui où il la laisse à la place qu'elle occupait;
ce dernier est identique avec celui où le conducteur entier est
fixe, et ainsi il ne peut donner lieu à un mouvement continu.
Mais si l'aimant dans son mouvement dérange la portion mobile
du conducteur, sa propre position d'équilibre sera aussi déplacée,
et il pourra arriver qu'elle s'éloigne toujours de manière que l'ai-
mant n'y parvienne jamais; c'est là la cause des mouvements con-
tinus, ou indéfiniment accélérés qu'il peut prendre dans les divers
cas où il déplace ainsi la partie mobile du circuit voltaïque par
son propre mouvement. Ce déplacement peut avoir lieu de di-
verses manières, suivant que le courant de la partie mobile du
circuit a lieu dans un fluide conducteur sur lequel flotte l'aimant.

248

M. -A. AMPÂRB.

qu'il traverse l'aimant lui-même, ou qu'il est conduit par un fil
de cuivre lié à cet aimant et mobile avec lui; j'ai discuté le pre-
mier de ces trois cas, dans une lettre à M. le professeur Gherardi,
qa*on trouvera en forme de supplément à la suite de ce Mémoire :
je me bornerai ici à examiner les deux autres, dans lesquels l'ai-
mant et la portion mobile du circuit vol taïque forment un système

Fig. 3.

/v

dont toutes les parties sont invariablement liées entre elles (*).
Pour cela, je remarquerai d'abord que dans un barreau aimanté EF
{fig* 3), il y a deux points A et B, tels que la résultante de toutes

(1) C'est ici que s'arréle la partie du Mémoire qui n'a pas été reproduite dans
les Annales de Chimie et de Physique {voir la note de la p. aa^. Le Mémoire
des Annales commence ainsi :

H L'action mutuelle d'un aimant et d'une portion infiniment petite du fil con-
ducteur s'exprime au moyen d'une formule très simple, qui a d'abord été énoncée
par M, Biot, d'après des expériences qui, interprétées rigoureusement, n'y auraient
cependant pas conduit, et qui depuis a été déduite, par M. Savary, d'une autre
formule que j'avais donnée quelque temps avant que M. Biot fit connaître la
sieniif;. Je ne m'occuperai point ici des expériences par lesquelles j'ai démontré
Texiieiitude de cette dernière, mais je conclurai de la première, qui en est une
auitc nécessaire et que les nouvelles expériences de M. Biot, publiées dans la
iroisième édition de son Précis élémentaire de Physique^ t. II, p. 744 (voir
l. Il, art. VI, p. 80), ont vérifiée aussi complètement qu'on peut le désirer, de
nouvelles conséquences dont l'accord avec les résultats de l'expérience achèvera
de justifier la théorie que j'ai établie sur ces formules.

1» Pour se faire une idée nette de la formule dont il s'agit, il faut remarquer
que dans un barreau aimanté EF {fig. 3), il y a deux points A et B •

Les deux textes sont identiques pour tout le reste du Mémoire. ( J.)

ACTION MUTUELLE d'uN CONDUCTEUR VOLTAIQUB) ETC. ^49

les forces exercées par les éléments magnétiques du barreau EF,
sur une molécule magnétique M, est sensiblement la même que
celle de deux forces appliquées en M et agissant suivant les droites
MAl, MB, l'une attractive et l'autre répulsive, en raison inverse du
carré de ces droites, en sorte qu'en faisant AM = r et BM = r\

si la force MU suivant MA est -^, la force MV suivant MB
sera — - r, •

Les points A et D sont ce qu'on nomme les pôles de l'ai-
mant EF.

. La réduction de toutes les forces exercées par les éléments ma-
gnétiques sur la molécule magnétique M, à ces deux forces-^
et — ~> n'est au reste qu'une approximation, mais elle suffit

pour l'explication des phénomènes généraux que présenleiU les
aimants. M. Poisson a démontré qu'on doit l'admettre rigoureu-
sement pour chaque élément magnétique.

Les deux pôles d'un tel élément étant situés sur son axe à une
distance très petite, qu'on peut prendre à volonté dans l'intérieur
de l'élément, en faisant varier la constante \l en raison inver.s^^ de
cette distance, pourvu que celle-ci reste toujours infiniment petite,
relativement à la distance de l'élément magnétique au point ^ur
lequel il agit.

Supposons maintenant que, au lieu d'agir sur la molécule M
(yî^. 3), l'aimant EF agisse sur une portion infiniment peLiLc de
fil conducteur mM {/ig» 4)» dont la direction soit quelconque.

Si l'on fait toujours AM = r, BM = /, qu'on nomme (o el ftV les
angles AMT, BMT, formés par ces droites avec la direclion MX
de la petite portion mM de fil conducteur, et ds la longueur de
cette petite portion, et qu'on fasse passer par les mêmes pôle^s A,
B du barreau EF et par Mm les plans AmM, BmM, d'après la
formule dont il est ici question, la résultante de toutes les fbrecs
exercées par les éléments magnétiques du barreau EF sur fftM
sera la même que celle de deux forces OU, OV, appliquées h mM
vers son milieu O, perpendiculaires aux plans AmM, BmM, ré-
ciproquement proportionnelles aux carrés des distances AM, i)M,
et en raison directe des sinus des angles AMT, BMT, cL de Is*

l5o M. -A. AMPÈRE.

longueur de mM^ en sorte que les valeurs de ces forces sont

La réduction de toutes les forces exercées par les éléments ma-
gnétiques du barreau EF sur mM à ces deux forces

p ds îiin tit>

\xds sintù'

doil aussi être considérée comme une approximation suffisante
pour Texplication des phénomènes, et qui, d'après les calculs dont
il ne peut être question ici, puisque nous regardons ces forces
comme déduites de Fexpérience, serait rigoureusement exacte

l'y^- ^.

//

//

/

>

f / V

pour chaque élrment magnétique, en lui assignant deux pôles,
comme nous Tavons dit plus haut.

Au rcste^ c'est en h supposimt vraie pour les deux pôles d'un
assez petit aimant de forme parallélépipède, que M. Biot l'a véri-
fiée dans les expériences déjà citées, et qu'elle s'est trouvée aussi
exacte qu'on pouvait le désirer.

Voici maintenant comment j'ai transformé les valeurs de ces
forces»

Si Ton nomme dv le double de l'aire du petit secteur mAM,
dont la base mM^=dSj et dont la hauteur est évidemment rsinto,
on aura

d^' ^ rds sinu),

ACTION MtTUBLLE d'uN CONDUCTEUR VOLTAIQUE, ETC. a6l

et, comme la valeur ^ — ^^ de la force OU peut s'écrire ainsi :

\xrcls s'intû n j • j it-dv
» eue deviendra ^— =-•

La composante de cette force suivant une droite OS, qui forme
avec la direction de OU un angle quelconque e, a donc pour va-
leur ^ — - — , mais rfi^cose est le double de la projection de Taire

AmM sur le plan perpendiculaire à la droite OS, d'où il suit
qu'en nommant du le double de cette projection, on a

pour la composante suivant OS ; en nommant du' le double de la
projection de Taire BmM sur le même plan perpendiculaire h OS,
on trouve de même, pour la composante de OV suivant la même
droite OS,

[idu'

d'où il suit que la force totale suivant OS est

\Ldu \i.du'

Cherchons maintenant le moment de rotation de la petite por-
tion de fil conducteur 7?îM {fig* 5) autour de Taxe GH du ijar-
reau EF, c'est-à-dire, de la droite qui passe par ses pôles A ri W,
Pour cela, faisons passer un plan par GH et par le milieu U de
mM, et prenons la valeur de la composante OS perpendicuinire à
ce flan; rfw, étant le double de la projection A/iN de AM//i sur
ce même plan, aura pour valeur le produit du carré du rayon
vecteur AK ^^ r par l'angle /i AN : or, en nommant 6 l'angle G A/*,
on a évidemment nAN -- rf9, et par conséquent du == r^tl^i, te

qui réduit le premier terme de ^^ ^~Tr ' valeur de la force OS,

à - — Pour avoir le moment de rotation résultant de ce terme, îl
r

faut le multiplier par la perpendiculaire OP = r sinO, et Ton voit

que la distance r disparaît de l'expression de ce moment qui est

fjLcTO sinO.

aS» M.*A. AMPàRB.

On trouve de même qu'en nommant 8' l'angle GBn, la valeur

du second terme de la même force se réduit à — ^--7-> qu'il faut

multiplier par OP^r r'sinO', pour avoir le moment qui en résulte,
et qui est par conséquent égal à

— ;At/6'sinO';
on a donc

ji{û^6sine— rfÔ'sinô'),

pour le moment total avec lequel l'aimant tend à faire tourner

Fig. 5.

autour de son axe la petite portion m M de fil conducteur.

La force totale exercée sur niM par Taimant EF, et qui se dé-
compose dans les deux forces OU, OV {/ig' 4)> peut résulter, de
différentes manières, de forces exercées sur m M par les différents
points de Taimant, suivant les droites qui joignent ces points à
cette portion m M de fil conducteur, supposée infiniment petite,
et avec la condition que celle-ci réagisse avec des forces égales
sur les mêmes points et suivant les mêmes droites. Il faut seule-
ment, pour que les forces OU, OV puissent être perpendiculaires
aux plans AmM, BmM, que parmi celles qui émanent de chaque
point de l'aimant et agissent sur m M, les unes soient attractives,
et les autres répulsives, ce qui a lieu, comme on sait, pour toutes
es forces exercées par les divers points des aimants. Cette condi-

ACTION MUTUELLE d'UN CONDUCTEUR VOLTAIQUE, ETC. a53

lion de ractîon égale à la réaction, suivant les mêmes droiles,
entre m M et tous les points de. Taimant, est une suite nécessaire
de ce que les molécules des fluides impondérables ne peuvent
agir que comme celles des corps pondérables et doivent, conune
celles-ci, lors même qu'elles sont en mouvement, exercer àch^iquc
instant la même action que si elles étaient en repos là où elle ^ se
trouvent à cet instant. On sait d'ailleurs que le mouvement des
deux fluides électriques dans le circuit voltaïque s'opère jjar
une série de compositions et de décompositions du fluide neuuc^
sans qu'il en sorte ou en entre dans le circuit, puisqu'on peut le
recouvrir d'un vernis isolant, sans rien changer aux actions qu'il
exerce.

Dès lors, on ne peut se refuser à cette conséquence de l'égalité
entre l'action et la réaction suivant les mêmes droites, et de tout
ce qu'on sait d'ailleurs des lois générales de la nature, que si Vou
lie m M (Jig- 5) avec l'aimant EF, de manière à en composer un
système de forme invariable, leur action mutuelle ne pourra
produire aucun mouvement dans ce système; ce sera comuie si
cette action n'existait pas, puisque toutes les forces dont elle
résulte se trouvent égales et opposées deux à deux, appliquées k
des points invariablement liés entre eux, et par conséquent cii
équilibre.

Supposons, comme dans les expériences faites à ce sujet, que
la petite portion mM et le barreau EF ne puissent se mouvoir
qu'en tournant autour d'un axe quelconque : s'ils sont liés inva-
riablement, tout sera immobile; si on rompt la liaison qui ks
unit, ils tourneront en sens contraires autour de cet axe avec
des moments égaux en intensité, et par conséquent, avec de<j vi-
tesses réciproquement proportionnelles à leurs moments d*iner-
tie, pris par rapport à l'axe autour duquel ils sont assujettis à
tourner.

Si nous prenons pour cet axe l'axe GH de l'aimant EF, nous
aurons

|i(û?esine — cW'sinO')

pour le moment de rotation de mM autour de GH, et

— jx(^sine — cTO'sînô')

pour celui de l'aimant autour de ce même axe.

^54 M. -A. AMPÂRB.

Si Ton intègre ce dernier pour un arc L, L2 de fil conducteur,
en représentant par 9,, Sa les valeurs de 8 aux points L,, La, et
Q'^, Q'^ celles de 0' aux mêmes points, on aura pour le moment
de rotation imprimé à laimant par Tare L,, L2,

[gL(coaOa-- cos6i — cosOj 4- cosO'j).
Fig. 6.

Dans ^^fig. 6,

0,= GALi, »

6j = GALfi
6'^ = GBLi,
0; = GBL,.

Il suit de cette valeur que le moment de rotation imprimé à
Taimant autour de son axe GH, par l'arc de fil conducteur L| O L2,
est indépendant de la forme et de la grandeur de cet arc, et ne
dépend que de la situation de ses extrémités L( et L^ à l'égard
des pôles A et B du barreau EF.

Si on substitue à LtOL^ un autre arc L1KL2, terminé aux
mêmes points L( L^f le moment sera exactement le même, pourvu
qu'ils soient parcourus par le courant électrique dans le même

ACTION MUTUELLE D*UN CONDUCTEUR VOLTAIQUE, ETC. 255

sens, par exemple de L( en L^, comme Tindiquent les flèches de
la/g^. 6.

Mais si Ton change le sens du courant dans L| KL2 en le faisant
revenir de JU en'Li, comme il est marqué par les flèches de la
fig. 7, l'ensemble de L1OL2 et de L2KL1, qui forme le circuit

Fig. 7.

fermé L, OE2KL1, n'aura plus aucune action pour faire tourner
Taimant autour de son axe GH, puisque les deux parties dont il
se compose exerceront alors sur Taimant deux moments de rota-
tion égaux et de signes contraires ; c'est ce qui résulte également
de la valeur générale

|x(cos6, — cosOi — cos6',-4- cosô'j),

puisque, pour un circuit fermé, les deux limites L|, L2 élanl à an
même point, on a

cosôs= cosOt,

cosô'j = cosO', ;

et cela, soit que l'aimant soit hors du circuit, ce qui donne

0,= Ot,

6; = e\,

256

soit qu^Il âoît

M. -A. AMPàRB.

dans rintérieur du circuit, auquel cas

C'est ce que les physiciens de Genève ont vérifié par les expé-
riences les plus exactes et les plus multipliées : ils cherchèrent
avec des appareils extrêmement mobiles et en variant^ de toutes
les manières possibles, la forme des circuits fermés, à faire tourner
Taimant aulour de son axe par l'action de ces circuits, sans par-
venir à produire ce mouvement.

Il est évident qu'en prouvant par l'expérience que, quelle que
soit la forme du circuit fermé, son action est toujours nulle, on
constate en même temps l'exactitude de ce résultat du calcul, que
le moment de rotation imprimé par un arc quelconque ne dé-
pend ni de sa forme, ni de sa grandeur, mais seulement de la si-
tuation de ses extrémités relativement aux pôles de l'aimant; car
si les actions des deux circuits fermés L| OLaKLi et L| 0L2K'L|
{Jig. 8), qui ont une partie commune L|0L2, sont toutes deux

Fig. 8.

.y

nulles, il faut bien que les actions exercées par les arcs L2KL1,
LiK'Li soient égales, puisqu'elles font également équilibre à l'ac-
tion de L^OLa-

Lorsque M- Faraday eut annoncé que, d'après ses expériences,

ACTION MUTUELLE d'uN CONDUCTEUR VOLTAIQUE, ETC. 257

il était impossible de faire tourner un aimant autour de son axe
par Faction d'un (11 conducteur, je m'assurai aisément que ceb
venait de ce que la réunion des (ils conducteurs et de la pUc
forme nécessairement un système de circuits fermés, dont nous
venons de voir que l'action rotatoire est toujours nulle. Alors il
me vint l'idée de faire passer une portion du courant par l'aima al ;
comme cette portion forme, dans ce cas, un système invari^iblc
avec l'aimant, elle n'exerce plus aucune action pour le mouvoir :
c'est comme si elle était anéantie; d'où il suit que le reste du cir-
cuit, qui exerçait une action égale et opposée à la sienne, agit -^eul
alors et fait tourner l'aimant, à moins que le moment

|ji(cos6j — CCS 61 — ces 6', -4- cos6i)

ne fût par hasard nul.

Les points L(, L2 sont dans ce cas celui où le courant entre
dans l'aimant et celui où il en sort.

J'observerai à ce sujet que, quand ces points d'entrée et de

mm

sortie L|, L2 {fig* 9) sont dans l'axe de l'aimant, il ne peut y
avoir de rotation, parce qu'alors

61 = O, 0', = 0, 6j = TT, 6', = T.,

ce qui donne

ces 6, — cosôi — ces 6', -4- ces 6', = — 1 — i-hi-hi = o.
Mém, de Phyt,, III. 17

258 U.-A. AMPÈRE.

Je remarquai bientôt après, dans la lettre à M. Faraday, im-
primée dans les Annales de Physique et de Chimie (*), qu'on
explique de même le fait qu'il avait observé, savoir : qu'au lieu de
faire passer une portion du couranl par l'aimant, il suffit, pour
obtenir la rotation du barreau autour de son axe, de faire passer
le courant par une portion de conducteur métallique qui lui soit
invariablement lié, et dont les deux extrémités ne soient pas dans
l'axe, parce que cette portion, formant^ avec l'aimant un système
invariable, n'agit plus sur lui, et que le reste du circuit, qui a les
mêmes extrémités, le fait tourner.

Il y a longtemps que j'ai démontré, dans les Ouvrages que j'ai
publiés sur ce sujet, que, d'après la valeur du moment de rotation
donnée plus haut, le mouvement de Taimant restait le même,
quelque forme qu'on donnât à cette portion du circuit; dire (^)
qu'il faut négliger l'action de cette partie, parce qu'elle ne varie
pas quand on en change la forme, c'est comme si l'on disait qu'il
faut négliger l'action calorifique d'une portion de l'enveloppe de
chaleur constante, puisque cette action calorifique ne dépend pas
de la forme de celte portion.

Voici quelques conséquences qui résultent immédiatement des
considérations et des calculs précédents, qui ne faisaient pas
d'abord partie de ce Mémoire, et que j'y ajoute pendant qu'on
l'imprime, parce que ces conséquences sont en général celles que
M. Pouillet a obtenues des expériences qu'il a faites sur ce sujet
en 1827 (*).

Soit qu'on veuille faire tourner une portion du fil conducteur
autour de l'axe d'un aimant, ou un aimant autour de son axe par
l'action de la portion du circuit total qui ne lui est pas unie eu

(») Voir t. Il, art. XXVIII, p. 38'|. (J.)

(') Le texte des Annales de Chimie et de Physique porte : « dire, comme l'au-
teur d'un Mémoire inédit, qu'il faut négliger....» (J.)

(') Dans les Annales de Chimie et de Physique, ce paragraphe est remplacé
par le suivant : « La substance de cette Note se trouve en entier dans la Théorie
des pfiéno mènes électro-dynamiques déduite de l'expérience, que j'ai publiée
en 1836, p. 88-92, 107-115, i5i-i57, et les conséquences qui suivent en résultent
d'une manière tellement immédiate qu'il serait presque inutile de les énoncer, si
ce n'était que la parfaite conformité qu'elles présentent avec les résultats des
expériences faites depuis par M. Pouillet doit être considérée comme une nou-
velle vérification de ma théorie. » (J.)

ACTION MUTUELLE D'uN CONDUCTEUR VOLTAIQUB, ETC. iSq

un système invariable, il est commode de rendre l'axe de Taimant
vertical, et de faire arriver ces portions de fil conducteur dans une
coupe O (Jig^ lo), située sur le prolongement GO de l'axe de
l'aimant; cette coupe est fixe dans le premier cas, soit qu'elle
soit ou ne soit pas en communication avec l'aimant, qui est aussi

Fig. 10.

supposé fixe; mais dans le second elle doit, dans la disposition que
représente la figure, être soudée à l'aimant et mobile avec lui.

Quand le point L| est sur le prolongement de l'axe de l'aimant,
on a

6, = o, 61 = o,

d'où il suit que

cosôi — cosô'i = 1 — 1 = 0,

qu'ainsi le moment de rotation imprimé au fil LfL^ par l'ai-
mant est

— fx(co86s — CCS 6',),

et celui qui l'est à l'aimant par toute la partie du circuit qui n'y
est pas lié est

[x(co86,— cos6',),

6a et 6!, étant les deux angles OAL2, OBL^.

Quand les choses sont disposées comme dans \^ fig. 10,

2ÛO M. -A. AMPÈRE.

cosÙl >- cosOai en sorte que le premier momenl est
(i( cos OBLj — cos AL, ),

et le second

— [i(cosOBLj— cosOALj).

Tant que le poiat L2 est au-dessus du plan horizontal, passant
par Je pôle A, cch valeurs ne contiennent que la différence des
deux cosinus, et deviennent très petites, quand le point L2 est
près du prolon^^eraent GO de l'axe de l'aimant, parce qu'alors ces
deux cosinus diffèrent peu de l'unité.

Quand Je point L2 est dans le plan horizontal dont nous ve-
nons de parler, cosOAL2= o; on a donc seulement pour des va-
leurs des moments

jxcosOBLi,
ei

— fxcosOBLs.

Lorsque le point L2 tombe entre ce plan horizontal et celui qui

Fif. Il

Fig. 12.

passe par l'autre pôle B, l'angle OAL2 devient obtus, comme on
le voit dans la fi^. ii; on a alors cosOAL2 = — cosBALa, et,
comme on peut écrire ABL2 au lieu de OBL2, on a pour les

ACTION MUTUELLE D^UN CONDUCTEUR VOLTAIQUE, ETC. 301

moments

(i(cosABLj-t- cosBALj)
et

— [i(cosABLj-h cosBALj).

Les valeurs de ces moments, contenant la somme au lieu de la
différence des deux cosinus, sont beaucoup plus grandes que dans
le premier cas.

Si Ton suppose que le point L2, restant toujours à la mÔme
distance de l'axe de Taimant, réponde successivement à divers
points de la longueur de cet axe^ il est aisé de voir à la seule in-
spection de ces valeurs :

I® Qu'elles atteindront leur maximum quand le point L2 ré-
pondra au milieu de Paimant; elles deviendront alors

2fxcosABL2
et

— 2 |i CCS ABLj;

2** qu'elles seront les mêmes à égales distances au-dessus et au-
dessous de ce milieu : c'est ainsi que, quand le point L2 se trouvera
dans le plan horizontal, passant par le pôle B, on aura, pour ces

valeurs,

{jieosBALs
et

— [xcosBALs,

qui sont les mêmes que nous avons trouvées, quand L^ est dans
le plan horizontal passant par le pôle A. Enfin, lorsque le point
La est situé comme dans la fig. 12, on a cosABL2 = — cosHBLj
et les valeurs des deux moments deviennent

jji(cosBALi— cosHBLs)
eu

— iJi(cosBALs — cosHBL),

qui sont évidemment égales à celles que nous avons trouvées,
quand L2 est situé précisément de la même manière au-dessus du
plan horizontal passant par le pôle A.

Il suit de ces calculs que le sens de la rotation reste toujours
le même, quelle que soit la position du point L2, mais qu'après
avoir atteint son maximum, quand le point L2 est vis-à-vis du
milieu de l'aimant, elle va en diminuant à mesure qu'il s'en écarte,
et devient très faible et susceptible d'être arrêtée par les frotte-

%6l

M. -A. AMPERE.

nieaLSf quand le point L^ est près de Taxe de Faimant, et hors de
Tîntervalle compris entre les deux plans horizontaux, menés par
les pôles A et B. .

Si nous considérons en particulier le cas où le point Lj est dans
le plan horizontal passant par le milieu K {Jig' i3) de l'inter-
valtc AB des dcu\ pôles, alors les moments sont

2 {Ji CCS BAL)

— afiLCOsBALs,

valeur d'autant plus grande, pour un même aimant, que la

Fig. i3.

distance KL^ est plus petite, et par conséquent aussi, l'angle BAL^ ;
c'est pour cela que, quand l'aimant est fixe, et que LiMLj est
une portion mobile de fil conducteur, celle-ci tourne d'autant plus
rapidement autour de Taimant que son extrémité L, est plus près
de la surface de cet aimant, et que, quand c'est au contraire l'ai-
mant qui peut tourner autour de son axe, et qu'une portion du
circuit total parcourt Taimant et une roue de métal XL2 Y qui lui
est invai'iablement liée, depuis le point L, jusqu'au point L2, le
mouvement que prend Je barreau par l'action du reste L1ML2 du
circuit est d'autant plus rapide que le rayon KL2 de cette roue
est plus petit.

ACTION MUTUELLE d'uN CONDUCTEUR VOLTAIQUE, ETC. %SJ

II se présente ici une difficulté qu'il est bon d'éclaircir.

Lorsque le point La se trouve aussi dans le prolongement de
Taxe de Taimant, soit du même côté que le point L«, comme on
le voit {^g' i4)j soit de l'autre côté, ainsi que dans Idijlg- i3, les
deux angles 82 et 6!^ deviennent tous deux égaux à o ou à 7:, et la
différence de leurs cosinus étant nulle, le moment de rotation Tesi

Fig. ifi.

Fig. i5.

aussi; aussi observe-t-on alors que, quand les deux extrémités de
Tare LjMLa sont dans l'axe autour duquel il peut tourner libre-
ment, il reste immobile, dans le cas où cet axe coïncide avec celui
de l'aimant EF ; et que si cette coïncidence n'a lieu qu'à peu près,
il se meut d'autant plus lentement que les deux axes sont plus
près l'un de l'autre, mais seulement pour prendre une position
fixe, et non pour tourner d'un mouvement continu autour de
l'axe qui passe par ses extrémités.

Considérons un aimant courbé comme on le voit {/Ig» i6)j
afin que le milieu de l'axe GH, qui joint ses deux pôles, se trouve
en dehors du barreau, et que l'autre extrémité L2 du fil L|MLa
puisse, de même que la première L|, être placée sur la dircc-

264 M. -A. AMPÈRE.

lion de cet axe, mais entre les deux pôles A et B; d'après les
calculs de M, Savary, et les expériences faites, il y a quelques
années^ par différents physiciens sur les aimants annulaires, que
la courbure de J'almant ne fait rien à l'action qu'il exerce, et que
cette action est toujours la même que celle d'un aimant reclilîgne
qui aurait ses pôles aux mêmes points A et B, d'où il suit que le
moment de rotation

— (Jl(C08 6,— COS62)

de LiML, autour de l'axe GH devient égal à 2ul, parce qu'on a
cQsQi:= — i et t:osS'^=i; aussi voit-on tourner, dans ce cas, la

Fig. 16.

portion de fil c*ïnducteur L1ML2 autour de l'axe GH, jusqu'à ce
qu'elle viennr ^^apouyer contre l'aimant, ce qui arrive nécessai-
rement vers un de ses points K compris entre les pôles A et B,
toutes les fois que l'extrémité L2 est sur l'axe GH entre ces pôles,
ainsi qu'on le suppose ici.

Il semble d'abord que c'est cette circonstance seule qui em-
pêche le fil LiMLa de tourner indéfiniment autour de l'axe GH,
car, si Ton enlève ce fil des coupes X, Y, qui le mettent en com-
munication avec les deux extrémités de la pile, pour le replacer
aussitôt dans ces mêmes coupes, de manière qu'il se trouve de

ACTION MUTUELLE d'uN CONDUCTEUR VOLTAIQUE, ETC. 205

l'autre côté de raimant, il tournera dans le même sens autour de
GH, jusqu'à ce qu'il vienne de nouveau s'appuyer contre l'aimant
au même point K^ et en le faisant de nouveau passer de la même
manière de l'autre côté de l'aimant, cette sorte de mouvement se
continuera indéfîniment.

C'est sur cela qu'est fondée la difficulté qu'il s'agit d'éclaircir,
et qui m'a été proposée par M. le professeur S. Gherardi.

Elle consiste en ce qu'il semble, pour me servir des expressions
qu'il a employées, que ce n'est qu'un obstacle physique qui em-
pêche le mouvement de rotation indéfiniment accéléré d'être pro-
duit par l'action mutuelle d'un aimant et d'un fil conducteur, dont
les deux extrémités sont dans Taxe, et qu'à considérer les choses
sous le point de vue purement mathématique, où le fîl conduc-
teur passerait à travers l'aimant, entre les éléments magnétiques
qui agissent sur lui, ce mouvement indéfîniment accéléré aurait
lieu, ce qui est en contradiction avec la démonstration purement
mathématique de son impossibilité que j'ai donnée ailleurs ( * ), en la
déduisant delà formule par laquelle j'ai exprimé l'action mutuelle
de deux conducteurs voltaïques, et que je donne de nouveau dans
ce Mémoire, en partant de la seule loi de l'action qu'un aimant
et un fîl conducteur exercent l'un sur l'autre.

La réponse à cette difficulté est fondée sur ce que, comme je
l'ai remarqué au commencement de ce Mémoire, la valeur de la
force résultant de l'action mutuelle d'un aimant et d'une portion
infiniment petite de fîl conducteur, quelque approchée qu'elle soit
lorsqu'il s'agit d'un aimant de dimensions finies, ne peut dans ce
cas être regardée que comme une approximation, et qu'elle n'est
rigoureusement exacte que pour chacun des éléments magné-
tiques dont l'aimant est composé.

Or, il est aisé de voir que, dans le cas où l'on supposerait que
la portion L1ML2 de fil conducteur, venant à rencontrer l'aimant
en K, le pénétrerait et passerait entre les éléments magnétiques,
Taction de ceux-ci, pour la faire tourner autour de l'axe GH,
changerait de signe, et que, bien loin qu'on pût regarder alors
comme une approximation le moment calculé relativement aux

(') Théorie mathématique des pliénomènes électro-dynamiques, art. XXX,
t. III, p. 139. (J.)

366

M. -A. AMPÈRE.

deux pôles de Taimant total, ce moment se trouverait de signe
contraire à celui qui, ayant réellement lieu, résulte des actions
réunies de tous les éléments magnétiques.

(j^esL ce que je vais expliquer en délail, sur un exemple assez
simple, pour que cette explication soit facile à suivre.

Cet exemple consiste à ne considérer, au lieu de Taimant, qu'une
seule série d'éléments magnétiques de même intensité, et dont
les axes sont situés dans une ligne quelconque AB (^g- 17) sur
laquelle ils se trouvent tous à égales distances les uns des autres.

Fig. 17.

M'O*

Si l'on suppose d'abord que les pôles de ces éléments soient aux
points rt, ^, pour l'un d'eux, a', 6', pour le suivant, et ainsi de
suite, on pourra, sans changer l'action exercée par ces éléments
sur un point O situé à une distance qu'on puisse considérer
comme infinie relativement aux intervalles a6, a' 6', etc., imaginer
que les deux pôles de chaque élément magnétique s'écartent l'un
de Tauire en diminuant d'intensité en raison inverse de leur dis-
tance mutuelle, jusqu'à ce que le pôle boréal de l'élément ah se
confonde avec le pôle austral de l'élément a!b\ et que la même
chose ait lieu pour les pôles de tous les autres éléments. Ceux-ci
étant supposés équidistants et de même intensité, les deux pôles
d'espèces opposées, appartenant l'un à un élément et l'autre à
Télément précédent ou suivant, qui se trouveront ainsi superposés^
se neutraliseront mutuellement, en sorte qu'il ne restera que l'ac-

ACTION MUTUELLE D*UN CONDUCTEUR VOLTAIQUE, ETC. HSj

lion des deux pôles extrêmes, c'est-à-dire du pôle austral a de
l'élément A et du pôle boréal ^ de l'élément B, précisément
comme si, au lieu de tous les éléments magnétiques de la ligne
AB, il n'y avait qu'un pôle austral à l'extrémité A de cette ligne,
et un pôle boréal à son extrémité B.

Un aimant peut donc être remplacé par une ligne d'une forme
quelconque ainsi occupée par des éléments de même intensité et
équidistants, et dont les deux extrémités seraient aux deux pôles
de cet aimant.

Concevons donc une pareille série d'éléments magnétiques, et
voyons ce qui doit arriver à un élément d'un courant voltaïque
Mm, dirigé comme l'indique la flèche de la Ggure, et placé à une
distance suffisante pour que l'action de AB se réduise, d'après ce
que nous venons de dire, à celle des deux pôles extrêmes a et p. La
force relative au pôle austral a tendra à porter l'élément M m sui-
vant la perpendiculaire OS au plan aMm, du côté de ce plan qui
est à gauche d'un observateur qui serait placé dans la parallèle N/i
à M m, menée par le point a, et qui, ayant les pieds en N et la tête
en /i, regarderait l'élément Mm ; par la même raison, la force rela-
tive au pôle P tendra à porter l'élément Mm suivant la perpendi-
culaire OT au plan ^Mm, à la gauche d'un observateur placé en
P de la même manière. La résultante OR de ces deux forces, dirigée
comme on le voit dans la figure, tendra donc à rapprocher, dans
ce cas, l'élément Mm de la ligne AB qui représente un aimant, et
il est aisé de voir que, si Ton place l'élément Mm dans la même
direction en M'' m'' de l'autre côté de AB, il tendra à s'en éloigner,
d'où il semble résulter qu'en le supposant assujetti à tourner au-
tour d'un axe situé convenablement, il pourrait revenir en Mm
pour se rapprocher de nouveau de AB, et tourner ainsi d'un mou-
vement continuellement accéléré, s'il pouvait traverser cette ligne,
en passant, par exemple, entre les deux éléments magnétiques abj
ajy , Cela n'arrive pas dans l'expérience, parce que le fil conduc-
teur s'appuie contre l'aimant, et l'objection consiste à prétendre
qu'il y passerait sans l'obstacle physique que lui oppose l'aimant;
en sorte que, à considérer les choses mathématiquement^ on pour-
rait produire un mouvement indéfiniment accéléré par l'action
d'un aimant et d'un circuit fermé, dont Mm représente l'élément
qui, dans ce mouvement, rencontrerait la ligne AB. La réponse

a68 H.-A. AMPÈRE.

est que, même en considérant les choses sous ce point de vue,
Félémenl M/n ne pourrait jamais passer entre les éléments ma-
gnétiques ab, a' b'y parce que, dès qu'il en serait assez près,
comme dans la situation M' m', pour qu'on ne pût plus supposer,
sans changer l'action, les deux pôles b et a' superposés, il faudrait
considérer, au lieu de la série d'éléments magnétiques AB, les
deux séries A 6, a'B, qui agiraient en vertu des forces relatives
au\ pôles b et a', en sens contraire des actions relatives aux pôles
de nom contraire a et |3, qui existaient seules dans le cas précé-
dent ; ce qu'on voit dans la figure, par les directions de ces forces
iyS\ O'T et de leur résultante OR'. D'ailleurs, à cause de la
très petite distance, ces forces deviendraient comme infinies, par
rapport hux forces relatives aux pôles a, p, dès que l'élément M/w
serait sur le point de passer entre les éléments magnétiques abj
o'i'; il serait donc violemment repoussé en sens contraire du
mouvement acquis; et ce mouvement, à considérer les choses
même sous le point de vue purement mathématique, serait
peu à peu anéanti et remplacé par un mouvement en sens con-
traîre» en sorte qu'on n'aurait que des oscillations autour d'une
position fixe, au lieu d'un mouvement indéfiniment accéléré
dans le même sens, ce qui est d'ailleurs rigoureusement dé-
montré pour le cas où le fil conducteur, dont M/n fait partie,
forme un circuit fermé, puisque, dans ce cas, l'action peut être
ramenée à des forces en raison inverse du carré de la distance,
qui ne peuvent jamais produire un mouvement indéfiniment ac-
céléré.

Le même changement dans la direction de l'action exercée par
la série d'éléments magnétiques AB, qui a lieu à l'égard de l'élé-
ment de fil conducteur M/n, lorsqu'on suppose que cet élément
est successivement placé hors de l'aimant et dans son intérieur
entre deux éléments magnétiques dont il est composé, a également
lieu à l'égard d'un autre élément magnétique, que l'on suppose-
rait placé succcessivement dans ces deux situations. Il est évident,
en effet, ([ue, dans le cas où cet élément magnétique serait placé
en M assez loin de la ligne AB, il se dirigerait de manière que son
pôle austral fût en bas dans la figure du côté du pôle boréal p, et
son pôle boréal en haut du côté du pôle austral a; tandis que, s'il
se trouvait entre les deux éléments magnétiques ab, a' 6', il se

ACTION MUTUELLE D*UN CONDUCTEUR VOLTAIQUE, ETC. 269

dingerait, au contraire, de manière que son pôle austral fût en
haut le plus près possible du pôle boréal i, et son pôle boréal
en bas du côté du pôle austral o! .

Je terminerai ces considérations sur les mouvements qu'un fil
conducteur imprime à un aimant par le calcul des forces qui pro-
duisent le mouvement que prend Taimant dans Texpérience de
M. Œrsted; et je supposerai, pour fixer les idées, qu'il s'agisse
de calculer Faction qu'un conducteur recliligne indéfini et hori-
zontal NM {fig* 18) exerce sur un aimant AB, suspendu par un

Fig. 18.

M m

fil de soie ZC au crochet Z, et dont le milieu C est dans le plan
vertical EFMN, passant par ce conducteur, l'aimant AB étant
aussi horizontal et susceptible de tourner autour de ce point C (* ).
Soit CD la perpendiculaire élevée au point C à ce plan, laquelle
se trouve dans le même plan horizontal que Taxe BA de l'aimant;
nommons e l'angle DCA de l'oscillation, angle qu'on suppose
très petit.

(') Dans le texte des Annales de Chimie et de Physique, ce paragraphe pré-
sente une légère différence de rédaction et est remplacé par le suivant : « Je sup-
pose maintenant qu'on veuille calculer l'action qu'un conducteur rectiligne indéfini
NM {fig, 18), que je supposerai horizontal, exerce sur un aimant AB, dont le rai-
lieu C est dans le plan vertical EFMN passant par le conducteur, l'aimant AB étant
aussi horizontal et susceptible de tourner autour de ce point C. » Le texte des
Annales est postérieur ù celui des Mémoires de l'Académie de Bruxelles, ( J.)

iQù

M. -A. AMPàRE.

Soit la perpendiculaire AH = a, la distance AM = /*, Tangle
HAM = O5 d'après la règle énoncée d'abord par M. Biot, TactioTi
relative au pôle austral A exercée par l'aimant sur l'élément Mm
du fil conducteur, dont O est le milieu, est dirigée suivant la per-

pendiculaire OS au plan AMm, et égale a [x » que j ai

montré pouvoir s'écrire ainsi

2 AMm rf6

u — = u — ,

' H . ^ r

parce <]ue 2 AMm = r^M,

Or, dans le triangle rectangle AHM, on a /= — = : ainsi la

force suivant OS est

û?8cos6

ïlonL rintégrale, entre les limites 8| et 82» donne pour la valeur de
la résultante de toutes les forces parallèles exercées sur AB

[jL(sin9i — sin6,)

Quand on suppose que le fil conducteur AB s'étend à l'infini
dans les deux sens, onaO| = — -> 62=-; ainsi, sinO|=: — i,
siD02^ >9 6^ 1^ résultante est égale à

a *

elle est donc en raison inverse de la distance AH =- a, du pôle A
au fil conducteur.

Cette résultante est, comme toutes ses composantes, élevée
perpendiculairement au plan ANM, par un des points de la
droite NM.

Dans le cas du conducteur indéfini dans les deux sens, ce point
est en H, c'est-à-dire que c'est le pied de la perpendiculaire
abaissée du pôle A sur NM, en sorte que la résultante est dirigée
suivant l'horizontale HR perpendiculaire à NM, parce qu'à égales
distances de part et d'autre de ce point H les composantes sont

ACTION MUTUELLE d'uN CON DUC/eU R- VOLTAIQUE, BTG. nyi

égales, et donnent, par conséquent, deux à deux, des résultantes
partielles qui passent par H.

En abaissant du pôle boréal B la perpendiculaire BL sur NM,
on trouvera une autre résultante relative à ce pôle, de toutes les
forces exercées par Taimant sur le conducteur NM . Dans le cas que
nous supposons ici, où le milieu de l'aimant est dans le plan ver-
tical ENMF, celte résultante est égale à la première et a de même

pour valeur — •

Pour avoir Faction qu'exerce réciproquement le fil conducteur
NM sur l'aimant AB, il faut, suivant les premiers principes de la
Statique :

I** Concevoir en H un point h sans liaison avec ce fil, mais
invariablement lié avec l'aimant; on aura pour première force

agissant sur l'aimant une force égale et opposée à la force — qui est

appliquée en H et dirigée suivant HR; cette première force, ap-
pliquée au point h lié à l'aimant, aura la même valeur et sera di-
rigée suivant AR';

2^ Concevoir en L un point /, qui soit de même sans liaison
avec le fil NM, et invariablement lié avec l'aimant; à ce point /,
on aura une seconde force appliquée en /, égale et opposée à LT,
qui sera, par conséquent, dirigée suivant /T' et aura pour va-
leur — •
a

Tous les mouvements que pourra prendre l'aimant résulteront
de ces deux forces, et si l'on nomme ç l'angle AHG, qui est égal
à BLK, on pourra décomposer chacune d'elles en deux autres
forces, l'une horizontale et l'autre verticale, ce qui en donnera
quatre, savoir :

lo AR'^et /régales à "J^,

a« hK"' et IT" égales à îii^;

ces deux dernières, agissant dans le même sens, étant parallèles à
la verticale CU et situées à égales distances de cette verticale, se
composeront en une force unique dirigée suivant CU, et qu'on
pourra supposer appliquée au point C : elle sera détruite par le
fil CZ, auquel l'aimant est suspendu dans l'expérience actuelle;

^7^ M. -A. AMPÂRE.

mais, 3*îl ne Télaît pas, elle le porterait Vers le conducteur NM.
C'est précisémenl cette force que j'ai désignée sous le nom d'ac-
tion altracthe ou répulsive (*), dans le premier Mémoire sur ce
genre de phénomène, où j'ai analysé les mouvements produits
dans Texpérience de M. Œrsted.

Quant aux deux forces horizontales, dirigées suivant les droites

Air, /'P, et égales à ^ — ^> elles formeront évidemment un

coupîc dont on trouvera la valeur en multipliant cette expression
par la distance Ih des deux forces, distance qui est égale à 26 coss,
en nommant b la demi-longueur CA ou CB de Taimant, prise d'un
de ses pôles à Taulre.

Le moment cherché sera donc égal à — ^> et l'équa-
tion du mouvement sera

-r- I r^ dm = ^-^ '- ?

dt J a

»>/*.» 4[^^ sine
- I r* dm = ^^-^ •

w étant la vitesse autour de CU à la distance 1. Plus Taimant
est court et plus l'angle ^ est petit; on a donc sensiblement <p = o

~dl^

l r^dm^ dans cette équation, est le moment d'inertie de l'aimant

autour de l'axe CU, qui passe par son centre d'inertie C.

On volt, à la seule inspection de la figure, que les forces diri-
gées suivant AR", IT" se réunissent pour amener l'aimant dans la
direction CD perpendiculaire au planENMF, en le faisant tourner
autour de CU; mais, s'il était d'abord dans cette direction, il y
resterait en équilihre, parce qu'alors ces deux forces se trouvent
opposées dans la même direction, ce qu'on voit, parce que, l'angle
£ étant alors nul, on a sine = o, ce qui réduit à o la valeur que
nous venons de irouver pour le couple. La force qui, en agissant
à la dislance b de l'axe CU sous l'angle e, produirait le même
efiTet que ce couple, pour faire tourner l'aimant autour de CU, est

(' ) Celle action est ici attractive, parce que l'aimant est situé de manière que
£^oa pûlc uu^Ubl A est il gauche du courant NM. (Â.)

ACTION MUTUELLE d'uN CONDUCTEUR VOLTAIQUB, ETC. 278

évidemment égale à —> en faisant toujours cosy sensiblement

égal à l'unité. Cette force est, comme Ta trouvée M. Biot, en
raison inverse de a.

C'est à cause que nous avons supposé l'aimant horizontal et son
milieu C dans le plan vertical ENMF que les distances des deux
pôles au conducteur NM, et par conséquent les forces relatives à
ces pôles, se sont trouvées égales, d'où il est résulté que leurs
composantes horizontales, dirigées suivant hW et /T'' ont formé
un couple; dans ce cas, il est évident que le résultat est identique-
ment le même que dans l'hypothèse du couple primitif, parce
qu'un couple peut être transporté, sans que les effets produits
éprouvent aucun changement, dans tout plan parallèle au sien,
pourvu qu'il conserve la même valeur et que les nouveaux points
d'application des forces soient invariablement liés aux anciens.

Cette identité des résultats produits par les forces appliquées
comme elles le sont réellement aux points h et /, et par des forces
égales aux premières, qu'on supposerait appliquées aux pôles A
et B, se voit immédiatement dans le cas que nous avons considéré
ici, parce que les composantes horizontales de ces forces forment
un couple qui peut être transporté où l'on veut. Cette sorte de
démonstration n'a plus lieu quand les pôles A et B ne sont pas à
la même distance du fil conducteur, parce qu'alors, les forces qui
leur sont relatives n'étant plus égales entre elles, il n'y a plus de
couple. Dans ce cas, la même identité dépend d'une autre condi-
tion, savoir, que le conducteur qui agit sur l'aimant forme un
circuit fermé ou un système de circuits fermés ; alors l'identité a
toujours lieu comme je l'ai démontré dans la Théorie des phéno-
mènes électro-dynamiques, que j'ai publiée en 1826, p. 102 (»).
On sent bien, au reste, qu'à moins qu'une portion du courant élec-
trique ne passe par l'aimant ou par un conducteur lié à l'aimant,
cette condition est toujours remplie, ainsi que je l'ai dit dans le
même ouvrage, parce que la pile, les rhéophores et toutes les
portions de conducteurs qui mettent ceux-ci en communication
-forment réellement un circuit toujours* fermé.

Quand M. Biot a fait ses expériences, c'était réellement un cir-

(•) Koir art. XXX, p. 9a. (J.)

Mém. de Phys., III. 18

274 M.-A. AMPÈRE.

ctiÎL fermé qui agissait sur raimant, el cela seul suffisait pour dé-
mon ircr que les résultais devaient être identiques dans ma ma-
nière de considérer l'action d'un fil conducteur et d'un aimant, et
dans riiypolhèsc du couple primitif. [Voyez à ce sujet l'Ouvrage
que je viens de citer, Note V, p. 216 et suiv. (* )].

(*) Voir firL XX\, p. 19a el suiv. (J.)

DEUXlàllE LETTRE D*AMPÈRE A GUERARDI. 2y5

XXXV.
LEHRE A M. LE D^ GHERARDI.

SUPPLÉMENT

AL MÉMOIRE SLR L*ACTION MUTUELLE d'uN CONDUCTEUR VOLTAIQUE
ET d'un aimant (*).

Je VOUS remercie beaucoup de la lettre que vous m'avez fait
rhonneur de m'écrire, il y a quelque temps, et où vous me faites
de nouvelles objections sur ce que j'ai dit que l'action mutuelle
de deux circuits électriques solides et fermés, ou de deux assem-
blages de circuits de cette sorte, ne peut jamais produire un mou-
vement continu où la vitesse aille toujours en croissant, jusqu*à
ce que les frottements et les résistances des milieux où s'opère le
mouvement rendent cette vitesse constante.

Il m'a semblé que ces objections sont fondées en partie sur ce
que vous n'avez peut-être pas donné le même sens que moi à ce
que je disais au sujet de la reslriction que j'avais mise à cette
proposition, en n'y parlant que de l'action mutuelle de deux cir-
cuits solides fermés, ou de deux assemblages des mêmes circuits;
et sur ce que vous n'avez pas fait attention à la distinction que
l'acception dans laquelle on prend généralement les mots rola-
tion et révolution m'avait autorisé à faire entre le mouvement
de réçolution d'un aimant flottant dans le mercure autour d'un
fil conducteur, découvert par M. Faraday, et le mouvement de
rotation du même aimant autour de son axe, que j'ai obtenu le
premier à une époque où l'on croyait ce dernier impossible,
comme vous pouvez le voir dans le Mémoire de M. Faraday, en
date du 1 1 septembre 1821 (2). Dès lors, vous avez dû naturellement
penser que j'avais dit du premier ce que je n'avais réellement
énoncé qu'à l'égard du second, savoir qu'il ne pouvait avoir lieu

(') Mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. IV, p. 71-88; 1827. On a Vu par
la noie d'Ampère, à la page 2i\t que cette letlre a élé envoyée à Ghcrardi au
commencement de 1S26. (J.)

O) Voir t. Il, art. XIII, p. i38. (J.)

276 M.-A. AMPÈRE

que quand le courant passait par l'aimant^ ou par une portion de
conducteur Hi!*e invariablement à cet aimant.

Je vous prie de relire ma lettre à M. Faradaj, qui est dans mon
Recueil, pour ^ous assurer que je nV parle que du mouvement
de rotation ^ Vous y verrez aussi que la raison pour laquelle le
iiiouvenieni de rotation est impossible quand le courant ne passe
ni par Taiiiiant ni par un conducteur lié à Taimant, c'est que cet
aimant csL alors soumis à l'action d^un circuit total qui est fermé
en Y comprenant la pile, et que les actions réunies de toutes les
parties d'un tel circuit se réduisent à deux forces, qui passent,
Tune par Tun des pôles de Taimant et l'autre par l'autre, et qui ne
peuvent par conséquent le faire tourner autour de l'axe mené par

Fig. r.

u

ces deux pôles. Cette raison n'a lieu que dans le cas de la rota-
tion d'un aimant autour de son axe; elle rend cette rotation éga-
lement imposbihle, soit que le circuit total fermé par la pile, el
dont l^aîmaiii ni une portion de conducteur lié à l'aimant ne fait
alors partie, soit entièrement solide ou en partie solide et en partie
liquide.

Pour vous en assurer, vous pouvez faire l'expérience suivante.

Dans un vase KLMN (Jig. 1), dont le fond est fermé par un
bouchon MN^ traversé par le tube de verre EF, où est mastiqué
un des rliëophores, le rhéophore positif GDO, par exemple, on
met du mercure qui, s'élevant au-dessus de l'extrémité supérieure
E du tube de verre, communique avec la portion EO de ce rhéo-

DEUXIÈME LETTRE o'AHPÉRE A GlIKRAROI. 277

phore qui s'y trouve plongée; on suspend ensuite h un point
fixe A, situé dans la verticale qui passe par le point O, Taimant
BC, dont Taxe est dans cette verticale, à Taide d'un fil de soie non
tordu qui n'ait que la grosseur nécessaire pour supporter le poids
de l'aimant, en lui laissant la plus grande facilité possible de
tourner autour de la même verticale; le bord du vase est recou-
vert intérieurement d'une lame circulaire de cuivre RS, qui com-
munique avec l'autre rhéophore STH.

Les choses étant ainsi disposées, on met la pile en action et
l'on voit tourner le mercure dans le vase KLMN, mais l'aimant
reste immobile.

Cet effet paraît surprenant au premier moment, car toute ac-
tion étant réciproque entre les deux corps entre lesquels elle a^il,
il semble d'abord que l'aimant BG ne doit pas pouvoir fairn
tourner le mercure du vase KLMN, dans un sens, sans éprouver
une réaction qui tende à le faire tourner en sens contraire ; il e^l
bien certain qu'il éprouve cette réaction, et qu'elle tend à le faire
tourner dans ce sens opposé à celui du mouvement du mercure*.
Mais le reste du circuit STHGDO agit aussi sur l'aimant BG, et
comme l'action du circuit total compose de cette partie STHGDO
et des courants du mercure se réduit à deux forces, passant par
les pôles de l'aimant BG, et donne, par conséquent, zéro pour la
somme des moments autour de l'axe de cet aimant, il s'ensuit
que l'action exercée par la portion STHGDO est exprimée par
un moment de rotation égal et opposé à celui qui représente
l'action des courants du mercure. Telle est la cause de l'immobi-
lité que présente l'aimant dans cette circonstance, immobilité que
vous pouvez observer toutes les fois que vous le voudrez, et qui
me paraît résoudre une de vos objections fondées sur ce que, <?ii
vertu du principe de l'égalité entre l'action et la réaction, un sys-
tème mobile ne peut tourner en vertu d'un système fixe, qu'au-
tant qu'il ferait tourner avec le même mouvement de rotation ce
dernier, si le premier devenait fixe et le dernier mobile : ce prin-
cipe n'est vrai que quand chacun des deux systèmes n'éprouvu
d'action que de la part de l'autre; il cesse de l'être quand l'un
des deux éprouve de la part d'un troisième système, toujour>
fixe, une action capable de faire équilibre à celle que l'autre
exerce sur lui. Ainsi, le mercure mobile, dans l'expérience précé-

lyS M.->. A M péri:.

deote, tourne par Taclion de l'aimant fixe BC^ rendez l'aimant
roolïiie en le suspendant au fil AB, il ne tournera pas, parce qu'un
troisième système, fixe dans les deux cas, savoir, le reste STHGDO
du circuit total, exerce sur Taimant une action qui fait équilibre
à la réaction des courants du mercure, qui continue à tourner
de la même manière, soit que Taimant soit fixe ou suspendu au
111 de soie AB.

Au reste, quand j'ai dit que Taclion d'un circuit solide et fermé,
sur un aimant, pour le faire tourner autour de son axe, était nulle,
il est évident que je n'ai parlé que du moment de rotation autour
de cet axe, moment qui est nul, non parce que les forces exercées
par le circuit solide fermé sur l'aimant se réduiraient à zéro, ce
qui certes n'est pas, mais parce que les deux résultantes de ces
forces passent par les pôles; ce qui en rend les moments de rota-
tion nubj quelles que soient les valeurs de ces forces. Mais ces
momenis ressent de Tétre, et les résultantes ne passent plus par
tes pales de l'aimant, quand une partie du courant total passe par
l'aimant ou par un conducteur lié invariablement à cet aimant,
parce que cette partie du courant total, n'agissant plus sur lui, ne
fait plus ùqailibre au moment de rotation produit par l'action que
le reste du circuit exerce sur l'aimant, action qui le fait tourner
comme je l'ai observé le premier et expliqué ainsi. Cette explica-
tion ne me paraît rien laisser à désirer, et il me semble que vous
l'adoptez comme moi; c'est pourquoi je n'insisterai pas davantage
sur ce point.

Tout ce que j'ai dit dans ma lettre à M. Faraday, étant fondé
sur ce que ce moment total autour de l'axe de l'aimant est nul, ne
peut s'appliquer évidemment qu'au mouvement de rotation dnxiour
de cet axCj et non au mouvement de révolution d'un aimant où
d'un assemblage d'aimants autour d'un fil conducteur; c'est à ce
mouvement de révolution qu'est relative l'expérience de M. de
Nobili (*). Vous pensez, Monsieur, que l'on pourrait l'obtenir par

(*) L^eïpéricnce de Nobili est l'analogue de rexpérience très connue de Faraday
Otï rprrjn en fil de platine auquel sont fixées, parallèlement à son axe et aux cx-
iréniilés d'un même diamètre, deux aiguilles aimantées, flotte sur le mercure.
L n des pAleii de la pile plonge dans le mercure au centre du cercle, l'autre est en
dehors de ce cercle; le système prend un mouvement de rotation continu.

LUie nuire expérience, présentée par Nobili comme en contradiction avec la
Iht^onc d*Ampère, est celle qui est représentée par la /ig, i de la page aao. ( J.)

OBUXlàllE LETTRE d'AHPÈRB A GHERARDI. 279

l^aclion d'un conducteur dont toutes les parties seraient invaria-
blement liées entre elles et avec la pile; je persiste à croire cela
impossible, mais c'est pour des raisons toutes différentes de celles
qui se rapportent au mouvement de rotation d'un aimant autour
de son axe. La somme des actions qu'exerce sur un aimant un
conducteur de ce genre passe bien toujours par les pôles de cet
aimant, comme je l'ai démontré dans mon Précis de la théorie
des phénomènes électro-dynamiques (*), lorsqu'on part de ma
théorie, et comme le supposent également les physiciens qui ne
l'adoptent pas; mais ces forces, passant par les pôles de l'aimant^
pourront avoir un moment de rotation autour du fil conducteur
qui ne passe pas par ces pôles. L'aimant, en effet, commence à
tourner, dans beaucoup de cas, autour de la partie voisine d'un fil
conducteur qui est solide d'une extrémité de la pile à l'autre;
mais de quelque manière que j'aie varié l'expérience, tant que
toutes les parties du conducteur sont restées immobiles, l'aimant
ne s'est mis en mouvement que pour s'arrêter, dans un cas, eo
s'appuyant contre le fil, dans l'autre, en prenant une position où
il restait en équilibre après avoir oscillé autour d'elle. Le premier
cas a lieu lorsque l'aimant est disposé de manière que, dans son
mouvement, il est rencontré entre les deux pôles par une portion
du fil conducteur; le second, quand, dans le même mouvement,
les deux pôles passent tous deux en dedans ou tous deux en dehors
du circuit solide qui est fermé par la pile et qui agit tout entier
sur Faimant.

Gela n'a lieu que quand toutes les parties de ce circuit sont
absolument immobiles; il suffit de changer alternativement avec
la main la situation de certaines parties du conducteur pour pro-
duire le mouvement continu; mais alors le circuit n'est plus ce
que j'appelle solide, et ce cas ne diffère de celui où l'aimant flot-
tant dans le mercure tourne continûment, que parce que Ton
change la forme du conducteur avec la main, tandis que les cou-
rants du mercure changent de place à mesure que l'aimant avance,
en passant d'un côté à l'autre de cet aimant, par suite de son
mouvement même.

(») Publié en i8a4 chez Crochard, libraire, Cloltre-Saint-Bcnolt, n"> 16, et lia-
cbelier, libraire, quai des Augustius, 55. (A.)

4So ll.-A. AMPÈRE.

Ce changement de place des courants dans le mercure, par
suite du mouvement de Taimant, est ce qui établit une difiFé-
rence complète entre ce cas et celui d'un circuit dont toutes
les parties sont immobiles; c'est, suivant moi, ce qui rend pos-
sible le mouvement de résolution continue de Taimant autour
du IjI. Avant de rejeter mon opinion à cet égard, je vous prie,
Monsieur, de suspendre votre jugement jusqu'à ce que je vous
aie fait connaître les deux sortes de preuves sur lesquelles je
l'appuie.

Ces preuves consistent : i° dans les expériences mêmes dont je
viens de parler^ je les ai variées de toutes les manières possibles, et
jamais l'aimant n'a pris un mouvement qui se soit continué indéfini-
ment, tant ({ue toutes les parties du circuit voltaïque sont restées
immobiles. Lorsqu'on fait passer le fil conducteur dans un aimant
cylindrique creux, dont Taxe est vertical, et qui est suspendu de
manière à pouvoir tourner librc;/nent sur lui-même, l'expérience
montre qu'il resterait complètement immobile, s'il était aimanté
d'une manière égale, tout autour de son axe; ce à quoi on ne peut
parvenir daus la pratique. Les inégalités de son magnétisme sont
cause, conformément à la théorie, qu'il tourne en se portant vers
une position déterminée d'équilibre stable, à laquelle il s'arrête
après avoir oscillé autour d'elle, parce qu'il faut nécessairement,
dans ce cas, que les pôles de chaque aimant partiel, dont on doit
regarder l'aimant creux comme composé, passent tous deux au
dedans du circuit formé par le fil conducteur et la pile. L'expé-
rience qui constate ce fait est bien aisée à répéter, en suspendant
raimant cylindrique creux à un fil de soie non tordu qui, n'ayant
que la force nécessaire pour en porterie poids, ne présente qu'une
très petite force de torsion, et en disposant le fil conducteur comme
on le voit dans la^î^. i. Je désire beaucoup. Monsieur, que vous
fassiez vous-même celte expérience, celles que vous me proposez
et toutes celles dont je parle dans cette lettre; vous vous assurerez
ainsi vous-même, par l'expérience, de la vérité de tous les résul-
tats que j'y expose.

a"* Dans la démonstration complète et rigoureuse, contenue
dans le Mémoire que je vous envoie avec cette lettre, de l'impos-
sibilité de produire un mouvement avec accélération continue de
vitesse, jusqu'à ce qu'il devienne uniforme à cause des résistances

DEUXIÈME LETTRE d'aMPBRB A GHERARDI. 28l

el des froUements, en faisant agir un circuil solide et fermé sur
un aimant.

Ce n'est pas sur mes formules que j'établis cette démonstration;
je Tappuie uniquement sur la loi que M. Biot a d'abord énoncée,
quoiqu'elle ne s'accordât pas avec les expériences qu'il avait faites
alors, mais dont il a, depuis, par de nouvelles expériences, con-
staté l'exactitude de manière à ne rien laisser à désirer à cet égard.
Vous savez, Monsieur, que cette loi est une conséquence de ma
formule, quand on conçoit les aimants comme des assemblages
de courants électriques, formant autour de leurs particules des
solénoïdes d'un très petit diamètre dont les extrémités agissent,
d'après les calculs fondés sur cette formule et dus à M. Savary,
précisément comme les molécules magnétiques que supposent,
pour expliquer les phénomènes, ceux qui n'admettent pas ma
théorie. Quoique je sois plus que jamais convaincu que cette sup-
position est dénuée de fondement, et que les phénomènes qu'of-
frent les aimants sont produits par les courants électriques de leurs
particules, j'emploierai la dénomination de molécules magné-
tiques, pour désigner les points où, dans une manière de conce-
voir les choses, il y aurait effectivement des molécules de fluide
austral et de fluide boréal, et où se trouvent, dans l'autre, les
extrémités de petits solénoïdes formés par les courants des aimants ;
je ne ferai aucune autre supposition que d'admettre, avec les phy-
siciens qui combattent ma théorie, que ces points agissent sur
chaque élément d'un fil conducteur, comme tout le monde con-
vient que les pôles d'un aimant agissent en effet sur les éléments
de ce fil; et, en ne parlant ainsi que des faits, et des lois déduites
des faits que reconnaissent ceux dont les opinions sont les plus
opposées aux miennes, je ne vois pas ce qu'ils pourraient encore
opposer à une démonstration purement mathématique et appuyée
uniquement sur leurs propres principes.

Vous avez très bien montré. Monsieur, que l'expérience de
M. de Nobili, bien loin d'être contraire à ma théorie électro-
dynamique, telle qu'elle est exprimée par la formule qui repré-
sente l'action mutuelle des deux éléments de conducteur vol taïques,
en est au contraire une suite nécessaire; mais vous persistez à
penser qu'elle est contraire au principe que j'ai énoncé sur l'im-
possibilité du mouvement continu, malgré les frottements et les

28a M. -A. AMPÈRE.

résistances : ce principe serait alors en opposition avec ma théorie,
et je serais le premier à le rejeter; mais ce n'est que quand on
Ini donne Texiension dans laquelle vous l'avez pris. Il est parfai-
tement d'accord, quand on le restreint au cas de deux circuits ou
assenihlage de circuits solides et fermés tous les deux, puisque,
dans l'expérience de M. de Nobili, une partie du circuit, celle
({ui se com]n^se des courants du mercure, n'est pas solide, et change
de place en passant d'un côté de l'aimant à l'autre, à mesure que
cet aimant se m eut.

Avec celte restriction, le principe est vrai, puisqu'il est une
conséquence mathématique et rigoureuse de la loi énoncée d'abord
par M. Biot, si complètement vérifiée depuis et adoptée par tous
les physiciens.

Il est évident d'ailleurs que l'explicalion du mouvement de ré-
i'olufion de raimanl, flottant sur le mercure, autour d'une por-
tion de fil conducteur située hors de cet aimant, telle que je l'ai
donnée dans mon Recueil, et qu'elle est répétée dans le Manuel
d'Électricité dynamique de M. De Monferrand, p. 1 47-1 49» ï^e
dépend en aucune manière de ce que le courant électrique passe
ou non dans Taimant.

J'aî eu soin en effet, dans cette explication, de montrer que
toutes les portions de courants qui sont en dehors de l'aimant
dans le mercure où il flotte tendent à le faire tourner autour du
point P {Jig* 2, Manuel d'électricité dynamique, PL IV ^

fig, 58), soit que le courant y aille en s'approchant de l'aimant,
comme dans les portions P/i, Pn' ou en s'en éloignant, comme
dans les portions /ïîM, m'M', soit qu'il passe à côté comme dans
les portions P<?, Pe'.

S'il était possible qu'il y eût dans l'intérieur de l'aimant des

DEUXIÈME LETTRE D'aMPËRE A GHBRARlil. 283

portions de courant suivant les lignes nm^ n! m' , qui ne fissent
pas corps avec lui, et pussent ainsi tendre à lui imprimer un mou-
vement en sens coniraire de celui qu'il prend par faction du rcsie
du circuit, Taimant s'arrêterait dans une position déternimce,
après avoir oscillé autour d'elle. Car dans cette figure, où le cercle
/i //w m' ^'n' représente un des courants de l'aimant, ces prntions
repousseraient l'arc ntm et attireraient m' t' n\ deux acticujs ^jui
tendent à porter l'aimant dans le sens VA, tandis que celles
qu'exercent tous les courants qui sont extérieurs à cet aimant
tendent à la porter au contraire dans le sens AV; mais cetro sup-
position ne peut être réalisée, puisque, lorsque l'aimant rst n—
couvert d'une substance isolante, comme dans l'expéricnLe th*
M. de Nobili, il n'y a point de courant dans Tintcrieur de Tai-
mant, et que, lorsqu'il y en a, parce que Félectricité traxirst; \v
barreau, leur action est détruite par la réaction égale exercf^i^ sur
eux par les courants de l'aimant. D'après cette considératirnij il v
a nécessairement identité entre les effets produits dans \gs ticnx
cas; le barreau tourne également autour du fil conducLf?(ïr, cl
l'expérience de M. de Nobili comme celle de M. Faraday, bien
loin d'être opposée à ce que j'ai dit dans mon Recueil, et une
conséquence nécessaire de Texplication que j y ai donnée de cclU'
dernière expérience dans le passage que je viens de citer.

Quand je lus l'expérience de M. de Nobili, je ne compris point
comment il y voyait une objection contre ce que j'avais dil : vv^\
par la lettre que vous m'avez fait Thonneur de m'écrire qm^ j^u
vu que cela venait, d'une part, de ce que l'on avait étendu au kiou-
vement de révolution de l'aimant autour du fil conducteur, a} i\mi
j'avais dit relativement à la nullité du moment des forces qui ajLci:^-
sent sur l'aimant du mouvement de rotation, seulement d'iiti bar-
reau aimanté autour de son axe, et d'autre part, de ce qu'on
n'avait pas fait attention aux passages de mon Recueil, tlaus ii ---
quels j'avais mis pour condition à l'impossibilité d'un mouvtnicni
qui se continuât indéfiniment malgré les résistance?, la suliilÎLt'î
des deux circuits fermés, agissant l'un sur l'autre, passages que
j'ai cités dans ma dernière lettre imprimée dans les Annales fie
Chimie et de Physique, t. XXIX, p. 376 et 876 (*).

(•) Voir art. XXXIII, p. 217. (I )

28,f U.-A. AHPÉRE.

Mais, dira*i-ODj si l'on a un fil conducteur disposé comme on le
voit en PABCDEN (^fig* 3), et qui porte en G une pointe CO,
sur laquelle tourne" une tige horizontale KG, comme Faiguille
d'une boussole sur son pivot, et que cette tige, maintenue dans
une sitiiaLion horizontale parle contrepoids L, porte à son extré-
mité G raimanl GH, celui-ci tournera autour du point O, et
\iendra s'appuyer contre le fil CD, du côté où son pôle austral se
trouve à gauche du courant qui parcourt ce fil; si alors on le passe
de l'autre côté, il tournera dans le même sens, s'éloignera de ce fil
et, aprt'S avoir fait un tour, reviendra s'appuyer contre le même
poini Je GD; ne semble-t-il pas qu'on pourrait en conclure que,
si ce mouvement ne peut pas se continuer indéfiniment, cela ne
tient pas à la nature de la force électro-dynamique, mais à la ren-
contre, en quelque sorte fortuite, de l'aimant et du fil GD? Rien

Fig. 3.

^X^^
4

T*

J

U

A

L

1

î

ne serait plus erroné qu'une pareille conclusion; car s'il était pos-
sible que laîmant se laissât pénétrer par ce fil, sans pour cela
conLracLer d'adhérence avec lui, dès qu'il y aurait une partie du
fil dans l'intérieur du barreau, elle agirait en sens contraire et
arrôleniit raimant; ou du moins, si on lui avait imprimé une
viLesse suffisante pour le faire passer outre, elle diminuerait la
force vive due à cette vitesse, autant que celle-ci aurait augmenté
par TacLion du conducteur ABGD, pendant le tour qu'aurait fait
l'aimanL depuis l'instant où il avait quitté l'autre côté de GD
jusqu'à celui où il est venu de nouveau rencontrer GD.

C'est là une conséquence du théorème dont je donne la démon-
stration dans le JMémoire joint à cette lettre; mais il est aisé de
â^en assurer en substituant à l'aimant GH un courant circulaire,
qu'on obtient en pliant un conducteur mobile MOQRS, comme

DEUXIÈME LETTRE d'AMPÉRE A GHERARDI.

285

on le voit (^fig* 4)? ce fil porte à une de ses extrémités une pointe
M, qui plonge dans le mercure de la coupe F; cette coupe com-
munique avec l'extrémité C de la branche BC du conducteur

Fig. 4.

PABCTVDE, interrompu entre les points C et T, afin quo le
courant passe dans le conducteur mobile.

Lorsqu'on infléchit légèrement l'ensemble des deux fils MO,
RS, de manière que la portion circulaire OQR vienne rencontrer
VD, celte portion imitera exactement le petit aimant GII {^jig^ 3);
elle sera attirée par le conducteur fixe VD, jusqu'à ce qu'elle

Fig. 5.

T

y^^^.

o

s'arrête en s'appujant contre lui ; et lorsqu'on la fera passer de
l'autre côté, comme elle est dans la figure, elle s'en éloignera
constamment et, après un tour entier, viendra de nouveau s'a]>pu\ er
comme la première fois contre VD. Ne semblerait-il pas <|ue ce
n'est que parce qu'elle rencontre VD que son moment de révo-
lution autour de la verticale BCT est arrêté? Il n'en est pourtant
rien^ et lorsque, en diminuant la petite courbure donnée aux fils

'286 U.-A. AMPÈRE.

MO, RS, OU fait en sorte que ce mouvement puisse avoir lieu,
parce que la portion circulaire OQR ne rencontre plus VD, mais
passe un peu au-dessous, on la voit s'arrêter en équilibre dans
la posiliun représentée {^fig- 5); si Ton veut alors la faire mouvoir
dans le setxs où elle tourne autour de BCT, quand elle est soit en
avant» soiL cri arrière de VD, on éprouve une forte résistance, et on
ta voit rétrograder vers cette position d'équilibre, parce que les
forces exercées sur les deux côtés opposés de OQR se réunissent
pour cette rétrogradation, tandis qu'il n'y avait que leur différence
qui ag^issait lorsque le cercle QOR, situé en avant ou en arrière
de VD, tendait à se mouvoir dans Tautre sens.

L'aimanL GH {fig^ 3) s'arrête de même, dès qu'il est disposé
de manière à pouvoir passer au-dessus du conducteur fixe CD, en
le rasant pïtr son extrémité inférieure H, sans le toucher.

Après avoir éclaîrci le principe démontré dans le Mémoire cité
tout à l'heure, et qui établit l'impossibilité de produire dans un
aimant un mouvement qui se continue indéfiniment, malgré les
ré:i?îslanccs par l'action d'un fil conducteur formant un circuit
fermé et solide, il faut répondre à une objection qui se présente
naturellement. Si, dans ce cas, l'aimant se meut en vertu de l'ac-
tion que le j)remier exerce sur lui, mais seulement jusqu'à une
poi^ition déterminée, autour de laquelle il tendra à osciller jusqu'à
ce qu'il s*y arrête à cause des frottements ou des résistances de
milieu qui tendent à détruire son mouvement, pourquoi la même
eliosc n'ainaît-elle pas lieu quand, sans rien changer à la manière
dont Taimanl mobile est disposé, on remplace le fil conducteur
par lin assemblage de deux portions formant exactement le même
circuit, mais qui ne sont plus invariablement liées entre elles, et
dont Tune est fixe et l'autre mobile? Cette circonstance paraît en
effet ne rien changer à l'action mutuelle de l'aimant et des deux
portions du circuit; mais il n'en est ainsi que quand l'aimant est '
placé hors de ce circuit, et qu'il peut se rendre à la position
d'équilibre sans faire changer de place à la portion mobile; aussi
voit*on alors, mais seulement alors, l'aimant tendre à s'arrêter en
équilibre dans une position déterminée, après avoir oscillé autour
d'elle, quoiqu'on rende mobile une portion du courant électrique
en la faisant passer dans du mercure, précisément comme si cette
portion était fixe : il en est dans ce cas comme dans celui dont je

DEUXIÔHB LETTRE D'AMPÈRE A GHERARDI. 287

VOUS parlais tout à l'heure, où un aimant est suspendu par un fil
très fin au-dessus du mercure, qu'il fait tourner en restant lui-
même immobile.

Lors même que le mercure tourne, le courant qui y passe n'est
pas déplacé, parce qu'il s'établit toujours aux mêmes points, dans
de nouveau mercure qui vient remplacer celui où il passait d'iiLord ;
mais, dès que l'aimant plonge dans le mercure, à mesure qnil se
porte vers la situation où il resterait en équilibre si le courant
électrique ne changeait pas de lieu, il déplace ce courant en l'in-
terceptant là où il passait auparavant, pour le laisser passer dans
un nouveau lieu que l'aimant abandonne et que vient occuper le
mercure. Alors le déplacement change la position d'équilibre, et
cette position peut alors fuir toujours devant l'aimant qui ne l'at-
teint jamais, et qui tend de cette manière à se mouvoir toujours
dans le mêAie sens avec une vitesse accélérée : c'est le mouvement
de rés?olution continue. La même chose arrive, quand l'aimant est
invariablement lié à une partie mobile du circuit iqu'il enïrnine
avec lui; c'est alors le mouvement de rotation de l'aimant autour
de son axe : l'un et l'autre ont lieu parce qu'une portion du cir-
cuit changeant de place, ce qui a été démontré d'un circuit solide
fermé ne peut plus s'appliquer à ce qui arrive dans ces diffé-
rents cas.

Je vous prie, Monsieur, d'excuser la longueur de cette lettre,
et les répétitions dans lesquelles j'ai dû nécessairement tomber,
parce que, l'ayant commencée vers l'époque où je reçus la vôircj
je n'en ai écrit les différentes parties qu'à de longs intervalles,
pendant lesquels j'étais obligé de m'occuper d'idées toutes difl'c-
rentes, et que, toujours pressé par le temps, j'en reprenais chiique
fois la rédaction sans pouvoir relire ce que j'avais déjà écrit. Si
vous avez le temps d'en examiner les raisonnements, et de refaire
les calculs contenus dans le Mémoire que j'y joins, je crois que
nous serons du même avis, et que vous admettrez mon principe,
restreint comme je le fais ici, et ne se trouvant plus par cette
restriction même en contradiction ni avec ma propre théorie ^ ni
avec l'expérience de M. de Nobili; mais étant une simple consé-
quence mathématique de la loi généralement admise de Taction
mutuelle d'un aimant et d'un élément de fil conducteur, et d'après
laquelle celte action se compose des deux forces correspondarïtes

^88 DEUXIEME LETTRE d'aHFÉBE A GHERARDI.

auit deu^ pôles de raimant, déterminées par la formule donnée
au commencement du Mémoire joint à cette lettre.

A Tt'^gard de Timpossibilité de produire un mouvement avec
accélération conlinue, sauf le frottement, lorsqu'on fait agir l'une
sur Tautre deux portions de conducteur, formant des circuits
solides et fermés, elle se démontre d'une manière analogue, en
parlant, de ma formule au lieu de partir seulement de la loi dont
je viens de parler, et qui ne s'applique qu'au cas où l'on emploie
un aimant; cette démonstration est trop longue pour trouver
place ici, mais vous pourrez la voir dans un Mémoire (*) dont je
corrige actuellement les épreuves, et où elle serait déjà publiée,
si des circonstances particulières n'avaient pas retardé l'impres-
sion de ce Mémoire.

(■ ) Ce IVtétnciire t^t celui qui a été publié en 1827, dans les Mémoires de l'Aca-
démie des Sciencesj [2], t. VI, et qui forme l'art. XXX du présent Volume. (J.)

y

MESURES ÉLECTRODYNAMIQUES. 289

XXXVI.
MESURES ÉLECTRODmMIOlBS;

Par Wilhelm WEBER (•).

Le mouvement des fluides électriques dans les corps pondé-
rables fait naître entre les molécules de ces corps pondérables
des actions mutuelles qui sont la cause de tous les phénomènes
galvaniques et électrodjnamiques. Les actions mutuelles des corps
pondérables, déterminées par le mouvement des fluides élec-
triques, peuvent être divisées en deux classes dont la distinction
est essentielle au point de vue de la recherche des lois qui les
régissent : i** celles qui s'exercent de molécule à molécule à des
distances infiniment petites; ces forces ne se faisant sentir qu'à
rintérieur du corps traversé par le courant, on peut les désigner
sous le nom de forces moléculaires galvaniques ou électrodyna-
miques; 2® celles qui s'exercent encore de molécule à molécule,
mais à des distances finies (en raison inverse du carré des distances)

(*) Elektrodynamische 3faasbestimmungen, Leipzig, Weidmann'sche Buch-
handlung, 1846. Ce Mémoire, qui a été publié à part, fait aussi partie du Volume
ayant pour titre Abhandlun gen bei Begrundung der Koniglich Sàchsischen
GeselUchaft der Wissenschaften; in-'i", Leipzig, Hirzel, 1846; p. 209 à 878.

Sous ce titre général à' Elektrodynamische Maasbestimmungen, W. Weber a
publié une série de Mémoires qui, à l'exception de celui que nous reproduisons
ici et qui est le premier de la série, se trouvent dans la collection des Mémoires
de l'Académie de Leipzig, classe des Sciences mathématiques et physiques. En
voici la liste :

Elektr. Maasb., însbesondere Widerstandsmessungen^ t. I, p. 199-375; i852.

Elektr, Maasb.j însbesondere uber Diamagnetismus, t. I, p. 485-574; i852.

Elektr, Maasb., însbesondere Zurûckfiihrung der StromintejisitàtS'Messun-
gen auf meckanisches Maass. (en collaboration avec H. Kohlrausch), t. Ill,
p, 221-289; 1857.

Elektr. Afaasb., Insbesondere uber elektrische Schwingungen, t. VI, p. 573-715;
1864.

Elektr. Maasb., Insbesondere Uber das Princip der Erhallung der Energie^
t. X, p. 3-58; 1871. (J.)

Mém. de Phys., lU. 19

a0fï W. WEBER.

el qu'on peut appeler forces galvaniques ou électrodynamiques
à distance. Elles agissent non seulement entre les molécules d'un
niêmï? corps, mais entre des molécules appartenant à deux corps
différents, par exemple celles de deux fils conducteurs. Il est facile
de voir que la détermination rigoureuse des lois des actions de la
première classe exigerait une connaissance plus complète que
celle que nous possédons actuellement, des lois moléculaires à
rînLérieur des corps pondérables : il n'y a aucun espoir, pour le
nionienl, que l'étude de cette classe d'actions puisse conduire à la
découverte d'une loi complète et générale. Il en est tout autre-
meni de la seconde classe d'actions galvaniques ou électrodjna-
miques, attendu qu'on peut étudier les lois des actions qui s'exer-
cent entre deux corps pondérables, traversés par des courants
électriques, dans une situation relative et à une distance
données, sans qu'il soit nécessaire de rien connaître des lois mo-
léculaires de ces mêmes corps.

A ces deux catégories d'actions, découvertes par Galvani el
par Ampère, il y a lieu d'en ajouter une troisième, celle dont la
découverte est due à OErsted, l'action électromagnétique, qui
S'exerce encore, à une dislance finie, entre les molécules de deux
corps pondérables, mais dont l'un seulement est parcouru par les
fluides électriques et dont l'autre renferme à l'état libre les deux
fluides magnétiques. Cette distinction entre les phénomènes élec-
tromagnétiques et électrodynamiques doit être maintenue, tant
que les conceptions d'Ampère relatives au magnétisme n'auronl
pas remplacé, d'une manière complète et définitive, l'ancienne
hypothèse des deux fluides magnétiques. Ampère lui-même s'ex-
prime de la manière suivante au sujet de la difl'érence essentielle
dn ces deux classes d'actions (*) :

u Lorsque M. OErsted, dit-il page 286 [p. loi] de son Mémoire,
eut découvert l'action que le fil conducteur exerce sur un aimant,

(V ) Mémoire sur la théorie mathématique des pliénomènes électrodynamùfucs
un£tju€/nent déduite de l'expérience {Mémoires de l'Académie royale des
Scîerjcfit de VInstitut de France, année 1828). (W.)

Voir Tome III, art. X\X.

DmiH le Mémoire original de Weber, les renvois sont faits au tome IV des Mé-
moin^s de l'Institut. Les numéros des pages correspondantes de la présente édi-
IJOQ seront placés à la suite entre crochets. (j.).

MESURES ÉLECTRODTNAMIQL'ES. 291

on devait, à la vérité, être porté à soupçonner qu'il pouvait y avoir
une action mutuelle entre deux fils conducteurs; mais ce n'était
point une conséquence nécessaire de la découverte de ce célèbre
physicien, puisqu'un barreau de fer doux agit aussi sur une ai-
guille aimantée, et qu'il n'y a cependant aucune action mutuelle
entre deux barreaux de fer doux. Tant qu'on ne connaissait que
le fait de la déviation de l'aiguille aimantée par le fil conducteur,
ne pouvait-on pas supposer que le courant électrique communi-
quait seulement à ce fil la propriété d'être influencé par Taiguille,
d'une manière analogue à celle dont l'est le fer doux par cette
même aiguille, ce qui suffisait pour qu'il agît sur elle, sans que
pour cela il dût en résulter aucune action entre deux fils con-
ducteurs lorsqu'ils se trouveraient^hors de Tinfluence de tout corps
aimanté? L'expérience pouvait seule décider la question : je le fis
au mois de septembre 1820, et l'action mutuelle des conducteurs
voltaïques fut démontrée. »

C'est la même manière de voir qui conduit Ampère à regarder
comme une chose nécessaire de déduire de l'expérience, d'une
manière indépendante, la loi de l'action découverte par lui et de
l'action découverte par Œrsted. Après avoir parlé de la difficulté
qu'on rencontre dans la mesure exacte de l'action réciproque de
deux fils conducteurs, il ajoute, page i53 [p. 8], loc, cit. :

« Il est vrai qu'on ne rencontre pas les mêmes obstacles quand
on mesure de la même manière l'action d'un fil conducteur sur un
aimant; mais ce moyen ne peut plus être employé quand il s'agil
de la détermination des forces que deux conducteurs voltaïques
exercent l'un sur l'autre, détermination qui doit être le premier
objet de nos recherches dans l'étude des nouveaux phénomènes.
Il est évident, en effet, que si l'action d'un fil conducteur sur un
aimant était due à une autre cause que celle qui a lieu entre deux
conducteurs, les expériences faites sur la première ne pourraient
rien apprendre relativement à la seconde. »

On ne peut, d'ailleurs, s'empêcher de reconnaître que, malgré
les nombreux et importants travaux qui ont été produits dans ces
derniers temps dans la voie ouverte par Œrsted, il n'en est aucun
qui ait eu pour objet immédiat de poursuivre l'œuvre d'Ampère et
de lui donner, par des recherches spéciales et appropriées, le com-
plément qui lui fait actuellement défaut.

Sgti W. WEBER.

Du reste, le Mémoire classique d'Ampère n'est que pour une
faible part consacré aux phénomènes et aux lois des actions réci-
proques des fils conducteurs : la plus grande partie est consacrée
au développement de ses idées sur le magnétisme. Lui-même ne
considère point son travail comme ayant épuisé le champ des re-
cherches relatives à l'action réciproque de deux conducteurs, pas
plus au point de vue expérimental qu'au point de vue théorique,
et il a même signalé, à plus d'une reprise, dans le cours de son Mé-
moire» ce qui restait à faire dans ces deux sens.

Ampère expose à la page i8i [7] les deux voies que Ton peut
suivre pour déduire de Yexpérience les lois de l'action réciproque
de deux conducteurs, et explique pourquoi il a seulement suivi
r»ne d'elles et abandonné l'autre, faute à' instruments de mesure k
l'abri d'influences étrangères qu'il serait impossible de déterminer.

tt Un autre motif, bien plus décisif encore, dit-il page 182 [8],
c'est l'extrême difficulté des expériences où l'on se proposerait, par
exemple, de mesurer ces forces par le nombre des oscillations d'un
corps soumis à leurs actions. Cette difficulté vient de ce que, quand
on fait agir un conducteur fixe sur une portion mobile du conduc-
teur voltaïque, les parties de l'appareil nécessaire pour la mettre
ea communication avec la pile agissent sur cette portion mobile
en même temps que le conducteur fixe, et altèrent ainsi les résul-
tats des expériences. »

Ampère a aussi signalé, à plus d'une reprise, ce qui restait à
faire au point de vue théorique. Par exemple, après avoir montré
qu'il est impossible d'expliquer les actions réciproques des con-
ducteurs par une distribution d'électricité en équilibre, il ajoute,
page 219 [11 5] :

« Quand l'on suppose, au contraire, que les molécules élec-
triques mises en mouvement dans les fils conducteurs par l'action
de la pile y changent continuellement de lieu, s'y réunissent à
chaque instant en fluide neutre, se séparent de nouveau, et vont
aussi l^ïi se réunir à d'autres molécules du fluide de nature opposée,
il a*esl plus contradictoire (*) d'admettre que, des actions en rai-
son inverse des carrés des distances qu'exerce chaque molécule, il
puisse résulter entre deux éléments de fils conducteurs une force

(') Le mol est souligné par Weber et non par Ampère. (J.)

MESURES ÉLBCTRODYNAMIQUES. 298

qui dépende non seulement de leur distance, mais encore des di-
rections des deux éléments suivant lesquels les molécules élec-
triques se meuvent, se réunissent à des molécules de l'espèce
opposée el s'en séparent à l'instant suivant pour aller s'unir à
d'autres. Or c'est précisément et uniquement de cette distance et
de ces directions que dépend la force qui se développe alors, et
dont les expériences et les calculs exposés dans ce Mémoire m'ont
donné la valeur. »

)) S'il était/?055/6/e^ poursuit-il page 3oi [i i6], en partant de cette
considération, de trouver que Taction mutuelle de deux éléments
est en effet proportionnelle à la formule par laquelle je l'ai repré-
sentée, celte explication du fait fondamental de toute la théorie
des phénomènes électrodynamiques devrait évidemment être pré-
férée à toute autre : mais elle exigerait des recherches dont je n'ai
point eu le temps de m*occuper, non plus que des recherches plus
difficiles encore auxquelles il faudrait se livrer pour voir si l'ex-
plication contraire, où l'on attribue les phénomènes électrodyna-
miques aux mouvements imprimés à l'éther par les courants élec-
triques, peut conduire à la même formule. »

Ampère n'a point poursuivi ces recherches, et depuis il n'a paru
aucun travail expérimental ou théorique sur ce sujet; à l'ex-
ception de la découverte de Faraday sur la production du courant
d'induction dans un conducteur par l'augmentation ou la diminu-
tion ou la suppression du courant dans un conducteur voisin, la
Science est dans l'état où l'a laissée Ampère. Cet abandon de
l'éleclrodynamique depuis Ampère ne tient pas à ce que sa dé-
couverte fondamentale a une importance moindre que celles de
Galvani ou d'Œrsted : elle est due à l'appréhension des difficultés
énormes que présentent les recherches par les procédés employés
jusqu'ici, et cependant il n'est pas de phénomènes susceptibles
de déterminations plus variées et plus précises que les phénomènes
électrodynamiques. Le but principal que je me suis proposé dans
le présent travail est d'aplanir ces difficultés pour l'avenir, en
m'en tenant surtout à la considération des actions galvaniques et
électrodynamiques à distance.

Ampère a tenu à indiquer expressément, dans le titre de son Mé-
moire, que sa théorie mathématique du phénomène électrodyna-
mique est uniquement déduite de ^expérience, et l'on y trouve,

agi w. WEB EU.

en effet, exposée en détail, la méthode, aussi simple qu'ingénieuse,
qui Ta conduit à son but. On y trouve, avec toute l'étendue et la
précision désirables, l'exposé de ses expériences, les déductions
iju'il en tire pour la théorie et la description des instruments qu'il
emploie. Mais, dans des expériences fondamentales, comme celles
dont il est question ici, il ne suffit pas d'indiquer le sens général
d'une expérience, de décrire les instruments qui ont servi à
Texécuter, et de dire, d'une manière générale, qu'elle a donné le
résultat qu'on en attendait; il est indispensable d'entrer dans les
détails de l'expérience elle-même, de dire combien de fois elle a
éi^ répétée, comment on en* a modifié les conditions et quel a
èié l'effet de ces modifications*, en un mot, de livrer une espèce
(le procès-verbal de toutes les circonstances permettant au lecteur
d'asseoir un jugement sur le degré de sûreté ou de certitude du
résTiItat. Ampère ne donne point ces détails précis sur ses expé-
riences, et la démonstration de la loi fondamentale de l'électro-
d^namique attend encore ce complément indispensable. Le fait
lie l'attraction mutuelle de deux fils conducteurs a été vérifié
maintes et maintes fois et est hors de tout conteste; mais ces véri-
fications ont toujours été faites dans des conditions et avec des
moyens tels, qu'aucune mesure ywa/i<//a/tVe n'était possible, et il
s'en faut que ces mesures aient jamais atteint le degré de préci-
sion qui était nécessaire pour qu'on pût considérer la loi de ces
phénomènes comme démontrée.

Plus d'une fois Ampère a tiré de Vabsence de toute action élec-
trodynamique les mêmes conséquences que d'une mesure qui lui
aurait donné un résultat égal à zéro, et, par cet artifice, avec une
grande sagacité et une habileté plus grande encore, il est parvenu
à réunir les données nécessaires à l'établissement et à la démon-
stration de sa théorie, données qu'il ne lui était pas possible d'ob-
tenir dans des conditions meilleures; mais ces expériences néga-
iiveSj dont il faut se contenter en l'absence de mesures positives
directes, ne peuvent avoir toute la valeur ni la force démonstra-
tive de ces dernières, surtout quand elles ne sont pas obtenues
avec les procédés et dans les conditions des véritables mesures,
ce qu'il était, d'ailleurs, impossible de faire avec les instruments
qu'employait Ampère.

Qu'on examine, par exemple, l'expérience qu'Ampère décrit

MESURES ÉLECTROOYNAMIQUES. 29$

comme le troisième cas d'équilibre, page 1 94 [ 1 8] el dans laquelle un
arc de cercle métallique repose sur deux augets pleins de mercure,
Tun servant à l'entrée, l'autre à la sortie du courant ; cet arc de
cercle est flxé par une charnière à l'extrémité d'un levier, qui peut
tourner entre deux points autour d'un axe vertical (*). Ampère
remarque que cet arc de cercle traversé par un courant reste im-
mobile quand on fait agir sur lui un courant fermé, et que le
centre de l'arc est sur Taxe de rotation. Mais il est facile de voir
que, pour se mettre en mouvement, l'arc de cercle a à vaincre
quatre frottements : les frottements contre le mercure des deux
augets en B et B' et le frottement des deux pointes G et H,
qui déterminent l'axe de rotation. On sait, d'ailleurs, qu'avec les
courants les plus intenses qu'on puisse produire, les actions élec-
trodynamiques qui peuvent être exercées sur un simple fil, tel
que l'arc BB', sont si faibles qu'il faudrait que le fil fut bien mo-
bile pour accuser une action sensible. Il est à craindre que non
seulement l'arc ne se déplace pas quand son centre coïncide avec
Taxe, mais encore dans le cas où il tombe en dehors de cet axe,
à cause de l'impossibilité où il se trouve de vaincre les frotte-
ments dont il vient d'être question. Ampère dit bien, à la page
196 [20] : « Lorsqu'au mojen de la charnic''re O on met l'arc dans
une position telle que son centre soit en dehors de l'axe GH,
cet arc prend un mouvement et glisse sur le mercure des augets
m, m', en vertu de l'action du courant curviligne fermé qui va
de R' en S. Si, au contraire, son centre est dans l'axe, il reste im-
mobile. » On regrette qu'Ampère ne fasse point mention de l'ob-
stacle apporté par ces quatre frottements (2) et ne dise point,
d'une manière expresse, qu'il a vu et observé le mouvement de
l'arc excentrique. Abstraction faite du doute qui peut s'élever sur
ce point que le fait a été bien réellement observé, et en admettant
qu'Ampère ait bien vu lui-même le mouvement de l'arc dans les
conditions indiquées et se soit assuré que le mouvement était bien

(') Webcr reproduit ici ca note, y compris la figure, la description donnée par

Annpére de son appareil depuis ces mots : « Sur un pied TT », jusqu'à « dans

les différentes positions qu'on peut donner à l'un et à l'autre », pages 18 à ao. Il a
paru inutile de reproduire toute la citation. ( J.)

(■) Weber semble ignorer la critique qu'Ampère fait lui-même de son expé-
rience dans la première Note annexée à son Mémoire, page 176. (J.)

^^ W. WEBEn.

âû à l'aclion électrodynamique, assez énergique dans son expé-
rience pour surmonter Tobslacle des frottements, il y aurait eu à
drre quelle était rexcenlricité pour laquelle le mouvement com-
iiiLMiçalt et au-dessous de laquelle il ne se produisait pas. Sans
crue indication, on ne sait quelle valeur démonstrative on doit
attribuer à Texpérience. Je ne sache pas qu^aucun physicien ait
réjiété depuis Texpérience avec succès et Tait décrite dans tous ses
délaîls; mais ce qu'on peut affirmer avec certitude, c'est que dans
les cas les plus favorables le mouvement ne peut commencer que
pour des excentricités considérables, et dès lors on ne peut plus
admettre en toute sûreté que l'action électrodynamique est rigou-
reusement normale à l'élément.

Je n'ai eu d'autre objet, en faisant ces remarques sur l'expérience
d/Ampère, que de montrer comment l'absence des détails expé-
rimentaux rend insuffisante la démonstration de la formule, et
pourquoi j'ai pensé qu'il y avait lieu de demander à des méthodes
nouvelles et des instruments plus précis le complément de preuves
que les instruments d'Ampère ne pouvaient donner. Alors même
rja*en l'absence de preuves directes on resterait convaincu de
l'exactitude de la formule d'Ampère, cette conviction reposerait
sur des bases qui ne rendraient point superflue une démonstration
directe. Il était donc désirable que des mesures électrodynamiques
exactes vinssent apporter ce complément de démonstration.

Du reste, en présence du mouvement général qui pousse au-
jourd'hui à étudier les phénomènes de la nature au point de vue
du nombre et de la mesure, et à fournir à la théorie d'autres bases
que les jugements des sens et de simples évaluations, on ne com-
prendrait pas que l'électrodynamique restât en dehors de ce mou-
vement; or il n'a jamais été fait, à ma connaissance, une mesure
précise ni même approchée de l'action mutuelle de deux conduc-
teurs. Je crois pouvoir dire que mes recherches sont les premières
de ce genre. J'espère montrer, d'ailleurs, que les mesures électro-
dynamiques ont une valeur et une importance qui dépassent leur
objet spécial, savoir la démonstration de la formule électrodyna-
mique, et qu'elles seront le point de départ de nouvelles recherches
auxquelles elles ouvrent tout naturellement la voie, et qui, sans
elles, n'auraient pas été possibles.

MESURES BLECTRODYXAMIQUES. 297

\.

DescripUoii d'un instrument destiné à la mesure de Faction mutuelle
de deux conducteurs galvaniques.

Les instruments dont Ampère s'est servi dans ses recherches
électrodynamiques ne sont point de nature à donner aux résultats
qu'on en déduit la force démonstrative des mesures exactes. La
cause en est dans les frottemenls, qui souvent annulent en grande
partie, sinon en totalité, Faction éleclrodynamique qu'on a en vue
et empêchent toute observation. Tout ce qu'on peut espérer d'ob-
tenir avec ces instruments, dans les conditions les plus favorables,
c'est de vaincre tout juste les résistances passives par les faibles
forces électrodynamiques qui entrent en jeu, tandis que pour des
mesures précises il est nécessaire que le frottement soit très petit
par rapport à la force qu'on veut mesurer.

Il y a déjà une douzaine d'années que, pour éviter tous les frot-
temenls et effectuer des mesures sérieuses, j'ai eu l'idée d'em-
ployer un fil enroulé sur un noyau de bois en forme de bobine,
et de soumettre cette bobine à l'action attractive ou répulsive d'un
multiplicateur pendant qu'elle était traversée par un courant. Cette
bobine était portée par une suspension bifilaire formée de deux
fils fins de métal (je l'appellerai désormais la bobine bifilaire)^
l'un de ces fils servant à Tentrée, l'autre à la sortie du courant. Ce
n'est que plus lard, après l'invention du magnétomèlre bifilaire
de Gauss, que j'ai compris toute l'importance de cette disposition,
au point de vue des mesures, et que, à son exemple, je munis la
bobine d'un miroir. Dans l'été de 1837 j'installai un instrument
de ce genre, et je fis une série d'expériences qui me démontrèrent
qu'on pouvait observer avec la plus grande précision des actions
électrodynamiques dans des conditions d'intensité de courant où
l'on n'aurait rien obtenu par les anciens procédés.

L'instrument que je vais décrire a été construit, en i84i, par
M. l'inspecteur Meyerstein, de Gôtlingue; mais c'est seulement
à Leipzig que j'ai pu l'installer d'une manière convenable pour
une longue série de mesures.

L'instrument se compose essentiellement de deux parties : la
bobine bifilaire, avec son miroir, et le multiplicateur.

n^H W. WKBER.

La bobine bifilaire, dont «ne section verticale est représentée
dans Idijig. j, est formée de deux disques minces de laiton aa et
a'a'^ de 66™"™, 8 de diamètre, maintenus séparés à une distance
de 3o™™ l'un de l'autre par un axe en laiton bbf, de 3™"* de dia-
mètre. Sur cet axe et entre les deux disques est enroulé un fil

Pig. I.

de cuivre ce de o™™,4 de diamètre, recouvert de soie; ce fil fait
environ 5ooo tours et remplit tout l'espace compris entre les deux
disques. La fig, 2 donne une autre coupe verticale de la même
bobine, par un plan perpendiculaire au premier. L'une des^ ex-
trémités du fil sort dans le voisinage de l'axe par une petite
ouverture, pratiquée dans le disque de laiton et garnie d'ivoire, '^en

MESURES ÉLECTRODTNAAIIQUES. 299

e\ de e le fil passe en c'. L'autre extrémité se trouve à la péri-
phérie du cylindre formé par l'enroulement, où elle est fixée en d
par de la soie. La bobine porte un miroir plan^', fixé par trois
vis à une petite plaque de laiton. Cette plaque de laiton se rat-
tache à la bobine par deux rebords repliés à angle droit, dont un

seul est visible dans la fig, 2. hdijig, 3, qui représente une section
de l'appareil par un plan horizontal, n>ontre mieux comment la
liaison est établie. Ces deux prolongements sont fixés par des vis
aux deux disques de laiton aa et a'a' , Le miroir ff a son plan
parallèle à l'axe bb' de la bobine; il est un peu en avant de celle-
ci, et une masse h lui fait contrepoids de l'autre côté. Le miroir

3ûo

W. WRBER.

plan que j'emploie est un miroir d'Oerlling, de Berlin, avant la
forme d'un carré de 4o"™ de côté.

La suspension bifilaire se compose de trois parties : d'un cadre

portant la bobine, de deux fils de suspension et, enfin, d'un support
immobile auquel sont attachés les fils. Le portant en laiton a la
forme d'une fourche ou d'un étrier //' i^fig- 2), formé de deux
branches verticales parallèles /A* et V 1x de 100™™ de long et di-
stantes de 100"". Les extrémités des deux branches sont fixées
en k et A^ aux deux plaques qui portent Tune le miroir, l'autre le
contrepoids, \jidi fig. 4 donne les détails de cette pièce; on voit

en d ot d! la continuation des deux fils partis de 6 et de c ; ils pas-
sent sous deux plaques d'ivoire, qu'on peut déplacer au moyen

MESURES ÉLECTRODYNAMIQUES. 3oi

de la vis a, puis par deux coches pratiquées au milieu de ces
plaques dans les parties en regard; ensuite ils se relèvent vertica-
lement. Yàdijig. 5 donne une vue en dessous du portant; enfelg
sont les points d'attache de la vis a avec les deux plaques d'ivoire
d et rf', La verticale passant par le centre de gravité de la bobine
est à égale distance des deux coches. Les deux branches de Tétrier
portent deux bornes c et c' {fig- 2) isolées par de Tivoire et qui ser-
vent à relier les deux extrémités du fil de la bobine aux deux fils
de la suspension. Les fils de suspension partant des deux bornes c
et d vont passer par deux petites ouvertures o et o' garnies d'ivoire,
pratiquées dans la partie supérieure de l'étrier, de là vont aux
coches dont il a été question, se relèvent verticalement et vont
s'enrouler sur deux petites poulies de laiton qu'on voit en n et n!
dans la fig. i. Ces fils sont des fils de cuivre de i" de long et
de ^ de millimètre de diamètre; leur écartement, que l'on peut
régler au moyen de la vis a {fig. 5), est ordinairement de 3""*
à 4""*.

Le support auquel s'attachent les extrémités supérieures du fil
se compose d'un morceau d'ivoire p {fig. i), faisant couvercle
à l'extrémité d'un tube de laiton de 3o™™ de diamètre auquel il
est fixé. Ce tube de laiton, quia une longueur de iSo™", s'engagea
frottement doux dans un second tube également en laiton /t, sur
lequel il peut tourner et être fixé au moyen d'une vis de serrage s
{fig. 2). Les deux tubes enferment les fils de suspension dans
toute leur longueur et les soustraient à l'agitation de l'air. A la
partie inférieure du morceau d'ivoire sont les deux petites pou-
lies /, t! {fig. 2) de 10™"* de diamètre portées par les vis u et u!
qu'on peut fixer au moyen d'écrous à la pièce d'ivoire : sur cha-
cune de ces poulies passe un des fils de suspension. Les extré-
mités libres des deux fils sont rattachées solidement l'une à l'autre
avec de la soie, mais sans se toucher* Avec ce système de deux
poulies et ce mode d'attache des deux extrémités, on est sûr
d'avoir une même tension dans les deux fils de suspension. Enfin,
à chacune des bornes u et u! qui fixent les poulies au cylindre
d'ivoire, on attache les deux fils de cuivre couverts de soie, dont
l'un uv {fig' i) sert d'entrée et l'autre u' v^ de sortie au courant
galvanique.

Le multiplicateur est formé de deux plaques carrées de laiton

3o2 W. WEBER.

iViv el iv'ir' (Jig- i et 3) de i4o™™ de côté, avec une ouverture
ï ïrculaire de 76"" de diamèlre. Ces deux plaques sont reliées par
ito tube de laiton horizontal xa/ de 76°*"* de diamètre qui les
maintient verticales et parallèles à une distance de 70"°*. Dans
l'espace j^>^ compris entre la partie extérieure du tube et les deux
plaques de laiton est enroulé un fil de o""*,^ de diamètre, re-
couvert de soie et faisant environ 35oo tours. La partie supérieure
tle l'appareil est fermée par un couvercle de laiton zzz^ z' {fig- i),
iiïuni d'une ouverture centrale dans laquelle se visse le tube de
laiton qui renferme les fils. Deux fentes ménagées de chaque côté
livrent passage aux branches de Tétrier qui soutient la bobine de
suspension et laissent libres les mouvements de Téquipage mo-
bile. L'espace réservé entre la partie supérieure des spires du mul-
liplicateur el le couvercle est assez grand pour que la partie supé-
rieure de l'étrier puisse circuler librement. On commence par
introduire l'étrier sans la bobine, on l'attache aux fils de suspen-
sion et l'on installe alors la bobine. Les deux plaques de laiton
1 {^posent, parleur côté inférieur, sur un socle en bois portant trois
\ is de réglage. Le socle de bois est percé de deux trous aa el a' a'
{fig^ 2) par lesquels passent les deux extrémités du fil du mulli-
plicaleur. Tout l'instrument, à l'exception du tube de cuivTC qui
ronticnt les fils, est enfermé dans une caisse d'acajou qui le pré-
^t^rve des courants d'air. Cette caisse n'a pas de fond; elle repose
f:t;ulement sur une tablette horizontale qui lui en lient lieu. La
partie supérieure porte une ouverture qui laisse passer le tube des
Mis de suspension. Une seconde ouverture est pratiquée sur le côté
antérieur et fermée par une glace. Cette glace est traversée deux
fois par les rayons qui, émanés de l'échelle, vont se réfléchir sur
If' miroir et reviennent ensuite à la lunette. La caisse est partagée,
dans le sens vertical, en deux compartiments qui peuvent être com-
plètement séparés. L'installation de la lunette et de l'échelle se fait
i omme pour le magnétomètre.

Je désignerai, dorénavant, Tinstrument que je viens de décrire
sous le nom d^électrodynamomèlre ou, plus brièvement, de
f/ynamo mètre, en raison de sa destination qui est de mesurer les
actions électrodynamiques découvertes par Ampère.

UESlllES ÉLKCTROOVNAMIQUES. 3o3

L'action électrodynamiqne de deux éléments d'où même circuit
est proportionnelle au carré de l'intensité.

IjUntensilé d'un courant constant est la quantité d'électricité
qui, dans chaque unité de temps (pendant une seconde), traverse
la section du conducteur. Cette définition de l'intensité ne peut
servir de base à une méthode pratique pour la mesure des in-
tcnsités de courant ; elle exigerait deux mesures, dont l'une ne
peut être effectuée et dont l'autre ne pourrait l'être avec quelque
précision : il est difficile, dans les conditions actuelles, de me-
surer exactement une quantité d'électricité, et il est impossible de
mesurer le temps qu'elle mettrait à traverser la section du conduc-
teur. Il faut donc avoir recours à une autre méthode de mesure.

Celle qui répond le mieux aux exigences de la pratique est celle
qui est fondée sur les actions magnétiques du courant. Deux cou-
rants qui, parcourant successivement le même multiplicateur,
exercent la même action sur un aimant invariable placé dans des
conditions identiques, ont la même intensité; si l'action est diffé-
rente, les intensités sont entre elles comme les actions : celles-ci
peuvent être mesurées par le galvanomètre ordinaire.

Si l'on fait passer successivement dans le même circuit des cou-
rants d'intensités i , 2, 3, . . . , les actions élefctrodynamiques qui
s'exercent entre deux parties du même circuit, traversées, par
conséquent, par le même courant, doivent être entre elles comme
les carrés de ces intensités, c'est-à-dire comme i, 4> 9? • • • • Nous
allons commencer par démontrer expérimentalement l'exactitude
de celte loi; alors même que cette démonstration paraîtrait su-
perflue, les expériences auraient cet intérêt de donner un premier
exemple de l'exactitude qu'on peut atteindre dans les mesures
électrodynamiques.

Le dynamomètre décrit dans l'article précédent élait placé sur
l'appui en pierre d'une fenêtre, loin de tout aimant et de pièces
de fer, de manière que le plan de la bobine fixe ou du multipli-
cateur fût parallèle au méridien magnétique, et le plan de la bo-
bine mobile vertical et perpendiculaire au premier.

Pour installer le multiplicateur, on rend son plan vertical au

3o4 W. WEBER.

moyen d'un niveau à bulle d'air placé sur le couvercle de l'instru-
ment, et on l'oriente avec une boussole qu'on place sur le même
couvercle. Quant à la bobine mobile, son plan se trouve vertical
par le mode même de suspension, mais il faut une expérience spé-
ciale pour rendre son plan perpendiculaire au méridien.

r.a bobine mobile est réglée, si elle reste immobile, lorsqu'on
y t'ait passer un courant suffisamment fort, soit dans un sens, soit
dans l'autre; sinon l'action du magnétisme terrestre aurait pour
effet d'augmenter ou de diminuer tout écart appréciable. Ce même
procédé permet de déterminer la valeur de l'écart. On a trouvé
ainsi qu'il aurait fallu tourner la branche occidentale de l'étrier de
i4 minutes vers le nord, pour que le plan de la bobine fût exatc-
ment perpendiculaire au méridien magnétique. Comme l'instru-
ment n'avait aucun moyen de réglage permettant de faire d'une
manière sûre une aussi petite correction, et que, d'ailleurs, un si
faible écart était sans aucune influence sur les résultats, on n'y a
pas eu égard; d'autant mieux que le mode de suspension de la
bobine, par l'intermédiaire d'un tube de cuivre de i"* de long,
pourrait bien, à la longue, amener une erreur de quelques minutes
dans la position de la bobine. Ce n*est que dans le cas où les fils
seE'îiient fixés à un pilier isolé qu'on pourrait les considérer
comme à l'abri de pareilles variations.

Le miroir étant placé verticalement à la partie ouest de la bo-
bine, le réticule de la lunette était dans le plan vertical passant
par la normale à une distance d'environ 6™. Une échelle, sem-
blable à celles qu'on emploie pour les magnétomètres, était fixée
au support de la lunette. La distance, comptée horizontalement,
du miroir à l'échelle a été trouvée égale à

Coi8,G

divisions de l'échelle, de telle sorte qu'une division correspond à
un angle de

i7',i36.

Après avoir décrit l'installation du dynamomètre destiné à la me-
sure de l'action mutuelle du multiplicateur et de la bobine mo-
bile, quand ils sont traversés par le même courant, il nous reste
à exposer la méthode électromagnétique employée pour la mesure
des intensités.

MBSUBES éLBGTRODTNAMIQUES. 3o5

3.

Description de la méthode électromagnétique serrant à mesurer
l'intensité des ponrants qui traversent le dynamomètre.

La mesure de l'intensité du courant galvanique qui traverse le
multiplicateur aurait pu être effectuée facilement au moyen d'une
boussole des sinus ou des tangentes, construite pour des mesures
délicates, à la condition de le placer très loin du dynamomètre et
d'y faire passer le même courant; mais on peut éviter cette com-
plication, en plaçant simplement dans le méridien magnétique
du dynamomètre un petit magnétomètre {magnétomètre trans-
portable), et à une dislance à laquelle la déviation puisse être
mesurée très exactement. Cette distance a été prise égale à
583"", 5. Il est évident qu'à uue distance aussi faible on n'au-
rait pu employer un grand magnétomètre (avec une aiguille longue
de 6oo"°); il est, en effet, nécessaire, dans le cas actuel, que le
magnétisme soit concentré dans le plus petit espace possible.
Cette condition se trouve réalisée par le petit magnétomètre ou
magnétomètre transporlable que j'ai décrit dans les Resultaten
aus den Beobachtungen des magnelischen Vereins, juin i838.

Je me suis cependant servi d'un autre instrument qui remplit
encore mieux ce but et que je vais décrire ici, non seulement
parce que dans beaucoup de cas il peut remplacer avantageuse-
ment le magnétomètre transporlable, mais que, dans d'autres
circonstances, en particulier pourles mesures thermomagnéliques,
il peut fouruir des indications beaucoup plus précises que les in-
struments employés jusqu'ici. On conuaît tout l'avantage que pré-
sente, au point de vue de la précision des mesures, le système
d'une aiguille munie d'un miroir, d'une échelle et d'une lunette, •
sur les boussoles avec index et cercle divisé; seulement on hésite
toujours à employer un miroir avec une petite aiguille, parce qu'on
en augmente beaucoup le moment d'inertie et qu'on diminue ainsi
beaucoup la force accélératrice, ce qui est toujours un inconvénient
pour la précision des mesures, exactement comme si l'on se ser-
vait d'une aiguille faiblement aimantée. Cet inconvénient disparaît
entièrement par l'emploi d'un miroir aimanté qu'on suspend
comme une aiguille par un fil de cocon. J'ai un miroir de ce genre
construit par Oertling, de Berlin. C'est un disque d'acier trempé
Afém, de Phyt., III. 20

3oG

W. WBBBR.

ab {Jig. 6) de 35"*" de diamètre et 6""* d'épaisseur. La surface
esL si bien travaillée que Timage de l'échelle, observée avec une
lunette grossissant lo fois, apparaît nette et lumineuse et le cède
à peine à celle que donnerait un miroir de verre. Sur le contour,
vx en deux points diamétralement opposés a et 6, on a percé deux

Irous dans chacun desquels on peut visser un petit crochet de lai-
Ion qui sert à suspendre le miroir par un fil de cocon. Un seul de
ces crochets sert à la fois, mais il faut employer tantôt Tun, tantôt
l*initre, suivant que la face polie doit être tournée vers l'ouest ou
vers l'est. J'ai aimanté le disque d*acier en le plaçant entre deux
barreaux aimantés de 25 livres placés en ligne droite, les pôles op-
posés en regard ; le diamètre perpendiculaire aux deux crochets
<^lait placé sur la ligne des pôles. Grâce à la puissance des aimants
et la petitesse du miroir, on donnait ainsi au miroir le maximum
d'aimantation dont il était susceptible.

Le miroir aimanté était suspendu par un fil de cocon ac, comme

MESURBS KLECTRODYNAMIQURS. 807

le montre \difig- 6, et mis en oscillation. L'amplitude décroissait si
lentement qu*on pouvait observer les oscillations pendant plus d'un
quart d'heure, sans avoir besoin de renouveler l'impulsion. Mais la
durée de Toscillation était trop petite pour qu^on pût déterminer
la position d'équilibre, par les règles données pour les grands ma-
gnétomètres, au moyen des écarts maximum et minimum. Il était
nécessaire, pour mesurer avec précision les déviations, d'amortir
fortement les oscillations et de ramener, le plus vite possible, le
miroir au repos, sans modifier, bien entendu, la position d'équi-
libre. J'ai atteint ce but, de la manière la plus complète, en plaçant
le miroir aimanté au milieu d'une sphère de cuivre ddd {fig-'j)

Fig. 7.

de 90"" de diamètre. La sphère porte d'un côté une échancrure
eeee de 40"" de diamètre et 70"°* de profondeur, qu'on peut
fermer .avec une glace. Le trou est un peu agrandi vers le fond
pour laisser plus de place à l'aimant; l'échancrure s'ouvre aussi
vers l'extérieur, un peu en forme d'entonnoir, pour laisser arriver
plus abondamment la lumière au miroir, hdi Jig, 7 montre com-
ment le miroir ns est placé dans la chambre intérieure eeee^ dont
la section horizontale est rectangulaire. Cette chambre est con-
tinuée vers le haut par une fente de 8™™ de large et 4o"*"* de long,
à travers laquelle passe le fil de cocon qui sert à suspendre le mi--
roir. Le fil de cocon passe au milieu d'un tube de laiton qqqq^ fixé
sur la sphère de manière à recouvrir l'ouverture^ de la fente. A
ce premier tube s'adapte un second tube à tirage, également en
laiton, qui porte à sa partie supérieure un cercle de torsion //et
un petit crochet c pour le fil de cocon. Ce tube à tirage permet
d'amener le miroir exactement au centre de la sphère : il est en-
suite fixé au moyen de la vis de pression m.. La sphère elle-même
est posée simplement sur un anneau de laiton nnnn de î>.o"™ de
haut, de 70"°* de diamètre et de 2"" d'épaisseur, et posé lui-
même sur un socle. Pour régler l'instrument, on place un petit

âél W. WEBER.

niveau à bulle d'air sur le cercle de torsion, et Ton fait tourner la
sphère dans Tanneau jusqu'à ce que la bulle reste au milieu, opé-
ration qui se fait très simplement et d'une manière très sûre. Le
poids de la sphère la maintient si fixement sur son anneau qu'on
n'a jamais observé le moindre dérangement.

L'action exercée par la sphère épaisse sur le miroir oscillant se
réduit à une résisl^nce électromagnétique, laquelle a pour effet
de faire décroître deux amplitudes consécutives dans le rapport
de î I à 7 (le décrément logarithmique = o, 19647); il en résulte
qu'au bout de 16 oscillations, ce qui fait environ une minute (la
durée de l'oscillation amortie était de 3*, 78), l'amplitude était ré-
duite à-pj— de sa valeur primitive, c'est-à-dire tout à fait insen-
giblc. A.vec les courants constants, on prenait comme règle de n'ob-
server la déviation du miroir qu'une minute après l'établissement
du courant.

Dans les expériences de déviation, où, au lieu de mesures re-

Fig. 8.

lalives des déviations, on voudrait avoir des mesures absolues, on
devrait, d'après les résultats obtenus par Gauss dans son Mémoire :
Intensitas vis magne ticœ terrestris ad mensuram absolutam

MESURES ÉLEGTRODTNAMIQUES. 3o9

revocata, placer le barreau ou le courant déviant à une distance
d'environ trois ou quatre fois la longueur de Taiguilley ce qui ferait,
dans le cas actuel, trois ou quatre fois le diamètre du miroir, c'est-
à-dire io5"*™ à i4o""; à une distance aussi faible, les moindres
courants qui traversent le multiplicateur suflGsent pour donner une
déviation mesurable avec exactitude. Si une distance de loS™" à
i4o"*"* suffît pour qu'on puisse avoir les déviations en mesure abso-
lue, ce résultat sera atteint d'une manière bien plus complète avec
la distance de 583,5 qui sépare le miroir du multiplicateur. La
fig. 8 montre la position relative des deux instruments, dynamo-
mètre et magnétomètre à miroir; la ligne ponctuée NS représente
la direction du méridien qui passe par les deux instruments; A est
la section horizontale du dynamomètre; B la section horizontale
du magnomètre à miroir; C, D sont les deux lunettes qui visent
aux miroirs ; EF les échelles correspondantes. Pour ce qui concerne
remploi du magnétomètre à miroir pour les mesures thermoma-
gnétiques, il y aurait encore quelques détails spéciaux à ajouter,
mais je les réserve pour une autre occasion.

Après cette description des dispositions adoptées pour la me-
sure électromagnétique des courants et la mesure électrodyna-
mique des actions mutuelles qui s'exercent entre deux parties du
circuit, nous allons, avant de passer au détail des expériences,
présenter quelques remarques, qui nous seront utiles par la suite,
sur les moyens employés pour obtenir le courant et pour en régler
l'intensité.

On a fait usage de trois éléments de Grove, tels que les construit
M. Kleinert, de Berlin ; on en employait tantôt un seul, tantôt deux
ou trois disposés en série. Bien que le courant eût à parcourir le
long circuit formé par les fils des deux bobines et, en outre, des
fils auxiliaires d'une assez grande longueur, et qu'il fût, par suite,
bien affaibli par la résistance d'un pareil circuit, son intensité
était encore beaucoup trop grande, et la bobine mobile était rejetée
si loin de sa position d'équilibre que l'échelle sortait du champ
de vision, quoiqu'elle eût i" de long. D'un autre côté, l'inten-
sité avait dans le multiplicateur une valeur convenable, au point

3ro W. WEBER.

de vue des déviations qu'il imprimait au magnëtomètre à miroir.
11 fallait donc diminuer, dans un rapport constant, la déviation
de la bobine mobile sans changer Tintensité dans le multiplica-
teur. C'est à quoi on pouvait arriver de deux manières, en aug-
mentant la distance des deux fils dans la suspension bifilaire, ce
qui diminue, en effet, dans un rapport constant, la sensibilité du
dynamomètre, en en divisant le courant par une dérivation et en
n'en laissant passer qu'une faible partie dans la bobine mobile.
J'ai donné la préférence à cette dernière méthode, qui laissait au
dynamomètre toute sa sensibilité dont j'avais besoin pour d'autres
expériences.

Un fil de cuivre gros et court rv', représenté en traits ponctués
dans la fig. i, formait un pont entre les deux fils aboutissant aux
fils de la suspension et dérivait la plus grande partie du courant.
Une comparaison minutieuse de la résistance de ce fil à celle du
fil de la bobine a donné le rapport

1 : 245,26

et, par suite, en vertu de la loi de Ohm, le rapport constant de
rintensité du courant qui parcourt la bobine mobile à celle du
courant qui traverse le multiplicateur est celui de

1:2^6,26 (');

de sorte que, sans diminuer Taclion du multiplicateur sur le ma-
gnétomètre, on rendait la déviation du dynamomètre 246, :26 fois
plus petite. Cette déviation, rendue 246,21 fois plus petite, pou-
vait être mesurée, avec une grande précision, au moyen de
l'échelle, que le courant fût celui de 3, 2 ou même i élément de
Grove.

Voici maintenant le Tableau des observations qui ont été faites
de cette manière :

(') Soient a l'intensité du courant dans la partie non divisée du circuit, par
exemple dans le multiplicateur, et 6 et c les intensités des deux courants après
la division, h le courant qui parcourt la bobine mobile et c celui qui traverse le
fît de dérivation vv' {fig* i); on a a = 6 -h c, et, en vertu des lois de Ohm, les
intensités 6 et c sont en raison inverse des résistances des deux flls; par suite,

b:c — i\ 2j5,26
et enfin

A : a = A : 6 -4- c r= 1 ; 246,16. (W.)

UBSURBS ELEGTRODYNAIIIQUES.

3ll

Tableau des déviations simultanées du magnétomètre à miroir et du
dynamomètre sous l'action de courants de diverses intensités.

NUMÉROS

des

expériencM.

NOMBBES

des

élémenU de la pile.

DÉVUTION

da mafnélomètre.
(ObterTalloDt.)

da dynamomètre.
( Observa tioot.)

l

2

3

4

5

6

7

8

9
10
11

Moy. des déritUons.

3

3

3

3

3

3

388, 17

279» l\
388, 3o

279, 68
388, 37

280, o5
388, 73

279. 9^
388, 35

279» 78
388, 3o

65o, 88

209, 79
65o, 66
209, 47
65o, 07
209, 70

649» 84
209, 55

649» 78
209, 53

649» V
44o,5o8

3-0

108,566

12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

2
O
2

2

2
O
2

279» ^1
352, i5
280, 00
352, 35
280, 00
352, 5o
280, i5
352, 60
280, 17
352, 95
280, 40

72,438

209, 25
407, 52
208, 99
407, 35
208, 82
407, 18
208, 87
407, i5
208, 92
406, 89
208, 80

Moy.desdéviaUoDS.

2 — O

198,305

23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33

Ifoy. des déTitUoos.

O

1

1
o

I

I

I —

280, 40
3i6. 77
280, 5o
3i6, 93
280, 60
3i6, 90
280, 5o
3i6, 85
280, 60
3i6, 90
280, 55

208, 80
259, 68
208, 72
259, 55
208, 68
259, 5o
208, 45
259, 38
208, 43
259, 35
208, 33

36,332

5o,9i5

3l2 W. WEBER.

Nous joindrons à ce Tableau quelques e^pllcalions. i^ Pendant
toute la durée des expériences, les fils conducteurs sont restés
dans le même état, de sorte que les rapports d^intensité dans les
diiTérentes parties du circuit sont toujours restés les mêmes, a** Les
observations correspondantes au magnétomètre et au d^^namo-
mètre ont toujours été faites simultanément par deux observa-
teurs. Les observateurs étaient, en dehors de moi, M. leD*" Stahelin,
de Bàle, et mon assistant M. Dietzel. S"" Les nombres inscrits dans
la colonne des observations du dynamomètre ne résultent pas
d'une lecture unique ; chacun d'eux est la moyenne de 7 lectures.
On note pendant les oscillations 7 élongations consécutives de part
et d'autre de la position d'équilibre, et l'on fait les 6 moyennes
de chaque nombre avec le suivant; on opère de même sur les
6 moyennes; on regarde les 5 nouvelles moyennes comme des ré-
sultats partiels, et l'on en prend la moyenne : le nombre ainsi
obtenu est celui qui est inscrit dans la Table. 4^ Entre deux ob-
servations de déviation, on ouvrait le circuit pour observer le
zéro; on avait reconnu qu'en l'absence de toute action électrique
ce zéro se déplaçait lentement et d'une quantité qui, avec le temps,
finissait par être notable. L'ouverture du circuit est indiquée dans
la colonne qui donne le nombre des éléments par le signe o. 5° Les
moyennes qui, dans le Tableau, suivent les observations de 1 1
en 1 1 , sont déduites des nombres qui précèdent, en prenant d'abord
les 10 différences entre les 11 nombres consécutifs correspondant
au circuit fermé et au circuit ouvert, puis les 9 moyennes de deux
différences consécutives et, enfin, en prenant la moyenne générale
de ces 9 moyennes considérées comme résultats partiels. 6** En ce
qui concerne le magnomètre, la distance horizontale du miroir à
l'échelle, dans le cours de ces expériences, était de i25ï divisions
de l'échelle : cette distance a été changée plus tard. 7® Les 1 1 ob-
servations dont on déduit les déviations moyennes du magnéto-
mètre et du dynamomètre donnent une preuve de la correction
des mesures-, on voit que les expériences faites, à cinq ou six re-
prises différentes, avec le circuit ouvert ou fermé, s'accordent
toujours, à moins d'une fraction très pelite d'une division de
l'échelle, d'autant mieux qu'il est à noter que ces petites diffé-
rences sont dues, pour la plus grande part, à des variations dans
l'intensité du courant, et, en outre, pour le magnétomètre, aux

MESURES BLECTRODTNAMIQUBS. 3l3

variations de la déclinaison pendant le cours des expériences, et
enfin, dans le dynamomètre, pour une part sensible, à TinsuiB-
sance de la stabilité du support.

En prenant finalement les moyennes des résultats donnés plus
haut pour le magnétomètre et le dynamomètre et correspondant
à I, a et 3 éléments, on a :

Déviation moyenne
du magnétomètre. du dynamomètre.

Pour 3 éléments io8,566 440, 5o8

» a » 72,438 198,305

» 1 w 36,332 5o,9i5

D'après les lois de la réflexion de la lumière, ces nombres sont
proportionnels aux tangentes du double des angles d'écart; il faut
en déduire les tangentes des angles d'écart eux-mêmes, qui don-
nent précisément les forces déviantes, et ajouter, en outre, une
petite correction due à l'excentricité du miroir. Tout calcul fait,
on trouve, pour les deux corrections, les nombres

0,14» 0,47»

0,04, o,o5,

0,00, 0,00,

qui sont à retrancher des nombres observés; on obtient donc,
pour les forces déviantes

Du magnétomètre. Du dynamomètre.

108,426 440, o38

72,398 198,255

36,332 5o,9i5

En vertu de la convention faite relativement à la mesure électro-
magnétique de l'intensité du courant, les nombres de \di première
colonne sont proportionnels aux intensités; les nombres de la
seconde colonne donnent les forces électrodynamiques corres-
pondantes : l'objet principal de l'expérience est de trouver la re-
lation entre les forces électrodynamiques et les intensités. Avant
de procéder à cette comparaison, nous ferons encore une re-
marque : on pourrait craindre que les nombres de la première co-
lonne ne soient entachés d'une petite erreur provenant de l'action
de la bobine mobile sur le magnétomètre. Ces nombres, en effet,
ne donnent la mesure du courant qu'autant que le magnétomètre

3l4 ^V. WEBER.

a toujours été souniis uniquemeul à l'action d'une même portion
invariable du circuit. Cette portion invariable est ici le multipli-
cateur du dynamomètre. En fait, le multiplicateur était, par rap-
port au magnétomètre, dans la situation où son action était maxi-
mum, tandis que, au contraire, la bobine mobile, dans sa position
d'équilibre, ne pouvait, même pour les courants les plus forts,
exercer sur lui d'action déviante. Maintenant, il est évident que,
dans les expériences précédentes, la bobine déviée d'une manière
notable exerçait une action déviante sur le magnétomètre et qu'en
louLc rrgucur les nombres observés doivent être corrigés de cet
cflbt pour les ramener à ce qu'ils auraient été sous l'action seule
du multiplicateur. Mais il faut remarquer que cette correction ne
peut être que très faible, le courant qui passe dans la bobine mo-
bile n'étant que la Yrtjl P^irtie de celui qui passe dans le multi-
p licateur* Je me suis assuré que, dans le cas le plus défavorable,
cet te correction ne s'élève pas à ^ de division de l'échelle et est,
par suite, absolument négligeable.

En multipliant les racines carrées des valeurs observées pour
raclioQ électromagnétique, c'est-à-dire y/44o>o38, y/ 198, 255,
y/SÔTgTà, par le facteur constant

5, i553^,

on obtient très sensiblement les nombres trouvés expérimentale-
ment par l'action électromagnétique; on a, en effet, les nombres

108,144,
72,589,
36,786,

qui ne diffèrent des nombres observés que par les différences sui-
vantes

— o,'48a,

-+-0,191,
-4-0,454.

La plus grande différence n'atteint pas une demi-division, de
telle sorte qu'on peut admettre comme démontré que l'action
électrodynamique qui s'exerce entre deux parties du circuit
est proportionnelle au carré de l'action électromagnétique,
autrement à\l^ proportionnelle au carré de l'intensité.

MESURES ÉLECTRODYNAUIQUBS. 3l5

Ces expériences montrent, en outre, que la méthode employée
pour les mesures électrodynamiques donne des résultats aussi
sûrs et aussi précis que les procédés de mesures électromagné-
tiques avec le magnétomètre.

o.

Démonstration expérimentale de la formule fondamentale de l'électro-

djrnamique.

Après avoir donné ce premier exemple de la précision qu^on
peut atteindre dans les mesures électrodynamiques, avec l'instru-
ment décrit ci-dessus, je vais passer à un système de mesures de
même nature, particulièrement institué pour fournir une démon-
stration expérimentale complète de la formule fondamentale de
Pélectrodynamique.

A la page i8i [7] du Mémoire déjà cité, Ampère indique deux
méthodes au moyen desquelles on pourrait déduire de l'expérience
la loi de l'action mutuelle de deux conducteurs voltaïques : a L'une
de ces méthodes, dit-il, consiste à mesurer d'abord, avec la plus
grande exactitude, des valeurs de l'action mutuelle de deux por-
tions de grandeur finie, en les plaçant successivement, l'une par
rapport à l'autre, à différentes distances et dans différentes posi-
tions; il faut ensuite faire une hypothèse sur la valeur de l'action
mutuelle de deux portions infiniment petites, en conclure celle
de l'action qui doit en résulter pour les conducteurs de grandeur
finie sur lesquels on a opéré et modifier Thypothèse jusqu'à ce
que les résultats du calcul s'accordent avec ceux de l'observa-
tion. » <t L'autre consiste à constater, par l'expérience,

qu'un conducteur mobile reste exactement en équilibre entre
des forces égales ou des moments de rotation égaux, ces forces
et ces moments étant produits par des portions de conducteurs
fixes dont les formes ou les grandeurs peuvent varier d'une
manière quelconque, sous des conditions que l'expérience dé-
termine, sans que l'équilibre soit troublé, et d'en conclure di-
rectement par le calcul quelle doit être la valeur de l'action mu-
tuelle de deux portions infiniment petites, pour que l'équilibre
soit, en effet, indépendant de tous les changements de forme ou
de grandeur compatibles avec ces conditions. »

3l6 W. WEBKR.

Ampère a donné la préférence à la seconde méthode pour plu-
sieurs raisons, dont une seule suffit : c^est qu^il manquait des
insliuments de mesure indispensables pour Texécution de la pre-
mière. Il est évident que, dans ces conditions, la seconde méthode,
qui n'exige aucune mesure précise, devait être préférée. Cepen-
dant, Ampère me semble avoir surfait la valeur de cette méthode
en disant, d'une manière absolue, qu'il la préfère à la première.
Deux choses sont nécessaires dans tout instrument destiné à des
mesures précises : i** une grande délicatesse et une grande sensi-
bilité, lui permettant d'accuser, d'une façon bien nette, les actions
à mesurer et de rester insensible à toute action autre que celles-là;
a" un système convenablement approprié pour la mesure de ces
actions. Mais il est évident que la seconde condition est toujours
facile à remplir quand la première Test d'une manière suffisante;
d'où il suit que la première condition peut être considérée comme
la condition fondamentale. Mais cette condition est aussi néces-
saire dans la seconde méthode que dans la première, autrement
cette méthode est tout à fait illusoire. Il n'y a de différence réelle
entre les deux méthodes que sous le rapport expérimental; dans
l'un, on fail équilibre aux forces électrodynamiques par d'autres
forces naturelles connues et mesurables; dans l'autre, on cherche
les conditions pour lesquelles les forces électrodynamiques se font
équilibre entre elles. Il n'est pas douteux que cette méthode ne
puisse conduire à des résultats sûrs et précis ; mais il n'en est pas
moins vrai que, sous le rapport expérimental, elle est moins di-
recte et moins simple que la première. On peut, il est vrai, allé-
guer en faveur dé la seconde méthode qu'au point de vue théo-
rique elle conduit plus facilement et plus directement à la formule
fondamentale; mais c'est une circonstance dont il n'y a plus à
tenir compte, quand la formule à démontrer est toute trouvée, ce
qui est le cas où nous nous trouvons, grâce au travail d'Ampère.
Nous sommes, maintenant, en état de donner un système de me-
sures très simples, satisfaisant à toutes les exigences.

Les deux conducteurs que nous ferons agir l'un sur l'autre ont
la forme de cercles ou mieux forment un système de cercles paral-
lèles ayant un axe commun : nous les appellerons les bobines
conductrices. Les deux axes sont dans un même plan horizontal
et se coupent à angle droit, de manière que Taxe de l'une des bo-

MESURES ÉLBGTRODTNAMIQUES. 3iy

bines va passer par le centre de l'autre. L'une d'elles est fixe,
l'autre est mobile autour d'un axe vertical. Maintenant, c'est
tantôt l'axe de la bobine fixe qui, prolongé, va passer par le centre
de la bobine mobile, tantôt, au contraire, l'axe de la bobine mo-
bile qui va passer par le centre de la bobine fixe. Dans les deux
cas, les mesures se font à des distances variables des deux centres.
On reconnaît facilement que ces deux dispositions correspondent
précisément à celles que Gauss a employées pour les mesures
magnétiques dans son Mémoire : Intensitas vis magneticœ ter^
restris ad mensuram absolutam revocata {Commentationes
Soc, regiœ Scient. Gôttingensis recentiores, vol. VIII, p. 33).
Dans le cas actuel des mesures électrodynamiques, nous pouvons
employer une troisième disposition, celle où les centres des deux
bobines coïncident : c'est précisément la disposition réalisée dans
le dynamomètre décrit plus haut. On peut pour tous ces cas cal-
culer le résultat, à l'avance, par la formule d'Ampère et la com-
parer ensuite à celui que donne l'expérience.

Quand on fait agir à distance la bobine fixe sur la bobine mo-
bile, il importe peu que les deux bobines aient des diamètres
égaux ou inégaux ; mais, quand on veut faire coïncider les deux
centres, comme dans le premier instrument, il faut que la bobine
extérieure ait la forme d'un anneau dont le diamètre intérieur soit
plus grand que le diamètre extérieur de la bobine qu'elle doit en-
tourer. Dans le dynamomètre décrit plus haut, c'était la bobine
mobile qui était la plus petite et tournait à l'intérieur de la grande.
Dans les expériences actuelles, il était important qu'on n'eût pas
à déplacer la bobine mobile, afin de n'apporter dans la suspension
aucun dérangement qui eôt empêché les observations d'être com-
parables : c'était donc à la bobine fixe d'être déplacée pour oc-
cuper, par rapport à la bobine mobile, les diverses positions
relatives; il fallait alors que la bobine mobile fût la plus grande
pour qu'on pût y faire passer la bobine fixe, sans toucher à la sus-
pension. Telles sont les raisons qui m'ont décidé à faire construire
tm nouvel appareil ; celui que je vais maintenant décrire est dû à
M. Leyser, de Leipzig.

La bobine bifilaire aaa{fig. 9) à pour noyau un anneau mince
en laiton de loo""*, 5 de diamètre et 3o™"* de hauteur, muni de
deux joues parallèles également en laiton, de 122™™, 7 de diamètre

3l8 W. WKBKH.

extérieur et de loo™", 5 de diamètre intérieur, et distantes de 3o"".
La gorge ainsi formée est exactement remplie par un fil de cuivre
de j d(î millimètre de diamètre, recouvert de soie, et faisant en-
viron 3ooo tours. Après Tenroulement les deux joues ont élé
réunies par une espèce d'élrier en laiton bb, portant en son milieu
un cercle de torsion ce. Le cercle de torsion se compose de deux
disques horizontaux (quand la bobine est elle-même verticale)
donl l'un, rinférieur, fait corps avec la bobine, tandis que l'autre
peiîl touroer sur le premier autour d'un axe vertical. Le premier

Fig. 9.

^_ -^

..-' ,.'-x y

.'■' '" -î"

:-j:

-^

porte nnp division, le second un index. Au disque supérieur est fixé
un cjlindre de bois d portant à sa partie supérieure la chape ee
d'une petite poulie très mobile de 20"" de diamètre. Dans la gorge
de cette poulie passe le fil de soie //"dont les deux extrémités, après
s'être relevées verticalement sur une longueur de quelques milli-
mètres, viennent s'attacher aux deux fils métalliques^^, /^ de la
suspension. Aux deux points/,/, viennent également s'attacher les
deux extrémités hf^ h/ du fil enroulé sur la bobine, qui se trouve
ainsi en communication métallique avec les fils de la suspension.

MESURES ÉLBCTBODTNAMIQUES. 3l9

Ces deux fils vont s'attacher à deux crochets isolés, fixés au cou-
vercle du tube. Des deux fils extérieurs qui aboutissent à ces cro-
chets, l'un se rend directement à la plie, l'autre à un commu-
tateur.

Grâce au cercle de torsion, on peut donner à l'axe de la bobine
la direction que l'on désire sans rien changer à la suspension bifi-
laire. On tourne le cercle de torsion de manière que l'axe de la
bobine coïncide avec le méridien magnétique NS; dans ces con-
ditions, la position de la bobine reste invariable sous l'action du
magnétisme terrestre, quand on y fait passer un courant.

Au cylindre de bois que porte le cercle supérieur est fixé un
miroir plan vertical /:, sur lequel est dirigée la lunette placée à une
distance d'environ 3"", 3, de manière à voir l'image de l'échelle
qui est placée au-dessous.

La bobine fixe /// {fig* 9) est formée de deux disques de lai-
ton parallèles de 88"*"*, 8 de diamètre, maintenus à une distance
de 3o"°* par un axe de laiton de 5"*", 5 de diamètre. L'axe dépasse
les disques de chaque côté d'environ 10"*". Tout espace intermé-
diaire est rempli par un fil de cuivre de j de millimètre de dia-
mètre, entouré de soie et faisant environ loooo tours. L'une des
extrémités du fil sort tout près de l'axe par une ouverture m pra-
tiquée dans le disque, dont il est séparé par une pièce d'ivoire,
et va de m en n. L'autre extrémité, qui se trouve en m! sur le con-
tour extérieur, est fixée solidement avec de la soie et va de m' en n'.
L'un de ces fils nv! se rend au commutateur A {fig* 1 o) ; l'autre nn
communique avec le fil du multiplicateur B {fig* 10) d'un galva-
nomètre.

La bobine fixe est portée par une espèce de trépied en bois pp
{fig- 9)> ^^^^ ^e deux coussinets q sur lesquels reposent les
prolongements de l'axe. Trois vis calantes a, p, y servent au réglage.
L'un des pieds du support est mobile autour d'une charnière r; il
se relève quand on veut introduire la bobine fixe dans la bobine
mobile et se rabat ensuite. Deux des pieds se trouvent d'un côté de
la bobine mobile, le troisième de l'autre; ils reposent sur une
table solide qui se trouve au-dessous de la bobine mobile.

Sur cette table, qui est bien horizontale, on a tracé à l'avance
remplacement des pieds du support de la bobine fixe dans les posi-
tions successives qu'elle doit occuper. Les points a, p, y corres-

320 W. WBBER.

poodent à la position concentrique de la bobine fixe ; a, p, y, , ol^P^ y^,
aux positions qu'elle doit occuper au nord de la bobine mobile;
3t» Pi Yo ^2 p2 Ya» à celles qu'elle doit occuper au sud; de même
a' p'Y«, aï» p2Y% a» P» Y», à celles de 1^5^- a"' p-*Y"S a-^^p-^y-a^
a~3 P~' Y"'' ^ celles de Tow^^/. La bobine mobile est protégée contre
les courants d'air par une caisse en bois munie d'une ouverture
fermée par une glace; cette caisse se compose de deux parties qui
peuvent s'enlever séparément quand on veut faire passer la bobine
fixe à l'intérieur de la bobine mobile.

Pour que les expériences faites au moyen de cet appareil soient
t ouiparables entre elles, il est nécessaire de mesurer chaque fois
l'ialensité du courant que traverse les deux bobines. On ne peut
ici employer la disposition décrite dans l'article 3, puisque la posi-
tion de la bobine fixe change dans chaque expérience. On a em-
ployé une troisième bobine B{Jig, lo) portant 6i8 spires et com-
prenant une surface totale de 83i344o"'"*'. Cette bobine, placée à
ai 7"", à l'ouest, d'un magnétomètre transportable, formait avec
*!ui un galvanomètre; elle était elle-même à une distance de 8™
du dynamomètre. Cette première bobine était reliée, d'une part, à
l'extrémité nn du fil de la bobine fixe et d'autre part au commuta-
teur A (yî^. lo). Au commutateur aboutissait également l'un des
nis tj t de la pile D.

hàfig, lo donne le plan d'ensemble de la disposition et des
connexions des appareils. Il n'est pas inutile de faire remarquer
que les fils aboutissant à la bobine fixe étaient dans toute leur

MESURES ÉLECTRODYNAMIQUES. 3li

longueur enroulés l'un sur l'autre de manière à n'avoir aucune ac-
tion sur la bobine mobile. On voit en B le dynamomètre, en F
la lunette correspondante avec son échelle ; G est le magnétomètre,
G sa lunette et son échelle, B la bobine multiplicatrice dont Tac-
lion sur le magnétomètre donne l'intensité du courant qui traverse
l'ensemble des appareils.

La pile employée dans ces expériences se composait de 8 éléments
Bunsen à cylindres de charbon. Le sens du courant était toujours
le même dans la boblle mobile du dynamomètre E, et ne variait
avec la position du commutateur que dans la bobine fixe du dyna-
momètre E et dans la troisième bobine B formant le multiplicateur
du galvanomètre. Il était nécessaire que le courant eût toujours le
même sens dans la bobine mobile pour éliminer l'influence du
magnétisme terrestre. Il était au contraire nécessaire de le changer
dans la bobine fixe pour faire dévier l'axe de la bobine mobile,
tantôt vers l'est, tantôt vers l'ouest, de manière à avoir des dévia-
lions alternativement positives et négatives et obtenir de cette
manière une mesure plus exacte de l'action exercée. G'est pour la
même raison qu'on renversait le courant dans la troisième bobine,
afin de déduire l'intensité du courant de déviations produites alter-
nativement dans les deux sens. Ge renversement de courant était
obtenu dans l'arrangement décrit à l'aide du commutateur A. Le
sens du courant est évidemment toujours le même dans la pile D
et dans les parties du circuit qui joignent la pile au commutateur A,
autrement dit, dans le fil tt\ la pile, le fil uii^ la bobine mobile du
dynamomètre et le fil vv ; par contre, le sens du courant change avec
la position du commutateur, dans toutes les parties du circuit qui
sont séparées de la pile par le commutateur A, savoir, dans le
fil/i'/i', dans la bobine fixe du dynamomètre E, dans le fil nn^ dans
le multiplicateur B et dans le fil ss,

La durée des oscillations de la bobine sans courant était égale
à 1 3'', 3^59. La distance comptée horizontalement du miroir de
la bobine mobile à l'échelle était de 33o6,3 divisions de l'échelle;
la distance du miroir du magnétomètre à son échelle était de
I io3 divisions de cette échelle. Les résultats des mesures sont
donnés dans le Tableau suivant, dans l'ordre où ils ont été obtenus :

Mém, de Phys.j lU.

51a

W. WEBRR.

€00 ouesL

Dt.'tAIIOlIÊTIlB.

016,27
3'4a,68

5^42,31
616,07
5^3,07

26/41
26,74
26,37

26, 2^
26,00

26,35

GALTANOMÊTRB.

^ 321,49

25o,48f^»^\ ,

t;^, fi^ 321,12 320,1^
.171,00

3 10,^1

569, 'll "

nno ouest ■

5ûo nord.

306,37
55o,8^
5o5,97
549,86
5o5 , 36
5'49,2o

14,47

43,89
1i,5o
i3,84

15, 3i

568.70 ^^^'^-^

254,48 3^^'"

569,25 ^>J'77 3.1,3^

r, 3i4,33

568,55 ^'^'^^

517.27

^37,61 ' ;

c,^ o^ 20,19 20, 3o

517,01
537,27

20, 31

20,36
20,19

566, 80

254,72

3i2,o8

567

' 312.98

3i2,82 3i2,48
3i2,63

254,88

567.51 ^ ^
255,62 ^'^'^

Drtû esl-

jo5,o6
518,10
5o5,oi

5o5,22

518,68

43,04

13,09

12,53 42,89

42,32

43,16

308,39
308,98

257,92

566, 3i

267,33

565,38 ^^^'^^ ^^^'^^
309,09

309, 5o

266,29
565,79

561 , o5
267,96

306,09

564.03 ^°^'°7
268,89 ^°^'''^ ^^^'^^
561,36 ^°^'^*7
269,33 ^^^'**^

âGo,23

561,69 ^°'^'4^

«c« <:_ 3o5,02

239,67 5 ,' o , ,

564,25 ^°^'^^ ^^i'92

268,89 ^^^»^^

664,06 ^°^»'7

^no «»t.

368,21
486,51
668,39
486,62
668,19
486,81

81,67
81, 85
81,27
81,67
81, 36

81, 64

662, 5o

258,96 ^03,54
663,63 3^4 '^7
260,28 3°3'3^ 3°3»79
563, 60 3^3' 3^
269,62 3o1,o8

MESURES ELBGTRODYNAMIQUES.

323

A.

4oo nord.

4oo ouest.

dt:«amomêtre.

546,32

5io,o5 ^^'^7

5',6,3o ^^»^^

5io,i6 3^' ^4 36,10

546,12 ^^'96

5io,oo ^^»''

GALVAIfOMèTRC.

562,39 ^««'9^

259,97 ^^'»^'
562,70^^^^73 302,07

' 3oi,58

261,12
563, 81

302,69

488,36

568,07 >9'''

488,29 79,78

567,89 79.60 79,60

488, 40 79.49

567,80 79.40

261,99

562,98 ^°°'99
261,53 ^°''4^
562, 5o ^^°»97 3oo,8o

261,70 ^**"'®^
561,53^99,83

400 sud. . . r •

5io,23

545,57

5ro,o4

545,49
509,93
545,21

35,34
35,53

35,45 35,43
35,56
35,28

56i,i8

262,23 ^98,9>
561,90 ^99*67
262,50 ^99»4o 299,30
561,87^99.37
262,76^99,"

3oo sud.

566,29

486,84 79/P

566,23 79»39

488,10 78,13 78, 8j

566,74 78,64

488,12 78,62

263,73
562.5', ^98,81

262.03 ^^°'^'
562,53 ^^°'^^ ^99,89
262,23 ^^^'3°
56i,94 ^99,7'

3oo ouest.

43i,i8

623,75 '9^,^7
43i,35 '92,40
623,37 '92,02 192,17
43i,4i '9'»96
623.32 '9''9'

263,96

562,01 ^98,05
263,76 ^98,25
561,75 ^97,99 297,81
264,45 ^97,3o
561,90^97,45

3oo nord.

566,96

488,66 78,30

567, o3 78,37

489,10 77,93 78,08

567,08 77,98

489,28 77i8o

265,93
563,o5^97,»2

263,92^99,13
563,o4 '99,12 298,33
264,89^98,15
563,03^98,14

3oo est.

433,52

623,78 '90,26
433,35 '90,43
623,58 '90,33 190,08
433;69 '89,89
623,28 '89,59

266,49

563, 18 ^96,69

265,02^98,16

562,00 ^96,98 297,30

264,91 '97'09

562,5i '97,60

324 ^'* WEBER.

Voici quelques explications relatives à ce Tableau. La colonne A
donne en millimètres les distances des centres des deux bobines du
dynamomètre et indique la situation relative de la bobine fixe par
rapport à la bobine mobile. Le nord et le sud indiquent ici la
direction du méridien magnétique, Touest et Test la direction
perpendiculaire. La seconde colonne, intitulée Dynamomètre^
donne en divisions de l'échelle les positions dYquilibre de la bo-
bine mobile, quand on fait passer le courant dans la bobine fixe
alternativement dans les deux sens. Chacun des nombres résulte de
7 lectures : on lit, pendant les oscillations, 7 positions extrêmes con-
sécutives de part et d'autre de la position d'équilibre, et Ton en dé-
duit cette position comme il a été dit plus haut.

En renversant le courant, on faisait en sorte de ne pas augmenter
Tamplitude des oscillations de la bobine. Le Tableau donne à la
suite les unes des autres les positions d'équilibre de la bobine fixe
correspondant aux deux sens alternatifs du courant dans la bobine
fixe; la diflérence des deux nombres consécutifs donne, en divi-
sions de l'échelle, le double de la déviation résultant pour la bobine
mobile de Taclion de la bobine fixe ; en troisième ligne on a in-
scrit la moyenne des déviations doubles obtenues pour une même
position de la bobine fixe. La colonne qui porte pour titre Gal-
vanomètre donne les positions d'équilibre du barreau pour les
deux sens dans lesquels le courant parcourt alternativement la bo-
bine B qui sert de multiplicateur. Ces positions d'équilibre sont
observées et calculées de la même manière que pour le dynamo-
mètre; à côté sont les difi'érences qui représentent le double des
déviations, et enfin, la moyenne de ces différences. Les observations
au dynamomètre et au galvanomètre ont toujours été faites simul-
tanément par deux observateurs.

Toutes les observations réunies dans le Tableau précédent ont
été faites, dans l'ordre donné, à la suite les unes des autres et en
un même jour; toutes les conditions extérieures étaient les mêmes,
et les résultats sont, par suite, immédiatement comparables. Il n'a
pas été possible de faire le même jour l'expérience dans le cas
où les deux centres des bobines coïncident, parce que l'instal-
lation de la bobine fixe demande quelques préparatifs assez longs.
Cette dernière série a donc été renvoyée à un autre jour. Mais,
comme on n'avait plus alors la même certitude de se retrouver

MESURES ÉLECTHODYNAMIQUES. 325

dans des conditions identiques, on a recommencé, ce second jour,
deux des séries qui avaient déjà été faites le premier, celles qui
correspondent à la distance de 3oo"", à Test et à l'ouest, de ma-
nière à pouvoir raccorder les résultats de ce jour avec ceux qu'on
avait obtenus précédemment et éliminer ainsi l'influence due aux
variations des conditions extérieures. Ainsi, dans cette seconde
série, on s'est servi d'une autre pile et l'on a remplace les 8 élé-
ments Bunsen à charbon par deux éléments de Grove (zinc, pla-
tine). Ce changement était indispensable : le premier courant eût été
Irop fort pour le cas où les centres des deux* bobines coïncident ;
la déviation eût été trop grande pour être mesurée avec l'échelle.
Enfin, il est à noter que le sens du courant dans la bobine mo-
bile était inverse de ce qu'il était le premier jour; ce qui n'avait
d'ailleurs aucune influence sur le résultat Gnal. Les nombres relatifs
à celte seconde série sont réunis dans le Tableau suivant :

A.

DYNAMOMÈTRE.

GALVANOMÈTRE.

O é

48,o5

952,90 9o4'00 903,97
952,20 902'3,

^^9*7« fi/ 5,
S:3o «4,47 64,43

424,29 «4,39

3oo est

1 5i3,28 ^^58
1 486,10 ^7»'8
i 5i3,35 ^7>^^ 27,^4
/oc' ^ 28,26

' 'Z'Z '7,43

329.3o

454,38 "5.°^
32q,3q "•'99
454,28 "4,89 n5.o8

454,53 "5.^5

3oo oaesl

1 4^^^ ^^'«^

5.4,49 '''"'

487.06 '7.43 27,20
5.4:66 '7.6«
487,.. '7.55

454,50

329,3a "5. '8
454,6. "^''9
329:26 "5.35 '^5,23
454,56 "5'3o
329,5. "5'»5

Quand les centres des deux bobines étaient en coïncidence, le

3.lti W. WKBER.

couraiU de deux éléments de Grove donnait encore une déviation
trop grande pour être mesurée avec une échelle d'un mètre. Il a
fallu diïuinuer Tintensité du courant, en intercalant dans le cir-
cuit un lïi long et fin pour en augmenter la résistance; on a enlevé
ce fil pour les expériences faites à 3oo"™, parce qu'autrement les
déviations du dynamomètre eussent été trop petites pour pouvoir
être niesurê^es exactement. On voit qu'en effet les déviations du
uiagnéLomèlro qui mesurent l'intensité sont deux fois plus grandes
dans le dernier cas que dans le premier.

En réunissant les moyennes relatives à cette série, on a le Ta-
bleau suivant :

Dislance
en milliinèlres. Dynamomèlre. Galvanomètre.

o 903,57 64,45

3o(> est ^7ï54 125,08

3aQ ouest -ly ,'io 125,23

Ces nombres sont proportionnels aux tangentes des doubles des
augles de df**vialion, il faut en déduire les tangentes des dévia-
lions simples qui mesurent les forces déviantes. En faisant cette
réduction cL tenant compte en même temps de la petite correction
due à Texceniricité du miroir, on obtient

DisUQce

en miJUmètres. Dynamomètre. Galvanomètre.

*j..- 899,79 64,44

3oo est 27,54 124,98

3oQ ouest 27,20 125, i3

Si, dans les deux colonnes, on prend la moyenne des deux der-
ruers nombres qui diffèrent d'ailleurs très peu Tun de l'autre, et
qui seraient identiques si l'intensité était toujours la même et que
les deux positions de la bobine fixe à l'ouest et à l'est fussent ab-
solument symétriques, on obtient finalement les nombres sui-
vants :

o 899,79 64,44

3oo ^7737 125, o55

UESURBS ÉLECTRODYNAMIQUES. 3^7

En ne prenant que les moyennes dans le Tableau de la première
série, on a de même :

EST.

OUEST.

StD.

MOKD.

DI8TA!<CB8

1

— *-

'^^^-

1

— —

' ^

dynam.

galvanou

dynam.

galTaoom.

dynam.

Kalranom.

dynam

KalTaavDi

mm

3oo

190,08

297,30

•92,17

î97,8i

78,85

399.89

78,08

298,. 15

4oo

8. ,6^

3o3 , 79

79»6o

3oo,8i

35 /|3

299,30

36, i5

302,07

5oo

4». 89

3o8,8o

44.3.

3ii,32

'9.19

3o5,56

20,33

3i2,4f*

600

a3,89

3o'|,92

26,35

320, i4

//

//

K

//

Je me suis assuré que la correction à faire subir aux nombres
relatifs au dynamomètre, pour les réduire aux tangentes de la dé-
viation simple, est tellement faible, qu'il est tout à fait inulilu
d'en tenir compte : elle tombe, en effet, au-dessous des erre yriï
inévitables de l'observation. On peut dire aussi qu'elle est aan>
importance pour les nombres relatifs au galvanomètre, attendu
que tous ces nombres ne présentenl entre eux que de très petites
différences.

6.

Les actions électrodynamiques observées dans l'arlicle précis-
dent ne sont pas immédiatement comparables aux résultais qu^nn
tirerait, par le calcul, de la formule d'Ampère, en n'ayant éganJ
dans chaque cas qu'à la position relative des conducteurs, par te
qu'elles ne correspondent pas à une même intensité de courant.
11 faut donc commencer par les réduire à une même intensité, en
appliquant la loi, démontrée dans l'art. 4, d'après laquelle lt*a
déviations du dynamomètre sont proportionnelles aux carrés des
déviations du galvanomètre. L'application de celte loi aux obser-
vations doit elle-même être précédée d'une autre réduction, savoir ,
à une même force directrice du bifilaire, celle-ci pouvant vari( r
d'une manière appréciable dans le cours des expériences. Y)m\>
les expériences de l'art. \ qui ont servi à établir la loi doni II
vient d'être question, ces variations étaient assez faibles pour qu il
n'y eût pas lieu d'en tenir compte; une portion très faible du cou-
rant qui traversaitla bobine fixe, -— seulement, était conduite dans

'iS \\. WEBER.

hi bobine mobile et, dans ces conditions, Taction directe de la
Terre ne pouvait avoir qu'une influence insensible sur la force di-
rectrice de Tappareil mobile. Il n'en est plus de même dans les
observations actuelles, dans lesquelles les deux bobines sont tra-
versées intégralement par le même courant.

La force directrice du bifilaire se compose donc d'une partie
ronstante et d'une partie variable. La partie constante, que nous
appellerons le moment statique, dépend du poids de la bobine,
de la longueur et de l'écarlement des fils ; on le déduit par le calcul
de la durée des oscillations et du moment d'inertie du système.
La durée d'oscillation du bifilaire, sans courant, a été déterminée
par des observations spéciales et trouvée égale à

t = i3%3259.

Le moment d'inertie k a été évalué par la méthode de Gauss {In-
tensitas, etc.) et trouvé égal à

K = 864800000,

le millimètre étant pris comme unité de longueur et le milligramme
comme unité de masse. Le moment statique S est, par suite,

S= ^ =48064000 (').

La partie variable de la force directrice du bifilaire, que Ton
peut appeler son moment électromagnétique, dépend de la com-
posante horizontale T du magnétisme terrestre, de l'intensité x,
du courant qui traverse la bobine, de la surface totale X com-
prise par les spires qui la composent, et elle est égale au produit
de ces trois quantités. La composante horizontale du magnétisme
terrestre, au lieu occupé parla bobine, avait été trouvée égale à

T=i,83.

La surface comprise par les spires ne pouvait être calculée direc-
tement, le nombre des tours n'étant pas connu exactement. On

( ^ ) Weber emploie toujours l'ancienne notation du redoublement des facteurs,
T^t: au lieu de 'n% pour l'expression des carrés. Il a paru qu'il n'y avait aucun
intérêt à la conserver. (J.)

MESURES ÉLECTRODTNAMIQUES. 3^9

l'a déterminée par comparaison avec une autre bobine de surface
connue, d'après Taction exercée à distance par chacune d'elles sur
une boussole; on a obtenu ainsi

X = 29314000"*"*».

Enfin les intensités sont données par les observations gahiuiomt^-
triques en fonction des divisions de l'échelle; il est nécessaire,
pour le calcul actuel, de les exprimer en unités électroina^nr-
tiques. A cet effet, il faut multiplier le nombre de divisions ob-
servé par un facteur constant que nous calculerons dans Tari. 9
et qui est égal à

o,ooo36i4-

Si donc y représente le nombre de divisions observé, rintcnsilù
est donnée par la formule

X — o,ooo36i4j^.

De ces données on tire, pour la valeur du moment élecitu/mf-
gnétique de la bobine mobile, la valeur

xX T= 19400^.

Pour obtenir \di force directrice du bifilaire, il fautj dans la
première série d'expériences, retrancher le moment élecLraniy-
gnétique du moment statique et l'ajouter dans la seconde séri(\
puisque, comme on l'a déjà fait remarquer (p. SaS), la direction
du courant dans la bobine était de sens contraire dans }'-.< deux
séries.

Pour la première série, la force directrice est exprimée en par-
ties du moment statique par

' *8oTToooy^
et, dans la seconde série, par

, . _ 1 IMP— V
» "+^ *80TlOOO J^'

Pour réduire les déviations du dynamomètre à une force diriM*
trîce constante, égale au moment statique, il suffit rhinc \\c
multiplier le nombre de divisions x observé à l'échelle du dy-
namomètre par (i —- jxïïWT^y) PO""^ ^^ première série et par
(> + rioJTooôy) pour la seconde.

i3o

W. WEBEA.

Celle réduction faite, on obtient pour les déviations du d^na-
iiiomèlre et du galvanomètre le Tableau suivant :

EST.

OUEST.

SUD.

MOBD.

tattknm..

-^

-^- — '

-li^ -^^

— ^-^-^

-^.^-^^.

dynam.

Rahadom.

djnam.

çalranom

dynam.

galranom

dynam.

salranom. '

(biD

Joo

167,26

297,30

169,06

297,81

69,30

299»89

68,67

298,33

4oo

7i,63

3o3,79

69,93

3oo,8i

3i,i5'

299,30

3i,74

302,07

5cj'i

37,5^4

3o8,8o

38,69

3i4.32

i7»09

3o5,56

»7»74

3i2,48

6«<>

20,95

3o'| ,9a

•^2,9'i

3ao,i',

ir

it

// 1 a

On il, pour la seconde série :

DISTA!ICE8.

EST OC OUEST

dynamoDiMrc.

1

KalTanomètre.

mm

a»»

913,19
28,75

1

6'i,44
ia5,o55

f^a sensibilité d'un instrument est inversement proportionnelle
;i W force directrice qui est en jeu, c'est-à-dire que l'action à
mesurer détermine une déviation d'autant plus grande que cette
force directrice est plus petite. Les observations ainsi réduites à
une même force directrice sont donc celles qui correspondent à
une même sensibilité du dynamomètre.

Une fois faite celte réduction à une même force directrice,
nous allons, pour rendre les comparaisons plus faciles, réduire
le.s observations à une même intensité, en appliquant la loi dé-
niunlrée dans Tari. 4. On peut ici choisir arbitrairement l'intensité
tioruiale à laquelle on rapportera les observations. Comme il n'est
pas nécessaire d'avoir la même intensité normale dans les deux
séries, nous prendrons pour inlensilé normale dans la première
série celle qui donnerait la déviation galvanométrique dont le

CJ Lo Icxte de Weber donne 81, ij, par suile d'une faute d'impression évi-
dt!tile. (J. )

MESURES ÉLECTHODTNAMIQUES. 33 1

carré est looooo, et, pour la seconde série, une intensité cinq fois
plus petite et; par suite, donnant la déviation dont le carré csi
4ooo. Conformément à la loi de Fart. 4, une déviation x du i}y
namomètrc, correspondant à une déviation y du galvanonièlri%
aura pour valeur réduite, dans la première série,

lOOOOO

et, dans la seconde,

y'

|ooo

y'

Le Tableau suivant renferme les valeurs réduites de la prr
mi'ère série :

I

3oo

'|00

5oo

6 )0

189, a'^
77,61
39>37

22,53

190,62

77,28
39,16

22,38

77, oG

34.77
18, 3o

77''6
31,78
18,17

Les valeurs réduites de la seconde série sont

Distance,
o
3 00

Est ou ouest.
889 , '29
7^35

Ces derniers nombres montrent que l'action éleclrodvnamiqu*' <!<
la bobine fixe sur la bobine mobile est

88920
735

120,9 fois

plus grande quand les centres des deux bobines coïncident, qTii?
lorsqu'ils sont placés à une distance de 3oo"'" Tun de Taulre snr
la ligne ouest-est.

Dans le Tableau relatif à la première série, on voit que les ^ili
férentes valeurs obtenues, soit à l'ouest et à Test, soit au sud el un
nord, sont presque identiques ; c'est une preuve de la précision den
mesures, en même temps que de la symétrie parfaite des posilîfpris
de la bobine fixe, de part et d'autre de la bobine mobile. En |>r(-
nanl la moyenne de ces nombres déjà si voisins et adoptant pouv

3Î3

W. WBBER.

la valeur qui correspond à la dislance zéro, conformément au ré-
sultat obtenu dans la seconde série, 120,9 fois la valeur obtenue
pour la distance Soo"" dans la direction perpendiculaire au méri-
dico^ on obtient le Tableau suivant :

o
3oo
4oo
5oo
600

PEEPBNDICDLAIEEMENT

DAHS LA DIBECTIO!!

an méridien magnétique.

du méridien magnétique.

22960

22960

189,93

77,1»

77,45

34.77

39,27

18,24

22/46

H

Avant d'appliquer les résultats qui précèdent sur Faction mu-
tuelle de deux conducteurs à la vériflcation directe de la formule
d^Ainpère, j'en tirerai une première vérification intéressante,
quoique partielle et indirecte. On sait qu'une des conséquences
les plus importantes de la formule d'Ampère, relative à l'action
mutuelle de deux éléments de courants, est que l'action mutuelle
qui s'exerce entre deux aimants dans des conditions quelconques
est celle que produiraient des courants constants distribués d'une
maoicre déterminée à la surface ou dans Tintérieur de Taimant, et,
réciproquement, que l'action mutuelle de deux bobines traversées
par des courants, comme celles que nous avons employées, est tou-
jours identique à celle que produiraient deux aimants constants
ayant la forme et la position des bobines et présentant à la sur-
face ou à l'intérieur une distribution déterminée de magnétisme
libre. Il suit de là que tous les résultats obtenus par Gauss, pour les
aimants, dans son Mémoire Intensitas vis magnelicœ, etc., sont
immédiatement applicables à nos bobines ; et la chose est d'autant
plus facile que la disposition adoptée dans nos expériences avec
les bobines est identique à celle que Gauss a employée avec les ai-
mants. Gauss exprime la distance des aimants en mètres; nous avons
employé le millimètre. Gauss donne la déviation simple, à partir
de la position d'équilibre, exprimée en degrés, minutes et secondes;
nous avons donné le double de la tangente de la déviation exprimée

MESURES ÉLECTRODTNAMIQUES. 333

en divisions de l'échelle (c'est-à-dire multipliées par le facteur con-
stant 6612,6). En mettant les résultats obtenus pour les bobines
sous une forme analogue à celle de Gauss, on obtient le Tableau
suivant pour les déviations observées :

R.

V.

V'.

m

**/ ' •

. .

0,3

0.49.3a

0.20. 3

0/4

0.20. 8

0. 9. 2

0,3

0.I0.I2

0. 4.^4

0,6

0. 5.5o

f/

En développant les tangentes de r et v^ suivant les puissances
impaires de la distance, on a, comme on sait,
tangç> = aR~3H-6R-«,
tangt;'= 1 aR-'H- cR-s,

en désignant par a, 6 et c des constantes à déduire des expériences.

On trouve, dans le cas actuel,

tangi' = 0,0003572 R-'h- 0,000002755 R-*,
tangt''= 0,0001786 R-5 — 0,000001886 R-5,

et Ton en déduit par le calcul les valeurs de {^ et v^ du Tableau sui-
vant :

R.

i'.

différe:<ce.

v'.

DIFriiRE.XCE. 1

Dl
0,3

. .
0.Î9.22

0.20. 4

1 ,

04

0.20. 7

-+- I

0. 8.58

4-4

0,5

o.io. 8

4- i

0. \.f,2

-{- 3

0.6

0. 5.^9

-+- I

n

n

L'accord entre les résultats du calcul et ceux de l'expérience
est aussi complet qu'il est possible de le désirer, et la formule d'Am-
père se trouve ainsi vérifiée dans une de ses conséquences les plus
générales et les plus importantes.

8.

La loi fondamentale d'Ampère, relative à l'action réciproque de
deux éléments de courants, dont la démonstration doit résulter du

33i W. WEBBR.

système de mesures (jui viennent d'être rapportées, peut être
énoncée ainsi : l'action réciproque de deux éléments de courant
est en raison inverse du carré de la distance qui les sépare, en
raison directe de la longueur de chaque élément et de l'intensité
du courant qui le parcourt, et enfin proportionnelle à un facteur
qui dépend de l'angle que les deux éléments font entre eux et des
deux angles qu'ils font respectivement avec la droite qui joint
leurs milieux. Si l'on désigne parr la distance des deux éléments,
par i et l les intensités, par ds et ds' les longueurs des deux élé-
ments, par e l'angle que font entre elles les directions des deux
éléments, enfin par l'angle du premier avec la droite r et 8' l'an-
gle du second avec la même droite prolongée, on a, pour l'expres-
sion de la valeur de Faction réciproque des deux éléments, la for-
mule

^- ( COS£ — -cosO COSÔ' j C?5C?5';

quant à la direction de celle action, elle coïncide avec la ligne qui
joint les deux éléments; elle est d'ailleurs de sens opposés pour
chacun d'eux, répulsive pour les deux quand Texpression ci-dessus
est positive, attractive dans le cas contraire.

Nous allons maintenant déduire de la formule fondamentale
Texpression de la résultante des actions exercées sur un élément,
par la somme de tous les éléments qui constituent un circuit
fermé.

On peut décomposer l'action suivant trois axes de coordonnées
rectangulaires. Soient X, Y, Z ces trois composantes ; si l'on prend
l'origine des coordonnées au milieu de l'élément ds^ pour lequel
on veut calculer l'action du circuit fermé, et qu'on désigne par X,
jjL, V les angles que fait l'élément ds' avec les trois axes, on a,
comme l'a démontré Ampère {voir les Mémoires de V Académie
royale des Sciences de V Institut de France; 1828, p. 2i4 [36]),

\ — — \ii ds ( cos (X / ^ ^^ cos V 1 \ .

\=^iuds (^cosv J ^— ^ - cos X j —"^—^ )>

', 1 • V , » / .Czdx — xdz C y dz — zdy\

/ = - \ u ds (^cosaJ ^^— - cos \uj ^- ^^ ^ y

MBSITRES ÊLBCTR0DYNAM1QUKS. 335

Si le circuit fermé est une circonférence de ra^'on m et qu'on
prenne pour axe des x la projection de la droite qui joint l'origine
au centre du cercle sur un plan parallèle au cercle (* ) et pour axe
des y une parallèle au diamètre du cercle perpendiculaire à cette
projection; en désignant par/> la distance à l'origine de la pro-
jection du centre et par w l'angle que fait la droite p avec le rayon
correspondant k un élément ds de la circonférence, enfin par q la
perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan du cercle, on a

^ ~ 7y j^ = m sin o>, x ■=-. p — m costo,

ei, à cause de r-^-^ .r'^-V- Y'^-^ --,

Ct dy — V dx r Costa} dto . fdui

/sino) _ r . dr\ , rdu)

fz dx ^ X dz rsintoé/u)

I Pi = "^ij —JT~ '

Cydz — zdv fcostùdiii /sinto ^ /* . dr\

\in substituant la valeur de rfr déduite de l'équation

/•2 = j-î -1- ys -f- -5 = /n' -4- /?* -^ <7 * — }. mp cos tu,

qui donne

, mpûwiùdiii

dr -r -*- ,

r

cl étendant les intégrales à tout le contour, on obtient

J"* z dx — X dz
__, =.o,

et enfm

X---i«c/im»co8|x(^3/>*J ^:5 ;/ 73"j'

Y = i-lit cf* m* ( 3/?^cosv 1 g h3/?*cosA / -^ — - — cosA / — )•

(') KoiV la//V. i',, p. /,5. (J.)

336 W. WBBER.

Sî l^élément d^ appartient lui-même à un cercle de rayon n dont
le plan est parallèle à Taxe des z et qu'on représente par a la per-
pendiculaire abaissée du centre du cercle m sur le plan du cercle /i,
par c la perpendiculaire abaissée du centre du cercle n sur le plan
du cercle m et par b la distance des deux perpendiculaires, et
que Ton considère le cas des expériences précédentes, où

6 = 0,

on a, pour les angles a, p, y que fait avec les axes coordonnés la
perpendiculaire au cercle /?, les relations

T = 90%
cos*a-h cos*p = I,
cosa cosX H- cos ^ cos (x = o.

En tenant compte de la condition

cos* X -4- cos» (A -h cos» V = I ,

on en déduit

cosuL « cos).

cos a = ^ , cos p = : '

cosv ' sinv

On a d'ailleurs, entre/? et </, les relations

p cos 3 = /icosv,

^î = a*-+- 71* cos* V,
q — c -^ n sinv.

Si l'on multiplie les composantes X, Y, Z respectivement par
les cosinus des angles a, ^, y que fait avec les axes la perpendicu-
laire au cercle n, la somme des produits obtenus représente la
composante de l'action élémentaire suivant la normale au cercle /î ;
on a ainsi

X cos a -4- Y cos p -4- Z cos y

OU, en substituant les valeurs de X, Y, cosa, cos [3 et de y trouvées
plus haut et éliminant /> et </,

— J u m^ds 3(a*sinv — en cos» v) / sinv / — U

avec

r* = a* H- c» -f- /n* H- 71* H- 2 en sin V — 2 m cos o) y^a* -h n*cos*v.
Si, dans l'expression précédente, on remplace la longueur de l'élé-

1IBSUR£8 ÉLECTRODTNÀIIIQUES. 337

ment ds^ par sa valeur en fonction du rayon et des angles, c'est-
à-dire par nd^j et qu'on la multiplie ensuite par la distance de
l'élément au diamètre vertical du cercle n, c'est-à-dire par n sinv,
on obtient, pour le moment de l'action par rapport à ce diamètre
considéré comme axe de rotation,

— \ m w^n^ sin^dw 1 3(a*sinv — c/icos'v) / sinv / — ^ r

En intégrant cette expression entre les limites v = o et v == :^ -,
on aura le moment de l'action que le cercle m exerce sur le cer-
cle n.

Relativement à la situation respective des deux cercles que nous
avons considérée (les deux plans perpendiculaires entre eux et les
normales situées dans le même plan), on peut distinguer trois ras
principaux, les seuls d'ailleurs qui aient trait aux expériences
ci-dessus, savoir :

I** Le plan du cercle m passe par le centre du cercle /i, autrement
dit c = o ;

2** Le plan du cercle n passe par le centre du cercle /w ou a =r o ;

3** Le plan de chacun des cercles passe par le centre de l'autre,
c'est-à-dire a = o et c = o.

Dans le premier cas, le moment de l'action exercée sur tr
cercle n a pour expression

-i«-m.«.j'"sin.vrfv (3a'/^'°';:^"--^^/),

avec

r* = a* -h m' -h /i* — 2mcosa> v/a*H- /i*cos'v.

Dans le second,

-\- ju m^n^ I sinv rfv [3c/icos*v 1 -^ hsinv / — U

avec

r* = c* H- m* -h n* — 2c/tsinv — 2/n/tcosvcos(i>;

et enGn, dans le troisième,

■+■ j m rn^ri^ I sin» V rfv / — j

avec

r*=/n*H-n» — 2/n/t cosvcosb).

La première intégration, celle qui est relative à (o*, ne peut s'elTec-
Afém, de Phys,^ III. 22

338 W. WBBER.

tuer qu'en développant — et — en série suivant les puissances crois-
santes de cosco. En posant

r*= /«(i — Acosto),
on obtient

^ « / 3 . «5 ,, , 35 ,, , 3i5 ^ ^ \

^ =— ( iH- - Acosto-h — -Ar'cos'tu-i--- Ar» cos'w H ;: ATCOS*a> -4-. . . I ,

a' /» \ a 8 i6 l'iS /

i I / 5 . 35 ., _ »o5 ., , u55 ,, , \

-: = 7T I I -f- - A' cos 0) -f- —A'cos'wH rr A'cos'o) H A:*cos*a>-H. . . 1.

f** /* \ 2 8 i6 127 /

Comme on a d'ailleurs

y»ÎTC >*97C ^llC

TT = - / r/to = / sin*tuûftu= / COS*(x)ûf(0

sin*(«)COs'ti)û^a> = - / cos^a> ^/to

= 8/ sin*o)cos*a>rfto =. . . ,
«,'0

o = 1 costo rf (0 = / sin^oj coscuc^co = / cos'w e/to

XÎ7C
sin* tu cos' tu r/a> = . . . ,

il vient

Jo '^ /3 V »6 1024 /

En substituant ces valeurs, on obtient dans le premier cas où c =r o,
pour la valeur du moment, l'expression

ddns laquelle S représente l'intégrale

jr".....[3|(,.|..i^.....)

MESURES É.LECTR0DTNAMIQUE8. 339

on a d'ailleurs

m'
a» -h m* -+- n* = /* et 4fa«-+- n« cos*v) -^ = /«.

Si Ton substitue cette valeur de A:^, et qu'on intègre l'expression
ordonnée suivant les puissances de cos'v, on obtient pour l'expres-
sion du moment électrodjuamique

Cette valeur est celle du moment de l'action exercée par un anneau
de rayon m sur un anneau de rayon n, quand leur situation rela-
tive est celle du premier cas. Pour avoir le moment de l'action
exercée sur le même anneau de rayon n par un système d'anneaux
dont les rayons iraient en croissant en progression arithmétique
depuis o jusqu'à m, il faut multiplier l'intégrale précédente par rf/n
et intégrer depuis m= o jusqu'à m=z m. Si l'on pose, pour
abréger,

on aura ainsi, pour le moment électrodynamique,

v^ n^ u S,

S représentant la série

-+- ¥[? -iv»-2(5- 9«'*)/-+- 3(5-ii«.î)^^]i^*
-- ïl[J -«'«-3(7-ii«'*)/-f-ii(7-i3«^«)^]p«

Une comparaison rigoureuse avec l'observation dans le cas de l'action
réciproque de deux systèmes composés de systèmes d'anneaux con-
centriques, analogues au précédent, exigerait encore de nouvelles
intégrations. Mais il est facile de voir que, si, dans l'un des sys-
tèmes complexes, on considère le système médian, l'action de ce
système peut être considérée comme égaleàla moyenne des actions .
exercées par deux systèmes placés symétriquement par rapport à
lui, puisque l'un de ces derniers exerce nécessairement une action

340 W. WEBBR.

plus grande et l'aulre une action plus petite. L^approximalion sera
d^autant plus grande que les rajons m et n seront plus petits par
rapport à la distance a des centres des deux systèmes. Nous pou-
vons donc prendre Texpression donnée plus haut comme la mesure
de cette action.

Introduisons maintenant dans la formule les valeurs de m et
de n en millimètres données par l'observation, savoir

et pour a les valeurs

m = 44,4,
n = 55,8,

1° a' = 3oo,
2** a" = 4oo,
3» a'"=5oo;

on trouve, tout calcul fait, pour le facteur de -n' /V, dans l'expres-
sion du moment,

1* -i,454{,

a» -o,6547,

3*» —0,3452.

Un calcul analogue, pour le deuxième cas où a = o, donne, pour
la valeur du moment électrodynamique.

avec

et

+ ,¥ [^-+-i(i-i4/)^ + 4V*9*]^*

+ ÎTf[iT + î(3-22/)^ + i^(i-22/-M43/*)^«

^. •• • ••

En mettant les valeurs en millimètres, pour m et n,

m = 4î,4,
n = 55,8,

MESURES ELEGTRODYNAIIIQUES.

et

pour c,

successivement,

i^

c' =3oo,

a»

(f = 4oo,

3*

c" = 5oo,

4^

c" = 6oo;

on

obtient,

pour le facteur de

TC» ii',

1*»

-+-3,5625,

a»

-h i,466i,

3'

-4-0,7420,

4^

-+-0,4^67.

341

Dans le troisième cas où a=c = oetoù— est une fraction

n

plus petite que Tunité, il ne suffit plus, pour le but que nous avons
en vue, de prendre pour n une valeur moyenne ; il faut multiplier
l'expression trouvée pour une valeur arbitraire n par dn et l'in-
tégrer entre Jes valeurs extrêmes de n, qui correspondent à la bo-
bine, valeurs que nous désignerons par n! et n". Il faudra ensuite
diviser le résultat obtenu par n^ — n! pour le rendre comparable
à ceux que nous avons obtenus pour le premier et le second cas,
sans faire l'intégration par rapport à n. On obtient ainsi, pour le
troisième cas, dans lequel on a a = c = o, l'expression suivante
du moment électrodynamique

n' — n!

[I , n" 9/1 I \ . î»^5 / I I \ i T

-lognat.^^,-^-^-(^^-^,jm»-j^(^-^,jm^
jsi25_/^_^\ 69^575^/ i__ M

En faisant dans cette formule

^ = 44)4»
nf = 5o,25,
n''= 61^35,

on obtient, pour le facteur de tc^//', le nombre

442,714.

La proximité des deux bobines, dans ce dernier cas, exige encore
que Ton tienne compte de ce que les spires qui composent chacune
d'elles ne sont pas dans un même plan. Pour les deux sections
mojr^'^es, onaa = oetc = o; mais il n'en est pas de même
pour les autres. Il en résulte, comme il est facile de le voir, un

342 W. WEBER.

affaiblissement de l'action. On obtiendra, avec une approxima-
tion suffisante, la diminution qui en résulte pour l'action totale,
en ne conservant dans la formule générale donnée (p. 336),

après la substitution des valeurs de —et —> que le terme indé-
pendant de Xr, intégrant une première fois entre les limites (0 =
et co=2 7t Texpression ainsi réduite; puis après avoir multiplié
par n sinv et par dmdndadc^ et remplacé ds' par nrfv, en prenant
de nouveau Tintégrale entre les limites v = o et v = 211, m = o
et m = 44>47 '* = 5o>25 et A2 = 61, 35, a= o et a = i5et, enfin,
c =rr o et c = 1 5. On est ainsi conduit à une expression de la forme

A ( I — -z 1 * — ) av,

\ 5ooo 22000/ •

dans laquelle A est une quantité dépendant uniquement de / et
de i et des valeurs limites de m et de n, et a et y représentent les
valeurs limites de a et de c. La diminution cherchée, exprimée en
parties de l'action totale, a donc pour expression

i_ _j 1 „j

500 ' isôFo T

et s'élève à

dans le cas de l'expérience actuelle où l'on a

En retranchant de la valeur trouvée plus haut 5^.44^» 7 '4> on

trouve, pour la valeur du facteur qui, dans le troisième cas, doit

multiplier TC^f*,

427,45.

En disposant ces résultats du calcul de la même manière que ceux
de Texpérience, on obtient le Tableau suivant pour les valeurs
calculées du moment électrodynamique :

DISTANCES.

PERPENDICULAIREMENT

an méridien magoéUqiie.

DANS LA DIRECTION

dn méridieo maKnétlqne.

3oo
4oo
5oo
600

4-427,45
4- 3,5625
-h 1,4661
4- 0,7420
-h 0,4267

-h4^7»45

- 1,4544

— 0,6547

— 0,3452

//

MESURES ÉLEGTR0DTNA1IIQUB8. 343

Si la loi d'Ampère est exacte, ces valeurs doivent être proportion-
nelles aux valeurs observées. En fait, si on les multiplie par le
facteur constant

53,06,

on obtient des nombres très voisins de ceux qu'a donnés l'expé-
rience. Ces nombres sont donnés dans le Tableau suivant, avec
les différences entre Tobservalion et le calcul :

DISTANCES.

PERPE!fDIGCLAIBEME!fT

au méridiea magnétiquo.

DIFFÉREKCB.

DA!<S LA DIBECTION
du méridien magnéUqae.

DIFFtBKHCE.

3oo

400

5oo

600

-1-22680
H- 189,03

-^ 77»79
-t- 39,37
-4- 22,64

+280
-+- 0,90

— 0,34

— 0,10

— 0,18

4-22680

- 77» '7

- 34,74

- i8,3i

-4-280

— 0,06

-\- o,o3

— 0,07

n

Le premier de ces nombres obtenus par le calcul, savoir -f- 22680,
est ici comparé avec le produit par le facteur 120,9 ^" nombre
obtenu pour la distance de 3oo"™ sur la ligne ouest-est; nous
avons vu, en effet, dans l'art. 6, que c'est dans ce rapport que l'ac-
tion électrodynamique est multipliée, quand les deux bobines ont
leurs centres en coïncidence. C'est ce qui explique la différence
considérable de 280; en fait, celte différence correspond tout au
plus à une erreur de \ de division de l'échelle, qu'on commet-
trait dans l'observation faite, dans la seconde série, à la di-
stance de 3oo"". Cet accord si complet entre les résultats de
l'expérience et ceux qu'on déduit par le calcul de la formule
d'Ampère (lés différences ne dépassent nulle part les erreurs inévi-
tables des observations), se manifestant dans des conditions aussi
diverses, est la preuve la plus complète de l'exactitude de la for-
mule d'Ampère.

Les valeurs calculées du moment électrodynamique, telles que
les donne le Tableau précédent, sont tantôt positives, tantôt néga-
tives. Voici quelle est la signification de ces signes. Les plans des
deux bobines sont supposés à angle droit, l'un par rapport à
l'autre. Le moment électrodynamique qui résulte de l'action de la
bobine fixe sur la bobine mobile (bifilaire) tend à amener au pa-

344 W* WBBEE.

rallélisme les deux plans de ces bobines, ce qui, à partir de la
position rectangulaire, peut se faire de deux manières , parla rota-
tion dans un sens ou dans le sens opposé. Par Tune de ces rota-
tions, les plans sont amenés dans une situation parallèle pour
laquelle les courants tournent dans le même sens autour d'un axe
commun perpendiculaire aux plans des bobines; par Tautre, les
plans sont encore parallèles, mais les courants tournent en sens
contraires autour du même axe. Les moments électrodj^namiques
doivent, dans le calcul, être comptés comme positifs ou négatifs,
suivant qu'ils tendent à produire une rotation dans le premier
sens ou dans le second. Les signes qui précèdent les différents
nombres du Tableau précédent nous montrent, par conséquent,
que lorsque la bobine fixe agit sur la bobine bifilaire dans le plan du
méridien, le sens de la déviation-est tel, que si la rotation était de
90**, les courants des deux bobines tourneraient en sens opposés
autour de Taxe commun ; au contraire, quand la bobine fixe agit de
Test vers Touest, la rotation est telle que, si elle était poussée jus-
qu'à 90^, les courants des deux bobines tourneraient dans le même
sens autour de Taxe commun. Le calcul montre que c'est égale-
ment ce dernier cas qui se présente quand les centres des deux
bobines coïncident.

Ces résultats du calcul sont également confirmés par l'observa-
tion. Il n'a pas été question de cette circonstance dans l'exposé
des expériences, parce qu'il eût été trop long de donner chaque
fois tous les détails relatifs à la direction du courant dans les di-
verses parties de l'appareil et au sens dans lequel s'effectuaient les
déviations. Comme il s'agit d'une simple observation n'exigeant
aucune mesure, il suffisait de joindre à chacune des moyennes
les indications correspondantes relatives au sens des courants et
des déviations, ce qui a été fait; il ne restait plus ensuite qu'à
constater, d'une manière générale, l'accord du calcul avec l'ob-
servation .

9.

La formule fondamentale d'Ampère donne, en mesure absolue,
la valeur du moment de rotation, si l'intensité i est elle-même
exprimée en unités absolues d'intensité; l'unité d'intensité est ici
celle pour laquelle deux éléments de courants égaux, parallèles,

MESURES ÉLECTROOTNAMIQUBS. 345

perpendiculaires à la droite qui joinl leurs milieux et situés à une
distance égale à l'unité de longueur, exercent Tun sur l'autre une
actiop qui est, à l'unité de force adoptée en Mécanique, comme
le carré de la longueur commune des deux éléments est à l'unité
de surface. En efiFet, la formule d'Ampère donne pour l'action
mutuelle de deux éléments de longueur a, parcourus par le même
courant I,

a'

r i*(cos8— |'cos6 cos6');

qu'on fasse : i® l'angle e que font entre eux les deux éléments = o
ou i8o®; a** les angles 6 et V que chacun d'eux fait avec la ligne
qui joint leurs milieux = 90° ou = 270**; 3** la distance r = i, on
obtient, comme valeur de l'action électrodynamique pour V unité
de courant,

±«s • . •

c'est-à-dire que, dans la formule d'Ampère, l'unilé de courant
adoptée est celle pour laquelle Yaction électrodynamique, dans
les conditions précitées, est à V unité de force comme

autrement dit, comme le carré de la longueur commune des deux
éléments est à V unité de surface. Cette unité est V unité électro-
dynamique d^ intensité.

Dans nos mesures, au contraire, les intensités sont exprimées
dans le système électromagnétique ; dans ce système, l'unité d'in-
tensité est l'intensité du courant fermé, de surface égale à l'unité,
qui exerce sur un aimant éloigné la même action qu'un aimant
situé au même point, dont le moment magnétique serait égal à
l'unité adoptée par Gauss dans son M^émoive Intensitas, etc., et
dont l'axe coïnciderait avec la normale au courant.

La relation donnée par Ampère, entre V électrodynamique et
V électromagnétisme, permet d'établir le rapport qui existe entre
ces deux unités. Il résulte, en effet, de cette relation, que Vai-
mant éloigné peut, comme le premier, être remplacé par un cou-
rant fermé.

Le moment de l'action qui s'exerce entre deux aimants éloignés,
dont les moments magnétiques exprimés en valeurs absolues sont
m et m' est, d'après la formule de Gauss {Besultate aus den

346 W. WBBBR.

Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre i84o),

p. 26-34,

mm , ^ I — r-

— j- sino/iH- 3cos*4',

i^ représenlant l^angle que fail Taite du premier aimant avec la
ligne qui les joint, et S Tangle que fait Taxe du second avec la
direction pour laquelle le moment de rotation est nul.

Substituons au premier aimant un petit courant fermé d'inten-
sité X, de surface \ et dont la normale ait la même direction que
l'axe de l'aimant; en vertu de la formule fondamentale de Vélec-
tromagnélisme (Taction électromagnétique d'un élément de cou-
rant de longueur a et d'intensité x, sur un élément de fluide ma-
gnétique |JL situé à une distance /% la ligne /• faisant un angle y

avec la direction de l'élément a pour valeur — ~ sin -^ et est nor-
male au plan qui passe par r et a) on aura, pour le moment de
l'action exercée par le courant sur l'aimant éloigné, l'expression

— j— sin8/7+~3côsVf,

dans laquelle l'intensité x est exprimée en unités électromagné-
tiques. Si les deux moments sont égaux, on doit avoir

xX = m.

D'après le théorème d'Ampère, on peut, sans aucun changement,
remplacer de même le second aimant par un courant fermée
tel que

x'X'=m',

et l'on a alors, pour Texpression du moment de l'action mutuelle
qui s'exerce entre les deux courants,

'XX'

— ^^ sinSy^i -h 3 cos*4'i

les deux intensités x et x' étant exprimées en unités électroma-
gnétiques.

En calculant, par la formule d'Ampère, le moment de l'action
qu'exerce un petit courant plan comme celui que nous considé-
rons sur un courant semblable placé à une grande distance, on

MESURES ELECTRODTNAIIIQCBS.

obtient Texpression

347

;|- SIDÔ/lH- 3 COS'^}' (*)i

dans laquelle les intensités i et i sont exprimées en unités électro-
dynamiques.

(*) Le cas où l'on a 6 = 4' = 90* et, par suite, pour le moment électrodynamique

I ii'W

correspond à la première position principale, ^mt laquelle la valeur du moment
a été trouvée ( p. 389 )

3^(^?-#-:-:)T--}

Pour de grandes distances, comme dans le cas actuel, m etit sont négligeables
par rapport à /, et a et / peuvent être remplacés par r; la formule se réduit alors
à l'expression

it' m*n* ...

identique à la précédente, puisque iim* et T:n* sont les valeurs des deux surfaces
\ et V.

Ces formules analogues pour le magnétisme, l'électromagnétisme et l'électro-
dynamique, qui révèlent entre les trois classes de phénomènes des rapports que
\ts formules fondamentales nt laisseraient pas soupçonner, peuvent s'en déduire
de la manière suivante :

1. Loi de V action magnétique qui s'exerce à distance entre deux barreaux

aimantes.

Dans les Besultate, etc., 1840, Gauss déduit, à la page 16, de la loi fondamen-
tale du magnétisme, la loi de l'action exercée par un barreau aimanté en un

point où l'on supposerait concentrée une masse de fluide magnétique nord égale
à l'unité. Voici l'énoncé de cette loi : Soient A {fig, 11) le milieu du barreau
dont le moment magnétique est m; n un point quelconque pris sur l'axe magné-
tique passant par A, du côté du pôle nord; C le point pour lequel on veut cal-
culer l'action du barreau. Si CB représente la normale élevée en C à la ligne CV

348 W. WBBEE.

Pour que cette dernière valeur en unités électrodynamiques
et la précédente en unités électromagnétiques soient identiques,

dans ce plan, qui passe par n, A et C, et B le point de rencontre de cette normale
avec l'axe magnétique, et qu'on prenne sur AB un point D, tel que AD = jAB,
la valeur de l'action exercée par le barreau sur l'unité de fluide magnétique nord
concentré en C,

_ CD m

"" AD AC>'

et cette force est dirigée suivant CD, si l'angle nAC est obtus et, suivant DC, s'il
est aigu.
Dans le triangle ABC, l'angle ACB est droit; on a donc

AC = AB cos B AC = 3 AD cos DAC.

D'autre part, le triangle ACD donne

CD = V A.C* 4- AD* — 2 AC. AD cos DAC = ADv^i-f- Scos'DAC;
on a, par suite.

CT\

-j-rr =v/i-+-3cos>DAC.
AU

Posons AC = r et nAC = ^\ comme cos» DAC = cos'/iAC = cos'^*, on a, pour
V intensité àt la force,

CD m m j 5 —r

Supposons maintenant en C un barreau d'acier formé de deux masses magné<
tiques 4- |x et — jt situées à une distance a infiniment petite par rapport

à r; m'= a|x est le moment magnétique de ce barreau; H 1- v/i-+- 3cos"4' €t

~- /n-cos»<)/ sont les actions qui s'exercent sur chacun de ses pôles dans la

direction CD ou DC. Soient n' l'extrémité de la ligne infiniment petite a où la
masse + (j* ^^t concentrée, C le milieu de cette ligne. Représentons par S l'angle
que fait C/i' avec la direction CD ou DC de la force; alors asinS est la distance
des points d'application de deux forces estimée perpendiculairement à leur
direction. Le produit de cette distance par la force donne le moment de l'action
du barreau A sur le barreau C

. ç. /w a / --r mm' . -, / = — 7

= asmo —p v^i-hicos'^j/ = — -^ sinS ^\ -h 3cos*4'»

et ce moment tend à faire tourner l'aimant placé en C dans le plan ACD et dans
le sens où C/i se rapproche de la direction CD ou DC de la force.

2. Loi de l'action électromagnétique exercée par un courant fermé plan
sur un aimant.

Nous allons maintenant déduire de la formule fondamentale de rélectroma^

MESURES ÉLEGTRODTNAUIQUES. 349

il faut que les unilés éleclrodynamiques et électromagnétiques
d'intensité, définies plus haut, soient telles, que les nombres x

gnétisme Taction d'un courant fermé sur une masse + (x de fluide magnétique
nord, placée en C {fig- ii )• Par le point C et le centre A du courant fermé, me-
nons un plan ABC perpendiculaire au plan du courant et, dans ce plan, menons
CB perpendiculaire à GA; soient S et S' les points d'intersection du courant par ce
plan. On peut décomposer chaque élément du courant en trois autres, suivant
trois directions rectangulaires. L'une de ces directions sera prise vers le point C,
la seconde, perpendiculaire à CB. Les composantes dirigées vers C sont sans action
sur le point C et nous n'ayons pas a en tenir compte; en efl'et, dans la formule

générale — ^ sin », on a toujours pour elles ç = o. A la seconde classe appar-
tiennent les éléments situés en S et S' qui sont perpendiculaires au plan ACB et
dont nous représenterons la longueur part^j. L'action du premier est dirigée suivant
C<r perpendiculaire à CS; celle du second, suivant C<s' perpendiculaire à CS'; en
désignant par x Tintensité électromagnétique du courant, on a, respectivement,
pour rintensité de ces actions,

x^ds %\Ld8

Décomposons ces forces suivant CA et une perpendiculaire à CA, on aura

Pour la composante parallèle à CA ^^ cosAC? H — ^^^^ cosACa'

Pour la composante perpend. à GA jt^,^ sinAC» ^^ sinACff'

Désignons par ^ l'angle que fait la normale AB au plan du courant avec AC = Zy
et supposons que AS et AS' soient négligeables devant r; on aura

CS =/• — AScos^,

CS'=rf-AS'cos4;
ou

1 I / AS A I 1/ AS' A

cosACa =sinACS = ACS,
cosAC(j'= sin ACS' = ACS',

ce/

SCS'=— cos^/.

Substituant ces valeurs et désignant par x la distance SS', on aura, pour la
composante suivant CA,

~ cos^ xds.
Comme tous ces éléments de courant sont très voisins de A, on peut regarder

35o W. WEBBR.

et ytl représentent dans le second s}^stème les mêmes intensités que
les nombres /\/| et /'y'^î dans le premier; d'où il suit qu'il suflîl

le facteur — ^ cos^' comme constant^ et l'on a ^lors, pour la somme de toutes les
composantes suivant CA des actions ducs aux éléments de la seconde classe

~r cos<j/y j

l/iatégrale / atdâ représente la surface du courant fermé =^ X; par suite, la
somme des composantes de tous les éléments de la seconde classe suivant CA est

— — COSU'.

Un aura de même, pour la somme des composantes perpendiculaires à CA,

xV . ,
— 7- sin^I'.

On trouvera de la même manière, pour la somme des composantes suivant CA
des éléments de la troisième classe,

— ^ cosU*,

cl pour la somme des composantes suivant la perpendiculaire à CA des mêmes
éléments de la troisième classe,

o.
La résultante générale est alors

xXuL r, i : — r ^^P- / c, —

— p- V'^cos't]/ + sin»<f = -— p v^ I -h i cos* 4'-

Ia direction de cette résultante est dans le plan ACB et fait avec CA un angle
dont la tangente est égale au quotient de la composante perpendiculaire à AC,

c'est-à-dire — ^ sin<)/, par la composante suivant AC, ou 2 — ^- cos<]/, c'est-
à-dire

^tang^j/.

Far suite, CD est la direction de la résultante. Il a été supposé qu'un observa-
teur, placé normalement sur le courant, la tête en B, voit tourner le courant
dans le sens apparent du mouvement du Soleil. Dans le cas contraire, il faudrait
prendre la direction DC au lieu de CD. II suit de là que le courant fermé, placé
en A, a la môme action sur C qu'un aimant, placé en A, dont lé moment magné-
tique serait

m = xX

cl dont l'axe magnétique serait perpendiculaire au plan du courant, le pôle sud
étant du c6té du plan où doit se placer l'observateur pour voir le courant circuler
dans le sens apparent du mouvement du Soleil. Il suit de là que, si l'on a en

IIESUBES ÉLECTRODYNAMIQUBS. 35l

de multiplier par le facteur constant y/2 les intensités exprimées

C un aimant dont le moment magnétique soit m\ et dont l'axe magoélique fasse

un angle 6 avec CD, le moment du couple, dû à Tactioo du courant fermé sur

l'aimant, a pour valeur

xXm' . e. /

— - — sino }J \-t- icos*y,

ce qu'il fallait tlémontrer.

3. Loi de V action électrodynamique entre deux courants fermés et plans.

La loi de l'action d'un courant fermé plan, sur un élément, a été déduite
par Ampère, pages 214, 227 [36,49] ^^ son Mémoire, de la formule fondamentale
de l'électrodynamique. On peut l'énoncer de la manière suivante :

Supposons en C l'élément de courant et en A le courant fermé; soient AB nor-
male à son plan, CB perpendiculaire sur CA et AD = J AB. L'action que le cou-
rant situé en A exerce sur l'élément placé en C est perpendiculaire au plan qui
passe par l'élément et par CD, et son intensité, en désignant par 1 l'inlensilé
électrodynamique du courant fermé et par ds' la longueur de l'élément, et posant
/• - xVG et 4/ = CAD, est

■j ii' ds' yji -+- 3cos»iJ/.

Supposons en C un courant fermé, et soit 6 l'angle que fait la normale à son
plan avec CD; on peut décomposer chacun des éléments de ce courant en deux
autres, l'un parallèle à la ligne suivant laquelle un plan normal à CD coupe le
plan du courant, et l'autre perpendiculaire à cette ligne d'intersection. Les élé-
ments de la première espèce peuvent être groupés par paires de même longueur ds\
deux éléments correspondants étant reliés par une perpendiculaire à la ligne d'in-
tersection. Représentons par x la longueur de cette perpendiculaire; il est facile
de voir que l'action du courant fermé situé en A sur chaque paire d'éléments se
réduit à un couple dont le moment est donné par le produit de la force précédente
par X sin8 et est égal, par suite, à

-J ii' — sin 8 sji -+- 3cos«<{' ^ ds'.

L'action totale exercée par le courant fermé sur tous les éléments parallèles à
la ligne d'intersection a donc pour moment

\ ii' — sin 5 y/ 1 -h 3cos'<J/ / x ds';

expression dans laquelle l'intégrale i x ds' représente la surface X' comprise par
le courant situé en C; on peut donc récrire

j ii' —^ sino y/| h 3cos*4'-

En calculant de même l'action du courant fermé A sur les éléments perpendi-
culaires à la ligne d'intersection considérée, on trouve que le moment = o; d'où
il suit que le moment ci-dessus est celui de l'action totale que le courant fermé
situé en A exerce sur le courant fermé situé en C; ce qu'il fallait démontrer.

(W.)

352 W. WBBEB.

en unités électromagnétiques, pour obtenir les intensités expri-
mées, conformément à la formule d'Ampère, en unités électro-
dynamiques.

Cela posé, nous allons pouvoir déduire, des observations au
galvanomètre, \e facteur constant par lequel il faut multiplier les
valeurs calculées pour retrouver les valeurs observées, et la com-
paraison de ce facteur avec celui qui a été employé plus haut,

savoir

53,06,

nous donnera une nouvelle vérification, au point de vue des valeurs
absolues, de l'exactitude des résultats calculés par la formule
d'Ampère, autrement dit, une démonstration de la relation donnée
entre Télectrodynamique et Félectromagnétisme.

La détermination de ce facteur en exige trois autres :
1** Celle du facteur par lequel il faut multiplier la déviation
observée au d^^namomètre pour en déduire la valeur absolue du
moment de rotation; a** celle du facteur par lequel il faut mul-
tiplier les valeurs observées au galvanomètre pour réduire les in-
tensités aux valeurs absolues électromagnétiques ; 3° celle de la
surface comprise par les spires tant de la bobine mobile que de
la bobine fixe du dynamomètre.

1" Détermination du facteur pour la réduction aux mesures
absolues des déviations observées au dynamomètre.

Les déviations observées du dynamomètre sont exprimées en
divisions de l'échelle; pour les réduire en angles, il suffit, étant
donnée la petitesse des angles, de diviser le nombre trouvé par le
double de la distance horizontale de l'échelle au miroir ( = 6612,6
divisions de l'échelle). Le nombre donné étant la diflérence de
deux élongations consécutives, il faut encore diviser par deux pour
avoir la déviation proprement dite. En désignant par x un nombre
de divisions pris dans le Tableau, on aura donc

1 3*225 , '2

pour l'expression de la déviation angulaire en parties du rayon.
Continuant à désigner par S le moment statique de la bobine bi-
filaire, dont la valeur a été donnée à l'art. 6 et auquel toutes les
déviations ont été ramenées, il suffira, pour avoir le moment de

MESURES ÉLECTRODYNAMIQUES. 353

Faction électrodjnamique qui produit une déviation réduite x,
exprimé en fonction des unités adoptées en statique, de multi-
plier par S la valeur ' de la déviation angulaire. Ce moment
sera donc

— -^ S = 3634x.

Le nombre 3634 est donc le facteur par lequel il faut multiplier
les déviations du dynamomètre, données à la fin de l'art. 6, pour
les réduire aux valeurs absolues.

2** Détermination du facteur pour la réduction aux mesures
absolues des actions observées au galvanomètre.

Les déviations galvanométriques sont également données en divi-
sions de l'échelle, et le nombre désigné par y est la différence des
élongations positive et négative. La distance horizontale du miroir
à l'échelle étant ici de iio3 divisions de l'échelle, la déviatiorf
angulaire simple, exprimée en arc ou en parties de rayon, est

Cette déviation est produite par une bobine traversée par le cou-
rant et située à une distance de 217™" à l'ouest du petit magné-
tomètre.

En multipliant le sinus de la déviation par l'action directrice
= m'T, que le magnétisme terrestre = T exerce sur l'aiguille de
moment magnétique = ni\ on aura, pour le moment du couple
qui tend à ramener l'aiguille dans le méridien magnétique,

, . y 180

4412 71

Il faut donner ici à T la valeur

T = i,9i,

qui a été trouvée directement par le point occupé par la bous-
sole (•).

(*) La boussole était tout prés du mur de séparation d'une pièce voisine dans
laquelle se trouvaient de gros aimants; quand on les enlevait, la valeur de T
tombait à i,83, ce qui est la valeur moyenne de la composante horizontale du
magnétisme terrestre à Leipsick. (W.)

Mém, de Phys., III. a 3

354 ^^'' WKBER.

Dans chaque cas, l'aiguille déviée était en équilibre dans Tactioii
du couple terrestre et du couple dû à Faction du courant de la
bobine placée à distance de 217™". La valeur du moment de ce
dernier couple est donc aussi

, . V 180
'^^ 441-7. Tz

D'autre part, d'après la formule donnée dans le § 2 de la note, le
moment, quand la distance r est grande, a pour expression géné-
rale

y.lm' . ^ , -y

— — - — sin v' 1 -- 3 cos* 9.

,3 ' T

Dans le cas actuel, on a 'i =^ o et est le complément à 90" de la
déviation angulaire observée; l'expression devient donc

_ 't. xX/??' y 180

La distance 217"*°* est beaucoup trop petite pour que Ton puisse
appliquer la formule sans correction. J'ai fait dans ce but quelques
expériences spéciales et comparé l'action de la bobine à 217'"'"
avec l'action qu'elle exerce à des distances r assez grandes pour
que la formule soit immédiatement applicable; j'ai trouvé que le
rapport de ces actions est

.:,388l^'.

,.3

Le momentobservé = i ,qi m'sin --f- — - doit donc être multiplié

par le facteur

.388 -i^,,

11173

pour être rendu comparable à celui qu'on déduit de la formule.
On a ainsi la relation

»„„ 10^ , . r îHo xlm' r î8o

i388 -„ 1,01 m sin-7^ =2 r- cos-^

2173 ^ 4412 71 2173 4419. i:

On en déduit, pour les petits angles, la valeur

yX — 3oo4 j^.

Une mesure exacte a donné

)v = 83i344o""^

MESURES ÉLECTRODYXAMIQUES. 355

on a donc

X — o,ooo36i4^'.
autrement dit, le nombre

o,oûo36i4

est le facteur par lequel il faut multiplier les déviations galvano-
inétriques observées pour en déduire la valeur absolue des inten-
sités en unités électromagnétiques. C'est ce facteur que nous
avons déjà employé dans l'art. 6 pour réduire les observations à une
même force directrice du bifilaire. L'intensité i telle qu'elle entre
dans la formule d'Ampère, où elle est exprimée en unités électro-
dynamiques, s'obtiendra donc en multipliant les déviations obser-
vées par le facteur o,ooo36i4 v^a. Il faut remarquer que ce facteur
a été déduit de données expérimentales dont quelques-unes n'ont
été obtenues qu'incidemment et qui, par suite, ne présentent
qu'une exactitude relative.

3° Détermination des surfaces des bobines fixe et mobile du
dynamomètre.

La surface de la bobine mobile a déjà été donnée dans l'art. 6;
elle est de

29314000"""';

on a déterminé par le même procédé la surface comprise par la
bobine fixe et on l'a trouvée de

31327000°""''.

Il est clair que ces nombres, obtenus par une méthode indirecte,
ne peuvent pas prétendre à une grande précision.

Ces trois déterminations vont nous permettre de soumettre les
valeurs absolues des actions électrodynamiques déduites de la for-
mule d'Ampère au contrôle de l'expérience. La deuxième nous
donne la valeur i de l'intensité normale à laquelle on a réduit les
observations. En prenant, comme à la page 820, pour cette inten-
sité normale

y^— 1 00000,
on a

i«= 2x* = 2.o,ooo36i4' ^* = 0,02612.

De plus, on voit facilement que, dans les valeurs du moment do
l'action électrodynamique calculées (p. 34o), il faut remplacer,

356 W. WEBER.

pour la surface de la bobine mobile, le produit

par le nombre

a93i4ooo'"'^*»,

trouvé plus haut (3), et de même, pour la bobine fixe, le produis

17^(44,4)»,
par

21327000"*"*'.

Il faut donc multiplier par

293 I 4000 . 3 I 227000

i7r« 55,8» 44,4'

rJ i* = f 80000

les valeurs calculées du Tableau de la page 49? pour exprimer en
mesure absolue les moments des couples électrodynamiques déduits
de la formule d'Ampère. D'autre part, il résulte de (1) qu'il faut
multiplier par le facteur 3634 les valeurs observées des actions
dynamométriques exprimées en divisions de l'échelle pour en
déduire la valeur absolue du moment. En divisant le premier fac-
teur par le second, on obtient le nombre 49» 3, pourle facteur
par lequel on devra multiplier les valeurs calculées du Tableau de
la page 49î pour les rendre comparables aux valeurs observées du
Tableau de la page 39. (le facteur est environ de 6 pour 100 plus
petit que celui que nous avons déduit directement de la comparaison
des valeurs calculées et observées et qui est égal à 53, 06, diffé-
rence qui n'est pas considérable quand on songe au nombre des
données expérimentales nécessaires pour la détermination de ce
facteur, données dont quelques-unes n'avaient pas été l'objet de
mesures spéciales, mais seulement observées incidemment (2) et
(3). L'exactitude des valeurs absolues calculées par la formule
d'Ampère, ou l'exactitude de la relation établie par lui entre l'élec-
trodynamique et l'électromagnétisme, se trouve ainsi établie avec
toute la rigueur que comportent les expériences elles-mêmes.

Cette vérification des valeurs absolues ou de la relation en
question n'entrait point d'abord dans le programme que je m'étais
proposé au commencement de ces recherches, mon intention étant
seulement de trouver la relation entre l'action électrodynamique
de deux conducteurs et la position relative et la distance de ces

MESURES ÉLECTRODYNAUIQUES. 357

conducteurs; autrement, j'aurais disposé les expériences de ma-
nière à obtenir avec plus de précision les valeurs absolues des
intensités des courants, et me serais arrangé de manière à obtenir
directement le nombre des spires et les dimensions exactes des
deux bobines. Cette vérification ne s'est donc présentée qu'inci-
demment et parce que les expériences me mettaient en main les
données nécessaires pour Teffectuer.

11 en résulte aussi que toutes ces données u'ont pas la précision
désirable et qu'il faut attendre des conditions meilleures pour
pousser plus loin cette vérification. Il est facile de voir quels sont
les changements qu'il faudrait apporter à ces expériences, pour
en tirer à ce point de vue des résultats plus satisfaisants, et il
n'est pas nécessaire que je m'y arrête plus longtemps.

10.

Nous n'avons encore considéré que la première classe des phé-
nomènes électrodynamiques, ceux qui ont été découverts par
Ampère et dans lesquels les supports du courant tendent, pour
une intensité donnée, à se déplacer l'un par rapport à l'autre avec
une force déterminée; nous avons vérifié la parfaite exactitude de
la loi d'Ampère, relativement à cette classe de phénomènes. A
cette première classe d'actions électrodynamiques est venue, dix
ans plus tard, à la suite des travaux de Faraday, s'en ajouter une
seconde, dans laquelle l'action électrodynamique se manifeste par
des forces qui tendent à déplacer non plus les supports du cou-
rant, mais V électricité même à l'intérieur de ces supports. Deux
expériences fondamentales dues à Faraday caractérisent ces phé-
nomènes, qu'on désigne sous le nom d^induction voltaïque.

Dès les premières lignes de ses Expérimental Researches in
Electricity {Pogg. Ann., t. XXV, i832, p. 98, art. 10), Faraday
décrit la première expérience fondamentale de l'induction voltaïque :
Deux fils de cuivre isolés sont enroulés côte à côte sur un cylindre
de bois ; les deux extrémités de l'un sont mises en communication
avec un galvanomètre, les deux extrémités de l'autre avec les pôles
d'une pile; le galvanomètre indique l'existence d'un courant dans
le premier fil, toutes les fois qu'on établit ou qu'on interrompt la
communication du second avec la pile. La seconde expérience fon-

358 W. WBRER.

damenlale est décrile un peu plus loin à l'art. 18 : Deux fils de
cuivre sont disposés de la même manière en zigzag sur deux
planches, Tun en communication avec le galvanomètre, Tautre
avec la pile; on observe un courant dans le premier fil, toutes les
fois qu'on approche brusquement la planche qui porte le premier
iil de celle qui porte le second, ou que, les deux planches étant
juxtaposées, on les sépare brusquement en les éloignant Tune de
l'aulre.

Nobili et Lenzont étudié ces phénomènes à la suite de Faraday»
vl ce dernier a énoncé une loi simple, établissant une relation
entre Tinduction d'un courant dans un conducteur mobile et les
mouvements électrod^'namiques qui se produisent entre ces con-
ducteurs en vertu de la loi d'Ampère.

« A la lecture du Mémoire de Faraday, dit Lenz {Pogg. Ann.,
l. XXXI, p. 484; i834)i j'entrevis qu'on pouvait rattacher très
simplement tous ces effets électrodynamiques de distribution élec-
trique aux lois du mouvement électrodynamique, de telle sorte
qu'en supposant celles-ci connues, ceux-là se trouvaient par cela
même déterminés; toutes les expériences n'ont fait que confirmer
cette vue ; parmi celles que je vais analyser dans ce qui va suivre,
les unes étaient déjà connues, les autres ont été faites en vue du
fait qu'il s'agissait de démontrer.

La loi qui permet ainsi de ramener les phénomènes magnéto-
électriques aux phénomènes électromagnétiques est la suivante :

« Tout circuit métallique, déplacé dans le voisinage d'un
courant galvanique ou d'un aimant, devient le siège d'un
courant dont la direction est telle qu'il tendrait à donner
au circuit en repos un mouvement de sens contraire à celui
qu'on lui a donné, étant supposé que le circuit n'est mo-
bile que dans cette direction ou dans la direction contraire. »

Pour établir cette loi relative à l'induction d'un courant dans un
conducteur mobile, Lenz cite trois expériences, l'une de Faraday,
l'autre qui lui est propre, la troisième de Nobili.

« a. Quand de deux fils conducteurs reclilignes et parallèles
un seul est parcouru par un courant et qu'on en approche
l'autre parallèlement à lui-même, ce conducteur mobile est

MESURES ÊLECTRODYNAMIQUES. SSg

pendant tout le temps du mouvement le siège d'un courant
de sens contraire à celui du fil immobile; si l'on éloigne le
fil mobile, il est traversé par un courant de même sens que
celui de l'autre fil (Faraday). »

« h. Deux cadres circulaires à peu près de même diamètre ont
leurs plans verticaux et à angle droit l'un par rapport à
l'autre; l'un est fixe et est traversé par un courant galva-
nique ; l'autre est mobile autour d'un axe vertical coïnci-
dant avec le diamètre commun aux deux cadres; si on le fait
passer brusquement de la position rectangulaire à la posi-
tion parallèle, il est le siège d'un courant de sens contraire
à celui de l'autre conducteur. J'ai fait cette dernière expé-
rience, dit Lenz, avec deux cadres circulaires, dont chacun
portait 20 tours de fil de cuivre recouvert de soie; l'un était
en communication avec deux éléments, zinc-cuivre, de
4 pieds carrés, l'autre avec un multiplicateur de Nobili très
sensible. »

« c. Un conducteur rectiligne fini, perpendiculaire à un con-
ducteur rectiligne indéfini, parcouru par un courant, peut
se déplacer parallèlement à lui-même le long du courant in-
défini; s'il se déplace dans le sens du courant, il est par-
couru par un courant qui va vers le courant indéfini; s'il se
déplace en sens contraire du courant indéfini, il est par-
couru par un courant qui s'en éloigne (Nobili, Pogg, Ann.,
n*>3, p. 407; i833). »

La loi de Lenz, comme on voit, n'a trait qu'à la direction du
courant induit; elle ne donne aucune indication quantitative, relati-
vement à l'intensité du courant induit. C'est une lacune que vient
de combler Neumann dans un Mémoire non encore publié et dont
un extrait seulement a paru dans les Annales de Poggendorff,
t. LXVII, p. 3i; 1846. Les résultats obtenus demandent encore
une confirmation expérimentale que pourront donner seulement
des mesures précises.

On doit à Henry {Pogg. Ann., 1842, Frganzungsband,
p. 282) une étude sur les courants induits produits dans un con-
ducteur en repos par l'interruption du courant dans un conducteur

3G0 W. WEBER.

voisin ; il place le (il induit à différentes distances et dans diverses
positions par rapport au fil inducteur. 11 se sert aussi du courant
induit pour exciter un nouveau courant dans un nouveau filet
ainsi de suite. 11 trouve que les courants sont alternativement de
sens contraires dans les fils successifs; dans le premier, le courant
est de même sens que celui qu'on interrompt.

Nous allons d^ abord montrer dans cette section comment les
phénomènes d'induction voltaïque peuvent être observés au moyen
de Vélectrodyhamomètre ; ensuite nous donnerons quelques dé-
terminations quantitatives relativement à la seconde expérience
fondamentale de Faradaj.

Dans l'exposition des phénomènes d'induction voltaïque, il y a
évidemment deux choses à considérer : d'abord la disposition
employée pour exciter le courant; ensuite; comme le courant pro-
duit n'est pas immédiatement perceptible, la disposition employée
pour observer un de ses eflets sensibles. Ainsi, par exemple, dans
l'expérience fondamentale de Faraday, les deux fils de cuivre sont
disposés en zigzag; l'un est en communication avec la pile, l'autre
peut être approché ou éloigné du premier : voilà la première partie,
celle qui est relative à \di production du courant; le galvano-
mètre qui est relié à l'autre fil représente la seconde, celle qui per-
met d'observer un effet sensible du courant produit. Les deux
parties sont bien différentes et bien séparées l'une de Taulre.

V électrodynamomètre permet de simplifier considérablement
les conditions de l'expérience, en ce sens que l'appareil qui sert
à la production du courant peut servir en même temps à en ob-
server l'effet sensible. Il suffit de faire osciller la bobine bifilaire
de l'électrodynamomèlre pour produire l'induction, puis de suivre
la diminution d^amplitude des oscillations pour observer un
effet de Faction réciproque du courant inducteur et du courant
induit. La régularité, d'une part, des oscillations qui déterminent
rinduction, d'autre part, du décroissement des amplitudes qui
fournit un effet' sensible de Faction du courant induit, permet
d'obtenir une mesure quantitative exacte des phénomènes
d'induction.

Lorsque la bobine bifilaire est en oscillation, il suffit de mettre
le fil à^une des bobines de Télectrodynamomètre en communi-
cation avec la pile, et de fermer le fil de Vautre bobine sur lui-

MESURES ÉLECTRODTNAIIIQUES. 36l

même, pour obtenir dans celle-ci des courants induits. Ce cou-
rant induit, qui ne serait pas immédiatement perceptible, éprouve
de la part du courant de l'autre bobine une action éleclrodyna-
mique sensible , qui change Toscillation de la bobine bifilaire.
L'observation de ce changement fait connaître Faction électrody-
namique qui le produit, et de cette action électrodynaroique elle-
même on peut déduire la grandeur du courant induit, laquelle
lui est proportionnelle, sans avoir besoin de faire passer ce courant
dans le multiplicateur d'un galvanomètre. Le dynamomètre sert
donc à la fois et à produire le courant et à observer un ej^et sen-
sible et mesurable de ce courant.

Quand la bobine bifilaire est en repos, il n'y a aucun courant
et l'action électrodynamique est nulle; la bobine bifilaire ne tend
point à se déplacer par rapport à la bobine fixe. Quand la bobine
bifilaire est en oscillation, deux cas sont à distinguer : ou c'est
la bobine fixe qui est en communication avec la pile et la bifilaire
qui est fermée sur elle-même : c'est alors cette dernière qui est le
siège des courants induits; ou bien c'est la bobine bifilaire en mou-
vement qui est mise par ses fils de suspension en communication
avec la pile et la bobine fixe qui est fermée sur elle-même et qui
est le siège des courants induits. Dans les deux cas, la force élec-
trodynamique développée change de la même manière l'oscillation
de la bobine bifilaire.

]J observation des changements apportés dans les oscillations
par le courant induit et par l'action électrodynamique qui s'exerce
entre les deux bobines inductrice et induite, en vertu de la loi
d'Ampère, se fera par un tout autre procédé que les observations
faites au dynamomètre dans les articles précédents. Au lieu d'ob-
server, comme ci-dessus, des positions d^équilibre, on observera
la diminution d'amplitude des oscillations. La nécessité de ce
changement dans la méthode d'observation résulte évidemment des
considérations qui vont suivre.

L'action électrodynamîque des deux bobines, qu'on doit observer
au moyen de l'électrodynamomètre, consiste, en vertu de la loi
d'Ampère, en un couple qui agit sur la bobine mobile et auquel
correspondrait à chaque instant une position d'équilibre variable
de la bobine. Cette position d^équilibre de la bobine mobile pour
un instant donné n'est pas immédiatement observable, puisque

3G2 W. WEBER.

celle-ci est en mouvement; elle pourrait être seulement déduite
de plusieurs observations séparées l'une de l'autre par la durée
d'une oscillation et seulement dans l'hypothèse que, dans l'inter-
valle de deux observations, les forces extérieures qui agissent sur
la bobine sont restées constantes ou bien ont varié d'une ma-
nière constante el proportionnellement au temps. Si l'action
électrodynamique sur la bobine mobile qui résulte de l'action
du courant induit restait constante ou variait proportionnellement
au temps pendant la durée de plusieurs oscillations, celle-ci
pourrait, en effet, se déduire de la position variable du point
d'équilibre telle qu'on la déduirait d'un système convenable d'ob-
servations. Mais, si l'action électrodynamique, qui résulte sur la
bobine mobile de l'action du courant induit, change de sens d'aune
oscillation à Vautre, la position d'équilibre de la bobine qu'on
déduit des observations pendant le mouvement doit rester inva-
riable en dépit de l'action électrodynamique. C'est ce que l'ex-
périence montre en effet dans le cas actuel ; par suite, l'action
électrodynamique, s'il s'en produit réellement une, en vertu du
courant induit, change de sens à chaque oscillation et, par suile,
on ne peut rien tirer de l'observation d'une position d'équilibre
dans le dynamomètre.

Supposons qu'une pareille action électrodynamique, changeant
de sens à chaque oscillation, existe réellement. Son effet ne peut se
faire sentir sur la position d'équilibre de la bobine mobile, mais
elle influera sur l'amplitude de V oscillation : celle-ci devra changer
d'une oscillation à l'autre, soit en croissant constamment, soit en
décroissant de même.

En fait l'expérience montre que, tandis que la position d'équi-
libre que l'on déduit pour la bobine mobile reste constante, l'am-
plitude de l'oscillation va constamment en diminuant et les
observations que nous allons rapporter montrent bien que cette
diminution est due aux actions électrodynamiques et non à des
causes extérieures étrangères, abstraction faite de l'effet de la ré-
sistance de l'air.

Ainsi, pour étudier à l'aide de l'électrodynamomètre la seconde
classe de phénomènes, il est nécessaire d'observer expérimentale-
ment les oscillations de la bobine bifilaire pour en déduire les
décroîssements d'amplitude, tandis que, tant qu'il s'agissait des

MESURES ÉLECTRODYNAMIQUES, 363

phénomènes éleclrodynamiques découverls par Ampère, il nous
suffisail d'observer des désolations ou des positions df équilibre .

11 est donc d'un intérêt capital, pour le but que nous nous pro-
posons, de montrer (\\xq\! observation des oscillations dans l'élec-
trodynamo mètre peut se faire par la même méthode et avec la
même précision que dans le magnétomètre. Dans ce but, je vais
examiner une série d'observations que j'ai faites avec l'électro-
dynamomètre, en dehors de toute action électrodynamique,
aucun courant ne passant dans l'instrument et les circuits des deux
bobines étant ouverts.

La méthode employée dans ces expériences est celle que Gauss a
donnée dans les Resiiltate aus den Beobachtungen des magne-
tlschen Verelns ini Jahre 1887, p. 58; il n'est donc pas néces-
saire de donner tous les détails des observations, mais seulement
les résultats qu'on en déduit d'après la marche exposée dans le
Mémoire en question.

On employait pour ces expériences le dynamomètre de Mayer-
stein représenté dans les /ig. i, 2 et 3; la bobine mobile est sus-
pendue au centre de la bobine fixe; la lunette est placée à 6"*
environ de l'instrument. La distance du miroir à l'échelle était de
()0i8,6 divisions de l'échelle*, d'ailleurs

I division de réchelle — I7',i356.

Les observations étaient faites alternativement par diverses per-
sonnes, en particulier par M. le D*^ Stâhelin, de Bâle, par mon as-
sistant M. Dutzel et par moi. Chacun faisait une série d'observations
conformément au modèle de la page 61 (loc, cit.) comprenant l'ob-
servation de six époques de passage d'un point situé à peu près au
milieu de l'arc d'oscillation et de 7 élongations. Dans le Tableau
suivant, chaque ligne horizontale représente le résultat d'une de
ces séries, savoir le numéro de l'oscillation, l'époque du passage,
la division de l'échelle correspondant à la position d'équilibre,
l'amplitude de l'oscillation en divisions de l'échelle et enfin le lo-
garithme de ce dernier nombre.

364

WEBER.

Observations pour déterminer la durée de Voscillation et le décrois-
sement d'amplitude des oscillations de la bobine bifilaire du dyna-
momètre, le circuit étant ouvert.

NCMÊRO

de

ÉPOQUE DU PASSAGE.

posmoMs

AMPLITUDE.

LOGARITHME

l'oKlIlation.

d'équilibre.

65o,8o

de ramplilttctf.

b m ft
5.16.28,53

457,10

2,8i3'|48

14

20.10,20

457,38

601,43

2,779185

25

23. 4,39

457,«5

564, 90

2,751972

52

3o.i2y5o

457, -9

485,28

2,685992

82

38. 8,02

457,29

409,62

2,6i238i

109

45.16,16

457,15

353,08

2,547873

134

5i.52,o8

457,65

306,70

2,486715

163

59.31,80

457.41

261,08

2,416771

189

6. 6.23,90

457,56

2i6,33

2,35474^

212

12.28,22

457,69

i9«,fi8

2,298154 1

232

17.45,45

457,63

178,26

2,25io54

254

23.33,89

457,78

«57,98

2,198602

284

3i. 29,30

457,73

«34*, 17

2,127655

309

38. 5,33

456,55

ii6,3o

2,o6558o

328

43. 6,90

458,02

io5,25

2,022222

309

53.56,24

457,81

83,68

1,922602

387

58.41,96

457,90

75,45

1 ,877659

En divisant la différence enlre les deux, époques extrêmes par
le nombre des oscillations, on obtient une valeur assez exacte de
la durée de Toscillation, la réduction aux oscillations infiniment
petites n'entraînant, pour des amplitudes aussi faibles que les am-
plitudes actuelles, qu'une correction insignifiante. Cette durée

approchée est de

i5'',84865.

Si l'on se sert de cette durée approchée pour ramener à une
même origine les temps de chaque oscillation en retranchant de
l'époque observée pour chacune d'elles le produit de la durée
d'une oscillation par le nombre des oscillations, on obtient les
valeurs inscrites dans la troisième colonne du Tableau suivant :

UESURES ELECTR0DTNAUIQUE8.

365

NUMÉtOS
de rocclllatlon.

TEMPS.

TEMPS RÉDUITS.

ÉCARTS

de la ino7^no.

h m s

5.16.28,53

Il ai ft
5.16.28,53

-h o,i3

14

30.10,20

28,32

— 0,08

25

23. 4,39

28,17

-0,23

52

3o.i2,5o

28,37

— o,o3

82

38. 8,02

28,43

H- o,o3

109

45.16,16

28,66

H- 0,26

134

5i .52,08

28,36

— o,o4

163

59.31,80

28,47

-+- 0,07

184

6. 6.23,90

28, 5o

-+- 0,10

212

12.28,22

28, 3i

— 0,09

232

17.45,45

28,56

-i- 0,16

254

23.33,89

28,33

- 0,07

284

3i. 29,30

28,28

— 0,12

309

38. 5,53

28, 3o

— 0,10

328

43. 6,90

28,54

-h o,i4

369

53.56,24

28,07

- 0,33

387

. 58.41,96

28,53

4- o,i3

Cet accord des valeurs réduites, dont la difTérence avec la valeur
moyenne reste toujours au-dessous d'un tiers de seconde, montre
bien que la détermination de la durée^de Poscillation de la bobine
bifilaire du dynamomètre comporte tout autant d'exactitude et
de précision que celle du magnétomètre, d'autant mieux que ces
écarts se trouvent augmentés de la différence constante corres-
pondant à l'erreur personnelle de chacun des observateurs. Les
positions d'équilibre données dans la troisième colonne et qui
sont déduites des élongations observées de la bobine mobile
offrent également un très grand accord, comme on peut s'en con-
vaincre par les faibles écarts qu'ils présentent avec la moyenne,
d'après le Tableau suivant :

-6,3

-$,'

+ 4,5

-1,5

-1,0

-.5,8

-5,5

-,-1,5

-^ 9,4

--i,8

-i,8

-+- 5,8

-J.i

--».7

■^7,4

-5,5

-+-5,3

On ne peut pas désirer un accord plus grand, surtout si l'on
considère que le support de la lunette était simplement placé sur

36G W. WBBER.

le plancher en bois de la salle et que la direction de la lunette
était très manifestement modifiée par le déplacement de l'obser-
vateur. On reconnaît facilement que la position d'équilibre s'était
déplacée vers les hautes divisions de la première moitié des obser-
vations à la seconde.

Il ne nous reste plus qu'à considérer le décroissement de ram-
plilude des oscillations. Les différentes séries d'observations se
suivent à des intervalles tellement rapprochés, que la diminution
de Tamplitude pendant le même temps n'est pas assez grande pour
qu'on puisse en déduire une valeur très exacte du rapport de deux
amplitudes consécutives. 11 vaut mieux déterminer le logarithme
de ce rapport en prenant, au lieu de la différence des deux loga-
rithmes correspondant à deux oscillations consécutives, celle du
premier et du cinquième, du deuxième et du sixième, et ainsi de
suite, et diviser la différence par le nombre des oscillations inter-
médiaires. Les 17 séries qui précèdent donnent aussi i3 valeurs
au lieu de 16, mais d'une manière plus exacte, du décrément
logarithmique. Ces valeurs sont données dans le Tableau sui-
vant : le nombre placé en face de chacune d'elles est le numéro de
l'oscillatioa qui tombe au milieu de l'intervalle auquel elle se rap-
porte :

NUMÉRO

DÉCRÉMKNT

ÉCART

de roscUlaliun.

1

logarithmique.

delà

moyenne

41

1

0,0024^2

-+-0

,oooo38

61 -i

1

0,00243.)

1 -»-

21

791

1

0,002433

' • H-

»9

107 i

;

0,002425

' -h

II

135|

0,002408

!

o()

160{

0,002424

' -h

10

183

1

o,oo24o5

j —

"9

208 1

1

0,002397

i __

'7

236 J

0,002390

—

x4

260|

1

0,002398

„

16

280

1

0, 002384

„_

3o

311J^

0,002400

1 —

i4

335j

Moyenne.

0,002427
. . 0,0024 i4

-4-

i3

■

MESURES ÉLECTRODYXAJUIQUES. 36;

Ainsi ia diminution d* amplitude est telle qu'après i24;^ os-
cillations, soit après Sa minutes 56| secondes, la grandeur de
Tare est réduite à la moitié. La concordance des valeurs partielles
montre que cette diminution de Tamplitude, malgré sa petitesse,
peut être mesurée avec une assez grande précision.

Le même jour, immédiatement avant les séries d'observations
que l'on vient de rappeler, on avait fait plusieurs séries semblables
dans les mêmes conditions extérieures, mais avec celte différence
que les deux extrémités de la bobine fixe étaient en communica-
tion avec une pile de trois petits éléments de Grove, ceux dont il
a été déjà question dans l'art. 4, et que les deux extrémités libres
du fil de suspension de la bobine bifilaire avaient été réunis. Pour
avoir une notion plus précise du courant qui traversait la bobine
fixe, on observait la déviation que cette bobine imprimait au petit
magnétomètre à miroir décrit dans Fart. 3 et qui se trouvait placé
à une distance de 583™"', 5 au nord; on trouvera cette déviation
du magnétomètre à miroir dans la dernière colonne du Tableau
suivant. La valeur des divisions de l'échelle du magnétomètre
dépend de la distance horizontale de l'écheUe au milieu, laquelle
était de i3oi divisions de l'échelle. Les observations et les mé-
thodes d'obser^'atioû étaient les mêmes.

Le Tableau suivant donne un extrait des diverses séries d'ob-
servations sous la même forme que les précédentes :

368

W. WBBBR.

Observations pour la détermination de la durée d'oscillation et de la
diminution de l* amplitude des oscillations de la bobine bifilaire du
dynamomètre, la bobine fixe étant traversée par le courant de
3 éléments de Grove et la bobine mobile étant fermée sur elle-même.

NUMÉROS

■

DÉVIATION

de

ÉPOQUES.

POSITION

AMPLITUDES.

LOGARITHMES.

dn

roKcilialion.

d'éqai libre.

marnétomètre.

3.^9"44*88

464.05

764,10

2,883i5o

108, 5o

9

32. 7,o3

464,44

679,15

2,831966

18

34.29,58

464,23

604, o5

2,781073

35

38.5o,i7

464.07

484,1 5

2,684980

108,60

47

4a. 9>io

464,20

4i4,6o

2,617629

57

44.47.66

464,25

365, 5o

2,562887

I
1

74

49.16,79

464,"

39^127

2,465784

109,10

85

52.10,80

464,30

253, 3o

2,4o3635

103

56.56,11

464,40

200,80

2,302764

118

4. 0.53,43

464,25

i65,56

2,218955

108,95

130

4. 3,26

464,37

141,37

2,i5o357

143

7.28,90

465,23

119,33

2,076750

157

11.11,11

464,96

100,49

2,002123

109,20

17G

16.59,23

465,20

75w9

1,878464

196

21.28,65

464,88

60, 58

1,782329

109,40

210

25.10,23

464.96

.5o,o8

1,699664

Ces observations étant pour tout le reste tout à fait semblables
aux précédentes, je me bornerai à considérer la diminution de
i*amplitude des oscillations. Le logarithme du rapport de deux,
amplitudes consécutives, ouïe décrément logarithmique, s'obtiendra
en prenant la différence du premier logarithme et du quatrième,
du deuxième et du cinquième, et en divisant cette différence par
le nombre d'oscillations intermédiaires. Les 16 séries nous donne-
ront ainsi i3 valeurs du décrément logarithmique qu'on trouvera
dans le Tableau suivant, avec le numéro de l'oscillation qui corres-
pond au milieu de l'intervalle.

AIESLEES ÉLKCTRODYNAUIQUES.

36<)

NUMÉROS

DÉCRÉMENT

ÉCART

de l'oteillatlon.

loKarithmlqae

de la moyenne.

>

^n

o,oo566?^

t

n,oooo^2

28

o,oo56'|0

T

ao

37t

,

0,005695

a5

54i

1

o,oo56ao

66

1

o,oo563i

-1-

II

80

i

0, 005655

-r

35

96

o,oo56io

♦ -

10

107i

0,005628

-

8

123

i

o,oo565o

~

3o

1371

1

o,oo556o

—

60

1541

1

1

0, 005549

71

169 i

1

o,oo5555

~

65

183i

0,005707

-»-

»7

Moyenne..

. o,oo56jo

Ainsi la diminution d'amplitude e.sl telle que la grandeur de
Tare se irouve réduite de moitié au bout de 53,564 oscillations,
soit un temps de i4'"8*,i87. L'accord des résultats partiels
montre quelle est la précision des mesures; la différence ne de-
vient un peu grande que lorsque les arcs d*oscillatk)n sont devenus
très petits.

La différence entre les deux valeurs du décrément logarithmique
dans ces dernières expériences et dans les précédentes n*est point
due à une différence dans les influences extérieures auxquelles
pouvait être soumise la bobine oscillante, puisque toutes les circon-
stances étaient restées les mêmes : elle est due à l'action inductrice
de la bobine fixe sur la bobine mobile, cette condition étant la
seule qui soit différente dans la première et dans la seconde série.
Les expériences ont été répétées à différents jours et ont donné
non seulement presque exactement la même différence entre les
valeurs des décréments logarithmiques, mais encore presque les
mêmes valeurs absolues pour les deux décréments; de sorte qu'il
ne peut rester aucun doute sur ce fait, qu'il se produit réellement
un courant d'induction dans la bobine mobile, fermée sur elle-
même sous l'influence du courant de la bobine fixe, et que l'effet
est assez grand pour que Ton puisse trouver dans la diminution
Afém, de Phys,, III. 2|

n

i

370 W. WBBEB.

de Tamplitude des oscillations le moj^en de mesurer exactement
Taction du courant induit.

H.

Après avoir ainsi montré les avantages pratiques de Pemploi
de Télectrodynamomètre pour Tétude des phénomènes d'induction
voltaïque, nous allons chercher les déductions théoriques que
Ton peut tirer de l'observation des oscillations de la bobine bifi-
laire et de la diminution de Famplitude.

En premier lieu, comme nous l'avons déjà fait remarquer, le fail
que les courants induits déterminent un changement dans l'am-
plitude, sans modifier la position d'équilibre, prouve que le sens
du courant induit change avec le sens du mouvement de la bobine
et que, par suite, à des mouvements de sens contraires correspon-
dent des courants induits de sens contraires, comme dans le cas
de l'induction magnéto-électrique.

En second lieuj le fait de la diminution de Tamplitude montre
qu'au rapprochement de deux éléments parallèles correspond
dans le fil induit un courant de sens contraire à celui du courant
inducteur, et à Véloignement de ces mêmes éléments un courant
induit de même sens que le courant inducteur. S'il en était autre-
ment et qu'il existât entre les directions des courants inducteur
et induit la relation inverse, on constaterait une augmentation
continue de l'amplitude des oscillations. C'est encore l'analogue
de ce qui arrive dans l'induction magnéto-électrique.

En troisième lieu, le fait que l'amplitude des oscillations décroît,
par l'effet du courant induit, comme les termes d'une progression
géométrique, prouve que l'intensité du courant induit est à chaque
instant proportionnelle à la vitesse du mouvement qui produit
l'induction. En effet, la loi de la progression géométrique, dans le
cas d'oscillations dont l'amplitude va en diminuant, prouve que
la force qui cause la diminution d'amplitude, c'est-à-dire, dans le
cas actuel, l'intensité du courant induit, est toujours proportion-
nelle à l'amplitude : on sait d'ailleurs que, lorsqu'un corps exé-
cute des oscillations isochrones, l'amplitude est proportionnelle
à la vitesse qu'il possède aux instants successifs de l'oscilla-
tion.

En quatrième lieu, pour ce qui concerne la détermination

MESURES ÉLBCTRODYNAMIQUES. 871

absolue de la grandeur de l'induction vol ta-élec trique, nous dédui-
rons la loi suivante des observations faites au dynamomètre :

Il y a identité entre Vinduction volta-élec trique produite sur
la bobine bifilaire par la bobine fixe parcourue par un cou-
rant et Vinduction magnéto-électrique qui serait produite
sur la même bobine par des aimants, capables d'exercer sur
la bobine mobile traversée par un courant une action élec-
tromagnétique identique à Y action électrodynamique exer-
cée par la bobine fixe.

Cette loi, comme on le verra facilement, permet, au moyen des
lois bien connues des actions électrodynamiques et électroma-
gnétiques, de ramener la détermination de l'induction volta-élec-
Irique aux lois de l'induction magnéto-électrique, lois qui ont été
déterminées avec précision par d'autres voies. Pour démontrer
cette loi, je n'ai que quelques expériences faites avec le dynamo-
mètre dans des circonstances où des mesures rigoureuses n'étaient
pas possibles, mais qui paraissent cependant suffisantes; car, si la
loi énoncée n'eût pas été exacte, on n'aurait pas obtenu, même
approximativement, les vérifications que l'expérience donne sans
le moindre doute. Pour avoir une preuve plus parfaite de la loi en
question, il faudrait que toutes les expériences qui concourent à
l'établir fussent faites avec la même précision. Mais, pour obtenir
en tous les points cette même précision, il faudrait faire construire
des instruments en vue cre cet objet spécial, ce que je n'ai pu faire
jusqu'à présent.

La première partie de l'expérience est relative aux mesures
d'induction magnéto-électriques. Ce sont celles dont la disposi-
tion est la moins avantageuse et qui limitent beaucoup la précision
de l'ensemble des mesures, et la laissent beaucoup au-dessous de
ce qu'on obtiendrait facilement avec une installation meilleure. La
bobine bifilaire donnée dans l'art. 1 et représentée dans les Jig. i ,
•A et 3 du dynamomètre, était fermée sur elle-même et mise en
oscillation sous l'action de plusieurs petits aimants NS, N'S'
{,/ig' 1 2) placés en dehors delà boite qui préservait la bobine mobile
de l'agitation de l'air, dans la situation où ils induisaient les
courants magnéto-électriques les plus intenses sur la bobine en
mouvement. A cet effet, les petits aimants étaient placés perpen-

372

W. WEBER.

diculairement au plan du méridien magnétique passant par Taxe
de la bobine et symétriquement au nord et au sud de la bobine
mobile, leurs pôles de môme nom tournés dans le même sens,
comme le montre la figure, dans laquelle N et N' représentent les

pôles nord et S et S' les pôles sud. On observait comme plus haui
les oscillations de la bobine depuis le moment où elles pouvaient
être mesurées sur l'échelle jusqu'au moment où elles devenaient
trop petites pour qu'on pût en déduire^vec quelque sûreté la
diminution d'amplitude.

Ces observations ont été calculées comme plus haut et ont donné,
pour le décrément logarithmique de la diminution de l'amplitude
des oscillations, le nombre

o, 002638.

Une autre série a été faite avec celte seule dillerence que la
bobine bifilaire était ouverte; elle a fourni pour le décrément
logarithmique un nombre un peu plus faible,

0,002541.
La faible différence des deux nombres,

0,000097,
représente l'action électromagnétique du courant induit par les

MESURES ÉLECTRODYUAMIQUES. 373

aimants dans la bobine fermëe sur elle-même et en mouvement.
On a apporté les plus grands soins à mesurer cette faible diffé-
rence avec toute l'exactitude possible, et à cet égard les expériences
laissent peu à désirer; toutefois la petitesse du nombre à déter-
miner n'a pas permis de l'obtenir, comme on a pu le constater en
répétant plusieurs fois l'expérience, avec une erreur moindre
que 6 ou 8 pour loo.

La seconde partie de l'expérience est relative au moment élec-
tromagnétique. Les petits aimants restant fixes dans leur position,
on faisait passer un épurant faible fourni par une pile constante, dans
la bobine bifilaire; le même courant traversait un galvanomètre
qui en donnait l'intensité. On observait la position d'équilibre de
la bobine, alternativement en ouvrant et en fermant le circuit de
la pile. On répétait les alternalives un grand nombre de fois; les
résultats réduits à une même intensité (laquelle du reste variait
très peu) ont donné, avec un accord parfait, pour la différence des
deux positions,

19,1 divisions de l'échelle.

Cette différence mesure le moment électromagnétique résul-
tant de l'action des aimants sur le courant de la bobine bifilaire.

La troisième partie des expériences est relative au moment
électrodynamique. Les petits aimants étant enlevés, on faisait
passer dans la bobine fixe du dynamomètre le courant d'une forte
pile, tandis que le même courant faible et constant traversait la
bobine bifilaire. L'intensité des deux courants était mesurée au
galvanomètre ( ' ).

On déterminait, comme ci-dessus, par des expériences alterna-
tives, les positions d'équilibre correspondant à la pile ouverte et
à la pile fermée. Les expériences réduites à une même intensité
ont donné, comme résultat très concordant, une différence de

101,9 divisions de rcchelle.

Cette différence mesure le moment électrodynamique ^ résultant
de l'action du fort courant de la bobine fixe sur le courant faibl<î
de la bobine mobile.

(') Les deux courants étaient fournis par une môme pile constante, les deux
bobines étant placées en dérivation. ( W.)

374 ^- WEBER.

La quatrième partie des expériences est relative à Vinduction
volta-électrique. La bobine bifilaire était fermée sur elle-même
et mise en oscillation, pendant que le courant de la pile voltaïque
de l'expérience précédente traversait la bobine fixe. On observait
alors les oscillations de la bobine bifilaire comme dans la pre-
mière série d'observations et on en déduisait le décrément loga-
rithmique. Ce décrément, réduit à l'intensité du courant dans la
bobine fixe pour laquelle on avait précédemment trouvé le moment
électromagnétique, était de

0,0054^3.

On recommençait une nouvelle série avec cette seule diflTérencc

que la bobine bifilaire restait ouverte; on obtenait alors, comme

décrément logarithmique de l'amplitude des oscillations, le

nombre plus petit

0,002796(1).

La différence des deux valeurs

0,002627

représente l'action de l'induction volta-électrique produite par le
courant de la bobine fixe sur la bobine bifilaire fermée sur elle-
même et en mouvement.

L'action électrodynamique du courant de la bobine fixe dans
la troisième série n'est pas égale à l'action électromagnétique de
nos aimants dans la seconde; le rapport des deux actions est

celui de

101,9 à 19,1.

Il en résulte que les deux courants induits, toutes choses égales
d'ailleurs, dans la bobine bifilaire, ne doivent pas être égaux, mais
dans le même rapport de

101,9 à 19,1.

Mais, si les intensités des courants induits dans la bobine bifi-
laire sont dans ce rapport, les actions réciproques qui s'exercent

(*) Ce nombre était plus petit encore quand on interrompait aussi le courant
dans la bobine fixe, parce que ce courant, lorsque la bobine mobile est ouverte,
agit encore sur la monture de laiton pour y produire des courants induits; ce
môme eCTet a lieu, quoiqu'à un moindre degré, dans la série précédente, sous Tin-
fluence des aimants. (W.)

UBSURES ÉLECTRODTNAMIQUES. 3;^

entre ces courants et les courants inducteurs auxquels ils sont pro-
portionnels doivent déterminer des amortissements des oscilla-
tions dont les décréments logarithmiques sont entre eux comme
les carrés de 101,9 et de 19,1, c'est-à-dire dans le rapport de

a8,5 à I.

Or nous trouvons, d'après les observations de l'amortissement
dans les deux cas, que les rapports des décréments logarithmiques
dus aux courants induits dans la quatrième et dans la première
série sont entre eux comme

0,002627:0,000097 ou 27,1:1,

rapport qui ne diffère que de 5 pour 100 du précédent. On ne pou-
vait, comme on l'a déjà fait remarquer (p. S^S), obtenir un résultat
plus satisfaisant, étant donnée la petitesse du décrément loga-
rithmique dans le cas des courants électromagnétiques.

12.
Gourant induit de même intensité qne. le courant inducteur.

La constance du décrément logarithmique de la bobine mo-
bile résultant de l'action mutuelle du courant constant de la bo-
bine fixe et du courant induit dans la bobine bifilaire en mouve-
ment, démontre pour l'induction la loi déjà énoncée (p. 3jo), que
l'intensité du courant induit est à chaque instant proportionnelle
à la vitesse de la bobine mobile au même instant. Si l'on consi-
dère cette loi comme absolument générale, il en résulte que, pour
une valeur donnée et constante du courant inducteur, on peut
faire croître à volonté le courant induit, pourvu qu'on augmente
convenablement la vitesse, et que, par suite, il y a une vitesse pour
laquelle V intensité du courant induit déifient égale à celle du
courant inducteur. Il n'est pas sans intérêt de déterminer la
valeur de cette vitesse. On l'obtiendra facilement : 1° en cal-
culant, d'après la valeur de l'arc d'oscillation de notre bobine et
de la durée d'oscillation correspondante, la vitesse que possède
la bobine au milieu de son oscillation; a^ en calculant, d'après la
valeur du décrément logarithmique résultant de l'induction volta-
électrique, la désolation de la bobine qui serait produite par une
force égale à celle qui diminue la vitesse de la bobine mobile au

376 W. WEBER.

moment où elle est au milieu de son oscillation, cette force étant
supposée constanle d'intensité et de direction; 3** en faisant passer
un courant dans la bobine bifilaire et modifiant l'intensité de ce
courant jusqu'à ce que la déviation électrodvnamique due à l'ac-
tion réciproque des courants constants des deux bobines prenne
la valeur précédemment calculée, et en mesurant alors le rapport
des intensités des deux courants.

Il est évident que, si l'on fait croître la vitesse de la bobine mo-
bile dans le rapport des intensités, le courant induit à l'instant où
la bobine passera par le point milieu de l'arc d'oscillation sera
précisément égal en intensité au courant inducteur. On trouve
ainsi que la bobine bifilaire du dynamomètre décrit dans l'art. \
devrait faire autour de son axe

tours par seconde, pour qu'à l'instant où les deux bobines onl
leurs axes à angle droit, le courant induit dans la bobine mobile
fût égal au courant inducteur de la bobine fixe, quelle que fùl
d'ailleurs V intensité de ce courant. Si l'on se reporte aux dimen-
sions de la bobine bifilaire qui, comme on l'a vu page 298, a
33"°*, 4 de rajon, cette vitesse de rotation correspond au maximum
pour un élément de circuit à une vitesse linéaire de 6", 5 on
environ -io pieds par seconde.

13.

Emploi du dynamomètre pour la mesure de la durée d'un courant
instantané. Application aux recherches physiologiques.

Pour mettre en évidence et mesurer l'action de deux conduc-
teurs, il n'est pas nécessaire, comme on l'a vu plus haut, de cou-
rants de grande intensité : il suffit de courants faibles qui seraient
à peine appréciables par d'autres procédés, comme, par exemple,
les courants induits qui, comme on l'a vu (art. 10), n'impriment
à la bobine mobile que des oscillations qui seraient imperceptibles
si l'on n'employait le procédé optique. Cette circonstance est d'un
grand intérêt pratique en considération du grand développement
auquel SiB prête ce genre de recherches et des nombreuses appli-
cations que pourra recevoir le dynamomètre, surtout pour les dé-
terminations gahanométriques. On donne le nom de gaUano-

ItfBSURES ÉLBCTRODYNAMIQUES. 377

mètre à rinstniment formé d'une boussole ou d'un magnétomètre
muni d'un cercle multiplicateur, parce qu'il sert à mesurer l'inten-
sité du courant qui traverse le fil du multiplicateur.

Dans ce cas, la mesure de l'intensité du courant galvanique est
fondée non sur des effets purement galvaniques , mais sur des
actions électromagnétiques. On pourrait au même litre donner
au voltamètre le nom de galvanomètre, puisqu'il donne la me-
sure de l'intensité du courant qui traverse le voltamètre; seule-
ment le dernier est un galvanomètre électrochimique, le premier
un galvanomètre électromagnétique.

\^ électrodynamomètre est aussi un galvanomètre, puisqu'il
mesure l'intensité des courants galvaniques qui le traversent; mais
c'est un galvanomètre purement galvanique ou électrodyna-
mique, puisque c'est l'action réciproque des courants galvaniques
eux-mêmes qui est employée pour la mesure de l'intensité ; c'est
donc lui qui mériterait à plus juste titre le nom de galvanomètre.

Il semblerait cependant que le dynamomètre, en dehors de
l'emploi que nous en avons fait pour la vérification des lois fonda-
mentales de l'Electrodynamique et considéré comme instrument
purement galvanométrique, ne devrait pas présenter un intérêt
pratique bien considérable : les nombreuses dispositions données
au voltamètre et au galvanomètre électromagnétique répondent
d'une manière si complète et si simple à toutes les exigences de
la mesure des intensités qu'il ne parait y avoir aucune raison de
remplacer ces instruments éprouvés par un nouveau. Et, en effet,
tant qu'on n'a en vue que les déterminations que ces instruments
fournissent d'ordinaire ou toutes celles auxquelles ils pourraient
être appliqués, le dynamomètre ne présenle pas d'avantage spécial;
mais il en est autrement pour tous les cas, nombreux d'ailleurs,
où les premiers instruments sont insuffisants, par exemple pour la
détermination d'une intensité à un moment donné.

En effet, le sinus ou la tangente de la déviation dans ime
boussole des sinus ou des tangentes ne donne une valeur exacte
de l'intensité du courant à un instant donné que si le courant
qui agit sur l'aiguille est constant; mais, si son intensité est va-
riable, la déviation de l'aiguijle ne donne plus l'intensité du cou-
rant à un instant donné, ou tout au moins ne permettrait de la cal-
culer que si l'on connaissait la loi de variation du courant. On peut

378 W. WEBER.

bien ne faire agir le courant sur l'aiguille que pendant un instant
très court; mais la déviation imprimée à Taiguille par cette action
instantanée, si elle est assez grande pour être observée exactement
et donner lieu à une mesure précise, ne peut aucunement faire
connaître Tintensité du courant, si Ton ne connaît pas en même
temps un autre élément, que l'instrument n'est pas apte à fournir,
savoir la durée de l'action momentanée. Si l'on connaissait à la
fois la quantité d'électricité correspondant au courant momen-
tané et le temps que l'électricité a mis à traverser chaque section
du fil, il suffirait, pour avoir l'intensité, de diviser le premier
nombre par le second. La déviation imprimée à l'aiguille par l'ac-
tion du courant momentané donne simplement la quantité d'élec-
tricité mise en mouvement, mais n'apprend rien quant au temps.

Le dynamomètre peut intervenir dans ce cas comme un com-
plément précieux du galvanomètre électromagnétique : les deux
instruments donnent en effet deux déterminations essentiellement
distinctes et indépendantes l'une de l'autre, et pouvant fournir
par suite les deux éléments inconnus dont dépend l'intensité. La
différence essentielle des indications fournies par les deux instru-
ments se manifeste déjà avec les courants constants, quand on met
à la fois dans le circuit d'une pile le gahanomètre ordinaire et le
dynamomètre et que, faisant varier V intensité, on mesure les dévia-
tions qui dans chacun des instruments correspondent à l'équilibre.
Ces déviations croissent dans les deux instruments avec l'inten-
sité, mais non suivant la même loi ; car, comme on l'a vu dans l'art. 2,
les tangentes des déviations dans le dynamomètre sont propor-
tionnelles aux carrés des tangentes des déviations du magnéto^
mètre.

La différence des indications fournies par les deux instruments
apparaît d'une manière encore plus frappante quand, faisant tou-
jours passer un même courant dans les deux instruments et obser-
vant les déviations, on vient, sans changer l'intensité, à changer
brusquement la direction du courant dans tout le circuit au moyen
d'un commutateur : on sait que le renversement du sens du cou-
rant dans le multiplicateur change le sens de la déviation de l'ai-
guille, sans changer la grandeur de cette déviation. Dans le dyna-
momètre le même effet n'a plus lieu : la déviation qui existait
avant le renversement du courant reste identique à elle-même

UESUEES ÉLBGTRODTNAMIQUES. 879

après que ce renversement à eu lieu; de sorte que, si le renverse-
ment se fait assez rapidement pour qu^il n'y ait pas d^nterruption
réelle, il ne produit aucun effet appréciable sur le dynamo-
mètre. L'effet est exactement celui qui aurait lieu dans un gal-
vanomètre électromagnétique, si, à Tinstant même où Ton ren-
verse le courant, on renversait les pôles de l'aiguille, en suppo-
sant queTaiguille fût, comme la bobine bifilaire du dynamomètre,
soumise à une force directrice déterminée, indépendante de la
position de ses pôles. Cette identité des actions, produite dans le
dynamomètre par les courants positifs et les courants négatifs,
frappe d'autant plus, au premier abord , qu'on est habitué à voir des
effets contraires correspondre à des courants de sens contraires.
Cette différence des indications fournies par les deux instru-
ments, qui est mise si bien en évidence par l'expérience, peut se
définir facilement d'une manière précise. L'action immédiate du
courant qui traverse les deux instruments est un moment de ro-
tation y qui tend à imprimer un mouvement autour de son axe
à la boussole ou à la bobine bifilaire sur laquelle il agit. Ce
moment de rotation dans le galvanomètre magnétique est pro-
portionnel à l'intensité i du courant qui agit sur l'aiguille, et au
moment magnétique m de celte aiguille^ il peut donc être repré-
senté par la formule

a,mi^

dans laquelle, tant qu'il ne s'agit que de déviations très petites,
a peut être considéré comme une constante de l'instrument à
déterminer une fois pour toutes. L'action de ce moment de rota-
tion, pendant le temps infiniment petit dt^ est exprimée par le
produit

ami.dt\

elle est égale au produit de la vitesse de rotation qu'elle imprime
au corps mobile pendant le même temps par le moment d'inertie
de ce corps.

Dans le rf^/iamomèfre, le moment de rotation est proportionnel
à l'intensité / du courant qui traverse la bobine fixe et agit sur la
bobine bifilaire et à l'intensité i du courant de la bobine bifilaire
elle-même*, il est donc représenté par la formule

38o W. WBBBR.

<Jans laquelle, toujours en se restreignant aux angles très petits,

b représente une constante qu'il suffira de Jéterraîner une fois pour

toutes pour chaque instrument. Pendant le temps infiniment

petit dtj l'action de ce moment de rotation est exprimée par h»

produit

bi^.dt,

lequel est encore égal au produit de la vitesse angulaire par le
moment d'inertie du système mobile.

Si le courant reste constant pendant le temps court, de ^ = o
à ^ = Ô, pendant lequel il agit, et qu'on représente par p cl q les
moments d'inertie de l'aiguille et de la bobine bifilaire, la vitesse
angulaire imprimée est, pour l'aiguille,

/ - rniat r~. tO

Jo P P

<'l, pour la bobine bifilaire,

.'0 7 ^

Si les deux instruments étaient primitivement au repos, chacun
d'eux est lancé hors de sa position d'équilibre en vertu de l'impulsion
donnée; si Ton désigne respectivement par s et parc la durée d^os-
cillation des deux instruments, et qu'on suppose que l'intervalle
de temps 8, pendant lequel la vitesse est communiquée à l'aiguille
et à la bobine bifilaire, est assez petit pour qu'on puisse, comme
dans le cas d'un choc instantané, ne pas tenir compte du e/éf/?/ûfCC-
me/i^dumobile pendant ce temps, on a,en vertu des lois connues du
mouvement oscillatoire sans amortissement, pour l'expression d.^
la vitesse angulaire au bout du temps ^,

— cos-(^ -6) et — cos-(i — 6),

e et £ représentant les deux élongations fournies par l'observation
dans les deux cas. Prenons pour i la valeur qui correspond à In
cessation du courant, c'est-à-dire faisons ^ = 8 : nous obtiendrons
entre les vitesses initiales communiquées parle courant aux deux
systèmes les deux relations

am .ft eiz ^ ..a ^'^

t6 — — , - 4*0 = — ;

p s q ^

MESURES ÉLECTR00YNAMIQUE6. 38l

on a donc, pour déterminer Vintensité i du courant et la durée Ô
de ce courant, les deux équations

ams ùç

qui permettront de déterminer ces deux inconnues quand on
aura déterminé par Texpérience les deux quantités e et e; -^- el

-— sont deux constantes à déterminer une fois pour toutes.
Uintensité cherchée est donnée par Texpresion

am q s t

l - -y- A. - -,

p ^ e
et la durée du courant par

Les durées d^oscillation 5 et ^ des deux instruments s'obtenanl
immédiatement, il suffît, pour déterminer complètement la con-
stante des deux instruments, de faire passer simultanément dans
chacun d^eux un courant normal dont on prendra Fintensilé = 1
et de mesurer les tangentes e' et e' des déviations correspondant à
Téquilibre. Ces tangentes des déviations sont, comme on sait,
égales respectivement aux moments de rotation pour Tinlen-
silé = I, c'csl-à-dire aux rapports des quantités

am et b,

aux forces directrices de la boussole el de la bobine biClaire,
savoir

5« ^ <«' '
on a donc

e -- am -r— , e = 6 —r- •

Substituant ces valeurs dans les équations précédentes, on
obtient

par suite,

.6= il, m ='-'-.;

î = - -7 »
s z e

1 ** s' r'

382 W. WBBER.

formules dans lesquelles Tobservatidn des déviations é et e' et des
durées d^oscillation 5 et <; de la boussole et de la bobine bifilaire

donnera une fois pour toutes les valeurs des coefficients constants - >

, _ et -?:• On voit donc comment les observations faites simulta-
t' c «*

nément aux deux instruments se complètent Tune par Tautre, et
fournissent à elles deux toutes les données nécessaires pour con-
naître Vintensilé et la durée d'un courant instantané, quantités
qu^aucune des observations faites isolément ne serait capable de
faire connaître.

Les cas dans lesquels cette détermination complète des éléments
d'un courant instantané, faite par l'emploi simultané des deux
instruments, trouvera son application, sont extrêmement nom-
breux et sautent aux yeux. Ainsi, dans les recherches physiolo-
giques, on emploie souvent les courants instantanés pour étudier
rinfluence du galvanisme sur le système nerveux; on sait, en
effet, qu'une action prolongée du courant galvanique sur les nerfs
qu'il traverse, surtout quand il s'agit des nerfs sensitifs, s'éteint
très rapidement, de sorte qu'il est impossible de faire une série
d'expériences se suivant à des intervalles rapprochés, maïs que la
chose devient possible quand on ne fait passer par les nerfs que
des courants durant un temps très court. Ces expériences très
intéressantes ne peuvent donner des résultats bien déterminés, si
l'on se contente de constater les différentes actions que chaque
courant produit sur les nerfs, sans avoir une connaissance com-
plète de ces courants, principalement en ce qui concerne leur
intensité et leur durée.

Une étude sérieuse des actions physiologiques des courants gal-
vaniques sur le système nerveux exige donc la détermination
complète de ces deux éléments, qui ne peuvent être obtenus que
par la méthode, que nous venons de décrire, de l'emploi simultané
du galvanomètre et du dynamomètre. En particulier, ce serait
un problème intéressant, pour la physiologie du système nerveux,
de déterminer la limite du temps pendant lequel un courant doit
agir sur les nerfs, pour y produire une action déterminée, et de
voir comment ce temps varie avec l'intensité du courant. J'ai
d'autant plus lieu de croire que V électrodynamomètre sera em-
ployé très utilement dans ce but, que dans notre Institut physio-

MESURES BLBGTRODTNAMIQDBS. 383

logique quelques expériences d'essais ont déjà donné de 1res bons
résoluts qui seront publiés ultérieurement. Pour le moment, je
me bornerai aux applications concernant la Physique et surtout
celles qui ont trait à la théorie de V électricité,

14.

Répétition des expériences fondamentales d'Ampère avec rélectricité
ordinaire et mesure de la durée de l'étincelle électrique dans la décharge
de la bouteille de Leyde.

Les expériences fondamentales d'Ampère relatives à Taclion
réciproque de deux conducteurs voisins n'ont jamais été faites
qu'avec des courants galvaniques, c'est-à-dire ceux qu'on obtient
avec lei pile voltaïque. Bien qu'on soit naturellement conduit à pen-
ser que tous les courants électriques, quelle que soit leur origine,
doivent être soumis aux mêmes lois et que la loi d'Ampère, rela-
tive à l'action réciproque de deux éléments de courant, doive s'ap-
pliquer également à toutes les espèces de courants galvaniques
et électriques, la vérification expérimentale de cette identité n'est
point superflue. C'était déjà un point important de démontrer,
comme nous l'avons fait parles expériences qui précèdent, l'identité
d'action des courants développés par l'induction volta-électrique
et magnéto-électrique. Il paraît plus important encore de répéter les
expériences fondamentales d'Ampère avec V électricité ordinaire,
par exemple, quand elle parcourt un fil conducteur dans la décharge
de la bouteille de Leyde ou d'une batterie; les différences entre le
courant d'électricité dans ce cas 'et les autres courants galvaniques
'sont tellement grandes, que l'expérience seule peut nous apprendre
si les expériences fondamentales d'Ampère sont encore oui on
non réalisables dans ce cas. En particulier, on pourrait penser,
tant que l'expérience ne se sera pas prononcée sur ce point, que la
durée extrêmement courte du courant d'électricité ordinaire ou,
dans le cas d'une durée plus longue, la discontinuité de ce cou-
rant, pourraient être un obstacle à l'action réciproque de deux
longs conducteurs, tels que ceux qui constituent les bobines du
dynamomètre; il pourrait arriver, en effet, que le courant eût cessé
d'exister dans l'un des fils, au moment où il s'élance dans l'autre.
Les expériences faites avec l' électrodynamomètre nous ont montré

584 ^'- VVEBER.

que les expériences d'Ampère réussissenl également avec Félec-
Iricilé ordinaire : c'est ce que je vais maintenant exposer en
détail.

On sait que, pour répéter Vexpérience fondamentale d^Oerstedt
avec Vélectricité ordinaire accumulée dans une bouteille de
Le^de, il y a tout avantage à introduire dans le circuit une corde
mouillée (*); on attache Tune des extrémités de cette corde à
Texcitateur, Tautre au fil qui forme le multiplicateur du galvano-
mètre, lequel communique par son autre extrémité avec l'arma-
ture extérieure de la bouteille. On approche alors Texcitateur de
larmature intérieure en ayant soin que la corde mouillée reste
suspendue et, au moment de la décharge, on voit Taiguille lancée
dans la direction qu'elle doit prendre en vertu des lois de Vélec-
tromagnélisnle. L'emploi d'une corde mouillée pour répéter cette
expérience n'est pas absolument indispensable; il est ordinaire-
ment avantageux, quand on se sert de l'électricité accumulée dans
une bouteille de Leyde ou une batterie, mais devient superflu quand
on met immédiatement les extrémités du fil du multiplicateur d'un
galvanomètre sensible avec le conducteur positif et le conducteur
négatif d'une machine électrique. 11 n'est pas nécessaire non plus,
dans ce dernier cas, d'isoler les fils avec plus de soin qu'on ne le
fait pour les courants ordinaires. Dans le premier cas, l'emploi
d'une corde mouillée a surtout l'avantage d'empêcher que, par
suite de la violence de la décharge, il ne se produise une recom-
position des fluides accumulés séparément sur les deux armatures
de la batterie par une autre vole que celle du fil du multiplica-
teur. L'interposition d'une corde mouillée diminue ce danger en
atténuant la violence de la décharge et en empêchant qu'une trop
grande quantité d'électricité ne se recombine dans le fil dans un
temps trop court.

Ainsi, dans le dispositif nécessaire pour répéter l'expérience
fondamentale d'Oersted, la question capitale est de faire passer
dans le multiplicateur une grande quantité d'électricité : la ques-
tion du temps que l'électricité met à traverser le multiplicateur,
n'a qu'une importance secondaire; quand il s'agit de répéter l'ex-

(') Celle remarque semble avoir été failc en premier lieu par Colladon {An-
nales de Chimie et de Physique [2], l. XXXIll, p. 62; 1826). (J.)

MESUBES ÉLECTRODYNAMIQUES. 385

périence fondamentale d'Ampère, la condition du succès est de
faire passer par les conducteurs une grande quantité d^électricité
dans le moins de temps possible; l'emploi des batteries pour con-
denser l'électricité et d'une corde mouillée pour opérer la décharge
semble particulièrement indiqué. Dans le premier cas, l'action
d'une même masse d'électricité est toujours la même, quel que
soit le temps qu'elle mette à s'écouler, pourvu que ce temps reste
petit par rapport à la durée d'une oscillation; dans la seconde
expérience, conformément à l'article précédent, l'action est in-
ver sèment proportionnelle au temps du passage. C'est ce qui fait
que l'emploi de la batterie avec une corde mouillée, sans être
absolument indispensable, semble être particulièrement approprié
à notre but, et, en effet, j'en ai fait usage tout d'abord dans mes
expériences.

A cet effet, je réunissais, dans le même circuit, à la suite l'une
de l'autre, les deux bobines du dynamomètre et les deux extré-
mités libres des fils étaient mises en relation l'une avec l'armature
extérieure de la batterie, l'autre par l'intermédiaire d'une corde
mouillée avec l'une des branches d'un excitateur à manche de
verre. La batterie étant chargée, on approchait l'autre branche de
l'excitateur du bouton correspondant à l'armature intérieure de
la batterie. Au moment où la décharge s'opérait à travers la corde
et les bobines, la bobine mobile, primitivement en repos, était
lancée de sa position d'équilibre et mise en oscillation ; l'arc
d'impulsion dépassait souvent plusieurs centaines de divisions de
l'échelle ; on en trouvera plus loin plusieurs exemples. L'observa-
teur placé à la lunette pouvait facilement déterminer la grandeur
delà première élongation, en même temps que l^sens dans lequel
elle avait lieu.

On recommençait l'expérience en donnant la même chaîne à la
bouteille de Leyde ou à la batterie, seulement avec cette différence
que l'extrémité du fil qui communiquait avec l'armature extérieure
était maintenant mise en relation avec la corde mouillée, et inver-
sement, celui qui était en communication avec la corde mouillée
en relation avec l'armature extérieure; dans ce cas, l'action était
la même non seulement en grandeur, mais en direction, de sorte
que, de même que pour les courants ordinaires, il n'y avait aucune
différence d'effet entre le courant positif eX, le courant négatif,
Mém, de Phys., III. a5

386 W. WEBKR.

Quant au sens de la déviation produite par le courant d'électricité
ordinaire, il était bien celui que l'on pouvait déduire à Yavance
de la loi fondamentale d'Ampère. Il était ainsi démontré que l'ex-
périence fondamentale pouvait être réalisée avec un courant d'é-
lectricité ordinaire.

Il était intéressant de vérifier si, pour le succès de cette expé-
rience, l'emploi de la corde mouillée était nécessaire ou bien su*-
perflu, comme il arrive généralement, quand le courant d'électricité
naturelle est employé non pour l'expérience d'Ampère, mais pour
celle d'Oersled, et de voir si les choses se passent toujours de la
même manière pour les deux espèces d'actions avec les courants
d'électricité ordinaires. Il faudrait, pour résoudre convenablement
ce point, des expériences plus complètes que celles que j'ai faites
jusqu'à présent ; cependant quelques expériences d'essais pourront
prendre place ici en attendant.

On a répété les expériences, tantôt en employant, tantôt en
enlevant la corde mouillée, et en les complétant par des observa-
tions électromagnétiques; à ceteflet, le multiplicateur d'un galva-
nomètre magnétique était placé dans le circuit des deux bobines
du dynamomètre. Ce dernier instrument servait à indiquer et à
mesurer la quantité d'électricité qui traversait le circuit, par
suite de la décharge de la bouteille de Leyde. Lorsqu'on suppri-
mait la corde mouillée, on remplaçait la grande résistance qu'elle
présentait par celle d'un fil de maillechort de o"*"*,3 de diamètrej
enroulé sur deux tubes de verre distants de 3'", 70, de manière à
former des spires plates de 7", 5 de longueur parfaitement isolées et
distantes environ de 4o"*™. Le fil formait 32 de ces spires, et l'une
de ses extrémités était en communication avec la batterie. Je
mets en regard, dans le Tableau suivant, le résultat de deux
séries d'expériences, l'une faite avec la corde mouillée, l'autre
en enlevant cette corde du circuit. La batterie se composait de
quatre bouteilles ayant chacune 2 pieds carrés d'armature; on les
chargeait dans toutes les expériences aussi également qu'il était
possible de le faire d'après les indications de l 'électromètre à qua-
drant.

La corde était une corde de chanvre de 320™"* de long et de 4""
d'épaisseur; elle était plongée dans l'eau avant chaque expé-
rience.

1IE8URB8 ÉLECTRODYNAMIQUBS. 38;

I. — Décharge à travers la corde mouillée.

Élongation

du da

Numéros. galvanomètre dynamomélro

= e. = c.

1 5i,75 206,99

2 56,26 3i4)94

3 61, 36 a36,98

4 52,68 ai6,63

5 55, 3i 223,88

II. — Décharge à travers le circuit métallique^ sans la corde.

6 7,06 o,85

7 7,04 o,85

Les observations au gahanomètre montrent que, si Ton admet
qu^avec la corde la totalité de l'électricité traverse le circuit, il
u'eii passe guère que la septième ou la huitième partie, quand la
corde est supprimée; d'où il suit qu'en admettant que la décharge
sans la corde est plus rapide ou tout au moins n'est pas plus lente
qu'avec la corde, on devrait trouver dans le second cas une action
électrodynamique qui serait au moins le cinquantième de l'action
correspondant au premier. C'est ce qui n'a point lieu, et la com-
paraison des valeurs de e inscrites dans la troisième colonne
montre que cette action est environ six fois plus petite encore.
Quelque faible d'ailleurs que fût cette action, elle était parfaite-
ment appréciable.

Il semblait que Ton eût dû mettre plus nettement çn évidence
i'iuQuence exercée par l'eau sur le passage du courant, en rempla-
çant la corde mouillée par un tube de verre rempli d'eau; on s'est
servi d'un tube de verre de 120"*"* de long, de iS"*"* de diamètre,
recourbé en U et rempli d'eau; il fut placé entre l'excitateur et le
reste du circuit et l'on recommença les expériences avec la môme
charge de la batterie. Les résultats qui suivent montrent que
l'eau renfermée dans le tube ne peut remplacer la corde
mouillée.

388 W. WBBBR.

III. — Décharge à travers un tube rempli d*eau.

Élongation

du du

Numéros. galvanoaaètre dynamomètre

— e. = e.

i .,.: 4,68 3,23

2 4i5o 1,57

Toules les précautions prises dans ces dernières expériences,
comme dans les précédentes où Ton supprimait la corde mouillée,
pour forcer l'électricité à passer à travers le tube plein d'eau et
ensuite à travers le fil de maillechort, pour diminuer au moyen
de ces résistances la violence de la décharge et pour obtenir que
toute l'électricité traversât le fil de l'instrument, restaient donc
vaines : une faible partie seulement de l'électricité semblait suivre
réellement ce chemin. Au contraire, quand on remplaçait le tube
de verre par une corde en Jils de verre mouillée extérieurement,
on obtenait les mêmes efiets qu'avec la corde de chanvre mouillée
de la même manière. La décharge à travers une corde de cette
espèce de Soo"" de longueur, mouillée avec de l'ammoniaque, don-
nait au galvanomètre et au dynamomètre les élongations suivantes

100,55, 70,35.

Il semble donc que l'électricité fournie par une bouteille de
Leyde se répand surtout à la surface des corps, et que par
suite un conducteur liquide a plus d'action quand il est ré-
pandu à la surface extérieure des corps que lorsqu'il est renfermé
ù l'intérieur.

Nous citerons encore les résultats d'une série d'expériences
faites avec une corde mouillée, et dans laquelle on employait huit
bouteilles comme les précédentes et une corde de chanvre de 7™"
de diamètre et 2000*""* de longueur; cette longueur fut d'ailleurs
réduite graduellement jusqu'à 125"'".

MBSURB3 ELBCTRODTNAMIQUES.

38(>

ÉLO!(GATION

LOSGCBCB
do

c»

la corde.

da galvanomètre

Un djDtmomètrs

e

= C.

= s.

2000

79.9

65,6

97.3

1000

76,6

i53,o

38,3

5oo

62,2

293,8

23,0

25o

87.3

682,0

11,2

iq5

93,2

hors de l'échelle

//

25o

82,9

609,1

11,3

JOO

95,6

422,8

îi,6

lOOO

95,8

210,1

43.7

2000

101,5

98,0

io5,o

J'ajouterai encore que, lorsque la corde était trempée dans de
Tacide sulfurique étendu, la décharge de la batterie donnait au
galvanomètre une déviation de 83**^^ de l'échelle, tandis que l'im-
pulsion du dynamomètre, même pour la longueur de 2"*"*, était trop
grande pour être mesurée avec Téchelle.

On voit facilement qu'il y a là un vaste champ de recherches
d'un grand intérêt; je n'ai pas poursuivi ces expériences parce
qu'il me paraissait nécessaire avant tout de déterminer exactement
par des mesures directes la quantité d'électricité de la batterie; il
n'y avait qu'à suivre pour ces expériences la marche donnée par
Riess dans ses recherches électriques; mais, n'ayant pas à ma
disposition les appareils nécessaires, j'ai remis ce travail à un
moment plus favorable.

Quoi qu'il en soit, les dernières expériences citées présentent
déjà, abstraction faite de la grandeur des actions, un tel degré
de régularité, qu'il parait vraisemblable que, dans la décharge de la
bouteille de Leyde par une corde mouillée, toute Vélectricité tra-
verse réellement le circuit et donne un courant tout à fait com-
parable pour la continuité au courant d'une pile voltaïque (*).

(*) On pourrait disposer les expériences électrodynamiques avec deux dynamo-
mètres, de manière que dans l'un rélectricité traversât successivement et dans
l'autre simultanément la bobine fixe et la bobine mobile. En comparant les
données des deux instruments quand on les fait traverser par la décharge d'une
batterie, on pourrait s'assurer avec précision de la continuité ou de la disconti-
nuité du courant. (W.)

Scjo Vf, WBBER.

S'il en était réellement ainsi, on pourrait tirer un parti impor-
tant des expériences précédentes, en appliquant les règles données
dans Fart. 13, pour déterminer en valeur absolue la durée du cou-
rant, durée qu'on peut considérer comme étant la même que celle
de Tétincelle de décharge. On sait que Wheatstonc a déterminé
d'une tout autre manière la durée de l'élincelle de décharge, et
il serait nécessaire de comparer les résultats obtenus par des voies
si différentes. Pour réduire aux valeurs absolues les valeurs rela-
tiçes du temps, déduites des expériences précédentes et inscrites

dans la colonne sous le titre ~> il suffit, comme à la page 38 1,

de faire passer un même courant constant dans les deux instruments.

J'ai trouvé ainsi qu'il fallait diviser les valeurs de — du Tableau

précédent par le nombre

1188

pour avoir la durée du courant en secondes. C'est ainsi qu'a été
calculé le Tableau suivant :

Longueur

Durée
de

de la corde

rétincelle

en millimétrés.

en secondes

aooo

0,0819

1000

o,o322

5oo

0,0193

25o

0,0094

a5o

0,0095

5oo

0,0182

1000

o,o368

2000

o,o883

•s moyennes,

Durée

Longueur

de

de la corde

l'étincelle

en millimètres.

en secondes.

aooo

o,o85i

1000

o,o345

5oo

0,0187

25o

0,0095

Il s'ensuit que la durée de V étincelle est sensiblement propor-

MESUBES ÉLKCTROOYNAIIIQURS. Sqi

tionnelle à la longueur de la corde; voici, en effet, les valeurs
calculées et les différences qu'elles présentent avec les valeurs
observées.

Durée calculée

Longueur

de

Différence

de la corde

l'étincelle

avec

CD millimétrés.

en secondes.

l'observation.

aooo

o,o8iG

— o,oo35

lOOO

o,o4o8

-f-o,oo6o

5oo

o,oao4

-+-0,0017

a5o

o.oioa

H-0,0007

Les résultats obtenus par Wheatstone pour la durée de la dé-
charge dans des conducteurs purement métalliques sont incompa-
rablement plus petits; mais ils sont en conformité parfaite en ce
qui concerne la proportionnalité que nous trouvons ici entre la
durée de Tétincelle et la longueur de la corde mouillée. Le fait
que le mouvement de l^ électricité est tellement retardé par
Veau qu'elle met ~ de seconde environ à parcourir un chemin
de a" mérite une attention spéciale. On pourrait objecter à la
méthode suivie pour observer ces durées, abstraction faite de
l'objection relative à la discontinuité du courant d'électricité or-
dinaire (objection dont il a déjà été question plus haut et qui me
paraît écartée en grande partie, sinon absolument, par l'influence
de l'eau), que le courant commence par être très intense au pre-
mier instant, mais qu'il va ensuite en décroissant progressivement
et que la méthode n'est exacte que lorsque le courant garde une
intensité constante pendant sa courte durée. Quand même on
n'obtiendrait pas dans ce cas la véritable durée, mais celle qui
correspondrait à V intensité moyenne, l'intérêt de la détermina-
tion n'en serait pas beaucoup diminué, attendu qu'en général la
connaissance de cette dernière durée est plus intéressante que
celle de la première. Remarquons en outre que la même cause
entraîne une erreur du même genre dans les déterminations de la
durée de l'étincelle faites par la méthode de Wheatstone : l'étin-
celle donne lieu à une ligne lumineuse qui, par suite de cette
diminution progressive de l'intensité, va en s'éteignant progres-
sivement et sans limite précise.

392 W. WKBKA.

Je citerai encore deux genres de recherches intéressant la
théorie de r électricité et pour lesquelles Temploi du dynamomètre
ouvre une voie nouvelle; je ne m'y arrêterai pas longuement pour
le moment, parce que je n'ai point encore fait les expériences
nécessaires pour exposer en même temps que la méthode les ré-
sultats qu'elle peut donner.

Voici quelles sont ces recherches :

1° Détermination de la durée de propagation d'un courant,
sujet sur lequel on a seulement quelques expériences de Wheal-
slone, mais qui, d'après la déclaration de Wheatstone lui-même,
ne donnent aucun résultat certain;

2** Détermination de la force électromotrice d'une pile indé-
pendamment de la polarisation.

L'emploi du dynamomètre, dans le />re/wier cas, demanderait que
la bobine bifilaire fût séparée de la bobine fixe par un conducteur
d'une grande longueur et qu'on lançât dans ce long circuit un
courant dont les changements de direction eussent une rapidité
comparable à la vitesse de rotation du miroir de Whearstone. La
méthode du dynamomètre aurait sur celle de Wheatstone l'avan-
tage d'employer des courants galvaniques, au lieu de l'électricité
ordinaire, et de ne jamais laisser le circuit ouvert, ce qui est in-
dispensable pour produire l'étincelle dans la méthode de Wheat-
stone. Le second emploi du dynamomètre repose sur la mesure
des courants instantanés suivant la méthode de l'art. 13.

16.

Emploi du dynamomètre pour la mesure de l'intensité des vibrations

sonores.

Il me reste à parler de l'application du dynamomètre à des
recherches concernant une autre partie de la Physique^ cette
application présente un intérêt tout particulier, parce qu'elle met
en pleine lumière et d'une façon caractéristique ce qu'on peut tirer
de cet instrument. Nous sommes en possession de galvanomètres
d'une sensibilité extraordinaire qui nous permettent de découvrir
ou d'étudier les plus faibles courants produits dans la nature. 11

MESURES KLEGTRODYNAIIIQUES. 393

suffit de citer les beaux travaux de Melloni pour comprendre Tim-
portance extrême, pour la Science générale, de cet instrument
qui permet de saisir les traces des moindres mouvements élec-
triques. En dépit de celte sensibilité, on n*est pas parvenu à
reconnaître des courants électriques là où Ton s'attendrait à en
trouver, peut-être uniquement parce que l'instrument, malgré
sa délicatesse, n'est pas apte à les mettre en évidence. Ceci mérite
d'autant plus l'attention qu'on peut concevoir et même réaliser
une e5/>4^C4? de courants, qui serait incapable, parla nature même
des choses, d'agir sur les instruments les plus sensibles. Je veux
parler des courants variables dont la direction change rapidement
et à intervalles égaux. Les actions, alternativement de sens con-
traires, qu'exerce un pareil courantsur l'aiguille aimantée laplus dé-
licate, mais dont le magnétisme reste le même, s'annulent complè-
tement. Les phénomènes observés par Poggendor(r(^/î/i., t. XLV,
p. 355; i838), et dans lesquels cette action ne paraît pas s'annuler
complètement, sont dus à ce que le magnétisme de l'aiguille ne reste
pas constant, et d'ailleurs ils disparaissent de nouveau quand les
alternances deviennent extrêmement rapides. Peut-être existe-t-il
dans la nature beaucoup de ces courants allernatifs de très courte
période, dont nous n'avons aucune idée, faute d'un moyen de les
mettre en évidence. L'existence de pareils courants n'est pas du
tout invraisemblable,* puisque le mouvement d'électricilé qui leur
donnerait naissance ne différerait du mouvement de l'électricité
dans les courants ordinaires qu'en ce que ce mouvement serait
oscillatoire au lieu d'être progressif, f^e mouvement progressif
de l'électricité est si fréquent dans la nature, qu'on ne voit pas
pourquoi, avec une mobilité si grande, on ne rencontrerait pas des
conditions capables de produire un mouvement alternatif. Si, par
exemple, les ondulations de la lumière exerçaient une action sur
les fluides électriques et étaient capables de troubler leur équi-
libre, il y aurait tout lieu de croire que ces actions, produites par
les ondulations lumineuses, auraient la même période que ces on-
dulations elles-mêmes et donneraient comme résultat des oscilla-
tions électriques qu'il serait impossible de découvrir avec les
instruments ordinaires. Maintenant les oscillations lumineuses
sont tellement rapides que, si les oscillations électriques qui en
seraient la conséquence étaient de même période, il n'y aurait guère

394 W. WEBBR.

à espérer d'arriver jamais, avec quelque instrument que ce fût,
à les mettre en évidence; mais il y a dans la nature des oscilla-
tions beaucoup plus lentes, par exemple les ondulations sonores,
et il est permis de se demander s'il n'existerait pas aussi des
oscillations électriques qui en seraient la conséquence, et, dans ce
cas, quels seraient les moyens de les découvrir et de les étudier.

Je donnerai ici un exemple de psLveilXes oscillations électriques
développées par les vibrations sonores et je montrerai comment le
dynamomètre permet de saisir et d'étudier ces oscillations élec-
triques, comment, d'autre part, la mesure de l'action de ces oscil-
lations peut servir à son tour à mesurer les vibrations sonores
dont elles sont Teffet, et comment enfin nous trouvons là, pour
beaucoup de recherches acoustiques, un procédé qui nous faisait
absolument défaut, pour mesurer V intensité des vibrations
sonores.

En fait, la propriété essentielle du dynamomètre, celle qui le
caractérise le mieux et le distingue des autres galvanomètres, c'est
d'être indifférent à la direction du courant qui agit sur lui, tandis
que les indications de tous les autres galvanomètres changent de
sens avec le courant. C'est ce que nous avons déjà fait remarquer
dans l'art. 13. Il en résulte immédiatement que, dans le cas d'un
courant constant, l'indication du dynamomètre mesure le carré de
l'intensité du courant, tandis que les autres galvanomètres
mesurent l'intensité elle-même.

Il résulte de cette propriété caractéristique du dynamomètre que
les actions du courant alternatif qui se succèdent avec une grande
rapidité, au lieu de s'annuler réciproquement comme dans les gal-
vanomètres électromagnétiques, ajoutent au contraire leur effet ;
et que par suite le dynamomètre se trouve destiné par sa nature
même à mettre en évidence des courants qui auraient échappé à
tout autre moyen d'investigation.

Les limites dans lesquelles s'exercent les vibrations sonores
sont le plus souvent tellement étroites, tellement microscopiques,
qu'on pouvait diflicilement espérer pouvoir leur faire produire des
oscillations électriques de l'amplitude nécessaire pour agir d'une
manière sensible sur le dynamomètre. Toutefois, en calculant les
vitesses absolues que prend un corps en vibration au milieu de
son oscillation, on trouve que ces vitesses, à cause de la très courte

MESURES KLBCTRODYNAMIQUES. SqS

durée de rosciliation et en dépit de la petitesse de Télongation,
peuvent souvent atteindre i pied et davantage par seconde.

En partant de là, j'ai disposé une expérience qui semblait devoir
roe donner du premier coup un résultat.

J'ai pris une lame vibrante d'acier aaa {fig* i3), bien dressée
et trempée, je Tai aimantée et serrée aux extrémités b^ 6, VU de
ses deux lignes nodales, par des pointes de vis faisant axe de ro-
tation, suivant la manière que j'ai déjà décrite dans les Annales
de Poggendorff de i833 (t. XXVIII, p. 4)» de manière qu'elle se
divisât en trois parties vibrant simultanément en sens contraires.
Les deux extrémités font simultanément leurs oscillations dans

Fig. i3.

le même sens, alternativement vers le haut et vers le bas. Le ma-
gnétisme libre qui est distribué dans le barreau peut, comme
Gauss l'a montré, être remplacé par une distribution idéale limitée
à la surface du barreau et exerçant sur tout point extérieur la
même action que la distribution réelle; pour une forte aimanta-
tion du barreau le magnétisme nord se trouve presque enlièrement
sur l'une des extrémités vibrantes de la lame et le magnétisme sud
sur l'autre extrémité, et il faut considérer chacun d'eux comme
concentré surtout vers les bords, c'est-à-dire précisément dans les
parties où les vibrations sonores atteignent leur plus grande am-
plitude. J'ai entouré ces deux parties extrêmes de la lame vibrante
de deux cadres conducteurs ccc^ c'c'd^ formés d'un fil fin de
cuivre, en les disposant de telle sorte qu'ils ne touchent nulle part la
lame de manière à gêner son mouvement. Sur les côtés des cadres
inducteurs qui se faisaient face, on avait ménagé entre les spires
un passage pour la barre dont les extrémités se trouvaient ainsi
entièrement comprises dans l'inducteur. Les spires de l'inducteur
étaient parallèles entre elles et situées dans un plan perpendicu-
laire à la direction des vibrations de la lame. Les deux fils dddd
des inducteurs étaient reliés entre eux de manière que les spires

^gO W. WKBKR.

fussent enroulées en sens contraire de part et d'autre. Les deux
extrémités restées libres ee et e'e étaient reliées Tune au fil de la
bobine mobile, Tautre au (il de la bobine fixe du dynamomètre,
les deux autres fils des bobines communiquant entre eux. Le dyna-
momètre était complètement en repos. Tout étant ainsi préparé,
on mettait la lame en vibration en la frappant en son milieu d'un
fort coup de tampon. Aussitôt la bobine bifilaire s'écartait de ao**'^
à 3o**^^ et se mettait à osciller; en déduisant des valeurs des maxima
et des minima des élongations la position d'équilibre autour de
laquelle se faisaient les oscillations, on trouvait que cette position
avait changé, mais qu'elle allait en se rapprochant rapidement du
zéro initial, au fur et à mesure que les vibrations sonores allaient
on diminuant.

J'ajouterai que j'ai obtenu des élongations dépassant plusieurs
centaines de divisions de Téchelle en ne laissant vibrer le barreau
que pendant que la déviation de la bobine allait en augmentant,
arrêtant les vibrations pendant que l'oscillation se faisait en sens
contraire, et la faisant vibrer de nouveau quand l'oscillation re-
commençait dans le sens primitif, et ainsi de suite.

Il est à peine besoin de dire que, si Ton voulait efTectiveraent
faire une détermination exacte de l'intensité des vibrations so-
nores, ce ne serait point par le choc d'un tampon qu'on devrait
mettre la lame en vibration : de celte manière l'intensité des vibra-
tions diminue trop rapidement et arrive trop vite à zéro ; il faudrait,
par une action continue convenablement réglée, obtenir un
mouvement vibratoire permanent d'une plus grande durée.

Il n'y avait aucun doute a priori que les oscillations électriques
que nous venons de réaliser ne dussent se produire dans les con-
ditions où nous opérions, mais il y avait à trouver une méthode
capable de les mettre en évidence. Maintenant que cette méthode
a fait ses preuves, on peut aller de l'avant et considérer comme
certain que son emploi conduira à la découverte d'oscillations élec-
triques dans des circonstances dont nous ne pouvons avoir l'idée.
Pour donner une nouvelle preuve de la variété de ces applications,
je citerai encore l'expérience suivante. On fait passer un fort
courant galvanique très près d'une corde vibrante faisant partie
d'un circuit fermé; celui-ci, par suite des oscillations de la corde,
devient le siège de courants induits, alternativement positifs et né-

MESURES ÉLIiCTRODTNAllIQUES. 3i)7

galifs, semblables à ceux qui étaient produits par les vibrations
du barreau aimanté et donl l'intensité peut être mesurée avec le
dynamomètre.

17.
Des différents modes d'emploi du dynamomètre.

Il y a, en réalité, trois manières d'installer le dynamomètre, se
prêtant toutes à des mesures exactes et présentant, suivant les cir-
constances, des avantages particuliers. En dehors de la première
disposition, la seule que nous ayons employée jusqu'ici, il en est
une seconde qui se présente d'elle-même, attendu que, dans son
principe essentiel, elle a déjà été employée bien dés fois pour
observer l'action du magnétisme terrestre sur un conducteur.
L'expérience consiste à suspendre par un fîl, comme on le ferait

pour un aimant, le système formé par un conducteur contourné en
cercle et la pile qui lui fournit le courant, et à observer le mouve-
ment de rotation que la Terre imprime au courant fermé, comme
elle le ferait sur une aiguille aimantée mobile. En fait, dans cette
disposition, on a un conducteur mobile dont les oscillations et les
déviations peuvent être observées avec la même précision que
celles de notre bobine bifilaire et il suffirait d'entourer le système
mobile d'un multiplicateur fixe traversé également par le courant

SgS W. WBBER.

pour compléter le d)'namoniètre. Ajoutons que la découverte des
piles constantes de Daniell et de Grove permet d'employer cet
instrument dans des recherches délicates que la variation des cou-
rants aurait empêché d'aborder autrefois. C'est un petit élément
de Grove qui convient le mieux dans ce cas; avec de petites di-
mensions et un faible poids, il donne un courant suffisamment
fort et constant. Grâce à l'emploi du miroir, de la lunette et de
l'échelle, on peut effectuer avec cet instrument tes observations les
plus délicates. Ldijig. i4 représente l'Instrument employé. A est
le fil enroulé en anneau : ses entrémilés sont mises en communica-
tion par les bornes de laiton ab et a' b' avec les pôles platine et
zinc d'un petit élément de Grove construit par Kleinert, de Berlin.
L'élément est porté par un équipage en bois muni, à sa partie
supérieure, d'un cercle de torsion C, auquel est fixé le fil de
suspension D.

Malgré les avantages que présente cette disposition dans cer-
tains cas particuliers, elle ne saurait en général remplacer la pre-
mière, attendu qu'il lui manque deux avantages que possède le
dynamomètre avec la bobine bifilaire^ et qui tiennent à ce que le
courant qui traverse la bobine bifilaire peut non seulement être
envoyé dans la bobine fixe qui sert de multiplicateur, mais encore
dans tout autre conducteur. Le premier de ces avantages est la
possibilité d'employer simultanément le dynamomètre et le gai-
manomètre et d'avoir ainsi une mesure indépendante de l'intensité
du courant dans la bobine mobile, mesure qu'on ne peut obtenir
avec l'autre instrument, faute de pouvoir faire passer le courant
de la pile mobile dans le multiplicateur d'un galvanomètre.

L'observation simultanée du dynamomètre et du galvanomètre
permet, comme on en a eu plusieurs exemples dans ce qui pré-
cède, de ramener les actions électrodynamiques à une même inten-
sité de courant. L'emploi d'une pile constante ne saurait éviter cette
correction, parce que dans ces piles l'intensité du courant est
encore soumise à des variations considérables, lesquelles ne peu-
vent pas du tout être négligées dans des expériences précises.

Le second avantage, c'est que, dans le dynamomètre, on fait
passer le même courant dans les deux bobines, la bobine fixe et la
bobine mobile, et que, par suite, on observe le carré de rinten-
site, lequel est indépendant de la direction du courant; d'où

MESURES BLBCTR0DTNAMIQUE8. Sqi)

cette propriété caractéristique de rinstrument de donner, par son
emploi simultané avec le galvanomètre électromagnétique, les
éléments nécessaires pour la connaissance complète d'un courant
instantané {\o\r fins haut art. 13). Cet avantage ne se retrouve
dans aucun des instruments où la pile forme un système mobile avec
la bobine; les courants qu'on veut étudier ne peuvent être uti-
lisés que dans la hohinejixe, la bobine mobile étant traversée par
un courant invariable; il en résulte que, comme dans le galvano-
mètre électromagnétique, l'action est simplement proportionnelle
à l'intensité du courant, de sorte que l'instrument ne peut que
rendre les mêmes services qu'un galvanomètre électromagnétique
sans pouvoir le compléter.

J'arrive maintenant à la troisième forme du dynamomètre,
laquelle présente toutes les propriétés essentielles de la première,
mais qui est susceptible de donner une extension encore plus
grande aux mesures électrodjnamiques, principalement dans ces
cas où le premier système ne peut plus être eraplové à cause de
la finesse des fils de suspension par lesquels il faut faire passer le
courant.

Cette troisième forme repose sur le principe que j'ai appli-
qué, dans le tome Vlli des Commentât, Soc. lieg. Se. Got-
tengensis recentiores, à la construction d'une balance complète-
ment mobile et exempte de tout frottement, principe qui consiste
à opposer à V action de la pesanteur V action d'un ressort. Je
suspends le fléau horizontal de la balance à deux ressorts élastiques
verticaux. Ces ressorts se tendent quand le fléau tend à tourner
et en vertu de leur élasticité s^opposent d'autant plus à la rota-
tion que celle-ci tend à être plus grande. Si la rotation du fléau se
fait autour d'un axe situé au-dessous de son centre de gravité,
l'action de la pesanteur, quand le fléau s'incline, tend d'autant
plus à faire tourner le fléau que la rotation est déjà plus grande,
et dès lors il y a nécessairement une position pour laquelle l'ac-
tion résistante du ressort et l'action motrice de la pesanteur
se font mutuellement équilibre; le fléau n'est plus horizontal, il
reste en équilibre dans une position inclinée, mais il est évident
que la moindre action le fera passer de cette position à une autre,
toute question de frottement se trouvant écartée.

C'est un fléau compensé de cette manière, que j'emploie pour

400 W. WEBKR.

le dynamomètre; il remplace la bobine mobile et les deux ressorts
jouent le même rôle que les deux fils de suspension pour amener
et emporter le courant. Les ressorts ont sur les fils fins cet avan-
tage important de pouvoir supporter dos courants de grande
intensité que Ton ne pourrait faire passer dans ces fils. Pour de
pareils courants, il faut un circuit formé de conducteurs aussi
gros et aussi courts que possible; dans ce cas, le fléau, qui est
traversé lui-même par ce courant entre les deux ressorts, doit être
un barreau médiocrement long; on augmente la sensibilité en le
munissant d'un miroir. Quant à la bobine JixCy on la remplace
également par un barreau fixe assez court, dans lequel on fait
également passer le courant galvanique; ce barreau agit sur le
barreau mobile et Técarte, comme dans le cas de la balance, de sa
position primitive. La sensibilité de Tinstrument dépend surtout
de la distance à laquelle les deux barreaux parallèles, le barreau
fixe et le barreau mobile, sont Tun de l'autre. J'avais été conduit
à construire cet instrument pour poursuivre les expériences électro-
dynamiques avec réleclricité ordinaire, en présence des difficultés
que je rencontrais et que je tenais à écarter à tout prix, pour as-
surer le passage de la décharge de la bouteille de Leyde dans les
nombreuses spires des deux bobines du premier dynamomètre.
Cet instrument n'a pas encore été amené au degré de perfection
qui serait nécessaire pour ce genre de recherches.

Avant de terminer ce Chapitre sur les différentes formes du
dynamomètre, je ferai encore quelques remarques sur la trans-
formation de cet instrument en un galvanomètre magnétique.
J'ai déjàra|)pelé, en parlant de la seconde forme du dynamomètre,
que le système d'une pile mobile fermée sur elle-même avait déjà
été appliqué à des recherches électromagnétiques, par exemple
pour observer l'action de la terre sur un conducteur galvanique.
Avec une pile mobile ainsi fermée sur elle-même, à la condition
de pouvoir compter sur l'invariabilité du courant, on pourrait
répéter toutes les expériences et toutes les mesures relatives au
magnétisme terrestre que l'on fait avec le magnétomètre et l'on
pourrait par suite donner à l'instrument le nom de magnétomètre
galvanique. Notre premier dynamomètre peut aussi de son côté
être emplojé comme galvanomètre magnétique, présentant, par
rapport à un magnétomètre muni d'un multiplicateur, de grands

, MESURES ÉLECTRODTNAMIOUES. 4ol

avantages quand on Tappiique non seulement à des mesures rela-
tives, mais à des mesures absolues d'intensité. Avec le magnéto-
mètre muni d'un multiplicateur, le conducteur du courant reste
immobile et c'est Taimant qui se déplace; il est évidemment
indifférent, au point de vue de Faction exercée, que ces rapports
soient renversés et que ce soit Taimant qui soit fixe, tandis que le
courant est mobile. Pour le conducteur mobile, on peut prendre
la bobine de notre dynamomètre suspendue par les deux fils, et
pour Taimant fixe (que remplace ici la bobine fixe) la terre elle-
même. Quand on veut employer de cette manière Faction de la
terre, il faut orienter autrement la bobine bifilaire; au lieu de
l'orienter comme plus haut à la manière d'un magnétomètre de
déclinaison y de telle sorte que son axe soil parallèle au méridien
magnétique, il faut l'orienter comme un magnétomètre d^inten-
site, de manière que son axe soit perpendiculaire au méridien
magnétique. On peut alors l'appeler un galvanomètre magné-
tique bifilaire. Cet instrument si simple présente pour les déter-
minations absolues d'intensité de courant le grand avantage que,
vu la grande distance à laquelle agit le magnétisme terrestre, on
n'a plus à tenir compte de la position et de la distance de chaque
élément de conducteur par rapport à chaque élément de l'aimant,
et que par suite, pour une mesure absolue d'intensité de courant,
en dehors de la connaissance en valeurs absolues du magnétisme
terrestre, de la déviation, de la durée d'oscillation et du moment
d'inertie de la bobine mobile, il suffit de connaître un seul élé-
ment, savoir la surface comprise par les spires de fil, comme je
l'ai déjà montré dans les Resultate aus den Beobachtungen
des Magnetischen Vereines im Jahre i84o, p. gS; j'ai donné en
cet endroit quelques déterminations d'intensité en valeur absolue
qui avaient été faites au moyen de cet instrument.

Les recherches qui précèdent avaient pour but principal d'établir
une méthode expérimentale pour la mesure des forces électrody-
namiques, de les exprimer en valeur absolue, en fonction des
unités d'espace, de temps et de masse. C'est cette pensée qui avait
présidé à Tinstallation des appareils, laquelle, comme dans le cas
du magnétisme de Gauss, exigeait pour les locaux employés des
conditions de stabilité et de grandeur que ne demandent point les
appareils ordinaires de Physique, dans lesquels la graduation qui
Me m. de Phys.y lll. aG

40'i W. WEBBR. —MESURES KLECTRODYNAMIQUES. ,

donne la mesure fait partie de rinstrument même en observation.
Une pareille installation, une fois faite dans des conditions con-
venables, peut servir à de nombreuses séries d'observations de
même nature; mais elle n'est pas facile à modifier et ne se prête
pas aisément à des objets divers. Je dois reconnaître comme une
circonstance particulièrement heureuse d'avoir trouvé dans l'In-
stitut physique de Leipzig des conditions favorables à une pareille
installation; cependant, plus d'une fois, comme j'ai eu occasion
de le mentionner, j'ai été obligé de me restreindre dans mes expé-
riences de vérification, faute de pouvoir disposer d'une manière
également convenable toutes les parties de l'installation. En consi-
dération de ces difficultés toutes matérielles et qui seraient peut-
être plus grandes encore ailleurs qu'ici, et aussi parce que beau-
coup d'expérimentateurs sont moins familiarisés avec ce genre
d'instruments, j'ai engagé notre constructeur, M. Lejser, à éta-
blir pour l'usage courant des appareils portatifs de petite di-
mension, sans le dispositif de l'échelle, munis seulement, à la
manière ordinaire, d'un cercle divisé avec un index, et pouvant
suffire cependant à la répétition de la plupart des expériences et
aux mesures ordinaires. J'appelle sur ces instruments de petite
dimension l'attention des personnes qui voudraient s'adonner à
ce genre de recherches, sans avoir à leur disposition les instru-
ments décrits précédemment (*).

(») Le Mémoire de Weber renferme une dernière partie purement théorique
que nous n'avons pas jugé utile de reproduire. Elle forme les articles 18-31
(p. 97-170) du Mémoire. Weber y établit une formule comprenant à la fois la loi
de Coulomb et la loi d'Ampère et dont on peut déduire les phénomènes d'induc-
tion. Le lecteur trouvera un résumé du travail de Weber dans la Théorie méca-
nique de la chaleur de Briot, 2» édit., p. 208 (Gauthier-Villars, i883),et dans les
Leçons sur l'électricité et le magnétisme de Mascart et Joubert, t. I, p. 679
(G. Masson, 1882). (J.)

\'\\ Dr TOMK m.

TABLE DES MATIÈRES.

4o3

TABLE DES MATIÈRES.

XW. Amperi — Mémoire sur la théorie mathématique des phéno-
mènes électro-dynamiques, uniquement déduite de Fex-
péricnce, dans lequel se trouvent réunis les Mémoires
que M. Ampère a communiqués à l'Académie royale
des Sciences, dans les séances des 4 et 26 décembre 1820,
10 juin 1822, 22 décembre 1828, 12 septembre et 28 no-
vembre 1825 I

Notes contenant quelques nouveaux développements
^ sur des objets traités dans le Mémoire précédent 17^

\\\T. AmpKre - Mémoire communiqué à l'Académie royale des Sciences

dans sa séance du 21 novembre 1825, faisant suite au
Mémoire lu dans la séance du 12 septembre 19}

\\\II. Aiipeiie — Précis d'un Mémoire lu à l'Académie royale des

Sciences dans sa séance du 21 novembre 1826 2o3

\XXin. Ampère — Lettre de M. Ampère à M. Gherardi, sur divers phé-
nomènes électro-dynamiques 217

XXXIV. Ampère — Mémoire sur l'action mutuelle d'un conducteur vol-

taTque et d'un aimant 224

XXXV. Ampère — Lettre à M. le D' Gherardi (Supplément au Mémoire

sur Taction mutuelle d'un conducteur voltaTque et d'un

aimant ) .* 275

XXXVL W. Werer. — Mesures électrodynamiques absolues. — Sur la loi

fondamentale des actions électriques 289

Taele des matièrbs 4^3

l»arit. - l«prlB«ri9 GAUTHIIR-VILLARS, o«l '•• Aifattln». &s.

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