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UNIVERSITY OF CALIFORNIA.
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COURS
D'ANALYSE
DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE.
COURS
D'ANALYSE
DE
L'ECOLE POLYTECHNIQUE,
Par m. C. JORDAN,
MEMBRE DE l'iNSTITUT, PROFESSEUR A l'êCOLE POLYTECHNIQUE.
DEUXIEME EDITI0iNy ENTIEREMENT REFONDUE.
TOME TROISIÈME.
CALCUL INTÉGRAL.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES
DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,
Quai des Grands-Augustins, 55.
1896
(Tous droits réservés.)
V, 3
7Mkt
PREFACE
Le présent Volume n'a pas été aussi profondément remanié
que les deux précédents. Les principaux changements sont les
suivants :
La Note finale sur quelques points de la théorie des fonctions
a été supprimée, les principaux résultats qu'elle contenait ayant
été introduits dans les deux premiers Volumes.
Les divers passages où interviennent les fonctions elliptiques
ont été notablement simplifiés en faisant intervenir les fonc-
tions de M. Weierstrass à la place des anciennes fonctions snu,
cnu, dnu.
L'exposition du procédé d'intégration des équations linéaires
à coefficients constants a été changée. La méthode de M. Vaschy,
que nous avons adoptée à la place de celle de Gauchy, se recom-
mande par son élégance et sa complète généralité.
Nous avons enfin ajouté une démonstration de l'existence des
intégrales dans le cas des variables réelles, et l'indication des
méthodes proposées par Kummer et Halphen pour l'intégration
de certaines équations linéaires.
TABLE DES MATIÈRES
TROISIÈME PARTIE.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
CHAPITRE I.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES.
I. — Notions préliminaires.
Numéros. Pages.
1-3. Réduction à la forme normale i
4-5. Elimination. — Ordre d'un système 5
6-7. Équations différentielles algébriques. — Irréductibilité 8
8. Application aux intégrales abéliennes lo
9-10. Solution généi'ale. — Solutions singulières i3
11. Énoncés divers du problème de l'intégration i6
II. — Équations du premier ordre.
12-14. Intégrales. — Facteur intégrant 17
15. Transformation» infinitésimales 20
16-18. Séparation des variables. — Équation homogène. — Équation
linéaire 21
19-23. Équations diverses 24
24-31. Équations de M. Darboux. — Équation de Jacobi 27
32-33. De l'équation f{y,y') = o 37
34-36. Usage de la différentiation. — Équation de Clairaut 38
37-40. Formules pour l'addition des transcendantes. — Équation d'Euler. 4
III. — Systèmes d'équations simultanées.
41-45. Intégrales. — Multiplicateur 45
46-48. Systèmes canoniques. — Théorème de Poisson 5i
49-51. Transformations infinitésimales. — Cas d'abaissement du système. 54
d^y
52-53. De l'équation -j^ =f{cc) 58
VIII TABLE DES MATIÈRES.
Numéros. Pages.
54. Des équations y ^/(jK), y = /(r') Sq
55. Courbes dont le rayon de courbure est proportionnel à la
normale 6t
5G-57. Mouvement des planètes. — Lois de Kepler 63
IV. — Équations linéaires aux différentielles totales.
58-60. Équations simultanées aux dérivées partielles qui définissent
les combinaisons intégrables. — Multiplicateur 67
61-63. Systèmes complets. — Systèmes jacobiens 70
64-68. Intégration des systèmes jacobiens parla méthode de M. Mayer. 74
69-75. Transformations infinitésimales. — Théorèmes de M. Lie ... 79
V. — Étude directe des intégrales.
76-80. Existence des intégrales. — Cas des variables réelles 87
81-85. Cas des variables complexes 98
86-87. Méthode des quadratures 102
88. Variation des constantes io5
89-92. Points critiques des intégrales. — Cas des équations linéaires. 107
93. Étude des intégrales aux environs d'un point critique, pour
''^1"^"°" i = TTïTr) "■
94-97. Étude des intégrales aux environs d'un point critique pour
dy
l'équation a? -^ -~f{,x,y) 112
98-99. Étude des intégrales aux environs d'un point critique, pour
l'équation fi--~-,y\ = o 122
100-103. Intégration de cette équation lorsque ses intégrales sont uni-
formes ,• 126
104. Application à l'équation binôme i32
105. Intégrales singulières i36
CHAPITRE IL
ÉQUATIONS LINÉAIRES.
I. — Généralités.
106-114. Propriétés des systèmes d'équations linéaires du premier
ordre 137
115. Système adjoint i44
1 16-117. Systèmes à seconds membres i46
118-124. Équations linéaires d'ordre supérieur i48
125. Équations à second membre i54
126-127. Équation adjointe i55
TABLE DES MATIERES. IX
II. — Équations linéaires à coefficients constants .
Numéros. Pages.
128-131. Equations sans second membre 157
132. Equations à second membre de la forme Pe^' i6o
133. Exemples 161
134-138. Systèmes d'équations i63
139. De l'équation (a^-t- p)«-^ -^a,(ai+,3)»-' --— ^ -i-... = o. 168
III. — Intégration par des série?,.
140-145. Étude des intégrales aux environs d'un point critique 169
146-152. Condition pour que les intégrales soient régulières 177
153. Cas où les intégrales sont irréguliéres 187
154-155. Intégration des équations qui n'ont qu'un nombre fini de
points critiques 190
156. Groupe d'une équation linéaire 198
157-162. Recherche des conditions d'irréductibilité 198
163-167. Équations dont les intégrales sont partout régulières. —
Équations dont les intégrales sont algébriques 202
168-169. Équations dont l'intégrale est rationnelle 209
170-175. Équations de M. Halphen 211
176. Équations à coefficients algébriques 219
177-184. Équation de Gauss 220
185-187. Polynômes de Jacobi v 280
188-191. Équation de Bessel. — Ses diverses transformées 284
IV. — Intégration par des intégrales définies.
192-201. Équation de Gauss généralisée. — Son groupe 240
202-203. Équation aux périodes des fonctions elliptiques 260
204. Équation de Laplace 262
205-211. Application à l'équation ^ ^— -\- {"i n -h 1) -z ha7l = o... 254
212-217. Valeur asymptotique de J„ ( ^ ) 265
218. Équation de Kummer 274
V. — Équations de M. Picard.
219-222. Propriétés de leurs intégrales 276
223-226. Forme générale des intégrales 281
227-228. Détermination des constantes 287
229-231. Application à l'équation de Lamé 290
232. Équations de M. Halphen 297
X TABLE DES MATIERES.
CHAPITRE III.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES.
I, — Notions préliinaires.
Numéros. Pages.
233. Réduction à des systèmes ne contenant que des dérivées par-
tielles du premier ordre 3oo
234-235. Élimination Soi
236-241. Systèmes normaux. — Existence des intégrales 3o3
II. — Équations aux dérivées partielles du premier ordre.
242-243. Équations linéaires. — Applications 3i4
244. Équations non linéaires. — Intégrale complète; intégrale
générale ; intégrales singulières 3i8
245-255. Méthode des caractéristiques 32 1
256-260. Première méthode de Jacobi 33o
261-265. Nouvelle méthode de Jacobi et Mayer 336
266-269. Équations intégrables par différentiation 342
270-271. Transformations de contact 35o
III. — Équations aux dérivées partielles du second ordre.
272. De l'équation ^; r — • =-. o 35i
âx'" ây
273. De l'équation -r-^ -i- 26-^ — r \- c -— = o 353
âx^ ox oy oy^
274. Simplification de l'équation A-—- H- 2 R-r — ^-i-C- t-M = o. 354
^ dx^ âxây ây' ^
275-277. Équation de Laplace 355
278. Équation de Liouville 358
279-282. Équation des surfaces minima 36o
283-288. Méthode de Monge. — Application à rt — s'=o 367
IV. — Équations linéaires à coefficients constants.
289-293. Principes de la méthode 373
294. Propagation de la chaleur dans un milieu indéfini 38o
295-297. Propagation du son 38i
298. Problème de Cauchy 387
299-302. Propagation de la chaleur dans une barre indéfinie dans
un sens Sgo
303-304. Cordes vibrantes 395
305-316. Refroidissement d'une barre hétérogène 397
317-321. Équilibre de température d'une sphère 4'4
322-330. Équilibre de température de l'ellipsoïde 4^2
331-347. Refroidissement d'une sphère l\io
TABLE DES MATIERES. XI
CHAPITRE IV.
CALCUL DES VARIATIONS.
I. — Première variation des intégrales simples.
Numéros. Pages.
348-352. Variations successives d'une fonction ou d'une intégrale
définie 459
353-354. Maxima et minima des intégrales définies /|65
355-361. Transformation de la première variation. — Conditions né-
cessaires et suffisantes pour qu'elle s'annule 4^6
362-363. Condition d'intégrabilité de cp(a7, y, .•,r"% -» ....z").... 4-8
364. Transformation des équations de la Dynamique 480
365. Brachistochrone 482
366. Ligne de longueur minimum 486
367-369. Lignes géodésiques 488
370-371. Application à l'ellipsoïde 49^
372. Problème des isopérimètres 497
IL — Variation seconde.
373-376. Réduction à la forme canonique des équations de condi-
tion fournies par la variation première 499
377-382. Transformation de la variation seconde. — Première con-
dition pour l'existence effective d'un maximum ou d'un
minimum 5o2
383-388. Propriétés des systèmes canoniques Sog
389-394. Nouvelle transformation de 8=L — Caractères des maxima
et des minima 617
lïL — Variation des Intégrales multiples.
395-398. Principes généraux 527
399. Problème de Gauss 536
400. Surface minima 689
401. Transformation des équations du potentiel 5^o
i
FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.
ERRATA,
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Lisez
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sJx\-\-x\ + x\
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25
ligne à
supprimer
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3
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COURS
D'ANALYSE
DE
L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE.
TROISIÈME PARTIE.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
CHAPITRE I.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES.
I. — Notions préliminaires.
1. Nous avons vu daus le Calcul différentiel (Chap. I,
§ XIII) que, lorsqu'on a un certain nombre de relations
entre une ou plusieurs variables indépendantes ^< , œ.^f . . .
et des fonctions ^1,^21 • • . de ces variables, on pouvait, en
combinant ces équations avec celles qui s'en déduisent par
dérivation, en déduire une infinité d'équations différentielles
auxquelles satisfont ces fonctions.
Il nous reste à traiter le problème inverse, en cherchant
à remonter des équations différentielles aux relations qui
existent entre les variables elles-mêmes.
J. — Cours, III. 1
2 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Nous nous occuperons d'abord des équations difTérentielles
ordinaires, où ne figure qu'une variable indépendante x.
2. Soit proposé un système de f7i équations différentielles
entre x et m fonctions jki, • • -, ym de cette variable. On
pourra, par l'introduction de variables auxiliaires, ramener
le système proposé à un autre système équivalent, où ne
figurent que des dérivées du premier ordre.
En effet, supposons, pour fixer les idées, que nous ayons
deux équaiions différentielles simultanées
^ / dV J2 y ^3 y
dz d^z\
F (x,y, -/-? -—,, -j^., z.
\ '-^ d.v dx- dx^
' dx' dx^)~
^ l dy d'y d'y
dz d^z\
^X^^'^-dx' dx^' dx^'--
' dx' dx^)~
Posons
dy , d^-y
On aura é\idcmment
dx-'^' dx''^'
dz _,
' dx'-"'
, àz'\
r^ 1 , „ dy"
, dz'\
¥Ax,y,y,y% ^^^.z,
^'./.H^-
Ces cinq équations différentielles forment un système ma-
nifestement équivalent aux deux équations primitives, mais
où ne figurent plus que des dérivées du premier ordre.
3. Considérons donc un système simultané de ni équa-
tions du premier ordre
^ / dv dz du \
-^ / dy dz du \
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 3
entre la variable indépendante ^ et m fonctions inconnues j-,
z, u,
Si parmi ces équations il en figure une, F = o, qui ne con-
tienne pas de dérivée, soit jk une des variables qu'elle con-
tient, l'équation résolue par rapport à y donnera un résultat
de la forme
(i) 7 = cp(^,5, w, ...).
On en déduit
dy ^cp d'^ clz ()'f du
dx dx dz dx du dx
Substituant ces valeurs dans les équations
Fi = o, Fa — o, ...,
on aura un système àe m — i équations dilTérentielles pour
déterminer les m — i variables z, u, ... ; on calculera en-
suite y par l'équation (i).
Supposons, au contraire, que l'équation F = o contienne
dy ,
au moins une dérivée, telle que -j- • Résolvant par rapport à
cette dérivée, il viendra
dy .[ dz du
^=/(^^,y,.,„,...,-^,-,
Substituons cette valeur dans les équations suivantes; on
obtiendra un système
^ _ /•
dx " '''
( dz du
équivalent au proposé.
Si l'une des équations cp, = o, ... ne contenait aucune
dérivée, on pourrait s'en servir, comme il a été expliqué,
4 TR01SIÈ31E PARTIE. — CHAPITRE I.
pour éliminer une variable et ramener l'étude du système
proposé à celle d'un système de m — i équations différen-
tielles seulement.
Si, au contraire, l'équation (f\=^o contient une dérivée -^ ?
on en déduira
dz . / du
ei l'on substituera cette valeur dans les équations suivantes.
Continuant ainsi, on arrivera à mettre le système sous la
forme
dy ^ dz ^ du
dx~-^' dx-'f'' dx--^^'
, dy . dz
ni
//ne contenant plus -7-? /i ne contenant ni -r- m -^—j
•^ ' ^ dx "^ dx dx
Portant maintenant dans chaque équation les valeurs des
dérivées fournies par les équations suivantes, on obtiendra
un nouveau système d'équations, de la forme suivante :
dz
Un système d'équations simultanées du premier ordre,
ainsi résolu par rapport aux dérivées, est dit ramené à sa
forme normale.
On voit, par ce qui précède, que l'étude d'un système
quelconque d'équations différentielles simultanées peut être
ramenée à celle d'un système normal. Le nombre des équa-
tions de ce système normal équivalent au proposé servira de
définition à Vordre de ce dernier.
En particulier, si l'on n'a qu'une équation différentielle
^'11 ~ f( ^^ d'^'-^f
dJ^^-JV'^'dx' ■"' dx"'-'
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 5
elle sera équivalente au système normal
dy , dy^-'' ^^ .
dx ~-' ' '"' dx'"-'- •' '
Son ordre sera donc égal à m,
4. D'un système de m équations différentielles entre x
et les m fonctions y^ z, u, . . ., on peut déduire, ainsi que
nous allons le voir, une équation différentielle où ne figurent
que a; et j^.
En général, le nombre des équations données n'est pas
suffisant pour éliminer z, u, ... et leurs dérivées. Mais, si
nous prenons la dérivée de chacune des équations données,
nous obtiendrons m équations nouvelles, en introduisant au
plus m — I inconnues de plus, à savoir une dérivée nouvelle
de chacune des fonctions ^, î«, . . . . En répétant celte opéra-
tion, on arrivera évidemment à se procurer assez d'équations
pour effectuer l'élimination.
Considérons, par exemple, un système de trois équations
F — G, Fi = o, F2 = o
entre ^, jk, z, u. Supposons que l'ordre de la plus haute dé-
rivée de chaque variable, dans chacune de ces équations, soit
donné par le Tableau suivant :
(2)
Différentions les trois équations respectivement A, A,,
Aa fois. Nous obtiendrons ainsi un total de A + A, + Ao -j- 3
équations, entre lesquelles on aura à éhminer z et ses B pre-
mières dérivées, u et ses G premières dérivées, B désignant
F
m
II
P
F.
m,
/Il
Px
1^2
m 2
/h
P^
6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
le plus grand des nombres A + n, Ai -j- /^^ , A2 4- 712, et G le
plus grand des nombres A + />, A<-f-/?i, k^-^ p2\ soit en
tout B -i- G + 2 inconnues.
En thèse générale, l'élimination ne pourra se faire que si
le nombre des équations surpasse celui des inconnues. On
devra donc avoir
A+ Ai4-A2^Bh-G
et, comme on a
B^Ai4-/ii, G^Ai4-/?j, > ,
B = A2 4-/^2, G^A2-+-/?2,
on en déduit
A = /li+/?2, A=/22-f-/?i.
On voit de même que A, est au moins égal au plus grand
des deux nombres n-\- p2, n^-^-p, et Ao au moins égal au
plus grand des nombres n -^ p^, n^-\- p.
Il est d'ailleurs aisé de voir qu'en prenant A, A<, Ao pré-
cisément égaux aux limites inférieures trouvées ci-dessus, on
aura juste le nombre d'équations nécessaires pour l'élimi-
nation.
Soit en effet, pour fixer les idées,
B =1 A H- /i ^ Al 4- /Il r A2 -h /^2.
On en déduira
d'où
B = A 4- /^ = Al -I- /Il ;
et, d'autre part,
A-hp = p 4- /ii^ pi= A.2 4-/>2-
On trouvera de même
ki-\-Pi<ki-^ Pz ou =A-f-/?,
suivant que A, sera égala n -\- p2 ou â 112-^ p-
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 7
On aura donc, dans tous les cas,
G== A2 + /^2>Ai+/?i^A H-/?,
et, par suite,
B H- G = Al + /Zi 4- A2 -+- /?2 = A -h Al 4- Ag.
En donnant à A, A^ Ag les valeurs ci-dessus, on aura donc
une équation de plus qu'il n'est nécessaire pour déterminer z,
u et leurs dérivées au moyen de y et de ses dérivées. Ces
valeurs, substituées dans la dernière équation, donneront
une équation finale ne contenant quejK, et ses dérivées jus-
qu'à l'ordre D, D désignant le plus grand des nombres A + m,
Al 4- /»o AsH- /??o.
Ce nombre D, qui représente l'ordre du système, sera
évidemment égal au plus grand des nombres m -\- /ii -{- p^,
/?i, 4- ^ + /J>2, • • -5 qu'on obtient en associant ensemble trois
nombres du Tableau (2) appartenant à la fois à des horizon-
tales et à des verticales différentes.
5. Ce résultat, qu'on étendrait sans difficulté au cas d'un
nombre quelconque d'équations, peut se trouver en défaut
si z, u et leurs dérivées figurent dans les équations propo-
sées de telle sorte que l'élimination puisse se faire avant
qu'on ait formé toutes les équations auxiliaires qui paraissent
au premier abord nécessaires, d'après le nombre des quan-
tités à éliminer.
On obtiendra, même dans ce cas, une équation finale euy
de la forme
mais ^, u, au lieu d'être immédiatement donnés en fonction
de j' et de ses dérivées, pourront être déterminés par de nou-
velles équations différentielles, de la forme
d^z ( dy d'^'-^z dl^'-UiX
^1=^ i^'^'^'-'-'-^'-'-'S^'^^^j'-
d^'u ( dy d^^-'^z d^-
I dy
, '"^ z,u,
dx^ " ^n '*^ ' dx' ' ' • "' dx^-^ dxV--^
8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Eliminant u entre ces équations par la répétition du même
procédé, on arrivera à faire dépendre l'étude du système pri-
mitif de celle d'un système de la forme suivante :
cViii . (
d^-^y\
' dx^-'j'
d?-'z\
'^'■■•'^^MJ'
dr-
, ^, . . ., Il, . . . ,
'a
•— 1
6. Considérons, en particulier, les fonctions déterminées
par une équation différentielle
/ dv d^y\
algébrique par rapport a x, y, . . . , j-^-
Toute solution d'une semblable équation satisfait évidem-
ment à une infinité d'équations analogues résultant de la
combinaison de F et de ses dérivées.
Réciproquement, soit jk une fonction de x qui satisfasse à
une série d'équations différentielles algébriques
F := G, Fi = G, ....
Toutes ces équations résulteront de la combinaison de l'une
d'entre elles avec ses dérivées.
Considérons, en effet, parmi toutes les équations de ce
genre auxquelles j^ satisfait, celles dont Tordre est minimum,
et parmi celles-ci choisissons celle où la plus haute dérivée
est élevée à la puissance minimum. Soient a et pi cet ordre et
ce degré, F = o l'équation correspondante; F) = o une autre
équation quelconque du système.
De l'équation F = o et de ses dérivées on pourra déduire les
valeurs de _^^. , •••et des puissances de -i-^ de degré ^ jjl
dv d^y /d^y\\'-~^
en fonction rationnelle de ^, JK, -j- ^ • • ■' 77^' ' ' '^ \77~^ )
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 9
Substituant ces valeurs dans Fi, on obtiendra une nouvelle
équation $ = o, qui ne contiendra plus que x^ y^ -^ -> • • •>
d^' '"' Vd^J ' ^^^'^' d'après notre hypothèse, y ne
satisfait à aucune équation de ce genre. Donc l'équation
0 = 0 est une identité.
Nous dirons que la fonction jk est une solution propre de
l'équation F = o et une solution impropre des autres équa-
tions F, = G, .. .; et nous appellerons ordre de la fonction
l'ordre de l'équation F = o.
D'après cette définition, les fonctions algébriques seront
d'ordre zéro; les fonctions d'ordre >> o seront transcen-
dantes.
Une équation différentielle algébrique F= o est dite irré-
ductible, si elle n'admet que des solutions propres
7. Soient jk, ^, ... des solutions des équations différen-
tielles algébriques
/ dy d^y\
(3) {^ / dz d^z\
d'^y d'^z
de degrés tj., v, . . ., par rapport à -7-^5 — z^
^ "^ clûc i
Soient, d'autre part, Y, Z, ... d'autres fonctions satisfai-
sant à des équations analogues
(4) * = o, ^y~0,
Supposons qu'il existe entre ces diverses fonctions et leurs
dérivées une relation algébrique
^F -- o.
Si nous éliminons Y, Z, ... entre cette équation et les
équations (4), nous obtiendrons une équation différentielle
lO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
G = o entre jr, s, . . . , qui représentera la condition néces-
saire et suffisante pour que ces fonctions, associées à des
solutions convenablement choisies des équations (4), satis-
fassent à l'équation ^F = o.
Si donc l'équation G = o n'est qu'une conséquence des
équations (3) et de leurs dérivées, tout système de solutions
de (3), associé à un système convenable de solutions de (4),
satisfera encore à l'équation ^^z=o.
Ce cas se présentera nécessairement s'il n'existe entre les
solutions y, z, . . . , primitivement données, aucune relation
algébrique de la forme
oii -T-^> -7-^? ••• figurent avec des degrés respectivement
infé
rieurs a
En effet, au moyen des équations (3) et de leurs dérivées,
on peut éliminer de G les dérivées ~ , •••, — ^— ^j •••
et les puissances ( -7-^ ) ' (;r^) ' ^" obtiendra ainsi
une équation de la forme (5), laquelle devra, par hypothèse,
se réduire à une identité.
8. Comme application des considérations qui précèdent,
cherchons la forme la plus générale des relations algébriques
qui peuvent exister entre des intégrales abéliennes jKi, ..., Vm
définies par les équations différentielles algébriques
•"''^'^1=°'
Soit
(6) ^(^,7i, ...,r,„) = o
une semblable relation. Nous pouvons évidemment admettre
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. I I
qu'il n'existe aucune relation de même nature entre les fonc-
tions jKi , . • • , ym-i et la variable indépendante.
L'équation (6), résolue par rapport à jKm, pourra s'écrire
D'après le théorème précédent, cette équation subsistera
si l'on y remplace j'<, ..., j^w_i par des solutions quelconques
des équations Fi, ..., F^-i, pourvu qu'on remplace en
même temps jKm pai' ^me solution convenable de l'équation
F„i. Mais il est clair que les solutions de chacune de ces
équations s'obtiennent toutes en ajoutant à l'une d'elles une
constante d'ailleurs arbitraire. On aura donc
Cl , . . . , Cm-\ étant des constantes arbitraires, et c,„ une autre
constante, dépendant de celles-là.
Prenant la dérivée de cette équation par rapport à la con-
stante Ci, il viendra
dc„i _ dcp(^, r,-4- Cl, . . .) _ ()cp(.^, ri + c^,, . . .)
et, en posant c< = . . . = Cm-i = o,
-r : — Al,
àyi
ki désignant la valeur constante que prend dans cette hypo-
thèse la dérivée -t-^«
Cette dernière équation doit se réduire à une identité,
puisque nous supposons que x, y^, ..., jKm-< ne sont liées
par aucune relation algébrique. On aura de même identi-
quement
ÈL-k ^? - k
Ofi Of,n-l
Ï2 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
^2, . . . , km^i étant des constantes. On en déduit
X étant une fonction algébrique de x. La relation cherchée
sera donc de la forme
9. Ces préliminaires posés, il nous reste à indiquer les
procédés par lesquels on peut intégrer une équation diffé-
rentielle (ou un système de semblables équations), c'est-
à-dire déterminer ses solutions.
Il est aisé de voir, par des exemples, que ce problème est
indéterminé.
Considérons, en effet, une équation
(7) ?(-37,7,c)=:0
entre la variable indépendante x^ la fonction j^ et la constante
arbitraire c. On en déduit par différentiation
(8) . ^d.+ ^^dy^o.
Tirons la valeur de c de l'équation (7) pour la substituer
dans (8); il viendra, en représentant par des parenthèses le
résultat de cette substitution,
(9) (g:)rfx+(|î)rf/ = o.
Cette équation différentielle admet pour solution la fofac-
tion j^, définie par l'équation (^), quelle que soit la con-
stante c. A chaque valeur de cette constante répond une
solution particulière. L'ensemble de ces solutions se nomme
la solution générale.
Pour reconnaître s'il existe d'autres solutions, en dehors
de celles que nous venons de déterminer, introduisons une
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l3
variable auxiliaire c définie par l'équation (7). Cette équation
différentiée donne
do . do . â'^ j
-^dx -^ ~- dy -^ ~dc=:o,
dx df ^ de
ou, en substituant pour c sa valeur tirée de (7),
I -^j dx -{- ( -^-] dy -]- ( -^] de =z o
à^\ y [do
ou enfin, en tenant compte de l'équation (9),
On peut satisfaire à cette équation de deux manières :
i*^ En posant
dc^:=^o, d'où c=:const. ;
la valeur correspondante de y étant donnée par l'équa-
tion (7), on retombe ainsi sur la soîution générale;
2° En posant
Cette équation détermine la valeur de y en fonction de x.
L'inconnue auxiliaire c sera ensuite déterminée par l'équa-
tion (7).
La nouvelle solution ainsi obtenue se nomme la solution
singulière de l'équation différentielle.
En considérant x, y comme les coordonnées d'un point,
chaque solution particulière
cp(^,r, c) = o,
où c est supposé constant, représente une courbe.
La solution générale représente l'ensemble de ces courbes.
Enfin la solution singulière, définie par l'équation
m-'
l4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
résultat de l'élimination de c entre les équations
représentera l'enveloppe de ce système de courbes.
Il arrivera parfois que les deux équations (lo) soient in-
compatibles, auquel cas il n'y aura pas de solution singu-
lière; ou que la valeur de c en fonction de x^ déduite de ces
équations, se réduise à une constante; dans ce cas, la solu-
tion singulière se confondra avec l'une des solutions particu-
lières contenues dans la solution générale.
10. Les considérations précédentes peuvent aisément s'é-
tendre à des systèmes d'équations différentielles simultanées.
Soient, par exemple,
(il) ?i = 0, cp2=:0
deux équations entre la variable indépendante x^ les deux
fonctions jKi , JK2 et deux constantes c,, Co ; on en déduira, en
différentiant et éliminant c,, C2, les deux équations difïéren-
tielles
(12)
dx J \àfij \àv2
dont les équations (i i) représentent la solution générale.
Pour obtenir les autres solutions s'il en existe, prenons
pour inconnues auxiliaires les quantités Ci, c^ définies par
les équations (i 1).
La différentiation de ces équations donnera
^da>+^dy, + -, dy, + ^ de, + -- rfc, = o,
^d.+ ^^dy, + ^^dy,+ ^^dc,+ -^^dc,= o .
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l5
OU, en éliminant Cj, Co et tenant compte des équations (12),
(.3)
((!;)*-(&)*.=«.
■*(£)*■=»•
. , de
OCi
On peut satisfaire à ces équations :
1° En posant
<ic, = o, dc^^^^o,
d'où
Ci=const., C2^=const.;
on retombe ainsi sur la solution générale;
2° En posant
\ dci ) \ dci ) \dc^) \ dci
auquel cas les équations (i3) se réduisent à une seule d'entre
elles, par exemple à
Cela posé, des trois équations
cpi=:0, cp2 = 0, A r— o
on pourra déduire les valeurs de C|, C2, ^2 en fonction de œ
et dey^. Substituant ces valeurs et leurs différentielles dans
l'équation (14)5 elle prendra la forme
X dx -H Y dVj = o,
où X, Y sont des fonctions de x' et de j^,.
Toute solution j^, de cette équation, combinée avec la va-
leur correspondante de j^2 tirée de A = o, donnera une solu-
tion singulière des équations différentielles (12;.
3° Enfin, si les équations
m-' m-- (£)="' (£)-
étaient satisfaites par un même système de valeurs dej^i, j^^i
l6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
elles fourniraient une nouvelle solution; mais le système de
ces équations est généralement surabondant.
11. Le problème de l'intégration des équations différen-
tielles (ou des systèmes d'équations différentielles) peut être
envisagé sous deux points de vue différents.
On peut se proposer d'obtenir une solution générale.
Celle-ci trouvée, les solutions singulières s'en déduiront
immédiatement si l'on a affaire à une seule équation , ou
s'il s'agit d'un système d'équations différentielles, par l'inté-
gration d'un nouveau système d'ordre moindre que le pro-
posé. On pourra ainsi former le tableau de toutes les solu-
tions possibles.
Mais, dans les applications du Calcul intégral, la question
de l'intégration se présente autrement. Les fonctions incon-
nues sont assujetties, non seulement à satisfaire aux équa-
tions différentielles données, mais à d'autres conditions acces-
soires qui achèvent de les préciser, de telle sorte que le
problème ne présente plus rien d'indéterminé.
Considérons, par exemple, le mouvement d'un point dans
l'espace. D'après les principes de la Mécanique, ce mouve-
ment sera défini par les six équations suivantes :
dx _ ^1 cly ^ , dz
(15)
dt-""' dl~~^' dt
dx' _, dy' dz'
dt ^ dt dt '
o\x m désigne la masse du point; x^y^ z ses coordonnées à
l'époque ^^ X, Y, Z les composantes de la force qui le sol-
licite.
Il est clair que la question ainsi posée est encore indéter-
minée. Mais on pourra achever de la préciser en se donnant,
par exemple, la position du point, et les composantes de sa
vitesse à l'instant initial Iq. Le problème deviendra, en géné-
ral, déterminé, et pourra se formuler ainsi :
Trouver six fonctions x, y, ^, x' ^y\ z de la variable tj
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. I7
qui satisfassent aux équations différentielles (i5), et qui
prennent des valeurs données x^^ ji'o, ^o) ^'o' J^o» ^'a pour
t^tç,.
La question ainsi posée sera facile à résoudre si l'on peut
déterminer la solution générale du système (i5). Cette solu-
tion sera, en effet, donnée par un système de six équations
entre x, r, ^, x' ^ y' ^ z' , t et six constantes arbitraires a^^ ...,
^6. En exprimant que ces six équations sont satisfaites lors-
qu'on y pose t=^tQ, X =z Xq^ . . . , 2'= z'^^ on obtiendra six
équations de condition pour déterminer les valeurs de <2i , . . .,
«6 correspondantes à la solution particulière que l'on cherche.
Mais ce n'est que dans des cas très spéciaux qu'on sait
obtenir la solution générale d'un système d'équations diffé-
rentielles. On se trouvera donc réduit le plus souvent à étu-
dier la solution particulière qui satisfait au problème déter-
miné que l'on a en vue. Il existe pour traiter cette nouvelle
question des procédés d'approximation numérique que nous
exposerons plus tard, et qui seraient inapplicables au pro-
blème plus étendu, mais plus vague, de la recherche de la
solution générale.
II. — Équations du premier ordre.
12. Considérons une équation différentielle du premier
ordre ramenée à la forme normale
dx
ou
(i) dy — Xdx=:2 0.
Au lieu de cette équation, on peut considérer, avec Euler,
J. — Cours, III. a
i8
TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE
la suivante
(2)
IX df — (xX da: ■= o,
où [A est une fonction de ^, y choisie à volonté.
L'équation (2) est, en effet, équivalente à (i), tant que {jl
n'est ni nul ni infini. La seule différence est qu'elle pourra
admettre la solution nouvelle [jl=zo, ou perdre la solution
I
- = o.
Supposons le facteur ja choisi de manière que le premier
membre de l'équation (2) soit une différentielle exacte. On
pourra déterminer, par de simples quadratures (t. II, n° 161 ),
une fonction o, telle que l'on ait
doz=z ix.df — [jlX dx.
Lors même que ces quadratures ne pourraient s'effectuer
exactement, il sera toujours possible de déterminer, avec telle
approximation que l'on voudra, la valeur de cp pour chaque
système de valeurs de ûo,y.
Gela posé, l'équation (2) se réduit à
(f cp r=^ o
et donne immédiatement
cp = const.
Le problème de l'intégration sera donc résolu dès qu'on
aura déterminé, soit la fonction cp, soit le multiplicateur jji,
d'où cp peut se déduire par quadrature.
13. L'équation
d(^ ^=z [xdf — [xX da^
se décompose dans les deux suivantes :
Éliminant [jl, on obtiendra l'équation aux dérivées par-
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. I9
tielles
^ ^ dx dy
L'intégration de cette équation aux dérivées partielles et
celle de l'équation (i) sont deux problèmes entièrement équi-
valents.
En effet, soit cpune solution (ou intégrale) quelconque de
l'équation (3). On aura
L'équation
dy — X dx =■ G
sera donc équivalente à d(f=:o et admettra la solution gé-
nérale
cp rr: COnst.
Réciproquement, supposons que, par un procédé quel-
conque, on ait obtenu une solution générale de l'équation (i),
telle que
f{x,y,c)-=o,
c étant une constante arbitraire. Cette équation, résolue par
rapport à c, prendra la forme
Différentiant, il viendra
V- dx -h ^ dy =: o.
dx dy
Cette équation devant être équivalente à l'équation primi-
tive (i), les coefficients de dx et de dy doivent être propor-
tionnels; d'où la relation
Donc '^1 est une intégrale de l'équation (3).
70
TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Cette intégrale une fois connue, on pourra en déduire
toutes les autres. Soit, en eflet, cp une autre intégrale quel-
conque; des deux équations (3) et (4) on déduit
dx dy
dœ dy \
équation qui exprime que cp est une fonction, d'ailleurs arbi-
traire, de cp^.
— o.
(5)
14. Quant au multiplicateur jjl, il doit satisfaire à la condi-
tion d'intégrabilité
ÔJ^
à/
= o.
et réciproquement, toute solution de cette équation donnera
un multiplicateur.
Connaissant un multiplicateur [x et l'intégrale cp corres-
pondante, on en déduira aisément tous les autres. Soit, en
effet, |jl'= |jiv un autre multiplicateur; on aura
ÔJ^- dy
/dix dixX\ /(h ^d^\
Donc V sera une intégrale de l'équation (3), et l'on aura
V = F((p), F désignant une fonction arbitraire.
15. Si, dans le premier membre de l'équation différen-
tielle
dy — X.dxz=i o,
noub remplaçons œ et j par x ^ i\, y -\- r/i, £ désignant un
paramètre infiniment petit et i, 'f\ des fonctions de x et de j,
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 21
nous obtiendrons l'équalion transformée
-^ dx dy '^
— X 4- e^ -c h £TQ \-...\[dx-^t-^dx-ht^-dy] — o
\ ox ôy j \ ox ay " /
ou, en développant et négligeant le carré de s,
Si cette équation transformée reproduit à un facteur près
l'équation primitive, nous dirons que cette dernière admet la
transformation infinitésimale Ç, r^.
Cette condition est exprimée par la relation
^ A + ^ 1- + ^i 1- :^ ~Xi ~~X — 1 :- o.
ox ox ()y dx \dy ôy
Posons
cette équation se réduira à
O = ^ ^ - ^-i - X ^ =: C 4 — n
^ dy âx ôy ^ \dx '^ ôy
Cette relation montre que, lorsque z n'est pas nul, son in-
I I 1 • T
verse - = ^^-^ est un multiplicateur.
^ rj — X ç ^
On voit donc que la recherche des multiplicateurs et celle
des transformations infinitésimales de Téquation différen-
tielle en elle-même ne constituent au fond qu'un seul et
même problème.
16. Les équations différentielles que les principes précé-
22 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
dents permettent d'intégrer se ramènent pour la plupart aux
trois types fondamentaux suivants :
i" Les équations de la forme
dy — XY dx = o,
où X est une fonction de ^ et Y une fonction de y. Ces
équations admettent le multiplicateur :rp; caries deux termes
de l'expression
^-Xdx,
ne contenant chacun qu'une seule variable, sont des différen-
tielles exactes.
17. '1° Les équations homogènes
^/ — ?(*;^)^^ = o.
Leur premier membre se reproduisant à un facteur près
quand on y remplace x^ y par (i -[- e)^, (i -f- t)y, elles ad-
mettront comme multiplicateur la quantité ; — r
On peut le vérifier aisément par un changement de va-
riable. Posons, en effet,
y zzz. ux, d'où dy z=z. a dx -\- X du \
l'équation deviendra
u dx -\- X du — ^{u) dx ■=: o^
et, si nous la divisons par le facteur
il viendra
y' — 'i['-~ )j? = ^[« — ?(w)],
dx du
1 T-T
X u — «p ( " )
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 23
équation dont le premier membre est une différentielle
exacte, les variables étant séparées.
Soient Uq une valeur particulière de la variable auxiliaire u ;
œo la valeur correspondante de ^, laquelle pourra être choisie
arbitrairement. L'équation précédente, intégrée de Uq à w,
donnera
du
'"'i^L
o;
« — cp ( i/ )
d'où
_ r" du
J^^ U-<Ç{U)
ce — — •-*^o *
On aura donc exprimé ^ et jk = ux en fonction de la va-
riable auxiliaire u et de la constante arbitraire ^o
18. 3° Les équations linéaires, de la forme
P et Q désignant des fonctions de x seul.
L'équation ne change pas si l'on y remplace jr parj'^ -[- et],
'f\ étant une fonction de x définie par l'équation
(6) â=P..
Elle admet donc le multiplicateur -• On a effectivement
Intégrant, il viendra
d'où
7 = Ciri +7) / ^dx.
La fonction auxiliaire t\ qui figure dans cette formule est
24 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
une solution choisie à volonté de l'équation (6), qui ne dif-
fère de la proposée que par la suppression du dernier terme.
Cette équation s'intègre immédiatement en séparant les va-
riables. Il viendra
d'où
logY) — / P(i^ -{-logCi,
p X
Vdx
7)= Cl
C, désignant une constante arbitraire.
19. Un grand nombre d'équations différentielles peuvent
se ramener aux types précédents par des changements de
variables.
Considérons d'abord l'équation
dy / ax ^ by -^c
dx ^\a' X ^ y y 4- c'
Si ah' — hd n'est pas nul;, posons
ax ^hy ^ c-=^\^ a' ^ + Z>' j -f- c' = r, ;
d'où
a dx -^ h dy ^^ d\y a' dx -\- b' dy z=l dr\ ,
<ij? = A <i^ -h B <iTi , <ij =: A' <^^ 4- B' dr^ .
L'équation transformée
\-W' dr.
K'd^^Wdri _ /[\
Ad'ç^Bdr^
sera manifestement homogène.
Soit, au contraire,
ab' — ba'-=z o,
d'où
a'x -\- b'y -h c'= m{ax 4- ^j -h c) -{- n.
0- -= .- /
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 25
Le second membre de l'équation proposée sera de la forme
cp(«^-H by -i-c).
Prenons ax -{- by -\- c ^=1, pour variable nouvelle, à la
place de x par exemple. On aura
adx-^b dy = <^?,
dx^. - {d^ — bdy),
et l'équation transformée deviendra
ady
d^ — b dy
ou
?(0
dy
Les variables sont séparées. On obtiendra donc j en fonc-
tion de ? par une quadrature, et l'équation
a ^ H- /^/ 4- c = ^
donnera la valeur correspondante de x.
20. L'équation de BernouUi
OÙ P et Q sont des fonctions de x, peut s'écrire
I dy^-"'
m dx
— pyl-m _^ Q
et se changera immédiatement en une équation linéaire, si
l'on prend jk'~'^^ pour variable à la place de j^.
21. L'équation
peut être intégrée complètement dès qu'on en connaît une
g=P + Q^-HR^'
26 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
solution particulière. Soit, en effet, j'i cette solution : po-
sons
l'équation transformée sera
et, comme l'on a par hypothèse
elle se réduit à
C'est une équation de Bernoulli.
22. L'équation
Xdx- -hY df -hZ{x dy — y dx) z=zo,
où X, Y, Z sont des fonctions homogènes dont les deux pre-
mières sont du même degré, se ramène également à l'équa-
tion de Bernoulli, en posant
y^=uœ, dy ^^ udx -\- œdu.
On a, en effet,
X = a7'"cp(w), Y — œ"'^{u), Z — x^-yJji).
Substituant, et divisant par ^"^, il viendra
^{u)dx -+- ^{u) {xdii H- udx) -{- x"'-^^^'^ j^{u) du = 0
•ou
dx i|;(m) j(u)
du cp(w) + t^(|;(?^) cp(w) -+- w(|;(i^)
23. Considérons encore l'équation
ex dy ^^ydx -\-x'^y'^{ax dy -^ by dx)r=:zo.
On a
{(XX dy 4- P/ <i^)^P-V°'"^ = d{x^y^).
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 27
L'expression générale des multiplicateurs qui rendent inté-
grable ^x dy -\- ^y dx sera donc
On voit de même que l'expression générale des multiplica-
teurs de x^y^i^ax dy -\-hy dx) sera
^b — 1 — /« y a — \. — n (1^ / /y.6 y a \
11 résulte de là que x^y^ rendra séparément intégrable
chacune des deux moitiés du premier membre de l'équation
proposée, et, par suite, sera un facteur intégrant, si l'on a
X:=:a — l -^ a.\r=za — I — /l-h<2Tri,
[JL rrr P — I 4- p^ =z è — I — m -\- br^.
Ces équations simultanées détermineront aisément ?, 'jq, A,
^, si le déterminant cf.b — [Ba n'est pas nul.
Si ce déterminant était nul, on aurait
a^=^ko(,, b=zk^j
et l'équation se réduisant à
(i -h kx"^y^) {oLX dy -i- p/ dx) = o
serait intégrable sans difficulté.
24. Considérons enfin, avec M. Darboux, les équations
différentielles de la forme
A ^X 4- B ^Y -f- G ( Y ^X — X ^Y) = o,
où A, B, C désignent des fonctions rationnelles de X et
de Y.
Ces équations prendront une forme plus symétrique si l'on
remplace, comme dans la théorie des courbes algébriques, les
variables X, Y par des coordonnées homogènes, en posant
a^4-P/4-Y^ ' a^ + Pj + Y^ *
28 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
On en déduira sans peine pour dX, dY, Y <:/X — X dY des
expressions de la forme
a{y dz — zdy) + b{zdx — x dz) -\- c{œ dy — y dx)
{ax^^y-^^zf
Ces valeurs, substituées dans l'équation proposée, donne-
ront une transformée de la forme
(7) h{ydz — z dy) -\-M {z dx ~ X dz) -i-^ {x dy — y dx) — o,
L, M, N étant des fonctions homogènes en ^, j-, z^ et d'un
même degré, que nous désignerons par m.
Cette équation peut encore s'écrire ainsi
o,
(8)
Pdx-hQdy^-K dz
en posant
P =Mz-Ny,
Q = Nx~Lz,
R^Ly —Mx;
d'où
(9) P^-|-Qj-|-R^=rO.
25. Pour chaque point x, y, z du plan, la direction de la
tangente à la courbe qui représente géométriquement l'inté-
grale sera donnée sans ambiguïté par l'équation (8). H y a
toutefois exception pour les points où l'on a simultanément
P=,o, Q = o, R = o,
pour lesquels l'équation (8), étant identiquement satisfaite,
n'établit plus aucune relation entre dx, dy, dz.
Ces points singuliers sont évidemment les seuls par les-
quels puissent passer plusieurs branches de courbes dis-
tinctes satisfaisant à l'équation différentielle. On peut donc
affirmer que tout point multiple d'une courbe intégrale ou
tout point d'intersection de deux courbes intégrales est né-
cessairement un point singulier.
Cherchons le nombre ^ de ces points singuliers. Nous re-
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 29
marquerons, à cet effet, que les points communs à P= o,
Q=: o, en nombre {m -f- 1)^, satisfont en vertu de (9) à la
relation Rz = o. On aura donc
(m + 1)2—^4-7),
Tj étant le nombre des points communs à P = o, Q =rr :>,
D'autre part, les m~\-i points communs à P = o, z z^ o
satisfont à la relation Q^ = o. D'ailleurs, un seul d'entre
eux, savoir ^ = o, jk = o, satisfait à jk = o. Les m autres
donneront
donc
7] r=r m et ^■=- ni^ + m -\-i.
26. Cherchons maintenant la condition pour qu'une courbe
algébrique
soit une intégrale de l'équation différentielle. On trouvera, en
différentiant l'équation ci-dessus,
df . df . df .
-— dx -\- i- dy -\- ~dz=zo.
dx dy -^ dz
On a d'autre part, pour tout point de la courbe,
àf df df ,
dx '^ dy dz ^''
p désignant le degré de la courbe /= o.
Des deux équations précédentes on déduit celle-ci
^ ^1 ÎL
dx dy _ dz
y dz — zdy z dx — x dz x dy — y dx
dont la combinaison avec l'équation différentielle (7) don-
nera
dx dy dz
30 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Le premier membre de cette équation est un polynôme
entier. Puisqu'il s'annule pour tout système de valeurs de x^
y, z, tel que l'on ait/=o, il sera divisible par/; on aura
donc identiquement
OJ^ ôy oz ^
K étant un polynôme entier, de degré évidemment égal
à m — I .
Telle est donc l'équation de condition cherchée, laquelle
peut encore s'écrire ainsi
27. Pour tout point singulier de l'équation différentielle,
on aura
P = 0, Qzzro, R==o,
d'où
L_ M _ N
• ^ "~ 7 ~ ^ *
Soit \ la valeur commune de ces rapports. On aura
L = X^, M=:X/, N=zX,s.
Substituant ces valeurs dans (lo), il viendra
"=('-j)('£-4-40=''>-''"'
Les points singuliers seront donc de deux sortes :
i" Ceux qui sont sur la courbe /= o;
2*^ Ceux qui ne sont pas sur cette courbe, et pour lesquels
on aura nécessairement
p\ — Kn= o.
Dans le cas où la courbe /n'a pas de point multiple, il est
aisé de déterminer le nombre des points singuliers de la pre-
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 3l
mière sorte. En effet, ~y ^j -r^ ne pouvant s'annuler simul-
tanément, l'équation (lo) donnera, d'après un théorème
d'Algèbre connu (Darboux, Bulletin des Sciences mathé-
matiques, 1^ série, t. II),
N
P àf
-'I-
P dz
-<.-
p Occ
-"1
et, par suite,
'■=("|-«g)-(-£-"|>
R =pWf- (U.^ 4- V/ + W:;) ^,
U, V, W étant des polynômes de degré évidemment égal
à m — p H- i .
Ces équations montrent immédiatement que les points sin-
guliers cherchés sont les intersections de la courbe /=: o avec
la courbe de degré m — /> -h 2
U.27 + V/ + W-s = o.
Leur nombre sera donc
p{m -p -h 2).
28. Gela posé, nous allons établir que, si l'on connaît un
nombre suffisant d'intégrales particulières algébriques, on
pourra en déduire l'intégrale générale de l'équation pro-
posée.
Soient f=Ojfi = o, ... ces intégrales particulières; /?,
32 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
yo,, ... leurs degrés respectifs. En posant, pour abréger,
L-^-|-M-r-+N— nrA,
oa^ oy dz
on aura (26)
A/=.K/, A/,= K./„ ....
La fonction cp = f^f^', . . . satisfera à une équation ana-
logue ; on a, en effet,
A? = ^y¥+^i-f Vi + ---= («K 4- a^K, + ...)?.
Si les constantes a, a,, ... peuvent être déterminées de
telle sorte qu'on ait
(II) .KH-a,K,+...= -(^-4-^^--t--^j
et
(i2) ^p-i-'^iPi
l'expression o sera un multiplicateur qui rend différentielle
exacte le premier membre de l'équation différentielle.
En effet, il faut et il suffit pour cela qu'on ait les trois
équations de condition
acp(M^ — N/) _ d^{^x — hz)
df do)
Développant et remarquant qu'en vertu de l'équation (i 2)
o est une fonction homogène de degré — m — 2, d'où
(?cp ^cp d-^ , .
dx '^ dy dz ^
ces trois équations se réduiront à l'équation unique
que nous supposons satisfaite.
Les deux membres de l'équation (11) étant des polynômes
homogènes de degré m — i, leur identification donnera
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. ' 33
m(m + 1) , . 1 i- • i- ^- , \- ' '
— ^- équations de condition distinctes, linéaires en a,
a,, .... Le nombre total des conditions à remplir sera donc
m(m-^\) ^ . , pp ' ' 1 j ' . m ( m + 1 )
— -^ -f- I , et il sulhra, en gênerai, d avoir — ^ -f- i
intégrales particulières pour obtenir un multiplicateur et en
déduire par quadrature l'intégrale générale.
29. Ce résultat serait en défaut si le déterminant des équa-
tions de condition était nul; mais, dans ce cas, on pourrait
déterminer les quantités a, de telle sorte qu'on eût
( aK -h ajK. -h. . .-= o,
(f3)
( a.p -+- ai/?i -h . . . =: o.
Or il est aisé de voir que, si ces conditions sont satisfaites,
cp z=:z const. sera l'intégrale générale de l'équation proposée.
En effet, o étant homogène et de degré zéro, on aura
do do do
dx -^ dy dz
)'autre part.
T do ,- do -, do
ox oy oz
ou
d^ d<^ d<f
dx dr dz
Mz — Ny N^ — L^ Lj — M^
De ces relations combinées avec l'équation différentielle
on déduit
do j do do , j
oi=z --^ dx 4- -^ dy -\- ~~ dz z::^ do,
dx dy -^ dz
d'où
cp = const.
Les équations (lo) équivalant a h i équations
linéaires et homogènes en a, a,, . . . pourront toujours être
satisfaites si le nombre de ces quantités est au moins égal à
J. — Cours, III 3
34 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
— ^^ h 2. Mais, dans la plupart des cas, les équations
de condition ne seront pas distinctes, ce qui réduira le
nombre des solutions algébriques nécessaires pour l'applica-
tion de la méthode.
En effet, pour que le polynôme aK 4- a, K, -h . . . soit
,j . ^ , ., r.p^ ,.1 , 1 m(m-hi)
identiquement nul, il sutiit qii il s annule pour — ^^
points Xj j', z', x^^ yi, Zi] ...; car on obtiendra ainsi
m(m 4-i) , . ,. , . ^ , , ^ ^
— ^^ équations linéaires et homogènes entre ses coei-
fîcients. Ceux-ci seront donc nuls, à moins que le détermi-
nant de ces équations ne soit nul (ce qui aurait lieu dans le
cas où les points considérés seraient tels que toute courbe
d'ordre m — i qui passe par quelques-uns d'entre eux passe
nécessairement par les autres).
Gela posé, soit x^ y, z un point singulier qui n'appartienne
à aucune des courbes/, /, .... On aura, pour ce point,
Kz=z\p, K, = X/?i, ...,
d'où
L'équation de condition aR + a, R, -f- . . . = o, relative à ce
point, fera donc double emploi avec l'équation
ap-\- (x^p^-\-. . .— o.
Si donc il existe q points singuliers qui n'appartiennent à
aucune des courbes /, /<, ... (et qui ne soient pas tels que
toute courbe d'ordre m — i, qui passe par quelques-uns
d'entre eux, passe nécessairement par les autres), on pourra
les prendre dans la série des points x, y^ z] x^, y\^ z^'^ . . .,
Dour lesquels on doit exprimer que aR + a,R,-|- ... s'an-
nule, et le nombre des équations de condition distinctes se
réduira à — ^^ \- \ — ^.11 suffira, pour y satisfaire, d'a-
. w ( m -h i ) . , , ' ^'^ 1 ' i •
voir — ^^ 4-2 — q intégrales particulières algébriques.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 35
30. Supposons, par exemple, que l'on connaisse [jl inté-
grales algébriques /= o,/, = o, ... sans points multiples,
ne se touchant mutuellement nulle part, et telles que la
somme /> -f-/?i 4- . • . de leurs degrés soit égale à m-\-i.
Nous pourrons construire l'intégrale générale. Il suffît en
cfTet, pour cela, qu'on ait
{x>— ^^ 4-2-^.
Pour vérifier que cette équation est satisfaite, nous remar-
querons que chacune des courbes (données, telle que/, passe
par p[jn-\-i — p) points singuliers, qui sont précisément
ses points d'intersection avec les autres courbes du système.
Chacun de ces points se trouvant sur deux de ces courbes,
leur nombre total r sera
2j 2 2 2 r •
Le nombre q des points singuliers qui ne sont sur aucune
de ces courbes sera donc
(m H- 2)-
m^ -h m 4- I — ^ -h \ S/»-.
Substituant dans l'équation de condition précédente, elle
devient
Le cas le plus défavorable pour l'existence de l'inégalité ci-
dessus est celui où tous les nombres p sont égaux à l'unité.
En effet, si nous remplaçons un de ces nombres p par deux
autres p' et p" , tels que l'on ait p' -\- p" z=iz p ^ ji. sera accru
d'une unité, et^S/>^sera diminué de^(/?^ — p''^ — p''-)~j= p' p\
quantité au moins égale à i.
Or, si tous les p sont égaux à l'unité, on aura
[i. = 2/>- = /n -h 2 ,
et les deux membres de l'équation sont égaux.
36 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 1.
31. Considérons, comme application, l'équation de Jacobi
{ax + 6/4- cz) {ydz — z dy)
-^ {a' X ^ b' y -\- c' z) {z dx — œ dz)
-h {a" X + b"y ^ c" z) {x dy — y dx) — o.
Cette équation admet trois droites comme solutions parti-
culières. En effet, la condition pour que la droite
f^=.ux^vy-\- wz =-- o
soit une solution sera, d'après la théorie précédente,
{aX'i- by -^ cz)u ^ {a! x-\- b' y -\- c' z)v + {a!' x -h b" y 4- C' z)sv
zzz- k{ux -\- çy 4- wz),
/r étant une constante.
Cette équation donne les trois suivantes
!aa -\- a' i^ -i- a"iv =z. ku,
bu-^b'^>-^b"w^-kv,
C« 4- C' (^ 4- C" W :rr ki\',
d'où l'on déduit pour k l'équation du troisième degré
a — k a'
b b'—k
^1
a"
b"
c"— k
Soient A",, k^^ k^ ses trois racines. A chacune d'elles k^
correspond une droite /p, pour laquelle les rapports des coei-
lîcients ii, v^ iv seront déterminés en fonction de kp parles
équations (i4)-
Cela posé, l'intégrale générale sera
a,, oL.j, oL-i étant déterminés par les relations
a, /ci 4- a, /tj 4- «3 /.g --~ o,
a, -\- aj
O,
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 87
auxquelles on satisfera en posant
32. Les équations différentielles
où la dérivée y' se trouve à un degré supérieur au premier,
exigent, pour être traitées par les méthodes qui précèdent,
la résolution préalable de l'équation par rapport à y' , ce qui
peut présenter de graves difficultés. Mais on pourra, dans
certains cas, se dispenser de cette opération par l'introduc-
tion de variables auxiliaires.
33. i" Considérons d'abord les équations qui ne contien-
nent que la dérivée y' et une seule des variables x^y.
Ces équations sont des deux formes suivantes
/(^•,/) = o ou /(j,/) = o,
suivant qu'elles contiennent la variable indépendante x ou la
fonction inconnue y. Mais ces deux types d'équations se ra-
mènent immédiatement l'un à l'autre en prenant la fonction
pour variable indépendante, et réciproquement.
Nous nous bornerons donc à considérer les équations de
la forme
Si l'on sait exprimer j" qI y au moyen d'une variable auxi-
liaire u par deux équations
y^o{Li), y'=.^{u),
dont le système soit équivalent à l'équation unique (i5), l'in-
tégration sera ramenée aux quadratures. On aura, en effet,
dx--i^- t^ du
38 TnOISIÈME PARTIE. — CHAPITRE
d'où
^ /•?'(»
X +(«:
du -1- const.
avec
7 — ?(")•
Ce cas se présentera en particulier si l'équation (i5) re-
présente une courbe de genre o ou i , lorsque Ton y consi-
dère j, y' comme les coordonnées d'un point. Les fonctions o
el^ sont alors rationnelles ou elliptiques, de telle sorte que
les intégrations pourront se faire.
Considérons, par exemple, l'équation
j" — /'+ 7' = ex-
posons jr= uj'; substituant et supprimant le facteur jk'-^ il
viendra
y—i — u-, y—u — u^,
du
Çi — ^u^
J I — «'
= / ( 3 H ^- -—) du = 3u -h log~ ^- -+- c.
u — i u-i-ij "^ u -{- 1
34. 2° Il existe une classe assez étendue d'équations diffé-
rentielles qu'on peut intégrer à l'aide d'une différentiation
préalable.
Considérons, en effet, l'équation
On en déduira, par la différentiation,
df^^Jœ-^f^dy+pdy^o.
Prenons j^' pour variable auxiliaire; nous aurons la nouvelle
équation
dy — y' dx i=r o
qui, combinée à la précédente, donnera un système de deux
équations simultanées pour dé terminer j^,jk'.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Sq
Supposons qu'on soit parvenu à déterminer des multipli-
cateurs M, N, tels que l'on ait
M df-\- N{df—y dœ) = ^cp,
do étant une différentielle exacte.
Les équations /= o, dy — y' dx = o seront, en général,
équivalentes aux deux suivantes :
/=o, d'^ — O
ou
fzzzzO, C5— e.
On n'aura plus qu'à éliminer y' entre ces deux dernières
équations pour avoir la relation qui lie x^y et la constante
arbitraire c.
Les deux systèmes d'équations cesseraient toutefois d'être
équivalents pour les valeurs de x^ y-,y'^ qi»i rendraient N nul
ou infini, ou M infini. De là peuvent naître des solutions sin-
gulières.
33. Considérons, par exemple, l'équation
7 = ^/(7') + ?(/)
linéaire en x et 7.
On en déduit, par différentiation,
(16) / dx =/{/) dx + [x/'{y') -H cp'(/)] dy'.
Cette équation étant linéaire en x et --j—,^ on peut en déter-
miner un multiplicateur, et son intégration donnera x en
fonction de la variable auxiliaire jk'. Cette valeur, substituée
dans l'équation primitive, donnera la valeur dey.
Un cas particulier digne de remarque est celui de l'équa-
tion de Clairaut,
7 = ^^/+ ?(/')•
L'équation auxiliaire (16) se réduit dans ce cas à
40 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
En égalant à zéro le facteur dy ^ on aura
y—c
et, en substituant cette valeur dans l'équation primitive,
y =rr ex -h o(c).
La solution générale représente donc un système de droites.
On aura une solution singulière en posant
.r + cp'(7')=o.
Cette équation, associée à l'équation primitive, représente
évidemment l'enveloppe des droites fournies par l'intégrale
générale.
36. L'équation différentielle
('") •^77'^+ (.^^— r^— Ah-B)j'~^7 = o
peut se ramener à l'équation de Glairaut, en posant
d'où
2 X dx =: du^ iy dy z=: dv]
X dx du '
^ y
y
X
successivement
Substituant dans la proposée et multipliant par — > il vient
iiv'^ -\- {u — {> — A -h B ) t^' — P ==: o,
, B-A ,
I -H v'
L'intégrale générale sera
B-A
v^cu-\ c
I-hC
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 4*
OU
y--=z cx^-\ C.
I-hC
Posons maintenant
c — — ,
A-+-X
). étant une nouvelle constante. L'équation précédente de-
viendra
et représentera un système de coniques homofocales, ce qui
concorde avec un résultat trouvé dans le Calcul différen-
tiel (t. I, n«167).
37. Supposons qu'en intégrant par divers procédés une
môme équation différentielle
da: '
on ait obtenu deux solutions générales, de la forme
cp =: const.,
cpi = const.
On aura, comme nous l'avons vu (13), une relation de la
forme
?i = F(cp).
On peut déduire de cette remarque une démonstration
nouvelle des propriétés fondamentales de plusieurs fonctions
transcendantes.
38. Considérons, en effet, l'équation différentielle
dx dy
a; y
L'intégration directe donnera
log^ 4- \o^y = const.
/[îî TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
D'autre part, l'équation peut s'écrire
o = jK dx -\- X dy ^=^d. xy
et donne
xy =z const.
On aura donc
log^4-log7 = cp(^/).
Pour déterminer la forme de la fonction ^, posons
il viendra
logo? == ^{x).
On aura donc, en général,
log^ + log/ = log^jK.
39. Considérons en second lieu l'équation
dx dy
. -h , ' = o.
\/i — x^ yi— 7^
L'intégration directe donne
arc sin x H- arc siny = const.
D'autre part, chassons les dénominateurs et intégrons ; il
viendra
j dx\/i — y^-h j dy^i — x^z==L const.
et, en intégrant par parties,
xJi — y^-hVi/i — x^-^ I xy 1 -—=:= 4- ^=^ —
= const.
L'intégrale qui reste ayant tous ses éléments nuls, en vertu
de l'équation différentielle, on aura simplement
■^ V^^ — /^ + / V^^ — ^^=: const.
et, par suite,
arc sina7 ■+• arc sin j = <f{x^i — /^-h/V^i — ^^).
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 43
Posons
j = o;
cette équation se réduira à
arc sinx z=z o{ûo).
Donc la fonction cp est un arc sinus, et l'on obtiendra la for-
mule fondamentale
arc sin^ -f- arc sinj = arc sin(^ ^^i — /^4-/V^i — ^0»
40. Considérons enfin l'équation différentielle
do! dy
où
A(^) =: V/(I-^2)(I- A-y ).
L'intégration directe donne
F(^) 4-F(/) =:const.,
F désignant l'intégrale elliptique de première espèce.
Mais d'autre part, cette équation étant un cas particulier
de l'équation d'Euler, admet une intégrale générale algé-
brique (t. II, n°^ 498-501). Voici un nouveau procédé pour
l'obtenir, indiqué par M. Darboux.
Posons
dx dy
t étant une variable auxiliaire. On en déduira successivement
/ dnc \ 2
44 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
et, en dérivant par rapport à t^
-^ — 2 k-x^— (j + k'^)x,
puis
d'-y
d'-x d^ y
y~dF'~^'d¥ ik'xr
d^x d^y / dx dy
'^ dt- dt
,„ ( dx dv\
dx dy I — k^x^y-
y —, — ^ -y-
-^ dt dt
et, en intégrant,
, / dx dy\ , , /, o «X
dx dy
rri: COnSt..
y —, — ^ ,
-^ dt dt
\ — k'x''y^
et enfin
y L{x) -V X !^{y)
= const.
— k^x^y^
On aura donc
y J \J ) .y i — k'-x^y^ J
Posons
yz^o;
cette équation se réduira à
F{x) = o(x).
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 4^
On aura donc
Posons
œ r=:snu, y z::z snç, d'où Aœ ^= cnudnu, I^y ~ cnç dnç.
Nous retomberons sur la formule connue
sn w en p dn ç -^ snç en u dn a
sn (w H- (^) =
I — • /:^sn^ asn^t^
III. — Systèmes d'équations simultanées.
41. Tout système d'équations difFérentielles simultanées,
entre n + i variables œo, . . . , Xn, peut être ramené, comme
on l'a vu, au type normal
CLJOq CtJOn
X , , , . . , X,j étant des fonctions de ^o? • • • ^ ^/z-
Ces équations étant mises sous la forme
(r) ¥,,=.dœk — X},dxQ — o {k ■= i, . . . , n),
cherchons à en déduire une combinaison
dont le premier membre soit une différentielle exacte Jco.
L'identité
Ljk ox^ dx„
donnera
~2/'-^'"-5:^
Eliminant les [i., on aura, pour déterminer o, l'équation aux
dérivées partielles
(.) fL^y x,^=o.
o-^o Ad/c àxk
46 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE T,
42. L'intégration de l'équation (2) et celle du système (1)
sont deux problèmes équivalents.
En effet, si, par un procédé quelconque, on est parvenu à
obtenir une solution générale du système (i) (^ ), représentée
par n équations
(3) 4.,=:o, ..., 4^„ = o,
entre Xq^ . . . , ^/^ et ^ constantes arbitraires c,, . . . , c,,, on en
déduira aisément toutes les solutions (ou intégrales) de
l'équation (2). Résolvons, en effet, les équations (3) par
rapport à c», . . . , c« ; elles prendront la forme
(4) ?i = c,, ..., ^n^c„.
D'ailleurs, les premiers membres cp< , . . . , cp^^ de ces équations
seront des fonctions distinctes de Xq, . . ., Xn^ c'est-à-dire
qu'elles ne seront liées par aucune relation; car, si une sem-
blable relation existait, les équations (4) ou les équations
équivalentes (3) seraient incompatibles, sauf pour les sys-
tèmes de valeurs des c qui satisfont à cette même relation,
et, pour ces systèmes de valeurs, elles cesseraient d'être dis-
tinctes.
Gela posé, les équations (4) donnent, par différentiation,
<icpi =0, . . . , d'o,i = o.
Ce système devant être équivalent au système (i), on aura
des équations de la forme
doi^\ î4F^.
'^=L=^
Donc cp,, . . ., (^n seront des intégrales de l'équation (2).
Soit maintenant y une autre fonction quelconque de
Xq^ . . . , Xn^ qui soit distincte des précédentes. Si nous trans-
formons l'équation (2), en prenant pour variables indépen-
(•) On verra dans la Section V qu'il existe toujours de semblables solu-
tions.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 4?
dantesjK, cp,, . . . , cp,,, elle prendra la forme
Mo -T^ + Ml -T-^ + . . . H- M„ -r-i- = o.
Mais elle admet pour intégrales cp< , . . . , cp,, ; donc
Mi = o, ..., M,i = o.
L'équation se réduira donc à -r^ = o. Donc, pour qu'une
fonction o=:F{y, ...,cp„) satisfasse à cette équation, il
est nécessaire et suffisant qu'elle ne contienne pas y. La
forme générale des intégrales cherchées sera donc
où F est une fonction arbitraire.
Réciproquement, supposons que nous ayons déterminé
n intégrales distinctes cp,, . . . , Qp„ de l'équation (2); on aura
^f'=S/^-
Ff, (t — 1,2,
(ji[ , . . . , ij.)J étant des fonctions de x^), . . . , x,i^ dont le dé-
terminant n'est pas nul, car il ne doit exister aucune rela-
tion linéaire entre d'^\, . . ., d'^n' Le système (i) sera donc
équivalent ( ' ) au système
dont on obtient immédiatement la solution générale
43. Nous appellerons, d'après Jacobi, multiplicateur le
déterminant \k des coefficients
a'" - ^"^^ .
(') Sauf pour les systèmes de valeurs des variables qui rendraient infinis
les coefficients [x ou qui annuleraient leur déterminant. Ces systèmes devront
être considérés à part.
48 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Si l'on remplaçait le système des intégrales co, , . . . , 'Z),i par
lin autre système d'intégrales distinctes ^i(^i , . . . , cp„), . . . ,
y/i((p, , . . . , cp,;), on obtiendrait évidemment un nouveau
multiplicateur [J.J, J désignant le jacobien de ']>,, , . . , ^,i par
rapport à cp,, . . ., ^,,.
Ce jacobien est une fonction de cp,, ..., cp,^, qui peut
d'ailleurs être arbitraire. En effet, F désignant une fonction
arbitraire de cp4, . . ., cp/^, que nous supposerons contenir cp<
par exemple, il suffira de poser
h:
F^'fn '^^
^a^
pour avoir J == F.
44-. Soit j^ l'un des nombres
ce que devient le déterminant
Désignons par Dp
(j.~
dXn
dx„
lorsqu'on y remplace les éléments y^ (
Ar.
les éléments -^ - Gomme on a
dxo
1
d<^i
k OXi,
il viendra évidemment, en supprimant les termes qui se dé-
truisent,
On en déduit
d\i.
Dp zzzz — [-«-Xp.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 49
Or le second membre de cette égalité est nul; car, en
eiïectuant les calculs, on voit immédiatement que c'est une
fonction linéaire des dérivées secondes -r ~ — , •• • , et que
aooidxfc ^
lune quelconque de ces dérivées a pour coefficient la
somme de deux déterminants qui ne diffèrent que par
rechange de deux colonnes, et qui, par suite, se détrui-
sent.
Le multiplicateur |Ji satisfait donc à l'équation aux déri-
vées partielles
Réciproquement, toute solution |ji' de cette équation est
un multiplicateur. Posons, en effet, ^' = tjLV. L'équation de-
viendra, par la substitution de cette valeur de [a',
\ ôxq ^k àxj,
\àx^ Zjk àx
Donc V est une intégrale, et l^-' = [Jt-v un multiplicateur.
dxo Zuk '' àxk)
45. Supposons que nous ayons réussi à déterminer seule-
ment i intégrales distinctes cp^ ..., cp^ de l'équation (2),
/ étant << n. Soient jto, • • • ? Jn-i des fonctions de .2:0, . . . ,
x,,^ qui, jointes à celles là, forment un système de /i -f- i
fonctions distinctes. Si nous prenons les cp et les y pour va-
riables indépendantes, les équations F/f prendront la forme
F, --^^Mâ dy^ -i-^ N^ ch^ = o
(a — o, ..., /i — /; p — 1,2, .. .,/),
En les résolvant par rapport à dy\^ - - ..i/cp,, . . ,, on ob-
J. — Cours III. li
56 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I,
tiendra un nouveau système équivalent ■ ■ •
^ G,^,= a\^'F,-h...-^a^'F,, = dy, -Y,dy, =0,
G„ =a'lFi 4-... + <F/, =dy„_i — Y,,_idfQ=o,
Les i premières équations de ce nouveau système donnent
immédiatement
cpi =i:z const., ..,, (p„ ^=; const.
Il ne restera donc plus qu'à intégrer le système d'ordre
//. — / formé des équations
(7) G/^l=:0, ..., G,i— o,
où O), ..., 0,1 doivent être considérés comme des con-
stantes.
Les multiplicateurs tx' du système (6) s'obtiennent évi-
demment en divisant ceux du système (i) par le déterminant A
des coefficients a.
D'ailleurs l'équation aux dérivées partielles qui les caracté-
rise, se réduisant à
àfo àfi '" dfn-i ' '
montre qu'ils sont des multiplicateurs du système (7). Si
donc on connaît un multiplicateur [a du système primitif, on
en déduira un multiplicateur - du système réduit (7).
Il résulte de là que, si l'on connaît n — i intégrales et un
multiplicateur du système (i), la fin de l'intégration s'ob-
tiendra par de simples quadratures ; car la question se
ramène à intégrer une seule équation du premier ordre, dont
on connaît un multiplicateur.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 5l
46. On a souvent à étudier des systèmes d'équations diffé-
rentielles dont on peut déterminer facilement un multipli-
cateur. Le cas le plus simple et le plus important en même
temps est celui des systèmes d'ordre un et de la forme sui-
vante
(8) dxi—-^dt, dpi — —^dt {i — i,2,...,n),
où 'h désigne une fonction connue des 2n variables 0:4, . . . ,
^/i 1 P \^ • • • 5 Pn •
Ces systèmes sont connus sous le nom de systèmes cano-
niques. Ils se rencontrent dans les plus importantes questions
de la Mécanique.
D'après la théorie précédente, leurs intégrales cp et leurs
multiplicateurs p. seront déterminés par les équations aux
dérivées partielles
X
dt ^1 \d3Ci dpi dpi dxi
et
àpi J
il est clair qu'on satisfera à cette dernière équation en posant
simplement [j. = i .
Parmi les intégrales, nous distinguerons de préférence
celles qui sont indépendantes de t\ elles seront données par
l'équation
dxi dpi dpi dJCi
laquelle admet 2/2 — i solutions distinctes^ en fonction des-
quelles toutes les autres peuvent s'exprimer.
Si l'on a déterminé 2n — 2 de ces solutions, cpi, . . ., ^2«-2)
on pourra achever l'intégration par de simples quadratures.
En effet, soient jk^JKi deux fonctions quelconques des x^,
Xn, p\, . . . , /?/2, distinctes de cpi , . . . , ^2«-2- Prenons pour
variables indépendantes les :p etlesjK à la place des x et des/?.
Sa TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Il nous restera à intégrer un système de deux équations,
de la forme
dt =Y^df,
et dont nous connaîtrons un multiplicateur.
Ce multiplicateur ^' satisfera à l'équation
àf dy, "^ dt " ''•
Mais tous les éléments qui entrent dans le calcul de [jl', Y|,
Y2 sont indépendants de t\ donc Téquation précédente se
réduira à
dy âyi
et [Jl' sera un multiplicateur de l'équation
dyr-^Y^dy.
On pourra donc intégrer cette équation par quadrature, et
obtenir ainsi r< en fonction de y. Substituant cette valeur
dans la seconde équation, on aura t par une dernière qua-
drature.
47. L'expression
Zji \à^i dpi ôpi dxi)
qui forme le premier membre de l'équation (g), se représente
ordinairement par (d, o). De la définition de ce symbole
l'ésultent plusieurs propriétés importantes, parmi lesquelles
nous signalerons les suivantes :
(10) (c, cp)t=o (c étant une constante),
('0 (4^)?) = o (si cp et «j; sont indépendants des/?),
(12) (cp, ^) —— (4;,cp),
(13) (cp, cp)rz:0.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 53
Les formules (lo) à (i4) résultent immédiatement de la
définition du symbole (t{;, (p). Pour vérifier la relation (i5),
on remarquera que son premier membre développé est formé
de termes dont chacun est le produit d'une dérivée du second
ordre de Tune des fonctions cp,, cp2, <} par des dérivées du
premier ordre de chacune des deux autres fonctions.
Considérons, par exemple, les termes qui contiennent les
dérivées du second ordre de <]>; ils seront de l'une des formes
dxidpk àfi dxi, dxidpk dxf^ dpi
ôxièxk dpi dp// dpidpk dxt dx/,'
et proviendront exclusivement des deux derniers termes de
l'équation (i5).
On vérifie, d'ailleurs, aisément que chaque terme de l'une
des formes ci-dessus provenant du second terme de l'équa-
tion est détruit par un terme correspondant provenant du
troisième.
48. De la proposition que nous venons d'établir découle
celte conséquence importante, connue sous le nom de théo-
rème de Poisson :
Soient cp,, cp2 deux intégrales quelconques de l'équation
aux dérivées partielles
(4;, cp) = 0
(où 'i> est une fonction donnée); l'expression (^«,^2) sera
une nouvelle intégrale.
En effet, des identités
(d;, cpi) — O, (J/, cp2)=0,
que l'on suppose satisfaites, on déduit immédiatement
((4^J?l),?2) = (0, 'f2)=zO,
((?2, ^), ?l) =— (('1^, ?2), ?l) = - (O, 'f,) := O
54 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I,
et, par suite, • V '^ ' ; ;
Supposons donc que l'on connaisse un certain nombre
d'intégrales distinctes cp^, . . . , cp^ de l'équation proposée, on
en déduira de nouvelles intégrales (cpi, (^2), • • -, (^A_n Ok).
Si ces nouvelles intégrales sont des fonctions de cp,, ...,
<p/f, cela n'apprendra rien de nouveau; mais, si quelqu'une
d'entre elles ^y^-^i est distincte des précédentes, on pourra la
leur adjoindre, puis refaire la même opération sur le système
<p<, 02, . . ., ^/f+M et ainsi de suite, tant qu'on trouvera de
nouvelles intégrales distinctes de celles déjà connues.
49. Revenons à la théorie générale des systèmes d'équa-
tions simultanées de la forme (1). Si, dans un semblable sys-
tème
(16) F,=.o, ..., F,:^o,
nous changeons Xq^ ...^Xn en ^o + ^io? ^/<+£^«?
ioi • . . , \n étant des fonctions de x^, . . . , Xn^ et £ étant un
paramètre infiniment petit dont nous négligerons le carré,
nous obtiendrons de nouvelles équations
(17) Gi=:=o, ..., G„:=o.
Si ces équations transformées sont des combinaisons
linéaires des équations primitives, telles que
(18) G/=:«,,.F, 4- ... -ha,,/ F,, (/zr. I, ...,/i),
nous dirons que le système (16) admet la transformation infi-
nitésimale ^o> • • • 7 5/2'
L'étude de ces transformations infinitésimales se lie inti-
mement à celle des intégrales et des multiplicateurs du sys-
tème proposé. Nous remettrons l'examen de cette question à
Ja Section suivante, où elle se présentera sous une forme plus
générale. Nous nous bornerons pour le moment à montrer
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 55
que l'ordre du système peut être abaissé, si l'on connaît une
transformation infinitésimale ^o^ • • •) ^/n telle que l'équation
aux dérivées partielles
puisse être intégrée.
Soient, en effet, ri , . . . , JK« les /i intégrales distinctes de cette
équation. Lorsque ^05 .-., ^/i seront changés en ^o-j- e^o, ...,
^/i-+- ^^/n y\-> ' • ' , y II resteront invariables; car j^^- se trouve
accru de la quantité
Soit, d'autre part, r\ ce que devient ^o lorsqu'on l'exprime
en fonction de Xq, jKn • • • , JOn et posons
-/
dûOQ
y M -''^yn étant traitées comme constantes dans l'intégra-
tion.
La transformation infinitésimale donnée, accroissant.ro d('
zr\ sans altérer j/^ , • • . , fn^ accroîtra yç, de ev] -^ — = s.
Si donc nous prenons pour variables indépendantes y^j
yt, . . ., y/ij le système transformé ne variera pas quand on
accroîtra y^ de s, sans changer les autres variables.
Gela posé, les équations de ce nouveau système, résolues
par rapport aux différentielles dy^^ . . . , dy,i, donneront un
résultat de la forme
rf/o- Y^ Y^
Pour que ce système se reproduise quand on accroît yo
d'une constante e sans altérer les autres variables, il faut
évidemment que ¥4, ... Y,i soient indépendants de yQ.
56 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Il suffira dès lors, pour intégrer ce système :
i" D'intégrer le système d'ordre n — i
dy^ _ _ dy,,
Yi Y,/
ce qui donnera JK2, • • • , y'n en fonction de r, ;
2** De substituer ces valeurs dans l'équation
dy^
dyx
Y7'
laquelle donnera jo par une simple quadrature.
50. Parmi les cas d'intégrabilité de l'équation (19), le plus
simple est celui où les variables sont séparées, ^0 dépendant
de Xq seulement, \^ de x^ seulement, etc. Le système
(20) • ^"- ==...=. ^%
d'où dépend l'intégration de l'équation (19), s'intègre alors
par de simples quadratures, et l'équation (19) admettra les
intéijrales suivantes :
/i ^
/dx^ r dxQ
17 ^j X
/dx„ r dx„
in J io '
1° Supposons, par exemple, que Ho, ... , kn soient des con-
stantes. Il faudra, pour réduire le système, prendre pour
nouvelles variables les quantités
X^ Xq X^ Xq
et
17
U
2° Surposons, en second lieu, $0=—' *••» L = -'
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. ^J
<2o, . . • , a,i étant des constantes. Les équations (20) devien-
dront
On en déduit
aolog^o — a/ log^/= const. (/= i, . . ., /i)
ou, ce qui revient au même,
— ^ =: const.
x%^
Il faudra donc prendre pour nouvelles variables
C dxQ ,
Jo— / «0 =aolog^o.
51. Lorsqu'on a une équation unique
d^y ^( dy d"-
dx"' -^ \ ' -^ ' dx dx"
il est généralement avantageux delà remplacer par le systèmii
simultané
(^^)| = -^' %-y'^ ■■■' ^■-/(-,/-7'.-./"-').
Ce système est susceptible d'abaissement, d'après ce qui
précède :
1" Si l'équation primitive (21) est homogène par rapport
à j^ et à ses dérivées; car le système (22) admettra évidem-
ment la transformation infinitésimale qui remplace jk, J'', ...
par y -\- sjk, Jk'+ ^y', • • • , sans altérer ^•
2" Si l'équation primitive se reproduit à un facteur près,
lorsqu'on y change x et jk en x-\-s.x, y-^^y\ car le sys-
tème (22) admettra la transformation infinitésimale qui rem-
place X, 7, y, y", ..., 7"-< par x-\-tx, y-h^y, /,
r"-'^y% ...,7«-'-(/z-2)£jK"-^
58 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
3° Si l'une des deux variables x, y ne figure pas explici-
tement dans l'équation primitive; car cette variable ne figu-
rera que par sa difFérentielie dans le système (22) et pourra
se déterminer par une simple quadrature, quand on aura in-
tégré le système d'ordre n — i, obtenu par l'élimination de
cette différentielle.
Sa. Si nous supposons que, non seulement y^ mais ses
k — I premières dérivées ne figurent pas explicitement dans
l'équation primitive, on n'aura, pour déterminer j^^, ...,jr''~<,
qu'à intégrer un système d'ordre n — k
dx -^ ' •••' dx -j^'^^y ' •••.7 )•
Ayant ainsi déterminé j'^, on trouvera, par une série de
quadratures,
puis
expression que nous représenterons par la notation suivante :
yk-1 -— J yk fl^t ^
On trouvera de même
y^~^ =■ fy^'~^ dx r= fy^' dx^
et enfin
y^fy^dxK
53. Ces quadratures successives peuvent être remplacées
par une quadrature simple.
Soit, en effet, f{x) la valeur trouvée pour y^ en fonction
ôe X. On aura, pour déterminer jk, à intégrer l'équation
Or on reconnaît aisément que cette équation admet, comme
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES OUDINAIRES. 5vJ
solution, l'intégrale définie ... . . ^ /
Prenons, en effet, les dérivées successives de cette expres-
sion par rapport au paramètre x\ il viendra, en remarquant
que f{t){x — tY~^ et ses k — 2 premières dérivées par rap-
port à X s'annulent pour t ^= x^
^--......'(A-.)r/(^)(— ^)^-^-^^'
£^'=//(o^',
Posons maintenant jK = jKi -4- ^ dans l'équation proposée ;
il viendra
d'où Zz=:P/._^,
P/v_i désignant un polynôme arbitraire de degré k — i .
La solution la plus générale de l'équation proposée sera
donc
r = /i + Pyt-i.
54. Considérons l'équation du second ordre
On aura le système
^-f(r y ^^
dy ,
Sous cette forjne, il est aisé de voir que l'intégration
peut être ramenée aux quadratures, toutes les fois que la
6o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
fonction / n contient qu'une seule des trois quantités
^^ y^ y-
1° Si /ne dépend que de x^ la seconde équation don-
nera
y= / f{oc)dx^c,
et l'on trouvera ensuite
■J ydx-\-c'=zf dx\ f /{x)dx\-\-cx
2" Si / ne dépend que de y, on déduira des équations ci-
dessus la suivante
y^y=Af)^f
et, en intégrant,
y ="v// v(7)^/+^,
et enfin
dx~-^,
y
a ou
=/?-,('
+c'.
l/''^j["^2/(j')d'/ + c
3" Si/ne dépend que dej'', on aura
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 6l
d'où
^ — / -TT-TT -I- C,
On aura donc œ et y, exprimés tous deux en fonction de
la nouvelle variable jk-
55. Comme autre application, cherchons à déterminer les
courbes dont le rayon de courbure en chaque point est pro-
portionnel à la portion N de la normale interceptée par Taxe
des œ.
Le rajon de courbure R est donné par la formule
R
hmi
D'autre part, en désignant par a l'angle de la tangente
avec l'axe des x, on aura
"-ik.'W'-''^^'-
\dx J
Les courbes cherchées auront donc pour équation difïe-
renlielle
d-y - y \dœ
0 u
dx- ny L \dx J J
Celte équation du second ordre équivaut aux deux sui
6a
^ TROISIÈME PARTIE. — CnAPITHE I.
vantes
dx ny ^ -^ "
dx-^ \ \ .-.
On
déduit
de leur combinaison
y'dy^ _ dy
I H-/'^ ny
et en intégrant,
log(i -h j'^)--= -log/ H- const.,
ou
1
y\ ri
^^y~-\~] '
j-., .,
2
7^
et enfin
/f-X
/ 2
" / /.r\'^
V l^
Parmi les cas d'intégrabilité de cette expression, on doit
signaler particulièrement les suivants :
i" /i == — 1, d'où
J \/c- — y'
{x — c'y-\-y^:=zc'-.
r.a courbe est un cercle ayant son centre sur l'axe des y.
2'^ /i = r , d'où
/cdy , y -\- \/ y°^ — c- ,
v/?
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 63
d'où : : :> _: ■•.
y + V v" — c'^^ce '-■ ,
/ — V/' — ^"^ ~ ^^
et enfin
y = c
x—c'
e~^ -h e
équation d'une chaînette.
'i'^ n =z — 2, d'où
Posons
il viendra
fv'^.
dy.
y— (i_C0SCp),
dy ^=i ~ sincp
//l — COSO C . y r c& C . ,
4/ ^-sincprto^:: I tanff- - sincp «9
y I + GOScp 2 J 2 2 ^ '
C r i c r c .
— - / 2 sin^- cp<içp = - / (i — coscû)<icp = - (cp — sincp)
La courbe est une cycloïde.
4° n = 2, d'où
/v'55
c
équation d'une parabole.
dyz=z2\/c{y — c)
o6. Proposons-nous, comme dernière application, de dé-
terminer le mouvement d'un point attiré vers un centre fixe
par une force égale à mf{r)^ r désignant le rayon vecteur
et m la masse du point mobile.
Prenons pour origine des coordonnées le point attirant,
et pour plan des xy celui de la vitesse initiale. D'après les
principes de la Mécanique, la loi du mouvement sera donnée
64 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
par les deux équations
On déduit de ces équations les combinaisons intégrablcs
suivantes
d^û: d'-y d / dx dy\
"" -^~dt^ '~'''JF -dty~dt~'''di)
et
dœ d-x dy d'-y .., ^oc dx -{- y dy
o — — -I — i^- —^ — u / ( r) ~ — -
" dt dt- dt dC" ^ J^' ^ rdt
I d dx- -\- dy- dr
~2dt dt' ~^'^^^''~dt'
dont l'intégration donne deux équations du premier ordre
dx dy
dt dt
dx'- -4- dy""
y — oc-^- = c,
2 dt
-\-ff{r)dr^o.
Remplaçons les variables x, y par des coordonnées po-
laires
^r^. rcoscc, vz:=:/sina);
ces équations deviendront
(.3) ,.^S=-c.
(.4) ^^^^^^^-//('■).. = o;
d'où, en résolvant par rapport à db^ et dt et intégrant,
cdr
t =
f
)dr
r dr
sj-c'-2r-'fj\r)dr
Le problème est ainsi ramené aux quadratures.
Les formules précédentes contiennent, comme cela devait
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 65
être, quatre constantes arbitraires, à savoir c et les trois con-
stantes introduites par les intégrations.
o7. Appliquons ces formules au cas de l'attraction newto-
nienne, 011/(7') :^ -^> k désignant une constante, et M la
masse du point attirant; on aura
d'où
c dr
J rs/—c'
2/rM/ — 2c'/-2
I , du
ou , en posant r = - ? dr ^=^ ->
cdu
J V^-2C'
-/
ikUu — c-u^
c^ du
sJk-W—ic'c'- — {c^u — kUy
c'^u — kM
arc ces
c^u=^kU + \/k^M^— 2c'c^ cos(w — c"
ou
(25)
r z=z
kU -h sJk'^W—ic'c^ cos(co — c")
P
I -\- ecos(w — c )
en posant, pour abréger,
_£L — / ic'c^ _
Hï ~^' S/ '^~ k-w~~
On aura enfin
(26) rf«=i,-^rf<o= P"''^"'
c[i -I- e cos(co — c")Y
équation qui déterminera t par une quadrature.
J. — Cours, III.
66 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Le problème deviendra complètement déterminé si l'on
donne à un instant quelconque Ùq les coordonnées Fq, Wq du
mobile, sa vitesse initiale Çq et l'angle ao qu'elle fait avec le
rayon vecteur. On a, en effet, en appelant ^> la vitesse à un
instant quelconque, a l'angle qu'elle fait avec le rayon vec-
teur
dr^~{- r^' dui^ ^ ^ d^
r-
dl^ ' dt"
Les équations (28) et (24) peuvent donc s'écrire
rv sma
\- v^- v-c'—o.
On aura donc, en posant ^ = o,
'0
On déterminera ensuite d' en posant 1^=1^ dans l'équa-
tion (25); enfin, l'équation (26), intégrée de ^0 à t^ don-
nera
/?2 dix>
+ ecos(w — c")]'
L'équation (25) entre /• et to fait connaître la trajectoire
du mobile. Oest une conique ayant un foyer à V origine.
Ce sera une ellipse si c'>o, une parabole si c'=o, une
hyperbole si c'<< o.
On a, d'autre part, en désignant par A l'aire comprise
entre la courbe et les rayons vecteurs r et /'o,
\r' dhi =:dK.
L'équation (23) peut donc s'écrire
dk
^-dt-''
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 67
d'où, en intégrant de to à t,
Les aires décrites par le rayon vecteur sont donc pro-
portionnelles aux temps correspondants .
Supposons la trajectoire elliptique, et cherchons la durée T
d'une révolution. L'aire A correspondant à cette période de
temps sera l'aire totale Tzab de l'ellipse. On aura donc
2
D'ailleurs
^ V
c^\l'kUp-=\/ kU. —
Substituant cette valeur dans l'équation précédente, il vien-
dra
1
La durée de la révolution est donc indépendante de
V excentricité de U ellipse, et proportionnelle à la puis-
sance I de son grand axe.
Nous avons ainsi retrouvé toutes les lois fondamentales
énoncées par Kepler.
IV. — Équations linéaires aux différentielles totales.
58. Les systèmes d'équations différentielles simultanées
étudiés dans la Section précédente ne sont évidemment
qu'un cas particulier des systèmes d'équations linéaires aux
différentielles totales, de la forme
(I) ¥,^dx,-^^'ldxn^o
( /j r= 1 , 2 . . . ., ni\ k =z ni -\- i , . . . , m -\- n)^
68 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Cherchons à déduire de ces équations une combinaison
intégrable
On aura évidemment
Éliminant les [jl, on voit que cp sera une intégrale commune
aux ni équations aux dérivées partielles
OJ^'h L^k O^k
( /< = 1 , 2 , . . . , /?z ; /: = /?! 4- I , . . . , /?! -h /i ) .
Supposons que ces équations admettent n intégrales com-
munes distinctes cp,, .. ., cp„ (nous verrons plus loin dans
quel cas il en est ainsi). Soient y^^ . . ., y m de nouvelles
fonctions des x^ formant avec les cp un système de fonctions
distinctes. En prenant les cp et lesjK pour variables, les équa-
tions (2) prendront la forme
E/.-M,^+...-i-M,,^-o
et seront manifestement équivalentes aux suivantes :
do d'o
La forme la plus générale des fonctions qui satisfont à ces
équations est évidemment
F désignant une fonction arbitraire.
Les fonctions c^,, ..., cp^ étant des intégrales du sys-
tème (2), on aura des relations de la forme
doiz=z\ IX /,
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 69
Cl le système (i) équivaudra au suivant
doy—o, ..., flf,p„^o,
d'où l'on déduit
(pi = const., ..., cp/j = const.
. ■ do-
59. Le déterminant {jl des coefficients p-^= -~- se nomme
le multiplicateur correspondant aux intégrales cp,, . . . , cs„.
En remplaçant ce système d'intégrales par d'autres systèmes
d'intégrales distinctes, on obtiendra une infinité de multipli-
cateurs, et Ton voit, comme au n" 43, qu'ils ont pour forme
générale p.F(cp,, . . .,cp/,).
Soient a l'un des nombres i, 2, ,.., m\ ^ l'un des
nombres m -{- \ ^ . . . , m -\- n. Désignons par D|^ ce que
devient le déterminant [.i lorsqu'on y remplace les éléments
à-^i ^ ' \ I '1 ' . ^?i V va ^?'
-,^- (i^],2,...,n) par les éléments -r-^ = — > X?-^-^;
àx-^ ^ ' ' ^ ^ d^a Zj/f ^ dj^k
on aura évidemment
On en déduit par différentiation, comme au n*^ 44,
(3) h \ -^j — ^=0 {ci — i2,...,m).
^ = in + \
I
Réciproquement, toute solution commune [x' des équa-
tions (3) est un multiplicateur; car, en posant |Jt.'= [jlv, on
verra que v est une intégrale des équations (2); donc v sera
de la forme F(cp,, . . . , cp„), et ]x' sera un multiplicateur.
60. Si l'on a réussi à déterminer i intégrales distinctes
cp,, . . . , cpi du système (2), on pourra, comme au n" 4o, en
les prenant pour variables indépendantes avec d'autres fonc-
tions jr<, . . ., ym+n-i choisies à volonté, remplacer le sys-
70 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
tème (i) par un système équivalent, de la forme
(4) <^C5, = 0, ..., <icp, — o,
(5) df/. — \ Y^' dyii ^ o (/c r= /7i 4- i , . . . , /7z + /i — /).
On en déduit
cpi = const., ..., cp,-=z const.,
et il ne restera plus qu'à intégrer le système des n — i équa-
tions (5).
D'ailleurs, si l'on connaît un multiplicateur du système (i),
on en déduira, comme au n" 4S_, un multiplicateur de ce nou-
veau système.
Si donc on a réussi à déterminer ii — i intégrales et un
multiplicateur du système (i), il ne restera plus qu'à intégrer
une seule équation, dont on connaîtra un multiplicateur. Le
problème sera donc ramené aux quadratures.
61. Les considérations qui précèdent nous conduisent à
chercher les intégrales communes à un système d'équations
aux dérivées partielles de la forme (2). Mais il conviendra
de généraliser la question, en cherchant les intégrales com-
munes à un système d'équations de la forme plus symétrique
^1 ;^^ '"•••"^^'"+'^ ;T^r^'='^ (A=:i,2, ...,m).
Si nous désignons par X^ l'opération
ces équations pourront s'écrire ainsi
X^cpzzrO (/i = I, 2, . . . , m).
Cela posé, toute solution commune à deux de ces équa-
tions
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 71
satisfera à l'équation nouvelle
{p=.I, ...
car on a séparément
( p = I , . , . j /7i -h /i ; a = I , . . . , /?i 4- /i ) ;
X^'X^-cp m X'(0) =rr O, X^'X'cp =: X^(o) = O.
Si d'ailleurs nous désignons pour plus de clarté par /), , . . . ,
1 j' • ' .-11 ^? ^'^
/^w4-/2 ^es dérivées partielles ^^-j •• -, ^ — = — , on aura
X'cp = xi/?i + . . . -+- x;,,^„ /»,„+„,
X^-cp = Xf /?i 4- ... 4- ^i+nPm^n,
et le symbole (X'cp, X^cp), défini comme au n° 47, aura pour
valeur
is
.«.-"'il-^î '-!)''•='"''*'"'<*'=''■
Ainsi, toute intégrale commune aux équations
satisfera en outre aux équations
X^'X^cp - X^X^'cp = (X'cp, X^cp) =: G
{i—i,2,...,m; k = i,2, . . .,j?i),
lesquelles sont, comme les précédentes, linéaires et homo-
gènes par rapport aux dérivées partielles de cp.
Si parmi ces équations nouvelles il en est qui soient linéai-
rement distinctes des équations primitives, on pourra les leur
adjoindre et recommencer les mêmes opérations sur le sys-
tème ainsi complété. En continuant à suivre cette marche,
deux cas pourront se présenter :
1° On arrivera à un système contenant m -{- n équations
distinctes; on en déduira
d(p do
1~~ ^^ ^' /9^~ ^^ ^' ' * ■ ' '^ ^^ const.
72 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
En dehors de cette solution banale, les équations proposées
n'auront donc aucune intégrale commune.
2" On arrivera à un système
X^^ = o, ..,, X'cpr=o {l<:m -\- n),
tel que toutes les nouvelles équations que l'on peut en déduire
soient des combinaisons linéaires des précédentes. Ce système
satisfera donc à des relations de la forme
X^'X^-cp — X^^-X^'cp = (X^'cp, X^cp) =. a'/^X^cp 4-. . .4- aJ^-X'cp
{i = i, 2,..., /; k — i,i,...,l),
où les a sont des fonctions des x.
Un semblable système se nomme un système complet.
62. Si dans un système complet nous prenons pour va-
riables à la place de ^<, x^, ... de nouvelles variables y^^
j'2) . . ., le système transformé
Y'cp = Y'^ ^^-^ _l_Y!, --^+...= o (/ = ï,2,...,/)
sera encore un système complet; car les opérations Y*, . . . ,
Y' n'étant autre chose que les opérations X\ . . . , X^, diffé-
remment exprimées, on aura encore
y/ YA-^ _ Y^ Y^'cp = af Y'cp -4- . . . -f- ap Y'cp,
et il ne restera qu'à exprimer les quantités a en fonction des
nouvelles variables jk.
D'autre part; tout système
A^'cp — aiX*cp+. . .+ aJX'cp==o {i=i, 2, . . ., /)
équivalent au système complet
est lui-même un système complet.
* En effet, l'expression
(A'cp, A^cp)
\
\.> r^
ÉQUATIONS DIFFÉRKI^TSELLES OUD.'NAIRES. 73
csi une somme de termes de la forme
+ 4(4, Xî^cp)X>^cp -t- (4, 4)X>^cpX[^cp.
Or (aj, aj,) est évidemment nul, puisque les a ne contiennent
pas les variables/?; d'autre part, (ax,XE^cp), (X^cp, aj^) se
réduisent à des fonctions des x] enfin (X^cp, Xt^cp) s'exprime
linéairement au moyen des X' cp, . . . , X'cp. Donc (A'cp, A'^cp)
est une fonction linéaire de ces quantités, qui sont elles-
mêmes des fonctions linéaires de A< cp, . . . , A'cp.
63. Etant donné un système complet, contenant m équa-
tions, par exemple, où figurent m -{- n variables ^,, .,.,
Xm+ni on obtiendra, en résolvant ces équations par rapport
à -r-^j • • • ? ^ ' ? un système équivalent, de la forme
(6) p--^y X^^p-^^X^.^^o
dx,^ Zuk dxk
( /î = 1 , 2 , . . . , 771 ; A' =r m + I , . . . , /7Z H- /2 ) .
D'après ce qui précède, ce nouveau système sera encore
complet.
Les systèmes complets de la forme (6), auxquels nous pou-
vons dorénavant borner notre étude, ont reçu le nom de sys-
tèmes jacobiens.
Pour ces systèmes particuliers, les équations de condition
(X'cp, X^cp) = af X^cp -i- af X^^f + . . . ,
qui caractérisent en général les systèmes complets, se ré-
duisent à la forme plus simple
(X^>,X^-o)=zzO.
En effet, (X^'cp, X^cp) est évidemment indépendant de -,— ? • • ■ ,
-r-^, tandis que a'/X< cp + af X^o + . . . contient ces déri-
vées respectivement affectées des coefficients af , a^^, ....
74 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Ces expressions ne pourront donc être identiques que si les a
sont tous nuls.
64. Théorème. — Un système jacobien formé de m équa-
tions entre m-\-n variables admet n intégrales distinctes.
Nous avons admis provisoirement dans la section précé-
dente la vérité de ce théorème pour le cas d'une seule équa-
tion; et nous pourrons évidemment supposer dans la démon-
stration qu'il ait été reconnu vrai pour les systèmes formés
de moins de m équations.
Soit
(7) X*c^ = o, ..., X'«cp=zO
le système proposé. La première équation, considérée isolé-
ment, admet m -[- n — i intégrales distinctes y^i • • • 5 JKw+«-
Soit^i une autre fonction quelconque, distincte de celles-là.
En prenant lesjK pour variables indépendantes, nous obtien-
drons un système transformé
X^^cp rzr Mt -1^ -H M;^ -^ 4- . . .=:: o (/i = I, 2, . . . , m),
dont la première équation, admettant JK27 • • • > ym+n pour
intégrales, se réduira à son premier terme
ày\
Ces équations, résolues par rapport a -r^-, • • -j -r-^-y clon-
neront un système jacobien
(8)
-'=!;=<■•
(9)
>-'=.î;,-E/i^i=»
{/' =
= 2 , . . . , m ; k =zz m -\- I , . . . , m -i- n)
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 76
Or on a évidemment
(Y»cp,Y^)
et, pour que cette quantité s'annule identiquement, il faut
qu'on ait
Les équations (9) sont donc entièrement débarrassées de
la variable j^',. Elles forment, d'ailleurs, un système jacobien
de m — I équations à m -\- Ji — i variables y 2, . . . , ym+m
lequel système admettra par hypotbèse n intégrales distinctes.
Ces intégrales, ne dépendant pas de jKo satisferont encore à
l'équation (8). Il ne restera plus qu'à remplacer dans leur
expression y2^ . . . , ym-^n par leurs valeurs en ^,, . . . , Xm+n
pour obtenir les intégrales correspondantes du système pri-
mitif.
65. Soit
cç/(^,, ...,^,„+„) {i—i,i, ...,n)
le système d'intégrales distinctes du système (y), dont l'exi-
stence vient d'être démontrée. Ces intégrales, considérées
comme fonctions de Xm+iy - > - -, ^m+n seulement, seront
encore distinctes.
Admettons, en effet, qu'elles satisfissent à une relation de
la forme
F(cpi, . ..,cp„;^,, .. .,œ,n) — o.
L'opération X^, appliquée à cette identité, donnerait
^ àF dF ^. dF dF
(car cp, , . . . , cp,^ sont des intégrales de l'équation X'^cp = o).
La fonction F serait donc indépendante de ^i , . . . , Xm, et les
fonctions cp,, . . . , cp^^ ne seraient pas distinctes, résultat con- '
traire à leur définition.
70 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Posons maintenant
ç,(.z-i, ..., r,„^„) — Oi{Ci, ..., c,n] '\>i, ..., ^n) {i — i, 2, ..., n),
Cl, ' . ' , c„i désignant des constantes arbitraires. Les quan-
tités (];<, . . ., ^m définies par ces équations, seront des fonc-
tions distinctes des intégrales primitives o/(^,, .. .^Xm^n)-
Elles formeront donc un nouveau système d'intégrales dis-
tinctes. Elles jouiront d'ailleurs de la propriété caractéris-
tique de se réduire respectivement à ^m+i ? •••7 ^m+n^
lorsqu'on donne simultanément à Xi, ..., x,n les valeurs par-
ticulières Cl , . . . , Cm-
Gela posé, remplaçons les m premières variables ^<, . . .,
Xm par de nouvelles variables ri, . . ., j)'m, définies par les
relations
(10) Xn — C/,-i-{yi — Ci)yu (A = i, 2, . . . , m),
et résolvons les équations transformées par rapport à y~> •••,
-r-^- Nous obtiendrons un nouveau système iacobien
(.1) Y^=^^-y n-^=.o
^ dyn Zuk àxu
( /i =z 1 , 2 , . . . ,in\ A- :r= m -4- 1 , . . . , /;i -4- /i ) .
Les fonctions ^^^ . . ., h,i^ exprimées au moyen des nou-
velles variables, donneront un système d'intégrales distinctes
des équations (i i). Elles se réduiront d'ailleurs respective-
ment à Xnij^K', ...^Xm^n lorsquc jK, =c,, quels que soient
ji^ ...^fm'y car, pour jki = Ci, les équations (10) donnent
X\ — C^ , • * • 5 Xfji — Cjfi.
66. Pour intégrer le système transformé (11), il suffira,
comme l'a montré M. Mayer, d'intégrer l'équation unique
(12) Yicp = o.
A cet effet, nous remarquerons que cette équation admet
les intégrales '^^^ . . ., ^/j, lesquelles, jointes aux intégrales
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLKS ORDINAIRES. 77
évidentes jKo? • • • » ym-, donneront un système de m + Ai — i
intégrales distinctes. Toute autre intégrale
/ ( JKl 5 • • -5 y m 7 ^m-¥-l ? • • • j ^/n+n )
de cette équation sera donc une fonction de celles-là, telle
que
F(/2,--.,/m;'l^?---,^/J-
Si dans l'égalité
nous donnons à yi la valeur constante Ci, il viendra
et, par suite,
/(Cl, ...,/,«; ^1, ...,<1^«) — F(j2, ••.,//«;^i, -..j^/O-
On voit par là qu'une intégrale quelconque / de Téqua-
tion(i2) étant supposée connue, on obtiendra immédiate-
ment son expression en fonction de y 2^ • • •> JKm? ^m • • •> '^n,
en remplaçant dans la fonction / les variables j^, , Xm+i^ • • • ,
Xm+n par Cl, ^,, . . ., ^n-
Gela posé, admettons que nous soyons parvenus à intégrer
l'équation (12), en y considérant j>^i , ^,«^_,, ..., a:„/+„ comme
seules variables, et y^, ...,7'^ comme des paramètres (ce
qui revient, comme nous l'avons vu, à déterminer une solu-
tion générale d'un système de n équations différentielles or-
dinaires). Soit fi^ . . . , fn un système d'intégrales distinctes
de cette équation; on aura, ainsi qu'on vient de le voir,
Fi, ..., F/ï étant des fonctions connues de j'2, ..., y m]
d*i, . . . , tli/, ; et il suffira de résoudre ces équations par rap-
port à ^1, ..., à,i pour déterminer ces fonctions, lesquelles
forment un système d'intégrales des équations (i i). D'ail-
leurs, la résolution de ces équations ne sera jamais impos-
sible, car les fonctions j'o, ...,ym ; /n •• 1 fn étant distinctes,
78 TROISIÈME PARTIR. ~ CHAPITRK I.
Jki * '»ifn sont nécessairement des fonctions distinctes par
rapport à ^,, .. ., ^n-
67. On peut aller plus loin et montrer que la connaissance
d'une seule intégrale /i de l'équation (12) permet de déter-
miner une ou même plusieurs intégrales du système (i i). On
aura, en effet,
/î = F,(r2, . .., r„,;i|>,, . ..,^J,
F, étant une fonction connue. Résolvant cette équation par
rapport à^,, on aura une relation de la forme
où ô, est une fonction connue.
Effectuons sur cette identité l'opération Y'^, h désignant
l'un quelconque des nombres i, 2, ..., m. 11 viendra, en
remarquant que ^^, . . . , ^^ sont des intégrales de Y'^cp = o,
o = Y^'0, = -^YVi+.
Le second membre de cette équation est une fonction
connue de jk< , . . . , x,n+n ; ^21 • • • ? ^n- S'il ne s'annule pas
identiquement, il contiendra l'une au moins des quantités (j^,
par exemple '^2; car les variables y^, . . ., Xm-^n sont indé-
pendantes. En résolvant par rapport à ^^i o" obtiendra une
relation de la forme
Effectuons sur cette équation l'opération Y^, on en déduira
une nouvelle équation pour déterminer (j;3, et ainsi de suite
jusqu'à une dernière équation qui donnera ^n- Le système (i i)
sera dès lors intégré.
On ne pourra se trouver arrêté dans cette suite d'opéra-
tions que si l'on arrive à une équation
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 79
pour laquelle on ait identiquement
Y^'6, = o (/i = j, 2, . . ., m).
Mais alors, en remplaçant dans 9/ les fonctions inconnues
^/+ii ' ' 'j^n par des constantes quelconques, on obtiendra
une fonction cp^- qui satisfait évidemment aux mêmes équa-
tions, et qui sera, par suite, une intégrale du système (i i).
68. Nous pouvons énoncer, comme résultat de cette étude,
le théorème suivant :
Pour qu'un système d'équations aux différentielles
totales
(l) F/,r=.^^;t-V X^^^/.rzzO
( A =: 1 , 2 , . . . , m ; k :=: m -\- \ , . . . , m -h n)
admette n intégrales distinctes
cpi =: const., ..., cp,j=r const.,
il faut et il suffit que les équations aux dérivées par-
tielles
^^> ê+L^'^<£=° (/-=.,.,...,™).
forment un système jacobien.
Cette condition étant supposée remplie, la recherche
des intégrales du système dépend de l'intégration d'un
système de n équations différentielles simultanées.
Chaque intégrale de ce dernier système fournira au
moins une intégrale du système proposé.
69. Soit S un système d'équations aux différentielles to-
tales de la forme (i) et admettant n intégrales distinctes
o,, ..., cp,;. Si nous y changeons ^,, ..., Xm^n en ^, + s^j, ...,
^m+n + ^im+rt, £ étant un paramètre infiniment petit, dont
nous négligerons le carré, et Ç, , . . . , ^m+n des fonctions de
^1, . . . , Xm-i-ni nous obtiendrons un autre système S'.
8o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
A toute intégrale cp du système S correspondra évidem-
ment pour le système S' une intégrale
en désignant par A l'opération
iA
Cette opération est complètement définie quand ç<, ...,
\m+n sont donnés , et réciproquement. Soient d'ailleurs
JKi , • • 'lym+n ^^ nouvelles variables quelconques, fonctions
des X. Lorsque x^^ ,..^Xni^n s'accroissent respectivement
de si,, ..., £?,«+«, j'i s'accroîtra de
(y àvi , , > dyt
quantité que nous désignerons par zr^t. D'autre part, on a
évidemment
d _dy, d ^ dfz d ^
dxi dxi àyx dxi dy^
On déduit immédiatement de là l'égalité
. d ,âd â
dx, ^'"^"dx„,^, '^dy, '"'^■''dy
L'opération associée à la transformation infinitésimale con-
sidérée reste donc la même, lorsqu'on change de variables
indépendantes.
Nous désignerons, pour abréger, par Acp la transformation
infinitésimale qui correspond à l'opération A, et qui, par
suite, change l'intégrale cp en cp -|- sAcp; et nous dirons que le
système S admet cette transformation infinitésimale Acp
si le système transformé S' est équivalent à S.
Pour cela, il faut et il suffit que le système S' soit équiva-
lent au système
^cp, ~ o, .... d^n-^ o,
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 8l
auquel S est équivalent; et, par suite, que les systèmes S et
S' admettent les mêmes intégrales.
Or à toute intégrale cp de S correspond une intégrale
C5 -h £ Acp de S'. Celle-ci devra être une intégrale de S, ou, ce
qui revient au même, Acp sera une intégrale de S.
Si donc nous désignons, comme précédemment, par
les équations aux dérivées partielles qui caractérisent les in-
tégrales de S, ces équations devront entraîner comme coii-
séquence les suivantes
X''- ko -.zz:. o {h ---i, 2y . . ., m)
ou, ce qui revient au même, celles-ci
X^Ao — XX^'o— (X^'cp, Acp) — G (A — i,2,...,/?ê)
[car on a identiquement AX^'cp = A(o) = o].
Cela posé, le système formé des équations
X^^cpzrzo, (X^cp, Acp)r=rO (h = j , 2, . . . , m),
admettant /i intégrales distinctes cp<, . . ., '^/;, ne pourra con-
tenir plus de m équations linéairement distinctes. On aura
donc
(i3) (X^'cp, Acp)r=:'4X'cp-t-...-4-aî,X'«cp {h ^ l , 2, . . . , m) ,
les coefficients a étant des fonctions des œ. D'ailleurs il est
évident que ces conditions seront suffisantes.
70. Toute expression de la forme
\ ^/X^cp {i-=i, 2, . . ., m)
; représente une transformation infinitésimale de S en lui-
même.
j. — Cours, in. 6
82 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
En effet, on a
oar (X'^cp, X^cp) est nul; et, d'autre part, on a
d^h jLj'c àx,,
Si donc S admet une transformation infinitésimale
il admettra évidemment la transformation
Bcp = Ao _ ^iX'cp -. . .- e,„X'«(p,
laquelle se réduit à la forme
y d'o y do
^/«+i ^ , H- ... H- Ç/,;-i-// "T '"—■ •
Il nous suffira évidemment d'étudier les transformations de
cette sorte, toutes les autres pouvant s'en déduire par l'ad-
jonction d'une fonction linéaire de X'cp, . . ., X'^cp.
Pour les transformations de la forme Bcp, les équations de
condition (i3) prendront la forme plus simple
(X^'cp, Bcp) = o;
car le premier membre de ces équations, ne contenant pas
les dérivées partielles -r-^ ? •••) -r-^? ne pourra se réduire à
une fonction linéaire de X'cp, .... X"'cp que s'il s'annule iden-
tiquement.
71. Si S admet deux transformations Bcp, B'cp, il admettra
la transformation (Btp, B'cp).
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 83
On a, en effet (47), l'ideiitilé
(X^cp, (Bcp, B'cp)) -+- (Bcp, (B'cp, X^^cp)) -f- (B'cp, (X'^cp, Bcp)) ^ o.
Mais (X^cp, Bcp) et (B'cp, X'^cp) sont nuls par hypothèse; donc
cette égalité se réduira à
(X^cp,(Bcp,B'cp))=.o.
72. Soient B'cp, ..., B^cp des transformations du système S
qui ne soient liées par aucune relation linéaire; si l'expres-
sion
Bcp=:^_p,B'> (.-.=:: 1,2,...,/)
est une autre transformation du même système, p^, ..., [j/
seront des intégrales, et réciproquement.
On a, en effet,
(X^,B<f)=J_(X"<f,p,B'-.f)
=^[(X"o, p,)B'> + (X"<f, B'»p,]=^^X"i5,.B'>,
expression qui ne peut s'annuler, par hypothèse, que si tous
les coefficients X'^^/ sont nuls, ce qui montre que p/ est une
intégrale.
73. Enfin, si l'on connaît un multiplicateur ^ du s^^stème S
et une transformation infinitésimale Bcp, on en déduira une
intégrale.
Soit, en effet,
■"=S,='S;
{i =: 771 -\- l , . . . , 7Jl -\- n).
Nous aurons, quel que soit /i,
0=:(X^^cp, Bcç)
i et k variant de /?^ + i à m -^ 7i.
dxfj dxi
TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE
Dans celle idenlité, les coeffîcienls de chacune des dérivées
• 11 ^^ 1 • A 1 , , 1
partielles -r-^ doivent être nuls séparément; nous aurons donc
àJ^h jLJk\ àxu dxjj
Différentions cette équation par rapport à Xi\ sommons
par rapport à i et supprimons les termes qui se détruisent;
il viendra
o =V ^'"^' +\ V (X" -^^ - \ -^!^\
=-(IS)-»Œ
()X?
/ àxi
Mais on a, d'autre part,
àx,i ^i dxi
ou, en développant et divisant par |jl,
à^ , V x^' ^
L'équation précédente pourra donc s'écrire
='^'*(Ife)^^'"^'°=^-
Cette équation, qui a lieu pour /i = i,..., w?, montre
que
est une intégrale.
74. Admettons qu'en combinant les procédés ci-dessus,
ou aulrement, on ait réussi à obtenir p intégrales dis-
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 85
tinctes cp,, . . ., cp^ du système S. Eq prenant cp,, . . ., cp^ pour
variables à la place de Xfn+i, •••, ^m+p par exemple, les
équations X^cp = o seront transformées en de nouvelles
équations de même forme, mais ne contenant pas les dérivées
partielles ~ , • • • , y-^? puisque cp,, . . . , Op sont des solu-
tions.
On aura donc
o^h 4ij/t oxk
(hz^i, 2, . . ., m] k ~- m ^ p -h i , . . . , m -h n) ,
les X^ étant des fonctions de cp,, ..., cp^, x,„^p_^i, ...,
Soient B'cp, ..., B^cp, ... les transformations infinitésimales
que l'on suppose connues. On aura
( i =z 1 , 2 , . , . , y? ; A =z m -{- p ^ i , . . . , m -\- n).
D'ailleurs, cp^ étant une intégrale, B^o/= p} sera également
une intégrale. Si nous admettons que nous ayons tiré tout le
parti possible des procédés ci-dessus indiqués, cette inté-
grale ne sera pas nouvelle, mais se réduira à une fonction de
Posons, pour abréger,
àf.
et supposons que, parmi ces expressions, il y en ait q qui
soient linéairement distinctes, à savoir A', . . ., A^.
Les suivantes A^+* , . . . seront de la forme
les coefficients y étant des fonctions des |3, et par suite étant
des intégrales.
86 TROISIÈME PARTIE. — GlIAPITUE 1.
Cela posé, on aura évidemment
D^'^ étant une nouvelle transformation infinitésimale, qui se
réduit à la forme plus simple
Admettons que, parmi les transformations de cette sorte
ainsi déterminées, il yen ait/' linéairement distinctes D'cp, ...,
Toutes les autres seront de la forme
SiD'cp -h. . ., -f- £,.D'"cp,
où les quantités £,,...,£;. devront être des intégrales, et par
suite des fonctions de cpi , . . ., ^^.
Réciproquement, toute expression de cette forme repré-
sentera une transformation infinitésimale du système S.
En particulier^ les transformations
(D'cp,D^cp)
ne contenant pas dans leur expression les dérivées —, • ••>
O'^p
> devront être de cette forme.
75. Gela posé, deux cas pourront se présenter :
i** Si p -\- r <^ /^, les équations
X'* 'f = O, D'cp = O ( A r= 1 , 2, . . . ,. /?! ; / = I , 2-, . . , , /•)
entre les m -\- n — p variables :r , , , x,n^ .r,„^^;^, , . . . , x,,,^,^
('ji|, . .., 'Qp étant traités comme des paramètres) forment un
système complet^ en vertu des relations
(X^'cp, X'^cp) == o, (D'cp, X^-cp) =r O,
(D^'cp, D'^-cp) == s^^^-D'cp -f-. . .-H £;./^D'-cp.
Ce système admettra donc ii — /> — /intégrales, cp^,^, ,...,.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 87
o,i_r^ qui sont évidemment celles des intégrales du système S
qui ne sont pas altérées parles transformations D'cp, ..., D^'cp.
Lorsqu'on les aura trouvées (par l'intégration d'un système
Je n — p — /' équations difTérentielles ordinaires), les r in-
tégrales encore inconnues dépendront de l'intégration d'un
second système de /' équations différentielles.
L'avantage obtenu dans ce cas consistera donc à décom-
poser en deux le problème de la recherche des intégrales
çp^^i , . . .; cp„ encore inconnues.
2" Si /; + r = n , la connaissance des transformations
D'©, . . ., D^cp fournira un multiplicateur du système.
Soit, en effet,
D^'cp nirV l\. ' -- ( /r = m + /^ + I , . . . , m -i- /i),
et désignons par A le déterminant des coefficients \]^\ par J
lejacobien des intégrales inconnues ^;j+i, •••, ^n par rapport
aux variables Xk'
Formons le produit AJ par la règle connue; on obtiendra
'un nouveau déterminant I, dont les éléments sont les quan-
tités D^cp^. Or ces expressions sont des intégrales; donc -.
sera une intégrale ; d'autre part, J est un multiplicateur ;
donc J sera également un multiplicateur.
Or cette quantité est égale à -•> quantité connue.
V. — Étude directe des intégrales.
76. Les méthodes que nous avons exposées jusqu'à présent
avaient pour but de trouver l'intégrale générale des équations
différentielles. Mais elles ne réussissent, comme on l'a vu,
que dans des cas fort limités, et nous ne pouvons même as-
surer que l'intégrale cherchée existe en général, car son exi-
stence a été admise sans démonstration.
11 est donc nécessaire de reprendre le problème de l'inté-
88 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
gratîon, en le précisant, de manière à le rendre déterminé.
La question ainsi posée peut se formuler ainsi :
1° Etant donné un système adéquations dijférentielles
normales
démontrer quHl existe, sous certaines conditions à pré-
ciser, un système unique de fonctions y, z, . . . jouissant
de la double propriété de satisfaire à ces équations, et de
prendre respectivement des valeurs données jko^ ^o? • • •
pour une valeur donnée Xq de la variable indépendante ;
2*^ Donner une méthode qui permette de calculer, avec
telle approximation quon voudra, la valeur de ces jonc-
tions pour toute valeur réelle ou imaginaire de x;
3" Enfin, discuter les cas d^ exception où, les résultats
établis se trouvent en défaut.
77. Supposons tout d'abord que les variables et les fonc-
tions considérées soient réelles; et considérons, pour éviter
des longueurs, le cas de deux équations
-^^fiœ,y,z), ^^fix,yz).
Nous devrons admettre pour la démonstration :
i" Qu'aux environs du point (^o? J'oi ^o) les fonctions f,
fi sont continues. On pourra donc assigner un domaine D
délini par les relations
dans lequel les inégalités
\x'-x\<t, |j'-r|<£, |-'_-|<2
entraîneront les suivantes
\f{x',y',z')-f{x,y,z)\<A,
À tendant vers zéro avec £.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 89
2° Nous admettrons en outre que dans ce même domaine
on ait constamment
\A^,y',^')-f{o:,r,z)\<m[\/~f\ + \z'~z\],
\f,{x,y',z')-Mx,r,z)\<m[\y'-y\ + \z'-~z\l
m désignant une constante fixe.
Les conditions ci-dessus, seules nécessaires à la démon-
stration, seront évidemment satisfaites si aux environs du
point (^Q, JK05 ^0) les fonctions /, /i admettent des dérivées
partielles finies.
Supposons-les remplies. Soit M le maximum des modules
de /, fi dans la région D; et soit p la plus petite des deux
• , f
quantités /*, ^ •
Donnons à x une valeur quelconque assez voisine de Xn
pour qu'on ait
1^ — . 2:^01' <?•
Subdivisons l'intervalle XqX en intervalles partiels XoXi,
XiXo, ..-, x,i-iX^ et déterminons les quantités j',, 3,^
^2 5 ^2 ; • • • j JKj ^ P^^ Ifis relations
/i— 7o= fi^o, fo, ^o){^i~^o).
Zi ^0 r=yj (^Q, J'qj Zo){Xi Xq).
^/,H_, — ^A- =/i ( ^k, yk, ^k ) (^"/c+i — ^k),
On déduira de ces relations
\yk-yiV<\yk-yk-x\-^..--\-\yi-^,~yi\
^M[|^/, — ^A--i| -\- . . ^^\xi^^ — XiW^U\Xk— Xi
\z^, — Zi\lU\xk—Xi\,
et, en parliculi<^r,
go TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Les points (^,, y,, .z^). . . . , (^, JK, z) ne sortiront donc
pas du domaine D.
78. Si les intervalles partiels sont infiniment petits, les
valeurs finales y^ z tendront vers des limites déterminées.
Pour l'établir, considérons deux modes de division A, A'
dans lesquels les intervalles soient tous moindres que la plus
petite 8 des deux quantités s, ^ et désignons par y, z et jk',
z' les valeurs finales obtenues pour chacun d'eux; nous
aurons à prouver que y' — y et z' — z tendent vers zéro
avec £.
Nous pouvons évidemment admettre que tous les points
de division qui figurent dans A figurent aussi dans A'; sinon
nous pourrions comparer successivement ces deux divi-
sions A, A' à une troisième A'' formée avec tous les points de
division de A et de A'. Ajant prouvé ç\vxe y" — y, ^' — z d'une
part, ei y" — y' , z" — z' d'autre part, tendent vers zéro, on
verrait immédiatement que leurs différences j/' — y, z' — z
tendent aussi vers zéro.
Soient donc
■^0? "^01) "^025 • ' • 1 "^15 • * • 5
^/,, ^A-l, ..
• j ^k-hij ■
., X
s points de division de A';
J'oî JKo 1' J'o2' '••'•> Ti' • • • '
y'k^y'in^ ■■
•5 J'/c+iy • ■
■ ' y
-^0> -^0 1 > ^0 2' • • • 5 ■^' {■> • • • J
^ki ^A-n • •
■ j ^h+l 1 • •
• 5 ^' 5
la suite des valeurs correspondantes des deux variables jk, z\
nous aurons
d'où
y'k^i — y'k—iyk+x — yk)
=\.[/(^/aj y'kh ^'kù —fi^k, yk, z,,.)]{a:,,j+i — a:,,i),
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 01
I et, par suite,
|j4^i-J/.+i|^|jl--/^-l
Mais on a
+ |/(-^/c, ri, -1) -/(-^A' /A' -a)1
Le premier terme du second membre est moindre que A;
car on a
\x,i - œ,\ < ô < s, Ij'a.— r;,| < MioCki-oo,\ < M8 < £,
|4.-4i<^.
Le second est moindre que
ini\y'k-yk\-^\^'b--k\'\'
On aura donc
l7A-.i-rA-+il<l/A-/^-l
On trouvera la même limite supérieure pour |^';^^, — z'j^\.
Ajoutons ces deux inégalités, et posons pour abréger
l/;.-y/.| + l4-^-/.| + ^ = u,.
Nous obtiendrons la relation
Multipliant ces inégalités, il vient
l
m
Or, on a7;=:ro, 4 = -o; doncUo= --• Cette quantité
92 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
tend vers zéro avec s, et il en sera évidemment de même
pour\y—y\ et |g' — ^|.
79. Les valeurs limites des quantités y, z ainsi déter-
minées pour chaque valeur de x dans le domaine \œ — ^o|>p
'Sont des fonctions de x. Elles satisfont aux équations diffé-
rentielles proposées.
Soient, en effet, y + A/, z -{- ^z les valeurs de ces fonc-
tions correspondantes à ^ -j- A.r. Intercalant entre x et
œ -i- Ix des points de division Xt^ X2, . . • , nous aurons
\y — \im\f{x/c,yk, ^^)(^/t-n — ^/,)
z=f{x, y, z.)\x
-HlimN [/(^A-, /A-, ^k)—f{^,y, z)](X;,^i — Xk).
Or, si nous supposons A.r < 8, le terme qui multiplie
(^A+i — Xk) aura son module moindre que A. La somme du
second membre a donc un module moindre aue
l \ I x/,+i — Xk\ — X\x,
et sa limite ne pourra surpasser cette quantité. On aura
donc
R étant un reste de module moindre que X, qui tendra vers
zéro avec A^. Donc y a bien pour dérivée /{x, y, z).
On verra de même que :; a pour dérivée/, (jt, y, z).
80. La solution que nous venons de trouver est la seule
possible.
Soient, en effet, Y, Z deux fonctions jouissant comme y, :;
de la double propriété de satisfaire aux équations différen-
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. gS
lielles et de se réduire sl yo, Zq pour j;=œo. Les fonc-
tions Y — JK, Z — z auront respectivement pour dérivées
f{x,Y,Z)~ f{œ,y,z),
Elles sont donc continues et comme elles s'annulent pour
x^^Xq, elles ne pourront acquérir une valeur différente de
zéro qu'après avoir passé par toutes les valeurs intermé-
diaires.
D'autre part, en vertu de nos hypothèses, tant que Y — jr,
Z — z seront moindres que £ en valeur absolue, le module
de leur dérivée sera <</?z.2£, et le module des fonctions
elles-mêmes sera moindre que m,iz\x — ^o|-
Il en résulte que dans tout l'intervalle de Xq — -, — à
Xo+ -, — les modules de nos fonctions seront < - tant
[y, m 1
qu'ils seront <C £• Us ne pourront donc atteindre aucune
des valeurs comprises entre - et £, ce qu'ils devraient faire
pour pouvoir atteindre ou dépasser £. Donc ils resteront
toujours moindres que £, quantité arbitraire. Ils sont donc
nécessairement nuls.
Le même raisonnement montre qu'étant nuls au point
Xts + -. — ■) ils le seront encore de x^ + -, — a x^^ -\- -, — ? • • • ?
et enfin, dans tout le domaine de x^ — p à .To + p où nous
avons pu définir les fonctions j>^, z.
81. Passons au cas des fonctions et des variables com-
plexes. Soit encore
un système de deux équations différentielles.
94 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 1.
Nous admettrons ici que(^OîJKoi ^o) soit un point ordinaire
pour les fonctions /, /< . On pourra donc, par définition,
tracer autour de .ro, y^y ^o des contours fermés K, K', K",
tels que/, y, , et leurs dérivées partielles restent monodromes
et continues, tant que ^,JK, ^ ne sortiront pas de ces con-
tours.
Soient
d, d', d" les distances minima des points Xq, y^^ Zq à K,
K', K";
S, S', S'^ les périmètres de ces contours;
M une limite supérieure du module de /et de/,, lorsque x,
y^ z décrivent respectivement ces contours.
On pourra écrire
/(^j y, -) = y «apy(^ — ^<^Y{y—y^y^{^ — -o)^,
J\{x, y, z) =.^ba.f.^{œ - x,Y{y - y,)^{z ~ z,)\
ces développements restant convergents tant que les modules
de ^ — Xo, y — ya, z — ^o resteront inférieurs à d. d\ d" .
D'ailleurs
_ _J c}^-^P+Y/(^o,j„^,)
et l'on aura (T. I, n« 206)
MSS^ I
'''"i^^'< (2 7:)^ d^^^d'P^'d"y-^^'
et, « fortiori,
I I- N
en désignant par r la plus petite des quantités d, d' , d", et
posant, pour abréger,
(271)3 ~
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. C)5
On obtiendrait la même limite pour le module de ^apy
Soient enfin Xq -\- h, y^ -f- /r, Zq-\- l des points assez voi-
sins de Xq, JK05 ^0 pour que les droites qui les joignent à ces
derniers points soient respectivement comprises dans l'inté-
rieur des contours K, K', R^', et soient 8, 8', Z" les plus courtes
distances de ces droites à ces contours; on aura
[ |[/(^oH-^^7o-H/', -0+ 0— /(^o;/», -o)]|
' d
=U^^^'^-
(2)
\h\
ù
ht, y
/a.
U)dl
l -.— ) /(^o 4- ht, jo + /' ^ -0 + ^0 ^^^
\k
-+-
^1
82. Ces préliminaires posés, clierchons à déterminer des
fonctions y, z qui satisfassent aux équations données
(3)
dv
d
dz
dx
et qui, pour x = Xq^ se réduisent respectivement à jKo -\- ^ et
à ^0 + A /V et / désignant des constantes très petites.
Nous poserons, à cet effet,
Z — Zo=:l -i~\dl^,y{x — Xo)'^^k^l''
(4)
(X =1,2,
([J., V ::=::0, I,
00).
Substituons ces valeurs dans les équations (3), dévelop-
pons le second membre suivant les puissances de x — Xq,
ky /, et égalons les coefficients du terme général; il vien-
dra
96 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 1.
F et <I> étant des polj'DÔmes à coefficients positifs, formés
avec ceux des coefficients a, b^ c, d, où la somme des indices
ne surpasse pas ).+ pi H- V.
Les équations précédentes déterminent, successivement et
sans ambiguïté, les coefficients c et d; ils seront donnés par
des expressions de la forme
( 5 ) CXJJ.V = Fxjxv 5 di^y = *xjxv ,
FxjjLv et $xp.v étant des polynômes à coefficients positifs, for-
més avec les quantités a, b.
Les expressions (4), où les coefficients c, d seront déter-
minés par les équations (5), satisfont évidemment aux con-
ditions du problème. Si l'on j groupe ensemble les termes
affectés des mêmes puissances de k et de /, on obtiendra un
résultat de la forme
7-Jo
SpAl^/^ Z - ^0 ^ y T[;.vAl^/^
Sjxv et T[j.v étant des séries qui procèdent suivant les puis-
sances de ^ — Xq.
En supprimant dans les expressions précédentes les termes
qui dépendent de A' et de /, il viendra
et il est clair: i"qiie ces équations donnent un système d'in-
tégrales qui se réduisent à yo, Zq pour a:=^Xo\ 2° qu'on
aura
83. La méthode que nous venons de suivre suppose
évidemment que les séries sur lesquelles nous opérons
sont absolument convergentes. Nous allons vérifier qu'il
en est ainsi tant que /r, /, ^ — Xq seront suffisamment
petits.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 97
Remplaçons, en effet, dans les séries (4) chacun des coef-
fîcients «apy, c^apY par la quantité ^^ — ^j limite supérieure
de son module, et les quantités k, l par une même quan-
tité positive m, au moins égale à |A"| et à |/|. Nous ob-
tiendrons de nouvelles séries, à coefficients positifs, et dont
chaque terme aura un module au moins égal à celui du
terme correspondant des séries primitives. Celles-ci seront
donc absolument convergentes si les nouvelles séries le
sont.
Mais ces séries sont évidemment celles que l'on obtiendrait
si l'on cherchait à déterminer des fonctions Y, Z, qui se ré-
duisent à yQ + m, ^0 + m pour x = Xq^ et qui satisfassent
aux équations différentielles
N
^^^^ -[r-(^-^o)][A'-(Y-jo)][r-(Z-^o)]'
dZ N
Or on peut intégrer directement ces équations et s'as-
surer que ces fonctions Y, Z existent, et sont développables
en séries convergentes quand m el x — Xq sont suffisamment
petits.
On en déduit, en effet,
dZ =: dY,
et, en intégrant de Xq à x^
Z — >^o = Y — jo-
Substituant dans la première équation, il vient
dY N
dx-[r-{x-Xo)][r-{Y-y,)Y
i — Cours, III. 7
9^ TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
OU, en séparant les variables et intégrant de Xq à :r,
œ — j:o
cl enfin
(7) Y-yo-=/'-Ç/(/'-m)^^4-3Nlog(^i-
La fonction de m et de ^ — Xq ainsi définie n'a évi-
demment de points critiques que ceux pour lesquels on
aurait
j ; — =0, d OU X — Xq = r
ou
(/■ — m)5 + 3N]og(^i~
d'où
a: — Xo=^ r — re
3N
Si donc on assujettit m elx — Xq aux conditions suivantes
(où q désigne une quantité positive << /)
\x — Xq\ <i /' — re '^^
Y — j'o restant monodrome et continu pour tous les sys-
tèmes de valeurs considérés, sera développable en une série
procédant suivant les puissances de 77i et de ^ — Xq et con-
vergente dans les limites ci-dessus.
Cette série se déduirait d'ailleurs de la série (4), qui
donne y — y^, en remplaçant k, l par m et les coefficients
cx[j.v pai^ une limite supérieure de leurs modules. On ob-
tiendra une limite supérieure de la somme des modules
de ses termes, et a fortiori une limite supérieure du mo-
dule de y — jKoî en remplaçant m par q, el x — Xq par son
module dans la série, ou dans l'expression équivalente (7).
Donc
:/-7o
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 99
^(,--^)3 + 3Nlog[.-^^l].
et l'on obtiendra la même limite pour le module de ^ — Zq.
Si nous supposons maintenant que q tende vers zéro, la
limite du module de ^ — ^07 en deçà de laquelle la conver-
gence est assurée, tendra vers la quantité fixe
re
que nous désignerons par p. Et, si |.r — œo\ est assujetti
à rester << p — 8, 3 étant une quantité positive quelconque,
\y — 7o\ et 1^ — Zq\ resteront constamment moindres que
r — £, £ étant une quantité positive, déterminée par la re-
lation
£ = i/V^4-3Nlo§( I- ^
Nous obtenons donc, comme conséquence de toute cette
analyse, le théorème suivant :
Les équations (i) admettent un système d^ intégrales y,
z qui se réduisent à yo, Zq, pour x = ^o- C<^^ intégrales et
leurs dérivées successives par rapport aux paramètres y ^^
Zq, sont développables suivant les puissances entières et
positives de x — Xq^ en séries convergentes, tant que le
module de x — Xq sera moindre que la quantité fixe
l --\
p — r\i — e '^^ ].
Enfin, si ce module reste inférieur à 0 — 8, les modules
de y — jKo et de z — Zq resteront inférieurs à r — £, s étant
une ciuantité positive, dépendante de 0.
84. Les séries y, ^, que nous venons de déterminer, con-
stituent le seul système de solutions des équations différen-
tielles qui se réduisent à^o ^0 pour x = Xq.
100 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Pour le montrer, considérons une ligne rectifîable quel-
conque L partant du point Xq et supposons :r astreint à par-
courir cette ligne. Soient Y, Z deux fonctions défîaies le
long de cette ligne, lesquelles satisfassent aux équations dif-
férentielles, et se réduisent àyo> ^o pour ^ = Xq. Nous allons
établir que dans toute la partie de L où |^ — ^o| <C p — '^d
Tj étant une quantité fixe quelconque, on aura nécessaire-
ment Y --=^y, 7j = z.
On a, en effet, dans toute cette portion de L
\y-J'o\<r — ^, 1^ — ^o|<^-o,
0 désignant une quantité fixe qui dépend de y].
Les fonctions Y — y, Z — :; admettent, par hypothèse, les
dérivées
/(^, Y, Z)— /(^, 7, z),
f,{œ,Y,Z)-Mœ,f,z).
Elles ne peuvent donc varier que d'une façon continue, et
leurs modules, nuls au point ûCq, origine de L, ne pourront
atteindre ou dépasser un nombre s (que nous supposerons
infiniment petit) sans avoir franchi toutes les valeurs inter-
médiaires.
Or tant que ces modules seront << £, on aura
|Y-y| = | r[/{a:,Y,Z)~/{a^,f,z)]dx
U -V.
,|Y-.r| + |Z-.-| N „
^ 0 e (O Ej-T)
5 désignant l'arc de L compris entre ^o et x,
bi nous prenons £ <^ -> cette expression seramomare que
lôsN
8^ ^
S^T)
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES.
et si Parc s est moindre que la quantité finie -r—^- elle sera
moindre que -•
Donc sur cet arc fini s, |Y —j\ (et aussi |Z — ^j) ne pour-
ront prendre aucune des valeurs comprises entre - et e. Ils
ne pourront donc atteindre ni dépasser la valeur s; celle-ci
étant arbitraire, ils seront nécessairement nuls.
On verra de même que |Y — y\ et |Z — z\ seront nuls le
long d'un second arc de même longueur que le précédent et
lui faisant suite; ils seront donc nuls tant que \x — Xo\ sera
<|p — 7]|, et enfin, Tj étant arbitraire, tant que \x — ^oi
sera << p.
85. Nous avons établi, par ce qui précède, qu'il existe un
système unique d'intégrales y, z satisfaisant aux conditions
du problème. Elles sont données sous forme de séries, dont
la convergence est assurée dans un cercle G de ra^on p décrit
autour du point Xq.
Si la variable x sort de ce cercle, on pourra déterminer
leur valeur de proche en proche par le procédé déjà employé
au Tome I pour suivre la marche d'une fonction analytique.
Supposons que x décrive une ligne L issue du point Xq]
soient x^ un point de cette ligne, encore situé à l'intérieur
de G; jKi, ^i les valeurs correspondantes de y, z. On aura
|^<— ^o|</^|jKi— ro|<^^|^»— ^o|</'. Le point (^<,jK<,iji)
sera donc un point ordinaire pour /, f\ et les équations dif-
férentielles admettront un système de solutions se réduisant
à yi, Z{ pour x — x^. Ges solutions seront des séries de
puissances de x — x^\ soit G, leur cercle de convergence
certaine; pi son rayon.
Ges éléments de fonction analytique ayant pour centre x^
seront contigus à ceux qui avaient pour centre Xq et permet-
tront de déterminer les valeurs dejK, ^, de .^4 à ^27 ^2 étant
un point choisi à volonté sur L, au delà de x^ , mais encore
à l'intérieur de Gi.
102 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Au delà de ^2? l'intégrale sera représentée par de nou-
veaux éléments de fonctions analytiques ayant leur centre
en Xi-
En continuant ainsi, on finira par arriver jusqu'à l'extré-
mité de la ligne L, à moins que les rayons des cercles suc-
cessifs p, p,, p2, . . ne forment une suite convergente;
auquel cas il pourrait arriver que le procédé ne permette de
suivre la marche des intégrales que jusqu'à un point déter-
miné x^ de la ligne L.
Lorsque x se rapprochera de x^ en suivant la ligne Ij,
diverses circonstances pouvant se présenter :
1^ L'une au moins des deux quantités j^, z ne tendra vers
aucune limite, ou tendra vers l'infini;
2° Elles tendront toutes deux vers des limites finies jk^ z\
Dans ce cas (x' ^ y' , z') sera un point critique pour l'une au
moins des deux fonctions /, f^ . En effet, si ce point était
ordinaire, il lui correspondrait un certain rayon de conver-
gence p'. Pour un point x,i infiniment voisin de x^, pris sur
la ligne L, y, z prendraient des valeurs y,i, Zn, infiniment
voisines de y', z\ et le rayon de convergence p„, corres-
pondant au point {^Xn-, yn, ^n), serait infiniment voisin de p',
au lieu d'être infiniment petit. On pourrait donc, au moyen
du cercle C/^, déterminer les valeurs de y^ z au delà du
point x' .
Le procédé indiqué ci-dessus pour suivre la marche des
intégrales est peu satisfaisant au point de vue pratique. En
effet, chacune des valeurs successivesjKi , ^^,y2^ ^2^ - - - exige,
pour sa détermination, un développement en série, puis la
sommation de cette série, opération compliquée et dont le
résultat ne peut en général s'obtenir exactement. Or chaque
erreur commise influe sur toute la suite des calculs. Il faudra
donc opérer avec une très grande approximation, sous peine
d'altérer beaucoup le résultat final.
86. La méthode dite des quadratures, que nous allons
exposer, est sujette à ce même inconvénient, mais donne
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Io3
lieu à des calculs plus faciles. Voici en quoi elle con-
siste.
Marquons sur la ligne L une série de points ^,, ^25 ' • ', ^m
intermédiaires entre x^ et X, et suffisamment voisins les
uns des autres; puis, déterminons deux séries de quantités
>"nJ2^ • • -^y;,.. Y'el^;, ^;, .. ., c;,„ Z^par Ics relations
^ y m'^^^ jK^iniymi ^ m) \^ ^m)j
Y' et U seront des valeurs approchées de Y, Z, et l'erreur
commise tendra vers zéro à mesure que Ton multipliera les
points intermédiaires.
87. Nous justifierons cette méthode en cherchant une
limite supérieure du module de l'erreur commise.
Soient \ un point quelconque de la ligne L; Vj, Ç les va-
leurs coi-respondantes des intégrales.
On peut déterminer par hypothèse une quantité /•, telle
que /' et f^ soient développables suivant les puissances de
X — \i y — '^15 ^ — Ç tant que les modules de ces quantités
ne surpassent pas /•. Ce nombre r est une fonction de ç.
Si \ se déplace sur L d'une manière continue, yj, X^ variant
aussi d'une manière continue, il en sera évidemment de
même de /•, lequel admettra un minimum différent de zéro.
Soit R un nombre inférieur à ce minimum.
Si le point (^, jk, ^) se déplace, de telle sorte qu'on ait
constamment sur la ligne L un point (?, 'f\^ Ç) fixe ou variable
pour lequel on ait
le poini (^, y, ^) décrira un ensemble borné et parfait où
les fonctions /el>yi restent finies et continues. Leur module
ne pourra donc surpasser un nombre fixe ^..
D'ailleurs, si j^r — i|, \y — 'r\\^ \z — X^\ sont < R — 5,
I04 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
0 désignant un nombre fixe, on aura
N étant égal à 4^-^.
^ (271)3
Cela posé, supposons les intervalles^o-^n • • • 7 ^k^k+i, • • • ,
tous <; )^ et cherchons une limite supérieure des modules
des différences entre les valeurs y^^ Zi, . . . , jka, ^k, . . • , Y, Z
des intégrales aux points ^<, . . . , Xk^ X et les valeurs appro-
chées y\ , s', , . . . , Y', Z'. On a
jA+i — /A = / /( ■3:', y, - ) ^^,
f
d'où
[/(^. 7> -) —fi^k, fky -;,)]^^.
Si nous supposons \y\ — j"a|, |s)^ — Zk\ moindres que R — o,
le module de la quantité entre parenthèses ne pourra surpasser
N
[>^ + |7a-7a| + 14-^1]^
(1^ — Xk\ étant << ).); on aura donc
Ij/c+i-/aI<|71--/a-|
N
On a une inégalité semblable pour z\^^ — z\..
Ajoutons ces deux relations, et posons pour abréger
i/;.-j'*i+i4-=*i+>- = u*.
Nous obtiendrons la relation
TT -XT r ^N , ,1 ^T —\Xk+'i-Xk\ ^^ 77-<
s désignant la longueur de la ligne L.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Io5
D'ailleurs, au point œ^, on a y^=yQj z'q = Zq, d'où Uq = "X.
Chacune des quantités Ua et a fortiori chacune des quan-
tités l/k—yk]^ l^-'k — ^f^l ^^ ^^^^^^ |Y'— Y|, \U—Z\ seront
donc moindres que
si les précédentes sont moindres que R — ô.
Cette condition sera satisfaite, si l'on prend \ assez petit
pour satisfaire à l'inégalité
La limite d'erreur ainsi trouvée tend bien vers zéro avec ).,
comme nous voulions l'établir. La formule montre toutefois
l'imperfection de la méthode, car l'arc s figure sous une
exponentielle dans l'expression de l'erreur à craindre. Pour
peu que le champ d'intégration soit étendu, il sera difficile
de multiplier assez les points de division pour obtenir une
approximation suffisante.
88. On a souvent avantage à transformer les équations
différentielles proposées par un changement de variables,
avant de recourir aux quadratures. Ce procédé constitue la
méthode de la variation des constantes, dont nous allons
indiquer le principe.
Soient
(8) ^:=M4-aN, ^ = M'4-aN'
deux équations différentielles simultanées, où M, M', N, N^
sont des fonctions de x, y, z et a une constante très petite.
Proposons-nous de trouver un système d'intégrales j', z se
réduisant àyo? ^o pour x ^= Xq.
Si l'on négbgeait les termes en a, les équations se rédui-
raient à
(9) S -M' S=^l'
THF.
TTNIVERSI
I06 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Supposons qu'on puisse déterminer, par un procédé quel-
conque une intégrale générale de ces deux équations, repré-
sentée par deux équations
(ro) j=z/(^,c,c'), z — <^{œ,c,c').
Le système d'intégrales particulières des équations (9)
qui, pour a: = ^o? se réduisent àjKo) ^0 sera fourni par ces
équations, en y donnant à c, c' les valeurs Cq, c'^ qui se dé-
duisent des équations
Le système des intégrales particulières des équations (8)
qu'on demande de trouver pourra de même être représenté
par les équations (10), à la condition d'y considérer c, c' non
plus comme des constantes, mais comme de nouvelles incon-
nues à déterminer en fonction de x. Ces nouvelles variables
devront : 1° se réduire à Co, c^ pour ^ = -^^o j 2° satisfaire aux
équations différentielles qu'on obtient en substituant dans les
équations (8), à la place àey^ ^'77^' TT ■ ^^"^'^ valeurs
y — f{œ,c,c'), z:==zo{x,c,c'),
ày __ d£ df dc^ _^ f^
dx dx de dx de' dx '
dz __ ào à'^ de do de'
dx ÔJ^ de dx de' dx '
Les équations ainsi obtenues, résolues par rapport à -7-,
-j-i prendront la forme suivante
où P, Q, P', Q' sont des fonctions de x, c, c'.
Mais, si a était nul, c et c' seraient constants et leurs déri-
dc de'
vccs -7-> -j— se réduiraient à zéro. Donc P et P' sont nuls, et
CLJO CtJO
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. IO7
les équations précédentes se réduisent à la forme plus simple
de
£=■«•■
n en déduit
c — Co = a / Q dx,
c' —c^—^j.
dx.
Les fonctions Q et Q' contiennent, outre la variable d'in-
tégration x^ les fonctions inconnues c, d . Mais les déri-
dc de' (. , . ,
vees -T-? -7- j contenant en lacteur la quantité a supposée
très petite, sont elles-mêmes très petites ; donc c, c varient
lentement, et, si le champ d'intégration n'est pas trop étendu,
on pourra, sans altérer sensiblement les fonctions Q, Q', y
remplacer les variables c, c' par leurs valeurs initiales Cc, c'^.
On n'aura plus alors qu'à intégrer une fonction de x seul, ce
qui est facile.
Si le résultat obtenu n'est pas jugé assez exact, on pourra
remplacer c et c' dans les fonctions Q et Q' par les valeurs
fournies par cette preaiière approximation, et recommencer
l'intégration, et ainsi de suite.
89. Nous ne nous sommes occupé jusqu'à présent que de
calculer les valeurs numériques des fonctions y, z pour une
valeur donnée de la variable. Il nous reste à tirer les consé-
quences des résultats trouvés au point de vue des propriétés
analytiques de ces fonctions intégrales.
Leurs valeurs finales Y, Z en un point quelconque X dé-
pendent, d'après notre mode de procéder, non seulement de
la position de ce point, mais de la ligne L par laquelle la
variable x se rend de Xq à X. Toutefois, si cette ligne est
telle que la valeur x de la variable indépendante en chacun
de ses points, associée aux valeurs correspondantes jk, z des
fonctions intégrales, donne un point ordinaire des fonctions/
et/",, on pourra lui faire subir une déformation infiniment
petite quelconque sans altérer les valeurs finales Y et Z.
I08 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
En effet, chacun de ces points x est le centre d'un cercle
dans l'intérieur duquel y ^\ z sont des fonctions mono-
dromes de x. Le rayon R de ce cercle, variant d'une manière
continue quand x se déplace sur L et n'étant jamais nul, ne
pourra s'abaisser au-dessous d'un minimum fixe R'. Si l'on
trace autour de chacun des points de L un cercle de rayon R',
ces cercles recouvriront une région du plan dans l'intérieur
de laquelle jr et z seront évidemment monodromes. On n'al-
térera donc pas leurs valeurs finales Y, Z, si l'on remplace la
ligne d'intégration L par une autre ligne quelconque U ne
sortant pas de cette région.
On pourra ainsi, sans altérer Y, Z, déformer la ligne L
d'une façon continue, aussi longtemps que les valeurs simul-
tanées de x^ y, z correspondant à chacun de ses points
seront un point ordinaire de y* et de/") .Mais, si L prend dans
le cours des déformations une forme telle qu'en un de ses
points X, y, z soient un système de valeurs critique pour
l'une au moins des deux fonctions /"ety,, le raisonnement se
trouvera en défaut et il pourra même arriver que dans cette
position de la ligne d'intégration Y, Z ne puissent plus être
calculés par nos procédés.
Les points pour lesquels les valeurs simultanées de x^y, z
forment un système critique pour /ou y, pourront donc être
(et seront le plus souvent) des points critiques pour les fonc-
tions intégrales jK, z.
90. Pour obtenir les éléments nécessaires à l'étude appro-
fondie des fonctions intégrales, il resterait : i° à déterminer
la position de leurs points critiques; 2° à étudier les varia-
tions de ces fonctions aux environs de ces points critiques.
Le premier de ces deux problèmes est malheureusement
inabordable dans la plupart des cas; car jr et 3 figurant, ainsi
que X, dans la définition de ces points, on n'a, en général,
aucune méthode pour fixer leur position a prioj^i. On ne
pourra les connaître qu'après avoir achevé l'étude des inté-
grales, qu'ils auraient dû servir à faciliter. Il y a là un cercle
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. IO9
vicieux, qui constitue la principale difficulté du problème de
l'intégration.
Suivant les circonstances, ces points seront isolés ou non ;
ils pourront même constituer des lignes entières, auquel cas
les fonctions y, z n'auraient une existence définie que dans
la région du plan que l'on peut atteindre, en partant du point
initial Xq^ sans traverser ces lignes critiques.
91. Il existe toutefois un cas extrêmement important, où
l'on peut déterminer d'avance la position des points critiques :
c'est celui où les seconds membres des équations différen-
tielles sont linéaires par rapport aux fonctions inconnues.
Considérons, pour fixer les idées, un système de deux
équations de ce genre
(II) ^Z=:^A7-f-B.^-hG, ^ z=A'/ + B'^H-G',
où A, B, . . . , G' sont des fonctions de x. Soit Xq un point
ordinaire de ces fonctions; on aura, tant que le module de
X — Xq r\Q surpasse pas une quantité fixe r, des développe-
ments convergents
A =\ ay,{x — ^0)^,
G=^Ca(^-^or,
)
les coefficients ^a, ^a, • • • ayant pour limite supérieure de
leurs modules une expression de la forme — •
Cherchons un système d'intégrales
y -- y^^\dx{x — X^)^, Z — Zq ^\ei{x~Xo)'^,
qui, pour x = Xo^ se réduisent à jKo> ^o- On déterminera les
coefficients d, e en substituant ces valeurs dans les équations
IIO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
différentielles. Il viendra, en égalant les coefficients des termes
en (^ — ^o^^j
(X -+- i)<ix-H, =z a^di-h aidi^i -h. . .-h a\^^d^ -\- bQe\-\- . , ,
+ Z>x_, ei + «x/o + '^X-o + Cl,
(X 4- i)ex+i = < ^x + . . • H- 4-1 ^A + ^0 ^A ^- . . .
■4- ^x_i^i + 4/o + ^x^o + 4-
Ces formules récurrentes donneront, pour les coefficients
d^ e^ des expressions de la forme
où Fx et ^\ sont des polynômes linéaires et homogènes par
rapport à^o^ ^o et aux coefficients c, c', les coefficients de
chacune de ces quantités étant des polynômes à coefficients
positifs, formés avec les a, 6, a', b'.
Nous obtenons ainsi cet important résultat, que les inté-
grales cherchées y, z dépendent linéairement de y^y Zq.
92. Cherchons le rayon de convergence certaine de ces
séries. Le cas le plus défavorable est évidemment celui où
les coefficients a, ^, c, a', b', c' sont remplacés par les
limites supérieures de leurs modules, et j'o, ^o par une limite
supérieure m de leur module. Dans cette hypothèse, les équa-
tions diflerentielles se réduisent à
— irO'H-- + 0.
dz
dx ~
' dx
On en déduit
-=y
et
d>_ M
dx X -
(27+1)
et en intégrant, après séparation des variables.
11... 2 y + I
log-^ =— M/'iog
2/?i 4- 1 \ /•
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. I I I
Cette fonction n'a qu'un point critique, x ^= Xq -h r. La
convergence est donc assurée dans tout le cercle de rajon /-.
Donc, quels que soient jKo? ^o, les intégrales jk, ^ seront
continues et monodromes dans toute région du plan où les
fonctions A, B, C, A', B', G' sont elles-mêmes continues et
monodromes, et ne pourront avoir d'autres points critiques
que ceux de ces fonctions. Encore n'est-il pas certain que ces
derniers points soient critiques pour y et z.
93. Les exemples suivants, que nous empruntons à Briot
et Bouquet, montrent comment on peut effectuer l'étude des
intégrales, aux environs de leurs points critiques.
Soit l'équation différentielle
dy 1
(12)
cU- J\x, y)
f{oc^y) s'annulant pour ^ = o, jv' = o et admettant ces va-
leurs comme point ordinaire.
Cherchons celles de ses intégrales qui s'annulent pour
^ = o.
Si nous considérons x comme fonction de j^, il viendra
(>3) ^=/(^,j).
Cette équation admet une seule intégrale monodrome x^
s'annulant pour jk = o. Sa dérivée s'annulant également, elle
sera développable en une série de la forme
00
=1
X:=:. \ a-tV
9
Supposons que am soit le premier coefficient de la série
qui ne s'annule pas. L'équation précédente, résolue par rap-
port à y, donnera un résultat de la forme
y z=z\^x"' ~\- l^x''
Cette fonction a /n valeurs correspondantes aux diverses
112 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
déterminations du radical x^\ elles se permutent les unes
dans les autres lorsqu'on tourne autour du point x ^=^0, qui
sera un point critique algébrique.
Le cas où tous les coefficients a^. s'annuleraient à la fois
échappe à l'analyse précédente. 11 faut et il suffit, pour cela,
que ^r = o soit une solution de l'équation (i3) et, par suite,
que f{oc,y) contienne x en facteur. Dans ce cas l'équation
^r = G, ne contenant pas y, ne permettra pas de tirer la va-
leur dey en fonction de x. L'équation (12) n'admettra donc
aucune intégrale qui s'annule avec x.
94. Considérons, en second lieu, l'équation différentielle
(>4) œ^=f{,a:,y),
où f{x^ y) a la même forme que dans l'exemple précédent.
Cherchons à déterminer les intégrales de cette équation, qui
s'annulent pour x ^z o.
Soit
/(•^j 7) — 'ky^a^^x^ ^20^' -f- «11 '^Z +
Substituons, dans l'équation différentielle, à la place de j^,
une série
(i5) r = Ci.r -f- c,^^ +. . .,
et égalons les coefficients des mêmes puissances de x dans
les deux membres. Nous obtiendrons une suite d'équations
de la forme
où cpjj^ est un polynôme à coefficients entiers positifs, formé
avec les coefficients a, et les quantités Cj, ..., Cjj_<.
Si \ n'est pas un entier positif, on pourra résoudre ces
équations par rapport aux c, et l'on en déduira un résultat de
la forme
^^ étant une somme de termes ayant pour numérateur un
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. II 3
produit de coefficients a, multiplié par un entier positif, et
pour dénominateur un produit de facteurs de la forme [x — X.
Ces derniers facteurs sont tous différents de zéro, et leur
module croît indéfiniment quand [jl augmente. On pourra
donc déterminer une limite inférieure / de leurs mo-
dules.
Cela posé, la série (i5) satisfait à l'équation (i4); mais il
faut prouver qu'elle a un ra^on de convergence certaine. Or
on accroîtra les modules de ses termes, en y remplaçant,
M
d'une part, les coefficients a^p par les quantités ô> limites
supérieures de leurs modules, et, d'autre part, les facteurs en
dénominateur par /, limite inférieure de leurs modules. Mais
la nouvelle série, ainsi obtenue, est évidemment celle que
l'on trouverait en cherchant à développer la racine infini-
ment petite de l'équation algébrique
M M , M
et converge pour des valeurs de x suffisamment petites.
9o. Pour reconnaître s'il existe d'autres intégrales que la
série que nous venons de déterminer, et s'annulant égale-
ment pour ^ = o, posons
y ^ c^œ -h c^œ'^-h . . . H- -,
z étant une nouvelle variable. Substituant cette valeur dans
l'équation différentielle et supprimant les termes indépen-
dants de s, qui se détruisent, nous obtiendrons l'équation
transformée
dz
> (i6) iJC -^ = z{l ^ bio^ -h b^iz -h b,o^^ -^ - ")■
Nous avons à chercher une solution z de cette équation,
J. — Cours, III. 8
Il4 TROISlfî^tE PARTIE. — CHAPITRE I.
qui ne soit pas conslamment nulle aux environs du point
^ z= o, mais qui tende vers zéro lorsque x tend vers zéro
suivant une loi convenable.
Soient donc
^0 un point voisin de l'origine;
;;o<o la valeur correspondante de z\
L une ligne allant de x^^ à l'origine, et telle que z tende vers
zéro quand x décrit cette ligne.
L'équation (i6) pourra s'écrire
OU, en supposant que \ ne soit pas nul et développant en
série le dénominateur de dzj
et, en intégrant àe Xq k x le long de la ligne L,
I c X
-log- -log —
— / {c^-\-c^z-\-...)dz -^ i
dx.
Si ^ tend vers zéro, z tendant également vers zéro, les in-
tégrales du second membre tendront vers des limites finies et
déterminées. Le second membre sera donc de la forme A -f- e,
A étant une constante et s s'annulant avec x. On aura par
suite
' logf -log^ =A-i-£;
d'où, en passant des logarithmes aux nombres,
œ^ x^ x'^ x^
C désignaïjt une quantité finie et différente de zéro.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 11^
Pour que z tende vers zéro, il est donc nécessaire que x^
tende vers zéro en même temps que x. Discutons cette con-
dition.
Soient
\^=^p ^ qi^ ^ — p(cosO 4- isinÔ),
on aura
XlOgX — - g(p-f-(irO(Logp4-{0)
X'
I -— g;)Logp— vO^
Quand X tend vers zéro, son module p tend vers zéro, son
argument B pouvant varier d'une manière arbitraire, suivant
la nature de la ligne suivie L. Pour que ^^ tende vers zéro,
il faut et il suffît que /?Logp — ^8 tende vers — oc .
Soit d'abord ^=z=o. Cette condition sera toujours satis-
faite, quelle que soit la ligne L, si/? est positif; mais elle ne
pourra jamais l'être si p est négatif. Dans ce dernier cas, il
n'existera donc aucune intégrale de l'espèce cherchée.
Si q n'est pas nul, on pourra toujours déterminer B en
fonction de p, de telle sorte que la condition
Jim(/?Logp — 70)=: — 00
soit satisfaite ou ne le soit pas. Mais ici il convient encore de
distinguer le cas où p est positif de celui où il est négatif.
Si /? > o, la condition précédente sera satisfaite toutes les
fois que B sera assujetti à varier entre des limites finies. Pour
que a^ ne tendît pas vers zéro avec x^ il faudrait donc que la
ligne L fût une spirale décrivant un nombre infini de révolu-
tions autour de l'origine.
Si p <C o, le contraire aura lieu et oc^ ne pourra tendre vers
zéro avec x que si L est une semblable spirale.
96. Ces préliminaires posés, nous allons démontrer qu'à
chaque valeur de la constante c correspond une intégrale de
l'équation (16), développable en une série à double entrée
suivant les puissances de x et de x^ et convergente tant que
ces deux quantités seront suffisamment petites.
Il6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Posons en effet
X^ll
l'équation (i6) deviendra
(17) ^'dx~ «<(6io^4- h^^x^ii + 620^^ + . . .)•
Substituons pour u une série à double entrée
" — y^p"^"^^^"'' ( [A, V = o, I , . . . , 00 ).
Egalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les
deux membres, il viendra
F[xv étant un polynôme à coefficients positifs, formé avec
ceux des h et des c où la somme des indices est moindre que
Celle de ces équations qui donnerait Coo est identique; ce
coefficient reste donc indéterminé, et l'on pourra lui assigner
la valeur donnée c.
La résolution des autres équations donnera
(p^,v étant un polynôme dont chaque terme est un produit de
facteurs h^ multiplié par une puissance de c et par un entier
positif et divisé par un produit de facteurs de la forme s -\-\t^
5 et ^ étant des entiers positifs, dont l'un peut être nul.
Le module des facteurs s -\-\t =^ s -{- pt ^ iqt est diffé-
rent de zéro et croît indéfiniment avec 5 ou ^ (l'hypothèse
^ = o, /? <C o, étant exclue par ce qui précède). On pourra
donc trouver une limite inférieure /n, telle que l'on ait
\ s ^-lt\'> m
pour toute valeur de s et de t.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES.
117
La série que nous venons de déterminer est une solution
de l'équation différentielle (17) satisfaisant aux conditions
posées, solution admissible tant que la série sera conver-
gente. Or on diminue évidemment la convergence en rem-
plaçant partout les facteurs s-^'kt par m, c par son module G
. , M
et les coefficients è^p P^ï" les quantités -;^^> limites supé-
rieures de leur module. Or on voit sans peine que la nouvelle
série obtenue est celle que l'on trouverait en cherchant à
développer suivant les puissances de x et de x'^ celle des deux
racines de l'équation
/M M , M , \
\r r /-^ ;
qui se réduit à G pour ^ = o, x^' = o.
Mais cette racine est évidemment continue et monodrome
tant que les modules de x et de x^ resteront au-dessous d'une
certaine limite. Donc, tant que cette condition sera satis-
faite, V sera développable en série convergente suivant les puis-
sances de X et de x^, et la série qui donne u sera a fortiori
97. Supposons maintenant "k entier et positif. S'il est ;> i ,
posons
/
X -\- xz.
L'équation transformée en z^ divisée par le facteur com-
mun x^ prendra la forme
^-T^ = (X — i)^ + ^lo^H- ^20-^^+ ^11-^^ -+■• • •
et sera semblable à la primitive, le premier coefficient \
étant diminué d'une unité.
Par une série de transformations analogues nous pourrons
Ilo TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
réduire ce coeifîcient à l'imité. Reste donc à considérer
l'équation
dv
('8) x-^z y -\- a^QOc — a^Qx'^^ a^^xy -\-
Nous allons démontrer qu'elle admet pour intégrale une
série procédant suivant les puissances entières de :r et ^ log .r
et contenant une constante arbitraire.
Désignons à cet effet par Aïo, • . . , A^p, ... les modules
des coefficients ci^q^ . . . , a^p, ... ; par \ une quantité po-
sitive un peu moindre que l'unité, et considérons d'abord,
au lieu de l'équation proposée, la suivante :
dy
{nj) X -^ Xj-i-A,o^=A2o^--hA,i^j -h
D'après ce que nous venons de voir, elle admet comme
intégrale une série procédant suivant les puissances de x et
de oc^ et contenant une constante arbitraire.
Posons
^'^> rrz ^ -f- ( I — \)t.
Par cette substitution, nous obtiendrons, comme nouvelle
forme de cette intégrale, une série procédant suivant les
puissances de x et de ^, et qui sera encore convergente
quand ces variables seront assez petites. Pour calculer di-
rectement les coefficients de cette nouvelle série, nous re-
marquerons qu'on a
^^-'-^^^-'^^
d'où
dt \a?' — X
X -r- =: r— =r A ^ — X.
dx I — À
Posons maintenant
(20) y = G,^x-\-C^,t -{-... +C^^xV-C' + ...^Sc^^xV-t';
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. I IQ
on aura
-|=Sc^-^H-''''+^"*''^-';£J
Substituons ces valeurs de jr et ^ -j^ dans l'équation pro-
posée et égalons les coefficients des mêmes puissances de x
et de t dans les deux membres. Les termes en t se détruisent
identiquement; ceux en x donneront
(i — X)Cio— Goi + Aio — o.
Enfin on aura généralement, lorsque [i. 4- v >> i ,
(21) ({J.-hXv _X)C[xv— (v 4-l)G^_i,v+i= ?p,
(pjjLv étant le coefficient du terme en œl^t^ dans le second
membre de l'équation. D'ailleurs on voit sans peine que cp^^^
est une somme de termes de la forme
où K est un coefficient binomial et où les indices a, j^, p.^,
Vo ••• satisfont aux relations
[Xi + ...-t-(Xp=[j. — a.
Ces équations permettent de déterminer de proche en proche
tous les coefficients Cj^v en fonction de Cio, qui reste arbi-
traire.
Ce premier coefficient étant supposé réel et positif, la ré-
solution des équations précédentes donnera pour C^^^ une
expression de la forme
G — F
F|xv étant une somme de termes positifs dont chacun est le
produit : i" d'une puissance de Cio? 2° d'une puissance de
Goi =A,oH- (1 — )^)Cio, ^° d'un produit de coefficients Aap,
120 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
4" d'un facteur numérique indépendant de X; le tout divisé
par un produit de facteurs de la forme
[x-hXv — X, [j,'-f-Xv' — X, ....
On remarquera d'ailleurs que le nombre de ces facteurs,
qui figurent ainsi au dénominateur de chaque terme, ne peut
surpasser 2 ia + v — i .
Supposons en effet que ce théorème soit vrai pour tous
ceux des coefficients dont le premier indice est <; [,«. et pour
tous ceux dont le premier indice est égal à [x et le second
indice <^v. Si nous substituons pour ces coefficients leurs
valeurs dans l'équation (21), elle donnera pour C|jiv une
somme de termes dont le premier contiendra en dénomina-
teurs un nombre de facteurs au plus égal à
I-h2(;JL — 1) + v-f-i — I = 2îJ.-f-V — T.
Dans chacun des autres termes, le nombre des facteurs en
dénominateur sera au plus égal à
I -h 2 [J-i 4- V, — I -h . . . + 2 [J-o 4- V. — I =z I 4- 2 ( |J- — a) H- V — 3
7 2 [J. H- V — I — a.
D'ailleurs la proposition se vérifie immédiatement pour
C02Î donc elle est vraie généralement.
Cela posé, faisons tendre \ vers l'unité.
L'expression t = ^— aura pour limite celle-ci
^ I —A ^
^'— — — — =— ^log^,
laquelle satisfait à l'équation
dt'
œ-j- — t'
dx
L'équation (19) sera changée en
x-^ —y 4-Aoi^=A2o^-4-An^/ -f- •
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 121
et, SI l'on cherche à satisfaire à cette dernière par une série
de la forme
(22) y r^C,,X ^G,,t' -^ . . .^C\,,x\H"^ + . . . ,
les nouveaux coefficients G' seront évidemment donnés par
les mêmes formules que les G, sauf le remplacement de \
par l'unité.
Pour montrer la convergence de cette nouvelle série, com-
parons un terme quelconque T' de Gjj,v au terme correspon-
dant T de Gf;,v. Les facteurs A,o-l-(i — X)Gio, qui figuraient
au numérateur de T sont remplacés par la quantité moindre
A^o. Quant aux facteurs a+)^v — \ du dénominateur, ils
sont remplacés par des facteurs ;j. -t- v — i, qui leur seront
au moins égaux si v n'est pas nul. D'autre part, si v est nul,
auquel cas p-> 2, on aura
(jt. — I ^
Le nombre total des facteurs du dénominateur étant
^2[J--hV — I<2({J.4-v),
on aura donc
T'
-Xy-iv-^^)
et, par suite,
C^^<(2
_X)2(P.+V),
Gela posé, soit r le rayon d'un cercle dans lequel la
série (20) est convergente : on aura, en désignant par M
une constante,
G <- ^
et, par suite,
p, - M
La série (22) sera donc convergente dans un cercle de
rayon (2 — \)~'^r.
122 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Revenons enfin à Téquation primitive (i8) et cherchons à
y satisfaire par une série
Co\ étant une quantité arbitraire ayant pour module Goi- Il
est clair que les coefficients c'^y seront déterminés par les
mêmes formules que les coefficients GJ^^, sauf le remplace-
ment des quantités
par
^loj <^]0' • • • » ^a,S
et que les coefficients cj^v auront les C'^^ pour limites supé-
rieures de leurs modules. La nouvelle série sera donc con-
vergente pour des valeurs assez petites de x et de t'.
98. Considérons, en dernier lieu, une équation algébrique
irréductible
entre j)^ et sa dérivée, et de degré n par rapport à celle-ci.
Une intégrale y de cette équation sera complètement
définie si l'on donne pour la valeur initiale Xq de la variable
indépendante ^ : i** la valeur initiale j'o de j^, laquelle peut
être prise arbitrairement; 2^ la valeur initiale de —-, laquelle
devra être choisie parmi les n racines de l'équation
/(È'>)-°-
Si Ton fait décrire à x une ligne continue quelconque,
y cl -— varieront également d'une manière continue tant
que X ne passera par aucun point critique.
Soit ^ l'une de ces valeurs critiques. Nous avons vu que
lorsque x tend vers ^ trois cas pourront se présenter :
i" y ne tend vers aucune limite;
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 123
2° y tend vers une valeur finie r^ pour laquelle l'équation
/(£■'.)=»
admette une racine multiple ou infinie, et — tend vers cette
racine.
3*^ y tend vers co.
La première de ces hypothèses doit être rejetée. On pour-
rait, en effet, assigner à œ une valeur ^' plus voisine de ^
qu\ine quantité arbitraire £ et telle : i° que la valeur corres-
pondante de y eût son module au plus égal à une quantité
fixe A; 2" que la distance du point r/ à chacun des points Tj
dy
pour lesquels l'équationy = o donne pour -—- une racine mul-
tiple ou infinie soit au moins égale à une quantité fixe 8.
Soit 7' une quantité positive moindre que ô.
Pour toute valeur r/ de y qui satisfait à ces conditions,
les m racines de l'équation /= o seront développables en
série convergente suivant les puissances dey — v]' dans l'in-
térieur d'un cercle de rayon /' décrit autour de '/]' et sur sa
circonférence. Elles resteront donc finies et continues. La
région du plan couverte par ces cercles est d'ailleurs bornée
et parfaite. Le module d'aucune de ces racines ne pourra donc
surpasser un maximum fini M.
Cela posé, l'élément de fonction analytique, qui permet de
déterminer la variation de y au delà du point ^', a un rayon
de convergence certaine, qui peut cire assigné en fonction
des deux nombres fixes r et M et qui, par suite, est lui-même
un nombre fixe, plus grand que l'infiniment petit £ qui
représente la distance des points ^' et Ç. Ce dernier point
ne peut donc être critique, comme nous l'avions supposé.
Nous connaissons donc a priori les valeurs de y, finies
ou infinies, qui correspondent aux points critiques.
99. Soit Tj l'une de ces valeurs, supposée finie. Nous
savons qu'en faisant tendre y vers /) suivant une ligne con-
'24 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
venable, nous pourrons faire en sorte que -^5 ou son
inverse -7- tende vers l'une quelconque des n valeurs four-
nies par l'équation
Chacune de ces racines peut être développée aux environs
du point T, suivant les puissances croissantes, entières ou
fractionnaires de y — ■^•
Soit
dx ^ ^
(23) _::=A(7-rî)P+B(y-^y' + ...
l'un de ces développements; /?, a, [3, . . . étant des entiers
sans diviseur commun.
Si p -h a^o, l'intégrale du second membre, prise de jk^Tj,
aura une valeur infinie ; y ne pourra donc atteindre la valeur yj
dx\
avec cette détermination de -y- j pour aucune valeur finie
de X.
Si/? + a>>o, l'intégration donnera, en désignant par ;
la valeur finale de x,
(24) ^-i=/—(/-^)^+-^(y-^)'^-^.-.,
et ç pourra être un point critique de l'intégrale y.
Pour nous en assurer, développons, suivant les puissances
\_
croissantes de x — ?, celles des valeurs de (jk — "^Y qui
s'annulent avec x — \. Ces développements seront de la
forme
1
{y — -^iY — c^u -\- c^iî^ -^ . . .,
où a représente successivement les diverses valeurs du
1
radical (x — i)^^.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDLVAIRES. 125
On en déduit
y — 7] — {CiU-\-C2iâ-h...)P=c'f, iiP 4- Cp+j mP+1 +
On voit par là que le point \ est en général un point cri-
tique algébrique pour l'intégrale y. Ce sera un point ordi-
naire, au moins lorsqu^on j arrive avec la détermination
de -T- que nous avons adoptée, si le développement Ae y ne
dy
contient que des puissances de u multiples de /? + a.
Ce cas se présentera si y? -f- a = i . Cette condition est
d'ailleurs nécessaire. Supposons en effet qu'on obtienne^
pourjK — '/;, un développement suivant les puissances entières
et positives de :r — i, tel que
j — rj = C ^ ( ^ - 0 '7 + C ^+ 1 ( ^ — 0 '^'^ ' H- • • • •
On en déduira, en renversant Ja série,
_i i 1
oo — l — c,jn{y — r^)n-\-d{y — T,)n^
Comparant avec le développement (24)1 on voit qu'on doit
avoir
[A, V, . . . étant des entiers. Mais/7, /? + a, /> + p, ... n'ayant
pas de facteur commun, on aura [x = i, d'où/? -f- a = i.
Considérons maintenant une valeur infinie de y. Posant
7 = -î nous obtiendrons une équation transformée
«=/{-iS.-;)=/.(S'=:
Cl 3C
et nous développerons les diverses valeurs de -7^ suivant les
ciz
puissances croissantes de z. Soit
dx ^ ^-
(25) ~=A.-^+B^P4-...,
clz
un de ces développements. Intégrons-le de ^ à zéro. Si
/;>4-a^o, l'intégrale du second membre sera infinie. Donc^
126 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
ne pourra devenir nul ou y infini, avec cette détermination
de la dérivée, pour aucune valeur finie de x.
Si /?4-a>o, on aura, en appelant Ç la valeur de x
pour jz = o^
y. pA —- pB '—r-
p-\-^ />4-p
1
d'où, en posant (x — 1)p^^ z=: u^
et enfin
z— c'^uP-{- c^+1 uP-^'^
y— - = -T u~P + du-P^
Donc \ sera, en général, un point critique algébrique
pour la fonction j/-, lorsqu'on j arrive avec la détermination
de la dérivée que nous considérons. Ce sera un pôle,
si /> 4- a := I .
Nous avons ainsi déterminé la manière dont la fonction jk
se comporte aux environs de chaque point critique; mais la
position de ces points critiques reste encore inconnue.
100. Considérons, en particulier, le cas où y est une
fonction uniforme. D'après ce qui précède, ce cas est carac-
térisé parla condition que, dans chacun des développements
précédents, /> + a est nul ou négatif ou égal à l'unité.
Si cette condition est remplie, y^ n'avant que des pôles,
sera une fonction méromorphe. Nous allons montrer qu'on
peut la déterminer par des opérations purement algébriques.
clx
En effet, -7- étant une fonction algébrique dejK, ^ consi-
déré comme fonction de y sera une intégrale abélienne et
aura, pour chaque valeur Y de y, n systèmes de valeurs
Xi H- 2/?iW -f- 2 7?i'io'h-, . .,
X„ -h 2 m w -f- 2 /?i' 00' ~f- . . . ,
où m, m\ . . . sont des entiers et 2 to, 2to', ... des conslantes
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. I27
linéairement distinctes, chacun de ces systèmes de valeurs
correspondant d'ailleurs à une des n déterminations de —r-
dy
pour y z=:zY.
L'intégrale jK, considérée comme fonction àex, admettra
donc les périodes 2(jl>, 20)^, ..., et, comme une fonction
méromorphe ne peut avoir plus de deux périodes linéaire-
ment distinctes, trois cas pourront se présenter.
101. Vv.^Mmv.cks : Il existe deux périodes distinctes, 203
et 2u)'. — L'intégrale y sera une fonction méromorplie et
doublement périodique d'ordre n.
A chaque valeur de y, finie ou infinie, et à chacune des
dx
déterminations de -7- correspondront des valeurs finies dex,
une dans chaque parallélogramme des périodes. Pour que ce
cas se présente, il faudra donc que, dans chacun des déve-
loppements (28) et (25),/? + a soit égala i; car, s'il était
nul ou négatif, ce développement ne pourrait fournir aucune
valeur finie pour^.
Gela posé, soit p{u^ g2i gs) la fonction elliptique de
Weierstrass qui admet les deux périodes 2to et 20)'. La
fonction p(x — Xq, g2^ gz) elliptique du second ordre, sera
liée ky par une équation algébrique
F[y, p{x — œ,,g^, ^3)] = o
du second degré en y et de degré n en p[x — ^01 g2^ gs)- H
reste à déterminer : 1° les coefficients A, B, ... du polj-
nôme F; 2"^ les invariants ^2? ^'3- On y parviendra en déve-
loppant le premier membre suivant les puissances croissantes
de ^ — Xq et identifiant le résultat à zéro.
On a, en effet,
p{x — Xo, g^, g,)=j-—^—-^^ H- -L o^2(^_-^q)2
[x — ^0)" 20
ÏÏ8
^^3(^-^0)' H-.-..
128 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
D'autre part, l'équation
dx
donne, par différentiation, les dérivées successives de y
exprimées au moyen de jk et —-' Or, pour x = Xq, on con-
naît la valeur jKo de y et l'on a précisé, en outre, celle des
racines de l'équation ci-dessus que l'on choisit comme valeur
initiale de -7-' On peut donc déterminer, pour x = Xq^ la
valeur de y et de toutes ses dérivées et, par suite, déve-
lopper j^ suivant la série de Tajlor.
Les équations, fournies par cette identification à zéro,
sont évidemment linéaires et homogènes par rapport aux
coefficients A, B, ... et algébriques par rapport à g2, gz-
102. Deuxième CAS : Il n'existe qu'une seule période 20).
— Ceux des développements (sS) dans lesquels /> -f- a >> o
donneront chacun une série de pôles de la fonction y, ayant
pour formule générale ^0+ amw (^0 restante déterminer).
Aux environs de chacun d'eux, on aijra pour y un dévelop-
pement de la forme
y — ^ + . . . H h «'0 -+-.-. ,
•^ {x — ^0 — 2moi)i' X — Xq — 2mw
où p et les coefficients a^, . . ., «o? • • • sont donnés par
l'analyse précédente et ne dépendent pas de ni.
Cela posé, l'expression
7r/.r„
e "
0 w .
admet la période 2 to. Elle a pour pôles les points Xç^-^ ini w,
les résidus correspondants se réduisant à l'unité.
Sa dérivée d'ordre k admettra les mêmes pôles et sera, aux
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 129
environs du pôle ^o + 2mto, de la forme
(-■)^'-^---^ I p.,
R ne devenant plus infini.
On aura donc
du (-1)^"' ^^"^«
le reste y' admettant la période w et les pôles de j-, sauf ceux
de la série Xq + inibi. On trouvera de même
S désignant une nouvelle fraction rationnelle formée avec
71/. f
e ^ Gly" une autre fonction périodique où une seconde série
de pôles a disparu. Continuant ainsi, on pourra mettre y
sous la forme
j z= T 4- Y,
TZr.r
T étant une fraction rationnelle en e ^ et Y une fonction
périodique qui n'a plus de points critiques à distance finie,
et qui, par suite, sera développable par la formule de Fourier
en une série procédant suivant les puissances positives et
TT/.r
négatives de e '^ . Or M. Picard a démontré que, si cette
série contenait un nombre infini de termes, l'équation précé-
dente donnerait en général, pour chaque valeur dey, une in-
TZix
fînité de valeurs de e " . Mais à chaque valeur de y corres-
pondent n séries de valeurs de x; et, comme les diverses
valeurs d'une même série donnent la même valeur pour e ^ ,
cette quantité n'a que n valeurs pour chaque valeur de y.
Donc la série Y sera limitée, et y sera une fraction ration-
TT/.r
nelle en e ''^ ; on aura donc
(26) p^_i-Q=,0,
Pet Q étant deux polynômes entiers en e '^ , l'un de degré /?,
l'autre de degré ^«.
J. — Cours, III. Q
l3o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Les coefficients de ces deux polynômes se détermineront
comme dans le cas précédent.
Il est aisé de trouver le critérium qui caractérise ce second
cas. En effet, pour chaque valeur dey, l'équation (26) donne
en général, pour e ^ , n valeurs finies et différentes de zéro ;
d'où résultent pour œ, a classes de valeurs x^ -f- 2/?îw, . . . ,
x,i-\ -\- 2/?ito, ^oj • • -5 ^n-\ étant des quantités finies.
11 y a toutefois exception pour les deux valeurs (finies ou
«TC/.r
infinies) de y qui annulent le coefficient de e ^^ ou le terme
TZix Tlix
indépendant de <? '^ ; car ces valeurs donnent pour e^ une
racine, ou un groupe de racines, nulles ou infinies, auxquelles
ne correspond aucune valeur finie de x.
Soit, par exemple, y s la valeur de y qui annule une ou
plusieurs racines de l'équation. Soit q le nombre de ces
racines. Aux environs du point jr, on pourra les développer
en séries de la forme
TZix J. 2
On en déduit
"'''-log[?i(i
tù
=:r - log(/ -/i) H- Ti+ T2 (7 -rO'^H-. . .;
d'où, en prenant la dérivée par rapport à 7
dx w I Y2
^^^ df rùq y—y, iiiq^^ -^'^
Soit de même y^ la valeur de y qui donne des racines
infinies, en nombre q' . On pourra développer leurs inverses
en séries de la forme
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l3l
d'où l'on déduit
Si les racines nulles ou infinies correspondaient à une va-
leur infinie de y, ces développements suivant les puissances
de y — jKi ou de y — y^ devraient être remplacés par des
développements analogues suivant les puissances de - =:= i:.
Les deux développements précédents doivent évidemment
faire partie de la série des développements (28) et (ao).
Donc parmi ces derniers il en existera deux qui commencent
par un terme de degré — t et pour lesquels /? + a sera nul,
cette quantité étant égale à i pour tous les autres, qui doivent
donner pour x des valeurs finies.
L'identification de ces deux développements avec (27) et
(28) fera d'ailleurs connaître la période to, et les entiers q^ q' .
103. Troisiîïme cas : Il n^y a aucune période. — Dans ce
cas X ayant n valeurs seulement pour chaque valeur dejK, et
n'ayant que des points critiques algébriques, sera une fonc-
tion algébrique de y. Réciproquement, y sera algébrique
en X et, comme il est uniforme, il sera rationnel. On aura
donc
P/ + Q=.o,
P et Q étant des polynômes entiers en x^ l'un de degré /?,
l'autre de degré ^aï, dont on pourra déterminer les coeffi-
cients comme précédemment.
Pour chaque valeur dey, on aura n valeurs de x^ générale-
ment finies. 11 n'y aura d'exception que pour la valeur (finie
ou infinie) dej^ q^i annule le coefficient de .r'^, et à laquelle
correspondra une racine^ ou un groupe de q racines, infi-
nies. Les inverses de ces racines pourront être développées
en séries de la forme
X
L 1
l32 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
d'où
_1 1
^"ïi(/-yi) '^-^ï2 + T3(/-yi)'7 -f- ...;
^, = -5(7-70 '/ +....
Donc l'un des développements (23) [ou des développements
(25) si la valeur de y qui rend x infini est elle-même infinie]
commencera par un terme d'exposant — On aura donc
q
pour ce développement/? -f- a = — i, et pour tous les autres
/; -h a = I .
Les divers caractères dont nous avons reconnu la nécessité
dans chaque cas, étant contradictoires entre eux, seront en
même temps suffisants. On pourra donc a priori reconnaître
dans quel cas on se trouve, sans qu'il soit besoin de tâton-
nement.
lOi. Gomme application des résultats qui précèdent,
cherchons, parmi les équations binômes de la forme
iè)''=^^if—')''if--^)'-
n^ )vj,)v2, ... étant des entiers sans diviseur commun, celles
dont l'intégrale est monodrome.
Les points critiques de
dx -'' -^ -^^'
^rrrA "(j-^i) " (/ " «2) V,.
sont «,, a.,^ .... Pour l'un d'entre eux a^^ on aura comms
développement
|^p.(,-«.nV....
D'autre part, si l'on pose jk= -5 on aura l'équation trans-
formée
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l33
d'où
Si donc nous posons, pour abréger,
il sera nécessaire et suffisant que [jl, [ji,, |jl2, ... soient de la
forme -— — ' ï o^i ^^ ^ • Ces quantités satisfont d'ailleurs à
P
la relation
(29) fA-f- [X,-f-[X,-}-.. .= 2.
Premier cas : L intégrale est doublement périodique.
Dans ce cas, p., [x,, ji.2, ... seront tous de la forme —
P
et, par suite, au moins égaux à {, sauf j^., qui peut être nul.
Supposons d'abord [^ = 0. Il résulte de l'équation (29)
que le nombre des quantités jx,, jjio, ..., qui sont toutes
J^, mais <^i, sera 4 ou 3.
S'il y en a quatre, on aura nécessairement
V'\~V"L~'^i—\H~\, d'où \—\^—\..— \,
2.
S'il y en a trois, on aura, en substituant dans (29), pour
p-M [^2, [^35 leurs valeurs —
i»2 — I p%
Pi Pt Pz
I I I
1 1 =1.
Pi Pt Pz
Les quantités /?< , /?2, p^ étant supposées rangées par ordre
de grandeur croissante, on en déduira
— Ji, d'où /?!— 3 ou 2.
P\
Si /?< =z 3, on devra avoir
i34
TROISIÈME PARTIE.
d'où
), = X,=
Xs-
Si
Ps
= 2,
il
viendra
I
Pi
I
H
P^
CDAPITRE I.
d'où
Si /?o = 4? Oïl aura aussi
Si /-?2=^ 3, on aura
/^3 = 6,
ce qui donne les deux solutions
X3-.r
Xi=r2, Xs
Xir=3, X,:
/Z -iri 4,
4, Xg-rô, /^ — 6.
Les solutions où [jl n'est pas nul se déduisent évidemment
des précédentes par la suppression d'un facteur. On obtient
ainsi les nouvelles solutions
x, = x.
= X3=I,
Il r= 1,
X,=r.X,
= 2,
Il r=z 3,
X,=:2,
X2= 1,
// = 4,
Xi=I,
X^-r,
/i^4,
X,= 3,
)^2=4,
/i := 6,
Xi=4,
X^rzzS,
« = 6,
X,= 3,
X^iz^S,
« = 6.
Deuxième cas : L intégrale est simplement périodique,
— L'un au moins des nombres [ji, [a,, p.2, . . . sera égal à i.
Soit d'abord p. =:^ o, pi, = i. L'équation (29) deviendra
1^2 + (^3 4- . . • = I ,
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l35
les quantités |jl2, p<-3, ... étant égales à i ou de la forme
ZLnJ.
P
On voit par cette équation que le nombre des quantités
^2, p^3, ... ne peut surpasser deux.
Si ces quantités sont au nombre de deux, on aura néces-
sairement
i d'où
S'il n'existe qu'une seule quantité [^2, on aura
■ d'où
Les solutions où \k n'est pas nul s'obtiendront encore par
la suppression d'un facteur et seront les suivantes :
X,
r=2,
X2=II,
Al = 2,
>M
=: X2 =
>
n = '2,
^1
= I,
nr- l.
Troisième cas : L! intégrale est rationnelle. — Une des
quantités [x, [jl,, ... sera de la forme > et les autres de
la forme ~
P
bi UL =:= o et ui, = ^ j uio =: j • • • j il vicncira
^ q ^' Pi
/^2 * * ■ q
On aura donc
(Xgzz:...— o et Pï~=^q,
d'où
Xi=7-4-i, X2=^~i, 'i = <7,
rentier ^ restant arbitraire.
l36 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. — ÉQUATIONS, ETC.
Enfin, si |x n'est pas nul, on aura les solutions
Xi=«7 — I, n — q.
lOo. Les considérations développées dans cette Section
permettent de définir, d'une manière plus précise, les di-
verses sortes d'intégrales que peut présenter une équation
différentielle
Soit Xç^ une valeur particulière de la variable indépen-
dante. A toute valeur initiale y^ donnée à j", et telle cjue
(^ojJKo) soit un point ordinaire pour la fonctiony, correspond,
comme nous l'avons vu, une intégrale de l'équation dilTéren-
tielle, dont on pourra suivre la variation, soit dans tout le
plan, soit dans une région limitée par des lignes singulières.
Outre ces intégrales, ordinaires par rapport au point x^^
et qui diffèrent les unes des autres par la valeur de la con-
stante jKo, il peut en exister d'autres, qui deviennent infinies
ou indéterminées pour x = x^^ ou prennent en ce point une
valeur JK07 telle que(^07j^o) soit un point critique pour la
fonction/. Ces intégrales seront dites singulières par rap-
port au point Xq.
Gela posé, nous appellerons intégrale générale l'en-
semble des intégrales particulières qui sont ordinaires pour
quelque valeur de x', intégrales singulières celles qui
seraient singulières par rapport à toute valeur de x.
11 est clair que l'existence de ces intégrales singulières sera
un phénomène exceptionnel. Soit en effet F(^,j)=:o la
relation qui doit exister entre x et y pour que /présente un
point critique en x, y] il faudra, pour qu'il y ait une inté-
grale singulière, que la valeur de j^ en fonction de x^ tirée de
l'équation F = o, satisfasse à l'équation différentielle pro-
posée, ce qui n'aura lieu qu'accidentellement.
ÉQL'ATlOJiS LINÉ.URE3. 187
CHAPITRE IL
ÉQUATIONS LINÉAIRES.
I. — Généralités.
106. On nomme équations différentielles linéaires celles
où les fonctions inconnues et leurs dérivées ne figurent
qu'au premier degré.
Ces équations jouissent de plusieurs propriétés que nous
allons exposer.
407. 1° Toute équation linéaire reste linéaire si Von
change la variable indépendante.
Soit, en effet,
une semblable équation, /?o, P\, . . ., T désignant des fonc-
tions connues de la variable indépendante t.
Posons ^ — çp(«), u désignant une nouvelle variable. On
en déduira
dx dx , , ,
Ta =Â^("^'
CL OC et OC ta., V ^^ Ou „ . ^
équations qui donnent -j-j —r-i ••• en fonction linéaire
l38 TROISIÈME PARTIi:. — CHAPITRE II.
(xoc cl^ oc
de -y-) 7/~T' '■*■ Substituant ces valeurs, ainsi que celle
de ^, dans l'équation proposée, on obtiendra l'équation Irans-
formée, qui sera évidemment linéaire en ^, -7-5 -,—-,
^ ' du du-
108. i"" Soient x^ y^ ... n fonctions d'une même va-
riable indépendante t, satisfaisant à un système de n
équations linéaires
(î) E,=rO, ..., E,=rO,
et soit V un polynôme entier par rapport cl x^ y^ ... et à
leurs dérivées successives, dont les divers termes aient
pour coefficients des fonctions quelconques de t. La fonc-
tion V satisfera à une équation linéaire dont les coeffi-
cients s'expriment rationnellement en fonction des coef-
ficients <fe E,, . . . , E/i, Y et de leurs dérivées successives.
En effet; soient respectivement m, m', . . . les ordres des
plus hautes dérivées de x, y^ ... qui figurent dans les
équations (i); k le degré du polynôme V. Formons les dé-
rivées successives de V. Chacune d'elles sera im polynôme
de degré k par rapport à x^ y, ... et à leurs dérivées suc-
T^, -n , 1, . . d'^'x d"'^^x d"'' y
cessives. D ailleurs les denvees —, — -, — ? ••-, , ' , ?
, ^j^,^^ -> ••• peuvent s'exprimer linéairement par les déri-
vées précédentes, au moyen des équations (i) et de celles qui
s'en déduisent par dérivation.
Substituant ces valeurs, on aura pour V, -y-? •••j des
expressions de la forme
1 //V
(^) „=r.p.4-T;p.-H...,
T,, T2, . . . , T', , T2, . . . étant des fonctions de ^, de l'espèce
ÉQUATIONS LINÉAIRES. tSq
indiquée à l'énoncé, et P,, P2, - . . des produits de la forme
dt ) \dt"'-^ J -^ \dij \dt"''-
où le nombre total des facteurs est au plus égal à k. Soient P, ,
P2, ..., P/ les divers produits de ce genre que l'on peut
former et dont le nombre est évidemment limité. L'élimina-
tion de ces quantités entre les expressions (2) donne une
dY d'Y
relation linéaire entre V, -j--> • • •? —7-7-*
109. 3° On sait que tout sj'stème d'équations différentielles
simultanées peut être ramené, par l'adjonction de variables
auxiliaires et la résolution par rapport aux dérivées des fonc-
tions inconnues, à un système normal. Si les équations sont
linéaires, il est clair que ces opérations laisseront subsister
le caractère linéaire.
L'étude d'un système linéaire quelconque se ramène donc
à celle d'un système linéaire normal de la forme
dx
__ -H«^ -i-bf -{-... =zT,
où a, b, . . . , a, , 6, , . . . , T, T, , ... sont des fonctions de t.
Nous considérerons en premier lieu les systèmes dits sa/is
second membre, où l'on a
T = T, = ...=:o.
110. Théorème. — Si a^i, j'i, ... ; 0^2, JK25 • • • î • • • sont
des solutions particulières d' un système d'équations li-
néaires sans second membre, les expressions
OÙ Cj, Co, . - . sont des constantes arbitraires, satisferont
au même système d'équations.
l/jo TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
En effet, le résultat de la substitution de ces expressions
dans le premier membre de l'une quelconque des équations
proposées sera évidemment de la forme
C1II1-+-G2H2 + ...,
II, désignant le résultat de la substitution de .r,, r,, ..-i
Ho le résultat de la substitution de x^,yo, .... Mais .r,,
Yi^ ... ; x-y, y-ii • ■ ''1 • • • étant des solutions, on aura
Hi = o, II, = 0, ...,
d'où
111. Considérons spécialement un système canonique
formé de n équations linéaires du premier ordre et sans se-
cond membre. Ce système admet la solution évidente x = o,
j' = o, ...; mais il admet une inflnité d'autres solutions
particulières.
Nous dirons que k solutions particulières d'un semblable
système, telles que
•^1> fly -'l-> • • • >
^k, fk, -/o •
sont indépendantes, si l'un au moins des déterminants
d'ordre k formés avec les diverses colonnes du Tableau ci-
dessus n'est pas identiquement nul.
Théorème. — Si l'on connaît k solutions indépendantes
d^un système de n équations linéaires du premier ordre
et sans second membre {k étant <Cn)^ on pourra ramener
Vintégration du système proposé à celle dUin système
analogue ne contenant plus que n — k équations et à des
quadratures.
Chaque solution de ce nouveau système fournira une
solution du système primitif , indépendante de celles qui
sont déjà connues.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. l4l
Nous admettrons, pour fixer les idées, qu'on ait quatre
équations
I dx
G,
' —r-{-ax -{- by -h cz -h du
dt "^
dy
(3)
dt
+ «1 .r -H h^y -\- Cl 5 -H d^ a
-j^ -V- a^x -f- b^y -\- c^z ■+- d=^ a -=r o,
da j j
. -- -^ a^x -^ b^y -^c^z -\- d-^u — o,
\ at
et que l'on connaisse deux solutions indépendantes
•^1) J^i) -^1) ^^1 5
•^2> JK25 ^2> '''2'
Admettons qu'on ait, par exemple,
•^1 /i
^2 /2
On pourra poser
X \^^X ^ — |— L-<2 -^2 »
r =::Ci/i + C2/2,
a r= Cl «1 + G2 Ui 4- 'J,
Go Go, ^, u étant de nouvelles variables. Effectuant la substi-
tution et remarquant que les termes en G,, Go s'annulent
(car les équations proposées seraient satisfaites si Ç, u étaient
nuls et Gi, G2 constants), il viendra
d\^i d\ji^ ^ ,
- ' X^-^- CL -h rf'j =: o.
dt
dC,
dt
dC,
~dt^'
dC,
dt *
Xi
dt
dC^ y J
o;
dO^
~dt
dC^
~dt
dt
dj_
~dt
-h C2 ^ -h <^2 "J = o»
H- C3C 4- ^s'J = o.
1^2
TROISIÈME PARTIE.
CHAPITRE II.
Résolvant par rapport aux dérivées -^
on aura un résultat de la forme
dC, dC. dX, d^J
dt
dt ' dt'
dt
(4)
(5)
■ 5 ■= «
Bu,
d:
dt
du
dt
-- A2S + B2U,
— As^-I- B3U.
On obtiendra donc Ç et u en intégrant les deux équations
linéaires simultanées (5); C) et C2 s'obtiendront ensuite par
des quadratures.
Soient d'ailleurs Ç', \j' une solution particulière quel-
conque des équations (5) (autre que la solution évidente
Çrrr o, U = o) ; ct supposous, pour fixcr les idées, que Ç' ne
soit pas nul. Soient C\, G'^ les valeurs correspondantes de
C< , Co. La solution
^3 =
= G'
,œ
1 +
Cg^a»
73 =
= g;
7i
+
c;
y 2,
•^3 =
-c;
^1
-1-
c;
~ _1_ Yl
^•2 -t- S ,
Ih^
= c;
"1
^-
c;
ii^_ -+- u'
sera indépendante des deux solutions déjà connues ^i, y^,
Z\, U\j', ^2? J2? ^2, it-,; carie déterminant
^1 /i -1
^3 /3 ^3
est différent de zéro.
= ^'
^1 Ji
•^2 J'2
112. Théorème. — Tout système de n équations li-
néaires du premier ordre et sans second membre admet
n solutions particulières indépendantes ^i, r^ . . .; . . .;
ÉQUATIONS LINÉAIRES. I/^S
.r^, Vn^ ... et sa solution la plus générale est la suivante
^ = Ci^i-4-.. .4- C,,^„, / = Gi7i-f-. . .-i-C„7„, ...,
ou Cl , . . . , C« sont des constantes arbitraires.
La première partie de cette proposition résulte de ce que
nous venons d'établir, que de l'existence de k solutions indé-
pendantes (A* étant <C^n) résulte celle d'une nouvelle solu-
tion indépendante des précédentes.
Pour démontrer le second point, posons
(]<, . . ., C/i désignant de nouvelles variables. Effectuant la
substitution et remarquant, comme au numéro précédent,
que les termes en G<, . . . , G„ s'annulent, il viendra
dOxy dCn
Mais le déterminant des quantités ^i, r,, . . .; . . .; Xni
y ni . • • est ^ o par hypothèse, les n solutions données étant
indépendantes ; donc
dC, dC,,
et G,, . . . , G,i seront des constantes, d'ailleurs arbitraires.
113. Soient
È, rz= g; ^1 + . . . -+- c; ^„, 7)1 == g; 7i + ...-+- c; 7„,
^,=:Gï^i-f-...H-G;;^,„ ^n = G;^7i-t-... + G;^7„,
n solutions particulières quelconques du système proposé.
Leur déterminant est évidemment égal au produit du déter-
minant des solutions ^4, 71, . . .; . . .; ^„, 7,^, . , . par le
déterminant des constantes G'^, . . ., G^. La condition néces-
l44 TR0ISIÈ31E PARTIE. ■— CHAPITRE II.
saire et suffisante pour que ces solutions soient indépendantes
est donc que ce dernier déterminant soit différent de zéro.
il4. Les coefficients des équations différentielles pro-
posées peuvent aisément s'exprim.er au moyen d'un système
quelconque de n solutions indépendant js, telles que Ç,,
"'it ? • • • j Ç/o '^1/" ....
Soit, en effet,
doc
-7- -^ ax -\-hy -\-. . .^^o
une de ces équations; on aura identiquement
et de ce système d'équations on déduira «, 6, ... exprimés
par des quotients de déterminants.
115. A tout système d'équations linéaires sans second
membre, tel que
cloc
—r- -h«^ -hày -\-cz =zo,
at
dy
-^ -+- «1^ -h b^y -4- Cl 5 3= o,
dz ,
— H- a^x 4- b^y -h C22 = o,
est associé un système adjoint défini par les équations
J — haX-h «1 Y + a^L^zi o,
dt
-^ -^bX-v-b,Y-\-b,Z^o,
dt
j- -f- cX -h Cl Y -H CgZ =1 o.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. l45
Les solutions de ces deux systèmes ont entre elles une
liaison remarquable. Pour la mettre en évidence, ajoutons
les équations précédentes, respectivement multipliées parX,
Y, Z, — x^ — y^ — z. Il viendra, toute réduction faite,
,^ dx dX ,, dv dY ^ dz dl^
''-^Tt^''-dt^^tt-^^irt-^^-dt-^'^a
= ^^iX.-^Yy^Z.),
d'où
Xûo + Y/ -\-Zzz= const.
La liaison entre les deux systèmes adjoints est évidem-
ment réciproque. L'intégration complète de l'un d'eux en-
traînera celle de l'autre. Supposons, en effet, que l'on con-
naisse trois solutions indépendantes J0^, y^, z^; Xo, y2') ^2 5
^3, ^^3, ^3 du premier système. La solution générale X, Y^, Z
du système adjoint sera donnée par les relations
X^j-f-Y/,+ Z^, = C„
Xa-.^Yy^-hZz.^zC^^
Xx,-l-Yy,-r-Zz,^C„
C), Co, G3 étant des constantes arbitraires.
Si l'on connaissait seulement une ou deux solutions indé-
pendantes du premier système, on aurait seulement une re-
lation linéaire
X^,H-Yri4-Z..r-C,
ou deux relations
X^,-hYj,4-Z..,-_-=:G„
X^aH-Yja-f- ZZ2 — C2.
Ces relations permettraient d'éliminer une ou deux des
variables X, Y, Z des équations différentielles du système
adjoint, et de ramener ainsi l'intégration de ce dernier sys-
tème à celle d'un système plus simple, contenant une ou
deux équations de moins.
J. — Cours, III. 10
l46 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
116. Systèmes cV équations linéaires à seconds mem-
bres. — Soit à intégrer un système d'équations linéaires à
seconds membres, tel que le suivant :
\ dx . - ^
-j — \- ax + by H- cz -^ du = 1 ,
dy
(6)
/
~ H- «2-3^ + biy -\- c^z-A- d^ u =: T2,
du , I rr.
— -+- a^x-\- bsy -^ c^z-hd^u -- I3.
Considérons le système linéaire analogue
/ dx
(7)
dt
4- ax -h by ■+■ cz -^ du rr^ o,
obtenu en supprimant les seconds membres.
Nous avons vu (111) que, si l'on connaît deux solutions
indépendantes de ce dernier système, on peut, par un chan-
gement de variables convenablement .choisi. Je ramener au
système suivant :
|=A,ç + B.., J; ==A3Ç + B,o.
Tl est clair que le même changement de variables, appliqué
au système (6), le ramènera à la forme
dCi
dC,
^ r:=:A2^4-B2O-l-02, ^ =: A3 C + B3 u + O3,
0, . . ., 83 étant des fonctions de t. On n'aura donc, pour
déterminer Ç et u, qu'à intégrer un système de deux équa-
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 1 47
lions Jinéaires simultanées; Ci, C2 s'obtiendront ensuite par
de simples quadratures.
Si l'on avait obtenu l'intégrale générale du système (7)
>
« rrz Cl Z^i + C2 «2 H- C3 W3 4- C4 W4,
l'intégration du système (6) pourrait s'effectuer par de
simples quadratures. Substituons, en effet, les valeurs pré-
cédentes dans les équations de ce système, en considérant
Cl, ..., G/, comme de nouvelles variables. Ces équations
deviendront
^G, dO^ f/G., dO.,,
; — ce 1 --\~ ', — CO 9 ~T~ - ~, OC q ~\— ; ce I. J. .
dt ^ dt ^ di ^ dt * '
^d rfC, ^Cg ^G,
et donnent immédiatement les dérivées —7-^? •••? —r^- On
dt dt
aura donc G,, . . . , C4 par des quadratures.
117. On pourra même se dispenser de ces quadratures, si
l'on connaît une solution particulière x^^y^^ ^05 ^^0 <Ju sys-
tème (6). Posons, en effet.
Le résultat de la substitution de ^o>JKo? ^o^ ?'o dans les pre-
miei's membres des équations (6) détruira les seconds
membres, et il restera
— -^ac,-\-bf\-\-ct-\-d^r=iQ^
On obtiendra donc la solution générale du système pro-
posé en ajoutant la solution particulière ^O) y^i -Sq, Wq à la
solution générale du système sans seconds membres.
l48 TROISIÈME PARTIE. — CllAPITIlE II.
On peut enfin remarquer que, si les seconds membres sont
de la forme
T^T~i-T' -+-..., Ti=-_: t; -+- r; -h. . . ,
et si l'on connaît une solution particulière ^o'^^y'^, . . . pour
un système analogue où les seconds membres se réduisent
respectivement à T', T'^, . . . , une autre solution particulière
^"o'y'o-' ' ' ' pour le cas où les seconds membres se réduiraient
à T", T"^, . . . , etc., on aura une solution particulière du sys-
tème proposé, en posant
118. Une équation linéaire d'ordre n
d'^x d"-^x
^-'-l'^-dF^-^--'-^P-^--=^
peut être remplacée parle système équivalent
dx
dt -^ =°'
..-h 7?,,.^
dx'^-^- „ ,
^«-1 = 0,
dt '
= T.
qui rentre comme cas particulier dans ceux que nous venons
de discuter. 11 convient, toutefois, d'effectuer l'étude directe
de cette équation; car elle fera paraître sous un nouveau jour
quelques-uns des résultats déjà obtenus.
119. Considérons d'abord Téquation sans second membre
d'^x d'^-^ X
(8) 7/7» +/'>7/ï^+--- + ^'""^^"°-
Soient x^^ ..., Xu des solutions particubères de cette
équation. Nous dirons que ces solutions sont indépendantes,
ÉQUATIONS LINÉAIRES.
i49
si le déterminant
^1
x^
'
. . Xk
œ\
x\
•
• • <•
œ\-^
x\-
-1
formé par ces fonctions et leurs k — i premières dérivées
n'est pas identiquement nul.
Toute équation linéaire d'' ordre n sans second membre
admet un système de n solutions indépendantes x^, . . . ,x,i,
et sa solution générale est
C, ..., Qn étant des constantes arbitraires.
Pour établir ce théorème, nous supposerons qu'il soit vrai
pour les équations d'ordre n — i et nous montrerons qu'il
est encore vrai pour l'équation (8) d'ordre n.
Soit x^ une solution de cette équation (autre que la solu-
tion évidente ^r = o). Posons x = (^x^^ G désignant une
nouvelle variable. On aura
dx
~dt
Qa' x^-\- Cx\
^ ^G'x,-^2C'x\ + Cx\
at^
— ^ 0'x,-V nC^-'x', 4- '''^'' '^ 0'-^x'[-h. . . -h Cx'!.
at"- ^ 2 ^ ^
Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura
l'équation transformée
1 ^iC"-l- nx[
: (9) i 4-/'i^i
2 ^
4- npi x\
-hp2^i
G"-2+...=:0.
L'équation devant être satisfaite, par hypothèse, si l'on
l5o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
suppose C constant, l'équation (9) ne contiendra aucun terme
en C. Ce sera donc une équation linéaire d'ordre n — i par
rapport à sa dérivée G'. Elle admettra, par hypothèse, n — i
solutions indépendantes 72? •••,7/o et sa solution générale
sera de la forme
G2/2 + - • --^C/iJ^,
où Go, . • ., G/i sont des constantes arbitraires.
Intégrant cette expression, il viendra
G ~ Cl -f- G2 / f,dt-\-...-hCn y a
dt.
\ étant une quantité choisie à volonté, et G, une nouvelle
constante arbitraire.
On en déduit
en posant, pour abréger,
^2 — ^1 / J'idl, ..., J^n—JCi Vn^-^-
Il reste à prouver que le déterminant
oc \ oc i)
.«-1 ^n-\
1 ^ l
x:
n'est pas identiquement nul.
Or ce déterminant est égal à
X, oc
1 / /2^^
\ oc'A y^dt \- x,y^
\ oc\ j y. dl-^1 x\ 72 + x^y\
xA yndt
3c\ j yndt -^Xiy„
oc\ I yn dt -f- 2^1 yn ^- x^y'„
ÉQUATIONS LINÉAIRES.
OU, en supprimant les termes qui se détruisent, à
i5i
X
1 -^1 / y-L^l ... ocA yn
dt
G ^1/2
o x^y\
X',
/2
72
y'n
Or chacun des deux facteurs qui composent ce produit est
différent de zéro, par hypothèse.
120. Soient Xi^ . . ., jt^ le système de solutions indépen-
dantes dont nous venons de démontrer l'existence, et
^1 = C'i ;ri M- . . . + C,^Xn,
Ç/,, — '- Cl'/ ^1 -h . . . -H Ci/i oc,i_
un autre système de n solutions. Le déterminant
^n
tn-l tn-
^l • • • ^a
est évidemment égal au produit du déterminant des solutions
j:, , . , . ^ Xn par celui des coefficients G.
Il est donc nécessaire et suffisant, pour que les solutions
^,, . . ., \,i soient indépendantes, que le déterminant des G
ne soit pas nul.
S'il en est ainsi, x^, ..., Xnt et par suite toutes les solutions
de 1 équation différentielle, seront des fonctions linéaires de
? ,?..
121. Soient d'ailleurs ^,, ^2? •.•t^// "n système quelconque
de solutions indépendantes de l'équation (8); on aura
d^\,^ d^--% ,
^-^P^-dï^-^'-'-^P'^^'^'^''^
l52 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
Ces équations permettront d'exprimer les coefficients
/?, , ...,/>„ en fonction de i< , . • . , ?« et de leurs dérivées.
122. On peut remarquer que la condition
y 4 ... .3? /,
exprime la condition nécessaire et suffisante pour qu'il
n'existe entre les fonctions x^, . . , , jc^ aucune relation li-
néaire à coefficients constants, telle que
ai^i-4-. . .-h a„^„— -o
En effet, s'il existait une relation de ce genre, on obtien-
drait, en la différentiant,
ai^j
aj^'(
et, en éliminant les paramètres a:^, . . . , a/^, il viendrait
^1
. . X,
œ\
. . . X
.. œ',
■:=. O.
Réciproquement, si ce déterminant est nul, ^,, x^^ . . .,
x,i seront n solutions particulières de l'équation linéaire
d'ordre n — i
X
x^
. . X
X'
x'..
. . X
X«-i
K'' •
.. X',
z=-. o.
On aura donc, en désignant par Xi, . . ., X/,_, des solu-
tions indépendantes de cette équation, et par C'^, . . ., C/'J_,
ÉQUATIONS LINÉAIRES. l53
des constantes,
^,.= GïXi + ... + G^,X„_i.
Éliminant Xi, ..., ^n-t entre ces équations, on en dé-
duira une relation linéaire entre Xi, . . ., :r,i'
123. Si l'on connaît k solutions indépendantes ^,, . . ., ^A
de l'équation linéaire sans second membre
on pourra ramener son intégration à celle d'une équation li-
néaire d'ordre n — A-, suivie de k quadratures.
Posons en effet
\ C/^/,
les G désignant k nouvelles variables, liées entre elles par
les A" — I relations
(10) ^^g;.^,= o, ^^g;.^;.=o, ...,, ^^G;.27f-2=:.o.
On aura, en tenant compte de ces relations, *
X'
luis
Yr désignant une fonction linéaire de G, , . . . , Ga et de leurs
dérivées jusqu'à l'ordre r.
Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura
un résultat de la forme
G = o,
G désignant une fonction linéaire de Ci, . . ., G^ et de leurs
dérivées jusqu'à l'ordre n — A- -f- i . D'ailleurs, l'équation
étant satisfaite en supposant G,, ..., G^ constants, les
termes qui contiennent ces quantités disparaîtront, et G ne
l54 TROISIÈME PARTIE. — CnAPITRE II.
contiendra que les dérivées G'^, ..., G'^ et leurs dérivées
successives jusqu'à l'ordre n — k.
Gela posé, on peut tirer des équations (lo) les valeurs de
G' , . . . , G'i- en fonction de G',. Substituant ces valeurs, ainsi
i^. cil iuin^tiuii «ac \jt ,
que leurs dérivées, dans G, on aura pour déterminer G', une
équation linéaire d'ordre n — k.
Gette équation intégrée, on aura G',, . . ., G'^., et l'on en
déduira G|, . . . , G^ par quadratures.
124. Supposons, par exemple, qu'on connaisse une solu-
tion particulière x^ de l'équation du second ordre
œ" H- pxx' -\- pi.x ^= o.
Posons ^ = G,.r, ; nous obtiendrons l'équation transformée
C'i JTi -h ( 2 J7'j -h /?i X-^ ) G'i =r O
OU
c; :
1LX\
et,
en in
ilégrant,
iogG;--=
= — 2l0g^,
— Pidt-h
c;-
-A. ^— ,
Ci =
- -V Ç'~'''
di
-^v ^\
— — f— i_>
et
enfin
X ■■
— ■/-
-h\dt
1 B^-
x\
const,
A et B étant des constantes arbitraires.
125. L'intégrale générale de l'équation à second membre
(il) ^" -1- /?i. r"-^ -h. ..-!-/?„ ^—_T
se déduit, par de simples quadratures, de l'intégrale générale
de l'équation sans second membre
(i2) ^"-h/?i^'^-*-l-. . .H-/?rt^ = 0.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. l55
Posons, en effet,
d, ..., Cn étant de nouvelles variables, assujetties aux
conditions
(i3) V'g;^,=i.o, V'c:.'r;=:o, ..., Y^c;-^r'==o.
On aura, en tenant compte de ces relations,
ce
et enfin
Substituant dans l'équation proposée, les termes en Ci
C,t disparaîtront et il restera simplement
Y^^r^
T
1
ra.
Cetteéquation, jointe aux relations(i 3), donnera C',, ...,C^/,
et Ton en déduira G,, . . . , Cn par des quadratures.
On pourra d'ailleurs se dispenser de ces quadratures s
l'on connaît une solution Xq de l'équation (ii). Il suffi
dans ce cas, de l'ajouter à l'intégrale générale de l'équation
sans second membre.
126. Revenons à l'équation sans second membre
Multiplions-la par une fonction indélerminée^' et intégrons.
Il viendra, en appliquant aux termes qui contiennent les dé-
rivées de X, l'intégration par parties
l56 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
Si la fonction j' est une solution de l'équation linéaire
(i5) .r-(A7)"-^+(/^27)'^-'-...-f-(-i)V«7 = o,
Pintégrale disparaîtra de la formule précédente, et l'on aura,
pour déterminer x, une équation linéaire d'ordre n — i,
contenant une constante arbitraire.
Si l'on connaît k solutions jKj, . . . , jr^ de l'équation (i5),
on obtiendra, en posant successivement j^ r=:j^^ , ...^y^=yj^^
k équations linéaires d'ordre n — i en .r. Eliminant entre ces
équations les dérivées x'^'^ , • • • , ^"~^+^ , on aura, pour déter-
miner .r, une équation linéaire d'ordre n — A", contenant k
constantes arbitraires.
L'équation (i5) se nomme V équation adjointe de l'équa-
tion (i4)- Il est clair que réciproquement l'équation (i4)
est adjointe à l'équation (i 5).
127. On aurait pu arriver à l'équation adjointe (i5)en
remplaçant l'équation primitive (i4) par le système d'équa-
tions du premier ordre
dt
dx"^-"'
dx
'dt
qui lui est équivalent.
Ce système a pour adjoint le suivant :
dt ~
dX^^
dt ~
^X
ÉQUATIONS LINÉAIRES. l5j
On peut aisément éliminer X"~-, . . . , X entre ces équa-
tions. Il suffira de les différentier respectivement n — i fois,
n — 2 fois, etc., et de retrancher la somme des équations de
rang impair de celle des équations de rang pair; il viendra
'~~dF' 'dt^^ ^ ^^«-2 . . . — o,
équation qui ne diffère de (i5) que par la notation.
II. — Équations linéaires à coefficients constants.
128. Une équation linéaire à coefficients constants et sans
second membre
d"x d"-'^œ
""cU^ -"""^-dt^-^ +... + «,^..0
peut être mise sous la forme symbolique
F^ = o
où
F = aT>" 4- aiD'^-i + . . . 4- a„,
chaque facteur symbolique D représentant une dérivation.
129. Soit
une autre opération analogue à F (^, 6,, . . ., b,n étant des
constantes comme a^ a^. . . . , cin).
Effectuons successivement ces deux opérations; l'opéra-
tion résultante sera
I 6a D'«+« + ( 6r/, 4- a^,)D '«+«--' +
Cette expression est la même que l'on obtiendrait en mul-
tipliant les deux polynômes F et G comme si D représentait
une quantité et non un symbole de dérivation. L'opération
l58 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
résultante sera donc indépendante de l'ordre des deux opé-
rations F et G et pourra être représentée indifTéremment
par FG ou par GF.
D'ailleurs, une opération quelconque de l'espèce considé-
rée, effectuée sur une quantité identiquement nulle, donne
lui résultat nul. Donc l'équation
o=:FG^r=GF.r
admet comme solutions celles des équations
F^n-O, G^=:o.
130. Soient donc .s,, ^2, ... les racines de Véquatlon ca-
ractéristique
o — Fr=«D«+aiD'*-i + . . .+ a,„
jjL,, (jLo, ... leurs ordres de multiplicité. L'équation diffé-
rentielle
admettra comme solutions celles des équations
(D — 5i){^..r =rO, (D — 52);^-^^==0,
Il est aisé de trouver ces dernières. Posons, en effet,
On
X = e^i'-y.
(D — s^)x -- .Çj e^^^y -\- e^\^ D/ — s^ e^^^y
et en répétant cette opération
Pour que le second membre soit nul, il faut et il suffit quejv
soit un polynôme arbitraire de degré jjli — i.
Réunissant les solutions particulières ainsi trouvées, on
ÉQUATIONS LINÉAIRES. loQ
voit que l'équation
admet la solution
où P,, P21 ••• sont des polynômes arbitraires de degrés
p-t — I, lJ-2— I,
Cette solution contient jji, + uo H- . . . == /i constantes arbi-
traires. Ce sera donc la solution générale, si elle ne peut
s'annuler que lorsque toutes ces constantes sont nulles.
Nous allons prouver qu'il en est ainsi.
En effet, supposons qu'on ait
PieV4-P2e^.^-f-.. .==0.
Posons
H=(D — 52)!^'^(D — .Ç3)!^-3 ....
On aura
o = H(Pie«.^-HP2eV4-...)— II(Pie^.^).
Mais on a, d'autre part,
Or les polynômes (D — Si)^i et H étant premiers entre eux,
on pourra déterminer deux nouveaux polynômes M et N tels
que l'on ait
M(D — 5i)!''4-NH=:i
et, par suite,
o =[M(D — 5,)!^.-i- NH](Pie-^.')= Pie'-'.
Donc P, doit être identiquement nul. De même pour les
autres polynômes Po, ....
131. Si les coefficients «i, «2, . . . étant réels, l'équation
caractéristique F = o a des racines imaginaires, la solution
générale que nous venons d'obtenir renfermera des imagi-
naires; mais il est aisé de les faire disparaître.
Soient, en effet, 5< =:== a -h ^i, ^2 = a — (3? un couple de
l6o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
racines conjuguées, a leur ordre de multiplicité; nous au-
rons dans l'intégrale générale les deux termes
= Qie°''cosp/-4-Q2e°''sinp^,
Qi, Q2 étant des polynômes de degré [x — 1, arbitraires
comme l'étaient P^ et P2.
132. Connaissant, par ce qui précède, l'intégrale de l'équa-
tion sans second membre
(1) Fj:=:0,
on obtiendra par des quadratures celle de l'équation à se-
cond membre
(2) F^^T.
On sera, d'ailleurs, dispensé de ces quadratures si l'on
peut déterminer une solution particulière de cette dernière
équation.
Ce cas se présentera si T est un polynôme entier en ^,
e*^ e?^, . . . , siny^, cosyi, .... Car en remplaçant les sinus
et cosinus par des exponentielles, T sera une somme de
termes de la forme
s désignant une constante et II un polynôme, dont nous dé-
signerons le degré par À.
Nous aurons donc à chercher une solution particulière de
l'équation
(3) F^=:ne^^
Les solutions de cette équation satisfont à l'équation
(4) (D — 5)>^+' F^ = (D — 5)^^' ne-^'-T-o
qui n'a plus de second membre.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. l6l
Deux cas seront à distinguer ici :
1" Si s diffère de Si, 50, . • -, l'équation (/f) a pour inté-
grale générale
où P est un polynôme de degré A.
Supprimant les termes qui appartiennent à l'intégrale de
F^ 1= o, on voit que l'équation (3) doit admettre une inté-
grale particulière de la forme Pe^^.
2'' Si s = Si, l'intégrale générale de (4) sera
P'^ étant un poljnôme de degré a, + À.
Supprimant encore les termes qui appartiennent à l'inté-
grale de F^ =: o, on voit que l'équation (3) admet une inlé-
grale particulière de la forme /H-iPe-^/, où P désigne encore
un polynôme de degré X.
J^a forme de la solution particulière étant assignée dans
chaque cas, il restera à déterminer les coefficienls du poly-
nôme P. Pour cela on substituera Pe'^^(ou /t'iPe^i'^) à la place
de X dans l'équation (3); l'idenlification des deux membres
donnera un système d'équations linéaires pour calculer les
coelficients inconnus.
133. Exemple. — Soit à intégrer l'équation
( 0 ) --- 4- m^ ^ = ces ni.
Considérons d'abord l'équation sans second membre
-j-^ -f- ru'X =;(D-4- j)i ):r = o.
Son équation caractéristique
D^H-m^rrrO
admet les deux, racines simples ziz mi. Elle aura donc pour
J. — Cours, III- Il
l62 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
intégrale générale
Ccos/?i^-+- Cl sinm^,
où G, G, sont des constantes arbitraires (des polynômes de
degré zéro).
Revenons à l'équation à second membre (5)
(D- 4- m- ) X =: CCS nt.
On en déduit
(6) (D2H-/i2)(D2+m2)^ = (D2-4-/i2)cos/i^ = o,
i" Si n-^m-j cette dernière équation aura pour intégrale
générale
Acos/i^ 4- Al s'innx -\- G cosm.r h- Ci sinmcr,
où A, A,, C, G< sont des constantes arbitraires. L'équa-
tion (5) a donc une intégrale particulière de la forme
A cosnx + Al ?>\xinx.
Substituons cette expression dans (5), il viendra
( — /i--t- T7i^){\. cosnx H- Al s'innx)zzz cosnx,
d'où
A =1^ — ^ 5 Al = o.
m- — /i-
L'intégrale générale de (5) sera donc
C cosmx -f- C, sinm^ H -:
m* — rf
2*^ Si n-= m'-j les équations (5) et (6) deviennent
(5)' (D2+/?l2) ^'r=rcosm^,
(6)' {D''-\-7Jl'-y'X=zO.
Gette dernière a pour intégrale générale
(C -f- A^) cosmt + (Ci4- Ai^) sinm^
et (5)' admettra une intégrale particulière de la forme
^(A cosmt -+- Al sin/7i^).
ÉQUATIONS LINÉAIRES.
Celle expression, subslituée dans (5)'^ donne
2m ( — A sin mt -\~ Aj cosm^) = cos mt,
i63
d'où
o, Al
I
2/11
L'inlégrale générale de (5)' sera donc
C cosm^ + Cl sinm^ 4-
2771
134. Considérons un système d'équalions linéaires à coef-
ficienls constants et sans seconds membres. Nous suppose-
rons, pour fixer les idées, que ces équations soient au nombre
de trois. Elles seront de la forme
(7) Li^ + M,j)- + ]Ni^ = o,
l Lg^ + Mgj)' -f- Na^ — o.
L, M, ... désignant des facteurs symboliques tels que
Soit
X---aD!^-}-aiDf^-i
une autre opération ditrérentielle quelconque. On a évidem-
ment
X(L^ + My + N5) = o.
On pourra donc remplacer le système (7) par le système
obtenu en multipliant symboliquement une de ses équations
par 1 et l'ajoutant à une autre, par exemple, par le système
Li^-f- Mij-i-Ni^
o,
On peut faire subir au système une autre genre de trans-
formation.
l64 TUOISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
Soit x' une nouvelle variable définie par la relation
X ■=z x^ -\-^ y.
On pourra remplacer le système proposé par le suivant
L ^•'4-(L X H- M )/ -\- N z ---., o,
Ces deux sortes d'opérations (combinaison des équations
données et changements de variables) vont nous permettre
d intégrer le système.
133. Soit A le déterminant
L iM N
L, Ml N,
U M, N,
l m II
/i ni^ /Il
4 7)1.2 ^2
Soient
ses mineurs; o leur plus grand commun diviseur.
Multiplions la première équation (7) par^^la seconde
/, , . ., 4 • -1 •
par ^ j la troisième par -. et ajoutons^ il vient
L/+ L,/, ^-Ls/., M/-{- Ml/, -I- ^2^2
0 0 ^
N/+Ni/,+ N,/2
ou, d'après les propriétés des mineurs,
A
-;^ X —Z O.
0
On trouvera de même
O.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. l65
Donc .v^y, z satisfont à l'équation difTérenlielle unique
A
^-.r = o,
dont nous savons déterminer l'intégrale générale. On aura
donc, en désignant par .9,, s.,, ... les racines de l'équation
caractéristique, par jji,, tJio, • • . leurs ordres de multiplicité^
lf;-i--f- 1-2'
-h.
P,, Qi, R, étart des polynômes de degré p-i — i; Po, Qa? ^2
des polynômes de degré [J-o — 1 7 • • •
Substituons ces valeurs dans les premiers membres deséquc-
tions (7) et identifions le résultat à zéro. Nous obtiendrons
un certain nombre de relations linéaires entre les coefficienls
de ces polynômes, et la solution contiendra autant de con-
stantes arbitraires qu'il restera de coefficients indéterminés.
136. Si les équations proposées avaient des seconds mem-
bres de la forme
n, Ui étant des polynômes de degré ^}^, on les ferait dispa-
raître en multipliant les équations données par le facteur
symbolique
et l'on serait ramené au problème précédent.
Cette analyse sommaire suffit pour obtenir la solution gé-
nérale, sauf le cas où A est identiquement nul. Mais pour
traiter ce cas exceptionnel, et aussi pour déterminer a priori
dans le cas général le nombre des constantes arbitraires, il
nous faut serrer la question de plus près.
137. Nous considérerons le système proposé comme d'au-
tant plus simple que le degré minimum de ceux des coeffi-
cients L, . . . , N2 qui ne sont pas identiquement nuls sera
plus petit. Ceci admis, proposons-nous de simplifier progrès-
l66 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
sivement le système par les opérations indiquées ci-dessiis
(addition de lignes ou de colonnes).
Soit, pour fixer les idées, Mj le cocfLcient de degré mini-
mum dans le Tableau
L M N
Li Ml Ni
L, M, N2.
I^i visant M par Mi
, on pourra écrire
M = XM,-f-R,
R étant de degré moindre que M, si M^ ne divise pas M et
pouvant être pris égal à M^ si M, divise M.
Dans le premier cas, le système
XLi
M-XM,
= R
N-XN,
1
M,
Ni
2
M.
N.
sera plus simple que le proposé. Dans le cas contraire, il
aura deux coefficients égaux à la seconde colonne.
On pourra de même, ou simplifier le système, ou le rem-
placer par un autre, où i\J2 soit remplacé par M,. On obtien-
dra ainsi un système de la forme
V
M,
N'
Li
M,
N,
K
M,
N'
Si l'un des coefficients U, N', L, , N, , Lo, N'a n'est pas divisible
par M,, on pourra simplifier le système (par des additions
de colonnes). Sinon on pourra rendre V et N' égaux à M,.
Nous sommes ainsi parvenu à un système où tous les coef-
ficients sont des multiples du premier.
Soit généralement
A AiA A2A
RA R^A R2A
Ga GjA C2A,
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 167
un semblable système. Par des soustractions de lignes, puis
de colonnes, on pourra faire disparaître les coefficients de
la première ligne et de la première colonne, sauf le premier,
et l'on obtiendra un système de la forme
A 0
0
0 B;a
b;a
0 c;a
c;a.
Si B',, B'^, C'^ , G'^ ne sont pas nuls à la fois, on pourra de
même remplacer le Tableau partiel
b;a b;a
C'j A Gg A
par un autre, oi^i le premier coefficient sera un multiple de A,
tel que AA,; le second et le troisième seront nuls, et le der-
nier sera un multiple de AA,tel que A Ai A2.
Le Tableau est ainsi ramené à la forme canonique
A o o
o AA| o
o o AAjAg.
Une partie des transformations que nous avons fait subir
au Tableau sont dues à des changements de variables. Soient
^, T,, Ç les dernières variables indépendantes adoptées. Elles
seront définies indépendamment les unes des autres par les
équations linéaires
(8) A^ = o AAiTf]=o, AAïAjC^o.
[jC nombre des constantes arbitraires sera égal à la somme
des degrés des polynômes A, AA, , AA, A2 ou au degré de leur
produit. Or ce produit est égal à A, car les additions de lignes
ou de colonnes ne changent pas le déterminant.
On voit aisément qu'elles laissent également inaltérés :
i" le plus grand commun diviseur 0, des mineurs du premier
l68 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
ordre, le plus grand commun diviseur Oo des mineurs du
second ordre, etc. Or. sur la forme rédi ite du Tableau, on a
\ — \K'^\\,,
-1 — -•■ -
Ces équations permeltraient de déterminer a priori A*, A,,
A 2 à l'inspection du Tableau primitif.
138. Si le premier coefficient A se réduit à une constante,
la première équation (8 , ne sera plus une équation difTéren-
tielie. mais donnera ; — o. Si A, se réduit aussi à une con-
stante, on aura de même r, = o, etc.
Enfin, si A est nul. un ou plusieurs coefficients A, A,, A^
seront nuls. Soit par exemple Ao^o. Les deux premières
équations (8) détermineront encore ;, r, ; mais la dernière de-
venant identique, la foncticn "Ç restera arbitra rj.
139. On peut ramener aux équations à coefficients con-
stants les équations linéaires de la forme
(9) (^t-h?r-^^^d^^-^?r-''-—^- -^- --^
^^n "IV- . r/ ^^.
Posons
en effet
a ^ -H 2 = e'
on aura
dr
dt
dx
du
d}x
dC-
dx
"^-di
du
d'où -x dl ---z c'' du \
( dx d*x\
et, en général,
In
'- = a^-e-^-«P,-,
p. désirant une fonction linéaire à coefficients constants
ÉQUATIONS LISÉAinES.
6q
de ^. ..., ^ En effet, si cette proposition est établie
du da^
pour le Dombre k, elle sera encore vraie pour A- -f- 1 ; car on
aura
_^t-r-lg-«/ Ae-Al
^^i.ie-.A-HD.p^.^^
.—km _ _ 1
Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura
pour déterminer x en fonction de ii une équation linéaire à
coefficients constants.
Si l'équation caractéristique correspondante a ses racines
inégales, l'intégrale générale sera de la forme
S'il V a des racines multiples, à chacune d'elles. 5,, cor-
respondra comme solution une expression de la torme
III. — Intégration par des séries.
140. Considérons une équation linéaire sans second
membre
d'^.r df^-Kr
dont les coefficients soient uniformes en t et n'aient que des
points critiques isolés.
Nous avons vu (119) que la forme générale de ses inté-
grales est la suivante
CyX^~. . . — C„^,,
OÙ C|, . . .y c„ sont des constantes, et x, r„ un svs-
lème quelconque de n intégrales indépendantes. Nous savor.s
170 TROISIÈME PARTIK. — ClIAPITRK If.
ea outre (92) que ces intégrales n'ont pas d'autres points
critiques que ceux des fonctions yi>,, , . . , p,}.
Cherchons comment se comportent ces intégrales lorsque
la variable indépendante t tourne autour d'un de ces points
critiques, que, pour plus de simplicité, nous supposerons
situé à l'origine des coordonnées.
L'intégrale considérée x varie avec ^, mais sans cesser de
satisfaire à l'équation différentielle. Lorsque t revient à sa
valeur initiale, p\, - . ■ , Pn reprenant également leurs valeurs
initiales, l'équation différentielle redevient ce qu'elle était
primitivement; et l'intégrale transformée, devant satisfaire à
celte équation, sera de la forme
Cl ^1 -f- . . .H- CiiX ,1.
En particulier, soit xi l'une quelconque des intégrales
indépendantes x^^ , . .^ Xn\ elle sera transformée en une ex-
pression de la forme
C/i X^ -h • . . -\- Cin X n^
de telle sorte que la rotation de t autour de l'origine aura
pour résultat de faire subir aux intégrales x<^^ . .., Xn une
substitution linéaire telle que
X\ d 1 X\ -4- . . . -j— C\ n X „
Le déterminant des coefficients c sera d'ailleurs différent
de zéro ; car, s'il était nul, les intégrales transformées seraient
liées par une relation linéaire, qui continuerait d'avoir lieu
en faisant rétrograder t en sens contraire de son mouvement
primitif. La même relation subsisterait donc entre les inté-
grales primitives Xi, ..., x,,, contrairement à l'hvpothèse
faite, que ces intégrales sont indépendantes.
141. Soit
>
ÉQUATIONS LINÉAIHES. I7I
un autre système quelconque d'intégrales indépendantes. La
substitution S, opérée sur les x^ remplacera les jk par d'autres
fonctions linéaires des x^ ou, comme les x s'expriment
linéairement au moyen des jr, par des fonctions linéaires
desj^^
La rotation autour de l'origine aura donc également pour
effet de faire subir aux y une substitution linéaire. Nous
pouvons nous proposer de profiter de l'indétermination des
coefficients a pour simplifier le plus possible l'expression de
cette substitution.
Cherchons tout d'abord s'il existe quelque intégrale
qui se reproduise multipliée par un facteur constant .v. Il faut
pour cela qu'on ait
ai(cH^i4-. . .4- C^,iXn) 4-. . .4- ««(Crti^i-h. . • "h C,,„ ^„ )
= 5 ( ai ^î H- , . . + a„ x,.^ ) :
d'oii les équations de condition
(Cu — 5) a, H- c.ia,-^. . . + C„ja„-=0,
(0
Les coefficients a,, . . . , a,; ne pouvant être nuls à la fois,
il faudra que le déterminant caractéristique
A=z
Cin
s'annule.
Supposons d'abord que l'équation A = o ait n racines
inégales s^, ..., s,i. Soit si l'une d'elles. En la substituant
dans les équations (i) elles deviendront compatibles et dé-
termineront les rapports des coefficients a. Il existera donc
172
TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lî.
unefonction j'i qui se reproduira multipliée par .ç/. D'ailleurs
les /z fonctions j)'4, . . . , j^„ ainsi obtenues sont indépendantes;
car, si elles étaient liées par une relation
la même relation devant subsister constamment entre leurs
transformées, on aurait, en faisant faire n — i révolutions
successives autour de l'origine à la variable tj
Ci s"C'y 4- . . . -f- CnSl \rn --- o,
équations rncompatibles, car le déterminant
I I ... I I
s, s, ■ .. s,
s'i' s,--' ... s:
n'est pas nul, .9i, .Ço» •••, Sji étant inégaux; et, d'autre part,
les intégrales c^y^, .. ., c,iy,i ne peuvent être toutes nulles.
Donc, en clioisissant j),, ..., r,t comme système d'inté-
grales indépendantes, la substitution S prendra la for/)ie très
simple
J'i ^ifi
142. Si nous avions choisi un au Ire système quelconque
d'intégrales indépendantes, tel que :;,, ..., z,i, la substitution
S aurait pris une forme telle que
^n "«1 -^1 -f- . . . f- (-1,^,1 Z,j [
j)',, . . . , j',, deviendraient des fonctions linéaires de s,, . . . , z-,j
lesquelles se reproduisent respectivement multipliées pai
• ÉQUATIONS LINÉAIRES.
Ces miillîpHcateurs devront satisfaire à l'équation
173
^,1
dv.
dui
ci..
d,n
dm
^hi n
0.
Cette équation doit donc être identique à l'équation A = o,
qui a les mêmes racines. On voit donc que les coefficients de
l'équation en s ne dépendant pas du choix des intégrales in-
dépendantes : ce sont des iavarianls.
443. Les résultats sont un peu plus compliqués lorsque
l'équation en s a des racines égales. Nous allons établir la
proposition suivante :
On peut toujours trouver un système d'intégrales indé-
pendantes formant une ou plusieurs séries y^, ..., y ni'-,
y\, ..., y'j^^'\ ... telles que S remplace les intégrales
d^une même série, y ^^ . . . , y^,, . . . , y m respectivement par
ly^
^ si{y
(J.-I
uir
i-j'
I, Si étant une
racine de l'équation caractéristique.
Ce théorème étant supposé établi pour les substitutions à
moins de n variables, nous allons démontrer qu'il subsiste
pour une substitution S à « variables.
Soit 5, une des racines de l'équation caractéristique. Il
existe une intégrale y que S multiplie par s^. En la prenant
pour intégrale indépendante à la place d'une des intégrales
primitives x^^ S prendra la forme
S — I 7, ^:
sxy, X2-i-}.2.rj
X„4
■«r
Xo, ..., X„ étant des fonctions linéaires de x^, .. -, x,i^ et
aura pour déterminant caractéristique
A' désignant le déterminant caractéristique de la substitution
S'
.,X,|.
174 TROISIÈME PARTIE. — CIUIMTKE II.
Nous pourrons par hypothèse changer de variables, de
manière à mettre S' sous la forme
S':
r'i, • • • . 7m' Si,f\ , . . . . Si. ( j',„' H- j;„,_ j )
où .ç/, 5/', . . . sont des racines de ^' =::: o.
Ce même changement de variables, opéré sur S, la réduira
à la forme
y -^1 y
Yx , . ■ . , y m ■'^i .>'i 4- X, 7, • . . , 5/ ( y m -H /,« -I ) ^ >m y
Ji ' • • • ' 7//^' •^r7'i +■ X', j, . . . , Si\y,„> -f- j';„'_ , ) -I- V,„-y
Changeons de variables en posant
yk + aA-7 = ^k'
s remplacera Y , , . . . , Y^, . . . par
^iYx + >m7+ «i^i7 — <^/Yi-h !J.i7,
1
Si{yk-\- X/t-i) + >>/t7 + ='A-^i7 = ^?/(Y^--H Y^._,) -H [x;,7.
en posant, pour abréger,
Xi 4- ai(5i — 5,) = ;x,, . , ■ ;
La substitution S aura donc conservé sa forme générale,"
mais on peut disposer des indéterminées a,, . . ., a/f, . . . de
manière à annuler tous les coefficients [x si 5|^5/, tous ces
coefficients, sauf le premier {ji,, si 5| = si.
Nous pourrons faire disparaître de même les coefficients V
(sauf le premier, si 5^7 ==r 5,).
Nous pouvons ainsi ramener S à une forme telle que la
ÉQUATIONS LINÉAIRES.
'75
suivante :
/
Y„ .
.,Y,„
Sr^-.
y;, •
.,Y'„,
1
z„ .
• • > •
. , . . .
•^1 Y'i + [J-i r, . . . , .V, (¥;„'-+- Y,„'_i)
s^Li
s,{Z,
'p-\
144. Supposons que, parmi les coefficients |ji, , tji', , ... que
contient encore cette expression, il en existe au moins deux
p-i et ]s.\ qui ne soient pas nuls, et soit, pour fixer les idées,
m'^m. Prenons pour intégrales indépendantes, à la place
de Y', , . . ., Y^.j., les suivantes :
S remplacera évidemment U, , . . ., U^, . • . par
5-iUi, .. ., 5,(U/,-hUA._i)j •••,
de telle sorte que le terme [jl, jk aura disparu.
On pourra ainsi faire disparaître tous les termes en y\, sauf
un seul, tel que \t^\y.
Supposons donc que [J^, , • . • soient nuls. Si [i-i<o, on
n'aura qu'à poser
v-^y — Si^o
pour ramener S à la forme canonique clierchée
Ïq, 11, . . .
Y Y'
Z], Zj,
^,Y„ 5,(Y, + Y.), ...
.,Y;,s,(Y; + y',). ...
''•'■) j • • •
Si [X, était nul, S aurait déjà [la forme demandée, la pre-
mière série de variables étant formée de la seule variable y.
176 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
145. La substitution S étant ramenée à la forme canonique
que nous venons d'indiquer, soient yo^y^, •••jJ^a une des
séries formées par les nouvelles intégrales auxquelles elle est
rapportée ; s la racine correspondante de l'équation A =: o.
Proposons-nous de déterminer la forme générale de ces
intégrales.
PosonS; pour abréger, — .log5 = /' et faisons
les z étant de nouvelles inconnuesS. Lorsqu'on tourne autour
de l'origine, t^ se reproduit multiplié par e-^'''::^^^; donc
les z devront subir l'altération suivante :
Pour trouver la forme générale des fonctions qui jouissent
de cette propriété, nous remarquerons que la fonction
.\o2:t s'accroît de l'unité par une rotation autour de l'ori-
gine. Si donc nous posons
cette rotation changera 0| en 8, -f- i et, plus généralement, 0(
en
(6,-4-1)0, ...(6,-A--H2)
0.
I . 2 . . . /c
0,(61 — i)...(e, — A' + i)
=:0/,-hO.._,.
Posons maintenant
Zq ^^05
z;,zzz 0/, Uq -\- 0/;_i iii 4- . . . -I- ^^',; ,
Uq, Ui^ . . . , u/( étant de nouvelles fonctions. Pour que Zq, .
fiQUATIONS LINÉAIRES. I77
Zj^ subissent la transformation demandée par une rotation
autour de l'origine, il sera nécessaire et suffisant que Uq^ . . .,
{//( restent invariables.
On obtiendra donc, en remplaçant les fonctions 8,, . . ., 0/^
par leurs valeurs en t, pour les intégrales cherchées yo, . . -,
>7,, des expressions de la forme
r^ =r(Milog.' + N,),
y
y„ = r(IVUJog^-7 -i- N/,log^'-' ^ +. . .),
JMo, Mo ..., N,, ... étant des fonctions monodromes aux
environs de l'origine. Ces fonctions s'expriment, d'ailleurs,
linéairement au moyen des k + i fonctions distinctes Uq^ .
Uh' En particulier, les fonctions Mo, M<, . .., M^ de la p
mière colonne ne diffèrent que par des facteurs constants.
146. Les fonctions monodromes Mq, M4,*-N^, ... seront
développables en série suivant les puissances positives et né-
gatives de t. Si la série des puissances négatives est limitée
pour toutes les fonctions qui figurent dans une des inté-
grales ci-dessus, cette intégrale sera dite régulière aux envi-
rons du point ^ = o.
11 est intéressant de reconnaître dans quel cas l'équation
proposée admet un système d'intégrales indépendantes toutes
régulières. M. Fuclis a établi à cet égard le théorème suivant :
Pour que V équation
admette n intégrales indépendantes régulières aux envi-
rons du point t = o, il faut et il suffit que, pour chacun
des coefficients de Inéquation, tel que pi, le point t ^== o soit
un point ordinaire, ou un pôle dont V ordre de multiplicité
ne surpasse pas i.
J. — Cours, 111. 12
TROISIÈME PARTIE.
CHAPITRE II.
Démontrons d'abord que cette condition est nécessaire.
Il est manifeste, en premier lieu : i" que toute expression
régulière, telle que
r (M log'^ + N log^-U +
R),
a une dérivée
r
fi" (M loi
R)+-
ïMlos:''"
M'log'/-f-
également régulière; i° que tout produit d'expressions régu-
lières est une expression régulière.
Si donc les intégrales jr<, -- --, fn d'une équation d'ordre /,'
sont régulières, les coefficients de l'équation, mise sous la
l'orme
' X r, ... 7„
y'n
y\
seront des sommes d'express
(2) ^'^M log'7 + ...)-+- ^'"^ (Ml log^ t
J II
ons régulières, telles que
D'ailleurs, lorsque t tourne autour de l'origine, jKi , • • .,JK«
subissant une substitution linéaire, leurs dérivées d'un ordre
quelconque subissant la même substitution, les coefficients,
qui sont des déterminants formés avec ces quantités, se re-
produiront multipliés par le déterminant 8 de la substitution.
Or, pour qu'une expression de la forme (2) jouisse de
cette propriété, il faut manifestement que les logarithmes
disparaissent et que les exposants /-, /•, , . . ne diffèrent de la
quantité :loo^8-- 3 que de nombres entiers. Les coeffi-
cients de l'équation seront donc de la forme ^PP, P étant une
fonction de la même espèce que M, M,, . . ., c'est-à-dire
ayant un point ordinaire ou un pôle au point ^ = o.
Si maintenant nous divisons l'équation par le coefficient
ÉQUATIONS LINÉAIRES. I 79
de la plus haute dérivée, t^ disparaîtra et il viendra
d'^-'^œ
-^Pn~0,
les coefficients /?i, • - -, pn étant des quotients de fonctions
pour lesquelles ^ :^ o est un point ordinaire ou un pôle, et
jouissant évidemment de la même propriété.
Il reste à montrer que l'ordre de multiplicité du pôle ^ :=^ o
pour le coefficient/?/ ne peut surpasser i.
iAl. Posons à cet effet
5 étant une nouvelle variable et T une fonction de t qui soit
de la forme
(3) T — ct^-hc^t^'-^-i-....
Nous obtiendrons une équation transformée
d"^
dt"
d"-'^^ n(n — i)
dt"-
d''-^^
dt"-'
=r G
\_ OU, en divisant par T,
T'
d^
~dF
T
d''~^\
\n{n — \) T' r 1 d'^-'^l
G.
Si l'équation primitive a ses intégrales régulières, il en sera
de même de cette nouvelle équation, dont les intégrales s'ob-
tiennent en multipliant les précédentes par l'expression régu-
lière
Lr=.t-^{d-^d,t-\-...).
T
D'autre part, ^ = o étant un pôle d'ordre i pour 7^
l8o TROISIÈME PAKTIE. — CHAPITRE M.
(l'ordre 2 pour 7^? •••> on voit que, si ce point est un pôle
d'ordre k au plus par rapport à chaque coefficient p^ de l'é-
quation primitive, la même propriété subsistera pour l'équa-
tion transformée.
Réciproquement, si l'équation transformée jouit de cette
propriété, l'équation primitive, qui s'en déduit par la sub-
stitution
la possédera également.
Il suffira donc, pour établir le théorème pour l'équation
primitive, de le démontrer pour l'équation transformée.
Cela posé, il résulte de l'analyse du n° 145 que l'équation
en X admet nécessairement au moins une intégrale j>'o = ^''M^
dépourvue de logarithmes. Cette intégrale étant régulière,
par hypothèse, sera de la forme (3). En la prenant pour T,
la transformée en ^, admettant comme intégrale la constante i ,
ne contiendra pas de terme en ^ et se réduira à la forme
Posant -,- = i', on aura l'équation d'ordre ii — i
d^-''^' d'^-'-l'
-d^-^'^^-d^^'--^'J-^-^'=---''
dont les intégrales, étant les dérivées de celles delà précédente,
seront encore régulières. Si donc le théorème est supposé
vrai pour les équations d'ordre n — i, t^=o sera un pôle
d'ordre k au plus pour q^. Le théorème sera donc vrai pour
l'équation en ^ et pour l'équation primitive en x.
Il suffit donc d'établir le théorème pour les équations du
premier ordre. Or so>t
dx
ÉQUATIONS LINÉAIRES. iSl
une semblable équation ^ si elle admet une intégrale régulière,
elle sera de la forme
T — ct'^-^c^t
r-(-l
Or, si ^ = o est pour/?i un pôle dont l'ordre \l de multi-
plicité soit >> 1, de telle sorte qu'on ait
p ^— a t-V- -^ a^ t ^V--^^ -\- . . .
et qu'on substitue pour j: une valeur de la forme T, le résultai
de la substitution contiendra un terme act~^''^^ de degré
moindre que tous les autres et qui ne pourra se réduire avec
eux^ donc il ne pourra pas exister d'intégrale régulière.
148. Réciproquement, nous allons établir que toute équa-
tion différentielle qui satisfait aux conditions énoncées a
n intégrales régulières.
Multiplions l'équation par t'^ ; il viendra
I»
dt"-
Pit.t'
d"-^.T
dt"-^
p^i-.V
d"-^x
dt"-'"-
-h.
o.
L'origine étant, par hypothèse, un point ordinaire pour les
fonctions/?! /,/?2^", •••, on pourra écrire
Soit p, un rayon de convergence commun à ces séries;
OB aura
M
b.
<p/«
M
<
M désignant une constante.
Si nous substituons dans le premier membre de l'équation
proposée la valeur œ = r, nous obtiendrons le résultat sui-
vant
i82 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
en posani, pour abréger,
/•(/• — i)...(r— 7^-M)-l-«o/•(r — i). . .(r — /i 4- 2)
-+- ^ /•(/•- i)... (/■— /iH- 3)4-...= F(r),
(fmr{r — i). ..(/•_ /i 4- 2)
4- ^,«/-(r — !)...(/• — /i 4-3)4-... — cp,„(/-).
En substituant la valeur
^ = Flog^^ =:—/'•,
on obtiendrait évidemment comme résultat
-— -^'•log>^-^^4-...-h ^-T^''-
Nous nommerons équation déterminante l'équation de
F(/-)==o.
degré n
Groupons ses racines en séries, en réunissant ensemble
toutes celles dont la différence est nulle ou égale à un entier
réel. Nous allons démontrer qu'à chaque série contenant m
racines correspondent m intégrales régulières de l'équa-
tion.
149. Admettons, pour fixer les idées, que nous ayons une
série contenant quatre racines, dont deux égales à a et deux
égales à a -f- «', i désignant un entier positif. Nous allons ob-
tenir une intégrale régulière de la forme suivante
(4)
-i-V r^^[j(cj^-i-c;,iog^4-...-f-c'^iog^0.
(5)/
ÉQUATIONS LINÉAIRES. l83
dans laquelle quatre des coefficients c resteront arbitraires,
ce qui donne bien quatre intégrales particulières distinctes.
Substituons en effet la valeur précédente dans l'équation
proposée, et égalons à zéro les coefficients des termes en
ty-^-\^\o^U, ^^^f^logn, ^^+H'log^, ^^+{^;
il viendra
F (a-Hlx)c:i-f-'f,(a + ;ji-i)cJ_
F ( a -f- |j. ) Cj^-^ cpi ( a -1- u — [ ) c'JjL_
-i- 3 [ F' ( a -f ■ lA ) cjl-h 'f 1 ( a -1- |J- — I ) c'J._
F (aH-;j.)c[j,-|-cpi(a4- [J.— i)<^lJ.-
-H2 [F'(a4- !j.)c;i-i-cp'i('/ + [x — i)c'j^_
-• - 3 [ F"( a H- ;j. ) Ca H- o''j ( a -h |J. — i ) C'jl_
F (a4-[J.)C;j.-f-cp,(a + |x — i)Cj;,_
-h F' ( a -^ |x ) c;j,4- o', ( a + a — ! ) c'j,_
-h F''( a -4- a ) c'a 4- o® ( a H- a — i ) c'|^_
F'''(a-+-;x)4:-t-cf";(a +
1 C,
-■h cDo ( a -i- |j. — 2 ) c5j,_2-f-
-Hcp2(a-^ [J.— 2)c'j^_2^-
^-©'2(a -+-[J.— 2)Cp,_2-h
-h cp.2 ( a + a — 2 ) c'jjL_ 2-T-
2)c'
[X- 2-
■'f .2(^ + 1^ —
■ cp'^ ( a 4- ;J- — 2 ) 6'îl_,H-
■ (p.2(a-t- ;j. — 2)Ca_2 +
cp2(a + tj.— 2)cJ,._2 4-
Cp2 ( a + [J. — 2 ) C;I_2 +
]-o,
]=.o.
Dans les deux premières équations, on aura à donner à p.
toutes les valeurs de i k œ , dans les deux dernières toutes
les valeurs de o à 00 ; d'ailleurs les séries qui forment les
premiers membres se limiteront d'elles-mêmes, ceux des
coefficients c'\ c'" dont l'indice serait < i et ceux des coeffi-
cients c, c' dont l'indice serait -< o étant identiquement
nuls.
Pour toute valeur de [a supérieure à /, F(a + ^) étant ^ o^
ces équations donneront c'^, c'm, c'„, c^ en fonction des coef-
ficients d'indice moindre. Pour [jl = t les deux premières
équations deviennent identiques, car elles se réduisent à
F(^
Oc'; — o,
F(^
l)c\+ 3F'(a-h i)c'-=o;
et a + / étant racine double de l'équation déterminante,
F(a-(-/) et F'(a 4- /) s'annulent; mais F''(a -|- «) étant ^o,
les deux dernières équations détermineront cj, c"^.
l84 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
Si /> [J(. !> o, il ne reste plus que deux équations qui dé-
terminent c' Ca en fonction des coefficients précédents.
Enfin, pour [jl^o, ces équations deviennent identiques. La
détermination des coefficients peut donc toujours se faire,
et il en reste quatre arbitraires, à savoir c^, C/, cj,, Cq.
150. Il reste toutefois à prouver la convergence de la série
obtenue. Pour l'établir, nous remarquerons que F(a-f- ik)
étant un poljnôme en ^ d'ordre n les valeurs de c"^, . . . , Ca
en fonction des coefficients précédents fournies par les équa-
tions (5), lorsque ut.^ i, seront delà forme
<^^, i[PoA-V?A(«+!^->0
+ Pl/,v'-?l (x-]-ix-l)~\-...-h P3A-v?x(^ + [J. — >0]CEi-A
(A r- I, 2, . . ., ;J., V — o, I, 2, 3),
PoAv) ' ' ", Psv/f étant des fonctions rationnelles en [i., dont le
dénominateur est d'un degré au moins égal à celui du numé-
rateur (et dont quelques-unes sont nulles).
Nous obtiendrons évidemment une limite supérieure du
module des coefficients cherchés en remplaçant les fonctions
P, z>i(oL + u. — X), etc., et enfin les coefficients cj^_x par des
limites supérieures de leurs modules.
Or les fonctions P tendant pour u = oo vers des limites
déterminées, leurs modules seront constamment inférieurs
à une quantité fixe Oj.
Nous obtiendrons, d'autre part, une limite supérieure du
module de Texpression
— ai{oi -^ [x — 1) {oi -^ [x — X — ]) . . . (y. -\- [x — l - n -^- 2)
-h bi{(x ^ [x — l) {oL -i- IX — l — i) . . . {y. -h IX — l — n -h ^)
en remplaçant ai, bi, . . . par la limite supérieure de leurs
modules -r- et les facteurs a -|- u. — a, ... par | a ! + a -f- /i.
ÉQUATIONS LINÉAIRES.
t85
On trouvera ainsi
M
I ox(a + |x - X)|^ -^ [(i a I + (i. 4- /O-
82 désignant une quantité limitée.
Le môme procédé donnera
(ia|4- [X -f /O''""'^
1 ?A ( '^
et, par suite,
À)l^
M
M
pX
M
P>>
M
,, 'i— 2= n ii«— 1
p'
\4\<^
l,v [xp
Xl^(x-).I,
Q désignant une quantité fixe.
Cette formule n'est établie que pour les coefficients dont
l'indice inférieur surpasse i; mais, les précédents étant en
nombre limité, on pourra toujours prendre 0 assez grand
pour qu'elle soit encore satisfaite pour ceux-ci.
Faisons successivement A" =:= o, 1,2, 3, ajoutons et multi-
plions par pH-; enfin posons, pour abréger,
p^(k[xl -+- 1 4 1 + ^?- 1 + 1 ^[^ I) = ^^[xî
il viendra
[X Jl^i [X ^Mq
et, en changeant [a en [a + i ,
l86 TROISIÈME PAllTIl-:. — CHAPITRE II.
et, en continuant ainsi,
ch.
En posant m i= oo , la série entre parenthèses est conver-
gente, pourvu qu'on ait pris [JL ^ 4^) les quantités <^oi <^o •••5
t/|j., . . . sont donc toutes inférieures à une limite finie N.
A fortiori, chacune des quantités
restera << N; donc la série (4) sera convergente dans un cer-
cle de rayon p.
loi. Si la valeur de c'I déduite des équations (5) s'annule
(il faut pour cela qu'un certain déterminant, qu'il serait
facile d'écrire, soit égal à zéro), tous les coefficients d" ^ qui
s'expriment linéairement en fonction de celui-là, s'annule-
ront également, de sorte que tous les termes en log^^ dispa-
raîtront de l'expression (4).
Si l'on a en outre c'^. = 0, les termes en log^/ disparaîtront
aussi; mais, c'^ et c\ étant arbitraires, il restera toujours des
termes en log^.
Pour que les logarithmes pussent disparaître entièrement
de l'intégrale, il serait évidemment nécessaire que la série
de racines que nous avons considérée ne contînt que des
racines simples.
Remarquons enfin qu'il peut se faire que les racines de
l'équation déterminante soient des entiers positifs et que les
intégrales ne contiennent pas de logarithmes. Dans ce cas,
le point ^ =: o ne sera pas un point critique pour les inté-
grales.
Ainsi l'équation
CIJC
t —. — h ( — m -h «1 ^ -h «2 ^" -+- • • • ) -^ =^ *^>
où m est supposé entier et positif, a pour équation détermi-
ÉQUATIONS LINÉAIRES.
.87
nante
/• — m z=z o
et son intégrale sera de la forme
152. Nous venons d'établir que, lorsque l'équation diffé-
rentielle proposée a toutes ses intégrales régulières, on peut
les obtenir par la méthode des coeifîcients indéterminés.
S:îchant d'ailleurs que, lorsque t tourne autour de l'origine,
r se reproduit multiplié par gs/ui g^ log^ se change en
]og^ -f- 2 7ri, on voit aisément, par la comparaison des déve-
loppements obtenus, quelle est la substitution que cette rota-
tion fait subir aux intégrales.
153. La question se présente moins simplement dans le cas
général où l'équation différentielle admet des intégrales ir-
régulières, car on ne peut les obtenir par la méthode des
coefficients indéterminés. On peut employer dans ce cas le
procédé suivant :
Traçons trois cercles K, R', K" se croisant à l'origine
{/Ig- i) et d'un rayon assez petit pour ne contenir aucun des
autres points critiques. Soient a, a', a" les centres de ces
cercles.
Fi Cf. I.
Soit, d'autre part, X|, . . ., X„ un système de /? intégrales
indépendantes. On peut supposer que chacune d'elles est dé-
finie par la valeur qu'elle prend, ainsi que ses n — i pre-
l88 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE H.
mières dérivées en un point L ^= b pris à volonté dans le
cercle K.
Tant que t^ partant de cette valeur initiale, restera com-
pris dans le cercle K, l'intégrale générale de l'équation
sera de la forme c, .r, -f- . . . + c,; ^^ ; .r , , . » ,^ Xn étant des
séries convergentes procédant suivant les puissances de
t — <2 et c< , . . . , c,i des constantes. On aura donc, tant que t
restera dans ce cercle,
En exprimant que le second membre de cette égalité et
ses n — I premières dérivées prennent au point b les valeurs
qui définissent X/, on aura un système d'équations linéaires
qui détermineront les coefficients c.
Supposons que t sorte de ce cercle pour entrer dans le
cercle suivant R'. Dans ce second cercle les intégrales sont
développables suivant les puissances de ^ — a' et auront pour
forme générale
y^, ...,y,i étant des séries, qu'il est aisé de calculer parla
méthode des coefficients indéterminés. On aura donc, en
particulier,
( 7 ) Xj = ^i/7i -h . . . + dni y a
et ce nouveau développement fera connaître la valeur de X;
dans tout l'intérieur du cercle K', lorsque les coefficients
d xi, . . . , d„i seront connus.
Pour les déterminer, il suffît de remarquer que, dans la
partie commune aux deux cercles, les deux développements
(6) et (7) étant valables à la fois, on aura
et par une série de dérivations successives
Cu^'l 4- . . . -f- C„fX',^ — du/i -f- . . 4- dni/ny
)
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 189
En donnant à t une valeur particulière arbitrairement
choisie dans cette région commune, on obtiendra un système
d'équations linéaires qui donnera les coefficients d.
Si t passe du cercle K' dans le troisième cercle K'',
X,, . . ., X,2 y seront donnés par de nouveaux développe-
ments
X-l = ^jj-^i -f- . . . -h 6,iiZ,i
suivant les puissances de ^ — ct!^ \ z^, . . . , z,i étant des séries
aisées à établir, et e^^ ..., Cnt des coefficients qu'on dé-
terminera au moyen de l'équation
"lij^l 4- • . • -H (^ ni y II =^^1/^1-+-. • . + Grii^n
et de ses dérivées, en donnant à ^ une valeur comprise dans
la région commune à K' et à K".
Enfin, si t^ achevant sa révolution autour de l'origine, sort
du cercle K" pour rentrer dans le cercle K, on aura dans ce
nouveau cercle
les coefficients /se déterminant encore de même.
En comparant ces valeurs finales de Xi, . . ., X„ à leurs
valeurs initiales (6), on voit que la substitution produite sur
les intégrales par une révolution de t autour de l'origine
sera
|X,-^l,-Xi-^ ... ^gniy-n\.
les constantes g étant déterminées par les équations li-
néaires
fki^gïiCki-^- . '^ gaiC/ca {iy ^ = 1,2, . . . , fl).
Cette substitution étant connue, on la ramènera aisément
à la forme canonique en changeant le système d'intégrales
distinctes que l'on considère.
Les nouvelles intégrales ibrmeront une ou plusieurs séries.
Soit (Yq, . . . , Ya) l'une de ces séries. Ces intégrales auront
igo
TROISIÈME
PARTIE.
(145)
la
forme siiivanle
:
( Y^^fu,,
(8)
)
\ i
1 Y/,=:r(0,.
"o-+- Q/
CHAPITRE IJ,
Tout est connu dans ces développements, sauf les fonctions
monodromes Uq^ . . . , Uk- Mais, en chaque point de la région
occupée par les cercles R, K', K", on connaît par les dévelop-
pements précédents la valeur numérique des intégrales
X, , . . . , X„ et par suite celle des intégrales Y, , . . . , Y^. Les
équations (8) permettent d'en déduire celle de Uq^ . . ., Uk-
Le théorème de Laurent (t. II, n° 326) fournira dès lors les
coefficients des séries, procédant suivant les puissances po-
sitives et négatives de t, qui représentent ces fonctions.
154. Des considérations analogues à celles qui viennent
d'être exposées permettront d'intégrer par des séries toute
équation linéaire qui n'a qu'un nombre limité de points cri-
tiques.
Soit, en effet, F = o une semblable équation. Il nous sera
permis de supposer, pour plus de simplicité, que t = ce est
un point ordinaire; car, s'il en était autrement, soient ^,,
1-2, ... les points critiques situés à distance finie; b un autre
point quelconque ; posons
u
L'équation transformée en u admettra évidemment pour
points critiques le point u = o, correspondant à ^ = co , et
les points Ui — r» ;^..= , ^ • • • correspondant a /,,
^2, . • . ; mais « = 00 , correspondant k t =:= b, sera un point
ordinaire.
Cette hypothèse admise, traçons un cercle Kenveloppanl
tous les points critiques ^,, ^2? • • -^ ^z» A l'extérieur de ce
cercle l'intégrale générale aura la forme
(9) c,^, 4-...-hc,,^«
ÉQUATIONS LINÉAIRES. I9I
.r<, ,.., Xn él. nt des séries qui procèdent suivant les puis-
sances de -•
Il est clair, d'autre part, qu'on pourra toujours recouvrir
l'intérieur de K et les portions voisines de la région exté-
rieure au moyen d'un nombre limité de cercles Ki,K2, . . -,
dont chacun peut passer par un ou plusieurs points critiques,
mais n'en contient aucun dans son intérieur, tout autre point
situé sur K ou dans son intérieur étant au contraire inté-
rieur à l'un au moins de ces cercles K,, Ko, ....
Soient K„i l'un quelconque de ces cercles, Œm son centre.
Dans l'intérieur de ce cercle, l'intégrale générale aura la
forme
(10) C/,ji .Z",,,} -r- . . . H- C;,{,j JT
inn
Xm\^ • • •' Xmn étant des séries procédant suivant les puissances
de l — a,n.
Traçons maintenant une série de coupures L,, Lo? •••
allant de chacun des points critiques ^,, ^25 • • • jusqu'à l'in-
fini. Tant que t ne traversera aucune de ces coupures, les
intégrales de l'équation resteront monodromes. Soit X, , . . .,
X;i un système quelconque d'intégrales indépendantes, Cha-
cune d'elles sera définie en un point quelconque par l'un ou
l'autre des développements (9) ou (10) parmi lesquels il y
en a au moins un de convergent. Les coefficients c qui figu-
rent dans ce développement pourront d'ailleurs se déterminer
comme au n° 153. La valeur de ces intégrales sera donc
connue en chaque point du plan coupé.
D'ailleurs, lorsque t tourne autour d'un des points cri-
tiques, ces intégrales subissent une substitution linéaire que
nous savons déterminer. Supposons donc que t se rende de
la valeur initiale ^0 à une valeur finale quelconque T. Pour
obtenir la valeur finale des intégrales X|, . . ., X,;, il suffira
de réduire le chemin parcouru par la variable à une série de
lacets A^, . . . suivis d'un chemin A qui ne traverse plus les
coupures. Lorsque t reviendra au point de départ ^o après
192 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
avoir décrit le lacet A, les intégrales auront sr'ji une substi-
tution linéaire connue S; le lacet A' leur fera subir une se-
conde substitution S', etc. L'ensemble des lacets A, A', ...
successivement décrits leur fera donc subir la substitulion
résultante SS' . . . , de telle sorte que les intégrales auiont
passé de leurs valeurs initiales X| , . . . , X,^ à des valeurs fi-
nales X'^ j • • • 5 XJ^ de la forme
Lorsque t décrira ensuite la ligne A, ces expressions
varieront et prendront en T les valeurs suivantes
S,, . . ., S/j étant les valeurs finales de X,, . . ., X^, lesquelles
sont données sous forme de séries, ainsi que nous l'avons vu.
On peut donc déterminer a priori la valeur finale d'une
intégrale quelconque lorsque la variable t décrit une ligne
donnée, sans être obligé de calculer la série des valeurs suc-
cessives par lesquelles elle passe, pour les points intermé-
diaires.
15o. La méthode précédente est susceptible de nom-
breuses modifications, si l'on admet, pour représenter les
fonctions intégrales, d'autres développements que ceux qui
sont fournis par la série de Tajlor. Supposons, par exemple,
que, parmi les points critiques, il y en ait aux environs des-
quels les intégrales soient régulières. On pourra évidem-
ment substituer à quelques-uns des cercles dont nous nous
sommes servis des cercles décrits autour de ces points cri-
tiques (pourvu qu'ils ne contiennent dans leur intérieur
aucun autre point critique); car on connaît un développe-
ment des intégrales dans ces cercles, et cela suffit.
On peut encore, dans beaucoup de cas, transformer l'équa-
tion difiérentielle par un changement de variable
t — o{u), d'où U:=^{t).
Soit a un point ordinaire de l'équation transformée : on
ÉQUATIONS LINÉAIRES. IqS
aura un développement de ses intégrales suivant les puis-
sances de u — a, lequel sera convergent tant que le module
de ;/ — a sera moindre qu'une constante donnée r. Les inté-
grales de l'équation primitive admettront un développement
correspondant suivant les puissances de '^{t) — ?}>( a), valable
dans toute la région du plan où
\^{t)-'^{a)\<r,
lequel développement pourra être utilisé au besoin.
156. Nous avons vu que, lorsque la variable t revient à sa
valeur initiale Iq, après avoir décrit un contour fermé quel-
conque, les intégrales Xj, ..., X„ subissent une substitu-
tion linéaire. Considérons l'ensemble de ces substitutions
S, S', ... correspondant aux divers contours fermés pos-
sibles K, K', Il est clair que, si S, S', ... sont deux de
ces substitutions, correspondant respectivement aux con-
tours R, K', on obtiendra, en décrivant successivement ces
deux contours, un nouveau contour fermé KK' auquel cor-
respondra la substitution SS', résultante des deux premières.
Cette dernière substitution fera donc elle-même partie de la
suite S, S',
On dit qu'une suite de substitutions forme un groupe
lorsqu'elle jouit de cette dernière propriété.
Nous appellerons groupe de Véquation différentielle
celui qui est formé par l'ensemble des substitutions S, S',
Toutes ces substitutions résultent évidemment de la com -
binaison successive des substitutions correspondantes aux
lacets relatifs aux divers points critiques.
157. La notion de ce groupe est d'une grande impor-
tance dans toutes les questions qui se rattachent à l'étude
des équations qui nous occupent. Nous allons, par exemple,
montrer comment on peut reconnaître, à l'inspection du
groupe de l'équation différentielle
^ d"- X d''-^ X
J. — Cours, III.
dt- +/''1S^ +•■•-*-/'« ^=0.
194 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
si elle est réductible ou non, c'est-à-dire si elle admet ou
non des solutions communes avec une autre équation
^ d"'œ d"'-^x
à coefficients uniformes, où m^n.
Formons les dérivées successives de G; il viendra
dG __d"^-^^x d"'x , d"'-'^œ
lu ~~ dt"'^^ ~^^^ 'dt^ "^^^ dt"'-^ -^- • -,
^ri - m Q ^ du j. ci" " ^ X
\W'-'^ ~~ 'dF '^^^'dîF^ "^•••'
dm ^ d'^ X
et, en tirant de ces équations les valeurs de -jjiri^ •'•> ^tt
pour les substituer dans F, il viendra
^^■dF^^ -^^^-dF'^^ -h...-hA„G + G,,
A, , . . . , A,,_^ étant des fonctions uniformes de t, et G< une
dm — 107 dx
fonction linéaire de . „ , > • • • 5 -7- > ^, à coefficients uni-
dt"^-^ dt
formes en /.
Les solutions communes à F = o, G ^ o sont évidemment
les mêmes que les solutions communes à G = o, G< = o.
Donc, si G, est identiquement nul, l'équation F=o ad-
mettra toutes les intégrales de G, et son premier membre
sera une fonction linéaire de G et de ses dérivées.
Si G, n'est pas identiquement nul, mais ne contient
aucune des dérivées de x, on n'aura G, = o qu'en posant
X z=. o. En dehors de cette solution évidente, les équations
F=: o, G = o n'auront aucune intégrale commune.
d^ x
Enfin, si Gi = Bo -7-^ +. . . + By^^, Bq n'étant pas nul,
on pourra opérer sur les équations
^ = 0, i-Gi==o,
B
ÉQUATIONS LINÉAIRES. Io5
comme sur les équations primitives, et en déduire une nou-
velle équation G2=o, à laquelle les solutions communes
devront encore satisfaire.
En poursuivant cette série d'opérations, toutes semblables
à celles du plus grand commun diviseur, on arrivera évi-
demment à ce résultat •
Si deux équations linéaires F = o, G = o, « coefficients
uniformes, ont des intégrales communes, on pourra dé-
terminer une équation de même espèce H = o, ayant pour
intégrales ces solutions communes; et F, G seront des fonc-
tions linéaires de H et de ses dérivées.
Donc, si l'équation F=o est réductible, il existera une
équation d'ordre moindre, H =: o, dont elle admet toutes les
intégrales.
158. Gela posé, soient Xi, ..., X„ un système quelconque
d'intégrales indépendantes de F=o, Y^, ..., Y m un sys-
tème d'intégrales indépendantes de H rzz: o. Les intégrales de
cette dernière équation auront pour lorme générale
Cj I 1 -t- . . . -h C„il „i
et se permuteront les unes dans les autres lorsque t décrit un
contour fermé quelconque. D'ailleurs Y|, ..., Y^, étant
des intégrales de F=o, seront des fonctions linéaires de
X, , . . . , jL,j.
Donc, si F=o est réductible, on pourra déterminer des
fonctions linéaires Yj, . . ., Y m des intégrales X,, . . . , X;^,
eu nombre «< n et telles que les fonctions du faisceau
CyYi-h.. .-hc,„Y„,
soient exclusivement permutées les unes dans les autres par
toutes les substitutions du groupe de l'équation ¥=: o.
Nous exprimerons, pour abréger, cette propriété du groupe
de l'équation en disant qu'il n'est psis primaire.
Réciproquement, si le groupe de l'équation F =:::= o n'est
196 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
pas primaire, l'équation sera réductible. En effet, les inté-
grales Y,, . . . , Yffi satisfont à l'équation d'ordre m
X
Yi .
. Y,
dx
dt
y; ^
• • y;
d"'x
dt'"
Y in
* 1
.. Y;
dont les coefficients sont monodromes (après qu'on a divisé
par le coefficient du premier terme). En effet, faisons dé-
crire à t un contour fermé quelconque. Les fonctions
Y,, . . ., Y m étant transformées en des fonctions linéaires de
Y, , - . . , Y„,, les déterminants qui forment les coefficients de
l'équation se reproduiront multipliés par le déterminant de
la transformation. Leurs rapports reprendront donc la même
valeur.
Pour reconnaître si l'équation F= o est irréductible, nous
n'aurons donc qu'à chercher si son groupe F est primaire.
159. Soient S, S', ... les substitutions relatives aux divers
points critiques, et dont la combinaison reproduit F. Si
chacune d'elles multiplie toutes les intégrales par un même
facteur constant, il est clair que toutes les substitutions de F
jouiront de cette même propriété et que ce groupe ne sera
pas primaire.
Supposons au contraire que, parmi les substitutions S,
S', ..., il en existe au moins une S qui ne multiplie pas
toutes les intégrales par un même facteur. Prenons à la place
de X|, - . . , X/j un autre système d'intégrales indépendantes,
choisi de manière à ramener S à la forme canonique. Sup-
posons, pour fixer les idées, que l'équation caractéristique
pour cette substitution ait deux racines <2, b\ qu'à la racine a
correspondent quatre séries d'intégrales, dont trois con-
tiennent k intégrales et la quatrième / intégrales, / étant
<^A', et qu'à la racine b corresponde une seule série de
fu 72, ■'•,fk
/u/s» •••'/a-
Srz:
fi^fl^ -"^fk
^1, -«2) • • ' 1 ^l
U„ lli, ..., lli
Soit
Y, = d
ijl 4-^2/2 + ...-+
73), .
. , ay-k
/a), .
', ay'k
/;). .
' , Clfk
^3), .
.., azi
^^3), •
., bui
ÉQUATIONS LINÉAIRES. IQ/
intégrales; la forme canonique de S sera la suivante i
«(7i4-/2), a{y-i
<^ (7 1-^72)' ^(72 ■
«(7"i+7"2)' ^iy\
une intégrale quelconque. Effectuons sur cette expression
les transformations S, S', Nous obtiendrons de nou-
velles expressions de la forme
Di ji -h 0,72 M- ... 4- F/ «/,
oùD<, D2, ..., F/ sont des fonctions linéaires de dt^ d^, •..,//•
Si parmi ces expressions il en est qui ne soient pas li-
néairement distinctes de celles qui les précèdent lorsque di,
0^2, . . .,// restent indéterminés, on pourra les supprimer et
transformer de nouveau celles qui restent par les substitu-
tions S, S', .... Parmi ces transformées on supprimera
celles qui ne sont pas distinctes, et ainsi de suite, jusqu'à ce
qu'une nouvelle transformation ne donne plus aucune ex-
pression distincte de celles obtenues précédemment. Cette
suite d'opérations est nécessairement limitée, car toutes les
fonctions obtenues sont linéaires par rapport aux produits
en nombre limité qu'on peut former en multipliant les inté-
grales jk, ,725 • • • 5 lii par les arbitraires di, do-) . . . , //.
Soient Y<, Y2, ... les diverses fonctions ainsi obtenues. Il
est clair que toute substitution de F transforme les unes
dans les autres les fonctions
CiYi-hCaYs-i-...
du faisceau <ï> formé avec ces fonctions.
160. Cela posé, cherchons à déterminer les arbitraires d^
198 TROISIÈME PARTIR. — CHAPITRE II.
dii • • -7 fil de telle sorte que dans chacune des fonctions
Y,, Y2, ... les coefficients Di, D'^, D', des termes enj/<,
Ïk") y\ disparaissent. Nous obtiendrons ainsi une série
d'équations linéaires par rapport aux arbitraires (i, , <fo, -..^fi»
Supposons d'abord que ces équations soient compatibles.
Assignons à <f < , d^-^ ,.., fi un système de valeurs qui satis-
fasse à ces équations.
Les fonctions Y,, Y^, ... ne dépendant plus que des va-
riables ^'2, . . . , j'A, y.,, . . , y\., 7';, . . . , y;, ^, , - . . , w/ en
nombre -< /i, celles de ces fonctions Y, , . . . , Y^ qui restent
encore linéairement distinctes seront en nombre <^/2. D'ail-
leurs les fonctions suivantes Y,„_,.,, . . . s'exprimant linéaire-
ment au moyen de celles-là, toutes les fonctions de O pour-
ront se mettre sous la forme
Cj 1 1 H- . . . -h C„i 1 „ii
et, comme elles sont transformées les unes dans les autres
par toutes les substitutions de F, ce groupe ne sera pas pri-
maire.
161. Supposons, au contraire, que les équations soient
incompatibles. Quelle que soit l'intégrale Y, qui a servi de
point de départ, le faisceau <ï>, déduit de ses transformées,
contiendra une intégrale
où l'un au moins des trois coefficients D,, D'^, D, n'est pas
nul. Il contiendra sa transformée par la substitution S;
cette transformée, que nous désignerons par SY, est de la
forme
SY=Diâî(7iH-/2)H-...+ E,^(si + 52)-H-.- + Fi^(^'iH- W2)h-.--
Le faisceau <I> contiendra encore la fonction
Y'z= —l—{SY-bY),
i
ÉQUATIONS LINÉAIRES. I99
OÙ les coefficients de j>',, y\, y] ont les mêmes valeurs que
dans Y, mais où le coefficient de m, s'annule.
11 contiendra de même la fonction
où D,, D'^, D', ont encore conservé leurs valeurs primitives,
mais où le terme en Wa disparaîtra.
Continuant ainsi, on voit que <ï> contiendra une fonction
de la forme
z =^ Dj ji 4- d; j'i -h D';y; + o^ y. + . . . 4- s^ ::i + . . . h- c^c,,
d'où les II ont entièrement disparu.
Il contiendra encore la fonction
z'^ - sz-z=:D,/,4- d;j; ^-d;/; -h. . .-f-£,^2-i-- • .,
d'où y\i y\^ y\-, ^« ont disparu. Il contiendra de même la
fonction
z'= ^sz'-z'=D,/3+ D;y3H- D';y; + . . .+ e,.-3+. . ..
Continuant ainsi, on voit que <I> contient la fonction
u=:D,j,.-i-d;./,4-d';j1,.
Donc, quelle que soit l'intégrale initiale ¥< , il existe dans
le faisceau <E>, dérivé de ses transformées, une intégrale o de
la forme plus simple
(11) ^^dyk-\-d'y',^-\- d"y\.
Prenons pour point de départ celte nouvelle intégrale et
formons le faisceau <ï>' dérivé de ses transformées, lequel
fait évidemment partie du faisceau ^.
Les fonctions qu'il contient seront de la forme
D,/, + D2/2 4- ... 4- d;/; -h ... -h F,- iii,
200 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
OÙ les coefficients D^, . . ., F,; sonl linéaires et homogènes
en df d', d". D'ailleurs, de toute fonction de celte forme
contenue dans ^' on déduira, comme on vient de le voir,
une fonction correspondante
également contenue dans <!>'.
Formons successivement les diverses fonctions de cette
dernière sorte qui sont contenues dans $', en supprimant
à mesure qu'on les obtient toutes celles qui ne sont pas
linéairement distinctes des précédentes, même lorsque d^
d'j d" restent indéterminés. Il restera un nombre limité de
fonctions
?o--= dyr, -H d'y), + ^y;=cp,
(12)
D[x7/H-D'j,/^-l-D'f,yi.,
dont toutes les autres sont des combinaisons linéaires.
Soit Oa l'une quelconque de ces fonctions. Les coeffi-
cients Dec, i^a» E)a seront de la forme
D„ =
~ A
d + V
d'
+ )/
d",
Dc-.=
^l
d + r
d'
+ K
d",
Di =
->i
d -i- y.
d'
+ K
d',
de telle sorte qu'on aura
Ca désignant la substitution
fk '^"fk-^Ky'k-^K/fc
Les opérations o- satisfont à l'équation symbolique
(Ta ^p = Co cTo H- Cl ffi -}- . . . 4- Cjx <y(x,j
OÙ Co, . . . , Cp, sont des constantes.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 201
En effet, puisque de l'existence de la fonction cp dans le
faisceau $ on déduit l'existence dans ce même faisceau des
transformées (To.'-^ et o-^cp, on déduira de l'existence de cette
dernière fonction celle de la fonction o-aO-pcp. Cette fonction,
ne dépendant d'ailleurs que des variables yh-, y'iii y'ki sera de
la forme
162. Cela posé, considérons le groupe y dérivé des sub-
stitutions (Tq^ . . ., (Tu, entre les trois variables jka, y h-, y\' H
est clair que le faisceau résultant de la combinaison des fonc-
tions cp, cp,, . . . , cp[j, se confondra avec le faisceau déduit des
transformées de cp par les diverses substitutions de y.
Le groupe y contenant moins de variables que le groupe F
primitivement considéré, nous pouvons évidemment sup-
poser que nous sachions reconnaître s'il est ou non primaire.
1° Si y n'est pas primaire, nous pouvons assigner aux
coefficients d^ d\ d" de la fonction o un système de valeurs
tel que le nombre des fonctions cp, cp,. . . ., cpjj qui restent
encore distinctes dans cette hypothèse soit moindre que
celui des variables j^/t, j-^, y^. Dans ce cas F ne sera pas pri-
maire. En effet, supposons, par exemple, qu'il reste deux
fonctions distinctes; soient
cp — dfk H- df,, 4- d"y\ = ce (//,,//„ y;),
^i^d.yh + d\y'i^-\- d[y\z=, cp,(jA-,7/c,7^)-
Considérons le faisceau <!>' dérivé des transformées de cp
par les diverses substitutions de F. Soit
Di/i + d; y -h Ty\y\ + D272+ • • • + f.-^^-
une quelconque des fonctions qu'il contient. Nous avons vu
que ce faisceau contenait Ja fonction
laquelle doit être une combinaison linéaire de cp et de o,. On
202 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
aura donc
i>i ji -^ d;/; 4- D'; y; = c ^ (ji , y\ , /i ) -+- ^i ?i (/i ' r'i » jI )'
c, c, étant des constantes.
Les intégrales jki, y\,y'\ ne figurant dans ^' que par les
deux combinaisons 'f (j'd J^'pJKi) et '^^{y^^y^,y"^)) le nombre
des fonctions linéairement distinctes dont <ï>' dépend sera
moindre que 7î. Donc F n'est pas primaire.
2° Si le groupe y est primaire, de quelque manière qu'on
choisisse d, d', d'\ la suite cp, cp,, . .., '^^ contiendra tou-
jours trois fonctions distinctes, cp, cpi, cpa ; et chacune des
intégrales jka, JK^^? j'a dont elles dépendent, y^ par exemple,
pourra s'exprimer linéairement en fonction de cp, cp,, cpo. Elle
appartiendra donc au faisceau ^'.
Formons maintenant les transformées successives de r^
par les diverses substitutions de F.
Cette intégrale étant entièrement déterminée, il n'y aura
aucune difficulté à reconnaître combien le faisceau $'', dé-
rivé de ses transformées, contient de fonctions distinctes;
si ce nombre est inférieur à «, F ne sera pas primaire; dans
le cas contraire il sera primaire.
Soient, en effet,
^Fr=C,Y,-4-...-|-6-„,Y,„
un faisceau quelconque d'intégrales que les substitutions
de F transforment les unes dans les autres; Y, Fune de ces
intégrales. Le faisceau ^F contiendra le faisceau <ï> déduit des
transformées 'de Y, ; dans celui-ci existe une intégrale cp de
la forme (ii), dont la combinaison avec ses transformées
donne l'intégrale jka- Donc W contient cette intégrale et ses
transformées, parmi lesquelles il y en a n linéairement dis-
tinctes.
163. Une seconde application de la notion du groupe
nous sera fournie par la recherche des intégrales algébriques
que peut offrir une équation linéaire.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 203
Soit F = o une équation d'ordre /z, admettant des inté-
grales algébriques. Il est clair que, si t décrit un contour
fermé quelconque, ces intégrales, restant toujours algé-
briques, se transformeront les unes dans les autres. Soient
donc x^, . . . , x,n celles de ces intégrales qui sont linéaire-
ment distinctes; les intégrales algébriques cherchées auront
pour forme générale
C\Xi-\- . . .-{- C„i X,ji
et seront les solutions d'une équation linéaire d'ordre m
Q^-.
X
dx
~dt
d"^x
dt'"-
X,
X,
1= G
à coefficients uniformes, après division par le coefficient du
terme en — ^ Si donc F est une équation irréductible,
di^^
on aura m = n^ et les équations F = o, G --- o se confon-
dront.
164. Étudions les équations, telles que G, à coefficients
uniformes, et dont toutes les intégrales sont algébriques.
Leurs coefficients, étant des fonctions algébriques et uni-
formes, seront des fonctions rationnelles.
D'ailleurs, aux environs de chaque point critique, les in-
tégrales seront régulières. Considérons, en effet, un point
critique quelconque a. Une intégrale quelconque Xq sera
1^
développable suivant les puissances croissantes de (^ — a)^,
p étant un entier convenable.
Soit
« ê
Xo= Cait — a)P-{- c^{t — a)^>-^ . .
ce développement. Groupons ensemble tous les termes dont
204 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
les exposants ne diffèrent que de nombres entiers; on pourra
écrire
a^Q= [t — a)P Ua+ (t — a)P 11^-^- . . . ,
Ua, wp, • • • étant des séries qui procèdent suivant les puis-
sances entières de t — a.
Si l'on fait décrire à t un lacet autour du point a
une fois, deux fois, etc., on obtiendra de nouvelles inté-
grales
a Ë
^2 = 02^ ( ^ — a ) P Wa -H e^P ( ^ — a )^ «p -4- . . . ,
en posant, pour abréger,
2 711
e~P =6.
Résolvant ces équations par rapport à
^ Ë
on voit que ces quantités s'expriment linéairement en jCq,
^1, ... : ce sont donc des intégrales; d'ailleurs elles sont
manifestement régulières.
On voit de même que les intégrales seront régulières pour
^= 00 .
16o. Ce premier résultat nous donne déjà quelque lu-
mière sur la forme des équations cherchées. En effet,
d'après le n° 146, chacun des points critiques /<, ..., t^
devant être un pôle d'ordre k tout au plus pour le coeffi-
cient de ^^^_^^. > l'équation aura nécessairement la forme
d'^'x Ml d"'-'^x _ M2 d'^'-'^x M^„ _
T désignant le produit {t — ^, ) . . . (^ — ^p,) et M,, Mo, . ..
étant des fonctions entières.
ÉQUATIONS LINÉAIRES.
205
Tl reste encore à exprimer que les intégrales sont régu-
lières aux environs de ^ = oo. A cet effet, posons
d'où
dt
du
lu
on a
dx
'di
d^x
_ 2Î^
du
dt^ du
et généralement
dx
du
(Px
du-
iw
dx
du
d'^x
(-OM^^^^^XTT
dKx
du''
Clk,k-\U
2/t-l
^^-'
dt'^'
-h a^, k-2 w
dii'-"'
ah h-\i a]{^h-2-) ' ' - étant des entiers, dont le j)remier est égal
à k{k — i); car on voit sans peine que cette formule, étant
d X
supposée vraie pour -t-^j sera encore vraie pour la dérivée
suivante.
Substituant ces valeurs des dérivées dans l'équation pro-
posée, et divisant par ( — 1)^11-^"-^ on aura l'équation trans-
formée
d"^x
du'
T lû
d"'-^x
du""-^
a,
— a
Ml I
m-l,m-2 ij ^3
M, I
<^'«-2 X
du"'-^
4-. . .r=0
2?
où il ne restera plus qu'à substituer t=^- dans T, M, , M
Le point u =: o doit être un pôle d'ordre i , 2, ... au plus
fjl^m—ij, d'"'~^ X
pour les coefficients des dérivées j „ , , -, r? Il faut
et il suffît pour cela que -p,^? —■> ••• soient développables
206 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
suivant les puissances croissantes de u et commencent res-
pectivement par des termes de degrés i, 2, .... Mais on a
1 I
,.a 1 0 f/V'+i 1
^■l;-)-(i-
-.)
On devra donc avoir
d\ d^
..— d^t^-' ^d^i^-'' -h...,
M - ^^ 1 ^^ 1
.. — e,C'V'-''^e.m-^-\-...,
^^^- u^V--^ ' iC-^'-^ ' •
Donc, M,, ..., Myv, ... sont des polynômes entiers en i, de ]
degrés au plus égaux à [a — i , . . ., A-([i. — i), . . .. j
166. 11 est aisé d'établir que la somme des racines des
équations déterminantes relatives aux points critiques ^i , . . . ,
/[x, 00 est égale a ( [a — i ) • ]
En effet, l'équation déterminante relative au point ti sera
évidemment
r(r- i)...(r- m + 1) 4-^,;^ /•(/•- !)...(/•- m + 2) ]
et la somme de ses racines sera
D'autre part, l'équation déterminante relative au point \
t=z co sera i
/■{r — I ) . . . ( r — m -h i) |
+ («,„,,„-i — ^1 )''('■ — 0- . .(a- — m 4-2) 4-. . . = 0, I
I
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 207
et la somme de ses racines sera
m {m — I ) , jn{m — i )
^m, m-\ + "1 = h «1 .
2 2
La somme totale des racines de ces équations sera donc
m(m — i) Y^'^^') / .Tn{m — ^)
(IX- I) ^ +^,_2^___^(^a_0 __;
car on a, d'après une formule connue de la décomposition
des fonctions rationnelles,
Y M^) _^ _ M,(0
Zt'(/^,) t-tt T(0~'
d'où, en multipliant par t et posant ^ =; oo,
167. Nous venons d'obtenir la forme générale des équa-
tions dont les intégrales sont partout régulières^ mais il s'en
faut de beaucoup que toutes les équations de ce genre aient
leurs intégrales algébriques. Pour qu'il en soit ainsi, un
second caractère est nécessaire : il faut que le groupe de
l'équation ne contienne qu'un nombre fini de substitutions.
En effet, chacune des substitutions du groupe est définie
par le système des fonctions dans lesquelles elle transforme
les intégrales indépendantes :r,, ..., Xm'i mais chacune de
ces intégrales, étant algébrique, n'a qu'un nombre fini de
transformées distinctes; le nombre des substitutions dis-
tinctes est donc fini.
Réciproquement, toute équation à intégrales régulières,
dont le groupe ne contient qu'un nombre fini de substitu-
tions, a toutes ses intégrales algébriques.
En effet, soient x^ une quelconque de ces intégrales^
^21 • • • ses transformées par les substitutions du groupe.
Toute fonction symétrique de ces transformées étant évi-
208 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
déminent uniforme, Xi sera racine de l'équation
(i3) {x —û^i){x — œ2) .. . ~o,
dont les coefficients sont uniformes
Considérons d'ailleurs un point critique quelconque ?,.
On aura aux environs de ce point un système d'intégrales
distinctes dont les développements auront la forme
Uq, . . ., u/( étant monodromes aux environs de ^, .
Mais, pour qu'une expression de ce genre n'admette qu'un
nombre limité de transformées distinctes lorsqu'on tourne
autour de ^i, il faut évidemment : i" que les logarithmes dis-'
paraissent, 2^ que r soit rationnel. On aura donc un système
d'intégrales distinctes
où 7-4, To, . . . sont des fractions rationnelles.
Soit p le plus petit multiple de leurs dénominateurs. Les
intégrales ^,, ^27 ••• seront développables suivant les puis-
1^
sances entières et croissantes de {t — fj)^j ^^ ^^ ^^ ^^^^ ^^
même de ^i, X2, ... qui s'expriment linéairement en ^,,
^2, .... Le point ti sera donc un point critique algébrique
pour chacune des intégrales ^,, Xo, ... et, par suite, pour
les coefficients de l'équation (i3). Mais ces coefficients sont
uniformes; donc t^ sera un pôle (ou un point ordinaire)
pour chacun d'eux.
On verra de même que co est un pôle ou un point ordi-
naire pour ces coefficients.
Les coefficients de l'équation (i3) étant uniformes et
n'ayant d'autres points critiques que des pôles, même à
l'infini, seront des fractions rationnelles, et ^4, œ.2, • . . se-
ront des fonctions algébriques.
Si donc on savait déterminer tous les groupes formés
d'un nombre fini de substitutions entre m variables, on con-
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 209
naîtrait par là même les divers tjpes possibles d'équations
linéaires d'ordre m à intégrales algébriques, et il suffirait,
pour reconnaître si une équation donnée appartient à cette
catégorie, de chercher à identifier son groupe avec l'un de
ceux dont on aurait dressé le tableau.
Le problème arithmétique de la construction des groupes
d'un nombre fini de substitutions, auquel la question se
trouve ainsi ramenée, n'est résolu d'une manière complète
que pour m = i ou 3. On a toutefois démontré que, pour
une valeur quelconque de m, le nombre de ces groupes est
limité, et l'on en a déduit ce théorème :
Si V équation G = o, d^ ordre m, a toutes ses intégrales
algébriques, elle admettra un système d'intégrales dis-
tinctes Xi^ . . .^ Xmde la forme
; p étant un entier et Ui, Uo, . . • étant des fonctions ra-
l tionnelles de t et d'une irrationnelle u définie par une
équation
f{t,u)=o,
dont le degré est limité en fonction de m.
Nous nous bornerons à énoncer ce résultat, dont la dé-
monstration exigerait une exposition détaillée des principes
de la théorie des substitutions.
168. Le cas où l'intégrale générale de l'équation G = o
est non seulement algébrique, mais rationnelle, mérite une
attention particulière. Il est aisé de le reconnaître.
En effet, les intégrales devant n'avoir d'autres points cri-
tiques que des pôles, l'équation déterminante relative à l'un
quelconque des points critiques de G n'aura que des racines
entières, et les développements des intégrales régulières ne
contiendront point de logarithmes.
Pour que cette dernière condition soit remplie, il faudra
I. — Cours, m. i&
i
2 10 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II,
tout d'abord qu'aucune des équations déterminantes n'ait de
racines multiples (loi).
Supposons qu'il en soit ainsi; soit F(7') = o l'équation
déterminante relative au point ^,, et soient a, a', a", . . . ses
racines, rangées par ordre de grandeur croissante. L'inté-
grale générale aux environs du point t^ sera de la forme
il"---:
et, en substituant cette valeur dans l'équation différentielle,
comme au n'' 1 i9, on obtiendra une série d'équations li-
néaires et homogènes qui détermineront par voie récurrente
tous les coefficients c, c', c" , ... en fonction des m coeffi-
cients Ca, Ca', Ca.li, . . . qui restent arbitraires. On voit d'ail-
leurs sans difficulté que tous les coefficients c' , d\ . . . qui
multiplient des termes logarithmiques s'expriment en fonc-
tion des m — I coefficients c'a'? c'y_/i, . . . , et que ceux-ci ont
des expressions de la forme
câ' = ACa, c'x'—^CoL-^B'c^', Ca' = GCa+G'Ca4-G"Ca',
Donc, pour que les logarithmes disparaissent, il faut et il
p,. , . , m (m — i) , . . ,. .
suilit qu on ait les — ^ équations de condition
169. Réciproquement, si l'ensemble des conditions qui
précèdent est rempli, l'intégrale générale sera rntionnelle.
En effet, elle n'a pour points singuliers à distance finie que
des pôles. Elle est donc uniforme.
Formons d'ailleurs l'équation déterminante pour ^ = oo
et groupons ses racines en classes en réunissant celles dont
les différences mutuelles sont entières. Soient p, p', ... les
plus petites racines de chaque classe; ;jl, [jl', ... le nombre
des racines contenues dans leurs classes respectives. Pour
des valeurs suffisamment grandes de tj on aura, pour Tinté-
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 211
grale générale, un développement de la l'orme
les expressions cp, cp<, . . . , cp', ... étant des séries procé-
dant suivant les puissances entières et croissantes de -•
Mais, puisque cette expression est uniforme, les logarithmes
disparaîtront nécessairement et les exposants p, p', ... seront
entiers. L'*ntégrale générale aura donc un simple pôle à Fin-
. . . P
fini; ce sera donc une fonction rationnelle^»
On pourra d'ailleurs la déterminer par des opérations
purement algébriques. En effet, on connaît, par ce qui pré-
cède, la situation des pôles à distance finie et l'ordre de
multiplicité de chacun d'eux. On pourra donc former le dé-
nominateur Q. L'ordre de multiplicité du pôle t = œ étant
également connu par le développement obtenu suivant les
puissances de -? le degré du numérateur P sera déterminé.
Pour déterminer ses coefficients, il suffira d'identifier le dé-
P . . I .
veloppement de -^r suivant les puissances de - à celui qu'a
fourni l'équation différentielle.
170. Considérons plus généralement, avec M. Halphen,
les équations dont les intégrales sont partout régulières et
sont monodromes dans toute région du plan qui ne contient
pas le point ^< . Les autres points critiques ^o? - • - •> ^[x des
coefficients de l'équation ne pouvant être que des pôles pour
l'intégrale, les équations déterminantes qui leur corres-
pondent n'auront que des racines entières, et les logarithmes
disparaîtront des développements correspondants, ce qui
donnera ([i. — i) équations de condition, dont
l'existence sera à vérifier.
2Î2 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
Lorsque l'ensemble des conditions précédentes est rempli,
on peut trouver TintégraJe générale. En effet, d'après l'ana-
Ivse du n*^ 145, on peut déterminer un système d'intégrales
particulières formant une ou plusieurs séries, et telles qu'aux
environs du point tt les intégrales j^o 7 • • • ? JK/f d'une même
série soient de la forme
/o" (^ — ^i)'""o,
;/o^ • • -7 if/i étant des fonctions monodromes aux environs du
point ^1 , r désignant une racine de l'équation caractéris-
tique qui correspond à ce point et les Q étant définis par les
relations
I , . ^ r. 6,(0,— l)(e,— A--I-I)
2. 1^ L 1 . ^ . . . /i
Les fonctions Uo, . . ., Uk, définies par les équations pré-
cédentes , seront des fractions rationnelles. En effet, les
points 1-2^ • • -, ^a étant des points ordinaires pour les fonc-
tions [t — ^1)"'' et log(^ — ^1 ), et de simples pôles pour
)'o, • • • 5 J'Aî seront de simples pôles pour Uq^ ..., u^. Donc
ces fonctions sont monodromes non seulement aux environs
de ^1, mais dans tout le plan. D'autre part,
t,
('-'■)- '-=.^('-7
et
log(^-^,)=^-log^-l-lo5
so
meu]
nt des expressions régulières pour t=^co\ il en est de
e pour jKo, •••, Tk et, par suite, pour «/«» •••7 '^a- De
ces deux propriétés réunies on déduit que Uq^ ..., u^ sont
P P/.
dos fractions rationnelles de la forme -y? - - -, —•
On pourra d'ailleurs les déterminer par des opérations al-
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2î3
gébriqiies. En efifet,, connaissant les pôles 1-2, .. ., t^ des in-
tégrales et leur ordre de multiplicité, on pourra former le
dénominateur Q. Le développement de l'intégrale générale
pour t ^^ 00 fera connaître Je degré des numérateurs Po, . . .,
l\. Pour obtenir leurs coefficients, il ne restera plus qu'à
substituer les expressions précédentes dans l'équation diile-
rentielle et à identifier le résultat à zéro.
171. Considérons encore les équations de la forme
OÙ Po, . . -, P/7^ sont des polynômes dont le degré soit au plus
égal à celui du premier d'entre eux, Pq.
Lorsque l'intégrale d'une équation de cette forme n'a
pour points critiques à distance finie que des pôles, ce qu'on
reconnaîtra aisément par les méthodes précédentes, on
pourra obtenir l'intégrale générale par les considérations
suivantes, également dues à M. Halphen.
Remarquons tout d'abord que la condition imposée aux
degrés des polynômes P équivaut à dire que les développe-
ments de p^5 •••? -p^ suivant les puissances décroissantes
de t ne contiennent pas de puissances positives.
Posons maintenant
R désignant une fraction rationnelle en t. La transformée
en y
cU'"-^
^'^^ du- ^ "^^'^^ ! dt'-^ ^ 2 ^'^
-\- PiR i -\- (m-i)PiR'
-H P2R
sera de la même forme que la primitive en x\ car son inté-
grale n'a que des singularités polaires, et ses coefficients
sont rationnels et pourront être rendus entiers en chassant
2l4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
le dénominateur commun. Enfin, si nous admettons que R,
développé suivant les puissances décroissantes de t^ com-
mence par un terme en tP^ ses dérivées R', R", . . . commen-
ceront par des termes d'ordre moindre, en tP~^^ tP~'-^
On en déduit sans peine que les développements des coefli-
cients de l'équation (après division par PqR) ne contien-
dront pas de puissances positives de t.
172. Cela posé, on peut déterminer a priori les pôles
/,, ^2, • • • de l'intégrale de l'équation (i4) et leurs ordres de
multiplicité [JL(, [jlo, •• ••
Posons
7
La transformée enjK
~dP- "^ ^' dt"'-'
appartiendra au même type que la primitive; mais ses inté-
grales n'auront plus de pôles.
Posons
y = e^^^z.
,Xt
La transformée en z (après suppression du facteur commun
) sera
dt
i-X'«-»Q,
^-
'^«l?ri+^'
dt'"-
Rm->
et appartiendra évidemment encore au même type. Mais on
pourra disposer de l'indéterminée \^ de manière à annuler le
coefficient du terme de degré le plus élevé dans R^, qui
sera dès lors un polynôme de degré moindre que Rq.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 21 5
173. Supposons ce résultat atteint, et cherchons à nous
rendre compte de la forme des coefficients de l'équation en z.
Soient 9) , Oo) • • • les racines de l'équation Ro = o ; on aura
par la décomposition en fractions simples , en remarquant
que R/f est au plus du même degré que Ro,
Ro "^ ' Akiii-e^y-
les A, B étant des constantes. (En particulier Ajn sera nul.)
D'ailleurs chacun des points 8/ étant un point ordinaire, aux
environs duquel les intégrales sont régulières, l'indice / ne
pourra prendre dans la sommation que les valeurs i, 2,..., /\.
L'équation déterminante relative au point 9/ sera
r(/- — i). . .(r — m -Hi) 4- B/iir(/- — I). . .(r — m4- 2)
-h Bj22 /■(/■ — i). . .(r— /n 4- 3)H-. . , =r o.
La somme de ses racines est
m( m — I )
D'ailleurs 8/ étant un point ordinaire pour les intégrales,
ces racines seront nécessairement entières, non négatives et
inégales. Leur somme est donc au moins égale à
m ( 771 — 1 )
G -h I -h ... 4- m — I " — ^ ' ;
2
donc B/H est un entier non positif. A fortiori la somme
S=^B,„,
étendue à tous les points critiques apparents, sera entière et
pon positive.
174. Gela posé, admettons d'abord que R^^ ne soit pas nul
et prenons pour variable auxiliaire la quantité z'= — *
2l6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lî
L'équation en z pourra s'écrire
DilTérentianî, il viendra
Éliminant z entre ces deux équations, on aura la trans-
formée en z'
^'"-' r/T./ ^ xT. T. r./ .^^'
m-l ~f
^o%n ~j^ 4- [(R'o + Ri)R.. - RoR
^h. . .
-i- [(r:.-i + R^) R.. - r..-ir;j ^'= o.
Cette équation est évidemment du même type cjue l'équa-
rion en z ; et le rapport des deux premiers coefficients, qui
dans l'équation primitive était j-^ , sera devenu
Ro
(r; + Ri)r.„-RoR:. _^ Rt , Ro _ r;,
RoR.. Ro Ro R./
Or soient
Ro =Co {t-0^)^^{t~9,)^^...,
on
aura
R'o
«1
Ro
-t-e.
et
de même
R'.?
_ (3.
K„,
<--,
a
t — 0.
t — Ti
La somme S', analogue à S, formée pour l'équation en z\
sera donc
■s«-i^
et sera > S, car Sa, degré de Ro, est supérieur à 2|3, degré
de Rm.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 217
La dérivée seconde z" satisfera de même à une équation du
même type, mais où la somme S", analogue à S, sera > S'.
Si l'on pouvait poursuivre ainsi indéfiniment, on obtien-
drait par là une suite illimitée de nombres entiers S, S', S'', ...
non positifs et croissants, ce qui est absurde. Or on ne peut
se trouver arrêté qu'en arrivant à une équation où le coeffi-
cient du dernier terme soit nul. Supposons que cette circon-
stance se présente pour l'équation en z^. Cette équation
admettra comme intégrale particulière une constante ; et
l'équation en z aura pour intégrale correspondante un poly-
nôme n de degré n ; enfin l'équation en j^ admettra l'intégrale
particulière e'^II.
Posons maintenant
La nouvelle variable y^ satisfait à une équation d'ordre
m — 1 , et qui, d'après ce qui précède, appartiendra au même
type que l'équation en jk. On pourra donc en déterminer une
solution, de la forme e^i^Iîi, W^ désignant un polynôme.
Posant
7i
=:e^i^n, j y^dt,
on continuera de même, jusqu'à ce que l'on arrive à une
équation du premier ordre, dont l'intégrale sera
Cm désignant une constante arbitraire.
Les intégrations indiquées sont d'ailleurs de celles qu'on
sait effectuer et fourniront un résultat de la forme
y=^c,e^>^^W,,
les W^ désignant des polynômes et les c^ des constantes arbi-
traires.
Divisant cette expression par le produit {t—t^yi (/ — t^y*. . . ,
OF THH
tTNIVERSI
ty)
2l8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
on aura l'intégrale générale de l'équation en ^, sous la
forme
(i5) ^=^c,,.e^k'Mt),
\es //( étant des fonctions rationnelles.
175. Réciproquement, toute équation dififérentielle dont
l'intégrale générale est de cette forme appartient au type que
nous avons considéré.
En effet, éliminant les constantes C/f entre l'équation (i5)
et ses dérivées et supprimant les facteurs communs expo-
nentiels, on obtiendra une équation à coefficients rationnels,
qu'on pourra rendre entiers en chassant les dénominateurs.
Soit
cette équation. Son intégrale n'a, à distance finie, que des
singularités polaires. Reste à prouver que les degrés de
P,, . . ., Vjfi ne surpassent pas celui de Pq.
La chose est manifeste pour les équations du premier ordre;
car de l'équation
on déduira, en prenant la dérivée logarithmique, l'équation
dx
fit)
où le coefficient X H- ? développé suivant les puissances
décroissantes de t^ ne contient pas de puissances positives.
Supposons d'ailleurs le théorème établi pour les équations
d'ordre m — i . Il sera vrai pour l'équation
,-^ d"'-Ut ^
ÉQUATIONS LINÉAIRES. SIQ
cui admet pour intégrale générale
dt J^^t) dt J^{t)
car chaque terme de cette expression est le produit d'une ex-
ponentielle par une fraction rationnelle. Il sera encore vrai
pour l'équation de degré m
^ d'^-u ^ du
dont l'intégrale générale est
et si nous posons
M— ———.37,
il sera encore vrai (171 et 172) pour la transformée en x. Or
celle-ci a précisément pour intégrale générale 'Sc^e^/<^f/({t).
176. La méthode que nous avons indiquée plus haut pour
intégrer par des séries les équations qui n'ont qu'un nombre
fini de points critiques peut aisément s'étendre au cas où les
coefhclents de l'équation, au lieu d'être uniformes en t, sont
des (onctions uniformes de t et d'une irrationnelle u, racine
d'une équation algébrique /(^, /^)=^o.
En effet, les points critiques de l'équation considérée sont
de deux sortes : i" ceux aux environs desquels u reste mo-
nodrome; i"^ ceux autour desquels les diverses détermina-
tions w,, ^2, ... de cette irrationnelle s'échangent les unes
dans les autres.
A partir de chaque point critique de cette seconde sorte,
traçons une coupure allant jusqu'à l'infini. Tant que t ne
traversera pas ces coupures, u^, 112, •-. resteront mono-
dromes. Substituant successivement ces diverses fonctions
dans l'équation différentielle à la place de u, on obtiendra
220 TROISIÈME PARTIR. — CHAPITRE II,
une suite d'équations difFérentielles
Chacune d'elles admettra un système de n intégrales dis-
tinctes x^i^ ..., x,ii^ qu'on pourra exprimer par des séries
dans la région considérée.
11 reste à voir quel changement subissent les intégrales
lorsqu'on traverse les coupures. Or, si nous supposons
qu'en traversant une d'elles ut se change en u^^ l'équa-
tion ¥i se changera en F/,. IjCS intégrales ^,/, ..., Xni se chan-
geront donc en intégrales de cette dernière équation, soit en
expressions de la forme
Pour déterminer les coefficients c, on n'aura qu'à égaler
les valeurs numériques que prennent les intégrales ^,/? •••,
Xni et leurs n — i premières dérivées en arrivant à la cou-
pure aux valeurs que prennent c^^x^k-\- ■ - • -V- c^aXak^ •••
et leurs n — i premières dérivées de l'autre côté de la cou-
pure.
177. Nous terminerons cette section en effectuant quel-
ques applications particulières des principes généraux que
nous avons exposés.
Proposons-nous d'étudier les équations linéaires du second
ordre à trois points critiques t^^ t^, t^ et à intégrales régu-
lières.
Soit F= o l'équation proposée. Changeons de variable
indépendante en posant
mu -4- n
Soient 0, u deux valeurs correspondantes de t^ u. On voit
sans peine qu'on aura, aux environs de ces valeurs, une re-
lation de la forme
t — 6=:a, (w — o) + (22 (m — u )--+-...
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2'2I
(formule où l'on devra remplacer t — 9 ou ;; — u par - ou -
si 8 ou u deviennent infinis).
Cette valeur de t — 9, étant substituée dans une fonction
entière de t — 9, donnera une fonction entière de u — u.
D'autre part, en la substituant dans une fonction régulière
de ^ — 9, telle que
(^-6)'-[To-+-T.log(^-0)-}-... + TxlogM^-0)].
où To, T4, ..., Tx sont des fonctions entières de t — 0, on
obtiendra évidemment un résultat de la forme
(«-u)'-[Uo-hU, log(^.-u)+...H-UxlogH«-u)],
Uo, .••, Ux étant des fonctions entières de u — 'J.
Donc l'équation transformée entre x et u admettra comme
points critiques les trois points Wq? if^\i '^2 correspondant à
^0, t^, /^o î ses intégrales seront régulières aux environs de ces
points, et les équations déterminantes relatives à ces points
seront les mêmes qu'aux points correspondants de l'équation
primitive.
Nous pouvons d'ailleurs disposer des rapports des coeffi-
cients 772, 11, ni! ^ n! de manière à donner à Uq, u^^ «o des va-
leurs arbitrairement choisies. Nous ferons en sorte que ces
valeurs soient o, i, oc. Ce résultat pourra évidemment être
obtenu de six manières distinctes, suivant qu'on posera
«0= o, «, = I , «2= ^> oi-i ?'o= 1 1 '^1 = o? if-i = <^5 etc.
178. Soient respectivement )., X'; jjl, [jl' et v, v' les racines
des équations déterminantes relatives aux points critiques o,
I , GO. Si X — V, [Ji — |Ji', V — v' ne sont pas entiers, on aura
pour les intégrales aux environs de chacun de ces trois points
des développements de la forme
u' u'
222 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
U, U' étant des fonctions entières de u] V, V des fonctions
entières de u — i; W, W des fonctions entières de -•
Posons maintenant
y étant une nouvelle variable. Nous aurons entre u et k une
équation transformée H =: o, dont les intégrales seront
données aux environs des points o, i, oo par les développe-
ments
Wi H- c' - — , w;
les quantités
Ui =:(l-«)-[^U, u; z=. {l — U)-V\]' ,
u ' \ u
étant respectivement développables suivant les puissances
entières et positives de w, àe a — i et de - •
^ a
L'équation H = o a donc ses intégrales régulières, et ses
équations déterminantes par rapport aux points o et i ad-
mettent une racine nulle, la seconde racine étant respective-
ment )/ — \ei Y-' — l^*
Il existe évidemment quatre manières d'arriver à ce ré-
sultat; car on peut prendre pour À une quelconque des deux
racines de l'équation déterminante du point o, pour tji une
quelconque des deux racines de l'équation déterminante du
point I. Sur ces quatre manières, il y en aura une telle que
les racines V — A et uJ — tji aient leur partie réelle positive
(à moins que ces dilTérences ne soient purement imaginaires).
L'équation H z=z o doit être de la forme
cr-y M,(//) dy ^U{u)
du' ' u{u — I ) du a^ {u — i )'- '^ '
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 223
Ml, M2 étant des polynômes de degrés i et 2, et ses équa-
tions déterminantes par rapport aux points o et i seront
/•(/■ — i) — Mi(o)/- 4-M2(o)=:o,
r{r-i) 4-Mi(i)/--hM2(i)=^o.
Comme elles ont une racine nulle, M2 devra admettre les
racines o et i et sera divisible par ii(u — i). En effectuant la
division et chassant les dénominateurs, l'équation prendra la
forme
ou, en remplaçant A, B, C par trois nouvelles constantes a,
|3, Y définies par les relations
"(ï - ") ^ + [y - (^ + ? + 0 "] ^ - «?7 = o.
179. Les équations déterminantes relatives aux trois
points critiques o, i, go sont respectivement
,-(r — i) — (y — a — ,3 — i)r=zo,
— r(/'-f-i) + (a + [3 +i)/- — ap — o,
et ont pour racines
o et 1 — Y? o et Y — ^ — P? a et p.
L'équation admet donc une intégrale développable aux
environs du point o suivant les puissances entières et posi-
tives de u.
Soit
/i = Co 4- Cl « + . . . + Cjx f^!^ 4- . . .
cette intégrale. En la substituant dans l'équation et égalant
à zéro les termes en u^-, il viendra
[_ j^(;j. _ 1) _ (a + [3 -h i) [x - a3] Cf,
4- [((J. -4- l) JJ. + Y(!J. -+- l)]Cj,+irrz o ;
I
224 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
d'où
_ (a + |i.)(p+|x)
et, par suite, en donnant à Co, qui reste arbitraire, la valeur i ,
Vi — I + — W ^ -
Y i.2.y(y4-i)
F(a> ^T)«)>
F désignant la série hypergéomé trique (t. I, n*^ 170).
180. Cela posé, il existe, comme on l'a vu plus haut, vingt-
quatre substitutions de la forme
qui transforment l'équation proposée en une équation ana-
logue. L'équation transformée admettra comme solution une
série hypergéométrique, et l'on en déduira aisément une in-
tégrale correspondante de l'équation primitive.
A.U système de valeurs o, i, co données à u doivent cor-
respondre pour u les mêmes valeurs, mais dans un ordre ar-
bitraire, ce qui donnera, pour la fraction — -, -, > les six
^ ^ m' u -h /^
formes suivantes :
A chacune d'elles correspondent quatre équations trans-
formées, qu'on obtiendra en prenant successivement pour X
chacune des deux racines de l'équation déterminante du
point o, pour |ji chacune des racines de l'équation détermi-
nante du point I.
Nous allons donner un exemple du calcul de l'une de ces
intégrales.
181. Soit par exemple u = • Pour w = o, i, oo, on
aura u ::= o, oo, i ^ l'équation entremet a aura donc ces trois
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 225
points critiques, et les racines des équations déterminantes
correspondant à ces trois points seront comme précédem-
ment
o et I — Y, o et Y — a — p, a et p.
On pourra donc prendre
X = o ou I — Y> (JL =: a ou p.
Prenons, par exemple,
X =3 I — Y) [JL =r a.
Les racines des équations déterminantes pour l'équation
entre ^ et u seront
Pour o. . . — X irz: Y — I, I — y — X =i o,
Pour 00.. X-f-ji. — a-hi — Y> y — ^~? + ^ + ;^"-i— ?,
Pour I... a — [J-^o, p — ix. = '^ — oL.
Si nous posons
Y-i--=i —y'. P — a=rY'— a'- P',
a-+-i — Y = a', 1— p=i^P',
d'où
a'=ra + i-Y. ?'=^^-?, y'=2-y,
cette équation admettra la solution
L'équation primitive admettra donc la solution
^•:^u^-T(I-u)='F(a^^^Y^u)
ou, en remplaçant u par sa valeur — — et a', p\ y' par leurs
valeurs et supprimant le facteur constant ( — i)Y""'^~',
j — wi-ï(i~i^)Y-a-iF(aH-i — Y, I — p, 2 — Y
u
J. — Cours, III.
220 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
182. On obtient par un procédé tout semblable les vingt-
quatre intégrales suivantes :
(i6) F(a, p,Y,«),
(17) (i_,,)T-a-PF(Y_a, Y-p, Y, «),
(18) (i-.O-^'Ffa, Y_(3, Y,;^J,
(,9) (i_-,,)-PF(p,y-a, y, _ii-),
(20) «i-ïF(a — Y-hi, ? — T-hi, 2 — Y, m),
(21) ^^^-ï(i-«)T-^-PF(i-a, i-^, 2-Y, w),
(22) a''-r{i — u)y-''-^ PU — Y-f-i, I — p, 2 — Y, ^7^)'
(23) «i-T(i-«)ï-P-^f( p — Y-i-i, I — a, 2 — Y,
f/ — i
(24) F(a, p, a-f-p-Y + i, i-«),
(25) «'-TF(a — Y + i, ? — Y + i, a+p — Y4-F, I — «),
fi — 1
(26) /f-<^ F/a, a — Y 4-1, a4- P — Y-+-I, — ^
(27) a-^ F(^P, p-Y + i,a + ?-Y-f-i, -^)'
(28) (F-«)ï-«--PF(Y-a, Y-?, Y -«-? + !' i-«),
(29) (i— «)T-^-P;<'-TF(i — a, I— p, .^_a— p-hT, i — m)
(30) (i-«)ï-«-P^^^-TF(^i^-a, Y-oc, Y-a-p+i, ^
M — I
(3i) (i-«)T-«-P?/i^-ïF(^[-p, Y-P, Y-«-?+i' '-^ ^ ' '
(32) «-^'FK a — Y + ^'^ — P + '' l;"
/ I \y-a-,3 / I
(33) »-=•(.--) f(i-P,ï-P,«<-P + >,-
I
(34) ^/-^'(^i-^^j F(^a, Y--P, «-? + !
r-a-1
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 227
(35) «"''(1-^7)' ^ FU-Y-i-i, I-?,
(36) ^^-PFj'p, I3-T4-I, ?-a + i
(37) «-p(i-|-y""''F(i-a,y-a, ^-a4-I,-
(38) Ll-^
(89) f^-P
I
)--^
(■
— a, Y -
--, ?
ï-
-a, p-
-a + i
I^
r-'Fi
-T-+-I,
I — a
I
r — a
a + 1 ,
183. Coupons le plan suivant la portion de l'axe des x
qui s'étend de o à + oc. Dans le plan ainsi coupé^ chacun
des développements précédents restera monodromc. Pour
achever de les préciser, nous pouvons adopter pour arguments
de «, I ceux qui sont compris entre o et 27:, pour argu-
ment de I — a celui qui est compris entre — t: et +71. Les
puissances de «, i 1 1 — u qui figurent dans les expres-
sions (16) à (89) auront des valeurs entièrement déterminées.
La région de convergence des développements ci-dessus
sera : 1° pour ceux où la série hjpergéométrique a l'argu-
ment u ou. I — ^^, l'intérieur des cercles Gq, G< de rayon i
décrits autour du point o ou du point i respectivement;
2° pour ceux d'arerument -5 5 l'extérieur de ces mêmes
^ ^ u i — u
cercles; 3" pour ceux d'argument '- — > la moitié du plan
située à gauche de la droite ^ =: - ; 4" pour ceux d'argument
, la moitié du plan à droite de cette lisrne.
u ^
Il restera à déterminer les relations linéaires qui lient entre
eux ces divers développements dans leurs réglons de conver-
gence commune.
Les différences des racines des équations déterminantes
228 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
relatives aux points o, i, co sont respectivement i — y,
Y — a — p, j3 — a. Nous supposerons que parmi ces quanti-
tés, il en existe au moins une dont la partie réelle ne soit pas
nulle. Les 24 transformations de l'équation de Gauss per-
mettant : 1° de permuter entre eux d'une manière quelconque
les points o, i, 00 sans changer les équations déterminantes ;
2° de changer à volonté les signes des différences des racines
des équations déterminantes relatives aux points o et i , il
nous sera permis d'admettre que y — a — ^ ait sa partie
réelle positive. Dans ce cas les séries hjpergéométriques
F(a, p, Y, u), F(a — Y + i, P — Y-l-i,2 — Y, w),
Y-M,a-p-fi,^), F(^p,p-Y + .,p-a + i,l
seront encore convergentes sur la circonférence du cercle Cq
et, en particulier, pour u = i elles prendront les valeurs
suivantes (t. I, n"^ 379 et 382),
r(2-Y)r(Y-a-P)
r(i_a)r(i-p) '
r(i_p)r(Y-p) ' ' r(i-a)r(Y-a)
Celaposé, désignons par a^y^ , «< Jo les développements (16)
et (20), par b^z^^ b^z^ les développements (32) et (36); et
soit^uneintégralequelconque de l'équation de Gauss. On aura
dans l'intérieur de Cq
•^ = ^17,-1-02/2
et à l'extérieur de Cq
œ zzz di Zi -+- d-yZ-i.
Pour trouver la liaison entre les constantes c< , Co, <^,, c/2,
nous remarquerons que sur la circonférence elle-même, où
les développements restent tous deux convergents, on aura
Cl y 1 + ^2 72 = ^1 -1 + ^2 -2.
En particulier^, au point m = i, on aura sur le bord supérieur l
de la coupure
r(ï)r(T-o<-?)
r(-f-a)r(-r-?)'
r(a-|3 + i)r(f-a-
-P)
^2 — ^
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 22C)
et, sur le bord inférieur,
d'où les deux relations cherchées
Tirant de ces équations les valeurs de d^^ d2 pour les sub-
stituer dans l'expression x ^=^ d^ z^ -\- (^2^2?
il viendra
j^ ^^^ Q 1 ^ 1
^-21X2,3 g-27l/a
(g-2TC/.3_ g-27rzY>)^^_(^g-27lfa_ g-27r/Y>)-^
Cette expression, convergente en dehors du cercle Cq, re-
présentera dans cette région la même intégrale qui, dans
l'intérieur de Co, était égale à c< jr< 4- C2j^2-
184. Il ne reste plus qu'à voir comment les constantes c,,
C2 se modifient à la traversée des coupures qui joignent les
points critiques o et [ , i et 00.
Si l'on traverse la droite 01 (en montant), j^< ne change
pas, JK2 est multiplié par e^^u/y • g^ ^ __ ^^y^ _|_ ^^y^ g^j. changé
en c^y^ -+- C2e~2^'ïjK2- Ainsi Ci ne change pas, et C2 est mul-
tiplié par e~-^'ï.
Si l'on traverse la coupure loc (en montant), d^^ d2 seront
changés en
(40 d^^e-^'^'^d,, r7; = e-2^'P4
etc<, Cocn deux nouvelles constantes c\^ c'o liées kd\ ,<i'„ parles
relations
c'j 4- C2 = <i; -h r/'g,
C'i + e 27r/Yç.^ _ g- 27i/a ^'^ _^ ^-27r/p ^/'^^
En résolvant les équations linéaires (4o), (4i), (42), on
éliminera les auxiliaires d^, d^^ d\, d\ et l'on obtiendra l'ex-
pression de c'^, c.^ en fonction linéaire de c< , Co.
Si l'on traversait les coupures en descendant, les coeffi-
(42)
23o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
cients c<, C2 subiraient évidemment la transformation inverse
de celle qui vient d'être déterminée.
Les coefficients des formules de transformation ne ren-
ferment, comme on le voit, que des exponentielles.
185. L'équation
(43) „(,.__ „)g+[.,_(^+p^.,)„]f|_,p^^o,
étant dlfierentiée, donnera
"(■-«)^,.
+ [.^+,_(cc+p+3)«]g-(a + ,)(?+.)^=0
dy ,
ou, en posant -.— ^^ y ,
+ Lt + I - (^ + P + 3)«] ^ - (a -f- I) (P H- i)7' = o.
Cette équation ne diffère de la précédente que par le rem-
placement de a, j3, Y par a + i, p + i,y + i.
La dérivée —, — -. = >""' satisfera donc à l'équation
'' ^ ' ~ " ^ ^^17^ 4- [ Y + /i - I - ( a 4- ? + 2 Al - 1 ) « ] i^-^
— (a4-/i — i)0+/i — I )7'»-^ = O
Cette équation, multipliée par ia^'^~^{\ — uY+^-^+'^-^ ^
pourra s'écrire
— (a -h /i — i) (^ + /i — \)a"-^ (i — /0'^-'Mj«-S
on [)osant, pour abréger,
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 23l
En la différentiant n — i fois, il viendra
— (a+ /i — i) (p -4- /; — i) ^-^ u^-~^ (i — i/,)«-iM7«-^
L'application répétée de cette formule de réduction
donnera, pour toute valeur de ii entière et positive,
A) ) dIfJ'
(44)
( =,a(a-f-i)...(a-f-/i-i)p(^-hi)...(?-+-/i-i)i\Ij.
Cette formule est particulièrement intéressante lorsque (3 est
un entier négatif — n. L'équation (43) admettra dans ce cas
comme solution l'expression
j— F(a, —n, Y, it),
laquelle est un polynôme de degré /i, dont la dérivée n^^""^
se réduit à la constante
a(a4-i)...(a + /^-l)^(^ + i)...(^-4-/^-l)
7(Y4-l)...(Y-h/i — I)
La formule (44) donnera donc dans ce cas particulier
I d"^
F(a, —n, Y, «)= iTT-T ^ ; r -7— w"(i — «)"M
'' ' My(y -Hi). . .(Y+'i — i) <^"
ou, en remplaçant M par sa valeur et changeant a en a + ii,
F(a -f- n, — n, y, u) '
_ ii^-y {i — u)y-^ d"" «ï+«-' (i — «)a+«-Y
~ ï(T + 0- • •(T-+- /^ — I) diF'
Le polynôme
F (a 4- n, — n, y, w) ir:: Z^
est donc un produit de puissances par une dérivée /i»^™«.
232 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
186. Les quantités y et a + i — v étant supposées posi-
tives, les intégrales définies
seront finies et déterminées; elles auront d'ailleurs les va-
leurs suivantes :
(45) J„,,n — o, si m>n,
(46) j„„^-L,L(iL±-)r'(T)r(o. + »-T + 0.
En effet, Z/^ satisfait à l'équation
qui peut s'écrire
— lûii — uY^'-nJ,^ = — /i {n 4- a) MÏ-i (i -^ uy-^Z,,.
Multiplions par Z,„ et intégrons de o à i ; il viendra
ou, en intégrant par parties et remarquant que le terme tout
intégré s'annule aux deux limites,
n{n-ha)J,n,n— //T(i— ;/)^+<-TZ;/Z;,,^« = 772(m + a)J,„^„;
car le second membre ne change pas si l'on y permute m
et n.
On aura donc, si m^n,
J /Il . n O .
/« , n
Si m = n., on remarquera que Z^ satisfait à une équation
de même forme que Z„, sauf le changement de a, n, y en
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 233
a -t- 2, n — I, Y + i; on aura donc, par un procédé tout
semblable,
(/i - 1) (/^ -f- oc -h i) r ^^^(1 — w)='+i-TZ;,z; du
'' 0
=: f uy^'{i - uY^'-^r^ z; du.
Continuant ainsi, on aura finalement
j ^ '
"" /l(/i — i)...l(a + /i) (a + /i + i)...(2c H- 2/i — i)
X f u^^^-' {i—u)''^"-'iZlZldu.
D'ailleurs
( a + //)...( a + 2 72 — I ) ( — n){ — /z + i ) . . . i
z:^ =
et
1
X
wT+«-i(i— uY^^'-^du
Y(Y4-i)...(T + /i — 0 , ,
r ( a 4- 2 AZ + I
Substituant ces valeurs et remplaçant les factorielles par
des quotients de fonctions F, on trouvera la formule (46)-
Soit maintenant/(w) une fonction quelconque, que nous
nous proposons de développer en une série de la forme
/(«)=AoZo-i-AiZi -+-... + A„Z„ -h....
Un semblable développement étant supposé possible (<),
on en déterminera aisément les coefficients. Multiplions en
effet les deux membres par ?^T~*(i — u)^~VLa et intégrons
de o à i^ il viendra
Ç f{u)ul-\i-uY-^Z,du^kJ,,,
«^0
(') Sur cette possibilité, voir le Mémoire de M. Darboux Sur les fonctions
de grands nombres {Journal de Liouville, 3« série, t. IV, p. 5 et 377).
234 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
ce qui donnera le coefficient A,, exprimé par une intégrale
définie.
187. Les résultats que nous venons de trouver renferment
comme cas particuliers ceux qui ont été obtenus précédem-
ment pour les fonctions X,^ de Legendre. Posons en eflet
a = Y = I ; nous aurons
Zn^¥{n-^i, -n, I, u) = y-^- l—u"{i-ii)^,
et, en posant ii = — ; — ? nous obtiendrons le nouveau polj'
nome
\ 2 / 2". I .2. . ./i dôC"- ^ '
188. Considérons comme dernière application l'équation
de Bessel
dp- y I dy f n
dx- X dx \ x^
:;:¥ /=^^-
Substituons pour j>^ la série
Il viendra, en égalant à zéro le terme en x^"^-"^^
(/•4-2[X-+- 2) (/•-+- 2 [X + l)Cj;.+ ,
-h (rH- 2(j.-+-2)Cjx+i4-C[x— /i^Cjj.+i = o;
d'où
e - ^i^
S
^ -ZL^
(/•-h2[X-}-2-l-/l)(/--|-2(J.-+-2 — /ï)
En posant jjl = — i, on aura l'équation déterminante
ÉQUATIONS LINÉAIRES.
Prenons d'abord /• = /i, il viendra
23;
'J^-^*--4(/i-M--f-i)(tx-hi)'
et, par suite.
y =z Cci X
X'
(_ i)!J-ji;«-H2!A
Le terme général de la série entre parenthèses peut s'écrire
■]
ainsi
r(/i-+- îj.-f-i)r(;x-hi)
Si donc nous prenons pour plus de simplicité la con-
stante Co égale à -, il viendra comme première so-
lution la série
2jr(/n- [x-hi)r([x-f-i
que nous désignerons par J^j.
En posant /• == — /z, on trouvera un résultat tout sem-
blable, sauf le changement de signe de n.
Les deux intégrales J,,, J_^ seront évidemment indépen-
dantes si n n'est pas un entier réel; l'intégrale générale sera
donc
cJ,,-4-c'J_„.
Si n est entier, on peut évidemment le supposer positif,
car il ne figure que par son carré dans l'équation dilTéren-
tielle. Dans ce cas les n premiers termes de J_„ s'annulent,
car ils contiennent en dénominateur des fonctions F d'argu-
ment entier négatif, lesquelles sont infinies. On aura donc
(-0M-)
)r({x + i)
2 3G TROISIÈME PARTIE. — CHAPITHE II.
OU, en posant ^ = n -\- |j.',
/ ^\ « + 2[X'
Les deux intégrales Jn et J_„ ne seront donc pas indépen-
dantes et ne suffiront pas pour former l'intégrale générale.
189. Pour obtenir dans ce cas une nouvelle intégrale,
nous supposerons que l'argument, au lieu d'être tout d'abord
égal à /i, soit égal k n — s, s étant infiniment petit. Nous
pourrons prendre pour intégrales indépendantes, au lieu de
Jn-e et J_«+£, J«_£ et — -^ ^— =• La limite de cetle
s
dernière quantité pour £ = o nous donnera l'intégrale cher-
chée, que nous représenterons par Y,i.
Séparons les n premiers termes du développement de
J_//+£ et changeons dans les autres l'indice de sommation jjl
en /« -f- a; il viendra
Y„r=: lim
£ r([j. + i)r(— /^4- £4- |x4-i;
limj
(-1)!^
/^y^-^2îxy'(3)
en posant, pour abréger,
/(O
œV
r ( /i -+- [j. -M ) r ( £ -H P -M ) \ 2 y
I / ^
r(/i — £H-[j.4-i)r([ji.-M) \2
Or, en appliquant la formule connue
r(/>)r(i-/.)
smy>
ÉQUATIONS LINÉAIUES. 287
on aura
I _ . . sia(/^ — £— |x)7T
£ r(— A^ + £4- [A + l)
expression dont la limite pour e .-= o est
— r(/i — ijl) cos(/i — (JL)7r = (— 1)^-1^^^ r{n — |jl).
D'autre part,
lim ^—^ — /'(O) =: 2lOff - -; r ;
r(Ai + [x + i)r2(!i.4-i) r({x + i)r^(/i4-îj. + i)
Substituant ces valeurs, il vient
^r(/i+fx + i)r([x-i-i) L ^2 r(iJ. + i) r(/i-f-|x4-i) J
0
190. Les fonctions J„ sont liées par la formule récur-
rente
(4?) — J/i — J/i-i-4- Jrt+i-
En effet, substituant pour les fonctions J leurs développe-
ments en série et comparant le coefficient du terme en
j^ni-2u.-i dans les deux membres, on aura à vérifier l'égalité
2/l(— i)l^
2«_i+2[xr({jL4-i)r(Ai4- (j.) 2«+2H.-ir(u.)r(/i-i- (x-f-i;
Or on a
238 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
Substituant ces valeurs et supprimant les facteurs com-
muns, l'égalité à vérifier se réduira à
(J.(Ai + (J.) [J. /i -i- [X
ce qui est évident.
On vérifiera de même cette autre formule
(48) 2^i'-_=J„_,_J„^„
dont la combinaison avec la précédente donnera
(49) ■ §=J„_,^£J„.
Nous signalerons enfin les deux formules
(50) ■f^yh„{^x)=-{x'"'^i„,,{sl^),
/ '1 'Isz}
qu'il est également aisé de vérifier.
191. On peut rattacher à l'équation de Bessel plusieurs
équations qui se rencontrent fréquemment dans les applica-
tions.
Transformons en effet cette équation en posant
^ et V désignant de nouvelles variables ; on aura
dx = ^^(t'^-^lt,
dx ~ Py '^i '
ÉQUATIONS LINÉAIRES.
289
D'autre part,
dt^
de
dt
Substituant les valeurs précédentes àey et de ses dérivées
dans l'équation de Bessel, on aura l'équation transformée
d'^N d\
(52) ^^^ -|_(2a + l)^"^^ +(a2_pVi2+p2YU-P)Vrr.O.
L'équation en^ ayant pour intégrale générale
y — c^a{oc)-\-c'S_,i{œ),
la transformée aura, pour intégrale générale
(J_,i devant toutefois être remplacé par Y„ si n est entier).
On pourra donc intégrer par les transcendantes J toute
équation de la forme
(53)
/72 V dV
dt- dt
car on peut disposer des quatre constantes a, p, y, n de
manière à identifier l'équation (53) avec (52).
On remarquera toutefois que, fi et y ne pouvant être nuls,
la transformation serait en défaut si c ou X étaient nuls. Mais
alors l'équation (53) se ramène à une équation à coeffi-
cients constants (139).
Les cas particuliers les plus intéressants sont les suivants :
d'-\ ,_^ d\
24o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
correspondant àa = ±^, ^ = -y = i , et
correspondant à a — -, ^ — |, y = M enfin l'équation de
Riccati
correspondant àar^ — |, [^^= — ,y=2/i y/c, n ^=
IV. — Intégration par des intégrales définies.
192. L'équation de Gauss est un cas particulier de la
suivante
d"^\ d"-^\
° = Q(^);7^-(^-«)Q'(^):73^
0) ^^^-"^l^:""-^Q'(-)£:^--
( -l^(-)^^r + (5-« + ')R'(-),^^-....
où ? est une constante, et Q(^^), R(-2^) deux polynômes, tels
que l'un des polynômes Q(^), ^R(^) soit de degré n, et
l'autre de degré ^Ji.
Nous essayerons de satisfaire à cetle équation en posant
1— fv{u — œ)^-'du,
U étant une fonction de u qui reste à déterminer ainsi que
la ligne L d'intégration.
Substituant dans l'équation la valeur précédente et sup-
primant le facteur commun ( — i)" (ç — 0* • .-(^ — /i + i), il
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 24 1
viendra
/ ^(u-xf^-n ÏR(x)-^K{x){u~x)-^n"{x)^-^^^^^^^-^...\\
= f {{l — ri){ii — x)l-n-i q(^u)-^{u~ x)l-^ R(a)] U du.
Déterminons U par la condition
R(«)U = ^UQ(«),
d'où
I
et enfin
TT — p'^ U(«)
l'équation précédente deviendra
o ^ fd.UQiu) {u — œ)^-^'-^ fdV,
en posant, pour abréger,
/• R ( ?< )
(2) V=UQ(w)(w — .^)^-«— e-' ti(") "(i^_^)^-'ï.
L'intégrale de dY sera nulle et l'équation sera satisfaite :
i"^ Si L est un contour fermé tel que V reprenne sa valeur
initiale lorsqu'on revient au point de départ;
2" Si L est une ligne telle que V s'annule à ses deux ex-
trémités.
193. Nous allons voir, en discutant ces diverses lignes
d'intégration, qu'on peut obtenir en général n intégrales
particulières distinctes, dont la combinaison donnera f inté-
grale générale de l'équation proposée.
J. — Cours, III. i6
242 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
La fraction -r- — -, décomposée en fractions simples,
donnera un résultat de la forme
(3)
ou
{il — a)^ a — a
4- LI _i_ , _ _j Li —
(« — 6)^ U — h
X + [JL + V + . . . = /l.
On en déduit
en posant, pour abréger,
(5) / ^ '^-' ("-"^'
^2 3, I
Les fonctions U(zi — >^)^~S V admettent donc comme
points critiques le point x et les racines «, 6, ... de l'é-
quation Q = o et se reproduisent multipliées par e-'^'^,
^2TOa,^ e-^^^i, . . . lorsque l'on tourne autour de ces divers
points.
Cela posé, soit O un point quelconque du plan. Joignons-
le aux points a, 6, . . . , x par des lacets A, B, . . . , X:
soient A, B, . . . , X les valeurs de l'intégrale /U(?^ — ^)^~* du
prise dans le sens direct le long de ces divers contours
avec une détermination initiale donnée M de la fonction
à intégrer. On pourra prendre pour ligne d'intégration L
l'un quelconque des contours suivants : ABA~' B~*, . . . ,
AXA-'X-', . . .; car, si l'on décrit le contour ABA~'B~*,
par exemple, la fonction V se reproduira, au retour, mul-
tipliée par
^2Ti/a, g27:/p, e-27i/a. g-sui^ , ~
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2t\3
La valeur [AB] de l'intégrale prise suivant le contour
ABA~<B~* est donc une solution de l'équation proposée. Il
est aisé de la déterminer. En eflfet, en décrivant d'abord
le lacet A, on obtiendra une première intégrale A, et
U(w — x)^~^ aura pour valeur finale e-^^'='iM. Décrivant
ensuite le lacet B, on obtient comme seconde partie de
l'intégrale e^'^^^iB, et U(u — œ)^~* aura pour valeur finale
g27ï/(a,+Pj)]\|^ L'intégrale suivante, le long de A~% serait évi-
demment — Â si la fonction à intégrer avait pour valeur ini-
tiale e^Tiia,^ ^qui est sa valeur finale lorsque l'on décrit A
avec la valeur initiale M); elle sera donc, dans le cas actuel,
égale à — e^'^^^^A, et U(w — ^)^~* aura pour valeur finale
Enfin l'intégrale suivant B~' sera — B.
On aura donc, en réunissant ces résultats,
(6) [AB] = (i — e''^^^^)X — (I — e27t."«0B.
On obtiendra des formules semblables pour les intégrales
analogues, telles que [AX], [BX], .... On déduit immé-
diatement de ces relations les suivantes :
(7) [XA]=r-[AX],
(8) (i — e27r/^)[AB]4-(i — e2Tc/a,)[BX]4-(i — e27r/p.)[XA] = o,
qui montrent que toutes les intégrales [AB], . . . s'expriment
linéairement au moyen des intégrales particulières [AX] ,
[BX], ... [à moins toutefois que ^ ne soit un entier, auquel
cas on aurait évidemment
,_e2^^1=:o, X = o, d'où [AX]=:o, [BX]=o, ...,
de telle sorte que l'équation (8) deviendrait identique].
194. Le nombre des intégrales obtenues par ce qui pré-
cède est égal au nombre des racines distinctes de l'équation
Q(z/.)=: o. Si donc le polynôme Q a des racines égales, ou
si son degré est inférieur à ai, il nous faudra trouver de nou-
velles intégrales particulières. Nous les obtiendrons en choi-
244 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
sissant la ligne d'intégration L, de telle sorte que V s'annule
à ses extrémités.
Soit a une racine multiple d'ordre [jl de l'équation Q i== o.
Posons
u — <2 =r p ( cos cp 4- « sin cp ) ,
et
«y.
(X-I
:=: r {cosp -+- i sin/?)
dans les formules (4) et (5) et faisons tendre p vers zéro; on
aura évidemment
V= Ôpa. (cosaicp 4- i sina,cp)e'"P*~'*l<='>^t^-(S^-^)?l+'^î"f''-^[^-^^?ll,
6 étant un facteur qui tend vers la limite finie
(a — Z>)?....(^ — ^)^-«.
Cette expression tendra vers o ou vers oo, suivant que
cos[/? — (p. — i)cp] sera négatif ou positif.
Or l'équation
cos [p — ( [Jl. — I ) cp ] =:z o
donne pour o un système de 2([jl — i) valeurs équidistantes,
dans l'intervalle de zéro à 211. Si du point a on mène des
droites dans ces diverses directions, elles partageront les en-
virons de ce point en 2([jl — i) secteurs. Et, lorsque u tendra
vers a, V tendra vers o si u se meut dans un des secteurs de
rang impair, vers ce s'il reste dans un secteur de rang pair.
Si donc nous supposons {Jig- 2) que u, partant de la va-
leur a, s'en éloigne suivant le premier secteur, traverse en-
suite le second secteur et revienne en a par le troisième
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 245
secteur, la ligne A ainsi décrite pourra être prise comme
ligne d'intégration, car V est nul à ses deux extrémités.
La valeur de l'intégrale particulière ainsi obtenue variera
évidemment suivant que la ligne A enveloppe quelques-uns
des points 6, . . ., x ou les laisse tous en dehors. Nous ad-
mettrons qu'elle ait été tracée de manière à satisfaire à cette
dernière condition. L'intégrale ainsi obtenue ne changera
pas si l'on contracte cette ligne de manière à rendre ses di-
mensions aussi petites que l'on voudra; la diminution du
champ de l'intégration sera compensée par l'accroissement
de la valeur de la fonction soumise à l'intégration.
On obtiendra une autre intégrale particulière en intégrant
suivant une ligne infiniment petite A' qui s'éloigne de a sui-
vant le troisième secteur et y revienne parle cinquième, etc.,
ce qui donnera évidemment [jl — i intégrales particulières.
Chaque racine multiple de l'équation Q = o donnera évi-
demment un résultat analogue, de telle sorte que, si \ est
nul, nous aurons le nombre d'intégrales voulu.
195. Si \ n'est pas nul, cherchons ce que devient V
lorsque u tend vers oo. Nous aurons à poser
« =r= p (ces cp -h j sin cp ) , — ^— =: /■ (cos/> -f- i sio/?)
et à faire tendre p vers oo. On aura évidemment
V = 8pa.tP.+- [ces ( ai + Pi 4- . . . ) ^ + / sin ( «1 -h Pi 4- . . . ) o]
X e'"P^[cos(jo+Xç)-f-/sin(/>-i-X<p)]
le facteur 8 tendant vers l'unité.
Cette expression tendra vers o ou oo suivant le signe de
cos(/? -f-X'f ). Or l'équation cos(/? -j- Xcp) = o donne -ik va-
leurs de (p. Traçons, à partir d'un point quelconque du plan,
des droites ayant ces directions. Elles partageront le plan
en 2^ secteurs; pour u = oo, on aura
Vr=0 ou Vzzzoo
246 TROISIÈAŒ PARTIE. — CliAPITRE II.
suivant que u sera dans un secteur de rang impair ou pair.
Et si l'on suppose une ligne A partant de l'infini dans le
(2/7i + iy^'°® secteur et y retournant par le ( 2 m + 3 )^''™^
(après avoir laissé à sa gauche tous les points «, ^, . . . , jc),
elle fournira une intégrale particulière. On en obtiendra
ainsi \.
196. Nous avons ainsi obtenu dans tous les cas le nombre
d'intégrales nécessaire. On pourrait en déterminer une foule
d'autres. Il est clair, en effet, qu'on pourrait prendre pour
ligne d'intégration :
i^ Toute combinaison de lacets, telle que chaque lacet
fût décrit aussi souvent dans le sens direct que dans le sens
rétrograde;
2° Toute ligne L joignant deux des points a, 6, . . . , 00,
pourvu qu'elle arrive à ces points dans une direction telle,
qu'on ait, en y arrivant, V=: o.
Mais nous savons d'avance, et il serait d'ailleurs aisé de le
vérifier, que ces intégrales sont liées linéairement aux inté-
grales fondamentales que nous avons déterminées.
197. Pour une valeur donnée de x, les lignes suivant les-
quelles sont prises ces intégrales fondamentales peuvent être
déformées à volonté sans que la valeur des intégrales soit
altérée, pourvu que dans cette déformation elles ne traversent
jamais les points a, 6, . . . , ^. Si l'on fait varier x d'une
manière continue, ces intégrales varieront également d'une
manière continue, pourvu que le mouvement de x soit ac-
compagné, lorsque cela devient nécessaire, d'une déforma-
tion des lignes d'intégration, qui leur fasse éviter la traversée
des points a, 6, . . ., x.
Ces considérations permettent de déterminer le groupe de
l'équation différentielle proposée. En effet, les points cri-
tiques de cette équation sont les points «, Z», . . . , et il est
aisé de se rendre compte de la manière dont varient les inté-
grales fondamentales lorsque x tourne dans le sens direct
autour de l'un de ces points, tel que a.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2^7
198. Les lacets B, . . . n'auront pas changé; mais les
lacets X et A, pour éviter d'être traversés par a et x, au-
ront dû se transformer en X^ et A^ {fig. 3). Or le nouveau
Fig. 3.
I
I
contour X' est évidemment équivalent à XAXA * X * et
le contour A' à
XAX-i==:XAX-^A-i.A.
L'intégrale suivant X' sera donc égale à X -{- e-'^^'[AX]^
et l'intégrale suivant A' à — [AX] -f- A. Par suite, l'inté-
grale
[AX] = (i — e2^^'^) A — (i — e^^'*^.) X
se trouvera transformée en
(I _ c'^'^dl^^X'— (i — e^Ti^'x.^x'
— [ AX] [i — (i — e^Tt^t ) — (i — e^^^'a.) e^Ti^t] — e27:f(a.+^) [ AX],
etl'une quelconque [BX] des autres intégrales [BX], [CX], ...
sera changée en
[BX] + (e^
I e
27ri|
[AX].
199. Si a est une racine multiple d'ordre [jl pour l'équa-
tion Q = o^ il existera {jl — i intégrales particulières I^, . . . ,
IS_j correspondant à des contours fermés infiniment petits A,
248 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
A', • . . passant par ce point (194). Ces contours n'étant pas
traversés par x dans son mouvement pourront être conservés
sans altération. Mais la fonction à intégrer contient le fac-
teur (;/ — ocy^~'\ qui se reproduit multiplié par e^Tr*^ lorsque
X tourne autour de a, car il enveloppe en même temps le
point u qui en est infiniment voisin. Les intégrales I^, . . . ,
I[i~i se reproduiront donc multipliées par e^'^'^.
Soient h une autre racine multiple de Q = o, v son ordre
de multiplicité. Il existera v — i intégrales particulières cor-
respondant à des contours fermés infiniment petits passant
par h. Le point x restant extérieur à ces contours lorsqu'il
tourne autour de a^ cette rotation ne changera ni les lignes
d'intégration, ni la valeur du facteur (w — x)'^"'^. Ces inté-
grales resteront donc inaltérées.
Enfin il en est évidemment de môme des intégrales cor-
respondant aux \ racines infinies que pourrait présenter
l'équation Q = o(193).
Nous avons ainsi déterminé d'une manière complète la
transformation que subissent les intégrales par une rotation
autour de a. On déterminerait de même la transformation
opérée par une rotation autour de chacun des autres points
critiques 6, ....
200. Il peut arriver, pour certaines valeurs particulières
des coefficients de l'équation différentielle, que les intégrales
obtenues cessent d'être distinctes. Ainsi, si nous supposons
que a^ soit un nombre entier m, l'intégrale
[AX] — {i — e2^^'^)Â — (i — e2^'«.)X
sera identiquement nulle; car, d'une part, e^^^^izrr i et.
d'autre part, A= o, car la fonction à intégrer reste mono-
drome dans l'intérieur du lacet A. •
Pour obtenir dans ce cas l'intégrale particulière qui
doit remplacer l'intégrale évanouissante, nous supposerons
a, = /?2 H- £, £ étant infiniment petit. L'intégrale [AX] dans
cette nouvelle hypothèse ne sera plus nulle, et, en la déve-
ÉQUATIONS LINÉAIRES.
loppant en série suivant les puissances de £, on aura
[AX]=:[AX]a-..
^[A-X]) + -il f^ [AX]) +.. .
Le premier terme de ce développement est identique-
ment nul. Divisant le reste par s, nous obtiendrons une autre
intégrale
I[AX] = (-J[AX])^__^_-H...
qui, pour £ = o, se réduira à son premier terme
= 2 7^^[e-^'"°'.X]a.=,;^-^- (i — e-^'^).l> — (i — e2'^''").X,
nÂ) et SCs désignant ce que deviennent les intégrales A et X
lorsqu'on y remplace dans les fonctions à intégrer le fac-
teur (u — a)°^i par sa dérivée (u — a)"^ log(w — a) pour la
valeur particulière a, = m.
On pourra opérer de même dans tous les cas analogues
oli une combinaison linéaire des intégrales fondamentales
s'annule identiquement. En faisant varier infiniment peu
l'un des paramètres, convenablement choisi, cette expres-
sion cesserait de s'annuler. Sa dérivée par rapport à ce para-
mètre donnera l'intégrale supplémentaire dont on a besoin.
201. Considérons en particulier le cas où toutes les ra-
cines de Q(m) sont inégales et finies; on aura
R{u) a 3
— r= 1- h . . .
Q(w) u — a u — b '**'
\z^{u — a)^{u—b)?...{u — a:)^-^,
et les intégrales particulières de l'équation proposée seront
î ^-
J-jJCt
04. J. X^
X
^
CA
UFO
i:^*-^
249
^
250 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
données par la formule
Iap..4= f{u — a)^-' {u — b)^-K . . {u — œ)^-' du,
OLi L est un contour fermé quelconque, tel que la fonction à
intégrer reprenne sa valeur initiale après l'avoir décrit.
La différentiation sous le signe f donne évidemment
L'équation différentielle à laquelle satisfait la[3..-^ équi-
vaut donc à une relation linéaire entre les ii-j-i intégrales
consécutives Ia^...|, Iap...,e-i, • • •: Iap...,^-/i-
D'autre part, on a évidemment
la+i, p.. 4 = ^a^..., ^-+-1 4- (^ — a) laI3...^
Cette formule et ses analogues, combinées avec la relation
précédente, montrent que toutes les intégrales de la forme
Aa-t-/>, P+7, .... ^+7-}
OÙ/?, ^, ...,/' sont des entiers, s'expriment linéairement
en fonction de n d'entre elles, telles que Iap...|-i5 •••,
Signalons encore cette formule, dont la vérification est
immédiate,
^ ^ da dx dadx
202. Si les exposants a, [i, . . . , ç sont réels et rationnels,
l'intégrale
r(i^_^)a-i(M_^)P-i ... {ii — x)^-^da
sera une intégrale abélienne, et l'intégrale Iap...$ en sera une
période.
On pouvait prévoir a priori que les périodes d'une inté-
grale abélienne, considérées comme fonctions de l'un des
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2$!
paramètres a quijfîgureiU dans l'intégrale, seraient les solu-
tions d'une équation différentielle linéaire à coefficients uni-
formes. En effet, soient P, P,, . . . les périodes linéairement
distinctes. La forme générale des périodes sera
mP-h niiPi H-. . . ,
m^ mi, ... étant des entiers. Si nous faisons varier a d'une
manière quelconque, P, P4, ... varieront d'une manière
continue. Et, si a reprend sa valeur primitive, les valeurs
finales de ces fonctions, étant encore des périodes, seront de
la forme mP -^ m iP^ -{-... . L'effet du contour fermé décrit
par a sera donc d'opérer sur P, Pi , ... une certaine sub-
stitution linéaire. L'équation linéaire
1
da
P P,
dP dl\
da da
dont ces périodes sont les solutions, se reproduira mul-
tipliée par le déterminant de cette substitution lorsque a
décrit ce contour; et, si nous divisons l'équation par le coef-
ficient du premier terme, les coefficients de la nouvelle
équation obtenue se reproduiront sans altération. Ce sont
donc des fonctions uniformes.
203. Proposons-nous , comme application , de former
l'équation différentielle à laquelle satisfont les périodes de
l'intégrale elliptique
_ r d^
considérées comme fonctions du module k.
On a
dt
k\^
(^-^=)U-^^
252 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
eu
en posant
^ Les périodes de cette intégrale, considérées comme fonc-
tions de X, satisferont à l'équation différentielle (i) si l'on
pose
Substituant ces valeurs, il viendra
Il reste à transformer cette expression en substituant à x
sa valeur -— •
On a
dx:^-^'-^, d'Où ^^^-U-3
^^ dx ^ '
dx - 2^ -dk'
^^^-l, -''^ -d¥---'' -dk)^-~^^')
et, en substituant,
(9)
204. L'équation différentielle de Laplace
dx'
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 253
OÙ les /, g sont des constantes, peut s'intégrer par un pro-
cédé tout semblable à celui qui nous a servi pour l'équa-
tion (i).
Posons, en effet,
Le résultat de la substitution de cette intégrale sera
en posant, pour abréger,
R(u) =fu- +/, w"-i H- . . . 4-/„,
Q{u) = gu^-hg^ u^-' ^,..-^g-^,
Si nous déterminons ici encore U par la condition
R(«)U = ^UQ(«),
d'où
/R ( M ) j
l'intégrale précédente se réduira à
Elle sera nulle, et l'on obtiendra, par suite, une intégrale
de l'équation proposée, si l'on choisit pour L un contour
fermé tel que V reprenne sa valeur initiale quand on revient
au point de départ ou une ligne telle que V s'annule à ses
deux extrémités.
Soient
a, b, c, ... les racines distinctes de l'équation Q ==:: o,
m leur nombre ;
A, B, G, . . . les lacets correspondants.
254 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
On obtiendra m — i intégrales en prenant successivement
pour L les contours
ABA-iR-S ACA-iG-S ....
Si l'équation Q = o a des racines multiples, soient a l'une
d'elles, [X son ordre de multiplicité : on obtiendra, comme
au n° 194, [Jt. — I nouvelles intégrales, en prenant pour L des
contours partant du point a et y revenant dans des direc-
tions convenables.
Enfin, soit \ le nombre des racines infinies de l'équation
Q = o (ce nombre pouvant être nul) ; on aura
ai a, Pi
-t — H h . . . -f- — -- — -4- . . -
u — a {a — a)^ a — b
et, par suite,
17 / TT du-hiix
— ^ït^'+'-l-...-f-(p^-+-Jr)« _
le facteur B restant fini pour u =cc.
On verra, comme au n" 19o, qu'il existe X + i intégrales
correspondant à des lignes L ayant leurs deux extrémités à
l'infini.
Ce résultat subsistera, même si ). ::= o, auquel cas V serait
de la forme
Y — e^P'-^^'^ia — ay^{u — ^)^ ... 0.
Les X -j- I intégrales ainsi obtenues, jointes aux précé-
dentes, compléteront le nombre des intégrales requises pour
former l'intégrale générale.
20S. Nous allons appliquer la méthode précédente à
l'équation
(10) ^^__ + (,,, + 1)^+^1 = 0.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. «55
On aura, \.jns ce cas,
/
I^ ( " ) J / 1 \ 1 / => X
Nous aurons donc, comme solution de l'équation pro-
posée, l'intégrale
pourvu que l'expression
prenne la même valeur aux deux extrémités de la ligne d'in-
tégration.
206. Avant de procéder à l'étude des solutions fournies
par cette intégrale, il convient de donner quelques explica-
tions sur les fonctions eulériennes, lorsque leur argument est
une quantité complexe quelconque.
La définition de T(z) par un produit infini n'est soumise
à aucune restriction; elle donne, pour toute valeur de z, une
valeur unique et déterminée de r(^), laquelle est toujours
différente de zéro et reste finie, sauf pour les valeurs en-
tières et négatives de z, pour lesquelles elle est infinie du
premier ordre. Mais, pour qu'on puisse considérer T(z')
comme fonction de la variable imaginaire z, il faut encore
établir qu'elle a une dérivée.
Or r(z) est un produit infini ayant pour facteur général
(t. I, n"(325)
n (n -+- lY
/i -h Z 11^
Donc logr(^) sera donné par une série infinie S ayant
pour terme général
log/i — log(/i -f-^) 4- slog(/i 4- i) — 5]og/i.
Prenant les dérivées des termes de cette série, nous aurons
256 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
une nouvelle série S' ayant pour terme général
— — ^^ -^log(/i4-i)-log/ï.
Mais on a
B// étant vine quantité comprise entre o et i.
Le terme général de la série des dérivées sera donc
n-{-z /^^-6„ {n-^ z){n -^^n)
et son module aura pour limite supérieure la quantité
^^- {n-Z)n
Tj désignant le maximum du module de z dans la région où
l'on considère sa variation.
Les quantités K,i ne dépendent plus de z et forment une
série manifestement convergente. Donc la série S'est unifor-
mément convergente dans la région considérée et sera la dé-
rivée de log F (^). Donc r(s) = e'''"^'^^ aura lui-même une
dérivée égale à S' r(^).
207. La définition de r(^) par l'intégrale définie
T{z)z=z n e-U'-' dt
est bornée au cas où z est réel et positif. Mais il est aisé de
la modifier, de manière à obtenir une expression de F (5) en
intégrale définie applicable à toute valeur de z.
Considérons en eff'et l'intégrale
/■
e-H--"^ dt
prise suivant une ligne L partant de l'infini positif et y re-
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 207
venant, après avoir entouré l'origine dans le sens directs,
comme l'indique \n/ig\ 4-
Pour définir complètement cette intégrale, il faut préciser
quelle est celle des déterminations de la fonction t^~^ que
l'on adopte. Soit
t =z p(coscp -4- i sincp) ;
on aura, par définition,
g(;-l)(Logp-+-i?)^
Pour chaque position du point t, p est complètement dé-
terminé; mais l'argument cp n'est connu qu'aux multiples
près de 'atc; suivant celle de ces valeurs que l'on adopte,
celle de t^~^ variera.
Nous prendrons pour valeur de cp celle qui varie de o à 27:
lorsque t se meut sur la ligne L. On aura, dans ce cas.
.('
' r—^ dt — {e'-'''
(z).
En effet, les deux membres de cette égalité sont des fonc-
tions continues et uniformes de z. On sait que deux sem-
blables fonctions sont égales dans tout le plan dès qu'elles
sont égales le long d'une ligne déterminée. Il nous suffira
donc de montrer que l'égalité a lieu pour les valeurs réelles
et positives de z.
Dans ce cas, la ligne d'intégration L peut être déformée
de manière à se composer : 1" de l'axe des ^, de 00 à e,
J. — Cours, III. 1-7
k
• 58
TROISIÈME PARTIE.
CHAPITRE II.
e étant une quantité infiniment petite; 2" d'un cercle de
ra^'on e décrit autour de l'origine; 3"" de l'axe des ^ de £
à 00.
Si £ tend vers zéro, l'intégrale rectiligne / aura pou:
limite
OÙ l'on prendra pour t^~^ sa valeur réelle.
Cotte intégrale est égale à — r(s).
L'intégrale suivant le cercle est nulle. Enfin l'intégrale de
retour sera
,27t/
{z-x) r Q-t^z-x
«^0
--^ dtr=.e''-^'^V{
parce que la rotation autour de l'origine a multiplié t^~^ par
le facteur e^^''^^"*^^ e-^^'^.
L'égalité est donc démontrée.
208. Considérons, d'autre part, l'intégrale
L
ABA-'B-
A, B (^fig- 5) désignant des lacets leclilignes qui joignent
les points critiques + i et o à un point quelconque a. Les
valeurs de tP'^ ^ (i — t)i'^ dépendent des valeurs initiales
adoptées au point a pour les arguments C3, cd< des quantités
^ et 1 — t. Nous adopterons celles de ces valeurs qui sont
comprises entre — 71 et 4- tt. La signification de l'intégrale
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 25g
élani ainsi précisée, nous aurons
f tP-x (i _ lyi-x dt^ii — e^-^'P) (i - e^^^^) ^-^^^^.
\{ suifira, comme tout à l'heure, d'établir la proposition
pour le cas où p eV q sont réels et positifs.
En désignant par A, B les valeurs de l'intégrale prise le
long des JaceLs A, B, on aura
f = (i — e'"^'P)'K— (i — e2'^^V)B.
•^ABA-'B-'
D'ailleurs les intégrales le long des petits cercles étant
a ^ 1 «-^a
nulles, on aura
Donc
ABA-« B-»
Mais, en vertu de l'hjpothèse faite, ^ et i — t auront leur
argument nul entre o et i ; donc tP~^ et (i — ty~^ seront
réels dans l'intégrale / ; celle-ci aura donc pour valeur
'l^^ (t. Il, nos 186-187).
209. Revenons à l'intégrale / e"^(w2 -f- i)" ^ du.
Soient {fig- 6)
A, B des lacets joignant l'origine aux points critiques i
et — i;
C une droite joignant l'origine au point — —, situé à i'in-
fini dans la direction du point --—;
26o
TROISIÈME PARTIE. - CHAPITRE II.
A, B, C les valeurs de l'intégrale prise le long de ces
lignes, en choisissant celle des déterminations du radical
" —
(u--\-i) ^ qui se réduit à -f- i pour la valeur initiale
« = o, ce qui revient à adopter, parmi les divers argu-
Fis. 6.
ments de la quantité u^ -\- i (lesquels diffèrent les uns des
autres de multiples de 2tî) celui dont la valeur initiale est
nulle.
On peut obtenir une première solution en prenant pour
ligne d'intégration ABA"^B~*. L'intégrale correspondante
étant
[._.'- H)] [A _B],
on voit, en supprimant un facteur constant, que
Ij = Â — B -
est une solution.
On obtiendrait d'ailleurs directement cette solution en
prenant pour ligne d'intégration le contour fermé AB~' ,
à l'extrémité duquel la fonction V reprend sa valeur ini-
tiale H-i; car les deux facteurs exponentiels par lesquels
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 26l
elle a été successivement multipliée sont inverses l'un de
l'autre.
ou, en diveloppant les exponentielles en séries,
' ^ 1\ /M + I ) I J ^^ J B J
Si m est impair, les deux intégrales entre parenthèses ont
évidemment les mêmes éléments et se détruisent; si m est
pair r=2[Ji, ces éléments seront égaux et de signe con-
traire; on aura donc plus simplement
V'{lÛ-r l) -'du.
Posons u r= i7-, il viendra
2 f u^\'{ie^-^i)'"^dii--r~s.{-iY-i t^^'Hi- t)'"''dt,
A' désignant le lacet qui joint l'origine au point i, t
étant réel et positif ainsi que (i — ^) ' lorsqu'on va de
o à I .
Dans ces conditions, l'intégrale suivant A' sera égale à
D'ailleurs e^'^'^" 2/_^ _ ^271^, En outre, si dans la for-
mule
-(2Tr) - m^,
m
V{mz)
262 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
démontrée au t. I, n'' 385, on pose /?i = 2, z = \}- -h \, il
viendra
Siibslituant ces valeurs, il viendra finalement
(r2)
H-e2^-)^^(/^-}-l)v'-(f) "j„(^).
210. Nous obtiendrons une seconde solution I2 en inté-
1- T 1 • — 00
grant suivant une ligne L partant du point et y reve-
nant après av( ir enveloppé dans le sens direct la partie
de l'axe des / comprise entre — i et -\- i i^fig* 6); car
qux (^if^i _\__ I i s'annule au point •
oc
Posons
d'où
t
(.3) ,,^_u,= 1' +i::z. 4 fl+ ^'V''"^'
^ X' X- \ t' j
et, par suite,
I
k étant un entier choisi de telle sorte que les deux membres
de l'équation (i3) aient le même argument lorsqu'on donne
à ^ sa valeur initiale + 00 et à m la valeur correspondante
• — 00
X
Nous adopterons pour arguments de ^ et de i + -r^ ceux
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 263
dont la valeur initiale est nulle; pour argument de œ celui
qui est compris entre — - et ^ — > pour argument initial de
;^2_[_j celui qu'on obtiendrait en faisant décrire à ii la
ligne G et prenant zéro pour l'argument correspondant à
l'origine.
Il est clair que, lorsque u décrit la ligne C, l'argument de
l'un des facteurs u — i^ u -\- i augmente, l'autre diminue.
D'ailleurs, chacun d'eux varie d'une quantité inférieure à tu :
donc l'argument initial à adopter pour u^ -\' i sera compris
entre — u et -f- tc.
On devra donc déterminer A", de telle sorte que l'argument
2^11 — 2arg^
du second membre de l'équation (i3) soit compris entre
— Tcet-h-.
Si X est à droite de l'axe des y^ arg^ sera compris entre
et -j et l'on devra poser A == o ; si ^ est à eauclie de
2 2 ^ ^
cet axe, are^^ sera compris entre - et — ? et l'on devra
poser k r=.\.
Cela posé, faisons « = dans l'intégrale
ce
L
e^''^(//.^-f-i) ^ du,
L
die deviendra
7
t avant pour valeur initiale et finale H- oo, et son argument
variant de o à 27: le long de la nouvelle ligne d'intégralion.
En supposant, ce qui est évidemment permis, que le mo-
dule de t soit plus grand que celui de x tout le long de cette
gne, on pourra développer le facteur ( i -H - 2 ) P^^'' ^^
1
n — -~
X-'
264 TROISIÈME PARTIR. - CHAPITRE II.
formule du binuiuc, et l'on aura ainsi
^r(!^H-i)r(/i-p.-hi)J
M-
^ft-i~.,).l. -(eV7r.V^_^)r(2,^_2;x).
^r(^+i)r(/z-[x4-{)^ ^ ^ ' ^
On a d'ailleurs, en changeant jx en n — [x — ^ dans la
formule (i i),
. — r(/i — fx)
r(/.-jx-:-.'
2 / y 71
^ r([x — 71 + i) sin(/i — (ji.)tc
2Sin//7: x'([j.— /z + i)
Enfin
2 Sin/i77
On aura, par suite,
X «
r(/^ + .l)V'^^^
('4) \ [^
211. Les deux solutions que nous venons d'obtenir sont
donc, à des facteurs constants près , égales à x~"J//(^) et
x~"J_//(.r), ce qui confirme un résultat déjà obtenu au
nM91.
Onpeuttrouver deux nouvelles solution s I3 et I4 en intégrant
le long des lacets D et E joignant respectivement les points
1
critiques i et — i au point ^fig- 6); car e'"(w- -j- i) ^
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 265
s'annule en ce dernier point. Nous préciserons le sens de
ces intégrales en adoptant encore pour argument de lâ -^r i
au commencement de chacune de ces lignes celui qui est
compris entre — t: et -r- ':^.
Il est d'ailleurs aisé de déterminer les relations qui lient
ces nouvelles intégrales aux. précédentes. En effet, Targu-
ment de i/^-}- i reprenant sa valeur initiale lorsqu'on décrit
le contour AB *, ce contour sera équivalent au contour
C~^ AB~^ G — G~' AG.G~*B~' C qu'on peut aisément dé-
former en DE~'. L'intégrale relative à ce dernier contour
est I3 — I4 ; on aura donc
(15) Il=l3-l4-
D'autre part, le contour L peut évidemment être trans-
formé en DE ou en ED suivant que est à droite ou à
gauche de l'axe des y. Dans le premier cas, x sera à gauche
de cet axe, et l'on aura
(16) I2 = l3+ e(2«-^)'^'l4.
Dans le second cas, x sera à droite de cet axe, et l'on aura
(17) U— l4-4-e(2«-i)7u/I.^.
212. Proposons-nous de déterminer une valeur a[)pi'ochée
de I3 et de I4 lorsque le module de x est très grand. Nous
admettrons, pour plus de simplicité, que n a sa partie réelle
plus grande que Le cas où elle serait <r se ramène
immédiatement à celui-là, car, en posant 1 := x"-"K, l'équa-
tion transformée en Iv ne diffère de la primitive que par le
signe de /z.
Dans l'hypothèse admise, les intégrales prises le long de
cercles infiniment petits décrits autour de i et de — i sont
nulles, et l'on aura évidemment
263 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
Ij et r^ étant les intégrales prises suivant les droites P et Q
qui joignent respectivement les points ^ et — i au point
Soit P' une droite menée à partir du point i et faisant
avec la droite P un an^^ie \ inférieur en valeur absolue à -•
2
L'intégrale suivant un arc de cercle de rayon infini trac.';
entre P et P' sera nulle; car e^^ tend vers zéro tout le long
de cet arc plus rapidement qu'une puissance négative quel-
conque du rajon. On pourra donc remplacer l'intégrale sui-
vant P par l'intégrale suivant P\
Or on a sur cette dernière droite
X X
t étant réel et variant de o à go.
On en déduit
a- -\- 1 z= \ ~
X X'
(i3)
ie
X [^ IX ^
k' étant un entier à déterminer de telle sorte que les deux
membres de l'équation aient le même argument le long de P'.
Nous adopterons, comme précédemment, pour argument
de X celui qui est compris entre et — j pour argument
de t celui qui s'annule sur P', pour argument de i H ; —
celui qui s'annule pour ^ = o.
Considérons sur les deux lignes P et P' deux points /?, p'
infiniment voisins du point i\ l'argument de ii -f- i aura sen-
siblement la même valeur en ces deux points; et la valeur de
l'argument de m — i au point p' surpassera de \ sa valeur au
point/?. Or tiu point/? l'argument de w--ri est compris
ÉQUATfONS LINÉAIRES. Î267
entre — tz et -4- tt. Sa valeur au point p' sera donc comprise
entre — tz -[-"k et tt -f- )^.
Mais l'argument du second membre de la relation (i8) au
point/)' est égal à
-r A — arg^ -H 2 k'iz.
I
Pour qu'il soit compris entre — 7r + ^et'ïï:-}-)^,il faudra poser
A"'= o ou /i'= i, suivant que l'argument de x sera compris
q _
entre et - ou entre - et — • On aura donc, en tout état
2 2 2 2
de cause, k'^=k, le nombre k étant celui qui figure dans
l'expression (i4) de l'intégrale I-.
Prenant donc t pour variable indépendante au lieu de u et
ni
remarquant que e'^ := i^ il viendra
n-h -
X 2
Il désignant l'intégrale
Or on a
L'"^""2^J - Z n^-i-i)Tjn=y:^\'^j ■^^^'"'
R;,^ étant un reste dont nous aurons à discuter la valeur.
Donc
[X=/n — 1 ^
Zj r({x-Hi)r(/i — [x-f-i) V2^; j, ^ ^
le reste U étant donné par l'intégrale
•/o
e-''''(e'>^'t)" ~^R,„e>^'dt.
9.68 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
jMais
X
e-^'''^{e>Uf~'^"'^e^-^dt
n'est autre chose que l'intégrale
y-=-
2 ^ dz
prise le long d'une droite allant de l'origine jusqu'à l'infini
avec un azimut \. L'intégrale de cette même fonction étant
évidemment nulle sur un arc de cercle de rayon infini, com-
pris entre cette ligne et l'axe des x^ on pourra remplacer la
ligne d'intégration par l'axe des x., ce qui donnera, pour va-
leur de l'intégrale,
r(/i-i-(x-4-i).
Nous aurons donc, pour expression approchée de H, la
série V: / • ■ ...
M. = w— 1
Y r(/^+|)r(/i-i-!i. + -;) ( ±\v-
Zj r(}x-}-i)r(/i-|x4-i) V^^y
et nous n'aurons plus qu'à trouver une limite supérieure du
module de l'intégrale U, qui nous permette d'apprécier l'er-
reur commise.
213. Or e~^ '^e^^ a pour module e~^*^°^^; et, si nous suppo-
sons /i = a -f- [^«, la quantité
aura pour module
1
a —
t
^-l.-?A
Pour obtenir, d'autre part, une limite du module de B„i,
posons
f
EQUATIONS LINÉAIRES. iGg
f{t) et cd(^) étant des fonctions réelles. La série de Maclau-
;i rin, appliquée à ces deux fonctions séparément, donnera
fm-\ fin-\ l r.\ tm
/(^)=/(0)-"^/(0)4-...H 4 — ^ -^ -/"(^O.
_' ' ^^ j \ ^ 1.2.. {m — i) i.2..//i"^
fm — \^m—\(r)\ Mil
c(0:-T(o)4-... 4-- ^ ^ -^-- 'f-(.6'0,
'^ ' 1.1.. {ni — I) i.'2../;i ' .
Q et 0' étant compris entre o et i ; on aura donc, pour l'ex-
pression du reste,
\ . '2 . . Il i
Or on a
et, par suite,
Soit donc M la valeur maximum du module de F"*(/) entre o
et co; on aura
\f"'{Ot)\lU, icp'"(ô'Ol"M,
d'où
D'ailleurs
^ ^ T{n-~m-i--^)\2a;J \ ^ 2^/ '
et, si nous supposons
^ = p ( ces çp -f- i sin cp ) r= p e'"?,
on aura
1 H — -— I sin ( X — co ) -h « — ces ( X — 9 ).
2^ 2p ^ *. 2p ^ ~'
Le module de cette expression
^sin(X — <o) W
=v'
p ■ 4p^
f270 TPiOISlfeJIE PARTIE. — CHAPITRE II.
a pour valeur minimum
|cos(>i — cp)|
correspondant à t = 2 p sin(7. — cp), et son argument <L, qui
est nul pour ^ = 0, sera constamment compris entre — tt et
Cela posé,
4 =e
IX /
a pour module
-P^.
Si nous avons poussé ce développement assez loin pour que
m soit >> a — ^, le maximum de cette expression correspon-
dra au minimum de r et sera au plus égal à
cos(X — ©) ^ eiriPl.
On aura, par suite,
M^
Yi^n — m — \)
(2p)'
a m
|C0S(X — 9)1 2 ^7l|
214. Nous obtiendrons donc pour limite supérieure du
module de U une expression de la forme
Ke-PMcos(X-9)r"^
/■
a — -+7«
-/cos>> / 2
dt,
R désignant une constante indépendante de x et de \, D'ail-
leurs, en posant ^cosA = ^, on aura
-tco%k ,
dt —
^-—=•5
dz
(cosÀ)
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 27I
et enfin, par suite,
|U|^Kr(a4--î-'^) ^-^ T^^ TTn'
Le second membre contient l'indéterminée A, variable
entre et — et dont nous pourrons profiter pour rendre
minimum le coefficient de — - Nous aurons ainsi
A-p étant une fonction de o évidemment finie et continue.
Soit A son maximum; on aura
!U|<— .
La limite ainsi obtenue pour le module du reste U est de
l'ordre de — ? tandis que les modules des termes de l'ex-
pression approchée de I'^ sont de l'ordre de — ? où jjl <; m ;
circonstance qui justifie notre formule d'approximation
lorsque p sera suffisamment grand, toutes choses égales d'ail-
leurs.
215. Un procédé analogue permettra de trouver la valeur
approchée de l\. On substituera à la ligne d'intégration Q
une autre ligne d'intégration Q' faisant avec elle un angle X
inférieur à - en valeur absolue. On aura, le lon<? de cette
2 °
ligne,
— ~ e 2 H '-y
X
ie
(^^).
^^^^m
27a TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II..
les arguments des deux membres étant ici égaux, comme
étant tous deux compris entre — tt -h ). et tz -f- X.
On aura, par suite,
Hi désignant l'intégrale
se
l
e-e->^^t[e>-t)''~Ui~ '■^] e^-dt-,
et enfin, en développant la puissance du binôme,
jj, r- lu - 1
■ V r(/i4-^)r(7.-f-^H--^) (-iy ^ TT
U, étant un reste dont le module a pour limite supérieure
\
— , A, désiernant une constante.
p'" ^
216. En nous bornant au premier terme des développe-
ments de I3 et de I4, nous aurons pour ces intégrales les va-
leurs asymptotiques suivantes :
/ 1 \ 11/ 1
— in — n
g V 2/22 2 e'^
œ ^
n-h-
œ 2
On en déduit, pour la fonction
la valeur asymptotique
1 \ TZl
y/2'jr.a7[_
273
ÉQUATIONS LINÉAIRES.
SI X est à droite de l'axe des y, on aura A: :== o, et cette
expression se réduira à
V'V^™'^-(" + ^)^
S'il est à gauche, oq aura A" - -- i , et l'expression de-
viendra
( 2 n + 1 ) — - / 2
/ 2 r / 1^1
V — - cos \x-\-{n -1- \)-\
Au moyen des relations (i4) et (17) qui lient J_,i(^) à I2
et cette dernière intégrale à I3 et L,, on trouvera de même
la valeur approchée de J_/^(^).
217. Les deux valeurs asjmptotiques trouvées ci-dessus
pour J/i(^) coïncident si n est la moitié d'un nombre entier.
Soit, en effet, n=^ m -\ Elles se réduisent à
^_^^eos[^-(m4-.)^]
D'ailleurs, dans ce cas, les développements trouvés pour H
et Hi se limiteront d'eux-mêmes, le dernier terme étant
celui où u. = m; H et Hi seront donc des polynômes entiers
en -5 de degré m et conjugués, dont le premier terme
est T[ni).
50it
II -r r(m) I - ai -^ + . . . H-
Hi==r(m) I — ai
J. — Cours, III.
.■(^. )-„.(!)"']
2^4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
Les autres formules donnent, pour n = m --r-
71 .
— m-i
ty % nUl nlX
71 .
VI —l
r> 2 r,m p — IX
V ^ -" ^ H
.///-t-i
1
- /'^r-He(-^"'>-^H,e(--')'1
y Tzx' L 2fr(m) J
On, en substituant les valeurs de H, H<,
'^ f -f- Sin ^ - ( 771 + l ) -
J...-l(^)--i/-^
— -1 ;
218. M. Knmmer a montré que l'intégrale générale de l'é-
quation
s'exprime par des intégrales définies multiples.
Soit, pour fixer les idées, |ji =:= 3. Posons, pour abréger,
On a
a» -1- I ,
du
-— - m (— wp^'^-^-i- a'^f^c^^') X,
ÉQUATIONS LINÉAIRES.
27^
-et, par suite,
ôx'
riV'-X
^~i/c nn-Zçn-2
IW
X ,
dl
z=: — a-3^'i^«-3(,«-2
a-3/w^''-3p''-2 :^i _ OL-'-^^\TU''-'- —
dv
uwœU
j
(^c^
OU
[ntégrons celte équation par rapport à w, ç^ pp, de o à oo,
et posons
y ;^ = S r (v^ X du dç dw ;
il viendra
dx"^-^
^yj,z=i— a-3^-Mo — a-2/^^M, — a-^^^MTs;
Mo, M,, M2 désignant les intégrales
Mo -- S w"-^(^"-^ -r— dudvdw,
M, rr:= S u''~- -^-dud^^dw.
ov
M, =- S «^ -v- du dvdw.
au
Ces intégrales sont des constantes indépendantes de x et de
/i; car si, dans la première, par exemple, on intègre d'abord
par rapport à w, on aura
dw
dw:^.[l]\
276 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
d'où
Mn — / / — u"-'^ ç''-^e ~i~ cludv — const.
De même pour Mi , Mo.
Posons maintenant
Cette expression satisfera à l'équation
— -— x'^y :=. aQ~\- a^x -4- a^ x- ;
si l'on établit entre les constantes C les trois relations
— M. Sa -/-C/, --:«,.
Il restera encore n — à constantes arbitraires. On aura
donc ainsi l'intégrale générale.
V. - Équations de M. Picard.
219. Soit
d"^y d'^-W
une équation différentielle linéaire dont les coefficients
soient des fonctions elliptiques de u, aux périodes 2 to, et
2 0)2. Supposons que ses intégrales soient uniformes, ce dont
il est aisé de s'assurer en les développant en séries. Nous
allons donner le moyen de les déterminer.
Soient cp, (w), . . -, On{u) un système de n intégrales in-
dépendantes. Si nous changeons u en w-f-2w<, l'équation
transformée, laquelle est identique à Féquation primitive,
admettra comme système d'intégrales indépendantes
(p,(^^ -I- 2Wj), . . ., 9,,(// + 2WJ.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 277
Ces nouvelles fonctions seront donc liées aux intégrales pri-
mitives par des relations linéaires de la forme
Q/,(?^ -f- 20)i) rr- Ci/,9i(«.) +•••+ <^'»/v?«(")' (A" ~ I , ..., n) ,
les c étant des constantes dont le déterminant n'est pas nul.
TjC changement de u en u-{-2iûi dans les intégrales
o,, .,., O/^ revient donc à opérer sur ces intégrales une
substitution linéaire, que nous désignerons par S.
On verrait de même que le changement de u en u -h 2W2
équivaut à une autre substitution linéaire S\
Enfin le changement de u en w + 203, H- awo équivaudra
à opérer successivement la substitution S suivie de la substi-
tution S', ou la substitution S', suivie de S. Les deux opéra-
tions S et S' satisferont donc à la relation
.(?.) SS':-3:S'S.
220. Proposons-nous de simplifier l'expression des substi-
tutions S et S' en remplaçant 04, . . ., Z),i par un autre sys-
tème d'intégrales indépendantes.
Soit s Tune des racines de l'équation caractéristique de S ;
il existera des intégrales que S multiplie par 5; soient y,
y', . . . celles de ces intégrales qui sont distinctes. La forme
générale des intégrales qui jouissent de cette propriété sera
xy -+- aJy' --{-
Soit Y la fonction que S' fait succéder à y, SS' remplacera
)^par5Y; S'S doit produire le même résultat; or S' rem-
place j' par Y; donc S doit transformer Y en sY ; donc Y
est de la forme ajr4- ay + ....
La substitution S' remplaçant ainsi chacune des inté-
grales j', y, . . . par une fonction linéaire de ces mêmes in-
tégrales, il existera au moins une fonction linéaire x de ces
intégrales que S' multiplie par une constante s'.
INous avons donc prouvé qu'il existe au moins une inté-
grale œ que S et S' multiplient respectivement par des con-
stantes s et s' .
278 TR0ISIÈ3IE PARTIE. — CHAPITRE II.
221. Nous allons démontrer qu'on peut déterminer un
système d'intégrales indépendantes
Jii' • • •' fuh^ 721, . • ., 72,/,,
7X1,
tel que les deux substitutions S, S' prennent la forme sui-
vante :
(3)
S'=r
71/.. •
^l/o •
7i/o •
;7/A-.
, . . . .
5 -//.•:
•5i7iA' •••.>^i(7/A--^Y,v,),
5i7u-.
^2 ^\/c,
.S|, s\ ; 5o, 5', ; ... étant des couples de constantes différents;
Yihi ^'ik <^6^ fonctions linéaires de celles des intégrales y
dont le premier indice est <Cl', ^-^ikt T-^ik f^cs fonctions li-
nt'aires de celles des intégrales z dont le premier indice est
<C /, etc.
Celte proposition étant supposée vraie pour les substitu-
tions à moins de n variables, nous allons montrer qu'elle
subsiste pour deux substitutions S, S' à /i variables.
On a vu qu'il existe au moins une intégrale x que S et S^
multiplient respectivement par des constantes 5, s' . En la
prenant pour intégrale indépendante à la place d'une des in-
tégrales primitives, telle que cp,/, S et S' prendront les formes
suivantes :
S — ! cpi, . . ., cp„_i, X *i -+- a^x, . . ., *«_i-H a,i^^x,sx [,
S'— l'fi, . . .,o„_3,^ ^'^^a\x, . . .,^\,_^^a„_^x,s'x\,
les diverses quantités O, <ï>' étant des fonctions linéaires de
?l ? • • • 5 '^n-\ •
Désignons par S, Yl les substitutions à /z — i variables
Il '- n — \
EQUATIONS LINÉàIRES. 279
L'égalité SS'^-S'S entraînera évidemment la suivante :
ss'~ s' s.
On pourra donc, en appliquant le théorème à ces substi-
tutions, les mettre sous la forme (3). Le même changement
d'intégrales indépendantes, appliqué à S, S', les mettra évi-
demment sous la l'orme
Ju-, ■••, ya-, • . s^y^k'r-c^k^, ••- s,{yik-^'^ik)-\-CikO0, ... i
^1 ;•, • • • , ^ik. ■ ' ■ s^z^],-r-d^kX, . . ., s,{zi,, -\- Zik) -vdij,x, . . . |
•••; ■••? •■•5 ••• 1 • • • 1 j ...
OC SX I
y'xk^ ■■■, ytk, ■" s\y^u-^c\u^, • • •. 5;(///,-^Y;.^.)-f-c,•;,,^, ... [
Ti;., ..., Zf,, ... s',z^^-\-d\j,x, ..., 4(^//-i-z;v,)-+-rtlt^, ... I
• • • • ' ■ ■) ' ' ' •> J • • • 5 " • * ' j
i X s' X 1
Prenons pour intégrales indépendantes, au lieu des y^ les
suivantes :
j'ik^ync-'^^ik^',
les substitutions S, S' conserveront la forme précédente,
sauf le changement de
Ci,, en ( ,ç — 5i ) a,7, — s 1 A//, -f- Ca,,
^'ik en ( s' — s\ ) ^ik — s\ a;-/. -+- ( \,,,
A//f, A^;^ étant ce que deviennent Y//^, Y^y^, quand on y rem-
place lesj- par les a correspondants.
Gela posé, si 5^5i, on pourra évidemment disposer des a
de manière à faire disparaître tous les coefficients cik- Les
coefficients c^^ disparaîtront d'ailleurs en même temps, en
vertu de l'égalité SS':^ S' S. Egalons en effet les coefficients
de X dans les expressions que SS' et S' S font succéder à yi]^\
il viendra
( 4 ) 5, ( C\j, -\- C;-;, ) H- 5' Cik = 5; ( Cik -\- Oiu ) --1- SC\j,,
Cik-, C'-f^ étant ce que deviennent respectivement Y'^y. et Y/^
28o TROISIÈME PARTIK. — CHAPITRE II.
lorsqu'on y remplace les jk par les c ou par les c' correspon-
dants. Si les Cif( sont nuls, ces relations se réduisent à la
forme
Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport
aux c^Yf, et leur déterminant, étant une puissance de s^ — s,
n'est pas nul. Elles ne peuvent donc être satisfaites que si
les c'^f. sont tous nuls.
Si^'^^',, on pourra de même faire disparaître les c'^/^', et
les relations (4) montrent que les Cik disparaîtront en même
temps.
Si donc le couple de constantes 5, s' ne se confond avec
aucun des couples a,, s\ ; S2, s'.,; . . ., on pourra faire dis-
paraître tous les coefficients c/a, c^/. ; c/,/,, d'-j^', . . .-, et S, S'
seront ramenées à la Ibrme requise ; aux diverses classes d'in-
légrales jK> z, . . . viendra seulement se joindre une classe
nouvelle, formée de la seule intégrale x. Soit, au contraire.
s ■==! Si,s'= s\ ; on pourra faire disparaître les coefficients â?/;(i^,
d'-f^^ ... ; et l'on n'aura qu'à poser dk = 6", /??/a, «^'//f = s\ ^^Ia
pour ramener S et S' à la forme requise, la nouvelle inté-
grale X rentrant ici dans la catégorie des intégrales jk< a, qui
appartiennent à la classe des y et ont l'unité pour premier
indice.
222. Admettons donc que les intégrales indépendantes
aient été choisies de manière à ramener les substitutions S,
S' à la forme (3). Considérons en particulier une des classes
formées par ces intégrales, telle que /i<, . . . , jk/a? • • • • Le
changement de u en w + 2 w, ou u -\- 2(1^2 leur fera éprouver
les substitutions partielles
( <^--!.ru-, . . .,j/A-, ..., ^i/iA-, •• -^-^i (//•/.+ Y,7,), .. I,
lesquelles devront évidemment satisfaire à la relation
(6) aa'— a'(7.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 281
On a, par définition, *
Y,-^ =
la sommation s'étendant à toutes les valeurs du premier in-
dice / qui sont <^ /, et aux diverses valeurs de m correspon-
dant à chacune de ces valeurs de /.
On voit aisément que cro-^ remplace en général y/^ par
Jik H-
Y.-. 4- y;, -^ 2, ^^ (^ï^- H, „, ^îr >/'..')]
la sommation par rapport à V .
J! inférieures à / et aux valeurs correspondantes de rti' .
La substitution o-' a- rem placera j^/;^ par une expression ana-
logue, où les coefficients a qI b seront permutés.
Ces deux expressions doivent être identiques, en vertu
de (6). En égalant les coefficients des termes en jK/m? o^^
aura les relations
(7) y («î^^^/r-Mr«;r)--o,
la sommation s'étendant à toutes les valeurs de l qui sont
<C ^ et >> /', et aux valeurs correspondantes de m.
223. Réciproquement, soient o-, a' deux substitutions de
la forme (5) et satisfaisant à la relation (6) ou aux condi-
tions équivalentes (7). Nous allons montrer qu'on peut
cons:ruire des fonctions j^n > • • -i yih qiii subissent ces sub-
stitutions lorsqu'on accroît la variable w de 2t0i ou de 2W27
et nous déterminerons la forme la plus générale de ces fonc-
tions.
Considérons à cet effet la fonction doublement périodique
de seconde espèce
(jr ( W ) =: e'-'".
(^ a
Elle admet les multiplicateurs
282 TROISIÈME PARTIE. — CIIAPITHE II.
qui se réduiront respectivement à 5,, .s',, si l'on détermine b^
a par les équations
itù^b -\- 27)1 a == log^i,
2 W2& H- 2 7]2a = log^'j.
On peut toujours y satisfaire, le déterminant
2 0)1 .2Tj2 — 2 W2. 2T(i
étant égal à zîr ird.
Posons
Lorsqu'on accroîtra u de 2t^)^ ou de atoo, les nouvelles fonc-
tions Xik subiront les transformations
(t') i^'i^r., ..., ^r,-,., ..., ^1/,, ..., .^./.-i-x;.^, . . . {,
X/A, X^^ étant ce que deviennent Y,;^, Y'^-^ lorsqu'on y rem-
place \es Yih par les xtk. Les substitutions t, t' seront échan-
geables entre elles.
Il reste à obtenir l'expression des fonctions Xi^.
224. Pour cela considérons l'expression
çp ( «/ ) = mu -h jn' t li.
Lorsque u s'accroît de 20^1 ou de 20)0, elle subit des ac-
croissements
Acp -T-z 2 Wi/72 -I- 2TQ1 m' , A'cp r— 2a)2/n -;- 2r^2 ^^' '
pourra obtenir :
i" Une fonction ^-^--^ m^u -y- ni^'C^u dont les accroisse-
ments respectifs A|jl,, A'jjl, soient 1 et o ;
2° Une fonction [ji'^= Wg M -f- m'g Çi^ dont les accroisse-
ments Aa', , A'jJi'^ soient o et i.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2SI
Posons plus généralement
H-l(lJ-l-
-l)...(fX,— i-4-
I)
1.2. . .i
!^'i(!^'i-
- l). . .(tJ.'^— iH-
0
{J-.=
Nous aurons évidemment
\
(8)
I . 2. . .i
(J.,([J.l— l). . .(fJ-i— i-f-l)
I ,2. . .«
A|i.;.^r_0,
\ av,-=o, a'[j.;.= [j.;._.j,
et ces formules subsisteront pour 1=1, si l'on convient de
poser
Tout polynôme entier P en ^4, u'^, considéré comme
fonction de [ji'^,peutévidemment se mettre d'une seule manière
sous la forme
AoiJ-o-;- Ai|Ji4-. . .,
les A. étant des poljnômes en ^', dont chacun pourra à son
tour se mettre d'une seule manière sous la forme
KK-^ a; ;;.;-!-.. ..
Le polynôme P pourra donc se mettre d'une seule manière,
sous la forme
225. Ces préliminaires posés, nous allons établir qu'il
existe des fonctions ^/^^ qui subissent respectivement les
transformations (t), (':') lorsque z^ augmente de 2to, ou de
2Cl)o; et qu'elles ont pour forme générale
284 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
les H désignant des fonctions elliptiques arbitraires et les
Pj^'^ des polynômes d'ordre i — / en [Ji,, \k\ et entièrement
déterminés; la sommation s'étendant d'aillem's à toutes les
valeurs de /inférieur à i et aux diverses valeurs de ni corres-
pondantes à chacune d'elles.
On voit tout d'abord que les fonctions .z^i/c, ..., restant
inaltérées, sont des fonctions elliptiques, icUes que H,;^
Supposons donc qu'on ait construit, de proche en proche,
toutes celles des fonctions xij^, dont le premier indice est
moindre que X, et qu'elles aient la forme annoncée. Nous
aurons, pour continuer l'opération, à construire des fonc-
tions x\k q^e le changement de u en u -f- aw, ou u -^ itjy.y
transforme respectivement en
Substituons aux fonctions xth, qui figurent dans X^/f, X^/,
leurs valeurs déjà déterminées; il viendra
QuS Qï" étant des polynômes en p.,, tj.'^ , lesquels dépen-
dent linéairement des coefficients de Xx^, XJ/, ; la sommation
s'étendant d'ailleurs à tous les systèmes de valeurs de /, jn
pour lesquels l <i\.
Les substitutions tt' et t't transforment respectivement xu
en
^\k -+- XxA- -1- XxA- 4- S' Xxk
et en
o^XxA désignant l'accroissement que subit Xxa par la substi-
tution t'; SX)/, celui que subit X^a par la substitution t.
D'ailleurs en appliquant ces substitutions aux fonctions
déjà construites, ou aux quantités X)/,, Xx;? qui en sont des
fonctions linéaires, on obtient, par hypothèse, le même résul-
tat qu'en changeant u en u -I- 2 w^ ou u -|- 2 coo ; on aura donc
0'Xx,:r.A'Xx,.:-:.A'SQ;-H,,,,
EQUATIONS LINÉAIRES. 285
Les fonctions elliptiques Uim étant arbitraires, l'égalité
de ces deux expressions exigera que l'on ait pour tout sys-
tème de valeurs de l, m où /<")v,
Or si Ton met les polynômes Q>"', Qu'^ sons la forme
on aura, en vertu des relations (S),
. A' Q(-:r. SB,,- fx, [..;„..,,
Ces deux expressions devant être identiques, on aura les
équations de condition
(9) B,_i,,'— B',,Li.
Gela posé, on pourra déterminer un polynôme d'ordre X ^ /
en jA,, Li',,
tel que ses variations
se réduisent respectivement à Ql^j Qx/t'^ 5 car ces deux iden-
tifications donnent les équations de condition
qui sont compatibles, en vertu des relations (9).
Posons maintenant
^x^==nA--^2:,,,„Pf;MI,,,.
Le changement de z^ en w + 2 Wi accroîtra cette expression de
z=:Arx;t4-X),
)Ar
^86 TROISIÈME PARTIK. — CHAPITRE II.
et celai de u en u-\- itù^ l'accroîtra de même de A'^xa-j-X),, .
Pour que la fonction .x>/v satisfasse aux conditions requises,
il sera donc nécessaire et suffisant que Ton ait
Ac^XA-r-O, AVu-^O,
ce qui exprime que v\k est une fonction elliptique Hxa, d'ail-
leurs arbitraire.
226. Les intégrales jK /A sont donc de la forme
Mais les constantes a, h et les fonctions elliptiques H ne
sont pas encore connues. 11 s'agit de les déterminer.
Le procédé qui nous a permis de reconnaître que l'inté-
grale générale était uniforme nous a fourni la position de ses
pôles c, d^ ... et leurs ordres de multiplicité y, S, ....
D'autre part, la fonction a un seul pôle u^= — a (lequel
disparaîtra même si a =nr o, auquel cas G(w) se réduit à une
exponentielle).
Enfin les fonctions tji,, u.'^ qui figurent dans les poly-
nômes P admettent le pôle simple u = o.
Les fonctions
auront donc les pôles c, <:/,... et le pôle inconnu — a, avec
des ordres de multiplicité au plus égaux à y, ù, . . ., i; et
les fonctions
pourront admettre, en outre, le pôle ?/ = o, avec un ordre
de multiplicité au plus égal à ï (car si cela est vrai pour les
lonctions dont le premier indice est *< i, «^ = o sera d'un
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 287
ordre de multiplicité / pour H/,„, et d'ordre i—l pour le po-
lynôme Pj-^, qui est d'ordre i — l en [i-i, [i.'J.
On aura donc, par la décomposition en fractions sim-
ples,
H,^= c;,r(^.-c) + ...4-cr,.j;T-H"-e)
-f- J)],Mi^ --- c) + . . . 4- \^%l^-\u -^- d)
-h
svec la condition
Q,-|-Dî^-f....-|-A;^=:0.
Les termes de la dernière ligne peuvent être transformés
comme il suit.
Posons
On aura
k^u -t- a) -^ Kur-^ A/;,[C( .. H- a) - ^a] + hu,
L 2 pu --p« J
Par suite de cette transformation, la constante inconnue a
ne figurera pins dans Y\ik que dans les combinaisons pa^ p'ct-
227. 11 ne reste plus d'inconnu que les constantes «, 6,
C^-^, ..., L/y^. On les obtiendra parla méthode des coeffi-
cients indéterminés, en substituant les valeurs ci-dessus des
intégrales j)//^ dans l'équation différentielle.
Clierclions d'abord celles de ces intégrales
/i/,-:--G(m)Hi/„
dont le premier indice est i et qui, par suite, sont double-
ment périodiques de seconde espèce. Il en existe toujours,
comme nous l'avons vu.
288 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITlll!: II.
On a, en prenant la dérivée logarithmique de G(f7)
G{u)
= Kiii -^ a)— H^u -{- b,
.ra-i^ii---^-^-uA
- pu~pa
C'est une fonction elliptique où a et 6 ne figurent que
dans les combinaisons Ça 4- 6 = 6', pa et p'a. Désignons-la,
pour abréger, par I.
On aura
i^ /u = gh;,,, + G'ii,,= g(h;, + m,,),
^ j',* =. G(H'„, + m,,)' + G'(H;, -i- IH„)
-.--G[(H'„-:-IH,,)'+I(H\,-hIII,,)].
On voit donc que le résultat R de la substitution dej ,>t
dans l'équation différentielle est de la forme
GE,
E désignant une fonction elliptique dépendant linéairement
des constantes CJa, -..jLa, qui figurent dans la fonction
elliptique H,/f, et rationnellement des quantités Ça ^6=^^',
pa, p'a.
Les pôles de GE sont les points c, d^ . . . avec des ordres
de multiplicité au plus égaux à y H- ^, 8 -H ^, ... ; E peut
admettre, en outre, le pôle simple — a, qui est un zéro de G.
Le nombre total des pôles de E ne peut donc surpasser
Y + ^ H- ^ M- ^ + . • . + I . Si donc nous exprimons que cette
fonction a des zéros en nombre supérieur à ce chiffre, nous
saurons qu'elle est identiquement nulle, et que jku est une
intégrale.
Nous pourrons, par exemple, développer E suivant les
puissances croissantes de u, et égaler à zéro les coefficients
des diverses puissances, jusqu'à celle d'ordre
7 -f- /i 4- 0 H- /z 4- ... 4- I
ÉQUATIONS LINÉAIHES. 289
inclusivement. Les équations de condition ainsi obtenues
forment un système surabondant; mais nous savons a priori
qu'il a des solutions.
Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport à
CJ/., . . . , Li/f, rationnelles par rapport à b' ^ p<2, p' a. Ces
dernières quantités seront donc déterminées par des équations
algébriques, auxquelles on devra joindre l'équation connue
p'^-a — f^p-'a — g^pa—g^.
Une fois pa, p' a^ b' déterminés, on en déduira, par les
procédés connus, a, Ça, et enfin b —- b' — Ça; enfin, les
CJ^., . . ., \u\k s'expriment en fonction linéaire et homogène
d'un ou plusieurs d'entre eux, qui resteront arbitraires.
Si le nombre total des solutions trouvées est égal à l'ordre n
de l'équation, ce qui sera le cas le plus habituel, leur com-
binaison donnera l'intégrale générale; dans le cas contraire,
il faudra déterminer de nouvelles intégrales.
228. Supposons que nous ayons construit toutes celles des
intégrales y th. . • . , s/a, • • • , dont le premier indice est << X,
€t déterminé les fonctions linéaires correspondantes Y/^,
Y-yt, .... Cherchons à déterminer les intégrales yy^ (s'il en
existe) et les fonctions correspondantes Y>;f, Y)/^.
On a
où tout est connu, sauf les coefficients indéterminés
Cx/f, . . ., LxA:j
dont dépend Hx/t, et les coefficients de Yx^-, Y^^., dont les
polynômes Pf" dépendent linéairement.
Substituons cette expression dans l'équation difl'érentielle.
Le résultat sera de la forme GExa, Exa étant une fonction
aisée à obtenir par la difl'érentiation et telle que la somme
des ordres de multipbcité de ses pôles ne surpasse pas
P -h /i -f- Y -h /^ H- . . . -t- I. D'ailleurs, cette fonction est
elliptique. En effet, changeons u eu. ?/ -f- 2Ct)< . Il est évidem-
J. — Cours, III. iQ
290 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
ment indifférent de faire cette opération sur yi^ avant de le
substituer dans l'équation différentielle ou de la faire dans le
résultat de la substitution. Dans le premier cas, on change j^^;^
en s^{yl/( -r-Yif(), et, comme Yx;^ est une fonction linéaire
des intégrales déjà trouvées, le résultat de la substitution de
cette nouvelle expression se réduira à Si GE^/f. Donc GEx/r se
reproduit, multiplié par St, quand on change a en a -h 2w, ;
G jouissant de cette même propriété, Ex/f ne sera pas altéré.
^^Hl)n verra de même qu'on ne l'altère pas en changeant u en
Il suffira donc, pour annuler Exa, d'exprimer qu'elle admet
plus de [S -1- /i -r y -h ^ -h • • • -t- I zéros. On obtient ainsi un
système d'équations linéaires et homogènes pour déterminer
les coefficients inconnus. Si ce système est compatible, on
obtiendra des intégrales de l'espèce cherchée. Sinon, on sera
assuré que la classe des intégrales vni est entièrement épuisée,
et l'on fera une recherche analoiîue sur les autres classes d'in-
o
légrales. On finira nécessairement par obtenir un système
de n intégrales distinctes.
229. Parmi les équations qui rentrent dans le type consi-
déré ci-dessus se trouve l'équation de Lamé
—r--j \ /l(n 1- I ) p ff -r- A 1 cT 1= o,
où n est un entier positif.
L'intégration de cette équation par M. Hcrmite a été le
point de départ de la théorie précédente.
Les intégrales n^ont aux périodes près qu'un point critique
a r= o, aux environs duquel elles sont régulières.
L'équation déterminante est
F ( /•) — /• ( r — i) — /i ( /i -f- I ) m o .
Ses deux racines, — net n -{- i sont l'une paire et l'autre
impaire. Soit r l'une d'elles ; on aura une solution de la forme
u'' -+- ^i u''^- 4- u.,u''^^ + . . , .
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 29 1
Substituons ce développement de x^ ainsi que celui dej3M
p w = —- -\- c^w -h C9 u* -\- . . . .
et égalons à zéro le coefficient du terme en w''+-^'', nous aurons
la formule récurrente
dont l'application ne peut donner lieu à aucune diffici
F(/' -1- 2 [jL-j- 2) n'étant jamais nul. f^^
Les deux intégrales particulières ainsi obtenues sont dis-i([J|
tinctes, car l'une est paire et l'autre impaire. L'intégrale gé-
nérale résultant de leur combinaison sera uniforme et aura
un pôle d'ordre n au point m = o.
Nous allons calculer cette intégrale dans le cas le plus
simple, celui où n := i . L'équation se réduit à
^-(2p«+A):r^0.
Elle admet des intégrales périodiques de seconde espèce
/ = GH.
La fonction H n'admet plus le pôle u = o, qui est déjà un
pôle pour G, elle ne pourrait donc admettre que le seul pôle
simple M = — a , mais cela est impossible ; elle se réduit donc
à une constante et nous pouvons la supposer égale à l'unité.
Nous aurons donc au moins une intégrale de la forme
^ <s {a --\- a\ ,
y — G := — ^- e*".
On a
e''"- =z 1 -t- bu -^ h . . . ,
2
a(« 4-<^)= aa-l- lia' a-\ [-...,
^ 2
— r/i tr -T- . . . .
au u{i ^ dità-^ . . . )
292 TROISIEME PARTIR. — CHAPITRE II.
d'où le développement
M
y h Mo -- Ml W -r M, «^ -:-•..
en posant, pour abréger,
M = a<2, Mq=: baa -h <y' a,
Ml — -b-aa -^ ba' a-\- -q" a, . . .
2 2
d-Y 2 M
du- lâ
On a enfin
2
«■
Substituons ces valeurs dans l'équation.
Le résultat sera une fonction doublement périodique de
seconde espèce qui ne peut avoir de pôle (aux périodes près)
que pour u ^- o. Si nous exprimons que les coefficients des
])uissances négatives de u et le terme constant s'annulent, la
fonction, n'ayant plus de pôle, mais ayant un zéro, sera nulle.
On obtient ainsi les équations suivantes :
2 M — 2 M — o, 2 xMo - o,
hU 4- 2M1 = o, 2 M2 — 2 M2 — hMç, — o,
qui se réduisent aux deux suivantes :
o ^zMq=z bia -{- (y' a,
Cl— hM H- 2 Ml =^ h(ja -+- b-(ya H- 2bc!'a + a" a;
d'où
et
U
OU
Celte dernière équation donne pour la constante a deux
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 298
valeurs égales et contraires ~a et — <2, auxquelles corres-
pondent pour h deux valeurs égales et contraires, — Ça
et -h Ça. Nous avons donc, en général, deux solutions parti-
culières distinctes
.^<s{a-\-a^ ^ q(u — a)
a et — a étant les racines de l'équation transcendante
230. Si h est égal à l'une des quantités ^i, 62, e^, par
exemple à Ci, les deux racines a = (o^ et — a = — ^^)^ sont
égales aux périodes près, et les deux solutions particulières
ne sont pas linéairement distinctes, mais se réduisent à la
solution unique
(laquelle ne diflere de (7^Qa que parle facteur constant cfto,).
Pour obtenir, dans ce cas, la seconde solution qui nous
est nécessaire, supposons que A, au lieu d'être égal à g,, en
soit infiniment voisin. L'équation pa ~- h admettra les deux
racines io^ -\- e et coi — s; nous aurons donc les deux inté-
grales
Q~u^{Oi^-hZ)
X^ z^- g-«!;((o,-£)
a(« -h 0), 4- s)
<j{u -^ Wi — z)
(SU
^\ -^2
Leur combinaison donne l'intégrale ~- -^ dont il est aisé
de trouver la limite pour e = o.
On a, en effet,
Ç ( COl -t- ô ) = Ç 0)i -f- £ ^' COj H- . . .
c ( « -h toi 4- s) = cr( « + (Oi ) 4- ea' ( ^^ -j- cOi ) + . . .
= a( // + to j [i -^ £^( ^^ 4- a)j ) H- . . . ],
294 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
d'où
.To s'obtiendra en changeant le siane de b: — aura évi-
déminent pour limite
au
Ce sera la seconde solution cherchée.
231. Cherchons encore dans quel cas l'équation de Lamé
admet comme intégrale une fonction elliptique M(u) aux
périodes 4^i ^t 4^0.
L'équation n'étant pas altérée par le changement de u en
— u, u + 2to, , u -i- 2 0)2, admettra aussi comme solution les
fonctions elliptiques M(~ u), M(w4-2a)i), M{u -h im^).
Mais ces nouvelles intégrales ne peuvent être linéairement dis-
tinctes de M{u); car l'intégrale générale de l'équation ne peut
être elliptique, puisque, parmi les intégrales particulières, il
en est une qui est une fonction entière s'annulant pour u =^ o.
On aura donc
M{~~ u) = cM{u), M(«-i- 2Wi) — c,M(m),
M ( w + 2 «2 ) — C2 M ( w ) ,
c. Cl, C2 étant des constantes. D'ailleurs, en changeant encore
une fois u en — u, u -j- awi ou u -r- 2(02, on voit qu'on aura
C:=-lfcl,C4=dzi,C2=±I.
On pourra donc écrire
M(«)— NP,
N désignant l'une des huit expressions
(dont le choix dépendra des signes de c, c<, Co) et Pune fonc-
tion elliptique paire, aux périodes liù^ et 2032, et n'ajantde
pôle que pour u=zo : ce sera donc un poljnôme entier en pu.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. SgS
Il est aisé de former les dérivées successives d'une expres-
sion de cette forme. On a, en effet,
<7|o u^jyu — eoLy 2 a^o u a^o u a^o u ^- — p' «,
€t, par SLiile,
n désignant un polynôme entier en ?/, et N^ le produit com-
plémentaire de ]N formé J3ar ceux des facteurs cr^o « que N ne
contient pas.
On aura, par suite,
du du
^_ (n'p -■- 2nP0Ni -^ NjPi,
P< étant un poljnôme en pu.
On trouvera de même
2>
P2 étant encore un polynôme en pu.
Le résultat de la substitution de NP dans l'équation de
Lamé sera donc de la forme
"^^ - [n{n H- i) pu -f- h] NP r= NQ,
où Q est un polynôme entier en pu qui s'annulera identique-
ment si NP est une solution.
Soit
et soit k le nombre des facteurs de N. Le premier membre
sera infini d'ordre k -\- 2 [x -f- 2 pour u = o\\\ en sera de même
du second. Donc Q est un polynôme de degré [J. + i , tel que
La comparaison des valeurs principales donne immé-
296 TR0ISIÈ3IE PARTIE. — CHAPITRE lî.
diatemcnt
A;j,+i =3 [{k-À- 2 li. -h i) {k -h 2 10.) — n{n -h i)] a^.
Les coefficients suivants sont évidemment de la forme
AjjL = Bj;, — /la^, . . . , Ao = Bo — ha^,
Bfj., ..., Bo étant des fonctions linéaires et homogènes
en a^^, . . ., cIq.
L'équation
A{j,+, — o
donnera
k -h 2ix.z=i n.
Les autres équations
Ajj, — o, . . . , Ao = o
fourniront ensuite les rapports des inconnues «y., . . , , Hq si
leur déterminant est nul, ce qui donnera pour h une équa-
tion de decrré a -h i .
Gela posé, si n est un nombre pair 2 m, on pourra sup-
poser k = o^ u. = m, ce qui donnera m -h i valeurs admis-
sibles pour h.
On pourra encore poser k = '2^ iK=zm — ij et l'on ob-
tiendra m valeurs pour h; soit 3m valeurs en prenant suc-
cessivement pour N les trois produits de deux facteurs qu'on
peut former avec les ^aoi^-
Le nombre total des valeurs de h, pour lesquelles l'équation
admet une solution de la forme désirée, sera donc
772 -f- I H- 3 m rrr 2 71 -i- I .
Si n est un nombre impair 2 m -'ri, il faudra supposer:
r' /i- irzz I, p. = m, d'où m -h 1 solutions, ou 3 (m -j- i) en pre-
nant successivement pour N chacun des trois facteurs o-^ow;
2° ou A" = 3, |jt. =r m — ^ I , d'où 771 solutions.
Le nombre total des valeurs de h qui fournissent des solu-
tions de l'espèce NP sera donc
3 ( m -h I ) -h 772 -- 2 71 -h 1 ,
comme dans le cas précédent.
ÉQUATIO>S LINÉAIRES. 297
232. M. Halphen a montré qu'on peut ramener aux équa-
tions de M. Picard les équations
d'^y d"--^ y
à coefficients elliptiques, lorsque les rapports de leurs inté-
téfirrales sont des fonctions uniformes.
Soit, en efTet, a l'un des pôles des fonctions/?,, ..., p,i.
L'équation déterminante qui correspond à ce point sera
/■ ( /• — I ) . . . ( A- — /i -h T ) 4- «r ( /■ — I ) . . . ( r — /i H- 2 ) 4- . . . z:= o^
a désignant le résidu de p^ par rapport au point a.
Les quotients des intégrales étant uniformes, les racines
de cette équation différeront les unes des autres de nombres
entiers. Si donc on désigne par /• l'une d'elles, leur somme
sera égale à
nr -h e,
e désignant un entier.
Mais cette somme est égale à
n{n — I )
2
On aura donc
nr -\- e zzz — a.
Faisons la somme des égalités analogues pour les divers
pôles a contenus dans un parallélogramme de périodes. La
somme des résidus a étant nulle, il viendra
/iSa' =r entier.
Donc YaV est un nombre commensurable.
Soit m le plus petit entier tel que la quantité
m^Sr — E
'^^BH A ,i y
OF THTî
UNIVERBi
298 TROISIÈME PARTIE.
soit un entier. Posons
CHAPITRE II.
fa-^y'n[.(« -.)]'•
Si nous changeons z/ en z^ + 2 m (o ( 2 co désignant une pé-
riode primitive quelconque) a-(w — a) se reproduira, multi-
plié par
g2/«r((?t4-m(o— aj+mTif
et (7— se reproduira, multiplié par
Donc P se reproduira multiplié par
^[2m Yl (t<-f-7rt(jO — a)-f-2 7t/j r— 2Yî( — + 0) j-l-7lMl
P'
et sa dérivée logarithmique ^ sera accrue de
im
.^r
2r, - t= o.
m
Donc -p est une fonction elliptique aux périodes 2mto<,
imiù2'
Ttll pw
Il en sera de même de -—y -^-j - ■ - ■> en vertu de la formule
récurrente
PH- _ ^ P!^-^ P!^-' P'
"F "^ ^ ~P ~ "^ "P~ p"
Posons maintenant
y^Vz.
La transformée en z sera
du"
d"-''z /i(/i — i)p,
Û^M"-^ 2
du"-''
-4-/^lP
+ (/i- 1)7^1 P'
4- 7?2P
o,
ÉQUAKONS LLNÉAIHES. 299
et si nous divisons par P, les coefficients seront des fonctions
elliptiques aux périodes ijiuji^, 2mw2, cslt pi^p^^ ... ad-
mettent ces périodes.
D'ailleurs, l'intégrale générale z = '^ âe cette équation est
uniforme; les points critiques de ^ = '^ sont : i" les points
pour lesquels y et P sont tous deux de la forme
(a H- 2miCi>i -h 2/?22W2)'"S,
S désignant une série de puissances entières; ces points
seront donc des pôles pour z; 2" si l'entier E est négatif, les
zéros de a- — ? lesquels seront aussi des pôles pour z.
L'équation transformée appartiendra donc au type de
M. Picard, sauf que les périodes des coefficients ne seront
plus 2Wi, 2iû2, mais 2//ic0i, -innù^.
OOO TîiOISIÎiMK PAHTIF. — CUAPITIIE III.
CHAPITRE m.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES.
I. -- Notions préliminaires.
233. Tout système d'équations aux dérivées partielles
F =:^ o, Fi = o, ... entre des variables indépendantes ^r,, ...^
Xn, des fonctions de ces variables «,, . . . , iim et leurs dé-
rivées jusqu'à l'ordre p peut être remplacé par un système
ne contenant que des dérivées partielles premières.
En effet, chacune des dérivées partielles d'ordre p^ qui
figurent dans les équations, est, par définition, la dérivée pre-
mière d'une des dérivées partielles d'ordre /> — i; celles-ci
sont des dérivées premières de celles d'ordre/? — 2, etc. Si
donc nous prenons pour inconnues auxiliaires les dérivées
partielles d'ordre <C/^, les équations F =: o, F, = o, ... ne
contiendront plus que des dérivées premières^ et il en sera de
même des équations qui définissent chacune de nos incon-
nues auxiliaires, et qui, jointes aux précédentes, constitue-
ront un système évidemment équivalent au système primitif.
On peut donc se borner à considérer les systèmes d'équa-
tions simultanées aux dérivées partielles du premier ordre. Il
est même permis de supposer que les dérivées partielles n'y
figurent que linéairement, à la condition de joindre aux
équations différentielles certaines conditions accessoires.
Soit en effet
du y du,n
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 00 J
un semblable système. Prenons pour inconnues auxiliaires
les dérivées partielles - — ; •••> - — ? que nous représente-
rons par /?ii, . . ., pm/i- Le système donné équivaudra au
suivant,:
i F(.ri, . . .,^„; Wi, .. ., i/„,;/?ii, .. .,Pnin) =0,
' î
D'ailleurs, pour que F, . . . soient identiquement nuls, il
faut et il suffit : i" qu'ils s'annulent pour une valeur parti-
culière ^t de la variable ^, ; 2" que leurs dérivées par rapport
à ^^ soient nulles. Nous pourrons donc remplacer les équa-
tions (i) par les suivantes :
/ o\ i '^H^lj • • • > ^fi ; ^1? • • • j f^/n ; Piif ■ ' • , Ptnn ) '■= ^j
pour Xt-~^i, et
^F dF dF
^j?i difi du ^
ml
<4) { ^ àpu , ^ àp_
dp II ÔJ^i ' * ■ "" dp,nn àx^
'"" "-- o,
Or les équations (-2) et (4) forment un système d'équa-
tions linéaires, auquel il suffira de joindre les conditions ac-
cessoires (3).
234. Un système d'équations aux dérivées partielles
Fi — o, ..., Fj— o
entre n variables indépendantes x^, . . .^ x^ et m fonctions
Wj, . . ., Um sera en général incompatible, si le nombre i de
ses équations surpasse le nombre m des fonctions inconnues.
Supposons en effet que les équations données renferment
302 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
les dérivées partielles des fonctions u jusqu'à l'ordre yj. Joi-
gnons à ces équations leurs dérivées partielles successives
par rapport aux diverses variables indépendantes. Il arrivera
nécessairement un moment où le nombre des équations ob-
tenues surpassera celui des fonctions u et de leurs dérivées
partielles qui y figurent. En effet, lorsque nous prenons les dé-
rivées partielles d'ordre A' des équations primitives, nous ob-
./^(/^ 4- 1). . .(/i -h A" — i) , . „ 1,
tenons i—^ —. équations nouvelles; cl autre
1.1. . .k ^
j3art, nous introduisons comme nouvelles inconnues les dé-
rivées partielles d'ordre p -\- k des fonctions u, dont le
, ^ n(n-V-i)...{n-^p-\-k--i) ^ ,
nombre est m — ^ —r\— — — ^e nombre sera
I.2...(/?-hA)
inférieur au précédent, dès que A commencera à satisfaire à
l'inégalité
( n -^ /c) . . . (n -h p -^ k — ])
l > 7?l ^ -~ ;
{l-\-k)...{p -r-k)
A partir de ce moment, le nombre des équations succes-
sivement obtenues croîtra plus vite que celui des inconnues
et finira par le surpasser. Eliminant alors ces inconnues, on
obtiendra une ou plusieurs relations <^ï> = o, (ï>, = o, ...
entre les variables Xi, . . . , Xn', celles-ci étant indépendantes
par hypothèse, on voit que les équations données seront in-
compatibles, à moins que <I>, <I>,, ... ne soient identique-
ment nuls, ce qui donnera autant d'équations de condition
nécessaires pour que les équations F| = o, ..., F/^^o
puissent subsister simultanément.
235. On voit de la même manière qu'un système de m
équations aux dérivées partielles
Fj— o, ..., F^— G
entre ^, , , . . , Xn et m fonctions lit, . . . , Um peut en général
être ramené à un système d'équations
* -z o, 4>i--o,
ÉQUATIONS AUX DfilîIVÉFS PARTIKLLES. 3o3
ne contenant plus qu'une seule fonction inconnue u^ ; car,
en joignant aux équations proposées leurs dérivées partielles
successives, il arrivera un moment où le nombre des équa-
tions obtenues surpassera celui des fonctions Wo, . . ., Um et
de leurs dérivées partielles. L'élimination de ces inconnues
donnera de nouvelles équations <ï> = o, ^i = o, ... entre
^<, . . . , Xfi, U\ et ses dérivées partielles.
236. Considérons un système d'équations aux dérivées
partielles
F, = o, ..., F,„ — G
entre les variables indépendantes x^, . . . , ^/^ et m fonctions
Wi, . . . , ?/to; et soit rk l'ordre des dérivées partielles les plus
élevées de la fonction ui^ dans ces équations. On pourra, en
remplaçant x^^ . .., x,i par de nouvelles variables indépen-
dantes
(5) ,
l JK« —- ^nl^i -\- • ' '-\- C,j,iX ,1^
choisir les constantes c, de telle sorte que chacune des dé-
. ,, ^ • • • ? -, ,., 5 • • • ii£ure dans les équations trans-
nvees
formées.
Va\ effet, on aura
d _d_
= c,
(Chacune des dérivées partielles des fonctions «,, . . ., Uf^
par rapport aux variables x^^ . . . , x^ s'exprimera donc li-
néairement au moyen des dérivées partielles du même ordre
prises par rapport aux nouvelles variables^', , • • - 1 J'/i-
Posons, pour abré^^er,
d^^fT:7dxf — ■^«••••«'>'
L'une au moins des équations données , par exemple
3o'| TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
F^rrro, Contiendra des dérivées pariielles d'ordre r, de la
fonction u^ ; soient
P<x^...'x'„, Poil... y.",,,
ces dérivées partielles. La dérivée -~ sera de la forme
A~ — ^o~f~ ^i/^ai-t-i,...,a„-i- ^2Pai+i, ...,a'^--- • • ,
G<, Go, ... n'étant pas identiquement nuls et ne conte-
nant, ainsi que Gq, aucune dérivée de Ui d'ordre > /'< .
Transformons cette équation par la substitution (5); il
viendra
ÔF, ÔF, ÔF,
/^a;+l,...,a'„"- (<?ll^ -i--..-^C„i-^ ) ' ... [cya^-^^- -^Cnn-^-] '^^h
R' étant linéaire par rapport aux dérivées partielles d'ordre
r< -4- I de la fonction Ui, autres que celle que nous avons
mise en évidence.
Les autres dérivées d'ordre /'< H- i qui figurent dans l'ex-
pression de -v-^ donnent un résultat analogue.
On aura enfin
Fo, r,, ... ne contenant les nouvelles dérivées partielles
de Ui que jusqu'à l'ordre /'<.
dF.
On aura donc, pour transformée de -y — , l'expression
dF, dF,
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3o5
Rne contenant pas la dérivée -^-r^- D'ailleurs le coefficient
de — — — j- ne peut être identiquement nul; car, en l'expri-
mant au moyen des anciennes variables x, il devient
Gi c^i'^^ . . . c, :: -h ijr,c.: - . . . c
et comme Gi, G2, ... ne sont pas identiquement nuls, il ne
peut évidemment s'annuler que pour des valeurs particu-
lières des constantes c. En ayant soin d'éviter ces valeurs, on
voit que
contiendra la denvee -r— — r? ce qui serait évidemment
impossible, si Fi ne contenait pas la dérivée -^-7-*
237. Nous nous bornerons à considérer le cas où les équa-
tions transformées ont pour premiers membres des fonctions
distinctes des dérivées -, — -? •••? -^; — -- En les résolvant
par rapport à ces dérivées, nous pourrons mettre le système
sous la forme normale
(6) '^}=^., """'" —
à/? " ' àfr
^,, ..., 4>,„ étant des fonctions des variables indépendantes
;Ki, ...,jK«,des ionctions w<, ..., Um et de leurs dérivées
partielles jusqu'à l'ordre r< , ..., rm respectivement (celles
de ces dérivées qui figurent aux premiers membres étant
exceptées).
Théorème. — Les quantités y ^^ ..., y m U\, •••, Um, .••7
, ., ^ „ — ) ••• qui fleurent dans les fonctions <ï>,, ..., ^m
étant traitées comme des variables indépendantes, soit
J. — Cours, HT- 20
3o6 TROISIÈME PARTIE. — CIIAPITIIE III.
a<, . . ., an^ ^Jo-o • • •> K\---^ • ••' ^a,a,...5 • • • un système quel-
conque de valeurs de ces variables aux environs duquel
<[>!, .... ^„i soient développahles par la série de Taylor.
Soient d^ autre part
des fonctions quelconques de y 2, .-., y, 71 développahles
par la série de Taylor aux environs du système de va-
leurs a^i . . ., ani, et telles en outre que V on ait en ce point
On pourra déterminer, et cela d^ une seule manière , un
système de fonctions u^^ . . .;, Um des variables y ^, . . ., y„,
développai? le par la série de Taylor aux environs du
point a^, . . ., a,j, et qui satisfasse aux équations (6) ainsi
quaux conditions initiales suivantes :
Sdui . d''^-^ u.
lh^^2,
Cette proposition fondamentale est due à Cauchy. M*"^ de
Ivowalewska en a donné une démonstration élégante, que nous
allons reproduire.
238. Considérons tout d'abord le cas où les équations aux
dérivées partielles proposées sont du premier ordre, linéaires
et homogènes par rapport aux dérivées partielles, et ne con-
tiennent pas les variables indépendantes, de telle sorte que
le système (6) se réduise à la forme
(iz=ri, 2. . . ., m; k=^i,2, . . ., m; l=z 2, . . ., n),
où les G sont des fonctions de Wj, . . . , Um,
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Soy
L'énoncé du théorème général se réduira alors au suivant :
Soient 6', . . ., 6'" un système de valeurs de U\, . . ., «/«,
aux environs duquel les fonctions G soient développables
par la série de Taylor; a^, ..., an d'autres constantes
quelconques. Soient^ d'autre part, cp<, ...^ cp,„ des/onctions
de yo, ■■', Ym qui se réduisent respectivement à 6\ ..., b"'^
pour y.^=:z a-^-, •••, .y«= <^«? et qui soient développahles
par la série de Taylor aux environs de ce système de va-
leurs. On pourra déterminer d'une seule manière un
système de fonctions u^, . . ., u,n des uariabtes y^, . . . , yn,
développahles par la série de Taylor aux environs du point
y^z=z a^^ . . .^ y,i = a,i^ qui satisfassent aux équations (8), et
enfin se réduisent respectivement à cp^^ ..., (Dmpoury^z=ai,
Nous supposerons, pour simplifier l'écriture, que a^, ...,
«„, b* , . . ., b"^ soient nuls, ce qui ne nuit pas à la généra-
lité de la démonstration, car on pourrait au besoin prendre
pour variables indépendantes jki — ^i, . . ., yn — an et pour
fonctions inconnues u^ — 6', ..., Um~b^\ enfin, consi-
dérer à la place des fonctions cp^, ..., ^m les fonctions
o, — ^', ..., cp,„— h^.
D'après les hypothèses faites, les fonctions G^^ sont déve-
loppahles en séries, de la forme
(9) Gi, = ^Ai^;t..«^
Ces séries étant convergentes tant que les modules de u^.
«2? • •• seront assez petits, on pourra déterminer deux con-
stantes M, r, telles que l'on ait
_ M
A
ikl
et, a fortiori^
(,o) |A«L,.|^i^^^^^i^-^
On aura de même
f'='^H.K.Ayî'---'
3o8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
et l'on pourra déterminer deux constantes N, p, telles que
l'on ait
( " ) I iip. p.... I < — p j|;r:."-- ^î^.
Les fonctions cliercliées U{, ..., ?«,„, devant être développa-
Lies suivant les puissances de j^,, . . ., y,^ pour ri = o, seront
de la l'orme
('2) «/=?/-+-?/l/l+ ?/27? + . . -,
cp/,, cp/2, ... étant des séries qui procèdent suivant les puis-
sances dejKo, ..•,r«-
Remplaçons, dans les équations (8), les fonctions GJ^.^, puis
les fonctions ui par les développements (9) et (12), et éga-
lons les coefficients des mêmes puissances de jki dans les deux
membres; nous obtiendrons, pour déterminer les coefficients
o^, , . . ., Z)i^, . . ., une série d'équations de la forme suivante :
(•3) (:^-i-l)(p,,f,^,:=F
h [>--
^i,\t.+i étant une somme de termes dont chacun est le pro-
duit: 1° d'un entier positif; 2" d'un des coefficients A; 3° d'un
produit de séries cp dont le second indice ne surpasse pas jji;
4" d'une dérivée partielle de l'une de ces fonctions (p.
Les formules (i3) fourniront, par voie récurrente et sans
ambiguïté, les valeurs des diverses fonctions cp/j^ sous forme
de séries procédant suivant les puissances de r2, ..., JK/?,
chaque terme ayant pour coefficient un polynôme formé avec
les coefficients A, B et dont chaque terme est affecté d'un
facteur numérique positif.
Nous trouvons ainsi une solution unique; mais, pour
prouver qu'elle est acceptable, il reste encore à établir la
convergence des séries obtenues.
239. Or il est clair qu'on diminuera les chances de con-
vergence en remplaçant les coefficients A, B par les limites
supérieures (10) et fi i) de leurs modules; mais nous allons
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SoQ
prouver que, même dans ces conditions défavorables, la con-
vergence subsiste lorsque JK<, ..., J^« sont suffisamment petits.
On a, en effet, dans ce cas,
€t de même
H M ^^''^^^^••- = ^^
Ui 4- «2 +
p — • i
en posant, pour abréger, jr2 4- • • • + Jn -- t-
Les équations aux dérivées partielles deviendront donc
€t les conditions initiales seront
Posons
(i5) Ui~- pour/i — o.
p — f
Les équations (i4) et(i5) se réduiront aux deux suivantes:
r
(17) "^"^r-i poui*/i=o-
P
Or l'équation (16) étant mise sous la forme
son premier membre est le jacobien des deux fonctions ^ et
3lO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
ni'h
I — j t -i-MmÇn — ■i)yi. Elle équivaut donc à la rela-
tion
F étant une fonction arbitraire. Cette fonction sera détermi-
née par la condition (17), laquelle donne
L 'HP-OJ V?-
ou, en posant
= t', d où t:=
F((0
/■ / N -h (^
Donc à sera déterminé par l'équation
Les deux racines de cette équation se réduisent respective-
ment a zéro et a — pour jki = 0,^=0. Aux environs de ce sys-
tème de valeurs, elles sont développables en série convergente
suivant les puissances de y^ et de t. Prenant celle de ces deux
séries qui s'annule pour y^ = o, 1 = 0, on aura la fonction
cherchée <}^(jKi) O1 dans laquelle on n'aura plus qu'à substi-
tuer ^=jK2 + « • '-^yn pour obtenir les développements de
Ui, . . . , «/,i, qui seront évidemment convergents tant que les
modules des variables y seront moindres que ? R dé-
signant le rayon de convergence de la série ^(jKi, t) par rap-
port aux variables j^^ et t.
240. La démonstration du théorème général du n° 237 se
ramène aisément au cas particulier que nous venons de dis-
cuter.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3ll
Prenons, en effet, pour variables auxiliaires les dérivées
partielles
(}/^' dyf-
Pu,,'Xi,...1
qui figurent dans les équations (6) et, pour plus de symétrie,
posons en outre Ui= Po,o,...' ^es équations (6) et (7) devien-
dront
(18) pi-,,o,...,o = ^iifu •-, yn,Pl,o,...^ • • • ' /4.,a, ...,-■'),
(19) ^a„o,o,...--?f' pourri = ai et a^ < r,-.
Ces dernières équations, dérivées par rapport à r^, ■■■^ ym
donneront plus généralement
( 20 ) /?^„a. ..,a„ = ;^- -^~-- pour /, == a, et a, < n
et, par suite,
Enfin, si l'on pose J^^^ = «, dans les équations (18), il
viendra
(21) p^.,o,o,... = */(^«^i,---.r«j?i.---. j^^— r-^'--- ) pourr — «1.
Aux équations («8), (19), (20), il faut encore joindre celles
qui définissent les dérivées partielles />a„a2,...,a„,5 à savoir
Api
(22) --^-'-^^" — /?a,+ i,o,o,..., si a,<ri
et
( 23) /-?^,.a....,a„=- -T^,-; ^.^^-7- ' Si a^ -h . . . + a, ,> o.
Les relations (20) et (21) expriment d'ailleurs que les équa-
tions (23) et (18) sont satisfaites pour J'^=:ra^. En tenant
compte de cette condition, on pourra évidemment remplacer
ces équations (23) et (18) par leurs dérivées partielles par
rapport à y^ .
3 12 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
On trouve ainsi, en supposant ao >> o par exemple,
(23)'
rin^ /^)i+a,-i-...-+-a„ ,J A,J
t//>a,,a.,.. „a„ (' ^ "Pa.fiO,... Opa
y.,-hi,'x.
Si 7,2 était nul, mais a^ >> o, on trouverait de même
(23)"
^/^a,.o.ot3,... <^/^a,+i,o,«,,— ï....
et, enfin, si ag, . . . , a/;_, étaient nuls, d'où a.
Prenant enfin la dérivée partielle des équations (18) par
rapport àjKi, et substituant dans le second membre aux déri-
vées partielles des p leurs valeurs (22), (23'), (23^'), ...,
(23"0> il viendra
/ <?/? ^.0,0,... _ <^*^ , V ^^J—r^fc
àpla,,... ^/2
1.0,
^^*i>/ ^/>a,
241. Nous avons ainsi remplacé le système des équa-
tions (6) et des conditions initiales (") par celui des équa-
tions (22), (23y, (23)", ..., (23)'^^ et (24) et des conditions
initiales (20), (21). Nos nouvelles équations sont du pre-
mier ordre et linéaires; mais elles ne sont pas homogènes et
contiennent encore en général les variables indépendantes
jKo • • 'lyn- Pour achever de les réduire à la forme voulue,
introduisons de nouvelles variables auxiliaires t^, . . . , tn
définies par les équations
Elles satisfont aux équations aux dérivées partielles
, ^. dty du dt„
(2Î)) -—— I, T-=^' •••' T- — ^
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3l3
et aux conditions initiales
(26) t^--a^, t.,=iY-2^ '", in~yn pourri — <^1-
11 est clair que ces conditions suffisent à les déterminer.
Joignons ces conditions aux équations précédentes et trans-
formons d'ailleurs celles-ci : 1° en y remplaçant dans les dé-
rivées partielles de <ï>f- les variables indépendantes j^i, .-.jjK//
parles quantités équivalentes t^, ..., t„; 2" en multipliant
tous les termes des seconds membres qui n'ont pas en facteur
une dérivée partielle des inconnues p par y- > qui est évi-
demment égal à I. Cette transformation opérée, les in-
connues p et t seront fournies par un système d'équations
linéaires et homogènes du premier ordre, auquel on devra
joindre les conditions initiales (20), (21), (26) qui ont lieu
pour >'i = a^.
Les valeurs des variables ^< , . . . , tn et /?a„a2,. .,a„ po'^ii'
y^ --ai, . . ., yn=- ciii sont d'ailleurs a,, . . . ^ an et ^a„aj,..,a„-
Aux environs de ce système de valeurs, les fonctions ^i sont
par hypothèse développables suivant la série de Taylor; il
en sera de même de leurs dérivées partielles.
Toutes les conditions nécessaires à l'application du théo-
rème du n° 238 se trouvant ainsi remplies, nous obtiendrons
pour les inconnues t et />, et en particulier pour les in-
connues primitives
des séries procédant suivant les puissances dejKi — <^\-, • ••»
yji — a,i et satisfaisant à toutes les conditions du problème.
Les fonctions ut ne sont définies par ces séries que dans
la région où celles-ci sont convergentes; mais on pourra
suivre leur variation de proche en proche par les mêmes
procédés que nous avons employés pour l'étude des équa-
tions difTérentielles à une seule variable indépendante.
3l4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
II. — Équations aux dérivées partielles du premier ordre.
242. Considérons Féq nation aux dérivées partielles li-
néaire et du premier ordre
(i) Pi/?i-h...-hP„/?,,^Z,
où Pi, . . ., P„, Z sont des fonctions des variables indépen-
dantes Xi, . . ., x,i et de la fonction inconnue z] p^, . . ., p,,
désignant les dérivées partielles -r-^-, • • • ? y^-
La fonction z étant supposée définie par une équation im-
plicite
(2) *(^l, ...,^„,^)z=0,
cherchons à déterminer la forme de la fonction <ï>, de telle
sorte que l'équation (i) soit satisfaite.
L'équation (2) dérivée par rapporta Xi donnera
Substituant dans (r) les valeurs des dérivées partielles /?;
tirées des équations (3), il viendra
Pour que la valeur de z tirée de (2) satisfasse à l'équa-
tion (i), il sera donc nécessaire et suffisant que Féquation (4 )
soit une conséquence de (2).
Gela posé, intégrons le système des équations difî'éren-
tielles
dx^ _ _ dx„ __ dz
^^) P7' "P7" Z-
Les équations intégrales, résolues par rapport aux con-
stantes d'intégration C^, . . ., Cni prendront la forme
(6) ?i=^i, •••, ^n~C,n
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3l5
cp,, . . ., On étant des fonctions de ^,, . . ., Xn, z. On sait (42)
qu'en posant
F désignant une fonction arbitraire, l'équation (4) sera
identiquement satisfaite.
Nous obtiendrons donc une solution de l'équation (i) en
déterminant ^ par l'équation
F(?t, •• .,<?„) = o.
Mais il n'est pas établi que cette solution soit la seule pos-
sible, car il n'est pas nécessaire, pour qu'on ait une solu-
tion, que l'équation (4) soit identique. Il suffit qu'elle soit
satisfaite pour tous les systèmes de valeurs de x^, . . ., x^ z
qui satisfont à <ï> = o.
Pour déterminer les autres solutions, s'il en existe, nous
remarquerons que les équations (5) ayant pour intégrales
générales les équations ((3), les équations (5) ou les équa-
tions équivalentes
P2 dx^ — Pi dx^ =0, . . . , P/i dxy — Pi dxn '-=^ o,
Z dx^ — Pi dz = o
sont des combinaisons linéaires des équations
<i^i=o, ..., r/'^„— o.
On aura donc, en désignant par A,,, ...; Bj, ... des
fonctions de ^,, . . ., Xn-, z faciles à déterminer,
(7 ) Pj dxy — Pi dxi= A/i <icpi -^ . . . 4- AjVi <^'f „,
(8) Z dx^ — Pi dz = Bi (icpi + . . . H- B„ ^cp„.
Multiplions les équations (7) respectivement par /?<, ...,
pi^ ... et retranchons-en l'équation (8). En tenant compte
de l'identité
dz ■=. pi dxi M- . . . -h /?„ dXf^
et posant, pour abréger,
\ kikPi— B^T^G^t,
3l6 TR0ISIÈ31E PARTIE. — CHAPITRE IIÎ.
il viendra
( Pi/?i -t- . . . 4- ^nPn — Z) dx^ -- \ Ca d'Of,.
Si nous supposons l'équation (i) satisfaite, cette équation
se réduira à
Si donc les quantités G^ ne sont pas toutes nulles, les dif-
férentielles d'^^y ..., d'^n seront liées par une relation
linéaire, et l'on aura entre les fonctions cp une relation .
C'est la solution trouvée tout à l'heure.
Reste l'hypothèse
Ci=:0, ..., C/,= 0,
Ces équations, combinées avec l'équation donnée
déterminent/?,, ..../>„, ^ en fonction de x,, ..., Xn- I^es
valeurs ainsi obtenues fourniront une solution si elles satis-
font aux relations
dz
ce qui n'aura évidemment lieu que dans des cas très excep-
tionnels.
243. Applications. — i° Soit à intégrer l'équation aux
dérivées partielles
dz . dz
ôœ oy
des cylindres parallèles à la droite [x=^az,y^=^ b.z). On
formera le système
dx __ dy ,^
a b
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SlJ
dont l'intégrale générale est
œ — <2^ = 6', f — bz:=Ci.
L'équation proposée a donc pour intégrale générale
<î>(^ — az, y — ^^)=r:0.
2" Considérons l'équation aux dérivées partielles
^ (^^ f r^\àz
des cônes ayant leur sommet au point a, p, y. On formera
le système
dx clv clz
X — a y — |3 z — Y
dont l'intégrale générale est
log(^ — a)zrrlog(^ — Y)H-const.,
log(^ — p) =^ lo8'(^ ~ ï) + const.
ou
X — a r — 3
= const., ' ri:; const.
- — ï - — Y
L'intéerrale cherchée sera
f X — CL y —fj\
3" Considérons l'équation aux dérivées partielles
des surfaces de révolution autour de l'axe - = — = -
a [i Y
Nous aurons le système
dx dy dz
Soit dt la valeur commune de ces rapports ; on aura
dx =z (y/ — P ^) dt, drz=L{o(.z — -^(x) dt, dz-=zz{^x— a r ) dt.
3l8 TROISIÈi<[E PARTIE. — CHAPITRE III.
On en déduit immédiatement les combinaisons intégrables
œ dx -\- ydy -{- z dzz^o,
OL dx -i- ^ dy -\- ^( dz r=zo\
d'où
^--r-y^-h ^'= const, ax -h ^y -h ^z=z const.,
et l'intégrale cherchée sera
^{x'-i-y--^ z^, OLX -h pjK + Y-^) =^ ^•
4*^ Soit, en dernier lieu, l'équation
dz dz
dx '^ dy
qui définit les fonctions homogènes de degré n en x^ y. On
formera le système
dx dy dz
X y nz'
d'où
— r= const., — == const..
y ' X"-
L'intégrale générale sera donc
ou, en résolvant par rapport à — ^j
x"- -^ \y
et enfin
244. Passons à l'étude des équations aux dérivées partielles
du premier ordre en général.
Soit
(9) * = o
une équation entre n variables indépendantes ^i, ..., x„,
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Sig
une fonction z de ces variables et n constantes arbitraires
«1 , . . ., Œn. En éliminant ces constantes entre l'équation <I> = o
et ses dérivées partielles
nous obtiendrons, en général, une seule équation aux déri-
vées partielles
(il) F(^, ^1, ...,^„ ;/?!,...,/?„) =0.
La fonction s, définie par l'équation (9), sera une solution
de cette équation, quelles que soient les constantes <2,, ..., a„.
Une semblable solution a reçu le nom à^ intégrale complète.
Il est aisé d'en déduire les autres solutions de l'équation aux
dérivées partielles.
On pourra, en effet, dans cette dernière équation, faire
abstraction de la condition que/>i, ...,/?„ soient les dérivées
partielles de 5, pourvu qu'on y joigne la relation
(12) dzr=ip^dx^-+- . . . + p^dXfi^
qui exprime précisément cette dernière propriété.
Gela posé, l'équation (11), résultant de l'élimination de
<2|, . . . , a,i entre les équations (9) et (10), sera algébrique-
ment équivalente à celles-ci, pourvu qu'on y considère les a,
non plus comme des constantes, mais comme des inconnues
auxiliaires.
Nous aurons donc à déterminer les inconnues z, a^^ . . . ,
a„, /?<, . . . , pfi par les équations (9), (10) et (12).
Cela posé, différentions l'équation (9), il viendra
— - az -h -r — dxi -I- ... 4- -^ — da, -h . . . -f- ^^ — da» = o
oz dûT.^ da^ oa^
ou plus simplement, en vertu des équations (10) et (12),
(10) -:i — «<2. -f- . . . H- -r — da,, ■= o.
oai da^
Cette nouvelle équation aux différentielles totales pourra
320 TROISIÈME PAllTIE. — CHAPITRE 111.
remplacer l'équation (12) pour la détermination des fonc-
tions inconnues. Il existe plusieurs manières d'y satisfaire :
i"* On peut d'abord poser
"Y - — o, . . . , - — — o.
Ces n équations, jointes à (9) et (10), achèveront de dé-
terminer une solution, à laquelle on donne le nom à'' intégrale
singulière.
'2" Si les - — ne sont pas tous nuls, l'équation aux différen-
tielles totales(i3)montre qu'il doit exister au moins une équa-
tion de condition entre les inconnues <2,, . . . , aa- Admettons
qu'il en existe k distinctes, à savoir
(14) /1--0, ..., A — o.
On en déduira, entre les différentielles da^^ . . . , dan, les k
relations
dfi — o, ..., dfu~o,
dont l'équation (i3) devra être une conséquence. On aura
donc identiquement, en désignant parX,, . . . , Xa des facteurs
convenables,
•— - <iai -H . . . -1- -.— da„ — \ dj\ -h ... 4- \kdfi, ;
d'où, en égalant les coefficients des diverses différentielles dai,
dat dat dai
Ces équations, jointes au système (g), (10), (i4 )> détermi-
neront toutes les inconnues du problème, y compris les mul-
tiplicateurs \. Les fonctions /<, . . . ^ fk restent d'ailleurs
arbitraires.
Le système de ces solutions, renfermant des fonctions
arbitraires, se nomme Vintégrale générale.
Si nous donnons, en particulier, à k sa valeur maximum n^
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 321
les quantités a, étant liées par n équations, seront des con-
stantes, d'ailleurs arbitraires. Nous retrouvons donc, comme
cas particulier de l'intégrale générale^ l'intégrale complète
d'où nous étions parti.
On voit par cette analyse que la recherche des solutions
d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre
(i6) F(i;,^i, .. .,^„;/-?i, ...,y^„)=ro
se ramène à la détermination d'une intégrale complète.
Plusieurs méthodes ont été proposées pour arriver à cette
intégration ; nous allons exposer les trois principales.
245. Méthode des caractéristiques . — Posons, pour
abréger.
et soit
(17) Z-=:^^{.Xi, ...,^„),
une solution quelconque de l'équation proposée. A chaque
système de valeurs de x,, . . . , Xn correspondra un système
de valeurs de z et de ses dérivées partielles /?<, . . . , /?,^.
Nous appellerons éléments de la solution considérée les
divers systèmes de valeurs simultanées de :r<, . . . , x^, z-,
p^, . . . ^ p,i qui satisfont aux équations (i7).
Soit z^^ x]^ p] l'un de ces éléments. Supposons qu'on
fasse varier les quantités Xi à partir de leurs valeurs ini-
tiales jt'J*, de manière à satisfaire constamment aux équations
différentielles
(.8) i^=...= '^^=dt,
t désignant une variable auxiliaire, dont la valeur initiale soit
nulle.
Les systèmes de valeurs successifs de ces quantités, asso-
ciés aux valeurs correspondantes des quantités s, y?/, donne-
J. — Cours, III. 21
322 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
ront une suite d'éléments de l'intégrale, à laquelle nous don-
nerons le nom de caractéristique .
246. Soient ^,.27/,/?^ l'un de ces éléments; z -\- 8^, Xi-\- ùxi^
pi-\-^Pi un élément quelconque de l'intégrale, infiniment
voisin de celui-là. On aura, par définition,
(ig) 5s = />i 0^1 + . ..-!-/>,, 5.T,,,
et, en dési2:nant par Pif( les dérivées secondes -^ ^^ — j
(20) ùpi=Zpiy OJ?i -+-... -H Pi,, 8^,,.
Soit z -h dz, Xi~\- dxi, Pi + dpi un nouvel élément encore
infiniment voisin du premier, mais situé sur la caractéristique ;
on aura de même
(21) dz =^ Pi dxi -\-. . .^ Pu dxn,
(22) dpi — pi^dx^-v-. . .^ pir^dx^.
L'équation (lô), différentiée par rapport aux 8, donnera
Zoz 4-^_(X,ôX-H P/8/^/) = o,
et, en remplaçant les quantités P^, 8^, ^pi par leurs valeurs
tirées des équations (18), (19), (20),
o^S{Xi-\-piZ)^Xi-^^^j?a.
dxi
dt "
Permutant les indices i et k dans la somme double et tenant
compte de l'équation (22), il viendra
0=£[X..-H.,.Z.*^]
tiXi
et, comme les ^xi sont entièrement arbitraires, on en dé-
duira
(23) X,4-/;,Z+^ = 0, (^-zrrl, ...,/0.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 323
Enfin la différentiation de l'équation (i 6) par rapport aux d
donne
0 — T.dz-\-
\ X/ dxi H- Vi dpi
et, en remplaçant les dxt^ dpi par leurs valeurs tirées de (i8)
et (23),
(2/4) o — dz — y ViPidt.
Les éléments successifs de la caractéristique satisferont donc
aux équations (18), (aS), (24), qui peuvent s'écrire
, „, d.Ti dpi dz
(25) -^=... = - ^' ■=....= — .=dt.
p. X,+/.,Z Jp^^_
Ces équations différentielles, jointes à la connaissance des
valeurs initiales z^^ ^j-, p^^ des variables ^, ûOi,pi, déterminent
complètement la loi de leur variation. Elles sont d'ailleurs
indépendantes de la fonction <ï>. Nous obtenons donc ce ré-
sultat remarquable :
Toute intégrale qui contient l'élément z^., ^°, pj con-
tiendra tous les éléments de la caractéristique correspon-
dante.
247. Les équations différentielles (26), intégrées en par-
tant du système de valeurs initiales 5**, x^^, p^ , donneront,
pour Zj Xi, Pi, au moins tant que les quantités Z, X/, P/,
n'auront pas de points critiques, des valeurs parfaitement
déterminées
/ z =f{t,z\x<l,p'^),
(26) Xi=r^i{t,z',xlpf),
Ce système d'équations représentera une caractéristique
pourvu que les valeurs z^, x% pf satisfassent à l'équation
(27) V{z\œ\, ...,xlpl ...,pl)=^o,
qui caractérise les éléments des intégrales.
324 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE ÏII.
Les valeurs des variables ^, ^/, /^/correspondaiU a; x divers
éléments des intégrales sont ainsi exprimées en fonction des
2n-h 2. paramètres t^z^, ^'nPn ^^^ derniers vérifiant l'équa-
tion (27)-
En laissant z^, x]^ p] constants et faisant varier t^ on ob-
tiendra une infinité d'éléments formant une caractéristique.
On doit toutefois excepter le cas où les valeurs de z^^ x^l , p^
annuleraient simultanément toutes les quantités P/, X^ -\- pfL^
car les intégrales des équations (aS), se réduisant alors à
^ -— ^ > ^i^^^ ^' i y pi '—-Pi j
seraient indépendantes de t, et la caractéristique se réduirait
à son élément initial.
Enfin, en faisant varier z^, x'-^p^, on passera d'une carac-
téristique à l'autre.
Soit maintenant
(28) z=:^^{j:i, ...,x,,), pi—-^
une intégrale quelconque. Pour qu'elle contienne un élément
donné z, xi^ pt, il faut et il suffît qu'elle contienne l'élément
initial z^ , x^ , p'^ situé sur la même caractéristique, ce qui
donne les équations de condition
(29) 5»=*(^; a;»), /'?=||„-
Ces n -\- i équations, jointes aux équations (26) et (27)^
caractériseront les éléments qui appartiennent à l'intégrale.
On retrouvera donc les équations (28) de l'intégrale en éli-
minant les paramètres t, z^j x^j p^ entre les équations (26),
(27)^(29)-
248. Réciproquement, considérons l'ensemble des carac-
téristiques pour lesquelles les paramètres z^^ x] , p] sont liés
par 71 + I équations de condition quelconques
(30) CT:n=:o, ..., V5,^z=iO.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 325
Entre ces équations et les équations (26) 61(27), ^" pourra
éliminer les paramètres 2^, ^°, /jJ", ^, et l'on obtiendra ainsi,
entre les variables z, Xi^ /?/, n -f- i équations,
7—0, ..., X« = o,
d'où l'on pourra tirer en général les valeurs de z et des /?/ en
ionction des xi.
Le système des éléments qui satisfont à ces équations con-
stituera une intégrale si les valeurs ainsi-obtenues satisfont
aux relations suivantes :
(3i) F(;s; X,, ...,.-r„; ^,, ...,/?„) = o
et
219. L'équation (3i) est identiquement satisfaite. Soit
on effet, z^ ^/, pi un élément quelconque du système consi-
déré.
En donnant aux paramètres t et z^^ x]^ ])\ des accroisse-
ments infiniment petits, dt et 8s^, ^x\ ^ ô/>^^ , ces derniers
compatibles avec les équations (27) et (3o), on obtiendra
un élément z -|- As, xi-\- A^/, /J>/+ A/?/ infiniment voisin du
premier, et les différentielles totales As, A^/, A/>/ seront évi-
demment de la forme dz-\-'^z^ dxi-\-'^Xi^ dpi-\-Zpi^ en
désignant par dz^dxi^ dpiles différentielles partielles prove-
nant de la variation de t, par 8^, ^xi, 5/?/ celles qui pro-
viennent de la variation des autres paramètres, s^, x^ , p] .
Les différentielles dz^ dx^ dpi satisfont aux équations (2 5),
d'oii l'on déduit aisément les combinaisons suivantes
( 33 ) dz — y Pi dxi = o,
(34) o — T.dz-\-\ç^idxi^Vidpi)— ^fidt.
dt
Donc F est indépendant de t. D'ailleurs, pour ^ = o, il se
320 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 111.
réduit à
qui est nul en vertu de l'équation de condition (27).
250. Il reste encore à satisfaire aux équations (32). Ce
système d'équations est équivalent à l'équation aux diffé-
rentielles totales
-1
Pi Aj?j==o.
Remplaçant A^j, A^/ par dz-\-ùz^ dxt -\- ^xi, et tenant compte
de (33), cette égalité se change en
Bz \ pi0Xi = O.
Désignons par U le premier membre de cette équation, et
cherchons comment il varie avec t.
On aura
d'ailleurs
Donc
dV
dJJ z=z doz —\ dpi o^i — \ pi d ùXi ;
<i 82 = 0 <i^ r=: \ {'^pidXi-\- pidùXi).
= \ ( hpi dxi — dpi Ixi )
ou, en remplaçant les dxi^ dpi par leurs valeurs tirées des
équations (^5),
^U =y (P/ Ipi 4- X,- Ixi H- Tpi Ixi) dt;
mais l'équation F = o, différentiée par rapport aux 8, donne
Z Iz 4-^.(1"/ S/?/ H- X,- ^Xi) = o,
d'où
d\]— — Z Uz —Y Pi ox^ dt=z — Z\} dL
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SOTJ
Cette équation intégrée donnera
- j Ldt
Uo désignant la valeur initiale de U.
Il est clair que, tant que Z n'aura pas de points critiques,
comme nous l'avons supposé, l'exponentielle restera finie.
Donc, pour que U soit identiquement nul, il sera nécessaire
et suffisant qu'on ait
(35) oi=Uo=S^«— V pfoœl
251. Les solutions de cette équation aux différentielles to-
tales se trouvent aisément par la méthode du n"^ 244.
Cette équation montre d'abord que z^ est une fonction des
x^i . D'ailleurs, les 2 az -4- 1 quantités z^^ œ^ , /?[• étant liées par
l'équation F = o et les ^ -|- i relations (3o), dont nous cher
chons à déterminer la forme, il existera une relation au moins
entre les quantités x^ . Supposons qu'il en existe k distinctes,
telles que
(36) ^,(:r;,...,0 = o, ..., ^/, = o,
et soit en outre
(37) ^o = iF(^;,...,^o).
On déduira de ces relations par la différentiation
L'équation (35) devant être une conséquence de celles-là,
on aura identiquement
Uo == S^ — y _ a" 5.r« =: Xi oVF, -+- . . . -h X/, Sïïi-^,
les ). étant des multiplicateurs convenables. Egalant séparé-
ment à zéro les coefficients des diverses différentielles S^c.- ,
328 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
on aura les n équations
(38) 5ïo-ft->.^o+--- + ^A:j_^y>
qui, jointes aux équations (26), (27), (36), (37), représente-
ront l'intégrale, les fonctions XT, Wi, . . ., ^F^ restant arbi-
traires.
252. La solution précédente donne lieu à diverses remar-
ques :
1° Le système d'éléments déterminé par les équations
précédentes ne représente une intégrale, dans le sens attaché
jusqu'ici à ce mot, que si l'on peut en tirer les valeurs expli-
cites des quantités ^, /?/ en fonction des xi^ ceux-ci restant
indépendants. Il n'en serait pas ainsi dans le cas particulier
-où l'on pourrait déduire de ces équations une ou plusieurs
relations entre les xi. La considération de ces systèmes, qui
ne fournissent pas des intégrales proprement dites, est pour-
tant utile dans beaucoup de cas. Pour en tenir compte, il
conviendra d'élargir la définition de l'intégrale en donnant ce
nom à tout système d'éléments z, Xi, pt dépendant de n va-
riables indépendantes et satisfaisant aux relations
F = o, dzzzz j)^ dx^ H- . . . -h /?,j dXfi
2° Nous avons admis dans notre analyse que le système des
valeurs initiales z^ ^ x^ , p^ représentait un point ordinaire
pour les fonctions Z, X,-, P^- et n'annulait pas simultanément
les quantités P/, X/-|-/?iZ. S'il existait donc quelque inté-
grale dont tous les éléments fussent des points critiques de
Z, X/, P/ ou annulassent les P/ et les X/ ~\- /?/Z, elles échap-
peraient à la méthode précédente; mais il est clair que ces
intégrales singulières ne peuvent se rencontrer que dans des
cas particuliers.
253. Parmi les intégrales fournies par notre analyse, il en
est deux qui méritent une attention particulière.
FQUATIONS AUX DÉIIIVÉES PARTIELLES. 829
La première s'obtient en posant k = n. Les quantités ^^,
^^^, satisfaisant ainsi à n + i relations, seront des constantes;
leurs différentielles 82^, 8^)* seront donc nulles et l'équation
(35) sera identiquement satisfaite.
On voit donc que les équations (26), (27) de la caracté-
ristique représentent une intégrale si l'on y considère les
5^, œ^ comme des constantes arbitraires et les p^ comme des
inconnues auxiliaires.
L'intégrale ainsi obtenue est une intégrale complète, car
elle contient n (et même n -i- i) constantes arbitraires.
D'autre part, on ne peut déduire des équations qui la défi-
nissent aucune équation aux dérivées partielles
distincte de la proposée F = o; car, si l'on avait une sem-
blable identité; en y faisant ^ = 0, on trouverait
relation qui ne résulte pas des équations (26), (27)-
2o4. On obtiendra une autre intégrale remarquable en
admettant qu'il n'existe entre les paramètres z^, x^\ que les
deux relations
(89) ^0= T(^o, . . . , xl), x\ = const.
Les autres équations à joindre à celles de la caractéris-
tique pour obtenir l'intégrale seront, d'après l'analyse précé-
dente,
Pour la valeur particulière cT, = ^J, on aura ? = o, ^2 = -^! v>
z = z^. Ces valeurs initiales étant liées par la relation (39),
on voit que nous avons résolu le problème de déterminer une
intégrale z satisfaisant à la condition
z =z'^{x^, . . ., Xfi) pour ^j-:=a7°,
33o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
W désignant une fonction arbitraire. L'existence d'une sem-
blable intégrale avait déjà été établie au n° 23o.
255. Lorsque le nombre des variables indépendantes se
réduit à deux, les résultats qui précèdent peuvent s'inter-
préter géométriquement.
Une intégrale ^ = <ï>(:c<, ^2) représente une surface. Chaque
système de valeurs de z, Xi, x-2 représente un point; p^, p.2
sont les coefficients de l'équation du plan tangent. Chaque
élément de l'intégrale définit donc un point et le plan tan-
gent correspondant.
L'équation aux dérivées partielles
devient, en y remplaçant /;<, p^ par leurs valeurs tirées des
équations de la normale,
^1 — ^t _ ^2—^2 _ ^ — -
Px " P'i ~ — I '
-r -r ^\ — 0^\ ^2 — -^2 \ _ ^
équation d'un cône, dont la normale sera une génératrice.
Une caractéristique représentera une courbe et la dévelop-
pable circonscrite à la surface intégrale le long de cette courbe,
et le théorème du n° 246 pourra s'énoncer ainsi :
Deux surfaces intégrales tangentes en un point z^^ x\^
x\ sont tangentes tout le long de la caractéristique déter-
minée par ce point et le plan tangent correspondant.
Toute surface intégrale aura pour génératrices des carac-
téristiques. En particulier, l'intégrale complète du n"" 253
sera formée par l'ensemble des caractéristiques issues d'un
même point.
256. Première méthode de Jacobi, • — Soit à déterminer
une intégrale complète de l'équation
(4o) F(^, ^1, ...,Xn,Pu ...,/?„) = 0.
o.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 33 1
On peut réduire le problème au cas où z ne figure pas ex-
plicitement dans l'équation.
Supposons en effet z déterminé par l'équation
On en déduira
Substituant les valeurs de /?< , - - >•, pn ainsi obtenues dans
(4o), il viendra
(43) F==<î>^^,^„...,^.,^, ^:^, ..•,^^-)
Si donc nous déterminons une fonction V des n -+- 1 va-
riables Zy x^^ ..., Xn qui satisfasse identiquement à cette
équation (laquelle ne contient pas V explicitement), on ob-
tiendra une solution de Téquation primitive en déterminant z
par l'équation
Y = o.
Si d'ailleurs la solution V que l'on a trouvée contient n
constantes arbitraires 6,, . . . , bn-, de telle sorte que le jaco-
bien J des quantités -. — par rapport à ces constantes ne soit
pas nul, la valeur de z sera une intégrale complète de l'équa-
tion primitive; car, d'une part, elle contient n constantes
arbitraires et, d'autre part, le jacobien i^ des quantités
— \- Pi -^ par rapport aux constantes b ne sera pas iden-
tiquement nul; car, en y donnant aux quantités pt les va-
leurs particulières o, il se réduit à J. Donc on pourra tirer
des équations (4^) les valeurs des constantes pour les substi-
tuer dans (4j )-, ce qui fournira une seule équation F = o.
257. L'équation ^ = o étant résolue, pour plus de sim-
plicité, par rapport à -^j prendra la forme
(44) 57-^^^r'---'^-5^^--"^-^j
o.
332 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Désignons par H ce que devient le second terme de cette
équation lorsqu'on y remplace les dérivées partielles j— par
des indéterminées/)/; et formons les équations différentielles
ordinaires
. ,wv dxi dl\ dpi ^H
dz dpi^ dz dxi
Nous allons établir que la détermination d'une solution V
de l'équation (44) satisfaisant aux conditions requises et
l'intégration du système canonique (45) sont deux pro-
blèmes entièrement équivalents.
258. Supposons, en effet, qu'on ait obtenu la solution
demandée
Les équations
<^^^ ôJ=P" ^•=^^''
où les ai désignent de nouvelles constantes arbitraires, seront
lïntégrale générale du système (45)-
En effet, les équations (46), différentiées par rapport à la
variable indépendante z, donnent
d'\ Y ^-V dTf, _dpi
dxi dz Zjk àxi ôxfc dz dz^
(^7) i ^2 Y ^ ^--V dxk _
dbi dz ^k àbi dxk dz
Mais, d'autre part, en remplaçant dans l'identité (44) les
^ — par leurs valeurs /?/, elle deviendra
^-^^ = "'
el, en prenant les dérivées partielles, par rapport aux Xi et
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIKLLES. 333
aux biy on trouvera
dx: dz ' /jf, dpk dx; ' dxi '
(48)
' d'\ ^;^ d\\ djH
dbi dz
U ^ailleurs on a
d'où
ànj^ _ ^ ^^_ àPk _ _^^V_^
c/^'j- (}^/ ()xV(; (?èj ~~ dbi ôx/.
Substituons ces valeurs dans les équations (48) et retran-
chons ensuite chacune d'elles de sa correspondante du sys-
tème (47;); il viendra
Zjk(^'^'idx,, \ dz àph) ^ dz dxi^
Zukàbidxk \ dz dpk) ~~
Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport
. , dxf, dW dpi dl\ T^, .,1 1 1.
aux quantités —, :; — , —. h -^ D ailleurs le determi-
^ dz Opk dz oxi
nant des coefficients n'est autre chose que le jacobien J des
dérivées partielles -z — par rapport à b^^ ..., 6,^, lequel, par
Ox i~
hypothèse, n'est pas nul. Nous obtenons donc, comme con-
séquence des équations (4^), le système d'équations diffé-
rentielles
dxj, dW dpi àW
dz a pic dz oXi
qui n'est autre que le système (45)'
259. Réciproquement, supposons que par un procédé
quelconque nous ayons réussi à obtenir une intégrale géné-
rale des équations (45). Elle fournira les valeurs des Xi, pi
334 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
en fonction de z et de ^n constantes arbitraires c,, . .., €2/1^
Soient d'ailleurs ai, bi les valeurs des Xi^ pi pour une valeur
initiale donnée z^ de la variable z. On pourra déterminer
les constantes c au moyen des a/, bi. Substituant ces valeurs
dans les équations intégrales, celles-ci prendront la forme
(49) Xi-=zfi{z,a^,...,a,„b^,...,ba),
(50) />,— cp,(^, Cly, . . .,an, ^, ..., bn),
où les ai, bi peuvent être considérés comme de nouvelles
constantes arbitraires.
Le jacobien I des fonctions // par rapport k a\, . . . ., a,i
n'est pas identiquement nul ; car, pour la valeur particulière
z =z^^fi se réduisant à «/, I aura pour valeur l'unité.
Les équations (49) peuvent donc être résolues par rap-
port aux ai et fourniront les valeurs de ces quantités en
fonction des z^ Xi, bi. Il résulte de là que toute fonction des
quantités z, Xi, pi, ai, ^/ peut s'exprimer à volonté, soit par
les z, ai, bi seulement, soit par les z, Xi^ bi.
260. Gela posé, désignons par U ce que devient la quan-
tité
s
lorsqu'on l'exprime au moyen de 5, ai, bi', et considérons
l'expression
V— y a/,6/,+ f \}dz.
Changeons simultanément z. en z -\- dz , et ai, bi en
ai-\- oai, bi-h obi] ^i sera accru de la quantité
dont nous représenterons respectivement les deux termes par
dxi., 8^/; /)f et V éprouveront des accroissements analogues
^Pi—dpi-\- ^pi,
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES.
335
et
(5i) ^\=:dV-{-oY^Vdz-h\ iak^bk + h/M,,)-^ f h\] dz.
Or on a
"='Œ/-ë-")
=S.("'
dpk
p 0
dll . ^H . \
-^ OX/, — -— Opk )
dx^ dp/c j
ou, en supprimant les termes qui se détruisent et rempla-
d^ d
tielles (45)
çant ^ — ? -y— par leurs valeurs tirées des équations difFéren-
opk Oocjc
8U
=1
D'ailleurs
<:/^ Lui\àai dbi / o':;
^
(^«i
A.-
^jlLi^-^^^-^^-^^')"'" -^^- ^
^8.^/,
d'où
8u=y p,:^.^^PHx,^^
^yt ^/^ dz dz ^ic
Pk ^Xf
et
D'autre part,
Substituant ces valeurs dans (5i), il viendra
A V — \ ( /?/- dx/, -^ pfc ^xj, 4- aj, ùbf,) — Il dz
= \ {Pk ^^k + cik S6/,) — lî r/;;.
336 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Celte relation entre les différentielles totales AV, A.r^,
^bfc dz montre que, si l'on exprime V en fonction des va-
riables z^ Xki hk-, on aura
(53) g=-Il.
Les équations (62) donnent, entre les variables^, xj^^ pk et
les constantes ak, b^, in relations nécessairement distinctes 5
car chacune d'elles contient dans son second membre une
quantité p on a qui ne figure pas dans les autres. Ces équa-
tions ne sont donc autre chose que le système des équations
intégrales (49) 6t (5o) mises sous une forme nouvelle.
Quant à l'équation (53), elle se transforme, lorsqu'on y
ôV "'
remplace les p^ qui figurent dans H par leurs valeurs -^^ y
en l'équation aux dérivées partielles (44)*
La solution V que nous avons ainsi obtenue pour cette
équation satisfait aux conditions requises; car elle con-
tient n constantes arbitraires b^, . . ,, bn, et d'autre part le
jacobien J des dérivées -^ — par rapport à ces constantes n'est
pas identiquement nul; car, en donnant à z la valeur parti-
culière z^ . -. — := pu se réduisant à bk. J sera éeral à l'unité.
' axj, ^
On voit immédiatement que si, à la solution V que nous
venons de trouver, on ajoute une nouvelle constante arbi-
traire a, on aura une nouvelle solution V -f- a à ii-\-\ con-
stantes arbitraires, et qui sera une solution complète de (44)-
261 . Nouvelle méthode de Jacobi et Mayer. — Les deux
méthodes précédentes pour l'intégration des équations aux
dérivées partielles du premier ordre ont pour caractère com-
mun de ramener le problème à l'intégration complète d'un
système d'équations aux différentielles ordinaires.
Jacobi a donné une nouvelle méthode, considérablement
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 337
perfectionnée depuis par MM. Lie et Mayer, dans laquelle
on considère successivement une série de systèmes d'équa-
tions difTérentielles, dans chacun desquels il suffît de déter-
miner une seule intégrale. Cette méthode s'applique d'ailleurs
sans difficulté, ainsi que nous allons le voir, à la recherche
des solutions communes à plusieurs équations aux dérivées
partielles simultanées.
Soient
(54) Fi(^i, ..., ^„, /?i, ..., /?„) = o, ..., F„,=:o
ces équations, où nous supposerons pour plus de simplicité
qu'on ait fait disparaître la fonction inconnue par l'arlifîce
du n° 256. Pour que ces équations aient une solution com-
mune, il faut et il suffit qu'on puisse déterminer des fonc-
tions Pi des variables indépendantes Xi^ qui satisfassent à la
fois à ces équations et auK relations
(55) ^^ = p,
qui expriment que /;< «'/^i +...-!-/>// f/^/^ est une différentielle
exacte; car l'intégration de cette différentielle donnera im-
médiatement la valeur correspondante de z.
262» Soient Fa = o, Fp = o deux quelconques des équa-
tions données. Prenons la dérivée de la première par rapport
à Xi\ il viendra
doct Zuk àpk àxi
Multipliant par -r— ^ et sommant par rapport à ?, il vient
Zji àxi dpi ZjiZdk dpi dpk dxi
On trouvera de même, en permutant a et p,
Zâi àxi dpi 2ui Zuk àpi âp/c ôxi
J. — Cours, [II. 22
338 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Retranchons cette équation de la précédente après avoir
permuté les indices de sommation i et k dans la somme
double; il vient
(56)
\ 2^i\()xi dpi dxi dpi)
\ +Y V ^^(^^_j^Vo
\ Z^ijLJkàpi dpk\dxi dook)
Mais la somme double s'annule en vertu des équations (55).
On aura donc simplement
«=E,
A.insi, des équations primitives Fi = o, . , ., F„i= o, jointes
aux conditions (55), on déduit entre les Xi^ pi de nouvelles
relations
(Fc„Fp) = o.
Si parmi ces équations il en est qui ne soient pas une con-
séquence algébrique des équations (54), on pourra les leur
adjoindre, recommencer les mêmes opérations sur le système
ainsi complété, et ainsi de suite. On arrivera finalement, soit
à un système contenant plus de Ji équations distinctes, au-
quel cas le problème sera impossible, soit à un système
(57) Fj— o, ..., lV=o,
tel que les équations nouvelles (F^, Fp)= o qui s'en dédui-
sent, ou soient identiquement satisfaites, ou soient, tout au
moins, une conséquence algébrique des précédentes.
Lorsque cette dernière circonstance se présente, elle pour-
rait donner lieu à quelque incertitude. Pour la lever, résol-
vons les équations (57) par rapport à \k des quantités/? qui
y figurent; elles prendront la forme
/?i— /i=o, ..., p^—f^—o.
Les nouvelles équations
(/^a — /a, /^[i— /p) = o,
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIFLLES. SSq
qui se déduisent de celles-là, ne contiennent plus/?i, ••-iP^j.'i
elles ne peuvent donc être une conséquence des équations
précédentes. Elles fourniront donc des relations nouvelles,
qui permettront de continuer la série de nos opérations, à
moins qu'elles ne soient identiquement satisfaites.
Nous arriverons donc nécessairement, ou à constater l'im-
possibilité du problème, ou à former un système
(57) F,=:o, ..., F^=o,
jouissant de la propriété qu'on ail identiquement
(58) (Fa, Fp)=:0.
Un semblable système a reçu le nom de système complet.
Une équation unique Fi = o peut être considérée comme
constituant un cas particulier des systèmes complets, corres-
pondant à [JL == I.
263. Etant donné, en général, un système complet tel
que (57), cherchons à déterminer une nouvelle équation
<pr=0,
qui, jointe aux précédentes, forme encore un système com-
plet.
Le premier membre de cette nouvelle équation devra satis-
faire aux ^ équations simultanées aux dérivées partielles
(59) o = (T, Fa)=2,,U^ ^- ~ ^- 5^; *•
Ces équations linéaires forment un système jacobien, d'après
la définition du n*^ 63.
En effet, on a
Zui\àoCi dpi dpi dxi) Zjk\djc,, dpk àpk dx,j'^
ZAi\dxi dpi dpi dxij Zj/c\àx/c dp a- àpk dx
'Il
. do _. do\
àX;, ÔpkJ
3^0 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
en posant, pour abréger,
1
dF^ d'F^ dFa, à'F
dxi dpidpk dpi dxidpk ( _ d
dF^ à^F, __ dF^ J^F^ I ~ Wk ^'' ^^'
dxi dpidpk dpi docidpk
i ^Fg d'-F^ r)Fa d'^F^
\ dxi dpidxj, ôpi dxidx/. )
Mais (Fa, Fp) est identiquement nul; donc les A^, B;; sont
nuls, et notre proposition est démontrée.
Le système (69) admet donc des solutions et son intégra-
tion se ramène à celle d'une seule équation linéaire aux dé-
rivées partielles à in — [a variables, ou, ce qui revient au
même, à l'intégration d'un système de 2/^ — inéquations li-
néaires ordinaires. On connaît d'ailleurs [jl solutions du sys-
tème, à savoir F^, . . . , F^;,. L'ordre du système s'abaisse donc
encore de [jl unités et se réduit à in — 2[x.
264. Supposons qu'on en ait trouvé une intégrale o,, la-
quelle, en tant que fonction des p, soit distincte de Fi, . . . ,
¥^. 11 est clair qu'on peut y ajouter une constante arbi-
traire a<, sans cesser d'avoir une intégrale. Donc le système
Fi = o, ..., cpi+fz, = 0
sera complet.
On déterminera de même une nouvelle équation cpg -f- <^2= o
contenant une constante arbitraire «2 et formant avec les
précédentes un système complet, en trouvant une intégrale
d'un système d'équations différentielles d'ordre m — 2 [jl — 2,
et l'on continuera de même jusqu'à ce qu'on ait obtenu un
système complet
Fii=o, ..., lV = o,
Fjj.+i =:cpi4-a, = 0, ..., F„t^cp,,.jj,H- <2«_j;.=:0.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Sz+l
Les valeurs des /?/, fournies par ce système, rendront
p^dx^-\- . > .-\- Piidxn différentielle exacte; car, en tenant
compte des relations (Fa, Fp) = o, les équations (56) se ré-
duiront à
Z^iZuk àpi dpk\dœi dxk)
Le déterminant R des quantités -p- n'est pas nul, car nous
avons opéré de telle sorte que les Fi, ..., ¥ ,i fussent des
fonctions distinctes des/?/; donc les quantités
Y à¥^/dpk dpi\
Zdkdpk\àxi dx,J
que ces coefficients multiplient seront nulles. D'ailleurs le
■JT-T
déterminant des coefficients ^— -^ est encore écral à R et dif-
àpk
férent de zéro. On aura donc
dpi, __ dpi^ __
dxj ôxf, ~ '
ce qu'il fallait démontrer.
265. Les quantités /?<, ...^p^ étant déterminées par les
équations Fi = o, . . ., F,,^ := o, il ne restera plus qu'à inté-
grer la différentielle exacte />, dx^ +... + /?„ dxa- On trou-
vera ainsi
a étant une nouvelle constante arbitraire.
Nous obtenons de cette manière une solution du système
des équations aux dérivées partielles F4 = o, . . . , Fj;, = o,
contenant n — |jl -h i constantes arbitraires, et qu'on pourra
appeler une solution complète du système.
En prenant les dérivées partielles de z par rapport aux di-
verses variables ^, , . , . , Xn<, on obtiendra les équations
342 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
manifestement équivalentes aux équations
F,=rO, ..., Fjj^=0,
De cette solution complète on déduira immédiatement
toutes les solutions du système
(60) Finro, ..., l\ = 0.
En effet, soient z une semblable solution; /?,, ..., p^ ses
dérivées partielles; enfin a,, . . . , a,i_,^^^ a des inconnues auxi-
liaires, déterminées par les relations
\ z — ^(a^i, . ..,Xr„ ai, ...,a„_^) — a == o.
On aura, en différentiant cette dernière équation,
D'ailleurs, des équations (60) et (61), on déduit
d^ _ d^ _
et, comme
dz ^=: pi dxi H- ... 4- p„ dxn^
l'équation de condition (fia) se réduira à
d'il (Vj
(63) y^r/rti-i-. . .-f- - — ' — da,i^^-^ dy-^no.
Cette équation aux différentielles totales s'intégrera comme
au n*^ 244.
266. Il existe une classe particulière d'équations aux déri-
vées partielles auxquelles on peut étendre la méthode d'inté-
gration par différentiation exposée au n° 34 pour les équations
différentielles ordinaires.
Soient, en effet, Z, X,, . . . , X/^, Pi, ..., P^ p fies fonc-
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 343
lions des i?i-^i variables ^, ^,, . • . , x„, /><, ..., /?«, satis-
faisant identiquement à la relation
( r/Z-P,^X,-...-P„^X„
Supposons que, les variables x^, . . . , ^« restant indépen-
dantes, on pose
dz _ dz
et qu'on veuille déterminer z par l'équation
Z = o,
on aura là une équation aux dérivées partielles du premier
ordre qu'il s'agit d'intégrer.
En la différentianl, on aura
dZ = o
et, en tirant la valeur de <iZ de l'identité {6^) et remarquant
qu'on a par hypothèse
dz = /?, dxy H- . . . -h /?„ dxn^
il viendra
P,^Xi-|-...+ P„^X„ = o.
On pourra satisfaire à cette équation aux différentielles
totales :
1° Ou bien en posant
P, = o, ..., P„=ro:
ces équations, jointes à Z = o, détermineront une intégrale
singulière ;
2° Ou bien en posant entre les X un certain nombre d'é-
quations de condition
/, =:0, ..., fic—O
344 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
qui, jointes aux suivantes,
r> >, àf, , df,
OXf (J\i
et à l'éqnation Z = o, fourniront une intégrale générale.
Pour trouver la forme générale des équations aux dérivées
partielles du premier ordre auxquelles la méthode précédente
est applicable, nous aurons à déterminer, par le procédé qui
a déjà été exposé plusieurs fois, la forme générale des fonc-
tions Z, X/, P/, p qui satisfont à l'équation aux différentielles
totales (64).
267. L'équation aux différentielles totales (64) équivaut
évidemment au système des équations suivantes aux dérivées
partielles
i-X. "•§='•
OJii ^k àxi
(67) -^ > P/,-T^ =0.
àpi Ljk àpi
Ces équations peuvent être remplacées par d'autres, d'une
forme très remarquable, et que nous allons établir.
Nous désignerons, pour abréger, par — — l'opération
T ^/^^T-' ^* P^^ ^^ symbole [UV] l'expression
ruvi =^V /'^ ^Z _ ^ i^EV
Zji\Opi d^i dpi dxi)
A. la place des équations (66), on peut écrire les suivantes
dxi £^ii ' dxi '
qui s'en déduisent, en y ajoutant la première équation mul-
tipliée par Pi,
Op
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 345
Cela posé, donnons aux variables indépendantes ^, .r/, pi
deux systèmes distincts d'accroissements infiniment petits dz^
dxi, dfi et 8:;, 8^/, 8/>/, satisfaisant aux relations
(69) dz-=\pidxi, U—\pidxi.
Soient <fZ, <iX/, d^t et 8Z, 8X/, SP^ les ditFérentielles cor-
respondantes de Z, X;, P^-.
L'identité
<^Z— \P,-^,=:p(^^— \ pidxA,
difFérentiée par rapport aux S, donnera, en tenant compte
de (69),
S dZ — y (SP,- d\,-\- Vi 0 dXi)
= p 8 t/^ — \ ( ^pi dxi -h pi 8 dxi) .
Permutant les d avec les 8 et retranchant la nouvelle équa-
tion ainsi obtenue de la précédente, il viendra
(70) S{dVi SX, - ^X, 8P,) = ^Sidpi ^Xi~ dxi ^pi).
Or on a, d'après la relation (69),
de même
Substituons ces valeurs dans l'identité (70) et égalons sé-
parément à zéro les coefficients des diverses différentielles
346 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
dpji^ dxii, il viendra
d'où, en changeant les 8 en <i et résolvant par rapport auj
quantités dx^^ dp^,
(-3)
(*'=-;s,(£*-s-')-
Ces équations doivent être identiques à celles que l'on ob-
tiendrait en résolvant les équations (71), (72) par rapport
aux dxf(, dp/(. Les deux déterminants
et
^X,
^X,
dxj.
àpk
dP,
^P£ _
dx, "
àpk
I dPi
I d^i
P àpk
? dpk
I dPi
1 dXi
p dxk
pdxk
satisfont donc à la relation AA, = i .
Mais, d'autre part, si dans Ai on permute les n premières
lignes avec les n dernières, puis les n premières colonnes
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3^7
wec les n dernières, si l'on fait sortir du déterminant les fac-
teurs - et — I, communs à une même ligne ou à une même
P
colonne, et enfin, si l'on permute les lignes avec les colonnes,
il viendra
I
De cette équation, combinée avec la précédente, on dé-
duit
Donc, si p n'est pas nul, A sera différent de zéro.
On en déduit que les fonctions Z, X/, P/ sont indépen-
dantes. Considérons en effet leur jacobien
dz
dZ_
dZ
dz
dx^
àpn
dX,
dX,
^ll
dz
dxi
àpn
^P«
dPn
dPn
dz
dxi
àpn
En sîjoutant aux colonnes de rang 2, . . . , /^ -}- i la pre-
mière colonne, respectivement multipliée par />,, . . .,/->/o on
aura
dZ dZ_ dZ^
dz dxi Ùpn
àX, dX, dX,
dz dxi ôpn
J=^
dz dx^
àprt
Retranchons de la première ligne les n suivantes, respec-
tivement multipliées par Pi, . . . , P,2 ; il viendra, en vertu des
348
TROISIÈME PARTIE.
— CHAPITRE III.
)>(67),(68),
P o . . :
O
^X, dX,
()X,
âz dx,
dpn
= pA r^iîz p" + ''
dPn dP„
dP:^
dz dx^
dpn
Donc J n'est pas nul.
268. Soit maintenant u une fonction quelconque de s, .r/,
Pi. On aura
, \^ du , du j
"" — y ':i — dxk 4- -^ — dpk
^kdxu dpk
ou, en substituant pour dxh^ dpk les valeurs (73),
^du—\ ([P,w]^X, — [X,«]^P,).
Faisons en particulier u = X/;, puis ?« = P/^; il viendra
p./X,=:^^([P,X,]^X,— [X,X,]./P,),
p^,=^_([P,P,.]^X,— [X,P/,]^P,).
Les différentielles d'X/, (iP/ étant indépendantes, ces équa-
tions devront être identiques; on en déduit
(74)
[X,X,] = o, [P,P,-]=o,
[P,X,]=p, [P,X,]=zo.
Faisons enfin u = Z. L'identité (64) donne, en remarquant
que dz — \ pidxi= o,
^Z=:yP,-^X,-.
On aura donc ces nouvelles relations
(75) [P,Z] = pP;, [X,Z] = o,
ÉQUATIONS AL'X DÉRIVÉES PARTIELLES. 349
qui, jointes aux équations (74)? seront équivalentes à la
relation (64).
269. Supposons qu'on ait trouvé un système de n-f-i
fonctions indépendantes Z, X^-, satisfaisant aux relations
[X,X/,]rr:0, [X,Z]=:0.
On pourra déterminer sans [difficulté et d'une seule ma-
nière les n 4- I autres fonctions P/, p par les équations
(65)
(67)
(68)
dz Y P ^^^
^ ^z Y» ^ dXj,
Les 2/1 équations (67) et (68), qui doivent déterminer les
n inconnues P/, forment un système surabondant; mais il est
aisé de voir qu'elles sont toujours compatibles. On a, en effet,
les identités
s,
dX,,
dx,;
^^^-^^^)=-[^^^]-S/^f^^'^^]=^^'
<[ui fournissent n relations distinctes entre les A/, B/; car
l'un au moins des déterminants formés avec les éléments du
tableau
dXj,
dxi
diffère de zéro, puisque le déterminant A, qui est ime fonc-
tion linéaire de ces déterminants, n'est pas nul.
Ceci montre d'une part que, parmi les 2n équations (6*7)
et ( 68), il y en a nécessairement n qui sont des conséquences
des autres, et d'autre part que, parmi ces équations, il y en a
35o TROISIÈME PAHÏIE. — CHAPITRE III.
toujours n essentiellement distinctes, dont la résolution don-
nera les inconnues P^.
270. Soit
(7b) 1^ Z,X,, ...,^«, -, ...,,..
\ d^i ôxn dx\
une équation aux dérivées partielles entre les variables indé-
pendantes :ri, . . . , ^^2 et une fonction inconnue z. On pourra
remplacer cette équation par le système des deux suivantes :
(77) F(-. -2^1, -".^n^Px^ . ",Pm J^'^ •
dz — \ Pi dxi ■=: o.
Soient Z, X/, P/ des fonctions de z, Xi^ pi déterminées
comme ci-dessus, de manière à satisfaire à l'identité
c/Z - y P/ dXi ^rJdz— s Pi dx^ .
Substituant dans les équations (77) les valeurs de z, Xi^ pn
~l-^ ; •••en fonction de Z, X/, P/ et de leurs dérivées par-
(jx ^
tielles par rapport à X|, Xo, . . . , on aura de nouvelles équa-
tions
*/^7 Y Y P P ^^ ^^^ \
q>l Zi, Al, . . ., A,j, 11,..., r„, . . . , j^. • • • 5 ^^^-5 • • 'Y
dZ—SVidXi — 0,
équivalentes à l'équation aux dérivées partielles
Cette équation transformée est du même ordre que la pri-
mitive.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 35 1
271 . Les transformations de ce genre, auxquelles M. Lie a
donné le nom de transformations de contact, ont une grande
importance. L'une des plus simples est la suivante, déjà con-
sidérée par Legendre,
Z =r — 3 + \ piXi, Xi — pi, P,- = Xi,
C'est bien une transformation de contact, car on a
<:/Z — \ P/ r/Xj m — dz + \ {pi dxi -f- Xi dpi ) — \ Xi dpi
— —idz — \pi dxi \ .
Cette transformation est d'ailleurs réciproque, car on dé-
duit des équations ci-dessus, résolues par rapport à ^, xi^ pi,
z^-L
-^^P,X„ ^,-=P„ Pi=Xi.
IIL — Équations aux dérivées partielles du second ordre.
272. Parmi les équations aux dérivées partielles à deux
variables indépendantes et d'ordre supérieur au premier, la
plus simple est évidemment l'équation monôme
Am-\-n 2;
Il est facile de trouver son intégrale générale.
En effet, prenons pour variable auxiliaire la dérivée
-r— - = a; on aura
d'"" u
-^ — = o.
Donc, pour une valeur constante de r, la quantité w, consi-
dérée comme fonction de x seul, aura sa dérivée m'*^''"® nulle;
elle sera donc de la forme
Ao+ A,^-r-,
352 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Ao, . . . , ^m-\ étant des quantités indépendantes de x et, par
suite, des fonctions, d'ailleurs arbitraires, de la seule va-
riable y.
La valeur de u étant ainsi déterminée, on aura
1^ = Ao+ Ai^ + . . . 4- K-vX"'-K
f)yn
Désignons par Yq, ..., Y,;,_, des fonctions de y, ayant
respectivement pour dérivée ai'"'"° Aq, . . • , A^-i- L'équation
précédente admettra la solution particulière
Pour obtenir la solution générale, posons
L'équation deviendra
et donnera
p .rr- Xo + Xi/ + . . . -f- X,,_, y^-\
Xo, . . . , ^:i-\ étant des fonctions arbitraires de x. On aura
donc finalement
5 = Yo 4- Yi ^ + . . . 4- Y,„_, T'—\
-t- Xo -h Xi/ + . . . + X,,_i y"-'.
D'ailleurs Aq, . . • , A,„_, étant des fonctions arbitraires de j,
leurs intégrales n'^'^''' Y», ..., Y^-k seront également des
fonctions arbitraires.
En particulier, l'équation du second ordre
= 0
dx dy
aura pour intégrale
^rrzX + Y.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 353
273. Considérons avec Euler l'équation plus générale
d'z , d'z (Pz
dx- ôx av ay-
a, 6, c étant des constantes.
Changeons de variables indépendantes, en posant
a, [^, Y, 8 étant des constantes.
On aura
d d d d ^â ^ d
dx ^; âr, dv â^ dr^
dx' ~ y d'^'^^' d-n) '
L'équation transformée sera donc la suivante :
+ 2[«aY-h ^(aoH-|3Y)-hcPo]
Soit en particulier
a — Y = i, ? = >^i, T = >^2,
Xi et ).2 étant les deux racines de l'équation
a -h'2b\ -+- cl^ = 0.
Les termes en -^) j-^ disparaîtront, et 1 équation transfor-
mée, se réduisant à
d'z _
aura pour intégrale générale
/et cp désignant des fonctions arbitraires.
Si l'équation en X a ses deux racines égales, les deux nou-
velles variables 5 et tj ne seront pas distinctes. Le procédé
J. — Cours, III. 23
354 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
précédent doit donc être légèrement modifié. On prendra,
dans ce cas, a=: i, '^ ='k et on laissera y et S arbitraires.
d'^z
Les quantités a -f- bX, b -\- cX étant nulles, le terme en ^. !'
^ ^ di; dri
s'annulera; l'équation se réduira à
d'z
et aura pour intégrale générale
/(^) ^?{^U=A^ -\-ij)-ho{x-h Xj) {yx + S/).
274. La méthode précédente, convenablement généralisée,
permet de ramener à une forme plus simple l'équation
.d'z .. o»- ^d'z -,
^-—' +2B-^ — - -hC-^— +M==o,
dx- dx df df^
où A, B, G sont des fonctions de x^y, et M une fonction de
dz dz^
^' ^^' ^' dx' df'
Soient, en effet, ^, r\ deux fonctions de x, y, que nous
prendrons pour nouvelles variables indépendantes; on aura
dz dz de, dz dr,
dx d^ dx dr\ dx
dz
àf
dz d\ dz dr^
~~ d\ df dt\ df^
d'z
dx'^~
d'z/d'^y d'z/dr^y d^'Z r)^ (>n
"" d'ç' \dx) ' dci' \dx) ' ^ d;dr, dx dx
_^ dz d'-\ _^ dz d'ri
d^ dx- dri dx^
d'-z
dxdf "
d'z dl d\ d'z dri dri
" dk' dx df ' dri'^ dx df
d'z ( d\ dri dv, dl\ dz a^^ dz d'ri
dUri \dx df ' dx df) ' d'ç dxdf dri dxdf
â'z
df' '
d'zfd'^y d'zfdriY d'z dl dri
~ d'C- \df) ' dri^ \df) ' ^d\dri df df
dz dn dz d'r,
"^ dl df' "^ dri df^
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 355
Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura
une transformée de même forme
A'^ -H 2B'4-^ + C' ^~ -1- M'==o,
c' = a(4^Vh-2b4^^h-c^^V.
où
d.r / dx dy \ày
Ces deux coefficients s'annulent donc si l'on prend pour ^
et 7] deux intégrales distinctes de l'équation aux dérivées
partielles du premier ordre
^ ' \dx J dx dy \^f /
Le premier membre de cette équation est un produit de
, r . '\ ait ^ du ^ du , du ^ , , ,
deux tacteurs k~ h |^--r-? f^\ -^ H p-i ;p • l^n les égalant
séparément à zéro, on aura deux équations linéaires du pre-
mier ordre; leur intégration donnera les fonctions ^, 'r\, dont
l'introduction comme variables indépendantes réduira la pro-
posée à la forme plus simple
Cette méthode serait en défaut si le premier membre de (i)
était un carré parfait; car Ç et y), déterminées par une même
équation linéaire, ne seraient pas distinctes. Mais, en prenant
dans ce cas, pourv), une intégrale de cette équation et, pour Ç,
une fonction quelconque, on voit aisément que B' s'annulera
ainsi que G^, de sorte qu'on obtiendra une transformée de la
forme
275. Parmi les équations de la forme (2), nous considé-
356 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
rerons en particulier l'équation de Laplace
(3) -i!i-4-M^+N^-l-P^ + Q=:o,
où M, N, P, Q sont des fonctions de œ, y seulement.
En prenant pour variable auxiliaire la quantité
(4) J + M«- = «.
l'équation proposée pourra s'écrire
(5) 3- -hN« 4- Q -t- A^=:o,
en posant, pour abréger^
P _ ^ _ MN == A.
ox
L'équation (3) est donc équivalente au système des deux
équations simultanées (4) et (5). Ce système s'intègre immé-
diatement si A = o. En effet, l'équation
3- 4- N w -}- Q = o,
ox ^
ne contenant de dérivation que par rapport à x, deviendra^
pour une valeur constante dejKj une équation aux différen-
tielles ordinaires, linéaire et du premier ordre, dont on dé-
terminera aisément l'intégrale générale sous la forme
Ui étant une intégrale particulière et G une quantité constante
pour y constant et, par suite, une fonction de y seul, d'ail-
leurs arbitraire.
Substituons la valeur de m ainsi trouvée dans l'équation (4).
Cette équation, ne contenant de dérivation que par rapport
à jKî pourra de même s'intégrer comme une équation aux
différentielles ordinaires, à la condition de remplacer la con-
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 357
stante d'intégration par une fonction arbitraire de x. On aura
donc, pour ^, une expression où figurent deux fonctions ar-
bitraires, l'une de Xy l'autre de y.
276. Supposons, en second lieu, que A soit différent de
zéro. L'équation (5) donnera
I [du
dy
Tl/IAT 4 à"^
MN 4-A=: -r
ày
^(?logA_^p ÔM
dy Ox '
'■« =^-
-Q^^MQ;
(6) . = -l(^^N„-HQJ.
Substituons cette valeur dans (4) et posons, pour abréger,
A dy
dN _ N ^
'"ày A dy
_dQ_ Qd_A
"^'-dy Ady
il viendra
, , d^u _. du ^jdn ^^ ^
<7) 5^ + ^i'5^+^âP + P'" + Q' = °'
équation de même forme que la primitive. Si elle peut être
intégrée, la formule (6) donnera la valeur de z.
Cette intégration pourra se faire immédiatement si l'on a
A o àM, „ , . r^MogA ^ dis dM
ox dx dy dy dx
= -r f h2A + -^ -HMN — P.
dx dy dy
Sinon, opérons sur la transformée comme nous l'avons
fait sur l'équation primitive; nous ramènerons son intégra-
lion H celle d'une nouvelle transformée
d^v ,, di^ T.,di' „ ^
dx dy dx dy
358 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
laquelle pourra se faire si l'on a
O J\2 -3 3 h Al H r
o^ oy oy ojo
ox oy
Continuant de même, nous aurons un nouveau cas d'inté-
grabilité, si la quantité
est nulle, et ainsi de suite.
277. L'équation primitive ne changeant pas de forme si
l'on y permute ^ et M avec y et N, nous obtiendrons évi-
demment une seconde série de cas d'intégrabilité analogue à
la précédente en formant successivement les quantités
B = P- ^ — MN,
ày
^ dx dy âx dy
âx dy
Si l'une d'elles s'annule, on arrivera à une transformée
intégrable.
278. Considérons l'équation de Liouville
dx dy
Posons
11 viendra
!=«■
âx
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SSq
et, en prenant la dérivée par rapport àjK,
dx dy df djc ^
à (à<i „
Cette équation peut s'écrire ainsi
dx\ôy "^ J
ou, en intégrant,
l f" (y)
Soit ^{y) = -^ .,/ ( une solution particulière de cette
équation; on aura
dy ^ "" ' ^ 2X /''
et ces équations n'apprendront rien sur les fonctions <]> et /,
la fonction F étant arbitraire.
Pour avoir la solution générale, posons
u étant une nouvelle variable, il viendra
/'(y)
OU, en multipliant par —
du
'^ ^^'^ dv fi y)
ou
à f'{y)
à/ u
\f{y) = o.
36o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITKE III.
Intégrant par rapport ky, il vient
-fiy)
d'où
u ■=
Q
/"(y) /'(/)
et enfin
-^X/'l/) X/(/)H-cp(^)
279. Étant donnée une équation aux dérivées partielles
du second ordre
F{z,œ,y,p,q,r,s,t),
, , dz dz â'z
où nous posons, pour abréger, -^= p, -^= q, — — /, ...,
proposons-nous de lui appliquer la transformation de Le-
gendre. Soient
Z—px^qy — z, X=/?, X—q
les nouvelles variables, et désignons par P, Q, R, S, T les
dérivées partielles 3â7' ^y' 7^' * * " '
On aura
dLr^ X dp + y dq ^ p dx -\- q dv — dz
^=z X dp -h y dq :=^ X d\ -f- y dY,
d'où
F = x, Q=y,
et, par suite,
5r=PX-+-QY-Z.
On aura ensuite
^X = dp — /• dx -+-S dy, dY :=^ dq ~ s dx -{- t dy ,
dx^dV^V.dX-^'^dY, dyz^d(i^^dy.-\-Td\\
ÉQUATIONS AUX DÉUIVÉES PARTIELLES. 36 1
et, en éliminant dX et dY,
dx — {Rr -4- bs) dx + (R^ + SO dy,
dy — {'^r-^Ts)dx-^{Ss +T0^/;
d'où
R/--hS5=:l, R5 + S^=0,
Sr -hT5 = o, S5 +ï^=zi,
et enfin
_ T _ S R
'■— KT-S2' ^~ RT-S^' ^— RT-b^*
L'équation transformée sera donc
FfpX+QY-Z,P,Q,X,Y,jj^,j^
R
HT— S^ RT— S-
280. Nous allons appliquer cette transformation à l'équa-
tion aux dérivées partielles des surfaces dont les rayons de
courbure principaux sont égaux et de signe contraire.
Nous avons donné {Calcul différentiel , n" 337) l'équa-
tion du second degré, qui détermine ces rayons de courbure.
Égalant à zéro la somme de ses racines, on obtiendra l'équa-
tion différentielle cherchée
(iH- ^2),. _ 2pqs -h{i -\- /f-)t — 0.
Par la transformation de Legendre, elle deviendra
(8) (H-X-^)R + 2XYS 4- (i 4-y2)T = o.
Différentiant par rapport à X, on trouvera
Mais on a
R =
dP dx
dx-dx' ^-
dP dx
~dY~c?Y'
ÔR d'x
dS dKT
ÔT d^P
'dX~'dX"^'
dX~ âXôY'
âX - ÔY^
dY'-
362 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
L'équation (9) peut donc s'écrire
(10) (
La différentiation par rapport à Y donnerait pour y la même
équation aux dérivées partielles. Enfin, en tenant compte de
la relation (8), on vérifiera aisément que
^ = PX-f-QY-Z -=1^X4-7 Y-Z
satisfait encore à cette même équation.
Pour intégrer l'équation (10), nous la simplifierons sui-
vant la méthode du n° 274, en remplaçant X, Y par de nou-
velles variables indépendantes Ç, Tj, qui satisfassent à l'équa-
tion aux dérivées partielles
Cette dernière équation, décomposée en facteurs, donne
la suivante :
(II) (i + X^)g+(XY=Fv/-'-X^-YO^-^ = o,
dont l'intégration se ramène à celle de l'équation différen-
tielle ordinaire
^X dY
I +^' XYqi s/- I - X2 - Y=^
ou
dY
(12) (i_^X'^)^=.XY=pv/-i-X^-Y'^.
Prenons la dérivée de cette équation et remplaçons-y
-rrr par sa valeur; il viendra
(.+X')^=o.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 363
d'où
dY
-j^ =: const.
aX
L'intégrale générale de (12) sera donc
= const.,
de sorte que les nouvelles variables indépendantes à prendre
seront les suivantes :
+ X- XY -H ^/_r_X2 — Y*
(i3)
XY— v/— I— X^ — Y2 1 + ^'
- I +X-^ _ XY- y/- I -X^- Y^
^ ^ ~~ XY+ v/— I-X2-Y2 ~ I +Y2
Éliminons le radical entre les denx équations équivalentes
qui donnent Ç; il viendra
i4-X^+(i-{-Y2)^^-2XY^=:o,
d'où
(i4) x^Y\ + sJ-i-l\
On trouvera de même
(l5) X=rYï)H-v/-I — r,^
De ces deux équations on tirera
A. — ^ , 1 — .
L'équation (10), exprimée au moyen des nouvelles va-
riables ?, 71, prendra la forme
T d'^x -. dx -T dx
364 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
OÙ les coefficients M, N ont pour valeurs
Or ces deux coefficients sont nuls. En effet, l'équation (ii)
à laquelle satisfont S et 7| peut aisément se mettre sous les
deux formes équivalentes
(.6) (xY±^_,_X^_YOg + (,+Y^)^=o,
(.6)' (-X+ 1 Vii^/'_Ym-
au , ,r„v du
X \ du
_j_X2-YV ^^
== o.
Ajoutons à cette dernière équation la dérivée de (i i) par
rapport à X et celle de (i6) par rapport à Y ; il viendra
-, du ... du
Prenant successivement pour u les fonctions $, t], on
aura M == o. N = o.
L'équation transformée se réduira donc à
= 0
et aura pour intégrale générale
*(0 + T(r,),
^ et W étant des fonctions arbitraires.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 365
281. Il résulte de l'analyse qui précède que les surfaces
cherchées appartiennent à celles dont les coordonnées
peuvent s'exprimer en fonction de deux paramètres $, t\
par des équations de la forme
^— *(^) 4-W(rJ,
/=.*,(?)4-^,(-0,
Ces dernières surfaces jouissent de la propriété géomé-
trique d'être engendrées (et cela de deux manières diffé-
rentes) par la translation d'une génératrice de forme inva-
riable. Il est clair en effet que les courbes r, = const.
représentent les diverses positions d'une même courbe dé-
placée parallèlement à elle-même. De même pour les courbes
Ç = const.
Nous allons poursuivre l'étude du problème, pour achever
de préciser la nature des surfaces cherchées.
282. Puisque ;r est la somme d'une fonction de ? et d'une
fonction de vj, nous pourrons poser
^ = cp'(^)+.y(r.),
cp et tj> étant arbitraires. Gela posé, on a
d'oiî
Y étant supposé constant dans l'intégration. Or les équa-
tions (i4) et (i5) donnent, dans cette hypothèse.
dX = Yd'^-^ds/-i — V^ = Yd'n -i- d^- I - r;-.
Substituant ces deux valeurs de dX. dans les intégrales cor-
respondantes, etintégrant par parties le second terme de cha-
366 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
cune d'elles, il viendra
G désignant une fonction de Y.
Pour obtenir maintenant jk, nous aurons à prendre la dé-
rivée partielle de cette expression par rapport à Y, en sup-
posant que les variables indépendantes soient X, Y. On a,
dans cette hypothèse, en prenant les dérivées partielles des
équations (i4) et (i5),
i
4-
dY
ÔY
4-
0\'-
dY
-1 -
•m
— I —
- '"'" _
ÔY
o.
En tenant compte de ces relations, la dérivée de Z se ré-
duira à
y = <f(^)-Ê<f'(f) + ^(n)-,,f(,,)+.^^,.
Mais jK doit être de la forme <I>(^) -h ^(71)5 et son dernier
terme -^ est une fonction de Y, qui ne peut être de cette
forme que s'il se réduit à une constante. D'ailleurs on peut
fondre cette constante dans la fonction arbitraire cp, de telle
sorte qu'on ait simplement
J = <f(|)-$cp'(0+^.(r,)-,,y(n).
La quantité G qui figure encore dans l'expression de Zsera
une constante qu'on peut supprimer en la fondant avec les
intégrales.
Il ne reste plus qu'à déterminer la quantité
z = Xa^-hYy--Z.
En y substituant les valeurs trouvées de x^ y, Z et tenant
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 867
compte des relations (i4) et (i5), il viendra
Nous avons ainsi exprimé les trois coordonnées x, jk, z des
surfaces cherchées au mojen des paramètres ^, 7|.
283. Considérons l'équation aux dérivées partielles du
premier ordre
(17) ^{u,ç) = 0,
OÙ Uj p sont des fonctions données de x, y, z, /?, q, dont
l'une au moins contienne p ou q^ et <ï> une fonction arbi-
traire.
Prenons les dérivées partielles de l'équation. Il viendra
âul
tLhmmant le rapport -^r- I -r-' oii obtiendra une équation
^^ ou ov '■
du second ordre, de la forme
(18) Rr -i- 2Ks -^ ht -h M -}-N{rt — s'-)— o,
où H, K, L, M, N sont des fonctions de x, y, z, p, q.
L'équation (17) du premier ordre est dite une intégrale
intermédiaire de cette équation du second ordre.
Réciproquement, étant donnée une équation du second
ordre de la forme (18), on peut se proposer avec Monge de
reconnaître si cette équation admet une intégrale intermé-
diaire et de déterminer celle-ci lorsqu'elle existe.
'du
du
-H r
du
dp
ôx
di'
4- /"
dv
dp
du
.ày
du
-\- s
du
dp
Vày
di>
^^-di
-\-s
d^
dp
368 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
281. Supposons que l'équation (i8) admette une intégrafe
intermédiaire (17). Soit V ce que devient le premier membre
de l'équation (17) pour une détermination donnée à volonté
de la fonction <I>. En changeant $ en <[> — c, c désignant une
constante arbitraire, on obtiendra l'équation
(19) Y = c
comme cas particulier de (17).
Toute solution de cette équation satisfera donc à l'équa-
tion (18). Mais elle satisfait en outre aux deux équations
ÔY
-^P
dY
ôz
-h A-
ÔY
dp
-h s
à/
àf
-+-^
ÔY
dz
+ 5
dY
dp
-ht
àq
\ uv uz uif ai '
(20)
obtenues en prenant les dérivées partielles de (19).
Tirons de ces équations les valeurs de r, s pour les substi-
tuer dans (18); il viendra
(21) P-hQ^=zo,
en posant, pour abréger,
PrrzHf-^ -^^— - -H— — +/.-_
'd^-^'^-di)d7i-^jp\-ù:v^^'Tz
^.(dY ^ dY\ôY ,,fdYY _ /^V dY
dy ' ^' dzjdp ' ^^^\dpj ''\df ^^ dz
0 = H|^— V"-2K— ^-hL(^ -
^ \àq J dp dq \ dp
^/dY , dY\dY ^/dY dY\dV
-''[dy^'^Tz)dq-''[d^^^Tz)dp'
L'équation (21) doit être une conséquence de l'équa-
tion (19). Mais les seules relations indépendantes de la con-
stante c que celle-ci établisse entre ^,JK, z, p, q, r, 5, t sont
évidemment les relations (20). Or, si nous supposons que V
/dYY
contienne /?, le déterminant (-y-) des relations (20), par
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 869
rapport à r et 5, étant ^ o, on ne pourra en déduire aucune
relation nouvelle, indépendante de /' et de s; donc l'équa-
tion (21) ne pourra subsister que si l'on a identiquement
P = o, Q = o.
Ce sont deux équations simultanées du premier ordre, aux-
quelles la fonction V doit satisfaire. En général, elles sont in-
compatibles ; mais, si elles ont des solutions communes, cha-
cune d'elles donnera une fonction V, telle que l'équation
V=^ c entraîne comme conséquence l'équation (18).
285. Ces équations P = o, Q = o sont du second degré par
rapport aux dérivées de V; mais elles peuvent être notable-
ment simplifiées.
En effet, éliminons entre ces deux équations la quantité
dV dV ,. , 11 , .
1 '"/^ '^' ^^^^^^ obiendrons cette nouvelle équation
(22)
(HL-MN-K2)( ^-
d'où l'on déduit, en posant, pour abréger,
G = K- -f- MN — IlL,
(23) N^--H^_j-H(K±v/G)-^--II_=^o.
Substituons dans Q = o la valeur de -^ \- c/ -r- tirée de
Of ^ âz
cette équation, et supprimons le factehir commun ~; il vien-
dra
Les deux équations (28) et (24) sont linéaires. Si G n'est
pas nul, on pourra prendre successivement pour y/G les deux
J. — Cours, lîl. 24
370 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
valeurs dont cette quantité est susceptible ; on obtiendra ainsi
deux systèmes d'équations linéaires
(25) P, = o, Q,= o
et
{26) P2=0, Q2=0,
et V devra nécessairement satisfaire à l'un des deux. Si G est
nul, ces deux systèmes se réduiront à un seul.
286. Nous avons toutefois supposé dans la démonstration
que -T— n était pas nul. !m 1 on avait — - = o, mais -^- ^o, on
^ dp ^ dp ^ dq ^
n'aurait qu'à permuter dans le raisonnement x^ p, /% H
avec y, g, ^, L, et l'on arriverait au même résultat, car ce
changement transforme simplement P^, Q,, P^, Qo en Qo,
Notre conclusion ne serait donc en défaut que si V ne
contenait ni p ni q. Mais, par définition, s'il existe une in-
tégrale intermédiaire <ï>(w, <^)= o, l'une au moins des fonc-
tions u, V contiendra p ou q. Donc, parmi les fonctions de la
forme 4>(m, (^), on pourra trouver deux fonctions distinctes U
et V contenant chacune p ou. q et satisfaisant, par suite, à
l'un des deux systèmes d'équations (aS) ou (26). Toute fonc-
tion ^(U, V) de U et de V qui contient/? ou ^ y satisfera de
même.
On déduit de là que U et V doivent satisfaire toutes deux
au système (aS) ou toutes deux au système (26). Supposons
en effet que U satisfît au système (26) et V au système (26) ;
^(U, V) ne satisferait, en général, à aucun des deux. En
effet, l'équation P<, par exemple, étant linéaire, le résultat
de la substitution de ^(U, V) dans cette équation sera
S et T étant les résultats de la substitution de U et de V.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 871
Mais U satisfaisant à P, = o et V à
on ama
S =0, T — 2 v/G -.— =rr o,
De même, le résultat de la substitution de ^'(U, V)
dans Q, sera — 2 y/G 3~~ ^v^ ^^ ^^ n'est pas nul, les deux
systèmes (25) et (26) étant supposés distincts; d'autre part,
ÔY ÔY
-r- et -r- ne sont pas nuls à la fois; enfin, si W contient V,
-rv, n^est pas nul; donc W ne pourra satisfaire à la fois aux
deux équations P< = o, Q, = o. On voit de même que, si
W contient U, il ne peut satisfaire à la fois aux équations
P2=o, Q2=0.
Si donc il existe une intégrale intermédiaire, l'un au
moins des deux systèmes (25) ou (26) admettra deux inté-
grales distinctes U et V.
Réciproquement, si le système (25), par exemple, admet
deux intégrales distinctes, U et V, il admettra comme inté-
grale ^F(U, V), quelle que soit la fonction W, et l'on aura
l'intégrale intermédiaire
^F(U, V) = o.
La recherche des intégrales intermédiaires se réduit,
comme on le voit, à celle des solutions communes à deux
équations linéaires du premier ordre.
287. Lorsqu'on a réussi à trouver une intégrale intermé-
diaire
^F(U,V)=:0,
il ne reste plus, pour obtenir ^, qu'à intégrer cette équa-
372 TROISIÈME PARTIR. — CHAPITRE III.
tion, qui est équivalente à la proposée, mais du premier
ordre seulement. Toutefois, la présence dans l'équation
d'une fonction arbitraire rendra en général l'intégration plus
difficile.
On peut d'ailleurs obtenir plusieurs intégrales intermé-
diaires, soit que chacun des deux systèmes (aS), (26) en
donne une, soit que l'un d'entre eux en fournisse plusieurs.
En effet, ce système étant formé de deux équations entre
cinq variables pourra admettre dans certains c^s jusqu'à
trois intégrales distinctes U, V, W. Il fournira alors deux
intégrales intermédiaires
W{l],\)=.o, X(U,W) = o.
Supposons qu'on ait obtenu deux intégrales intermé-
diaires, on pourra les mettre sous la forme
(27) U=/(Y), U,=:?(VO.
Joignons à ces équations la suivante :
dz —s p dx -h ([ dy.
On pourra tirer/? et q des équations (27) pour les substi-
tuer dans cette dernière; on obtiendra ainsi une équation
aux différentielles totales entre les seules variables x^ y^ z.
Cette équation satisfait évidemment à la condition d'inté-
grabilité, et son intégration donnera z.
Il y aura, en général, avantage à faire un changement de
variables en prenant V et Vi pour variables indépendantes
à la place de x et de y.
288. Soit, comme application, à intégrer l'équation
rt — .9-rrr O.
On a ici H = K =: L r=z M = o , N = i , G = o , et les
deux systèmes (25) et (26) se réduiront à un seul
dx ' dz ày dz
à
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. B^Z
Ce système admet évidemment les trois intégrales
V=r/?, V:=^, \=ZZ — pœ — qy.
On aura donc les deux intégrales intermédiaires
qu'on doit combiner à
dz:=. p dx 4- q dy,
La différentialion des deux premières équations donne
àq=f'{p)dp,
dz — p dx — q dy — x dp — y dq =rz ©'(/^) dp^
et, en substituant les valeurs de dz et dq^
[^-^f'{p)y-^^'{p)']dp^o.
En posant dp ■= o, d'où p =i c^ on aura la solution parti-
culière
z — cx~J\c)y^^{c),
et, en égalant à zéro l'autre facteur, on aura une autre in-
tégrale, représentée par ces deux équations
^ — p^ — f{p)y — '^{p)y
^-^f'{p)f-^?'ip)^o.
IV. — Équations linéaires à coefficients constants.
289. Les problèmes de la Physique mathématique con-
duisent en général à intégrer des équations (ou des systèmes
d'équations) aux dérivées partielles, linéaires par rapport
aux fonctions inconnues et à leurs dérivées partielles.
S'agit-il, par exemple, de la propagation de la chaleur, on
aura entre le temps t, les coordonnées ^, /, z d'un point
374 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
quelconque du corps étudié, et sa température U, l'équation
a désignant une constante.
Il faudra joindre à cette équation, pour préciser la ques-
tion, certaines conditions accessoires qui varieront dans
chaque cas.
Si l'on considère un espace illimité, on rendra le pro-
blème déterminé en joignant à l'équation (i) une équation
de la forme
U=/(^,J, -) pour t=zo,
laquelle donne en chaque point la température initiale.
S'il s'agit d'un corps K de dimensions finies, on pourra se
donner la température initiale de chacun de ses points, ce
qui donnera la condition
(2) V :=J{a:,y, z) pour^ = o.
Mais cette condition n'ayant plus lieu pour un point quel-
conque ^, y, z de l'espace, mais seulement pour les points
intérieurs à K, ne suffira plus pour rendre la question déter-
minée. Il faudra y joindre de nouvelles conditions relatives
aux points de la surface S qui limite R. On pourra, par
exemple, se donner la température à chaque instant en
chacun de ces points, ce qui donnera une équation de con-
dition de la forme
(3) Y—(f{x,y,z,t),
valable pour tous les points de S.
La connaissance de la température à la surface du corps
peut d'ailleurs être remplacée par une autre donnée équiva-
lente.
Si, par exemple, on sait que le corps rayonne librement
dans un espace à une température constante, l'équation à la
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 87 5
surface (3) sera remplacée par la suivante
(A) -— cosa+ -.-- cos8 + — -cosv =: AU,
^^^ âôc df dz '
OL, p, Y étant les cosinus directeurs de la normale à la surface
au points, y, z el h une constante.
Nous avons ainsi, en général, deux sortes de conditions
accessoires : i*' conditions initiales qui auront lieu pour
^ ^= o dans tout l'intérieur du corps considéré; 2° conditions
relatives aux limites, qui seront vérifiées à la limite du
corps. Les unes et les autres peuvent être variées d'une infi-
nité de manières, ce qui donnera lieu à autant de problèmes
essentiellement distincts.
2/90. En général, les conditions accessoires, de même que
les équations aux dérivées partielles, seront linéaires par
rapport aux fonctions inconnues et à leurs dérivées par-
tielles. Il en résulte d^iraportantes conséquences.
Soient, en effet, Ui, Uo, ••• les fonctions inconnues,
t^ X, ... les variables indépendantes. Les équations aux dé-
rivées partielles seront de la forme
(5) F,=/,, F^^y;,
les conditions accessoires de la forme
(6) *i=Ti, *2— T2> -y
F,, F2, . . ., ^j, <ï>2, . . . étant des fonctions linéaires et ho-
mogènes par rapport à U<, U2, ... et à leurs dérivées par-
tielles, et /i,/2, . . . , cp,, cpo, . . . des fonctions des variables
indépendantes.
Supposons que nous soyons parvenus à déterminer :
1° une solution particulière U'^, Uj, ... du système d'équa-
tions aux dérivées partielles
(7) F,=:/j, F2.Z.0, ...;
376 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE Ilf.
2° une solulioù particulière U", , U2, ... du système
(8) F,=r:0, F^^/,,
etc.
Posons
u, = u;-FU';-h... + v,,
Les nouvelles variables Y^, V2, ... devront évidemment
satisfaire aux équations
F, — o, Fa^o,
et aux conditions accessoires
t!;,, tLo, ... désignant les fonctions des variables indépen-
dantes que l'on obtient en substituant dans <ï>,, ^o? • • • à la
place de Ui, U,. ... les expressions
U, = u; + U ; ^ . . . , U2 = U2 -I- u
Soient, d'autre part : i" V'^, V'g, ... le système des fonc-
tions qui satisfont aux relations
(9) Fir=o, F2=:o, ...; *,=zcpi — (j^i, ^^— O, ...;
2^ Y\, V'^, . . . celui des fonctions qui satisfont aux relations
(10) Fi = o, F2=o, . . . ; *i=o, *2=cp2 — tj^s,
Si nous posons
v,=v;-hV';4-...4-02,
les nouvelles variables 0,, 805 • • • satisferont aux relations
Fi = o, F2r=o, . . . ; *i = o, *2 = o?
Ces équations, étant linéaires et homogènes par rapport
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 877
aux fonctions inconnues et à leurs dérivées, admettront la
solution 9, = o, 82= o, ... et n'en admettront pas d'autre,
puisque le problème est entièrement déterminé. On aura
donc finalement
u,=u; + u'; + .
.. + V',+V', + ..
u,=u;+u'; + ..
• •+v;+v;+...
et l'on voit que la résolution du problème primitif s'ob-
tiendra en déterminant : i^ une solution particulière de
chacun des systèmes (7), (8), ...; 2° la solution de chacun
des systèmes (9), (10),
La question se trouve ainsi ramenée à d'autres problèmes
plus simples où tous les seconds membres sont nuls, à l'ex-
ception d'un seul.
Dans la plupart des applications, les équations aux dé-
rivées partielles (5) n'ont pas de seconds membres^ on
pourra donc poser plus simplement
u,=v;+v'; + ..., u,=v;+v;+..., ...,
Vj, V',, ...; V"^, V'2, ...; ... étant les solutions des sys-
tèmes suivants :
Fi=o, F2 = o, ...; ^i=<?i, *2 = o, ...,
^\ = 0, F2=0, ...; *î»i=:0, *2=?2, •••,
291. La décomposition précédente du problème proposé
en problèmes plus simples est souvent utile; mais il n'est pas
toujours nécessaire d'y avoir recours. Nous admettrons donc,
pour plus de généralité dans les explications qui vont suivre,
qu'elle n'ait pas été faite complètement, de telle sorte que
l'on ait à intégrer un système formé d'un certain nombre
d'équations aux dérivées partielles linéaires et sans seconds
membres
(ti) F,r=0, Farzzo,
378 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
jointes à des conditions accessoires dont les unes
(12) «i'jznzo, *ï>2=0,
n'auront pas de seconds membres, tandis que les autres
(i3) ^1=^1, ^2=^2,
en auront.
La marche généralement suivie pour résoudre les questions
de cette nature est la suivante :
On néglige provisoirement les conditions (i3); les équa-
tions conservées (i i), (12) ne suffisant plus pour la détermi-
nation complète des fonctions inconnues admettront une
infinité de solutions.
On tâchera d*en déterminer des solutions particulières.
Dans tous les problèmes que l'on sait résoudre, on obtiendra
sans trop de peine une infinité de solutions simples de la
forme
I Vi =yi (^, ^, . . . , a, jj, . . , ),
(i4) y,-=Mt,œ, ...,a, ^., ...),
a, [3, ... étant des paramètres variables d'une solution à
l'autre.
Deux cas seront ici à distinguer, suivant que les valeurs
précédentes constituent une solution, quelles que soient les
constantes a, j3, . . . , ou seulement pour celles de ces valeurs
qui satisfont à certaines relations (par exemple, pour les va-
leurs entières de ces constantes, ou pour celles qui sont les
racines en nombre infini de certaines équations transcen-
dantes que l'on formera dans chaque cas).
292. Dans le premier cas, les intégrales définies
(l5) j^cp(a,?, ...)/i^/^-<3..., ^cp(a, p, ...)/,^a^?...,- ...
donneront une nouvelle solution, quels que soient le champ
de l'intégration et la fonction (p(a, p, . . .). En effet, il est
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 879
clair que le résultat de la substitution de ces intégrales, dans
l'une quelconque des équations (i i) ou (12), sera
(16) S"^^^''^' ...)M^x^?...,
M désignant le résultat de la substitution de/4 5/25 Mais M
est nul, par hypothèse : donc l'intégrale (16); ayant tous ses
éléments nuls, sera nulle elle-même.
Cela posé, nous tâcherons de déterminer le champ de
l'intégration et la fonction arbitraire cp, de telle sorte que la
solution (i5) satisfasse aux conditions (i3). Si nous y parve-
nons, nous aurons satisfait à toutes les exigences du pro-
blème.
5293. Dans le deuxième cas, on substituera successivement
dans la formule (i4)) pour les paramètres a, p, . . . , les divers
systèmes de valeurs dont ils sont susceptibles; on obtiendra
ainsi une suite illimitée de solutions
Nous obtiendrons une nouvelle solution plus générale en
posant
(17) Vi=c'v;4-c"V';-i-..., Y2=:rc'v;-Hc"v';+..., ...,
c' , c\ . . . désignant des constantes arbitraires.
Il est clair, en effet, que le résultat de la substitution de
ces valeurs dans l'une quelconque des équations (i i) et (12)
sera de la forme c' M' 4- c'' M'' + . . . , M', IVF, ... désignant
les résultats respectivement obtenus parla substitution des
diverses solutions simples. Or M', M'', ... sont nuls, par hy-
pothèse; donc dW -\- d'W -\- . . . le sera, et les séries (1^)
donneront une solution.
Il restera à déterminer les coefficients arbitraires c\ c" , ...,
de telle sorte que ces séries soient convergentes et satisfas-
sent aux conditions (i3). Le problème sera dès lors résolu.
Nous allons éclaircir cette méthode par quelques exemples.
38o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IIÏ.
294. Propagation de la chaleur dans un milieu indé-
fini. — On a à intégrer l'équation
^ ^ dt \ dœ^' dy- oz-
jointe à la condition initiale
\] z=^f[x, y, z) pour ^ = 0.
L'équation (18) admet évidemment comme intégrale parti-
culière l'expression
U'r= cos«(^ — X) cosr(/ — [x) cosw{z — v) e"
-(«*-+- t''-»-ii''jrt»/
w, p, w, \^ [JL, V étant des constantes arbitraires. Elle admettra
donc comme solution l'intégrale
' / / \}'dLidvdw,
laquelle est le produit des trois intégrales simples
Jf g-«-«-/ cos u{x — 'k)du,
j e^"'"''^ cos ç {y — [J-)<^(%
j e-"^''''^cosw{z —v)dw.
«- 0
Ces intégrales sont aisées à calculer. Nous avons trouvé, en
efl'et (t. II, n« 165), la formule
I e-"y' cos 2 bydy^=\ \/Tt a ^e ".
X — l
Changeant dans cette formule jk en u, a en a-t, b en — ^ — >
il viendra
j ^-a*uH C0SU{X — l)du=\ \/tz lf~ '
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 38 1
Calculant de même les deux autres intégrales, il viendra
U^^u-
~a\Jt 9.a\lt o.asjt
L'intégrale
u=i- r r rj\\,^,.)\]"d\dixd.
/^00 ^00 ^»00
Zî / / / /(>>^,v)U
sera encore une solution.
Cette expression peut se transformer en posant
X — X \x — y
?. F=T.
2a\Jt la^'t ia\lt
Il viendra
3 /-*« /^«
«^ 00 •- — 00 ^ 00
Cette valeur de U se réduit pour ^ = o au produit de /(^,jk, z)
par les trois intégrales simples
\I-J_,^ \Jt.J_^ \7:J_^
Mais on a
(t. II, n" 163); et de même pour les deux autres intégrales.
L'expression U satisfera donc à la condition initiale
U=/(j?,x, g) pour ^ = 0
et sera la solution du problème.
295. Propagation du son dans un espace indéfini. — On
a l'équation aux dérivées partielles
^)
382 TROISIÈME PAllTIE. — CHAPITRE III.
avec les conditions initiales
pour ^ = 0.
On peut poser U ^= U' -{- U'^ V et U" étant les solutions
obtenues en combinant à l'équation différentielle les condi-
tions initiales
et
Calculons d'abord U'.
On voit immédiatement qu'on satisfait à l'équation au\
dérivées partielles et à la condition initiale U'= o par la so-
lution simple
U' == cosM s'inart,
où nous posons, pour abréger,
M = u{a: — À) -H ç{y — ix)-{- iv{z — v),
On y satisfera plus généralement par l'intégrale
(19) V — — ^-^-^ — ces M si 11 art d\ dix dv du dv d^v,
F désignant une fonction de X, a, v, qu'on peut choisir ar-
bitrairement, ainsi que le champ d'intégration.
Les variables u^ v, w d'une part, X, p., v d'autre part, peu-
vent être considérées comme des coordonnées rectangulaires.
Remplaçons u,ç^w par des coordonnées polaires r, 0, cp, ajani
pour centre l'origine et pour axe polaire la droite qui joint
l'origine au point x — A, y — a, :; — v. Remplaçons, d'autre
part, X, UL, V par des coordonnées polaires r', 9'^ cp', ayant pour
centre le point x^y, z et pour axe polaire une parallèle aux z.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, 383
On aura
X ^ ^ H- r' sin6' coscp',
(jt, r=; j^ H- /•' sin 6' sin cp',
V =: ^ H- r'cos6';
Mr=rw(^— X)+(^(/— (x)4-tv(5 — v) — rr' cosO,
du dv dw = /•- sin 0 dr d^ ch^
dld[xdv — r'- s\n^' dr' d^' d^' .
L'intégrale deviendra donc
Q F CCS (/■/"' ces 6) s\nartr%\n^dr d{)d'ù r'- ^\u^' dr' d^' d'J .
Supposons que le champ de l'intégration soit pour 9 et B'
de o à 71, pour cp et cp' de o à air, pour r et r' de o à co.
Les inlégrations par rapport à (p et 8 pourront s'effectuer
en remarquant que sinO<iO=: — âfcosQ. L'intégrale de-
viendra
4iï ^ F r' sio ri' sin art sin 0' dr' d^' <io' dr
= 2 7: V Fr' [cosr(/''— at) — CQ>sr{r'^at)\ shi^' d^' do' drdr'.
On pourra encore effectuer les intégrations par rapport
à r et r' en appliquant la formule de Fourier
/ ^l^f /(P)cos|x(^-^)<:l=.^[/(.x^ + o)-h/(^-o)]
démontrée au t. II, n° 226.
Soit, en effet, ^(a^') une fonction égale à F r' quand
/•'^o et nulle quand r' <io. On aura
fOO yO GO
dr Fr' [cos r { r'— at) — cosr {r'-\- at)]dr'
— dr I 'h {r')[cosr{r' — at) — cosr{r'-\- at)]dr'
2 2"
384 TROISIÈME TARTIE. — CHAPITRE III.
Cette formule suppose seulement : i° que la fonction (j> a
une variation limitée entre — oc et -H oc ou, ce qui revient
au même, que Fi' a une variation limitée de o à oc; 2° que
l'intégrale
r\<!/\dr'=f'\Fr'\dr'
est finie. Si nous admettons en outre que la fonction F est
continue, le second membre de l'expression précédente se
réduira, si ^ >> o, à 7z<!^(at), car tj;( — at) sera nul^ si t <io,
il se réduira à — tuJ;( — at). Enfin, si ^=0, il se réduira
à zéro.
On aura donc, pour toute valeur de t.
F/-' [ces /•(/•'— at) — cos/-(A-'-f- at)] dr'
^:ir.at¥{x -\-at' sin O'coscp', j + at' sinô'sincp', z -{- at' cos^' \
t' désignant le module de t.
iNous obtxînons ainsi, en supprimant les lacleurîs oonalanls,
comme solution de l'équation aux dérivées partielles, l'ex-
pression
27: u
/ I ^F(^-+-a^' sinô'coscp', jH-a^'sin6'sin cp', ^-l-a^'cos6')
X sinô'^O'^'f'.
Pour ^ = 0, cette intégrale s'annule, et sa dérivée se ré-
duit évidemment à
i F(.r, y, z) s\n^' d^' d'-u' — f^r.¥ {x, y, z).
Nous satisferons donc à toutes les conditions du pro-
blème si nous posons
F{x,y,z)^-^J,{x,y,z),
Nous obtiendrons ainsi, comme solution, l'intégrale dé-
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 385
finie double
/ ^/i(^4-a^'sin6'coscp', 7-4-a^'sin6'sincp', <5-f- a^'cosO')
X sinB'^O' Jcp'.
296. Calculons maintenant U'^
On satisfait évidemment à l'équation différentielle et à la
condition initiale
—— = o pour t=zo
par la solution simple
CCS M cos art,
et plus généralement par l'intégrale définie
— ;VF(X, [JL, v)cosM cos art dk d\i, d^ du dv dw
zz: — — ,— X ' - — - cos M sin art d\ du. dw du dv dw
dt 2 Tz'^ a ij r
rr -— / / ^F(a7 4- ai'sinG'coscp', j-h ai' sinô' sincp', ^ -H a^'cosO')
X siiiO'(^0'<^cf'.
D'ailleurs, pour ^ = o, cette expression se réduit à
On satisfera donc à toutes les conditions du problème en
posant
I
B ce qui donnera
F(^,7,-) = ^^/(^,r,-),
I d C C
\]"-=:——-\ \ i/(^' + ai'sm6'coscp', j-i-ai'sinO'sincp', ^-hai'cosO')
X sin6'<iô'<i'f'.
On aura enfin
Cette solution suppose toutefois, comme on l'a vu d'après
J. — Cours, III. 25
38G TROISIÈME PARTIF. — CHAPITRE III.
la démonslration : i° que les fonctions
ont une variation limitée lorsque le point 1, [ji, v décrit une
droite partant d'un point quelconque ^, jk, z de l'espace, et
allant jusqu'à l'infini dans une direction quelconque; 2° que
les intégrales
f\fr'\dr', f\Ar'\dr'
prises le long de cette droite sont finies.
297. Supposons qu'à l'instant initial il n'existe de mouve-
ment qu'aux environs de l'origine des coordonnées, de telle
sorte que les fonctions
soient nulles pour toutes les valeurs de ^, JK, z extérieures à
une sphère de rayon e décrite autour de l'origine. Décrivons
une sphère de rayon at' ayant pour centre l'origine; on
pourra la représenter par les trois équations
^ H- at' sin 6' ces cp' .-= o,
r^ + at' sin 6' sin cp' .- o,
C -4- at' ces 6' rzzO.
Pour tout point x, y, z dont la distance à cette sphère
est > =: on aura, pour toutes les valeurs de Q' et cp',
z=: [:z: -\- at' sin 6' ces cp' y
-j- (7 -i- at' sin 6' sin cp' )2 4- ( ^ -+- at' cos 6' )2 > e.
[jCs fonctions
/(^ 4- «^'sin6'coscp', j 4- (2^' sin 6' sin cp', ^ 4- a^' cosO')
et
/i(^ 4- «^' sin6'cos'f', j 4- «^'sinO'sincp', ^4-a^'cosO')
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SSj
seront donc nulles dans tout le champ d'intégration, et l'on
aura par suite U = o.
La fonction U sera donc nulle à chaque instant dans tout
l'espace, sauf dans l'intérieur de V onde sphérique comprise
^ntre les deux sphères de rayon au' + s et at' — s.
298. Problème de Cauchy. — Considérons plus géné-
. ralement un système de fonctions inconnues U, V, ... des
variables f , x^ jk, z^ déterminées par un système d'équations
.(20) V^—vsi^t,x,y,z), V^, — i^,^t,x,y,z),
ayant pour premiers membres des fonctions linéaires à coef-
ficients constants de U, V, ... et de leurs dérivées par-
tielles, et par les conditions initiales
: ()V \ pour t — G.
V=:cp(^,7,^), — 3:zcpi(^,7.^),
Posons, pour abréger,
;^(^ _ X) -f. (;(j _ fx) 4- «^(5 — V) :=:/?,
u^ v^ w, "kj ^, V étant des constantes, et
du dç dw d\ d]x di =:=; d^j.
Nous allons prouver que la solution du problème est
donnée par les formules
V — — L_ C! g/i ^ ^^
<2I
OÙ le champ d'intégration par rapport à chacun des couples
de variables ?/, X; (^, p.; t^, v est un rectangle infini ayant
pour centre l'origine des coordonnées; T, 0, ... désignant
388 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
d'autre part des fonctions de t détînies : i° par les équations
différentielles
(22) <R = nT(^, X, jx, v), ^i = t;7i(^, X, [j-, v), ...,
où <R, <R,, ... se déduisent de R, Ri, ... en j substituant
aux dérivées partielles
les expressions
'^^ par les conditions initiales
Tr_-/(X, [J., V), — r=/i(X, (X,v), ...J
(23) { ^^ / pour ^ = 0.
0=rcp(X, [X,v), — rrrcpi(X,[X, v),
Substituons en effet, pour U, V, ..., les valeurs (21)
dans l'une des équations (20), la première, par exemple;
comme on a évidemment
^^^.-L^-J^iue'pTd^, ^=:— ^-Q^W/'e^cT,
dx {ir.y ij dx {2izY\J
le résultat de la substitution dans R sera
— ^5 ^e'PS^d^
(2'!T)3 \J
OU, en vertu des équations (22),
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SSg
Or on a
gip-— giu(x—l) gi{>(y—\i) gitv(z— v)
=:: [cosu {x — X) + i<è\nu {x — X)]
X [cosp {y — \k) h- iûnv {y — (x)]
X \^cosw{z — v) -H is,inw{z — v)].
Effectuant les produits, on obtiendra huit termes qui
tous, à l'exception d'un seul, contiendront un sinus en fac-
teur.
Considérons un de ces termes, contenant par exemple le
facteur s\nu{x — \). Les éléments qu'il fournit à l'intégrale
pour deux valeurs égales et opposées de u se détruiront.
Au contraire, les éléments fournis par le terme
cosm(^ — X) cosv{y — \x) cosw{z — v)
pour des valeurs égales et contraires assignées à l'une des
quantités m, v^ w seront égaux. L'intégrale (24) se réduira
donc à
-3 V cosu{x~ X) cosv{y — ]x) cosw{z — v) w{t, X, (x, v) da,
//, V, w ne variant plus que de o à 00.
La double intégration par rapport à w, X donnera comme
résultat, d'après le théorème de Fourier,
— V cos(^(/ — [x) cosiv{z — v) Tn(^, X, [JL, v)dçdwclxdv.
Intégrant par rapport à (^ et [Ji, on aura de même, comme
résultat,
iS
ces w{z — V ) TîT ( ^j ^, j, V ) dw <5?V,
et enfin, en intégrant par rapport à w et v,
tu
{t,x,y,z),
ce qui est précisément le second membre de l'équation aux
dérivées partielles.
SgO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Les conditions initiales sont également satisfaites, car on
a, pour ^ =: o, en vertu des équations (28),
et il suffira de changer tu en /, /< , ... dans les raisonne-
ments précédents pour montrer que ces expressions sont
respectivement égales k f{x^ r, ^), f^ {00^ y ^ z'^)^ ....
299. Propagation de la chaleur dans une barre indé-
finie dans un sens. — Nous aurons l'équation aux dérivées
partielles
dt ~ "" dx-^'
avec la condition initiale
U=/(^) pour^ = o, ^>o
et la condition à la limite
Uzziio[t) pour ^ =: o,
laquelle donne, en fonction du temps, la température à l'on-
gine de la barre.
On pourra poser
U' devant satisfaire aux conditions
U' = /(^) pour ^ r^ o, ^>o;
U'=o pour ^=10,
et U" devant satisfaire aux conditions
U"==o pour ^ =r o, ^>o;
\j":zz'l^{t) pour ^ :^ O.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SqI
Calculons d'abord U'.
On satisfait à la condition U' = o pour x = o^ ainsi qu'à
l'équation aux dérivées partielles, par la solution simple
smuœe'
et par la solution pins générale
/ sin uxe-'''"'^ F {li) du j
laquelle, pour t=^ o^ se réduit à
/ sinw^ F{u) du.
Il restera donc à déterminer F(?i), de telle sorte qu'on ait
J' smux¥{u) du-=^ f{œ) pour .2^ > o.
0
On y arrivera en posant
F(«) — § f sinu\/{l)dX.
Ou a, en effet,
^.00 .00
- / / sinw^ sin^X /(X) <iX
= - / / [cosw(^ — X) — cosm(^ -f-X)] /(X) <^,
•• 0 ^0
et, en désignant par ^()^) une fonction égale à /(a) pour
\^ Oy à. zéro pour X <C o, cette intégrale aura pour valeur
i[^{x-i- o) -h 4^(^ -- o) — <];(— ^-1- o) — ^(— ^' — o)J,
quantité qui, pour ^ >> o, se réduira à f{x) [en supposant
/(^) continue].
392 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
La solution du problème sera donc l'intégrale double
Kf'f
e-^''^'-i[Gosu{cc — X) — CCS w(^ -r- X)] /(X) du dl
ou, en effectuant l'intégration par rapport à «, comme au
n" 294,
r"^ r (x— >o^ _(.r-t-X)*-
(25)
-^ f /(X)rfx[,
a\/'Kt J Q
300. Passons au calcul de U'^ Ce problème se ramène au
précédent, comme nous allons le voir.
Nous traiterons d'abord le cas particulier où cp(^) se réduit
à la constante i. On aura, dans ce cas,
W étant une nouvelle solution qui satisfasse aux relations
W =:— I pour ^ r-r. O, X > O ;
W — o pour œr=.o.
Cette dernière fonction s'obtiendra en posant /"().) = — i
dans la formule (20). On aura donc
>>)* /•« (.r-(-),i"-
U"=I
2 a \J- 1
r _ îj^lZL'll! /• " _ (-r +).!'- -1
/ e '^-^ dX~ \ e '"''~dX\
Cette expression peut se simplifier. Changeons, en effet,
de variables en posant, dans la première des intégrales ci-
dessus,
lasjt
et dans la seconde
-p
^"4 =. p.
ia\J t
Elles deviendront respectivement
i
ÉQUATIONS aux: DÉRIVÉES PARTIELLES. SqS
et auront pour somme
X .r
mais on a d'ailleurs
On aura donc finalement
V
expression que nous désignerons par yj^x^ t).
301 . Passons au cas général où 'f (^) ne se réduit pas à une
constante. Nous allons démontrer qu'on a
:' (26) V"::^^{o)x{x,t)-\- f ySœ,t-\)o'{\)d\. .
En effet, 7_(^, t) étant une solution de l'équation aux déri-
vées partielles et celle-ci ne changeant pas si l'on y change t
en t — X, y^{Xy t — -X) sera encore une solution.
L'intégrale / y{x, t — \) ^' Çk) dl, prise entre des limites
constantes, sera une solution, et il en sera encore de même
si la limite supérieure, au lieu d'être constante, est égale à t;
car cette supposition ne fait qu'ajouter à la dérivée partielle
de l'intégrale par rapport à ^ le terme x(^, o) ^'(t), lequel est
nul dans toute l'étendue de la barre, d'après les conditions
qui ont servi à déterminer la solution ')((^, t).
Donc les deux termes de U'^ sont des solutions de l'équa-
tion aux dérivées partielles. Tous deux s'annulent d'ailleurs
pour ^ = o dans toute l'étendue de la barre. On aura donc
U" = o pour tzzzo, oC >> o.
^ or xr;
f TJNIVEB
394 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Enfin, pour ^ = o, on a
et
Donc U'^ satisfait bien à toutes les conditions du problème.
302. L'expression (26) peut se transformer au moyen de
l'intégration par parties. On a, en effet,
- 0
D'ailleurs ^(a)^(^, t — "k) s'annule pour "kz^ t, et se ré-
duit à cp(o) '/(^i t) pour). -— G. On aura donc simplement
Remplaçons maintenant ;)((^, t — X) par sa valeur
on aura
et enfin
JX{X, t-\)^~ :
/»' -^^ _3
U"--=-:^ / e *«'('->>(^-X) "^■cp(X)^X.
lasjTzJ f^
La méthode dont nous nous sommes servi pour ramener le
calcul de U" à celui de U' est évidemment applicable à tous
les problèmes analogues.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SgS
303. Cordes vibrantes. — Considérons une corde tendue
sur la portion de l'axe des x comprise entre o et /. Dési-
gnons par U le déplacement suivant l'un des axes coordonnés
du point dont l'abscisse serait x dans l'état de repos. Nous
aurons l'équation aux dérivées partielles
à laquelle il faudra joindre les conditions initiales
dV ^ , A pour trr=0, 0<X <l
et les conditions aux limites
Lj rz: o pour X z=0,
U ~r; O pour ^ = /,
lesquelles expriment que les extrémités de la corde restent
fixes.
Nous avons trouvé (273) que l'intégrale générale de l'équa-
tion (2^) est
U = <p ( ^ H- <2i ) -^ '^{x — at).
Il reste à déterminer les fonctions co et ({; de manière à sa-
tisfaire aux autres conditions du problème.
Les conditions initiales donnent, pour l'intervalle de o à /,
ao'{œ) —a^'{x)r^f,{x);
d'où, en intégrant,
a'f{x) — a^{x)=z j f^{x)dx -^ c
€t enfin
I /""■ c
Z tl ^ A (Z
Uj'
^{x)^\J{x)-— \ f,{x)dx--~
396 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
D'ailleurs, U ne changeant pas quand on accroît la fonc-
tion cp d'une constante quelconque en diminuant d'autre
part la fonction ^ de la même quantité, on pourra, sans
nuire à la généralité de la solution, supposer c = o.
Les fonctions ^{x) et <J>(x) sont ainsi déterminées dans
l'intervalle de o à /. Les conditions aux limites donnent
d'ailleurs les identités
o{at)-h'\>{ — <2^) = o,
d'où, en changeant at en x,
cp(^) -^- <h{~ x) ■-- O,
cp ( / -h ^ ) -4- 6 ( / — ^ ) = O.
Cette dernière équation donnera la valeur de cp pour les
valeurs de l'argument comprises entre /et 2 l. En y chan-
geant ^ en ~ X, elle donnera la valeur de 'h dans le même
intervalle.
Enfin, en y changeant / en / -f- .r, il viendia
o{2l -i- X) -h ^{ — ^)r3z0,
d'où
cp(2/-|- ^) =: cp(jr).
La fonction o admet donc la période 2/. Il en sera de
même de la fonction
^{œ) --=: — cp( — x).
Les deux fonctions cp et ^j;, admettant la période 2/ et étant
connues dans l'intervalle de o à 2 /, seront déterminées pour
toutes les valeurs de l'argument.
304. La méthode d'intégration précédente, due à Euler,
est spéciale au problème des cordes vibrantes. Le procédé
de Bernoulli, que nous allons exposer, est, au contraire, l'ap-
plication directe des principes établis au commencement de
cette Section.
On satisfait à l'équation aux dérivées partielles et aux
ÉQUATLONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES.
conditions aux limites par les solutions simples
. niTzx mizat . mtzx . rmzat
sin — ' — ces ; — ? sm — - — sin — - — j
397
où m désigne un entier quelconque.
On y satisfera plus généralement par la série
"=S
. . niizx mizat
Km sm — ; — ces h
s»'
. niT^x . m liât
sm — - — sm — - — j
m prenant toutes les valeurs entières de i à 00.
Reste à déterminer les coefficients K^ et B;;^, de manière à
satisfaire aux conditions initiales. En y substituant cette va-
leur de U, elles deviendront
A^sm-y- =/(^.
V^ rri'Ka
. mizx
B,nSm-y- r=:/i(^),
et l'on y satisfera (t. II, n° 238) en posant
. inizx _
a) sm — -— aa,
m
ro-îf.'
. mizct
/i(a)sm— -^a.
305. Refroidissement d'une barre hétérogène. — Ce
problème dépend de l'intégration de l'équation suivante
(28)
^ dt ~~ ôx dx
/U
jointe à la condition initiale
(29) V=J{x) pour ^ = 0, ^>o <X
et aux conditions aux limites
(3o)
(3i)
k-j /î U =: o pour ^ =^ o,
A- -.— -h HU — o pour ^ — X.
SqS troisième partie. — CHAPITRE III.
La barre est supposée s'étendre sur l'axe des ^ de o à X;
g^ k, l sont des fonctions de x^ positives dans toute l'étendue
de la barre et représentant respectivement la chaleur spéci-
fique, la conductibilité intérieure et le pouvoir émissif sur
chacune des sections transversales ; A et H sont des con-
stantes positives.
On satisfait à l'équation (a8) par la solution simple
r désignant une constante et V une fonction de x qui satis-
fasse à l'équation linéaire du second ordre
(^^^ ;â4I + (^'-^)^-°-
Les équations (3o), (3i) donneront
(33) k-j AY=:o 25our^r=o,
dW
(34) A-L_+HV=o pour:rr::^X.
Soient V, \" deux solutions particulières de l'équation
(32); l'intégrale générale sera
c'\'-^c"y",
et cette valeur, substituée dans les équations (33) et (34),
donnera
■>)
On pourra satisfaire simultanément à ces deux équations
par un choix convenable du rapport — si leur déterminant
est nul. Ce déterminant est une fonction de r que nous dé-
signerons par7n(/').
Soient ;'4, /'2, ... les racines de l'équation rn^r) r= o. A
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 899
chacune d'elles, telle que r„, correspond une intégrale V„
telle que la solution simple
satisfasse à la fois à l'équation aux dérivées partielles et aux
équations aux limites.
On y satisfera plus généralement en posant
et cette nouvelle expression sera la solution du problème, si
elle satisfait en outre à la condition initiale.
Il ne restera donc plus qu'à choisir les coefficients A, de
telle sorte qu'on ait
'LPs.niN „i-~^ f{x) de ^ =:: O à ^ rr: X.
306. La détermination de ces coefficients repose sur une
propriété importante des fonctions \ ,i, que nous allons ex-
poser.
Le paramètre r restant provisoirement arbitraire, dési-
gnons par V celle des intégrales de l'équation (32) qui satis-
fait, pour X =^ o, à la condition initiale (33). Ces deux
équations pourront s'écrire ainsi
(87) k- AV = o pour^=ro,
en substituant aux différentielles ordinaires des signes d de
dérivation partielle, pour mettre en évidence ce fait que V
dépend non seulement de x, mais du paramètre r.
Donnons à ce paramètre une autre valeur j'. Soit V la va-
leur correspondante deV; on aura
(89) k -^ Il V ;=i: o pour œ —- o.
4oO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Retranchons l'une de l'autre les équations (36) et (38),
respectivement multipliées par V et V; il viendra
~ da:[_\ ôx dx ) \
et, en intégrant de o à X,
j(.'-.)pvr..= [.(v'g,-vg)];
=['■(-£-£)]
5
car, pour x^=:OjV expression k I V -^ V -y— 1 s annule en
vertu des équations (3^) et (39).
Posons maintenant r=zrjn^ r' :=zrm i^m et /•„ étant deux
racines distinctes de l'équation ^{r) = o; V et V se rédui-
ront à Y ni et V/i, et l'on aura, pour ^ = X,
k'LL 4-HY = o, k-~ -hHV'=:.o,
— HY = o A-"^-
dx ' ôx
d'où
L'équation (4o) se réduira donc^ en supprimant le facteur
dx z:^0.
(40 f g^rn^n'
Soit, en second lieu, r = /-,;, /'= /'« + £> £ étant un infi-
niment petit. On aura
v-v -''X-î^»,
dx dx
'^ ' ()/• ôx Ox dx dr
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4^1
Substituant dans l'équation (4o)j divisant par s et passant
à la limite, il viendra
<'•) r.-.-"['-("rS-v.S.)L-
307. Nous allons maintenant établir que, si l'on débarrasse
l'équation m(j^) = o des racines parasites pour lesquelles la
solution V correspondante serait identiquement nulle, les
racines restantes seront toutes réelles, inégales, positives et
en nombre inflni.
i" Si TO(r) = o admettait une racine imaginaire rm^=0L-\~^i,
elle admettrait sa conjuguée r„ =z ol — ^i. A ces deux racines
correspondraient deux intégrales conjuguées Y ni^=^ p -\- qiy
\ \ f^=zp — ^/, et l'intégrale
f g V,n V, d.X z:-. f g{p^-^q'')dx
^0 «- 0
aurait tous ses éléments positifs, ce qui est absurde, puis-
qu'elle doit être nulle.
2" Si m(r)=:o admettait une racine double r, l'intégrale
correspondante V^ satisferait, pour x = K, non seulement
à l'équation
mais à sa dérivée
à. ■ "^"=°'
ri — r — = o
dx dr dr
On aurait donc, pour ^ = X,
— V -^ r- r=:0.
dr ôx ôx dr
d'où
,x
g\ldx=:0,
'0
f
résultat absurde, tous les éléments de l'intégrale étant po-
sitifs.
J. — Cours, III. 26
402 TROISIÈME PARTIE. — CDAPITRE III.
3^ L'équation tïj(/) ::^ o ne peut avoir de racine négative
ou nulle.
En efl'et, si a-^o, / — rg sera positif dans toute l'étendue
de la barre, et les équations
(^^) ^'^£-(»--')^-°'
dN
(44) ^"7^ — /iV = 0 pOUr^r=;0,
(45) A^^H-HV==o pour^rrrrX
seront contradictoires.
En effet, l'équation (43), intégrée de o à :r, donne
(46) {
= [/<V]„ + Ç {l~gr)\dx.
La fonction V varie avec œ en partant de la valeur initiale
Vo; tant qu'elle ne changera pas de signe, tous les éléments
de l'intégrale / (/ — gr)\ dx auront également le signe
dV
de Vo; donc -j- aura ce même signe, et, par suite, V s'éloi-
gnera de zéro.
Il résulte de là que, dans tout l'intervalle de o à X, V s'é-
dV
loigne de zéro et conserve le même signe que -j—- Donc l'é-
quation
dY
k -, 1- HV = o pour ^ = X
dx
ne pourra avoir lieu, ses deux termes ayant le même signe.
308. Les racines de Tn[r)=^o sont donc toutes réelles,
inégales et positives. Il reste à prouver qu'elles sont en
nombre infini. Nous y arriverons en étudiant l'allure des in-
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ^o3
tégrales de l'équation (82) ou, plus généralement, d'une
équation de la forme
où K et G sont des fonctions de x.
On peut remarquer incidemment que toute équation li-
néaire du second ordre
a,X' ^ clx
peut être mise sous cette forme. En effet, multiplions cette
équation par un facteur indéterminé M. Elle deviendra
MP -y— -h MQ 5-^ -h MRV ^ 0
dx^ ^ dx
ou
dx
y- MF -1 h MO j~ h MRV -- o.
IX dx \ dx J dx
dY
Le terme en -7— disparaîtra si Ton pose
-d^où
dUF
MF
= 2...
>gMF
=/?-■
M=:
iJ'".
et enfin
M étant ainsi déterminé, on n'aura plus qu'à poser MF r= K,
MR =z G pour avoir la forme d'équation voulue.
On peut simplifier encore la forme de l'équation (47) par
un changement de variable. Posons, en effet,
4^4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
il viendra
ax cLx 2 dx
dx dx 2 dx
dx dx dx- 1 dx \ dx )
Le terme en — — disparaîtra donc de l'équation transformée^
i
laquelle, divisée par K"% sera de la forme
R W = o.
dx-
309. Soit Vi une solution particulière de l'équation (47) r
on aura
d_^^dy_,
dx dx
K-V-' +GV,=:o.
De cette équation combinée avec (47) oïi déduit
, d ^ dY ^j d j^dYi
^ dx dx
et, en intégrant,
ou
, V
dx KVJ
et enfin
(49) V=:cV,rj^+c'V,.
i/o 1
Supposons que K reste constamment fini et positif entre
o et X. On déduira de la relation (48) que ¥< et -—
ne peuvent s'annuler à la fois en aucun point de cet inter-
I
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4o5
valle; car on aurait c = o, et l'intégrale générale ne contien-
drait qu'une constante c\ ce qui est impossible.
L'équation Vi = o n'admet donc que des racines simples,
et la courbe j^ — - Y ^ coupera l'axe des x en tous les points où
elle le rencontre. Soient a et ^ deux racines consécutives;
, fdY,\ fdN,\ . , ,, . ,
les valeurs correspondantes ( — — et ■—, — de la dérivée
^ \ dx /oc \dx JR
dy, , ., , .
--;— seront évidemment de sienne contraire.
dx ^
Cela posé, V désignant une autre intégrale quelconque, on
aura l'équation (48) qui, pour ^ r=^ a et ^ = p, se réduira à
-i-i-(§).=— i-j.(m-
Donc [KV]a et [l^VJs seront de signe contraire, et,
€omme K est toujours positif, [V]a et [V]p seront de signe
contraire.
Donc, entre deux racines consécutives de l'équation
Vi ^==^ o, comprises entre o et X, il y aura au moins une ra-
cine de V^- o. Il n'y en aura d'ailleurs qu'une seule, car ce
théorème est évidemment réciproque.
310. Nous allons étendre cette comparaison aux inté-
grales V, V qui satisfont respectivement à deux équations
différentielles distinctes
l d ^^ dY ^,,
\ -~K h GV =:z o.
] dx dx
f (50) ' , ry,
~K'^ + G'V'=o.
dx dx
Supposons d'abord que K' et G' soient infiniment peu dif-
férents de K et de G et que les différences K — Iv' et G' — G
soient constamment positives entre o et X.
Admettons enfin que les intégrales V et V qu'il s'agit de
comparer soient des solutions correspondantes, c'est-à-dire
telles qu'on ait
v ~ V, K' -^ ~ ^ ;;/"', i^^^^ x — o.
4o6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
On déduit des équations (5o) -
ce qui peut s écrire
dx
-f-Pv-K
dx [_
,dsr
dx
VK'^l=r(G'-
dN dV
G)VV'+(K-K')|^^
Or V et -7— î différant infiniment peu de V et de -7-? au-
ronl le même signe que ces dernières quantités; d'ailleurs,
G' — G et K — K' sont positifs. Donc le second membre de
cette équation sera positif de o à X, et la fonction
(5i)
V'K
dj
dx
\K'
dV
dx
sera croissante dans cet intervalle. D'ailleurs elle s'annule
pour ^ = o; elle sera donc positive de o à X.
Soit, maintenant, a une racine de l'équation V:== o com-
prise dans cet intervalle ; on aura, pour ^ =::= a,
donc [V']a et -y- seront de même signe.
Si y- > o, la courbe j =V traversera l'axe des x de
/■
bas en haut au point jc — a (//>. 7); [V'J^ étant positif, la
courbe jk=V^ infiniment voisine de la précédente, sera
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. [\0']
située au-dessus d'elle et coupera l'axe des x en arrière du
point a.
Si -7— << o, la courbe j^ =-V traversera l'axe des x en
descendant; [V']a étant négatif, la courbe jk = V' sera au-
dessous de la courbe j^^ —- V et coupera encore l'axe des x en
arrière du point a {fig. 8).
D'ailleurs, si l'une des fonctions V, V^ s'annule pour x =^0,
il en sera de même de l'autre, par hypothèse.
Donc, à chaque racine a de l'équation V == o correspond
une racine infiniment voisine a' de l'équation V'= o, laquelle
sera un peu moindre que a; et l'équation V'=:: o aura en gé-
néral autant de racines entre o et X que l'équation V= o.
Toutefois elle en aura une de plus si V s'annule pour X,
car la racine correspondante de V tombe en dehors de l'in-
tervalle considéré.
311. Soient plus généralement deux équations
(52)
(53)
-^K^ +GV =0,
dx dx
dx^'-dx^^^^^'--''^
où les quantités Ki et K, Gi et G diffèrent de quantités
finies, mais satisfassent toujours aux relations
(54) Gi — G^o, K — K,^o deoàX.
On pourra former d'une infinité de manières deux fonc-
4o8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
lions Cj(x^r), cX(^,r) de x et d'un paramètre variable r,
qui soient, la première croissante et la seconde décroissante
lorsque r croît de Tq à r, (et cela pour toute valeur de x
comprise entre o et X) et qui de plus se réduisent respec-
tivement à G, K pour r= r^ et à Gi, K< pour r = r< . On
pourra prendre, par exemple, ro= o, /'i -=: i ,
Ç (,r,,-)^G-Hr(G,-G),
Gela posé, considérons l'équation
d dW
et désignons par Y (x, r) une solution de celte équation,
déterminée par les conditions initiales
\ {x,r) r.-.a, \
^dYix, r) > pour ^ = o,
a et b étant des constantes déterminées choisies à volonté.
Donnons successivement à r une infinité de valeurs Tq,
W, . . ., /•^ variant progressivement de /'o à /-< .
Soient G, G', ..., G,; K, K', ..., K, ; V, V, ...,Y,
les valeurs correspondantes de (/(x, r), D^c(.r, r), \ (x, r);
nous aurons
g<g'":...:g, )
- de o à X,
deux fonctions consécutives étant d'ailleurs infiniment peu
différentes
Nous aurons, d'autre part,
dx dx
d dW
dx dx
d ,. dVy , r V
ÉQUATIONS ACX DÉRIVÉES PARTIELLES. ^Og
el
,,dV ,.,d\' ^, dV, , pour^=:o.
IV r- K -y- —.. . -ssz Kl : - h \
ax dx dx^ ]
Si V= o admet une racine a dans l'intervalle de o à X, les
équations successives V^^ o, V'= o, . . ., Yi = o admet-
tront respectivement, pour racines correspondantes, d'après
ce qui a été démontré, des quantités a, a', . . ., ai, telles que
l'on ait
a > a' > . , . > a^ .
Donc, à chaque racine a de Y= o comprise entre o et X
correspond une racine moindre a< de l'équation Vi = o.
Celle-ci aura donc dans cet intervalle au moins autant de ra-
cines que Y= o. Elle peut en avoir davantage; car, si l'une
des équations successives
est satisfaite pour x — - X, il s'introduira par là dans les
équations suivantes une nouvelle racine que n'avaient pas
les précédentes.
L'excès A du nombre des racines de l'équation Vi = o sur
le nombre des racines de V= o sera donc égal au nombre
des valeurs de r comprises entre i\ et r^ qui satisfont à
l'équation
Y(X,r)=::0.
312. Soient r'", r^^^ deux valeurs consécutives quel-
conques de r; on aura (310), dans l'intervalle de o à X,
d\^ <iV'+^
Y^+i K' --1. - Y'K^+i -~- > o.
dx dx
Lorsque V^ n'est pas nul, Y'+', qui en diffère infiniment
peu, sera de même signe, et, en divisant la relation précé-
dente par la quantité positive V'V^+\ il viendra
dx dx ^
4lO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
et, plus généralement, en désignant par H une constante
quelconque,
K ' ^ + H V' K^+i — h H V^+i
dx duo
"^ o.
yt yt-i-i '■
Cette inégalité a lieu pour toute valeur de x comprise de
o à X et, en particulier, pour .r =:= X; elle montre que l'ex-
pression
3t(X,,.)^^XglZl + riV(X,r)
^__ -_-_ <f (,),
considérée comme fonction de r^ est constamment décrois-
sante de 7o à r,, sauf pour les valeurs de r qui annulent son
dénominateur.
Elle ne pourra donc changer de signe qu'en passant par
zéro ou par l'infini négatif, et ces zéros et ces infinis se suc-
céderont alternativement.
Si 'f (i^o) 6t ^(/"i) sont de même signe, le nombre A' des
zéros sera évidemment égal au nombre des infinis; si
<f(''o)>Oî ?(^0<^7 il sera égal à A + i; si (f(ro)<o,
co (r4 ) >- o, il sera égal à A — i .
Le nombre des racines de l'équation
Ot(X, /•) ^^ + HV (^^ r) r= o,
comprises entre /-q et r<, sera donc égal à A, A H- i ou A — i
suivant celle des trois hypothèses précédentes qui aura lieu.
313. Jusqu'à présent nous nous sommes borné à com-
parer des solutions correspondantes des deux équations dif-
férentielles
-j-K -, h G y =ro,
dx dx
dx dx
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLHS. 4u
Soient maintenant V et V^ deux solutions quelconques
de ces mêmes équations.
Nous allons établir que deux racines consécutives a, ^
de l'équation V=:o comprennent au moins une racine de
l'équation Vi = o,
En effet, soit V'^ une solution de la seconde équation,
telle que l'on ait, pour x = cl,
dV dY
^ da; dx
A la racine p de V=:=: o comprise dans l'intervalle de a
à X correspond, d'après les raisonnements précédents, une
racine j^'^ de V'^ = o comprise dans le même intervalle et
moindre que p. Mais V< satisfaisant à la même équation
différentielle que V'^, entre les deux racines a et ^'^ de
V', = o, il devra se trouver une racine p< de V< = o, ce qui
démontre notre proposition.
314. Les considérations précédentes permettent de fixer
dans une certaine mesure le nombre et la position des ra-
cines de l'équation V= o comprises entre o et X, V dési-
gnant une solution de l'équation différentielle
dx dx
Soient, en effet, k^, g^ et k^ , ^2 les plus grandes et les plus
petites valeurs de K et de G dans cet intervalle. Considérons
les équations auxiliaires
d j dW, .. _ , d^y,
d^^'Tûc ^^'^'''-^'-Tx^
(55) or=.-^^^k,-,^-^g,y,.^-k,--J-,-g,Y,
,.., d j dW, ^. . d'Y, ^.
Yi et V2 étant des intégrales quelconques de ces deux
équations, deux racines de V=o comprendront entre elles
au moins une racine de V, = o, et deux racines de Vo = o
comprendront entre elles au moins une racine de V=:= o.
4I2 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Or, si g^ est positif, les iatégrales de (55) seront de la
forme
Vi — c sin i /|^ t -h c'cos \/ jr t.
L'équation Vi ^^ o a une infinité de racines équidistantes et
dont la différence est tt^ / -^. On peut d'ailleurs déterminer
le rapport des constantes c, c' de telle sorte que Vi s'annule
pour une valeur a arbitrairement choisie. Si donc on prend,
entre o etX, un intervalle quelconque d'amplitude << "^l/ — '
on pourra déterminer Vi de telle sorte qu'elle n'ait aucune
racine dans cet intervalle; donc V ne saurait en avoir plus
d'une. Donc la distance de deux racines consécutives de
V -- o sera au moins égale à '^1/ — • Le nombre total de
ces racines entre o et X aura clone pour limite supérieure
l'entier immédiatement supérieur au quotient de X par
/T
Wj.-
Si gt est négatif, on aura
L'équation Y^ z:= o n'a aucune racine, si c et c' ont le
même signe. Donc V := o ne peut en avoir plus d'une entre
o et X.
Considérons maintenant l'équalion (56). Si ^o est positif,
Vo^^o aura une infinité de racines équidistantes, dont la
différence estrci/— ,et l'on peut choisir les conslantes
V ^2 ^
d'intégration de telle sorte que Va s'annule en un point arbi-
traire a. Donc entre o et X la distance de deux racines con-
r,
I \r /''"" 1
secutives de V ;:i:: o ne pourra pas surpasser ~i/ "? et le
V o 2
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉKS PARTIELLES. 4l3
nombre total de ces racines aura pour limite inférieure le
pins grand entier contenu dans le quotient de X par '^1/ ~ '
315. Revenons maintenant à Téquation
Désignons par V(^, r) une de ses solutions qui satisfasse
à la relation
k —- — A V = o pour X -=.0.
On a vu que, si r = o, cette fonction et sa dérivée ne s'an-
nulent pas entre o et X et ont le même signe; on aura donc
/cf + HV
dœ ^
>> o pour ^ = A, r r— o.
Si donc r varie de o à une valeur positive R, gr — / crois-
sant constamment pendant ce changement, le nombre des
racines de l'équation
dY
o^=:-u^{r) ^= k-j h HV pour^izrX,
comprises dans cet intervalle, sera égal à A ou A -|- i , A dési-
gnant l'excès du nombre des racines de l'équation
V(^, R)=:0
sur celui des racines de V(^, o)=:o dans l'intervalle de o àX.
Cette dernière équation n'ayant pas de racines, A sera le
nombre des racines de V(^, R) = o.
D'après l'analyse précédente, il a pour limite inférieure
le plus grand entier E contenu dans le quotient de X par
-Tti /■ — Yv~ — F' ^^2; h désignant les plus grandes valeurs de
A", /, et g.2 la plus petite valeur de g dans l'intervalle de o à X.
4l4 TROISIÈME PAUTIIÎ. — CHAPITRE III.
Or il est manifeste que E croît indéfiniment avec R. Donc
l'équation m{7^)=: o admet bien une infinité de racines.
316. Gela posé, nous avons vu (305) que le problème du
refroidissement de la barre revient à choisir les coefficients A;;^,
de telle sorte qu'on ait
2A„,V,„ = /(^) de ^0 à X.
En admettant la possibilité d'une solution, il sera aisé de
déterminer ces coefficients; multiplions, en effet, cette équa-
tion par ^V„ et intégrons de o àX. En vertu des relations (40?
tous les termes de la série où m^n donneront une intégrale
nulle, et l'on aura simplement
A, r gyidœ^f gy,f{x)dx.
Substituant les valeurs ainsi trouvées pour les coefficients,
nous obtiendrons la série
f g\,f{œ)dx
" f g\ldœ
Si cette série est convergente et a bien pour somme /(^)
dans tout l'intervalle de o à X, le problème sera résolu; mais,
pour s'en assurer, il serait nécessaire de sommer directe-
ment la série. Ce résultat n'a encore été atteint que dans
quelques cas particuliers.
317. Équilibre de température dhine sphère homogène.
— En désignant par r le rayon de la sphère, nous aurons
l'équation aux dérivées partielles
(^^U d''\} (^-U
ox- oy- ôz-
ÉQUATIONS AUX DÉUIVÉES PAlîTIELLIîS. qlS
avec la condition à la surface
l]--¥{^,y,z) pour x^^y^-\- z^-=r^.
Posons
^ =ir p sin6 cost];, j-- rr= p sin 6 sin 4», 2 = p cosO.
Nous avons vu (t. II, n^ 236) qu'on satisfait à l'équation
aux dérivées partielles par la solution simple
Y„ désignant une fonction de Laplace, c'est-à-dire un poly-
nôme homogène et de degré n en sinO costj;, sinQ sin^j;, cosô,
satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles
d^^ sm-0 O^-" oO
Le polynôme Y^ ainsi déterminé contient d'ailleurs 2/z-h i
constantes arbitraires dont il dépend linéairement.
En combinant ces solutions simples, on obtiendra comme
nouvelle solution la série
0
A la surface de la sphère, où p = r, cette série se réduira à
Vy„.
Il reste à déterminer les constantes qui figurent dans les Yn-,
de telle sorte que cette valeur soit égale à l'expression
F(r sin6 cos4', /•sinôsin^', a'cosO),
que nous représenterons, pour abréger, par /(9, ^).
Or nous avons vu (t. II, n°^ 243 et suiv.) qu'on arrive à ce
résultat en prenant pour les Y^ les valeurs particulières sui-
4t6 troisième partie. — CHAPITRE Kï.
vanles
où
P,, ■— X,, (cosy) = X,, [cosO cosO' -t- sin6 sinO' cos('J; — <]/')],
X;^ désignant la fonction de Legendre.
318. Cette solution peut se mettre sous une forme plus
élégante.
Remarquons, à cet effet, que la fonction générale Y„ est
une somme de termes de la forme
Aa- sin^'tj; cos'^'<]; sin''-t-'^8 cos"-''"'^ô.
D'ailleurs le produit sin^ J; cos^tj; s'exprime linéairement au
moyen des sinus et cosinus des arcs (i-^/-c)à, {i-j-k — 2)'li,
Parla substitution de ces expressions, Y^ prendra évidem-
ment la forme
m = n
OÙ
0;„„ =: sin^^OV, e;,^ = sin^'OV",
y et V étant des polynômes en cos8 etsin^ô, qui se trans-
formeront en polynômes en cos8 si l'on y remplace sin-0 par
I — cos-Q.
Substituons le développement précédent de Y,; dans l'équa-
tion aux dérivées partielles qui définit cette fonction, et chas-
sons les dénominateurs ; il viendra
n
o =y I sin^O ^^ -h sin6 cos6 ^^ -i- [/z(/z + 1) sin^O- m^]e',^„ l cosm<l>
9
n
-f-V I sin28 ^^^^ -f- sinO COS.Ô ^^ + [n(n -+- 1) sin^O - m^]e"„,n j sinm^^.
0
Pour que cette expression s'annule identiquement, il faut
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4*7
évidemment que les termes qui contiennent le sinus et le
cosinus de chaque multiple de J; s'annulent séparément.
Donc chacun des termes de Y/^, pris à part, sera une solution
de Téquation, et 0,,^/^, 6/,^,^ seront des solutions de l'équation
linéaire
d^Q d&
sin^ 0 -7— -\- sin 6 ces 6 — - -^i- ï n ( n -\- 1) sin^ ô — mM © := o.
Posons
0-= Vsin'«e;
nous obtiendrons une transformée en V
sin- 6-;—- + (2m -H i) sinÔ cosO— ^
-I- [n{n -^ i) — m{ m H- i )] sin^ 6 V m o,
à laquelle satisferont V et V'^
Prenons enfin cosô = p. pour nouvelle variable indépen-
dante; nous aurons une dernière transformée
(57) I ^A-J- ^P"
( H- [ai(/i H- i) — m(m + 1)] V = o.
Cette équation se lie intimement à l'équation connue
(58) (l-[i.2)--^-2[X-^— + 7Z(/Z + I)X = 0,
à laquelle satisfait le polynôme de Legendre X„([a).
En effet, différentions m fois cette dernière équation; on
obtiendra, pour déterminer —r-^-^ une équation identique a
(S^). Les intégrales de (5^) sont donc les dérivées ^ï'-n^es ^^^
intégrales de (58). Or le seul polynôme qui satisfasse à cette
dernière (sauf un facteur constant qui reste arbitraire) est le
polynôme de Legendre X„([ji).
Les polynômes V, V", qui satisfont à (5^), se réduiront
1 1 > r > ^ d"'X„(ll)
donc chacun, a un tacteur constant près, a • — -,—— ^ et les
j. — Cours, III. 27
4l8 TROISIÈME PARTIE. - CHAPITRE III.
fonctions
0;,, = v^sin'«e, e';,„ = Vsin-o
seront égales, à des facteurs constants près, à l'expression
m
in-\-ii
^^ ^ ■ dix'" 2'^I .1. . .n d\x
que nous désignerons par P^"(p.).
319. Cherchons la valeur de l'intégrale
J_^ d\x."' dix'"
Supposons, pour fixer les idées, n'^ n. L'intégration par
parties donnera
car les termes tout intégrés, contenant i — u.^ en facteur,
s'annulent aux deux limites.
Le multiplicateur de X,i'(jji) sous l'intégrale est un poly-
nôme de degré n; donc l'intégrale sera nulle si n'^n. Si
n'= n et qu'on désigne par C |ji" le premier terme de X„ ( [x),
ce poljnôme aura pour premier terme
( /i-i- m ) !
V ^ V ^ V / ^ ^ » (^ /i — m ) !
Il sera donc égal à
R étant un reste de degré <; n, qui est sans influence sur la
valeur de l'intégrale; on aura donc
( n + 771 ) ! 2_^
m)l 2 n 4- I
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4*9
320. Gela posé, nous aurons
(^9)
et il restera à déterminer les constantes A et B, de telle sorte
qu'on ait
^^ ^n=S y'p;f([x)[A,„„cosm^-4-B^„sinm4;]=:/(ô,4;).
Multiplions cette équation par cosfii^ d^, et intégrons
de o à 271; en remarquant qu'on a
I cos m <\i sin m' <\> d'\i =r: o ,
do
^27u / o, si m 5 m'
/ CCS m <\i CCS m' 'i^ d<\) =. ' u, si m r=z m' >- o,
TU / o, si m ^ m',
r'
" [ 2 7r, si /?Z 1= /?l' zn: o,
viendra
\ni étant égal, en général, à i , et à 2 si m = o.
Multiplions cette dernière équation par VJ^ {^) d\k et inté-
grons de — I à i, en remarquant que
P+\ l o, SI /i > n'y
J-i j ^ '- , SI n =: n\
{n -^ m)l 2 /^ -M
il viendra
On trouvera de même
420 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Substituons ces valeurs des coefficients A et B dans l'ex-
pression (09) de Y fi et réunissons tous les termes sous un
seul signe d'intégration, après avoir changé les variables
d'intégration 0, (J;, m. en 8', ^' , ^' pour éviter toute confu-
sion ; il viendra
X P;" (,».) P;f ( [).') cos/n(^ — >!,') dij' d^.
Mais nous avons précédemment trouvé cette autre valeur
Y„= ^^-|- f^ffi^'' V) P« si"»' dO' d^',
OU, en prenant cosO'= ^' pour nouvelle variable d'intégra-
tion,
La comparaison de cette valeur avec la précédente donne
J'égalité
j^o n -h ml K,^
qui permet d'exprimer la fonction
P„=:X„ (cosy) -^X„[[.ix' 4- v^i - [x^ s/T-lT^ cos(^ - -y )]
par une somme de produits de trois facteurs, dont chacun
ne dépend que de l'une des variables jj., \)J ^ ^ — ^j;'.
321. 11 est aisé de vérifier directement cette formule. En
effet, P„, considéré comme fonction de 0 et (L — ^j>', est une
fonction de l'espèce Y,, ; elle pourra donc se mettre sous la
forme
P.-::^^P;r(H^)[A,„„cosm(4;-f) + B,,„sinm(J.-4'')],
où les coefficients A^mn-) B^« ne dépendent plus que de \tJ.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 421
D'ailleurs P« est une fonction paire de ^ — '\'] donc les
coefficients B,„;^ seront tous nuls. De plus, P„ est symétrique
en [X et pi'. Donc A,;^,^ sera égal à CrJ'n^l^')^ ^^ désignanl
une constante.
Nous trouvons ainsi
iGo)
p.=^^.. p,?(i^) p;r(:^') ces m (6 - y)
et il ne reste plus qu'à déterminer les constantes Cm-
A cet effet, nous égalerons les valeurs principales des deux
membres lorsque l'on y pose [ji— [a'= ^; faisant, pour abré-
ger, h — (j/'^ o, la quantité
0057— {XJJ.'-;- \ll—]y\l\— IJ.'^ COScp
se réduira sensiblement à
[i.- ( I — ces cp ) — 2 sin- -- cp . a' ,
et
X„(cosy)
d'^
1'^ n\ dcos^
9.n{2n —- 1). . .(/i -^ i)
~'i"ii\
- (cos^^-i)'^
cos'^ Y
aura pour valeur principale
ijiiin — i)...(^-4-i) . 2. I 2/2
n\ 2 ^ '
Mais
/ 1 1 .\2«
( 2 iY"- sin-'' - o =: U 2 ^ — e ^ )
COS/l
in
© — — cos(/i — i)cp H-
I in{in — i)...{n^\y\
- (— i)" j— ~
^ ' 1 n\ I
D'autre part,
^^_^^,|-2.(2.-0...(.-^-^..
422 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
La comparaison des termes en ix'^ cosmo dans les deux
membres de l'équation (60) donnera donc, en posant Xn—~ 2
si m>o, Irr,—
j '^m
SI m = o.
2n{2n — i)...(n-^T) i 2 , , 2 n(2n — i) . . . {n -h m -^ 1}
ni {2if"' X,„ ^ ^ (/i — nij.
d'où
{n — m)\ 2
322. Equilibre de température de T ellipsoïde. — Nous
devons satisfaire à l'équation
dx\ dx\ dxl
et à la condition aux limites
(62) U--=F(^i,^2, ^3) pour Â^ "^ ât' "^ A" ~^*
Posons
Aj Aq -<?1, A2 -— Aq ■ ^2, A;} — Aq (?3,
^1+ é?2-4- ^3=0.
L'équation de l'ellipsoïde deviendra
œ'I œ\
Kq — e^ Ao — ^2 ^0 — ^3
Supposons, pour fixer les idées, qu'on ait
Par chaque point de l'espace passent trois surfaces du
second degré liomofocales
2
A — ec, A — e-^
— ^1
(t. I, n° 533), orthogonales entre elles; leurs paramètres \^
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 423
)v2i ^3 satisfont aux inégalités
e2< X2< e3< X3< ei< Xj.
Réciproquement, à chaque système de valeurs de ces para-
mètres satisfaisant à ces inégalités, correspondent huit points
réels, ayant pour coordonnées
t. I, n« 536).
323. On lèvera cette ambiguïté en posant
X,"PW1, >^2^=P«2, X3=P«'3'
On a, en effet, d'après les notations adoptées dans la
théorie des fonctions elliptiques (t. Il, n°^ 367 et 371).
\/pU-~ eoL=^OL0Ui Ua— 4-
d'où
(63) ^a^-'^^l^aol^i'^aolh'^aofh (a=:i,2,3).
Si dans ces formules, qui donnent les trois coordonnées,
nous convenons de prendre partout le signe -f-, à chaque
système de valeurs de «<<, 112, 113 correspondra un seul point
Cherchons comment on devra faire varier ?/,, 112, ih pour
obtenir une fois chaque point réel de l'espace.
Posons, pour abréger^,
{'k~e,){l-e,){l-~e,) =/{!).
La première période
sera réelle et positive, et la seconde période 20)0 sera pure-
^'if\ TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Si Al varie de e^ a <?3,
dll,:=:^ -r-=
sera réel, et w, (ou du moins l'une de ses valeurs) variera
en ligne droite de Wo à ojo -f- ^i-
Si Xo varie de e^ à et, diu sera purement imaginaire, et
l'une des valeurs de «o variera en ligne droite de CO3 à
Enfin, si A3 varie de 00 à e<, du^i sera réel, et l'une des
valeurs de W3 variera de o à o)^.
On obtiendra donc tous les systèmes de valeurs admis-
sibles pour X,, Xo; ^3 et, pour chacun d'eux, un seul des
huit points ^<, ^o? -^3 qui lui correspondent, en faisant va-
rier, en ligne droite ^
Ui de Wg à W2 -+- ^i-<
u^ de W3 à 0)3-4- CO2,
W3 de o à co].
Les autres points se déduiraient de celui-là en changeant
les signes de ses coordonnées.
On les obtiendra tous et chacun deux fois, en faisant varier
u^ de 0)2 à 032 + 4^1 et u^ de 033 à (1)3 4-4^0.
En effet, les relations
(t. II, n° t371) montrent que l'on a
si u' -\- u ou u' ~ u est une période. Or, à chaque valeur u^
de M, comprise entre Wg et Wo + w^ , correspondent, dans l'in-
tervalle de W2 à (1)2 + 4^n ^ï'ois autres valeurs de ce genre.
A chaque valeur U2 comprise entre 033 et (O3 -[- tt>2 corres-
pondent de même dans l'intervalle de 0^3 à (1)3 4- /\ix)2 les trois
ÉQUATIONS ALX DÉRIVÉES PARTIELLES. ^^Ô
valeurs associées
Les i6 points
auront au signe près les mêmes coordonnées zhx^^ —^21
zb^';{. On vérifie aisément que chacune des combinaisons de
signes est reproduite deux fois. Ainsi («, U2U2) représentera
le même point de l'espace que (u\ u^u-i), {u^ u-^u^) le même
point que {u\ u^ 11^)^ etc.
324. Ces préliminaires posés, prenons u^^ u^-, u^ pour
variables indépendantes, et cherchons la transformée de
l'équation difTérentielle (61); on a
^ d'il du/r dui V^ f?U d-ii;,
d'où
Zda-àxl " Zjk à (il ZuaKàXa)
^k,i àuk àui ^ja àxy_ dxa ' ^k àuj. Zua. (^^l
Reste à calculer les sommes
^rj^\dxa.J Là^ox^ dx^ ^^
ia àxi
Or on a
duk _ du,, d\k I 0\k
à xi 4 (yx^.)l \àx^} i\Jf\k ^-^a
426 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
d'où
ÔJ^c
V^ duj; dui 1 V^ d^k à'k/
^a àj^a à^oL ~~ [^\Jfk,c s/fki Zà^ ^-^a ^-^'a'
2ja àx^ ' 2v//Xa: L 2 /À/, Zjrx \àxj Zu^ àxl I
Or^ les surfaces X;^ = const., a^ =^ const. se coupant à
angle droit, on a
V ^2^ ^ — o
<a OX^ Ôx^
D'autre part, en dérivant par rapport à x^i l'équation
(64)
kk — e^ Ayt — (?2 f'k " ^3
et posant pour abréger
S
s,
f(>^/. — ^z)'
il viendra
IXrjL r. àlk
>^yt — ^a ' dXa
O
d'où
(65)
(66)
D'ailleurs si, dans l'expression de S/f, on remplace cha-
cune des quantités x^ par sa valeur
(Xt— ea)(X,— ga)(X3— gg)
(e^ — ea)(ey — ea)
il vient
g ^ Y {h-ea){K,- ea) ^ (X,-X,0(X,,-X,.) ^
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4'' 7
d'après la formule connue de la décomposition en fractions
simples (/, m désignent les deux indices de la suite i, 2, 3
qui diffèrent de k).
On aura donc
s.
/ ^ Y __ _T_ ^ ^ I
Enfin l'équation ( 64) dérivée deux fois de suite par rapport
à x^ donnera, en posant pour abréger
— 2
ix^ dlk /'^'^/A't- ^'^
Mt^ T,- VfS,
^k — ^Oi C^/C — 6ot.y dXo(. \OXrj^J ' ^^1
8^i I , ,/^Yt,^.--^-!^S..
>^/c — ^a (A/r — ^a)^ S;t \dXo,J dxl
Sommant par rapport à a, il vient, d'après (66) et (67),
O — > :— ■ — b/,. > -5-v
f^k " ^a ^^à
Comparant cette équation à la précédente,
à'kkY_ 4
[âXoiJ S;t'
il vient
' 2 Jlk 2joL\àxo,J ' Zuxàxl
et, par suite,
L'équation différentielle transformée sera donc
k
ou, en chassant les dénominateur et remplaçant )^,, X^^ A3
428 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
par jjwi, pu.2, pu-i,
(68) {pu2—pih)-^, -.-{pu^—pa,)-j^^--\'{pu,-^piu)--^ — o.
325. Quant à l'équalion à la surface, il est aisé de la
former. Soit u la racine de l'équation
p a — Xo,
comprise entre o et toi ; on obtiendra les points de la surface
de l'ellipsoïde, chacun deux fois, en posant ^^3 = u et faisant
varier ii^ de ojo à W2 + ^^^^o '^2 de 0)3 à 033 + 4^^^2- La tem-
pérature en chaque point de Ja surface étant donnée, on
aura, pour u^z=z\)^
(69) JJ =z^{u,, IL,),
^ étant une fonction arbitrairement donnée de Ui = 0)3 à
u^ c=r Wo -H 4ti><7 et de U2 = W3 à u.2= ^3 -j- 4^2- (Elle devra
d'ailleurs reprendre la même valeur pour les deux systèmes
de valeurs de Ui, 112 qui représentent le même point.)
326. On peut aisément trouver des solutions simples de
l'équation aux dérivées partielles (68). Nous aurons vu, en
effet (231), que pour chaque valeur de l'entier positif n on
peut déterminer 2/2 + 1 valeurs de la constante h telles que^
pour chacune d'elles, l'équation de Lamé
^^ —ln{n-\-i)pu^/i\x^o
admette une solution particulière
M(«)=rNP
qui possède les deux périodes 4^4 et 4^.t
Posons, j)our abréger,
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 429
Le produit MiMoMa satisfera à l'équalion aux dérivées
partielles; carie résultat de la substitution sera
MiMaMgN [/i(/z + i)j3Wa + /0(P"? — P«y)'
quantité identiquement nulle.
Cette solution simple, exprimée en fonction de ^, , x^-, x^
sera un polynôme entier; car N étant un produit de facteurs
de la forme o'aoW, NiNoNg sera un produit de facteurs tels
que
D'autre part, P<PoP3 sera un polynôme entier et symé-
trique par rapport aux quantités j3Wi, ^i^i-ii p^^3- Or celles-ci
sont les racines de l'équation du troisième degré
dont les coefficients sont des polynômes entiers en x^^
Xo j X^ .
327. En associant les solutions simples qui précèdent,
nous obtiendrons une série
1
""c^-Mf M'/^Mf
qui résoudra le problème proposé si les coefficients Ck peu-
vent être déterminés de manière à satisfaire à l'équation de
la surface
(70) Vc^.MfM^/'m^/) = *(«,, u,),
m^^^ représentant la valeur de M'.j'^' pour a^ =^ u.
328. En admettant provisoirement que la fonction <E> soit
susceptible d'un développement de la forme (70), il sera aisé
d'en déterminer les coefficients.
43o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Multiplions, en effet, l'égalité (70) parM^/' M'^' (pUi — pwo)
et intégrons par rapport à Ui de (O2 à Wo -h 4^i5 et par rap-
port à U2 de CO3 à (03 + 4 Wo ; l'intégrale double
Q Mf M'/'M^^ M^"' {pa, - pii^)duidu.,
qui multiplie Ckm[^\ est le déterminant des quatre intégrales
simples
\, ^^ Al^^'' M['''pu, du,, 12==/ M^^'^ Mf pW2^«2,
Ji= Al'/' M'/' Ji^i, J2= / M'/^ Mf «?a2,
Ce déterminant est nul si i^k.
En effet, M^'\ M^^^ sont solutions de deux équations de
Lamé différentes, telles que
da'-
d-M(^'^
du-
On en déduit
[n {n -i-i)j3w4-A]M(^)=:o,
[,i'{n'-ri)pU'.-/i']M^'^-^ = o.
[n{n-A- 1) - n'{n' 4- i)]M^^)M(^^> pu -h {h - /i') M^^'JM^''^-^
~_- M(^^'^ —7-^ M(^^ - , ,
du L du du J
Intégrons de cl>2 à 102 + 4^1 • l^es fonctions M admettant la
période 4^i, l'intégrale du second membre sera nulle, et il
viendra
[n{n -f- 1) — n'{n' -i- 1)] Ij -f- {h -- A') J, == o.
Intégrant de tog à (1)3 + 4f»^2 on trouverait de même
[n{n -t- i) — n'{n' 4- i)] I2 + (A — h')J^ — o,
d'où
I1J2 — I2J1 — o,
à moins qu'on n'ait à la fois n = n', h — //, d'où i — /c.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. /^Sl
Calculons ce même déterminant dans l'hypothèse où i =^ k.
Les fonctions M^^^W'^pu, M^^^M^^^ admettent les périodes
2C0i, 20)2; elle sont paires et n'ont de pôle que pour u=^o.
Décomposées en éléments simples, elles seront donc de la
forme
^{k) ^{k) pi^ — a^k „ ajpw 4- af p" «-{-...,
M(^)M(^^ = p^^--r- Pjp« -i- ?tp"u-h. . . .
Intégrant de co^ à 0)2 -t- 4^n i^ viendra
En intégrant de 033 à 0)3 h 4 ^21 on aurait de même
I2 — Aa^Wa — 4aJ-/]i, 5^ — l^^^^' oi^ — 4Pjri2,
et, par suite,
On aura donc, pour déterminer c/(, la formule
8 TT /(a/^- [3 J - a J p/^- ) m'/^' c, :.. ^ * Mf M^^^' (pu, -pu,) du, du,.
329. Il reste toutefois à établir que la fonction arbitraire
<I>(;/i, ^^2) admet effectivement un développement de la
forme (70). jNous y parviendrons par les considérations sui-
vantes :
Soient ^4, ^27 ^3 et r, w,, Uo deux systèmes de variables
liés par les relations
X -/•U^o' u c! u -ri /(P^^-^°^)^y^^^-^«)
On en déduit aisément
- — z= O,
1 ^a
«
^
P«2 — ^a
432 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE Ilï.
Ces équations représentent une sphère et deux cônes ho-
mofocaux, qui se coupent à angle droit.
A chaque point réelxi, Xo, ^3, correspondent: i'^ une
seule valeur de /*; 1^ deux racines de Féquation
o,
dont la première, X, =^pu^^ sera comprise entre e^ et e^ ; et
la seconde "k^ = pif2 entre 63 et e^ ; 3" deux systèmes de va-
leurs de Ui, U2 tels que Ui soit compris entre CO2 et
(1)2 + 4^1, et U2 entre 0)3 et 0)3 -}- 4 Wo.
Réciproquement, si le point (?^,, U2) parcourt le domaine
ainsi défini, le point (^i, ^o? «^s) décrira deux fois la sphère
de rayon r qui a l'origine pour centre.
330. Si l'on prend r, w<, U2 pour variables indépendantes,
l'équation du potentiel
V — -o
se transformera en
^^U Y / Or Y ^ ^ Y l^^illY , ^ V /^^^2 Y
dr du^ Zuàx^ dxy.
Les termes de la seconde ligne disparaissent, car les sur-
faces r = const., «, = const., W2 = const. étant orthogo-
nales, on a
V^ dr âui _
^ dxa. âxa, ' ' * * '
L'équation
œi --= f'
x^ — r-^
d'où
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 433
donne, d'autre part,
D'autre part, les équations
donneront, comme au n° 324,
en posant, pour abréger,
. f\ ~- (X - e,){l - e,){l - c), S, :=:y TY-^Vr '
Aj (Xi — ea)'
(X
Or on a ici
d'où
C ^2 \^ A2 gg ^ A^^ Al
^" Z^ (^p— ^a)(eY — ea)(>^i — ^a) ~' 7>^i
On a donc finalement
diii \- I I
On trouvera de même,
ZjXàJ^-aJ ~ rMp«i— (P"2)' ii"^"^*
L'équation du potentiel aura donc pour transformée la
suivante :
âr' ' r^(pu2 — piii)\àul dul) r dr
J. — Cours, III. 28
434 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
OU
Cela posé, on sait (t. II, n° 236) que pour chaque valeur
de l'entier positif n il existe 2n-[-i fonctions Y,^ linéai-
rement distinctes et définies par cette double propriété :
i" Les fonctions r^Yn, (où r = \/x' -i-y^ -i- z-) sont des
polynômes homogènes d'ordre /i en ^4, x^, x^; 2" ces poly-
nômes satisfont à l'équation du potentiel.
Mais nous venons de voir qu'à cette même valeur de n
correspondent 2n + i valeurs de h pour lesquelles l'équa-
tion de Lamé
admet une intégrale doublement périodique de la forme
M=:NP.
Les produits correspondants
MiM2 = N,N2PiP2
seront précisément les 2/i--r-i fonctions Yn exprimées au
moyen des variables ?/<, 112-
En effet, soit /rie degré du polynôme P; Ni N2 sera un pro-
duit de n — k facteurs tels que
, . _ I ^a
uâ /
D'autre part, Pi P2 sera un polynôme en pUi, pu^ symé-
trique et de degré /i par rapport à ces deux quantités; ce sera
donc un polynôme d'ordre n en pii^ pu2 et pu^ -^ pu^»
Mais les équations
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 435
permettent d'exprimer les quantités
puipii^, pui-i-pui, I
en fonction linéaire et homogène des trois quantités -^•
Donc la fonction r^M^Mg^U sera bien un polynôme
homogène et de degré n en Xi^ X2j 0O3. Il reste à s'assurer
qu'elle satisfait à l'équation (71).
Cette vérification est immédiate, car on a
^— - — [/i ( /i -+- j )p«i + A] U,
—:ï = ['^ ('^ ~" ^^ J^"2 + h\ u,
du
/■- -T— ,- + 2 /• -T— -:=-- n ( Jl — i)UH-2/zU = /z(/2 + i)U.
ôr^ Or ^ '
Le développement de la fonction arbitraire ^ en une série
de termes M,, M2 sera donc possible, aux mêmes condition,^
que le développement en série de fonctions Y„ ; ces deux
développements, identiques au fond, ne diffèrent l'un de
l'autre que par le choix des variables indépendantes.
331. Refroidissement d une sphère homogène. — Soit r
le rayon de la sphère; nous aurons l'équation aux dérivées
partielles
— 772 I _(_ . _U ) ,
dt ~ \ôx^ ^ ày' ' âz-'J'
avec la condition initiale
U — / pour ^ = 0. ^2 _^ ^,2 _^ ^2 ^ ^5 .
/étant une fonction donnée de ^, y, z, et la condition à la
surface
-K— cosa-h-r— cos(i4--^coSY+riU — o pour ^- H- y^ _4_ ^2 __ ,.2
436 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
a, |3, y étant les cosinus des angles formés par la normale
extérieure avec les axes coordonnés.
Remplaçons ^, y, z par des coordonnées polaires p, 8, ^.
L'équation aux dérivées partielles deviendra (t. I, n*^ 139).
(?U „/f)-U I d^U I (^2u 2 ^u cote (?U\
(72) ^^ ^\àf "^p^sin-ô (^f^"^p2 (^0^ ' ^ ô^ ' f à^ j
La condition initiale prendra la forme
(78) U -r^/ pour ^r=:o, p < A-,
et la condition à la surface deviendra, en remarquant que
l'on a
àx . dy dz
cosaz=— —, cosp=~? cosy = -rr->
ùo dp ' dp
(74) -j hHU = o pour pzizr.
6/p
332. Pour déterminer une solution simple qui satisfasse
aux équations (72) et (74)? posons
p désignant une constante, Y„ une fonction de Laplace et R
une fonction de p. Ces équations deviendront, après qu'on
aura chassé les dénominateurs et supprimé les facteurs com-
muns.
(-75)
(76) -1 hIiR = o pour p = /\
L'équation (70) rentre dans la catégorie de celles que
nous avons ramenées à l'équation de Bessel (191). Elle
admet, comme solution particulière l'expression
_i
ip?) ^^„Ap?)
2
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4^7
que nous désignerons par F/j(/?p). Cette fonction est le pro-
duit de p"p^ par une série, procédant suivant les puissances
entières de />^p^.
Il reste à satisfaire à l'équation aux limites (76). Il faut
pour cela que p soit une racine de l'équation transcendante
Le premier membre de cette équation est évidemment une
fonction entière de p^ si n=o; une semblable fonction,
multipliée parp", si /2>>o; supprimant, dans ce dernier cas,
la racine parasite yo = o, qui ne fournirait qu'une solution
identiquement nulle, nous obtiendrons dans tous les cas une
équation de la forme
(77) tîT„(/?2)=0.
La fonction F,i{pçi) s'annule évidemment pour p := o
si/i>>o; et, sin = o^ sa dérivée s'annule; on aura donc,
dans tous les cas, en désignant par p et q deux valeurs quel-
conques du paramètre/?.
et la même relation aura lieu pour p = /-, si p et q sont
racines de l'équation (77).
L'équation (76) est d'ailleurs un cas particulier de l'équa-
tion (36) considérée aux n"^ 306 et suivants, dont elle se
déduit en remplaçant V, x^ /', X par R, p, p"^^ • et donnant
kk^ g^ l les valeurs particulières p^, p^, n{n~\-i). On en
conclut :
i*^ Que les valeurs de p^ qui satisfont à l'équation
GT/j (/)2) =: o sont toutes réelles, positives, inégales et en
nombre infini;
2" Qu'en désignant par p^, ^-, . . . ces racines, l'intégrale
f 9'^n{p?)F,{qp)dp,
438 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITHE lU.
sera nulle, si p^ diffère de q-\ soit, au contraire, q ^=zp] or»
aura
'"'" L (^P' àr ^ ''^^' ^ ~ô77)p' J
- ^ \à¥n{pr) àF^ipr) __ d'FApr)']
~'2pl dp Or 'nKpn ^,.^^^ J-
333. Posons, d'autre part, comme au n° 318,
m
cosu-fx, r„(H-)- ^.,,^, ^^„,^„
On a vu que PJJ^([j.) cosmd;, PJJ^([jl) sinwi^ sont des fonc-
tions Y,i\ on satisfera donc à la fois à l'équation aux dé-
rivées partielles et à la condition à la surface par les solu-
tions simples
c-«^/'''P;'/([i.)cosm4;F,(/;p),
e-«V^P;r(^)sin77zi;F,(/?p),
et plus généralement par la série
222e-V^^P;f([j.)(A,,,^cosm-J;-hB,„„^sinm6)F„(/?p),
où les A, B sont des constantes arbitraires, et les sommations
s'étendnnt :
i" Celle par rapporta /z, à toutes les valeurs entières de
G àoo; 2° celle par rapport à m, aux valeurs entières de o
k n\ 3° celle par rapport h p, k toutes les racines positives
p de l'équation Tn,i{p-) ~-= o.
334. Glierchons à déterminer les constantes A, B, de telle
sorte que la série satisfasse à la condition initiale
(78) 22SP^((x) A,„„^ cosm^ + B„,„p sin 7nà) F„(/?p) =^ ,
pour tous les points intérieurs de la sphère, c'est-à-dire
pourpJo<]r, [ji^ — i^i, ^^o^2iz.
Soit m', /i', p' un des systèmes de valeurs associées des
paramètres m, n^ p. Pour déterminer Km'a'p'i multiplions
l'équation (78) par cosrn'^'^^^ et intégrons de o à 271. Tous
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 439
les termes du premier membre donnent une intégrale nulle,
sauf ceux qui contiennent cos/n'^j;. On a, pour ceux-ci,
r'^'^ , _( I, si m'>o,
il viendra donc
Multiplions cette égalité par Pf (p-)^p. et intégrons de
— I à — I. Tous les termes du second membre donneront
une intégrale nulle (319), sauf ceux où /^ = n', pour lesquels
on a
il viendra donc
/ / /C0Sm'4;P'„'^'(!J.) d^ dix — ^Kn'n'pXn''^yi^'n'^{P9),
d —\ Jq
la sommation ne s'é tendant plus qu'aux valeurs de p corres-
pondant à la valeur n! de l'entier n.
Multiplions enfin par p^F(/?'p)c/p et intégrons de o à r;
tous les termes du second membre donneront une intégrale
nulle, sauf celui où/? =/?', et l'on aura finalement, pour dé-
terminer Am'n'p', l'équation
ff f f cos m' ^V';^:{ix)p^-¥{p'p)d^ dix dp
m' n' p' f^ m' ~ '-n'n' i^p'p''
On trouvera, par le même procédé, pour déterminer
^m'n'p', l'équation analogue
nf fs\nm''\>P';;\\ix)p'^F{p'p)d'^dixdp
1 do
ni'ji'p' ^m'^ *-n'n' ^^p'p'
440 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IIF.
Substituons, dans la série (78), les valeurs que nous ve-
nons de trouver pour les coefficients, et accentuons les va-
riables d'intégration, afin de pouvoir faire rentrer sans ambi-
guïté sous les signes d'intégration les facteurs qui leur sont
extérieurs; nous obtiendrons comme valeur initiale de U
l'expression
(79) { ^uZjlii L, i
>cp''F^{pp)¥,,{pp')dydi.'dp'.
335. Mais il reste à prouver que, en additionnant les
termes de cette série triple dans un ordre convenable, on
trouvera bien pour somme /((}, a, o).
Laissons d'abord n et m constants, et bornons-nous à faire
varier p de manière à lui faire prendre successivement pour
valeurs les diverses racines positives de l'équation
supposées rangées par ordre de grandeur croissante. Nous
aurons à déterminer la valeur de la somme
(80) '^J''f^ï^ll}^'^F„ipp)F,.{pp')d?',
pour les valeurs de p comprises entre o et r. Nous verrons
qu'elle est égale ày*(tj;', |Ji', p) [pourvu que cette expression,
considérée comme fonction de 0, soit continue et ait une va-
riation limitée dans l'intervalle de o à /', quels que soient ^f
et [jl'].
La somme (79) se réduira dès lors à la somme double
4-1 ^271
111 f.
P;r([^)P^"(P-')cosm(^-f)^<];'^p.',
qu'on sait être égale ày((|;, |jl, p) [320].
Tout revient donc à établir ce que nous avons annoncé
pour la somme de la série (80).
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 44^
336. En cessant, pour plus de simplicité, de mettre en
évidence les quantités tj>', jj.', n qui conservent une valeur
constante dans toute cette recherche, cette expression peut
s'écrire ainsi :
(80)'
jr7(P')P'^<o'2^-^-
La fonction F(/?p) satisfait à l'équation différenlielle
^P'^7^ -^ [/'V'" «(« + •)] F(/>P) = 0,
et, comme elle est symétrique en p et/?, on aura aussi
On a de même •
En combinant ces deux équations, on trouve
en posant, pour abréger,
= p'[pFipf')F'{pp)-.f'F{pp)F'(pp')].
on aura, par suite,
(8.) F^p,)F(p,') = ^^-.
Nous avons trouvé d'autre part
2/? |_ dp ôr
lipill
hdp J
or -!
44^ TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Pour transformer cette expression, nous remarquerons
qu'on a
or i ^-r ^ j. ^p
ce qui permet de mettre ^pp sous la forme
et de donner à l'équation à la surface
i___^L_^ _l_HF(/?/-)=:o,
la forme suivante
(84) p^l^^^\\rY{pr)^o.
Désignons par ^(/?) le premier membre de cette équation ;
l'identité
(85) p'^l^Pll+\\r^^^pr)^ii{p),
étant différentiée, donnera
Enfin, pour p = a-, l'équation (8i) peut se mettre sous la
forme
( d dF{pr) dF{pr)
87) l^dp^ dp ^ dp
{ +[/?V--'^— /z(/z4-i)]F(/?r)=zo.
Tirons des équations (84), (86), (87) les valeurs de
F(nr), ^^-^-^, -f.;,^!^pour les substituer dans (83),
^^ ' dp ôp^ dp ^
il viendra
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. l\^^
en posant, pour abréger,
On aura_, par suite,
Fipp)¥{pp') ^ 2Q{p)^'(p)
337. Il est aisé de voir que cette expression est le résidu,
pour le pôle z = j?, de la fonction
x(--)- ''^'''^''^
En effet, posons z ^ p -f- A; on aura
Q(-) = Q(/>)^-
hQ'ip)^...,
cp(^) — 9(/?)4-/i o\p^-y..,^
Y \ [ lh \
I
~'^"{p)
Le résidu cherché sera donc
2Q(p)9'(/?)
,-(p'2_p^)/>-^yH/^)
, 2cp(p)
' '• P"--p')P'r'{P)l
^'C""-«''"-
p _
Or la quantité entre parenthèses est nulle. En effet, les équa-
/Q^\ /Qa\ . /Q \ ' ^ . - ^ dF{pr)
lions (o3), (oo) et (07), résolues par rapport a -y-p — ^ ?
— ^^^ — -) F(/?r), donnent
V(^r)- {i-llr)^(p)~^~p^'{p)
^^^" " Qip)
444 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Substituons cette expression et sa dérivée dans l'équa-
tion (84)- Il viendra, en tenant compte de ce que '^{p) est
nul,
_ n [i^-^^rWip)-'-^'iP)-^PV{p) _ P¥iP)Q'iP)~]
^L Qip) Q-'ip) J
}lrp^'{p)_
Qip) ~ '
^j . ,. • p^'ip)
ou, en réduisant et divisant par ^^,., ^ ' ^
V (P)
f (/>) ^ ^"^^ p
338. On remarquera d'ailleurs que, pour z = o, la fonc-
tion y^{z) n'est pas infinie, car <o{z) contient le facteur z^
qui figure au dénominateur. Donc x(^) ^'^ d'autres pôles
que les racines/?, et l'intégrale
^^.fyM)d.,
prise suivant un contour fermé quelconque situé à droite de
Taxe des y, sera égale à la somme
bornée à celles des racines p qui sont contenues dans ce
contour.
Les termes correspondants de la somme (8o)' donneront
l'intégrale double
(88) ff(?')?"dp'^^-^^.j'x(z)dz.
339. Prenons pour contour d'intégration {fig. 9) le rec-
tangle MNPQ qui a pour sommets les points Bf, Ah-B^
A — Bi, — Bi, A étant une quantité réelle de la forme
(-:-'■)'
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES.
145
où k est nn entier, etB une autre quantité réelle, très grande
par rapport à A. En faisant croître indéfiniment l'entier /r,
ce rectangle contiendra un nombre de racines de plus en
plus grand; on obtiendra donc la somme (80)' en cherchant
la limite de l'expression (88) pour k ^= 00,
Pour établir que cette expression a pour limite /(p), il
nous suffira de faire voir : i" que l'intégrale
(89)
où b est une quantité variable entre o et r, reste constam-
ment inférieure à une limite finie ; 2" qu'elle tend uniformé-
ment vers ^lorsque k croît indéfiniment, tant que b restera
Fig- 9-
Y
M
A
N
£
0
Q
■
K
X
P
inférieure p — s ou supérieur à p -h s, e étant une constante
quelconque.
En effet, l'intégrale ( 88)' étant décomposée en deux autres,
où l'intégration relative à p' s'étend respectivement de o à p
et de p à r, ces intégrales partielles auront respectivement
pour valeur (t. II, n« 221)
i/(p-o) et i-/(pH-o).
446 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Leur somme sera donc égale à /(p), puisque cette fonction
est supposée continue.
Nous remarquerons d'abord que y(^) étant une fonction
impaire, les éléments de 1 intégrale / ^ — ~ prise sur le
côté MQ se détruisent deux à deux. En outre, y^{z) prenant
des valeurs imaginaires conjuguées en deux points symé-
triques par rapport à l'axe des x, le reste de la ligne d'inté-
gration relative à z pourra être borné à sa moitié supérieure
KNM, à la condition de doubler la partie réelle et de sup-
primer la partie imaginaire du résultat obtenu.
340. Posons pour abréger
_i
nous aurons (217) pour V(^z)=iZ "J ^{z) une expression
2
de la forme
(90) F(2) = î!^-^^\a+0) + sin(=-X)0„
0, 8< étant des polynômes en — • La dérivation donnera pour
F'(z), F'^(;:;) des expressions analogues
(90 F(^)r=- !lI^_lA)(a-i-G,) -. cos(^-X)03,
(92) ¥"{z)-^- ^^'^"1"^^ (a 4- 0,) -H sin(^ - X)0„
z
O2, ...,05 étant encore des polynômes en — •
Z"
So\i z=^ u-\- ti^ t étant positif ou nul. Le module des
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4^7
quantités
COS {z — X ) =
sin(5 — X) =:
sera compris entre
2
Q—t-\-(u—'k)i. Qt—{ii—\)i
2 i
et
e'
et, par suite, moindre que e^ En particulier, si t est très
s^rand, il se réduira sensiblement à 4e^.
D'ailleurs, si le module \/ u- -\- 1^ de ^ est >> i, les mo-
dules des polynômes B, ...,05 seront limités ; et si \z\ est
très grand, ils seront du même ordre de grandeur que p— ^•
Les modules des quantités F(^), F'(^), F''(^) seront
donc, si t est très grand, sensiblement égaux à
et seront, dans tous les cas, moindres que
/ désignant une constante.
Ce dernier résultat, que nous venons d'établir en suppo-
sant 1^1 >i, subsiste évidemment encore si |^|^i; car,
et
dans cette hypothèse, ■ — r est au moins égal à i, et, d'autre
part, les modules des fonctions entières F(s), V\z)^ F''(^)
restent inférieures à une limite fixe.
341. Il est maintenant aisé de trouver, soit la valeur ap-
prochée, soit une limite supérieure du module de chacun
448 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
des facteurs de la quantité
qui figure dans l'intégrale (89), lorsque |^| est très grand,
ce qui a lieu sur toute la ligne d'intégration.
20'
On a tout d'abord ~ << 2. En second lieu,
q(z) — r^z^—n{n-hi) — Rr{i — l{r),
a son module sensiblement égal à /•- | ^ |-.
On a, d'autre part,
^{z)=:z^^^ -hH/'F(rz)
(Jz
z=rzF'{rz)-^llrF{rz).
Sur le côté horizontal du rectangle, où z = u -{- Bi, u va-
riant de o à A et B étant très grand, les modules de F(/'^),
a e'"'*
¥' (rz^ seront sensiblement éeraiix à ■ — , et l'on aura sen-
^ ^ *^ 1 r\z\
siblement
i-K = )!="e'-'=.
Sur le côté vertical, où ^ = A 4- ti^ t variant de o à B, on
aura, en remplaçant A et X par leurs valeurs,
rz — X = r A — X ~\- rti:=i {ik — \)t. -^^ rti,
d'où
sin(r^ — X) -:=:: — cos rti, cos {rz — X) -— s'mrti,
et, par suite,
+ iir\^-^^[<x+ e(rs)] - cos rti(l,(rz)\.
( ï' Z ]
On en déduit
(98) '\>\z) — 0.^008"^ rti (i -i-M-hM'tangr^/ + ]VrtangV^Oi
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES TARTIELLÉS. 449
M, M', ]VF, M"' étant des poljnômes formés avec les puis-
sances négatives de A + ^/; A étant très grand, ces poly-
nômes ont leurs modules tr(''s petits; d'autre part, lorsqne
t varie de o à oo, tang/'^i varie régulièrement de o à « ; donc
on aura sensiblement
\Y~{^) | = a2cosV^/= l.(^e''^-he-''^y> ^e^'"'.
4 4
Considérons enfin le dernier facteur,
P'?(^) _^ ,rpF(,o's)F'(p^)-p'F(p4;)F'(p':;)-l
Il peut se mettre sous la forme
2 p'+p
Or on a
P p'-p -p'-pjp M--)^^^^,
expression dont le module a pour limite supérieure
pVl^i,
[X désignant une limite supérieure du module de F'Çxz); or
ce dernier module est moindre que
Y^\^pp'\z\'
car 0?, variant entre p et p', qui sont eux-mêmes compris
pp'
entre o et r, sera << /', mais >> ^•
On a donc pour limite supérieure du module cherché
l'expression
rle''^
P
J. -- Cours, [II. 29
45o TROISIÊMK PARTIE. — CIIAPITIIE III.
Le même procédé, appliqué à l'expression
,F'(p'-^)-F'(p^)
P P' --^ '
donnera pour son module la même limite.
Substituant pour ces quantités, ainsi que pour F(p^),
F'(pz), . . . , les limites de leurs modules, il viendra
D'ailleurs, p' étant ^r et j^j étant très grand, le second
terme de cette expression sera négligeable par rapport au
premier.
342. Il résulte des évaluations qui précèdent que, sur le
côté horizontal du rectangle où ^ = B, et où | ;s | est sen-
siblement égal à B, l'intégrale (89) s'annule pour B =00;
car on aura
,b ^A
If ITZ l
^Â^
[Ji désignant le maximum du module de p'^y(z), lequel,
d'après ce qui précède, ne peut surpasser sensiblement la
quantité
4 /2re(r+p)C
2/-2B-
a«e2'B p^B
qui s'annule pour B = oo, car elle contient en dénominateur
l'exponentielle e^^~P^^\
Considérons maintenant l'intégrale suivant le côté vertical,
laquelle, pour B = 00, se réduit à
^ f r 9"x{h.-\'ti)dtdp',
Elle a une valeur limitée, car son module est au plus égal à
'-— -^ / vdt< — ^dt,
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4^1
|x désignant une limite supérieure du module de p'-y^(A-{- ti).
Or \z\ étant ici égal à y/A- -H ^'^ [f- ne peut surpasser sensi-
blement l'expression
laquelle donne une intégrale finie, à cause de la présence du
facteur e^^~P^^ au dénominateur.
Nous allons enfin démontrer que l'intégrale, suivant le côté
vertical, tend uniformément vers | pour A = oo, quelle que
soit la valeur constante ou variable assignée à b.
A cet effet, nous remarquerons d^abord que l'on peut sup-
poser ^> ir- En effet, si b était << .-5 on pourrait décomposer
le champ d'intégration relatif à ^' en deux autres, s'étendant
l'un de p à yj Pautre de - à b. Le module de l'intégrale re-
lative à cette seconde partie du champ est au plus égal à
€t a fortiori à -r- / [a dt^ quantité indépendante de 6, et qui
s'annule pour A ^=: co. On n'aura donc à considérer que la
première partie du champ.
343. Supposons donc by -r-* Ponr déterminer dans ce cas
la valeur limite de l'intégrale, il ne suffira plus d'assigner
comme on l'a fait jusqu'à présent, une limite supérieure à
son module; mais il faudra analyser avec plus de précision la
nature des facteurs de x(-^)-
Considérons d'abord le facteur
Substituons aux fonctions F(p^), ... leurs valeurs
V{^z) = -^"i^f^H^^ [a -f- 6(p^)] + sin(pc - X)G,(p^),
4-52 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
il viendra
"^^"^ pp'\ -r- sin(p'5 — X) sin(p5-^-X)D"
( -hcos(p':; — X)cos(pi; — X)D"' j
chacune des quantités D, D', D'', D"' étant une somme de
fractions simples, de la forme
c
pi^p'^^F--t^v+î *
En faisant usage des formules
• // ,N / >x sin[(p -l-p')5 — 2X]H-sin(p' — p)^
sm (p' z—1) CCS {pz — X) — — -^ ^-^ ~ -^- y
on peut mettre cette expression sous la forme
( sin(p'-^p).[.^(^-e)+E]
pp -f-si
n[(p'^p)^-2X][a^(^^:-^) + E']
4- cos(p'— p) s E" 4- cos[(p' -^p)z — 2X]E"' )
E, E', . . . étant de la même forme que D, D', ....
D'ailleurs, pour p' = p, ^{:-) s'annule identiquement; donc
E', E'^, E"^ s'annulent. Si donc une de ces fonctions contient
la fraction simple
c
^V/^ ^"ïï -i-v-f-l '
elle contiendra son associée
c
pVp'p-sf^'+^-^i
Cette fraction, ajoutée à la précédente, donnera un résultat
de la forme
(p'— p)> » , '^ ' où Y + 3= |X-hV — I.
^^pfip'T^[^'^-v+l ^ ■ ^
On aura donc
E'=.. (p'- p)F', E" =--. (p'- p)F^ E'''r= (p'- p)¥\
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4^3
F', F'^, F'" étant des sommes de fractions simples, de la forme
p'rz^+T+2
Substituons, dans les arguments des lignes trigonométri-
ques, la valeur z = Pi.-^ ti et séparons la partie réelle de la
partie imaginaire au moyen des formules d'addition. Remar-
quons enfin que 2X ne diffère de irK que par un nombre
impair de demi-circonférences ; il viendra
, , ^ r sin(p' — p)Acos(p' — p)^nr^^/ / X T^ I
^^ ^(^) = U cosî;'- p) A sin(p'- l)a\ l.-. (? + P) "- ^J
^ r— CCS (2/- — p — pO A. sin(p'-T-p)^n__/a2
"" L sin(2/' — p — pOAcos(p'+p)^/J^^ '\''2
, r cos(p'— p)Acos(p'— p)^n
~^\_- sin(p'— p)A sin(p'— p)^/J^P ^'
[:
cos(2r — p — p') A cos(p'-T- ^)ti
sin(2r — p — p') A sin(p'-h p)ti
344. Chacune des fractions simples qui figurent dans E.
F', F'^, F^^', considérée comme fonction de p' et de t^ est de
la forme
c
—, ^—7— ) ou V ■> [X.
p'l^(A-r-^0^
Elle peut s'écrire
V ^ — ^ (— i)'"
p/[x(A2-h^-)^ Za p'i^(A--h^-)^
Chacun des termes de cette somme est le produit d'une
puissance de « par une fonction de p', A, t^ continue, réelle et
positive dans tout le champ d'intégration. Cette fonction sera
croissante de p' = p à p' = 6, si 6 -< p. Si 6 >> 0, on pourra
la décomposer dans la différence des deux fonctions partielles
I c' K''-"^t'"- / I I \ c'A^-"^^'«
pf^ (Â^T~^ ^^ v^ ~" yv-j (A2-t-^r^)^'
également continues et positives, dont la première ne varie
pas avec p', tandis que la seconde est croissante de p à ^.
454 TROISIÈME PARTIE. -— CHAPITRE III.
D'ailleurs A et ^ étant au plus égaux à y/À- -h t^ et p' au
moins égal à -r- dans tout le champ d'intégration, le module
de la fonction considérée aura pour limite supérieure
et, si ^ > p, les modules des deux fonctions partielles dans
lesquelles on la décompose seront moindres que
Ces diverses fonctions tendent donc uniformément ver&
o pour A = 00, quels que soient p' et t.
D'autre part, la fonction
Qifi - ^2_ ^(^ + 0 + Hr(i - Hr)
est de même égale à r-, plus la somme de quatre termes,
dont chacun est le produit d'une puissance de i par une fonc-
lionpositive de ^etde A, qui tend uniformément vers o pour
A = 00, quel que soit t.
On a enfin
<];2(^) — a2 cos'^rti{i + M 4- M' tang/'^i + M" tangV^i)-
Chacune des fonctions M, M', . . ., étant une somme de
termes de la forme
c
s'exprimera par une somme de termes dont chacun est le
produit d'une puissance de i par une fonction continue et
positive de t et de A, qui tend uniformément vers o pour
A=::=GO.
D'ailleurs, lâng/Ui est le produit de i par une quantité
comprise entre o et i . On aura donc
i-h M + M' tangr^i -h M" tangV^^ = i -h P + P'i — P"— P"i;
P, P', P'', P''^ étant des fonctions continues et positives qui
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4^5
tendent uniformément vers o pour A = oc, l'expression
n-M4-M'tangA^f + M"tangV^j"~(i-+-P — P")2+(P'— P"'^)
sera évidemment une fonction de même forme.
345. Réunissant les résultats précédents, on trouve pour
l'intégrale cherchée
l'expression suivante
,0
r sinÇp:-^) A />=
cos(p' — p)ti ,
cos^ rti
[J
// / \ A j / r" sin(p'— p)^/ , fi
ces (p' — p ) A do' / 7-—^^- -V — ■ 9 -
-/ sin {2 r — p — p') A dp' I
^p ^0
-^1
dt
dt
, r*cos(p'4- p)^£ -t + R,
p' —, dt
(94)
[ — / cos(2r— p — p')A«?p' / —
(p'-^o)n ,31+R,
cos^r^i
dt
irp I
cos{p'—p)tî Ro ^^^
p'-h p
«^0 «^0
cos,^ rti
?'-^P
dt
-f.
nr\<!.(2r — p
p[)kdp' f
C0s(p'-4- o)^i , R3
dt
cos- rtl ' p'-h- p
/• / i\ K j r r'" sin(p'+ p)ti , Rt
sin (2 r — p — p') A <^p' / ■ ^—--^^l— p' -^-1- dt
^ ^ \J, cos' rti : p'-i-p
R, Ri, R2, R3 étant une somme de termes dont chacun est le
produit d'une puissance de i par une fonction de p^, ^, A,
continue, positive et bornée, laquelle croît (ou tout au moins
ne décroît pas) lorsque p^ varie de p à 6, mais tend unifor-
mément vers zéro quel que soit p pour A = oo.
456 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
D'ailleurs p' et -7-^ — sont des fonctions de p^ finies et con-
tinues; elles sont croissantes de p à 6, si è "> 0; dans le cas
contraire, elles sont la différence de deux fonctions finies,
continues et non décroissantes
P + P'
(P-P'),
p + p7
/
„ ^ , ^ . , , X . .sin(p' — p)t:i
Enfin, les fonctions cos(p'— p)/«, — i — ^, '-^— sont
P— P
croissantes de p à 6.
Donc chacune des intégrales relatives à f, qui figurent
dans la formule précédente, porte sur une somme de termes
dont chacun est le produit d'une puissance de i par une fonc-
tion de p', A, t positive, bornée et continue, laquelle ne dé-
croît pas lorsque p' varie de p à ^, mais tend uniformément
vers o pour A:=oo (à moins qu'elle ne soit indépendante
de A, ce qui arrivera pour les termes des quatre premières
intégrales qui ne proviennent pas de R et de Rj).
L'intégrale de chacun de ces termes, prise par rapport
à f, sera manifestement le produit d'une puissance de i par
une fonction de même forme, que nous désignerons par
/(P'-A).
346. D'autre part, les intégrales
^sin(p'— p)Ar/p'
— ,
sin (p'— p)Adp'
I — cos{b — p) A.
/ / K K ^ I sin(è — p)A
COS ( p' — p ) A <ip' ==: ^—
p
* . ,^. ,, cos(2r— p — è)A— cos(2r — 2p)A
sm ( 2 /• — p — p ) A dp' -= T '
i
,^.,, sin(2r — p — ô)A— sin(2r — 2p)A
ces {2r — p — p')A.dp'^^ ^^ V-
ÉQUATIONS AUX DÉHIVfiFS PARTIELLES. 4^7
sont limitées et, pour A = oo, tendent uniformément vers les
,. . .71
limites respectives -y o, o, o, o.
Soient
l'une quelconque de ces cinq intégrales; G la limite vers
laquelle elle tend. Il sera aisé de trouver la limite de l'inté-
grale
/ cp(p',A)/(p;,A)^p'
par la méthode employée au tome II, n° 221.
On a, en effet, \ désignant une constante,
/ -/ 4-/ .
Appliquons à la seconde intégrale le second théorème de
la moyenne; il viendra
r 'f(p',A)/(p',A)^p'
= /(p-i-X,A)r cp(p',A)^p'4-/(6,A) r cp(p',A)^p'.
Pour A=^GC, les deux intégrales ci-dessus tendent uni-
formément vers zéro (pour plus de détails, voir l'endroit
cité); et leurs multiplicateurs tendent également vers zéro
(ou tout au moins restent fixes, si /ne dépend pas de A).
Reste la première intégrale
.P-+-X
r cp(p',A)/(p',A)./p'
--/(P,A) r cp(p',A)<o'+ r [/(p',A)-/(p,A)]cp(p',A)^/.
Le premier terme tend, pour A ^^^ oo, vers Glim/(p,A).
458 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE HT.
Appliquons à l'autre le second théorème de la moyenne;
elle devient
U(9 + ^, A) -/(p, k)]J^" o(p', A) df',
Ç étant compris entre p et p -|- \.
L'intégrale qui figure ici reste finie; son multiplicateur
tend d'ailleurs vers zéro pour A = oc, s'il dépend de A;
sinon, on pourra le rendre aussi petit qu'on voudra en fai-
sant décroître \.
Nous obtenons donc pour la limite cherchée
Glim/(p, A).
347. Tous les termes des intégrales (g4) pouvant être trai-
tés de même, et G étant d'ailleurs nul, sauf pour la pre-
mière d'entre elles, pour laquelle il est égal à -? la limite
cherchée sera, en désignant par Rq ce que devient R pour
p-p.
r t:,. r dt (i Ro\
hm / , . p +
.. p rdt f Ro
Mais, lorsque A tend vers ce, Rq tend uniformément vers
zéro. L'intégrale se réduit donc à son premier terme
/■
rdt
Posons 6'"'= w; cette intégrale se transforme en
Doublant ce résultat d'après le n" 339, on obtiendra -j
ainsi qu'il fallait l'établir.
TROISIÈME PARTIE. - CHAP. IV. — CALCUL DES VARIATIO^S. ^^g
CHAPITRE IV.
CALCUL DES VARIATIONS.
I. — Première variation des intégrales simples.
348. Soit cp(:c, 7, y, ....y'^'-'^z.z^, . . .,s«, ...)une fonc-
tion de la variable indépendante x^ des variables dépen-
dantes r, z^ . . . et des dérivées de ces dernières jusqu'aux
ordres m, n^ . . . respectivement.
Si nous changeons y^ z^ ... en jk H- £Vi, 5 -h £?, • • • ('^i,
î:^, . . . désignant de nouvelles fonctions de ^ et s une con-
stante infiniment petite ) jk^, 3^, . . . seront changés en jK^-f- zr^'%
_3/<r_i_ z'Q^ . . . , et cp en
*(^, e) -" cp(^, y -Hsï], j'+ ST)', . . ., ^ -i- £^5 . . .).
Cette expression, développée par la formule de Taylor sui-
vant les puissances de s, prendra la forme
£2
1.2 , ,^.
en posant, pour abréger,
Les quantités ecp,, e^cs^, ... se nomment les variations
46o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
première^ seconde, etc. de la fonction cp, et se représentent
par les sj'mboles Sep, S^cp, ....
On a, d'après cette définition,
ly —ET,, 8j' — er/, ..., hz z=-^zt, ..,;
8-J/ rrr O, S^J^' =r O, ..., O^^rr-O, ....
Il est clair, d'ailleurs, que cp<, cpo, ... ne sont autre chose
que les dérivées partielles -^j "XT' ' ' " P^^^i' ^^ valeur par-
ticulière £ =: o. Or on a généralement
^i ^k^ ^ ^k ^i^
^k^ . I -, d^ d^^
Pour £r= o, -^—r se réduira à C5/^ = -— o^o et —-r -^; — r à
-^ô* -7-^- Substituant ces valeurs dans l'équation précédente
et multipliant par la constante £^, il viendra
Cette équation montre que les deux opérations de la déri-
vation et de la variation peuvent être transposées.
3i9. Les équations (i), respectivement multipliées par e,
£-, . . . , pourront s'écrire
à y ' à y -^ dz
dy^ ^ dy'^ -^ dz- ày ây' -^ -^
Si les fonctions r, z, . . . , au lieu d'être données immédia-
tement en fonction de .r, étaient exprimées au moyen de x^
t, t', ... ; «, u'j ... ; . . . , où t, II, ... désignent des fonc-
tions de œ, le changement de ces dernières fonctions en ^-h £t,
w -f- £U, ... transformerait y, z, . . . en y -+- oy H- ^ S-jr-f-...,
CALCUL DES VARIATIONS. ^6]
I ^'Z -I- . . , , . . . , et, par suite, cp en
■(p(^,/-r-87-hi82^4-..., j'-4-Sj^'+|-o2/-i-..., z-i-oz-i-il^z-^- .., ..)
cp -T- 8cp H- -| 0^ (
ou
>C0
"f=d^^^ + #°^ +■- ^°= +••■•
âf -^ df' "^ (^:^
Ainsi 8cp conserve la même forme que si y, z étaient donnés
directement en fonction de x] mais les variations suivantes
seront modifiées par l'adjonction de nouveaux termes en S^j',
sy, ....
350. Proposons-nous maintenant de déterminer les varia-
tions successives d'une intégrale définie
Changeons y^ z en jk + ^y-, z-\-^z, . . . ; cp sera transformé
en
<î> (^, s) = cp -f- 8cp 4- I 0- cp 4- . . .
et I en
f (cp -I- ocp + -|o2cp -{-...) <i^.
Séparant les termes affectés des diverses puissances de s, il
viendra
81
'^Xç, '^Xo
Ce résultat suppose toutefois que les limites ^q, Xy de l'in-
tégration sont des constantes fixes. Si nous admettons qu'en
462 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
même temps qu'on altère les fonctions jk, ^, . . . on accroisse
^05 ^^ de quantités infiniment petites ^^o = ^^oj ^^\ = ^ii >
I subira de ce fait une nouvelle altération A'I, égale à
Gliacun des termes de cette expression peut se développer
sans peine suivant les puissances de e. En effet, considérons,
par exemple, le terme
X
jcj -h ùx,
8^ CD dsc.
I . 2 . . /C
La formule de Tavlor donne
[5*cp],, . . . représentant les valeurs de 8^cp et de ses dérivées
pour X =^ Xi (jK, Jk'i . . . , s, ... étant en même temps rem-
placés par les valeurs jko Jk'^ , • • • ; ^i , • • • qu'ils prennent pour
x = Xi).
Multipliant par r et intéerrant de Xi à ^i + 8^,, il
^ ^ 1 .2. . .A: ^
viendra, pour valeur du terme considéré,
Chaque termede l'expression (4) étant développé de même,
on obtiendra, en réunissant ensemble les termes de même
ordre en e,
Réunissant ces termes à l'autre partie de la variation déjà
obtenue précédemment, il viendra, pour la variation première
CALCUL DES VARIATIONS. 4^3
del.
pour la variation seconde,
331. On peut arriver au même résultat d'une autre ma-
nière, en transformant l'intég'rale
Al=z / <ï>
{x, e) dx
L 0 ^^ -"-^ 0
par un changement de variable, de manière qu'elle ait les
mêmes limites Xq, x^ que l'intégrale primitive.
Posons, en effet,
3^ étant une fonction arbitraire de t^ affectée du coefficient e et
assujettie seulement à se réduire respectivement à ùXq et 8^i
pour t'-=^XQ Ql t =zx^\ on aura
ou, en écrivant x au lieu de ^,
— / <i> -^ __. S^ _l s^2 ^ _ . Udx -hdùx)
=rz / ci>cix ~\- d ^ùx-^~ h . . .
^ L àx 2 J
r^ . r)^I> ^.t'- "1 ' r^' ,
m
TROISIÈME PARTIE.
CHAPITRE IV.
mais on a
<î> r=: cp -h 0'^ -i- -| 8- cp -t- . . . ,
d^ <icp d^'ji I <iS-cp
do) dx ' dx ' 2 dx
Substituons ces valeurs dans l'expression de I-I-AI, et sé-
parons les termes de même ordre en e; on trouvera, pour 81,
û^I, ..., les mêmes expressions que tout à l'heure.
352. Nous venons de nous trouver conduits à faire varier
non seulement l'expression de r, ^, ... en fonction de la
variable indépendante x^ mais cette variable indépendante
elle-même. Cette considération nouvelle peut devenir néces
saire, lors même que les limites jto, x^ restent fixes.
Considérons, par exemple, l'aire comprise entre l'axe des x
Fig.
10.
ï
>-
^\
1
\
\
;
1
0
Xo
Xi
et la courbe figurée en ligne pleine par la fig, lo. Elle sera
représentée par l'intégrale
/
ydx,
OVL l'on donnera à ^ la série des valeurs successives qu'il
prend lorsqu'il décrit la courbe, y désignant l'ordonnée cor-
respondante.
Considérons une seconde courbe infiniment voisine de la
première et ayant les mêmes extrémités, par exemple celle
CALCUL DES VAllIATIONS. 4^5
que la figure représente en pointillé, et proposons-nous d'éva-
luer raccroissement de l'aire lorsqu'on passe de la première
courbe à la seconde. Pour opérer ce changement, il ne suffira
pas de faire varier l'ordonnée de chaque point de la première
courbe en laissant l'abscisse constante; car il y a sur la se-
conde courbe des points auxquels ne correspond, sur la
courbe primitive, aucun point ayant la même abscisse. On
pourra, au contraire, passer aisément de la première courbe
à la seconde, en altérant un peu les abscisses en même temps
que les ordonnées.
3o3. Cela posé, l'objet principal du calcul des variations
est la solution de la question suivante :
Les fonctions y^ s, . . . , qui figurent dans l'intégrale I, et
les limites Xq^ x^ étant indéterminées en tout ou en partie,
achever de les définir, de telle sorte que la valeur de l'inté-
grale I soit maximum ou minimum.
D'après cet énoncé, si l'on donne ky, z, . . ., Xq, x^ un
système quelconque de variations infiniment petites S/,
8s, ..., 8^0, û.r< compatible avec les conditions imposées par
l'énoncé du problème, l'accroissement
qui en résulte pour la valeur de l'intégrale devra conserver
constamment le même signe (positif ou négatif suivant qu'il
s'agit d'un minimum ou d'un maximum).
Or, £ étant infiniment petit, l'ensemble 81 des termes du
premier degré sera prépondérant et donnera son signe au
résultat. Si d'ailleurs on admet (ce qui aura lieu très générale-
ment) qu'à chaque système de variations ùy^ 8s, . . ., 8^07 ^-^i
compatible avec les conditions du problème, correspond un
second système de variations — 8jk, — 8s, ..., — ^8x0, — 8^^
jouissant de la même propriété, ce nouveau système de va-
riations donnera à I l'accroissement
-SI 4-18-1-...,
J. — Cours, III. 3c
f\66 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.
qui sera de signe contraire au précédent, à moins qu'on
n'ait SI -.= o.
Nous obtenons donc cette première condition pour l'exis-
tence d'un maximum ou d'un minimum :
La variation première ol doit s'annuler pour tout sys-
tème de variations 8/, 8^, ..., ^Xq, ^x^ compatible avec
les conditions du problème.
354. Cette condition détermine, en général, ainsi que nous
le verrons, ce qui reste d'arbitraire dans la définition des
fonctions j^, 5, ... et des limites Xq^ x^. Mais elle n'est pas
suffisante. Il faudra en effet s'assurer que, après avoir ainsi
déterminé ces quantités inconnues, l'accroissement de I pour
une variation infiniment petite (compatible avec les condi-
tions du problème) conservera toujours le même signe;
d'ailleurs, 81 étant nul, cet accroissement se réduit à
iin-'-....
Le terme prépondérant de ce développement, ^8-1, ne
devra donc pas changer de signe, quel que soit le système
de variations que l'on adopte parmi ceux qui sont admis-
sibles. Cette seconde condition sera évidemment suffisante
si 1^8-1 est toujours différent de zéro. Mais, s'il existait un
système de variations qui annulât 8^1, il n'y aurait ni maxi-
mum, ni minimum, à moins que ô ^^ I> 4"i ^st d'oidre
impair, ne s'annulât en même temps, auquel cas il resterait
à discuter le signe de 8''I, etc.
Nous nous bornerons, dans cette Section, à tirer les consé-
quences de la première condition
355. Posons, pour abréger l'écriture,
do f)o do r> ^^ T>
CALCUL DES VARÎATIOxNS. 4^7
Nous aurons, d'après la formule (3),
ocp = A. 8j + <\, 8/ -h ... -h A^ oy^ -f- B 8^ H- . . . ,
valeur qu'il faudra substituer dans l'intégrale / 80 dx.
L'intégration par parties permet de transformer cette ex-
pression en faisant disparaître sous le signe / les variations
des dérivées y, . . . , 7"*, 5', . . . , 5«, . . . . En effet, considé-
rons, par exemple, le terme
r
A/, 8j^ dœ.
Nous savons que Sy est la dérivée /c*'^"^^ de Zy; on aura
donc
X
A;tSy^^=^[A;i.8y-i — A/,;8y-2-i-...4-(-i)'^-^Ai:-» 8j]J.
(-i)^-A|8j^^.
/
opérons de même sur chaque terme de 8cp et posons,
pour abréger,
A -a; + ...-!- (-0- A- r.-.M,
Al - - a; -h ... + (- 1)—' A;r ^ = G,
A,- A'3 + . . .4- (- 1)— ^ A;;r- ==GS
(5) ^ B -B;+...+ (-i)'^ B« rrzN,
B,-B;-f-...-f-(-i)«-iBr^ -:D,
B, :::r:D«-S
468 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
il viendra
SI
-h D S^ -+- D» 8^' -i- . . . -f- D'^-^ S:j'^-^
Cette expression doit être nulle pour tous les systèmes de
valeurs admissibles des variations ùy, ùz^ . . . , 8^05 8^<-
356. Supposons d'abord que ces variations puissent être
choisies d'une manière entièrement arbitraire.
On pourra poser, en particulier,
è^o —- S-^i : - O, 8j ~ £62 M, §5 - - £02 N,
9 étant une fonction quelconque de x, qui s'annule pour
x^^Xq et pour x = Xi^ ainsi que ses dérivées successives,
jusqu'à un ordre égal au plus grand des nombres m — i,
n — I, Pour ce système de variations, les termes tout
intégrés de 81 s'évanouiront, et l'on aura
Cette intégrale, dont tous les éléments sont positifs, ne
pourra s'évanouir que si l'on a
M — o, N=:o, ...,
ce qui réduira l'expression de 81 à la partie tout intégrée
r G8j4-G^ a/-4-.,.-hG'«-iSj'"-n^'
-hDS^ H-D^S^'+...-hD«-^ S^"~i j H-[cp,]S^,-[c?]o8.^o
n-\
--= G, §7, -^- Ci -oy\ H . . . -H 0"^' ^^yT' "" D. S^, + . . . -^- B'r oz'^
-GoS7o--C5 8j;-...-Gr^ojr^--DoS--o-..--DrUVr^-
-|-[cp]i8^i— [cp]o8^0 5
que nous désignerons par H.
Les diverses variations qui figurent dans cette expression
CALCUL DES VARIATIONS. 4^9
sont évidemment des arbitraires indépendantes. Donc, pour
• que 81 s'annule identiquement, il faudra qu'on ait encore
Les équations
( 0 =: M = A - a; -1- .
.-hC-O'^A-,
<7) o=rN=. B — B;-+-.
• •+(-t)'^b;;,
sont des équations différentielles entre x et les fonctions in-
connues r, z.
Lapremière contient les dérivées de j^', Zj ...jusqu'à l'ordre
'2nij n-\~m^ ... respectivement. La seconde les contient
jusqu'à l'ordre m-\-n, 2/z, . , ,; et de même pour les sui-
vantes si le nombre des fonctions jk, ^, ... surpasse 2. Ces
équations forment donc un système d'ordre im -\- in ~i- ...
en général, et donneront y, z^ ... en fonction de x et de
im-\- 2n-\- ... constantes arbitraires a^ , «21 * • • •
En substituant ces valeurs dans les 2 -h 2/^ H- 2/1 H- . . .
équations aux limites (6), on aura le nombre d'équations né-
cessaires pour déterminer les constantes d'intégration et les
limites o-'o, x^. Le problème est donc en général déterminé.
357. Jacobi a montré que le système des équations diffé-
rentielles (7) peut être ramené à un système de 2/n-}- 2 Ai-r ...
équations du premier o»^dre ayant la forme canonique.
Supposons, en effet, pour fixer les idées, qu'on ait deux
fonctions inconnues y, z. Prenons pour inconnues auxi-
liaires les quantités y' ., . . ., jk'"~', z' .^ . . . , ^"~', 0, G\ . . .,
(yri-\^ D, D^, . . . , D'^~' ; on aura, par définition,
(S)
-— — v' . ... -^ — V'
l dx
fy]0 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
D'autre part, la difTérentialioii des équations (5) donne
immédiatement (en remarquant que M =r: N = o)
, ^ \ dœ-"^' •••' dx -'^' ^ '
(o) i
l dx '^' •••' dx ^^' '
et, si l'on tire des équations
(lO) A,,rr=G— S B,=.D-^
les valeurs de y"^, z'^ pour les substituer dans les équations
(8) et (g), on obtiendra, entre x et les nouvelles variables j^,
/, ..,JK— ';^, ...,^"-^ G, ..., G--', D, ..., D«-S un
système d'équations du premier ordre, équivalent aux deux
équations primitives.
Ge nouveau système est canonique. Gonsidérons en effet
la fonction
Sa différentiation donnera
d\} r^ Il dx -I- A c/j + ( Al - G ) ^j' -4- . . . -4- ( A,„ - G'«-^ ) ^//"'
-I- Bdz h (Bi - Yy)dz' 4- . . . -h (B„ - D«-» ) dz''-
— y' dC — y" dO~...-~ y"' dC""-'
— z' dY) — z" ^D» - ... — z'^ ^/D'^-J.
D'ailleurs les coefficients de dy"'- et de dz'^ dans cette ex-
pression sont nuls. On voit donc que, si l'on exprime U en
fonction de x, y, . . . , jk'"~^ ; ^, • • . , z"~^ ; G, . . . , G'""* ;
D, . . ., D«~"', en éliminant jk'", z'^ au moyen des équations
(lo), on aura
A,-G _--., ..., B_ -^^, ...>
ce qui établit notre proposition.
/=
Ar=
CALCUL DES VARIATIONS. 4?^
358v Réciproquement, soit V une fonction quelconque
de X et d'un nombre quelconque de couples de variables jr,
'/]] Zj Ç; ...; supposons ces dernières quantités fonctions
de JO, et cherchons la variation de l'intégrale
X
(U -h7)j'-f-U'H-...)^-^,
en supposant qu'on les fasse varier. La portion de la variation
qui restera sous le signe / , après l'intégration par parties, sera
.CT(S-')''*(S*'-)"--]"-
et, en exprimant qu'elle est constamment nulle, on aura les
équations canoniques
On voit donc que le problème d'annuler la première varia-
lion d'une intégrale et celui d'intégrer les systèmes d'équa-
tions canoniques sont entièrement équivalents.
359. Les résultats que nous venons de trouver subissent
quelques modifications, lorsque les fonctions jk, -Z, ... et les
limites Xq, x^ ne sont pas entièrement arbitraires. Nous
allons passer en revue les principaux cas que l'on rencontre
dans les problèmes usuels.
i" Les fonctions y, z^ ... sont encore arbitraires dans
l'intérieur du champ d'intégration; mais il existe entre les
limites Xq, x^ et les val(
mites les quantités jk, y'
ou plusieurs relations
On aura encore, dans ce cas, M -- o, N i- o, ... ; mais les
variations ^Xq, 8^,, 8jro, ••• qui figurent dans la partie tout
intégrée de 81 ne seront plus indépendantes les unes des
rs
y
o,/o^
m-\
•' y 0
; iJo, •■•
, . . . ,
zr
-K
q'
Lie prennent p
our
ces li-
r
•,r"
1 .
. ..,s«-
. . une
[\'J1 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
autres, et chacune des équations (ii) fournira une relation
linéaire entre ces variations.
En effet, changeons y^ z, . . . en y -r- S.>', z 4- ôs, puis Xq^
x^en x^-^r^^Q, Xi-^Zx^. Soient jKo + A/q, j'o-^ ^f'^^ •••
ce que sont devenus j'o, y'^^^ ... par cette variation. Ces
nouvelles valeurs, associées aux nouvelles limites x^^-^Zxq^
Xi -+- 8:^4, devront encore satisfaire aux équations aux limites
fil = o, y= o^ .... On aura donc, en développant par la série
de Taylor et s'arrêtant aux termes du premier ordre,
Il ne reste plus, pour obtenir les relations cherchées, qu'à
trouver l'expression de A/o? Aj'o^ • • • en fonction de hxo, 8^<,
oyo, ^y'^^J .... On l'obtient aisément comme il suit.
On a, par définition,
— Lr^']x=x,^èx,-^ [b'^']x^-x,+ox,,
= /o -^A^' °^-o4- . . • 4- S/o" + • • • •
On aura donc, en négligeant les termes du second ordre,
comme nous le faisons dans toute cette recherche.
Nous avons ainsi obtenu autant d'équations linéaires entre
les variations Sj^o? ^-^i > ^J^oy ••• qu'il existe d'équations de
condition tj>r==:o, -^ = 0, .... Soit/? ce nombre. On pourra,
au moyen de ces relations, éliminer p variations de l'équa-
tion
II
-h Ciô/i-h.,
••+ Gf-^5/f '
— Go ô/o — .
..-c'r'oyr'
-i-D, 8^1 4-.,
. .-t- D';-i ^z'I-'
— Do o.-o — .
..-Dr's.r^
CALCUL DES VARIATIONS. 4"^
Les 2 -!- im -\- in -^- . . . —• p variations restantes étant entiè-
rement indépendantes, on devra égaler leurs coefficients à
zéro, ce qui donnera autant d'équations de condition non-
velles, qui, jointes aux équations ^:=i o^ -^ r= o, . . ., déter-
mineront encore ^o? ^k et les constantes d'intégration.
On peut d'ailleurs opérer d'une manière plus symé-
trique en ajoutant à l'équation précédente les équations
7yh rzz: o, 5y = o, multipUécs par des indéterminées 1, [jl, . . . ,
et égalant à zéro les coefficients de chaque variation. Les
1 -\~ 1 m -^ in -^r • • • équations ainsi obtenues seront les
mêmes que celles qu'on obtiendrait en annulant la variation de
I -f- X'^^ -\- ]xrj^ -!-•••■, X et tjL désignant des quantités invariables.
En les joignant aux équations données <]> :=^ o, y= o^ . . ., on
pourra déterminer toutes les inconnues du problème, y com-
pris les inconnues auxiliaires )^, jx, . . . .
360. 2' Les fonctions j^, s, ... ne sont plus indépendantes,
mais sont liées par des équations difî"érentielles
(i2) ^ = o, X-^o,
Soit p le nombre de ces équations_, dans lesquelles pour-
ront d'ailleurs figurer, outre les fonctions inconnues j', z, ...
el leurs dérivées, d'autres inconnues auxiliaires u, ... et
leurs dérivées. (Le nombre de ces nouvelles inconnues devra
toutefois être inférieur à celui des équations de condition.)
Les équations «j; = o, y^ ^=3 o, ... feront connaître p des in-
connues y, z, . . ., iij . . . , par exemple ^, ... en fonction des
autres z, . . . , z^, . . ., qui resteront indéterminées.
Cela posé, désignons par X,, ..., X^, des fonctions arbi-
traires de X, que nous nous réserverons de déterminer. On
aura évidemment, pour tout système de variations de j^, 5, ...,
u, ...; ûCoy x^ compatible avec les équations ^ = o^ '^^= o, ...,
' ^dœ~^i (cp -h Xit|> + XaXH-- • .) <^"^;
474 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
()x, '^ H- Tvo'/ -f-...) dx étant identiquement
nulle, sa variation l'est aussi.
La variation de l'intégrale
traitée à la manière ordinaire (sans faire varier les fonc-
tions X), pourra se mettre sous la forme
8K
H' -h r (M' Sj -f- N' 0^ + . . . -;- V'U-^...) dx,
IF désignant la partie tout intégrée et M', W des expressions
formées avec y^z,...^u, ...,).,,..., 1^ et leurs dérivées.
Déterminons les fonctions arbitraires ).,, ..., \p par la
condition d'annuler les coefficients des variations 8y, . . . des
variables dépendantes y, . . .; ôK. se réduira à
H' -h r \wiz-\-... -h P' lu H- ...)dx,
et, comme les variations '^z, ow, ... sont arbitraires dans tout
le champ d'intégration, on aura séparément
H'==0, JN'^rrO, ..., P^^rO,
Nous aurons donc, pour déterminer y, z et les fonctions
auxiliaires X,, ..., \p^ les équations différentielles simulta-
nées
M' = o, N'--.:o, ...; P' = o,
Les constantes d'intégration et les limites ^o? ^\ se dédui-
ront de la condition PL = o. Celle-ci se décompose d'ailleurs
en autant d'équations distinctes qu'il reste de variations in-
dépendantes parmi celles qui figurent dans H', lorsqu'on a
CALCUL DES VAIUATIONS. [\']0
tenu compte des équations aux limites
J4'-:o,
d^\
dœ-^-"' ■
pour œ —-. Xq et ^--^,;
(■3) (
1 x~^".
à - °' •
. , » ^ " ^0 et ^ - :: x^ ;
»
qui sont des conséquences des équations ^ == o, y= o, les-
quelles ont lieu identiquement pour toute valeur de x»
La série de ces équations aux limites devra d'ailleurs être
arrêtée au moment où apparaîtraient, dans les dérivées suc-
cessives de t|;, y, . . . , des dérivées de y, z, . . .\ u, . . . d'ordre
supérieur à celles que contient H'.
On obtiendra donc la solution du problème proposé en
égalant identiquement à zéro la variation de l'expression
/
(if-t-\,ii + X^X + ...)dx
sxo^^-<|)---;x.H-v|(|)_
Les équations ainsi obtenues, jointes aux équations
et à celles-ci :
déterminent toutes les inconnues du problème, y compris les
multiplicateurs X, p., v.
4;^ TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
361. 3*^ Les quantités inconnues X, ^, • . ., ^oi ^\ sont
assujetties à varier de telle sorte qu'une intégrale définie
^(•^)7^y^ -••;-,-',.• ■)dx,
prise entre les mêmes limites que I, conserve une valeur
constante c.
Ce cas se ramène immédiatement auK précédents. Prenons,
en effet, comme inconnue auxiliaire, la quantité
M — : 1 tj; dx.
Cette équation, qui définit w, équivaut évidemment aux
deux suivantes :
W'zrzt^, 11==. O pour œ^r-OCQ.
D'ailleurs, pour ^ -— ^, , j^ devient égal à c; on doit donc avoir
11=. c pour Xzrz oCy^.
D'après le numéro précédent, nous aurons donc à annuler
identiquement la variation de l'expression
/^■^\
I ['f H-^(^ — "')] dx -^ [x^Wo-h p-i(Wi— c)
Xq
/■^ V d\ \
io -hX<]; -\- j- u\ dx-\- ([J.o4- Xo)wo-r- (f^i — ^>i) ("i— ^)»
Ao et Xj étant les valeurs de \ aux deux limites .ro et ^< .
Les termes qui, dans la variation de cette expression, dé-
pendent de ùiL^ Smq, oi^i, seront
r^^ d\
j — ùudx H- ((Jt-o-H ^o) SwoH- (jJ-i— Xi) OM,.
On aura donc les équations
— — o, |j.o -1- Xo — o, |Xj — Xi == 0 ;
CALCUL DES VARIATIONS. Zj77
donc "k est une constante, et la quantité dont on doit annuler
la variation se réduit à
r
(cp -H X'I) dur.
Les équations qui expriment que cette variation est nulle
détermineront les inconnues ^o? ^o y-) -, • • • en fonction de
la constante inconnue X. Ces valeurs, substituées dans l'inté-
grale K, en feront une fonction de "k, telle que fÇk) ; il ne
restera plus qu'à résoudre l'équation
f{l) = c.
On peut retrouver ce même résultat par les considérations
suivantes.
La variation de l'intégrale I doit s'annuler pour tous les
systèmes de variations 5y, 8^, . . ., qui annulent la variation
de K.
Gela posé, soient S'^o? S'^i , B'y, ù' z^ ...; o^^o, o"x^, S'^y,
ù" z, . . . deux systèmes quelconques de variations de Xo, x^^
Yj z, . - .; et soient 8^1, ô'K; o"ï, ^"K les variations qui en
résultent respectivement pour les intégrales I, K. Donnons
à Xq, Xi, y^ z, ... 'de nouvelles variations égales à
8"KS'y— o'K8"j, ^ni.^'z — ^'K^"z, ....
La variation correspondante de K sera
8"KS'K-S'Ka"K = o.
Celle de 1, qui est égale à o"K 8'I — 8'K8''I, devra s'annuler
également. On en déduit
Le rapport des variations de I et de K sera donc constant
pour tout système de variations de y, z, .... Soit — 1 la
478 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
valeur de ce rapport. La variation de l'intégrale
dx
sera identiquement nulle. Cette condition déterminera ^o?
x^^y^ z^ ... en fonction de \^ qu'on obtiendra, comme tout
à l'heure, par l'équation R -.= c.
On voit que, dans les divers cas que nous venons d'exa-
miner, la solution du problème revient toujours dans sa partie
essentielle à annuler la variation d'une intégrale où toutes les
variations sont supposées indépendantes.
362. Nous allons éclaircir ces théories générales par quel-
ques exemples.
Cherchons quelles conditions doivent être remplies pour
que l'expression
soit la dérivée exacte d'une fonction ^ de x^ y, y', . . . , JK"*~' 5
On a identiquement, par hypothèse,
d^
On aura donc, quelles que soient les variations 8^05 ^-^i?
O --zr 8 r Tç> - "^ I dx :r : H - - [8-j;]J; -f- T ' (M Sj 4- N oz) dx,
H, M, N ayant la même signification que précédemment.
On aura, par suite,
( o -.:: M
do d d'^ d^ do
()y dx dy' dx^ ôy"
{^-^ ~ ôz' dx âz' ~^' dx'- dz"
CALCUL DES VARIATIONS. 479
les séries du second membre étant prolongées jusqu'au
point où elles s'arrêtent d'elles-mêmes.
363. Ces deux conditions, dont nous venons d'établir la
nécessité, sont en même temps suffisantes. Cette proposition
est évidente si m = o, /z = o ; car les deux conditions se ré-
duisant dans ce cas a ~ = o, -r-^ == o, cp sera une lonction
dy oz ^ *
de X seul, que l'on peut intégrer.
Nous allons montrer d'ailleurs que ces conditions seront
suffisantes pour des valeurs quelconques de m et de ii si elles
le sont pour m — i, n.
Nous remarquerons tout d'abord que le développement
des divers termes de M ne fournit que des dérivées àe y et
de z d'ordre inférieur respectivement à im et n -f- m, sauf
d'il ^,^
le dernier terme ( — i)'"-, ;;-^ dont le déNcloppemenl
^ dx'"- dy'"' ^^
contient les deux termes
d-o â^o
Ces termes ne pouvant se réduire avec aucun autre, M ne
pourra s'annuler identiquemen! que si l'on a
{dy"')' ~^' dy'"âz" ~^'
ce qui montre que f est nécessairement de la forme
cp=:Pj--hQ,
P ne contenant plus y'" ni z", et Q ne contenant plusj^'"-
Posons
ym-\ seul étant traité comme variable dans cette intégra-
48o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
tion; U sera une fonction de x, y, ... , y"^^* î -S? • " i ^''"S
dont la dérivée partielle par rapport à yf^~* sera P, et l'on
aura, par suite,
r/U
clx
- dx
d\5 ,
-Tyy
= Pj--
hR,
Pi ne contenant plus j^'
Si donc on pose
djc
-^-?i>
la fonction cp, -- Q — R ne contiendra plus y^^K D'ailleurs
elle satisfera évidemment aux équations (i4); ^^^^ 9 Y satis-
fait par hypothèse, et -y- étant une dérivée exacte y satisfait
aussi nécessairement. Donc, le théorème étant supposé vrai
pour m — i, /?, cp, est une dérivée exacte, et il en sera de
même pour es.
364. Proposons-nous, comme seconde application, la
transformation des équations de la Dynamique.
Considérons un svstème de n points /?i, ..., pa^ de
masses m^.^ . . ., m„, et dont les coordonnées ^'< , jr» , ^n • • • ?
•^'«j y II, ^-11 soient liées par r équations de condition
(i5) ?i---o, ..., 'f,.~o.
Soient X<, Yi, Zi ; ...; X„, Y,;, Z/^ les composantes des
forces qui sollicitent ces divers points, et admettons, ce qui
a lieu dans des cas très étendus, que ces composantes soient
, ., . , . „ dV> d\} d\} à\} ^U ^U
les dérivées partielles - — > -r — > -— -; •••" -:, — ? -^^^ — ? -3 —
^ dx^ dfi dzi' ôxn dyn àz„
d'une même fonction U des coordonnées x, y, z et du
temps t. D'après les principes généraux de la Mécanique,
on obtiendra les équations du mouvement en joignant aux
CALCUL DES VARIATIONS.
relations (i 5) les suivantes :
rriiO^i -4- Al V 1-----H A,. ^; — ■ — o,
4SI
\ d\] „ . do, , , d^r
,...,«).
>H, ..., V étant des inconnues auxiliaires représentant les
tensions qui existent dans le système.
Représentons, pour abréger, par T la demi-force vive
et considérons l'intégrale
(Uh-T)^^
Les équations (i5) et (i6) sont précisément celles qui ex-
priment que la variation de cette intégrale est nulle lorsque
l'on suppose que les limites t^ et t^ restent constantes, ainsi
que les valeurs initiales et finales des diverses coordonnées
Xi^yt, Zi, et que d'ailleurs ces coordonnées restent assujetties,
dans le cours de leur variation, aux équations de condi-
tion (i5).
Gela posé, les relations (i5) permettent d'exprimer les 3/i
coordonnées x, y, z en fonction de 3^ — /' d'entre elles ou,
plus généralement, en fonction de 3^ — r nouvelles variables
entièrement indépendantes q^^ q.^^ .... Substituons ces va-
leurs dans l'intégrale. On aura
dxj
àqi
dX;
-'''+3^,?^
et, par suite, T se transformera en une fonction de ^i,
^2j ..• etde leurs dérivées q\, q\^ ..., homogène et du second
J. — Cours, III. 3i
482 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
degré par rapport à ces dernières quantités; quanta U, il
deviendra une fonction de g^, (72? • • ••
Les nouvelles variables q^, q^-, • • • ne sont plus assujetties
à aucune équation de condition; leurs variations sont donc
arbitraires dans tout le champ d'intégration; elles doivent
seulement s'annuler aux limites. Pour que la variation de
rintégrale
s'annule, il est donc nécessaire et suffisant que l'on ait
dqt dt dqi \ y y J
Ce sont les équations transformées que nous voulions ob-
tenir. On peut d'ailleurs les remplacer par un système cano-
nique en prenant pour inconnues auxiliaires les quantités
-3-7- C'est un cas particulier de la proposition plus générale
démontrée au n" 3a7.
36r^. Brachistochrone. — Proposons-nous de déterminer
le chemin que doit suivre sous l'action de la gravité un point
animé de la vitesse initiale Vq pour se rendre d'un point
^oJKo^o à un autre point x^y^ z^ dans le temps le plus court
possible.
Prenons z pour variable indépendante. La différentielle de
l'arc de la courbe cherchée sera y i -h x'^-\-y''^ ; la vitesse v,
à un instant quelconque, sera y/'V^ — "^S^^' — -^o)» enfin la
durée du trajet sera donnée par l'intégrale
-r?=/
CALCUL DES VARIATIONS. 483
C'est cette expression qu'il s'agit de rendre minimum.
On a
œ'- -H y^
2 o" ( ^ ^0 ) J 0
dz
= II 4- r ' [M S^ H- N 8j] dz,
en posant, pour abréger,
p^ -4_ ^'(8.x, _^ ^' Sg) +/(Sy -4-y 8^)1 1
dz ^i^^r'^-^y"^^vl-2g{z-z,)
N^-^
Les deux équations différentielles de la courbe cherchée
M rzr o, N z= c
donnent immédiatement
ce'
y
sJ,^jo'^^y^sJvl-2g{z-z,) ''
et, par suite,
y' z=. — x'y y =z —a; -{- d.
c -^ c
c, c<, Co étant des constantes.
On voit ainsi que la courbe cherchée est située dans un
plan vertical. Pour mieux reconnaître sa nature, choisissons
484 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
ce plan pour plan des xz\ on aura, dans ce cas, y = o, et
l'équation différentielle de la courbe se réduira à
V/i -H ^'2 sjvl~ig{z-z,)
d'où
— c.
en posant, pour abréger,
(^■", I v\
^,2
'O ~i — ^> :> — -^0 — ^^— ^«
1g igc' 1g
Posons
a — b a ^ b
(17) z ■= ces t ;
il viendra
dx a-\-b . , a-{- b .
—r- == sm;.^'= SI
at 1 1
\ — cos?
n ^ i /
V H-cos^
, , . „ , a ^ b ^
^^ {a-\~ b) ^ixv' \tr^ ^[i — cos^],
d'où
(18) X — [^ — sin^] + A-,
k étant une constante.
Les équations (17) et (18) peuvent s'écrire
I- CL-^ b . .
z -\- br= (l — COS^),
, a-\- b , . .
X — A" = ( t — sin t )
et représentent une cycloïde dont la droite directrice est diri-
gée suivant l'axe des x.
Si les points Xq, y^, z^; ^,, y^, z^ sont supposés fixes,
Sj^o, SjKoj S-^oj 0-^4 j SjKm 0^1 seront nuls, de sorte que H s'éva-
vanouira de lui-même. Mais les quatre constantes introduites
CALCUL DES VARIATIONS. 4^^
par l'intégration des équations M -- o, N = o se détermine-
ront en exprimant que la courbe passe par les deux points
donnés.
Supposons, au contraire, que, le point (^o^JKoj^o) étant fixe,
la position du point (^^,y^, z^) ne soit pas donnée d'avance,
mais qu'il soit seulement assujetti à se trouver sur une surface
On aura encore 8^0 = ^JKo == ^^o = o ; quant à ^x^, SjKi ,
^Zi, ils seront liés par l'équation de condition
Toutes les fois que cette condition sera remplie, la quan-
tité H, qui se réduit à
Bz^ + .x\ ( g^,, H- ^; s^i ) + 7i ( oyi + y\ ^^1 ) ^
devra s'annuler; on aura donc les équations de condition
fl^\ f^\ fÊÏ\
qui, jointes à ^ = 0 et aux équations qui expriment que la
courbe passe par cCq, y^^ Zq et par x^^ y^, z^^ détermineront
les constantes d'intégration et les coordonnées finales x^^
Les équations (19) expriment évidemment que la tangente
à la courbe cherchée au point [x^^y^^ z^) est normale à la
surface ^ = o.
Supposons encore que, (^o? J^oj ^0) étant fixe, (^i, jK< 5 Z\)
soit assujetti à se trouver sur la courbe
t]> =: o, X = o.
486 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
Les variations 8xi , 8y^ , 8^, seront liées par les deux équa-
tions
^'l'j/^^^'^^'^^^'^'^V^y ' (^/i-^7i^-i)=o,
et toutes les (bis que ces conditions seront remplies, l'expres-
r.ion devra s'annuler, ce qui donne l'équation de condition
(à-i
i
x\
dy
dx), \dyji
o,
qui, jointe aux équations <]> =r o, y =: o et à celles qui expri-
ment que (^07^01 ^o) et (J7^,y^, z^) sont sur la courbe, dé-
terminera encore toutes les inconnues du problème. Cette
équation exprime que la courbe cherchée est normale à la
courbe ^ =^ o, y =: o.
Le cas où (^o? JKo? ^o) serait lui-même variable se traiterait
de la même manière.
366. Ligne de longueur minimum entre deux points.
— Soient Xoj JKo? ^o et x^^ y^, Zi les deux extrémités de la
ligne cherchée. Nous supposerons, pour plus de symétrie,
les coordonnées x^ y, z exprimées en fonction d'un para-
mètre t. On pourra évidemment passer de la ligne cherchée
à toute autre ligne infiniment voisine en faisant varier l'ex-
pression de x^ y^ z en fonction de ^, sans altérer les valeurs
initiale et finale ^o et t^ de ce paramètre. Nous aurons donc
à annuler la variation de l'intégrale
1=/ ds—\ sJx'-' + y'^-^z'-'
dty
oix les limites ^o> ^i restent fixes.
CALCUL DES VARIATIONS. 4^7
On a
où
Les équations M = o, N=:o, P = o donneront, par l'in-
tégration,
const., ...,
— — : const.
y/^'2_^y2_^y2
Sjx'^^ y'-'-^-z'-'
d'où
^' = const.,
y — const., z'-'Ci
et enfin
(20) x--=zat-\- ^^
y = bt-\-^, zzzzct
const.,
équations d'une droite.
Si les points Xq^ ya, Zq; x^, yt, z^ sont donnés, la condi-
tion de passer par ces deux points achèvera de déterminer
la droite; il restera encore deux constantes indéterminées
dans les équations (20); mais cela doit être, car on peut
changer dans ces équations t en mt-+-n^ m et n étant deux
arbitraires, sans altérer leur forme et sans qu'elles cessent de
représenter la même droite.
Supposons que, le point {xo,yo, Zq) étant fixe, (x^,y^, Zi)
soit inconnu, mais assujetti à se trouver sur la surface
^{x,y,z)^o.
On aura, entre les variations ^x^, SjKi, 854, la relation
488 TROISIÈME PARTIE. - CHAPITRE IV.
et, SOUS celte condition, l'expression
]I
\/<'+yi'+-i
^'2
doit s'annuler, ce qui donne, pour achever de déterminer la
droite et les coordonnées ^i, y^, ^i, les deux équations
d^ d^ à^
dx^ djx dzi
lesquelles expriment que la droite est normale à la surface (J;.
Si {Xi, jKi, Zi) était sur une courbe
^r:zO, X==0'
on trouverait de même Féquation de condition
j d^i dyi âzi
I /^X ix _^ =o.
1 d^j (^/i ^^1
i x\ y\ z\
qui exprime que la droite rencontre la courbe donnée norma-
lement.
367. Lignes géodésiques. — Supposons que la ligne de
longueur minimum à mener entre les points {xq^ y^, Zq) et
(^1,^1? ^0' ^^ 1^^^^ d'être située d'une manière quelconque
dans l'espace, soit assujettie à être tracée sur une surface
donnée
Nous avons à rendre minimum l'intégrale / dsy x, y, z
étant astreints à la condition ^=:o. Il faudra, pour cela, cher-
cher le minimum de l'intégrale
X'.
^0
X^) dt.
UJNlVJiJjRSXXir )
CALCUL DES VARIATIONS. 4^9
On aura
.K=.H.jr"[(M-.>,g)a..(N..|)a,,.-(p..g)a.]..
H, M, N, P ayant les mêmes valeurs que dans le problème
précédent. Les écjuations différentielles à joindre à l'équation
<!^ = o pour déterminer la courbe cherchée et l'inconnue auxi-
liaire X seront donc les suivantes :
d x'
d y
dt y/^/2_^^/2_^^/2
dx
ày
.=:-X
(21)
Or V-? V- ' -T^ sont proportionnels aux cosinus direc-
ôx ay az ^ ^
leurs de la normale à la surface ^; mais, d'autre part,
d x' . .
— , . . . sont respectivement proportionnels
"^ \Jx''^-\-y''^-^- z'^
aux cosinus directeurs de la normale principale à la courbe
cherchée (t. I, n^ 483). Les équations (21) expriment donc
cette propriété géométrique de la courbe cherchée, que sa
normale principale se confond avec la normale à la surface
sur laquelle elle est tracée.
Les lignes définies par cette propriété se nomment lignes
géodésiques.
368. Il est généralement avantageux, dans l'étude des li-
gnes géodésiques, de représenter la surface considérée non
plus par une équation entre x^ jk, z, mais par un système de
trois équations, donnant œ, y, z en fonction de deux para-
mètres u^v. On aura, dans ce cas, pour ds^ une expression de
la forree
ds — v/M da'^-\- 2 N du dv^V dv'^ .
Une ligne tracée sur la surface sera définie en joignant aux
^gO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
équations de la surface une nouvelle relation donnant u en
fonction de p.
Si l'on fait varier la fonction u sans changer les extrémités
Uq^ Poî ^n ^i de cette ligne, on aura, pour la variation de
l'arc, l'expression
~ dii^-^ 1 -~- du dv -\- ^- dv"- \la 4- 2 (M du -h N dv\ dlu
ou au ou J
2 ds
Intégrant par parties le terme en d^ii et égalant à zéro ce
qui restera sous l'intégrale, on obtiendra l'équation différen-
tielle des lignes géodésiques sous la forme
, ^ dM.^ d^ . . ^P,, , ,Udu-\-^dv
( 22 ) -;-- du^ -i- 2 -r— du dv -h -^^ dv^ :::=-- 1 ds d , •
ou ou ou as
Cette équation du second ordre peut être remplacée par un
système de deux équations simultanées du premier ordre
entre u^ v et l'angle 9 formé par la tangente à la ligne géo-
désique en chacun de ses points avec la tangente à celle des
lignes V = const. qui passe par ce même point.
A cet effet, considérons le triangle infiniment petit formé
parles points A, B, G, dont les coordonnées sont respective-
ment w, V] u^ v^dv\ u-\-du^ v-\-dv\ on aura sensiblement
AGB=:6, ABC -u — to;
w désignant l'angle des deux lignes u ^l v qui se croisent au
point A.
On aura, par suite, en appliquant les formules connues de
la Trigonométrie,
ds'^ — M du"^ -\- P dv'^ 4- 2 v/MP du dv ces w,
d'où
N . v/MP — N2
ces CD r= —=z= , Sin 0) r=r ■ ;
v/MP \/MP
CALCUL DES VARIATIONS. 49'
puis _
ds __\/)c^d{>^
sino) sinô ^
d'où
et enfin, en projetant le triangle sur BG,
,— , /- , M du 4- N <i(^
(24) <^5cos6 = v/M rti^ -H V/P "^ cosw =z —
La division membre à membre des deux dernières formules
donnera
Mdu-{-^dv
(20) cot6
V/MP — iN-2^(^
Il ne reste plus qu'à transformer l'équation (22). On aura
, , M du + N ûfç'
idsd 7 ■
ds
z=z 2 ds d\/Mcos^
-r— du + -^- dç =;, 2 i/M ds sin 6 d<î^
du dv /y/M
Remplaçons dscos^ et <:/5sinQ par leurs valeurs, substituons
dans (22) et réduisons ; il viendra
/ cm ^ ^P, dU ,
\ i-r— du -! — — - dç :—- du
\ au ou o^
Les équations (25) et (26) sont les deux équations diffé-
rentielles cherchées.
- 369. Lorsque les lignes u et (^ sont orthogonales, on a
N = o, et les formules (23) à (26) prennent la forme plus
492
TROISIÈME PARTIE.
— CHAPITRE IV,
simple
/ ds sinO =
:v/P^^^
(27)
dscos^ —
cote =
-sjMdu,
/M du
\/ ¥ d/'
(28) ^^dv — ^du-^iJmvd^-^-o.
^ ^ du d<^
370. Appliquons ces formules à l'ellipsoïde
^2 ^2 £ _
A "^ B "^ G -''
en prenant pour lignes m et (^ le système de ses lignes de
courbure.
Nous avons trouvé (t. I, n° 538) la valeur du carré ds"^ de
l'élément de longueur dans l'espace rapporté à un système de
coordonnées elliptiques X<, À2, X3. En chaque point de l'el-
lipsoïde considéré, on aura X, =0; les coordonnées de ces
points ne dépendront donc plus que des deux paramètres >.2
et I3, que nous désignerons par u et v. On sait d'ailleurs (t. I,
n° 540) que les courbes w = const., (^ = const. seront les
lignes de courbure de l'ellipsoïde.
Posant donc 7^ = o, \2^=u, \ = v dans les valeurs de x^,
y'^^ z^^ ds^y il viendra
1/2 -
-B)(A-G)'
+ «)(B + (')
-.2
- (B
-A)(B-C)'
+ «) (C + c)
I
-^(C
-A)(C-
u{u — ç)
-B)'
4(
I
A + «;
ç{i^ — u)
C-]-u)
ds^. ^ ^ ., . ^-^-^:x___ du-
^ dçK
4 {A-^v){B^i')){G-hi>)
CALCUL DES VARIATIONS, 493
On aura donc ici
I u{u — v)
^'- — 4 (A + «)(B-h?0(G-f-w)'
N =0,
p __ I v{v — u)
4 (A+r)(B + r) (C 4- (0
et, par suite,
âP
I V
P
du ~
4 (A.-+-ç^)(B + ç^)(G + ^) "
(^— ^i
dU
M
dv ~
u — V
Substituant ces valeurs dans l'équation (28), il viendra
M ^« + P rtV + 2 ( w — (^) v/MP ^/O — o
ou, en remplaçant M et P par leurs valeurs tirées des équa-
tions (27),
cos^6 dç + sin-0 du-h i{u — c^) sinOcosO <iO = o.
Cette équation s'intègre immédiatement et donne
(29) w sin^ 6 + (^ cos^ ô =zr c,
c désignant une constante.
L'équation (2g) peut s'écrire
{u — c) sin-6 -h ((^ — c) cos-Ô z=i o
ou, en remplaçant sinO et cosO par leurs valeurs,
{u--c)P dv"- + ( (^ — c)M du"- = o.
Substituant enfin, pour M et P, leurs valeurs et séparant
les variables, on aura l'équation
v/
/ i^
(A-t-(^)(B-f-ç^) (G + ^)(ç^-
-0)
/
dv
\J /A , ..N.r> , ■■^ .0 , ..x/.. TT ^^".
(A4-«)(B + w) {0-\-u){u—c)
dont l'intégration se ramène aux quadratures.
494 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV,
L'arc de la courbe s'obtient également par des quadra-
tures. On a, en effet,
)-
u{u — vY '^"^
(A H- iO (B -r- w) (G + iO ( " — c)
usJudiL vsjvdv
371 . Les lignes géodésiques de l'ellipsoïde jouissent de pro-
priétés remarquables, qu'on peut déduire de Téqualion (29).
Remarquons tout d'abord qu'en tous les points d'une ligne
de courbure u = const. on a
6=11-7 d'où i^ sin-0 -1- p 008^6 =:?< = const.
2
Le long d'une ligne du second système v -^ const., on aura
6 = 0 et i^ sin^6 -t- (^cos^6 1= c^m const.
Les lignes de courbure satisfont donc à l'équation (29) des
lignes géodésiques.
Cherchons les points où la ligne géodésique
u siii^ 0 -1- (^ ces- 6 m c
est tangente à une ligne de courbure.
On aura, au point de contact,
errzo ou Ozzii-
2
et, par suite,
W =: C ou Vzrz: C.
Chaque ligne géodésique est donc tangente à deux lignes
de courbure, une de chaque système, et l'on voit qu'à deux
lignes géodésiques tangentes à une même ligne de courbure
CALCUL DES VARIATIONS. 49^
u^^c correspond la même valeur c de la constante d'inté-
gration.
Il en est de même pour le système des lignes géodésiques
qui passent par les ombilics.
On a, en effet, pour les quatre ombilics réels (t. I, n°525),
La condition r^ r= o donne
(B-t-t0(BM-^)"O;
donc u o\x V est égal à — B. Soit, par exemple, w = — B; on
aura
•'' "^A- G'
donc V sera aussi égal à — B.
Pour une ligne géodésique qui passe par un ombilic, on
aura donc, en substituant ces valeurs dans l'équation (2g),
— Br:=C,
ce qui détermine la valeur de la constante c.
Considérons une ligne de courbure quelconque m= const.
Soit (l^, v) un point quelconque de cette ligne; joignons-le à
deux ombilics O et O' par des lignes géodésiques L, U, elles
auront pour équation différentielle
u cos^O -H V sin-6 ■=:. — B,
MC0S26'+ (^sin^O'rrr— B.
En retranchant ces deux équations l'une de l'autre, il
viendra
0 = «^(cos^O — cos^G') 4- (^(sin^O — sin^e')
= (r— w) (sin^Ô — sin^ô').
Donc sin^ô = sin^G', et les lignes L, U auront pour bis-
sectrices les lignes de courbure du point m, ^>.
Soit [u, v^) un point de la ligne de courbure considérée
496 TR0ISIÈ3IE PARTIE. — CHAPITRE IV.
situé à une distance infiniment petite ds du point (z/, v) pri-
mitivement choisi. Joignons-le à O, O' par de nouvelles
lignes géodésiques Lj, L'^ .
Projetons Li et Télénient ds sur L ; on aura évidemment
L = proj . Li -I- proj . ds.
Or chacun des éléments de L,, ne faisant qu'un angle in-
finiment petit avec sa projection, lui est égal en négligeant
le produit de sa longueur par une quantité du second
ordre ; on aura donc, au second ordre près,
proj.Li^irLi.
D'ailleurs
proj. ds z=z ds sin^ ]
donc
L:=Li4- ds sinO.
On a de même
L'zr-L; + t/5sinO'.
Mais on a
sinO :==; zh sinô',
égalité où l'on doit évidemment prendre le signe -h ou le
gjgne — suivant que les ombilics O et O' sont situés de côtés
différents de la ligne u ou du même côté. Dans le premier cas
on aura
JL — JL - — JLj — J-jj ,
et, dans le second,
lh-l'=Li-+-l;.
Ces égalités étant démontrées, au second ordre près,
lorsque le point [u, v^) est infiniment voisin du point [u, (^),
on en conclut par le raisonnement connu (t. I, n^ 462) qu'elles
sont vraies en toute rigueur, quelle que soit la position du
point (a, ^4) sur la ligne de courbure u.
On voit ainsi que les ombilics jouissent, par rapport aux
lignes de courbure, de propriétés toutes semblables à celles
des foyers des sections coniques.
CALCUL DES VARIATIONS. 497
372. Problème des isopérimètres. — Proposons-nous de
déterminer, parmi toutes les courbes de longueur 2 l ayant
leurs extrémités en deux points A et B, celle pour laquelle
l'aire comprise entre la corde AB et la courbe est maximum.
Prenons pour axe des x la droite AB, pour origine le mi-
lieu de cette droite : soit ia la longueur de celle-ci. Nous
aurons à rendre maximum l'intégrale
/ y dx^
J—a
sachant que l'intégrale
pli /^a
/ ds r-zz / v/l-i-y2 ^^
a pour valeur 2 /.
D'après la méthode générale, nous aurons à poser
/«
{y~\~l\/i-\-f')dx
-a
cl ly
<
^y dx.
L'équation différentielle de la courbe cherchée sera donc
d'où
dx y/i ^yli
ly'
o;
v/1 + 7"
= X
sJ\^—{x~cY
y - c'=:~ sJW-i^x-^Y,
équation d'un cercle de rayon \.
Il reste à déterminer les constantes c, c^ \.
Pour y = o, on aura ^ = ±: a; donc c = o, c^^-— \2 — ^!
J. — Cours, m. 32
figS TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
Il ne reste plus qu'à faire en sorte que la longueur de l'arc
soit 2 /.
Or, en désignant par a {Jig. 1 1) Fangle que le rayon GA
du cercle cherclié fait avec l'axe OY, on aura
l^zXo!., a=:Xsina.
Éliminant a, on aura, pour déterminer )., l'équation
transcendante
a=zK sin -•
L'angle a étant d'ailleurs compris entre o et tt, il faudra
prendre pour 'k celle des racines de cette équation qui est
En supposante infiniment petit, le problème se transforme
en celui-ci :
Déterminer parmi les courbes fermées de périmètre 2I
celle qui enferme une aire maximum.
Dans ce cas, l'équation en \ deviendra
sin Y =0
A
et aura pour racine 1 = - • La solution du problème sera
donc un cercle ayant le périmètre donné.
CALCUL DKS VARIATIONS. • 499
IL — Variation seconde.
373. L'étude des variations de l'intégrale
où (p est une fonction de x^ des variables dépendantes y^,
^2, • • • et de leurs dérivées successives, ces variables pou-
vant d'ailleurs être liées entre elles par un système d'équa-
tions différentielles
se ramène immédiatement au cas où cp, ^^^ ... ne contien-
nent, avec les fonctions inconnues, que leurs dérivées pre-
mières.
Supposons, en effet;, que jKo par exemple, figure dans ces
expressions avec ses dérivées successives jusqu'à l'ordre n.
Nous pourrons introduire comme inconnues auxiliaires les
dérivées j^'^ , ...,y"~^, pourvu qu'on joigne au système des
équations ^^
r=0, ^2 = 0, .
. . celles-ci :
^yy - y'
dx -y''
dx
y'I étant d'ailleurs la dérivée première de y^~\ on voit que
la fonction cp et les équations de condition ne contiendront
plus que les fonctions inconnues et leurs dérivées premières.
Supposons donc que nous ayons m fonctions inconnues
y^^ ...^y„i) que ces fonctions, leurs dérivées premières et
la variable indépendante x figurent seules dans l'intégrale
f.
cp dx
et dans les équations de condition
^i — o, ..., ^p=o.
500 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
Désignons par p le nombre de ces dernières équations.
Admettons enfin, pour plus de simplicité, que les limites x^^
Xk de l'intégrale et les valeurs correspondantes des fonc-
tions^ soient des quantités fixes données. Gela posé, cher-
chons à rendre l'intécrrale maximum ou minimum.
374. Nous déterminerons les fonctions inconnues, comme
on l'a vu plus haut, en annulant la variation première de
l'intégrale
(cp 4-Xi^l-h. . .-HX^4^p)<i^=::i / Vdx,
ce qui fournit les équations différentielles suivantes
d¥ d dV
(i) -— -— =10 (f^i, 2, . . .,m)
àji dx dyt
que nous combinerons avec les équations de condition
(2) -^.=z^i—o (/ = i, 2, ...,/?).
L'intégration de ce système donnera en général les in-
connues jK et )^ en fonction de ^ et de 2/72 constantes arbi-
traires.
En effet, remplaçons les équations ^i=:^o par leurs dé-
rivées -p- = o. Le nouveau système obtenu
dx -^
dyi dx dy'i ' dx
contient les dérivées de j^,, ...^y^ jusqu'au second ordre,
celles de X,, ..., \p jusqu'au premier ordre. Il sera donc
d'ordre im-\- p et fournira les inconnues y et X en fonction
de x et de im-\-p constantes arbitraires. Ces valeurs,
substituées dans les expressions ^/, les réduiront à des con-
stantes ( puisqu'elles annulent identiquement -^ \ • En écri-
vant que ces constantes sont nulles, on obtiendra des équa-
CALCUL DES VARIATIONS. 5oi
lions de condition qui déterminent ;? constantes d'intégration
en fonction des autres.
Les im constantes qui restent seront déterminées à leur
tour par la condition que y^^ . . ., ym prennent pour chacune
des deux limites Xq et x^ les valeurs qui leur sont assignées.
Le problème d'annuler la variation première de l'inté-
grale est donc en général possible et déterminé.
On doit toutefois remarquer que l'ordre du système (3),
et, par suite, celui du système primitif, s'abaisseraient si Ton
pouvait éliminer les dérivées y\^ . . ., y"„^^ '}^^ , . . ., X^ entre
les équations (3). Or, ces dérivées y entrent linéairement, et
le déterminant de leurs coefficients n'est autre chose que le
jacobien J des fonctions -^—^ ^i par rapport aux quantités jk^
et X. Si donc ce jacobien était identiquement nul, il serait en
général impossible d'annuler la variation première de l'inté-
grale, car les constantes d'intégration seraient en moindre
nombre que les équations aux limites auxquelles elles
doivent satisfaire.
375. Nous admettrons donc que J n'est pas nul. Il est
aisé, dans ce cas, de ramener le système (i), (2) à un sys-
tème canonique. (Ce résultat est une généralisation de celui
du n* 357. )
Prenons, en effet, pour variables auxiliaires les quantités
W.^^'
dF
Les équations
(4) ;)V'=^^" '^^~-='^
permettront d'exprimer les quantités y\ \ en fonction des
variables jK, p-
Posons, d'autre part.
H=j_/,y;-F.
TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
On aura
dH =y^^ [- l^rfr, + (p,- g) dy[ +y,dp, - ^,d\ij.
Mais les termes en dj''-^ d\i disparaissent en vertu des
équations (4)- On aura donc, en supposant qu'on exprime
H au moyen des variables jk et/>,
m __ ^ m_,
D'ailleurs, les équations (i) peuvent s'écrire
On aura donc, pour déterminer les variables y, p, les équa-
tions canoniques
... ■ , ,m , dB.
376. Ces équations étant supposées intégrées, on sait (260)
que leur intégrale générale pourra se mettre sous la forme
(6) dvi^^'' 'd^i'^^' {1^1,2, ..., m),
V étant une fonction des variables x, yt et de m constantes
d'intégration a, , . . . , aL,n et les quantités [^i , . . . , ^m étant les
autres constantes d'intégration.
La résolution des équations précédentes donnera les va-
leurs des y, p en fonction de x et des constantes a, [5. Les
équations (4) donneront ensuite les quantités y' ^ \] enfin
les conditions aux limites détermineront les valeurs des con-
stantes a, j3.
377. Mais, pour être assuré de l'existence effective d'un
maximum ou d'un minimum, il est nécessaire d'étudier la
variation seconde S^L Si celle-ci ne peut s'annuler pour au-
cun système de valeurs admissible des variations 8/, elle con-
CALCUL DES VARIATIONS. 5o3
servera toujours le même signe, et il y aura minimum ou
maximum, suivant qu'elle sera positive ou négative. Si, au
contraire, elle peut s'annuler, il n'y aura en général ni maxi-
mum, ni minimum, la variation troisième changeant de signe
avec les variations Sy; il ne pourrait y avoir incertitude que
dans le cas exceptionnel où elle s'annulerait en même temps
que la variation seconde.
Laissant de côté ce cas singulier, nous sommes amenés à
rechercher si 8^1 est ou non susceptible de s'annuler.
378. Posons, pour abréger,
d^F d^F , d^F
àytàyu âftâf, '"' Oy-df
Les quantités a/A-, b/k, c/^, d^^ eu seront des fonctions con-
nues de x; nous les supposerons continues, ainsi que leurs
dérivées partielles, entre Xq et Xi ; cette hypothèse est évi-
demment nécessaire pour qu'on puisse appliquer la série
de Taylor au développement des accroissements des fonc-
tions F, ^i.
Posons encore, pour simplifier l'écriture,
ces quantités seront assujetties aux relations
(7) 0=:^r-\(dilZi-r■CilZ'i) {1 = 1, ...,p).
On aura_, d'autre part,
82 F _ \ \ [■ ^ .^ ^ . ;3^ _|_ 2 bikZi Z\ + Ciu z\ z\ ]
et
2 ]Xi l^i ) dx,
i~ r *82F^^~ r Ys^F+y :
Oo4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
les multiplicateurs [jl/ étant des fonctions quelconques de x,
finies entre Xq et X\ .
L'expression
2Û:^--82F +
y 2 ]Xi l^i
étant homogène et du second degré par rapport aux quantités
5, z' ^ \K, on aura
Substituant cette valeur dans l'expression de S-I et remar-
quant que les équations de condition (7) ne sont autres que
les suivantes
(e) — o,
il viendra
Intégrant par parties les seconds termes et remarquant que Zi
s'annule aux deux limites Xq et x^, il viendra
On pourra donc annuler S^I si l'on peut déterminer les
quantités ^, |a, de manière à satisfaire aux équations
. ^ ÔQ d dQ
^9) ^ -r- i— = o,
ozi dx ÔZi
ainsi qu'aux équations de condition (8), en assignant aux Zt
CALCUL DES VARIATIONS.
5o5
des valeurs qui ne soient pas constamment nulles entre ^'o
et ^4, mais qui s'annulent aux. deux limites.
379. Les relations (8) et (9) constituent un système d'é-
quations différentielles entre les variables z, p. tout à fait
analogue au système (i), (2). Il sera également d'ordre 2m,
pourvu que le jacobien J< des expressions
do^ do.
par rapport aux quantités z\^ [a/ ne soit pas identiquement
nul. Or, d'après l'expression de 0, on voit que les éléments
de ce déterminant ne sont autre chose que ceux de J, où l'on
a substitué, pour les quantités y^ leurs valeurs en fonction
de X. Nous admettrons que, même après cette substitution,
le déterminant ne s'annule pas identiquement et que, en par-
ticulier, il n'est pas nul pour x =^ X\.
Prenons alors pour inconnues auxiliaires les quantités
(10) "/==;p-
Les équations (8) et (10) permettront d'exprimer les quan-
tités z' et [JL en fonction linéaire des quantités z et a. Ces
valeurs, substituées dans l'expression
Yi,r^r^SuiZ\~Q,
la transformeront en une fonction homogène et du second
degré des quantités z, u] et l'on aura, pour déterminer ces
quantités, les équations canoniques *
dont les seconds membres sont linéaires et homogènes par
rapport aux inconnues z, u.
5o6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
380. Les équations différentielles linéaires
(.2)
da
OR
~2,. i^ii^i -^enz'i],
(i3)
- Ui
= > [à/d zu -\- Cui z,^ 4- > en [x/ — m,
Luk Lai
(i4)
d dQ
dx dz'i
~ /^ {aïkZk-^ hikZj, ■+- du [x/] — u'i,
auxquelles nous venons d'arriver, sont intimement liées aux
équations
dV àV
dont l'intégration nous a fourni les valeurs des quantités y^ \
en fonction de x et des constantes a^ , . . . , a;^^ ; ^i , . . . , ^j^-
En effet, substituons ces valeurs dans ces dernières équa-
tions ; elles se réduiront à des identités, quelles que soient
les constantes a et p. On pourra donc les différentier par
rapport à l'une quelconque c de ces constantes. Effectuant
cette différentiation et posant
àyt _ , ày'i _ ^, dpi _ dli __
1^ - ^^■' 'de -^ "'■' ^ " ""'' ^ - ^''
on obtiendra précisément les équations (12), (i3), (i4)-
Prenant successivement pour c chacune des 2 m constantes
a, p, nous aurons donc 2. m solutions particulières de ces
équations. On en déduit, en désignant par A/i elB/^ des con-
stantes arbitraires, la solution plus générale
(.5) ,,^y (A,Êp.^B,^
(16) "^'"'X
(18) fX,^_^^^
A àpi , dpi
d^k à^k
dh d\r
^'d^^-^^'Wl
CALCUL DES VARIATIONS. Soj
Les équations (ii), qui se déduisent de la combinaison des
équations (12) à (i4), admettront donc comme solution les
valeurs de zt, ut données par les formules (i5) et (16).
381. Nous admettrons : 1° que les diverses dérivées par-
. 1, dyt dfi dli . r. ^ j 1
tielles -^; — ? -^V ? •••? -ttt-^ qui lio^urent dans les expressions
précédentes, restent continues entre Xq et Xi ; 2° que les se-
conds membres des équations (i5) ne peuvent devenir à la
fois identiquement nuls, de quelque manière qu'on choisisse
les constantes A, B, à moins qu'elles ne soient toutes nulles
Cette dernière hypothèse entraîne manifestement comme
conséquence que les 2m solutions particulières obtenues
pour les équations (11) sont linéairement indépendantes. La
solution générale des équations (11) sera donc donnée par les
formules (i5) et (16), et celle des équations (12), (i3), (i4)
par les formules (i5) à (18).
Nos 2 m solutions particulières étant indépendantes, le dé-
terminant
! àfi dfi dy, dy,
D
d^.
dy-ni
à?,
à'^,n
dym
dym
àpi
dpx
dy-m
dp.
àpi
dpm
dp,n
dpm
dpm
ne pourra être identiquement nul.
Ce déterminant peut d'ailleurs se mettre sous la forme d'un
produit de deux autres déterminants. En effet, les équations
intégrales
(où V ne contient ni les p ni les p), différentiées par rap-
5o8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
port aux constantes a^t et [5;;, donnent
dpi V ^-V dyn
dit
i "^2
d'Y
hàfidfh â^k
Substituant ces valeurs dans D et retranchant des m der-
nières lignes du déterminant les m premières, multipliées
par des facteurs convenables, il viendra
Dzz
d'Y
en posant
d'Y
dym
-O'^D.D,
d'Y
dym d:L,
D.rr:
i d}\
I dh
dym
dh
dy\
dym
d^m
d'Y
D.
dvi d'^
d'Y
dym dcci
dvi doL,
d^Y
dym d:^
A.ucun des deux déterminants Di , D2 ne peut donc être
identiquement nul.
382. Nous sommes maintenant en mesure de déterminer
les conditions nécessaires et suffisantes pour que 8*1 ne puisse
s'annuler.
On voit tout d'abord que 8^1 sera susceptible de s'annuler
si l'on peut déterminer les rapports des constantes A;^, B^, de
telle sorte que les valeurs des zi fournies par les équations (i 5)
CALCUL DKS VARIATIONS. SoQ
s'annulent toutes à la fois pour deux valeurs distinctes Çq, ^i
de la variable x^ comprises entre Xq et x^.
En effet, posons S/^ = £^/ entre ?o et 5,, et S/^ ^^ o dans
le reste de l'intervalle XqX^.
Les variations ainsi définies ne sont pas identiquement
nulles dans tout l'intervalle entre Xq et x^ ; elles satisfont
aux équations de condition (12); enfin entre Eq et ^4, seule
partie de l'intervalle où elles ne soient pas nulles, elles sa-
tisfont aux équations (i3) et (i4)i équivalentes aux équa-
tions (9); elles annulent donc tous les éléments de l'inté-
grale 8^1.
Pour que les rapports des constantes A;^, B^ puissent être
déterminés comme il est indiqué ci-dessus, il faut et il
suffît que le déterminant
M^cli)
(dyjn\
ày>n\
àfA
dy,.
dcc.
àrni\
à?i A.
an
dv
d.Vm\
fdy,n\
soit égal à zéro.
Donc, pour que 8^1 ne puisse s'annuler, il faut tout
d'abord qu'on ait
A(^o,Çi)?o
de quelque manière qu'on choisisse ?o et J^ entre Xq et X|.
Posant en particulier ?o==«^o? on devra avoir
(19) à{xo,x)lo
pour toute valeur de ^ >> X(, et ^ ^^ .
383. Pour déterminer les autres conditions qui, jointes
OIO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
à (19), sont nécessaires et suffisantes pour l'existence d'un
maximum ou d'un minimum, il nous faut transformer l'ex-
pression de 8^1 de manière à faciliter la discussion de son
signe. Cette transformation repose sur deux propriétés de
nos équations différentielles, que nous allons établir :
1° Les équations différentielles qui déterminent les quan-
tités jKj P ont pour intégrale générale les équations
Prenons la différentielle totale des équations de droite en
traitant x comme une constante; il viendra
^^yi^ -^ A — r~ "^^ = ^i^'-
Substituons cette valeur de d'^i dans l'expression de la
différentielle totale de dyk
^--KÈ^^-t*)
elle deviendra
^^*=I,- £ ''="-+S,S. {Sy-n "''-^ M ''^
et, comme les équations (20) n'établissent entre les y et
les a aucune relation indépendante des quantités p et [3, les
coefficients de chaque différentielle devront être égaux dans
les deux membres. On aura donc, en particulier, en égalant
à zéro le coefficient de dy.i (après avoir permuté dans la
somme double les indices de sommation h et t ),
Substituons la valeur de -~- tirée de cette formule dans
OH
l'expression
V ^ ^^•
CALCUL DU§ VARIATIONS. 5X1
elle deviendra
2 Y ^^V ày,' dy.
et ne changera pas si l'on permute k et A'; car cela revient
évidemment à permuter les deux indices de sommation i
et 11. Nous obtenons donc cette première relation
(21)
Zui\d'M dh doit dh)
384. 2° Les quantités y, p satisfont (375) aux équations
canoniques
Prenons la dérivée de ces équations par rapport à l'une
quelconque c des constantes a, p. Il viendra, en désignant,
1 . art àpi
pour abréger, -^ par 3„ ^ par «,,
("^--I
k -t- -^i , U/c
k\dyidyk dytdpk [
Ces équations linéaires, admettant les 2 m solutions parti-
culières
fdy^ dpj\ , fdyt^ dp A
auront pour intégrale générale les expressions (i5) et (16),
de sorte que le système (22) ne sera qu'une autre forme du
système (i i).
Le système (22) a pour adjoint le suivant :
Luk\àpidpk dykdpi
5l2 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE ÏV.
qui n'en diffère que par le changement de 5, w en — U, Z.
Si donc
Ï52= ( . . . , -S^/2? • • • > ^^«2) • • • )
sont deux solutions particulières quelconques des équa-
tions (22),
(. . . , Un, . . . ^ -Sii, . . .)
sera une solution du système adjoint; et, d'après les pro-
priétés connues de ce système (115), l'expression
(S1S2) ==N (f^n-/2— ^/i«î2)
sera une constante.
385. On a évidemment, d'après la définition précédente
du symbole (S, S2), la relation
En outre, si
O2 "- ( • . ■ , -2/2 5 • ' ' 1 ^^i2y ' ' • ):
b,}!^ ( . . -, Z12, . . . , W/3, - . .)>
sont des solutions particulières, l'expression
= {..,, m^ ^,-2 -H ^3 -3/3 H- ... , . . . , 7?Z2 Ui2 + /^3 i^J3 "f" •. • • , • • • )
sera encore une solution, et l'on aura
(Si, ^2824- m3S3 + . . .) V- m2(SiS2) -^ m3(SiS3) -j-
386. Toutes les solutions de nos équations s'expriment
CALCUL DES VARIATIONS. 5t3
linéairement en fonction des im solutions particulières
s,^.^
dyi
dpi
s„=(--
dpi
• -7 -, 1 •
..).
T,=(..
ày>
'àfr •
dp,
\
T ■■(..
dpi
..).
Proposons-nous de déterminer les valeurs des constantes
particulières
(S;,S/,), (T;,S;,), (T.-T;,).
Il faudra, pour cela, chercher la valeur de l'expression
àpi âyt dyt dp,
de de'
de de'
c et c' désignant deux quelconques des constantes a, [3.
A cet effet, recourons encore aux équations intégrales
dj
dyt
=^Pi
£=^
En dérivant les premières par rapport à c, il viendra
d-y , y d^y dyk _ dpj
dyt de ^ Zjk dyt dyk de ~ de
On aura, par suite,
Zuidc de' Zuidc'dyide ' 2ui2ukdyidyk de de''
La somme double ne change pas si l'on permute c et c',
car cela équivaut à permuter les indices de sommation i
i. — Cours, III. 33
àfi ^'Y_ __ il àY __ â^y
de "' de' de de de'
5l4 TROISIÈME PARTIE. — CnAPITRE IV.
et k. On aura donc
V f^Pj ^ll __ ^li ^Pi\ -rrV (^^J ^^ - -•^'' ^^^~ V
2ji\de de' de de' ) ' Zii\de' dyide de dytde' )
On a d'ailleurs
Sdj^ d^
ide' dfi
en désignant par j-, -c- la dérivée complète de ^ par rap-
port à c'j en tenant compte de ce que les/ sont des fonctions
des constantes c. On a de même
S dfi d^y^ _ il ^ __ ^iX_
i de dfi de' " de de' de de'
et, par suite,
V' fdpi dy^dj^ dpi\ _ _^ ^Y __ ^ ^.
\de de' de de' J de' de de de'
Gela posé, V ne contenant pas explicitement les constantes p,
on aura, si c — ^/c et c' = ^a,
dV dY
de de'
d'où
(T^T;,)=.o.
Si c := ajt et c' ■- -- a^, on aura, en vertu des équations (20),
àY __dY
d'où
^ (^V d
de de dv-h
On a de même
et, par suite,
(SytS/,)=rO.
CALCUL DES VATIIATIONS. 5l5
Enfin, si c = ^k et c' :^ cf.h, on aura
dY dY
~dc " ""' de' ''
d'où
-P.,
d dY d dY d
de de' de' de " d^k ^^ "
l o si h> k,
( I si hz=zk.
Nous trouvons donc
(Si-S„) :-:0, (T,,T„)==0,
( I SI hs-zk.
387. Considérons maintenant deux solutions quelconques
On aura, d'après les formules précédentes,
— \ (B/,pA/,<y— A^pB^-cr).
Assignons aux coefficients Ay^p, B^p; A^^y, B^jy les valeurs
particulières
».,=(t), ".^^m^
où ? désigne une constante quelconque; il viendra
<-' <«.«.'=L[(fe).(Ê)r(S).(Sî).]=-
car le second membre de cette expression, se déduisant de
celui de l'équation (21) quand on y change i, X*, k' en k, a-, p
5il3 TROISIÈME PARTIR. — CHAPITRE IV.
et qu'on attribue à ^ la valeur particulière i, est identique-
ment nu).
En posant successivement p = i, 2,
drons un système de m solutions
Kj rz: ( . . . , îJjj, . . . , Ui\,
m, nous obtien-
tel que l'on ait généralement
(RpR^):^0.
388. Calculons, d'autre part, la valeur du déterminant G,
formé avec les quantités
Pour l'obtenir, formons le produit du déterminant
A(^,r
I à^,
I
! (dy,n\
par le déterminant
dcL,
àym
(àym\ (àyrn\
àyt
àym
(dy^\
D,--
dy^
ày,n
ày.
3?.
an
d?,n
àïm
....
—
<??■
àym
0
à^m
0
àyx
dym
o
àyx
âcti
àym
dyx
d<x.m
dym
CALCUL DES YABIATIONS.
Il viendra, en tenant compte des équations (21) et (24),
517
D,A{.x,^) =
— z,
à.n
d.n
d.Ym
àrm
'àyA
ày,n\
D,G,
et, comme Di n'est pas nul, on en déduira
Nous admettrons provisoirement qu'on ait pu déterminer la
constante ?, de telle sorte que l'on ait
dans tout l'intervalle de jTo à ^,.
Les quantités z^p^ . . -, Zmp] Uip, • - •, Ump, associées aux
valeurs correspondantes lk^p, . . ., |i.^p des quantités [i., fourni-
ront pour chacune des valeurs p = i, . . . , m un système de
solutions des équations (12) à (i4)»
389. Posons maintenant
(25) Z'ip =\ y/ciZkp,
(26) Uip=\ ^kiZjcpy
(27) f^/p~y ^klZkp-
Les quantités y/f/, 8^/, M/^;, déterminées par ces équations
linéaires, seront des fonctions de x^ finies et continues entre
Xq et x^ en vertu de nos hypothèses, puisque le déterminant G
des quantités Zkp ne s'annule pas dans cet intervalle.
5l8 TROISIÈME PARTIE. -- CHAPITRE IV.
Eq difierenliant les équations (26'), on trouvera
"Ip — y ( Kci^kç, -î- ^ki^'kp )
ou, en remplaçant les z' par leurs valeurs déduites de (aS).
(28) u'ipz=z\ h'^.^\ S/,,- Y/-/, j ^^p.
Substituons, d'autre part, les valeurs des quantités iiip, Ui^
déduites des équations (26) dans les équations
elles deviendront
LAiLUk
OU, en permutant les deux indices de sommation dans le
second terme,
y y (ô/.'
/ / ... ô,-^-)-/r?-/(7 — o, (p — I, . . ., m; a = i, . . ., m).
ÂmÀiLjk
Le déterminant des quantités zi^ n'étant pas nul, ces équa-
tions entraînent les suivantes
y (5a;/— 5,7,)^^-prr:0 (p =
., m),
et le déterminant des z^^ n'étant pas nul, on en déduira
^ki = ^ik-
Les équations (12), (i3), (i4) sont d'ailleurs satisfaites par
les valeurs
Faisons cette substitution, remplaçons les quantités ?', w,
CALCUL DES VARIATIONS. Ôig
[JL, u! par leurs valeurs (26) à (28) et changeons, lorsque
cela est nécessaire, la dénomination des indices de somma-
tion; il viendra
o = \ ( aa -H \ ^//i T/cA + \ ^^// M/,/ — 1',^ — \ §/„• yaa j -ytp-
Ces équations ayant lieu pour p :^^^^ i, . . . , m, et le déter-
minant des quantités Zj^^ n'étant pas nul, on aura pour
(29) oz^dki-V-S enriku,
(30) 0 — hki-'r-\ C/.ra-A-nN eti^ki— ^kh
(3i) o~a/A-+-\ ^/ATA:/i-+-/^ ^^//^1/t/— S;,.,.--\ Of.i^f,^.
On peut déduire de ces équations les valeurs des quan-
tités a, 6, (i en fonction des c, e, y, 0, M. Elles donnent en
effet
(32) <^/,;--— \ ehi^kji,
puis
OU, en permutant t et A" et remarquant que ^hi'-^ ^ikf
(33) bik--.B/ci — \ Chkyi/i — \ek/Mif.
Les valeurs précédentes des 6, <i étant substituées dans
520 TROISIÈME l'ARTIE. — CHAPITRE IV,
l'ëqualion (3i), elle donnera
(34) / — ^^Ta-a(oa. — \ C/,v,Y,7i'— y e/,/M,
Substituons les valeurs ci-dessus des quantités a, 6, d
dans l'expression de la variation seconde
^' ^ ~ / Aji ^A- ^ ^'^' ^^' ^-^'^ ~^~ ^ ^'^ ^•^' ^-^^ ~^~ ^''' ^^'' ^^''' ^ ^^
et dans les équations de condition
(35) 0:=^-^lr=\{dilùyi-\~ euoy'i) (/rrzl,
p).
qui existent entre les variations.
Si nous posons, pour abréger,
(36)
r'i~^vuh>
(37) y.y 5,vjj,-sj^r-^p,
(38) ^^^'^^'^y^ ="*''
on trouvera aisément que les équations (35) deviennent
(39) \eitVi—o
et que S'^I prend la forme suivante :
Le dernier terme de cette expression disparaît en vertu
CALCUL DES VARIATIONS. 521
des relations (39). D'autre part,
r
rfp . /v Y
<^-''""HZ,A/"^^"-^H,^'''
car les variations oyi, Sjka s'annulent aux limites. On aura
donc plus simplement
390. Les conditions (35) ne sont pas les seules auxquelles
soient assujetties les variations Sy/. Il faut, en outre : i°que
ces variations soient infiniment petites, ainsi que leurs dé-
rivées, entre Xq et ^< ; 2" qu'elles s'annulent à ces deux
limites, sans s'annuler identiquement dans tout l'inter-
valle XoXi.
Il résulte de là que les quantités ç>i doivent être infiniment
petites, mais qu'on ne peut les supposer identiquement
nulles entre Xq et a:^. En effet, si tous les (^ étaient nuls, les
équations (36) donneraient
(4o) ^/^• — \ ^{ài
^yh'-^
En vertu des relations (aa), ces équations seraient satis-
faites en posant
p ayant l'une quelconque des valeurs i , . . . ^ m.
Par hypothèse, le déterminant des quantités Zip non seule-
ment n'est pas identiquement nul, mais ne s'annule en aucun
point de l'intervalle Xq x^ . Les équations linéaires (4o ) auront
donc pour intégrale générale
«/'■=S
— > Cp^/p,
les G étant des constantes arbitraires.
Les hyi devant d'ailleurs s'annuler pour x = Xq et le
TJNIVERSITY
522 TROISIÈME PARTIE. CHAPITRE IV.
déterminant des zt^ n'étant pas nul en ce point, les con-
stantes Cp devront être toutes nulles^ mais alors les 8// se-
raient nuls identiquement.
391. Cela posé, si la fonction
conserve constamment le même signe pour tous les systèmes
de valeurs des fonctions Vt qui ne sont pas identiquement
nulles et qui satisfont aux relations (39), l'intégrale
i
cp dx
jouira de la même propriété. Il en sera de même, à plus forte
raison, si Ton se borne à assigner aux arbitraires Vi les sys-
tèmes de valeurs auxquels correspondent des valeurs admis-
sibles des ^yi. Il y aura donc maximum ou minimum.
La fonction cd pourrait d'ailleurs s'annuler pour certaines
valeurs particulières de x sans que ce résultat fût troublé.
Cette condition suffisante est en même temps nécessaire.
En effet, s'il existait un système de fonctions çi satisfaisant
aux équations (Sq) et tel que la fonction o fût positive dans
une partie de l'intervalle ^z^o^i et négative dans l'autre, nous
allons voir qu'on pourrait rendre 8^1 positif ou négatif à vo-
lonté dans cet intervalle.
Soient, en effet^ Xi , . . . , ^2n+i des fonctions quelconques
de X, linéairement indépendantes^ et finies entre Xq et Xi ;
c, . . ., C'2/i+i des paramètres infiniment petits. Posons
Cl, . . ., C2u-i^i des constantes infiniment petites. Posons
le multiplicateur K étant égal à zéro dans la partie de l'inter-
valle où cp est négatif et égal à
dans la partie où il est positif. Les fonctions V/ satisferont
CALCUL DES VARIATIONS. 523
encore aux équations (^c)), et l'expression
nulle dans la première portion de Fintervalle, sera positive
dans la seconde. L'intégrale
£>
dx
sera donc positive.
Les valeurs correspondantes des S/^- sont les intégrales des
équations linéaires
(40 ô// — y Ta/ o/a -— V,-.
Pour les obtenir, intégrons d'abord les équations sans se-
cond membre; il viendra, comme tout à l'heure,
(42)
ly, ==^ Cp.,p.
Prenant les Cp pour nouvelles variables, d'après la méthode
de la variation des constantes, on obtiendra les équations
transformées
^p ÔX "^
Les ^/p étant continus entre x^ et x^ et leur déterminant
ne s'annulant pas, on pourra résoudre cette équation parrap-
dx
port aux dérivées -v-?. Le résultat obtenu sera de la forme
ÔX
:2^.E,pV,,
les E/p étant des fonctions finies.
Ces équations admettent la solution particulière
JL-t
524 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
qui est infiniment petite, les V, étant infiniment petits. Les
valeurs correspondantes des Sy^ seront elles-mêmes infini-
ment petites. Il est clair d'ailleurs qu'elles seront linéaires
et homogènes par rapport aux constantes c,, . - ., C2m+i, et
l'on pourra déterminer les rapports de ces constantes de ma-
nière à faire en sorte que les oyi s'annulent pour Xq et jc,.
Enfin les 8// ainsi déterminés ne s'annulent pas identique-
ment; car les équations (40' ^^ ^^^ V/ne sont pas identique-
ment nuls, ne pourraient être satisfaites.
Nous obtenons donc un système de variations 8/^ satisfai-
sant à toutes les conditions requises, et pour lequel 8^1 est
positif. On déterminerait de même un second système de
variations pour lequel 8^1 serait négatif.
392. Nous avons donc réduit la question proposée à cher-
cher les conditions pour que la fonction
'-^'1.1'f "■■'''■
<'4
conserve constamment le même signe pour toutes les valeurs
de p qui satisfont aux relations
(43) 2_.e,.
l^'i-'-O.
Comme d'ailleurs le signe de cp ne dépend que des rapports
des quantités ç, on peut, sans restreindre la généralité du
problème, supposer les (^ assujettis à satisfaire en outre à la
condition
(44)
1"
Pour résoudre la question ainsi posée, cherchons les
maxima et minima de cp pour les valeurs de ç qui satisfont
aux équations (40 ^^ (44)- Dans ce but, nous égalerons à
zéro les dérivées partielles de la fonction
^-M/'''~S/'E/"'''-
CALCUL DES VARIATIONS.
Nous obtiendrons les équations suivantes
525
(45)
\ Cik C/t — P ^/ — \ et^
qui, jointes aux relations (/j^)? détermineront les rapports
des quantités v et p^; quant à p, il sera déterminé par la con-
dition que le déterminant
I
i ^ip
soit nul.
D'ailleurs les équations (45), respectivement multipliées
par (^4, . . . , t'TO et ajoutées ensemble, donneront
ou, en vertu des équations (43) et (44)?
Les maxima et minima cherchés sont donc les racines de
l'équation I -- o.
Pour que cp reste constamment non positif (ou constamment
non négatif) entre Xq et Xt, et cela pour tout système de va-
leurs des ç, il est évidemment nécessaire et suffisant que ces
racines restent toutes non positives (ou toutes non négatives)
dans cet intervalle.
D'ailleurS;, si cette condition est remplie, on n'a pas à
craindre que cp soit identiquement nul entre Xq et Xi ; car il
faudrait pour cela que l'équation en p eût une racine nulle
pour toute valeur de x entre Xq eix^, ce qui est impossible;
carie terme constant de l'équation en p se confond, au signe
526 TROISIÈME PARTIE. ~ CHAPITRE IV.
près, avec le déterminant J< qui, par hypothèse, n'est pas
identiquement nul.
Nous obtenons ainsi les conditions suivantes pour l'exis-
tence d'un maximum (ou d'un minimum) :
Dans toute V étendue de V intervalle x^x^ le déterminant
A(^0) •^) doit être ^o {sauf pour x^= Xq), et les racines
de V équation I =^ o doivent être non positives {ou non né-
gatives).
393. Nous avons toutefois admis, pour arriver à ce ré-
sultat, qu'on pouvait déterminer une constante ^, telle que
l'on eût
(4(3) A(^, ^jjo de .■Tq à ^1.
Il nous reste à nous assurer que cette condition est impli-
citement contenue dans les précédentes.
La condition A(^o> •^) <opour ^ ^> ^o<'^4 donne, en par-
ticulier, pour X — - x^ ,
A(^05 ^\) 5^.
Les éléments du déterminant A et les coefficients de I étant
par hypothèse des fonctions continues, on pourra déterminer
des quantités So? ^\ assez petites pour qu'on ait encore
tant que ^oi \\ seront respectivement compris entre ^o et
^0 + ^0 et entre x^ et x<^ -]- z^. On aura donc
(47) A(^o,^)<o,
tant que x sera compris entre X(^~\- £o et X\ -^ £4.
D'autre part, les racines de l'équation I =:: o conservent un
signe constant dans Tintervalle de .Tq à ^4 ; d'ailleurs, !< n'é-
tant pas nul pour ^ = ^j, aucune d'elles ne sera nulle pour
cette valeur de x\ et, comme elles varient infiniment peu
entre x,^ et^, -|- z^ , elles conserveront encore leur signe dans
ce nouvel intervalle.
CALCUL DES VARIATIONS. 527
De cette propriété et de l'équation (47), on déduit que 8^1
ne peut s'annuler dans l'intervalle de ^o-i-^o à .r^-f-e^.
Donc, d'après le n'' 382,
A ( .27, ^1 -f- El ) J o pour ^r ^ .27o 4- £0 ■< ■^^i H- £j .
D'ailleurs cette expression est également ^ o si ^ est compris
entre Xq et Xq-^ cq. On satisfera donc à la condition (46) en
prenant ^ = .^i -4- Gi .
394. Nous ferons remarquer, en terminant, que nous
avons admis dans toute cette étude, non seulement que les
variations 8// des fonctions inconnues sont infiniment pe-
tites, mais que leurs dérivées 87^ le sont également. Si l'on
voulait supprimer cette dernière restriction, les conditions
trouvées ci-dessus pour l'existence d'un maximum ou d'un
minimum, tout en restant nécessaires, pourraient cesser d'être
suffisantes.
III. — Variation des intégrales multiples.
39o. Les notions fondamentales du calcul des variations
peuvent s'étendre sans difficulté aux fonctions qui renfer-
ment plusieurs variables indépendantes.
Considérons, par exemple, une fonction
?(<^> /> ^; ", ^, . . . , «apy, t^a^y, • • • )
des variables indépendantes :r, r, ^, des fonctions u, v de
ces variables et de leurs dérivées partielles
"apY ^ 3T^Trs";iZ^ ' ^^'Pï
Si l'on y change 11^ v en z/H-£Z/, = « + 8w, v -\-zv^z=zv-\-^v^
o se changera en une nouvelle fonction ^(^, jr, ^, e), qui,
développée suivant les puissances de £, prendra la forme
cp -4- A'^ rz: çp 4- ocp -1- l- 0- cp -h . . . .
528 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV-
On aura évidemment
d'où, pour la valeur particulière £ = o,
dx^ ' dx^
■j—. représentant la dérivée complète de cp par rapport à x^ en
tenant compte de ce que w, v dépendent de cette variable.
On trouvera de même
dy' ^ dy' dz' ^ dz'
La variation première 8cp, que nous considérerons spéciale-
ment dans ce qui va suivre, aura évidemment la valeur sui-
vante :
cp --::: U Ùil -i- . . . -h Ua^y O'^apy
j -^- V 8(^ -H . . . -i- Vapy S^'a[3y
en posant, pour abréger,
du ' ' ' dur^^y
^'^ — V ^?
396. Cherchons maintenant les variations de l'intégrale
triple
I -r V cp dx dydz,
en admettant, pour plus de généralité, que, en même temps
qu'on change u, v^ en u -+- Sw, v -h Si^, on fasse subir une alté-
ration infiniment petite au champ de l'intégration.
A chaque point ^, v;, Ç situé sur la limite de l'ancien champ
d'intégration, on pourra faire correspondre un point infini-
CALCUL DÏÏS VARIATIONS. 5^9
ment voisin ^ + 8^, 7) -h 8tj, Ç + oÇ sur la limite du nouveau
champ. Cela posé, changeons de variables indépendantes en
posant
x^=:x'-^ùx', y=zy'-^By, ^r=^'-l-8^',
8^', oy\ 5s' étant des fonctions infiniment petites, assujetties
à la condition de se réduire à 8^, St), oZ, lorsque x'= Ç, y' = 'ri,
z'=^. L'intégrale altérée, exprimée au moyen de ces nou-
velles variables, prendra la forme
(2)
l-^-M^r^Wjdx'dy'dz',
le champ d'intégration étant redevenu le même que dans Tin-
tégrale primitive I, J désignant le jacobien
I +
d o.x'
doy'
~d^
dlz'
~d^
dl:
dy'
dW
d'y
d ùz'
dy'
-h
dhœ' I
~d^ !
d^y
~d^'~
(Uz
dz'
enfin W étant ce que devient ^ lorsqu'on l'exprime au moyen
des nouvelles variables x' ^ y' ^ z' .
Le développement de cette expression, suivant les puis-
sances de £, ne présente aucune difficulté ; nous l'arrêterons
aux termes du premier ordre pour obtenir la variation pre-
mière 5L Nous pourrons d'ailleurs, en le faisant, supprimer
les accents dont sont affectées les nouvelles variables, aucune
confusion n'étant à craindre, puisque les anciennes variables
œ, y, z auront disparu.
On a évidemment, avec ce degré d'approximation,
dùx
dx
dy
dh
dz
D'autre part
* ^= cp H- Sep -h . . .
Cours, III.
53o TROISlfe:^IE PARTIE. — CHAPITRE IV.
devient, en remplaçant x, y, z par x H- 8^, y -\- 87, ^ -h 8j3,
W
rrrcp-f-
dx
do -
-p 8^ -h . ,
dz
. . -f- Ôcp ■
4-.
On
aura
donc
Wjrz:
cp + 8cp
<^co ^ do ^
dx dy '
S-
-h 0 — 1
' dx
d^y
—
: co + Ocp
d ^ d ^
'^d-x^'^'-^d-y^'^
Remplaçant o-^ par sa valeur (i), substituant dans l'équa-
tion (2) et égalant de part et d'autre les termes du premier
ordre en e, il viendra
U 8^^ H- . . . -h Uaj3y ^«a^y + ^^
ùv
81 = Q ( d ^ d ^ d . \dxdydz.
^\ -^dx'^^''-'-d-y^'^--dz^'' J
397. Cette expression de ol, donnée par M. Ostrogradsky,
peut être transformée par l'intégration par parties.
On peut admettre, pour plus de simplicité, que la fonc-
tion co soumise à l'intégration et les équations de condition
qui peuvent exister, suivant la nature du problème, entre les
variables indépendantes x, y^ ... et les fonctions inconnues
u, ç^, . . . ne contiennent aucune dérivée partielle de ces der-
nières fonctions d'ordre supérieur au premier; car le cas où
figureraient des dérivées partielles d'ordre îïi se ramènerait à
celui-là en prenant pour inconnues auxiliaires les dérivées
partielles jusqu'à l'ordre m — i et ajoutant aux équations de
condition les équations aux dérivées partielles du premier
ordre qui définissent ces nouvelles inconnues.
Supposons encore, pour abréger l'écriture, qu'il n'y ait
plus que deux variables indépendantes x, y, et posons
du du dv do ^^ do ^^
dx dy dx du dui
CALCUL DES VARIATIONS.
53l
—^ = U27 .... On aura, d'après ce qui précède,
ôl = ^ I d ^ cl ^ \dx dy.
S/ U Sw + U, owi -+- U2 o«o H- V op + .
( d ^ d '
dy
_j — Q 0^ 4- -7— 9 8y
Les termes U, 8m, , N ^ SV, , ... et -7- cp 5.r peuvent être inté-
grés par parties par rapport à x^ et donneront
d
(3)
Fo, F^
/
.-^Fo-f-F,~-F,
dx
cp Sjt ) dx
■fi
. désignant les valeurs de l'expression
F =: U, OW H- Vi 0(^ 4- < . . + cp S^
aux points où la parallèle aux x le long de laquelle on intègre
entre dans le champ et en ressort [/ig- 12).
Fiff. 12.
On a d'ailleurs, en désignant par NqX, N, X les angles que
la normale extérieure à la courbe qui limite le champ fait en
ces divers poinls avec l'axe des x positifs, et par <i^oi ds{, ...
les arcs interceptés sur la courbe entre la droite jk et la paral-
lèle infiniment voisine y -f- dy^
dy
dso cosNoX -- dsi ces Ni X
532 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
L'équation (3), intégrée par rapport à y, donnera donc
si ( Ui ô«i 4- Vi S(^i -f- . . . -h -1- cp 0^ j da: dy
— / (Ui o^^ -f-Vi S(^ + . . .4- cp 8^) cosNX6/.ç
la première intégrale étant prise le long de la courbe limite,
et la seconde dans tout le champ.
On peut opérer de même sur les termes
en les intégrant par rapport ky. On trouvera ainsi
ol " Ç{K (J^< 4- B o(^ -f- . . . 4- D 0^ -h E 0/) ^5
-t-Q(M ow 4- N 8p 4- . . .) J^ dy
en posant, pour abréger,
A = Ui CCS NX 4- Ua cosNY,
Brr=iYi<osNX4-V2CosNY,
D — cpcosNX,
E =cpcosNY,
cix dy
dx dy
398. Cherchons à quelles conditions on doit satisfaire pour
que cette quantité s'annule pour tout s^'stème de valeurs de
Zx^ 8jK, Zu) 8(^, . . . compatible avec les données du problème.
i*' Si les limites du champ et les fonctions ?/, (^, . . . sont
CALCUL DES VARIATIONS. 533
entièrement arbitraires, on pourra assigner à ^x, Sjk, 5w, St», ...
des valeurs absolument quelconques. Posant d'abord
6 étant une quantité qui s'annule aux limites du champ, l'in-
tégrale simple aura tous ses éléments nuls, de sorte que 81 se
réduira à l'intégrale
^%^ {M^-[-W -}-... )dxdf,
qui ne peut s'annuler que si l'on a séparément
M — O, N :=0,
Ces équations aux dérivées partielles détermineront les
fonctions inconnues ii, c, ....
Les fonctions arbitraires introduites par cette intégration
et les limites de l'intégration s'obtiendront en exprimant que
l'intégrale simple à laquelle se réduit 81 s'annule également,
quelles que soient les fonctions 8^, 8jk, 8m, ùv, .... En po-
sant
on voit qu'on devra avoir séparément
A^r=:0, B =: O, ..., E =: O.
•■2" Supposons que, sur la limite du champ (ou seulement
sur une portion de cette limite), on ait une équation de con-
dition
ll(^, J, U, ç, ...ji-O.
Cette relation devra subsister entre les nouvelles valeurs
limites x -\- 8^, y + 8k, u + Aw, v + A(', D'ailleurs l'ac-
croissement total Aw dû au changement de la fonction u en
u H- 8m suivi du changement de ^, y en ^ -|- 8jc, y -f- 8jk est
évidemment égal à 8m •+- u^ ^x -h U2 oy. De même
Ap ==: Iv -1- Vi ^x -r- (^2 ^y^ • ' "
534 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
On aura donc à la limite du champ entre les variations Sjc,
oy, ^11, 8(^, ... la relation
d^
8^
-r- -f- 0/ -t- -j- i^^f- -^■' "i ^^ ~''~ "2 ^y)
dx ày du
-\- -^ (oç -f- ('i ùx -!-- (-'o Sy) -+- ... Il- o.
Les équations A= o, B r=^ o, . . . , E = o ne seront donc
plus nécessaires le long de la portion de courbe considérée
pour que l'intégrale simple s'annule, mais il suffira que Ton
ait
du ai'
D r- X ( -^ -:- Wi -r-^ + (^1
(?tl; â^ d'l> \
ôx du av
\ étant une inconnue auxiliaire.
On a donc une inconnue de plus, mais en même temps
une équation de plus, à savoir tj; n= o.
3° Supposons que x, y, u, ^^, ... soient liés par une
équation aux dérivées partielles
4.(^,7, a, Ui, U.2, V, V,, (-'5, ...)
o.
On aura, pour tous les systèmes de valeurs des variations
qui laissent subsister cette équation,
81 == 0 V cp (i^ <ij — 0 V (cp -f- )4) dx dy,
"k étant une fonction arbitraire de forme invariable.
La variation de cette dernière intégrale pourra se mettre
sous la forme
A A' 8^^ -f- B' 8(^ 4- . . . -f- D' 8^ 4- E' 8/ ) ds
-+- ^ (M' 8w ^ N' S(^ H- . . . ) dx dy.
CALCUL DES VARIATIONS. 535
Déterminons l'auxiliaire X par l'équation M'rrt: o. L'inté-
grale double se réduira à
§(IN'8^4-...)rfxrfy.
Il est clair d'ailleurs que 8(\ . . . pourront être choisis à
volonté sans que l'équation 6 -~ o cesse d'avoir lieu. Donc
on devra avoir N' =^7 o, . ...
Reste l'intégrale simple, qui devra s'annuler tant que
l'équation ^ =r^ o subsistera. Or les variables sont encore
liées par cette équation à la limite du champ. Si cette équa-
tion contient les dérivées partielles ?^,, i/o, ^n ^2? •••^ elle
n'apprendra rien sur les variations 8x, 8y, ^z, 8«, de sorte
qu'on devra avoir
A'::.rO, ., . . , E' :r= O.
Mais, si elle ne contient que x, y, u, i^^ . .., il suffira,
d'après le cas précédemment examiné, de poser sur la courbe
limite
A'=.),'f^, B'-.-.yp^, ....
da^ oy
D'=rA' -1 H- «, --I hC, — ^
\ox au ou
V étant une nouvelle inconnue auxiliaire.
4" Supposons enfin que «, t^, ... et les limites soient
astreints à varier de telle sorte qu'une intégrale donnée
K = W di dx dy conserve une valeur constante c. On verra,
comme au n" 361, qu'on doit avoir identiquement
81 + l 8K --^ o,
X désignant une constante.
On aura donc à former les équations qui annulent la va-
riation de l'intégrale double
I ^- XK r:-: ^ (o -f- ÀJ;) dx dy,
536 TROISI^.ME PARTIE. — CHAPITRE IV.
auxquelles on joindra la condition donnée K -- c, qui dé-
terminera X.
399. Nous allons aj3pliquer les considérations qui pré-
cèdent à la solution du problème suivant, rencontré par
Gauss dans la théorie de la capillarité :
Déterminer la forme d' équilibre d'un liquide contenu
dans un vase de forme donnée.
Soient
V le volume du fluide supposé donné;
(7 l'aire de sa surface libre ;
S celle de la paroi mouillée ;
H la hauteur du centre de gravité du liquide au-dessus du
plan horizontal des xy.
On obtiendra la surface cherchée en rendant minimum
l'expression
a4-«S + èVH,
où a et b sont des constantes.
Soient
z l'ordonnée de la surface libre;
p^ q^ r, s, t ses dérivées partielles première et seconde;
Z, P, Q Pordonnée de la paroi et ses dérivées partielles.
On aura
ff — V V^ i H- p- -t- q~ dx dy,
2 z:=z C y/Tn^PM^Q^- dx dy,
8-2 72
Nous aurons donc à annuler la variation de l'intégrale
CALCUL DES VARIATIONS. 53y
double
I ^ Q Ï^T^^''^^^ H- a v/ih^'P^TQ^ -i-~iz^~Z^)\dx dy
= V cp dx dy
avec les conditions : i° que l'intégrale V soit constante;
2" qu'on ait aux limites du champ l'équation de condition
Nous aurons à former la variation
S(
ou
I 4- X V) r^ A A 8^ -f- D Ix + E 8/) ^5 4- Q M lu dx dy,
A =::. ^ 0.09. NX -4- -^^ m^ NY
\/i-^P^--{- q^ y ^ -^ p^" ,-\- g'
D=--cpcosNX, E — cpcosNY,
>z -\-\
d^ \/i-\- p' + q- ^y \j 1 4- /y- + </-
{i-^ q^)r — 2pqs-^ {i-j- p'*')t
{\-\-p'^q^Y
L'équation aux dérivées partielles de la surface libre cher-
chée sera donc
M=:0.
Cette équation est susceptible d'une interprétation géomé-
trique remarquable. En effet, le dernier terme de M est égal
à^-f-^?RetR, désignant les deux rayons de courbure
principaux. On aura donc
Passons à la considération de l'intégrale simple. On a,
le long de la courbe limite, ^ ==: Z, ce qui réduit cp à ses
538 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
deux premiers termes
On déduit d'ailleurs de cette équation aux limites la rela-
tion suivante :
^z -^ p ^x -h q oy—V ^œ -{- Çl S/.
Tirant de là la valeur de oz pour la substituer dans l'intégrale^
puis égalant à zéro les coefficients de ô^ et de 8y, il viendra
( 77 cosNXh-<7 cosNY .^ . -,^
i (P — y:») 4- cpcosNXrrzo,
) \/i-^p'-^q'
^~''^ 1 «cosNX-i-^cosNY^^ , ,,^
1 i- — ^ (Q — ^) + ? cosNY — o.
f \/ 1 -'r- p--' ^ q-'
On a d'ailleurs évidemment, en désignant par x, r, z et
X -t- dxj y -\~ <^J'y z -{- dz deux points infiniment voisins de
la courbe limite,
^^^ dy TVTAr dx
COS]NX=::r ^f , COsNYr---
as as
el
et enfin
dz rz^ p dx ^ q dy r=^V dx ~\~ Q dy ;
{V-~p)dx-\-{(l~-q)dy^o .
(P — /?) COsNY -r::: (Q — ^) COsNX.
La première des équations (4) deviendra donc, en élimi-
nant cosNY et supprimait le facteur cosNX,
Si'i-^p-'-hq
ou
,_l_p^4_Q^
ou enfin
COSZ + <2 = o,
CALCUL DES VARIATIONS. 539
i désignant l'angle des plans tangents à la surface libre et à la
paroi du vase. Cet angle sera donc constant.
La seconde équation redonnera ce même résultat en éli-
minant cosNX et supprimant le facteur cosNY.
400. Cherchons encore à déterminer les surfaces d'aire
minima. Il faudra annuler la variation de l'intégrale
I rrz ^ y/* "^jP"^ "^ ^Û ^^ ^y-
Posant a =: Z> =^ )v := o dans les calculs précédents , on aura
81 :-_-- / [a 0^ -h \J i -i-/j- -4- (f^ (ces NX 0^ -\- cosNY 8y)] ds
-S(r + ïï;)^^''^''-
L'équation aux dérivées partielles des surfaces cherchées sera
donc
s + ïb'^"'
ou
R H- Ri :^ G.
Cette équation a été intégrée au n" 280.
Si l'on donne le contour qui limite le champ et la valeur
de z en chacun de ses points, on aura à la limite ox -~ o,
oy=:o, Zz-z=:o^ et l'intégrale simple disparaîtra d'elle-même.
Mais les valeurs limites des trois variables donneront une
courbe par laquelle doit passer la surface cherchée, et l'on aura
à déterminer par cette condition les fonctions arbitraires que
l'intégration a introduites.
Si une portion de la courbe limite est inconnue, mais assu-
jettie à se trouver sur une surface donnée z ~- Z, on aura,
pour l'angle i sous lequel la surface inconnue vient la ren-
contrer, l'équation
COSir-Q,
laquelle montre que les surfaces se coupent à angle droit.
54o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
Supposons enfin qu'on demande la surface d'aire minima
qui renferme un volume donné Y. On aura à annuler la va-
riation de l'intégrale
I-i-XY,
ce qui donnera l'équation aux dérivées partielles
R Ri ~
Les fonctions arbitraires de l'intégration se détermineront
parl'équation V= const., jointe aux conditions aux limites.
4-01. Le calcul des variations fournit un procédé commode
pour la transformation des équations aux dérivées partielles.
Pour en donner un exemple, considérons, avec Jacobi, l'in-
tégrale triple
■=S[(S)-Kf)'-(£)"]-<'-
Glierclions la variation 81 en supposant le champ d'intégra-
tion invariable, ainsi que les valeurs de V et de ses dérivées
du premier ordre aux limites du champ On aura
ou, en intégrant par parties les trois termes respectivement
par rapport à x^ j', z et remarquant que les termes intégrés
s'annulent aux limites,
La condition pour que ol soit identiquement nul sera donc
fournie par l'équation aux dérivées partielles
... d^Y d'-Y d'Y _
Remplaçons les coordonnées rectangles .r, j', z par un sjs-
CALCUL DES VARIATIONS. S/j]
tème de coordonnées curvilignes orthogonales t^ u^ t^, défi-
nies par les équations
ou
t = F{œ,y,z), u^^{a:,y,z), ç z^.W{a:,y, z).
Onaura(t.I, n« 530).
d¥_ d^ ôF d^ dF d^ _
da^ dx dy dy dz dz '
d^ d"^ d^ d^v d^ dw _
dx djc dy dy dz dz '
dW dF dw dF d^ dV
dx dx dy dy dz dz '
(£)■
fdFy
-m^
= ^,
\dœ)-
fd^y-
- (£)■=
^-à„
fd^Y
= A2,
dx^ -h dy^
-i-dz''='
dl' dir^
dç^
Enfin l'élément de volume rapporté aux nouvelles coordon-
nées sera
, , - dtdudv T , 7 7
dx dy dz = — ~ z=z ^ dt du dv,
J =:: — . étant le module du jacobien de x^ jk, z par rap-
y/AAj Aj
port à t^ u^ V.
On a d'ailleurs
dx dt dx du dx dv dx
>
^ — ^^ ^ ^_î àW dW ^
dz "" dt dz du dz dv dz^
542 TllOISIÈMK PARTIE. — CHAPITRE IV.
d'où, en tenant compte des relations précédentes,
/dyy fdvy fdyy j'à^y , fdyy , fdvy
fej ^fe) -K^^) ^'-"U) -^^<57j -'-'\,y) •
L'intégrale I, rapportée aux nouvelles variables t, w, r, de-
viendra donc
S[KÎ)"'--'(£)"--'(S)']—
Le champ de cette nouvelle intégrale sera invariable comme
celui de l'intégrale primitive, ainsi que les valeurs de V,
— ? ^ ? -T- aux limites du champ.
di du ov ^
Exprimons que 81 s'annule da.ns ces conditions. On aura
81 — 2 V UJ V s -^- ^ • - . -H A, J V 8 4- U^ ^^ ^^
ou, en intégrant par parties les divers termes de cette expres-
sion et remarquant que les termes intégrés s'annulent aux
limites,
81 =. - 2 Q f 4- AJ ^ H- . . . -h -f- A. J ~\ 8V dt du dv.
\J\àt ôt dv - dv J
La condition pour que ôl s'annule identiquement sera donc
— Aj - - ^- -r- Al J -— -h -— A, J -— — o.
oi Ot ou ou 0K> ôv
Cette nouvelle équation est donc équivalente à l'équa-
tion (5), dont elle sera la transformée»
Fm DU TOME TROISIÈME ET DERNIER.
22169 Paris. — Impr. GAUTUIER-VILLARS ET FILS, quai des (;raiids-Aui;uslins. 65.
w
-JP-^J^
14 DAY TTSF
RETURN TO DESK FROM WHICH BORROWED M/ A ''
ASTRON-MATH-STAT.LIBRARY ^/jk
TU- u ... T"N.. «42-3381 "'"*'*'«» /V^
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